А. Б. МИГДАЛ, В. П. КРАЙНОВ
ПРИБЛИЖЕННЫЕ
МЕТОДЫ
КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1966

ёзо.з
М57
УДК 530.145.1
АННОТАЦИЯ
В существующей литературе приближенные
методы квантовомеханических расчетов либо
вовсе не излагаются, либо даются с формально-
математической точки зрения. В этой книге приб-
приближенные методы излагаются с помощью нагляд-
наглядных физических соображений. По ходу изложе-
изложения приводится большое количество работ из
различных областей теоретической физики.
В конце каждого раздела даются задачи.
В основу книги положен курс лекций, ко-
который на протяжении последних десяти лет
один из авторов читал в Московском инженерно-
физическом институте.
Книга предназначена для студентов старших
курсов и аспирантов физических факультетов
университетов и инженерно-физических вузив.
Аркадий Бсйнусоеич Мигдал, Владимир Павлович Крайнов
Приближенные методы квантовой механики
М., 1966 г., 152 стр. с илл.
Редактор В. И. Рыдник
Техн. редактор Л. Ю. Плакшв Корректор М . Л. Липелис
Сдано о набор 11 VIII 1966 г. Подписано к печати 18/Х 1966 г.
Бумага 84хЮ8|/а«- Физ. печ. л. 4,75. Условн. печ. л. 7,98.
Уч.-изд. л. 7.33. Тираж 25 000 экз. Т-12772. Цена 26 коп. Заказ Jft 710.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-7 1, Ленинский проспект, 15
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Главиолиграфпрома Комитета по печати при Соиете Мцнистрои СССР
Москва, Ж-54, Валовая, 28.
2-3-7
2 1-U0

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I. Размерные и модельные оценки 7
1. Оценки математических выражений 7
Оценка производной F'(х) (8). Оценки интегралов (9).
Метод перевала. Асимптотическое выражение для гам-
гамма-функции A2). Свойства интегралов от осцилли-
осциллирующих функций. Оценки далеких членов ряда
Фурье A5). Оценки решений дифференциальных урав-
уравнений A9).
2. Аналитические свойства физических величин 23
Зависимость момента инерции ядра от деформации B3).
Зависимость частоты звука от волнового вектора B4).
Аналитические свойства волновой функции B5). Амп-
Амплитуда рассеяния при малых энергиях B6). Аналити-
Аналитические свойства диэлектрической постоянной B8).
Аналитические свойства амплитуды рассеяния C1).
3. Оценки в атомной механике 32
Оценки скоростей и размеров орбит внутренних элект-
электронов атома C2). Стационарные состояния C3). Рас-
Распределение электрического заряда в атоме C6). Фор-
Формула Резерфорда C8). Неприменимость классической
механики при больших прицельных параметрах C9).
Оценка сечения рассеяния для потенциалов, спадающих
с расстоянием быстрее, чем кулоновский D1). Резо-
Резонансные эффекты при рассеянии D2). Взаимодействие
между атомами D3). Ионизация атомов D4). Много-
Многократное рассеяние D5).
4. Оценки в квантовой электродинамике 47
Нулевые колебания электромагнитного поля D7).
Фотоэффект E0). Времена жизни возбужденных состоя-
состояний атома E4). Тормозное излучение E6). Образова-
Образование пар E9). Лэмбовское смещение F1). Расходимость
рядов в квантовой электродинамике F3).
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 2. Различные случаи теории возмущений . . . ¦: . . 65
1. Теория возмущений в непрерывном спектре. Рассеяние
заряженных частиц на ядрах 65
Рассеяние заряженных частиц на атомном ядре G1).
2. Возмущение граничных условий. Энергетические уровни
деформированного ядра 73
Энергетические уровни деформированного ядра G4).
3. Внезапные возмущения. Ионизация при р-распаде и
ударе об ядро 76
Ионизация атомов при Р-распаде G8). Ионизация
атомов при ядерных реакциях (81). Передача энергии
при вылете кванта из ядра молекулы (эффект Мёссбау-
эра) (83). -Задачи (85).
4. Адиабатические возмущения 86
Захват электрона протоном (перезарядка)(89).
5. Быстрая и медленная подсистемы 94
Колебательные уровни энергии молекулы (95). Возбу-
Возбуждение ядерных дипольных уровней быстрой частицей
(98). Рассеяние протона на атоме водорода (перезаряд-
(перезарядка; A01). Рождение мягких квантов при рассеянии («ин-
(«инфракрасная катастрофа») A03).
6. Теория возмущений в случае близких уровней .... 110
Частица в периодическом потенциале A12). Штарк-
эффект в случае близких уровней (ИЗ). Изменение вре-
времени жизни состояния 2si/2 атома водорода во внешнем
электрическом поле A14).
Глава 3. Квазиклассическое приближение 117
1. Одномерная задача 117
Асимптотические ряды A18). Сшивание квазикласси-
квазиклассических функций A20). Условие квантования A25). Точ-
Точность квазиклассического приближения A26). Нормиров-
Нормировка квазиклассических функций A27). Принцип соответ-
соответствия A28). Средняя кинетическая энергия A28). Связь
квазиклассических матричных элементов с компонентами
Фурье классического движения A29). Критерий приме-
применимости теории возмущений для расчета не слишком
малых величин A30). Надбарьерное отражение A32).
2. Трехмерная задача 135
Центрально-симметричное поле A35). Уровни энергии
в кулоновском поле A36). Квазиклассическое представ-
представление сферических функций A38). Распределение
Томаса — Ферми в атоме A40). Оценки ядерных матрич-
матричных элементов A45). Нецентральный потенциал A48).
Кзазиклассическая задача рассеяния A49). Сечение
рассеяния протона на атоме водорода A51).

ПРЕДИСЛОВИЕ
Главная задача этой книги — научить начинающего
физика качественным методам теоретической физики. Под
качественными методами мы понимаем прежде всего поряд-
порядковые оценки физических величин, рассмотрение явлений
с помощью упрощающих моделей, использование аналити-
аналитических свойств изучаемых величин и т. д. Кроме того,
сюда же отнесены приближенные методы решения уравне-
уравнений в тех случаях, когда может быть использована
малость какого-либо из параметров, характеризующих яв-
явление (малость возмущения, адиабатичность или внезапность
возмущения и т. д.). Эти методы применяются к задачам
квантовой механики и квантовой теории излучения.
Мы старались обратить внимание на качественную, физи-
физически наглядную сторону расчетов. Математические детали
по возможности опущены.
В каждом разделе после общей теории рассматриваются
ее применения в различных явлениях. Кроме того, даются
задачи, решение которых предоставляется читателю.
Книга возникла из курса лекций, которые читались
одним из авторов в течение нескольких лет в Московском
инженерно-физическом институте. Это в большой степени
определило выбор материала книги и характер изложения.
Мы стремились к простоте —у читателя предполагает-
предполагается только знание основ квантовой механики и математи-
математическое образование в объеме первых трех курсов инженер-
инженерных вузов. Вместе с тем, мы старались не повторять того,
что уже хорошо изложено. Многие вопросы, рассмот-
рассмотренные в книге, вообще не излагались в учебной ли-
литературе.
Книга состоит из трех разделов. В первом разделе ста-
ставится задача научить читателя размерным и модельным

6 ПРЕДИСЛОВИЕ
оценкам. Этот раздел начинается с оценок математических
выражений. Даются оценки производных и интегралов,
приводятся методы качественного решения дифференци-
дифференциальных уравнений, рассматриваются следствия, вытекающие
из аналитических свойств физических величин. Далее с
помощью модельных и размерных оценок получаются основ-
основные результаты квантовой механики и квантовой электро-
электродинамики (уровни энергии, сечения рассеяния, времена
жизни атомных состояний, лэмбовский сдвиг).
Во втором разделе изучаются различные виды теории
возмущений (адиабатическая теория возмущений, возмуще-
возмущение граничных условий, внезапные возмущения и т. д.).
В этом разделе задачи квантовой механики решаются
количественно, а не только по порядку величины, как в
первом разделе (ионизация атомов при р-распаде и ядер-
ядерных реакциях, перезарядка атомов, возбуждение ядер,
эффект Мёссбауэра, «инфракрасная катастрофа»).
Наконец, последний раздел книги содержит подробное
изложение квазиклассического приближения как для одно-
одномерных, так и для трехмерных задач квантовой механики
(граничные условия в одномерном и трехмерном случаях,
метод Томаса — Ферми, квазиклассическое представление
сферических функций, рассеяние на нецентральном потен-
потенциале и т. д.)
Авторы благодарят В. Я. Арсенина и И. И. Гольдмана
за просмотр рукописи и интересные замечания.
Мы рассматриваем эту книгу как попытку обучения
качественным приемам теоретической физики и будем
благодарны за любые исправления и замечания.
А- ЛЬагдал, В. Крайнов
Июнь 1966 г.

ГЛАВА 1
РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
Ни одна задача в физике не решается точно. Всегда
приходится пренебрегать влиянием каких-либо воздействий,
которые не существенны для изучаемого явления. При этом
нужно уметь оценивать отбрасываемые величины. Кроме
того, следует до получения количественного результата
исследовать изучаемое явление качественно, т. е. оценить
порядок изучаемой вели-
величины и по возможности
найти характер решения.
Цель этой главы —
научить читателя полу-
получать приближенные ре-
решения из размерных
оценок и с помощью
упрощенной модели изу-
изучаемого явления.
В некоторых случаях
размерные оценки позво-
позволяют получить и количественные соотношения. Докажем,
например, теорему Пифагора из размерных соображений. Из
размерности вытекает, что площадь треугольника (рис. 1)
можно записать как квадрат гипотенузы с3, умножен-
умноженный на произвольную функцию угла /(а). То же самое
относится к площадям двух подобных треугольников ABD и
BCD, для которых роль гипотенузы играют катеты исход-
исходного треугольника. Поэтому
Рис. 1.
I. ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Прежде чем производить оценки физических величин,
посмотрим, как делать более простые оценки, а именно —
оценки математических выражений, Принцип подобных

8
РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
[ГЛ. 1
оценок состоит в определении области переменных, вносящей
главный вклад в результат, и в выделении быстро и мед-
медленно меняющихся в этой области частей математического
выражения.
Оценка производной F' {х)
Если / — характерная длина интервала, на котором су-
существенно изменяется функция F(x), то внутри этого интер-
интервала F'{x) ~ F {x)/l.
Например, если F (лг)=:ехр ( -щ- J , то F (х) =
2х [ х2 N
= у2~ехр( —~w) и> следовательно, F'{l)~F {l)/l.
Однако для х, существенно отличных от лг<~/, такая
оценка не годится.
¦z-г
.2?
Рис. 2.
Для степенной функции F(x)^xn область существен-
существенного изменения определяется самой переменной х. Действи-
Действительно,
F' {х) = nxn~1~F {x)/x.
В некоторых случаях функция F(х) характеризуется
несколькими параметрами. Тогда в каждой области пере-
переменной х производная /7'(лг)-~-—^, где / — длина, на
которой F(х) существенно меняется в этой области. Пусть,
например, F(х) имеет вид, изображенный на рис. 2. Тогда
Вообще, в тех случаях, когда F (х) можно хотя бы
примерно нарисовать, ее производную лучше всего оце-
оценивать из графика.

1] ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Оценки интегралов
=J
X
*'
о
Если х <^ 1, то в подынтегральном выражении экспонента
X 1
Jdt С dz
}/~x* — t*= J УТ^Р • Так
о о
как в этом интеграле нет никаких параметров, то 1(х)~\.
Х<^. 1
Вычисляя, находим, /(лг)(^ лх/2. Если лг^>1, то из-за
X <^ 1
экспоненциального роста множителя е** главный вклад в
интеграл внесет область около точки t — x.
Если обозначить ?-=лт—t, то
х
Область ?, существенная в подынтегральном выражении,
сосредоточена около нижнего предела и имеет ширину
порядка \/2х. В этой области g2—1/4лг2<^; 1, следовательно,
е& pa 1 и
_ az e
2х
При х~"\ оба выражения для /(х), как это должно
быть, примерно совпадают и порядка единицы. Таким об-
образом, указанные оценки хорошо описывают / (х) во всей
области изменения х.
2. I (а, р) = $ е-а*г sin2 рлг dx.
о
Перепишем этот интеграл в виде
/(a, p) = p5

10 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [гЛ* ^
При z >> 1 подынтегральная функция быстро убывает, по-
?тому существенная область интегрирования 0 < z <C 1 •
Если p^Voc, то sjn —j^= Z много раз осциллирует в сущест-
V а
венной области значений z. Следовательно, sin2/—^=
можно заменить на 1/2 и интеграл /(а, Р) приближенно
равен
оэ
2!^ ^
где Сх—числовой множитель, равный '[/rsi/4:.
Если р <^ у ос, то в существенной области значений .г
^ , у
sin ^—Ztzi ]t—Z. Следовательно,
R2 ^ R2
z2*dc
где С2 — числовой множитель, равный ]/"я/4.
При Р = |/ ос оба выражения для / (а, C) совпадают и
равны 1 |/Z .
Заметим, что точное значение оцениваемого интеграла
равно
/(ее, p) = !|/-?L(i_e).
Легко видеть, что из него получаются оба предельных
случая Р^>]/с% и р <<g Ус:, приведенные выше. При р =-- ]/~<х
/(а, Р) =-г 1/ — ( 1 ), т.е. того же порядка, что и
4 р (X у ^ j
приведенные оценки.
Рассмотрим, наконец, интеграл
,—ах
С е~ах
i. /la, a) = \ —:— dx, a > 0.

1] ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ И
Заменим переменную интегрирования: х — az. Тогда
/(ее, а) принимает вид
со
-г
Область, где подынтегральная функция существенно отлична
от нуля, z ^ 1/сса.
Пусть а.а ^> 1. Тогда z <?; 1 в существенной области.
Следовательно,
оо
2г = — . A.1)
Если а#<^1, то в существенной области z^>\. Следова-
Следовательно, можно заменить z-\-\ttZ и e~aaz^^\. Поэтому
1/аа
I » Г ^-z = lnJ-. A.2)
Рассматриваемый интеграл выражается через интеграль-
интегральную показательную функцию Ei \x) *)
Если аа ;>> 1 то Ei (—аа)яз ,и мы получаем форму-
^ ' ч —аа J T
1
лу A.1). Если аа <<S. 1, то Ei ( — а.а)?ц\п— , что совпадает
с A.2).
СО
Задача. Оцепить интеграл / = \ sin ccx2 • e~$xdx.
о
1 гш
Ответ. I ~ -7=., /~ ш .
*) И. С. Г рад штейн, И. М. Рыжик, Таблицы интег-
интегралов, сумм и произведений, Физматгиз, 1962.

12 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
Метод перевала. Асимптотическое выражение
для гамма-функции
Получим асимптотическое выражение при больших х
для гамма-функции
= J e-*tx
х\ == Г {х + 1) = J e-*tx dt.
Г -t+xlnt
Запишем это выражение в виде \ е dt и вычис-
0
лим его по способу, который называется методом перевала.
Этот метод состоит в следующем. Рассмотрим интеграл
со
/ (х) = \ g (t) efl~x' *) dt, где еП*. О — функция, которая для
о
больших х имеет резкий максимум при t = t0 (x). Пусть
вблизи t0 (x) функция g(t) медленно меняется.
Тогда в окрестности максимума функцию gef можно
заменить более простой функцией. Для этого разложим
f{x, t) в ряд Тейлора в окрестности ее максимума t0:
Предположим, что |/" (х, to)\^>\/tl. Тогда
\ e 2 dt =
,)е'(л
Пределы интегрирования здесь заменены на [—оо, оо],
так как подынтегральное выражение экспоненциально зату-
затухает в области

1]
ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
13
Если заменить в A.3) t — ^0 = г?, то подынтегральное
выражение превратится в растущую экспоненту. Иными сло-
словами, в комплексной плоскости переменной t точка t0 яв-
является седловой (рис. 3). Направление интегрирования совпа-
совпадает с направлением наискорейшего спуска с перевала.
Отсюда понятно название
метода перевала.
Мы рассмотрели ча-
частный случай, когда на-
направление перевала со-
совпадает с вещественной
осью. Можно рассмотреть
и более общий случай,
когда направление пере-
перевала составляет произ-
произвольный угол с веще-
вещественной осью.
Итак, вычислим Г (х-{-\) методом перевала. Обозна-
Обозначим f(t) = —t-\-x\nt. Тогда из равенства нулю /'(t)
можно найти точку перевала tQ:
Рис. 3.
откуда *0 = лг. Далее, f"(to)=
точки перевала to=x
Следовательно,
Г (х+ 1) « ef
1
. Итак, вблизи
ta) 5
~zl dz — ~
A.4)
Эта асимптотическая формула называется формулой Стир-
линга. Для оценки ее точности напишем следующие члены
разложения f(t) вблизи точки перевала. Так как f'"(to) =
2х 2
= —— =—г" > то в показатель экспоненты добавляется

14 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
2
кубический член -^г—? (t — to)s. Учитывая его малость, разло-
жим в ряд экспоненту
а а-/ у I
Интеграл от этой поправки обратится в нуль из-за нечет-
нечетности подынтегральной функции. Поэтому, чтобы найти
поправку, нужно разлагать f {t) вблизи t0 с точностью до
it — toL*. Так как
* ч _ .__6fL = Ё_
¦О/ /4 х3 '
ТО
2
(* —fo)
Следовательно, поправка к Г(лг+1) имеет оценку:
е1
Итак,
Г
Интересно, что формула Стирлинга с большой точно-
точностью годится и для небольших значений х. Например,
даже для х=1 получаем по этой формуле
]/~2я -i- (\ +1^) = 0,995» 11 = 1,
при лг = 2
О0
Задача. Вычислить интеграл \ z'az dz методом пере-
• V4-
вала.
а 1
Ответ ¦¦7 ^ - е a

II
ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
15
Свойства интегралов от осциллирующих функций.
Оценки далеких членов ряда Фурье
Рассмотрим несколько примеров, поясняющих свойства
интегралов от осциллирующих функций.
1.
т
J
dt
со
¦оо.
Особые точки подынтегрального выражения находятся на
мнимой оси: t = zizi — . Вычислим этот интеграл, смещая
контур интегрирования в верхнюю полуплоскость (см. рис. 4).
Рис. 4.
Интегралы по Сг и С2 исчезают при смещении контура
в бесконечность. Поэтому рассматриваемый интеграл равен
интегралу по контуру С3-\-С4 + Сь вокруг точки ветвления
t = i — . Знаменатель подынтегрального выражения У a2 -\-v2t2
меняет знак при обходе точки ветвления. Поэтому интег-
интегралы по С3 и С4 равны (а не равны с противоположным
знаком, как это было бы в случае обхода простого полюса).
Интеграл по контуру Съ стремится к нулю. В этом легко
убедиться, заменяя — i =/-|-re"
причем г
—* О.
О. Тогда
Вводя переменную интегрирования х = — t, имеем:
CL
ао . (оах
аи J
dx
При больших со интеграл / экспоненциально мал.
7 (та

16 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
J.
2. /= J f{x)elkrxdx
при г—>-оо. Этот интеграл возникает при вычислении ампли-
амплитуды рассеяния (см. 2.1). Пределы интегрирования здесь
конечны. Интегрируя по частям, получим:
,ikrx
ikr
— 1
ikr
Итак, в случае конечных пределов далекие фурье-компо-
ненты малы степенным образом (вместо экспоненциальной
малости в случае бесконечных пределов).
3. Эти результаты можно обобщить: далекие фурье-
компоненты функций, не имеющих особенностей на вещест-
вещественной оси, экспоненциально малы. Если хг— характерная
длина /(х) (это означает, что расстояние от вещественной
оси до особой точки — порядка хг), то
/ш— $ /{х)еШхйх ~ е~шхк
— оо и>х, ^> 1
Оценим предэкспоненциальный множитель для фурье-
компоненты /ш. Если f(x) имеет полюс в комплексной
плоскости со, то
Действительно, вычет Сл функции / в точке полюса, как
видно из размерности, имеет порядок Сг ~ f {х-^) хг. Если
/(х) имеет точку ветвления корневого типа, то, как мы
видели на первом примере (стр. 15)
В случае конечных пределов
I

1]
ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
17
То же самое относится к интегралам в бесконечных преде-
пределах в случае, когда f{x) имеет скачки на вещественной
оси. Действительно, интеграл можно разбить на области
от —оо до места скачка и от места скачка до оо. Если
вычислять затем каждый из этих интегралов, то, как и
в только что приведенном примере, возникнет степенная
малость. В этом случае
Л, ~ *-' ,
со-»- со 1>
где Л/— величина скачка.
Легко видеть, что если скачок имеет л-я производная
функции f{x), то
f A/<">
/И '"*"' /у.И + 1 »
со -»• со ш
где Д/(П) — величина скачка функции fin)(x). Чтобы убе-
убедиться в этом, нужно проинтегрировать по частям п-{-\
раз величину /ш= $ f{x) еШх dx + $ f{x) еШхdx, где а —
— со а
место скачка.
4. Для иллюстрации этих результатов рассмотрим при-
пример, на котором будет видно, как в далеких компонентах
1 "N
о &
Рис. 5.
Фурье экспоненциальная малость превращается в степенную,
когда особенность функции приближается к вещественной
оси. Именно, рассмотрим интеграл
/
CD
J 1 +
dx, со = со0 — /б, б
а;>0.

18
РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
[ГЛ. 1
График функции /(.*)= 1+е«х имеет вид, изображенный на
рис. 5. Если а —»-оо, то эта функция стремится к
прямоугольной ступеньке. Функция / (х) имеет простые
полюсы в точках x — Bk+l)nt ^ где й —целое число. Если
ct
а,—*-оо, то каждый полюс приближается к вещественной оси.
Вычислим интеграл, смещая контур интегрирования
в верхнюю полуплоскость (рис. 6). Интеграл по Сг-\- С2
Рис. 6.
обращается в нуль при смещении контура в бесконечность.
Итак, рассматриваемый интеграл сводится к су?»ше вычетов
в полюсах верхней полуплоскости. Для нахождения вычета
разложим еах в ряд вблизи полюса xk:
{х — лгй)=: — \ —a,{x —
Тогда
/=—Л Res Je'°
dx
¦а (* —
a
. ло> Г
.2w е~~оГ
a L
Ряд в квадратных скобках представляет
собой геомет-
1
рическую прогрессию и его сумма равна
1-е
Л О)

1] ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 19
Следовательно,
/=2Я1 «>-*»/« ш
е а sh —-
а
Если со/а^>1, то рассматриваемый интеграл экспонен-
экспоненциально мал:
/ ^ 1 g-лш/а
(а/а. ^> 1
Это соответствует сделанному выше утверждению об экспо-
экспоненциальной малости далеких фурье-компонент в случае,
когда подынтегральная функция не имеет особенностей на
вещественной оси.
Если ее—*-оо, то
/ « -L.
л СО
Итак, когда особенность переходит на вещественную ось,
фурье-компомента становится малой степенным образом.
Задача Оценить далекую фурье-компоненту функции
) = xe~ 1^1.
Ответ. /ш « ^ .
Оценки решений дифференциальных уравнений
Приведем несколько случаев качественного решения
дифференциальных уравнений.
1. Квазиклассическое приближение (этот метод будет
подробно рассмотрен ниже, в 8.1).
При рассмотрении многих задач теоретической физики
требуется решить дифференциальное уравнение вида
q>" + k*(x)y = O. A.5)
Характер решения уравнения A.5) существенно зависит от
знака k2. Действительно, пусть А2 — постоянная положи-
положительная величина. Тогда решение имеет осциллирующий
характер: <p = eit'*x. Если кг <С 0, то решение экспоненци-
экспоненциально растет или затухает: ф^е1 ! * I ¦*. Решение уравнения
A.5) имеет такой же характер, и когда k зависит от х
(рис. 7).

20
РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
[ГЛ. 1
Если k2 (x) — большое положительное число, то прибли-
приближенное решение уравнения A.5) имеет вид
ф=/(л:)ехр {±/ J k(x)dx) ,
A.6)
где f{x) — медленно изменяющаяся функция. Действительно,
в этом случае ф' л* ± ik (х) ф и ф" л; — k2 (х) ф + ik' {x) ф.
Если k (x)—достаточно гладкая функция х, то k' <^.k2
для существенных х. Следовательно, решение A.6) приб-
приближенно удовлетворяет уравнению A.5). Можно найти и
следующую поправку (подробнее см. 3.1). Так как ф' =
= -у- ф ± *'&ф и ф" «^ —&2ф ± /А'ф + 2ik -!-г ф, то, подстав-
II U
ляя ф и ф" в A.5), находим
или
1
k
откуда
Итак, приближенное peuieHne уравнения A.5) в случае
больших положительных kz (x) имеет вид
ф « у= ехр /± / Г k {х) dx I
A.7)
Рассмотрим примеры,
а) Ф'
осхср = 0
ос >- о

1] ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 21
— уравнение для так называемой функции Эйри. Пусть сна-
сначала х > 0. Тогда &2 = алг>0, и согласно A.7) решение
при больших х имеет вид
1 ±— i V^F
Ф « Т7=е 3 • О-8)
х ->¦ <ж j/ ад;
Решение при х <С О можно получить аналитическим про-
продолжением A.8):
Ф
" 3
4/
Дополнительная фаза ехр (—ш/4) возникает при обходе
точки ветвления х = 0 (подробнее об этом см. 3.1).
Если fix2^><x, то \ k dx л; V^P \ x dx = -^ У$ х2. Следова-
Следовательно, асимптотическое решение при больших х имеет вид
1 ±±У$-Хш
2. Построим решение по поведению вблизи особых то-
точек. Зная решение дифференциального уравнения вблизи
особых точек, можно построить интерполяционные формулы
для решения во всей области изменения переменной. В ка-
качестве примера рассмотрим уравнение Томаса — Ферми
= -pj=q>3/., ф@)=1, Ф(оо)=0. A.9)
Оно возникает при нахождении самосогласованного поля
атома в квазиклассическом приближении (см. 3.1). Это
уравнение имеет две особые точки: х = 0 и л: = оо.
Найдем приближенное решение A.9) при х—»оо. Будем
искать его в виде ф = Л/л;а. Подставляя это решение в
A.9), получим
Аа(
3
2 ~ ' 2
3 1
откуда a + 2 = -~-a-t--=-, т. е. а = 3 и Л1/а =а(а+l)s

22 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
т. е. А = 144. Итак,
144
Ф ~ ~ ¦
X —*¦ 00 Х
Найдем поправку к этому решению при х—*¦ оо:
Ф я» ^ + ч|). A.Ю)
к—*¦ оо •*
Подставим A.10) в A.9). В линейном по -ф приближении
находим
Из A.11) видно, что ч|) степенным образом зависит от х.
Итак,
Для Р из A.11) получаем квадратное уравнение
откуда р = *' 'и . Годится лишь корень Р лг 3,77 > О,
для которого "ф —>- О. Следовательно,
х —*¦ с»
ф З" ' 3^7 ' ( 1 • 1 -^)
С той же степенью точности, что и в A.12), решение
можно написать в виде
144
Ф / с \ п >
где п и С—пока произвольные числа. Найдем такое /г,
чтобы ср(О) было конечно. Для этого должно быть 3—-0,77п — 0<
т. е. п =3,90. После этого константу С можно найти из
условия ф@)=1: 144/С3-90= 1, откуда С— A44)° -77/3 =
— A2"/аH'77. Окончательно,
(

АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
23
Это приближенное решение удовлетворительно согласуется
с точным решением, получаемым на машине (см. табл. 1).
X
0
0,3
0,5
1
Фприбл
1
0,67
0,56
0,38
Фточн
1
0,72
0,61
0,42
X
2
3
5
ТаС
Фприбл
0,22
0,14 "
0,072
•лица 1
Фточв
0,24
0,16
0,079
Задача. Найти асимптотическую оценку решения урав-
уравнения для вырожденной гипер геометрической функции (урав-
(уравнение
zu" + (Y — z)u' —a.u = 0).
Ответ, и — г^-^е*, и — j z |~а.
2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Все физические величины при реальных значениях пара-
параметров не должны обращаться в бесконечность. Иными
словами, на вещественной оси в реально достижимых
областях физические функции конечны. Единственные до-
допустимые особые точки — это точки ветвления. В каждом
случае для их появления должны быть физические причины.
В комплексной плоскости параметров физические функ-
функции могут иметь различные особые точки. Однако всегда
можно выделить области, в которых функции аналитичны.
Из свойств аналитичности можно делать важные заклю-
заключения о связях между различными физическими величинами.
Рассмотрим несколько примеров.
Зависимость момента инерции ядра от деформации
Для квантовомеханической сферической системы момент
инерции разен нулю, так как ее вращение не имеет физи-
физического смысла. Рассмотрим момент инерции J при малых
деформациях ё. С какого члена начинается разложение /

24 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
по степеням б? Легко убедиться в том, что выражение
J = Ад неправильно. Предположим, что J=A8 для поло-
положительных б («огурец»). Так как J всегда положительная
величина, то для отрицательных б («блин») по принципу
аналитического продолжения J = А | б | = А \/Г8^. Следова-
Следовательно, момент инерции как функция б2 имел бы в нуле
точку ветвления. Между тем, можно убедиться, что нет
никаких причин для появления особой точки. Действительно,
перейдем от слабо деформированного ядра к сферическому
с помощью соответствующего преобразования координат.
В гамильтониане появится малая добавка И'', пропорцио-
пропорциональная величине деформации б. Для конечной системы
применение теории возмущений дает сходящийся ряд. Сле-
Следовательно, момент инерции не имеет особой точки при
6 = 0. Поэтому разложение J по степеням б начинается с
квадратичного члена
Зависимость частоты звука
от волнового вектора
Как известно, при малых волновых числах k (т. е. боль-
больших длинах волн К= \Jk) в некоторых системах могут распро-
распространяться звуковые возбуждения с частотой (o = ck. Здесь
с — скорость звука. Так как со— скаляр, a k—вектор, то
это соотношение означает co = c)/r?2. Итак, при & = 0 ча-
частота <и как функция k2 имеет точку ветвления. Объясним,
почему здесь возникает особая точка.
Уравнения, описывающие состояние системы, инвариантны
при замене t—>—t, если нет диссипации. Поэтому урав-
уравнение для определения частоты всегда содержит со2, а не со.
Например, в классической механике уравнение Ньютона для
каждой колеблющейся частицы при малых колебаниях
имеет вид
Здесь т — масса л-й частицы, ип — ее смещение, a Fmn —
сила, действующая на л-ю частицу со стороны /га-й. Полагая
ип = иОпеш, получим дисперсионное уравнение для квадрата

2] АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 25
частоты звука со2 в виде
Следовательно, квадрат частоты со2, а не сама частота о>,
должен быть аналитической функцией параметров задачи.
Поэтому
со2 = а + c2k2 + bk4' + . . .
Для звуковых волн а=:0, следовательно, для малых k
частота со = с | k\.
Аналитические свойства волновой функции
Движение частицы в поле с потенциалом V (г) опреде-
определяется волновой функцией Ч*, которая подчиняется урав-
уравнению Шредингера:
Для сферически-симметрического потенциала V (г) радиаль-
радиальная и угловые переменные разделяются, т. е.
4 = Rn[{r)Ylm(Q,cp),
причем Rn[ (r) удовлетворяет уравнению
Обозначим Vl = V-\—^ ' и заменим R=— . Тогда для и
получается следующее уравнение:
и" + 2{Е— V[)u = O. A-14)
Так как волновая функция R во всех точках пространства
конечна, то и@) = 0.
Известно, что особые точки решения линейного диф-
дифференциального уравнения всегда совпадают с особыми
точками коэффициентов уравнения (кроме бесконечно
удаленной особой точки). Однако особые точки коэф-
коэффициентов могут и не быть особыми точками решения.
Например, в уравнении A.14) точка г = 0 — особая точка

26 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
коэффициента уравнения, так как Vt—>со. Если 1^0, то
Г->-0, Ijb о
при малых г можно пренебречь V (г) по сравнению с
/(/-{-1)/г2. Следовательно, уравнение A.14) приобретает
вид г2и" — /(/+1) и = 0, откуда и1-~г/ + 1 или и2~г~1.
Итак, существует решение и± ~ rl+1, которое не обраща-
обращается в бесконечность при г—^0.
Итак, особые точки решения уравнения Шредингера
A.14) могут быть только там, где потенциал имеет осо-
особенность.
Например, осцилляторный потенциал V = -^-ax2 имеет
особую точку на бесконечности. Поэтому и решение имеет
особую точку только на бесконечности.
Кулоновский потенциал, рассматриваемый как функция г2,
имеет особенность при rz=0. По этой причине радиальные
функции имеют особенность при г2 = 0, а именно, Rni{r2)
имеет в нуле точку ветвления (например, функция основ-
основного состояния R~~ e~ r). Ниже (стр. 53) мы увидим, что
эта особенность кулоновских функций приводит к важным
следствиям.
Амплитуда рассеяния при малых энергиях
Ч*-функция при больших г в задаче рассеяния имеет
асимптотический вид
г '
где /— амплитуда рассеяния.
Предположим для простоты, что рассеяние сферически-
симметрично, т. е. / не зависит от углов. Рассмотрим сфе-
сферически-симметричную часть ЦТ;
я
\у " _ __ _ \ eikr cos О sjn ¦Q, rfft _1 i_ ellir ==
4я r 2 J > r
о
Функцию и можно представить в виде
'f-etkr. A.15)

2] АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 27'
Если рассеивающий центр не поглощает и не испускает
частиц, то радиальный ток частиц равен нулю. Перекрест-
Перекрестные члены сокращаются, и оказывается, что ток равен раз-
разности токов, составленных из двух слагаемых и. Условие
равенства этих двух токов дает
или, иначе,
откуда получаем
1 f-i
im тг — r2, j — rii ifCy ^ I. i / j
где "л — вещественное число. Величину я можно выразить
через энергию связанного состояния частицы в рассеиваю-
рассеивающей яме (если такое состояние существует).
Действительно, функция и может быть аналитически
продолжена из области положительных энергий в область
отрицательных, что соответствует мнимым значениям к.
Пусть энергия связанного состояния равна — Ео. Обозначим
>со = ]/~2/:о. Тогда при /г = + Ыо Ч^-функция для положи-
положительных энергий должна переходить в ^-функцию связан-
связанного состояния. Поэтому в выражении для а при k=. -f- i>i0
не должно оставаться слагаемого с растущей экспонентой.
Подставляя A.17) в выражение A.15), получим
При к = 1к0 получаем
u J(e +е
zx0 \ х -j- щ
Для того чтобы можно было пренебречь растущей экспо-
экспонентой, необходимо х = —-<0. При k=—/х0 получается
это же условие. Таким образом, амплитуда рассеяния имеет
полюс
/ = ^-п:> AЛ8)
положение которого определяется энергией связанного со-
состояния.

28 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
Аналитические свойства диэлектрической постоянной
Аналитичность некоторых физических величин, как мы
увидим, есть следствие причинности. Рассмотрим, например,
аналитические свойства диэлектрической постоянной. Ин-
Индукция D(t), возникающая в системе при наложении элек-
электрического поля, определяется амплитудой поля Е во все
предыдущие моменты времени t — т (т > О). Итак,
{t — x) dx; A.19)
о
К{х)— вещественная функция, так как она связывает фи-
физические величины. Это соотношение вытекает лишь из
того, что следствие наступает позже причины. Разложим Е
и D в ряды Фурье:
dot, ?>=
Тогда из A.19) находим
со
$'°" dx,
откуда диэлектрическая постоянная
dx. A.20)
о
Величина еш аналнтична в верхней полуплоскости комплекс-
комплексной переменной со. Действительно, если обозначить
co = coo + 'tt>i> гДе <В] > О, то подынтегральное выражение в
A.20) содержит затухающую экспоненту е-°)»т , и поэтому
интеграл A.20) сходится, а следовательно, представляет
аналитическую функцию.
Нетрудно видеть, что аналитические свойства е и 1/е
совпадают. Рассмотрим длинный и короткий цилиндры ве-
вещества, на которые наложено внешнее поле Ео (рис. 8).
В случае длинного цилиндра поле внутри Е равняется внеш-
внешнему нолю Ео, а индукция D=eE0. В случае короткого
цилиндра индукция D равняется внешнему полю f0, а поле
внутри Е = Е()/г.

2]
АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
29
В первом случае D = '\ K1{x)E0{t— х) dx и е =
= \ Кг (т) emt dx. Во втором Случае поле Е определяет-
0
ся значениями E0=D в предыдущие моменты времени,
= \ K2{x)D {t — x)dx, откуда l/e = }A'2
о о
dx. Таким
Рис. 8.
Рис. 9.
образом, аналитические свойства е и 1/е совпадают. Следо-
Следовательно, диэлектрическая постоянная не имеет ни полюсов,
ни нулей в верхней полуплоскости.
со
Так как 8 (шг) = \ К{%) e-^^dx, то ввиду
С0> 0
веще-
ственности подынтегрального выражения и е (icaj | Ш1 > 0
вещественна, т. е.
Im e
= 0.
Используя аналитичность, можно выразить веществен-
вещественную часть диэлектрической постоянной через ее мнимую
часть. Рассмотрим комплексную плоскость to2. В этом
случае область аналитичности г представляет собой первый
лист римановой плоскости — все особые точки лежат на вто-
втором листе. Первый лист переходит во второй через разрез,
идущий вдоль положительных со2 от точки со3 —О (рис. 9).
Согласно теореме Коши
г-г'
С

30 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
где С—замкнутый контур, не содержащий внутри себя
особых точек f(z). Применим эту теорему к е(со2), взяв
в качестве С контур, изображенный на рис. 9. При боль-
больших со2, как мы увидим, 6 (со2) имеет вид б —*¦ 1 —^ ¦ П°~
этому для того, чтобы интеграл по контуру Со обращался
в нуль, нужно в качестве / взять функцию /=б— 1. Итак,
>i. A.21)
а>1 — со* х
Из рис. 9 видно, что этот интеграл сводится к обходу
разреза. Обозначим через ег (со2) значение б на верхнем бе-
берегу разреза, а через е2 (со2) значение е на нижнем берегу.
Покажем, что е2 (со2) = [е,, (со2)]*. Мы видели, чтоб вещест-
вещественно на мнимой верхней полуоси плоскости ш. Следова-
Следовательно, в плоскости со2 величина б вещественна на полуоси
ш2 < О. Продолжая аналитически это соотношение на верх-
верхний и нижний берега разреза, получаем
вх (а>а) = [г, (<ва)]* !„.>„. A.22)
Учитывая A.22), из A.21) находим
C С
б (со2) _ __
Итак, m
х xl l A.23)
(О Г (О2
о
т. е., зная мнимую часть диэлектрической постоянной 6,
можно восстановить всю величину 6.
Мнимая часть диэлектрической постоянной, определяю-
определяющая поглощение электромагнитных волн системой, отлична
от нуля только, когда частота волн совпадает с собствен-
собственными частотами системы соп. Иными словами,
1те(со2) = 2я;/габ(со2— ">«)• A-24)
п
Подставляя A.24) в A.23), получаем
^I^- A-25)

Ч) АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 31
При со2^>а>п величина s должна перейти в диэлектри-
диэлектрическую постоянную идеального газа электронов, т. е.
, 4яле2 _,
е —s- 1 —, где п — число электронов в единице объема,
а т — масса электрона. Таким образом, из A.23) и A.25)
получаем
1
—
Это соотношение называется правилом сумм.
Аналитические свойства амплитуды рассеяния
Аналогичным способом доказываются аналитические
свойства амплитуды рассеяния. Рассмотрим, например, рас-
рассеяние света заряженной системой. Пусть амплитуда рассе-
рассеянной волны характеризуется величиной В, а падающей — А.
Эти величины связаны друг с другом соотношением
B{t) = SA{t), A.26)
где ^—некоторый интегральный оператор. Сделаем пред-
предположение, что до момента времени t = О амплитуда падаю-
падающей волны на некоторой контрольной плоскости, рас-
расположенной до рассеивающей систем;,,1, равна нулю. Отно-
Относительно В можно утверждать, что В(t) = 0 для t<itl,
где tx > О .
00
Перейдем к фурье-компоненте Аш = \ A (t) еШ1 dt. Так
о
как A (t) = О при t << О, то Аш не имеет особенностей в верх-
¦X
ней полуплоскости. Аналогично имеем Вш = \ B(t) eia>'dt,
т. е. Вш также не имеет особенностей в верхней полупло-
полуплоскости. Из A.26) следует, что /?Ш = .5МШ. Отсюда видно,
что величина ^ может иметь особенности лишь в нулях А.
Но ^ не может зависеть от частного вида А, следовательно,
5 вообще ке может иметь особенностей в верхней полу-
полуплоскости. Оператор 5 линейно связан с амплитудой рас-
рассеяния / света. Поэтому дисперсионное соотношение для /

32 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. \
аналогично дисперсионному соотношению для диэлектриче-
диэлектрической постоянной е A.23):
/(со2)
__ 1 Г
—со2
В случае рассеяния света заряженной системой такое
выражение для амплитуды неверно, так как амплитуда при
больших частотах стремится не к нулю, а к сумме ампли-
амплитуд рассеяния на свободных частицах. Поэтому дисперсион-
дисперсионное соотношение нужно применять не к величине /, а к
величине /(со2)—/(°о) аналогично тому, как это делалось
в случае диэлектрической постоянной.
3. ОЦЕНКИ В АТОМНОЙ МЕХАНИКЕ
В этом разделе будут получены основные результаты
атомной механики. Для получения соотношений мы будем
использовать, кроме размерных, также модельные оценки.
Идея модельных оценок состоит в рассмотрении предельных
случаев и упрощенных вариантов задачи.
Оценки скоростей и размеров орбит
внутренних электронов атома
Для оценки скорости электрона на внутренней орбите
атома нужно составить величину с размерностью скорости
из величин, определяющих структуру атома, т. е. из массы
электрона т, постоянной Планка % и произведения заряда
ядра и заряда электрона Zee. Действительно, в уравнение
движения заряд электрона входит только в виде произве-
произведения на заряд ядра, поскольку при рассмотрении внутрен-
внутренних электронов влиянием других электронов можно пре-
пренебречь. Задача нерелятивкстская, поэтому скорость све-
света не войдет. Единственная величина размерности ско-
скорости, которую можно составить из от, Д. и Ze*— это
v coZez/fl.
Для оценки порядка величины радиуса внутренних орбит
электрона а воспользуемся тем, что потенциальная энергия
электрона Ze2/a порядка его кинетической энергии /иг/2,
т. е. Ze2/a ~ mv2 или a~1i2/Zme2.

3]
ОЦЕНКИ В АТОМНОЙ МЕХАНИКЕ
33
Из оценок а и v видно, что при рассмотрении атомных
явлений удобны единицы е — % = т=:1 (так называемые
атомные единицы). В этих единицах скорость света с = 137,2,
а масса протона Л1:=1840.
Стационарные состояния
Рассмотрим движение частицы в потенциальной яме
(рис. 10). Уравнение Шредингера для этого случая име-
имеет вид
причем Aa = 2(Zf—V). В классически доступной области
потенциальная энергия V меньше полной энергии Е. Следо-
Следовательно, волновая функция
Ч? осциллирует в этой об-
области (см. 1.1). В области,
где Е < V, ^-функция
экспоненциально затухает.
Энергию стационарных со-
состояний можно оценить из
условия, что характерный
размер / области, в которой
может двигаться частица,
содержит целое число п
полуволн де-Бройля.
Стационарные уровни
энергии нельзя получить,
исходя из одних лишь
размерных соображений, так
как величина п безразмер-
безразмерна. Мы будем делать мо-
модельные оценки, заменяя
реальную потенциальную Рис. 10.
яму ящиком (рис. 11) с
длиной, зависящей от энергии частицы. Длина де-бройлев-
ской волны
где р — импульс частицы. Для произвольной потенциальной
ямы К зависит от координаты х. Для оценки всегда можно
считать К ~- 1/J/ 2E, если Е отсчитано от дна ямы.
А. Б. Мигдал, В. П. Крайнев

34
РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
[ГЛ. 1
Итак, оценка стационарных уровней системы Еп получается
( }
из соотношения
где L (?¦„) — характерная длина области, в которой может
двигаться частица.
Для прямоугольной ямы ве-
величина L (?¦„) = L — длине ямы.
I/
Рис. 11.
Рис. 12.
Следовательно, L= "^_ , откуда Еп = ^^ . Это выражение
удовлетворяет принципу соответствия Бора: при больших
квантовых числах расстояние между соседними энергети-
энергетическими уровнями должно равняться классической частоте
движения Действительно,
dEn
/Г
2л
L 2L
2L
к л
где Т
Т —классический период движения, равный 2L/v.
Следующий пример — одномерный осциллятор, потенциаль-
потенциальная энергия которого K=ifi)V. Здесь ю-частота клас-
классического осциллятора. Заметим, что частота осцилляции
Т-функции около начала координат (рис. 12) больше, чем

3]
ОЦЕНКИ В АТОМНОЙ МЕХАНИКЕ
35
у краев ямы. Действительно, при х = 0 кинетическая энер-
энергия движения максимальна, следовательно, длина волны К
минимальна. При заданной энергии Еп характерная длина
области L, в которой может двигаться частица, находится
из условия V(L) =Еп. Итак, i- coU* ~En, откуда Ln~V~E~J«>.
Условие квантования A.27) имеет вид VE~J(a ~ п/\/"Ё~, от-
откуда En=iC1n(x>. Из принципа "'
соответствия следует, что У
Как известно, точное реше-
решение задачи приводит к спектру
осциллятора Еп= (п-\ ) а>,
т. е. при я = 0 энергия ко-
колебаний отлична от нуля. Это
связано с соотношением не-
неопределенностей: частица, дви-
движущаяся в малой области d,
не может иметь импульс, мень-
меньший ~ l/d. Энергия Е имеет
оценку Е — -р- -j- a>zd2. Возь-
Возьмем минимум этого выражения.
Эта минимизация соответ- Рис. 13.
ствует вариационному принципу
квантовой механики: Z? = min (яр | Н\ яр). В данном случае
яр-функция зависит от одного лишь параметра d. Выражение
для Е минимально при d ~ \/Vm. При этом Emin =
= С3й> (С3=1/2). Величина d^in -~ ]/со дает оценку квад-
квадрата амплитуды нулевых колебаний.
Рассмотрим движение в кулоновом поле (рис. 13). Огра-
Ограничимся случаем 1 = 0 (случай 1фО будет рассмотрен
квазиклассически на стр. 138). Существенная длина движе-
движения L находится из условия Е ~ Z\L, т. е. L ~ Z/E. Из усло-
условия квантования A.27) находим Z/En ~ п/У~Ё~п, т. е.
Z2
En — Ci—r- Число Сх найдем из принципа соответствия:
dn

36 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
Период классического движения
rt -Z/E
г dr Г
J J
dr 2nZ
ln+Z/r)
.-С^^^Г-гС,^K72, откуда C1=-i-.Око,ча-
1 Zz
тельно -с„= s—5> что. как известно, совпадает с точ-
ным решением.
Распределение электрического заряда в атоме
Распределение заряда в тяжелых атомах можно вычис-
вычислять с помощью приближенного метода, называемого ме-
методом Томаса — Ферми. При этом используется тот факт,
что в тяжелом атоме большинство электронов имеет боль-
большие квантовые числа. Длины волн электронов при этом
малы по сравнению с областью изменения потенциала.
Тогда плотность электронов в каждой точке атома можно
рассчитывать так же, как и плотность свободных электро-
электронов в потенциальном ящике с плоским дном.
Пусть наибольший импульс электронов в данной точке
равен р0. Тогда число состояний в интервале (р, p-\-dp)
равно dp/BnK. Поскольку в основном состоянии атома
электроны должны заполнять все состояния с импульсом,
меньшим р0, то число электронов в единице объема равно
(множитель 2 возникает из-за двух возможных проекций
спина электрона).
Обозначим через ср (г) электростатический потенциал
атомного поля. Согласно уравнению Пуассона
т. е.
р2
Свяжемр0 сф. Полная энергия электрона равна-^- ф('")>
Пусть 80--^максимальное значение полной энергии в каждой

3] ОЦЕНКИ В АТОМНОЙ МЕХАНИКЕ 37
точке атома, т. е.
2
ео = -у- — ф(г).
Величина е0 должна быть постоянной, иначе электроны
будут переходить из точек с большей энергией в точки
с меньшей энергией. Из двух последних формул находим
Дф /-^ (ф~Г~80K/2
ИЛИ
Дф ~ ф8/2,
если отсчитывать ф от —е0.
Определим радиус / области, в которой находится
большинство атомных электронов. Из последней формулы
имеем по порядку величины
-2-~ф3/а, откуда /'—'ф-1/4.
С другой стороны, величину / можно связать с числом
всех электронов атома Z:
Z~ nl3
или, учитывая соотношение Дф~/?*,
Z ~ Дф/3 ~ -^- /3 ~ ф/.
Сравнивая два последних выражения, находим Z^->l~i~l
или 1
Средняя энергия 8 атомного электрона по порядку
величины равна электростатическому потенциалу ф(/).
Так как / ~ ф~1/4, то получаем
е ~/~4 ~ Z*/3.
Полная энергия всех электронов Е имеет порядок
величины
E~eZ
Число узлов волновой функции есть ly 8~ Z1/3.
Итак, радиус К, Z-оболочки атома гк /^ 1/Z, расстояние /
(томас-фермиевский радиус) >~~> 1/Z1'3 и радиус наружных

38
РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
[ГЛ. 1
оболочек ~ 1, поскольку эффективный заряд для электро-
электронов наружных оболочек ~ 1.
Распределение электрического заряда в атоме рассмат-
рассматривается в разделе 3.2 подробнее.
Формула Резерфорда
Рассмотрим рассеяние легкой частицы с массой т и за-
зарядом е на тяжелой частице с зарядом Ze в нерелятивист-
нерелятивистском классическом случае. Сечение рассеяния не зависит
от массы тяжелой частицы; оно определяется скоростью
налетающей частицы v, ее массой и зарядами е и Ze.
Из закона Кулона следует билинейность сечения по зарядам,
т. е. сечение а будет
зависеть лишь от ком-
комбинации Ze2. Из этих
параметров можно соста-
составить только одну вели-
величину с размерностью дли-
длины, а именно
следовательно,
рассеяния
Рис. 14. _ /д\
сечение
Найдем зависимость сечения от угла рассеяния в пре-
предельном случае малых углов. Угол отклонения 0 прибли-
приближенно равен (рис.14) Q =^ р±/р, где р—импульс частицы,
а рх_ — импульс, возникающий в направлении, перпендику-
перпендикулярном к исходному. Вычислим pxS-
= § ?g cosadt =
-I
Zezp dt
_2Ze2 f*
~ Р» J
о
dx
2Ze2
pv
(интеграл берется сразу заменой x = tgy); здесь р — при-
прицельное расстояние (см. рис. 14). Следовательно,
U.28)

3] ОЦЕНКИ В АТОМНОЙ МЕХАНИКЕ 39
По определению дифференциального сечения рассеяния:
do = р dp dcp = р
dp
dcp = p
dp
sin 6 dB dcp
sin 0 >
или
-и-р|3|ап- <••»>
Используя A.28) и A.29), получаем формулу Резерфорда
для малых углов рассеяния:
*>.= (*z*Y±. A.зо)
V mv2 ) 6* "
Неприменимость классической механики при больших
прицельных параметрах
В классической механике полное сечение рассеяния
00
а = j 2тср dp
о
обращается в бесконечность для любых потенциалов (кро-
(кроме обрывающихся, как, например, потенциал твердого
шарика). В квантовой механике полное сечение конечно
для потенциалов, убывающих с расстоянием быстрее, чем
1/г2 (см. задачу). Покажем, что классическая механика
становится неприменимой при достаточно малых углах
рассеяния, т. е. при достаточно больших прицельных
параметрах р. Мы увидим, что с увеличением прицель-
прицельного параметра угол квантовомеханической дифракции Qd
уменьшается медленнее, чем угол классического рассея-
рассеяния 0КЛ. Поэтому, начиная с некоторого прицельного па-
параметра рх угол dd становится больше 0КЛ. Следовательно,
дифференциальное сечение рассеяния для прицельных пара-
параметров рассеяния, больших рх, нужно рассчитывать по кван-
товомеханическим формулам. Итак, хотя длина волны А.
здесь много меньше характерного размера, т. е. рх, условия
классичности рассеяния не выполняются, т. е. условие
Я<^рх — необходимое, но вовсе не достаточное условие при-
применимости классической механики.

40 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
Получим критерий применимости классической меха-
механики. Согласно оценке Ькл = Р±.1р заключаем, что
т. е.
Е
dV V
Здесь мы предположили, что -s— — — (см. стр. 8) (Е— энер-
энергия частицы, V — потенциал взаимодействия).
Для нахождения угла дифракции рассмотрим следующий
опыт. Экран с отверстием диаметра а ограничивает прицель-
прицельные параметры рассеяния значениями р ± а (рис. 15). Для
применимости классической механики необходимо, чтобы ши-
ширина щели а была много
меньше прицельного па-
параметра р, иначе само
понятие прицельного па-
параметра теряет смысл.
При сужении отверстия
возникает дифракционное
рассеяние. Чтобы можно
I было наблюдать откло-
I нение, необходимо,чтобы
дифракционный угол был
Рис. I5- много меньше угла рас-
рассеяния.
Из соотношения неопределенностей видно, что неопре-
неопределенность в координате а соответствует неопределенности
в поперечном импульсе Ар — Я/а. Следовательно, угол
дифракции
d ~ p pa '
где р — импульс налетающей частицы. Для применимости
классической механики необходимо, чтобы вкл^>9й, или
г. Тем более.
а
а
I
Это — общий критерий применимости классической ме-
механики для задачи рассеяния. Для потенциалов, спадающих
с расстоянием быстрее, чем кулоновский, классический угол
рассеяния убывает с ростом прицельного параметра сильнее,

3] ОЦЕНКИ В АТОМНОЙ МЕХАНИКЕ 41
чем 1/р. Поэтому всегда найдется прицельный параметр рх,
для которого 9КЛ ~ 6d. В случае резерфордовского рассея-
2Z2
2Ze2
ния 6 = и рассеяние будет для всех углов классическим,
если Zez/%v:^> 1.
Оценка сечения рассеяния для потенциалов,
спадающих с расстоянием быстрее, чем кулоновский
Мы получили, что классическая механика неприменима
при прицельных параметрах, ббльших plt которое опреде-
определяется из условия равенства классического угла рассеяния
дифракционному:
р^ = вм(Р1), A.31)
т. е. величина рг находится из соотношения
(Е—энергия налетающей частицы). Из A.32) можно найти рх
для любого конкретного вида потенциала V(p), спадаю-
спадающего с расстоянием быстрее кулоновского (для послед-
последнего обе части соотношения A.32) пропорциональны 1/р,
т. е. рг найти нельзя). Следовательно, при р < рх диф-
дифференциальное сечение рассеяния можно вычислять по фор-
формулам классической механики.
Полное сечение рассеяния
0 = лр
где сгдиф—дифракционное сечение рассеяния.
Если потенциал достаточно быстро убывает (V(r) <C 1/г2,
r-v со
см. задачу), то аДИф может быть оценено как дифракционное
сечение рассеяния на экране радиуса р1г т. е. аДИф имеет
порядок яр^, так что
а
Оценим полное сечение рассеяния для степенного потен-
потенциала V—а/г". Из формулы A.32) находим _]_

42
РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
[ГЛ. 1
откуда рх ~ (а/г»)". Следовательно,
При п, близком к 2, эта оценка не годится (см. задачу).
Задача. Определить, при какой степени убывания по-
потенциала полное сечение рассеяния конечно.
Резонансные эффекты при рассеянии
Рассмотрим сначала рассеяние на потенциале, имеющем
сильно отталкивающую сердцевину (рис. 16). Обозначим
через VQ и а соответственно высоту
и ширину потенциального барьера.
Предположим, что Vo ^> Е—энергии
налетающей частицы. Тогда на границе
барьера волновая функция обращается
в нуль: W (а) =0. Рассмотрим для
простоты сферически - симметричное
рассеяние и предположим, что при
г > а частица движется свободно,
т. е. ее волновая функция есть
сумма падающей плоской волны eikz
и расходящейся сферической волны
2 Ikr
— е , где /—амплитуда рассеяния.
Плоская волна eikz имеет сферически-
sin kr _ „
симметричную часть, равную—г—. Действительно, если раз-
разложить eikz в ряд по полиномам Лежандра: eikz = есkr cos 9 =
я
6), то /0 = ~- Г в**' СО3 9 sin 0 dQ = s12-hL . Итак,
Рис. 16.
4я j /• > a
fez-
'¦+т
Используя граничное условие 4r(a) =
ka = 0, ИЛИ
- sin fea ,.
J — ь
находим - -j--

3] ОЦЕНКИ В АТОМНОЙ МЕХАНИКЕ 43
Если энергия частицы такова, что ka — пл, где п — пе-
лое число, то /=0, т. е. сечение s-рассеяния обращается
в нуль. Этот резонансной эффект для отталкивательного
потенциала ослаблен тем, что при ka ^ 1 в рассеянии
существенны и волны с / Ф 0. Поэтому полное сечение рас-
рассеяния не обращается в нуль.
Как видно из выражения для амплитуды рассеяния,
наибольшее сечение получается при ka = Bn-\- l)-n- :
o = 4nfc2. При малых k{ka<^.\) сечемие а = 4ла2.
Резонансные эффекты при рассеянии используются
в так называемой просветленной оптике: на поверхность
линзы наносится слой вещества такой толщины, чтобы
разность фаз от слоя и линзы составила целое число п.
В результате на поверхности линзы не происходит отра-
отражения света и все потери обусловлены лишь поглощением.
Аналогичное явление происходит при рассеянии частиц
на потенциальной яме (К<0). Как и в случае К>0,
сечение рассеяния принимает различные значения в зави-
зависимости от фазы волновой функции у края ямы. При
определенных значениях фазы сечение обращается и нуль.
Этот эффект наблюдался впервые Рамзауэром при рассея-
рассеянии электронов на атомах. Классическая теория рассеяния
не может объяснить это явление. Другой пример, где
классическая механика решительно противоречит экспери-
эксперименту,— это захват медленных нейтронов ядрами. Сечение
этого процесса (-~ 4пК2) превышает классическое сечение
(сгкл = л/?2, где R — радиус ядра) в десятки тысяч раз.
Взаимодействие между атомами
Оценим величину взаимодействия нейтрального атома
с ионом и с нейтральным атомом на больших расстоя-
расстояниях. Ион создает электрическое ноле Е = ZJr2,
где Zt — заряд иона. Нейтральный атом, находящийся
в электрическом поле Е, приобретает дипольный момент
d = (xE, где а — поляризуемость атома. Следовательно,
взаимодействие иона с нейтральным атомом 1/ = — Ed =
= —Zla/r*. В атомных единицах а—'1, так как главную
роль в поляризации атома играют наружные оболочки, для

44 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
которых все величины /^ 1 в атомных единицах. Таким
образом, V~—Zl/rl.
Рассмотрим теперь случай, когда оба атома нейтральны.
Они индуцируют друг у друга дипольные моменты dx и
d2. Диполь-дипольное взаимодействие между атомами равно
Среднее значение dx и d2 по основному состоянию
равно нулю, так как атомы не имеют постоянных диполь-
ных моментов. Однако среднее значение d\, d\ отлично от
нуля, так как дипольный момент колеблется со всеми
возможными атомными частотами:
3 = 2 «А»*'"'-
<д>
Дипольный момент dlto создает поле Еш — ~^ ¦ Момент d2ui
в этом поле равен rf2<o = a2?'<o. Подставляя я!2<о в энергию
взаимодействия, получим после усреднения по времени:
Ионизация атомов
Оценим потери энергии при движении быстрого электрона
в газе. Налетающий электрон, сталкиваясь с электронами
атомных оболочек, выбрасывает их из атома. При большой
энергии налетающего электрона его угол отклонения ¦О1
мал. Поэтому сечение рассеяния на одном электроне обо-
оболочки определяется формулой -^——цр. > здесь р—импульс
электрона.
Обозначим через q изменение импульса налетающего
электрона; величина q связана с углом рассеяния ¦& соот-
соотношением q ?& рЬ-. Энергия АЕ, передаваемая при столкно-
столкновении, равна q*/2. Потеря энергии электрона на единице
длины пути равна:
где nZ—полное число электронов в единице объема, do —

3] ОЦЕНКИ В АТОМНОЙ МЕХАНИКЕ 45
дифференциальное сечение. Имеем:
dE _ Г о 1 1 о. , о.
Zn \№ Ц1п .
P2J <7 P2 <7min
Максимальный классический угол отклонения 'б'т'ах'~'1,
но он соответствует прицельным параметрам, много мень-
меньшим длины волны налетающей частицы. Такие прицельные
параметры квантовомеханически бессмысленны. Минималь-
Минимальный прицельный параметр, о котором можно говорить
в квантовой механике, имеет порядок длины волны К.
Отсюда Ошах ~ ——щ ~— и ?тах ~pi&max ~ 1.
Минимальный передаваемый импульс соответствует слу-
случаю, когда время пролета электрона т сравнивается с соб-
собственными временами (обратными частотами) атома 1/<о0.
При больших временах пролета поле налетающего электрона
не содержит фурье-компонент с атомными частотами и
вероятность ионизации резко убывает. Величина т ~ р/1^,
где v—скорость налетающего электрона. Итак, qmin нахо-
находится из условия — ~ — . Так как О ^—• 1 /р?", то Фт1п '--'
~ (D0/vE, a qmin ~ p®mia ~p(x>0/vE ~ a>0/p2. Следовательно,
dE Zn, р2
dx р* соо
Как мы видели (см. стр. 36), основная масса электро-
электронов атома расположена в области радиуса aQ/Zlf* и энер-
энергия каждого из них ~ Z4/*. Величина ш0 имеет порядок
v/a ~ Z*!*/Z-4> ~ Z. Поэтому
dE Zn, р2
Многократное рассеяние
Узкий пучок электронов при прохождении через среду
размывается по углам из-за многократного рассеяния.
Действительно, хотя отклонение электрона, скажем, на-
направо и налево, равновероятно, средний квадрат угла

46 РАЗМЕРНЫЕ Й МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
отклонения отличен от нуля. С аналогичным явлением мы
встречаемся в обыденной жизни, наблюдая, как закручи-
закручивается со временем телефонный шнур. При каждом теле-
телефонном разговоре шнур закручивается в ту или иную сто-
сторону равновероятно. Однако после большого числа разго-
разговоров шнур оказывается закрученным на угол, пропор-
пропорциональный квадратному корню из числа разговоров.
Поскольку разброс электронов пучка по углам пред-
представляет собой совокупность большого числа независимых
случайных процессов, то распределение по углам имеет
вид Ф(й) = Ае~ if&* (гауссово распределение). Средний
квадрат угла отклонения ¦&2 пропорционален числу столк-
столкновений N, равному отношению толщины образца L к длине
свободного пробега /. Если 'О* — средний квадрат угла
отклонения при одном столкновении, то
O» efW 0f
где а—сечение рассеяния, п — число ядер в единице
объема, а б2 — средний квадрат угла отклонения на единице
длины пути, т. е. 92 = /za0i. Так как, по определению,
Ь\ = — \ a(fl)fl2aQ, то W—n $ a (d) #2 я!О. Для резер-
фордовского рассеяния получаем
Эта формула годится как в релятивистском, так и в не-
нерелятивистском случае.
Рассмотрим два предельных случая: Ze2/hv^> 1 и
Ze2/Av<^\. В первом случае рассеяние для всех углов
можно считать классическим (см. стр. 40). Максимальный
угол рассеяния определяется из условия, что прицельный
параметр равен радиусу ядра R, т. е. ftma% ~ V {R)/E =
= ZJRE. Однако в случае рассеяния электронов значение
E~^Z\R противоречит условию классичности; в обратном
случае, который соответствует условию Z/RE > 1, •дтах-~1.
Минимальный угол отклонения определяется атомными
размерами а: ¦&т-1а~ Z/аЕ. Оценивая а по модели Тома-
Томаса— Ферми, находим &т\п ~ ZjZ~l13 E ~ Z4 *jE.

4) ОЦЕНКИ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 47
Следовательно, для электронов с Е <С ZJR
2nn~ In ~
V
?2
В случае, когда Ze2/TLv<^.l, классический угол откло-
отклонения меньше угла квантовомеханической дифракции •6>d.
Поэтому углы йщах и -&mia должны определяться следую-
следующим образом: 1&т1п~Угол дифракции на радиусе атома:
ПРИ -^-
¦dmax— угол дифракции на ядре:
Таким образом, в случае
б2 = 2пп н
Ъ
4. ОЦЕНКИ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Нулевые колебания электромагнитного поля
Как известно, энергия электромагнитного поля равна
о—\--о— } dr, гДе <? и SFC—напряженности электриче-
электрического и магнитного полей. Если в пространстве нет заря-
зарядов, то электростатический потенциал ю можно считать
1 дА
равным нулю. Тогда <^ = -=т-, Ж = rot А, где А—век-
А—векторный потенциал.
Разложим векторный потенциал по плоским волнам:
A = 2-^ft eikr -f-компл. сопряж.
Тогда для энергии электромагнитного поля Е получаем
следующее выражение:

48 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
Здесь нормировочный объем пространства, в котором нахо-
находится поле, считается равным 1.
Легко видеть отсюда, что энергия электромагнитного
поля равна сумме энергий невзаимодействующих гармони-
гармонических осцилляторов. Действительно, величина Лй играет
здесь роль координаты, Аи — скорости, 1/4лс2 —¦ массы
гармонического осциллятора. Частота осциллятора а>ц =
—, где а — жесткость, а т — масса. В данном слу-
случае a = k2/4n, /»=1/4лс2, следовательно, (Оц = ck. Первое
слагаемое в выражении A.33) представляет собой кинети-
кинетическую энергию электромагнитного поля, а второе — по-
потенциальную.
Итак, электромагнитное поле в пространстве без заря-
зарядов можно рассматривать как совокупность независимых
гармонических осцилляторов со всеми возможными значе-
значениями волнового вектора к.
Применим к совокупности гармонических осцилляторов
законы квантовой механики. Тогда энергия электромагнит-
электромагнитного поля равна
= 1/
где rift — номер возбужденного состояния осциллятора
с волновым вектором k (число квантов с волновым векто-
вектором k). Для простоты здесь опускается значок К поляри-
поляризации кванта. Он определяет направление ориентации век-
вектора Ak, лежащего в плоскости, перпендикулярной к к.
В основном состоянии все Пи = 0 (нет квантов) и Е =
= -н-2ю*- ГТри этом ни кинетическая, ни цотенциальная
Z к
энергии колебаний не имеют определенного значения.
Следовательно, ни напряженность электрического поля,
ни напряженность магнитного поля не имеют определенного
значения. Средние значения электрического и магнитного
полей при этом равны нулю, но средние значения от
квадратов этих величин отличны от нуля. Это означает,
что электромагнитное поле в пустоте колеблется. Эти
колебания называются нулевыми колебаниями электромагнит-
электромагнитного поля.

4] ОЦЕНКИ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 49
Теперь можно ответить на следующий вопрос: почему
атомы не находятся неограниченно долго в возбужденных
состояниях? Ведь возбужденные состояния есть точные
стационарные состояния уравнения Шредингера. Причина
заключается в том, что в пустоте всегда есть электромаг-
электромагнитное поле, с которым взаимодействует атом. В резуль-
результате состояния атома перестают быть стационарными.
Рассмотрим взаимодействие частицы с электромагнитным
полем. Для того чтобы найти изменение гамильтониана при
наложении поля, нужно импульс частицы р заменить на
р —А, где А — векторный потенциал поля. Следователь-
Следовательно, оператор кинетической энергии ~— преобразуется в
? —рА-\- к—г-^2- Последнее слагаемое в этом выра-
выражении мало. Его нужно учитывать в задачах, где первый
порядок теории возмущений дает нулевой вклад, например,
в задаче рассеяния кванта на электроне. Операторы Ak
играют роль координаты соответствующего осциллятора по-
поля и поэтому имеют матричные элементы, соответствующие
изменению числа квантов на 1.
Вычислим матричный элемент (Ак H1 перехода из вакуум-
вакуумного состояния в состояние с одним квантом. Для этого
найдем величину (Л|)оо = 2 (о | Лй| л) (л | Лй | О). Так как
п
оператор Ak рождает один квант (с частотой ыц), то
в сумме отличен от нуля только член с п=\. Итак,
I (Ak Hl | = к (| Ak |2H0. Для гармонического осциллятора
средние значения кинетической и потенциальной энергий
совпадают и равны половине полной энергии. Следова-
Следовательно, для основного состояния Тк = Uk = -FfEk —-J- ck.
Так как Uh = =- (| Ак\2H0, то т с/г =^- (| Лй | 2H0, откуда
(Л| H0 =-г~ • Следовательно,
И* )
oi
Аналогично находится матричный элемент от Ak для пере-
перехода из состояния с п квантами в состояние с /z-f-1
квантами.

YW
50 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
Таким образом, матричный элемент перехода частицы
из состояния фя в состояние <ря с испусканием кванта
равен
W
A.34)
Чтобы перейти к релятивистскому случаю, достаточно для
оценки заменить р/т на v. Здесь pt\k% — проекция импульса
на направление Аи (Щъ. — единичный вектор поляризации
кванта).
Фотоэффект
Рассмотрим фотоэффект: квант света поглощается
атомом, в результате чего из атома вылетает электрон.
*7тт
Число переходов за единицу времени равно -т- | V^a., |2 X
/Ь
X б (Е1 — Ej), где Et— энергия начального состояния, равная
сумме энергий кванта а>к и энергии электрона в начальном
состоянии ел,1} а Е^ = ер—энергия вылетевшего электрона.
Число переходов электрона за единицу времени в состоя-
состояния с импульсами р в интервале [р, p-\-dp] равно
= BНР J
Сечение фотоэффекта равно отношению числа перехо-
переходов за единицу времени к интенсивности потока квантов.
Последняя равна скорости кванта с, так как в нормиро-
нормировочном объеме ( = 1) находится один квант. Следователь-
Следовательно, по порядку величины имеем
С Bя)«с' Kl2' •
Покажем, что в выражении A.34) экспоненту eikr можно
заменить единицей. Действительно, волновое число

4] ОЦЕНКИ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 51
k = (d/c — //с, где /—потенциал ионизации атома; / ~ Z2
для внутренних электронных оболочек. Радиус этих обо-
22 1 2,
лочек ~ \/Z, следовательно, kr ~ =- ~ — <^г 1 и e'ftr=s=l.
Экспоненту eikr тем более можно заменить единицей для
наружных оболочек, где kr— 1/с = 1/137.
Так как (cpajocpaj = (сра^фа.,) = / (еХг — 8я,2) (фя.,гфя.2) =
= ш (фя^/'фя.г), то сечение фотоэффекта имеет порядок
величины
а ~ ¦?- со2 | (ФогФр ) |» ± ^ ^ | (фогФр ) |2.
Рассмотрим фотоионизацию /С-оболочки в двух предель-
предельных случаях, когда энергия вылетающего электрона много
меньше потенциала ионизации и когда она много больше
потенциала ионизации. В первом случае энергия кванта
близка к энергии ионизации I~Z2, т. е.
Возле порога реакции это сечение содержит множитель
р— }/" Е. Если бы матричный элемент гор не зависел от
энергии, то а — ]/ Е. Это — обычный результат для сечения
реакций вблизи порога. Зависимость сечения ~~\f E воз-
возникла из-за статистического веса конечных состояний:
8 (Z:-со)^- ^8(?-ю)р2йГр~ J б (Е- ш)рdE ~р.
В случае водородоподобного атома дело обстоит иначе:
сечение фотоэффекта при малых энергиях вылетающего элек-
электрона не зависит от энергии. Это связано с тем, что ди-
польный матричный элемент из-за корневой особенности ку-
лоновских волновых функций при г2 = О (см. стр. 26) ведет
себя как \/Ур вблизи порога реакции. Оценим гор вблизи
порога.
Волновая функция /С-электрона ф0 ~ e~Zr, и, следова-
следовательно, в дипольном матричном элементе существенны ма-
малые расстояния г ~ 1/Z. Для вылетевшего электрона
волновая функция на большом расстоянии от ядра имеет
вид плоской волны
A.35)

52 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
Таким образом, чтобы оценить гор , нужно найти фр при
r~l/Z. Для этого напишем уравнение Шредингера для
радиальной части волновой функции ир /г. ир -f- k2up = 0,
где k2 = 1{Е-\-Zfr). В 1.1 мы получили следующее прибли-
приближенное решение этого уравнения (так называемое квази-
квазиклассическое решение):
ир ^^cos^kdr-^j, k = V2(E + Z/r). A.36)
Здесь Е — энергия вылетающего электрона на бесконечно-
бесконечности, т. е. очень маленькая величина. Условия применимости
A.36): g~<^l (см* *•* и 3ll); отсюда получаем: -?- ~
и условие квазиклассичности движения имеет
вид Zr > 1, т. е. г> 1/Z. Итак, условие квазиклассично-
квазиклассичности движения выполняется вплоть до /f-оболочки атома.
Оценим нормировочный множитель А. Для этого рас-
рассмотрим ир на больших расстояниях г:
ир = -jy= cos (pr-\-a). A-37)
С другой стороны, при г—>- оо волновая функция ир /г
должна совпадать с радиальной частью первой гармоники
(оператор г меняет момент на 1) разложения плоской
волны е1Рг по полиномам Лежандра: e'prcos e = ~У^/,Р, (cos 8),
амплитуда которой ~\/рг. Следовательно, из A.36) на-
находим: Aj\fp ~ 1/р, откуда A~\j]fp. Итак, волновая
функция вылетевшего электрона фр при г ~ 1/Z имеет
1 / V~p~ V"~z~
оценку Ч,!—. ~ ~— .
г VZIr V р
Дипольный матричный элемент (фо^фр) имеет порядок
Так как квадрат дипольного матричного элемента обратно
пропорционален корню из энергии вылетающего электрона Е,
то сечение фотоэффекта а не зависит от энергии Е.

4j ОЦЕНКИ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 53
Итак, при Е — /<5С/ полное сечение фотоэффекта
а 1
или
§• A.38)
Рассмотрим другой предельный случай, когда энергия
вылетающего электрона много больше потенциала иониза-
ионизации. Оценим дипольный матричный элемент и сечение
фотоэффекта. Волновая функция непрерывного спектра
имеет вид фр = Fe'Pr, где F — функция, стремящаяся
Г -*¦ ОО
к единице при рг^>\. В матричном элементе (ФоРФо), как
мы увидим, существенны расстояния г<~ 1/р. Отклонение F
от единицы определяется величиной V\r)/E. При г~1/р
можно полагать F=s 1. Тогда в интеграле {q>opq>p) опера-
оператор р можно вынести из-под знака интеграла, заменив его
числом р. Учет поляризации квантов внесет лишь множи-
множитель порядка 1. Следовательно,
I2 - ~?
Интегрируя по углам, получаем
(фое'/"-) ~ Z3/* С e-Zr~^r2 dr=^- Г re-* I ' I sinpr rfr.
О —со
Оценим это выражение. Легко видеть, что вторая произ-
производная от функции /(/") = re~z ' г I имеет скачок при г = 0.
Поэтому далекие фурье-компоненты этой функции имеют
оценку (см. 1.1) ~ Z/p3.
Если бы потенциал V как функция г2 не имел особых
точек на вещественной оси, то волновая функция как скаляр
была бы аналитической функцией г2. В этом случае далекая
фурье-компонента волновой функции как функция энергии
была бы экспоненциально мала (см. 1.1). Мы видим, что сте-
степенная зависимость матричного элемента от энергии в нашем
случае возникает из-за того, что Т" в кулоновском потен-
потенциале как функция г2 имеет точку ветвления при г2 = 0.
Это связано с тем, что кулоновский потенциал 1/г имеет

54 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
особенность при г = 0. Полюсная особенность кулоновского
потенциала привела к корневой особенности в решении урав-
уравнения Шредингера.
Итак, матричный элемент {<рое'Рг) при р —*¦ со имеет оценку
э4, а сечение фотоэффекта
Z*p C2ZS 27'2C2
—г, т. е. а= ... , или а = —^г-2
A.39)
Здесь /—потенциал ионизации АГ-электрона, равный Z2/2.
Численный расчет показывает, что С2-^-10.
Если положить в A.39) энергию кванта Е равной по-
потенциалу ионизации /, то мы должны получить по порядку
величины формулу A.38). Однако, как показывают числен-
численные расчеты, формула A.39) дает при Е = / сечение, на
порядок большее, чем A.38). Это означает, что переход
от области Е — /<^/ к области Е^>I оказывается сильно
растянутым.
Времена жизни возбужденных состояний атома
а) Оценим время жизни состояния 2р водородоподобного
атома. Электрон из состояния 1р переходит в состояние Is,
испуская дипольный уквант- Число переходов в единицу
времени (обратное время жизни) равно
= 2л; J | Vn |2 ^8 (Е0-Е±-а>),
где V= рА — потенциал взаимодействия электрона с элек-
электромагнитным полем. Индекс 0 соответствует состоянию Is,
индекс 1 — состоянию 2р, ш — энергия Y~KBaHTa- Так как
то
dk = k2 dk dQ = k2 — dQ dca,
к 011 Bя)з •
Оценим матричный элемент перехода Vol; учитывая нор-
нормировку потенциала А электромагнитного поля (см. стр. 49),

4] оценки в квантовой электродинамике 55
находим
Здесь мы не интересуемся поляризацией Y"KBaHTa» которая
внесет лишь численные множители. Оценим матричный эле-
элемент импульса р:
со
Следовательно,
тгт, со2 1 ,ndk
Так как частота перехода со имеет порядок Z2, то окон-
окончательно находим
Оценим численно время жизни состояния относительно
дипольного перехода. Атомное время жизни имеет порядок
% 10~27 эрг-сек п ,, *-._¦¦
с3
Следовательно, тдип—^тат. Для атома водорода тдип ^>
<~ 107-10~17:= 10~10 сек. Точный расчет дает несколько
большие значения тДШ1.
б) Оценим время жизни квадрупольных переходов, на-
например, Зб?—*¦ \s. Ранее в операторе А электромагнитного
поля мы заменяли множитель eihr (k — волновой вектор
кванта) единицей (kr = — г~— <^1). При рассмотрении
\ с с J
квадрупольных переходов нужно разложить ешг в ряд, при-
причем главный вклад внесет член разложения ikr. Получаем
где ц — поляризация кванта.
Направим ось z по вектору г\, а ось х — по k (вектор
поляризации кванта ц перпендикулярен к волновому

56 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
вектору k). Тогда
т ^+**> ] 01
т/n Г 1 . , , 1 d
Первое слагаемое в этом выражении представляет собой
матричный элемент от _у-проекции момента количества дви-
движения, т. е. соответствует дипольному магнитному пере-
переходу. Произведение zx — это компонента квадрупольного
момента, т. е. второе слагаемое определяет вероятность
квадрупольного электрического перехода. Оба слагаемых
имеют одинаковый порядок величины.
Оценим численно время жизни состояния относительно
квадрупольного перехода. В отличие от дипольных перехо-
переходов, в матричный элемент добавляется множитель kr. Сле-
Следовательно,
_1 с*_
'''квад /~~' Т'дмп (krJ '"*"' дип Z2'
Для атома водорода тквад — 10~10 - 1 О* — 10~8 сек.
Задача. Оценить время жизни водородоподобного атома
по отношению к испусканию двух квантов.
Ответ, т /"•" cVZ6.
Тормозное излучение
Оценим эффективное сечение излучения ¦у-квантов ПРИ
рассеянии электронов на ядре. Предположим, что частота
у-квантов много меньше энергии электрона. Тогда излучение
слабо влияет на движение электрона и эффективное сечение
приближенно равно произведению сечения рассеяния элект-
электрона на вероятность испускания укванта-
Оценим вероятность испускания фотона при заданном
движении электрона. Уравнение Шредингера для фотона
в энергетическом представлении имеет вид
*Cn = 2^m»'c«'eV(U>"~U>"')'. A.40)

4] ОЦЕНКИ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 57
где V описывает взаимодействие электрона с электромагнит-
электромагнитным полем, а Сп — амплитуда состояния с п квантами с за-
заданными волновым вектором и поляризацией.
В основном состоянии Со = 1, а все С„ = 0. В первом
порядке теории возмущений отлична от нуля амплитуда
перехода в состояние с одним квантом, Сх. Из A.40)
получаем •
откуда
со оэ
— оо —со
Мы написали взаимодействие с излучением для бесспи-
бесспиновых частиц. Для частиц со спином взаимодействие услож-
усложняется, но по порядку величины может быть оценено по
этой же формуле.
Поскольку излучение не влияет на рассеяние электрона,
то скорость v можно считать заданной функцией времени.
Следовательно, так как А~1\е~~'кгшг\е с , то
,"в'-"в— t di> A.41)
где ц — единичный вектор поляризации кванта, п — единич-
единичный вектор -г- .
Так как время соударения электрона много меньше, чем
интервал t, существенный в этом интеграле, t~ —
ш
то можно считать, что скорость частицы в момент времени
^ = 0 скачкообразно изменилась с v = vL на v = v%. Тогда
из A.41) находим
/ . Vtt ч О . /. Vtt ч 00 л.
е
гсо I I
С / —со V С I о
Ш 1 —
vn

58 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
Для малых углов отклонения электрона и кванта из A.42)
получаем
здесь Дг» — изменение скорости электрона. Так как знаме-
знаменатели выражения A.42) при малых углах отклонения кванта
•6"к и электрона Фе имеют вид
v
с
с "т" 2 ' с "т" 2 '
то существенные углы отклонения ограничены условием
T
Оценим вероятность испускания кванта в интервал частот
[со, со -f- dco] при заданном изменении скорости электрона
Kv. Для этого умножим A.43) на статистический вес
конечных состояний кванта dfc/BnK:
Сечение тормозного излучения равно произведению
вероятности испускания кванта dW на сечение кулоновского
рассеяния для релятивистских электронов:
Т-И
или при малых углах рассеяния (sin
Найдем вероятность испускания кванта для произволь-
произвольного изменения импульса электрона. Для этого проинтег-
проинтегрируем A.46) по q. Будем считать электрон ультрареля-
ультрарелятивистским, т. е. 1—г//с<^1. Так как Ze2/rlc<^\, то мини-
минимальный угол отклонения будет определяться дифракцией

4] ОЦЕНКИ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 59
электрона на радиусе атома a~Z~ , а максимальный—
условием A.44).
Интегрируя A.46) по q, получаем
dor H Z2dto qmax Z* dm с
dq ~ --г — In ~—r — In—7- . A.47)
I
dq ч i,& со <7min
Оценим сечение тормозного излучения квантов с произ-
произвольными частотами. Интегрируя A.47) по о>, находим
^^^ A.48)
Максимальная частота кванта — порядка энергии элект-
электрона:
2
тс
G>max~
При Cumin^O выражение A.48) расходится (см. стр. 109).
Однако потери энергии электрона на тормозное излучение
dE С
будут конечными: —-т— = \ Л^о> doT.K, где N—число ядер
в единице объема. Окончательно,
dE Z*N д., с
¦Е In
dx с5 Z1/3
Образование пар
Напомним читателю, что релятивистски инвариантное
уравнение движения электрона — уравнение Дирака — при
заданном импульсе р электрона имеет собственные функции,
отвечающие не только положительным, но и отрицательным
значениям энергии: Е = ¦^угтгс^ -\-р2с2. Для того чтобы
объяснить, почему электрон не переходит в отрицательные
состояния с испусканием кванта, Дирак предположил, что
все отрицательные состояния в вакууме заполнены элек-
электронами. Тогда переход в эти состояния запрещен принципом
Паули. Незаполненное отрицательное состояние означает,
что в вакууме есть позитрон.
С этой точки зрения механизм образования пар анало-
аналогичен механизму фотоэффекта: квант переводкт электрон
из состояния с отрицательной энергией в состояние с поло-
положительной энергией. В пустоте такой процесс невозможен,

60 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
как это сразу видно из законов сохранения энергии и им-
импульса. В поле ядра процесс делается возможным, так как
электрон передает излишек импульса ядру.
Можно оценить сечение образования пар на ядре
аналогично тому, как это делалось для тормозного излу-
излучения: найти вероятность образования пар при заданной
величине передаваемого ядру импульса, а затем умножить эту
вероятность на сечение рассеяния электрона на ядре и про-
проинтегрировать по всем значениям передаваемого импульса.
Можно получить сечение образования пар, рассматривая
этот процесс как обратный тормозному излучению. Строго
говоря, процесс, обратный тормозному излучению, соответ-
соответствует поглощению кванта и переходу электрона из одного
состояния с положительной энергией в другое. Однако
в ультрарелятивистском случае, которым мы для простоты
ограничимся, собственные функции, соответствующие отри-
отрицательной энергии (т. е. соответствующие позитрону), мало
отличаются от функций для положительной энергии (ку-
лоновское поле ядра вносит малую поправку). Следова-
Следовательно, сечение образования пар можно приближенно рас-
рассматривать как процесс, обратный тормозному излучению.
Сечения прямого и обратного процессов относятся как
статистические веса конечных состояний. В случае тормоз-
тормозного излучения в конечном состоянии есть электрон и
квант, тогда как в случае образования пар — позитрон и
электрон. Но при больших энергиях статистический вес
кванта не отличается от статистического веса электрона
той же энергии, и поэтому сечение образования пар сов-
совпадает по порядку величины с сечением тормозного излу-
излучения, проинтегрированным по энергиям квантов порядка
энергии электрона. Таким образом,
Z2 , с
Потери энергии квантов на единице пути вследствие обра-
образования пар имеют порядок
dE NZ* „. с
, -ь- /— I г\
dA: с5 Z1/3
т. е. совпадают по порядку величины с потерями энергии
ультрарелятивистского электрона на тормозное излучение.

4] ОЦЕНКИ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 61
Лэмбовское смещение
Электрон атома, взаимодействуя с нулевыми колебаниями
электромагнитного поля, дрожит на своей орбите. Вследст-
Вследствие этого его заряд размазывается в пространстве и взаи-
взаимодействие с кулоновским полем ядра ослабевает. Таким
образом, уровни энергии из-за взаимодействия с нулевыми
колебаниями повышаются. Это явление называется лэмбов-
ским смещением. Оценим величину смещения.
Пусть б— отклонение электрона от равновесного поло-
положения из-за взаимодействия с нулевыми колебаниями. Тогда
изменение потенциала взаимодействия равно
— V{r)= §7б + Т
Здесь г — координата электрона относительно ядра. Усред-
Усредним это выражение по дрожанию электрона. Тогда 6 = О,
__ —_ . 1 I.-
а 6^ = б* = Ь\ = -Tj- б2. Следовательно,
х у z ?
Итак, для определения величины лэмбовского смещения не-
необходимо знать средний квадрат амплитуды дрожания элек-
электрона б2.
Уравнение движения электрона в поле нулевых колеба-
колебаний Е для оценок можно записать в виде
— б = -f- E-\- (?>1ТЬ,
где <вах — частота обращения электрона. Предположим, что
частота дрожания электрона много больше <ват. Тогда чле-
членом со|тб в этом выражении можно пренебречь.
Разложим в ряд Фурье отклонение электрона б и поле
нулевых колебаний Е:
2
ftA,
При этом мы предположили, что &б<^1. Ниже мы в этом
убедимся.

62 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ [ГЛ. 1
Уравнение движения электрона в фурье-представлении
приобретает вид
Средний квадрат амплитуды дрожания б2 равен
Найдем Е\^. Энергия нулевых колебаний типа kX равна
(нормировочный объем равен 1). Отсюда Е%\ = 2л<вАл.; сле-
следовательно,
Заменим суммирование по k интегрированием:
_ о (*4jtfe2dfe._ 1 Г <??_d<*>
(множитель 2 возникает из суммы по двум поляризациям
кванта). Тогда получаем
¦т-„ 2 Pdco 2 .
О2 = —s V — = —a In
СОг,
ЛС3 J СО ЛС3 СО mjn '
Каковы пределы интегрирования в этом выражении? сотах
определяется у&ловием нерелятивистского движения элек-
электрона в поле нулевых колебаний. Действительно, если элек-
электрон при дрожании приобретает релятивистский импульс,
то в уравнение движения войдет релятивистская масса
и 8ftX будет уменьшена. Поэтому интеграл обрезается ус-
условием k<z$cc, <в<^с2. При этом величина k?>, которой мы
пренебрегли, &6-~с-1'*<^ 1.
<вт1п определяется из того условия, что, как мы пред-
предположили, частота поля должна быть не меньше, чем ча-
частота обращения электрона на атомной орбите <ваг. Как
легко видеть из уравнения для 6, область а> <С шат вносит
малый вклад. Итак, о2 = —-= In —~^ . Так как б2 логарифми-

4] ОЦЕНКИ В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ 63
чески зависит от <umin и (Втах, то неточность в их опреде-
определении несущественна.
Смещение электронного терма в первом порядке теории
возмущений дается диагональным матричным элементом воз-
возмущения Н' по состоянию электрона Чг„, т. е.
где р — плотность заряда. Так как заряд ядра сосредото-
сосредоточен в области, малой по сравнению с радиусом электрон-
электронной орбиты, то электронную волновую функцию можно
взять в начале координат. Интеграл \ р dr равен заряду
ядра Z. Итак,
ЬЕ=^ЩЧа @) |» = g-1 ЧГа @) |« In
т. е. лэмбовское смещение определяется значением волно-
волновой функции электрона в начале координат.
Таким образом, смещение имеет заметную величину лишь
для s-электронов, так как только для них отсутствует цен-
центробежный барьер и электрон может находиться в начале
координат. Смещение электронных термов, обладающих
угловым моментом, будет значительно меньшим.
Лэмбовское смещение приводит к расщеплению термов
2si/2 и 2pilx водородоподобного атома. Согласно сказан-
сказанному выше уровень 2р^1г смещается значительно слабее, чем
2зЧг. Так как | W2s @) |2 = Z^/Sn, то 6?=||-glnJ =
11 Z2*
Расходимость рядов в квантовой электродинамике
В квантовой электродинамике используют теорию воз-
возмущений по электромагнитному взаимодействию. Действи-
Действительно, ряды теории возмущений содержат безразмерный
малый параметр е2/Ас да 1/137.
Покажем, что эти ряды асимптотические, т. е. расхо-
расходятся при увеличении числа членов. Существует оптимальное
число членов ряда, которое лучше всего изображает изу-
изучаемый процесс. Ниже это число будет оценено.

64 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ (ГЛ. \
Для этого прежде всего убедимся, что физические вели-
величины как функции е2 имеют особую точку при е2 = 0 и, следо-
следовательно, не могут быть разложены в ряд по степеням е2.
В качестве примера рассмотрим энергию вакуума (Дай-
сон, 1952). Если бы не было особой точки при е2 = 0, то
энергия вакуума не зависела бы от способа стремления е2
к нулю. Пусть энергия вакуума, найденная по теории воз-
возмущений, стремится к Ео. К какой величине стремится
энергия вакуума, когда е2—>-0 со стороны отрицательных
значений? Рассмотрим при е2 < О рождение в вакууме N
электронно-позитронных пар. При е2 < О электроны (так
же как и позитроны) притягиваются друг к другу. Опре-
Определим, при каком N процесс образования пар энергетически
выгоден. Пусть электронное и позитронное облака разошлись
на достаточно большое расстояние друг от друга, так что
отталкиванием между ними можно пренебречь. Энергию каж-
каждого из этих облаков можно оценить по методу Томаса —¦
Ферми. Находим, что выигрыш в энергии — Е— Nnlz. Про-
Проигрыш в энергии составляет 2тс2 на каждую электронно-
позитронную пару, а для всех частиц 2mc2N. Следователь-
Следовательно, если N4/3 > c2N, т. е. если Л/>с3/2, то рождение
электронно-позитронных пар оказывается выгодным.
При 7V~c3/2 величина ер ~ с2, поэтому нужно рассмот-
рассмотреть, какой результат получится в релятивистском случае.
Рассмотрим для простоты ультрарелятивистский предел. В
этом случае р0 ~ ср/с, следовательно (стр. 36), -%¦— ( — ) ,
откуда ф/ ~ с3'2. Так как N~-j^lz, то получаем N~ ф/~
~ с3'2, т. е. ту же оценку, что и в нерелятивистском случае.
Энергия системы при этом — Е -^ Мр -^ с3//, т. е. может
быть неограниченно понижена уменьшением /. Мы получили,
что электромагнитный вакуум при е2 <0 оказывается неус-
неустойчивым. Так как при е2 > О он устойчив, то это означа-
означает, что имеется особая точка при е2 = 0.
Рождение N электронно-позитронных пар соответствует
ЛЛму порядку теории возмущений. Найденное число Л/ ~ с3/2
указывает порядок числа членов теории возмущений, начи-
начиная с которого будет сказываться особая точка при е2 = 0.
Учет более высоких порядков теории возмущений не улуч-
улучшит, а ухудшит результат.

ГЛАВА 2
РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ
ВОЗМУЩЕНИЙ
Размерные и модельные оценки — это первый этап реше-
решения физической задачи. Затем встает вопрос о количествен-
количественном подходе. Уравнение Шредингера решается точно лишь
для очень малого круга задач. Наиболее распространенным
методом для его приближенного решения является теория
возмущений. Она применима, когда в физической задаче
есть малый параметр. Решение уравнения Шредингера ищется
в виде ряда по степеням этого параметра. Ниже рассматри-
рассматриваются различнее случаи теории возмущений, причем в каждом
случае теория иллюстрируется физическими примерами.
I. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ.
РАССЕЯНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ НА ЯДРАХ
Рассмотрим задачу рассеяния в случае, когда к рассеи-
рассеивающему потенциалу добавляется малый возмущающий по-
потенциал. Найдем изменение амплитуды рассеяния по теории
возмущений. В качестве примера изучим рассеяние заряжен-
заряженных частиц на атомных ядрах и вычислим добавку к ампли-
амплитуде кулоновского рассеяния из-за конечности ядра.
Пусть гамильтониан системы равен
где Н' — малая добавка, причем известно решение задачи
с гамильтонианом Ио:
Ноц>р =-- Ер ц>р .
Граничные условия, налагаемые на ср^, в случае задачи рас-
рассеяния (непрерывный спектр), могут быть двух типов:
Из них физический смысл имеют лишь функции ср+, соот-
соответствующие расходящейся сферической волне, однако для
3 А. Б. Мигдал, В. П. КраЯнов

66 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. U
вспомогательных целей бывают удобны и ср~ Каждая из
систем функций ф+ или ф~ является полной ортогональной
системой, т. е.
5 Ф/Ч;- dr = I Ф->-, dr = BяK б (р-р').
Требуется найти решение уравнения Шредингера
или
(Н„-ЕР)ЧГР=—Н'ЧГР. B.1)
Решение уравнения B.1) будем искать в виде суммы реше-
решения невозмущенной задачи (//„— Ер)у?р=0, т. е. ф+
и добавки, которую удобно разложить по собственным
функциям ф~ невозмущенной задачи, т. е.
(можно было бы сделать разложение и по ф+ но мы уви-
увидим далее, что разложение по функциям ф~ удобнее).
Для того чтобы описывать рассеяние, Wf должна удо-
удовлетворять граничному условию
w, * elP" + i- e'pr. B.3)
Г —»¦ Q0 А*
Функция ф+ удовлетворяет этому условию:
Ф+ ». е'Р'- 4- ~ е'рг
(/о — амплитуда рассеяния невозмущенной задачи). Поэтому
должно быть
Срр'ф-, »b-eipr.
Определим Срр>. Умножим B.1) слева на ф~,*. Учитывая
Нцфр' — Ер'Фр' и интегрируя по г, получаем
(?> - Ер) J Ф -/ЧГР dr = - J ф-,#Л'ЧГ, rfr
или, сокращенно,
(?-^-?'/,)(ф-[Т/,)=-(ф-,|//'|Т/,). B.4)

1] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ 67
При \р\ф\р'\ согласно B.2) получаем
Здесь использовано то, что при \р\=^\р'\ функции ф~, и
+ ортогональны. Из B.4) находим;
СрР ЕР-
Следовательно,
Интегральное уравнение B.5) эквивалентно дифферен-
дифференциальному уравнению B.1). Запись уравнения для Ч?р в
интегральной форме имеет то преимущество, что в этой
форме удобно получать последовательные приближения.
Именно:
dp' (ф-,|Я'|д?)
Bп)з Ер-ЕР' ф/'" \ B.6)
ф;
Bя)» ?р _?р, *•>'
И Т. Д.
Подынтегральное выражение B.5) [или B.6)] имеет осо-
особую точку при jp| = jp'|. Мы увидим, что способ обхода
особой точки определяет ,
асимптотический вид Wp, т. е. д р
ставит граничные условия. Мы * > „*.— » ^~*-
покажем, что именно указанный
на рис. 17 способ обхода (а не Рис. 17.
обход сверху и не интеграл
в смысле главного значения) дает граничные условия B.3).
Перейдем к вычислению интеграла в выражении B.6)
для Wp' при г—»-оо. Функция ф~ при г—»• оо имеет вид
ф- >- е{Р'гх + ^— е-{Р'г,
Р г-*- оо Г
3*

68 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ [ГЛ. 2
где
х— cos ^/ (р'г).
Первое слагаемое этого выражения приводит к интегралу
в B.6) вида
1
F (х) е'Р'гх dx.
Интегрируя по частям, имеем
Г F{x)eiP'rxdx = -Jr-ecP'rxF(x)
о ip г
— 1
1
L Г eiP'rXdFdx _ F{\)e!P'r-F{-\)e-iP'r
ip'r J e dxdXrZ* Тр-П-
Покажем, что часть этого выражения, содержащая е~1р'г,
исчезает в пределе г—>- сх> при интегрировании по dp'.
Нужно оценить интеграл
_ Контур интегрирования изобра-
изображен на рис. 17. Заменим кон-
Рис. 18. тур интегрирования наСх+ С2
(рис. 18), взяв б достаточно
малым, чтобы между старым и новым контуром не было
особых точек. Тогда величина интеграла B.7) не изменится.
В интеграле по С2 р' = | — гб, б > О, поэтому е~'Р'г =
— е~1Ьг.е~°г. Экспонента е~ог выносится за знак интеграла
B.7), и, следовательно, при г—> оо весь интеграл по С2
экспоненциально мал. На участке С, р''.= —it, и получается
интеграл
1 б н
"~\ Ф @ dt. B.8)
При г—>- оо интервал для t, существенный в подынтеграль-
подынтегральном выражении B.8), порядка [О, 1/г], следовательно, Eit

1]
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ
69
мало в этом интервале, Eit<^Ep. Поэтому интеграл B.8)
1 Г _г* ., 1
порядка —\ е at ~ -j-, т. е. мал степенным образом.
о
По тем же соображениям мала степенным образом и часть
интеграла в B.6), содержащая слагаемое —e~J'p'r асимпто-
асимптоВ этом и состоит преимуще-
Р'
if
тического выражения для ц>~.
ство базисных функций ф~ по
сравнению с ф + .
Следовательно, в B.6) ос-
остается лишь интеграл с е1Р'г.
Для его вычисления выбираем
контур, изображенный на
рис. 19. Как и для интеграла
с е~1Р'г, в этом случае ин-
интеграл по С^-\- Сь будет экспоненциально мал, а по Сх—-
мал степенным образом. Интегралы по С3 и С4 взаимно
уничтожатся. Следовательно, весь интеграл сводится к вы-
вычету в точке р'=р:
(qy! н'\ч>р) eip'r
Рис. 19.
dEpldp
где р'=zp
Окончательно:
Ip'r '
eipr
Итак, Wp имеет нужную асимптотику:
elpr
причем
,-pf
B.9)
Для нерелятивистских частиц можно заменить p/v = m.
В случае свободного движения ф+ и ф~ — плоские вол-
волны, /0 = 0, и мы получаем амплитуду рассеяния в так назы-
называемом борновском приближении:
/ = — /_ Г //' (г'
г' dr',

70 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 2
где
— передаваемый импульс при рассеянии: | q | = 1р sin-^-, a
9 — угол рассеяния.
Найдем критерий применимости теории возмущений в
непрерывном спектре. Принцип отыскания критерия любого
приближенного расчета состоит в том, что приближенно
вычисленная физическая величина должна быть велика по
сравнению с поправкой к ней от следующего порядка при-
приближения.
В рассматриваемом случае дополнительная амплитуда
рассеяния равна
В первом порядке теории возмущений Wp =Ц>? и
Во втором порядке теории возмущений
/2 = -?L J урН'Тф dr'~m§ qvН' -Ь e'Pr' dr'. B.10)
Условие /2//i<^l служит критерием применимости решения
в рассматриваемой задаче.
Пусть а — порядок величины области пространства,
в которой возмущающее поле Н' (г) заметно отлично от
нуля. Рассмотрим сначала случай ра^\. Тогда функции
tpi (а) по порядку величины равны единице. Следовательно,
амплитуда ft порядка И' {а) а3 и слабо зависит от угла
рассеяния. Поэтому f2/f1~H'fta2/fl~H'a2 и критерий
теории возмущений имеет вид
Н'а? <^ 1.
Рассмотрим теперь случай ра^>\. Более подробно этот
случай исследован в 3.1. Рассеяние в этом предельном
случае больших энергий резко анизотропно и направлено

1] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ 71
вперед. Действительно, в выражении B.9) величина
е
ipa. sin —
сильно осциллирует при ра^> 1 для всех углов рассеяния 9,
кроме 9^1/ра<^1. Для углов рассеяния Q^l/pa величина
ц>~* (а) ф + (а) по порядку величины равна 1 и амплитуда
рассеяния имеет оценку
Д (9) ~ Н' (а) а».
в ^ i/pa
Для углов в^>\/ра амплитуда /г (9) существенно умень-
уменьшается из-за осцилляции волновых функций ер*
Рассеяние заряженных частиц на атомном ядре
В качестве примера рассмотрим рассеяние заряженных
частиц (электронов или ц-мезонов) на атомном ядре. Будем
считать, что заряд ядра равномерно распределен по его
объему. Тогда потенциальная энергия частицы:
Здесь Z—заряд ядра, R—радиус ядра. Следовательно, воз-
возмущение имеет вид
( Z ( Ъ 1/-2NZ _
I О , г> R.
Согласно B.9) дополнительная амплитуда рассеяния равна
Действительно, Н' изменяется на расстоянии порядка R,
а ф —на расстоянии порядка 1/р. Для не слишком боль-
больших скоростей электронов pR<^.\ (в атомных единицах
/?^10~4). Поэтому в выражении для /х функции ф~ и ф +
можно выносить из-под знака интеграла в точке г = 0.

72 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 2
Вычисление дает
J/Г *• =
Следовательно,
Кулоновские нерелятивистские волновые функци ср± (О) рав-
равны*): для ноля отталкивания
ф± (О) 7= — g-Jt/2pp ( 1 _l__L)
" ]^BлK V — Р J '
для поля притяжения
где r(l± — )—гамма-функция. Окончательно получаем:
где знак минус относится к потенциалу отталкивания,
а плюс — к потенциалу притяжения; а0 — боровский радиус.
Дифференциальное сечение рассеяния d<y/dQ равно
где /0 — амплитуда кулоновского рассеяния. Поскольку /г
не зависит от угла рассеяния, а /0 убывает с увеличением
угла рассеяния, то учет конечности ядра существен при
больших углах, рассеяния.
Критерий применимости теории возмущений в этом слу-
случае (pl?<^.\) — это Н' R" <<* 1 или ZR2<St\; on выполняется
для всех реальных ядер.
Мы не интересовались рассеянием налетающей частицы
на атомных электронах. Амплитуды такого рассеяния мож-
можно вычислить, зная атомный форм-фактор. При не слишком
малых углах рассеяния влиянием атомных электронов мож-
можно пренебречь.
*) Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика,
Физматгиз, 1963, стр. 603.

2] ВОЗМУЩЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ 73
2. ВОЗМУЩЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ.
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ ДЕФОРМИРОВАННОГО
ЯДРА
В этом разделе рассматривается случай, когда возму-
возмущение наложено на граничные условия. Преобразование
координат позволяет привести граничные условия к невоз-
невозмущенному виду. Однако оно изменяет выражение для
гамильтониана системы. Это изменение гамильтониана и есть
возмущающий потенциал, влияние которого можно рассмо-
рассмотреть с помощью обычной теории возмущений. Теория по-
поясняется на примере расчета одночастичных энергетических
уровней деформированного ядра.
Пусть нам известно решение стационарной (или неста-
нестационарной) задачи с гамильтонианом Н(х) и граничным
условием на некоторой поверхности So:
Требуется найти решение задачи с тем же гамильтониа-
гамильтонианом Н(х), но с граничным условием
причем поверхность 5 близка к So (эта близость и есть
малый параметр в задаче). Для решения задачи следует
найти такое преобразование координат x!=fi(x'.), что
S (x)=S0(x'), т. е. в новых переменных уравнение поверх-
поверхности прежнее. Иными словами, если уравнение поверх-
поверхности So есть Фо(ху) = О, a S — Ф (Xj) = О, то должно
быть
Гамильтониан Н{х() = H(f{ {x'.)) в нозых переменных изме-
изменяется. Мы можем записать его в виде
где Н'{х'.) =//(/г- (х'.)) — И{х'.) и есть возмущение. Далее
применима уже обычная теория возмущений.

74 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 2
Энергетические уровни деформированного ядра
Пусть известны стационарные уровни энергии в сфери-
сферическом ящике, а нужно найти их в эллипсоидальном ящике
(стенки считаем бесконечно высокими). Уравнение поверх-
поверхности So имеет вид
фо (Xj) = О: 2 х) - #2 = 0,
а уравнение поверхности с> есть
Ф(ЛГ.)г=:О: 2ml ~
Введем новые переменные:
Тогда Ф(// (х'})) = Ф0 (x'j). При этом изменяется оператор
кинетической энергии частицы:
Следовательно, возмущение имеет вид
3
Оно малб, если все ас близки к R.
Рассмотрим эллипсоидальную деформацию ядра, считая
эллипсоид двухосным (с полуосями а и Ь). Параметром
деформации называется величина
ГЛ п Ct Ь
Считаем, что объем ядра не меняется при его деформации,
т. е. ab2 = R3. Если написать a = R{\ -j-6), b = R{\—bl),
где б, Ьг <=51, то в первом приближении из ab2 = R3 полу-
получим б — 2б1 = 0, т. е.
ft — 9 g

21
ВОЗМУЩЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
75
а
Тогда возмущение //' принимает следующий вид:
Н ~ 2М '
R2
R*
1 ¦ 2 ft
1-гТР
1 " 1
2 \дг* ^
*
0-4
¦]
+
Пусть 8^..— энергия частиц без учета деформации ядер
/от магнитного квантового числа она не зависит в силу
Рис. 20.
сферической симметрии поля). С учетом деформации в пер-
первом порядке теории возмущений получаем
В результате расчета находим
Зависимость en,ym от р схематически изображена на рис. 20.
Заметим, что У ед< -ст=: в"// , т. е. центр тяжести муль-
типлета не смещается при деформации ядра.
Задача. Вычислить ъп1т в квазиклассическом прибли-
приближении.

76 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 2
3. ВНЕЗАПНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ.
ИОНИЗАЦИЯ ПРИ Э-РАСПАДЕ И УДАРЕ ОБ ЯДРО
В рассматриваемых до сих пор примерах малым пара-
параметром задачи было относительное изменение гамильтониана
системы. Изучим случай, когда малым параметром является
время действия возмущения, но само возмущение не мало.
Ионизация при {i-распаде — один из примеров такого
возмущения. В этом случае скорость р-распадного электрона
много больше скоростей атомных электронов. Поэтому из-
изменение заряда ядра — внезапное событие для них. Другой
пример — ионизация при ударе быстрой частицы о ядро.
В этом случае внезапным событием для атомных электронов
служит отдача ядра.
Рассмотрим систему, волновая функция которой подчи-
няется уравнению Шредингера i-^r = tP? с гамильтонианом
HL(r), t<0,
Н2 (г), t > т.
Предположим, что гамильтониан системы сильно изменя-
изменяется за короткое время т. Введем полную систему функцн/t
гамильтониана Нг\
и разложим решение задачи XF по функциям ср^:
?(*)=2 «„(') qtf'*-ie»'*.
п
Запишем гамильтониан Н в виде // = //2-f- {Н—Н2) = //2-|- V.
Тогда
. дЧ? .v^1 B) _,-р<2>/ ldan . B) N
dt -Z-* ™п \dt п п) '
откуда
^ ЦптеЛ^-^}<атЩ. B.11)

3] ВНЕЗАПНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 77
Этот результат мог быть получен и без вычислений. Если
( 2 )
временно обозначить bn{t) = an{t) е~'гп ь , то фактически
разложение Ч? (t) =2^п \t) ф^2) означает переход от коор-
п
динатного к энергетическому представлению гамильто-
гамильтониана //2. Уравнение Шредингера в новом представлении
имеет такой вид:
откуда сразу же получаем уравнение B.11).
Интегрируя полученное уравнение, имеем
"п(*)-ап(О)= — г'2$ Vaaam{t)e m dt. B.12)
Матричный элемент Vnm обращается в нуль при t^>x. Пред-
Предположим, что (е^2' — е^>)т^1. Тогда экспонента под интег-
интегралом приближенно равна единице. Следовательно, для того
чтобы пользоваться последовательными приближениями,
должно выполняться условие Vx <^ 1 (возмущение не яв-
является малым, но оно действует короткое время).
В нулевом приближении из B.12) имеем а@> (t) = ап @).
Заменяя в правой части уравнения B.12) з первом прибли-
приближении am(t) на ат @), получим
Так как
т
то в первом приближении находим
а»1 @ = — / J (Ф^21 К| Т @)) dt.
о
Предположим, что начальное состояние W @) бьгло одной
из собственных функций Нх, т. е.
Следовательно, <зп @) = (q)^' | Ц?«2>). Итак, в нулевом при-

78 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 2
ближении вероятность перехода в состояние ф„2) есть
W««.=|(9iVl9«e>)la- B.13)
В пространстве векторов W (t) с базисом фге внезапное возму-
возмущение соответствует сильному изменению базиса: флх>—*фп2> »
при малом изменении волновой функции: W {t) яг W @).
Ионизация атомов при р-распаде
Расчет ионизации атома при р-распаде сильно упро-
упрощается, если использовать тот факт, что скорость р-рас-
падного электрона много больше скоростей атомных элек-
электронов. Покажем, что ионизация вызывается изменением за-
заряда ядра, а непосредственным взаимодействием атомного
и Р-распадного электронов можно пренебречь.
Сначала оценим вероятность электронного перехода, вы-
вызываемого непосредственным взаимодействием. Согласно
теории возмущений она равна
2
W— ~
J
t
dt
B.14)
Здесь Vnna — матричный элемент энергии взаимодействия, а
<о««о — частота перехода.
Оценим это выражение. Величина соЛЛо имеет порядок
атомных частот. Время пролета Р-распадного электрона т
много меньше атомных периодов, т. е. <йЛПот<^1. Поэтому
в B.14) можно заменить еШпп«1—>-1. Взаимодействие V
Р-электрона с атомным электроном имеет порядок вели-
величины е2/а, где а — величина порядка атомных размеров. Так
как при Р-распаде электрон вылетает из атома со скоростью
порядка скорости света с, то время вылета т ~ а/с. Следо-
Следовательно, вероятность W имеет оценку:
Вычислим теперь вероятность ионизации вследствие изме-
изменения заряда ядра. Как мы только что видели, волновая
функция атомных электроноз мало меняется за время выле-
вылета Р-распадного электрона. Поэтому вероятность ионизации
электрона, находившегося в состоянии х?% в поле ядра с

3]
ВНЕЗАПНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
79
зарядом Z, согласно B.13) равна
^0,? = |(Tf|?|+1)|a. B.15)
Здесь ^?%+1 — волновая функция вылетевшего электрона
с энергией ?¦> О в поле ядра с зарядом Z+1- Полная
вероятность ионизации из-за изменения заряда ядра равна
B.16)
=$ W0,EdE.
Оценим B.16). Для этого разложим функцию f(Zt, Z2) =
= (л?о1\л?%г) в ряд по разности Zx — Za:
f(Zt, Z2) я
Производная -s^-
_ = f Ч^1 ^гу- ) —-y~ ¦ Следовательно,
Итак, относительное влияние непосредственного взаимодей-
взаимодействия имеет порядок величины
Оно выполняется для всех ядер, кроме самых тяжелых.
Из B.14) можно сделать заключение о правилах отбора
для рассматриваемого процесса. В случае ионизации внутрен-
внутренних оболочек самосогласованное поле, в котором движет-
движется электрон, можно считать сферически симметричным, сле-
следовательно, W = Rnl(r) Ylm (9, ср). Подставляя это Ч' в B.14),
получим правила отбора:
Для наружных оболочек эффективный заряд Z, действую-
действующий на атомные электроны, порядка 1. Следовательно, со-
согласно B.17) и вероятность ионизации Wk~\. Это под-
подтверждается экспериментами по накоплению положительных
ионов при р^-распаде.

80
РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 2
Вероятность ионизации можно вычислить до конца для
К- и L-оболочек. В этих случаях существенна область вблизи
ядра, где функции ^Pf и W%+x можно считать водородо-
водородоподобными (пользование водородоподобными функциями вно-
вносит погрешность порядка \/Z).
Вероятность ионизации быстро убывает, когда энергия
вылетающего электрона становится много больше потен-
потенциала ионизации. Действительно, в этом случае функция ?|+1
много раз осциллирует на атомных размерах и-интеграл B.15)
мал. Таким образом, вылетающие электроны имеют энергию
между нулем и величиной порядка потенциала ионизации.
Получим вероятность ионизации для /«С-электрона, когда
энергия вылетающего атомного электрона много больше
потенциала ионизации. Радиальная волновая функция R2?*1
при больших энергиях должна совпадать с радиальной функ-
функцией свободной частицы:
Re
г V я/г
sin kr.
Здесь k=V2E.
энергий:
Следовательно,
Функция R
Е нормирована
= 8(Е-Е').
~ 2
"" я/г
00
Г Rf sin kr
0
на
интервал
rdr
2
r'dr
Для /С-электрона Rf = 2Z3/2e-Zr. Следовательно, нужно вы-
числить интеграл /= \ re~Zr sinkr dr при k—>- с». Интегри-
0
руя его по частям, получаем f m 2Z/k3 (интеграл вычис-
вычислялся в 1.1, стр. 19, и на стр. 53).
Итак, при Е^> Z2 вероятность ионизации /С-электрона
приближенно равна:
8Z3/2Z\2 32 Z5
7ik \ fe3 J Л k7
или W,
2 V~2 Z*
Л

3] ВНЕЗАПНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 81
Ионизация атомов при ядерных реакциях
При ядерных столкновениях с большой передачей энер-
энергии должна происходить ионизация атомов отдачи. Если
скорость, приобретенная ядром, невелика, то ядро успевает
увлечь электроны, и ионизация происходит только в наруж-
наружных, слабо связанных оболочках. Наоборот, при больших ско-
скоростях ядро вылетает из оболочки, не увлекая ее за собой.
Вычислим вероятность ионизации при ударе нейтрона о
ядро. Время соударения нейтрона с ядром т ~ R/vn, где
R— радиус ядра, ¦»„ — скорость нейтрона. Это время много
меньше электронных периодов тэ. Поэтому за время столк-
столкновения электронная волновая функция практически не ме-
меняется.
Если обозначить через va скорость, приобретенную яд-
ядром, то смещение / ядра за время соударения имеет поря-
порядок величины / ~ vsx ~ — R ~ —-—- R <^ R, т. е. / много
меньше размеров электронной оболочки. Следовательно,
ядро практически не смещается за "время удара.
Перейдем к системе координат, в которой ядро после
соударения покоится. Тогда волновая функция начального
состояния преобразуется в выражение
где г>я — скорость отдачи ядра. Это выражение проще все-
всего получить, разлагая Ч^-функцию по плоским волнам и
сдвигая каждый из импульсов этих волн на величину va.
Пусть хР1{г1,г.2, ••-) обозначает конечное состояние ато-
атома. Вероятность возбуждения согласно B.13) равна
Критерий применимости этой формулы: т<^тэ. Его мож-
но записать также в виде —<<$— или 1ия^>—f3, где а —
величина порядка размеров изучаемой оболочки.
Из выражения B.18) можно получить формулу для ве-
вероятности перехода одного фиксированного электрона. Так
как взаимодействие между электронами мало по сравнению
с полем ядра при Z;>>1, то

82 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 2
где Wx—вероятность перехода рассматриваемого электро-
электрона, a W2 — вероятность возбуждения всех остальных элект-
электронов.
Суммируя по всем конечным состояниям, получим ^jW± —
1
= 1, ^ХРъ = \. Следовательно, вероятность перехода рас-
2
сматриваемого электрона из состояния ч|H в состояние ij3n
равна
W^W1^Wt = \[^n^'T^odr\». B.19)
2
Если скорость ядра много меньше скорости электрона
(но г»я^>г»э — J , то экспоненту в B.19) можно разложить
в ряд. Нулевой член разложения исчезает из-за ортогональ-
ортогональности функций ijH и •ф„. Пусть скорость va направлена по
оси z. Тогда
^=^|(Ч>я|*1Ч>оIя- B-20)
Наоборот, если г»я^>г»э, то экспонента elv*^rt в B.18)
[или B.19)] быстро осциллирует. Следовательно, вероят-
вероятность перехода W не мала, только если W± ~ е~'дая2'Ч)
т. е., когда электроны в новой системе движутся со скоро-
скоростью— V9. В лабораторной системе координат это соответ-
соответствует тому, что электронная оболочка не увлекается ядром
при ударе.
Если скорость ядра г»я больше скорости внешних элек-
электронов, но меньше скорости внутренних электронов, т. е.
l<T»a<Z, то внутренние оболочки атома увлекаются яд-
ядром, а наружные — нет. Заряд получающегося иона равен по
порядку величины числу электронов на наружных оболочках.
Такие соображения позволяют оценить заряд осколков
при делении. Заряд определяется как число электронов со
скоростями, меньшими чем скорость осколка (см. стр. 85).
Для атома водорода и для внутренних оболочек других
атомов вычисления можно довести до конца. Вероятность
ионизации и возбуждения для этих случаев приводится в
задачах.
Оценим полную вероятность возбуждения и ионизации
W при г»я<^1. Из B.20) находим

3] ВНЕЗАПНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 83
где Сг — число порядка единицы. Из решения задачи 6 сле-
следует, что вероятность атому водорода остаться в основном
состоянии равна
т —I
w 00
Отсюда находим, что для атома водорода Сх=\.
Передача энергии при вылете кванта
из ядра молекулы (эффект Мёссбауэра)
Предположим, что квант с энергией %(л вылетает из
ядра, входящего в молекулу. Если fiai мало, то молекула
получает слабый толчок и воспринимает отдачу как единое
целое. Если Й.со велико, то ядро вылетает из молекулы —
происходит возбуждение системы (те же соображения при-
применимы и к металлам: при малом со отдачу воспринимает
вся кристаллическая решетка).
Оценим время вылета т кванта из ядра; т — это время
пролета пакета радиуса Х = с/со через область ядра, т. е.
т ~ Х/с = 1 /со. Эта оценка неверна при X </?, где R — ра-
радиус ядра, т. е. при со>-с//?—137>104-27 эв ~ 40 Мэв.
Время т ничтожно по сравнению с временами, характе-
характеризующими колебания и вращения молекулы. Следователь-
Следовательно, Ф-функция молекулы не успевает измениться за время
вылета кванта. Задача напоминает задачу об ионизации при
ядерных реакциях. Волновая функция молекулы в началь-
начальный момент после испускания кванта имеет вид
где v — скорость отдачи, гг — радиус-вектор ядра, из кото-
которого вылетел квант, М—масса атома. Функция W описы-
описывает основное состояние молекулы. Вероятность того, что
молекула останется невозбужденной, равна
W0 = \(W0\e'^\W0)\*. B.21)
Если Mvrx<^\, то Wo -n_ 1, т. е. отдача воспринимается
всей молекулой, возбуждения нет.

84 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 2
Оценим частоту ^"кванта Ш1 начиная с которой возбуж-
возбуждаются колебательные степени свободы молекулы. Как мы
увидим, амплитуда колебаний имеет порядок величины
l/'l/М. Поэтому в B.21) гх~1/?/Ж. Следовательно, для
того чтобы колебания не возбуждались, должно быть
Mv ¦. _= <^С 1, Так как импульс ядра pa = Mv равен импуль-
У М.
су кванта tioi/c, это условие означает, что %(лjс <^у/М,
или со<г; 137 у/М (в атомных единицах); в эв:
<о<^ 137 \/ 100-1840-27 эв —- 70 кэв
(здесь взято ядро с Л'--100).
Критерий применимости B.21):
foot ^> /too -V- 1 [\/~М ~ 27 ~ 0,06 эв,
У 100-1840
где оэкод—: колебательная частота молекулы.
Оценим теперь частоту кванта, начиная с которой воз-
возбуждаются вращательные степени свободы молекулы. Для
этого рассмотрим плоский ротатор. Его волновая функция
tym — e'mft4>. Вероятность перехода из состояния лр0 в со-
состояние tym согласно B.21) равна
wm0 = | С tymeiMvrty0 dr |2-- | f eimhv + tMva cos ф d(p j2) B.22)
о
где а—величина порядка размеров молекулы.
Следовательно, для того чтобы вращательные уровни
не возбуждались, необходимо, чтобы момент количества
движения --- Mva, сообщенный молекуле квантом, был много
меньше момента количества движения ротатора tnfi. В этом
случае из B.22) находим wm0<§.\. Для наинизшего возбуж-
дения (/и=1) получаем
h(.a
^h или —
откуда Аси <¦=: с = 137 • 27 эв -~ 4 кэв.

3] ВНЕЗАПНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 85
ЗАДА ЧИ
1. Убедиться в том, что отдача ядра не существенна
для ионизации атома при E-распаде.
2. Вычислить вероятность возбуждения /if-электрона при
E-распаде в состояние дискретного спектра с главным кван-
квантовым числом п и вероятность того, чтс электрон останет-
останется в s-состоянии (ZJ^> 1).
Ответ.
W — 2в</|-1>а""*яь 1 W — 1 3 1
3. Используя метод Томаса —Ферми, оценить заряд оскол-
осколков при делении ядра, считая его равным числу электронов
со скоростью, меньшей скорости осколков.
Ответ.
4. Найти вероятность перехода /С-электрона при Р-рас-
паде в состояние непрерывного спектра с энергией Е и
полную вероятность ионизации (Z^> 1).
Ответ.
4Z ft
T-arctg-jF
TF —97 ? J_ m 0,32
5. Оценить ионизацию атома из-за магнитного взаимо-
взаимодействия налетающего нейтрона с электроном.
Ответ.
W
R J
w
J__L|2~,n-7
А1вс»
G. Определить вероятность того, что при ударе нейтро-
нейтрона о ядро атома водорода электрон останется в основном
состоянии.
Ответ.

86 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 2
7. Вычислить вероятность ионизации атома водорода при
столкновении его с нейтроном.
Ответ.
2 . 2k
Т arct2
kdk.
8. Вычислить полную вероятность ионизации атома во-
водорода при столкновении его с нейтроном, когда скорость
ядра много меньше скорости электрона.
Ответ.
4. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
В этом разделе рассматривается случай, когда возмуще-
возмущение, действующее на квантовомеханическую систему, мед-
медленно меняется со временем. При этом система успевает
перестраиваться вслед за медленным изменением параметров.
Такие возмущения называются адиабатическими.
В случае адиабатических возмущений удобно искать ре-
решение уравнения Шредингера в виде суперпозиции стацио-
стационарных собственных функций, вычисленных при произволь-
произвольных, но фиксированных значениях параметров.
Предположим, что гамильтониан Н(х, ?) зависит от
медленно меняющегося параметра |. Введем собственные функ-
функции фт (х, ?) гамильтониана Н(х, ?), в которых значение ?
зафиксировано:
Н(х, ?) ц>т (х, 1) =ет (Е) Фда (х, I). B.23)
Будем искать решение уравнения Шредингера
i^-^zHW B.24)
в виде
'т {*) ф» (х, I) ехр | - / S гт A) d/j . B.25)

АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
87
Подставляя B.25) в B.24), находим
t
= S ехР { -
. <*, I),
^f-j t<im expl —<¦ J (sm—&n)dA=O. B.26)
^ — 00 '
откуда
dan
dt
Уравнение B.26) эквивалентно исходному уравнению
Шредингера B.24). В отличие от B.24), оно удобно для
нахождения последовательных приближений при малых |.
Именно,
X ат (О) ехр
V — CO
B-27)
и т. д.
Выразим (фл
Д
чеРез матричный элемент гамильто-
гамильтониана//. Дифференцируя соотношение B.23) по параметру |,
находим
Умножая это равенство на фл слева и интегрируя по х,
получаем
Фи
откуда
«Эф
а//
Ф
4>п
дН
дН

88 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 2
Будем предполагать, что собственные состояния ц>п не вы-
вырождены. Тогда волновые функции фл можно выбрать ве-
вещественными, и, следовательно, диагональный матричный
элемент
Подставляя B.28) в B.27), получаем
дН
Ф»
X
т
X ат ( - оо) ехр | - / J (вж - 8„) dt\ . B.29)
Штрих в сумме по т означает, что в ней нет диагональ-
диагональных членов.
Критерий применимости адиабатической теории возмуще-
возмущений состоит в том, чтобы изменение гамильтониана за время
порядка обратных частот системы было малым по сравнению
с энергиями, соответствующими этим частотам.
Критерий применимости легко получить, если оценить
отношение поправки о42) (t) к амплитуде ajt1) (t): учитывая
B.29), находим
¦^пг—згц^з»- B>30)
Как видно из B.30), требует отдельного рассмотрения
случай, когда при некоторых значениях параметров § уровни
энергии пересекаются. В этом случае волновую функцию
следует искать в виде суперпозиции состояний, соответ-
соответствующих этим пересекающимся термам.
Покажем, что если обратные собственные частоты систе-
.мы (?>тп много меньше времени т, за которое существенно
изменяется гамильтониан системы, то эта система, как
правило, будет возбуждаться экспоненциально слабо. Дей-
Действительно, выражение B.29) для амплитуды перехо-
перехода а^ (t) сводится к фурье-компонентам от функций
^ — . Ранее (см. 1.1) мы видели, что такие фурье-

4] АДИАЙАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 89
компоненты при алтпх^>1 экспоненциально малы (/^е)>
если эти функции или их производные не имеют особенностей
на вещественной оси.
Как мы видели (см. стр. 53), кулоновские волновые
функции имеют особенности на вещественной оси. Поэтому,
например, вероятность ионизации атома пролетающей мед-
медленной частицей мала степенным образом, а не экспоненци-
экспоненциально.
Задача. Используя соотношение B.28), вычислить —j-
для центрально-симметричного движения.
Ответ.
Захзат электрона протоном (перезарядка)
Применим адиабатическую теорию возмущений к задаче
о перезарядке при пролете медленного протона мимо атома
водорода. Предположим, что скорость протона много меньше
атомной скорости. Тогда можно применять адиабатическое
приближение.
Кроме того, предположим, что энергия налетающего
протона много больше атомной. Тогда можно считать дви-
движение протона заданным.
Гамильтониан системы имеет вид
н=т.—
где R—расстояние между протонами, которое мы будем
считать заданной функцией времени; г—координата элект-
электрона, Те — кинетическая энергия электрона.
Гамильтониан Н симметричен относительно перестановки
налегающего и покоящегося протонов. Такая перестановка
эквивалентна замене г—*¦—г. Следовательно, можно ввести
симметричные и антисимметричные относительно этой пере-
перестановки собственные функции гамильтониана И: ф^ (г, /?)
и ф? (г, /?).

90 различные случаи теории возмущений [гл. 2
Будем считать, что сначала электрон находился около
протона, имеющего координату R/2. Тогда волновая функ-
функция электрона имеет вид
где ц>„в— кулоновская волновая функция для состояния п0.
После рассеяния атом водорода с большой вероятностью
останется в состоянии <р„0. Действительно, для возбужде-
возбуждения нужна компонента Фурье с частотой, равной энергии
возбуждения, сопПо = еп — еПо. При медленном пролете, когда
время пролета велико по сравнению с обратной частотой
в>пп0, компонента Фурье с частотой <оПло очень мала и воз-
возбуждения не происходит.
Однако электрон может перейти к другому протону.
Это явление называется перезарядкой. Критерий адиабатич-
ности B.30) здесь не выполняется. В самом деле, когда
протоны находятся на большом расстоянии друг от друга,
волновая функция электрона равна ф?0(г—-=-R), если он
находится у одного протона, и ф^о (г + ж R),— если у дру-
другого. Из этих двух функций можно составить симметрич-
симметричную и антисимметричную комбинации ф^0 и ф^0. Оба сос-
состояния отвечают одной и той же энергии. Следовательно,
мы имеем дело с пересечением уровней.
Поэтому решение уравнения Шредингера
t^=HW B.31)
следует искать в виде суперпозиции этих двух состояний
Ф^о и ф, после чего нужно применять адиабатическую
теорию возмущений. Итак,
+ Са (/) ц,аПа (г, R) ехр ( - I J ea dt\ . B.32)

41 АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 91
Подставляя B.32) в B.31), получаем
B.33)
Умножим B.33) на ф^о и проинтегрируем по координа-
координате г, пользуясь ортогональностью функций (р%9 и "
Если нуклоны находятся далеко друг от друга, то
. B.35)
Учитывая B.35), из B.34) в нулевом приближении получаем
(это соответствует электрону, находящемуся в момент вре-
времени у протона с координатой R/2).
При этих значениях Cs, Ca из B.32) получаем
IX
ех _
со
X

92
РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
[гл. 2
ехр ( — i J eadt
/
г — -i
-i (ехр
(CO
— / J 8а
— CO
Первое слагаемое здесь соответствует обычному рассеянию,
а второе — перезарядке. Квадрат модуля коэффициента при
( r ~^~ ~o~ R )
^ J
вероятность перезарядки
2
sinf-i-Г (&а — e*)dt\ = sin ( С (еа — e*)dA
\ — со ' ^ О '
B.36)
где р — прицельный параметр.
Мы считаем, что величины &а (R) и es(R) известны из
решения задачи с неподвижными ядрами. Предполагая тра-
траекторию налетающей частицы прямолинейной, заменим инте-
интегрирование по t интегрированием по R. Так как R2 = р2
то
dt — — — RdR
v
B.37)
Рассмотрим прицельные расстояния р -~ 1. Тогда рас-
расстояния между частицами, существенные при взаимодействии,
также порядка 1. Следовательно, весь интеграле B.37) по-
порядка 1. Поскольку г»<^1, то выражение для W (р) сильно
меняется при малом изменении р. Усредним B.37) по не-
некоторому интервалу значений р, малому по сравнению с р:
Обозначая еа {R) — es(R)^e*I> (R), из B.36) находим
¦
sin
Ф (R) r
•-р»
2 '
т. е. перезарядка будет в половине всех случаев.

41 АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 93
Рассмотрим теперь вероятность перезарядки при р^>1.
Как можно показать*), при больших расстояниях между
протонами разность энергий симметричного и антисимметрич-
антисимметричного состояний равна
Поэтому при р^5>1 получаем
p
J K^— 1 »:_,=2 ^ J
eti
Mu видим, что ^(р)^! при p^Pi-^ In \/v. Следовательно,
W= | sin7=-(p) |»« Г-2 (p) =
Таким образом, при p<^Pj величина F(p)^>l, а при
p^>pt величина /^(р)^!.
Теперь оценим полное сечение перезарядки
а= \ sin2 F (p) -2np dp.
о
По порядку величины получаем
Pi
а= Г-| 2яр dp = ^-яр?^ y л 1п2-1 . B.38)
о
Таким образом, при малых скоростях v сечение перезарядки
много больше геометрического сечения.
*) Ландау Л Д., Л и ф ш и ц, Е. М., Квантовая механика,
Физматгиз, 1963.

94 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 2
5. БЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ
Рассмотрим две подсистемы, одна из которых характе-
характеризуется большими, а другая — малыми частотами. Взаимо-
Взаимодействие между подсистемами не предполагается малым.
Пусть ?— совокупность координат медленной подсистемы.
Гамильтониан всей системы имеет вид
где Нг включает гамильтониан быстрой подсистемы и ее
взаимодействие с медленной подсистемой.
В предыдущем разделе мы считали, что движение мед-
медленной подсистемы классично: мы задавали траекторию
? = ?(#) и вводили скорость \. Теперь это не будет пред-
предполагаться.
Введем систему собственных функций гамильтониана //х:
Нх (х, I) Фв (х, 1) = е„ (I) Фге (х, I),
как это делалось и ранее. Решение всей задачи
НУХ = ЕХУХ B.39)
ищем в виде
^п'хA)ч>п'(х, I). B.40)
Подставляя B.40) в B.39), имеем
«»•* (I) Ф«< {х, I) = Ех 2 ««-л F) Ф«- (х, I).
Умножим это равенство слева на ср* (х, ?) и проинтегрируем
по х, пользуясь ортогональностью функций ф„ (х, |):
J Ф* (х, I) ф„< (х, l)dx^bnn>.
Получаем
(е„ - EJ и„х + f Ф^2 2 "n'Wn' dx = 0.
п'
При этом для простоты предположено, что Нх коммутирует
с |. Далее, так как

б] БЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ 95
ТО
¦«„'Л. B.41)
л' v
Это соотношение аналогично соответствующему выражению
в предыдущем разделе, только 1ъ~^ё — i -~?f- заменяется
коммутатором [//2, ф„].
В соотношении B.41) можно перенести член с /z' — /z
налево:
- (ех - вп - J Ф; [н2, Фя]
f Л^. Ц>п']ах-аП'х. B.42)
Это уравнение удобно для применения метода последова-
последовательных приближений. В нулевом приближении получаем
уравнение
Мы видим, что энергия быстрой подсистемы играет роль
потенциальной энергии в эффективном гамильтониане мед-
медленной подсистемы.
Колебательные уровни энергии молекулы
Оценим энергию колебаний молекулы. Для простоты мы
напишем все выражения для иона молекулы водорода, хотя
результаты без труда переносятся и на более сложные
молекулы. Гамильтониан иона молекулы водорода имеет вид
(в атомных единицах)
Н J.A — 1 1,11
П— 2 АГ
Здесь Ж— масса протона, г — координата электрона,
± у/?—координаты протонов (рис. 21). Ядра образуют мед-
медленную подсистему, а электрон — быструю. В обозначениях

96
различные случаи теории возмущений
[гл. 2
теории, развитой выше, примем за Нх {х, |) гамильтониан
„х 1_ . 1 1,1
1 \ > / 2 r ¦
1
1
и за //2
гамильтониан
(конечно, \/R можно было бы перенести в Н2). Введем
функции <р„ (г, R), удовле-
удовлетворяющие уравнению
//1фя(г,/?) =
i*
Они соответствуют соб-
собственным функциям элек-
электрона при .фиксированном
расстоянии между ядрами.
Решение уравнения Шро-
Рис. 21.
дингера с гамильтонианом Н имеет вид (см. стр. 94)
Ч\ =2сГхя„(Л) Ф» (г, К), B-43)
nv
причем функции x,,v удовлетворяют уравнению
B.44)
Ядра молекулы колеблются около некоторого среднего
положения. Эти колебания имеют малую амплитуду. Поэтому
для en(R) можно написать следующее приближенное выра-
выражение:
Подставляя это еп (R) в уравнение B.44), получаем урав-
уравнение Шредингера для трехмерного осциллятора. Следова-
Следовательно, колебательные уровни молекулы имеют вид
= «nv = е„
i-) со
о,
где о)о — частота классического осциллятора.

5] БЫСТРАЯ И МКДЛЕННЛЯ ПОДСИСТЕМЫ 97
Найдем зависимость соо от массы молекулы. Из соотно-
соотношения
вытекает, что
соп =
Так как в атомных единицах электронные уровни еп~ 1 и
размеры молекулы /?0 ~ 1, то -т~ ~ 1 и, следовательно,
1
(On -
Поскольку частоты электронных переходов соэл^1, то мы
видим, что @0<^@эл.
Оценим амплитуду колебаний ядер. В основном состоя-
состоянии осциллятора средние значения кинетической и потен-
потенциальной энергии совпадают: T=CJ = E0/2(E0—полная энер-
энергия), т. е.
1 (d4n\ 1
Так как соо/^ l/l^/kf, то средняя квадратичная величина
отклонения ядра от положения равновесия имеет оценку
Покажем, что коэффициенты C?v в выражении B.43) для *РХ,
определяемые уравнением B.42), можно вычислять методом
последовательных приближений. Для этого оценим правую
часть B.42). Раскрывая коммутатор, получим члены следую-
следующего вида:
(^члены вида уж%пчЦ>п Ц>п' d"Rl ) равны нулю^ . Оценим
производные функции %пч:
4 А. Б. Мигдал, В. П Kpaiinnu

98 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАЙ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. U
Поэтому из написанных двух типов членов самым большим
будет первый: он порядка ijy^M3. Итак, мы обосновали
метод итераций в рассматриваемой задаче; каждая следую-
следующая итерация в j/Vw3 раз меньше предыдущей.
Кроме колебательных уровней, молекулы имеют также
вращательные уровни. Частоты этих уровней обратно про-
пропорциональны моменту инерции молекулы, т. е.
Таким образом, электронные, колебательные и вращательные
частоты находятся в следующем соотношении друг к другу:
«
'• «кол : <°Эл = ! : У М'~ М-
вращ • «кол : <°Эл
Возбуждение ядерных дипольных уровней быстрой
частицей
Рассмотрим задачу о возбуждении атомного ядра при
пролете мимо него быстрой заряженной частицы. В данном
случае быстрая подсистема (налетающая частица) имеет
сплошной спектр, а медленная (атомное ядро) — дискретный.
Найдем решение, пользуясь адиабатической теорией возму-
возмущений. Для применимости адиабатического приближения
необходимо, чтобы время пролета частицы было мало по
сравнению с существенными обратными частотами системы.
Сначала получим общие формулы для применения адиа-
адиабатического приближения к задаче рассеяния. Введем собст-
собственные функции фр (г, !,-) гамильтониана быстрой подсистемы
Нх = Tr-\- V(r, !,-), где Тг — кинетическая энергия частицы,
a V(r, g,-) —ее взаимодействие с медленной подсистемой;
g,- — координаты медленной, г — быстрой подсистемы.
Таким образом, функции срр удовлетворяют уравнению
^хЧ>р (*", g,) = ер<рР (г, g,). B.45)
Энергия частицы ep = p2/2Af, т. е. не зависит от 1^-, в отли-
отличие от случая дискретного спектра.
Ищем решение B.45), имеющее асимптотический вид:
фР —* е1Рг + LLfLM e'pr. B.46)
г—
Поскольку ер не зависит от ?,., то уравнение для волновой
функции медленной подсистемы (т. е. для ядра) будет таким

5] БЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ 99
же, как и без ер (только со сдвинутыми на е собствен-
собственными значениями):
Ищем решение задачи в виде
* рп — Zu \ Bл)з Р" Фр'Хл'»
причем коэффициенты СрПп подчиняются уравнению (см. B.42))
(со„ - ЕРоПо) C%n° = — 2 J (-*L (фр Хя [//я, ФР'] х»') Ф'.
Это уравнение можно решать последовательными прибли-
приближениями. Пусть в начальный момент времени (t =—оо)
система находилась в состоянии (р0, ло^0). Тогда в ну-
нулевом приближении
Точное решение должно иметь асимптотический вид:
Здесь импульс рп определяется законом сохранения энергии:
еРп + ып — еро + ^о-
Пренебрегая изменением энергии частицы, получим
ху __ g/p^Xo {g.) _|_ _!__ ^/п (О) х„ (!,.). B.47)
Г —*- зс
Сравним с этим выражением асимптотический вид прибли-
приближенного решения Ч'УД. Согласно B.46) имеем
= Со (е^ хо (I,-) + ^ X (Х„/Хо) Хя). B-48)
Из сравнения B.47) и B.48) находим Сп и амплитуды
упругого и неупругого рассеяния:
'

100
РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
[гл. 2
Используем полученные результаты для вычисления сече-
сечения возбуждения ядерных дииольных уровней быстрой за-
заряженной частицей. Кулоновское взаимодействие пролетаю-
пролетающей частицы с нуклонами ядра имеет вид (Zx — заряд ча-
частицы, Z2 — заряд ядра):
где d— дииольный момент ядра. Этот потенциал можно
представить в виде кулоновского, но со сдвинутым началом:
V-,
Для этого нужно, чтобы величина a=^djZ^ была мала по
сравнению с существенными г, т. е. по сравнению с при-
прицельным параметром р: а<^р.
Следовательно, волновые функции фр будут кулоновскими
волновыми функциями со сдвинутым аргументом:
Выберем у
B.46):
Фр (г, Ь) —^
Фя(г, 6,.) = ф
так> чтобы фр имела асимптотический вид
[ip (r-j; d)] +
где /Q—амплитуда кулоновского рассеяния* Для совпадения
с B.46) следует взять у (g(.) — e'Pdlz*. Тогда
eipr Г 1
Фр (г, g,) — е1" + ~fQ (О) ехр г/
Г-УЭО Г L
Так как
r—j- — , то
Г-+ОО
["*а-
где q^=.p —г — вектор, характеризующий изменение им-
импульса налетающей частицы при столкновении.

5]
БЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ
101
Поэтому согласно B.49)
/п (<*) =fQ (*) (х„ | ехр (/<?' d 1
B-50)
Здесь /*?—амплитуда кулоновского рассеяния.
Заметим, что сумма сечений для всех возбуждений равна
exp
(— iqd±-
* 2
X
т. е. равна сечению кулоновского рассеяния.
Если угол отклонения "& мал (малый переданный импульс),
то из B.50) получаем формулу теории возмущений:
амплитуда возбуждения пропорциональна дипольному мат-
матричному элементу.
Рассеяние протона на атоме водорода (перезарядка)
Рассмотрим рассеяние протона на атоме водорода, когда
скорость протона много меньше скорости атомного элект-
электрона. В противоположность предыдущему случаю здесь
дискретна быстрая подсистема, а у медленной подсистемы
непрерывный спектр. Гамильтониан системы имеет вид
H=Tr
1
1
1
В разделе 2.4 мы рассматривали /? как заданную функцию
времени. Теперь мы рассматриваем налетающий протон и атом
водорода как две взаимодействующие квантовомеханические
системы.
Гамильтониан И симметричен к перестановке налетающей
и покоящейся частиц (г—»- — г). Поэтому можно ввести
симметричные и антисимметричные функции ср^(г, /?)иср^(г, R).
Если нуклоны находятся далеко друг от друга, то электрон
может находиться около одного либо около другого
4* А. Б. Мш-дал, В. П. Крайней

102 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 2
протона, и, следовательно,
«°(г' *>*Т. 7Г [*• (г"т *) ± *.» (г+т *)]¦
где в правой части стоят волновые функции атома водорода.
Предположим, что при сближении ядер не происходит
пересечения термов. Тогда можно классифицировать их по
тем состояниям, из которых они образовались.
Будем считать, что сначала электрон был около протона
с координатой R/2, т. е. его волновая функция имеет вид
Гамильтониан медленной подсистемы равен
а его собственные функции находятся из уравнения
и имеют асимптотический вид
В нулевом приближении решение задачи имеет вид (см.
стр. 94)
(г, Л)Х^„(Л) + С^ф«(г, /?)%«„(/?). B.52)
Коэффициенты С^р и С^ определяются из асимптотического
вида \Р"Х:
где Д — амплитуда упругого рассеяния, а /2 — амплитуда
перезарядки.
Чтобы обеспечить асимптотический вид B.53), нужно
считать в B.52) р = р0 и п = п0. Тогда волновая функция

5] БЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ 103
B.52) становится равной
Ч\ = Сер* о (г, /?) Гропа (/?) + С°Ф*0 (г, R) ГРвПо (/?)
и имеет асимптотический вид
y^/PoR (?*<(>%„ + caK)+^eiPoR (/^X+^^O B-54)
Выражения B.53) и B.54) должны совпадать, т. е. нужно
потребовать i
г /~>S __ /"б *
Тогда из B.54) находим
(г-1
(г1 «) +/,ф
т. е.
rs I ca] rs fa
f It ~t~ I) 1 j? й —II
/l — § ' ¦'2 2
Таким образом, для нахождения амплитуды перезарядки/2
и амплитуды упругого рассеяния /± необходимо вычислить
амплитуды /* и fa. Чтобы найти их, нужно решить урав-
уравнение
с величинами e^a(i?), которые определяются из решения
задачи об электроне в поле двух центров. В дальнейшем
(стр. 151) мы найдем решение этой задачи в квазикласси-
квазиклассическом приближении.
Рождение мягких квантов при рассеянии
(«инфракрасная катастрофа»)
Рассмотрим задачу о рождении мягких квантов при рас-
рассеянии частицы на ядре. Будем предполагать частицу нере-
нерелятивистской. Гамильтониан системы имеет вид
=Т+ V — -LPA + Hr B.56)
4**

104 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 2
Здесь Т — кинетическая энергия частицы, V—рассеивающий
потенциал, рА— взаимодействие частицы с полем квав-
' с г
тов, Н —гамильтониан поля квантов.
Предположим, что энергия квантов много меньше энер-
энергии частицы. Тогда движение частицы можно считать за-
заданным и рассматривать только ту часть гамильтониана,
которая содержит операторы, действующие на г|)-функцшо
квантов. Гамильтониан уквантов за время столкновения,
которое будем считать малым, меняется от величины
//„=// р0А до столкновения к величине НХ = Н —
ргА после столкновения. Перейдем в систему коор-
координат, в которой частица до рассеяния покоилась. Тогда
HQ=HV Hx = H^—\qA, B.57)
где д=рг—р0 — изменение импульса частицы в результате
столкновения.
Возмущение qA для малых частот становится боль-
С
шим, так как Аке> ~~ \/У~ш. Поэтому мы не будем пользо-
пользоваться теорией возмущений, а используем только внезап-
внезапность изменения гамильтониана у~квантов-
Введем собственные функции %п гамильтониана Но и %п
гамильтониана Нг. Предположим, что до столкновения сис-
система у-квантов находилась в состоянии %0. Ввиду внезап-
внезапности столкновения волновая функция системы %0 практи-
практически не изменяется. Следовательно, амплитуда перехода
в состояние Хл равна (х„ | %0) (см. стр. 75).
Представим гамильтониан электромагнитного поля, равный
в виде суммы гамильтонианов отдельных осцилляторов поля.
Для этого запишем векторный потенциал А в виде
А— 2К2яс2 13*/. (<7*х ехР №г — /oW) + qlx X
B.59)

5] БЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ 105
Здесь k — волновой вектор, К — поляризация, coftJt — энергия
квантов, ¦j]^ — единичный вектор поляризации. Обозначая
— P, q* = Q ~
ay со
и подставляя в //т, получим
- B.60)
кк
В случае мягких квантов экспоненту eibr можно за-
заменить единицей. Будем считать временные множители
ехР (± ZC0fcA,0 включенными в qkX, q*kX. Опустим далее для
простоты индексы Wk при qkX, q*kX. Тогда
Гамильтониан квантов Нг имеет вид
Представим его в виде суммы осцилляторных гамильтониа-
гамильтонианов со смещенной координатой:
fi>2(Q6J + 4co262| B.62)
2 \/2^ъ
где 6 = ——ъ1- (Щ[). Следовательно, волновые функции после
столкновения %„ (Q) имеют вид осцилляторных функций, но
со смещенной координатой:
Таким образом, амплитуда перехода в состояние Хл имеет
вид
^ B.63)
Рассмотрим сначала два предельных случая — малые и
большие б по сравнению с амплитудой нулевых колебаний.
Если б мало, то из B.63) следует
, B.64)

106 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 2
где Р—оператор импульса. Он имеет отличные от нуля
матричные элементы лишь для изменения числа квантов на
единицу: (ЯH1 = —Усо. Поэтому вероятность испускания
одного кванта равна wx ==— соб2 = — (r\qJ. Эта формула
совпадает с результатом обычной теории возмущений.
Оценим матричный элемент Cra=\j %n(Q—6) %0 (Q) dQ,
когда смещение б много больше амплитуды колебаний ос-
осциллятора. Для этого воспользуемся квазиклассическим вы-
выражением для функции Хл (см- 1-1 и 3.1):
Х„ (Q) = , °" ¦ - cos ( С /? -1/2Q2 dQ—-5-\
Для простоты здесь частота осциллятора qj взята равной
единице. Результаты легко переносятся на случай ю=тМ.
Нормировочный множитель ап порядка единицы. Действи-
Действительно,
Утгпп
Поэтому
J V п
XcosQ]/^—у (Q — 6)arfQ — -j)dQ. B.65)
Так как величина б, по предположению, много больше ам-
амплитуды нулевых колебаний, то можно под знаком корня
в B.65) пренебречь членом Q2/2. Обозначим Еп — 62/2==Д?
и заменим переменную интегрирования Q: AE/8-\-Q = x.
Тогда из B.65) находим:
B.66)
Значения х, существенные в этом интеграле, соответствуют
аргументу косинуса порядка единицы, т. е. имеют порядок

5] БЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ
величины х ~- 6~1/*. Поэтому
107
Таким образом, распределение вероятности испускания
квантов имеет вид гауссовой кривой с максимумом 1оотлх-^-\/Ь
и шириной АЕ ~ б около значения Zf = 82/2. Это значение,
как нетрудно видеть, совпадает с энергией классического
осциллятора, начало координат которого внезапно сдвинуто
на величину б.
Теперь перейдем к вычислению Сп для произвольных б.
Вычислим сначала вероятность того, что не будет рождено
ни одного кванта данного типа, т. е.
Так как волновая функция основного состояния осциллятора
имеет вид
то
OB
coQ2—^-
dQ
. B.67)
w j
Восстановим теперь значки k, А. Тогда
WBK— gXp
L *
— вероятность того, что не будет излучен ни один квант к, X.
Вероятность того, что вообще не родится ни одного
кванта ни в каком состоянии, равна

108 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 2
Для вычисления Wo нужно найти сумму
SQtt ЧП С a>2d(o dQ
5- (fl^tfi)' = >j 2Я (<™**J J Bя)зСзсоЗ • B.68)
Мы видим, что при малых частотах это выражение логариф-
логарифмически расходится. Следовательно, W0 — 0, т. е. любое
торможение всегда будет сопровождаться излучением мягких
квантов.
Вычислим матричный элемент С„ = \ %n (Q—б) %0 (Q) dQ
для произвольных п. Осцилляторная волновая функция
%п (Q) имеет вид
где Нп — полиномы Эрмита. Поэтому
Этот интеграл легко вычислить, используя производящие
функции полиномов Эрмита
ехр(-**Н-2ф = ??
B=0
В результате получается
где
Вероятность испускания квантов с различными кХ равна
произведению квадратов выражений вида B.69), т. е.

5] БЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ 109
Найдем среднее число квантов, излученных при тормо-
торможении:
Таким образом, для вероятности испускания п квантов типа
k, А мы получаем следующую формулу:
W
( —л.Д B.70)
которая совпадает с распределением Пуассона.
Вероятность испускания одного кванта данного типа,
как видно из B.70), равна
При nftJt<^ 1 получаем wf- л; /zftJt. Это выражение совпадает
с результатом обычной теории возмущений.
Из B.68) мы видим, что сечение чисто упругого рассея-
рассеяния строго равняется нулю. На опыте под упругим рассея-
рассеянием понимают рассеяние, при котором энергия излученных
квантов меньше некоторой величины Ех, которая определя-
определяется точностью измерения. Наблюдаемое сечение рассея-
рассеяния равно
Здесь а0 — вычисленное сечение упругого рассеяния без
учета излучения, Wo — вероятность того, что не излучено
ни одного кванта с энергией, большей Et. Как мы видели,
W. = ехр |-
з
B.71)

ПО РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 2
В качестве верхнего предела мы взяли энергию электрона,
хотя предположение о мягкости квантов нарушается уже
при меньших энергиях. Если ]п(Е/Ег) достаточно велико,
то это внесет малую ошибку.
Сечение излучения произвольного числа квантов любого
типа равно
2
Если бы мы пользовались теорией возмущений, то получи-
получилось бы
Bn)*c«J go '
kk о
т. е. выражение, расходящееся на нижнем пределе. Эта рас-
расходимость, связанная с незаконным применением теории воз-
возмущений, называется инфракрасной расходимостью («ин-
(«инфракрасной катастрофой»).
6. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В СЛУЧАЕ БЛИЗКИХ
УРОВНЕЙ
Рассмотрим систему с двумя близкими уровнями, на ко-
которую наложено возмущение (случай большего числа близ-
близких уровней внесет лишь алгебраические усложнения). Пусть
возмущение достаточно мало, так что можно пренебречь
примесью состояний с далекими энергиями, между тем как
состояния с близкими энергиями смешиваются сильно.
Решение уравнения Шредингера
где Н' — возмущение, следует искать в виде суперпозиции
состояний, соответствующих близким уровням:
^,, B.72)
причем функции 4rlt 2 удовлетворяют невозмущенному урав-
уравнению

6]
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В СЛУЧАЕ БЛИЗКИХ УРОВНЕЙ 111
Коэффициенты Сг, С2 в B.72) имеют одинаковый порядок
величины.
Найдем энергетические уровни возмущенной системы.
Для этого запишем уравнение Шредингера в представлении
С С •
— е2) С2 =
Н22С2
' J
B.73)
Коэффициенты С1( С2 отличны от нуля, если детерминант
системы B.73) равен нулю, т. е.
Е— ел—
/721 Е 82
=0.
B.74)
Из B.74) получаем
{Е- El - Н
откуда
(Е-е2 -
= о,
Обозначая е1
ходим
//22:=Е2> окончательно на-
наB.75)
В случае применимости обычной теории возмущений:
8i — 82 I > из B-75) получаем
ИЛИ
8Х — е2 '

112
РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
[гл. 2
что и следовало ожидать. При Н' —*- О величина ?"ш —» ег,
а Ет—> е2. Наоборот, в случае е1 = е2 = е из B.75) имеем
Рис. 22.
У (е
И'
Заметим, что если для какого-
либо возмущения, зависящего от
*. $ параметра, //'12 ф о, то уровни Еш
и Е12\ как функции параметра ?,
не пересекаются, так как в B.75)
(ех — е2J + 4 | //12 | 2 > 0. Уровни энергии при этом имеют
вид, изображенный на рис. 22.
Частица в периодическом потенциале
Рассмотрим, как изменяется движение свободной частицы
при наложении периодического возмущения
Волновая функция невозмущенной задачи имеет вид
*F — е1рх. Среднее значение V по любому невозмущенному
состоянию равно нулю, а отличны от нуля лишь матричные
элементы Vpi p_k = Vpi p+k= Vo (длину ямы считаем рав-
равной 1). В обычной теории возмущений сдвиг энергетических
уровней равен
где ер=р2/2М. Однако это выражение применимо лишь в
случае V0<^\ep — ep_fe|, т. е. когда р не близко к ± А/2.
Если р—*¦ k/2, то состояния Wp и ^?р^к имеют близкие
энергии, и волновую функцию частицы нужно искать в виде
(при
-k/2 ^ =
Из B.75) для

6] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В СЛУЧАЕ БЛИЗКИХ УРОВНЕЙ 113
собственных значений энергии получаем выражение:
-\-
Выбор знака в B.77) определяется тем условием, чтобы
при | ер — e^^l^Vo энергия Ej, стремилась к гр. Так как
при p<Ck/2 величина \^(е^ — е„_кJ = \г —в„_к | =e _k —
— гр, а при р > k/2
р < k/2 в B.77) нужно
взять один знак корня, а
при /> >• k/2 — другой. Для
Е получается разрывная
кривая, изображенная на
рис. 23. При этом величина
разрыва равна Е
то
для
Таким образом, при на-
наложении периодического по-
потенциала в спектре свобод-
свободных частиц появляется щель.
Отсюда понятно возникно-
возникновение запрещенных зон в
металлах для электронов
(правда, там нужно рассмат-
рассматривать трехмерный случай).
К/2
Рис. 23.
dE\
Из B.77) следует, что -з— _ =0, т. е. групповая
скорость частицы на краю зоны {p — k/2) равна нулю. Это
соответствует тому, что на краю зоны волновая функция
частицы есть стоячая, а не бегущая волна.
Штарк-эффект в случае близких уровней
Рассмотрим систему с двумя близкими уровнями, на ко-
которую наложено однородное электрическое поле V{x) =
= —<?>х. Определим, как изменяется энергия системы в
этом поле. Среднее значение V по любому состоянию
с определенной четностью равно нулю (дипольный
момент dx = ^ Yx (г) х Ч?к (г) dr при замене переменной
интегрирования г—> —г переходит в —dx, т. е. dx = 0).

114 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 2
Для энергетических уровней системы в поле Я1>2 получаем:
V12 |2 . B.78)
Рассмотрим, например, состояния 2si/2 и 2/>i/2 атома во-
водорода. Они обладают одинаковой энергией (если не учи-
учитывать лэмбовского смещения). Расщепление такого дуб-
дублетного уровня при наложении электрического поля ли-
линейно по полю и равно Е2— ?"х = 2 | VX2 | .
Вычислим V12. Для состояния 2si/4 волновая функция равна
/?2о (г) ¦ г , а для состояния 2/Ji/ равна R21 Л/ 2— cos ®-
у 4я ' 4Jl
Rnl{r) — радиальные кулоновские функции. Следовательно,
V12 = - ? (R20 | r\ R21) ?? J cos2 6 dQ = - ^= (R20 | л j /?21).
Матричные элементы динольного момента для кулоновских
радиальных функций табулированы. В частности, (/?30|г [ /?2i) ==
= 3 ]/1Г. Следовательно, | V12 | = 3^*.
Итак, расщепление дублета 2si/2, ^Р1ы в слабом электри-
электрическом поле в атомных единицах равно 6<^.
Заметим, что уровень 2/эа/, имеет ту же четность, что и
2/>i/2. Поэтому ^4?2pt x4?2pi dr = O. Следовательно, эти
уровни в нашем линейном по полю приближении не рас-
расщепляются. Для их расщепления нужно рассматривать су-
суперпозицию трех состояний — 2si/2, 2ptu, 2р*/г.
Для всех других атомов, кроме атома водорода, рас-
расщепление термов квадратично по полю: Е — Ео -\—х-а$2.
Действительно, уровни сложных атомов не вырождены от-
относительно орбитального квантового числа /, т. е. нет
состояний с близкими энергиями, которые перемешивались
бы в слабом электрическом поле.
Изменение времени жизни состояния 2s>ia атома водорода
во внешнем электрическом поле
В атоме водорода состояние 2si;2 имеет большое время
жизни. Действительно, переход 2sij2—»- lsi/2 может проис-
происходить лишь с испусканием двух у-квантов- Время жизни

6] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В СЛУЧАЕ БЛИЗКИХ УРОВНЕЙ 115
состояния 2si/2 по отношению к этому переходу порядка
1/7 сек. Кроме того, возможен еще дипольный переход
2si/2—*¦ 2рч2 (энергии обоих состояний различаются из-за
лэмбовского смещения). Оценим вероятность этого перехода.
В A.4) мы нашли, что вероятность дипольного перехода
¦w — со8/с3, где со — частота перехода. Разность энергий
со = E2Si —E2Pi имеет порядок 1/с3 (см. стр. 63). Следо-
Следовательно, -w ~ 1/с12. В атомных единицах с лг 137, следо-
следовательно, w ~ 10~24, т. е. время жизни состояния 2si/2 по
отношению к переходу 2si/2—>¦ 2/?у2 порядка 1024тат, где
тат — атомное время ~ 10~10 сек. Итак, рассматриваемое
время '—' 108 сек. Мы видим, что переход 2si/2—»- lsi/2 все
же вероятнее, чем переход 2sih—>¦ 2/?1/г.
При наложении внешнего поля состояние атома будет
суперпозицией состояний 25»/2 и 2р'/2. Но как только атом
перейдет в состояние 2/?i/2, он моментально (за время
т-^Ю"9 сек) совершит дипольный переход: 2/?i/2—>-lsi/2.
Мы видим, что время жизни состояния 2sy2 резко изме-
изменяется при наложении электрического поля. Итак, будем
считать W = Сге~ 1е^лр1-\-С2е~'е^лр2, где индекс 1 соответ-
соответствует состоянию 2si/2, а индекс 2 — 2/?i/2. Для величин С1г
С2 имеем уравнения
iC1=V12C2exp[i(e1 — e2)t], л
/С2= -/1с2+1/21С1ехр[-/(е1-е2)*]. j (
т
Здесь V— —&х. Матричные элементы V11—V22 = 0. Зату-
Затухания состояния 2si/2 со временем ~ х/7 сек не учитываем.
Даже в отсутствие внешнего поля С2 не является пос-
постоянной: Сг0) -^ ехр ( — t/т) из-за взаимодействия с полем
излучения. Здесь т имеет порядок времени жизни диполь-
дипольного состояния (т ~ 10~9 сек). С[о) считаем постоянной,
поскольку время затухания состояния 2si/2 очень велико.
Обозначим С= С, ехр (ie12t), где е12 ^ ег — е2 — лэмбов-
ское смещение. Тогда из B.79) имеем:
iC!=V12C, iC=V2xCx—{e12-\-i/x)C. B.80)
Исключая Clt получаем С-\- ( —/е12-^ j C+ | V12 |2 С= 0.

1 16 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 2
Ищем решение уравнения в виде С=Ае'ш. Тогда получаем
|via|2 = 0> B.81)
что дает два комплексных корня для со, причем е12 ~ 1/т.
В начальный момент времени СхB! = 0)=1, C(t = 0) = 0.
Начальное условие для С будет выполнено, если искать С
в виде С= а[ехр (i(oa)t) — exp (i(oK2)t)]. Из B.80) находим
_
{D+в -а)A>)ехр
Величина а определяется из условия С
«=^iD- + a)B>-a)(
Из уравнения B.81) найдем частоты сош, соB):
4)
Рассмотрим случай | V2 | <<: 1/т. Тогда из B.82)
«A> « 812 + ±, (В«» « V2g x -^ .
Следовательно, состояние 2si/2 имеет в этом случае очень
большое время жизни "-'1/1 ^12 I 2т-
Рассмотрим теперь противоположный предельный случай,
когда наложенное поле столь велико, что | V2 |^> 1/т. Тогда
| K^li^ (e12+-1
и время затухания Сг становится равным по порядку вели-
величины времени жизни дипольного состояния т.
Итак, время жизни состояния 2si/, атома водорода
чрезвычайно сильно (на девять порядков) уменьшается при
наложении электрического поля порядка <§
^.с-8~-.-в->- 500в.

ГЛАВА 3
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
В этой главе мы рассмотрим в одномерном и трехмер-
трехмерном случаях приближенный метод решения волнового урав-
уравнения, когда потенциал медленно изменяется на длине волны
частицы. С простейшим случаем такого приближения мы
познакомились в 1.1.
1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА
Напишем уравнение Шрсдингера в виде
= О, C.1)
где
k*(x) = 2[E — V(x)\
(считаем К — М — 1). Пусть потенциал V(х) достаточно
медленно меняется с изменением координаты, так что
, C.2)
где / — длина, на которой существенно меняется V(x).
Тогда можно найти приближенное решение C.1). Ищем
решение C.1) в виде <р = Ae's, где А и S— действи-
действительные функции координаты. Имеем ср' = e's (A'-\-iS'A) и
" is" 'A' + iS"A — S'2A). Из C.1) имеем
A" + 2iA'S' -f- iS"A — S'M + k*A = 0.
Отделяя вещественную часть от мнимой, получаем два со-
соотношения:
А" -4- S'^A -4- k.2A =0 C 3)
Я!" Л _1_ О^Д'С'— П /Ч4Л
*_> л I— ^> л »j — \j. i u.Tj
j4' S"
Перепишем C.4) в виде -j-=—^r .
Отсюда а
Л = - .—. ,

118 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. 3
где а—постоянная величина. Из C.3) имеем
Так как k меняется существенно на длине /, то и S',
а следовательно, и А меняются существенно на той же
длине. Поэтому Л"//4~1//2, т. е. A"/k2A~1/(klJ<^ 1, и
в первом приближении можно считать (S'J — k2.
Тогда решение задачи имеет вид
<р(*)= °— ехр Г± if fed* 1 . C.5)
И"-]
Это относится к случаю Z? > V, когда k вещественно.
В случае Е < V решение будет содержать растущую и за-
затухающую экспоненты, т. е.
ф(лг) = Л ехр ч
где А = alY~ \k\. Мы получили первое приближение в раз-
разложении по степеням величины \f(klJ. Ясно, как получать
и следующие приближения. Оказывается, что получающийся
при этом ряд по степеням параметра 1/(&/J асимптотиче-
асимптотический, а не обычный.
Задача. Показать, что при приближенной оценке
производной от квазиклассической функции нужно диффе-
дифференцировать лишь экспоненту.
Асимптотические ряды
Напомним, что такое асимптотический ряд. Пусть
V — о
— частичная сумма ряда. Пусть при фиксированном z и
п —э- оо величина sn —-* оо, но при фиксированном лиг —»• оо
сумма sn все лучше и лучше аппроксимирует некоторую
функцию f(z), т. е.
lim z" [s^iz) —.
г -> оо

1} ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 119
Тогда говорят, что sn есть асимптотическое представле-
представление f(z). Это не есть ряд в обычном смысле этого слова,
так как sn расходится. Но из него можно извлечь сведения
о функции f{z), так как при г—»- оо он хорошо предста-
представляет эту функцию.
Построим sn (z) по заданной f{z). Величина s0 равна а0,
следовательно, ао=/(оо). Величина s1 = aQ-\- ajz, тогда
т. e.
ax= lim z \f(z)-ao\ = lim z [f(z) — /(oo)].
z —>- go L J z —>- oo
Аналогичным образом находятся все коэффициенты ап.
Однако восстановить обратно функцию по ее асимпто-
асимптотическому представлению нельзя. Например, пусть f {z) — e~z,
тогда
аоз=О, а1= limze~z = 0, а2 =ж а3 = . . . = аи = 0.
Z —>- оо
Следовательно, весь асимптотический ряд равен нулю для
функции e~z. Итак, функции /(z) и f{z)-\-e~z имеют оди-
одинаковые асимптотические представления.
Обозначим z=(&/J. Оказывается, что квазиклассиче-
квазиклассическое решение
Фквазикл \Х>
есть асимптотический ряд, т. е. расходящийся при п—»• оо.
Однако при z—>¦ оо величина а0 (х) сколь угодно хорошо
представляет функцию <р (л:) (точное решение).
Пусть, далее, z фиксировано. При п—> <х> ряд C.6)
расходится. Следовательно, при любом z есть оптимальное
число членов п (г), которое наилучшим образом описывает
функцию ф (х). Мы будем пользоваться только нулевым
членом этого ряда. Следующие приближения не обязательно
должны улучшить, они могут и ухудшить решение.
Поскольку квазиклассическое приближение есть асимпто-
асимптотический ряд по степеням параметра \f(klJ, в нем теряются
эффекты, экспоненциально малые при больших значениях
этого параметра.

120
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
{ГЛ. 3
Сшивание квазиклассических функций
В этом разделе мы найдем, как нужно сшивать квази-
квазиклассическую волновую функцию ф в области, доступной
для классического движения, с ф в запрещенной области.
Для определенности предположим, что потенциальная энер-
энергия частицы имеет вид, изображенный на рис. 24 (начало
координат взято в точке, где V(x) = E).
Л
Рис. 24.
Квазиклассическое решение в области // (классически
доступной) согласно C.5) имеет вид
§ kdx\-Jr-^=exp( — i^kdx\ , C.7)
а в области / (классически недоступной)
Если бы квазиклассическое решение было аналитической
функцией х в окрестности х = 0, то для нахождения со-
соотношений между аг, аг и bx, b2 нужно было бы анали-
аналитически продолжить это решение из II в I (при этом экспо-
экспоненты в C.7) просто перешли бы в экспоненты C.8)).
Правда, по вещественной оси нельзя было бы двигаться,
так как в окрестности х = 0 квазиклассика неприменима
(А@) = 0, поэтому условие Ы ^> 1 не выполняется).
Эту трудность можно было бы преодолеть, обойдя точку

1] ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 121
х = 0 в комплексной плоскости по дуге достаточно боль-
большого радиуса (где применима квазиклассика).
Однако такое аналитическое продолжение дает, как мы
увидим, неправильный результат.
Оказывается, что при таком обходе обязательно пере
секаются линии (они называются линиями Стокса), где
портится аналитическое продолжение. Поэтому такой спо-
способ нужно применять осторожно. Ниже мы покажем, как
это сделать.
Другой возможный путь состоит в том, чтобы искать
точное решение задачи вблизи лг = О, считая потенциал
прямолинейным. Это решение описывается так называемой
функцией Эйри. Затем нужно сшить точное решение с ква-
квазиклассическим при х > 0 и х <С 0.
Разумеется, так можно поступать только зная, что
квазиклассическое Приближение становится применимым на
расстояниях от точки поворота, малых по сравнению с рас-
расстоянием, на котором потенциал существенно отклоняется
от прямолинейного. Покажем, что при большом параметре
квазиклассичности (&2/2^>1) это действительно так.
Разложим для этого потенциал V (х) вблизи х = 0
в ряд: V(х) да Е-\- V @) х. Тогда импульс k (лг) =
= )/" —2V" @)х==аУ"х. Оценим величину a:a~Kl V @)|~
~ 1/—М 'v-rTv ' где ^о=1'Л2Я, а / — длина, на которой
существенно меняется потенциал V(x). Итак, в окрестно-
окрестности точки х = 0 величина k(x)~koy -г-. Чтобы квази-
квазиклассическое приближение было применимо, нужно отойти
от точки лг = О на такое расстояние, чтобы d (-г-) jdx<^\
или ,— <^ 1. Отсюда находим: лг^>//(&«,/)8/». Так как
kQ У х3
1, то можно выбрать такое хх, что
<х
На расстояниях ~->хх, с одной стороны, уже годится ква-
квазиклассическое приближение, а с другой, — потенциал все
еще можно считать прямолинейным.
5 А. Б. Мигдал, В. П, Крайнов

122 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. 3
Сшивка с помощью функций Эйри для потенциала,
изображенного на рис. 24, имеет вид*)
C-9)
[о -.
с
— \ |к Idx .
Сейчас мы получим эти соотношения, не прибегая к
функциям Эйри. Выберем радиус обхода р порядка хх (рис. 25).
gpo^ Тогда можно пользоваться квази-
чч классическим приближением и в
\ то же время считать потенциал пря-
У^"~^ч молинейным. Так как при этом к (х) =
. ч f \ //Л .«г х
у-?- р 2
/ =ахг/', то \hdx =xOX0/!. В
о/ комплексной плоскости х — ре1<? и
Рис. 25. \ k dx = тгяр1/г ехр( -^ /ср ). Поэтому
о
/ \ /г iix = - г- е 4 exp -^- ap3/2( /cos -~- ф —
(ЗЛО)
,2зх
По мерс обхода контура до тех пор, пока <р <. -у ,
3
sin -^ ср положителен, а выражение C.10) содержит зату-
') Ш и ф ф Л., Квантовая механика, ИЛ, 1959.

1] ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 123
хающую экспоненту. Если ср > -?, то C.10) содержит
растущую экспоненту. Как только появляется растущая
экспонента, все слагаемые, содержащие убывающую экспо-
экспоненту, не должны учитываться, поскольку квазиклассическое
приближение, будучи асимптотическим представлением, имеет
по параметру квазнклассичности степенную (~ ¦ )
\ k I J
а не экспоненциальную точность.
При движении по окружности радиуса р в верхней по-
луплоскости выражение е 3 переходит сначала в убы-
убывающую экспоненту, а затем после пересечения линии
ср = -77- — в растущую экспоненту; как только появилась
растущая экспонента, из-за неточности квазиклассического
приближения возникает экспоненциально малая ошибка.
Поэтому аналитическое продолжение позволяет найти коэф-
коэффициент только при растущей экспоненте.
Получаем
i
*= exPrf|*|d*l . C.1
При этом мы потеряли слагаемое, экспоненциально малое
по сравнению с правой частью C.11).
При обходе точки х = 0 снизу функция C.11) перехо-
переходит сначала в растущую экспоненту, а затем после пере-
пересечения линии
2я
<Р = —Т
— в убывающую. Потерянная из-за неточности квазиклассиче-
квазиклассического приближения в области — %? <С ф < 0 экспоненциально
малая добавка после перехода в ооласть —п < ф <. ^-
превращается в экспоненциально большой член, который
таким образом теряется. Следовательно, таким путем мы
не можем получить правильное значение коэффициента при
убывающей экспоненте.

124 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. 3
Как его получить? Предположим, что в классически
недоступной области (при V '> Е) есть только затухающая
экспонента:
Общее решение при V <С Е имеет вид
—тк=. ехр I / Kkdx — щх -\- ~~ ехр — / \ k dx + /ф2
L о J L о J
C.13)
Найдем Сх, С2 и <рх, ф2. Для этого продолжим аналити-
аналитически C.12) в область х^>0. Аналитическое продолжение
через верхнюю полуплоскость имеет вид
ехр I — \ | k | dx
— \ I k I dx
V op'/« ехр (гф/2)
При ф = 0 получаем второе слагаемое C.13), причем ф2 =
= — л/4, С2 = 1. Аналитически продолжая через нижнюю
полуплоскость, мы получили бы первое слагаемое C.13)
со значениями
Ф1 = Фг = — л/4>
Каждый раз второе слагаемое теряется из-за экспонен-
экспоненциально малой ошибки в той области, где функция экспо-
экспоненциально велика. Таким образом, имеем
Г ° ~\ / х ч
1 If 1 2 I ^ л \
ехр — \ I k | dx —>- -. cos ( \ k dx — -т- )
Fl^l 1^ V k \J 4/
в согласии с C.9).

1]
ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА
125
Условие квантования
Квазиклассическое решение уравнения Шредингера в клас-
классически доступной области {хх < х <лг2; рис. 26) можно запи-
записать двумя способами: один раз — сшивая осциллирующее ре-
решение с затухающим в точке хг,
а другой раз—в точке х2. Тре-
Требование совпадения этих двух
функций и даст нам условие
квантования.
Первое из решений имеет вид
= —?=. cos( \ kdx — С, л
¦Z",
Рис. 26.
где Схл — фаза, которая возни-
возникает при сшивке с затухающей экспонентой для х < xt.
В тех случаях, когда потенциал в окрестности точки хг
имеет линейный ход, получается, как мы видели, Сг = 1/4.
Второе из решений имеет вид
Й2 .
Условие совпадения решений даст
*2
C.14)
(при этом ах = аг (— 1)").
к dx— Сгп ) проходит через
нуль п раз, т. е. п—число узлов волновой функции в ин-
интервале \хх, лта].
Проверим правило квантования C.14) (так называемое
правило квантования Бора) на примере одномерной прямо-
прямоугольной ямы с бесконечно высокими стенками. Так как

126
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
[гл. 3
волновая функция должна обращаться в нуль как на левой,
так и на правой границах, то С1 = С2= 1/2. Получаем
где L — длина ямы. Наинизшему состоянию соответствует
число узлов я = 0.
В наиболее частом случае, когда потенциал имеет ли-
линейный ход как вблизи xlt так и вблизи хг, получаем
правило квантования
!¦
k dx= [п + о- я.
Мы увидим ниже (стр. 137),
что применение квазиклассичес-
квазиклассического приближения для радиаль-
радиальной кулоновской функции при
Рис.27. 1 = 0 дает ^ = 3/4, С2 = 1/4,
а при / ф 0 Сх = С2 = 1/4.
Задача. Показать, что для потенциала, изображенного
на рис. 27, условие квантования имеет вид
Точность квазиклассического приближения
Единственное приближение, которое мы делали при вы-
выводе наших формул, состояло в отбрасывании слагаемого
А" А/12 1
/г'М ~ (/г/J "
Для оценки Ы заметим, что
\ k df -~^ kl />-/ пп,
где л — число узлов. Следовательно, квазиклассическое при-
приближение справедливо с точностью до 1/л2/г2 (а не !/¦«).

1) ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 127
Именно поэтому е правиле квантовании Бора законно сох-
сохранять добавку 1/2 к числу узлов п, которая представляет
собой поправку ~ 1/я.
Нормировка Ешазйклассическкх функций
Существенный вклад в нормировочный интеграл внесет
лишь область хх < х < х2 (см. рис. 26), так как вне ее
волновая функция экспоненциально затухает. При хг <лг<<аг2
волновая функция
следовательно,
?|<pB|»d*=l« J-^-cos'Od*,
¦де
При Е^=Еп волновая функция (рп имеет л узлов в об-
ласти [хг, лг2], так как \ A dx изменяется от нуля до (п -\-1/2) л
и cos Ф будет п раз обращаться в нуль. Если п велико,
то фаза Ф — большое число. Далее, cos2 Ф = — -\- -^-соз2Ф,
Второе слагаемое много раз изменяет знак и поэтому вне-
внесет малый вклад. Следовательно,
а2 ? dx __ а* Т
2 J k ~ 2 2 '
где Т—период классического движения. Итак,
,42
а*1 —-ттг = О).

128 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. 3
где га — частота колебаний в соответствующей классической
задаче. Таким образом,
C^^) (ЗЛ5)
Задача. Оценить вклад в нормировочный множитель
от классически недоступной области.
Ответ.
Принцип соответствия
Из правила квантования C.9) дифференцированием по п
получаем
аеп С dx d-Bn л
dn J k dn a> Л
откуда
de
Это соотношение называется принципом соответствия: при
больших квантовых числах разность соседних уровней энер-
энергии равна классической частоте движения.
Средняя кинетическая энергия
Выразим среднюю кинетическую энергию частицы при
квазиклассическом движении через ее полную энергию:
т J ф ^2ф dx J ф
» dx = — т J ф" ~dT*ф»dx ~ 4 J ф"А2ф»rfAr-
Здесь величина k—число, а не оператор. Дифференциро-
X
ваиие \Jv k в ф„= —^= cos ( \ ferfjf — ) вносит малый вклад

1] ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 129
в Т. Используя C.16), получим
-^-cos2 C&dx = -^ Г kdx =
+ т) н#- (ЗЛ7)
В случае кулоновского потенциала при 1=0 условие кван-
квантования не содержит 1/2 и
Если принять во внимание теорему вириала
T = ~xd^, C.19)
то из C.17) и C.19) можно найти собственные значения
энергии в квазиклассическом случае. Например, для осцил-
осциллятора V—х2 и х j-— 2T, т. е. Т= V. Следовательно,
Решая это уравнение, получим еп = С(п-\-г/2). Из прин-
принципа соответствия следует, что С=со — частоте классиче-
классического движения, следовательно, е„ = (п -\- V2) ы- Далее, для
кулоновского потенциала при 1 = 0 из C.18) и C.19):
7=-V.^=—5-лЯГ' ея=7-27=-Т=—1Л?». Ре-
шение этого уравнения есть еп— С/п2. Мы видели (стр. 36),
что из принципа соответствия следует С= —1/2.
Связь квазиклассических матричных элементов
с компонентами Фурье классического движения
Свяжем матричный элемент \ ср^ U (лг) ср„ dx одномерной
задачи с компонентой Фурье от классической величины
U[x(t)] (например, дипольный матричный элемент
dx

130 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. 3
можно связать с компонентой Фурье классической коорди-
координаты движения x(t)).
Пусть п и п' не очень сильно отличаются друг от друга,
именно,
Тогда матричный элемент
Unn> = f Ф« ^Ф«' dx = апап> Г -J== cos Фл cos Ф„, dx =
= fl * J ?/ [cos (Ф„ - Фя.) + cos (Ф„ + Фя.)] ~k .
Так как Фп и Ф„' велики, то второе слагаемое в подынте-
подынтегральном выражении можно отбросить из-за сильной осцил-
осцилляции cos (Фи -f- Ф„'). Следовательно,
2 ^2
Una' = -f J U (X) COS (Ф„ - ф„.) d± .
Так как
х я х
Фп — Ф„' = Г !in dx — \ /%„' dx ж \ ~ (8Я — е,2') =
— dn v" "
TO
т h
,, 2 Г r,r ,., 2л (п — n') t .,
0
Итак, матричный элемент величины U(х) в квазиклассиче-
квазиклассическом приближении равен фурье-компоненте величины U [x {t)].
Критерий применимости теории возмущений
для расчета не слишком малых величин
При возмущении л-го состояния дискретного спектра
критерий применимости теории возмущений имеет вид Н'<<^ Епт,
где //' — матричный элемент возмущения, а Епт=Еп — Ет.

1] ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 131
Здесь Еп и Ет означают ближайшие уровни, для которых
матричный элемент Н'пт не мал. Так как
пт dn n '
где п — число узлов волновой функции, то это условие сво-
сводится к
4-'л<^1. C.20)
В кзазиклассическом случае п^>>\, и это условие может
не выполняться. Покажем, что для вычисления не слишком
малых величин его можно заменить более мягким условием:
^<1. C.21)
Для доказательства этого утверждения рассмотрим мат-
матричный элемент Unm = (ф„ | U\ <р,л). Пусть U (х)— плавная
функция. Тогда Unm^0, лишь когда пит мало отличают-
отличаются друг от друга (иначе у подынтегральной функции будет
много узлов). Воспользовавшись квазиклассическими волно-
волновыми функциями, получаем
Второе слагаемое в подынтегральном выражении для Unrn
осциллирует п-\-т раз, поэтому его вкладом можно прене-
пренебречь. Следовательно,
Unm g» g»g» Г U (х) cos A;>^^5ст) dx. C.22)
Пусть теперь к потенциалу V(х) добавляется малая ве-
величина И' (х). Так как /г„ = )/2 [Еп— V {х)\, то
Akn = V2[En-V (х)-Н' (х)] - V 2[En-V (x)] ~ ,
следовательно, Akn/kn ~ H'jk.% -^ H'/En, если V не близко
к Еп (иначе квазиклассика неприменима). Следовательно,
условие Akn/kn<?c.l эквивалентно И'/Еп<^\, т. е. измене-
изменением k можно пренебречь при выполнении условия C.21).

132 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. 3
X
При вычислении фазы Ф„ = \ kn dx ^- этого нельзя
X X,
делать, так как 6ФЛ ?» \ bkn dx ж \ -w-kn dx ~ -g-n, где
¦*' Н'
п-число узлов. Поэтому условие 6ФЛ<^ 1 означает -р- п <^ 1;
отсюда и возник критерий теории возмущений.
Однако мы видим, что для вычисления величин, содер-
содержащих Фп — Фт, причем \п — /я|~1, изменение разности
фаз имеет порядок
6(ФФ)(яда>
Следовательно, изменение больших матричных элементов Unm
при возмущении потенциала на величину //' (х) определяется
условием Н'/Еп<^.\, что и нужно было показать.
Если \п — т\ не мало, то изучаемый матричный элемент
мал из-за осцилляции cos (Фп — Фт)-
Выясним, как изменяется квазиклассическая волновая
функция Ч1" = AeiS при добавлении малой величины Н' (х) к
потенциалу V{x). Изменение Л определяется величиной Н /Е,
поскольку Л •—¦ 1 /~|/^Л, a Ak/k ~~ Н'/Е, как уже было най-
Л TJf
дено. Но 5 = \ k dl, поэтому 8S ~ п-р- , так что 6S может
быть и больше 1, хотя Н'/Е<^\. Изменение W при добав-
добавлении //' равно:
ЬЧ » Wei6s » Чгехр(— J^ ).
Возмущение, вызываемое деформацией ядра, не удовлет-
удовлетворяет критерию C.20), но критерий C.21) выполняется.
Поэтому для вычисления не очень малых величин можно
пользоваться теорией возмущений (стр. 74).
Надбарьерное отражение
Решим задачу об отражении частицы при движении
с энергией, большей высоты барьера, так что везде выпол-
выполняется критерий квазиклассического приближения. Легко
увидеть, что ни в каком приближении по параметру квази-

1] ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 133
классичности 1/(&/J не возникает отраженной волны. Дей-
Действительно, квазиклассическое приближение, соответствую-
соответствующее идущей направо волне, имеет вид
А ехр
Разлагая это решение по степеням А"/А, получим всюду
только волны, идущие вправо.
Причина этого результата в том, что коэффициент от-
отражения экспоненциально падает с увеличением (Л/J, между
тем как квазиклассическое решение есть асимптотический
ряд и экспоненциально малые добавки в нем полностью те-
теряются.
Целесообразно искать решение уравнения Шредингера
W + k2(x)Y = 0 C.23)
в виде
х
J
где ф — малая добавка, содержащая отраженную волну.
Тогда получаем
где
/ (х) = — А" ехр / j k dx .
Выразим решение этого неоднородного уравнения через
два решения соответствующего однородного уравнения Ч?х
и W2 D*4 и W2 — волны, идущие соответственно вправо и
влево):
где
Д = W[W2 — W^W'z = const
— определитель Вронского.

134 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. 3
Итак, решение уравнения Шредингера C.23) имеет вид
г х
Y (х) = у -j* exp It \ k dx
Iх х
Пределы интегрирования определяются из следующих
соображений: при х—»¦ оо должна оставаться только волна,
идущая вправо; это обеспечивается функцией W±. При
х—>¦ — оо функция ф(—оо) должна содержать только от-
отраженную волну. Действительно, при указанном выборе
нижнего предела
х? (х) =
1
,-ikax i
Так как А = const, можно вычислить А при х—>оо.
Функция ХУХ —*¦ е:1г°х, а функция Ч?2 в силу малого коэффи-
коэффициента отражения приближенно стремится к e-ikox+iam
Отсюда j A j = 2k0.
Таким образом, коэффициент отражения
C.24)
Заметим, что в C.24) не используется квазиклассическое
приближение.
Если V<<i,E, то из C.24) получается обычная формула
теории возмущений. Действительно, величина А' = ° fe'
Tjk как k =
V"
f — A"eiS -~ —
2k%
V), то k' = — V'lk,
и
QD
следовательно,

2]
ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА
135
Интегрируя дважды по частям, получим выражение для ко-
коэффициента отражения, совпадающее с тем, что получается
по теории возмущений:
00
Величина R определяется поведением Ч^/ в окрестности
ближайшей к вещественной оси особой точки.
2. ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА
Центрально-симметричное поле
Рассмотрим квазиклассическое движение в центрально-
симметричном поле. Переменные 0, ф в этом случае отде-
отделяются от переменной г:
Рассмотрим сначала радиальную часть волновой функции,
Введем функцию
um(r) = rRn[(r).
Из ограниченности Rn[(r) при /¦ = О следует, что
ип1 @) = 0. Для ип1, как известно, получается одномерное
уравнение
где
Условие "„ДО) = 0 соответствует в одномерной задаче
бесконечной потенциальной стенке в начале координат.
При увеличении / и заданном V(г) яма на рис. 28 ста-
становится все мельче и в конце концов исчезает, т. е. при
достаточно большом / система не будет обладать дискрет-
дискретными уровнями. Значениям еп1 ^> О соответствует сплошной
спекто.

136 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Уровни энергии в кулоновском поле
[гл. 3
Найдем уровни энергии в кулоновском поле. Условие
квантования имеет вид (при /=^=0, рис. 28,6)
г
rmin
Здесь nr — радиальное квантовое число, rmin, rmax — квази-
квазиклассические точки поворота. Мы заменили в центробежном
aj 1=0
Рис. 28.
потенциале /(/-j-1)—* (I ~\-г/2J• Тогда квазиклассическая
функция имеет фазу на бесконечности, совпадающую с точ-
точным решением, между тем как другие величины от такой
замены практически не меняются. Интеграл в левой части
приведенного выше условия равен
Следовательно,
72
—
2/г2
где n = nr + / + l—главное квантовое число.
При 1 = 0 (рис. 28, а) левая точка поворота rmin = О и
совпадает с особой точкой уравнения, т. е. в области левой
точки поворота потенциал нельзя заменить прямой линией,
как мы делали выше. Поэтому условие сшивки на левом
краю изменится.

2] ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА 137
Для нахождения энергетических уровней при 1 = 0
нужно найти точное решение вблизи особой точки и сшить
его с квазиклассическим решением вдали от нее.
Для больших квантовых чисел (т. е. энергий, близких
к нулю), волновая функция в кулоновском поле с 1 = 0
имеет вид *)
где ах — нормировочный коэффициент. При r^>\/Z отсюда
находим
cos(/8Z>—
— ai
С другой стороны, для RnQ можно написать квазиклас-
квазиклассическое решение
( \ prdr — CiJi )
V /
cos 1 _
cos {VsZr — dn)
"° r Vpr 2 r VPr
3 1
Таким образом, здесь появляется фаза 6"^ = -j- л вместо—л
в обычном случае.
Функция RnQ может быть также записана в виде
/rmax \
cos I \ prdr — я/4 )
\ ,J /
Здесь rmax — правая точка поворота. Из условия одно-
однозначности, так же как и в 3.1, получаем правило кванто-
квантования
о
где л—главное квантовое число.
*) Л а н д а у Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика,
физматгиз, 1963.

138 КВЛЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. 3
Вычисление интеграла дает
Е =
Как мы видим, в этом случае квазиклассическое приближе-
приближение (так же как и з случае осциллятора) дает точные
уровни энергий.
Квазиклассическое представление сферических функций
Для вычисления матричных элементов физических вели-
величин при больших угловых моментах / удобно использовать
квазиклассическое представление для сферической функции:
^«(в, ц>) = у=Рш(совЬ)г!л"'.
Здесь Pimix) — присоединенный полином Лежандра, удов-
удовлетворяющий уравнению
dx
Введем функцию "&Lm{x):
Тогда для О,ет [х) имеем
Решение этого уравнения с точностью порядка I//2 мо-
может быть найдено в квазиклассическом виде
где
i 2 гт?2
В точках х1>2 величина k (x) обращается в нуль, т.е.

2] ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА 139
Мы заменили здесь /{/-}-1)—>-(^ ~r VaJ» имея в виду, что
квазиклассическое приближение применимо с точностью до
I//2 (а не 1/1; см. 3.1).
Коэффициент а определяется из условия нормировки
присоединенных полиномов Лежандра:
-1
т.е.
а2 Г 1 dx , а2 1 д . , ,
•«2
Вычислим \ k dx:
«¦
C.25)
Этот результат следовало ожидать, так как число узлов
Рш{х), как известно, равно /—\т\.
Из C.25) находим
Следовательно,
Окончательно имее,м
где
1 —

140 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. 3
Квазиклассическое представление сферических функций поз-
позволяет приближенно вычислять суммы вида
Действительно, используя условие квантования C.25) и за-
заменяя суммирование интегрированием, получаем
Г &bn)dm __
J (^+1/2)sin9 1/ 1 /г ¦ i .¦ %2
¦/•> I sin в 1 ' \l~T 1г)
. _. ' sin2 в
sin 6].
V
В частности, для Ф(/я) = 1, /и2, /и4 находим
1
v [«„»*= Ltv« Г dt ^(/+y,Ksinae^
' — 1
у
I2?»4 — /-^1/2 Г dt /* (/ -I- i/ 14 sin4 a —
±
16л
Распределение Томаса—Ферми в атоме
Для потенциала V атома можно написать следующее
электростатическое уравнение:
ДК= — 4яр, C.26)
где р — плотность заряда электронов в данной точке. Это

2] ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА 141
уравнение приближенное, так как на самом деле мы имеем
многочастичную задачу — ядро и Z электронов — и потенциал
V(r, r,)=—^--H
г ' ^-ir — r,|
есть оператор, а не число, т. е. V зависит от электронных
координат, в то время как р, очевидно, нет. Следовательно,
потенциал, используемый в C.26), есть значение истинно-
истинного потенциала, усредненное по движению электронов.
Поскольку частиц много, то отклонения V{r, rt) от V {г)
будут в среднем малы (хотя формально V{r, r{) может
принимать любые значения). Уравнение Шредингера с таким
усредненным потенциалом имеет вид
причем потенциал V можно считать сферически-симметричным
(сферическая симметрия может нарушаться лишь за счет
наружных электронов или незаполненных оболочек). Тогда
x^==Uni ^ш-. причем для ип1{г) имеем уравнение
и"ы+k'ntuni = O, C-27)
где
Функция ип1 удовлетворяет граничным условиям
ии|@) = 0, limunl(r)?=O
и нормирована следующим образом:
(функцию ип1 можно считать вещественной).
Плотность заряда электронов равна (как и всюду,
е = А = т= 1):
р= -2
nlm mm

142 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. 3
Суммирование по т с учетом соотношения (стр. 140)
\Ilm\ — 4л
m=-l
приводит к выражению
,3.29)
В квазиклассическом приближении радиальная волновая
функция имеет вид
C.30)
где
A —- 1/а\й 2 r5F ¦
яп/ ^П — r-nt v \r) 2r2 , anl ¦^--fa- ¦
Уровни энергии Еп1 находятся из правила квантования
Бора
C.31)
При 1=0 вместо п -\- х/2 в соотношении C.31) нужно на-
написать п (см. стр. 137).
Из C.29) и C.30) получаем
л/
В квазиклассическом приближении можно заменить сред-
среднее значение квадрата косинуса на 1/2.
Из C.32) имеем
л/
От суммирования по л в C.33) перейдем к интегрированию

2] ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА
при фиксированном /; так как
143
то
"Г дп knl-
nl
~У2(Е
min
где Emin = Vl (при E^>Vt волновая функция имеет вид
cos ( \ kdr т~ )> а пРи ^ "^ ^i она затухает экспоненци-
экспоненциально и вкладом этой части в р (г) можно пренебречь).
Поэтому выражение C.33) можно записать в виде
Так как Vl=
C.34) принимает вид
1 \2
¦ -ft , TO
dV,
91 -4 - 1
так что
• C-35)
V, соответствует 1 = 0. V, =V. Зеличина V, {r) = Q.
'mm J ' 'mm 'max4
Для состояний с большими / точка г находится в класси-
классически недоступной области, и такие состояния вносят экс-
экспоненциально малый вклад в плотность в точке г (рис. 29).
Итак,
Обозначая—У^Ф, запишем уравнение Пуассона C.26;
с учетом C.36) в следующем виде:
Аср - 4.np = *LL
C.37)

144
где С=8У
са — Ферми.
КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. 3
2/Зл. Это — так называемое уравнение Тома-
HO-J
Рис. 29.
Если г—»-0, то ф—yZ/r — потенциал ядра. Целесооб-
Целесообразно заменить ф(r):=Z%(r)/r с граничным условием
%@) = 1. В сферических координатах
C.38)
C.39)
следовательно, из C.37) имеем
или
%" (г)
Введем новую переменную x = aZx/*r (а выберем позже)
с целью получить универсальное уравнение для функции %.
Тогда из C.39) находим
%и

2] ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА 145
/8 VYY/s
или, если выбрать С=<х3/\ т. е. а=( —|-— ) , то оконча-
\ on /
тельно находим
C.40)
Х(О)=1.
Уравнение C.40) решается численно (в 1.1 дано при-
приближенное его решение). Решение его определяет распреде-
распределение плотности электронов. Характерный радиус этого рас-
распределения в безразмерных единицах х~ 1, следовательно,
в обычных единицах ат_.ф ^^аи/^/ Z. На этом расстоянии
находится большинство электронов. Полученный результат
совпадает с приближенной оценкой, приведенной на стр. 38.
Уравнение C.40) справедливо в той области атома, где
применимо квазиклассическое приближение.
Задача. Начиная с каких и до каких расстояний при-
применимо распределение Томаса—Ферми?
Ответ. rmin ~ 1/Z, rmax~l.
Оценки ядерных матричных элементов
В теории ядра часто приходится вычислять различные
суммы матричных элементов. Рассмотрим, какие матричные
элементы вносят наибольший вклад в такие суммы.
Пусть U(г) — величина, заметно изменяющаяся на рас-
расстояниях порядка радиуса ядра. Оценим квазиклассически
матричный элемент Uy,^ = (qpji.fApjiJ, где фх — волновая cpyi к-
ция нуклона в самосогласованном поле, создаваемом всеми
остальными нуклонами ядра, Я — совокупность квантовых
чисел, описывающих состояние нуклона.
Рассмотрим сначала сферическое ядро. Тогда Я ^ п, J,
I, т, где п — радиальное, / — орбитальное и т — магнитное
квантовые числа, j=l±-~. Покажем, что соседние уровни
в сферическом ядре не комбинируют между собой, т. е.
дают малое значение матричного элемента Uxtx2- Предвари-
Предварительно оценим расстояние между соседними уровнями. В
деформированном ядре уровни с различными проекциями

14б КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ.З
момента на ось симметрии расщеплены, поэтому если Л — число
нуклонов в ядре, а гР — энергия Ферми, т. е. энергетиче-
энергетическое расстояние от дна самосогласованной ямы до места
заполнения последних нуклонов, то среднее расстояние
ыежду одночастичны?ли уровнями имеет порядок гГ./А. Вели-
Величина eF не зависит от А с той точностью, с которой
постоянна плотность п ядерного вещества. Действитель-
Действительно, в системе, которая удерживается силами, действую-
действующими между ее частицами, радиус действия сил и среднее
расстояние между частицами имеют одинаковый порядок
величины. Поэтому все величины, характеризующие ядро,
можно выразить с помощью размерных оценок друг через
друга. В частности, s^—я2/3 (М — 'Я=1).
В сферическом ядре существует вырождение по проек-
проекции углового момента с кратностью порядка величины угло-
углового момента / ~ PFR, где/? — радиус ядра, a pF—импульс
нуклона на границе Ферми. Так как /? = г0Л1/з, где г0 — ве-
величина порядка среднего расстояния между нуклонами, то
PFR = pFr0A1/^'^'A1/='. Следовательно, среднее расстояние
между ближайшими уровнями сферического ядра имеет по-
порядок величины eF/A'^.
Оценим сначала расстояние между уровнями, отличающи-
отличающимися лишь радиальными квантовыми числами п, причем
Ьп~\. Для зтого продифференцируем пол условие кванто-
квантования Бора \ prdr = п, где рг — радиальный импульс. Полу-
Получаем
J дп J днп[ дп дп j v дп v '
где гп1 — уровень энергии, a v=^-^ — скорость нуклона.
Отсюда
д'1 R r0A11* A1/s А%1%'
Оценим теперь расстояние между уровнями, отличающи-
отличающимися лишь орбитальными квантовыми числами /, причем
6/~1. Для этого продифференцируем по / соотношение
\dr = n, учитывая, что рг = у 2 \гп1—V(r)— о 2 I ¦

2] ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА 147
Здесь V (г) — потенциальная энергия нуклона. Получаем:
т. е.
R
дещ С dr . С dr
Ы J Рг J '2Рг'
min
где rmin находится из условия рг = 0, т. е. rm!n — Z//^.
В интеграле \ — существенна вся область интегрирова-
J Рг
mln
ния, поэтому мы его оцениваем как R/v. В интеграле же
J-^— основной вклад вносится областью вблизи гт\п
г Рг '
rmin
поэтому его оценка \/rminpF ~ 1/1. Итак, —~ • — — 1~Г— 1>
т. е. ^^е,,/^1/..
Таким образом, мы получили, что
Поэтому уровень сферического ядра, ближайший к данному,
т. е. отстоящий от него на расстоянии eF/A"/=>, получается,
как правило, за счет больших изменений б/г и б/, так чтобы
величина
была минимальна.
Для этого нужно выбрать бл, б/^Л'/э. Следовательно,
ближайшие уровни сферического ядра, как правило, сильно
отличаются по числу узлов радиальной и угловой части
волновой функции, а потому дают малое значение матрич-
матричного элемента Л/я.,л.,.
Состояния с энергиями | е^ — &хг \ ^> eF/A1^ также дают
малое значение U%t%^, так как функции ф^ и (р%, сильно раз-
различаются по числу узлов.

148 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. 3
Итак, матричный элемент Ux,xz заметно отличен от нуля
для Хх= Х2 (если он при этом не равен строго нулю из-за
правил отбора) и для | е^ — ехг | ~ ЕрЛ~1/а, когда числа
узлов функций фя,, и фя,г мало различаются.
Все сказанное выше о комбинирующих; уровнях остается
в силе и для деформированного ядра, если оператор U ме-
меняет квантовые числа п и /. Если же U меняет лишь маг-
магнитное квантовое число т (например, оператор углового
момента), то комбинируют уровни с соседними т, принад-
принадлежащие одному мультиплету nl. Оценим расстояние между
ними. Выше (см. стр. 75) было показано, что в первом по-
порядке теории возмущений расщепление уровней определя-
определяется соотношением
'mf J_
, /2 3
где р — величина деформации. Следовательно,
Еп1т — еп1 ~Ь е»гР у /2 3
т. е. в этом случае могут комбинировать и близкие уровни
(при малых Р).
Нецентральный потенциал
Рассмотрим более общий случай, когда переменные не
разделяются, и построим в этом случае квазиклассическое
решение. Ищем решение уравнения
в виде 4я = Ae's. Тогда
= (АЛ + 2iVAVS + IAAS — A (VSJ) e!s;
следовательно,
АЛ + 2tyA4S — A (V5)a + iAAS + k*A = 0. C.41)
Разделяя действительную и мнимую части, из C.41) полу-
получаем два уравнения
C.42)
C.43)

2] ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА 149
Уравнение C.43) означает закон сохранения тока частиц.
Действительно,
21 1
— Aels{VAe-ls)] =
и
divy= V (A2yS) =
= A2AS-\- 2уЛVS ¦ А = 0.
Следовательно, вдоль линии тока р
J1 dox = /2rfa2, C.44)
где dox и ufcr3 — нормальные элементы площади трубки
тока (рис. 30).
Если АА/А <<$Аг2, то из C.42) следует уравнение Гамиль-
Гамильтона— Якоби для S:
C.45)
Квазиклассическая задача рассеяния
Построим квазиклассическую волновую функцию для за-
задачи рассеяния. Предварительно заметим, что уравнение
C.45) содержит не одно решение: в любую точку в + оо,
куда устремляются частицы после рассеяния, частица может
прийти по меньшей мере
_ ~ -»><^ двумя путями. Это изобра-
изображено на рис. 31. Здесь
7 / ~ 1 и 2 — две точки фрон-
*~ та плоской падающей
Рис- 31- волны.
Поэтому на основе принципа суперпозиции вместо реше-
решения чр = Ae's мы должны потребовать W = 2 ^ie'S'> Где
i
сумма берется по всем классическим траекториям, соединя-
соединяющим рассматриваемые точки.
Предположим для простоты, что есть только две траек-
траектории, соединяющие фронты падающей и рассеянной волн
на бесконечности. Вдоль траектории /, которая 'проходит
вдали от центра рассеяния, трубка тока параллельна оси х;

150 КВАЗИКЛЛССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. 3
А и V<5 постоянны, причем yS=p0. Можно положить, что
значение ^У-функции в каждой точке фронта падающей
волны равно 1. Поэтому А1 = А2 — \. Следовательно,
X
Yj. = ехр ^ J р0 dx ] = exp (ipox
где L — пока произвольное число. Найдем второе реше-
решение W2. Вдоль второй трубки тока A2yS da = const. На
— оо имеем А2=\, yS—р0, do — р dp dqi, где р — прицель-
прицельный параметр. Следовательно,
р0 р dp dq> = A\p0r2 dQ. C.46)
Тогда
а полное решение задачи имеет вид
г
[ j]. C.47)
у
j
Умножим правую часть этого равенства на постоянный мно-
множитель e~'P°L:
XJf ^ eiPoX _|_
или W —* e'P«* + -^- e'Po'", где
OD CD
Ф= ^pdl- Jporf/o- C.49)
— CO — GO
Траектории / и /0 изображены на рис. 32.
В выражении C.49) фактически существенное значение
имеют точки вблизи центра рассеяния. Выражение C.49) тре-
требует уточнения в том случае, когда классическая траекто-
траектория проходит вблизи точек, где квазиклассика неприме-

2] ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА 151
мима. Совокупность таких точек образует поверхность,
называемую каустикой. Каустика отделяет область, доступ-
доступную для классического движения, от недоступной. На-
Например, для отталкивательного кулоновского потенциа-
потенциала каустика имеет вид парабо-
параболоида вращения. В случае при-
тягивательного кулоновского
потенциала она представляет
собой прямую линию, идущую
от центра рассеяния к -J- оо.
Найдем, ь:ак меняется фаза
волновой функции вблизи каса- Рис. 32.
ния траектории с каустикой.
Разложим движение частицы на два движения: перпендику-
перпендикулярно касательной к каустике и вдоль касательной. Движе-
Движение в перпендикулярном направлении аналогично квазиклас-
квазиклассическому отражению от точки поворота в одномерной
задаче. При этом разность фаз падающей и отраженной
волны, как мы видели, равна я/4— (—я/4)= я/2. При
движении вдоль касательной к каустике изменения фазы не
происходит. Следовательно, вместо C.49) для Ф получается
следующее выражение:
с» со
Ф- ^Pdl— §podlo + iv f- ,
— СО — QO
где v — число точек касания с каустикой. В случае кулонов-
кулоновского потенциала v=l.
Сечение рассеяния протона на атоме водорода
При рассмотрении задачи о перезарядке (см. стр. 103)
было получено, что амплитуда рассеяния /i = V« (/« ~f-/e)>
а амплитуда перезарядки f2 = xU{fs—fa), где fs, fa —
амплитуды соответственно симметричного и антисимметрич-
антисимметричного рассеяния.
Потенциал Vs мало отличается от Va, поэтому класси-
классическое сечение можно считать одинаковым для Vs и Vu,
между тем как фазы Ф3 и Фа могут сильно различаться.
Действительно, Ф5, Фа — очень большие числа, поэтому и
Ф$ — Фа может быть велико.

152 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ [ГЛ. 3
Следовательно, согласно C.48)
Сечение перезарядки равно
Так как
ф =
ТО
Ф,-Фв =
где отх — масса, а г>0 — скорость протона.
Рассмотрим рассеяние на малые углы. Обозначим
Vs—Va^=V. Тогда для сечения перезарядки получаем сле-
следующее выражение:
. C.50)
Здесь p — прицельный параметр. Это выражение совпадает с
сечением, полученным в B.4). Для сечения рассеяния получаем
pacc
2 \с?ОУкл 2 ^.^^Укл L vo J
00
Таким образом, наряду с обычным классическим рассея-
рассеянием получаются квантовомеханические осцилляции се-
сечения рассеяния как функции угла отклонения.