Дж.Глимм, АДжаффе
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ
Сжатое изложение математической структуры современной квантовой физики,
написанное известными американскими учеными. Материал формулируется в
виде четких теорем, доказательства которых лишь кратко намечены. Книгу можно
рассматривать как введение в теорию квантовых полей и как справочник по
основным фактам этой теорий.
Для математиков и физиков, аспирантов и студентов университетов.
Оглавление
Предисловие редактора перевода	5
Введение	9
Принятые соглашения и формулы	12
Список обозначений	14
ЧАСТЬ I. Введение в современную физику
Глава 1. Квантовая теория	18
1.1	Общее представление о квантовой теории	18
1.2	Классическая механика	19
1.3	Квантовая механика	22
1.4	Интерпретация	26
1.5	Простой гармонический осциллятор	27
1.6	Кулонов потенциал	35
1.7	Атом водорода	40
1.8	Зачем нужна квантовая теория поля	42
Глава 2. Классическая статистическая механика	44
2.1	Введение	44
2.2	Классические ансамбли	46
2.3	Модель Изинга и решеточные поля	53
2.4	Методы разложений в ряд	65
Глава 3. Формула Фейнмана — Каца	60
3.1	Мера Вниера	60
3.2	Формула Фейнмана — Каца	64
3.3	Единственность основного состояния	68
3.4	Перенормированная формула Фейнмана— Каца	70
Глава 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли — Янга	73
4.1	Неравенства Гриффитса	74
4.2	Переход к бесконечному объему	77
4.3	^-неравенства	78
4.4	Неравенство ФКЖ	82
4.5	Теорема Ли — Янга	83
4.6	Аналитичность свободной энергии	86
4.7	Двухкомпонентные спины	89
Глава 5. Фазовые переходы и критические точки	90
5.1	Чистые и смешанные фазы	90
5.2	Приближение среднего поля	92
5.3	Нарушение симметри	96
5.4	Модель капли и оценка Панерлса	100
5.5	Пример	104
Глава 6. Теория поля	106
6.1	Аксиомы	106
6.2	Свободное поле	117
6.3	Пространство Фока и виково упорядочение	194
6.4	Каноническое квантование	129
6.5	Фермионы	133
6.6	Взаимодействующие поля	137
ЧАСТЬ II. Функциональное интегрирование
Глава 7. Ковариационный оператор	142
7.1	Введение	142
7.2	Свободная ковариация	145
7.3	Периодические граничные условия	147
7.4	Граничные условия Неймана	148
7.5	Граничные условия Дирихле	149
7.6	Изменение граничных условий	1ЬО
7.7	Ковариационные неравенства	150
7.8	Общие граничные условия Дирихле	152
7.9	Регулярность оператора Св	158
7.10	Положительность при отражениях	161
Глава 8. Квантование — интегрирование по функциональному	164
пространству
8.1	Введение	164
8.2	Диаграммы Фейнмана	165
8.3	Виковы произведения	168
8.4	Формальная теория возмущений	171
8.5	Оценки гауссовых интегралов	173
8.6	Негауссовы интегралы для случая d = 2	179
8.7	Конечномерная аппроксимация	186
Глава 9. Анализ и перенормировки в функциональном пространстве 188
9.1	Список полезных формул	188
9.2	Инфинитезимальное изменение ковариации	195
9.3	Квадратичные возмущения	196
9.4	Перенормировка по теории возмущений	201
9.5	Решеточные операторы Лапласа и ковариационные операторы	205
9.6	Решеточные аппроксимации мер Р(<р)2	212
Глава 10. Оценки, не зависящие от размерности	216
10.1	Введение	216
10.2	Корреляционные неравенства для полей Р(<р)2	216
10.3	Монотонность и расщепление при условиях Дирихле или Неймана 218
10.4	Положительность при отражениях	220
10.5	Многократные отражения	222
10.6	Несимметричные отражения	229
Глава 11. Поля без обрезания	236
11.1	Введение	236
11.2	Монотонная сходимость	236
11.3	Оценка сверху	238
Глава 12. Регулярность поля и проверка аксиом	241
12.1	Введение	241
12.2	Интегрирование по частям	243
12.3	Нелокальные ср-оцеики	?4fi
12.4	Равномерность относительно объема	948
12.5	Регулярность поля Д(р)2	252
ЧАСТЬ III. Физические свойства квантовых полей
Глава 13. Теория рассеяния: нестационарные методы	258
13.1	Введение	258
13.2	Многочастичное рассеяние	261
13.3	Волновой оператор для квантовых полей	265
13.4	Волновые пакеты для свободных частиц	269
13.5	Теория Хаага—Рюэля	272
Глава 14. Теория рассеяния: стационарные методы	278
14.1	Хронологически упорядоченные корреляционные функции	278
14.2	5-матрица	281
14.3	Перенормировки	282
14.4	Ядро Бете — Солпитера	287
Глава 15. Магнитный момент электрона	292
15.1	Классический магнитный момент	292
15.2	Тонкая структура атома водорода и уравнение Дирака	294
15.3	Теория Дирака	296
15.4	Аномальный магнитный момент	298
15.5	Сверхтонкая структура и лэмбов сдвиг в атоме водорода	301
Глава 16. Фазовые переходы	302
16.1	Введение	302
16.2	Двухфазная область	306
16.3	Сохранение симметрии (случай d =2)	316
16.4	Нарушение симметрии (случай d > 3)	320
Глава 17. Критическая точка в модели ср1	326
17.1	Элементарные соображения	326
17.2	Отсутствие четных связанных состояний	328
17.3	Оценка константы связи	329
17.4	Существование частиц и оценка производной dm2/d(5	331
17.5	Существование критической точки у модели ср4	332
17.6	Непрерывность <7цв критической точке	334
17.7	Критические индексы	335
17.8	т]<1	338
17.9	Скейлинговый предел	340
17.10	Гипотеза Г6 < 0	340
Глава 18. Кластерные разложения»	342
18.1	Введение	342
18.2	Кластерное разложение	346
18.3	Кластерное свойство и аналитичность	351
18.4	Сходимость: основные идеи	353
18.5	Уравнение типа Кирквуда — Зальцбурга	356
18.6	Ковариационные операторы	358
18.7	Сходимость: завершение доказательства	362
Глава 19. От функциональных интегралов к квантовой механике	365
19.1	Реконструкция квантовых полей	365
19.2	Формула Фейнмана — Каца	36«
19.3	Самосопряженные поля	370
19.4	Коммутаторы	371
19.5	Лоренц-ковариантность	375
19.6	Локальность	378
19.7	Единственность вакуума	379
Глава 20. Дальнейшие направления	383
20.1	Модель ср43	384
20.2	Суммируемость по Борелю	385
20.3	Евклидовы ферми-поля	386
20.4	Потенциал Юкавы	387
20.5	Низкотемпературные разложения и фазовые переходы	388
20.6	Дебаевское экранирование и преобразование sin-Gordon	389
20.7	В газе диполей нет экранирования	392
20.8	Солитоны	394
20.9	Калибровочные теории	396
20.10	Модель Хиггсаи сверхпроводимость	397
Литература	399
Предметный указатель	436
Предметный указатель
Аксиомы 106—117	365
— Бете — Солпитера 288—289	Активность 57, 83
— Вайтмана 114, 115, 243, 260, 268, Анализ в функциональном
269, 365	пространстве 188—215
— евклидовы 106—107, 282	Аналитичность 86—88, 107, 227, 289,
— Минковского 115	351—353, 377, 378
— Остервальдера — Шрадера 107, Ангармонический осциллятор 28, 33,
243,252,379	129—133,138,139
— Хаага—Кастлера 114, 116—117,	Аномальная размерность 95
Аномальный магнитный момент 43,
294, 298—301
Ансамбль 47—53
— большой канонический 53, 389
— канонический 49, 282—283
— микроканонический 47. См.
также Гиббса ансамбль
Асимптотики 258, 261
Асимптотическая полнота 38—39,
259,260
Асимптотический предел 117
— режим 258
Атом водорода 22, 35, 38, 40—42,
301—302
— гелия 38
Бардина — Купера — Шиффера
теория (БКШ) 398
Бальмера серия 41
Бете — Солпитера аксиомы см.
Аксиомы
----ядро 173,260, 287
Боголюбова преобразование 136
Бозе — Эйнштейна статистика 133
Бозоны 26, 48, 109, 133, 135, 143, 201,
387, 388
Больцмана постоянная 49
Вайтмана аксиомы см. Аксиомы
— функции 115, 116, 260, 272
----хронологически
упорядоченные 260 э
Вакуум, единственность 92, 109, 115,
116,302,303,379—383
— неединственность 307, 342, 384
Вакуумное состояние 302
Вакуумные средние 272, 277
Вакуумный вектор 115, 133
Вероятностная мера 72. См. также
Функциональные интегралы
Вигнера теорема 24
Вика мономы 31, 127, 171, 172, 174,
243
— полиномы 31, 173, 191, 243,
246,345,391
— произведения 168—171, 188
Виково двоеточие 127
— переупорядочение 150, 179, 189,
315
— упорядочение 31, 165, 189, 195—
197,217, 237, 246,306
-----константа 174, 191, 210, 246,
391
Винера интеграл, мера 60—64, 153,
212,356
Вихрь 55, 105,318,398
Волновой оператор 263, 265
Гамильтона уравнения 19
Гамильтониан 19, 26, 74, 128, 233
Гармонический осциллятор 27, 124,
129, 130, 138, 174, 233
Гауссова критическая точка 138
Гауссов процесс 138, 212
— функционал 118, 190, 192
Гауссово поле 123, 213
Гауссовы	функциональные
интегралы 67, 107, 118, 124,
129, 164, 166, 167, 171, 173—
179, 191 — 195, 212, 222, 230,
241,343,346,352,386,390
Гейзенберга динамика 21
— картина 24
— модель 222, 316,318
— ферромагнетизм 54
Уиббса ансамбль 47, 343
— постулат 47, 49
Уинзбурга — Ландау теория 398
Граница фаз 100, 101,307,317,388
Граничные условия 144, 150, 152—
157, 162, 174, 180, 185,205—
207, 222, 229, 389
-----Дирихле 54, 149, 162, 205, 217,
218, 237, 251,310,389
-----Неймана 148, 162, 217, 218, 241
-----периодические 147, 164
-----со слабой связью 241, 335
Урина функция 142, 145, 319, 329
Уриффитса неравенства 74—76, 82,
90,216,305
Группа отражений 223
Давление 44, 53, 55, 83, 94, 95, 317
Дайсона уравнение 283, 284, 287
Диаграммы 166
— вершинные 204
— массовые 203, 204
— скелетные 203, 204
См. также Майера графы, Фазовые
диаграммы,	Фейнмана
диаграммы
Диполь 104, 105, 318, 392—394
Дирака море 137
— поле 134, 136
— размазанная дельта-функция 143,
174
— теория 296—298
— уравнение 37, 43, 134, 294
— частица 299
Дирихле граничные условия см.
Граничные условия
— ковариация 235, 346
— предел 194
— ребра 346
Дифференцирование функционалов
188
Евклидов пропагатор 142
Евклидово поле 106—107
Евклидовы аксиомы см. Аксиомы
Заряд 35
— перенормировка 139, 286, 342
— плотность 294
Идеальный газ 44, 53, 55, 94
Иерархическая модель 96
Изинга модель 54, 77, 83, 90, 96, 100,
101, 138, 222,307,328,336—
338,396
Импульсное обрезание 174, 176, 246,
384
Инвариантность при отражениях 143,
162, 223,240
Инстантон 55, 396
Интегрирование по частям 124, 193,
242
Казимира оператор 42
Калибровочные поля 140, 396
— теории 106, 396—397
Канал 263, 288
Каноническая модель 331
Канонические значения показателей
142,336,337
— коммутационные соотношения 25,
42, 125, 126, 129—131, 134
— координаты 21, 36
Канонический ансамбль см.
Ансамбль
Каноническое квантование 129—133
Квадратичные возмущения 192,
196— 200
Квазиклассическое приближение 93,
94
Квантовая теория 18, 106
Квантовое поле 106
См. также Дирака поле, Евклидово
поле, Свободное поле, Ферми-
поле,	Существование
квантовых полей
—	число 41
Кирквуда-Зальцбурга уравнения 351,
356
Классическая картина 94
—	критическая точка 95
—	система 21
—	статистическая механика 18, 19,
37,38
— траектория 47—48
Классические ансамбли 46—53
— дифференциальные уравнения 136
— законы взаимодействия 44, 297
— индексы 336, 337
Классический предел 18
Классическое поле 123, 132
— приближение 60, 93
— решение 104, 295
Кластер 39, 258, 261
Кластерное разбиение 261,
262
— разложение 55, 98, 104, 152, 241,
335, 342Л364, 384, 387, 388, 390
Клебша — Гордона формулы 295
Клейна — Гороона поле 133
-----уравнение 270
Ковариационные операторы 142—
164
-----инфинитезимальное изменение
193
-----периодические 147
-----решеточные 205—212
-----свободные 145—147
Константа связи 60, 139, 201, 202,
205, 284, 329, 398
Конфигурации 100—104
— классического поля 132, 307
Конфигурационное пространство 132
Кооперативные явления 54, 90, 99
Корреляционные неравенства 73—
90, 95,98, 139, 186, 207,212,
216,326,384
Костерлица — Таулесса фазовый
переход 106
Критическая поверхность 46
— размерность 317
— температура 95, 104
— точка 46, 74, 90, 95, 96, 138, 139,
143, 306, 326, 330, 332—335,
340, 342
Критические индексы 96, 106, 139,
335_338 341
Кулонов газ 105,'389, 392, 393
— потенциал 22, 26, 35—39, 390
Кулоново взаимодействие 44, 105,
392
Лагранжиан 60, 201
Лаймана серия 41
Лебовица неравенства 79, 216
Лежандра преобразование 51, 53, 60,
173
Лемана — Симанзика —
Циммермана формализм 260,
281
— спектральная мера 329
----формула 119—120, 284, 337
Леннард-Джонса потенциал 38, 44,
260
Ли — Янга теорема 74, 83—88, 98,
216,323,326,397
Лиувилля мера 47
— теорема 20
Локальность 115, 117,378—379
Лоренца группа 115, 117, 133, 134,
265, 266, 296
Лореиц-инвариангность 109
Лореиц-ковариангность 115, 117,
375—378
Лэмбов сдвиг 43, 301—302
Магнитное диполь-дипольное
взаимодействие 44
— поле 83,98, 297,398
Магнитный момент 292, 293
Майера графы 58, 343
— Монтролла уравнения 351
— разложения 5, 59, 94
Масса 35, 332
— приведенная 36. См. также
Спектр масс, Центр масс
Массовая щель 273
Массовый оператор 265
Масштабные преобразования 137,
145, 159, 185, 192,312. См.
также Скейлинговый предел
S-матрица 266, 269, 278, 281—282,
385,386
Мёбиуса теорема 272
Мейсснера эффект 398
Мелера формула 34, 66, 233
Мермина — Вагнера теорема 104,
105,318
Метод изображений 148, 149
Минковского аксиомы см. Аксиомы
— поле 114, 115
Минлоса теорема 72
Многочастичное рассеяние
261
Модель капли 100—104
— ротаторов 89, 104, 316
Наблюдаемые 19, 23, 48, 115, 380
Намагниченность 98, 293, 305, 323,
327
Нарушение симметрии 96, 320—326
Негауссовы меры 70, 179—186, 236
Неймана граничные условия см.
Граничные условия
— ковариации 148, 314
— предел 195
Обобщенные функции 71, 92, 107,
267, 268, 272
Обусловленность 86, 193, 218
Одночастичная задача 266, 267
Одночастично-неразложимые
диаграммы (1ЧН) 203, 285
Оператор рождения 28, 135, 165
— уничтожения 28, 135, 165
Орнштейна — Уленбека мера 69
----процесс скоростей 66
Основное состояние 27, 29, 35, 96,
103,317
См. также Вакуум
Остервальдера — Шрадера аксиомы
см. Аксиомы
Отражения 73, 148, 149, 221,381
— многократные 78, 222—228, 239,
241, 248, 252, 253, 308, 311, 324,
383
— несимметричные 229—236, 248,
252. См. также Группа
отражений, Инвариантность
при отражениях,
Положительность при
отражениях
Пайерлса оценка 100, 309
Параметр порядка 98
Паули матрицы 298, 396
— принцип запрета 26, 39, 44, 135
Перенормировка 34, 94, 141, 165, 188,
197, 201—205, 282—287, 302,
342, 384, 387
— вакуума 141, 282, 283, 286
— величины поля 202, 268, 283, 286,
329,331,394
— заряда 139, 286, 342
— массы 283—285, 387
Перенормируемая теория поля 204—
205
Перрона — Фробениуса теорема 68
Плотность 44, 49, 52, 55
Положительность при отражениях
73,
108, 119, 121, 143, 145, 161 — 164,
220—224, 226, 237, 249, 397
Поляризационное тождество 190, 245
Постоянная тонкой структуры 40,
205,299
Предел бесконечного объема 73—74,
77—78, 216, 236, 242, 324, 388
Преобразование sin-Gordon 389
Приближение среднего поля 88, 92—
96, 103—105, 317, 336, 342, 389,
390
Пространство состояний 45, 47
— траекторий (функциональное
пространство) 61, 110, 141, 167,
225,	386, см. также
Функциональные интегралы
Пуассона процесс 138, 139
— скобки 21, 262
Равновесное распределение 47
— состояние 317
Равновесные конфигурации 55
Рассеяние 38, 39, 258—292, 342, 385,
386
— миогочастичное 261—265
Резервуар частиц 52
Реконструкция квантовой механики
111
— квантовых полей 365
Ренормгруппа 96, 327, 330, 335, 385,
394
Решеточная аппроксимация 137, 194,
205,209,212,384,396
Решеточные поля 53, 78, 86, 97, 137,
221
Решеточный оператор Лапласа 54,
205
Ритца принцип 27
Сверхперенормируемые модели 141,
205, 242, 267, 269, 282, 302
Сверхтонкая структура 301
Свободная ковариация 145—147
— энергия 51, 86—88, 218,241,258,
394 Свободное поле 117—124, 128,
142,
258, 266, 269, 331, 342 Связанные
состояния 26, 38, 39, 133, 201,
258, 262, 287, 289, 290, 328—
331,342
Скейлинговый предел 138, 331, 340
Случайное блуждание 138, 212
Солитон 103, 104, 260, 303, 395
Состояние 21
— миогочастичное 104, 259, 260
— рассеяния 39, 260, 387
— смешанное 92, 381
— чистое 21
См. также Вакуумное состояние,
Основное	состояние,
Пространство	состояний,
Связанные	состояния,
Уравнение состояния
Сохранение симметрии 104, 316
Спектр масс 287, 342, 384
Спин 25, 26, 43, 74, 87, 100, 105, 133,
141, 143,294, 295,317,321
— двухкомпонентный 89—90, 105,
317
Спиновая волна 105
Статистическая сумма 49, 74, 83, 86,
87, 99, 198, 218, 230, 250, 284,
390—391,393
Суммируемость по Борелю 139, 337,
385—386
Существование квантовых полей 140,
237, 257, 345
Сходимость графиков операторов
164
Температура 49
Теория возмущений 60, 171—173,
242, 282, 283, 299, 385. См.
также Квадратичные
возмущения
Термодинамический предел 37, 48,
51
Термостат 49
Тонкая структура 294, 301. См.
также Постоянная тонкой
структуры Траектории 62, 64,
110, 152. См. также
Классическая
траектория.
Пространство траекторий
Трансфер-матрица 91,
106, 113,221,257
Туннельный переход 104
Угловой момент 23, 25, 42, 47, 295,
296,301
Уравнение движения 242
— состояния 44, 53
— теплопроводности 61, см. также
Фейнмана — Каца формула
Урселла функции 81
Усеченные функции 81, 272
Фаза91, 97, 99—101, 105, 303, 327
— конденсированная 394
— неупорядоченная 105, 318, 394
— смешанная 91
— чнстая91,98, 100, 116,302,317,
342, 388
Фазовое пространство 19, 47
Фазовые диаграммы 88, 389
Фазовый переход 56, 74, 83, 88, 91,
97, 101, 104, 106, 116, 139, 185,
302—326, 334, 342, 364, 388,
389, 394—397
-----без нарушения симметрии 97,
389
-----второго и более высокого рода
306
-----доказательство существования
100,307,320,322
-----первого рода 99, 303, 320
-----с нарушением симметрии 97,
316—317,320—326
-----размыванием 394, 396
Фейнмана диаграммы (графы) 165—
168, 172—173, 175, 199—200,
203, 285—287, 300
— Каца мера 107, 110
-----формула 28, 60, 64—68, 70—
73, 130, 133, 227, 368, 369, 386,
387
— формула 60—61
Ферми — Дирака статистика 133, 135
Ферми-поле 143, 386—387
Фермионы 26, 48, 133, 135, 387, 388
Ферромагнетизм 316
Ферромагнитное взаимодействие 83,
86, 207
Ферромагнитный гамильтониан 74,
75,77, 186
ФКЖ (Фортуэна — Настелена —
Жинибра) неравенство 82, 216,
303—305
Фока пространство 124, 129, 134,
258— 260
Фоков вакуум 266
Фоково представление 126
Фон Неймана алгебры 117, 380
Функционалы 108, 188
Функциональные интегралы 65, 70,
107. См. также Гауссовы
функциональные интегралы
Функциональный определитель 192,
197
Хаага — Кастлера аксиомы см.
Аксиомы
— Рюэля теория рассеяния 259, 260,
272—278
Характеристический функционал 71,
107, 118, 122, 221
Хиггса механизм 303
— модель 397, 398
— поля 316
Хоенберга — Мермина — Вагнера
теорема 318
Центр масс 35, 37, 261, 262
Цилиндрические подмножества 63
— функции 109, 194, 235
Частица 258, 266, 267
Швингера функции 72, 116, 217, 243,
305, 327, 346, 375—378
Шредингера гамильтониан 40, 111,
129
— картина 24, 25
— представление 25, 28—30, 34, 35,
38, 40, 110, 233
— уравнение 22, 24
Электромагнитное взаимодействие
27, 35, 292—302
Энтропия 48,51,94, 102,308
Эргодичность 47,91, 104, 109, 113,
379
Эрмита полиномы 27, 30, 32, 124,
127,165, 190, 191
— разложение 126
— Фока представление 124
— рекуррентное соотношение
170
Юкавы потенциал 38, 139, 141, 201,
204, 342, 387—388
Янга — Миллса теория 140, 204, 396
Предисловие редактора перевода
С годами становится все яснее, что описывать квантовые системы
с помощью функциональных интегралов столь же удобно, как и
с помощью векторов гильбертова пространства и действующих в
нем линейных операторов. Сила функциональных интегралов и
заключенные в них возможности, которые лет 30 назад — при нх
появлении — лишь смутно угадывались, ныне полностью прояви-
лись. Впервые функциональные интегралы — в применении к кван-
товой физике — появились в знаменитой работе Р. Фейнмана
1948 г., в которой он предложил новое построение нерелятпвист-
ской квантовой механики для системы конечного числа частиц.
В основе его подхода лежит формула, выражающая ядро Ut(y\, у2)
оператора эволюции системы во времени Ut = схр{////} (И — опе-
ратор энергии) в виде интеграла
Ut(yi, У2)= j e<s[x(T)i Д rfx(x), z/1, (/2e(/?3)n, (1)
{х(т): х(0)=//1, х (0=1/2}	те|0, t]
по пространству классических траекторий {х(т): те [О, /]} сп-
t	т
стемы, где S [х (т)] = j | х |2о/т — j V[x (т)] dx — классическое действие
о	о
системы (V — потенциальная энергия взаимодействия).
Разумеется, интеграл в (1) не более чем символ (поскольку,
например, не ясно даже, как понимать Д dx(x)) Проще
т «= [0. и
всего истолковать интеграл (1), если рассматривать его как пре-
дел — при измельчающихся разбиениях 0 < t\ < t2 < ... < tn < t
отрезка [0, t] — конечнократных интегралов, получающихся от за-
мены траекторий х(т) в (1) ломаными с вершинами в точках раз-
биения. Другая и более глубокая интерпретация интеграла в (1)
получится, если представить его в виде интеграла
t
-I V [х (r)J dx
J в 0 dSrt(x(x))	(2)
х(т)
по так называемой мере Фейнмана t — конечно-аддитивной комп-
лексной мере в пространстве траекторий (формально определив-
6
Предисловие редактора перевода
мой как exp J i |х|2с/т I с/х(т)). Это представление иите-
грала Фейнмана хотя уже и корректно, но требует при обращении
с ним определенных предосторожностей и оговорок: так как мера
Фейнмана STt определена на цилиндрической алгебре множеств
и имеет неограниченную вариацию, интеграл (2) разумно опреде-
ляется лишь для достаточно гладких функций V. Однако вскоре
после работы Фейнмана М. Кац [1951], по-видимому первый из
математиков оценивший достоинства нового подхода, по аналогии
с представлением (2) написал следующее представление для ядра
Gt(y\, у2) оператора Ct = ехр{—tH}, t>0:
t
- V(x(x})dt
Gt(yi,y2) = J e 0 d№t,
{* (T): х(О)=й,ад=й)
(3)
где интегрирование происходит по хорошо известной вероятностной
мере Винера Ж/ в пространстве траекторий. Представление (3),
которое формально может быть получено из (2) переходом к «мни-
мому» времени (в евклидову область, как сказали бы сейчас), зна-
чительно проще и удобнее в применениях, чем интеграл (2). Пред-
ставления вида (2) и (3) известны ныне под названием формул
Фейнмана — Каца.
Позднее, в середине 50-х годов, функциональные интегралы
были введены в квантовую теорию поля: как и в случае квантовой
механики систем с конечным числом частиц, эволюционный опе-
ратор Ut = exp{itH} для квантового поля был записан в виде
интеграла, аналогичного интегралу Фейнмана (1):
Ut — eiS (<w dtp (x),
(4)
где S(cp) — действие для классического поля. Формула (4) оказа-
лась еще труднее для содержательной интерпретации, чем фор-
мула (1), так как в ней ни левая, ни правая часть не имела точного
определения: гамильтониан Н не был корректно построен (как
самосопряженный оператор в подходящем гильбертовом простран-
стве) ни для одной модели взаимодействующих квантовых полей,
а интеграл справа, как и в случае (1), представлял собой только
символ, которому не удавалось дать точного определения, подобного
(2) или (3). Тем не менее символическое выражение (4) долгие
годы имело (и поныне имеет) большую эвристическую ценность:
над ним, руководствуясь интуицией и здравым смыслом, удобно
совершать различные математические операции, как над настоя-
щим интегралом, получая в результате физически осмысленные
ответы,
Предисловие редактора перевода
7
Новое содержательное понимание функционального интеграла
(4) появилось в начале 70-х годов благодаря, в частности, работам
авторов этой книги. В этих работах для модели квантового бозон-
ного поля с полиномиальным самодействием в двумерном про-
странстве-времени (так называемой Р(ф)2-модели) — после пере-
хода в евклидову область, т. е. к «мнимому времени» — опреде-
лялся интеграл (4) (по аналогии с определением (3)) как интеграл
^e~^PW:dxdW0,	(5)
где 1Г0— гауссова вероятностная мера в пространстве ^'(Е2)
обобщенных функций двух переменных (задаваемая «евклидовым»
действием So (ф) = |(Уф)2 + /пф2] dx свободного бозонного поля),
а ^:Р(ф):с?х—- определенным образом перенормированное клас-
сическое взаимодействие ^Р(ф)с?х. Это определение интеграла в
правой части (4) позволяет определить и левую часть, т. е. га-
мильтониан Н бозонного поля, что явилось существенно новой и
важной чертой построений Дж. Глимма и А. Джаффе.
Их работы, как и большинство работ этого направления, своим
появлением обязаны глубокому влиянию идей К. Симанзика и
Э. Нельсона. В работе Э. Нельсона (развившего предположения
Симанзика) показано, что задачу построения квантового поля в
пространстве Минковского Alv+1 можно свести к задаче построения
марковского случайного поля в евклидовом пространстве £v+‘, ин-
вариантного относительно группы движений этого пространства.
Именно такое поле и было построено в работе Дж. Глимма и
А. Джаффе для случая Р(ф)г-модели— как возмущение гауссова
(марковского) поля в пространстве Е2 с распределением 1Го с по-
мощью веса ехр|—: Р (ф): dx} . При этом само построение меры
для Р(ф)2-моделп идейно и технически оказалось очень схоже
с построением предельной гпббсовой меры в статистической фи-
зике: в этом случае «свободная мера», соответствующая системе
невзаимодействующих частиц, возмущается больцмановым мно-
жителем ехр{—рД/}, где Н} — энергия взаимодействия частиц.
В течение 70-х годов на этом пути были построены случайные
марковские поля, соответствующие и другим моделям квантовой
теории поля, хотя для наиболее интересного случая — модели взаи-
модействующих квантовых полей в четырехмерном пространстве-
времени— такого случайного поля построить пока не удалось.
Центральным местом этой книги является изложение конструк-
ции меры для полей Р(ф)2 (часть II). Это построение предваряется
общеобразовательным введением (часть I) и завершается обсужде-
нием многочисленных его следствий и связей с другими пробле-
8
Предисловие редактора перевода
мами математической физики (ч. II, III). Книга написана учеными,
существенно повлиявшими на современное представление о роли
функциональных интегралов как одной из фундаментальных струк-
тур в квантовой физике, и поэтому интересна как их собственное
исповедание этих идей и взглядов.
Изложение материала ведется на трех различных уровнях, ко-
торые можно условно обозначить как педагогический, концепту-
альный и технический. При помощи первого—-педагогического —
уровня, на котором написана ч. I, авторы обращаются к неиску-
шенным в предмете математикам и стараются бегло обучить их
квантовой механике, аксиомам теории поля, а также подготовить
их — на простом примере интеграла Винера — к восприятию более
сложной конструкции интеграла (5). В изложении на втором уров-
не, предназначенном для тех, кто знаком с предметом, даются
основные идеи построения функциональных мер, связь этого по-
строения с так называемыми перенормировками поля и со статисти-
ческой физикой, а также со многими физическими аспектами тео-
рии поля, элементарных частиц и физики низких температур (тео-
рия рассеяния, спектр масс, связанные состояния, фазовые пере-
ходы, критические точки). Само изложение конструкции Р(ф)2-
модели и фазовых переходов в ней (технический уровень) изоби-
лует большим числом разнообразных аналитических приемов и
порой ведется очень сжато; оно потребует от читателя, желающего
овладеть этой техникой, напряженной и активной работы над тек-
стом.
Настоящая книга — уже 4-я книга по этой тематике, выпускае-
мая издательством «Мир». До этого вышли: Саймон Б. «Модель
Р(ф)2 эвклидовой квантовой теории поля» (1976) и два сборника
переводов: «Конструктивная теория поля» (1977) и «Евклидова
квантовая теория поля. Марковский подход» (1978). При чтении
книги Дж. Глимма и А. Джаффе читателю было бы полезно про-
смотреть и эти книги.
Р. Минлос
Введение
В этой книге одна тема, но она адресована трем различным кате-
гориям читателей.
Тема эта — математическая структура современной физики:
статистической физики, квантовой механики и квантовой теории
поля. В том, что различные разделы физики имеют единую мате-
матическую структуру, нет ничего удивительного. В классической
физике это объясняется, например, общностью математического
формализма, связанного с волновым уравнением и уравнением
Лапласа. В современной физике единство более сложной матема-
тической структуры отражает также общность основных физиче-
ских явлений в различных ее частях. Так, специалисты по физике
элементарных частиц, ядерной физике и физике твердого тела
изучают аналогичные научные проблемы с разных точек зрения.
Рассматриваемая здесь математическая структура может быть
описана в разных терминах: при помощи дифференциальных урав-
нений с частными производными для функций бесконечного числа
независимых переменных, при помощи линейных операторов,
действующих в бесконечномерных пространствах, пли теории ве-
роятностей и анализа в функциональных пространствах. Матема-
тическая структура квантования обобщает теорию дифференциаль-
ных уравнений с частными производными в том же смысле, в
каком последние служат обобщением обыкновенных дифференци-
альных уравнений. Центральной темой этой книги является кван-
тование нелинейных дифференциальных уравнений с частными
производными и изучение физических систем с бесконечным чис-
лом степеней свободы.
Математики, физики-теоретики и специалисты по математиче-
ской физике — вот те категории читателей, которым адресована
эта книга.
Каждая из трех частей книги имеет собственные научные цели.
Первая часть является введением в современную физику. Она за-
думана как замкнутое изложение физики для математически на-
строенных читателей. Сюда входят квантовая теория, статистиче-
ская механика и квантовая теория поля. Поскольку эта часть
обращена в первую очередь к математикам, в ней основное вни-
мание уделяется концептуальной стороне теории: определению
понятий, постановкам задач и осмыслению полученных результатов»
10
Введение
При этом технические вопросы решения тон или иной задачи
отступают на второй план. Такой способ изложения отличается
от обычного стиля физических учебников, и поэтому студенты-
физики могут найти в первой части полезные дополнения к обще-
принятым руководствам. В частности, приведенное здесь построе-
ние квантовой механики с помощью формулы Фейнмана — Каца
и функциональных интегралов может послужить для физиков вве-
дением в эти методы.
Во второй части рассматриваются квантовые поля. А именно,
строятся бозонные поля с полиномиальным самодействием в дву-
мерном пространстве-времени — так называемые Р (ф)2-моделп.
Изложение в этой части математически полно и замкнуто, хотя и
предполагает некоторые знания об операторах в гильбертовом про-
странстве и о функциональных интегралах. Первоначальная кон-
струкция Р(ср)2-полей, предложенная в ранних работах авторов,
значительно усовершенствована и упрощена в этой книге благо-
даря достижениям, накопленным за последнее десятилетие уси-
лиями небольшой группы энтузиастов по конструктивной теории
поля, включая Ю. Фрёлиха, Ф. Гуэрру, Э. Нельсона, К. Остер-
вальдера, Л. Розена, Р. Шрадера, Б. Саймона, Т. Спенсера, К. Си-
манзпка и наконец самих авторов. Эта часть может служить для
физиков полезным дополнением к обычным книгам по теории поля,
поскольку в ней развит математический аппарат, как правило, от-
сутствующий в таких книгах.
Во второй части разрешен давний научный спор. На протяже-
нии многих лет математики и физики задавались вопросом: со-
гласована ли нелинейная теория поля с релятивистской квантовой
механикой? Может ли квантование, основанное на перенормиро-
ванной теории возмущений, быть определено математически точно?
Математически полное построение Р(ф)2-полей, выполненное в
этой книге, а также полей Юкавы2,3, ф^, sin-Gordon2, Хиггса2 и
ряда других, которые можно найти в литературе, дают положи-
тельное решение этой проблемы. Главный итог этой работы —
осмысление перенормировок вне рамок теории возмущений.
Математической основой такого анализа является теория перенор-
мировок функциональных интегралов. С математической точки
зрения реализация этих идей повлекла за собой создание новой
области математики.
Неизвестно, согласованы ли математические уравнения теории
поля в случае четырехмерного пространства-времени. По некото-
рым соображениям, например, уравнения для взаимодействующих
фотонов и электронов (в отсутствие взаимодействия с другими ча-
стицами) могут быть несовместными, но включение взаимодействия
с кварковым полем может дать согласованное множество уравне-
ний. Подробное обсуждение этих вопросов выходит за рамки на-
шей книги, хотя о них и упоминается в гл. 6 и 17.
Введение	11
В третьей части рассматриваются взаимодействия частиц, их
рассеяние и связанные состояния, фазовые переходы и критические
точки. Здесь мы выводим следствия из построений второй части
и устанавливаем их связь с общими вопросами физики. Эта часть
книги рассчитана на более продвинутый уровень и адресована в
основном специалистам по теоретической и математической фи-
зике. Изложение здесь не является ни замкнутым, пи полным и
имеет целью осветить основные идеи, дать объяснение важнейшим
результатам математического характера и служить введением в
литературу.
Обсуждение фазовых переходов и критических явлений может
быть полезно для специалистов по физике твердого тела и жид-
кости. Главным приемом здесь служат разложения в ряды и кор-
реляционные неравенства. Эти методы находят применение в са-
мых различных областях. Мы приводим подробное объяснение (при
помощи аналитического продолжения) связи между теорией кван-
товых полей и классической статистической физикой. Физики-про-
фессионалы могут начать чтение книги прямо с третьей части,
обращаясь к предыдущим главам лишь по мере надобности.
Читателей, интересующихся историческим развитием конструк-
тивной квантовой теории поля, мы отсылаем к различным обзор-
ным статьям, написанным как нами, так и другими авторами.
Количество ссылок на статьи, посвященные узкоспециальным во-
просам, сведено здесь к минимуму. Особенно это относится к пер-
вой и второй частям, написанным достаточно полно и замк-
нуто. Список литературы получился очень большим; мы приносим
извинения за неизбежные пропуски.
Появление этой книги стало возможным благодаря помощи
большого числа коллег, учеников и друзей. Значительную помощь
нам оказали Р. Д’Арканджело, Р. Брандеибергер, Б. Драушке,
Ж.-П. Экман, X. Гонсалес, У. Миитп, К. Петерсон, П. Петти, со-
трудники издательства Springer и особенно наши жены Адель и
Flopa. Мы благодарим ETH, IHES, Марсельский университет и
CEN (Сакле) за гостеприимство, а также фонд Гуггеихейма и
NSF за финансовую поддержку.
Принятые соглашения и формулы
Преобразования Фурье:
f (х) = (2n)-d/2 J eipxf (p) dp, f (p) = (2л)-*/2 e~lpx f (x) dx,
2л
f (6) = (2nfd/2 £ eln6f (n), f (n) = (2л) ^/2 J e~tnef (6) dG.
0
Векторы в пространстве Минковского:
х = (х0, х) = (х0, ..xd_\),
X2 = X • X — — X2 + х2, р2 = р • р — — Р2 + р2,
х • р = Е х(р{ = — Х0р0 + х • р,
d—i
□ в _ dt + А = - дх20 + X dxt
м
Векторы в евклидовом пространстве:
d	d
Xd = ix0, x2 = x  x=Xx2, A = £ dx*.
Уравнение Шредингера:
Й = /г/2л,
/йё = яе,	e(/) = e^tW/Ae(o),
p = —ill-dL> [р (х), q (у)] = _ 1Й6 (х — у).
Ковариационные операторы Ст е Wm, удовлетворяющие уравнению
(—А + т2) Ст = 6.
Матрицы о и у:
/ 1 О
ао=Чо 1
/° 1 \
a‘ = li oj’
Принятые соглашения и формулы 13
/О —i\ /1 О\
о)’ аз=Чо
/О ог \
* = Ц о> г'=1’2’3’
//	0\	/о I
Yo — q  /у Ys — Y0Y1Y2Y3 — I j Q
= Е auYu> 2 = Е al = а2.
Уравнение Дирака (при нулевом внешнем поле):
(/г^ — тс)ч|5 = 0.
Уравнение Дирака во внешнем поле А:
h $ + iу — тс') 1)5 = 0.
Список обозначений
а, а*, А, ,4* —операторы рождения и уничтожения
а, А	—свободная энергия
А	—оператор антиспмметризацпи
л/	— действие
91, г-/	—алгебра операторов
b	— ребро
В	—наблюдаемая; область в пространстве-времени
••	— множество ребер
с	—диагональные значения оператора	С,	с(х) = С(л,х);
индекс критического значения; константа
С	— ковариация; комплексные числа
<6, Ч?т	—класс операторов ковариации (§	7.9)
d	— размерность пространства-времени
D	— граничные условия Дирихле
— область определения оператора; пространство
основных функций
SA	— пространство обобщенных функций Шварца
— пространство неприводимого представления группы
SZ7(2, С) со спином /
Е	— уровень энергии; собственное значение оператора
Н; евклидово преобразование; евклидова группа
—евклидова группа; евклидово гильбертово простран-
ство; полоса по времени (§ 10.5)
f	—основная функция; свободная энергия
— пространство Фока
g	— основная функция
—группа
h,	h	— постоянные Планка
h	—внешнее поле
Н	—гамильтониан
HS	—класс операторов Гильберта — Шмидта
<2^ (х)	—плотность гамильтониана
<%>	—гильбертово пространство	квантовых состояний
/	—единичный оператор
/	— константа взаимодействия	для	изингова	ферромаг-
нетика
J	—угловой момент
Список обозначении 15
k У£ К L Ls, Ll, L	— постоянная Больцмана — ядро полугруппы — ядро уравнения Бете — Солпитера — угловой момент (§ 15.1) — линии в фейнмановых диаграммах (ребра само- действия и взаимодействия)
%	—лагранжиан; решетка; норма, применяемая в ме- тоде многократных отражений (§ 10.5); группа Ло-
tn, M	ренца — масса; намагниченность; норма, применяемая в ме- тоде многократных отражений (§ 10.5)
n б.с.	— число компонент поля; степень полинома Р — ближайшие соседи на решетке — граничные условия Неймана; N(f) = норма функ- ции f
	— нуль-пространство для вырожденного скалярного произведения
P	— периодические граничные условия; давление; ин- декс в обозначении пространства Лебега (Ар);сте- пень полинома Р
P> P	— импульс; оператор импульса; импульсное простран- ство
P Pn q, Q	— полином взаимодействия; оператор проектирования — полином Эрмита — конфигурация; конфигурационное пространство; ин- декс в обозначении пространств Лебега (L4)
R	— вещественные числа; норма, применяемая в методе
Ra s s. lim supp s, S S	многократных отражений (§ 10.5) — г/-мерное евклидово пространство — время — сильный предел — носитель — энтропия — производящая функция; функция Швингера; сфе-
|S"| S’	ра; оператор симметризации — объем n-мерной сферы — пространство Шварца быстро убывающих основных
S’'	функций — пространство Шварца обобщенных функций уме-
s n	ренного роста — симметрическая группа (группа перестановок из п
t	элементов) — евклидово время (=х<г); время в пространстве
T u, V V	Минковского (= х0) — хронологическое упорядочение; усечение — унитарные операторы в гильбертовом пространстве — потенциал
16
Список обозначений
W
d W
Г
ЗВ
х
х
Z
Z
w. lim
₽
V
У, Г
г
I Г|
6
А
&
к
Л
Л
|Л|
р
rfp.
v
dv
I
g
я
П
п±
р
а
2
<р, Ф
(?Ф$
— функция Вайтмана
— мера Винера
— пространство винеровских траекторий
— фазовое пространство
— точка в пространстве-времени
— точка в пространстве
— активность
— статистическая сумма; константа перенормировки
поля; целые числа
— неотрицательные целые числа; статистическая
сумма
— слабый предел
— обратная температура (1/kT)
— критический индекс
— граница; граница фаз
— граничные условия Дирихле на Г; оператор, обрат-
ный к пропагатору, или двухточечная функция
— длина или площадь Г
— дельта-функция Дирака; символ Кронекера; шаг
решетки; критический индекс
— лапласиан; фундаментальное решение волнового
уравнения или уравнения Лапласа (пропагатор);
единичный квадрат
— функция типа Хевисайда е — 20—1; шаг решет-
ки; приведенная температура (Т-Тс)/Тс
— критические индексы
— оператор отражения; функция Хевисайда; состояние
в
— импульсное обрезание
— константа связи
— ограниченная область в пространстве
— площадь или объем Л
— (—A -J- /и2)1/2 = (р2 -J- т2)1/2, химический потенци-
ал; внешнее поле
— статистический вес или ансамбль
— частота; критический индекс
— статистический вес или ансамбль
— случайная величина
— статистическая сумма
— 3,14159; импульс, сопряженный к полю ф
— оператор проектирования; гиперплоскость
— полупространства, образующие
— плотность
— масса2; изингова спиновая переменная; время
— собственная энергия
— квантовое поле; конфигурация классического поля
— гауссова мера с ковариацией Q
Список обозначений 17
— восприимчивость; случайная величина; состояние
в характеристическая функция
— квантовое поле; состояние в Ж
—частота; винеровская траектория; угловая перемен-
ная интегрирования
— вакуумное состояние; основное состояние; равно-
весное состояние
— производная; граничный оператор; граница мно-
жества
— градиент
— абсолютная величина; площадь, объем или число
точек; норма
— оператор проектирования из евклидова простран-
ства функций в гильбертово пространство кванто-
вых состояний
—	преобразование Фурье
—	скалярное произведение
—	среднее; интеграл по мере dp
—	коммутатор: [a, b}= ab — Ьа
—	антикоммутатор: {a, b} = ab + Ьа
—	свободные граничные условия; пустое множество
—	векторное произведение
—	производная по времени; обозначение для опущен-
ной переменной, как, например, /(•) = /
—	теоретико-множественная разность: Л\В =
= {х: хе А, В}
—	комплексное сопряжение; замыкание
Часть I
Введение в современную физику
Глава I
Квантовая теория
1.1 Общее представление о квантовой теории
Классическая механика является предельным случаем при 7г->0
квантовой механики, а нерелятивистская (ньютонова) механика —
предельным случаем при с->оо специальной теории относитель-
Квантовая теория поля
Классическая механика
Уравнение Гамильтона
Рис. 1.1. Классический и нерелятивистский пределы квантовой теории поля.
ности. Здесь 7г обозначает постоянную Планка, а с — скорость
света. Квантовую теорию поля можно рассматривать как комби-
нацию квантовой механики и специальной теории относительности.
Она содержит оба параметра Й и с и имеет два вырожденных пре-
дела: один при с->оо, а другой при 7г ->0. В классическом пределе
квантовой теории поля (Й->0) могут получиться две науки: клас-
сическая теория поля и классическая теория частиц — в зависи-
мости от того, по какой последовательности состояний мы перехо-
1.2 Классическая механика 19
дим к пределу. При этом только во втором случае (теория частиц)
можно сделать еше и нерелятивистский предельный переход
(с->оо) к классической механике частиц (рис. 1.1).
1.2 Классическая механика
Мы приведем несколько основных определений из классической
механики (а также классической статистической механики), с тем
чтобы сравнить их с соответствующими понятиями квантовой ме-
ханики. Рассмотрим систему п частиц, массы т/ каждая, движу-
щихся в поле с потенциалом V, не зависящим от времени. Фазовое
пространство этой системы = /?6" определяется как сумма кон-
фигурационного пространства Q = /?3" и сопряженного импульс-
ного пространства Р = Р3п. Классической наблюдаемой называется
функция B(q, р), (q, p)^(Q, Р) = с&, на фазовом пространстве.
Классическая механика изучает эволюцию точки фазового про-
странства во времени, а неравновесная классическая статистиче-
ская механика — эволюцию распределения вероятностей на фазо-
вом пространстве. В обоих случаях законы движения определяет
гамильтониан, или полная энергия системы. В декартовых коорди-
натах гамильтониан имеет вид
п 2
//<’-₽> = Г2Й7 + 1/И-	О-2-'»
1=1
Рассмотрим кривую (q(f), p(t)) в фазовом пространстве с не-
которыми начальными значениями (q0, р0) в момент времени f0.
Эта кривая получается интегрированием уравнений Гамильтона
(Ньютона)
dqt (t)/dt = VP[H = pi/mh	2
dPi (t)/dt = -	= - V9iV = Fi (q)
с начальными условиями q(tQ)—q0, p(f0)—p0. В общем случае
можно рассматривать эволюцию произвольной наблюдаемой В:
Bt(q, p) = B(q(t), p(t)) с начальными условиями Bto (q, р) =
= В (q, р). Из (1.2.2) следует, что
dBt(q, p)ldt=DHBt(q, р),	(1.2.3)
где DH — векторное поле на фазовом пространстве SS, имеющее вид
п
+	d-2.4)
Z = 1
Предполагая, что уравнение (1.2.3) интегрируемо, получим, что
Pt (q, Р) = D”B) (q, p) = B(q (/), р (/)).	(1.2.5)
20 Гл. 1. Квантовая теория
п
Предложение 1.2.1 (теорема Лиувилля). Пусть dp = П dpi dqi '~
z=i
мера Лиувилля в с&, а
п = у ( дН д______дН д \
н Zu к dpt dqi	dqi dpi ) '
Z = l
Тогда оператор DH формально кососимметричен в пространстве
dp), а оператор е*°н формально унитарен.
Замечание. Мы говорим, что оператор формально кососимметри-
чен, если для любых функций F, G & С“ (Л)
Таким образом, на множестве (<Й?) с:Li(SF, dp) сопряженный
оператор D*H = — DH. Для того чтобы усилить этот результат,
t D tj	с
т. е. установить унитарность е , следует решить технический во-
прос об интегрируемости уравнения (1.2.3) и о существовании и
единственности экспоненциального решения etc>H. Этому вопросу по-
священа обширная литература, и мы его здесь обсуждать не бу-
дем. Заметим только, что унитарность etE>H имеет место при неко-
торых ограничениях на функцию V(q).
Доказательство. Для произвольных функций F, G е С“ интегрирование по ча-
стям дает
F (D„G) dp. = —Д DTfG dp - У (FG) -------J*1! Д.
J V H )	J H	’ \.dqt dpt	dpi dqi )'
i
и, так как выражение в скобках обращается в нуль, D* = —D на пространстве
С“- в
Другая формулировка теоремы Лиувилля состоит в том, что
мера Лиувилля dp инвариантна относительно классической дина-
мики, определенной гамильтонианом Н. С помощью якобиана пре-
образования (<у, р)->(<у(О> Р(0) эт0 формулируется так:
Предложение 1.2.2. Пусть для каждого начального условия сущест-
вует единственное решение уравнений Гамильтона-, тогда
d(q(t), p(t))/d(q, р)== 1
и, таким образом, объем произвольной области фазового простран-
ства инвариантен относительно потока, порожденного этими ре-
шениями. Точнее, если	a c&t—etDHS&Q, то
ц(^0) =	\ dp=p(&t).
«о ««
1.2 Классическая механика 21
Эквивалентную формулировку динамики наблюдаемых можно
дать, используя скобки Пуассона наблюдаемых В и С:
п
{В, С} = £ (уЧ1В  Vp.C -Vp.B- V9/C).	(1.2.6)
i ==1
Скобки {•, •} задают па алгебре наблюдаемых структуру алгебры
Ди. Заметим, что канонические скобки Пуассона равны
{Pi, Pi} = 0 = {qt, q,}, {qi, р/} = б,//.	(1.2.7)
Поскольку эти скобки равны константам, они в силу уравнений
(1.2.3) не меняются со временем. Далее, {Н, В} = —DHB, и, сле-
довательно, уравнение (1.2.3) может быть записано в виде
dBt/dt= — {Н, В}.	(1.2.8)
Предполагая, что ряд сходится, получим
ОО
Bt = D"B = £ (Z {H, {И, ...{Н, В}...}}.	(1.2.9)
п-0
В квантовом случае автоморфизм алгебры наблюдаемых B^Bt
лежит в основе так называемой гейзенберговой картины квантовой
механики (динамики Гейзенберга), а предел этой динамики при
Й->-0 приводит к формуле (1.2.9).
Помимо наблюдаемых другими важнейшими объектами изуче-
ния являются состояния. Состоянием классической системы служит
любая точка (а, Ь) фазового пространства, причем значение
наблюдаемой В в этом состоянии в момент времени to равно
В/„(а, Ь). В классической статистической механике обычно рассма-
тривают более широкий класс состояний, каждое из которых опре-
деляется плотностью распределения вероятностей dp(q, р) на фа-
зовом пространстве, так что
^jdp(<7, р)=1, dp(q, р)^0.	(1.2.10)
Классические — точечные — состояния, которые можно рассматри-
вать как распределения вероятностей, сосредоточенные в одной
точке, называются чистыми состояниями. Они имеют вид
dp(q, Р) = б(<7—а)6(р— b)dqdp.
При заданном состоянии р каждой наблюдаемой В сопоставляется
некоторое число р(В)— ее среднее значение:
р(В) = \B(q, p)dp(q, р).	(1.2.11)
Для упомянутых выше классических состояний р(В) = В(а, Ь).
22 Гл. I. Квантовая теория
Таким образом, динамику можно рассматривать не только как
изменение наблюдаемых, но и как изменение состояний. Пусть в
момент времени /о имеет место состояние р. Определим состояние
рг так, чтобы для любой наблюдаемой В выполнялось равенство
р((В)=р(В,).	(1.2.12)
Поскольку оператор Du формально кососнмметрнчеп, то
</рД<7, р) = (е~(<'/о) D/1 dp) (q, р) = dp(q (— /), р(— /)). (1.2.13)
Такая точка зрения на динамику в квантовой механике носит на-
звание шредингеровой картины. Переход к пределу при Й->0 в
уравнении Шредингера приводит к формуле (1.2.13).
1.3	Квантовая механика
Классическая физика оказывается непригодной при изучении ато-
мов и молекул. Например, атом водорода состоит из двух частиц:
ядра — протона с зарядом -|-е и массой тр и электрона с зарядом
—е и массой те. Ядро тяжелое, тР1те т 2000, и относительно не-
большое: радиус протона примерно в 10-3 раз меньше радиуса
атома. Согласно классическим представлениям, под действием
притягивающего кулонова потенциала К(г)= —е2/г электрон дол-
жен был бы вращаться вокруг протона подобно тому, как Луна
под действием гравитационного притяжения вращается вокруг
Земли. Однако в таком случае движущийся с ускорением заряжен-
ный электрон должен был бы непрерывно излучать энергию, что
привело бы к разрушению атома.
Первоначальной задачей квантовой механики было объяснение
устойчивости атомов и молекул и выяснение причин, по которым
частоты излучения света возбужденными атомами принимают ди-
скретные значения. Успех квантовой механики в предсказании
атомных и молекулярных спектров явился грандиозным достиже-
нием пауки двадцатого столетия. Теперь нет никакого сомнения в
том, что квантовая механика дает истинное описание явлений при-
роды. В этой главе будут сформулированы в виде постулатов
основные принципы квантовой механики без каких бы то ни было
попыток обосновать их или вывести. Мы предпочитаем рассматри-
вать классическую механику (§ 1.2) как предел квантовой меха-
ники при й->0. Постулаты разделены на основные (помеченные
буквой Р) и те, которые справедливы в ограниченном классе
теорий.
Постулат PI. Чистыми состояниями квантовомеханической систе-
мы являются лучи в некотором гильбертовом пространстве Ж (или
единичные векторы с произвольной фазой).
Как и в классическом случае, указать чистые состояния кван-
товой системы — это все, что можно о ней сказать.
1.3 Квантовая механика 23
Представление о состояниях как о лучах в гильбертовом про-
странстве приводит к вероятностной интерпретации квантовой ме-
ханики. Рассмотрим физическую систему в состоянии 6; тогда ве-
роятность ее пребывания в чистом состоянии % равна | <6, %>|2. Оче-
видно, что О | <6, х> |2	1.
Заметим, что, хотя фаза вектора 6 физически несущественна,
относительная фаза двух векторов 0! и 62 уже важна. Другими
словами, если |а|=1, то |<а0, у>| не зависит от а, а вот
|<0! + сс02, х>| зависит. Поэтому удобнее всего рассматривать чи-
стые состояния просто как векторы гильбертова пространства, а
нормировать их лишь в конкретных вычислениях.
Постулат Р2. Наблюдаемыми в квантовой механике являются са-
мосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Сред-
нее значение наблюдаемой В для системы, находящейся в состоя-
нии 0, равно
Ее(В)= <0, В6>/<0, 6>.
(1.3.1)
Примеры наблюдаемых: гамильтониан (энергия), импульс, коор-
дината (частицы).
Заметим, что введение «статистических смесей» в квантовую
механику приводит к квантовой статистической механике. Обычно
система квантовой статистической механики описывается при по-
мощи положительного оператора р со следом (tr р < оо). При этом
среднее значение вычисляется по формуле
p(B)=tr(pS)/trp.	(1.3.2)
Если ранг оператора р равен 1, то р задает чистое состояние
(1.3.1), a p/tr р — проекция на одномерное подпространство, по-
рожденное вектором 0/Ц0Ц. В других случаях состояние р(В) яв-
ляется выпуклой линейной комбинацией чистых состояний:
р(В) = Ха,<е;, ве,->,	(1.3.3)
где 0,- — ортонормированная система собственных векторов опера-
тора р, а X а>' — 1-
Постулат РЗ. Гамильтониан И является инфинитезимальным гене-
ратором унитарной группы U(t) = e~ltHlh сдвигов по времени, им-
пульс Р — инфинитезимальным генератором унитарной группы
е'* ₽/й пространственных сдвигов, а угловой момент (момент коли-
чества движения) J — инфинитезимальным генератором унитарной
гРуппы пространственных вращений.
Группа U(t) сдвигов по времени определяет динамику. В кван-
товой механике общеприняты два разных подхода: шредингеров-
ский и гейзенберговский. В первом наблюдаемые не меняются со
24 Гл. I. Квантовая теория
временем, а состояния эволюционируют по формуле
=	(S1)
Векторы-состояния удовлетворяют уравнению Шредингера
itulQ(t)/dt —	(S2)
Зависящее от времени состояние 0(/) задает среднее значение
£е(о(В).
Второй подход к описанию динамики —это картина Гейзенбер-
га, в которой состояния неподвижны, а наблюдаемые эволюциони-
руют в соответствии с действием группы автоморфизмов
в -> В (В = е1 ‘1^Ве-= U (/)* BU (t).	(H1)
Произвольная наблюдаемая В удовлетворяет уравнению динамики
tidB(t)/dt=[iH, B(t)],	(Н2)
формальным решением которого служит ряд
ОО
В (/) = £	[Н, [И.....[Н, В],... ]].	(НЗ)
п=0
Отметим сходство между (Н2—3) и формулами (1.2.8—9); роль
скобок {•, •} играет коммутатор	Постоянная Планка
Й имеет физическую размерность действия, как и произведение pq.
Связь между представлениями Гейзенберга и Шредингера уста-
навливается равенством
£0(П(В)=£е(В(О).	(1.3.4)
Заметим, что из постулата РЗ следует, что результаты наблюде-
ния (т. е. значения скалярного произведения <6, %>) не зависят от
того, в какой момент времени это наблюдение производилось, т. е.
|<б,х>1=1<0(О. х(0>1-
Обратно, пусть 6 и 6' — два вектора гильбертова пространства
полученных один из другого при помощи некоторой симметрии Ж,
т. е. взаимно однозначного преобразования Ж на себя, которое
сохраняет вероятности: | <6, %> | = | <0', %'> |.
Теорема 1.3.1 (Вигнер). Каждая симметрия гильбертова простран-
ства Ж является либо унитарным преобразованием U: Q' — (76,
либо антиунитарным оператором А: 6' = Лб.
Этот результат показывает, что любую симметрию гильбертова
пространства Ж можно рассматривать как представление какой-
нибудь группы координатных преобразований. В частности, группа
сдвигов по времени действует с помощью унитарной группы опера-
торов U(() в Ж. Jlupib некоторые дискретные симметрии (напри-
1.3 Квантовая механика
25
мер, обращение времени в перелятнвпстскоп квантовой механике)
представляются аптпуиптарными преобразованиями в Ж.
Перейдем теперь ко второй части этого параграфа, в которой
мы подробно рассмотрим случай нерелятивистской квантовой ме-
ханики. При стандартном описании системы п частиц, движущихся
в поле потенциала V, вводят гильбертово пространство
3% = L2(Q),	(1.3.5)
где Q — R3n— конфигурационное пространство. Выбор гильбер-
това пространства в виде (1.3.5) называется шредингеровым пред-
ставлением (не путать со шредингеровой картиной). Функция
интерпретируется как плотность распределения вероят-
ностей р(<?) = |ф(<7) |2 положения частиц в пространстве Q.
Согласно РЗ, имеем
(1.3.6)
а гамильтониан вида
H=E(pJ/2m/) + V(9)	(1.3.7)
превращается в эллиптический дифференциальный оператор
Н = - Z (fi2/2mi) Д9/ + V (q).	(1.3.8)
Заметим, что (канонические) коммутационные соотношения
lqt> qi\ = 0 = [р,, pj],	[р,-, qt\ = —Иг&ц1 (1.3.9)
подобны соотношениям (1.2.7), в которых скобки {•, •} заменены
коммутатором [•, ] (/7г)-1. Эти соотношения сохраняются при дей-
ствии гейзенберговой динамики.
Представление (1.3.5) не позволяет учесть спин элементарных
частиц, например нулевой спин у л-мезона (пиона), спин 1/2 у
электрона, мюона, протона или нейтрона, спин 1 у фотона и более
высокие значения спина у других частиц или ядер. Для того чтобы
изучать взаимодействия, зависящие от спина (например, взаимо-
действие спинового магнитного момента с магнитным полем), мы
Должны вместо пространства (1.3.5) рассмотреть n-кратное тензор-
ное произведение
M = ®L2(Q,S).	(1.3.10)
Здесь Q = Rs, а Ь2 — пространство функций, определенных на Q,
со значениями в спиновом пространстве 5 конечной размерности.
Для частиц с нулевым спином S = С, и именно этому случаю со-
ответствует выбор пространства (1.3.5). Для частиц с ненулевым
едином 5 = C2s+1. Компоненты вектора G(q) в этом случае обозна-
чим Q(q, g). Группа вращений (генераторами которой служат опе-
раторы составляющих углового момента J) действует как на
26 Гл. 1. Квантовая теория
переменную q, так и на индекс t, причем последний преобразуется
с помощью /i-кратного тензорного представления спиновой группы
St/(2, У?) (универсальной накрывающей группы вращений 50(3)).
В физике принято считать, что частицы одного типа неразли-
чимы. Другими словами, для системы из пяти одинаковых частиц,
зная, что три из них находятся в области В, мы не можем точно
сказать, какие именно эти три частицы. Поэтому чтобы построить
теорию неразличимых частиц, мы должны ограничиться подмно-
жеством в (1.3.10), инвариантным относительно действия неприво-
димого представления симметрической группы (т. е. группы пере-
становок из п элементов — координат частиц (qi, £/),/=!, ..., п).
Для частиц с целым спином, например для л-мезонов или фотонов,
всегда выбирают полностью симметричное представление, а для ча-
стиц с полуцелым спином, таких, как электроны, протоны или
нейтроны, — полностью антисимметричное представление.
Выбор антисимметричного представления в задачах атомной и
молекулярной физики для частиц со спином 1/2 называется прин-
ципом запрета Паули. Можно показать, что в квантовой теории
поля для частиц с целым спином представление симметрической
группы не может быть антисимметричным, а для частиц с полуце-
лым спином — симметричным. С другой стороны, не исключены
более сложные представления (называемые парастатистиками).
Впрочем, их существование не подтверждается никакими экспери-
ментальными данными. Частицы с целым спином называются бо-
зонами, а с полуцелым — фермионами.
Постулат Р4. Состояние квантовомеханической системы симме-
трично относительно перестановок одинаковых бозонов и антисим-
метрично относительно перестановок одинаковых фермионов.
1.4	Интерпретация
Наиболее важные физические аспекты квантовой механики — это
интерпретация гамильтониана Н и предсказание о рассеянии ча-
стиц. В противоположность классическому гамильтониану, который
всегда принимает непрерывное множество значений, квантовоме-
ханический гамильтониан может иметь как дискретный, так и не-
прерывный спектр. При этом дискретные собственные значения
соответствуют связанным состояниям системы, т. е., грубо говоря,
тем, которые описывают движение частиц, постоянно находящихся
в ограниченной области пространства. Непрерывному спектру со-
ответствуют состояния рассеяния, которые описывают неограни-
ченное разлетание частиц.
Рассмотрим простой случай (обсуждаемый подробнее в § 1.6
и 1.7) одной частицы в поле кулонова потенциала V = —1/г. В со-
ответствии с классической механикой эта частица должна дви-
гаться по эллиптической (в случае отрицательной энергии) или по
1.5 Простои гармонический осциллятор 27
гиперболической (если энергия положительна) орбите. Согласно
же квантовой механике, спектр гамильтониана состоит из беско-
нечного набора дискретных собственных значений Еп = —а/г?,
zl=l, 2, где а — некоторая константа, и непрерывной части
[О, +оо).
Дискретные собственные значения соответствуют возможным
квантовомеханическим связанным состояниям с энергиями Еп.
Собственный вектор, отвечающий уровню энергии называется
основным состоянием, а собственные векторы, отвечающие уров-
ням £2, £з, ...,— соответственно вторым, третьим и т. д. возбуж-
денными состояниями. В отсутствие внешних сил (например, элек-
тромагнитного поля) возбужденные состояния устойчивы, а при
наличии внешних полей они, вообще говоря, становятся неустой-
чивыми. В качестве упрощенного примера рассмотрим взаимодей-
ствие частицы с внешним полем, в результате которого состояние
с собственным значением Ет переходит в состояние с собственным
значением Еп. В случае атома, взаимодействующего подобным об-
разом с электромагнитным полем, происходит либо излучение
света, т. е. фотона с частотой v = (Ет— En)/ti, если Еп<.Ет,
либо, наоборот, поглощение фотона такой частоты, если Еп > Ет.
Наблюдаемые частоты излучения или поглощения всегда пропор-
циональны разностям уровней энергии в спектре гамильтониана Н.
До создания квантовой механики тот факт, что наблюдаемые спек-
тральные линии могут быть представлены как разности уровней
энергии, был известен и назывался принципом Ритца.
Состояния с положительной энергией, или состояния рассеяния,
описывают рассеяние квантовомеханической частицы в поле при-
тягивающего потенциала. Под воздействием внешнего возмущения
частица может захватываться силовым центром и переходить из
состояния с положительной энергией в состояние с энергией Еп < 0.
Такой захват частицы сопровождается излучением фотонов, у ко-
торых наблюдаемые частоты и энергии заполняют непрерывный
диапазон значений.
1.5	Простой гармонический осциллятор
Этот элементарный пример содержится в каждой книге по кванто-
вой механике. В отличие от большинства квантовомеханических
задач задача о гармоническом осцилляторе допускает явное ре-
шение в терминах элементарных функций (полиномов Эрмита) и
гауссовых интегралов. На его примере некоторые общие принципы
Можно проиллюстрировать явными вычислениями. Многие свой-
ства гармонического осциллятора переносятся и на другие кван-
товомеханические задачи, уже не сводящиеся к гауссовым состоя-
ниям. Простой гармонический осциллятор играет также важную
Роль в теории поля, потому что свободное квантовое поле можно
представить как совокупность бесконечного числа гармонических
28	Гл. 1. Квантовая теория
осцилляторов. Согласно этой картине, поле со взаимодействием
можно представлять как набор ангармонических осцилляторов и
рассматривать как ангармоническое возмущение гармонических
осцилляторов.
Гамильтониан Н простого осциллятора имеет тот же вид, что и
энергия классического осциллятора:
#osc = 4r P2 + ^kcl2-
Zill
Напомним, что в классическом случае частота колебаний осцилля-
тора равна ц = (k/m)i/2. Для дальнейшего изложения удобно вве-
сти безразмерные переменные
Q = (mpjh)42 q, Р ~(mph)~'12 р, Н — (йц)~1 НOsC; (1.5.1)
в этих переменных
//=L(P2 + Q2)	(1.5.2)
и
[Р, Q] = 7H [р, q] = -i.
Мы рассматриваем шредингерово представление, в котором Р =
= —id/dy, а оператор Q в пространстве Ж = L2(dy) действует как
умножение на независимую переменную у. В качестве области
определения оператора Н, как и остальных операторов этой главы,
берется пространство Шварца 9Р. По определению	если
функция 6 и все ее производные быстро убывают на бесконечности.
Все операторы, которые мы рассматриваем, например Н, Р, Q,
отображают Ж в <2^, так что пространство Шварца Э2 является для
них «инвариантной областью».
В этой главе мы изучим два фундаментальных свойства опера-
тора Н: полноту набора его собственных функций и то, что опера-
тор е~ш сохраняет положительность (т. е. переводит положитель-
ные функции в положительные). Мы проверим их прямым вычис-
лением. Впоследствии при помощи более абстрактных методов
удастся доказать подобные свойства для широкого класса потен-
циалов. Особенно важную роль играет положительность оператора
e~t,!: она связана с единственностью основного состояния и инте-
гральным представлением Фейнмана — Каца (гл. 3).
Теорема 1.5.1. Оператор Н существенно-самосопряжен и имеет
спектр йр (п + 1/2). Резольвента оператора Hos<:— компактный
оператор.
Доказательство. Определим операторы «рождения» и «уничтожения» Д* и А
формулами
д* = 4= (Q - '‘р)> А = “7=- & + ,7’);	а л.з)
•V2	V2
при этом	И, А*] = 1.	(1.5.4)
1.5 Простой гармонический осциллятор 29
Простые вычисления показывают, что
Н = 4 (р2 + Q2) = Л*Л + j.	(1.5.5)
Далее,
[Н, Л]=— А, [Н, Л*] = А*.	(1.5.6)
Из (1.5.5) видно, что если вектор По удовлетворяет уравнению ЛПо = 0, то По —
собственный вектор оператора Н, а именно HQB — 4 Но- В шредингеровом пред-
ставлении уравнение ЛП» = 0 записывается в виде
</По/dy -= —(/По.	(1.5.7)
Отсюда мы заключаем, что Но — это известное гауссово распределение:
Но (у) = const = л'1/4 е~у‘р.	(1.5.8)
где константа подобрана так, что |( Qo (1=1.
Из (1.5.6) следует, что, если Qo — собственный вектор гамильтониана Н, та-
ков и вектор Л*"Ио, причем
HA*nQ0 = A*nHQ0 + [//, A*"} Qo = (4 + «) A*n Qo.	(1.5.9)
Значит, спектр оператора H содержит точки (-^--f-n), « = 0, 1, 2, ... .
Чтобы закончить доказательство теоремы, осталось доказать полноту в про-
странстве 7-2 найденного набора собственных функций {Л*лИо}. Ниже, в пред-
ложении 1.5.7, мы дадим элементарное доказательство этого хорошо известного
факта. Заметим, что найденные собственные функции — элементы пространства S".
Следовательно, оператор Н существенно-самосопряжен на !?'). Другими сло-
вами, существует единственный самосопряженный оператор (обозначим его тоже
Н), который совпадает с Н на его области определения SP.
Перейдем теперь к изучению некоторых свойств собственных
функций. Их нормировка определяется из следующей цепочки ра-
венств:
<Q0, Л"Л’,!йо) = <^о. А"-1 [А, Л*"]£20) =
= «(£20, Л'1~1Л*п~1!20) = ... = «!,
так что
fin = (n!)-1/24*%	(1.5.10)
— нормированные собственные функции. Мы будем называть со-
стояние fin осциллятора «-частичным или «-квантовым состоянием,
*) Симметрический оператор Н, определенный на плотном множестве 3), на-
зывается существенно-самосопряженным, если Н** = Н. Это условие эквива-
лентно тому, что числа ±1 не являются собственными значениями оператора Н*
или что образ Im(7/±f) является плотным. Если оператор Н имеет плотное
множество собственных функций Qn е 3), то он существенно-самосопряжен. В са-
мом деле, пусть функция х из области определения оператора Н* является ре-
шением уравнения 77 *х = «х; тогда
0 = ((/7* - 7) х. = (X. (# + ')	= (X, йп) (En + i).
Итак, <x, йя> = 0 для всех я, и, в силу полноты множества собственных функ-
ций Q„, получаем, что х = 0. |
30 Гл. 1. Квантовая теория
считая, что каждый квант энергии равен ftp. Соотношения
=	Л’ДО„ = «О„ (1.5.11)
можно интерпретировать следующим образом. Оператор А*, дейст-
вуя на состояние £2«, добавляет к нему одну частицу, или один
квант, и тем самым увеличивает энергию состояния на величину
Йц. Сопряженный оператор А, наоборот, поглощает или уничто-
жает квант. Полная энергия равна йц/2 Д Иц-п, где п — число
квантов. Для произвольного состояния 6 имеем 0 = У, c„Qn, где
|с„|2— вероятность наличия п квантов и <0, Л*/10> — п|сп|2 —
среднее число квантов в состоянии 0. Поэтому оператор А*А на-
зывается оператором числа частиц.
В шредингеровом представлении волновые функции П„(г/), как
мы увидим ниже, совпадают с нормированными полиномами Эр-
мита. Пусть Р„(х) обозначает л-й полином Эрмита, т. е.
[п/2]
P„(x)=Z(-l)4./*n-2''.	(1.5.12)
/=о
где [л]— целая часть числа и
с„я/= л![(л —2/)12'/1].	(1.5.13)
Лемма 1.5.2. (х— d/dx) Рп = Pn+i.
Доказательство. Левая часть равна
Ш/2]
£ (-l)'cn,/[х"+1-2'-(п-2/)х"+,-2('+1)].	(1.5.14)
Заметим, что
„	-(a	2/ > -	.	2 (/ + 1)
v n+l) п+'’1	(и+1)(и — 2/) с«+‘./ + >-
Подставим эти тождества в разложение (1.5.14). Переобозначив индексы, полу-
чим представление (1.5.12) полинома Pn+i. В
Лемма 1.5.3. Обращением (1.5.12) служит формула
[n/2J
iX.A-yW-	(1.5.15)
Доказательство. Воспользуемся индукцией. При п = 0 лемма верна. Предполо-
жим, что утверждение доказано при п г. Тогда, в силу леммы 1.5.2,
[г/2]	[г/2]	/	\
*Г+‘ = £ сг, Iх  pr-2i W = £>,/( Рг-Н-2/ М +	Рг-2! (х) ) .
7=0	7=0	\	7
Воспользовавшись предположением индукции, получим сначала, что члены с про-
изводной в сумме дают одночлен гхг~', который можно разложить по полиномам
1.5 Простой гармонический осциллятор 31
Эрмита вновь с учетом предположения индукции. В результате получим
[г/2]	1(г-Н)/2]
*r + 1 = £ Сг,/Л-+1-2/ (х) +	£ rcr-^j-tPr+x-ijlx).
j=Q	i = \
Заметим, что cr+i ; = cr. : + rcr_t, j_t при / < [г/2], и если г нечетно, а / =
1(г+1)Щ|
= (г + 1)/2, ТО Сг+1, ! = rCr-i. ,-ь Поэтому л' + 1 = У, Сг+1, jPr+l-2j (х). I
/=0
Предложение 1.5.4. (AtnQa)(y) = Л1(л/2 £/)й0(1/)>
Qn(y) = n\-'epn(^2y)Qu(y).
Доказательство. Опять воспользуемся индукцией. При п = 0 утверждение верно.
Пусть оно доказано для некоторого фиксированного п. Используя (1.5.10), по-
й„+, = (и + 1Г1/2 А*ЙП = (н + 1)Г1/2А*Р„ (V2 у) По (у).
В силу (1.5.3), А* = 2~l/2(y — d/dy), поэтому
йп+1=(Н1)!-|421аАШ-2-|'г
Ц	(I у J
Из леммы 1.5.2 следует, что £>«+1 == (га + 1)1-1/2 Pn+i (V2 «/) £20- Тем самым ин-
дукция завершена В
Оператор Р„(д/2 Q)= £ (—l/cn./CV2 ФУ1”2' в шредингеро-
вом представлении в пространстве Зв = L2(dy) является операто-
ром умножения на функцию	у\
Теперь определим «упорядоченные мономы Вика» от перемен-
ной Q формулами
:Qn: = 2~'г/2Р„(д/2 Q) = Qn + полином степени (п —2) =
[п/2]
= Е (- l/cn l2-'Qn~21.	(1.5.16)
/=о
На полиномы от Q это определение распространяется по линей-
ности. Мономы Вика :Qn: — это полиномы степени п. Они ортого-
нальны при интегрировании по гауссовой мере
dq = Q$dy = n.-'i2e~u2dy.	; 1.5.17)
Иначе говоря,
J :Qn: :Qm: de? = <£20, :Q«: :Qm: £20) =
= 2~{n+m}12 (A’4, 7T"'Q0) = 2""n!6„m.
Предложение 1.5.5. На области, являющейся линейной оболочкой
собственных функций имеет место равенство
:Qn: = 2~nl2 У (	(1.5.18)
/=оч ' '
32 Гл. 1. Квантовая теория
Замечание. Эта формула есть не что иное, как биномиальное раз-
ложение для Qn = 2 "/2(Л* -ф- А)п, переписанное так, что каждый
оператор рождения А* стоит слева от оператора уничтожения А
(т. е. в виковом упорядочении). Можно проанализировать эти
формулы на языке диаграмм. При этом оказывается, что коэф-
фициент сп, j равен числу способов выбора j неупорядоченных пар
из п элементов.
Доказательство. Обозначим правую часть равенства (1.5.18) через L. На про-
странстве д’
[Q, Ц = 2~,"+п'2 Е ( ”)	- (п - j)	=0.
Поэтому [Г, (V2Q), Г] = 0. Воспользовавшись определением (1.5.16) и предло-
жением 1.5.4, получаем
0 = {:q": - L} Qo = гГ 1,2РЛ (д/2 Q) {:Qra: - L} Qo = {:Q": - Z.} £lr. |
Предложение 1.5.6. Векторы — e‘vQS2o, где v вещественно, по-
рождают пространство L2.
Доказательство. Предположим, что вектор 0е£г ортогонален Xv Тогда
о = (6, Zv> = (ee~Q!/2)' (V).
Так как преобразование Фурье—унитарный оператор в Lt, то &е~	= 0. Сле-
довательно, 0 = 0 и, значит, порождают L2. Я
Предложение 1.5.7. Нормированные полиномы Эрмита обра-
зуют полное ортонормированное множество в пространстве L2.
Доказательство. Покажем, что векторы х принадлежат линейной оболочке век-
торов Q,.. После этого утверждение будет вытекать из предложения 1.5.6. Об-
ращение формулы (1.5.16) получается с помощью (1.5.15):
1п/2]
Qn=Xcn f2'!’Qn~2l->	(1-5.19)
/=0
поэтому Q"Z2o лежит в линейной оболочке векторов £2Л, а именно
|п/2]
Q*4 = Е с«. /2~”/2 (« ~	’-5-20)
/=о
Далее,
[п/2]	[п/2]
II «ч II2 - IX - 2<т - Е	< ° (|>Л
со
поэтому ряд Xv = Е ('vQ)" (п!)-1£2о сходится в Ls. |
Предложение 1.5.8. Для любого комплексного v ряды, определяю-
щие экспоненту, сходятся, и имеет место равенство
‘ ev(i&r = ev7-ievH*/72ev4/V2Qr.	(1.5.21)
ТВ Простой гармонический осциллятор S3
Доказательство. Сходимость рядов
венств (1.5.16) и (1.5.19),
ОО	ОО
У, (vQ)n«F1fi0=y
П=0	п=0
при г = 0 следует из (1.5.20). В силу ра-
[п/21
У Лг\	=
; = 0
v2/ . vn-2i
ОО [п/2]
п=0
-----------------------Д*"“2/йп =
22'/! (/I — 2j)!2(n-2'v2
— „v2/4 vA*/VZq„ —	vA/V2q
--- C	Ьв() ------- С С	С-	ЬйО-
Далее, f (v) = evy!*4e“v71’ = f (0) + vf' (0) = A — v, поскольку f<">(v) = 0 при
n 2. Отсюда получаем, что evA*A — (Л — v) evA' и [Q, evA*evA] Qo = 0. Умно-
жение на (r!)~ l'2Pr (V2 Q) завершает доказательство сходимости ряда для экс-
поненты при г ф 0 и дает формулу (1.5.21). 9
Заметим, что равенство (1.5.21) — это формула типа
e«+S==eReSe-l«,Sl/2> де, £]=«/,
справедливая во всяком случае для ограниченных операторов 7?
и S, таких, что их коммутатор кратен единичному оператору. Что-
бы не заботиться об областях определения рассматриваемых опе-
раторов, мы дали прямое доказательство равенства (1.5.21).
А вообще говоря, оно следует из того, что функция
f _ еК (/?+S)e-XSe-XReX2 [Я, SI/2
удовлетворяет уравнению первого порядка f'(Z) = O, f(0)=7,
единственным решением которого служит f(Z)s 7.
Выше мы уже отмечали, что если доказана полнота некоторого
данного семейства собственных функций, то при доказательстве
полноты такого семейства у широкого класса гамильтонианов
можно использовать некоторые абстрактные критерии. В част-
ности, можно показать, что у гамильтонианов 771 более общего
вида, чем гамильтониан 77osc гармонического осциллятора, воз-
можны лишь дискретные собственные значения. Это верно, напри-
мер, в случае гамильтониана ангармонического осциллятора
771 — 77OSC + Kg4 — pg + const.
Теорема 1.5.9. Пусть 77 и Н\ — самосопряженные операторы и
0	77	const-771.	(1.5.22)
Тогда оператор Нх имеет компактную резольвенту и полное мно-
жество собственных функций, при условии что этими свойствами
обладает оператор Н.
Доказательство. Из (1.5.22) следует, что оператор В = Н{'~Н\ *^2 ограничен.
Поэтому оператор Т/f1'2 = Н~^^В есть произведение ограниченного и компакт-
ного операторов и, следовательно, тоже компактен. Отсюда вытекает компакт-
ность резольвенты и полнота системы собственных функций, |
34 Гл. 1. Квантовая теория
Эта теорема иллюстрирует важность априорной оценки (1.5.22)
при сравнении двух операторов: более сложного оператора Нь про
который ничего не известно, с простым конкретным операто-
ром Hose-
Перейдем теперь ко второму важному свойству оператора И,
состоящему в том, что в шредннгеровом представлении e~tH яв-
ляется интегральным оператором с положительным ядром pt {у, у')'.
(e-tfie)(y)^\Pi{y, y')e(y')dy'.	(1.5.23)
Для того чтобы это ядро сохраняло гауссово вероятностное распре-
деление (см. ниже формулу (1.5.22)), необходимо перенормиро-
вать оператор Н, задаваемый равенством (1.5.2), и положить
д=4(р2 + <22)-|
Теорема 1.5.10. Ядро оператора e~tH обладает свойствами
Pt (У, y') = Pt(y'> У)>0,	(1.5.24)
\pt(y, /) ехр {| (у2 — y'2)}dy'*= 1.	(1.5.25)
В частности, явное выражение для него дается формулой Мелера
(2	,2 t — t r\2 X
-----(1.5.26)
2	1 — е /
Доказательство. Симметричность ядра — следствие определения (1.5.23) и сим-
метричности оператора Н (кроме того, она вытекает из (1.5.26)). Свойство
(1.5.25) означает, что e~iHQa = Q.fl, поэтому для его доказательства достаточно
показать, что /7По = 0. Последнее равенство верно в силу сделанной перенор-
мировки гамильтониана. Положительность ядра pt следует из формулы Мелера,
к доказательству которой мы сейчас перейдем. Воспользовавшись (1.5.21), полу-
чаем, что
е~ = е~	= е~ tHe-^eivAt/^Q0 =
= ехр [_v2 (j _	ехр	Во
Поэтому, в силу определения ядра (1.5.23), имеем
Pt (У> У') e~y !'2elvy' dtj’ = ехр	v2 -—--------h lve~fy —
Теперь для того, чтобы закончить доказательство, надо сделать обратное пре-
образование Фурье по переменной v. После умножения на (r2n,Y~le~lvy правую
часть последнего равенства можно представить в виде
Сдвинув вещественную прямую (контур интегрирования) на комплексное число,
перейдем к интегралу вида e~av!P av = (2л)^2а~|''2. В результате получим
формулу (1.5.26). |
1.6 Кулонов потенциал 8В
В общем случае обычно переходят к представлению
== L2 (dtp (у)), где d<p(y) — Qody(cM. (1.5.17)), в котором основ-
ному состоянию соответствует функция, тождественно равная 1.
Тогда остальные состояния будут представлены функцией й0 (у) «
==л1/4е1'/‘', умноженной на их шредингерово представление. В этом
представлении ядро оператора e~tH определяется формулой
(е- tH6) (у) = j Xt {у, у') 6 {yr) dtp (у'),
где Xt(y, y') = Q0(y)~lpt(y. y')Qo(/)"* =
= (1 -е-г^-^ехрр2-
X	1 — е J
1.6 Кулонов потенциал
В атомной физике основным потенциалом является кулонов потен-
циал. Он описывает электромагнитное взаимодействие электронов
и ядер, образующих атомы и молекулы.
В случае двух частиц (атом водорода) уравнение Шредингера
допускает решение в элементарных функциях. В случае же боль-
шего числа частиц можно получить только оценки и выполнить
приближенные вычисления.
Рассмотрим гамильтониан HN системы N частиц с массами mz,
зарядами е,-, импульсами р, и координатами qi, i = 1, ..., N. Тогда
м .
"«=£-2^+ X	<L61)
Потенциал V — У, ezey/| qt — qf I отвечает сумме парных кулоновых
взаимодействий.
Теорема 1.6.1. Гамильтониан HN, задаваемый выражением (1.6.1),
является существенно-самосопряженным оператором в тензорном
произведении N экземпляров пространства L2 (Rs). В случае частиц
одинаковой массы антисимметрическое подпространство инва-
риантно относительно этого оператора.
Замечание. Этот важный результат Като в случае двух частиц
легко сводится к некоторым оценкам. Ради простоты мы будем
рассматривать только этот случай N — 2. После перехода к коор-
динатам центра масс частиц и их относительным координатам га-
мильтониан Н2 перепишется в виде .
н‘Чмр2+ъгр2+ът- U-6-2)
86 Гл. 1. Квантовая теория
Здесь канонические координаты центра масс равны
q =	,	P = Pi+p2,	(1.6.3)
а (канонические) относительные координаты находятся по фор-
мулам
9 = 9i~ 92> Р = М = -^Р1 ~ ~~Р2,	(1.6.4)
где [1 = mxm2/(tn\ + пг2)— приведенная масса. Для того чтобы до-
казать самосопряженность оператора Н2, запишем 1/||Loo-)- L2,
т. е.
'Г?Т==17Т(1“%(<?))+l7Tz(<?)>
где х — характеристическая функция множества |с/|=С 1- Нам по-
надобится следующая
Теорема 1.6.2. Пусть функция V(<z), q^.R\ равна сумме функций
из Ь2 и Lx. Тогда оператор —A -f- V, рассматриваемый на области
L2(R3), существенно-самосопряжен.
Лемма 1.6.3. Пусть А— существенно-самосопряженный оператор с
областью определения 0(A), а В — симметрический оператор с
областью определения 0(В) 0(А). Предположим, что для не-
которых констант а < 1 и Ь верно неравенство
IIвец<а||дец + ь||ец, ее=0(А).	(1.6.5)
Тогда А + В есть существенно-самосопряженный оператор с об-
ластью определения 0(A).
Доказательство. Мы покажем, что для достаточно больших у образ оператора
А + В ± iy плотен в гильбертовом пространстве Ж С помощью разложения в
ряд Неймаиа устанавливается существование оператора (/ -Т В (А ± й/)-4)-1
как ограниченного оператора в гильбертовом пространстве Ж Так как
(А + В ± tj/) (Д ± iy)~1 = / + В (А ± 1у)~
то, умножив обе части равенства справа на (/ + В (А ± й/)-1)-1, получим утвер-
ждение о плотности образа оператора (Д-рВ + гр). Для доказательства сходи-
мости ряда Неймана
(I + В (Д ± 1у)~1)"1 = £ [- В (Д ± iy)-*]"
П=0
надо получить оценку
11 в (Д ± Zl/)-1 II < 1.	(1.6.6)
II в (А ± iy)~*61| < а || А (А ± iy)-*6 II + bII (Д ± iy)~ *61| <
^(а + ь/у) цен.
Отсюда при а Аг Ну < 1 получаем оценку (1.6.6). |
1.6 Кулонов потенциал 37
Замечание. Если оператор А ограничен снизу, то, выбирая в при-
веденных выше рассуждениях у < 0 и большим по абсолютной
величине, мы докажем полуограниченность оператора А -]- В.
Лемма 1.6.4. Пусть f^L2(R3) и е > 0. Тогда существует такое
b < оо, что для 6 е ^(Д3)
||М<е||Де||2 + 6||6||2.
Доказательство. Оценка доказывается с помощью преобразования Фурье. Пусть
||-11р обозначает Д-норму. Для 0 < б < 1/2 верна цепочка неравенств
II fe ц2 < и f ц2 и е ||ю < и f ц2 и ё Hi <
< II f l|2II (1 + р2)-3/4-6 Ik II (1 + р2)3/4+6ё ||2 < е || де ц2 + ь || 0 ц2.
На последнем шаге мы воспользовались тем, что при а < 1, х 0 справедлива
элементарная оценка ха гх 6(e).
Доказательство теоремы 1.6.2. Пусть V = ft + /2, где fi е L2, f2 е Lm. По лем-
ме 1.6.4 имеем
II V0 ||2 < || f!0 ||2 + || f201|2 < е || АО ||2 + (6 + || f2 ||те) || 0 ||2.
Поэтому, в силу леммы 1.6.3, оператор —А + V существенно-самосопряжен. |
Заметим, что умножение на вещественную функцию V е Д3/2+е,
е > 0, вообще говоря, не определяет оператор на Однако такая
функция задает билинейную форму на При этом рассуждения,
основанные на разложении в ряд Неймана, показывают, что би-
линейная форма —Д + V однозначно определяет самосопряжен-
ный оператор. Более важное применение теории возмущения би-
линейных форм относится к уравнению Дирака с кулоновым потен-
циалом. Уравнение Дирака описывает релятивистский электрон, и
с его помощью можно вычислить поправки к собственным значе-
ниям для гамильтониана (1.6.1). При больших /V теория возму-
щений билинейных форм для уравнения Дирака не работает. Вто-
рой и более серьезный недостаток уравнения Дирака состоит в том,
что его спектр не ограничен снизу.
Утверждение о том, что оператор Пк ограничен снизу, следует
из замечания, сделанного после доказательства леммы 1.6.3. Важ-
ный результат о зависимости оценки HN от N получен в работе
[Dyson, Lenard, 1967—8]. Он связан с существованием предела
при /V-> оо (устойчивость вещества в термодинамическом пре-
деле), доказанным в статье [Lieb, Lebowitz, 1972]. См. также
[Lieb, Thirring, 1975] и [Lieb, Simon, 1977а, b].
Теорема 1.6.5. Пусть [ е, |, пц М. Тогда найдется такая постоян-
ная В, что HN -]- NB 0.
Спектр оператора HN удобнее изучать в подпространстве, в ко-
тором определено значение полного импульса Р. Физически это
означает, что мы фиксируем движение центра масс системы,
88	Гл. 1. Квантовая теория
В этом подпространстве оператор HN имеет как дискретный, так и
непрерывный спектр. Собственные векторы, отвечающие дискрет-
ным собственным значениям, называют обычно ^частичными свя-
занными состояниями. При подходящем выборе зарядов е,- и масс
mi эти векторы описывают движение N — 1 электронов в атоме
либо в основном, либо в одном из возбужденных состояний. Со-
стояния непрерывного спектра называются состояниями рассея-
ния. В этих состояниях один или несколько электронов свободны
(не связаны), в то время как остальные частицы образуют одно-
кратно или многократно ионизованный атом. В качестве непрерыв-
ного параметра, от которого зависит спектр, выбирается импульс
относительного движения свободного электрона (или нескольких
электронов) и ионизованных атомов.
Случай N — 2 — это хорошо изученный случай атома водорода.
Собственные функции в этой модели могут быть найдены в явном
виде; например, в шредингеровом представлении
ф = £„(г/а)Р'(е, <p)e~r/a,	(1.6.7)
где Ln есть n-й полином Лагерра, Рп — сферические гармоники,
а — некоторая постоянная. Обобщенные собственные функции, от-
вечающие непрерывному спектру, тоже могут быть вычислены
явно и тоже содержат полиномы Лагерра. Задаче о рассеянии
двух частиц посвящена обширная математическая литература.
В этой теории рассматриваются потенциалы вида V + 1 /1q|.
(Вообще говоря, V убывает на бесконечности быстрее, чем 1/| q\.)
Эта задача уже не решается в явном виде. В качестве примеров
потенциалов, встречающихся в физических задачах, назовем по-
тенциал Юкавы V(q) ~ e~mM/]ql и потенциал Леннард-Джонса
]/(</) = а| <71-12 — Р|<7|~®, а, р > 0. Потенциал Юкавы описывает
ядерные взаимодействия в нерелятивистском приближении, а по-
тенциал Леннард-Джонса используется для приближенного опи-
сания взаимодействия между молекулами. Межмолекулярные силы
электромагнитны по своей природе и, значит, в принципе могут
быть выведены из кулонова взаимодействия. Ядерные силы управ-
ляют взаимодействием мезонов, нейтронов и протонов. Их нереля-
тивистское приближение V ~ е~",1<71/[<7[ выводится из релятивист-
ской квантовой теории поля, например, с взаимодействием Хф4 +
+ £ф+фф.
Случай N = 3 — это атом гелия. Существование большого числа
связанных состояний в этой модели было доказано в работе [Kato,
1951b], Теория, развитая в работе [Фаддеев, 1963], допускает
лишь достаточно регулярные потенциалы и не применима к куло-
нову взаимодействию. В ней построены состояния рассеяния для
задачи трех частиц и доказана так называемая асимптотическая
полнота. Асимптотическая полнота означает, что связанные со-
1.6 Кулонов потенциал 39
стояния вместе с состояниями рассеяния (т. е. состояниями иони-
зованного атома) полны в пространстве Зё = L2(R3N), а в случае
неразличимых частиц — в некотором симметрическом или антисим-
метрическом подпространстве этого гильбертова пространства.
Упомянутая теория была распространена на случай произвольного
/V в работах [Hepp, 1969а], [Sigal, 1978] и [Hagedorn, 1980]. За-
дача асимптотической полноты в этом случае рассматривалась
многими авторами и для разных классов потенциалов, однако для
кулонова потенциала все еще нет полного математического обосно-
вания. И тем не менее спектр оператора можно описать, опи-
раясь на формальный анализ, теорию возмущений и эксперимен-
тальные данные. Связанные состояния атома с N — 1 электронами
можно описать приближенно. Качественная картина приводит и к
объяснению периодической таблицы химических элементов, и к
объяснению спектральных линий поглощения и излучения света
атомами. Для получения приближенной картины пренебрегают,
например, отталкивающим электрон-электронным взаимодейст-
вием. Тогда оператор HN, действующий в пространстве L2(R3N),
превращается в прямую сумму операторов, отвечающих атому во-
дорода, и, значит, имеет точное решение. Результатом антисим-
метризации является принцип запрета Паули: собственное состоя-
ние оператора Hn — это тензорное произведение N—1 связанных
состояний атома водорода, по одному для каждого из N—1 элек-
тронов, и все электроны должны быть в различных состояниях.
Если N не слишком велико, то электрон-электронное взаимодей-
ствие можно учесть, пользуясь приближенными методами теории
возмущений.
Состояния рассеяния при N 3 описываются с помощью кла-
стеров. Кластером называется подмножество системы N частиц,
а кластерное разбиение — это разбиение системы N частиц на кла-
стеры. Состояние рассеяния, отвечающее данному кластерному
разбиению — это состояние, в котором частицы из одного кластера
все время остаются вблизи друг от друга (т. е. образуют свя-
занное состояние), а разные кластеры отделены друг от друга и
движутся независимо. В случае одного атома единственно возмож-
ными кластерными разбиениями являются разбиения на одно-
кратно или многократно ионизованный атом и соответственно один
или несколько свободных электронов. Это объясняется тем, что
из-за сил отталкивания не существует связанных состояний, обра-
зованных двумя или несколькими электронами. В случае несколь-
ких атомов (или молекулы) для образования кластеров, вообще
говоря, больше возможностей. Например, для молекулы воды до-
пустимы кластерные разложения: Н2О Н2 + О и Н ф- Н ф- О, а
также образование ионизованных состояний, в которых отдельные
составляющие теряют или приобретают один или несколько элек-
тронов, например Н+ф-ОН-,
40 Гл. f. Квантовая теория
1.7 Атом водорода
Простейший атом — это атом водорода, состоящий из электрона
и протона. Шредингеров гамильтониан Н, который описывает атом
водорода, имеет вид
й2	Л2	е2
н = “ ir	17^71 •	<L7,1>
Здесь те, тР— массы электрона и протона, хь хг — их координаты,
а —е и е соответственно электрический заряд. В вычислениях за-
ряд часто встречается в безразмерной комбинации, которая назы-
вается постоянной тонкой структуры
а = eP/tic = (137,035963 ± 0,000015) -1.	(1.7.2)
Массе покоя те электрона соответствует энергия покоя, равная
= тес2 = 0,5110034 ± 0,0000014 МэВ, (1.7.3)
где 1 МэВ —106 эВ; аналогично у приведенной массы тг =
— menip/(tne + тр) энергия покоя равна
щ == (1 + те/тр)-}ре = 0,999449819 ре.	(1-7.4)
После выделения из (1.7.1) энергии движения центра масс (бо-
лее общее рассуждение см. в § 13.2) останется гамильтониан, отве-
чающий относительному движению электрона и протона. Это га-
мильтониан одной частицы массы тг, движущейся в поле потен-
циала —е2/|х|:
Н = — (Й2/2тг)А —е2/|х|.	(1.7.5)
Гамильтониан Н имеет собственные значения Еп кратности и2, рав-
ные
Еп — yaz/2n2,	(1.7.6)
При п = 1 энергия основного состояния равна
Ei == —13,5983 эВ.	(1.7.7)
Это есть взятая со знаком «—» энергия ионизации атома водорода.
Другими словами, энергии 13,6 эВ достаточно, чтобы отщепить
электрон от протона.
Как объяснялось в § 1.4, разность энергий Е.п — Ет = hv опре-
деляет частоту v испускаемого света, поэтому спектроскопические
измерения иногда выражают в волновых числах, т. е. величинах,
обратных длине волны:
V1 = v/c ==(Еп — Em) /he.	(1.7.8)
Так как hc~ 12,39852- 10~s эВ-см, то в этих единицах приведенное
выше значение Е{ равно
—Ei/hc = 109 677 см-1.	(1.7.9)
1.7 Атом водорода 41
На самом деле благодаря точности спектроскопических измерений
Ei может быть вычислено с огромнейшей точностью, например с
точностью до 10'8.
Наблюдаемые спектральные линии атома водорода раскласси-
фицированы различными методами. Переход от п > 1 к уровню
п = 1 называется серией (рядом) Лаймана, от п>2 к п — 2 —
серией Бальмера и т. д., см. рис. 1.2
Лайман	Бальмер	Пашен „ „ „
(ультрафиолетовый) (видимый) (инфракрасный)
--------------------------------------------
Рис. 1.2. Наблюдаемые переходы в атоме водорода с указанием некоторых вол-
новых чисел в см-4. Частоты получаются умножением на с = 2,99792458 X
X Ю40 см. с~‘.
Утверждение о том, что собственные значения Еп имеют крат-
ность п2, следует из анализа неприводимых унитарных представле-
ний группы вращений 50(3) трехмерного пространства, которые
действуют в пространстве L2(R3) и оставляют инвариантным га-
мильтониан Н. Такие представления 55(/) имеют размерность 2/4-1,
где / — неотрицательное целое число, j — О, 1, 2, ... (квантовые
числа углового момента). При фиксированном п собственное под-
пространство отвечающее собственному значению Еп, можно
разложить на неприводимые относительно действия группы 50(3)
компоненты. Это разложение имеет вид
(1.7.10)
М
п— 1
Поэтому dim Увп — У, (2/ 4- 1) = и2.
/=о
Интерпретация числа / как углового момента является следст-
вием постулата РЗ из § 1.3. В самом деле, классический угловой
42
Гл. 1. Квантовая теория
момент J одной частицы—это не что иное, как векторное произ-
ведение ее координаты на импульс: J == х X Р- Используя шредин-
герово представление р — —i№x, мы обнаружим, что компоненты
вектора J удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям,
что и образующие алгебры Ли группы 50(3), т. е. [/;, //] — itilk,
где (j, /, k) — циклическая перестановка чисел (I, 2, 3). Переходя
к экспонентам, мы получим представление группы вращений SO(3)
в гильбертовом пространстве <5^ = L2(^3)- Таким образом,
К(п, 6)= exp(jJ-n6//i)
есть не что иное, как элемент группы, представляющий вращение
на угол 6 вокруг оси, идущей в направлении единичного трехмер-
ного вектора n. С этим представлением коммутирует оператор
Казимира
jW? + zl + z32,
который имеет собственные значения /г2/(/ + 1), j' = О, 1, ..., каж-
дое с кратностью 1. Собственное подпространство, отвечающее
фиксированному j, (2/+1)-мерно, и ограничение V на это под-
пространство является представлением с угловым моментом j.
Поскольку группа 50(3) компактна, любое ее унитарное представ-
ление может быть разложено в сумму конечномерных представле-
ний S>(/). В пространстве можно выделить естественный базис,
состоящий из сферических гармоник Ph, что и приводит к появле-
нию функций Ph в формуле (1.6.7).
В случае нескольких частиц полный угловой момент
N
обладает теми же свойствами, что и J, и определяет представление
группы вращений в пространстве L2(R3N). Как и выше, яв-
ляются неприводимыми представлениями. В задаче с центрально-
симметричными силами, подобной (1.7.1), операторы Н и Jtot ком-
мутируют. Поэтому любое собственное подпространство оператора
Н может быть представлено в виде суммы пространств !£№>.
1.8 Зачем нужна квантовая теория поля
Точные спектроскопические измерения в атомной физике и точные
вычисления по теории возмущений дали возможность тщательно
проверить квантовую теорию. В процессе этой проверки были обна-
ружены физические эффекты, отклоняющиеся от теории, изложен-
1.8 Зачем нужна квантовая теория поля 48
ной в § 1.6 и 1.7. Эти эффекты — следствия теории относительно-
сти и наличия спина. Более того, в ядерной физике появляются
новые законы взаимодействия между частицами. Спин, однако,
легко включить в рассмотренную здесь модель нерелятивистской
квантовой механики (см. также §	1.3 и представление
(1.3.10)).
Первая же попытка создать релятивистскую теорию электрона
приводит к уравнению Дирака (см. § 15.3). Рассмотрение спина
и уравнения Дирака значительно улучшает согласие теории с
экспериментом в атомной спектроскопии. Еще более важный сплав
специальной теории относительности и квантовой механики дает
квантовая теория поля. Она позволяет сделать дальнейшие по-
правки в атомной спектроскопии, в частности объяснить знамени-
тый лэмбов сдвиг и аномальный магнитный момент электрона.
В пределах нынешней точности измерений и вычислений те допол-
нительные эффекты, которые появляются в квантовой физике
благодаря теории поля, позволяют достичь полного согласия между
теорией и экспериментом в атомной спектроскопии. Обсуждению
этих вопросов посвящена гл. 15.
Ядерная физика или физика элементарных частиц изучают
явления, происходящие на малых расстояниях и при больших
энергиях, для которых поэтому велико значение релятивистских
эффектов. Особенно возрастает роль теоретико-полевых эффектов
в связи с тем, что при таких взаимодействиях частицы могут рож-
даться и исчезать. Добавим к тому же, что радиус протона и рас-
стояния между частицами — величины сравнимые, и, следователь-
но, представление о протоне и нейтроне как о точечных объектах
некорректно. Поэтому ядро и элементарные частицы по своей при-
роде относятся к теории поля, и в противоположность атомной
физике их приближенное описание как квантовой системы N ча-
стиц не приводит к последовательному описанию основных явле-
ний. Подводя итог сказанному, отметим, что квантовая теория поля
нужна для
1)	создания на основе комбинации квантовой механики и спе-
циальной теории относительности стройной и последовательной
картины явлений;
2)	получения малых, но точно определенных поправок к атом-
ной спектроскопии;
3)	описания основных явлений в физике элементарных частиц
и создания языка, на котором могут быть сформулированы фун-
даментальные законы ядерной физики.
Литературные ссылки
[Ваут, 1969], [Kato, 1966], [Jauch, Rohrlich, 1976],
44 Гл. 2. Классическая статистическая механика
Глава 2
Классическая статистическая механика
2.1 Введение
Статистическая механика является связующим звеном между мо-
лекулярной физикой и механикой сплошных сред. В своих по-
строениях статистическая механика исходит из законов взаимо-
действия между частицами. Этими частицами могут быть атомы
в кристалле, молекулы в газе или жидкости, электроны в плазме,
аминокислотные остатки в белке, элементарные составляющие в
сложном полимере и т. д. Силы, действующие между частицами,
порождаются кулоновым взаимодействием электрических зарядов
и магнитным диполь-дипольным взаимодействием в случае, если
частицы обладают магнитными моментами. Классические законы
взаимодействия могут видоизменяться с учетом квантовомехани-
ческого описания частиц (в особенности с учетом принципа за-
прета Паули). Обычно законы взаимодействия очень сложны и не
выражаются простой аналитической формулой. Поэтому чаще
всего их рассматривают одним или несколькими из следующих
четырех способов. (1) Как некую функцию, явный вид которой
неизвестен, а ее качественные свойства постулированы в виде фи-
зических законов. (2) Как некую конкретную функцию, например
потенциал Леннард-Джонса или потенциал твердых сфер. Эти
функции используются потому, что они обладают теми же харак-
терными свойствами, что и истинные законы взаимодействия, на-
пример они могут асимптотически совпадать с ними в предельных
случаях. (3) Как результат вычисления, основанного, например, на
сложном истинном законе взаимодействия, но с использованием
приближения Хартри — Фока. (4) Как результат эксперименталь-
ных измерений.
Задача статистической механики состоит в том, чтобы на
основе вводимого одним из описанных выше способов закона
взаимодействия определить макроскопические свойства вещества.
Большая часть этих свойств характеризуется термодинамическими
величинами и коэффициентами переноса: плотностью, давлением,
температурой, теплопроводностью и электропроводностью, намаг-
ниченностью, прочностью, вязкостью, теплоемкостью, скоростями
химических реакций и т. д. Эти характеристики, вообще говоря,
не независимы, а связаны каким-то уравнением состояния. При-
мером может служить уравнение состояния идеального газа
p = NkT/V.	(2.1.1)
2.1 Введение 45
Уравнение состояния есть следствие межмолекулярных законов
взаимодействия и служит основой термодинамики и механики
сплошных сред. Оно позволяет находить линейные и нелинейные
«функции отклика», используемые в термодинамике и нужные для
вывода уравнений механики сплошных сред. Статистическая ме-
ханика занимается строгим выводом законов термодинамики и
уравнений состояния.
Статистическая механика занимает определенное место и среди
математических дисциплин. В каком-то смысле ее можно считать
частью теории вероятностей или, более общо, частью анализа.
Статистическая механика изучает системы, состоящие из беско-
нечно большого числа частиц, поэтому ей соответствует анализ в
бесконечномерных пространствах. Физическое состояние каждой
элементарной компоненты системы (например, частицы) описы-
вается математически как точка некоторого конечномерного про-
странства Xi, например
Xi = Rl, Rn, S<) = Z2={—1,+1}, Zn, Sn, SU(n). (2.1.2)
Таким образом, статистическая механика изучает вероятностные
меры, определенные на прямом произведении пространств состоя-
ний элементарных компонент:
со
(2.1.3)
/=1
Обычно задаются меры dp, на Xi, и тогда простейшая мера на X
является бесконечным произведением этих мер:
оо
<7р, = Х</цг.	(2.1.4)
/=1
Эта мера не очень интересна, так как она соответствует ситуации,
при которой нет взаимодействия между частицами (элементарными
компонентами системы). Однако мера d[i имеет определенный
смысл, так как возникающие в статистической механике меры
обычно близки к произведению мер.
В общем случае распределение вероятностей для состояний i-й
частицы зависит, вообще говоря, от состояния /-Й частицы, j =# i.
Для того чтобы система проявляла статистическое поведение, не-
обходимо изначально ограничить эту зависимость конечным чис-
лом частиц — соседями i-й частицы. В физической терминологии
это равносильно рассмотрению короткодействующих устойчивых
взаимодействий. Для описания подобной ситуации рассмотрим
меры dp,(n), определенные на Х(п)=Х^ц Эти меры dp,(n) не явля-
£=1
ются уже произведением мер, а, как правило, представляются
в виде
dn^ = e-u	(2.1.5)
i-1
48 Гл. 2. Классическая статистическая механика
где U— энергия взаимодействия, которая может определяться, на-
пример, парным потенциалом взаимодействия V:
£7=Z Их. -х,),	(2.1.6)
*</
причем V задан одним из перечисленных выше способов (1) — (4)
(см. также (2.3.1) ). Предположим, что существует предел
dp= lim	(2.1.7)
Л ~>ОО
Меры, изучаемые в статистической механике, как правило, имеют
вид (2.1.7), и в этом смысле предел (2.1.7) является подходящим
обобщением (2.1.4).
Существенное различие между конечномерным и бесконечно-
мерным случаями состоит в том, что в случае бесконечномерного
пространства мера dp и, следовательно, связанные с нею физиче-
ские величины могут быть разрывными функциями от параметров
задачи. При этом наличие разрывов не какая-то неприятная пато-
логия, а одно из ключевых характерных качеств теории. Действи-
тельно, имеются физические основания ожидать, что эти величи-
ны — кусочно-аналитические функции параметров (температуры,
внешнего поля и т. д.). Разрывы этих функций образуют в про-
странстве параметров множество коразмерности 1 и соответствуют
физическому явлению, называемому фазовым переходом. Гранич-
ные точки множества разрывов образуют множество коразмер-
ности 2, называемое критической поверхностью. В частном, но
наиболее распространенном случае, когда система описывается
двумя параметрами, критические поверхности коразмерности 2
становятся точками — отсюда термин критические точки. Поведе-
ние физических систем в окрестности критических точек играет
большую роль в экспериментальных исследованиях, и одна из за-
дач теории — дать количественные предсказания в этой области.
2.2 Классические ансамбли
Чтобы конкретизировать приведенные выше рассуждения, касаю-
щиеся меры dp, рассмотрим N одинаковых классических частиц
с массой т, находящихся в области Ас/?3 и взаимодействующих
с помощью парного потенциала V=V(qt — qj). Предположим,
что частица, достигающая границы <9 А, упруго отражается от нее.
Кроме того, предположим, что частицы находятся во внешнем поле
с потенциалом Ф (<?/). Таким образом, А-частичный гамильтониан
равен
N
HN(q,p)=H(q,	+	(2-2-1)
i = i	i-t-i
•••• 4n)> P^(Pi.......Ры)>
2.2 Классические ансамбли 47
Классическое пространство состоянии одной частицы Xt — Л ® R3
называется одночастичным фазовым пространством. На простран-
N
стве состояний системы XN = X Xi важную роль играет мера
i
Лиувилля
N
^цлиувилль=== d[iNI= JI dpt dq(2.2.2)
i = l
эта мера, как было показано в предложениях 1.2.1—2, инвариантна
под действием «-частичной классической динамики, определенной
гамильтонианом Н.
Основополагающий постулат Гиббса, относящийся к равновес-
ным распределениям состояний изолированной механической си-
стемы, гласит: на поверхности постоянной энергии Н = Е равно-
весное распределение вероятностей является априори равномерным
относительно меры Лиувилля, ограниченной на поверхность Н=Е.
Равновесное распределение в пространстве состояний изолирован-
ной системы называется микроканоническим ансамблем Гиббса.
Предположение состоит в том, что априорная вероятность класси-
ческого состояния с энергией Е пропорциональна
6(/7 — E)dnN. '	(2.2.3)
Можно нормировать меру (2.2.3), поделив ее на инвариантную
площадь поверхности постоянной энергии V (£) = 6 (Н — Е) dp.N').
Как можно обосновать эту гипотезу? В случае когда имеются
другие интегралы движения, такие, как полный угловой момент,
соответствующие 6-функции включаются в (2.2.3), приводя к но-
вому (микро-микроканоническому) ансамблю. Учтя таким образом
очевидные интегралы движения, мы вводим математический по-
стулат об отсутствии дополнительных интегралов, или, другими
словами, об эргодичности микро-микроканонического ансамбля.
Рассмотрим теперь классическую траекторию (q(t), p(t))—
*) Заметим, что, как и при доказательстве теоремы Лиувилля (предложе-
ние 1.2.1), используя равенство 6 (Н — £) dp = || grad Я (К* 1, мы получаем,
что (2.2.3) определяет объем, инвариантный при движениях на поверхности Н=Е.
Однако пример Н = р1 + aq2 показывает, что интеграл от инвариантной длины
Дуги
\ б (Я — Е) dp dq =--— dp
i	2 д/E-aq2
He равен длине эллипса Н — Е (если а = 1, то V(E) = л, а Н = Е— окруж-
ать длины 2л£,,/2). В случае когда || grad НII не постоянен на поверхности
эти меры — площадь поверхности и равновесная мера — различаются не
только нормировкой. Фундаментальную роль в выборе определения (2.2.3) играет
иР₽ариантность меры 6 (Я— E)dp,M.	1
48 Гл. 2. Классическая статистическая механика
кривую на поверхности, на которой постоянны энергия Е, угловой
момент j и т. д. Для наблюдаемой физической величины, т. е.
функции F(q, р) на X, ее среднее значение в состоянии равновесия
совпадает с измеряемым временным средним, определяемым по
формуле
т
F(q(f), p(t))dt = (F)cp.
(2.2.4)
В предположении эргодичности (т. е. отсутствия нетривиальных
относительно меры dp,rj подмножеств, инвариантных под действием
временных сдвигов) для почти всех начальных условий временные
средние совпадают со средними по мпкро-микроканоническому
ансамблю:
(F)cp = V (Е, j, ...Г1 \F(q, p)b(H-E)b(J-i) ... dpN, (2.2.5)
где V — объем микро-микроканонического ансамбля.
Для простоты ниже рассматривается случай, когда И — един-
ственный интеграл движения. Несмотря на серьезные усилия и
успехи, достигнутые в частных случаях, эргодическая проблема *)
не поддается решению. Возможно, что другие подходы к важному
вопросу обоснования постулата (2.2.3) о виде равновесного рас-
пределения окажутся более перспективными.
В терминах микроканонического распределения определим меру
^Р'микрокан /V! V (Е)	d[lpj.	(2.2.6)
Основные факты классической статистической механики долж-
ны опираться на квантовую статистическую механику. При таком
подходе множитель \/N\ в (2.2.6) объясняется эффектом симме-
тризации или антисимметризации для бозонной или фермионной
статистики 2).
Энтропия, или статистический вес, для различных значений
числа частиц и энергии определяется следующим образом:
£(£) = 1п(— J 6 (Н — Е) dpN).	(2.2.7)
Энтропия является экстенсивной величиной в том смысле, что S(£)
растет при стремлении к бесконечности числа частиц N и объема
|Л|. (Термодинамический предел для большого канонического ан-
самбля определяется ниже как предел при |Л|->оо и фиксиро-
*) Так называют проблему об эргодичности динамики на поверхности Н = Е
или, что одно и то же, проблему обоснования равенства (2.2.5). — Прим. ред.
2) Ссылки на квантовую механику излишни. Множитель 1/ЛЧ появляется
при переходе от пространства X<w> состояний N одинаковых различных частиц
к факторпространству Xw>/S(lf>, описывающему состояния N неразличимых ча-
стиц (Sw— группа перестановок N частиц). —Прим. ред.
2.2 Классические ансамбли 49
ванной плотности р = Л7/|Л|.) Энтропия, как и энергия, по своему
физическому смыслу определяется с точностью до аддитивной кон-
станты. В этом смысле определение (2.2.7) включает в себя про-
извольный выбор этой константы. Соответствующая интенсивная
величина — это
s(E) — S(E)/|A| = энтропия на единицу объема.
Обычно s(E) сходится к пределу при |Л|, А—>-оо и фиксирован-
ных плотностях р = Д7/|Л| частиц и энергии е= £7|Л|.
Микроканоническое распределение предназначено для описания
изолированных систем; в то же время многие физические системы
не изолированы. В частности, такой системой является система,
состоящая из фиксированного числа частиц и находящаяся в рав-
новесии с термостатом, в котором поддерживается постоянная тем-
пература. Энергия перераспределяется между рассматриваемой
системой и термостатом до тех пор, пока в обоих не установится
температура Т. Микроскопически температура пропорциональна
среднему значению кинетической энергии, приходящейся на одну
частицу.
Постулат Гиббса в этой ситуации определяет распределение,
называемое (малым) каноническим ансамблем:
^Ркан д/j
= -Т V Д e-f (Midp, (2.2.8)
i=l
где р = (АГ)-1, k — постоянная Больцмана. Заметим, что мера
(2.2.8) имеет общий вид (2.1.5): е~и, умноженное на произведение
мер, где U = -у V (qi — q}). Для канонического ансамбля опре-
деляется свободная энергия Гельмгольца
Л„ = Л = —In j (/щ(а„.	(2.2.9)
Свободная энергия А является экстенсивной функцией; соответ-
ствующая ей интенсивная величина
свободная энергия Гельмгольца на единицу объема.
(2.2.10)
Нормирующий множитель для канонического распределения
(2.2.8), так называемая каноническая статистическая сумма, равен
Z = ZW= JrfpKaiI = e~M".	(2.2.Ц)
Канонический ансамбль описывает ситуацию эксперимента, при
Котором известно точное значение температуры, определяемое
80	Гл. 2. Классическая статистическая механика
термостатом. При некоторых идеализированных условиях канони-
ческий ансамбль может быть получен из микроканонического.
Рассмотрим систему А, погруженную в термостат В, и предполо-
жим, что объединенная система A U В изолирована, т. е. подчи-
няется микроканоническому распределению. Каноническое распре-
деление для системы А можно определить как условное распреде-
ление, получающееся после усреднения по степеням свободы си-
стемы В:
J d»A {J В, микрокан
—?------------------	(2.2.12)
dK4(jB, микрокан
див
и последующего предельного перехода:
|объем В|->оо, [удельная энергия в В на одну частицу|->ев.
(2.2.13)
Здесь мы приведем доказательство этого утверждения, исполь-
зуя дополнительные упрощающие предположения:
|В|
В есть идеальный газ: а =р^,	(2.2.141)
i •=!
А и В слабо взаимодействуют: Нацв — На + Нв,	(2.2.14п)
средняя энергия частиц в термостате равна -|- kT. (2.2.141Н)
Предложение 2.2.1. Пусть выполнены предположения (2.2.141—Ш).
Тогда
микрокан
пт _£------------------=Z^e-^Ad^4 = Z;'.dpAl;aH, (2.2.1Б)
|В|->оо I «
\	микрокан
лив
где р определяется из условия (2.2.14 iii) и равно р = (Л7)-1.
Доказательство. Перепишем (2.2.12), используя предположения:
в в А + нв~ dltB d^A __ Vb № ~ На) .
® (^А + „В ~ d^B d^A	Л
лув
(й21в)
2.2 Классические ансамбли 51
причем по определению полный интеграл этой меры равен 1. Положим « = |В|.
Согласно предположениям (2.2.14),
VB (Е) = J б (Нд - Е) dpB = (2m)3rt/2 I Л I"
(2m)3,1/2 | Л I” | S 3"-‘l 6 (k2 — E) k3'1' dk = c£(3"-2)'2,
где c — 2“ (2m)3n^ • | Л |n | .S"1'1 ~1|, a | Sn | — площадь поверхности «-мерной
сферы. Условие (2.2.14iii) означает, что при н->оо средняя энергия частицы из В
сходится к константе ев. Для фиксированного Нд = Ед величина Е/\В | также
сходится к ев. При этом предельном переходе

(j-—J	-*“₽
2 eB J’
(2.2.17)
Классическое значение ев рассматривается здесь как параметр. Стандартное опре-
деление температуры возникает при выборе средней энергии на одну частицу в
термостате равной = — feT=-gP . Таким образом, предел (2.2.17) есть
Множитель Vb(E)/Va Ub(E) в (2.2.16) является нормирующим множите-
лем. Так как также нормирует меру rfgx, как, предложение доказано.
Хотя для конечных систем микроканоническое и каноническое
распределения различны, считается, что в термодинамическом
пределе (при бесконечном объеме |Л| и фиксированной плотности
р = Лг/|Л|) оба распределения определяют одни и те же термо-
динамические функции1).
Другую связь между микроканонической и канонической точ-
ками зрения дает соотношение между удельной свободной энергией
и удельной энтропией:
a(₽) = inf {₽е — $(е)}0-1.	(2.2.18)
е
Преобразование (2.2.18) является известным преобразованием Ле-
жандра. Обратное преобразование имеет вид
s(e) = sup{₽e —₽а(Р)}	(2.2.19)
Мы не будем выводить эти соотношения, но заметим, что если s(e)
и п(Р) — строго выпуклые функции, то преобразования (2.2.18—19)
взаимно обратны, т. е. каждая из формул (2.2.18) и (2.2.19) вле-
чет за собой другую. Мы хотим подчеркнуть фундаментальный ха-
*) Более точно: при термодинамическом предельном переходе |Л|->оо,
А/|Л| -ьрв каноническом ансамбле предельные термодинамические функции за-
висят от параметров р и р, в то время как термодинамический предел
| Л | -> оо, К/I Л | -> р, Е/\ Л | -> е для микроканонического ансамбля приводит к
функциям от параметров (е, р). Эти функции совпадают с аналогичными функ-
циями канонического ансамбля, при условии, что е = Пт<£7|Л|>кан. — Прим, ред,
52
Гл. 2. Классическая статистическая механика
рактер эквивалентности ансамблей, хотя нигде не будем ею поль-
зоваться.
Третья ситуация, возможная при эксперименте, когда и энергия
и вещество могут перераспределяться между рассматриваемой си-
стемой и окружающей средой. Другими словами, мы отказываемся
от условия постоянства числа частиц N в системе (при фиксиро-
ванном А). Для описания этой ситуации Гиббс ввел большой ка-
нонический ансамбль, обобщающий канонический. Такой ансамбль
возникает, например, при рассмотрении химических реакций или
диффузии вещества через проницаемую мембрану. В этих случаях
резервуар, в который погружена система, является как тепловым
(энергетическим) резервуаром, так и резервуаром частиц. Опре-
делим
г/рб. каи= X ZN d[LKaK, N.	(2.2.20)
N=0
Здесь с/ркан, м означает канонический ансамбль:
—(2.2.21)
a z — параметр, называемый активностью. Параметр г связан с
другим параметром h, называемым химическим потенциалом, со-
отношением 2 = е₽Л. Другими словами, вместо числа частиц N в
качестве параметра используется химический потенциал на одну
частицу, —h. В случае когда энергия имеет вид (2.2.1), потенциал
—h может быть включен в нее как аддитивная добавка к Ф. Кроме
того, если в случае, когда энергия имеет вид (2.2.1), мы ограни-
чимся рассмотрением средних от функций F(q), не зависящих от
импульсов р, то интегрирование по р приведет к эффективному
значению активности z — (2nm/p)3/2e₽ft. Для большого канониче-
ского ансамбля величина
со	со
7V=»0	W=0
00 N 00
= Ё ж 5 e~*HN	=	Ё 4г е“э (AN~h’N}	<2-2-22)
М	N=0
называется большой статистической суммой. Среднее число частиц
равно
(2.2.23)
М=1
В большом каноническом ансамбле плотность
р= lim (W|A|)
(2.2.24)
2.3 Модель Изинга и решеточные поля 53
и давление
р = |3-‘lim (| Л Г1 InS)	(2.2.25)
Л4-7?3
являются функциями [3 и h. Эта важная зависимость между р, р,
Р и h называется уравнением состояния. Для идеального газа (но
не для других систем) рР = р и уравнение состояния определяется
единственным соотношением р = р(Р> /г).
Большой канонический ансамбль отличается от канонического
ансамбля при конечном |Л|, однако ожидается, что в предельном
переходе к бесконечному объему Af/?3 оба ансамбля порождают
одинаковые термодинамические функции1). В частности, термоди-
намические функции канонического и большого канонического
ансамбля связаны преобразованием Лежандра по переменной р и
сопряженной переменной /г:
р(Р, h) = sup {ph — а (Р, р)},
ц(₽, р) = inf {р/г — р(р, /г)}.	(2.2.26)
h
2.3	Модель Изинга и решеточные поля
В принципе твердые тела и жидкости, так же как и газы, опи-
сываются статистическими ансамблями, введенными в предыдущем
параграфе, при условии, что задан некоторый потенциал взаимо-
действия между частицами V{qt — qj). Из этого описания должно,
вообще говоря, следовать, что при подходящей температуре в си-
стеме возникает локальная решеточная структура с преобладанием
дефектов (в случае жидкостей) или глобальная кристаллическая
решетка с изолированными дефектами (в случае кристаллических
твердых тел). Однако до сих пор нет доказательств существования
такой решеточной структуры, строго математически вытекающего
из исходных принципов и предположений о некоторых свойствах
потенциала V. Более того, даже если бы удалось получить дока-
зательство, начинать таким образом изучение твердых тел было бы
неудобно. Вместо этого мы вводим решетку непосредственно в фор
мулировку задачи. Точки (узлы) решетки можно представлять
себе как равновесные положения атомов или групп атомов в кри-
сталле. С другой стороны, в приложениях к квантовой теории поля
решетка Zd вводится для аппроксимации континуума Rd. В обоих
случаях для i е Zd переменная с; е Xi определяет состояние в
точке i. Например, с, может означать напряженность поля, ориен-
тацию магнитного момента или какую-то дискретную переменную,
*) Здесь следует сделать то же уточнение, что и в случае эквивалентности
между микроканоническим и каноническим ансамблями (см. предыдущее приме-
чание) . — Прим. ред.
54 Гл. 2. Классическая статистическая механика
папрпмер принимающую значение 0 или 1 в зависимости от нали-
чия пли отсутствия примеси в точке i ен Zd.
Для определенности мы выбираем в (2.1.2), (2.1.5)
Xt = Rl,	d^,	(2.3.1)
где	dt, — мера Лебега, Р — ограниченный снизу полином.
Допускается также предельный случай
=	&- <s4+e±.' d^h	(2.3.2)
где 6±i(^)—б(ь+ 1). Нас интересуют кооперативные (или иногда
антикооперативные) явления, т. е. такие явления, при которых
некоторое событие, случившееся в точке I, а именно то, что пере-
менная в точке i приняла некоторое значение gz, благоприятствует
(или мешает) появлению близких значений переменных g/ для то-
чек / е Zd, соседних с i. Чаще всего это достигается следующим
способом. Пусть А — оператор вторых разностей на Zd. После
суммирования по частям получаем
d
& Ag> Z (g{+% - ?02’	(2.3.3)
iesZ V=1
где ev — единичный вектор v-го координатного направления, а
<•, > — скалярное произведение в l2(Zd). Обозначим А<?д оператор
вторых разностей на Zd с граничными условиями Дирихле на гра-
нице дЛ области AaRd (определение и свойства Лад см. в § 9.5).
Пусть
=	(2.3.4)
teA
d[i= lim (фАДфА).	(2.3.5)
Предельная мера d[i зависит от [3 (~ 1/7 = (температура)-1)
и от коэффициентов Р. В случае (2.3.1) мы получаем решеточное
поле, а в случае (2.3.2) — модель Изинга с внешним полем 1г. Пре-
дел (2.3.5) существует всегда и, вообще говоря, является разрыв-
ной функцией р и Р. Модель Изинга используется для описания
примесей в металлах (сплавов). Она применяется также для ка-
чественного описания магнетизма, хотя классическая модель фер-
ромагнетизма, принадлежащая Гейзенбергу (X/ = S2 в (2.1.2)),
ближе к реальности. Большое число подобных моделей с различ-
ными решетками, пространствами состояний Xi и мерами d[ii воз-
никает при исследовании примеров из физики твердого тела.
Заметим, что решеточные модели (2.3.5) описывают совершен-
ные кристаллы, в которых дефекты кристаллической структуры не
допускаются. В природе совершенные кристаллы встречаются
2.4 Методы разложений в ряд 65
редко, и их физические свойства резко отличаются от свойств не-
совершенных кристаллов. Действительно, дефекты кристалличе-
ской структуры в обычных реальных материалах определяют их
механические свойства (твердость, хрупкость, усталость и т. д.),
см. [Ashcroft, Mermin, 1976]. Некоторые считают, что в квантовой
теории поля могут иметь место подобные явления, а именно что
конфигурации поля, далекие от области минимума действия или
от равновесных конфигураций (мешки, вихри, инстантоны и т. д.),
могут обладать подавляющей мерой г/ц и, следовательно, опреде-
лять основные черты квантового поля. В случае квантовой теории
поля все конфигурации (близкие или далекие от равновесия) учи-
тываются ансамблем (2.3.5). Влияние конфигураций, близких к
равновесным, анализируется с помощью теории возмущений; вклад
от других конфигураций, не охватываемых теорией возмущений,
требует более глубокого анализа.
2.4	Методы разложений в ряд
Кластерными разложениями в статистической механике называют
различные разложения в сходящиеся ряды для изучения мер dp,
задаваемых либо формулой (2.1.5), либо формулой (2.3.5). Глав-
ный член разложения соответствует случаю невзаимодействующих
частиц, т. е. произведению мер; последующие члены учитывают
взаимодействие. Разложение сходится в области малых взаимо-
действий. Такого рода методы весьма полезны при исследовании
решеточных полей, моделей Изинга, евклидовых квантовых полей
(см. часть III). В этом параграфе мы проиллюстрируем метод на
примере большого канонического ансамбля (2.2.20) для неидеаль-
ного газа. Главный член в этом разложении соответствует идеаль-
ному газу.
Мы покажем, что давление р, определяемое выражением
(2.2.25), является гладкой функцией от z и ₽ в области малых г
или малых р. Малые значения р соответствуют высокой темпера-
туре, а малая активность отвечает малой плотности. Таким обра-
зом, будет доказано, что в газе при малой плотности или высокой
температуре не происходит фазового перехода (т. е. газ не пере-
ходит в жидкое состояние). Использованные при доказательстве
разложения позволят описать все свойства газа в этой области
параметров. Мы покажем, что
ОО
Рр=ХМ",	(2.4.1)
где Ьп выражаются в явном виде как интегралы по 7?3(п-,). рЯд
(2.4.1) называется рядом Майера. Мы докажем сходимость этого
ряда, откуда будет следовать аналитичность р при малых р иди
56 Гл 2. Классическая статистическая механика
Сделаем два предположения:
|| V ||Li = j | V (£) | dl, < оо (короткодействующий потенциал); (2.4.2а)
существует положительная константа В, такая, что
inf, У, V (§; —	^ — пВ (устойчивость). (2.4.2b)
s Я i < i < j < n
Предложение 2.4.1. Ед является целой функцией от z.
Это утверждение доказывается подстановкой (2.4.2b) в (2.2.20).
Оно отражает тот факт, что в конечных системах нет фазовых
переходов. Однако это утверждение становится совершенно беспо-
лезным при переходе к пределу ЛфД3. Для того чтобы контроли-
ровать этот предельный переход, необходимо воспользоваться тем,
что различные частицы почти независимы. Для этого прологариф-
мируем Ед и поделим на |Л| в (2.2.25). Пусть
п
Jexpf-P £	(2АЗ)
дп	\	I С i < j < п	/ Z = 1
так что
Ед = £ znZ%\	(2.4.4)
В дальнейшем мы построим величины /Сд* так, чтобы выполни-
лось соотношение
Za — L	.	(2.4.5)
Предложение 2.4.2. Пусть выполнено (2.4.5) и | I е°fn); тогда
/ оо	\
Ед = ехр(£	(2.4.6)
\п=1	7
Замечание. Из (2.4.6) следует, что
6Я = Hm lAT’/d?	(2.4.7а)
A^RS
являются искомыми коэффициентами ряда (2.4.1). Мы покажем,
что
1
&i = l, 62 = -|JrfsJrfgy(g)e^W. (2.4.7Ь)
о
Доказательство. Умножив (2.4.5) на пг” и просуммировав по п, получим, что
z-~-Z
dz 

2.4 Методы разложений в ряд
Так как expl V гпКд) ) удовлетворяет этому уравнению, мы получаем
\n = l	J
(2.4.6). |
Рекуррентное уравнение (2.4.5) отвечает последовательному
отщеплению одной частицы от остальных. Это уравнение и вели-
чины Ад играют центральную роль в построении кластерного
разложения. Для вывода уравнения и нахождения в явном виде
коэффициентов введем параметры s,,	линейно
интерполирующие взаимодействие между нулевым (s, = 0) и пол-
ным взаимодействием (s/=l). Параметр s, приписывается взаи-
модействиям К(£,-— Ь) между всеми частицами с номерами i п
ft, i / < k. Он изменяет взаимодействие следующим образом:
для i / < k
К(Ь - b)->= (1 - Sl) • 0 + SiV& - Ь), (2.4.8а)
для i, k j и j <Z i, k
V (b - b) -> V (b - b) = (1 - Sj) V (b - b) + SjV (b - h).	(2.4.8b)
Заметим, что потенциал (2.4.8) является выпуклой суммой потен-
циалов Vik- Каждое слагаемое, а следовательно, и их выпуклая
сумма удовлетворяют условию устойчивости (2.4.2b):
inf £ V/;(L--b)>-^-
5 l<i </<п
Выполнив указанное преобразование для всех S/, 1 j п—1,
получим «-частичную потенциальную энергию
^">(<Т„_,)= z st- ^-1К(Ь-Ь)>
где (Tn—1 = {£], ..., sn-J. Следующее предложение очевидно.
Предложение 2.4.3. lF(n,(cr.;-i)	—пВ.
Перейдем теперь к выводу уравнения (2.4.5). Для произвольной
функции 7(,гДсГп_1) по теореме Ньютона — Лейбница имеем
Z(n) (Gn_, = 1) =	= о, S2 = . . . = S„_! = 1) +
1
+ \dst (Sl, S2 = ... = Sn_, = 1).	(2.4.9)
0
В частности, пусть
n
Z(,i) (<?„_,) = 4- JexpC-P^’^n-^ndb. (2.4.10)
л«	i=i
При $i = 0 величина Z''n> распадается на два множителя, причем
При s2 = ... =£„_!== 1 один из сомножителей равен Za-1). По-
этому, если положить К.д = IЛ [, то первое слагаемое в (2.4,9) даст
68 Гл. 2. Классическая статистическая механика
член с i = 1 в (2.4.5). Второе слагаемое в (2.4.9) можно перепи-
сать так:
1
jH^-^expf-P £ V^-W~
о	л”	\	2<г</<п
п
-₽ £
2 < / «с п	/ i«1
Мы воспользовались симметрией между последними п—1 части-
цами и заменили У, V (|, — £/) на (n — I) V (^ — g2).
2 С / «
Как и выше, применим теорему Ньютона — Лейбница к пере-
менной s2. Слагаемое, отвечающее значению s2 = 0, s2 — ...
.— s,,-; = 1, равно
\dSi (- ₽ $ к & - ё2) e-₽s,v	4Л zk^2) (2.4.11)
О X Л!	/
и дает член с I — 2 в (2.4.5), где
1
Ki?=\dSl U & - g2) е-	<Z|2.
О Л2
(2.4.12)
Таким же образом слагаемое, отвечающее s, = 0, задает
(Z/ п) Ка	1} в (2.4.5) и определяет Кд’.
Для нахождения явного выражения для Кд* введем граф (де-
рево), определяемый целочисленной функцией т](/), 1 = 2, ..., i,
которая удовлетворяет условию (/)</. Вершинами этого
1 2 3	3	12
ij(2) = 1; т)(3) = 2	4(2) = 1; ц(3) = 1
Рис. 2.1.
графа являются числа 1, 2, ..., i, а ребрами — пары (ц(/),!),
1 = 2, .... i, как показано на рис. 2.1. Определим также функцию
£-1
/(*]> CT£-i) = П si-isi-2 ••• 5яа-н)’
t«1
считая, что при ц(/-(-1) — / произведение (пустое) si-isi^g ... = 1.
2.4 Методы разложений в ряд 59
Предложение 2.4.4. Пусть
К!(’=^Кл(п).	(2.4.13а)
11
•-1 1~х
л*	Z“1
Xe-₽iH‘)(Ot._1)#	(2.4.13b)
Тогда выполнено уравнение (2.4.5).
Доказательство такое же, как для случая Кд/, Кд, и мы его
опускаем.
Предложение 2.4.5. Пусть выполнены предположения (2.4.2). Тогда
Замечание. Таким образом, основной результат о сходимости ряда
Майера (2.4.1) при Л|7?3 справедлив для \z |	(ерв+1₽ || V ||т,) *.
Доказательство. Мы покажем, что
£ J doi-J (П- ^-1) < е'~*-	(2.4.14)
п
Эта оценка н устойчивость Ww(cfi-i) (предложение 2.4.3) завершают доказа-
тельство. Прототипом неравенства (2.4.14) послужило неравенство
1
dsvesv ev.	(2.4.15)
о
Левая часть неравенства (2.4.14) ограничена выражением
1	1	т1~1	\
Е 5 dsi • • • J ds‘~if <г1’ ai-i)ехр (У sf-i •••«li-
no	О	Х/ — !	/
Используя последовательно (2.4.15) при повторном интегрировании, получаем
(2.4.14). |
Литературные ссылки
[Friedman, 1962], [Huang, 1963], [Uhlenbeck, Ford, 1963], [Ruelle,
1969], [Lanford, 1973], [Thompson, 1980],
Глава 3
Формула Фейнмана-Каца
3.1 Мера Винера
В гл. 1 мы рассмотрели уравнения квантовой механики, однако
лишь в редких случаях можно получить решения этих уравнений
с помощью известных специальных функций или же записать их
спектр в явном виде. Поэтому вычисления в квантовой механике
выполняются приближенными методами, например нахождением
нескольких первых членов формального степенного ряда. Разложе-
ние в ряд по константе связи известно как теория возмущений, а
ряд по постоянной Планка называют классическим приближением.
Для того чтобы получить качественную картину поведения ре-
шения, а также оценить погрешность, очень полезно иметь инте-
гральное представление решения. Его дает формула Фейнмана —
Каца. Эта формула для широкого класса потенциалов определяет
ядро Xt(q, q') оператора e~tH, т. е.
=	q')8(q')dq',
даже в том случае, когда не может быть выражено через эле-
ментарные функции. Идея Фейнмана заключалась в том, чтобы
найти такое представление для ядра унитарной группы Для
классической траектории q(s), где s означает время, рассмотрим
действие
//2
^(—//2, //2) = j 9?(q(s), q(s))ds.	(3.1.1)
-f/2
Здесь S£ — лагранжиан, полученный из гамильтониана
Н(р, q) = ±p5+V(q)	(3.1.2)
при помощи преобразования Лежандра
(Я, q) = sup [qp — Н (р, q)] = ~q2 — V (q).	(3.1.3)
р
Пусть W(q, q', t) — множество непрерывных траекторий q(s), при-
нимающих фиксированные значения q(—t/2)=q и q^t^—q’ на
концах отрезка [—t/2, t/2]. Формула Фейнмана такова:
(ядро e-ltH){q, 7')== const еь< (-*/?, */2)	dq(s). (3.1.4)
Ж(<7, q', i)	-i/2<s<«/2
Эта формула часто и успешно применяется физиками, по-
скольку она удобна при формальных преобразованиях. Однако
3.1 Мера Винера 61
комплексной мере е1Л Ц dq (s) не удалось придать удовлетвори-
тельного математического смысла1), и по этой причине формула
Фейнмана не играла значительной роли в математически строгих
исследованиях по квантовой механике.
Аналогичным представлением ядра оператора e~tfl как инте-
грала по пространству траекторий является формула Фейнмана —
Каца. В этом случае мера в пространстве траекторий положи-
тельна и, как мы сейчас увидим, допускает строгое математиче-
ское обоснование. Так как e~tH получается из e~itH аналитическим
продолжением по t, при котором / переходит в —it, это наводит
на мысль сделать такое же аналитическое продолжение в формуле
(3.1.3). При помощи подстановки
ds-^---ids, q2 = (dq/ds)2->--q2
приходим к формальному выражению
(ядро e~tH)(q, q') —
(t/2	X
— 5 [4'HS)2 +v(?(s))]ds 1 JI dq(s). (3.1.5)
-t/2	' ~tl2<s<t!2
Сначала рассмотрим случай V = 0, т. е.
я = я0=4р2.	(3.1.6)
Этот частный случай приводит к определению условной меры Ви-
нера на множестве 7f(q, q', t) непрерывных траекторий q(s), за-
данных на отрезке [—t/2, t/2] и соединяющих q и q'. Для про-
стоты все формулы будут написаны для трехмерного случая.
Ядро q) оператора e~t!! является фундаментальным
решением уравнения теплопроводности
jtii(q, t) = H0u = ±bu(q, t),	(3.1.7)
з
где А = У*, d^/dq]. Поэтому, если задано начальное условие
u(q, 0) = f(q), то решение (3.1.7) представляется в виде
« (<?, t) = (е~ tH°f) (q) = j X'1’ (q, q') f (q') dq'.	(3.1.8)
Ядром оператора e~t,! является хорошо известная гауссова плот-
ность
(2nt)~3IZe-{q-q'fl2t =y^t(q, q'),	(3.1.9)
*) Тем ие менее существует немало математических работ, посвященных
корректному построению фейнманова интеграла (см. обзор Ю. Л. Далецкого:
Интегрирование в функциональных пространствах. — Сер. Итоги науки. Матема-
тический анализ. — ВИНИТИ, 1967). — Прим. ред.
62 Гл. 3. Формула Фейнмана — Каца
представляющая собой преобразование Фурье функции е ?412. Вот
его основные свойства:
(1)	/) > 0;
(ii)	q')dq'=l‘
(iii)	M°t+S(q, q')	r)X*s(r, q')dr.
Свойства (i), (ii) позволяют интерпретировать W°t(q, q') как
плотность распределения вероятностей, a (iii) отвечает полугруп-
Рис. 3.1. Пример двух траекторий q(s)	q’,t), удовлетворяющих условию
<7(б) 6=А-
повому свойству щ-(<+«)Но = е~ОД. Свойства (i) — (iii) ядра
я') Дают возможность определить на Ж(<7, q', t) условную
меру Винера («условие» заключается в том, что оба конца траек-
тории фиксированы, в то время как в случае обычной меры Винера
фиксируется лишь начало траектории). Полную меру множества
7f(q, q, t) положим равной №ot(q, q'), а меру множества
{9(з)еЖ(9, я'> 0: 9(^i)eA}
траекторий, попадающих в момент времени Л, —t/2	tx t/2,
в подмножество Л с/?3, определим выражением
§ X'w2)+tt (q, <7i)^’°t/2)-/,(<?i, q'}dq
h
Это множество траекторий изображено на рис. 3.1. Заметим, что
определение (3.1.10) корректно в силу свойства (iii), так как если
мы возьмем в нем Л = R3, то (3.1.10) совпадает с Х°(<7, q') —
полной мерой Ж(<7, q', t).
В общем случае рассмотрим подмножество траекторий в
Ж(д, q', t), точки которых в п фиксированных последовательных
(3.1.10)
3.1 Мера Винера 68
моментов времени tj принадлежат борелевским множествам
Здесь j == 1, 2, . -., п и —t/2 < Л < t2 < ... < tn < t/2. Такие
подмножества в Ж(д, q', t), т. е. подмножества
{<?(«): q(-t/2)=q,q(t/2)=q', <7(^6=/,,/= 1, 2, .... п}, (3.1.11)
называются цилиндрическими множествами, а мера множества
(3.1.11) определяется выражением
j dq, \dq2 ... J dqnX\+t^q>	(<?n, ?') =
Л >2 in
=	... J б/<7„П[2л(//-//_1)]-3/2е-(<?'~<?‘-“‘)2/2((Г(/-1),	(3.1.12)
A Л» /“
где —t/2, q0 s q, tn+i s t/2, q„+i q'.
Сформулируем без доказательства основную теорему о сущест-
вовании меры Винера.
Теорема 3.1.1. Условная мера Винера (3.1.12) счетно-аддитивна на
цилиндрических подмножествах пространства 7f(q, q', t) и имеет
единственное продолжение на а-алгебру борелевских подмножеств
w(q, я', О1)-
Пусть dW*q, Q‘ обозначает интегрирование по условной мере Ви-
нера. Заменяя в формуле (3.1.12) характеристические функции уд/
интервалов // произвольными ступенчатыми функциями А/, мы
с помощью предельного перехода и определения (3.1.8) ядра
получаем
Следствие 3.1.2. Пусть Аг— оператор умножения на ограниченную
функцию Ai(q), действующий в L2(q,dq), i = 1, 2, ..., п; —t/2^,
< Л ... tn //2. Тогда
Ь-1
“(ядро (e~{ti+tl2'> HoAle~^~t^H(>A2 ... X„e~C/2-zn)Ho))(Qi /). (3.1.13)
В частном случае, когда все функции Аг— тождественные еди-
ницы, (3.1.13) превращается в формулу
^<Д^‘19, = (ядро e~tff°)(q, q')=.%f°(q, q').	(3.1.14)
Мы закончим этот параграф замечанием о том, что на формальном
Уровне приведенные здесь определения согласуются с выражением
*) Топология в J^(q,q',t) индуцируется топологией равномерной сходимости
в пространстве непрерывных траекторий на отрезке [—t/2, t/2]. — Прим. ред.
64 Гл. 3. Формула Фейнмана — Каца
(3.1.5) в случае V = 0. Действительно, е~ tH° = (е~tHJn)n, поэтому,
как и в (3.1.12), взяв I] — К3, tj = —t/'2 jt/n, j — 0, 1,2, ..., п,
получим, что
(ядро e~tH^{q, q') —
Г 2nt Y3"'2 е	г |‘ 1 А /Д<?.\2 I""1
=(—) $ ••• Scxp[~2’£(к’)ачЦ^ (ЗЛЛ5)
Здесь Aq, — q(ti) — q(ti-i), q0 = q, qn — q', &ti = t/n. После фор-
мального перехода к пределу при и->оо подынтегральное выраже-
Г И‘2	1
ние принимает вид ехр
Однако нн константа
L - Z/2	J
(2nt/ri)~inl2, ни мера П dqt не имеют предела при /г->оо. Можно
доказать, что мера Винера множества траекторий, удовлетворяю-
щих условию Гёльдера с показателем 1/2, равна нулю. Анало-
гично ехр[—g- q(s)2t/sj — 0 почти всюду по мере Винера, т. е.
ни один из трех множителей в (3.1.15) не имеет предела при n->oo.
Тем не менее их произведение под интегралом в (3.1.15) имеет
предел, который совпадает с определенной выше условной мерой
Винера dWq, q'.
3.2 Формула Фейнмана — Каца
Рассмотрим две однопараметрические группы операторов etA и etB,
действующие в гильбертовом пространстве 33, инфинитезимальные
генераторы которых равны соответственно А и В. Если операторы
А и В ограничены, то при помощи формулы Ли из двух данных
групп можно построить группу е^А+в).
Теорема 3.2.1. Для ограниченных операторов А и В
еА+в = lim (eAi>leBln)n.	(3.2.1)
П->оо
Доказательство. Пусть С =	D — еЛ'пев1п. Мы покажем, что если «~>-оо,
то || Сп — D" II -> 0. Действительно,
|| Сп — Dn || =
п — 1
2 С’п (С - D) Dn~m~'
т.^0
const  к || С — D ||,1	(3.2.2)
где использована оценка || С ||, ЦДЦ^ехр
1МН + 11Д11
п
j^const1^”. Далее,
|| С — D || < const • я-2,
(3.2.3)
так как при разложении в степенной ряд С —D — е<-А+вМп — ел/пев/г- члены ну-
левого н первого порядков взаимно уничтожаются. Подстановка (3.2.3) в (3.2.2)
завершает доказательство. |
3.2 Формула Фейнмана — Каца 65
Если Л и В не ограничены, доказательство формулы (3.2.1)
требует дополнительных предположений. Мы сформулируем одну
из теорем для этого случая.
Теорема 3.2.2. Пусть операторы Но, V ограничены снизу и сущест-
венно-самосопряжены, а оператор И = Но-\- V также существенно-
самосопряжен. Тогда
е~н = s. lim (e~H<>ine~vln)n.	(3.2.4)
n->oo
Мы установим формулу Фейнмана — Каца
(i/2	\
— 5 V(Q(s))ds jdWq, q'
-'/2	7	(3.2.5)
для Н — Ho-\-V =—	+	Чтобы упростить доказательство,
будем считать потенциал К(<?) достаточно регулярной функцией.
Для потенциалов более общего вида формулу (3.2.5) можно по-
лучить при помощи подходящего предельного перехода. Заметим,
что при вещественном V из формулы Фенмана — Каца следует,
что Xt(q, q') > 0.
Теорема 3.2.3. Пусть V(q) — непрерывная ограниченная снизу ве-
щественная функция на Rd, а оператор И = —А + V существен-
но-самосопряжен. Тогда ядро Xt{q, q') оператора e~tH выражается
формулой (3.2.5).
Замечание. Для V е Lp(Rd), р > d/2 из неравенства Соболева сле-
дует, что V является возмущением оператора А, удовлетворяющим
условию Като1), и, таким образом, Н существенно-самосопряжен.
Если же V — ограниченный снизу полином, то И также существен-
но-самосопряжен.
Доказательство. По теореме 3.2.2
e~tH = lim

где//0 = — Д. И3 следствия 3.1.2 вытекает, что
ядро (е tH«lne tvln)n (qt g')) =
(3.2.7)
В силу (3.2.6) ядро в левой части (3.2.7) при п -> оо сходится к Ж} (q, q') в смысле
сходимости обобщенных функций. Далее, так как V(q(s)) интегрируема по Ри-
*) То есть выполнено неравенство II Vcp II < а II Дер II -|- 6|| <р II для любой
функции <р еС(Д) cz £2(Д8), где 0 < а < 1 и b > 0. Это неравенство влечет за
собой самосопряженность Н = —Д-РУ (см. [Reed, Simon, 1972—1979. v. 21). —•
Прим. ред.
66 Гл. 3. Формула Фейнмана — Каца
маиу, то в пространстве траекторий имеет место поточечная сходимость
п	Ц2
vXv(’(-"2+4))- j
7-1	-7/2
Поэтому подынтегральное выражение в правой части (3.2.7) сходится поточечно
[U2	-1
— V (q (s)) ds I. Так как функция V(q) ограничена снизу, то подын-
— 7/2	J
тегральное выражение равномерно по п ограничено сверху константой, которая
интегрируема по dW:tq , Применяя теорему Лебега о мажорированной сходи-
мости, получаем, что (3.2.7) сходится к (3.2.5) при п -> оо.
Рассмотрим далее две модификации формулы Фейнмана —
Каца (3.2.5). В этом параграфе мы выбираем гамильтониан Но
более общего вида и получим более общий класс ядер (<7> q')
и более общую меру на пространстве траекторий, чем мера Ви-
нера. В § 3.4 мы установим формулу, выражающую в виде инте-
гралов по пространству траекторий среднее по основному состоя-
нию Q гамильтониана Н.
Первое обобщение заключается в замене Но=—|-Д эллип-
тическим оператором второго порядка Но = — Д + V (то, что
Но является эллиптическим оператором второго порядка, следует
из положительности ядра оператора	Мы могли бы, напри-
мер, заменить Ж®(с1, q') ядром Жt(q, q'), задаваемым формулой
(3.2.5). Однако часто бывает желательно, чтобы сам оператор Но
приводил к точно решаемой задаче и индуцировал гауссову меру
на пространстве траекторий, наиболее удобную в вычислениях.
Типичным примером является гамильтониан Но=-—j-A + 4"f/2 —
—5-, подробно рассмотренный в § 1.3. С этим гамильтонианом ассо-
цируется диффузионный процесс, так называемый процесс скоро-
стей Орнштейна — Уленбека, для которого ядро Ж\ (q, q') выра-
жается формулой Мелера (1.5.26). Для процесса скоростей Орн-
штейна—Уленбека остаются справедливыми аналоги теоремы
3.1.1 и следствия 3.1.2. Пусть dUq, / обозначает меру на 7H(q, q', t),
построенную тем же методом, что и мера Винера, только с по-
мощью ядра Мелера. Тогда формула Фейнмана — Каца для
Но — —Д + q2 — -i-, Н = Но + V, запишется в виде
/	i/2	ч
%Aq, <7') = (ядрое-/я(д, q')) = expt — V (q (s)) ds 1 dUq, Q'.
V -'/2	7	(3.2.8)
Перейдем ко второму обобщению формулы (3.2.5). Пусть
Оо(?)— основное состояние (вакуумный вектор) гамильтониана
/70 =——Г- В случае d = 1 вектор По(<?) выражается
3.2 Формула Фейнмана — Каца	67
формулой (1.5.8), а в случае d. > 1 — с помощью ее естественного
d
обобщения: Qo (q) = Ц Qo (<?/)> Q е Ra- Пусть
г-i
d(p0 = Qo (q) Йо (<?') dUg, <f.	(3.2.9)
nd у. nd
Мера rf<po определена на всех непрерывных траекториях q(s),
s^(—t/2, t/2). Таким образом, если —1/2 < t\ t2 ... tn <
< t/2 и At(q) — ограниченные функции q, то
J П Al rf<fo = <Q°’	"%   • An^- (3.2.10)
z=i
Так как интеграл (3.2.10) не зависит от t, мы можем распростра-
нить меру dq>o на множество непрерывных траекторий q (s'), опре-
деленных на произвольном конечном интервале значений s. Про-
стые вычисления показывают, что мера dcp0 гауссова. Согласно
предложениям § 1.5,
<7 (^1) dq>o = (й0> q&o) = 0,
^q(ti)q(t2)dq)0 = (Q0,	(Qo, <72й0) = 4-е-Н,~М .
Обозначим вещественное скалярное произведение (q, f) через
q(f)~ q(s)f(s)ds. Будем считать, что вещественная функция f
гладкая и имеет компактный носитель. Аппроксимируя интеграл
q(f) римановой интегральной суммой и воспользовавшись тем фак-
том, что преобразование Фурье функции e~itl равно const-(1 + Е2)~1,
получим, что
J q (f)2 d<p0 = (f, (1 - dW' f)L, = J | f (E) |2 (1 + E2)-1 dE = || f ||* ь
Другими словами, второй момент меры dq>0 определяется положи-
тельным оператором (1 + Е2)~’, который задает скалярное произ-
ведение в Соболевском пространстве Н-\ с нормой ||-||-i. Вычисле-
ния также показывают, что
J eiq (f} dq>0 = e<fl	,	(3.2.11)
и тем самым мера dq>0 гауссова. Следовательно,
( <7 (f)2n	= (2п - 1)!! || f И2." = (2n - 1) (2n - 3) ... 11| f ||2Д,
J	(3.2.12)
^(f)2n+W0 = O.
88 Гл. 3. Формула Фейнмана — Каца
Равенство (3.2.12) проще всего доказать, представляя q = (1/V2)
Х(Л + Л*) подобно формулам (1.5.3) и используя (3.2.10) вместе
с равенством (1.5.21). Положив f = и продифференцировав
(3.2.11), получим, что
-<V.’V-.’ <3'2ЛЗ>
где суммирование идет по всем (2ft—1)!! разбиениям множества
из 2п функций f/, j = 1, ..., 2п, на пары.
3.3 Единственность основного состояния
Как правило, у гамильтонианов вида Н = —А + V основное со-
стояние, или, иначе, вакуумный вектор, единственно. Эта единст-
венность связана с теоремой Перрона — Фробениуса для матриц
со строго положительными элементами или для интегральных опе-
раторов со строго положительными ядрами и будет доказана в
этом параграфе. В случае когда задача нахождения собственных
значений оператора //рассматривается в конечной области Z$')>
у основного состояния £2 во внутренности & нет нулей, и, следова-
тельно, оно может быть выбрано положительным. Для существова-
ния вакуумного вектора в случае неограниченной области & (на-
пример, & = R3) нужны дополнительные условия на функцию V;
см. теорему 1.5.9.
Определение 3.3.1. Пусть А — оператор в гильбертовом простран-
стве Эё =* dv), где X— некоторое пространство с мерой, а
dv— мера на нем. Мы считаем, что оператор А имеет строго поло-
жительное ядро, если для любой неотрицательной функции 6 е Д
Й1|¥=0,
Л0 > 0 почти всюду.	(3.3.1)
Такой оператор обладает следующим свойством: для любых поло-
жительных векторов 0, ф, тождественно не равных нулю,
<0, Лф> > 0.
Замечание. Оператор Л=е_<н», рассмотренный в теореме 1.5.10,
имеет строго положительное ядро. Ниже мы увидим, что при соот-
ветствующих ограничениях на V то же самое верно для А = e~tH.
Заметим, что вакуумным вектором Н является собственный вектор
оператора e~tH, соответствующий его наибольшему собственному
значению.
Теорема 3.3.2. Пусть оператор А имеет строго положительное ядро
и ||Л|| = Х— собственное значение А. Тогда К имеет кратность 1,
а соответствующий собственный вектор Q может быть выбран
строго положительным.
*) Например, при нулевых условиях иа границе SB. — Прим, ред.
3.3 Единственность основного состояния 69
Доказательство. Так как А отображает вещественные функции в вещественные,
мы можем считать £2 также вещественным. В силу положительности ядра опе-
ратора А,
Л||Й]|2 = (АЙ, Й)<(А|Й|, | й |) <||А||||й||2 = Л]]й||2.
Поэтому
(Ай, й) = (А | й |, | й | >.	(3.3.2)
Запишем й = й+ — й_, где й± — положительная и отрицательная части й.
Тогда, в силу (3.3.2),
<й+, Дй_> + <й_, АЙ+> = 0,	(3.3.3)
откуда по определению положительности (3.3.1) либо й+= 0, либо й_ — 0.
Поэтому мы можем взять й 0. Если II 0 II =/= 0 и 0	0, то из (3.3.1) следует,
что
0 < <0, АЙ> = Х<0, й>.
Так как 0 выбрано произвольно, то почти всюду Й > 0.
Наконец, если ф и й — два линейно независимых собственных вектора А
с собственным значением то, повторяя предыдущие рассуждения для компо-
ненты ф, ортогональной й, получим, что существуют два строго положительных
ортогональных вектора, а это невозможно. Следовательно, X имеет кратность 1
и вакуумный вектор единствен. |
Для того чтобы применять доказанную теорему к гамильто-
нианам квантовой механики, мы воспользуемся представлением
Фейнмана — Каца из § 3.2 и сформулируем достаточное условие
строгой положительности ядра оператора е~ш.
Теорема 3.3.3. Пусть V — непрерывная ограниченная снизу функ-
ция, а Н =	V — существенно-самосопряженный оператор.
Тогда
(tp	\
- J V{q{s))ds\dWiq<f. (3.3.4)
-t/2	’
Доказательство. Пусть M(R) = sup{V(</): |?| < (?}, а /((?)—значение меры
Винера dWq, q> для множества й^((?) траекторий ?(s), для которых
SUP{|?(S) 1: —*/2 s //2} R. Тогда
(ядро е~tH) (у, у')	dW^ q,^I (R) е~м
»°(Я)
Так как /((?)-> 1 при /?-»-со, то I(R) отлично от нуля при достаточно боль-
ших R. |
Следствие 3.3.4. Пусть Н удовлетворяет условиям теоремы 3.3.3.
Тогда все его нормированные основные состояния £2 отличаются
друг от друга фазовым множителем ею, где 0 — вещественное
число, и ровно одно из них может быть выбрано строго положи-
тельным.
Замечание. В этой теореме и ее следствии меру dW*q, q> можно за-
менить мерой Орнштейна — Уленбека dUq- q'.
70 Гл. 3. Формула Фейнмана — Каца
3.4 Перенормированная формула Фейнмана — Каца
Теперь мы вернемся ко второму обобщению формулы (3.2.5), а
именно к «перенормированной» формуле Фейнмана — Каца. Для
Н = Яо + V,
//о = -ТД + 4<72-Т
и непрерывной функции V определим «переномированный» гамиль-
тониан, полагая
Й = Н — Ео.	(3.4.1)
Предположим, что Н существенно-самосопряжен и его основным
состоянием является £2; тогда константа Ео выбирается так, чтобы
ЯП = 0. По теоремам 3.3.2 и 3.3.3 Q единствен и <П, По> #= 0. Ис-
пользуя спектральное представление для Н
e-tn= ^e-^dE(K},
получим, что
Qo) = lim e~^Q0.
/-> oo
(3.4.2)
Посмотрим теперь, что означает равенство (3.4.2) в терминах
функционального интегрирования. Для этого определим вероят-
ностную меру
(t/2	Ч
— К (q (s)) ds j dq>0,	(3.4.3)
-t/2	'
где мера d<p0 определена в (3.2.9), а нормирующий множитель Zt
дается формулой
(i/2	Ч
— V(q(s))ds jdq>o-	(3.4.4)
-Z/2	'
Согласно формуле Фейнмана — Каца, для любых моментов вре-
мени —t/2 < t\ t2 ... tn < //2 и любого набора ограни-
ченных функций At имеем
Л1б-(^-МнЛ2 
п
(3.4.5)
В силу (3.4.2) левая часть этого равенства сходится при /->оо,
а возникающие в пределе множители | <П0, Н>|2 в числителе и
знаменателе сокращаются. Таким образом, установлена
3.4 Перенормированная формула Фейнмана — Каца 71
Теорема 3.4.1. Пусть Н удовлетворяет приведенным выше предпо-
ложениям. Тогда
(Q, Ахе-д2-^нА2е-а3-^нАз Л„Й> =
п
= Нт ( П Л« &	’ »•	<3-4-6)
Z-»oo J
Теперь мы можем переформулировать этот результат, вводя
некоторую счетно-аддитивную меру dp в пространстве £D'(Rl) ве-
щественных обобщенных функций1) на прямой. Предел при /->оо,
определяемый формулой (3.4.6), можно рассмотреть для всех мо-
ментов меры dpt, а также для ее преобразования Фурье. Опреде-
лим (обратное) преобразование Фурье £/{/} меры dpt формулой
= \el^dpt, fe=0(Rl).	(3.4.7)
Функция S/{f} отображает S) в поле скаляров С, т. е. является
функционалом на пространстве Я). Иногда его называют порож-
дающим или характеристическим функционалом меры dpt. Легко
убедиться в том, что St{[} обладает следующими тремя свой-
ствами:
(1)	Непрерывность: St{fn} -+St{f} при fn-+f в S) (т. е.
и Difn^- Dif равномерно на компактных множествах).
N
(2)	Положительная определенность: У, ctCjSt {/; — [/}	0 для
К / = 1
любых последовательностей ft^fZ), cL^ С, i = 1, 2, ..., N.
(3)	Нормировка: S/{0} = 1.
N
Заметим, что если положить А (у) = У cs exp [iq (f/)], то свойство
j=i
(2)	эквивалентно неравенству | А |2 dpt 0, т. е. положитель-
ности меры р/.
Обратно, любой функционал S{f}, удовлетворяющий условиям
(1)-(3), всегда является преобразованием Фурье некоторой ве-
роятностной меры на ЯУ. Таким образом, свойства (1) — (3), ко-
торые наследуются и предельным функционалом S {/} == lim {/},
f-> ОО
позволяют убедиться в существовании меры, порождаемой функ-
ционалом £{/}. Мы сформулируем соответствующий результат
для Rd.
*) Обобщенной функцией называется непрерывный линейный функционал на
пространстве 3) функций класса С“ с компактным носителем. Формально можно
написать qtf) = f qdt, qe.3)', feS). Сходимость в 3) определяется как
Равномерная сходимость всех производных Dnf на компактных подмножествах R.
Обобщенная функция q е 3)' определена двумя своими свойствами — линей-
ностью и непрерывностью в нуле: <7 ([/>)->-О при /п-»-0 в 3). Подробнее см.
[Schwartz, 1950—1] или [Гельфанд, Шщйв, 1964—8, т. I].
72
Гл. 3. Формула Фейнмана — Каца
Теорема 3.4.2 (Минлос). Пусть S{/}—функционал на S)(Rd),
удовлетворяющий условиям (1) — (3). Тогда существует единствен-
ная борелевская вероятностная мера dp(q) на 3)'{Rd), связанная
с S{f} при помощи преобразования Фурье:
S{f} = ^el‘i^dp(q).	(3.4.8)
Замечание. Эта теорема обобщает известный результат — теорему
Бохнера, в которой устанавливаются характеристические свойства
преобразования Фурье борелевской вероятностной меры на
RN: S (X), X е RN, является непрерывной, положительно опреде-
ленной и нормированной функцией на пространстве RN (рассма-
триваемом как сопряженное пространство к RN). Доказательство
теоремы Минлоса имеется в книге [Гельфанд, Виленкин, 1964].
Заметим, что если функционал S{f} может быть непрерывно про-
должен на пространство Шварца ^(R11) быстро убывающих функ-
ций:
SP (^d) = {f  xrDsf g= Loo для всех г, s 0},
то мера dp сосредоточена на пространстве	обобщенных
функций умеренного роста.
Теперь мы покажем, как с помощью этой теоремы построить
инвариантную относительно сдвигов по времени меру dp(q(-))
на S)'(R). Интегрирование по этой мере дает перенормированную
формулу Фейнмана — Каца: для ti t2 ... Д
N
(Q,	"А2 ... J П А	(3-4.9)
/=1
Мы называем эту формулу перенормированной потому, что она
выражает среднее по основному состоянию £2 гамильтониана /?,
а не по основному состоянию гамильтониана Но. Мера dp
строится как предел мер dpt при /->оо. Но при этом удобнее
доказывать не слабую сходимость мер dpt, а сходимость их пре-
образований Фурье S/{f} к пределу •${/}, который и определяет
меру dp.
Чтобы избежать технических сложностей и представить наши
результаты как частный случай результатов части II, мы ограни-
чимся функциями V(q), которые имеют вид четного полинома
с произвольной линейной добавкой. Следующее утверждение имеет
место, однако, и для гораздо более широкого класса потенциа-
лов V(q).
Теорема 3.4.3. При указанных выше предположениях для любой
функции f^0(R) предел
hm St{f} — S{f)	(8.4.10)
3.4 Перенормированная формула Фейнмана — Каца 73
существует и удовлетворяет условиям (1)—(3). Следовательно, на
ЗУ (7?) определена мера dp, для которой справедливы формулы
(3.4.8—9).
Замечание. Доказательство этой теоремы будет приведено в ча-
сти II. Прямое доказательство можно было бы построить по сле-
дующей схеме. Для функции f, такой, что supp f с [т, Т], положим
n
q(fN) = N~l	//-т + СТ’-т)^,
j=i
где ftr—ступенчатая функция, построенная на сегментах [tj, Zy+i]
и такая, что fw (</)== f(^). Тогда по теореме 3.4.1 существует пре-
дел S{fw}= lim St {/д,}. Предельный переход при У->-оо может
f->oo
быть обоснован с помощью обобщения теоремы 3.2.2.
Укажем два свойства функционала S{f}. Он инвариантен при
сдвигах по времени и отражении во времени, т. е. при заменах
и ---------------1, а также обладает следующим свойством поло-
жительности. Пусть ft(s)=‘f(s — t) определяет временной сдвиг
функции f, a (0f)(s) = f(—«) — действие в 3) отражения во вре-
мени.
Следствие 3.4.4. Характеристический функционал S{f}, задаваемый
формулой (3.4.10), обладает следующими свойствами:
1) инвариантности: S{/} = S{ft} = S{0/};
2) положительности при отражениях: если fi(s) — вещественные
функции, равные нулю при s < 0, i= 1, 2, .... N, то матрица
имеет положительные собственные значения.
Доказательство. Свойство инвариантности очевидно; положительность следует и»
представления (3.4.9) для £	.
«. I
Литературные ссылки
[Кас, 1959], [Гельфанд, Виленкин, 1964].
Глава 4
Корреляционные неравенства и теорема Ли—Янга
Корреляционными неравенствами называются различные неравен-
ства, связывающие корреляционные функции для моделей стати-
стической механики. Корреляционные неравенства используются
в квантовой теории поля для доказательства сходимости в пределе
74 Гл. 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли — Янга
бесконечного объема (гл. 11), при изучении фазовых переходов
(гл. 16) и критической точки (гл. 17). Доказательство корреля-
ционных неравенств для непрерывных квантовых полей основано
на решеточной аппроксимации. Здесь мы приводим доказательства
корреляционных неравенств только для решеточного случая. Этот
случай представляет и самостоятельный интерес как модель кри-
сталлических твердых тел. В этой же главе рассматриваются не-
которые простые приложения корреляционных неравенств, а также
теорема Ли — Янга, доказательство которой идейно близко к до-
казательству неравенств.
4.1 Неравенства Гриффитса
Простейшими из корреляционных неравенств являются нера-
венства Гриффитса, которые утверждают, что для ферромагнитных
взаимодействий общего вида математические ожидания и парные
корреляционные функции положительны, т. е.
первое неравенство Гриффитса
(теорема 4.1.1);
второе неравенство Гриффитса ^-Ы)
(теорема 4.1.3).
Здесь А = {nJ есть подмножество точек решетки I, взятых с крат-
ностями at,
(4.1.2)
i
обозначает произведение спиновых переменных. Пусть задан по-
линомиальный гамильтониан
# =	(4.1.3)
А
Гамильтониан (4.1.3) называется ферромагнитным, если Уд О
для всех А. Говорят, что гамильтониан порождается взаимодейст-
вием ближайших соседей, если Уд = 0 для всех подмножеств А,
8а исключением тех, которые состоят из одной точки решетки пли
из двух соседних точек. Пусть dpz(gf)—распределение вероятно-
стей отдельного спина, т. е. некоторая мера на 7?. Предположим,
что для любого N выполнено следующее условие:
п
$|£|"е1"«>|]рИ/&)<«’.	(4.1.4)
г-1
Определим статистическую сумму
Zx=^e-^>4i(g),	(4.1.5)
4.1 Неравенства Гриффитса	75
где tfyi (£) = П (£«)• Среднее <F> от функции F(%) по этой мере
i
равно
<0 = 4-(4-1.6)
(здесь обозначения отличаются от введенных в гл. 2 выделением
из меры dp множителя е~Я(5>). Неравенства Гриффитса справед-
ливы для средних вида (4.1.6), где Н — ферромагнитный гамиль-
тониан.
Для доказательства неравенств (4.1.1) рассмотрим две решетки
и два набора спиновых переменных
g = (gi, .... gn), X = (Xi> •••> х«)-
Наборы g, х можно рассматривать как координаты в Rn ® /?".
Введем также повернутую систему координат
tt = -^ & + Xz),	<7z=^&-Xz).	(4.1.7)
Обратное преобразование координат задается формулами
^-L^+q^ ^-^(ti-qi).	(4.1.7')
Мономы у/, qA определяются так же, как и выше. Кроме того,
для функции F = F(£, х) определим среднее
<F) = Z-2jF(g, z)e',HmH,x”dl*e)dli(x). (4-1.8)
Если функция F зависит только от g или только от то (4.1.8)
совпадает с (4.1.6).
Теорема 4.1.1. Пусть Н — ферромагнитный гамильтониан, меры
симметричны относительно преобразования	и,
кроме того, выполнено условие (4.1.4). Тогда все моменты меры
(4.1.6) неотрицательны:
<П>0.
Доказательство. Разложим экспоненту в (4.1.6) в ряд Тейлора. Учитывая (4.1.4)f
можно поменять порядок суммирования и интегрирования, так что
СО	П
- z- х | J (X «Д и п и-
/=0	\ В / i=*l
Поскольку Z= е 11 JJ^Hz (£<) 0. достаточно показать,
что каждое слагаемое
неотрицательно. Возводя в степень
дим все к доказательству неравенств
и учитывая, что О Н, мы сво-
п	п
о < П $ & (м=J вс П (м-
z=i	z=i
76
Гл. 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли—Янга
SCi
gi dpi (gf) илн равен нулю
(когда С/ нечетно), или положителен (когда С/ четно). |
Лемма 4.1.2. Для любого А функция 2>л,/2(|л ± у/) — (q + t)A ±
±(<7— 0А является ферромагнитным полиномом переменных q и t
(т. е. полиномом с положительными коэффициентами).
Доказательство. По формуле бинома Ньютона имеем
0<bf<ax- i = l 4 i 7
0<bf < а{	i = l	‘
При сложении илн вычитании этих разложений члены разных знаков сокра-
щаются, а члены одного знака являются ферромагнитными. |
Теорема 4.1.3. В предположениях предыдущей теоремы
(qAtB)^O,	(4.1.10)
(4.1.U)
Доказательство. По лемме 4.1.2 //(g) + //('/.) есть ферромагнитный полином от
переменных q, t. Как и в теореме 4.1.1, разлагая в ряд экспоненту е
мы сводим (4.1.10) к неравенству
$ dpi (gt) dp^ (х£) > о,	(4.1.12)
где at, bi	0 — целые числа. Используя симметрию меры dp, получаем, что
dp (Ю dp (х) = dp (2~1/2 (q + /)) dp (2~1/2 (q — t)) =
= dp (2~l'2 (—q — 0) dp (2~ *'2 (- q + /)).	(4.1.13)
Отсюда видно, что мера (4.1.13) симметрична относительно преобразований
(4. 0 -> (—4, 0 и (q, t) -> (~q, —t). Следовательно, интеграл (4.1.12) или равен
нулю (если ai или Ьс нечетны), или положителен (если at и bi четны).
Докажем теперь неравенство (4.1.11). С помощью переменной х перепишем
левую часть (4.1.11):
<gv>-<mB>=<gA(gB-%B)>=
= 2-( 1А '+1 в ‘	<(/ + q)A [(/ + <7)В - (t - 9)В]>,
п
где |Л|= £ ах-.Как видно из леммы 4.1.2, в квадратных скобках стоит ферро-
1=1
магнитный полином, поэтому из (4.1.10) следует, что математическое ожидание
неотрицательно. |
4.2 Переход к бесконечному объему 77
4.2 Переход к бесконечному объему
Рассмотрим одно из простых приложений неравенств Гриффитса.
Мы покажем, что корреляционные функции модели Изиига имеют
предел при переходе к бесконечному объему. Корреляционные
функции
=	(4.2.1)
являются моментами меры, определяемой соотношением (4.1.6).
Предложение 4.2.1. Пусть Н — ферромагнитный гамильтониан.
Тогда <ХВУ> является монотонно возрастающей функцией констант
взаимодействия Ja в Н.
Доказательство. По теореме 4.1.3
oc<ev>-<H><eB>=~-aB>.
dJA
Предложение 4.2.2. Модель Изинга является ферромагнитной, и
все ее корреляционные функции ограничены, <^>	1.
Доказательство. В модели Изиига = ±1, следовательно, Ъ,А = ±1. Так как
<•> есть усреднение по нормированной вероятностной мере, то |<^л>| =£- 1.
Покажем теперь, что модель Изинга является ферромагнитной. Вспомним,
что g? = 1, и перепишем (2.3.3) в виде
а
^.Аал5> = 2£	£
v=l (еЛ. i+е^ел' v
Первый член является ферромагнитным, а константу можно отбросить, так как
отвечающий ей множитель сокращается при делении на статистическую сумму
в формуле (2.3.5). |
Заметим, что при положительном внешнем поле А О остается
ферромагнитной и модель Изинга с мерой
«Фр X
dyh, Л = ----у	.	(4.2.2)
J ехр ( Л /. U
X. j 6 л /
Теорема 4.2.3. Пусть в (4.2.2). Тогда корреляционные функ-
ции (4.2.1) модели Изинга (4.2.2) с внешним полем h имеют пре-
дел при A\Rd.
Доказательство. В формулах (2.3.4) и (4.1.6) для меры dy, и среднего надо по-
ложить Ja = ₽ прн А = {af, al+ev}’ l' 1 4" ev *= Л, aj — ai+e =1: JA = h при
A = {at}, ieA, ai = 1 и J a = 0 в остальных случаях. Увеличение Л эквива-
лентно возрастанию значений некоторых Ja, поэтому, согласно предложению 4.2.1,
<gB> — монотонно возрастающий функция объема Л. Сходимость вытекает нз
оценки сверху (предложение 4.2.2). |
78
Гл. 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли — Янга
Аналогичное доказательство сходимости применяется и в слу-
чае решеточных полей, у которых исходное распределение для
единичного спина имеет вид	где Р(|)— ограниченный
снизу полином вида Р — четный полином + линейная функция.
В этом случае равномерная оценка моментов <£Л> сверху требует
дополнительного обоснования. Такая оценка легко доказывается
с помощью метода многократных отражений, развиваемого в гл. 10
для непрерывных полей. Использование этого метода в решеточ-
ном случае проще, чем в непрерывном, но подробнее эти вопросы
будут обсуждаться в части II.
4.3 ^-неравенства
Выберем распределение dp, для отдельного спина в виде dp, =
— в Р‘	где
pi (М =	\ > 0 или h = °’	> 0. (4.3.1)
В этом случае справедливы дополнительные корреляционные нера-
венства, называемые ^-неравенствами, так как во взаимодействие
входит четвертая степень спиновой переменной.
В дополнение к переменным %, %, введенным в § 4.1, определим
две новые переменные %, у' и положим
<=2-1?2(^ + х'),
= 2-1/2 (/,.+/(),
= 2’1/2 (<?,+ <?<),
^=2-1/2(g;-z<),
6f = 2~1/2 (<?'. —gx.),
(4.3.2)
Заметим, что переменные (а, (3, у, б) и (£, %,	%') связаны орто-
гональным преобразованием пространства Р\
Теорема 4.3.1. Пусть полином Р имеет вид (4.3.1), а гамильтониан
H = -YJuiUi ~ Е Jtt, ht>0,
i	i
удовлетворяет условию (4.1.4). Тогда
<алрсусб°> 0,
(4.3.3)
где среднее берется по учетверенному набору переменных (произ-
ведение мер), подобно тому как это определялось в (4.1.8).
Корреляционные неравенства с дополнительными переменными
(например, неравенство (4.3.3)) вводятся для того, чтобы полу-
чить затем неравенства, содержащие двойные разности исходных
корреляционных функций. В качестве промежуточного шага вы-
ведем неравенства для простых разностей корреляционных функ-
ций переменных t, q.
4.3 ^-неравенства 79
Следствие 4.3.2 (неравенства Лебовица):
— <гл><ув>>о,
<<?V> —<<7лХ<7в>>о,
{tAqB)-(tA){qB)^O.
Доказательство. Сначала при помощи леммы 4.1.2 убеждаемся, что каждое из
выражений, стоящих ниже в квадратных скобках, ферромагнитно по переменным
а, ..., б, а затем применяем (4.3.3):
{tAt^ - (tA) {tB) = (tA (tB - t'B)) =
= 2"<1A1+1 B । <(a + р)л [(a + P)B - (a - P)B]) > 0,
w> - </> <г>=(/в - г»=
= 2~( 1 А 1+1 в 1)/2 {(у + б)л [(у + б)в - (Y - б)в] > > 0,
<^><<?B>-W> = ^(/B-<?B)> =
= 2-( 1А1+1 в 1 >/2 <(а + Р)л [(у + б)в - (у - б)в] )> 0.
Доказательство теоремы 4.3.1. Предположим, что X; > 0 для всех i е Л. Общий
случай рассматривается аналогично. С точностью до множителя Z~4 среднее
в (4.3.3) имеет вид
J аЛ ... f>De~ I"®+н<х)+"«'>+" <Х'» Д	. (g.) ... d(l.	(4.3.4)
i
Здесь Н (g) + ... + Н (%') = - £	+ .. - +	- X hi + хг +
г г	1’ 1	1
+ gi + Xi]- Перепишем эти суммы в переменных а, ..., б. Так как преобра-
зование (j-it £г, Xj)"*(aj>Pi» Yi> выявляется ортогональным, а коэффициенты
[...] при Ji, имеют вид скалярного произведения в переменных £, ..., х', то эти
коэффициенты сохраняют прежний вид и в переменных а, ..., б. Поэтому, ис-
пользуя равенство 2<х,- = 21/2 (/, +	+ хх- + gx + X/)» получаем, что
Н® + ... + Я (x') = ~I?i/[«»«/ + ••• + М/] ~ 2 Е Mi- (4-3.5)
Гамильтониан (4.3.5) является ферромагнитным, поскольку h/ 0 и й/ 0.
Разложив экспоненту в (4.3.4) и взяв произведение интегралов по различным
узлам решетки, мы сведем задачу к доказательству неравенства
J affiviW dlh (U • • • dHt (%Э > 0	(4.3.6)
для всех I, k, ..., п. Для простоты опускаем далее индекс I. Воспользуемся
явным видом меры dp (%) =	где X > 0. В силу ортогональности
замены переменных £, ... <—> a.имеем .. .dy^ == da dfi dy d6 и
+ X2 + g'2 + X'2)= °(a2 + ₽2 + Y2 + 62).
С помощью явных вычислений получаем
24 (g4 + X4 + g'4 + X'4) = (a + ₽ + Y-6)4+(a+₽-Y + 6)4 +
+ (a_p + Y + 6)4 + (-a + P + Y + 6)4 =
= 4 (a4 + p4 + y4 + 64) + 12 (a2P2 + a2y2 + ...) — 41 4apy6.
80 Гл. 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли — Янга
Следовательно, P(g) + Р(х) +/’(?')+ ^(х') равняется ферромагнитному члену
(—саруб) плюс четная функция от а, Р, у, б, н можно переписать (4.3.6) в виде
aftpZY"6Va₽^-<2dadpdyd6>0.
Здесь с — положительная константа, а Q — четная функция от а, р, у н б. Раз-
ложим eca₽^e в степенной ряд. После этого, очевидно, достаточно доказать, что
aftpzym6ne~ <2 da dp dy df> > 0	(4.3.7)
для всех k, I, m, n. Ho Q — четная функция, поэтому (4.3.7) обращается в нуль,
если хотя бы одно из чисел k, I, m, п нечетно. |
Замечание. Хотя неравенство (4.3.3) обобщается на случай поли-
п
номов Р (х) = У, С/Х2 *' 4- стх2, где все с,-	0, только |4 * * *-полиномы
/ =2
(4.3.1) (при переходе к непрерывному полю в Rd) допускают пере-
нормировки в размерностях d 2.
Следствие 4.3.3. Пусть [ц = 0 и |Л|, |В| четны. Тогда
0 < W) -	£в) < У <£л‘в‘>
где суммирование проводится по всем разбиениям Л=(ДЬ А2),
В2), для которых |Л1|, |Bi| нечетны.
Доказательство. Первое неравенство следует нз теоремы 4.1.3. Для доказатель-
ства второго воспользуемся третьим неравенством из следствия 4.3.2:
2 (|Л 1+1В1 )/2 (tAqB\ = У (— 1)1В!’(бл,хЛг5В1ХВг) =
Л2)
В=(В1. Ва)
и	Вг | ^g^g®1^ ^g^g®’^ 2Z ।Л '+1® ।	=
=X (- D1 Вг 1 <вл‘> (ёЛг> <gBi) <gBs).
Мы утверждаем, что, выбросив нз этой суммы члены, соответствующие нетри-
виальным разбиениям с четным |Вг|, мы не нарушим неравенство. Действитель-
но, положим
<^ВУ = <^в>~<£л><£в>-
По теореме 4.1.3 <... >г 5= 0. Следовательно,
<|Л,£В‘) V2) - <И‘> <5В1> <И2) <вВ2> =
= <И*5В,У <&л,вВ2У+<ёл,> <gB1) <gZ2gBy+<ёл,ёвУ <ёЛг> <£Bi) > о,
что доказывает паше утверждение. Члены в правой части, соответствующие не-
четным |В2|, равны нулю. В самом деле, (ёВг) = 0, так как среднее инвариантно
относительно преобразования g->-—g. По той же причине равны нулю те члены
в левой части, для которых |В2| нечетно, а |Д2| четно. Остальные члены и при-
водят к доказываемому неравенству. |
4.3 ^-неравенства 81
Следствие 4.3.4. Пусть hi 0 для всех i и выполнены условия тео-
ремы. Тогда
а» о, <ш-а><5/>>о
«	- &> ш - <^> <ш -	+ 2 <&)	< о.
Доказательство. Последнее неравенство вытекает нз следствия 4.3.2:
23/2	= 2	- (Uj) (&) ~	<Е/> + (&) <М*)) <
< 23/2 <0	= 2 (2 <10 (tfa) - 2 (10 fa) (gft».
Прн hi 0 имеем <£/> > 0, так как <£/> — 0 в случае, когда hi = 0 при всех I,
н dt^y/dhi = <&&>- <ЬХЕ/> 0 по теореме 4.3.1. |
Замечание. Легко видеть, что <gx> = <Э In Z/d/n, и вообще усеченные
корреляционные функции (иначе называемые функциями Урселла
или связными «-точечными функциями):
U(iu iv) — dv In Z/dhit ... dhiv,
при v = 1, 2, 3 в точности являются комбинациями корреляцион-
ных функций, рассмотренных в предыдущем следствии. Если все
hi — 0 и v нечетно, то U(q, ..., iv) = 0 в силу симметрии относи-
тельно преобразования —g. Если v четно и все hi — 0, то
U(i\, 1%)	0 (теорема 4.1.3), U(ii, i2,1’3,1'4)	0 (частный случай
следствия 4.3.3). Справедливо также неравенство U(ii, ..., ie) 0
[Cartier, 1974; Percus, 1975; Sylvester, 1975]. Существует гипотеза,
что для любого четного v
(-l)W(zb .... М^О.
Следствие 4.3.5. Пусть hi 0 для всех i. Тогда
|п/2|
0«1 ' • ' ^»п)	' • 0‘2/-1^<2/)(^2/ + 1) ' • • 0«п)’
где внутреннее суммирование проводится по всевозможным набо-
рам j пар из п индексов {ц, ..., in}.
Доказательство. Воспользуемся следствием 4.3.2:
2(n+2)/2 tnqn+iqn+^ =	£	(— 1)’ В’ ।	=
{1...л}=Д,иЛ2
zj4-2} = Bi (J В2
= z (-1)’Вг 1 <И^В*> 0^В2> < z (-1)1 В21 0А)	0в‘> <ёв‘>
Отбрасывая (как и в доказательстве следствия 4.3.3) отрицательные члены в
правой части (нечетные |-Ви|) и все члены, соответствующие четным |/321 и не-
тривиальным разбиениям А = AUX получаем, что
<?!••• g„+2> < 01 • • •	<U1U2> + Е (H’Ul) <И2|п+2>.
Л=Д1 U Аз
Из этого неравенства следствие 4.3.5 получается индукцией по п. |
82 Гл. 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли — Янга
4.4	Неравенство ФКЖ
Неравенство ФКЖ1) формулируется так же, как второе неравен-
ство Гриффитса. При этом, однако, налагаются другие условия
и на вид взаимодействия, и на допустимый класс наблюдаемых.
Определим отношение порядка в Rn следующим соотношением:
£ = (£ь ЬХх = (Хь •••.	Для всех i. (4.4.1)
Функция F(g) называется монотонной, если она монотонна относи-
тельно этого порядка.
Теорема 4.4.1. Пусть F и G — монотонно возрастающие функции от
Е, а среднее <•> определяется выражениями (2.3.1) и (2.3.4). Тогда
< <FG>.	(4.4.2)
Замечание. Это неравенство сохранится, если к квадратичной фор-
ме в (2.3.4), определяющей гауссову часть меры, добавить любое
число граничных членов вида а/(|/ — у/)2, а/О, так как эти
члены могут быть включены в полиномы Р/. При этом полином Р/
не обязательно должен иметь вид: четный -ф линейный.
Доказательство. Переходя к двойному набору переменных g и х, необходимо
показать, что
<[P(g) - Г (x)][G(g) - G(x)]> 5= 0.	(4.4.3)
Пусть п = |Л|—число точек в Л. При п= 1 утверждение справедливо, так
как разности F(g)—Г(х) и G(g)—G(x) имеют одинаковый знак в силу моно-
тонности функций F и G. Предположим теперь по индукции, что теорема дока-
зана для всех Л, состоящих из л — 1 точек. Введем обозначение
I = (I, &>), I ~ Ь....1п-1,
и аналогично представим X- Перепишем левую часть неравенства (4.4.3) в виде
повторного интеграла и покажем, что при всех значениях gn, Хл интеграл по rfg dx
неотрицателен. Точнее, пусть
Z(a) = (6(g„-a)>, <P>£n=(I = Z(a)-1<6(t!-a)r(a)>	<4-4-4)
и (•). =_ ч	— аналогичное среднее по переменным g, х- В силу
нормировки (4,4.4) справедливо тождество
< [Г (I) - F (x)J [G (Ю ~ О (х)1 >aV = <PG)a + <PG)V - {F)a (G>v - (F)y (G)a =
= (<PG)a - <F)a <G)aJ + (<FG)V - (F), <G>V] + [(/% - <F)V] [<G>a - <G)VJ. (4.4.5)
Покажем, что выражение (4.4.5) неотрицательно. Первые два члена неотрица-
тельны по предположению индукции, следовательно, достаточно проверить, что
сомножители, составляющие третий член, имеют одинаковый знак. Воспользуемся
зависимостью Z от а (см. (4.4.4)) и определениями (2.3.3—4); получим, что
= ₽ X {	th -	«»о } +	>
I
где суммирование проводится по ближайшим соседям n-й точки. Заметим, что
члены, пропорциональные Pz(gn), сокращаются. Поскольку линейная функция
*) Неравенство Фортуэна, Кастелепа, Жиннбра. — Прим, пврев.
4.5 Теорема Ли—Янга 83
I-»-*! — а монотонна, вновь применимо индуктивное предположение, и, следова-
тельно, а есть монотонно возрастающая функция от а. То же самое верно
и для <G>a, поэтому третий член в (4.4.5) неотрицателен. |
4.5	Теорема Ли—Янга
Термодинамические функции, такие, как свободная энергия, дав-
ление и т. д., являются, вообще говоря, кусочно-аналитическими
функциями. Границами областей аналитичности служат поверх-
ности фазовых переходов. Вдоль этих поверхностей сами термоди-
намические функции или их производные испытывают разрывы.
В некоторых случаях можно доказать отсутствие фазовых пере-
ходов при ненулевом магнитном поле h (т. е. при ненулевом ли-
нейном взаимодействии в гамильтониане). Одним из результатов
такого типа является теорема Ли — Янга, в которой утверждается
аналитичность по h при Reft=#0, или, в терминах активности
г — eh, при | г | =^= 1.
Рассмотрим систему с гамильтонианом И, у которой распреде-
ление отдельного спина имеет вид dyi (Е) =	где
/’/(М = ^/ + 6Д2’ ™ = - S ш, - Z ЛД- (4.5.1)
I, /	I
Здесь а, > 0, О, Ь, — вещественные числа. Теорема Ли —
Янга показывает, что при Re hi ф 0 в этой системе нет фазовых
переходов.
Свободная энергия / определяется соотношением
f = М = (1/|Л| )InZA,	(4.5.2)
где ZA —статистическая сумма
ZA ({A J) = $	du (g) = J е~н® Д e~pi Ы d^.	(4.5.3)
l еЛ
В конечном объеме Л функция ZA, с очевидностью, аналитична по
переменным hi. Поэтому /л — аналитическая функция от Л, в лю-
бой области, не содержащей нулей функции ZA.
Теорема 4.5.1. Пусть имеется система (4.5.1) с ферромагнитным
парным взаимодействием
Ju 0,	(4.5.4)
и пусть hi = h. Тогда если Re/i =^= О, то Z\ =/= 0.
Замечание. Доказательство этой теоремы, приведенное в работе
[Simon, Griff its, 1973], довольно запутано; сначала доказывается
теорема Ли—-Янга для модели Изинга, а затем распределение
приближается с помощью суперпозиций моделей Изинга.
Мы приведем более простое доказательство, принадлежащее Дан-
лопу [Dunlop, 1977]. Отсутствие нулей у ZA доказывается при этом
84 Гл. 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли — Янга
в меньшей области |1тЛ,| Re hi, однако в ходе доказательства
удается получить оценку снизу для |2л |.
Теорема 4.5.1'. Рассмотрим систему (4.5.1) с ферромагнитным пар-
ным взаимодействием (4.5.4). Пусть | Im Л, | Re hi при всех ieA.
Тогда
О < Z л (Л/ == 0) С 2Л (Re Л/ — | Im Л, |) С| 2Л (М |. (4.5.5)
Замечание 1. В силу равенства 2л(Л)==2л(—Л), в отраженном
секторе | Im hi | sgZ —Re hi, i е Л, выполняются неравенства
2л (hi = 0) С 2Л (—Re hi — | Im hi |) |Z л (hi) |.	(4.5.6)
Замечание 2. Для большинства приложений достаточно рассматри-
вать случай hi ==s h (т. е. пространственно-однородное магнитное
поле).
Для доказательства теоремы нам понадобится понятие поло-
жительно определенной функции f(6), 0Е [0,2л]пусть f(&) раз-
лагается в ряд Фурье
ОО	N
f(e) = (2n)-w/2 X fne™, пб^ХпД. (4.5.7)
и = —ОО	/ = 1
Определение 4.5.2. Функция f называется положительно опреде-
ленной, если все ее коэффициенты Фурье неотрицательны, fn 0.
Обозначим через & множество положительно определенных функ-
ций f. & определяет естественный порядок: f ^g, если g — f
т. е. fn gn при всех п.
Предложение 4.5.3. Множество & замкнуто относительно операций
сложения и умножения функций, а также комплексного сопряже-
ния, умножения на положительную константу и взятия экспоненты.
Иными словами, 53 есть мультипликативный выпуклый конус. Пе-
речисленные операции сохраняют порядок, определяемый
Доказательство. Сложение и комплексное сопряжение, очевидно, не выводят из Ф.
Умножение задается сверткой коэффициентов Фурье и, следовательно, сохраняет
нх положительность. Разложив экспоненту в ряд, убеждаемся, что взятие экспо-
ненты также не выводит нз 9*. |
Доказательство теоремы 4.5.1'. Мы будем использовать представление Z(h) через
удвоенный набор переменных g, у. Введем также переменные t, q и соответ-
ствующие нм полярные координаты р, 0:
^ = -^(^ + X/) = P/coser 4/ = -^(^-X/) = P/sin6/. (4.5.8)
План доказательства состоит в том, чтобы показать, что интеграл
I z (Л) |2 = J	и	(%/)] du
ieA
(4.5.9)
выраженный в полярных координатах, является интегралом от произведения по-
ложительно определенных функций. Коэффициенты Фурье этих функций моно-
4.5 Теорема Ли — Янга 85
тонно зависят от Re А ± Im А. Вначале перепишем в полярных координатах
ехр [- Pt (gy) - Pt (Хг)] dxt = vt (рр Эг) dp{ d8{	(4.5.10>
и покажем, что v/(p, 0)—положительно определенная функция от 0. Так как
Ц vi (Р/> ®у) ^Pi d&i есть произведение положительно определенных мер, то и
сама эта мера является положительно определенной по переменным (01, ..., 0#).
Проверим теперь положительную определенность vi. Заметим, что dg dy_ =
= pdp d6, поэтому
v t (p, 6) = p exp [- P{ (g) - P{ (x)] =
= P exp [— a{ (g4 + X4) — b{ (g2 + x2)].	(4.5.11>
Замена переменных (4.5.8) ортогональна, следовательно,
gz + хг = /г +	= рг,	(4.5.12а)
g2 - X2 = 4 + ?)2 ~ “ 9)2] = 2/9 = Р2 sin 20.	(4.5.12b)
Таким образом,
g4+х4 = 4 п^2++w - х2)21=4 р4 (’ + sin2 20) =
= 4 р4 [3 — cos 40],	(4.5.13)
V{ (р, 0) = р ехр [— 4 а(Р4 — 6гР2] ехр [4 пгР4 cos 40].	(4.5.14)
Так как ai > 0, a cos 40 есть положительно определенная функция, то из пред-
ложения 4.5.3 следует, что функция V/ положительно определена.
В качестве второго шага доказательства перепишем выражение
-[//(g)+//(x)] в полярных координатах и проверим, что оно представляется
в виде суммы двух положительно определенных функций. Действительно,
gzg/ + Х,Ху = ttt} + q{qf = РуР, cos (0, - 0Д
поэтому сумма
X JU + W = Т X Л/РгР/ [*’ (6г"е/) + е“г (е'“6/)] (4.5.15)
>. /	i. i
положительно определена. Кроме того, функция
Ayg/ + ЛуХ, = (Re А(.) (gz + xz) + i (im Ay) (gy - х,) =
= V2 (Re Ay) /у + i (im Ay) q^ —
= -^=- p;- (Re A;. + Im Ay) e,07 + py (Re Ay — Im Ay) e~iei (4.5.16)
положительно определена при 0 г?: Re Ay ± Im Ay, t. e. | Im Ay | Re Ay. Так как
[—7/(g)—W(x)] есть положительно определенная функция (4.5.15) плюс сумма
по j положительно определенных функций (4.5.16), то из предложения 4.5.3 сле-
дует, что
ехр [- И (g) - Н (х)1 = ехр ££ /г/ (gyg;. + x,Xy)j ехр (Aygy + АуХу)]
«сть произведение двух положительно определенных функций. Более того, в силу
(4.5.16), [Z(A)12, заданное выражением (4.5.9), является монотонной функцией
®6 Гл. 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли — Янга
от Rehj 4- Imй,- и Reft,-—Im ft,. Отсюда следует неравенство (4.5.5), так как
О Re йу — | Im йу | = min (Re /г у ± Im ft J. |
4.6 Аналитичность свободной энергии
В этом параграфе доказывается результат об аналитичности сво-
бодной энергии в бесконечном объеме для решеточных моделей
теории поля в случае, когда применима теорема Ли — Янга. Рас-
сматривается также кластерное свойство парной корреляционной
функции для таких моделей и для соответствующих им изинговых
пределов.
Пусть 7д есть статистическая сумма в объеме Л. Свободная
энергия в объеме Л определяется равенством
/л =(1/|Л|) lnZA.
(4.6.1)
Теорема Ли — Янга, доказанная в предыдущем параграфе для
§4-моделей, утверждает аналитичность f д (hj) при ReA/#=O. Ниже
изучаются пределы таких моделей, во-первых, при А->оо и, во-
вторых, при таком изменении распределения отдельного спина,
чтобы в пределе возникала непрерывная теория или модель
Изинга.
Заметим вначале, что сходимость /д при А->оо следует из
так называемых неравенств обусловленности, которые будут уста-
новлены в гл. 10. Для малых (3 сходимость может быть также по-
лучена с помощью методов разложения в ряд, развитых в гл. 2.
Мы не будем сейчас доказывать сходимость, а только сформули-
руем частный случай предложения 10.3.3 для решеточных моделей.
Предложение 4.6.1. Пусть Zx есть статистическая сумма решеточ-
ного поля с трансляционно-инвариантным парным ферромагнитным
взаимодействием ближайших соседей
Н =	~ Z hfa, J, К > 0,
б. с.	/
и распределением отдельного спина dpt(gt-) = e	и пусть
выполнено условие (4.1.4). Тогда при А|оо существует предел
[л-Ч.	(4.6.2)
Теорема 4.6.2. Пусть выполнены условия предложения 4.6.1. Если
•для Zx(h) справедлива оценка Ли — Лига (4.5.5), то f(h) анали-
тична при ] Im hj | < Re hj.
Замечание 1. С целью избежать технических сложностей, связан-
ных с рассмотрением функций бесконечного числа комплексных
переменных hj, положим h, = h и докажем аналитичность f(h)
при | Im h\< Re h. Фактически, используя отражение и теорему
Ли — Янга 4.5.1 (а не теорему 4.5.1/, доказанную в предыдущем
4.6 Аналитичность свободной энергии
87
параграфе), можно показать, что Re h =/= 0 есть область аналитич-
ности.
Доказательство. Рассмотрим функцию
^л(Л) = /л(л)1/1Л| = ^Л',1>-	(4-6-3>
Тогда
gA (Re h — | Im h |)< | gA (Л) | < gA (Re h).	(4.6.4}
Оценка сверху получается, если взять абсолютную величину в определении ZA,
а оценка снизу вытекает из теоремы 4.5.1'. По предложению 4.6.1 gA (Л) -> g (h)
при вещественных й; таким образом, из оценки (4.6.4) следует, что (Л) рав-
номерно ограничено по Л в любом компактном подмножестве К области
|Imft| <Reft. Кроме того, (ft) аналитична по h при АеК, так как, по
теореме 4.5.1', ZA (й) =7= 0 при h е К. В силу предложения 4.6.1, fЛ (h) схо-
дится при вещественных h. Выберем компактное множество К пересекающимся
с вещественной осью h. Тогда на пересечении gA (Л) ->g (h). По теореме Витали
получаем, что £Л (Л)-> g (h) для всех h из области | Im h | < Reft, причем функ-
ция g(h) аналитична в этой области и равномерно ограничена на любом ком-
пактном подмножестве К. Из (4.6.4) следует, что для любого heK
|£(й)1 = Ит |£Л(й)|> lim gA (Re h — | Im ft |) = exp [f (Reft — | Im ft |)]. (4.6.5)
A^00	A4°°
Следовательно, |g(ft)| =/= 0 при |Imft|<Reft. Поэтому Ing (ft) существует и
является аналитической функцией от ft. В
Замечание 2. Подобные рассуждения можно использовать и в слу-
чае, когда распределения отдельного спина имеют вид
=	, /Ш = Мё2-02-	(4.6.6)
\ е
В пределе при Z-*oo получается модель Изинга [J. Rosen, 1977],
и для Л < оо при Z —оо имеем ZA (Z,/г)->7лИзинг(/г)- При вещест-
венных h сходимость вытекает из теоремы Лебега о мажорирован-
ной сходимости. Таким образом, для модели Изинга справедлива,
оценка Ли — Янга, и поэтому функция /Изинг (/г) аналитична при
| Im h | < Re h.
Замечание 3. Аналогичные соображения применимы, когда сущест-
вует непрерывный предел решеточной теории, например при над-
лежащем выборе J, а, b как функций параметра решетки е. Из-
вестно, что при размерности пространства-времени d = 1, 2, 3
предел при е->0 (непрерывный предел теории поля) существует.
В части II мы докажем существование этого предела при d = 2.
Таким образом, мы заключаем, что свободная энергия f(h) для
модели гр4 квантовой теории поля аналитична в области |1т/г|<
< Re h.
Замечание 4. Теорема Ли — Янга справедлива также для систем с
Двух- или трехкомпонентными спинами, инвариантными относи-
88 Гл. 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли — Янга
тельно группы вращений 0(2) или 0(3) соответственно. Другими
словами, во взаимодействии заменяется на £г£/, а на (I?)2,
где £ есть двух- или трехкомпонентный вектор [Dunlop, Newman,
1975]. Верна ли теорема Ли — Янга для спинов с числом компо-
нент 4 и более, неизвестно.
Замечание 5. Теорема Ли — Янга и приведенное здесь доказатель-
ство обобщаются на случай 7г-решеточных калибровочных теорий
^[Dunlop, 1980] (см. § 20.9). Верна ли теорема Ли — Янга для
других калибровочных групп, неизвестно.
Рис. 4.1. Линии фазовых переходов для взаимодействия Р(§) = |*(|* — 1)* + а?1
или для модели Изиига со спином 1 (распределение отдельного спина dpi =
«= (1/2— а) (б-i + 61) +2або). См. также § 20.5.
Замечание 6. В общем случае четного полинома P(g) степени 6
и выше нет оснований ожидать аналитичности при Re h 0. То же
самое относится к модели Изинга «со спином 1», для которой
-dpi (Ю = (4 - °) б-1 (?) + 2аб © + (т - а) б1 (Ю> 0 < а < 1/2. Та-
кая мера dpz(|) может быть получена как предел мер, определяе-
мых последовательностью полиномов степени 6. В случае приведен-
ной выше меры d[n или в случае Р — |2(|2— 1)2 + csg2 получается
фазовая диаграмма, показанная на рис. 4.1. Из того, что при h #=0
имеются линии фазовых переходов, вытекает, что для некоторых
полиномов 6-й степени теорема Ли — Янга неверна.
Не существует критерия, позволяющего для полиномов Р об-
щего вида (например, с положительными коэффициентами) ска-
зать, верна ли для них теорема Ли — Янга. Аналитичность в этом
•случае исследуется только с помощью методов разложения в ряд.
Приближение среднего поля, являющееся главным членом такого
разложения, дает качественную картину фазовых диаграмм, по-
добных представленной на рис. 4.1. Приближение среднего поля
будет подробно обсуждаться в следующей главе.
4.7 Двухкомпонентные спины 89
4.7 Двухкомпонентные спины
Корреляционные неравенства и теорема Ли — Янга обобщаются
на случай векторнозначных спинов. Мы приведем простейшие ре-
зультаты, относящиеся к системе с двухкомпонентными спинами
Пусть • g; = S If • gy. Рассмотрим систему с га-
мильтонианом
Н =	(4.7.1)
». /	i
где h°. В случае h(-= 0 взаимодействие (4.7.1) инвари-
антно относительно одновременного SO (2)-поворота всех спиновых
векторов g,. В качестве распределения отдельного спина выберем
SO(2)-инвариантную меру
= (472>
где
Рг&) = М1щ1г)2+°/&•?/). ^>0 или Zt = 0, <т,->0. (4.7.3)
Предельным случаем является модель ротаторов с мерой
d»i (М=6 (I ~ 9 <%	<4-7-2')
Введем переменные
Ь = &	(4.7.4)
и, как и раньше, tA = Ц tt и т. д.
ieZ
Теорема 4.7.1. Для системы с гамильтонианом вида (4.7.1)	и рас-
пределением отдельного спина (4.7.2—3) верны неравенства:	
(t^^O,	(4.7.5)
(tAtB) — (tA)(tB)^O,	(4.7.6)
(qAqB) — (qA)(qB)^O,	(4.7.7)
{tA)(qB)-(tAqB)^O.	(4.7.8)
Доказательство. В переменных t, q hi (hh +	- Z Wh + h2^), t, i	£	(4.7.9)
P (£t) = (i2 + q2)2 + о (if + tfi) = Л,- (it + <j4 + 2ijqf) + о (if + q2).	(4.7.10)
Неравенство (4.7.5) доказывается, как и неравенства Гриффитса, с помощью-
разложения е~н в степенной ряд. Для доказательства (4.7.6—8) введем перемен-
ные £р дополнительные к !у, или, другими словами, переменные tt, qt, допол-
нительные к ti, qi. Определим сч, Р/, у<, б; формулами (4.3.2). Тогда, как и для
(4.3.5), гамильтониан
н (1) + н (Г) “ - X Jti (w} + ... + 6,-6;) - 21'2 % (л’О/ + A2V/)
$0 Гл. 5. Фазовые переходы и критические точки
является ферромагнитным по переменным а, ₽, у, б. Используя (4.7.10), полу-
чаем, что
Р(^) +-Р(^') = четный полином —4Ла₽уб,
т. е. имеет вид четного полинома с ферромагнитной добавкой. Далее доказатель-
ство проводится аналогично доказательству теоремы 4.3.1 и следствия 4.3.2.
Частным случаем доказанных неравенств являются следующие
два неравенства.
Следствие 4.7.2. Для системы (4.7.1—3)

(4.7.11)
(4.7.12)
Литературные ссылки
[Ruelle, 1969].
Глава 5
Фазовые переходы и критические точки
5.1.	Чистые и смешанные фазы
Статистическое поведение семейства случайных величин опи-
санное в гл. 2, следует из условия слабой зависимости: величина
£, должна быть почти независима от остальных за исключением
конечного числа. Это свойство выполняется для короткодействую-
щих устойчивых взаимодействий, рассмотренных в гл. 2. Обсудим
теперь другие различия между слабыми и сильными взаимодейст-
виями. Слабое взаимодействие означает, что любая величина g,
почти независима от всех |/, j =И= i, в то время как для систем с
сильным взаимодействием имеется существенная зависимость £»
от конечного числа g/, j=^=i- Случай слабого взаимодействия
изучается с помощью кластерных разложений наподобие рассмот-
ренных в гл. 2 и может рассматриваться как возмущение невзаимо-
действующей модели, т. е. модели, в которой мера равна бесконеч-
ному произведению мер.
Модель Изинга и решеточные модели теории поля, введенные
в гл. 2, описывают кооперативные явления. Каждая из случайных
величин влияет на соседние так, чтобы уравнять их:
— ^i+ev)2 ~ 0- Если это влияние достаточно сильное (случай
низких температур или больших р в (2.3.5)), то общая тенденция
к выравниванию может привести к совпадению всех £z. Предпо-
ложим далее, что &=±1 и оба значения равновероятны (как
5.1 Чистые и смешанные фазы 91'
в (2.3.2), (2.3.5)). В этом случае картина подавляющего совпаде-
ния спиновых переменных: ё< « 1 при всех i или ё« « —1 при всех
i — не является единственно возможной и предельная мера dp за-
висит от характера предельного перехода A\Rd
dp = adp+ + (l— a) dp-, 0 а 1,	(5.1.1)
что и означает существование фазового перехода. Здесь меры dp*
являются чистыми фазами в том смысле, что для множества кон-
фигураций, имеющего полную меру относительно dp+(dp~), ё< «
~+1(-1) при почти всех i, или, иначе говоря,
= j^-dp+X),	(5.1.2)
и аналогично <ё<>- < 0. С математической точки зрения соотноше-
ние (5.1.1) означает, что мера dp разложена на эргодические ком-
поненты dp* и dp-. Чистые фазы dp* являются крайними точками
некоторого выпуклого множества мер и в определенном смысле
неразложимы. (Разложение на чистые фазы изучается в гл. 18.)
С понятием чистых фаз связаны следующие два вопроса. Более
простой вопрос, обсуждаемый в этом параграфе: является ли мера,
определенная для системы в бесконечном объеме, чистой или сме-
шанной фазой, т. е. можно ли эту меру разложить, как в (5.1.1)?
Другой вопрос, тесно связанный с первым, касается того, происхо-
дит или нет при заданном множестве значений параметров (т. е.
р, Р в (2.3.1—5)) фазовый переход (см. § 5.2 и 16.1).
Мы приведем три критерия, характеризующие чистые фазы.
Первый критерий состоит в том, что чистая фаза dp эргодична
относительно группы трансляций решетки. Второй критерий со-
стоит в том, что функция 1 является единственной собственной
функцией трансфер-матрицы с собственным значением 1. Транс-
фер-матрица строится в гл. 6, а эквивалентность двух критериев:
(для непрерывных полей) доказана в § 19.7.
Во многих случаях эффективен более простой критерий. Этот
критерий связан с исследованием поведения парной корреляцион-
ной функции
<ё&)г	J ё/ dp J ё/ dp =	=
=<&-О (£/-<»	(5.1.3)
Физический смысл (5.1.3) становится понятным в терминах откло-
нений б переменных ё от их средних значений: б, = ё» — <ё«>- В них
парная корреляционная функция имеет вид
<ШТ==<№>	(5.1.4)
и характеризует совместное распределение флуктуаций в узлах i
и /. Рассмотрим в качестве примера меру (5.1.1). Для чистых фаз
«2
Гл. 5. Фазовые переходы и критические точки
Др± имеем
О < ±(lt)± = ± |г сфЛ = ±М±=М
и Jim (Ш±-<§г)±<^±) = 0.
Следовательно, <£»> = —М (1 —2а) и
] Jim ~	= аМ2+ + (1 - a) М2_ =A12f
поэтому
lim =	(6.1.6)
I i-j |->OO
Таким образом, (5.1.5) принимает максимальное значение при
а= 1/2 и обращается в нуль только в случаях чистых фаз а =
= 0, 1.
В § 16.1 мы покажем, что обращение в нуль <|г£/>Г при
[i — /|=оо является необходимым, а часто и достаточным усло-
вием для того, чтобы мера dp была чистой фазой.
В статистической механике смешанные состояния имеют физи-
ческий смысл (например, смесь льда и воды), в то время как в
квантовой теории поля экспериментальные факты свидетельствуют
о единственности вакуума.
5.2 Приближение среднего поля
Для обсуждения проблемы фазовых переходов на интуитивном
уровне удобно использовать решеточные поля (2.3.1—5) или их не-
прерывные пределы, определяемые формальным выражением
dp = 2Г1 ехр Г— [4-(v(p)2 + P(<p)]dxl JJd<p(x), (5.2.1)
L Rd	J X
где вместо поля i^Zd, рассматривается непрерывное поле ф(х),
x^Rd. Меру (5.2.1) нужно понимать как меру на пространстве
^'(R^ обобщенных функций умеренного роста. Математические
вопросы построения такой меры обсуждаются в гл. 6—12.
Естественно ожидать, что мера dp вида (2.3.5) или (5.2.1) скон-
центрирована вблизи конфигураций, доставляющих максимум
экспоненте, т. е. вблизи минимумов выражения
X [t(V^)2+ *>&)]•	(5.2.2)
ieZd
Разумеется, этот минимум достигается при
5; = для всех I, где = глобальный минимум Р(-). (5.2.3)
Глобальные минимумы 5е называются классическими значениями
переменной В простейшем приближении (уточняемом ниже)’
5.2. Приближение среднего поля 93
единственность минимума указывает на отсутствие фазовых пере-
ходов, а наличие нескольких минимумов gc, g®', ... означает воз-
можность фазового перехода с различными мерами (состояниями)
в бесконечном объеме (чистыми фазами)
dn^c', .. •	(5.2.4)
и общей мерой, являющейся выпуклой суммой чистых фаз:
dp = а^с dp,^c + а^с' dp^c' + .. • .	(5.2.5)
Описанная картина нуждается в уточнении. Иногда такая кар-
тина приближенно верна, а иногда она приводит к совершенно не-
верным результатам. Для того чтобы выяснить, какая ситуация
имеет место, вспомним исходную предпосылку о статистическом
поведении флуктуаций около £с. Пусть
Ъ =	(5.2.6)
есть поле флуктуаций. Перепишем P(g) в виде полинома от %. По-
скольку |с есть глобальный минимум,
Р (?) = Р (Н + т Р" (Iе) 7? +	Р'" (£С) х3 + • • • 	(5-2.7)
Простейшим критерием того, что классическая картина прибли-
женно верна, служит выполнение следующих двух условий: (а) Р"
больше всех старших производных:
Р"(|с)» Р(/)(|с) для всех /	3;	(5.2.8)
(Ь) член старшего порядка в Р сильно невырожден в следующем
смысле: | (gc) ] const (£с) для всех 3 j < п = deg Р.
Грубо говоря, условие (5.2.8) означает, что потенциальный барьер,
отделяющий ?jc от других минимумов, должен быть достаточно вы-
соким и широким. Предположим, что это условие выполнено, и
рассмотрим (квазиклассическое) приближение
Ркв. кл = р (Iе) + Т Р" (1е) X2-	(5.2.9)
Тогда РКВ. кл есть квадратичный полином, и мера
- X [-jf (™*)2+₽кв. кл (ty) ] __
<К,Кл=^кяв	Д dXi (5.2.10)
ie>Zd
будет гауссовой со средним <хг>кв. кл == 0, т. е. <£>кв. кл = Iе. Мера
dpKB. кл является промежуточным звеном между истинной мерой dp
и классическим приближением £с. (Классическое приближение мо-
жет быть записано в виде меры dpa®= 6о(| — Iе), где б0 есть мера
в пространстве функций, сосредоточенная в точке g s 0.) Квадра-
тичный член (~ х2) в энергии Ркъ. кл приводит к линейным силам
взаимодействия и к линейным уравнениям движения. Поэтому
94	Гл. 5. Фазовые переходы и критические точки
(5.2.10) есть линеаризация статистической задачи в окрестности
классического значения |с. В статистической механике поправки
более высокого порядка в (5.2.7) часто вообще не рассматри-
ваются.
Статистические свойства гауссовых мер легко описать (см.
также гл. 3 и 6). Ковариация меры (5.2.10) совпадает с ядром
оператора (—A-j-Р"(£с))-1- На больших расстояниях асимптоти-
ческое поведение корреляций имеет вид
<Х/ХЛв. кл = ядро (- А + Р" (Г))-1 ~ 11 - /	1)/2е-Р" UC)I/21	1
(5.2.11)
(с точностью до поправок, связанных с решеточной структурой).
В частности, при Р” > 0 флуктуации % имеют экспоненциально
убывающие корреляции, т. е., как и ожидалось выше, слабо за-
висимы.
Квазикласспческое приближение (5.2.9—10) может быть ис-
пользовано в качестве главного члена разложения, подобного раз-
ложению Майера в § 2.4, но значительно более сложного. Так же
как в разложении Майера р = p-'z + b2z2 + ..., взаимодействие
приводит к поправкам в давлении р = Р-1г, отвечающем нулевому
взаимодействию (идеальному газу), члены старших порядков
(1/3!)Р"'(£с)Х3 + ••• в (5.2.7) вносят аналогичные изменения в
теорию. Одно из уточнений относится к случаю, когда значения
Р(|) в различных минимумах совпадают: Р (|с) — Р (%с )• При этом
взаимодействие может полностью исключить фазовые переходы.
Тем не менее Р и dp близки к фазовому переходу в том смысле,
что для некоторого полинома РЭфф = Р + 6Р, где полином 6Р мал,
действительно происходит фазовый переход. При этом для одной
из чистых фаз <&> = £с, для другой (gt) = и т. д. Полином 6Р
можно рассматривать как эффект перенормировки; его вычисление
основано на методах теории возмущений, аналогичных используе-
мым в § 9.4 и 14.3. Полином 6Р мал в том смысле, что малы его
коэффициенты; его влияние существенно только вблизи % = 0.
Описанная выше картина основана на более сильных утвержде-
ниях, чем это доказано в настоящее время. Тем не менее в типич-
ных частных случаях подобные результаты доказаны строго.
Весьма вероятно, что такого рода методами могут быть обосно-
ваны многие линеаризации в статистической физике. Доказатель-
ство соответствующих теорем сводится, по существу, к проверке
того, что малые вероятности больших отклонений от значений сред-
него поля подавляют статистические факторы (энтропию).
Это завершает обсуждение случая, когда квазиклассическое
приближение дает правильную качественную картину, а именно
случая, когда у Р имеются большие потенциальные барьеры. При
этом у Р имеются глубокие колодцы с хорошо отделенными друг
от друга минимумами, так что е~р аппроксимируется произведе-
нием гауссовых множителей. В этой ситуации полином P-J-6P при
5.2 Приближение среднего поля 95
малом 6Р дает правильную структуру фаз, определяемых миниму-
мами Р. Если же различные минимумы не разделены достаточно
высокими барьерами или члены более высоких порядков в (5.2.7)
велики, то (5.2.9—10) дает плохое приближение, которое может
привести к совершенно неверной картине.
Критическая точка есть, по определению, граничная точка
области фазовых переходов. В рассмотренной выше классической


Ж
у4-у2
Две фазы
94
Критическая
ситуация
Одна фаза, некрити-
ческая ситуация
Рис. 5.1.
картине этот случай возникает из-за слияния двух минимумов, как
на рис. 5.1, так что вместо (5.2.7) справедливо разложение
Р (Ю = Р (Н + V pflV} (Г) %4 + ••••
(5.2.12)
Поскольку Р"(£,с)= 0 и различные минимумы не только не разде-
лены, но и сливаются в один, классическое описание критической
точки не является точным, хотя его и можно использовать в ка-
честве грубого ориентира. Для классической критической точки
квазиклассическая мера (5.2.10) является гауссовой с кова-
риацией
<&£/>кв.кл = ядро(—Д)-1^, j) ~ |i — /|-d+2.	(5.2.13)
Дальнодействующие (степенные) корреляции вида (5.2.13) типич-
ны для критических теорий, хотя показатель (—d -f~ 2) может быть
заменен другим. В действительности этот показатель зависит от
опущенных членов в (5.2.12). (При d = 2 асимптотическое пове-
дение функции (5.2.13) имеет вид —(l/2n)ln|t — /|.)
Корреляционные неравенства дают оценки сверху для поправок
к (5.2.13). Например, в критической точке для теории поля при
|х—z/|—>- оо
<<р (х) <р (у) > с О (I х - у I -<*+2-п),	(5.2.14)
где Т] называется аномальной размерностью. Аналогично для
d-верной модели Изинга при критической температуре
<U/> ~ U- /.|-d+2-\
(5.2.15)
96 Гл. 5. Фазовые переходы и критические точки
При d=\ имеем 1]=1*). Если d — 2, то г] = 1/4. При d — 3
приближенные вычисления дают значение т) = 0,041.
При d = 1, 2 и, возможно, при d = 3 критические точки не
являются гауссовыми. Так как (5.2.13) определяет неверную
асимптотику на больших расстояниях, то члены старших порядков
в (5.2.12) играют не менее важную роль, чем квазиклассический
член 4 (V?)2 + Ркв. кл (?) = 4 (V?2) + const. Поэтому в критическом
случае квазиклассическая теория не может служить отправной
точкой теории возмущений. Для изучения критической точки фи-
зики применяют различные методы. Хотя большинство этих ме-
тодов (в том числе метод ренормгруппы) не имеет достаточного
математического обоснования, они с успехом применяются для
определения приближенных численных значений критических ин-
дексов (например, т]). Введение в теорию критических явлений
можно найти в книге [Stanley, 1971]. Двумерная модель Изинга
и некоторые другие двумерные модели решаются в явном виде.
В этих случаях критическое поведение исследовано во всех дета-
лях, а критические индексы определены точно; см. [McCoy, Tracy,
Wu, 1977], [McCoy, Wu, 1973]. Для так называемой иерархической
модели [Dyson, 1969а] имеется математическая теория критиче-
ских явлений [Блехер, Синай, 1973, 1975]; [Collet, Eckmann, 1978],
хотя эта модель и не является точно решаемой.
5.3	Нарушение симметрии
Фазовые переходы и нарушение симметрии — это явления различ-
ной природы, но они так часто происходят одновременно, что
имеет смысл рассматривать особые структуры, возникающие в ре-
зультате их комбинации.
Мы видели, что в квантовой механике гамильтониан вида
Н = —А + U(q) всегда имеет единственное основное состояние
£2, и, следовательно, Й инвариантно относительно любой группы
симметрий гамильтониана Н. Точно так же в системах статисти-
ческой механики с конечным числом степеней свободы мера
вида (2.3.4) инвариантна относительно любой симметрии, сохра-
няющей dp (£/) и X (?/ — ?/')2-
С другой стороны, для систем с бесконечным числом степеней
свободы (как в рассматриваемом здесь случае статистических си-
стем, так и в случае квантовых полей, изучаемых в дальнейшем)
мера dp может не обладать симметрией порождающего ее дейст-
вия. В этом случае мы будем говорить о нарушении симметрии.
Например, в модели Изинга с h = 0 действие инвариантно отно-
сительно преобразования &->—& при всех I. Тем не менее при
*) В одномерной модели Изиига фазовый переход происходит при Т = 0.
При этом все спины жестко скоррелированы, что отвечает случаю т) = 1.—
Прим, перев.
5.3 Нарушение симметрии 97
₽ > Рс имеются две чистые фазы dp+, для которых симметрия на-
рушена: М+ = h = — ^ dfj,_ ф 0. Фактически dp+ (£) =
= dp_(—£), так что симметрия отображает два основных состоя-
ния одно в другое.
В этом примере нарушением симметрии объясняется появление
фазового перехода. Возможна, однако, и другая ситуация, когда
фазовый переход не связан ни с какой симметрией (ни с ее нару-
шением). Так обстоит дело для решеточной теории со взаимодейст-
вием Р (ер) вида
Р(<р) = Х<р2(<р2— а)2 + е<р5 — щр.	(5.3.1)
Фиксируя X, а, е-1	0, можно найти такое ц = ц(Х, a, s) вблизи
нуля, что Р(ф) имеет два глобальных минимума (один вблизи
= 0, другой при <р^>0). Поэтому на основании приближения
среднего поля (§ 5.2) мы ожидаем появления фазового перехода
для Р + 6Р при некотором малом 6Р. Здесь фазовый переход
происходит без изменения группы симметрий.
Рассмотрим еще ряд примеров. Другой тип фазового перехода,
не связанного с нарушением симметрии, есть переход жидкость —
газ. В этом случае каждая из двух фаз симметрична относительно
евклидовой группы & (Я3) симметрий пространства Я3. С другой
стороны, переход жидкость — твердое тело сопровождается нару-
шением симметрии относительно группы йГ(Я3). Твердое тело, рас-
сматриваемое как совершенный кристалл с решеткой S, имеет
группу симметрий
&(S)= {geW): gS = S},
являющуюся дискретной подгруппой йГ(Я3). В этом примере ре-
шетка S задается кристаллическим состоянием (отдельные атомы
кристалла могут колебаться вокруг положений равновесия, опре-
деляемых S, но как целое решетка S неподвижна). Эквивалент-
ные, но не совпадающие с S решетки gS S не могут возник-
нуть из состояния с решеткой S в результате статистических флук-
туаций атомов. Другими словами, gS и S определяют различные
состояния или фазы. Часто решетка S (или gS} полностью опре-
деляет статистическое состояние. Это означает, что переменные,
характеризующие состояние жидкости (давление, температура
и т. д.), должны быть дополнены новой переменной £ = £с, опи-
сывающей состояние твердого тела. Новая переменная
:е^(Д3)/^(^)	(5.3.2)
пробегает пространство классов смежности, т. е. пространство не-
эквивалентных решеток. При фиксированных значениях исходных
переменных (давления, температуры и т. д.) любое состояние яв-
ляется, вообще говоря, смесью различных ^-состояний. Следова-
тельно, его можно представить в виде интеграла по составляющим
фазам, помеченным индексом Осеченное нами явление можно
О ~ .. осхп
98 Гл. 5. Фазовые переходы и критические точки
сформулировать в общих терминах. В простейшем случае ^-состоя-
ния являются чистыми фазами, и переменная £ из (5.3.2) пробе-
гает множество всех чистых фаз.
В качестве другого примера фазового перехода с нарушением
симметрии рассмотрим решеточное поле Р(ф) с четным полино-
мом Р. При четном Р теория обладает симметрией ф -*-> —<р. Если
вместо Р подставить в (2.3.1—5) полином
Р(ф)+оф2 (ПРИ фиксированном р),	(5.3.3)
то на основании § 5.1 можно ожидать, что при о>1и фиксиро-
ванном р теория единственна (т. е. фазовых переходов нет), в то
время как при о << —1 и фиксированном р возникают две различ-
ные теории (чистые фазы), переходящие одна в другую под дейст-
вием <р -*-> —ф. В обоих случаях группой симметрий служит Z2, а
множество чистых фаз совпадает с факторгруппой Z2/H, где Н —
подгруппа симметрий отдельной чистой фазы (Н — Z2 и Z2/H =
~ {/} при о 1; Н — {7} и Z^U = Z2 при о —1).
При другом способе изучения фазовых переходов с нарушением
симметрии вводят в явном виде возмущение: нарушающий сим-
метрию оператор. Например, поле ф не инвариантно относительно
симметрии ф -<-> —ф, и взаимодействие
Р(ф)-|-оф2 — йф	(5.3.4)
рассматривается как возмущение (5.3.3).
С точки зрения теории магнетизма h представляет собой внеш-
нее магнитное поле. Оно нарушает симметрию магнетика ф *-> —ф
(вверх — вниз), т. е. намагничивает его. Пусть
Л4==<ф(х)>	(5.3.5)
есть намагниченность. Здесь <•> — среднее по мере dp, опреде-
ляемой формулой (2.3.5). Положим
dp = dp0, и = dp0, h, p, и	(5.3.6)
и M =	h). Величина M, называемая параметром порядка,
используется в качестве характеристики фазового перехода. На
рис. 5.2 показана область фазовых переходов для случая Р(ф) =
= ф4.
Из теоремы Ли — Янга следует, что для Р — ф4 при h #= О
имеется единственная чистая фаза (нет переходов). То же самое
вытекает из кластерного разложения при о>1. Кластерное раз-
ложение другого типа (двухфазное), применимое в случае о —1,
доказывает существование по крайней мере двух фаз. При о 1
параметр М является гладкой функцией от h, в то время как при
о «С—1 он имеет разрыв при h = 0 (см. рис. 5.3). Из корреля-
ционных неравенств гл. 4 следует, что 0 dM/dh const,
d2M/d№ 0 при h 0. Кроме того, dM/dc\h=o 0. Вогнутость М
(d?M/d№	0) вытекает из следствия 4.3.4 и отражает насыщение
5.3 Нарушение симметрии 99
M(h) внешним полем h. Большие значения h приводят к коопера-
тивному явлению выравнивания значений спинов. Если спины при-
нимают ограниченные значения, как в случае модели Изинга, то
M(h) стремится при /i-»-oo к асимптотическому значению, отве-
чающему полному выравниванию. Многое известно также о пове-
дении вблИЗИ О= Ос', см. гл. 17.
х Двухфазная область
ос= критическая точка
Рис. 5.2. Область фазовых переходов для взаимодействия (jA
Структура фаз для модели Изинга качественно такая же, как
и для взаимодействия <р4. В физике твердого тела и физической
химии изучается большое число систем с различными типами ре-
Рис. 5.3. График функции Л1(Л): (а) при о 1, (Ь) при а <£ — 1.
шеток 2? и спиновых пространств Xi (вида 2.1.2), со взаимодейст-
вием ближайших соседей или же с дальнодействующими силами.
Такие системы используются как упрощенные модели реальных
молекулярных и атомных соединений. В общем случае уравнение
состояния является кусочно-аналитической функцией термодинами-
ческих переменных, таких, как h и о на рис. 5.2. Фазовым перехо-
дам отвечают точки неаналитичности, а наличие нескольких фаз
связано с точками неоднозначности. Заметим, что в (5.3.5) Л1 =
= d In Z/dh, где Z — статистическая сумма. Для этой задачи
М = М (1г, о) есть уравнение состояния. В случае когда появляется
разрыв у параметра порядка (как в указанном примере), фазо-
вый переход называется переходом первого рода.
100 Гл. 5. Фазовые переходы и критические точки
5.4	Модель капли и оценка Пайерлса
Для модели Изинга при низких температурах можно без большого
труда провести анализ структуры фаз, как в § 5.1—5.2, на мате-
матическом уровне строгости. Доказательства поучительны, по-
скольку в них выявлены типичные конфигурации для двух (±)
чистых фаз. Обсудим вначале модель капли, на которую эти до-
казательства будут опираться.
В d-мерной модели Изинга конфигурации задаются функциями
о,: Zd^Z2, приписывающими знак «+» или «—» каждому узлу
решетки i е Zd. При низких температурах имеется сильная тен-
денция к совпадению знаков в соседних узлах. В соответствии с
Рис. 5.4.
этим удобнее описывать конфигурации другим способом, эквива-
лентным первому. Вместо того чтобы следить за областями
X+ = {i^Zd: c>i = ±1},
мы будем следить за множеством дХ == дХ+ — дХ_ граничных эле-
ментов, разделяющих спины противоположных знаков. Точнее,
рассмотрим ребро i, i' (т. е. отрезок, соединяющий соседние узлы
с, i', для которого cFt-crf' = — 1). Тогда дХ содержит элемент гипер-
поверхности двойственной решетки, перпендикулярный этому ребру
(рис. 5.4). Каждому множеству границ фаз дХ отвечают ровно две
конфигурации (переходящие одна в другую при изменении знаков
всех спинов).
При низких температурах описание конфигураций с помощью
границ фаз предпочтительнее. Действительно, число границ фаз
невелико, и их вклад в статистику типичных конфигураций можно
рассматривать как малое возмущение по отношению к случаю ну-
левой температуры, когда разрешены только две конфигурации
(о, = 1 и о, = —1). В соответствии с этой картиной типичные кон-
фигурации при низких температурах представляют собой море
спинов одного знака (например, +) и случайные изолированные
острова спинов противоположного знака. Типичные острова имеют
небольшие размеры и целиком заполнены спинами противополож-
5.4 Модель капли и оценка Пайерлса 101
ного знака, однако с меньшей вероятностью найдутся большие
острова, которые могут содержать подострова («озера») спинов
основного знака, и т. д. Конфигурации, в которых доминирует знак
«—», относятся к фазе «—». Любая мера в бесконечном объеме,
построенная как предел мер в конечных объемах, должна быть
смесью фаз «+» и «—», как в (5.1.1). Состав смеси, т. е. параметр
а в (5.1.1), зависит от подробностей предельного перехода V’joo
и особенно от граничных условий. При а = 0 или а — 1 смешанная
фаза становится чистой фазой. Случай d = 1 исключительный; при
d = 1 дополнение к островам фаз несвязно, и, более того, при тем-
пературах Т > 0 (|3 < оо) фазового перехода не происходит.
Переходя к количественным оценкам, напомним, что гамильто-
ниан модели Изинга АГд =— Р X cict' определяет в любой ограни-
б. с.
ценной области Л меру
d[ix = Z~'e Hx JI б(о2—l)do(,
i e A
Мера в бесконечном объеме d\x, была построена в § 4.2. Записав
Н как функцию границы фаз у и ее площади |у| (или длины при
d — 2), получаем, что Н — Н(у) — 2р | у|. При этом мы вычли из
гамильтониана Н константу
Нт\п — min Я (о) = — ₽Х 1 
О	б. с
Так как эта константа содержится и в числителе, и в знаменателе
выражения для t/цд, ее вычитание не меняет ни меры г/цд ни
физического смысла И.
Рассмотрим теперь другие конфигурации с границей фаз дХ.
Пусть у обозначает также событие (т. е. множество конфигураций)
у cz дХ. Тогда
Pr(y)= X	е~н^х\
дХ=>у	' дХ
где дХ пробегает всевозможные границы фаз или, другими сло-
вами, все конфигурации спинов.
Предложение 5.4.1. Pr(y)^ e-2₽ivi.
Доказательство. Пусть дХ гэ у; обозначим (<9Х)* конфигурацию, получаемую при
переворачивании всех спинов внутри у. При этом из границы фаз исключается у,
т. е. (<9Х)* = ЗХ\у. Поэтому
е-Н(дХуе-Н ((<?%)*) = е-2₽ | т |
Отображение дХ<—>(<9Х)* взаимно однозначно отображает подмножество гра-
ниц фаз дХ, содержащих у, на подмножество этих границ, не содержащих у.
Образ состоит в точности из таких границ фаз дУ, что дУ П у = 0, поскольку
102 Гл. 5. Фазовые переходы и критические точки
для таких <ЭУ мы можем вновь перевернуть все спины внутри у и получить
ЗХ«=бУиу, а следовательно, дУ г=> (дХ)*. Таким образом, опуская положи-
тельные члены в знаменателе, получаем неравенство
£ е~Н(дХ)
£ е-н (ЭХ)
pr (у) ~ .аЛ-^ т---
ye-HWY)
dY
£ е~Н (ЗХ)
у e~H(dY)
згпу=0
(йхц
-нкалп
= e“2plvl. |
Рассмотрим теперь случай граничных условий (+). Пусть
dpi—мера, соответствующая граничным условиям щ ==4-1 при
i^A, а <->+,л — среднее по этой мере.
Предложение 5.4.2. При достаточно большом р и d 2
0 < I — <Щ>+, л e~₽.
Доказательство. 1 —	= <1 — О/>, поэтому ненулевой вклад вносят только
конфигурации с О; = —1. Для любой такой конфигурации с границей фаз дХ
найдется у с дХ, содержащее внутри себя узел I. Пусть у(дХ) —наименьшее из
таких у. Тогда
S ^(аху^-жах,
у { ЗХ: у (ЗХ)=у)	I дХ
В числителе суммирование проводится сначала по дХ с фиксированным наимень-
шим у, а затем по всем таким у. Отношение только увеличится от добавления
к числителю положительных членов, поэтому первую сумму заменим суммой по
{дХ-. дХ у}. Эта сумма является числителем в Рг (у), следовательно:
е-Н(дХ)
е-Н(дХ)
дХ
= 2^2 Pr (у)<2£е~гр|Ч
у	у
Пусть A'(IyI)—число различных границ фаз у площади |у| (или длины |у|
при d = 2), содержащих i. Число допустимых сдвигов для у не превосходит
|y|d, так как у должно содержаться внутри rf-мерного куба с центром в i и
длиной ребра |у|. Начав с любого элемента у и пристраивая каждый раз один
элемент гиперповерхности, получим, что число различных типов у не больше с
где с = c(d). Таким образом, N(|у|) sj |y|dc'Yl и при достаточно больших 0
1 - (а() < 2 £	< е~р. |
Заметим, что случай d = 1 исключительный. В этом случае
|у| есть число точек в у, у несвязно, и поэтому N(|у () не ограни-
чено при |у| = 2.
Круг идей, изложенных в этом параграфе, важен и в квантовой
теории поля, что иллюстрирует рис. 5,5. Рассмотрим взаимодейст-

*Е Е
Y дХ зу
Е
5.4 Модель капли и оценка Пайерлса 103
вие <р4 — <р2, изображенное на рис. 5.1. Классическое основное со-
стояние (отвечающее нулевой температуре) определяется конфи-
гурацией поля, принимающей постоянные значения. Мы опишем
типичные конфигурации поля, вносящие вклад в квантовое (т. е.
Рис. 5.5. Типичная конфигурация, отвечающая (а) вакуумному состоянию,
(Ь) односолитонному состоянию. Здесь А — солитонный переход, В — флуктуа-
ции, соответствующие второму вакууму, С — флуктуации внутри отдельного ва-
куума.
отвечающее положительной температуре) основное состояние.
Преобладающие конфигурации близки к классическим из-за мно-
жителя е~л в статистическом весе, однако они содержат различ-
ные флуктуации. На рис. 5.5(a) изображена конфигурация, содер-
жащая флуктуации двух типов. Флуктуации малого масштаба —
это флуктуации внутри одного из колодцев W-образного потен-
циала, изображенного на рис. 5.1. Они описываются в рамках
теории среднего поля, изложенной в § 5.2. Флуктуации большого
104 Гл. 5. Фазовые переходы и критические точки
масштаба отвечают туннельному переходу из одного колодца в
другой. Они описываются изинговыми флуктуациями и моделью
капли, рассмотренными в этом параграфе. На рис. 5.5(b) пред-
ставлена конфигурация, относящаяся к солитонному (одночастич-
ному) возбуждению вакуума. Рассмотрим вначале классическое
стационарное (солитонное) решение уравнения
(₽tt — фхх 4- Р'(<р) = 0,
а именно (х) = a th bx. Изображенная конфигурация отличается
от классического решения флуктуациями большого и малого мас-
штаба, как и в случае вакуумной конфигурации. Рис. 5.5 поясняют
фазовые переходи в квантовой теории поля, изучаемые в гл. 16, а
также высокотемпературные и низкотемпературные кластерные
разложения, которые будут обсуждаться в гл. 18 и § 20.5.
5.5	Пример
В заключение этой главы покажем, что картина среднего поля
позволяет описывать другие механизмы фазовых переходов, не
связанные с вырождением основного состояния. В термодинамике
под фазовым переходом понимают неаналитичность какой-либо из
термодинамических функций. Неаналитичность может иметь место
даже тогда, когда основное состояние единственно. Например, в
двумерных (d = 2) системах с непрерывной группой симметрий
основное состояние симметрично (теорема Мермина — Вагнера).
Простейшая система такого типа есть модель ротаторов, или
ХУ-модель. Она описывается мерой изингова типа
dpA = Z(A)-,exPr-| £ &-М21 П	<5-5Л)
I	i е A	I t е А
где	есть единичный вектор в двумерном пространстве, а
dv(|)—равномерное распределение на S1. Действие группы пре-
образований симметрии £7(1)=SO(2) задается одновременным
поворотом всех спиновых векторов Теорема Мермина — Вагнера
утверждает, что для любых граничных условий lim d[iA = d[i есть
Д 4 ео
мера, инвариантная относительно этой группы симметрий и эрго-
дическая относительно трансляций (см. § 16.3).
Несмотря на единственность основного состояния, простая и
весьма привлекательная теория, построенная в работе [Kosterlitz,
Thouless, 1973], предсказывает существование в этой модели фа-
зового перехода при всех Т <Z Тс, где Тс — некоторая положитель-
ная температура. Этот фазовый переход, с одной стороны, связан
с вырожденностью многочастичных состояний при Т < Тс, а с дру-
гой стороны, его можно интерпретировать в рамках теории сред-
него поля. В частности, конфигурации ХУ-модели можно рассма-
тривать как суперпозицию двух независимых конфигураций. Пе-
реходя к угловым переменным: Е = (cos 0, sin0), напишем 0 =
= 0сп. в + 0в, где бел. в связано со спиновой волной, а 0В есть вихре-
вая часть конфигурации. Приближение среднего поля предпола-
гает независимость распределений 0 сп. в И 0в- При этом энергия спи-
новой волны бел. в есть кинетическая энергия двумерного безмас-
сового возбуждения, а энергия вихревой части 0в определяется
энергией двумерного газа диполей с кулоновым взаимодействием.
(Вихри всегда возникают парами, что приводит к конечной энер-
гии конфигурации, и каждая пара образует элементарный диполь.)
Таким образом, легко понять, как устроены парные корреляцион-
Рис. 5.6. (а) Предполагаемая зависимость обратного корреляционного радиуса
от температуры для двумерной модели ротаторов. Имеется линия критических
точек при Т < Тс. (Ь) обратный корреляционный радиус для двумерной модели
Изинга.
ные функции в модели ротаторов. В приближении среднего поля
энергии складываются и, следовательно, средние перемножаютой:
W-V . <»' -и - / Г,м <«'	W
Так как вихревое среднее ограничено единицей, двухточечная
функция стремится к нулю на бесконечности при всех Т в соответ-
ствии с теоремой Мермина — Вагнера. Вихревое среднее (кулонов
газ диполей) при высоких температурах (малых Р) убывает экспо-
ненциально, что дает экспоненциальное убывание корреляций
<g,g/>. Это неупорядоченная фаза. При низких температурах,
Р ~ Т~1	0, ожидается конденсация диполей, приводящая к даль-
нему порядку для корреляций вихрь — вихрь. В этом режиме
<£,£,> убывает не экспоненциально, а степенным образом. Корре-
ляционный радиус tn(T)-1, характеризующий экспоненциальное
убывание: <£/£/> ~ ехр(—m\i — /|), обращается в оо при Т < Тс.
Поэтому естественно ожидать, что обратный корреляционный ра-
диус ведет себя так, как показано на рис. 5.6(a). Масштаб выбран
в соответствии с предполагаемым асимптотическим поведением
т(7')~ехр(—с(Т—Тс)~1/2) при Т\ТС [Kosterlitz, 1974]. Для
сравнения на рис. 5.6(b) изображен аналогичный график для дву-
мерной модели Изинга с асимптотическим поведением т(Т)~
106 Гл. 6. Теория поля
~[Т— Тс[. Критические индексы и асимптотическое поведение
вблизи Тс подробнее обсуждаются в § 17.7.
Резюмируя, можно сказать, что фазовый переход в модели ро-
таторов связан с обращением в нуль обратного корреляционного
радиуса или массы при всех Т Тс. В этой области нет дальнего
порядка, основное состояние единственно, но щель в спектре тран-
сфер-матрицы отсутствует. Фазовый переход можно интерпретиро-
вать как конденсацию диполей в пространстве состояний ротато-
ров. К настоящему времени приведенная картина фазового пере-
хода, построенная Костерлицем и Таулессом, не подкреплена
математически, но выглядит весьма убедительной1).
Отметим в заключение, что, как предполагается, в некоторых
калибровочных теориях фазовые переходы характеризуются убы-
ванием операторов параллельного переноса. Эти фазовые пере-
ходы тоже происходят в теориях с единственным основным состоя-
нием, но описываются в рамках картины среднего поля с помощью
вихревых конфигураций.
Литературные ссылки
[Domb, Green, 1972], [Ruelle, 1969], [Stanley, 1971], [Синай, 1980].
Глава 6
Теория поля
В этой главе мы на формальном уровне введем понятие кванто-
вого поля. На этом будет закончено изложение предварительного
материала. С другой стороны, эту главу можно рассматривать как
подготовительную ко второй части. Читатели, знакомые со ста-
тистической механикой и квантовой теорией, могут начать сразу
с этой главы.
6 1 Аксиомы
(1)	Евклидовы аксиомы
помощи его аналитического
Мы определим квантовое поле при
продолжения на мнимые значения времени. При таком продолже-
нии метрика Минковского, определяющая волновой оператор
□=- Д+-А+-^г+ ... +т?-.	(6.1.1)
дх§ дх{ дх%	dxd-i
*) В настоящее время имеется математически строгое доказательство суще-
ствования фазового перехода в модели плоских ротаторов. См. [Frohlich, Spencer,
1981b]. — Прим. ред.
6.1 Аксиомы 167
заменяется евклидовой метрикой (причем уславливаются, что
Xd = ixo), определяющей оператор Лапласа
По этой причине поля, определенные для мнимых значений вре-
мени, называются евклидовыми. Евклидовы поля задаются вероят-
ностной мерой </р((р)=с/р на пространстве обобщенных функций
S)'(Rd), где d—размерность пространства-времени. Здесь мера
dp играет роль распределения Фейнмана — Каца в квантовой ме-
ханике (см. гл. 3). В дальнейшем поля мы будем обозначать бук-
вой <р. Обозначение q из гл. 3 сохраним для систем с конечным
числом степеней свободы. Введем еще одно соглашение: значение
обобщенной функции (ре2/(^“) на основной функции/е0(/^)=
= Со° (/?d) обозначим
ф(Л = (ф, f>= 5 Ф W f (х)dx.	(6.1.3)
Rd
Значению функции <р(х) в точке в последнем интеграле можно
придать только формальный смысл. Определим характеристиче-
ский функционал как обратное преобразование Фурье борелевской
вероятностной меры dp на пространстве ££>' (Rd) (см. теорему 3.4.2):
S{f} =	(6.1.4)
Начнем с перечисления аксиом, которые характеризуют инте-
ресующую нас меру dp. Они чуть сильнее тех, которые изложены
в работах [Osterwalder, Schrader, 1973b, 1975]. Это аксиомы ана-
литичности, регулярности, евклидовой инвариантности, OS-поло-
жительности при отражениях и эргодичности. Сформулируем их
подробно.
OS0 (Аналитичность). Функционал S{f} является целой аналити-
ческой функцией. Точнее, для любого конечного набора основных
функций	/ = 1, 2.....N, и комплексных переменных
( N Ч
z=(zi, .... zn}^Cn функция z-»S]	на пространстве
I* i—1	)
CN является целой. Другими словами, мера dp убывает на беско-
нечности быстрее любой экспоненты.
OS 1 (Регулярность). Существуют такое р, 1 р 2, и такая по-
стоянная с, что для любой функции f ^3) (Rd) справедлива оценка
[S{f}|<expC(||f|L -Н1Л1П-	(6.1.5)
В случае р — 2 дополнительно вводится еще одна аксиома регу-
108 Гл. 6. Теория поля
лярности: существует двухточечная корреляционная функция (т. е.
второй момент меры с/р). Как функция разности аргументов Xi—х2,
она принадлежит пространств}' локально интегрируемых функций
Li°c(/?d). В частности, в совпадающих точках Х\ = х2 она имеет
только интегрируемые особенности1).
OS 2 (Инвариантность). Функционал S{/} инвариантен относи-
тельно евклидовых движений Е в пространстве (т. е. сдвигов,
поворотов и отражений): S{f} = S{Ef). Другими словами, мера dp
евклидово-инвариантна, так что rfp = Edp.
Заметим, что отображение Е:	непрерывно, поэтому
действие преобразования Е на пространстве S)'(Rd) можно опре-
делить по формуле (£<р) (/) = <p(£f). Нам понадобится следующий
класс функционалов экспоненциального типа:
^ = |л(ф)= X c/exp(q>(f/)), Cj<=C, f,-<=	.	(6.1.6)
Из определения (6.1.6) видно, что функционал	принимает
комплексные значения.
Согласно аксиоме OS 0, все функционалы из множества S&- инте-
грируемы, а так как само является алгеброй, то все они при-
надлежат пространству LP для любого р < со. Поскольку мера
dp евклидово-инвариантна, евклидовы преобразования определяют
непрерывную унитарную группу, действующую в пространстве
L2{dp) (элементы которой также обозначаются Е). При этом
(£Л)(ср) = Л(£<р), Ae^sE	(6.1.7)
OS3 (OS-положительность при отражениях). Пусть	обо-
значает подмножество тех функционалов (6.1.6), у которых носи-
тели функций fi лежат в полупространстве/?+ = {х, /: t > 0}, т. е.
е Со(£^), Предположим далее, что отражение относительно
гиперплоскости пространственных переменных 6: {х, /} —{х, —[}
удовлетворяет неравенству
0<(М,	=	(6.1.8)
*) Иногда удобно формулировать аксиомы в терминах самого поля
q^S>'(Rd). Поступив таким образом, можно доказать сначала существование
функционала S{/} для любой функций f(x) из основного пространства С“, а за-
тем и оценку (6.1.5). Из этой оценки вытекает, что SШ продолжается до не-
прерывного функционала на пространстве Шварца	быстро убывающих
функции. Воспользовавшись затем стандартными рассуждениями теории функ-
циональных интегралов, можно показать, что в таком случае мера dp сосредото-
чена на пространстве Spz(/?d) [Гельфанд, Виленкин, 1964]. В случае свободных
полей (т. е. гауссовых мер) с ковариационными операторами С:	мы часто
будем обходиться без пространства £>', определяя меру dp непосредственно на
пространстве ff".
6.1 Аксиомы 109
В терминах функционала S{f} это требование эквивалентно сле-
дующему: для любой конечной последовательности функций
fi е 0Beiu.(Rd) матрица
Af = s {Л — е/Д	(6.1.9)
положительна (т. е. все ее собственные значения неотрицательны).
OS 4 (Эргодичность). Подгруппа T(t) временных сдвигов эргоди-
чески действует на пространстве с мерой {S)'(Rd), dp)}. Это озна-
чает, что для всех функций А (<р) е L\
t
lim
f->oo
7- $ T (s) А (ср) T (s) 1 ds = А (ф) dp (ф).
о
(6.1.10)
Заметим, что из соотношения (6.1.10) следует, что стоящее в
левой части среднее по времени не зависит от ф.
Эти аксиомы имеют определенный физический смысл; они опи-
сывают аналитическое продолжение квантовых полей в простран-
ство Минковского. Евклидова инвариантность (OS 2) при этом
аналитическом продолжении, когда t продолжается в физическую
область, превращается в лоренц-инвариантносчь квантового поля
в пространстве Минковского. Физической областью значений вре-
мени является чисто мнимая ось в принятых выше евклидовых
обозначениях. Таким образом, для вещественного / лоренц-инва-
риантность получается с помощью подстановки ф(()->ф(—it).
Эргодичность эквивалентна единственности вакуума. Аксиома
регулярности чуть сильнее, чем это на самом деле нужно, однако
в случае скалярных бозонных полей позволяет охватить ряд инте-
ресных примеров. Аксиома регулярности вводит ограничения на
локальные особенности корреляционных функций. Для случая по-
линомиального взаимодействия степени п мы можем взять
р = п] (п — 1) = п'.
Пусть <S — L2(ЗУ(Rd), dp). Пространство & есть замыкание
множества векторов (6.1.6) по норме скалярного произведения
в L2(dp)'). Это еще не квантовомеханическое гильбертово про-
странство Ж. Оно больше напоминает пространство квантовых
траекторий. Из свойства положительности при отражениях выте-
кает положительность скалярного произведения в гильбертовом
пространстве Ж, в котором действуют операторы квантового поля
в пространстве Минковского. Определение скалярного произведе-
ния (6.18) в пространстве Ж с помощью обращения времени можно
*) Чтобы в этом убедиться, заметим, что цилиндрические функции из Lz
плотны в пространстве L2(S)',dn), поэтому можно ограничиться фиксированным
конечномерным подпространством S). Преобразование Фурье (Fdp)~ функцио-
нала F(<p), ортогонального всем функционалам вида (6.1.6), тождественно равно
нулю. Поэтому Fdp ортогонально всем непрерывным функциям с компактным
носителем. Последние плотны в пространстве Lz(dv) для любой меры Радона dv,
следовательно, функционал F как элемент L2 равен 0.
)10 Гл. 6 Теория поля
истолковать как аналитическое продолжение эрмитова сопряже-
ния * — eitH в область вещественных значений времени t.
Формально можно так перевести введенные здесь понятия на
язык, принятый в гл. 3:
Sb' (Rd) — пространство траекторий,
dpi = мера Фейнмана — Каца на пространстве траекторий,
ЗУ (Rd~') = конфигурационное пространство,
>ф(х, • ) —траектория со значениями с 3)'(Rd~l),
Зё = Ь2(ЗУ (Rd~l), dv) (шредингерово представление).
Здесь dv — мера, определенная основным состоянием гамильто-
ниана Я; она совпадает с ограничением меры dpt на подпростран-
ство обобщенных функций ф(х, 0) е ЗУ (Rd~{) (t — 0). Шрединге-
рово представление (при	построено лишь в частных
случаях.
Мы не будем буквально следовать этим формальным соотноше-
ниям, а определим пространство Зё непосредственно. Пусть ё"+—
линейная оболочка в пространстве <S векторов А из множества
sT+. Зададим на <^+Х<У+ билинейную форму b формулой
ь(а, в)=(ел, B)L = $олвф=(м, в\.	(6.1.11)
В силу соотношения (6.1.8), форма b положительна. Назовем под-
пространство ё'+сгё’ подпространством будущего. Пусть АТ— мно-
жество векторов из <§Г+, для которых скалярное произведение
(6.1.11) обращается в нуль. Теперь можно определить Зё как
пополнение множества классов эквивалентности <S+/JT в метрике,
определенной формулой (6.1.11)1).
Предложение 6.1.1. Пусть dpi — вероятностная мера на простран-
стве 3)'(Rd), для которой выполнена аксиома (OS3). Тогда мно-
жество JT является линейным пространством, а форма (6.1.11)
задает на пространстве <S+/N скалярное произведение, которое мы
обозначим <•, >_»
Доказательство. Надо показать, что если А, В е ё+, а г. е/(’, то 6(Л-|-и, В) =
•=6(Л, В). Это следует из неравенства Шварца, которое справедливо для не-
отрицательной билинейной формы Ь:
|6(Л,В) I S I )ёЛВф1| < ь (Л, Л)‘/2&(В, В)*/2. g
Для того чтобы отличать векторы	от соответствующих
классов эквивалентности А JT ^Зё, обозначим через ЗУ-^ЗТ
каноническое вложение А — А + JT, где А е ЗУ. Используя вло-
') Заметим, что это определение пространства Зё согласуется с теоретико-
вероятностным понятием условного среднего функции нз ё+ относительно
ё- s Оё+• (То есть а-алгебры в	порожденной подпространством ё——
Ред.)
6.1 Аксиомы 111
жение мы можем по оператор}' S, действующему в пространстве
&+, построить оператор S, который будет действовать уже в про-
странстве Ж Естественно определить оператор S формулой
SZ=(S/1)~.	(6.1.12а)
Это определение можно пояснить диаграммой
Р 1-	(6.1.12b)
т S
ж
Одновременно с произведением
<А,	<М, В>8	(6.1.12с)
определим билинейную форму
<А, 5В>Ж=<6Л, SB>g.	(6.1.12d)
Определения (6.1.12) имеют смысл только в том случае, если опе-
ратор S задан на классах эквивалентности. Другими словами,
требуется, чтобы
S: S>(S)n<r+^<r+ и S: S>(S)(1	(6.1.13)
где 3)(S)— область определения оператора S (возможно, неогра-
ниченного).
Предложение 6.1.2. Пусть dp— вероятностная мера на простран-
стве Я)', обладающая свойствами положительности и инвариант-
ности при отражениях. Тогда отображение ~ является сжатием,
т. в. ||д||ж^ ||Л||8.
Доказательство. По определению для любых двух элементов А, В е 8+
(И + ЛГ. (В +	= (ед, в),
а в силу неравенства Шварца в пространстве 8
II (Л + ЛГ 111 = (ед, Д>£ < II a ||g л ед i|g = и а |. |
Следующий результат позволяет определить гамильтониан, а
тем самым аналитическое продолжение поля в пространство Мин-
ковского. Пусть Т (Е) — унитарное представление евклидовой груп-
пы движений пространства <£, определенное в силу аксиомы инва-
риантности OS 2. Кроме того, пусть Т(б} — подгруппа временных
сдвигов.
Теорема 6.1.3 (Реконструкция квантовой механики). Пусть вероят-
ностная мера dp, на пространстве 3)' удовлетворяет свойствам по-
ложительности при отражениях и инвариантности при отражениях
и временных сдвигах. Тогда при /	0 для полугруппы операторов
T(f) выполнены соотношения (6.1.13) и T(t)~ = e~tH. Здесь
112 Гл. 6. Теория поля
О Я = Н*, а для вектора Q — 1 верно равенство HQ = 0. Дру-
гими словами, Н — положительный самосопряженный оператор,
для которого вектор Q является основным состоянием.
Доказательство. Очевидно, что T(t)-. ё + -»ё+. Если /1 е Л’, то, пользуясь уни-
тарностью операторов 7, получим, что
<ет (!) д, т (!) д>8 = (Г (- 0 ед, г «) д>8 = <ед, т (21) д>8 с
< (ед, д>‘/2 <ег (2/) а, ет (2/) Д)^2 = о, (6.1. в)
где последнее неравенство вытекает из неравенства Шварца для формы (6.1.11).
Отсюда следует, что 7 (1): Л"jV и, значит, оператор 7(1)'* корректно опреде-
лен. Для удобства обозначим /?(/) = 7(1)'. Теперь приступим к проверке сле-
дующих четырех свойств семейства операторов /?(!):
(i)	полугрупповое свойство: R(t)R(s) = R(t + s), s, t 0;
(ii)	эрмитовость;
(iii)	R(l) — сжатие: II R(l) II 1,
(iv)	сильная непрерывность: R(l) -» l при /->0.
Эти свойства означают, что R(t) — сильно непрерывная полугруппа самосопря-
женных сжимающих операторов. Следовательно, существует положительный са-
мосопряженный оператор Н, такой, что R(t) = е~‘И. Кроме того, 7(1)1 = 1. По-
этому для П 1 получим, что e~‘HQ — (T(t))~ = Q, или, что то же самое,
№ = 0.
Свойство (i) следует из полугруппового свойства для семейства 7(1); точнее,
в силу соотношений (6.1.12), имеем
R(t)R(s) = (7(l)7(s))' = 7(1+ s)' =/?(/ + s).
Свойство (ii) доказывается следующей цепочкой равенств, верных для лю-
бого элемента А е ё+•.
(R (1) А, А) = ((7 (1) Д)' , Д)ж = (67 (1) А, А), = (7 (- 1) 6Д, Д>$ =
= (0Д, 7 (1) А)& = (Д, (7 (1) АГ}Л = (Д, R (f) А)*.
Для доказательства свойства (iii) воспользуемся неравенством Шварца и до-
казанными утверждениями (i). (ii). Их применение кДей’^ дает
IIR (0 А ||^ = (R (1) A, R (!) <2 = (Д, R (21) А< || Л $£1| R А
Продолжая действовать таким же образом, после «-кратного применения не-
равенства Шварца получим, что
IIR (0 АII» < IIА 2~П И (2"7) A igTП =
= IIА 11^2'П || (7 (2П1) А)' |^ п < || Д ||^2~" || А ||2~".
Здесь мы также воспользовались предложением 6.1.2 и унитарностью семейства
7(1). Полагая п -> оо, получим, что II R (1) Д ||^ СИ Д II» Гак как такие элемен-
ты А плотны в пространстве 36, свойство (iii) доказано.
Для того чтобы доказать свойство (iv), заметим, что семейство 7(1) сильно
непрерывно на подпространстве ё+, а отображение ' является сжатием из ё+
в Ув. Следовательно, семейство R(t) сильно непрерывно на плотном подмноже-
стве в пространстве 36, составленном из векторов Л, где А -> ё +. Поскольку
II R(1) II С I, отсюда следует, что семейство R(l) сильно непрерывно и ца всем
гильбертовом пространстве 36. Ц
6.1 Аскиомы 113
Замечание (Трансфер-матрица в статистической физике). В случае
решеточных полей, изучаемых в статистической механике, поля ф*
или gx определены на некоторой решетке, например х е Zd. По-
этому аксиомы регулярности и инвариантности следует применять
здесь в модифицированном виде. При этом положительность при
отражениях используется для определения трансфер-матрицы К,
которая играет роль оператора е-я.
Мы требуем инвариантности меры dp относительно группы Т(х)
сдвигов и отражений решетки, в частности относительно отраже-
ния 6 в гиперплоскости П, расположенной на равных расстояниях
от двух соседних параллельных гиперплоскостей решетки и па-
раллельной им. (В качестве П мы возьмем гиперплоскость t — 0.)
Тогда из приведенного выше доказательства следует, что сущест-
вует гильбертово пространство состояний <9$?, являющееся попол-
нением факторпространства <£+/№ по норме, определенной ска-
лярным произведением
(Л, В)х = 6/1В dp.
Более того, на пространстве <9$? существует самосопряженный опе-
ратор К, такой, что К* = T(ty, t^Z, 0	^ /, afi = 1 является
инвариантным вектором оператора Л: XQ = Q.
Аналогично, пространственные сдвиги (в направлении х, орто-
гональном оси t) порождают семейство унитарных операторов
а-1
U(x) = T(xy =П£/?.
для которых Q тоже является собственным вектором: t/(x)Q = Q.
Единственность вакуумного вектора Q (однократность собствен-
ного значения 1 оператора К) и в этом случае эквивалентна эрго-
дичности меры rfp под действием временных сдвигов. Для реше-
точной трансфер-матрицы остается открытым вопрос о том, когда
существует 1п К, или, другими словами, когда нуль не является
собственным значением оператора К.
Теперь мы снова обратимся к непрерывном}' случаю и проде-
монстрируем применение аксиомы регулярности OS I при построе-
нии евклидова поля ф([)-
Предложение 6.1.4. Пусть dp— вероятностная мера на простран-
стве 0', удовлетворяющая аксиоме OSO. Тогда у этой меры есть
моменты любого порядка, причем п-й момент обладает ядром
Sn(xt, .... х„)еS)'(Rnd), т. е.
п
J<P(fi) ••• <P(f«W = Jsn(xb .... х„) Д fi(xt)dx. (6.1.15)
/«1
Если к тому же имеет место аксиома OS 1, то е Llioc(/?"d).
114 Гл. 6. Теория поля
Замечание. Ядро называется функцией Швингера.
Доказательство. Операторы U(t) — f е й^вещ, образуют унитарную группу,
действующую в пространстве &. Ее инфинитезимальным генератором является
оператор умножения q(t). Утверждение о том, что функция 1 принадлежит об-
ласти определения всех операторов (p(f)n, эквивалентно существованию у меры
dpi моментов порядка 2н. (Моменты нечетного порядка при помощи неравенства
Шварца оцениваются четными моментами.) Для того чтобы показать, что 1 при-
надлежит области определения оператора <р(/)п, воспользуемся определением
нго разностного отношения (Л/Л/) ”U (t) оператора U(t). Имеем
Отсюда видно, что, в силу аналитичности (а значит, и дифференцируемости)
функции S, /i-е разностное отношение имеет сильный предел. Пусть f принадле-
жит ограниченному конечномерному подмножеству пространства 55. В силу не-
прерывности, модуль |S{/} | ограничен на этом подмножестве. Следовательно,
можно применить интегральную формулу Коши
п
sn(fv ’	=
/-1
п
где g — У Zjfj, а интегрирование ведется по окружностям |z; | = 1. Это дает
/=1
оценку функции Sn, необходимую для доказательства ее непрерывности па про-
изведении Sb X •  • X Sb- Непрерывное продолжение S„ на все пространство
/25'(/?“') получается при помощи теоремы о ядре.
В случае когда справедлива аксиома OS1, функция S„ продолжается по не-
прерывности до мультилинейного функционала на (Li f] Lp) X  • • X (ii П Lp).
Это означает, в частности, что S„ локально интегрируема как функция nd пере-
менных. |
(ii) Аксиомы поля в пространстве Минковского
При аналитическом продолжении по переменной времени,
/-э---it, операторы поля для вещественного времени и представ-
ление группы Лоренца могут быть определены в пространстве <9$?
так, чтобы выполнялись аксиомы Вайтмана и Хаага — Кастлера.
Математическое доказательство этих утверждений слишком тех-
нично, поэтому мы отложим его до гл. 19, а здесь только сформу-
лируем результаты.
Пусть ф = фд (х, /)— евклидово поле, рассматриваемое, как и
выше, в вещественной евклидовой точке х, /. Аксиомы Вайтмана
и Хаага — Кастлера относятся к его аналитическому продолжению
на вещественное пространство Минковского, т. е. на чисто мнимое
евклидово время. Чтобы различать поля с разными значениями
аргументов, будем писать
ф£ (х, /) = фд/ (it, х).
Если же из контекста ясно, о каком поле идет речь, то ф может
обозначать как фд, так и фль Пусть х = (/, х) — вектор простран-
6.1 Аксиомы 115
ства-времени Минковского; оператор поля фм, отвечающий ве-
щественном}’ времени, формально запишем в виде
Фл! W f(x) dx = срл; (f).	(6.1.16)
Оказывается, что (в смысле операторнозначных обобщенных функ-
ций)
ф,м(х, t) =	(х, 0)e_I н.
Как следует из аксиом OS 1—3, оператор поля фл1(/) самосо-
пряжен при вещественных f. (Этого не требуется в аксиомах Вайт-
мана, но это свойство означает, что есть наблюдаемая ве-
личина в смысле постулатов квантовой механики.) Эта величина
измеряет напряженность поля фм, усредненную с помощью основ-
ной функции f по точкам пространства-времени.
Перейдем к формулировке аксиом.
W1 (Ковариантность). В гильбертовом пространстве 5^ состояний
квантового поля существует непрерывное унитарное представле-
ние неоднородной группы Лоренца g-*-U(g). Спектр генераторов
(Н = Ро, Р) подгруппы сдвигов лежит в переднем конусе
— р2^0, ро^0. Существует вакуумный вектор	инва-
риантный относительно операторов U(g).
W2 (Наблюдаемые). Существует семейство операторов поля
{фм(/:):	определенных на всюду плотном множестве
в пространстве Ж Вакуумный вектор Q принадлежит области
определения любого многочлена от операторов поля Фм(0> а ли-
нейная оболочка 3) векторов вида {ф.и(Ь) ... фл1(/ъ)£2: О <2 п,
ft ^(/?d)} плотна в пространстве Ж Поле фм(Л ковариантно
под действием группы Лоренца на Ж и линейно зависит от f.
В частности, U(g) *фМ (f) U(g) = фМ (fg).
W 3 (Локальность). Если носители основных функций f и h про-
странственно-подобно отделены, то фл!(Лфм(Л) = фм(Л)фм(/) на
S). (Вектор (/, х) пространственно-подобен, если р| <_ |х|.)
W4. Вакуумный вектор Q — единственный (с точностью до число-
вого множителя) вектор в пространстве инвариантный относи-
тельно группы сдвигов по времени.
Обращение к теореме Шварца о ядре показывает, что опера-
торы поля однозначно определяют моменты («-точечные функции
Вайтмана)
Wn = W (х,......х„)	= (Q, Фм (х,) ... Фм (х„) Q> е	(Rnd).
Перечисленные аксиомы могут быть эквивалентным образом пере-
формулированы как свойства функций Вайтмана. Переход от этих
функций к операторам поля осуществляется при помощи теоремы
116 Гл. 6. Теория поля
реконструкции (Streater, Wightman, 1964]. В силу трансляционной
инвариантности, \Х'п можно рассматривать как функции из про-
странства Э9'(R(n~X}d) от х, -—х\.
Теорема 6.1.5. Пусть для меры dp на пространстве 3)'(Rd) выпол-
нены аксиомы OS 0—3. Тогда поле <рм, определенное для вещест-
венного времени, удовлетворяет аксиомам W1—3. Кроме того,
аксиома OS 4 верна тогда и только тогда, когда справедлива
аксиома W 4.
Доказательство. См. гл. 19
Замечание. Функции Швингера и Вайтмана связаны посредством
аналитического продолжения. Точным утверждением, которое до-
казывается в гл. 19, является следующая формула:
ф£(хь Л)ф£(х2, /2)... ф£(хл, tn)dp =
= <Q, <рм((71, Х1)фл1(?72, х2) ... фл1((7«, х„)0>.	(6.1.17)
Функции Вайтмана на вещественной осн времени являются гра-
ничными значениями аналитических функций, которые аналити-
чески продолжаются в евклидову область (за вычетом диагона-
лей Xi = Xj при каких-нибудь i #= j) так, что выполняется (6.1.17).
Существующие стандартные методы построения квантовых по-
лей естественно приводят к мере dp, для которой верны аксиомы
OS, кроме, быть может, аксиомы OS 4. Вопрос о том, обладает ли
данная мера единственным вакуумным вектором, обычно труден.
Он тесно связан с возможностью фазовых переходов и выбором
граничных условий в определении меры. Существует общая тео-
рия, которая позволяет, оставляя в стороне эти довольно сложные
вопросы, построить поле, удовлетворяющее полному набору
аксиом OS 0—4. Идея состоит в том, чтобы, получив какую-нибудь
теорию, для которой справедливы аксиомы OS 0—3, разложить ее
на неприводимые компоненты, каждая из которых имеет единствен-
ный вакуум и удовлетворяет аксиомам OS 0—4, а значит, и W 1—4.
Пометим эти компоненты параметром Они соответствуют чистым
фазам, определенным каждая в своем гильбертовом пространстве
5^, так чт0 ^^tdp(Z), где dp — некоторая вероятностная
мера. Кроме того,
<а (/,)•• • <₽« (f„) %-) <et. «(А) •   ф£, «(О * <0.
и подобное разложение имеет место для меры dp. Подробнее это
построение изложено в § 19.7.
Аксиомы Хаага — Кастлера касаются скорее алгебраической
структуры квантовых полей, не зависящей от их явной реализации
в том или ином гильбертовом пространстве Ж Поэтому они
удобны при обсуждении общих свойств полей, не связанных с их
6.2 Свободное поле 117
реализацией, таких, как построение секторов суперотбора заряда,
построение зарядовых операторов и токов с помощью наблюдае-
мых поля и т. д. Приведем эти аксиомы.
НК1. Каждой ограниченной открытой области В пространства-вре-
мени поставлена в соответствие С*-алгебра 81(B) с единицей.
Полная алгебра 81 = U (^) имеет точное неприводимое пред-
в
ставление.
НК 2. Если Bi с В2, то 81(В1)с=81(В2).
НКЗ (Локальность). Если множества Bi и В2 пространственно-
подобно отделены, то алгебры 81 (Bt) и 81(В2) коммутируют.
НК4 (Лоренц-ковариантность). Пусть {щ А}—элемент неодно-
родной группы Лоренца. Тогда существует «-автоморфизм О{а> л)
алгебры 81, такой, что для любого ограниченного множества В
О(О, Л)(81 (В)) = 81 ({«, Л}В).
Отображение {а, Л} -+ О{0, д) является представлением группы Ло-
ренца.
Мы построим локальные алгебры 81(B), которые будут слабо
замкнутыми (алгебры фон Неймана).
Теорема 6.1.6. Пусть dy— мера на пространстве 3)', удовлетво-
ряющая аксиомам OS 0—3. Тогда, если f — вещественная функция,
то фм(|)“—самосопряженный оператор на пространстве 3^. Ал-
гебры фон Неймана 81(B). порожденные элементами ехр(гфм(Л-)»
где f — вещественная функция с supp f В, удовлетворяют аксио-
мам НК 1—4.
Доказательство. См. гл. 19.
6.2 Свободное поле
Свободное поле описывает невзаимодействующие частицы. Од-
нако, несмотря на свой тривиальный характер, свободные поля
играют определенную роль и при описании взаимодействующих
частиц. Всякая частица, изолированная от других частиц (а также
внешних сил и полей), ведет себя как свободная. Более того, в
асимптотическом пределе при Z->±oo происходит разделение
частиц благодаря различиям в скоростях, а также из-за диспер-
сии, свойственной эволюции квантовомеханических систем. По-
этому в пределе при ^->±оо поведение частиц мало отличается от
поведения свободных частиц, и они описываются свободными по-
лями.
Свободные поля служат также отправной точкой при анализе
и построении взаимодействующих полей с помощью теории возму-
118 Гл. 6. Теория поля
щений по константе связи X. Важнейшее в этом отношении свой-
ство свободных полей состоит в том, что они допускают явное ре-
шение. Другие разрешимые в явном виде поля, такие, как двумер-
ная модель Тпррпнга, задаются в виде нелинейной и нелокальной
функции некоторого свободного поля. Иной возможной отправной
точкой при построении взаимодействующих полей служит модель
Изинга или какая-либо другая модель статистической физики, рас-
сматриваемая в своей критической точке.
При подходе к квантовым полям как моделям статистической
физики евклидово свободное поле известно как гауссова модель.
Она описывает критическое поведение на больших расстояниях в
случае канонической критической точки.
Мы начнем анализ свободного поля с применения к гауссовой
мере dp на пространстве ff"(Rd) теоремы реконструкции. Пусть
С—непрерывная невырожденная билинейная форма на произве-
дении пространств 9?(Rd) X &(Rd). Символически запишем ее в
виде
Cg>.	(6.2.1)
На пространстве 9>'(Rd) существует единственная гауссова мера
г/фс с ковариацией (т. е. двухточечной функцией) С и нулевым
средним. Характеристический функционал меры dq.c равен
S {/} = е -<f- cfX2 = J e^dcpc.	(6.2.2)
Пользуясь равенством (6.2.2), можно вычислить моменты меры
с?фс, а именно
$ <Р (f)n dq>c = (- id/dk)n S {Л/} |Л=0 =
ГО,	п нечетно,
t (п— 1)!! C(f, f)nl2, п четно, (6.2.3)
где nil — п(п — 2) (п— 4) ... 1. Заметим, что для любого конеч-
ного числа координат в 9", скажем qj — ф(Л), где	j~
= 1, 2, ..., п, их значения распределены относительно dtpc по
формуле
-(1/2) У	п
Apc = (detC)'/2(2n)“n/2e l-i П^>	(6.2.4)
где С — матрица Сц = С (fi,	Cfi), а С-1 обозначает обрат-
ную матрицу.
Очевидно, что мера dcpc и функционал S инвариантны относи-
тельно сдвигов по времени, отражений или других евклидовых
движений в том и только в том случае, если всеми этими свойст-
вами обладает ковариация С. Как мы сейчас увидим, это же отно-
сится и к свойству положительности при отражениях.
6.2 Свободное поле 119
Определение 6.2.1. Билинейная форма С на произведении прост-
ранств ^(/?d)X ^(/?d) обладает свойством положительности при
отражениях, если для любой функции f e^(7?d), носитель которой
лежит в области будущего, верно неравенство <6Д С/>	0.
Теорема 6.2.2. Гауссова мера drpc обладает свойством положитель-
ности при отражениях тогда и только тогда, когда им обладает
ковариация С.
Доказательство. Предположим, что С обладает этим свойством, и положим
Мц = s{p - ел} = s{M s{f,}exP<eA, Q;>,
где supp fi cz {x: />0}. Тогда матрица Ми имеет положительные собственные
значения (т. е. эта матрица положительна) в том и только в том случае, если
Nil = ex p<O/z, Cfj) — положительная матрица. По предположению Ru = (fih. Cfd—
положительная матрица, а отсюда следует и положительность Nц = е Ч. В са-
мом деле, если Аи, Ви — две произвольные положительные матрицы, то матрица
Du At/Bu тоже положительна, а это означает, что положительна Лц =
= У (1/г!) (Rij)r- Для доказательства положительности матрицы D рассмотрим
тензорное произведение матриц А® В с элементами АиВы. Заметим, что оно
положительно. Следовательно, оно останется положительным и при ограничении
на подпространство векторов а с компонентами ац = 0 при всех j, I, кроме
j = I. Но на этом подпространстве А ® В — D. g
Обратное утверждение верно также и для негауссовых мер, по-
этому мы сформулируем его в виде отдельной теоремы.
Теорема 6.2.3. Пусть dp — мера на пространстве с характе-
ристическим функционалом ${/}. Предположим, что S {f} является
целой аналитической функцией комплексной переменной f из про-
странства комплексных основных функций Э7. Если мера dp обла-
дает свойством положительности при отражениях, то им обладает
двухточечная корреляционная функция этой меры.
Доказательство. Определим Mih как выше, функцию Б возьмем вещественной,
f, = Н, а (г = 0. Пусть также ai = Л-1, аг — —Л-1. Тогда
2
° < У агМ,7а/ Т+0 5 ЧР ЧР I
i, /=1
Приведенная ниже спектральная формула Лемана (6.2.7) дает
представление для двухточечной функции в лоренц-инварнантной
теории поля. Этот результат тоже верен и для негауссовых полей,
но в гауссовом случае он дает полную классификацию мер dcp,
которые соответствуют лоренц-ннварнантным теориям. Положим
fl, Ро > 0,
0(Р(Но, р°<0,	<6-2-5)
^m=^etpxQ(p0)6(m2-j-p2)dp,	(6.2.6)
d-\
где лоренцева метрика равна р • х = У р,Х[ — р^х0.
120 Гл. 6. Теория поля
Теорема 6.2.4. Пусть мера dpi на пространстве ^'(R11) удовлетво-
ряет аксиомам OSO—3. Тогда для аналитического продолжения
функции Вайтмана W2 справедливо представление
оо
(х, У) = \ dp (tri2) Д+ (х — у),	(6.2.7)
о
где dp(m2)— положительная мера не более чем степенного роста
и такая, что
1
In m~2dp (пт2) < со, d — 2,
и
,	(6.2.8)
m~l dp(m2) < 00, d=l.
о
более того, каждая такая мера dp соответствует одной и только
одной гауссовой мере dp, обладающей свойствами инвариантности
и положительности при отражениях.
Доказательство. В силу результатов § 6.1, функция s 9” (Rd), как функция
разности х — у, лоренц-инвариантна. Ее преобразование Фурье, рассматриваемое
как функция импульсной переменной, сопряженной к разности х — у (т. е. функ-
ция относительного импульса), является положительной мерой. Это следует из
соотношения
о <«p(f)*<p(f)> = «₽(0<р(П>
для f пз пространства комплексных основных функций 9(Rd}. В соответствии
со спектральным условием И 0 и предположением инвариантности получаем,
что носитель этой меры лежит в переднем конусе pj - р2^ 0, Ро 0. Восполь-
зовавшись инвариантностью относительно действия группы Лоренца, получим
представление (6.2.7—8). В случае гауссовых мер функция S2 и мера d<[. одно-
значно определяют одна другую, а в общем случае каждая из функций S2, W2 и
dp однозначно определяет остальные. Итак, всякой спектральной мере dp соот-
ветствует по крайней мере одна гауссова мера.
Фиксируем теперь dp и построим соответствующую ему гауссову меру d<p.
Сначала рассмотрим случай dp (m2) — &m!. Тогда W, = д+. Интегрирование по
мере dp можно выполнить точно, после чего аналитическое продолжение xo-^-ixo
приведет к формуле
S2 (х) = eipx (р2 + m2)-1 dp (m2).	(6.2.9)
Возьмем теперь ковариацию
С = (—Д + т2)-’	(6.2.10)
и с помощью формулы (6.2.2) построим меру dp.
Для произвольной меры dp умеренного роста, подчиняющейся условиям
(6.2.8), определим
С =	(- Д + m2)-1 dp (m2)	(6.2.11)
и опять построим меру dp = d<fc по формуле (6.2 2). Сходимость интеграла
(6.2.11) при малых (соответственно больших) значениях т2 следует из условий
относительно dp и известного асимптотического поведения ядра оператора
(-Д+1)-« при больших (соответственно малых) значениях х. Ц
6.2 Свободное поле 121
Определение. Квантовые поля, построенные выше по гауссовым
мерам йфс, называются обобщенными свободными полями. В част-
ном случае dp(m2)—bm‘ (см. (6.2.9—10)) такое поле называется
свободным полем с массой т и нулевым спином. Оно удовлетво-
ряет свободному волновому уравнению
(<\ '	~ т2)	(6.2.12)
Для такого свободного поля построение физического гильбер-
това пространства § 6.1 можно выполнить явно. Пространство
3^ — это пространство Ь2 с гауссовой мерой dq>o на ^'(Т^-1), опре-
деленной значениями поля в нулевой момент времени1)- В случае
размерностей d— 1, 2 мы будем считать, что т2 > 0, в соответ-
ствии с соотношениями (6.2.8), хотя и в этих случаях легко по-
строить свободное поле нулевой массы, если выбрать другое про-
странство основных функций.
Для функции	положим
ft(x) = f(x)8t(x0),	(6.2.13)
и пусть ^0= {fe^(/?d-’): F(0) = 0}. (Последнее ограничение
позволяет рассматривать нулевую массу и в случае размерностей
£/=1,2.)
d-1
Предложение 6.2.5. Пусть С = (—А + /п2)-1. Положим А = У} д2х и
а-1 а
Р = (—А +/п2) >/2.	(6.2.14)
Тогда для s, t^Ou функций f, g д’0 справедливо тождество
Ж, Cft) = i(g, ц-’е-^+7).	(6.2.15)
Более того, оператор С обладает свойством положительности при
отражениях.
Доказательство. Скалярное произведение в левой части соотношения (6.2.15) бе-
рется в пространстве Lz(Rd}, а в правой — в пространстве Lz(Rd~1}. Для доказа-
тельства тождества перепишем левую часть для преобразований Фурье, затем
при помощи вычетов выполним интегрирование по dpB и сделаем обратное пре-
образование Фурье по переменным р = pif ..., pa-i. Для функций f = g из
пространства (7?d), носители которых лежат в области будущего, скалярное
произведение в (6.2.15) неотрицательно. Поэтому оператор С положителен прн
отражениях. Ц
Теорема 6.2.6. Пусть, как и ранее, мера dp гауссова, а С =»
= (—А + m2)-1. Тогда векторы	принадлежат про-
странству ё> + из § 6.1. Более того, вложение ~ переводит линейную
оболочку этих векторов изометрично в пространство 2^ё.
*) Значение <р(Л, 0) поля в нулевой момент времени — это ограничение поля
<р(х, Г) на гиперплоскость t = 0. Тот факт, что <р(й, 0) является случайной вели-
чиной пз Lp, следует из свойств рассмотренной выше меры d<pc. См. по этому
поводу следствие 6.2.8 и гл. 8.
122 Гл. 6 Теория поля
Доказательство. Непосредственные вычисления из тождества (6.2.2) для веще-
ственных функций fug дают
jj | e‘W) _ e^(g) |2	= 2 (i _ e-<f-g, C(f-g)>/2)
Взяв последовательность g<n's ®	g(n)-> ff, nпри t>0 и f s P’q’
получим, что e<Q) s ё± и аналогично ei<f = lim ei'i s ё+. Если ft е SPo-
t->0
то 6<p (fl, о) = <р (//, о) И
l(S v'’('At - (S (ч«,ф(''’ "’)• S ^v‘-
Поэтому ~ — изометрия.
„	i<p (f,)
Пусть <s i — подпространство, натянутое на векторы е ' ", т. е. соответ-
ствующее моменту времени t Для функции f е пусть ff = e~t>lf. Тогда,
в силу (6.2.2) н предложения 6 2.5,
(Л, : exp (Z<p (ft))	= (Л, : exp (йр $)) Г)да.	(6.2.16)
Это соотношение можно доказать сначала для Л = е ® а затем, рассмотрев
линейные комбинации и перейдя к пределу, и для любого элемента Л из |J ё{.
1
В формуле (6.2.16) : exp <р (/) : = exp £<р (f)-(f, Cf)]. Имеет место включение
<?0 = г и
М>0	/
Доказательство будет закончено, если мы покажем, что объединение [J ё{
t>o
порождает пространство ё+. Поскольку характеристический функционал явля-
ется целой функцией от f s Д' (R'J) и ft,f^ 9s 0, то существуют моменты всех
порядков. Поэтому полиномы от поля {<р (f) | f s 9Р (Rd), suppfczT?^.} поро-
ждают все пространство ё+. Из аппроксимации интеграла по dxn римановымп
суммами вытекает, что то же самое верно и для полиномов от {<р(Д) I feS’o,
t > 0}. Поэтому U ё{ порождает пространство ё+. 
оо
Следствие 6.2.7. Для функции	справедливо соотношение
e~tH: exp («Р (70)): ~	: exp («р (f‘)):
Доказательство. Утверждение получается комбинацией соотношения (6.2.16) с
формулой Т (t) et4> = gi<l> ц определением e~tH = Т(t)'' оператора Н.
Следствие 6.2.8. После отождествления пространства 2^6 с ска-
лярное произведение в Ж задается с помощью гауссовой меры на
пространстве	у которой характеристический функционал
имеет вид
S {/} = да-1 f)/2.	(6.2.17)
Этот результат можно выразить формулой
=	d<p1/(2ll)).	(6.2.18)
В этом представлении для пространства 3^ операторы поля в ну-
левой момент времени суть не что иное, как операторы умножения,
6.2 Свободное поле 123
и, следовательно, днагонализуемы. Эти операторы являются ли-
нейными координатными функциями на пространстве ^'(R11-1),
которое служит пространством конфигураций классического поля.
Таким образом, представление (6.2.18) задает квантование сво-
бодного поля, являющееся непосредственным обобщением кванто-
вания систем с конечным числом степенен свободы, которое обсуж-
далось в гл. 1. См. также § 6.4.
Механика, определенная следствиями 6.2.7—8, — это механика
системы невзаимодействующих осцилляторов. В самом деле, лю-
бую гауссову меру можно рассматривать как тензорное произведе-
ние одномерных гауссовых мер в том же смысле, в каком любой
самосопряженный оператор является, в силу спектральной теоре-
мы, прямой суммой или прямым интегралом одномерных операто-
ров. В частности, в случае (6.2.18) оператор ц-1 днагонализуется
при помощи преобразования Фурье в пространстве импульсных
переменных р е 7?d-1. Разложение по (нормальным) фурье-модам
технически проще в случае дискретных прямых сумм или интегра-
лов, поэтому мы и ограничимся этим случаем.
Пусть Дд — оператор Лапласа с нулевыми условиями Дирихле
на границе и вне полосы
—оо t оо, 0 <2 X/ <2 L.
Пусть, кроме того, Ад = ко — d2/dt2— соответствующий лапласиан
по пространству, рд = (—Ас + т2)1/2. Функции
d-1
ек (х) = (2/L)<d- 0/2 И sin (kaxa), ka е (л/L) Z+,
а=1
являются собственными для оператора •—Ад и образуют полное
множество собственных функций операторов Ад и когда по-
следние действуют в пространстве Ь2( [О, L]^1). Собственное зна-
чение оператора Ас, соответствующее ек, равно Xk = k-k.
Начав со свободного гауссова поля, определенного ковариа-
ционным оператором —Ад1, мы построим евклидово и физическое
пространства и и, как и выше, покажем, что
Днагоналнзуя, как и ранее, оператор цс, можно написать
<%D — X	гДе — dtp ,, г 2ч-1/2).
Другими словами, является Дг-пространством с одномерным
гауссовым весом с дисперсией (к2 -)- т2)-1/2. Разложим и про-
странство в тензорное произведение
= X «’к-
ke((n/£)Z+)d-l
124 Гл. 6. Теория поля
Если повторить в обратном порядке рассуждения, приведшие нас
от формулы (6.2.10) к (6.2.14), то получим, что
^k = 4^dM<PC(li))> где C(k) = (-^ + k2+m2)-1.
Иначе можно сказать, что и являются соответственно евкли-
довым и физическим гильбертовыми пространствами для одного
гармонического осциллятора.
6.3 Пространство Фока и виково упорядочение
Продолжая изучение свободных полей, мы хотим определить по-
нятие частицы в пространстве
= L2(R" (Rd~'), йф(ад-.).	(6.3.1)
Как и в случае систем с одной степенью свободы (§ 1.5), это
эквивалентно разложению пространства Уё по полиномам Эрмита,
поскольку «-частичные состояния в Ж совпадают с подпростран-
ством, порожденным всеми полиномами Эрмита /г-й степени. Это
разложение приводит к хорошо известной конструкции простран-
ства Фока. Представление Эрмита — Фока применимо к любой
гауссовой мере, поэтому ради большей общности рассмотрим про-
извольную гауссову меру dq>c с характеристическим функциона-
лом (6.2.2). В качестве технического средства нам понадобится
формула интегрирования по частям. Положим
(в.3.2)
Здесь С(х, у)—интегральное ядро ковариационного оператора, а
6/6<p(t/) — производная по <р (см. § 9.1).
Теорема 6.3.1. Пусть Л(ф)— полином, определенный на простран-
стве S7"(Rd), а С — непрерывная билинейная форма на S^(/?d)X
X^W). Тогда
$ Ф (fM (ф) АРс = J (f, СА (<р) dcpc. (6.3.3)
Доказательство. Сначала докажем эту формулу для А =	К полиномам
можно будет перейти при помощи линейных комбинаций экспонент и взятия пре-
дела. Пусть
F (Z) =	d<pc = e-<g+M, C(g+M»/2
Тогда
i J <p (f) el* fe> d<pc = F' (0) = - (f, Cg) e	=
= ~ (/, Cg) j Ж dg>c = i J (f, C-^e*<«> dq>c. |
6.3 Пространство Фока и виково упорядочение 125
Замечание. Полученная формула интегрирования по частям про-
должается по непрерывности на значительно более широкий класс
функций Л(ф) и оказывается весьма полезной во многих случаях
(см. § 9.1).
Определение 6.3.2. Пусть &— вещественное предгильбертово про-
странство. Представлением канонических коммутационных соотно-
шений на д’ называется пара линейных отображений f-^a(f),
g-^a*(g) из 9е в пространство операторов a(f) и ct*(g), опреде-
ленных на плотном множестве S) комплексного гильбертова про-
странства Ж, такая, что для любых A, Ai, Л2еай) и любых функ-
ций f и g из справедливы соотношения
a (f)0 с: 2), a*(g)3)d^>,	(6.3.4а)
<ЛЬ a(f)A2) = <a*(j)Alt Л2>,	(6.3.4b)
[«(/), a(g)] =	e*(g)] = 0,	(6.3.4c)
[a(f), a*(g)M = <f, g>A.	(6.3.4d)
Это представление называется фоковым, если существует единич-
ный вектор Q е Ж, такой, что для всех f е 9Р
a(f)Q = 0,
а множество S) представляет собой линейную оболочку векторов
a*(fi) ... а*(/п)й, п = 0, 1, ... .
Пример. Пусть &~п — пространство симметрических Лг-функций на В част»
ности, S' — множество комплексных чисел. Определим
& = £ ff-n, Q = 1 е= ^“0.	(6.8.5а)
п=0
Обозначим через Sn симметризацию, т. е. проекцию пространства Lz(Rnd} на IFr,
и пусть Sb— линейная оболочка в 9~ вектора Q и векторов вида
f (Хц . . . , Хп) = Snfi (Xj) . . . fn (xfi),
где fieff’(Rd)t a n = 1, 2......Для таких функций f определим операторы а
и а* на Sb формулами
(a*(g)f) (xi, ..., x„+i) = (n+ l)1/2S„+Ig(xn+i)f (xi.....хп),
(a (g) f) (xi, ..., xn-i) = w1/2 \ g (xn) f (xi.x„) dxn. (6.3.5b)
Непосредственные вычисления показывают, что равенства (6.3.5) задают фоково
представление канонических коммутационных соотношений.
Переходя к следующему примеру фокова представления, возьмем
Ж = (Rd),dtfc), £2 = 1, а множество Sb определим как пространство мно-
гочленов на 9”\Rd). Рассмотрим tp(f) (это линейная координатная функция на
^'(7?4)) как оператор умножения на пространстве Ж с областью определения Sb.
Тогда q>(f)0 с: Sb с^Ж. Как и в формуле (6.3.2), пусть
«(f) = б/бф> + 2-*1<р(С-ф).
Если обратный оператор С-1 действует из S^(/?4) в SP{Rd), то к тому жо
126 Гл. 6. Теория поля
n([)S)^S) и можно проверить, что <р а л как операторы на S) симметричны и
удовлетворяют соотношениям
[ф (f). л (g)J = i (f, g) I,	(6.3.6a)
[ф (f). Ф (g)I = 0 = [л (f), я (g)J.	((6.3.6b)
Теорема 6.3.3. Допустим, что у оператора С существует квадрат-
ный корень С112 и что С±1/2 — операторы из TT(I{d) в ^(7?d). Тогда,
если положить
а (f) = 2-1ф(С-‘/2/) + m(Cl'2f),	(6.3.7а)
a*(f) = 2~'(р (C~I/2f) — in(Cl/2f),	(6.3.7b)
то операторы а, а* задают фоково представление канонических
коммутационных соотношений.
Доказательство. Коммутационные соотношения для а, а* следуют из соотноше-
нии для <р и л. Так как Й=1 и c(f) = <С"1/2/,	то a(f)Si = 0. Соотно-
шение между а и а* следует из того, что <р симметричен (как оператор умноже-
ния на вещественную функцию) и оператор я тоже симметричен (по теоре-
ме 6.3.2). |
Наконец, разложение Эрмита пространства L2(TP'(Rd), dcpc) по-
лучается при помощи отождествлении
50 = ЬДУ'(Да), dqc) = &-,
которые допустимы в силу единственности фокова представления,
доказываемой ниже.
Теорема 6.3.4. Пусть {ар а*}, t = l, 2,— два фоковых представ-
ления канонических коммутационных соотношений на ТУ с вакуум-
ными векторами Q/. Тогда они унитарно эквивалентны и, более
того, оператор U, устанавливающий эту эквивалентность, одно-
значно определен требованием = й2-
Доказательство. Положим
А1 = a*i (fl) a*i (fn) Bi = a'i (gi) a* (gm) Qi-
Мы убедимся, что <Лц Bi> = <Л2, В2>, так что оператор U, определенный ра-
венством UAi = /12 и продолженный по линейности (и непрерывности) до уни-
тарного оператора из Ж1 в Звг, устанавливает требуемую эквивалентность. Если
U' — какой-нибудь другой оператор, устанавливающий унитарную эквивалент-
ность и такой, что t/'Ri = П2, то с неизбежностью U’A} — Д2, т. е. V = U', и
тем самым U единствен.
Из коммутационных соотношений и равенства = 0 следует, что
<Л- =
= £ <fl- gj) {a*l (Si)  a* (8i-l) a* (8i+l)  a*l (gm) “i (Ъ) • • • a*i (fn) Ql)-
Поэтому, пользуясь индукцией по m, получим окончательно, что <4i, 51) =»
б.З Пространство Фока и виково упорядочение 127
Определение 6.3.5. Подпространство ЯГ п а ЯГ называется «-частич-
ным подпространством <Г. Пусть f—{fn}п=о, где fn^£Tn,—
разложение вектора f е ЯГ на «-частичные компоненты. Оператор
Nf — {nfn}^0 с областью определения
® (АО = {М е	X «21| fn ||2 < 00}
называется оператором числа частиц.
Фоково представление облегчает построение ортогональных по-
линомов Эрмита. Пусть Еп — ортогональная проекция простран-
ства ЯГ на «-частичное подпространство ЯГ п. Так как ср =
— с1/2(о* + а), то полиномы степени « порождают пространство
п
(Те. Поэтому процесс ортогонализации мономов степени «
/=0
можно определить формулой
:ф(Л) •••	= Encp(fi) ... cp(fn),	(6.3.8)
и, в частности,
:ф (/)= с^2(с~^2ср (f)),	(6.3.9)
где Рп(х)— полином Эрмита от одной переменной, определенный
формулами (1.5.12), (1.5.13), а нормирующий множитель с теперь
равен
с = Cf)= $ cp(f)2dcpc
вместо нормировки <Q2> = 1/2 в формуле (1.5.18). Продолжим
по линейности виково двоеточие : : на многочлены и сходящиеся
степенные ряды. Тогда, в силу (1.5.12), получим, что
,eq>(f). = £	= e-cPgq, щ	(6.3.10)
В следующей формуле заключены многие комбинаторные факты,
связанные с мономами Вика:
:еФ(П: :eq>(g): tZ(pc = e-«f.Cf>+<g.Cg»/2^eq>(f+g)^(pc>	(6.3.11)
В частности, положив f = X aifi, g — S P/gp применив к обеим
п	m
частям равенства (6.3.11) дифференцирование Ц (d/da^ П (d/d$j),
а затем подставив а = р = 0, получим тождество
п	m
$ • П Ф(Л):: П Ч5 tel)'- d4c ==
;=-i	/-i
=	(fp C^d)) ... {fn, Cgn^, (6.3.12)
128 Гл. б. Теория пом
где ®п — группа из п! перестановок л чисел {1, 2,	п}. Срав-
нение полученного представления с фоковым осуществляется с по-
мощью формулы
:Пф(Л): Й = П(а’(С1/2/))Й.	(6.3.13)
i=1	4—1
Вернемся теперь к свободному полю с ковариацией С —
= (—A-f-m2)-1 и представлением (6.2.18). Имеем
= Т = Л2 (£?' (/?<*"«),	(6.3.14)
Здесь = £ ST п — фоково представление для полей в нулевой
момент времени, определенное гауссовой мерой на (Rd~x) с ко-
вариацией (2ц)-’, ц = (—A-f-m2)1/2. Пусть р/ — действие р на
/-ю переменную функции	Для	где
0(Я) = < f^ST: fne=0(nf), Е
V	П=1
п
S P/fп
/=1
12
(6.3.15а)
положим
оо
п-0
( п
(6.3.15b)
Теорема 6.3.6. В фоковом представлении (6.3.14) гамильтониан
свободного поля определяется соотношениями (6.3.15) и, кроме
того,

(6.3.16)
Замечание. Формула (6.3.16) означает, что каждая из частиц в fn
движется под действием свободной динамики независимо от
остальных частиц и, более того, ее движение совпадает с движе-
нием одной частицы в i под действием динамики e~ltv. Символи-
чески Н можно записать в виде Н — ц (A) a* (k) a (k) dk.
Доказательство. Рассматривая все функции в нулевой момент времени, имеем, в си-
лу аналитического продолжения и следствия 6.2.7,	= ехр (/ср (е”£(|Л/)).
Согласно формуле (6.3.10), получаем, что
е ltH :e£4>(f): = ехр [((е lt>xf, (2р.) *е — (f, (2р.) 1 f))/2] :ехр (Zqp (е £<p,f)):.
Так как группа унитарна, то выражение под знаком первой экспоненты в правой
части на самом деле равно нулю. Разложение в соответствии с (6.3.10) приводит
к равенству e~ltfi :<р (п)п: = :<p	Воспользовавшись представлением
(6.3.14) с тем, чтобы отождествить & с ГДТР'получим равенство
(6.3.16). |
6.4 Каноническое квантование 129
Теорема 6.3.7. В пространстве Зв ~ гамильтониан свободного
поля можно записать в виде
Н —	Н(х)dx =	a*(x)pa(x)dx,
t=o	t-o
где плотность энергии равна
Н(х) — ~: л2(х): + у : (Уф)2(х): + 4 т2: Ф2(х):-
Доказательство. Разлагая а(х)*а(х) с использованием формул перехода (6.3.7),
в которых положено С = (2ц) поиходим к написанному выше выражению для
Я(х). I
6.4 Каноническое квантование
Начнем с подведения итогов § 6.2—3 для случая d = 1 и сравне-
ния конструкций пространств 36, ST, операторов Н, л и т. д. с со-
ответствующими понятиями гл. 1, 3. Фактически абстрактное по-
строение пространства Фока воспроизводит квантование гармони-
ческого осциллятора. В общем же случае различным мерам в
при d ~ 1 соответствуют другие квантовомеханические си-
стемы с одной степенью свободы. С помощью векторнозначных по-
лей ф(0 можно получить все шредингеровы гамильтонианы из
гл. 1.
В частности, начнем с рассмотрения гауссовой меры dq>c на
пространстве 3"(R) с нулевым средним и ковариационным опера-
тором С = (—d2/dt2 + m2)-1. В силу следствия 6.2.8, мы получим
в качестве 36 гильбертово пространство
Зв = Ь2(%, dv),	(6.4.1)
где dv — гауссова мера на прямой с нулевым средним и диспер-
сией (2р)~* = 1/2т = const. В стандартном представлении
dv (q) = (пг/п)112 е~тс? dq,	(6.4.2)
где dq — мера Лебега на прямой, и Й=1. Теперь выпишем соот-
ветствующее представление канонических коммутационных соотно-
шений. Оно было определено в теореме 6.3.3, а его единственность
доказана в теореме 6.3.4. Для того чтобы воспользоваться этими
теоремами, подставим в (6.3.7) (2ц)-1 = (2т)-1 вместо С, q вместо
Ф, р вместо л и т д. Получим формулы
a = -^=-(mU2<z4-zm~1/2p), а* = (ml/2q — inr 1/2р) (6.4.3)
н их обращения
q = (2m)-1/2(a* + а), р — (m/2)l/2i(a*— а).	(6.4.4)
130 Гл. 6. Теория поля
Кроме того,
p = p' = -i(d/dq) + imq, [p,q] = -i,
а = (2m)-1/2 d/dq, а = (2m)1/2 q — (2m)~1/2 d/dq,
[a, a*] = 1.
Это и есть канонические коммутационные соотношения (ККС).
В силу формулы (6.3.9) при с = (2т)_| получим, что
а*п£> = Рп (q ^2т)	(6.4.6)
есть собственный вектор оператора Н с собственным значением
пт. Сравнивая полученные формулы с соответствующими резуль-
татами § 1.5, видим, что в представлении, где Qo= 1, они совпа-
дают при т = 1. Итак, гауссова мера в случае d = 1 описывает
квантовомеханическпй гармонический осциллятор. Переписанный
с помощью (q, d/dq) гамильтониан та*а примет вид
Hosc = d2/dq2 + mq d/dq.	(6.4.7)
Чтобы перейти к более привычному виду гамильтониана Н в про-
странстве L2(R, dq), воспользуемся подобным преобразованием
Ялебег = ехр (—	Яехр(-т/2-) = 4га(~+	(6-4-8)
На этом мы закончим обсуждение гауссовых мер и канонического
квантования гармонического осциллятора.
Рассмотрим теперь возмущение И и установим формулу Фейн-
мана — Каца.
Теорема 6.4.1. Пусть dp — рассмотренное выше гауссово распре-
деление в t7"(Rd) при d—1, а V(q)—вещественная непрерывная
ограниченная снизу функция. Если при этом оператор Н -j- V само-
сопряжен, то
,	Г	1	lx"
e- t (H+V) _ | ехр I — У (ф (s)) I f |
\	L о	J /
t
J V (<p (s))
0
n-l
ds = lim — V V (<p (///«)).
П -> oo “ -4—J
i srO
(6.4.9)
Доказательство. Имеем
6.4 Каноническое квантование 131
Поэтому
[г	1
- ( V (ф (s)) ds Г (/) = lim (e-^n}v^(D^T (—)Y\	(6.4.10)
J	I	П->оо \	\flJJ
0	J
Ho v №<°»T (//п))пГ = U-,,/rt) V We-{t,n} Н)П- В силу формулы (3.2.4),
правая часть п->ос стремится к е_/(н+1/>. девая же часть в пространстве &
поточечно сходится к (6.4.10). i
Далее, пусть й(д)— вектор основного состояния оператора
Н + V в представлении, в котором HI = 0. Тогда (Н -f- И)й = £Т>.
Положив
P = — i-~ + imq — t-^-lnQ(<7),	(6.4.11)
получим, что операторы р и q задают представление канонических
коммутационных соотношений в пространстве L2(R, Q2dv) и яв-
ляются самосопряженными. Мера
г	*	т
dp = lim Z (/)-1ехр — f V (q (s)) ds I dqc (6.4.12)
I	4	I
тоже определяет представление канонических коммутационных
соотношений. Этой мере отвечает гамильтониан Н -f- V — Е.
Заметим, что в случае системы с одной степенью свободы при
заданных канонических коммутационных соотношениях операторы
(pit)''=e~tHqetH,	(6.4.13)
q(f) = eitHqe~ltH	(6.4.14)
связаны при помощи аналитического продолжения t-*—it, а опе-
раторная функция (6.4.14) удовлетворяет уравнению
q(t) — P(t)/m = eitH[iH, q]e~itH
(полагаем, что й = 1). Продифференцировав дважды, получаем
уравнение Ньютона
mq(t)= F(q(t)),
где F(q)==—[iV,р]= —dV/dq, a V — полная потенциальная энер-
гия (являющаяся функцией q).
Теперь обобщим эти идеи применительно к квантовым полям,
опираясь на анализ свободного поля, проведенный в § 6.2 и 6.3.
Конструкцию физического гильбертова пространства Ж = ЙД/Л3
из § 6.1 можно упростить, по крайней мере на формальном уровне.
Для свободного поля пространство Ж является ^-пространством,
состоящим из функций от пространственной переменной
взятых в момент времени t = 0 (§ 6.2). Следует ожидать, что
132 Гл. 6. Теория поля
аналогичное утверждение справедливо в случае полей Р(ф)2 и Фа
при d 4. Соответственно примем, что
Ж = L2{ff”(Rd-x),dv),	(6.4.15)
где dv— мера на ^"(/?d-1), являющаяся ограничением евклидова
вакуумного вектора Q и меры dpi. Поэтому
J F (ф) dv = Z"1 J F (ф) е~^‘ (<р) d<pc = J F (ф) dp,	(6.4.16)
где Z — нормирующий множитель, а (ф) — Л : ф4 (х): ddx (с со-
ответствующими контрчленами; см. § 9.4, 14.3). Формально мы
сделаем еще один шаг и перепишем гауссов интеграл по dq>c в
виде плотности по лебеговой мере на S^’/(/?d), и для нового норми-
рующего множителя Z получим, что
dp = Z-1e-^(4>) П dq>(x),	(6.4.17)
xe.Hd
где
(ф) = '•( г Vty2(х) + 4т2Ф2 (х) + Лф4 (х)): ddx.	(6.4.18)
Классическое поле ф4 (в пространстве Минковского) является ре-
шением нелинейного гиперболического волнового уравнения
—Сф + т2ф + 47.ф3 = 0.	(6.4.19)
Решение ф однозначно определяется данными Коши
ф | t=o, <?«ф = Ф | t=o-	(6.4.20)
Таким образом, множество пар функций ф|?=о, dep/dt11=0 является
пространством состояний классической нелинейной системы, опи-
сываемой уравнением (6.4.19). При этом конфигурационным про-
странством будет множество функций ф|<=о (конфигурации поля,
отвечающие нулевому моменту времени). Точный класс функций
ф|<=о не определяется из этих соображений, но с точки зрения
функционального интегрирования, как это, например, требуется
для представления (6.4.15), по существу нужно только то, чтобы
этот класс был достаточно обширным. Запас обобщенных функций
<7"(/^*-i) очень богат и, как оказалось, достаточен для наших
целей.
Квантовое ноле ф — это оператор умножения, действующий на
функции от конфигураций классических полей. Канонически со-
пряженный с ним оператор импульса л — это генератор унитарной
группы, порождаемой сдвигами ф (х)-> ф (х) g (х) в пространстве
классических конфигураций.
Так как операторы ф и л =—id/tiep -f- f(ep) образуют полное
множество наблюдаемых, через них можно выразить гамильтониан
Н и меру dv = d^ff1'(Rd~l). Мы уже решили в § 6.2 эту задачу
6.5 Фермионы 133
для случая меры dtpc свободного поля и, в частности, в теореме
6.3.7 для гамильтониана Но этого поля. При этом (6.4.16) превра-
щается в формулу Фейнмана — Каца для возмущения гамильто-
ниана Но. Для того чтобы пояснить эту связь, напишем =
(опуская зависимость ф от хе/?'^1) и положим ^z(q>(0) —
= Я, : ф4(х): dd~lx,
оо	О
5^7 (ф) =5 (ф (0) dt+ \ (ф (0) dt 
0	—со
Пусть По — основное состояние оператора Но, а И — основное со-
стояние оператора Н == Но ф- — 0)). Тогда из (6.4.16) и
формулы Фейнмана — Каца (§ 3.2—4) следует, что
F (ср) dv — F (ср) dp га
. О	.	* оо	.
raZ-1^exp|—	.9/7 (ф (?)) Л | F (ф) ехр |	(<р(/))dt jdqc =
\ —со	/	\	0	/
= lim Z-1 (ехр [— t (Но + (ф (/ = 0)))] Qo,
f->oo
F (ф) ехр [- t (До +	(Ф (/ = 0)))] Qo) = (Q, F (ф)
Таким образом, вакуумный вектор, абстрактно определенный при
помощи теоремы реконструкции из § 6.1, совпадает с основным со-
стоянием Q гамильтониана Н, заданного формулой Н =»
= a^(x)dd~lx, где
Ж (х) ==; п (х2) + 4 УФ (х) + ~ т2ср (х)2 + tap (х)4):.
Аналогично, динамика, абстрактно определенная в § 6.1, задается
Гамильтонианом Н, что находится в соответствии с результатами
гл. 3.
0.5 Фермионы
В зависимости от спина и статистики частицы делятся на две
группы. Электроны и кварки имеют полуцелый спин и подчиняются
статистике Ферми — Дирака; они называются фермионами. То же
самое относится к связанным состояниям, составленным из нечет-
ного числа фермионов, таким, как протоны, нейтроны или ядра Н3.
Фотон имеет целый спин и подчиняется статистике Бозе — Эйн-
штейна, так же как и связанные состояния, составленные из чет-
ного числа фермионов, как, например, мезоны (в теории кварков
и глюонов), ядра Н2 или куперовы пары электронов в сверхпро-
воднике. Такие частицы называются бозонами. В § 6.2, 6.3 мы
описали свободное поле Клейна — Гордона, преобразующееся по
представлению группы Лоренца с нулевым спином и подчиняю-
184 Гл. 6. Теория поля
щееся бозе-статпстпке. Здесь мы опишем квантование свободного
поля Дирака, преобразующегося с помощью (двузначного) пред-
ставления группы Лоренца со спином 1/2 и подчиненного ферми-
статпстике.
В этом параграфе изложены две важные конструкции. Пер-
вая — построение фермионного пространства Фока и представле-
ния канонических антикоммутационных соотношений, а вторая —
введение античастиц как способ избавиться от состояния с отрица-
тельной энергией при квантовании уравнения Дирака. Само урав-
нение Дирака приводится в § 15.3.
Для данного гильбертова пространства &~i пусть п обозна-
чает антисимметрическое тензорное произведение п экземпля-
ров г.
=	(6.5.1)
где Ап — антисимметризующий проекционный оператор. Тогда фер-
мионное пространство Фока образуется как ортогональная сумма
ОО
^=1^-	(6.5.2)
п=0
Векторы из подпространства	задают «-частичные состоя-
ния. Обычно 9~ 1 — это Тг-пространство векторнозначных функций,
определенных на R пли Rd~x со значениями в C* v при некотором v.
Тогда — это пространство векторнозначных функций на Rnd
(со значениями в C/2V), компоненты которых принадлежат про-
странству T2(^"d) (или пространству L^{Rn(d~XY)} и которые анти-
симметричны при перестановке аргументов. Операторы рождения
и уничтожения определяются так же, как в (6.3.5b), с той разни-
цей, что Sn+i надо заменить на An+i. В лоренц-инвариантной теории
свободного поля группа Лоренца (а также евклидова группа)
действует в пространстве и в каждой его компоненте при
помощи тензорного произведения преобразований, определенных
в одночастичном пространстве Другими словами, закон пре-
образования «-частичного состояния определяется независимым
действием преобразований на каждую из частиц этого состояния
так, как это предписано правилом преобразований одночастичных
состояний в Конечномерное пространство Cv называется спи-
новым пространством. В нем действует представление группы
St7(2) (которая является накрывающей группы пространственных
вращений 0(3), содержащейся в группе Лоренца). Это представ-
ление определяется размерностью v, а спин равен (v—1) /2. Для
скалярных бозонных полей § 6.2, 6.3 v — 1 и спин равен нулю.
У фотонов спин равен единице (у — З)1).
*) Точнее, спин поля равен (у*—1)/2, где v* v — наибольшая из раз-
мерностей неприводимых компонент представления группы St/(2) (или 0(3)),
входящих в представление группы Лоренца в Cv. Так, в случае поля фотонов
v == 4, а у* == 3. — Прим, ред.
6.5 Фермионы 185
м *
Как мы видели выше, свободное поле полностью характери-
зуется своим одночастичным подпространством статистикой и
группой инвариантности, действующей в Теперь перейдем
явному построению. Операторы уничтожения и рождения а и
определим формулами
a’(g)fUi. -	x„+i) = (n+ 1)1/2Л„+1§(х„+1)Н^ь •••> х„),
1/2 г---	(6.5.
a(gjf(*i....х,= Jg(x„)f(xi, •••> xn)dxn.
Здесь	g^ZFi- В частности, f и g для каждого переменного
Xj имеют спиновый индекс (подразумеваемый и в (6.5.3)), а инте-
грирование ... dxn содержит суммирование по этим индексам.
При помощи непосредственных вычислений доказываются антиком-
мутационные соотношения
{«(f), «(£)} = {«*(/), «*(§)} = 0,	(6.5.4а)
{«(f), «*(£)} = <А £>,	(6.5.4b)
где скалярное произведение берется в пространстве и
<ДЬ a(f)A2> = <a*(f)Ab Л2>,	(6.5.4с)
где скалярное произведение берется уже в и .ф,	За-
метим, что — одномерное подпространство, натянутое на ва-
куумный вектор Q, и
a(f)Q = 0, a*(g)£i = g е ZF(6.5.4d)
Простым алгебраическим следствием соотношения (6.5.4b) явля-
ется неравенство
O^a(f)G*(f)<{a(f), «*(f)} = ||f||2,
откуда следует, что а (/) и а* (/) — ограниченные операторы в ST.
То, что операторы а и а* ограничены, в отличие от бозонных
операторов рождения и уничтожения, легко понять из физических
соображений. Бозе-операторы а и а* неограничены из-за того, что
одно и то же состояние / е можно заполнить неограниченным
числом бозе-частиц. Среднее значение бозе-операторов a(f) и а*([)
на «-частичных состояниях, в которых каждая частица находится
в состоянии f е SFравно примерно п1/2. В ферми-случае макси-
мальное значение п равно единице. Из антисимметрической ста-
тистики Ферми — Дирака следует принцип запрета Паули, со-
гласно которому каждое состояние 6 в пространстве Фока SF со-
держит не более одной частицы в данном состоянии / е Этот
факт легко следует из соотношений (6.5.4). В самом деле,
а(/)2е=Ц{«ш, ц(Л}е = о
186 Гл. б. Теория поля
для любого ()е.$Г, поэтому a(f)Q не имеет ни одной частицы в со-
стоянии f е а 0 может иметь не более одной такой частицы.
Линейное преобразование, переводящее систему операторов а
и а*, удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям
(6.5.4), снова в такую же систему, называется преобразованием
Боголюбова. Эти преобразования полезны во многих случаях. Они
позволяют переформулировать задачи линейных квантовых полей
(например, в случае полей, взаимодействующих с внешним источ-
ником или потенциалом) при помощи свободного поля и решений
(классических) дифференциальных уравнений в частных произ-
водных. Мы обсудим здесь одно конкретное преобразование Бого-
любова, которое возникает при квантовании поля Дирака:
a*(f)^a(f), a(f)^a*(f).	(6.5.5)
Преобразуя соответствующим образом сами состояния, мы получим
видоизмененный вариант соотношения (6.5.4d):
o’(f)Q' = 0, a (g) Q' = g' e=	(6.5.4d')
где Q', g' и 54 — преобразованные состояния. Подобно тому как
соотношение (6.5.4d) описывает Q как состояние без частиц,
(6.5.4d') характеризует как состояние с полным набором ча-
стиц. В случае когда ST как обычно и бывает, бесконечномерно,
преобразованное пространство Фока ёГ’ отлично от .F в том
смысле, что действие системы операторов а и а* в iF не унитарно
эквивалентно действию этой же системы в ёГ\. Пространство ёГ\
можно мыслить как пространство дырок, а П' —как состояние
поля, в котором все дырки заполнены. Пространство ёГ'— это
пространство Фока, порожденное состояниями с конечным числом
дырок (образованных оператором а рождения дырок), точно так
же как ёГ— пространство Фока, порожденное состояниями с ко-
нечным числом частиц.
При квантовании поля Дирака используется не одно ёГ или
а их комбинация. Для оператора Дирака, действующего в про-
странстве ff~\, разложение
54 = ^-<1+) ф gr(r'	(6.5.6)
означает разложение на подпространства состояний соответственно
с положительной и отрицательной энергией. Тогда пространство
Фока для поля Дирака — это
(6.5.7)
т, п
Другими словами, пространство порождено частицами, т. е.
состояниями с положительной энергией из и Дырками (назы-
ваемыми иначе античастицами), т. е. состояниями с отрицательной
6.6 Взаимодействующие поля 137
энергией из пространства ’. Это приводит к уравнениям
a (f) Q!' = 0, a (f) Q" = f" е &\+г,
‘ v, (6.5.4d")
a* (g)Q" = 0, a(g)Q" = g" ее^'Г’ ,
с помощью которых можно интерпретировать Q" как море Дирака:
в нем заняты все состояния с отрицательной энергией и нет со-
стояний с положительной энергией.
Чтобы явно произвести разложение (6.5.6), нужно задать опе-
ратор энергии Дирака (см. § 15.3). Однако здесь мы лишь заме-
тим, что интерпретация классических состояний с отрицательной
энергией как античастиц с положительной энергией приводит к по-
ложительному оператору энергии квантового поля. В самом деле,
если £(f)—классическая энергия состояния f, то, в силу антиком-
мутационных соотношений,
Е (f) а* (/) a (f) = ~Е (f) a (f) a* (f) + £|| f|l2.
Аддитивную постоянную £||f||2 можно вычесть при нормировке, и
тогда при £ < 0 оператор —Еаа* положителен.
6.6 Взаимодействующие поля
Наибольший интерес представляют взаимодействующие поля. По-
строение таких квантовых полей становится тем сложнее, чем
больше размерность d пространства-времени. Здесь мы изложим
программу построения взаимодействующих полей, которые, как
предполагается, соответствуют физическим полям (d = 4). Эту
программу не следует воспринимать как введение в часть II, где
это построение проведено для случая d = 2. В этом случае возни-
кают значительные упрощения, которые и используются в части II.
Взаимодействующие поля строятся с помощью решеточных по-
лей (гл. 2 и 4) с шагом решетки в как предел при е-*0. В этом
пределе совершается тривиальное преобразование масштаба, при
котором все длины (шаг решетки, корреляционная длина и т. п.)
умножаются на е. Этот масштабный пересчет определяет унитар-
ное преобразование, которое переводит решеточные модели (с их
характерными длинами) в другие, но эквивалентные им модели.
Преимущество этой точки зрения в том, что нам безразлично, ка-
кой предел рассматривать: предел, в котором
шаг решётки-*0, корреляционная длина = const, (6.6.1)’
или предел, в котором
шаг решетки = const, корреляционная длина-*со. (6.6.2)'
Второй из этих эквивалентных предельных переходов определяет
критическую точку решеточной теории. Простое масштабное преоб-
разование, при котором предел (6.6.2) переходит в (6.6.1), опре-
138 Гл. 6. Теория поля
деляет скейлинговый предел в критической точке. Итак, мы ви-
дим, что теория поля может быть построена как скейлинговый пре-
дел решеточной теории и что эта конструкция эквивалентна обыч-
ному построению, при котором шаг решетки стремится к нулю.
Полученная теория поля может все еще иметь несколько пара-
метров размерности длины, что бывает, как мы знаем, в Р(ф)2-тео-
риях. Когда же все эти параметры, за исключением корреляцион-
ной длины, полагают равными нулю, получается то, что называется
скейлинговым пределом.
Проиллюстрируем эти идеи хорошо известными одномерными
примерами. Решеточная теория описывает случайное блуждание,
в то время "каТГёё непрерывный предел, т. е. одномерная теория
поля, есть непрерывный стохастический процесс, у которого инфи-
нитезимальный оператор совпадает с оператором гармонического
или ангармонического осциллятора. Один параметр размерности
длины —это корреляционная длина, а второй определяется макси-
мальным расстоянием, при котором процесс подобен гауссову.
Если второй параметр положить равным нулю, то получится скей-
линговый предел, см. [Isaacson, 1977]. Этот процесс не является
гармоническим (гауссовым) при произвольном значении масштаба
длины, но гораздо проще, чем процесс, соответствующий q)i-ангар-
моническому осциллятору. На самом деле это пуассонов процесс.
Его генератором служит матрица размера 2X2.
В случае размерности d 2 скейлинговый предел модели cpj
можно рассматривать как обобщение пуассонова процесса. Так же
как последний служит для описания случайных событий (точек
или интервалов между ними) на прямой, так и скейлинговый пре-
дел модели ф^ должен описывать случайные события (связные
множества) в пространстве Rd. Считается, что эта модель теории
поля совпадает со скейлинговым пределом модели Изинга в кри-
тической точке. При d = 2 эта гипотеза была полностью установ-
лена при помощи изящных асимптотических вычислений; см.
[McCoy, Tracy, Wu, 1977].
Для предельных переходов (6.6.1—2) критическая точка яв-
ляется гауссовой (называемой также канонической или тривиаль-
ной) в том и только том случае, когда соответствующая модель
теории поля гауссова (т. е. поле свободно, см. § 6.2—3). Поэтому
задачу о существовании нетривиальных квантовых полей можно
переформулировать как задачу построения скейлингового предела
в нетривиальной критической точке. Мы обнаруживаем глубокое
единство математических структур этих двух теорий — теории
квантовых полей и теории критических точек, которое проявляется
в столь далеких областях физики.
Существование квантовых полей доказано для многих двумер-
ных моделей, а также для фд-взаимодействия (d = 3). Вдобавок
была подробно изучена структура этих моделей, а в некоторых
6.6 Взаимодействующие поля 139
особенно удачных случаях проверены аксиомы Вайтмана, доказана
нетривиальность S-матрицы, асимптотическая полнота и суммируе-
мость по Борелю рядов теории возмущений, наличие фазовых пе-
реходов и неравенства для критических индексов.
Для дфвзаимодействия получен ряд частных результатов, свя-
занных с вопросом существования поля (см. [Glimm, Jaffe, 1974d,
1975с]). Фактически равномерная по е оценка перенормированной
двухточечной функции завершила бы доказательство. В свою оче-
редь эта оценка есть следствие некоторых гипотетических корре-
ляционных неравенств. В tpl-теориях необходима перенормировка
константы связи. Это означает, что в лагранжиан входит член
Хф4 с параметром Z = 7«(е), зависящим от е. По мере изменения
е структура решеточной критической точки может меняться, и,
в частности, значение параметра длины, при котором имеется не-
тривиальное критическое поведение, тоже может измениться. При
Z = О критическая точка (как и вся теория) гауссова, а для фик-
сированного е при К — оо решеточная теория совпадает с мо-
делью Изинга. Пусть ^фИЗ(^, в)—физическая константа связи,
определенная, например, как в гл. 14. В случае если
limsupA*1I3(A, е) = 0,
е->0>. >о
может получиться лишь тривиальная ф4-теория поля. В противном
случае можно ожидать, что будет построена нетривиальная теория.
В настоящее время доводы в пользу того, что теория тривиальна,
выглядят более сильными, однако существующие методы вряд лп
позволят дать определенный ответ на этот вопрос. Все эти доводы
применимы в равной степени и к четырехмерному полю Юкавы,
и к электродинамическому (КЭД) взаимодействию. Если бы все
эти поля были тривиальны, то это означало бы, что ультрафиоле-
товое обрезание, возникающее из-за кварковых взаимодействий,
существенно для теории протонов, фотонов, мезонов и электронов
как элементарных частиц. Поскольку экспериментально установ-
лено, что протоны и мезоны не являются элементарными части-
цами, а составлены из кварков и калибровочных полей («глюо-
нов»), то такое ультрафиолетовое обрезание, например, примени-
тельно к радиусу протона, не может повлиять на эксперименталь-
ные данные.
Большая часть современных работ, в которых рассматривается
проблема существования в случае размерности d = 4, посвящена
калибровочным теориям. Как с математической, так и с физиче-
ской точки зрения эти поля обладают двумя преимуществами.
Первое из них называется асимптотической свободой и означает,
что поведение поля на малых расстояниях почти гауссово, как
для ангармонического осциллятора <pj, в отличие от пуассонова
процесса. Вторым преимуществом считается явление, которое на-
140 Гл. 6. Теория поля
зывают удержанием (неразлетанием) кварков: оно приводит к
мысли о том, что соответствующая критическая точка появляется
при нулевой температуре, как и во многих одномерных процессах.
В духе современной дифференциальной геометрии классическое
калибровочное поле определяется как форма связности на главном
расслоении. Другими словами, калибровочное поле представляет
собой (локально) векторнозначную функцию со значениями в ал-
гебре Ли, преобразующуюся как ковариантный вектор.
Такое поле А порождает 2-форму кривизны
F = DA == dA + А Л А,	(6.6.3)
где D — ковариантная производная, определенная полем А. При
этом действие поля равно
^== jTrF2(x)dx,	(6.6.4)
и задача квантования состоит в том, чтобы определить подходя-
щую меру на пространстве связностей, формально пропорциональ-
ную мере
d(X = e-^n^W-	(6.6.5)
X
Заметим, что (6.6.5) не гауссова мера, потому что действие (6.6.4)
не квадратично относительно А. Классические калибровочные поля
являются решениями уравнения Янга — Миллса
D*F = 0.	(6.6.6)
Это уравнение есть уравнение Эйлера для действия т. е. оно
получается приравниванием нулю первой вариации В § 20.9
мы продолжим обсуждение этого вопроса.
Из сказанного видно, что существование квантовых полей в слу-
чае размерности d = 4 остается открытой проблемой как с мате-
матической, так и с физической точки зрения. Если можно, экстра-
полируя прошлое, предсказать будущее, то мы вправе ожидать,
что дальнейшие усилия в решении этой проблемы приведут к ин-
тересным математическим структурам и более глубокому пони-
манию математики и физики в системах с бесконечным числом
степеней свободы.
Литературные ссылки
[Bjorken, Drell. 1964—5], [Kastler, 1961], [Schweber 1961], [Бого-
любов, Ширков, 1959], [Thirring, 1958], [Itzykson, Zuber, 1980],
[Березин, 1965].
Часть 11
Функциональное интегрирование
В части II приведено замкнуюе изложение конструкции некоторых
негауссовых мер в пространстве функций. Построенные примеры
удовлетворяют аксиомам гл. 6 ц определяют нелинейные кванто-
вые поля. Изложение развивается в логическом порядке. Общие
концепции, представляющие широкий интерес, перемежаются со
специальными техническими приемами, характерными для этих
построений. К первым относятся диаграммы Фейнмана, теория
возмущений и анализ в функциональном пространстве. Эти во-
просы рассматриваются во вступительных частях гл. 8—10, и их
можно изучать независимо от остального материала. Некоторые
технические аспекты приведенных здесь построений являются но-
выми; в особенности прием многократных несимметрических отра-
жений в гл. 10 и 12.
Технические оценки изложены в части II применительно к слу-
чаю бозонных взаимодействий P(cp)d=2- Однако оценки вакуумной
энергии (гл. 8) обобщаются с помощью перенормировок на случай
моделей ср^=3 и Юкавы<г=2, 3. Формально эти оценки справедливы
для всех сверхперенормируемых взаимодействий. Остальные ме-
тоды, представленные в части II, — многократные отражения и мо-
нотонность— не зависят от размерности. Методы многократных
отражений и оценки, равномерные относительно объема области
взаимодействия, обобщаются на случай частиц со спином. Однако
свойства монотонности и приведенное нами доказательство сходи-
мости в предельном переходе к бесконечному объему (т. е. свойст-
ва, основанные на корреляционных неравенствах) не распростра-
няются на случай произвольного спина. В гл. 18 сходимость поля
в этом предельном переходе для некоторых значений констант
связи будет доказана другим методом, уже не зависящим от спина
частиц.
142 Гл. 7. Ковариационный оператор
Глава 7
Ковариационный оператор
= Функция Грина
= Ядро резольвенты
= Евклидов пропагатор
= Фундаментальное решение
7.1 Введение
Ковариационные операторы С гауссовых свободных полей, введен-
ные в гл. 6, часто появляются в самых разнообразных задачах.
Ядра этих операторов С(х, у) характеризуются тем, что являются
решениями уравнения Лапласа
(_Д + т2)С(д> у) = 8(х-у).	(7.1.1)
Основные свойства ковариационных операторов — евклидова ин-
вариантность, OS-положительность и регулярность — формулиру-
ются так же, как аксиомы § 6.1. Так как ядра С(х, у) являются
функциями класса Сто всюду, за исключением диагонали х — у, их
регулярность выражается в степенной асимптотике при малых и
больших значениях х — у. Если /п[х—у[ мало, то
( а| х — у |-d+2	при
С(х, у)~\	1	(7.1.2)
I —2п" 1н (т Iх — 1/1) ПРИ d = 2,
где константа а = a(d) равна
а = [ (d — 2) | Sd-> | -1] = 4-1л-й/2Г ((d — 2) /2).
oo
Здесь | S"| обозначает объем «-мерного шара, af(s)=J	—
о
гамма-функцию. Например, а(3) = (4л)-1, а(4) = (4л2)~* и т. д.
Если же т\х — у\ велико, то
С (х, у) ~ (тг)1/2 (2л)“й/2 m(d-3)/21 х — у r(d~n/2exp(— т | х — у |).
(7-1.3)
Те же самые свойства — инвариантность, положительность и ре-
гулярность—-справедливы (или предполагаются таковыми) для
двухточечной корреляционной функции взаимодействующего поля,
с той лишь разницей, что показатели при |х — у\ в асимптотиках
(7.1.2—3) могут отличаться от канонических значений —(d— 1)/2
7.1 Введение 143
(в асимптотике на дальних расстояниях) и —d + 2 (в асимптотике
на близких расстояниях). В этом случае говорят, что асимптотика
определяется нетривиальной критической точкой (см. гл. 17).
Свойство положительности ковариационного оператора форму-
лируется в зависимости от значения спина. Для бозонов с нуле-
вым спином, которые мы рассматриваем, справедливы как пото-
чечное, так и операторное неравенства
0<С(х, у),	(Р1)
О < С < т~21.	(Р2)
Положительность операторов (Р2) эквивалентна существованию
гауссовой меры и поэтому важна для развиваемых ниже методов.
Для фермионов ситуация несколько сложнее, хотя и для этих полей
можно определить интеграл, имеющий, правда, несколько иной
характер (см. [Березин, 1966] и [Osterwalder, Schrader, 1973а]).
Что касается OS-положительности или положительности при отра-
жениях, то она связана с положительностью скалярного произведе-
ния в гильбертовом пространстве состояний (см. теорему 6.2.3).
Пусть П — гиперплоскость в Rd, а 6п—отражение относительно
этой гиперплоскости. Положительность при отражениях относи-
тельно гиперплоскости П означает, что
О < (6nf, Cf)L2 = J (6nf) (У) С (х, у) f (х) dx dy	(РЗ)
для произвольной функции f, носитель которой расположен по одну
сторону от гиперплоскости П.
Мы будем изучать операторы С, соответствующие различным
классическим граничным условиям: свободным граничным усло-
виям, условиям Дирихле и Неймана, а также периодическим гра-
ничным условиям. Задание граничных условий приводит к нару-
шению некоторых аксиом, но не меняет ни локальной сингуляр-
ности (7.1.2), ни положительности (Pl), (Р2). Условие положи-
тельности (РЗ) требует инвариантности граничных условий при
отражениях.
В двумерном случае ядра С(х, у) имеют очень слабые (лога-
рифмические) особенности. Поэтому удобно сформулировать свой-
ство локальной регулярности в терминах пространств Lp. Пусть £
обозначает оператор умножения на функцию £ е Со° (/?2). Тогда
первая аксиома локальной регулярности утверждает, что
sup II (CQ (X, -)||L < со для всех q < оо. (LR1)
х	Я
Для того чтобы сформулировать другие аксиомы, введем «раз-
мазанную» дельта-функцию Дирака би(х). Пусть h — некоторая
144 Гл. 7. Ковариационный оператор
фиксированная функция из Co°(R2), удовлетворяющая условиям
h 0, й(0)>-0 и h(x)dx — 1.	(7.1.4)
Определим 8к(х) формулой
еи(х) = х2/г(хх).	(7.1.5)
Это обозначение распространим и на задаваемый 6И оператор
свертки в £2, а именно (би/)(х) = ^ &п(х — у)f(у)dy. С помощью
6И сформулируем еще две аксиомы. Для любого q < оо сущест-
вует такое е = е(<?) > 0, что
х->оо. (LR2)
Другими словами, биС6и-*С в £’“ со скоростью О(х-Е). Для
особенности функции Грина на диагонали оценка может быть
записана аналогичным образом:
sup (6ИС6И) (х, х)<О(1пи).	(LR3)
X
Константы в аксиомах LR зависят от £, поскольку ковариация
свободного поля С(х, у) является функцией разности х — у, и,
следовательно, С(х, у) не принадлежит никакому пространству
Lq(R*XR2).
Рассмотрим в Rd решетку из единичных кубов А и зададим гра-
ничные условия на некоторых гранях границы <ЗА куба А. Напри-
мер, если d = 2, то {А}—покрытие R2 единичными квадратами,
а граничные условия задаются на некотором контуре из ребер, раз-
деляющих квадраты. При d = 3 решетка состоит из единичных
кубов, граничные условия задаются на их гранях, т. е. на единич-
ных квадратах, и т. д. Пусть Г обозначает некоторый набор гипер-
граней решетки. Рассмотрим оператор Лапласа —А. Вводя для
него какое-нибудь классическое граничное условие (т. е. свобод-
ное, периодическое, условие Дирихле или Неймана) — обозначим
его В,— получим самосопряженный положительный оператор в
пространстве £2(Rd), который обозначим —АВ(г>- Ковариационный
оператор Св(Г) = (—АВ(г) + ш2)-I мы будем изучать двумя спосо-
бами: с помощью винеровых интегралов и методом изображений.
В обоих случаях мы свяжем оператор Свт со свободным ковариа-
ционным оператором С = Сф, оценки для которого выводятся в
предложении 7.2.1.
Пусть -• выпуклое множество, порожденное ковариацион-
ными операторами Св с массой не меньше т (точное определение
этого множества будет дано в § 7.9). Основные результаты этой
главы сформулированы в следующих двух теоремах.
Теорема 7.1.1. Любой оператор С^'ё'т обладает свойствами ло-
кальной регулярности (7.1.2) и положительности (Pl), (Р2). Если
7.2 Свободная ковариация 145
d — 2, то для Coffin выполнены аксиомы (LR1—3) с констан-
тами, не зависящими от С е ^т.
Теорема 7.1.2. Пусть С^Т?т, причем разложение С по крайним
точкам не содержит ковариационных операторов с периодическими
граничными условиями. Тогда для ядра С справедлива оценка
(7.1.3). В случае когда С = Св (т. е. оператор С совпадает с край-
ней точкой суммы), он обладает свойством положительности при
отражениях (РЗ), если он коммутирует с бп- В периодическом же
случае, когда С — Ср, справедливо модифицированное свойство
положительности при отражениях (см. § 7.10).
Доказательства этих теорем будут изложены в этой главе.
В частности, § 7.9 посвящен свойству регулярности, а § 7.10 —
свойству положительности при отражениях.
7.2 Свободная ковариация
Простейший ковариационный оператор — это так называемый го-
лый евклидов пропагатор или свободный ковариационный опера-
тор С — С о- Он совпадает с функцией Грина уравнения (7.1.1) в
может быть определен с помощью преобразования Фурье
С(х, у) = С (х — у) — (2n)“d e-fp<x-^)(p2 ф- щ2)-1 dp. (7.2.1)
Зависимость С от m видна из равенства
С (т; х — у) — md~2C (1; т (х — у)) —
= (2n)'d/2 (г--^	)^2)/2 tf(d_2)/2 (т |х - у |).	(7.2.2)
Здесь K.v(x) > 0 — модифицированная функция Бесселя; с точ-
ностью до множителя она совпадает с функцией Ганкеля от мни-
мого аргумента (см. [Erdelyi et al., 1953]). При d == 3
С (х — у) = -т----г е~т । х~« I.
v	4л|х — у]
Многие свойства ковариационных операторов могут быть выве-
дены из (7.2.2) и известных свойств бесселевых функций, таких,
как характер особенности при |х— z/|-> 0, экспоненциальное убы-
вание при т\х— //|->оо (см. (7.1.2—3)) и т. д. Однако мы пред-
ложим прямые доказательства, основанные на методах, которые
имеют широкое применение.
Предложение 7.2.1. Свободная ковариация С(т- х — у) — С(х, у) =
= С(х—у) обладает следующими свойствами:
(а)	С(х, у) является ядром положительного оператора, дейст-
вующего в пространстве Ь2',
(Ь)	С(х,у)>0;
146 Гл. 7. Ковариационный оператор
(с)	если произведение /п|х — у\ отделено от нуля, то
С(х, y)^.O(\.)m(d~^i2\x — y\~{d~}}l2&xp(~-m\x —у\)\ (7.2.3)
(d)	если d^3, а произведение т\х — у\ близко к нулю, то
С(х, у)~\х-у\-<М-	(7.2.4)
(е)	если d — 2, а произведение т\х — у\ близко к нулю, то
С(х,у)~—1п(т|х — у|).	(7.2.5)
Доказательство. В силу (7.2.2), мы можем считать, что т=1. Свойство (а) дока-
зывается с помощью преобразования Фурье: (J,	(р2 +1) ' | f (р) |2 dp
Rd
Определим g(t) формулой
ОО
О < g (/) S je <up,-1 dp — j d& j e~tv‘pTikd~2dk. (7.2.6)
pd-\	о
Здесь pe7?d-1, |p| = k e R, p, = р.(й) = (й2-{-1)1/2, a dco означает интегри-
рование по переменной р/й по (d— 2)-мерной единичной сфере (т. е. интегри-
рование по угловой переменной). Применяя интегральную формулу Коши для
частичного вычисления обратного преобразования Фурье (7.2.1) (т. е. интегрируя
вдоль вектора х — у), получим равенство С(х, у) = (2л)_й+*2_*£(|х— р|), из
которого следует (Ь).
Оценки (с) — (е) можно установить следующим образом. Для достаточно
малого е > 0 справедливо неравенство
р(й)>1 1	ПРИ !ь!$!’	(7.2.7)
< 1 + е | k | при | k |	1.
Поэтому
/ 1	оо	«
g(t} const еЧ e~te,k~kd~2 dk + j e~tzkkd~2 dk\^
< const e~ *	0/2 +	’>).	(7.2.8)
Для значений t, отделенных от нуля, имеем
g(f) conste-'t-<‘,-‘)/2,	(7.2.9)
откуда и вытекает утверждение (с).
Для изучения локальных особенностей функции g произведем замену й2 =
= s2t~2, так что
ОО
td~2g (О = I Sd~2 I j ехр [— s(l + t2s-2)1/2]sd-3(l +?s-2)“I/2ds.	(7.2.10)
о
В случае d 3 интеграл (7.2.10) ограничен своим значением при t=0 и
td~2g (t) монотонно сходится при t -> 0 к этому ненулевому пределу. Поэтому
g (t) ~ t~d+2 при t -> 0, и свойство (d) установлено. Если же d = 2, то, на-
писав s = /ц, получим, что при t О
СО
g (0 = e~s (s2 - t2)~1/2 ds---In t,	(7.2.11)
7.3 Периодические граничные условия 147
и этим завершается доказательство предложения. (В самом деле, используя со-
отношение |Sn~*| = 2л'1/2/Г(п/2), получим значение постоянной а в (7.1.2) при
d 3, а в случае d = 2 значение а. = 1/2л получается из (7.2.11). Постоянная
в (7.1.3) находится совершенно аналогично путем анализа констант в соотно-
шениях (7.2.8—9).)
7.3 Периодические граничные условия
Рассмотрим периодические граничные условия с периодом L =
= (Ц, Ld), Lj е Z+. Тогда функции f из области определения
оператора Лапласа Др удовлетворяют равенству f (х) — f (х + nL),
где nL — {njLj: j=l, 2, ..., d} ^Zr!. В случае d = 2, например,
граничные условия задаются на совокупности Г ребер решетки, ле-
жащих иа границе конгруэнтных прямоугольников Z-i X Т21 которые
образуют «паркетное» покрытие плоскости R2.
Предложение 7.3.1. При т > 0 для ковариации, отвечающей перио-
дическим граничным условиям, справедлива формула
Ср(х, у) — £ C(x-y + nL).	(7.3.1)
nL е
Бесконечный период L/ — оо означает отсутствие граничных
условий в направлении /-й координатной оси. Ряд (7.3.1) расхо-
дится при т — 0, а основанные на нем оценки неравномерны при
По этой причине мы предполагаем, что mL, отделено от
нуля. То же ограничение вводится при рассмотрении ковариацион-
ных операторов с граничными условиями Дирихле и Неймана.
Доказательство. Ряд сходится экспоненциально в силу оценки (7.2.3). Как видно
из (7.3.1), сумма Ср является периодической функцией. Каждый куб укрупнен-
ной решетки (т. е. вымощенной кубами с ребром L) содержит единственный век-
тор tiL. Поэтому (— Д + /и2) Ср = X 6 (х — У + пь)' Следовательно, в силу един-
nL
ственности решения линейной граничной задачи, Ср является периодической
ковариацией. Я
Следствие 7.3.2. Периодическая ковариация Ср обладает следую-
щими свойствами-.
(а) Ср-—положительный оператор в пространстве Ь21)-,
(Ь)0< С(х, у)< Ср(х, у) = Ср(у, х);
(с) если произведение пг | х — у | близко к нулю, то
Ср(х, у)^(	npU d>3,
I—-In (mix — у I) при d = 2.
Доказательство. Свойство положительности оператора Ср в пространстве L сле-
дует из того, что после преобразования Фурье оператор Ср становится операто-
ром умножения на (р2 + zn2)-1	0. Свойства (Ь) н (с) вытекают из формулы
(7.3.1) н предложения 7.2.1 |
*) Этот оператор следует рассматривать в пространстве функций, опреде-
ленных на кубе. — Прим ред.
148 Гл. 7. Ковариационный оператор
7.4 Граничные условия Неймана
Для задания граничных условий Неймана в качестве границы Г
рассмотрим набор гиперплоскостей, разбивающих пространство
Ra на периодическую решетку (как в рассмотренном выше перио-
дическом случае). Область определения оператора Лапласа —A.v
с граничными условиями Неймана состоит из функций f(x), у ко-
торых нормальная производная df/dn во всех точках границы Г
равна нулю.
С помощью метода изображений получим простую формулу для
ковариационного оператора Неймана Сц(х, у). Пусть задано
у = у0- определим множество точек {///}, 7 = 0, 1, 2, ..., следую-
щими двумя условиями:
1) Уо е {iii};
2) множество {///} инвариантно при отражениях относительно
любой гиперплоскости, принадлежащей границе Г.
Пусть А — связная компонента множества 7?d\r. В соответ-
ствии с данным определением каждая А = А/ содержит ровно одну
точку у,.
Предложение 7.4.1. Пусть пг>0. Тогда для ковариации Неймана
справедлива формула
£ С(х - уд при х, уеА,
1=о
. 0	при хе Л, у е. Л.' =/= Л.
Доказательство. Так как каждая компонента Л; содержит только одну точку у,,
то применение оператора (—Дм + т2) к правой части равенства (7.4.1) дает
8(х— у). Далее, выполнение граничных условий Неймана гарантируется инва-
риантностью множества {уд при отражениях относительно гиперплоскостей из
набора Г. Следовательно, правая часть формулы (7.4.1) равна CN в силу един-
ственности решения линейной граничной задачи. Ц
Теорема единственности может быть использована и для дока-
зательства симметрии Cn(x, у)= Сн(у, х) в следующем утверж-
дении.
Следствие 7.4.2. Ковариация Неймана удовлетворяет следующим
условиям-.
(а)	Сц — положительный оператор в пространстве L2\
(Ь)	0 < С (х, у) < CN (х, у) = Си (у, х), х, у е Л;
(с)	если произведение т\х — у\ близко к нулю, то
CN(x, у)
| х — у | d+2 при d > 3,
— 1п(т|л —£/|) при d = 2.
7.5 Граничные условия Дирихле 149
7.5	Граничные условия Дирихле
Определим оператор Лапласа Аг с граничными условиями Ди-
рихле на Г, взяв в качестве его области определения набор функ-
ций f(x), которые обращаются в нуль при хеГ. Другими словами,
—Дг есть расширение Фридрихса (см. [Kato, 1966]) оператора
—А, ограниченного (как билинейная форма) на С°°-функции с но-
сителем в 7?d\r. Пусть Сг — (—Аг +т2)-1. Случай множества Г
общего вида будет рассмотрен в § 7.7—8, а здесь мы ограничимся
таким Г, которое, как и выше, является набором гиперплоскостей,
разделяющих Rd на периодическую решетку. Пусть Cd — ковариа-
ционный оператор Сг в этом специальном случае.
Применив метод изображений, мы получим для Cd явную фор-
мулу. Пусть {///} — множество изображений, использованное выше
при изучении оператора Си, а точка у, получена из у = у0 при
помощи 8/ отражений относительно гиперплоскостей из Г. Заметим,
что (—1)Е/ не зависит от выбора последовательности отражений.
Предложение 7.5.1.
г оо
СЛЙ- S0(-l)‘'C(x-S,) при x.jeA,	(751)
. О	при хеЛ, у е Л' =# Л.
Доказательство. Множители (—1)Е^ выбраны так, чтобы сумма (7.5.1) обраща-
лась в нуль при х е дА. Поскольку каждое множество Л/ содержит только
одно yh применение оператора —Дс + т2 к сумме (7.5.1) дает 6(х— у) для
любой точки х из внутренности Л. В силу единственности решения линейной гра-
ничной задачи, правая часть (7.5.1) равна CD. £
Следствие 7.5.2. Для ковариации Дирихле справедливы следующие
утверждения-.
(а)	Со — положительный оператор в пространстве Ь2',
(Ь)	0 Cd (х, у) = Cd (у, х) < С (х, у);
(с)	если произведение т\х — у\ близко к нулю, то
CD(x, y)~fIX~yl	npU d>3’
I—ln(m|x — #|) при d = 2.
Доказательство. Свойство (а) следует из того, что оператор CD является обрат-
ным к положительному оператору —Дс + т2. Локальная регулярность (с) сле-
дует из равенства (7.5.1). Для доказательства свойства (Ь) воспользуемся прин-
ципом максимума: функция f(x), непрерывная в ограниченной замкнутой обла-
сти й и удовлетворяющая во внутренности й уравнению (—Д -|- m2)f (х) — О,
достигает своего положительного максимума и отрицательного минимума на
границе <9П. Пусть й = Л — связное подмножество 7?Й\Г. Для точки у е Л по-
ложим f (х) = С(х, у)—CD(x,y). Поскольку на границе дА функция f(x) =
— С(х,у) положительна, ее минимум не может быть ни отрицательным, ни ну-
левым, т. е. f(x) >0. Это рассуждение доказывает верхнюю оценку в (Ь).
Нижняя оценка для у е дА очевидна, так как в этом случае CD(x, у) = 0.
Пусть у е= Int Л, а ЛЕ обозначает множество Л без е-окрестности точки у.
В силу утверждения (с), при достаточно малом е > 0 для х е йЛе верно нера-
150 Гл. 7. Ковариационный оператор
венство СДх, у) 7^ 0. Но в области Лг мы имеем (—Д-(-/п2)Сс = 0. Поскольку
ковариация Сс не имеет особенностей в ЛЕ, снова можно применить принцип
максимума. Поэтому ковариация Сс не может иметь внутри Л отрицательного
минимума и, следовательно, Св 7& 0. §
7.6	Изменение граничных условий
0 sSC f>cD (х) < — 6cN (х)
Несмотря на то что ядро Св(х, у) с произвольными граничными
условиями В = 0, N, D, р и т. д. имеет особенности на диагонали
х — у, разность двух таких ядер сингулярна только на границе Г.
С этими разностями мы встретимся при обсуждении перемены
викова упорядочения, поэтому весьма интересны их оценки. Для
В = N, D или р положим
6св(х) = lirn [С (х, у) — Св(х, у)]	(7.6.1)
Ц-*х
(с(х)=С(х, х) равно бесконечности). Как п выше, пусть Л обо-
значает связную компоненту множества 7?d\r.
Предложение 7.6.1. Для любого хеЛ
const dist (х, с?Л)_'! 1'	при
const (1 +1 In dist (x, дЛ) |) при d = 2.
(7.6.2)
Кроме того, разность —bcp (x) положительна и допускает такую же
оценку сверху.
Доказательство. Положительность бсв(х) следует из предложения 7.5.1 п опре-
деления разности 6сс. Второе неравенство вытекает из (7.6.1) и положительности
функции С (х, у), а именно
6cD (х) == — jr (—1)е/ С (х —	(х — х^ = — 6cN (х).	(7.6.3)
/=1 ‘ /=1
Заметим, что при х-><?Л точка х приближается не менее чем к одной и не
более чем к 2d— 1 (в углах Л) точек X/. Поэтому верхняя оценка (7.6.2) выте-
кает из предложения 7.2.1 о локальных особенностях ядра С(х — у). Для св дока-
зательство проводится аналогично. Ц
7.7	Ковариационные неравенства
В предыдущих параграфах мы сравнивали ядра ковариационных
операторов с разными граничными условиями; теперь займемся
сравнением самих операторов, рассматриваемых как билинейные
формы на пространстве L2~X.L2. Наметим основные идеи, опустив
строгие доказательства. Напомним, что А В означает, во-пер-
вых, включение для областей определения билинейных форм
Фв с: Фа и, во-вторых, выполнение неравенства <х, Лх> <х, Вх>
для любого х^Фв. Областью определения билинейной формы one-
7.7 Ковариационные неравенства 1В1
ратора Ав является множество функций
(®д = {f £= Lz'. с= Z-2}.
Здесь Vf — производная обобщенной функции, так что
определена для всех f е Ь2. Если Vf е Ё2, то можно показать, что
ограничение f|r определено и принадлежит Е2-пространству на
гиперповерхности. Будучи элементом L2 как функция на гиперпо-
верхности, функция f непрерывна вдоль нормального направления.
Подобный анализ применим и к односторонним производным.
Пусть V+/-f обозначает градиент, двусторонний (т. е. обычный)
во внутренности /?Й\Г и односторонний в направлении, нормаль-
ном к Г. Тогда областью определения оператора \А будет мно-
жество
=	V+/_feT2}.	(7.7.1)
Заметим, что функция f е как элемент пространства L2 на
гиперповерхности односторонне непрерывна в нормальном направ-
лении, но может иметь скачок при переходе через Г. Аналогично
0дг = {f 6= L2: Vf е Д /1 г ===== 0}.	(7.7.2)
Так как Й)дг cz cz то
— Aw «С — A sgC — Аг, sgC — Аг2,
(7.7.3)
где Г1 cz Г2. Для обратных операторов, следовательно, имеют место
неравенства
0<Cr=<Cri<C<Cw.	(7.7.4)
Областями определения этих операторов являются множества
& (оператор) = {/ S 0	| <Vf, Vg)Li | <
< const II g 11^ для всех ge®(6“”S'a”)}-
С помощью интегрирования по частям легко убедиться, что это
определение эквивалентно общепринятому. К примеру, для функ-
ции f из области определения оператора Aw и функции g е С°°
(у которой скачки через Г, тем не менее, допустимы),
справедливо равенство
V/ (х) Vg (х) dx = $ (— Af (х)) g (х) dx —
— J (n-Vfig^+ (n-Vf)grfx.
Здесь Г+, Г_ — две стороны гиперповерхности Г, так что функция
g однозначна на Г+ и Г_, даже если она имеет скачок на Г. Так
как слагаемые в последней формуле независимы, то каждое из них
152 Гл. 7. Ковариационный оператор
определяет непрерывный функционал на L2. Выбирая, например,
функцию g непрерывной при переходе через Г, получим, что вто-
рое и третье слагаемые взаимно уничтожаются. Поскольку А/ е L2
(берутся односторонние вторые производные на Г), то функция Vf
односторонне непрерывна в нормальном направлении и, следова-
тельно, во втором и третьем слагаемых Vf |г^_ е Д2 (Г). По-
скольку отображение £~>й'1г+/_ не является непрерывным в L2,
а функционалы от g, определяемые вторым и третьим слагаемыми,
непрерывны в пространстве L2, они должны обратиться в нуль.
Поэтому Vf|r — 0.
7.8 Общие граничные условия Дирихле
При изучении кластерного разложения в гл. 18 нам понадобятся
граничные условия Дирихле на множестве Г, являющемся объеди-
нением гиперплоскостей, образующих решетку. При исследовании
предельного перехода к бесконечному объему в гл. И, 18 в ка-
честве Г будет выбираться поверхность двух кубов, вложенных
один в другой и отделенных друг от друга. Для того чтобы изучать
именно такие ковариационные операторы, удобно иметь соответ-
ствующее представление для оператора Сг, которое мы здесь и
получим. Вообще говоря, не существует разложения Сг в элемен-
тарный ряд (типа (7.5.1)), однако утверждения следствия 7.5.2
остаются справедливыми.
Формула для оператора Сг, которую мы хотим получить, ис-
пользует впнеровское интегральное представление. Метод, приме-
няемый при ее выводе, идейно прост, но технически сложен. По-
этому мы ограничимся лишь схемой доказательства. Пусть dWxy
обозначает условную меру Винера на множестве непрерывных
траекторий со(т) из точки х в точку у, таких, что со(О) = х, со(/) = у.
Обозначим уг характеристическую функцию множества тех траек-
торий, которые не пересекают Г. Иначе говоря,
( 0, если со (т) е Г для некоторого т, 0 т t,
Xг(®) = { ,	(7.8.1)
г (1 в остальных случаях.
Покажем, что ядро оператора еМг можно получить, рассматри-
вая только те траектории, которые не пересекают Г, а именно
е*дг (х, у) = J уг (со) dW'xy (со).	(7.8.2)
В частности, если Г = 0, то соотношение (7.8.2) превращается
в известную уже формулу (3.1.14) для свободных граничных усло-
вий, Взяв преобразование Лапласа от (7.8.2), получим ядро one-
7.8 Общие граничные условия Дирихле 153
ратора
Сг(х, £)=$	у} =
О
= $ dte~tm! jj
о

(7.8.3)
Более подробное изложение винеровского интегрального представ-
ления для граничных условий Дирихле (и Неймана) см. в работе
[Ginibre, 1971].
Наше доказательство формулы (7.8.3) опирается на другое
определение граничных условий Дирихле. Введем граничные усло-
вия Дирихле на границе Г = дЛ области Л, рассматривая потен-
циал, равный константе на 7?d\A, и устремляя затем эту кон-
станту к бесконечности. Тем самым в пределе мы получим Дл —
оператор Лапласа в пространстве Т2(Л) с граничными условиями
Дирихле на дЛ. Аналогично построим Ддо\,у» После этого оператор
Дг есть не что иное, как сумма двух коммутирующих операторов
Дл и в пространстве L2(Ra). В случае когда контур Г не охва-
тывает никакой области Л, мы построим Дг, «раздувая» Г так,
чтобы получилась небольшая область, а затем устремим «разду-
тие» к нулю.
Предложение 7.8.1. Пусть Л — область в Rd с границей с?Л, а
Хл(х) — характеристическая функция Л. Тогда
Хл (— Аал + т2У' Хл = Ит (— Д + т2 + Лхл,)“ *,	(7.8.4)
Л~>СЮ
где А' = Rd\A.
Следствие 7.8.2. Для области Л с границей Г — дЛ справедливо
соотношение
СГ = lim (— Д + ш2 + Л/Д-1 + lim (— Д + пг2 + Л%л,)'' °==
Х->ОО
-(-Дг + ^Т1.	(7.8.5)
Лемма 7.8.3. Оператор С(Х) = (—Д т2 Ххл,)-1 монотонно убы-
вает по К и сходится при 7.->оо к сильному пределу С. Ядро
С(Z, х, у) при Л—>оо убывает и сходится при х=^=у к ядру С(х, у).
Кроме того, оператор С самосопряжен.
Замечание. Далее в тексте оператор С отождествляется с левой
частью формулы (7.8.4).
Доказательство. Монотонность следует из тождества
dC (A)/dA = - С (Л) хЛ,С (Л) < 0.	(7.8.6)
164 Гл. 7. Ковариационный оператор
Поскольку С(>.)—положительный оператор, для любой функции f е L2 суще-
ствует lim<f, C(X)f>, а оператор С = w. limC(X) ограничен и самосопряжен.
Положим В (к) = С(Х)—С 0. Тогда || В (X) l/2f II -*• 0 для произвольной функ-
ции f, поэтому s. lim В (X)1/2 = 0 и s. limB(X) = 0. Значит, оператор С(Х) сильно
сходится к С, что и утверждалось.
Как и в § 7.5, оператор С {к) имеет строго положительное ядро, а тождество
(7.8.6) гарантирует поточечное монотонное убывание ядра С(к, х, у). Следова-
тельно, limC(X, х, у) = С(х, у) 0 существует для всех точек	J
Следующий результат является частным случаем сходимости
графиков операторов. Общее обсуждение см. в работах [Glitnm,
Jaffe, 1969, 71b],
Лемма 7.8.4. Оператор С = s. limC(X) отображает пространство
в себя. Более того, оператор С = /лС/л имеет самосопря-
женный обратный в L2(A.).
Доказательство. Чтобы определить оператор, обратный к С, покажем, что
Ker С = L2(Rd\A) = (Im С) -L. Из этих двух равенств следует, что оператор С
имеет обратный С-1, который определен на плотном множестве и действует в
пространстве Д2(Д). Так как С самосопряжен (и ограничен), то Im С~* = об-
ласть определения С = Т2(Л) и оператор С~1 также самосопряжен.
Сначала докажем, что Д2(ЛЙ\Л) с Ker С. Так как оператор С ограничен,
множество Ker С замкнуто. Поэтому достаточно проверить, содержится ли в
Ker С плотное подмножество Z.2(Bd\A). В качестве такого подмножества выбе-
рем функции класса С2 с компактными носителями в 7?Й\Л. Для таких функций
f е Cq (/?'' \Л) положим
f(k) V’C(X)-‘f = X~‘(-A + m2)f + f-	(7.8.7)
Тогда || f{k) — f || = k~l || (—Д + m2)f || — О(к~') при Х->оо. Из тождества
C(X)f(X) = k~lf следует, что
II С (X) f II = II С (к) {f - f (X)} + С (X) f (X) II <
<||С (X) llllf - f (X) II + X-1 llfll < О (X-1) при Х->оо. (7.8.8)
Так как оператор С(Х) сильно сходится к оператору С, то Cf = 0.
Теперь покажем, что Ker С с Д2(ЛЙ\Л). Пусть f s Ker С, a geC^fA)
Тогда
0 = ((- Д + m2) g, Cf) = ((- Д + т2 + Х%А,) g, Cf) =
= (С (X)-1 g, Cf) = Нт (С (X)"1 g, С (X) f) = {g, f).	(7.8.9)
Поскольку векторы g плотны в пространстве L2(A), это означает, что
f еД2(Л)Т = Д2(ЯЙ\Л) и Ker С = L2(Rd\A).
Так как оператор С самосопряжен, Кег С = (Im С) -L. В самом деле, для
векторов g е Кег Си I eL, (Rd)
{g, Cf) = lim {g, C(k)f) = lim (С (X) g, f) = {Cg, f) = 0	(7.8.10)
X->OO	Л“>ОО
и, значит, ge (ImC) JL и KerC cz (Im C) J-, Аналогично доказывается обратное
включение. Ц
Доказательство предложения 7.8.1. Осталось только отождествить операторы С~1
й —Дд + m2- Для этого заметим, что оператор Лапласа с граничными уело-
7.8 Общие граничные условия Дирихле 155
виямп Дирихле является расширением по Фридрпхсу оператора Д, рассматри-
ваемого как билинейная форма на Cg (Л) X Cg (Л). Для ре Сд(Л) и /еСДА?'1)
справедливо равенство
(- А + м2) g = (-А + т2 + ЛхЛ,) g = С (Z)-'g	(7.8.11)
а, далее,
((- Д + т2) g, Cf) = to,(с (Л)"1 g, С (Л) f) = (g, f) =
= lim (С (Л) (- А + т2) g, f) = (С (- А + т2) g, f).	(7.8.12)
Л->О0
Отсюда g = С (— А + т2) g е Im С — S) (С-1) и С-1 дэ — Л + т2| 2 Так как
со(Л)
оператор С-1 самосопряжен и положителен, он замкнут одновременно и как
оператор, и как билинейная форма. Поэтому С~1 есть расширение замыкания
билинейной формы— Ад + tn2, рассматриваемой первоначально на области Сд (Л).
Область определения билинейной формы положительного самосопряженного
оператора совпадает с операторной областью определения корня квадратного из
него (см. [Kato, 1966]). Поэтому мы закончим доказательство, установив следую-
щее включение для областей определения операторов:
®(С-‘/2) cz 0((—Д + т2)1/2).	(7.8.13а)
В силу неравенства —Д С(Л)-1, получим II VC (X)*^2f II/., Ilf поэтому по-
следовательность {С(/.),/2|} ограничена по ?. в градиентной норме. Для функции
/ie®(A) имеет место сходимость (ГЛ, VC(Z) ,/2f) -> (—ДЛ, Clt2f\ Поэтому
последовательность С(£)1/2/ для всюду плотного множества f слабо сходится
в градиентной норме и равномерно ограничена (относительно этой нормы). Сле-
довательно, в гильбертовом пространстве с градиентной нормой она слабо схо-
дится к пределу Ci/Zf. Кроме того, справедливы неравенства
II vc1/2f ||l2 to II гс (Л) ll2f ||£2 с II f HLs.
к
Поэтому
®(С~’/2) = [m CV2 сз ®(—Д1/2).
Другими словами, функция С1/2/ имеет конечную норму Дирихле для функций f
таких, что V/e£2(/(d)- Из леммы 7.8.4 следует, что С,/2[ = О на множестве А'.
Теперь мы оценим £2(/?d—*) -норму III-Illg функции Ci/2f в плоскости, параллель-
ной дА и отстоящей от нее на е. Пусть п — координата, нормальная к дЛ., а
р — набор координат в плоскости, параллельной дЛ (тангенциальные координа-
ты). В этих обозначениях положим ||| { |||2 = | f (п, р) |2 dp-, тогда
е
lllc^lll^j^llIcvVHU)^.
О
Из неравенства треугольника для нормы в пространстве L2(Rd~i) получим, что
1177 1'1cl/2f | ^ ||| 'ЛГ C'l2f ||L ’ Подставляя эту оценку в предыдущее равен-
ство н применяя к интегралу по п неравенство Шварца, найдем, что
III C^f |||е < eV21| ГС1/2/ ||L2 < e*/21| ЛЬг.	(7.8.13b)
Стандартным способом применяя операцию свертки, легко показать, что С1/2/
аппроксимируется в градиентной норме гладкими функциями. Слегка вндоизме-
156 Гл. 7. Ковариационный оператор
няя свертку вблизи границы Л, можно аппроксимировать С1/2( (в той же гра-
диентной норме) и функциями класса Сд (Л). Отсюда следует, что
Ф (- Д'Z2) П£2 (Л) <= SD ((- ДЛ + т2)|/2),
а это и доказывает включение (7.8.13а). |
Замечание 1. Из неравенства (7.8.13b) вытекает, что функции из
—Д1/2)П L2(A), рассматриваемые как £2-функции по танген-
циальным переменным, удовлетворяют условию Гёльдера по пере-
менной, нормальной к дЛ. Таким образом, предельные значения
этих функций на границе дЛ существуют и обращаются в нуль.
См. подробности в книге [Agmon, 1965].
Замечание 2. Пусть Г — дЛ. По формуле Фейнмана — Каца из
гл. 3 получим
е-щаг1 (х> у} = e-t (-Д+m’+Xxv) у} и
[t	_
- Л J %Л, (® (т)) dx dWtxy (со). (7.8.14)
о	J
При Х->оо правая часть по теореме Лебега о мажорированной
сходимости стремится к e~tm’ K^t^dW^y (со). Левая же часть,
согласно доказанному предложению, стремится к ядру оператора
ХЛехр[/(Дол— /и2)]Хд .Складывая это выражение с соответствую-
щей формулой для области Я2\А, получим равенство (7.8.3) как
тождество ядер операторов в Ь2.
Замечание 3. Граничные условия Дирихле можно определить по-
следовательно на контурах Гь Г2, охватывающих области Ai, Д2,
при помощи следующей формулы, которая доказывается анало-
гично предложению 7.8.1:
(— дГ1ига4-^2)_1 =
еПт^-Aj, +/п2 + Лхл,)-1 + Дг +т2 +(7.8.15)
Замечание 4. Можно задать граничные условия Дирихле на
«ребре» Ь, не охватывающем никакой области. Используя изложен-
ный выше метод, определим граничные условия Дирихле на кон-
туре дЬе, где ЬЕ — некоторая е-окрестность Ь. Монотонность соот-
ветствующего ковариационного оператора по е следует из тож-
дества (7.8.6) (ср. с замечанием 3). Тогда
(— Дгиь +	z/) = sup(—Arua»„ + m2)-1(x, у).	(7.8.16)
е
Как и выше, можно показать, что векторы ((—Дгцо _+ /п2)”1/) (х)
из образа оператора с ядром (7.8.16) при стремятся к нулю
по нормальной переменной.
7.8 Общие граничные условия Дирихле 157
Замечание 5. Из предыдущих рассуждений, обобщая предложение
7.6.1, можно вывести, что ядро ковариационного оператора Ди-
рихле Сг монотонно убывает при расширении множества Г. По-
ложим
бсг (х) = Шп [С0 (х, у) — Сг (х, г/)].	(7.8.17)
Предложение 7.8.5. Если Г] cz Г, то
О < Сг (х, у) < Сг, (х, С {х, у),	(7.8.18)
0<fcr W<6CrW<|const(1 + dis,fc О’"2) при rf>3,
I const (1 +1 In dist (x, Г) |) при d = 2.
Доказательство. Нужно установить только верхнюю оценку в неравенстве (7.8.19).
Пусть точка х лежит в ячейче А решетки, а b <= дЛ — гиперплоскость (ребро)
ближайшая к х. Если b cz Г, то верхняя оценка следует из неравенства (7.6.2),
гак как бс Г ficD. Теперь предположим, что ребро b не содержится в множе-
стве Г, а Л = A U А' — параллелепипед, образованный двумя смежными ячейками
решетки, так что б с: dA (J <?Д'. Сдвиги параллелепипеда Л покрывают все про-
странство Rd; ковариационный оператор с граничными условиями Дирихле на 5А
обозначим СаЛ = CD. (При подходящем выборе решетки этот оператор Св сов-
падает с оператором Св из § 7.5.) Таким образом, если х, у е Л, то, в силу
(7.8.18), СеЛ (х, у) < Сг (х, у) и бсг (х) < бсал (х) при х е= Л.
Пусть Ь’ — «ребро», ближайшее к точке х. Если b' (1Г 0, то верхняя
оценка, как и выше, следует из неравенства (7.6.2). Если же b' (1 Г = 0, то мы
построим новый параллелепипед A(JA' и повторим предыдущие рассуждения.
В случае, когда точка х лежит внутри Л, мы закончим доказательство самое
большее после d шагов. В случае, когда х лежит вне Л, оно с помощью монотон-
ности по-прежнему сводится к оценке (7.6.2). |
Дополним оценку (7.8.19) оценкой убывания величины бсг (х)
на больших расстояниях.
Предложение 7.8.6. Пусть величина бсг определена формулой
(7.8.17), а расстояние dist(x, Г) отделено от нуля. Тогда
О < бсг (х)< О (1) e~2m dist <*• r,/VJ.	(7.8.20)
Доказательство. Если dist (х, Г) = г, то точку х можно выбрать в качестве
центра d-мерного куба В со стороной I = ‘2.rl'yd, такого, что В (1 Г — 0. Пусть
граница этого куба дВ и ее сдвиги порождают некоторую решетку 1\. По пред-
ложению 7.8.5 для х е В имеем 0 бсг (х) бсГ1 (х). Но бсГ1 выражается
формулой (7.6.3) при х — х, > Z. Следовательно,
бсг < О (1) е -Ъп dist (х, r)/Vd. |
Предложение 7.8.7. Пусть d = 2. Для любого 1 q оо сущест-
вует такая постоянная К. = K{q), не зависящая от m 1 и от
оператора С е ’ё'щ {множество ковариационных операторов 'ё'т
определено ниже в § 7.9), что для любой ячейки Д решетки
WbCY^\\Lq{^Km~44-	<7A2D
Доказательство. Изменяя, если нужно, масштаб, можем считать, что m = 1.
Тогда утверждение вытекает из предложений 7.8.5, 7.8.6 и формулы (7.2.2). |
158 Гл. 7. Ковариационный оператор
7.9 Регулярность оператора Св
Определение. Обозначим Й’т выпуклую линейную оболочку кова-
риационных операторов, рассмотренных в § 7.1—8, с массой т.
Точнее, ЯЗ т состоит из операторов Св ==(— Дв -J- иг2)-1, где tni~^ т
и В = 0, р, D, N или Г. Кроме того, пусть 'ё’т с^'ё’т обозначает
подмножество тех выпуклых комбинаций операторов, для которых
/71 ОТ] М.
Мы будем опускать индексы т и М, когда в них нет необходи-
мости.
В этом параграфе будет закончено доказательство теоремы
7.1.1. Резюмируя содержание предыдущих параграфов этой главы,
заметим, что свойство локальной регулярности (7.1.2) и свойство
Р1 поточечной положительности (§ 7.1) вытекают из асимптотик
(7.2.4—5), следствий 7.3.2, 7.4.2, 7.5.2 и неравенства (7.8.18).
Свойство (Р2) положительности оператора (§ 7.1) следует из
определения ковариационного оператора Св.
Осталось доказать свойства локальной регулярности (LR1—3)
(§ 7.1). В случае, когда ковариационные операторы с периодиче-
скими граничными условиями Ср исключены из выпуклой суммы
С, можно доказать убывание С(х, у) на больших расстояниях
между х и у. Пусть {Д,} — покрытие R2 единичными квадратами,
причем ieZ2 — левая нижняя вершина квадрата Д,-. Напомним,
что h, 6И и £ были определены в § 7.1.
Предложение 7.9.1. Пусть	где масса т отделена от нуля.
Тогда для р <Z оо и d — 2
sup||(C£)(x, -)||L < const,	(7.9.1)
X	р
|| (биСби) (х, х) ||Loo < const In %.	(7.9.2)
Если операторы Ср исключены из суммы С, то справедлива
асимптотика (7.1.3) и, кроме того,
sup || С (х, ’)Hz,	const,	(7.9.3)
х	р
иС4lp (Д/X др <const •	d,S‘(Л/> ч (7.9.4)
причем здесь все константы не зависят от С и к.
Доказательство. Все эти оценки следуют из неравенств (7.2.3) и (7.2.6) для сво-
бодной ковариации С0. С помощью разложений (7.3.1), (7.4.1) и (7.5.1) и пото-
чечной верхней оценки 0 СГ С0 (7.8.18) можно получить аналогичные не-
равенства для операторов СБ, В — р, N пли D. Для доказательства оценки
(7.9.4) воспользуемся соотношением (7.2.2). Для С = С0 имеем
7.9 Регулярность оператора Св
159
где mNi = {mx: хеД/}. В силу оценок (7.2.3) и (7.2.5), выражение (7.9.5)
ограничено сверху величиной
1/р -т
е
dist (Д., ДЛ	— 2/п -И! dist (Дл Д.)
' 1 * — const in ре v 1 1 .
Для операторов Си и Со эта опенка получается аналогично с помошыо явных
формул, а для Сг с помощью поточечной верхней оценки. И
Доказательство теоремы 7.1.1 сводится теперь к проверке свой-
ства (LR2), для которого существенна оценка дробных производ-
ных С в классе Ll°c. Эта оценка является более тонкой, потому
что ее нельзя вывести из поточечных верхних оценок.
Теорема 7.9.2. Пусть С где масса m отделена от нуля,р<^ оо,
a d — 2. Тогда для некоторого е > 0 и Xi х2 справедливо нера-
венство
II	6Zz) S2 X yj!) Const Х( е
при X] -> оо, причем постоянная не зависит от оператора С, но за-
висит от значений р, е, Si и £2-
Замечание. Для данной функции S е Со° выберем функцию Si е Со°
равной 1 в окрестности носителя S- Тогда для достаточно боль-
шого х справедливо соотношение S^nC = £би£1С'. При доказатель-
стве свойства (LR2) мы выберем значения параметров х, стоящих
в (LR2) по обе стороны от оператора С, независимо. Тогда
IIS* AS - ?6xC6Z2s lkp=II ?6xSiC (бх, - 6И2) S llLp <
< const IIS1C (6x, — биг) S Hbp,
так что свойство (LR2) следует теперь из теоремы 7.9.2.
Доказательство для р = 2, С ~ С0. В этом случае операторы би и С коммути-
руют, поэтому утверждение теоремы содержится в двух следующих леммах. На-
помним, что норма Гильберта — Шмидта II A ||Hs оператора А— это норма его
ядра в пространстве L2, для которой выполняется неравенство II АВ ||Hs <
<11 А II || В ||hs. 
Лемма 7.9.3. Пусть С *= С0. Тогда при 0 <1 а <1 1 /2
ЦСЙ(6И1 - бИ2)||< О(хГ2й).
160 Гл. 7. Ковариационный опепатор
Доказательство. Норма оператора С° (бИ1 — совпадает с Loo-нормой пре-
образования Фурье его ядра. Вычисления с использованием определений
(7.1.4—5) показывают, что эта норма равна sup (р2 + 1)~й| Л (p/xi) — h (р/хг) |-
р
Для |р| подставляя, получим
|L(p/xj) — й(р/х2) | < 0(1) |р/Х1|2“,	(7.9.6)
а для |р | Js Xi аналогично
|Я(р/х.) -й(р/х2) | sS 0(1).	(7.9.7)
Константа 0(1) зависит от h, но h фиксировано. |
Лемма 7.9.4. ПустьС — С® и А = Cat. Тогда для а > 1/4 оператор
А*А является оператором Гильберта — Шмидта, так же как и сам
оператор А при а> 1/2.
Доказательство Имеем || Л*Д ||Hs = ЩС2й(; II hs II £11 П С2й£ IIhs. Преобразова-
ние Фурье ядра оператора C2“t равно (р2 + 1)-2а£(р—</), и, следовательно, при
а > 1/4 ядро принадлежит пространству L2(7?4).
Доказательство теоремы 7.9.2 для р — 2, С = Ср, CD или Сн. Так как функция &
имеет компактный носитель, можно рассматривать вместо С оператор ХдОХд
Пусть
Г .	( 2 . .\_1/2+Т ( 2 .
(р) = (Pi + 1) (Рг + О »
а С(р, q) обозначает преобразование Фурье ядра оператора ХдС%д. Доказатель-
ство теоремы содержится в следующих двух леммах.
Лемма 7.9.5. Для любого у > О
IС (р, q) К const (р) Fy (q).
Доказательство. По условию ядро С есть сумма сдвигов и отражений ядра опе-
ратора С0. Пусть С/ — один член из этой суммы. Сдвиги по пространственной
переменной х никак не влияют на |С;|, а вот отражения соответствуют преобра-
зованию р->-—р. Умножению на характеристическую функцию Хд в преобразо-
вании Фурье соответствует, как известно, свертка с хА> причем (Хд | const Fy,
Поэтому
I Су | < const j Fy (р — г) (г2 + l)-2rv (г — ?) dr <
< const F2y (р) F2y (q).	(7.9.8)
Для того чтобы получить оценку, обеспечивающую сходимость суммы по /, мы
поступим следующим образом. С помощью тождества С@(х, у) — const g(|x—у|)
и представления (7.2.6) для функции g легко показать, что при больших значе-
ниях разности |х— у\ все производные ядра оператора С0 экспоненциально
убывают на бесконэчиости. Поэтому С,-(х, у) = Хд (*) Vj (х, у) Хд ({/)> где
| о; (г, s) | const (1 + г2 + s2)-” е °(dlst (л>
при любом конечном п. После этого (7.9.8) можно изменить так, чтобы послед-
няя константа стала экспоненциально малой по сравнению с константой в нера-
венстве (7.9.8). Теперь для завершения доказательства осталось только просум-
мировать по /. I
7.10 Положительность при отражениях 161
Лемма 7.9.6. Для любого у >> 0 справедлива оценка
II Хдс%л (би!— бх2) ? ||HS < const xj~I/2+v.
Доказательство. Пусть с обозначает преобразование Фурье ядра оператора
%ЛС%Л (бх, — бх2) £• в силу (7.9.6), (7.9.7) и леммы 7.9.5,
| с| < const Fy (р) Fv (г) | h (r/xi) — Я (г/хг) | £ (г — ?) dr <
< const (р) Fv (г)‘° *Га (1“ v) ( | г — q |2 + 1)~2 dr <
< const Fv (p) Fv (q)ia хГо(1~Ч
Выберем a< 1/2, (1 — a)(l—y) > 1/2; тогда ||c[|L2-=O(xfa<1-81), что и до-
казывает лемму. I
Доказательство теоремы 7.9.2 для р = 2, С = Ог. В рассматриваемом случае
О < С < Сф. поэтому О <	< 1- Введем операторы
А = ^с^с-^сс-'/2, В = (би, - бИ2) L
Так как ||ЛВ Hhs = Тг (ЛВ)* АВ = ТгВММВ = Тг А*АВВ* <
< (Тг (А*АУ)1>2 (Тг (B*B)2)'^ = || Я*Л||Н8 || В* B||HS,
ТО
II (6Z1 - 6.J £ ||HS = II АВ |HS < II Л*Л l^II В*В ||>/2.
По леммам 7.9.3 и 7.9.4 для любого е > 0 верно неравенство || В*В |IHS
< const х1'1/2+е, и аналогично, в силу леммы 7.9.4,
М*Л ||HS <||С01/2ССф1/2|2||C^2C^2||HS <|| ||HS < const. |
Доказательство теоремы 7.9.2, общий случай. Для того чтобы доказать теорему
для р = 2 и произвольного С, достаточно рассмотреть выпуклую сумму оценок,
полученных для С = Сг; тем самым общий случай сводится к предыдущему.
Обозначим сн ядро оператора ^Сб^; тогда си <= Lp (R2 X В2), причем по
предложению 7.9.1 £₽-норма си равномерно ограничена по и. Поэтому для
бе = си — сИ2> в силу доказанного для случая р = 2, имеем
|| 6с ||2"n = J 6С2" dX < ( J бс2 dX У2 ( J бс4”"2 dx)'12 <
< const X! Е (|| СИ1 ||l4n_2 + || СИ2 ||L4n_2)2n 1 < const %! е. 
7.10 Положительность при отражениях
Положительность скалярного произведения в гильбертовом про-
странстве квантовомеханических состояний была выведена нами
из свойства положительности при отражениях, которым обладает
ковариационный оператор С гауссовой меры dq>c (теорема 6.2.2).
В гл. 6 мы установили при помощи прямого подсчета такую
162	Гл. 7. Ковариационный оператор
положительность у свободной ковариации (—А-]-/)-1 (предложе-
ние 6.2.5). В § 10.4 мы увидим, что доказательство положитель-
ности в негауссовом случае опирается на соответствующий факт
для гауссовых квантовых полей.
Для построения нелинейных квантовых полей удобно устано-
вить свойство положительности и некоторых других мер, встре-
чающихся на промежуточных этапах построения. С этой целью
проанализируем ковариационный оператор С — (—Дв + /)-1, где
В — граничные условия Дирихле и (или) Неймана, заданные на
объединении Г кусочно-гладких гиперповерхностей. Предполагая
граничные условия инвариантными относительно отражений, дадим
общее доказательство положительности при отражениях для С.
А именно, мы покажем, что положительность при отражениях
эквивалентна уменьшению ядра оператора С при введении условия
Дирихле или Неймана на гиперповерхности, относительно которой
происходит отражение. Применяемый метод устанавливает поло-
жительность при отражениях и в случае периодических граничных
условий, а также для решеточной аппроксимации оператора С.
Сформулируем свойство положительности при отражениях для
оператора С = (—Дв-|-/)-1. Пусть П — гиперплоскость в про-
странстве Rd, а 0п = 9 — отражение (как преобразование Rd)
относительно П; той же буквой будем обозначать соответствующее
преобразование функций на Rd. Пусть, кроме того, 7?± — две связ-
ные компоненты множества	Заметим, что в пространстве
£2 (Rd) оператор 0 самосопряжен и 02 = /. Пусть П± — ортогональ-
ная проекция на L2(R^).
Определение 7.10.1. Если [0, С] — 0, то оператор С назовем ©-ин-
вариантным (т. е. инвариантным при отражениях относительно П).
Определение 7.10.2. 0-инвариантный оператор С назовем положи-
тельным при отражении 0 относительно П, если
П+0СП+ > 0.	(7.10.1)
Замечание 1. Так как [0, С] = 0, то неравенство (7.10.1) эквива-
лентно неравенству П_0СП_ 0. Таким образом, (7.10.1) — пере-
формулировка определения 6.2.1.
Замечание 2. По теореме 6.2.2 положительный при отражениях
оператор С является ковариационным оператором положительной
при отражениях гауссовой меры dq>c.
Теорема 7.10.1.* Рассмотрим Q-инвариантный оператор С =
= (—Дв + 7)-1, где В обозначает граничные условия Дирихле
и (или) Неймана на множестве Г. Тогда С положителен при отра-
жениях.
Доказательство. Пусть Р* «= (/±0)/2 — проекции соответственно и а четное и
нечетное собственные подпространства оператора 6. Заметим, что (/—-0)С =
7.W Положительность при отражениях 163
= 2Р-С = 2СР— Поэтому условие положительности (7.10.1) можно записать
в виде
П+[С — 2Р_С]П+	0.	(7.10.2)
Сначала докажем, что ограничение оператора 2Р-С на подпространство
совпадает с ограничением на L2 (^±) оператора Сс. Здесь CD =
=(—Дв, + Г)-1, где Ав»— оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле
на П и граничными условиями В на Г\П. Затем мы покажем, что Со С. По-
сле этого положительность (7.10.2) получается как следствие этих двух утвер-
ждений.
Первое утверждение вытекает из того, что (7 — 0)С(х, у) равно нулю на П
и (7 — 6) С удовлетворяет уравнению (—А + 7) (7—0)С(х, у) — 6(х — у). Второе
утверждение становится очевидным, если охарактеризовать билинейную форму
П±СБ'П± как ограничение билинейной формы С-1 на множество функций с
носителем в П±, равных нулю иа П. Более подробное объяснение см. в § 7.7.
Замечание 1. Случай свободной ковариации Г = 0 особый. Ис-
пользуя представление (7.5.1) с Г = П, обнаружим, что CD — это
обычный ковариационный оператор (—Дп+7)-1 с граничными
условиями Дирихле, заданными только на П.
Замечание 2. Положим по определению
CN = (/ + 0) С = 2Р+С = 2СР+.	(7.10.3)
Вместо (7.10.2) можно записать условие положительности при
отражениях (7.10.1) в виде
0^П+еСП+ = П+(Сл, —С)П+	(7.10.4)
или, что эквивалентно, П_(Сд,— С)П_^ 0. Мы утверждаем, опу-
ская доказательство, что здесь Си — ковариационный оператор с
граничными условиями Неймана на П и граничными условиями В
на Г\П. Лишь в частном случае свободной ковариации можно
непосредственно отождествить оператор Си с ковариационным
оператором в случае граничных условий Неймана, определенным
формулой (7.4.1).
Замечание 3. Из (7.10.2—4) следует, что положительность при
отражениях эквивалентна неравенству
0	П+0СП+ = (1/2) П+ (CN — CD) П+
или 0^n_(Cjv—СЪ)П_. Так как П+(С« — Сс)П_ = 0, можно
сделать вывод, что
CD CN.	(7.10.5)
В предыдущем замечании мы объяснили, что Си—это ковариа-
ционный оператор С с граничными условиями Неймана на гипер-
плоскости П, и при этом доказали обобщение свойства монотон-
ности, установленного в § 7.7—8. А именно, если оператор С =
= (—Дв + 7)-1 0-инвариантен, то CD CN, где D и N — соответ-
ственно граничные условия Дирихле и Неймана на П и граничные
164 Гл. 7. Ковариационный оператор
Рис. 7.1. Отражение тора Т1
относительно гиперплоскости;
— две компоненты множе-
ства Т1 \П.
условия В на Г\П. Более того, свойство монотонности (7.10.5)
эквивалентно свойству положительности при отражениях относи-
тельно П.
Рассмотрим теперь периодические граничные условия. Для
этого вместо Rd возьмем тор Та, а вместо гиперплоскости П — пере-
городку, делящую тор на две равные
части. Это легко представить нагляд-
но, вложив тор Td в пространство Rd+1
и продолжив перегородку П по гипер-
плоскости в Rd+1. Случай d = 1 изо-
бражен на рис. 7.1. Теперь П± — проек-
ции на пространство Лг-функцнй, но-
сители которых лежат по одну сто-
рону от П. Наряду с периодическими
допускаются и граничные условия В
Дирихле и (или) Неймана. С учетом
этих изменений формулируются опре-
деления 7.10.1—2. Как и ранее, дока-
зывается
Теорема 7.10.2. Пусть оператор С = (—Ав-f-/)"1 Q-инвариантен в
пространстве Lz(Td). Тогда С положителен при отражениях.
В заключение отметим, что вместо пространства Rd или тора
Td можно рассмотреть решетку Zd или конечную периодическую
решетку с шагом б. И в этом случае для классических 0-инва-
риантных граничных условий имеет место свойство OS-положи-
тельности. Для доказательства опять используется неравенство
Cd С, которое снова можно установить, введя граничные усло-
вия Дирихле для решеточного оператора С-1 и подходящим обра-
зом варьируя его массу (см. § 7.8 и 9.5).
Теорема 7.10.3. Имеют место решеточные аналоги теорем 7.10.1 и
7.10.2.
Глава 8
Квантование = Интегрирование по
функциональному пространству
8.1 Введение
В этой главе мы начинаем построение квантовой модели Р(<р)2,
которое закончим в гл. 11—12. Мы изложим здесь эффективные
методы подсчета и оценивания интегралов
1(G)	(8.1.1)
О—граф
8.2 Диаграммы Фейнмана 165
от полиномов А = А (ср) по гауссовой мере dcp. Имеются различ-
ные эквивалентные способы вычисления гауссова интеграла от по-
линома, такие, как интегрирование по частям, разложение А (<р)
по полиномам Эрмита или использование операторов рождения и
уничтожения. Все эти методы чисто алгебраические. Графы (или
диаграммы) Фейнмана G служат удобным мнемоническим сред-
ством для записи и перечисления всех слагаемых, получающихся
при вычислении интеграла (8.1.1) любым из этих способов. Каж-
дое такое слагаемое 1(G)— это интеграл по пространству конечной
размерности, зависящий от ковариации С меры dcp. Оценки таких
интегралов получаются с помощью неравенства Гёльдера и оце-
нок для С типа
С(х — у)= ядро(—Д + m2)-1 е Lp(x— у),
которые существенно зависят от размерности d пространства-вре-
мени. В этой главе мы рассматриваем случай d = 2 (случай d — 1
содержится в нем как частный случай). При d — 2 перенормировки
в квантовой теории поля достаточно просты. В частности, для мо-
дели /э(ф)2 перенормировки ограничиваются вычитанием, связан-
ным с виковым упорядочением. Мы покажем, что это бесконечное
вычитание приводит к определенному ответу. Так, например, в ко-
нечном объеме А определен интеграл
V = Р (<р (х)): dx е L2 (<Ар)>
л
в то время как ^ф(х)2г/х обращается в бесконечность для почти
л
всех ф е SY. Далее мы будем рассматривать только ограниченные
снизу полиномы Р. Хотя при этом интеграл '.P(cp)(x)-.dx не огра-
ничен снизу (в силу викова упорядочения),он,тем не менее, полу-
ограничен всюду, за исключением множества малой меры. Этот
факт позволяет показать, что e~v Lp(dcp) для всех р < со.
8.2 Диаграммы Фейнмана
Диаграммы (или графы) Фейнмана — это мнемонический прием,
позволяющий сводить гауссовы функциональные интегралы к ко-
нечномерным интегралам. Они получаются в результате примене-
ния формулы интегрирования по частям из § 6.3:
ф (f) А (ф) dcpc = (Cf, &А/&ср) dcpc.	(8.2.1)
После многократного интегрирования по частям интеграл J Adcpc
от полинома А(ф) сводится к сумме конечномерных интегралов
Ja^c=£/(G),	(8.2.2)
{G}
166	Г л. 8. Квантование = интегрирование
где G пробегает множество диаграмм, /(G) — величины, выражае-
мые в виде некоторых конечномерных интегралов, приписываемых
диаграммам G, а С обозначает ковариацию гауссовой меры. (Не-
которые авторы определяют диаграммы как классы эквивалентных
графов, мы же не делаем различия между словами «диаграмма»
и «граф».)
Простейший пример, на который будут опираться наши даль-
нейшие примеры — это интеграл от произведения Л(ф) —
= Ф (fi) Ф (fa) ••• 4>(fr)- Интеграл A dq>c есть не что иное, как
момент меры dq>c. В частности, положим
(A g)c = j f(x)C(x, y)g(y)dxdy.	(8.2.3)
Тогда ^ф(Л) ... ф (fr) d(pc = 0 при нечетном г, а при четном г
J Д(ф)сйрс== ^ф(А) ... ф(Мс?Фс =
Мс -(Г.,-,.	(8.2.4)
где суммирование идет по всем (г— 1) (г—3) (г—5) ... 1 = (г—1)11
различным способам разбиения г элементов на пары , Л/+1}-
Каждому слагаемому суммы (8.2.4) сопоставим некоторую диа-
грамму Фейнмана G, а величину 1(G) положим равной самому
этому слагаемому. В общем случае мы сформулируем совокупность
правил, по которым каждой диаграмме сопоставляется некоторый
конечномерный интеграл, а также другой набор правил, сопостав-
ляющий интегралам вида А (ф) определенные диаграммы.
Под диаграммой понимается набор вершин (представленных
точками в пространстве Rd), ребер (представленных отрезками,
соединяющими две вершины) и отростков (представленных отрез-
ками, у которых лишь один конец совпадает с некоторой верши-
ной, а второй свободен). Каждый отросток отвечает множителю
ф(х) в подынтегральном выражении, а вершина, из которой он вы-
ходит, отвечает аргументу х этого множителя. Формулу интегриро-
вания по частям (8.2.1) можно интерпретировать на языке диа-
грамм как спаривание (соединение) двух отростков и образование
ребра, которое вносит в подынтегральное выражение для /(G) про-
пагатор С(х, у).
Преимущество диаграммной техники состоит в том, что она
позволяет сразу проверить, нет ли среди слагаемых /(G) в сумме
(8.2.2) расходящихся интегралов. Как мы увидим в § 8.3, при
d = 2 виково упорядочение приводит к тому, что такие бесконеч-
ные члены не входят в сумму (8.2.2).
В качестве примера рассмотрим вычисление интеграла
1ф(Х1) ... (p(xe)d(pc.	(8.2.5)
8.2 Диаграммы Фейнмана 167
Рис. 8.2. Вид подынтегрального выражения после того, как член <р(х4) проин-
тегрирован по частям: одна из пяти возможных диаграмм.
Рис. 8.3. Фейнмановская диаграмма,
\<р(Л) ...<p(fe)d<pc.
в
дающая вклад
интеграл
Здесь мы взяли предельный случай = &Xj. Подынтегральному
выражению сопоставим граф, в котором каждой точке х/ отвечает
вершина, а каждой вершине — отросток, обозначаемый дХ/
(рис. 8.1). Интеграл A dq>c выражается в виде суммы по диа-
граммам без свободных отростков (которым соответствует функ-
ция на пространстве 3)', равная константе). Соответствующие
15 диаграмм (в случае интеграла (8.2.5)) можно получить, соеди-
няя между собой всевозможными способами отростки, изображен-
ные на рис. 8.1. В частности, если мы с помощью формулы (8.2.1)
проинтегрируем (8.2.5) по частям, выделив сомножитель ф(х4), то
получим в правой части (8.2.4) сумму по тем диаграммам, у ко-
торых отросток Хц спарен с одним из остальных пяти отростков
(рис. 8.2). Диаграмма, изображенная на рис. 8.2, соответствует
подынтегральному выражению С(хь Щ ф (хг) Ф (*з) <Р Щ) <Р Щ) •
После трех последовательных интегрирова-
ний по частям интеграл от произведения
ф(%1) ... ф(*в) сведется к сумме, каждому
слагаемому которой отвечает некоторая ди-
аграмма (рис. 8.3). Диаграмму без отро-
стков мы будем называть полностью спа-
ренной. Мы можем снова вернуться к мно-
Э
Рис. 8.4. Простейший
граф для \ <p(f)4>(S)d(pc~
168 Гл. 8. Квантование — интегрирование
жителям f(xi) ... f(x6), и тогда интеграл ф(/т) ... <р(/б)^фс
представится как сумма величин 7(G). Диаграмма, изображенная
на рис. 8.4, отвечает величине 7(G) = (f, g)c = j f (х) С (х, у) X
y^g(y)dxdy. Полностью спаренному графу G, состоящему из связ-
ных компонент G = GiU G2U ... U Gk, соответствует величина
7 (G) = 7 (GJ 7 (G2) ... 7 (Gft) = Ц 7(Gy).	(8.2.6)
Связные
компоненты
Пусть G — граф с ребрами I, соединяющими точки пространства-
времени Хц, хц. Кроме того, пусть 1}— вершина графа G, соот-
ветствующая точке хц. Вклад такого графа G запишется в виде
х/2)\ П
/ Вершины
/ /у в G
(f^xijdxtj.
(8.2.7)
8.3 Виковы произведения
Гораздо важнее уметь интегрировать более сложные функции, и
особенно виковы мономы и их произведения. Пусть
:<Р" (f)-c = J :<Р (м) • • • <Р (хп):с f (х„ ..., xn)dxi ... dxn
и Л(ф) = П:<РПг(М:сг.	(8.3.1)
z=i	‘
Здесь : :с обозначает виково упорядочение, соответствующее гаус-
совой мере с ковариационным оператором С (§ 6.3). Введем обо-
значения
6Сг (х, у)= С (х, у) — Ci (х, у), 6с, (х) = 8Ci (х, х). (8.3.2)
При выводе правил вычисления интеграла j А (<р) dq>c удобно поль-
зоваться диаграммами, в которых член :<p"(f):c представлен един-
ственной вершиной (помеченной символом f или (хь ..., х„)) с п
свободными отростками, обозначенными xi, ..., хп. В качестве при-
мера рассмотрим полином Л (ср) вида (8.3.1), у которого г = 3,
П\ = «г = 4, п3 = 2. Ему соответствует граф, изображенный на
рис. 8.5, а сам, интеграл j A dcpc отвечает, как и выше, сумме по
графам, полученным спариванием отростков графа для А всеми
возможными способами. (В этом примере будет 9!! таких графов.)
Мы должны различать два типа ребер в диаграммах, дающих
вклад в интеграл A dq>c> а именно петли («самодействующие»
ребра), полученные соединением двух отростков, выходящих из
8.3 Быковы произведения 169
одной вершины, и «взаимодействующие» ребра, полученные соеди-
нением двух отростков, выходящих из разных вершин. Множества
петель и взаимодействующих ребер в диаграмме G обозначаются
соответственно S’s, S’i- На рис. 8.6(а—с) показаны три возможные
Рис. 8.6. Диаграмма для А = :	:Ci: q>4 (fa) : СгСз : <p2(/«).',
Рис. 8.6. Три диаграммы (а), (Ь), (с), дающие вклад в интеграл рис. 8.5.
Диаграмма (Ь) несвязна. Ребра lt и 13 отвечают самодействию, a 1г, Z4 — взаимо-
действию. Диаграмма (с) не имеет петель.
диаграммы, дающие вклад в интеграл от полинома А, графически
изображенного на рис. 8.5. Общая формула для вычисления инте-
грала \ Adq>c дана в следующем предложении.
Предложение 8.3.1. Для интеграла от полинома Л(<р) вида (8.3.1)
справедливо представление
$Д(ФМ<рс = £/(С),
{0}
(8.3.3)
где суммирование распространено на все
(Е щ - 1) !!
полностью
спаренных графов с г вершинами и щ отростками в i-й вершине.
При этом
1(G) =
S
r	"Z
X П fl (хл, ...» хгП/) Д dxth (8.3.4)
4-1	/=1
170 Гл. 8. Квантование — интегрирование
Замечание 1. В формуле (8.3.3) отростки диаграммы Gg? счи-
таются перенумерованными. Это естественно, поскольку никаких
свойств симметрии у функций fi(xy) не предполагается. Если же
некоторые из функций ft (или все они) симметричны при переста-
новке своих nt аргументов, то равенство (8.3.3) можно переписать
в виде
J А (ср) dq>c = £ I (G) с (G),	(8.3.3')
{О}'
где {G}'— класс эквивалентных графов (дающих одинаковое зна-
чение для величины /(G), поскольку они различаются только ну-
мерацией отростков, выходящих из одной вершины), a c(G)—
число эквивалентных графов (с перенумерованными отростками).
Доказательство. Воспользуемся рекуррентным соотношением (восходящим к Эр-
миту)
<p(xi) ... <р (хп):с. = <p(xi) :<р(х2) ... <p(xn):Cf —
- ct (*r xi) :Ф (*г) • • • ФЙ) • • • Ф (хп)‘ср (8-3-5)
1=2	‘
где сомножитель под крышкой опущен в произведении (см. (9.1.7—8)). Нам по-
надобится также тождество (см. (9.1.6))
п
:Ф (х2) ... ф (x„):Cf = £ 6 (у - X,) :ф (х2) ...	... ф (x„):Cf (8.3.6)
1=2
Применяя формулы (8.3.5—6) и (8.2.1), можно путем интегрирования по частям
исключить из интеграла
:Ф (хп)... ф (xlni):cB (ф) d(pc
сомножитель ф(хы). При этом в подынтегральном выражении появится член с
производной б/бф, примененной к произведению ;ф (х12) ... ф (х1п	Про-
изводная бВ/бф, как видно из формулы интегрирования по частям, породит вза-
имодействующее ребро в G и ковариацию С гауссовой меры. Производная вы-
ражения ;ф (х12) ... Ф (Х1П1):д вместе со вторым членом в правой части (8.3.5)
породит петлю в графе G и ковариацию 6С]. Повторяя эту процедуру до тех
пор, пока не останется ни одного ф, придем к формулам (8.3.3—5). |
Замечание 2. Если Ci — ... = Ст = С, то 6С£- = 0 для всех i.
В этом случае пропадают все петли и мы получаем
Следствие 8.3.2. Пусть
Л(<р) = П:<рп<(Л):с.	(8.3.7)
Тогда	( А д<рс = У* / (G),	(8.3.8)
J	{0}
8.4 Формальная теория возмущений 171
где суммирование происходит по всем графам без петель, и
r	ni
/(G)=S ( П с Пfi (Xii> • • • ’II dxu- (8-3-9>
/1 = 1 1 = 1
Замечание 3. В предельном случае (который обоснован в § 8.5)
функций вида
fi (Хи, х12, xlr) =\fi (х) б (х — хп) ... б (х — xZr) dx (8.3.10)
рассматриваются мономы Вика
:<рп‘	(x):Cl ft (х) dx	(8.3.11)
и их произведения. Для таких полиномов получаем
Следствие 8.3.3. Пусть
А (<р) - £ J (x):Cf ft (х) dx.	(8.3.12)
i=i J
Тогда	^A^dyc^Y,1^’	(8.3.13)
{О}
где G пробегает то же множество графов, что и в формуле
(8.3.3), а
/(G) = J П П 6c'.(^.)Il№W (8.3.14)
ltr=#s	1 = 1
8.4 Формальная теория возмущений
Интересны не только гауссовы интегралы, но и интегралы от ви-
ковых произведений А (<р) по мерам вида
dy = dye = (1/Z) e~vd(pc,	(8.4.1)
где нормирующий множитель Z выбран так, чтобы = 1.
В этом случае интегрирование по частям не позволяет свести ин-
теграл от А (<р) к сумме конечномерных интегралов. Формула ин-
тегрирования по частям
$<p(fM(<p)4t= J(c<p,	(8.4.2)
содержит дополнительный член, возникающий в результате диф-
ференцирования экспоненты e~v. Многократное применение этой
формулы приводит к ряду, каждый член которого есть интеграл
по мере dy от степеней V (точнее, степеней бК/6<р). Как и в § 8.2,
172 Гл. 8. Квантование = интегрирование
представим каждый интеграл в виде суммы вкладов по диаграм-
мам Фейнмана. Для монома гф^с диаграмма представляет собой
вершину с п свободными отростками. Первому члену в правой
части (8.4.2) соответствуют ребра, полученные спариванием этих
отростков. Второму члену соответствует новая вершина (с одним
отростком, спаренным с одним из отростков ф).
Многократное применение формулы (8.4.2) приводит к выра-
жению, в котором отростки соединены либо друг с другом, либо с
отростком «экспоненциальной» вершины, порожденной новым мно-
жителем бК/бф.
Теперь вместо функции V рассмотрим XV и напишем
j А (ф) dp ~ У azXz.	(8.4.3)
Поскольку мера dp в общем случае является сингулярным возму-
щением меры dфc, то А (ф) dp, вообще говоря, не аналитическая
функция переменной X. В таких случаях разложение (8.4.3) сле-
дует понимать как формальный степенной ряд для величины
А (ф) dp, которая предполагается С°°-функцией X в окрестности
X = 0 и ее l-я производная в нуле равна а(-Л.
Теперь мы покажем, что каждый коэффициент at представ-
ляется в виде суммы по графам Фейнмана. А именно
az= Е /(G),	(8.4.4)
а^э'1
где — множество полностью спаренных графов с перенумерован-
ными отростками (т. е. диаграмм, у которых есть вершины и ребра,
но нет свободных отростков). По определению каждый граф Ge?/
имеет I V-вершин (порожденных экспонентой) и некоторое коли-
чество вершин, порожденных подынтегральным полиномом А(ф).
Кроме того, каждый граф G связен в том смысле, что каждая
его связная компонента содержит по крайней мере одну А (ф) -вер-
шину. Совокупность g?z состоит из всех таких графов, а величина
1(G) задается выражением (8.3.4).
Чтобы доказать равенство (8.4.4) для некоторого /, будем инте-
грировать по частям, если это возможно, до тех пор, пока после
I + 1 дифференцирований экспоненты не появится / + 1 сомножи-
телей ХбК/бф. Такие слагаемые имеют порядок O(XZ+1), и ими
можно пренебречь. Останутся члены, которые уже нельзя инте-
грировать по частям. Это именно те члены, в которых подынте-
гральный полином оказывается равным константе. Они тривиально
интегрируются, так как
If	Z
\ const dp = 2* • const = const,	(8.4.5)
8.5 Оценки гауссовых интегралов 173
где константа равна /(G) для некоторого графа G. Возникающий
таким образом граф G принадлежит определенному выше мно-
жеству Si.
Стандартный вывод формулы (8.4.4) исходит обычно из пред-
ставления единицы 1 = Z/Z по степеням X, которое после сокра-
щений несвязных вакуумных диаграмм приводит к тому же ре-
зультату. Если формулу переписать в терминах диаграмм с не-
перенумеров энными отростками, то в нее войдет комбинаторный
множитель c(G), как и в (8.3.4). Заметим, что нулевой член ряда
равен
а0 = Л (ср) dcpc = (8.2.2),
т е. сумме по графам Фейнмана, которые содержат только Л(ср)-
вершины.
Диаграммы обладают многими свойствами связности, полез-
ными при описании диаграмм, дающих вклад в так называемые
усеченные средние. Простейший пример — формулы (8.4.4—5).
Другой пример возникает при рассмотрении усеченного среднего
J АВ dp.— J/ldpi- ^Bdp^(AB7	(8.4.6)
Из разложений (8.4.3—4) следует, что
(ДД)Г=Е^1,
где	bt= X /(G).
(8.4.7)
(8.4.8)
Здесь мы обозначаем Si = Si (АВ) множество графов, дающих
вклад в интеграл j АВ dp в соответствии с формулами (8.4.3—4).
Множество Si с: Si (АВ) состоит из тех графов, которые связны в
более сильном смысле, чем это определено выше, а именно: по
крайней мере одна их связная компонента должна содержать вер-
шины как из А, так и из В. Заметим, что при помощи других, бо-
лее сложных свойств связности можно определить различные ядра
Бете — Солпитера (см. гл. 14) и преобразования Лежандра.
8.5 Оценки гауссовых интегралов
В двумерном случае виковы полиномы и экспоненты принадлежат
пространству Lp(d<pc) для любого р < оо. В случае размерности
два (и выше) гауссова мера dq>c сосредоточена на пространстве
обобщенных функций, поэтому сомнительно, что можно применять
поточечные операции, такие, как <р(х)~>-<р(х)2. В самом деле,
<р(х)2 = 4-оо почти всюду по мере dq>c, (8.5.1)’
174 Гл. 8. Квантование ==; интегрирование
так как
jj :<р (х)2:с dx е= £2 (d<pc).
(8.5.2)
В силу асимптотики (7.2.5), в формуле (8.5.2) константа с викова
упорядочения для :<р2:с растет логарифмически при d — 2, так как
с = С(х, х). Но формально
Ф (х)2 dx = j :<р (х)2: dx + с | Л |.
л	л
На самом деле локально интегрируемые функции из пространства
ЗУ образуют подмножество нулевой меры в носителе меры dq>c-
Это означает, что типичные реализации для меры dq>c не похожи
на обычные функции. Для того чтобы вести изложение на строгом
математическом уровне, введем импульсное обрезание. Как в § 7.1,
возьмем функцию	удовлетворяющую условиям
/;(у)^0и h(y) dy — 1, и определим размазанную 6-функцию в
точке х е R2 формулой
6x,x(i/) = x2/z(x(x — у)).	(8.5.3)
После этого определим импульсное обрезание фх поля ф следую-
щим образом:
<РИ М = ф(6И, Д = § Ф(у) х (у) dy.	(8.5.4)
Мономы Вика от импульсного обрезания фи определяются как ор-
тогональные полиномы относительно гауссовой меры dq>c. В част-
ности, п-я викова степень поля фи(х) —это п-й полином Эрмита
1п/2]
= X	(8.5.5)
где си(х) = (би>ж, Сбх. х) и
:Фх (f):c = 5 :<₽к I dx'	(8.5.6)
Заметим, что, в силу (8.5.4), определения (8.5.5) и (6.3.9) совпа-
дают с точностью до замены с — ск. В этом можно убедиться при
помощи формул (1.5.12—16) для гармонического осциллятора.
Здесь С может быть любым ковариационным оператором, принад-
лежащим множеству выпуклых комбинаций евклидовых про-
пагаторов (—Ад + Щ2)1 с классическими граничными условиями
и массой т mi (см. § 7.9).
Предложение 8.5.1. Пусть С^'ё’т, а функция /е£р(£2) для неко-
торого р > 1 имеет компактный носитель. Тогда : ф" (/) • с ^L^dtp^
8.5 Оценки гауссовых интегралов 175
и этот функционал имеет предел в пространстве Ьч при х —>оо.
Пусть (/) :с обозначает этот предел. Тогда для некоторого 6 > О
при со справедлива оценка
||	- :<F(frc ||t2 (ЛРС) < О(х-6).	(8.5.7)
Доказательство. Как и в § 8.4, представим интеграл (f):c dtpc в виде
суммы п! одинаковых фейнмановских диаграмм, показанных на рис. 8.7. Для
каждой из этих диаграмм
1 (G) = f (х) Си (х, у)п f (у) dx dy,	(8.5.8)
где
ск (х, у) = биСби = ( би (х — х') С (х', у') би (у' — у} dx' dy'. (8.5.9)
Рис. 8.7. Фейнманов-
ская диаграмма для
интеграла
^:<O):cd4Pc-
диаграммам. Рас-
Пусть £— непрерывная функция с компактным носителем, причем tsl на но-
сителе f. Обозначим интеграл (8.5.8) 1(0, х). Пусть, кроме того, 6С = С — CKj.
Согласно неравенству Гёльдера и свойству (LR 2) (тео-
рема 7.1.1), для и = min(xi,Xs) и некоторого б>0
верно неравенство
11 (G, Xi) - I (О, х2) | < const || f Hip || tfCt, ||L₽, <
<O(x-e).	(8.5.10)
Это означает, что (f):c сходится со скоростью
О(х~е) в пространстве L2.
Теперь мы систематизируем использование
неравенства Гёльдера, чтобы применить за-
тем полученные результаты к более сложным
смотрим функцию вида
п
F(xlt .... Х„) = ЦЛ(л<)П^(«/,(О, Х/2(н),
(8.5.11)
где 1 ^й(/)< 1’2(0 Для любого I. Такая функция F соответ-
ствует диаграммам с п вершинами, помеченными индексом i, и
некоторым количеством ребер I, соединяющих вершины с номерами
й(0 и i’a(0• Функции ft либо представляют петли, либо являются
пробными функциями, a Ft соответствуют ковариационному опе-
ратору ребра /, ограниченному на носитель функции fi.tijXfod).
Мы будем считать, что вершины диаграммы упорядочены (при по-
мощи индекса i), а каждое ребро ориентировано (в направлении
от i2(/) к ii(Z)). Пусть
2Т = {/: ii (0 = i < h (0).	= {I- й (0 < i = 12 (0}
обозначают соответственно множества ребер, входящих в i-ю вер-
шину и выходящих из нее (рис. 8.8).
176 Гл. 8. Квантование — интегрирование
Лемма 8.5.2. В этих обозначениях при условии, что для любого I
числа qi, qi, q связаны соотношением
9г‘+ Е
I е
верно неравенство
II Пд <ПнЛ11д ПН^Нд •
И I <н I 41
Доказательство. При помощи подстановки F-t-F" все сводится к случаю q =* 1.
Применим неравенство Гёльдера поочередно к интегралам по каждой из пере*
_________________ Рис. 8.8. Упорядочение вершин
Х*^"	слева направо; in-ребра выхо-
/ 3	дят из вершины вправо, a out-
Г	ребра — влево. У вершины 1
X.	есть только in-ребра, а у вер-
•2	шины 4 — только out-ребра.
менных функции F, начиная с i — п и кончая i — I. При этом i-e неравенство
имеет вид
\ I (х/) I I FI (xZi (О’ xi) I U II (ХР ‘)Н, iRndxi^
R2	les’"'	1
IL, m П IIFl «>’ IL, («о И IIF1 IL,.«’ x so’ ®
'	1 is?" 1
i	i
Теперь рассмотрим интеграл
R = jj w(x) JJ :ф(хО"<:с^х> x = (xb ..., xr), xt^R2, (8.6.12)
/-1
и его аппроксимацию при импульсном обрезании
J W JJ :<px(xz)"':cdx.
i = 1
(8.5.13)
Теорема 8.5.3. Пусть функция w имеет компактный носитель и
weLtJ для некоторого р > 1. Тогда RK, R е Lq(dq>c) для любого
q < оо, причем нормы || Rx ||i<? равномерно ограничены по к. Более
того, для некоторого е > 0 и любого целого }
f J (R - RK)‘ dtp | < j\S nd2 (const II w ||др
(8.5.14)
Здесь e и константа в правой части не зависят ни от j, ни от опе-
ратора С^^т, однако эта константа пропорциональна (£ п{/2)\
и зависит от носителя функции w.
8.5 Оценки гауссовых интегралов 177
Доказательство. В соответствии с предложением 8.3.1 разложим интегралы Д^
и в сумму диаграмм. В этом разложении будет не более [(/£«/) —
«С/’£ ”z^2 (constV диаграмм. Константа здесь пропорциональна (£ щ/2)!. Мы
оценим вклад /(О) каждой диаграммы следующим образом. В общем случае
/ ((?) = f f ТТ W (Xft)A F (X1.X1}	dx1 ... dxi,
J \fe=l /
где xk s R2r— набор из 2r переменных. Согласно неравенству Гёльдера,
11 (G) I ( II w II, VII К II, ,, причем норму || F ||, , можно оценить сверху с по-
v.	ьр	ьр
мощью леммы 8.5.2. При этом в качестве функции fi можно выбрать характери-
стическую функцию проекции носителя w на плоскость переменной xi. Функции
Fi — это пропагаторы или разности пропагаторов (ограниченные на supp га).
Ар-норм а функции Ft ограничена в силу предложения 7.9.1. Для	все эти
оценки равномерны по и.
Аналогично оценим (Д — ДмУ- В этом случае каждый множитель R — Дн
можно записать в виде
* -	£ S (й :<Р	(:Ч> :с -  O'Ac) X
Х( П :<РИ (*/)”%) “> (*) а*»
\2=>/+1	/
где
п1
:Ф (^Лс “ :ФИ (х/)П/:с = £ :Ф («/Г-1 {ф (*,) ~ Фи (*,)} Фк (*/)"' т;.
т=1
Таким образом, каждый сомножитель Д — добавляет к одной из функций Fi
множитель б — бк. Поскольку к каждой из Ft можно присоединить не более двух
таких множителей, б — би появится по меньшей мере на //2 ребрах. По теоре-
ме 7.1.1 (см. также предложение 8.5.1)
Pzll^0^8)
при условии, что
Fi содержит множитель 6С и имеет компактный носитель. Таким образом, мы
получаем в формуле (8.5.14) множитель ъГе1- |
Следствие 8.5.4. Пусть R{1\ 1= 1, 2, ..., j, — последовательность
полиномов, удовлетворяющих условиям теоремы, и пусть числа pi
отделены от 1 и для любого I справедливо неравенство L nV п.
i
Тогда при достаточно большом х
J П№ ~	</r'2x’E/ ПII w'zK-
Доказательство. Неравенство Гёльдера дает
(п («“>-«!?)	< Пи»-4“ L-
2 = 1	2-1
178 Гл. 8. Квантование ~ интегрирование
Применим теорему к каждому сомножителю. Константа в теореме равномерно
ограничена для любого р, отделенного от 1. Выбрав достаточно большое х и
чуть уменьшив е, мы сможем заменить (const)-* единицей. Это и дает требуемое
неравенство. В
В этих оценках мы не воспользовались замечательным фактом,
что ядро каждой отдельной диаграммы локализовано в простран-
стве-времени. Для рассмотренных выше функций R вклад в ин-
теграл дают О((2л£/2)1) диаграмм. Но вклад большинства из них
ничтожно мал в силу экспоненциального убывания ядра С(х, у)
при |х— у\-+оо. Чтобы воспользоваться этим обстоятельством,
рассмотрим покрытие плоскости /?2 единичными квадратами Д,-,
помеченными точками решетки i е Z2. Будем считать, что носитель
функции w(x) из (8.5.12) лежит в Д^ X • • • Пусть
ЛГ(Д)=Е{п: Д^Д)
обозначает число отростков (линейных множителей <р(х)) поли-
нома R, вершины которых попали в ячейку Д.
Теорема 8.5.5. Пусть полином R определен выражением (8.5.12),
причем БцррюсД^ X ХД/Г и п{^п. Пусть, кроме того, вы-
пуклое разложение оператора С е не содержит ковариацион-
ных операторов с периодическими граничными условиями. Тогда
| $ Rdq>c | < || w ||Др Д N (Д)1 (const m~	(Д),
д
где q = р'п, ар' — индекс, сопряженный к р.
Доказательство. Мы повторим здесь оценки теоремы 8.5.3. Напишем
| J fldqpc|<£|/(0) |.
По предложению 7.9.1
Отсюда, так как каждое ребро состоит из двух отростков,
|7 (G) |<OQJ(m-I/’)W(A))e-mdist(0)| w \\Lp,
где dist (G) = di st (A(1 (J),	(Z)). Надо показать, что
leG
£ g-mdlsKG)^ Д (const^’^M (A)!).
G	Д
Во-первых, заметим, что для фиксироваииой ячейки А всевозможные пере-
становки ее отростков приводят к различным диаграммам. Далее, если мы фик-
сируем какой-нибудь способ соединения отростков из разных ячеек А, то каж-
8.6 Негауссовы интегралы для случая d — 2	179
дому такому способу соответствует N (Л)! диаграмм, отличающихся лишь
д
перестановками отростков в каждой ячейке. Поэтому надо просуммировать
ехр{—mdist(G)} только по всем этим способам. Покажем, что
У е mdist(G)=£ JJ ехр[-те dist (A/1(Z), Д,2 (п)]< П const"(А).
11 (1}	Ц (Z) I	Л
Мы только увеличим сумму, если для каждого ребра будем суммировать по всем
ячейкам. Следовательно, верны оценки
у1 е- m dist (G) Г у -mdist(A, д')-]Число ребер
1,(1)	L Д'	J
<const4HCJI° рСбСр = const"(Д). fl
д
8.6 Негауссовы интегралы для случая d — 2
В этом параграфе мы установим основной результат всей главы:
в двумерном случае для ограниченного снизу полинома Р экспо-
нента е~-р' интегрируема. Этот результат — ключевой момент в
построении модели Р(<р)2, поскольку соответствующая ей мера в
функциональном пространстве с точностью до нормирующего мно-
жителя имеет вид е~'Р: dtp. Наш результат относится к взаимо-
действию Р, определенному в конечном объеме, н :Р: =
= '-Р (q>(x))'-cdx, Z = ^е~'P'dq,. В гл. 11 (а также с помощью
д
другого метода в гл. 18) мы совершим предельный переход к бес-
конечному объему.
В дальнейшем нам понадобится изменять ковариацию. Для
Ci, С2 е определим функцию бс (%) = lim [С2 (х, у) — СДх, t/)].
У~+Х
В этих обозначениях формула викова переупорядочения выглядит
так:
[п/2]
:<₽ w":c,=£	Ьс {х}! :(р (х)П’2/:с>-	<8-6Д)
Обозначим f = {[о, .... fn) набор коэффициентов полинома
п
Р (э> Л = S fl (*) & и положим
/=0
:Р&, f)-c^ Е :ф'(Л):с.
(8.6.2)
Виково переупорядочение можно рассматривать как преобразова-
ние Т коэффициентов f, определяемое тождеством
:Р(Ф. f):Cl = :P(<P,	(8-6-3)
180 Гл. 8. Квантование = интегрирование
Поскольку мы интересуемся, главным образом, аппроксимацией
трансляционно-инвариантных взаимодействий в конечном объеме,
естественно было бы выбирать коэффициенты в виде fj = const %д,
где % л — характеристическая функция ограниченной области Л.
Однако при изменении ковариаций и соответствующем виковом
переупорядочении этот класс коэффициентных функций оказы-
вается слишком узким (т. е. не инвариантным относительно преоб-
разования Т). Это видно также из определения характеристиче-
ского функционала S {/}, приведенного в § 6.1. В самом деле, функ-
ционал S {g} определен при помощи возмущения ft -» f] + ig —
так что S{g} — Z{f'}/Z{f}. Чтобы коэффициентные функции fj
изучать более систематически, потребуем выполнения следующих
условий:
supp fj с supp fn = Л, Л ограничено,
fi/fn е Ln/jn-j), Qs^fn^ Ln,	(8.6.4)
0 sC 1/fn e £оо(Л), n = deg P четно.
Введем два функционала, измеряющих величину набора f:
п— 1
№)=soiiwjC„.	<8-6-5’
п
M(f) ==£|1М1Л„/(„_П.	(8.6.6)
Предложение 8.6.1. Пусть в преобразовании f-^-Tf викова переупо-
рядочения, определяемом формулой (8.6.3), операторы Ci, Сге'й’т.
Тогда отображение Т переводит класс наборов (8.6.4) в себя и,
кроме того, (Tf)n = fn.
Пусть tn~l 4-(Л1/т) +	К. Тогда
N(Tf)^ const • N(f) + const, M(Tf) < const• M(f),
где константы зависят только от К.
Доказательство. Оценку для бс(х) получим в два этапа. Представим операторы
Clt С2 в виде выпуклых сумм операторов (—+	Прежде всего перей-
дем от граничных условий Bj в каждом операторе Дв^ к свободным граничным
условиям для оператора Лапласа Д. На втором шаге заменим массу т/ некото-
рым фиксированным значением m е [т, Л1].
Разность бс(х), возникающую иа первом шаге после перехода к новым гра-
ничным условиям при фиксированной массе т; 5s т, можно оценить при помощи
логарифмических неравенств (7.6.2) и (7.6.19), используя допущения относитель-
но объема |Л| и массы т~1. Получим, что || бс (х) Пд (Д) < причем постоян-
ная R зависит только от К и р < оо. Теперь оценки для N(Tf) и M(Tf) выте-
кают из равенства (8.6.1) и неравенства Гёльдера, примененного следующим об-
разом:
"	< I& Iл ь»,.» <«!>
8.6 Негауссовы интегралы для случая d = 2	18Г
Здесь h равно либо f„ либо filfn, I j' а. Поскольку п по условию ограни-
чено, постоянные можно выбрать зависящими только от К.
Таким образом, осталось рассмотреть, что происходит при изменении массы
в свободной ковариации С0- В этом случае бс(х) = (2л)_< 1п(т,//н), что равно-
мерно ограничено для всех tri, mi е [m, М], так что K~l mjfn К. Теперь
оценки для N(Tf) и M(Tf) при замене массы снова следуют из допущения отно-
сительно |Л| и неравенства Гёльдера. |
Основным результатом этого параграфа является
Теорема 8.6.2. Пусть функция f удовлетворяет условиям (8.6.4),
а операторы С\, С2е Если	+ п + |Л| К, то
j exp (— -.Р (ср, f):Ci) cZcpC2 <
< const exp {const || fn ||Lo<> [tf (f) + (In (M (f) + 1 ))n'2]}.	(8.6.7)-
Если же || /„ llico + m~' + (M/m) + n + | Л | К, to
exp(—-	(<p, f):Ci) exp (const (^ (f) + 1)).	(8.6.8)
В обоих случаях постоянные зависят только от П.
Сначала мы рассмотрим случай (Д = С2 = С. Доказательство
проведем в два этапа. Первым шагом будет установление полу-
ограниченности функции f)'c. Несмотря на то что многочлен
Р(<р, f) ограничен снизу, при виковом упорядочении это свойство
нарушается. Используя размазанную дельта-функцию	(7.1.5),
положим
<ри = <р«бк.	(8.6.9)
Тогда для -.Рк'. = :Р(ц>к, f):c имеется зависящая от х нижняя
оценка: —O(lnx)<degP)/z :РК'. Эта оценка составляет содержа-
ние предложения 8.6.3.
На втором шаге устанавливается, что множество конфигураций
<р е Ф', на которых значения полинома :Р: меньше чем inf :РК:,
имеет малую меру, примерно порядка С*(е-к6), где 6 > 0. Эта
оценка следует из оценок гауссовых интегралов в § 8.5 и является
содержанием предложения 8.6.4.
Предложение 8.6.3. Пусть функция f удовлетворяет условиям
(8.6.4), а оператор Се^т. Тогда при х 2
- const [ II fn ||Z1 (In x)(deg P)'2 + II /„ ||£те N (/)] < -P (Фи, f):c. (8.6.10)-
Константа в этом неравенстве зависит только от массы, m и сте-
пени п — deg Р.
Замечание. Чтобы проиллюстрировать идею доказательства, рас-
смотрим моном Р степени п = 4, т. е. возьмем fo = ... — fa = 0„
182 Гл. 8. Квантование — интегрирование
Заметим, что, в силу (8.5.5),
:<ри(х)4: = <Рх(%)4 —6си(х)<ри(х)24-3си(х)2 =
= (<ри (х)2 — Зси (х))2 — 6си (х)2.
Тогда по теореме 7.1.1 последнее выражение ограничено снизу ве-
личиной —6ск(х)2 =—0(1пх)2. Интегрирование этой оценки дает
неравенство (8.6.10).
Доказательство. Воспользуемся неравенством Гёльдера для интегралов по мере
f„(x)dx. Пусть pt 1 — 0, р^1 = (/ — 2/)/и, р^1 = (п — j)/n, р^1 = 2//4, так что
V р“1 = 1. Оценим все члены со степенями <fm, m < п, старшим членом ф"
полинома Р-.
| 5 си W 4>t2lf/М dx | = | [4 (х)] [<рк (х)7"2'] [/=,//=„] (х) fn (х) dx | <
<11 Сх 11^ (J <Рх Mnfn (х) rfx)™ ( j\f!/fnlnKn-l}fn dx)(n-/)/n|| fn
Правая часть последнего неравенства в силу оценки ab ар + 6’, а, Ь 0,
р-1 + q~f = 1, не превосходит
е J <ри (х)" fn (х) dx + а (е) || ск ||^ || fn HL] + J |	„ Г/("“ flf„ dx <
< е J <ри (х)" fn (х) dx + а (е) || си ||£'2 || fn 11^, + II fj/fn &п"(п-р11 fn И<» ’
Более того, если левую часть неравенства умножить на комбинаторный множи-
тель [//2]/!/((/— 2/)!/!2г), то верна та же оценка с другой константой а = а(е,п).
Фигурирующее в этой оценке е произвольно, но положительно. Выберем е малым
и обозначим JT общее число членов. Тогда, если ! — Л’е > 0, то, просуммировав
по j и I и воспользовавшись разложением (8.5.5), получим неравенство (8.6.10).
Опенка || си ||. <О(1пи) следует из свойства (LR3) (теорема 7.1.1). |
Перейдем ко второму этапу доказательства интегрируемости
экспоненты е~р, а именно покажем, что высокоэнергетическая часть
f>P полинома Р принимает большие значения только на небольшом
множестве конфигураций поля. Чтобы придать этому утверждению
точный смысл, определим
:P(<p,f):c-:P(<PxJ):c,	(8.6.11)
так что :Р: = :РК: + 6РИ. Обозначим Х(н) множество конфигура-
ций <р, для которых 16РИ |	1, т. е.
Х(х)={<р: f6Px|>l}.
Предложение 8.6.4. Пусть С^'ё'т и т~х -f-n + |A| К. Тогда су-
ществует константа а, зависящая только от К, такая, что при и > 2
dcpc < ехр [- а (х7М (f))2/deg р],	(8.6.12)
где е — константа из теоремы 8.5.3.
8.6 Негауссовы интегралы для случая d = 2	183
Доказательство. Так как	1 на множестве Х(х), то для любого четного /
верно неравенство
J d<Pc< \^рУ^с-
X (Х)	<У'
п
Имеем = У :((jpZ — Фх):с(^)’ Заметим, что член с индексом / = 0 отсут-
1-1
ствует. Таким образом, &р!л есть сумма не более чем nJ мономов, каждый из
которых имеет вид П (R(h - R^, где R{1) =	и 1 < mi < п- При-
1 — 1 4	X Z/ с
меняя следствие 8.5.4 при г = I, У щ = mi п n pt = р = n/(n — m^, по-
лучаем, что все такие мономы ограничены. Далее,
В результате этих оценок получим, что
11 ^Z)ll4 = ||fmz||4<M(f).
d(pc < (/I)"'2 (const М (f) % Е);,
А'(и)
(8.6.13>
где константа зависит только от К. Правая часть этого неравенства примет наи-
меньшее значение, если в качестве / взять наибольшее четное число, меньшее
(xe/constЛ4(/))2/л (константа та же, что и в (8.6.13)). После этого применение
формулы Стирлинга приводит к неравенству (8.6.12). |
Для доказательства теоремы нам понадобится следующее эле-
ментарное тождество.
Лемма 8.6.5. Пусть {X, dp} —вероятностное пространство и g(tp)e
LP(X, dp) — определенная на нем функция. Обозначим
Тогда
й(а)в=р{<р: asC|g(<p)|}.
(8.6.14)
I g lp = Р ар~ xh (a) da.
о
(8.6.15)
Доказательство. Формула (8.6.15) получается из равенства \|g|₽dp =
ОО
= — ар dh (а) при помощи интегрирования по частям,
о
Применим тождество (8.6.15) в частном случае р= 1. Для до-
казательства того, что geLi(dp), достаточно показать, что функ-
ция h{a) интегрируема на бесконечности. Пусть, далее, а(х)— не-
прерывно дифференцируемая монотонно возрастающая функция и
а(х)->оо при х—>оо; тогда, если функция ft(a(x))da(x)/dx ин-
тегрируема по х на бесконечности, то g е Li(dp.). Предположим,
‘184 Гл. 8. Квантование = интегрирование
что da(x)/dx^ а(х)2. Тогда для е х0 х справедливо нера-
венство
( | g [ dp, а (х0) + sup х2 (а (х)2 h (а (х)).	(8.6.16)
•I	X>Xt
.Доказательство теоремы 8.6.2. В качестве функции g(q>) возьмем ехр[—:P(q>, f):c],
а функцию о(х) выберем в виде экспоненты от выражения, стоящего в левой
•части оценки (8.6.10), т. е.
а (х) exp {1 + const [|| fn ||Д] (In x)(des Р)/2 + || fn ||Доо N (/)] }.
При таком определении da(x)/dx а(х)2. Разложим экспоненту: е~:Р: в
_ .р . — ЪР
•з=е • ^‘е к. По предложению 8.6.3
А(а(х))< d(fc<exp[—а(х7М (f))2/deg₽],
Х(х)
причем второе неравенство следует из предложения 8.6.4. Итак,
In {х2а (х)2 А (а (х))} <1 const fin х + || fn ||, ((In x)h/2 + N (/)) —
I	^oo
- (xe/M + const. (8.6.17)
Предположим, что правая часть этого неравенства не превосходит
const || fn ||Доо [N (f) + {In (1 + М (f))}"/2] + const. (8.6.18)
Отсюда следует неравенство (8.6.7). Более того, так как
М (D < || f п 11Доо (N (f) + п),	(8.6.19)
то верно и второе утверждение теоремы.
Теперь займемся доказательством оценки (8.6.18). Выберем Хо настолько
большим, чтобы из хо х следовало 1	(1п х)” ^хЕ.
Случай Г. sg (1 +A4(f))n+I. Отбросим отрицательные члены в правой ча-
сти (8.6.17). Заметим, что || fn ||£ «СМ. (f). Следовательно,
II fn П£оо С const [1 + || fn [|£оо {In (1 + M (D)}"'2].	(8.6.20)
Используя оценки (8.6.19—20), получим, что
In х С (п + 1) в-1 In (1 + М (f)) С const М (f) С const || fn ||д (W (f) + n)
< const || fn II, [TV (f) + {In (1 + M (f))}"/2] + const. (8.6.21)
?Более того, в силу нашего предположения,
II fn II, (lnx)n/2<const|| || {In (1 + M (f))}nl2.	(8.6.22)
Неравенства (8.6.21—22) в совокупности дают требуемую оценку (8.6.18).
Случай 2: Xе > (1 4-Af(f))n+1. В этом случае
хЕ = W>(1 + М (f))3<n+W (Inx)"2/4.
8.6 Негауссовы интегралы для случая d = 2	185
В силу элементарного неравенства {(3(n + 1 )/4) — 1} (2/л) = 1 + -| (1 — п *)	1
и оценки М ())XI fn ||, , получаем, что
^ОО
(хе/М (П)2/" >(1 + М (f)) (In х)п/2 > 1П х + П„ II (In х)п/2.
^ОО
Поэтому выражение (8.6.17) ограничено сверху величиной const || fn ||. N (f),.
^ОО
и тем самым оценка (8.6.18) доказана.
Этим завершается доказательство теоремы в частном случае Ci = С2, к ко-
торому мы сведем сейчас общий случай. Достаточно установить оценку (8.6.7).
Пусть :Р (ф, f):c = :Р (ф, Воспользуемся доказанной уже в частном слу-
чае оценкой (8.6.7), в которой набор f заменен на Tf. С помощью предложения
8.6.1 и неравенства (8.6.20) получим, что
+ {ln (1 + M <
<const|| fn II, k (f) + {In (1 + M (f))}’1'2] + const.,
^oo
Отсюда и вытекает оценка (8.6.7). |
Замечание 1. Из доказательства теоремы 8.6.2 можно извлечь еще
одну оценку, которая пригодится нам при изучении фазовых пере-
ходов в гл. 16. Пусть /и-1 + (М/m) + п + |Л| К и существуют
функция L(f) и постоянная, зависящая только от К, такие, что
- const [(1 + М (f)) (In х)"/2 + L (f)] < :Р (Фи,
Тогда
Jexp(— :Р (<р, fy.^dq^
< const ехр {const [L (f) + {1 + M (f)} {In (1 + M (f))}',/2]}, (8.6.23)'
причем константы здесь также зависят только от К.
Замечание 2. При помощи масштабных преобразований из дока-
занных неравенств можно получить еще один результат. Для
произвольного а>0 рассмотрим преобразование массы
и расстояния х->ах. Пусть Св(т) = (—&в + /и2)-1, где В обозна-
чает какие-нибудь классические граничные условия на множестве
Г. Определим масштабный ковариационный оператор СаВ(ат) =
— (—&.аВ + (m/а)2)-1, где Дав обозначает оператор Д с аналогич-
ными граничными условиями на множестве аГ, т. е. на множестве
точек ах, хе Г. В случае d = 2
Св (т\ х, у) = СаВ (т/а; ах, ау),	(8.6.24)
подобно формуле (7.2.2) для свободной ковариации.
Определим масштабное преобразование Rrj (для d = 2) равен-
ствами
RaCB(m) = СаВ(т/а) и (Raf) j (х) — a~2ft (х/а). (8.6.25)’
186 Гл. 8. Квантование = интегрирование
При этих обозначениях верно следующее так называемое масштаб-
ное тождество:
J ехр (- :Р (Ф, f):C1) rfcPc2 = $ ехР (“ :Р О	d4>Rac2  (8-6.26)
В гауссовом случае (т. е. когда Р —линейная функция) оно сле-
дует из свойств (8.6.24—25) и определения гауссова интеграла.
В общем случае оно получается с помощью гауссова тождества и
определения (8.5.5) викова упорядочения.
8.7 Конечномерная аппроксимация
Для доказательства некоторых тождеств гл. 9, связанных с ин-
тегрированием по частям, нам понадобится аппроксимация экспо-
ненты е~ :Р^’ 9= функцией, зависящей лишь от конечного числа пе-
ременных. Существенным шагом при этом является конструкция
из § 8.6, где функция е~ 'р f>; аппроксимирована экспонентой
f):. Далее мы приблизим набор функций f функциями клас-
са с“, а затем аппроксимируем риманов интеграл в определении
:Р(фи, Г)’ римановой интегральной суммой. Другую конечномерную
аппроксимацию, основанную на разностной (решеточной) аппрок-
симации оператора Лапласа, мы изложим в § 9.5—6. Переход к
разностному оператору сохраняет ферромагнитное свойство опера-
тора Лапласа, а оно очень полезно при доказательстве корреля-
ционных неравенств.
Пусть %л—характеристическая функция множества Л =
= supp fn; положим
f/,x=XA(f/*6x). {fnx: / = 0, .... «},	(8.7.1)
где бх определено формулой (7.1.5). Тогда при %->оо в про-
странстве Lp для некоторого р > 1, а также «(Д)-*ЛЧ/) (см.
(8.6.5)). Пусть Р(в’Л-и)— аппроксимация интеграла :Р(фи, Д.):с ри-
мановыми суммами, т. е.
Р(6’Л'и' = б2£ S :фи(х/:сДл(х).	(8.7.2)
/=0 X е=
Предложение 8.7.1. Для любого	и любого 1 р < оо су-
ществует следующий двойной предел в пространстве Lp (d<fc):
lim lim Р(6- и) — :P (фи, f):c.
X->oo 6->oo
Замечание. Сходимость при x->oo была установлена в теореме
8.5.3.
Доказательство. Пусть — семейство 6-функций, выбранных, как в (8.7.2),
так чтобы
fK 6y,G.
8.7 Конечномерная аппроксимация 187
Как и в доказательстве теоремы 8.5.3, /.„-сходимость полиномов Р(6, и) сво-
дится к сходимости
(h. X, б’ х,	(8.7.3)
Предел при 6 -> О в соотношении (8.7.3) существует по определению интеграла
Римана, а сходимость прн 7.->оо следует нз /.„-сходимости последовательности f/t
так как функции Си и принадлежат пространству Щ. |
Предложение 8.7.2. Для определенной выше последовательности
р(Ъ,г.,и) При любом j р <; оо в пространстве Lp(d<pc) существуют
пределы
lim lim lim exp (— Р(6- к)) = exp (— :Р (<р,	(8.7.4)
И-»оо Х-»ОО б->0
Доказательство. Как следует из теоремы 8.6.2 и ее доказательства, экспонента
ехр (— Р^'	и)) при фиксированных А и у. ограничена в Lp равномерно по 6.
В силу неравенства Шварца, то же самое верно и для интерполяции экспоненты
ехр (- Р(/)) = ехр [- /Р(6’ и| - (1 - t) Р<°- к- и)]
при 0 гС / гС 1. Сходимость в пространстве Lp вытекает из следующей цепочки,
неравенств:
1
= sup II (Р<°» - Р™) е-^ ||, < II Р<°) - Р^ It^ sup II e~pW ||,
t	Р	Р t	2р'
В силу сделанных замечаний, второй сомножитель ограничен равномерно по 6,
а первый сходится по предложению 8.7.1. Пределы при 7.->оо и рассма-
триваются аналогично. |
Предложение 8.7.3. Определим формальные производные
(v, 6/д<р) = v (х) (б/бср (х)) dx,
w	W(X’ 6q> (х) 6q> (t/) dxdy>
действующие на полиномы /?(<р) от <р. Тогда для введенных выше
полиномов Р(б,х,и) ц :Р(ц>, f);c :Р: и непрерывных функций v и w
с компактными носителями существуют пределы в Lp для всех
1 р <Z оо:
lim lim lim (о, -^р)Р{6’ к и) = (о,	(8.7.5)
И-»ооХ-»ооб^.О '	°Ф/	' оф'
lim lim lim АШР(6- и) =	:Р:.	(8.7.6>
И-»оо Х-»°о б->0
Доказательство аналогично доказательству предложения 8.7.1, причем следует
применить теорему 8.5.3. В
188 Гл. 9. Анализ и перенормировки
Замечание. В предложениях 8.7.1 и 8.7.3 Р могут быть и неограни-
ченными снизу. Кроме того, если считать в последних трех пред-
ложениях полиномы Р различными, то в результате получим сле-
дующие пределы:
(^(б. х, и)) е-р(б. х)	е~ :Р:>
где д = /, б/бф или б2/бфбф.
Глава 9
Анализ и перенормировки в функциональном пространстве
9.1 Список полезных формул
В этом параграфе мы приведем основные формулы и равенства с
указанием параграфа, в котором они доказываются. Как и в § 8.5,
обозначим /?(ф) полином от ф или полином от ф, ..., :ф(х)Л. По-
ложим
Л(ф) = Я(ф)е‘<₽(П.	(9.1.1)
(1)Равенства для полиномов Вика
Упорядочение экспоненты (§ 6.3):
:еч>(П;с = еч>(Пе -<f- cf)/2.	'(9.1.2)
Здесь <•, •> обозначает скалярное произведение в вещественном
пространстве Д.
Дифференцирование функционалов. Производная функционала
Л(ф) на 0'(Rd) вдоль направления ф определяется формулой
(В,Л)(ф)=.Пт-Л^ + еу-ЛМ .	(9.1.3)
е->0	е
Здесь фей/, а производная, в зависимости от Л(ф), может су-
ществовать в каждой точке, или как функция из Lp относительно
меры с?р(ф), и т. д. Вот два примера производных от функций вида
(9.1.1):
Офф(/)п = пф(/)ф(Г)л-1, Оф = ф(/)е<р(Г).
В важном частном случае, когда ф = бх есть функция Дирака в
точке х, используется специальное обозначение:
дА (ф)/бф(х) ss D&x А (ф).	(9.1.4а)
Для полиномов А с гладкими коэффициентами, т. е. для линейных
комбинаций мономов вида ф(Л) ... ф(М, fi определение
9.1 Список полезных формул 189
(9.1.3) совпадает с алгебраическим определением, использованным
в § 1.5 и 6.3. В случае негладких коэффициентов, например когда
А в (9.1.1) содержит локальные виковы произведения -лр(х)1,
определение (9.1.3) следует продолжить по непрерывности. Такое
продолжение зависит и от коэффициентов в А, и от меры в функ-
циональном пространстве, относительно которой и проводится про-
должение. Напомним, что ф(у) и ’spf.y)1: нельзя рассматривать ни
как функции на S)', ни как операторы умножения. На самом деле
ф(у) и гфО/)/; являются билинейными формами с соответствую-
щими областями определения, поэтому либо нужно понимать ра-
венство (9.1.4а) как равенство билинейных форм, либо рассматри-
вать б/бф(х) как обобщенную функцию по переменной х, а тогда
равенство (9.1.4а) приобретает смысл после интегрирования по х.
Другим примером служит
бф(«/)/бф(х) = б(х — у).	(9.1.4b)
Определение викова упорядочения относительно ковариации С
(§ 8.5). Пусть ск = би«С«-6и. Тогда
1«/2]	f
1фп(х):с== lim У  'сп(*/Фи(x)n~Zi- (9.1.5)
и-*°°^о (" — 21У1'-2
Дифференцирование виковых полиномов:
б:Л:с/6ф(х)= :бЛ/бф(х):с.	(9.1.6)
Пример: б:ф(у)":с/бф(х) = пб(х — у) :q>(y)n~l:c-
Умножение виковых полиномов:
ф(П--А(ф):с = :ф(/)Л:с + «С/, б/бф>:Л:с).	(9.1.7)
Пример:
ф(х):ф(у)":с = :ф(х)ф(у)п:с + пС(х, у) :фп-‘ (у):с.	(9.1.81
Инфинитезимальное изменение викова упорядочения. Пусть C(t)—•
семейство ковариационных операторов, гладко зависящее от
Тогда
d'A:C{VJdt — ~2^с 'А:с(«г	(9.1.9)
Здесь С = (d/dt) С (t), а
Дс=(е~, -j-\^(c(x, у) . 6. .-^.rdxdy	(9.1.10)
G \ б<р бф/ J ' ’ бф(х) бф (у) и	\	/
обозначает дифференциальный оператор второго порядка в про-
странстве функций ф, отвечающий оператору С.
Пример дифференцирования (9.1.9):
d:<p(x)n:C{t)/di==- (")С(х, х) :ф(хГ2:С(0.	(9.1.11)
190 Гл. 9. Анализ и перенормировки
Конечное изменение викова упорядочения. Если С\ и С2— кова-
риационные операторы из класса и ёс(х)= lim[C2(x,у) —
и->х
— Ci(x, у)], то
[п/2]
(9|Л2)
Это равенство следует из (9.1.2) и формулы (1.5.12) для полино-
мов Эрмита.
Доказательство формулы (9.1.6). Пусть h (Л, q>) = ехр (/) —Л2 (Д Cf)J, так
что :<p(f)n:c — dn/i(k, q>)/dkn |Л„0. Тогда
6	6 dn	I dn
SJW :ф U>":c - TV ‘ ft Ф) L--skft' WЛ ft » »x-« “
= W [5^ “ ft m"'	>
Полилинейность полиномов Вика и так называемое поляризационное тождество
Xi ... хя = 2-л (п!)'1 £ Bi ... en(eixi + ... + е.пхп)п (9.1.13)
позволяют доказать (9.1.6) в случае А = <p(fi) ... <p(fn). Для А вида (9.1.1) с
гладкими коэффициентами у полинома R равенство можно получить, суммируя
сходящийся ряд разложения экспоненты. Для доказательства формулы в случае,
когда А содержит полиномы Вика из § 8.5, мы должны ограничиться лишь функ-
циональным пространством, в котором сосредоточена мера, и распространить
определение Of на функционалы Л(ф).
В случае d = 2 для гауссовых мер и Р(<р)-мер в конечном объеме в гл. 8
было введено ультрафиолетовое импульсное обрезание для полиномов А. В ре-
зультате получается полином с гладкими коэффициентами, для которого выпол-
няется (9.1.6). После интегрирования по х, как в (9.1.4), в полученной формуле
можно перейти к пределу при снятии обрезания (это вытекает из оценок § 8.5).
Таким образом, определение Df можно продолжить по непрерывности так, что
останется справедливой формула (9.1.6).
Доказательство формулы (9.1.7). Для определенной выше величины h(k, <р) на-
ходим, что
(Cf, 6/6<р>й (Л, <р) = Л<Д Cf)h (k, <р).
Таким образом,
dn	I dn~l
••<₽ мП:с=Л <* Ч о=1(ф (/) -л с/>) h ф)1>.=о=
di\i	I лв	схл
= q>(f):q>(D"_1:c-<Cf, 6/6<р):ф(Пл-1:с.	(9.1.14)
Применяя (9.1.13) и суммируя сходящиеся ряды для е4^, получаем (9.1.7) в
случае гладких коэффициентов. Общий случай доказывается введением ультра-
фиолетового обрезания, а затем снятием его, как в § 8.5.
Доказательство формулы (9.1.9). Для А (<р) = ei<₽ используя обозначение
(9.1.10), имеем
-гг :А:с со = £ ех₽ (I <А с (<) К + '«₽ (Л) =
= 4 <f. С (/) f) :А:С (() = - j Дй ;Л:С (f).	(9.1.16)
9.1 Список полезных формул 191
Для того чтобы доказать формулу для полиномов, ’заменим в предыдущем ра-
венстве f на Л/ и возьмем производную соответствующего порядка по X в точке
Z = 0. Негладкие А рассматриваются, как и раньше, с помощью ультрафиолето-
вого обрезания. Для того чтобы намеченное здесь доказательство было коррект-
ным, достаточно предположить, что C{t) eV (см. § 7.9) и что ядро C(t, х, у)
оператора удовлетворяет условию |С(/, х, у) | const С(х, у) для некото-
рого Се??. Фактически нужно рассматривать только простейший случай
C(t) =tCi+ (1 — t)C2. С = 1>С = С1 — Сг.
(II)	Гауссовы интегралы (§ 6.3)
Преобразование Фурье (Характеристическая функция. Среднее
0, ковариация С):
S (f) == j егч> = е~«* W2.	(9.1.16)
Моменты:
Ф (f)2n+1 сйрс = 0, 5<р(/)2'г</фс = -^-<СА f)n. (9.1.17)
Скалярное произведение экспонент. В качестве следствия из
(9.1.16) и (9.1.2) получаем равенство
:e-z«’(f):c:ez<P(s):cd(pc= e<f- с«>.	(9.1.18)
Ортогональность полиномов Эрмита (Вика). Разлагая (9.1.18)
в степенной ряд, получаем, что
:Ф (f)n-c :ф (g)m-c dcpc = (f. Cg)'1.	(9.1.19)
Примеры: при n 1
^:ф(Пп:с</фс = 0,	(9.1.20)
$ :A (<p):c dcpc = A (qp = 0).	(9.1.21)
Ниже мы будем обозначать через v интегральный оператор с
ядром v(x, у), действующий в пространстве L2(Rd, dx). Кроме того,
будем предполагать, что I + Cl/2vCi/2 > 0. Пусть
:У:=у :ф(х)о(х, у) ф(у): dx dy.	(9.1.22)
Константа викова упорядочения. Пусть оператор иС имеет след;
тогда
:У:с = У-1Тг(оС).	(9.1.23)
Равенство следует из соотношений :ф(х)ф(#) :с=<р(х)ф(у)—С(х, у)
иТг(оС)= v (х, у) С (у, х) dx dy.
192 Гл. 9. Анализ и перенормировки
Функциональный определитель (§ 9.3):
Zhs J e~:V:cdqc = ехр{- |Tr [in(/ + Лс,/2) - Л(?,/2]}. (9.1.24)
Гауссово возмущение (§ 9.3):
d<f, .-.\—Z~le~'y'c dq>c.	(9.1.25)
(С
Пример: пусть v есть оператор умножения на т(х)2, С= (—Д4~/)-1.
Тогда
:V: = y m(x)2:q(x)2:cdx,	(9.1.26а)
dq	1 — Z~'e~'v' dq>
Ч-Д+М-т(х)!)	Ч-Д+Д
Z = ехр	Tr [in (/ + C,/2m2C'/2)-C,1/WC,/2]}.	(9.1.26b)
Масштабное преобразование (§ 8.6). Пусть a > 0 и Ra обозначает
преобразование, изменяющее масштаб длины в а раз. В частности,
для С — (—Дг + т2)-1 определим RaC — (—Даг + (m/a)2)-1. Для
f е Со°положим (Raf) (х) = a-(d+2)/2f(x/a). Тогда справедливо ра-
венство
dqiRaC= \et(^hdqc,
называемое масштабным тождеством. Масштабное тождество в
негауссовом случае заключено в формуле (8.6.26).
Сдвиг гаусовой меры. Пусть g&ff’ и ф = ф— g. Заменим инте-
грирование по <р интегрированием по сдвинутой переменной ф.
Тогда
г!фс = ехр[—j(g-, C~lg) — {C~xg, ф)]</фс.	(9.1.27)
Доказательство формулы (9.1.27). Докажем это равенство для преобразований
Фурье обеих мер. Проинтегрируем обе части (9.1.27), умножив их на функцию
exp(t<p(f)) = exp(tif(/'))exp(t<g, f>). Оба интеграла можно вычислить, используя
(9.1.16), и они оказываются равными ехр (—|-(f, Cf)}. Так как мера однозначно
определяется своим преобразованием Фурье, то равенство (9.1.27) доказано. |
(III)	Интегрирование по частям
Формула гауссова интегрирования по частям
Ф (f) Л dqc	б/бф) A dqc =
= J (бЛ/бф (Cf)) dqc = J DCfA dqc	(9.1.28)
была доказана в § 6.3. Она вытекает также из соотношений (9.1.6),
(9.1.7) и (9.1.20). Для обобщения этого равенства на случай не-
9.1 Список полезных формул
193
гауссовых мер положим
V = $ :Р(ф):с/х,	(9.1.29)
л
dp —dpv = e~r dq>c e~vdcfCi,	(9.1.30)
B — Ae^v.	(9.1.31)
Интегрирование по частям (общий случай: § 12.2) :
$ Ф (f) A du = J {c2f,	- А dp. (9.1.32)
Заметим, что если в (9.1.32) можно перейти к пределу при
Лф/?а, то формула (9.1.32) верна и для меры dp в бесконечном
объеме.
Инфинитезимальное изменение ковариации (гауссов случай: §9.2).
Пусть C(f) есть гладкая операторнозначная функция от t. Тогда
~dt	= ~г & dq>c (/)’	(9.1.33)
где С — dC/dt, а Ас определено в (9.1.10).
Инфинитезимальное изменение ковариации (общий случай: § 9.2,
12.2). Пусть	C2(t)— гладкие операторнозначные функции
от t. Тогда
Ле v dфC2 (о = у "Ь сЛ“Ь
+ A(c2^-,~)~(.C2~,^)\e-vdffct. (9.1.34)
*	\ 2 бф бф /	\ - 2 бф Оф / J	(Г) v	>
Из (9.1.34) вытекает формула для {djdt) j A d\i, где dp есть мера
(9.1.30) или соответствующая мера в бесконечном объеме, если в
(9.1.34) возможен предельный переход к бесконечному объему.
Обусловленность. Положим в (9.1.31, 34) А — I, C\ — C2 = C(t)-.
~dt e~vd(fcw = -^	^фС(/).	(9.1.35)
Это равенство чаще всего используется, когда С 0 или С 0,
как, например, в случае С = /С1-|-(1— t)C2, С = С(—С2 и
О( С*2 или С2 -2^ С].
Трансляция. Для случая взаимодействия в конечном объеме фор-
мула (9.1.27) принимает вид e~v^ dcpCi~e-w^ d^Ci, где
W (ф) = J :Р (ф + g):Gi dx + <CF *g, ф> + 1 {g, С2 'g). (9.1.27')
д
104 Гл. 9. Анализ и перенормировки
Доказательство формулы (9.1.32). Если вместо А подставить В в (9.1.28), го
(9.1.32) сводится к (9.1.28). Таким образом, достаточно проверить для производ-
ной бВ/6<р правило дифференцирования сложной функции. Введя ультрафиолето-
вое обрезание и используя предложение 8.7.2, можно аппроксимировать V после-
довательностью полиномов Qw вида (8.7.2). Для В(Г, = Ае~® правило диффе-
ренцирования сложной функции п формула интегрирования по частям верны, так
как Qw — цилиндрические функционалы (зависящие от значений функции только
в конечном числе переменных точек) и функциональные производные функции
в v превращаются в обычные производные. Следовательно, равенство спра-
ведливо для В<;>. Кроме того, по предложению 8.7.3 обе части равенства сходятся
прн Z->oo. |
(IV)	Пределы мер
Пусть Сп — последовательность операторов ковариации. Если
С„->С в смысле слабой сходимости билинейных форм на £С Х
то из (9.1.16), (9.1.17) вытекает сходимость гауссовых мер
^4PCn~*^4Pc в смысле сходимости характеристических функций и
моментов. Пусть Ж с Sfi есть конечномерное подпространство.
Цилиндрическая функция f, определяемая с помощью Ж, есть
функция вида
Цф) = ^«ф.	....<Ф, ®»>),
где Wi, ...,	Интеграл fdqc можно записать как конечно-
мерный гауссов интеграл с гауссовым показателем	где
Cw — ограничение С на ЖХЖ. Из сходимости Сп к С вытекает
сходимость Cnw к Cw и Cnw к С“‘ (в предположении невырож-
денности С). В случае же вырождения С гауссова мера будет со-
держать 6-функцию. Из этих соображений вытекает, что для непре-
рывной ограниченной цилиндрической функции f
р(ф)б?Фсп->р(ф)Лрс-	(9.1.36)
В ряде ситуаций бывает нужно обобщить эту сходимость на случай
Р(<р) 2-меры (9.1.30).
Снятие решеточного обрезания (§ 9.5, 9.6). Пусть Се1? и С6 — ре-
шеточная аппроксимация С с шагом решетки 6. Тогда С6->С в
смысле слабой сходимости операторов в Is и соответствующие ре-
шеточные меры dp,c& сходятся к мере d[ic в смысле сходимости
характеристических функций.
Предел Дирихле (§ 7.8). Пусть Се?’, Л — прямоугольник
и — характеристическая функция множества Л' (дополнение
к Л). Положим С} — (С~1 + ^ХЛ') • Тогда существует предел
lim С\ = Coo и Ccof — О, если suppfczA'. Предположим, кроме
П->оо
того, что С-1 = —Аг + т?1, где Аг есть лапласиан Дирихле с
9.2 Инфинитезимальное изменение ковариации
195
нулевыми граничными условиями на Гс Л. Тогда оператор Со? =
= — Дги<?л. + т2/в пространстве ТгСЛ) есть лапласиан Дирихле
с нулевыми граничными условиями и на Г, как С-1, и дополни-
тельно на д1\.
Предел Неймана. Пусть
<А СГ 7> = <f, 7> +1$ I W (х) |2г/х.
Л'
Тогда существует предел lim Ск~С^, и оператор Соо соответ-
Z, оо
ствует (по крайней мере формально) граничным условиям Ней-
мана на дЛ. В дальнейшем мы не будем использовать этот пре-
дельный переход.
9.2 Инфинитезимальное изменение ковариации
В этом параграфе мы рассмотрим формулы интерполяции для
мер г/ц вида (9.1.30). Вначале обсудим гауссов случай и докажем
(9.1.33).
Предложение 9.2.1. Пусть C(t) — гладкое однопараметрическое
семейство ковариационных операторов в сё>, и пусть А имеет вид
(9.1.1). Тогда
~dt	= J	(9.2.1)
Доказательство I. Предположим, что А = Для простоты положим =
= /Ci + (1 —/)С2. Тогда
4г J Ad(fc(t) = J eiv^d<pc (f) = -£- ехр ( - <g, С (/) g>) =
= -	6 & S') exp ( - ~ (g, C (/) £>) = -Г J(ДсЛ) d<pc (t)*
(9.2.2)
Случай произвольных А вида (9.1.1) рассматривается по аналогии с доказа-
тельством (9.1.6,7).
Набросок доказательства II. Это альтернативное доказательство показывает, что
(9.1.33) фактически есть формула интегрирования по частям. Мы аппроксими-
руем интегралы в (9.1.33) конечномерными интегралами по мере </фп вида
d4>,i = 1ехР ( - у : С Wn 1(4 : ) ^Лебег d4>C(t) 	<9-2-3)
Здесь d<Pjie6er— мера Лебега, а впково упорядочение проводится относительно
ковариации С(/)„. Тогда
%-	~ ( :{ф.-А-ся (0_,«р);ЛЖря =
= -Г J-<Сп (0-‘<Р, Сп (0 сп Adyn. (9.2.4)
196 Гл. 9. Анализ и перенормировки
Применяя формулу интегрирования по частям к каждому <р в выражении
находим, что
5(Дс/)Л₽п
Переходя к пределу при «—>-оо, получаем (9.1.33). Мы не доказываем здесь схо-
димость при п->оо, поскольку она вытекает, например, из предложений § 9.5.
Следствие 9.2.2. Пусть Ci, С2— ковариационные операторы и А
имеет вид (9.1.1). Тогда
j Adcpc, = j Ad<pct + 4“ (Acs-c^) dq>tc2 + (i - t) cr (9.2.5)
о
Следствие 9.2.3. Для мер в конечном объеме справедлива формула
(9.1.34).
Доказательство. Включим в А множитель ехр(—:V:C<()) и применим правило вы-
числения производной сложной функции; его законность обосновывается с по-
мощью 8.7.1—3.
9.3 Квадратичные возмущения
В этом параграфе мы будем изучать квадратичное возмущение
:У:С =* -г : <Р (х) v (х, у) ср (y):cdxdy	(9.3.1)
(см. (9.1.22)) и гауссову меру
е с dtp
dp == —------------- = z-'e" ’v'cd(pc-	(9.3.2)
Je 'V:cd(pc
Здесь предполагается, что С — ограниченный положительный са-
мосопряженный оператор в L2(Rd). Например, любой оператор
С е удовлетворяет этим условиям. Основное ограничение:
C~l + v > 0.	(9.3.3)
Мы требуем также, чтобы функция v(x, у) была вещественной и
симметричной. Во избежание технических трудностей предполо-
жим также, что v — ограниченный оператор. Положим
v = С^С1/2.	(9.3.4)
Предложение 9.3.1. Предположим, что выполнено условие (9.3.3).
Пусть С — ограниченный положительный самосопряженный опера-
тор, v — ограниченный оператор, a v — оператор Гильберта —
Шмидта. Тогда функционалы :V:c и e~:V-c принадлежат Lp(d(pc)
при всех р < со и
Z = j е- -V: с dtpс == ехр ( - — Тг [1п(/ + б) - б]).	(9.3.5)
9.3 Квадратичные возмущения 197
Если ||o||Hs < 1, то
CQ
г =	(9-3-6)
»-0
и ряд абсолютно сходится.
Замечание 1. Нормирующий множитель Z называется функцио-
нальным определителем, так как в случае, когда возмущение V
рассматривается без викова упорядочения,
j e~vd<fic = det (I 4~ d)-1-'2,	(9.3.7)
при условии, что интеграл (9.3.7) существует. Заметим, что для
симметричных положительных А имеет место равенство det Л —
= ехр (TrinA), поэтому формально
det (/ -j- v) ’1/2 = det C“ 1/2 det (C~1 -j- v)~ Ч2 =
= exp [( — 1/2) Tr In (/ -j- z))j
(в случае конечномерных гауссовых интегралов эти равенства
имеют точный смысл). В частности, Z определяется с помощью
выражения (9.3.7) только в том случае, когда v имеет след.
Замечание 2. Виково упорядочение V, т. е. замена V на :V:c в
(9.3.7), исключает из экспоненты члены, линейные по и. Это есть
в точности множитель ехр((1/2)Тгу), так как :V’:c=V — (l/2)Trd.
Таким образом, можно определить перенормированный определи-
тель deti:
det] (7 + v)~ */2 = det (7 -j- v)~ V2 det (exp v)1/2 =
= exp[( — 1/2) Tr (In (7 + й) — d)].
В этом случае Z определено и тогда, когда оператор й не имеет
следа.
Замечание 3. Отметим несколько различных случаев. (1) Если
II^IIhs < 1 и V рассматривается в виковом упорядочении, то Z
разлагается в сходящийся ряд по степеням <?. (2) Если v есть
оператор Гильберта — Шмидта и выполнено условие (9.3.3), то Z
определяется формулой (9.3.5) и равно deti (7 + й). (3) Даже если
Z равно 0 или со, мера dp, определяемая формулой (9.3.2), может
существовать как предел аппроксимирующих мер. В предложе-
нии 9.3.3 ниже рассматривается ситуация, когда Z может рав-
няться 0. Если мера dp существует, a Z не определено, то говорят
о перенормировке вакуумного вектора, связанной с делением на Z.
Аналогичное явление происходит в случае негауссовых мер: см.,
например, обсуждение перенормировок в модели <р4 в § 14.3.
(В гл. 8—12 мы следуем терминологии, принятой в статистической
механике. Так, при мультипликативной перенормировке меры
соответствующий множитель называется статистической суммой и
108 Гл. 9. Анализ и перенормировки
обозначается Z. В гл. 14 обозначение Z используется для перенор-
мировки величины поля, т. е. мультипликативной перенормировки
поля ф.)
Доказательство. Непосредственные вычисления дают
:V:^>d(pc = || v (|^s.
Аналогичные равенства верны и для старших степеней, следовательно, :V:ceXp
ОО
и :V:C непрерывно зависит от v. Поскольку Тг[1п(/ + б) —б] = У [In (1 4-X/)—
i = 1
— Л/], где 7./— собственные значения симметрического оператора б, а
1п(1 4-х) —х = О(х2) при х->0, этот ряд в случае, когда v— оператор Гиль-
берта— Шмидта, сходится. Таким образом, правая часть (9.3.5) конечна и не-
прерывно (по норме || • Hhs) зависит от v.
Предположим, что равенство (9.3.5) выполнено для б из всюду плотного
линейного подпространства пространства операторов Гильберта — Шмидта. Ап-
проксимируем произвольный оператор б последовательностью б,- из этого подпро-
странства. Тогда : V,:c-> : Г:с в Lp, и можно выбрать подпоследовательность, для
которой имеет место поточечная сходимость почти всюду. Таким образом, можно
--.V'-c
считать, что е	' -> е поточечно почти всюду. Кроме того,
|| е- =^:с _ -	-с |^ = ехр ( _ _1_ Тг[1п (/ 4- 26J - 26J) 4-
4-	ехр ( - 4- Тг [In (/ 4- 26/) - 26/]) -
— 2ехр(—-- Тг [In (/ 4- Vi 4- б/) — б/ —б/])->0 при г, j ->оо.
-:V:c
Следовательно,е е L2 и имеет место равенство (9.3.5). Применяя аналогпч-
_ (p/2):V:r	— -¥’С
пые соображения к е	, получаем, что е е Lp при всех р < оо.
Наконец, правая часть (9.3.5) при || б ||Hs < 1 разлагается в сходящийся ряд по
степеням б, откуда следует сходимость в (9.3.6). (В качестве упражнения на
вычисления с помощью диаграмм Фейнмана мы приведем независимое доказа-
тельство формулы (9.3.6) после следующего ниже предложения 9.3.2.)
Рассмотрим теперь подпространство операторов v с гладким ядром вида
J
V (х, У) = У, fyff (х) ff (у),
i~l
где	В этом случае :V:C и e~'v'c являются цилиндрическими функциями
и Z можно вычислить точно (как конечномерный гауссов интеграл). Положим
gi = так что
J
б (х, у} = У X/ gj (х) gj (у).
i-\
Не теряя общности, можно считать, что функции g,- ортонормированы. В силу
(9.3.3), X/ > —1 при всех /, следовательно,
2 = е<>/2)Тгй(2я)-//2 j JJe- ^^x2idxi =
I
= 1/2) Тг 0 det _j_ „у-1/2 = е(- 1/2) Тг [In (/+0)_ 0]. ।
9.3 Квадратичные возмущения 199
Предложение 9.3.2. Мера dp, определяемая формулой (9.3.2) и
предложением 9.3.1, имеет ковариацию
= (£-> +а)-1.	(9.3.8)
Доказательство. Так как б есть оператор Гильберта—Шмидта и —1 < б по
условию (9.3.3), то —1 + в < б для некоторого е > 0. Следовательно, оператор
(I + б)-’ ограничен, так же как и оператор С1/2(/ + б)-’С1/2 = Сс. При этом С„
удовлетворяет тождеству
С„ = С— CvCv.
(9.3.9)
Последняя формула есть результат применения формулы интегрирования по ча-
стям к двухточечной функции \ ф (х) ф (у) dp. jg
Прямое доказательство формулы (9.3.6) в предположении |] v j|Hs < 1. Исполь-
зуя разложение на графы Фейнмана (следствие 8.3.2), вычислим каждый из
интегралов, входящих в (9.3.6), и покажем, что
ряд (9.3.6) сходится. Графы, дающие вклад в
(:У'с)П имеют Ровно п о-вершин. Каждая
о-вершина имеет два отростка, и соответствующий
граф G есть объединение связных компонент G;, где
Gi—петля с числом вершин п( 2, см. рис. 9.1.
Из-за формы этих графов разложение (9.3.6) назы-
вается петельным разложением.
Пусть граф, вносящий вкладе ( — 1)п^ (:К:с)п</фс,
имеет г связных компонент и nt + ... -f-nr = п. В си-
Рис. 9.1. Связная ком-
понента диаграммы, от-
вечающей I (: Vc :)”d(fc-
лу равенства
.. dxn dyx ... dynv (*,. уд С (ух, х2) v (х2, уд X
X С (у2, х3).. .V (хп, уп) С (уп, xi) = Тг ((оС)п) «
= Тг ((С1/2оС1/2)'1) = Тг (бп),
вклад г-й компоненты равен /(G;) =(—1/2)”<Тг(бпг)- Таким образом,
( - 1)п j (V-C)nd<pc = £ I (G) = £ П I (Gi) =
a a i
=E П (-1/2)П*Tr
a i
где {GJ — множество связных компонент графа G. Подставляя в (9.3.6), полу-
чаем, что
z-' + SjrE Е S»n(-2L)"'T’ <»"'>
п Г (Пр .... пг: 2 п{~п, п{ > 2}	/-1
гДе есть число всех G, имеющих одинаковое количество петель и одни и
те же их размеры. Точнее, будем считать, что вершины G занумерованы и что
— размер петли, содержащей первую вершину, п2 — размер петли, содержащей
первую из вершин, не входящих в предыдущую петлю, и т. д. Разложение для Z
200 Гл. 9. Анализ и перенормировки
упрощается, если объединить суммирование по п е суммированием по п/. При
этом снимается ограничение на У, п;, так что
Z ((E<rs«n(4)W'o.
г ... пг-. п1 > 2}	j
Заметим, что можно вычислить точно:
/
Здесь биномиальный коэффициент равен числу способов разбиения всех вершин
на петли фиксированной длины. Деление на г! учитывает тот факт, что петли
считались упорядоченными. Число различных расположений вершин внутри петли
(с точностью до изменения ее ориентации) есть — («у —1)!. Наконец, каждой
вершине отвечает множитель 2, учитывающий две возможности соединения двух
отростков. Воспользовавшись выражением для SG, представим сумму произведе-
ний в виде произведения сумм:
оо	. оо	\ '
Z=£(r!rl(£ ATr(~fl")) =ехр(-|тг[1п(/ + б)-б]).
,=0	\n=2	J
Таким образом, равенства (9.3.5), (9.3.6) доказаны при условии, что || б ||Hs <
<1-1
Рассмотренные выше результаты применимы к локальным воз-
мущениям массового члена и в случае размерности d — 3, а не
только d == 2. Следующее утверждение относится к случаю более
сингулярных возмущений.
Предложение 9.3.3. Определение (9.3.2) меры dp можно распро-
странить по непрерывности на случай, когда v — ограниченный
оператор и 0 < е < / + б.
Доказательство. Пусть б,- б в сильной операторной топологии. Тогда
(1 +б/)-1->- (1 +6)-1 и СЮ/ -> Cv. Отсюда вытекает сходимость гауссовых мер
в смысле сходимости характеристических функций и моментов1).
В типичных случаях ядра, аппроксимирующие ядро v, опре-
деляются с помощью импульсного и пространственного обрезания:
vk,k(x, y) — 1K(x)vK(x,y)KA_(y),
где v., (х, у) = \ v (х — х', у — у') би (%') (д') dx' dy'.
*) См. по этому поводу работу: Добрушии Р. Л., Минлос Р. А. Полиномы
от линейных случайных функций. — УМН 32, № 2 (1977), с. 67—122.—Прим. ред.
9.4 Перенормировка по теории возмущений 201
9.4 Перенормировка по теории возмущений1)
Перенормировка есть изменение параметров (перепараметриза-
ция) в лагранжиане. Параметры в исходном лагранжиане не яв-
ляются непосредственно наблюдаемыми величинами, и перепара-
метризация делается для того, чтобы заменить разложение по тео-
рии возмущений, использованное в § 8.4, разложением, включаю-
щим лишь наблюдаемые величины: массы частиц и константы
связи. Массы определяются как собственные значения в спектре
массового оператора М = (Н2—Р2)1/2. При этом каждому значе-
нию массы соответствует лоренц-инвариантный гиперболоид в
спектре оператора энергии-импульса. Эквивалентным образом
массу можно определить как показатель экспоненциального убы-
вания корреляций (см. гл. 14). Константы связи определяются в
терминах теории рассеяния. В частности, в нерелятивистском
пределе рассеяния константа связи определяется характером
взаимодействия между частицами на больших расстояниях. Бо-
зонным теориям, рассматриваемым в этом параграфе, в нереля-
тивистском пределе обычно отвечают короткодействующие потен-
циалы типа Юкавы. При этом характерное асимптотическое по-
ведение потенциала на больших расстояниях имеет вид
К(г) = (X/4nr)e-mr + O(e-(m+E>r),	(9.4.1)
где X есть константа связи, а т>0 — масса. Параметры X и m
являются функциями от параметров Аь и ть, входящих в исходный
лагранжиан Z. Так как теория поля должна описывать наблюдае-
мые частицы, нам бы хотелось подобрать А& и ть так, чтобы X
и т имели предписанные значения. Другими словами, мы обра-
щаем функциональные соотношения А = А(Аь, ть}, т = т(Кь, ть).
После этого можно рассматривать лагранжиан как функцию (не
обязательно однозначную) от А и т, определяемую обратными
соотношениями Кь = Кь(К т), ть = ть('к, т). Перенормирован-
ная теория должна определять связанные состояния (другие соб-
ственные значения М) и дифференциальные сечения рассеяния,
резонансы, вероятности рождения и распада частиц, отношение
ширин распадов и т. д. Таким образом, фиксируя А и т, мы вы-
деляем некоторую конкретную теорию поля из двупараметриче-
ского семейства таких теорий. После того как этот выбор произ-
веден, теория должна предсказывать любое наблюдение.
Второй, более технический, подход к понятию перенормировки
связан с сокращением расходимостей, возникающих при вычисле-
ниях по теории возмущений. С математической точки зрения эти
') В этом параграфе основные идеи и понятия теории перенормировок поля
в рамках теории возмущений изложены столь кратко, что читателю, по-видимому,
следует обратиться к более подробным руководствам (см., например, Ахие-
зер А. И. и Берестецкпп В. Б. Квантовая электродинамика. — М.: Наука, 1969,
или [Боголюбов Н. Н-, Ширков Д. В., 1976]. — Прим. ред.
202 Гл. 9. Аначиз и перенормировки
расходимости появляются из-за того, что функционал К(ф) в слу-
чае нелинейной функции V нельзя корректно определить на про-
странстве обобщенных функций 9”. Такой подход к перенорми-
ровкам обобщает идею перепараметризации, описанную выше.
Мы вновь рассматриваем Хь и ть как функции от X и т. При этом
конечным значениям Хит могут отвечать бесконечные Кь и ть.
Таким образом, перепараметризация изменяет потенциал так, что
коэффициенты Хь и ть в S становятся бесконечными, причем бес-
конечности сокращаются при вычислении т или X. В результате
в перенормированной теории наблюдаемые величины имеют ко-
нечные значения.
Рассмотрим более подробно перепараметризацию на примере
теории поля <р4. Голый евклидов лагранжиан имеет вид
&ь (ф) = (4 (^ф)2 + Т "г2Ф2 + ЧФ4) dx- (9.4.2)
Здесь ть есть голая масса, а Хь — голая константа связи. Поло-
жим <р = фь и запишем перепараметризацию в виде
т2 = т2ь + dm2, фг = Z~ 1/2ф,
X = Xz,Z-*Z2=(Xft + 6X)Z2,	(9АЗ)
где т, X и константа перенормировки поля Z(f будут определены
позднее. Тогда перенормированный лагранжиан &Т определяется
выражением
% Т (Фг)=З?ь (ф)=j {4 (уФг)2+1 ™2Ф?+Хф*+4 (Z. -1) (wr)2+
+ 4(m2(Zq)— 1)-бт2гф)ф2-г2бХф4}^х.	(9.4.4)
Теперь мы будем рассматривать X и т как основные параметры
теории, a 6m2, Z(p и 6Х как функции от X и т, задаваемые в виде
рядов по степеням X с коэффициентами, зависящими от т. Эти
степенные ряды будут определяться из того условия, что Хит
выбраны соответственно как физическая константа связи и масса
физической частицы. Константа Zv будет определена с помощью
дополнительных соглашений.
Введенная таким образом перепараметризация лагранжиана
порождает в описанных в § 8.4 диаграммах теории возмущений
новые вершины, соединенные новыми ребрами. Члены т^ф^Н-
+ 4т2ф2 в ^г(фг) определяют ковариацию и гауссову меру, с по-
мощью которой строятся ряды теории возмущений. Новая кова-
риация определяет значения, приписанные ребрам в графах пере-
нормированного разложения. Каждой ф4-вершине в разложении
из § 8.4 соответствуют теперь два члена: один, отвечающий
Хф4-вершине, и другой, отвечающий 6Хф4-вершине. Разлагаются
9.4 Перенормировка по теории возмущений 203
также остальные квадратичные члены—&Q<fr) лагранжиана
(9.4.4). Здесь
|<фг,	+	<9-4-5)
Разложение квадратичных членов можно связать с рассмотре-
ниями § 9.3. Действительно, ковариация для Z, равна Сг —
= (—А + ш2)-1, а ковариация для S’b равна Сь = (— А + inlY^Z^1
(если в качестве переменной интегрирования в обоих случаях ис-
пользовать фг). Тогда, согласно § 9.3, Сг~1 = С~1 + 6Q, где 6Q
обозначает ядро квадратичной формы 6Q, определяемой форму-
лой (9.4.5).
Ряд Неймана, выражающий Сь через Сг, можно записать в виде
суммы графов Фейнмана (рис. 9.2). Подставляя это графическое
6(2
_____ _. -------- а. ------•----- + . . .
	сг сг сг
Рис. 9.2.
представление ряда Неймана в неперенормированное разложение
§ 8.4, получаем перенормированное разложение, содержащее пе-
ренормированные ребра с пропагатором Сг и бф-вершины.
Мы утверждаем, что комбинаторная структура диаграмм, со-
держащих 6<2-вершины, в точности соответствует комбинаторной
структуре некоторого класса поддиаграмм нашего разложения.
Это комбинаторное соответствие позволяет указать подобные чле-
ны. Затем, сравнивая подобные члены, мы обнаруживаем, что они
частично сокращаются. Таким образом происходит сокращение
бесконечностей в перенормированной теории возмущений. Факти-
чески вклад в бш2 и Z, дают как б(2-члены, так и соответствующие
им члены разложения. Определение бш2 и Z* фиксирует 6Q и
приводит к частичному сокращению.
Диаграммы, подобные по комбинаторной структуре 60-диа-
граммам, называются массовыми диаграммами. Такие диаграммы
имеют два внешних отростка и не распадаются на несвязанные
части при выбрасывании одного ребра (одночастично-неразложи-
мые диаграммы, или 1ЧН).
Определим массовые скелетные диаграммы как диаграммы
(с произвольным числом внешних отростков), не содержащие
массовых диаграмм в качестве поддиаграмм, за исключением от-
дельных ребер (пропагаторов). Общей диаграмме отвечает мас-
совая скелетная диаграмма, которая получается превращением
каждой линейной цепочки массовых диаграмм в отдельный про-
пагатор. Пропагатор в скелетной диаграмме имеет структуру ряда
204 Гл. 9. Анализ и перенормировки
Неймана (рис. '9.2), и поэтому общую диаграмму можно восста-
новить по ее массовой скелетной диаграмме, вставляя в послед-
нюю произвольным образом массовые диаграммы. Каждая SQ-вер-
шина также является массовой диаграммой, и ее вклад выбирается
таким образом, чтобы сократить вклад от других массовых диа-
грамм. Это приводит к сдвигу спектра масс и изменению вели-
чины поля.
Аналогичные соображения применимы к вершинным диаграм-
мам. В случае <р4-теории вершинные диаграммы имеют четыре
внешних отростка и не распадаются при выбрасывании двух или
одного внутреннего ребра (двухчастично-неразложимые диаграм-
мы, или 2ЧН). К вершинным диаграммам относятся и 6VBep-
шины. Все вершинные диаграммы имеют одинаковую комбина-
торную структуру. Вершинная скелетная диаграмма не содержит
вершинных поддиаграмм, за исключением отдельных 2хр4-вершин.
Общая диаграмма может быть построена из вершинной скелетной
диаграммы, если в нее вставить вершинные поддиаграммы. Для
вершинных диаграмм также происходит частичное сокращение
(связанное с б^-вершинами).
Полной скелетной диаграммой называется диаграмма, являю-
щаяся одновременно массовой скелетной и вершинной скелетной
диаграммой. Так как для вершинной перенормировки необходимо
производить вставки массовых диаграмм и наоборот, то массовую
и вершинную перенормировки нужно делать одновременно в виде
вставок массовых и вершинных диаграмм в полные скелетные
диаграммы.
Следующий этап перенормировки состоит в явном определении
6m2, 67 и Zlf в соответствии с исходными данными (массами ча-
стиц и данными рассеяния). Это мы отложим до § 14.3, поскольку
к тому времени у нас будет больше теоретических средств для
решения этой задачи. В результате 8т2, 67 и Zf, будут представ-
лены в виде рядов по степеням X. Коэффициент при № выбирается
так, чтобы обеспечить сокращение в массовых и вершинных диа-
граммах порядка 7/1. Если диаграмма содержит массовые или
вершинные поддиаграммы, то эти поддиаграммы можно включить
в сокращенном виде, т. е. в виде конечной суммы двух частично
сокращающихся поддиаграмм. Массовые и вершинные диаграммы
в низших порядках теории возмущений для взаимодействия <р4
приведены в § 14.3.
Теория поля называется перенормируемой, если каждая скелет-
ная диаграмма с произвольными вставками перенормированных
(т. е. частично сокращенных) массовых и вершинных поддиаграмм
задает абсолютно сходящийся интеграл по пространству Rn при
некотором п (как в § 8.2). Поля <р4, Юкавы, Дирака, Максвелла,
КЭД и Янга — Миллса являются перенормируемыми в размер-
ностях d 4: см. [Боголюбов, Парасюк, 1957], [Нерр 1971],
'[’tHooft, 1971а, b], [Abers, Lee, 1973] и [Becchi, Rouet, Stora,
9.5 Решеточные операторы Лапласа и ковариационные операторы 205
1976]. Существует общее правило: теория перенормируема, если
константа связи имеет размерность (длина)7', где /	0. Сверхпе-
ренормируемость теории означает, что расходимости появляются
только в конечных порядках теории возмущений по X. В этом
случае константа связи имеет размерность (длина)7 и j <; 0. Та-
кие поля, как ф4, КЭД, поле Янга—-Миллса сверхперенормпруемы,
когда d 3, и перенормируемы при d = 4. Перенормируемые, но
не сверхперенормируемые теории имеют безразмерную константу
связи, например константа тонкой структуры а = &l4x.tic в элек-
тродинамике или X в модели ф4. Эти теории характеризуются так-
же тем, что неравенство Соболева, с помощью которого член со
взаимодействием в евклидовом действии мажорируется его кине-
тической (свободной) частью, может превращаться в равенство.
Безмассовым теориям отвечают специальные значения тъ и "кь",
см. гл. 17. Перенормировка в таких теориях сложнее.
9.5 Решеточные операторы Лапласа и ковариационные операторы
В этом параграфе мы рассматриваем решеточные аппроксимации
Св ковариационных операторов С, определенных в гл. 7. Из сходи-
мости Св-»-С при 6->0 в операторной норме вытекает, что реше-
точная аппроксимация йфсе гауссовой меры dye сходится к ней
при 6->0 в смысле сходимости характеристических функционалов
(преобразований Фурье). Эта сходимость имеет место при произ-
вольной размерности d.
Здесь подробно разбирается только случай граничных условий
Дирихле. Однако полученные результаты справедливы и в более
общем случае ковариационных операторов С из класса Я? с дру-
гими граничными условиями, рассмотренными в гл. 7.
'Для простоты пусть А — единичный куб в
А = {х — (%1, ..., хд): 0 ха 1, а = 1, 2, ..., d}. (9.5.1)
Можно рассмотреть также произвольную прямоугольную область
Ii X • •  X 1а, по-разному изменяя длину ребер куба. Оператор
Лапласа с граничными условиями Дирихле диагонализуется с по-
мощью разложения в ряд Фурье по ортонормиров энному базису
d
ek W = 2d/2 IJ sin (kaxa), ka e jiZ+.	(9.5.2)
a=-l
(По повторяющимся индексам суммирование не производится.)
При этом
—\Dek k2ek,	(9.5.3)
где fe2= £ ka. Напомним, что CD = (—До ф т2)-1.
20в Гл .9 Анализ и перенормировки
Рассмотрим конечную решетку Лв с шагом б. Пусть
6Zd = {6z: zeZd),
Int Л6 = Int Л f] 6Zd, dAe = дЛ f] 6Zd, (9.5.4)
A6 = Int A6 U <?A6 — Л П 6Zd.
Для того чтобы приближения были между собой согласованы, вы-
берем 6 = 2-v, veZr. Определим гильбертово пространство
Z2(Int Л6) со скалярным произведением
fhntAfi= X 6rflfU)|2.	(9.5.5)
X 6= Int
Пространство /2(IntA6) будем рассматривать как подпространство
в Z2(Aj).
Прямой решеточный градиент на Z2 (6Zrf) определяется фор-
мулой
(W) W = б"1 [f (* + 6<?й) - f (х) ],	(9.5.6)
где еа — единичный вектор а-го координатного направления.
Обратным градиентом служит сопряженный к д6.а относительно
скалярного произведения в /2(6Zd) оператор де>.а и
— Дб = дс, де = де = X дб, а дь, а,
а
так что
(Д6П(х) = б-2Г-2бД(х)+ X Нх')1.	(9.5.7)
L	б. с. х J
Для упрощения обозначений мы ниже будем писать да вместо
<?6,а. В (9.5.7) суммирование ведется по 2d узлам решетки х'—
ближайшим соседям точки х. Обозначим llint;\fi ортогональный
проектор из Z2(6Zrf) на подпространство Z2(IntA6). Разностный
оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле определяется
соотношением
Де, d = Himл6 ДбПМл6.	(9.5.8)
В частности, если xeIntAe и f <= /2(Int Ae), то (Де, d/)(x) совпа-
дает с (9.5.7). Суммирование по частям дает
(Л &ef)ezd ~ 6d X I d&f (х) |2.	(9.5.9)
Градиент удобно рассматривать как функцию, определенную на
ребрах, связывающих соседние узлы. Пусть В — множество
9.5 Решеточные операторы Лапласа и ковариационные операторы 207
ребер решетки 6Zd, а В(Лб)—множество тех из них, которые со-
держатся в Лв. Тогда для f е /2(Int Л6)
(A -A6,of)lntA =(А -Aef>	Е IW- (9.6.10)
Лб	6Z	ь е в
Таким образом, разностный оператор Лапласа с граничными усло-
виями Дирихле, как и в непрерывном случае, возникает в резуль-
тате сужения области определения билинейной формы, соответст-
вующей разностному оператору Лапласа в l2(8Za).
Предложение 9.5.1. Оператор Лапласа с граничными условиями
Дирихле —Де, о определяет ферромагнитное взаимодействие. Для
этого взаимодействия справедливы корреляционные неравенства,
доказанные в гл. 4.
Доказательство. Внедиагональные члены в/J, —Df)\ 6 появляются из
в (9.5.7). Эти члены ферромагнитны, так как имеют вид: отрицательное число,
умноженное на f(x)f(x'). Диагональные члены этой квадратичной формы (имею-
щие противоположный знак и не являющиеся ферромагнитными) будем относить
не к взаимодействию Н, а к плотностям	введенным в § 4.1. Таким обра-
зом, взаимодействие является ферромагнитным. |
Пусть Сб, d= (—Де. d+w2)-1 есть решеточный ковариационный
оператор с граничными условиями Дирихле, а С’6 = С6,0 =
= (—Д6 + т2)-1 — свободный решеточный ковариационный опера-
тор. Рассмотрим Сб, д как оператор во всем пространстве /2(6Zd).
При этом граничные условия Дирихле задаются на всех гиперпло-
скостях, порожденных сдвигами дД6. Тогда Сб, d и С6 связаны фор-
мулой, аналогичной (7.5.1) (полученной с помощью многократных
нечетных отражений).
Предложение 9.5.2. Равномерно по 6 выполняются следующие не-
равенства (первое в смысле ^-операторов, а второе поточечно)',
0 Сб, d m~zI,
Сб,о(х, у)^0, х, z/e!ntA6.
Доказательство. Поточечная положительность выводится из решеточного прин-
ципа максимума [Bers, John, Schechter, 1964], как и при доказательстве след-
ствия 7.5.2. Из (9.5.10) вытекает, что —Де с^0, откуда получаются оператор-
ные неравенства, §
Для подробного анализа Св, о диагонализуем Дв, о, выбрав в
4(IntA6) базис, состоящий из (б-1— l)rf функций вида
{4(х) = ek(х): xelntAe, ka = n, 2л, ..., (б-1 — 1)л}, (9.5.11)
где Ck определяются формулой (9.5.2). Заметим, что е* обра-
щаются в нуль на дАв, поэтому е* е /2(1п1Де).
208 Гл. 9. Анализ и перенормировки
Предложение 9.5.3. Векторы е* являются собственными векторами
оператора —и
d
- Аб, DSk = ЛМ, 4 = 4б“2 £ sin2 (бЛа/2).	(9.5.12)
а=1
Кроме того,
ez6>intA6 = Sfe. i-	(9.5.13)
d
Доказательство. Так как — Де_ D = £ nInt д d* daIIInt Л и слагаемые суть
а=1	®
коммутирующие самосопряженные операторы, мы можем диагонализовать каж-
дое слагаемое П1п(Л;5 да ^a^Int л6 незавнснмо. Проверим, что sin(^aXa) есть
собственная функция nInt да danlnt д^. Действительно, nInt sin (kaxaj =
= sin (kaxa), x e Int Лб,
5’ da sin (kaxa) = 2d-2 (1 — cos (£a6)} sin (kaxa),	(9.5.14)
поэтому имеет место равенство (9.5.12). Кроме того, sin(kaXa)[есть простая соб-
ственная функция оператора да да, следовательно,	= 0 при k =А I.
Для вычисления нормировки е® заметим, что квадрат нормы разлагается
в произведение:
d б-1
IkfellmtA =(26)dn £ sin2(W	(9-5.15)
б	a=l /а=0
поэтому достаточно найти сумму, отвечающую а — 1. При k = nl и I = 1, 2, ...
..., 6-1 — 1 имеем
1/6	(1/61-1
26 £ sin2	= 6 £ {1 - Re e2tM,l} =
/=о	/-о
= 1 - 6 Re [(1 - e2Zfc)/(l - еШб)] = 1,	(9.5.16)
так как 2k — 2nl, ezlk = 1 и 0 < 2fe6 < 2л. Таким образом, равенство (9.5.13)
доказано. §
Следствие 9.5.4. Отображение
Ч- <^ek	(9-5-17)
определяет изометрическое вложение /2(1п1Л6) в LZ(K).
Пусть Пб есть оператор проектирования, действующий в Л2(Л)
и обрезающий ряд Фурье при ka/n = б-1, т. е.
Щ £ ukek= (i/6) iafc^.	(9,5Л8)
Тогда Ze вычисляется по формуле
(z-e)7 = (П6Л (а6,	(9.5.19)
Т, е. проекция Пб/ ограничивается на точки решетки.
9.5 Решеточные операторы Лапласа и ковариационные операторы 209
В силу изометричности вложения, установленной в следствии
9.5.4, мы можем рассматривать Се, d как оператор, действующий
в L2(A). Иначе говоря,
Сё, d — ЬСё, d М,	(9.5.20)
где в правой части равенства Се, о действует в /2(IntA6), а в левой
части—-в L2(A). Как оператор в L2(A), Сё.оимеет ядро
Сб,п(х, у) =	£	(9.5.21)
Ограничение этого ядра на точки решетки х, у е Int Л6 совпадает
с матричным представлением Сё, d как оператора в /2(IntA6).
Предложение 9.5.5. Операторы Сё.о сходятся по норме при 6—>-0
к Со, где Со — ковариационный оператор в L2(A) с граничными
условиями Дирихле. Все операторы рассматриваются как дейст-
вующие в L2(A) (следствие 9.5.4). Фактически ||Ce, d—Со||
С О(62).
Доказательство. Рассмотрим —	52	(£2 + т2)-1 е*(х)еДг/). Мы
l<fea/n<(l/6)-l
утверждаем, что II Се_ D ц q (§2) Действительно,
(4 + от2)-' - (£2 + т2)~' = (k2 - 4) (4 + m2y' (k2 + m2)"’.	(9.5.22)
При этом
л V* Г 1 Т V* 2 Гsin ®a 1
F sinHM=E*°hn’ (9-5-23)
a=l L	J a=l L J
где 0® s £ad/2. Поскольку 0^0®^ л/2, имеем
4fe2/n2 < Х® < k2.	(9.5.24)
Поэтому
d	d
0 < k2 - 4 = 52 ka 0 - [sin 0a/6a]2)<°	5>a ДО < О (1) \k |4d2, (9.5.25)
a=l	a=l
так как 0 I — x-2(sin x)2	O(x2). Таким образом, правая часть (9.5.22) не
превосходит О(1)62. Поскольку еДхУеДу) есть ядро ортогональной проекции
на ек, получаем: || Сб£) — £>б II О(д2). Наконец,
cD {х, у) =	52 <fe2 + m2)- Ч w ek
1 ка!п < 00
Следов ательно,
|| £>6 — CD || inf ((k2 + m2)-1: kafn^ Ь~1 для некоторого a)
и С6> D -> CD по норме. В
Введем теперь выпуклое множество ^т, д, порожденное всеми
операторами Сё, о(т и Л фиксированы) при 6 = 0 п 6 = 2“\
у i= Z_j_. Оно пригодится нам при изучении пределов решеточные
2)0 Гл. 9. Анализ и перенормировки
мер Р(ф)2, когда 6->0. Каждый оператор Ce'tFm, л диагонали-
зуется в базисе поэтому уравнение
с^==(Чс, + тТЧ	<9-5-26)
определяет числа Z/p. Из (9.5.24) и свойства выпуклости сле-
дует, что
4fe>2 < Z/P-	(9.5.27)
Заметим также, что ПвС = СП6 — П6СП6.
Предложение 9.5.6. Определим для каждого С^&т.л. постоян-
ную викова упорядочения
сб (х) = (П^С) (х, х).
Тогда
f const In 6~1 при d = 2,
0^С6(х)^|	л+2
( const о при а 2^3
и константы не зависят от С е л-
Доказательство. Согласно (9.5.2), |е*(х) | < 2d/2, поэтому
0<сб(х) =	(4c> + m2)-1eA(x)2<
Кйц/л^П/С)-!
<2*. Z С^ + тТ1-
1<йа/л<(1/б)-1
Применяя неравенство (9.5.27), получаем оценку
с6 (х) < 2d •	(4Л2л-2 + т2)-1.
1<йа/л<(1/6)-1
из которой легко следует наше утверждение. §
Предложение 9.5.7. Пусть d = 2, р < оо. Тогда для С е д
С(х, -)еСР(А), (П6С)(х, -)<=LP(A),
и их нормы ограничены равномерно по х и С. Для любого е <
<min{2/p, 1} при б->0 равномерно по С справедливы оценки
sup || С (х, •) - (П6С) (х, •) ||л (Л) < О (6е),
хе=К
sup II Сб, D (х, •) — Cd (х, ) ||л . < О (6е).
хе. Л.	Р
Доказательство. Так как Л — ограниченная область, можно считать, что 2 р.
Неравенство Хаусдорфа — Юнга доказывается для разложений по синусам так
же, как и в случае обычных рядов Фурье. Нужно лишь отдельно рассмотреть
вклад от четных и нечетных kaln. (Периодический случай см. в книге fZygmund,
1959].) Поэтому || f ||до (Л1 < II f l|;p, (nZd), где р’ =р!(р — 1) е [1, 2]. Заметим,
9.5 Решеточные операторы Лапласа и ковариационные операторы 211
что
l|Ce.D(^ •)||ld(A) = ||E(^ + "»T4U)^(-)||	. (9.5.28)
11 k>n	1%(Л)
Коэффициенты Фурье для Сб£) (х, •) равны + m2) * ek (х). Следовательно,
применяя (9.5.24), получаем оценку для 1р/-нормы ряда Фурье:
||	+ т2)’^'2 ||/р,< const || (k2 + 1)"‘ l|/p, =
= const II (k2 + I)~ p' 11^' < const,	(9.5.29)
так как p' > 1. Рассмотрев вместо C6 D оператор C6 D —CD, найдем его коэф-
фициенты Фурье:
[(X® + ш2) ' — (k2 + m2) ’] ek (х) a (k)-
Как и при оценивании выражения (9.5.22), воспользуемся неравенством
1 —(х~* sin X)2 О(хе) при О е 2 и оценкой (9.5.25); получим
| a (k) | const dE (k2 + 1) 1+E/ для любого 0^e^2.
Выберем теперь e < 2/p. Тогда
(-2 + e)p'< (-2 + 2(1 - I/p'))p' = —2,
так что (k2 + i)-1+E/2 e 1р,- Следовательно, || a (•) ||/ ^ О (бЕ). Доказатель-
ства для операторов Се?м д общего вида аналогичны, §
В заключение этого параграфа обсудим соотношение между
ковариационными операторами с граничными условиями Дирихле
на границах <3Aj и дЛ2 двух областей Л] cz Л2. Чтобы указать за-
висимость от Л явно, введем обозначение Сб, л = Св, о- Удобно
рассматривать Сб, л, и Сб, л, как матричные операторы в простран-
стве МЛа.б), причем Сб, Л1 — 0 на /2(Л2,6\Int Лцб).
При расширении области Л происходит монотонное возраста-
ние Сб, л и в операторном смысле, и поточечно (в смысле матрич-
ных элементов). Это есть решеточный аналог монотонности, до-
казанной в § 7.8, причем результаты § 7.8 можно получать из
этой решеточной монотонности в пределе при 6—>0
Предложение 9.5.8. Решеточные ковариационные операторы Се, л
монотонны, по Л. При Л1 с Л2
Сб, л, < Сб, д2	(9.5.30)
и 0<Сб,л,(х, r/ХСб, л2(х, у), х, уе=Л2,6.	(9.5.31)
Доказательство. Как н в § 7.8, мы вводим интерполирующее семейство для опе-
раторов с граничными условиями на дЛ2 и <?Ai с помощью локального возму-
щения массы. При этом к С^д., добавляется член т(х)2->оо при хеЛ2 в\
\Int Aj, 6. Доказательство соотношения
Сб,Л.= Пт С(Х)= Нт	+ ХХд2 х Int Л1)"1	(9.5.32)
л->оо	л->оо
212 Гл. 9. Анализ и перенормировки
проводится аналогично доказательству предложения 7.8.1, хотя (9.5.32) элемен-
тарно, так какСб Л — конечная матрица. Операторная монотонность следует из
неравенства
dCIdh = — С (X) %Лг х Int Л1с (X) < 0.	(9.5.33)
Поточечная положительность (С6 Л (х, у) 0) в узлах решетки х, у е Ад
вытекает из решеточного принципа максимума; см. предложение 9.5.2. Поточеч-
ная монотонность следует из (9.5.33) н поточечной положительности. §
В гл. 18 мы получим решеточный аналог представления кова-
риации через интеграл Винера (7.8.3). При этом диффузионный
процесс заменяется случайным блужданием по решетке 6Zd. По-
точечная и операторная монотонность могут быть также доказаны
применением решеточного аналога формулы (7.8.14) к (9.5.33).
9.6. Решеточные аппроксимации мер Р (q>)2
В этом параграфе вводится решеточная аппроксимация для мер
Р(<р)2, рассмотренных в гл. 8. В действительности мы уже поль-
зовались в § 8.7 дискретной аппроксимацией, основанной на при-
ближении суммами Римана. Изучаемая ниже аппроксимация свя-
зана с обрезанием рядов Фурье. Хотя обе эти аппроксимации
весьма полезны, вторая имеет некоторое преимущество: она со-
храняет OS-положительность и ферромагнитные свойства меры.
Поэтому решеточную аппроксимацию удобно использовать для
доказательства корреляционных неравенств. Можно также дока-
зать сходимость решеточных аппроксимаций для модели <р4 в раз-
мерности d = 3, но мы не будем здесь этого касаться.
Для простоты, как и в § 9.5, выберем в качестве Л единичный
квадрат. Пусть
f(x) = S f{k)ek(x)
kJneZ+
(9.6.1)
есть разложение Фурье по синусам для функции f. Здесь базис
е*(х) определен формулой (9.5.2). Пусть Сб. D есть оператор
(9.5.21), действующий в Л2(Л). Тогда
(C&tDf)(x) —	£ Ut + mT’n^eJx). (9.6.2)
Напомним, что отображение ze: /2(IntAe)-»-jL2(A), определяемое
формулой (9.5.17), есть изометрическое вложение, а fa: £г(Л)->
—>Z2(Int Ле) определяется обрезанием ряда Фурье с последую-
щим ограничением на узлы решетки.
Если имеется гауссов процесс <р(у) с ковариацией С, то
<ре(х)==(/*ф)(х), xelntAg,	(9.6.3)
9.6 Решеточные аппроксимации мер Р(ч>)г 213
определяет гауссово поле на решетке с ковариацией
С6 = ‘М = 4ПбСгб-	(9.6.4)
Здесь мы выбираем
Се^т,Л	(9.6.5)
где Фт, л — выпуклое множество ковариационных операторов, по-
рожденное операторами Сб, d при 6 — 0 или 6 = 2~v (§ 9.5). Поле
1Int I
<р6 можно рассматривать как гауссову меру на R или на S.
Обе меры имеют ковариацию С6, хотя в первом случае надо счи-
тать С6 оператором в /2(IntAe), а во втором случае С6 действует
с помощью изометрии i6 в пространстве £2(Л). Переходя к явным
формулам, обозначим Ц dq6(x) меру Лебега в 7?'1" Л®к Тогда
X е Int Ag
йфб. D = (detC6, D)-1ZVI ,ntAe I/2 X
ХехрГ—Фе(х)сб’о(х> У)Ф6(^)1 П^6(х)=
L x, у e Int Ag	J x
= (detC6, о)-1/2л '1,п‘лб1/2х
X exp [— 4 (II Уфб ||;2 + tn21| tp61|2)] JJ dtp6 (%)	(9.6.6)
X
nlInt лб I	« r
есть гауссова мера в/? с ковариацией С6,D.
Для изучения сходимости при 6->0 удобно рассматривать
с/фб.дкак меру в S'(Rd) с ковариацией Се, d- Сходимость гауссо-
вых мер в смысле сходимости моментов и производящих функций
есть прямое следствие сходимости ковариационных операторов;
она вытекает из формулы (6.2.2), выражающей производящую
функцию с помощью оператора Се, v-
Решеточная аппроксимация полиномиальных взаимодействий
:P(tp, f): (§ 8-6) задается выражением
:Р ^:с6 D = 6" 1А Д :(₽б D fi W- (9.6.7)
В этом параграфе мы ограничимся функциями fj, удовлетворяю-
щими условиям (8.6.4) и имеющими вид: гладкая функция, умно-
женная на характеристическую функцию прямоугольника. Для
сходимости решеточных аппроксимаций существенно, чтобы функ-
ции fj были интегрируемы по Риману. Для краткости введем обо-
значение
:Ре:с=:Р(фв, f)tc
214 Гл. 9. Анализ и перенормировки
^Рб. D —
и рассмотрим пределы при б—>-0 мер
ехр (- :P6:Q dtp6i D
| ехр (-Рб'-с^ D) d(f&.D
(9.6.8)
Сходимость мер (9.6.8) не вытекает из сходимости операторов
Сб, d, поэтому необходимо доказать решеточный аналог теоремы
8.6.2. Положим
с (/) — tcD + (1 — 0 Сб, d,
j	ехР (— :^б:с(/)) dcfc(t)
D, t — "ё	--------•
J ехР (— -Рб'-Сщ) d<Pc (/)
Предложение 9.6.1. Пусть d = 2, и пусть Q (<рб-) — полином от поля
Ф6,. Тогда при б->0
| 5 Q (ЧРб') ^б, 0.1	5 Q (W) d^6, d, о |	(&)•
Замечание. Мы переходим к пределу при 6-*-0 в два этапа. Вна-
чале рассматриваем предел при 6-*-0 ковариации меры dtps, d и
викова упорядочения полинома Р, а затем изучаем сходимость
поля <р6 и дискретной суммы X в Р.
X е Inf Ag
Доказательство. Воспользуемся решеточным вариантом формулы изменения
ковариации (9.1.34). В действительности конечномерное представление (9.6.6)
меры d<p6 D позволяет свести формулу (9.1.34) к обычным правилам вычисления
производных. Так как, согласно предложению 9.5.5,	|| С || = || С& D — СD || =
= О (б2), матричный оператор
Cgs l2 (Int Ag) -> l2 (Int Ag)
Сходится с той же скоростью. С помощью неравенства Шварца отделим в инте-
гр але no dcpc(i) полиномиальный множитель Q и множитель, отвечающий экспо-
ненте:
|5 Qe '₽6 C(t> *Рс(о|<($ IQf2d<Pc(n),/2(5e 2 PfiC<0 d(Pc(n)1/2-
Первый множитель в правой части сходится как О(62), поскольку || Сц || (б2).
Для завершения первого этапа доказательства осталось показать, что экспонен-
циальный множитель ограничен равномерно по 6 и t. Равномерная оценка уста-
новлена в следующей лемме, доказательство которой аналогично доказательству
теоремы 8.6.2.
Лемма 9.6.2. Допустим, что d — 2 и 0 t 1. Тогда интеграл
С е~'рЬ'с (л ^ограничен и отделен от нуля равномерно по б и t.
Набросок доказательства. Вместо я-*, т. е. обратного ультрафиолетового обреза-
ния, возьмем 61 б. Имеются две важные оценки. Во-первых, в силу предло-
жения 9.5.6, полином :-Рб1:с(/ ограничен снизу величиной О (In 6J + [)<desr р)/2.
9.6 Решеточные аппроксимации мер Р(<р)2
216
Во-вторых, справедлива оценка, аналогичная теореме 8.5.3:
|5(:/’6>:c(n — :/’e:C(o)/d4’c<n|^/1(degP>/2°(6*e)’ четное число. (9.6.9)
Множитель О (б{е) связан с оценками нз предложения 9.5.7. Оценка сверху
доказывается теперь так же, как и в теореме 8.6.2. Оценка снизу вытекает из
равномерной оценки сверху интеграла •^>^с(f) d(Pc (ty
Переходя ко второму этапу доказательства сходимости при 6->0, положим
Р (О = :^,б-=о:с£) + U 0 '-Рб’с^
d^t = е-р d<fcJJ е-р W dqCD.
Предложение 9.6.3. Пусть d — 2 uQ(q>6,^— полином от поля <рб,.
Тогда при фиксированном 5' и О
| J Q (фу) - J Q (фу) <Ф01 < ° <бе)-
Доказательство. Гауссова мера считается теперь определенной на	Оце-
ниваемая разность ограничена величиной
sup Q (<Ру) dpt |.	(9.6.10)
Вновь выделяем полиномиальный и экспоненциальный множители. Применяя не-
равенство Шварца второй раз, выделяем экспоненциальные множители, отвечаю-
щие соответственно -Р^о' и :Р6:. Множитель, содержащий ехр (—:^б=0:Сд)
был оценен в § 8.6, и, поскольку он не зависит от 6, оценка равномерна по 6.
Множитель, отвечающий :Рб-, ограничен согласно лемме 9.6.2.
Наконец, рассмотрим полиномиальные множители, ограничивающие (9.6.10).
Они содержат гауссов интеграл Q2 (dP (t)/dt)2 <ЩС^, который стремится к
нулю, как в теореме 8.5.3. Н
Объединим два предложения в одну теорему, из которой выте-
кает сходимость решеточных мер Р(<р)г к соответствующим непре-
рывным мерам.
Теорема 9.6.4. Пусть d — 2 и Q(6')— полином от поля <р6,. Тогда
при фиксированном б'
lim ( Q (6х) dp6, d=\q (б') dpD.
6->o J	J
Замечание. Аналогично доказываются соответствующие резуль-
таты для граничных условий В = 0, Р, N.
Глава 10
Оценки, не зависящие от размерности
10.1 Введение
В этой главе мы получим основные оценки, используемые при
предельном переходе к бесконечному объему. Формально эти
оценки не зависят от размерности. Хотя доказательства относятся
к случаю Р(<р)2-мер в конечном объеме (гл. 8), аналогичные ме-
тоды применимы и в более общей ситуации. Например, для ре-
шеточных полей на решетке произвольной размерности оценки,
получаемые в этой главе, не зависят от шага решетки. В этом
проявляется существенное отличие от случая ультрафиолетовых
оценок гл. 8, так как последние сильно зависят от размерности
пространства. Результаты § 12.2, т. е. формулы интегрирования
по частям, также справедливы в любой размерности.
10.2 Корреляционные неравенства для полей Р (<р)2
В этом параграфе мы обобщим на случай полей Р(ф)2 корреля-
ционные неравенства и теорему Ли — Янга, доказанные в гл. 4
для полей на конечной решетке. Напомним ограничения на поли-
ном Р, налагаемые различными неравенствами:
неравенства ФКЖ (§ 4.4):
произвольный полуограниченный Р;	(10.2.1а)
неравенства Гриффитса (§ 4.1):
Р = четный полином — щр, ц	0;	(10.2.1b)
неравенства Лебовица (§ 4.3):
Р — 2,<р4 + оф2 — щр, X > 0, р	0;	(10.2.1с)
теорема Ли — Янга (§ 4.5):
р = Л<р4 + <ир2 —ц<р, /. > 0, Rep>0. (10.2. Id)
Корреляционные неравенства (10.2.1а—с) справедливы для
любой меры, являющейся пределом мер (в смысле сходимости
моментов), удовлетворяющих этим неравенствам. Теорема Ли —
Янга остается верной, если свободная энергия
f = In Z/объем
равномерно ограничена и сходится для ц из комплексной об-
ласти. В силу теоремы 9.6.4, решеточные поля, сходящиеся к не-
прерывному полю в конечном объеме при граничных условиях
Дирихле, удовлетворяют сформулированным условиям. Анало-
гично, решеточные аппроксимации сходятся при граничных уело-
10.2 Корреляционные неравенства для полей Р(<р)'2
217
виях Неймана и при периодических граничных условиях. Таким
образом, имеет место следующая
Теорема 10.2.1. Пусть выполнены условия (10.2.1). Тогда для не-
прерывного поля Р(ф)2 в конечном объеме справедливы корреля-
ционные неравенства и теорема Ли — Янга.
Замечание. После того как в гл. 11 (ив гл. 18) будут построены
меры в бесконечном объеме, мы увидим, что для них также верны
корреляционные неравенства и теорема Ли — Янга.
В качестве первого приложения корреляционных неравенств
докажем утверждение о монотонной зависимости функций Швин-
гера от объема (при граничных условиях Дирихле). Аналогичные
результаты для систем статистической механики получены в § 4.2.
Теорема 10.2.2. Пусть {.-Удк.а обозначает среднее по Р(ц>)2-мере
(9.1.30), определенной в прямоугольнике A.czR2 с граничными
условиями Дирихле на дК. В формуле (9.1.30) мы полагаем
С2 — (—Дал+ Щ2)-1, а оператор С\ считаем не зависящим от А.
Предположим, что выполнено условие (10.2.1b). Тогда функции
Швингера
S<n>(xi, .... хя)=<<р(Х1) ... ф(х„)><эл. d (10.2.2)
неотрицательны и монотонно возрастают при увеличении А.
Кроме того, при 0 f еСо° характеристический функционал
<е^удА, D ~ S{-if}eA, D	(10.2.3)
положителен и монотонно возрастает с увеличением А.
Замечание. В этой теореме виково упорядочение полинома Р не
должно зависеть от А. Например, это упорядочение можно про-
водить с помощью свободного ковариационного оператора С0.
Доказательство. Пусть Ai cz Л. Рассмотрим решеточную аппроксимацию из § 9.5,6
с шагом решетки о. Пусть (-)б_ с = (-) обозначает усреднение относительно
решеточной меры dp6 р вида (9.6.8) с граничными условиями Дирихле. Мы по-
кажем, что при фиксированном 6 имеет место монотонность по Л функций
(10.2.2—3) со средним <•>. Сходимость решеточных аппроксимаций при 6->0
(см. Теорему 9.6.4) завершает доказательство.
Докажем теперь, что монотонность в случае решеточной аппроксимации сле-
дует йз неравенства Гриффитса. Действительно, рассмотрим, как и в предложе-
нии 9.5.8, локальное возмущение массы m (х)2 =	\ Int Л1 (х). При фиксиро-
ванном 6, переходя к пределу Z-*oo, получаем оператор ковариации и меру
D с граничными условиями Дирихле иа <ЭЛ1. С другой стороны, при воз-
растании /. функции Швингера и характеристический функционал уменьшаются,
тай как
-	$6,%Л. D (*1..-м = Т б<* X K’e (*1) • • • Фо (*„) -’Фе ~
*яЛ4\Л1в
“ <Фв (*i) • • • Ф« (*»)> (;Фв w8; >]• <10-2-4)
218 Гу?. 10 Оценки, не зависящие от размерности
Без викова упорядочения правая часть была бы положительна в силу второго
неравенства Гриффитса. Усложнение, связанное с наличием упорядочения, мож-
но преодолеть, заметив, что :фе (х)2: = Ф6 (х)2 —	(х), где константа (х) не
зависит от tp. Поэтому слагаемые в правой части (10.2.4), содержащие^ (%), со-
кращаются. g
Следствие 10.2.3. Предположим, что выполнено условие (10.2.1b).
Тогда функции Швингера и характеристический функционал
S {—if}, где f 0, монотонно возрастают по pi.
Доказательство. Производная функционала S есть функция Швингера, а произ-
водная функции Швингера есть усеченная функция Швингера. Таким образом,
утверждения следствия вытекают из первого и второго неравенств Гриффптса. g
10.3 Монотонность и расщепление при условиях Дирихле
или Неймана
В этом параграфе мы будем рассматривать статистическую сумму
ZB (Л) = J ехр(— : V:Cb) d<PcB
и свободную энергию
aB(A) = (lnZB(A))/|A|.	(10.3.1)
Здесь, как и в гл. 7, 8, В — 0, N, Г, D, р обозначает граничные
условия (соответственно свободные, Неймана, Дирихле или пе-
риодические), определяющие ковариационный оператор Св, а
V— Р (<р (х)) dx. Мы будем считать, что константы связи удов-
Л
летворяют условиям (8.6.2,4). В случаях N, D и р предполагается,
что имеется решетка в R2 и граничные условия задаются на всех
ее линиях, а в случае Г, где Г — часть этой решетки, только на
линиях Г.
Предложение 10.3.1 (Обусловленность). Пусть Л фиксировано
и Г] cz Г2. Тогда
Zd::СZr,Zr,::СZq::С %n, Zd^Zp^Zn. (10.3.2)
Доказательство. Мы докажем второе неравенство: первое н третье являются
частными случаями второго, а остальные доказываются аналогично. Пусть
С (0 = /СГ1 + (1 - 0 СГг и Z (0 == J ехр (- :V:C (/))d<pc (/>. Тогда С (0 = Сг, -
— Ср2>0 по неравенству (7.7.4), и, следовательно, dZ(Z)/dZ^O в силу (9.1.351. g
Заметим, что ZD и ZN представляются в виде произведения,
т. е. расщепляются, причем каждый множитель отвечает некото-
рому квадрату решетки Д сЛ:
гс(л)=Пш	(ю.3.3)
ДсЛ
2л(Л)= П^(Д).	(10.3.4)
10.3 Монотонность и расщепление при условиях Дирихле 219
Следствие 10.3.2. Предположим, что коэффициенты f полинома
взаимодействия Р на каждом квадрате решетки Д имеют конеч-
ные нормы N(f) и M(f), определенные в (8.6.5—6). Пусть, кроме
того, эти нормы равномерно ограничены по А. Тогда
е-о<|Л|)	2В(Л) С	(10.3.5)
и свободная энергия (10.3.1) равномерно ограничена при всех Л.
Доказательство. Оценка сверху вытекает из оценки сверху для £,. в теореме 8.6.2
и из (10.3.4). Пусть (о в (8.6.2) есть константа связи, отвечающая свободному
члену полинома Р. Тогда из (8.6.4) и предположения о равномерной ограничен-
ности норм следует, что | Jfodx| const|A|. Положим Vi = V— f fdx, так что
\ :V\:„ dq>„ =0. Для функции
J СВ СВ
FB(s) = Jexp(-s-y,:cj dep^
имеем FB (0) = 1, FB (0) = 0, FB (s)	0. Следовательно, FB (s)	1 и
exp (— f0 dx) < exp ff. dx) Fd (1) = ZD (Л).
Замечание 1. Пусть :И:Св = Дгф'С/):^ = :Р(ф, f):CB- Из приве-
денного выше доказательства следует, что
ехр(— J fodx)^ Jexp(— :Р(ф, dqC[j = ZB (f). (10.3.6)
Замечание 2. Рассмотрим случай, когда оператор Св>, опреде-
ляющий виково упорядочение в Р, отличен от ковариационного
оператора меры dcpCB. Пусть Т — преобразование викова пере-
упорядочения, определяемое равенством :Р(<р, f)’cB'~ :Р(ц>, Tf)
в *
Обозначим хд характеристическую функцию квадрата решетки Д
и положим /хд = {^Хд}- Поскольку преобразование Т локально,
Т(/уд) — (Ц)хд- Как вытекает из доказанного предложения,
П^(^Хд)<$ехр(-:Р(Ф, /):Св,)^ФСв<П2"№д)-	(10’3-7>
д	д
Предположим далее, что Св, Св> принадлежит классу опре-
деленному в § 7.9, и что
m + (Af/m) + п + sup N (?%Л) + sup М ([%Л) < К.
Тогда
ехр (— const | ЛIX j ехр (— :Р (ф, /):Св<) ^Фсв < ехр (const | Л |),
(10.3.8)
причем константы зависят только от К.
220 Гл. 10. Оценки, не зависящие от размерности
Рассмотрим теперь свободную энергию (10.3.1). Пусть В =
— dA, D и В — дА, N — граничные условия Дирихле или Ней-
мана, заданные на границе прямоугольника Л.
Предложение 10.3.3. Свободные энергии Р(<р)2-моделей, отвечаю-
щих различным граничным условиям (Дирихле, свободным, Ней-
мана) на границе прямоугольника Л, удовлетворяют неравенствам
С(Л) С а0 (Л) adA-f/(A).	(10.3.9)
Кроме того, адА’°(А) и adA-N(A) сходятся при Л f R2.
Замечание. В действительности указанные пределы совпадают.
Для предельных свободных энергий aD, а0, aN имеет место равен-
ство aD — а0 — [Guerra, Rosen, Simon, 1976].
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда Л4 есть объединение п непе-
ресекающихся областей, полученных сдвигом Л. Тогда по неравенству обуслов-
ленности (10.3.2)
Z5A, D (Л)п = zd\.u D (Д^	zdKu N = 2ал. N (д)»	(10.3.10)
Прологарифмировав, получаем
аад, D (Л)	D (Л1) ^а0 (Л]) ^а<ЭАь N (Л|) =авЛ. W (Д).	(Ю.3.11)
Перейдем к более общей ситуации. Пусть й = lim аЙЛ1 ° (Л). Для е > 0 выбе-
А
рем Л так, чтобы выполнялось неравенство a аал" с (Л) -р е. Если Л! есть объ-
единение п = пхпу непересекающихся сдвигов Л и граничной области, покрывае-
мой (пх + tiy + I) сдвигами, Л, то, как и выше,
аал’ D (Л) < aa Vt- D (Л,) + О (I) (пх + пу + \)/пхпу.
Пусть Л фиксировано и Ai R2. Тогда пх-+-оо, пу->-оо и (пх + пи + l)/nxtiy-»-0.
Следовательно,
а < ааЛ’ D (Л) + е < аал- D (At) + 2в,
и сходимость доказана. Случай адА’N (Л) рассматривается аналогично. Ц
10.4 Положительность при отражениях
Мы покажем здесь, что 6-инвариантная мера ц положительна при
отражении 6. Случай неинвариантных мер рассматривается
в § 10.6.
Скалярное произведение в гильбертовом пространстве 36 опре-
деляется билинейной формой
Ь (А, В) = (QA, B)Li[din = $ 6А В dp = (А, В)ж. (10.4.1)
Условие положительности при отражении 0 состоит в том, что
10.4 Положительность при отражениях 221
Ь(А, Л) 0 для всех	В случае квантовых полей 36 есть
пространство квантовых состояний. В классической статистиче-
ской механике 36 есть пространство, в котором трансфер-матрица
действует как самосопряженный оператор. В обоих случаях 6
есть отражение относительно гиперплоскости П. Пространство <?Г+
порождается функционалами e‘W), где supp f cz П+; П± — две
связные компоненты множества	Мы изучаем здесь Раз-
меры, решеточные поля и модели изингова типа с граничными
условиями Дирихле, Неймана или периодическими граничными
условиями. Для простоты используются квантовополевые обо-
значения.
Основным следствием положительности при отражениях яв-
ляется неравенство Шварца:
1 ь (Л, В) I = I <Д,	IС IIАIIх IIВII№ =
= Ь(А,А)''2Ь(В,Ву'2,	(10.4.2)
справедливое для всех А, В е<?Г+.
В гл. 6 было введено преобразование Фурье меры dp, задан-
ной на <ЗУ\ = J )jp(<р). Отражение 0, как и любой не-
прерывный изоморфизм S)', определяет преобразованную меру
0d|i с помощью соотношения
SJ6-7} =	(10.4.3)
Определение 10.4.1. Мера dp называется 6-инвариантной, если
Odp = dp, т. е. Su{6f} = Sр.{f} для всех f.
Напомним также, что для гауссовой меры со средним нуль
и ковариацией С характеристический функционал задается фор-
мулой (см. гл. 6)
Sc Ш = ехр (- 4 (Л Cf>) = j е‘* dcpc
(в гауссовом случае ковариация однозначно определяет меру).
Следовательно, преобразование Фурье новой меры имеет вид
Sc {0- 7} = ехр (- j {/, 6С0-7» = Sece_ , Ш.
Таким образом, 0d<pc есть гауссова мера со средним нуль и кова-
риацией 6С0-1, поэтому мера dcpc G-инвариантна тогда и только
тогда, когда [G, С] = 0.
Теорема 10.4.2. Пусть мера dcpc Q-инвариантна, а С — (—Лв +
4- /) -1 = Св — ковариационный оператор с классическими гранич-
ными условиями, рассмотренными в § 7.10. Тогда мера dcpc удов-
летворяет условию положительности относительно отражения 6.
Замечание. Так как оператор С может быть определен на Rd, на
222 Гл. 10. Оценки, не зависящие от размерности
Td или на Zd, то квантовые и решеточные поля, модель Изинга,
модель Гейзенберга и т. д. являются частными случаями систем,
для которых выполнена теорема 10.4.2.
Доказательство. Из сказанного выше вытекает, что [0, С] = 0. В силу тео-
рем 7.10.1—3, ковариационный оператор С положителен при отражении 0. По
теореме 6.2.2 мера d<pc также положительна при отражении 0. jjj
Рассмотрим меру Р(ф)2 (или решеточную меру Р(д>)а) в ко-
нечном объеме с классическими граничными условиями. Пусть
Св — ковариационный оператор с граничными условиями на
ГзэдЛ, где Л — ограниченная область в R2, а Г, как и в § 7.10,
есть объединение прямолинейных отрезков решетки. Определим
следующую меру:
du = du (V, Л, CB) = Z~1e~V(A)d<pCB, (10.4.4)
где
Р(Л) = \:Р(<р(х)):с dx,	(10.4.5)
J	vl)
л
Z = Z(V, Л, CB)=$e-r<A>d<pCg.	(10.4.6)
Заметим, что 6dp(V, Л, Св) = dp(0V, 0Л, 6СВ6-1). В этом случае
6-инвариантность означает, что выполнены условия 6Л = Л,
01/= У и [6,Св] = 0.
Теорема 10.4.3. Если мера d\t, определенная соотношением (10.4.4),
^-инвариантна, то она удовлетворяет условию положительности
относительно отражения 6.
Замечание. Так как свойство положительности при отражениях
сохраняется после перехода к пределу, то мера в бесконечном
объеме dy(V, Св) (в тех случаях, когда она существует) поло-
жительна при отражениях.
Доказательство. Перепишем Г(А) в виде Г(Л) = V+ + V-, где
V± = У(Л±) и Л± = ЛПП±.	(10.4.7)
Таким образом, 0Г± = и V = У+ + 0У+. По теореме 10.4.2 мера d<pc поло-
жительна относительно отражения 0. Поэтому и мера dp положительна относи-
тельно 0, что видно из записи Zdp. = (Ос V+)e + dtpc.
10.5. Многократные отражения
Для оценивания функциональных интегралов применяется не-
равенство Шварца (10.4.2). В этом параграфе мы получим
оценки, связанные с использованием метода многократных отра-
жений. Эти оценки получаются при помощи последовательного
применения неравенств Шварца, отвечающих последовательности
гиперплоскостей П и операторов отражения 6ц.
10 5 Многократные отражения 223
Мы рассматриваем общую вероятностную меру dy на ЗУ,
удовлетворяющую аксиомам OS 0, 2, 3 из § 6.1 (аналитичность
преобразования Фурье, инвариантность и положительность при
отражениях), или Р(<р)2-меру б/уд в конечном объеме, построен-
ную в § 8.6. В обоих случаях положим ё — Ь2(ЗУ, dp) и для лю-
бого открытого множества Лс/?й определим ё(А) как подпро-
странство в ё, порожденное функционалами где supp f cz Л.
Так, ё+=ё	оо)), а для множеств Л вида /?d-1X (si, s2)
введем специальное обозначение
^(sI,s2) = ^(7?d-1X(si,s2)).
(10.5.1)
Оценки по методу многократных отражений применяются
в трех разных случаях. При этом возникают различные геометри-
ческие конфигурации. Пер-
вая конфигурация связана
с отражениями 6nv, v=l,
2, ..., d, относительно орто-
гональных координатных
гиперплоскостей. Пусть
(R+)d— первый октант, т. е.
множество {х: xv > 0, v =
= 1, 2, ..., d}. Тогда каж-
дой функции k е ё ((7?+)d)
соответствует отраженная
функция R{k):
/?(*) =
= П [(МИ
/с={1, 2, .... d}lAv<=/ V J
(10.5.2) Рис. 10.1. Многократные отражения в слу-
, ,	„	чае группы решеточных отражений.
Здесь (—) обозначает ком-
плексное сопряжение при
нечетных |/| и тождественное преобразование при четных |/|. На
рис. 10.1 показано действие R. При этом подмножества Rd рас-
сматриваются как носители функции k и ее отражений. Опера-
торы отражений Ц 0ц образуют группу, называемую группой
re/ v
решеточных отражений.
Предложение 10.5.1. Пусть мера dp инвариантна и положительна
при отражениях, отвечающих образующим 0nv решеточной груп-
пы отражений. Пусть й^ё((R+)d). Тогда
| kdp |	R(k) dy.)
(10.5.3)
224 Гл. 10. Оценки, не зависящие от размерности
Доказательство. Для доказательства неравенства (10.5.3) нужно d раз применить
неравенство Шварца относительно скалярных произведений
(Л, B)v = \ 0„ АВ dp.
1 -*-Ц>
Здесь V = 1, 2, ..., d и .4, В е-: 8 (Bv 1 X (R+)d v+1)- Положительная опреде-
ленность скалярных произведений следует из теоремы 10.4.3. Ц
Второй геометрической конфигурации отвечают отражения
относительно гиперплоскостей, порождаемых решеточными сдви-
гами некоторой гиперплоскости П. В качестве П возьмем гипер-
плоскость t = 0. В этом случае мы изучаем отражения, изобра-
женные на рис. 10.2. Эти отражения порождаются группой цело-
Рис. 10.2. Многократные отражения, порожденные целочисленной группой вре-
менных трансляций.
численных временных трансляций. Предположим, что /ге<?Г(0,/),
и определим функцию
п____
Мп (k) = П	(Ю.5.4)
Здесь 9 — отражение относительно гиперплоскости t = 0, a ks —
~ Т(s)kT(s)-1 — функция k, сдвинутая по времени на величину s.
Кроме того, положим
-----/г	\ \f2n
M(k)= lim(\	.	(10.6.5)
Предложение 10.5.2. Пусть мера dp удовлетворяет аксиомам
OS2—3 {инвариантность и положительность при отражениях).
Тогда для k S’(0,t)
| J Ыр|<Л4(/г).	(10.5.6)
Доказательство. Используя положительность при отражениях и трансляционную
инвариантность меры dp, получаем с помощью неравенства Шварца, Что
| J kdp | =] (1, fe)g | = | (01, fe)g | «Ofe, = (1, (Qk)tki№ = <61. (6fe)t fe4/2_
10.5 Многократные отражения 225
Дальше продолжаем применять неравенство Шварца н трансляционную инва-
риантность. После г применений имеем (подставив 2Г = п):
| j kdp | < (1,	(^-Г“1 = Q M2r (*) dn)
и | kap. j м (k). |
Третья геометрическая конфигурация осуществляется тогда,
когда носитель функции k содержится внутри единичного куба
Д (или, в более общем случае, внутри прямоугольника X =
s[О, «1]Х[0, аг]Х ••• Х[0,а<г]). Тогда, используя полную группу
решеточных трансляций, можно обобщить рассмотренную выше
картину отражений (10,5.4). Пусть обозначает произведение
(10.5.4), построенное вдоль v-ro координатного направления:
^(k) = П (O)(2/-ns	(10.5.7)
Здесь Gv = 6nv—отражение относительно гиперплоскости xv=0.
Заметим, что в случае единичного куба Д все = 1, v = 1, 2, ...
..., d. Положим
1/(2^ ... 2nd)
lim	[ J	(. •. 3™ (k)...)) dp]
(10.5.8)
При d = 2 решетка, порожденная отражениями, изображена на
рис. 10.3.
Предложение 10.5.3. Пусть k^<o (X) и мера dy удовлетворяет
аксиомам OS2—3 (трансляционная инвариантность и положитель-
ность при отражениях). Тогда
\\kdy\^g(k).	(10.5.9)
Доказательство. Относительно каждого координатного направления применяем
те же соображения, что и при доказательстве предыдущего предложения.
В случае трансляционно-инвариантной меры удобно вместо
функции k рассматривать оператор &«=/?, который является
оператором умножения на k в гильбертовом пространстве кван-
товомеханических состояний 3$. В гл. 6 было определено канони-
ческое вложение функционального пространства вЖ:
Здесь	есть нуль-пространствр положительной при отра-
жениях билинейной формы на <§?+. Это вложение позволяет по
некоторым операторам S на <£+ строить с помощью формул
226 Гл. Ю. Оценки, не зависящие от размерности
тора k в Ж. Для этого обобщим
ИМИ
НИИ
ими
ПИИ
Рис. 10.3. Л4ного кратные отражения в
случае полной группы решеточных
трансляций.
(6.1.12) операторы — S на Ж Например, по теореме 6.1.3
ж—е~1н. Заметим, что при доказательстве теоре-
мы 6.1.3 мы пользовались оценкой, получаемой с помощью метода
многократных отражений.
Займемся теперь построением по функции k е ё (0, /) опера-
доказательство теоремы 6.1.3.
Так как	то умно-
жение на k задает оператор в
пространстве ё+ с областью
определения с?+Г|£оо. Для по-
строения k сузим область оп-
ределения оператора k. С по-
мощью многократных отраже-
ний можно получить оценку
нормы k как оператора в про-
странстве Ж.
Предложение 10.5.4. Рассмот-
рим вероятностную меру dy
на Sb'', удовлетворяющую ак-
сиомам OS 0, 2, 3 {аналитич-
ность, инвариантность и поло-
жительность при отражениях).
Рассмотрим k ё (0, t), />0,
как оператор умножения в
ё+ с областью определения
S){k) = T(t) (ё+[\ Loa). Тогда
оператор k, задаваемый соотношениями (6.1.12), определен на
плотном множестве в Ж.
Доказательство. Вначале мы покажем, что область определения <2>(/г)~ =
= (Т(/) (Ж Г1<?+)) ~ плотна в Ж Из теоремы 6.1.3 и соотношения lime-w= I
t о
следует, что Kere~w = {0}. Действительно, если e-w0 = 0 при некотором I, то
е-«/20 _ о и т д _ так что iim e-iHQ _ о и> следовательно, II 0 || = 0. Пусть
<->о
вектор ip jg Ж ортогонален S>(£)~. Тогда г,Еф±(Д«Г||?+)Л, а так как
До» П <У+) всюду плотно в Ж, то е~‘нгр =• 0 и по доказанному выше ip = 0.
Таким обрезом, 55(Л)~ плотно в Ж.
Для того чтобы доказать, что оператор /г корректно определен, достаточно
проверять условия (6.1.13), т. е.
/leOW => b(kA, kA) = <6M, Ы>г = 0.	(10.5.10)
Рассмотрим вначале случай ограниченных k, т. е. k е. L,„. Пусть А имеет вид
А = T(t)B,	Поскольку Q(kT(t)B) = (Qk)T(~f)QB и T(t)* = T(-t), по-
лучаем, что	______________________________
b (kA, kA) = {QkT(t)B, kT(t)B)s = {QB, T(t)QkkT{t)B}s =
= b (B, ~(Qk)t ktT(2t)B) < b (В, B)1/2 b (C, C)1/2>
где C = (j5k) tktT (2t) В e g”+. По предположению Л = 0 и А = e~tHB. Отсюда
следует, что 8 = 0, т. е. ВеЛ’. Таким образом, Ь(В, В) = 0, и равенство
(10.5.10) выполнено.
10.5 Многократные отражения 227
В общем случае, когда функция k неограничена, рассмотрим вместо нее
функции
{fe, если | k | < j,
О, если [ k | > j.
Тогда HZ: — /г/1|/,2 (jjx) -> 0 при jоо. Так как Ae25(fe), то А е T(t)Lm сг L^.
В силу доказанного выше, k.A поэтому члены, отвечающие kjA (включая
перекрестные члены), не дают вклада в следующее неравенство:
b (kA, kA) = b((k — kj) A, (k-k,) A) <|| (fe - kj) A ||t W|t) <
<ii*-mMaiiL^°- 1
Теорема 10.5.5. Пусть dy — вероятностная мера на 2)', удовлетво-
ряющая аксиомам OS 0, 2, 3 (аналитичность, инвариантность, по-
ложительность при отражениях), и пусть /гесГ(0,/), t > 0. Тогда
\\lie-tH\\x^M(k).	(10.5.11)
Доказательство. Пусть Q = е~"‘ЛТ1е-,н и А е Г) Тогда, согласно нера-
венству Шварца,
|| ke~ tHA || = (A, QA)112 < ||АЦ^|| QA||^.
Продолжаем применять неравенство Шварца; после п применений получаем, что
life" ///Й||ж<|1А||^2-П||02”-1а||Г'1-	(10.5.12)
По определению (ke~tH)*A = (T(t)QkA) Л= ((Gk)lT(t)A)'', нли e~‘,!liJ =
= ((0fe)t) e~tH. Поэтому
IIQ2"' 111 = (0Л12„_! (fe) т (2"0 A, M2n_! (fe) T ^nt)Ay& =
=	M2„ (fe) T (ъп+Н) A^ < IIA||2 ( J | M „ (fe) | djx).
где Mn(k) определено выражением (10.5.4). Используя равенство (10.5.5), полу-
чаем, что
lim || Q2™ 1А ||^ < lim || А " М (k).
п	п оо
Для завершения доказательства остается подставить последнюю оценку в
(10.5.12):
life" tHAWx<M(k)\\A\\^ 
Определим теперь область Жь, состоящую из аналитических
векторов для оператора Н\
Ж(, = е~^нЖ.	(10.5.13)
Области используются для построения аналитического про-
должения из евклидова пространства в пространство Минковского
и для доказательства евклидовой формулы Фейнмана — Каца
в гл. 19. При этом в качестве первого шага применяется оценка,
Доказываемая ниже.
228
Гл. fO. Оценки, не зависящие от размерности
Следствие 10.5.6. Пусть б > 0, 0^т<6/4, 6'>/ + 6/2 и
М (k) < оо. Тогда !гх, как билинейная форма на а'ёъ X ^'> анали-
тична по т и продолжается до комплексно аналитической функции
в круге J т | < 6/8. Кроме того,
Iв- ы/ kxe- 6'н | < п! II ke-u+W н ц. (10.5.14)
Доказательство. Так как имеет место равенство
е~ ™ d £ - &н = е- (б+т)Я	е-(«'-г) н
dr	11
то оценку (10.5.14) можно доказать при помощи теоремы 10.5.5 и соотношений
Ст = ||	|| < (4/6)m ml, СтСп-т < (4/6)" п! ( " )"’.
Аналитичность следует из (10.5.14). |
С помощью оценок норм операторов в 3^ можно получать
оценки интегралов по мере dy.
Следствие 10.5.7. Пусть /г(0), k^\ ..., k(o ес? (0, t). Тогда
J Д li'jldy <ДЛГ(Й<Л).	(10.5.15)
J /=о	/=о
Доказательство. Заметим, что k/t е S (jt, (j + 1)0- Кроме того.
Произведение операторов в правой части упорядочено следующим образом: слева
направо от £<°>е ~‘И до k<Oe~tH. Применяя теорему и неравенство для оператор-
ных норм IJJA/II =С JJlM/ll» получаем (10.5.15). В
Il i \ps f
Следствие 10.5.8. Пусть J cz Zd— конечное множество, и пусть для
каждого j задана функция k<T> е (А/). Тогда
(10.5.17)
edeS?(k) определено равенством (10.5.8).
Доказательство. Формально достаточно применить следствие 10.5.7 по каждому
координатному направлению. Фактически нужно рассуждать аналогично доказа-
тельству теоремы 10.5.5 и следствия 10.5.7, т. е. переходить к пределу nv 00
только после того, как выполнены отражения по всем направлениям. |
Замечание. Несимметричная оценка по методу многократных от-
ражений доказывается в теореме 12.4.2. В этом случае не пред-
полагается, что мера dy инвариантна относительно отражений.
В несимметричном случае вместо неравенства Шварца исполь-
зуется неравенство (10.6.8).
10.6 Несимметричные отражения 229
10.6. Несимметричные отражения
Неравенство Шварца, используемое в симметричной ситуации,
допускает обобщение на случай, когда мера dp не симметрична
относительно отражения 6, определяемого некоторой гиперпло-
скостью П. В несимметричном случае неравенство Шварца имеет
вид
|£> (Л, В) | < const bi (А, А) 1'2Ь2(В, В)	(10.6.1)
где bi, b2 положительны при отражении 0 и 0-инвариантны. Из-
ложение в этом параграфе носит более технический характер по
сравнению с симметричным случаем (§ 10.4). Заметим, однако,
что доказанные ниже оценки используются лишь для проверки
регулярности полей Р(<р)2, но не для доказательства их суще-
ствования.
Пусть dp есть мера вида (10.4.4) с классическими граничными
условиями на Г. Определим вначале отвечающие ей 0-инвариант-
ные меры dp+. Мы предполагаем, что Г(]П#=0 и пересечение
трансверсально, т. е. dim (Г П П) d — 2. Пусть П± — два полу-
пространства 7?d\n. Положим
Г+ = (ГПП+)и(0ГППМ,	(10.6.2)
Г_ = (ГПП_)и(ОГПП+).	(10.6.3)
Легко видеть, что Г+ и Г_ 6-инвариантны. Пусть 6В — гранич-
ные условия В, отраженные относительно П, и пусть
В+^ граничные условия В на Г f| П+ и
граничные условия GB на 6Г П П_;
В_ == граничные условия В на Г (] П_ и
граничные условия 0В на 6ГПП+.
(10.6.4)
С+ — Св+, С- = Св_.
По построению операторы С+ и С_ 0-инвариантны.
Рассматриваемые нами меры dp характеризуются тремя объ-
ектами: взаимодействием V, объемом Л и гауссовой ковариацией С.
Положим У±=Р(Л±), Л± = Л П П± и определим меры dp±:
dp+ = dp(v+ + ev+, л+иел+, cBj=
,e_(w+)
Т	*	+
dp_ = dp (V_ + 0У_, Л_ и 0Л_, Св ) ==
= z-le-(K.+6K.)d
(10.6.5)
230 Гл. 10. Оценки, не зависящие от размерности
Здесь Z+ — обычные нормирующие множители, выбранные так,
чтобы dp± = 1. Так как V±, Л± и С±, определяющие dp,±, 6-ин-
вариантны,то
Odp= = dp±.	(10.6.6)
По теореме 10.4.2 меры dp± положительны при отражении 0. Если
мера dp 6-инвариантна, то С = С+ = С-, dp = dp+ = dp- и Z —
= Z+ = Z_.
В симметричном случае, т. е. когда мера dp 0-инвариантна,
неравенство Шварца можно записать в виде
|<Д,В>[1|2С<0Д,Я>[1<еВ, В>ц, А<=&_, В^ё+.	(10.6.7)
Обобщением неравенства (10.6.7) является неравенство
\{А	det (С-2С+С_)1/2<6Л,	<0В,В)и+ .	(10.6.8)
Заметим, что билинейная форма <Л, В>ц может не быть положи-
тельно определенной.
Предложение 10.6.1. Если неравенство (10.6.8) справедливо в га-
уссовом случае, то оно выполняется и для меры dp.
Доказательство. Множитель Z+Z-Z~2 можно устранить, если вместо мер dp, dp+
и dp_ рассмотреть ненормированные меры dp = Zdp, dp± = Z±dp±. Кроме
того, множитель e-v =е~'и+е~1и~можно включить в А и В. После этого нера-
венство (10.6.8) сводится к следующему неравенству, которое отвечает гауссову
случаю:
KA’e>d<Pcr<det(C-2C+C-)1/2<eA’A>d<Pc_<ee’e^<Pc+- 	<10-6-9)
Доказательство неравенства в гауссовом случае проводится по
аналогичному образцу: задача сводится к рассмотрению гауссо-
вой меры с 6-инвариантной ковариацией Со, т. е. к случаю тео-
ремы 10.4.2. Мы приведем вначале формальные соображения,
а позже обсудим детали в некоторых частных случаях, а именно
при доказательстве теоремы 10.6.2 и следствия 10.6.3. Эти частные
случаи понадобятся нам в гл. 12.
Неравенство (10.6.9) легче понять, если переписать определи-
тель в виде отношения статистических сумм:
det(C“2C+C_)1/2 = Zc+ZcJZc. (10.6.10)
При этом удобно представлять себе множитель Zc^fZc как
нормировку гауссовой меры dcpc^ по отношению к мере dcpc-
Однако обе эти меры вероятностные, поэтому последнему утверж-
дению необходимо придать более точный смысл. Для этого пред-
ставим меры dcpc и с?Фс+ как возмущения некоторой гауссовой
меры d<pCo. Определим интегральные операторы v и v±, полагая
v = C~1 — Со1,	v+ = C+l —Со1, v_=CZ1 —Со1. (10.6.11)
tO.6 Несимметричные отражения 23!
Эти операторы имеют ядра v(x,y), v±(x,y). Определим также Vc
формулой
Vc = 4- $ Ф (*)w (х> 10 Ф О/) dxdy	(10.6.12)
и аналогично определим Ус±. Используя (9.3.8), можно фор-
мально выразить d(pc через dvpCt:
d(pc = Z~ 'е~ Vcdqc,	(10.6.13)
где	Zc== е“Гс^<рСс_	(10.6.14)
Подставив v± вместо v, получим аналогичные представления для
dq>„ . По формуле (9.3.7) для гауссовых функциональных инте-
гралов Zc = det (/+ Co/2vCo1/2)	. Поэтому отношение ZC^IZC —
= det(C-1C+)1/2 не зависит от Со. Таким же способом можно
получить формулу (10.6.10). В этих вычислениях можно было бы
взять в качестве Со оператор С. Тогда Zc — 1. Однако удобнее
выбрать оператор Со положительным при отражении 0. Тогда
неравенство (10.6.9) будет следовать из положительности меры
(йрСо при отражении 6 (теорема 10.4.2). Для доказательства
(10.6.9) воспользуемся неравенством Шварца относительно ска-
лярного произведения, порожденного мерой dq>cо. А именно,
пусть А е ё-, В е ё+. Тогда
I (A, Aufcj2 С (ел, л>4ФС1 <ев, вдЧСо.
(10.6.15)
Перепишем (10.6.15) в виде
| (A, B)d(fc |2 = Z~21 (АВе~ vc) d<pcj2 <
< Zc2<(6А) А ехр( - Vc )U <(6В) Вехр( - Vc+)V =
= Zc+Zc_ZE2(0A, A}d<tc_ (ВВ, B)dVc+ =
= det(C-2C+C_)1/2<0A, A)d(Pc_ <6B, B)^.	(10.6.16)
Таким образом, требуемое неравенство получено. При этом мы
воспользовались разложением v = vi + v2, где vi и v2 локализо-
ваны в П_ и П+ соответственно и определены соотношениями
V- = О1 + 6О10-1, о+ = v2 + 6О20-’•
Строгое обоснование приведенных выше формальных рассуж-
дений затруднено тем, что гауссовы меры ^4>св с различными
граничными условиями В взаимно сингулярны. Поэтому опера-
торы v, v± также сингулярны, а статистические суммы Zc+, Zc_,
Zc не существуют. Для преодоления этих трудностей можно ре-
232 Гл. 10. Оценки, не зависящие от размерности
гуляризовать величины (10.6.11—12) и перейти к пределу в
(10.6.16). При этом статистические суммы Zc, Zc+, Zc_ расхо-
дятся, однако их отношение, равное det(C~2C+C_)1/2, сходится,
и средние (• )d<fC> {• Хйрс± корректно определены.
Неравенством (10.6.8) можно реально воспользоваться только
после того, как будут получены оценки Z+Z_/Z2 и det(C~2C+C_)1/2
П (плоскость Г-О)
(а)
П(плоскость t=O'>
(b)
И (плоскость t = 0)
(с)
Рис. 1Q.4. (а) Функция V, определяющая меру dp, имеет носитель в А д=
—A+IJA-, где ПсЛ+ПА- Сплошные линии изображают Г, состоящее из <9Л
и прямых, продолжающих две стороны дЛ. Пунктирная линия изображает пло-
скость П (в качестве П выбирается плоскость t = 0). (Ь, с) Второй и третий
рисунки отвечают мерам rig-, rfg.;., определяемым ковариационными операторами
Св± с граничными условиями Дирихле иа сплошных линиях Г J;.
в зависимости от объема Л. В этом параграфе мы исследуем от-
ношение функциональных определителей det (С~2С+С_)1/2, а оцен-
ку отношения Z^Z-jZ.2 отложим до § 12.4. Для простоты мы огра-
ничимся рассмотрением частного случая, когда на Г _г> <ЭЛ за-
даны граничные условия Дирихле.
Ниже мы рассматриваем случай d = 2 и предполагаем, что Д
есть прямоугольник L X Т, ориентированный вдоль осей {х, t)
(рис. 10.4). Пусть П — гиперплоскость t — 0. Предположим, что
П делит Л на два прямоугольника A-UA+ = A размера L^Td
и L\T+ соответственно. Тогда Т =Т_-\- Т+. Пусть ось х выбрана
10.6 Несимметричные отражения 233
так, что прямые х = 0, х = L проходят через дЛ. Положим
Го = {(х, f): х — 0 или х = £}, Г = дЛ U Го,
Со^-Лго + тТ1, Св = (-Дг + т2Г1.
Теорема 10.6.2. При указанных выше условиях на В справедливо
неравенство (10.6.8) *). Пусть Г и Св такие же, как выше, и кроме
того, m-1 Т- Т+, где m — масса в Св. Тогда
1 < det (С2С,С_)'/2< const econstL/r- (10.6.17)
и константы не зависят от L, Т±.
Доказательство. Оценка снизу следует из (10.6.9) при А = В = 1. Для доказа-
тельства неравенства (10.6.9) и оценки сверху вычислим отношение опреде-
лителей. Пусть Но обозначает гамильтониан в гильбертовом пространстве 3^в,
отвечающий мере афСо. В гл. 6 указан канонический способ построения
гамильтониана Но, использующий 6-отражения относительно гиперплоскости
П(/ = 0). Так как мера rfcpCo гауссова, то 3@о является пространством Фока и
Нв есть гамильтониан свободного поля в Таким образом, Э^о есть симметри-
ческая тензорная алгебра над одночастичным пространством
Ьг([0,L], dx) ©L2((—оо,0], dx) ®	[L, oo), dx).
Следовательно, Ж> — тензорное произведение пространств Фока, отвечающих
этим трем подпространствам. В определитель вносит вклад только первое из них.
Поскольку е~~1 сохраняет структуру тензорного произведения, можно ограни-
читься рассмотрением множителя 3@o([O,L]), являющегося симметрической тен-
зорной алгеброй над тС2([0, £.], dx). Обозначим h0 ограничение Но на это одноча-
стичное пространство. Собственные числа оператора ho равны (/г2 + т2))/2=р(/г),
где ke (n/L)Z, а соответствующие собственные функции имеют вид sin kx.
В шредингеровом представлении 3^в можно записать в виде бесконечного
тензорного произведения
0 L2 (#, dvk (<?fe)) =	0	(10.6.18)
fee (я/DZ	ke(a/L)Z
Здесь dvk = (|i (fe)/n)1/2 exp ( — <у2ц (/г)) dqk, a есть пространство состоя-
ний гармонического осциллятора с координатой q^ (см. § 1.5, 6.2 и 6.4). Опера-
— iff	.	- Ш | г — tf№ о rj(fe)
тор е П также факторизуется: е = Це • Здесь H'Q ’ есть гамильто-
k
-
ниан k-ro гармонического осциллятора, и ядро оператора е и определяется
по формуле Мелера (1.5.26):

p,(fe)(e ^k}tqk-q'^2
j _ е- 2u(fe)i
(10.6.19)
J) He следует путать В в неравенстве (10.6.8) и В — граничные условия в
Данной формулировке. — Прим, перев.
234 Гл. 10. Оценки, не зависящие от размерности
Для состояния гр, разложенного в произведение гр = JJ fk (qk)t выполнено pa-
ft
венство
fe	Ж<>
(10.6.20)
С целью сделать изложение более прозрачным мы проводим вначале фор-
мальные вычисления, а их математическое обоснование рассматривается только
в конце доказательства. Используя формулу Фейнмана — Каца в пространстве
<Ж>, получаем
ZC = U" VC d<f = (гр, е~тн^У .	(10.6.21)
J	С1	(Г&С)
Здесь Vc — Vi + V2, где Vc = ДСо— Д — локальное выражение с носителем на
Г U {х = 0, А} = Г( U Г2, Г1, Г2 определяются из условий Г1Г) П+ = Г), Г2 П П_=
= Г2, a Vi, V2 совпадают с Vc в А2(П±). Тогда гр есть состояние e~v' в гиль-
бертовом пространстве З'ёо, отвечающем моменту времени I = Т+, или состояние
e~v' в пространстве, отвечающем I = —7’_. Как мы увнднм ниже, гр есть про-
изведение состояний по различным модам, пропорциональных 6-функции по каж-
дой моде, гр = J J сб (<? (ft)). (Состоянию гр соответствуют граничные условия
k
Дирихле по каждой моде.) Таким образом, в отношении ZC^ZC [Z^. нормирую-
щие множители с) сокращаются:
k
zc+zc_ U,e-2r+%>Ue-2r-%>
Z2C ~	(гр.в-^
_	(d, exp ( - 27\	6) (б, exp ( - 2Г_ б)
k. ft"; ft.	(6, exp ( - TH) б)2	=
= det (C-2C+C_)I/2.	(10.6.22)
В этом произведении импульсы k, k± пробегают одну и ту же решетку:
k, k+. k_ е (n/L)Z.	(10.6.23)
При помощи (10.6.19) можно представить (10.6.22) в виде
. _9	,1/2 тт	1___e_2u(ft)T
det (С С+С_) =П±-^-_е-4И(й+)	_e-4p(ft.) г.у/2 •
(10.6.24)
Для фиксированных Т+, Т-, L каждое из произведений по k, k+ и k~ сходится,
так как при at > 0 любое выражение вида e~a^k^ сходится к нулю экспо-
ненциально.
Поскольку числитель в (10.6.24) меньше 1 и по условиям теоремы Т_ sg Т +,
имеем оценку
det (С-^+С-)1/2 < П (’ - e~4Mfe) Г')-1 =
k
= ехр 1п(1	(10.6.25)
k
10.6 Несимметричные отражения 235
Ковариация Св^'ё'т имеет массу не меньше т, поэтому msg Следо-
вательно, 4 < 4p.(k)T-, так как по условиям т~1 гС 7_. Таким образом, показа-
тель 4|л(£)Т_ в (10.6.25) отделен от нуля, а экспонента
е-4ц(й)Г_^е-4тТ.^е-4< J
отделена от 1. Воспользовавшись неравенством 1п(1 — е)-1 const е, где
0 е е0 < 1 и константа зависит от ео, получаем
det (С^2С+С_)^2 ехр (const е-4)Х	const  ехр О (L/T-).
k
Для обоснования этих формальных рассуждений вернемся к формуле (10.6.21).
Найдем теперь регуляризованное Zc, подставив вместо е-1/1,2 сглаженное про-
изведение волновых функций фи = JJ cdZ2 (<? (k)). Заметим, что для доказа-
I k | < и,
тельства неравенства (10.6.9) достаточно выбирать величины А, В из каких-ни-
будь плотных подпространств в пространствах Пусть А, В — непрерывные
ограниченные функции от конечного числа ортогональных мод, зависящие от ко-
нечного числа моментов времени (цилиндрические функции). Для таких А, В
сходимость гауссова интеграла при Xi оо следует из сходимости характеристи-
ческого функционала и, следовательно, из слабой сходимости ковариационных
операторов как Z-2-опсраторов. Так как ортогональные моды диагонализуют кова-
риационный оператор, слабая сходимость при увеличении числа мод очевидна.
Следовательно, достаточно рассмотреть фиксированное конечное значение Zi.
Применяя неравенство Шварца последовательно в каждом множителе 3^^,
мы видим, что неравенство (10.6.9) достаточно доказать для отдельного множи-
теля. Поэтому достаточно рассмотреть одну моду, т. е. обычную меру Випера на
траекториях в R. В § 7.8 было показано, что локальное бесконечное возмущение
массы в ковариационном операторе порождает граничные условия Дирихле. Этот
вывод применим к каждой ортогональной моде, т. е. к ковариационным операто-
рам, являющимся функциями только от t. Такие ковариации Дирихле С(/г> опре-
деляют гауссову меру в пространстве траекторий k-ro осциллятора, причем масса
осциллятора зависит от t. Рассмотрим аппроксимирующие операторы С*'1, Иг), где
х2 характеризует массу, зависящую от t. При z2->-oo масса становится беско-
нечной в точках, где локализованы граничные условия Дирихле (например, в
точках t = ±Т), uC,k’ ’z-'* сходится к ковариации Дирихле.
Из результатов § 9.3 вытекает, что возмущение массы в ковариации С(/;"
можно представить с помощью экспоненциального множителя Фейнмана — Каца
в гауссовой мере, определяемой оператором	Показатель экспоненты за-
висит от времени и имеет вид V (q^, t) = 0 или z2<7/., причем выбор между
этими двумя значениями делается в зависимости от t. Таким способом мы полу-
чаем явную последовательность размазанных 6-функций 6И2 в каждая из
них определяет гауссову меру и ковариации этих мер сходятся к ковариации
Дирихле отвечающей ft-му осциллятору.
Из оценок, с помощью которых доказывается непрерывность по Гёльдеру
типичной винеровской траектории, следует, что 6И2->6 при хг-^-оо. Следова-
тельно, полагая в формуле (10.6.19) ? = </' = 0, представим выражение (10.6.22)
в виде (10.6.24).
В случае, когда А и В — ограниченные непрерывные цилиндрические функ-
ции, сходимость интегралов в (10.6.9) следует из сходимости ковариаций при
х2 —> оо. |
В качестве следствия доказанной теоремы сформулируем оцен-
ку для случая меры с граничными условиями Дирихле на дА (но
236 Гл. 11. Поля без обрезания
не на бесконечных прямых х = О, L, как было выше). Мы будем
считать, что А, В локализованы в Л_, Л+.
Следствие 10.6.3. Пусть Л есть прямоугольник Ly^T, как и в пре-
дыдущей теореме. Пусть Св = есть ковариационный опера-
тор с граничными условиями Дирихле на дЛ, и пусть А се
е«?(Л_), Ве^(Л+). Тогда
(А, В)и| < const	(М, Л>ц_ (ев, В)ц+ ехр (j^- + гз). (Ю.6.26)
где константа не зависит от L, Т±^ 1.
Доказательство. Так как А, В, V локализованы в Л (т. е. являются элементами
#(Л)), а мера d<pc факторизуется в Д(Л.) ® (R2\A), то (Л,	= (А В)~
где мера Ц получается заменой С ал на ковариационный оператор С, рассмотрен-
ный в теореме 10.6.2. Аналогично, при вычислении средних на пространствах
&(Ai U 0Л±) можно заменить на р,±. Далее применяем доказанную теорему,
используя меры ц. ц ±. |
Глава 11
Поля без обрезания
11.1 Введение
В этой главе приводится конструкция квантового поля F(c-2
в случае, когда полуограниченный полином взаимодействия Р
имеет вид Р = четный полиномо-линейный член. Для полуограни-
ченных Р общего вида используются иные методы, см. гл. 18.
В этой главе рассмотрена проблема существования полей, а во-
прос об их регулярности отнесен к гл. 12. Доказано существова-
ние евклидовой меры dp, являющейся пределом мер в конечных
объемах, построенных в гл. 8, при переходе к бесконечному объ-
ему. Доказательство основано на монотонной сходимости и равно-
мерных оценках сверху.
11.2 Монотонная сходимость
Все результаты в этом параграфе связаны с монотонной сходи-
мостью. В случае, когда Р = четный полином линейный член,
монотонность функций Швингера вытекает из корреляционных не-
равенств. В § 11.3 доказывается равномерная оценка сверху. При
этом используются оценки для мер в конечном объеме, получен-
ные в гл. 8, и оценки по методу многократных отражений, дока-
занные в гл. 10.
11.2 Монотонная сходимость 237
Пусть du л есть Р(<р)2-мера в конечном объеме с граничными
условиями Дирихле на <ЭЛ:
dp.A = Z-'е-г (Л,<2фсал.	(11.2.1)
Здесь СГ?А=(—Ддд + т2)-1, а Дал—оператор Лапласа в /?2
с граничными условиями Дирихле на (ЗА. Далее,
V (Л) == J : Р(<р(х)):Сф dx,
к
где Р(£) — ограниченный снизу полином, а упорядочение Вика
производится по отношению к свободному ковариационному опе-
ратору Cg = (—Д4-/И2)-1. Нормирующий множитель опреде-
ляется соотношением
Z—Z(A) = Je-HAJdq)	(11.2.3)
Наконец, положим
SaW = JeW>dpA-	(П.2.4)
Теорема 11.2.1 (существование). Пусть Р — четный полином +
+ линейный член и f е Со°. Тогда существует предел
S{f}= lim £л {/}	(Н.2.5)
Л t
и предельный функционал S {/} удовлетворяет евклидовым аксио-
мам OS 0 и OS 2—3 из § 6.1.
Доказательство. Предположим, что предел (11.2.5) существует. Мера dpA обла-
гает свойством положительности при отражениях OS 3, если отражение 6 таково,
что 0Л = Л (теорема 10.4.2). Так как свойство положительности сохраняется
при переходе к пределу, то предельный функционал S{f} тоже удовлетворяет
аксиоме OS 3.
Евклидова инвариантность также следует нз существования предела (11.2.5).
Пусть Е — произвольное евклидово преобразование. По предположению SA {)}
и S£A {f} оба имеют предел прн Л f R2 и этн пределы совпадают. Так как
Sea Ш = SA №}’ ™ и = SСп-
итак, доказательство положительности прн отражениях и евклидовой ин-
вариантности сводится к доказательству существования предела (11.2.5). Основ-
ная оценка сверху дается теоремой 11.3.1 ниже. В предположении, что эта
оценка установлена, докажем (11.2.5).
Не теряя общности, можно считать, что коэффициент в линейном члене у Р
отрицателен. В противном случае заменим ср на —ср. Выберем теперь g е С“,
g 0. По теореме 10.2.2 функционал SA{—ig} положителен и монотонно воз-
растает при увеличении Л. Кроме того, имеется равномерная оценка теоре-
мы 11.3.1, поэтому предел S{—ig) существует.
Рассмотрим теперь множество {g/}, / = 1, 2, ..., п, состоящее из п неотри-
цательных функций класса С“, н п комплексных чисел zy. Положим zg =
sb zigi + • • • + zrign- Характеристический функционал в конечном объеме SA {zg}
является целой функцией на Сп. По теореме 11.3.1 она удовлетворяет оценке.
238 Гл. 11. Поля без обрезания
равномерной по Л (но не по п):
I SA I < П ех₽ {с (1 К I + || nz{g{ |QJ.	(11.2.6)
Следовательно, по теореме Витали, прн Л f R2
SA{zg}->S{zg},	(11.2.7)
причем сходимость равномерна на любом компактном множестве точек г, и пре-
дельный функционал является целой функцией. В частности, при g 0 сходятся
также функции Швингера:
Ф(^) • •  <₽(?„)	-> Ф(д,) ... (f(gn) dp.	(11.2.8)
Оценка (11.2.6) и сходимость (11.2.7) продолжаются по непрерывности на
случай функций gi е Lif] Lp с компактным носителем. Пусть теперь f j е С“.
Положим
( ±f. (х) при ±П(х)>0,
Л+(х)='{	>	1
1 —	(.0 в остальных случаях,
так что fj = fj+ — fj- и fI± Js 0. Функции f/±, вообще говоря, не содержатся
в С“, но принадлежат классу Li f) Lp. Поэтому сходимость (11.2.8) имеет место,
если gj заменить на f!±. После конечного суммирования получаем
<р (fn) dpA-> <p(f,) ... cp(fn) dp.	(11.2.9)
Отсюда следует, что прн е С“, z; е С
sa(	(н.2.10)
X 1 = 1	у	X £ = 1	у
и предел (11.2.10) является целой функцией от (Zi, .. ., гя)еС". Следовательно,
S{/} —целая функция на С^°. Таким образом, теорема доказана в предположе-
нии, что верна теорема 11.3.1. |
11.3 Оценки сверху
Теперь мы докажем основную оценку, использованную при дока-
зательстве существования предельной меры.
Теорема 11.3.1. Пусть т>0 и dpA определяется формулой
(11.2.1). Пусть — ограниченный снизу полином степени п,
имеющий вид Р(£) = четный полином + линейный член. Пусть
р = пЦп—1), и пусть функция f^LjftLp имеет носитель внутри
прямоугольника К площади |К|. Тогда существует такая кон-
станта с < оо, не зависящая от Л, что
|^<f»dpA|<exp{C(|K| + liny}- (11-3.1)
Замечание. В гл. 12 мы исключим К из оценки (11.3.1), как это
требуется аксиомой OS 1.
11.3 Оценки сверху 239
Доказательство. Не теряя общности, можно считать, что f 0. Действительно,
в силу положительности функций Швингера (теорема 10.2.2), | jj e<₽<f,rfgA|<
е<Р (I f I) Из теоремы 10.2.2 следует также, что прн f 0
(e^)A = SA{-if}
(11,3.2)
монотонно возрастает с увеличением Л.
(С)
Рис. 11.1. Прямоугольники К, Л, используемые при доказательстве оценок по ме-
тоду многократных отражений: (а) исходная картина; (Ь) после увеличения Л
До Л1; (с) после одного отражения относительно каждой из осей: (d) после
увеличения Л до Л<2); (е) после п отражений и увеличений объема (масштаб
изменен).
Теперь мы начнем последовательно применять преобразования, при которых
происходят увеличение объема и отражения. Пусть КсЛ — прямоугольник, со-
держащий supp f, и пусть Л<*':э Л — другой прямоугольник с центром в одной
из вершин К и осями, параллельными осям К (рис. 11.1(b)). Будем считать, что
(с)
*-------b‘^b^(2"2)ax----------*
'е>
240 Гл. 11. Поля без обрезания
стороны К параллельны осям хну. Обозначим {ах, а,} длины сторон К и
{е длины сторон Л(1). Выполним отражения относительно осей прямо-
угольника Л<*>. Поскольку Л<‘> инвариантен относительно этих отражений, мож-
но воспользоваться положительностью при отражениях меры dBA(i) и получить
оценку сверху. Положим
/"'-(+еп/+«и/ + ЧЧ' - (‘+ Ч) С + Ч) ’
к(1) = л ибп оеп /сиепЛЛ
X	у	Л у
Легко видеть, что supp f(>> сг К(1). Пусть R— оператор отражения (10.6.2).
Тогда (еф(^) = еф По предложению 10.5.1 и теореме 10.2.2
J еф‘»^Л< еф(П^л(1) <($ ^0<1)) ^л(1))‘/4.	(П.3.3)
Отражения относительно осей Л<1) изображены на рис. 11.1(c).
Будем теперь повторять этот процесс. Вначале увеличиваем Л(/>, выбирая
д</+1) так> чтобы прямоугольник лежал в первом квадранте Лч+Ч Затем
производим отражение относительно осей Aw+1) и получаем функцию с
носителем в К(/+1), как на рис. 11.1 (d— е). Этот процесс увеличений — отраже-
ний прекращается после того, как на n-м шаге будут получены прямоугольники
К<л) и Л<">, размеры которых имеют одинаковый порядок. Применяя п раз не-
равенство (11.3.3), получаем
- <««%. Свд < <е»<П>Л<„ «	о I-3’>
Чтобы оценить (11.3.4), заметим, что К(п) есть прямоугольник со сторонами
длины
= 2"а „,	= 2"а„.	(11.3.5)
Его площадь равна |7<(п)| = 4” ]/<]. Прямоугольник Л<п> имеет стороны длины
W + (2" - 2) ах <	+ 2пах,
4П)=+(2" -2) ау < +2Ч-	(11’3’6)
Это вытекает из равенства
4П) = Ъ%- *> + а%~ ° = (г"-1 + ... + 2) ах +	= (2" - 2) ах + Ь<х1).
При достаточно больших п
ьх} < 2Ч- С <2Ч/-	(11-3.7)
Тогда
|Л<П>| ^4-(2'-)(2«Ж| =4|К('»|,	(11.3.8)
так что покрывает по крайней мере одну четверть площади Л("> (рис. 11.1(e)).
Записывая (11.3.4) в виде отношения
(д<?	= ( еф 1/(л(,г>) d„ /( е- V (л(«)) .
Х ZA<">	)	ФМ<П>/)	фбД<«)’
12. J Введение 241
мы оцениваем числитель и знаменатель по отдельности. В силу предложе-
ния 10.3.1 и оценки (10.3.8),
^Л. С (о (l)|A(n>1 J (f<n)-r (Л<П)) ^п}уП. (11.3.9)
где	обозначает гауссову меру с граничными условиями Неймана на
всех единичных квадратах в Л<">. Так как правая часть (11.3.9) факторизуется,
мы оцениваем ее с помощью теоремы 8.6.2. Действительно, (8.6.8) дает оценку
сверху вида exp(O(AT(g) + |Л|)), где gj — fi при /=0=1 суть коэффициенты
полинома Р, a gi =/1 +/(,,) (см. (8.6.2, 4)). Норма N(g) оценивается следую-
щим образом: N (g) О (| Л |) (j у ||Р где константа зависит от Р, т. е.
от функций ft, но не зависит от f и f(n). Таким образом,
№ с < [° (ПЛ,П> ехР {с II |Ц ]4~”	(11.3.10)
Заметим, что /<"> есть сумма отражений /, причем носители f при различных
отражениях не пересекаются. Поэтому llf*n'llr = 4" || f ||? . Применяя (11.3.8),
р	р
(11.3.10), окончательно получаем, что
<еф,%с<ехр{c(i+ naiyj. в	(11.3.11)
Замечание (из истории вопроса). Впервые идея использовать мно-
гократные отражения относительно полной решеточной группы Zd
для того, чтобы свести оценки локальных возмущений к оценкам
свободной энергии, появилась в работе [Glimm, Jaffe, Spencer,
1975]. Этот метод значительно упростил исследование предель-
ного перехода У->оо. Для полуограниченных Р общего вида
граничные условия со слабой связью [Glimm, Jaffe, 1975b] опре-
деляются с помощью кластерного разложения при большом внеш-
нем поле [Spencer, 1974b]; см. также гл. 18. Из неравенств ФКЖ
§ 10.2 следует монотонность по внешнему полю. Монотонность
и оценки многократных отражений позволяют избавиться от
большого внешнего поля. См. [Frohlich, Simon, 1977].
Глава 12
Регулярность поля и проверка аксиом
12.1	Введение
Анализ, основанный на формуле интегрирования по частям, ко-
торый был развит в гл. 9 для случая меры в конечном объ-
еме, можно перенести и на случай меры dp в бесконечном объеме,
построенной в гл. 11. Соответствующие основные тождества по-
рождают ряды, с помощью которых можно установить регуляр-
242 Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
ность и другие свойства моделей квантового поля. Разложение
по теории возмущений, проведенное нами в § 8.4 и 9.4, основы-
валось на тождествах, связанных с интегрированием по частям.
Это же относится к высокотемпературным и низкотемпературным
разложениям, изучаемым в части III и в другой обширной лите-
ратуре. Эти разложения являются мощным средством, позволяю-
щим подробно исследовать, с одной стороны, локальные (ультра-
фиолетовые) особенности модели и, с другой стороны, характер
убывания взаимодействия на бесконечности (инфракрасное пове-
дение).
Так как Р(<р)2-модели суперперенормируемы, то ультрафиоле-
товое поведение определяется членами низших порядков в рядах
теории возмущений. При этом главная особенность такая же, как
и у свободного поля. Для функции Грина она была представлена
в явной форме в гл. 7. Добавок, обусловленный взаимодействием,
как мы увидим ниже, оказывается регулярным. В § 12.5 мы
воспользуемся интегрированием по частям для того, чтобы уста-
новить инфракрасное поведение с помощью оценки сверху харак-
теристического функционала S{if} и исключить в оценках тео-
ремы 12.4.1 зависимость от площади K(supp fez К).
Иначе формулу интегрирования по частям (9.1.32) можно рас-
сматривать как евклидово уравнение движения. Именно, для
Р(<р)-моделей это уравнение имеет вид
<_д + т2>Ф(х) + Р'(Ф<*»=-5^Г+(в5пг>-У- (12.1.1)
В частности, после аналитического продолжения на вещественную
ось времени правая часть уравнения (12.1.1) обращается в нуль,
а левая превращается в нелинейное уравнение относительно <р:
(—□ 4-т2)(р(х) 4-Р'(<р (*))== 0.	(12.1.2)
Трудности, возникающие при корректном выводе соотношения
(12.1.1), знакомы нам по модели в конечном объеме и были изу-
чены в § 9.1. Они связаны с определением и регулярностью пере-
нормированного (в данном случае упорядоченного по Вику) поли-
нома Р(<р). В этой главе мы получаем те же результаты для
случая модели в бесконечном объеме с помощью равномерных по
объему оценок для : q1:. Из сходимости мер (/рл к мере dyi в бес-
конечном объеме, установленной в гл. 11, вытекает, что полином
:(р<: в бесконечном объеме можно получить, с одной стороны,
как предел аналогичных выражений для конечных объемов, а с
другой стороны, построить его непосредственно с помощью викова
упорядочения в бесконечном объеме. Благодаря этому обстоя-
тельству мы сможем обосновать перестановку предельных пере-
ходов (|Л|—>-оо и виково упорядочение) и выведем формулу ин-
тегрирования по частям для бесконечного объема. В конце главы
мы рассмотрим некоторые применения этих результатов, а также
12.2 Интегрирование по частям 243
завершим доказательство евклидовой аксиомы OS 1 и затем про-
верим условия теоремы реконструкции 6.1.5. Характеристический
функционал
рассматривается для случая ограниченного снизу полинома вида
P(g) = четный полином + линейный член.
Теорема 12.1.1 (Выполнение аксиом). Характеристический функ-
ционал S{[} существует (теорема 11.2.1) и удовлетворяет евкли-
довым аксиомам OS 0—3 из § 6.1. Следовательно, он порождает
квантовое поле, удовлетворяющее аксиомам Вайтмана W 1—3.
Доказательство. Эта теорема— прямое следствие теорем 11.2.1 и 12.5.1. |
12.2	Интегрирование по частям
Так как всякая формула интегрирования по частям (например,
(12.1.1)) содержит производные и виковы полиномы : Р'(<р(х)):,
мы начнем с введения подходящего класса дифференцируемых
функций Д(ф) на евклидовом пространстве <8 = (ЗУ, dp). По-
строения гл. 11 приводят к полю q(f) и произведениям вида
Л(ф) = <р(Л)	ф(Л), но не определяют викову степень
Сейчас мы покажем, что в случае бесконечного объема виковы
степени получаются как пределы обрезанных степеней:
:ф(х)/: = lim -.^(х)1:.	(12.2.1)
X ->оо
Здесь фи — 6ц -»ф, а 6ц, как и раньше, обозначает размазанную
дельта-функцию 6И (х) — х2й(хх) е С°°, f hdx = 1. Кроме того, мы
покажем, что предельный переход х—>-оо будет равномерным по
всем объемам Ас/?2 и, следовательно, предельные переходы
Л|Р2 и х-*оо можно переставлять. Итак, —это функция
от поля ф, определенная на евклидовом пространстве <8 и удов-
летворяющая соотношениям
.•ср': = lim lim : <р£:Л= lim lim:qp',:..	(12.2.2)
Оценки, необходимые для доказательства соотношений (12.2.2),
носят технический характер и требуют обобщения неравенств
§ 8.6 на класс нелокальных возмущений. Однако с помощью этих
оценок можно обобщить результаты гл. 11 на случай мономов
Вика произвольной степени. В частности, мы определим обобщен-
ные функции Швингера
<₽(*,) • • • Ф(^) :<Р2 (1/1): ... :qp2 (r/z): ... :ф»-‘ (z,): ... :<рп 1 (zm): dp
и выведем оценки, устанавливающие их регулярность. Произволь-
ные виковы степени :фг:, n<Zr, после применения формулы инте-
244 Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
грированпя по частям сводятся к этим обобщенным функциям
Швингера.
В следующей теореме рассматриваются коэффициенты g —
— {gi, §2, , gn-i}, принадлежащие классу С“. Это коэффи-
п— 1
циенты при более низких степенях в полиноме 6Р = 22
7=1
Здесь n = degP. Мы полагаем :qpp =s :<рЛс, где ковариацион-
ный оператор С принадлежит множеству ‘g’m, введенному в гл. 7.
Теорема 12.2.1. Пусть Р — четный полином + линейный член.
Тогда характеристический функционал
(п— I	.
‘ У	(£/):)	4*Л	(12.2.3)
7^1	/
существует и определяет виковы	степени	:<рЛ	относительно	меры
dy. Предельные переходы по и и Л перестановочны, так что
= lim :q4: в пространстве Lz(dy) и является функцией
X ->оо
от поля <р. Более того, S {g}—целая аналитическая функция от
gi, gn-l.
Доказательство. См. § 12.4. И
Теорема 12.2.2. Существует такая константа с < оо, что для про-
извольной функции g^L\{\Lp с носителем supp g cz Л cz R2 и
p = n/(n — j) справедливо неравенство
| J exp (:q/ (g):) dyA | < exp { c (|| g ||£i + II g |Q} •	(12.2.4)
В § 12.5 рассмотрен частный случай этой теоремы (теорема
12.5.1) при /=1 и вкратце указан способ модификации этого
доказательства применительно к общему случаю.
Пусть §1 обозначает алгебру функций А = Л(ф), порожденную
виковыми степенями : ср1 (g,): и экспонентами от них. Как и в гл. 7,
пусть С0 — (—A -f- щ2)-1.
Следствие 12.2.3. Для любого элемента справедливы фор-
мулы интегрирования по частям (9.1.32) и (12.1.1). Именно, для
произвольной функции
(<p) dy = $ (<C0f,	- А (Ф)(c0f, -gj-)) dy. (12.2.5)
Доказательство. Для ограниченной области Л формула интегрирования по ча-
стям, в которой вместо свободной коварнацнн С0 рассматривалась ковариация
СеЛ, была установлена в § 9.1. Подставим в эту формулу вместо f функцию
CgJj = C@lf. Тогда в обеих частях равенства окажутся основные функции с
компактными носителями, не зависящие от области Л. По теореме 12.2.1 обе
12.2 Интегрирование по частям 245
части равенства сходятся к соответствующим выражениям для Л = Л2. Тем
самым тождество доказано для произвольной функции / е Cg 'C,". По теоре-
ме 12.2.2 и интегральной теореме Коши это тождество продолжается по непре-
рывности на любую функцию f е П	|
Замечание. Тождество (12.2.5) можно распространить и на дельта-
функции f — 6Л- при условии, что каждое слагаемое в правой
части продолжается по непрерывности. В этом случае поле <р(х)
в левой части (12.2.5) следует рассматривать как билинейную
форму; оно не является ни оператором, ни функцией.
Предположим, что носитель функции g принадлежит объеди-
нению непересекающихся единичных ячеек А, т. е. suppgez [J А.
Положим = Хай; где %д— характеристическая функция ячей-
ки А; при этом, конечно,
£= £ £Д.	(12.2.6)
Де#
Оценить обобщенные функции Швингера позволяет интеграль-
ная теорема Коши.
Следствие 12.2.4. Пусть g удовлетворяет прежним условиям, р —
= nf{n — j), j < п и носитель функции i содержится в ячейке
А. Тогда
J П [(П:<Р/(Лд,/):)ехР(:Ф/(^л):)
де# *- \=i	/
dy,
(12.2.7)
Доказательство. Воспользуемся неравенством Шварца, чтобы отделить много-
члены от экспонент и ограничиться таким множеством Д’, что для входящих в
него ячеек Л справедливо дд Ф 0. Нужная оценка для интеграла от экспоненты
получается из теоремы 12.2.2. Положив таким образом р = 0, мы при помощи
поляризационного тождества сведем все к случаю одной функции йд f для каж-
дой фиксированной ячейки Д. Предполагая, что в этом частном случае неравен-
ство (12.2.7) доказано, воспользуемся поляризационным тождеством
2П	£ е2...еп(а1 + е2а2+ ••• +е„ап)п. (12.2.8)
Z~1	е7=±1
Поскольку неравенство (12.2.7) не меняется при умножении Лд , на константу.
можно считать, что все нормы || Лд z
дества (12.2.8) н неравенства треугольника
равны между собой. С помощью тож-
II ЛД, 1 + е2ЛД, 2 + • • • Ikp < ПД II Ад. I ||£р
246	Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
получим, что левая часть (12.2.7) допускает оценку
Пд
S П П г):
ЛеЛ’ / = 1
< П С("д!) 1/₽ "ДЛ II Лд. i С*
Де.4”	Р
Наконец, применение формулы Стирлинга завершает доказательство следствия
в предположении, что оно верно в указанном выше частном случае.
Проведем теперь доказательство в этом частном случае. Обозначим
гд е d ' семейство комплексных переменных, помеченных ячейками Л е Л’.
Положим гй (х) = гдйд (*)• Тогда левая часть неравенства (12.2.7) равна
Ле#
я=(дПД-^)"д) $ехр (:<рУ (гЛ):) dfx |г(д)-о-
Согласно теореме 12.2.2, S {— izh} = ехр (:ср*(zh):) dp — целая аналитическая
функция. Поэтому, в силу интегральной формулы Коши,
С	ТТ пл?
Я = \ S {- izh} ------------^-Ч7ТГ>	(12.2.9)
J	д^ (2га) 2 д+
где интегралы берутся по произведению окружностей с центром в точке гд — О
и радиусом г д. Отсюда, в силу оценки (12.2.4), имеем
П «д!гГЛехр|С(гд||йд||£1 + ^|рд||Р	(12.2.10)
ДЕЛ’	< \	1	p/J
Выберем теперь радиус гд равным (1/2) Нд₽|| йд Ц^1. Так как || йА ||^ <||| йд ||^
то гд у йА ||^1 + гр‘ || йд ||£ ^«д. Применяя неравенство (12.2.10), получаем,
что
1^1< П («д!)*-1/₽е1|Лд1кр)Пд. 
Л е Л"	4	Р'
12.3 Нелокальные qZ-оценки
В гл. 8 оценки полиномов Вика : ср;: были выведены из слабо схо-
дящихся при х~*оо оценок для обрезанных полей :<р£: (предло-
жение 8.6.3). Для получения равномерных оценок функций :q7:
(при х~>оо) мы введем дважды обрезанное по импульсам поле
Фх, х' = Д. * би' * Ф
(12.3.1)
и воспользуемся слабо сходящимися оценками, справедливыми
для этого поля. Двойное импульсное обрезание (12.3.1) вводит
соответствующее виково упорядочение вместе с его константами
си, к', используемыми ниже. Как указывает название этого пара’
графа, поле q>z нелокальное.
12.3 Нелокальные ^-оценки 247
По техническим причинам удобно предположить, что объеди-
п-1
некие носителей |J suppgj содержится во внутренности множе-
ства Л = supp fn. Далее мы будем пользоваться обозначениями
(8.6.4). Функции gj определяют возмущения полинома Р. Они
впервые появляются при рассмотрении двойного обрезания. Воз-
мущение старшего члена функцией gn также допустимо в предпо-
ложении, что норма || gn ||L достаточно мала. Положим
:Q(<Px,x> £): = £ J (PK.it'(x)l:gl(x)dx. (12.3.2)
/=1
По аналогии с формулой (8.6.5) определим
п~ 1
s Ito СЛ-
Предложение 12.3.1. Существует такая константа с, зависящая от
т, п и суммы норм ]|/„ |д	(Л)> чт0
- dl fn ll£, (In X)(deg P)/2 + c (IV (f) + N' (g)) < :P (<ря, f): + :Q (Фи, и', g):.
(12.3.3)
Доказательство. Поскольку — нелокальная функция <рк, требуется некото-
рая модификация доказательства предложения 8.6.3. По определению
/
Ч’х. х' = П J Ч’х (Дд fix' - х) dVi =
Z = 1
=$ (п ** (^) j (п - *)
/ i
Применение неравенства	af, верного для любых at 0, дает
z=i z=i
i	i
I ч’хх' I < J £ I ч>и (Уд11П (d “ dyt-
i=l	1 = 1
Поскольку (у) dy = 1, получаем, что
/
I Ч’х, x' W I < J X1	~x) dyi
i = l
И	I и, (x)' g{ (x) dx | < j I <ри (хУ I (6x * I g} |) (x) dx.
248 Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
Как и в предложении 8.6.3, применяя неравенство Гёльдера, получаем, что
I ( с«.	v.'	( Ти <*)"/„+ аln(x)dx +
+ (liM,
J \ In \xf /
Так как ||	* g||Lp <||ёЬ |(Li ||g||£p = ШЬр. а для g~\gf\
S(W"" —
= j (fH * gjn^n~ b fn №п~ П dx *C const j gn^n~ h dx = const N' (g),
то теперь утверждение следует из неравенства (12.3.4), как и в подобном месте
доказательства предложения 8.6.3. |
Далее, следуя доказательству теоремы 8.6.2, убеждаемся, что
справедливо
Предложение (2.3.2. Пусть х гС х' оо и ЦЦ +[/л ‘|L (Л)+т 1 +
-}-п + |Л|^£. Тогда
$exp(:Q(cp.z, g):)dp.A<ехр(const(N(f) + N'(g) + 1)),
Jexp(:Q(q>^, g) — Q(cp}(„ g):)dpA<
C x~EM (g) exp (const (N (f) + N' (g) + 1))
В обоих случаях константы зависят только от L.
12.4 Равномерность относительно объема
По аналогии с теоремой 11.3.1 мы покажем, что оценки § 12.3
равномерны относительно объема |Л[ области Л. Поскольку по-
линомиальная функция Q, которую требуется оценить, не пред-
ставима в виде суммы четного полинома и линейного члена, мы не
можем пользоваться монотонностью функционала 5д по Л. По-
этому потребуется другая серия оценок по методу многократных
отражений. Мы воспользуемся методом несимметричных отра-
жений, развитым в § 10.6. Преимущество этого общего метода
состоит в том, что от полинома взаимодействия Р требуется лишь
полуограниченность, а в остальном он может быть произвольным.
В частности, в этом параграфе полином Р необязательно имеет
вид четный полином + линейный член.
Ниже К и Л будут прямоугольниками, причем A cz Л. Мы
предполагаем, что Л выбирается из некоторой специальной по-
следовательности прямоугольников Av f оо, зависящей от Д. Все
эти соглашения имеют чисто технический характер и не мешают
делать заключения о предельной мере в бесконечной объеме.
!2.4 Равномерность относительно объема 249
Теорема 12.4.1. Существуют такие константы с и е, что для любых
и < х' < оо и произвольного прямоугольника К, длины сторон
которого отделены от нуля, найдется последовательность прямо-
угольников Av f R2, для которых верны неравенства
j ехр (:<р£ (£):)	< ехр (с {| К | + II g 1|Ц ),
j ехр(:q>/ (g) — (%, (g):)dpAi x~W (g) ехр(с {| /С | + JIg 1|Ц).
при условии что supp gczK.
Доказательство. Вначале выберем прямоугольники Av и К с общим центром и
параллельными сторонами. Пусть К — прямоугольник размера IXt, a Av — раз-
мера (2LV +/) X (2TV + <). Будем считать, что Tv намного больше Lv-pl. и
рассмотрим соответствующую последовательность Avfg2. Мы займемся выво-
дом оценок при фиксированном v и, таким образом, опустим индекс v у Av, Lv,
Tv. Полученные оценки окажутся равномерными по v. Без ограничения общности

(а)
Рис. 12.1. (а) до и (Ь) после отражения.
будем также считать, что I L. Осью, относительно которой мы сделаем первое
отражение, будет одна из сторон прямоугольника К. Она не является осью сим-
метрии ни для прямоугольника Л, ни для линии граничных условий В. Таким
образом, мы используем несимметричную форму свойства положительности при
отражениях (предложение 10.6.1). Выбранная нами ось разрезает прямоугольник
Л на две части; пусть Л+ — та нз ннх, которая содержит К. Тогда в форму-
ле (10.6.8) /1 = /, а множитель, содержащий А, в силу нормировки, обращается
в единицу. Это преобразование назовем основным шагом (рис 12.1).
Далее, как и в доказательстве теоремы 11.3.1, основной шаг повторяется
несколько раз. После п повторений получим области К(п), Л(п) и функцию В<">,
причем I | ^ 41	| для большого п. Пусть В =	— ехр (g):).После
п последовательных отражений получаем неравенство
| j В «.V | < П [(4&т)" ’da (* W ''] X
x(Jes(n-1>B(n-1>dfxA(,!)y п. (12.4.1)
Выше мы предположим, что (в обозначениях рис. 12.1) Для достаточно боль-
шого T(2L + Z) выполняется неравенство L + I <£ Т(2L + /) sC Т2. Прямоуголь-
ник Л, удовлетворяющий этим требованиям, должен быть очень вытянутым. Дак
было сказано, первое отражение делается относительно вертикальной стороны К.
Если /о и /4 выбраны так, что 2^°< < 2Т -)-	и 2^'1 < 2L 1 ^2^,+1/, то
250 Гл f2 Регулярность поля и проверка аксиом
мы сделаем /0 отражений относительно вертикальной осн и /1 относительно го-
ризонтальной.
Оценим каждый из сомножителей правой части (12.4.1). Сначала оценим
определители с помощью теоремы 10.6.2. Для начальных /0 отражений относи-
тельно вертикальной оси выполнены соотношения
L;==2L + Z, (Tz)_ = Т, (Тг)+ = Т +
Поэтому Ljl(Tj)± (2L + Z)/r 1, и эти определители ограничены выраже-
но	_ j
нием 1]О(1)2 <О(1).
/=1
Для отражений относительно горизонтальной оси выполнены аналогичные
соотношения
(Ч+*)_ =	(Lh+k)+ = L + 2fe“‘Z> Th+k = 2Г + 2^.
Поскольку L 1, Тj0^k/(^h+k)±	(27 + 2^t)lL	2^“+2Z. Следовательно, опре-
делители, отвечающие индексам /о < / /о + /1, мажорируются величиной
П ехр [О (2^0 2~	< ехр (О (t)) < ехр (О (| К I)).
fe=i
Теперь рассмотрим произведение функций Z. После частичного сокращения
(в силу равенства Z((* = Z^+1>) это произведение принимает вид
2~ (/о+ /1)
(12.4.2)
В силу двусторонней оценки (10.3.8), функции Z ограничены снизу и сверху. По-
этому сомножитель с Z+ можно оценить с помощью приведенных выше соотно-
шений для площадей Л(">, п = jo + /Т. Имеем
(Z(”»/Z(1>)2”n < ехр (° (ТО 2“П) < ехр (О («)) = ехр (О (| К |)).
С учетом предложения 12.3.2 подобные оценки можно применить и к интегралу
в правой части (12.4.1). Это приводит к появлению множителя ехр [const ZV'(gj],
(Здесь мы считаем функцию f фиксированной.)
Пусть Z(a, b) обозначает нормирующую статистическую сумму для прямо-
угольники а X Ь. Тогда
Z(1) = Z (27 + t, 2L + Z),
Z’? = Z (27, 2L + Z),
Z<2> = Z (27 + 2bt, 2L),
1 <Z</o.
io +1 =C I io + /'i = n.
Поэтому оставшееся отношение в произведении (12.4.2) сводится к выражению
/ Z(2T,2L + l) \l-2-fo / Z(2T + 2ht, 2L) у/о О-2^1)
{ Z(2T + t. 2L + 1) ) Д Z(2T + t, 2L + l)J	’
Второй сомножитель в произведении (12.4.3) оценивается при помощи дополни-
тельных несимметричных отражений относительно горизонтальной оси. В самом
деле, в силу предыдущих рассуждений и неравенства (10.6.8),
Z (27 + 2y"Z, 27) < е° (nZ (27 + 2ht, 2L — l)lp Z (2T + 2kt, 2L + Z)1/2.	(12.4.4)
12.4 Равномерность относительно объема 251
Применив это неравенство jt раз, мажорируем второй сомножитель в произведе-
нии (12.4.3) выражением
О(|Д| /7(27 + 24 2Л-(2^-1)/)У Л(’-2 Л>2 Л
к Z (27 + t, 2L + 1) J
(Z (.2Т + 2/о/, 2L + /)\2 /о(1~2 Л>(1-2 А)
к Z (27 + t, 2L + Z) )
Снова пользуясь двусторонней оценкой (10.3.8), установим, что последнее вы-
ражение не превосходит
О (| KI /Z(27 + 24 2L + i)\2~b О-2-'1)2
к Z (27 + t, 2L + Z) )
(12.4.5)
Оставшаяся часть доказательства посвящена асимптотическому анализу
функции /(/, I) при фиксированном I и /~>оо. Воспользуемся конструкцией гл. 6
н рассмотренным в гл. 11 предельным переходом к бесконечному объему при-
менительно к прямоугольнику ty.1 при фиксированном I и t -*• оо. Получим га-
,,
мильтониан Hi и полугруппу е \ ассоциированные с интервалом длины I и
граничными условиями Дирихле. В силу выбора вектора ф/, имеем
Z (Z, Z) = <фг,	= j е~'>л dpt (Л),
где dpi—спектральная мера, определенная гамильтонианом Hi и вектором ф/.
Пусть Ei — inf supp dpi. Тогда
Z (t, l) = o(e tE,>) при Z-> oo.	(12.4.6)
В силу нормировки, введенной в гл. 6, Н 0, и поэтому Ei 0. В частно-
сти, выражение (12.4 5) ограничено сверху величной
е°(• * 1 > ехр [- (2Л - 1) tE2L+l2~I<‘ (1 - 2-/‘) (1 _	(12.4.7)
Для того чтобы получить оценку первого множителя в произведении (12.4.3),
воспользуемся спектральной теоремой. Она дает следующее усиление соотноше-
ния (12.4.6):
Z (27, 2L + Z) oJ£2£+z
Z (27 + t, 2L + I)
при 7->оо,
(12.4.8)
где I, t и L фиксированы. При этом 7(27 + Z) выбрано так, чтобы при минималь-
ном Т имело место неравенство (12.4.8). Заметим, что, вообще говоря, произве-
дение 7(27 + Z) могло бы зависеть и от Z, но спектральная теорема исключает
такую возможность. Итак,
ехр [— const N' (£)] I В <+л < е° (1 к 1 > ехр [tE2L+l (1 — 2 /(|)] X
X ехр[- tE2L+l{\ - 2 '°) (1-2 Л)2]<ео< 'Kl>exp[Z£2£+z(o(2 A))J
Однако, в силу двусторонней оценки (10.3.8),	| ^2i+1 | О (27 + Z) О (2^'Z),
ехр f- const N' (g)] | J В <фл | < e° <« K «>e° <“> = e° <' * । >.
Этим доказано первое неравенство теоремы. Второе доказывается аналогично,
С той лишь разницей, что вместо первого неравенства предложения 12.3.2 сле-
дует воспользоваться вторым.
252 Гл. 12 Регулярность поля и проверка аксиом
Доказательство теоремы 12.2.1. По теореме 11.2.1 функции Швингера для взаимо-
действия сходятся и в пределе определяют в пространстве Lzfdp) поле
По теореме 12.4.1 и интегральной формуле Коши (как и в доказательстве след-
ствия 12.2.4) эти функпии Швингера допускают оценки, из которых следует сум-
мируемость экспоненты. Соответствующие оценки равномерны относительно Л и,
следовательно, верны для Л = Г2. Поэтому при х < оо интеграл
ехр (: <f4 (gj:) d|.iy сходится. В силу равномерных оценок теоремы 12.4.1 и
стандартных Зв-рассуждений, сходится также интеграл ехр (:cp^ (g^):)dpA.
Аналогично доказываются и остальные неравенства. |
Сформулируем теперь теорему об оценках по методу отражений,
которые являются для нас основным средством исследования.
Теорема 12.4.2. Предположим, что Л — прямоугольник ЬУ<,Т,
мера £/pijV определена формулами (11.2.1—3) и при некоторой
постоянной а выполнена равномерная оценка
ехр(—а |Л|)	Z(A)^ ехр(а|Л|).	(12.4.9)
Пусть В — функция поля <р, локализованная в прямоугольнике
К с Л, причем К и Л имеют параллельные стороны и длины сто-
рон прямоугольника К отделены от нуля. Пусть функция В(п)
есть результат п отражений функции В, локализованный, как
и выше, в множестве К(п) cz Л<">. Тогда для достаточно большого Т
(т. е. Т То = T0(L, Р, т)) справедливо неравенство
| J В 4ia | <	1 * ’ ( J	" ’	(12.4.10)
причем константа зависит только от постоянной а.
Доказательство. Следуем доказательству теоремы 12.4.1, но вместо неравенства
(10.3.8) используем (12.4.9).
12.5 Регулярность поля Р(ф)2
В этом параграфе мы займемся изучением модели Р(ф)2, где
Р — четный полином + линейный член. Здесь мы закончим провер-
ку для нее аксиом OS 0—3, приведенных в гл. 6, доказав свойство
регулярности OS 1. Для этого мы сначала избавимся от |Д|
в неравенстве (11.3.1). После этого существование теории поля
Р(ф)2, удовлетворяющей аксиомам Вайтмана и Хаага — Кастлера,
следует из теоремы реконструкции, изложенной в гл. 6, 19. Свой-
ство регулярности, которое нам нужно, заключено в следующей
теореме.
Теорема 12.5.1. Пусть Р = четный полиномлинейный член.
Тогда существует такая постоянная с < оо, что для всех f е С~
S{—Д} = j expfo(f))dp<exp{c(||f||£i-HI/lQ}. (12.5.1)
12.6 Регулярность поля P(tp)s 253
Здесь р = п/(п—1), a n = degP. Мера dp удовлетворяет ак-
сиоме OS 1.
Первый шаг на пути избавления от |/<| в теореме 12.4.1 де-
лается при помощи многократных отражений.
Лемма 12.5.2. Пусть р = п/(п— j), где j < п, и пусть g<=L\P\
QLP — функция с компактным носителем. Определим g& форму-
лой (12.2.2). Тогда
$ ехр (:q/ (gj:) dp | Д ехр|с(1+||£д |£ )} = ехр {с (| Л |+|| g ||£ )}.
де.г	₽
(12.5.2)
Доказательство. Применим оценку по методу многократных отражений из след-
ствия 10.5.8, в которой возьмем kil> = ехр ^(^д ):. При оценке каждого со-
множителя S’(ka)) воспользуемся теоремой 12.4.1.
Лемма 12.5.3. В предположениях предыдущей леммы возьмем на-
бор функций h&, i, каждая из которых имеет носитель в ячейке А.
Тогда
ыу}].
Доказательство. Следуем доказательству следствия 12.2.4, но вместо теоре-
мы 12.2.2 пользуемся теоремой 12.4.1. И
Доказательство теоремы 12.5.1. Прежде всего разложим функцию f на два сла-
гаемых: большое и малое. Пусть f = g + ft, где
л= Е Хд/. g= £ ХдЛ	(12.5.3)
le М 1	leZ’xM 1
Здесь %д — характеристическая функция
единичной ячейки А/ решетки {А;},
покрывающей всю плоскость R2, а М—такое множество индексов, что

(12.5.4)
Таким образом, функция g— это «большая», а функция ft — «малая» части f.
Кроме того,
Ilf Ид, (д/)+||1||£р(д/)>1 Для ZeZ2\JT.	(12.5.5)
В качестве предварительного шага применим неравенство Шварца, чтобы от-
делить g от ft:
( еф<» du < f [ е* (2g’ du ( еф '2/1> <щУ/2.	(12.5.6)
Пользуясь леммой 12.5.2 и неравенством (12.5.5), получим нужную оценку для
сомножителя, содержащего g. Следовательно, без ограничения общности можно
254 Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
считать, что g = 0, т. е. f = h. Действуя далее аналогично, снова воспользуемся
неравенством Шварца с тем, чтобы представить функцию h в виде суммы четы-
рех слагаемых. При этом для каждого слагаемого множество М состоит из ячеек
без общих ребер и вершин. Другими словами, либо %yh = 0, либо y^h = G,
если I =/= /, но dist (Аг, Д()	1.
Для удобства припишем индекс / носителю функции f. Пусть fj = hj = Хд f-
Тогда

(12.5.7)
где Ft = <р (fj, G
Г С . Kvq> (ft\ .
\ \ ле ' dA dy, и аналогично
о о
еФф= £ £ F/G/4/>
IczZ'1 Jdl
(12.5.8)
где Fj = JJ Fj, Gj = JJ Gj. Суммирование в разложении (12.5.8) идет по
I е= J	je=]
всем конечным подмножествам решетки Z2. Все произведения и суммы здесь
конечны, так как лишь конечное число функций ft отлично от пуля. Мы утвер-
ждаем, что существует с < оо, при котором выполняется неравенство
| J FjG, х j dp | < Д с {|| ft ||£i + || ||₽ }.	(12.5.9)
» е= 1	Р
Тогда
/<=£*/<=//<=/
< Е П С"{»'<Их,+!«„})- П ('+24|i,< V^y)
IcZ'l^I	И i^Z1	'
(12.5.10)
где второе неравенство есть следствие тождества 1 = 2'71. Теперь осталось
/с 1
воспользоваться элементарным неравенством еаХ 1 + аХ, для того чтобы по-
лучить оценку
J е<₽(» дх< ехр (2с {||f||t[ + II/ll£ } )•	(12.5.11)
Закончим доказательство теоремы выводом неравенства (12.5.9). Для этого
каждый сомножитель ф(//) в произведении F/ проинтегрируем по частям (см.
(12.2.5)). В результате мы получим слагаемые трех типов, в которых ф связано
с: (i) такими же множителями, (ii) множителями вида tp(fj)2exp(Xptp(fj)),
входящими в Gj\j, и (iii) экспонентой. Оценивать полученные выражения мы
будем при помощи леммы 12.5.3, явных оценок ковариационных операторов и
элементарных комбинаторных неравенств.
Члены типа (i), возникшие в результате связи линейных сомножителей из F,
и члены типа (ii), возникшие в результате связи линейных сомножителей из F
и G, могут относиться только к непримыкающим ячейкам. Такие члены дают
множитель </), Cfдля которого справедлива оценка
| (f{, Cfj)]<O (1) с— Iг- / I || |]Li || fj ||£i.	(12.5.12)
Здесь ядро оператора С = С& ограничено согласно предложению 7.2.1.
12.5 Регулярность поля P(q)2 255
Члены третьего типа приводят к сомножителям вида (p(d(<p))(fZ1x...
• •. X f j ), где г п, a ji, ..., jr — индексы, нумерующие различные ячейки. Здесь
Р<О обозначает r-ю производную полинома Р, a р = Cf,. В Р<О входят мономы
степени не больше п — г. Поэтому если мы хотим воспользоваться леммой 12.5.3,
то следует обратить внимание на локальную Лр(Г)-норму ядра при p(r) п/г.
Поскольку эта норма возрастает с ростом р, без ограничения общности будем
считать, что р(г) — п/'г.
Лемма 12.5.4. Если а<ш, то существует такая постоянная
с <Z оо, что при всех г п
(12.5.13)
Доказательство. В силу неравенства Гёльдера,
<П(И/ II •	(12.5.14)
11 '*	/гЧ(г)(А1) s=l“ МЧ(ДП
Утверждается, что имеет место оценка
llM£	(12Л15)
Подставляя ее в соотношение (12.5.14) и суммируя, получим как раз требуемое
неравенство (12.5.13). Утверждение (12.5.15) при |< — /|> 1 вытекает из оценки
I f/ М (< О (1) е~т । *“^ || /у подобно неравенству (12 5.12). При |г — /|	1
для доказательства (12.5.15) воспользуемся неравенствами Хаусдорфа — Юнга и
Гёльдера. Получим цепочку неравенств
II Ь Игп (Д(.) 11 h Hl„ (Ю II Hz.„/
< II||Ln, 1| f, ||£оо < || С0 ||£ г, || f, ||£i < О (1) || f, |(£ .	(12.5.16)
Здесь п' — п/(п—1), а С = С0= const(p2 + m2)~’ ед Lp при р>1. Так как
п < оо, то п' > 1 и (12.5.16) действительно имеют место. Этим закончено дока-
зательство леммы.
Возвращаясь к доказательству теоремы, обозначим п(А) число связей
Р<г>-вершин с Fi-вершинами, находящимися в ячейке А, где г == 1, 2, ..., п. За-
нумеруем эти и (А) связей индексами k = 1, 2, ..., и (А) в порядке возрастания
расстояния Р<г)-вершин до А, которое мы обозначим dk. Так как каждая ячейка А
содержит не более одной F,-вершины, где i е J, то dk удовлетворяет неравенству
const- d2k^k.	(12.5.17)
Согласно неравенству (12.5.12) и предыдущей лемме, каждое слагаемое, соответ-
ствующее в-й связи, имеет экспоненциальную оценку О (1)е к Поэтому про-
изведение таких слагаемых можно оценить сверху следующим образом:
п(Д),	,	. . . п(Д)	,ю
П (о (1)е (т E)dfe)= Д о (1)e-const fel/ С
fe=i	k=i
<econst-n(A)-const-n (Д)3/2^ const е-const-п(Д)3'2	(12.5.18)
266 Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
Далее, число множителей с одним и тем же dk не превосходит «(Д) !const.
А
Применение леммы 12.5.3 для оценки мономов Р(г> дает еше один множитель
JJ n(A)fcons*. Так как п(Д)1 ехр(п(Д)-Inп(Д)), то оба множителя мажори-
д
руются сходящимся выражением (12.5.18). Пусть Л == {/:	связано с экспо-
нентой}. Приведенные неравенства позволяют оценить сумму членов вида (iii)
(связь с экспонентой)
Z I ИядроП, ПП(Д)!С0“Ч П const|lMk- (12.5.19)
связи ячейки	Д	j'е !е	1
Чтобы получить оценку для G-вершин, оставшихся после учета Д-вершин,
воспользуемся леммой 12.5.3. Поскольку каждая из ячеек, входящих в множество
/\/, содержит не менее двух G-вершин, то
| J FjG! х} | С Г П (const II h 1И1 Г П (COnst И Hl )]1 (12-5'20)
так как p 2, || JL || < 1 и || f{ ||® <11| f{ ||p . С помощью нера венств
” HMz./
мы увеличим правую часть неравенства (12.5.20) и придем к оценке (12.5.9). В
Теорема 12.2.2 доказывается аналогично. При n/2 < j < п,
т. е. при р > 2, нужно проинтегрировать по частям также и G-вер-
шины.
Часть III
Физические свойства квантовых полей
В части III изучаются физические свойства квантовых полей
и систем статистической механики. Отдельные главы можно чи-
тать независимо, однако материал представлен здесь не в таком
полном виде, как в предыдущих частях, и от читателей требуется
определенная подготовка. Вначале обсуждаются вопросы, свя-
занные с интерпретацией теории поля в терминах частиц: рас-
сматривается матрица рассеяния, спектр связанных состояний
и вопрос об асимптотической полноте теории. В гл. 16 изложено
полное доказательство существования фазовых переходов для
квантовых полей <р4. Вслед за этим в гл. 17 приведен обзор ны-
нешнего состояния знаний о критической точке для полей <р4.
В гл. 18 дано второе доказательство существования квантовых
полей в размерности d = 2. При этом для изучения предельного
перехода к бесконечному объему используются методы теории воз-
мущений (кластерные разложения). В той области, где соответ-
ствующие разложения сходятся, мы не только получаем новое (по
сравнению с тем, которое проведено в ч. II методом многократных
отражений) доказательство существования полей, но и устанав-
ливаем экспоненциальное убывание корреляций и, таким образом,
получаем возможность исследовать свойства массового спектра.
В принципе кластерные разложения позволяют полностью изучить
низкоэнергетические состояния изучаемой модели. В гл. 19 мы
устанавливаем соответствие между полями Минковского и евкли-
довыми полями, о котором говорилось в гл. 6. Попутно обсуж-
дается связь между полями с неединственным вакуумом в кван-
товой теории и разложением равновесных состояний в статисти-
ческой механике на чистые фазы. Фактически результаты, изло-
женные в гл. 16—19, относятся также к свойствам равновесных
состояний и трансфер-матрицы в статистической физике, и мы не-
однократно подчеркиваем это обстоятельство в тексте. Гл. 20
можно рассматривать как введение в литературу, посвященную
основным вопросам теории поля, оставшимся за рамками этой
книги.
2Б8 Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
Глава 13
Теория рассеяния: нестационарные методы
13.1	Введение
Теория рассеяния изучает асимптотическое поведение при
/->±оо решений
=	(13.1.1)
уравнения Шредингера z'O = //6. Поскольку для собственного или
обобщенного собственного вектора 0 оператора Н с собственным
значением о справедливо равенство 6(£) = е““6(0), эта задача
по существу сводится к спектральному анализу оператора //.
В трансляционно-инвариантном случае, когда операторы Н и Р
коммутируют, для них ищут совместное спектральное разложе-
ние. Однако задача о совместном спектре не проста, поэтому,
чтобы ее корректно поставить, вернемся к формуле (13.1.1).
При больших значениях параметра )/| волновая функция 6(/)
распадается на части, отвечающие отдельным изолированным не-
взаимодействующим частицам и кластерам (связанным состоя-
ниям). Это разделение происходит в х-пространстве, а его след-
ствием является существование оператора свободной энергии 7/0>
который описывает движение невзаимодействующих отдельных
частиц и связанных состояний. При t->±oo мы выбираем такой
обобщенный собственный вектор 0 оператора Н, что асимптотика
6(/) определяется свободной динамикой с иИ> . Такие собственные
векторы определяют спектральное in/out-разложение оператора
Н. Унитарный оператор, переводящий одно из этих разложений
в другое, можно рассматривать как оператор, переводящий асим-
птотические режимы при t^>---оо в асимптотические режимы при
оо. Он называется S-матрицей.
В релятивистской теории поля in/out-асимптотики описываются
свободными полями (см. гл. 6), обозначаемыми, например,
cpin/out- Эти in/out-поля действуют в пространстве Фока а век-
торами бщ/out е помечены асимптотики квантового поля при
больших |/|. В случае, когда в теории содержится несколько ти-
пов частиц (элементарные частицы и связанные состояния), им
соответствуют и несколько in/out-полей, которые действуют в тен-
зорном произведении пространств Фока STt ® 2 ® •   — SF  В силу
лоренц-инвариантности спектр энергии-импульса лежит на гипер-
болоидах вида =	—р2у/2 (рис. 13.1). Пусть обозна-
чает собственное подпространство оператора М, отвечающее соб-
ственному значению щ Для многочастичного подпространства
13.1 Введение 259
на рис. 13.1 изображены порог М = т + ть частица — свя-
занное состояние и трехчастичный порог М = Зт.
Асимптотическая полнота — это утверждение о том, что все
состояния квантового поля помечаются состояниями в простран-
стве асимптотического свободного поля. Точнее, дискретный
спектр оператора М (а также спектр оператора спина и другие
«внутренние» квантовые числа, входящие в теорию) определяет
одночастичные подпространства в сомножителях	... про-
странства ЗГ, которое в свою очередь описывает многочастпчные
состояния, составленные из этих масс, спинов и внутренних
Порог М-Ът
Порог М= т-1-ть
К> 2т = многочастичные
состояния
Порог М=2т
= пространство связанных
'ь состояний массы ть
К = пространство элемен-
тарных частиц
Полная энергия 1
Вакуумное состояние
----------->- Полный импульс Р
Рис. 13.1.
квантовых чисел. Если асимптотическая полнота имеет место, то
в теории нет никаких других состояний, кроме этих многочастич-
ных состояний.
В § 13.2 мы обсудим случай так называемого многочастич-
ного потенциального рассеяния. С тем чтобы изложить теорию
рассеяния в ее наиболее изученном виде, мы построим волновые
операторы и S-матрицу. Остаток главы мы посвятим описанию не-
стационарных методов в квантовой теории поля. Обобщением
методов, с помощью которых строятся волновые операторы
и S-матрица, на случай теории поля получают, в частности, и кон-
струкцию Хаага — Рюэля.
Исходным пунктом теории Хаага — Рюэля является предполо-
жение *) о существовании изолированного собственного значения т
у массового оператора М. В дополнение к этому предполагается,
что поле ф удовлетворяет аксиомам Вайтмана. В итоге будут по-
строены многочастичные состояния. Эти состояния фактически
являются асимптотическими входящими и выходящими многочас-
*) Для частиц нулевой массы это предположение неверно. И хотя в теории
рассеяния для частиц нулевой массы достигнуты большие успехи, адекватного
обобщения нестационарных методов и а этот случай не существует.
260 Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
тичными состояниями для рассеяния частиц массы т. В случае,
когда теория поля описывает много типов частиц и связанных со-
стояний, конструкцию Хаага — Рюэля можно использовать для
построения многочастичных состояний с ni частицами первого
типа, м2 частицами второго типа и т. д. Единственным изначаль-
ным требованием по-прежнему остается наличие у оператора М
изолированного собственного значения mi для каждой частицы
или связанного состояния.
Пространства <3^in/out, построенные с помощью теории Хаага —
Рюэля, — это подпространства Ж Они имеют естественную струк-
туру пространства Фока и изоморфны пространству элемен-
тами которого помечены состояния рассеяния. На самом деле
можно отождествить пространство SF с пространством <3^in или
Жлн; как следствие получаем равенство = Жни . Та-
ким образом, теория Хаага — Рюэля дает конкретное представ-
ление для пространств ^in/out-
Затронутый выше вопрос об асимптотической полноте — это
вопрос о справедливости равенства ^in/out = Ж. Имеются физи-
ческие основания ожидать такой полноты. Другими словами, мы
считаем, что каждое состояние физической системы можно рас-
сматривать либо как составленное из частиц (в том числе из
связанных состояний), либо как распадающееся в такое состояние
со временем. Примером ситуации, когда асимптотическая полнота
нарушена, служит пространство Фока, в котором имеются лишь
векторы с четным числом частиц. Таким образом, одночастичные
состояния никогда не появляются в такой теории. Если бы для
теории поля в пространстве Ж пространство состояло только
из таких четночастичных состояний (называемых солитонными
парными состояниями), то можно было бы заключить, что для
адекватного описания физической картины основное пространство
Ж нуждается в расширении. С точки зрения теории Хаага —
Рюэля (или с физической точки зрения) такие примеры патоло-
гичны. С другой стороны, доказательство соотношения З^щ/out =
= Ж даже для конкретных примеров квантовых полей, построен-
ных в части II, является серьезной (и открытой) математической
проблемой. Частичные результаты (относящиеся к малым энер-
гиям и слабым связям) описаны в гл. 14.
S-матрица может быть выражена в терминах хронологически
упорядоченных функций Вайтмана (формализм Лемана — Си-
манзика — Циммермана). Таким образом, в некотором смысле
S-матрица может быть эффективно вычислена. При изучении
спектра частиц и связанных состояний (т. е. пространств Жт),
а также асимптотической полноты используется уравнение Бете —
Солпитера. Оно является в теории поля аналогом стационарных
методов в теории потенциального рассеяния. Согласно этой ана-
логии, ядро Бете-—Солпитера К соответствует потенциалу V
в теории рассеяния. Аналогия становится точной в нерелятивист-
13.2 Многочастичное рассеяние 261
ском пределе с->оо, когда после соответствующего изменения
масштаба Д сходится к V.
В теории поля ядро К считается вторичным объектом, так как
оно не фигурирует ни в выражении оператора энергии, ни
в уравнениях движения. Придерживаясь этой традиции, для (го-
лого) взаимодействия, скажем : <р4:, можно вывести требуемые
свойства ядра К, (во всяком случае для малых значений кон-
станты связи). В этом выводе используются высокотемпературные
кластерные разложения (гл. 18).
13.2	Многочастичное рассеяние
Рассмотрим действующий в пространстве Л2(^3п) оператор пол-
ной энергии
п
/=1	' i^l
Введем кластерное разбиение 3) = {Сц ..., Ст}- По определению
это — разбиение множества {1, ..., п} на непересекающиеся под-
множества. Определим полный импульс кластера, его массу, энер-
гию, центр масс и т. д. формулами
S Pj, Affe== £ mt,
i^ck	leECk
ie с* 1	1 * !&ck
m	£ mt(ll
k=l	h
Для того чтобы задать асимптотику, т. е. in/out-состояние рассея-
ния, необходимо знать:
1) кластерное разбиение 3)-,
2) свободное движение центра масс каждого кластера;
3) движение частиц в каждом кластере.
Чтобы отделить внутреннее движение частиц в кластере от
движения центра масс всего кластера, сделаем в каждом кластере
замену координат. Переменная Qk— это координата центра масс
кластера Ck, пусть qk, rei обозначает набор из |Cft|— 1 независи-
мых координат, выбранных каким-либо способом из набора вели-
чин {qt — qf, i, Ck}.
Линейное преобразование А: {ф} {Qk, rei} индуцирует ли-
нейное преобразование А*-1 набора импульсов р, в координаты,
сопряженные к {Q/г, qk, rei}. Можно избежать утомительного счета,
если заметить, что линейное преобразование Л*-1 определяется
262 Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
так, что преобразование координат р и q является каноническим,
т. е. сохраняет коммутатор или скобки Пуассона. Так как
г-» dQb дРь
{Qfe, Pk} = X dq{ dpt
dQ^dP^
dpt dqt
{?z — qh = 0,
координата Pk сопряжена координате центра масс Qk. Пусть
Pk, rei обозначает набор импульсных переменных, сопряженных
набору qk. rei. Тогда Но— билинейная форма от переменных Рк
и рк, rei, причем член, содержащий Pk, можно найти, вычисляя
скобки Пуассона в обеих координатных системах {Qk, qk, rei}
и {qi}. Так как
дИо, k
dPk
{Q*> ^о. fe}
_ £ mi dH0. kldPi _ Pk
E mi	Mk ’
TO
^0, fe 2Л4 ' ^fe + fe (pk, rei)’
k
где йо, fe — некоторая квадратичная форма. Последовательно об-
рабатывая таким образом каждый кластер нашего разложения
и выделяя при этом на каждом шаге движение центра масс, мы
придем к координатам, известным как координаты Якоби. Итак,
мы показали, что в координатах Qk, qk, rei
k ~ 2ЛП "b ^0. fe (Pfe, rei) "b k (^k, rei)
k
и при разложении в тензорное произведение
= ь2 (т?3 1 Cfe L dq) = L2 (я3, dQk) ® L2 (r (1 Cfe |-1), dq^
оператор P2 действует в первом сомножителе, a =
h o, fe+Vfe — во втором. Определим связанное состояние клас-
тера Ск как собственный вектор ц>к оператора hk с дискретным
собственным значением:
hkq>k = Ekq>k-
Вектор <рк определяет внутреннее движение частиц кластера.
Если кратность собственного значения Ек больше 1, то выберем
в качестве вектора любой элемент ортогонального базиса соб-
ственного подпространства, соответствующего Ек. Разбиение 3)
на кластеры Ск вместе с набором связанных состояний ф*, вы-
бранных для каждого кластера Ск, имеющего не менее двух эле-
13.2 .Многочастичное рассеяние 263
ментов'), называется каналом:
a —{S>, Фь фт}.
Для каждого канала а определим изометрию
Ua: W&^L2(R3™)-+L2(R3n)
формулой Uaf — f(Qki,	Qk J ft <Pfe (<7Л. rei)- Здесь f определяет
состояния центров масс всех кластеров. Оператор YiUa- это до-
а
вольно грубая аппроксимация волнового оператора, который мы
сейчас определим. Пусть
W^(l) = eitHe^itHs>, Ws — s. lim IPs (О, W~ = £
t->±oo	Ct
Теорема 13.2.1. Если все Vy L2-}- L3_e, to W± — изометрическое
отображение из пространства Ж' = У, ф Жз> в пространство Ж —
а
— L2(R3n, dq). В частности, сильный предел, определяющий IPs.
существует и образы операторов Ws>Ua при различных а ортого-
нальны.
Лемма 13.2.2. Ядром оператора e~it& в пространстве L2(Rd) слу-
жит функция (— 4wf)~d/2e~‘х, у е Rd.
Доказательство. Достаточно аналитически продолжить решение уравнения тепло-
проводности, задаваемое оператором е
Лемма 13.2.3. Для оператора e~itp\ рассматриваемого как ото-
бражение пространства Li(Rd) в L<x,(Rd), выполнено неравенство
e-itp!^rdp.
Доказательство. Легко видеть, что || e-,fp2|| = || (— 4niT)-d/2e-x!/4,f И/^-
Лемма 13.2.4. Как оператор в пространстве L2(Rd), eiip" слабо
сходится к нулю при /~>±ОО.
Доказательство. В силу леммы 13.2.3, для векторов 0i, 02 е L± П Сг имеем
(01, e~itp 02)->0. Так как оператор e~itp2 унитарен, для доказательства сла-
бой сходимости достаточно ее проверить на всюду плотном множестве векто-
ров. В
Лемма 13.2.5. Если а = {Ф, ф} #= Р = \Ф', ф'}, то	_L
_L lPs't7p3i?s'.
Доказательство. Предположим, что сильный предел И7^ существует. Пусть
*фа €= Ж g,	€= Жду. Если Я) — ЗУ\ ТО
{w3pa%.’ w3>'u^ = (ЦхЪ С'рфр) = (Фа, фр) <ф, <₽') = о,
*) Для одноэлементных кластеров Ck е SD полагают фл = 1. — Прим. ред.
264 Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
так как в этом случае <р и <р' — ортогональные собственные векторы оператора
внутренней энергии, входящего в Н <$. Если 26 =А S6', то

117 W₽) I
= lim
lim
lim
ДаФа. e‘
Ua^a, e~ itHs,r
' ~“%Р1
e Ua^a,
T. ,
^а'Фа’ e
-»Е,Г2	\
e k' M«) =

Заменой переменных днагонализуем экспоненту, так что
(il ? Pk~lp	-itKd2/dw~
Тогда ev R R '=e	® Ui (/), где Ui(t)—унитарный оператор.
В силу леммы 13.2.4, предел приведенного выше выражения равен нулю, и дока-
зательство закончено.
Лемма 13.2.6. Пусть все Уц е Z,2 + Lx и 0 0(H) (где 0(H)—
область определения Н). Тогда вектор Ж»(0() дифференцируем
в сильном смысле и
Ws> (t) 6 = ze‘W&e“ "н®ё,
где V's> = Н — Н& есть сумма всех межкластерных взаимодей-
ствий.
Доказательство. Оператор V является возмущением по Като оператора Но, и
аналогично — это возмущение по Като операторов Н и НПоэтому
26(H) = £И>(Нд>) «= 26(Но). Далее доказательство проводится стандартными ме-
тодами теории операторов.
Лемма 13.2.7. Пусть	обозначает множество состояний <р,
для которых при t->±oa
||^е-“н^|<О(иГ3/2).
Тогда пересечение Jt(\0(H) плотно в пространстве Зв.
Доказательство теоремы 13.2.1. Так как оператор W& (/) унитарный, то сходи-
мость достаточно доказать для произвольного вектора 0 из плотного множества
М[\Ж. Для такого 0 справедливы неравенства
И F® (9 - WS> (91 о II < $ II ]| it < J о (11 г3/2) dt.
13.3 Волновой оператор для квантовых полей 265
Так как последний интеграл стремится к нулю при tlt t2 -> ±оо, теорема дока-
зана.
Доказательство леммы 13.2.7. Для того чтобы упростить доказательство, рассмо-
трим случай Vtj е Ь2. Положим
m
6(<7) = П fk(Qk)Sk(<lk.tel)-
k=l
Взяв ft, gt s S’, мы докажем, что 0 е
Пусть У/ц, где / eCj, / е Ск,, k k', — отдельный член из суммы
Определим

Vfefe' — мк + Мк,
Чкк', rei — Qft ~ Qk'~
Как и выше,
1 Р2 ,	1 р2 _	1	!	1
2Л1/г 2Мк, k 2{мк + мк^ dQ2kk, 2m	’
где m = MtMz/fMt + М2),
V/Z ~ V jl (4kk', rei + (4 k, rel> 4k', rel))>
a L — некоторый линейный функционал. Тогда
к//е-‘-^е||2= const) Vile-lt fkfk'gkgk,l =
= const J I v/z |21 ф( (Qkk„ qkk,t rel) |21 ф2 (qk rel> rel) |2 dq,
где константа не зависит от t и
-Z (f/2m)<22/<3??.,	1	-it(kk+hkr)
Ф1 = б z lfkfk” ^2 = е 1 'ekSk'.
Поэтому, сделав замену переменных и применив неравенство Гёльдера, получим»
что
|г„«-"''»вГ<еопв.||Г„||;И! Ц^Ц ^,11^
Так как эволюционный оператор Шредингера, входящий в выражение для фг,
как оператор из Li в £«, имеет норму порядка Z~3/2, то
Н^Р 1^‘ (Qkk') °	।	5 [S । Х^кк’' Я,гк'< ге1) l^k', rd] dQkk'>
Г«е % (Qkk" Qkk', rel) = fk (4k) fk' (flk') 
13.3	Волновой оператор для квантовых полей
В этом параграфе мы определим волновой оператор в случае
квантового поля. Как и в § 13.1, пусть Звта ... — собствен-
ные подпространства массового оператора М, отвечающие соб-
ственным значениям mi, m2, .... В каждом пространстве
действует представление группы Лоренца. Пусть — простран-
266 Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
ство Фока свободного поля с одночастичным подпространством
Жгп., и пусть = Тогда можно интерпретировать как
1	i
пространство, элементами которого помечены асимптотические со-
стояния.
Волновой оператор, который мы собираемся построить, можно
рассматривать как отображение пространства меток асимпто-
тических состояний в пространство Ж Определяемая при помощи
волнового оператора S-матрица действует в пространстве Ж
(в частности, отображает Жлн на Жт}. В конце наших построе-
ний мы отождествим пространства и <Жп/оиь так что S-матрица
тоже окажется определенной на пространстве меток Ж.
Конструкцию волнового оператора мы начнем с грубой ап-
проксимации U:	(см. § 13.2). Обозначим До оператор
энергии свободного поля на и определим
W (i) = eitl!Uc	(13.3.1)
Ниже мы займемся изучением отображения U и условий, при ко-
торых существует предел
lim W(t).	(13.3.2)
t-^+oa
При этом окажется, что оператор W± переплетает Но и Н (т. е.
HW± = W±H0), а отображение
S = №+(№-)*	(13.3.3)
является унитарным преобразованием пространства <9^in/out =
= Im W+ = Im W~.
Оператор U называется решением одночастичной задачи. Точ-
нее, мы укажем такой полином от (физического) поля <р, что
О =0= е Жт- Для простоты предположим, что в пространстве
Жт действует неприводимое представление группы Лоренца с ну-
левым спином. (Более общий случай см. в работе [Нерр, 1965а].)
Пусть
фт(х) = Я-Рфт^«-р.	(13.3.4)
Обозначим фт/ свободное поле в пространстве Ж t, a *cpmj. —
поле фга или производная по времени от фт.. Отображение U
задается действием на векторы, полученные применением поли-
номов от *фт. к вектору Q. В частности,
Д*фт1 (0, хО ... *<pWfi (0, х„) Q = *фт1 (0, х,) ...	(0, х„) Q.
(13.3.5)
Здесь Q в левой части обозначает фоков вакуум, а справа Q —
физический вакуумный вектор в пространстве Ж.
Решение одночастичной задачи получается в несколько шагов.
Гиперболоиды М = ц, для частицы или связанного состояния
13.3 Волновой оператор для квантовых полей 267
чаще всего бывают изолированными. В случае некоторой симмет-
рии (например, ср-»—ср для четных теорий) или наличия правила
суперотбора гиперболоиды М = могут быть изолированными
только относительно спектров в пространстве той же симметрии
или значений суперотбора. Физической основой этой идеи служит
тот факт, что иначе частицы были бы энергетически неустойчивы
относительно распада на составные части. Такие неустойчивые
объекты действительно встречаются в физике. Это резонансы,
а соответствующие спектры лежат вне физической области и не
могут быть собственными значениями оператора М. В самом худ-
шем случае в теории появляются безмассовые частицы или, бо-
лее общо, спектр, целиком заполняющий передний конус. В этом
случае теория рассеяния становится намного сложнее и фактиче-
ски понята не до конца. Во избежание технических трудностей
мы с самого начала исключаем такую возможность. (Однако не-
обходимо понять рассеяние в присутствии фотонов и нейтрино, ко-
торые считаются безмассовыми частицами.)
Можно доказать, что в сверхперенормируемых теориях вдали
от критических точек (при малых константах связи, т. е. в области,
аппроксимируемой гауссовой моделью) собственные значения пц
частиц и связанных состояний изолированы (в указанном выше
смысле).
Поскольку векторы P(cp)Q, где Р — произвольный полином от
поля ср, плотны в пространстве Ж, можно выбрать свободный по-
лином ф^, такой, что вектор ф^вП не ортогонален подпростран-
ству Жт- Рассмотрим свертку ф“ с функцией hm, преобразова-
ние Фурье которой имеет вид Ггт — 1im — f (р2). Предположим
далее, что supp/im пересекается со спектром o(M) оператора
массы М — (Н2 — Р2)1/2 по точке т:
supp/1,;1 П о(Л1) = {М = т}.	(13.3.6)
Тем самым мы определим полином
(13.3.7)
Ради простоты будем считать, что Ф,П = Ф',! (нейтральные час-
тицы). Существование функции hm со свойством (13.3.6) следует
из предположения, что т — изолированная точка спектра опера-
тора М. Построенные полиномы фт дают решение одночастичной
проблемы. Функция hm содержит произвольный множитель, ко-
торый надо выбрать так, чтобы асимптотические поля cpin/out (оп-
ределенные ниже) совпадали с канонически перенормированным
свободным полем, а не просто были ему пропорциональны.
Предложение 13.3.1. Предположим, что ф“(/, х) есть обобщен-
ная функция умеренного роста по переменным t, х. Пусть, кроме
268 Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
того, ф“(^,х)— неограниченный оператор в пространстве Ж,
определенный на лоренц-инвариантном и -инвариантном под-
множестве. Тогда на этом же подмножестве определен оператор
фт(^х). также являющийся обобщенной функцией умеренного
роста по х и принадлежащий классу (Д’ по 1. В частности, средние
при совпадающих моментах времени существуют, не зависят
от t и
(р, X) ...	x)fi)e^(/?Md-1))-	(13.3.8)
Доказательство. Пусть f	—основная функция для	тогда
f (р) h/ц (р) е‘Рс/ е= 9> (Rd) является основной функцией для ф“. Вакуумное сред-
нее от произведения функций ф,„ при совпадающих моментах времени суще-
ствует, и то же самое верно для производных фт по времени. И
Замечание. В типичном случае полагают ф^ = (р, где ср — поле
Вайтмана. Для простоты мы предположим ниже, что это условие
выполнено. Тогда утверждения предложения 13.3.1 содержатся
в аксиомах Вайтмана, а условия нормировки функции h превра-
щаются в условия нормировки поля ср. Это есть обычная перенор-
мировка величины поля, при которой вместо <р рассматривается
(Рперен == Z~*/2<p.
Полезно представить е~11И« в виде интегрального оператора.
В следующем параграфе этот оператор будет изучен более по-
дробно. Пусть Но, mt — оператор энергии в пространстве тогда
Но=^, Н0,т.. Обозначим <рт производную <рт. Для упрощения
обозначений положим
um(t, x) = (tPm(/;	X)Y (13.3.9)
\ <pm (/, x) J \ dtq>m (t,
Аналогично, пусть vm(t, x) обозначает вектор с компонентами фт
и фт, a Gm(t)—матрицу размера 2X2, дающую решение задачи
Коши
wm(6 х) = Gm (/) ит (0, x) = e/w«wm(0, x)e~itH\
Поэтому для тензорного произведения имеем
1Г (0 ит1 (0, х,) ... и,Пп (0, х„) Q =
- ettHUGmi t) umi (0, xt) ... Gmn (- 0 итп (0, х„) Q =
=	(— t) vmi (0, Xj) ... Gmn (— t) vmn (0, x„) Q =
«= Gmi (-1) vmi (t, xj ... Gmn (-t) vmn (t, x„) Q.	(13.3.10)
В следующих параграфах будет доказана
13.4 Волновые пакеты для свободных частиц 269
Теорема 13.3.2. Рассмотрим подчиняющуюся аксиомам Вайтмана
теорию поля с изолированным одночастичным спектром и = <р.
Усредним выражение (13.3.10) с основными функциями f,(x),
fi(x)eE	носители которых в пространстве скоростей не
пересекаются. Тогда усредненное выражение (13.3.10) сильно схо-
дится со скоростью	при *-оо, где N произвольно. Пре-
дельные операторы 1Т7± являются изометриями.
Замечание. В силу предложений 13.3.1 и 13.4.1, оператор W(t)
определен, как и в формуле (13.3.10), на векторах и ... uQ. Про-
странство скоростей и носители f в этом пространстве опреде-
ляются в § 13.4.
Следствие 13.3.3. Пределы полей на ±оо:
фт, In/out(6 х) = И7±фт (t, х) ( 1Г-) *
представляют собой свободные поля.
Следствие 13.3.4. Справедливо равенство HW±= W±H0, где Но —
гамильтониан свободной динамики поля фт, in/out-
Следствие 13.3.5. S-матрица, определенная формулой (13.3.3), яв-
ляется унитарным оператором на пространстве Зёщ = 3^out —
- Im F±.
Доказательство. Важным следствием аксиом Вайтмана является тождество
TCP = I, где Т — оператор обращения времени, Р— оператор отражения в про-
странстве, а С — оператор зарядового сопряжения [Streater, Wightman, 19641,
[Jost, 1965]. В силу равенств C$gm = 36т = Р3вт, оператор Т тоже оставляет
пространство Зёт инвариантным. Аналогично этому, поскольку операторы С и Р
отображают многочастпчные in/out-состояния па себя, то же самое делает
и оператор Т. Однако по определению Т меняет местами ImU71 и	следо-
вательно, эти пространства совпадают. Ограничение S-матрицы па пространство
3glrl = 5gout = ImlV'- определено формулой (13.3.3) как произведение двух уни-
тарных операторов, и поэтому само является унитарным оператором. |
13.4 Волновые пакеты для свободных частиц
Как и в § 13.2, для свободного поля в пространстве-времени
размерности d — 4 можно доказать, что решения убывают как
tr2!2. Однако в случае, когда множества скоростей не пересе-
каются, убывание для любой размерности d 2 происходит бы-
стрее, чем t~N, где N произвольно. Этот последний результат об
убывании мы и установим в этом параграфе. Он используется при
доказательстве теоремы 13.3.1 для сверхперенормируемых теорий
в размерности d = 2, 3 при условии, что основные функции имеют
непересекающиеся носители в пространстве скоростей. Убывание
имеет место вне конусов в х, ^-пространстве, и поэтому означает,
что свободные частицы в основном остаются внутри конусов,
определенных их скоростями, причем скорости вычисляются по их
270 Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
носителям в импульсном пространстве. Внутри конуса скоростей
мы воспользуемся следующей простой оценкой.
Предложение 13.4.1. Пусть функция	является решением
уравнения Клейна — Гордона с начальными данными из простран-
ства	Тогда относительно любой нормы ||-||<у в простран-
стве	и любой производной д{ по t, j 0, функция х—>
-><9j/((, х) обладает конечной нормой ||<Э^((, •)||(у’> возрастающей
по t не более чем степенным образом.
Доказательство. Частичное преобразование Фурье f(t, р) (по переменной х)
имеет вид
f (t, р) = (2n)-(rf- Ч'2 [е“ fg+ (р) +	(р)	(р)],
где р, = (р2 + m2)1/2, g± еУ. Предложение следует теперь из того, что TTSP^SP
(где 9~ — преобразование Фурье). |
Скорости и импульсы связаны релятивистскими формулами
p = ±m ММ pe=suppg±,	(13.4.1)
v=±p/p(p).	(13.4.2)
Пусть У — некоторое множество в пространстве скоростей. Конус
будущего Т> у в пространстве скоростей определяется следующим
образом:
<й?;, = {Л х (= R.d 11 > 0, хД е V} = {/, tv 11 > 0).
Множество V мы выберем замкнутым и содержащим некоторую
окрестность множества скоростей, определенных импульсами
р <= supp g±.
Предложение 13.4.2. Если функция f и множество V выбраны та-
кими, как сказано выше, то f вне конуса v быстро убывает по
переменной t. Другими словами, для любых L, N при t->eo
sup (1 +|х|)ЛИ0> х)|<о(г")
{х: x/t ф у]
и такая же оценка справедлива для любой производной функции f
по х.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда имеется лишь функция g+.
Тогда
f (t, tv) — (2n)(d-1)/2 eit (-н+о-р)^ (p) jp _ eitshv (s) ds,
где
h0 (s) = (2n)(d ~1)/2 6 (s + p (p) - v • p) g+ (p) rfp.
13.4 Волновые пакеты для свободных частиц 271
Геометрически нагляднее перейти к пространству энергии-пмпульса, где инте-
грирование происходит по пересечению гиперболоида р0 = р,(р) с гиперпло-
скостью s= —Po + vp = ((1, v). р) (где (•, )—лоренцево скалярное произ-
ведение). Регулярность функции /ц. (s) может нарушиться лишь прн тех s, при
которых эта гиперплоскость касается гиперболоида. Мы утверждаем, что усло-
вие касания в точности совпадает с приведенным выше релятивистским соотно-
шении между скоростью н импульсом. Следовательно, для v ф Т п импульсов
pesuppg+, по которым происходит интегрирование, указанная гиперплоскость
составляет положительный угол с гиперболоидом, отделенный от нуля равномер-
но по s. Отсюда следует, что функция h и все ее производные по s принадлежат
пространству Li(ds), и, значит, функция /(/, /у) имеет требуемый порядок убы-
вания. Для ограниченных скоростей v утверждение доказано. Если же скорость v
неограничена (например, |v| > 1), то мы воспользуемся тем, что скорость рас-
пространения начальных данных конечна, а сами эти данные принадлежат про-
странству SP.
Для доказательства утверждения об условии касания заметим, что это усло-
вие влечет за собой неравенство г>2 < 1. Сделав это предположение, проверим,
что значения р = mv/(l—о2)1/2, s =—гп(1—v2)1/2 определяют точку пересе-
чения (р(р), р) гиперболоида и гиперплоскости. Произвольная точка гиперпло-
скости имеет вид р = (р(р),р) + р-1-, где (p-L(l, v)) =0. Тогда вектор p-L,
будучи лоренц-ортогональным времени-подобному вектору (1, v), является про-
странственно-подобным, т. е. (р-1-,р-1-) S3 0. Пользуясь соотношением (13.4.2), мы
убеждаемся, что —(р, р) < т2, когда p-L =/= 0. Отсюда следует, что p-L = 0 опре-
деляет единственную точку пересечения гиперплоскости и гиперболоида. |
Рассмотрим однопараметрическое семейство функций е
e= заданных для f е формулой
f(t} (р) = f (р) е1 ,р:'е tp°} р (рП *,	(13.4.3)
где е (р0) = е (р) = sign р0.	(13.4.4)
Пусть f = 0 в окрестности ро = 0.
Предложение 13.4.3. Для произвольной нормы || • ||су на простран-
стве 9?(Rd~l) и любой производной dt по t существует такое
число L, что при любом К
(хо, •) к < ск (1 + | л-о - /1 Гк (1 +1 / |)L.
Кроме того, для произвольного N при t-+oo
sup (1+|х|)л|/а, X) |<О(Г"),
{х: x/i^zT
и аналогичная оценка имеет место для любой производной функ-
ции f.
Доказательство. Будем считать x0-—t, t и х независимыми переменными. Так
как
(х) = (2n)"d/2 J g (р) eip’xe“ (р“> р<р» dp,
где g (p) = f (р) е~1ра^х,,~р>, то функции принадлежат пространству
по переменной —t и являются гладким решением уравнения Клейна—Гордо-
на по (t, х). Теперь нужно воспользоваться предложением 13.4.1. В
272 Гл. t3. Теория рассеяния: нестационарные методы
13.5 Теория Хаага — Рюэля
При доказательстве сходимости волновых операторов в теории
поля мы используем тот же метод, что и в случае потенциального
рассеяния, но сталкиваемся при этом с новой трудностью. Усло-
вия убывания потенциала, например К/ е Ь2 (как мы предпола-
гали в § 13.2), заменяются в теории поля требованием убывания
усеченных вакуумных средних. Эти специальные корреляционные
функции в определенном смысле отражают свойства многочастич-
ных взаимодействий. Трудность состоит в том, что это убывание
не предполагается, а выводится из исходных принципов (из ак-
сиом или же выбора лагранжиана взаимодействия). Мы начнем
этот параграф с того, что обойдем эту трудность, предположив
требуемый характер убывания.
Для любого заданного семейства «-точечных функций (напри-
мер, функций Вайтмана Ж,,(Х1, ..., хп)) определим усеченные
функции Жп(хь ..., х,г) формулами
Е П гГпxilP1), (13.5.1)
П €= еР Р G п
Е (-1),л|+1(Ы-1)! П Ж1Р.(хг1, .... х{ ). (13.5.2)
Здесь 53 обозначает совокупность всех разбиений множества
{1, ..., «}, л={Р1, ..., Р1л1}е^— разбиение, a p = {ilt ...
..., йг|}—элемент л. Комбинаторные рассуждения, известные
под названием теоремы Мёбиуса, показывают, что формулы
(13.5.1) и (13.5.2) дают эквивалентные определения усеченных
функций в терминах функций Ж.
Пусть, как и выше, 4Й означает, что ф, возможно, заменено
своей производной по времени, и положим
(х,, ..., х„) = <Q, *ф,„, (О, Х1) ... *ф„г„ (0, х„) Q). (13.5.3)
Теорема 13.5.1. В предположениях теоремы 13.3.2 &~п как функ-
ция разности переменных Xj — х;- является обобщенной функцией
умеренного роста.
Доказательство теоремы 13.3.2. Обозначим 6(2) левую часть равенства (13.3.10),
усредненную с основными функциями f, f. Предположим, что разные функции
имеют непересекающнеся носители в пространстве скоростей. Тогда
tl
1|б(б)-е(/2)||< J \\dQ(t)idtidt,
и норму || df)(t)/dt ||2 можно выразить через скалярное произведение (13.5.3),
которое в свою очередь разлагается в сумму произведений усеченных сред-
них
Каждый член, содержащий сомножитель ST?, равен нулю, так как
-L П и, значит, <52, фт52> — 0. Каждый член, содержащий только
13.5 Теория Хаага — Рюэля 273
т
сомножители вида ^2» тоже равен нулю. В самом деле, такой член содержит
множитель с производной по времени, а именно

(О, XZ) й
Gmi (~	(0, Xi)fi
di
/Фт, (О, X/) й'
Gmi ( i to \о
‘	(О, х/) й
Однако для векторов фтР и фтЙ свободная и физическая динамика (определен-
ные соответственно однопараметрическими группами Gm(t) и е~‘1И) совпадают,
так как * фЙ е 3^т. Поэтому, принимая во внимание знак минус в каждом
Gm(—I), заметим, что любой вектор (до применения djdl) в скалярном произве-
дении не зависит от времени. Применение производной по времени обращает
произведение в нуль.
Теперь перейдем к рассмотрению слагаемых, содержащих хотя бы один со-
множитель ST?, /'	3. В этом случае производная djdt не играет никакой роли.
В сомножителе JFj некоторые из точек относятся к полям фт из левой частя
скалярного произведения <-Й, -Й>, а некоторые — из правой части. Поскольку
j 3, то по крайней мере две точки относятся к одной части. Основные функции
для этих двух точек имеют непересекающиеся носители в пространстве скоро-
стей. Поэтому соответствующие конусы скоростей не пересекаются. Вне конуса
скоростей свободное поле Gm(—f)f быстро убывает; то же самое происходит
и внутри конуса, но только за счет убывания f как функции разности — xi2-
Отсюда следует, что члены, содержащие множитель	J, при / 3 быстро
убывают.
Из этого доказательства видно, что предел вектора (13.3.10) при /->±оо
определяется не зависящими от времени произведениями сомножителей Этот
предел, как можно убедиться, порождается свободным полем ф. Из сказанного
следует, что W7* — изометрии, g
Обратимся теперь к доказательству теоремы 13.5.1. Его клю-
чом служит свойство быстрого убывания функций при про-
странственно-подобном удалении переменных, что в свою очередь
есть следствие предположения о массовой щели. Мы знаем, что
&~т является обобщенной функцией умеренного роста по относи-
тельной переменной xrei тогда и только тогда, когда преобразо-
вание Фурье ЗгГ(рГе|) по переменной prei имеет степенной рост
и принадлежит классу С°°. Напишем
п	п
(Prel)	IP ‘ (^rel) П dPo. I’
i««l	i=i
где pi = (po,t, pz), и заметим, что достаточно, чтобы для всех
f е выполнялось
п
$••• Jf(p)^(p)JJdp0/e^(prel),
1=1
а значит, достаточно, чтобы для всех f
(f * ^Г)(уге,)= j f(x)^T(yrel-x)dx е	(13.5.4)
Так как гладкость обеспечивается этой сверткой, то ключевым
свойством является быстрое убывание пр переменной yrei.
274 Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
Теперь удалим из области интегрирования по х ту часть, где
IIх||||уге1||/и. Пусть g— функция класса С°°, равная 1 в ма-
лой окрестности нуля, носитель которой содержится в большей,
но по-прежнему малой окрестности начала координат. Тогда
г (I - g) ?гт (х) Г1 - g ('I 1 жг (уге1 - х) dx е= д (уге1),
J L \ х + Уге1 / J
и нам осталось исследовать свертку f * gW1'.
Рассмотрим у = (0, yrei) как набор п точек в пространстве
Простые геометрические рассуждения показывают, что най-
дутся две параллельные гиперплоскости в пространстве от-
стоящие одна от другой на расстояние, не меньшее ||yreill/n,
и разбивающие эти п точек на два непересекающихся множества,
расположенных по разные стороны от заключенного между этими
гиперплоскостями слоя. Далее, при || х || ^ £ || уге| ||/п полученные
из у сдвигом п точек у-—х в пространстве Rd подобным же обра-
зом разбиваются на два подмножества, таких, что точки первого
(например, у,- — х, z е X) пространственно-подобно отделены от
точек второго (например, у,-—х, / е X').
Пусть — перестановка чисел {1, ..., «}, в которой на-
бор индексов i е X предшествует набору j е X' и которая не ме-
няет относительного расположения внутри множеств X и X'. Ана-
логично, пусть я'е®,,— подобная же перестановка, в которой
набор X' предшествует X. Если Жл обозначает действие переста-
новки л на аргументы функции Ж, то из аксиомы локальности
и приведенных выше рассуждений следует, что glfr=gW,Tn=gJR:n'-
Обозначим , где X — подмножество индексов 1, 2.........п,
разбиение единицы по переменным yrei, где каждая функция %х
отлична от нуля только для тех yrei, которые при указанном выше
разбиении могут привести к этому X. Поскольку
iyf-Trg),
ключом к использованию массовой щели служит следующая
Лемма 13.5.2. Существует такая обобщенная функция hx Е
е &" (Rdtl) умеренного роста, что
Ьх*Жт=Жтп, h
Л Л	п л п
Из этой леммы следует, что
X
= £	+ z V * ьх* - ж£),
X	X
а так как f*hx ^g(Rdn), то f eS?(yrel), что и завершает
доказательство теоремы 13.5.1.
13.5 Теория Хаага — Рюэля 275
Введем обозначение: V+ = {р е Rd: — р • р^ tn, р0 > О}.
Предложение 13.5.3. В теории Вайтмана с массой m > 0 носитель
функции Д'т (р\, ..., рп) содержится в множестве
tp^V-, s=H=l; Spz = O.
l=-s	Z=1
Доказательство леммы 13.5.2. Пусть Р = У Р/ и ^х’ = У Рр Тогда носи-
(й	/е=Х'
тель функции принадлежит множеству — Рх, Рх, е V™, а носитель 7/’^,—
множеству Рх, — Рх, е V™.
Выберем ограниченную бесконечно дифференцируемую функцию Рх, завися-
ццую от Рх, о, равную 1 при Рх, о < —гп/2 и нулю при Рх, о > ш/2. |
п
Доказательство предложения 13.5.3. Условие У pi = 0 следует нз трансляцнон-
Z = 1
ной инвариантности. Обозначим V = {0} (J V™; тогда множество V содержит но-
ситель спектральной меры группы операторов сдвига, и, следовательно, носитель
функции lP(pi, ..., рп) лежит в множестве
tpt-O.	(13.5.5)
Z=s	Z=1
Заметим, что множество V— полугруппа, т. е. замкнуто относительно сложения.
Из соотношения (13.5.2) или из равенства (13.5.1) при помощи индукции по п
следует, что носитель функции Ж7 также лежит в множестве (13.5.5). Главный
момент при переходе к усеченным функциям состоит в том, что начало коорди-
нат р = 0 удаляется из носителей, т. е. множество V заменяется на I'™.
Для доказательства предложения воспользуемся индукцией по п. Для п = 1
утверждение о том, что Ps е V”, s =# 1, относится к пустому множеству и,
значит, верно. Предположим, что утверждение доказано для Z^n— 1. Пусть
функция g^9>(Rd) обладает свойством suppgf] Ис {0}. Тогда
g (a) V'Jt (Xj.Xj_v X] + а, ..., xt + a) da =
= {‘P(x/_i) ••• Ф(х1)й> § e~taPg(a)datf(xj) ... q(xl)£l} =
= g(0)(fi, q5(Xj) ... <p	<f(x;) ... ф(хг)й) =
.....x^^l-l+l^l..........*z)-
Теперь положим I — n и подставим сюда выражение (13.5.1). В результате по-
лучим, что
g (0)	g (a) 7/^(х1, ..., Ху.р Xj + а, .... xn + a)da +
+ У (•••)•
(1...п] ч^л е
276 Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
Согласно индуктивному предположению, ненулевой вклад в последнюю сумму
могут дать только те разбиения л, которые являются измельчениями разбиения
л,- — {{1,	/—1}, {/ п}}. Суммарный вклад от таких разбиений равен
§(0)Ж/_1Жк_/+1 в силу (13.5.1). Итак,
О = g (а) Ттп (*], ..х{ + а.......хп -\-a)da =
= g(Pl)^\pro.
Этим завершается индукция, а вместе с ней и доказательство. |
Переформулируем и обобщим теорему 13.3.2. Асимптотический
предел при /->±со может быть полностью описан как эволюция
основной функции feS^(/?d). В самом деле, действие физической
динамики <р(ло, х)—<-ф(х0 + /, х) и соответствующая замена пере-
менных эквивалентны переходу f(x0, x)->f(x0— f,x), пли, на
языке преобразования Фурье,	при следующем соглаше-
нии о знаках в интеграле Фурье:
f (х) = (2л)-d/2 J elpxf (p) dp,	(13.5.6)
p • * = — poxo + P • X.	(13.5.7)
При заданных начальных условиях f0, /oe^(/?d-1) конструк-
ция поля ф по свободному полю фсв — ср, данная в § 13.3, экви-
валентна замене интегрирования основной функции
f (У) = fo (х) б (уо) + fo (х) б' (l/o)
с полем ф на интегрирование основной функции
f W = J (h (х — у) fQ (у) — дхМх — у) fo (у)) dy
или
7 (р) = (fo (р) + Wo (р)) (р)	(13-5.8)
с полем ф. Комбинация физической и (обратной по времени) сво-
бодной динамики, как и в формуле (13.3.10), выражается с по-
мощью фурье-образов в виде
f (р) -> elt {р°~е ы ц (p))f (р) = fw (р),	(13.5.9)
где в определено соотношением (13.4.4). Ключевые оценки для
доказательства утверждения (13.5.9) содержатся в предложе-
нии 13.4.3.
При доказательстве теоремы 13.3.2 важную роль играет сле-
дующее свойство функции f:
supp/c:{p: |р2 + /п21	в},	(13.5.10)
где 8 > 0 настолько мало, что из (13.5.10) вытекает соотношение
supp f (1 о (Н, р) = {р: — р2 = т2}.
13.5 Теория Хаага — Рюэля 277
Динамику можно продолжить на все функции обла-
дающие свойством (13.5.10). Кроме того, теорема 13.3.2 также
обобщается на все такие f и утверждает, что
lim ТТ <р (/'/’) = П 4>in/out (Л)
в предположении, что носители Д- в пространстве скоростей не пе-
ресекаются, причем порядок сходимости равен O(t~N), N произ-
вольно.
Обобщение этого результата состоит в том, что в каждом по-
линоме мы можем выбрать значение t — Ц независимо и затем
перейти к пределу в отдельности для каждого tt.
Теорема 13.5.4. Пусть набор функций {Д} имеет непересекаю-
щиеся носители в пространстве скоростей и каждая из них удовле-
п
творяет условию (13.5.10). Пусть, кроме roeo,e(n/ollt= Ц <Рт/оы(Л)й-
i=m+l
Тогда
И
.. Ji™ <., Ф(fГ°) • • • Ф (6«m)) 60Ut = П ‘Рои (Л) Q-
Аналогичное утверждение справедливо для Ош и ft^>—со при
условии, что в процессе предельного перехода tm ... t2 t\.
Доказательство. Воспользуемся индукцией по tn, начало которой составляет три-
виальный случай m ~ 0. Сначала будем изменять моменты времени lm t . —
= tm+2 = ... = tn от оо к tm, а затем устремим tm = tm+t — ... обратно к оо.
В результате первой процедуры (от оо к tm) возникнет поправка, ограниченная
по норме выражением
i=m+I
Квадрат подынтегрального выражения — это скалярное произведение; оно мо-
жет быть выражено с помощью усеченных вакуумных средних. Как и в доказа-
тельстве теоремы 13.3.2, обратим особое внимание на множители вида
Если этот множитель действует на вектор R непосредственно, то результат равен
нулю, так как <9s<p R = 0. В противном случае должно быть два полевых
множителя, стоящих по одну и ту же сторону в скалярном произведении, у ко-
торых t = s. Два этих множителя имеют непересекающиеся носители в простран-
стве скоростей, и это приводит к тому, что порядок сходимости равен O(s~-V).
После интегрирования по s это дает порядок
Поправка при втором изменении времени по тем же причинам ограничена
278 Гл. 14. Теория рассеяния: стационарные методы
по норме величиной
Литературные ссылки
[Jost, 1965], [Hepp, 1966а], [Reed, Simon, 1972—9].
Глава 14
Теория рассеяния: стационарные методы
14.1 Хронологически упорядоченные корреляционные функции
S-матрица представляет собой главный объект изучения в теории
поля, так как с ее помощью выражаются наблюдаемые взаимо-
действия между частицами. Приведенное в гл. 13 определение
S-матрицы не дает удобной основы для изучения ее дальнейших
свойств. Однако сейчас мы покажем, что S-матрица имеет про-
стое и удобное представление в терминах хронологически упоря-
доченных корреляционных функций. Оно позволяет, например,
строить ряды теории возмущений, разбивать на связные компо-
ненты и исследовать аналитичность в импульсном пространстве.
Для определения хронологически упорядоченных произведе-
ний положим
( 1 при х0 > О,
е(х)=е(х0, х) = < л	л
(.0 при л'о < 0;
Т(р (Xj) . . . ф(Хп) — 22 6 (Ха(1)	Хп (2)) ... 6 (Хц (п-1) Хп (и)) X
Хф(Хя(1)) ••• ф(Хл(п>), (14.1.1)
где ©„•—группа перестановок п элементов. Наша цель — пока-
зать, что
т(хь ..., хп) = <7’ср(х1) ... <р(хп)>	(14.1.2)
является обобщенной функцией умеренного роста, преобразова-
ние Фурье т(р) которой настолько регулярно, что допускает умно-
жение на 6-функцию: выражение
n6(p? + m2)e(^)[n(pHm2)]f(Pl’ • Pm> ~Pm+l................-Рп)
(14.1.3)
14.1 Хронологически упорядоченные корреляционные функции 279
(с точностью до постоянного множителя) является матричным
элементом S-матрицы между out-состоянием со значением им-
пульсов р\, рт и in-состоянием со значением импульсов
Рт+1,    , рп-
Первая задача состоит в том, чтобы показать, что т — обоб-
щенная, функция умеренного роста или по крайней мере в каком-
нибудь смысле определена. Поскольку 6 ф С°°, умножение функ-
ции Вайтмана W е 9” на функцию 6, вообще говоря, не опреде-
лено. Используя свойство регулярности, содержащееся в аксио-
мах гл. 6 (которая сильнее регулярности, выводимой из аксиом
Вайтмана), и, в частности, то обстоятельство, что функции Швин-
гера допускают непрерывное продолжение до функционала, опре-
деленного на всем пространстве 9(Rd>l) (включая совпадающие
точки), можно показать, что т с= 9'(Rdn) [Eckmann, Epstein,
1979а]. Однако, как мы сейчас покажем, проще не заниматься
этой проблемой, а оставить ее в стороне. Пусть функция ае С“
неотрицательна и интеграл от нее равен 1. Положим
7а<р(Х1) ... <р (х«) = У, 6*<х(Хл(1) Хя (2)) ••• 6 * И (Л'л (и_ 1) Л^л(п))Х
Xq>fedi) ••• <p(^w). (14.1.4)
Так как 6 * а е 9, то
= <^<pU'i) •••	(=9".	(14.1.5)
Впоследствии окажется, что в выражение (14.1.3) вместо т можно
подставить та. Вторую проблему — гладкость в р-пространстве—
уже не обойти. Она эквивалентна определенным свойствам убы-
вания в х-пространстве и обобщает результаты § 13.5.
Пусть функции fi^9(Rd), 1 i п, имеют непересекаю-
щиеся носители в пространстве скоростей, а функции опреде-
лены соотношением (13.5.9). Кроме того, предположим, что вы-
полнено условие (13.5.10). Определим
k	п
хои‘ = П<рои‘(Л)й, *in= II /п(т
i=m+l
Теорема 14.1.1. Пусть носители всех функций ft сосредоточены
в малой окрестности гиперболоида —р2 = т2. Тогда интеграл
(т	к
П f^dxTa<f(xk+i) ... <p(xm)X'n) (14.1.6)
i=fe+i	z
как функция переменных tk+i, ..., tm принадлежит пространству
9(Rm~k).
Доказательство. Производная dtf^ имеет тот же вид, что и (<(), следовательно,
надо доказать лишь быстрое убывание. Идея состоит в том, что блок полевых
множителей с наибольшими по величине и почти равными значениями времени
280 Гл. 14. Теория рассеяния: стационарные методы
может быть выиесен из-под знака операции хронологического упорядочения. Этот
блок множителей при t оо сходится к произведению out-полей, действующему
на вектор Xой*, как это следует из теорем 13.3.2 и 13.5.4, причем порядок схо-
димости равен О Так как действие производной dt на out-поле дает нуль,
то быстрое убывание обеспечивается скоростью сходимости. Аналогично, блок
полей с наименьшими по величине и почти равными значениями времени также
может быть вынесен за знак операции Та, и его применение к Х1п приводит
к тому же результату.
В силу симметрии, можно изучать функцию (14.1.6) в секторе
t. , . 5s ... 5s t и t = t. , , 5s 1t I.
fe+1tn	в+1 I m I
(14.1.7)
Для некоторого I, k + 1 I m, в качестве аппроксимации функции (14.1.6)
рассмотрим функцию
Ц /(/z) dxi) <X0U‘. Ч> (*fe+i) • • • Ч> {xi) Та (<Р (*г+1) • • • <Р Х1п).
(14.1.8)
В соответствии с теоремой 13.5.4 в секторе (14.1.7) имеет место асимптотика
так как <pin/out(ft) = 0. Аналогично, для некоторого L, в силу предложения 13.4.3,
верна оценка
т	\	II
П ^<4 Га (*₽(*/+!) •••
=Z+1	/	II
поскольку регуляризованные хронологически упорядоченные произведения можно
переписать с помощью обычных произведений с гладкими коэффициентами. Та-
ким образом, выражение (14.1.8) ограничено величиной порядка O(t~N), где N
произвольно.
Для того чтобы показать, что функции (14.1.6) и (14.1.8) отличаются на
величину порядка	выберем I, зависящее от набора {Z^+t, ..., Zm}, так,
что моменты времени	.... Л из начального блока почти совпадают, напри-
мер
0 С ti— tt+i < et, fe-f-l^i^Z— 1; ti—	(14.1.9)
В определении Ta рассмотрим сначала перестановки л е ®т-л;, которые перево-
дят множество индексов {£+!,...,/} в себя, т. е. имеют вид л = (л,-Л, лт-,)Е
е ©/-j, X ©m-г. Так как носители функций fi в пространстве скоростей не пере-
крываются, то носители основных функций f l\ k -f- 1 i I, с точностью до
величин порядка О(/-л') (предложение 13.4.3) пространственно-подобно отделены
друг от друга. Поэтому, в силу локальности, вклад перестановки л в сумму Та
с точностью до	не зависит от ее части л,-й. Это означает, что при сум-
мировании по перестановкам л,-А! е ®/_^ начальные I — k полей могут быть вы-
несены за знак хронологического упорядочения, а суммирование по перестановкам
л"1-'s приводит к хронологическому упорядочению последних m — I полей.
Итак, мы показали, что суммирование по перестановкам л е <3i-k X ®m-z функ-
ции (14.L6) совпадает с аппроксимацией (14.1.8) с точностью до величины по-
рядка О (t~N).
Осталось рассмотреть перестановки л ®i~k X ®m-i, т. е. те, которые не
сохраняют сектор (14.1.9).Носитель соответствующего слагаемого в Т-алежит в
множестве
*р, п (/) “ хо, я (/+1	— const в — max (I«1: « s supp
14.2 S-матрица 281
Для любой из рассматриваемых перестановок л найдется такое /, что л(/ + 1)=С
I < л (/). Поэтому
*л(П ~ ^(/+1)^ — et И 1х0, л(/)	^(7)1 + 1 х0, л(/+1>	(7 + 1)1 >е//3-
Согласно предложению 13.4.3, вклад этой перестановки в Та в формуле (14.1.6)
имеет порядок О |
14.2 S-матрица
Формулы редукции Лемана — Симанзика — Циммермана выра-
жают S-матрицу с помощью функций т из § 14.1. Эти формулы
являются простым следствием теоремы 14.1.1.
Предложение 14.2.1.
/	_п.	m	\	/ п	m	\
(зПф(м1п£2, n<p(g/),nfi) = (II<p(WouU ПфЫп^>-
\ /“]	/«=1	/	\t = l	1 = 1	/
(14.2.1)
Доказательство. <pout = S<pInS-1. |
Предложение 14.2.2. Пусть для функций fi выполнено (13.5.10)
и их носители в пространстве скоростей не перекрываются. Тогда
Хс{1, .... п}	\1фХ	/а*	/
= J (Ц dt(ff (xz)j Ta (x) dx dt. (14.2.2)
Доказательство. Из доказательства теоремы 14.1.1 видно, что интеграл по dt
сходится со скоростью	поэтому доказываемое тождество получается при
помощи многократного применения формулы Ньютона — Лейбница. При этом
If . = + оо
подстановка |/*=_оо тоже вычисляется с помощью доказательства теоре-
мы 14.1.1. |
Замечание. Простые комбинаторные выкладки, связанные со сво-
бодным полем, позволяют избавиться от суммирования по X
в левой части тождества (14.2.2) и с помощью равенства (14.2.1)
получить выражение элементов S-матрицы через функции т. Мы
опускаем этот шаг и продолжаем вычислять правую часть (14.2.2).
Предложение 14.2.3. В условиях предыдущего предложения
J (Й т“ W dx dt “ J ft [/Дт * (□ — /л2) (?/)] W dx,
где	«= 8 (р) б (р2 + тЛ).
282 Гл. 14. Теория рассеяния: стационарные методы
Доказательство. Левую часть равенства можно преобразовать так:
$ П dtielt> ^°’ 7 Е 11	(г/) (— р) dp dt =
7=1
= J И 7 (^o,*>'+ m ) f /	f °(- p} dp di'
После замены переменных dp = dpd(po— е(р)ц(р)) благодаря быстрому убы-
ванию по t можно поменять порядок интегрирования по dt и dp. Это приводит
к выражению
S п <-' w> w+w
*» у I	*	*• / ’
= 5 Л (- '6 (р/)) 6 (д  + m2) (р2 + m2) f l (Pj) Та (- р) dp =
/=1
п
= S П1Лт * (° ~ г ?а dx'
/=1
При этом первое равенство является следствием равенства 6-функций в обеих
его частях. 3
Замечание. Разложение S-матрицы по теории возмущений яв-
ляется асимптотическим, во всяком случае в сверхперенормируе-
мых теориях это удается установить математически точно. В че-
тырехмерной квантовой электродинамике, например, коэффици-
енты разложения подсчитаны вплоть до шестого порядка. Здесь
требуется аккуратное исследование хронологически упорядочен-
ных произведений. Достаточно показать, что особенности, возни-
кающие при совпадении точек, по крайней мере не выводят нас
из класса обобщенных функций, так что функции Швингера при-
надлежат пространству 9". Такого рода оценки следуют из евкли-
довых аксиом в той форме, в которой они здесь приведены. Об-
суждение этих вопросов в более общей постановке см. в работе
[Eckmann, Epstein, 1979а].
14.3 Перенормировки
Простейшей из перенормировок квантовой теории поля является
перенормировка вакуума. В евклидовой формулировке это есть
утверждение о том, что мера dp из § 6.1 гл. 11 является вероят-
ностной. Это означает, как и в § 11.1, что выполнено деление на
нормирующий множитель Z. В формализме канонических ансамб-
14.3 Перенормировки 283
лей процедуру перенормировки вакуума можно рассматривать
как состоящую из двух отдельных этапов. Напишем
l=Z/Z = Z-'p:S‘,"'”,!"d,.e =
= ехрIn Z — : Р (<р (х)): rfxj tZ<pc.
В качестве области взаимодействия возьмем прямоугольник Л.
Тогда InZ имеет асимптотическое разложение InZ = С\Т -(- с2,
где Т — длина временного интервала, в течение которого проис-
ходит взаимодействие, а |Л|/7’ фиксировано (см. гл. 11). Коэф-
фициент Ci = &Е можно интерпретировать как аддитивную кон-
станту, дающую вклад в гамильтониан Н. В свою очередь е~С2 —
это мультипликативная константа, с помощью которой норма ва-
куумного состояния приводится к 1.
На уровне формальной теории возмущений перенормировки
вакуума выражаются в том, что, как объяснено в § 8.4, только
связные диаграммы дают вклад в функции Швингера. Поэтому
перенормировка функций Швингера и S-матрицы, основанная на
теории возмущений, не использует явно перенормировку вакуума.
Из определения
б£ = T~l lnZ-(-o(l) при Т->ео
можно вывести разложение по теории возмущений для величины
б£. В случае Р = Z<p4 первые члены разложения б£ по степеням х
изображены на рис. 14.1.
Рис. 14.1. Разложение до третьего порядка в случае полинома взаимодей-
ствия Р(<р) = Аф4.
Постоянную с2 (которую будем называть перенормировочной
константой вакуумной волновой функции) тоже можно с помощью
теории возмущений представить в виде суммы по связным диа-
граммам. Это те же диаграммы, что и для разложения величины
б£, но с другими числовыми коэффициентами. Например, разло-
жение б£ имеет только одну вершину с t = 0, что позволяет вы-
полнить деление на Т. В силу викова упорядочения вклады пер-
вого порядка по Z. как в б£, так и в с2 отсутствуют.
Следующими по сложности являются перенормировки массы
и величины поля. Эти перенормировки определяются с помощью
двухточечных функций, которые мы исследуем с использованием
уравнения Дайсона и его ядра — соответствующим образом опре-
деленного оператора собственной энергии S. Переходя к пере-
284 Гл. 14. Теория рассеяния: стационарные методы
нормировке массы, мы предположим, что масса частиц m задана
с самого начала, например измерена, мы же хотим найти такие
полиномы взаимодействия Р, что соответствующие им поля имеют
частицы массы т. Оказывается, такое ограничение (фиксирована
масса частиц) выделяет в пространстве всех полиномов подмно-
гообразие коразмерности 1. (Конечно, можно потребовать, чтобы
существовало п > 1 частиц с фиксированной массой т при усло-
вии, что кратность собственного значения т оператора массы
больше единицы. В этом случае полиномы Рперен составляют под-
многообразие коразмерности п.) Ради простоты изучим случай
/1=1. Перенормировкой массы является любое отображение
Р -> Рперен = Р + 6Р
пространства всех полиномов в подмногообразие полиномов, по-
рождающих поле с частицами массы т, удовлетворяющее условию
Рперен = Р, если поле, соответствующее Р, имеет частицы массы т.
Такое определение неоднозначно и является слишком общим.
В области малых констант связи однозначное определение полу-
чается с помощью требования
6Р (ф) = 4 бт2ф2,
где б///2 является функцией от т и коэффициентов полинома Р,
нахождение которой и составляет проблему перенормировки.
Пусть S,2)/ обозначает усеченную двухточечную функцию
Швингера в (евклидовом) импульсном пространстве, a S(J2,r ана"
логичную функцию свободного поля с той же массой т. Тогда
5(|2)7’_(p2_j_/n2)-1	(14.3.1)
и, согласно спектральной формуле Лемана,
оо
м
Здесь мы предполагаем, что одночастичный гиперболоид изоли-
рован, так что М > т. Более того, Z (константа перенормировки
величины поля) определяется из формулы (14.3.2). (Константа Z
не имеет никакого отношения к статистической сумме Z, связан-
ной с перенормировкой вакуума.) Следующее уравнение назы-
вается уравнением Дайсона:
5(2) Т _ 5(2) Т_____5(2) Т J 5<2) т
(14.3.3а)
14.3 Перенормировки 285
и служит определением оператора S. Это есть в точности резоль-
вентное уравнение, и его можно переписать в виде
- Т&	+ S-	(14.3.3b)
При этом в импульсном пространстве взятие обратного и умно-
жение являются поточечными операциями.
Продолжив аналитически по р2 функции Sf2)т и вплоть
до полюса в точке р2 =—т\ мы увидим, что из (14.3.3) вытекает
условие
2U-m» = 0.	(14.3.4)
Именно это условие выделяет подмногообразие полиномов, при-
водящих к частицам массы т.
Рис. 14.2. Разложение 2 для Р(<р) = Х<р4 вплоть до третьего порядка.
На языке диаграмм функция S представляется в виде суммы
диаграмм с двумя внешними отростками, причем каждая диа-
грамма относительно этих отростков одночастично-неприводима.
Последнее означает, что такая диаграмма связна, а стирание
одного ребра не может разбить ее на две компоненты, каждая из
которых содержит один из двух внешних отростков. Примеры
таких диаграмм см. на рис. 14.2.
Мы разложим	в формальный степенной ряд по пара-
п
метрам а/ — коэффициентам полинома Р (<р) = 52 й/ф7. Тогда
1 s 2
а2 = ~2 от и
SU-ms==6m2+O(«f, а2,	а2).	(14.3.5)
Эта формула вместе с соотношением (14.3.4) задает функцию
бт2 как формальный ряд по коэффициентам а\, ап, который
и является определением перенормировки массы с помощью тео-
рии возмущений.
Сравнивая выражения (14.3.2) и (14.3.3), мы получим также,
что
Z-*-l=5S/5p2|p2=_m„	(14.3.6)
286	Гл. 14. Теория рассеяния: стационарные методы
поэтому функция S заодно определяет перенормировочную кон-
станту Z для перенормировки величины поля. Условимся писать
фперен — 2Н/2ф,	(14.3.7)
так что двухточечная функция Швингера, выраженная через пе-
ренормированное поле фперен, имеет полюс в точке р2 = —т2
с вычетом 1. С помощью уравнения Дайсона в форме (14.3.3b)
можно доказать, что при малых константах связи одночастичный
гиперболоид изолирован (например, что М > т в (14.3.2)).
Пусть So имеет голую массу то- Нам нужно знать, что при
М2 > т2 функция Г(2) аналитична в полосе Re р2 —М2, а функ-
ция S мала при малых константах связи. После этого, применив
теорему Руше, получим, что функция Г(2> от переменной р2 имеет
в окрестности точки —т2 простой нуль. Этот нуль определяет
(физическую) массу т. С другой стороны, этот факт следует из
монотонности функции f [Burnap, 1977].
Рис. 14.3. Разложение ХфИЭ до второго порядка /.((/‘-модели.
Таблица 14.1. Расходимости перенормировок иа малых расстояниях как функ-
ций параметра и ультрафиолетового обрезания
	: Р(<р) : 2	Юкаваг	”з	
Вакуумная энергия	конечная	(In и)2	и2	и4
Перенормировка вакуумной	конечная	конечная	1п и	X3
волновой функции Масса	конечная	1п х	In и	X2
£=перенормировка величины	конечная	конечная	конечная	In X
ПОЛЯ Заряд	конечная	конечная	конечная	In X
Последней перенормировкой является перенормировка заряда.
Ее определение можно ввести многими способами с помощью тех
или иных требований. В модели 7.ф4 во все определения входит
связная четырехточечная функция, так как последняя, в силу
результатов § 14.2, задает процесс рассеяния двух частиц. По
любому из этих определений физический заряд Хф113 с помощью
теории возмущений представляется в виде степенного ряда по %,
коэффициенты которого выражаются с помощью фейнмановых
диаграмм (рис. 14.3). Числовые значения коэффициентов, соот-
14.4 Ядро Бете — Солпитера 287
ветствующих диаграммам, зависят от способа перенормировки. Пе-
ренормировка заряда — это всего лишь обращение функциональ-
ного соответствия %фИз = 7Физ (X), так что выражение для X =
— Х(^физ) в виде ряда по ХфИЗ подставляется вместо X в соответ-
ствующий лагранжиан. При одном из способов перенормировки
в качестве Хфиз выбирается, например, значение четырехточечной
урезанной связной функции перенормированного поля <рПерен при
значении импульса р = 0. Урезание здесь означает, что, как
и в предложении 14.2.3, оператор —□ -ф т2 применяется к каж-
дой переменной.
Результаты этого параграфа представлены в таблице 14.1.
14.4 Ядро Бете — Солпитера
Уравнение Бете — Солпитера применяется для изучения четырех-
точечной, а в общем случае и /г-точечной функции при ограничен-
ных п, n^.N. Это уравнение содержит новую неизвестную К —
ядро Бете — Солпитера (и, таким образом, может считаться опре-
делением К). В предположении, что ядро К аналитично в про-
странстве энергии-импульса, уравнение Бете — Солпитера можно
применить к изучению спектра масс и состояний рассеяния с низ-
кой энергией, которые имеют вид полиномов ограниченной степени
ф(%!) ... (p(x;)Q, /'sC / (например, / = 2).	(14.4.1)
Этот метод применим к задаче о связанных состояниях и резо-
нансах, а также к вопросам асимптотической полноты при низких
энергиях. Требуемые аналитические свойства ядра К могут быть
при малых константах доказаны для сверхперенормируемых моде-
лей теории поля. Результаты, установленные к настоящему вре-
мени, приводят к ожидаемой картине, но все это еще не доказано
с нужной степенью общности. Некоторые успехи достигнуты и в
реализации обратной программы, т. е. установления аналитиче-
ских свойств ядра К исходя из предполагаемых свойств спектра
масс [Bros, 1970], [Bros, LaSalle, 1977].
При п — 2 уравнение Бете — Солпитера — это уравнение Дай-
сона. При п — 4 уравнение Бете — Солпитера тоже имеет резоль-
вентную структуру
R = Ro — RoKR.	(14.4.2)
Для того чтобы упростить изложение, рассмотрим теорию с чет-
ным полиномом взаимодействия, в которой функции Швингера
нечетного порядка равны нулю: S<2/+‘) = 0. Мы будем работать
в евклидовом пространстве-времени. Оператор Re, который играет
роль «свободной резольвенты», по определению равен
Ro (х, у) = 5<2) ?	5(2) т (%2 _ у^ +
4-5<2)7’(х1 — у2)5<2)г(х2 —у,), х = (х,, х2), y = (yv у2). (14.4.3)
288 Гл. 14. Теория рассеяния: стационарные методы
Кроме того,
R (х> У) = <ф (*i) Ф (х2), (1 — Ра) ф (г/j) ф (у2)) =
= S(4> (хи х2, уь у2) — 5<2> (х, — х2) S(2> (гл — у2), (14.4.4)
где Ра — ортогональная проекция в евклидовом гильбертовом
пространстве на подпространство, порожденное вакуумным векто-
ром Q = 1. Заметим, что имеются как обобщения уравнения
(14.4.2), так и альтернативные ему уравнения, но мы здесь не об-
суждаем эти вопросы.
В теории возмущений ядро К определяется как сумма по все-
возможным связным диаграммам с четырьмя внешними (урезан-
ными) отростками, неприводимым относительно двухчастичного
канала. Чтобы объяснить последний термин, в каждой диаграмме,
дающей вклад в К, сопоставим двум из четырех внешних отро-
Рис. 14.4. Диаграммы для Д в модели со взаимодействием Р(<р) = <р*.
стков переменные х (out-отростки), а двум остальным переменные
у (in-отростки). Тогда неприводимость относительно двухчастич-
ного канала означает, что после стирания двух внутренних ребер
диаграммы каждая связная компонента вновь получившейся диа-
граммы должна содержать по крайней мере один in-отросток и
один out-отросток (рис. 14.4). При этом компоненты, состоящие
только из одного внешнего отростка, в этом определении не учи-
тываются.
Вне рамок теории возмущений ядро К определяется уравне-
нием (14.4.2) [Glimm, Jaffe, 1975е]. Однако, пока нет никакой ин-
формации о ядре К, полученной из других источников, этот факт
не представляет особого интереса. Для анализа функций К и R
обсудим несколько общих аксиом. Мы будем различать частные
утверждения, которые можно доказать для малых констант связи
и которые служат для обоснования вычислений по теории возму-
щений, и более общие утверждения, которые должны быть спра-
ведливы для всех некритических теорий.
BS 1 (Полнота полиномиальных состояний). Для фиксированного
значения энергии Е существует такое J = Те, что состояния с энер-
14.4 Ядро Бете — Солпитера	289
гией не ортогональны семейству (14.4.1). В формуле (14.4.1)
Q ss 1 является евклидовым вакуумом, т. е.	a xv^Rd —
точка евклидова пространства-времени, причем координата вре-
мени ха, v неотрицательна. Евклидов вектор (14.4.1) в простран-
стве <S проектируется в физическое гильбертово пространство Ж.
Эта аксиома была проверена при малых константах связи в
модели ХР(ф2) [Glimm, Jaffe, Spencer, 1974]. Здесь, правда, мы
должны взять константу Л = Х(Е) достаточно малой. В частности,
при анализе связанных состояний вблизи двухчастичного порога
мы должны положить Е = 4m — е, е > 0, и рассмотреть векторы
с J = 2 в подпространстве четных состояний.
BS 2 (Решение одночастичной задачи). Самое слабое допуще-
ние— наличие изолированного одночастичного спектра. Более
сильное — ограниченность функции S (р) и ее аналитичность в об-
ластях (в евклидовом пространстве)
для четных теорий:	р2 >—(Зт)2-[-е	(14.4.5а)
и
для нечетных теорий:	р2 >—(2m)2 -j- е. (14.4.5b)
Аналитичность S(p) в областях (14.4.5) доказана для модели
^р(ф)г при малой константе связи [Spencer, 1975]. Однако этой
области аналитичности соответствуют малые значения энергии
связи, которые в случае полей общего вида могут оказаться и
большими.
BS 3 (Аналитичность К). Самое слабое допущение состоит в
том, что для фиксированного Е достаточно сложные ядра К. (при
больших п) должны быть аналитическими в области р2 —Е.
При п = 2 положим
Xtot = (Х1 + х2) /2, Xrei = (Xt — х2) /2
и аналогично определим ptot, Prei- Пусть р и q обозначают евкли-
довы импульсы, сопряженные соответственно к х и у. Тогда Pi +
-|~p2 = Ptot и pt—р2 = prei сопряжены к Xtot и Хгеь То же самое
верно для gtot и 9rei- В силу трансляционной инвариантности, ядро
К = К(х, у) является функцией только от разности аргументов.
Это означает, что ядро оператора К имеет преобразование Фурье
вида
б (ptot 4/tot) R (Ptot, Prel, Prel) .
В подпространстве, в котором импульс принимает фиксированное
значение ptot, функция R является ядром оператора из простран-
ства функций от переменной qret в пространство функций от prei-
В силу лоренц-инвариантности, без ограничения общности можно>
положить ptot = 0. Определим Е = iptot- Предполагается, что в об-
ласти
|4m— е, |Imprei|^m — е, |Imprei|^m— е (14.4.6)
290 Гл. 14. Теория рассеяния: стационарные методы
функция R аналитична и ограничена. При малой константе связи
в модели Р(<р)ц эта ограниченность была установлена для чуть
меньших областей [Spencer, 1975]. При этом sup|^| при
является величиной порядка О (Л).
Резюмируем известные результаты.
1.	Компактность оператора К, ограниченность /?о « R- Ниже
мы введем пространства Пэли — Винера — Соболева Ле. При под-
ходящем выборе пары пространств из семейства Л6 операторы /?0>
R и К действуют из одного такого пространства в другое, причем
Ro и R ограничены, а К компактен.
II.	Продолжение на другой лист. Функция Ro аналитична всюду
в области (14.4.6), кроме разрезов с началом в точках Е — ±2т.
Эти точки являются для Ro точками ветвления второго порядка,
и функция Ro аналитически продолжается на двулистную рима-
нову поверхность при обходе вокруг точек ветвления. Из теории
Фредгольма следует, что функция R также имеет мероморфное
продолжение на второй лист римановой поверхности функции Ro.
Все полюсы функции R на первом листе лежат на вещественной
оси Е и совпадают с точечным спектром массового оператора
(энергии связанных состояний). Полюсы функции R на-втором
листе интерпретируются как резонансы.
III.	Спектральные свойства. Для четной Тэ(ф)2-теории с малой
константой связи существует не более одного связанного состоя-
ния. В этой модели известна асимптотическая полнота при
Е 3m — е и получена матрица рассеяния для состояний: частица
вместе со связанным состоянием (при всех значениях энергии).
Для этой модели ряды теории возмущений являются асимптоти-
ческими.
Пространства Ле состоят из функций от двух переменных:
хгс1 — х®е1, хге1. Здесь б обозначает мультииндекс
б = (бр б2) = (б°, 6„ 6°, 62),
а 6 — вещественный параметр (т. е. скаляр, а не вектор). Про-
стейшее из этих пространств Ло = Л2Ут является подпространством
в Е2, состоящим из функций, инвариантных при замене xrei->
->•—'Xrei- Пространство Ле,, о— это соболевское пространство
л.„" - {(- ...+Is (-	>е л«} •
Наконец,

Лй = { f:
е
Простейшие свойства этих пространств изложены в работе
[Glimm, Jaffe, 1979с]. (Приведенный там анализ функций, зави-
сящих только от Xrei, легко распространяется и на функции от
*0, rei, Xrel-)
14.4 Ядро Бете — Солпитера 291
При б2 > 0 пространство Л6 есть пространство фурье-образов
функций, аналитических в полосе |Imp0>ге1| < б°, |Imprei| < 62,
а граничные значения на краях полосы после умножения на вели-
чину
лО /9	л /2
(Ро, rel + (5т)2) 1 + (Prel + (5m)2)
принадлежат пространству L2. Если у б, то вложение /(б, у):
ограничено, а если у < б (это означает, что для всех че-
тырех компонент у° < б° и т. д.), то вложение /(б, у) компактно.
Рассмотрим оператор К как отображение пространств >AY.
В силу аксиомы аналитичности BS 3, действие К увеличивает зна-
чение б2, а так как ядро К всего лишь ограничено (а не лежит,
например, в L2), то К уменьшает величину бь В частности, если
выбрать значения у, б так, как это указано ниже, то К будет ком-
пактным оператором и даже оператором Гильберта — Шмидта:
б?, 6,>1,
б°, 62 > — пг,
У?, Vx < — 1,
У2, V2 < т.
(14.4.7)
Оператор /?0 как отображение пространств А6-+Ау оказывает
противоположное действие на индексы б. Как показано в § 14.3,
можно написать о = Z3o + остаточный член, причем остаточ-
ный член, рассматриваемый как оператор, действующий на функ-
ции в импульсном пространстве, не нарушает их аналитичности
и сохраняет степенное убывание. Аналогично, Ro, рассматриваемый
как оператор умножения в импульсном пространстве, может быть
записан в виде
Z Z
—$----?--я---5-+ остаточный член,	(14.4.8)
Pt+m2 p2 + m2
где остаточный член может лишь увеличить индексы 61 и б2. Все
необходимые свойства остаточного члена вытекают из предполо-
жения BS 3 об аналитичности и ограниченности. Первое слагае-
мое в сумме (14.4.8) перепишем в виде
г> ________________________________________________
[(Ро, rel — ,£)2 + Prel + 4'n2] [(Ро, rel + iEf + ₽rel + 4m2]
Оператор Ay, где * понимается как сопряжение относительно
скалярного произведения в L2, оказывается равным A_v: A"y = Л-у.
Поэтому мы рассматриваем Коо как ограниченную билинейную
форму на тензорном произведении А_УХ716. Поскольку простран-
ство Ав определяется с помощью симметричного пространства
292 Гл. 15. Магнитный момент электрона
Ls2ym, верно равенство g(p) =—g(p)e/1f, причем, скалярное про-
изведение
<£> Rj) = $ Й (рге1) ^оо(Рге1) f (Prei) dPге1
имеет аналитическое продолжение в полосу (по переменной Е).
Итак, мы считаем, что g е Л_у, / е/1ё и б2, 62 > т — е, у°, у2 <
< —т + е.
Интеграл по dpo, rei может быть вычислен как интеграл по
верхней границе полосы плюс вычет в полюсе, лежащем в верх-
ней части полосы. Первое из этих двух слагаемых ограничено и
аналитично по Е (вне разреза) при условии, что
6°, ^>-2,	у?. V,<2.
Второй член аналитичен при всех 6°, у? и ограничен при
61	—3/2,	vi 3/2.
При этом для таких значений б, у второе слагаемое допускает ана-
литическое продолжение по переменной £ = (4т2— Е2)1/2 через
разрез.
Объединяя все полученные оценки, находим, что ряд Неймана
оо
R = I (-R0K)nR0
п=0
сходится и при
-3/2 <6°,	< - 1,	0<б°, 62<m —е
определяет ограниченный оператор из А6 в А&. Кроме того, при
малых X этот оператор допускает мероморфное продолжение по
переменной £ как ограниченный оператор из А6 в Ав.
Дальнейший анализ спектра и рассеяния следует той же общей
схеме, что и в случае потенциального рассеяния (см. [Spencer,
Zirilli, 1976], [Dimock, Eckmann, 1976, 1977]). Регуляризации не-
приводимых ядер Бете — Солпитера высших порядков изучаются
в работе [Combescure, Dunlop, 1979].
Глава 15
Магнитный момент электрона
15.1	Классический магнитный момент
Рассмотрим классический магнит т, помещенный во внешнее од-
нородное магнитное поле В. Такое поле не создает силы, действую-
щей на т (т. е. центр масс остается неподвижным), однако маг-
15.1 Классический магнитный момент 293
нит будет стремиться повернуться вдоль направления вектора В.
Вращающий момент, действующий на т, линейно зависит от В
(предполагается, что В не изменяет намагниченности т). Таким
образом,
вращающий момент = цХВ,	(15.1.1)
Рис. 15.1. Круговой
контур с током I.
где ц— вектор, направленный вдоль оси т. Вектор ц является
магнитным моментом магнита т. Уравнение (15.1.1) эквивалентно
утверждению о том, что потенциальная энер-
гия магнита т в магнитном поле В равна
—р-В. Энергия достигает минимума при сов-
падении направлений векторов ц и В.
Простой пример, когда возникает магнит-
ный момент, — это классический контур с то-
ком. Пусть I обозначает круговой контур ра-
диуса г, по которому течет ток J (его размер-
ность: заряд/время), см. рис. 15.1. Предста-
вим себе ток J в виде плотности заряда р
(заряд/см), движущейся по контуру I со скоростью v (см/с),
т. е.
J = pv.
(15.1.2)
Определим момент ц тока J относительно центра контура:
ц = г X J =	(пг2) п = ± (ток) (площадь) п. (15.1.3)
i
Здесь с — скорость света, а п — единичный вектор нормали к пло-
скости контура (ориентация определяется направлением тока).
В общем случае магнитный момент плоского (но не обяза-
тельно кругового) контура равен
й = г X •! = у (ток) (площадь) п,
1
(15.1.4)
где п — нормаль к плоскости контура.
Для оправдания такого определения магнитного момента ц по-
кажем, что вращающий момент, действующий на круговой контур,
определяется выражением (15.1.1). Силу F, действующую на еди-
ничный заряд, можно найти по формуле Лоренца (при нулевом
электрическом поле)
F = |vXB.	(15.1.5)
По определению, вращающий момент Т равен
Т= jrXF = jrX|(vXB).
(15.1.6)
294 Гл. 15. Магнитный момент электрона
Введем в качестве параметра на контуре угол бе[0, 2л), причем
углу 0 = 0 пусть отвечает направление вектора В/ — проекции В
на плоскость контура I. Поскольку r-v = 0,
2л	2л
Т = -М г X(vXB) rdQ =-^ v(r-Bz)rde. (15.1.7)
£ J	с J
о	о
Пусть 1 и 2 обозначают направления в плоскости контура, соот-
ветственно параллельное и перпендикулярное к Bi. Тогда
fi——п sin 6,	c2 = ncos0, г • В; = rBi cos 0.
В силу тождества cosOsin0d0 = O, мы получаем, что 7'1 = 0 и
Т = (0, (с-'ру) (лг2)В(,0) = цХВ.
Таким образом, справедлива формула (15.1.1).
Предположим далее, что плотность заряда р пропорциональна
плотности массы, т. е.
р = (e/m)pm assj	(15.1.8)
где e/m— фиксированное отношение заряда к массе. Тогда
= r X pv = г X р	= Гд—) L = g-p L, (15.1.9)
2с J 1 2mc J rmass \2тс)	'
где L обозначает угловой момент зарядов в контуре с током.
Коэффициент пропорциональности между магнитным моментом
распределения зарядов и.их угловым моментом называется гиро-
магнитным отношением и обозначается g. Единицей магнитного
момента является магнетон Бора1), равный, по определению,
= е/2тс,	(15.1.10)
где е/т — отношение заряда электрона к его массе.
Магнитный момент электрона равен g'p.c. Согласно классиче-
скому подсчету, приведенному выше, g—i. Для диракова элек-
трона, рассматриваемого в § 15.3, g — 2. Аномальный магнитный
момент электрона, учитывающий полевые эффекты, приводит к
значению g — 2,002; см. § 15.4.
15.2	Тонкая структура атома водорода и уравнение Дирака
При пренебрежении спином электрона n-й уровень энергии атома
водорода имеет кратность п2; см. § 1.7. Рассмотрим первое возбуж-
денное состояние п = 2 с кратностью вырождения п2 = 4. С уче-
том двух возможных спиновых состояний электрона и двух спи-
новых состояний протона вырождение имеет кратность 4п2 = 16.
Спинам соответствуют магнитные моменты. Магнитные моменты
См. § 15.3. — Прим, перев.
15.2 Тонкая структура отома водорода и уравнение Дирака 295
взаимодействуют между собой, что приводит к изменению гамиль-
тониана, изученного в § 1.7. Точный вид возмущающей добавки
приводится ниже; он выведен в § 15.3 на основе нерелятивистского
предельного перехода в уравнении Дирака. Этот дополнительный
член, называемый спин-орбитальным взаимодействием, изменяет
спектр гамильтониана Н и частично разрушает 4п2-кратное вы-
рождение n-го уровня энергии. Такое расщепление спектра, свя-
занное со спином и магнитным моментом электрона, называется
тонкой структурой. Ему и посвящен этот параграф.
Напомним, что в соответствии с § 1.3 спиновое пространство S,
отвечающее значению спина электрона s = 1/2, есть 5 = C2s+l =
= С2. В этом пространстве угловой момент определяется двумер-
ным представлением S>(1/2) группы SU (2) (накрывающей группы
для группы пространственных вращений SO(3)). Соответствую-
щее гильбертово пространство (без учета движения центра масс)
есть = L2 (/?3) ® 5, и полный угловой момент определяется пред-
ставлением St/(2) в Ж
В частности, представление SU(2) в 3@n®S можно разложить
с помощью формул Клебша — Гордана:
0») ® 00/2) = 00+1/2) Ф 0(i-i/2) (/ о),
(15.2.1)
0(0) ® 0(1/2) — 0(1/2).
Таким образом, разложение (1.7.10) заменяется разложением
Жп ® 5 =	1>/2 © 2Ф{21~1>/2.	(15.2.2)
£ = 1
Можно интерпретировать (15.2.2) как утверждение о том, что
электрон в атоме водорода имеет полный угловой момент Jft, где
J— L-f-S. Здесь L — «орбитальный» угловой момент, связанный
с вращением вокруг ядра, a S — внутренний спин 1/2. Неприводи-
мое представление в разложении (15.2.2), отвечающее полному
угловому моменту /, возникает из комбинации представлений, от-
вечающих спину 1/2 и орбитальному угловому моменту l = j± 1/2.
Тонкая структура атома водорода может быть получена путем
включения в гамильтониан Н возмущения
1Е(%1 — x2)L-S,	(15.2.3)
описывающего взаимодействие орбитального момента и внутрен-
него спина электрона (вид W можно найти из взаимодействия
магнитного момента движущегося электрона с кулоновым полем;
см. [Ваут, 1969]). Разложение (15.2.2) объясняет появление п
собственных значений в Жп ® S, так же как и их кратности. За-
метим, что dim^n® 5 = 2п2. Вычисление в первом порядке тео-
рии возмущений сдвига энергии, связанного с членом (15.2.3),
позволяет приближенно определить тонкую структуру.
296 Гл. 15. Магнитный момент электрона
Дирак предложил лоренц-инвариантное уравнение для волно-
вой функции электрона, принимающей значения (в случае одной
частицы) в пространстве L2(RS)®{S ФS}. (Заметим, что про-
странство возникает естественным образом при разложении
представления группы Лоренца «241/2-°> ®	>/2) со спином 1/2 на
компоненты, неприводимые относительно собственной группы Ло-
ренца (не содержащей отражений).) Гамильтониан Дирака для
частицы массы у в кулоновом поле —е2/|х| есть дифференциаль-
ный оператор первого порядка вида
з
Д=а4ц ——-щ.	(15.2.4)
i=i	1
Здесь а> — постоянные 4 X 4-матрицы, действующие в S Ф S. Кроме
того, матрицы а задают представление клиффордовой алгебры
otiOtj + ajOLi = 26ц/.	(15.2.5)
Собственные значения оператора (15.2.4) могут быть найдены
точно. Они имеют вид
Е j = у 1 1 4- (----------^7==1 1	,	15.2.6)
’	1/2) + V(/+ 1/2)2 — а2 ) J
где а = е2/(йс) —постоянная тонкой структуры; см. (1.7.2).
В (15.2.6) и = 1, 2, ... — главное квантовое число, a j = 1/2,
3/2, ..., п—Х/Я. Заметим, что значения / совпадают со значе-
ниями углового момента в (15.2.2). Кратности собственных зна-
чений совпадают с размерностью соответствующих представлений,
поэтому / — квантовое число углового момента.
При а / 4-1/2 выражение (15.2.6) можно разложить в ряд
по степеням а:
=	g-{>+4-(7T172-T)} + 0<“’)- (15.2.7)
Член у есть масса покоя электрона. Член порядка О (а2) совпа-
дает с нерелятивистским выражением (1.7.6) для Еп, а член по-
рядка О (а,4) определяет сдвиг, связанный со спин-орбитальным
взаимодействием. Вычислив этот член, мы получим измеренную
величину тонкой структуры.
15.3	Теория Дирака
Классическая модель контура с током, рассмотренная в § 15.1, дает
значение магнитного момента
Цкл = jifiS,	(15.3.1)
где S = (l/2)o — внутренний спин, а
ув = ёК/Чтс = 0,578 ... ХЮ-14 МэВ-Гс-1
15.3 Теория Дирака 297
Энергия
есть магнетон Бора. Магнитный момент электрона можно изме-
рить, наблюдая эффект Зеемана, т. е. изучая расщепление уров-
ней энергии во внешнем магнитном поле h (рис. 15.2). Результаты
экспериментов указывают на то, что истинное значение момента
равно 2цкл, где pKJ1 определено выражением (15.3.1), т. е. гиро-
магнитное отношение g — 2.
Теория Дирака прекрасно
объясняет это значение g. Ес-
ли электрон находится во
внешнем магнитном поле с по-
тенциалом Л(х), то гамильто-
ниан (15.2.4) изменяется сле-
дующим образом:
з
II = а4ц — с У а/ ^ihd/dXj —
i=i
— А/ (х)} = До + еа • А,
(15.3.2)
где До— гамильтониан свобод-
ного электрона.
Среднее значение гамиль-
тониана (15.3.2) в состоянии
ф (если использовать естественное скалярное произведение в
пространстве дираковых спиноров) равно
-----------------------—*|h|
Рис. 15.2. Нерелятивистский эффект Зее-
мана: расщепление уровня энрегии Еп
(§ 1.7) в слабом магнитном поле h.
(Д)ф = (До)ф+ J J Adx,
(15.3.3)
где J — еф-у/ф, у/ = a4aj, j = 1, 2, 3 и ф = ф*а4. Поправочный
член JA имеет вид скалярного произведения, совпадающего с ви-
дом классической энергии плотности тока в магнитном поле. Ис-
толкуем теперь этот результат.
Используя уравнение Дирака для ф, а именно
Е к 0 Д' +1 Т = тс^
i
где у4 = а4, х4 = it, ток /р = ефурф можно переписать в виде
4 = ефУрФ = (-^) (фОрЛ) + Im (ф ф) +
+ *(тЙ-)л>ЛФН (15-3.4)
где
°pv = [Ур> VvL	(15.3.5)
298	Гл. 15. Магнитный момент электрона
Второй член в правой части (15.3.4) имеет вид шредингерова
электрического тока. Последний член содержит лишний множитель
с~', но его можно не учитывать в пределе при с->оо. Первый
член отвечает взаимодействию с магнитным полем. Действительно,
подставляя этот член вместо J-А в (15.3.3), после интегрирова-
ния по частям (поверхностным членом пренебрегаем) получаем,
что
— У 5	(15.3.6)
Заметим теперь, что матрицы у, образуют клиффордову ал-
гебру:
{?п> Tv} = 2б,„, g, v = 1, 2, 3, 4.
Дираково представление есть неприводимое представление этой
алгебры в пространстве 4 X 4-матриц. В этом представлении, един-
ственном с точностью до унитарной эквивалентности,
’-’’nV envX
Од о
О <Ь.
(15.3.7)
где ц, v = 1, 2, 3, а	1, 2, 3, — матрицы Паули
/ ° 1 \	/0 — Z \	/1	0 \
ai = li оУ	а2 = 1/	0/ аз=Ао (15-3-8)
Следовательно, выражение (15.3.6) равняется магнитному члену
(•S) 5 •в dx=5 (s •в) dx’
где Рц = ztjkBk, плюс член, связанный с электрическим полем
(этому члену отвечают матрицы с нулевыми элементами на
диагонали). Последнее выражение есть в точности взаимодействие
с магнитным моментом, для которого g — 2.
15.4	Аномальный магнитный момент
Тщательное экспериментальное измерение, проведенное Кушем
(Kusch) в 1947 г., показало, что в действительности g отличается,
хотя и очень мало, от 2, а именно х = (g — 2)/2 = 0,001. Вели-
чина х = Хэл, характеризующая разность между истинным значе-
нием g и значением, предсказываемым теорией Дирака, называется
аномалией магнитного момента. В настоящее время величина этой
аномалии, полученная в результате вычислений, совпадает с изме-
ренной величиной вплоть до 8-го десятичного знака ухи 11-го
у g. Такое блестящее совпадение заслуживает специального об-
суждения. В экспериментах Демелта и его сотрудников [van Dyke
15.4 Аномальный магнитный момент 299
et al., 1979] изучался изолированный электрон в «магнитной бу-
тылке» и было измерено значение аномалии:
%ЭКСП '- 0,001159652200(40).	(15.4.1)
Число в скобках указывает возможную неточность в последних
разрядах.
В действительности каждая элементарная диракова частица
(т. е. частица с волновой функцией, удовлетворяющей уравнению
Дирака), у которой удается достаточно точно измерить величину
g, обнаруживает собственную аномалию. Аномалия для мюонов
согласуется с вычислениями почти так же хорошо, как и электрон-
ная аномалия хэл. Протон имеет намного большую аномалию, при-
мерно 1,8, и нет надежного теоретического подсчета для этого зна-
чения. Даже нейтрон имеет магнитный момент (примерно равный
аномальному магнитному моменту протона, взятому с обратным
знаком) '). Аномальные моменты отражают сложную внутреннюю
структуру этих элементарных частиц.
При построении теории, объясняющей аномалию хэл, необхо-
димо вместо теории Дирака, описывающей отдельный свободный
электрон, рассматривать квантовое поле. В § 15.3 мы нашли зна-
чение g, изучая решения (линейного) уравнения Дирака для вол-
новой функции ф и отвечающего ей тока .Д в случае электрона,
помещенного во внешнее электромагнитное поле с потенциалом
Дц. Можно считать, что аномалия х связана с тем, что выражение
для тока /ц изменяется вследствие взаимодействия с электромаг-
нитным полем. Таким образом, нужно рассматривать нелинейную
систему уравнений Максвелла — Дирака, в которой Дц и ф счи-
таются неизвестными.
Так как предыдущие вычисления с фиксированным Л,, дают
значение g с точностью до 0,1 %, имеет смысл вычислять g в пред-
положении, что
ДИ = ДГШ + 6ДИ,	(15.4.2)
где ДцНеш фиксировано, как и ранее, а 6ДЦ — поправка. При этом
поправка х к g — 2 разлагается в ряд по степеням бДц. Поскольку
нелинейность системы уравнений Максвелла — Дирака связана со
взаимодействием 7^^ = О(е), ряды теории возмущений для х яв-
ляются рядами по степеням электрического заряда е. Фактически
в разложение входят только степени е2, поэтому обычно эти ряды
выражают через постоянную тонкой структуры а. Хотя ожидается,
что ряды расходятся, первые члены принимают малые значения и
дают для х значение, близкое к (15.4.1).
На самом деле в настоящее время нет полной ясности даже
в вопросе о том, являются ли эти ряды теории возмущений асимп-
*) Имеется в виду величина магнитного момента, выраженная в ядерных
магнетонах щ = ей/(2тгс), где тр — масса протона. — Прим, перев.
300	Г л. 15. Магнитный момент электрона
готическими рядами точной теории (как это было в ч. II для рядов
ХР(<р)-моделей, которые являются асимптотическими, но не схо-
дятся вблизи 7 = 0). Таким образом, остается пока загадкой, су-
ществует или нет электродинамика как математическая теория,
например в том же смысле, что для моделей теории поля в раз-
мерности d < 4, построенных в гл. 7—12, или, другими словами,
является ли электродинамика сама по себе (без учета сильных, а
возможно, и слабых взаимодействий) самосогласованной теорией.
Подобные трудности не возникают в неабелевых калибровочных
теориях, поэтому теория электронов и протонов, рассматриваемых
вместе с кварками и глюонами, стоит на более прочном фунда-
менте, чем теория электронов и протонов, изолированных от ос-
тальной материи.
Возвращаясь к аномалии, отметим, что Швингер вычислил х
в первом порядке по а в 1947 г. и нашел значение х =-| (<х/гт) =
= 0,001 159. Сейчас лучшее теоретическое значение х найдено в
третьем порядке по a ([Levine, Roskies, 1976], [Kinoshita, 1979]):
хТеор = 4 Й) + °>328 478 966 (-^)2 + 1,1835 (61) (^-)3. (15.4.3)
Здесь неопределенность в последних знаках связана с неточностью
численного интегрирования. Использование а-1 = 137,035963(15)
[Williams, Olsen, 1979] дает
хтеор = 0,001 159 652 566.
Различие между хТеор и хЗКсп может быть связано с (еще не най-
денными) поправками порядка О (а4). (Это различие не сни-
мается рассмотрением эффектов сильного взаимодействия.)
(с)	(Ь)
Рис. 15.3. Диаграммы, отвечающие
вычислению g =2(1 + 0(a)).
нулевом импульсе, определяет
Выражение для g содержит
среднее от плотности энергии
взаимодействия /w(A-)yW(x) по
одноэлектронному состоянию,
разложенное в ряд по степеням
электрического заряда е. Как и в
(15.3.4—6), мы можем выделить
член, пропорциональный магнит-
ному моменту и имеющий вид
(4 ° ’ б). Значение соответствую-
щего коэффициента, взятое при
изучаемую величину getifimc =
= gjie. Таким образом, g выражается в виде ряда по степеням е,
полученного из <J-A> с помощью последовательного интегрирова-
ния по частям, т. е. с помощью теории возмущений, аналогичной
той, которая рассмотрена в гл. 8 для бозонных моделей.
Вычисления сводятся к суммированию фейнмановых диаграмм.
При этом необходимо различать фермионные линии (обозначав-
15.5 Сверхтонкая структура и лэмбов сдвиг	301
мые сплошными линями со стрелками) и фотонные (волнистые)
линии. При вычислении g вплоть до первого порядка по а ненуле-
вой вклад вносят лишь две диаграммы, изображенные на рис. 15.3.
Диаграмма (а) дает значение g = 2; см. § 15.3. Диаграмма (Ь)
вносит вклад g = а/л, и обе диаграммы вместе приводят к указан-
ной ранее величине и = i(a/n). См. [Scadron, 1979].
15.5	Сверхтонкая структура и лэмбов сдвиг в атоме водорода
Протон в атоме водорода также имеет спин 1/2 и магнитный
момент, который приводит к возмущению гамильтониана спин-ор-
битальным членом. С этим возмущением связано дальнейшее рас-
Г*3/2
.....-	) 59 МГц сверхтонкое
'	расщепление.
10969,0 МГц тонкая струг;ура
Рис. 15.4 Уровни п = 2 атома во-
дорода. Состояниям S соответ-
ствуют значения I = 0, / = 1/2.
Состояниям Р соответствуют
I = 1,	] — 3/2 или j = 1/2.
Уровни п =2 расположены
приблизительно на 2,5 X Ю9
МГц выше уровней п = 1. Сверх-
тонкое расщепление уровней п=1
равняется 21 см = 1420 МГц. В
нерелятивистской теории, рассмот-
ренной в гл. 1, все уровни, отве-
чающие данному п, вырождении. В
приближении уравнения Дирака
уровни 5,=i/2 и	в точности
совпадают, по тонкая структура
отделяет уровни Pj=3/2-
щепление вырожденных уровнен энергии атома. При этом имеется
в виду вырождение, отвечающее спиновым состояниям протона
и не расщепляемое магнитным моментом электрона. Величина
этого дополнительного расщепления («сверхтонкая структура») не
превосходит 1/10 тонкой структуры.
В основном состоянии (и = 1) сверхтонкому расщеплению со-
ответствует длина волны 21 см. Эта величина определяет основ-
ную частоту, наблюдаемую в радиоастрономии.
Уровни п — 2 описываются полным угловым моментом j и ор-
битальным угловым моментом I, 0	/ ^ 1. Принято обозначать
уровни энергии с /=0 (сферически-симметричные) буквой S,
а с I— 1—буквой Р. С учетом разложения (15.2.2) уровни энер-
гии п = 2 содержат состояния S/=i/2 — Si/2, Р\/2 и Р3/2. Тонкая
структура отщепляет уровень Р3/2 от уровней S1/2 и Р]/2. Сверхтон-
302 Гл. 16. Фазовые переходы
кая структура расщепляет каждый из этих уровней на два, но
расщепленные уровни Si/2 и Р\/2 продолжают совпадать.
Лэмбов сдвиг, являющийся чисто квантовополевым эффектом,
вносит основной вклад в отделение уровней Si/2 и jP]/2 друг от
друга (рис. 15.4). Наиболее точное экспериментальное измерение
дает величину лэмбова сдвига 1057,845(9) МГц [Lundeen, Pipkin,
1981].
Литературные ссылки
[Scadron, 1979].
Глава 16
Фазовые переходы
16.1 Введение
Мы обсудим основные понятия, рассматриваемые в этой главе,
на примере квантового поля, определяемого мерой dp в функцио-
нальном пространстве 9”. В предположении, что для меры dp
выполнены аксиомы OS 0 — 3 § 6.1, ее можно представить в виде
выпуклой комбинации неразложимых мер, удовлетворяющих уже
аксиомам OS 0 — 4. Эти неразложимые компоненты называются
чистыми фазами. Они характеризуются свойством единственности
вакуума, которое выражается аксиомой OS 4. При этом мера dp
является чистой фазой тогда и только тогда, когда ее вакуумное
состояние единственно.
Пусть, как и в гл. 11, dp определяется евклидовым лагранжиа-
ном S’, который в случае Р(<р)2-меры имеет вид
S'(q’U)) = :4(V<p)2(x)+4m2(P2W + ^P(<p(x)):.	(16.1.1)
Лагранжиан нужен как исходная основа для конструкции меры
dp, изложенной в гл. 11. С другой стороны, используя формулу
интегрирования по частям (12.1.1), можно восстановить 9? по мере
dp. Заметим, что это утверждение справедливо несмотря на пере-
нормировки, в том смысле, что перенормированный ток Р' яв-
ляется корректно определенной билинейной формой. Во всех из-
вестных суперперенормируемых моделях и (формально) в случае
модели (р* ток Р' явно определяется после снятия ультрафиолето-
вого обрезания. Коэффициенты Р', возможно расходящиеся, алгеб-
раически определяют коэффициенты Р, а следовательно, опреде-
ляют лагранжиан 9?.
16.1 Введение 303
Любую меру dp, удовлетворяющую уравнению (12.1.1), назы-
вают фазой, отвечающей лагранжиану ХР(<р)г-
При построении dp мы использовали не только лагранжиан S,
но и явную форму граничных условий (в гл. 11 использовались
граничные условия Дирихле; методы гл. 18 применимы к широ-
кому классу граничных условий). Любая мера dp, построенная по
тому же лагранжиану S с помощью другой предельной про-
цедуры, определяет другую фазу или смесь разных чистых фаз.
Говорят, что для лагранжиана S имеется фазовый переход пер-
вого рода, если S отвечают по крайней мере две различные фазы.
Фазовые переходы первого рода можно рассматривать и с иной
точки зрения. Вместо того чтобы изменять граничные условия,
рассмотрим вариацию самого лагранжиана
S = So + SS.
Если мера = dp^o+6j?, как функция S, разрывна при S — So,.
то различные фазы для лагранжиана So
V	/ —>оо	О J
можно строить, выбирая различные последовательности
Слово «переход» отражает тот факт, что непрерывное изменение
параметров (т. е. S) приводит к скачкообразному изменению мо-
дели. В большинстве случаев для доказательства существования
фазовых переходов первого рода, т. е. существования нескольких
фаз, используется один из двух описанных выше методов: измене-
ние граничных условий на бесконечности или бесконечно малая
вариация S. В квантовой теории поля фазовые переходы прояв-
ляются в том, что свойства поля на больших расстояниях (т. е. со-
стояния частиц и процессы рассеяния) качественно отличаются от
тех свойств, которые можно было бы ожидать исходя из парамет-
ров S. В качестве примеров можно указать так называемый меха-
низм Хиггса и солитоны.
В этом параграфе установлен критерий единственности чистой
фазы, т. е. единственности вакуума, основанный на исследовании
двухточечной функции для квантового поля Р(<р)2. Более того,
в случае единственности вакуума показано, что двухточечная функ-
ция позволяет найти физическую массу, которая определяется как
минимальный показатель экспоненциального убывания корреля-
ций. В заключение параграфа обсуждается связь между фазовыми
переходами и особенностями термодинамических функций.
Теорема 16.1.1. Пусть мера dp на S' удовлетворяет аксиомам
OS 0 — 3 и неравенству ФКЖ (§ 4.4, 10.2). Тогда аксиома OS 4
(единственность вакуума) выполняется в том и только в том слу-
чае, когда усеченная двухточечная функция Швингера S?(x— у)
стремится к нулю при |х — t/|->oo. В этом случае показатель
304 Гл. 16. Фазовые переходы
экспоненциального убывания функции S2 при |х — t/|->oo совпа-
дает со щелью в спектре гамильтониана Н между уровнем энергии
вакуума (нулем) и остальной частью спектра.
Доказательство. Неравенство ФКЖ применимо к монотонным функциям от поля.
Пусть
, .	( х при | х К1,	. .	...	. ..
а(х) = {	. X , р (X) = (1 + о (х))/2.
I sgn х при X > 1,
Для неотрицательной функции f из 9 положим
a(f) = o((p(f)), p(f) = р(ф())).
Заметим, что
(р (f) Р (g)> — (р (f)> (р = т «ст (f) o' (g)) - (o' (f)) (о (£)>].
Из равенства tp (f) = lim /.сг(/. *f) следует, что произведения различных ст или
р порождают &. В случае, когда функции f имеют носители в R+, эти произве-
дения порождают <о+, а при отображении ~ : S+ ->- ёони порождают Ж
Пусть ф е Ж есть образ некоторого произведения ст и р Мы утверждаем, что
существует такая функция f е 9-, snpp f с: R+, для которой
(ф, e~tH$) - (ф. Q)2 < Q, e~tH^(f) Q) - Q, Q)2.	(16.1.2)
Пусть теперь есть ортогональная проекция на Q еЖ Тогда (16.1.2)
можно переписать в виде
<ф, е-да(1-Ра)ф)<(^д, e-w(l-PQ)^(f)Q).	(16.1.3)
Если правая часть неравенства стремится к нулю при <-»-оо, то (1—Рс1)Ж> не
может содержать собственные векторы Ж с нулевым собственным значением,
или, другими словами, вакуум Q единствен. В этом случае, в силу (16.1.3), ниж-
ней части спектра оператора	gg отвечают векторы, лежащие в про-
странстве, порожденном векторами (1 —PQ)<p(f)£l. Таким образом, достаточность
условий теоремы вытекает из сделанного утверждения (16.1.2).
Докажем теперь это утверждение. Пусть А = (fi, ...,
fi Js 0. Положим
пл=Пр(П. 2л=Ер(».
(еЛ	(еЛ
fn), где fieP3,
Заметим, что следующие функции являются монотонными функциями от <р:
Ф (fi), о (fi), <р (fi) - и (fi), 2Л, Пл, 2Л - пл.	(16.1.4)
Для проверки монотонности последней функции по каждой переменной p(f/)
используется тот факт, что 0 р 1.
Применяя неравенство ФКЖ, получаем, что
(o'! (ф2 — ОГ2)> — (О[) (ф2 — ОГ2> > 0,
((фг — Оч) <р2> — (ф! — tfi)(<p2)>0.
Складывая эти неравенства, находим, что
<aiQ2> — <CF1><CF2> Sg <ф1ф2> —~ <ф1><ф2>.
(16.1.5)
Те же соображения, примененные к монотонным функциям П, S, S — П, дают
фПлПа> — (ПлХПа) <2л£а> — <ЕлХ2а>.
(16.1.6)
16.1 Введение 305
Левая часть неравенства (16.1.6) совпадает с левой частью (16.1.2), если рас-
смотреть fi, сдвинутые вдоль оси времени па t/2. Разложив правую часть (16.1.6)
и оценив ее сверху с помощью (16.1.5), получаем правую часть неравенства
(16.1.2). Таким образом, сделанное утверждение доказано, а вместе с ним до-
казана достаточность условий теоремы. Их необходимость вытекает из следую-
щих элементарных предложений.
Предложение 16.1.2. Пусть Н— положительный самосопряжен-
ный оператор. Тогда s. lim e~tH есть проекция на собственное под-
t ->оо
пространство оператора Н, отвечающее нулевому собственному
значению.
Предложение 16.1.3. Пусть мера dp на 9” удовлетворяет аксиомам
OS 0 — 4. Тогда для любых векторов ф, % е Ж
0 = lim (ф, e-tHy) — (ф, й)(й, %).
t-^OQ
Доказате гьство. В силу предложения 16.1.2 и аксиомы OS 4,
Р,, = | £2) (£2 | = s. lim e~tH. |
t —>оо
Продолжим обсуждение фазовых переходов на формальном
уровне. Пусть имеется мера </рл в конечном объеме Л. Тогда сво-
бодная энергия на единицу объема определяется выражением
Gh § Ф (X) dx \
е Л	(16.1.7)
и, в силу монотонной сходимости (в случае взаимодействий, рас-
сматриваемых в гл. 11, т. е. взаимодействий вида: четный поли-
ном -(-линейный член, с граничными условиями Дирихле), Oa(/i)->
->-a(h) при Л f R2. Вычислим теперь da/dh. Меняя формально ме-
стами дифференцирование и два предельных перехода Л f R2
(один в экспоненте, а другой в dy^), получаем, что
da/dh = <<р(х)>л,	(16.1.8)
где <->Л есть усреднение по мере, определяемой внешним полем h.
Аналогично, п-я производная выражается через усеченную /г-то-
чечную функцию Швингера:
= ((<РЙ<Р(У))-(q>(x))(q>(y)))dy,	(16.1.9)
= jj (<р (xi), -. •, <p(xn))Tdx2 ... dxn. (16.1.10)
Заметим, что da/dh есть намагниченность, a d2a/dh2— магнитная
восприимчивость. На языке гл. 5 функция a(h) определяет урав-
нение состояния, а производные dna/dhn являются термодинами-
ческими функциями.
Из неравенства ФКЖ или неравенств Гриффитса следует, что
d2a/dh2 0. Поэтому а является выпуклой функцией от h. Кроме
306 Гл. 16. Фазовые переходы
того, намагниченность da/dh монотонно возрастает и, следова-
тельно, непрерывна всюду, за исключением, быть может, счетного
множества значений h. Точка ho, в которой функция da/dh имеет
разрыв, является точкой фазового перехода первого рода. В этой
точке имеется по крайней мере две фазы (возникающие как одно-
сторонние пределы da/dh и <->л), а именно ()Л + 0 =	+ .
—	г->0	—
Справедливо и обратное утверждение. Предположим, что функ-
ция da/dh непрерывно дифференцируема в точке h = ho. Тогда,
в силу (16.1.9), усеченная двухточечная функция интегрируема.
Так как 0	<<р (х) ф (у) У = <ф (0) Q,	— Ра)<р(0)й> моно-
тонно убывает с ростом |х — у\, то <ф(х)ф(г/)>г->0 при |х —
— у\->оо. Поэтому, в силу теоремы 16.1.1, в теории с h=hG лю-
бая мера является чистой фазой. Таким образом, при h — ho не
происходит фазового перехода.
Термодинамические функции могут иметь не только скачки,
но и другие особенности. В этом случае данному лагранжиану
отвечает единственная фаза и фазовый переход называется пере-
ходом второго или более высокого рода. Обычно критические точ-
ки являются точками фазового перехода второго рода; по опреде-
лению, критическими точками называются граничные точки (в про-
странстве лагранжианов S') многообразия фазовых переходов пер-
вого рода.
16.2 Двухфазная область
Рассмотрим простейший случай, для которого удается доказать
существование по крайней мере двух фаз и фазового перехода
первого рода, а именно случай полиномиального взаимодействия
вида
П(<р) = Л:(ф2- Л-1)\1/2,	0<Л<1,	(16.2.1)
в размерности d = 2. Здесь индекс Z1/2 обозначает виково упоря-
дочение по отношению к ковариационному оператору (—A-j-X)-1.
Аналогичные методы применимы в случае, когда ф4 заменяется
четным положительным полиномом. С помощью соответствующего
викова упорядочения любой четный полином четвертой степени,
приводящий к двум фазам, можно представить в виде (16.2.1), см.
[Glimm, Jaffe, Spencer, 1976b]. Обобщение изложенных здесь ме-
тодов позволяет доказать существование двух фаз для некоторых
взаимодействий V, не являющихся ни четными, ни симметричными
относительно какого-нибудь ф; см. гл. 20.
Теорема 16.2.1. Пусть dy — мера на S'(R2), построенная, как
в гл. 11, с помощью полиномиального взаимодействия V вида
116.2.1) с массой m = 7.1/2. Тогда для достаточно малых X }> 0
16.2 Двухфазная область 307
мере dp, соответствуют по крайней мере два вакуумных состояния,
т. е. в системе имеется несколько фаз.
Доказательство этой теоремы строится по образцу доказатель-
ства аналогичного результата для модели Изинга в § 5.4. Для
того чтобы исключить флуктуации поля на малых расстояниях,
не имеющие отношения к проблеме фазовых переходов, мы усред-
ним поле ф по небольшим областям. Точнее, мы покроем R2 ре-
шеткой единичных квадратов А/ и будем рассматривать
ф(А) = q(x)dx.	(16.2.2)
А
Тогда выражение
ст(А)= sign ф(А)	(16.2.3)
определяет изинговы переменные, так как ст принимают значения
±1 и определены в узлах целочисленной решетки (центрах квад-
ратов А,). В силу симметрии меры dy относительно преобразова-
ния ср—> ф,
(ст(А)>= J ff(A)dg = 0.	(16.2.4)
Для доказательства теоремы необходимо исследовать распре-
деление вероятностей для границ фаз. Почти каждой конфигура-
ции классического поля сре^Д/?2) отвечает конфигурация модели
Изинга о (А). Здесь сте {±1}Z*, т. е. ст есть функция на решетке
Z2 (рассматриваемой как множество центров квадратов А,) со
значениями ±1. Граница фаз для конфигураций ф или ст есть гра-
ница множества ст-1(1), или, другими словами, множество таких
отрезков, которые разделяют два квадрата с разными знаками ст.
Поскольку мы имеем дело с трансляционно-инвариантной теорией
в бесконечном объеме, множество конфигураций, соответствующих
определенной границе фаз:
дст-1 (1)= граница фаз ст = граница фаз ф, (16.2.5)
имеет меру нуль. Поэтому в качестве элементарных событий мы
рассматриваем множества
{ф: Г с: граница фаз <р),	(16.2.6)
где Г — некоторое конечное множество отрезков на решетке. До-
пуская некоторую вольность, мы будем использовать обозначение
Г и для множества конфигураций (16.2.6) в ^'(R2).
Теорема 16.2.2. Для достаточно малых Z
Pr(r) = $dp<^constx“1/2|ri,
Г
где | Г | — длина Г в R2 и константа не зависит от Г и X.
308 Гл. 16. Фазовые переходы
Доказательство теоремы 16.2.1 в предположении, что доказана теорема 16.2.2.
Мы покажем, что <ст(Д)ст(Д')> не стремится к нулю при dist (Д, Д') —оо. Со-
гласно (16.2.4), <ст(Д)> = 0, поэтому из предложения 16.1.3 будет следовать, что
вакуумное состояние не единственно.
Пусть р± (Д) = {1 ± о (Д)} обозначает характеристические функции для
положительных и отрицательных значений ср(Д). Поскольку <<р> = <о(Л)> = 0,
имеем <ст(Д)ст(Д')> = 1—4<р+(Д)р-(Д')>, и для завершения доказательства до-
статочно показать, что (р (Д) р_ (Д')^^е-0^ 1 при малых X.
Важное наблюдение состоит в том, что р+(Д)р_(Д') У= 0 только для таких
конфигураций поля <р, для которых граница фаз содержит контур Г, разделяю-
щий Д и Д'. Поэтому
<Р+(Д)Р_(Д'))<	2	Рг<г)-
{Г: А с: Int Г или Д' cz Int Г)
Очевидно, контур Г имеет длину |Г| S;s 4. Кроме того, число различных конту-
ров Г длины п не превосходит п23". Это утверждение доказывается по индукции.
Начальную точку Г можно выбрать не более чем п2 способами. Если на решетке
имеется кривая длины /, то ее можно продолжить до кривой длины (/ + 1) без
изменения начальной точки только тремя способами, а именно добавляя одно из
ребер, примыкающих к последней точке. Таким образом, по теореме 16.2.2
СО
(р (Д) р_ (Д')) -С	(а"1/2) -С е-°	
п=4
Для того чтобы доказать теорему 16.2.2, изучим возмущения
евклидовой меры d[i, определяемые полиномами вида
з
QG, =	X),
v=l
где X— некоторое объединение квадратов решетки Д и
Qi a(I), X) = Л1'2 £ J (:ф (х)\112 - Л"’) dx,
q2 а®, х)=। in х г1 s 5 :(₽w2 - ‘р dx>
Q3(fe(3). х)= Е ^(ф(Л0-ф(А/))-
Af, А, с X
Теорема 16.2.3. Существует такая константа К <Z оо, что для всех
|	|	1 и для достаточно малых X
(eQ №, X))	1 П1 р | а |.
Идея доказательства этой теоремы состоит в использовании
многократных отражений для сведения локальных оценок в бес-
конечном объеме к глобальным оценкам в конечном объеме. В си-
лу предложения 10.6.1 и теоремы 12.4.2, достаточно оценить вели-
чину	в случае, когда все равны между собой,
16.2 Двухфазная область 3091
а X есть прямоугольник, площадь которого не меньше некоторой,
фиксированной доли площади Л.
Доказательство теоремы 16.2.2 в предположении, что доказана теорема 16.2.3.
Начнем со следующего тождества:
( П [Р+(д)Р_(д/) + Р_(д)Р+(Л')]\ = Рг(Г), (16.2.7).
\д, Д')е Si	/
где Й?— множество пар соседних квадратов, таких, что ребра ДПД' образуют Г.
Запишем р+ и р_ в виде
Р+ ==Z(o, (1/2) Л-1/2)	^((l/zyx-1/2, оо) =p+.s + p+.r	(1628)
Р- = ^(-ОО, -(1/2) Л-1/2) + ^(-(1/2) Л-!/2, 0) = р~. I + p-.s’
где Х(о, 1>)(В)—характеристическая функция интервала а < | < b и g = <р(Д)
или ср (Д'). Функции р± с индексами s, I отвечают соответственно «малым» и
«большим» значениям ср. Подставим (16.2.8) в (16.2.7); раскрыв скобки, получим
gl^l__giri членов так как все он11 положительны, достаточно рассмотреть от-
дельный член и затем выбрать наибольший нз них. Таким образом, для каждой
пары (Д/, Д1) мы имеем произведение р+,[Ш> и р_,/или».
Если в этом произведении оба р имеют индекс I, мы воспользуемся оценкой
Р+, I (дс) Р-, I (д/) < hI/2 (ф (дс) - ф (Д/))ГГ = ^м'2 ОС’/Ге<23 U
где М — произвольное четное число. Остальные три типа произведений содер-
жат р+, в или р~, s. Эти члены мы оцениваем с помощью неравенства-
1	(4/3) (1—Хср(Д)2), справедливого при 2Х1/2|ср(Д)|	1. Заметим, что
X-1 — ф (Д)2 = ^Х~1 — 1ф (х)2.’ с/хЛ +
КД	/
+ ( j -’ф U)?: dx — :<р (Д)2:"^ +	(— Д + X)-1 (х, у) dx dy..
\ д	/ д х д
Последний член имеет порядок О(|1пХ|), поэтому, умножив его на X, мы полу-
чим величину, меньшую 1/3 при достаточно малых X. Таким образом, находим-
оценку
1 ^2Х ^Х-1 — :ср (х)2:с/хЛ 2Х :<р (х)2: dx — :<р (Д)2:\
\ д	/ \д	/
Отсюда следует, что при четном М
4Х
:ср (х)2 — ср (Д)2: dx
д
Следовательно,
р,(Л,)<(а®)"Г(-1LVе«‘ + (	V®(InЧ"
L\“S/ 7	\ aij J	-Н=о
Заметим, что X(ln X)2	1 при X 1/2, поэтому множителем ХЛ,/2(1п Х)м можно
пренебречь. Опять раскроем скобки и из полученных таким образом слагаемых
(пх число не превосходит г') выберем наибольшее. Максимальному члену со-
ответствует некоторый выбор полиномов Qv, отвечающих каждому квадрату Д,
примыкающему к Г. Пусть обозначает множество квадратов (или пар квад-
310 Гл. 16. Фазовые переходы
ратов при v = 3), соответствующих члену Qv, и пусть Xv—объединение квад-
ратов, входящих в состав Положим = [J ЗУ и X = [J Xv. Тогда
V	V
Рг(Г)<(40)1 Г| JI (4XI/2d/dg’.I))7M П (4X1/2d/dg(/2))7’1 X
А у е Л j	A j g
X п
(Az, Д;)ей3
Производные в точке g = 0 вычислим с помощью интегральной формулы Коши.
Для этого продолжим функцию <ехр Q (g, X) > в комплексную область по пере-
менным	g£y и проинтегрируем по произведению окружностей | g’/' | =
= |g<3>| = 1,Так как полипом Q линеен по g, имеем |exp(Q(g))| exp(Q(Reg)),
и по теореме Коши получаем:
Рг (Г) < (40)' г 1 (4Л1/2)Л! (1 Л1+1 1+1 1 ’ (АП)’ 1+1 А |+1 1 X
х sup (е*2(Re *>).
Положим N = |	| + | й?21 + I |. Заметим, что | Г |	2 | Г | и | X |
si 2|Г|. По теореме 16.2 3
Рг (Г) < (40)' г 1 Г>-1/24ЛТ!(1/Л1)]'¥М ехр [2Д (In Л)2 J Г J ].
‘Воспользуемся формулой Стирлинга	~ М/е и перепишем эту оценку в
виде
Рг (Г) < [(бХ^М/е)711 ехр {2Д (In X)2 + 1п (40)}]1 Г
Выберем в качестве М наибольшее четное число, удовлетворяющее неравенству
5ХО2Д4 si 1. Тогда существует такая константа Xi, не зависящая от X и Г, что
при достаточно малых X
Рг (Г) < ехр [{- 2КД-1/2 + 2К (In X)2 + 1п (40)} | Г | ] < ехр [- KtX“1/2 | Г | ].
Таким образом, теорема 16.2.2 доказана и существование фазовых переходов
•сводится к доказательству теоремы 16.2.3.
Доказательство теоремы 16.2.3 основано на двух предваритель-
ных связанных между собой оценках.
Предложение 16.2,4. Пусть 0 < X 1/2, и пусть Л — прямоуголь-
ник ЬУ(.Т. Предположим, что L Т и Z~3/2 L. Для веществен-
ной функции g (X) е Loo (Л) определим
Г = J V dx + Q, = J :Х (<р2 - V ’У + Zl/2g (х) (ср2 - Л" %1/2 dx.
Л	Л
Пусть С — (—А<зд + Л)-1 обозначает ковариационный оператор
•с граничными условиями Дирихле на дЛ. Тогда
ехр[- К| Л |]< J ехрf- Г]d<pc <ехр[Я(In X)21Л |], (16.2.9)
где К — константа, зависящая только от ||g||L .
16.2 Двухфазная область 311
Замечание. Множитель (1пХ)2 из оценки сверху можно исключить
[Glimm, Jaffe, Spencer, 1976а].
Предложение 16.2.5. Существует такая константа К < оо, что для
любых	1/2 и |g(2)|, |^|^24, а также для любого пря-
моугольника X
Jexp[Q2(g<2', *)+Q3®3), Х)М<Рс <ехр[7<| X |].	(16.2.10)
Доказательство теоремы 16.2.3 в предположении, что доказаны предложения
16.2.4—5. В силу неравенства Гёльдера,
(exp Q (§, Х))< sup (ехр Qv (3§(м, А')),	(16.2.11)
1 si V<3
поэтому достаточно оценить члены, соответствующие отдельным Qv, прн усло-
вии что || £||. <3. При v = 1, 2 оценку можно свести к случаю, когда X— пря-
мое
моугольнпк, если воспользоваться оценкой по методу многократных отражений,
доказанной в следствии 10.5.8, положив k(i> = ехр Qv(^v\ Л/). После отражений
функций получим функции вида ехр Qv Y), где У — прямоугольник.
Тогда необходимая оценка для (16.2.11) при v = 1, 2 получится из оценки
(ехр Qv U(v), У)) < ехр [К (In X)2 | У | ]	(16.2.12)
для прямоугольников У, которую мы докажем ниже. Соответствующая редукция
в случае v = 3 проводится следующим образом. Вначале, пользуясь неравенством
Гёльдера, мы сводим задачу к случаю, когда Q3 есть сумма по непересекающпм-
ся парам. (В результате условие |g| si 1 заменяется условием |g| si 4.) Далее
применяем следствие 10.5.8, заменив квадрат А; прямоугольником Д (J Д', где
(А, Д') е Й?з. Таким образом, необходимо оценить среднее с v = 3 величиной
(16.2.12) в случае, когда У есть прямоугольник 2Щ X Г-2, a g]3' У= 0 только для
(Д/, Д;), для которых объединение A, (J Д/ принадлежит множеству состоя-
щему из LjLa непересекающихся прямоугольников 2X1, покрывающих У.
Среднее в конечном объеме <->л, определяемое мерой с/Цд вида (11.2.1),
сходится к среднему <•> при Л f R2. Поэтому
(ехр Qv У )> < 2 (ехр Qv U(v>, У))Л,	(16.2.13)
если Л содержит достаточно большое множество, зависящее от Е, У, X и у. До-
пустим, что АэЛ(Е, У, X, v). Мы будем оценивать (16.2.13) при фиксированных
(|, У, X, v), но получим оценку ехр [Д(1п Х)2| У|], в которой К не зависит от
(|, У, X, V). Не теряя общности, можно выбрать в качестве Л прямоугольник
L X Т, удовлетворяющий условиям Х~3/2 si L Т.
Следующий шаг оценки величины (16.2.13) состоит в том, что У увеличи-
вается по сравнению с Л до тех пор, пока не будет выполнено условие |Л| si
4|У|. Применим несимметричную оценку по методу многократных отражений,
доказанную в теореме 12.4.2, положив В — ехр Qv (^v), У) и К = У. Тогда
|Л<">| si 4|Д<П)| и B(rt> — ехр Qv (g(v), Д('г)). Условие (12.4.9), налагаемое на
Z(A), вытекает из оценки (16.2.9) предложения 16.2.4 в случае £ =’ 0. Таким
образом, осталось оценить
(В<П))Л = <ехр Qv (E(v>, К(п>))д = Z (Л)"1 J ехр [Qv Д('г’) - V (Л)] d<pc,
где Л = Л(п). Для доказательства (16.2.12) достаточно получить оценку
,<ехр[/((1пХ)2| Л(п>|].	(16.2.14)
312 Гл. 16. Фазовые переходы
Из предложения 16.2.4 в случае | = 0 вытекает, что Z(A,n)) оценивается
'снизу величиной ехр [—К| Л(п) | ]. Оценка сверху для ехр [Qi — V]dcpc также
следует из предложения 16 2.4. При v = 2, 3 применяем неравенство Шварца:
j ехр [С\, — V] dqc < | ехр [2QJ d<pc • j ехр [— 2V] dcpc } ' .
Два множителя в правой части оцениваются сверху с помощью предложений
16.2.5 и 16.2.4 соответственно. |
.Доказательство предложения 16.2.4. Применяя масштабное тождество (8.6.26)
с а = А1/2, получаем (в обозначениях § 8.6)
ехр [— tt7] dqc = ехр [- :Р (ср, f):C0] d<PCfj.	(16.2.15)
Здесь С0= (—Д + /)-> и Св =(— Л, (а1/2д) + Пусть %х(х) обозначает
характеристическую функцию множества X. Тогда
П = ХЛ1/2Л, f2 = {- 2Х-1 + Л" (х VD} ХЛ1/2Л.
f0 = {х-2 -	)} ха1/2л.
В качестве следующего шага произведем впково переупорядочение поли-
нома Р. Для этого воспользуемся преобразованием (8.6.1) и найдем пару функ-
ций g = (go. gz), удовлетворяющую уравнению
:Р (<Р- П'с0 = :Р f + &:св
Тогда
§2 = - 66с (х) Хх1/2д.
g0 = {3 (6с (Л))2 + 2Х'1 6с (х) — Х-1/2£ (x/Vx) 6с (х)} Хх1/2л-
Предварптельно заметим, что
16с(х) |<O(l)e-d(l +| Inez|),	(16.2.16)
где d = dist(x, ^(Х'^Л)). Следовательно,
| g0 (х) dx |<Я|Л|,	(16.2.17)
где константа К зависит только от || £ II, . Здесь мы воспользовались тем фак-
^ОО
том, что |Х1/2Л| = Х|Л|. В силу неравенства (16.2.17), вклад, отвечающий g0,
при доказательстве (16.2.9) можно не учитывать.
(i) Оценка снизу. Пусть ф (х) — ср (х) + h (х) обозначает сдвинутую пере-
менную поля. Функция h е С“ (Х,/2Л) выбирается ниже. Применяем формулу
для сдвига поля (9.1.27')
ехр [— :Р (ср, f + §2):Св] d(PcB = еХр [~ 'Р Z):cB] d^cB' (16-2Л8)
где I = {//} — множество констант связи, определяемое самим этим равенством.
Согласно замечанию 1 к следствию 10.3.2,
ехр [~ $ Z°	$ ехр ’Р Z):Cfl] а^Св'
16.2 Двухфазная область 313
и можно выбрать h так, чтобы оптимизировать эту оценку. В частности, выбирая
h специальным образом, получим верхнюю оценку
Z0(x)dx<K|A|.	(16.2.19)’
Из нее следует нижняя оценка (16.2.9). Заметим, что
J 10 (X) dx = P (h, f + g2) + L Qlt
= J [(ft(x)2-x-1)24-x-I/2(ft(x)2-x-1)g(x/Vx)-
Л>/2д
— 6 6c (x) h (x)2] dx + 4 {h, (— A + /) ft). (16.2.20}
Пусть /г(х) = X~I/2 '/..< (x), Где 'Xs— сглаженная характеристическая функция мно-
жества Х1/2Л, удовлетворяющая следующим условиям:
0<%s(x)<l,	ZseC0“(x'/2A),
Xs (х) = 1> еслн dist (х, д (Х,/2Л)) > I.
Кроме того, мы выбираем %s так, что
I V/s М К const,	(16.2.21)'
где константа не зависит от X, Л. Заметим, что
V/s (х) = 0, если dist (х, д (Х1/2Л))	1.	(16.2.22);
Используя (16.2.21—22) и предположение Х_3/2 sj L, получаем, что
4 (ft, (- А + I) ft) = (2Х)~1 (||	||2 + || Zs ||2) <
< (2Х)-1 {const Х1/2 (L + Т) + X | Л | } <
const {X' ^2 (L + Т) + | Л | } const | Л |.
Таким образом, второй член в (16.2.20) удовлетворяет оценке (16.2.19).
Оценим теперь первый член. Для этого заметим, что й(х)2— X-1 =з 0 при:
dist(x, d(XI/2A))	1. Кроме того, 0 сХ X-1 — й(х)2	2Х-1. Поэтому
[(й (х)2 - Х“ ’)2 + X-1/2 (ft (х)2 - Х“ *) £ (х/Vx)] dx <
< 2 (4Х-2) Х,/2 (L + Т) + 4Х“3/21| £||, XI/2 (Z. + У) <
^ОО
const Х-3/2 (L + Т) const | Л |,
где константа зависит только от ||£||, . Наконец, учитывая (16.2.16), имеем;
| j бс (х) ft (х>2 dx | Х~1	| 6с (х) | dx const Х~ *Х | Л | const | Л |.
Х'/‘2Л
Суммируя эти оценки, получаем (16.2.19).
(ii) Оценка сверху. Мы получим искомую оценку сверху в (16.2.9) нз оценок
для единичных квадратов, покрывающих Х1/2Л. Воспользуемся неравенством об-
314 Гл. 16. Фазовые переходы
условлепности (10.3.7) и оценим (16.2.15) сверху. Учитывая (16.2.17), получаем,
что
ехр [- 1У]й<рс = ехр [ - :Р (<р, f + #):Св] ^ФСв = ZR (f + g)<
+ £) Хд)<ехр
д
И1Л1]П^((^ + ^)^)-
А
Здесь ZN обозначает статистическую сумму, отвечающую ковариационному опе-
ратору Gv = (—Ди +/)-1 с граничными условиями Неймана. При этом опера-
тор Gv задает и виково упорядочение, и ковариацию гауссовой меры. Оценим
сверху Z,v((f + gs)xA). Для этого мы получим оценку снизу для :Р(фи> (/+
Используя затем эту оценку и неравенство (8.6.23), получим, что
+£2) %д):с„-
Z.. ((f + g2) %д) < ехр [КХ 1 (In X)2],
(16.2.23)
откуда вытекает требуемое неравенство
ехр [— И7] йфс ехр [ЛХ 1 {1 + (In X)2} X | Л | ехр [const (In X)21 Л ] ].
(Заметим, что Z,v((f + й)Хд) можно было бы оценить с помощью предложе-
ния 8.6.2, однако в этой оценке имеется сильная расходимость при Х->0.)
Для того чтобы оценить снизу :Р (фи> (f + g2) Хд):Су воспользуемся форму-
лой впкова упорядочения (8.5.5) и запишем
В (х) dx “С
[Д (х)2 — В (х)] dx = :Р (фи, (f + g2) ZA):Cjv.
Здесь А определяется с помощью приведения к полному квадрату, а В состоит
из остальных членов, причем в В расходимости старшего порядка сокращаются}
А (х) = {фи (х)2 + 4 (х) + 4 g2 (х) — Зси (х)} хХ1/2Л (х)>
В W = {т (^2	+ ^2 W ~ 6си W)2 ~ k + си № (h W + ^2 W) ~
- Зси (х)2} Хх,/2л (X) = {6Х"1 6с (X) - ЗХ - 1/2g бс + 9 (бс (х))2 - 2с* (х) (f2 (х) +
+ g2 (*)) + (4Х)”1 £2 + 6с* (х)2} %х1/2д (х),
где с (х) = б * С.. * б = О (In х), а функция бс (х) определена выше. Таким
М	z( /V z(
образом,
В (х) dx const [Х-1 + (In х)2 4- X-1 In х]
д
и константа зависит только от II • Заметим, что норма M((f + gs)/^), опре-
деляемая выражением (8.6.6), удовлетворяет неравенствам const X-1	Л1((/+
+ й2)Хд) const X-1, где константы зависят только от 11ё11£ • Следовательно,
- {1 + М ((/ + g2) Хд)} (1п х)2 < -.Р (фи, (f + g2) ^):Cn.	(16.2.24)
16.2 Двухфазная область 315
Применим оценку (8.6.23), положив m = М = 1, Л = Д, п = 4, L == 0. В ре-
зультате получим требуемое неравенство
ZN (tf + g2) M < ехр [W1 (1п Л)2]. |
Доказательство предложения 16.2.5. С учетом неравенства Шварца случаи Q? и
Оз можно оценивать по отдельности. При этом область значений увеличи-
вается в два раза. Рассмотрим вначале Оз. Как и при доказательстве теоремы
16.2.3, применяя неравенство Гёльдера, мы можем считать, что Q3 есть сумма по
непересекающимся парам квадратов (Д, Д'). Пусть 91 обозначает множество та-
ких пар.
Положим CN = (—Д« + К)-1, где оператор Д« определяется граничными
условиями Неймана на <Э(Д U Д') для всех пар (Д, Д') е 91. По неравенству об-
условленности предложения 10.3.1
j ехр [03 (g<3>> *)] ^<Рс< j ехР [Qs U<3>. ^)] d(fcN-
(16.2.25)
Пусть (Д, Д') е положим h за Хд — Хд'- Так как правая часть неравенства
(16.2.24) факторизуется, мы получаем
ехр [Q3 (V3), -К)] rf<pCyv < ехр |Ц- (Л, CNh) || &(3) ||^ | Я Q.
Функция h ортогональна функциям, постоянным на Д U Д'. Поэтому h ортого-
нальна основному состоянию оператора —Д« в £2(ДиД'). В этом гильбертовом
пространстве Ск — компактный оператор. Пусть Е\ — наименьшее ненулевое соб-
ственное значение оператора —Д/,-. Тогда справедлива оценка, не зависящая
от X:
(Л, CNh) < (£, + Л)"11| h Hl < 2£Г *.
Так как |^|	|-Х|, мы получаем требуемое неравенство
ехр [<2з U<3>, Л)] d<pc < ехр [К | X | ],
в котором константа К не зависит от X, X, А.
Рассмотрим теперь случай, отвечающий Q2. Вначале произведем виково пе-
реупорядочение полинома Qs по отношению к ковариации С = (—А<эл + Х)-1
с граничными условиями Дирихле на дЛ. Тогда
Q2^2\ X):k1/2 = :Q2(^, Х):с + а,
где а — константа, удовлетворяющая равномерной по X оценке |а|	О(|А'|).
Таким образом, а можно в дальнейшем не учитывать.
Пусть Ск = (—Дл’ + /.)-1 обозначает теперь ковариационный оператор с
граничными условиями Неймана на границе всех квадратов решетки Д. Согласно!
неравенству обусловленности предложения 10.3.1,
ехр [Q2U<2’. *)] dq>c < П ехр [:<?2 (Б® Ai):C;v] d(PcN-
i
Достаточно показать, что каждый член в этом произведении не превосходит не-
которой константы, не зависящей от X.
Пусть %д обозначает оператор умножения на Хд> а Рд — оператор орто-
гонального проектирования на подпространство констант в Ь2(Д). Тогда
'316 Гл. 16. Фазовые переходы
| In X | 1 £(2) :<р2 (Д) — <р (Д)2:^ = р<Р W <Р (y)-cNv <х> У')dx аУ<
где v (х, у) — ядро оператора v = 11п Z |~' &(2>(Хд — Рд)- Из (9.1.26b) следует,
•что
ехр [:Q2 (б’2*, Д):Сд,] rf<PCyv = ехр [— 4 Tr {In (/ — Л) + Л}] <
< ехр [const || Л ||hS],
тде Л = С^2еС'Р, а ||Л|| hs обозначает норму Гильберта — Шмидта оператора Л.
Последнее неравенство выполняется, если ||Л||Hs < 1.
Подпространство констант принадлежит ядру оператора Хд_рд в ^г(Д) и
О Хд— Ра^Р Кроме того, (—Aw + X)-1—компактный оператор в £2(Д)-
Следовательно,
MIIhs <| In Z r2g<2'2Tr (CNfa - PJCN) = I In ЛГ2 g(2)2 X (P/ + X)-2,
1^0
где £) = const|/|2(/s Z2) — ненулевые собственные значения оператора —А» в
£2(Д). Сумма У EJ2 сходится, поэтому ЦЛЦнв < 1 при достаточно ма-
/ =/= о
лых Z. 'fl
16.3 Сохранение симметрии (случай d = 2)
Рассмотрим векторнозначные поля <р, принимающие значения
<р(х)ес₽, где SB есть Rn или S"-1. Можно рассматривать также
поля, для которых SB — алгебра Ли или группа Ли. Функционал
действия определяется на пространстве SB или на полях, прини-
мающих значения в SB. Обычно функционал инвариантен отно-
сительно группы симметрий G пространства SB  Например, в § 5.5
рассмотрена модель со взаимодействием изингова типа, в которой
спиновые переменные о(х) принимают значения в S1 и при этом
взаимодействие инвариантно относительно группы 17(1) вращений
3*. Эта модель, называемая моделью ротаторов или ХУ-моделью,
была предложена для описания поверхностных явлений и плавле-
ния. Аналогичная модель изингова типа со спинами, принимаю-
щими значения в S2, называется моделью Гейзенберга или XYZ-
моделью и используется для качественного описания ферромагне-
тизма. Наконец, векторные д>4-модели применяются в физике эле-
ментарных частиц, где их называют полями Хиггса.
В случае векторнозначных моделей качественная теория фазо-
вых переходов более сложна. Пусть Жкл есть пространство кон-
<фигураций <р, минимизирующих Ж-. Обычно такие конфигурации
являются постоянными конфигурациями, т. е. q> (х) = const, по-
этому множество отождествляется с некоторым подмноже-
ством пространства SB. Картина, основанная на приближении сред-
него поля, предсказывает существование фазовых переходов, на-
рушающих симметрию, и появление при низких температурах не-
16.3 Сохранение симметрии (случай d — 2)	317
скольких фаз, соответствующих точкам <ркл е ^кл- Например,
в случае модели Изинга со спиновым пространством S1 имеется
однопараметрическое семейство конфигураций <р — (cos 0, sin0),
0 = 0 (%) = const е [0, 2л), минимизирующих взаимодействие, т. е.
^кл — £1. (Для сравнения: в обычной модели Изинга со спиновым
пространством множество = {±1}= <S° дискретно.)
Для полей, определенных в пространствах малой размерности,
т. е. для полей <р(х), х егде d мало, фазы, предсказываемые
приближением среднего поля, не существуют ни при каких сколь
угодно низких положительных температурах, а появляются только
при нулевой температуре. Определим для данного взаимодействия
наибольшую размерность dKp, при которой фазы, отвечающие при-
ближению среднего поля, существуют только при нулевой темпе-
ратуре. Для однокомпонентной (п = 1) модели Р(ц>)а и для моде-
лей Изинга картина среднего поля применима, когда размерность
d> 1. Кроме того, методами § 3.3 было показано, что модели
P(<p)i эквивалентны квантовой механике с одной степенью сво-
боды и имеют единственное основное состояние. Следовательно,
скалярные (с числом компонент п = 1) модели имеют критиче-
скую размерность dKP = 1. В случае d > d,,r, существуют фазовые
переходы первого рода при достаточно низких температурах.
Из результатов, доказанных в этом параграфе и в § 16.4, сле-
дует, что в случае модели Изинга со спиновым пространством
S"-1, где число компонент п 2, критическая размерность dKj> = 2.
При d = 2 равновесное состояние для модели ротаторов (S1) един-
ственно, т. е. при данной температуре существует только одно
равновесное состояние. Этот факт выводится из того, что в этом
случае давление, рассматриваемое как функционал в некотором
банаховом пространстве потенциалов, дифференцируемо [Bric-
mont, Fontaine, Landau, 1977]). По построению равновесное со-
стояние инвариантно относительно действия группы вращений G
в пространстве Rn^>Sn~l. В силу единственности, это состояние
является чистой фазой. Таким образом, говоря физическим язы-
ком, в этом случае нет нарушения симметрии. Единственность
равновесного состояния (в указанном выше смысле) гарантирует
отсутствие скачков у любой термодинамической функции и, следо-
вательно, отсутствие фазовых переходов первого рода. Тем не ме-
нее, как объяснялось в § 5.5, не исключено существование фазо-
вых переходов более высокого рода и вырождение состояний, близ-
ких к равновесному.
В настоящее время не существует математически строгой тео-
рии, позволяющей определять dKp- Примеры, которые удается ис-
следовать, указывают на важную роль двойственных переменных
(т. е. переменных, отвечающих преобразованию Фурье) для опи-
сания элементарных возбуждений основного состояния. В скаляр-
ных Р (q>) -моделях и в модели Изинга такие переменные опреде-
ляются границами фаз. Поскольку действие, соответствующее от-
318 Гл. 16. Фазовые переходы
Рис. 16.1. Интегрирование по 6;
дельной связной компоненте границы фаз (контуру), растет про-
порционально 0 и размеру этого контура, большие контуры подав-
ляются из-за их экспоненциально малой активности О(ехр(—0-
•размер)). Поэтому при больших 0 они образуют разреженный
газ, характеризующий неупорядоченную фазу для P(q>)-систем и
модели Изинга. В случае модели ротаторов двойственными пере-
менными являются вихри и диполи вихрь-антивихрь, см. § 5.5.
Ниже мы докажем теорему Хоенберга — Мермина — Вагнера в
той форме, в какой она приведена в работе [McBryan, Spencer,
1977]. Из этой теоремы следует, что
для ^"-'-модели Изинга с числом ком-
понент п 2 размерность е?Кр не мень-
ше 2. Для простоты мы ограничимся
рассмотрением модели ротаторов. По-
ложим
Я=-Еед, (16.3.1)
б. с
где Gi е S1, а суммирование распро-
странено на все пары ближайших со-
седей (i, /). Мы можем записать спин
в виде о = (cos 6, sinO). Тогда Н при-
мет вид
Н = — X cos (0Z — ер. (16.3.2)
б. с
Теорема 16.3.1. Пусть е > 0. Тогда существует такое 0(e) < оо,
что для всех 0 > 0 (е) выполняются неравенства
0 < <<т/г • oi> < | k — 11
(16.3.3)
Замечание. В силу теоремы 16.1.1, убывание корреляций (16.3.3)
наводит на мысль о единственности основного состояния и отсут-
ствии фазового перехода первого рода. Тем не менее доказать эти
утверждения, используя лишь (16.3.3), не удается. Доказательство
единственности можно найти в работе [Bricmont, Fontaine, Lan-
dau, 1977]. Там же рассматриваются непрерывные Р(<р)-модели.
Случай произвольной группы Ли G изучается в работе [Dobru-
shin, Shlosman, 1975], где доказана инвариантность равновесного
состояния относительно группы G для случая, когда значения спи-
на ограничены, или при некоторых других предположениях тех-
нического характера1). Квантовая модель Гейзенберга рассмотрена
в книге [Ruelle, 1969].
’) В работе Добрушина и Шлосмана рассмотрена система с произвольным
короткодействующим дважды дифференцируемым потенциалом взаимодействия,
инвариантным относительно действия компактной связной группы Ли G. Дока-
зано, что всякое равновесное состояние инвариантно отосительно группы G. Ус-
ловия гладкости потенциала, по-видимому, существенны. Оценки убывания кор-
16.3 Сохранение симметрии (случай d = 2)	319
Доказательство. Положительность корреляций вытекает из следствия 4.7.2. Для
доказательства оценки сверху мы используем следующее представление:
л л
°z> = Z~1 Re J • • • J exp fp У cos (0f - 0,) | exp {i (0fe - 0J) Ц rf0..
-Л -Л I ii	)	i
(16.3.4)
Предполагается, что система рассматривается в конечном множестве Л на ре-
шетке, и доказывается, что оценка убывания корреляций (16.3.3) равномерна по
Л. Вопросы сходимости при предельном переходе к бесконечному объему здесь
не обсуждаются.
Используя периодичность и аналитичность подынтегрального выражения
в (16.3.4) как функции от 0ь 02, ..., мы делаем замену переменных 0,-►
где а/ — вещественные константы, выбираемые ниже. Другими словами, мы поль-
зуемся теоремой Коши: интеграл по любому замкнутому контуру на комплекс-
ной плоскости 0; равен нулю (рис. 16.1). Интегралы по боковым отрезкам вза-
имно сокращаются в силу периодичности. Поэтому интеграл по нижнему от-
резку равен интегралу по верхнему отрезку с обратным знаком. Экспонента
преобразуется следующим образом:
cos (0{ — (L) -> cos (0{ — 0^) ch (а. — а;.) — i sin (0. — 0;j sh (а{ — a.).	(16.3.5)
Так как | е‘х | = 1 при вещественных х, мы получаем, что
<ak • °l> < ехР [- (ak - az)] Z~1 J exP [p У, cos (ei - e/) ch (ai - °j)] П =
i
= exP [- (ak - “z)l Z~1 J eXP [p S C0S ~ 0/) 0 + Ch (ai ~ C/) “ *)] П dQi <
i
< exp [— {ak — az)] exp Г₽ У (ch (af — ay) — 1)1.	(16.3.6)
L z, i	J
Положим теперь
«/ = ₽-' [С (/. k) - С и, 0] = Г’ <®/> (- Л)" ’ (6fe - «z)>.	(16.3.7)
где C(f, /) =C(t — /)—ядро функции Грина (—А)-1, а А — оператор Лапласа
на решетке. Из (16.3.7) следует, что а/ ограничены равномерно по j и фактиче-
ски
|aj const Р-1.	(16.3.8)
Поэтому
р X <ch (ai --1) < | о+° (р-2)) У («»- «/)2=
7
= (у + О (р-1)) {а, - Да) = (4 + О (р"1)) Р"1 (ak - at) =
= 4(«fe-«z) + °(P-2) («ft-«z)-
реляций для таких систем доказываются в работе: Шлосман С. Б. Убывание
Корреляций в двумерных моделях с непрерывной симметрией. — ТМФ, 1978.
т. 37, Ns 3, с. 427—430. — Прим, перев.
320 Гл. 16. Фазовые переходы
Используя (16.3.6), получаем, что при достаточно больших Р > р(е)
• <TZ> С ехр [- 4 (ak - а,)(1 + е)].	(16.3.9)
Заметим, что, в силу (16.3.7),
0 sC Ал —fl, = 2р-1(С(0)— C(k~ /)).	(16.3.10)
Положительность следует из того, что C(k) как положительно определенная
функция принимает максимальное значение в начале координат. Асимптотическое
поведение решеточной функции Грина при d = 2 имеет вид
С (0) - С (k) ~ In I k |, Щ->оо.	(16.3.11)
Подставляя (16.3.10—11) в (16.3.9), приходим к утверждению теоремы. |
Из корреляционных неравенств, приведенных в следствии 4.7.2,
вытекает, что	0. Поскольку среднее <>
трансляционно-инвариантно, имеем
lim	=
J k— I I ->oo
Таким образом, доказано
Следствие 16.3.2. При достаточно больших р
<ofe> = 0.	(16.3.12)
Замечание. В доказанной теореме можно отказаться от предполо-
жения о том, что |3 велико, п получить оценку с меньшей скоростью
убывания корреляций. При этом мы докажем, в частности, равен-
ство (16.3.12) для всех р. Доказательство проводится тем же спо-
собом, что и выше, но вместо (16.3.7) мы полагаем
й/ = е(1 +Р)-'[С(/, £)—(?(/,/)].	(16.3.13)
Выберем далее 0 < е < 1 так, чтобы оптимизировать оценку.
В результате будет получена
Теорема 16.3.3. Существует такая константа 0<с<1, что при
всех р
0^<ofe-<n>^|£ —/|-с/(,+Р)	(16.3.14)
« <(Тй> = 0.	(16.3.15)
16.4 Нарушение симметрии (случай d 3)
В этом параграфе мы покажем, что для векторных моделей в раз-
мерности d 3 имеет место нарушение симметрии и существуют
фазовые переходы первого рода. Это утверждение дополняет ре-
зультат предыдущего параграфа о сохранении симметрии в таких
системах при d — 2. Методы, рассматриваемые ниже, применимы
также к случаю непрерывного поля (<р2)2 в размерности d — 3.
16.4 Нарушение симметрии (случай d^3)	321
Для того чтобы избежать некоторых технических трудностей,
мы будем изучать решеточную модель с периодическими гранич-
ными условиями. Мы предполагаем существование предельной
меры при переходе к бесконечному объему и не доказываем, что
периодические граничные условия в пределе эквивалентны усло-
виям Дирихле, используемым в других местах книги.
Рассмотрим гамильтониан (на периодической решетке)
Д(Д) = — £ <Р» • <Р/— X h • ф/	(16.4.1)
= l	/еД
». f еЛ
и распределение отдельного спина с!р, (ф), убывающее на бесконеч-
ности быстрее любого гауссова распределения. Таким образом,
предполагается, что для любого а < оо
^еа'ч’1’(/р1(ф) < оо,	(16.4.2)
где ^щ(ф)—положительная SO (п) -инвариантная мера в Rn. Мы
предполагаем, что шаг решетки равен 1, так что при преобразова-
нии Фурье компоненты импульса рае[—л, л]. Распределение от-
дельного спина можно, например, выбрать в виде
йр1(ф)==ехр[—^(|ф|)]^ф	(16.4.3)
или
с/р<(ф) — 6(|ф|2—1)с!ф.	(16.4.4)
Мера d[iA в объеме Л определяется выражением
dpA = Z-1exp[—₽Я(Л)]	(16.4.5)
i<=A
Так как гамильтониан Н (Л) вида (16.4.1) с периодическими гра-
ничными условиями инвариантен относительно группы симметрий
SO(n), то в изучаемых моделях
<фг> = 0 при h = 0.	(16.4.6)
Рассмотрим двухточечную функцию <ф0-ф/>. Ее преобразование
Фурье в предельном переходе к бесконечному объему равно
S(p) = (2n)-d/2 £ e-ip-‘ (ф0- ф,).
i^zd
Доказательство существования фазовых переходов, предложенное
в работе [Frohlich, Simon, Spencer, 1976], основано на инфракрас-
ной (или градиентной) оценке; см. также [Glimm, Jaffe, 1970а].
Теорема 16.4.1. Существует такая константа с >• 0, что
0<S(p)- (2nf2сб(р) <-------у—2-------.	(16.4.7)
4Р £ sin2 (Ра/2)
а-1
322 Гл. 16. Фазовые переходы
Замечание 1. Если шаг решетки равен г, то мы получаем в знаме-
нателе е-2 sin2(epH/2) вместо sin2(pa/2), и 4е~2 X sin2(epa/2) -+р2
при е->0.
Замечание 2. Собственные значения решеточного оператора Лап-
ласа Ар с периодическими граничными условиями равны
— 4 £ sin2(pu/2),
pa^{±2ma/L: 0^na^[L/2]}, (16.4.8)
где L = |А|1/d — целое число, равное длине ребра куба А, и
па — 0, 1, 2, ..., [L/2], Соответствующие собственные функции
имеют вид |А|~1/2ехр(z(Pi/i + Р2/2 +	+ pu/rf)). Таким образом,
правая часть (16.4.7) интегрируема и ее интеграл ограничен рав-
номерно по L 1, d 3.
Следствие 16.4.2. Усеченная двухточечная функция
<фо • ф;У = <фо • ф/> — <фо> • <ф/>
стремится к нулю при |/|-> оо в том и только в том случае, если
<ф/>2 = с.	(16.4.9)
Доказательство. Поскольку выражение (16.4.7) интегрируемо, обратное преобра-
зование Фурье по лемме Римана — Лебега стремится на бесконечности к нулю.
Поэтому
<<PO-4>Z) = (2«)“d/2	§ (р) eil'p dp -> с.
I Ра I
Прежде чем доказывать теорему 16.4.1, мы докажем с ее по-
мощью существование фазового перехода для n-компонентной мо-
дели Изинга при d 3.
Теорема 16.4.3. Пусть d>3«p достаточно велико, так что
л	л j” d	—। *** 1
(2nyd/2n	I 4 V sin2(po/2) I dp < р.
-ат	-л L а=1	J
(16.4.10)
В предположении, что распределение отдельного спина имеет вид
(16.4.4) uh = 0,
lim (ф0 • ф/У А 0.
I /1->°°
При этом равновесное состояние в бесконечном объеме не являет-
ся чистой фазой.
16.4 Нарушение симметрии (случай (1^3)	323
Доказательство. Поскольку d 3, интеграл в (16.4.10) конечен. По теореме
16.4.1 и в силу условия (16.4.10),
— с = (2л) d/2 \ S (р) dp — с <
<(2л)-4/2(„/₽) J
sin2(pa/2)
- сс = 1
dp < 1.
(16.4.11)
Однако в случае ротатора (16.4.4) Чй = 1- Поэтому
силу (16.4.6), то из (16.4.9) следует, что (<ро’<Р/)г
|/|->оо. Последнее утверждение теоремы вытекает
жения 16.1.3, в котором показано, что равновесное
стой фазой. |
с > 0. Так как (<р) = 0 в
не стремится к нулю прн
из доказательства предло-
состояние не является чи-
Замечание. Теорема применима и к обычной модели Изинга
(п = 1). В этом случае из теоремы Ли — Янга (теорема 4.5.1) сле-
дует, что lim (<роф/)г — 0 при h > 0. В силу следствия 16.4.2,
I I |->оо
<Ф>2 = с. Пусть
Г	d	т*1
1 — с = (2jx)-d/2 (/г/р) И 4 У sin2(p„/2) I dp,
L a=«I	J
так что неравенство (16.4.11) можно переписать в виде 1—
1 — с, или с sC с. Следовательно, константа с отделена от нуля
равномерно по h > 0 и lim (q>i)h =/= 0. Таким образом, в модели
л-»о
Изинга (как было ранее показано в § 5.4) имеется спонтанная на-
магниченность при низких температурах. Теорема Ли — Янга до-
казана также для моделей ротаторов с числом компонент п = 2, 3
[Dunlop, Newman, 1975], [Dunlop, 1979а, b], поэтому приведенные
выше рассуждения дают такое
Следствие 16.4.4. В модели ротаторов с числом компонент п = 1,
2, 3 в размерности d^3 при достаточно больших р имеется спон-
танная намагниченность:
lim (<pz)h, =# 0.	(16.4.12)
h' ->0
Докажем теперь неравенство (16.4.7). Мы будем пользоваться
обозначениями § 9.5 для градиента функции на решетке. Введем
также следующее обозначение. Пусть функции <р(/) и f(/) опреде-
лены на решетке Zd и принимают значения в Rn. Тогда <p(f) =
= S ф(0 • f(0- Приводимое ниже доказательство следует работе
[Frohlich, Spencer, 1977].
Лемма 16.4.5. Пусть д обозначает прямой решеточный гра-
диент. Пусть функции fae l2(Zd), a = 1, ,,,, d, и принимают зна-
324 Гл. 16. Фазовые переходы
чения в Rn, f = {fa}e (h(Zd) )d. Тогда
exp(£
к \a=«l
<P(w))<exp((2p)-,||/lll),
(16.4.13)
где ||/||Zi=£fa(/)2.
l. a
Доказательство теоремы 16.4.1 в предположении, что доказана лемма 16.4.5.
Вычтем 1 из обеих частей неравенства (16.4.13). Подставим е/ вместо f, умножим
на е~2 и перейдем к пределу при е->-0. В силу трансляционной инвариантности
среднего (•), имеем (q> (data)) — 0. В результате получаем, что
^Ч> data)) <₽"' Ilf С-	(16-4.14)
Возьмем fa — (| Л |” 112да (—Ap)~l^2elp'1) vr, где д* *— обратный решеточный
градиент, а уг — единичный базисный вектор в спиновом пространстве Rn. Ис-
пользуя (16.4.8) и суммируя по п различным базисным векторам vr, получаем
оценку
d
4 sin2 (Pa/2) 3 (р) с «/₽•	(16.4.15)
a=l
Так как (фо’фг) —положительно определенная функция, то ее преобразование
Фурье S(p) определяет положительную меру. Отсюда и из неравенства
(16.4.15) следует, что при р = 0 имеется особенность вида (2n)d/2c6(p), где с —
d
неотрицательная константа. Разделив (16.4.15) на 4 V sin2 (pa/2), получаем
a=l
(16.4.7). 
Доказательство леммы 16.4.5. Мы доказываем лемму для случая конечной пе-
риодической решетки (тора) Л. Поскольку мы предполагаем, что в предельном
переходе к бесконечному объему имеется сходимость, лемма справедлива и для
всей решетки Zd. При доказательстве используется оценка по методу многократ-
ных отражений. Перепишем <р (<9afа) в виде
4>(W = (-5a<P)(fa)= X fa (0 (“ <₽Z + 'Pz-eJ
I <= Л 4	a/
Тогда
/	/ d	\	\
1 ^\exp(Z 4,(5“fa) )exp (~>||Л|0/=
\	\a»l	/	/
J exp	P (<PZ - <Pz_ea + p- ‘fa (б)Л fpnz
--------г г’а- ------.	(16.4.16)
) exp (- E T P (*₽/ - •Pz-J2 ) П
\ I, a	/
Здесь линейный (пространственно-однородный) член в гамильтониане (16.4.1)
(отвечающий внешнему магнитному полю) включен в меру rfji/1). Итак, нужно
доказать неравенство 7^1.
₽i>z
*) В меры dpz включаются также лишние миожители е .—Прим. перев.
16.4 Нарушение симметрии (случай rf 5= 3)	32В
Среднее (•) в (16.4.16) определяется мерой (16.4.5). Из теорем 7.10.3 и
10.4.3 следует, что эта мера положительна при отражениях. Для того чтобы это
свойство представить более наглядно, мы, как и в § 7.10, вложим Л в Rd+i.
Возьмем гиперплоскость П, пересекающую тор Л, как на рис. 16.2. Спины <р<
разбиваются на четыре подмножества: ф* и о-. Спины о+ взаимодействуют со
спинами о- по ребрам, пересекаемым гиперплоскостью П. Кроме того, спины о+
взаимодействуют со спинами <р+. Спины <р+ и <р_ не взаимодействуют между со-
бой. Спинами {<р+, о+} исчерпываются все спины, лежащие в Л+ = ЛГ)П+,
и т. д.
Рис. 16.2. Тор Л, пересеченный гиперплоскостью П. Здесь изображено одно пере-
сечение П с Л. Ребра, связывающие спины о+ и о-, разрезаются гиперплос-
костью П. В силу трансляционной инвариантности, П можно поворачивать на
угол, соответствующий симметрии решетки.
Пусть А — функция от спинов в Л_, а В — функция от спинов в Л+. Тогда
условное среднее (•) по переменным ср* (при фиксированных о*) представляет-
ся интегралом от выражения вида
ехр (р £ о+ . op) F (а+) G (<т~) Ц do+ d^,,
1.1'
причем меры, соответствующие распределениям отдельных спинов, включаются
в F, G, так что интеграл берется в точности по мере Лебега rfo*.
Если А — вВ, то F = G и, в силу положительности при отражениях,
0 < (0BB) = j ехр (р У  op) G (а+) G (о ~) JJ dc+ dof,. (16.4.17)
l, I'
G помощью преобразования Фурье определим переменные р, двойственные к
(ctf —<гр). Пусть b обозначает ребро (I, I'). Тогда в общем случае, когда
А\&= 6В (16.4.17) можно переписать в виде
(АВ) = const ехр (—У — ®p)2) F (ff+) G (о*) d<a+ da~ =
= const ехр У pty F (— p)G (р) Д dpb.	(16.4.18)
326	Гл. 17. Критическая точка в модели ф4
Заметим, что сдвиг О;-—	— <ф, ф-g (/,/') в показателе экспоненты в
(16.4.18) переходит после преобразования Фурье в умножение на е‘ре^1’1 \ По-
этому свойство положительности при отражениях скалярного произведения
(16.4.18) приводит к неравенству
|<ЛВ>|<«К4Д><ёВВ»1/2.	(16.4.19)
Применяя оценку (16.4.19) к (16.4.16), мы исключаем множители fa(/), отно-
сящиеся к тем ребрам Ь — (1,1— еа), которые пересекаются с гиперплоскостью
П. Кроме того, полученные в результате функции fa будут симметричными от-
носительно отражения 6.
Действуя подобным образом, т. е. выбирая всеми возможными способами
гиперплоскость П, мы исключим из (16.4.16) все множители, содержащие fa(/),.
Таким образом, /	1, что и требовалось1)- 9
Глава 17
Критическая точка в модели ф4
17.1 Элементарные соображения
Прежде всего установим обозначения: под ф4 мы будем понимать
взаимодействие
V (ф) — Хф4 + оф2 — рф	(17.1.1)
с вещественными X > 0, о и р. По теореме Ли — Янга в этой мо-
дели при р#=0 нет фазовых переходов. Высокотемпературные раз-
ложения (гл. 18) показывают, что фазовых переходов нет также
при р = 0 и достаточно больших положительных о. Согласно
§ 16.2, при р = 0 и достаточно больших по модулю отрицательных
о наблюдается фазовый переход. В этой области значений пара-
метров предположительно имеются ровно две фазы и существует
единственное значение о = ос, разделяющее однофазную и двух-
фазную области. На протяжении этой главы мы определяем ос
как точную нижнюю грань тех значений о, для которых в модели
(17.1.1) имеется единственная фаза и экспоненциально убываю-
щие корреляции. (Таким образом, оператор Н имеет щель в спект-
ре, отделяющую точку 0 — собственное значение, отвечающее ва-
кууму Й, от остального спектра. Величину этой щели мы называем
массой m > 0.)
Для анализа критической точки здесь используются корреля-
ционные неравенства. В числе других полезных подходов к изуче-
*) Приведенное выше доказательство довольно схематично. В настоящее
время известно более простое доказательство неравенства 1 si 1. Это доказа-
тельство также основано на методе многократных отражений; см. [Frohlich, Is-
rael, Lieb, Simon, 1978]. — Прим, перев.
17.1 Элементарные соображения 32?
нию критических явлений можно назвать инфракрасные оценки
(§ 16.5) и точно решаемые модели [McCoy, Wn, 1973], [Wu,
McCoy, Tracy, Barouch, 1976]. Хотя разложения в ряды и приме-
няются для численного исследования критических явлений, исполь-
зовать их для качественного анализа трудно: критическая точка
представляет собой особенность на границе области сходимости,
где эти разложения сходятся медленно. На более формальном
уровне для описания критических явлений используется ренорм-
группа.
Теорема 17.1.1. Для поля, построенного по взаимодействию
(17.1.1) с граничными условиями Дирихле и ц > 0, функции Швин-
гера
<ф(^) ... ф(хп)>	(17.1.2)
монотонно возрастают по параметрам ц и —а.
Доказательство. Поскольку поле во всем пространстве является пределом полей
в конечных объемах, достаточно провести доказательство для среднего (-)Л по
полю в конечном объеме Л. Полагая, как обычно, для простоты
<(р(Х1) ... ф(х„)> = <1, .... п>,
имеем
—	(1...«>д = j [(1....п, :<р2 (х):>л — <1.«>л (:<р2 (х):>л] dx. (17.1.3)
Л
Подынтегральное выражение здесь положительно в силу второго неравенства
Гриффитса. Заметим, что (бесконечная) константа, содержащаяся в :<р2:, не вхо-
дит уже (в 17.1.3), как и в (10.2.4). То же рассуждение применимо и в случае
параметра ц, но лишь для взаимодействий, задаваемых полиномом не выше чет-
вертой степени. У
При ц. =^= 0 намагниченность Л4 = Л4 (о, ц) корректно определена
как M(g, |л) = <ф>, поскольку при ц =£= 0 предельное поле является
чистой фазой. При ц = 0 это определение некорректно, по крайней
мере в двухфазной области. Действительно, поскольку мы исполь-
зовали граничные условия, симметричные по отношению к преоб-
разованию <р->-—ф, то <ср> = 0 при [л = 0 и любых о. Если допу-
стить, что в теории с |Л = 0 имеется не более двух фаз, то правиль-
ное определение намагниченности выглядит следующим образом:
M(o) = ±f lim (<р(х)ф(у)>У/2;	(17.1.4)
см. § 16.1. При том же предположении о числе фаз определим
массу т(сг) как показатель экспоненциального убывания вели-
чины
<ср(х)ср («/)> — Л4(а)2 ~	(17.1.5)
Следствие 17.1.2. При ц>0 намагниченность М(о) монотонно
убывает по о; если о > ас, то М (о) = 0. Функция m (о) монотонно
возрастает при а ис-
828 Гл. If. Критическая точка в модели <р4
Доказательство. Это утверждение иепосредствеиио следует из теоремы и опреде-
лений величии М, гп(о) и ас.
17.2 Отсутствие четных связанных состояний
Мы покажем, что спектр гамильтониана четной модели ср4 в одно-
фазной области, т. е. при о > ос, ограниченного на подпростран-
ство $,ет, не пересекается с интервалом (0,2m). Здесь чет еСТЬ
подпространство в Ж, инвариантное относительно преобразования
ф—> ср. Таким образом, двухчастичных связанных состояний, ко-
торые мы предполагаем четными, не существует. Отметим, что
<9$чет порождено проекциями в Ж евклидовых векторов Q,
<p(/l) ••• 4>(fn)Q, п = 2, 4, ..., у которых supp f; содержится
в области t > 0. Для A={xi, ..., хг} положим срдз=ср(Х1) ...
... ф(Хг).
Теорема 17.2.1. Рассмотрим поле ср4 или модель Изинга с ненуле-
вым внешним полем и о > ос, и пусть А и В содержат четное
число элементов. Тогда
- <Фл> <Фд) < Л = А J нечетно <Ф А) <Фд \ д,Фа \ а>
Bi сг В, Bi нечетно
Доказательство. Воспользуемся неравенством из следствия 4.3.3. Оно сохра-
няется при снятии решеточного обрезания и при предельном переходе к бесконеч-
ному объему. Поскольку А, В четиы, а Ль Bi нечетны, А \ДЬ В \Bi не-
четны. В
Следствие 17.2.2. В предположениях теоремы 17.2.1 не существует
четных связанных состояний с энергией ниже двухчастичного
порога.
Доказательство. Пусть fi — вакуум в Зв, единственный в силу предположения
а > Ос. Запишем х = (X]....Ха) как х — (х, t), где х е Z?"-1. Если 0(х, t) —
= (х, —О и
Д+$={(х, t-ps): (х,/)еЛ},
то в случае, когда множество А по времени предшествует В, имеем
<<Р6д> е~ЗНЧв)х~(ЧА<(в+1>
В частности, если мы выберем А так, что все его точки имеют отрицательные
временные координаты, 7 sg 0, то В, выбранное в виде В = {(х5— t): (х. t) е
е Д} лежит в области положительного времени. Пусть Д и В выбраны указан-
ным способом, а Ра — проектор иа вакуумное состояние в Зв. Тогда очевидно,
что
<Фа-зФв+з) ~ <Фд-з) (Фа+s) = || e~sH (' ~ ра) ||2.
так что теорема 17.2.1 дает оценку скорости убывания e~sH иа подпространстве
(/ — Рг>)^ (при s->oo). Для нечетных At вектор <рЛ1Й ортогонален вакууму
((fi, фЛ1й) = (фд,) — 0)> и поэтому по определению массы показатель экспонен»
циалыюго убывания (фд1_®Фв1+5) не меньше т. Таким образом,
(ФД1-зФВ1+з) С САь Ble~2ms
17.3 Оценка константы связи 329
для некоторой константы CAi Bi, зависящей от Ах и Такая же оценка имеет
место для (<р(д \ Ajj-sS’fB \Bi)+s)’ и> следовательно, по теореме 17.2.1
|| e~sH (/ — PQ) фа& ||2 < const	ims.
Итак, не существует четных состояний, кроме S2, с энергией < 2m; в частности,
не существует четных связанных состояний в этой энергетической области. |
17.3 Оценка константы связи
Определим безразмерную константу связи модели ф4:
ЛФиз = — 'nd~'y~'1 <<р (хО ... ф (x4))r dxx dx2 dx&,
оо
где	X = <ф Об) ф (х2)/ dxx = dp (а)/а,
о
а — квадрат массы, a dp (а) — спектральная мера Лемана. По тео-
реме 4.1.1 х 0. Для массивного четного ф4-взаимодействия в од-
нофазной области Хфиз ^0 в силу следствия 4.3.3. Сейчас мы пред-
положим дополнительно, что собственная перенормировка вели-
чины поля уже выполнена; в случае изолированной частицы массы
т это означает, что dp (а) =8 (а— m2)da в окрестности т2 — а.
Докажем теперь, что Хфиз ограничена сверху.
Теорема 17.3.1 [Glimm, Jaffe, 1975а]. При сделанных выше пред-
положениях
0 Хфиз Const,
где безразмерная константа в правой части не зависит от парамет-
ров взаимодействия X « о.
Набросок доказательства. Подробности можно найти в оригинальной работе.
Применяя основное неравенство Гриффитса (4.1.1), получаем (вместо q>(xi) пи-
шем 1 и т. д.)
0	(1234) — (12) (34) = (1234) т +< 13><24>+< 14) (23).
Согласно следствию 4.3.3, (1 2 3 4) т sg 0, поэтому
0 < - (1234) * < (13) (24)+ (14) <23>.	(17.3.1 J
После симметризации по всем переменным имеем
- <1234/ < «13) (24) + (14) (23))1/3 X
X «12) (34) + (13) (24))1/3 ((14) (23> + (12) (34))1/3.	(17.3.2)
Из элементарных свойств функции Грина (—Д + а)-1(х, у) находим, что
ОО
(%!// =	(— Д + а)”1 (х, у) dp (а) const х | х — у | ~d ехр (—m | х — у
0
330 Гл. 17. Критическая точка в модели <р*
Подстановка этого выражения в нашу оценку (17.3.2) величины —(1 2 3 4) г дает
Хфиз const от-4/-2. Используя сделанное выше допущение о перенормировке
величины поля, получаем оценку
СЮ
$ rfp (а)/а > пГ\
т*
из которой и следует утверждение теоремы: ЛфИЗ const. |
Отметим, что окончательная оценка не зависит от т и, следо-
вательно, остается справедливой в пределе иг->0. Поэтому крити-
ческая точка (которая при d <Z 4 должна быть устойчивой непод-
вижной точкой ренормгруппы в инфракрасной области) существует
при конечных значениях Хфц3.
Определим теперь немного более общую константу связи X/ в
модели ф4; мы покажем, что изложенный выше анализ дает и
оценку константы Хь Обрезание по частицам определяется как
умножение каждой (внешней) переменной четырехточечной функ-
ции на величину т2— p2\P=o — tn2. Обрезание пропагатора вы-
ражается, как и раньше, в умножении на %-1. Определим X/ соот-
ношением
0 X/ — — md+4 (1234/ dxt dx2 dxs (т~2,х,~1У.
В X/ к I внешним отросткам применено обрезание пропагатора,
а к 4 — I отросткам — обрезание по частицам. Как показано выше,
(т2%)-* К так что X4 ... X, Хо.
Выше мы показали также, что
Хфнз = Х4 С Х2 = m\2g = — md^ G,4)/y2 < const.
Теперь мы видим, что X;/X;+i = m2% ограничено, если применимы
обычные соображения подобия. В частности, имеет место
Теорема 17.3.2 [Glimm, Jaffe, 1980]. Допустим, что для однофазной
модели ф4 выполнены условия
F (х) = m~d+2 (ф (0) ф (х/m)) =/
С O(l)| x\~(d~l)/2e~w при |х|>1,
"" IО (1) | х rd+2-'n при |х|<1,
где т) sg 1 (см. § 17.4), а 0(1) — универсальные константы. Тогда
m2x const и О Х4 Хз Xs Хо const,
где const в этих неравенствах также обозначают универсальные
константы.
Замечание. Все X/ одновременно отличны от нуля либо одновре-
менно равны нулю. В последнем случае, и только р нем, теория
17.4 Существование частиц и оценка производной 331
описывает обобщенное свободное поле. Заключительное утвержде-
ние следует из работы [Newman, 1975b].
В качестве следующего шага мы установим непрерывность А,фНа
как функции параметров взаимодействия и константы обрезания.
Мы предполагаем, что m остается отделенным от нуля при изме-
нении остальных параметров. Это позволяет сделать скейлинговый
предельный переход в критической точке и снять ультрафиолето-
вое обрезание при некритических значениях константы связи. С по-
мощью преобразования масштаба можно все привести к случаю,
‘когда m фиксировано и равно 1.
Чтобы проиллюстрировать идею доказательства, заметим, что
сходится по теореме Лебега о мажорированной сходимости.
Поэтому достаточно рассмотреть Хо- В условиях теоремы 17.3.2
‘каждая величина X/ непрерывно изменяется в предельном пере-
ходе, при котором масса m фиксирована и отлична от нуля, а двух-
точечные и четырехточечные функции S(2) (х, 0) и St} (хь ..., х4)
'СХОДЯТСЯ поточечно почти всюду.
Для того чтобы установить этот факт, воспользуемся, как и
ранее, неравенством (17.3.2) для любой перестановки {ц, ..., t4}
набора индексов {1, .... 4}. После перестановки и сдвига пере-
менных можно считать, что iv = v, %i = 0 и |х2— хз| |хз— хл\-
Можно также выбрать m — 1. Тогда
F (%! — х2) F (х3 — х4) dx2 dx3 dx4
F (х3 — х4) F (х2) d (х2 — х3) d (х3 — х4) dx2
|х2-х3|С|л3-х.|
\ xdF (х) dx \F (х) dx < оо.
Непрерывность Хо следует из теоремы Лебега о мажорированной
сходимости.
17.4 Существование частиц и оценка производной dm2jdo
Здесь мы рассматриваем каноническую однофазную модель <р4
(слово «каноническая» означает, что величина поля не перенор-
мирована). Мы установим оценку
dm2 (о) /do ==^Z(о)	(17.4.1)
для а > ос. Здесь Z(o) есть константа перенормировки величины
поля, определяемая из формулы (17.4.2) (см. также (14.3.2)). Из
'(17.4.1) при помощи аппроксимаций мы получим следующий ре-
зультат.
Теорема 17.4.1 [Glimm, Jaffe, 1977а]. Для почти всех значений m
существуют частицы, т. е. Z =/=0.
832 Гл. 17. Критическая точка в модели <р4
Доказательство оценки (17.4.1). Рассмотрим Г(р) =—S(p)~\ где S(p)—пре-
образование Фурье функции <<р(х)<р(0)>, а р — евклидов импульс. Заметим, что
ОО
S (р) = ( (Ф М ф (0))е~dx = Z „,2 + (	(17-4.2)
j	р -j-1п	j Р ~г и
т2+0
оо
Условие каноничности состоит в том, что Z + dp (а) = 1 и
т24-0
Z~l = - (rfr/dp%=_m!.	(17.4.3)
Поскольку Г — 0 иа одночастичной кривой р2 = —т2(о), вектор VI’ должен
быть ортогонален вектору (dm2]do, 1) в (—р2, о)-плоскости. Таким образом, при
р2 = —tri2
дГ dm2 аг _______ -1 dm2 дГ
др2 do "'"do	da до'
Неравенство (17.4.1) вытекает теперь из следующего утверждения.
Теорема 17.4.2. При сделанных выше предположениях
-1<дао)рг=_т!<0.	(17.4.4)
Доказательство.
— dS (— ip)! da = (1/2) [(xOzz) — (xO)(zz)] dz е~рх dx,
и для вещественных р
О < (xz) (f/2) е~^х~г^е~рг dx dz — S (— р)2.
Поэтому, согласно следствию 4.3.3 и (17.3.1), 0 dS(ip)~l/dc 1. Однако при
р = 0 имеем S (— <р)’' |p!=m! = —Г (р) |рг=_тг для вещественных р, и, значит,
(17.4.4) доказано. |
17.5 Существование критической точки у модели <р4
Мы покажем, что корреляционный радиус обращается в бесконеч-
ность при о|ос; мы следуем здесь работе [Baker, 1975]; см. так-
же [J. Rosen, 1980] и [McBryan, J. Rosen, 1976]. Для простоты
рассмотрен лишь случай решеточного поля, а величина т(о)
(только для нужд этого параграфа) вводится как
m(o)= lim - 1п М ф .	(17.5.1)
При а > Ос величина т(о) есть масса (наименьшая энергия нева-
куумного состояния), а при о ос она равна нулю.
Теорема 17.5.1. Масса т(о) вида (17.5.1) непрерывна как функ-
ция от о. В частности, масса, определенная формулой (17.5.1),
стремится к нулю при о | ос.
17.5 Существование критической точки у модели ф4 333
Определим сначала псевдомассу tn = m(o) для параметра сг,
меняющегося в ограниченном интервале, а о Ь. Пусть <->а.л
обозначает среднее по полю в области Л с Rd. Положим
А = 2 ( sup <ф(х)ф(г/))0 Л
\се[й, 6], i\<=R.d. х, y^i\
(17.5.2)
Верхняя грань конечна и достигается при Л = Rd, о = а, х — у.
Пусть in — m (х, у, о, Л) есть единственное решение уравнения
-й|х-у ]
А ГТ77--------=	а-	(17.5.3)
1 + (т \х — у |)
Здесь а — константа, выбранная так, что
d— 1 ос,
d/2 < ос.
(17.5.4)
Заметим,
дует, что
теперь
что
при
Лемма 17.5.2.
жительна для
(d/dx) (0-7(1 +|х|)«) < 0 при х > 0, откуда сле-
х ф у существует единственное значение т. Пусть
т (сг, Л) = inf т (х, у, о, Л),
т (о) = inf т. (о, Л) = lim т (а, Л),
л	A't'R'7
Величина in (о, Л) непрерывна по и и строго поло-
ограниченной связной области Л. Кроме того,
О m(o) m(o) sC const m(и),
О = ш(о) при о < Ос-
Доказательство. Величина т(о, Л) строго положительна, поскольку этим свой-
ством обладает <ф(х)ф(ц)>а Л. Для того чтобы установить последнее утвержде-
ние, разложим в ряд все множители вида ехр [ф(х,-)ф(х/)] в ненормированном
среднем (-)0 Л (подобное разложение градиентных членов используется также
и при кластерных разложениях и при доказательстве неравенств Гриффитса;
см. гл. 18). Все члены такого типа неотрицательны, а для связной области Л по
крайней мере один из них отличен от нуля.
Оценка m(o) т(о) + е для произвольного е > 0 вытекает из неравенств
е (т+е)|* «><(24) 1 (ф (х) <р (у))а < А 1 (ф (х) ф (у)}а Л <
< e-m I х-У 1/[! + (АЙ | х _ у pa] С | х-у |
Здесь х и у выбраны так, чтобы выполнялось первое неравенство; когда х и у
заданы, Л выбирается с таким расчетом, чтобы удовлетворялось второе неравен-
ство. Следовательно, m пг. Противоположное неравенство вытекает из того
факта, что константа (17.5.1), как следует из вычислений с помощью траисфер-
матрицы, дает экспоненциальную оценку убывания корреляций <ф(х)ф(у)> вида
е~"" d!st, где d 1st — наибольшее из расстояний между параллельными гиперпло-
скостями решетки, разделяющими точки х и у (см. также § 17.1). Итак,
<Ф (х) ф (у) >Л <ф (х) ф (у) > < Ае~т dlst,
где dist | х — у |/Vfl .
334 Гл. 17. Критическая точка в модели <р4
Доказательство теоремы 17.5.1. Покажем, что функция m (о, Л)2а+ удовлетво-
ряет условию Липшица по переменной о, изменяющейся в конечном интервале
[о, 6], с константой Липшица, равномерно ограниченной по А. Из этого утвер-
ждения следует доказываемая теорема в силу леммы 17.5.2. Поскольку
m (о, Л)2а+' представляет собой нижнюю грань конечного семейства функций, мы
докажем условие Липшица для каждой функции этого семейства в интервале,
где она совпадает с й2а+1. Итак, выберем точки х0=^= ув, для которых
т(л’о, ув, о, Л) = от (о, Л). Из определения til вытекает тождество
in | Л"о — уи | — In А + In (1 + (in | -Го — t/о |)7) — In (ф (хв) ф (//о))0> д-
Дифференцируя по о. приходим к соотношениям
I *о — У о I 1 л 0 — у о |
dm /1	« (й | х0 —l ia 1 \
V	I + (й | хв - уо I)" '
(<р (хп' q (Уо) q-2 (z)> — <Ф (Л-р) gi (у0))(ф2 (г))
(ф (л-р) q (ув))
<ф (%о) ф (z)> (ф (?/о) ф (z))
(ф (*о) Ф (Уо))
у<,
В конце мы воспользовались неравенством Лебовица (следствие 4.3.3) для опен-
ки четырехточечных функций через произведение двухточечных функций и опреде-
лением величины А для оценки двух членов: г = хв и г = ув. Заменяя двухто-
чечные функции выражением, включающим й (что не уменьшает каждый из со-
множителей в числителе и не изменяет знаменатель), и пользуясь неравенством
е~а 1 для а 0, получаем, что
Хо_Уо1^^2л + 2 У _--------------1 + (ГЧ^-Уо1)с------
do	(1 + (й|хо — г|)“)(1 + (й| уо — г |)а)
z^Xo, Уч
2А 4- 2й 2а const | х0 — у о |а
геЛ
z#=x0, Уч
___________1___________
ко — z 1“ \уй — Z |а
^2А-р2й 2а const | х0 — у о |d а-
Поскольку d — а—1	0, мы заключаем, что m2adm/do const. |
17.6 Непрерывность dy в критической точке
Для модели z.xp4 + оср2 мы покажем, что функции Швингера непре-
рывны по о на замкнутом луче ос о < оо. В частности, они
имеют предел при о | ос. Из того что функции 5д* монотонны от-
носительно Лио (это было установлено при доказательстве тео-
ремы 17.5.1 для случая Sa*), следует, что функции Швингера S(n>
в бесконечном объеме непрерывны относительно о справа и моно-
тонно возрастают по о и —у, р 0, Поскольку возможны фазо-
вые переходы, это общее соображение устанавливает только одно-
стороннюю непрерывность. Двусторонняя же непрерывность для
17.7 Критические индексы 335
о > of следует из приводимой ниже теоремы 17.6.1 о существова-
нии производной.
При достаточно больших о (или р) мы попадаем в область
сходящихся кластерных разложений (ср. гл. 18). Можно опреде-
лить функцию S(n), исходя из ее значений в этой области и моно-
тонно уменьшая а и —р. Такое продолжение S(n) известно как
определение с помощью граничных условий в области малого взаи-
модействия [Glimm, Jaffe, 1975b],
Теорема 17.6.1. При о > ос (где ос определено в § 17.1) суще-
ствуют производные
dS(n> (х) /до.	(17.6.1)
Доказательство. Следует применить неравенства Лебовица из следствия 4.3.3,
как и в § 17.5 или в работе [Glimm, Jaffe, 1975b], Производные (17.6.1) ограни-
чены сверху суммами произведений двухточечных функций S<2). g
Замечание. Этот результат обобщается на усеченные функции
Швингера, определенные в § 14.1, а также и на вершинные функ-
ции Г; см. [Glimm, Jaffe, 1975b], Производные, как правило, стре-
мятся к со в точке о = Ос со скоростью, определяемой некоторым
критическим индексом. Производные д31н>/дс> сами являются (ча-
стично) усеченными функциями Швингера с одной :<р2:-вершиной.
В силу монотонности (теорема 17.1.1), производная dS^/do аб-
солютно непрерывна по о. Значит,
О»
и поэтому производная dS(,l)/dc5 может быть использована для изу-
чения асимптотического поведения S(,i> при о | ос. В случае когда
производная допускает оценку с помощью корреляционных нера-
венств, можно получить дифференциальное неравенство для функ-
ций Решение этого дифференциального неравенства дает
строгую оценку сверху некоторого критического индекса. Даль-
нейшее развитие этой точки зрения приводит к уравнению Кал-
лана— Симанзика [Domb, Green, 1972, v. 6] и методам, связан-
ным с ренормгруппой.
17.7 Критические индексы
Изучение термодинамических величин и корреляционных функций
вблизи критических точек представляет наибольшую трудность.
Главный член асимптотики обычно является степенным и, таким
образом, определяется небольшим числом параметров — показа-
телями степени (индексами) и коэффициентами. Обычно считается,
что индексы универсальны в том смысле, что они совпадают для
широкого класса близких взаимодействий (например, для модели
336 Гл. 17. Критическая точка в модели ф4
<р’ и модели Изинга, определенных на решетке произвольного
вида, или для всех непрерывных ф4-теорип). Однако индексы за-
висят от размерности d пространства или пространства-времени,
так же как и от числа компонент вектора ф. Поскольку находить
индексы как с помощью вычислений, так и экспериментально, до-
вольно трудно, большое значение приобретают точные теоретиче-
ские соотношения (неравенства и предполагаемые тождества).
Систематическое обсуждение критических индексов содержится
в работе [Stanley, 1971]. Здесь же мы лишь проиллюстрируем
основные идеи на примере вывода нескольких стандартных, а
также менее известных неравенств между индексами из неравенств
Гриффитса и Лебовица. Поскольку мы применяем неравенства Ле-
бовииа, придется ограничиться случаем п = 1.
Примем каноническую нормировку и определение (17.4.2) для
величины S(p) и положим
% = з<2) (0), е = о — ос.
(17.7.1)
Тогда критические индексы v, у, т] и £ определяются из соотноше-
ний
m ~ ev,

<ф (х) ф (0)> |а=ос ~ x-rf+2-fl,
Z~8t.
Теорема 17.7.1. Гауссовы (полученные с помощью приближения
среднего поля) значения v, у, т) и £ равны соответственно
Ткл ~ 1/2, уКл ~ 1, Г]кл = 0, £кл = 0.
Таблица 17.1. Значения критического индекса v, основанные на точных или ма-
шинных вычислениях, теоретических оценках и экспериментах
d \	n=l Модель Изиига	п=2 Модель ХУ	Гауссова модель
d = 1	оо (точное значение)		1/2 (точное значе- ние)
d =2	1 (точное значение)	оо (теоретическое и экспериментальное значение)	1/2 (точное значе- ние)
d = 3	0,63 (численные мето- ды)	0,67 (численные мето- ды)	1/2 (точное значе- ние)
d = 4	1/2 (теоретическое зна чение)	1/2 (теоретическое зна- чение)	1/2 (точное значе- ние) .	
П.7 Критические индексы 337
Для ^-теории однокомпонентного поля каждый из индексов v, у,
т], £ не меньше своего классического значения.
Доказательство, Вычисление гауссовых значений элементарно. Например, в
гауссовом случае вс = 0, е — о = (l/2)m2, Z = 1, p(a)da — 0, S(p) = 1/(р2 +
-рт2). По определению, O^Z^ 1, так что 0 = t, .. L Аналогично, 0 =
= г]кл Л, что следует из спектральной формулы Лемана (6.2.9).
Оценка dm2]do < Z из § 17.4 влечет за собой следующие соотношения для
критических индексов:
1 ==£ (2 —g/v)v ==£ (2 —t;)v,
(17.7.2)
и, как частный случай, 1/2 v. Каноническая оценка у вытекает из неравенств
0	d%-1/da =S 1, установленных в § 17.4.
Вернемся к оценке Kz const в теореме 17.3.2. Как следствие,
А.г(е) обязана иметь неотрицательный показатель степенной асимп-
тотики по е. При d = 3
fa ~ e3v+2v-(2A+T) — gSv+V-SA,
где у — индекс значения восприимчивости, а А — индекс массовой
щели, связывающий четырехточечную и двухточечную функции.
Отсюда мы заключаем, что 0 3v + у — 2Д. С другой стороны,
если 7,2=# 0 при а = ос, то с необходимостью имеет место «гипер-
масштабное» соотношение 3v + У — 2Д — 0.
Существуют два подхода, в рамках которых могут быть полу-
чены индекс v и гипермасштабное соотношение: высокотемпера-
турные разложения и суммирование по Борелю. Высокотемпера-
турные разложения использовались Вортисом и другими в случае
модели Изинга. Эти методы применяли также Бейкер и Кинкейд
Baker, Kincaid, 1980] в области сильной связи (модель Изинга:
J. Rosen, 1977], [Constantinescu, 1980], [Caginalp, 1980а, b],
Constantinescu, Storter, 1980]) для модели Лф*. Суммирование по
эорелю рядов теории возмущений для непрерывной модели 7.ф],
упомянутой в § 9.4, было использовано Легийу и Цинн-Жюстеном
[LeGuillou, Zinn-Justin, 1977]. Ни один из этих методов не дает
математически строгой оценки ошибок. Для 3v + у— 2Д (или дру-
гих подобных величин) получены следующие результаты:
ВТ:	0,038±£:и
ВТ:	0,028 ± 0,03
Борель: 0,000 ± 0,003
Вортис и др.
Бейкер, Кинкейд
Легийу, Цинн-Жюстен
Таким образом, высокотемпературные (ВТ) ряды, вероятно, сви-
детельствуют о нарушении гипермасштабности. По-видимому, раз-
ница в этих вычислениях возникает из-за различия в определении
индекса v. В частности, имеем
ВТ:	v = 0,638±o:ooi
Борель: v = 0,6300 ± 0,0008,
338 Гл. 17. Критическая точка в модели <р4
Значит,
3 (VBT — ТБорель) = O,O24l!?o,’oO4>
чем н объясняется расхождение в величине 3v + y— 2Д.
Эти результаты свидетельствуют о наличии ошибки по крайней
мере в одном из следующих пунктов: (1) гипотеза универсаль-
ности: Изинг аг<р4; (2) гипермасштабное соотношение: 0 = 3v+
+ у — 2Д; (3) оценки ошибок высокотемпературных разложений;
(4) оценки ошибок при суммировании по Борелю. Вычисление
дальнейших членов высокотемпературных разложений как для мо-
дели Изинга со спином 1/2, так и для моделей Изинга с более
высоким спином [Nickel, 1980] дает основание думать, что приве-
денные выше оценки ошибок в высокотемпературных разложе-
ниях, быть может, слишком оптимистичны. См. также [Bender,
Cooper, Guralnik, Roskies, Sharp, 1981]. Этот анализ, по-видимому,
свидетельствует о том, что в вычислениях очень важно учесть не
только саму масштабную асимптотику, но и поправки к ней. Дей-
ствительно, имеющиеся расхождения между универсальностью и
гипермасштабностыо могут исчезнуть при таком усовершенствова-
нии вычислений.
17.8 т] < 1
В этом параграфе мы изучаем более подробно индекс т]. Именно,
мы покажем, что достаточно быстрое степенное убывание
<ф(х)ф(у)> влечет за собой экспоненциальное убывание, а это
означает, что о > ос. Для сравнения заметим, что
	I	при	d	= 1	(точные вычисления),
	0,25	при	d	= 2	(точные вычисления),
Т] =	0,041	при	d	= 3	(численное исследование высокотемпера- турных разложений или суммирование по Борелю),
	0	при	d	>4	(ренормгруппа).
Теорема 17.8.1. Рассмотрим решеточную модель <р4 или модель
Изинга и предположим, что
lim <<p(0)<p(x))|x|d-1 = 0.	(17.8.1)
|x|->oo
Тогда существует такое m>Q, что
<ф(0)ф(х)>^ O(l)e~mixi при |х|->оо.
Таким образом, т]^ 1. Для непрерывной ^-модели q 2.
Замечание 1. Согласно второму неравенству Гриффитса (4.1.11),
<ф (х) ф (у) > — <ф (х) ><ф (у)» 0,
17.8 ц 1	339
поэтому из предположения (17.8.1) вытекает, что <<р(л')> = 0. По
теореме 16.1.1 среднее <•) определяет чистую фазу.
Замечание 2. В случае d — 1 теорема показывает, что стремление
<<р (х) ф (у) > к нулю при |л' — у\—> со гарантирует экспоненциаль-
ное убывание. В одномерной модели Изинга прн Т 0 функция
<Ф (Оф (/)>“* О при I— j-^oo. При Т = 0 имеем <ф(1)ф(/))з 1.
Замечание 3. Оценка ц 2 была установлена Глиммом и Джаф-
фе [1977а]. Оценка ц 1 принадлежит Добрушину [1979]. Мы
следуем работе [Simon, 1980]; см. также [Aizenman, Simon,
1980], [Lieb, 1980], [Rivasseau, 1980].
Доказательство теоремы 17.8.1 для решеточных полей и модели Изинга. По-
скольку <<р> — 0, мы можем воспользоваться <р4 неравенством пт следствия 4.3.3.
Оно принимает здесь вид
0 < <<р (г) ф (/) <р (/г) <| (/)> — <<р (Z) ф (/)> <ф (/г) <| (/)> <
< <Ф (0 Ф (Л)> <Ф (/) Ф (0> + <Ф (0 Ф (0> <Ф (/) Ф W).
Далее, рассмотрим интерполяцию среднего (•) s, определяемую мерой
dps = zs 1 ехР SP 52 ‘Р Ф (о] dp.
(17.8.2)
(17.8.3)
Для простоты мы выбираем решетку с ребрами единичной длины. Здесь dp —
мера, отвечающая <•>; 0 sj s д'" 1; Zs — нормирующий множитель; Г — конечный
набор ребер (/г, I), связывающих пары соседних точек, который определяется
так. Пусть В, обозначает шар радиуса г с центром в нуле, и пусть Г = Г, — мно-
жество ребер, пересекающих его границу дВ,. Тогда dp = dps=0, a dps=i есть
мера, допускающая факторизацию dpi = dplnl ® dpext, где dplnl зависит только
от ф((), i е Int Вг (внутренность Br), a dpcxt зависит лишь от ф(г), i е Ext Вг
(внешность В,). Все меры dps ферромагнитны, четны и удовлетворяют ф4-не-
равенству (17.8.2). Далее, если г < [ г |, то
(ф(О)ф(г)) j = (ф(0)> j <Ф(0> 1 = 0.
Поэтому мы можем написать
1
<Ф (0) ф («)> = — § <ф (0) ф (0}s) ds =•
о
Р «Ф (0) ф (0 ф (k) ф (l))s — (ф (0) ф (/)}s (ф (k) Ф (Z))s) ds <
Г
1
< Р ^2 (ф (°) ф (ф (0 Ф (0>s ds.
0	(k, ЛеГ или (I. £)е=Г
(17.8.4)
В последнем неравенстве мы использовали (17.8.2). Снова обращаясь к (17.8.2),
заключаем, что (ф(0)ф (/?))< монотонно убывает с ростом s. Следовательно,
<Ф (0) Ф («)> < ₽ У, <ф (0) Ф (/г)> <Ф (Z) Ф («)) < ₽ С У <Ф (0) ф (/г)>) sup <ф (Z) ф (j)).
(17.8.5)
340 Гл. 17. Критическая точка в модели д4
Применяя оценку (17.8.1) и пользуясь тем, что |Г| s'- constrd~t, мы получаем
для достаточно больших г неравенство
a"1 Р X <ф(0)<Р W>< 1-
г
При таком выборе а и г из (17.8.5) вытекает, что
sup «ф (0) ф (г)): D < | i I) < a sup {<ф (0) ф (г )>: D — г < | i |).
Далее рассуждаем по индукции; после |«|/(/’+1) шагов мы получим, что
(ф (0) ф («)) а~ '1 l/(r+l' sup (ф (fe) ф (/)) са~11 И<г+,\
k=^l
Итак, полагая m = (г + 1)-11па, приходим к утверждению теоремы. |
17.9 Скейлинговый предел
Термодинамические функции — это не единственный класс ве-
личин, имеющих простую степенную асимптотику вблизи критиче-
ской точки. Считается, что сама модель теории поля допускает не-
которую асимптотику в критической точке. Эта асимптотика, назы-
ваемая скейлинговым предельным переходом, связана с масштаб-
ными преобразованиями, описанными в § 6.6. Соответствующая
асимптотика, если она существует, также задает модель евклидо-
вой теории поля. Существование скейлингового предела (сходи-
мость по некоторой подпоследовательности масштабных преобра-
зований) сводится к равномерной оценке
s<24f Xg)	(17.9.1)
двухточечной функции [Glimm, Jaffe, 1974d].
Теорема 17.9.1. Пусть <•>, обозначает последовательность одно-
фазных решеточных или непрерывных (^-моделей теории поля,
удовлетворяющих оценке вида (17.9.1),где | • — какая-нибудь из
норм в пространстве Шварца, не зависящая от j. Тогда некоторая
подпоследовательность этих теорий поля сходится при j -> оо. Если
размер ячейки решетки стремится к нулю, то предельная теория
удовлетворяет аксиомам Остервальдера — Шрадера, за исключе-
нием, быть может, аксиом единственности вакуума и (в случае
когда аппроксимирующие теории решеточные) аксиомы евклидо-
вой ковариантности.
17.10 Гипотеза Г(6)	0
Необрезанная шеститочечная вершинная функция определяется
следующим образом:
Г(6> (хххууу) — (хххууу) + (хххг)т Г (zz') (z'ууу)Т dz dz' +
+ 9 {xxyz)T Г (zz') (z'xyy)T dz dz'. (17.10.1)
17.10 Гипотеза Г(в> 0	341
Здесь Г = — S2 где S2 1 — ядро интегрального оператора, об-
ратного к оператору с ядром S2(x,y). Из гипотезы о том, что
Г(6) (хххууу) 0,	(17.10.2)
удается получить большое число интересных следствий, например:
отсутствие трехчастичных связанных состоянии для пропагатора,
существование скейлпнгового предела и некоторые оценки крити-
ческих индексов (см. [Glimm, Jaffe, 1975с, 1976b].
Некоторые факты позволяют думать, что для однофазных чет-
ных <р4-моделей неравенство (17.10.2) действительно имеет место.
В частности, оно получено по теории возмущений (например, при
о>0 или при высоких температурах); имеются также эвристиче-
ские соображения, свидетельствующие о его справедливости вблизи
Ос- Однако для доказательства этого неравенства требуются све-
жие идеи.
В этом параграфе мы приведем некоторые примеры примене-
ния неравенства (17.10.2). Например, имеет место
Теорема 17.10.1. Если выполнено (17.10.2), то
|х|->оо.	(17.10.3)
Замечание. Из оценки (17.10.3) следует, что у Г(х) нет спектра
в интервале (0,3m), а следовательно, носитель do (а) не пересе-
кается с интервалом (т, Зт). По этой причине в пропагаторе, т. е.
среди состояний, порожденных векторами <p(x)Q, отсутствуют
трехчастичные связанные состояния.
Набросок доказательства. Воспользуемся формулой интегрирования по частям
[Glimm, Jaffe, 1975с]:
j Ф W А (ф)	(ф) = (ф (х) А) = j dyS (х — у) [(~ (У' V	•
(17.10.4)
Здесь V = Z : ф4: dx — взаимодействие и
PiA— ф (z) Г (z — zr) (ф (z') Л) dz dz'.
Из (17.10.4) следует, что при х ф у
Г(х-у) = {V (х) (1 - Р,) V' (у)) = 16А2(ф3 (х) (/ - Р,) ф3 (у)).	(17.10.5)
Раскрывая скобки в (17.10.5) и применяя неравенство (17.10.1), получаем
(16)- 17“2Г (х — у) = 6 (ху)3 + 9 (ххуу)т (ху) —
— 9 (xxyz)T Г (zz') {z'xyy)T dz dz' + Г(6) (хххууу). (17.10.6)
Первый член в (17.10.6) есть О(е-т'х—у1)3 при |х— у\-> оо. Второй член отри-
цателен. Убывание в третьем члене определяется трехчастичным спектром, что
вытекает из отсутствия двухчастичных связанных состояний у (xxyz) т\ см.
[Glimm, Jaffe, 1975с]. Таким образом, (17.10.6) означает, что
Г(х— у)^е~гт'х~у', ]х —-	оо.
342 Гл. 18. Кластерные разложения
Положительность функции Г(х— у) следует из того факта, что она является
преобразованием Фурье функции Герглогца. S
В заключение приведем еще одно следствие неравенства
(17.10.2).
Теорема 17.10.2 [Glimm, Jaffe, 1976b], Пусть d 6, g0(6) =
== X64~d sC const (конечная перенормировка заряда), и пусть,
кроме того, выполнено (17.10.2). Если предел при 6->0 решеточ-
ной ^(fa-теории поля евклидово-инвариантен, то он представляет
собой свободное поле.
Замечание. Этот результат выражает в слабой форме идею о том,
что перенормировки необходимы (т. е. что неперенормированные
теории некорректны). Однако он не проясняет вопроса о том, яв-
ляются ли перенормированные модели ф4, Юкавы и КЭД коррект-
ными (нетривиальными) в размерности d — 4.
Глава 18
Кластерные разложения
18.1 Введение
Кластерные разложения [Glimm, Jaffe, Spencer, 1973, 1974] позво-
ляют детально изучить свойства квантовых полей. С их помощью,
кроме доказательства существования предела при предельном пе-
реходе к бесконечному объему, можно получить подробную инфор-
мацию о свойствах спектра: кратность основного состояния; су-
ществование изолированных точек спектра, отвечающих частицам;
наличие или отсутствие связанных состояний; полнота состояний
рассеяния в низкоэнергетической области; аналитичность относи-
тельно констант связи; суммируемость по Борелю и т. д. В гл. 14
были указаны применения кластерных разложений к изучению
частиц, а в гл. 5 и 16 —к теории фазовых переходов.
Кластерные разложения сходятся в том случае, когда значе-
ния параметров, задающих квантовое поле, достаточно удалены от
критических значений, т. е. поле близко к гауссовому. Можно по-
строить кластерные разложения (более сложные, чем те, кото-
рые приводятся здесь) и для многофазных теорий, у которых каж-
дая чистая фаза является почти гауссовой. Кластерные разложе-
ния являются основным средством анализа картины, возникающей
в приближении среднего поля, как это описано в гл. 5 (для об-
ласти значений параметров, удаленной от критических точек).
18.1 Введение 343
Разложения, о которых идет речь, тесно связаны с внриаль-
ными и кластерными разложениями в статистической механике;
см. гл. 2. Соответствующая формула из статистической механики
дает следующее разложение плотности вероятности в ансамбле
Г иббса:
П e~pv (xi~xj) = П [1 + (е-₽1/ ("«-"/) - 1)] =
<</	к/
= Е П (е-рг(^-Ъ)—1).	(18.1.1)
г а, л=г
Здесь Г — множество неупорядоченных пар (i, /). i¥=j, т. е. граф
Майера, а суммирование распространяется на все такие графы.
Эта формула выражает взаимодействие e~₽l/ (xt~xd частиц с но-
мерами i и j j) в виде суммы двух членов: первый, 1, отве-
чает нулевому взаимодействию, а второй представляет собой воз-
мущение е ' 1 В— 1, которое мало прн высоких температурах
kT = р-1. Оставаясь на эвристическом уровне, можно сказать, что
роль гиббсовой плотности в Р(<р) 2-теории поля играет мера
е~ [л. w+w «г «)] ах д	(18.1.2)
x<^R-
Здесь
(х) = 4- [(V<P (л-))2 + /Доф (х)2].	(18.1.3)
а формальное выражение
е"^*’** П <йр(х)	(18.1.4)
обозначает гауссову меру dq>c0 на S?'(/?2) с нулевым средним и
ковариацией С0.
В формуле (18.1.2) взаимодействие между отдельными точками
ZV7 \2	,4 / \	-U/2) (V<P)!
входит лишь в член (Уф) в ^о(х), так что е J играет
здесь роль величины в (18.1.1). Наше кластерное разложение
строится в духе формулы (18.1.1). Непосредственный аналог пол-
ностью невзаимодействующей теории получается, если отбросить
лапласиан в выражении
j (х) dx = j ф (х) (— Д + тд) ф (х) dx.
Соответствующая ультралокальная теория весьма сингулярна по
сравнению с теорией, определенной с помощью (18.1.2). Мы будем
уменьшать и оценивать сингулярность для разности взаимодей-
ствующей и невзаимодействующей теорий в два этапа. На первом
этапе мы модифицируем указанную выше ультралокальную стра-
тегию, введя решетку в плоскости R2 и используя эту решеточную
344 Г л. 18. Кластерные разложения
структуру в разложении, обобщающем (18.1.1). В этом разложе-
нии взаимодействие выключается лишь на ребрах решетки. Та-
ким способом мы уменьшаем сингулярность свободной (невзаимо-
действующей) меры по отношению к мере со взаимодействием.
В формулировках теорем 18.1.1—2 отсутствуют указания на ис-
пользование решетки, и в результате получается разложение для
непрерывной теории Р (<р)2 в бесконечном объеме, а не для ее ре-
шеточной аппроксимации. Пусть Г—множество ребер решетки,
соединяющих соседние узлы, и пусть Дг — оператор Лапласа с
граничными условиями Дирихле на Г. Положим
Сг =(—Дг + иг2)-1.	(18.1.5)
Тогда dtpcr играет роль свободной меры, для которой взаимо-
действие вдоль кривой Г отсутствует. В итоге структура решетки
дает возможность ввести дискретный набор переменных в сумме
и произведении X П в (18.1.1), даже если эта формула при-
Г (г, 7)еГ
меняется к непрерывной модели Р(ф)2.
На втором этапе регуляризуются разности, аналогичные
е-₽и _ । в 08.1.1). Разность двух гауссовых мер можно
записать в виде
।
d(fc, — dqCi — (d/ds) dtpc (s),
О
где C(s) = sCj—(1—s)C2. Тогда (d/ds) dtpc(s) можно вычислить
с помощью формулы (9.1.33), т. е. интегрированием по частям.
Для малых значений Х/m2 мы докажем экспоненциальное кла-
стерное свойство функций Швингера. Это свойство устанавли-
вается вначале в конечном объеме, причем оценки не зависят от
объема. Далее легко выводится, что функции Швингера сходятся
при неограниченном расширении объема и предельные функции
Швингера (не зависящие от граничных условий) обладают экспо-
ненциальным кластерным свойством в бесконечном объеме. При-
меняя теорему реконструкции Остервальдера — Шрадера, мы
строим теорию поля /э(ф)2 в бесконечном объеме по функциям
Швингера. Для этой теории выполнены аксиомы Вайтмана и фи-
зическая масса строго положительна. Мы покажем также, что
функции Швингера аналитичны по I в ограниченном секторе
О < | X | < е, —л/2 < arg К < л/2.	(18.1.6)
Функции Швингера в конечном объеме, по определению, пред-
ставляют собой моменты меры вида (11.2.1):
5д(Х1, ..хп)= ( <р(%1) ... <p(xn)dpA. (18.1.7)
18.1 Введение 345
Однако для удобства мы заменяем ковариацию CJA в (П.2.1),
отвечающую условиям Дирихле, свободной ковариацией С0, так
что объемное обрезание появляется только во взаимодействии
V = V(A). В этом случае 5д определяется как обобщенная функ-
ция из пространства ^'(Т?2"). В дополнение к мономам в (18.1.7)
полезно ввести интегралы от произведения виковых полиномов,
а именно
А = :<р (X])"1: ... :<p(xy)"/: w (xI; ..Xj)dx. (18.1.8)
Мы предполагаем, что ае^^2'), хотя можно ограничиться и бо-
лее слабыми предположениями. Определим яиррД как пересече-
ние всех замкнутых множеств Ccz/?2, удовлетворяющих условию
supptoczCX ••• ХС (/ сомножителей). (18.1.9)
Теорема 18.1.1. Пусть Z принадлежит замыканию проколотого по-
лукруга (18.1.6), а e/mf достаточно мало. Пусть, кроме того, А
и В — функции на SP' вида (18.1.1), a d — ширина полосы в R2,
разделяющей supp/1 и supp В. Тогда существует константа
М = MAi в и строго положительная константа т, не зависящая от
А и В, для которых
| jj ABdpx — A В dpA | < МА. в e~md (18.1.10)
равномерно по Л при |А|->оо. Константа М не меняется при не-
зависимых сдвигах А и В.
Теорема 18.1.2. Пусть Т принадлежит замыканию проколотого
полукруга (18.1.6), а е/m2 достаточно мало. Для функций А вида
(18.1.8) величина | A dpx | ограничена равномерно по Z и Л при
|Л|—> оо.
Следствие 18.1.3. В предположениях теоремы 18.1.1 предел при не-
ограниченном расширении Л
(Adp.= lim	(18.1.11)
существует и удовлетворяет оценке
| ABdp — Adp В dp | ^Л)д,в e~md. (18.1.12)
Доказательство. Применим теорему 18.1.1 ко взаимодействию
Уа== У(Л) +аУ(Д), 0sg«Cl,
добавляя к области Л единичный квадрат Лс/?! \ Л. Тогда
| J A dpa | = | J ДУ(Д) dpa - J A dpa j У(Д) dpa | < 7Ил Be-md, В - V (Д),
346 Гл. 18. Кластерные разложения
где d = dist(supp /1, А). Пользуясь экспоненциальным убыванием, просумми-
руем по семейству квадратов, покрывающих X' \ Л, и тем самым установим, что
/1с/Цд— фундаментальная последовательность при Л f R2. Равномерная оцен-
ка (18.1.10) верпа и для среднего (18.1.11) в бесконечном объеме.
Из аналитичности no X функций Швингера в конечном объеме,
теоремы Витали и сходимости при Л—>-оо для малых веществен-
ных X получаем
Следствие 18.1.4. Функции Швингера аналитичны по X в области
(18.1.6) при малых &/tn2.
18.2 Кластерное разложение
Доказательства теорем 18.1.1 и 18.1.2 основаны на разложении,
которое мы сейчас построим. Пусть £% — некоторое множество от-
резков в R2. Нас будут интересовать два основных примера: либо
^ = (Z2)*— множество ребер решетки, соединяющих соседние
узлы в Z2, либо ^ = (Z2)*\r, где Г — конечное подмножество в
(Z2) *. Отождествим Г сг $ с подмножеством Г = |J b сг 7?2. Мы бу-
ь;г
дем помечать члены нашего разложения подмножествами Г cz
В слагаемом, отвечающем Г, выключено взаимодействие ребер
ГС = ^\Г,	(18.2.1)
что соответствует выбору гауссовой меры с ковариацией Дирихле
на Гс. В связи с этим ребра b с= Гс называют ребрами Дирихле.
Каждому ребру 6еГ мы сопоставим величину, определяющую
разность между свободной мерой и мерой со взаимодействием,
аналогичную разностям в формуле (18.1.1). Эти величины выра-
жаются с помощью производных согласно основной теореме ана-
лиза, поэтому ребра b е Г называют ребрами дифференцирования.
Рассматриваемые нами ковариационные операторы являются
выпуклыми линейными комбинациями операторов Сг- Для каж-
дого ребра введем параметр $г,е[0, 1], измеряющий вели-
чину взаимодействия через Ь. Значению Sb = 0 отвечает условие
Дирихле на Ь, т. е. взаимодействие через b отсутствует, а значе-
нию 8ь = 1 отвечает полное взаимодействие через Ь. Совокупность
величин
s = (sb)6e^	(18.2.2)
определяет многопараметрическое семейство ковариационных опе-
раторов
C(s)= £ п«6 п (1-Осг‘-	а8-2-3)
Гей Ь(=Г ЬеГС
18.2 Кластерное разложение 347
Поскольку коэффициентами в (18.2.3) являются члены разложе-
ния
1 = П 1 = П [s6 + (l-s6)]>
lies
то (18.2 3) действительно представляет собой выпуклую линейную
комбинацию операторов Сг, как и утверждалось выше. Свободная
ковариация есть не что иное, как
С0 = С(1, 1, ...) = (-Д + т2)-1,
а полностью выключенному взаимодействию отвечает ковариация
СЙ = С(О, О,	=
Функция Швингера и статистическая сумма являются, есте-
ственно, функциями от s. Мы используем при этом обозначения
Z (s) (х) = Z (Л, s) 5Л, s (х) = $ Ц <р (Xt) e~w dq>s, (18.2.4)
i
Z(s) = Z (A, s) = J e~w <л> dys,
где dq)s = dq)C (s), V (A) = X :P (<p (x)): dx.
A
Цель кластерных разложений состоит в том, чтобы выразить ве-
личины, относящиеся к полностью взаимодействующей теории
(sft= 1), с помощью свободных величии, т. е. определяемых не-
взаимодействующей мерой (и, следовательно, локализованных в ко-
нечном объеме). Свободным величинам отвечают значения пара-
метров 5ь = 0 для большинства b е= и для их записи удобно
определить набор з(Г) = {s(F)ft} следующим образом:
( sh при b е Г,
5(Г)Ь = <„	, , ,,	(18.2.5)
’ (О	при Ьф\.	v ’
Для конечных Г набор «(Г) определяет граничное условие Ди-
рихле на далеких расстояниях (на Гс), в то время как s можно
представлять себе в виде общих граничных условий на Гс, совпа-
дающих с s (Г) на Г. Следующее определение выражает свойство
независимости функции F от граничных условий на бесконечности.
Определение 18.2.1. Функция F(s) называется регулярной на бес-
конечности, если для любого з
F(s) = lim Д(з(Г)).	(18.2.6)
{Г'ЦЛГ конечно}
Предложение 18.2.1. Функции (18.2.4) регулярны на бесконечности.
Здесь 5?cz(Z2)*, а сходимость S понимается как сходимость в SP',
348 Гл. 18. Кластерные разложения
Поскольку Л фиксировано и ограничено, существование пре-
дела (18.2.6) устанавливается элементарно. Предложение следует
из (9.1.33), леммы 8.5.2 и теоремы 8.6.2.
Первый этап построения кластерного разложения состоит в
применении основной теоремы анализа к конечному набору отлич-
ных от нуля параметров в Д(х(Г)). Пусть
=	(18.2.7)
Ье=Г
Определим частичный порядок на множестве наборов s следующим
образом:
О s <=>(Т6 sb
Предложение 18.2.2. Пусть F(s) — гладкая функция, регулярная
на бесконечности. Тогда
F(s) = Е 5 drF(o(r))do.	(18.2.8)
{Гс$: Г конечно} 0<о<5(Г)
Доказательство. Обозначим G(s) правую часть (18.2.8). Мы утверждаем, что
f(s(B)) = G(s(B)) для любого конечного множества В с. <Й. Далее, G(s(B))
есть просто сумма (18.2.8), взятая по подмножествам ГсВсй1. Поскольку
F{s) регулярна на бесконечности, сходимость суммы в (18.2.8) следует из сде-
ланного утверждения. Сама формула (18.2.8) получается в результате перехода
к пределу при В \ 0.
Для функции f(sp) одного переменного положим
sb
$bf) (sb) = f (sb) - f (0) = J dbf (ct6) dob, (E%f) (sb) = f (0).
0
Тогда I = Eb + 6b (по основной теореме анализа), так что
1 = П (£о + бЬ) = X £0ХГ6Г,	(18.2.9)
ЬевВ	Т<=В
где 6Г =	6Ь, Fq	Еь. Легко видеть, что из (18.2.9) вытекает тре-
й=г	Ье=в\Г
буемое тождество F(s(B)) = G(s(B)).
Следующий этап построения кластерного разложения — это
факторизация и частичное пересуммирование в (18.2.8). Напишем
/?2\p = XiUX2U ••• их, (18.2.10)
где каждое множество X, есть объединение связных компонент и
Xt [)Х/ — 0 при i #= j.
Определение 18.2.2. Функция F(A, s) называется свободной при
s = 0, если она представляется в виде
F (Л, s (Г)) = ft F (Л П Xit s (Г Л Х^)	(18.2.11)
для любого Г и некоторого разбиения (18.2.10),
18.2 Кластерное разложение 349
Предложение 18.2.3. Для заданного разбиения вида (18.2.10) меры
dcfstD и e-M'^dqistf) могут быть представлены в виде прямого про-
изведения г мер, где i-u сомножитель является мерой на Д’'(Xi).
Доказательство. Поскольку оператор С(х(Г)) отвечает условиям Дирихле на Гс,
то он является прямой суммой операторов С (s (Г)) |Л у Факторизация
d<fs (D следует из этого факта и, кроме того, может быть выведена из (9.1.16).
Поскольку :Р(ф(х)): есть локальная функция, е	также факторизуется,
что влечет за собой факторизацию меры e~^v <Л) dqs (Г). |
Следствие 18.2.4. Функции ZS и Z в (18.2.4) свободны при s — 0.
С помощью кластерного разложения мы представляем вели-
чину F в виде суммы произведений вкладов отдельных связных
графов. Мы фиксируем некоторое множество точек (например,
Хо = х — (%i, ..., Хп) — переменные в формуле (18.2.4)). По гра-
фам, в которых Хо не встречается, проводится суммирование, что
дает один множитель в выражении для F, отвечающий внешней
области.
Проследим подробнее за этим суммированием. Сделаем под-
становку (18.2.11) в разложение (18.2.8). Тогда
г s(rz)
F (Л, s) = £ П J дГбГ(ЛПХо О Oder, (18.2.12)
г 1 = 1 о
где Г, = Г Г) Xi. Если Xi связны, это выражение представляет собой
сумму по произведениям связных графов. Выберем теперь в каче-
стве X] в (18.2.10) объединение всех компонент, в которых встре-
чаются точки из Хо, и пусть Ха есть объединение остальных ком-
понент. Фиксируем Xi и Г1 и просуммируем по всевозможным вы-
борам Гг:
s (Г,)	s (Г2)
F(A, s)= £ J dr,F(Af]X1, ff(r,))da£ J Л (Л fl X2, о (Г2)) do.
Xu rt о	Гг 0
Во второй сумме Г2 пробегает все конечные множества ребер в
^\Хь Поэтому сумма по Г2 может быть вычислена с помощью
(18.2.8) как функция вида F(A Г| Х2, s (^\Xi)). Полагая X — Х{
и обозначая Г1 просто Г, приходим к разложению
F(A, 8) = ХК(Х0, X)F(A\X, s($\X)),
X
*(Г)	(18.2.13)
А (Хо, X) = £ J dTF (Л Г) х, О (Г)) do.
г о
В этих суммах X пробегает все конечные объединения замкнутых
квадратов решетки, содержащие Хо, а в качестве Г может быть
выбрано любое подмножество такое, что
350 Гл. 18. Кластерные разложения
(i)	в каждой компоненте Х\ГС встречается точка из Хо;
(ii)	Г cz Int X.
Если для заданного X таких Г не существует, то К (Хо, X) = 0.
Теорема 18.2.5. Пусть множество Ха ограничено, а функция F яв-
ляется гладкой, регулярной на бесконечности и свободной при
s = 0. Тогда имеет место кластерное разложение (18.2.13).
Пример 1- Пусть Я — (Z2)*— множество всех ребер решетки н Хо = {хь ...
..., х„}. Положим F = ZS (см. (18.2.4)). Тогда при s = 1
F (Л \ X, s (Я \ А)) = J e~W (ЛХ*> d<ps (i5XX) =
= Z (Л. \ X, з(Я\Х))^ zgx (Л \ X),	(18.2.14)
поскольку изменение граничных условий внутри X не изменяет интеграла. Раз-
делив иа Z, мы получим, в силу (18.2.13),
SA W = £ J $ П ф <ЛПЛ) dt₽s<r>ds (r)ZaAZCA?X) '-	(18’2Л5)
X, Г	i
Представив X \ Гс как объединение связных компонент, мы можем факторизо-
вать интеграл в (18.2.15) так же, как в формуле (18.2.12).
Пример 2. Пусть йс (Z2)* и Га = Г] \ Ьг— конечные множества ребер ре-
шетки, a bi — первый элемент Г] по отношению к некоторому лексикографиче-
скому порядку на (Z2)*. Применим кластерное разложение (по всем наборам
ребер b bi) для изучения разности Zri — Z^, где Zr = e~^v *Л*^ЧРсг- Для
этого в качестве Я выберем множество (Z2)* \bi; Хо = Ьь Теперь Z является
функцией пары (.s, s6 ). Определим функцию
₽М .	(^(Л, з(Г0, 0)-Z(A, s(rc2), 1),	&1СД,
’ S) t z (A, s(r|), 0),	b1f]A = 0.
Функция F обладает тем свойством, что
F (A, s = 1) = Zri — Zrj при cz A.
Кроме того, F является гладкой, регулярной на бесконечности и свободной при
s = 0 (последнее свойство выполнено в силу того, что bi Я). Заметим, что F
не зависит от переменных st, отвечающих ребрам b е Г2, поэтому dbF = 0 при
b е Г2. Следовательно, для любого ненулевого члена разложения граф Г2 со-
стоит из ребер Дирихле, и в (18.2.13) можно ввести еще одно ограничение на
множества Г, по которым проводится суммирование X :
Г
(iii)	Г П Г2 = 0.
Согласно (18.2.13), имеем
F (A, s=l) = Zr,(A)-Zr2(A)= X K(by, Гц X)F(A\X, s(^\X)) =
X
= Х^(61> Гр x)zг, их* (А\Х).
Здесь X* — множество ребер, входящих в X. Последнее равенство вытекает из
того, что А (А \А, з(Я \А)) не зависит от переменных st, belntX. Умножим
18.3 Кластерное свойство и аналитичность 361
п разделим почленно на 2ад(А)*ЛПХ|, где А — один из квадратов решетки.
Поскольку
гбд (A)' Anx|zriUx* (Л \%) = /г.их*
то мы получаем (при новом К)
2Г, = гГ, \ &. + Е pl’ г1> Х) XrtUX> (М,	(18.2.16)
X
где новое /( равно
К(Щ, Гр Х) = г5д(А)-|ЛпЛ| £drublZ(AnX, S (Ги bi)) ds (ги 61). (18.2.17)
г
Эти уравнения по своей структуре занимают промежуточное положение ме-
жду уравнениями Кирквуда — Зальцбурга и уравнениями Майера — Монтролла.
Онн будут изучены в § 18.5 с целью получения оценок для Zr/Z, т. е. второго
сомножителя в (18.2.15).
18.3 Кластерное свойство и аналитичность
В этом параграфе мы выведем кластерное свойство и аналитич-
ность— основные результаты настоящей главы —из предположе-
ния о сходимости кластерного разложения (18.2.15). Пусть
Т(х, А, X, Г) обозначает слагаемое в (18.2.15), отвечающее X, Г,
так что
SA(x) = Е Т(х, A, X, Г).	(18.3.1)
X, г
Для любой основной функции w е 93 (R2n) ряд
5Л (x) w (х) dx = У' (w, Т)	(18.3.2)
X. г
абсолютно сходится. Скорость сходимости определяется площадью
|Х| множества X. Докажем, что при К > О
£	|<w, Г)К|то|е-к<с-Ч	(18.3.3)
{X, Г: 1 X |>О}
где | то| — некоторая (зависящая от п) норма то в ЗР.
Теорема 18.3.1. Фиксируем произвольное К > 0. Пусть т0 велико,
е мало (эти величины выбираются в зависимости от К), а К при-
надлежит замыканию множества (18.1.6). Существует такая нор-
ма | то| в пространстве 9”, что неравенство (18.3.3) выполнено рав-
номерно попи, и 1, причем норма | w | инвариантна относи-
тельно сдвигов любого из аргументов функции то.
Как видно из доказательства этой теоремы, она верна и в слу-
чае, когда в (18.2.15) в качестве подынтегральной функции рас-
сматривается выражение А вида (18.1.8). Таким образом, тео-
352 Гл. 18. Кластерные разложения
рема 18.1.2 и следствие 18.1.3 вытекают из (18.3.3) при /< = 1,
D= 1.
Теорема 18.1.1 также следует из сходимости кластерного раз-
ложения. Ее доказательство для случая двухточечной функции
при четном взаимодействии хотя и не использует всех идей, хо-
рошо иллюстрирует основную из них, поэтому мы рассмотрим этот
случай первым.
Доказательство теоремы 18.1.1 для п = 2 и четного Р в предположении, что
верна теорема 18.3.1. Поскольку полином Р, определяющий взаимодействие в
(18.1.2), четный, теория обладает симметрией <р(х)->—<р(х). Для гауссовых ин-
тегралов, определенных с помощью факторизующейся меры е'/VdcpC(s (Г)) (ср.
предложение 18.2.3), верно даже большее: преобразование
<р(х)-> о(х)<р(х)	(18.3.4)
также является симметрией, если о(х) = ±1 и о(х) = const иа каждом X,.
Ввиду симметрии <р->—ср имеем SA(х^ ..., х„) = 0 для нечетных п. Анало-
гично,
J П ф (Х/) Й‘₽СМГ» == °-
кроме тех случаев, когда каждая связная компонента X,, ..., X, содержит чет-
ное число точек х,-. Поскольку <Эг0 = 0, верно также равенство Т (х, Л, X, Г) =
= 0, если хотя бы одно из множеств X,- содержит нечетное число точек xi.
Ввиду условия (i) § 18.2 каждое множество X, должно содержать по крайней
мере одну, а значит, по крайней мере две точки Xi. Следовательно, при п = 2
есть лишь одно множество X). Другими словами, X \ Гс связно. Пусть d опре-
делено как в теореме 18.1.1 и w = ги, ® и>2. Поскольку X связно и supp wi П
0, то d |Х| + 1. Значит, согласно (18.3.3),
| Sa (*! *2) №i (х1) w2 (хг) dx | < I ® I e~K(D~2} < Mwe~Kd.
Эта оценка завершает доказательство теоремы 18.1.1 при п = 2, поскольку од-
ноточечная функция SA (xi) обращается в нуль для четных Р. |
Доказательство теоремы 18.1.1 (общий случай) в предположении, что верна тео-
рема 18.3.1. Как и прежде, идея состоит в том, чтобы свести кластерное разло-
жение к сумме членов, содержащих лишь одну связную компоненту Xi = X.
Слагаемые, отвечающие двум и более связным компонентам, должны обратиться
в нуль в силу некоторой симметрии. Поскольку в общем случае (когда Р не обя-
зательно четный) такая симметрия отсутствует, мы, следуя работе [Ginibre,
19711, вводим новую теорию, обладающую искусственно созданной симметрией.
Пусть d<pc» есть копия меры dtyc(C*s^C), определенная на пространстве
изоморфном Новая теория определяется свободной мерой d<pc X dq>c*’
ковариацией C&l	— С, нормированной физической мерой
Z “ *е- v <Л’е~ v (A,*d<pc X d<Pc* =
н полем ф= <р® /-(-/ ®q>*. Эта теория инвариантна (четна) относительно сим-
метрии <р «-► <р*, которая меняет местами сомножители.
Применим кластерное разложение к выражению Z (А — А*) (В — В*) dfi.
Ковариационные операторы, появляющиеся в этом разложении, имеют вид
C(s) = C(s) ® // ® C(s)*, поэтому симметрия	сохраняет гауссову
18.4 Сходимость: основные идеи 353
меру на каждом нз сомножителей. (Однако само разложение изменяется: в ка-
честве £% выступает (Z2) * \ Г, где Г — набор ребер решетки, объединяющий
ребра двух связных множеств, одно из которых содержит supp А = supp (Л —
—’Л*), а другое supp В. Таким образом, для каждой компоненты Xi либо Xi
supp А, либо Xi П supp А = 0, и то же самое верно для supp В. Вследствие
этого ограничения имеется не более двух компонент. Поскольку п в (18.3.3)
ограничивает сверху число компонент, то, как легко проверить, п = 2 в
(18.3.5).) Рассмотрим теперь слагаемое в (18.2.15), содержащее компоненты X],
Х-г, ..., удовлетворяющие условиям
supp А cz Xi, В a Xj, i #= j.	(18.3.5)
В таком слагаемом симметрия <(<—><(’* может быть применена отдельно к каж-
дой компоненте Xi. Однако А — Л* нечетно по отношению к симметрии на X,-,
поэтому члены, удовлетворяющие (18.3.5), должны обратиться в нуль. Ненуле-
вые члены, для которых условие (18.3.5) нарушается, содержат компоненту
Xi = X, причем d О(|Х|), так что при d 4
(Л— А*)(В — B*)dy.
sg Ма. в е~тЛ.
Раскрывая скобки в левой части, мы получим сумму четырех интегралов, каж-
дый из которых допускает факторизацию. В итоге левая часть неравенства при-
нимает вид
2 \ АВ dn^ с — 1 А с \ В с
откуда следует теорема 18.1.1. |
18.4 Сходимость: основные идеи
В этой главе используются две основные идеи. Первую из них
выражает формула (18.2.15), дающая кластерное разложение
функций Швингера. Вторая состоит в применении оценок, устанав-
ливающих равномерную по Л->оо сходимость такого разложения.
В настоящем параграфе мы сформулируем эти оценки в виде трех
предложений и с их помощью докажем теорему 18.3.1. Затем мы
докажем самые простые из этих оценок, а доказательство более
сложных отложим до следующих параграфов. Самая трудная из
оценок содержится в предложении 18.4.3. В известном смысле это
центральное место всей главы, поэтому мы обсудим в конце па-
раграфа идеи, которые привлекаются для его доказательства.
Сходимость разложения устанавливается при помощи оценок
следующих типов:
(а)	Комбинаторные оценки для подсчета числа слагаемых в раз-
ложении, в особенности для подсчета или оценки числа сла-
гаемых некоторого специального вида.
(Ь)	Одночастичные оценки ядер ковариационных операторов и их
производных дгС (s).
(с)	Оценки функциональных интегралов. Обычно такие оценки
включают в себя оценки первых двух типов.
354 Гл. 18. Кластерные разложения
Разложение (18.3.3) или (18.2.15) представляет собой сумму,
каждый член которой есть произведение двух сомножителей — от-
ношения статистических сумм и функционального интеграла. Пер-
вое предложение является чисто комбинаторным — типа (а)—и
позволяет вычислить количество членов, отвечающих множествам
X фиксированной площади | X|. Во втором и третьем предложе-
нии оцениваются оба сомножителя, входящие в каждый член сум-
мы (18.2.15). Эти предложения являются «гибридами», поскольку
в них используются оценки всех трех типов.
Предложение 18.4.1. Существует такая константа Ki, определяемая
чисто геометрически, что число слагаемых в (18.2.15—16), отве-
чающих множествам X фиксированной площади | X |, мажорирует-
ся величиной eKl ।х •.
Предложение 18.4.2. Существует такая константа Ki, не зависящая
от 1. из замыкания множества (18.1.6), от Л и от то, что при ма-
лых е и больших то
)ZM(A\X)/Z(A)|<e^^i.
Предложение 18.4.3. Существуют такая константа Кз и такая нор-
ма ]щ| на пространстве основных функций, что для любых К > О,
Л и Z из замыкания множества (18.1.6) при достаточно боль-
ших то
п	I
дТ J П Ф (хг) <Л> dqC(s (Г)) ds (Г), w
J i=l	I
<^е-К|Г|+К3|Л||
(Оценка m0 зависит от К, а |щ| не изменяется при сдвигах аргу-
ментов функции w.)
Замечание. В приведенном выше выражении в качестве подынтег-
ральной функции может выступать и виков полином, как в
(18.1.8).
Доказательство теоремы 18.8.1. Заменим в предложении 18.4.3 Л на Л f] X. Для
Г
множества X в (18.2.15) имеем X = |J Xt, где r<n, а X; связны. Более того,
г
Г cz Н Int Xt, и поэтому «многие» ребра в Xi принадлежат Г. Действительно,
i=l
поскольку Xi \ Гс «= X, связно, то
|Хг| — 1	2|Г П IntJ?,| и |Х| — п<2|Г|.	(18.4.1)
Следовательно, можно заменить правую часть неравенства в предложении 18.4.8
на е -K(W-n)|ro| ПрИ некотором выборе К и | w|. Теорема 18.3.1 непосредствен-
но следует из этой оценки и предложений 18.4.1, 18.4.2. |
Доказательство предложения 18.4.1. Рассмотрим разложение (18.2.15). Оценим
сначала число способов выбора компоненты Xi, содержащей фиксированной
18.4 Сходимость: основные идеи 355
точку X/, 1	/ =5= п. Отождествим каждый элементарный квадрат решетки с его
центром, а каждое ребро Ь, лежащее на границе двух квадратов Д, Д', с отрез-
ком, соединяющим центр Д с центром Д'. Итак, мы должны вычислить, сколь-
кими способами можно нарисовать связный граф, ребра которого соединяют со-
седние узлы решетки. Покажем, что каждый такой граф можно построить, ис-
ходя из начальной точки X/ и двигаясь вдоль некоторого ориентированного пути,
образованного единичными отрезками, причем каждый отрезок проходится не
более двух раз. В самом деле, если мы будем рассматривать узлы решетки как
острова, а соединяющие их отрезки как мосты, то это утверждение довольно
просто следует из решения знаменитой задачи о семи кенигсбергских мостах ’).
Число связных путей длины I, составленных из ребер решетки и начинающихся
в точке X/, не превосходит 4г. Поскольку I 8|Х,|, то Xi может быть выбрано
не более чем 0(1)2 6 I'Xt‘। способами. Число способов выбора Г не превосходит
4''Х', поэтому пара X, Г может быть выбрана не более чем
I X | | X ] ТТ 16 I Ml „	19|Х|
0(1)2 4 II 2 1 11 = 0(1)2
i
способами, так как число способов выбрать величины |Л)| при заданном |Х| не
превосходит 21 х1- Эта оценка завершает доказательство. Случай (18.2.16) ана-
логичен рассмотренному. В	*
Предложение 18.4.2 будет доказано в § 18.5 с помощью урав-
нений типа Кирквуда — Зальцбурга. Заметим лишь, что при изме-
нении статистической суммы изменяется и область взаимодей-
ствия, и ковариация (Л\Х->Л и Сох-^С).
Обсуждение предложения 18.4.3. Каждый дефференцпальный опе-
ратор d/dsb в <ЭГ действует либо на меру, либо на подынтеграль-
ную функцию. Производные меры могут быть вычислены согласно
(9.1.34), в результате чего в подынтегральной функции появляют-
ся зависящие от s ядра C'(s). Многократное дифференцирование
приводит к появлению новых слагаемых, отвечающих:
(а)	многократному применению функциональных производных
с?2/сАр2 в (9.1.34),
(Ь)	многократному применению операторов дГ‘ к каждому из
ядер C'(s) в (9.1.34).
Каждое дифференцирование d/dsb улучшает сходимость одним
из двух способов. При дифференцировании меры возникает ядро
С', причем
(с)	С' и С малы в том смысле, что
(С1) || С' (х, у)\\ьр^0(т^),
(с2) 0<С'(х, у) = дЬС(х, ^^e-'noldistfx, 6)+dist(I/, ъ»,
(с3) 0<ZC(x, y)^.e-m^x-v\ |х — у |	1.
*) См., например, Оре О. Графы и их применение. Пер. с англ.—М.: Мир,
1965. — Прим. ред.
356 Гл. 18. Кластерные разложения
Повторное дифференцирование ядра С (s) также улучшает схо-
димость, поскольку
(d)	дгС мало в том смысле, что
(dx) ||<?гС(х, f/)Lp<O(m0-eir|),
(d2) О СС дгС (х, у)
где d— длина кратчайшего пути, соединяющего х, у и проходя-
щего через каждое ребро b е Г. Действительно, нз представления
ядра (—Д + ш2)-1 в виде впнерова интеграла вытекает, что
drC(s) есть вннеров интеграл по всем путям из х в у, проходящим
через каждое ребро бе Г; см. § 18.6.
Неравенство (с2) используется для оценок членов типа (а).
В самом деле, оно показывает, что в лапласиан C'(s)A(f, в (9.1.34)
существенный вклад вносят лишь точки х и у, близкие к Ь. Струк-
тура разложения такова, что каждому ребру бе^ соответствует
не более одного лапласиана Лер, и, следовательно, ограниченному
множеству ребер отвечает конечное произведение операторов Аф.
Вычисление А" приводит к появлению /((«)< со слагаемых, а
повторение этой процедуры для непересекающпхся малых обла-
стей, покрывающих в совокупности весь объем, приводит к появ-
лению eo(vol) слагаемых. Для оценок суммы членов типа (Ь) при-
меняется оценка (da). Из (dj) вытекает основная оценка т~Е,г|,
с помощью которой устанавливается сходимость.
Когда эти этапы доказательства пройдены, остается получить
оценку функционального интеграла вида Re~kvd(p. Именно,
| J Re-w (Л) d<p | < Q R2 dtp)1'2 ( J е-2 ве <Л> dtp)1/2,
и каждый сомножитель в правой части представляет собой вели-
чину порядка eo(vol). Теперь с помощью (с3) мы оцениваем убыва-
ние зависимости между далекими невзаимодействующими обла-
стями в R2.
18.5 Уравнение типа Кирквуда — Зальцбурга
Уравнения (18.2.16—17) можно переписать как векторное уравне-
ние в банаховом пространстве
p = Z(A)l+Xp,	(18.5.1)
имеющее единственное решение р = (/ — •%")-1Z(Л) 1, удовлетво-
ряющее неравенствам
|p|^|(7-Jr)-1||Z(A)|^4|Z(A)|.	(18.5.2)
18.5 Уравнение типа Кирквуда — Зальцбурга 357
Мы увидим в дальнейшем, что эта оценка, по сути, есть не что
иное, как предложение 18.4.2.
Пусть — банахово пространство функций f, определенных на
конечных подмножествах Г cz (Z2) *. Для f е Зв обозначим через
(Л)лг=о ограничение / на подмножества из п элементов. Норму в Зв
определим, полагая
1Л= sup 2-"1Л(Г)|.	(18.5.3)
{(«, Г): ]Г|-п)
Пусть рЛ == (рл, n)n^o е Зв обозначает функцию Г->2г(Л).
Теорема 18.5.1. Пусть |Z,| е, Re 7.^ О, где е мало, и пусть т0
достаточно велико. Тогда Z(A)#=0, а рл, определенное выше, яв-
ляется единственным решением в Зв уравнения (18.5.1). При этом
рл удовлетворяет оценкам (18.5.2).
По теореме о мажорированной сходимости, Z<?a(A)->1 при
е->0. Значит, при малых е
1/2^|Z6a(A)|^2.
Из этого условия вытекают ограничения на е, при которых верна
теорема 18.5.1; фактически это единственное в этой главе ограни-
чение на параметр е.
Доказательство предложения 18.4.2 в предположении, что верна теорема 18.51'.
I 7-<)Х (Л \ Л) I I ZX,(A.) 1	]ЛПХ|
I ZGM |С| Z (Л) |1гад(М|
С21 х* Н| (1 — Jf)-1||| Zsa(A) |_| ЛПХ| <еКг 1 х >.
Доказательство теоремы 18.5.1. Пусть 1 = (1, 0, 0, ...) е Зв. Определим опера-
тор X равенствами
W),l(r)=f„_1(r\bi)+ f £ К(Ьь Г, Х)/|л.иГ|(Х*иГ), (18.5.4)
m=l {X: | X | -m)
где п 2, а суммирование проводится по всем X (как в (18.2.16) и (18.2.17)),
являющимся связными объединениями квадратов решетки и содержащим ребро
Ь\. При п — 1 мы опускаем первый член в правой части, а при п = 0 полагаем
(Xf)0	0.
Покажем, что определенный выше оператор X является сжимающим:
\Х|	3/4. Отсюда вытекает (18.5.2). Достаточно показать, что
(1/2)+ sup 2'|Г| £	|А(Ьр Г, Х)]2|Гих’|<3/4.	(18.5.5)
Гей	{Х:|Х|=т}
Доказательство неравенства (18.5.5) аналогично доказательству теоремы
18.3.1, приведенному в § 18.4. В частности, в нем используются предложения
18.4.1 и 18.4.3. Согласно первому из них, каждому фиксированному значению
|Х| отвечает не более ех'1 ' членов. Как следует из (18.2.17), каждый член
содержит по меньшей мере одно дифференцирование дь'. Используя этот факт
и соотношения (18.4.1), мы получаем из предложений 18.4.1 и 18.4.3 следующую
358 Гл. 18. Кластерные разложения
оценку:
| к (bl, Г, Х)|<<?-*(|х|+1)еК,]Х|.
При достаточно больших К отсюда вытекает (18.5.5). В заключение покажем,
что Z(A)=t^0. По теореме о мажорированной сходимости Z^A (Д) -> 1 при
е->0. Если е достаточно мало, то | ZA» j = | Z^A (Д) рЛ' ф 0. Следовательно,
Рд =£ 0 и, в силу (18.5.2), Z(A) Ф 0.
18.6 Ковариационные операторы
Основные результаты о свойствах ядер С0(х, у) и Сг(х, у) были
получены в гл. 7. Здесь мы покажем, что производные ковариа-
ционного оператора д^С удовлетворяют более сильным оценкам,
включая экспоненциальное убывание e~o(d) (§ 18.4, (d2)). Пусть
dUZ^(co)—условная мера Винера на траекториях со (т) с началом
в точке х при т = 0 и концом в точке у при т = Т. Пусть (со) —
характеристическая функция множества траекторий, не пересе-
кающих Г при Ог^т^Т'; см. § 7.8. Тогда с помощью можно
выразить Сг в виде интеграла Винера (см. (7.8.3)) и аналогично
г	2 г
C(s)(x, y)~^dTe~m°T Ц (Sb + (l-s6)xD^-
0	Ьей?
Следовательно,
С	2
(dYC(s))(x, y)=^dTe~m°rX
о
х) По - >0 П h+o-мп (18-е»
Нам необходимо было улучшить оценку производной (FC по двум
Причинам. Во-первых, для данного контура у нужно локализовать
х и у. С этой целью обозначим через / = (ji, /г) пару узлов ре-
шетки, являющихся ближайшими соседями точек х и у соответ-
ственно. Тогда
d(j, у) = sup {dist (A/,, b) + dist (Д/2, Ь)}	(18.6.2)
Ьену
дает грубую нижнюю оценку для d.
Объясним теперь, каково еще одно применение оценки произ-
водных <FC. Пусть SP (Г) — семейство всех разбиений л множества
ребер, принадлежащих Г. В предложении 18.4.3 требуется оценить
производную дг F dq>s, которая, согласно правилу Лейбница и
(9.1.33), есть не что иное, как
2 ^Ц4^С.Дфу</ф4.	(18.6.3)
18.6 Ковариационные операторы 359
Оценки величин д'!С позволяют оценить сумму У, . Как и в гл. 7,
л&УЦГ)
мы установим, что в оценку входит множитель	обеспе-
чивающий сходимость кластерного разложения.
Предложение 18.6.1. Пусть 1 q сю, а т0 достаточно велико.
Существуют такие константы	и K$(q), не зависящие от
т0, что
|дМь9(д/1Хд/2)<А'4(<7, V) 1Y 1/2g ехр (— m?d^’ Y-). (18.6.4)
£ П Ы,
(Г) уел
(18.6.5)
Доказательство. Воспользуемся представлением (18.6.1) величины д'1 С р вид?
интеграла Винера. Доказательство состоит, во-первых, из оценки меры Винера
множества траекторий м(т), пересекающих ребра bey в некотором фиксиро-
ванном порядке, и, во-вторых, комбинаторного подсчета числа способов, кото-
рыми можно ввести указанный порядок.
Пусть £(у) —-семейство всевозможных линейных упорядочений на множе-
стве ребер bey Для каждого I е L (у) обозначим Ж (/) множество винеровый
траекторий, пересекающих все ребра Ь е у, причем порядок, в котором ребрй
пересекаются в первый раз, совпадает с I. Тогда
О < дуС (s) С J е J Д (1 - xf («)) <WTxy dT = ^С0,	(18.6.6)
О
“ __m2T
(x, у) = J e m° J dWTxy dT.	(18.6.7)
ZeL (у) О	Ж U)
Пусть bi, ..., b2,	— элементы у, упорядоченные согласно I. Пусть b2— пер-
вое из ребер, не имеющее общего конца с Ь, = Ьг, Ь2, Ь3 — первое из ребер по-
сле Ь2, также не касающихся Ь2, и т. д. Положим
Uj = dist(b;+1, by), К/<7,
и определим величину
1'1 = f «/•
/-1
Условимся считать, что если ребра Ь2 с указанными свойствами не существует,
то [ Z | = 0.
Пользуясь введенными обозначениями, оценим член в (18.6.7), отвечающий
I е Цу), т. е.
00	2
с -mfr г т
К(1,х,у)^\е 0 \ dWxydT.
О	Ж(2)
Применим индукцию по 1, т. е. по числу ребер by, и воспользуемся строго мар-
ковским свойством. Строго марковское свойство винерова процесса (см. [McKean,
360 Гл. 18. Кластерные разложения
1969, р. 10]) означает, что момент первого достижения
Ti = inf {t 0: со (Z) е bi)
есть измеримая функция на траекториях со, а процесс s->co(s— Ti) есть услов-
ный винеров процесс с началом на 6Ь
Пусть I' — линейное упорядочение множества	отвечающее I,
а /| — упорядочение ребер {й2> •••> также определяемое порядком I. Тогда
Положим
Г — тТТ С г
К (I. х, у) < К (/', х, у) = \ е 0	\ dWTxy dT.
о »'(//)
(18.6.8а)
Ж (/', 6) = {соеГ (/'): Т! (со) < Л}.
v (Г, Л) = J dWTxy.
HP{V, fi)
Тогда v(Z', ti)—монотонно возрастающая функция fb причем
ОО
dWTxy — v (l', оо) = v (l', оо) — v (l', О) = dv (l', Zj).
V{1', f|)	о
Подставляя это в (18.6.8а), получаем, что
ОО оо
К (I, х, у) ехр (—	v (l', ijjdT.	(18.6.8b)
о о
В силу строго марковского свойства, интеграл по траекториям при t т- может
быть переписан как интеграл по условной мере Винера при условии, что траек-
тория начинается в Ьх. Чтобы записать это явно, введем обозначения
ГК (<i) = е ГК- Т] (св) "С ZJ, v(tx,x)= J dWх.
хНй)
Здесь Ж — множество винеровых траекторий со (-), удовлетворяющих условию
со(0) — х, a dWx — мера Винера на Ж. Обозначим 1 = g(co) = со (тх (со)) s bt
точку первого пересечения с ребром 6Ь Это измеримая функция от со в силу из-
меримости Ti. Тогда из строго марковского свойства следует тождество
dv(z', <i)= J dW^ydv^, х).
И” (I')
Из этого тождества получаем, что
5 dwty-
(I')
dv (l', Zj)^ dv (fp x) sup
ж
Подставляя в (18.6.8.b) это неравенство, а также тождества Т — Т — ti + ti и
dT «= d(T — Ti), получим, что
(18.6.8c)
18.6 Ковариационные операторы 361
Первый сомножитель ехр (—Ti (a)') dWx убывает экспоненциально с ростом
расстояния d(x, bi), поскольку он не превосходит ехр (— m2o)dll7x, где а —
время первого пересечения бесконечной полосы (шириной d(x, bt)), отделяющей
х от bi. Интеграл j ехр (—m^o'jdWx приводится к одномерному интегралу Ви-
~mad
нера, вычисленному в работе [McKean, 1969, р. 27], и равен е . Это показы-
вает, что при / = 0, 1 ядро К (Z, х, у) обладает требуемым свойством экспонен-
циального убывания.
Проведем теперь индукцию по 1. Второй сомножитель в (18.6.8с) экспонен-
циально убывает с ростом 111 |. Сочетая эти две оценки, получим, что
/(((, X,	при |Z| > 1. При |Z|=0 воспользуемся тем обстоя-
тельством, что
0<-^-G6 + (i -Мх!) = 1
Отсюда вытекает, что О д'1 С С&, и поэтому достаточно воспользоваться
оценками § 7.2. Можно получить аналогичную оценку, основанную на исполь-
зовании метрики d(j, у), определенной в (18.6.2). Взяв среднее геометрическое
этих двух оценок, получим, что при 26 < 1
II лУр II	V1	|/(2+26) -wod(/, т)/(2-6)
сЧ(д/,хд/2) е е
l^L (у)
(18.6.9)
если т0 достаточно велико. В случае, когда |Z|	1 для всех Zeb(y), мы мо-
жем добавить в правую часть (18.6.9) множитель	(увеличивая при не-
обходимости 6). Если |Z| < 1 для некоторого Z, то |Z| = 0, и в этом случае
|у| sC 4. При |у|	4 и d(j, у) 1 мы снова можем считать, что в правой ча-
сти (18.6.9) присутствует множитель Yувеличивая, если нужно, 6. Нако-
нец, при |у|	4 и d(j, у) = 0 множитель v ^2</	2/9 появляется в
(18.6.4) из соображений подобия, как и в предложении 7.9.1.
Положим по определению
Д'4 (q, у) = const К\у ^е т^11/<2+26>.
z^z. (v)
(18.6.10)
При таком выборе К4 выполнено неравенство (18.6.4); в случае, если </(/, у)=0
и |Z| =0 для некоторого Z, мы можем для вывода неравенства (18.6.4) применить
оценку из предложения 7.9.4.
Итак, осталось установить неравенство (18.6.5). Мы докажем его как само-
стоятельное утверждение.
Предложение 18.6.2. При достаточно больших т0 имеет место
оценка
Е П Г e-m"|Z 1/з^ек8|Г|.	(18.6.11)
r.e^'d') тел ZeL(v)
Доказательство. Пусть Z (Г) — семейство всех линейных упорядочений, опре-
деленных на подмножествах в Г. Тогда L(T) ^^(Г). Так же, как и ранее, опре-
862	Гл. 18. Кластерные разложения
делим величину |/| для /еЙ’(Г). Покажем, что число таких упорядочений
для которых |/| 5=: г, не превосходит
|Г|е^(г+1>.	(18.6.12)
Применяя теперь (18.6.12), завершим доказательство предложения 18.6.1.
Пусть Лг = ехр(—т0|/|/3). Выражение ЕПХ At в (18.6.11) представляет
собой сумму членов вида А^А12 Ai}>
S’(Г). Группируя слагаемые, мы оценим
где h — попарно различные элементы
(18.6.11) сверху следующим образом:
i&e (Г)	1
П О + Лг)<
Zeji? (Г)
П еХР А1 = ехР У Лг<ехр(О(1) I Г|).
Z<=JS? (Г)	Ze=JS? (Г)
В последнем выражении мы воспользовались оценкой (18.6.12) для того, чтобы
оценить	А/, выбирая при этом т0 достаточно большим.
Zszs? (Г)
Установим теперь неравенство (18.6.12). Предположим, что заданы расстоя-
ния а,- с фиксированной целой частью [щ]. Ребро bl = bi можно выбрать [Г|
способами. Число способов, которыми можно выбрать ребра Ь,- между Ь1 и
ограничено некоторой константой 0(1), поскольку все эти ребра должны пере-
секаться с bt. Далее, ребро Ь2 можно выбрать О(l)[ai] способами среди множе-
ства ребер Ь, удовлетворяющих условиям
[а;] < dist (b, b'i) < [aj + 1.
Действуя таким образом, мы находим, что общее число способов выбрать все
ребра bi допускает оценку
|Г | Ц О (1) [at] < | Г| e°(‘)Z	< | Г |е° (1)г.
i
Наконец, подсчитаем, сколькими способами можно выбрать величины [а<]. Это
есть не что иное, как количество наборов натуральных чисел г/ 1, сумма ко-
торых не превосходит г, т. е. 2Г. Действительно, предположим, что д rt = г,
и представим сумму г единиц в виде У, г1 следующим образом. Первая еди-
ница входит в Gi (выбора нет). Вторая единица входит либо в щ, либо в о2
(двузначный выбор). Если /-я единица входит в щ, то (/+ 1)-я входит либо в
о,-, либо a,+I (двузначный выбор). Таким образом, имеется г'— 1 двузначных вы-
боров, т. е. 2Г-1 различных наборов чисел и. Суммируя по / — У ri, мы полу-
г
чим величину У 2j l = 2Г— 1. Наконец, мы должны учесть еще одну возмож-
/=1
ность: |Z| == 0 (ai отсутствуют).
18.7 Сходимость: завершение доказательства
Доказательство предложения 18.4.3. Не ограничивая общности, можно считать,
что ядро w локализовано, т. е. его носитель заключен в произведении несколь-
ких квадратов решетки, и в этом случае мы положим |ш| = |ш|£Г Мы хотим
оценить выражение
<Р (xi) е W(A) d% (Г)ds (г)> w \.
(18.7.1)
18.7 Сходимость: завершение доказательства 363
Пусть ^(Г)—семейство всех разбиений л множества Г. Согласно (9.1.34) и
правилу Лейбница, (18.7.1) равно
л £ ИП 46Vc-A<₽>)n<₽^)e’xv(r)d^(r)ds(r)’ w\ (18-7-2)
где С = С (s (Г)), дуС 	А^; см. (9.1.10).
Пусть j е Z2. Будем обозначать символом А,- три объекта: (1) квадрат ре-
шетки, содержащий /, (2) характеристическую функцию этого квадрата, (3) опе-
ратор умножения на эту функцию Д/. Имея в виду последнее значение символа
А;, положим
«(,,)_ Л,,
где /у — (у’1, у, /2, v) е Z4, так что два дифференцирования в c)YC(Jy) локализо-
ваны в Ад и Ад соответственно. Пусть
д^С = V dvC (jy).
Ч
Подставим это тождество в (18.7.2). В результате мы получим сумму, члены
которой помечены квадратами локализации {/у} и разбиениями яе5’(Г). Для
каждого фиксированного члена обозначим М = А1(л, {/у}) число слагаемых, воз-
никающих в результате применения дифференциальных операторов Л(( в под-
ынтегральном выражении в (18.7.2). Согласно теореме 8.5.5, предложению 10.3.1
и следствию 10.3.2, каждое из полученных таким образом слагаемых допускает
оценку
< imi JIPVC (') II <
₽	И уел l|bf/
<11^^™ Д Ki(q> т)е-^(\' *)/2.
№я
Применяя теперь (18.6.5) для оценки суммы по всем разбиениям тгеЯГ), мы
получаем, что (18.7.2) не превосходит
II w ||L Л1 Г т0 1Г 1/29 У max М IT е m°d V^2 Ц п(Л)!,
{у яе^<Г>	А
где числа п(Л) определены в § 12.5.
Предложение 18.4.3 вытекает из двух лемм, в которых оцениваются вели-
чина А1 и сумма по парам {/у}. Пусть Л1(Л) —число элементов множества
{//, у.’ &li y — A, i = 1 или 2, у е л).
Лемма 18.7.1. Существует такая константа Кю, не зависящая от
т0, что
М < еК" 1 г 1 П (М (Д)!)р
А
и	И П (А)! |Г 1 П (М (Л)!)р.
А	А
Лемма 18.7.2. Пусть заданы разбиение л ей3 (Г) и г > 0. Тогда
существует такая константа кп, не зависящая от т0, что
2 Д е-той(,у. у)/2Д	(18.7.3)
{/у} Vе"	А
364 Гл. 18. Кластерные разложения
Доказательство леммы 18.7.1. Пусть N0(K) —число точек xt, 1 п, располо-
женных в Д. Количество слагаемых, возникающих в результате М (Д) дифферен-
цирований в Д, не превосходит
(М>(Д) + 1)(М(Д) + р+ 1)... (N0(N) +р(Л1(Д) - 1) + 1).
Поскольку Nq (Д) No (Л) = п, то, применяя неравенства (а + Ь)! sg: (а +
д
+ b)“(b!) и (ab)! sg а^^ЛУ1, мы получаем для полного числа членов, возникаю-
щих в результате дифференцирований с)/с)<р(р), следующую оценку:
М < П ррЛ1(А)(ТУ0(Д) + 1 +рМ (Д))"»(А>+1 (Л1 (Д)!)р.
д
Далее, если п(Д)—число отростков, выходящих из Д после дифференцирования
(как это определялось в § 12.5), то
п(Д) ==: М(Д) + (р—1)Л1(Д),
откуда и получаем оценку для п(Д)!.
Доказательство леммы 18.7.2. Сумма экспоненциально убывает с ростом
{/у}
расстояния, поэтому достаточно убедиться, что
const У. d (j, у)
П (Л1 (Д)!)г < П eCOnSt 1 V’e V
д	д
где константы не зависят от т0, у, {/у} и л.
Напомним, что величина d(j, у), определенная в (18.6.2), представляет собой
сумму расстояний от некоторого ребра b е у до квадратов с номерами /1, у и
2, v. Следовательно, существует не более 0(1)^ значений у (при фиксирован-
ном разбиении л), таких, что
Д. = Д, v = 1 или 2,	(18.7.4)
'у,у
и d(/, Y) г- По определению существует Л1(Д) контуров у, удовлетворяющих
(18.7.4). По крайней мере для половины из них (для наиболее протяженных
контуров) выполнена также оценка
М(Д)1/2 sg const d(j, у) + const,
поскольку они не перекрываются. Следовательно,
М (Д)3/2< const £ ({d (/, y):	y = A} + const),
Y
и для завершения доказательства осталось воспользоваться неравенствами
JJ (Л1 (Д) !)r < ехр £ М (Д) In М (Д)| <
< ехр (О ( £ {М (Д)1+6: М (Д) > ех₽ d^’ Y)) J ехр (О (|Г|)). В
Методы этой главы были в дальнейшем усовершенствованы
так, что их можно применять к исследованию других взаимодей-
ствий и других функций Швингера (связных, неприводимых,
и т. п.), а также в теории фазовых переходов.
Литературные ссылки
[Glimm, Jaffe, Spencer, 1973, 1974], [Spencer, 1974b], [Glimm.
Jaffe, Spencer, 1976a], [Spencer, 1975]. См. также гл. 14 и 20.
19.1 Реконструкция квантовых полей 365
Глава 19
От функциональных интегралов к квантовой механике
19.1 Реконструкция квантовых полей
Основной целью этой главы является проверка аксиом Вайтмана
и Хаага — Кастлера, а также доказательство теорем 6.1.5—6.
Предполагается, что задана мера dp на пространстве 2)'(Rd), ко-
торая удовлетворяет аксиомам OS 0—3 гл. 6. В гл. 6 мы построили
евклидово поле <р, где операторы действуют в пространстве
8 = Li (Ф', dp), и гильбертово пространство Ж квантовомехани-
ческих состояний как пополнение пространства 8+1Л".
Обозначим У банахово пространство, полученное пополнением
Со°(./+) по норме
11/11 = 11/11^ + 11/11^.	(19.1.1)
Так как характеристический функционал S{/} меры dp предпо-
лагается непрерывным в нормах пространств L\ и Lp (см. (6.1.5)),
то получаем
Предложение 19.1.1. Если справедливы аксиомы OS 0—1, то функ-
ционал S{/} продолжается по непрерывности до целой аналитиче-
ской функции на У, а моментные функции Sn меры dp продол-
жаются до непрерывных полилинейных функционалов на простран-
стве ух ... х у-
Доказательство. Для доказательства аналитичности функционала S {/} при f е У
воспользуемся теоремой Витали: последовательность аналитических функций,
равномерно ограниченных и поточечно сходящихся на компактном множестве
Д cz Сп, сходится к аналитической функции на этом множестве. Непрерывность
моментов Sn на пространстве У X  •  X У следует, как и в доказательстве пред-
ложения 6.1.4, из интегральной теоремы Коши. |
Замечание. Как видно из предложения 19.1.1, мера dp сосредо-
точена на пространстве l?'(7?d). Поэтому на протяжении этой главы
мы будем рассматривать интегрирование по пространству <7'.
Пусть У (0, t) cz У обозначает подмножество тех функций, носи-
тели которых принадлежат интервалу (0, t). Определим А1(/)^
= ||/||£ +II/H2 ’ Напомним, что $?(0, t) — подмножество функций
в пространстве ^.носители которых принадлежат интервалу (О,/).
Кроме того, = 1?(0, + оо). В гл. 6 мы определили канониче-
скую проекцию ” пространства 8+ на а именно : 8+-^-
-^8+fJY1 с. Зв, при которой операторы S на 8+ превращаются в
операторы^ на пространстве Зв в соответствии с формулой (6.1.12).
366 Гл. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике
Предложение 19.1.2. Предположим, что справедливы аксиомы
OS 0—3 и функция /еУ(0,/)вещ. Тогда проекция ~ переводит
функции <p(f)r и е^б в операторы, действующие в гильбертовом
пространстве Ж, областью определения которых является множе-
ство e~tH (^+ПДоо)Л. Более того,
Ц (ет Ш)~ е~t№ II < ем <2№,	(19.1.2)
||(<p(f)r)''^«||<(C||f||)7l9,	(19.1.3)
где с < оо и q — (р — 1) /р.
Замечание. Важный частный случай оценки (19.1.3) имеет вид
| j <р {fy dp | = | <q, (<p {fYV Ф I < (сII f IIY (rI)9.
Доказательство. Согласно предложениям 10.5.4 и 6.1.4, операторы (<f')~ и (е<1)
определены на плотном множестве. Для доказательства (19.1.2) положим
k = е^б и подсчитаем величину М„, определенную формулой (10.5.4). Так как
все носители функций fai-iyt и (0f)<2/-i)/, произвольно сдвинутых по времени,
не пересекаются (при фиксированном t и j = 1, 2, ...), то из оценки (6.1.5) сле-
дует, что М„ eM<-2f>/2. Поэтому неравенство (19.1.2) есть следствие теоремы
10.5.5.
Чтобы доказать неравенство (19.1.3), определим для Wj, г,(^С
(wjf(2j- 1) t + zj 1) /)
/ = 1
Тогд..
Выражение (19.1.4) оценим при помощи интегральной формулы Коши
где все интегралы берутся по окружности радиуса 4е-1 с центром в начале ко-
ординат. Верхней оценкой для M(g) на этой окружности будет 2пМ(4е~Ч), так
как слагаемые, входящие в выражение для функции g и отвечающие разным
значениям /, имеют непересекающиеся носители. Поэтому
м. < ехр (	) (Д/	< ехр	) «71
Для того чтобы получить нужную оценку, сначала заменим е на e|f|. Тогда
Л1„ ехр(се-1) (е|))г-г!. Выбрав е= (cplryii1, получим неравенство (19.1.3). Д
Напомним, что пространство определялось как = ег^ИЗё
(см. (10.5.13)).
19.1 Реконструкция квантовых полей 367
Предложение 19.1.3. Существует единственная билинейная форма
Ф (Л), заданная в области X {для некоторого 6 > 0) и
удовлетворяющая там {для f = h® а) соотношению
q{h® а)~ е~tH = е~вНФ (Л)e~{t~s}Ha{s) ds. (19.1.5)
Более того, для нормы ||/г|| = ||h||L (Rd-i) + ||/г||£ ^-^справедливы
оценки
\\е~е>нФ{Н}е~6н IK/С6||/г||,
(19.1.6)
||e-№<p(f)e-(/+6)Hll<tf с IIЛIIII а ||L,.
Доказательство. Согласно следствию 10.5.6, <р (Л ® ат)' является билинейной
формой на произведении Ж^ X Она бесконечно дифференцируема как
функция т при 0 г < 6/4, б' t + 6/2. Из оценок (10.5.14) и (19.1.3) полу-
чаем неравенство
|е-6я<р (й®	аг)~е-6'н [<К„, 6 ||Л|| ( ||а||£| + 1|а||£р).	(19.1.7)
Воспользуемся тем фактом, что обобщенная функция от переменной s, все про-
изводные которой имеют фиксированный порядок роста, должна быть С°°-функ-
цией от s. Поэтому на З^Х^с' существует билинейная форма Ф(й), удовле-
творяющая соотношению
t
<р (Л ® a)~ =	(h) esHa (s) ds
о
и такая, что для всех векторов ф е Ж§, ф' е Ж^ функция f(s) = <е~®нф,
Ф(/1)е5Нф') принадлежит классу С".
Улучшим теперь оценку (19.1.7), избавившись от члена||а||£ . Взяв в каче-
стве а характеристическую функцию х<(11 интервала (6, t2) с: (0, t), / sg 1
и п = 1, мы сможем записать неравенство
|| {h ® (б,, - б|| < 2Кц 6IIhII-
Проинтегрируем эту оценку по t2 от Si до s2 == $1 + о(5). В силу равенства
s2
(«2 “ 81) б^ = X(Sb S2) + J (б/( - &h)dt2
Si
получаем, что
|| е~ №<f (h ® 6h)~ е-6'н [| < (Ко. 6о (б-!) + 2КЬ 6) || h |J.
Интегрирование по 6 приводит теперь к оценке
II е-6Н<( (htea)'- е-6'н || < К61| h || || a|ILi.
Предложение 19.1.4. Пусть справедливы аксиомы OSO—3 и задана
функция f = h® хо, еде {Яа~х) — вещественная функция, а
368 Гл. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике
Хо,f — характеристическая функция интервала (0,7). Тогда
^<f(f)2dp — o(t) при	(19.1.8)
Доказательство. Согласно предложению 19.1.2,
Ф (f)2	< const (|| f Hlj + || f ||2 у
Для функции f вида f = h ® %0. t получаем, что ||f||£ = O(t2/p), и поэтому
прн p < 2 предложение доказано. Однако, как утверждается в аксиоме OS 1
(см. § 6.1), р 2, причем при р = 2 аксиома OS1 включает дополнительное
условие регулярности: двухточечная функция S2 (х — У) Т\ос (Rd). Тогда
<j> (f)2 dp = S2 (х — у) f (х) f (у) dx dy.
Переходя к новым переменным £= (% + {/) /2, т] = (х — у)/2, получим, что
j Ф (f)2 rfp j < const t	| S2 (2tq) h (g + i]) h (g — Tj) | d§ dr\ <
Rd~l X Rd~'x l~t. /]
Co (t) при t -> 0. |
19.2	Формула Фейнмана — Каца
В этом параграфе мы выведем формулу Фейнмана — Каца в про-
странстве Ж, пригодную для изучения возмущений оператора Н
посредством билинейной формы Ф(Л), где h е (/Д'1) вещ. Мы по-
кажем, что
(е-<Р(* ® х0, t)y	{19.2Д)
В этой формуле Н (Л) обозначает самосопряженный ограниченный
снизу оператор
Я (Л) =/7 + Ф (Л),	(19.2.2)
где равенство понимается в смысле билинейных форм. Кроме того,
мы покажем, что для вещественной функции h
±Ф (Л)	const||h|| (Н + 7).
Формально можно написать Ф(Л) = tp(h ® б)~.
Теорема 19.2.1. Пусть функционал S {[} удовлетворяет аксиомам
OS 0—3. Тогда левая часть равенства (19.2.1) определяет полу-
группу S(t) с инфинитезимальным оператором H(h), который
удовлетворяет неравенству
-с(||Л|| + 2Р~‘ ||ЛЦР) Н (Л).	(19.2.3)
Кроме того, при любом 6 > 0 соотношение (19.2.2) справед-
ливо на пространстве X 3^6.
19.2 Формула Фейнмана — Каца 369
Доказательство. Пусть S(t) обозначает левую часть равенства (19.2.1). В силу
предложения 19.1.2, S(t)—ограниченный оператор, причем i|S (t) |[
^ехр(/с(||й|| + 2₽~1||Л||р)). Кроме того, из определения (19.2.1) следует груп-
повое свойство S(t + s) = S(t)S(s) и равенство S(t) = S(t)*. Установим теперь
слабую дифференцируемость S(Z) при /->0 на плотном множестве в Ж®Ж,
где Ж, = е~6я (<8°+pi^). Из нее будет вытекать слабая (и сильная) непрерыв-
ность и, следовательно, существование самосопряженного инфинитезимального
оператора H(g), удовлетворяющего оценке (19.2.3). Возьмем f = — h Ф ход’, тогда
на пространстве Ж ® Ж
Г1 (S (/) -/) = <-* (е~Ш - Z) + е~ш +
+ г1 (еч(п - I — <р (/))'' е~ш. (19.2.4)
Первое слагаемое в правой части при /->0 стремится к —Н. Согласно предло-
жению 19.1.3, второе слагаемое стремится к —Ф(Л). Предел третьего слагаемого
равен нулю, в чем можно убедиться следующим образом. Пусть А е <g°+ ("| £<».
Используя элементарное неравенство
ОО
в* — 1 — X < const (х2 + XN) + У -7^7-,
Z_j (2/)!
1ЖР
получим, что для любого N 2
| Г1 (е~6нА, (е'Р*» - I - ф (f))~ е ’,б+/> НА) | <
Ue4’(f)— 1— ф (f) | dp < const Z-11| А ||2 Г ( ф (f)2 dp +
oo J	ooL J
+ U(f)WrfB+	У -7~\ Ф(П2,ЧЛ	(19.2.5)
J	*—J	J	J
i>N/2
Первое	слагаемое	в	правой	части при /->0	стремится к	нулю в силу	предло-
жения	19.1.4.	Выбрав	К	>	р, получим, что	и	остальные	слагаемые в	(19.2.5)
при /->0 стремятся к нулю в силу неравенства (19.1.3) и оценки ||f|| =
= ||й|| (/+ Z1/p)	O(t1/p). Этим заканчивается доказательство слабой дифферен-
цируемости и справедливости тождества (19.2.2) на пространстве Ж ® Ж. Со-
гласно предложению 19.1.3, оператор е-6яФ (Л) е”6я ограничен. Поэтому опе-
ратор (19.2.2) по непрерывности продолжается на пространство Ж& X Жь-
Следствие 19.2.2. Билинейные формы Ф(/г) и H(h) можно продол-
жить по непрерывности на область ^(/71/2)Х^(^1/2),»рмчелг так,
что их продолжения удовлетворяют соотношениям (19.2.2—3).
Кроме того,
|| (/у _|_ /)-1/2ф(/г) (/7 + /)-1/2||^ const||/i||. (19.2.6)
Доказательство. Из формул (19.2.2—3) при 1	с(||й|| + 2р“|||Л||р) вытекает, что
на пространстве Ж& X Ж& справедливо соотношение
±Ф(/г) с(||ЛЦ + 2p-1H/il|p) (Н + /),
или
±Ф(Л) = ±2||МФ(Л/2||/г||) sS 2c||/i||(// + I),
и эта оценка продолжается по непрерывности. I
370	Гл. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике
19.3	Самосопряженные поля
Мы определим полевые операторы Ф(/) для вещественных значе-
ний времени и установим их свойства как операторов на простран-
стве <Ж На множестве Ф (Я1/2) билинейная форма
Ф(й, 0 = е«шФ(/г)е-‘ш	(19.3.1)
непрерывна по t, поэтому можно определить так называемое поле
Минковского
(19.3.2)
где f(0(x) == f (х, t)<= 9{Rd~i) для функции feS7(/?d).
Теорема 19.3.1. Предположим, что функционал S {f} удовлетво-
ряет аксиомам OS 0—3. Тогда для произвольной функции f е
е S’(/?’’) ,,ещ билинейная форма (19.3.2) однозначно определяет са-
мосопряжнный оператор ц>м (f) на пространстве 96, который, кроме
того, существенно-самосопряжен на любой существенной области
оператора Н. Более того,
II(Н + /)“1/2фм (f) (Н + ГГ1/21| < const J ||	(19.3.3)
<pM(f): Ф(НЩ~+Ф(Нп~1),	(19.3.4)
[iH, (pM(f)]=4>M(df/dt) на Ф(Н2).	(19.3.5)
Доказательство. Оценка (19.3.3) для q>M(f) как билинейной формы вытекает из
следствия 19.2.3, соотношение (19.3.5)—из неравенства (19.3.3). Остальные ут-
верждения вытекают из приведенных ниже теорем 19.4.1—3.
Следствие 19.3.2. Функции Вайтмана
.... f^CQ.Wf,) ... ч>м(Ь)Й> (19.3.6)
существуют и являются обобщенными функциями умеренного ро-
ста (т. е. принадлежат пространству 9” (Rnd)).
Доказательство. Так как HQ = 0, то fi е Q (Нп), т. е. О является С"-век-
п
тором для оператора Н. В силу соотношения (19.3.4) и индукции по j, моном
(fi) ... д>л1(/,)О тоже является С“-вектором для Н. В частности, выражение
(19.3.6) определено и ограничено произведением норм, как это следует из оценки
(19.3.3). Я
Пусть Ф cz.96 обозначает линейную оболочку векторов вида
Фм (fi) ••• ерм (fn) Q, где fj е 9 (Rd) вещ.
Теорема 19.3.3. Множество Ф плотно в пространстве 96.
Доказательство. Напомним, что пространство Ж порождено векторами вида
(е»ч> (В) __ (е»ч> (f)) q, где	Используя предложение 19.1.2, можно без
п
ограничения общности рассматривать только функции вида f = У /г/ ® а/,
/=1
где fj = hj ® a,re 9 (0, /). Сначала выберем функции а, так, что tj е supp а/,
19.4 Коммутаторы 371
где 0 < /| < /2 <...</„< А Для вещественного числа s определим вектор
0 (s) = \ e 1 <Рм(Ц)е	4>M(I2) ... e	n> X
Хф,ч(ий';,1-"Л„е®' (19.3.7)
В силу следствия 10.5.6 и теоремы 19.3.1, 0 (s) совпадает с граничными значе-
ниями аналитической функции от s, определенной в подпространстве Im s > 0.
Если функция % ортогональна множеству 3), то для вещественного s справед-
ливо равенство (х, 0(s)) =0 и, значит, (%, 0(s = ()) = 0, т. е.
п
0= j (Х, е-'Лр^ь 0)~	0Г ...) Ц щ (t,) dtp (19.3.8)
/=1
Как следует из предложения 19.1.2, выражение (19.3.8) непрерывно зависит от
а,-, и, таким образом, равенство (19.3.8) останется справедливым, если мы сдви-
нем носители функций а,- так, что они будут пересекаться. Поэтому 0 =
<х,	Q>-
Снова воспользовавшись оценкой (19.1.3), можно просуммировать степенной
ряд и получить равенство (%, (е'41 Ш) Q) = 0. Следовательно, х = 0 и мно-
жество 3) всюду плотно. |
Следствие 19.3.4. Оператор срм, рассматриваемый на области 3),
существенно-самосопряжен.
Доказательство. Теорема утверждает, что 3) плотно в Ж. Заметим, что е“н:
и, в силу соотношения (19.3.4), 3) с: ( [~| 3) (Нп)^. Значит, 3) — суще-
ственная область определения для оператора Н, а по теореме 19.3.1 и для опера-
тора <РЛ! (/) . Я
19.4	Коммутаторы
В этом параграфе мы докажем четыре технических утверждения,
относящихся к коммутаторам и самосопряженности операторов.
Пусть 0 Н = Н* — положительный самосопряженный оператор,
а Ф с	— его существенная область, состоящая из С°°-век-
торов. Обозначим /?(%) = (77-|-(% ф-I)/)-1, так что /^ = /^(0) =
= (77 4-7)-*. Пусть А — билинейная форма, определенная на об-
ласти ФУ^Ф, а 6 (А) = [{77, А] будем тоже рассматривать как би-
линейную форму на той же области определения.
Теорема 19.4.1. Пусть форма 7?1/2б(А)/?1/2 ограничена. Тогда для
любого положительного целого п билинейная форма Rn/2ARn/2
ограничена в том и только в том случае, когда ограничена ARn.
Кроме того,
||7?”/2A/?«/2 — А/?«|| < м||7?1/2б(А)/?1/2||.
Доказательство. Достаточно рассмотреть разность
ARn — ДпрАДпр = [д, Rnl2]Rnl2 = у Д'/2[д
/=о
372 Гл. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике
Сомножители R1'2 и Я(2п-'-1,/2 ограничены сверху тождественным оператором I,
а коммутатор можно оценить с помощью интегральной формулы Коши (см.
ОО
[Kato, 1966, р. 282]) /?1/2== л”1	Х-1/2Я(Х) dK Поэтому
о
оо
[Д Я1/2] = -1л~1 J R (Z) б (Л) R (X) X- V2 dx,
О
оо
что, в силу тождества л-1	(Z. + I)-1 Z~1|,2dX = 1, ограничено по норме вели-
о
чиной ||Я1/2б(Л)Я 1/?||.
Теорема 19.4.2. Если формы /?1/26(А)7?1/2 и Rn/2ARn/2 ограничены,
то билинейная форма А однозначно определяет оператор (также
обозначаемый А) на области Ф. При этом, если форма А веще-
ственна, то оператор А симметричен.
Доказательство. Этот результат следует из теоремы 19.4.1 и теоремы Рисса
о представлении. |
Теорема 19.4.3. Пусть А — симметрический оператор, заданный на
области Ф. Если при этом /?1/26(А)/?1/2 и ARn ограничены при не-
котором п^1, то оператор А существенно-самосопряжен на лю-
бой существенной области оператора Нп.
Доказательство. Так как оператор ARn ограничен, то 0(A)	0(Нп), и сущест-
венную самосопряженность достаточно доказать на области 0(Нп). Пусть 0 s
е=®(Л*), '/e0(/?j; тогда R(h)n0 е 0(Нп) a 0(A) и справедлива цепочка
равенств
(х, лхл/?(Х)"0> = </г(Х)”Лх, е) =
= (A№R(Wx, в) + {[?.'/?(?.)'=, А] %, в) =
= (х, Х"/?(Х)"Д*0) + <[XnR(K)n, Д]х, 6).	(19.4.1)
В последнем выражении перейдем к пределу при 7. —>-оо. Поскольку 7."Я (7./
в сильном смысле, можно вычислить предел первого слагаемого, воспользовав-
шись тем, что Х'1Я(Х)'1А*0->-А*0. Коммутатор во втором слагаемом равномерно
ограничен при 7.->-оо, поскольку
п- 1
|| [Л, ).nR (X)n] II < £ ТАII R (X)r [Д R (X)] R (X)"-г~1II <
г=0
п— 1
< х ^”11 Мг+1б(Л)Р(Х)п-г||<0(1).
г=0
Следовательно, в силу соотношений (19.4.1),
lim AKnR (X) 0 = Л*6 + lim [ТАЯ (Z.)", А]* 0.	(19.4.2)
Л->ОО	А->оо
Доказательство будет завершено, если мы покажем, что второе_ слагаемое в сум-
ме (19.4.2) равно нулю. Отсюда будет следовать, что 0еЙ(Л), а также само-
сопряженность оператора А.
В силу приведенной выше равномерной оценки для нормы, достаточно по-
19.4 Коммутаторы 373
казать, что коммутатор [Л, Х"Я(7)"] сходится к нулю на плотном множестве
S)(И"). Пусть Ф е 3)(Нп). Тогда
[Х"Я(Л)", Л]*'ф = Д2/Д (Z)"t|j —
Второй член в правой части сходится к —Лтр, а первое слагаемое, если его за-
писать в виде ARn‘knR(K)n(H + 7)’4f>, к Дгр. |
Теорема 19.4.4. Пусть операторы А, В, 6(Л) и 6(B) подчиняются
условиям теоремы 19.4.3 при п = 1, а операторы АВ и ВА опре-
делены на области Ф и [А, В]0 — 0. Тогда А и В коммутируют.
Доказательство. Дополнительно мы предположим, что операторы R1/2б(X)R 1/2 и
XR ограничены при X — А, В, 6(4) и 6(B). В качестве аппроксимации опера-
тора А возьмем Л= 2Д(7.) 1/2ДЯ(2.)1/2. Утверждается, что в сильном смысле
А^-^-А на области 3). Так как S£> с П 3)(Нп), то любой вектор 0 е ® имеет
п
вид 6 = Поэтому
дхе =	= дад(Х)Ф + х[т?(Х)1/2, д]rr(K)^.
Поскольку оператор AR ограничен, a 7.R(7.) I в сильном смысле, то первый
член сходится к Л/?г|: = ДО. Второй исследуется так же, как в доказательстве
теоремы 19.4.1, а именно
ОО
2.1/2 [7? (Z)1 /2, д] =	1 R (и) б (Д) R (и)	1/2 dp.
о
Итак,
оо
|| Х,/2[т? (Х)1/2, Д]Я1/2||<Х1/2л~1 (j р-^^ + рД- l)-I/2dp
о
—> 0 при X —> ОО,
что и утверждалось.
Согласно теореме 19.4.3, Я) _является существенной областью определения
Л	! Д
оператора Д, поэтому е Л -> е в сильном смысле. Теперь покажем, что
Г iA. iB-1
[е Л, е Л] -> 0. Для этого сначала установим тождество
[Дх, Вл] = — i^R (Х)3/2 [б (Л) R (X) В - б (В) R (X) Л] R (Х)1/2.	(19.4.3)
Все выкладки, которые необходимо провести для доказательства этого тожде-
ства, справедливы для векторов, принадлежащих множеству R(K)~1I2S>. Это
множество плотно, потому что ® является существенной областью оператора
7?(Х)-1^2 (например, в силу теоремы 19.4.3 с Л = R(X)~112 и п — 1). В этой об-
ласти верно тождество В(Х)3/2[Л, B]R(X) |/2=0, которое получается с помощью
тех же выкладок, что и соотношение (19.4.3). Из (19.4.3) и ограниченности опе-
раторов R*^2б(A)Rll2, AR и т. д. вытекает, что
ЦВ[Дл, Вх]Я1|<О(Х-1/2).	(19.4.4>
Далее, мы утверждаем, что верна оценка
|| (Н + I) e*A^R || < еК 1 * *,	(19.4.5)
где К—постоянная, не зависящая от Л. Для того чтобы доказать (19.4.5), про-
интегрируем неравенство
dF(t, p)/dt KF(t, р).
(19.4.6>
374 Гл. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике
Здесь F (t, ц) = ц2Де 1 A^R (ц) (Н + l)2R (ц) е1 R. Для доказательств нера-
венства (19.4.6) рассмотрим производную
dF g) = V?Re~t1A}- [Я (и) (Н + Z)2 R (и), Мх] R.
[R (р) (Д + Z)2 R (р), iAK] = R (р)2 (Н + I) б (Лх) R +
+ R (ц)2 (Н + I) (— (б (Лх)) R (и) + эрмитово-сопряженное выражение =
= R (р)2 (Д + Z) б Их) R (Н + р + /) (Д + Z) R (р) +
+ R (р) (Д + Z) (Д (р) (- «б (Лх)) R] (Д + Z) Д (Р) +
+ эрмитово-сопряженное выражение.
Далее, прокоммутируем б(Лх) с множителем (Д + p+Z); получится второй
коммутатор. Для первого из написанных выше членов это приведет к выраже-
нию
д (р) (Д + Г) {б Их) Д + Д (р) /б2 (Лх) RR (Н)} (Н + Z) д (р).
Поскольку, в силу условий доказываемой теоремы,
II б (Лх) Д I! + II Д 1/2б2 Их) Д1/2 II < const,
то неравенство (19.4.6) можно считать доказанным. Заметим, .что постоянная К
не зависит от X, р и /. Теперь, интегрируя (19.4.6), получим, что
F(t, р) < еК|/|р2Д(р)2	(19.4.7)
Так как рД(р) монотонно возрастает, функция F(t, р) тоже монотонно возра-
стает по переменной р, и существует предел F(t, р) f F(t) (см. [Kato, 1966,
it А*
р. 459]). Поэтому образ оператора е '-R принадлежит области определения
оператора Д 4- Z, откуда н вытекает неравенство (19.4.5). Все приведенные оцен-
ки останутся справедливыми, если Л заменить на В.
Наконец, рассмотрим тождество для ограниченных операторов
1 1
— Д [е‘\ e‘B^J R = $ ds dt RQ(— s, -ty [Лх, Q (1 — s, 1 - t) R, (19.4.8)
0	0
где Q (s, t) = e e K — унитарный оператор. Из оценок (19.4.4—5) следует,
что || Д [е‘А\ Д || О (Х- ^2). Девая часть тождества (19.4.8) сходится в
-сильном смысле при Х->-оо к Д le‘A,_elB] R, в то время как его норма стре-
мится к нулю. Значит, операторы А и В коммутируют. Щ
Заметим, что тождество (19.4.8) вытекает из следующего тож-
дества для ограниченных операторов С и D:
1 1
[ес, eD] = ds esCeOe(>-s) с) = J dseSc	с,
о	о
откуда
1 * 1
[ес, е°]= J ds J dtesce^[C, D]^-^ oe(i-s>c^
О о
19.5 Лоренц-ковариантность 375
19.5 Лоренц-ковариантность
Основной результат этого параграфа — лоренц-ковариантность поля
срм и лоренц-инвариантность вектора Q. Кроме того, мы докажем
аналитичность функций Швингера для несовпадающих значений
переменных.
Теорема 19.5.1. Пусть мера dp удовлетворяет аксиомам OS 0—3.
Тогда существует сильно непрерывное унитарное представление
U (g) неоднородной группы Лоренца Z на пространстве 36, такое,
что для любого элемента g е Z справедливы соотношения
t/(g)<MD - Фм(^-7).	(19.5.1)
В терминах поля <рм(х) последнее условие принимает вид
^{g)^M{x)L)(g)-x = q>M(gx).	(19.5.2)
Предложение 19.5.2. Пусть мера dp удовлетворяет аксиомам
OS 0—3, a g->V(gj — сильно непрерывное унитарное представле-
ние некоторой группы “S в пространстве <S, такое, что
V(g)l = l, V(gH+c<r+,
ev(g)=v(g)0, T(i)V(g} = V(g)T(t).	(19.5.3)
Тогда операторы U(g), определенные равенством
U(g)A = (y(g}Ay,gc=$,
задают непрерывное унитарное представление $ в пространстве
36, такое, что
U(g)Q = Q, eitHU(g) = U(g) eitH. (19.5.4)
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 6.1.3, оператор V(g) отобра-
жает S+ к М и себя, следовательно, U (g) определен на множестве &+. Более
того, U(g) унитарен, так как V(g) коммутирует с 6. В самом деле,
(g) А, В)ж = <0V (g) A, B)s = {V (g) GA, В)& = <Д V (gVl В\ =
= <4 (V (£"1)Г В>ж = (A, U (g-1) В)х,
поэтому U(g)* — t/(g)-1 = U(g~’). Это означает, что отображение U(g) про-
должается до представления $ на всем Ж Поскольку V(g) коммутирует с T(t),
то U(g) коммутирует с e~tH и, значит, с е“н. Сильная непрерывность семейства
операторов U(g) следует из сильной непрерывности семейства V(g), а равенство
U(g)R = Q вытекает из V(g)l = 1. В
Теперь перейдем к рассмотрению обобщенных функций
•••> -^п)	фм (-^1) • •• фм(Хп)£^,
\Vr.{h,t)= <Q,<Pm(/1i, h) ... qM(hn,tn)Q>, (19.5.5)
которые представляют собой плотности функций Вайтмана
(19.3.6). Для сокращения записи мы используем обозначения
h — {hi, .... hn},t = {t\, .... tn}.
376 Гл. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике
Предложение 19.5.3. Функция Wn(h, t) совпадает с граничными
значениями в пространстве 9" (Rn) некоторой аналитической функ-
ции Wn(h,z). Здесь Zj = t, + iSj, а функция Wn(h,z) аналитична
•в области s/+i — S; > 0, /=1, 2. ..., n—1. Более того, для
= 0 и S\ <Z S2 <Z    <Z sn
Wn(h, is) — Sn(h, s)=^<p(/i1, sj ... sn)dp. (19.5.6)
.Доказательство. Оценка теоремы 19.3.1 показывает, что функция Wn(h, z) ана-
литична при s/+I — s, > 0, j = 1, 2, ..., п—1. Оценка из следствия 19.2.2 по-
казывает, что в пространстве	при S/+i—s,- ( 0 имеет место сходимость
Wn(h, г) -» Wn (й, /). Если Ц = 0, a s,+i— s,•> 0, то определение Wn(h, z) со-
гласуется с определением функций Швингера (из § 19.3). Заметим также, что
-аналитичность функций Швингера по переменным s/+i—S/ может быть выведена
из следствия 10.5.6. В
Доказательство теоремы 19.5.1. Ковариантность квантового поля относительно
действия сдвигов в пространстве-времени и пространственных вращений вытекает
из предложения 19.5.2, а также ковариантности случайного поля (по опреде-
лению). Для завершения доказательства изучим действие лоренцевых преобра-
зований на функции Вайтмана. В плоскости (t, xj) = (t, х) рассмотрим чистое
лоренцево вращение Аа (гиперболический поворот на угол а). Инфинитезималь-
ный оператор соответствующих преобразований функций Вайтмана имеет вид
Ln^YJ{.t!~d^ + X' ~дцУ
1=1
Покажем, что U7„ (LnF) = 0 для всех функций FeF (Rr‘d). В частности,
Wn (AaF) = Wn (LnAaF) = 0,
т. е. каждая функция лоренц-инвариантна. Отсюда следует, что существует
также унитарная группа U (Аа), которая задает представление группы Лоренца
Аа в пространстве Ж Закон умножения операторов U (Аа) следует из соот-
ветствующего правила для преобразований Аа.
Свойство евклидовой инвариантности функций Швингера S„ в инфинитези-
мальной форме утверждает, что
п
Продолжим аналитически равенство (19.5.7) в область комплексных значений
Sj = е, — it/, где e;+i — е;- > 0, т. е. в область аналитичности функций Sn. Для
комплексных s соотношение (19.5.7) можно переписать в виде
п
0 = £ (е/ - «/)	- Х1 g(=7/p] Sn (i’	(19-5’8)
Перейдем теперь к пределу при e/+i — е, -> 0 в основной функции F и получим,
что L„Wn = 0. Это означает, что для любой основной функции Wr(Ln, Л =0.1
Следствие 19.5.4. Спектр энергии-импульса лежит в переднем све-
товом конусе | Р| Здесь Р — оператор импульса, т. е. гене-
ратор группы пространственных сдвигов, действующей в 36.
19.5 Лоренц-ковариантность 377
Теорема 19.5.5. Предположим, что аксиомы OS 0—3 выполнены и
б > 0. Тогда на	существует такая билинейная форма.
Фм(х), что
е-6н(рм(х)е~6н	(19.5.9)
есть ограниченный оператор, аналитически зависящий от х в об-
ласти | Im х j < б, такой, что
Фм(Г) = <рм (х) f (х) dx.	(19.5.10)
Доказательство. Так как операторы Р и Н коммутируют, то из следствия 19.5.4-
можно вывести, что ряд
оо
eitH-tx-v~bH = у	(— Zx-P)m p_6W
Zj nl ml
ч, m=C
сходится по норме в области |Z| + |x| < б. Из этого факта и оценки (19.3.3)'
вытекает, что при |/| + |х| < б функция
вещественно аналитична по х, причем для е < б и произвольных вещественных
хи/ справедливо неравенство
|| d"F (х) I < К (е) е-1 п 1 n! ||	|| dt.	(19.5.11).
Далее, как и в оценке (19.1.7), Е(0)—это интеграл от ограниченной (^-функ-
ции: 7(0) = G(x)f(x)dx, где функция О (х) =	(х) е-бя определяет
<рм(х). Повторяя рассуждения, приводящие к неравенству (19.5.11), получаем,.
I й"е“бЯ V6H| < К (е- 6) е-1 п । nl,	(19.5.12)
где	К (е, б) = ||е~(е^Е)Я<рд,(х)е-1е_Е)Я||.
Поскольку К(е, б) не зависит от х (для вещественных х), утверждение об ана-
литичности следует из оценки (19.5.12). В
Следствие 19.5.6. Функции Швингера Sn(x\, ..., хп) вещественно-
аналитичны по хх, ..., х„ при несовпадающих значениях аргу-
ментов (т. е. при Xi =# Xj для всех i =# /).
Доказательство. Так как функции S„ инвариантны при перестановке переменных
Xi, .... х„, можно считать, что Л Ц	/„. Если некоторые моменты вре-
мени совпадают, а соответствующие точки различны, то с помощью малого ев-
клидова вращения можно достичь того, что и все моменты времени станут раз-
личными. Тогда утверждение вытекает из аналитичности оператора (19.5.9).
Предложение 19.5.7. Пусть заданы такие точки х и у, что х — У
0. Обозначим В подмножество пространства Rd, состоящее из
таких точек (zo, z), что при проектировании z на прямую х — у
проекция лежит вне интервала (х, у). Пусть fb ...,	— функ-
ции с' носителями в множестве В. Тогда функция Sn+2(fi, , fn,
х, у) аналитична по переменной х — у для вещественных значении!
X — у при условии, ЧТО | Хо — Уо I < I х — у |.
378 Гл. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике
Доказательство. Выполним евклидово вращение, так чтобы х — у стала новой
осью времени. По построению множество В не содержит точек во временном ин-
тервале между хну. Далее рассуждаем так же, как в доказательстве тео-
ремы 19.5.5. В
Заметим, что, как следует из доказанного предложения, пра-
вая и левая полуплоскости Reg>0 и Re|<0 комплексной пло-
скости % — х0 — у0, на которых функции Швингера аналитичны,
соединяются по разрезу | Img| < |х— г/| на мнимой оси.
19.6 Локальность
Теорема 19.6.1. Предположим, что выполнены аксиомы OS 0—3,
а функции f, g й^вещ имеют пространственно-подобные носители.
Тогда имеет место свойство локальности, которое может быть вы-
ражено следующими тремя способами-.
(i) [е‘ч>м(В e«M'g'] = 0.
(ii) Wf)» <Рм(£)1^ = 0;
(Ш) Г„+2(/1? ..., f,g, ...» /„)-Г„+2(А, ..., g, f..........1п)для
всех п и всех f, е <?’.
Рассмотрим Т > 0 и z О,	Обозначим В — В(Т, z)
подмножество Rd, для точек (t, х) которого t^T, x-z^z2. Гео-
метрически В представляет собой бесконечный «брус», сечением
которого является положительный квадрант в плоскости t, z и ко-
торый неограниченно продолжен по двум другим координатам, ор-
тогональным к z. Положим
Фв = линейная оболочка {(ц(ф)п'Г". f^ff’(B)).
Предложение 19.6.2. Множество Я) в является существенной об-
ластью для оператора Н, состоящей из С°°-векторов.'
Доказательство. Любой вектор из области 2) в принадлежит образу оператора
е~тн и, кроме того, е~‘" S)B с: Sjp„ Поэтому достаточно показать, что множество
2)в всюду плотно. Возьмем х J_ S)B и определим
F(t, х) = (х, e~tH+i*-v <p(gH) - (х, Ф>,
где	П С“. Для достаточно больших t и x-z функция ф лежит в S)B
н F(t, х) — 0. Очевидно, что F вещественно аналитична по t при t > 0, а из
следствия 19.5.4 вытекает, что F к тому же вещественно аналитична по х. По-
этому F = 0 и, в частности, Г(0, 0) = 0. В силу оценки (19.1.1), можно про-
суммировать ряд для экспоненты	, а это значит, что х -L (е<р^) .
Так как эти векторы порождают пространство Э6, то х = 0 и, следовательно,
£Ьв всюду плотно.
Предложение 19.6.3. Пусть функции f, g^C™ имеют простран-
ственно-подобные носители. Тогда для определенного выше мно-
жества В верно равенство [срм (Г), 4>M(g)]£>B = 0.
19.7 Единственность вакуума 379
Доказательство. Рассмотрим функции Швингера
Sn+2 (6fl..6fr, X, у, fr+\,  . fn) = Srt+2 (6fl..6fr, у, X, fr+1, . . fn),
(19.6.1)
где носители функций f, лежат в множестве В(Т, z). Выберем г достаточно боль-
шим и таким, что ни одна точка множества В U QB не лежит в полосе, ограни-
ченной двумя гиперплоскостями, перпендикулярными к разности х — у и прохо-
дящими соответственно через точки х и у. Тогда применимо предложение 19.5.7
и, значит, функция Швингера (19.6.1) аналитична по х — у для вещественных
х — у и |х0— у01 < |х — у[. Рассмотрим (19.6.1) при чисто мнимых значениях
.Vo — it, уа — is. (Заметим, что можно выбрать одно и то же множество В для
всех х е supp f, у s supp g.) Умножим это равенство на f(x)g(y) и проинтегри-
руем по х и у. После этого, аналитически продолжив равенство (19.6.1), полу-
чим, что для любых векторов 01, 02 е 3)в справедливо соотношение
(61, [qMf),	= 0.
Заметим, что ограничение |/— s| < |х — у| и есть условие того, что носители
функций fug пространственно-подобны.
Доказательство теоремы 19.6.1. Согласно предложению 19.6.2 и теоремам 19.4.1,
19.4.3, 2)в является существенной областью операторов <рм(/), <p.ii(g) и принад-
лежит области определения их произведения. Возьмем f, g е Сц вещ и приме-
ним предложение 19.6.3. По теореме 19.4.4 (в которой 0в рассматривается в
качестве области определения) верно утверждение (i) теоремы 19.6.1. Так как
элементы 3) — это С"-векторы для любых произведений полевых операторов, то
утверждения (ii) и (iii), верные для функций f, g е С“, продолжаются по не-
прерывности на случай функций f, ge.7. Еще раз применяя теорему 19.4.4, по-
лучим свойство (i). |
Заметим теперь, что к этому моменту мы доказали теоремы
6.1.5—6, за исключением утверждений о единственности вакуума
(аксиомы Вайтмана) и неприводимости (аксиомы Хаага — Каст-
лера). Эти свойства анализируются ниже.
19.7 Единственность вакуума
Напомним следующее
ное в § 6.1.
условие относительно меры rfp(<p), введен-
OS 4 (Эргодичность). Подгруппа Т(()с2’ временных сдвигов
эргодически действует на пространстве с мерой {ЗУ (Rd) вещ, г/р}.
Теорема 19.7.1. Пусть функционал S{f} удовлетворяет аксиомам
OS 0—3. Тогда аксиома OS 4 справедлива в том и только в том
случае, когда Q является единственным {с точностью до числового
множителя) вектором в пространстве 36, инвариантным относи-
тельно временных сдвигов eitH.
Замечание. Эргодичность меры dp эквивалентна тому, что 1 —
единственный инвариантный вектор унитарной группы T(t), дей-
ствующей в гильбертовом пространстве^ = Lz(3", du). Это в свою
380 Гл. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике
очередь эквивалентно кластерному свойству: для любых А и В из
плотного подмножества ё
г
lim t~x (
о
[<А7 (s) В) — (А) (В)] ds = 0.
(19.7.1)
Здесь <•> обозначает J • dp. В частности, экспоненциальное кла-
стерное свойство функций Швингера влечет за собой эргодичность
меры dp.
Доказательство. Для самосопряженной сжимающей полугруппы e~tH, действую-
щей на гильбертовом пространстве Ж предел
t
s. lim t~x ( е~ sli ds = Pinv
t-»oo J
о
есть оператор проектирования на подпространство инвариантных векторов. (Для
унитарной группы T(t) аналогично Plnv — s. lim t~l T (s) ds.) Поэтому
о
(19.7.1) эквивалентно тому, что 1 порождает инвариантное подпространство
группы T(t) в пространстве S. Пусть А и В в (19.7.1) обозначают конечные ли-
нейные комбинации функций е1<р(б, где f <= С“ вещ.
Так как соотношение (19.7.1) содержит оператор временных сдвигов T(s),
то без ограничения общности можно считать, что А s	В е &+. При этом
(19.7.1) эквивалентно кластерному свойству
t
lim Г1 [<0Л, е~ tHB)x - (6Л,	(Q, В)ж] ds = 0,	(19.7.2)
о
а значит, единственности основного состояния Q оператора Н.
Отметим, что теперь доказательство теоремы 6.1.5 полностью
завершено. Более того, предположив справедливость аксиомы OS 4,
мы сейчас докажем, что глобальная алгебра фон Неймана, по-
рожденная алгеброй U И (В), неприводима, и тем самым закончим
в
доказательство теоремы 6.1.6. Предположим, что А коммутирует
со всеми переменными. Так как алгебра 51(B) замкнута относи-
тельно сопряжений, то Л* тоже коммутирует со всеми перемен-
ными. Следовательно, и операторы ReA=(A* + A)/2 и 1mA =
= (А*— A)/2i обладают этими свойствами. Без ограничения общ-
ности можно считать, что оператор А самосопряжен. Поэтому для
С = С*е51(В) получаем, что C(t) = U(t) CU(t) * е %(Bt) и
(АЙ, (7(/)СЙ) = (Й, АС (/) Й) = (С (Z) Й, АЙ) =
= (б/(/)СЙ, АЙ) = (АЙ, С/(0СЙ)“.
19.7 Единственность вакуума 381
Из этого равенства видно, что функция <AQ,	вещественна
и, значит, ее преобразование Фурье по переменной t будет четной
функцией по двойственной переменной со. Однако ввиду положи-
тельности энергии преобразование Фурье сосредоточено на полу-
оси со = энергия 0. Таким образом, AQ ортогонально состояниям
вида CQ со строго положительной энергией. Последние плотны
в пространстве как следует из теоремы 19.3.3 и того обстоя-
тельства, что векторы пространства S? могут быть получены с по-
мощью дифференцирования экспоненты ехр(фм(/ч)) .  .
... ехр (<рЛ1 (f„)) Q в CQ. Следовательно, ЛИ — это состояние с ну-
левой энергией. Однако, в силу аксиомы OS 4, Q — единственное
с точностью до множителя состояние с нулевой энергией. Это
означает, что ЛИ = ZQ, и, далее, для любых %,	верно
равенство <х, Аф> = <%, ф>к Отсюда, наконец, можно сделать вы-
вод, что А = 7.1.
Стандартные методы построения квантовых полей естествен-
ным образом приводят к мере dp, которая удовлетворяет аксио-
мам OS 0—3, но не обязательно аксиоме OS 4. Чтобы включить
в рассмотрение и этот общий случай и развить аппарат, необходи-
мый для изучения смешанных состояний, остановимся подробнее
на эргодических свойствах меры dp.
Определение 19.7.2. Пусть ё\ обозначает подпространство ё, ин-
вариантное относительно группы временных сдвигов T(t), /е/?1.
Аналогично, пусть ёв^ё обозначает подпространство, инвариант-
ное относительно полной евклидовой группы, а ё^ — подпростран-
ство функций, измеримых относительно о-алгебры «на бесконеч-
ности». Последнее означает, что ёо<> = (]{ё (В'): В ограничено}.
Как и в § 6.1, обозначим ё± подпространства ё, отвечающие бу-
дущему и прошлому.
Предложение 19.7.3. Пусть мера dy удовлетворяет аксиоме OS 2.
Тогда ё^ё^[\ё+[\ё-.
Доказательство. Пусть AeSr, тогда А = lim.4„, где А„ — функция от значе-
ний поля <р(х) при |х| п и ||Л„||	||Л||. Такую последовательность Ап можно
построить при помощи ортогонального проектирования на пространство Sп =
= <8’(|х|	п), т. е. при помощи условных средних. При этом сходимость
Ап -> А будет следовать из того, что Еп 1I, п-*-со, где Еп — проекция на под-
пространство Sn^S, состоящее из всех ^-функций от значений поля ф(х) при
|л:| п. Сильная сходимость последовательности T(t)A„ при п->°° вытекает
тогда из следующего соотношения, верного для любого t s R1:
1|Г(/)Л„ —Л|| = ||А„ — Т(—/)Д|| = |[Л„ —Л|| -^0.
Положив соответственно / = 2п, п, —п, мы получим, что А е S’™, S+ и S—
Предложение 19.7.4. Если мера dp удовлетворяет аксиомам
OS 2—3, то элементы подпространства ё\ инвариантны при отра-
жениях 6 относительно гиперплоскости t — 0.
382 Гл. 19. От функциональных интегралов к квантовой механике
Доказательство. Будем считать, что Л>0. Пусть (-)g и (-)ж обозначают соот-
ветственно скалярные произведения в пространствах rS и Ж Согласно предло-
жению 19.7.3, A, ОА е Да. П Поэтому с помощью неравенства Шварца, при-
мененного к пространству S, получим, что
<ед А\ < (ел, A}f (Л, <2 = (Л, ел)’/2 <ел, а^.
Это неравенство можно продолжить с помощью неравенства Шварца в простран-
стве Ж Найдем, что
I (л, ел>ж । < <л, <ел, 0л>^2 = । <ел, л>г । = <ел, л>ё.
Отсюда следует, что все эти неравенства на самом деле равенства, а первое из
них дает 0Л = Л. Я
Теорема 19.7.5. Если мера dp удовлетворяет аксиомам OS 2 и
OS 3, то = ёЕ.
Следствие 19.7.6. Мера dp эргодична относительно действия пол-
ной евклидовой группы в том и только в том случае, если она
Е'-эргодична.
Доказательство теоремы 19.7.5. Обозначим T(ei®) поворот на угол 6 в плоскости
t, xi, где х — (х, /), х = Xi. Тогда
Т(л|)= lim Т (—1)Т(е~1х'/‘)т (t).
t ~>О0
Взяв Л s <8”|, определим At = Л — Т (е~‘х'й) А. Тогда ||Л t II	0, потому что семей-
ство ТД1<’) сильно непрерывно по 0. Далее, Т(—/)Л<->-0 и, следовательно,
7-(Х1)Л= lim Т (—t) Т (е~1х'!1) А = lim Т (- t) А - Т (— t) At = Л.
/—> ОО	t —>оо
Итак, А инвариантно при сдвигах вдоль оси Xi. Аналогично можно показать, что
Л инвариантно при любых сдвигах в Rd. К тому же, согласно предложению
19.7.4, Л инвариантно при отражениях относительно любой гиперплоскости. По-
скольку сдвиги и отражения порождают всю евклидову группу, Л s Д Е. |
Алгебра ограниченных функций «В’еПАоо непосредственно опре-
деляет интегральное разложение меры dp. Пусть ЕЕ обозначает
спектр алгебры	Тогда на 3L существует нормированная
положительная мера dt, и для почти всех существуют такие
меры на пространстве 9” (ЕД}, что
dp = dR,
причем S Ш = j {/} dt,, где Sg {/} — dp^.
teZ
Теорема 19.7.7. Пусть мера dp удовлетворяет аксиомам OS 0—3.
Тогда для п.в. £ мера dp^ удовлетворяет аксиомам OS 0—4.
Доказательство. Отождествим функции из Д+ А	с множеством функций от £,
принадлежащих пространству dt,). По определению
Al dp^ = AZ dp) (С),
16.7 Единственность вакуума 383
где Ze^£ П Z-ю, а интеграл J AZ dy рассматривается как функция от £. Тогда
инвариантность меры dy^ следует из инвариаитиости dp и Z. Аналогично, поло-
жительность при отражениях вытекает нз положительности dt и положительно-
сти при отражениях скалярного произведения:
ё’+ =э А, В => \ 6ABZ dp == \ О (Z1,2A)~ (Z^2B) dy.
Здесь Z i= Sе 0 £«,, Z 0. При этом мы воспользовались тем фактом, что, со-
гласно предложениям 19.7.3—4, функции Z1'2 и 0Z принадлежат & + П Too. Эрго-
дичность меры dpj для п. в. £ вытекает из общей теории интегральных разло-
жений. Подробности читатель может найти в книге [Dixmier, 1957].
Теперь, используя метод многократных отражений, мы покажем, что ак-
сиома регулярности OS1 справедлива для п. в. чистых фаз £. Для этого доста-
точно для любой проекции Z^.Se установить оценку
| J Ze1 <f- <₽> dp | < ( J Z dp) ехр (||f ||Д1 + ||f ||Ц.
(19.7.3)
При этом можно взять функции f с носителем в некоторой временной полосе,
скажем 0 t sg Т. Согласно неравенству Шварца в пространстве <№, получаем,
Ze1 <f- <₽> dp | = I (Z1/2, (Z1|/2e‘ <f- Ч»П | <
< ( J Z dp)^ ( J Ze1 * ® (ег <₽>)- dp)’'2.
Теперь можно считать, что функции f и 6f представляют собой одну и ту же
основную функцию, и поэтому после сдвига по времени во втором сомножителе
процедуру можно повторить. После п шагов мы получим основную функцию
2п
вида g= ff, где носители fj лежат в непересекающихся временных иитер-
/=1
валах. Для таких fj
ngi£p=ISMl£p=EllMl£p=2"iini£p.
Чтобы закончить доказательство, осталось воспользоваться аксиомой OS1 и
устремить п к бесконечности. Я
Глава 20
Дальнейшие направления
Чтобы дополнить изложение основного материала и дать чита-
телю библиографическое руководство, мы предлагаем здесь крат<
кий обзор важнейших достижений конструктивной теории поля,
не вошедших в предыдущие главы.
384 Гл. 20. Дальнейшие направления
20.1	Модель tpa
В программу конструктивной теории поля входит изучение <р4-мо-
дели в размерности d = 3. Здесь уже требуется бесконечная пере-
нормировка массы. Сформулируем основную теорему существова-
ния. Пусть dtf обозначает гауссову меру на пространстве Я)' (7?3)
с ковариацией (—A -J- 1) —1 и нулевым средним, а <ри — обрезанное
поле, полученное либо переходом к решетке с шагом х-1, либо
сверткой сри е= <р * с размазанной 6-функцией как в § 8.1.
Положим
V (А, х) = [Z<p4 + а (х, 7.) <р2] d3x,
л
Sx.K(f) = d|iA, к,
где f/pA.x=Z(A, х)-1ехр[— V(A, x)]d<p, Z(A, x) = ^exp[— V(A, x)]dtp.
Теорема 20.1.1. Существуют такие постоянные а, Р 0, что если
а (х) = —«7.x	р7.2 In х + о, то для всех 7. > 0 ы о е существует
предельный функционал
S’{/} = lim lim Зд, и(f),
лф/?3 X->oo
удовлетворяющий аксиомам OS 0—3.
Теорема 20.1.2. Существуют два конечных значения о±(Х), такие,
что функционал S {[} удовлетворяет аксиоме OS 4 при о>о+(Х)
(и, значит, у гамильтониана И имеется единственный вакуумный
вектор) и не удовлетворяет ей при o<<r_(Z) (существуют по
крайней мере два вакуумных вектора).
Основной шаг в доказательстве существования, а именно по-
строение меры dy(A, х = оо), был сделан в работе [Glimm, Jaffe,
1972b]. Существование предела при Л f У?3 в случае <т > <т+ пока-
зано с помощью техники кластерных разложений в статьях [Feld-
man, Osterwalder, 1976] и [Magnen, Seneor, 1976а]. Сходимость
решеточных аппроксимаций, когда шаг решетки стремится к нулю,
а Л фиксировано, доказана в работе [Park, 1977]; тем самым уста-
новлены корреляционные неравенства. Предел при переходе к бес-
конечному объему для всех значений <т построен в статье [Seiler,
Simon, 1976]. Доказательство существования нескольких вакуумов
(т. е. фазовых переходов) получено распространением на непре-
рывный случай методов, описанных в § 16.4 [Frohlich, Simon, Spen-
cer, 1976]. Спектр частиц в модели при 1 изучался в работе
[Вигпар, 1977], где доказано существование изолированного одно-
частичного состояния. Несколько иное построение модели в ко-
20.2 Суммируемость по Борелю 385
нечном объеме дано в работе [Benfatto et al., 1980]. Оно основано
на идеях, связанных с ренормгруппой (см. [Wilson, Kogut, 1974],
[Ma, 1976]).
20.2	Суммируемость по Борелю
Функции Швингера '/.Р (<р) 2-моделей неаналитичны по X в точке
X = 0, поскольку при X < 0 нарушается устойчивость. Однако все
характеристики этой модели аналитичны в секторе, по форме на-
поминающем пирог с вырезан-
ным куском. Этот сектор с углом
0 > л изображен на рис. 20.1.
Кроме того, функции Швингера
обладают в нуле (со стороны
положительных X) односторонни-
ми правыми производными любо-
го порядка, и, как показано в ра-
ботах [Dimock, 1974, 6], эти про-
изводные можно вычислить по
теории возмущений в бесконеч-
ном объеме. Элементы S-матрицы
также допускают разложения в
Рис. 20.1. Известная область анали-
тичности по комплексному параметру
X в ХР(<р)г-теории.
асимптотические ряды теории
возмущений [Osterwalder, Seneor, 1976], [Eckmann, Epstein,
Frohlich, 1976].
На самом деле функции Швингера <р4-модели могут быть вос-
становлены по коэффициентам разложения, вычисленным по тео-
рии возмущений, с помощью суммирования по Борелю [Eckmann,
Magnen, Seneor, 1975]. Это означает, что, хотя r-точечная функ-
ция Швингера в ф4-модели имеет расходящееся разложение:
оо
П~0
(20.2.1)
(поскольку |ап|>О(и!)), тем не менее преобразование Бореля
«= о
(20.2.2)
сходится вблизи точки t = 0. Более того, функция h (/) имеет ана-
литическое продолжение на все значения t > 0, так что сущест-
вует интеграл
оо
Sn (К) = J e-'/z (X/) dt.	(20.2.3)
о
Из недавних работ, относящихся к преобразованию Бореля, см.
[Sokal, 1980]. Можно показать, что Sn(X) совпадает с <р|-функ-
386 Гл. 20. Дальнейшие направления
цией Швингера, построенной в гл. 11. Разложение в степенной
ряд для массы т(Х) также суммируемо по Борелю [Eckmann,
Epstein, 1979b].
Результаты, относящиеся к суммируемости по Борелю функций
Швингера модели фг» обобщены и на случай размерности d = 3
[Magnen, Seneor, 1977]. Элементы S-матрицы для этого случая
также имеют асимптотическое разложение по степеням X[Constan-
tinescu, 1977]. Открытой остается проблема, применима или нет
техника пересуммирования к квантовым полям (Хдр4 — <р2)г.
20.3	Евклидовы ферми-поля
Множество конфигураций скалярного евклидова поля <р, рассмат-
риваемого в этой книге, совпадает с пространством «траекторий»,
по которым происходит интегрирование в формуле Фейнмана —
Каца. Используя обозначения § 6.1, имеем
t
-J V(q>(s))ds
<А, е~*(h+v'a} = од (ф) А (ф) е 0 dp (ф),
(f	X	~
- 5 V («> («)) ds |
е 0	Т(0/	.
Обобщение этой формулы на ферми-поля содержится в работах
[Osterwalder, Schrader, 1972а, 1973а, Ь]. Оказалось, что это обоб-
щение, даже на формальном уровне, содержит в себе нечто новое.
Поясним некоторые существенные моменты этого обобщения.
Во-первых, поле ф, зависящее от вещественного времени, и его
сопряженное ф заменены независимыми антикоммутирующими
евклидовыми полями ф1 и фг. В результате евклидово поле, отве-
чающее нулевому моменту времени, строится не в а в другом
пространстве.
Во-вторых, так как введенные евклидовы поля антикоммути-
руют и принимают значения из грассмановой алгебры, скалярное
произведение в евклидовом пространстве не задается уже интегри-
рованием по положительной мере dp. Вместо этого оно опреде-
ляется как положительное состояние (среднее) р на алгебре по-
левых операторов, порожденной элементами ф1 (f), фг(й'). Для по-
линомов Р (фь фг) выполнено р (Р*Р)	0. Это состояние и опре-
деляет интеграл.
И в-третьих, наконец, типичные взаимодействия, входящие в
выражение для плотности оператора энергии, такие, как
фф, фу5ф, У, фу^фЛц, для обычных ферми-полей принимают веще-
ственные значения. В евклидовом пространстве они представ-
Я0.4 Потенциал Юкавы 387
ляются выражениями 'фг'фь ‘ФгУ6’!5!» 22 ФгУ^Иц и т. п-> и> следо-
п
вательно, евклидово действие не вещественная функция, а прини-
мает значения из грассмановой алгебры.
Тем не менее на этот случай можно обобщить аксиомы OS 0—4
и доказать формулу Фейнмана — Каца
ехр[— /(Я + V (ф, ф, ф))] =(ехр| — К(Ф1(«), ф2(«)ф(«))^5 j.
X L о	J /
(20.3.1)
Гамильтониан	определенный формулой (20.3.1), действует
в гильбертовом пространстве описывающем квантовую си-
стему. В случае когда взаимодействие V(ф, ф, ф) формально ве-
щественно, определение (20.3.1) приводит к симметрическому опе-
ратору Н + V, что согласуется со стандартной канонической кон-
струкцией.
20.4 Потенциал Юкавы
Предметом изучения в квантовой теории поля были также и взаи-
модействия между фермионами и бозонами, в частности взаимо-
действия Юкавы
Хффф и ^фу5ф<р
соответственно скалярное и псевдоскалярное. В размерности d — 2
эти модели приводят к логарифмически расходящейся перенорми-
ровке массы. Подробности из оригинальных работ по конструкции
этих моделей и соответствующую библиографию можно найти в
обзоре [Glimm, Jaffe, 1971b]. Для этих моделей также были раз-
виты евклидовы методы, и это привело к более совершенной трак-
товке полей Юкавы в размерности d = 2. Оценки для случая ко-
нечного объема содержатся в работе [Seiler, 1975], а построение
предела при переходе к бесконечному объему (с использованием
равномерных оценок и некоторых сходящихся подпоследователь-
ностей конечных объемов) — в работах [McBryan 1975а, Ь, с] и
[Seiler, Simon, 1975а, b, 1976]. Доказана также сходимость высо-
котемпературных кластерных разложений ([Magnen, Seneor,
1976b], [Cooper, Rosen, 1977] и суммируемость по Борелю [Re-
nouard, 1977, 1979]). Для случая размерности г/= 3 существова-
ние поля и суммируемость по Борелю доказаны в работе [Mag-
nen, Seneor, 1980].
В низкотемпературной области (сильные взаимодействия) псев-
доскалярная теория имеет фазовый переход. Доказательство
этого факта основано на низкотемпературных кластерных разло-
жениях [Balaban, Gawedzki, 1980]. В модели Юкавы можно вы-
388 Гл. 20. Дальнейшие направления
числить среднее по фермионам при фиксированных значениях бо-
зонных полей. Это приводит к эффективному четному взаимодей-
ствию К(ф). При X » О потенциал V имеет два минимума и про-
исходит нарушение симметрии ф->—ф. Возможно, что скалярная
модель Юкавы при низких температурах тоже имеет фазовый пе-
реход. В области сходимости кластерных разложений были прове-
рены аксиомы Вайтмана. При произвольном значении константы
связи установлены лишь аксиомы Хаага — Кастлера; см. [Schra-
der, 1972] и [McBryan, Park, 1975].
20.5 Низкотемпературные разложения и
фазовые переходы
Кластерное разложение гл. 18 аналогично высокотемпературному
разложению в статистической физике, которое справедливо в одно-
фазной области вдали от критической точки. Это разложение сво-
дит изучение теории в бесконечном объеме к конечному объему и
сходится, когда модель близка к гауссовой, например в случае
>.ф4 + ф2-моделей при малых 7.
Такие разложения можно делать и для многофазных моделей
квантовых полей, например для двумерной Хф4 — ф2-модели, X « 0.
Это низкотемпературные разложения, справедливые в области фа-
зовых переходов. В этих разложениях нужно внимательно следить
за вероятностью флуктуаций около одного основного состояния,
с тем чтобы не произошел переход к конфигурации, отвечающей
другому основному состоянию. Иными словами, надо улучшить
соответствующие оценки вроде тех, которые приведены в § 16.2,
чтобы показать, что мала вероятность границы раздела фаз:
Рг(Г) <ехр(—Х~1/2|Г|). Цель состоит в том, чтобы получить
асимптотическое разложение функций Швингера при 7<С1- Для
7ф4— ф2-моделей эта программа реализована в работе [Glimm,
Jaffe, Spencer, 1976а]. Тем самым доказано экспоненциальное убы-
вание усеченных функций Швингера для чистой фазы. Эти методы
применимы также и для низкотемпературных разложений в ста-
тистической механике [Schor, 1978b],
Анализ в многофазной области перенесен в квантовую теорию
поля в работе [Gawedzki, 1978а], где доказано сосуществование
трех фаз в равновесии (при некоторых X и о) в Хф6 + оф4-модели.
Эта ситуация соответствует тройной точке на рис. 4.1.
Низкотемпературные разложения использовались также и при
изучении спектра ф4-модели в случае нескольких фаз [Imbrie,
198Q], [Koch, 1981].
Основную идею низкотемпературного разложения можно про-
иллюстрировать на примере полиномиального взаимодействия
У(ф) = Хф4 — 2ф2. Можно ввести удобную перепараметризацию,
разложив полином около каждого из двух его минимумов ф =
20.5 Низкотемпературные разложения и фазовые переходы 389
= ±А,-1/2. Имеем
V (ф) = v+ (Ч>+) = Хф4+ + 4Х1 V+ + 2ф2+ - V1 =
=	(1р_) = ^1 — 4X1ZV +2ifi — х-1.
Введя граничные условия ф+ = 0 или ф_ = О при |х| = оо, произ-
ведем асимптотическое разложение по степеням Х1/2, начиная с
1/+(ф+) или К_(ф_) и считая ф+ или ф_ новыми переменными
вместо ф. Такое разложение, подобно разложению (8.4.3), порож-
дается интегрированием по частям. Затем производится еще одно
разложение с тем, чтобы показать, что вероятность попасть в об-
ласть х 0 из области ф+ « О равна О(ехр(Х-1)). Это верно по
крайней мере для малых К, как и при доказательстве фазового
перехода для этих моделей в § 16.2. Здесь, однако, надо выбрать
точные граничные условия, которые приводят к двум различным
теориям поля — двум «фазам» модели. Эти разложения опреде-
ляются в работе [Glimm, Jaffe, Spencer, 1976а], где установлена
также и их сходимость. Они обобщены на случай произвольной
Р(ф) 2-модели, благодаря чему получено полное описание фазовой
диаграммы для этих моделей в области, где действует приближе-
ние среднего поля [Imbrie, 1980b, 1981].
20.6 Дебаевское экранирование и преобразование sin-Gordon
Статистическая физика классического кулонова газа приводит к
изучению определенной ниже большой статистической суммы
Екулон- Рассмотрим d-мерную решетку Zd(6, Л) в конечном объеме
Л с фиксированным шагом б. Мы используем решетку для того,
чтобы избежать особенностей кулонова потенциала в нуле. Мы вы-
бираем этот потенциал равным C(i,j) = —где А обозна-
чает решеточный лапласиан на решетке Zd(8, Л). Зададим п-ча-
стичное каноническое распределение конфигураций зарядов qk =
= ±е, находящихся в вершинах ik, формулой
Ркан.	ехр Г—У ЧкР(1к> h)qi\- (20.6.1)
I k^1	I
L	J
Теперь определим
оо
Екулон = Е	X Ркан. п,	(20.6.2)
п=0
<ц.=±е
fe=I, 2.п
где для удобства будем считать, что ieA обозначает ie Zd(6, Л)П
f| Л. В случае размерности d = 3 имеем C(i, j) ~ (4л|г — /])-1 при
|i — /|->-оо, что соответствует обычному кулонову потенциалу.
Предположим, что на границе дЛ. заданы четные граничные уело--
вия (например, условия Дирихле).
390 Гл. 20. Дальнейшие направления
Задача состоит в том, чтобы выяснить поведение корреляции
между двумя пробными зарядами, расположенными в узлах i и /,
при |/ — /|->оо. Эта корреляция определяется как
lim	(20.6.3а)
дф7а п. ik, qk
В силу симметрии qk~>----qk, среднее <щ> равно 0. Казалось бы,
корреляция {qiqj') асимптотически убывает как потенциал C(i,/) —
= О (| i — /|-d+2) • В случае |z|	1, |3е2	1 (т. е. для «высокотем-
пературной разреженной плазмы») известно, что эта корреляция
ведет себя по-другому. А именно,
O(exp(-|i-j|/g)),	(20.6.3b)
где g конечно. Нижняя грань всех допустимых значений g
в экспоненциальной оценке (20.6.3b) называется дебаевской
длиной.
Механизм дебаевского экранирования состоит в том, что проб-
ный заряд qi в равновесном распределении окружен облаком за-
рядов с противоположным знаком. Это приводит к нейтрализации
заряда qt и препятствует его взаимодействию с другим пробным
зарядом qj. Эффект экранирования сводится к тому, что дально-
действующий кулонов потенциал C(i,j) как бы заменяется экспо-
ненциально убывающим (т. е. короткодействующим) потенциалом
вида ехр(—|i — /|До). Первоначальное объяснение этой картины
было связано с приближением среднего поля, формально приме-
ненным к корреляции {qit qj).
Недавно Бриджес и Федербуш, используя аппарат конструк-
тивной квантовой теории поля, в частности кластерные разложе-
ния гл. 18, а также низкотемпературные разложения, доказали
корректность соответствующих рассуждений для среднего (20.6.3).
Их исследования основаны на преобразовании sin-Gordon, к кото-
рому мы сейчас перейдем.
Рассмотрим каноническую статистическую сумму евклидовой
теории поля со взаимодействием К(<р) — у cos а<р. Классическое
уравнение движения (в модели с непрерывным вещественным вре-
менем) имеет вид
—С<р = ay sin осф	(20.6.4)
и называется поэтому уравнением sin-Gordon. Пусть dq>— гаус-
сова мера на решетке Zd(6, Л) с нулевым средним и ковариацией
С = —Д-1. При подходящем выборе постоянных а, у каноническая
статистическая сумма модели sin-Gordon определена формулой
Zsm-Gordon = $ ехр Г2г £ dd :cos ₽ 1/2еф/:1 dq>. (20.6.5)
L /ел	J
Это статистическая сумма решеточной теории поля.
20.6 Дебаевское экранирование и преобразование sin-Gordon 391
Предложение 20.6.1 [Стратонович, 1957], [Edwards, 1959], [Ed-
wards, Lenard, 1962]. Статистические суммы Е и Z, определенные
соответственно формулами (20.6.1) и (20.6.5), равных
& Кулон == Zsln-Gordon-	(20.6.6)
Доказательство. Обозначим jk, k= 1, ..., п, заряды и координаты п частиц.
Пусть
<р (D =	Е <Pih' № = Р1/2 £ fk-
По определению гауссовой меры
[ е‘ф (f(n)) d<p = ехр Г- 4 Е (/’ 7) ^’1 =
Li,/	J
= ехр [- 4 n[’e262dC (0, 0)] Цкан, „	(20.6.7)
(см. (9.1.16)). Далее воспользуемся тождеством
£	£	= F6d £ 2 cos (p1/2e(P/)]n.	(20.6.8)
<Zft-±e	L /е=Л	J
ft» 1...n ft»l, ..., n
В силу соотношений (20.6.7—8), получаем, что
Е Нкан, „ - ехр(4 nPe262d) pd Е 2 cos (₽ 1/2е(Р/) 1 =“
v-A	L j	J
Л-1, 2, .... п
*= У 2 cos(₽1/2e<p/)p.	(20.6.9)
При выходе последнего равенства мы воспользовались тождеством для виковой
экспоненты
£-(1/2) a2nC (0, 0)
из которого следует, что
[cos (a<Py)]n = е-<1/2) a!ftC (0’ 0) :[cos (афу)]”:
Подставляя равенство (20.6.9) в определение (20.6.2), получаем наше утвержде-
ние. |
Теперь мы пришли к трудной задаче изучения решеточной мо-
дели sin-Gordon. С формальной точки зрения тождество Ес = Zsa
и показывает, каким образом возникает дебаевская длина. Пред-
полагая, что косинус в формуле (20.6.5) допускает разложение
в ряд по малому параметру 01/2е, главный член этого разложения,
а именно квадратичную форму от
- 2z<?2₽ f 4Е ’	(20.6-10)
\ / /
392 Гл. 20. Дальнейшие направления
можно рассматривать в соответствии с соотношением (9.1.25) как
введение массового члена в меру dq. Остальные члены разложе-
ния косинуса дают поправки к этой массе. Поэтому можно пред-
полагать, что величина ^Б1, обратная к дебаевской длине, имеет
асимптотическое разложение
mn = gnI~(2Zpe2)I/2Fl + Z «„тгп(ре2)П (20.6.11)
L п+т>1	J
коэффициенты которого атп вычисляются по теории возмущений.
Главный член т~^ п — £ср п ~ (Йхре2)-1/2—это дебаевская длина
в модели среднего поля. Основной результат работ [Brydges,
1978], [Brydges, Federbush, 1980, 1981] можно сформулировать
с помощью наблюдаемых вида q (f) — ^q (х) f (х) dx, где f^C^,
N
и их произведений А — Ц q (ff) (как для решеточного, так и не-
i —1
прерывного поля).
Теорема 20.6.2. При достаточно малых значениях р и z состояние
для системы в бесконечном объеме (Л) = lim (Л) существует и
Л-»оо
обладает экспоненциальным кластерным свойством. Для любого
е > 0 при достаточно малых значениях р и z (зависящих от е)
имеет место оценка
I <ЛВ> — <Л><В> I CACBe~md,
где d — расстояние между носителями А и В. Здесь m =
= (1 — е)щср. п = (1 — е) (2zPe2)1/2.
20.7	В газе диполей нет экранирования
Рассмотрим газ диполей с кулоновым взаимодействием. Как и в
предыдущем параграфе, для того чтобы избежать особенностей
потенциала в нуле, будем изучать d-мерный решеточный газ. Ре-
шеточный диполь D — это пара зарядов (ф, q,}, одинаковых по ве-
личине, но противоположных по знаку и расположенных в сосед-
них узлах решетки (i,j). Пусть D обозначает вектор длины 2бе.
направленный от отрицательного к положительному заряду. Этот
вектор есть не что иное, как дипольный момент. Будем помечать
D = Db ребром решетки Ь, соединяющим вершины (i,j).
Энергия взаимодействия пары диполей Db, D6,, отвечающих
ребрам Ь, Ь', имеет вид
d
<D6,HM = £ Db, aVaP (b, b') Dv, ₽.	(20.7.1)
a,
Здесь Vap(&,&') есть dXd-матрица, определяемая парным куло-
новым взаимодействием между зарядами, входящими в диполи,
20.7 В газе диполей нет экранирования 393
исключая взаимодействия внутри диполя. Асимптотически при уда-
ленных друг от друга на вектор rbb, = г большой длины г ребрах
Ь, Ъ' это взаимодействие имеет вид
Va₽(b>

(2л)-1 г’2 (2-^
бцо
Up
при d > 2,
при d = 2.
(20.7.2)
Этот потенциал взаимодействия диполей не является абсолютно
интегрируемым, но его среднее по сфере равно нулю.
Большая статистическая сумма определяется формулой
оо
^дип == У Znbnd У	Цкаи, п>
п=0	Ь/^Л.
Dk^±
fe=l, 2..п
(20.7.3)
где Dk = ± обозначает сумму по двум направлениям в диполе,
отвечающем ребру bk, и
Ркан, п = (я!)"1 ехр Г - 4 £ {V)bk, VDb/)l.	(20.7.4)
I k^l	I
L i^k, Kn	J
Парная корреляционная функция диполей определяется формулой
(DbDb<) = lim S^n £ zn6nd
sAzd n=°
/. DbDb'pKaHt п. (20.7.5)
Dk=±
k~\. 2. .... п
В противоположность случаю кулонова газа мы не ожидаем,
что в разреженном газе диполей возникнет экранирование. Повто-
рив рассуждения § 20.6, можно показать, что
Едип = ZV=2a cos ((№ ) v<p|) = J eXP Г 2z £ :C°S V<P 0:l
L /еЛ.	J
(20.7.6)
Здесь по сравнению с формулой (20.6.5) q?2 заменено на (V<p)2.
Представление (20.7.6) показывает, что при |z|<C 1 разложение
косинуса приводит к квадратичному члену
- 2ze2 ₽ bd £ (V<p)fj.	(20.7.7)
V ! J
Но теперь этот член дает уже не массу, а вклад в коэффициент
(1 +2ze2p) при кинетической энергии. Приближение среднего поля
394 Гл. 20. Дальнейшие направления
по формуле (20.7.7) предсказывает, что корреляционная функция
(20.7.5) при малых г, е2р ведет себя следующим образом:
<D6D6,> ~ e(z,	VDb,> + O(r~e).	(20.7.8)
Здесь диэлектрическая проницаемость е имеет вид
8=1+ ze2p + £ anmzn (₽e2)m.
п+т>1
На языке перенормировок теории поля е = Z-1, где Z — константа
перенормировки величины поля. Ввиду того, что дипольные силы
приводят к эффективному дальнодействию, применение здесь кла-
стерной техники значительно затруднено по сравнению со случаем
разреженного кулонова газа. Для изучения свободной энергии
в дипольном газе с успехом применялись методы группировки спи-
нов в блоки [Glimm, Jaffe, 1977b], Отсутствие экранирования в
этой модели установлено в работе [Park, 1979], [Frohlich, Spencer,
1981а]. К соответствующему ^ф)4-взаимодействию применялись
методы, связанные с ренормгруппой [Gawpdzki, Kupiainen, 1980];.
см. также [Bricmont, Fontaine, Lebowitz, Spencer, 1980, 1981],
[Bricmont, Fontaine, Lebowitz, Lieb, Spencer, 1981].
Несмотря на отсутствие экранирования можно ожидать, что
в газе диполей при d 2 происходит фазовый переход из неупо-
рядоченной фазы в конденсированную (рис. 20.2). Наиболее тру-

(а)	(Ь)
Рис. 20.2. (а) Неупорядоченные диполи. (Ь) Конденсированная фаза диполей.
ден для изучения случай d — 2, так как с математической точки
зрения эти переходы относятся к так называемым переходам с раз-
мыванием (см. § 20.8) и переходам типа модели ротаторов (§ 5.5).
Очень интересно было бы установить их существование (см.
[Frohlich, Spencer, 1981b]).
20.8	Солитоны
Излагая и анализируя в этой книге приближение среднего поля,
мы в основном рассматривали разложения в окрестности конфигу-
раций <р = const, которые являются абсолютными минимумами
действия а. Классические уравнения поля могут иметь и другие
стационарные решения. Простой пример имеется в размерности
d = 2 у ф4-модели со взаимодействием Х(ф2 — а)2. При этом ста»
20.8 Солитоны 395
ционарное решение
Ф = ± V« th ((2Za)'/2 xj	(20.8.1)
есть либо солитон, либо антисолитон. Это решение вещественно
только при а 0. В этом случае считается, что солитон может
повлиять на спектр частиц. Хотя и предполагается, что в про-
странстве Ж солитонные состояния невозможны (так как они свя-
зывают два разных вакуум-
ных состояния в различных
представлениях), считает-
ся все же, что солитонные
пары (близкие к классиче-
ским решениям) могут поро-
дить частицу в двухфазной
области. Классическое со-
стояние (рис. 20.3(b)) наво-
дит на мысль о существова-
нии солитон-антисолитон-
ных связанных состояний
в квантовой теории.
Далее, можно предста-
вить себе построение сек-
тора суперотбора, содержа-
щего солитонный сектор, но
без вакуумных состояний.
Такое построение сделано
для некоторых моделей qxj,
Рис. 20.3. (а) Солитонное классическое ре-
шение. (Ь) Двухсолитонное приближенное
решение для <р4-модели.
[Bellisard, Frohlich, Gidas,

и sin-Gordon2 ([Frohlich, 1976b],
1978] и [Gidas, 1979a]). Упомянем, что в размерности cl = 2
построено поле sin-Gordon в непрерывном пространстве [Frohlich,
Seiler, 1976].
x-2,...,xrf
Рис. 20.4. Граничные условии, которые приводят к разделению фаз в трехмерной
модели Изинга при Т < (7кр)Изи11г/
396 Гл. 20. Дальнейшие направления
Очень интересная задача, родственная проблемам, рассмотрен-
ным выше, — так называемые переходы с размыванием. Рассмот-
рим трехмерную модель Изинга в бесконечном объеме с гранич-
ными условиями + для Xi > 0 и — для Xi <z 0, как показано на
рис. 20.4. Известно, что при Т < (TKJ>) изинг, < (Т'кр)изингз суще-
ствует отчетливая поверхность фаз. В случае же Т > (Гкр)изинг»
в пределе получается трансляционно-инвариантное состояние (без
раздела фаз). Интересно понять, происходит ли размывание (т. е.
исчезновение) поверхности раздела фаз при Т < (Т^р) изииг3- Та-
кой переход мы и назвали переходом с размыванием (в ориги-
нале: roughening phase transition).
20.9	Калибровочные теории
Единственная калибровочная теория, которая рассматривалась
в этой книге, — это электродинамика. В калибровочных теориях
имеются три вопроса, изучаемых обычно с математической точки
зрения: классическое и квазиклассическое приближение, форму-
лировка аксиом и построение простейших непрерывных моделей
в пределе, когда шаг решетки б стремится к нулю.
В качестве действия в чистой калибровочной теории берется
— ЦЕ||2/4, где величина
Fi^diAj-djAi + lAi,
принимает значения в алгебре Ли калибровочной группы G. Клас-
сические евклидовы уравнения Янга — Миллса
Z = 0 = £ (д^ + [Ац, Fuv])
имеют решения, для которых действие конечно, — так называемые
инстантоны [Белавин, Поляков, Шварц, Тюпкин, 1976]:
(20.9.1)
где g(х) = х01 -|- х • <j, о — матрицы Паули. Инстантон обладает
свойством F = *F. Фактически построены все классические реше-
ния, удовлетворяющие условию F — ±*F и обладающие конечным
действием ([Atiyah, Drinfeld, Hitchin, Manin, 1978]). Инстантоны
оказались полезны и для формального понимания квазиклассиче-
ского приближения в квантовых калибровочных теориях; см. [Co-
leman, 1977, 1979]. Аксиомы для калибровочных полей сформули-
рованы в работе [Strocchi, 1978].
Строгое математическое построение квантовых калибровочных
полей .только начинается. При этом полезна решеточная модель
с обрезанием [Wilson, 1974]. Компонента связности А,- в направ-
лении координаты i, принимающая значения в алгебре Ли, заме-
няется в решеточной теории элементом группы ехр (6А,) = уь, со-
поставленным каждому ребру Ь. Остервальдер и Зайлер [1978]
сформулировали и доказали аксиому о положительности при от-
20.9 Калибровочные теории 397
ражениях для этой модели с действием вида
^=Str(Yfri...	(20.9.2)
где bi, ..., Ьц — ребра, ограничивающие элементарную ячейку ре-
шетки р. Для анализа предельного перехода к бесконечному объ-
ему использовались кластерные разложения. Для калибровочных
теорий с группой G = Z2 справедлива теорема Ли — Янга [Dun-
lop, 1981]. Фазовые переходы в калибровочной Z2-Teopnn исследо-
вались в работе [Balian, Drouffe, Itzykson, 1975]. По поводу ка-
либровочных теорий с группой Zn см. [Greutz, Jacobs, Rebbi, 1979],
[Drouffe, 1980] и [Greutz, 1980а]. Неабелевы модели рассмотрены
в работах [Мигдал, 1976], [Kadanoff, 1977], [’t Hooft, 1978, 1980,
1981], [Glimm, Jaffe, 1979], [Greutz, 1980b], [Frohlich, 1980—1981],
[Itzykson, 1980], [Mack, 1980], [Wilson, 1980], [Seiler, 1981].
Предел решеточной модели при переходе к непрерывному про-
странству изучался только в размерности d = 2. Соответствую-
щая чистая калибровочная теория тривиальна, а модель Хиггса с
калибровочной группой 17(1) и действием
= 4IIFII2 + 4 И D4> Н2 + 4 Н (I ФI2 - 1) О2	(20.9.3)
построена в работах [Brydges, Frohlich, Seiler, 1979, 1980а,Ь].
В них проверены аксиомы Остервальдера — Шрадера для калиб-
ровочно-инвариантных величин, но никакой подробной информа-
ции о соответствующих спектрах до сих пор нет.
Поскольку ультрафиолетовое поведение калибровочных моде-
лей (особенно их перенормируемость при d 4) существенно за-
висит от калибровочной инвариантности действия, то очень важно,
чтобы ультрафиолетовое обрезание ее сохраняло. В качестве аль-
тернативы к ковариантному решеточному обрезанию калибровоч-
ных моделей по Вильсону в работе [Singer, 1977] предложена ма-
тематическая конструкция, в которой использована обычная ка-
либровочная ковариантность в непрерывном пространстве и вве-
дена калибровочно-ковариантная функция регуляризации g. Такой
подход использовался при анализе грибовской неопределенности
[Singer, 1978], состоящей в том, что, вообще говоря, определение
калибровочной меры dp вида 6.6.5 по теории возмущений может
формально оказаться неполным. В работе [Asorey, Mitter, 1981]
положено начало определению меры dp, не использующему тео-
рии возмущений: доказано существование соответствующей регу-
ляризованной меры; при регуляризации используются степени ко-
вариантного пространственного лапласиана. См. также [Narasim-
han, Ramadas, 1979].
20.10	Модель Хиггса и сверхпроводимость
В 50-е годы В. Л. Гинзбург и Л. Д. Ландау для объяснения явле-
ния сверхпроводимости в размерности d = 3 предложили рассмот-
398 Гл. 20. Дальнейшие направления
реть действие вида (20.9.3). В частности, введенное ими комплекс-
ное скалярное поле Ф в современной терминологии интерпрети-
руется как шредингерова волновая функция электронной (куперо-
вой) пары, движущейся в магнитном поле F = rotA. Это поле из-
вестно также под названием «параметра порядка» теории Гинз-
бурга — Ландау. Константа связи Z < 1 соответствует сверхпро-
водникам первого рода, а X > 1 — сверхпроводникам второго рода.
В первых магнитное поле выталкивается (эффект Мейсснера). Во
вторых оно частично проникает в сверхпроводник, причем его ве-
личина кратна основному (минимальному) потоку. Фактически
существуют классические стационарные решения уравнений дви-
жения, которые не зависят от какой-нибудь одной пространствен-
ной координаты. Эти решения описывают туннели магнитных по-
токов, причем в единицах, которые использованы в (20.9.3), для
них при целом N верно соотношение Fr/x = 2nN. С микроскопи-
ческой точки зрения обоснованием теории Гинзбурга — Ландау
служит теория Бардина — Купера — Шриффера (БКШ); см. [Ние-
Ьепег, 1979], [Fetter, Walecka, 1971].
В окрестности туннеля поведение параметра порядка Ф оказы-
вается вихревым (с центром вихря на оси туннеля), в связи с чем
туннельные потоки называют еще «вихрями». Следовательно,
Ф ~ 0 соответствует обычной области (ненулевой магнитный по-
ток), а |Ф| ~ 1—области сверхпроводимости (выталкивание по-
тока-— эффект Мейсснера). На самом деле треугольная решетка
туннелей в сверхпроводниках второго рода была предсказана Аб-
рикосовым и наблюдалась также экспериментально. Решения урав-
нений, имеющие вихревой характер, возможны потому, что в дей-
ствии (20.9.2) требуется, чтобы |Ф|-> 1 при |х|->-оо. Это приво-
дит к интерпретации вихревого числа как степени отображения
Ф/|Ф| (со значениями в S1) вне нулей функции Ф. На самом
деле гладкие вихревые решения уравнений существуют и в клас-
сическом случае характеризуются двумя масштабами длин: глуби-
ной проникновения магнитного поля (величиной, обратной массе
фотона) и корреляционной длиной вихря (величиной, обратной
массе Хиггса), см. [Jaffe, Taubes, 1980].
Изучалась также статистическая механика этих моделей в ре-
шеточном приближении; см. [Israel, Nappi, 1979а, b], [Guth, 198(5]
и [Frohlich, Spencer, 1981b], Считается, что в случае размерности
d — 2 (или при d = 3 в случае решения, не зависящего от одной
координаты) для действия (20.9.2) в квантовой теории поля
<ф> = 0 (т. е. нет нарушения симметрии), но проявляются оба
классических масштаба длины (применительно к квантовым по-
правкам); см. [Callen, Dashen, Gross, 1977] и [Coleman, 1977].
«Механизм Хиггса» не понят пока на математическом уровне.
В размерности d 3 в теории поля ожидается, что образование
массы должно сопровождаться нарушением симметрии, <ф> #= 0.
Литература')
1 Abers, Е. and Lee, В. W. (1973), Gauge theories, Phys. Rept. 9C, 1-141.
Abraham, D. (1978). n-point functions for the rectangular Ising ferromagnet,
Comm. Math. Phys. 60, 205-213.
Agmon, S. (1965). Lectures on Elliptic Boundary Value Problems, Princeton: Van
Nostrand.
Aguilar, J. and Combes, J. M. (1971). A class of analytic perturbations for one-body
Schrodinger Hamiltonians, Comm. Math. Phys. 22, 269-279.
Aizenman, M., Goldstein, S. and Lebowitz, j. L. (1978). Conditional equilibrium
and the equivalence of microcanonical and grandcanonical ensembles in the
thermodynamic limit, Comm. Math. Phys. 62, 279-302.
Aizenman, M. and Simon, B. (1980). Local Ward identities and the decay of
correlations in ferromagnets, Comm. Math. Phys. 77; 137-144.
Albeverio, S, Gallavotti, G. and Hoegh-Krohn, R. (1979a). Some results for expon-
ential interaction in two or more dimensions, Comm. Math. Phys. 70,187-192.
Albeverio, S. and Hoegh-Krohn, R. (1973). Uniqueness of the physical vacuum and
the Wightman functions in the infinite volume, limit for some nonpolynomial
interactions, Comm. Math. Phys. 30, 171-200.
Albeverio, S. and Hoegh-Krohn, R. (1979). Uniqueness and the global Markov
property for Euclidean fields.. The case of trigonometric interactions, Comm.
Math. Phys. 68, 95-128.
de Alfaro, V., Fubini, S. and Furlan, G.’ (1976). A new classical solution of the
Yang-Mills field equations, Phys. Lett. В 65, 163-166.
Araki, H. (1960). Hamiltonian formalism and the canonical commutation relations
in quantum field theory, J. Math. Rhys. 1, 492-504,
*) Цифровыми индексами отмечены работы, вышедшие на русском языке или
в русском переводе, которые входят под соответствующим номером в отдельный
список, приведенный далее.
400 Литература
Araki, Н. (1963). A lattice of Von Neumann algebras associated with the quantum
theory of a free Bose field, J. Math. Phys. 4, 1343-1362.
Araki, H. (1964a). On the algebra of all local observables. Prog. Theor. Phys. 32,
844-854.
Araki, H. (1964b). The type of Von Neumann algebra associated with the free field.
Prog. Theor. Phys. 32, 956-965.
Araki, H. (1964c). Von Neumann algebras of local observables for free scalar field,
J. Math. Phys. 5, 1-13.
Araki, H. ed. (1975). Mathematical Problems in Theoretical Physics, (Kyoto, 1975),
New York: Springer-Verlag.
Asano, T. (1970a). Lee-Yang theorem and the Griffiths inequality for the anisotro-
pic Heisenberg ferromagnet, Phys. Rev. Lett. 24, 1409-1411.
Asano, T. (1970b). Theorems on the partition functions of the Heisenberg ferromag-
nets, J. Phys. Soc. Jap. 29, 350-359.
^Ashcroft, N. and Mermin, D. (1976). Solid State Physics, New York: Holt, Rinehart
and Winston.
Asorey, M. and Mitter, P. K. (1981). Regularized, continuum Yang-Mills process
and Feynman-Kac functional integral, Comm. Math. Phys., to appear.
Atiyah, M. F., Drinfeld, V. G., Hitchin, N. J. and Manin, Yu. I. (1978). Construction
of instantons, Phys. Lett. 65A, 185-187.
Atiyah, M. F„ Hitchin, N. J. and Singer, I. M. (1978). Self-duality in four-
dimensional Riemannian geometry. Proc. Roy. Soc. London Series A 362,
421-457.
Baker, G. (1975). Self-interacting boson quantum field theory and the thermodyna-
mic limit in d dimensions, J. Math. Phys. 16, 1324-1346.
Baker, G. (1977). Analysis of hyperscaling in the Ising model by the high-
temperature series method, Phys. Rev. B15, 1553-1559.
Baker, G. and Kincaid, J. M. (1981). The continuous-spin Ising model, до'-Ф*'-г field
theory, and the renormalization group, J. Stat. Phys. 24, 469-528.
Balaban, T. and Gawedzki, K. (1981). A low temperature expansion for the pseudo-
scalar Yukawa model of quantum fields in two space-time dimensions, Ann.
ГI nst. Henri Poincare, to appear.
Balian, R., Drouffe, J. and Itzykson, C. (1975). Gauge fields on a lattice I, II, III.
Phys. Rev. D 10, 3376-3395; D 11, 2008-2013; D 11, 2104-2119.
Balslev, E. and Combes, J. M. (1971). Spectral properties of many-body Schrodin-
ger operators with dilation analytic interactions, Comm. Math. Phys. 22,
280-294.
Battle, G. A. and Rosen, L. (1980). The FKG inequality for the Yukawa? quantum
field theory, J. Stat. Phys. 22, 123-192.
Baumel, R. T. (1979). On spontaneously broken symmetry in the Р(ф)г model
quantum field theory, Princeton University Thesis.
Baym, G. (1969). Lectures on Quantum Mechanics, New York: Benjamin.
Becchi, C„ Rouet, A. and Stora, R. (1975). Renormalization of the abelian Higgs-
Kibble model, Comm. Math. Phys. 42, 127-161»
Литература 401
Becchi, С., Rouet, A. and Stora, R. (1976). Renormalization of guage theories, Ann.
Phys. 98, 287-321.
Belavin, A. A., Polyakov, A. M., Schwartz, A. S. and Tyupkin, Yu. S. (1975)
Pseudoparticle solutions of the Yang-Mills equations, Phys. Lett. B59,
‘85-87.	'
Bellisard, J., Frohlich, J. and Gidas, B. (1978). Soliton mass and surface tension in
the (2^>4)2 quantum field theory,.Comm. Math. Phys. 60, 37-72.
Bender, C., Cooper, F., Guralnik, G., Roskies, R. and Sharp, D. (1981). Numerical
computation of the renormalized effective potential in the strong coupling limit.
Phys. Rev. D, to appear.
Bender, С. M. and Wu, T. T. (1969). Anharmonic oscillator, Phys. Rev. 184,
1231-1260.
Benfatto, G., Cassandro, M., Gallavotti, G., Nicolo, F., Oliveri, E., Presutti, E. and
Scacciatelli, E. (1978). Some probabilistic techniques in field theory. Comm.
Math. Phys. 59, 143-166.
Benfatto, G., Cassandro, M., Gallavotti, G., Nicol6, F., Olivieri, E., Presutti, E. and
Scacciatelli, E. (1980). On the ultraviolet stability in the Euclidean scalar field
theories, Comm. Math. Phys. 71, 95-130,
Benfatto, G., Gallavotti, G. and Nicolo, F. (1980). Elliptic equations and Gaussian
processes, J. Fund. Anal. 36, 343-400.
3 Berezin, F. A. (1966). The Method of Second Quantization, New York: Academic
Press.
♦Berezinskii, V. L. (1971). Destruction of long-range order in one-dimensional and
two-dimensional systems having a continuous symmetry group. I. Classical
systems, Soviet Phys. JETP 32, 493-500.
®Bers, L, John, F. and Schechter, M. (1964). Partial Differential Equations, New
York: Interscience Publishers,
Bisognano, J. and Wichmann, E. (1975). On the duality condition for a Hermitean
scalar field, J. Math. Phys. 16, 985-1007.
•Bjorken, J. and Drell, S. (1964). Relativistic quantum mechanics, New York:
McGraw-Hill.
3Bjorken, J. and Drell, S. (1965). Relativistic' quantum fields. New York:
McGraw-Hill.
Bleher, P. M. and Sinai, Ya. G. (1973). Investigation of the critical point in models
of the type of Dyson’s hierarchical models. Comm. Math. Phys. 33, 23-42.
Bleher, P. M. and Sinai, Ya. G. (1975). Critical indices for Dyson’s asymptotically
hierarchical models, Comm. Math. Phys. 45, 247-278.
*Bogoliubov, N N., Logunov, A. A. and Todorov, R. T (1975). Introduction to
Axiomatic-Quantum Field Theory, Reading: Benjamin, Translation and revi-
sion of original publication in11969.
Bogoliubov, N. N. and Parasiuk, O. S. (1957). tiber die Multiplikation der Kausal-
funktionen in der Quantentheorie der Felder, Acta Math. 97, 227-266.
7Bogoliubov, N. N. and Shirkov, D. V. (1959). Introduction to' the Theory of
Quantized Fields, New York: Interscience..
402 Литература
Borchers, Н. J. (1962). On structure of the algebra of field operators, Nuovo
Cimento 24, 214-236.
Borchers, H. J. (1966). Energy and momentum as observables in quantum field
theory. Comm. Math. Phys. 2, 49-54.
Borchers, H. J. and Yngvason, J. (1976). Necessary and sufficient conditions for
integral representations of Wightman functionals at Schwinger points, Comm.
Math. Phys. 47, 197-213.
Bratteli, O. (1972). Conservation of estimates in quantum field, theory, Comm. Pure
and A ppi. Math. 25, 759-779.
Bratteli, O. and Robinson, D. W. (1981). Operator algebras and quantum statistical
mechanics II. Equilibrium States.' Models in Quantum Statistical Mechanics,
New York: Springer Verlag.
Bricmont, J. (1976). Correlation inequalities for two-component fields, Ann. Soc. Sr.
Brussels 90, 245-252.
Bricmont, J., Fontaine, J. R. and Landau, L. J. (1977). On the uniqueness of the
equilibrium state for plane rotators, Comm. Math. Phys. 56, 281-296.
Bricmont, J., Fontaine, J. R. and Landau, L. J. (1979). Absence of symmetry break-
down and uniqueness of the vacuum for multicomponent field theories, Comm.
Math. Phys. 64, 49-72.
Bricmont, J., Fontaine, J. R., Lebowitz, J. L. and Spencer, T. (1980-1). Lattice systems
with a continuous symmetry. I, П, Comm. Math. Phys. 78, 281-302; 363-372.
Bricmont, J, Fontaine, J. R., Lebowitz, J. L., Lieb, E. and Spencer, T. (1981). Lattice
systems with a continuous symmetry JII. Comm. Math. Phys. IS, 545-566.
Bricmont, J. Lebowitz, J. L. and Pfister, C. (1979). On the equivalence of boundary
conditions, J. Stat. Phys. 21, 573-582.
Bricmont, J., Lebowitz, J. L. and Pfister, С. E. (1980). Low temperature expansion
for continuous spin-Ising models. Comm. Math. Phys. 78, 117-136.
Bros, J. (1970). Some analyticity properties implied by the two particle structure of
Green’s functions in general quantum field theory In: Analytic Methods in
Mathematical Physics. R. Gilbert and R. Newton, eds., New York: Gordon and
Breach.
Bros, J, Epstein, H. and Glaser, V. (1967). On the connection between analyticity
and Lorentz covariance of Wightman functions, Cottint. Math. Phys. 6, 77-100.
Bros, J. and lagolnitzer, D. (1973). Causality and local analyticity: mathematical
study, Ann. Flnst. Henri Poincare 18, 147-184.
Bros, J. and LaSalle, M. (1977). Analyticity properties and many body structure in
general quantum field theory. Ill, Comm. Math. Phys. 54; 33-62.
Brydges, D, (1975). Boundedness below for fermion model theories. I, J. Math.
Phys. 16, 1649-1661.
Brydges. D. (1976a). Cluster expansions for fermion fields by the time-dependent
Hamiltonian approach, J. Math. Phys. 17, 1118-1124.
Brydges. D. C. (1976b). Boundedness below for fermion model theories. Part IL
The linear lower bound. Comm. Math. Phys. 47, 1-24.
Brydges, D. (1978). A rigorous approach to Debye screening in dilute classical
Coulomb systems. Comm. Math. Phys. 58, 313-350.
Литература 408
Brydges, D. and Fedcrbush, P (1974). A semi-Euclidean approach to boson-
fermion model theories, J. Math. Phys. 15, 730 732.
Brydges, D. and Fcderbush, P. (1976). The cluster expansion in statistical
mechanics, Comm. Math. Phys. 49, 233-246.
Brydges, D. and Federbush, P. (1977). The cluster expansion for potentials with
exponential fall-off. Comm. Math. Phys. 53, 19-30.
Brydges, D. and Federbush, P. (1978a). A lower bound for the mass of a random
Gaussian lattice. Comm. Math. Phys. 62, 79-82.
Brydges, D. and Federbush, P. (1978b). A new form of the Mayer expansion in
classical statistical mechanics, J. Math. Phys. 19, 2064-2067.
Brydges, D. and Federbush, P. (1980). Debye screening. Comm. Math. Phys. 73,
197-246..
Brydges, D. and Federbush, P. (1981). Debye screening In classical Coulomb
systems. In: 1980 Erice summer school lectures, G. Velo and A. Wightman, eds.
To appear.
Brydges, D., Frbhlich. J. and Seiler, E.(1979). On fhe construction of quantized
gauge fields, I. General results, Ann. Phys. 121, 227-284.
Brydges, D., Frohlich, J. and Seiler, E. (1980). Construction of quantized guage
fields. 11. Convergence of the lattice approximation. Comm. Math. Phis. 71,
'159-205.
Brydges, D., Frohlich, J. and Seiler, E. (1981). On the construction of quantized
gauge theories III, Comm. Math. Phys., 79, 353 399.
Buchholz, D. and Fredenhagen, K. (1980). Clustering, charge-screening and the
mass-spectrum in local quantum field theory In: Mathematical Problems in
Theoretical Physics'K. Osterwalder, ed., Berlin: Springer-Verlag.
Buchvostov. A. P. and. Lipatov, L. N. (1977). High orders of the perturbation
theory in scalar electrodynamics, Phys. Lett. В 70, 48-50.
Burnap, C. (1976). The particle structure, of Boson quantum field theory model»,
Harvard University Thesis.
Burnap, C. (1977). Isolated one particle states in boson quantum field theory
models, Ann. Phys. 104, 184-196.
Gaginalp, G. (1980a). The ф* lattice field theory as an asymptotic expansion about
the Ising limit, Ann. Phys. 124, 189-207.
Caginalp, G. (1980b). Thermodynamic properties of the ^>4 lattice field theory near
the Ising limit, Ann. Phys., 126, 500-511.
Callen, C., Dashen, R. and Gross, D. (1977). A mechanism for quark confinement,
Phys. Lett., В 66, 375-381.
Camp, W. J., Saul, D. M„ Van Dyke, J. P. and Wortis, M. (1976). Series analysis of
corrections to scaling for the spin-pair correlations of the spin-s Ising modelt
Confluent singularities, universality, and hyperscaling, Phys. Rev. B14,
3990-4001.
Cannon, J. (1974). Continuous sample paths in quantum field theory. Comm. Math.
Phys. 35, 215-234.
Cannon, J. and Jaffe, A. (1970). Lorentz covariance of the 2(^>4)2 quantum field
theory. Comm. Math. Phys.-П, 261-321.
404 Литература
Cartier, Р. (1974). Unpubished.
Chiu, S. T. and Weeks, J. D. (1978). Dynamics of the roughening transition, Phys.
Rev. Lett. 40, 733-736.
Chretien, M. and Deser, S., eds. (1966). Particle Symmetries anil Axiomatic Field
Theory, (Brandeis, 1965), New York: Gordon and Breach.
Coleman, S. (1972). Scaling anomalies In: Developments in High Energy Physics R.
Gatto, ed.. New York: Academic Press.
Coleman, S. (1973a). There are no Goldstone bosons in two dimensions, Comm.
Math. Phys. 31, 259-264.
Coleman, S. (1973b). Dilations In- Properties of the Fundamental Interactions A.
Zichichi, ed., Bologna: Bologna Press.
Coleman, S. (1975a). Quantum Sine-Gordon equation as the massive Thirring
model, Phys. Rev. D 11, 2088-2097.
3/ Coleman. S. (1975b). Secret symmetry: an introduction to spontaneous symmetry
breakdown and gauge fields In: Laws of Hadronic Matter A. Zichichi, ed.. New
York: Academic Press.
Coleman, S. (1977). Classical lumps and their quantum descendants In: New Phen-
omena in Suhnuclear Physics, A.. Zichichi, ed.. New York: Plenum Press.
Coleman, S. (1979). The uses of instantons In: The И hys of Subnuclear Physics A.
Zichichi, ed., New York: Plenum Press.
Collett, P. and Eckmann, J.-P. (1978). A Renormalization Group Analysis of the
Hierarchical Model in Statistical Mechanics, New York: Springer-Verlag.
Combes, J. M., Schrader, R. and Seiler, R. (1978). Classical bounds and limits for
energy distributions of Hamiltonian operators in electromagnetic fields, Ann.
Phys. Ill, 1-18.
Combescure, M. and Dunlop, F. (1979). N-particle-irreducible functions in
Euclidean quantum field theory, Ann. Phys. 122, 102-150.
Constantinescu, F. (1977). Nontriviality of the scattering matrix for weakly coupled
03 models, Ann. Phys. 108, 37-48.
Constantinescu, F. (1980) Expansion of the double-well model near the Ising model,
'Institut fur angewandte Mathematik Johann Wolfgang Goethe Universitat
Preprint.
Constantinescu, F. and Stroter, B. (1980). The Ising limit of the double-well model,
J. Math. Phys. 21, 881-890.
Cooper, A. and Rosen, L. (1977). The weakly coupled Yukawa2 field theory:
Cluster expansion and Wightman axioms, Trans. Amer. Math. Soc. 234, 1-88.
Creutz, M. (1980a). Phase diagram for coupled spin gauge theories, Phys. Rev. D21,
1006-1012.
Creutz, M. (1980b). Monte Carlo study of quantized SU(2) gauge theory, Phys. Rer.
D 21, 2308-2315.
Creutz, M., Jacobs, L. and Rebbi, C. (1979). Monte Carlo study of abelian lattice
gauge theories, Phys. Rev. D 20, 1915-1922.
Dashen, R., Hasslacher, B. and Neveu, A. (1974). Nonperturbative methods
and extended hadron models in field theory, I, 11, 111, Phys. Rev. D10,
4114-4141.
Литература 405
Dashen, R., Hasslacher, В. and Neveu, A. (1975). Particle spectrunf in model field
theories from semiclassical functional integral techniques, Phys. Rei'. Dll,
3424-3450.
De Angelis, G. F. and de Falco, D. (1977). Correlation inequalities for lattice
gauge fields, Lett. Nuoro Cimento 18, 536-538.
De Angelis, G. E., de Falco, D. and Guerra, F. (1977a). Scalar quantum electro-
dynamics on the lattice as classical statistical mechanics. Comm.. Math. Phys.
57, 201-212.
De Angelis, G. E., de Falco, D. and Guerra, F. (1977b). Lattice gauge models in the
strong coupling regime, Lett. Nuoro Cimento 19, 55-58.
DeDominicis, C. and Martin, P. (1964). Stationary entropy principle and renorma-
lization in normal and superfluid systems I, II. J. Math. Phys. 5, 14-30, 31-59.
Dell’Antonio, G., Doplicher, S. and Jona-Lasinio, G. (1978). Mathematical problems
in theoretical physics, (Rome, 1977), New York: Springer-Verlag.
DeWitt, C. and Stora, R., eds. (1971). Statistical Mechanics and Quantum Field
Theory, (Les Houches, 1970), New York: Gordon and Breach.
Dimock, J. (1972a). Estimates, renormalized currents and field equations for the
Yukawa field theory, Ann. Phys. 72, 177 242.
Dimock, J. (1972b). Spectrum of local Hamiltonians in the Yukuwa field theory, J.
Math. Phys. 13, 477-481.
Dimock, J. (1974). Asymptotic perturbation expansion in the P(</>)2 quantum field
theory. Comm, Math. Phys. 35, 347-356.
Dimock, J. (1976). The Р(ф)2 Green’s functions: asymptotic perturbation expan-
sion, Heir. Phys. Acta 49, 199-216.
Dimock, J. (1977). The non-relativistic limit of Р(ф)2 quantum field theories: Two
particle phenomena, Comm. Math. Phys. 57, 51-66.
Dimock, J. (1980). Algebras of local observables on a manifold, Comm. Math. Phys.
77, 219-228.
Dimock, J. and Eckmann, J.-P. (1976). On the bound state in weakly coupled
}.(ф6 — фл)2, Comm. Math. Phys. 51, 41-54.
Dimock, J. and Eckmann, J.-P. (1977). Spectral properties and bound state scatter-
ing for weakly coupled Р(ф)2 models, Ann. Phys. 103, 289-314.
Dimock, J. and Glimm, J. (1974). Measures on Schwarz distribution space and
applications to Р(Ф)2 field theories, Adv. Math. 12, 58-83.
Dixmier, J. (1957). Les Algebres d'Operateurs dans fEspace Hilbertien (Algebres de
ton Neumann), Paris: Gauthiers-Villars.
29Dobrushin, R. L. (1965). Existence of a phase transition in the two-dimensional and
three-dimensional Ising models, Soviet Phys. Doklady 10, 111-113.
Dobrushin, R. L. (1979). Talk presented at the Conference on Random Fields,
Esztergom, Hungary.
*0 Dobrushin, R. L. and Minlos, R. (1973). Construction of one dimensional quantum
field via a continuous Markov field, Fund. Anal. Appl. 7, 324-325.
Dobrushin, R. L. and Shlosman, S. B. (1975). Absence of breakdown of continuous
symmetry in two dimensional models of statistical physics, Comm. Math. Phys.
42, 31-40.
406 Литература
Domb, С. and Green, M. (19.72- ). Phase Transitions and Critical Phenomena, VoL
1-6, New York: Academic Press.
Donald, M. (1981). The classical field limit of Р(ф)2 quantum field theory, Comm.
Math. Phys., to appear.
Doplicher, S., Haag, R. and Roberts, J. (1969). Fields, observables, and gauge
transformations. I, II, Comm. Math. Phys. 13, 1*23; 15, 173-200.
Doplicher, S., Haag, R. and Roberts, J. (1971). Local observables and particle
statistics. I, Comm. Math. Phys. 23, 199-230.
Doplicher, S„ Haag, R. and Roberts, J. (1974). Local observables and particle
statistics. II, Comm. Math. Phys. 35, 49-85.
Doplicher, S., Kadison, R. V, Kastler, D. and Robinson, D. W. (1967). Asympto-
tically abelian systems, Comm. Math. Phys. 6, 101-120.
Drechsler, W. and Mayer, M. E. (1977). Fibre Bundle Techniques in Gauge Theories:
Lectures in Mathematical Physics at the University of Texas at Austin, New
York: Springer-Verlag.
Driessler, W. (1977). On the type of local algebras in quantum field theory, Conun.
Math. Phys. 53, 295-297
Driessler, W. (1979). Duality and absence of locally generated superselection sectors
for CCR-type algebras, Comm. Math. Phys. 70, 213-220.
Driessler, W. and Frohlich, J. (1977). The reconstruction of local observable
algebras from the Euclidean Green’s functions of relativistic quantum field
theory, Ann. I'Inst. Henri Poincare 27, 221-236.
Drinfeld, V. G. and Manin, Yu. I. (1978). A description of instantons, Comm. Math.
Phys. 63, 177-192.
Drouffe, J. M. (1980). Series analysis in four-dimensional Z„ lattice guage systems,
Nucl. Phys. В 17O[FS1], 91-97.
Duneau, M., lagolnitzer, D. and Souillard, B. (1973). Properties of truncated cor-
relation functions and analyticity properties for classical lattices and contin-
uous systems, Comm. Math. Phys. 31, 191-208.
Duneau, M., lagolnitzer, D. and Souillard, B. (1974). Strong cluster properties for
classical systems with finite range .interaction, Comm. Math. Phys. 35,
307-320.
31 Duneau, M., lagolnitzer, D. and Souillard, B. (1975). Decay of correlations for
infinite-range interactions, J. Math. Phys. 16,.1662-1666.
Dunlop, F. (1976). Correlation inequalities for multicomponent rotators, Comm.
Math. Phys. 49, 247-256.
Dunlop, F. (1977). Zeros of partition functions via correlation inequalities, J. Stat.
Phys. 17, 215-228.
Dunlop, F. (1979a). Analyticity of the pressure for Heisenberg and plane rotator
models, Comm. Math. Phys. 69, 81-88.
Dunlop, F. (1979b). Zeros of the partition function and Gaussian inequalities for
the plane rotator model, J. Stat. Phys. 21, 561-572.
Dunlop, F. (1981). Zeros of the partition function for some generalized Ising
models, To be published in: Rigorous Results in Statistical Mechanics and Quan-
tum Field Theory. J. Fritz and D. Szasz, eds.
Литература 407
26	Dunlop, F. and Newman, C. (1975). Multicomponent field theories and classical
rotators. Comm. Math. Phys. 44, 223-235.
Durhuus, B. and Frbhlich, J. (1980). A connection between v-dimensional Yang-
Mills theory and (v — l)-dimensional, non-linear rr-models, Comm. Math. Phys.
75, 103-1'53.
ы Dyson; F. (1969a). Existence of a phase transition in a.one-dimensional Ising ferro-
magnet, Comm. Math. Phys. 12, 91-107.
25	Dyson, F. J. (1969b). Nonexistence of spontaneous magnetization in a one-
dimensional Ising ferromagnet, Comm. Math. Phys. 12, 212-215.
26Dyson, F. J. (1971). An Ising ferromagnet with discontinuous long-range order.
Comm. Math. Phys. 21, 269-283.
Dyson, F. and Lenard, A. (1967-8). Stability of matter I, II, J. Math. Phys. 8,
423-434; 9, 698-711.
Dyson, F., Lieb, E. H. and Simon, B. (1978). Phase transitions in quantum spin
systems with isotropic and nonisotropic interactions, J. Stat. Phys. 18, 335-383.
Eckmann, J.-P. ‘(1970). A model with persistent vacuum, Comm. Math. Phys. 18,
247-264.
Eckmann, J.-P. (1972). Representation of the CCR in the (04)3 model: indepen-
dence of space cut-off. Comm. Math. Phys. 25, 1-61.
Eckmann, J.-P. (1977). Remarks on the classical limit of quantum field theories,
Lett. Math. Phys. 1, 387-394.
Eckmann, J.-P. and Epstein, H. (1979a). Time-ordered products and Schwinger
functions, Comm. Math. Phys. 64, 95-130.
Eckmann, J.-P. and Epstein, H. (1979b). Borel summability of the mass and the
S-matrix in </>4 models, Comm. Math. Phys. 68, 245-258.
Eckmann, J.-P., Epstein, H. and Frohlich, J. (1976). Asymptotic perturbation ex-
pansion for the S-matrix and the definition of time ordered functions in relati-
vistic quantum field models, Ann. Г Inst. Henri Poincare 25, 1-34.
Eckmann, J.-P., Magnen, J. and Seneor, R. (1975). Decay properties and Borel
summability for the Schwinger functions in Р(ф)2 theories, Comm. Math. Phys.
39, 251-271.
Eckmann, J.-P. and Osterwalder, K. (1971). On the uniqueness of the Hamiltonian
and of the representation of the CCR for the quartic boson interaction in three
dimensions, Heir. Phys. Acta 44, 884-909.
Eckmann, J.-P. and Osterwalder, K. (1973). On application of Tomita’s theory of
modular Hilbert algebras: Duality for free bose fields, J. Fund. Anal. 13, 1-12.
Edwards, S. F. (1959). The statistical thermodynamics of a gas with long and
short-range forces, Phil. Mag. 4, 1171-1182.
Edwards, S. F. and Lenard, A. (1962). Exact statistical mechanics of a one-
dimensional system with Coulomb forces. II. The method of functional integra-
tion, J. Math. Phys. 3, 778-792.
Ellis, R. S., Monroe, J. L. and Newman, C. (1976). The GHS and other correlation
inequalities for a class of even ferromagnets, Comm. Math. Phys. 46, 167-182.
Ellis, R. S. and Newman, C. (1976). Quantum mechanical soft springs and reverse
correlation inequalities, J. Math. Phys. 17, 1682-1683.
408 Литература
Ellis, R. S. and Newman, C. (1978). Necessary and sufficient conditions for the
GHS inequality with applications to analysis and probability, Trans. Amer.
Math. Soc. 237, 83 99.
Enss, V. (1978). Asymptotic completeness for quantum mechanical potential scat-
tering, Comm. Math. Phys. 61, 258-291.
®2 Epstein, H. (1966). Some analytic properties of scattering amplitudes In: Axiomatic
Field Theory M. Chretien and S. Deser, eds., New York: Gordon and Breach.
Epstein, H. and Glaser. V. (1972). Renormalization of non polynomial Lagrangians
in Jaffe’s class, Comm. Math. Phys. 27, 181-194.
Epstein, H. and Glaser, V. (1973). The role of locality in perturbation theory, Ann.
rinst. Henri Poincare 19, 211-295.
Epstein, H. and Glaser, V. (1976). Adiabatic limit in perturbation theory In: Renor-
malization Theory G. Velo, A. S. Wightman, eds., Dordrecht: D. Reidel.
Epstein, H., Glaser, V. and Jaffe, A. (1965). Nonpositivity of the energy density in
quantized field theories, Nuoro Cimento, 36, 1016-1022.
Erdelyi, A., Magnus, W., Oberhettinger, F. and Tricomi, F. G. (1953). Higher Tran-
scendal Functions, Vol. I, II, III, New York: McGraw-Hill.
Ezawa, H. and Swieca, J. A. (1967). Spontaneous breakdown of symmetries and
Zero-mass states, Comm. Math. Phys. 5. 330-336.
Fabrey, J. (1970). Exponerttial representations of the canonical commutation rela-
tions, Comm. Math. Phys. 19, 1-30.
Faddeev, L. D. and Slavriov, A. A. (1980). Gauge fields: introduction to quantum
Scattering Theory, Moscow: Works of the Steklov Mathematical Institute, vol.
69..
Faddeev, L. D. and Slavnov, A. A. (1980). Gauge fields: introduction to quantum
theory, Reading, Mass.: Benjamin/Cummings Publishing Co.
Faris, W. and Lavine, R. (1974). Commutators and self-adjointness of Hamiltonian
operators, Comm. Math. Phys. 35, 39-48.
Federbush, P. (1969). A partially alternative derivation of a result of Nelson, J.
Math. Phys. 10, 50-52.
Federbush, P. (1971a). Renormalization of some one-space dimensional quantum
field theories by unitary transformation, Ann. Phys. 68, 94-97.
Federbush, P. (1971b). Unitary renormalization of [04]2 +1. Comm. Math. Phys. 21,
261-268.
Federbush, P. (1973). Positivity for some generalized Yukawa models in one space
dimension, J. Math. Phys. 14, 1532-1542.
Federbush, P. (1975). A new approach to the stability of matter problem. I, II, J.
Math. Phys. 16, 347-351; 16, 706-709.
Federbush, P. (1976). The semi-Euclidean approach in statistical mechanics. I, II,
J. Math. Phys. 17, 200-203; 204-207.
Federbush, P. (1981). A zero mass cluster expansion, Comm. Math. Phys., to appear.
Federbush, P. and Gidas, B. (1971). Renormalization of the one-space dimensional
Yukawa2 model by unitary transformation, Ann. Phys. 68, 98-101.
Литература 409
Feldman, J. (1973). A relativistic Feynman-Kac formula. Nuclear Physics В 52,
608-614.
Feldman, J. (1974a). On the absence of bound states in the ).ф2 quantum field
model without symmetry breaking, Canad. Jour. Phys. 52, 1583-1587.
Feldman, J. (1974b). The Афз field theory in a finite volume. Comm. Math. Phys. 37,
93-120.
Feldman, J. and Osterwalder, K. (1976). The Wightman axioms and the mass
gap for weakly coupled (</>4)з quantum field theories, Ann. of Phys. 97,
80-135.
Feldman, J. and Raczka, R. (1977). The relativistic field equations of the лф*
quantum field theory, Ann. Phys. 10, 212-229.
Fetter, A. and Walecka, J. (1971). Quantum Theory of Many-Particle Systems, New
York: McGraw-Hill.
74 Feynman, R. P. and Hibbs, A: P. (1965). Quantum Mechanics and Path Integrals,
New York: McGraw-Hill.
Fisher, M. (1969). Rigorous inequalities for critical point correlation exponents,
Phys. Rev. 180, 594-600.
Fortuin, C., Kastelyn, P. and Ginibre, J. (1971). Correlation inequalities on some
partially ordered sets, Comm. Math. Phys.,22, 89-103.
Fredenhagen, K. (1981). On the existence of antiparticles. Comm. Math. Phys. 79,
141-15.1.
Friedman, H. (1962). Ionic Solution Theory Based on Cluster Expansion Methods,
New York: Interscience.
•77 Friedrichs, K. (1965). Perturbation of Spectra in Hilbert Space, Providence: Ameri-
can Mathematical Society.
Frohlich, J. (1973). On the infrared problem in a model of scalar electrons and
massless, scalar bosons, Алл. Ilnst. Henri Poincare A19, 100-103.
Frohlich, J. (1974a). Verification of axioms for Euclidean and relativistic fields and
Haag’s theorem in a class of Р(ф)2 models, Ann. Ilnst. H. Poincare 21,
271-317.
Frbhlich, J. (1974b). Schwinger functions and their generating functionals, I. Help.
Phys. Acta 47, 265-306.
Frbhlich, J. (1975a). The quantized “Sine-Gordon” equation with a non-vanishing
mass term in two space-time dimensions, Phys. Rev. Lett. 34, 833-836.
Frbhlich, J. (1975b). The reconstruction of quantum fields from Euclidean Green’s
functions at arbitrary temperatures in models of a self-interacting Bose field in
two space-time dimension,.Helv. Phys. Acta 48, 355-363.
75 Frbhlich, J. (1976a). Classical and quantum statistical mechanics in one and twp
dimensions: Two component Yukawa and Coulomb systems, Comm. Math.
Phys. 47, 233-268.
Frbhlich, J. (1976b). New super selection sectors (soliton-states) in two dimensional
Bose quantum field models, Comm. Math. Phys. 47, 269-310.
Frbhlich, J, (1976c). Phase transitions, Goldstone Boson, and topological super-
selection rules, Acta. Phys. Austriaca, Suppl. XV, 133-269.
410 Литература
Frohlich, J. (1976d). The pure phases, the irreducible quantum fields, and dynami-
cal symmetry breaking in Symanzik-Nelson quantum field theories, Ann. Phys.
97, 1-54.
Frohlich, J. (1977a). Application of commutator theorems to the integration of
representations of Lie algebras and commutation relations. Comm. Math. Phys.
54, 135-150.
Frohlich, J. (1977b). Schwinger functions and their generating functionals. П. Mar-
kovian and generalized path space measures on L', zldr. Math. 23, 119-180.
Frohlich, J. (1979). The charged sectors of quantum electrodynamics in a frame-
work of local observables. Comm. Math. Phys. 66, 223-265.
Frohlich, J. (1980). Some results and comments on quantized gauge fields In:
Recent Developments in Gauge Theories (Cargese, 1979). G. ‘tHooft et al eds.,
New York: Plenum Press.
Frohlich, J, (1981). Some comments on the crossover between strong and weak
coupling in SU(2) pure Yang-Mills theory. In: Proceedings of Les Houches
workshop “Common Trends in Particle and Condensed Matter Physics” Feb.
18-29, 1980. To appear.
Frohlich, J., Israel, R., Lieb, E. and Simon, B. (1978). Phase transitions and
reflection positivity, I. General theory and long-range lattice models, Comm.
Math. Phys. 62, 1-34.
Frohlich, J., Israel, R. B., Lieb, E. H. and Simon, B. (1980), Phase transitions and
reflection positivity, II. Lattice systems with short-range and Coulomb interac-
tions, J. Stat. Phys. 22, 297-347.
Frohlich, J. and Lieb, E. (1978). Phase transitions in anisotropic spin systems.
Comm. Math. Phys. 60, 233-267.
Frohlich, J., Morchio, G. and Strocchi, F. (1979a). Charged sectors and scattering
states in quantum electrodynamics, Ann. Phys. (N.Y.), 119, 241-284.
Frohlich, J., Morchio, G. and Strocchi, F. (1979b). Infrared problem and spontaneous
breaking of the Lorentz group in QED, Phys. Lett. 89B, 61-64.
Frohlich, J. and Osterwalder, K. (1974). Is there a Euclidean field theory for fer-
mions? Helv. Phys. Acta 47, 781-805.
Frohlich, J. and- Park, Y. M. (1977). Remarks on exponential interactions and the
quantum sine-Gordon equation in two space-time dimensions, Helv. Phys. Acta.
50, 315-329.
Frohlich, J. and Park, Y. M. (1978). Correlation inequalities and thermodynamic
limit for classical and quantum continuous systems, Comm. Math. Phys. 69,
235-266.
Frohlich, J. and Park, Y. M. (1980). Correlation inequalities and the thermodyna-
mic limit for classical and quantum continuous systems, II. Bose-Einstein and
Fermi-Dirac statistics, J. Stat. Phys. 23, 701-753.
Fr&hlich, J. and Seiler, E. (1976). The massive Thirring-Schwinger model (QED2)
convergence of perturbation theory and particle structure, Helv. Phys. Acta 49,
.889-924.	,	'
Frbhlich, J. and Simon, B. (1977). Pure states for general Р(ф)г theories: Construc-
tion, regularity and variational equality, Ann. Math. 105, 493-526.
Литература 41 ]
76 Frbhlich, J, Simon, В. and Spencer, T. (1976). Infrared bounds, phase transitions,
and continuous symmetry breaking. Comm. Math. Phys. 50, 79-85.
Frohlich, J. and Spencer, T. (1977). Phase transitions in statistical mechanics and
quantum field theory In: New Developments in Quantum Field Theory, M. Levy
and P. Mitter, eds.. New York: Plenum Press.
Frohlich, J. and Spencer, T. (1981a). On the statistical mechanics of classical Cou-
lomb and dipole gases, J. Stat. Phys. 24, 617-701.
Frohlich, J. and Spencer, T. (1981b). The Kosterlitz-Thouless transition in two-
dimensional abelian spin systems and the Coulomb gas, Comm. Math. Phys.,
to appear.
Frohlich, J. and Spencer, T. (1981c). Phase diagrams and critical properties of
(classical) Coulomb systems. In: Proceedings of the Erlce 1980 Summer School,
A. Wightman and G. Velo, eds. (To appear.)
Galindo, A. (1962). On a class of perturbations in quantum field theory. Proc. Nat.
Acad. Scl. (U.S.A.) 48, 1128-1134.
Gallavotti, G. and Knops, H. (1975). The hierarchical model and the renormaliza-
tion group, Rlrlsta Nuoro Cimento 5, 341-368.
Gallavotti, G. and Martin-Lbf, A. (1972). Surface tension in the Ising model, Comm.
Math. Phys. 25, 87-126.
Gallavotti, G. and Miracle-Sole, S. (1972). Equilibrium states of the Ising model in
the two phase region, Phys. Rec. 5B, 2555-2559.
Garber, W., Ruijsenaars, S„ Seiler, E. and Burns, D. (1979). On the finite action
solutions of the nonlinear rr-model. Ann. Phys. 119, 305-325.
Gawedzki, .K. (1978a). Existence of three phases for a P(</>)2 model of quantum
field. Conun. Math. Phys. 59, 117-142.
Gawedzki, K. (1978b). On confinement of fermions in strongly coupled lattice
gauge theory. Comm. Math. Phys. 63, 31-47.
Gawedzki, K. and Kupiainen, A. (1980). A rigorous block spin approach to
massless lattice theories, Comm. Math. Phys. 77, 31-64.
1M7 Gelfand, I. and Shilov, О. E. (1964-8). Generalized Functions Vols. I-III (English
Translation), New York: Academic Press.
18 Gelfand, I.'and Vilenkin, N. (1964). Generalized Functions, Vol. 4 (English Transla-
tion), New York: Academic Press.
Gidas, B. (1974a). Properties of the (<£4)r + i interaction Hamiltonian, J. Math. Phys.
15, 861-866.
Gidas, B. (1974b). On the self adjointness of the Lorentz generator for (</>?)] +1,
J. Math. Phys. 15, 867-869.
Gidas, B. (1979). The Glimm-Jaffe-Spencer expansion for the classical boundary
conditions and coexistence of phases in the 1.ф1 Euclidean (quantum) field
theory, Ann. Phys. 118, 18-83.
Ginibre, J. (1969). Existence of phase transitions for quantum lattice systems.
Comm. Math. Phys: 14, 205-234.
Ginibre, J. (1970). General formulation of Griffiths’ inequalities, Comm. Math. Phys.
16,310-328.
412 Литература
Ginibre, J. (1971). Some applications of functional integration in statistical
mechanics In: Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, C. DeWitt and
R. Stora, eds., New York: Gordon and Breach.
Ginibre, J. and Velo, G. (1979). The classical field limit of scattering theory for
non-relativistic many-Boson systems I, II, Comm. Math. Phvs. 66, 37-76; 68,
45-68.
Glaser, V. (1974). On the equivalence of the Euclidean and Wightman formulation
of field theory. Comm. Math. Phys. 37, 257-272.
Glimm, J. (1967). The Yukawa coupling of quantum fields in two dimensions. I, II,
Comm. Math. Phys. 5, 343-386; 6, 61-76.
Glimm, J. (1968a). Boson fields with non-linear self-interaction in two dimensions.
Comm. Math. Phys. 8, 12-25.
Glimm, J. (1968b). Boson fields with the ф* interaction in three dimensions. Comm.
Math. Phys. 10, 1-47.
Glimm, J..and Jaffe, A. (1968a). А А(ф*)2 quantum field theory without cutoffs. I,
Phys. Rev. 176, 1945-1951.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1968b). A Yukawa interaction in infinite volume, Comm.
Math. Phys. Il, 9-18.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1969a). An infinite renormalization of the Hamiltonian is
necessary, J. Math. Phys. 10, 2213-2214.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1969b). Singular perturbations of self-adjoint operators,
Comm. Pure A ppi. Math. 22, 401-414.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1970a). Energy-momentum spectrum and vacuum expecta-
tion values in quantum field theory, J. Math. Phys. 11, 3335-3338:
Glimm, J. and Jaffe, A. (1970b). The 2(^>4)2 quantum field theory without cutoffs. II.
.The field operators and the approximate vacuum, Ann. Math. 91, 362-401.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1970c). The 2(</>4)2 quantum field theory without cutoffs.
III. The physical vacuum, Acta Math. 125, 204-267.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1970d). Self adjointness of the Yukawa2 Hamiltonian, Ann.
Phys. 60, 321-383.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1971a). The energy-momentum spectrum and vacuum
expectation values in quantum field theory. II, Comm. Math. Phys. 22,
1-22.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1971b). Field theory models In: Statistical Mechanics and
Quantum Field Theory. C. DeWitt and R. Stora, eds., New York: Gordon and
Breach.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1971c). Positivity and self adjointness of the Р(ф)г Hamil-
tonian, Comm. Math. Phys. 22, 253-2-58.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1971d). The Yukawa2 quantum field theory without cutoffs,
J. Fund. Anal. 7, 323-357.
19 Glimm, J. and Jaffe, A. (1972a). Boson quantum field models In: Mathematics of
Contemporary Physics R. Streater, ed., New York: Academic Press.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1972b). The (Лф4)2 quantum field theory without cutoffs,
IV. Perturbations of the Hamiltonian, J. Math. Phys. 13, 1568-1584
Литература 413
•° Glimm, J. and Jaffe, A. (1973). Positivity of the ф* Hamiltonian, Fort. Phys. 21,
327-376.
Glimm, J. and Jaffe; A. (1974a). Critical point dominance in quantum field models,
Ann. llnst. Henri Poincare 21, 27-v’l.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1974b). Entropy principle for vertex functions in quantum
field models, Ann. llnst. H. Poincare 21, 1-26.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1974c). <jA quantum field model in the single phase region:
Differentiability of the mass and bounds on critical exponents, Phys. Rer. 10,
536-539.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1974d). A remark on the existence of ф%, Phys. Rer. Lett.
33,440-442. ’
Glimm, J. and Jaffe, A. (1975a). Absolute bounds on vertices and couplings, Ann.
llnst. Henri Poincare A 22, 97-107.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1975b). On the approach to the critical point, Ann. llnst.
Henri Poincare 22, 13-26..
Glimm," J. and Jaffe, A. (1975c). Three particle structure of ф* interactions and the
scaling limit, Phys. Rer. £> 11, 2816-2827.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1975d). Particles and bound states and progress toward
unitarity and scaling In: Mathematical Problems in Theoretical Physics H.
Araki, ed.. New York: Springer-Verlag.
Glimm, J. and Jaffe. A. (1975e). Two and three body equations in quantum field
models. Comm. Math. Phys. 44, 293-320.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1975f). ф> bounds in’ Р(Ф)г quantum field models Int
Mathematical Methods of Quantum Field Theory, Paris: Centre National de la
Recherche Scientifique.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1976a). Critical exponents and renormalization in the ф*
scaling limit In: Quantum Dynamics: Models and' Mathematics L. Streit, ed..
New York: Springer-Verlag.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1976b). Particles and scaling for lattice fields and Ising
models. Comm. Math. Phys. 51, 1-14.
Glimm. J. and Jaffe, A. (1977a). Critical exponents and elementary particles, Comm.
Math. Phys. 52. 203-209.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1977b). Instantons in a U(l) lattice gauge theory: A
Coulomb dipole gas. Comm. Math. Phys. 56, 195-212.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1977c). Quark trapping for U(l) lattice gauge fields, Phys.
Lett. В 66,. 67-69.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1978a). Droplet model for quark confinement, Phys. Rev.
D 18, 463-467.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1978b). Meron pairs and quark confinement, Phys. Rev.
Lett. 40, 277-282.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1978c). Multiple meron solutions of the classical Yang-
Mills equation, Phys. Lett. В 73, 167-170.
Glimm, J. and Jaffe, Д, (1979a). Changes, vortices and confinement, Nucl. Phys.
В 149, 49-60.
414 Литература
Glimm, J. and Jaffe, A. (1979b). A note on rtflection positivity, Lett. Math. Phvs. 3,
377-378.
Glimm, J. and Jaffe, A. (1979c). The resummation of one particle lines. Comm.
Math. Phys. 67,267-293.
Giimm, J. and Jaffe, A. (1980). The coupling constant in а ф4 field theory In: Recent
Developments in Gauge Theories (Cargese, 1979). G. ’t Hooft et al, eds. New
York: Plenum Press.
81 Glimm, J, Jaffe, A. and Spencer, T. (1973). The particle structure of the weakly
coupled Р(ф)г model and other applications of high temperature expansions
In: Constructive Quantum Field Theory G. Velo and A. S. Wightman, eds. New
-York: Springer-Verlag.
Glimm, J, Jaffe, A. and Spencer, T. (1974). The Wightman axioms and particle
structure in the Р(ф)1 quantum field model, Ann. Math. 100, 585-632.
*1 Giimm, J, Jaffe, A. and Spencer, T. (1975). Phase transitions for ф\ quantum fields,
Comm. Math. Phys. 45, 203-216.
81	Glimm, J, Jaffe, A. and Spencer, T. (1976a). A convergent expansion about mean
field theory. Parts I, II, Ann. Phys. 101, 610-630; 631-669.
Glimm, J, Jaffe, A. and Spencer, T. (1976b). Existence of phase transitions for
quantum fields In: Mathematical Methods of Quantum Field Theory, Paris:
Editions du Centre National de la Recherche Scientifique.
Goldstone, J. (1961). Field theories with “superconductor” solutions, Nuoro
Cimento, 19, 154-164.
Goldstone, J, Salam, A. and Weinberg, S. (1962). Broken symmetries, Phys. Rev,
127, 965-970.
Goodman, R. and Segal. I. eds. (1966). Proceedings of the Conference-on the Math,
ematical T heory of Elementary Particles (Dedham, 1965), Cambridge : MIT Press.
Graffi, S., Grecchi, V. and Simon, B. (1970). Borel summability: Application to the
harmonic oscillator,' Phys. Lett. В 32, 631-634.
Griffiths, R. B. (1964). Peierls proof of spontaneous magnetization of a two-
dimensional Ising ferromagnet, Phys. Rev. A 136, 437-439.
Griffiths, R. B. (1967). Correlation in Ising ferromagnets I, II, HI, J. Math. Phys. 8,
478-484; 484-489; Comm. Math. Phys. 6, 121-127.
Griffiths, R. B. (1969). Rigorous results for Ising ferromagnets of arbitrary spin, J.
Math. Phys. 10, 1559-1565.
Griffiths, R. B. (1970). Phase transitions In: Statistical Mechanics and. Quantum
Field Theory, C. DeWitt and R. Stora, eds., New York: Gordon and Breach. '
Griffiths, R. B., Hurst, C. A. and Sherman, S. (1970). Concavity of magnetization of
an Ising ferromagnet in a positive external field, J. Math. Phys. 11, 790-795.
Gross, L. (1972). Existence and uniqueness of physical ground states, J. Funct. Anal.
10,.52-109.
Gross, L. (1974). Analytic vectors for representations of the canonical commutation
relations and nondegeneracy'of ground states, Ji Funct. Anal. 17, 104-111.
Gross, L. (1975). Hypercontractlvity and logarithmic Sobolev inequalities fo’r the
Clifford-Dirichlet form, Duke Math. J. 42, 383-396,
Литература 41В
Gruber, С: and Kunz, Н. (1971). General properties of polymer systems, Comm.
Math. Phys. 22, 133-161.
Gruber, C., Merlini, D. and Greenberg, W. (1973). Spin^ lattice system: Duality
transformation and correlation functions, Physica, 65, 28-40.
Guerra, F. (1972). Uniqueness of the vacuum energy density and van Hove phen-
omenon in the infinite volume limit for two-dimensional self-coupled Bose
fields, Phys. Rev. Lett. 28, 1213-1215.
Guerra, F., Robinson, D. and Stora, R., eds. (1976). Les Methodes Math'ematiques
de la Theorie Quantique des Champs, (Marseille, 1976), Paris: Editions du
Centre National de la Recherche Scientifique. 
Guerra, F., Rosen, .L. and Simon, B. (1973a). Nelson’s symmetry and the infinite
volume behavior of the vacuum in Р(ф)2, Comm. Math. Phys. 27,10-22.
Guerra, F., Rosen, L. and Simon, B. (1973b). The vacuum energy for Р(ф)2: Infinite
volume limit and coupling constant dependence, Comm. Math. Ph'ys. 29,
233-247.
Guerra, F., Rosen; L. and Simon, B. (1975a). Correlation inequalities and the mass
gap in Р(ф)2 HI- Mass gap for a class of strongly coupled theories with non-
zero external field, Comm. Math.. Phys. .41, 19-32.
Guerra, F., Rosen, L. and Simon, B. (1975b). The Р(ф)2 Euclidean quantum field
theory as classical statistical mechanics, Ann. Math. 101, 111-259.
Guerra, F., Rosen, L. and Simon, B. (1976). Boundary conditions in the Р(ф)2
Euclidean field theory, Ann. Г Inst. Henri Poincare 15, 231-334.
Guth, A. (1980). Existence proof of a nonconfining phase in four-dimensional U(l)
lattice gauge theory, Phys. Rev. D 21, 2291-2307.
Haag, R. (1955). On quantum field theories, Mat.-Fys. Medd. Kong. Danske Videns.
Selskab 29, No. 12.
Haag, R. (1958). Quantum fields with composite particles and asymptotic conditions,
Phys. Rev. 112, 669-673.
Haag, R. (1970). Observables and fields In: Lectures on Elementary Particles and
Quantum Field Theory S. Deser et al, eds., Cambridge: MIT Press.
Haag, R. and Kastler, D. (1964). An algebraic approach to quantum field theory, J.
Math. Phys. 5, 848-861.
Haag, R. and Schroer, B. (1962). Postulates of quantum field theory, J. Math. Phys.
3, 248-256.
Hagedorn, G. (1980). Asymptotic completeness for classes of 2, 3 and 4 particle
Schrodinger operators, Trans. Amer. Math. Soc. 258, 1-75.
Hawking, S. W. (1977). Zeta function regularization of path integrals in curved
space, Comm. Math. Phys, 55, 133-148.
Healy, J. (1973). New rigorous bounds on coupling constants in field theory, Phys,
Rev. D 8, 1904-1914.
Hegerfeldt,’G. (1974). From Euclidean to relativistic fields and on the notion of
Markoff fields, Comm. Math. Phys. 35, 155-171.
Hegerfeldt, G. (1975). Probability measures oh distribution spaces and quantum
 field theoretical models, Rep. Math. Physr 7, 403-409,
416 Литература
Heifets, Е. Р. and Osipov, Е. Р. (1977а). The energy-momentum spectrum in the
P($)2 quantum field theory, Comm. Math. Phys. 56, 161-172.
Heifets, E. P.- and Osipov, E. P. (1977b). The energy-momentum spectrum in the
Yukawa2 quantum field theory, Comm. Math. Phys. 57, 31-50.
Hepp, K. (1964a). Lorentz invariant analytic S-matrix amplitudes, Helv. Phys. Acta
37, 55-73.
Hepp, K. (1964b). On the analyticity properties of the scattering amplitude in
relativistic quantum field theory, Helv. Phys. Acta 37, 639-658.
Hepp, K. (1964c). Spatial cluster decomposition properties of the S-matrix, Helv.
Phys. Acta 37, 659-662.
Hepp, K. (1965a). One particle singularities of the S-matrix in quantum field
theory, J. Math. Phys. 6, 1762-1767.
78	Hepp, K. (1965b). On the connection between the LSZ and Wightman quantum
field theory, Comm. Math. Phys. 1, 95 111.
Hepp, K. (1966a). On the connection between Wightman and LSZ quantum field
theory In: Axiomatic Field Theory M. Chretien and S. Deser, eds., New York:
Gordon and Breach.
Hepp, K. (1969b). Proof of the Bogoliubov-Parasiuk theorem on renormalization,
Comm. Math. Phys. 2, 301-326.
Hepp, K. (1969a). On the quantum mechanical N-body problem, Helv. Phys. Acta
42, 425-458.
Hepp, K. (1969b). Renormalized Hamiltonians for a class of quantum fields with
infinite mass and charge renormalization In: Problems of Theoretical Physics:
Essays dedicated to N. N. Bogoliubov, Moscow: Nauka.
79	Hepp, K. (1970). Theorie de la Renormalisation, New York': Springer-Verlag.
Hepp, K. (1971). Renormalization theory In: Statistical Mechanics and Quantum
Field Theory C. DeWitt and R. Stora, eds., New York: Gordon and Breach.
Hepp, K. (1974). The classical limit for quantum mechanical correlation functions,
Comm. Math. Phys. 35, 265-277.
Hepp, K. and Lieb, E. H. (1973). On the superradiant phase transition for
r molecules in a quantized radiation field: the Dicke maser model, Ann. Phys.
76, 360-404.
Herbst, I. (1976). On canonical quantum field theories, J. Math. Phys. 17,
1210-1221.
Hess, H., Schrader, R. and Uhlenbrock, D. A. (1977). Domination of semigroups
and generalization of Kato’s inequality, Duke Math. J. 44, 893-904.
Hida, T. (1970). Stationary Stochastic Processes, Princeton, N.J.: Princeton Univer-
sity Press.
Higgs, P. W. (1966). Spontaneous symmetry breakdown without massless bosons,
Phys. Rev. 145, 1156-1163.
Hoegh-Krohn, R. (1971a). A general class of quantum fields without cutoffs in two •
space-time dimensions, Comm. Math. Phys. 21, 244-255.
Hoegh-Krohn, R. (1971b). On the spectrum of the space cutoff: Р(ф): Hamiltonian
in two space-time dimensions, .Comm. Math. Phys. 21, 256-260.
Литература 417
Hoegh-Krohn, R. (1974). Relativistic quantum statistical mechanics in two-
dimensional space-time, Comm. Math. Phys. 38, 195-224.
Hoegh-Krohn, R. and Simon, B. (1972). Hypercontractive semigroups and two
dimensional self-coupled. Bose fields, J. Funct. Anal. 9, 121-180.
Hohenberg, P. (1967). Existence of long-range order in one and two dimensions,
Phys. Rev. 158, 383-386.
Holley, R. (1974). Remarks on the FKG inequalities, Comm. Math. Phys. 36,
227-231.
Holsztynski, W. and Slawny, J. (1978). Peierls condition and number of ground
states, Comm. Math. Phys. 61, 177-190.
’t Hooft, G. (1971a). Renormalization of massless Yang-Mills fields, Nucl. Phys.
В 33, 173-199.
’t Hooft, G. (1971b). Renormalizable Lagrangians for massive Yang-Mills fields,
Nucl. Phys. В 35, 167-188.
’t Hooft, G. (1974). Magnetic monopoles in unified gauge theories, Nucl. Phys. В 79,
276-284.
’t Hooft, G. (1978). On the phase transition towards permanent quark confinement,
Nucl. Phys. В 138, 1-25.
't Hooft, G. (1980). Which topological features of a gauge theory can be responsible
for permament confinement. In: Recent Developments in Gauge Theories
(Cargese, 1979) G. ’t Hooft et al, eds. New York, Plenum Press. 
’t Hooft, G. (1981). Topology of the gauge condition and new confinement phases in
nonabelian gauge theories. (To appear.)
80Huang, K. (1963). Statistical Mechanics, New York: Wiley and Sons.
Huebener, R. P. (1979). Magnetic Flux in Superconductors, New York: Springer-
Verlag.
lagolnitzer, D. (1978). The S Matrix, New York: North-Holland.
Imbrie, J. (1980a). Mass spectrum of the two dimensional Лф* — \ф2 — рф quan-
tum field theory, Comm. Math. Phys. 78, 169-200.
Imbrie, J. (1980b). Cluster expansions and mass spectra for Р(ф)г models possessing
many phases, Harvard University Thesis.
Imbrie, J, (1981). Phase diagrams and cluster expansions for low temperature Р(ф)х
models. I, П. Comm. Math. Phys., to appear.
Isaacson, D. (1977). The critical behavior of ф*. Comm. Math. Phys. S3, 257-275.
Isaacson, D. (1981). The continuum limit of a classical 3 component one-
dimensional Heisenberg model is Brownian motion on the sphere. J. 'Math.
Phys. (To appear.)
Isaacson, D. and Marchesin, D. (1978). The eigenvalues and eigenfunctions of a
spherically symmetric anharmonic oscillator, Comm. Pure Appl. Math. 31,
659-676.
Isaacson, D, Marchesin, D. and Paes-Leme, P. J. (1980). Numerical methods for
studying anharmonic oscillator approximations to the ф$. quantum field
theory, Int. J. Eng. Soc. 18, 341-349.
418 Литература
Israel, R. (1978). Convexity and the Theory of Lattice Gases, Princeton: Princeton
University Press.
Israel, R. B. and Nappi, C. R. (1979a). Quark confinement in the two-dimensional-
lattice Higgs-Villian model, Comm. Math. Phys. 64, 177-189.
Israel. R. B. and Nappi, C. R. (1979b). Exponential clustering for long-range
integer-spin svstems, Comm. Math. Phys. 68. 29-38.
Ito, K. R. (1980). Construction of Euclidean (QED)2 via lattice gauge theory. I, to
appear.
Itzykson, C. (1980). Introduction to lattice gauge theories In: Recent Developments
in Gauye Theories (Cargese, 1979) G. 't Hooft et al., eds., New York: Plenum
Press.
Itzykson, C. and Zuber, J.-B. (1980). Quantum Field Theory, New York:
McGraw-Hill.
Jaffe, A. (1965a). Divergence of perturbation theory for Bosons, Comm. Math. Phys.
1, 127-149.
Jaffe, A. (1965b). Dynamics of a cut-off лф* field theory, Princeton University Thesis.
Jaffe, A. (1976). Problemes ergodiques dans la theorie quantique des champs, Soc.
Math. Fr. 40, 105-112.
Jaffe, A., Lanford, O. and Wightman, A. (1969). A general class of cutoff model field
theories, Comm. Math. Phys. 15, 47-68.
Jaffe, A. and McBryan, O. (1974). What constructive field theory says about cur-
rents In: Local Currents and their Applications D. H. Sharp and A. S. Wight-
man, eds., Amsterdam: North-Holland.
Jaffe, A. and Powers, R. (1968). Infinite volume limit of а Лф* field theory, Comm.
Math. Phys. 7, 218-221.
Jaffe, A. and Taubes, C. (1980). Vortices and Monopoles: Structure of Static Gauge
Theories, Boston: Birkhauser.
Jauch, J. M. and Rohrlich, F. (1976). The Theory of Photons and Electrons, New
York: Springer-Verlag.
Jevicki, A. (1980). Statistical mechanics of instantions in quantum chromodynamics,
Phys. Rev. D 21, 992-1005.
Jona-Lasinio, G. (1964). Relativistic field theories with symmetry breaking solu-
tions, Nuovo Cimento (L) 34, 1790-1795.
Jona-Lasinio, G. (1975). The renormalization group: A probabilistic view, Nuovo
Cimento В 26, 99-119.
Jonsson, T., McBryan, O., Zlrrilli, F. and Hubbard, J. (1979). An existence theorem
for multimeron solutions to classical Yang-Mills field equations, Comm. Math.
Phys. 68, 259-273.
Jos&, J., Kadanoff, L., Kirkpatrick, S. and Nelson, D. (1977). Renormalization,
vortices, and symmetry-breaking perturbations in the two-dimensional planar
model, Phys. Rev. В 16, 1217-1241.
33 Jost, R. (1965). The General Theory of Quantized Fields, Providence: American
Mathematical Society.
Jost, R. ed. (1969). Local Quantum Theory, (Varenna, 1968), New York: Academia
Press.
Литература 419
.« Кас, М. (1951). On some connections between probability theory and differential
and integral equations In: Proceedings of the. Second Berkeley Symposium on
Probability and Statistics J. Neyman, ed., Berkeley: University of California
Press.
s6Kac, M. (1959). Probability and Related Topics in Physical Sciences, New York:
Interscience Publishers.
KadanofT, L. (1977). The application of renormalization group techniques to quarks'
and strings, Rev. Mod. Phys. 49, 267-296.
Kadanoff, L. (1979). Multicritical behavior at the Kosterlitz-Thouless critical point,
Лип. Phys. 120, 39-71.
Kadison, R. V. (1965). Transformation of states in operator theory and dynamics,
Topology 3, 177-198.
Kashiwara, M. and Kawai, T. (1977). Holonomic systems of linear differential
equations and Feynman integrals, Publ. RIMS Kyoto Univ. 12 Supp., 131-140.
Kashiwara, M., Kawai, T. and Stapp, H. P. (1979). Micro-analyticity of the S-
matrix and related functions, Comm. Math. Phys. 66, 95-130.
Kastler, D. (1961). Introduction а Г Electrodynamique Quantique, Paris: Dunod.
Kastler, D., Robinson, D. W. and Swieca, A. (1966). Conserved currents and asso-
ciated symmetries; Goldston.e’s theorem, Comm. Math.Phys. 2, 108-120.
Kato, T. (1951a). Fundamental properties of Hamiltonian operator of Schrbdinger
type, Trans. Am. Math. Soc. 70, 195-211.
Kato, T. (1951b). On the existence of solutions of the helium wave equation, Trans.
Amer. Math. Soc. 70, 212-218.
s*Kato, T. (1966). Perturbation Theory for Linear Operators, New York/Berlin:
Springer-Verlag.
Kato, Y. and Mugibayashi, N. (1963). Regular perturbation and asymptotic limits
of operators in quantum field theory, Prog, in Theor. Phys. 30, 103-133.
Kawai, T. and Stapp, H. (1977). Discontinuity formula and Sato’s conjecture, Publ.
RIMS Kyoto.Univ., 12 Suppl., 155-232.
Kelley, D. G. and Sherman, S. (1969). General Griffiths’ inequalities on correlations
in Ising ferromagnets, J'. Math. Phys^ 9, 466-484.
Khuri/N. N. (1981). Coupling constant analyticity and the renormalization group.
Phys. Rev. D, to appear.
Klauder, J. (1973). Field structure through model studies: Aspects of non-
re'normalizable theories, Acta Physica Austriaca Suppl. 11, 341-387.
Klein, A. (1978). The semigroup characterization of Osterwalder-Schrader path
spaces and the construction of Euclidean fields, J. Funct. Anal. 27, 277-291.
Klein, A. and Landau, L. J. (1975a). The : ф*: field in the Р(ф)2 model, Comm.
Math. Phys. 43, 143-154.
Klein, A. and Landau, L. J. (1975b). Singular perturbations of positivity preserving
semigroups via path space techniques, J. Funct. Anal.'2O, 44-82.
Koch, ,H. (1979). Irreducible kernels and bound states in 1.Р(Ф)2 models, Ann. Г Inst- 
Henri Poincare 31, 173-234,
420 Литература
Koch, Н. (1981). Particles exist in the low temperature ф* model, Helv. Phys. Acta.
(To appear.)
Kogut, J. (1980). 1/N expansions and the phase diagram of discrete lattice gauge
theories with matter fields, Phys. Rev. D 21, 2316-2326.
Kogut, J. and Susskind, L. (1975). Hamiltonian formulation of Wilson’s lattice
guage theories, Phys. Rev. D 11, 395-408.
Kinoshita, T. (1979). Anomalous magnetic moment of an electron and high preci-
sion test of quantum electrodynamics In: Luminy CNRS colloquium.
Kosterlitz, J. M. (1974). The critical properties of the two dimensional xy model,
J. Phys. С 1, 1046-1060.
Kosterlitz, J. M. (1977). The d-dimensional Coulomb gas and the roughening tran-
sition, J. Phys. CIO, 3753-3760.
Kosterlitz, J. M. and Thouless, D. V. (1973). Ordering, metastability and phase
transitions in two-dimensional systems, J. Phys. C. 6, 1181-1203.
Kristensen, P., Mejlbo, L. and Poulsen, E. (1965). Tempered distributions in
infinitely many dimensions I, Comm. Math. Phys. 1, 175-214.
38 Kunz, H. and Pfister. С. E. (1976). First order phase transitions in the plane rotor
ferromagnetic model in two dimensions, Comm. Math. Phys. 46, 245-251.
Kunz, H„ Pfister, C. and Vuillermot, P. (1975). Inequalities for some classical spin
vector models, J. Phys. A9, 1673-1683.
Kunz, H., Pfister, C. and Vuillermot, P. (1976). Correlation inequalities for some
classical spin vector models, Phys. Lett. A 54, 428-430.
Kupiainen, A. J. (1980a). On the 1/N expansion. Comm. Math. Phys. 73, 273-294.
Kupiainen, A. J. (1980b). 1/N expansion for a quantum field model, Comm. Math.
Phys. 74, 199-222.
*>-41 Landau, L. and Lifshitz, E. (1969). Statistical Physics, Reading: Addison-Wesley.
Lanford, O. (1966). Construction of quantum fields interacting by a cutoff Yukawa
coupling, Princeton University Thesis.
Lanford, O. (1973). Entropy and equilibrium states in classical statistical mechanics
In: Statistical Mechanics and Mathematical Problems A. Lenard, ed., New
York: Springer-Verlag.
Lanford, О. E. and Ruelle, D. (1969). Observables at infinity and states with short
range correlations in statistical mechanics, Comm. Math. Phys. 13, 194-215.
Lassalle, M. (1974). Analyticity properties implied by the many-particle structure of
N-point functions in general quantum field theory, I. Convolution of N-point
functions associated with a graph, Comm. Math. Phys. 36, 185-226.
39 Lax, P. and Phillips, R. S. (1967). Scattering Theory, New York: Academic Press.
Lebowitz, J. L. (1972a). Bounds on the correlations and analyticity properties of
ferromagnetic Ising spin systems, Comm. Math. Phys. 28, 313-321.
Lebowitz, J. L. (1972b). More inequalities for Ising ferromagnets, Phys. Rev. В 5,
2538-2541.
Lebowitz, J. L. (1974). GHS and other inequalities, Common. Math. Phys. 35, 87-92.
Lebowitz, J. L. (1977). Coexistence of phases in Ising ferromagnets, J. Stat. Phys,
16, 463-476.
Литература 421
Lebowitz, J. L. and Martin-Lof. A. (1972). On the uniqueness of the equilibrium
state for Ising spin systems. Comm. Math. Phys. 25, 276 282.
Lebowitz, J. L. and Monroe, J. L. (1972a). Bounds on the correlations and analyti-
city properties of ferromagnetic Ising spin systems. Comm. Math. Phys. 28,
313-321.
Lebowitz, J. L. and Monroe, J. C. (1972b). Inequalities for higher order Ising spins
and for continuum fluids. Comm. Math. Phys. 28, 301-311.
Lebowitz. J. and Penrose, O. (1968). Analytic and clustering properties of ther-
modynamic functions and distribution functions for classical lattice and con-
tinuum systems. Comm. Math. Phys. 11, 99-124.
Lebowitz, J. and Penrose, O. (1973). Decay of correlations, Phys. Rer. Lett. 31,
749 752.
Lee, T. D. and Yang, C. N. (1952). Statistical theory of equations of state and phase
transitions 11. Lattice gas and Ising model, Phys. Rer. 87, 410-419.
Le Guillou. J. and Zinn-Justin, J. (1977). Critical exponents for the n-vector model
in three dimensions from field theory, Phys. Rer. Lett. 39, 95-98.
Lehmann, H., Symanzik, K. and Zimmermann, W. (1955). On the formulation of
quantized field theories, Nuoro Cimento (ser. 10) 1, 205-225.
Lenard, A. (1973). Statistical Mechanics and Mathematical Problems, (Battelle 1971),
New York: Springer-Verlag.
Lenard, A. and Newman, С. M. (1974). Infinite volume asymptotics in Р(ф)2 field
theory, Comm. Math. Phys. 39, 243-250.
Levine, M. J. and Roskies, R. (1976). Analytic contribution to the g factor of the
electron in sixth order, Phys. Rer. D. 14, 2191-2192.
Levy, M„ ed. (1967). High Energy Electromagnetic Interactions and Field Theory.
(Cargese, 1964), New York: Gordon and Breach.
1-6 vy, M. and Mitter, P., eds. (1977). New Derelopments in Quantum Field Theory
and Statistical Mechanics, (Cargese. 1976). New York: Plenum Press.
Lieb, E. (1973). The classical limit of quantum spin systems, Comm. Math. Phys. 31,
327-340.
Lieb, E. (1976). The stability of matter, Rer. Mod. Phys. 48, 553-569.
Lieb, E. (1980). A refinement of Simon’s correlation inequality, Comm. Math. Phys.
77, 127-136.
Lieb, E. and Lebowitz. J. L. (1972). The constitution of matter: Existence of ther-
modynamics for systems composed of electrons and nuclei, Adr. Math. 9,
316 398.
Lieb, E. and Mattis, D. (1965). Exact solution of a many-fermion system and its
associated boson field, J. Math. Phys. 6, 304-312.
Lieb, E. and Mattis, D. (1967). Mathematical Physics in One-Dimension, New York:
Academic Press.
Lieb, E., Mattis, D. and Schultz, T. (1964). Two dimensional Ising model as a
soluble problem of many fermions, Rev. Mod. Phys. 36, 856-871.
Lieb, E. and Simon, B. (1974). On solutions to the Hartree Fock problem for
atoms and molecules, J. Chem. Phys. 61, 735-736.
422 Литература
Lieb, Е. and Simon, В. (1977a). The Hartree-Foch theory for Coulomb systems.
Comm. Math. Phys. 53, 185-194.
Lieb, E. and Simon, B. (1977b). The Thomas-Fermi theory of atoms, molecules, and
solids, Adv. in Math. 23, 22-116.
Lieb, E. and Sokal, A. (1981). A general Lee-Yang theorem for one-component and
multicomponent ferromagnets. Comm. Math. Phys. (To appear.)
Lieb, E. and Thirring, W. (1975). Bound for the kinetic energy of fermions which
proves the stability of matter, Phys. Rev. Lett. 35, 687-689.
43 Lipatov, L. N. (1976). Calculation of the Gell-Mann-Low function in scalar theories
with strong nonlinearity, JETP Lett. 24, 157-160.
43	Lipatov, L. N. (1977a). Divergence of the perturbation-theory series and the quasi-
classical theory. Soviet Physics JETP 45, 216-223.
44	Lipatov, L. N. (1977b). Divergence of the perturbation-theory series and pseudo-
particles, JETP Lett. 25, 10.4-107.
Lukaszuk, L. and Martin, A. (1967). Absolute upper bounds for лл scattering,
Nuoro Cimento A 52, 122-145.
Lundeen, S. R. and Pipkin, F. (1981). Measurement of the Lamb shift in hydrogen,
n — 2, Phys. Rer. Lett. 46, 232-235.
Luscher, M. (1977a). Absence of spontaneous gauge symmetry breaking in Hamil-
tonian lattice gauge theories, Desy Preprint 77/16.
Liischer, M. (1977b). Construction of a self-adjoint, strictly positive transfer matrix
for Euclidean lattice jjauge theories, Comm. Math. Phys. 54, 283 292.
Liischer, M. (1977c). Dynamical charges in the quantized renormalized massive
Thirring model, Nucl. Phys. В 117, 475-492.
4S	Ma, S. (1976). Modern Theory of Critical Phenomena, Reading: Benjamin.
MacDermot, A. (1976). A lattice approximation to the Yukawa2 Euclidean quantum
field theory and a correlation inequality, Cornell University Thesis.
Mack, G. (1980). Properties of lattice guage models at low temperatures In:
Recent Developments in Guage Theories (Cargese, 1979) G. ’t Hooft et al., eds..
New York: Plenum Press.
Mack, G. and Symanzik, K. (1972). Currents, stress tensor and generalized unitarity
in conformal invariant quantupi field theory, Comm. Math. Phys. 27, 247-281.
Magnen, J. and Seneor, R. (1976a). The infinite volume limit of the ф* model, Ann.
Г Inst. Henri Poincare 24, 95—159?
Magnen, J. and Seneor, R. (1976b). The Wightman axioms for the weakly coupled
Yukawa model in two dimensions, Comm. Math. Phys. 51, 297-313.
Magnen, J. and Seneor, R. (1977). Phase space cell expansion and Borel summabi-
lity for the Euclidean ф2 theory, Comm. Math. Phys. 56, 237-276.
Magnen, J, and Seneor, R. (1980). Yukawa quantum field theory in three dimen-
sions (Y3) In: Third International Conference on Collective Phenomena J.
Lebowitz, J. Langer, and W. Glaberson, eds., New York: The New York
Academy of Sciences.
Martin, W. T. and Segal, I. eds. (1966). Mathematical Theory of Elementary Par-
ticles, (Dedham, 1963), Cambridge: MIT Press.
Литература 423
Masson, D. and McClary, W. (1971). On the self adjointness of the (g(x)</>4)2
Hamiltonian, Commun. Math. Phys.-21, 71-74.
Matthews, P. T. and Salam, A. (1954). The Green’s functions of quantised fields,.
Nuovo Cimento Series 9, 12, 563-565.
Matthews, P. and Salam, A. (1955). Propagators of quantized field, Nuovo Cimento
Series 10, 2, 120-134.
McBryan, O. (1973). Local generators for the Lorentz group in the Р(ф)1 model,
Nuovo Cimento A 18, 654-662.
McBryan, O. (1975a). Finite mass renormalizations in the Yukawa, quantum field
theory, Comm. Math. Phys. 44, 237-243.
McBryan, O. (1975b). Higher order estimates for the Yukawa, quantum field
theory, Comm. Math. Phys. 42, 1-7.
McBryan, O. (1975c). Volume dependence of Schwinger functions in the Yukawa2
quantum field theory, Comm. Math. Phys. 45, 279-294.
McBryan, O. (1975d). Self-adjointness of relatively bounded quadratic forms and
operators, J. Funct. Anal. 19, 97-103.
McBryan, O. (1975e). Convergence of the vacuum energy density «/(-bounds and
existence of Wightman functions for the Yukawa model lit: Mathematical
Methods of Quantum Field Theory, Paris: Centre National de la Recherche
Scientifique.
McBryan, O. (1978). The <;Л quantum field as a limit of Sine-Gordon fields, Comm.
Math. Phys. 61, 275-284.
McBryan, O. and Park, Y. (1975). Lorentz covariance of the Yukawa2 quantum
field theory, J. Math. Phys. 16, 105-110.
McBryan, O. and Rosen, J. (1976). Existence of the critical point in </>“ field theory,
Comm. Math. Phys. 51, 97-105.
McBryan, O. and Spencer, T. (1977). On the decay of correlations in SO(n)-
symrhetric ferromagnets, Comm. Math. Phys. 53, 299-302.
McCoy, B., Tracy, C. and Wu, T. T. (1977). Two dimensional Isihg model as an
explicitly solvable relativistic field Theory: Explicit formulas for n-point func-
tions, Phys. Rev. Lett. 38, 793-796.
McCoy, B. and Wu, T. T. (1973). The Two-Dimensional Ising Model, Cambridge:
Harvard University Press.
McCoy, В. M. and Wu, T. T. (1978). Two-dimensional Ising field theory for T < Tet
Green’s-functions strings in n-point functions, Phys. Rev. D 18, 1253-1258.
46 McKean, H. P. (1964). Kramers-Wannier duality for the two-dimensional Ising
model as an instance of Poisson’s summation formula, J. Math. Phys. 5,
775-776.
McKean, H. P. (1969). Stochastic Integrals, New York: Academic Press.
Mermin, N. (1967). Absence of ordering in certain classical systems, J. Math. Phys.
8, 1061-1064.
Mermin, N. and Wagner, H. (1966). Absence of ferromagnetism or antiferromag-
netism in one- or two-dimensional isotropic Heisenberg models, Phys. Reh.
Letters 17, 1133-1136.
424 Литература
Messager, A. and Miracle-Sole, S. (1977). Correlation functions and boundary con-
ditions in the Ising Ferromagnet, J. Stat. Phys. 17, 245-262.
47 Migdal, A. A. (1975a). Recursion equations in gauge field theories, Zh. Eksp. Tear.
Fiz. 69, 810-822. Engl, trans.: Soviet Physics JETP 42, 413-418 (1976).
48 Migdal, A. A. (1975b). Phase transitions in gauge and spin lattice systems, Zh.
Eksp. Tear. Fiz. 69, 1457-1465. Engl, trans : Soviet Physics JETP 42, 743-746
(1976).
Miller, W. (1972). Symmetry Groups and their Applications, New York: Academic
Press.
49Minlos, R. A. and Sinai, Ya. G. (1970). Investigation of the spectra of stochastic
operators arising in lattice models of a gas, Theor. .Math. Phys. 2(2), 167-176.
Monroe, J. L. (1975). Correlation inequalities for two-dimensional vector spin
systems, J. Math. Phys. 16, 1809-1812.
Moore, M. A., Jasnow, D. and Wortis, M. (1969). Spin-spin correlation function of
the three-dimensional Ising ferromagnet above the Curie temperature, Phys.
Rev. Lett. 22, 940 943.
Morchio, G. and Strocchi, F. (1980). Infrared singularities, vacuum structure and pure
phases in local quantum field theory, Ann I'lnst. Henri Poincare 33, 251-282.
Nambu, Y. and Jona-Lasino, G. (1961). Dynamical model t>f elementary particles
based on an analogy with superconductivity. I, II, Phys. Rev. 122, 345-358;
124, 246-254.
Nappi, С. P. (1978). On the scaling limit of the Ising model, Nuovo Cimento A 44,
392-400.
Narasimhan, M. S. and Ramades, T. R. (1979). Geometry of SU(2) gauge fields,
Comm. Math. Phys. 67, 121-136.
Nelson, E. (1966). A quartic interaction in two dimensions In: Mathematics Theory
of Elementary Particles R. Goodman and I. Segal, eds., Cambridge: MIT Press.
Nelson, E. (1972). Time ordered operator products of sharp time quadratic forms,
J. Fund. Anal. 11, 211-219.
Nelson, E. (1973a). The construction of quantum fields from Markov fields, J.
Funct. Anal. 12, 97-112.
Nelson, E. (1973b). The free Markov field, J. Funct. Anal. 12, 211-217.
50 Nelson, E. (1973c). Probability theory and Euclidean field theory In: Constructive
Quantum Field Theory G. Velo and A. Wightman, eds., New Yorks
Springer-Verlag.
Nelson, E. (1973d). Quantum fields and Markoff fields In: Partial Differential Equa-
tions D. C. Spencer, ed., Providence: American Math. Soc.
Neves di Silva, R. (1981). Three particle bound states in even Л P(</>)2 models. To
appear.
Newman, C. (1973). The construction of stationary two dimensional Markoff fields'
with an application to quantum field theory, J. Func. Anal. 14, 44-61.
Newman, C. (1974). Zeros of the partition function for generalized Ising systems,
Comm. Pure Appl. Math. 27, 143-159.
M Newman, C. (1975a). Inequalities for Ising models and field theories which obey the
Lee-Yang theorem, Comm. Math. Phys. 41, 1-9.
Литература 425
Newman, С. (1975b). Gaussian correlation inequalities for ferromagnets, Z. fur.
Wahrscheinlichkeitstheorie 33, 75 93.
Newman, C. (1975c). Moment inequalities for ferromagnetic Gibbs distributions, J.
Math. Phys. 16, 1956 1959.
Newman, C. (1976a). Classifying general Ising models fn: Mathematics Methods of
Quantum Field Theory, Paris: Editions du Centre National de la Recherche
Scientifique.
Newman. C. (1976b). Rigorous results for general Ising ferromagnets, J. Stat. Phys.
15, 399-406.
Newman, C. (1979a). Critical point inequalities and scaling limits, Comm. Math.
Phys. 66, 181-196.
Newman, C. (1979b). Short distance scaling and the maximal degree of a field
theory, Phys. Lett. В 83, 63-66.
Newman, C. (1980). Normal fluctuations and the FKG inequalities. Comm. Math.
Phys. 74, 119-128.
Newman, C. (1981). Critical point dominance in one dimension, Comm. Math. Phys.,
79, 133-140.
Nickel, B. (1980). Hyperscaling and universality in three dimensions. (To appear.)
Nickel, B. (1981). The problem of confluent singularities. In: Proceedings of the 1980
Cargese Summer School on Phase Transitions, London: Plenum Press.
Nicolai, H. (1978). An inequality for Fermion systems, Comm. Math. Phys. 59,
71-78.
Osipov, E. P. (1977). Connection between the spectrum condition and the Lorentz
invariance of the Yukawa2 quantum field theory, Comm. Math. Phys. 57,
111-116.
Osipov, E. P. (1979a). The Yukawa2 field theory: linear N, bound, locally Fock
property. Ann. llnst. Henri Poincare 30, 159-192.
Osipov, E. P. (1979b). The Yukawa2 field theory: the Matthews-Salam formula.
Ann. llnst. Henri Poincare 30, 193-206.
Osipov, E. P. (1980). The Yukawa2 quantum field theory: Lorentz invariance, Am.
Phys. 125, 53-66.
Osterwalder, K. (1971). On the Hamiltonian of the cubic boson self-interaction in
four dimensional space time, Fort. Phys. 19, 43-113.
Osterwalder, K. (1973a). Duality for free bose fields, Comm. Math. Phys. 29, 1-14.
S2 Osterwalder, K. (1973b). Euclidean Green’s functions and Wightman distributions
In: Constructive Quantum Field Theory G. Velo and A. S. Wightman, eds., New
York: Springer-Verlag.
Osterwalder, K. (1980). Mathematical Problems in Theoretical Physics, (Lausanne,
1979), New York: Springer.
Osterwalder, K. and Schrader, R. (1972a). Feynman-Kac formula for Euclidean
fermi and bose fields, Phys. Rev. Lett. 29, 1423-1425.
Osterwalder, K. and Schrader, R. (1972b). On the uniqueness of the energy density
in the infinite volume limit for quantum field models, Helv. Phys. Acta 45,
746-754.
426 Литература
S3 Osterwalder, К. and Schrader, R. (1973a). Euclidean fermi fields and a Feynman-
Kac formula for boson-fermion models, Helv. Phys. Acta 46, 277-302.
Osterwalder, K. and Schrader, R. (1973b). Axioms for Euclidean Green’s functions.
I, Comm. Math. Phys. 31, 83-112.
Osterwalder, K. and Schrader, R. (1975). Axioms for Euclidean Green’s functions.
II, Comm. Math. Phys. 42, 281-305.
Osterwalder, K. and Seiler, E. (1978). Gauge field theories on the lattice, Ann. Phys.
110, 440-471.
Osterwalder, K. and Seneor, R. (1976). A nontrivial scattering matrix for weakly
coupled Р(ф)1 models, Helv. Phys. Acta 49, 525- 535.
Ozkaynak, H. (1974). Euclidean fields for arbitrary spin particles, Harvard Univer-
sity Thesis.
Paes-Leme, P. (1978). Ornstein-Zernike and analyticity properties for classical lat-
tice spin systems. Ann. Phys. 115, 367-387.
Park, Y. M. (1977). Convergence of lattice approximations and infinite volume limit
in the (Лф4 — оф2 — рф)3 field theory, J. Math. Phys. 18, 354-366.
Park, Y. M. (1979). Lack of screening in the continuous dipole systems, Comm.
Math. Phys. 70, 161-167.
Peierls, R. (1936). Ising’s model of ferromagnetism, Proc. Cambridge Philos. Soc. 32,
477-481.
Percus, J. (1975). Correlation inequalities for Ising spin lattices, Comm. Math. Phys.
40, 283-308.
Percus, J. (1977). One-dimensional Ising model in arbitrary external field, J. Stat.
Phys. 299-309.
54	Pirogov, S. A. and Sinai, Ya. G. (1974). Phase transitions of the first kind for small
perturbations of the Ising model, Fund. Anal. Appl. 8, 21-25.
55	Pirogov, S. A. and Sinai, Ya. G. (1975). Phase diagrams of classical lattice systems,
Theor. Mat. Fiz. 25, 358-369, (Eng. translation: Theor. Math. Phys. 25',-
1185-1192).
56	Pirogov, S. A. and Sinai, Ya. G. (1976). Phase diagrams of classical lattice systems.
Continuation, Theor. Mat. Fiz. 26, 61-76 (Eng. translation: Theor. Math. Phys.
26. 39-49).
Polyakov, A. M. (1975). Compact gauge fields and the infrared catastrophe, Phys.
Lett. В 59, 82-84.
Polyakov, A. M. (1977). Quark confinement and topology of gauge theories, Nucl.
Phys. В 120, 429-458.
Powers, R. and Stormer, E. (1970). Free states of the canonical anticommutation
relations, Comm. Math. Phys. 16, 1-33.
Preston, C. (1974). A generalization of the FKG inequalities, Comm. Math. Phys.
36, 233-241.
Rted, M. and Rosen, L. (1974). Support properties of the free measure for boson
fields, Comm. Math. Phys. 36, 123-132.
57*e0Reed, M. and Simon, B. (1972-1979). Methods of Modern Mathematical Physics,
Vois. I, II, III, IV, New York: Academic Press.
Литература 427
Renouard, Р. (1977)’ Analyticite et sommabilitie “de Borel” des fonctions de
Schwinger du modele de Yukawa en dimension <1 = 2, I. Approximation “a
volume fini,” Ann. Hnst. Henri Poincare 27, 237 277.
Renouard, P. (1979). Analyticite et sommabilite “de Borel” des functions de
Schwinger du modele de Yukawa en dimension <1 = 2 II. La "Limite adia-
batique,” Ann. flnst Henri Poincare, 31, 235-318.
Riedel, E. and Wegner, F. (1972). Tricri;ical exponents and scaling fields, Ph\s. Rev.
Lett. 29, 349-352.
Rivajseau, V. (1980). Lieb’s correlation inequality for plane rotators, Comtn. Mat.h.
Phys. 77, 145-148.
Roberts, J. (1976). Local cohomology and superselection structure, Comm. Math.
Phys. 51, 1O7?U9.
Robinson, D. (1969). A proof of the existence of phase transitions in the anisotropic
Heisenberg model, Comm. Math. Phys. 14, 195 -204.
Robinson, G. de B. (1961). Representation of Symmetric Groups, Toronto: Univer-
sity of Toronto Press.
Rosen, J. (1977). The Ising model limit of ф4 lattice fields, Proc. AMS 66, 114-118.
Rosen, J. (1980). Mass renormalization for the лф4 Euclidean lattice field. Adv.
Appt. Math. 1, 37-49.
Rosen, L. (1970). А /.ф2” field theory without cutoffs, Comm. Math. Phys. 16,
157-183.
Rosen, L. (1971). The (ф2") quantum field theory: higher order estimates, Comm.
Pure Appl. Math. 24, 417-457.
Rosen, L. (1977). Construction of the Yukawa 2 field theory with a large external
field, J. Math. Phys. 18, 894-897.
Rosen, L. and Simon, B. (1972). The (ф2")2 field Hamiltonian for complex coupling
constant, Trans. Amer. Math. Soc. 165, 365-379.
Ruelle, D. (1962). On the asymptotic condition in quantum field theory, Helv. Phys.
Acta 35, 147-163.
Ruelle, D. (1969). Statistical Mechanics, New York: Benjamin.
Ruelle, D. (1971). Analyticity of Green’s functions of dilute quantum gases, J. Math.
Phys. 12, 901-903.
Ruelle, D. (1972a). On the use of “small extremal fields” in the problem of sym-
metry breakdown in statistical mechanics, Ann. Phys. 69, 364-374.
Ruelle, D. (1972b). Definition of Green’s functions for dilute Fermi gases, Heir.
Phys. Acta 45, 215-219.
Sato, M., Miwa, T. and Jimbo, M. (1978-80). Holonomic quantum fields, I V, Publ.
RIMS, Kyoto University 14, 223-267; 15, 201 278; 15, 577 629: RIMS
preprint.
Scadron, M. (1979). Advanced Quantum Theory, New York: Springer.
Schor, R. (1978a). The instanton gas for the anharmonic oscillator. Rockejeller
University preprint.
Schor, R. (1978b). The particle structure in v-dimensional Ising models at low
temperature, Comm. Math. Phys. 59, 219- 233.
^2® Литература
Schrader, R. (1971). A remark on Yukawa plus boson self interaction in two space
time dimensions. Comm. Math. Phys. 21, 164-170.
Schrader, R. (1972). A Yukawa quantum field theory in two spacetime dimensions
without cutoffs, Ann. Phys. 70, 412-457.
Schrader, R. (1974a). On the Euclidean version of Haag’s theorem in P(<j>)i
theories, Comm. Math. Phys. 36, 133-136; 38, 81-82.
Schrader, R. (1974b). Local operator products and field equations in Р(ф)2 theories,
Fort. Physik. 22. 611-631.
.Schrader, R. (1976-7). A possible constructive approach to ф$. I, II, III. Comm.
Math. Phys. 49, 131-153; 50, 97-102; Ann. Г Inst. Henri Poincare 26, 295-301.
Schrader, R. (1977). New correlation inequalities for the Ising model and Р(ф)
theories, Phys. Rev. В 15, 2798-2803.
Schrader, R. (1978). Towards a constructive approach of a gauge invariant, massive
Р(ф)1 theory, Comm. Math. Phys. 58, 299-312.
Schrader, R. and Seiler, R. (1978). A uniform lower bound on the renormalized
scalar Euclidean functional determinant, Comm. Math. Phys. 61, 169-175.
Schwartz, L. (1950-1). Theory of Distributions I, II. Paris: Hermann.
el Schweber, S. (1961). Relativistic Quantum Field Theory, New York: Harper and
Row.
Schwinger, J. (1958). On the Euclidean structure of relativistic field theory, Proc.
N.A.S. 44, 956-965.
Schwinger, J. (1959). Euclidean quantum electrodynamics, Phys.'Rev. 115, 721-731.
64 Segal, I. (1963). Mathematical Problems cf Relativistic Physics, Providence: Ameri-
can Mathematical Society.
Segal, I. (1967). Notes toward the construction of nonlinear relativistic quantum
fields, I: The Hamiltonian in two space-time dimensions as the generator of a
C*-automorphism group, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. Si, 1178-1183.
Segal, I. (1969). Nonlinear functions of weak processes I, J. Funct. Anal, 4,404-456.
Segal, I. (1970). Construction of fionlinear local quantum processes:. I,. Ann. Math.
92, 462-481.
Seiler, E. (1975). Schwinger functions for the Yukawa model in two dimensions with
space-time cutoff, Comm. Math. Phys. 42, 163-182.
Seiler, E. (1981). Guage theories as a problem of constructive field theory and statistical
mechanics, University of Geneva lecture notes.
Seiler, E. and Simon, B. (1975a). Bounds in the Yukawa2 quantum fields theory:
Upper bound on the pressure, Hamiltonian bound and linear lower bound,
Comm. Math. Phys. 45, 99-114.
Seiler, E. and Simon, B. (1975b). On finite mass renormalizations in the two dimen-
sional Yukawa model, J. Math. Phys. 16, 2289-2293.
Seiler, E. and Simon, B. (1976). Nelson’s symmetry and all that in the Yukawa j and,
фз field theories, Ann. Phys. 97, 470-518.	(
.Shlosman, S. B. (1980). Phase transitions for two-dimensional models with isotropic
short-range interaction. and continuous symmetries, Comm. Math, Phys, 71,
207-212.
Литература 429
Siegert, A. J. F. (1960). Partition functions as averages of functionals of Gaussian
random functions, Physica 26, S30-S35.
Sigal, I. (1978). Mathematical foundations of quantum scattering theory for multi-
particle systems, Memoirs of the AMS, 209, 1-145.
Simon, B. (1973a). Correlation inequalities and the mass gap in Р(ф)2. I- Domina-
tion by the two point function. Comm. Math. Phys. 31, 127-136.
Simon, B. (1973b). Positiv ity of the Hamiltonian semigroup and the construction of
Euclidean region fields, Helf. Phys. Acta 46, 686-696.
62	Simon, B. (1974). The Р(ф)2 Euclidean (Quantum) Field Theory, Princeton: Prin-
ceton University Press.
Simon, B. (1975). Correlation inequalities and the mass gap in Р(ф)2 II. Uniqueness
of the.vacuum in a class of strongly coupled theories. Ann. Math. 101, 260-267.
Simon, B. (1979). Functional Integration and Quantum Physics, New York:'
Academic Press.
.Simon, B. (1980) Correlation inequalities and the decay of correlations in ferro-
magnets, Comm. Math. Phys. 77, 111-126.
Simon, B. and Griffiths, R. (1973). The (ф4)2 field theory as a classical Ising model.
Comm. Math. Phys. 33, 145-164.
Simon, B. and Hoegh-Krohn, R. (1972). Hypercontractive semigroups and two-
dimensional self-coupled bose fields, J. Func. Anal. 9, 121-180.
Sinai, Ya. G. (1981). The theory of phase transitions: rigorous results, London:
Pergamon.
Singer, I. M. (1977). Unpubished.
Singer, I. M. (1978). Some remarks on the Gribov ambiguity, Comm. Math. Phys.
60, 7-12.
Slawny, J. (1973). Analyticity and uniqueness for spin A classical ferromagnetic
lattice systems at low temperatures^ Comm. Math. Phys. 34, 271-296.
Sokal, A. (1980). An improvement of Watson’s theorem on Borel summability,
J. Math. Phys. 21, 261-263.
Sokal, A. (1981a). Rigorous proof of the high-temperature Josephson inequality for
critical exponents. J. Stat. Phys. 25, 51-56.
Sokal, A. (1981b). More inequalities for critical exponents, J. Stat. Phys. 25, 25-50.
Spencer, T. (1973). Perturbation of the Р(ф)2 quantum field Hamiltonian, J. Math.
Phys. 14, 823-828.
Spencer, T. (1974a). The absence of even bound states for л(ф4)2, Comm. Math.
Phys. 39, 77-79.
Spencer, T. (1974b). The mass gap for the Р(ф)2 quantum field model with a strong
external field, Comm. Math. Phys. 39, 63-76.
Spencer, T. (1975). The decay of the Bethe-Salpeter kernel in Р(ф)2 quantum field
models, Comm. Math. Phys. 44, 143-164.
Spencer, T. (1980). The Lipatov argument, Comm. Math. Phys..74, 273-280.
Spencer, T. and Zirilli, F (1976). Scattering states and bound states in ЛР(ф)2,
Comm. Math. Phys. 49, 1-16.
430 Литература
68	Stanley, Н. (1971). Introduction to Phase Transitions anil Critical Phenomena, New
York: Oxford University Press.
69	Stratonovich, R. L. (1957). On a method of calculating quantum distribution func-
tions, Soviet Physics Doklady 2, 416 419.
Streater, R. (1972a). Connection between the spectrum condition and the Lorentz
invariance of P(<j>)2, Comm, .Math. Phys. 26, 109-120.
Streater, R. ed. (1972b). Mathematics of Contemporary Physics (London, 1971), New
York: Academic Press.
Streater, R. F. (1975). Outline of axiomatic relativistic quantum field theory, Re-
ports on Progress in Physics 38, 771-846.
70	Streater, R. and Wightman, A. (1964). PCT, Spin and Statistics, and All That, New
York: Benjamin.
Streater, R. F. and Wilde, I. F. (1970). Fermion states of a boson field, Nucl. Phys.
B24, 561-575.
Streit, L. ed. (1976). Quantum.Dynamics: Models and Mathematics (Bielefeld, 1975),
New York: Springer-Verlag.
Strocchi, F. (1977). Spontaneous symmetry breaking in the local gauge quantum
field theory; the Higgs mechanism. Conun. Math. Phys. 56, 57-78.
Strocchi, F. (1978). Local and covariant gauge quantum field theories. Cluster
property, superselection rules, and the infrared problem, Phys. Rec. D 17,
20210-2021.
Strocchi, F. and Wightman, A. S. (1974). Proof of the charge superselection rule in
local relativistic quantum field theory, J. Math. Phys. 15, 2198-2224.
Summers, S. (1979). The phase diagram for a two dimensional bose quantum field
model, Harvard University Thesis.
Summers, S. J. (1980). A new proof of the asymptotic nature of perturbation
theory in Р(ф), models. Helv. Phys. Acta 53, 1-30.
Summers, S. (1981). On the phase diagram of a P(<j>)2 quantum field model, Ann.
llnst. Henri Poincare, 34, 173-229.
Suzuki, M. and Fisher, M. (1971). Zeros of the partition function for the Heisen-
berg, ferroelectric, and general Ising models, J. Math. Phys. 12, 235-246.
65	Sylvester, G. (1975). Representations.and inequalities for Ising model Ursell func-
tions, Comm. Math. Phys. 42, 209-220.
Sylvester, G. (1976a). Continuous spin Ising ferromagnets, MIT Thesis.
Sylvester, G. (1.976b). Inequalities for continuous-spin Ising ferromagnets, J. Stat.
Phys. 15, 327-341.
Sylvester, G. (1981). Weakly coupled Gibbs measure, Zeil, fur Wahr. Theorie, to
appear.
Symanzik, K. (1960). On the many-particle structure of Green’s functions in quah-.
turn field theory, J. Math. Phys. 1, 249-273.
Symanzik, K. (1964). A modified model of Euclidean quantum field theory, New
York University Courant Institute of Mathematical Sciences, IMM-NYU- 327.
Symanzik, K.-(1966). Euclidean quantum field Theory, I. Equations for a scalar
model, J. Math. Phys. 7, 510-525.
Литература 43!
Symanzik, К. (1969). Euclidean quantum field theory In: Local Quantum Theory R.
Jost, ed., New York: Academic Press.
Symanzik, K. (1970a). Rertormalizable models with simple symmetry breaking. I.
Symmetry breaking by a source term, Comm. Math. Phys. 16, 48-80.
Symanzik, K. (1970b). Small distance behavior in field theory and power counting,
Comm. Math. Phys. 18, 227-246.
Symanzik, K. (1971). Small distance behaviour analysis and Wilson expansions,
Comm. Math. Phys. 23, 49-86.
Symanzik, K. (*973). Infrared singularities and small distance behaviour analysis,
Comm. Math. Phys. 34, 7-36.
Symanzik, K. (1975). Renormalization problem in nonrenormalizable massless ф4
theory. Comm. Math. Phys. 45, 79-98.
Taylor, J. C. (1976). Gauge Theories of Weak Interactions, New York: Cambridge.
University Press.
71 Thirring. W. (1958). Principles of Quantum Electrodynamics, New York: Academic
Press.
Thompson, C. (1980). Mathematical Statistical Mechanics, Princeton: Princeton
University Press.
Tracy, C. and McCoy, B. (1973). Neutron'scattering and the correlation functions
of the Ising model near Tc, Phys. Rev. Lett. 31, 1500-1504.
Tucciarone, A. (1966). A relativistic treatment of the three body problem, Nuovo
Cimento 41A, 204-221.
72 Uhlenbeck, G. and Ford, W. (1963). Lectures in Statistical Mechanics, Providence:
. American Mathematical Society.
Ukawa, A., Windey, P., and Guth, A. (1980). Dual variables for lattice guage theories
and phase structure of Z(N) systems. Phys. Rev. D 21, 1013-1036.
t2 van Beijeren, H. (1975). Interface sharpness in the Ising model, Comm. Math. Phys.
40, 1-6.
van Beijeren, H., Gallavotti, G. and Knops, H. (1974). Conservation laws in thd
hierarchial model, Physica 78, 541-548.
van Beijeren, H. and Sylvester, G. (1978). Phase transitions for continuous spin Ising
ferromagnets. J. Funct. Anal. 28, 145-167.
van Dyke, Jr., R. S., Schwinberg, P. B. and Dehmelt, H. G. (1979). Progress of the
electron spin anomaly experiment, Bull. Am. Phys. Soc., 24, 758.
В Vasilev, A. N. and Kazanskii, A. K.'(1972). Legendre transforms of the generating
functionals in quantum field theory, Teoret. i Mat. Fizika 12, 352-369.
Velo, G. and Wightman, A. S. (1973). Constructive Quantum Field Theory, (Erice,
1973), Berlin/New York: Springer-Verlag.
Weinberg, S. (1950). High energy behavior in quantum field theory, Phys. Rev. 80,
268-272.	.
'Wightman, A. (1956). Quantum field theory in terms of vacuum expectation values,
Phys. Rev. 101, 860-866.	'
432 Литература
10	Wightman, А. (1967). Introduction tb some aspects of the relativistic dynamics of
quantized fields In: High Energy Electromagnetic Interactions ami Field Theory
M. Levy, ed., New York: Gordon and Breach.
Wightman, A. and Garding, L. (1965). Fields as operator-valued distributions in
relativistic quantum theory, Arkiv jor Fysik 28, 129-184.
13	Wigner, E. P. (1959). Group Theory and Quantum Mechanics, New York: Academic.
Press.
Wilde, I. (1974). The free fermion field as a Markov field, J. Fund. Anal. 15, 12-21.
Williams, E. R. and Olsen, P. T. (1979). New measurement of the proton gyro-
magnetic ratio and a derived value of'the fine-structure constant accurate to a
part in 107, Phys. Rev. Lett. 42, 1575-1579.
Wilson, K. G. (1974). Confinement of quarks, Phys. Rev. DIO, 2445-2459.
Wilson, K. G. (1980). Monte-Carlo calculations for the lattice gauge theory In:
Recent Developments in Gauge Theories (Cargese, 1979) G. ’t Hooft et ak, eds.,
New York: Plenum Press.
14	Wilson, K. G. and Kogut, J. (1974). The renormalization group and the £ expan-
sion, Phys. Rep. 126', 75-200.
Witten, E. (1977). Some exact multi pseudo particle solutions of classical Yang-
Mills theory, Phys. Rev. Lett. 38, 121-124.
Wu, T. T., McCoy, B., Tracy, C. and Barouch, E. (1976). Spin-spin correlation
functions for the two dimensional Ising model: Exact theory in the scaling
region, Phys. Rev. B13, 316-374.
Y	ang, C. N. and Lee, T. D. (1952). Statistical theory of equations of state and phase
transitions. I. Theory of condensation, Phys. Rev. 87, 404 409.
Y	ang, C. N. and Mills, R. L. (1954). Conservation of isotopic spin and "isotopic
gauge invariance, Phys, Rev. 96, 191-195.
Y	eh, J. (1973). Stochastic Processes and the Wiener Integral, New York: Marcel
Dekker.
32Zygrriund, A. (1959). Trigonometric Series, Cambridge: Cambridge University
Press.

Литература 433
Работы, вышедшие на русском языке или в русском переводе
1.	Абере Е. С., Ли Б. В. Калибровочные теории. В сб.: Квантовая теория кали-
бровочных полей. — М.: Мир, 1977, с. 241—433.
2.	Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1979.
3.	Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. — М.: Наука, 1965.
4.	Березинский В. Л. Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных
системах с непрерывной группой симметрии. — ЖЭТФ, 1970, т. 59, № 3,
907—920.
5.	Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. — М.:
Мир, 1966.
6.	Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического
подхода в квантовой теории поля. — М.: Наука, 1969.
7.	Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. —
М.: Наука, 1976.
8.	Бьеркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория, т. I. Реля-
тивистская квантовая механика. — М.: Наука, 1978.
9.	Бьеркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. Т. 2. Реля-
тивистские квантовые поля. — М.: Наука, 1978.
10.	Вайтман А. С. Проблемы в релятивистской динамике квантованных полей.—
М.: Наука, 1968.
II.	Васильев А. Н., Казанский А. К. Преобразования Лежандра порождающих
функционалов в квантовой теории поля. — ТМФ, 1972, т. 12, № 3, 352—359.
12.	ван Бейерен X. Макроскопическая устойчивость поверхности раздела фаз в
модели Изинга. — В сб.: Гиббсовские состояния в статистической физике.—
М.: Мир, 1978, с. 61—68.
13.	Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории
атомных спектров. — М.: ИЛ, 1961.
14.	Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и е-разложение. — М.:
Мир, 1975.
15.	Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции, вып. I. Обобщенные
функции и действия над ними. — М.: Физматгнз, 1959.
16.	Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции, вып. 2. Пространства
основных и обобщенных функций. — М.: Физматгиз, 1958.
17.	Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции, вып. 3. Некоторые во-
просы теории дифференциальных уравнений.—М.: Физматгиз, 1958.
18.	Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. Обобщенные функции, вып. 4. Некоторые
применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы простран-
ства.— М.: Физматгиз, 1961.
19.	Глимм Дж., Джаффе А. Бозонные квантовополевые модели. В сб.: Конструк-
тивная теория поля. — М.: Мир, 1977, с. 99—168.
20.	Глимм Дж., Джаффе А. Положительность гамильтониана поля <р^. В сб.:
Евклидова квантовая теория поля. Марковский подход. — М.: Мир, 1978
с. 132—197.
21.	Глимм Дж., Джаффе А., Спенсер Т. Корпускулярная структура Р(<р)г-модели
со слабым взаимодействием и другие применения высокотемпературных раз-
ложений, части I и II. В сб.: Конструктивная теория поля. — М.: Мир, 1977
с. 169—267.
22.	Глимм Дж., Джаффе А., Спенсер Т. Фазовые переходы в моделях <р| кванто-
вой теории поля. В сб.: Евклидова квантовая теория поля. Марковский под-
ход.— М.: Мнр, 1978, с. 46—64.
23.	Глимм Дж., Джаффе А., Спенсер Т. Разложение в ряд, связанное с прибли-
жением среднего поля. I. Описание разложения, II. Сходимость разложения.
В сб.: Евклидова квантовая теория поля. Марковский подход. — М.: Мир
1978, с. 65—13.
24.	Дайсон Ф. Дж. Существование фазового перехода в одномерной модели
Изинга. — Математика, 1972, т. 16:2, 137—153,
434 Литература
25.	Дайсон Ф. Дж. Отсутствие спонтанной намагниченности в некоторых моде-
лях Изинга. — Математика, 1972, т. 16:3, ИЗ—116.
26.	Дайсон Ф. Дж. Модель Изннга с разрывом дальнего порядка. — Математика,
1972, т. 16:3, 117—129.
27.	Дайсон Ф. Устойчивость вещества. В сб.: Устойчивость и фазовые переходы
(Ф. Дайсон, Э. ЛТонтролл, М. Кац, М. Фишер). — М.: Мир, 1973, с. 17—91.
28.	Данлоп Ф., Ньюман Ч. Многокомпонентные поля и классические ротаторы.
В сб.: Евклидова квантовая теория поля. Марковский подход. — М.: Мир,
1978, с. 255—274.
29.	Добрушнн Р. Л. Существование фазового перехода в двумерной и трехмер-
ной модели Изинга. — ДАН СССР, 1965, т. 160, № 5, 1046—1048.
30.	Добрушнн Р. Л., Минлос Р. А. Построение одномерного квантового поля с
помощью непрерывного марковского поля. — Функц. анализ и его прнлож.,
1973, т. 7, № 4, 89—90.
31.	Дюно М., Суйар Б., Яголницер Д. Убывание корреляций в системах с беско-
нечным радиусом взаимодействия. В сб.: Гиббсовские состояния в статисти-
ческой физике. — М.: Мир, 1978, с. 107—121.
32.	Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1965.
33.	Йост Р. Общая теория квантованных полей. — М.: Мир, 1967.
34.	Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М: Мир, 1972.
35.	Кац М. О некоторых связях между теорией вероятностей и дифференциаль-
ными и интегральными уравнениями. — Математика, 1957, т. 1:2, 95—124.
36.	Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. — М.: Мир, 1965.
37.	Коулмен С. Тайная симметрия: введение в теорию спонтанного нарушения
симметрии и калибровочных полей. В сб.: Квантовая теория калибровочных
полей. — М.: Мир, 1977, с. 23—119.
38.	Кунц X., Пфистер Ш.-Э. Фазовый переход первого рода в двумерной модели
плоских ротаторов с ферромагнитным взаимодействием. В сб.: Гиббсовские
состояния в статистической физике. —М.: Мир, 1978, с. 52—60.
39.	Лакс П., Филлипс Р. Теория рассеяния. — М.: Мир, 1971.
40.	Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика, ч. I. — М.: Наука,
1976.— (Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, т. V).
41.	Лифшиц Е. М., Пнтаевский Л. П. Статистическая физика, ч. 2. — М.: Наука,
1978.— (Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, т. IX).
42.	Липатов Л. Н. Вычисление функции Гелл-Манна — Лоу в скалярных теориях
с сильной нелинейностью. — Письма в ЖЭТФ, 1976, т. 24, № 3, 179—183.
43.	Липатов Л. Н. Расходимость ряда теории возмущений и квазиклассика.—
ЖЭТФ, 1977, т. 72, № 2, 411—427.
44.	Липатов Л. Н. Расходимость ряда теории возмущений н псевдочастицы.—
Письма в ЖЭТФ, 1977, т. 25, № 2, 116—119.
45.	Ма Ш. Современная теория критических явлений. — М.: Мир, 1980.
46.	Маккии Г. Стохастические интегралы. — М.: Мир, 1972.
47.	Мнгдал А. А. Рекурсионные уравнения в калибровочных теориях поля. —
ЖЭТФ, 1975, т. 69, № 3, 810—822.
48.	Мигдал А. А. Фазовые переходы в калибровочных и спиновых решетчатых
системах. — ЖЭТФ, 1975, т. 69, К» 4, 1457—1465.
49.	Минлос Р. А., Синай Я. Г. Исследования спектров стохастических операторов,
возникающих в решетчатых моделях газа. — ТМФ, 1970, т. 2, № 2, 230—242.
50.	Нельсон Э. Теория вероятностей и евклидова теория поля. В сб.: Конструк-
тивная теория поля.—АГ.: Мир, 1977, с. 74—98.
51.	Ньюман Ч. Неравенства для моделей Изннга н полевых теорий, для которых
верна теорема Ли и Янга. В сб.: Евклидова теория поля. Марковский под-
ход,—М.: хМир, 1978, с. 275—287.
52.	Остервальдер К. Евклидовы функции Грина и обобщенные функции Вайт-
мана. В сб.: Конструктивная теория поля. — М.: Мир, 1977, с. 48—73.
53.	Остервальдер К., Шрадер Р. Аксиомы для евклидовых функций Грина, П.
В сб.: Евклидова теория поля. Марковский подход. — М.: Мир, 1978, с. 9—45.
54.	Пирогов С. А., Синай Я. Г. Фазовые переходы первого рода для малых воз-
Литература 435
мущений модели Изинга. — Функц. анализ и его прилож., 1974, т. 8, № 1,
25—30.
55.	Пирогов С. А., Синай Я. Г. Фазовые диаграммы классических решетчатых
систем.— ТМФ, 1975, т. 25, № 3, 358—369.
56.	Пирогов С. А., Синай Я. Г. Фазовые диаграммы классических решетчатых
систем (продолжение).—ТМФ, 1976, т. 26, № 1, 61—76.
57.	Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т. 1. Функ-
циональный анализ. — М.: Мир, 1977.
58.	Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т. 2. Гармо-
нический анализ. Самосопряженность. — М.: Мир, 1978.
59.	Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т. 3. Теория
рассеяния. — М.: Мир, 1982.
60.	Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т. 4. Анализ
операторов. — М.: Мир, 1982.
61.	Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. — М.: Мир, 1971.
62.	Саймой Б. Модель Р(<р)2 эвклидовой квантовой теории поля. — М.: Мир,
1976.
63.	Сато М., Дзимбо М., Мива Т. Голономные квантовые поля. — М.: Мир, 1983.
64.	Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики. — М.: Мир, 1968.
65.	Сильвестр Г. Представления и неравенства для функций Урселла в модели
Изиига. В сб.: Гиббсовские состояния в статистической физике.. — М.: Мир,
1978, с. 69—88.
66.	Синай Я. Г- Теория фазовых переходов. Строгие результаты. — М.: Наука,
1980.
67.	Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных
полей. — М.: Наука, 1978.
68.	Стеили Г. Фазовые переходы и критические явления. — М.: Мир, 1973.
69.	Стратонович Р. Л. Об одном методе вычисления квантовых функций распре-
деления,—ДАН СССР, 1957, т. 115, № 6, 1093—1100.
70.	Стритер Р., Вайтмаи А. С. РСТ, спин и статистика и все такое. — М.: Наука,
1966.
71.	Тиррииг В. Принципы квантовой электродинамики. — М.: Высш, школа, 1964.
72.	Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. — М.: Мир,
1965.
73.	Фаддеев Л. Д. Математические вопросы квантовой теории рассеяния для
системы трех частиц. (Труды Математического института им. В. А. Стеклова
АН СССР, т. 69). — М. — Л., Изд-во АН СССР (Ленинградское отделение),
1963.
74.	Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика н интегралы по траекториям. — М.:
Мир, 1968.
75.	Фрёлих Ф. Классическая и квантовая статистическая механика в размерно-
стях одни и два: двухкомпонентные системы Юкавы и Кулона. В сб.: Ев-
клидова квантовая теория поля. Марковский подход. — М.: Мир, 1978,
с. 198—243.
76.	Фрёлих Ю., Саймон Б., Спеисер Т. Оценки в инфракрасной области, фазовые
переходы и нарушение непрерывной симметрии. В сб.: Гиббсовские состояния
в статистической физике. — М.: Мир, 1978, с. 9—34.
77.	Фридрихе К- Возмущение спектра операторов в гильбертовом простран-
стве.— М.: Мир, 1969.
78.	Хепп К- Связь между квантовой теорией поля Лемана — Симаизика — Цим-
мермана и Вайтмана. В ки.: Хепп К., Эпштейн А. Аналитические свойства
амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля.— М.: Атомиздат, 1971.
79.	Хепп К. Теория перенормировок. — М.: Наука, 1974.
80.	Хуанг К- Статистическая механика. — М.: Мир, 1966.
81.	Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. — М.: ИЛ,
1963.
82.	Эпштейн А. Амплитуда рассеяния в квантовой теории поля. В кн.: Хепп К.,
Эпштейн А. Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной кван-
товой теории поля. — М.: Атомиздат, 1971.
Предметный указатель
Аксиомы 106—117
— Бете — Солпитера 288—289
— Вайтмана 114, 115, 243, 260, 268,
269, 365
— евклидовы 106—107, 282
— Минковского 115
— Остервальдера — Шрадера 107, 243,
252, 379
— Хаага — Кастлера 114,	116—117,
365
Активность 57, 83
Анализ в функциональном простран-
стве 188—215
Аналитичность 86—88, 107, 227, 289,
351—353, 377, 378
Ангармонический осциллятор 28, 33,
129—133, 138, 139
Аномальная размерность 95
Аномальный магнитный момент 43,
294, 298—301
Ансамбль 47—53
—	большой канонический 53, 389
— канонический 49, 282—283
—	микроканонический 47
См. также Гиббса ансамбль
Асимптотики 258, 261
Асимптотическая полнота 38—39, 259,
260
Асимптотический предел 117
—	режим 258
Атом водорода 22, 35, 38, 40—42, 301 —
302
—	гелия 38
Бардина — Купера — Шиффера теория
(БКШ) 398
Бальмера серия 41
Бете — Солпитера аксиомы см. Аксио-
 мы
-----ядро 173, 260. 287
Боголюбова преобразование 136
Бозе — Эйнштейна статистика 133
Бозоны 26, 48, 109, 133, 135, 143, 201.
387, 388
Больцмана постоянная 49
Вайтмана аксиомы см. Аксиомы
— функции 115, 116, 260, 272
— — хронологически упорядоченные
260
Вакуум, единственность 92, 109, 115,
116, 302, 303, 379—383
— неединственность 307, 342, 384
Вакуумное состояние 302
Вакуумные средние 272, 277
Вакуумный вектор 115, 133
Вероятностная мера 72
См. также Функциональные инте-
гралы
Вигнера теорема 24
Вика мономы 31, 127, 171, 172, 174,
243
— полиномы 31, 173, 191, 243, 246,345,
391
— произведения 168—171, 188
Виково двоеточие 127
— переупорядочение 150, 179, 189,
315
— упорядочение 31, 165, 189, 195—
197, 217, 237, 246, 306
-----константа 174, 191, 210, 246,
391
Винера интеграл, мера 60—64, 153,
212 356
Вихрь 55, 105, 318, 398
Волновой оператор 263, 265
Гамильтона уравнения 19
Гамильтониан 19, 26, 74, 128, 233
Гармонический осциллятор 27, 124,
129, 130, 138, 174, 233
Гауссова критическая точка 138
Гауссов процесс 138, 212
— функционал 118, 190, 192
Гауссово поле 123, 213
Гауссовы функциональные интегралы
67, 107, 118, 124, 129, 164, 166,
167, 171, 173—179, 191 — 195,
212, 222, 230, 241, 343, 346,
352, 386, 390
Предметный указатель 437
Гейзенберга динамика 21
—	картина 24
— модель 222, 316, 318
—	ферромагнетизм 54
Гиббса ансамбль 47, 343
—	постулат 47, 49
Гинзбурга — Ландау теория 398
Граница фаз 100, 101, 307, 317, 388
Граничные условия 144, 150, 152—157,
162, 174, 180, 185, 205—207,
222 229 389
-----Дирихле 54, 149, 162, 205, 217,
218, 237, 251, 310, 389
-----Неймана 148, 162, 217, 218, 241
—	— периодические 147, 164
-----со слабой связью 241, 335
Грина функция 142, 145, 319, 329
Гриффитса неравенства 74—76, 82, 90,
216, 305
Группа отражений 223
Давление 44, 53, 55, 83, 94, 95, 317
Дайсона уравнение 283, 284, 287
Диаграммы 166
— вершинные 204
— массовые 203, 204
— скелетные 203, 204
См. также Майера графы, Фазовые
диаграммы, Фейнмана диа-
граммы
Диполь 104, 105, 318, 392—394
Дирака море 137
— поле 134, 136
— размазанная дельта-функция 143,
174
—	теория 296—298
—	уравнение 37, 43, 134, 294
—	частица 299
Дирихле граничные условия см. Гра-
ничные условия
—	ковариация 235, 346
—	предел 194
—	ребра 346
Дифференцирование функционалов 188
Евклидов пропагатор 142
Евклидово поле 106—107
Евклидовы аксиомы см. Аксиомы
Заряд 35
— перенормировка 139, 286, 342
—	плотность 294
Идеальный газ 44, 53, 55, 94
Иерархическая модель 96
Изинга модель 54, 77, 83, 90, 96, 100,
101, 138, 222, 307, 328, 336—
338, 396
Импульсное обрезание 174, 176, 246,
384
Инвариантность при отражениях 143,
162, 223, 240
Инстантон 55, 396
Интегрирование по частям 124, 193, 242
Казимира оператор 42
Калибровочные поля 140, 396
— теории 106, 396—397
Канал 263, 288
Каноническая модель 331
Канонические значения показателей
142, 336, 337
— коммутационные соотношения 25,
42, 125, 126, 129—131, 134
—	координаты 21, 36
Канонический ансамбль см. Ансамбль
Каноническое квантование 129—133
Квадратичные возмущения 192, 196—
200
Квазиклассическое приближение 93, 94
Квантовая теория 18, 106
Квантовое поле 106
См. также Дирака поле, Евклидово
поле, Свободное поле, Ферми-
поле, Существование кванто-
вых полей
—	число 41	_	----- —
Кирквуда— альцбурга уравнения 351,
356
Классическая картина 94
—	критическая точка 95
—	система 21
— статистическая механика 18, 19, 37,
38
— траектория 47—48
Классические ансамбли 46—53
— дифференциальные уравнения 136
— законы взаимодействия 44, 297
— индексы 336, 337
Классический предел 18
Классическое поле 123, 132
—	приближение 60, 93
—	решение 104, 295
Кластер 39, 258, 261
Кластерное разбиение 261, 262
— разложение 55, 98, 104, 152, 241,
335, 342—364, 384, 387, 388,
390
Клебша — Гордина формулы 295
438 Предметный указатель
Клейна — Гордона поле 133
----- уравнение 270
Ковариационные операторы 142—164
-----инфинитезимальное	изменение
193
-----периодические 147
— — решеточные 205—212
-----свободные 145—147
Константа связи 60, 139, 201, 202, 205,
284, 329, 398
Конфигурации 100—104
— классического поля 132, 307
Конфигурационное пространство 132
Кооперативные явления 54, 90, 99
Корреляционные неравенства 73—90,
95, 98, 139, 186, 207, 212, 216,
326, 384
Ко стерлица — Тауле сса фазовый пере-
ход 106
Критическая поверхность 46
— размерность 317
— температура 95, 104
— точка 46, 74, 90, 95, 96, 138, 139,
143, 306, 326, 330, 332—335,
340, 342
Критические индексы 96,	106, 139,
335—338, 341
Кулонов газ 105, 389, 392, 393
— потенциал 22, 26, 35—39, 390
Кулоново взаимодействие 44, 105, 392
Лагранжиан 60, 201
Лаймана серия 41
Лебовица неравенства 79, 216
Лежандра преобразование 51, 53, 60,
173
Лемана — Симанзика — Циммермана
формализм 260, 281
— спектральная мера 329
•----формула 119—120, 284, 337
Леннард-Джонса потенциал 38, 44, 260
Ли — Янга теорема 74, 83—88, 98, 216,
323, 326, 397
Лиувилля мера 47
— теорема 20
Локальность 115, 117, 378—379
Лоренца группа 115, 117, 133, 134, 265,
266, 296
Лоренц-инвариантность 109
Лоренц-ковариантность 115, 117, 375—
378
Лэмбов сдвиг 43, 301—302
Магнитное диполь-дипольное взаимо-
действие 44
— поле 83, 98, 297, 398
Магнитный момент 292, 293
Майера графы 58, 343
—	Монтролла уравнения 351
—	разложения 5, 59, 94
Масса 35, 332
—	приведенная 36
См. также Спектр масс, Центр
масс
Массовая щель 273
Массовый оператор 265
Масштабные преобразования 137, 145,
159, 185, 192, 312
См. также Скейлинговый предел
S-матрица 266, 269, 278, 281—282, 385,
386
Мёбиуса теорема 272
Мейсснера эффект 398
Мелера формула 34, 66, 233
Мермина — Вагнера теорема 104, 105,
318
Метод изображений 148, 149
Минковского аксиомы см. Аксиомы
— поле 114, 115
Минлоса теорема 72
Многочастичное рассеяние 261
Модель капли 100—104
— ротаторов 89, 104, 316
Наблюдаемые 19, 23, 48, 115, 380
Намагниченность 98, 293, 305, 323, 327
Нарушение симметрии 96, 320—326
Негауссовы меры 70, 179—186, 236
Неймана граничные условия см. Гра-
ничные условия
— ковариации 148, 314
— предел 195
Обобщенные функции 71, 92, 107, 267,
268, 272
Обусловленность 86, 193, 218
Одночастичная задача 266, 267
Одночастично-неразложимые диаграм-
мы (1ЧН) 203, 285
Оператор рождения 28, 135, 165
— уничтожения 28, 135, 165
Орнштейна — Уленбека мера 69
----- процесс скоростей 66
Основное состояние 27, 29, 35, 96, 103,
317
См. также Вакуум
Остервальдера — Шрадера аксиомы см.
Аксиомы
Предметный указатель	439
Отражения 73, 148, 149, 221, 381
— многократные 78, 222—228, 239, 241,
248, 252, 253, 308, 311, 324,
383
— несимметричные 229—236, 248, 252
См. также Группа отражений, Ин-
вариантность при отражениях,
Положительность при отраже-
ниях
Реконструкция квантовой механики 111
— квантовых полей 365
Ренормгруппа 96, 327, 330, 335, 385,
394
Решеточная аппроксимация 137, 194,
205, 209, 212, 384, 396
Решеточные поля 53, 78, 86, 97, 137,
221
Решеточный оператор Лапласа 54, 205
Ритца принцип 27
Пайерлса оценка 100, 309
Параметр порядка 98
Паули матрицы 298, 396
— принцип запрета 26, 39, 44, 135
Перенормировка 34, 94, 141, 165, 188,
197, 201—205, 282—287, 302,
342, 384, 387
— вакуума 141, 282, 283, 286
— величины поля 202, 268, 283, 286,
329, 331, 394
— заряда 139, 286, 342
— массы 283—285, 387
Перенормируемая теория поля 204—
205
Перрона — Фробениуса теорема 68
Плотность 44, 49, 52, 55
Положительность при отражениях 73,
108, 119, 121, 143, 145, 161 —
164, 220—224, 226, 237, 249,
397
Поляризационное тождество 190, 245
Постоянная тонкой структуры 40, 205,
299
Предел бесконечного объема 73—74,
77—78, 216, 236, 242, 324, 388
Преобразование sin-Gordon 389
Приближение среднего поля 88, 92—96,
103—105, 317, 336, 342, 389,
390
Пространство состояний 45, 47
— траекторий (функциональное про-
странство) 61, НО, 141, 167,
225, 386, см. также Функцио-
нальные интегралы
Пуассона процесс 138, 139
— скобки 21, 262
Равновесное распределение 47
— состояние 317
Равновесные конфигурации 55
Рассеяние 38, 39, 258—292, 342, 385,
386
— многочастичное 261—265
Резервуар частиц 52
Сверхперенормируемые модели 141,
205, 242, 267, 269, 282, 302
Сверхтонкая структура 301
Свободная ковариация 145—147
— энергия 51, 86—88, 218, 241, 258,
394
Свободное поле 117—124, 128, 142,
258, 266, 269, 331, 342
Связанные состояния 26, 38, 39, 133,
201, 258, 262, 287, 289, 290,
328—331, 342
Скейлинговый предел 138, 331, 340
Случайное блуждание 138, 212
Солитон 103, 104, 260, 303, 395
Состояние 21
— многочастичное 104, 259, 260
— рассеяния 39, 260, 387
— смешанное 92, 381
— чистое 21
См. также Вакуумное состояние,
Основное состояние, Простран-
ство состояний, Связанные со-
стояния, Уравнение состояния
Сохранение симметрии 104, 316
Спектр масс 287, 342, 384
Спин 25, 26, 43, 74, 87, 100, 105, 133,
141, 143, 294, 295, 317, 321
— двухкомпонентный 89—90, 105, 317
Спиновая волна 105
Статистическая сумма 49, 74, 83, 86,
87, 99, 198, 218, 230, 250, 284,
390—391, 393
Суммируемость по Борелю 139, 337,
385—386
Существование квантовых полей 140,
237, 257, 345
Сходимость графиков операторов 154
Температура 49
Теория возмущений 60, 171—173, 242,
282, 283, 299, 385
См. также Квадратичные возмуще-
ния
440 Предметный указатель
Термодинамический предел 37, 48, 51
Термостат 49
Тонкая структура 294, 301
См. также Постоянная тонкой
структуры
Траектории 62, 64, НО, 152
См. также Классическая траекто-
рия. Пространство траекторий
Трансфер-матрица 91, 106, 113, 221,
257
Туннельный переход 104
Угловой момент 23, 25, 42, 47, 295, 296,
301
Уравнение движения 242
— состояния 44, 53
— теплопроводности 61, см. также
Фейнмана — Каца формула
Урселла функции 81
Усеченные функции 81, 272
Фаза 91, 97, 99—101, 105, 303, 327
—	конденсированная 394
— неупорядоченная 105, 318, 394
—	смешанная 91
— чистая 91, 98, 100, 116, 302, 317,
342, 388
Фазовое пространство 19, 47
Фазовые диаграммы 88, 389
Фазовый переход 56, 74, 83, 88, 91,
97, 101, 104, 106, 116, 139, 185,
302—326, 334, 342, 364, 388,
389, 394—397
-----без нарушения симметрии 97, 389
-----второго и более высокого рода
306
-----доказательство существования
100, 307, 320, 322
-----первого рода 99, 303, 320
-----с нарушением симметрии 97,
316—317, 320—326
—------размыванием 394, 396
Фейнмана диаграммы (графы) 165—
168, 172—173, 175, 199—200,
203, 285—287, 300
— Каца мера 107, 110
-----формула 28, 60, 64—68, 70—73,
130, 133, 227, 368, 369, 386,
387
— формула 60—61
Ферми — Дирака статистика 133, 135
Ферми-поле 143, 386—387
Фермионы 26, 48, 133, 135, 387, 388
Ферромагнетизм 316
Ферромагнитное взаимодействие 83, 86,
207
Ферромагнитный гамильтониан 74, 75,
77, 186
ФКЖ (Фортуэна — Кастелена — Жи-
нибра) неравенство 82, 216,
303—305
Фока пространство 124, 129, 134, 258—
260
Фоков вакуум 266
Фоково представление 126
Фон Неймана алгебры 117, 380
Функционалы 108, 188
Функциональные интегралы 65, 70, 107
См. также Гауссовы функциональ-
ные интегралы
Функциональный определитель 192, 197
Хаага — Кастлера аксиомы см. Аксио-
мы
— Рюэля теория рассеяния 259, 260,
272—278
Характеристический функционал 71,
107, 118, 122, 221
Хиггса механизм 303
— модель 397, 398
— поля 316
Хоенберга — Мермина — Вагнера теоре-
ма 318
Центр масс 35, 37, 261, 262
Цилиндрические подмножества 63
— функции 109, 194, 235
Частица 258, 266, 267
Швингера функции 72, 116, 217, 243,
305, 327, 346, 375—378
Шредингера гамильтониан 40, 111, 129
— картина 24, 25
—	представление 25, 28—30, 34, 35,
38,40,110,233
—	уравнение 22, 24
Предметный указатель 441
Электромагнитное взаимодействие 27,
QK 9Q9_________QA9
Энтропия 48, 51, 94, 102, 308
Эргодичность 47, 91, 104, 109, 113,
379
Эрмита полиномы 27, 30, 32, 124, 127,
165, 190, 191
—	разложение 126
—	Фока представление 124
—	рекуррентное соотношение
170
Юкавы потенциал 38, 139, 141, 201, 204,
342, 387—388
Янга — Миллса теория 140, 204, 396
Оглавление
Предисловие редактора перевода...........................................б
Введение ............................................................... 9
Принятые соглашения	и	формулы .........................................12
Список обозначений...................................................... 14
ЧАСТЬ I. Введение в современную физику
Глава 1. Квантовая теория.............................................18
1.1	Общее представление о квантовой теории........................18
1.2	Классическая механика.........................................19
1.3	Квантовая механика............................................22
1.4	Интерпретация.................................................26
1.5	Простой гармонический осциллятор..............................27
1.6	Кулонов потенциал.............................................35
1.7	Атом водорода.................................................40
1.8	Зачем нужна квантовая теория поля.............................42
Глава 2. Классическая статистическая механика.........................44
2.1	Введение . .	 44
2.2	Классические ансамбли.........................................46
2.3	Модель Изинга и решеточные поля...............................53
2.4	Методы разложений в ряд.......................................бб
Глава 3. Формула Фейнмана — Каца......................................60
3.1	Мера Винера...................................................60
3.2	Формула Фейнмана — Каца.......................................64
3.3	Единственность основного состояния............................68
3.4	Перенормированная формула Фейнмана — Каца ....................70
Глава 4. Корреляционные неравенства и теорема Ли —Янга................73
4.1	Неравенства Гриффитса.........................................74
4.2	Переход к бесконечному объему...............................  77
4.3	^-неравенства.................................................78
4.4	Неравенство ФКЖ ..............................................82
4.5	Теорема Ли — Янга . ..........................................83
4.6	Аналитичность свободной энергии...............................86
4.7	Двухкомпонентные спины........................................89
Глава 5. Фазовые переходы и критические точки.........................90
5.1	Чистые и смешанные фазы.......................................90
6.2	Приближение среднего поля.....................................92
5.3	Нарушение симметри............................................96
Оглавление 443
5.4	Модель капли и оценка Пайерлса.............................100
5.5	Пример.....................................................104
Глава 6. Теория поля...............................................106
6.1	Аксиомы....................................................106
6.2	Свободное поле.............................................117
6.3	Пространство Фока и виково	упорядочение....................124
6.4	Каноническое квантование.................................  129
6.5	Фермионы...................................................133
6.6	Взаимодействующие поля.....................................137
ЧАСТЬ II. Функциональное интегрирование
Глава 7. Ковариационный оператор....................................142
7.1	Введение....................................................142
7.2	Свободная ковариация .......................................145
7.3	Периодические граничные условия.............................147
7.4	Граничные условия Неймана...................................148
7.5	Граничные условия Дирихле...................................149
7.6	Изменение граничных условий.................................150
7.7	Ковариационные неравенства..................................150
7.8	Общие граничные условия Дирихле.............................152
7.9	Регулярность оператора С в..................................158
7.10	Положительность при отражениях.............................161
Глава 8. Квантование — интегрирование по функциональному пространству 164
8.1	Введение............................................ ... 164
8.2	Диаграммы Фейнмана .........................................165
8.3	Виковы произведения.........................................168
8.4	Формальная теория возмущений................................171
8.5	Оценки гауссовых интегралов.................................173
8.6	Негауссовы интегралы для случая d = 2.......................179
8.7	Конечномерная аппроксимация.................................186
Глава 9. Анализ и перенормировки в функциональном пространстве . . .188
9.1	Список полезных формул......................................188
9.2	Инфинитезимальное изменение ковариации......................195
9.3	Квадратичные возмущения.....................................196
9.4	Перенормировка по теории возмущений.........................201
9.5	Решеточные операторы Лапласа и ковариационные операторы . . 205
9.6	Решеточные аппроксимации мер Р(<р)2.........................212
Глава 10. Оценки, не зависящие от размерности.......................216
10.1	Введение . .	 216
10.2	Корреляционные неравенства	для	полей	Р((р)2...........216
10.3	Монотонность и расщепление	при условиях	Дирихле или Неймана 218
10.4	Положительность при отражениях.............................220
10.5	Многократные отражения.....................................222
10.6	Несимметричные отражения...................................229
Глава 11. Поля без обрезания......................................  236
Ц.1 Введение....................................................236
11.2	Монотонная сходимость......................................236
11.3	Оценка сверху..............................................238
Глава 12. Регулярность поля и проверка аксиом.......................241
12.1	Введение.................................................,241
12.2	Интегрирование по частям.................................’ 243
444 Оглавление
12.3	Нелокальные qV-оценки .......................................246
12.4	Равномерность относительно	объема............................248
12.5	Регулярность поля Р(<р)г.....................................252
ЧАСТЬ III. Физические свойства квантовых полей
Глава 13. Теория рассеяния: нестационарные методы....................258
13.1	Введение....................................................258
13.2	Многочастичное рассеяние....................................261
13.3	Волновой оператор для квантовых полей.......................265
13.4	Волновые пакеты для свободных частиц........................269
13.5	Теория Хаага—Рюэля .........................................272
Глава 14. Теория рассеяния: стационарные методы......................278
14.1	Хронологически упорядоченные корреляционные функции .... 278
14.2	S-матрица...................................................281
14.3	Перенормировки .....	 282
14.4	Ядро Бете — Солпитера ......................................287
Глава 15. Магнитный момент электрона.................................292
15.1	Классический магнитный момент...............................292
15.2	Тонкая структура атома водорода и уравнение Дирака .... 294
15.3	Теория Дирака.............................................  296
15.4	Аномальный магнитный момент............................ ....	298
15.5	Сверхтонкая структура и лэмбов сдвиг в атоме водорода . . . 301
Глава 16. Фазовые переходы...........................................302
16.1	Введение....................................................302
16.2	Двухфазная область..........................................306
16.3	Сохранение симметрии (случай d —	2).......................316
16.4	Нарушение симметрии (случай d	3).......................320
Глава 17. Критическая точка в модели ф4..............................326
17.1	Элементарные соображения....................................326
17.2	Отсутствие четных связанных состояний.......................328
17.3	Оценка константы связи......................................329
17.4	Существование частиц и оценка производной dm2jd<5...........331
17.5	Существование критической точки	у модели	ф4................332
17.6	Непрерывность dp в критической	точке.....................334
17.7	Критические индексы.........................................335
17.8	т) 1........................................................338
17.9	Скейлинговый предел.........................................340
17.10	Гипотеза Г<6)	0............................................340
Глава 18. Кластерные разложения . ...................................342
18.1	Введение....................................................342
18.2	Кластерное разложение.......................................346
18.3	Кластерное свойство и аналитичность.........................351
18.4	Сходимость: основные идеи...................................353
18.5	Уравнение типа Кирквуда — Зальцбурга .......................356
18.6	Ковариационные операторы....................................358
18.7	Сходимость: завершение доказательства.......................362
Глава 19. От функциональных интегралов к квантовой механике .... 365
19.1	Реконструкция квантовых полей...............................365
19.2	Формула Фейнмана — Каца ....................................368
Оглавление 445
19.3	Самосопряженные поля.......................................370
19.4	Коммутаторы................................................371
19.5	Лоренц-ковариантность .	    375
19.6	Локальность................................................378
19.7	Единственность вакуума.....................................379
Глава 20. Дальнейшие направления................................... 383
20.1	Модель срз . .	....................................384
20.2	Суммируемость по Борелю...............................385
20.3	Евклидовы ферми-поля..................................386
20.4	Потенциал Юкавы.............................................337
20.5	Низкотемпературные разложения и	фазовые	переходы	....	388
20.6	Дебаевское экранирование и преобразование	sin-Gordon	....	389
20.7	В газе диполей нет экранирования......................392
20.8	Солитоны..............................................394
20.9	Калибровочные теории ......................................396
20.10	Модель Хиггса и сверхпроводимость.........................397
Литература..................................................   •	• . 399
Предметный указатель................................................436