Text
                    А. Б. МИГДЛЛ
КАЧЕСТВЕННЫЕ
МЕТОДЫ
В КВАНТОВОЙ
ТЕОРИИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1975

530. 1 М 57 УДК 530. 145 Качественные методы в квантовой тео- рии, Миг да л А. Б., учебное пособие. Изд-во «Наука», Главная редакция физико-математи- ческой литературы, 1975 г. Книга посвящена качественным методам теоретической физики (размерные и модельные оценки, изучение предельных случаев, исполь- зование аналитических свойств и свойств сим- метрии физических величин). Применение качественных методов иллю- стрируется на многочисленных физических зада- чах из различных областей квантовой теории. Задача книги — научить начинающих фи- зиков правильному подходу к исследователь- ской работе в области теоретической физики. М 20402—134 053 (02)-75 Б324-5-75 (g) Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1975 г-
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................... 7 Глава 1 Размерные и модельные оценки......................... 9 1. Оценки математических выражений....................... 12 Оценка производной (12). Оценки' интегралов (13). Метод перевала (18). Свойства интегралов от осцилли- рующих функций. Оценки далеких членов ряда Фурье (21). Оценки решений дифференциальных уравнений (27). 2. Атомная механика...................................... 32 Оценки скоростей и размеров орбит внутренних электро- нов атома (32). Стационарные состояния (33). Рас- пределение электрического заряда в атоме (37). Фор- мула Резерфорда (39). Неприменимость классической механики при больших прицельных параметрах (40). Оценка сечения рассеяния для потенциалов, спадающих с расстоянием быстрее, чем кулоновский (42). Резо- нансные эффекты при рассеянии (43). Взаимодействие между атомами (44). Ионизация атомов (45). Многократ- ное рассеяние (46). 3. (Взаимодействие с излучением.......................... 48 Нулевые колебания электромагнитного поля (48). Фо- тоэффект (51). Времена жизни возбужденных состоя- ний атома (55). Тормозное излучение Образо- вание пар (60). Рождение мягких квантов при рассея- нии заряженных частиц («инфракрасная катастрофа») (Б2). Лэмбовское смещение (®). Асимптотический характер рядов в квантовой электродинамике (7Т). Глава 2 Различные случаи теории возмущений.............. 73 1. Теория возмущений в непрерывном спектре.......... 75 Рассеяние заряженных частиц на атомном ядре (80). 2. Возмущение граничных условий..................... 81 Энергетические уровни деформированного ядра (82). 1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ 3. Внезапные возмущения................................. 85 Ионизация атомов при 3-распаде (87). Ионизация атомов при ядерных реакциях (89). Передача энергии при вы- лете кванта из ядра молекулы (эффект Мёссбауэра) (92). 4. Адиабатические возмущения............................ 94 Ионизация атома при пролете медленной тяжелой час- (тицы (97). Захват атомного электрона протоном (пере- ' зарядка) (99). 5. Быстрая и медленная подсистемы...................... 103 Колебательные уровни эн^МПт молекулы (105). Воз- буждение ядерных дипольных уровней быстрой частицей (108). Рассеяние протона на атоме водорода (перезаряд- ка) (111). б. Теория возмущений в случае близких уровней .... 113 Частица в периодическом потенциале (115). Штарк-эф- фект в случае близких уровней (116). Изменение време- ни жизни состояния 2s^2 атома водорода во внеш- нем электрическом поле (118). Г л а в а 3 Квазиклассическое приближение...................... 121 1. Одномерная задача................................... 123 Асимптотические ряды (124). Сшивание квазиклассиче- ских функций (125). Условие квантования (129). Точ- ность квазиклассического приближения (131). Норми- ровка квазиклассических функций (132). Принцип со- ответствия (133). Средняя кинетическая энергия (133). Связь квазиклассических матричных элементов с ком- понентами Фурье классического движения (134). Кри- терий применимости теории возмущений для расчета не слишком малых величин (135). Вычисление матричных элементов в случае сильно осциллирующих функций (137). Прохождение через барьер (143). Надбарьерное отражение (149). 2. Трехмерная задача.................................. 152 Центрально-симметричное поле (152). Модификация центробежного потенциала (152). Уровни энергии в ку- лоновском поле (153). Квазиклассическое представле- ние сферических функций (155). Распределение Тома- са — Ферми в атоме (158). Оценки ядерных матричных элементов (162). Нецентральный потенциал (165). Квазиклассическая задача рассеяния (165). Сечение рассеяния протона на атоме водорода (168).
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 Глава 4 Аналитические свойства физических величин......... 170 Зависимость момента инерции ядра от деформации (173). Зависимость частоты звука от волнового вектора (174). Аналитические свойства диэлектрической постоянной . . . 175 Аналитические свойства диэлектрической постоянной в простой модели (178). 2. Аналитические свойства ампл^уды рассеяния.......... 181 Унитарность как следствие , принципа суперпозиции и сохранения вероятности (18J). Дисперсионное соотно- шение (183). Резонансное рассеяние при малых энер- гиях (184). Нерезонансное рассеяние при малых энер- гиях (188). Рассеяние на потенциальной яме (190). Аналитические свойства волновой функции (191). Одно- частичные функции сплошного спектра при малой энер- гии (192). 3. Использование аналитических свойств в физических за- дачах ................................................194 Теория ядерных реакций с образованием медленных час- тиц (194). Взаимодействующие частицы в потенциаль- ной яме (198). Теория прямых реакций (201). Порого- вые особенности амплитуды рассеяния (203). Глава 5 Методы задачи многих тел.................. 206 1. Метод квазичастиц и функции Грина.......... 212 Амплитуды перехода (212). Одночастичные функции Грина в системе невзаимодействующих частиц (функции Грина квазичастиц) (215). Функции Грина в системе взаимодействующих частиц (217). Аналитические свой- ства одночастичной функции Грина (219). Вычисление наблюдаемых величин (222). Распределение ферми-час- тиц по импульсам (224). 2. Графический метод.................................. 225 Графическое изображение процессов (225). Взаимодей- ствие между квазичастицами (237). Локальное взаимо- действие квазичастиц (242). 3. Решение задач методом функций Грива................ 244 Уравнение Дайсона. Обоснование модели оболочек (244). Неустойчивость фермиевского распределения в случае притяжения. Возникновение щели в энергетиче- ском спектре (248). Энергетический спектр бозе-си- стем. Сверхтекучесть (254).
6 ОГЛАВЛЕНИЕ 4. Система во внешнем поле.............................. 261 Изменение распределения частиц в поле (263). Спино- вая поляризуемость и магнитный момент квазичастицы (264). Звуковые колебания в ферми-системе («нулевой звук») (265). Плазменные колебания. Экранировка заряда в плазме (267). Законы сохранения и заряды квазичастиц для различных полей (268). Глава 6 Качественные методы в квантовой теории поля . . . 273 1. Конструирование релятивистских уравнений .......... 280 Лоренц-инвариантность (280). Уравнения Максвелла (284). Уравнение Клейна — Гордона — Фока (286). Уравнение Дирака (287). Функция Грина бесспиновых частиц (290). Функция Грина частицы со спином '/г (292). Функция Грина фотона (294). 2. Расходимости и перенормируемость................... 297 Локальное взаимодействие между частицами (297). Графики Фейнмана в скалярной теории (300). Оценки расходимостей и идея перенормировок (302). Условие перенормируемости (307). Логарифмическое приближе- ние и перенормируемость (310). 3. Квантовая электродинамика на малых расстояниях . . 318 Локальное взаимодействие в квантовой электродина- мике (318). Поляризация вакуума (322). Радиационные поправки к закону Кулона (324). Электромагнитное взаимодействие на сверхмалых расстояниях (327).
ПРЕДИСЛОВИЕ Решение большинства задач теоретической физики начинается с применения качественных методов, которые составляют наиболее привлекательную и красивую осо- бенность этой науки. Под качественными методами мы по- нимаем размерные оценки и оценки с помощью простых моделей, изучение предельных случаев, когда может быть использована малость какого-либо параметра, исполь- зование аналитических свойств физических величин и, наконец, извлечение следствий из свойств симметрии, т. е. из инвариантности относительно каких-либо преоб- разований, например, инвариантности относительно пре- образований Лоренца или изотопической инвариантности. Как показывает педагогический опыт, именно эта сторона теоретической физики труднее всего дается начи- нающим. К сожалению, обычно методы теоретической физики излагаются формально математически, а не в той кон- структивной форме, в какой ими пользуются в научной работе. Задача книги — восполнить этот пробел, т. е. научить начинающего физика-теоретика правильному подходу к решению научных задач. Эта цель в значитель- ной мере определяет характер изложения. Все общие ре- зультаты получаются сначала на частных примерах, на упрощенных до предела моделях. Формальное изложение, при котором убраны все следы постепенного подхода к результату, все следы «пота», может, как нам кажется, внушить начинающему научно- му работнику чувство неполноценности. Поэтому автор старался по возможности показать механизм подхода к задаче, особенно на первой стадии работы. Разумеется, при этом приходится отказаться от строгости изложения, но зато раскрываются «секреты» ремесла, т. е. маленькие хитрости, которые ускоряют получение результатов.
8 ПРЕДИСЛОВИЕ Обычная ошибка начинающих — это желание сразу понимать все до конца. В действительности понимание воз- никает постепенно по мере привыкания к новым понятиям. Одна из трудностей научной работы состоит в том, что нельзя продвигаться вперед без ясного понимания, но по- нимание возникает только в результате работы. Каждое законченное исследование означает преодоление этого противоречия. Аналогичные трудности неизбежно возник- нут при чтении этой книги. Автор надеется, что к концу чтения они будут преодолены. Каждая из шести глав книги начинается с подробного введения, в котором в простой форме излагается физиче- ский смысл полученных в главе результатов. Первые три главы книги посвящены размерным и мо- дельным оценкам в атомной механике, применениям раз- личных типов теории возмущений и квазиклассическому приближению. Эти главы представляют собой в перера- ботанном виде книгу А. Б. Мигдала и В. П. Крайнова «Приближенные методы квантовой механики» («Наука», 1966 г.). Четвертая глава посвящена различным задачам, для решения которых необходимо использовать аналитиче- ские свойства физических величин. В пятой главе развивается графический метод и его применение к задаче многих тел. Наконец, шестая глава посвящена вопросам, связан- ным со взаимодействием элементарных частиц на малых расстояниях. Именно в этой проблеме квантовой теории поля главную роль играет применение качественных ме- тодов . Автор выражает глубокую благодарность А. А. Миг- далу, А. М. Полякову, В. А. Ходелю за многочисленные советы и обсуждения и В. П. Крайнову за помощь в вы- боре материала первых трех глав. Автор благодарит также своих друзей и учеников Г. Засецкого, Д. Воскре- сенского, Н. Кириченко, О. Маркина, И. Мишустина, Г. Сорокина и А. Черноуцана за помощь в подготовке ру- кописи.
ГЛАВА 1 РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Ни одна задача в физике не решается точно. Всегда приходится пренебрегать влиянием каких-либо воздей- ствий, которые не существенны для изучаемого явления. При этом нужно уметь оценивать отбрасываемые величи- ны. Кроме того, следует до получения количественного результата исследовать изучаемое явление качественно, т. е. оценить порядок изучаемой величины и по возмож- ности найти характер решения. Для этой цели задача сначала рассматривается в мак- симально упрощенном виде. Например, если речь идет о движении частицы в кулоновском поле, то вместо этого рассматривается ее движение в прямоугольной потенциаль- ной яме, с соответствующим образом подобранной глуби- ной и шириной, зависящей Кроме того, следует рас- смотреть все предельные случаи, в которых решение упрощается. Например, ес- ли требуется решить зада- чу о рассеянии частиц про- извольной энергии,следует рассмотреть сначала пре- дельные случаи малых и больших энергий и просле- от энергии частицы, и т. д дить, как сопрягаются соответствующие выражения в промежуточной области энергий. Цель этой главы — научить читателя получать при- ближенные решения из размерных оценок с помощью упрощенной модели изучаемого явления. В некоторых случаях, размерные оценки позволяют получить и количественные соотношения. Докажем, на- пример, теорему Пифагора из размерных соображений. Из размерности вытекает, что площадь треугольника (рис. 1) можно записать как квадрат гипотенузы с2,
10 ГЛ. 1. размерные и модельные оценки умноженный на некоторую функцию угла / (а). То же самое относится к площадям двух подобных треуголь- ников ABD и BCD, для которых роль гипотенузы играют катеты исходного треугольника. Поэтому с2/ (а) = а2/ (а) + 62/ (а). Рассмотрим в виде другого примера задачу о нахож- дении силы сопротивления при движении тела в вязкой среде с произвольной скоростью. Начнем с предельного случая малых скоростей. Тогда сила сопротивления будет определяться вязкостью среды. Параметр, определяющий понятие малой или большой скорости, найдется, если составить из вязкости, плотности среды и размеров тела величину, имеющую размерность скорости. Предположим, что тело имеет приблизительно одинаковые размеры по всем направлениям. Тогда для оценок размеры тела можно характеризовать, как и в слу- чае шара, одной длиной R. Из вязкости ц, плотности р, длины R и скорости v можно составить только одну без- размерную комбинацию, называемую числом Рейнольдса Re = V ’ где v = ц/р. Так как поток количества движения равен то оценка силы, действующей на единицу поверх- ности, есть Р ~ ц . Градиент скорости оценивается как Vr ~ v/R. Действительно, на поверхности тела скорость жидкости равна v, вдали от тела на расстояниях порядка R жидкость покоится, Vv---------д . Вели оценить поверх- ность тела как S ~ 4л7?2, то полная сила сопротивления F ~ 4лцг7?. Заметим, что точное решение задачи для сферического тела дает в случае малой скорости F = блцгТ?. В случае произвольной скорости это выражение следует помножить на функцию от безразмерного параметра Re F = блцийФ \ •
ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ 11 тивления не зависит от вязкости, Re Рассмотрим теперь предельный случай очень больших скоростей. В этом случае сила сопротивления не зависит от вязкости и определяется количеством движения, ко- торое сообщается за единицу времени столбу жидкости, находящемуся впереди тела с площадью основания, равной площади поперечного сечения тела F ~ лЯ2ргА Следовательно, при больших скоростях функция Ф(.г)— 1 6 х‘ Грубо характер решения при всех скоростях определя- ется из интерполяционной формулы — (1 Согласно такой оценке переход от одного режима к дру- гому должен был бы произойти при Re • 6. В действитель- ности переход в турбулентный режим, когда сила сопро- происходит при 100. Мы сталкиваемся здесь со случаем, который довольно редко встречается — обычно переход от одного предельного случая к другому характеризуется значе- нием соответствующего безразмерного параметра порядка единицы. Другой пример, который мы приведем, относится к возможности построения теории, связывающей грави- тацию и электродинамику. Такая теория, если бы она существовала, должна была бы определить значение без- размерного параметра, связывающего гравитационную постоянную g с величинами, характеризующими электро- магнитные процессы, т. е. с зарядом электрона е и ого массой т, скоростью света с и постоянной Планка Й. Из этих величин можно составить два безразмерных соотношения а = = _* § = ^ = 2-10-«. Йс 137 э Йс Как уже упоминалось, безразмерные параметры, которые возникают в результате решения уравнений, обычно ока- зываются порядка единицы. Поэтому величина g должна входить таким образом, чтобы получалось число порядка единицы, например, а In (1/£) - 1.
12 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Именно в такой форме входят параметры а и £ в оценки, которые дают надежду на установление связи между электродинамикой и гравитацией. Приведем еще один пример того, как оценки помогают ориентироваться в сложных задачах. Ответим на вопрос: начиная с каких напряженностей полей S и ЗС уравнения Максвелла в пустоте сделаются нелинейными? Причина нелинейности уравнений связана с возмущением вакуума внешним полем. Составим величину, имеющую размер- ность поля, из величин, характеризующих вакуумные флуктуации электрон-позитронного поля. Так как е$ имеет размерность энергии, деленной на длину, то ей’к ~ тс2 / —, / тс т2с3 к ей Из этого выражения ясно, что критическое поле опреде- ляется частицами с наименьшей массой, т. е. электрон- позитронным полем. Величина SK, как мы видим, есть напряженность, при которой на комптоновской длине возникает разность потенциалов порядка энергии пары. Подстановка численных значений е, т, И, с дает <ок ~ 10гв в!см. 1. ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Прежде чем производить оценки физических величин, посмотрим, как делать более простые оценки, а именно — оценки математических выражений. Принцип подобных оценок состоит в определении области переменных, вно- сящих главный вклад в результат, в выделении быстро и медленно меняющихся в этой области частей математи- ческого выражения, а также в использовании асимптоти- ческих выражений. Оценка производной. В самом простом случае, когда существенная область изменения функции F (х) характе- ризуется одним параметром I, производная имеет порядок F' (х) ~ F Например, если F (х) = ехр (—х2/?2), то производная F' (я) = — ехр (— х2/1?) и, следовательно, F' (/) ~ F(l)H. Однако для х, много больших I, такая оценка не го- дится.
1. ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 13 Для степенной функции F (х) = хп область сущест- венного изменения определяется самой переменной х. Действительно, F' (х) = пхп~г ~ nF (xj/x. В некоторых случаях существенная длина I различна на различных участках изменения переменной х. Тогда в каждой области переменной х производная F' (х) ~ F (х)/1 (х), где I (х) — длина, на которой F (х) существенно меняется в этой области. Пусть, например, F (х) имеет вид, изо- браженный па рис. 2. Тогда F' (х — xj ~ F (x^/li, a F' (х — х2) ~ F (х2)/12. В более сложных случаях, когда F (х) можно хотя бы примерно нарисовать, ее производную лучше всего оце- нивать из графика. Оценки интегралов. Продемонстрируем методы оценок интегралов гта нескольких примерах. 1. Часто можно получать приближенные значения интегралов, разлагая в ряд подинтегральную функцию. Например, X X exp (— t2) dt 3= ( (1 — F 4- Н/2 —...) dt = о о X3 . ж5 -я- —+ —._ .... Этот ряд сходится для всех х. Для оценки интеграла можно ограничиться несколькими первыми членами ряда. Ра- зумеется, такая оценка удобна при
14 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Как оценить тот же интеграл при больших х? Инте- грируя несколько раз по частям, получаем X оо оо ______ оо Г___ С С___ Ул Г ехр (— ж2) С ехр (— Z2) dtl J J J L 2ж J 27а J — О 0 х х где п-й член ряда имеет вид (—1)п (2п — 1)!!/2п+1х2п+1. Легко видеть, что ряд расходится. Действительно, при п -> оо факториал (2га — 1)!! растет быстрее степенного члена х2п+1. Рассматриваемый ряд представляет собой пример так называемого асимптотического ряда (подробнее см. стр. 124). Так как он расходится, то брать очень большое число членов для оценки интеграла невыгодно: при этом уменьшится точность. Как найти оптимальное число чле- нов ряда? Заметим, что при больших х члены рассма- триваемого ряда сначала убывают по абсолютной вели- чине, а затем начинают расти. Оптимальное число членов ряда, очевидно, определяется из условия минимума остаточного члена ряда. Легко видеть, что остаточный член имеет порядок (п + 1)-го члена ряда. Поэтому рецепт состоит в суммировании до минимального члена ряда. Условие минимума можно приближенно записать в форме равенства га-го и (п + 1)-го членов ряда: (2га — 1)1! (2и1)!! 2п+1д.2п+1 оп+2а;2та+;! Отсюда п ~ х2. ЗАДАЧА ОО Показать, что при оценке интеграла ——dt в случае х J>> 1 оптимальное число членов асимптотиче- ского ряда равно х. 2. Многие интегралы можно оценить, выделяя наи- более существенную часть в подинтегральном выражении. Рассмотрим примеры: 1) =
1. ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 15 Если х 1, то в подинтегральном выражении экспо- нента exp (i2) « 1. X 1 Следовательно, 1{х)^ —^==== = ^====г-. Так о ' х о у z как в этом интеграле нет никаких параметров, то I (х) ~ 1. 1 _ С dz л Вычисление этого интеграла дает g . о Если х 1, то из-за экспоненциального роста множи- теля exp (Z2) главный вклад в интеграл внесет область около точки t = х. Обозначим % = х — I. Тогда X Нх) = \ ехр (х2 - 2£х + И2) • Область £, существенная в подинтегральном выражении, сосредоточена около нижнего предела и имеет ширину порядка 1/2аг. В этой области |2 ~ i/4x2 1, следова- тельно, ехр (£2) ~1 п X ОС ___ I (х) ж ехр (ж2) ( е-2^х -у==- — ( е-г ехр (т2). о У 2Е,х •' У z "*с При х ~ 1 оба выражения для I (х), как это и должно быть, примерно совпадают и порядка единицы. Таким об- разом, указанные оценки хорошо описывают I (аг) во всей области изменения х. ОС 2) I (а, Р) ~ sin2Pa: dx, а 0. о Перепишем этот интеграл в виде 00 При z 1 подинтегральная функция быстро убывает, поэтому существенная область интегрирования 0 <z < 1. Если р J>> )/ а, то sin г^много раз осциллирует в су-
16 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ щественной области значений z. Следовательно, sin2( -yr- z ) \Уа / можно заменить на 1/2, и тогда интеграл / (а, |3) прибли- женно равен I (а, р) ж - JL=- е-’'dz - ~^=г . ч 2 /а J 4 /а О Если р<^)Ла, то в существенной области значений z sin z^ ж ~^=r z. Следовательно, 7(a,P)^-^L-z2dz=^^. а12 <) 4а'* о При р = У а оба выражения для I (а, Р) совпадают 1 1 У л и равны у — . Заметим, что точное значение оцениваемого интеграла равно I («- р)=4 '/4<1 - ех₽ (- ₽»)• Легко видеть, что из него получаются оба предельных слу- чая р У а и р <<; У а, приведенные выше. При р = У а т. е. того же порядка, что и приведенные оценки, ос е-аж 3) I (а, а) = \ a dx, а, а 0. Заменим переменную о интегрирования: х = аг. Тогда I (а, а) принимает вид dz, где р — аа. Область, где подинтегральная функция су- щественно отлична от нуля, z^ 1/р.
1. ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 17 Пусть р 1. Тогда в существенной области z^l. Следовательно, 30 / ж \ e-^zdz = 4 . P»i J р (1-1) Если р 1, то в существенной области z 1. Следо- вательно, 1/3 Z^(4 = ln4- (1.2) 3«1 f z Р Рассматриваемый интеграл выражается через инте- гральную показательную функцию Ei (х) [1]: ОС (» р~ах \ —;— dx = — e^Ei (— ₽), р = аа. J ха \ г/ г о Если р 1, то Ei (—р) e“0/(—Р), и мы получаем фор- мулу (1.1). Если р «^1, то Ei (—Р) х —In р, что совпа- дает с (1.2). <• f (х) dx 4) Ца)=\- уХ2 д2 ~ 5 предполагается, что функ- -1 ция / (х) существенно меняется в области х ~ 1. В случаема 1 основной вклад в интеграл вносит область в окрестности начала координат. Вынесем плав- ную в этой области функцию / (х) из-под знака интеграла, заменив ее на / (0). Тогда dx = 2/(0) In 1+У1 + а2 .2 _j_ „а ' ' ' а « 2/(0) In 4-- В случае а 1 получим Hx)dx- -1
18 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ЗАДАЧИ Оценить следующие интегралы в предельных случаях а Ъ и а <^_ Ь: 90 1) ^e-bxlsinaaAh:, Ь^>0. о оо 2) ехр (— ж/а)- /*-,- > а, Ь > 0. J у х (х + Ь) 3) V /'n2S d*’ a,b>Q. ' J x (x2 4- b2) 's' о Ответы. 1) a b: Ул/8а; a b: аУ n/lftb3. Точное значение интеграла равно Ул /1 . а \ —r_„ sin (уarct£ -Г ) • 2) а b: In (a/b); а Ь: У ла/Ь. Точное значение ин- теграла равно ехр (Ь/2а)-К0 (Ы2а) (Ко — функция Макдональда). 3) a b: л/2аЬ; a b: л/2Ь2. Точное значение инте- грала равно -2L[1 -ехр(-&/а)]. ОС Метод перевала*). Рассмотрим интеграл I = g (t) е1^ dt, о где / (/) — функция, которая имеет резкий максимум при t = t0 > 0. Пусть вблизи точки t0 функция g (t) меняется медлен- но. Тогда в окрестности максимума функцию ge1 можно заменить более простой функцией. Для этого разложим / в ряд Тейлора в окрестности ее максимума t0: /(o=/(<o)+4(z-^2/"^+--- *) Более подробно метод перевала рассматривается в гл. III (стр. 137).
1. ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 19 Предположим, что | /" (t0) | >> 1/& Это — математическое выражение предположения о резком максимуме функции/. Действительно, существенные в интеграле I значения (t — Q2, как мы увидим ниже (1.3), имеют порядок 1//" (£0). Таким образом, (t-i0)’//?<l. Это условие делает законным отбрасывание следующих членов в напи- санном выше ряде Тейлора для / (t). Имеем ОС I^zg(t0) jjexp[/(f0) — -00 4“ (* - 'o)2l /' (М |] dt - = । f («оЛ g^eKt°K (1-3) Пределы интегрирования заменены здесь на [—оо, оо], так как подинтегральное выражение экспоненциально затухает в области 6Z> V I /" (to) I iffl. Оценим поправку, вносимую следующими членами ряда Тейлора. Если ограничиться только кубическим членом и раз- лагать экспоненту по нему в ряд, то первый член разло- жения не вносит вклада из-за нечетности подинтеграль- ного выражения. По этой причине рассмотрим член четвертого порядка в ряде Тейлора для /. Оп равен -—— /'1V> (Zo). Разлагая далее экспоненту по нему в ряд, находим, что поправочный член по отношению к (1.3) имеет оценку /(IVV(/")2. Если функция / (t) харак- теризуется только одним параметром, то, оценивая производные от /, находим: /(IV)/(f)2 ~ 1// (Q. Таким образом, метод перевала применим при условии /(M^l- Оно эквивалентно сделанному выше предпо- ложению | /" (t0) | >> l/Zg. Если заменить в (1.3) t — t0 на ig, то подинтегральное выражение превратится в растущую экспоненту. Иными
20 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ словами, является Рис. 3. в комплексной плоскости переменной t точка t0 седловой (рис. 3).’ Направление интегрирова- ния совпадает с направле- нием наискорейшего спус- ка с перевала. Отсюда понятно название метода перевала. Мы рассмотрели част- ный случай, когда направ- ление перевала совпадает с вещественной осью. Мож- но рассмотреть и более об- щий случай, когда направ- ление перевала составляет произвольный угол с вещест- венной осью. С помощью метода перевала получим асимптотическое выражение при больших х гамма-функции ОО Г (х + 1) = ехр (— t + х In t) dt. о Обозначим / (t) — — t + x In t. Тогда из равенства нулю f (f) можно найти точку перевала t0: /'(/о) = -1 + -^ = О, откуда tQ = х. Так как / (i0) = х In х — х, то условие применимости метода пер евала f (х) 1 означает х 1. Имеем /" (Zo) = — x/t^ == —Их. С помощью (1.3) на- ходим Г (х -|- 1) ж 2 л. с (х/е)х. Х>1 (1.4) Эта асимптотическая формула называется формулой Стир- линга. Для оценки ее точности воспользуемся соотношением Г (х 4- 1) = хГ (х). Запишем искомое точное выражение для Г (х 1) в виде: Г(х 4-1) = /2^ (-J-)* [1 + Ф(х + 1)],
1. ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 21 где <р — пока неизвестная функция. С помощью рекур- рентного соотношения получаем ср (х + 1) — ср (х) = = . При х 1 разность ср (х + 1) — ср (х) при- 1 ближенно равна ср' (х) и, следовательно, ц>(х) = . Итак, при х 1 Г(« +1)« rs (v)’[i + -it +0 (4) I Интересно, что эта формула с большой точностью го- дится и для небольших значений х. Ее точность можно проверить, зная, что для целых значений х гамма-функ- ция Г (х + 1) = я:!. Например, даже для х — 1 получаем /2л 4-(1 + ~^~) = 0,9990 ж 1! =1, при х = 2 /&^(1+4-)“1'9М0=!2!“2- ЗАДАЧИ 1. Вычислить интеграл \ cos (Ц- t3 Ц- xt) dt методом о перевала при х 1. 00 2. Вычислить интеграл \ х ехр ( — ах--4^ \dx. Пока- <) \ Г г / о зать, что метод перевала годится при условии ab~ 2>> 1. Ответы. .Ул ! 2 , \ 1. —-—ехр —д- х . О 4/— \ •> У 2 у х 4 ' 2’ 7VA|eXP(-4^2^)- Свойства интегралов от осциллирующих функций. Оценки далеких членов ряда Фурье. Рассмотрим несколь- ко примеров, поясняющих свойства интегралов от осцил- лирующих функций.
22 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ 1) 7 = eiu,tdt СО 1. — ОО Особые точки подинтегрального выражения находятся на мнимой оси: t = +г. Вычислим этот интеграл, смещая контур интегрирования в рис. 4). Интегралы по Ci Рис. 4. верхнюю' полуплоскость (см. и С2 исчезают при смещении контура в бесконеч- ность. Поэтому рассмат- риваемый интеграл ра- вен интегралу по конту- ру С3 + С4 + С5вокруг точки ветвления t = i. Знаменатель подинтег- рального выражения ме- няет знак при обходе точки ветвления. Поэтому интегралы по С3 и равны. Интеграл по контуру С5 стремится к нулю. В этом легко убедиться, заменив t = i reiv, причем г —» 0. Тогда 271 С» 0 V reiv Вводя переменную интегрирования t = t (1 + у) и вы- числяя интеграл по С3, находим: 7~2е-Ц j V Таким образом, при больших (<> интеграл I экспоненци- ально мал. 2) I = СО—> оо. В этом случае в верхней полуплоскости имеются две точки ветвления t = la и t = ib. Предположим, что а Ь. Прежде всего можно уменьшить число свободных параме- тров в I. Измеряя t, а, со и I в единицах Ь, получим I = eio>( dt
1. ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 23 Сместим контур интегрирования в верхнюю полуплос- кость (рис. 5). На рис. 5 от точки i до точки ia проведен разрез. Аналогично рассмотрению предыдущего примера, легко видеть, что искомый интеграл равен удвоенному интегралу вдоль разреза. Заменяя переменную инте- грирования t = i (1 + у), имеем: а—1 /<~2е_“ ( е J У~ 2.1/ (а2— 1 — 2д) При вычислении этого Рис- 5. интеграла возможны два случая. Если а — 1 1/®, то существенная область инте- грирования обрезается экспонентой е~шу и имеет поря- док 1/®. Следовательно, ОО О е u>vdy _____ -• Г 2л V2у (а?-~ 1) ~ У “ («2 — 1) 6 Если а — 1 <С 1/®, то внутри интервала интегрирования £-о>1/ ~ 1 И а—1 /~2е'“ о dy К2.7 (а2 — 1 — 2у) = 2 е~" arcsin 1/ ——; V а -4-1 Первый случай соответствует далеким друг от друга, второй — близким особым точкам. Мы видим, что в обоих случаях экспоненциально малый член определяется осо- бой точкой, ближайшей к вещественной оси, а предэкспо- нента существенно зависит от расположения обеих осо- бых точек. Отметим, что в пределе а -> 1 из последнего выражения получаем I -> ле~ш. Этот результат легко получить сразу, если учесть, что при а -> 1 слияние корневых точек вет- вления приводит к простому полюсу, г 3) I = /(ж)eiy,xdx. —1 Этот интеграл возникает при вычислении амплитуды рассеяния (см. 2.1). Пределы интегрирования здесь
24 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ конечны. Интегрируя по частям, получим: 1 = / L i ei^dx = -----------------------------------&--------+ 0 \&) • Итак, в случае конечных пределов далекие фурье-компо- ненты имеют, как правило, степенную малость (вместо экспоненциальной малости в случае бесконечных преде- лов). Исключение составляет случай, когда при много- кратном интегрировании по частям вклад от / (х) и всех ее производных обращается в ноль на границах инте- грирования. 4) I = f g (г) ехр [г (кг — kr)\dr при kR 1, где R — характерное расстояние, на котором изменяется функция g (г). Выделим в 1 интегрирование по угловым переменным: СО п I = г2 dr g (г, 9, <р) е) sin 9 d9 <2<р. о о Интегрируя по частям, получаем со / =Л Г2 dr _L ["g (г, е, <р) е«М1-сов 0) | о Ц_\1 dtp. о L о ' /J Вкладом от верхнего предела можно пренебречь из-за быстрой осцилляции подинтегрального выражения. Окон- чательно находим оо о Эти результаты можно обобщить: далекие фурье- компоненты функций, не имеющих особенностей на веще- ственной оси, экспоненциально малы. Если — расстоя- ние от вещественной оси до ближайшей особой точки f (х), то СО /и, = ^ / (х) eiaacdx — е-^'. “**»!
1. ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 25 Оценим предэкспоненциальный множитель для фурье- компоненты /ш. Если / (х) имеет полюс в комплексной плоскости са, то (x^Xie-^. Действительно, вычет Сг функции / в точке полюса, как видно из размерности, имеет порядок Сг ~ / (x-^Xt. Если / (х) имеет точку ветвления корневого типа и не имеет близко других особых точек, то, как мы видели на первом и втором примерах (стр. 22) f (X!) XI В случае конечных пределов интегрированием по частям получаем fu> = \ f (я) eia>xdx ~ 4^ [14-0 (—Y] ' J fit L \®/J а. То же самое относится к интегралам в бесконечных пре- делах, когда / (х) имеет скачки на вещественной оси. Действительно, интеграл можно разбить на области от — оо до места скачка} (х = а) и от места скачка до оо. Если вычислять затем каждый из этих интегралов, то, как и в только что приведенном примере,’ возникает сте- пенная малость. В этом случае1 7“ г ш - где А/ — величина скачка. Легко видеть, что если скачок имеет п-я производная функции / (х), то _ д/(") - (_ to)™ ’ где Д/(п) — величина скачка функции /(п) (х). Чтобы убе- диться в этом, нужно проинтегрировать по частям (п + 1) раз величину а оо /о, — f{x)eiaxdx + § j{x)ei(axdx. —Qp Q
26 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ 5) Для иллюстрации этих результатов рассмотрим пример, на котором будет видно, как в далеких компонен- тах Фурье экспоненциальная малость превращается в сте- пенную, когда особенность функции приближается к вещественной оси. Именно, рассмотрим интеграл ОО п 0103Х I— \ ---------dx, о = со0 — i6, а, 6^>0, 6—>0. ) 1 4- еаж 0 —- 00 При таком выборе знака 6 интеграл сходится; после его вычисления можно устремить 6 к 0. График функции fl(x) =’[1 + еах]~х имеет вид, изо- браженный на рис. 6. Если а —> оо, то эта функция стре- мится к прямоугольной ступеньке. Функция / (х) имеет число. Если а —>- оо, то полюса приближаются к вещест- венной оси. Вычислим интеграл, смещая контур интегрирования в верхнюю полуплоскость (рис. 7). Интеграл по (Сх + С2) обращается в пуль при смещении контура в бесконечность. Итак, рассматриваемый интеграл сводится к сумме вы- четов в полюсах верхней полуплоскости. Для нахожде- ния вычета разложим еах в ряд вблизи полюса хк: вхх — —1 — а (х — хк).
1. ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 27 Тогда л [. £-4ттсо/а Ряд в квадратных скобках представляет собой геометри- ческую прогрессию и его сумма равна [1— ехр (—2л®/а)]-1. Следовательно, I = — jii/ash^ . Если «/а ~^> 1, то рассматриваемый интеграл экспо- ненциально мал: ! ~ g-nw/a. w/a»I a Это соответствует сделанному выше утверждению об экспо- ненциальной малости далеких фурье-компонент в случае, когда подинтегральная функция не имеет особенностей на вещественной оси. Если а -а- оо, то / ж -1 . w/a«l ш Итак, когда особенность переходит на вещественную ось, фурье-компонента становится малой степенным об- разом. ЗАДАЧА Оценить далекую компоненту фурье-функции / (х) = = хе~И. Она встретится при рассмотрении дипольного фотоэффекта (стр. 54). Ответ. Оценки решений дифференциальных уравнений. При- ведем несколько случаев качественного решения диффе- ренциальных уравнений. 1. Квазиклассическое приближение (этот метод будет подробно рассмотрен ниже, в 3.1).
28 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ При рассмотрении многих задач теоретической физики требуется решить дифференциальное уравнение вида ср" + Л2(а;)ф = 0. (1.5) Рис. 8. Характер решения уравнения (1.5) существенно зависит от знака к2. Действительно, если к2 — положительная величина, то решение имеет осциллирующий характер, например,для к — const Ф = ехр (зЬ ikx). Если Л2<0, то решение экспо- ненциально растет или затухает; ф=ехр (± |А| х) при к = const. Решение уравнения (1.5) имеет такой же характер и когда к зависит от х (рис. 8). Если к2 (х) для интересующих нас х — большое поло- жительное число, то приближенное решение уравнения (1.5) имеет вид Ф = / (х) ехр {± i §k(x)dx}, (1.6) где / (х) — медленно изменяющаяся функция. Действи- тельно, в этом случае ф' ~ ± ik (х)(р и ф" -х. — к2 (х)ф. Если к (х) — достаточно гладкая функция х, то решение (1.6) приближенно удовлетворяет уравнению (1.5). Можно найти и следующую поправку (подробнее см. 3.1). Так как ф' = у Ф + г/сф и ф" ~ —&2ф ± ik'q ±%ik у Ф, то, подстав- ляя ф и ф" в (1.5), находим 2kf + fk' = 0 или = — к'12к, откуда / ~ 1/У к. Итак, приближенное решение уравнения (1.5) /7/ = имеет вид Ф я» ехр •[+ i ( к (х) dx\ , к2 0, < г с \ М Ф ж у= ехр {+ | к (х) | dxj , А;2<0. Рассмотрим примеры. 1) ф" + ахф = 0 — уравнение для так называемой функции Эйри.
1. ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 29 Исследуем сначала случай х Д> 0. Тогда к2 — ах Д> 0 и согласно (1-7) решение при больших х имеет вид Ф -х- — ехрГ±i V4ах3"1 • (1-8) ж->оо уЛ ах L J Решение при х <0 можно получить аналитическим продолжением (1-8) (подробнее об этом см. 3.1) Ф~ -j——ехр /а |z|3J • |х|-»о° уа | х | i L Дополнительная фаза ехр (—лг/4) возникает при обходе точки ветвления х — 0. 2) ср" Д- (а — pz2) ф = 0. Если $х2 а, то | к | dx х J/Qi xdx = у \гЗа;2. Следовательно, асимптотическое решение при больших х имеет вид Ф » 77=7 ехр Г±у /й2] . X-*00 у [3x2 L -1 ЗАДАЧИ 1. Найти асимптотическую оценку решения уравнения zu” + (у — х)и' — аи = 0 (вырожденное гипергеометри- ческое уравнение), приведя предварительно это уравне- ние к самосопряженному виду с помощью надлежащей замены переменной и. 2. С помощью квазиклассического приближения полу- чить асимптотическое выражение (х 1) функции Бес- селя Jn (ж). Упростить его для случая х п. Ответы. 1. и — ха-~уех, и — 1^1^- X—*оо X—>—ОО 2. Jn (х) — 1 sin (У я:2 — п2 + п arcsin — -Д Сп), Х-»оо у^х2 — п2 \ х / где Сп — константа, определяемая типом функции Бесселя. При х п имеем Jn {х)----------т= sin {х + Сп). У х 2. Приближенные решения дифференциальных урав- нений можно получать, опуская в этих уравнениях малые члены и производя последовательные итерации.
30 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Рассмотрим следующий пример: У" + У + «У3 = о. (1.9) Будем искать решение в виде последовательных прибли- жений по параметру а, предполагаемому малым. Решение невозмущенного уравнения + у(0) = 0 имеет вид у(°) = a sin (х + ф). Можно положить ф = 0, что соот- ветствует сдвигу начала отсчета х. Если подставлять это решение в член ау3 уравнения (1.9) и решать (1.9) непо- средственно методом итерации, то встретится трудность. Действительно, в уравнении г/1)" + 2/(1) = — он/°>3 = — (3 sin х — sin Зх) свободный член содержит собственное решение однородно- го уравнения. Это приводит к появлению фиктивного ре- зонанса. Чтобы его устранить, нужно учесть, что возму- щение ay3 меняет частоту колебаний. Ищем нулевое ре- шение в виде у(0) = a sin сох, где частота со находится из условия отсутствия такого резонанса. Уравнение (1.9) удобно переписать в виде у" + а2у = —ау3 + (со2 — 1)у. (1.10) Правую часть этого уравнения будем рассматривать как неоднородность. Подставляя у(0) в правую часть (1.10), получим yW -}- со2у(1) = — -^-(3 sin сох — sin Зсох) (со2 — 1) a sin сох. (1.11) Потребуем, чтобы коэффициент при sin сох в правой час- ти обращался в ноль. Отсюда получаем со ж 1 + 3<м2/8. Ищем частное решение неоднородного уравнения (1.11) в виде yd) = у gin Зсох. Подставляя это решение в (1.11), находим у = aa3/32. Итак, . aa3 . о у х a sin сох 4- -отг sin Зсох, где со = 1 -|- Зал2/8. Условие применимости полученного
1. ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ 31 решения имеет вид аа2<^1. При последующих итера- циях мы получили бы для ряд по степеням парамет- ра аа2, а для у — ряд, содержащий слагаемые вида а (аа2)к sin (24 + 1)а>ж. ч,-; 3. Предположим, что решение известно в некоторых областях изменения переменной. В этом случае можно построить приближенные интерполяционные формулы для решения во всей области изменения переменной. В качестве примера рассмотрим уравнение Томаса — Ферми: <Р"= -=4=ф3/г, ф(0) = 1, ср(оо) = 0. (1.12) V х Оно возникает при нахождении самосогласованного поля атома в квазиклассическом приближении (см. 3.2). Найдем приближенное решение уравнения (1.12) при х оо. Будем искать его в виде ср = А!хл. Подставляя это решение в (1.12), получим А а (а + 1)а?~“-2 = А^!х~(3аП^2, откуда а = 3 и А'-'г = а (а + 1), т. е. А = 144. Итак, Найдем поправку к этому решению при х —> оо: Ф~ Х->оо (1.13) Подставим (1.13) в (1.12). В линейном по ф приближении находим . „ 1 3 . 3 12, .. . 2” (1Л4) Из (1.14) видно, что ф степенным образом зависит от х. Итак, ф = Blx^. Для р из (1.14) получаем квадратное уравнение р (р + 1) = 18, откуда р = (—1 + К?3)/2. Годится лишь корень р = 3,77 0, для которого ф —» 0. Следовательно, 144 . В Ф -- Н? + ~ЗТ7 • X—-*00 1Х * X’ (1.15)
32 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ С той же точностью, что и в (1.15), решение можно написать в виде <р = 144 где Найдем такое га, было конечно, должно быть п и С — пока произвольные числа, чтобы ср (0) Для 3 — 0,77га = 0, т. е. га = 3,90. После этого константу С мож- но найти из условия <р (0) = = 1: 144/Cs’eo = 1, откуда С — = (12'/3)°>”. Окончательно 1 этого ф [1 + (х/12^3)0,77]3’90 ’ (1Л6) Это приближенное решение удовлетворительно согласуется с точным решением, найденным с помощью электронно-вычислительной машины (см. рис. 9). 2. АТОМНАЯ МЕХАНИКА В этом разделе будут получены основные результаты атомной механики. Для получения соотношений мы будем использовать, кроме размерных, также модельные оценки. Идея модельных оценок состоит в рассмотрении предель- ных случаев и упрощенных вариантов задачи. Оценки скоростей и размеров орбит внутренних элек- тронов атома. Для оценки скорости электрона на вну- тренней орбите атома нужно составить величину с раз- мерностью скорости из величин, определяющих структуру атома, т. е. из массы электрона гаг, постоянной Планка Й и произведения заряда ядра на заряд электрона Ze-e. Действительно, в уравнение движения заряд электрона входит только в виде произведения на заряд ядра, посколь- ку при рассмотрении внутренних электронов влиянием других электронов можно пренебречь. Задача нереляти- вистская, поэтому скорость света не войдет в оценки.
2. АТОМНАЯ МЕХАНИКА 33 Единственная величина размерности скорости, которую можно составить из т, Л и Ze2,— это v со Ze2lti. Для оценки порядка величины радиуса внутренних орбит электрона воспользуемся тем, что потенциальная энергия электрона Ze2/a порядка его кинетической энер- гии ~mv2, т. е. а ~ H2/Zme2. Для оценки радиуса наружных орбит следует поло- жить ZsjI, поскольку в этом случае заряд ядра почти нацело заэкранирован внутренними электронами. Из оценок а и v видно, что при рассмотрении атомных явлений удобны единицы е = И = т = 1 (так называе- мые атомные единицы). В этих единицах скорость света с = 137,2. а масса протона М = 1836. Стационарные состояния. Рассмотрим движение ча- стицы в потенциальной яме (рис. 10). Уравнение Шредин- гера имеет вид Т" + W = О, причем k2 = 2 (Е — 7). В классически доступной обла- сти потенциальная энергия V меньше подпой энергии Е. Следовательно, волновая функция 4е осциллирует в этой области (см. (1.7)). В об- ласти, где Е < V, Т-функция экспоненциально затухает. Энергию стационарных со- стояний можно оцепить из условия, что характерный размер I области, в которой может двигаться частица, содержит целое число п полуволн де Бройля. Стационарные уровни энергии нельзя получить, ис- ходя из одних лишь размерных соображений, так как величина п безразмерна. Мы будем делать модельные оценки, заменяя потенциальную яму ящиком (рис. И) с длиной. зависящей от энергии частицы. Длина деброй- левской волны г = 1/р = 1//2 (Е - V), 2 А. Б. Мигдал
34 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ где р — импульс частицы, X зависит от координаты х. Для оценки можно считать X ~1/]/г2Е, если Е отсчи- тано от дна ямы. Итак, оценка стационарных уровней системы Еп полу- чается из соотношения L(En)«-JX~ 2л а (1.17) где L (Еп) — характерная длина области, в которой может двигаться частица. Для прямоугольной ямы величина L (Еп) — L — длине ямы. Следовательно, L = > откуда Еп = Это вы- ражение удовлетворяет принципу соответствия Бора: при больших квантовых числах расстояние между соседними энергетическими уровнями должно равняться классиче- ской частоте движения (см. стр. 133). Действительно, _ г, л2га_______________ 2л ______ 2л _ 2л dn. ~~ 2/,2 2Х / — /'1'1 ' / ь где Ткя — классический период движения.
t 2. АТОМНАЯ МЕХАНИКА 35 Следующий пример — одномерный осциллятор, потен- циальная энергия которого V = coV. Здесь со — часто- та классического осциллятора. Заметим, что частота ос- цилляций Т-функции около начала координат (рис. 12) больше, чем у краев ямы. Действительно, при х = О кинетическая энергия движения максимальна, следова- тельно, длина волны X минимальна. При заданной энер- гии Еп характерная длина области L, в которой может двигаться частица, находится из условия V (L) = Еп. Итак, co2Z4 ~ Еп, откуда Ln ~ УЕп!(л. Условие кван- тования (1.17) имеет вид У Еп/<& ~ п/УЕп, откуда Еп = Cjnco. Из принципа соответствия следует, что G = 1. Как известно, точное решение задачи приводит к спек- тру осциллятора Еп =(п + 1/2) со, т. е. при п = 0 энергия колебаний отлична от нуля. Это неопределенностей; частица, движущаяся в малой области d, не может иметь импульс, меньший ~1/сЛ Энергия Е имеет оценку Е ~ + со2с/2. Возь- мем минимум этого выраже- ния. Эта минимизация соответ- ствует вариационному принци- пу квантовой механики: Е = =min (ф| Н | ф). В данном слу- чае ф-функция зависит от одно- го лишь параметра d. Выраже- ние для Е минимально при d ~1/У СО.При ЭТОМ А'гат = = С2со (в действительности С2 = 1/2). Величина rfmin ~ 1/со амплитуды нулевых колебаний. Аналогичным способом можно в кулоновском поле (рис. 13). Ограничимся случаем 1=0 (случай I 0 будет исследован квазиклассически на стр. 153). Энергия Е имеет порядок— р . Миними- зируя это выражение, получаем L = 2n2/Z. связано с соотношением О >1‘ о Рис. 13. дает оценку рассмотреть квадрата движение 2* L
36 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Подставляя в выражения для энергии, находим Z2 Запишем Еп= — Сх-^- и найдем Сх из принципа соот- ветствия; clf'-f. ,• 2./г 2л -Г- " G - (|>КЛ = ~F dn 1 п* 1 Период классического движения 2л Z (- 2 А',,)'2 г, с 222 2л /ог- 22\>/2 с I/ Итак, Сх — = —(2^ , откуда Сх = 1/2. ГЛ V 1 /2 Окончательно Лп =--------г—,, что, как известно, совпа- " 2 п~ дает с точным решением. Исследуем более сложный случай, когда частица дви- жется в поле ангармонического осциллятора. Потенциал V 1 Хх4 равен у (о2#2 + — (^ > 0)- Энергия Е (Z) имеет следую- щую оценку: <^-2 A.L4 2 * 4 Основное состояние соответствует п = 0. Мы выбрали кинетическую энергию основного состояния так, чтобы получилось точное выражение для энергии гармониче- ского осциллятора. Минимизация этого выражения приводит к уравнению L3 + ®2L + XL3 = 0, или (п -Ь 1у = £*(ю2 + Ш). (1.17')
2. АТОМНАЯ МЕХАНИКА 37 Рассмотрим сначала случай больших Пренебрегая в (1.17х) членом с ю2, получаем XLB = (п + — Г • Следова- 3 1,/ 1 С/’ тельно, Еп = -г К '3 (га 4- т . Учитывая член - „ - по 4 \ 1 2 / 2 теории возмущений, получаем поправку А/?п В противоположном случае малых X аналогичным способом получаем Решая кубическое уравнение (1.17'), несложно полу- чить и общую формулу для Еп при произвольных Мы не будем приводить ее здесь ввиду громоздкости. Распределение электрического заряда в атоме. Рас- пределение заряда в тяжелых атомах можно вычислять с помощью приближенного метода, называемого методом Томаса — Ферми (см. также стр. 158). При этом исполь- зуется тот факт, что в тяжелом атоме большинство элек- тронов имеет большие квантовые числа. Длины волн электронов при этом малы по сравнению с областью изме- нения потенциала. Тогда плотность электронов в каждой точке атома можно рассчитывать гак же, как и плотность свободных электронов в потенциальном ящике с плоским дном. Пусть наибольший импульс электронов в данной точке равен р0. Число состояний в единице объема в интервале (р, Р + dp) равно dp/(2n.)3. Поскольку в основном состоя- нии атома электроны должны заполнять все состояния с импульсом, меньшим р0, то, число электронов в единице объема равно 4 „ 1 3 ЛР0(2л)з п = 2 (множитель 2 возникает из-за двух возможных проекций спина электрона).
38 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Обозначим через ср (г) электростатический потенциал атомного поля. Согласно уравнению Пуассона Дер = 4л га, т. е. Дер ~ ро. Свяжем pQ с <р. Полная энергия электрона равна 4- — ср (г). Пусть е0 — максимальное значение полной энер- А гии в каждой точке атома, т. е. 2 8о = -у- -<Р(Г)- Величина е0 должна быть постоянной, иначе электроны будут переходить из точек с большей энергией в точки с меньшей энергией. Из двух последних формул находим Дер ~ (<р + е0)’/« или Дер ~ ср’'*, если отсчитывать <р от —е0. Определим радиус I области, в которой находится боль- шинство атомных электронов. Из последней формулы имеем по порядку величины — (р3/«, откуда I ~ ср-’/*. С другой стороны, величину I можно связать с числом всех электронов атома Z: Z ~ га/3 или, учитывая соотношение Д<р ~ п Z ~ Дер/3 ~ -J Is ~ <р/. Сравнивая два последних выражения, находим Z ~ l~i-1 или Средняя энергия е атомного электрона по порядку величины равна электростатическому потенциалу ср (Z).
2. АТОМНАЯ МЕХАНИКА 39 Так как I ~ ip-1'4, то получаем е ~ 1~* ~ Z4*. Полная энергия всех электронов Е имеет порядок величины Е ~ eZ ~ Z\ Число узлов волновой функции есть 1^е ~ Z'^. Итак, радиус Х-оболочки атома гк ~ i/Z, расстоя- ние I (томас-фермиевский радиус), на котором находится большинство атомных электронов, ~ 1/Z*3 и радиус наружных оболочек ~ 1, поскольку эффективный заряд для электронов наружных оболочек ~ 1. Распределение электрического заряда в атоме рассма- тривается подробнее в разделе 3.2. Формула Розерфорда. Рассмотрим рассеяние легкой частицы с массой т и зарядом е па тяжелой частице с за- рядом Ze в нерелятивистском классическом случае. Сече- 14. Рис. пие рассеяния не зависит от массы тяжелой частицы; оно определяется скоростью налетающей частицы v, ее массой и зарядами е и Ze. Из закона Кулона следует, что сечение <т будет зависеть лишь от комбинации Ze2. Из этих параметров можно составить только одну величину с раз- мерностью длины, а именно (Ze2 \ 2 mv2') Найдем зависимость сечения от угла рассеяния в пре- дельном случае малых углов. Угол отклонения 0 прибли- женно равен (рис. 14) 0 PaJp, где р — импульс ча- стицы, a pj_ — импульс, возникающий в направлении, перпендикулярном к исходному. Вычислим p±i следовательно, се- Ze2imv^\ ОО оо Ра. — \ dt = \ cos a dt — —оо —оо оо _ Г Zt2pdt ~ J (р2 + г2«2)а/! 27t2 Г dx (Ij-z2)'3 27е2 ~P»~
40 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ (интеграл берется заменой х = tg у)', здесь р — прицель- ное расстояние (см. рис. 14). Следовательно, а / ч 2Ze2 0(Р) = 7^- (1.18) По определению дифференциального сечения рассеяния: , , , I dp I лп j I dp I sin 0 dQ dtp ds = p dp dm = p d0 dtp = p Ng ----. Q , г г t r I dO | ' I “01 sin 0 или s = »|»|s-4e- <1Л9> Используя (1.18) и (1.19), получаем формулу Резерфорда для малых углов рассеяния: ds _ /2Ze2\~ 1 й - ( mv2 j О4 ’ (1.20) Неприменимость классической механики при больших прицельных параметрах. В классической механике пол- ное сечение рассеяния оо s = 2лр dp о обращается в бесконечность для любых потенциалов кро- ме обрывающихся, как, например, потенциал твердого шарика. В квантовой механике полное сечение конечно для потенциалов, убывающих с расстоянием быстрее, чем 1/г2 (см. ниже). Покажем, что классическая механика становится неприменимой при достаточно малых углах рассеяния, т. е. при достаточно больших прицельных пара- метрах р. Мы увидим, что с увеличением прицельного параметра угол квантовомеханической дифракции 0ДИф уменьшается медленнее, чем угол классического рассея- ния 0КЛ. Поэтому начиная с некоторого прицельного параметра рх угол 0ДИф становится больше 0КП- Следова- тельно, дифференциальное сечение рассеяния для при- цельных параметров рассеяния, больших рх, нужно рас- считывать по квантовомеханическим формулам. Итак, хотя длина волны X здесь много меньше характерного
2. АТОМНАЯ МЕХАНИКА 41 размера, т. е. рп условия классичности рассеяния не выполняются, т. е. условие р2 — необходимое, по вовсе не достаточное условие применимости классической механики в задаче рассеяния. Получим критерий применимости классической меха- ники. Согласно оценке 0КЛ ~ pdp заключаем, что 0КЛ — Р^М/р — ~ - Эр р р Р r (Р) е т. е. 0, pv 1 Здесь мы предположили, что ------- , Е — энергия час- тицы. V — потенциал взаимодействия. Для нахождения угла дифракции рассмотрим следую- щий опыт. Экран с отверстием диаметра 2а ограничивает прицельныепараметры рас- сеяния значениями р + а (рис. 15). Для применимо- сти классической механики fi необходимо, чтобы ширина °-*" щели а была много мень- ше прицельного парамет- ра р, иначе само понятие прицельного параметра теряет смысл. При суже- нии отверстия возникает дифракционное рассеяние. Чтобы можно было наблюдать чтобы дифракционный угол был Рис. 15. отклонение, необходимо, много меньше угла рас- сеяния. Из соотношения неопределенностей видно, что неопре- деленность в координате а соответствует неопределенности в поперечном импульсе Др —- 1/п. Следовательно, угол .дифракции Одиф ~ р ~ ра' где р — импульс налетающей частицы. Для применимости классической механики необходимо, чтобы 0КЛ(^> 0ДИф пли 0КЛ i/pa, тем самым 0кл = F (р) 1 £ рр
42 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Это — общий критерий применимости классической механики для задачи рассеяния. Для потенциалов, спа- дающих с расстоянием быстрее, чем кулоновский, клас- сический угол рассеяния убывает с ростом прицельного параметра сильнее, чем 1/р. Поэтому всегда найдется прицельный параметр рп для которого 0КЛ ~ 0ДИф- D , а 2Ze2 В случае резерфордовского рассеяния о = и рассея- ние будет для всех углов классическим, если ZeMhv 1. Оценка сечения рассеяния для потенциалов, спадающих с расстоянием быстрее, чем кулоновский. Мы полу- чили, что классическая механика неприменима при при- цельных параметрах, больших рх, которое определяется из условия равенства классического угла рассеяния ди- фракционному; ^=екЛ(Р1), (1-21) т. е. величина рх находится из соотношения -----КМ (1.22) pip Е Из (1.22) можно найти рх для любого конкретного вида потенциала V (р), спадающего с расстоянием быстрее ку- лоновского (для последнего обе части соотношения (1.22) пропорциональны 1/р, т. е. р2 найти нельзя). Следова- тельно, при р < рх дифференциальное сечение рассеяния можно вычислять по формулам классической механики. Полное сечение рассеяния 2 i О — лрх -р Одиф, где Одиф — дифракционное сечение рассеяния. Если потенциал достаточно быстро убывает, то оДИф может быть оценено как дифракционное сечение рассея- 2 ния на экране радиуса р1; т. е. оДИф имеет порядок лрх, так что а ~ 2лрх. Оценим полноеГсечение рассеяния для степенного по- 1 Ct тенциала V = а/r". Из формулы (1.22) находим — — ___>
2. АТОМНАЯ МЕХАНИКА 43 1 откуда рх ~(a/v)n~1. Следовательно, 2 б ~ 2лр2 ~ 2л . Мы оценивали дифракционную часть рассеяния как дифракцию на экране. Как можно убедиться *), для этого требуется, чтобы потенциал убывал быстрее, чем 1/г2, и, следовательно, приведенная оценка справедлива при п 2. Резонансные эффекты при рассеянии. Рассмотрим сна- чала рассеяние на потенциале, имеющем сильно отталки- вающую сердцевину (рис. 16). Обозначим через 10 и а соответственно высоту и ширину по- тенциального барьера. Предполо- жим, что Vo Е — энергии нале- тающей частицы. Тогда на границе барьера волновая функция обращает- ся в нуль: Ф (а) = 0. Рассмотрим для простоты сферически-симмет- ричное рассеяние и предположим, что при г а частица движется сво- бодно, т. е. ее волновая функция есть сумма падающей плоской волны егкг и расходящейся сферической волны у-с,/'г, где /— амплитуда рассеяния. Плоская волна еЛг имеет сферически-симме- sin кг т-г тричную часть, равную —т— Поэтому I = sin kr I Л eiltr. |г>а кг ' г Используя граничное условие Ф(а) = 0, находим sin ка , , ,ка п — + fetk = 0, или j sin Ла „-Uta > - к е ' *) JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая меха- ника, Физматгиз, 1963, стр. 548,
44 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Если энергия частицы такова, что ка = пл, где п — целое число, то / = 0, т. е. сечение s-рассеяния обращается в нуль. Этот резонансный эффект в полном сечении ослаб- лен тем, что при ка >, 1 в рассеянии существенны и волны с I ф 0. Поэтому полное сечение рассеяния не обращается в нуль. Как видно из выражения для амплитуды рассеяния наибольшее сечение получается при ка = (2n + 1) -у . о = 4лХ2. При малых к (ка 1) сечение о — 4ла2. Резонансные эффекты при рассеянии используются в так называемой просветленной оптике: на поверхность линзы наносится слой вещества такой толщины, чтобы при нормальном падении света разность фаз от слоя и линзы составила целое число л. В результате на поверх- ности линзы не происходит отражения света и все потери обусловлены лишь поглощением. Аналогичное явление происходит при рассеянии ча- стиц на потенциальной яме (V < 0). Как и в случае V 0, сечение рассеяния принимает различные значения в зависимости от фазы волновой функции у края ямы. При определенных значениях фазы сечение обращается в нуль. Этот эффект наблюдался впервые Рамзауэром при рассеянии электронов на атомах. Классическая теория рассеяния не может объяснить это явление. Другой при- мер, где классическая механика решительно противоречит эксперименту,— это захват медленных нейтронов ядрами. Сечение этого процесса (~4лХ2) превышает классическое сечение (оКл = л7?2, где R — радиус ядра) в десятки тысяч раз. Взаимодействие между атомами. Оценим величину взаимодействия нейтрального атома с ионом и с нейтраль- ным атомом на больших расстояниях. Ион создает элек- трическое поле = Z-Jr2, где Zx — заряд иона. Нейтраль- ный атом, находящийся в электрическом поле <$, приобре- тает дипольный момент d = а<о, где а — поляризуемость атома. Следовательно, взаимодействие иона с нейтраль- ным атомом V = —Sd = — Zja/r4. В атомных единицах а ~ 1, так как главную роль в поляризации атома играют наружные оболочки, для которых все величины ~ 1 в атомных единицах. Таким образом, V ~ — Z^Zr*,
2. АТОМНАЯ МЕХАНИКА 45 Рассмотрим теперь случай, когда оба атома нейтраль- ны. Они индуцируют друг у друга дипольные моменты и d2. Диполь-дипольное взаимодействие между атомами равно V ~ d2/rs. _ Среднее значение dr и d2 по основному состоянию равно нулю, так как атомы не имеют постоянных дипольных мо- ментов. Однако среднее значение df, d% отлично от нуля. Дипольный момент колеблется со всеми возможными атомными частотами: СО Дипольный момент dlta создает поле <£а ~ Момент в этом поле равен а2§’о). Подставляя d2m в энергию взаимодействия, получим после усреднения по времени: V-----2 2 (®) рг • <0 о) Такое взаимодействие называют взаимодействием Ван дер Ваальса. Ионизация атомов. Оцепим потери энергии при дви- жении электрона с энергией, много большей энергии элек- тронов атомных оболочек. Налетающий электрон, сталкиваясь с электронами атомных оболочек, выбрасывает их из атома. При большой энергии налетающего электрона его угол отклонения й мал. Поэтому сечение рассеяния на одном электроне обо- , „ d<s 1 лочки определяется формулой ; здесь р — им- пульс налетающего электрона. Обозначим через q изменение импульса налетающего электрона; величина q связана с углом рассеяния й соот- ношением q р$. Энергия А/?, передаваемая при столкно- вении, равна q2/2. Потеря энергии электрона на единице длины пути равна: = -nZ^EEds, dx J где nZ — полное число электронов в единице объема,
46 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ da — дифференциальное сечение. Имеем: -^—Zn^-^tfd^Zn-U^^ln dx J4 р2 J q р2 ^max ^mln Так как максимальная передаваемая энергия порядка энергии налетающей частицы, то qmax ~ р (й,тах ~ 1). Минимальный передаваемый импульс соответствует слу- чаю, когда время пролета т становится порядка обратных частот атома, т. е. <вот ~ 1. При больших временах про- лета поле налетающего электрона практически не содер- жит фурье-компонент с атомными частотами и вероят- ность ионизации резко убывает. Прицельный параметр р, соответствующий этому условию, определяется соотно- шением р = vx — v/а, где v — скорость налетающего элек- трона. Поскольку (e2/Hv) 1, минимальный угол Опнп опре- деляется не классическим условием, а условием дифрак- ции (см. стр. 41), T. 6. йтт ~ l/Z’P или 7 mln = (Л0/у. Следовательно, ЯЕ Zn J pv dx р2 coo Как было выше показано (см. стр. 38), основная масса электронов расположена в области радиуса a0/Z'" и энергия каждого из них ^Z4''3. Величина (о0 имеет по- v Zt,z „ рядок соо--= Z. Восстанавливая размерность и вводя потенциал ионизации водорода 70, получим ЯЕ, „Zne2, Е ~ -у— = С ------» J П -у—у . dx rnv2 IqZ Точный расчет дает С = 4л. Многократное рассеяние. Узкий пучок электронов при прохождении через среду размывается по углам из-за многократного рассеяния. Действительно, хотя откло- нение электрона, скажем, направо и налево, равноверо- ятно, средний квадрат угла отклонения отличен от нуля. С аналогичным явлением мы встречаемся в обыденной жизни, наблюдая, как закручивается со временем теле- фонный шнур. При каждом телефонном разговоре шнур закручивается в ту или иную сторону равновероятнд^
2. АТОМНАЯ МЕХАНИКА 47 Однако после большого числа разговоров шпур оказывает- ся закрученным на угол, пропорциональный квадратному корню из числа разговоров. Поскольку разброс электронов пучка по углам пред- ставляет собой совокупность большого числа независимых случайных процессов, то распределение по углам имеет вид Ф (О') = Ае~;,11У‘ (гауссово распределение). Средний квадрат угла отклонения О2 пропорционален числу столк- новений Лг, равному отношению толщины образца L к длине свободного пробега I. Если О? — средний квадрат угла от- клонения при одном столкновении, то у = = ФЛ, где о — сечение рассеяния, п — число ядер в единице объема, а 02 — средний квадрат угла отклонения на еди- нице длины пути, т. е. 02 = Так как, по определению, (б) fPdQ, то 02 = Для резерфор- довского рассеяния получаем 7А । ^тах О- — 2 Л/2 -тту 1П . Л2 Wmi„ Эта формула годится как в релятивистском, так и в не- релятивистском случае. Рассмотрим два предельных случая: Z/к 1 и Zjv 1. В первом случае рассеяние для всех углов можно считать классическим (см. стр. 42). Максимальный угол рассеяния определяется либо из условия, что прицельный пара- D „ V (Я) Z метр равен радиусу ядра /?, т. е. птах--р— = , если Z/RE <( 1; либо й[Пах — 1, если Z/RE "> 1. В случае рас- сеяния электронов первое из этих условий противоречит соотношению Z/w^>l. Действительно, условие E'^>Z!R соответствует релятивистским энергиям, но для скоро- стей v ~ с, Z/c<^l, поэтому имеем г%пах— 1. Мини- мальный угол отклонения определяется размерами атома а: б1.iiin — Z/aE. Оценивая а по модели Томаса — Ферми, z z*6 находим f>mln ~ —7— ~ -у .
48 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Следовательно, для электронов с Е . Z2 1 0^~2nnglnA . В случае, когда Z/v<^tA, классический угол отклонения меньше угла квантовомеханической дифракции 0ДИф. Поэтому углы йтах и йт1п должны определяться следую- щим образом: I'tmin — угол дифракции на радиусе атома: йтах — угол дифракции на ядре: Ртах ~ — ПРИ 7Г < Ртах ~ 1 При > 1. Таким образом, в случае Z/»<^ 1 О2 =- 2лп х 1,^, Х/7? <1, Х/Я >1. 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ИЗЛУЧЕНИЕМ Нулевые колебания электромагнитного поля. Как известно, энергия электромагнитного поля равна ^(1? + где — ыапряженности электричес- кого и магнитного полей. Если в пространстве нет зарядов, то электростатический потенциал <р можно считать равным нулю. Тогда , Ж rot А, где А—векторный потенциал. Разложим векторный потенциал по плоским волнам: А = 2 Akeikr + компл. сопряж. Тогда для энергии электромагнитного поля Е получаем следующее выражение: г = 2{та-гМ»1!+£М‘Г!}- к 1
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 49 Здесь нормировочный объем пространства, в котором на- ходится поле, считается равным единице. Легко видеть отсюда, что энергия электромагнитного поля равна сумме энергий невзаимодействующих гармони- ческих осцилляторов. Действительно, величина Ак играет здесь роль координаты, А к — скорости, 1/4 ле2 — массы гармонического осциллятора. Частота осциллятора соь = = , где а — жесткость, ат — масса. В данном случае а = /с2/4 л, т = 1/4 ле2, следовательно, (Лк = ск. Первое слагаемое в выражении для Е представляет собой кинети- ческую энергию электромагнитного поля, а второе — по- тенциальную. Итак, электромагнитное поле в пространстве без заря- дов можно рассматривать как совокупность независимых гармонических осцилляторов со всеми возможными значе- ниями волнового вектора к. Применим к совокупности гармонических осцилляторов законы квантовой механики. Тогда энергия электромаг- нитного поля равна Z? = >} (nk ык, к ' “ ' где пк — номер возбужденного состояния осциллятора с волновым вектором к (число квантов с волновым вектором к). Для простоты здесь опускается значок X поляризации кванта. Он определяет направление ориентации вектора Ак, лежащего в плоскости, перпендикулярной к к. В ос- новном состоянии все пк = 0 (нет квантов) и Е = к При этом ни кинетическая, ни потенциальная энергии колебаний не имеют определенного значения. Следовательно, ни напряженность электрического по- ля, ни напряженность магнитного ноля не имеют опреде- ленного значения. Средние значения электрического и маг- нитного полей при этом равны нулю, но средние значения от квадратов этих величин отличны от нуля Это означает, что электромагнитное поле в пустоте колеблется. Эти ко- лебания называются нулевыми колебаниями электромаг- нитного поля.
50 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ и модельные оценки Теперь можно ответить на следующий вопрос: почему атомы не находятся неограниченно долго в возбужденных состояниях? Ведь возбужденные состояния есть точные стационарные состояния уравнения Шредингера. Причина заключается в том, что в пустоте всегда есть электромаг- нитное, поле, с которым взаимодействует атом. В резуль- тате состояния атома перестают быть стационарными. Рассмотрим взаимодействие частицы с электромагнит- ным полем. Для того чтобы найти изменение гамильтониа- на при наложении поля, нужно импульс частицы р заме- нить на р Л, где А — векторный потенциал поля. Сле- довательно, оператор кинетической энергии р2/2 т преоб- разуется в — ^рА Ц- Л2. Последнее слагаемое в этом выражении мало. Его нужно учитывать в задачах, где первый порядок теории возмущений дает нулевой вклад, например, в задаче рассеяния кванта на электроне. Опера- торы Ак играют роль координаты соответствующего осцил- лятора поля и поэтому имеют матричные элементы, соот- ветствующие изменению числа квантов на 1. Вычислим матричный элемент (Лк)01 перехода из ваку- умного состояния в состояние с одним квантом. Для этого найдем величину (Лк)Оо =2 (0 | Лк | и) (и | Лк | 0). Так п как оператор Ак рождает один квант (с частотой <ак), то в сумме отличен от нуля только член с п = 1. Итак, I (Лк)011 = ]Л( | Лк |2)00. Для гармонического осцилля- тора средние значения кинетической и потенциальной энер- гий совпадают и равны половине полной энергии. Следова- — - 1 1 тельно, для основного состояния Тк = Uk = у Ек = ~^ск. Так как Uk = (| Ак |2)00, то ск = (| Ак |2)00, откуда (Лк)оо = у- • Следовательно, К Аналогично находится матричный элемент от Лк для пере- хода из состояния с п квантами в состояние с п -f- 1
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 51 квантами. Нетрудно получить Таким образом, матричный элемент перехода частицы из состояния <Pxi в состояние <р%г с испусканием кванта равен У^=(-S JfcL,= -£((px'i pwfcri<p>j У • (1.23) Чтобы перейти к релятивистскому случаю, достаточно для оценки заменить р/т на V. Здесь РЦйх — проекция импуль- са на направление Ак (т)лх — единичный вектор поляри- зации кванта). Фотоэффект. Рассмотрим фотоэффект: квант света по- глощается атомом, в результате чего из атома вылетает электрон. Число переходов за единицу времени равно | Vo, р |* б -Е,), где Ei — энергия начального состояния, равная сумме энергий кванта и энергии электрона в начальном со- стоянии е0, а Е) = е.р — энергия вылетевшего электрона. Число переходов электрона за единицу времени в состоя- ния с импульсами р в интервале [р, р -р dp\ равно dW = 2л | Р0( р |2б (во + ык — &р) ~ = p2^P.d8j) = 2л У0) р|2 б (80 + - &р) dQ. = Сечение фотоэффекта равно отношению числа переходов за единицу времени к интенсивности потока квантов. Пос- ледняя равна скорости кванта с, так как в нормировочном объеме (=1) находится один квант. Следовательно, по
52 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ порядку величины имеем Покажем, что в выражении (1.23) экспоненту eifcr можно заменить единицей. Действительно, волновое число к = = со/с — Z/c, где I — потенциал ионизации атома; I — Z2 для внутренних электронных оболочек. Радиус этих обо- почек — 1/Z, следовательно, кг------1 и егКГ 1. Экспоненту eifcr тем более можно заменить единицей для наружных оболочек, где кг — Мс = 1/137. Так как (ф0Р<Рр) = (фо»'ф/>) = i (so — «/>) (фсР’фр) = = гео (<р0t’tfp), то сечение фотоэффекта имеет порядок ве- личины 3 ~ v ®21 (<Ро гфр)!2 ~ v । ((РогсРр) I2- Рассмотрим фотоионизацию /Г-оболочки в двух пре- дельных случаях: когда энергия вылетающего электрона много меньше потенциала ионизации и когда она много больше потенциала ионизации. В первом случае энергия кванта близка к энергии ионизации I — Z2, т. е. Сечение содержит множитель р — Е. Если бы матрич- ный элемент г0Р не зависел от энергии (что неверно в дан- ном случае), то ст — Е. Это обычный результат для сече- ния реакций вблизи порога (см. стр. 171). Зависимость сечения — YЕ возникла из-за статистического веса конеч- ных состояний: б (Е — со) ~ б (Е — со) p“dp — б (Е — со) pdE~ р. В нашем случае дело обстоит иначе: сечение фотоэффекта при малых энергиях вылетающего электрона не зависит от энергии. Это связано с тем, что дипольный матричный элемент из-за медленности спадания потенциала на боль- ших расстояниях ведет себя как 1/вблизи порога реакции.
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 53 Оценим гОр вблизи порога. Волновая функция /f-элек- трона <р0 — e~Zr, и следовательно, в дипольном матричном элементе существенны малые расстояния г — 1/Z. Чтобы оценить г№, нужно найти фр (г) при г — 1/Z. Так как оператор г изменяет угловой момент на 1, то функ- ция вылетающего электрона соответствует состоянию с моментом единица и имеет на бесконечности вид Фр —> cos (pr Д- 5j) cos ft. (1-24) С другой стороны, радиальная часть этой функции фр/cos г1} = ир1г, где ир удовлетворяет уравнению Шре- дингера Up Д- P±Up О, где Р; =-. 2 (а + А - 4) - Е = р2/2. Приближенное решение этого уравнения, найденное в 1.1 (квазиклассическое приближение), определяется выра- жением Г Up = _ j=-cos (( I\(r)dr . (1.25) у Pi (г) \J * / И Сравнивая (1.24) с (1.25), находим А = 1/|Ар. Условие применимости квазиклассического приближе- ния -^г<<1 (см. 1.1 и 3.1). Используя , получаем условие квазиклассичности, г 1/Z. Итак, квазикласси- ческое приближение по порядку величины пригодно вплоть до радиуса А-оболочки. _ ТТ 1 11 /Г Находим фр при г ~ 1/Z: фр-------------------77= . Vp У Z/r г VP Дипольный матричный элемент имеет порядок оо (<Ро»*Ф1>) ~ 2а/‘ e~Zrr О Vz Vp r2dr 1 z2 VF Таким образом, зависимость | r0J)|2 от р компенсирует зависимость статистического веса, и сечение фотоэффекта при малых энергиях не зависит от энергии. Заметим, что
54 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ этот результат возник только благодаря плавному ходу кулоновского потенциала. Если бы потенциал, в котором движется электрон, имел вид потенциальной ямы, то на краю ямы возникла бы область, в которой портится квази- классическое приближение, и приведенная выше оценка была бы неверна. Из формул третьей главы (см. стр. 171) легко убедиться, что в этом случае гйР не зависит от р, и ход сечения фотоэффекта вблизи порога определяется ста- тистическим весом. Итак, при Е — I I полное сечение фотоэффекта _ pZ2 М\2 1 ИЛИ с М2 ' Р ’ (1.26) Рассмотрим другой предельный случай, когда энергия вылетающего электрона много больше потенциала иониза- ции. Оценим дипольный матричный элемент и сечение фото- эффекта. Волновая функция непрерывного спектра имеет вид фр = Feil>r, где F — функция, стремящаяся к еди- Т—*ОО нице при pr 1. В матричном элементе (фоРФ^), как мы увидим, существенны расстояния г— Ир. Отклонение F от единицы определяется величиной V (г)/Е. При г —- 1/р VIE — УТТЁ и можно полагать F ~ 1. Учет поляризации кванта внесет лишь множитель по- рядка 1. Следовательно, 0 ~~ I(Ч’оР'МI2 ~~~гII2• Интегрируя по углам, получаем (ф0с'2>г)-—e~Zr r2dr = re-z\<\ sin pr dr. 0 —ou Оценим это выражение. Легко видеть, что вторая произ- водная от функции / (г) = re~z ।г 1 имеет скачок при г = 0. Поэтому далекие фурье-компоненты этой функции имеют оценку (см. 1.1) — Zip3. Если бы потенциал V как функция г2 не имел особых точек на вещественной оси, то волновая функция как ска- ляр была бы аналитической функцией г2. В этом случав
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 55 далекая фурье-компонента волновой функции как функ- ция энергии была бы экспоненциально мала (см. 1.1). Сте- пенная зависимость матричного элемента от энергии в на- шем случае возникает из-за корневой особенности кулонов- ской волновой функции (см. стр. 192). Итак, матричный элемент (cpoei2>r) при р —> ое имеет оценку Zb,!/p4, а сечение фотоэффекта Z*p CiZ* 2^Сг / / \7/2 5 ——, т. е. б = —J—, или 5 —------------- -тг .(1.27) ср8 СЕ2 сг^\Е/х Здесь I — потенциал ионизации ТС-электрона, равный Z2/2. Численный расчет показывает, что С2 — 10. Если положить в (1.27) энергию Е равной потенциалу ионизации I, то мы должны получить по порядку величины формулу (1.26). Однако, как показывают численные рас- четы, формула (1.27) дает при Е = I сечение, на порядок большее, чем (1.26). Это означает, что переход от обла- сти Е — 1*^1 к области Е ^> I оказывается сильно ра- стянутым. ЗАДАЧА Оценить сечение фотоэффекта для энергии Е вблизи по- рога I и больших Е в случае прямоугольной ямы. Времена жизни возбужденных состояний атома, а) Оце- ним время жизни состояния 2р водородоподобного атома. Электрон из состояния 2р переходит в состояние 1s, ис- пуская дипольный у-квант. Число переходов в единицу времени (обратное время жизни) равно 1Е01 = 2л^ | У01 р 8 (£'о - Е, - со), Т> 1 л где V =----— рл — потенциал взаимодействия электрона с электромагнитным полем. Индекс 0 соответствует состоя- нию 1s, индекс 1 — состоянию 2р, со — энергия у-кванта. Так как d3k = /с2 dk dQ = кг-^~ dQ. do>, (id) TO dk №-7—dQ. И701 —2л^|У01 P g)3
56 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ Оценим матричный элемент перехода F01; учитывая нормировку потенциала А электромагнитного поля (см. стр. 50), находим ^01 =----— (P^)oi Poi- Здесь мы не интересуемся поляризацией у-кванта, учет ко- торой внесет лишь численные множители порядка едини- цы. Оценим матричный элемент импульса р: <о Poi = Следовательно, W 0)2 1 № dk 0)3 Так как частота перехода со имеет порядок Z2, то оконча- тельно находим Оценим численно время жизни состояния относительно дипольного перехода. Атомное время жизни имеет порядок h 10~2’ зрг-сек „ ЧГ1_Л, ат ~ 27 эв-1,6Л0-^эрг/эв ~ 2'1 ° СеК" С3 Следовательно, тдип —гат. Для атома водорода тдип ~ — 107-10-17 = 10-10 сек. Точный расчет дает несколько большие значения тдип. б) Оценим время жизни квадрупольных переходов, на- пример, 3d —» 1s. Ранее в операторе А электромагнитного поля мы заменяли множитель eikr {к — волновой вектор кванта) единицей Скг = --1^. При рассмотрении квадрупольных переходов нужно разложить eikr в ряд, причем главный вклад внесет член разложения ikr. Полу- чаем = W», где 1] — поляризация кванта.
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 57 Направим ось z по вектору ц, а ось х — по к (вектор поляризации кванта т] перпендикулярен волновому век- тору к). Тогда Voi = i*]/ = = И* " PxZ> + 4^ + ^z)]h= = ik FtV [~ ~+ “Г dT ИоТ Первое слагаемое в этом выражении представляет собой матричный элемент от р-проекции момента количества дви- жения, т. е. соответствует дипольному магнитному пере- ходу. Произведение zx — это компонента квадрупольного момента, т. е. второе слагаемое определяет вероятность квадрупольного электрического перехода. Оба слагаемых имеют одинаковый порядок величины. Оценим численно время жизни состояния относительно квадрупольного перехода. В отличие от дипольных пере- ходов, в матричный элемент добавляется множитель кг. Следовательно, 1 с2 тквад Тдип Viwn ^2 ’ Для атома водорода тквад — 10'10-104— 10~6 сек. ЗАДАЧА Оценить время жизни водородоподобного атома по от- ношению к испусканию двух квантов. Ответ, т— с6ГЛй. Тормозное излучение. Оценим эффективное сечение из- лучения у-квантов при рассеянии электрона на ядре. Пред- положим, что частота у-квантов много меньше энергии электрона. Тогда излучение слабо влияет на движение электрона и эффективное сечение приближенно равно про- изведению сечения рассеяния электрона на вероятность ис- пускания у-кванта. Оценим вероятность испускания фотона при заданном движении электрона. Уравнение Шредингера для фотона в
58 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ II МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ энергетическом представлении имеет вид = (1.28) п' где V описывает взаимодействие электрона с электромаг- нитным полем, а Сп — амплитуда состояния с п квантами с заданными волновым вектором и поляризацией. В основном состоянии Со = 1, а все Сп = 0. В первом п^О порядке теории возмущений отлична от нуля амплитуда перехода в состояние с одним квантом, С\. Из (1.28) полу- чаем 1С, = V10e^, откуда ОС оо С’1 — — i V10eia>,dt - 4- i vA^eia,dt. —оо —оо Мы написали взаимодействие с излучением для бесспи- новых частиц. Для частиц со спином взаимодействие ус- ложняется, но по порядку величины может быть оценено по этой же формуле. Поскольку излучение не влияет на рассеяние электро- на, то скорость v можно считать заданной функцией вре- мени. Следовательно, так как А - F (О Г F (0 ’Iе ТО у---00 tm С1 =i (Wn) r'-^ — ’dt, (1.29) где ц — единичный вектор поляризации кванта, п — еди- ничный вектор Так как время соударения электрона много меньше, нем интервал t, существенный в этом интеграле, t -----г, то можно считать, что скорость частицы в момент времени
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 59 / = О скачкообразно изменилась с v = Vj на v = v2. Тогда из (1.29) находим Для малых углов отклонения электрона и кванта из (1.30) получаем Г2 1 1 co;i (1 — г/с)2 (1-31) здесь Дг; — изменение скорости электрона. Так как знаме- натели выражения (1.30) при малых углах отклонения кванта й1; и электрона имеют вид с , г , (^4-ОД2 2 ’ с Г 2 то существенные углы отклонения ограничены условием (1.32) Оценим вероятность испускания кванта в интервал час- тот [со, со -f- dco] при заданном изменении скорости элект- рона Дг. Для этого умножим (1.31) на статистический вес конечных состояний кванта dte/(2n)3: dW^-L-^—k^dkd^----/А->2~ -^^K.(1.33) I1- — ) Сечение тормозного излучения равно произведению ве- роятности испускания кванта dW на сечение кулоновского рассеяния для релятивистских электронов: с/зт.и. (Аг)2 0* dco Z2 со Д'2 sin4—. 2
60 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ или при малых углах рассеяния (sin 0эж 0Э~ q/p) da ' Z2 ю ц р2<?2 У6э Z2 dq О* с5 <0 q (1.34) Найдем вероятность испускания кванта для произволь- ного изменения импульса электрона. Для этого проинтег- рируем (1.34) по q. Будем считать электрон ультра реля- тивистским, т. е. 1 — v/c 1. Так как Ze2/he <?? 1, то мини- мальный угол отклонения будет определяться дифракцией электрона на радиусе атома а — а максимальный — условием (1.32) (см. стр. 48). Интегрируя (1.34) по q, получаем dq , Z2 d(t> । aq---------;------In ’ C5 (0 ?max Z2 do) j tfmin ° c Z1!3 (1.35) Оценим сечение тормозного излучения квантов с произ- вольными частотами. Интегрируя (1.35) по ы, находим ZJ- I бт.П „5 Лп Л"** Z ' «min (1.36) Максимальная частота кванта — порядка энергии элек- трона: ®тах /1 -- г>2/г2 При comin —> 0 выражение (1.36) расходится (см. стр. 62). Однако потери энергии электрона на тормозное излучение будут конечными: — на»</5т.и, где п — число ядер в единице объема. Окончательно, dE Z2n с ~dx ” Е 1П zi/3 • Образование пар. Напомним читателю, что релятивист- ски инвариантное уравнение движения электрона — урав- нение Дирака — при заданном импульсе р электрона име- ет собственные функции, отвечающие не только положи- тельным, но и отрицательным значениям энергии:
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 61 Е = + \ т?с4 + р2с2. Для того чтобы объяснить, почему электрон не переходит в отрицательные состояния с испу- канием кванта, Дирак предположил, что все отрицатель- ные состояния в вакууме заполнены электронами. Тогда переход в эти состояния запрещен принципом Паули. Не- заполненное отрицательное состояние означает, что в ваку- уме есть позитрон. С этой точки зрения механизм образования пар анало- гичен механизму фотоэффекта: квант переводит электрон из состояния с отрицательной энергией в состояние с поло- жительной энергией. В пустоте такой процесс невозможен, как это сразу видно из законов сохранения энергии и им- пульса. В поле ядра процесс делается возможным, так как электрон передает излишек импульса ядру. Можно оценить сечение образования пар на ядре ана- логично тому, как это делалось для тормозного излучения: найти вероятность образования пар при заданной величине передаваемого ядру импульса, а затем умножить эту веро- ятность на сечение рассеяния электрона на ядре и проин- тегрировать по всем значениям передаваемого импульса. Можно получить сечение образования пар, рассматри- вая этот процесс как обратный тормозному излучению. Строго говоря, процесс, обратный тормозному излучению, соответствует поглощению кванта и переходу электрона из одного состояния с положительной энергией в другое. Однако в ультрарелятивистском случае, которым мы для простоты ограничимся, собственные функции, соответст- вующие отрицательной энергии (т. е. соответствующие по- зитрону), мало отличаются от функций для положительной энергии (кулоновское поле ядра вносит малую поправку). Следовательно, сечение образования пар можно прибли- женно рассматривать как процесс, обратный тормозному излучению. Сечения прямого и обратного процессов относятся как статистические веса конечных состояний. В случае тормоз- ного излучения в конечном состоянии есть электрон п квант, тогда как в случае образования пар — позитрон и электрон. Но при больших энергиях статистический вес кванта не отличается от статистического веса электрона той же энергии, и поэтому сечение образования пар сов- падает по порядку величины с сечением тормозного излу- чения, проинтегрированным по энергиям квантов порядка
62 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ энергии электрона. Таким образом, Z2 , с 3паР — 1П —ЦТ Потери энергии квантов на единице пути вследствие обра- зования пар имеют порядок _ dR "z'~ dx с6 Е In —— , т. е. совпадают по порядку величины с потерями энергии ультрарелятивистского электрона на тормозное излучение. Рождение мягких квантов при рассеянии заряженных частиц («инфракраснаякатастрофа»). Рассмотрим задачу о рождении мягких квантов при рассеянии частицы на яд- ре. Будем предполагать частицу нерелятивистской. Га- мильтониан системы имеет вид Н = Т + V -(1.37) Здесь Т—кинетическая энергия частицы, V—рассеиваю- щий потенциал,-— рА —взаимодействие частицы с по- лем квантов, Ну—гамильтониан поля квантов (см. выше). Предположим, что энергия квантов много меньше энер- гии частицы. Тогда движение частицы можно считать задан- ным и рассматривать только ту часть гамильтониана, кото- рая содержит операторы, действующие на ф-функцию кван- тов. Гамильтониан у-квантов за время столкновения, кото- рое будем считать малым, меняется от величины Нп = Ну — 1 1 ---— р0А до столкновения к величине Hi = Ну-— рхА после столкновения. Перейдем в систему координат, в которой частица до рассеяния покоилась. Тогда Н0 = Ну, Н,= Hy-^qA, (1.38) где q = Pi — Ро — изменение импульса частицы в резуль- тате столкновения. о 1 л . Возмущение — qA для малых частот становится большим, так как Акш — 1/j/"со. Поэтому мы не будем пользоваться теорией возмущений, а используем только внезапность изменения гамильтониана у-квантов.
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ИЗЛУЧЕНИЕМ (53 Введем собственные функции гамильтониана IIй и Хп гамильтониана Н±. Предположим, что до столкновения система у-квантов находилась в состоянии /о- Ввиду вне- запности столкновения волновая функция системы /о практически не изменяется. Следовательно, амплитуда перехода в состояние Хп равна (Хп | х0) (см. стр. 86). Представим гамильтониан электромагнитного поля, равный в виде суммы гамильтонианов отдельных осцилляторов поля. Для этого запишем векторный потенциал А в виде А = 2 VЪлс2,W ехР (^' — 'W) + H-gfcXexp(—tWfcxO). (1.40) Здесь к — волновой вектор, Л — поляризация, — энергия квантов, r]fcx — единичный вектор поляризации. Опуская далее значки А’А и обозначая ? = <? + —Л q* — Q — — Р, * V 1 <0 ’ * О) получим, подставляя в (1.39) я- = 2-г(р2 + м2^- <L41> В случае мягких квантов экспоненту eikr можно за- менить единицей. Будем считать временные множители ехр (+ включенными в q, q *. Тогда А = 2 К2лс2 т] 2Q. Гамильтониан квантов II г имеет вид я1 = 2{4-(р2 + й)2^2)-2^^)(?} • (1Л2) Представим его в виде суммы осцилляторных гамильтониа- нов со смещенной координатой: Я1 2 {4-р2+"т0)2 -s)2 - 4“ ®262} ’ t1-43)
64 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ с 2 V 2л , . „ „ где о ——— (где). Следовательно, волновые функции после столкновения (Q) имеют вид осцилляторных функций, но со смещенной координатой: Хп (0 = х„ (Q - 6). Таким образом, амплитуда перехода в состояние /п имеет вид Cn=\xn(Q-b)%0(Q)dQ. . (1.44) Рассмотрим сначала два предельных случая — малые и большие 6 по сравнению с амплитудой нулевых ко- лебаний. Если 6 мало, то из (1.44) следует ,• <97 Cn^-^^X0dQ = i8(P)On, (1-43) где Р — оператор импульса. Он имеет отличные от нуля матричные элементы лишь для изменения числа квантов на единицу. Так как энергия пулевых колебаний равна со/2, то из (1.41) вытекает, что | (Р)01 | 2 = со/2. Поэтому ве- роятность испускания одного кванта равна и\ = -^-соб2 = А = —(W- Эта формула совпадает с результатом обыч- ной теории возмущений. Оценим матричный элемент Сп %п (Q — 6) Хо (Q)dQ, когда смещение 6 много больше амплитуды колебаний осциллятора. Для этого воспользуемся квазиклассическим выражением для функции (см. 1.1 и 3.1): Xn (Q) = ч-—п — cos (( /Еп - dQ - . rVw Для простоты здесь частота осциллятора со взята равной единице (результаты легко переносятся на случай со 1). Нормировочный множитель ап порядка единицы. Действи- тельно,
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 65 Поэтому г С ехр (- Q2/2) J f An-72(Q-6)2 X cos Ц]/En - 1/2 (Q - 6)2 dQ -^dQ. (1.46) Так как величина 6, по предположению, много больше ам- плитуды нулевых колебаний, то можно под знаком корня в (1.46) пренебречь членом @2/2. Обозначим Еп — 62/2 =з s ЕЕ и заменим переменную интегрирования Q: ЕЕ/8 + Q = х. Тогда из (1.46) находим: f СО9(б^'х’^) / X2 | 9 АЕ \ , Г 1 /AZ?\2"| ~ \ —J_—^exp (- ^-+ 2^— dx схр[- -j- о У6* Х (1.47) Значения х, существенные в этом интеграле, соответствуют аргументу косинуса порядка единицы, т. е. имеют порядок величины х — Поэтому „ 1 12/~s ль Г 1 / А£ VI Cn~—-/6 б-/зехр[-----------г — , Таким образом, распределение вероятности испускания квантов имеет вид гауссовой кривой с максимумом гртах — — 1/6 и шириной ЕЕ — 6 около значения Е = 62/2, ко- торое, как нетрудно видеть, совпадает с энергией класси- ческого осциллятора, начало координат которого внезапно сдвинуто на величину 6. Теперь перейдем к вычислению Сп для произвольных 6. Вычислим сначала вероятность того, что не будет рождено ни одного кванта данного типа, т. е. ip Is ?/;o = I \ /о ((? — 6) х0 ((?) dQ J . Так как волновая функция основного состояния осцилля- тора имеет вид Хо (<?) = ]/-£- ех₽ (- 4" ’ 3 А. Б. Мигддл
66 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ТО w° = | j/"ехр (о<22---------(об2 + со<26^ dQ |2 = —оо = ехр(— -^(об2) = ехр[— -§-(9"П)2] • (1-48) Восстановим теперь значки к, К. Тогда хх Г 4 л , so”! w0 = exp------— (Q'Tifcx)2 L “xx J — вероятность того, что не будет излучен ни один квант к, к Вероятность того, что вообще не родится ни одного кванта ни в каком состоянии, равна wo = П = ехр Г — 3^-(9"Члх)21 • XX L XX ЫХХ J Для вычисления Wo нужно найти сумму 2 Ш2 = 2 4я J • (1 -49) XX ыхх х л > с Мы видим, что при малых частотах это выражение логариф- мически расходится. Следовательно, Wo = 0, т. е. любое торможение всегда будет сопровождаться излучением мяг- ких квантов. Вычислим матричный элемент Сп =fXn(C»-6) Хо (Q)dQ для произвольных п. Осцилляторная волновая функция Хп (0 имеет вид Хп (<2) = —7== ехр (- 4 Нп (/Й0, ' л у 2nra! \ z / где ffn — полиномы Эрмита. Поэтому Сп = ^4= Jехр[- 4-<о<22 -4"® (<? - б)2] нп(V^Q)dQ. Этот интеграл легко вычислить, используя производящую функцию полиномов Эрмита ОО п ехр (-i2 4-2^)= 2 ' Z/n(g). At t n=0
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 6" В результате получается Сп=-^=ехр(--------^-а2), (1.50) где а2 = 4-(о62 = -^(^Л)2- Вероятность испускания квантов с различными к, X равна произведению квадратов выражений вида (1.50), т. е. '?Пкк П-- „р -2°“ П^р-. u к\ J fcX ' k'J ' Найдем среднее число квантов, излученных при тормо- жении: - V , 2 , VI (7Ь>) «хх = ?i = ехр [— otfcx] 2j - г,— Пк* = "ЛХ nfeX ("fcx)- = <4х = (9"Плх)2. “fcX Таким образом, для вероятности испускания п квантов типа к, X мы получаем следующую формулу: J‘fcX feX V!fcx) / - \ /Л Cl\ w“ = ~~7„ ПТ~ exp(-zifcx), (1.31) которая совпадает с распределением Пуассона. Вероятность испускания одного кванта данного типа, как видно из (1.51), равна = Hfcxexp(— й/сХ). При <<; 1 получаем ~ hk\. Это выражение совпа- дает с результатом обычной теории возмущений. Из (1.49) мы видим, что сечение чисто упругого рассея- ния строго равняется нулю. На опыте под упругим рассея- нием понимают рассеяние, при котором энергия излучен- ных квантов меньше некоторой величины Ег, которая оп- ределяется точностью измерения. Наблюдаемое сечение рассеяния равно Пнабл = • З3
68 гл. 1. разМерйые и модельйыё оцёйкй Здесь а0 — вычисленное сечение упругого рассеяния без учета излучения, Wo'— вероятность того, что не излучено ни одного кванта с энергией, большей Ег. Как мы видели, =exP[-4«4-(2Hp-&In4]- (Г52) В качестве верхнего предела мы взяли энергию электрона, хотя предположение о мягкости квантов нарушается уже при меньших энергиях. Если In (Е/Е^) достаточно велико, то это внесет малую ошибку. Сечение излучения произвольного числа квантов лю- бого типа равно б — Д» /1 — з0. Если бы мы пользовались теорией возмущений, то получи- лось бы Е Skk 4л-2?2 I* d<n W1 ~ (2л)3 с3 J <в т. е. выражение, расходящееся на нижнем пределе. Эта рас- ходимость, связанная с незаконным применением теории возмущений, называется инфракрасной расходимостью («инфракрасной катастрофой»), Лэмбовское смещение. Электрон атома, взаимодействуя с нулевыми колебаниями электромагнитного поля, дрожит на своей орбите. Вследствие этого его заряд размазывается в пространстве и взаимодействие с кулоновским полем ядра ослабевает. Таким образом, уровни энергии из-за взаимодействия с нулевыми колебаниями повышаются. Это явление называется лэмбовским смещением. Оценим вели- чину смещения. Пусть 6 — отклонение электрона от равновесного поло- жения из-за взаимодействия с нулевыми колебаниями.
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 69 Тогда изменение потенциала взаимодействия равно Н' _ Г (г+ S)-V (г) = S + 6Д (W=i, У,г)- Здесь г — координата электрона относительно ядра. Ус- редним это выражение по дрожанию электрона. Тогда 6 = 0, а б?. = бу = б? = б2. Следовательно, Я' =4-6W. Итак, для определения величины лэмбовского смещения не- обходимо знать средний квадрат амплитуды дрожания электрона б2. Уравнение движения электрона в поле нулевых колеба- ний $ для оценок можно записать в виде б + (Ооб = — », где со0 — частота обращения электрона. Разложим в ряд Фурье отклонение электрона 6 и поле нулевых колебаний 6=2 , 2=2 • fcX fck При этом мы предположили, что kb <<) 1. Ниже мы в этом убедимся. Уравнение движения электрона в фурье-представлении приобретает вид (— а>о Отсюда Первое слагаемое в правой части соответствует поглоще- нию, а второе — испусканию квантов. При квантовомеха- ническом подходе эту формулу нужно модифицировать следующим образом (см. стр. 51): /”fcX , /»хх+! \ 1 «хх~м° + “хх + “о / 2oVx ’ 6fcX = $XX
70 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ где Пк\ — число квантов. В рассматриваемом случае «лк = 0, следовательно, 1 2wfcx(wfcx+wo) ^'cZ' Средний квадрат амплитуды дрожания б2 равен VtC V fcx fcX (Wfc>. + °’0)2 Найдем Six. Энергия нулевых колебаний типа кк равна Пх 1 ^r = -rfOfcx Ею. = 1 (нормировочный объем равен 1). Отсюда ё*л = 2 лю*А; следовательно, б2 = -^2-------1--:--• 2 £7 “fcX (“fcX "I" Юе) Заменим суммирование по к интегрированием: S9 (* 4n№dk 1 (* щ2йш (множитель 2 соответствует суммированию по двум поля- ризациям кванта). Тогда получаем Д2 _ * f <D^<D 1 1 , 2лс3 J (<о + соо)2 с3 11 ^max (Оо где ©max определяется условием нерелятивистского движе- ния электрона в поле пулевых колебаний. Действительно, если электрон при дрожании приобретает релятивистский импульс, то в уравнение движения войдет релятивистская масса и 6fcX будет уменьшена. Поэтому интеграл обреза- ется условием к<^' с, с2. При этом величина, кото- рой мы пренебрегли, кЬ — с_1/г<^1. Так как ]Лб2 логариф- мически зависит от (omin и Ютах, то неточность в их опре- делении несущественна. Смещение электронного терма в первом порядке теории возмущений дается диагональным матричным элементом
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ИЗЛУЧЕНИЕМ 71 возмущения Н' по состоянию электрона Тп, т. е. = 4- И Т„Д7Т,Дг = 4- Н 'Fn4np'Fndr) где p — плотность заряда. Так как заряд ядра сосредото- чен в области, малой по сравнению с радиусом электрон- ной орбиты, то электронную волновую функцию можно взять в начале координат. Интеграл j pdr равен заряду ядра Z. Итак, 8Е = S’2 | Т\ (0) р ~ А । (°) I2111 > т. е. лэмбовское смещение определяется значением волно- вой функции электрона в начале координат. Таким образом, смещение имеет заметную величину лишь для s-электронов, так как только для них отсутствует центробежный барьер и электрон может находиться в на- чале координат. Смещение электронных термов, обладаю- щих угловым моментом, будет значительно меньшим. Лэмбовское смещение приводит к расщеплению термов 2 «./2 и 2 р.д, водородоподобного атома. Согласно сказан- ному выше уровень 2 р^;2 смещается значительно слабее, чем 2 м.2. Так как | (0) | 2 = Z3/8 л, то 8Е = = Cj In—- • (Точный расчет дает С\ = 1/6 л). Асимптотический характер рядов в квантовой электро- динамике. В квантовой электродинамике используют тео- рию возмущений по взаимодействию заряженных частиц с полем. Действительно, ряды теории возмущений содер- жат безразмерный малый параметр е2//гс ж 1/137. Покажем, что эти ряды асимптотические, т. е. расхо- дятся при увеличении числа членов. Существует оптималь- ное число членов ряда, которое лучше всего изображает изучаемый процесс. Ниже это число будет оценено. Для этого прежде всего убедимся, что физические вели- чины как функции е2 имеют особую_1юч^_пдп1_е2_== 0 и,, слщщ-вятелжнп,”тгет\титут^пчГфн13ложены в ряд но степе- ням 3". --------------- * В качестве примера рассмотрим энергию вакуума (Дай- сон, 1952). Если бы не было особой точ1гшшри-.е2_= 0, то энергия вакуумаТнс зависела бы от способа стремления е2 к~пулю._Пу сть энергия вакуума, найденная по теории воз- мущений, стремится к Ео. К какой величине стремится
72 ГЛ. 1. РАЗМЕРНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ энергия вакуума, когда е2 —> 0 со стороны отрицательных значений? Рассмотрим при е2 0 рождение в вакууме N электрон-позитронных пар. При е2 < 0 электроны (так же как и позитроны) притягиваются друг к другу. Опре- делим, при каком N процесс образования пар энергетичес- ки выгоден. Пусть электронное и позитронное облака разошлись на достаточно большое расстояние друг от друга, так что отталкиванием между ними можно пренеб- речь. Энергию каждого из этих облаков можно оценить по методу Томаса — Ферми. Находим, что выигрыш в энер- гии — Е — N’/* (см. стр. 39). Проигрыш в энергии соста- вляет 2 тс2 на каждую электрон-позитронную пару, а для всех частиц 2 mc2N. Следовательно, если > c2N, т. е. если N с’•’«, то рождение электрон-позитронных пар оказывается выгодным. При N — са/’ величина томас-фермиевского потенциала Ф — с2, поэтому нужно выяснить, какой результат по- лучится в релятивистском случае. Рассмотрим для просто- ты ультрарелятивистский предел. В этом случае р0 — (р/с, следовательно (стр. 38), ср/12—(ф/с)3, откуда ф/ — с‘!‘. Так как N — /Зф//2, то получаем N — (pl — с’/2, т. е. ту же оценку, что и в нерелятивистском случае. Энергия сис- темы при этом Е — Nc2 — N(p — с'!' — с3/1, т. е. может быть неограниченно понижена уменьшением I. Мы получили, что электромагнитный вакуум при е2 0 оказывается неус- тойчивым. Так как при е2 3> 0 он устойчив, то это означа- ет? что имеется особая точка~~при е2 — 0. Рождение ТУ^электроп-позитрбпных пар соответствует TV-му порядку теории возмущений. Найденндё чйсло 77 ~ — с’1‘ укалывает порядок числа членов теории возмущё7' ний, начиная с которого бу^ёТ~сказываться~особая_точка прй~ёг~=~ОГ~Учет более высоких порядков теории возмуще- ний не улучшит, а ухудшит результат. Поскольку асимптотический характер рядов теории возмущений сказывается только на далеких членах, вопрос имеет чисто теоретический интерес.
ГЛАВА 2 РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ Размерные и модельные оценки представляют собой лишь первый этап подхода к решению физической задачи. Для доведения задачи до конца требуется найти количест- венное решение. Однако точное решение в задачах теоре- тической физики удается найти только в редких случаях. Так, например, простейшая задача квантовой механики — задача о нахождении ф-функции одномерного уравнения Шредингера — решается точно только для нескольких видов потенциалов. Поэтому приходится довольствоваться либо приближенными аналитическими методами, либо чис- ленным решением. При этом для понимания и проверки численных методов опять-таки следует найти приближен- ное аналитическое решение в различных предельных слу- чаях. В некоторых случаях характер решения определяется аналитическими свойствами или свойствами симметрии изучаемых величин. Примеры такого рода будут рассмот- рены в 4-й, 5-й, и 6-й главах. В этой главе рассматриваются различные случаи теории возмущений, когда решение мо- жет быть найдено в виде ряда по степеням какого-либо малого параметра. Простейший случай теории возмущений соответствует слабому внешнему полю или слабому взаимодействию меж- ду частицами. Тогда роль малого параметра играет отно- шение энергии или потенциала взаимодействия к харак- терному значению энергии свободного движения. Ниже такая теория возмущений, использующая малость доба- вочного слагаемого в гамильтониане, рассматривается на примере задачи рассеяния. Другой случай теории возмущений — возмущение гра- ничных условий. Пусть, например, известно решение зада- чи с граничными условиями на сфере, а требуется найти решение задачи с такими же граничными условиями, по
74 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ на близкой к сфере поверхности. Производя соответству- ющие преобразования координат, можно привести гранич- ные условия к условиям на сфере, но при этом за счет пре- образования координат возникает поправка к гамильто- ниану, т. е. задача сводится к теории возмущений при сла- бом искажении гамильтониана. В том случае, когда возмущение не мало, но длится в течение малого времени т, в задаче возникает малый пара- метр | ~ Vt. Этот случай теории возмущений иллюстри- руется на примере ионизации при p-распаде, ионизации при ядерных столкновениях и на примере эффекта Мёссба- уэра. Хорошим примером применения метода внезапных возмущений является рассмотренное в предыдущей главе рождение мягких квантов при рассеянии электрона («ин- фракрасная катастрофа»). Обратный предельный случай осуществляется, когда возмущение изменяется за времена много большие, чем характерные периоды рассматриваемой системы (адиаба- тическое приближение). В этом случае требуется найти решение вспомогательной задачи о движении системы при фиксированном возмущении. Роль малого параметра игра- t 1 ет величина s---шт-’ Г'1'' и — характерная частота систе- мы, а т — время существенного изменения возмущения. Классический пример адиабатического возмущения — это теория молекулы. Сначала решается вспомогательная за- дача о движении электронов при фиксированном положе- нии ядер. Затем определяется решение с учетом движения ядер в предположении малости отношения сомол/соэл. В качестве примера адиабатического приближения рас- сматривается также задача о рассеянии протона на атоме водорода. Еще один эффективный приближенный метод может быть развит, когда в системе имеется несколько близких уровней. В том случае, когда возмущение мало по сравне- нию с расстоянием до остальных уровней, можно построить расчет, учитывающий роль близких уровней точно. Этот метод иллюстрируется на примере движения частицы в периодическом потенциале, на примере штарк-эффекта и на примере задачи об изменении времени жизни состояния 2 Si/2 атома водорода в электрическом поле. В последних двух задачах роль близкого уровня играет уровень 2 Pii2.
1. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ 75 Теория возмущений сыграла большую роль в развитии теоретической физики. Она может быть использована для оценки характера решения даже в тех случаях, когда пара- метр разложения не мал, а порядка единицы. Исключение составляют такие явления, которые исчезают при малом значении параметра разложения. Так, например, рассматривая потенциал взаимодействия как малую величину, нельзя ни в каком порядке теории воз- мущений получить функцию, описывающую связанное состояние частицы. Особенно это ясно, когда связанное состояние появляется при конечной глубине потенци- альной ямы. 1. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ Рассмотрим задачу рассеяния в случае, когда к рассеи- вающему потенциалу добавляется малый возмущающий потенциал. Найдем изменение амплитуды рассеяния по теории возмущений. В качестве примера изучим рассеяние заряженных частиц на атомных ядрах и вычислим добав- ку к амплитуде кулоновского рассеяния из-за конечно- сти ядра. Пусть гамильтониан системы равен н = н0 + Н', где Н' — малая добавка, причем известно решение задачи с гамильтонианом Но-. = Epqp. Граничные условия, налагаемые на в случае задачи рас- сеяния (непрерывный спектр), могут быть двух типов: -» eipr + е Из них физический смысл имеют лишь функции фр, соот- ветствующие расходящейся сферической волне, однако для вспомогательных целей бывают удобны и (р7). Каждая из систем функций <р^ или срР является полной ортогональ- ной системой, т. е. \ (PpCpJ'cZr = \ qpqP'dr = (2л)36 (р — р').
76 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ Дифференциальное уравнение Шредингера HWP = EWp с граничными условиями задачи рассеяния эквивалент- но интегральному уравнению ц/ _ _ + । С dp' (фр' I Н I ^у) + (2л)» Ер-Ер. Фр'- (2-1) В этом легко убедиться, действуя на (2.1) оператором Но - Ер. Можно было бы разлагать Ту по функциям фр, но мы далее убедимся, что функции фу удобнее. Подинтегральное выражение (2.1) имеет особую точку при | р | = | р' |. Мы увидим, что способ обхода особой р' точки определяет асимптотический • _ % _ вид ЧГр, т. е. ставит граничные ус- ловия. Покажем, что именно ука- Рис. 17. занный на рис. 17 способ обхода (а не обход сверху и не интеграл в смысле главного значения) дает правильные граничные условия. Перейдем к вычислению интеграла в выражении (2.1) при г -> оо. Функция фу- при г —> оо имеет вид ф----► gip'rx 4- А-е-гр'г, Г—*оо Г где х = cos Z_ (p'r). Первое слагаемое этого выражения приводит к интегралу в (2.1) вида 1 F (х) eip'rx dx. —1 Интегрируя по частям, имеем г F(x)eWrxdz ж Г-*СО F (1) eipr — F (— 1) e~ip'r ip'г Покажем, что часть этого выражения, содержащая e~ip'r, исчезает в пределе г —» оо при интегрировании по dp'.
1. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ 77 Нужно оценить интеграл ____________________________еЧр'гФ (р'). г\Ер~Ер' (2.2) О Р р^ Контур интегрирования изображен на рис. 17. Заменим контур интегрирования на Сг + С2 (рис. 18), взяв 6 доста- точно малым, чтобы между старым и новым контуром не было особых точек. Тогда вели- чина интеграла (2.2) не изме- нится. В интеграле по контуру С2 р'= — i8, 6 0, поэтому g-ip'r — g-iir . g-8r Экспонента е~Ъг выносится за знак интегра- ла (2.2), и, следовательно, при г —> оо весь интеграл по С2 экспоненциально мал. На участке Сг (р' = — it) полу- чаем интеграл 1 Г e~rt (2-3) Рис. 18. При г —> оо интервал для t, существенный в подинтеграль- ном выражении (2.3), порядка [0, 1/г], следовательно, Eit мало в этом интервале, Eit<^: Ер. Поэтому интеграл (2.3) 8 1 С 1 порядка — \e~rt dt —т. е. мал степенным образом, о По тем же соображениям мала степенным образом и часть интеграла в (2.1), содержащая слагаемое -у- e~ip'r асимптотического выражения для фр-. В этом и состоит пре- имущество базисных функ- ций (рц по сравнению с фр- Следовательно, в (2.1) ос- тается лишь интеграл с eip'r. М. Р' id ^z О Ci, Для его вычисления выбира- Рис. 19. ем контур, изображенный на рис. 19. Как и для интеграла с е~1Р'т, в этом случае интег- рал по С2 + Съ будет экспоненциально мал, а по Сх — мал степенным образом. Интегралы по С3;и С4'взаимно
78 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ уничтожатся. Следовательно, весь интеграл сводится к вы- чету в точке р' = р: Т, - <Й + 2™ (ЧУ I I eip'r dEpidp ip'г ’ где р' = р . Итак, Тр имеет нужную асимптотику: Тр _ eipr (/° + gipr, причем /=- 2НГ<^|Я'1П)| г (2.4) Для нерелятивистских частиц можно заменить p/v = т. В случае свободного движения (рр и <рр — плоские вол- ны, /0 = 0, и мы получаем амплитуду рассеяния в так на- зываемом борновском приближении: где /я = -2^7 (Не1”” dr', 4 = Р~ — импульс, передаваемый при рассеянии: | q | = 2р sin у, а 0 — угол рассеяния. Для нахождения последующих итераций удобно пере- формулировать интегральное уравнение (2.1) для волновой функции в соответствующее интегральное уравнение для амплитуды рассеяния /. Используя (2.1) и (2.4), находим: ,, , , , , , . 2лу Г g(p', p")f(p", р) ЦР , P)=fi(P , Р)-------— \ E Г t) 'п” где dp” (2л)з ’ (2-5) Л (И р) = 2^ J vi*н' dr’ g (Pr, Р) = 2^~ J <₽₽* H'(ppdr.
1. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ 79 В этом уравнении р и р' — свободные параметры. Сечение рассеяния определяется величиной | / (р‘, р) | 2 при I Р' I = I Р I- Найдем критерий применимости теории возмущений в непрерывном спектре. Принцип отыскания критерия лю- бого приближенного расчета состоит в том, что прибли- женно вычисленная физическая величина должна быть велика по сравнению с поправкой к ней от следующего по- рядка приближения. В первом порядке теории возмущений / = Л = ~ •Ь'Я'Й dr'. Во втором порядке теории возмущений из (2.1) имеем /г = — dr' ~ т\ ^Н’ dr’. Условие /2^/1*^! служит критерием применимости теории возмущений. Пусть а — порядок величины области пространства, в которой возмущающее поле Н' (г) заметно отлично от нуля. Рассмотрим сначала случай pa 1. Тогда функции (рр (а) по порядку величины равны единице. Следователь- но, амплитуда Д порядка Н' (а) а3 и слабо зависит от угла рассеяния. Поэтому /2/Д — Н'а3 и критерий теории воз- мущений имеет вид Н'а2<С 1. Рассмотрим теперь случай ра^> 1. Более подробно этот случай исследован в 3.1. Рассеяние в этом предельном случае больших энергий резко анизотропно и направлено вперед. Действительно, в выражении (2.4) величина . 9 ф гра sin 7- ~ е 1 сильно осциллирует при pa 1 для всех углов рассеяния 0, кроме 9 1/ра<С 1. Для углов рассеяния 9 Ира ве- личина (а) <р), (а) по порядку величины равна единице и амплитуда рассеяния имеет оценку Л (9) ~ н' («) а3- 0<С1/ра
80 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ Таким образом, для этой области углов критерий при- менимости теории возмущений остается тем же, что и при малых импульсах. Для углов 0 i/ра амплитуда / (0) существенно уменьшается из-за осцилляции волновых функций ср^. Рассеяние заряженных частиц на атомном ядре. В ка- честве примера рассмотрим рассеяние заряженных частиц на атомном ядре. Предположим, что частицы взаимодей- ствуют только с электрическим полем ядра (как, например, электроны). Будем считать, что заряд ядра равномерно распределен по его объему. Тогда потенциальная энергия частицы: Г2 V = Z / 3 1 R \ 2 2 Я2 Z Здесь Z — заряд ядра, 7? — радиус ядра. Следовательно, возмущение имеет вид я.=(-4(4--Н4+4- »<'<« I 0, г>7?. Дополнительная амплитуда рассеяния в первом порядке по Н' равна /1 = — ф*’я'ф£ dr ~ Фр' (°) Фр (°) Н'dr Действительно, Н' изменяется на расстоянии порядка R, а фр — на расстоянии порядка Ир. Для не слишком боль- ших скоростей электронов pH 1 (в атомных единицах R 10~4). Поэтому в выражении для / функции фр- и <р^ можно выносить из-под знака интеграла в точке г = 0. Вычисление дает С , 2я/Я2 \Н аг — —=— . а 5 Следовательно, , Zfl2 -• + ,п, А ==----~ Ф₽'(°) Фр (°)- Кулоновские нерелятивистские волновые функции фр (0)
2. возмущений граничных условий 81 равны ♦): для поля отталкивания ф£(°) = тЙе”/!РГ(1-/р)’ для поля притяжения ^(0) = 7^еЛ/'2рГ(1 + ;/р)! где Г (1 + г/р) — гамма-функция. Обычно исследуется рассеяние электронов с импульсами, много большими им- пульсов атомных электронов. Тогда Г (1 + г/р) ~ 1. Окончательно получаем Л = -та-—е±2п/р, (2.6) ' 80л3 <го ' где знак минус относится к потенциалу отталкивания, а плюс — к потенциалу притяжения; д0— боровский радиус. Дифференциальное сечение рассеяния г/о/г/Q равно da/dQ = | /о + /1 I \ ГДе /о — амплитуда кулоновского рассеяния. Поскольку А не зависит от угла рассеяния, а /0 убывает с увеличением угла рассеяния, то учет конечности радиуса ядра сущест- вен при больших углах рассеяния. Критерий применимости теории возмущений в этом слу- чае (р/?<г;1) — это H'R2<^A или ZR 1; он выполня- ется для всех реальных ядер. 2. ВОЗМУЩЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ В этом разделе рассматривается случай, когда возму- щение наложено на граничные условия. Преобразование координат позволяет привести граничные условия к невоз- мущенному виду. Однако оно изменяет выражение для гамильтониана системы. Это изменение гамильтониана и есть возмущающий потенциал, влияние которого можно рассмотреть с помощью обычной теории возмущений. Тео- рия поясняется на примере расчета одночастичных энер- гетических уровней деформированного ядра. *) Л. Д. Л а н д а у, Е. М. Лпфш п ц, Квантовая меха- ника, Физматгиз, 1963, стр. 603.
82 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ Пусть нам известно решение стационарной (или неста- ционарной) задачи с гамильтонианом Н (х) и граничным условием на некоторой поверхности 50: аТ + рТ' |So = О (Т' — производная по нормали к 50). Требуется найти ре- шение задачи с тем же гамильтонианом Н (х), но с гранич- ным условием + рТ' |s = О, причем поверхность S близка к 80 (эта близость и есть малый параметр в задаче). Для решения задачи следует найти такое преобразование координат xt = /г (xj), что S (х) = So (х'), т. е. в новых переменных уравнение по- верхности прежнее. Иными словами, если уравнение по- верхности 50 есть Фо (xj) = 0, a 8 — Ф (xj) = 0, то долж- но быть Ф (fl (^)) = Фо (^). Гамильтониан Н (х;) = Н (jt (x‘j)) в новых переменных из- меняется. Мы можем записать его в виде Н (^) 4- Н' (^), где Н' (x'j) = Н (fi (х'^) — Н (x'j) и есть возмущение. Да- лее применима уже обычная теория возмущений. Энергетические уровни деформированного ядра. Пусть известны стационарные уровни энергии в сферическом ящике, а нужно найти их в эллипсоидальном ящике (стенки считаем бесконечно высокими). Уравнение поверх- ности 80 имеет вид з Фо(^)=О: 3=1 а уравнение поверхности 5 есть 3 г2 Ф(^) = 0: 2 4-- 1 = 0. 3=1 аз Введем новые переменные:
2. ВОЗМУЩЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ 83 Тогда Ф (ft (x'j)) = Фо (x'j). При этом изменяется оператор кинетической энергии частицы: з з т / \ 1 у д2 _ /?2 Vi 1 д2 “ - W £' 2М £ я? дх? • Следовательно, возмущение имеет вид Оно мало, если все а, близки к R. Рассмотрим эллипсоидальную деформацию ядра, счи- тая эллипсоид двухосным (с полуосями а и Ь). Параметром деформации называется величина о а — Ъ ~~ a-f-b ' Считаем, что объем ядра не меняется при его деформации, т. е. ab2 = R3. Если написать а = R (1 + б), b = R (1 - 6j), где б, 6j <С 1, то в первом приближении из ab2 = R3 получим б — 26± = 0, т. е. ^2 Д<|+И‘>ГД'1-а‘| ^36„ или a~R (1 +4₽)’ Ъ ~ R (1 - 4-Р) • Тогда возмущение Н' принимает следующий вид: Пусть Bnij — энергия частиц без учета деформации ядер (от магнитного квантового числа она не зависит в силу сферической симметрии поля). С учетом деформации в пер- вом порядке теории возмущений получаем Z-nljm — Enlj + (фп/jm | Н | (pn/jm)-
84 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В результате расчета находим 8nljm о Гл . о / т2 1 \1 -M1 + ₽(7(7W~“3" )]• (2.7) Зависимость enljm от р схематически изображена на рис. 20. Заметим, что 2-д_~ГS ^niim = ' т ем е„,т — е?щ, т. е. центр тяжести мультиплета не смещается при деформации ядра. ------------В приведенном выше рас- чете предполагалось, что де- рис. 20.----формация достаточно мала, чтобы не разрушать спин- орбитальную связь. Тогда уровни определяются полным моментом / (см. задачу 2). ЗАДАЧИ 1. Вычислить enIm ЗИ (Wnim = Ответ. enIm = 8®i в отсутствие спин-орбитальной свя- 2. Вычислить en при произвольном соотношении меж- ду спин-орбитальным взаимодействием и энергией дефор- мации Н = Но + ASI 4- Н'. Г 2 - 1 о m? 1 Ответ. Enljm = Sni + ?en! -Т ± +, — о , Г 4 —— / т . 1 \ *1 t где ей = 8ni +"2~ “"2“+ v + '2/J’ энак + соответ' ствует / = I + ответе для сокращения записи мы и ввели обозначение L = (I—1/2) (Z-j-2/З).)
3. ВНЕЗАПНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 85 3. ВНЕЗАПНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В рассмотренных до сих пор примерах малым пара- метром задачи было относительное изменение гамильтониа- на системы. Изучим случай, когда малым параметром яв- ляется время действия возмущения, но само возмущение не мало. Ионизация при р-распаде — один из таких прим еров. В этом случае скорость Р-распадного электрона много больше скоростей атомных электронов. Поэтому измене- ние заряда ядра — внезапное событие для них. Другой пример — ионизация при ударе быстрой частицы о ядро. В этом случае внезапным событием для атомных элек- тронов служит отдача ядра. Рассмотрим систему, волновая функция которой подчи- няется уравнению Шредингера i = H'V с гамильто- нианом £<0, | Н2 (г), t )> т. Предположим, что гамильтониан системы сильно изме- няется за короткое время т. Введем полную систему функ- ций гамильтониана Н2. тт „(2) _ „(2) (2) Л гфп — Еп фп и разложим решение задачи Т по функциям ф„2): (2) T(i) = S®n(C^2)e’i£n'- (2-8) п Запишем гамильтониан Н в виде Н = Н2 Д- (Н — = = Н2 Д- V. Тогда = 2V™ («) ЧЧп (О- (2-9) т Действительно, если временно обозначить bn (t) = = ап (t) е к,г , то фактически разложение Т* (i) = 2 (0 фп} п означает переход от координатного к энергетическо- му представлению гамильтониана Н2. Уравнение
86 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ Шредингера в новом представлении имеет такой вид: i = 2 [Sn^nm 4" V пт (£)] Ьт, откуда сразу же получаем уравнение (2.9). Интегрируя полученное уравнение, имеем п„(/) —an(0) = (2.Ю) т О Матричный элемент Vnm обращается в нуль при t т. Предположим, что (е„2) — е(Д’) т 1. Тогда экспонента под интегралом приближенно равна единице. Следователь- но, для того чтобы пользоваться последовательными приближениями, должно выполняться условие Vx <<; 1 (возмущение не является малым, но оно действует корот- кое время). В нулевом приближении из (2.10) имеем йп’ (t) = дп(0). Заменяя в правой части уравнения (2.10) в первом при- ближении ат (l) на ат (0) и учитывая (2.8), получим t a? (t) = ~ i(Фп} IVI Фп ’) ат (0) dt = т о t =-^(Ф<12)|7|Т(О))Л. (2.11) о Предположим, что начальное состояние Т (0) было од- ной из собственных функций Н±, т. е. 'F(O) = = 3an(0)<pk2). Следовательно, ап (0) = (фп’ | фп’). Итак, в нулевом при- ближении вероятность перехода в состояние ф„’ есть Wnm = | (ф^’ | ф<2>) |2. (2.12) В пространстве векторов Т (0 с базисом фп внезапное возмущение соответствует сильному изменению базиса: фп’ —> Фп’, при малом изменении волновой функции: Т (0 ~ (0).
3. ВНЕЗАПНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 87 Ионизация атомов при Р-распаде. Расчет ионизации атома при (3-распаде сильно упрощается, если использо- вать тот факт, что скорость (3-распадпого электрона много больше скоростей атомных электронов. Покажем, что ио- низация вызывается изменением заряда ядра, а непосред- ственным взаимодействием атомного и |3-распадного элект- ронов можно пренебречь. Сначала оценим вероятность электронного перехода, вызываемого непосредственным взаимодействием. Согласно теории возмущений опа равна оо -lie • , I2 = • (2.13) О Здесь Рппо — матричный элемент энергии взаимодействия, а (опло — частота перехода. Оценим это выражение. Величина ы„,!0 имеет порядок атомных частот. Время пролета (3-распадного электрона т много меньше атомных периодов, т. е. ыЛЛот 1. Поэтому в (2.13) можно заменить —> 1. Взаимодействие V Р-электропа с атомным электроном имеет порядок величи- ны е2/а, где а — величина порядка атомных размеров. Так как при p-распаде электрон вылетает из атома со скоростью порядка скорости света с, то время вылета т — ale. Следо- вательно, вероятность ТУ имеет оценку: (2.14) Вычислим теперь вероятность ионизации вследствие изменения заряда ядра. Как мы только что видели, волно- вая функция атомных электронов мало меняется за время вылета p-распадного электрона. Поэтому вероятность ио- низации электрона, находившегося в состоянии Чго в поле ядра с зарядом Z, согласно (2.12) равна В/о,к= K^IYr1)!2. (2.15) Здесь Тд1 — волновая функция вылетевшего электрона с энергией Е )> 0 в поле ядра с зарядом Z ф- 1. Полная вероятность ионизации из-за изменения заряда ядра равна ОО Wo = (2.16) О
88 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ Оценим (2.16). Для этого разложим функцию / (Zn Z2) = = (Те | Те) в ряд по разности Zx — Z2: Производная -d-\ _ = (Те1 PZl IZi=Zi \ 07,1 / irpZi | \Tl»Za\ Z1 '— Z2 1 но, (To*I Те)--------—= ZT’ T- e- 1 Zi ' но- i' Следователь- (2-17) Отношение вероятности непосредственного взаимодействия к этой величине имеет порядок \ he / - Из (2.15) можно сделать заключение о правилах отбора для рассматриваемого процесса. В случае ионизации внут- ренних оболочек самосогласованное поле, в котором дви- жется электрон, можно считать сферически-симметричным, следовательно, Т = Rnl (г) Y tm (0, (р). Подставляя это Т в (2.15), получим правила отбора: — /2, — 77 72. Для наружных оболочек эффективный заряд Z, дейст- вующий на атомные электроны, порядка единицы. Следова- тельно, согласно (2.17) и вероятность ионизации Wk — 1. Это подтверждается экспериментами по накоплению поло- жительных ионов при р±-распаде. Вероятность ионизации можно вычислить для К- и L- оболочек. В этих случаях существенна область вблизи ядра, где функции То и Те+1 можно считать водородо- подобными (пользование водородоподобными функциями вносит погрешность порядка 1/Z). Вероятность ионизации быстро убывает, когда энергия вылетающего электрона становится много больше потен- циала ионизации. Действительно, в этом случае функция Те+1 много раз осциллирует на размерах К-оболочки и ин- теграл (2.15) мал. Таким образом, вылетающие электроны имеют энергию между нулем и величиной порядка потен- циала ионизации.
3. ВНЕЗАПНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 89 Получим вероятность ионизации для А-электрона, ког- да энергия вылетающего атомного электрона много больше потенциала ионизации. Радиальная волновая функция Ад+1 при больших энергиях должна совпадать с радиаль- ной функцией свободной частицы; Здесь к = У2 Е. Функция Re предполагается нормиро- ванной: оо J ReRE' г2 dr = 6 (А - А')- о Следовательно, оо оо Ж1В = К RlRe+1 r*dr\2 х К A? sin (кг) г dr I J I JS->co I J 0 0 Для А-электрона А? = 2Z’!e~Zr. След вательно, нужно оо вычислить интеграл I = § re~Zr sin (кг) dr при к —> оо. Ин- fl тегрируя его по частям, получаем I ~ 2 Z/к3 (интеграл вычислялся в 1.1, стр. 27, и на стр. 54). Итак, при A Z2 вероятность ионизации А-электрона приближенно равна: 8Z3 / 2Z \2 _ 2 /2 Z5 1Ь лк \ к3 / Л Е’1г Ионизация атомов при ядерных реакциях. При ядер- ных столкновениях с большой передачей энергии должна происходить ионизация атомов отдачи. Если скорость, приобретенная ядром, невелика, то ядро успевает увлечь электроны, и ионизация происходит только в наружных, слабо связанных оболочках. Наоборот, при больших ско- ростях ядро вылетает из оболочки, не увлекая ее за собой. Вычислим вероятность ионизации при ударе нейтрона об ядро (Мигдал 1939). Время соударения нейтрона с ядром т — Rlvn, где А — радиус ядра, vH — скорость ней- трона. Это время много меньше электронных периодов та.
90 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ Поэтому за время столкновения электронная волновая функция практически не меняется. Если обозначить через vn скорость, приобретенную яд- ром, то смещение I ядра за время соударения имеет поря- г> Мн док величины I—р„т— — R — К <( R, т. е. I много меньше размеров электронной оболочки. Следовательно, ядро практически не смещается за время удара. Перейдем к системе координат, в которой ядро после соударения покоится. Тогда волновая функция начального состояния преобразуется в выражение (П, г2, ...), где — скорость отдачи ядра. Это выражение проще все- го получить, разлагая То-функцию по плоским волнам и сдвигая каждый из импульсов этих волн на величину va. Пусть Tj (г1, г2, ...) обозначает конечное состояние ато- ма. Вероятность возбуждения согласно (2.12) равна W = | (Tj | То) | 2. (2.18) Критерий применимости этой формулы: т <С; т0. Его R а н можно записать также в виде ~ v илиип?;>— цэ, где а — величина порядка размеров изучаемой оболочки. Из выражения (2.18) можно получить формулу для ве- роятности перехода одного фиксированного электрона. Так как при Z 1 взаимодействие между электронами мало по сравнению с полем ядра, то W = WTW2, где W\ — вероятность перехода рассматриваемого элект- рона, a W2 — вероятность возбуждения всех остальных электронов. Суммируя по всем конечным состояниям, получим 2 W-l = 1, 2^2 = 1- Следовательно, вероятность пере- 1 2 хода рассматриваемого электрона из состояния ф0 в состо- яние фп равна Ж= И\2^2 = |$фп/ВяЧо*-|2 • (2.19) 2
3. ВНЕЗАПНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 91 Если скорость ядра много меньше скорости электрона ^но г;1 Д>кэ), то экспоненту в (2.19) можно разложить в ряд. Нулевой член разложения исчезает из-за ортого- нальности функций ф0 и фп. Пусть скорость vH направлена по оси z. Тогда W = 4 | (фп | z | ф0) | 2. (2.20) Наоборот, если va v0, то экспонента в (2.18) [или (2.19)] быстро осциллирует. Следовательно, вероят- —’ 2 ность перехода W не мала, только если ~ е ri, т. е., когда электроны в новой системе движутся со ско- ростью — ?'и. В лабораторной системе координат это соот- ветствует тому, что электронная оболочка не увлекается ядром при ударе. Если скорость ядра гя больше скорости внешних элек- тронов, по меньше скорости внутренних электронов, т. е. 1 <^£’я <С то внутренние оболочки атома увлекаются ядром, а наружные — нет. Заряд получающегося иона равен по порядку величины числу электронов на наруж- ных оболочках. Такие соображения позволяют оценить заряд осколков при делении. Заряд определяется как число электронов со скоростями, меньшими чем скорость осколка (см. стр. 93). Для атома водорода и для внутренних оболочек других атомов вычисления можно довести до конца. Вероятность ионизации и возбуждения для этих случаев приводится в задачах. Оценим полную вероятность возбуждения и ионизации ТЕ при << 1. Из (2.20) находим W = С& где Ci — число порядка единицы. Из решения задачи 4 (см. стр. 94) следует, что вероятность атому водорода остаться в основном состоянии равна ТЕОо 1 Отсюда находим, что для атома водорода Сх = 1.
92 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ Передача энергии при вылете кванта из ядра моле- кулы (эффект Мёссбауэра). Предположим, что квант с энергией вылетает из ядра, входящего в молекулу. Если /г® мало, то молекула получает слабый толчок и воспринимает отдачу как единое целое. Если /г® велико, то ядро вылетает из молекулы — происходит возбуждение системы (те же соображения применимы и к металлам: при малом <в отдачу воспринимает вся кристаллическая решетка). Оценим время вылета т кванта из ядра; т — это время пролета пакета радиуса X = с/о через область ядра, т. е. т ~ Х/с = 1/о>. Эта оценка неверна при X <7?, где R — радиус ядра, т. е. при ® c/R ~ 137-104-27 эв ~ 40 Мэв. Время т ничтожно по сравнению с временами, харак- теризующими колебания и вращения молекулы. Следо- вательно, Т-функция молекулы не успевает измениться за время вылета кванта. Задача напоминает задачу об ионизации при ядерных реакциях. Волновая функция молекулы в начальный момент после испускания кванта имеет вид = ¥ (гп г2, . . .) где v — скорость отдачи, гг — радиус-вектор ядра, из ко- торого вылетел квант, М — масса атома. Функция Т опи- сывает основное состояние молекулы. Вероятность того, что молекула останется невозбужденной, равна Wo = |(Т0|^”->|¥0) |2. (2.21) Если Mvri^i, то Р70 ~ 1, т. е. отдача воспринимается всей молекулой, возбуждения нет. Оценим частоту у-кванта со, начиная с которой воз- буждаются колебательные степени свободы молекулы. Как мы увидим, амплитуда колебаний имеет порядок ве- личины l/j/M. Поэтому в (2.21) ~ 1/j/М. Следователь- но, для того чтобы колебания не возбуждались, должно быть Mv— — <С1. Так как импульс ядра ря = Mv равен ум импульсу кванта (Ус, это условие означает, что со/с Ж или о 137улМ (в атомных единицах); в эв: «<^137 100-1840-27 эв—70 кэв (здесь взято ядро с А ~ 100).
3. ВЙЕЭАПЙЫЁ ВОЗМУЩЕНИЯ 93 Критерий применимости (2.21): ®®кол — i/VМ------27 „=-----0,06 эв, Ол /100-1840 где а>кол — колебательная частота молекулы. Оценим теперь частоту кванта, начиная с которой воз- буждаются вращательные степени свободы молекулы. Для этого рассмотрим плоский ротатор. Его волновая функция фт = Вероятность перехода из состояния фо в состояние фт согласно (2.21) равна 2 2я 2 wm0 = | фтеш®гф0 dr | ~| ei^iiMuacosqtftpl t (2.22) о где а — величина порядка размеров молекулы. Следовательно, для того чтобы вращательные уровни не возбуждались, необходимо, чтобы момент количества движения ~ Mva, сообщенный молекуле квантом, был много меньше момента количества движения ротатора т. В этом случае из (2.22) находим irm0<^l. Для наиниз- т^О шего возбуждения (тп = 1) получаем Мva 1 или -у- а 1, откуда <й </ с = 137-27 эв ~ 4 кэв. ЗАДАЧИ 1. Убедиться в том, что отдача ядра не существенна для ионизации атома при р-распаде. 2. Используя метод Томаса — Ферми, оценить заряд осколков при делении ядра, считая его равным числу элект- ронов со скоростью, меньшей скорости осколков. Ответ. Zock ~ 8. 3. Оценить ионизацию атома из-за магнитного взаимо- действия налетающего нейтрона с электроном. Ответ. W маги Ж магн г’н НпНэ л а3 1 1 *V2 К 2 — 10-’. 2
94 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 4. Определить вероятность того, что при ударе нейтро- на о ядро атома водорода электрон останется в основном состоянии. 4 Ответ. . 4. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ В этом разделе рассматривается случай, когда возму- щение, действующее на квантовомеханическую систему, медленно меняется со временем. При этом система успе- вает перестраиваться вслед за медленным изменением параметров. Такие возмущения называются адиабатиче- скими. В случае адиабатических возмущений удобно искать решение уравнения Шредингера в виде суперпозиции ста- ционарных собственных функций, вычисленных при про- извольных, но фиксированных значениях параметров. Предположим, что гамильтониан Н (х, £) зависит от медленно меняющегося параметра Введем собственные функции <рт (х, t) гамильтониана Н (х, £), в которых значение зафиксировано: Я (х, £) <pm (х, g) = ет (£) <pm (х, £). (2.23) Будем искать решение уравнения Шредингера (2.24) в виде t 'F = 2ат(0фт(ж. I)exp{— I $ 8т(В)<й}. (2.25) т —сю Подставляя (2.25) в (2.24), находим dan V / 7П дФ \ . Г (* 1 ехр {— i (em — 8„) dt| = 0. (2.26) —оо Уравнение (2.26) удобно для нахождения последователь- ных приближений при малых
4. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 95 Именно, а<~п (0 = Яп ( — оо), (0 = ^ят (0) ехр i \ (ew е, т (2.27) и т. д. / I Эф \ Выразим (<рп | J через матричный элемент гамильто- ниана Н. Дифференцируя соотношение (2.23) по параметру £, находим ЭЯ , „ d(fm dem rn , <pm + л фт 't- ₽ ет умножая это равенство на <р„ слева и интегрируя по х, получаем (2.28) Будем предполагать, что собственные состояния ср„ не вырождены. Тогда волновые функции <рп можно выбрать вещественными, и, следовательно, диагональный матрич- ный элемент 1 д С 2 1 п dr = 0- Подставляя (2.28) в (2.27), получаем г X ат (— оо) ехр {— t § (em — ejd/'j. (2.29) — оо Штрих в сумме по т означает, что в ней нет диагональных членов.
96 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ Критерий применимости адиабатической теории воз- мущений состоит в том, чтобы изменение гамильтониана за время порядка обратных частот системы было малым по сравнению с энергиями, соответствующими этим ча- стотам. Критерий применимости легко получить, если оценить отношение поправки (0 к амплитуде а'п (2): учитывая (2.29), находим а а (2) п дН 1 (1) п dt (8m - 8n)2 ‘ (2.30) Как видно из (2.30), требует отдельного рассмотрения случай, когда при некоторых значениях параметров £ уровни энергии пересекаются. В этом случае волновую функцию следует искать в виде суперпозиции состояний, соответствующих этим пересекающимся термам. Покажем, что если обратные собственные частоты си- стемы и>тп много меньше времени т, за которое существен- но изменяется гамильтониан системы, то эта система, как правило, будет возбуждаться экспоненциально слабо. Действительно, выражение (2.29) для амплитуды перехо- да а(п (t) сводится к фурье-компонентам от функции 1<-|ф )4 \ ч> ЙЕ ни/ т-> I л л \ ----!!. Ранее (см. 1.1) мы видели, что такие еп 8ш фурье-компоненты при <отпт 1 экспоненциально малы (~е~“т’Г), если эти функции или их производные не имеют особенностей на вещественной оси. Применение теории возмущений к экспоненциально малым выражениям требует осторожности, поскольку небольшое изменение в показателе экспоненты может ском- пенсировать следующий порядок по степеням |. Форму- ла (2.29) дает величину поправки с точностью до множите- ля порядка единицы (Дыхне, 1961). Как будет показано (см. стр. 192), кулоновские волновые функции имеют особенность в точке 1я = 0. Поэтому, например, вероятность ионизации атома пролетающей медленной частицей мала степенным образом, а не экспо- ненциально (см. следующий раздел).
4. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 97 ЗАДАЧА ___ Используя соотношение (2.28), вычислить 1/г2 для центрально-симметричного движения. „ 1 1 I дЕ \ Ответ. ----------п(^г)п/ 1 + 2 Ионизация атома при пролете медленной тяжелой час- тицы. Оценим, как зависит вероятность ионизации атома при пролете мимо него медленной тяжелой заряженной частицы от скорости этой частицы. Для простоты будем рассматривать атом водорода. Предположим, что скорость пролетающей частицы v много меньше скорости атомного электрона, т. е. v<sg;l. Энергия взаимодействия пролетающей частицы с атом- 1 ным электроном имеет вид-। г _ Г11 • Матричный элемент перехода электрона из состояния <р0 в состояние <р& и тяжелой частицы иэ состояния Тр в Тр- в первом порядке теории возмущений равен: |^г1ГфоТр) ' Критерий применимости теории возмущений мы ука- жем позже, когда оценим этот матричный элемент. Покажем, что функции Фр, Фр- можно заменить в М°РР' на плоские волны. Действительно, запишем Ф’р в виде Фр ~ eipr%, где % = ехр |гМ pdrj (см. 3.2), V — ку- лоновское взаимодействие пролетающей частицы с ядром атома, М — приведенная масса частицы и ядра. л, лтГ V j MVa 1 Фаза М \ р dr имеет оценку цельный параметр). Так как v не мала. Однако фаза мала. Действительно, (а — при- р V ' г * 1, то фаза функции % %%', как мы сейчас убедимся, XX' q dr 1 Г • лг С II j 1 ---- = ехр iM \ —Л- dr . р J L J г2 J Здесь q ц — импульс, передаваемый вдоль движения ча- стицы. Оценим его. 4 А. Б. Мигдал
98 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ Передаваемая энергия равна: ЕР' — Ер — & Ми2} — vbp — vqn. С другой стороны, Ер- — Ер = 8ь — 80 ~ 1. Следователь- но, <7ц ~ rlv и , У9иа1 Г- ^«1 г I 1 XX ~ ехр\iM —J-] ~ ехр [i —ехр • При условии Mr3 1 величина хх' ~ 1 и замена на плоские волны становится оправданной. Оценим теперь Так как $ e-i’r |Г1Г1|'dr = ^i9ri’ то М™’ ~ (Фое-*9Г<pfc). Дифференциальное сечение ионизации получим, деля I М°рр' | 2 на поток падающих частиц (он пропорционален v), умножая на 6-функцию, соответствующую закону со- хранения энергии, и суммируя по возможным состояниям электрона с положительной энергией и возможным зна- чениям р’: <5--М 3 4-1 (<Poe~i9r<Pfc) Г' 6 (Ер — Ер' — 8fc + е0) dp’, к 4 Величина dp' — dq — 2n.q±dq\\dq±. Интегрирование по продольным передаваемым импульсам ди уничтожается 6-функцией: 6 (Ер — Ер- — 8fc + 8о) dq и = § 6 (д у к — 8fe + 80) dq д = 1/р, причем дп = (бь — Следовательно, Из этого выражения видно, что существенные значе- ния дх имеют порядок 1/v. Оценим матричный элемент (<poe-ier(Pfc)- Он равен j е-аг-гдг^Г1 Где а — число порядка единицы. Такая же далекая фурье-компонента оценивалась при рассмотрении
i. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 99 дипольного фотоэффекта, где было получено (см. стр. 55) (<poe“i9r<Pfc) ~ • Подставляя найденное значение матричного элемента в формулу для о, получаем 1 С ® г2 J <74<78 Так как дц ~ ~ 1/v, то о ~ гЛ°/г?2 = v9. Итак, сечение ионизации атома при пролете тяжелой медленной частицы ~ восьмой степени ее скорости. Почему оно не мало экспоненциальным образом, как это обычно бывает для адиабитического процесса? Это связано с корневой особенностью кулоновских волновых функций е~аг = е~а^х2+у2+гг по каждой из переменных при фиксированных значениях других переменных. Эта особенность может достигать вещественной оси, из-за чего и получается степенная, а не экспоненциальная малость (см. также стр. 192). Проверим критерий применимости теории возмущений. Так как Еь — е0 ~ 1 и ~ (Фо^’”фк) ~ ~ < 1 > то Л^7(е* - е0) < 1, что и требуется для применимости теории возмущений. Приведем в заключение условия, при которых пригод- ны полученные выше результаты: 1 v3 !>> 1 /М. В частности, отсюда следует, что энергия пролетающей частицы должна быть много больше атомных энергий. Захват атомного электрона протоном (перезарядка). Применим адиабатическую теорию возмущений к задаче о перезарядке при пролете медленного протона мимо ато- ма водорода. Предположим, что скорость протона много меньше атомной скорости. Тогда можно применять адиа- батическое приближение (Фирсов 1955). Кроме того, пред- положим, что энергия налетающего протона много больше атомной. Тогда можно считать движение протона заданным. 4 *
100 гл. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ Гамильтониан системы имеет вид где R — расстояние между протонами, которое мы будем считать заданной функцией времени; г — координата электрона, Тэ — кинетическая энергия электрона. Гамильтониан// симметричен относительно перестанов- ки налетающего и покоящегося протонов. Такая пере- становка эквивалентна замене г —> —г. Следовательно, можно ввести симметричные и антисимметричные отно- сительно этой перестановки собственные функции гамильтониана Н: фп (г, R) и фп (л R)- Будем считать, что сначала электрон находился около протона, имеющего координату RI2. Тогда волновая функ- ция электрона имеет вид ф = ф^,(г — 1/2R), где фп0— ку- лоновская волновая функция для состояния п0. После рассеяния атом водорода с большей вероятностью останется в состоянии фп„. Действительно, для возбужде- ния нужна компонента Фурье с частотой, равной энергии возбуждения, о)пПо = еп — еПо. При медленном пролете, когда время пролета велико по сравнению с обратной ча- стотой компонента Фурье с частотой а>пп<1 очень мала и возбуждения не происходит. Однако электрон может перейти к другому протону. Это явление называется перезарядкой. Критерий адиаба- тичности (2.30) здесь не выполняется. В самом деле, когда протоны находятся на большом расстоянии друг от друга, волновая функция электрона равна ф^,(г— Va-R), если он находится у одного протона, и ф£, (г + R),— если у другого. Из этих двух функций можно составить симметрич- ную и антисимметричную комбинации ф„0 и фп0- Оба состоя- ния отвечают одной и той же энергии. Следовательно, мы имеем дело с пересечением уровней. Поэтому решение уравнения Шредингера (2.31) следует искать в виде суперпозиции этих двух состояний dt
к. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 101 Фп„ и <р“0, после чего нужно применять адиабатическую теорию возмущений. Итак, t Т = Cs (i) (г, jR) ехр ( — i &sdt j + —оо t + Ca(t)(fnt(r, jR)exp i &adt} . (2.32) —oo Подставляя (2.32) в (2.31), умножая на и интегрируя по г, получаем (dCs , „sdR / s ^<ps / . Г s,.\ [~dT + С ЧГ (**>”• ~dW )}ехр ( “ Ч 8 dt) = = - Са d-£ (<psn. | ехр мА . (2.33) Если нуклоны находятся далеко друг от друга, то q&°(г, [<р°п (г---В) + ф’ (г + (2.34) Учитывая (2.34), из (2.33) в нулевом приближении полу- чаем ^ = ^(« = -00) = -!=-, C^ca(t = -oo)=-^ (это соответствует электрону, находящемуся в началь- ный момент времени возле протона с координатой R/2). При этих значениях Cs, Са из (2.32) получаем (2.35)
102 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ Первое слагаемое здесь соответствует обычному рассея- нию, а второе — перезарядке. Квадрат модуля коэффи- циента при ( г + R j дает вероятность перезарядки W (р) = sin2 (е“ — 8s) dt j = sin2 ( (s“ — es) dt) , —co a (2.36) где p — прицельный параметр. Мы считаем, что величины &а (7?) и es (7?) известны из решения задачи с неподвижными ядрами. Предполагая траекторию налетающей частицы прямолинейной, за- меним интегрирование по t интегрированием по R. Так как R2 = р2 + я2*2, то , 1 RdR dt =----, . v Vr*— pa Обозначая &a (R) — 8s (Я) == Ф (7?), из (2.36) находим W'(p)-sin-(Xj®(B)7^=). (2.37) Рассмотрим прицельные расстояния р ~ 1. Тогда рас- стояния между частицами, существенные при взаимодей- ствии, также порядка 1. Следовательно, интеграл в (2.37) порядка 1. Поскольку то выражение для W (р) сильно меняется при малом изменении р. Усредним (2.37) по некоторому интервалу значений р, малому по сравне- нию с р: v 2 , т. е. перезарядка будет в половине всех случаев. Рассмотрим теперь вероятность перезарядки при р 1. Как можно показать*), при больших расстояниях между ♦) Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая меха- ника, Физматгиз, 1963, стр. 346.
5. БЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ 103 протонами разность энергий симметричного и антисим- метричного состояний равна е°(7?) —eJ(7?) да — Re~R. Н—оо 6 Поэтому при р 1 получаем F(p) = — Ф (Д) --^4= = р 4 7 R4-r dR = 4р2е~р Г (z + l)Mz c_DZ~ ev J V Пг — P2 ev J /z(z + 2) p о — e~p —i=r z_1/! e~pzdz = ^L_EjL p’/« e~p. ev у 2 J ev ' о Мы видим, 4ioF (p) <C; 1 при p px ~ In i/v. Следова- тельно, ?jt2 W = sin2 F (p) да F* (P) = P3r4 Таким образом, прир <C; px величина F (p) }>> 1, а при p Pi величина F (p) <<^ 1. Теперь оценим полное сечение перезарядки СО б = ^sin2F(p)-2npdp. о По порядку величины получаем Р1 б = 2лр dp = -|- npi---------л In2 — . (2.38) о Таким образом, при малых скоростях v сечение перезаряд- ки много больше геометрического сечения. 5. БЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ Рассмотрим две подсистемы, одна из которых характе- ризуется большими, а другая — малыми частотами. Взаи- модействие между подсистемами не предполагается малым. Пусть £ — совокупность координат медленной подсистемы.
104 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ Гамильтониан всей системы имеет вид Н = Hi (х, I) + Н2 (£), где Hi включает гамильтониан быстрой подсистемы и ее взаимодействие с медленной подсистемой. В предыдущем разделе мы считали, что движение мед- ленной подсистемы классично: мы задавали траекторию £ = £ (£) и вводили скорость £. Теперь это не будет пред- полагаться. Введем систему собственных функций гамильтони- ана Hi. Hi (х, |) <рп (х, |) = еп (|) <pn (х, I), как это делалось и ранее. Решение всей задачи = ЕКЧК (2.39) ищем в виде Тх = 2«п-х®Фп-М). (2.40) п' Подставляя (2.40) в (2.39), (Я\ + Я2) 2 «п-х (5) фп- (я. 5) == 2 «п-х (В) фп- (ж, £)• п* п* Умножая слева на ф„ (ж, £) и интегрируя но х, получаем (еп — £\) Unk + $ ФпЯ2 2 «п-хфп- dx = 0. п' При этом для простоты предположено, что Нг коммути- рует с |. Далее, так как Я2«п'1фп* = фп' H2Un'k 1Н2, фп'3«п'1л то (Еп — Ek) Unk + H2Unk = — 2 $ фп [Я2, фп-] dx • ип-к- (2.41) п* Это соотношение аналогично соответствующему выражению •г 9(Рп . d(Pn в предыдущем разделе, только it, — i заменяется коммутатором [Н2, фп].
5. БЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ 105 В соотношении (2.41) можно перенести член с п = п налево: (Нг — (Е\ — еп — § <jpn [Я2, <pn] unx = = — 2 $Tn[^2,(pn-]d«-Un-x- (2-42) П'^П Это уравнение удобно для применения метода последова- тельных приближений. В нулевом приближении полу- чаем уравнение {Н2 (£) - [Ек - 8П (£)]} «Ж (Ю = 0. Мы видим, что энергия быстрой потенциальной энергии в эф- фективном гамильтониане мед- ленной подсистемы. Колебательные уровни энер- гии молекулы. Оценим энергию колебаний молекулы. Для про- стоты мы напишем все выраже- ния для иона молекулы водоро- да, хотя результаты без труда переносятся и на более сложные молекулы. Гамильтониан иона молекулы водорода имеет вид подсистемы играет роль Рис. 21. (в атомных единицах) Здесь М — масса протона, г — координата электрона, + g- Я— координаты протонов (рис. 21). Ядра образуют медленную подсистему, а электрон — быструю. В обозна- чениях теории, развитой выше, примем за (х, |) га- мильтониан я1(г,д)^-4-дг- \ -~г ц-.....+4 Г_~'В г+'2"'В и за Н2 (£) гамильтониан 4 яг(Я) = -4дл
106 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ (конечно, 1/7? можно было бы перенести в Я2). Введем функции <pn (г, -R), удовлетворяющие уравнению Hitpn (г, R) = еп (7?) q>n (г, R). Они соответствуют собственным функциям электрона при фиксированном расстоянии между ядрами. Решение урав- нения Шредингера с гамильтонианом Н имеет вид = 2 CTXnv (Ж) Фп(Г, R), (2.43) ПУ причем функции %nv удовлетворяют уравнению |+ Sn (-Я)| Xnv (R) — ©nvXnv (R)- (2.44) Ядра молекулы колеблются около некоторого среднего положения. Эти колебания имеют малую амплитуду. По- этому для еп (7?) можно написать следующее приближен- ное выражение: 4 / d2e \ еп(7?)«Еп(7?0) +4- (^)д=Но-(Я - Ro)\ Подставляя это еп (7?) в уравнение (2.44), получаем урав- нение Шредингера для трехмерного осциллятора. Следо- вательно, колебательные уровни молекулы имеют вид ®nv = 8пг(7?о) + (v + со0. где ©о — частота классического осциллятора. Найдем зависимость и0 от массы молекулы. Из соот- ношения 4- M^B-BJ-^^^B-в,г вытекает, что ®0 1 (d2en\ М \d№)R~R' Так как в атомных единицах электронные уровни en ~ 1 d«8n и размеры молекулы 7?0 ~ 1, то — 1 и, следовательно, 1 ®о----т=- 0 Ум
5. БЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ 107 Поскольку частоты электронных переходов соэл 1, то мы видим, что <О0 ®ал- Оценим амплитуду колебаний ядер. В основном состоя- нии осциллятора средние значения кинетической и потен- циальной энергии совпадают: Т = U = Ео/2 (Ео — пол- ная энергия), т. е. 1 /d2e„\ 1 I w I 2 \dR2 / h=Ro • (R - Rtf 1 = — Так как o0 ~ UYM, to средняя квадратичная величина отклонения ядра от положения равновесия имеет оценку Покажем, что коэффициенты С"9 в выражении (2.43) для определяемые уравнением (2.42), можно вычислять методом последовательных приближений. Для этого оце- ним правую часть (2.42). Раскрывая коммутатор, получим члены следующего вида: 1 д^ Хпмфп <7фп' ~dR~dR / ’ 1 Д^ Хп^фп ЛП » ) ’ / 1 члены вида I Хгг/Рп производные функции <72х \ \ фп- равны нулю! . Оценим dR V(R- Ro)2 у Mx„v Поэтому из написанных двух типов членов самым большим будет первый: он порядка 1/т/М3. Итак, мы обосновали метод итераций в рассматриваемой задаче; параметр раз- ложения — 1/М3/*ю0 —Л/М'1*. Кроме колебательных уровней, молекулы имеют также вращательные уровни. Частоты этих уровней обратно пропорциональны моменту инерции молекулы, т. е. а^вращ 1/А/. Таким образом, электронные, колебательные и вращатель-
108 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ные частоты относятся как: ®вращ: ®кол* ^эл = 1 : М : Л/. Возбуждение ядерных дипольных уровней быстрой частицей. Рассмотрим задачу о возбуждении атомного яд- ра при пролете мимо него быстрой заряженной частицы. В данном случае быстрая подсистема (налетающая части- ца) имеет сплошной спектр, а медленная (атомное ядро) — дискретный. Найдем решение в предположении, что время пролета частицы мало по сравнению с существенными об- ратными частотами системы. Сначала получим общие формулы для применения адиа- батического приближения к задаче рассеяния. Введем собственные функции <рр (г, £г) гамильтониана быстрой подсистемы Hi = Tr + V (г, £г), где Тг — кинетическая энергия частицы, а V (г, £г) — ее взаимодействие с мед- ленной подсистемой; £г — координаты медленной, г — быстрой подсистемы. Таким образом, функции <рр удовлетворяют уравнению Н^р (г, It) = ерфр (г, ^). (2-45) Энергия частицы ер = рг!2М, т. е. не зависит от |г, в от- личие от случая дискретного спектра. Ищем решение (2.45), имеющее асимптотический вид: + (2.46) 1—юо Поскольку ер не зависит от £г, то уравнение для волновой функции медленной подсистемы (т. е. для ядра) будет таким же, как и без ер (только со сдвинутыми на ер соб- ственными значениями): Hz/,n (^i) = 0>nXn (^i)- Ищем решение задачи в виде = 2 (2л)3 причем коэффициенты Срп подчиняются уравнению (см. (2.42)) (соп — ^РоП») Срп* = — 2(2л)3 ) С^т •
5. БЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ 109 Это уравнение можно решать последовательными прибли- жениями. Пусть в начальный момент времени (t = —оо) система находилась в состоянии (р0, п0 = 0). Тогда в ну- левом приближении = Cgfpp^g. Согласно (2.46) имеем - Со &) + (ft, Ы Хо &)) = = Сп [ е^Хо &) + 2 (Хп/Хо) Хп^ • (2.47) \ п / Точное решение должно иметь асимптотический вид: Т‘ -> е^Хо &) + "^ 2 /п (ft) eip"rXn &) Г-*оо п Здесь импульс рп определяется законом сохранения энергии: Spn + = еРо + <в0. Пренебрегая изменением энергии частицы, получим Дрог Х-, 'F - ^Хо &) + — 2 A (ft) Хп &)• (2.48) Г—°° п Сравним с этим выражением асимптотический вид прибли- женного решения Из сравнения (2.47) и (2.48) на- ходим Со и амплитуды упругого и неупругого рассеяния: Со = 1, /о (ft) = (Хо (W I / (ft. Ы I Хо (^)), (2.49) /« (ft) = (хп (Ь) I / (ft, ^) I хо (L))- Используем полученные результаты для вычисления сечения возбуждения ядерных дипольных уровней быст- рой заряженной частицей. Кулоновское взаимодействие пролетающей частицы с нуклонами ядра имеет вид (Zj — заряд частицы, Z2 — заряд ядра): где d — дипольный момент ядра. Этот потенциал можно
110 гл. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ представить в виде кулоновского, но со сдвинутым на- чалом координат: TZ Z1Z2 ±d\' I 2* I Для этого нужно, чтобы величина а = | d/Z2 | была мала по сравнению с существенными г, т. е. по сравнению с прицельным параметром р: а р. Следовательно, волновые функции <рр будут кулонов- скими волновыми функциями со сдвинутым аргументом: Фр (г, li) = (Рр (г — -^d ) r(£i)- Выберем у (£г) так, чтобы <рр имела асимптотический вид (2.46): Фр(Л?Э -* (ехр \ip (г — 4-^)1 + fQ (О) Г • —Т*2- ехр 1Р г ~ id 0)т &>’ где /0 — амплитуда кулоновского рассеяния. Для совпа- дения с (2.46) следует взять у (£,) = eipd'Z!. Тогда Фр(^Л) + Г—*<» eipr Г I II 1 1 + — fQ (ft)ехр рр| г — d |+ ipd — iprj . гр, 1 , 1 dr Так как г —d\~г —-----------, то I Z2 | Z2 Г ,ЛРГ г 1 • Фр (г, h) -> eipr + — fQ (ft) ехр iqd у- т-*х> ' L . Р где q = р----г — вектор, характеризующий изменение импульса налетающей частицы при столкновении. Поэтому согласно (2.49) fn(ty = fQ (ft) (%n I ехр (igd-^) |x0) . (2.50) Здесь /Q — амплитуда кулоновского рассеяния.
5. БЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ 111 Заметим, что сумма сечений для всех возбуждений равна SI/п (й) Is = S(%о| ехр X X (\n | ехр (iqd ) | %0) I /Q (й) |2 = I /Q W l2> т. е. равна сечению кулоновского рассеяния. Если угол отклонения й мал (малый переданный им- пульс), то из (2.50) получаем формулу теории возмущений: /п(й)^/« (й) (Хп |-^^|хо) , (2-51) амплитуда возбуждения пропорциональна дипольному матричному элементу. Рассеяние протона на атоме водорода (перезарядка). Рассмотрим рассеяние протона на атоме водорода, когда скорость протона много меньше скорости атомного элект- рона. В противоположность предыдущему случаю здесь дискретна быстрая подсистема, а у медленной подсистемы непрерывный спектр. Гамильтониан системы имеет вид Н = Тт-I \ pi \ '-j + 4г " Ж А- |г-тд| г+тк| В разделе 2.4 мы рассматривали Л как заданную функцию времени. Теперь мы рассматриваем налетающий протон и атом водорода как две взаимодействующие квантовоме- ханические системы. Гамильтониан Н симметричен к перестановке налетаю- щей и покоящейся частиц (г—>- — г). Поэтому можно вве- сти симметричные и антисимметричные функции фп (»*, Л) и ф“ (г, Л). Если нуклоны находятся далеко друг от друга, то электрон может находиться около одного либо около другого протона, и, следовательно, фп“ (г, у=; [ф° (г — -1- Л^ ±Фп (г + 4“ Л)] ’ где в правой части стоят волновые функции атома водо- рода.
112 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ Предположим, что при сближении ядер не происходит пересечения термов. Тогда можно классифицировать их по тем состояниям, из которых они образовались. Будем считать, что сначала электрон был около про- тона с координатой В/2, т. е. его волновая функция име- ла вид ф=ф°. (г—4"^) • Гамильтониан медленной подсистемы равен Я2(7?) = -4-Дв, а его собственные функции находятся из уравнения [- ± Дл + es’a (Я)] (В) = Ер^п (В) и имеют асимптотический вид Хр’п(В) + Н—оо п В нулевом приближении решение задачи имеет вид (см. стр. 101) = dM (г, 7?) Хрт (В) + (г, В) xin (В). (2.52) Коэффициенты С„р и СпР определяются из асимптотиче- ского вида Т\ q£, (г-----з-В) 6^"-® + + [/1Ф^ (г - 4- R) + (г + 4- - (2-53) где /1 —амплитуда упругого рассеяния, а /2 — амплиту- да перезарядки. Чтобы обеспечить асимптотический вид (2.53), нужно считать в (2.52) р = р0 и п = п0. Тогда волновая функция (2.52) становится равной Тх = С’ф^ (г, В) Х‘р,щ (В) + Са<рап. (г, В) ХаР,п. (В)
6. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В СЛУЧАЕ БЛИЗКИХ УРОВНЕЙ ЦЗ и имеет асимптотический вид Тх -> (C'q>Snt + С“(Д) + 4- eiPofl (/<Cs<psnc 4- /аСа^). Н->ОО Л (2.54) Выражения (2.53) и (2.54) должны совпадать, т. е. нужно потребовать Cs = Са = -4 • Тогда из (2.54) находим /2' ~-—Мфп°v ~—R) + ^\r+~R)\ + + /а[ф°о (»* — ~(₽^(Г+_Г-Е)]} = 4"12) +мч(г+4-^)’ т. е. А = ^-а, А = (2.55) Таким образом, для нахождения амплитуды переза- рядки /2 и амплитуды упругого рассеяния /, необходимо вычислить амплитуды /5 и /а. Чтобы найти их, нужно ре- шить уравнение [-4-д«+с»а(д)]х^=ад“ с величинами е„а (/?), которые определяются из решения задачи об электроне в поле двух центров. В дальнейшем (стр. 168) мы найдем решение этой задачи в квазикласси- ческом приближении. 6. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В СЛУЧАЕ БЛИЗКИХ УРОВНЕЙ Рассмотрим систему с двумя близкими уровнями, на которую наложено возмущение (случай большего числа близких уровней внесет лишь алгебраические усложне- ния). Пусть возмущение достаточно мало, так что можно пренебречь примесью состояний с далекими энергиями,
114 гл. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ между тем как состояния с близкими энергиями смеши- ваются сильно. Решение уравнения Шредингера (Яо + Н') V = EW, где Н' — возмущение, следует искать в виде суперпози- ции состояний, соответствующих близким уровням: у = + ад, (2.56) причем функции Чг112 удовлетворяют невозмущенному уравнению W,2 = Коэффициенты Си С2 в (2.56) имеют одинаковый порядок величины. Найдем энергетические уровни возмущенной системы. Для этого запишем уравнение Шредингера в представле- нии Си С2: (Е - С1) С г = + Н’12С2, {Е — е2) С2 = Н21С1 -f- Н22С2. (2.57) Коэффициенты Clt С2 отличны от нуля, если детерминант системы (2.57) равен нулю, т. е. Е — ех — Нц — Я12 — Н2\ Е — gg — Н22 - 0. (2.58) Отсюда получаем ei + 82 + Ни 4- Н22 * Е (81 + е2 + Ни + Н’22У 4 (ех + Ни) (ез + Е22) + | Я1212. Обозначая 81 + Нц = е2 + Н22 = е2, окончательно находим Е = ± 4- V (ё1-^)2 + 4|Я;2|2. (2.59)
6. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В СЛУЧАЕ БЛИЗКИХ УРОВНЕЙ Ц5 В случае применимости обычной теории возмущений: | Н[г | << | ei — е2 |, из (2.59) получаем ₽ е!+Яи+е—, , 1^2 I2 ^)^82 + Я22--^-, 81 — ®2 £-(1) что и следовало ожидать. При Н' -* 0 величина Е(1) Ej, a E^-^Ez- Наоборот, в случае ег = е2 = е из (2.59) имеем Е==г + Н_к^ + \ни\. (2.60) Заметим, что если для какого-либо возмущения, за- висящего от параметра, Н12 #= 0, то уровни Е^> и Е<2>, как функции параметра |, не пересекаются, так как в (2.59)/(Гх - г2)2 + 4 | я;2 |2 > 0. Уровни энергии при этом имеют вид, изображенный на рис. 22. Частица в периодическом потен- циале. Рассмотрим, как изменяется движение свободной частицы при наложении периодического возму- щения V = Vo (eikx + e~ilcx). Рис. 22. Волновая функция невозмущен- ной задачи имеет вид Тр = eip*. Среднее значение V по любому невозмущенному состоянию равно нулю, а отличны от нуля лишь матричные элементы FP)P-s = FP,P+)C = Vo (длину ямы считаем равной!). В обычной теории возмуще- ний сдвиг энергетических уровней равен Ер — ер ”Ь г О I v о ер 8р-1Г 8р 8р+'с где ер = рЧ2М. Однако это выражение применимо лишь в случае Fo | 8Р — ър-к | , т. е. когда р не близко к ± к/2.
116 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ Если р к/2, то состояния Yp и Yp-j имеют близкие энергии, и волновую функцию частицы нужно искать в виде V = С^р + C2Yp_s (при р -> — к/2 Т = C^VP + ^VFp+it). Из (2.59) для собственных значений энергии получаем выражение: ер + SP-fe | 1/ ^8р eP-fc^2 । у2 (2.61) Выбор знака в (2.61) определяется тем условием, чтобы при I ер — Ёр-к I Vo энергия Ер стремилась к 8Р. Так как при р <Z.k/2 величина V(ер ер-л)2= I Ер ер-л | = = 8р-л- — 8р, а при р> к/2 У’(8р — 8p_fc)2 = 8р — Ър_К, ТО для р <jt/2 в (2.61) нужно взять один знак корня, а при р > к/2 — другой. Для Ер получается разрывная кри- вая, изображенная на рис. 23. При этом величина разрыва равна Е*/2+о Eji/2-q = 2V0- Таким Ьбразом, при на- ложении периодического по- тенциала в спектре свобод- ных частиц появляется щель. Отсюда понятно возникновение запрещенных зон в метал- лах для электронов (правда, там нужно рассматривать трехмерный случай). Из (2.61) следует, что — | = 0, т. е. групповая скорость частицы на краю зоны (р = к/2) равна нулю. Это соответствует тому, что на краю зоны волновая функ- ция частицы есть стоячая, а не бегущая волна. Штарк-эффект в случае близких уровней. Рассмотрим систему с двумя близкими уровнями, на которую наложе- но однородное электрическое поле V (х) = — $х. Опре- делим, как изменяется энергия системы в этом поле.
6. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В СЛУЧАЕ БЛИЗКИХ УРО НЕЙ 117 Среднее значение V по любому состоянию с определенной четностью равно нулю (дипольный момент dx = § Т* (г) хТх (г) dr при замене переменной интегрирования г — г перехо- дит в —d^ т. е. dx = 0). Для энергетических уровней Ell2 системы в поле получаем: Elt 2 = ± + | Г1212. (2.62) Рассмотрим, например, состояния 2si/t и 2pt/l атома водорода. Они обладают одинаковой энергией (если не учитывать лэмбовского смещения). Расщепление такого дублетного уровня при наложении электрического поля линейно по полю и равно Е2 — Ег = 2 | V121. Вычислим У12. Для уровня 2sVj волновая функция равна Т?20 (г) —г=-, а для уровня 2щ/г равна Т?21 cos 0. Rn) (г) — радиальные кулоновские функции. Следовательно, v12 = - 8 (R20[ Г | Яг1) cos20 dQ = - (R201 г I R21). Матричные элементы дипольного момента для кулонов- ских радиальных функций табулированы. В частности, (Я201г|Т?21) = 3/3. Следовательно, | 7]21 = 3$. Итак, расщепление дублета 2s»/2, 2р,1г в слабом элект- рическом поле в атомных единицах равно 6<о. Заметим, что уровень 2р/2 имеет ту же четность, что и 2рчг. Поэтому = 0. Следовательно, эти уровни в нашем линейном по полю приближении не рас- щепляются. Для их расщепления нужно рассматривать суперпозицию трех состояний — 2s> г, 2щ/„ 2р^г. Для всех других атомов, кроме атома водорода, рас- щепление термов квадратично по полю: Е = Ео + -1- а<о2. Действительно, уровни сложных атомов не вырождены относительно орбитального квантового числа I, т. е. нет
118 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ состояний с близкими энергиями, которые перемешивались бы в слабом электрическом поле. Изменение времени жизни состояния 2ву2 атома водо- рода во внешнем электрическом поле. В атоме водорода состояние 2si/, имеет большое время жизни. Действитель- но, переход 2si/2 lsi/2 может происходить лишь с ис- пусканием двух у-квантов. Время жизни состояния 2si/2, по отношению к этому переходу порядка 1/7 сек. Кроме того, возможен еще дипольный переход 2л;-2 -+2рчг (энергии обоих состояний различаются из-за лэмбовского смещения). Оценим вероятность этого перехода. В (1.3) мы нашли, что вероятность дипольного перехо- да w ~ со3/с3, где со — частота перехода. Разность энер- гий со = 2?2si/j — Е2Р1!г имеет порядок 1/с3 (см. стр. 71). Следовательно, w ~ 1/с12. В атомных единицах с ~ 137, следовательно, w ~ 10*24, т. е. время жизни состояния 2si/2 по отношению к переходу 2s>/, ->-2pi/2 порядка 1024тат, где тат — атомное время ~ 10-1г сек. Итак, рас- сматриваемое время ~ 107 сек. Мы видим, что переход 2sv2 lsi/2 все же вероятнее, чем переход 2si;2 ->-2pi/2. При наложении внешнего поля состояние атома будет суперпозицией состояний 2sJj2 и 2/л/г. Но как только атом перейдет в состояние 2/ь/2, он моментально (за время т ~ 10-10 сек) совершит дипольный переход: 2/fy, ->ls>/2. Мы видим, что время жизни состояния 2л/г резко изме- няется при наложении электрического поля. Итак, будем считать V = С1е_’Е1(,ф1 + C2e~ie2tty2, где индекс 1 соответ- ствует состоянию 2si/2, а индекс 2 — состоянию2/?1/2. Для величин С\, С2 имеем уравнения = И12С2ехр [i (gj — е2)П, iC2 = — i —— С2 V2i^i exp I i (^i ь2) • Здесь V = — $х. Матричные элементы Vn = V22 = 0. Затухания состояния 2si/, со временем ~ х/7 сек не учи- тываем. Даже в отсутствие внешнего поля С2 не является по- стоянной: С20) ~ ехр (—tlx) из-за взаимодействия с по- лем излучения. Здесь т имеет порядок времени жизни дипольного состояния (т ~ 10-10 сек). считаем постоян- (2.63)
6. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В СЛУЧАЕ БЛИЗКИХ УРОВНЕЙ Ц9 ной, поскольку время затухания состояния 2si/2 очень велико. Обозначим С = С2 ехр (ie12i), где е12 = ех — е2 — лэмбовское смещение (е12 ~ 1/т). Тогда из (2.63) имеем i'C], = VMC, iC = У2А - (e12 + i/т) C. (2.64) Исключая Cj, получаем C + (-+ v) C + ।V^I2C = °’ Ищем решение уравнения в виде С = Aeia>l. Получаем ^-(о(4+е12)-|У12|2=0, (2.65) что дает два комплексных корня для со. В начальный момент времени С\ = 1, С = 0. На- чальное условие для С будет выполнено,если искать С в виде С = а [ехр (ico(1)Z) — ехр Из (2.64) на- ходим Р __ iC + (8j2 + i/т) С _ 01--------VTi = {( V + — со®) ехр (ico®£) + + (----1--е12 4- со®) ехр (гсо®£)} . Величина а определяется из условия Сх (t = 0) = 1: а = У21 (со® — со<1))-1. Из уравнения (2.65) найдем частоты со®, <о(2>: ®=4- (+4) ± 1/^4 (е^+4-)2+1У^212- (2-66) Рассмотрим случай | И12 | 1/т. Тогда из (2.66) V2 / ®(1) ~ 6i2 + , СО® 12 t - 812 ) . 812 + т2
120 гл. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ^ВОЗМУЩЕНИЙ Следовательно, состояние 2si/s имеет в этом случае очень большое время жизни ~1/ | Р1212 т. Рассмотрим теперь противоположный предельный случай, когда наложенное поле столь велико, что I С12 | >> 1/т. Тогда <>«» » 4- + 4 ) ± I | ± (г,. + 4- )’ и время затухания Сг становится равным по порядку ве- личины времени жизни дипольного состояния т. Итак, время жизни состояния 2si/s атома водорода чрезвычайно сильно (на девять порядков) уменьшается при наложении электрического поля порядка $------- 109 _с-з_22_б_500в.
ГЛАВА 3 КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В этой главе рассматривается приближенный метод решения уравнения Шредингера для того случая, когда длина волны частицы мала по сравнению с расстоя- нием, на котором существенно изменяется потенциал. Простейшие примеры такого приближения были рассмот- рены в 1.1. Поскольку переход к малой длине волны соответствует переходу к классической механике, квазиклассическое приближение позволяет проследить связь классической и квантовой механики. Особенно отчетливо эта связь видна в принадлежащей Фейнману пространственно-вре- менной формулировке квантовой механики *). Согласно этому подходу волновая функция в точке (х, 4) определя- ется из волновой функции Т (х0, 40) умножением на ехр(425/с) (5л, 52, .. Sa, . . .— функции действия для всех к траекторий, соединяющих точки (х0, 40) и (х, 4)), и интегри- рованием по я:0. Поскольку возможные траектории обра- зуют непрерывное множество, в показателе экспоненты стоит интеграл по всем возможным траекториям (конти- нуальный интеграл). Пусть имеется классическая траектория, соединяю- щая точки (х0, 40) и (х, 4). Так как функция действия мини- мальна вдоль классической траектории, то вклад пучка траекторий, прилегающих к классической, дает наимень- ший фазовый множитель. Между тем траектории, идущие вдали от классической, сильно осциллируют и погашают ДРУГ ДРУга- В результате в континуальном интеграле эффе- ктивно остается трубка траекторий, прилегающих к клас- сической, и поэтому Y (х, t) = § А (х, х0) eiS<^x’ х°’ *•> Y (х0,40) dx0, *) Ф. Ф е й н м а н, А. X и б с, «Квантовая механика и ин- тегралы по траекториям», «Мир», 1968 г.
122 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ где So — действие, вычисленное по классической тра- ектории. Множитель А определяется эффективной шири- ной трубки участвующих траекторий. Для стационарной задачи So (х, i; х0, t0) = So (ж, ж0) — — E (t — to) и, следовательно, так как So (ж, т0) = S0 (х, хг) + -|- So (жц х0), где хг — произвольная точка на траектории, T (т) ~ а (х, х±) eiSo(x’“1). Именно такой результат получается и в обычной фор- мулировке квантовой механики. Этот результат обобщается на случай траекторий, для которых действие S комплексно — роль «классической» иг- рает траектория, вносящая вместе с прилегающими тра- екториями наибольший вклад в континуальный интеграл. Функция действия на такой траектории, как и в слу- чае вещественного б1, подчиняется уравнению Гамильто- на — Якоби. В частности, при движении под потенциаль- ным барьером S принимает мнимые значения. После такого обобщения квазиклассическое приближение дает разумные результаты даже в тех случаях, когда условие применимости этого приближения казалось бы не выпол- нено. С примером такого рода мы столкнулись при полу- чении ассимптотического выражения для Г-функции. Выражение, полученное в пределе ж^>1, оказалось с хорошей точностью справедливым при х = 1. Аналогично этому стационарное решение уравнения Шредингера для основного и первого возбужденного состояний достаточ- но хорошо описывается квазиклассическим приближением, хотя для формального выполнения этого приближения требуется, чтобы число узлов п волновой функции было бы много больше 1. Причина этого ниже выясняется — параметром разложения является не 1/м, а величина | = 1/л2м2, которая достаточно мала уже при п = 1. В некоторых задачах (надбарьерное отражение, воз- буждение системы пролетающей частицей) возникают ин- тегралы от сильно осциллирующих функций. Эти интегра- лы вычисляются методом перевала и обычно определяются окрестностью ближайших к вещественной оси особых то- чек потенциала. Ниже выясняется, в каких случаях эти интегралы не будут экспоненциально малы. Вычисления использу- ются, как повод для более подробного изучения ме-
1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 123 тода перевала. Изучается задача о вылете частицы из по- тенциального барьера. Вопрос сводится к задаче о рас- плывании пакета, описывающего частицу, находящуюся в начальный момент времени внутри барьера. Показано, что вероятность найти исходную систему нераспавшейся через время t экспоненциально падает со временем. Возникающие при расчете дополнительные слагаемые, неэкспоненциально зависящие от времени, определяются расплыванием пакета медленных частиц, образовавшихся в процессе приготовления исходной системы, и не имеют отношения к процессу распада. Для лучшего понимания квазиклассического прибли- жения в 3-мерном случае читателю следует обратить вни- мание на вычисление распределения заряда в атоме и на квазиклассическую задачу рассеяния. 1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА Напишем уравнение Шредингера в виде <р" + /с2 (х) ф = 0, (3.1) где /с2 (х) = 2 [Е - V (х)]. Пусть потенциал V (х) достаточно медленно меняется с изменением координаты, так что М>1, (3.2) где I — длина, на которой существенно меняется V (х). Тогда приближенное решение задачи имеет вид (см. стр. 28) X ф(я) = у==ехр[+^ Ыаф (3.3) Это относится к случаю Е V, когда к вещественно. В случае Е < V решение будет содержать растущую и за- тухающую экспоненты, т. е. X Ф (ж) = А ехр [+ | к | dx^, (3.4) Xi где А = а/|/ | к\. Мы получили первое приближение в
124 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ разложении по степеням величины l/(/cZ)2. Можно получить и следующие приближения. Оказывается, что получаю- щийся при этом ряд по степеням параметра l/(/cZ)2 асимп- тотический, а не обычный. ЗАДАЧА Показать, что при приближенной оценке производной от квазиклассической функции нужно дифференцировать лишь экспоненту. Асимптотические ряды. Напомним, что такое асимп- тотический ряд. Пусть п -г м=0 2 — частичная сумма ряда. Пусть при фиксированном z и п —оо величина sn —> 00, но при фиксированном п и z —оо сумма sn все лучше и лучше аппроксимирует не- которую функцию / (z), т. е. lim zn [sn (z) — / (z)] = 0. (3.5) Z-+-CO Здесь z оо в заданном интервале arg z. Тогда говорят, что sn есть асимптотическое представле- ние / (z). Это не есть ряд в обычном смысле этого слова, так как sn расходится. Но из него можно извлечь сведения о функции / (z), так как при z 00 он хорошо представ- ляет эту функцию. Иными словами, сходящийся ряд стремится к / (z), когда п —► оо для данного z, в то время как асимптотиче- ский ряд стремится к / (z), когда z —00 для данного п. Построим sn (z) по заданной / (z). Величина з0 равна а0, следовательно, а0 = / (оо). Величина $х = а0 + ax/z, тогда lim z (а0 + -7- — / (z)) = 0, т. е. ях = lim z [/ (z) — а0] = lim z [/ (z) — /(00)]. Аналогичным образом находятся все коэффициенты ап.
t. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 125 Однако восстановить обратно функцию по ее асимп- тотическому представлению нельзя. Например, пусть / (z) = e~z, тогда а0 = 0, «х = lim ъе~г = 0, аг — а3 = . . . = ап = 0. г—*оо Следовательно, весь асимптотический ряд равен нулю для функции е~2. Итак, функции / (z) и / (z) + е-2 имеют оди- наковые асимптотические представления. Обозначим z = kl. Оказывается, что квазиклассиче- ское решение фкв.кл (я) ~2 —;— (3-6) v=0 z есть асимптотический ряд, т. е. ряд, расходящийся при п —оо. Однако при z —оо величина а0 (х) сколь угодно хорошо представляет функцию ф (х) (точное решение). Пусть, далее, z фиксировано. При п —>-,оо квазикласси- ческий ряд расходится. Следовательно, при любом z есть оптимальное число членов п (z), которое наилучшим образом описывает функцию ф (х). Можно показать, что оптимальное число членов квазиклассического приближе- ния п kl. Мы будем поль- зоваться только нулевым чле- ном этого ряда. Сшивание квазиклассичес- ких функций. В этом разде- ле мы найдем, как нужно сши- вать квазиклассическую вол- новую функцию ср в области, 1 доступной для классического ® движения, с ф в запрещенной Рис. 24. области. Для определенно- сти предположим, что потенциальная Энергия частицы имеет вид, изображенный на рис. 24 (начало координат взято в точке, где V(ж) =Е). Квазиклассическое решение в области II (классиче- ски доступной) согласно (3.3) имеет вид X ср = ехр \ i\kdx у k \ J о х ехр (— i \ к dx у к \ J о (3-7)
126 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ а в области I (классически недоступной) о о ф = WTех₽ G'к' Н+ 7Жехр к ।dx) (3,8) Если бы квазиклассическое решение было аналитиче- ской функцией х в окрестности х = 0, то для нахождения соотношений между а1; а2 и Ьг, Ъ2 нужно было бы аналити- чески продолжить это решение из II в I (при этом экспо- ненты в (3.7) просто перешли бы в экспоненты (3.8)). Правда, по вещественной оси нельзя было бы двигать- ся, так как в окрестности х = 0 квазиклассика неприме- нима (& (0) = 0, поэтому условие kl 1 не выполняется). Эту трудность можно было бы преодолеть, обойдя точку х = 0 в комплексной плоскости по дуге достаточно боль- шого радиуса (где применима квазиклассика). Однако такое аналитическое продолжение дает, как мы увидим, неправильный результат. Оказывается, что при таком обходе обязательно пере- секаются линии (они называются линиями Стокса), где портится аналитическое продолжение. Это явление ха- рактерно для асимптотических разложений. Мы покажем, как следует находить аналитическое продолжение в по- добных случаях. Другой возможный путь состоит в том, чтобы искать точное решение задачи вблизи х = 0, считая потенциал прямолинейным. Это решение описывается так называе- мой функцией Эйри. Затем нужно сшить точное решение с квазиклассическим при х > 0 и х < 0. Разумеется, так можно поступать только зная, что квазиклассическое приближение становится применимым на расстояниях от точки поворота, малых по сравнению с расстоянием, на котором потенциал существенно откло- няется от прямолинейного. Покажем, что при большом па- раметре квазиклассичности (kl 1) это действительно так. Разложим для этого потенциал V (х) вблизи х = 0 в ряд: V (х) ~ Е + V (0) х. Тогда импульс к (х) = = У — 2V (0) х = а У~х. Оценим величину а:
1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 127 где к0 — У2л’, а I — длина, на которой существенно ме- няется потенциал V (ж). Итак, в окрестности точки х = О величина к (х) — кй JL.. Чтобы квазиклассическое при- ближение было применимо, нужно отойти от точки х = О на такое расстояние, чтобы d (4-^ I dx<^ l или ^1—- 1 • \ к / / к0 У х3 i Отсюда находим: х^> 1/(к01)г1>. Так --------- как fc0Z>l, то можно выбрать та- кое хг, что / 1 / ?w/ тт „ ГИС. На расстояниях ~ хг, с одной сторо- ны, уже годится квазиклассическое приближение, а с дру- гой,— потенциал все еще можно считать прямолинейным. Сшивка с помощью функций Эйри для потенциала, изображенного на рис. 24, имеет вид *) Сейчас мы получим эти соотношения, не прибегая к функциям Эйри. Выберем радиус обхода р порядка (рис. 25). Тогда можно пользоваться квазиклассическим приближением и в то же время считать потенциал прямо- линейным. Так как при этом X к (х) = ах1/2, то к dx = -у ах*11. ________________о *) Л. Шифф, Квантовая механика, ИЛ, 1959.
128 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В комплексной плоскости X С 2 / 3 \ х = pei!₽ и \ к dx = -5- ар’/! ехр ( -=- iq>). V ** \ A f о Поэтому X -у=- ехр i \ kdx — Vk L J J = у-e ’ 4 exp ap3/> [i cos -|~q> — sin . (3.10) По мере обхода контура до тех пор, пока <р <; 2л/3, sin ®/2 ср положителен, а выражение (3.10) содержит зату- хающую экспоненту. Если ф^> 2л/3, то (3.10) содержит рас- тущую экспоненту. Как только появляется растущая экспонента, все слагаемые, содержащие убывающую экспоненту, не должны учитываться, поскольку квази- классическое приближение, будучи асимптотическим пред- ставлением, имеет по параметру квазиклассичности сте- пенную (~ l/Zc2Z2), а не экспоненциальную точность. Поэтому аналитическое продолжение позволяет найти коэффициент только при растущей экспоненте. Получаем х 0 —U-exp I П к dx---£-1 —» —^=ехр | к | dx \. (3.11) Vk Lj 4J U1 J При этом мы потеряли слагаемое, экспоненциально малое по сравнению с правой частью (3.11). При обходе точки х = 0 снизу функция (3.11) перехо- дит сначала в растущую экспоненту, а затем после пере- сечения линии — в убывающую. Потерянная из-за неточности квази- классического приближения в области —2л/3<; ф< 0 экс- поненциально малая добавка после перехода в область —n<Z ф< —2л/3 превращается в экспоненциально боль- шой член, который таким образом теряется. Следователь- но, таким путем мы не можем получить правильное зна- чение коэффициента при убывающей экспоненте.
1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 129 Как его получить? Предположим, что в классически недоступной области (при V Е) есть только затухающая экспонента: 1 >__ехр | к | dx (3.12) X Общее решение при V < Е имеет вид ехр /Л- X к dx — г<рг о Ci —r^ ехр Vk о Найдем Сг, С2 и <рх, ф2. Для этого продолжим аналити- чески (3.12) в область х > 0. Аналитическое продолжение через верхнюю полуплоскость имеет вид о -г__ехр — \ I к I dx —» Vim ч г * 1 J ехр |ьл/4] Vар1'2 * * 5 ехр (гф/2) г 2 / 3 ехр -я- ар’М sin -д- <р — i cos I о \ Z При <р = 0 получаем второе слагаемое (3.13), причем ф2 = = я/4, С2 = 1. Аналитически продолжая через нижнюю полуплоскость, мы получили бы первое слагаемое (3.13) со значениями Ф1 = Фа = rt/4, = С2 = 1. Каждый раз одно из слагаемых теряется из-за экспонен- циально малой ошибки в той области, где функция экспо- ненциально велика. Таким образом, имеем 0 х —4=-ехр Г — I к I dx\ —> —cos (? kdx-- /|Л| FL J 1 J Vk \Л 4, * х 0 в согласии с (3.9). Условие квантования. Квазиклассическое решение уравнения Шредингера в классически доступной области (х1 < х <Z х2; рис. 26) можно записать двумя способами: 5 А. Б. Мигдал
130 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ один раз — сшивая осциллирующее решение с затухаю- щим в точке Ху, а другой раз — в точке х2. Требование совпадения этих двух функций и даст нам условие квантования. Первое из решений имеет вид ©1 = —7-r-COS v / к X к dx— СуЛ X, где СуЛ — фаза, которая возника- ет при сшивке с затухающей экс- понентой для х < Ху. В тех слу- чаях, когда потенциал в окрестности точки Ху имеет ли- нейный ход, получается, как мы видели, Су = 1/4. Второе из решений имеет вид ф2=7ТСО8(^ X Условие совпадения решений дает -Ха J kdx = (п + Су + Са) Л (3.14) Х1 (при этом dy = а2 (—1)п). X Нетрудно видеть, что cos kdx— Сри) проходит через Х1 нуль п раз, т. е. п — число узлов волновой функции в ин- тервале [Ху, х2]. Проверим правило квантования (3.14) (так называемое правило квантования Бора) на примере одномерной пря- моугольной ямы с бесконечно высокими стенками. Так как волновая функция должна обращаться в нуль как на левой, так и на правой границах, то Су = С2 = 1/2. Получаем Ха kndx — knL = (n 4-1) л, Х1 £п = 4-/с2п = ^(п + 1)2, (3.15)
1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 131 где L — длина ямы. Наинизшему состоянию соответству- ет число узлов п = 0. В наиболее частом случае, когда потенциал имеет ли- нейный ход как вблизи xlt так и вблизи ж2, получаем пра- вило квантования k'dx = (п +"4”) (3.16) Х1 Мы увидим ниже (стр. 155), что применение квазиклас- сического приближения для радиальной кулоновской функ- ции при I = 0 дает Сг = 3/4, С2 = 1/4, а при I 0 CY = С2 = 1/4. ЗАДАЧА Показать, что для потенциала, изображенного на рис. 27, условие квантования имеет вид Точность квазиклассического приближения. Единствен- ное приближение, которое мы делали при выводе наших формул, состояло в отбрасывании слагаемого А" Л//2 1 Тм" лм (*/)2 • Для оценки kl заметим, что \ к dr — kl — пл, где п — число узлов. Следовательно, квазиклассическое приближение справедливо с точностью до 1/л2п2 (а не 1/п). Именно поэтому в правиле квантования Бора закон- но сохранять добавку 1/2 к числу узлов п, которая пред- ставляет собой поправку ~ 1/п. Такова относительная точность всех неэкспоненциаль- ных выражений. Для волновой функции, содержащей ехр S'dxj , относительная поправка порядка i SS'dx — Аа i — i —ттг I — -г-.. При вычислении матричных элементов Alt til 5*
132 ГЛ, 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИВЛИЖЕНИЕ (фп , Уфто) ДДЯ ФУНКЦИЙ <р0 И фъ МЯЛО ОТЛИЧАЮЩИХСЯ ПО числу узлов п, т, поправки ф0 и частично сокращают- ся, и неточность вычисления матричного элемента будет 1 п — т kl п Нормировка квазиклассических функций. Существен- ный вклад в нормировочный интеграл внесет лишь область х1 < х < х2 (см. рис. 26), так как вне ее волновая функция экспоненциально затухает. При х± <С х <С х,г волновая функция X Ф„ = у=со8($Ых--£), Х1 следовательно, | фп |2 dx = 1 cos2 Ф dx, где X ‘ Ф = к dx — 4- . Х1 При Е = Еп волновая функция <рп имеет п узлов в области [яр ж2], так как § к dx изменяется от нуля до Xi (п + 1/2) я и cos Ф будет п раз обращаться в нуль. Если п велико, то фаза Ф — большое число. Далее, cos2 Ф — 1 1 = — -у cos 2Ф. Второе слагаемое много раз изменяет знак Z и и поэтому внесет малый вклад. Следовательно, а? Г dx__а? Т ____, . Х1 где Т — период классического движения. Итак, 2 4 2 а2 = тр = — ®, 1 л где со — частота колебаний в соответствующей классиче- ской задаче. Таким образом, __ X Фп = ДйгС0!3 ($ kdx ~ Д' (ЗЛ7) Х1
1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 133 ЗАДАЧА Оценить вклад в нормировочный множитель от клас- сически недоступной области. „ /дУ\-Ч, Ответ. (£> Н—) \dxJv=E Принцип соответствия. Из правила квантования (3.9) дифференцированием по п получаем X» я _ dx __d&n л dn j к dn tn' Х1 откуда ^2 = (0. (3.18) dn 4 ' Это соотношение называется принципом соответствия: при больших квантовых числах разность соседних уровней энергии равна классической частоте движения. Средняя кинетическая энергия. Выразим среднюю ки- нетическую энергию частицы при квазиклассическом дви- жении через ее полную энергию: Т = у <р*пр2Фп(/а: = — у <р’п^5 Фп dx ж у qnk2qndx. X Дифференцирование i/V^k в <рп = —= cos к dx — _ х> вносит малый вклад в Т. Используя принцип соответст- вия, получим Т = -iS к2~ cos2Фdx = -4-кdx = 2 J к 4 J Xi Xi = т("+т)” = т(’! + 4)г- <зл9> В случае кулоновского потенциала при I = 0 условие квантования не содержит 1/2 и Если принять во внимание теорему вириала
134 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЯСЕНИЕ то из (3.19) можно найти собственные значения энергии в квазиклассическом случае. Например, для осциллятора г и = 2Т, т. е. Т = V- Следовательно, ах [ , 1 \ С?8П \П + 2") ТТг ~ Решая это уравнение, получим еп = С (п + 1/г)- Из прин- ципа соответствия следует, что С = со — частоте класси- ческого движения, следовательно, еп = (п + 1/2) со. Далее, для кулоновского потенциала при Z = О T = = en = f — = 2 2 dn 1 п 2 dn Решение этого уравнения есть еп = С/пг. Мы видели (стр. 36), что из принципа соответствия следует С = —1/2. Связь квазпклассических матричных элементов с ком- понентами Фурье классического движения. Свяжем мат- ричный элемент f срп(7 (ж) q>n-dx одномерной задачи с ком- понентой Фурье от классической величины U [я (<)] (например, дипольный матричный элемент Ср^СРп^Ж можно связать с компонентой Фурье классической коор- динаты движения х (t)). Пусть п и п' не очень сильно отличаются друг от друга, именно, I П.' - п I 4 -1-----n^>i, п О>1. Тогда матричный элемент U пп' ф* (7 ffn'ldx = апап> COS Фп COS Фп' dx U lC0S — ®п') + C0S (Ф" Ф«')] dx 2к ' Так как Фп и Фп- велики, то второе слагаемое в подинте- гральном выражении можно отбросить из-за сильной ос- цилляции cos (Фп + Фп<). Следовательно, 2 *п2 Unn> = 5 \ и (х) cos (Фп - фп,) . Хп1
1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 135 Так как Жп1 Жп1 ТО Т/2 ГТ 2 с гт , ,.4, 2л (га — га') t J Unn’ = — \ U [х (/)] COS- т dt. О Итак, матричный элемент величины U (ж) в квазикласси- ческом приближении равен фурье-компоненте величины U [я; («)]. Критерий применимости теории возмущений для рас- чета не слитком малых величин. При возмущении п-го состояния дискретного спектра критерий применимости теории возмущений имеет вид Н'<^Епт, где И' — матричный элемент возмущения, а Епт — =Еп— Ет. Здесь Еп и Ет означают ближайшие уровни, для которых матричный элемент Нпт не мал. Так как г* dn ~ п ' где п — число узлов волновой функции, то это условие сводится к В квазиклассическом случае п Js> 1, и это условие мо- жет не выполняться. Покажем, что для вычисления не слишком малых величин его можно заменить более мягким условием: ^<1. (3.21) Для доказательства этого утверждения рассмотрим матричный элемент Unm — (<pn | U | <рт). Пусть U (х) — плавная функция. Тогда Unm 0, лишь когда п и т мало отличаются друг от друга (иначе у подинтегральной
136 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ функции будет много узлов). Воспользовавшись квазиклас- сическими волновыми функциями, получаем ипт«\и(ж) -£== {cos(Фп- Фт) + cos(Фп+ Фт)}. J У кпкт (3.22) Второе слагаемое в подинтегральном выражении для Unm осциллирует (и + т) раз, поэтому его вкладом можно пре- небречь. Пусть теперь к потенциалу V (х) добавляется малая величина Н' (р). Так как кп = У 2 [Еп — V (ж)], то Д*п = /2 [En-V(x)-H'(x)] - /2 (^п-7(ж)] ~ , лп следовательно, kknlkn ~ Н'/й£ ~ Н' /Еп, если V не близ- ко к Еп (иначе квазиклассика неприменима). Следова- тельно, условие ^кп!кп<^ 1 эквивалентно Н' 1Еп<^_ 1, т. е. изменением к можно пренебречь при выполнении условия (3.21). X При вычислении фазы Фп = kndx-----этого нельзя ^пх X делать, так как 6ФП~ \ 8кпdx~\-7r- kndx — п, где п — J •) -^п Хп1 число узлов. Поэтому условие 6ФП<^1 означает 1; отсюда и возник критерий теории возмущений. Однако мы видим, что для вычисления величин, содер- жащих Фп — Фт, при | п — т | ~ 1, изменение раз- ности фаз имеет порядок 6(ФП —Фт)~ ^-(п —т) — ^- . ^п Следовательно, изменение больших матричных элементов Unm при возмущении потенциала на величину Н' (х) определяется условием Н'!Еп<^. 1, что и нужно было по- казать. Если | и — т | не мало, то изучаемый матричный элемент мал из-за осцилляций cos (Фп — Фт). Выясним, как изменяется квазиклассическая волновая функция Т = AeiS при добавлении малой величины II' (ж)
1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 137 к потенциалу V (х). Изменение А определяется величиной НЧЕ, поскольку А ~ S./Y к, а &к/к ~ Н'/Е, как уже бы- к dl, поэтому 6S — п -& , так что 6S может быть и больше 1, хотя Н'/Е 1. Изменение Т при добавлении Н' равно: T + 6’F« YeiSS^ Техр^^) . Возмущение, вызываемое деформацией ядра, не удов- летворяет критерию (3.20), но критерий (3.21) выполня- ется. В этом случае для не очень малых величин можно пользоваться теорией возмущений (стр. 84). Вычисление матричных элементов в случае сильно осциллирующих функций. Предположим, что требуется найти матричный элемент СО 1= § Т1(ж)/(ж) Т2(ж)йж, —оо где / (х) — медленно изменяющаяся функция, не имеющая особенностей вблизи вещественной оси. Пусть состояния 1 и 2 сильно отличаются по энергии и, следовательно, под- интегральная функция сильно осциллирует. Матричные элементы такого типа возникают в задаче о возбуждении системы пролетающей частицей. Мы видели при рассмот- рении далеких коэффициентов Фурье, что эти матричные элементы экспоненциально малы. Как будет показано, во многих случаях матричный элемент определяется по- ведением Ч\, Т., вблизи особой точки потенциала в ком- плексной плоскости х. Вблизи этой особой точки квази- классическое приближение неприменимо, и для получе- ния количественного результата требуется сшить точное решение вблизи особой точки с квазиклассическим вдали, и только после этого применять метод перевала, которым мы будем ниже пользоваться. Однако такое уточнение повлияет лишь на численный множитель в предэкспонен- циальном выражении. Показатель экспоненты и порядок величины предэкспоненциального множителя могут быть найдены и с помощью квазикласснческого приближения. С аналогичным обстоятельством мы столкнемся ниже в за- даче о надбарьерном отражении.
138 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Итак, возьмем функции Tj, Т2 в квазиклассическом приближении и постараемся использовать метод пере- вала (Ландау, 1932). Будем считать функции ¥2 вещественными и нормированными на единичную ампли- туду при х ->'оо Т1,2Ж>7 V ’ “1,2 Точка х = а112 соответствует условию ЕЪ2 — F112. Разо- бьем функцию на два комплексно сопряженных слагае- мых ЧД’-, соответствующих асимптотическим выражением Tt ~ eiS‘, ~ e-iSl. Матричный элемент I определится как сумма интегралов 7+ -j- 7". Если Ег >> Е2, то при вы- числении 7+ можно деформировать контур в верхнюю по- луплоскость, а при вычислении 7~ — в нижнюю. Дейст- вительно, при х -> г£ функция ехр IS1 ->ехр (— ]/г2Е1^), тогда как растущее слагаемое в Т2 содержит ехр У2Е2В- Найдем интеграл 7+. Как мы видели на стр. 128 в верх- ней полуплоскости имеем Z При вещественном z берется положительный знак кор- ней. Выражение для 7+ принимает вид /+ = ^2 Г ехр ф (z)) 4 •> 7 (V1 - El) (V2 - £2) где Ф(г) = jj /2 (Fi - ЕД dz - J /2(F2 — E2)dz. z z Для применения метода перевала следует найти бли- жайшую к вещественной оси стационарную точку (точка экстремума показателя экспоненты) и затем провести че-
1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 139 рез нее кривую постоянной мнимой части показателя экспоненты. Вдоль этой кривой, как это легко видеть из соотношений Коши, вещественная часть показателя убы- вает в обе стороны от стационарной точки. Следует убе- диться, что контур интегрирования можно совместить с кривой постоянной мнимой части, не задевая особых то- чек (в противном случае придется добавить еще интегралы по петлям, обходящим особые точки). После такой дефор- мации контура значение интеграла определяется обла- стью интегрирования, прилегающей к стационарной точке, и в простейшем случае сводится к Гауссовому ин- тегралу. /-1 ^Ф г. Стационарная точка определяется соотношением = О или Vv^-E^ = Vv2- e2. Предположим, что обе Т-функции соответствуют дви- жению в одном и том же потенциале = V2 = V. Тогда стационарная точкг z0 совпадает с точкой, где V (z0) = оо. Благодаря этому обстоятельству процедура применения ме- тода перевала несколько изменяется. Предположим, что z0 есть полюс V, т. е. V = A/(z — z0). Показатель экспо- z-»z0 ненты вблизи стационарной точки имеет вид Z Ф (z) = Ф (z0) - /2“ (/У - - ]^V-E2 ) dz ~ ~ Ф (z0) Н--(z — z0)’/l. 4 ' 1 3 /2 VA V 0/ Точка z = z0 является точкой ветвления функции Ф (z). Чтобы сделать Ф (z) однозначной, проведем разрез от z = z0 до z — гоо. При Ег Е2 функция Ф (z) име- ет отрицательную вещественную часть и ехр Ф экспо- ненциально убывает при Imz-> оо. При больших г, Ф (z) i (V2Ex- /2Ё2) z и начало и конец кривой Im Ф = const идут параллельно мнимой оси. В точке z = z0 кривая постоянной мнимой части имеет излом. Действительно, рассмотрим сначала случай, когда вычет А — положительное число (например, для кулонов- ского потенциала, когда А — Z). Пусть Ег )> Е2, тогда
140 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ кривая постоянной мнимой части Ф (z) вблизи z0 опреде- ляется требованием отрицательности величины (z — z0)s/* = — 2л = р’/* е 2 , откуда ф = + -у . Заметим, что при А 0 углы следует отсчитывать от линии, на которой (z — z0) вещественно и положительно, поскольку V — Е по определению положителен при вещественном и положительном V — Е. Примерный ход кривой Im [Ф (z) — Ф (z0)l = 0 дается на рис. 28, а). Жирная линия изображает разрез. Когда У А — комплексное число, кривая вблизи z0 поворачива- ется. Так, например, для потенциала V = вычет А = -х-. и, как нетрудно видеть, кривая вблизи z0 ново- рачивается вокруг точки z0 на угол —л/6. Для пояснения метода перевала применительно к рас- сматриваемому случаю заметим следующее. Разумеется, интеграл по кривой постоянной мнимой части совпадает с интегралом по контуру рис. 28, б), поскольку один кон- тур можно деформировать в другой, не задевая особых точек. Однако интеграл по этому контуру не определяется окрестностью точки z0 и поэтому не может быть вычислен в общем случае. Действительно, на правом берегу разреза ф= л/2 и(г — г0)г1* — р’1* (cos -}- t sin . Поскольку ве- щественная часть показателя отрицательна, интеграл определяется окрестностью точки z0. Однако на левом
1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 141 ~ 3 . ,3/, а/ / Я» . . jt \ берегу ip =---2" л и (z — z0) = р 'z (cos — i sm у) ’ ве" щественная часть показателя положительна и интеграл определяется поведением Ф (г) вдали от точки z0. Интересующий нас интеграл /+ определяется окрест- ностью точки z0 и может быть записан в виде 4/-ТГДг с /+ = еф<г°> / (z0) \ dz (z — z0)z’ X 4 У A V X [1 + ^г'г “ Zo)] f1 + f)jZ “ Zo)] eXP a(Z ~ Z°)3/’’ 2 гда “ = 5W(E1-£!)- Мы использовали первые два члена разложения подин- тегрального выражения вблизи z0. Интегрирование по кривой постоянной мнимой части вблизи z0 соответ- ствует замене z — z0 = ре1ф» иг — г0 = ре1Фг до и после . 2л . 2л тт „ излома, где ду =----g-, ip2 = -g- • Первый член в квад- ратной скобке подинтегрального выражения, как легко видеть, выпадает (соответствующие интегралы до и после излома в точности сокращаются). Получаем , ОО О или + 1 /(Zo)eow. [_ 4.1 \ az f Jz„S (щ — Ei)'• Аналогично вычисляется 1~, соответствующий кон- тур интегрирования лежит теперь в нижней полуплос- кости. Если / (х) вещественна, то 1~ = (Z+)* и, следо- вательно, I = 2ReZ+. Критерий применимости полу- ченного выражения определяется из условия следующих членов разложения Ф по z — z0 Найдем Ф (z0) для двух случаев: для случая ского потенциала и для потенциала малости кулонов- вида Vr (^) — 1 + ga(xt.a») ’
142 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ При ааг -> сю потенциал Уд переходит в прямоугольный барьер высоты Уо и ширины 2а. а Вычислим сначала величину Фх = ^У2(У— E)dz. Zo Введем переменную S •= Е/V- Тогда Фх запишется в виде Фх = • 1 r J r в dZJdz о 4 В случае кулоновского потенциала имеем z0 = О, S = =f- z, Фх=-^|=- и, следовательно, Ф (0) = — nZ • В случае потенциала Уд ближайшая к вещественной оси особая точка в верхней полуплоскости есть полюс, который определяется условием a(z®-a«) е = e±in. Предполагая, что aa2 1, получаем < > IJC Zo = ±a + 2^- Как мы увидим, наибольший вклад внесет полюс z0 = а + • Вблизи этого полюса переменная S связана с z соотношением g = g0(l + e3(z-a)), где So = > 3 = 2aa. Для Ф1 получаем 1 3 3 V 5 о Для вычисления этого интеграла обозначим — 1 = = t и предположим, что So 1- Имеем т - (- 2 Г______________________М И J (1 + ‘г) (1-5о(1 + «2)) • о о
1. ОДНОМЕРНАЯ 'ЗАДАЧА 143 Перейдем к интегрированию от — оо до 4- оо и сдви- нем контур в верхнюю полуплоскость. Интеграл сво- дится к сумме вычетов в полюсах = i и t2 = i 1 — . Находим откуда получаем Фх при 1 {Е 70) Фг = - УЁ). К случаю Ио Е следует переходить, двигаясь по окружности вокруг точки Е = Ио в верхней полуплос- кости, т. е. заменяя Е — Vo на | Е — Fo | &п- Поэтому при Е <zVо находим фх = - 2£_р. уЁ + рр VV^E. Когда оба состояния Тх, Т*2 имеют энергию, меньшую чем высота барьера (Ei, Е2 < Ио)> Ф (zo) равно Ф(2о) = = - —р {УК - VK) + - |/v0-e2). Существенно, что в отличие от кулоновского случая экспоненциальная малость матричного элемента опре- деляется не проницаемостью всего барьера, а проницае- мостью узкого переходного слоя шириной —1/р. При оо особая точка переходит на вещественную ось и матрич- ный элемент содержит только степенные члены (нет экспоненциальной малости). Прохождение через барьер. Возможны две постанов- ки задачи о прохождении частицы через потенциальный барьер. Одна из них соответствует случаю, когда на по- тенциальный барьер падает стационарный поток частиц. Требуется найти амплитуды проходящей и отраженной волн. Физическим примером может служить задача о хо- лодной эмиссии электронов металла под действием при- ложенного к металлу электрического поля. Возникает стационарный поток электронов, проходящих через потен- циальный барьер (см. предлагаемую ниже задачу).
144 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Другая постановка задачи соответствует случаю, ког- да в начальный момент времени частица находится вну- три потенциальной ямы и требуется найти ее состояние через время t, т. е., в частности, амплитуду вероятности ее обнаружения через время t в начальном состоянии. Физическим примером является задача‘об а-распаде, когда в результате какой-либо ядерной реакции возни- кает материнское ядро, которое затем распадается на до- чернее и а-частицу *). Рассмотрим сначала стационарную постановку за- дачи. Предположим, что частицы падают слева. Тогда решение при х ± сю имеет вид У = eikx -j- аен/сх, х—*—со Т = beikx. РС-*ОО Коэффициенты а и b (амплитуды отраженной и прохо- дящей волн) связаны соотношением, вытекающим из закона сохранения числа частиц 1 — | а |2 = | 6|2. При малой проницаемости барьера (| b | -> 0) решение слева от барьера близко к стоячей волне. Мы предполо- жили, что потенциал достаточно быстро убывает при х -> ± сю. Если потенциал стремится к разным значе- ниям при х —> сю, х —> — сю, то единственное изменение состоит в том, что импульс проходящей волны отличает- ся от импульса падающей, и условие постоянства тока даст 1 — I а I2 = I b I2 4-, где к' — импульс проходящей волны, а к — падающей. Коэффициенты а и b можно получить, сшивая квази- классические решения внутри и вне барьера с помощью формул (3.9), приведенных на стр. 127. Очень полезно сначала найти коэффициенты а и b для случая прямоугольного барьера. Хотя эта задача решается во многих книгах по квантовой механике, ре- комендуем читателю проделать это вычисление само- стоятельно. •) Эта постановка вопроса впервые анализировалась в работе: Н. С. Крылов, В. А. Фок, ЖЭТФ 17, 93 (1947).
1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 145 Рассмотрим случай слабопроницаемого барьера (| 6 ] —>- 0). Как видно из формул (3.9), решение внутри барьера после сшивки на правой границе (см. рис. 29) имеет вид . я___ Хг _ х, Тл = be 4 1/ 4- (ехр \ I к\dx + -4-ехр (— I к I dx\\, к Г 1 I J \ J 1 /J i XX где к0 — импульс на бесконечности. Вблизи х = хг вто- рое слагаемое будет экспоненциально меньше первого и, условие сшивки на гра- внутри барьера в виде in , где В = Ъе 4уОс0ехр | к , следовательно, мало повлияет на нице I, II. Изображая решение X В -т= ехр У|Л| 1 ’ ХХ X! получим после сшивки в точке х = Xj. решение слева х Yi = cos kdx — Vk \j 4 Xl Требуя, чтобы коэффициент при падающей волне рав- нялся 1, получаем | b |2 = е~2\ | а |2 = 1 - X, где у = § | к | dx. Величина е~2у обычно называется про- Х1 ницаемостью барьера. Упоминавшаяся выше задача о холодной эмиссии электронов сводится к вычислению проницаемости барь- ера, изображенного на рис. 30. Глубина потенциальной ямы для электронов металла дается величиной Уо, Ув — разность потенциалов между катодом (металл) и анодом.
146 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В области 0 — ха потенциал равен V (х) — — Ех = — х. £а Предлагается найти проницаемость барьера. Перейдем теперь ко второй постановке задачи о про- хождении частицы через барьер. Пусть частица в началь- ный момент находится в состоянии, близком к какому- либо стационарному состоянию, которое получилось бы при непроницаемом барьере (например при барьере, приподнятом вдали от ямы на высоту боль- шую, чем энергия вы- летающей частицы). Поскольку частица име- ет положительную энер- гию Ей, ее состояние описывается суперпози- цией собственных функ- ций сплошного спектра, и проблема сводится к задаче о расплывании волнового пакета. Так как состояние сделалось нестацио- нарным только благодаря проницаемости барьера, то для слабо проницаемого барьера волновой пакет, отвечаю- щий начальному состоянию, будет расплываться медлен- но. Соответствующий такому состоянию уровень назы- вается квазистационарным (см. стр. 187). Разложим начальное состояние, описывающее части- цу внутри ямы, по собственным функциям сплошного спектра СО Т0(ж) С (Я) 4B(x)dE, О оо где Т£ (ж) yYE.(x)dx = 8 (Е — Е'). — СО Волновая функция в момент t будет ОО Т (х, t) = 5 С (Е) Те (х) dE. О
1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 147 Определим амплитуду вероятности нахождения ча- стицы в состоянии То через время t X (t) = (Т (х, t)- To (x)) = f | С (E) \2e~iEtdE. о Как мы увидим ниже (стр. 193) при энергии Е, близ- кой к Ео, функции сплошного спектра вблизи ямы имеют вид = х (Е) Ъ (*), т. е. разбиваются на произведение функции от энергии X (Е) на функцию 4%, описывающую стационарное со- стояние в случае непроницаемого барьера. При этом функция х (Е) имеет полюс в комплексной плоскости Е при Е = Ео — iF0. Ширина квазистационарного уров- ня Го пропорциональна проницаемости барьера. Не- трудно связать х (Е) с величиной С (Е), характеризую- щей распределение начального состояния по энергии. Действительно С(Е) = $Те(х)Т0(х)йх = х’(Я)- Вернемся к вычислению величины X (I), определяю- щей вероятность застать частицу в исходном состоянии. Так как функция С(Е) име- ет полюс вблизи веществен- ной оси и удовлетворяет ус- ловию нормировки, I с (Е) |2 = 11 (£) |2 прибли- женно имеем ТО для Е Рпс. 31. Го |С(Е)|2^ Интегрирование по уча- 1_ (Е — Ео)2 + Г2 я ’ Сместим контур интегри- рования в X (f) в нижнюю полуплоскость (см. рис. 31). сткам 2 дает вклад, экспоненциально падающий при смещении контура в нижнюю полуплоскость. Остается вычет в полюсе и интеграл по отрицательной мнимой оси.
148 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В результате имеем X (t) = e~iE’te~r,>t — i § | С (— i£) ]2e~£ld£. о При больших t второе слагаемое определяется пове- дением | С (Е) |2 при малых энергиях. Для того, чтобы оценить величину | С (Е) |2 в этом случае, нужно задать- ся способом приготовления начального состояния. Для определенности будем говорить об а-распаде и рассмотрим какую-либо реакцию, приводящую к образованию мате- ринского ядра, которое затем будет распадаться на дочер- нее и а-частицы с энергией Ео. Наряду с этим будет проис- ходить и прямое образование дочерних ядер и а-частиц в ходе самой реакции. Присутствие в спектральном разло- жении начального состояния а-частиц с энергией —-— 1 как раз и соответствует тем дочерним ядрам и а-час- тицам, которые возникли в процессе приготовления начального состояния (в ходе реакции). Число частиц с энергией Е вдали от Ео пропорционально проницае- мости барьера e~2Y(B) и в случае трехмерной задачи — стати- dk ____________________________________________________ стическому весу конечного состояния, т. е.— W-gg—V Е • Число а-частиц малой энергии, возникших в процессе реакции, равно |С(£)|2 = АУ~Ёе-^(Е\ При Е ~ £0это выражение должно переходить в приведенную выше формулу. Вводя величину Т(Е) можно записать | С (Е) |2 в виде, пригодном и при малых энергиях I Г (I2_ ______Г ______ “ (Е — £0)2 + Г2 (Е) ’ Г (Е) ~ /Ё^е-2^Е>. Теперь нетрудно оценить добавочное слагаемое в £. В случае а-распада проницаемость барьера при Е —>- О стремится к е~2'(<-Е> = ехр (-— 1 , поэтому при t —> оо интеграл может быть найден методом перевала. Рекомен- дуется читателю убедиться, что порядок величины
1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 149 второго слагаемого в £ дается величиной I I ~ V Ео ехр [ - (2я)'У^ Z'V1*] . Для случая, когда проницаемость барьера при Z? —>- О стремится к конечному пределу, имеем Как видно из приведенных выражений добавочное сла- гаемое описывает расплывание волнового пакета а-ча- стиц, образовавшихся в ходе реакции, и не имеет ника- кого отношения к процессу распада материнских ядер. Если определять число материнских и дочерних ядер не по числу а-частиц, а, скажем, по характеру атомных спект- ров, то так определенное число материнских ядер будет убывать по закону е-2Го/. Действительно, если в какой- либо момент установлено, что атомный спектр соответ- ствует материнскому ядру, то тем самым определена его энергия с точностью до ширины атомных линий и, сле- довательно, в спектральном разложении а-частиц от- сутствуют слагаемые с малой энергией, т. е. при боль- ших t остается только первое слагаемое £ *). Надбарьерное отражение. Решим задачу об отраже- нии частицы при движении с энергией, большей высоты барьера, так что везде выполняется критерий квазиклас- сического приближения. Легко увидеть, что ни в каком приближении по параметру квазиклассичности 1/(A-Z)2 не возникает отраженной волны. Действительно, квази- классическое приближение, соответствующее идущей на- право волне, имеет вид А ехр р J //с2 4- Л" L Разлагая это решение по степеням А"!А, получим всюду только волны, идущие вправо. *) Более подробный анализ и ссылки на предшествующие ра- боты содержатся в статье A. Degasperis, L. Fonda, G. Ghirardi, Nuovo Cimento, 21A, L 71 (1974).
150 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Причина этого результата в том, что коэффициент от- ражения экспоненциально падает с увеличением (kl)2, между тем как квазиклассическое решение есть асимпто- тический ряд и экспоненциально малые добавки в нем полностью теряются. Целесообразно искать решение уравнения Шредин- гера + к2 (x)W = 0 (3.23) в виде __ х Т = у у ехр к dxj + ср, —ОО где ф — малая добавка, содержащая отраженную волну. Тогда получаем ф" + £2ф = / (х), где . „ X /(*) = — (]Zy) expp kdxj. —оо Выразим решение этого неоднородного уравнения через два решения соответствующего однородного урав- нения и Чг2 С?! и Т2 — волны, идущие соответствен- но вправо и влево): Ф = ± T2fdx - , где А = y?F2 - = const — определитель Вронского. Итак, решение уравнения Шредингера (3.23) имеет вид Т (х) ~ Д/ ехр к dx^ -|- —оо + г{Т1 5 —00 оо Пределы интегрирования определяются из следующих соображений: при х -> оо должна оставаться только вол-
1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 151 на, идущая вправо; это обеспечивается функцией При х —> — оо функция ср (— оо) должна содержать только отраженную волну. Действительно, при указан- ном выборе нижнего предела Y (ж) = giftox+ia ОО у е-г/СоХ —оо Так как Д = const, можно вычислить Д при х оо. Функция Т-! eikoX, а функция Чг2 в силу малого коэф- фициента отражения приближенно стремится к е_’*»1С+<а. Отсюда | Д | = 2Л-0. Таким образом, коэффициент отражения оо оо = \ Tj/da: Р = l-Л- 'YJdxV. (3.24) | iA J | | £»<«.() J | —им —ОО Заметим, что в (3.24) не используется квазиклассическое приближение. Если V Е, то из (3.24) получается обычная формула теории возмущений. Действительно, величина ( ~ =-----к'. Так как к = У2 (Е — V), то к' = —V'lk, сле- довательно, / = — j/" р) e*s ~ ^-ег,с«х+1а и R = ОО Интегрируя дважды по частям, получим выражение для коэффициента отражения, совпадающее с тем, что полу- чается по теории возмущений: ОО R — I Ve2i/CoXda: I • I «о J I — ОО Величина R определяется поведением в окрест- ности ближайшей к вещественной оси особой точки. По- казатель экспоненты в R определяется расстоянием этой особой точки до вещественной оси. Для нахождения
152 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ предэкспоненциального множителя необходимо исполь- зовать точное решение для Y вблизи особой точки *) аналогично тому, как это делалось при сшивке квази- классических волновых функций (см. также замечание на стр. 96). 2. ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА Центрально-симметричное поле. Рассмотрим квази- классическое движение в центрально-симметричном поле. Переменные 0, <р в этом случае отделяются от перемен- ной г: Чп1т = Rni (r)Ylm (0, ф). Рассмотрим сначала радиальную часть волновой функции. Введем функцию «ш (г) = rRni (г). Из ограниченности Rnt (г) при г = 0 следует, что ип1 (0) — О’ Для ип1, как известно, получается одномер- ное уравнение "Р 0, где Условие ип1 (0) = 0 соответствует в одномерной задаче бесконечной потенциальной стенке в начале координат. При увеличении I и заданном V (г) яма на рис. 32, б ста- новится все мельче и в конце концов исчезает, т. е. при достаточно большом I система не будет обладать дискрет- ными уровнями. Значениям еп1^>0 соответствует сплош- ной спектр. Модификация центробежного потенциала. Покажем, что при использовании квазиклассического приближе- ния в центробежном потенциале следует произвести за- мену I (I -р 1)-> (Z -р х/2)2 (поправка Лангера). Рассмотрим область вблизи начала координат. В этой области существен лишь центробежный потенциал и, , V 1(1 + 1) т dk 1 следовательно, к—---у-1—1огда -^=====. При не- *) В. Л. П о к р о в с к и й, И. М. Халатников, ЖЭТФ 40, 1713 (1961).
2. ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА 153 больших I, — 1, т. е. условие квазиклассичности не вы- полняется вблизи начала координат. Покажем, как получить решение, пригодное вблизи начала координат при любых I. Для этого в уравнении Шредингера произведем замену независимой переменной X г = е~х и функции и = we 2. Уравнение приобретает вид: -g- 4-2 £(епг — V) е-2ж w = 0. Точка г = 0 переходит в х = сю. Условие квазиклассич- ности при х —>- оо выглядит так: 1 __e~zx > q. dx dx /2(enJ —F)e-M-(Z +1/*)2 Итак, 1 независимо от величины l. Если теперь в терминах переменной х сформулировать правило кван- тования Бора, а затем преобразовать его к переменной г, то оно приобретет обычный вид, с той разницей, что те- перь 7эфф = 7 4- • После такой замены в задаче определения энергети- ческих уровней из правила квантования Бора критерий применимости квазиклассического метода состоит лишь в условии nr 1 (т. е. радиальная функция должна иметь много узлов), а требования I 1 нет. Разумеется, при I = 0 такой поправки добавлять не следует. Уровни энергии в кулоновском поле. Найдем уровни энергии в кулоновском поле. Условие квантования имеет вид (при I Ф 0, рис. 32, 6) 5 /2(еп + А-<Ц^)^=(„,+ ‘)„. rmin Здесь пг — радиальное квантовое число, rmin, rmax — квазиклассические точки поворота. Мы заменили в цент- робежном потенциале J I (I 4- 1Д-> (Z 4" х/г)2- ^Интеграл
154 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ в левой части приведенного выше условия равен Следовательно, где п = nr + I + 1 — главное квантовое число. При I = 0 (рис. 32, а) левая точка поворота rmia = О и совпадает с особой точкой уравнения, т. е. в области Рис. 32. левой точки поворота потенциал нельзя заменить прямой линией, как мы делали выше. Поэтому условие сшивки на левом краю изменится. Для нахождения энергетических уровней при 1 = 0 нужно найти точное решение вблизи особой точки и сшить его с квазиклассическим решением вдали от нее. Для больших квантовых чисел (т. е. энергий, близких к нулю) волновая функция в кулоновском поле с I = О имеет вид *) о „ ^Ui(/8Z?) л ПО — ’ где at — нормировочный коэффициент. При г 1/Z от- сюда находим п cos (У 8Zr — 3/t л) •ПпО — «О Т • Г /4 ♦) Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая меха- ника, Физматгиз, 1963, стр. 153.
2. ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА 155 С другой стороны, для 7?,|0 можно написать квази- классическое решение cos I j pr dr — D _ Л О •Ппо — w2 ----------“ г V Рг — #2 cos ( У 8Zr — Cm) г У Рг Таким образом, здесь появляется фаза С1Л = 3/4 л вме- сто 1/i л в обычном случае. Функция Rn0 может быть также записана в виде (rmax J prdr — л/4 г уу. Здесь гшах — правая точка поворота. Из условия одно- значности, так же как и в 3.1, получаем правило кванто- вания rmax prdr = (nr 1) л = пл, о где п — главное квантовое число. Вычисление интеграла дает Как мы видим, в этом случае квазиклассическое прибли- жение (так же как и в случае осциллятора) дает точные уровни энергий. Квазиклассическое представление сферических функ- ций. Для вычисления матричных элементов физических величин при больших угловых моментах I удобно исполь- зовать квазиклассическое представление для сферичес- кой функции: Yim (0» ф) = Pirn (cos 0) ei--1”. Здесь Р1т (ж) — присоединенный полином Лежандра, удо- влетворяющий уравнению d Г dP. 1 г (1 _ ^2) ип и I / + 1) dx L' dx J 1 [_ ' ,п' 1 p 1 — I 1 = 0.
156 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПЕИВЛИЖЕНИЕ Введем функцию 0Im (а:): Plm С*) = _-х2 Ь1т (х). Тогда для Фгт (х) имеем /z Г ги2 — 4 1 (1 - X2) $lm (х) + р (I + 1) - ^rn (X) = 0. Решение этого уравнения с точностью порядка 1/Z2 мо- жет быть найдено в квазиклассическом виде X = 7XC0S (\ kdx~т) * Х1 где кг (х) = r-Ц Г ( I + Ц2 — ЦЦ1 . 4 ' 1 — я2 |_ \ 2/ 1 — я2 j В точках Xi, 2 величина к (х) обращается в нуль, т. е. 2 = + у 1 ~ (г +1/2)2 • Мы заменили здесь I (Z + 1) -> (I + V2)2, имея в виду, что квазиклассическое приближение применимо с точ- ностью до 1/Z2, а не 1/1 (см. стр. 131). Коэффициент а определяется из условия нормировки присоединенных полиномов Лежандра: $ P*lm(x)dx=l, —1 т. е. Xg Xg a2 f 1 dx л а2 1 д f К ~ \ 1^12 Т - 1 — Т"' Г ~dl J КаХ' xi ь + 2 Х1 х» Вычислим kdx: Х1 Xg t__________________________ +4)2 - ^2]dx=(l - и+4) «• ж* (3.25)
2. ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА 157 Этот результат следовало ожидать, так как число узлов Pim (я), как известно, равно I — | т |. Из (3.25) находим Хг О (* — \ kdx — л. ос J Следовательно, 2 21 1 а2 = —1. л Окончательно имеем где Квазиклассическое представление сферических функ- ций позволяет приближенно вычислять суммы вида i Л(9)= 2 |Угт(0,<р)|2Ф(иг). 7П=—I Действительно, используя условие квантования (3.25) и за- меняя суммирование интегрированием, получаем (1+7 г) I sin 0 | г /п\ _ +1/г о (9)--2^2- } —(i+Va) I sin9[ Ф (пг) dm i f mi (Z +1/2) Sin 0 у 1 — (Z i/e)a siu2 0 Z4-V2 C dt 2л2 J у 1 __ f2 В частности, для Ф (т) = 1, иг2, иг4 находим V IV I2 — 1 + 1/г dt = 22+1 т^1 1 "”1 2л2 J 431 ’ S IУI1 тгЦг р (' + *«’ е - т=—1 ’ 1 = (£^^0 4Л
158 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И 2 = 5 _^Ц.^(г + 1/2)^^о = m=-l VI —«2 - 3<г+1/2)5 4Q — jp_ Dill xjt 16л кроме того dx = у (1 — (/+ 1/а)2) • Рекомендуем читателю с помощью этих формул вычис- лить уровни деформированного ядра (см. 2.2). Распределение Томаса — Ферми в атоме. Для по- тенциальной энергии V электрона можно написать сле- дующее электростатическое уравнение: ДР = — 4лр, (3.26) где р — плотность электронов в данной точке. Это урав- нение — приближенное, так как на самом деле имеем мно- гочастичную задачу — ядро и Z электронов, и потенциал z V(r, Г.) = _А +L_ есть оператор, а не число, т. е. V зависит от электронных координат, в то время как р, очевидно, нет. Следователь- но, потенциал в (3.26) есть значение истинного потен- циала, усредненное по движению электронов. Поскольку частиц много, то отклонения V (г, г;) от VL(r) будут в среднем малы (хотя формально V (г, rt) мо- жет принимать любые значения). Уравнение Шрединге- ра с таким усредненным потенциалом имеет вид ДТ + 2 (Я - V) Т = 0, (3.27) причем потенциал V можно считать сферически-симмет- ричным (сферическая симметрия может нарушаться лишь за счет наружных электронов или незаполненных обо- лочек). Тогда Tnjm = nl^ Ylm. Плотность электронов равна U2 р = 2 2|Тп;т|2 = 2 2^|У;тр. (3.28) nim nlm
2. ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА 159 Суммирование по т с учетом соотношения 2г+1 4л приводит к выражению р(Н = 23 “п! (0 21 + 1 г2 4л (3.29) В квазиклассическом приближении радиальная вол- новая функция имеет вид ип1 (г) = cos (f knl dr — -J) , Vkm 7 4 ' (3.30) где ь2 ( \ __ о z р ту /_\ G 4~ Уд)2 х 2 ~ 2 dEni kni{r) — V (г) 2гг )’ ат rt Qn • Уровни энергии Еп1 находятся из правила квантова- ния Бора Гг Г1 (3.31) При I = 0 вместо п + 1/2 в отношении (3.31) нужно на- писать н (см. стр. 155). Из (3.29) и (3.30) получаем 2 г Р (И - (2Z + П C0S2 (knl dr~^)- {3-32) В квазиклассическом приближении можно заменить среднее значение квадрата косинуса на 1/2- Из (3.32) имеем , ч 1 X? 2Z +1 1 Р(г)“ 2л2 дп г* к ’ nl 1Ц (3.33) От суммирования по п в (3.33) перейдем к интегрированию
160 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ при фиксированном I; так как ТО о =Д dE = у 2(Е— У,) I , дп кт Jkni J/2(5-F.) У ' I ^min где £mln = Vi (при Е Vi волновая функция имеет вид cos ---------2-) , а при Е <iVi она затухает экспоненци- ально и вкладом этой’ части в р (г) можно пренебречь). Поэтому выражение (3.33) можно записать в виде Р0= (3-34) ГГ TZ TZ . 1 11 , 1 \2 4dVl 2Z +1 Так как V, = K + rr [I 4- т I , то 2 -rf- = —=—, так что 1 2га \ 2 / а,1 гй (3.34) принимает вид р(г) = = ^iinax - ~ ет <-2И()’- | (3.35) V, . <mfn K(min соответствует I = 0, У(пИп = V- Величина Угтах(г) = 0- Для состояний с большими I точка г нахо- дится в классически недоступной области, и такие со- стояния вносят экспоненциально малый вклад в плотность в точке г (рис. 33). Итак, P(r)='3^(-2F)’'’. (3.36) Обозначая — V = <р, запишем уравнение Пуассона (3.26) с учетом (3.36) в следующем виде: Дф = 4лр = ф’^ =Гф3Ч (3.37)
2. ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА 161 где С zs 8^2/3%. Это — так называемое уравнение То- маса — Ферми. Если г 0, то <р -> Zlr — потенциал ядра. Целесооб- разно заменить <р (г) = Z'^(r)lr с граничным ^условием % (0) = 1. В сферических координатах л 1 d2 t . 1 d2 (3.38) следовательно, из (3.37) имеем 7,х’г (3.39) г 12 Введем новую перемен- ную х = aZ‘3r (а выберем позже) с целью получить универсальное уравнение для функции %. Тогда из (3.39) находим a2Zs/3Z" = CZ*'*^a*zV', или, если выбрать а,4 = С, тельно находим d2y. 1 3, ---- ---- 7 12 dx2 Ух %(~) = о, Х(0) = 1. (3.40) Уравнение (3.40) решается численно (в 1.1 дано при- ближенное его решение). Решение его определяет распре- деление плотности электронов. Характерный радиус этого распределения в безразмерных единицах х — 1, следо- вательно, в обычных единицах ят.-ф. — ajр Z. На этом расстоянии находится большинство электронов. Полу- ченный результат совпадает с приближенной оценкой, приведенной на стр. 37. Уравнение (3.40) справедливо в той области атома, где применимо квазиклассическое приближение. 6 А. Б. Мигдал
162 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ЗАДАЧА В каком интервале г применимо распределение То- маса — Ферми? Ответ. Гю1п ~ 1/Z, Ртах — 1 • Оценки ядерных матричных элементов. В теории яд- ра часто приходится вычислять различные суммы мат- ричных элементов. Рассмотрим, какие матричные эле- менты вносят наибольший вклад в такие суммы. Пусть U (г) — величина, заметно изменяющаяся на расстояниях порядка радиуса ядра. Оценим квазиклас- сически матричный элемент = (ср^С/срх,), где <рх — волновая функция нуклона в самосогласованном поле, создаваемом всеми остальными нуклонами ядра, X — совокупность квантовых чисел, описывающих состояние нуклона. Рассмотрим сначала сферическое ядро. Тогда X = = п, j, I, т, где п — радиальное, I — орбитальное и т — магнитное квантовые числа, j = I + 1/2. Покажем, что соседние уровни в сферическом ядре не комбинируют между собой, т. е. дают малое значение матричного эле- мента Предварительно оценим расстояние между соседними уровнями. В деформированном ядре уровни с различными проекциями момента на ось симметрии расщеплены, поэтому если А — число нуклонов в ядре, а ер — энергия Ферми, т. е. энергетическое расстояние от дна самосогласованной ямы до места заполнения послед- них нуклонов, то среднее расстояние между одночастич- ными уровнями имеет порядок е?/Л. Величина ер не за- висит от Л с той же точностью, с какой постоянна плот- ность п ядерного вещества. Действительно, в системе, которая удерживается силами, действующими между ее частицами, радиус действия сил и среднее расстояние между частицами имеют одинаковый порядок величины. Поэтому все величины, характеризующие ядро, можно выразить с помощью размерных оценок друг через друга. В частности, ер — n‘ls (М = Tl = 1). В сферическом ядре существует вырождение по проек- ции углового момента с кратностью порядка величины углового момента I — PfR, где R — радиус ядра, ар? — импульс нуклона на границе Ферми. Так как R — гпА'\ где г0 — величина порядка среднего расстояния между
2. ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА 163 нуклонами, то p?R = ррг()А'1а — Л*1'3. Следовательно, среднее расстояние между ближайшими уровнями сфе- рического ядра имеет порядок величины ер/Л2''3. Оценим сначала расстояние между уровнями, отли- чающимися лишь радиальными квантовыми числами п, причем 6/г ~ 1. Для этого продифференцируем по п ус- ловие квантования Бора j prdr — п, где рг — радиаль- ный импульс. Получаем J ди «;деп/ дп дп J и дет 11 дп v ’ где еп/ — уровень энергии, a v —-т------скоростьнуклона. г Отсюда dRnl v _ v Pfv _________________________ f'F дп 11 Г|. )‘ з д1,.. Z[1.J Оценим теперь расстояние между уровнями, отличаю- щимися лишь орбитальными квантовыми числами I, причем 6Z — 1. Для этого продифференцируем по I соотношение \ p,dr — п, учитывая, что рг = 2 ^еп; — V (г) — ~2Г2^ ] • Здесь Г' (г) — потенциальная энергия нуклона. Полу- чаем: т. е. С dr / 9e.ni I \ ______q \~1 a R R °enl dr _ , C dr dl J Pr J r^pr ’ rmin rmin где Tmm находится из условия pr = 0, т. е. rmin — R dr В интеграле \ —существенна вся область иптегриро- rmln вания, поэтому мы его оцениваем как R/v. В интег- к С dr f. рале же \ основной вклад вносится областью rmln 6*
164 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ вблизи rmin, поэтому ОГО ОЦСНКЭ 1/гга1п PF — 1Н- ИтЭК, —~ZT=1’ т- е- ^Г~еР/Л'/з- 91 v I 91 г Таким образом, мы получили, что , _.г л-’/, дп 91 Р ’ Поэтому уровень сферического ядра, ближайший к дан- ному (т. е. отстоящий от него на расстояние ер/Л2/’), получается, как правило, за счет больших изменений 6н и 81, так чтобы величина с с . d&lll с 7 Se^ = -^rSn + — sz была минимальна. Для этого нужно выбрать 8п, 81 — А''3. Следователь- но, ближайшие уровни сферического ядра, как правило, сильно отличаются по числу узлов радиальной и угловой частей волновой функции, а потому дают малое значение матричного элемента ?7Х1Хг. Состояния с энергиями | еХ1 — ех, | efIA'I3 также дают малое значение t7X1X1, так как функции <рХ1 и <рх, сильно различаются по числу узлов. Итак, матричный элемент £7Х,Х, заметно отличен от нуля для = Х2 (если он при этом не равен строго нулю из-за правил отбора) и для | ех, — еХ11 — ЕрА~‘/3, когда числа узлов функций <рх, и <рх, мало различаются. Все сказанное выше о комбинирующих уровнях ос- тается в силе и для деформированного ядра, если опера- тор U меняет квантовые числа п и I. Если же U меняет лишь магнитное квантовое число тп (например, оператор углового момента), то комбинируют уровни с соседними тп, принадлежащие одному мультиплету nl. Оценим рас- стояние между ними. Выше (см. стр. 84) было показано, что в первом порядке теории возмущений расщепление уровней определяется соотношением ~ Ч~ ("й т) ’
2. ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА 165 где р — величина деформации. Следовательно, де^ _..г R4-V» dm Sn,‘ Z2 ’ т. е. в этом случае могут комбинировать и близкие уров- ни (при малых р). Нецентральный потенциал. Рассмотрим более общий случай, когда переменные не разделяются, и построим в этом случае квазиклассическое решение. Ищем решение уравнения АТ + &2Т = О в виде Т = AeiS. Тогда АА + 2ZVAV5 - A (VA)2 + гААА + к2 А = 0. (3.41) Отделяя действительную и мнимую части, из (3.41) полу- чаем два уравнения АА + 1АА = A (V5)2, (3.42) 2VAV5 + АА5 = 0. (3.43) Уравнение (3.43) означает закон сохранения частиц. Действительно, j=l(T’VT-TVT’) = = [Ae~iSV (AeiS) _ AeiS V(Ae-ls)] = A2VS и divj = V (A2V5) = A2A5 + 2VAV5-A = 0. Следовательно, вдоль линии тока = hde2, (3.44) где d<yl и da2 — нормальные элементы площади трубки тока (рис. 34). // //А/ Если АА/А Тс2, то из (3.42) ^/-///// следует уравнение Гамильтона — (у ///Т/ Якоби для действия S: 2 [Е - V (г)] = (V5)2. (3.45) Рис. 34. Квазпклассическая задача рассеяния. Построим ква- зиклассическую волновую функцию для задачи рассея-
166 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ния. Предварительно заметим, что уравнение (3.45) содержит не одно решение: в любую точку в Ц- оо, куда устремляются частицы после рассеяния, частица может 2________ прийти по меньшей мере двумя а путями. Это изображено на рис. _________ч 35. Здесь 1 и 2 — две точки фрон- I________та плоской падающей волны. Поэтому на основе принципа ис" °" суперпозиции вместо решения Y = Aeis мы должны потребовать Y = ЗА**44» г где сумма берется по всем классическим траекториям, соединяющим рассматриваемые точки. Предположим для простоты, что есть только две траек- тории, соединяющие фронты падающей и рассеянной волн на бесконечности. Вдоль траектории I, которая проходит вдали от центра рассеяния, трубка тока параллельна оси х; А и VS постоянны, причем V5* 1 = р0. Можно по- ложить, что значение Т-функции в каждой точке фронта падающей волны равно 1. Поэтому At = Аг = 1. Сле- довательно, X Yx = ехр р р0 dx^ = ехр (ipox + ip0L), -L где L — пока произвольное число. Найдем второе реше- ние Y2. Вдоль второй трубки тока X2VS da = const. На — оо имеем Л2 = 1, VS = р0, da = р dp dtp, где р — прицельный параметр. Следовательно, popdpd<p = (3.46) Тогда Т= ]/ех₽ р \pdl], а полное решение задачи имеет вид ________________________________, г Y -> ехр (ipox + ip0L) + ]/ P^Pd^- exp p p dl] . (3.47) Умножим правую часть этого равенства на постоянный
2. ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА 167 множитель e-ip»L: Г ехр I + \ pdl —ъ или где Y gipax !_________f_ gipor Г ’ Траектории I и /0 изображены па рис. 36. В выражении (3.49) существенный вклад вносят точ- ки вблизи центра рассеяния. Выражение (3.49) требует уточнения в том случае, когда классическая траектория про- ходит вблизи точек, где квази- классика неприменима. Сово- купность таких точек образует поверхность, называемую кау- стикой. Каустика отделяет об- ласть, 'доступную для класси- ческого движения, от недоступ- ной. Например, для кулоновского потенциала отталкива- ния каустика имеет вид параболоида вращения, а в случае притяжения она представляет собой прямую линию, иду- щую от центра рассеяния к + оо. Найдем, как меняется фаза волновой функции вблизи касания траектории с каустикой. Разложим движение частицы на два движения: перпендикулярно касатель- ной к каустике и вдоль касательной. Движение в пер- пендикулярном направлении аналогично квазикласси- ческому отражению от точки поворота в одномерной за- даче. При этом разность фаз падающей и отраженной волн, как мы видели, равна л/4 — (— л/4) = л/2. При движении вдоль касательной к каустике изменения фа- зы не происходит. Следовательно, вместо (3.49) для Ф
168 ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ получается следующее выражение: оо оо ф= \ pdl — Р dZ04-iv-5-, V в) —ОО —00 где v — число точек касания с каустикой. В случае ку- лоновского потенциала v = 1. Сечение рассеяния протона на атоме водорода. При рассмотрении задачи о перезарядке (см. стр. 113) было получено, что амплитуда рассеяния /( = 1/2 (/s + /а), а амплитуда перезарядки /2 = V2 (/, — /о), где /„ fa — амплитуды соответственно симметричного и антисиммет- ричного рассеяния. Потенциал Vs мало отличается от Va, поэтому клас- сическое сечение можно считать одинаковым для Vs и Va, между тем как фазы Ф8 и Фа могут сильно различаться. Действительно, Ф8, Фа — очень большие числа, поэтому и Ф5 — Фа может быть велико. Следовательно, согласно (3.48) Сечение перезарядки равно 1—\ =1I е‘фв — е{Фа|2 = \ dQ /перез ' ‘ 4 \ <Ш /кл Так как ОО 00 Ф= pdl— podZo, — 00 —оо то оо Ф, — Фа = (Ps — Ра) Ж —ОО (“ (7 — V ) 1 _ ( -----а>_ dl~ ----- J Р г'о ОО (Fs-Уа)^, —оо где т9 — масса, а г0 — скорость протона.
2. ТРЕХМЕРНАЯ ЗАДАЧА 169 Рассмотрим рассеяние на малые углы. Обозначим Vs — Va = V. Тогда для сечения перезарядки получаем следующее выражение: оо - (Мяsin! [-ST ) v Ч • <3-5°) —co Здесь p — прицельный параметр. Это выражение совпа- дает с сечением, полученным в (2.4). Для сечения рассея- ния получаем оо •cos2[-^7 v (/р2 + х*) dx\ = —оо 1 / \_________1 ? d<s \ 2 \ dQ /кл 2 \ ofQ /кл оо • cos V С/р2-)- ж2) da: —оо Таким образом, наряду с обычным классическим рассея- нием получаются квантовомеханические осцилляции се- чения рассеяния как функции угла отклонения.
ГЛАВА 4 АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В последние десятилетия развитие экспериментальной и теоретической физики сильновзаимодействующих эле- ментарных частиц (адронов) потребовало создания теоре- тических методов, не предполагающих малость взаимо- действия и, следовательно, не использующих теорию возмущений. Одним из таких методов является исполь- зование аналитических свойств физических величин, на- пример, использование аналитических свойств амплитуды рассеяния как функции энергии или угла отклонения. В тех случаях, когда изучаемая величина имеет особен- ность в комплексной плоскости вблизи вещественной оси, ее поведение на вещественной оси отределяется характе- ром этой особенности. Однйм из первых примеров такого рода была теория реакций с образованием медленных частиц (см. ниже). В этом случае полюс в амплитуде рас- сеяния друг на друге родившихся в результате реакции частиц определяет энергетический ход процесса. Сущест- вование в'системе взаимодействующих частиц уровней с малыми энергиями, как мы увидим, настолько упрощает энергетическую и координатную зависимость волновых функций при малых энергиях, что позволяет свести задачу нахождения энергетического спектра к простому алге- браическому уравнению. Аналитические свойства позволяют установить соот- ношение между мнимой частью амплитуды рассеяния, которая определяется поглощением частиц, и ее веще- ственной частью (дисперсионное соотношение). Из таких соотношений вытекает большое число экспериментально наблюдаемых следствий в различных областях физики. Все физические величины при реальных значениях параметров не должны обращаться в бесконечность. Иными словами, на вещественной оси в реально дости- жимых областих физические функции конечны, так как все величины, получаемые в результате измерений, пред-
ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 171 ставляют собой гладкие функции параметров;. Особые’ точкпфизических величин на веществен ной оси вознйка!от в результате разумной идеализации „рассматриваемой системы. ~ Поясним сказанное на примере. Как известно, сечение рассеяния частицы на экранированном кулоновском по- тенциале у е~аг в борновском приближении пропорцио- нально (q2 + а2)-2. Здесь q — передаваемый импульс. В комплексной плоскости передаваемого импульса сече- ние имеет особую точку. Если рассматривать более идеа- лизированную систему — без экранирования, то а —> 0 и особенность переходит на вещественную ось q. Предположим теперь, что изучается рассеяние на неэкранированном заряде. Тогда в идеализированном выражении амплитуды рассеяния имеется особая точка при q = 0. В этом случае бесконечность сечения устра- няется конечной шириной d пучка налетающих частиц. Действительно, ограничение пучка приводит к неопреде- ленности поперечного импульса частиц Арх— и тем самым к невозможности выделения малых углов откло- нения, соответствующих q —>- 0. Однако улучшение экс- перимента (увеличение d) позволит как угодно прибли- зиться к особой точке q = 0, что и означает разумность рассматриваемой идеализации. Другой пример — это пороговые особенности. Они возникают из статистического веса конечных состояний (см. ниже, стр. 203). Например, сечение выбивания нук- лона из ядра вблизи порога пропорционально У Е — Ео, где Е — энергия налетающей частицы, Ео — энергия порога. Такая зависимость возникла из-за статистического веса конечных состояний /о (£-£») = оо = ( б (Ер - Е) ~ (б (Ер - Е) УЁ^Ё0 dEp = Eq -Ve~ e0. В реальной постановке эксперимента энергия налета- ющей частицы не фиксирована, а распределена, скажем, по гауссовому закону около энергии Е. Поэтому в
172 ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН сечение рождения входит не величина /0, а оо / (Е - Яо) = /ла J e-W-E# уЕ1 _ Eq dE1 = Ко оо = /ла е-а(Е-Ео-х)2 ух dX' о Сечение рождения пропорционально этой величине. Вы- числяя интеграл, находим: / (8) = -4= (2а//<е-»'’/2 2Ь/, (-8 / М и у а Здесь 2) — функция параболического цилиндра, а е = Е — Ео. Функция / (е) не имеет особенности в точке порога 8—0. Используя асимптотику 25-функции, получаем, что при 8 —> —оо, / (е) ~ e-at2, а при 8 —>- + оо, / (е) ~ /е. , На рис. 37 показан гра- фИК / (8). Когда энергия нале- тающей частицы фик- (Е) сируется все более и / более точно (а —оо), "д J кривая / (б) стремится к предельной кривой Рис. 37. (она изображена пунк- тиром на рис. 37), кото- рая имеет особенность при 8=0. Таким образом, корне- вая особенность при 8 = 0 появляется в результате идеа- лизации реальной задачи рассеяния. В комплексной плоскости параметров физические функ- ции~могут иметь различные особыеТЪчки. ТГТПпкдшг~слу- чаё^дОТЕхТгияиленИя^^Гяшы-^!^^®^^^!!!!^ причины; Из“свбйств“"аналитйчности можно делать важные за- ключения о связях между различными физическими вели- чинами. Сначала мы рассмотрим несколько простых фи- зических примеров, а затем найдем решение ряда задач, которые не могут быть изучены без использования ана- литических свойств.
ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 173 Зависимость момента инерции ядра от деформации. Для квантовомеханической сферической системы момент инерции следует считать равным нулю. Действительно, для того чтобы наблюдать вращение, необходимо иметь отметку на поверхности системы. Такая отметка соответствует возбужденному состоянию, при котором система перестает быть сферической. По мере уменьшения деформации энергия вращатель- ных термов увеличивается до бесконечности, что и соот- ветствует стремлению к нулю момента инерции. Для пояснения получим квантовомеханическое выражение для момента инерции. Перейдем в систему координат, вращающуюся с угло- вой скоростью Q. При этом в гамильтониане возникает дополнительное слагаемое Н' = -MQ, где М — оператор углового момента системы. Рассматривая Н' как малое возмущение, легко получить выражение для среднего значения углового момента <М> = 23^^-Q^JQ. Мы определили момент инерции как отношение Если при рассматриваемых угловых скоростях можно пренебречь возбуждениями внутренних степеней свободы системы, то вращательная энергия будет М2_ /(/4-1) 2.J ~ 2J с тем же моментом инерции J: Из этого выражения следует, что для сферической системы, когда М имеет только диагональные матричные элементы, J = 0. Рассмотрим момент инерции J при малых деформа- циях б. С какого члена начинается разложение J по сте- пеням б? Легко убедиться в том, что выражение J = Лб неправильно. Предположим, что J = Л б для положи-
174 ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН тельных 6 («огурец»). Так как J — всегда положитель- ная величина, то для отрицательных 6 («блин») J = А | б | = = А У^б2. Следовательно, момент инерции как функция б2 имел бы в нуле точку ветвления. Между тем, можно убедиться в том, что нет никаких причин для появления особой точки. Действительно, перейдем от слабо дефор- мированного ядра к сферическому с помощью соответст- вующего преобразования координат. В гамильтониане появится малая добавка Н', пропорциональная величине деформации б. Для конечной системы применение теории возмущений дает сходящийся ряд. Следовательно, мо- мент инерции не имеет особой точки при 6=0. Поэтому момент инерции можно разлагать по степеням б, и это разложение начинается с квадратичного члена J = 7?б2 + ... Зависимость частоты звука от волнового вектора. Как известно, при малых волновых числах к (т. е. боль- ших длинах волн X = 1/к) в некоторых системах могут распространяться звуковые возбуждения с частотой со = = ск. Здесь с — скорость звука. Так как со — скаляр, а к — вектор, то это соотношение означает со = с Итак, при к = 0 частота со как функция к2 имеет точку ветвления. Объясним, почему здесь возникает особая точка. Уравнения, описывающие состояние системы, не ме- няются при замене t ——t, если нет поглощения. По- этому в отсутствие поглощения уравнение для опре- деления частоты всегда содержит четные степени со. Напри- мер, в классической механике уравнения Ньютона для системы частиц при малых колебаниях имеют вид 771ЙП = 2 ТП Здесь т — масса n-й частицы, ип — ее смещение, a Fmn — сила, действующая на n-ю частицу со стороны тп-й. Пола- гая ип = иОпе’“', получим дисперсионное уравнение для квадрата частоты звука со2 в виде ™C02 Иоп = 2 FmnUOm- т Следовательно, квадрат частоты звука со2, а не сама час- тота со, должен быть аналитической функцией параметров
1. СВОЙСТВА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ 175 задачи. Поэтому со2 = а + с2/? + Ы,А + .. . Деформация среды, соответствующая звуковой волне при к -> 0, должна переходить в сдвиг системы как це- лого. Энергия, соответствующая такому сдвигу, равна нулю. Поэтому для звуковых волн а = 0 (теорема Гольд- стоуна), и следовательно, для малых к частота ю= с | к |. 1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ Как мы увидим, аналитичность некоторых физиче- ских величин определяется требованиям^ причинности. Рассмотрим, например, аналитические свойства диэлек- трической постоянной. Электрическая индукция 55 (t), возникающая в системе при наложении электрического поля <£, определяется амплитудой поля во все предыду- щие моменты времени t — т (т )> 0). Итак, ® (Г) = ./Г (т) % (t — т) dr, (4.1) о X (т) — вещественная и убывающая функция т, так как она связывает физические величины, сдвинутые по вре- мени на величину т. Это соотношение вытекает лишь из того, что следствие наступает позже причины. Разложим $ и 55 в ряды Фурье $ 5) = 55ше~’“( dm. Из (4.1) находим ОО % J^X (т) eiwT dx, о откуда диэлектрическая постоянная определяется соот- ношением еш = = \ УС (т) № dx. & (Л V (4.2)
170 ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Величина еш аналитична в верхней полуплоскости со. Действительно, если обозначить со = соо + iсой где coj^> 0, то подинтегральное выражение в (4.2) содержит зату- хающую экспоненту е-Ш1Т, и поэтому интеграл (4.2) схо- дится и, следовательно, представляет собой аналитическую функцию. Нетрудно видеть, что аналитические свойства е и 1/е совпадают. Рассмотрим длинный и короткий цилиндры Рис. 38. вещества, на которые наложе- но внешнее поле <$0 (рис. 38). В случае длинного цилинд- ра поле внутри $ равняется внешнему полю <$„, а индук- ция ® = е$0. В случае ко- роткого цилиндра индукция 3) равняется внешнему полю $0, а поле внутри 3' = $0/е. Это вытекает из известных граничных условий для нор- мальных и тангенциальных составляющих электрического поля и индукции. В первом случае имеем оо 3) = (г) &о (I “ Т) о оо 8 = (т) eiMT dx. О Во втором случае поле определяется значениями $0 = = ® в предыдущие моменты времени, оо % =(т) 3) (t — х) dx, о откуда оо -1_ = (Г) eiaxdx. о Таким образом, аналитические свойства ей 1/е сов- падают. Следовательно, диэлектрическая постоянная не имеет ни полюсов, ни нулей в верхней полуплоскости со. Используя аналитичность, можно выразить вещест- венную часть диэлектрической постоянной через ее мни-
1. СВОЙСТВА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ 177 мую часть. Рассмотрим комплексную плоскость со2. В этом случае область аналитичности представляет собой первый лист римановой поверхности — все особые точки лежат на втором листе. Первый лист переходит во второй через разрез, идущий вдоль положи- тельных со2 из начала коорди- ______________ (Q) нат (рис. 39). св/ х. Для того, чтобы связать ве- / \ щественную и мнимую части —I------------ диэлектрической постоянной, \ 1 воспользуемся теоремой Коши: \ / /(г)= * ф f d— . У z — г Рис зд> Здесь С — замкнутый контур, не содержащий внутри себя особых точек / (z). Применим эту теорему к функции е (со2), взяв в качестве С контур, изображенный на рис. 39. Целесообразно выбрать функцию / так, чтобы интеграл по бесконечно большому кругу Со обращался в нуль. Так как при со оо величина е 1 (как мы увидим ниже), то нужно взять / = е — 1. Итак, 8(®2) —4 =_2^г $ <4-3) Ct+C, 1 Здесь интегрирование сводится к обходу разреза. Обо- значим через еДсо2) значение е на верхнем берегу разреза, а е2 (со2) — значение па нижнем берегу. Свяжем эти ве- личины друг с другом. Положим на верхнем берегу раз- реза со = со0 (со0 вещественно). Тогда на нижнем берегу имеем со = сооел{ = —со0. Следовательно, оо 81 (со?) = сйГ (т) е1ш»т dx о и СО е2 (со?) = СК (т) dx. о Так как Я1 (т) и со0 вещественны, то отсюда находим, что е2 (со?) = [ej (со?)]*. (4.4)
178 ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Подставляя (4.4) в (4.3) и учитывая, что на верхнем бе- регу разреза со2 -+ со2 + гб (б +0), получаем еш = ег (со2) = 1 + -i- о Im е (со2) </со2 со2 — со2 — i6 (4.5) Легко проверить, что при выбранном знаке б вычисление мнимой части (4.5) приводит к тождеству. Таким образом, зная мнимую часть диэлектрической постоянной, можно восстановить всю величину е. Мнимая часть диэлектрической постоянной, опреде- ляющая поглощение электромагнитных волн системой, отлична от нуля, только когда частота волн в пределах ширин соответствующих уровней совпадает с собственны- ми частотами системы со,,. Это будет ясно из рассмотрен- ного ниже примера. Иными словами, пренебрегая ши- ринами, запишем Im е в виде: Im е (со2) = 2 л/пб (ю2 — )• (4.6) п Подставляя (4.6) в (4.5), получаем 8(ы2)=--1+2-2 -.Г- (4-7) „ со2—со2—гб Если со2 ;2>> со2, т. е. длина волны света мала по срав- нению с атомными размерами, то атомная структура ста- новится несущественной и величина е переходит в ди- электрическую постоянную идеального газа электронов: 8 = 1 — 4лпе2/тсо2. (4.8) СО->СО Здесь п — число электронов в единице объема, а т — масса электрона. Формула (4.8) поясняется на рассмотрен- ном ниже примере. Сравнивая это выражение с (4.7), находим: 2 /п = 4лпе2/ти. п Это соотношение называется правилом сумм. Аналитические свойства диэлектрической постоянной в простой модели. Рассмотрим среду, состоящую из осцил- ляторов, имеющих частоту со0 (нетрудно исследовать и более
1. СВОЙСТВА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ 179 реалистический случай совокупности осцилляторов с раз- ными частотами). Такие осцилляторы имитируют атом- ные электроны. Уравнение движения для осциллятора под действием внешнего электрического поля (/) имеет вид г + hr + = — <£. 1 IV гп Здесь h—коэффициент затухания. Разлагая г и <= в интег- ралы Фурье по формулам г = j dco и <а = j ^е'^'с/со, получим С')2 1Н(11Г(Д “Р со ^со» откуда е- g . т Ш со2 — ы2 — гЛы Вычислим дипольную поляризацию вещества ^>ы: Фсо --- И6?*со гае2 g. 1 т ш со2 — со2 — iha> Здесь п — число осцилляторов в единице объема. Ди- электрическая проницаемость еш находится с помощью известных соотношений электродинамики До СД> + = , 4ягае2 1 “ <%> -Г т со2 —co2— i/iw Отсюда при со2 со^ получаем найденную выше форму- лу (4.8). Если система состоит из осцилляторов разного ти- па, то в последней формуле нужно ввести сумму по часто- там соп: Здесь пп — число осцилляторов с энергией соп в единице объема. В этом случае, полагая й-> оо, находим п
180 гл. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Сравнивая с (4.8), получаем правило сумм в форме пп= п (п — число электронов в единице объема). Мы видим, что при со оо свойства выбранной модели, как и должно быть, не влияют на результаты. Коэффициент затухания hn определяется интенсив- ностью переходов из и-го состояния в другие состояния. Мы видели (стр. 56), что hn <<Г соп. Как видно иэ (4.9), коэффициент затухания определяет мнимую часть диэлектрической постоянной. Проверим, что еш имеет полюса и нули только в нижней полуплоскости со. Из (4.9) следует, что полюса еш нахо- дятся в точках со = + У con — ihna ~ +1 con | . Так как hn 0, то Im (со) 0. Для нахождения нулей рассмотрим сначала случай одного осциллятора с частотой со0 и коэффициентом затухания h0. Приравнивая выражение (4.9) нулю, на- ходим . 1 /~ 2 , 4ле2га . , со = ± у со0 4----------ihgti) ж /2 , 4ле2га . h0 С00 4---------I -я- . и 1 т 2, Итак, Im со 0. В случае нескольких осцилляторов, как видно из (4.9), вещественные части нулей будут лежать между вещественными частями полюсов. Ввиду того, что все hn имеют одинаковый знак, они будут сдвигать нули еш в ту же сторону, что и в случае одного осциллятора. Таким образом, мы проверили все аналитические свойства диэлектрической постоянной на простой модели. Исследуем в рассматриваемой модели структуру функ- ции СК (т). Имеем: = Г СК (Г) fC^dX = 1 4- 2 —-------г~т— • J т со„ — со2-— ih ш о п п П Отсюда х = S (Г) +
2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ 181 Мы видим, что величина hn определяет затухание СК (т), а также сдвиг собственных частот юп -> ]^(0п — hn/^. Отметим, что так как СК (г) экспоненциально убывает, то индукция 2) (i) определяется значениями поля S’ (i — т) в момент времени, отстоящий от времени t на вели- чину порядка т ~ 1/h. Отметим, кроме того, что мнимая часть диэлектрической постоянной есть нечетная, а ве- щественная — четная функция со, в согласии с тем, что требует обратимость во времени. 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ Унитарность как следствие принципа суперпозиции и сохранения вероятности. Исследуем аналитические свойства амплитуды рассеяния. По определению, вол- новая функция Tout после рассеяния связана с волновой функцией Yin до рассеяния посредством так называемой S-матрицы: Yout = SYm- Покажем,'"что из сохранения вероятности и принципа суперпозиции вытекает свойство унитарности S-матрицы. Матричные элементы S-матрицы Sae суть амплитуды перехода из состояния а в состояние с. Следовательно, из сохранения вероятности 3' | Sac |2 = 1. Это равенство гв____________________________________ символически записывается в виде (S+S)aa = 1. Из кван- товомеханического принципа суперпозиции вытекает, что волновая функция |«> любого состояния может быть пред- ставлена в форме: | а> = а | а) + [31 &) + . . ., где | а>, | Ъ} ... — набор базисных состояний. Условие (S+S)— = = 1 можно записать в виде: | а |2 (S+S)ao + |3 |2 (S+S)bb + . . . ... + оф* (S+S)ab -I- (S+S)ba -|- . . . = 1. Так как (S+S)aa = (S+S)bb = . . . = 1 и | a |2 +1 3 |2 + ... . . . = 1, TO ap* (S+S)ab + a*3 (S+S)ba + ... _ 0. Ввиду произвольности коэффициентов a, 3 оконча- тельно находим: (S+S)ab = 0. Вместе с условием сохра- нения вероятности это равенство можно записать в виде
182 гл. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН (5+5)аЬ = баЬ или, в операторной форме, 5 +5 = 1, Таким образом, 5-матрица обладает свойством унитарности. Удобно выделить из 5-матрицы единичную матри- цу, описывающую процесс без реального рассеяния: 5 = = 1 + iT. Тогда условие унитарности 5-матрицы при- обретает вид (1 — iT+)(l + iT) = 1, или Т+Т == i(T+ — 'Г). В матричных элементах это соотношение записывается в форме 2ImTob =27’;0ТсЬ. (4.10) Определим амплитуду рассеяния f посредством соот- ношения Т = /б (Е — Е'). Здесь М — масса рассеива- емой нерелятивистской частицы, а дельта-функция вы- ражает закон сохранения энергии при рассеянии. Тогда соотношение (4.10) для диагональных элементов (о — Ь) можно записать в виде Аа2 хп б (Е— Е ) б (Е —Е') 1аа = ~~М~ S I /«с I2 б (Д' __ )£') (4.11) В левой части стоит амплитуда рассеяния на угол ноль. В правой части в числителе б (Ес — Е') можно заме- нить на б (Е — Е'), после чего эта б-функция сокра- щается с б-функцпей в знаменателе. Тогда в правой части уравнения (4.11) возникает сумма 21 /ис |2 б (Е — Ес). Промежуточные состояния с характе- С ризуются импульсом р'. Заменяя суммирование по р' ин- тегрированием (^2 получаем: 51 /»-|*8(Е. - =т^| /(0) Г da dp Здесь обозначено: fab = fPP’ = / (9). „ dE Величина = и есть скорость налетающей частицы. Интеграл J |/ (0)|а = о есть полное сечение рассеяния.
2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ 183 Итак, из (4.11) находим: или Im/(0) (4.12) Это соотношение пазываетсяоптической теоремой. Оно связывает полное сечение рассеяния с мнимой частью ам- плитуды рассеяния па угол__ноль._ Ниже приводится другой вывод оптической теоремы, вытекающий из закона сохранения частиц. Дпсперспонное соотношение. Аналогично тому, как это было сделано для диэлектрической постоянной, свяжем штимую и вещественную части амплитуды рассеянияП*ас- смбтримГ^апример, рассеяние света заряженной системой. Напишем операторное соотношение В = 5Л. Здесь ве- личина А характеризует амплитуду падающей волны, а В — амплитуду рассеянной волны. В частном случае, когда амплитуда А берется в момент времени t — —оо, а амплитуда В — в момент t — +оо, оператор S эквивалентен введенной выше 5-матрице. Отметим, что диэлектрическая постоянная является част- ным случаем оператора S, когда величины А и В не зависят от координат. Сделаем предположение, что до момента времени t = О амплитуда падающей волны на некоторой контрольной плоскости, расположенной до рассеивающей системы, равна нулю. Относительно В можно утверждать, что В (t) = 0 для t где ti 0. Перейдем к фурье-компонентам: оо оо Аш = A (t) eital dt, Вш = ^ В (£) <?*“' dt. о Ч Так как A (t) = 0 при t < 0, то Аш не имеет особенностей в верхней полуплоскости. Аналогично Ва также не имеет особенностей в верхней полуплоскости. Из соотношения В^ = SAa следует, что величина S может иметь особен- ности лишь в нулях Аш. Но 5 не может зависеть от част- ного вида т. е. не может зависеть от расположения
184 ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН нулей Лш, следовательно, нули Аы совпадают с нулями Вш, и 5 не может иметь особенностей в верхней полупло- скости. Оператор S, как мы видели выше, линейно связан с амплитудой рассеяния / (со2) света. Величина / (оо) отлична от нуля и представляет собой сумму амплитуд рассеяния света на свободных частицах среды. Поэтому дисперсионное соотношение нужно применять не к / (со2), а к разности / (со2) — / (оо). Оно аналогично дисперсион- ному соотношению для диэлектрической постоянной е / (ш«) = /(оо) + — ( 1т[/(^)~/(^)) ^2 (4.13) Я о Ф2 — ф2 — гб Резонансное рассеяние при малых энергиях. При больших г волновая функция задачи рассеяния имеет следующий асимптотический вид: Y _> eipz 4- J- gipr. Г-oo r Рассмотрим сначала сферически-симметричное рассеяние. Сферически-симметричная часть Т", описывающая рас- сеяние с I = 0, при больших г равна С w _ sinpr /о ipr = _и_ J 4л r-оо Рг Ф Г Г Здесь /0 — сферически-симметричная парциальная ам- плитуда. Функцию и можно записать в виде: и == — е-^г + -1- + 2ip/o- е^т. (4.14) 2ip ' 2ip ' > Ток частиц, составленный из выражения (4.14), равен разности токов, образованных из двух слагаемых и (в выражении для тока перекрестные слагаемые сокраща- ются). Если рассеивающий центр не поглощает и не ис- пускает частиц, то эти токи равны друг другу. Условие их равенства имеет вид: | 1 2ip/0 )2 = 1, или, иначе, /о —/о = 2ip/o/o\ Im /0 = Р | /о |2, (4.15) откуда получаем -t 1 g,(?)-,y. (Мб)
2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ 185 где g0 (р2) — вещественная функция р2. При малых энер- гиях она может быть разложена в ряд. Как мы увидим, в случае рассеяния на потенциальной яме параметром разложения является отношение энергии к глубине ямы. Формула (4.15) представляет собой частный случай оптической теоремы (4.12), связывающей мнимую часть амплитуды рассеяния на угол ноль с полным сечением. Исследуем теперь поведение произвольных парциаль- ных амплитуд fi при малых энергиях. По определению /(0) = SA(2Z + 1)p<(cos6)- Из формулы (4.10), вводя вместо Таь амплитуду рас- сеяния и заменяя суммирование по с интегрированием по промежуточным им- пульсам р' (но не по- лагая, как в (4.11), / а = Ь), находим: —*Р’ — = р ,п J Рис. 40. Здесь у = (0, q>) и у' =' = (О', q>') — углы, показанные на рис. 40. Разлагая амплитуды f (О), / (у) и / (у') по парциальным амплитудам, получаем: S (2Z + 1) Im (cos &) = I = 4? S (2г + 1)(2*' + 1) /’//' Л (cos 0) Pl. (cos О') dy'. ii’ J По теореме сложения для полиномов Лежандра Pt (cos 0) = Pi (cos &) Pi (cos 0') + ... Отброшенные члены содержат выражения вида cos тп (ф — ф'). При интегрировании по ф' они обратятся в ноль. Используя свойство ортонормированности полиномов Лежандра, окончательно находим: Im = р | |2. Отсюда gtW-
186 гл. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Вернемся опять к сферически-симметричному рассея- нию. Как мы увидим ниже (стр. 189), при малых р2 су- щественно s-рассеяние. Разлагая g0 (р2) в ряд Тейлора и обозначая —g0 (0) = х, находим: 1 Величина /0 имеет полюс в точке р ~ гх (второй корень квадратного уравнения — х — ip + ар2 = 0 соот- ветствует столь большим импульсам р, при которых неприменимо разложение g0 в ряд Тейлора). Если рассматривать / как функцию энергии р2/2 (массу час- тицы полагаем равной единице'), то при р2 --- 0 имеется корневая точка ветвления. Чтобы /0 (р2) стала однознач- ной, проведем в плоскости р2 разрез из начала координат вдоль вещественной положительной полуоси (рис. 41). Он делит плоскость р2 на два листа. Если х 0, то по- люс /0 лежит на отрицательной вещественной полуоси первого листа, а если х 0, то — второго. Величину х можно выразить через энергию слабосвя- занного состояния в рассеивающей яме (если такое со- стояние существует). Подставляя (4.17) в (4.14), получаем: и ~ —-L-fg-iP’-----+ eivA . Г-.ОО 2iP \ —x — ip / Функцию и можно аналитически продолжить в область отрицательных энергий, что соответствует мнимым зна- чениям р. Пусть энергия связанного состояния равна — Ео. Обозначим х0 = Тогда при р= + т0 вол- новая функция должна стать волновой функцией связан-
2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ 187 ного состояния. Поэтому в выражении для и при р = = ± ix0 не должно оставаться слагаемого с растущей экспонентой. При р = м0 получаем Для того чтобы можно было пренебречь растущей экс- понентой, необходимо положить х = х0 > 0. Таким обра- зом, в случае связанного состояния амплптуда рассеяния имеет полюс при р = ix0 /--------(4-18) Положение полюса определяется энергией связанного состояния. Эта формула имеет смысл, когда энергия свя- занного состояния Ео мала по сравнению с глубиной по- тенциальной ямы. В таком случае при малых энергиях рассеиваемых частиц происходит резонансное увеличение эффективного сечения рассеяния, и можно пренебречь влиянием потенциального рассеяния и влиянием других уровней. Так как х0 0, то полюс, соответствующий связан- ному состоянию, лежит, на первом листе плоскости р2. Можно показать, что все полюса на первом листе пред- ставляют собой связанные состояния. По этой причине первый лист называют физическим (см. рис. 41). В случае х 0 полюс амплитуды рассеяния лежит на втором (нефизическом) листе и соответствует так назы- ваемому виртуальному состоянию. Например, синглет- ная амплитуда рассеяния нейтрона на протоне имеет полюс при энергии ~ —70 кэв, соответствующий вирту- альному состоянию. Такой полюс проявляется как резо- нанс в рассеянии при малых энергиях, однако не соот- ветствует связанному состоянию. На нефизическом листе могут быть и другие особен- ности. Они могут находиться (в отличие от физического листа) в любой точке комплексной плоскости. Представ- ляют особый интерес полюса, расположенные вблизи положительной вещественной полуоси р2 в точках р2 — = Ро — iy (у 0). Каждый из таких полюсов сильно влияет на амплитуду рассеяния при энергии, близкой к р%/2
188 ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН и приводит к резонансному рассеянию с шириной у. Эти полюса определяют так называемые квазистационар- ные состояния. Ширина у равна обратному времени жизни этого состояния (стр. 146). ЗАДАЧА Из закона сохранения частиц получить (аналогично тому, как это было сделано в тексте) оптическую теорему в случае поглощения, определяемого сечением <тс. Ответ. Im/0 =-А. (4л |/о |2 + ос)- Нерезонансное рассеяние при малых энергиях. Ис- следуем аналитические свойства амплитуды рассеяния / (р, 0) при малых энергиях. Сначала определим, при каких условиях функция / (р, 9) аналитична в точке р = 0. Для этого напишем уравнение, связывающее f (р, 9) с волновой функцией задачи рассеяния = = eiprup (г). Здесь ир — функция, модулирующая пло- скую волну. Как мы увидим, особенности f (р, 0) при р = 0 определяются поведением Тр и V на больших рас- стояниях г, где 'Ер -> eipr + eipr и Ир -> 1 4- т. е. ир ~ 1 при г-> оо. Вопрос об аналитичности при р -> 0 может быть рассмотрен в борновском приближении. Действительно /(р> 9) = — б-’”’V (г) ир (г) dr-e-i«r V (г) dr, где q2 — 2р2 — 2рр'. Если V (г) убывает при г -> оо экспоненциально (или более сильно), то все производные от / по р конечны (соот- ветствующие интегралы сходятся), т. е. f аналитична при р = 0. Пусть V (г) убывает при г -> оо степенным образом. Продифференцируем / (р, 0) по р достаточно большое число раз. При каждом дифференцировании экспоненты e-i®r в подинтегральное выражение добавляется мно-. житель, пропорциональный г. Он ослабляет убывание
2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ 189 этого выражения при г —> оо. Следовательно, достаточно вы- сокая производная при р->0 расходится. Таким образом, в случае потенциалов, убывающих при г—> оо степенным об- разом, амплитуда рассеяния при р = 0 имеет особую точку. При большом показателе степени эта особенность не ока- зывает заметного влияния на рассеяние частиц малых энер- гий, так как проявляется лишь в очень высоких производ- ных от амплитуды рассеяния. Найдем зависимость амплитуды рассеяния от р при малых р в случае достаточно быстро убывающих на бес- конечности потенциалов (экспоненциально или сильнее). Для этой цели удобно перейти от переменных р, 0 к пере- менным рр' и р2. Тогда по определению парциальных ам- плитуд рассеяния оо (=0 Как известно, функция является полиномом Z-й степени, а именно: Рассмотрим поведение амплитуды при фиксированном значении рр' иприр2->0. Это означает, что мы рассмат- риваем аналитическое продолжение амплитуды в нефи- зическую область углов cos 0 -> оо и требуем аналитич- ности в этой области. Это требование эквивалентно аналитичности по р2 при фиксированном </2, которая легко может быть дока- зана для достаточно быстро убывающих потенциалов и особенно очевидна в борновском приближении, когда / вообще не зависит от р2 при заданном q2. При фиксированном значении рр' и при р -> 0 функ- ция / не имеет особенности по р только при fi = d1P21 + d2p2Z+1 + ... Поэтому, если нет физических причин для обращения dt в ноль, то при малых р амплитуда пропорциональна р21. Здесь dx ~ Л2г+1, где R — характерная длина потенциала.
190 гл. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Фаза рассеяния б; связана с известным соотно- шением *) 'l 21р При малых р отсюда находим: б; ~ p2l+1. Рассеяние на потенциальной яме. В качестве примера, иллюстрирующего аналитические свойства амплитуды рассеяния, рассмотрим рассеяние частицы с малой энер- гией на потенциальной яме. Предположим, что яма имеет достаточно резкий край. Обозначим через R эффективный размер ямы. Будем рассматривать столь малые энергии Е налетающей частицы, что выполняется условие pR-Yt 1, где р = Y2E. Как мы только что убедились, при вы- полнении этого условия существенно лишь 5-рассеяние. Вне ямы функция и ^r) = гТ" (г) имеет вид, совпадающий со своим асимптотическим выражением u(r) = + /oeipr. При г ~ R имеем: и (г) ж г + /0 (1 + ipr). Обозначим логарифмическую производную волновой функции внутри ямы при г ~ R через g0 (Е). Сшивая логарифмические производные внутренней и внешней волновой функции, находим: откуда /о go С6) — ip ' Этот результат представляет собой другой вывод формулы (4.16). Характер g0 (Е) можно увидеть на примере прямо- угольной ямы. Обозначим глубину ямы через С70. Тогда внутри ямы и (г) = A sin кг, где к = Y2 (?70 + £). *) Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Квантовая меха- . ника, Физматгиз, 1963', стр. 547.
2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ 191 Следовательно, g0 (£) = к ctg kR. Выражение, стоящее в правой части последнего ра- венства, разлагается в ряд по целым степеням малой ве- личины EIUO. Таким образом, g0 (Е) — действительно аналитическая функция энергии Е. Если внутри ямы имеется связанное состояние с энер- гией —Ео, то волновая функция вне ямы имеет вид: и (г) = Ве~^2Е°г. Сшивая логарифмические производные, как это делалось выше, находим: g0 (—Ео) = —]/ 2Е0 ~ = —х0. Если энергии Е и ЕГ) малы по сравнению с Ua, то можно утверждать, что g0 (Е) х g0 (—Ео) = —х0, и мы получаем снова результат (4.18). Малость g0 (£') = к ctg kR достигается, когда kR х ~ л/2. Получаем известное условие появления связан- ного уровня в прямоугольной яме: Un )> n2/8R2. Аналогичным способом можно рассмотреть случай ямы с барьером *). Результат имеет вид '° —ip — х ар2 Rt _________ Здесь а ~ — R^eпричем В = 2 У2 (V — Е) dr — пока- н, затель проницаемости барьера, a 7?i и Т?2 — классиче- ские точки поворота. Аналитические свойства волновой функции. Согласно теореме Пуанкаре особые точки решения линейного диф- ференциального уравнения могут быть только в особых точках коэффициентов этого уравнения—(кяпме бесконез- по удаленной точки). Например, осцилляторный потен- циал Р = для эдпомерного уравнения Шредингера не имеет особых точек в конечной области пространства. Поэтому и решение уравнения Шредингера может иметь особую точку только на бесконечности. То же справедливо для трехмерного случая (У = аг2). Например, волновая функция основного состояния Т ~ ехр (—]Л2аг2). Рассмотрим аналитические свойства волновой функции Чг (г) по переменной г для частицы, движущейся в произ- *) А. Б. М п г д а л, А. М. Пере л омов, В. С. Попов, ЯФ 14, 829 (1971).
192 ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН вольном сферически-симметричном потенциале с орби- тальным моментом, равным нулю. В системе нет выделен- ного направления, следовательно, функция У аналитич- на по переменной г2. Волновая функция может иметь осо- бенности только в тех точках, где имеет особенность потенциал как функция г2. Однако особые точки коэффициентов могут и не быть особыми точками решения. Например, в уравнении щ + 2 (Е — 7() щ = О, где V; = V + I (I + 1)/2г2, точка г = 0 является особой точкой коэффициента уравнения. Пусть при малых г можно пренебречь величиной V по сравнению с I (I + 1)/^. Тогда радиальное уравнение Шредингера приобретает вид — r2ui I (I -|- 1) U[ = О, откуда иi ~ r!+1 или иг — г-1. Итак, существует решение иг ~ rl+1, регулярное в точке г = 0. Кулоновский потенциал V = Z/r = Z/У х2 + у2 + г2 при фиксированных у и z имеет корневую точку вет- вления по переменной х. Следовательно, в той же точке может иметь особенность волновая функция. Например, для основного состояния частицы, как известно, У ~ ехр [— Уж2 + у2 + z2]. В частности, начало координат является особой точкой. Мы видели (стр. 55), что эта особенность кулоновских волновых функций определяет характер энергетической зависимости сечения фотоэффекта. В дальнейшем мы еще вернемся к свойствам анали- тичности Т-функции, но не как функции г, а как функции энергии. Одночастичные функции сплошного спектра при малой энергии. Получим удобное для дальнейших вычислений выражение для функций сплошного спектра с малой энер- гией ер. При расчете матричных элементов обычно входят функции на расстояниях порядка радиуса R потенциаль- ной ямы. Покажем, что если то волновая функ- ция (г) может быть записана как произведение мно-
2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ 193 жителя, зависящего только от р, на функцию <р0 (г), удов- летворяющую уравнению Шредингера с р = 0. Действительно, оценка Аф0 есть Аф0 ~ ф0//?2, и н0* этому в уравнении для <рр (г) Афр (г) + 2 (ер — V) фр (г) = 0 величиной ер = р2/2 при условии pR <<? 1 можно пре- небречь. Итак, будем изображать фр в виде *) Фр (г) = % (р) Фо (г). (4.19) Для простоты ограничимся сферически-симметричными состояниями. В качестве ф0 выберем решение уравнения Шредингера, конечное в нуле и удовлетворяющее на бес- конечности условию Фо(»-) = —• Г-*ОО При энергии связи е0, стремящейся к нулю, функция Фо отличается только нормировочным множителем от функции связанного состояния. Для двух частиц одина- ковой массы (например, для случая дейтона) легко по- лучить у" Мео Фа = аф0, где а = -*------ Функции фр (г) будем предполагать нормированными на интервал dp. Тогда вне ямы сферическая^ часть фр (г) имеет вид: гир (г) _ sin (рг + до (р)) г рг Как мы видели выше, при малых р сферическая пар- циальная амплитуда рассеяния /0 имеет полюс в точке р = in (х )> 0 "для реального уровня и х 0 для вир- туального). В1 окрестности этого полюса резонансно •) Аналогичное свойство функций сплошного спектра для анергий, близких к энергии квазистационарного уровня, исполь- зовано в работе В. М. Галицкого, В. Ф. Чельцова (Nucl. Phys. 56, 86 (1964)); см. также сноску на стр. 191. 7 А. Б. Мигдал
194 ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН возрастает и фаза б0 (р), связанная с /0 соотноше- нием: l/о | = -у-1 Sin6 (р) |. Следовательно, имеется широкая область R г <С 1/р, где б0 (р) рг; таким образом, имеем: Up sin 6g (р), тогда как гф0 в этой области в силу нормировочного ус- ловия равно 1. Поэтому, используя (4.17), находим: IX (Р) |2 = у- sin2 б0 (р) = | /012 = уу-гугуу • (4-2°) Вдали от полюса, т. е. при р2 ~ Uo (Uo — глубина ямы), I X (р) I 2 ~ MU0‘, вблизи полюса (например, при ар2—х = 0) имеем | %(р) |2-~Л/Е. Ниже будет рассмотрено несколько примеров использования этого свойства вол- новых функций. Итак, при малых р и х возникает усиление волновых функций сплошного спектра на малых расстояниях в VUJE раз. Разделение волновой функции фда (г) на произведение двух членов, один из которых зависит от г, а другой — от р, позволяет очень просто вычислять матричные элементы. Интегрирование по г сводится просто к взятию среднего по функции ф0. 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ Теория ядерных реакций с образованием медленных частиц. Приведем еще один пример того, как учет осо- бенности волновой функции позволяет решить сложную задачу. В данном случае будет учтено существование по- люса не в амплитуде рассеяния на потенциальной яме', как это было в задаче предыдущего раздела, а в амплитуде рассеяния двух нуклонов, появившихся в результате реакции (Мигдал, 1950; Ватсон, 1952).
3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ 195 Рассмотрим ядерную реакцию, в результате которой наряду с другими частицами образуются два нуклона с малой относительной энергией. Такой случай осущест- вляется, например, при рождении л-мезона в столкно- вении двух нуклонов с энергией, близкой к энергии обра- зования пиона, или при разрушении дейтона нейтроном, когда энергия вылетающего протона близка к своему максимальному значению и относительная энергия ней- тронов достаточно мала. Сечение такого процесса наряду с несущественными множителями- будет пропорционально квадрату матричного элемента, содержащего волновую функцию относительного движения рассматриваемой пары нуклонов, 5 ~ | (Ф, фр (т1 — г2)) |2. (4.21) Величина Ф содержит интегралы по координатам осталь- ных частиц, участвующих в реакции, и при малом от- носительном импульсе р нечувствительна к величи- не относительной энергии рассматриваемых нуклонов. Так как в интеграле (4.21) существенны расстояния — г2 | ~ г0, где г0 — радиус сил (prn <<! 1), то можно использовать для фр соотношение (4.19). Поэтому сече- ние для выбранной в (4.20) нормировки фр имеет вид dc^A^dp^ А-£^, (4.22) где Е = р2!М — энергия относительного движения (при- веденная масса нуклонов равна MI2). Здесь мы исполь- зовали выражение (4.17) для амплитуды S рассеяния двух нуклонов. Величина е0 зависит от типа и суммар- ного спина нуклонов. Для нейтрона и протона со спином единица е0 = 2,2 Мэв (энергия связи дейтона), для спина нуль е0 ~ 70 кэв (виртуальный уровень). Для двух ней- тронов полюс в амплитуде имеется только при спине нуль (е0 ~ 70 Мэе, см. ниже). Два нейтрона со спином 1 не могут согласно принципу Паули находиться в ^-со- стоянии и поэтому имеют малую нерезонансную амплитуду рассеяния (согласно стр. 189 амплитуда с I 0 падает с уменьшением р). В случае двух протонов формула (4.22) усложняется их кулоновским отталкиванием. 7*
19g ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Так как dp ~ У Е dE, то распределение по относи- тельным энергиям имеет вид dWE = const • (4-23) xj —р- с<0 График функции dWE!dE между импульсами (р + показан на рис. 42. Сечение реакции имеет максимум при Е = 8q. Найдем вероятности реак- ции в зависимости от угла между вылетевшими нукло- нами. Обозначим через рц проекцию р на направление импульса Р центра инерции двух нуклонов, а через р±— проекцию р на плоскость, перпендикулярную Р. Угол Р)/2 первого и (—р -|-Р)/2 второго нуклонов определяется выражением sin 0 = |(р + ^)Х,(-Р + р)1 Ip + ^I+ ~ р • Мы предположили, что р Р. Фазовый объем dp в пере- менных р ||, р± пропорционален p±dp±dp ц. Подставляя в (4.22), находим 0 с?0 d\Vp = const----------- p2gT • Мео + ^| + —~ Интегрируя по dp ц, находим dWo = const в**9 _ (4.24) /02+&)/fc’o где Ей = РЧ^М — энергия центра инерции двух нукло- нов. Таким образом, характерные углы имеют порядок Изложенная теория предсказала возможность опре- деления константы е0 для двух нейтронов по характеру , . энергетического распределения третьей частицы. Такие опыты были выполнены на реакции d + и = р 2п
3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ 197 (В. К. Войтов едкий и др. 1965). Найдем спектр про- тонов, из которого была определена константа е0. Обозначим импульс протона в системе центра инерции трех нуклонов через Рр. Импульс системы двух нейтронов равен —Рр. Полная энергия системы Et складывается из энергии протона, энергии центра инерции двух нейтронов и энергии их относительного движения Е £--2Ж/>» + ^в-р» + £ = т£»+£- Максимальная возможная энергия протонов Е™, соот- 2 ветствующая Е = 0, будет Е™ = — Et. Распределение вероятности в функции Ер дается вы- ражением, которое получается из (4.23) переходом к пере- менной Ер, У еЦ1 — л’п dEn dWEn = const------2—2— . (4.25) Р о _,m 8о -f- ~2” (®р — ^р) Сравнение этого распределения с экспериментальным показало, что е0 70 кэв. Кроме того, было показано, что этот уровень — виртуальный, так как в противном случае в распределении протонов возникла бы монохро- матическая линия с энергией Ер = Е™ + е0, соответству- ющая связанному состоянию двух нейтронов, чего не на- блюдалось на опыте. Таким образом, энергия виртуального уровня двух нейтронов со спином 0 совпала с энергией виртуального уровня нейтрона и протона с тем же спином, в согласии с изотопической инвариантностью ядерных сил. Теория позволяет рассчитать отношение вероятности вылета сво- бодных нейтрона и протона к вероятности вылета дей- тона. Отношение этих вероятностей согласно (4.21) дается выражением = |(Ф,Фр(/-1-гч))|2 I (Ф, <Pd - г2)) |2 (2л)3 ' ’ Используя выражения <рр = % (р) ф0, фа — аФо и нор- мировку функции <pd связанного состояния, приведенную
198 ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН в предыдущем разделе (стр. 193), получим 7 t t 1 fa d fa i г 0^7 4 dsi, p = sd----L—-------, (4.27) ’p W f a й + «о v ’ где dGn, p соответствует свободным нейтрону и протону с параллельными спинами. Для грубой оценки отношения полных сечений предположим, что (4.27) справедливо во всей области значений Е до Е,п. Находим (4-28) Взаимодействующие частицы в потенциальной яме. Найденный в предыдущем разделе простой вид волновых функций при малых энергиях позволяет решить задачу о движении двух взаимодействующих частиц в потен- циальной яме *). Гамильтониан задачи имеет вид Н = Н. (гД + Н2 (r2) + Н' (п, г2). (4.29) Предположим, что найдены собственные функции ф^ (гi), фх^Гг) одночастичной задачи, удовлетворяющие уравнению Я1)2 (г) ф(х1,2) (г) = ек1,2)Ф(х'2)(г), (4.30) и предположим, что имеется связанное состояние с момен- том нуль и с энергией е0, близкой к нулю. Тогда функции Фр’ (г) для pr <0 1 с моментом I можно записать анало- 1ично формулам предыдущего раздела в виде ф^(г) = ф^(г)х<1)(р), где X°(p) = Z(p) определяется выражением (4.20). При малом г функция связанного состояния фЕо отличается от ф<о) только нормировочным множителем а (см. ниже). Разложим собственную функцию Y (гх, г2), являю- щуюся решением уравнения НТ = EW, (4.31) *) А. Б. М и г д а л, ЯФ XVI, 8 (1972).
3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ 199 по системе собственных функций в отсутствии взаимодей- ствия Н' = S $ dpdp'Cw (р, р') ф£> (л) <р(рР (г2) + I,1'^=0 + S $ dp {С10 (р) ф<,° (г,) <рЕо (г2) + Со1 (р) <ре„ (гх) ф(р’ (г2)} + 1^0 + С^оофео (Г1) фе» (Г2)’ (4.32) Для простоты мы предположили, что обе частицы имеют одинаковые волновые функции ф>.. Равенство (4.32) можно символически записать в виде Т = (4.33) Тогда уравнение Шредингера (4.31) принимает вид (А’-Е2)Са = ('Р“Я'Т) = 3(У«Я'^)С3. (4.34) з В этом уравнении мы не можем использовать простой вид функций Т® (гь г2) при малых гх, 2, так как в интегралах Са — (Т£, Т) существенны как большие, так и малые рас- стояния. Удобнее написать уравнение для величины Аа — = (ТаЯ'Т), в которой, как мы увидим, существенны только малые расстояния fi, 2 ~ R. Из (4.34) находим Л = (Т’Я'Т?) 2 (4.35) Так как на малых расстояниях состояния с моментом I = 0 усилены благодаря присутствию связанного со- стояния (см. (4.20)), то в разложении (4.32) можно оставить только состояния с моментом I = 0. (Можно по- казать, что учет членов rc I ф 0 приводит к существен- ным поправкам только в том случае, когда между части- цами есть резонансное взаимодействие (Дюгаев, 1974).) Тогда Т приобретает простой вид V = СФо (г1)Ф„ (f2), (4.36)
200 ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН а система функций Т® задается выражением % (Pi) 1 (Pi) Фо (ri) Фо (г2) (2 частицы в сплошном спектре), — X (Р) аФо (ri) фо (гг) (1 свободная частица), а2Фо (г1) Фо (г2) (обе частицы связаны). Здесь фр(г) нормирована на интервал dp (т. е. фР(г)~> /~2 sin (рг 4- 6) \ —----—-) , поэтому нормировка <р0 отличается от введенной на стр. 193 множителем 1/ А р. ' л Все матричные элементы вида определяются поведением на малых расстояниях от потенциальной ямы. Действительно, предполагая, что взаимодействие Н' сильно убывает, когда | fi — г2 | г0, получим (Ч1я'т£)~ ~ 5 dri ^2фх, (Г1) фх, (г2) Н’ (ГХ — Г г) Фх3 (гх) фх4 (Г2)~ ~ \dr г2 (фо (г))4 ^d (Fj — r2) И' (rx — r2). Из-за убывания <р0 ~ i/г первый из этих интегралов определяется малыми расстояниями от ямы г ~ R, где существен резонансный характер функций <рх. Записывая ф£„(г) в виде фе. (г) = ~[/'Г— Р (и = V rgR. г ' Л и предполагая, что х7? <*?' 1, находим а2^- (4.38) При подстановке (4.36), (4.37) и (4.38) в уравнение (4.35) константа С сокращается и получается. 1 = Н’о (+ 2а2 \ + ( dP1dp2], 2ео J Е — ео — гр J Е — epi — e,pt (4.39) где Н'о = (фо (ri) фо (г2) Я'фо (Г1)фо (f2))- Таким образом, использование резонансного харак- тера функций ф^ позволило свести сложное интегральное
3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ 201 уравнение (4.35) к простому алгебраическому уравнению (4.39) для определения энергии Е. Изучение этого урав- нения в задаче о движении двух нуклонов в потенциаль- ной яме ядра приводит к заключению, что в тех случаях, когда имеется одночастичный уровень с близкой к нулю энергией, у поверхности ядра должно существовать свя- занное состояние двух нейтронов (или двух протонов). Теория прямых реакций. При финитном движении классической частицы она все время находится в области действия сил. В квантовой физике это не так, система связанных частиц может па короткое время как бы рас- падаться на свободные частицы. Такие временные рас- пады называются виртуальными переходами. Возможность виртуальных переходов порождает явления, кажущиеся на первый взгляд парадоксальными. Например, налета- ющий на ядро протон в некоторой доле случаев выбивает из него частицу так, как если бы произошел акт упругого рассеяния протона на свободной, а не на связанной час- тице. В частности, в реакции (р, 2р) угол разлета двух протонов близок к 90°, как при рассеянии свободных час- тиц с одинаковой массой, одна из которых до столкновения покоилась. Еще более поразительна реакция выбивания дейтонов (р, pd), в которой также наблюдаются кинема- тические корреляции, свойственные упругому pd-pac- сеянию на свободных дейтонах. Поскольку энергия связи дейтона значительно меньше, чем энергия взаимодействия нуклонов в ядре, дейтон в качестве стабильного образо- вания существовать в ядре не может. Это не исключает, однако, кратковременного образования свободного дей- тона в результате виртуального перехода. Налетающий на ядро протон, ударив по такому свободному дейтону, передает ему энергию и импульс по законам упругого столкновения. Поэтому сечения реакций (р, 2р), (р, pd) и т. п. могут быть приближенно выражены через ампли- туды виртуального распада и упругого рассеяния сво- бодных частиц. Ниже мы увидим, каковы условия этого приближения. Эти реакции являются частным случаем широкого круга процессов, получивших названия прямых реакций. Для них характерна передача почти всей вно- симой в ядро энергии (и импульса) какой-либо одной частице, тогда как остальная часть ядра не участвует в процессе.
202 ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН С теоретической точки зрения прямые реакции выде- лены тем, что амплитуды этих реакций, рассматриваемые как аналитические функции кинематических переменных, имеют близко расположенные к физической области особенности по переданным импульсам *). Рассмотрим в качестве примера упомянутую пря- мую реакцию (р, 2р). Пусть на ядро X (2V, Z) падает про- тон с достаточно большой энергией Е (р) и происходит реакция X (2V, Z) + р -> Y (N, Z - 1) + 2р. (4.40) Тогда амплитуда прямой реакции будет определяться формулой для амплитуды перехода через промежуточное состояние (4.«) где Ф (q) — амплитуда виртуального перехода ядра X в ядро Y и свободный протон с импульсом q, а F (р, q; р', q') —амплитуда рассеяния налетающего про- тона на виртуальном протоне, Ех, Е\- — внутренние энер- гии ядер X и Y. Следует подчеркнуть, что (4.41) — общая квантовомеханическая формула для амплитуды перехода через заданное промежуточное состояние и от- нюдь не предполагает малости взаимодействия между частицами. Учет энергии отдачи ядра Y приводит к изме- нению эффективной массы в энергии виртуального протона Е (?)= 2Мэфф > ^эфф= М + • Величина £у- Ех = £о>0 представляет собой энергию связи протона в ядре Y. Функ- ция Ф (q) определяется матричным элементом Ф(9) = (^’2(гд г), Т?-2-1^)^), где г3 — координаты всех нуклонов, кроме рассматри- ваемых (мы опускаем спиновые значки). Для грубой оценки зависимости Ф (q) можно пред- положить, что волновые функции всех остальных нуклонов ♦) Аналитические свойства амплитуд прямых реакций впервые были исследованы в работе И. С. Шапиро, ЖЭТФ 41, 1616 (1961), см. также И. С. Шапиро, УФН 92,549 (1967).
3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ 203 в ядре Y мало отличаются от волновых функций этих нуклонов в ядре X. Допустим для простоты, что ядро X отличается от ядра Y только наличием протона в состоя- нии А вблизи границы Ферми. Тогда ф (9) = (<РХ (г) е^г). (4.42) Для иллюстрации вида Ф (<?) рассмотрим случай, когда орбитальный момент состояния равен нулю. Предполагая, что ядерный потенциал, в котором движется протон, имеет форму прямоугольной ямы радиуса R i/pp(pp — sin Ppr i импульс на границе Ферми), имеем <рх = —-----у- и <2- « Ф (<?) = 1/ -д- \ 2 sin pFr sin qr-dr = о г ( (? — Рр) п sin (? + Рр) R (д + Рр) R Эта функция имеет максимум при q — рр. Кроме того, знаменатель выражения (4.41) убывает при Е (q) Ео (= 5—10 мэв), поэтому в (4.41) существенны малые q, при которых амплитуда рассеяния F мало отличается от амплитуды рассеяния на покоящемся протоне. Таким образом, формула (4.41) позволяет выразить сечение рас- сматриваемого процесса через сечение протон-протонного рассеяния. Для вычисления Ф (q), как мы видим, тре- буется сделать предположение о характере Т-функций ядер X и Y. При достаточно малом Ео зависимость сечения реакции от q при малых q определяется резонансным зна- менателем (4.41) независимо от вида функции Ф (q). Приближение, которое мы использовали при написании (4.41), состоит в предположении, что другие механизмы реакции, идущие более чем через одну виртуальную час- тицу, вносят меньший вклад. Это обеспечивается мало- стью знаменателя (4.41). Аналогичным образом рассматриваются и более слож- ные реакции. Пороговые особенности амплитуды рассеяния. Рас- смотрим особенности амплитуды рассеяния вблизи порога рождения частицы. Сечение рождения частицы ст пропор- ционально статистическому весу dp' (2л)з конечных состояний
204 ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН частицы. Учитывая закон сохранения энергии, получаем (4.43) Здесь I — порог реакции, а Е — энергия налетающей частицы. Найдем сечение упругого рассеяния <т8 вблизи порога реакции. Для этого определим вид 5-матрицы в этой области. Ввиду малости энергии вылетающей частицы неупругий канал скажется лишь на нулевом парциальном члене 5-матрицы (Z = 0) (Вигнер 1948; Базь 1957). Выражение (4.14) можно записать, введя 50-матрицу, в виде Sueipr - е~^г U — 2ip Вычисляя поток частиц через сферу радиуса R и деля на Рис. 43. плотность падающего потока, находим сечение рождения (поглощения) частиц о- -^-(1 - 1ЗД- (4-44) Сравнивая (4.43) и (4.44), получаем: |50| = 1-G/^T, Е>1 причем Ci > 0. При Е I неупругих процессов нет, следовательно, | 50 | = 1. Оба последних соотношения вблизи порога Е<1 ,
3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ 205 можно записать в виде: 50 — (1 _ сг e2i8«, (4.45) где 60 — вещественная фаза. Действительно, при Е I это выражение дает | 50 | = = 1 с точностью до членов порядка ()/ | I — Е |). Сечение упругого рассеяния os состоит из суммы двух членов. Первое слагаемое связано с парциальными ампли- тудами I ф 0; в области порога его можно заменить на константу. Второе слагаемое равно 11 — |2. Под- ставляя сюда выражение для 50, находим: const-]---—(\уЕ — 1, Е>1, * . , Л sin 2So Ъ г т const -]--— Сг у / — Е, Е <_ 7. В зависимости от величины фазы б0 могут осуществляться два типа поведения os. Они показаны на рис. 43.
ГЛАВА 5 МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ Решение уравнения Шредингера для системы, состо- ящей из большого числа сильно взаимодействующих частиц, представляет собой неразрешимую задачу. Даже классическая задача трех тел не решается в об- щем виде. К счастью, нахождение ^-функции такой системы не только неразрешимая, но и ненужная задача. Действительно, такое детальное описание задачи многих тел не диктуется никакими возможными экспериментами. Любая экспериментальная установка содержит сравни- тельно небольшое число индикаторов частиц и поэтому в случае большого числа частиц, участвующих в процессе, дает только усредненные характеристики. Попытка опре- делить координаты всех частиц такой системы привела бы из-за соотношения неопределенностей к сложному возбужденному состоянию и изменила бы ее свойства. Описание макроскопической системы с помощью волновой функции является неадекватным способом рассмотрения *). Должны быть использованы методы неполного описания, при которых определяются соотношения только между усредненными величинами. Примером такого подхода является гидродинамика, уравнения которой определяют только среднюю скорость частиц в каждой точке (поле скоростей). Другой более близкий к нашей задаче пример — это кинетическое уравнение, позволяющее найти функцию распределения частиц по скоростям и координатам. Одно- частичная функция распределения / (г, р, f), зависящая от координаты г и импульса р частицы, дает возможность вычислять средние значения аддитивных величин, таких, *) -В книге Н. С. Крылова «Работы по обоснованию статисти- ки» эта идея используется для обосйования статистической физики,
ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ 207 как, например, плотность п (г) = 2^ (г — Л) или импульс г единицы объема j (г) = У pfi (г — г{). Двухчастичная функ- ция распределения / (Pi, r2; Рг! 0 позволяет находить корреляции между координатами и скоростями двух частиц и определять средние от величин, зависящих от координат двух частиц, например, среднее значение энергии парного взаимодействия V = 2^ (Г1 ~ г*) • Периодические или tJc слабо затухающие решения уравнения для функции рас- пределения дают собственные частоты системы. Развиваемый ниже метод функций Грина, как мы уви- дим, включает этот способ классического описания системы многих частиц и позволяет переводить его на квантовый язык. Однако даже такое неполное описание системы тре- бует использования приближенных методов. Действи- тельно, если интересоваться поведением только, скажем, двух частиц, мы неизменно придем к промежуточным состояниям, в которых в результате взаимодействия участвует несколько частиц, каждая из которых вовлечет в движение еще частицы, и задача сделается неразрешимой без использования приближенных методов. Наиболее простой случай осуществляется, когда вза- имодействие между частицами может считаться малым по сравнению с их средней кинетической энергией и приме- нима теория возмущений. С примером такого рода мы уже сталкивались при использовании метода Томаса — Ферми для нахождения поля в тяжелом атоме. При этом решается уравнение Шредингера для электрона, движущегося в самосогласованном поле остальных частиц, находя- щихся в основном состоянии. Параметром £, характери- зующим применимость этого приближения, является от- ношение энергии взаимодействия двух электронов к кинетической энергии электрона ~Z4/j (стр. 39), т. е. £ ~ 1/Z. Следующий шаг — это учет влияния кван- товых флуктуаций плотности на движение рассматрива- емого электрона. Другой метод приближенного подхода к задаче многих тел возможен в том случае, когда взаимодействие двух частиц не мало, но частицы находятся в среднем далеко
208 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ друг от друга настолько, что можно пренебречь случаями тройного взаимодействия частиц. Это так называемое «газовое приближение», которое осуществляется в случае газа сильно взаимодействующих частиц. Параметром £ этого приближения является величина /п1'1, где / — ам- плитуда рассеяния двух частиц, п — плотность, т. е. С ~ flrо (го — среднее расстояние между частицами). В наиболее интересных физических объектах (металлы, твердое тело, жидкий гелий, атомное ядро) не выполня- ются условия применимости ни теории возмущений, ни газового приближения. В этих случаях должны быть ис- пользованы другие методы рассмотрения. Прежде всего следует выяснить характер наинизших возбужденных состояний системы с определенными интегралами движе- ния, например, в однородной системе, состояний с опре- деленным импульсом. Тогда более сложные возбуждения можно рассматривать как газ таких элементарных воз- буждений. Поясним это на примере задачи о возбужденных со- стояниях твердого тела. Предположим, что мы имеем дело с диэлектриком. Тогда в слабых возбуждениях электроны не участвуют и все слабо возбужденные состояния сводят- ся к звуковым волнам. Применение квантовой механики к звуковым колебаниям (т. е. к задаче об осцилляторах) приводит к тому, что энергия волны с заданным волно- вым вектором р изменяется порциями еп (р) = ( п 4- -у- j со, со = ср (с — скорость звука). Роль элементарного возбуж- дения играет наинизшее возбуждение системы (п = 1) с энергией со = ег — е0 и импульсом р. Любые слабо воз- бужденные состояния системы можно рассматривать как газ этих элементарных возбуждений (фононов). Нели- нейные слагаемые в уравнениях упругости соответствуют взаимодействию между фононами. Такие элементарные возбуждения можно назвать квазичастицами. Для элек- тромагнитного поля такой квазичастицей является фотон. Итак, метод изучения систем сильно взаимодейству- ющих частиц состоит в том, что в качестве объекта рас- смотрения берутся не частицы, входящие в состав системы, а квазичастицы, для которых можно использовать газо- вое приближение, поскольку при слабых возбуждениях их количество невелико.
ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ 209 Ниже мы увидим, что низколежащие возбужденные состояния ферми-систем даже при сильном взаимодейст- вии имеют очень простую природу. Прежде всего, сущест- вуют так называемые одночастичные возбуждения, кото- рые аналогичны возбуждениям в идеальном ферми-газе. Возбужденные состояния идеального ферми-газа соот- ветствуют переходу частицы из состояния с энергией, меньшей чем граница Ферми, в свободное состояние выше границы Ферми, или, иначе, появлению частицы и дырки на фоне фермиевского заполнения. Возбуждения в реальной ферми-системе также соот- ветствуют появлению частиц и дырок, но со свойствами, отличающимися от свойств свободных частиц и дырок. В частности, такие квазичастицы имеют массу, отличаю- щуюся от массы свободных частиц. Иными словами, одно- частичные возбуждения в реальной ферми-системе сов- падают с возбуждениями идеального газа, составленного из квазичастиц с фермиевским распределением по энергии. Физически эти результаты очень естественны. ЧастицаГ? двигаясь в среде, вовлекает в движение прилегающие V к ней частицы. При слабых возбуждениях, когда энергия | частицы близка к энергии Ферми, характер распределе- в ния вовлеченных в движение частиц мало зависит от со- стояния рассматриваемой частицы. Поэтому в случае слабых возбуждений частица и ее окружение выступают как стабильное образование, которое и называется квази- ' частицей. Поскольку спин сохраняется, спин всего кон- ; гломерата, образующего квазичастицу, такой же, как и спин частицы. Следовательно, когда квазичастицы высту- | пают как целое, они должны подчиняться статистике if Паули, как любая частица со спином х/2. й Итак, во всех случаях, когда участвует малое число г квазичастиц и квазидырок, они ведут себя как возбужде- ! ния в идеальном ферми-газе. В бесконечной системе для определения спектра одно- частичных возбуждений достаточно ввести одну невычис- ляемую константу — эффективную массу квазичастиц. В конечной системе для характеристики одночастич- ных возбуждений приходится вводить, помимо эффек- тивной массы квазичастиц, еще параметры эффективной потенциальной ямы, в которой движутся квазичастицы. Для систем с короткодействующими силами радиуса г0
210 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ к таким параметрам относятся глубина, размеры и форма ямы, а также ширина слоя б (б ~ г0), на котором плот- ность переходит от своего значения внутри системы к нулю. Помимо одночастичных возбуждений, в системе вза- имодействующих частиц существуют так называемые кол- лективные возбуждения, которые можно интерпретиро- вать как связанные состояния квазичастицы и квази- дырки. Примером таких возбуждений могут служить- звуковые волны в бесконечной системе. Для определения спектра коллективных возбуждений следует ввести вза- имодействие между квазичастицами, которое, как мы уви- дим, сильно отличается от взаимодействия двух свободных частиц. Для большинства физических приложений (интен- сивности переходов, магнитные и квадрупольные моменты и т. д.) необходимо знать изменения, происходящие в системе под влиянием внешнего поля. Как показывает теория, задача определения реакции системы на внешнее поле сводится к задаче о поведении во внешнем поле газа взаимодействующих квазичастиц, помещенных в потен- циальную яму. При этом достаточно учитывать только парные соударения квазичастиц. Многократные соударе- ния частиц учитываются теорией точно, но приводят только к изменению взаимодействия между квазичасти- цами и к изменению «заряда» для взаимодействия квази- частиц с внешним полем. «Заряд» во многих случаях удается найти из общих соображений (из законов сохра- нения заряда, энергии, импульса и т. д.). Эти результаты также имеют очень простое и нагляд- ное объяснение. Пусть на систему действует не очень* сильное поле, такое, что изменение энергии каждой ча- стицы в этом поле мало по сравнению с ее кинетической энергией. Тогда состояние системы соответствует появ- лению нескольких квазичастиц и нескольких квазидырок на фоне фермиевского распределения. Число возникших квазичастиц составляет малую долю от полного числа частиц в системе. Если среднее расстояние между части- цами порядка радиуса действия сил, то среднее расстоя- ние между квазичастицами будет значительно больше, чем радиус сил взаимодействия, и следовательно, квази- частицы образуют газ, т. р. можно пренебречь случаями,
ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ 211 когда одновременно сталкиваются три или больше ква- зичастиц. Что касается «заряда» квазичастицы по отношению к внешнему полю, то этот «заряд» описывает взаимодей- ствие с полем того конгломерата частиц, который образует квазичастицу. Допустим, к ядру приложено электриче- ское поле, которое действует только на протоны. Так как при взаимодействии протона с остальными частицами ядра заряд сохраняется, то весь конгломерат, образу- ющий протонную квазичастицу, имеет тот же заряд, что и протон. В этом случае заряд квазичастицы равен заряду частицы. В случае других внешних полей, например для магнитного поля, взаимодействие квазичастицы с полем отличается от соответствующей величины для частицы. Движущийся нейтрон в пустоте взаимодействует с маг- нитным полем только за счет своего внутреннего магнит- ного момента, тогда как нейтронная квазичастица при своем движении вовлекает в движение также и протоны, в результате чего возникает электрический ток и взаимо- действие с магнитным полем изменяется. У нейтронных квазичастиц возникает орбитальный магнетизм, т. е. магнетизм, связанный с их движением по орбите. В отсут- ствие взаимодействия орбитальный магнетизм есть только у протонов. Для бесконечной однородной ферми-системы описанная выше теория взаимодействующих квазичастиц была построена Ландау (1958 г.). Метод квазичастиц в применении к теории ядра со- стоит в следующем. Прежде всего доказывается, что для слабых возбуждений ядро можно рассматривать как газ квазичастиц в потенциальной яме. Взаимодействие между квазичастицами характеризуется несколькими универ- сальными константами. Это взаимодействие не мало и должно точно учитываться. Единственное приближение состоит в том, что для слабых возбуждений, когда число квазичастиц мало, учитываются только их парные со- ударения. Для большинства наблюдаемых ядерных явле- ний можно получить формулы, которые в результате решения уравнений на счетных машинах выражаются через универсальные константы теории. Константы, определяющие взаимодействие квазича- стиц так же, как и параметры потенциальной ямы, не могут быть вычислены без предположения о малости
212 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ взаимодействия между частицами. В случае ядра взаимо- действие между частицами не может считаться малым, по- этому эти константы должны быть найдены из сравнения теории с экспериментом. Для проведения описанного выше метода квазичастиц наиболее эффективным средством являются функции Гри- на и графическое описание процессов. Эта техника будет ниже пояснена на простых примерах и затем использо- вана для решения различных задач. Идея графического метода в нашем изложении состо- ит в том, что процессы описываются рисунками, изобра- жающими пространственно-временной ход процесса, а затем на простых примерах устанавливается соответствие между элементами графиков и аналитическими выраже- ниями, что позволяет расшифровать любые графики, со- стоящие из этих элементов. Такой способ, помимо его простоты, дает возможность подчеркнуть качественную сторону расчетов *). 1. МЕТОД КВАЗИЧАСТИЦ И ФУНКЦИИ ГРИНА Амплитуды перехода. Для количественного проведе- ния метода квазичастиц достаточно получить уравнение для небольшого числа частиц, участвующих в изучаемом явлении, тогда как уравнение Шредингера описывает поведение всей системы и приводит к неразрешимым труд- ностям. Для такого неполного описания системы удобно перейти от ^-функций к амплитудам перехода (функции Грина). В отличие от ^-функции системы, которая зависит от координат всех частиц, амплитуда перехода есть функ- ция только координат частиц начального и конечного • состояний. Рассмотрим сначала пример одной частицы. Вместо уравнения Шредингера i -HW(r, 0 = 0 ♦) Более формальное изложение этих вопросов читатель мо- жет найти в книгах: А. А. А б р и к о с о в, Л. П. Горьков, И. Е. Д з я л о ш и н с к и й, Методы квантовой теории поля в статистической физике, Физматгиз, 1962; А. Б. М и г д а л, Теория конечных ферми-систем и свойства атомных ядер, «Наука», 1965; А. Б. М и г д а л, Метод квазнчастиц в теории ядра, «Нау- ка», 1967. ,
1. МЕТОД КВАЗИЧАСТИЦ И ФУНКЦИИ ГРИНА 213 можно пользоваться уравнением для функции Грина G (г, t; г', t') i^L-HG = i6(r-r')6(t-t'). (5.1) Функция Грина имеет смысл амплитуды перехода части- цы из точки г' в момент f в точку г в момент t. Квадрат модуля амплитуды дает вероятность перехода. В этом легко убедиться, выразив с помощью функции Грина ^-функцию в момент времени t + т через Чг-функцию в момент t 'Г (г, t 4- т) = G (г, t t; г', t) Y (r't t) dr’. (5.2) Действительно, как можно видеть из (5.2), Чг (г, t + r) удовлетворяет уравнению Шредингера и, кроме того, если G (г, t + 0; г', I) = = 6 (г — г'), переходит при т -> 0 в Чг (г, t). Формула (5.2) содержит G только для т )> 0. Поло- жим G = 0 при т 0. Тогда из (5.1) получаем G (г, £+0; г', t) = 6 (г — г'), что и требуется для (5.2). В отсутствие внешнего поля из соображений симметрии, т. е. из однородности и изотропии пространства и однородности времени, следует, что G (г, Z; г', t') = G ( | г - г' |, Г - t). Пусть система собственных функций определяется соотношениями Яфх (г) = еХфх (г), Н = 4- V (г). Примерный вид потенциальной ямы V для нуклона, дви- жущегося в ядре, дан на рис. 44, где R — радиус ядра, г0 — ширина «диффузной области», т. е. той области, на которой V переходит от постоянного значения внутри к значению вне ядра.
214 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ Представим ^-функцию частицы в виде Т (г, t) — — 2 Сх (0 <рх (г), тогда соотношение (5.2) примет вид Сх(« + Т) = 2 G-KK’^Cx- (t), X' Gxx’ = ^cPrcPr'G^r, r', T)cpx(f)<px'(r'). Так как <рх — собственная функция, то переходы в другие состояния не происходят и Сх (t + т) = е^^Сх («)> т. е. Gxx’ (т) = Gx (т) Sxx' = e~iexTSxx'6 (т), (5.3) (1, т>0, rae0(r)-[o, т<0. Этот же результат можно без труда получить и непо- средственно из уравнения для G. Переходя к фурье-представлению по т, получим c>w=T-<+-.» 8 = +°- <5-4> Здесь Gx (е) определено соотношением <?х(е) = -4-^б?х (т)е^йт. Поэтому в обращенном преобразовании имеем Сх(т)=5еЧе^х(8)-^-. Знак б выбран так, чтобы Gx (т) = 0 при т 0. В пра- вильности знака б легко убедиться, переходя обратно в т-представление Г 1т\ — Г е~*” 1 de bx(t) - е_8^ + гб 2л и сдвигая контур интегрирования в верхнюю полупло- скость (е) аналогично тому, как это было сделано па стр. 77. В смешанном представлении (г, е) получаем G (г, г', е) = Sx, , х / \ * / n V Фх (г) Фх (г') /С с. Gxx>(е)<рх (г) <рх- (т,) = 2 е-е'+Та ’ (5’5> XX' X
1. МЕТОД КВАЗИЧАСТИЦ И ФУНКЦИИ ГРИНА 215 В сумму по X входит суммирование по связанным со- стояниям и интегрирование по сплошному спектру. Функция G (г, г', е) имеет полюса при значениях е, рав- ных энергиям е?, связанных состояний. Функция Грина просто связана с 5-матрицей задачи рассеяния на потенциале V (г), введенной на стр. 181. Если в начальный момент t -> — оо Т-функция в им- пульсном представлении имела вид Ср = е v, а в момент г -> + оо принимает вид , т0 р' матричный элемент 5-матрицы SPP’ = С другой сто- роны, из (5.2) получаем С(/> = G (р', р, t', t) eiE»'l ~iEpt = SPP'. t—*— co, >oo Из выражений, связывающих 5-матрицу с амплитудой рассеяния (стр. 182), следует eiEp,i’-iEpt q = _ 2nifi (р, р'}, t'—>—оо, >оо где А (р, р') — амплитуда рассеяния в энергетической нормировке, связанная с обычной амплитудой / (р', р) соотношением / (Р', Р)= --^А (Р'> Р)- (5-6) Одночастичные функции Грина в системе невзаимо- действующих частиц (функции Грина квазичастиц). Найдем функцию Грина частицы Gxx' (т), т. е. амплитуду перехода из состояния с одной частицей X в состояние с одной частицей X' в системе невзаимодействующих частиц. Для этого нужно только в (5.3) учесть принцип Паули — долж- ны быть исключены переходы в занятые состояния. (Мы для простоты рассматриваем здесь только случай ферми- частиц.) Поэтому в функцию Грина должен быть включен множитель 1 — пк, где 1, ех < eF „ . — число частиц в состоянии А. О, ex > eF Таким образом, получаем Gtx-(r) = (l-nx)Sxx4feV’ Т>0’ (5.7) (О, т<0.
216 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ Найдем теперь выражение для амплитуды перехода дырки. Так как число дырочных мест на уровне А про- порционально пх, то аналогично случаю частицы по- лучаем Gw (Т) = 71Х6хх< О, т>0, т<0. (5-8) Здесь бх — энергия дырки, или, точнее, разность энергий системы после и до появления дырки. Во многих случаях удобно ввести функцию Грина частицы Gx (т), определенную как для т 0, так и для т 0, и объединяющую выражения (5.7) и (5.8): Сх(т) = I — Gx(— т), О, 0. (5-9) т В фурье-представлении по т формулы (5.7), (5.8) и (5.9) принимают вид . 1 — Пу GI (е) =-----------, v ' е — ех + so Gx(e) = - ”x 8 — ех -f- i6 (5.10) Gx(e) = Gx(e) — Gx(—e) = 1 ~ . ”x e — ex -p jS e + ex — /6 Из (5.10) вытекает важное свойство функций Грина G+ и G~ — каждая из них имеет полюс при значении е, рав- ном энергии частицы и дырки соответственно. Из сказанного во введении следует, что такой же вид имеет и функция Грина квазичастицы (квазидырки) в системе взаимодействующих частиц — нужно только заменить энергию частицы (дырки) на энергию квази- частицы (квазидырки). На стр. 232 мы поясним исходные формулы (5.7) и (5.8) для ферми-систем и получим аналогичные выражения для бозе-частиц.
1. МЕТОД КВАЗИЧАСТИЦ И ФУНКЦИИ ГРИНА 217 Для основного состояния, когда 1 при ех < ер, Wx = О при ех>е₽, последняя из формул (5.10) может быть записана в виде: Gx (е) -------;------------г • (5.10') Л' ' е — ех + id sign (е — eF) ' ' Функции Грина в системе взаимодействующих частиц. Мы нашли функцию Грина свободной частицы и функцию Грина одной частицы в системе невзаимодействующих ферми-частиц, находящейся в основном состоянии. Можно было бы легко найти и функцию Грина, описывающую поведение двух или большего количества частиц или ды- рок в системе невзаимодействующих частиц. Однако нашей задачей является учет взаимодействия между частицами. Основная идея метода функций Грина состоит в том, что для изучения системы многих частиц нет нужды вводить функции Грина с очень большим числом частиц. Соот- ношение (5.1) легко обобщается на случай многих частиц (для этого достаточно под г понимать всю совокупность координат всех частиц). Однако нахождение такой функ- ции Грина G (гх, . . ., Гя; t; t\, . . ., rN; Г) столь же невоз- можно в системе многих тел, как и нахождение Т-функ- ции. В тех случаях, когда в рассматриваемой задаче эффективно участвует небольшое число частиц, незачем рассматривать все частицы системы. Почти все экспериментально изучаемые процессы, происходящие в системе многих тел, как мы увидим, опи- сываются одночастичной и двухчастичной функциями Грина. Функцию Грина одной частицы в системе взаимодей- ствующих частиц определим выражением G+ (г, t\ г', t') = (Фо'Г (»*', Г) 'F+ (г, t) Фо), (5.11) где Фо — точная собственная функция основного состоя- ния; Т (г, г) — оператор вторичного квантования в гей- зенберговском представлении, т. е. W (г, t) = e’imV (г) где Н — гамильтонов оператор системы с учетом взаимо-
218 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ действия, а оператор Т (г) может быть выражен через операторы уничтожения частицы в] каком-либо состоя- нии (г): Y (г) = 2 (г)- X Ниже мы убедимся, что выражение (5.11) имеет про- стой смысл и действительно дает амплитуду перехода частицы из состояния (r', t') в состояние (г, t). Квадрат модуля этой величины дает соответствующую вероят- ность. Аналогичная формула может быть написана для функции Грина дырки G~ (г, t; г’, t') — (Ф0'Р+ (г, t) Y (г’, f) Фо). (5.12) t>t' Уничтожение частицы эквивалентно рождению дырки. Оба выражения определены только для t t'. Их можно формально объединить в одну функцию Грина, описыва- ющую при т О частицу, а при т < 0 дырку, так же, как это было сделано для системы свободных частиц (стр. 216): ( G+ (г, t\ г', t'), G(r, f, г', И = I . г- / ' м ( + G (г , £; г, £), (5.13) Знак «плюс» соответствует бозе-, а знак «минус» — ферми- частицам. Выражения (5.11) и (5.12) в случае невзаимодейству- ющих частиц, как нетрудно видеть, переходят в соответ- ствующие формулы предыдущего раздела. Рекомендуем читателю проделать это вычисление. Соотношения (5.11) и (5.12) можно записать в виде G (х, х’) = <ГТ (х) Т+ (я/)>, где через (...) обозначено усреднение по основному со- стоянию, х — (г, t), оператор Т (оператор упорядочения во времени) означает, что величины, стоящие справа от Т, располагаются в порядке убывания времени в аргу- ментах. Для ферми-систем при f ~^>t (когда Y и Y+ ме- няются местами) ставится знак «—». Аналогичным образом определяются д двухчастичные функции Грипа: вместо Т (1)Т+ (2) входят произведения
1. МЕТОД КВАЗИЧАСТИЦ И ФУНКЦИИ ГРИНА 219 ¥ (1) ¥ (2) V+ (3) ¥+ (4). Ниже мы увидим, как вычисля- ются функции Грина частиц и как они связаны с функция- ми Грина квазичастиц. Аналитические свойства одночастичной функции Гри- на. Ограничимся для простоты случаем бесконечной од- нородной системы. Тогда, в силу однородности и изотро- пии системы и однородности времени, имеем G (г, t; г', t') = G (| г — г’ |, t — t'). (5.14) Перейдем к фурье-представлению по тг = г — г'. Из (5.11) и (5.12) получаем для G(p, т) = r)e~iprt выражение (1(Р, т) = <аре~Шха+р>е^ при т^>0, при т<^0. (5.15) Записывая операторы, входящие в G (р, т), в энергетиче- ском представлении, имеем: 2 I («J)»o I2 ехР {— 1 (Es — Ео)т) ПРИ т > °> G (р, т) = 4- 21 («До I2 ехР {I — Ео) *} при т < 0. (5.16) Так как оператор ар увеличивает импульс системы на величину р, а число частиц в системе — на 1, то сум- мирование при т 0 производится по всем состояниям с импульсом р и числом частиц N 4* 1, если в основном состоянии число частиц было N, а импульс равнялся нулю. Аналогично этому суммирование при т 0 про- изводится по состояниям с числом частиц N — 1 и им- пульсом —р. Обозначим Е, (N + 1) - Ео (N) = = е, (N + 1) + Ео (N + 1) - Ео (А) = 8. + ц, где ц = Ео (N 4- 1) — Ео (Д’) — химический потенциал. Энергия возбуждения es = ES(N 4- 1) — Ео (N 4~ 1) по определению положительна.
220 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ Аналогично, Еа (N - 1) - Ео (2V) = = es (N -1)-Е0 (2V) + Ей (N - 1) = г, - р'. Величины е( и р' совпадают с es и р с точностью 1/N. Введем функции а(р, £W = 2l(4)s0|2, + ‘ (5.17) В{р, Я)<7Я = 2|(«До|2, £<es<E + d£ и перейдем в выражении (5.16) к разложению Фурье по т. Имеем G (р, е) = - f dE { . 4(f’ g)-.A- 4- „ /(р’ /?) .. } . (5.18) v ' J [£ — е + И — *6 — fi -f- е — р — гб] ' ' о Формула (5.18) представляет собой спектральное разло- жение для одночастичной функции Грина системы, со- стоящей из конечного числа ферми-частиц *). Эта формула позволяет получить соотношение, связывающее вещест- венную и мнимую части функции G (р, е). Действительно, из равенства вытекает ( — А(р, е — р), 8>р, ImG(p, е) = л _ D < (5.19) v ’ (4-5(2?, р — е), 8<р. v ' Таким образом, мнимая часть G (р, е) для ферми-частиц изменяет знак в точке е = р, а для бозе-частиц отрица- тельна для всех р и е. Используя (5.18) и (5.19), нетрудно получить G (Р, 8) = ± Г • (5.20) JL J С С ~~~ — СО Эта формула аналогична соотношению (4.5) на стр. 178. ♦) Аналогичное разложение в квантовой террин поля было получено Леманом в 1954 г.
1. МЕТОД КВАЗИЧАСТИЦ И ФУНКЦИИ ГРИНА 221 Установим связь одночастичной функции Грина со спектром возбуждений. Функция G(p, т) имеет простой физический смысл. Пусть в начальный момент система находится в состоянии Ф (0) = а^Ф0, где Фо — основное состояние системы N частиц (физический «вакуум»). В момент т > 0 волновая функция системы равна Ф (т) = е-,Нта£Ф0. Функция G (р, т) равна амплитуде вероятности найти систему в момент т в состоянии Ф (0). Действительно, (Ф (0), Ф (т)) = (Фоа,еЧНт4Фо) - G (р, т). (5.21) Аналогичное соотношение существует для т 0. Со- гласно (5.16) и (5.18) для t ДО ©о (Ф (0), Ф (т)) = е-^т § А (р, Е) e~iEx dE. (5.22) О При отсутствие взаимодействия для р, больших р? (р. = eF), А (р, Е) = 6 (Е + eF - е° (р)) и (Ф (0) Ф (т)) = er При включении взаимодействия между частицами 6-функция в А(р, Е) заменяется на функцию, имеющую резкий максимум вблизи Е = е. (р) — ц, где е (р) — энер- гия квазичастиц. Рассмотрим поведение функции Грина для больших положительных времен. Пусть ближайшая к веществен- ной оси особая точка аналити- ческого ^продолжения А (р, Е) в нижнюю полуплоскость есть по- люс^ первого порядка при значе- ние Е — е(р) — ц. — iy. Тогда, смещая в (5.22) контур интегриро- вания в нижнюю полуплоскость, получим G (р, т) = $ Ae~iEx dE. (5.22') с Контур интегрирования С изображен на рис. 45. Неэкс- поненциальное слагаемое в функции G (р, т), возника- Im f Ref Z7 Рис. 45.
222 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ ющее от интегрирования но мнимой оси вблизи Е = О, для т > 1/у имеет порядок величины (у/е (р))2. Таким образом, G (р, т) = Ze^^' + О [(т/е (р))2]. (5.23) Этот результат можно интерпретировать следующим образом: в состоянии Ф (0) с амплитудой Z присутствует пакет, изображающий квазичастицу с энергией е (р) и затуханием у. Значения е (р) и у определяются положе- нием полюса А (р, Е). Рассматривая Т<(0, мы пришли бы к аналогичному соотношению для квазидырки. Таким образом, G (р, е) может быть записана в виде G (р, е) = Z Г-1 , А —J + (?Reg '* ' [в - 8 (р) 4- 16 8 — 8 (р) — l& J = ZGq+GReg> (5-24) где Gq — функция Грина квазичастицы. Этим соотношением устанавливается связь между функ- циями Грина частицы и квазичастицы. Вычисление наблюдаемых величин. С помощью функ- ции G можно вычислять средние значения по основному состоянию операторов вида однократной суммы по всем частицам (|г — совокупность пространственных и спи- новой переменных): Л (5.25) т. е. таких, как например, плотность частиц в точке г, равная п (г) = 3S(r — ri)’ i или полный орбитальный момент L^'ZlriXPi]. i Действительно, оператор А во вторичном квантовании имеет вид , А = $ (|) А (|, р) Т (|) dl, (5.25')
1. МЕТОД КВАЗИЧАСТИЦ И ФУНКЦИИ ГРИНА 223 поэтому его среднее значение по основному состоянию системы выражается через G при t = t' — 0: g (L т) Тхот(ф°т+ (|,) w (l) Фо) (5-26) (Фо, как и выше, означает точное основное состояние). Среднее значение оператора А будет равно <Л> = + $ {А (|, р) G (|, (т = - 0))V=5^ = = + 8р<=_л. (5.27) Таким образом, Gx_>-0 совпадает с точностью до множи- теля ±1 с матрицей плотности. Для ферми-частиц р (Г, I) = (Фо^+ (Г) ¥ (|) Фо) = -GT=_0; (5.28) для бозе-частиц р (Г, I) = G^-o- (5.28') Для определения средних значений операторов вида В (5-29) i, Л таких, как, например, энергия взаимодействия частиц, необходимо знание двухчастичной функции Грина. Эта величина определяется аналогично G G2 (1, 2; 3, 4) = (Фо ГТ (1)Т (2) Т+ (3) Т+ (4) Фо). (5.30) Оператор Т означает, что все величины, стоящие справа от Т, располагаются в порядке убывания времен в аргументах Т, Т+; перед всем выражением ставится знак «+» или «—» (для ферми-систем) в зависимости от того, четной или нечетной перестановкой получается упорядоченное выражение из написанного в (5.30). Функция G2 дает амплитуду перехода для случая, когда начальное и конечное состояния соответствуют в зависи- мости от соотношения времен t2, t3, /4 либо двум части- цам, либо двум дыркам, либо частице с дыркой. В G2 также содержатся случаи, когда в начальный момент есть частица, а конечное состояние соответствует двум частицам и дырке. Мы для краткости говорим о двух частицах (дырках), подразумевая, что остальные N — 2 частиц в начальный и конечный моменты находятся в ос- новном состоянии. Функции G и G2 содержат также ин-
224 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ формацию об амплитуде рассеяния в поле рассеивающего центра, помещенного в среду, и об амплитуде рассеяния двух взаимодействующих частиц. Рассеяние двух частиц в среде определяется функцией G2 (р^, p2t2, p3t3, ptQ при tr, t2-+— оо и t3, tt -> + оо (см. стр. 215). При удалении начальных времен t2 от времен взаимо- действия волновые пакеты, изображающие частицы с им- пульсами рг и р2, затухают так, что ко времени соударе- ния остаются только слагаемые, соответствующие квази- частицам с теми же импульсами (стр. 222). После периода взаимодействия при t3, ti -> + оо также останутся только квазичастицы с импульсами р3 ир4. Поэтому задачу рас- сеяния удобнее рассматривать сразу же в терминах ква- зичастиц. То же относится к задаче рассеяния в поле рас- сеивающего центра. Одночастичная и двухчастичная функции Грина со- держат наиболее существенную информацию о системе. Иногда возникают вопросы, требующие знания трехчастич- ной или четырехчастичной функции Грина. Они могут понадобиться, например, для вычисления энергии связи в системе с непарным взаимодействием. Распределение ферми-частиц по импульсам. Из фор- мулы (5.26) следует, что распределение частиц по импуль- сам выражается через функцию Грина n(p) = -Л<?(р,е)е-*«-^. (5.31) В этом выражении нельзя перейти к пределу т = 0. Действительно, как видно из (5.24), G —- 1/е при е -> оо и JG (р, е) de по вещественной оси расходится. При ко- нечном отрицательном X можно заменить интеграл по вещественной оси на интеграл по замкнутому контуру С, состоящему из вещественной оси и бесконечной полу- окружности в верхней полуплоскости, после чего поло- жить т = 0. Таким образом, п(р) ='-\G(p, е)-^-. с Как мы видели, функция Грина имеет полюс в точке е = е (р) — iy G (Р, е) = е_е(/^(рУ + GReg(P, 8),
2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 225 где CrReg (р, е) — функция, регулярная вблизи полюса. Затухание у (р) изменяет знак при р = рр; у 0 при Р > Рр>' У < 0 при Р < рг- Поэтому при р рр внутри контура С есть полюс, а при р < рр он переходит в ниж- нюю полуплоскость, т. е. исключается из интеграла по контуру С. Поэтому п (рр — 0) — п (рр + 0) = Z. Так как 0 п (р) 1, то Грина (так называется мно- житель Z)O<Z<^1. Рас- пределение частиц по импульсам изображено на рис. 46 (Мигдал, 1957). Таким образом, изучение аналитических свойств функ- ции Грина позволило полу- чить важный физический ре- зультат. Несмотря на взаи- модействие между частицами, перенормировка функции Рис. 46. которое разбрасывает частицы по импульсам, от распре- деления Ферми свободных частиц остается «воспоминание» в виде обрыва в функции п (р). На рис. 46 показано также распределение квазичастиц. Разумеется, это распреде- ление имеет смысл только для р, близких к рр, где при- менимо понятие квазичастицы. 2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД Графическое изображение процессов. Для получения различных соотношений в задаче многих тел и в теории поля широко используется метод графиков Фейнмана, состоящий в том, что все изучаемые процессы изобража- ются рисунками, которые заменяют собой громоздкие аналитические выражения, подобно тому, как китайские иероглифы заменяют целые фразы. Начнем с того, что будем изображать различные физические процессы с по- мощью рисунков, например, движение кванта света изо- бражать пунктиром, а движение свободной частицы —- сплошной линией. 8 А. Б. Мигдал
226 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ График означает, что заряженная частица, допустим, электрон, испустила квант света. Сплошная линия нарисована с изломом, чтобы показать, что электрон после испускания кванта приобретает другой импульс. Пусть есть две невзаимодействующие частицы Если они взаимодействуют, рисуют такую картину: Если их взаимодействие осуществляется с помощью кванта света (это значит, что взаимодействие кулоновское), тогда линии соединяют пунктирной линией; I I , I Если это два нуклона и взаимодействие осуществляется передачей л-мезона, тогда рисуют волнообразную линию между линиями частиц: Этот график показывает, что два нуклона один раз взаимодействовали между собой. Если они взаимодей- ствовали два раза, то рисуют так: График - $ изображает более сложный процесс: нуклон испустил л-мезон, который затем распался на нуклон и антинуклон.
2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 227 Эти две частицы превращаются опять в л-мезон, который поглощается вторым нуклоном. Аналогично можно изобразить и более сложные про- цессы, происходящие с частицами. Для того чтобы эти рисунки имели не только иллюстративный, но и количе- ственный смысл, будем понимать под каждым графиком амплитуду перехода из одного состояния в начальный момент в другое состояние в конечный момент времени. Квадрат модуля амплитуды перехода дает вероятность на- хождения конечного состояния в конечный момент време- ни. Так, например, приведенный выше график испускания кванта означает амплитуду перехода заряженной частицы с импульсом р в состояние с квантом импульса q и части- цей с импульсом р — q. Согласно принципу суперпозиции полная амплитуда перехода представляет собой сумму всех возможных фи- зически различных амплитуд перехода. Точный смысл этого утверждения выяснится ниже на простых примерах. Попытаемся получить интуитивным путем с помощью графиков соотношение, выражающее амплитуду рассе- яния двух частиц через потенциал взаимодействия. Графически амплитуда рассеяния изобразится, согласно принципу суперпозиции, суммой графиков: Первый из графиков изображает однократное взаимодей- ствие между частицами. Второй из графиков соответствует двукратному взаимодействию частиц. Между актами вза- имодействия стоит амплитуда перехода двух невзаимодей- ствующих частиц. Будем сопоставлять первому графику потенциал вза- имодействия между частицами, I, а каждой прямой линии — функцию Грина, т. е. ампли- туду перехода свободной частицы G. Тогда второй график 8*
228 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ условно запишется так: Т~Г = UGCU , так как амплитуда перехода двух свободных частиц равна произведению функций Грина каждой из частиц. Для амплитуды рассеяния получится ряд Г = U + UGGU + UGGUGGU + ... Выражение, стоящее во втором и следующих членах спра- ва от UGG, снова образует сумму, дающую Г. Для Г полу- чается уравнение Г = U + UGGV. Функция G, входящая в это уравнение,— это уже извест- ная нам амплитуда перехода свободной частицы. Разумеется, проделанная операция представляет собой не вывод уравнения, а скорее наводящее соображение.Для того чтобы установить, в каком смысле следует понимать символическое умножение в этих выражениях, следует сравнить полученное уравнение с соответствующим выра- жением, найденным обычным способом из решения урав- нения Шредингера. Очевидно, что выражение для Г представляет собой символическую запись известного из квантовой механики уравнения для амплитуды рассея- ния в энергетической нормировке. В системе центра инер- ции имеем г(Plt р.) = и(pltpJ + \u(Р1, Р') -gjF • (5.32) Аналогичным образом можно связать функцию Грина частицы во внешнем поле G с функцией Грина свободной частицы G. Функция Грина в поле G изобразится суммой частных амплитуд перехода где точка с волнистой линией изображает акт действия внешнего поля V. Собирая все графики, стоящие в G
2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 229 справа от V, получаем опять G. Таким образом, G = G + GVG + GVGVG + . . . = G + GVG. (5.33) В рассмотренных нами простых случаях можно обой- тись и без графиков. Выражения (5.33) и (5.32) легко могут быть получены непосредственно из уравнения (5.1) для G и аналогичного выражения для двухчастичной функции Грина. Напишем уравнение (5.33) в операторной форме, введя оператор G-1 = d/dt + iH0, где Но — гамильтониан свободной частицы. Из (5.1) получаем G~XG + iVG = I, (5.33') откуда G = G + G (—iV) G. (5.33") Так как в качестве оператора I взято выражение 6 (г — г’) 8 (t — Г), то умножение операторов означает А (хг, х2) = ВС = $В (хх, х') С (х', х2) d4x', где х = (г, Z). Таким образом, соотношение (5.33) в аналитической форме имеет вид G (хх, х2) = G (х15 х2) 4- $G (xv х') (—iV (х')) G (х', х2)Л/ и, следовательно, график взаимодействия с полем рас- шифровывается следующим образом: Д- =-iV. Понимая в выражениях (5.33') и (5.33") под G двухчас- тичную функцию Грина, соответствующую уравнению Шредингера для двух частиц, а под V — потенциал вза- имодействия U (хх — х2), получим в первом порядке G^(xlt х2; Хц х2) = = § d4x3 d4x4G (х1( х3) G (ха, х4) (— i) U (х3 — х4) х X G (х3, Xi) G (х4, х2) = ; (5.34) хг щ
230 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ Это означает, что =-iU(Xj-x2) . (5.35) Для незапаздывающего взаимодействия U (хг — х2) = = U (Г! - га) 6 (tx - t2). Нетрудно получить выражение G2 в (X, е)-представле- нии. Имеем G2 (^1^1, ^*2^2, Х»звз, ^464) = = — i 2 $ Gx, (Sj) Gx2 (е2) (к1к2 I U (со) | Х3Х4) Gx3 (ех + со) X X G\t (е2 — со) 6 (е* -t-e2 63 е4) , где U (со) = § dTe-imt{7 (т). Функция G^1' приобретает совсем простой вид в случае взаимодействия свободных частиц. В (р, е)-представлении имеем (р = р, е; q = к, со) G'1J = -i$G(p1)G(p2)G(g)x X G(Pi + g) G (р2 — g) S (Р1 + р2 р3 — pt) (Q ~ Рз Pi = Pi Pt)- Нетрудно научиться свободно переходить от одного пред- ставления к другому. Для применения к задаче рассеяния в поле V (г) графики (5.33) удобно собрать следующим образом: G = G {V + VGV + ...} G =GAG, где А — амплитуда рассеяния в энергетической норми- ровке А = V + VGV + VGVGV + ... = V + VGA. (5.36) Возьмем в качестве G выражение (5.4). Поскольку поле не зависит от времени, величина е, входящая в G, должна быть взята равной энергии ер падающей частицы. Интег- рирование по импульсам промежуточных состояний еле-
2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 231 дует производить с весом 1/(2л)3, что соответствует сум- мированию с весом 1 по всем квазидискретным состояниям нормировочного объема. Именно такое суммирование сле- дует из принципа суперпозиции. В импульсном представ- лении имеем Р^Рг =-tV(prp2) . Подставляя согласно найденному нами правилу в (5.36) Л —— iA, V —>-----iV, получим А (р, р') = V (р - р’) + , (5.37) v ' 1 J ер —8pi+i6 (2л)3 ' что совпадает с (5.32) при замене Г —U —Тем самым подтверждается соотношение (5.37). В качестве примера, иллюстрирующего удобство гра- фической записи и соответствующих символических вы- ражений, получим интегральное уравнение для ампли- туды в форме, удобной для выяснения ее аналитических свойств. Графики для амплитуды могут быть собраны сле- дующим образом: А = V + V {G + GVG + ...} V = V + VGV. (5.38) Пользуясь уже найденным рецептом расшифровки графи- ков и используя для G выражение (5.5) с е = 8Р, получим А (р, р') = Vpp. + 2 • <5-39> В сумме по X предполагается суммирование по связанным состояниям (ех<0) и интегрирование по сплошному спектру Ар}.~ {e~ipr, V (г) q>x (г)). Перейдем от энергетической нормировки к обычной (стр. 215) / (к, Ю - /В (р - Ю - 2 ,-h; + ,8 • <5-ЗЭ') где /в — борновская амплитуда рассеяния. Из этого выражения следует, что амплитуда, аналити- чески продолженная в область ер < 0, имеет полюса в точках, совпадающих с энергиями связанных состояний-
232 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ Обратное утверждение неверно — не все полюса ампли- туды соответствуют связанным состояниям (стр. 187). Рассмотрим мнимую часть равенства (5.39') при р — р'. Предполагая, что состояния <px для сплош- ного спектра нормированы на плоские волны, т. е. имеют асимптотику (р^---> eipr, получим Т *00 I’} = — р,)|"S(г„-8Рг)= что соответствует оптической теореме (стр. 183). Пока мы расшифровывали только графики, описываю- щие движения одной свободной частицы или двух частиц, взаимодействующих между собой. Перейдем к интересую- щему нас случаю частиц, движущихся в среде. Начнем с простейшего случая одной частицы и пояс- ним, как влияет тождественность частиц на функцию Грина, т. е. поясним введенные интуитивно на стр. 215 выражения. Пусть квазичастица с импульсом р (или в состоянии X — зто не меняет рассуждений) движется на фоне остальных частиц, среди которых с весом пр при- сутствует квазичастица с тем же импульсом (для простоты опустим спиновые значки). Тогда амплитуда перехода двух рассматрива'емых час- тиц будет изображаться графиком * Второй график отличается от первого перестановкой коор- динат добавленной и фоновой частиц. Знак «—» соответ- ствует ферми-, а знак «+>> — бозе-частицам. Множитель пр учитывает число частиц, с которыми можно переста- вить координаты исходной частицы. Если описывать оба слагаемых как движение одной квазичастицы, получим G+ (Р, т) = (1 + пр) e~itpZ 0 (т). Для дырки в случае ферми-частиц можно ввести vP = = (1 — пр) — число дырок в состоянии р и тем же рас- суждением получить множитель (1 — vp) = пр. В слу- чае бозе-частиц следует учесть изменение в перестанов-
2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 233 ках пр частиц от появления дырки, что, как можно уви- деть, дает множитель пр. Поскольку эти же результаты при отсутствии взаимодействия получаются автоматически из нашего определения G на стр. 218, то тем самым под- тверждается и уточняется интерпретация G как амплиту- ды перехода в среде. Рассмотрим теперь квазичастицу во внешнем поле. Во втором порядке по полю, наряду с графиком = Д, t2>t; появится еще и график, которого нет в случае свободных частиц, и который означает, что в момент появились квазичас- тица и квазидырка, а в момент происходит анниги- ляция. Нам нужно найти аналитическое соответствие графика Ь. Для этого рассмотрим движение двух частиц: исходной частицы с импульсом р и частицы фона с импульсом рг. Тогда сумме графиков а и b соответствуют процессы X </ J 5 'rf { d (5.40) Во втором графике в момент появилась дырка с импульсом—рг и вторая частица с импульсом р'. В мо- мент Z2 исходная частица занимает свободное место. Гра- фики уже учтены тем, что функций Грина частицы и дырки
234 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ берутся с множителями (1 — пр) и пр. Графики учитывают изменение фона в поле и влияние на это из- менение добавленной частицы. Эти графики не имеют от- ношения к движению рассматриваемой частицы. Поскольку второй из графиков (5.40) соответствует перестановке частиц между актами взаимодействия, он берется со знаком «—» для ферми- и со знаком «+» для бозе-частиц. Таким образом, мы приходим к заключению, что график с обратной стрелкой равен —-р = ? ег(р-т:)=е(р,-г) Итак, сумма графиков а и b есть а + (— iV) G+ (-iV) G+ + G+ (- IV) G~ (- IV) G+. Теперь видно удобство введенной нами функции G (р, т) = = G+ (р, т) + G~(p, — т). Графики а и Ъ как для фер- ми-, так и для бозе-частиц могут быть записаны, в виде одного графика, объединяющего оба процесса: = - j G+ (ij - t') VG (t' - Z") FG+ (Г - t^dt’dt", причел для т = z' — z" > 0 функция G совпадает c G+ и учитывает рассеяние, а для т < 0 она совпадает с + G~ и учитывает рождение пары. Здесь автоматически учтено влияние виртуального образования пар на рассеяние квазичастицы в поле. Выражение для амплитуды рассея- ния квазичастиц на рассеивающем центре, помещенном в среду, таким образом, можно получить из найденных выше выражений для частицы заменой свободной функции Грина в промежуточных состояниях на объединенную функцию Грина G в среде. Такая формула может, например, по-
2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 235 надобиться для определения амплитуды рассеяния элек- тронов металла на примесных атомах. Такое же замечание можно сделать и об амплитуде рас- сеяния в результате взаимодействия двух квазичастиц. Для простоты рассмотрим 6-образное взаимодействие меж- ду частицами, которое будем изображать точкой. Рас- смотрим графические элементы, входящие в амплитуду рассеяния: График В при т 0 описывает движение между актами соударения двух квазичастиц в системе из N частиц и содержит Gt (т) Gt' (т), а при т < 0 соответствует двум квазидыркам в системе (N + 2) частиц и содержит Gt (т) Gt- (т). Оба слагаемых формально объединяются в одно введением GK (х) GK- (т). То же относится и к гра- фику А, описывающему движение частицы и дырки: име- ются два графика в зависимости от знака т, содержащие GtGt- и GtGt" Оба графика можно объединить, введя GK (т) Gv (- т). Найдем в качестве заготовки для дальнейшего графики А и В в (Z, е)-представлении. Подставляя GK (е) из (5.10), находим Л = = ^Gx(e) GV (8-со) = "х - ЛХ' ех- - sx + ® ’ (5.41) ^-Gx(8)Gx'(^-8) = 1 -”x-”v (5.42) Здесь Е — суммарная энергия двух частиц, со — суммар- ная энергия частицы и дырки. В этих выражениях опу- щены матричные элементы взаимодействия.
236 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ Введем еще один графический элемент, который понадо- бится в дальнейшем. А именно, введем график -W = (5.43) описывающий, как мы увидим, взаимодействия выделен- ной частицы с частицами среды в первом порядке по взаимодействию U. Под кружком следует понимать функ- цию Грина, взятую при одинаковых координатах. Точнее, будем сопоставлять кружку функцию Грина G (г, г; = + п (г) (5.44) (верхний знак соответствует ферми-, а нижний — бозе- частицам, см. (5.14)), умноженную на множитель у, ко- торый мы сейчас определим. График (5.43) описывает акт действия внешнего поля V и вместе с тем выражается через взаимодействие U. Имеем (- IV) = (- iU) VGT_O. (5.45) В координатном представлении V (г) = т § U (г — г', t — t')G (r\ г', — 0) dr' dt'~= = y^U (г — r')G (г', r^^^dr', с другой стороны, существует очевидное соотношение 7 (г) = (г — г') п (г') dr'. Сравнивая с (5.44), получаем у = ± 1, т. е. = + С(г,г;Т=-0) • Таким образом, замкнутой петле следует сопоставлять G (г, г, т = — 0) с минусом для ферми- и с плюсом для бозе-частиц, т. е. просто га (г). Как видно из сказанного, можно по-разному выбирать объекты, изучаемые методом графиков. Можно рисовать процессы, происходящие в задаче многих тел с частицами,
2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 237 но можно иметь дело и с более простым объектом — квази- частицами, у которых функция Грина имеет простой вид, найденный на стр. 222. После того как в предыдущем разделе мы установили связь между частицами и квази- частицами и убедились, что для энергий возбуждения с частотами и е₽ и импульсами к ер квазичастицы представляют собой достаточно точную характеристику возбуждений, для описания многих процессов, можно иметь дело только с квазичастицами. Исключение состав- ляют такие случаи, когда рассматривается взаимодействие системы с частицами, приходящими извне, или когда изучается распределение по импульсам частиц, а не ква- зичастиц. В дальнейшем в качестве объекта графического метода будут взяты квазичастицы. Для этой цели будет введено простое выражение, определяющее взаимодействие квази- частиц в системе с 6-образным взаимодействием между час- тицами. Такое взаимодействие осуществляется в ядерном веществе. Кроме того, будут введены «заряды», характери- зующие взаимодействие квазичастиц с внешним полем. Взаимодействие между квазичастицами. Взаимо- действие между квазичастицами отличается от взаи- модействия двух частиц в пустоте. Например, вза- имодействие между двумя нуклонами в пустоте осущест- вляется обменом одним или несколькими мезонами, тогда как внутри ядерного вещества, помимо этого механизма, возможно также взаимодействие за счет обмена частицей и дыркой; на графиках амплитуды рассеяния Г эти оба механизма изобразятся следующим образом: Волнистая линия означает мезонные функции Грина, а петля соответствует рождению частицы и дырки. Таким образом, дополнительное взаимодействие пред- ставляет собой взаимодействие за счет поляризации среды. Кроме того, из-за принципа Паули изменяются даже те графики взаимодействия, которые не связаны с’поляриза- цией, за счет того, что часть состояний занята остальными нуклонами и недоступна для взаимодействующих частиц. Нахождение взаимодействия в веществе из взаимодей- ствия двух частиц в пустоте для сильновзаимодействующих
238 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ частиц представляет собой сложную задачу, поскольку влияние среды существенно изменяет пустотное взаимо- действие. Здесь эта задача не рассматривается. Взаимо- действие между квазичастицами будет выражено через несколько констант, которые не вычисляются, а должны быть найдены из сравнения теории с опытом. В случае ядра радиус сил взаимодействия между квазичастицами приблизительно такой же, как и радиус действия г0 потенциала взаимодействия в пустоте. Действи- тельно, плотность ядра определяется тем условием, что расстояние между частицами должно быть порядка г0. Следовательно, импульс на границе Ферми, который оп- ределяется плотностью, связан с г0 соотношением (Й = = т = 1) рргй ~ 1- Глубина эффективной потенциальной ямы, в которой движутся ядерные частицы, порядка и = Pf 1 2 -Г2 Таким образом, все величины в ядерном веществе, а следовательно, и радиус эффективных сил взаимЪдейст- вия определяются величиной г0 как единственной вели- чиной размерности длины, характеризующей как пустот- ное взаимодействие, так и до- полнительное взаимодействие, вызываемое поляризуемостью ядерного вещества. Как мы увидим, все задачи, связанные с внешнем полем ча- стоты со, малой по сравнению с энергией границы Ферми Ер, и с волновыми векторами, ма- лыми по сравнению с импуль- сом рр на границе Ферми, сводятся к нахождению ампли- туды рассеяния с малыми пе- редаваемыми импульсами {к<^рр, ю ек) в канале двух квазичастиц или, иными словами, с малым суммар- ным импульсом и малой суммарной энергией в канале
2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 239 квазичастицы и квазидырки (горизонтальный канал на рис. 47, д =-- (со, к)). В этом случае для получения удобного уравнения следует графики, входящие в Г, классифицировать следующим способом. Выделим в блок £ все графики, которые не содержат частей, соединенных линиями квазичастицы и квазидырки. В блок & вой- дут следующие графики: Зачеркнуты те графики, которые по определению не вхо- дят в блок . Эти графики при малых передаваемых им- пульсах, как будет показано, существенно зависят от состояний рассеивающихся частиц и поэтому они выделе- ны из блока Все графики, за исключением зачеркнутых, соответ- ствуют при малых передаваемых импульсах б-образному вкладу в блок Действительно, используя б-образность пустотного взаимодействия и - , можно изобразить первые гра- фики $ в виде Первые 3 графика зависят от передаваемого импульса g (<?; = (е£, /сг)), только в меру нелокальное™ пустот- ного взаимодействия и для к , со <^~ могут быть за- менены своим значением при д = 0.
240 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ^ТЕЛ Для того чтобы убедиться в независимости от д более сложных графиков $, оценим диаграмму являющуюся усложнением 4-го графика $. Прямоуголь- ник соответствует локальному блоку, который обозна- чим Г. Выражение для <р4> запишется в виде ^(4>~ - q2 + q3 + g4). Так как д3, <?4 соответствуют дыркам, то к3, /с4 по определе- нию меньше, чем рр. Рассмотрим область интегрирования е( ер и к1Л ^>Рр, тогда в знаменателях, соответствующих дыркам, можно пренебречь в (к3,4) по сравнению с со3,4 и произвести интегрирование по к3, к*. Получаем dski6 (coi-f-сй—<»з—ач—со) II dco. тг2 I ГI2 К ----------------------------- 1 1 J (£01 — 8 (kl)) (£08—8 (kl)) £03(04 интегрирование по к3 исключается множителем 6 (к—кг — к2 к3 Л4). Нетрудно видеть, что наибольший вклад в интеграл по <ог вносит область сс^ ~ со2 ~ со3 ~ со4 ~ g (кг). Окончательно имеем г(4) —П2|Г|2 ~ п21 Г р L, 8 (ki) 1 1 где через L обозначен верхний предел интегрирования по кг. Таким образом, получилось расходящееся выраже- ние, значение которого определяется нелокальностью бло- ка Г. Поскольку существенная область интегрирования по импульсам порядка L, рассматриваемый график не
2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 241 зависит от q, если В зависимости от характера графиков, входящих в Г, характерный импульс L может быть порядка тпс или тас. Вообще все графики, содержащие более двух линий, слабо зависят от передаваемого импульса, поскольку при ин- тегрировании по 4-импульсам внутренних линий сущест- венны большие импульсы и энергии (р р?, е ер)*). С помощью блока^ все графики, входящие в Г, можно классифицировать следующим образом: 1) графики, не со- держащие двух линий по каналу квазичастица — квазидыр- ка (блок ^); 2) по каналу квазичастица — квазидырка сначала идет блок , затем две линии (квазичастица и квазидырка) и сумма всех графиков, переводящих квази- частицу и квазидырку в новое состояние (т. е. Г). Графически уравнение для Г изобразится так: или в символической форме Г = £ + (5.46) Запишем это выражение в (X, е)-представлении, опус- кая пока значки X. Поскольку блок g 6-образен по раз- ности входных времен, то и выражение Г тоже 6-образно по этой разности. Так как Г симметрична относительно входных и выходных точек (в чем можно сразу же убе- диться, собирая графики в обратном порядке), то Г за- висит только от разности входного и выходного времен и, следовательно, в (%, е)-представлении зависит только от суммарной энергии и квазичастицы и квазидырки, которая сохраняется во всех разрезах этого канала. Опус- кая общий множитель 6 (ех-|-е2—е3—е4) и сопоставляя *) Более подробно эта аргументация развивается в цитирован- ных выше книгах (стр. 212).
242 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ графикам f иГ величины (— if), (— гГ), получим Г(«) = ^-^^(е)6(М-е)-^Г(ю) = £ + £ЛГ. ♦J £31 Восстанавливая значки X и используя выражение А, най- денное на стр. 235, получим (XjX21Г | Х3Х4) - (ХхХ2 | f | Х3Х4) -f- 2 JI t 717 (XxX21 f I X'X) P P , № Ir I (5-47) bi r - r~ tU XX XXI Правильность коэффициентов этого уравнения мы прове- рим ниже на простом примере. Поскольку блок f в коор- динатном представлении 6-образен и определяет- ся областью радиуса г0 вблизи изучаемой точки, мы бу- дем величину f называть амплитудой локального взаимо- действия или просто локальным взаимодействием. В случае, когда существенна парная корреляция или когда вблизи поверхности Ферми есть уровни, конкури- рующие с одночастичными состояниями, выражение для GK усложняется и уравнение для Г не имеет простого ви- да (5.47) Локальное взаимодействие квазичастиц. Как уже го- ворилось, эффективное локальное взаимодействие между квазичастицами будет характеризоваться несколькими чис- лами. Покажем это на примере локального взаимодействуя в ядре. Рассмотрим сначала однородное ядерное вещество, а затем внесем поправки, вызванные конечностью размеров ядра. В импульсном представлении амплитуда локаль- ного взаимодействия зависит от двух импульсов р±, р2 и от передаваемого импульса q: Так как блок f слабо зависит от импульсов (заметно изменяется при §р ~ рр, бе ~ ер), то при малом пере- даваемом импульсе можно положить q = 0 (с точностью ~ kJpF, со/ер). Кроме того, для изучения амплитуды Г вблизи поверхности Ферми достаточно знать f при
2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 243 I Pi I — I P2 I = Pf и ei — e2 — ^f- Поэтому за- висит только от угла между входными импульсами рг и р2. Взаимодействие между квазичастицами зависит, кроме того, от спинов квазичастиц и от изотопического спина. Предполагая изотопическую инвариантность, по- лучим F = C{/ + /'T1T2 + (g + g'TiT2)ff1ff2}, (5.48) где /, g, g' — функции от угла между рг и р2; т, о — изотопические и спиновые матрицы. Нормировочный множитель С выберем равным С — 1 = —яг dn/dsF m*pF Тогда /, g, g' — безразмерные величины порядка 1. Мы не включили в (5.48) слагаемые вида (р^^ (р2о2')> которые возникают как релятивистская поправка и об- ращаются в нуль при малых скоростях частиц. Впрочем, в случае ядра скорости у границы Ферми не очень малы по сравнению со скоростью света, v/c ~ */4, и эти слагаемые могут оказаться существенными. Так на- зываемые тензорные силы пропорциональны к2 и поэто- му не включены в (5.48). Разложим & в рЯд по поли- номам Лежандра, зависящим от косинуса угла между Pi и р2. X = pipi Pf F = 2 (*)• i (5.49) (Числа /г, //, gt, gi должны быть найдены из сравнения теории с опытом.) Заметим, что это разложение не имеет ничего общего с обычным разложением амплитуды рас- сеяния по парциальным волнам, где разложение ведется по функциям Рг от угла отклонения, тогда как в F угол отклонения положен равным нулю (к = 0). Как показывает сравнение с опытом, в ядрах главную роль играют нулевые гармоники разложения (5.49), т. е. локальное взаимодействие квазичастиц мало зависит от их скоростей. В уравнение для эффективного поля в бесконечной системе входит & при передаваемом импульсе g, равном 4-вектору внешнего поля. Поэтому в достаточно однород-
244 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ ных полях можно в $ полагать q = 0 (с точностью ~ к/рр, со/ер). В конечной системе даже в однородном внешнем поле V0 эффективное поле V не однородно, а заметно изменяет- ся на расстояниях порядка R. Поэтому нужно иметь вы- ражение для $ при к ~ 1/2?; при этом можно полагать со = 0, если со ер. Поскольку в конечной системе fc 1_________1 Рр PpR А'/* ’ достаточно учитывать в f только слагаемые, не завися- щие от к и линейные по к, и пренебрегать членами ~ к2. 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА Уравнение Дайсона. Обоснование модели оболочек. Как известно, так называемая модель ядерных обо- лочек исходит из предположения, что в ядре имеют- ся энергетические уровни, такие же, как и в систе- ме невзаимодействующих частиц, помещенных в потен- циальную яму. До появления метода функций Грина хо- рошие результаты, получаемые во многих случаях с по- мощью этой модели, были совершенно необъяснимы. Та- кая же трудность существовала в теории металлов, где модель свободных электронов хорошо описывала многие явления, несмотря на сильное взаимодействие между электронами. С помощью метода функций Грина удается объяснить существование одночастичных возбуждений в ферми-системе с сильным взаимодействием. Будем обозначать точную функцию Грина жирной линией (Ш,2) = 1-------- , а функцию Грина свободной частицы — тонкой линией Сд(1,2) = 1-------------- Полная амплитуда перехода равна сумме всех возможных
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА 245 амплитуд, поэтому G выражается через сумму графиков Первый из графиков суммы соответствует амплитуде пере- хода при условии, что рассматриваемая частица не взаимо- действовала с частицами среды, т. е. Go. Второй график изображает упругое рассеяние рассматриваемой частицы на частицах среды. Третий график описывает свободное движение до точ- ки 3, затем происходит неупругое столкновение, в резуль- тате которого рассматриваемая частица рождает пару в точке 4. Далее пара исчезает в точке 5, и от точки 6 до точки 2 происходит свободное движение. Аналогично вы- ясняется смысл всех остальных графиков. Будем классифицировать все графики следующим об- разом. Прежде всего отделим единственный график, со- ответствующий свободному движению. Все остальные графики имеют такой вид: до некоторой точки частица движется свободно, затем происходит столкновение, в ре- зультате которого образуется и уничтожается несколько частиц и дырок, затем опять свободное движение и акты столкновений повторяются. Поэтому все эти графики имеют следующую структуру: сначала свободное движе- ние, затем сумма графиков, не содержащих частей, соеди- ненных одной линией, и затем полная амплитуда перехода частицы из промежуточного состояния в конечное. Графически выражение для G (1, 2) будет следующим: 8(Ц) = -------i = ]-----£ + М г , (5.50) где через 2 обозначена сумма графиков, или, как мы бу- дем говорить, блок, не содержащий частей, соединенных одной линией. Аналитически уравнение (5.50) имеет вид G (1, 2) = Go (1,2) + J Go (1,3) 2 (3,4) G (4,2)dx3dxt. (5.51) Уравнение (5.51) называется уравнением Дайсона.
246 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ Введение блока 2 имеет то преимущество, что он б-об- разен в координатном представлении и поэтому характе- ризуется малым числом констант. Действительно, блок 2 содержит графики, состоящие из трех и более линий, ко- торые, как можно убедиться (см. стр. 239), б-образны по разностям координат и времени с шириной разброса бг ~ i/pp, 6i ~ il&p- В отсутствие внешних полей, когда гамильтониан системы не зависит явно от времени, все величины, входя- щие в (5.51), зависят только от разности соответствующих времен. Поэтому удобно перейти к представлению Фурье по времени. Получим G (Л, r2, е) = Go (rlt r2, е) + + Go (r4, г о, е) 2 (r3, r4, е) G (г4, г2, е) d3r3 d3rt. (5.52) Уравнение для Go в координатном представлении имеет вид (см. уравнение (5.1) на стр. 213) (е — р2/2т) Go (г, г', е) = б (г — г'), где р — оператор импульса, действующий на координату г. Умножая (5.52) слева на е — р2/2т, получим (е---G(r, г', е)— 2 (г, r4, e)G(r4, г', e)d3r1 = = б (г — г'), Мы для простоты опускаем спиновые индексы. Поскольку блок 2 является б-образным, второе сла- гаемое можно изобразить в виде $ 2G d^ = zG (г, г', е) + , где а (г, е) = § 2 (г, г4, ejd3^, Заз (г, е) = 2 (»’, П. е) (r4 — r)a — r)3 d3^. В однородной среде = |Зба|3, где |3 не зависит от г. В конечной системе это соотношение справедливо с точ- ностью до отношения r0/R, где г0 — расстояние между частицами, a R — радиус системы. При
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА 247 уравнение для G принимает вид [е —Im (1 + 2WP) — а (r, е)] (r г’’ е) = 6 (г — г'). (5.53) Рассмотрим уравнение (5.53) для значений е, лежащих вблизи границы Ферми ер, и будем отсчитывать е от ер. Тогда, разлагая величину а (г, е) по степеням е и ограничиваясь первыми двумя членами, получим (е _ _ U (г)) G (г, г’, е) = Z8 (г — г'), (5.54) где За т* — де 7 — 1__________— П (г\ = а ^г’ °) 1 + 2/п0 < z — 1 де , и {Г) да . 1 де Здесь ттг* — эффективная масса, Z—перенормировка функции Грина, a U (г) — эффективный потенциал. Все эти величины выражаются через блок S, для которого имеется ряд теории возмущений по взаимодействию между частицами. Поэтому принципиально возможно вычислить величины тге*, Z и U (г). Так, например, в первом поряд- ке теории возмущений по взаимодействию между части- цами нетрудно получить (7H*)W = Ш, Z W = 1, [U (r)]W = Ux-ф, где Ux-ф — самосогласованный потенциал Хартри — Фока. Так как в ядре взаимодействие не мало, то вычисление этих величин связано с очень большими трудностями. Поэ- тому следует характеризовать потенциал U (г) нескольки- ми константами: глубиной потенциальной ямы, ее радиу- сом, шириной d-слоя, на котором потенциал переходит от постоянного значения внутри ядра к значению, равно- му нулю вне ядра. Эти константы вместе со значения- ми т* и Z должны быть найдены из сравнения теории с опытом. Введем теперь систему функций, описывающих квази- частицы с энергией е?_, близкой к ер: (-£- + U (г)) =
248 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ Тогда из уравнения (5.54) получим (е — ех) (е) = Это выражение отличается только множителем Z от соот- ветствующего равенства для квазичастицы, которое полу- чается из (5.10'). Таким образом, GK (е) имеет полюс при е = ек. Этот результат означает, что в системе есть ветвь одночастич- ных возбуждений. Эти возбуждения соответствуют воз- буждениям газа квазичастиц. Неустойчивость фермиевского распределения в случае притяжения. Возникновение щели в энергетическом спек- тре. Получим уравнение для амплитуды рассеяния Г по каналу двух квазичастиц. Для этого введем блок %, не содержащий по этому каналу частей, соединенных дву- мя линиями квазичастиц. Аналогично тому, как это было сделано выше при получении уравнения (5.46), находим Р Р -Р -Pi -Р' Р А Р' Г = % + ^GGY. (5.55) Здесь в отличие от (5.46) GG — функции Грина двух квази- частиц. Блок % 6-образен по координатам и временам вхо- дящих в него линий, по тем же причинам, что и блок $. Рассмотрим две частицы с суммарной энергией Е и суммарным импульсом, равным нулю. Вычислим элемент GG, входящий в это уравнение. С помощью (5.42) полу- чаем Г 1— 2п J G (ръ т) G (р1г т) eiEx dr = i ^__2E(pi) + гб “ Подстановка в (5.55) с использованием правил расшифров- ки графиков дает г (₽,₽')-». + Ц Г (/>..!>')> • (5.56)
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА 246 Будем искать полюс выражения для Г. При этом мож- но пренебречь первым слагаемым в правой части, и полу- чается однородное уравнение. Для наглядности придадим этому уравнению вид, напоминающий уравнение Шре- дингера для двух частиц. Введем Т (р) = БГ, тогда для Т получаем уравнение (Е - 2Е (р)) Т (р) = (1 - 2п,) %. Т (р') . В пустом пространстве (пр = 0) это уравнение совпадает с уравнением Шредингера в импульсном представлении для двух частиц с б-образным потенциалом взаимодействия К = W (г — г') &г' Множитель (1 — 2np) учитывает изменение этого уравнения в среде. Собственная энергия Е находится из соотношения 1 ~2пД> d*P _ 0 J Е - 2Е (р) (2л)’ <3/ г г j_r 1 ” ° d&F 1 ,) Е — 2Е' "Г } Е - 2Е' J * О е/? Мы оборвали интегрирование по Е' во втором интеграле величиной е1, которая определяется неточностью пред- положения о б-образности %. Согласно сказанному выше е* — ер ~ 8р; при малых (Е — 2sp) неточность оп- ределения ех, как мы увидим, не скажется на результате. Обозначая Ш — 2ер = е ер, находим с логарифми- ческой точностью 1 ~ %. т In . (5.57) a&F &р 8р Из (5.57) следует, что решение есть только для отрицатель- ных йЦ0 - е2 ~ efpe- "М . Таким образом, квадрат энергии е оказывается от- рицательным, что означает существование нарастающих во времени решений Т (i)=4foexp{| е |t}, т. е. неустойчивость системы*). Количество таких коррелированных пар частиц *) Это обстоятельство было обнаружено Купером в 1956 г.
250 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ будет нарастать до тех пор, пока распределение Ферми, и в результате энергия квазичастиц, не изменятся таким обра- зом, чтобы возникло устойчивое состояние. Это явле- ние приведет, как мы увидим, к появлению сверхтеку- чести или в случае заряженных частиц к сверхпроводи- мости. Предположим, что неустойчивость, рассмотренная вы- ше, соответствует двум квазичастицам с противоположными спинами (такой случай осуществляется для электронов в сверхпроводнике). Взаимодействия частиц с параллель- ными и антипараллельными спинами сильно отличаются. Действительно, в силу принципа Паули две частицы с одинаковыми спинами не могут находиться в одной точке пространства, что ослабляет взаимодействие на малых расстояниях и может привести к изменению знака введен- ной выше величины у. В результате неустойчивости образуется «конденсат» коррелированных пар частиц с суммарным спином, рав- ным нулю («куперовские» пары). Существование такого конденсата существенно изменяет свойства частиц с энер- гией, близкой к границе Ферми. Действительно, частица может перейти в дырку с образованием куперовской пары. Обозначим через А амплитуду такого перехода: Тогда амплитуда обратного перехода будет ей комплексно сопряжена «1 | У | 2> = <2 | У | 1>*) -ьД* = • При этом к собственной энергии частиц добавится ве- личина Функция Грина дырки между блоками не содержит пере- ходов в куперовские пары, так как такой переход озна- чал бы появление линии, идущей направо, а величина S по определению не содержит частей, соединенных та- кой линией.
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА 251 Введем функцию Грина G, учитывающую все графики, кроме рассмотренного выше, тогда получаем соотношение G? = Go’1 - 2 = Go’1 - 20-2k = (5.58) где G-1 = Go'1 — 20- Учет графиков вида 2^ во внутренних линиях 20 не приведет к существенному изменению этой величины, поскольку при этом особенность, содержащаяся в 2к, заинтегрируется. Действительно, как мы увидим, 2к искажает функцию G в энергетическом интервале шири- ной ~ А, малом по сравнению с существенной областью интегрирования по е и е (р) ер), если предположить, что A ер. Запишем уравнение в (р, е)-представлении и будем все энергии отсчитывать от границы Ферми. Тогда Gs (р, е) = [G-1 (р, е) — 2/£ (р, е)]"1, где согласно (5.10') и (5.24) при малых е (р) и е \Vi g — е (р) гб sign 8 Для 2к (р, е) имеем 2* [Р, е) = (iA) (— G(— р, — е)) (— iA) = ' + + <5-59> Действительно, изменение направления стрелки у линии, стоящей между блоками А, как было показано на стр. 234, дает в (р, ^-представлении — G (—р, —т) или в (р, е)-представлении — G (— р, — е). Получим выражение (5.59) еще одним, гораздо более наглядным способом. Как видно из выражения для Gs, величина Z2k пред- ставляет собой поправку к энергии квазичастицы. Эта поправка может быть найдена с помощью обычных пра- вил квантовой механики как квадрат матричного элемента перехода в промежуточное состояние, деленный на разность энергий исходного и промежуточного состоя- ний. В данном случае имеется только одно промежуточ- ное состояние, соответствующее появлению дырки и
252 Гл. 5. МЁТОДЫ ЗАДАЧИ МЙоГИХ ТЕЛ коррелированной пары. Переход, соответствующий графику (3 частицы в промежуточном состоянии), строго запрещен принципом Паули (ср. соответствующее рассуждение в следующем разделе для бозе-частиц). Поскольку роль начальной энергии частицы играет величина е, а дырки в промежуточном состоянии — величина — е (р), мы не- посредственно приходим к выражению (5.59). Величина ZA играет роль соответствующей амплитуды перехода для квазичастиц. Так как блок А (р, г) по определению не содержит час- тей, соединенных одной линией, то он не должен сильно зависеть от р и е и может быть взят на поверхности Ферми А (р, е) ~ А (ре, ef) s Ае’’’. В результате для Gs получаем Gs (Р, 8) =--------~. (5.60) Для краткости записи мы отбросили i6 sign 8 и обозна- чили А = ZA. Полюса Gs соответствуют энергиям новой квазичастицы и новой квазидырки (£ - 8 (р)) (£ + 8 (р)) = А2, откуда Е = ± /д2 + (8(р))2. Вблизи границы Ферми можно положить: “ ~&r — — Pf)- При 8 (р) А эти выражения переходят в прежнее выражение для энергии квазичастицы и квазидырки Е (р) -> ± 8 (р).
3. РЁШЁЙИЕ ЗАДАЙ МЕТОДОМ ФУНКЦИИ ГРИНА 253 Итак, в спектре системы возникла щель. Минималь- ная энергия возбуждения, соответствующая появлению квазичастицы и квазидырки вблизи поверхности Ферми, равна [£+ (р2) — Е~ (p^lmin = 2Д. Выражение (5.60) мо- жет быть записано в виде, напоминающем выражение (5.10): Gs (р, 8) = Z 1-------------------------------------т s | е — Ь (р) + гб 8 Е (р) — гб Правильность знаков при i6 следует из того, что первое слагаемое в фигурной скобке описывает частицу, а вто- рое — дырку, и при переходе в т-представление G+ (т) = = G~ (т) = 0 при т < 0. Кроме того, видно, что вдали от р = Pf выражение Gs переходит в G выше и ниже границы Ферми. Из выражения (5.31), связывающего G с распределением частиц, убеждаемся, что v (/?) есть новое распределение квазичастиц, заменяющее прежнее ферми-распределение. Вдали от границы Ферми v (р) превращается в прежнее распределение. Таким образом, учет парной корреляции привел к появлению щели в спектре квазичастиц и к сгла- живанию скачка в распределении Ферми. Как мы увидим ниже, появление щели в спектре приводит к сверхтеку- чести, а в случйе заряженных частиц — к сверхпроводи- мости. Для величины Д может быть получено уравнение, связывающее ее со взаимодействием %0. Это уравнение соответствует графическому равенству В правой части к Д примыкают разные линии: одна — тон- кая, другая — жирная. Предоставляем читателю полу- чить это графическое уравнение и его аналитический вид и убедиться, что Д определяется соотношением Е1 1 = I т I dZ ...., д » £ie-VM, J Уд2 + 8» где £х ~ 8f, а у определено в (5.57).
254 tn. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ Энергетический спектр бозе-систем. Сверхтекучесть. Основное состояние идеального газа бозе-частиц соответ- ствует тому, что все частицы находятся в наинизшем сос- тоянии, отвечающем импульсу р = 0 («бозе-конденса- ция»). Включение взаимодействия разбрасывает частицы по импульсам, однако конечная доля частиц по-прежне- му остается в состоянии с р = 0, подобно тому как в случае ферми-частиц остается конечный скачок на гра- нице Ферми (стр. 225). Функция Грина частицы будет, помимо графиков, от- вечающих взаимодействию с надконденсатными части- цами, содержать графики вида Волнистой линией обозначены конденсатные частицы. Первый из графиков соответствует тому, что рассматри- ваемая частица взаимодействует с частицей конденсата, не изменяя числа конденсатных частиц. Графики такого типа описывают потенциальное рассеяние в поле конден- сатных частиц. Второй график отвечает более сложному процессу. Частица переходит в дырку в распределении частиц и рождает две конденсатные частицы, которые за- тем вместе с дыркой опять переходят в рассматриваемую частицу. Введем величину G, которая определяется всеми гра- фиками, не содержащими перехода в дырку и две кон- денсатные частицы, аналогичную величине G, введенной в предыдущем разделе, G = Go + G020G. (5.61) Тогда из уравнения Дайсона находим Gs = G+ G2&. (5.62) Так как 20 (р, е) не содержит частей, соединенных одной линией любого направления, она при малых р и е может быть разложена в ряд.
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА 255 Из уравнения (5.61) следует, что величина G (р, е) равна п2 G(p,&) = [е — е° (/?) — So е)1 \ е°(р) = ^- , откуда при малых р и е имеем G (?’ е) = 8_8(p) + iT + GReg = ZGQ + GReg- где z = [1 - ^-]-1, е (р) = (е° (р) + 2о (0, 0) + р2) Z. Величина Ga =-----, , , . 4 e-e(p)4-iT представляет собой функцию распространения квазичастиц «нулевого» приближения, соответствующих выключению переходов в квазидырку и две конденсатные квазичастицы. Такой прием введения вспомогательных функций Гри- на, соответствующих выключению каких-либо переходов, может быть широко использован в различных областях теоретической физики. В частности, в ядре для учета парной корреляции используются вспомогательные квази- частицы, соответствующие выключению парного взаимо- действия, и с их помощью вычисляются графики, приво- дящие к парной корреляции. Найдем величину „ _ /Ух /W Lk 'р^^р3 ”р Сверху обозначены числа частиц в системе. Дырка с им- пульсом —р соответствует состоянию системы (2V + 2) с импульсом р. Таким образом, благодаря существованию конденсата происходит перемешивание состояний: частица в системе (N) дырка в системе (N + 2). В линии, соединяющей два блока, уже не следует учиты- вать перехода в дырку, поскольку 2/с по определению не содержит частей, соединенных одной линией, идущей направо. Мы для простоты опустили линии конден- сатных частиц. Будем отсчитывать все энергии от хими- ческого потенциала системы; химический потенциал ц = = Ео (ZV-f-1)—Ео (Д') равен энергии конденсатной частицы, поскольку, переходя от основного состояния системы N
256 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ частиц к основному состоянию для /V 4* 1 частицы, мы добавляем одну конденсатную частицу. Таким образом, при отсчете от химического потенциа- ла энергии конденсатных частиц равны нулю и выраже- ние для принимает вид, аналогичный формуле (5.59) предыдущего раздела, но с измененным знаком (см. стр. 251): (р, 8) = (i Д) G (- р, - 8) (- iД) = - . Для проверки знака в этом выражении воспользуемся обычной теорией возмущений аналогично тому, как это делалось для случая парной корреляции в ферми-системе (стр. 252). В случае бозе-системы имеются 2 возможных промежуточных состояния: 1) соответствующее переходу квазичастицы в квазидырку и две конденсатные квази- частицы и 2) описывающее переход рассматриваемой квази- частицы и двух конденсатных квазичастиц в 2 надкон- денсатные частицы с импульсом р и одну с импульсом—р. Опустим для простоты множитель Z (Z 0), тогда за счет первого промежуточного состояния получается сла- гаемое в 2t, равное | Д |2/(е + 8 (/>)) с тем же знаком, что и в случае ферми-системы. Во втором промежуточном состоя- нии, которого нет для ферми-частиц (см. рис. на стр. 252), энергия равна 2е + 8 (р) и соответствующее слагаемое „ 21 Д|2 21 др п в 2 к равно e_^e-le@ = - ё+Т(рТ • Мно®итель 2 Учиты- вает тот факт, что имеются 2 бозе-частицы с импуль- сом р. В результате получаем = I АР e-f-e(p) ’ что и доказывает правильность полученного выше выражения для Z/f. Сравнение с этим выражением показывает, что роль амплитуды’ перехода квазичастиц играет вели- чина ZA. Интересующая нас функция Gs равна — G-i —Z г2 — e2(p) + Z2j Д (р, в) р + Grss- (5.63) Рассмотрим полюсную часть этого выражения при ма- лых р, 8. Среди возбуждений с р -> 0 обязательно долж- ны существовать такие возбуждения, которые в пределе
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА 257 малых р переходят в смещение системы как целой. Такие возбуждения должны иметь частоту, стремящуюся к ну- лю при р -> 0 (теорема Гольдстоуиа). Примером таких возбуждений являются звуковые колебания. Поэтому ве- личина Gg должна иметь полюс прир — 0, 8 = 0. Энергия е (р) = Z (S (0,0) — р, + О (р*)) (стр. 255), и согласно (5.63) имеем условие [ц - 2 о (0, 0)Р = | Д (0, 0) |2, откуда Н = 2о ± До, 20s 2 (О, 0), До = | Д (0, 0) |. (5.64) Мы увидим, что в силу аналитических свойств функции Грина (положительность вычета в полюсе) в этом выраже- нии следует брать нижний знак. Разложим выражения, входящие в Gs, в ряд вблизи р, 8 — 0. В числителе можно положить р, 8 = 0. Следо- вательно, е + 8 (?) — 2 о — p, = zF До- Как мы сейчас увидим, вблизи полюса Gs существен- ны 8 —- р. Обозначая ZA« = 8) = a e)’ C/ZjO 1 '"de" / P2 I d2 \ / = P2 \ 2m + dp* P ) Z — 2m’ ’ получим GS = Z _____________=F&>______________ 82-(^ + So)2 + |A(z>,8)|2 Как видно из аналитических свойств функции Грина для бозе-частиц (стр. 219) при <ajap> = п (р) !>> 1 (что, как мы убедимся, осуществляется в нашем случае) функ- ция Грина должна быть четной функцией е. Поэтому и I Д (Р, в) | 2 есть четная функция 8 |Д(р,8)|2 = Д? + -Ц^р2 + д|Д|2 de2 е2. 9 А. Б. Мигдал
258 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ В результате выражение для Gs приобретает вид G- = zl^fcr' <5-68’ & (р) = с2р2 + ( V------i-^r— , и' 2т / 5 | А [2 1 с2 = 1 _ д|А р \ д | Д |2 \ т' дР2 / ’ 1 ~ Эе2 Таким образом, полюса Gs при р -> 0 отвечают звуковым возбуждениям *). Мы сохранили в знаменателе (5.65) слагаемое ^-^гУ , которое на первый взгляд незаконно, поскольку члены р* и е4 отбрасывались. Однако это слагаемое дает правильный переход к случаю больших р. (При достаточно - ± д|А|2 п болыпихр следует заменить т* наш, положить—— = О, и Е (р) переходит в энергию свободной частицы.) В систе- ме со слабым взаимодействием сохранение этого слагае- мого законно, и выражение (5.65) делается правильным при всех импульсах. Определим знак в числителе Gs. Рассмотрим систему со слабым взаимодействием. Тогда —•, —1 • Выте- кающая из (5.18) положительность вычета в полюсе означает, что следует взять нижний знак «+», что соответ- ствует знаку «—» в (5.64). Но после того, как определен знак, из положительнос- ти вычета следует, что при любом взаимодействии Предоставляем читателю убедиться, что из положитель- пости вычета G следует 1--------_> и. *) Звуковой характер спектра неидеального бозе-газа был обнаружен в работе Боголюбова (1947). Метод, использован- ный в этой работе (метод канонических преобразований), оказал большое влияние на применение квантовой теории в задаче многих тел.
3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА 259 Из выражения для скорости звука находим также До Э | ДР п т* др» Окончательно имеем Gs = —° , .. , (5.66) 8 82 — Е» (р) -j- l6 ’ ' > где Мы выбрали знак мнимой добавки так, чтобы функ- ция Грина частицы Gt (Е = Gs (Е (р), t) со- t>o ответствовала затухающему, а не нарастающему ре- шению. Запишем Gs в виде С __ а /_________1_____________1______\ 8 2Е (р) 1 е - Е (р) + /6 8 + Е (р) - ) и найдем Gs (р, t) при t < 0. При интегрировании по е остается только второе слагаемое а С другой стороны, для бозе-системы мы имели (стр. 219) G (р, t ——0) = <а+ (р) а (р)') == п (р). Поэтому для распределения частиц по импульсам получаем: 2Е(Р) 2ср>к (5.67) Таким образом, п (р) имеет полюс при р -> 0. При больших р, е функция Gs (см. (5.63)) переходит в функцию Грина свободных частиц, т. е. Е (р) О переходит в ер = ---р,. Таким образом, зависимость Е (р) начинается с линейного участка и при больших р должна переходить в квадратичную. Как ведет себя Е (р)
260 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЙ в промежуточной области? Расчет теплоемкости жидкого гелия, соответствующей звуковым колебаниям, дал ре- зультат меньший, чем наблюдаемая теплоемкость. От- сюда следует, что помимо звуковых возбуждений, имеют- ся еще и другие возбуждения с малыми энергиями (Миг- дал, 1940 г.). Ландау сделал предположение, что кривая/? (р) имеет минимум (рис. 48). Воз- буждения с импульсом р, бли- зким к р0, и дают добавочный вклад в теплоемкость. Это предположение блестяще под- твердилось на опыте. Спектр справа от р0 в точ- ке рг исчезает (т. е. исчезает по- люс в функции Грина). Причина этого состоит в распаде возбуж- дения с импульсом р на возбуждения с меньшими им- пульсами (Питаевский, 1959). Жидкости со спектром Е (р) = ср, так же как и жид- кости со спектром Е (р) — VЛ2 + (р — pf)2 vp, полу- ченным в предыдущем разделе, обладают свойством сверх- текучести, т. е. протекают через узкие трубки без трения. Перейдем в систему координат, движущуюся вместе с жидкостью. Сверхтекучесть означает, что стенки труб- ки или вообще любое тело, движущееся в жидкости, не тормозится. При низких температурах единственный ме- ханизм торможения — это передача энергии элементар- ным возбуждениям. Пусть тело уменьшило свой импульс па величину р, энергия тела изменяется при этом на ве- личину jw, где и — скорость тела. Условие сверхтекучес- ти (критерий Ландау) означает pv < Е (р), (5.68) поскольку pv — наибольшее изменение энергии тела при заданной передаче импульса. При больших скоростях v этот критерий нарушается. Критическая скорость vK, при которой сверхтекучесть прекращается, определяется условием vK = (Е (р)/р)тш- Спектр возбуждений ферми-системы без парной кор- реляции не удовлетворяет критерию (5.68) даже при
1>. СИСТЕМА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 261 скоростях г 0. Энергия возбуждения в такой системе Е (Pi, р2) = е (Pi) — е (Рг); Pi>Pf, Рг>Рк- При малых импульсах возбуждения Е — VfP, и следовательно, кри- терий сверхтекучести нарушается при сколь угодно малых v. В случае же спектра с парной корреляцией критерий сверхтекучести нарушается, только начиная с некоторой скорости v. Поэтому электроны сверхпровод- ника при достаточно слабом токе двигаются сквозь ре- шетку атомов без торможения (сверхпроводимость). В случае спектра Е (р) = ср критическая скорость равна vK = с. Явление сверхтекучести жидкого гелия было экспе- риментально обнаружено Капицей (1937 г.). Как показал Ландау, все возникающие при конечных температурах эффекты объясняются своеобразной гидродинамикой двух проникающих друг в друга жидкостей — «сверхтекучей» и «нормальной». Теория жидкого гелия — одна из самых блестящих работ Ландау. 4. СИСТЕМА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ Многие свойства систем (статические моменты, веро- ятности переходов, энергии первых уровней и др.) легко определяются, если известно изменение матрицы плот- ности квазичастиц во внешнем поле и ее изменение при добавлении частиц к системе. Матрица плотности, как мы видели, просто связана с функцией Грина (стр. 223). Для ее нахождения поступают следующим образом. Сна- чала определяется изменение функции Грина в эффектив- ном поле, возникающем в системе под влиянием внешнего поля. Эффективное поле складывается из внешнего поля и поляризационного поля, возникающего от перераспреде- ления частиц. Это перераспределение выражается через изменение функции Грина в эффективном поле. В резуль- тате возникает замкнутая система уравнений для опреде- ления эффективного поля. Определим изменение функции Грина квазичастицы во внешнем поле. Ограничимся для простоты первым приб- лижением теории возмущений по полю. Взаимодействие между частицами будем учитывать точно. Запишем не-
262 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МЙОГИХ ТЁЛ сколько графиков, входящих в функцию Грина квази- частицы в поле G': = G+CVC. (5.69) Здесь кружок описывает непосредственное взаимодействие квазичастицы с внешним полем V0 еч — «заряд» квазичастицы, рых типов полей eq ф 1. частиц мы имели Как мы увидим, для некото- Для невзаимодействующих Таким образом, заштрихованный треугольник в фор- муле (5.69) заменяет точку на этом графике и представ- ляет собой эффективное поле V, действующее на квази- частицу. Получим уравнение для поля V. Среди графиков,вхо- дящих в V, есть один график, не содержащий взаимодей- ствия между квазичастицами (eqV°). Все остальные гра- фики имеют следующую структуру. Если двигаться со стороны основания к вершине треугольника, то все графи- ки начинаются со взаимодействия, затем идут две линии свободного движения и затем совокупность графиков, изображающая эффективное поле. Введем блок , не содержащий частей, соединенных двумя линиями. Тогда эффективное поле определяется уравнением V = eqV° + &GGV, (5.70)
4. СИСТЕМА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 263 или графически Первое слагаемое в V описывает непосредственное воз- действие внешнего поля на квазичастицу. Второе слагае- мое дает дополнительное поле, возникающее из-за поляри- зации среды, т. е. вызванное воздействием перераспреде- лившихся нуклонов ядра. В ^-представлении получаем (см. стр. 242) = Л, - 2 (М*21 f IW) Ах-Ух-х, (5.71) где Ах- = Gx (8) Gx- (е - ®) -g- • (5.72) Как мы видели (стр. 235) ^Изменение распределения частиц в поле. Полученные нами результаты имеют чрезвычайно простой физический смысл, который мы выясним на примере большой систе- мы. В этом случае удобно использовать импульсное пред- ставление, что соответствует <рх = eipr. Тогда Лхх' мож- но записать в виде л - л — —п (Р —к) А^’-^р.р^к Е(р_к)_е(1,)+о} При к << р разность е (р) — е (р — к) ^^к = kv, а п(р — к) — п(р) = — &V. Изменение матрицы плотности согласно (5.28) (стр. 223) выражается через изме- нение функции Грина в поле, т. е. в символическом виде 6р = (GGV)~-o = AV. (5.73)
264 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ Обозначая 6р = /ь (р), где fk (р) есть fc-компонента Фурье функции распределения / (г, р), получим (® - kv) fk (р) - vkVk = о, (5.74) или в координатном представлении + vyf (г, р) _ VV = 0, (5.74') где /° (г, р) = п (р). Таким образом, соотношение 6р = AV эквивалентно обычному уравнению для изменения функции распределе- ния во внешнем поле. При к, сравнимом с р, мы получили бы так называемое квантовое уравнение для функции рас- пределения. Выражение (5.72') приводит к этому более общему уравнению в ^-представлении. Уравнение (5.74) не только позволяет найти реакцию системы на внешнее поле, но и определить частоты соб- ственных колебаний системы с квантовыми числами, соот- ветствующими симметрии поля. Так, например, в случае векторного поля в системе возбуждаются колебания век- торного типа, а для внешнего поля, соответствующего возмущению вида Н' = pcr^x' ®x®x' & — магнитное поле),— спинорного типа. Собственные частоты будут определяться как полюса V (<в) (см. ниже). Спиновая поляризуемость и магнитный момент квази- частицы. Для статического поля уравнение (5.70) может быть просто записано в координатном представлении V (г) = egV°(r) - F (г - r')-£- V (г') dr'. (5.75) При выводе этого выражения мы использовали отношение —-----— = —— = — —, а также полноту функции <рх. ех — еХ' к-*о aeF Учитывая 6-образность запишем = ff06 (г — г'). Предположим, кроме того, что взаимодействие не зависит от скоростей и спиновых переменных частиц. Тогда (см. стр. 243) л V0 = (5.76)
t. СИСТЕМА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 265 , им характеризует поляризуемость среды во внешнем поле, а величина (1 + f)/eq представляет собой аналог диэлектрической проницаемости. В случае магнит- ного поля, действующего на ядро, возмущение Н' ~ ~ ахЯх'СГхх-, т. е. мы имеем дело со спиновым полем. Если бы ядро было достаточно большой системой, то за- меняя в (5.76) / на g, мы получили бы изменение спино- вой части магнитного момента одной частицы в результате спиновой поляризации ядерного вещества (в ядре g ~ 1), т. е. спиновый магнитный момент квазичастицы Но 1 + g ’ (5-77) где Цо — спиновая часть магнитного момента свободного нуклона. Нахождение спиновой поляризуемости в сфери- ческих ядрах требует численного решения уравнения (5.71) в ^-представлении. В /реформированных ядрах, в которых одночастичные уровни расположены гуще из-за снятия вырождения по проекции углового момента, си- туация более близка к случаю бесконечной системы, и формула (5.77) приближенно справедлива. Звуковые колебания в ферми-системе («нулевой звук»). Из уравнения (5.71) в случае бесконечной системы полу- чаем V р V0 । бь Г л (р) — n (р + fc) 9 d3P у /с. 7<з\ qV* + i е(р)_е(р + й) + ш 2 W <5-78) Здесь учтена 6-образность а также тот факт, что при малых к в интеграле по <Рр существенны только значения I Р I Pf- Вычислим интеграл, входящий в это выражение. Используя в подинтегральном выражении малость к и формулу = — 6 (е — Ър), получим п (р) — п (р fc) g dap _ е (р) — е (р + к) + со (2л)3 = <*“)’ <5-79> й°р £» j ш — к,ирХ дер»
266 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ где Ф (к, со) дается выражением (для к“/^рр <<; 1) Ф(к, ю) = 1_ ® 1П и р <о + kVp <о — kvp + in2^7Q(kvF~^ (О (z) — тэта-функция). Функция Ф, как мы увидим, определяет дисперсию (зависимость со (к)) собственных колебаний, в системе. Появление мнимой части в уравне- нии для V соответствует тому, что при со < kvp поле мо- жет рождать пары (со = few), тогда как при со )> kvp рождение пары невозможно (со kv для всех v vp). Уравнение для эффективного поля принимает вид П = eqv°k - f о ^7 УЛФ (к, со). (5.80) В зависимости от симметрии поля V в это выражение входят различные слагаемые выражения для $ (стр. 243). Так, в случае скалярного поля входит константа /, а в случае спинорного поля V ~ ст в символическое произве- дение &V входит константа спин-спинового взаимодей- ствия g (мы для краткости опускали спиновые значки в матричном элементе $). Таким образом, уравнение для скалярного поля V принимает вид r l'v° (5-81) В случае спинорного поля / заменяется на g. Собственные колебания определяются полюсом вы- ражения для Vk 1 = - /Ф (к, со). (5.82) Предположим, что со = ykvp. Тогда уравнение (5.82) принимает вид Незатухающее решение соответствует у 1. Такое решение есть при / О vlnl±^2iy.
4. СИСТЕМА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 267 Так как у не зависит от к, то <в имеет такую же зависи- мость от к, как и звуковые колебания. Эти колебания на- зываются нулевым звуком. В случае V ~ а константа / заменяется на g и при g 0 возможны колебания, которые естественно назвать спин-звуком. Наконец, в том случае, когда V оо от, в задачу входит константа g' (спин-изо- спин-звук). Плазменные колебания. Экранировка заряда в плазме. В качестве другого приложения полученных результатов рассмотрим уравнение для распространения электриче- ского поля в плазме. В этом случае во взаимодействии $ при малых к следует оставить только график /1/? (5.83) соответствующий кулоновскому взаимодействию. График по определению не входит в График />—г——г-рЭг Pj~—^~Ргк как легко видеть, остается конечным при к -> 0. То же относится и к другим возможным графикам $. Уравне- ние (5.75) принимает вид (как мы увидим ниже, в этом случае равно 1) 17° И/С ТД. —_______________________________ s 4ле2 dn 1 + Ф <о) (5.84) Рассмотрим два предельных случая: со <^kvp и со kvp. В первом случае найдем распределение заряда вокруг внешнего точечного заряда Q, помещенного в плаз- му, что соответствует в /с-представлении т/0 4stQ
268 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ Из (5.84) для V* находим (Ф (к, 0) = 1) }<2=w-£l- <5-85) К ~р- л (л&р Переходя в координатное представление, имеем 7 (г) = Ае-хг. (5.85') Наши выражения были получены при к р?, при пере- ходе в координатное представление это соответствует г Upf- Таким образом, на больших расстояниях заряд пол- ностью экранируется зарядами плазмы. В случае <в kvF легко получить Ф(/с, со) =-----з^5“, и подставляя в (5.84), находим V® ....• <5-86) 1 гаю2 Это выражение имеет полюс при . 4лпе2 со2 ------- т Так как при этом затухание отсутствует, то в системе возможны незатухающие колебания. Величина “>• “ (5.87) называется плазменной частотой. Важно отметить, что полученные выше результаты не предполагают малости взаимодействия и являются точ- ными в пределе малых к. Выражение* стоящее в знаменателе (5.86), по определе- нию представляет собой диэлектрическую постоянную что совпадает с результатом, полученным на стр. 179. Законы сохранения и заряды квазичастиц для раз- личных полей. Законы сохранения накладывают сильные ограничения на заряды eq квазичастиц. Мы ограничимся
4. СИСТЕМА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 269 наводящими физическими соображениями, опуская фор- мальный вывод приведенных ниже результатов *). Прежде всего рассмотрим следствия, вытекающие из требования калибровочной инвариантности. Это требова- ние состоит в том, чтобы векторное внешнее поле вида ЗФ _ / дФ дФ \ 3x7 — dt ) ’ действующее на протоны или нейтроны, не производило никаких физических изменений в системе. Напомним, что в случае электромагнитного поля векторный потен- . дФ циал Ai = -»— соответствует равному нулю электрическо- му и магнитному полям, т. е. не оказывает никаких физи- ческих воздействий па частицы. Рассмотрим сначала скалярное поле вида V(t) = V°eiu>t, где V0 — константа. Это поле является частным случаем фиктивного поля = 0, . т dxi \ Эга at ) Поскольку в таком поле никаких физических измене- ний системы не происходит, то эффективное поле должно равняться внешнему полю V =V°. Мы имели V = + (f А V). При V — V0 = const второе слагаемое отсутствует и получаем eq = 1, причем, если поле V0 действует на про- тоны (нейтроны), то и поле V будет действовать только на протоны (нейтроны). Поэтому для скалярного поля на- ходим epp = enn=;i, enp = epn = 0> (588) Поскольку^ определяется графиками, соответствую- щими большим энергиям (или, в координатном представ- лении, малым расстояниям около рассматриваемой точки), *) А. Б. М и г д а л, Теория конечных ферми-систем и свой- ства атомных ядер, «Наука», 1965.
270 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ то этот же результат сохраняется для всех скалярных по- лей, достаточно однородных в пространстве и времени (к Pf , со ек) • Дальнейшие сведения о зарядах квазичастиц можно получить, используя тот факт, что в некоторых полях (уже не фиктивных) тем не менее не происходит перераспреде- ления частиц и, следовательно, эффективное поле рав- но внешнему. Например, в однородном поле, действую- щем одинаково на оба типа частиц, система колеб- лется как целое. В этом случае возмущение пропорционально полно- му импульсу системы р = 2 Pi- п+р Здесь суммирование происходит по нейтронным и протон- ным состояниям. В наших обозначениях это соответствует полю V° = р“ + Ра, где а = (х, у, z). Из того фак- та, что при этом в системе не происходит внутренних из- менений, нетрудно получить Пх' [pS + pS] = Ра = (е?р + е“р) Ра (5.89) (в квадратной скобке при V записано затравочное возму- щение V0). Таким образом, еРр + е“р = + с“р = 1. (5.90) В силу изотопической инвариантности в ядре с N ~ Z эффективный заряд нейтронного поля в случае затравоч- « пр ного поля, действующего на протоны , равен заряду рп ед протонного поля, вызванного затравочным полем, действующим на нейтроны ерп = епр. Кроме того, = ерр- Аналогично заключаем, что сумма ерр + e'qP = 1 для любого возмущения, коммутирующего с гамильто- нианом Н и имеющего только диагональные матричные элементы в ^-представлении, т. е. для возмущения вида Н' = 2 а^х<2хх, (5-91) если оператор Н' коммутирует с Н. Такое возмущение будем называть диагональным. Нетрудно видеть, что диа-
4. СИСТЕМА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 271 гональное возмущение сдвигает энергии частиц и не при- водит к перераспределению частиц, если только ех = е® + соответствует прежнему расположению уровней (что всег- да выполнено при малых <?хх)- Получим выражение для эффективного заряда в слу- чае спинорного поля (возмущение вида оН). Так как заряд eq определяется локальным взаимодей- ствием частиц, его величина в ядре мало отличается от соответствующей величины в неограниченном ядерном веществе той же плотности. Предположим, что спин-орби- тальное взаимодейтвие в ядерном веществе мало, тогда оператор полного спина системы коммутирует с гамильто- нианом. Кроме того, в достаточно большой системе спин- орбитальная поправка к гамильтониану квазичастиц иг- рает малую роль и может быть опущена. Тогда функции Фх являются собственными функциями оператора nz. Таким образом, возмущение диагонально и, следовательно, е?р+е”р = 1. (5.92) Запишем это условие в виде ерр = 1 — е5пр=£4. (5.92') Величина не вычисляется и должна находиться из опыта. Покажем, что эта же величина входит в перенорми- ровку аксиальной константы ^-распада в ядре. Для раз- решенных гамов-теллеровских переходов взаимодействие с электрон-нейтринным полем дает в гамильтониане нук- лонов возмущение, пропорциональное (тя -J- ixv) az (псевдо- векторное взаимодействие). Найдем эффективный заряд для такого внешнего поля. Рассмотрим сначала поле т2<т2: TZ6Z = 6Z -ф- g &z ~ • Слагаемое egV° в уравнении для V в этом случае равно &q I^z] ^z®z = &q [®z] ®z eq [®z] ^z = ₽PP _ ,-Pn eq eq np _ nn q q / 1-2M ®z = I —(1 _2£ ) ) = (1 2&s) 6ZTZ.
272 гл. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ В квадратной скобке указан вид поля V0, для которого заряд равен eq [У0]. Итак, eq [т2<т2] = (1 — 2gs). (5.93) В силу изотопической инвариантности такой же заряд бу- дет и для поля (тж + iry) <JZ. Таким образом, множитель eg = (1 — 2£5)дает перенор- мировку псевдовекторной константы ^-распада в ядерном веществе. Для поля (тж + iry), которое соответствует фермиевским переходам (векторное взаимодействие), по- лучаем (рассматривая сначала поле т2) eq = 1, т. е. непе- ренормируемость векторного взаимодействия.
ГЛАВА 6 КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ Квантовая теория поля описывает взаимодействие эле- ментарных частиц, движущихся в вакууме. При этом число участвующих частиц не всегда сохраняется — частицы могут рождаться и исчезать в процессе взаимодействия. Даже в тех случаях, когда число частиц в начале и конце процесса совпадает, образование виртуальных частиц в промежуточных состояниях, согласно общим принципам квантовой механики, оказывает влияние на ход процесса. Поэтому вакуум следует рассматривать не как пустое пространство, а как среду со сложными свойствами. Элек2 трон или нуклон, движущиеся в вакууме, окруженй облаком порождаемых их движением виртуальных частиц, подобно квазичастицам в задаче многих тел. Графики, описывающие взаимодействие элементарных частиц, по виду не отличаются от графиков задачи многих тел. Однако по существу имеются очень важные отличия. Прежде всего, поскольку явления происходят в вакууме, они не должны зависеть от выбора лоренцовой системы координат, что, как мы увидим, накладывает сильнейшие ограничения на характер взаимодействия и на функции Грина частиц. Кроме того, в квантовой теории поля мы имеем дело только с «квазичастицами». «Затравочные» или «голые» частицы так же, как затравочное взаимодейст- вие, в этом случае ненаблюдаемы. Действительно, в этом случае, в отличие от задачи многих тел, нет возможности вынуть частицы и исследовать их свойства вне «среды». Между тем при построении квантовой теории поля прихо- дится начинать с ввё^вшя” затравочн^^Л^тиц и“затра- вочных в5аимодействийПЗущественной чертои^такоиГфор- мулировки теории является^появление расходящихся ин- тегралов"вб~всёх выражениях, связывающих затравочную массу~~или затравочное взаимодействие с наблюдаемыми вёличинамй. Эти расходимости являются, как мы увидим,
274 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ следствием одного из основных предположений квантовой т^ррии^ниля ~ предположения’о локальности'взаимодёи- ствия. Ц^^льность” означает," ЧТо ча’стищТ’ вз’аймодёист- вуют только” когда совпадают их ^-мерные координаты. Любое взаимодействие на расстоянии “рассматривается как вторичный эффект, возникающий в результате обмена одной или несколькими виртуальными частицами, испу- щенными и поглощенными в локальных актах. Поскольку затравочные величины ненаблюдаемы, то расходимости выражений, содержащих эти величины, не являются аргументом против предположения о локаль- ности взаимодействия, которое с большой точностью подтверждается на примере квантовой электродинамики (см. ниже). Один из способов выйти из этого затруднения состоит' в следующем. Можно так сформулировать теорию, чтобы она с самого начала содержала только наблюдаемые ве- личины. При этом расходящиеся интегралы не появляются в расчетах, несмотря на локальность взаимодействия. Эту программу в принципе можно было бы провести с помощью дисперсионных соотношений. Поясним идею этого методу на простом примере, который к тому же поможет про- следить причину расходимостей при локальном взаимо- действии. Рассмотрим амплитуду рассеяния двух нерелятивист- ских частиц с локальным (б-образным) взаимодействием. Пусть взаимодействие соответствует отталкиванию, тогда отсутствуют связанные состояния. При б-образном взаи- модействии амплитуда рассеяния не зависит от углов (S- рассеяние). Уравнение для амплитуды рассеяния в системе центра инерции можно записать в виде (стр. 231, т = 1) / У) _ I - «И (§- • J pi _ -j- if) Здесь X — борновская амплитуда, не зависящая в нашем случае от р и р' и играющая роль «затравочного» взаимо- действия. Предположим, что X достаточно мала, и попытаемся получить f в виде ряда по степеням X. Во втором поряд- ке по X получаем интеграл, линейно расходящийся на
ГЛ. 6 КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 275 верхнем пределе, (1) — X /2) ^2 С ^3Р1 J pi _ р2 _|_ jg 1 (2л)3 Эта расходимость той же природы, что и расходимости в квантовой теории поля. Переход к релятивистским фор- мулам, как мы увидим, только изменяет характер расхо- димости, и для бозе-частиц вместо линейной зависимости от верхнего предела получается логарифмическая, а для ферми-частиц—квадратичная. Математическая причина расходимости состоит в том, что интегральное уравнение для амплитудыТ сингулярным при р -» оо ядром не допускает разложения в ряд по степеням Л. Таким~б^раз"бм7 расхо- дймости~тббрйи поля не содержат ничего тайнствённбгоТ" аГ являются естественным следствием локальности, кото- рая приводит к интегрированию по бесконечному импульс- ному пространству. Если бы взаимодействие было нело- кальным, то X нельзя было бы выносить из-под интеграла и интегрирование по импульсам было бы обрезано вели- чиной 1/г0, где г0 — радиус взаимодействия. Попробуем получить ряд не по степеням X, а по степе- ням амплитуды, соответствующей какой-либо определен- ной энергии, скажем, энергии, равной нулю. Выразим ам- плитуду через ее мнимую часть (стр. 184, р = р") , . . 1 f Im f (Pi) dP2i 1‘Г>: 0 1 Как легко видеть из оптической теоремы (см. ниже фор- мулу (Ь)), для сходимости ряда по степеням / (0) необхо- димо улучшить сходимость подинтегрального выражения. Для этого вычтем из левой и правой частей / (0). Полу- чаем /(Р) = /(0) + ^5 О Im / (Pi) dp2 (Р2 ~ Р2) Pi (а) Так как мнимая часть / (р) согласно оптической теореме Im / (р) = р | / (р) | 2 (Ь) квадратично зависит от /, то формула (а) вместе с (Ь) дает возможность получать итерации по степеням / (0).
276 гл. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ Полагая в правой части (b) / = f (0), получим / (Р) = / (0) + ip [/ (0)Р + . . . Для рассмотренного нами случая можно, как мы видели (стр. 184), получить и замкнутое выражение. Согласно (а) имеем 1 - ipf (0) Для получения ряда по степеням / (0) нам пришлось переписать уравнение для амплитуды в форме (а), т. е. выделить слагаемое / (0). При переходе к релятивистской задаче в случае фер- ми-систем из-за более сильной расходимости нам пришлось бы для сходимости ряда по степеням / (0) выделить, кроме слагаемого / (0), еще слагаемое )0Р2- В следующих при- ближениях степень расходимости увеличивается и коли- чество вычитательных констант возрастает. Несмотря на привлекательность дисперсионного под- хода, он практически применим только в простейших случаях. В следующих приближениях релятивистской задачи увеличивается число частиц в промежуточных состояниях и возникают многочастичные амплитуды, ^приводящие к^ необозримым математическим трудностям. Удобнее пользоваться следующим приемом. Расходя- щиеся интегралы обрезаются на некотором большом им- пульсе L (или на малом расстоянии г0, если расчет ведется в координатном представлении). Тогда, предполагая вза- имодействие X достаточно слабым, можно получить ряд j теории возмущений по степеням X. Оказывается, что рас- I ходящиеся части интегралов (зависящие от L) могут быть j в каждом порядке теории возмущений выделены так, что i после переопределения константы взаимодействия и кон- |/ стант, входящих в функции Грина, оставшиеся выражения J уже нечувствительны к месту обрезания. В этом состоит s идея перенормировок, с которыми мы сталкивались в I задаче многих тел,— при переходе от частиц к квази- ,< частицам приходилось переопределять массу и константы j взаимодействия. Переход от затравочной константы Л к амплитуде / (0) в рассмотренной выше задаче представ- ^ляет собой пример перенормировки взаимодействия.
ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 277 Для того чтобы теория имела физический смысл, необ- ходимо, чтобы устранение расходимостей за счет переоп- ределения констант можно было сделать во всех порядках теории возмущений. Оказывается, что это возможно не во всех теориях поля, т. е. что не все теории поля обладают свойством перенормируемости. Критерий перенормируе- мости определяется размерными соображениями. Для перенормируемости необходимо, чтобы константа взаимо- действия была безразмерна или содержала длину в от- рицательной степени. В случае константы, имеющей раз- мерность, скажем, квадрата длины, степень расходимости интегралов будет расти с увеличением порядка теории возмущений. Действительно, так как масса частиц при больших импульсах не входит в задачу, то единственная безразмерная комбинация в n-м порядке будет (АХ2)”. Следовательно, степени расходимости растут с увеличением п, и, как мы увидим, неограниченно возрастает число кон- стант, которые нужно переопределять или заново вводить для устранения расходимостей. Мы покажем, что зто оз- начает потерю локальности взаимодействия. Таким образом, перенормируемость является крите- рием физически допустимого локальноговзаимодействия. Вопрос о перенормируемости по существу сводится к воз- можности так с^ормулироватБ~~теорию,~^[тобБГвзаимодей- ствие при импульсах, много меньших, чем граница обре- зания импульсов L, определялось импульсами виртуаль- ных частиц, также много меньшими, чем 77. Или, в координатном пространстве) чтобы Взаимодействия на расстояниях г^>г0 определялись взаимодействиями виртуальных частиц также при г^>г0. Неудивительно, что такое требование выполняется не во всех теориях. Для иллюстрации рассмотрим пример аналогичной ситуации в классической физике. Допустим, мы задаемся целью построить теорию, описывающую макроскопиче- ские движения жидкости или газа. Возникает вопрос, будут ли эти движения оставаться макроскопическими или будут рассыпаться на движения все более мелкого масшта- ба, пока не дойдут до атомных размеров? В тех случаях, когда применима гидродинамика, мы имеем пример такой «перенормируемой» теории — роль малых масштабов сво- дится к появлению в теории макроскопических констант вязкости и средней плотности.
278 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ Однако нельзя построить теорию, описывающую макро- скопические движения, например, в ферми-газе. Движе- ния не остаются макроскопическими, а распадаются на движения атомных масштабов. [При изучении свойств теории поля на малых расстоя- ниях (или при больших импульсах) возникает еще один важный вопрос: является ли перенормируемая теория логически замкнутой, справедливы ли ее результаты при сколь угодно малых расстояниях? В теориях перенормируемого типа взаимодействие между двумя частицами экранируется полем виртуальных частиц (о возможном исключении из этого правила см. стр. 334). В результате эффективное взаимодействие убы- вает с расстоянием. Если предположить, что затравоч- ное взаимодействие достаточно мало, то можно рассчитать взаимодействие на любых расстояниях, пользуясь тео- рией возмущений. При этом оказывается, что взаимодей- ствие на больших расстояниях полностью экранируется виртуальными частицами подобно экранировке сторонних зарядов электронами металла. Таким образом, частицы не должны взаимодействовать на больших расстояниях. Этот парадокс, подробно исследованный И. Я. Померан- чуком, получил название «нуля заряда». В действитель- ности это обстоятельство не является аргументом против логической замкнутости теории. , В случае квантовой электродинамики, если уменьшать 1 расстояние между двумя зарядами, мы, несмотря на ма- । лость наблюдаемого заряда, обязательно приходим в ! область, где заряд оказывается порядка единицы и тео- 1 рия возмущений, на которой основан парадокс, перестает быть справедливой. Будет ли продолжаться рост заряда при меньших расстояниях? Если будет, то мы придем к бес- конечному затравочному заряду, что означает физичес- кую бессмысленность понятия затравочного заряда. Как мы увидим, этот вопрос до сих пор остается открытым. Расстояния, на которых заряд е2 (г) делается порядка 1, чрезвычайно малы, и вполне вероятно, что влияние сла- бых или гравитационных взаимодействий так изменит теорию, что рост заряда прекратится прежде, чем мы дой- дем до области е2 (г) ~ 1. В этом случае вопрос о «нуле заряда» в электродинамике утратит физический интерес
ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 279 и сохранит только теоретическое значение для выяснения структуры полевых теорий на малых расстояниях. Дальнейшее изложение построено следующим образом. По существу рассматривается только одна из проблем квантовой теории поля — вопросы, связанные со струк- турой полевых теорий па малых расстояниях. Этот круг вопросов дает большие возможности для использования качественных методов. Конкретные задачи квантовой теории поля (вычисление радиационных поправок) связаны с громоздкими расчетами и, кроме того, превосходно изложены в других местах*). В первых разделах строится необходимый для нашей цели аппарат. Находятся урав- нения и функции Грина, описывающие свободные частицы со спином 0, 1/2 и 1. Уравнения и функции Грина для свободных частиц получаются как релятивистски ин- вариантная запись двух уравнений Шредингера и соот- ветствующих функций Грина для частицы и античастицы. Общие свойства полевых теорий на малых расстояниях изучаются сначала на модели 4-бозонного взаимодействия. На простейших графиках двухчастичной амплитуды пере- хода поясняется природа расходимостей и идея перенор- мировок. Находится условие пёренормируемости теории. Затем производится вычисление амплитуды рассеяния до 3-го порядка по константе взаимодействия. Анализ пер- вых членов разложения приводит к идее о возможности получения точного выражения для амплитуды из требо- вания независимости амплитуды от радиуса обрезания, т. е. из требования перенормируемости. Полученное выра- жение обладает свойством «нуля заряда». При достаточно малом затравочном заряде заряд на больших расстояниях стремится к нулю. Далее рассматривается реалистическая теория — кван- товая электродинамика. Сравнением с классической элек- тродинамикой выясняется физический смысл поправок к функции Грина фотона. Определяется во втором порядке по е2 поправка к закону Кулона, вызываемая поляриза- ционными зарядами. После этих подготовительных задач *) А. И. А х и о з е р, В. Б. Б ер ест ецкий, Кванто- вая электродинамика, «Наука», 1969. Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в тео- рию квантованных полей, «Наука», 1973.
280 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ с помощью простых физических соображений без разло- жения по е2 находится исправленный закон Кулона, из которого выводится формула для взаимодействия частиц на произвольно малых расстояниях (формула Гелл-Ман- на — Лоу). Обсуждаются возможные границы примени- мости квантовой электродинамики *). 1. КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИЙ При получении уравнений и функций Грина, описы- вающих частицы, определяющую роль играют условия симметрии, т. е. требование инвариантности относительно общих преобразований Лоренца, включающих повороты в пространстве — времени и отражения (требования чет- ности и обратимости). Еще одно существенное условие, которое накладывается на уравнения,— это требование простоты. Так, например, отбираются уравнения с произ- водными наинизшего порядка или, в случае внешнего поля, с наименьшим возможным числом параметров, определяю- щих взаимодействие частицы с полем. Требование про- стоты, или лучше сказать, красоты уравнений, не являясь абсолютным, сыграло важнейшую роль в отыскании за- конов природы. Лоренц-инвариантность. Уравнения, описывающие дви- жение частиц в пустом пространстве, должны быть ло- ренц-ковариантны, т. е. не должны менять своего вида ;ри переходе в движущуюся систему координат по фор- мулам Лоренца "|41 — у2 — г?2 Достаточно рассматривать бесконечно малые преобразо- вания Лоренца, что мы и будем делать в дальнейшем, t' = t + vr, г' = г + vt, v -> 0. *) Изложение других вопросов теории поля, близкое к при- нятому в этой главе, содержится в книге: R. Р. Feynman «Theory of Fundamental processes» (W. A. Benjamin, Inc. 1961) и в лекциях В. H. Грибова «Квантовая электродинамика» (Материалы 9 Зимней школы ЛИЯФ, часть I, Ленинград, 1974 г.). Удивительно ясное изложение конкретных расчетов различных процессов содержится в книге Л. Б. Окуня «Слабое взаимодей- ствие элементарных частиц», Физматгиз, 1963.
1. КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИЙ 281 Преобразования Лоренца оставляют инвариантным ин- тервал Ui — х2)2 = (<i — /2)2 — (г I — г2)2 между двумя точками в пространстве — времени (xj — х2)2 = (х’1 — z2)2 = inv. Все величины классической теории представляют собой либо скаляры, либо 4-векторы и 4-тензоры, т. е. величины, преобразующиеся как произведение компонент 4-вектора = (t, ?*)• Примерами служат: 4-вектор энергии — им- пульса рц = (Е, р), 4-вектор тока = (р, j), тензорнапря- женности электромагнитного поля = д^А^ — д^А^, связанный с 4-вектором потенциала Ац = (<р, А), и т. д. Все 4-векторы преобразуются по закону Ai = Ag + vA, А' = А + vA0. Скалярное произведение любых 4-векторов инвариантно (АВ) = АдВд — АВ — (А'Б') — inv. Можно сохранить обычные правила умножения векторов, введя метрический тензор (1 0 0 0\ 0—1 0 о\ 0 0-1 0 Г 0 0 0—1/ Тогда АВ = g^A^A». Вместо этого суммирование по греческим индексам будет пониматься в инвариантном смысле АВ = АрВ».= АдВд- AiBi. В некоторых случаях мы будем переходить к евклидо- вой метрике, вводя А4 = iA0. Такие векторы будем от- мечать тильдой: АВ = А,ВЧ = - АВ. В квантовой механике наблюдаемым величинам соот- ветствуют операторы V, характеризующиеся набором матричных элементов Уц — <Т\ Матричные элементы должны преобразовываться так же, как и соответствующие классические величины, т, е,
282 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ как компоненты векторов или тензоров. Однако для Y-функций при этом возможен более сложный закон пре- образования, поскольку они входят билинейно в матрич- ные элементы. Аналогичная ситуация уже встречалась в нерелятивистской квантовой механике: при анализе ин- вариантности относительно 3-мерных вращений наряду с тензорами вводились также спиноры. Тензоры преобра- зуются как произведения 3-мерных координат, а спи- норы — по более сложному закону, так что билинейные комбинации спиноров преобразуются как векторы и тен- зоры. Например, для частицы со спином 1/2 ее волновая функция <р = Н1) преобразуется как \ф2/ ф'= Ф + i-v" 0ф (6.1) Li при повороте системы координат на малый угол 0 вокруг оси п. (Здесь о — матрицы Паули.) Билинейные комби- нации <р+<р и ф+Оф преобразуются, соответственно, как скаляр и 3-мерный псевдовектор — отсюда и был найден закон преобразования спинора. Попытаемся найти закон лоренц-преобразования спинора. Поскольку матрицы Паули образуют полный набор, то этот закон должен бы быть аналогичным (6.1): <Р' = ф4-С1-^-ф- (6-2) Соотношения (6.1) соответствуют преобразованию коор- динат + 0^2» х- = xi — ®xi- (0-3) (Для определенности рассмотрен поворот вокруг оси z по часовой стрелке.) Для того чтобы преобразование Лоренца хз = хз + I’ = t + VX3 при введении евклидовой метрики it = z4 объединялось с формулой для поворота координат, необходимо взять iO = ± v (знак «+» или «—» зависит от выбора правой или левой системы пространственных координат). Поэтому для получения (6.2) следует в (6.1) заменить г0 на + г». Таким образом сг = ± 1.
1. КОНСТРУИРОВАНИЕ РЁЛЯТЙВИСТСКНХ УРАВНЕНИЙ 283 Имеется два возможных типа спиноров с преобразова- нием Ф+ = ф+ + — Ф+> ф- = Ф---------2“ ф_- (6.4) Оба эти спинорных поля не имеют определенной четности, поскольку величина аг изменяет знак при отражении. При отражении ф+ переходит в <р_ и наоборот. Эти поля описывают 2 двух компонентные частицы (например, ней- трино и антинейтрино). Из таких полей можно составить две линейные комбинации с определенной четностью Ф = Ф+ + Ф_, X = Ф+ ~ Ф_. Поле <р имеет четность, противоположную %. Закон пре- образования для этих величин получается из (6.4): , , ov , . av /е Ф=Ф+—X, X =% + — Ф- (6-5) Эти преобразования сохраняют свой вид при отражении. Итак, требования лоренц-инвариантности и P-чёт- ности приводят к тому, что частица со спином 1/2 должна описываться 4-компонентным спинором Y = . Ниже мы увидим, что этот факт связан с существованием анти- частиц: четыре компоненты релятивистского спинора соответствуют двум проекциям спина частицы и двум — античастицы. Пока что, не конкретизируя физического смысла спи- норов <р и %, мы можем составить из них билинейные комбинации, преобразующиеся как скаляры, векторы и тензоры при лоренц-преобразованиях. Ограничимся важ- ными для дальнейшего случаями скаляра и вектора. Скаляр имеет вид 5 = <р+<р — %+%. Действительно, при лоренц-преобразовании каждый из членов Ф+Ф, х+х приобретает одну и ту же добавку г/2 (х+й'Рф + ф+с^х), которая сокращается в S. Если составить вместо разности сумму Vo = Ф+Ф + Х+Х>
284 гл. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ то добавки не сократятся, а удвоятся: V'o = Vo + W. Здесь Vi = X+cfi<P + Ф+<ПХ- (6.6) Таким образом, Vo преобразуется как четвертая компо- нента 4-вектора = (Уо, V). Нетрудно убедиться, что величины Vt преобразуются как пространственные компо- ненты 4-вектора Действительно, подставляя (6.5) в (6.6), получим V'i = Vi 4- -i- vk%+ (ад + <ад) X + 4 У»(Р+ ф- Используя правила антикоммутации a fix + <ад$ = 26lfc, мы приходим к правильному закону преобразования Vi = Vi + ViV0. Найденные билинейные комбинации обычно записыва- / ф \ ют с помощью биспинора Y = 1 (1 °\ То = ( 0 — I )’ Тг = । и матриц Дирака / 0 з.Х \—б. 0 ’ ' ' \ i / 5 = T’+to'F === ТY, == ТтуТ. Матрицы Дирака удовлетворяют соотношениям анти- коммутации YhYv + ЪУм = 2gnv Уравнения Максвелла. В качестве иллюстрации ис- пользования свойств симметрии покажем, как теоретик нашего времени восстановил бы уравнения Максвелла в пустоте, если бы они не были известны. Нам надо по- лучить соотношения между электрическим полем % (г, t) и магнитным полем Ж (г, t). Эти соотношения должны быть линейными вплоть до очень больших полей ~ ~ ~ 101в в!см, которые определяются поляризацией ваку- ума (см. оценку на стр. 12). Прежде всего нам нужно найти характер симметрии полей £ и Ж, что выясняется из простейших экспериментов, например, из эксперимен- тов по отклонению пучка электронов в магнитном и элек- трическом полях. При этом на электрон действует
1. КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИЙ 285 сила У = е$ + v X X, откуда следует, что величина УС является псевдовектором (или аксиальным вектором). Это означает, что в отличие от векторных величин УС не изме- няется при операции зеркального отражения. Кроме того, так как УС создается током, т. е. величиной, пропорцио- нальной скорости заряженных частиц, то магнитное поле изменяет знак при операции обращения времени. Между тем электрическое поле £ является вектором и, поскольку оно может быть создано неподвижными зарядами, инвари- антно относительно обращения времени. Тогда уравнения наинизшего порядка, связывающие £ и УС, будут w дЯ г. t = a rot УС, = Ъ rot ot ot Действительно, rot УС — единственная величина, не изменяющая знак при отражении и меняющая знак при замене t на — t. Слагаемое вида г У. УС противоречило бы трансляционной симметрии пространства. Аналогично ис- ключаются и все другие возможности. Мы не включили в уравнение производные более высо- кого порядка. Их включение привело бы к введению допол- нительных констант и нарушило бы красоту теории. Кроме того, введение более высоких производных по координатам заставило бы также ввести и более высокие производные по времени, иначе нарушилась бы симметрия координат и времени, диктуемая релятивистской инвариантностью. Тогда значение полей # и УС в момент времени t опреде- лялось бы не только их значением в начальный момент, но и значением их производных по времени. Обе введенные выше константы имеют размерность скорости, причем одну из них можно выбрать произвольно. Это определит относительные единицы измерения £ и УС. Положим Ъ = с (с — скорость света). Тогда, исключая УС из уравнений, находим (rot rot £ = — Д£ + у div % = — Д&) Для того чтобы скорость распространения волн была рав- на с, необходимо а = — с, после чего наши уравнения превращаются в уравнения Максвелла. Из требования
286 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ релятивистской ивариантности мы могли бы найти закон преобразования £ и Ж, компенсирующий лоренцево пре- образование координат так, чтобы вид уравнений не из- менялся. Удобнее это сделать, введя 4-вектор Ei=Ai—diA0, Ж = rot А, (с = 1), откуда очевиден 4-векторный характер А„. Таким образом, £ и ЗС преобразуются как компоненты четырехмерного тензора F= д^А» — Уравнение Клейна — Гордона — Фока. Получим ло- ренц-ипвариантное уравнение, описывающее частицу со спином, равным нулю. Число компонент волновой функции со спином / в системе покоя определяется числом проекций / на фиксированную ось, т. е. равно 2/ + 1. В нашем слу- чае функция должна быть однокомпонентной. Как мы уви- дим, изучая функции Грина в поле (см. следующий раздел), невозможно построить релятивистски инвариантную тео- рию только для частиц: в теорию с необходимостью^дол- жны входить античастицы с той же массой, которые^вме- сте с частицами описываются единым уравнением. Полу- чим это уравнение. Волновые функции частицы и античастицы в (р, t)- представлении подчиняются уравнениям f 9^1 = Е{Р} (6 7) где Е(р) =1 V Р* 2 + т2. Введем функции F = + Т*,. Тх = Т+ - тогда из (6.7) получаем Исключая Тц имеем 2 i IT? )Т‘ В координатном представлении получаем уравнение
1. КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИЙ 287 Клейна — Гордона — Фока Р + тп2) 'Г = 0.. (6.8) Из определения Y (р, I) видно, что слагаемые Y (г, t) с отрицательными частотами соответствуют частицам, а слагаемые с положительными частотами описывают анти- частицы. Уравнение (6.8) релятивистски инвариантно, что сразу видно в ^-представлении: (р% — р2 — т2) Т = 0. Умножая (6.8) на Т* и вычитая уравнение для Т*, умно- женное на Т, получаем уравнение неразрывности "|- + divJ = O, где р и /а образуют четырехмерный ток _ •_________________£_ / \ * i \ дх^ дхч J- Плотность р дается выражением dt /’ в (р, ^-представлении р (р) = 2е (р) (т: (р) т_ (р) - т; (р) т+ (р)). Таким образом, величина р имеет смысл разности плот- ностей частиц и античастиц, а уравнение неразрывности выражает сохранение разности чисел частиц и античастиц. В отсутствие поля, разумеется, сохраняется каждое из этих чисел. Для заряженных частиц уравнение неразрыв- ности, очевидно, должно соответствовать сохранению заряда и, следовательно, заряд античастиц отличается только знаком от заряда частиц. Итак, уравнение (6.8) представляет собой релятивист- ски инвариантную форму записи двух уравнений Шредин- гера (6.7), удобную для дальнейшего введения поля. Уравнение Дирака. Наша задача — получить реляти- вистски инвариантное уравнение, описывающее частицу со спином J/2. Как уже говорилось при получении уравне- ния Клейна — Гордона — Фока, это невозможно сделать с помощью поля одной частицы. Необходимо составить единое уравнение, описывающее частицу и античастицу,
288 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ Для определенности будем говорить об электроне и пози- троне. Рассмотрим сначала уравнение в системе покоя. Тогда для электрона и позитрона получаются два независимых уравнения , . ЭТ+ да . 1 -£ = т^+’ 1 ~лГ~ = f ut * ut ч Каждая из этих функций двухкомпонентна в соответствии с двумя возможными проекциями спина. Обозначим Т+ = <р, = % и введем 4-компонентную функцию Т = У равнение для Т приобретает вид = <6-9) Теперь надо написать лоренц-инвариантное уравнение, . д содержащее компоненты оператора импульса = — i-r— и переходящее при/^Т' = 0 в (6.9). Мы уже знаем, что ве- личина ТТцТ — это 4-вектор, a ’F’F — скаляр. Отсюда следует, что величина А преобразуется так же, как Т, если А у, — 4-вектор. (Умножение этой величины слева на Y дает скаляр, так же как умножение Y на Т.) В дан- ном случае в нашем распоряжении есть только 4-вектор / д а \ „ 1Р^~(~аГ “а—)• Поэтому мы приходим к уравнению у j Дирака (6.10) Умножая уравнение, эрмитовски сопряженное к (6.10), справа на у0 и используя свойства ум, получаем уравне- ние для Т* = Л (6-11) Умножая (6.10) слева на Т, а (6.11) справа на Т и вы- читая одно из другого, получаем уравнение неразрывности = 0. (6.12) Ниже мы увидим, что Т,у(гТ’ имеет смысл 4-тока.
1. КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИЙ 289 В импульсном представлении Р* = (6.13) Применяя это уравнение дважды, получаем р2Т = р2Т = rn^V, откуда р2 = со2 — р2 = т2. Это уравнение имеет два решения: со = ± р2 -|- т2. Положительные частоты соответствуют частицам, а от рицательные — античастицам. Это, конечно, не означа- ет, что энергия Е античастиц отрицательна — просто в 'В входит комплексно сопряженная волновая функция анти- частицы, так что вместо множителя e~iEt появляется мно житель eiE/, т. е. отрицательная частота. Комплексное сопряжение нам понадобилось для того, чтобы получить в (6.9) матрицу у0, что позволило написать ковариантное уравнение. Уравнение Дирака устанавливает связь между пер- выми и вторыми компонентами Имеем из (6.13) (Е (р) — т) <р = ар^ (Е (р) + т) х = вр<р. (6.14) Запишем Т (х) для плоской волны в виде Y<>o)(a,x) = (6.15) Здесь значок а определяет знак энергии и знак проекции спина, т. е. определяет «название» функции, тогда как зна- чок а — спинорная переменная, определяющая номер компоненты. Из (6.14) находим и&\ нормированную так, что йи = 1: где ср<8) — спинор, соответствующий двум проекциям спина (<р(8), <р(8,)) = 68s- • В системе покоя Т'<0) (х) для 10 А. Б Мигдал
290 гл. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ £ (р) > 0 переходит в 'FWS = j (f г а для & < 0 в ( 0 1 T(-)s = ( /• Из (6.16) следует, что функция и(_)8 (р, а) описывает позитрон с импульсом — р. Наиболее существенное следствие уравнения Дирака — это предсказание античастиц с той же массой, что и ча- стица, но с противоположной четностью. До тех пор, пока нет внешних полей или взаимодействия, частицы и античастицы распространяются независимо, и уравнение Дирака представляет собой просто компактную запись уравнения Шредингера и условия лоренц-ковариантности. Преимущества уравнения Дирака будут видны ниже, когда будет введено взаимодействие. Функция Грина бесспиновых частиц. Функция Грина свободной частицы в (р, т)-представлении имеет вид (стр. 214) G+(p, = где Е+ (р) = /Д- р2. В фурье-нредставлении по т имеем (стр. 214) 1 G Р^= ро- £+ (р) + id Это выражение релятивистски не ковариантно. Действи- тельно, функция Грина G (р, р0) должна быть ковариантна при лоренц-преобразовании 4-вектора (р, р0) р' = Р + vp0, ро = р0 Д- vp. Между тем стоящая рядом с р0 величина Е+ (р) при та- ком преобразовании изменяется по закону Я'(Р) = Е (р')= Е (р) + vp . Для того чтобы получить ковариантное выражение, необходимо допустить существование еще одной частицы с функцией Грина
1. КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИЙ 291 и ввести, так же как мы это делали выше (стр. 218), функцию Грина, определенную для всех т: [ G+ (р, г), т > О, Gj(P,t)= ч Со (6.17) . 1 7) (G (р — г), т < 0. к ' Тогда 1 1 ^if^-Po)- £+(р) _ ро _/б Д' (р) ро — гд ' Для того чтобы это выражение имело ковариантную форму, необходимо предположить, что Е+ (р) = Е~ (р) = = Е (р), т. е. что масса второй частицы равна массе пер- вой (m+ - т_ = т) „ , . 2£(») (6.18) В знаменателе стоит инвариант р2 + т2 — р2й. Введем инвариантную величину G (р) = Gi (р)/2Е (р). Заметим, что G (р) является функцией Гриню уравнения Клейна — Гордона — Фока стицу с нулевым спином □ Y + т2Т = 0, О + m2) G (х< х') — = — if>(x — х'), х — (г, t). (6.19) Действительно, в 4-импульс- ном представлении G (Р) = “2--1 2 , -л , (6.19') что совпадает с G = GJ2E(p). В некоторых случаях удобно пользоваться функцией Грина в координатном представлении. Обозначая~xt —х2 = = х, получим: описывающего ча- Рис. 49. G (^ х2) _ G(х)- i р2_ет2 + /в- Для вычисления этого интеграла удобно перейти к евкли- довым переменным, введя р4 = гр0> z4=iz0- Из приведенного рисунка (рис. 49) видно, что такой поворот контура 10*
292 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ интегрирования в комплексной плоскости можно сделать, не задевая особых точек подинтегрального выражения (ни же мы рассматриваем такой поворот более подробно). Используя соотношение оо 1 с > + da, р2 = р2 + р\ = - р2, О получаем G (х) = § e~am’da Ц ( § ехр (— ар? + iptXi \ = О г=1 ' ' оо = w- Sda ех₽ {-4м- ?}• (6-2°) На больших расстояниях с помощью метода перевала, разлагая показатель, получаем (Ж = 1^2%) = М1>2’ М1 = 2пг^’ откуда Я^>1/т. (6.21) OJ l> р Jy В случае малых х можно пренебречь т1 в показателе, и (6.20) дает = 4л2г2 = — 4л2х2 • (6.22) Очень простой вид имеет функция Грина в смешанном представлении (г, р0). Из уравнения (6.19) получаем AG (р0, г) + (ро — гп2) G (р0, г) = б (г), откуда G(Po, г) = - ехр [j(p?-m2)1/2r], (6 23) Выбор знака «4» в экспоненте заменяет правило обхода полюса в импульсном представлении. Функция Грина частицы со спином 1/2. Получим снача- ла функцию Грина в системе, в которой частица и антича- стица покоятся, тогда их функции Грина в т-представлении
1. КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИЙ 293 имеют одинаковый вид Gt,' (т) = 0 (т) 6„s G~' (т) = 0 (т) в,г, где s, s' — спиновые значки. Введем, как это уже делалось выше (стр. 218), объеди- ненную функцию GSS' (г) = G+SS'{r), — Gts- (— т). т>0, т<0. Переходя от т- к р0-представлению, можно записать G в виде матричного элемента 4-рядной матрицы Po-J- т Ро — т2 + О Ро — Ро — т2 + 16 Выражение в верхнем левом углу соответствует частице, а в нижнем правом — античастице. Иными словами, мы представляем G.s- как Gss- = VF‘SG'I'‘S-, где Y, =(^s) — би- \А8/ спинор, описывающий частицу и античастицу со спином s, Y = *F+y0. Перепишем G (р0) в виде \ Т»Ро + т G (ро> = -------гтт • Ро — т + ‘6 Для того чтобы получить G (р) в любой системе коор динат, необходимо записать G в инвариантной форме. Для этого в знаменателе рядом со скаляром т2 следует вместо ро подставить 4-мерный скаляр р2 = ро— р2, а в числителе вместо уоро — скаляр учр«- Скалярный характер этого произведения следует из того, что матричные эле- менты Y'Yv'F образуют 4-вектор. Таким образом, получаем G(P)= л , (6.24) где р = у..ра. Матричные элементы G следует понимать в смысле ‘FjG'Fj. Выражение (6.24) совпадает с функцией
294 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ Грина уравнения Дирака, определенной соотношением Найдем G в координатном представлении G И = i е-^х + *ТА) Gs. (6.25) где Gs — функция Грина скалярной частицы (6.20). При т2х2 1 получаем <6-26) Таким образом, G (р) представляет собой матрицу Gag (р) в пространстве спинорной переменной а Переход к а-представлению осуществляется с помощью функции и<°> (а), введенной на стр. 289. Для внутренних частей диаграмм удобнее пользоваться а-представленпем (см. ниже). Функция Грина фотона. При описании скалярных и спинорных частиц мы исходили из уравнения Шредингера и, пользуясь лоренц-инвариантностью, находили реля- тивистские уравнения и соответствующие функции Грина. В случае квантов электромагнитного поля — фо- тонов — исходным пунктом являются лоренц-инвариаит- ные уравнения Максвелла. Нам нужно найти квантово- механическую интерпретацию этих уравнений. Наложим на вектор-потенциал условие Лоренца <Мц=0. (6.27) Тогда уравнение Максвелла сводится к четырем уравнени- ям КГФ для каждой из компонент А и □ Лц=0. (6.28) Таким образом мы можем интерпретировать А^ (х) как волновую функцию бозе-частицы с пулевой массой. Век- торный значок ц соответствует проекциям спина этой частицы. В случае частицы с массой, отличной от нуля, для оп- ределения спина частицы можно перейти в систему покоя — число компонент волновой функции в этой системе равно 2/ 4-1. Для фотона системы покоя не существует. В этом
1. КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИЙ 295 случае для определения спина можно использовать калиб- ровочную инвариантность: поля и Ар = d^f, где / — произвольная функция координат и времени, фи зически неразличимы и описывают одну и ту же частицу В любой фиксированной системе координат можно так вы брать функцию/, чтобы 40 равнялось нулю во всех точках пространства — времени, тогда превращается в трех мерный вектор и, следовательно, описывает частицу со спином 1. Однако условие Лоренца оставляет только две независимые проекции спина, которые соответствуют двум поляризациям электромагнитной волны (ж) = ер’2>(aeikx -f- a*e'ifcr). (6.29) Здесь первое слагаемое отвечает волновой функции фото на, а второе представляет собой комплексно сопряжен ную волновую функцию антифотона. Так как поле вещественно, то антифотон тождественно совпадает с фотоном, и ток, отвечающий сохранению разности чисел частиц и античастиц, равен нулю. Волновая функция, описывающая 1 фотон в единице объема, соответствует в (6.29) а = 1/)/ 2/с0 (см. замечания на стр. 320). Векторы можно выбрать ортонормированными (X) (X') О = 6хх-. Кроме того, Сц’ подчиняются условию «поперечности» = 0. Так, например, при 40, равном нулю, направляя ось z по к, получим 41’ = (0,1, о, о), 42) = (о, о, 1, о). Теперь мы можем построить функцию Грина фотона как функцию Грина частицы, удовлетворяющей уравне- нию КГФ. В представлении (А,, к) = (мо> Для того чтобы записать это выражение в ковариантЕюй форме, поступим аналогично тому, как это делалось при
296 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ получении функции Грина спинорной частицы,а именно, введем 4-рядную матрицу Z>uv, такую, чтобы ее матричные элементы давали величину Z>xx'! Dxk = (6.31) Из этого условия Dy.4 определяется неоднозначно, а с точностью до продольного члена (d (к2) — 1) k^k-Jk2 п ё^ + (<Цк2)-1)к^к2 (к) ==-------. (6.32) Продольный член не вносит вклада в (6.31) в силу условия поперечности, а член дает (6.30) благодаря ортонорми- рованности функции Калибровочную функцию d (Л2) в (6.32) можно выбирать, исходя из удобства промежуточ- ных вычислений. В окончательных ответах d сократится благодаря калибровочной инвариантности. Обычно выби- рают d (к2) = 1. Этот результат мы могли бы получить и другим путем. Можно было бы ввести векторую частицу с массой т, а затем перейти к случаю фотона, устремляя массу к нулю. Функция Грина векторной частицы в системе покоя имеет вид, совпадающий с (6.30), но в отличие от фотона име- ются 3 значения поляризации и соответственно 3 орта eft. Нам нужно найти 4-тензорное выражение D$\ матричные элементы которого в системе покоя дают £*хх- . к2 — т2 Отсюда, аналогично (6.32), следует (g^ - . (6.33) г /с2—т2 \°‘ т2 / ' ' Для того чтобы перейти к случаю т —> 0, необходимо пред- положить, что продольные компоненты (второе сла- гаемое в скобке) не входят в наблюдаемые выражения. Это и соответствует калибровочной инвариантности. Та- ким образом, калибровочная инвариантность представля- ет собой неизбежное следствие равенства нулю массы фотона.
2. РАСХОДИМОСТИ И ПЕРЕНОРМИРУЕМОСТЬ 297 Поскольку введенная нами величина представляет собой функцию Грина уравнения Даламбера □ = — ig^tyx — x'), то с помощью Dy» определяется классическое поле 4^х, вызываемое током г-i jex -ex □Л = к. откуда Лр,х (х) = i Dp4 (х — х’) f* (х') d^x". (6.34) В частности, для поля неподвижного заряда е имеем /0 = = ей (г), Л" = ie$D00 (г, t — t') dt'. Отсюда, исполь- зуя выражения функции Грина бесспиновых частиц с т = 0, получаем —г jD(T,r) dx=Dw (со=0, г)= — , Л?х = (6.35) 2. РАСХОДИМОСТИ И ПЕРЕНОРМИРУЕМОСТЬ Используя функции Грина, найденные в предыдущем разделе, и введя взаимодействие между частицами, можно приступить к выяснению природы расходимостей в тео- рии поля и к устранению этих расходимостей за счет переопределения констант, входящих в теорию. Эти во- просы будут сначала выяснены на простейшей модели кван- товой теории поля — на модели 4-бозонного взаимодей- ствия. Локальное взаимодействие между частицами. В этом разделе будут рассмотрены возможные типы взаимодейст- вия между частицами и будет выбрана простейшая модель, которая ниже будет использована для исследования свойств квантовой теории поля на малых расстояниях. Квантовая теория поля исходит из предположения о локальном взаимодействии частиц. Это означает, что частицы взаимодействуют только, когда их пространствен- ные и временные координаты совпадают*). Наблюдающееся на опыте взаимодействие на расстоянии рассматривается как вторичный процесс, возникающий в результате ис- пускания и поглощения виртуальных частиц взаимодей- *) Мы не рассматриваем здесь попыток построения нелокаль- ных теорий, которые пока не дали реальных результатов.
298 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ствующими частицами, причем акты испускания и погло- щения локальны. Если взаимодействие таково, что в ло- кальном акте рождается одна частица, то процесс рассея- ния частиц описывается графиком рис. 50, а. Рис. 50. Частица 1 от zj до yt двигалась свободно. В точке была испущена какая-либо частица, которая в точке у2 поглотилась частицей 2. В случае электродинамики ис- пускаемая частица — квант. Кулоновское взаимодейст- вие, таким образом, есть результат обмена виртуальным квантом. В случае ядерного взаимодействия двух нукло- нов такой виртуальной частицей является л-мезон или какая-либо другая частица, сильно взаимодействующая с нуклонами (такие частицы, по предложению Л. Б. Оку ня, объединяются названием «адрон»). Взаимодействие на расстоянии осуществляется и более сложными процес- сами — например, изображенным на рис. 50, б. В слу- чае электродинамики такой процесс приведет лишь к малой добавке к кулоновскому взаимодействию, посколь- ку взаимодействие электронов с электромагнитным полем характеризуется малым безразмерным параметром а = = еЧКс = 1/137. В случае сильных взаимодействий со- ответствующий безразмерный параметр не мал и графики типа 50, б должны учитываться наряду с более сложными графиками, в которых участвует большое число виртуаль- ных частиц. Когда в локальном акте испускаются 2 частицы, взаи- модействие на расстоянии описывается графиком рис. 51. Такой случай осуществляется в слабых взаимодействиях. На рис. 51 изображен процесс слабого взаимодействия двух нуклонов. Это взаимодействие осуществляется за счет обмена двумя частицами: электроном и антинейтрино. Таким образом, требование локальности состоит в том, что между актами взаимодействия частицы двигаются
2. РАСХОДИМОСТИ И ПЕРЕНОРМИРУЕМОСТЬ 299 свободно, а размер (четырехмерный) ебласти взаимодейст- вия предполагается равным нулю. Такое простое и кра- сивое предположение приводит к серьезным трудностям: интегралы по пространству, описывающие некоторые про- цессы, оказываются расходящимися за счет интегриро- вания по области малых расстояний между п р актами взаимодействия, или, если вычи- ----- сление ведется в импульсном представ- \ лении, за счет больших импульсов вир- \ ] туальных частиц. Это означает, что используемые нами методы описания кван- рис товых систем неприменимы на малых расстояниях. Непротиворечивое описание систем в малых областях пространства — времени, воз- можно, потребует фундаментального пересмотра наших понятий. Однако, оставляя в стороне эту нерешенную задачу, можно попытаться построить теорию, пригодную в тех случаях, когда изучаются процессы, протекающие в че- тырехмерных областях много больших, чем четырехмер- ный интервал г0, определяющий границу применимости теории. Подобным образом построены все макроскопиче- ские теории. Например, построение электродинамики в среде для полей, медленно изменяющихся во времени и пространстве по сравнению с атомными масштабами, не требует знания атомной механики, а требует только вве- дения диэлектрической и магнитной восприимчивостей. Для проведения такой программы требуется прежде всего ясно понять природу и характер расходимостей, возникающих в теории. Этот фундаментальный “вопрос не “обяддтс Явно изучать- на реально существующих части- цаЗГ~и_взаимодействиях. Целесообразно рассмотреть его сначала“нгГп'рЬстёйшей модели теории поля для одного типа частиц. Самое простое локальное взаимодействие соответствует рис. 52. Однако такая теория, как легко видеть, неустойчива по отношению к рождению бесконеч- ного числа частиц. Действительно, для взаимодействия та- кого типа плотность энергии имеет вид ш2<р2 Д- g<ps. При любом знаке g энергия неограниченно понижается при g<p —> — оо. В результате возникают расходимости, не имеющие отношения к тем, которые нам следует изу- чить. Простейшая разумная теория соответствует скаляр-
300 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ным частицам с локальным взаимодействием, изображен- ным п<Грисл 53.Длятого чтобы такая теория была устой- чивой, необходимо, чтобы константа, характеризующая Рис. 52. взаимодействие, соответствовала отталкиванию частиц. Слагаемое в энергии поля, соответствующее рис. 53, име- ет вид Х<р . Для устойчивости требуется X 0, что и со- ответствует отталкиванию. Заметим, что в теории, описывающей два типа частиц (фермионы и бозоны), взаимодействие, изображенной на рис. 54, не приводит к неустойчивости (волнистая линия соответствует бозону). Такое взаимодействие соответствует члену вэнергии вида 'Ftp. Так как фермио- Рис. 54. ны ~в силу принципа Паули не могут накапливаться в большом количестве, то простое рассуждение, приведенное выше, в этом случае неприменимо. Взаимодействие такого типа используется в теории сильного взаимодействия элементарных частиц. Это же замечание относится и к электродинамике (см. стр. 318). Графики Фейнмана в скалярной теории. Выясним, как должна вычисляться двухчастичная функция Грина в модели 4-бозонного взаимодействия, т. е. найдем аналити- ческое соответствие простейшим графикам, входящим в эту амплитуду перехода. Тем самым будут найдены пра- вила расшифровки любых диаграмм, состоящих из этих простейших элементов. Амплитуда простейшего процесса имеет вид (рис. 53) A (xt, х2, х3, xt) = <?yG (х, — у) G (x2 — у) (—iVv)G (у — х3) G (у— ж4). Оператор взаимодействия Vy не должен явно зависеть от точки у — это нарушало бы однородность пространства и привело бы к несохранению энергии и импульса, поскольку
2. РАСХОДИМОСТИ И ПЕРЕНОРМИРУЕМОСТЬ 301 эти законы сохранения являются прямым следствием од- нородности времени и пространства. Вообще говоря, можно включить в Vy зависимость от градиентов: = где д/ду действует на какую-либо из четырех функций распространения. Мы рассмотрим простейший вариант теории поля, не содержащий градиентов, т. е. положим V = X. Тео- рия имеет смысл только при к > 0. Диаграмма рис. 53 соответствует наинизшему приближению теории возму- щений по X, которое справедливо при X 1. Кроме диаграммы рис. 53, согласно принципу суперпо- зиции, в амплитуду перехода вносят вклад всевозможные диаграммы, соответствующие различным промежуточным состояниям. Во втором порядке по X возможны три следующих гра- фика (рис. 55). Эти три диаграммы отличаются переста- новками наружных точек х1г х2, х3, х4, так что сумма Рис. 55. диаграмм симметрична по х2, х3, х4, как это и должно быть для скалярных частиц, подчиняющихся статистике Бозе. По 4-координатам внутренних точек уг — (т^), у2 — — (т2» Р2) нужно проинтегрировать по всему пространст- ву — времени. При этом различные области интегриро- вания по временам т4, т2 отвечают различным промежуточ- ным состояниям. Например, в диаграмме а область ti,t2 < < < т2 < <3, /4 отвечает процессу перерассеяния час- тиц 1 и 2, а область t2 < т2 < т4 < t3, <4 отвечает ро- ждению из вакуума в момент т2 четырех частиц, две из которых аннигилируют в момент Tj с исходными части- цами 1, 2, а две другие приходят в точки 3, 4.
302 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ Существование аннигиляционных процессов диктует- ся лоренц-инвариантностью. Интеграл по области Tj < т2 не инвариантен (можно перейти в такую движущуюся систему координат, где Tj т2), и только в сумме с ин- тегралом по области т, > т2, т. е. при учете аннигиляции, мы получаем лоренц-инвариантную амплитуду. При этом необходимо к тому же потребовать, чтобы константа X, соответствующая рассеянию, совпадала с аналогичной константой, соответствующей аннигиляции и рождению частиц из вакуума. Связь между процессами рассеяния и аннигиляцией (кроссинг-симметрия) явля- ется характерной чертой локальной релятивистской тео- рии поля и надежно подтверждена экспериментами. Другой важный принцип, используемый при по- строении теории поля,— это принцип тождественности частиц. Хорошо известно из нерелятивистской квантовой меха- ники, что состояния, отличающиеся перестановкой ко- ординат (или импульсов) одинаковых частиц, тождествен- ны и не должны учитываться по отдельности в сумме по промежуточным состояниям. Если суммировать по всем таким состояниям, то правильную нормировку можно вос- становить, снабдив промежуточное состояние с п части- цами множителем 1/и!, соответствующим числу тождест- венных перестановок. Таким образом, диаграмму а надо умножить на 1/2! = = 1/2 для того, чтобы исключить тождественные состоя- ния при Tj <Z t < т2. При этом для лоренц-инвариант- ности мы должны поставить множитель 1/2 и в других областях интегрирования по Г1Т т2, например, т2 < tj. В этой области множитель 1/2 учитывает неразличимость частиц, родившихся из вакуума. Аналогично можно про- анализировать диаграммы рис. 55, бив. Оценки расходимостей и идея перенормировок. По- скольку правила расшифровки графиков найдены, можно приступить к более детальному анализу возникающих выражений. При этом мы сразу же наталкиваемся на рас- ходящиеся интегралы. Действительно, покажем, что ди- аграммы Фейнмана, содержащие замкнутые петли, рас- ходятся при интегрировании по внутренним координатам или импульсам. Рассмотрим, например, простейшую диаг-
2. РАСХОДИМОСТИ И ПЕРЕНОРМИРУЕМОСТЬ 303 рамму рис. 55, а. Расходимость в ней связана с областью у2 ~Уъ где каждая функция Грина G — у^), G (у2 — У1) ведет себя как (стр. 292) G (у) const/i/2, у2 <С т~2 В результате возникает интеграл, логарифмически рас- ходящийся на нижнем пределе 1 Х2 Г dyid^ G _ } G G } G (Х* _ 1 J У12 (6.36) Особенно ясно это видно, если перейти к евклидовой мет- рике, заменив yt0, у2о на 1уц, iy^', тогда интересующая нас часть интеграла —У--------\п(\1тгз). Расходящаяся часть этого интеграла выделяется в виде множителя 4- * 5 5d4jZiG (Xi _ yi) G (X2~yi) * xG(zs - У1) G («4 — J/i); (| 2/12 I << | Xi — y-i I) и имеет ту же форму, что и вклад диаграммы первого по- рядка (рис. 53). Как и диаграмма первого порядка, расходящаяся часть диаграммы второго порядка отвечает точечному взаимо- действию, и их имеет смысл объединить, переопределив константу А, точечного взаимодействия. В этом состоит идея перенормировок. Отбрасывание точечных вкладов соответствует вычи- танию из множителя G (^i — yJG (хг — yi)G (у2 — хз) X Хб (2/2 — его значения при i/2 = yt, после чего получается сходящийся \&'У интеграл по ylt у2- Не все расходи- \_______ J хг мости сводятся к перенормировке кон- станты взаимодействия. Рассмотрим, Ри<5, 56‘ например, график второго порядка для функции Грина, изображенный на рис. 56. Он содер- жит произведение трех функций Грина G (у) и расходит-
304 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ся при у —► 0. Возникает расходимость уже не логариф- мически, а квадратично зависящая от нижнего предела г0 №yG3 (у) ~ №у-у~* ~ го2. Мы покажем, что расходящаяся часть этого интегра- ла может быть включена в перенормировку массы части- цы и в перенормировку функции Грина. Для этого удоб- но записать точное уравнение для функции Грина в форме Дайсона, как мы это делали в задаче многих тел (стр. 247): (Г~I + п^о) £ (я — х') -}- i 2 (х — хх) G (хх — х') d4xx = = — t6(x — х'). (6.37) Величина 2 (х, х') называется собственно-энергетической частью (для нашего случая бозе-частиц ее иногда назы- вают поляризационным оператором), и в отсутствие внеш- него поля, как и функция Грина, зависит только от раз- ности координат (х — х') в силу однородности простран- ства — времени. Величина 2 (у) включает в себя все графики, которые нельзя разбить на части, соединенные одной линией. Во втором порядке теории возмущений по X эта величина дается внутренней частью графика рис. 56. В 2 отсутствуют диаграммы, соответствующие повторе- нию этого графика,— они уже учтены в G (х, — х'). Таким образом, в нашей теории интегралы от 2 (у) по d4y расходятся при у -► 0. Для выделения этой расхо- димости разложим G (х! — х') под интегралом в (6.37) в ряд по степеням у, предполагая, что | х — х' | (г0 — определяет границу применимости теории). Мы убе- димся, что при этом достаточно использовать только 2 члена разложения — следующие члены представляют со- бой сходящиеся интегралы, нечувствительные к величи- не г0. Действительно, (у) — х' -|- у) d*y = = G (х — х') 2 (г/) d*y -|- dvG (х — х') 2 (у) уЯ*у+ -}- — д\>.д£ (х — х') 2 (г/) у?у^у+... В силу изотропии пространства — времени интеграл,
2. РАСХОДИМОСТИ И ПЕРЕНОРМИРУЕМОСТЬ 305 линейно содержащий у^, равен нулю, а интеграл Ъуу.уЛРу = 4" ^У^У- Во втором порядке теории возмущений 2 ~ V/y6. Поэто- му интегралы имеют порядок J r0 J Следующие члены разложения содержат уже сходя- щиеся интегралы. Обозначим эту часть 2 через 2' и введем обозначения для двух расходящихся частей т jj 2'6У4у + т'2С + CQff. Подставляя в уравнение (6.37), получим (1 — С) 0# + (mg + т'2) & i§ 2V?d4y = — i8 (х — х"). Последнее слагаемое записано в символическом виде. Введем обозначения т2°+га'2 =т2, ч^- = н2, G(1-0^Gr. 1 — С Тогда для Gr получится уравнение, содержащее только наблюдаемые (сходящиеся) величины вместо затравочных (□ + /»? + Н2)Ся = (* ~ *3- Величины, входящие в это уравнение, конечны. Выразим ml через наблюдаемую массу тп2. Для этого перейдем к импульсному представлению. Функция Gr должна иметь полюс при р2 — т2, что соответствует выражению для энергии частицы Е (р) = (р2 + тп2)*'г; следовательно, тп2 = тп2 + ц2 (р2 = тп2). Таким образом, выделение расходящихся частей гра- фиков привело к перенормировке массы и к изменению коэффициента при б (х — х') в уравнении (6.37). Множи- тель Z = 1/(1 — С) называется перенормировкой функ- ции Грина и аналогичен множителю, который возникал при выделении квазичастицы из набора состояний, при- 11 А. Б. Мигдал
306 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ сутствующих в спектре одночастичной функции Грина (стр. 222, 247). Учет расходимостей в более сложных графиках 2 приводит только к тому, что во всех внутренних линиях происходит такая же перенормировка массы и константы взаимодействия. Перенормировка внутренних функций Грина убирается в новую константу взаимодействия: от каждой из четырех линий, входящих в точку взаимо- действия, забирается по J/^Z, так что li = Z2X. Действительно, покажем на примере нескольких прос- тейших диаграмм, что такое переопределение вершин приводит к умножению каждой диаграммы на общий мно- житель Z2, который может быть устранен переопределе- нием двухчастичной функции Грина. Этот результат сле- дует из равенства Выделение множителя Z из каждой функции Грина соот- ветствует в первом слагаемом в фигурной скобке переходу от нормировки состояний на 1 частицу в единице объема к нормировке на 1 квазичастицу, а множитель Z2 соответ- ствует переходу к двухквазичастичной функции Грина. Для того чтобы каждый из графиков умножался на тот же множитель, необходимо забрать в X по У Z от каждой из четырех функций Грина, входящих в точку взаимодей- ствия. Выражение в фигурной скобке уже не содержит величину Z и является функцией Грина двух квазичастиц. Окончательный результат сводится к тому, что можно применять графический метод прямо к наблюдаемым час- тицам. Таким образом, после выделения расходящихся частей можно пользоваться методом квазичастиц так же, как и в задаче многих тел. Итак, идея перенормировок состоит в том, что расхо- дящиеся выражения могут быть удалены из расчетов путем переопределения констант, входящих во взаимодействие и в функцию Грина. Мы увидим, что такую процедуру мож- но провести не во всех теориях поля, т. е. что не все тео- рии перенормируемы.
i. РАСХОДИМОСТИ И ПЕРЕНОРМИРУЕМОСТЬ 4(17 Условие перенормируемости. Нетрудно убедиться, что теория с 4-фермионным взаимодействием представляет со- бой пример неперенормируемой теории. Диаграммы для взаимодействия частиц со спином 1/2 имеют тот же вид (рис. 53, 55), что и для скалярных час- тиц, но функция Грина G (х) имеет более сильную расхо- димость при х —> О (стр. 294): TiA 1 G (х) = const —-----=-. 4 ' X4 X3 Диаграмма (рис. 55, а) расходится квадратично A^G(z)G(z)d4z~A^-^_ Поэтому для устранения расходимости нужно выделить из функций Грина G (xi — y)G (х2 — y}G (у + z — x3)G (у + z — xt) выражения (6.36) первые два члена разложения по z. Эти члены имитируют 4-точечное взаимодействие вида ^эфф(у) = Х2Д G(z)G(z)d4z -J- ХьЛ G(z)G(z)zpLd4z-^-(- J J Ч'/р, л 2 + ^С(2)С(!)21Ал-Д--)?-. Таким образом, расходимости приводят к изменению струк- туры исходного взаимодействия — .х- приходится рассматривать взаимо- ^1\ действие, зависящее от градиентов. ( ) При переходе к более сложным гра- фикам, например, рисунка 57, появ- s' ляются члены с более высокими рпс 57 а8 а1 производными — , — И Т. д. Добавки можно воспринимать как перенормировки параметров в исходном взаимодействии вида Этот ряд не обрывается и содержит бесконечное количество градиентов. В результате исходное взаимодействие при- ходится предполагать нелокальным и оно может иметь 11*
308 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ например, структуру соответствующую обмену частицей с массой т. Иными словами, локальное 4-фермионное взаимодей- ствие не имеет смысла. Непротиворечивое (т. е. перенор- мируемое) взаимодействие фермионов можно построить, если исходить из локального взаимодействия фермионов с бозонами (рис. 54). Эта идея используется в теории сильно- го взаимодействия элементарных частиц и в современных моделях теории слабого взаимодействия. В чем же общая закономерность — как сразу сказать, перенормируема ли теория? ’ Критерий можно найти на основе анализа размернос- тей. —————— '^Константа X взаимодействия четырех скалярных час- тиц безразмерна. Действительно, как мы видели, добав- ки к амплитуде имеют вид: т. е. X безразмерна. " Константа, соответствующая Рис 58. взаимодействию фермионов с бозонами (рис. 58), тоже без- размерна, что можно увидеть из сравнения двух про- стейших графиков. Если первому графику соответствует константа g, то второй имеет порядок g3 GFGFGBd^x2 ~ g3 , т. е. константа g безразмерна. Такая же оценка с заменой g на е приводит к заключению о безразмерности констан- ты электромагнитного взаимодействия е. Константа Х₽ 4-фермионного взаимодействия имеет размерность квад- рата длины. Это легко видеть из сравнения двух графиков амплитуды перехода: xi хз хг Х4 Xi Xi Х2 X,, --------------------------
2. РАСХОДИМОСТИ И ПЕРЕЙОРМИРУЕМОСТЬ 309 Отсюда размерность Х₽ ~ Поэтому добавки имеют вид: ~г лр ув , т. е. расходятся квадратично и требуют, как мы видели, добавления градиентов во взаимодействие. Константа g трёхбозовгного взаимодействия, упомяну- того^вышё, как легко видеть из рис. 58 с заменой фермио- нов на бозоны, имеет размерность g ~ Z"1, и, следователь- но, добавки к этой константе от области расстояний ~г0 будут иметь вид -------+ ---------= ^ + ^3fr = ^(l + O(gM)), т. е. взаимодействие в такой теории не содержит расходи- мостей. Единственная перенормировка, которую нужно сделать,— это перенормировка массы во втором порядке теории возмущений, соответствующая графику что дает т'2 ~ g2 in---. Вообще для любого точечного ° тго взаимодействия с константой у поправки re-го порядка к безразмерной величине будут иметь вид (yr~ody, где [го! — размерность у. В случае 4-фермионного взаимо- действия поправка re-го порядка будет содержать гйгп, что и приводит к появлению высоких производных во взаимо- действии. В тех же случаях, когда константа у безразмер- на, расходимости в п-м порядке имеют вид (см. ниже) Г” (Со ]пп—— + GIn”’1— + ...). ‘ \ 0 тго тго ' / Из соображений размерности можно сразу же убедить- ся, что в теории 4-бозонного взаимодействия не возникают локальные взаимодействия с большим числом участвую- щих частиц, например вида
310 ГЛ. в. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИЙ ПОЛЯ Размерность константы такого взаимодействия находит- ся из сравнения двух графиков откуда [Х6] = I2 и, следовательно, Хв ~ Го 0- Этот же результат можно получить, рассмотрев простейший график Предоставляем читателю убедиться, что в случае 4- фермионного взаимодействия возникает локальное взаи- модействие любого четного числа частиц. Мы пришли к важному выводу, что не все полевые тео- рии могут быть построены в предположении локальности. Для того чтобы локальная теория была перенормируема, необходимо, чтобы константа взаимодействия была без- размерна. Этот критерий — необходимый, но не достаточ- ный. Так, например, в теориях, содержащих векторные частицы с массой, отличной от нуля, как видно из выра- жения (6.33) для функции Грина такой частицы, масса не выпадает из теории при больших 4-импульсах к2 т2, и приведенные выше размерные соображения непримени- мы. Возникают интегралы, расходящиеся степенным об- разом. Логарифмическое приближение и перенормируемость. Как мы видели, в теориях с безразмерной константой взаимодействия возникают логарифмически расходящиеся интегралы, которые могут быть включены в перенорми- ровки константы взаимодействия, массы и функций Гри- на. В каждом порядке теории возмущений увеличивает- ся степень логарифма. Для того чтобы провести программу перенормировок в высших порядках теории возмущений, используем ло- гарифмическое приближение, которое применяется во многих задачах квантовой теории поля. Логарифмически расходящиеся интегралы, возникающие в перенормируе- мых теориях, обрезаются на расстояниях г0 много мень- ших, чем интересующие нас расстояния (расстояния меж-
2. РАСХОДИМОСТИ И ПЕРЕНОРМИРУЕМОСТЬ 311 ду концами амплитуды перехода). В результате возника- у* ют большие логарифмы I — In , что позволяет при X 1 го сохранять в каждом порядке теории возмущений только члены с наивысшей степенью логарифма. Мы сначала про- ведем эту процедуру на первых порядках теории возму- щений, а затем обобщим полученные результаты на все порядки, пользуясь сформулированным ниже свойством перенормируемости. Обрезание интегралов будет иметь смысл, если ответ не будет зависеть от способа обрезания, т. е. если остав- шиеся интегралы будут определяться областью у2 Гц. Как мы сейчас увидим, возникающие в теории логарифми- ческие интегралы действительно обладают этим свойством. Нам будет удобно работать не в координатном, а в им- пульсном представлении, в котором функции Грина G (Л) имеют простой вид <?(Л) = -тД-=-. ' ' к2 — т2 В импульсном представлении вклад графика рис. 53 равен просто - Ж --------------------------------6 (2 ) (2л)4. /с2 — т2 /с2 — т2 /с2 — т2 к2 — т2 ' .=1 > Множитель —гб (2Л)(2л)4, выражающий закон сохране- ния энергии импульса, и множители 1/(Аг| — т2), соответст- вующие наружным функциям Грина, будут встречаться во всех диаграммах, и мы будем их опускать. Оставшееся после этого выражение называется амплитудой рассея- ния частиц. Графики второго порядка соответствуют добавке к X вида =______1_. 2 С d4fc____________________1____________________ 2 J (2n)4i [(pi -f- p-i — к)2 — т2 + 1в] [fc2 — т2 -f- ie] (6.38) Будем для простоты считать наружные импульсы р1г р%,
312 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ р3, чисто пространственными: poi = 0. (От этого пред- положения можно освободиться после получения окон- чательного результата.) Тогда интегралы теории возму- щений будут чисто вещественными. Действительно, интеграл по энергетической компонен- те к0 в (6.38) имеет вид + □0 С dko________________________1_______________________ J 2л* [/с2 — (pi + pa — fc)2 — т2 -f- ie] [к2 — fc2 — m2 -f- ie] (6.39) Особенности подинтегрального выражения изображены на рис. 59. Не пересекая особен- ностей, можно деформировать кон- тур интегрирования (\ в мнимую ось С2, т. е. перейти к интегралу по ki = —ik0 Рис. 59. Этот прием называется поворотом Вика. После поворота Вика про- странство импульсов становится евклидовым: к2 — к2___ —к2 = — к* — к2 ~ — к^ = — к2. Итак, интеграл в (6.38) сводится к интегралу по евклидову пространству 1 С dlk____________________1_________________ 2 J (2л)4 [А;2 -J- л/г2] [(/>1 -)- —к)2 -f- m2] Такие интегралы положительны и их нетрудно оценивать, поскольку угловое интегрирование производится по ко- нечной площади единичной сферы в 4-мерном пространст- ве S = 2л2, так что расходимости связаны только с бес- конечной областью интегрирования по | к | = V к2. Ограничим интегрирование по | к | некоторой боль- шой величиной L т, | Рх + Рг Эта величина соответ- ствует обрезанию на расстояниях порядка г0 в координат- ном представлении (L ~ 1/г0). Вычислим интеграл, считая, что | pi + р2|2 = Р12 иг2 (эта область пона- добится в дальнейшем). Отбрасывая в подинтегральном
2. РАСХОДИМОСТИ Й ПЕРЕНОРМИРУЕМОСТЬ 313 9 2 выражении тг и р12, получим L L* _ Г d*k __ 1 Г dk2 _ 1 , _£2_ J (2л)41с* ~ 16яа J ~ 16л2 П р2 Р12 р12 Относительная ошибка такого вычисления ~1/1п — <^1. Р12 Аналогично вычисляются диаграммы рис. 51, б, в, отличающиеся заменой рх + р2 -> Pi + ps и рх + р2 -* Pi + Pi- Сумма всех поправок второго порядка вместе с затра- вочной константой имеет вид X + AW(p1,p2,p3,p4) = 1 2 _____(In —— + In —— 4- In —— ) 16Л2 V р22 р23 Т р2 J • Будем считать, что все импульсы рх, р2, р3, р4 одного порядка (— р) и много меньше L. Тогда все три члена в скобках можно считать равными, и мы получаем К + л» (р)« х - 4 -AL. 1„ ". _ К (1 —е) . Здесь и дальше обозначим £ = In • Найденная поправка становится порядка первого чле- на, когда 1бл;а -----1. При этом могут стать существен- ными следующие поправки ~Х3, если они умножаются на (In (L2/p2))2. Поправками порядка X3ln(L2/p2) и по- рядка X3 можно пренебречь. Рассмотрим теперь графики третьего порядка (рис. 60).
314 гл. 6. качественйЩе методы В Квантовой теорий поля Мы не рассматриваем графики вида соответствующие перенормировке массы входных частиц и перенормировке функции Грина. Первая перенормиров- ка означает переопределение массы входных частиц. Что же касается множителя У Z, который должен входить от каждой линии в новую константу X, то он, как легко ви- деть, имеет вид 1 + CJ2 In (L2/p2), т. е. не должен учи- тываться при отборе старших логарифмов. Кроме нарисованных графиков, есть диаграммы, от- личающиеся перестановками наружных импульсов pi «-» Рз, Pi Pt- С логарифмической точностью при рг ~ ~ р2 ~ ~р перестановки импульсов не меняют вклада графика. Поэтому для учета перестановок достаточно ум- ножить диаграммы рис. 60 на 3. Кроме того, учет тождест- 1 1 венности внутренних частиц приводит к множителю -я- • A А х 1 zr в графике а и к множителю -я- для диаграмм о, в. График а вычисляется проще всего, поскольку интег- рирования по ki и к2 независимы: >===< = (>«=><) =4 е В двукратном интеграле, соответствующем графику б, мы знаем вклад интеграла по ki _ 1 , С d*ki 1 1.1. £2 2 J С2*)4 k2(ki-p-ktf ~ 2 (P+fe)2 • При интегрировании по к2 существенны к2 р d*k2 1 1 , 1 £2 } (2л)4 fcj ‘ 2 16я2 Ъ р й *
2. РАСХОДИМОСТИ И ПЕРЕНОРМИРУЕМОСТЬ 315 Проинтегрируем по углам d*k2 = л2 ^Idkl и введем Лога- ру L2 рифмическую переменную ц — In , тогда получаем простой интеграл График в отличается перестановкой наружных импульсов и потому вносит такой же вклад Итак, мы нашли вклад суммы графиков третьего порядка 4<«W = X.3(^ + ^ + i)=x4E!. В каждом следующем порядке теории возмущений будет добавляться X и одно интегрирование, т. е. еще одна сте- пень Поэтому полная амплитуда имеет вид А = у (В) = X (1 - 4 В + 4 ? + ...) . (6.40) Вычисление графиков 4-го порядка, которое мы опуска- ем, дает слагаемое в /(£), равное —(-^-В)®- Таким образом, первые члены функции/ (|) являются степенями величины з у В. Предположим, что и дальнейшие слагаемые подчи- няются этому правилу, т. е. что / (|) есть сумма членов ря- да геометрической прогрессии, тогда А = —Т- = ,~ГТ-------------ZT <6«) 1 + 2 £ 1 + 2 16л2 1п р2 - г Из физических соображений мы ожидаем, что радиус об- резания L должен как-то выпасть из ответа. Анализ диа- грамм в координатном пространстве навел нас еще раньше на идею перенормировки, т. е. переопределения затравоч-
316 гл. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ной константы за счет включения в нее расходящихся вкладов от высших диаграмм. Формула (6.41) подходит для такого переопределения, что сразу видно, если ее переписать так: А = 3 1 3 1 • + 2 16л2 1п £2 — 2 16л2 1п Р1 При изменении L мы можем так изменить X, чтобы ампли- туда А (р) не изменилась. Если мы зададим значение амплитуды А (р2) в некото- рой точке р2 = р2 (М1) 3 j у 2 == Х"1+~1бл2'111 рТ и назовем величину А (р) перенормированной константой ^н, то связь между амплитудой А (р) и уже не будет содержать радиуса обрезания: =—ГТ-----------г 1—JL Лд р 2 16л2 111 р2 (6-42) Для определенности можно в качестве р взять перенор- мированную массу частицы т. Таким образом, геометрическая прогрессия, обнаружен- ная на первых членах выражения для А (£), не является случайной особенностью первых членов, а отражает важ- ное свойство рассматриваемой теории — свойство пере- нормируемости. Получим выражение (6.42), не пользуясь рядами тео- рии возмущений по X, а непосредственно из требования перенормируемости — амплитуда А не должна зависеть от импульса обрезания L. Итак, полная производная от амплитуды, выраженной через X и In (L2/p2), по In L2 при постоянной должна быть равна нулю. Используя (6.40) j и дифференцируя А по In L2 = и, получаем ^- = 0 = V-g- + (-|М (/© + 4И). du d^ ' \ ди / \R \' к '' d^ / В этом уравнении можно изменять g при фиксированном
2. РАСХОДИМОСТИ И ПЕРЕНОРМИРУЕМОСТЬ 317 L, т. е. сохраняя X и • Полагая £ =0 (р = L), находим Используя значения / (0) и /' (0), из (6.40) получаем (? + -|~)/'© + /(Ю = 0. Решение этого уравнения /©“—Ч— < + —5 что приводит к предположенному выше выражению (6.41), а следовательно, и к (6.42). Из (6.42) следует, что величина А растет с увеличением р2 (что эквивалентно уменьшению расстояний х). При приближении к полюсу этого выраже- ния формула перестает быть справедливой. Критерием применимости выражения (6.42) является малость вели- чины А. Для пояснения перейдем в координатное пред- ставление. В графиках амплитуды А (х) при т х <<; 1 су- щественны расстояния между актами взаимодействия вир- туальных частиц тоже порядка х. Действительно, все элементы графиков, соответствующие малым расстояни- ям (расходящиеся при малых х), убираются в перенорми- ровки взаимодействия, массы и функции Грина. Расстоя- ния, большие чем х, вносят малый вклад из-за убывания функций Грина. В этом нетрудно убедиться на примере рассмотренных выше графиков. Рассеяние виртуальных частиц будет определяться величиной Лх ~ Л (х), которая будет заменять величину Хд на малых расстояниях. По- этому критерий применимости использованного нами ис- ходного выражения (6.41) будет не Z 1, а Л 1. Эти соображения наводят на мысль о возможности бо- лее общей формулировки перенормируемости, не пред- полагающей малости константы Хд. Ниже мы вернемся к этому вопросу при изучении свойств квантовой элект- родинамики на сверхмалых расстояниях. Заметим, что мы могли бы получить те же результаты и не вводя затра- вочной константы X и соответствующего радиуса обреза- ния L (или г о в координатном представлении). Вместо
318 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ этого можно ввести условный радиус обрезания гс много больший, чем граница применимости теории г0, по в то же время много меньший, чем интересующие нас расстояния х. Вклад областей интегрирования, меньших чем гс, бу- дем включать в условную константу взаимодействия Хс (которая будет локальной с точностью до гс). При Хс <<; 1 амплитуда А = А (Хс1п-^-) или в импульсном представле- V гс / ( £2 \ нии Л = А .Так как точка гс = Д.1 произвольна, то амплитуда не должна зависеть от выбора этой точки. Пов- торяя приведенный выше.вывод с заменой L на Lc и X на Хс, мы приходим к тем же результатам. 3. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НА МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ Рассмотренная выше теория скалярного поля не опи- сывает реальной физической системы. Реально существу- ющие скалярные частицы (мезоны) взаимодействуют не только между собой, но и со спинорными частицами (бари- онами) и к тому же константа взаимодействия велика, так что теория возмущений здесь неприменима. Теория скалярного поля с малой константой взаимо- действия представляет собой лишь простейшую модель, которая послужила нам для выяснения общих свойств теории поля на малых расстояниях. Теперь мы перейдем к реалистической теории — кван- товой электродинамике, т. е. к теории, описывающей взаи- модействие электронов, позитронов и фотонов. Локальное взаимодействие в квантовой электродина- мике. В разделе 1 были найдены функции Грина электро- на (позитрона) и фотона. Осталось ввести Jx' взаимодействие между этими частицами. (А Простейший электромагнитный процесс у д- изображен на рис. 61. Линия со стрелкой х соответствует распространению электрона Рис. 61. (позитрона), а волнистая линия — распро- странению фотона. В точке х пр ходит локальное взаимодействие. Об- щее выражение для амплитуды процесса на рис. 61
3. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НА МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ 3J9 имеет вид —г ГД dixG — х) Гр (-£-\ G (х — х2) Dp» (х — х') T2ev, (6.43) где Yi, Т2, ev — волновые функции электрона (или позит- рона) и фотона; Гц (д!дх) — неизвестная функция. Про- изводные д!дх могут действовать на любую из трех функ- ций Грина. Явная зависимость Гц от х исключается из требования однородности пространства. Для лоренц-ин- вариантности амплитуды перехода требуется, чтобы ве- личина Т'ДцТ’г преобразовывалась как 4-вектор, который должен быть построен из и д[дх^. Однако зависимость Гц от градиентов означала бы введение размерной конс- танты взаимодействия, что нарушило бы перенормируе- мость. Для устранения расходимостей пришлось бы ввести бесконечное число членов вида (д!дх)п, т. е. поте- рять локальность. Для пояснения оценим вклад графиков 3-го порядка для вершины вида Г1ц = Ди (VuYv — y^dldXv. В импульсном представлении имеем Область интегрирования q р, к дает Гщ ~ Г$ (1 + и! ~ d*q ) = Г$ (1 + Получилась квадратично расходящаяся добавка в соот- ветствии с размерностью pi (lp.il = Нт). Таким образом, мы приходим к так называемому ми- нимальному электромагнитному взаимодействию Гц = еуц (6.44) с безразмерной константой взаимодействия, совпадающей, как мы увидим, с зарядом электрона в единицах Хевисай- да (е2/4л = 1/137). Любые добавки к этой вершине возни-
320 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ кают только как вторичный эффект при вычислении графи- ков более высокого порядка по е. Так, например, рассмот- ренный выше график третьего порядка с вершинами (6.44) приводит к добавке кГц рассмотренного выше вида, где pi — поправка к магнитному моменту электрона. Эта поправка вычислена с помощыоь(6.44) до 6-го порядка по е и с огромной точностью совпадает'с опытом. Для того, чтобы*убедиться, что 'константа е совпадает с зарядом электрона, достаточно взять {матричный элемент выражения (6.44),^соответствующий переходу нереляти- вистского электрона 'с испусканием кванта, и сравнить его с выражением, полученным на стр. 51. Волновая функция, соответствующая одному фотону в единице объема, равна $\'^2к0. Эту нормировку легко проверить, вычисляя энергию электромагнитного поля S^)dV = со . В результате получаем для попе- речной калибровки (4Х) = 0) — (rjap 4°'ЧХ) • (6.45) К 2/со Пренебрегая изменением импульса электрона, получаем « (Р1) Тр М(Р1) = • Правильность этого выражения сразу же проверяется умножением на рц и использованием уравнения Дирака. Добавка к гамильтониану электрона соответствует выра- жению (6.45) без множителя (—I), т. е. , 1 pt что в точности соответствует выражению (1.23) на стр. 51 (здесь заряде — в единицах Хевисайда). Так как (р, а) для отрицательных энергий соответствует позитрону с импульсом — р (см. стр. 290), то в случае позитро- на это выражение изменяет знак, т. е. заряд позитрона противоположен заряду электрона. Так как выражение е^/р^^о представляет векторный потенциал, соответст- вующий одному фотону, то матричный элемент в произ-
3. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НА МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ 321 вольном электромагнитном поле Ац получится заменой 4Х) //2Л? на Ац. Этим определяется правило введения внешнего электромагнитного поля в уравнение Дирака — следует к величине- у^Рц добавить еу^Ац. Действительно, при этом уравнение для функции Грина дает G(1) = = G (—геуцЛц)С в соответствии с выражением (5.33). Вычисление следующих порядков по е в Гц дает наряду с поправкой к магнитному моменту поправку по взаимо- действию электрона с полем ядра, приводящую к рассмот- ренному на стр. 68 лэмбовскому сдвигу атомных уровней. Рассмотрим амплитуду перехода, соответствующую рассеянию двух частиц, например, электрона и протона. В наинизшем порядке по е этот процесс определяется гра- фиком (6.46) Короткие концы у электронных и протонных линий озна- чают, что функции распространения, соответствующие входным и выходным линиям, не включены в рассматри- ваемую амплитуду перехода. Матричный элемент перехо- да, соответствующий этому графику, можно записать в виде - е2 (- i)* (g) ФГгЛ Для малых 4-импульсов q (q Мр) можно считать движение протона заданным и тогда множитель справа от представляет собой g-ю компоненту 4-тока прото- на, движущегося с импульсом р2, а выражение (g)J? (g) есть g-я компонента векторного потенциала Лр. (х) = i § (х — х') (х') №х', (6.47) протонного тока (стр. 297). В этом случае задача рассеяния электрона сводится к задаче рассеяния во внешнем поле А ц (х). Для учета отдачи протона достаточно понимать под 7Р (х) ток перехода, т. е. матричный элемент операто- ра тока между начальным и конечным состояниями про- тона. Учет графиков, поправляющих приведет к
322 ГЛ, 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ тому, что в (6.47) Dзаменится на точную функцию 75^, к рассмотрению которой мы сейчас перейдем. Поляризация вакуума. В присутствии внешнего поля в вакууме возникают поляризационные токи и заряды, связанные с появлением виртуальных пар. Дополнитель- ные заряды, наведенные в вакууме, как мы увидим, экра- нируют внесенные в вакуум заряды. Такого же типа яв- ления происходят в диэлектрике. Поэтому для выясне- ния физической картины вакуумных процессов полезно проследить аналогию с классической электродинамикой поляризующейся среды. Напишем уравнение Дайсона (стр. 245,304) для точной функции Грина фотона которая содержит все воз- можные виртуальные процессы, происходящие при рас- пространении фотона в вакууме. Как мы увидим, это уравнение имеет простое соответствие в классической эле- ктродинамике. Введем блок Пц„ (х — х'), не содержащий частей, соединенных одной фотонной линией. Повторяя вычисления на стр. 245, находим в операторном виде D = D + DUD. Умножая слева на — i D~r, получаем в координатном представлении (х — х') + i (х — х±) (хг — х’) dix1 = = — (х — х'). (6.48) Запишем это уравнение в операторном виде и умножим его справа на величину /ех, где /ех — ток, создаваемый зарядами, внесенными в вакуум. Имеем □ £>7ех + 1П£>7ех = -if\ Поскольку Dje* = — iA, это уравнение совпадет с урав- нением для векторного потенциала в поляризующейся сре- де [J Л = 7 + 7ех; 7 = ШЛ — поляризационный ток, т. е. (3-4 + г ПЛ = /ех. Таким образом, величина П определя- ет поляризационный ток, вызываемый векторным потен- циалом, a D представляет собой функцию Грина однород- ного уравнения для потенциала Л в поляризующейся среде. Восстанавливая индексы и интегрирование, по- лучим Лр. (х) — i Пу.ч (х — х') (х') d^x'. (6.49)
3. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НА МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ 323 Эта формула обобщает аналогичное выражение (6.47) на случай поляризующейся среды. Поляризационный ток дается выражением 7р (х) = Hpv (х — х’) Av (х') №х'. (6.50) Для пояснения этих формул рассмотрим случай нет подвижного заряда, покоящегося в начале координат = 0, /ох = еоб (г) и А, =0, е0А0 = V (г). Для поля У (г) из (6.49) получаем V (г) = ie20 § Doo (t, r)dt = — e§Z>00 (® = 0, г), (6.51) где D (со, г) —точная функция Грина фотона в смешан- ном представлении. Плотность наведенных зарядов равна Р (г)= —П00(г — г’, т)Л00(и = 0, г') dr dr’. (6.52) Подставляя в (6.51) невозмущенную функцию Грина £00 (® — 0, г) = —1 /4лг (стр.297), получаем закон Кулона. Так как ток /ц (х) должен удовлетворять уравнению не- разрывности ^.-0, то из (6.50) следует, что дПрц, (х - х') _ (6.53) ахр. Кроме того, как видно из графического определения, Пц„ = ПЧ|Л, поэтому условие (6.53) обеспечивает и калиб- ровочную инвариантность, т. е. неизменность тока при добавлении к величины d.J. Однако, как мы увидим, в квантовой электродинамике величина Пц„ (х) имеет силь- ную особенность при х 0, и условие (6.53) в точке х = 0 нарушается. Это означает, что при малых х кванто- вая электродинамика должна быть модифицирована так, чтобы обеспечить калибровочную инвариантность и сохра- нение тока. В следующем разделе мы используем выражение (6.51) для нахождения поправки к закону Кулона, вызываемой
324 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ появлением в вакууме наведенных зарядов, плотность ко- торых определяется соотношением (6.52). Радиационные поправки к закону Кулона. Квантовая электродинамика предсказывает отклонения от закона Ку- лона. Эти отклонения связаны с диаграммами высшего порядка (так называемые радиационные поправки). Как мы сейчас увидим, физическая природа поправок к зако- ну Кулона определяется поляризацией вакуума. Несмотря на то, что радиационные поправки содержат „ е2 1 малый параметр а — -г- = , они имеют принципиаль- ПС 10/ ное значение, поскольку они позволяют выяснить характер расходимостей на малых расстояниях. Именно при изучении радиационных поправок в кван- товой электродинамике родилась идея перенормировок, лежащая в основе современной теории взаимодействий элементарных частиц. Итак, найдем первую радиационную поправку к закону Кулона. Рассмотрим бесконечно тяжелую заряженную части- цу, покоящуюся в начале координат. Поле, создаваемое такой частицей, определяется выражением (6.51). В нуле- вом приближении это выражение дает закон Кулона. Из- менение закона Кулона определяется появлением экрани- рующих поляризационных зарядов и, следовательно, оп- ределяется поправкой к D^. В наинизшем порядке по затравочному заряду е0 имеем Будем проводить вычисления в смешанном представле- нии. Тогда, используя Ш (0, г) = j П (т, г) dx, получим 4® (°- *•) = = — $ (0, г— rj nYP (0, i*!— r2) Dpv (0, r2) d?! dr2. (6.54') Здесь (0, г) — свободная функция Грина в сме- шанном представлении (стр. 297) 4 7)^(0, г)=-^£ц, (мы выбрали поперечную калибровку d = 1, см. стр. 296).
3. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НА МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ 325 Пц„ — поляризационный оператор, введенный в пре- дыдущем разделе, соответствующий внутренней части диаграммы (6.54) Нам удобнее вычислять Пц„ (х) в координатном представ- лении. Диаграмма для ПцЧ (х) расшифровывается так: Пи* (х) = — (—Ц,)2 Sp {y^G (x)y,G (—х)}. След матрицы соответствует суммированию по всем спи- новым состояниям виртуальной электрон-позитронной па- ры. Дополнительный знак «—» связан с тем, что G+ (—t) = = —G~ (/), где G~ — функция Грина позитрона (см. стр. 293). Как будет видно ниже, нам понадобятся расстояния, много меньшие комптоновской длины, поэтому можно в функциях Грина электрона и позитрона положить т = О (стр. 294), Пр.* (х) = Sp (Yp • След вычисляется элементарно, с помощью соотношений Т*х = — «у* + 2гч, z2 = х\ Sp (у д\) = 4gцД е2 Пр* (ж) = — ^2gp*] x~s- (6-55) Заметим, что при х 1/т из выражений (6.25) и (6.21) для G (х) имеем G (Ж) ~ е~тх и, следовательно, Пц„ (Ж) экспоненциально убывает при больших Ж: Пр* (?) — е^2т\ х>1/т Легко проверить, что выражение (6.55) удовлетворяет условию (6.53) во всех точках, кроме х = 0. При малых х <г0 это выражение должно быть модифицировано ли- бо за счет введения в теорию фундаментальных изменений, либо, если теория внутренне непротиворечива (см. следую- щий раздел), за счет учета более сложных процессов. Естественно предположить, что эта модификация не на- рушит калибровочной инвариантности.
326 ГЛ. 6.КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ Для дальнейшего нам достаточно потребовать, чтобы добавление к постоянного слагаемого не изменяло тока (см. (6.50)), т. е. чтобы исправленное выражение для П1%| (х) удовлетворяло условию Пр.„ (х) d*x = 0. (6.56) Поскольку нас интересуют расстояния х г0, труднос- ти, связанные с поведением П (х) при х <; г0, как мы уви- дим, можно обойти. Для того чтобы найти интересующую нас величину Поо (® = 0, г) = П (г), следует проинтегрировать вы- ражение (6.55) по t. Обход особенности, соответствующей = г2, определяется тем, что к г2 следует добавить бес- конечно малую отрицательную мнимую добавку. Знак добавки определяется условием, чтобы П (<а, г) соответ- ствовала расходящейся волне П (<в, г) ~ eiu,r. Диффе- ренцируя интеграл 4-00 г / \ * С Л 'r' j г2 — г2—;6 г —оо по г2, легко получить 2 Г 2 п.0(Щ = о,,-)—л = ^-. (6.57) Для поправки к кулоновскому взаимодействию, ис- пользуя (6.51) и (6.54'), находим «У(г) = - еЖ(а = 0,г) = = “ 11 (р) ТКТрТ dri dp- Плотность наведенных зарядов равна Pi (г) = — П (р) -j——р dp. ri' ' 4л J | r + p | r Или, используя (6.56),
3. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НА МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ 327 В этом выражении следует разложить первое слагаемое в скобке в ряд по полиномам Лежандра Pi (^)- Исполь- зуя П (р) = П (| р |), получим „ ~1/£’ 1/1 1 \ е?Л 1 Р1 (г) = е30А $ 1 (1-1) p2dp = -g- 1 . Г В 6У ограничим интегрирование по гх снизу грани- цей применимости теории г0. Подставляя рх в выражение для 6У и разлагая | г — I'1 по полиномам Лежандра Pj ^~), цолучим с логарифмической точностью / z>2 л \ УМ=^(1-12^1ПТГ Ь <6-58> \ 'о / Это выражение применимо при г2 1/т2, поскольку мы пользовались безмассовыми функциями Грина. На боль- ших расстояниях логарифмический интеграл будет обре- заться комптоновской длиной, и мы получим закон Ку- лона с исправленным зарядом У(г) = _е!_ 4яг где / е2 1 \ (в-59) величина е2 по определению совпадает с квадратом наб- людаемого заряда электрона. Исключая из (6.58) затра- вочный заряд е0, находим 2 Как и должно быть, эффективный заряд увеличивает- ся при уменьшении г, так как при этом уменьшается эк- ранирующее действие поляризационных зарядов. Электромагнитное взаимодействие на сверхмалых рас- стояниях. Квантовая Электродинамика, так же, каки теория 4-бозонного взаимодействия, рассмотренная выше,
ЗЙ8 ГЛ. в. КАЧеСТВЕНЙЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ является перенормируемой теорией (см. стр. 308). Элект- ромагнитное взаимодействие характеризуется безразмер- ной константой — постоянной тонкой структуры а = = е2 = 1/137. Если ввести затравочный заряд е0 и радиус обрезания L, то связь между наблюдаемым и затравочным зарядом имеет вид, аналогичный (6.59), е2=^/(ео21п-^-) . (6.60) Эта формула предполагает, что затравочный заряд е0 мал, но величина е$ 1п-^- порядка единицы. Тогда в диаграм- мах теории возмущений можно оставить только главные члены • То, что такие члены возникают, видно из анализа диаграмм с помощью поворота Вика, аналогич- но тому, как это делалось в скалярной теории. Предполо- жение о малости затравочного заряда сделано только для простоты — единственное, что нам понадобится в даль- нейшем, это малость наблюдаемого заряда е. Требование перенормируемости позволяет найти функ- цию / (£) с точностью до неизвестной постоянной /' (0). Как и в случае скалярной теории, единственная функция ео/ (ео 1п—) > позволяющая скомпенсировать изменение радиуса обрезания 8L изменением затравочного заряда 6е0, имеет вид е2 =---------2--- Мы получим эту формулу, пользуясь простыми и нагляд- ными соображениями, из которых будет следовать, что для любого типа заряженных частиц Г (0) < 0. Рассмотрим потенциал <р (г) неподвижных затравочных зарядов е0, распределенных с плотностью п0 (г). Потен- циал ср удовлетворяет уравнению Пуассона Дер = — е2 (п0 4- пг), (6.61)
3. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НА МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ 329 где пг —"плотность зарядов, возникших в вакууме в ре- зультате поляризации под действием поля. Согласий полученным выше результатам, вводя По (р) = = П (р) —~ , получим ео пг (г) = 5 По (р) (<р (г + р) — ср (г)) dp. (6.62) Из этого соотношения следует, что полный заряд вакуума остается равным нулю j (r)dr = 0. На расстояниях р ^> 1/т, По (р) экспоненциально убывает, а на малых рас- стояниях, р 1/т, согласно (6.57) П0(Р) = Л|рГ5, Л = 1/4л3>0. Разобьем интегрирование по р в (6.62) на три области: р <</ г, р ~г и р г. В первой области можно разложить <р (г + р) по степеням р. Усредняя по углам р, получим ф(»* + р) —ф(**) = = рАф (*•) + Pipic didk(p (r) + • • • —4“ р2Дф’ Вклад этой области в (г) равен «1 (**) 4" ЛДф V" = 1Г ЛДф 1п 77 • При г 7> 1/т верхний предел следует заменить на 1/т. Нижний предел определяется границей применимости теории. Как упоминалось на стр. 318, можно было бы взять в качестве нижнего предела произвольную точку 1/т 7> гс 7> гд, которой соответствовал бы заряд ес. В си- лу перенормируемости окончательный результат, выра- женный через наблюдаемый заряд, не будет зависеть от ес и гс. Ниже мы в этом убедимся. Область р г apv.r'^ Mm практически не вносит вклада в п1 (г) из-за быстрого убывания П (р) при р 1/т. При г < 1/т вклад этой области имеет порядок Л<р(г) —, pi г, т. е. мал по сравнению с вкладом pi первой области.
330 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ Наконец, от области г ~ р, заменяя <р (г + р) — — <р (г)-> pV<p ~ rVip, получим слагаемое вида бп^— — • Коэффициент при этом слагаемом может быть найден из следующего соображения. Как мы знаем из обычной электродинамики, плотность наведенных зарядов выражается через дивергенцию век- тора поляризации, поэтому и пг (г) должна иметь вид дивергенции некоторого вектора JP = / (г)¥ф, откуда — div Р = / (г) Дер 4- г?ф. Таким образом, слагаемое, соответствующее области г ~ р, должно так дополнить в пх (г) член ~Дф, чтобы получилась дивергенция вектора. Окончательно имеем «г (г) A div (in (-^-) . Рассмотрим сначала случай, когда плотность п0 (г) распределена в области г 1/т. Подставляя выражение для пг (г), в котором г следует заменить на 1/т, в уравне- ние Пуассона, получаем Аф = —е2и0 (г), (6.63) где = * j— . (6.64) 4 + .J —— Как видно из (6.63) е определяет взаимодействие между зарядами, расположенными далеко друг от друга и, сле- довательно, совпадает с наблюдаемым зарядом электрона. Выражение (6.64) устанавливает связь е2 с квадратом затравочного заряда е%. Величина А, определяющая по- ляризуемость вакуума, положительна и, следовательно, наблюдаемый заряд меньше затравочного. Рассмотрим теперь случай, когда затравочные заряды распределены в области г < 1/т и, в частности, когда есть один заряд в начале координат: п0 (г) = 6 (г). Запи- шем пг (г) в виде Ki (г) = -у- A [div (In (mr) V<p) — In (mr0) Дф]• Перенося второе слагаемое в левую часть уравнения
3. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НА МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ 331 (6.61) и переходя к заряду е, получим Arp = — еа (н0 (г) + nR (г)). (6.65) Величину пв (г) = A div (In (тг) V<p) можно назвать перенормированной плотностью вакуум- ных зарядов. 1 — е2 -g- A In 1 V<p , ана- логичную вектору индукции. Уравнение (6.65) дает div 0 = е2Ио (г)- Таким образом, величина 8 = 1 — е2-^-41п —— (6.66) 3 тг ' ' представляет собой диэлектрическую восприимчивость вакуума на малых расстояниях от зарядов. Найдем распределение вакуумных зарядов вокруг за- ряда е0, расположенного в начале координат: п0 (г) = = 6 (г). Заряд внутри сферы радиуса г, е2 (г), связан с <р очевид- ^>2 (j*\ — ным соотношением — V<p = г. Используя выражение , . g2 ® = 4^ получаем е2<г)=4=——г- <6-67) 1 — е2 —о— А In —— о тг При г 1/тп, е2 (г) переходит в наблюдаемый заряд еа, а при г = г0 в затравочный заряд. Так как полный заряд вакуума не изменяется при поляризации, то экранирую- щий вакуумный заряд, появившийся вблизи заряда е0, компенсируется равным зарядом, уходящим на беско- нечность, так же как это происходит при внесении заряда в бесконечный диэлектрик. Формально из (6.67) следует, что при r-^-^exp заряд е2 (г) обращается в бесконечность.
332 1*Л. в. качественные МЕТОДЫ в «вантовой теории поля На самом деле формула (6.67) на таких расстояниях неприменима. Действительно, когда мы находили П (г), мы предполагали, что безразмерный заряд е2 (г) мал, и не учитывали возможную зависимость П (г) от е2(г). В области г ~ гх, когда е1 (г) ~ 1, родившиеся на от- носительных расстояниях ~г заряды, в свою очередь, мо- гут взаимодействовать, причем это взаимодействие харак- теризуется зарядом ег (г). Такое естественное предположе- ние, как мы увидим ниже, является другой формулиров- кой свойства перенормируемости. Таким образом, «постоянная» А в (6.64) на самом деле может зависеть от г через е2 (г): А = А (е2 (г)). Если учесть эту зависимость, то мы получим вместо (6.64) In 1/m 1 + е0 ДТ А d 1п ? In Го Исправленная формула для е2 (г) будет иметь вид интег- рального уравнения «2 е2 (г) =-------------------------. (6.68) 4л С 1 -j- -g— е2 \ d In р А (е2 (р)) In 1/т Дифференцируя (6.68) по In г, можно получить диф- ференциальное уравнение, найденное впервые Гелл-Ман- ном и Лоу = - р (е2 (г)), а In г г 4 4 п где функция Гелл-Манна — Лоу |3 (е2) связана с функци- ей А (е2) соотношением р(е2) = е*4^Л(е2). (6.69) О Неявное решение этого уравнения имеет вид еДг) ? J** 1п-*_. (6.70) J Р (х) тг ' '
3. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НА МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ ЗЗЗ Здесь введен наблюдаемый заряд е2 = е2 (тп-1). Связь наб- людаемого заряда с затравочным зарядом е„ = е2 (г0) да- ется (6.70) при г ~г0: 2 ео Полученные формулы явно удовлетворяют соотноше- нию перенормируемости и были найдены Гелл-Манном и Лоу, именно исходя из этого требования. Приведенный качественный вывод позволяет понять физический смысл функции Гелл-Манна — Лоу (6.69) — она связана с поляризуемостью и поэтому не может быть отрицательна в области, где теория имеет смысл. Заметим, что этот вывод можно уточнить. Мы предпо- лагали, что А (г) = А (е2 (г)). В действительности на рас- стояниях г величина А определяется зарядом е2 (гх), где ту ~ г. Предположим сначала, что In гг = In г + v, где v — малая добавка. Тогда А (е2 (Г1)) = А (е2 (г)) + -g- v = Ф {в2 (г)). Повторяя эту операцию, приходим к заключению, что А = Ф (е3 (г)). Функция Гелл-Манна — Лоу является важнейшей ха- рактеристикой теории поля, однако, к сожалению, до сих пор не существует иного способа для ее вычисления, кроме теории возмущений. Теория возмущений позволяет найти первые коэффициенты разложения А (е2), но не позволяет сделать заключений о свойствах А (е2) в интересующей нас области е2Д?1. В принципе не исключено, что функция А (е2) обраща- ется в нуль при некотором е2 = е\. Поскольку поляризу- емость не может стать отрицательной, то функция А (ё2) должна в этом случае иметь точку касания при е* = Вопрос о возникновении нуля функции Гелл-Манна — Лоу имеет принципиальное значение, поскольку в этом случае можно построить строго локальную теорию с г0 = = 0. Действительно, при г0 0 интеграл в (6.71) должен расходиться. Это произойдет, если либо верхний ег0, ли- бо нижний е2 предел совпадает с нулем е\ функции Р (х).
Ш ГЛ. в. КАЧЕСТВЕННЫЕ методы в квантовой теорий поДя Наблюдаемый заряд е2 = 1/137 достаточно мал, чтобы доверять теории возмущений для функции [J (е2), которая не имеет нуля при е2 — 1/137. Если же е? совпадает с е*, то можно положить г0 = 0, т. е. теория будет строго ло- кальной. Если функция Гелл-Манна — Л оу вообще не имеет нуля (что кажется наиболее вероятным), то при г0 -> О « 2 затравочный заряд е0 нужно положить равным оо для рас- ходимости интеграла. Таким образом, в этом случае зат- равочное взаимодействие лишено смысла. Экранировка взаимодействия (положительность коэф- фициента Л в (6.64)) характерна'для всех исследовавшихся до недавнего времени перенормируемых теорий: электро- динамика, скалярное поле (взаимодействие — Хер4), тео- рия Юкавы (взаимодействие—TYcf) и т. д. В течение двад- цати лет экранировка затравочного взаимодействия ка- залась неотъемлемым свойством перенормируемых тео- рий. При любом конечном взаимодействии на больших расстояниях взаимодействие на малых расстояниях ве- лико или даже обращается в бесконечность, что делает бесплодным само понятие затравочного взаимодействия. Экранировка взаимодействия часто выдвигалась в ка- честве аргумента против локальной теории поля. Стало интенсивно развиваться другое, направление теории, в котором эта трудность обходится. Была сделана попытка сформулировать теорию в виде соотношений, вытекающих только из общих свойств: из унитарности, причинности и т. д. (так называемая теория ^-матрицы). Однако, как мы уже упоминали, эту схему не удается сформулировать в виде замкнутой теории. В последнее время открылась новая возможность. Была обнаружена перенормируемость калибровочно-инвариант- ной теории, предложенной Янгом и Миллсом еще в 1954 го- ду. Теории этого типа являются обобщением электро- динамики: фермионные поля взаимодействуют с нескольки- ми типами векторных полей — глюонов. В отличие от фотонов глюоны заряжены, т. е. взаимодействуют между собой. Структура лагранжиана однозначно определяется требованиями перенормируемости и калибровочной инва- риантности. Теория содержит только одну безразмерную константу, определяющую как взаимодействие фермионов
3. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НА МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ 335 с глюонами, так и взаимодействие глюонов между собой. Затравочные массы глюонов равны нулю, а массы фер- мионов МЪгут быть отличны от нуля. Сохраняющийся «заряд» в отличие от электрического заряда, является векторным оператором, компоненты ко- торого коммутируют как компоненты момента. Поэтому закон сложения поляризационных «зарядов» сложнее, чем в электродинамике. Как показывает расчет, в зависимо- сти от соотношения между числом фермионных и глюонных полей, возможны как экранировка, так и «антиэкраниров- ка» внесенного в вакуум «заряда». При не слишком боль- шом числе фермионных полей осуществляется антиэкра- нировка. В такой теории свойства перенормируемости также приводит к логарифмическому закону (6.64) для эффектив- ной константы взаимодействия, но с отрицательным коэффициентом А. Это означает, что эффективное взаимодействие растет по мере увеличения расстояния. В пределе сверхмалых расстояний взаимодействие ис- чезает (так называемая «асимптотическая свобода»). Это явление предполагается использовать для объяснения парадокса физики сильных взаимодействий. Как извест- но, спектр масс адронов, а также их электромагнит- ная структура, которая изучена с помощью глубоко не- упругих электрон-адронных реакций, хорошо описы- ваются моделью невзаимодействующих кварков*). Вместе с тем свободные кварки не наблюдались, несмотря на многолетние поиски. Этот парадокс можно было бы объяс- нить, предположив, что взаимодействие кварков описы- вается теорией Янга — Миллса, т. е. исчезает на малых расстояниях и не позволяет ни кваркам, ни глюонам рас- ходиться на большие расстояния. Итак, чисто теоретические вопросы перенормируемости и взаимодействия на сверхмалых расстояниях могут ока- заться решающими для понимания природы сильных взаи- модействий. *) Р. Фейнман, «Взаимодействие фотонов с адронами», «Мир», Москва, 1975.