Механика в СССР за 50 лет. Том 3. Механика деформируемого твердого тела - Черный Г.Г., Лаврентьев М.А., Седов Л.И., Михайлов Г.К., Мусхелишвили Н.И.

Author: Черный Г.Г. Лаврентьев М.А. Седов Л.И. Михайлов Г.К. Мусхелишвили Н.И.

Tags: механика прикладная механика механика деформируемых тел теория упругости теория пластичности

Year: 1972

Similar

Теория упругости

Некоторые математические модели механики сплошных сред

Нелинейная теория упругости

Основы теоретической физики. Том 1. Механика. Электродинамика

Text

АКАДЕМИЯ НАУК СССР
НАЦИОНАЛЬНЫЙ КОМИТЕТ СССР
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКЕ

МЕХАНИКА
В
СССР
ЗА
ЛЕТ
В ЧЕТЫРЕХ ТОМАХ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Л. И. СЕДОВА (главный редактор), М. А. ЛАВРЕНТЬЕВА,
Г. К. МИХАЙЛОВА, Н. И. МУСХЕЛИШВИЛИ и Г. Г. ЧЕРНОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1972

МЕХАНИКА
В
СССР
ЗА
ЛЕТ
ТОМ 3
МЕХАНИКА
ДЕФОРМИРУЕМОГО
ТВЕРДОГО ТЕЛА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1972

531
М55
УДК 531/534
МЕХАНИКА В СССР
ЗА ПЯТЬДЕСЯТ ЛЕТ
ТОМ 1
ОБЩАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
ТОМ 2
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
ТОМ 3
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
?ОМ 4
БИБЛИОГРАФИЯ

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ*)
А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ,
В. К. ПРОКОПОВ, Я. С. УФЛЯНД
(под общей редакцией А. И. Лурье)
§ 1. Общие решения и теоремы существования 5
1.1. Общие решения - . . 5
1.2. Тензор функций напряжений 9
1.3. Интегральные уравнения пространственной задачи 12
§ 2. Пространственные задачи теории упругости 17
§ 3. Задачи Сен-Венана и Альманзи 25
§ 4. Смешанные пространственные задачи статики упругого тела 33
§ 5. Постановка и методы решения задач плоской теории упругости .... 40
5.1. Общие комплексные представления решения плоской задачи ... 40
5.2. Формулировка основных задач плоской теории упругости .... 41
5.3."Методы решения плоских задач 44
§ 6. Основные результаты исследования задач плоской теории упругости ... 56
6.1. Решение основных задач для однородной среды 56
6.2. Кусочногоднородная среда. Подкрепленные и усиленные пластинки 62
6.3. Смешанные и контактные задачи 66
6.4. Плоская статическая задача теории упругости анизотропного тела 67
6.5. Равновесие хрупких тел с трещинами 69
§ !• Общие решения и теоремы существования
1.1. Общие решения. В задаче о равновесии упругого тела при отсут-
отсутствии массовых сил разыскиваются общие выражения (перемещений или
напряжений), удовлетворяющие по возможности простым дифференциаль-
дифференциальным уравнениям и построенные так, чтобы уравнения теории упругости
выполнялись в силу этих простых уравнений. Роль «простых» играют
уравнения Лапласа и бигармоническое; при этом желательно иметь
наименьшее число функций. Знание общих решений позволяет при
*) В настоящем очерке дается обзор исследований по классической (линейной)
теории упругости в нашей стране за пятьдесят лет. Рассмотрены только статические
задачи в их «строгой» постановке.
Недостаток места заставил почти полностью исключить из обзора приближенные
методы решения задач теории упругости, основывающиеся на вариационных принци-
принципах. Не затронуты здесь и технические теории (стержни, плиты, оболочки), построение
которых предполагает использование добавочных гипотез кинематического или ста-
статического содержания.
§ 1 и п. 6.5 очерка написаны А. И. Лурье, § 2 и 3 — В. К. Прокоповым, § 4
и п. 5.3.9 — Я. С. Уфляндом, § 5 и 6 — А. И. Каландия и Г. Ф. Манджавидзе.

6 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАН ДЖАВИДЗЕ и др.
составлении частных решений уравнений теории упругости использовать
хорошо известные «каталоги» решений «простых» уравнений в тех или иных
координатах; однако краевые задачи теории упругости, конечно, несво-
несводимы, за исключением простейших (полупространство, кручение тела вра-
вращения и др.), к задачам типа Дирихле или Неймана для уравнения Лапласа.
Ограничение случаем отсутствия массовых сил несущественно, так как
построение частного решения, соответствующего этим силам, возможно
в общем случае и легко выполняется для их частных заданий (вес, центро-
центробежные силы и т. д.). Обзор ранних исследований по общим решениям дан
П. Ф. Папковичем A937); единый способ их построения, основанный на ис-
использовании тензора функций напряжений, предложил Ю. А. Крутков
A949).
Внимание к задаче построения общих решений было привлечено опуб-
опубликованной в 1930 г. статьей Б. Г. Галеркина. Было показано, что уравне-
уравнениям теории упругости в напряжениях (Т — тензор напряжений, а —
его первый инвариант)
V-T = 0, A + v) V2r + Wor = 0 A.1)
можно удовлетворить, выражая вектор перемещения и через бигармони-
ческий вектор G соотношением
2[iu = VV •<? ~ 2 A.— v) V2G. A.2)
Это решение с указанием, что из него получаются ранее известдые, но без
упоминания о его «общности», было предложено Ж. Буссинеском еще
в 1889 г. П. Ф. Папкович A937, 1939) указал, что A.2) является излишне
общим решением уравнения теории упругости в перемещениях
A __ 2v) V2u + VV-ti = 0. A.3)
Это следует из того, что структура уравнения A.3), при наличии массовой
силы в правой части, повторяет структуру решения A.2). Поэтому, приняв
в A.2) за вектор и решение краевой задачи теории упругости (удовлетво-
(удовлетворяющей трем условиям на поверхности тела О), мы вправе ожидать, что
и вектор 6г может быть подчинен еще трем условиям на О, что, очевидно,
излишне.
Разыскивая вектор перемещения в форме суммы гармонического
вектора и градиента скаляра %
и = 4.A - v) В + VX, V2i3 = 0,
приходим, после подстановки в A.3), к уравнению V2% = —2V#jB; его
решение представляется суммой частного решения % = — JS • В и решения
% = —Во уравнения Лапласа (через R обозначен вектор-радиус). Итак,
X - - {RB + Во), ti=4(l-v)J3-V (RB + Во). A.4)
Такое представление решения уравнения теории упругости было дано
П. Ф. Папковичем A932) и несколько позже Г. Нейбером. По сообщению
П. Ф. Папковича, оно ранее было известно Г. Д. Гродскому *). Вектор
перемещения A.4) представлен суммой гармонического вектора В
и гармонического скаляра Во или через четыре гармонические функции
Бо, Bs (s == 1, 2, 3), где Bs — проекции В на оси декартовой системы
координат. Другая форма записи решения A.4), принадлежащая
*) Автору этого очерка известна статья Г. Д. Гродского, опубликованная в 1935 г.
Намеченный в тексте ход вывода решения A.4) сообщил автору Г. Ю. Джанелидзе.

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
И. С. Аржаных A952) и М. Г. Слободянскому A954), имеет вид
и = A(l -v)B + R VB — HV В. A.5)
Она отличается от A.4) (когда Во = 0) гармоническим вектором с равной
нулю дивергенцией (т. е. ротором гармонического вектора). Были предло-
предложены также формы решения, выраженные через гармонические функции
при помощи объемных интегралов от ньютоновых потенциалов; таково
представление Тер-Мкртичьяна A947):
u = A(l-v)B + ^V j-^-dr. A.6)
D
Интегральное представление вектора перемещения и через его дивер-
дивергенцию и ротор, а также через заданные на поверхности тела значения и
и его нормальной производной ди/дп дано И. С. Аржаных A954).
Поскольку на поверхности О тела задаются лишь три краевых усло-
условия, представляется допустимым сохранить в выражении общего решения
A.4) только три гармонические функции, отбросив в нем, например, Во
или одну из функций Bs (Г. Нейбер). Этот вопрос рассматривал П. Ф. Пап-
кович A939) и более подробно М. Г. Слободянский A954).
Включение Во в A.4) излишне, когда вектор V#o представим через
некоторый гармонический вектор jB* с помощью соотношения
V50 = 4 A — v) J5* — VR-B*. A.7)
Но тогда V-B* = 0, V X В* = 0, так что В* = VO, V2O =0и соот-
соотношение A.7) записывается в виде
оо
J?0 = 4(l-v)e-.ff||=2 BnYn(Q,%),
причем здесь использовано представление гармонической функции Во
во внутренней односвязной области рядом по гармоническим полиномам
RnYn. Тогда
ZJ 4 A — v) — n
п=0
A.8)
и при п = 3, -v = 0,25, So = RSY3 соотношению A.7) нельзя удовлетво-
удовлетворить (предполагается, что 0 < v < V2). Отсюда, имея в виду теорему
Келдыша — Лаврентьева о представимости в конечной односвязной
области гармонической функции равномерно сходящимся рядом гармони-
гармонических полиномов, надо заключить, что представление A.7) при v = 0,25
невозможно. Для бесконечной области с полостью в представлении Бо
следует заменить п на — (п + 1), знаменатель в ряде A.8) 4 A — v) +
+ п + 1 не обращается в нуль ни при каком целом п и 0 < v < 1/2]
отбрасывание Во в этом случае законно. Аналогично доказывается, что
решение A.5) является общим для конечной односвязной области, не ис-
исключая v = 0,25, а для бесконечной области с полостью при v Ф 0,25.
Более общие результаты можно найти у М. Г. Слободянского A954).
Нам представляется, что в решении A.4), как и в других формах общих
решений, следует видеть полезное вспомогательное средство решения
краевых задач теории упругости, допускающее непосредственное исполь-
использование классических частных решений уравнения Лапласа. При построе-
построении решения конкретной задачи сохранение четвертой гармонической

8 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
функции облегчает выбор этих решений, поэтому нет нужды от нее отка-
отказываться (А. И. Лурье, 1955).
В. И. Блох A958) исходит из представления вектора перемещения и
в форме суммы гармонического вектора и градиента скаляра %. Решение
A.4) содержится в представлении Блоха при % = — (R >В + Во); полагая
X = — R2V*C, где С — гармонический вектор, Блох приходит к пред-
представлению
и = 2 A - 2v) R V -С — 4 A - v) В X (V X С) - 1?2VV -С, A.9)
которое можно дополнить градиентом гармонического скаляра и ротором
гармонического вектора. В представление Блоха внесены еще слагаемые,
выраженные через три плоские гармонические функции.
Формы решений, указанные И. С. Аржаных A954) и Ф. С. Чурико-
Чуриковым A953),
(l-2v)_B-yVx (ЛхВ) A.10)
не отличаются от A.5).
Более общая форма указана В. М. Деевым A959):
2уш = [Dv - 3) р + 4 A - v) (е ~ 8I В + р (VB) Я +
+ [2 Dv - 3) е — 6] RS/B + zR2VV-B, A.11)
причем р, 8, б — постоянные, которыми можно распоряжаться произволь-
произвольно. При надлежащем выборе этих постоянных возвращаемся к решениям
A.4), A.5), A.9). В A.11) содержится также решение
2{^*) ^B, A.12)
выражающееся через гармонический вектор В и его дивергенцию V'B.
Известное решение О. Лява для случая аксиальной симметрии (вокруг
оси z) следует из A.2), еслипринять Gz = % (г, z), Gx = 0, Gy = 0. Более
общее представление решения в цилиндрических координатах (через гар-
гармоническую и бигармоническую функции) дано С. Г. Гутманом A948).
Для многосвязной области Do, ограниченной извне поверхностью О0
и изнутри поверхностями Ot (i = 1, . . ., &), целиком лежащими в D
и не имеющими общих точек между собой и с О0, вектор перемещения
при v Ф 0,25 представим в виде (М. Г. Слободянский, 1959)
щ = 4 A — v) В@) — VB-Bi0), щи = 4 A — v) Вф
где jB(i) — вектор, гармонический в области, внешней к Ог, а В@) —
гармонический в О0, причем начало Qt вектора Иг расположено внутри
полости, ограниченной поверхностью Ог. Форма этого решения — «полная»,
если луч из Qt пересекает Ot в одной точке; она будет «общей», когда 0%
— замкнутая поверхность Ляпунова *).
Следует еще отметить, что задача построения «общих решений» сис-
системы линейных дифференциальных уравнений вида
*) О различении «полной» и «общей» форм решения см. М. Г. Слободянский
A959).

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 9
(в ней Lij — линейные дифференциальные операторы с постоянными коэф-
коэффициентами по переменным хи х2, . . ., хт) сводится (А. И. Лурье, 1937;
позже A953 г.) румынский ученый Г. Моизил) к разысканию «потенциалов»
ф8 (s — 1, . . ., п), через которые решения Uj выражаются с помощью
соотношений вида
п
uj= 2 Msj<f>8 U = 1, 2, ..., п).
Здесь MSj — искомые линейные дифференциальные операторы, а каждый
из потенциалов (ps удовлетворяет одному и тому же дифференциальному
уравнению
К ys = 0 {s = 1,2, . . ., п).
Легко усмотреть, что оператор К — | Ltj | представляет определитель
квадратной матрицы операторов Ьц, a MSj — алгебраические дополнения
/-го столбца этого определителя. В применении к уравнениям теории
упругости в перемещениях для изотропного тела описанное вычисление
приводит к решению A.2) Галеркина — Буссинеска. Очевидно, что способ
применим к анизотропной среде, к динамическим уравнениям теории
упругости и т. д.
1.2. Тензор функций напряжений. Напомним, что ротор транспони-
транспонированного ротора тензора Ф называется тензором несовместимости (Ink)
над Ф:
Vx(Vx<2>)T- A.13)
Это — симметричный тензор, если симметричен тензор Ф, Другое пред-
представление Ink Ф имеет вид
Ink Ф = —У2Ф + 2 def V-Ф — ^V-V-Ф — (?V2 — VV) Ф. A.14)
Здесь Ё — единичный тензор, Ф = 1х (Ф) — первый инвариант Ф;
def a = 1/2 (Vet + VaT) — операция над вектором а, называемая «дефор-
«деформацией» этого вектора. Примером служит линейный тензор деформации
$ = def и. Условия сплошности (зависимости Сен-Венана) выражают
обращение в нуль этого тензора:
Ink I = Ink def и = 0. A.15)
Вообще, для всякого вектора Ink def a = 0. Наоборот, если Ink Ф = 0,
то Ф = def a — существует вектор, деформацией которого является
тензор Ф.
В частности, для тензора ЁФ = Ё 1± (Ф)
Ink ЁФ = (Ёу2 - VV) Ф, A.16)
а для тензора с равной нулю дивергенцией (у *Ф = 0)
Ink Ф = — у2Ф + Ink ЁФ. A.17)
При отсутствии объемных сил таким тензором является тензор напря-
напряжений Г; вводя обозначение а = 1± (Г), имеем согласно A.16) и A.17)
Ink t = - У2Г + (?v2 - VV) а (уГ = 0). A.18)

10 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
Обратившись теперь к закону Гука для изотропного тела
2ix$ = t-~ сЁ, A.19)
согласно A.15) и A.17) имеем
f ^^ 0, A.20)
причем второе соотношение получено образованием первого инварианта
тензора в левой части A.20). Итак, получены зависимости Бельтрами —
Мичелла
V8y + ^ = 0. A.21)
Известно, что тензор с равной нулю дивергенцией представим ротором
другого тензора: — если V -Т= 0, то t = V X С; если, сверх того, тензор
f симметричен (Т = Тт), то, введя еще в рассмотрение симметричный
тензор Ф, следует принять C = (VX Ф)т; тогда f = V X (V X Ф)т ^
= Ink Ф, Тт = (Ink Ф)т = Ink Ф = t, так как по условию Фт = Ф.
Из этого следует, что уравнения статики сплошной среды при отсутствии
массовых сил (V*f = 0, t = tT) удовлетворяются, если принять
f = 1пкФ (Ф = Фт). A.22)
Введенный Ю. А. Прутковым A949), В. И. Блохом A964) и Б. Финци
тензор Ф называется тензором функций напряжений. Тензор напряжений
Т останется неизменным, если в выражение Ф внесено слагаемое вида
def a, где а — произвольный вектор. Это позволяет упрощать форму зада-
задания тензора Ф, сохраняя в его выражении только три компоненты. Таковы
представления Максвелла (тензор Ф — диагональный) и Морера (в Ф со-
сохранены только недиагональные компоненты). В книге В. И. Блоха
A964) указаны еще три компонентных задания Ф в декартовых координа-
координатах; там же перечислено девять вариантов трехкомпонентных представле-
представлений Ф в цилиндрических координатах для случая симметрии вращения
(см. также Ю. А. Прутков, 1949, стр. 108).
Преобразование Ю. А. Пруткова. Возвращаясь к уп-
упругой изотропной среде и учитывая, что по A.20) и A.16) VVcr = — Ink Ёа,
можно представить зависимости Бельтрами — Мичелла в виде
Ц^О, A.23)
так что тензор в скобках является деформацией над некоторым вектором с:
у2ф_ °E = deic. A.24)
1 + v v '
Вместе с тем согласно A.22)
a = /i (Ink ф) = у2Ф — V -V -Ф = У2Ф — V Ъ, Ъ = V -Ф, A-25)
и это позволяет записать A.24) в виде
Л A.26)

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 11
Из этого соотношения исключается вектор с; образуя первый инвариант
над тензорами в A.26), приходим к равенству
выражающему обращение в нуль дивергенции вектора в скобках; этот
вектор является поэтому ротором другого вектора, но последний можно
включить в состав вектора Ь. Этим определяется вектор с и далее def с;
подстановка в A.25) приводит к уравнению
Исключив теперь \72Ф из выражений A.14), A.22) и A.27), приходим
к представлению тензора напряжений t в упругой изотропной среде:
±^ A-28)
Теперь согласно A.19) определяются тензор деформации % и по* нему
вектор перемещения и (отбрасывается перемещение твердого тела):
? i^&. A-29)
Формулы Ю. А. Пруткова A.28) и A.29) представляют одну из форм
общего решения уравнений линейной теории упругости; ими определяются
по тензору функций напряжений Ф, удовлетворяющему дифференциаль-
дифференциальному уравнению A.27), тензор напряжений Т и вектор перемещения и.
Последние оказались зависящими только от 1Х (Ф) = ФяЪ = V -Ф. Поэтому
достаточно, обратившись к A.27), установить соотношение связи только
между этими величинами. К нему можно прийти, составив дивергенцию
в левой и правой частях A.27):
Полагая
6 = V2«, Ф = 2^у- A-31)
мы удовлетворим этому уравнению A.30), если вектор G — бигармониче-
ский. Согласно A.29) это приводит к решению A.2) Галеркина — Бусси-
неска.
Частным решением уравнения A.30) служит Ь = \7Ф, а соответствую-
соответствующее однородное уравнение (при правой части, равной нулю) только значе-
значениями постоянных! отличается от уравнения A.3) для вектора пере-
перемещения. Поэтому вектор Ь может быть построен по типу решения
Папковича A.4):
^ A.32)
и подстановка в A.29) приводит к представлению A.4) вектора и.
Основываясь на формулах A.30), A.28) и A.29), Ю. А. Крутков полу-
получил многочисленные другие «общие решения». Например, если ввести
в рассмотрение вектор К с равной нулю дивергенцией и с ротором,

12 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
определяемым через векторы Ъ и
то согласно A.29) и A.30) приходим, отбросив несущественный постоянный
множитель, к решению Корна
и = V X К — A — 2v) Ъ (V2K = VX&, V-JE = 0).
1.3. Интегральные уравнения пространственной задачи. Составление
интегральных уравнений пространственных краевых задач, преодоление
трудностей, связанных с их изучением, доказательство существования
и разыскание эффективных способов построения их решений — содер-
содержание многолетней работы В. Д. Купрадзе A963) и его сотрудников..
Изложение методов и результатов этих исследований с подробной библиог-
библиографией содержится также в монографии В. Д. Купрадзе, Т. Г. Гегелия,
М. О. Башелейшвили и Т. В. Бурчуладзе, опубликованной в 1968 г.
Далее в этом очерке будут рассмотрены лишь первая и вторая краевые
задачи пространственной теории упругости для изотропной однородной
среды. Мы ограничимся при этом внутренней задачей (i) для односвязного
конечного объема {Vt) и внешней (е) для бесконечной среды (Fe), снабжен-
снабженной полостью. Предполагается гладкость поверхности О, ограничивающей
Vt извне (Ve — изнутри).
Потенциалы теории упругости. В рассмотрение
вводится тензор Кельвина — Сомильяны U (M, Q), определяющий пере-
перемещение и (М, Q) точки М неограниченной упругой среды, вызываемое
действием единичной сосредоточенной силы е в точке Q:
= U(M,Q).e, U{M,Q) = ±-^—-~~] A.33)
(Ё — единичный тензор, М = QM — гм — rQ, R = | JB j ). Вектор пм* t
напряжения на площадке в точке М с нормалью пм определяется выра-
выражением
<P(M,Q) =
A.34>
Пусть О — замкнутая поверхность (М а О); тогда
[[вхФ(М, Q)doM--=0 A.35)
о
и имеет место обобщенная теорема Гаусса
\\0(M,Q)doM=-E6(Q), 6 (()) =| 1/2 QczO, A.36)
о [о Q d Ve
(у. — объем внутри О, Ve — вне О).
Из введенных В. Д. Купрадзе векторных потенциалов теории упру-
упругости далее рассматриваются два: первый, подобный потенциалу простого
слоя Л (Q) на поверхности О, и второй, подобный потенциалу двойного

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 13
«слоя В (Q):
A(Q)--=\\a(M).(j(M,Q)doM, A.37)
о
B(Q)= \\Ъ(М)-Ф(М, Q)doM. A.38)
Очевидно, что A (Q) и В (Q) при Q CjfzO представляют решения урав-
уравнения теории упругости в перемещениях при отсутствии массовых сил.
Предельные значения на О изнутри и извне первого потенциала, обо-
обозначаемые через
Ai(Q0)= lim A(Q), Ae(Q0) = lim A(Q),
V?DQ-+Q0 VQQ
равны его прямому значению, определяемому несобственным сходящимся
интегралом
A (Qo) = [ \а (MH-U(M, Qo) doMm A.39)
JoJ
Для предельных значений второго потенциала имеют место соотноше-
соотношения
Вг (Qo) = В (Q0)~Y Ь <&>>' Ве ((?°)= В ((?о) + Т Ъ ((?о)' A'40)
аналогичные формулам Племели, причем прямое значение определяется
интегралом, сходящимся лишь в смысле главного значения:
o) = f { Ь (М)• Ф (М, Qo) doM = lim j j b(M).<P(M, Qo) do
О 8~>0 O-O(Qn, e)
(O (Qo, e) — окрестность на О точки (>о с диаметром 2е).
При достаточном удалении точки Q cz Fe от поверхности О,
->¦ — Tq, согласно A.33) и A.37) имеем (eQ = I
• JJ
это — вектор перемещения в Q под действием приложенной в начале коор-
координат силы, задаваемой интегралом по О от плотности а (М).
Второй потенциал при Q ->• (?оо обращается в нуль не медленнее, чем
tq2, и его можно трактовать как перемещение, создаваемое системой сил,
распределенных по поверхности О, с равным нулю главным вектором.
Интегральные уравнения. В первой краевой задаче век-
вектор перемещения и (Q), принимающий заданное значение v (Qo) на поверх-
поверхности О (объема V% во внутренней задаче, полости во внешней задаче),
разыскивается в форме второго потенциала теории упругости с неизвест-
неизвестной плотностью Ь (М):
и (Q) = В (<?)= (( Ь (М).Ф (М, (?) doM. A.41)
о
В случае внешней задачи это представление предполагает, что и (Qoo)
имеет порядок tq2; главный вектор сил, которые должны быть распре-
распределены по поверхности О полости, чтобы сообщить ее точкам вектор

14 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
перемещения v (Qo), должен быть равен нулю. Поэтому решение первой
внешней краевой задачи в форме A.41) может существовать только при
специальном задании v (Qo), a B общем случае решение будет представлена
суммой A.41) и потенциала простого слоя (решения «эластостатической
задачи Робена»).
Интегральные уравнения внутренней (i) и внешней (ё) задач получают-
получаются из задания A.41) путем предельного перехода Пт и (Q) = v (Qo) с по-
Q^Q0
мощью формул Племели A.40):
$ A.42)
A.43)
Несложно проверить, сославшись на A.30) и A.36) при б (Q) = V2t
что задание Ь (М) в, форме перемещения твердого тела
&* (М) = v0 + со х rM = v0 + со X rQo + со X Л A.44)
является решением однородного уравнения, соответствующего A.43)г
1{ое) . . . 1 Ъ* (Qo) - [ j Ъ* (М).Ф (М, Qo) doM = 0. A.45)
*о
Вместе с тем Ь (М) = —&* (М) является решением уравнения A.42),
когда поверхность О перемещается как твердое тело, тогда весь объем Vt
также перемещается как твердое тело; что следует из A.41) и A.36) при
б (Q) = 1.
Во второй краевой задаче на О задаются поверхностные силы F =
= (п«Г)о, а вектор перемещения разыскивается в форме первого потен-
потенциала
u(Q)=-\\a{M)-U{M,Q)doM. A.46)
Используя A.34) после опущенных здесь (но нетривиальных) преобра-
преобразований, приходим к интегральным уравнениям
П<*> ...~a(Qo) + ^0(Qo,M)-a(M)doM^F(Qo) = (nQ-T)o, A.47)
о
fH, A-48)
причем nQ — нормаль, внешняя к Vt.
Выше указывалось, что интегралы в векторных уравнениях A.42)—
—A.43), A.47) —A.48) рассматриваются в смысле их главных значений —
эти системы уравнений сингулярны. Трудность дальнейшего исследова-
исследования состоит в доказательствах применимости к ним теорем и альтернативы
Фредгольма (при jli и v, обеспечивающих положительность потенциальной
энергии деформации); см. В. Д. Купрадзе A963, 1968), а также С. Г. Мих-
лин A962).

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 15
Перепишем полученные уравнения в такой последовательности*):
\_
2
...*b(Qo)-\\ b(M).cP(M,Q0)doM=-v(Q0),
о
. . . ±a(Q0) -\\Ф (Qo, М)-а (М) doM= -F (Qo);
!> .. . 4 Ь (Qo) +\\b (М).Ф(М, Qo) doM = v(Qo),
О
(/(г>, //F)) и (/F), //<*>) являются союзными парами.
Соответствующие однородные уравнения записываются в виде
?>(M, (?о)^м-0, A.51)
И&*\ И(ое) ...-ia((?o)-^JJ^((?o,M).a(M)doM = 0, A.52)
о
причем Я = 1 для /<*>, 11<<ое) иХ--1 для /<>), /70<*>.
Существование и единственность решения
задач 1^) и 1Ке). Достаточно проверить, что X = 1 не является собст-
собственным числом однородногв уравнения Ще) (значит, и союзного с ним
уравнения 1^)), — доказывается, что предполоя^ение о существовании
решения Ще), отличного от тривиального (а (М) Ф 0), несовместимо
с требованием положительности удельной потенциальной энергии дефор-
деформации. Согласно теореме Фредгольма отсюда следует существование
и единственность решений неоднородных уравнений II» и 1^) при про-
произвольном задании F (Qo) в первом и v (Qo) во втором.
Вторая внутренняя краевая задача II(г\ Союз-
Союзное с 11,5^ уравнение 1^ имеет нетривиальное решение A.44). Нетриви-
Нетривиальное решение поэтому имеет и Щ*\ и согласно одной из теорем Фред-
Фредгольма неоднородное уравнение II(iV может иметь решение лишь при
условии, что его свободный член ? (Qo) ортогонален A.44):
j j К + о) х rQ).F{Q) doQ = t'o- J j F (Q) doQ + e» j j rQ X F(Q) doQ = 0.
О 0 0
Вследствие произвольности v0 и о> это приводит к условиям обращения
в нуль главного вектора и главного момента поверхностных сил. При их
выполнении решение задачи 11^) определено с точностью до слагаемого
перемещения тведоготела — собственного решения союзного уравнения 1^е\
Эластостатическая задача Робена. Электростати-
Электростатической задачей Робена называют определение потенциала в окружающем
замкнутую проводящую поверхность поле по заданному заряду на ней.
В теорию упругости термин введен В. Д. Купрадзе A963) — разыски-
разыскивается напряженное состояние в неограниченной упругой среде, когда
впаянному в нее твердому телу сообщается перемещение
wt (Q) = и0 + (о X rQ. A.53)
*) В приведенном здесь виде интегральные уравнения первой и второй краевых
задач получили также Н. Киносита и Т. Мура A956), но они не обратили внимания
на указанную трудность.

16 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и
ДР.
Решение задачи разыскивается в форме потенциала простого слоя
w(Q)--= JJ a»(M)-U (М, (?) doMi A.5.4)
и доказывается, что за вектор плотности а0 (М) в этом случае следует
принять собственное решение задачи Щ*>, причем — F (Qo) = a0 (Qo) (это
непосредственно следует из интегрального уравнения Ше)). Таким обра-
образом, —a0 (Qo) определяет распределение по поверхности смещенного твер-
k fe+3
дого тела О реакций среды на него. Назовем через a (Qo) и a (Qo) распреде-
k
ления на О этих сил, вызываемые действием на тело единичной силы V =
= гь, приложенной по оси г^, и соответственно единичного момента т =
г г+3
= ik. Пусть, далее, и — ir, и = ir X & — система собственных решений
Це\ При этих обозначениях
k г
п и tin Лт. (hi 4 9 РЛ (\ tt\
Ы> * VL U/UQ vfer V ' ' ' • • • » ^/ • V *J*J)
'б
Этим определяются системы собственных решений интегрального уравне-
уравнения Щ*\ ортонормированных с системой собственных решений Це\
Первая внешняя краевая задача A(е)). Задача
имеет решение, если свободный член уравнения 1^ ортогонален собствен-
собственному решению а0 (М°) задачи Щ1):
1 (Qo) • ^° (Qo)doQ ==-- 0. A.56)
Это условие вызывается не существом задачи, а принятым представле-
представлением u (Q) в форме второго потенциала. В рассмотрение вводится вектор
= v(Qo)-h Dru, A.57)
Г=1
и постоянные Dr определяются так, чтобы условие ортогональности A.56)
выполнялось для этого вектора. Согласно A.55) имеем
$$ v* (Qo)-a(Qo) doQo = Jj v (Q0)-a (Qo) doQQ-Dk = 0 (u= 1, ..., 6).
$
Приняв теперь
3 fe )
° A.58)
v(Qo)-a>(Qo)doQOi
/г=1 "О"
получим
v* (Qo) = v (Qo) - (u0 + со X rQo ). A.59)
Задача 1(е) при свободном члене, равном v* (Qo), имеет решение, и ею опре-
определяется при Q d Ve вектор гг* ((?). Задача Робена в форме A.54)
решается для определяемого согласно A.58) перемещения и0 + (о X **q0,

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 17
и искомое решение задачи 1(е) представляется суммой
и (Q) = и* (Q) + we (Q) (Q с Ve). A.60)
В книгах В. Д. Купарадзе A963, 1968) рассмотрены интегральные
уравнения и вопросы существования их решений не только для задач
статики, но и для установившихся колебаний упругой среды. Рассмотрен
и ряд других краевых задач, анизотропные и неоднородные среды, уделено
место задачам термоупругости, задачам для ограниченного объема и беско-
бесконечной среды, снабженных несколькими полостями. Преодолен ряд труд-
трудностей, связанных с сингулярностью изучаемых интегральных уравнений;
предложены простые по идее (но не по реализации) способы численного
решения этих уравнений (В. Д. Купрадзе, 1964, 1967).
Интегральное уравнение задачи 1(г) рассматривал в 1907 г. Дж. Лау-
ричелла; Д. И. Шерман A962) обобщил решение на случай упругого тела
конечного объема с несколькими полостями.
В этот очерк не включены приближенные способы решения, основан-
основанные на применении вариационных принципов (методы Ритца — Тимо-
Тимошенко, Галеркина, Канторовича). Практика их применения развита в моно-
монографии Л. С. Лейбензона A951). Большое число исследований посвящено
изучению сходимости вариационных методов и оценкам погрешности (в ряде
случаев двусторонним) приближенных решений (С. Г. Михлин, М. Г. Сло-
бодянский).
§ 2. Пространственные задачи теории упругости
Систематическое изучение пространственных задач теории упругости
было предпринято Б. Г» Галеркиным. Используя найденное им представ-
представление общего интеграла уравнений теории упругости через три бигармо-
нические функции A930) и применяя ряды, он развивал с начала тридца-
тридцатых годов метод расчета толстых плит, предполагающий выполнение
условий для произвольных нагрузок на торцах и интегральных условий
на боковой поверхности; им были изучены плиты прямоугольные, круг-
круглые, секторные, треугольные A931, 1932). В 1931 г. Галеркин построил
р»ешение задачи о равновесии слоя, подверженного действию нормальной
нагрузки. При помощи рядов, содержащих функции Бесселя и Ханкеля,
Галеркин рассмотрел задачу о равновесии полого цилиндра и его части
A933), а позже получил частные решения задачи об осесимметричной
деформации полой сферы A942).
Вслед за этими исследованиями появилась работа Г. Н. Маслова
A938), в которой рассматривалось термоупругое равновесие толстой
плиты, полого цилиндра и сферы при действии стационарного теплового
потока.
Развитие задачи Буссинеска для полупространства дано В. Г. Ко-
роткиным A938), который исследовал случай приложения нагрузки
по прямоугольнику — постоянной и меняющейся по линейному закону.
Задачи для полупространства при задании на границе смещений, а также
случай сопряженных между собой полупространств рассматривались
Д. И. Шерманом A943, 1945). Решение, обладающее особенностью типа
«центр» в некоторой точке полупространства, получено В. К. Федяниным
A965).
В последнее время появились работы, рассматривающие кручение
полупространства (Н. А. Ростовцев, 1955; Б. Л. Минцберг, 1957) и упру-
упругого слоя (Я. С. Уфлянд, 1959); случай кручения многослойной среды
2 Механика в СССР, т. 3

18 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
(основания) обсужден В. И. Петришиным A965); кручение двухслойной
среды изучено Д. В. Грилицким A961).
Задачи типа Буссинеска для анизотропной среды рассмотрел
В. А. Свекло A964). Появляются исследования, изучающие поведение
полупространства из неоднородной среды: С. Г. Лехницкий A962) иссле-
исследовал полуплоскость и клин с переменным модулем упругости, Л. Н. Тер-
Мкртичьян A961) рассмотрел пространственные задачи для неоднородной
среды (задачу Буссинеска, симметрично нагруженный цилиндр). Более
общий вид неоднородного полупространства и полуплоскости изучался
Н. А. Ростовцевым A964); задача Буссинеска для специального типа
линейно деформируемой сплошной среды поставлена и решена А. И. Ви-
Виноградовым A966). Термоупругая задача для полупространства, гранича-
граничащего со средой, температура которой задается гауссовым законом распре-
распределения, рассмотрена И. Д. Киллем A966).
При помощи интегралов Фурье равновесие упругого слоя изучил
Г. С. Шапиро A942, 1944); им решена задача о передаче давления, рас-
распределенного по площади круга, через слой, лежащий на скальном
основании; в соавторстве с Д. Ю. Айзенбергом A950) им рассмотрена
передача давления через слой с круговым отверстием. Передача давления
через слой, лежащий на упругом основании, при условии полного слипа-
слипания слоя и основания изучена Р. М. Раппопорт A948).
Изгиб толстой плиты поверхностной гармонической нагрузкой иссле-
исследовал С. Г. Гутман A940); им же получено решение задачи об изгибе тол-
толстой плиты собственным весом A941); позднее вопросами изгиба толстых
плит занимались многие авторы (С. А. Алексеев, 1946; В. И. Блох, 1954;
М. И. Гусейн-заде, 1956; В. К. Прокопов, 1963).
В 1942 г. А. И. Лурье предложил новый символический метод реше-
решения задачи о равновесии упругого слоя и толстой плиты, основанный
на представлении решений уравнений пространственной задачи теории
упругости в виде целых трансцендентных функций двумерного оператора
Лапласа. Такое представление позволило упростить действия над степен-
степенными рядами, компактно записанными при помощи символических опе-
операторов, и, кроме того, естественным образом привело к нахождению
нового класса решений, позволяющих уточнять выполнение граничных
условий на боковой поверхности плиты. Эти решения были названы
Лурье «однородными», так как они соответствуют условию отсутствия
нагрузки на торцах плиты.
Символический метод Лурье в приложении к теории плит был затем
использован Е. М. Кругом A955), И. Г. Терегуловым A961), Т. Т. Хача-
Хачатуряном A963), У. К. Нигулом A963); в монографии В. А. Агарева A963)
расширяется область приложения символического метода к теории плит;
дальнейшее приложение символического метода к теории плит в сочетании
с принципом минимума потенциальной энергии дано В. К. Прокоповым
A965). В работах С. Г. Лехницкого A959, 1962) символический метод
используется при рассмотрении равновесия трансверсально-изотропного
слоя и толстой плиты; им получены также соответствующие однородные
решения. П. Ф. Недорезов A964) решил символическим методом задачу
о кручении многослойного полого цилиндра.
С помощью символического представления решений оказалось легко
установить (А. И. Лурье, 1955), что в неограниченной плите (| z | < К)
отличны от нуля только компоненты crx, Gy, xxy тензора тепловых напря-
напряжений. Они выражаются через функцию М (х, г/, z), играющую роль,
подобную функции Эри в плоской задаче. Функция М определяется

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 19
квадратурами по заданному закону стационарного распределения темпе-
температуры.
При помощи преобразования Фурье С. С. Дымков A966) решил
задачу о равновесии упругого слоя; такой подход позволил автору полу-
получить также асимптотические формулы для решения. Для слоя при задан-
заданных на его границах перемещениях (вторая основная задача) решение
в рядах получено М. Д. Мартыненко A964). Действие сосредоточенной
силы внутри слоя рассмотрели О. Я. Шехтер и О. Е. Приходченко
A964); ими получено, в частности, решение задачи о действии вертикальной
силы внутри слоя, лежащего на скальном основании. Случай слоя пере-
переменной толщины и круглой плиты переменной толщины при нагрузке,
обладающей осевой симметрией, разобран И. И. Семеновой A965).
Равновесие круглой толстой плиты, нагруженной равномерно рас-
распределенной нагрузкой, было изучено при помощи однородных решений
Г. Н. Бухариновым A952), применившим соотношение обобщенной орто-
ортогональности П. Ф. Папковича A940); это соотношение было указана
Папковичем для краевых условий функций однородных решений, соот-
ветствующих обращению в нуль самих функций и их первых производных
на параллельных сторонах полосы; строгое обоснование метода Папковича
было дано позднее Г. А. Гринбергом A953). Равновесие круглой плиты
под действием произвольной осесимметричной нагрузки исследовано при
помощи однородных решений В. К. Прокоповым A958). Осесимметричный
изгиб круглой плиты в весьма общей постановке рассмотрен Б. Л. Абра-
Абрамяном и А. А. Баблояном A958); точное решение задачи о равновесии
защемленной по боковой поверхности плиты при помощи бесконечных
систем алгебраических уравнений дали В. Т. Гринченко и А. Ф. Улитко
A963); аналогичные результаты получены Г. М. Валовым A962). Некото-
Некоторые частные случаи осесимметричного изгиба толстых плит рассмотрены
Н. Т. Глазуновой A963). А. А. Баблоян A964) исследовал неосесимметрич-
ное загружение круглой плиты, когда на боковой поверхности заданы
перемещения (решение представлено в двойных рядах, коэффициенты
которых находятся из бесконечных систем).
Бесконечная толстая плита с круглым отверстием рассматривалась
в работе О. К. Аксентян A965); использование однородных решений
позволило решить задачу о концентрации напряжений вблизи отвер-
отверстия сведением к бесконечной системе уравнений для коэффициентов
при однородных решениях; М. Абеновой A965) подобная же задача при-
приведена к интегральным уравнениям типа Фредгольма.
Нестационарная задача о термоупругом (квазистатическом) равнове-
равновесии толстой плиты рассмотрена А. А. Шевелевым A965). Р. М. Раппопорт
A962) получила приближенные однородные решения для толстой плиты,
построенные в педположении отсутствия поперечной деформации; послед-
последнее предположение приводит к ортогональным собственным функциям.
Упругое равновесие бесконечного цилиндра изучалось многими авто-
авторами. Осесимметричная задача о действии на полый цилиндр нормального
давления, приложенного на участке боковой поверхности, была рассмот-
рассмотрена в 1943 г. Г. С. Шапиро; им было получено решение этой задачи при
помощи интегралов Фурье — Бесселя (это решение было позднее повто-
повторено В. Н. Поповым, 1956). Однородные решения для сплошного и полого
цилиндров при осесимметричной их деформации рассматривались
В. К. Прокоповым A949, 1950). Осесимметричная задача для бесконеч-
бесконечного сплошного цилиндра, нагруженного нормальными усилиями по боко-
боковой поверхности, была изучена в 1953 г. А. И. Лурье; решение этой задачи,

20 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
представленное в форме интегралов Фурье, при помощи контурного интег-
интегрирования выражено через функции, соответствующие однородным реше-
решениям задачи о цилиндре; предельным переходом получено решение задачи
об «опоясанном» цилиндре. Случай касательной нагрузки, а также
задача об изгибе бесконечного цилиндра поверхностными усилиями ис-
исследованы тем же матодом в статьях П. 3. Лившица A960, 1963,
1964).
Сложное нагружение бесконечного цилиндра по его боковой поверх-
поверхности, когда нагрузка представима интегралом Фурье по осевой коор-
координате и рядами Фурье по углу, было исследовано К. В. Соляником-Красса
A960). Им же рассмотрена и более общая задача о равновесии тела враще-
вращения, когда тригонометрические функции меридионального угла могут
быть выделены в виде отдельных множителей в решении A958); для полого
цилиндра им было исследовано A965) влияние нагрузки, распределенной
на боковых поверхностях в направлении угла ф произвольным образом
и представляющей собой полином от осевой координаты z (на торцах
выполнялись интегральные условия).
Смешанная осесимметричная задача для бесконечного сплошного или
полого цилиндра рассматривалась в статьях Б. И. Когана, А. Ф. Хруста-
лева, Ф. А. Вайнштейна A958, 1959, 1963); функция напряжений Лява
строилась ими в виде контурного интеграла, содержащего надлежащим
образом подобранные функции, зависящие от параметров однородных
решений для цилиндра; в работе Б. И. Когана и А. Ф. Хрусталева A959)
использован метод парных интегральных уравнений.
Равновесие конечного цилиндра, сплошного и полого, в осесимметрич-
ном случае изучалось при помощи однородных решений В. К. Прокопо-
вым A950, 1958); Г. Н. Бухаринов A956) свел решение задачи об осесим-
метричной деформации сплошного цилиндра конечной длины к отыска-
отысканию дополнительной функции, для которой составляется интегро-дифферен-
интегро-дифференциальное уравнение. В последние годы появилось много работ, посвящен-
посвященных осесимметричной задаче равновесия сплошного цилиндра конечной
длины, в которых решение задачи сводится к бесконечным системам ли-
линейных алгебраических уравнений (Б. Л. Абрамян, 1954; Г. М. Валов,
1962; В. А. Лихачев, 1965). Сжатие круглого цилиндра исследовалось
Г. М. Валовым A961) и Е. П. Мирошниченко A957); равновесие вращаю-
вращающегося цилиндра рассмотрел В. Т. Гринченко A964); им же дан очень об-
обстоятельный анализ всех аспектов точного выполнения граничных условий
в осесимметричной задаче для полубесконечного цилиндра A965). Осесим-
Осесимметричная деформация цилиндра конечной длины, сделанного из трансвер-
сально-изотропного материала, изучалась А. А. Баблояном A961).
В отдельных случаях удается удовлетворить всем граничным условиям
в задаче о равновесии цилиндра конечной длины, не прибегая при этом
к решению бесконечных систем (см. Б. Л. Абрамян, 1958; Г. М. Валов,
1957, 1958).
Сложность одновременного точного выполнения всех краевых условий
на поверхностях цилиндра заставила искать приближенных путей решения
задачи; так, С. И. Тренин A952) представлял напряженное состояние двумя
тензорами: основным и корректирующим, причем последний не дает
напряжений на боковой поверхности (однородные решения), а его пара-
параметры определяются энергетическим путем. Более общая (не осесимметрич-
осесимметричная) задача о полом цилиндре рассматривалась аналогичным образом
В. И. Ионовым A957); Я. С. Шаин A962) дал построение корректирующего
тензора в первом приближении.

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 21
Несимметричная деформация толстостенного цилиндра была изучена
с помощью представления в рядах, содержащих функции Бесселя и Мак-
дональда, в работе И. И. Смоловика и А. Н. Щепетева A961) и в ряде
работ В. С. Сумцова A957—1959). Строгое выполнение граничных условий
в общем случае нагружения полого цилиндра, приводящее к бесконечным
системам, было осуществлено Э. Н. Байдой A959, 1960).
Разработке приемов, позволяющих свести исследование осесимметрич-
ной деформации толстостенного цилиндра к применению вычислительных
машин, посвящены статьи А. Л. Квитки A959).
Символический метод А. И. Лурье применительно к сплошным и полым
цилиндрам, подвергаемым главным образом осесимметричному нагруже-
нию, был использован Ф. А. Гохбаумом A964).
Приближенный метод расчета полых (и сплошных) цилиндров при
осесимметричном их нагружении был предложен В. Л. Бидерманом
A946, 1950); представляя касательное напряжение в виде суммы произве-
произведений осевых и радиальных функций, Бидерман задавался подходящими
функциями радиуса, а для осевых функций получал вытекающие из прин-
принципа минимума потенциальной энергии обыкновенные дифференциальные
уравнения, содержащие в правых частях функции, зависящие от прило-
приложенных по боковым поверхностям цилиндра нормальных нагрузок; рас-
распространение метода на случай наличия касательных сил было осуще-
осуществлено впоследствии В. Г. Горским A963).
Другой приближенный способ расчета полых цилиндров, нагружен-
нагруженных нормальной к боковой поверхности нагрузкой, указан С. В. Бояр-
шиновым A953), предложившим использовать для перемещений выраже-
выражения, являющиеся обобщением применяемых в теории тонких упругих
оболочек. Оригинальный метод последовательных приближений в прило-
приложении к задаче о равновесии цилиндра разработал Ф. М. Детинко A953);
им построено решение в рядах по степеням малого параметра (коэффи-
(коэффициента Пуассона).
Стационарная задача о термоупругом равновесии полого цилиндра
(в случае осевой симметрии) изучалась сперва П. М. Огибаловым A954),
а затем Ю. Н. Шевченко A958), который учитывал изменение модуля
упругости материала вдоль оси цилиндра. А. Н. Подгорный A965) учел
влияние торцов цилиндра, а также центробежных сил; задача решена
приближенно с использованием вариационного принципа Лагранжа.
П. И. Ермаков A961) и В. А. Шачнев A962) рассматривали стационарную
задачу термоупругости для сплошного цилиндра конечной длины при
осесимметричной его деформации; в первой из этих работ условия на тор-
торцах выполнялись приближенно, согласно методу Бидермана, а во вто-
второй — решение задачи сведено к решению интегро-дифференциального
уравнения. Стационарная задача термоупругости для бесконечного цилин-
цилиндра с несколькими полостями сформулирована А. С. Космодамианским
A962) — как температурное поле, так и термоупругое состояние опреде-
определяются методом Бубнова — Галеркина.
Нестационарная задача термоупругости для полого вращающегося
цилиндра изучалась Ю. Н. Шевченко A961), который выполнял условия
на торцах приближенно, с помощью вариационного метода Кастильяно.
А. А. Шевелев A966) решал термоупругую задачу для бесконечного
цилиндра, температура окружающей среды вокруг которого изменяется
по экспоненциальному закону в функции времени; он определял зависи-
зависимость максимальных тепловых напряжений от параметров нагрева-
нагревания, что дает возможность сформулировать оптимальную задачу.

22 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
А. И. Уздалев A962) рассмотрел нестационарную плоскую осесимметрич-
ную задачу термоупругости для сплошных и полых цилиндров из анизо-
анизотропного материала.
Однородные решения для полой сферы в случае осесимметричной
ее деформации были указаны в 1943 г. А. И. Лурье; использование этих
решений позволило решить задачу для полой сферы, срезанной кониче-
конической поверхностью с вершиной в центре сферы у одного или у обоих
ее полюсов; Лурье произвел также оценку точности решений, основанных
на применении кинематических гипотез Кирхгофа — Лява к сферической
оболочке.
Задача о равновесии полой сферы при произвольной ее деформации
решена А. И. Лурье A953) с помощью общего решения П. Ф. Папковича;
благодаря удачному выбору четвертой функции и применению гармони-
гармонических векторов автору удалось существенно сократить объем вычислений
как в случае второй основной задачи, так и в случае первой основной
задачи для полой сферы. Результаты исследований Лурье по простран-
пространственным задачам теории упругости собраны в его монографии A955),
где содержатся также решения задач о тяжелом и о вращающемся шаре,
о сферической полости в неограниченной среде и др. *).
Другой метод решения задачи о сфере, основанный на связи между
плоской и осесимметричной задачами теории упругости и использую-
использующий теорию аналитических функций, предложили А. Я. Александров
и Ю. И. Соловьев A962).
Сжатие, чистый изгиб и изгиб силой полой сферы, срезанной у полю-
полюсов коническими поверхностями, рассмотрены К. В. Соляником-Красса
A962); напряженное состояние в сферическом поясе, находящемся под
действием внутреннего давления, изучал А. Ф. Улитко A962).
Задача о напряженном состоянии тяжелого упругого массива вблизи
вертикальной цилиндрической полости была впервые поставленаА.Н. Дин-
ником A925) в связи с вопросом о давлении горных пород; более подробно
эта задача впоследствии изучалась С. Г. Лехницким A938, 1940), в том
числе длятрансверсально-изотропного полупространства. Влияние цилинд-
цилиндрической полости на концентрацию напряжений при объемном напряжен-
напряженном состоянии исследовал С. Г. Гутман A960). Учет действия внешних
сил, приложенных на участке поверхности цилиндрической полости, нахо-
находящейся в упругом полупространстве, произвел Г. Г. Чанкветадзе A956,
1959); в других работах им рассматривалось упругое полупространство
со сферической A955) и цилиндрической A956) полостями; его способ
исследования основан на введении в осесимметричной задаче комплекс-
комплексного переменного и приложении методов Н. И. Мусхелишвили. Концент-
Концентрация напряжений вблизи сферической полости в тяжелом полупростран-
полупространстве исследовалась Н. П. Флейшманом и В. Н. Гнатыкивом A954).
Р. Н. Кауфман A958) рассмотрела задачу об упругом слое, содер-
содержащем шаровую полость; метод ее решения состоит в переносе начала
координат сферической системы и введении формул переноса для сфери-
сферических функций; в другой статье Кауфман A964) решила тем же методом
*) Воспроизведенное в монографии А. И. Лурье решение задачи о напряженном
состоянии в неограниченной упругой среде вблизи эллипсоидальной полости при
заданных напряжениях на бесконечности A952) некорректно. Решение при более
общих условиях на бесконечности дано Ю. Н. Подильчуком A964). Позже А. И. Лурье
A967) рассмотрено напряженное состояние, возникающее в упругой среде, когда
впаянному в нее твердому эллипсоиду придается поступательное перемещение и пово-
поворот (эластостатическая задача Робена).

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 23
задачу о равновесии шара с неконцентрической шаровой полостью.
П. И. Перлин A964) построил решение второй основной задачи о равно-
равновесии полого эллипсоида вращения, внутренней поверхностью которого
является сфера; Ю. Н. Подильчук A965) изучил в сферических коорди-
координатах внутреннюю и внешнюю задачи для эллипсоида вращения. В упо-
упомянутых здесь четырех работах решение строится в рядах, коэффициенты
которых должны определяться из бесконечной системы уравнений.
В. Н. Жарков A963) поставил важную задачу о термоупругих напря-
напряжениях в гравитирующей сфере при произвольном законе распределения
температуры; стационарная задача термоупругости для полой сферы,
модуль которой есть степенная функция радиуса, решена И. Н. Дани-
Даниловой A962).
Задачу о равновесии конуса (сплошного и полого) при действии
осесимметричной нагрузки рассмотрел в 1944 г. Г. С. Шапиро; им полу-
получены полиномиальные решения задачи для некоторых типов поверхно-
поверхностных нагрузок и для действия силы тяжести; иным способом эта задача
исследована А. Я. Александровым A962). Действие сосредоточенного
момента, приложенного в вершине конуса, рассмотрел А. Ф. Улитко
A960); в другой его работе A960) с помощью преобразования Меллина
решается общая задача о равновесии упругого конуса. Упругое равновесие
осесимметрично нагруженного конуса рассмотрел также К. В. Соляник-
Красса A955, 1962); решение представлено им в виде интеграла Фурье.
В. Н. Ионов A965) дал решение задачи об осесимметричной деформации
конического тела; выполнение краевых условий приводит к бесконечной
системе уравнений для постоянных корректирующего тензора. Кручение
конуса поверхностной нагрузкой рассмотрено К. В. Соляником-Красса
A965) и П. Ф. Недорезовым A965).
Задача о равновесии тяжелого параболоида вращения решена
Г. С. Шапиро A950); растяжение и изгиб параболоида, а также растяже-
растяжение й изгиб тела, содержащего параболоидальную полость, рассмотрены
К. В. Соляником-Красса A958), в другой его работе A958) исследовано
сжатие эллипсоида и однополостного гиперболоида; кручение гипербо-
гиперболоида исследовали Н. Н. Лебедев и И. П. Скальская A966).
При помощи тороидальных координат А. Ф. Захаревич A952) рас-
рассмотрел равновесие вращающегося тора; В. А. Левшин A962) построил
решение задачи о полом торе, подвергнутом воздействию внешнего
и внутреннего давлений. Кручение тора круглого поперечного сечения
б связи с расчетом винтовых пружин с малым шагом витков подробно
изучил К. В. Соляник-Красса A950); решение получено им с использова-
использованием биполярных координат и содержит ряды, включающие гипербо-
гиперболические, тригонометрические функции и присоединенные функции
Лежандра.
Растяжение круглого стержня, содержащего малую эллипсоидальную
полость, исследовано К. В. Соляником-Красса A958) с использованием
эллипсоидальных координат. Н. А. Форсман A958) решила задачу о кон-
концентрации напряжений в растянутом стержне круглого поперечного сече-
сечения в месте изменения толщины; решение получено в форме определенных
интегралов, которые затем вычисляются приближенно.
С 1963 г. стали появляться работы И. И. Воровича и его учеников,
посвященные построению асимптотических решений для плит и оболочек,
причем за основу такого построения принимаются однородные решения
-соответствующей трехмерной задачи теории упругости; вариационным
методом Лагранжа составляются бесконечные системы уравнений для

24 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
контурных значений искомых функций; решение этих систем строится
в рядах по степеням толщины плиты или оболочки. Этим методом иссле-
исследована задача изгиба плиты (О. К. Аксентян и И. И. Ворович, 1963,1964),
а также осесимметричные задачи о равновесии цилиндрической и сфери-
сферической оболочек (Н. А. Базаренко и И. И. Ворович, 1965; Т. В. Вилен-
ская и И. И. Ворович, 1966).
Классическая задача Ламе о равновесии прямоугольного параллеле-
параллелепипеда, нагруженного заданными усилиями по всем граням, привлекает
к себе внимание многих исследователей, начиная с работ М. М. Филоненко-
Бородича. В первой статье этого направления, опубликованной в 1946 г.т
М. М. филоненко-Бородич ввел в рассмотрение косинус-биномы — после-
последовательность неортогональных функций, обладающих полнотой в интер-
интервале их определения и обращающихся в нуль вместе со своими первыми
производными на границах интервала.
В последующих работах М. М. Филоненко-Бородича косинус-биномы
были им использованы для приближенного решения задачи об упругом
равновесии прямоугольного параллелепипеда. Идея решения задачи
состояла в разбиении тензора напряжений на две части: основной тензор,
удовлетворяющий уравнениям рановесия и условиям загружения граней
параллелепипеда, и корректирующий тензор, построенный при помощи
косинус-биномов и их производных. Последний тензор, удовлетворяя
уравнениям равновесия и нулевым граничным условиям, содержит про-
произвольные постоянные, определяемые вариационным методом Кастильяно.
М. М. Филоненко-Бородич A951) изучил задачу о сжатии параллелепипеда
равными и противоположно направленными нагрузками и рассмотрел
термоупругое равновесие параллелепипеда; позже A953) он распространил
метод на случай цилиндрических координат; ему же принадлежат сообра-
соображения о выборе основного тензора для любым образом нагруженного
параллелепипеда A957).
Е. С. Кононенко применила метод М. М. Филоненко-Бородича при изу-
изучении задачи об изгибе толстой плиты A953) и сжатии параллелепипеда
между жесткими плитами A954); случай косоугольного параллелепи-
параллелепипеда рассматривал А. И. Мешков A961); В. Н. Спихтаренко A959) исполь-
использовал этот метод при расчете пластины, лежащей на упругом парал-
параллелепипеде.
Другой подход к решению задачи о равновесии упругого параллеле-
параллелепипеда развит в работах Б. А. Бондаренко A961, 1963), который исполь-
использовал полиномиальные решения уравнений теории упругости в переме-
перемещениях, причем произвольные коэффициенты в этих решениях опреде-
определяются по методу наименьших квадратов.
Некоторые частные задачи для прямоугольного параллелепипеда,
разрешимые в рядах, рассмотрены Г. М. Валовым A959), А. П. Мелко-
няном A960), А. А. Баблояном и С. М. Саакяном A964).
Изучению задачи о равновесии параллелепипеда при помощи беско-
бесконечных систем посвящены две статьи Э. Н. Байды A958, 1959). Более
подробные исследования решения задачи о равновесии параллелепипеда
при помощи бесконечных систем для разных типов нагрузки и различных
краевых условий произведены в работах Г. М. Валова A957—1959, 1966),
С. М. Саакяна A965), А. А. Баблоянаи С. М. Саакяна A964); в этом цикле
работ рассмотрены как первая и вторая основные задачи, так и некоторые*
типы смешанных и контактных задач, причем особое внимание обращена
на доказательства регулярности (или квази-вполне-регулярности) полу-
получаемых бесконечных систем.

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 25
§ 3. Задачи Сен-Венана и Альманзи
Как известно, задача о свободном кручении призматического стержня
приводится к гармонической проблеме, методы решения которой хорошо
разработаны. Ранние работы по теории кручения стержней посвящены
решению этой задачи в замкнутом виде или при помощи тригонометриче-
тригонометрических рядов; к ним относятся статьи Б. Г. Галеркина, в которых исследо-
исследовано кручение призмы с сечением в виде равнобедренного прямоуголь-
прямоугольного треугольника A919) и призм параболического поперечного сечения
A924); ряд задач о кручении сечений, ограниченных алгебраическими
кривыми, решен в работах Д. Ю. Панова A935, 1937) и Д. Л. Гавры
A939); позднее кручением параболических призм занимался В. И. Блох
A959). Влияние радиальной трещины при кручении сплошного и полого
валов изучено в статьях А. Ш. Локшина A928) и В. Н. Лыскова A930).
Различным методам решения задачи теории кручения, включая и экспе-
экспериментальные методы, посвящена монография А. Н. Динника, вышедшая
в 1938 г.
В 1925 г. Г. В. Колосов и Д. Л. Гавра впервые применили при решении
задачи о кручении комплексные переменные, ими была рассмотрена задача
о кручении некругового сектора с малым центральным углом. Фундамен-
Фундаментальные результаты в этом направлении были получены Н. И. Мусхели-
швили A929), который показал, что задача кручения односвязных и двух-
двухсвязных областей сводится к отысканию функции комплексного перемен-
переменного, отображающей данную область соответственно на круг или на круго-
круговое кольцо. Методы теории функций комплексного переменного применя-
применялись при решении задач кручения призматических стержней различного
профиля в статьях Д. 3. Авазашвили A940), А. В. Батырева A953),
X. М. Муштари A938), А. Г. Угодчикова A956) и др.
Р. О. Кузьмин A946) использовал конформное отображение в иной
форме; им получена удобная формула для непосредственного вычисления
жесткости скручиваемого стрежня. Эта формула позволила вычислить
жесткость для профилей, контур которых содержит угловые точки. Другая
работа, в которой метод комплексного переменного распространяется
на случай контура, содержащего угловые точки, принадлежит П. П. Куфа-
реву A937); способ Куфарева использован О. И. Бабаковой A954) при
рассмотрении кручения зетового профиля.
Методом конформного отображения Е. А. Ширяев рассмотрел круче-
кручение вала с радиальной, а также с продольной дуговой трещиной A956),
в другой работе Ширяева исследовано кручение круглого вала с двумя
разрезами разной глубины, идущими вдоль диаметра сечения A958).
Кручение валов с круговыми выточками изучал А. А. Скоробогатько
A958, 1962). Кручение полых авиационных профилей при помощи теории
функций комплексного переменного рассмотрел Г. А. Тирский A959).
Приближенное решение задачи о кручении уголкового, крестообраз-
крестообразного и тавр ого профилей при помощи конформного отображения получил
В. И. Маховиков A957). А. Г. Угодчиков A956), развивая приближенные
способы конформного отображения, рассмотрел кручение круглого вала
с зубцами (шлицами) и трубчатый вал с внутренними зубцами (шлицевая
муфта).
Новый способ решения задачи кручения и изгиба полых стержней пред-
предложил в 1948 г. Д. И. Шерман. Способ состоит во введении вспомо-
вспомогательной функции, связанной на одной из границ двухсвязной области
с комплексной функцией кручения некоторым соотношением; эта

26 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
вспомогательная функция удовлетворяет интегральному уравнению
Фредгольма, решение которого сводится к решению квазирегулярной
(а иногда и вполне регулярной) бесконечной системы линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений. Шерман решил этим способом ряд конкретных задач
о кручении двухсвязных профилей, ограниченных окружностями и эл-
эллипсами A950, 1951, 1953).
Дальнейшие теоретические изыскания в этом направлении, привед-
приведшие к решению ряда задач кручения полых стержней, проводились
Д. И. Шерманом A953, 1955, 1959), Р. Д. Степановым и Д. И. Шерманом
A952), Ю. А. Амензаде A958); метод Шермана был использован в работах
Л. К. Капаняна A952, 1957), В. И. Яковлевой A956), а также И. А. Бах-
тияровым A959) для кручения коробчатого стержня, М. У. Исмаиловым
A959) в задаче кручения круглого вала с треугольной призматической
полостью, М. И. Найманом A958) в задаче кручения круглого вала с мно-
многогранной соосной полостью.
Точное решение задач кручения и изгиба призматических стержней,
имеющих поперечное сечение, ограниченное двумя дугами пересекающихся
окружностей («луночка»), было получено в 1949 г. с использованием бипо-
биполярных координат Я. С. Уфляндом; подробное изложение решений задач
изгиба и кручения для областей, допускающих решение в биполярных
координатах, приведено в его монографии A950). Позднее В. И. Блох
A956) опубликовал статью, посвященную применению биполярных коор-
координат к задаче кручения прямоугольника, образованного дугами ортого-
ортогональных окружностей. Кручение стержня с линзообразным сечением рас-
рассматривали Я. И. Бурак и М. Я. Леонов A960). С. А. Гриднев применил
биполярные координаты при изучении задачи о кручении двухсвязного
профиля A963) и свел решение этой задачи к бесконечным системам.
Для области сектора кольца решение задачи кручения получено
К. А. Китовером A954). Для ряда областей, образованных дугами эллип-
эллипсов и гипербол, точные решения задачи кручения в эллиптических коор-
координатах получены В. И. Блохом A964).
Приближенные методы решения задачи о кручении и изгибе стержней
разрабатывались Д. Ю. Пановым A934, 1936, 1938); он развивал метод
малого параметра и графический метод, изучал кручение стержней, близ-
близких к призматическим, кручение и изгиб винтового профиля; им рассмот-
рассмотрена также методом конечных разностей задача о кручении двутавровой
балки и вала со шпонкой.
В работах М. Г. Слободянского по теории кручения A939, 1940,
1951) метод конечных разностей применен только по одной переменной
и решение задачи приводится к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений; этот метод позволил Слободянскому, а затем и А. М. Пиво-
варову A953) вычислить коэффициенты концентраций во входящих углах
полигональных профилей. Аналогичный прием был употреблен В. Н. Фа-
Фадеевой A949) при решении задачи о кручении стержня трапецеидального
сечения. Задачу о кручении прокатного уголка изучил Б. Н. Лоповок
A952). Б. А. Розовская A940) методом конечных разностей рассмотрела
задачу о кручении прокатных профилей (уголка, швеллера и двутавра);
в другой ее работе A956), а также в статье Е. П. Оболенского A959) этот
метод использован для решения задачи о кручении вала со шлицами.
Среди других приближенных методов решения задач об изгибе и кру-
кручении призматических стержней наибольшее значение имеют вариацион-
вариационные методы, завоевавшие большую популярность прежде всего благодаря
работам Л. С. Лейбензона и Л. В. Канторовича. В первой работе Л. С. Лей-

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 27
«бензона по теории кручения, появившейся в 1924 г., исследовался вопрос
о кручении винтового профиля; в ней было получено приближенное выра-
выражение для жесткости профиля винта на кручение. Дальнейшие уточнения
этой формулы были произведены В. П. Ветчинкиным A926) и Д. Ю. Пано-
Пановым A937).
Большое значение имела работа Л. С. Лейбензона A935) по теории
изгиба призматических стержней, в которой подробно разработан эффек-
эффективный вариационный метод решения этой задачи, исследован вопрос
об определении центра изгиба профиля, а также впервые получена теорема
о циркуляции касательного напряжения при изгибе. Дальнейшее развитие
вопрос об отыскании центра изгиба получил в работах Н. В. Зволинского
<1936), Д. Ю. Панова A934) и Г. Э. Проктора A936).
Результаты многолетних исследований Л. С. Лейбензона по теории
изгиба и кручения стержней, а также по разработке эффективных приемов
решения задач суммированы в его монограции A943).
В 1933 г. Л. В. Канторович предложил новый приближенный метод
решения задачи об отыскании минимума двойного интеграла, согласно
которому проблема сводится к обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнениям (сходимость метода была им исследована позднее, 1941). В другой
статье, совместно с П. В. Фрумкиным A937), Канторович с успехом приме-
применил свой метод к решению задачи о кручении прямоугольника и уголко-
уголкового сечения, как симметричного, так и несимметричного. Т. К. Чепова
A937) рассмотрела кручение равнобочной трапеции, а также прямого
и косого симметричных уголков; В. Л. Бидерман A950) изучил кручение
трапеции и равнобедренного треугольника; А. П. Карпов A955) дал
решение задачи о кручении ромба.
А. И. Лурье A939) применил метод Канторовича к задачам изгиба
и кручения симметричного профиля, ограниченного параллельными пря-
прямыми и алгебраическими кривыми, выражаемыми двучленными уравнения-
уравнениями. Весьма подробно рассмотрела задачи о кручении треугольников, пря-
прямоугольного и равнобедренного, Н. О. Гулканян A953). Введением спе-
специального вида неортогональных координат Н. X. Арутюняну удалось
решить задачи о кручении уголка и швеллера A942), в другой работе
он получил решение задачи кручения для эллиптического кольцевого
сектора, изотропного или с анизотропией частного вида A947).
Иной приближенный способ решения задачи о кручении призматиче-
призматического стержня, основанный на точечной интерполяции, указал Л. А. Га-
Галин A939). Приближенное решение задачи о кручении стержня таврового
сечения альтернирующим методом Шварца получил Б. А. Бондаренко
A956).
М. Я. Леонов предложил приближенный метод определения жесткости
тонкостенных профилей, основанный на введении «средних линий» равных
касательных напряжений A956, 1957). Развивая этот метод, М. Я. Леонов
A957, 1960), Г. С. Кит A958, 1960) и другие получили приближенные
решения для ряда областей как односвязных, так и двухсвязных.
Г. К. Галимханов A955, 1956) дал приближенное решение задачи
о кручении лысочных валов, контур сечения которых составлен из дуг
основной окружности и хорд; постоянные в его решении определяются
из условия обращения в нуль интегралов от функции напряжений, взятых
по прямолинейным и дуговым участкам контура. Приближенные методы
«были использованы для изучения задач кручения также Г. М. Сарки-
юовым и Ю. А. Амензаде A952) для правильных многогранных
профилей, Л. М. Мительманом A955, 1959) для квадрата, полукруга,

28 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
равнобедренного прямоугольного треугольника и авиационного профиля,
Л. В. Михайловым A962) для стержня полукруглого сечения, ослабленно-
ослабленного круглой цилиндрической полостью.
Задача о стесненном кручении призматического стержня произволь-
произвольного поперечного сечения рассматривалась В. К. Прокоповым A959)
и для симметричного профиля — Г. П. Геонджяном A959); в обеих рабо-
работах предполагалось, что нормальные напряжения в стестенном сечении
пропорциональны депланации свободного кручения, и применялся вариа-
вариационный метод решения задачи; в качестве примера изучались эллиптиче-
эллиптическое и прямоугольное поперечные сечения. Стесненное кручение стержня
прямоугольного поперечного сечения исследовал также В. П. Нетребка
A956); им использован метод М. М. Филоненко-Бородича в сочетании
с принципом Кастильяно. В другой работе Нетребко A954) тем же-
способом изучена задача кручения прямоугольной призмы при заданном
законе распределения касательных напряжений на ее торцах. Стесненное
кручение полого эллиптического цилиндра рассматриваась С. А. Гридне-
вым A963).
Точное решение задачи об изгибе силой призматического стержня с сече-
сечением в виде кольцевого сектора дал в 1927 г. Б. Г. Галеркин; выражение
для функции напряжений было им получено в виде ряда. В той же работе
Галеркин изучил при помощи криволинейных координат симметричный
изгиб силой консольного стержня, профиль которого ограничен дугами
парабол, парабол и прямой, дугами эллипса и гиперболы. Последний слу-
случай исследован также в статье В. С. Тонояна A961).
Д. 3. Авазашвили A940) построил решение задачи об изгибе консоль-
консольного призматического стержня при помощи функций комплексного пере-
переменного. Конформным отображением на область кольца Б. А. Ободовскиж
получил решение задачи об изгибе силой полого бруса эллиптического
сечения A960). Л. К. Капанян A956) использовал приближенное конформ-
конформное отображение при решении задачи изгиба для круга с криволинейным
квадратным вырезом; В. Н. Ракивнэнко A962) рассмотрел изгиб круго-
кругового цилиндра с двумя полостями с поперечными сечениями в виде
квадрата.
Симметричный изгиб стержня, поперечное сечение которого составлено
из прямоугольных областей, рассмотрел А. С. Боженко A948); в другой
статье A954) он изучил несимметричный изгиб прокатных профилей (швел-
(швеллер, двутавр, тавр) и определил положение центра изгиба. Н. О. Гулка-
нян A955) определила координаты центра изгиба равнобочной трапеции
и равнобедренного треугольника приближенным методом. В замкнутом
виде решение задачи об изгибе призмы с сечением в виде прямоугольного-
треугольника дал Н. И. Попов A954).
Д. И. Шерман распространил свой метод вспомогательной функции:
на задачи изгиба полых призматических стержней и, в частности, рас-
рассмотрел случай эллиптического бруса, ослабленного круговой цилиндри-
цилиндрической полостью A953). Ряд задач об изгибе полых стержней методом
Шермана исследовал Ю. А. Амензаде: круг с эллиптическим A955) и кри-
криволинейным A956) отверстиями, круг с несоосным эллиптическим отвер-
отверстием A958) и др. Сечение в виде эллипса с двумя круговыми отверстиями
изучил А. С. Космодамианский A960).
В 1948 г. Н. X. Арутюнян предложил новый метод решения задачи
о кручении стержней с полигональным поперечным сечением, сущность
которого состоит во введении вспомогательных функций при отыскании
функций напряжений и последующем сведении решения задачи к вполне1

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 29
регулярным бесконечным системам линейных алгебраических уравнений;
затем им была рассмотрена задача о кручении уголка A949). Методом
Арутюняна были исследованы задачи о кручении стержней с разнообраз-
разнообразными типами поперечных сечений; сечение в виде трапеции рассмотрели
Б. Л. Абрамян и Н. X. Арутюнян A951), швеллер и тавр — Е. А. Алек-
сандрян и Н. О. Гулканян A953), крестообразное сечение и цилиндр
с клиновидными пазами — Б. Л. Абрамян A949, 1959), коробчатый про-
профиль с трещиной — А. А. Баблоян A958). Е. А» Александрян A952)
изучила случаи двутавра, квадрата и прямоугольника со срезанным углом
и параллелограмма с углом в 45°; треугольное поперечное сечение и прямо-
прямоугольник с трещинами исследовала Н. О. Гулканян A952, 1953);
сектор с зубцами рассмотрели Б. Л. Абрамян и В. С. Тоноян
{1959).
Кручение (и изгиб) призматических стержней с полым прямоугольным
сечением изучил в 1950 г. Б. Л. Абрамян; в другой статье им исследован
случай круглого вала с продольными полостями A959); в работе Б. Л. Аб-
Абрамяна и А. А. Баблояна A960) исследовано кручение круглого стержня
с продольными выточками или зубцами, имеющего центральную круглую
полость. Тем же методом вспомогательных функций и сведением к беско-
бесконечным системам Н. О. Гулканян A960) изучила кручение прямоугольной
призмы с двумя симметричными прямоугольными полостями. В. С. Тоноян
{1961) дал решение задачи о кручении полого эллиптического стержня
с продольными выточками. Обстоятельное изложение метода вспомога-
вспомогательных функций в применении к кручению призматических сплошных
и полых стержней, а также к задаче кручения составных стержней и тел
вращения можно найти в монографии Н. X. Арутюняна и Б. Л. Абра-
Абрамяна A963).
Приложение метода вспомогательных функций к задаче изгиба стерж-
стержней полигонального профиля и сведение проблемы к бесконечным систе-
системам было дано в статье Н. X. Арутюняна и Н. О. Гулканян A954); в этой
работе найдены точные значения координат центра изгиба для тавра,
швеллера иравнобокого уголка. Н. О. Гулканян A959) нашла также коор-
координаты центра изгиба для сечения в виде прямоугольника с несимметрич-
несимметричным прямоугольным вырезом.
Методом Арутюняна М. С. Саркисян A956) рассмотрел задачу об
об изгибе двутавра, Е. Я. Кирин A963) — исследовал крестообразное
поперечное сечение; В. С. Тоноян A961) — сечение в виде эллипса с выточ-
выточками. Работы А. А. Баблояна A960, 1961) посвящены задаче изгиба круг-
круглого вала с продольными боковыми выточками, секторной призмы с зуб-
зубцом и вала с зубцами.
Н. И. Мусхелишвили A932) разработал теорию кручения и изгиба
стержней, составленных из различных материалов и спаянных между
собой вдоль боковых поверхностей; решение этой задачи для случая
кручения двух спаянных между собой брусьев из разного материала при-
приведено в его известной монографии (изд. 2 — 1935). И. Н. Векуа
и А. К. Рухадзе A933) изучили кручение круглого цилиндра, армирован-
армированного круговым стержнем, а также кручение и изгиб составного стержня,
сечение которого имеет вид конфокальных эллипсов; А. К. Рухадзе A935)
рассмотрел изгиб и кручение составного профиля, образованного эпитро-
эпитрохоидами; случай разграничения гипотрохоидами исследовал Г. А. Кута-
теладзе A956). Кручение составного стержня с сечением в виде двух
круговых сегментов, спаянных по хорде, при помощи биполярных коор-
координат рассмотрели В. М. Дзюба и А. Ш. Асатурян A965).

30 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДШАВИДЗЕ и др.
Общей задаче о кручении составного стержня посвящена статья:
К. С. Чобаняна A955); в ней приведена теорема о циркуляции касатель-
касательного напряжения и рассмотрен вопрос о кручении составного стержня
с сечением в виде тавра. В других работах К. С. Чобаняна рассмотрены
изгиб составного стержня A956), определение координат центра изгиба
и кручение составного вала переменного диаметра A958). Кручение
многосвязного составного бруса исследовал И. В. Сухаревский A954).
A. Г. Угодчиков A964) рассмотрел кручение и изгиб составных стержней,
вставленных друг в друга; решение задачи строится им при помощи
конформного отображения и сведено к бесконечным системам линейных,
уравнений.
Задачи кручения и изгиба призматических анизотропных стержней
были сформулированы в работах С. Г. Лехницкого A938, 1942, 1956);
результаты этих исследований и решения ряда других задач по теории
упругости анизотропных сред суммированы в его монографии A950).
Еще раньше кручение анизотропных призм при помощи обобщенной мемб-
мембранной аналогии изучал А. Ш. Локшин A927), рассмотрев сечения в виде
круга, эллипса, прямоугольника и параллелограмма. Некоторые задачи
об изгибе и кручении анизотропных призм вариационным методом иссле-
исследовал Л. С. Лейбензон A940). Приближенному решению задачи о круче-
кручении анизотропного стержня авиационного профиля посвящена статья
B. Д. Ванторина A939); некоторые задачи о кручении анизотропного
стержня рассмотрел приближенным методом Н. X. Арутюнян A947,1948).
Кручение анизотропного цилиндра изучили Б. Л. Абрамян и А. А. Баб-
лоян A958).
Изгиб и кручение анизотропного стержня с поперечным сечением
в виде параллелограмма исследовались Р. С. Минасяном A938). Ряд
задач об изгибе анизотропных стержней рассмотрел В. С. Саркисян A961,
1962), употребляя метод разложения в ряд по степеням малого параметра.
Решая задачу изгиба анизотропного стержня при помощи конформного
отображения, Е. Е. Антонов A964) выразил координаты центра изгиба
через коэффициенты отображающей функции. А. С. Космодамианский
A962) дал приближенное решение задач кручения и изгиба ортотропных
стержней эллиптического профиля, снабженных полостями эллиптиче-
эллиптического поперечного сечения.
Задачи о кручении неоднородного призматического стержня решались
Б. Л. Абрамяном A951) и А. X. Манукяном A952). В. С. Саркисян
и В. В. Микаелян A965) составили формулы для координат центра изгиба
составного анизотропного стержня. В последнее время появились реше-
решения задач об изгибе (П. О. Галфаян, 1960, 1961) и кручение (А. А. Баб-
лоян, 1959; П. О. Галфаян и К. С. Чобанян, 1959) тел, обладающих тон-
тонкими усиливающими покрытиями. С. Г. Лехницкий изучил некоторые
задачи о кручении тел с переменным модулем упругости A964, 1965).
В 1950 г. М. Э. Берман дал формулы для координат центра изгиба,
выраженные через функции, решающие задачу кручения для стержня
того же поперечного сечения; позднее к аналогичному результату пришел
В. В. Новожилов A957); В. К. Прокопов A960) дал обобщение этих формул
на случай многосвязного поперечного сечения изгибаемого стержня.
Дальнейшее изучение указанного вопроса принадлежит Г. Ю. Джане-
Джанелидзе A963). В случае анизотропного стержня аналогичные результаты
получил В. С. Саркисян A961, 1966). К. С. Чобанян и В. В. Микаелян
A963) вывели формулы для координат центра изгиба сечения стержня,,
составленного из разных материалов.

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 31
Кручение тел вращения изучалось различными методами. А. Ш. Лок-
шин A923) рассмотрел при помощи криволинейных координат кручение-
конуса, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения; в более
широкой постановке задачу о кручении тел вращения в криволинейных
координатах исследовал Б. А. Соколов A944); им же рассмотрен вопрос
о приложении метода Ритца к задаче кручения ступенчатого вала A939).
Кручение полого усеченного конуса изучил Н. Я. Панарин A937).
К. В. Соляник-Красса использовал криволинейные координаты при
решении задачи о кручении валов, снабженных полостями 1947) или коль-
кольцевыми выточками A948, 1955); результаты этих исследований содержатся
также в его монографии «Кручение валов переменного сечения» A949).
Тем же методом им был рассмотрен ряд задач об изгибе стержня перемен-
переменного сечения, в частности исследована концентрация напряжений у сфе-
сферической полости в цилиндрическом стержне A955).
Оценку концентрации напряжений при кручении круглого вала
с кольцевой выточкой, основанную на применении теории функций комп-
комплексного переменного в сочетании с вариационным методом, получил
Г. Н. Положий A957). Задача о концентрации напряжений при кручении
в местах резкого изменения диаметра вала методом сеток изучалась Б. А. Ро-
Розовской A956, 1958). Кручение трубы с переменным сечением рассмотрели
Ю. А. Амензаде и Г. М. Саркисов A959).
Кручение анизотропных тел вращения исследовалось в работах
С. Г. Лехницкого A940), Д. В. Грилицкого A957), Б. Л. Абрамяна
и А. А. Баблояна A958).
Действие усилий, распределенных вдоль боковой поверхности круг-
круглого вала, приводящее к его закручиванию, рассмотрели Н. В. Зволин-
ский и П. М. Риз A939), которые изучили равномерное и линейное распре-
распределение нагрузки. Более общий случай призматического стержня рас-
рассмотрели Л. С. Гильман и С. С. Голушкевич A943) и П. М. Риз A940).
В статье Л. С. Гильмана A937) решена задача о кручении упругого кольца
парами, равномерно распределенными вдоль оси его. Случай равномерно
распределенных вдоль образующих цилиндра скручивающих касательных
усилий изучался С. А. Бакановым A959). Кручение сплошного и полого
круговых цилиндров осесимметрично распределенными поверхностными
нагрузками рассмотрел при помощи рядов Фурье — Бесселя В. И. Блох
A954, 1956); к той же проблеме для сплошного цилиндра возвращался
П. 3. Лившиц A962). Задачу о кручении анизотропного стержня усили-
усилиями, распределенными вдоль его боковой поверхности, решил С. Г. Лех-
ницкий A961).
Кручение ступенчатого вала нагрузками, приложенными по боковым
и торцевым поверхностям и обладающими осевой симметрией, изучено
Б. Л. Абрамядом и М. М. Джрбашяном A951); решение задачи сведено
ими к бесконечным системам линейных уравнений. Тем же методом
Б. А. Костандян решил задачу о кручении полого ступенчатого вала
A956); им же рассмотрено кручение вала с кольцевой выточкой прямо-
прямоугольной формы A954) и кручение вала с насаженным на него диском
A958). Кручение конического стержня и цилиндрического стержня
с конической частью изучил Б. Л. Абрамян A958, 1960); в соавторстве
с Н. О. Гулканян им A961) рассмотрено кручение полой составной полу-
полусферы.
Задачу о равновесии упругого призматического стержня при дей-
действии на него усилий, приложенных к торцам, и свободного от нагрузок
по боковой поверхности называют задачей Сен-Венана; в линейной теории

32 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
упругости эта задача естественно распадается на две простые задачи
(растяжение и чистый изгиб парами), решаемые элементарным путем, и две
более сложные (кручение и изгиб силой), подробно рассмотренные выше.
В нелинейной теории упругости существенным оказывается взаимное
влияние, оказываемое различными нагрузками; необходим учет вторичных
эффектов, изучение которых было начато в 1938, 1939 гг. в совместных
работах Н. В. Зволинского й П. М. Риза. В последней из цикла этих
работ A939) рассматривалось кручение растянутого бруса. Н. В. Зво-
линский изучил также кручение стержня, растянутого массовыми силами
A939). Задаче изгиба растянутого стержня посвящены исследования
П. М. Риза A939) и А. К. Рухадзе A941), который рассмотрел также влия-
влияние на изгиб стержня парой изгиба от поперечной силы A947). Вторичные
эффекты, имеющие место при растяжении и изгибе составных стержней,
были выявлены в работе А. Я. Горгидзе и А. К. Рухадзе A943). Уточнение
и развитие этих исследований проводилось в последующих работах
А. Я. Горгидзе A955, 1956), Р. С. Минасяна A957), А. К. Рухадзе A954),
его же совместно с Д. Н. Долидзе A957), В. X. Мецугова A954, 1956).
В этом цикле работ широко использовался метод малого параметра.
Задачи о деформациях слегка конических и естественно закрученных
стержней заняли значительное место в исследованиях советских ученых;
здесь также весьма полезным оказался метод малого параметра. Впервые
этот метод был применен Д. Ю. Пановым при решении задачи кручения
слегка конического стержня A938). Задачи о растяжении, кручении
и изгибе парами естественно закрученных стержней были изучены
П. М. Ризом A939). В более общей постановке, с использованием специаль-
специальной системы неортогональных координат, задача Сен-Венана для есте-
естественно закрученного стержня была решена А. И. Лурье и Г. Ю. Джа-
Джанелидзе A940); позднее Г. Ю. Джанелидзе распространил этот метод
на слегка конические стержни A947). В декартовых, координатах изгиб
закрученного стержня парами исследовали А. Я. Горгидзе и А. К. Ру-
Рухадзе A944), а изгиб поперечной силой — А. К. Рухадзе A947). Даль-
Дальнейшие исследования уточняют и дополняют эти основные результаты;
подробнее изучаются вторичные эффекты, усложняются схемы нагрузок
(А. Я. Горгидзе, 1958, 1963), рассматриваются составные естественно
закрученные (А. Я. Горгидзе и В. X. Мецугов, 1957; А. К. Рухадзе,
1956; А. Ф. Шарангия, 1955) и составные слабо конические стержни
(С. В. Бердзенишвили, 1957).
Метод малого параметра был с успехом применен также при решении
задачи о равновесии стержня со слабо изогнутой осью; впервые задачи
этого типа были решены П. М. Ризом A940, 1947) и А. К. Рухадзе A942).
Впоследствии рассматривалось растяжение (Р. С. Минасян, 1954), изгиб
парами (А. К. Рухадзе, 1953) и изгиб силой (А. Я. Горгидзе, 1956).
Растяжение и изгиб анизотропного стержня были изучены в 1949 г.
С. Г. Лехницким. Позднее Г. М. Хатиашвили рассмотрел более сложную
задачу — анизотропный стержень со слабо изогнутой осью A965); им же
исследована задача Сен-Венана для составных анизотропных тел, близких
к призматическим A963).
Задача об упругом равновесии стержня, боковая поверхность которого
нагружена усилиями, являющимися полиномиальными функциями осевой
координаты, называется задачей Альманзи. Частный случай этой задачи,
когда боковая нагрузка не зависит от осевой координаты, изучался еще
Дж. Г. Мичеллом. В 1960 г. Г. Ю. Джанелизе опубликовал общий прием
решения задачи Альманзи в напряжениях, сводящийся к решению ряда

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 33
двумерных задач, связанных друг с другом рекуррентными соотношениями.
Этот прием дал общий способ р.ешения задач: Мичелла — Альманзи
и открыл путь для применения методов теории функций комплексного
переменного. Частный случай задачи Мичелла, когда на боковую поверх-
поверхность стержня действует равномерно распределенная нормальная нагрузка
изучил А. Л. Хасис A960); им показано существование линии центров
изгиба, для отыскания которой достаточно определить гармоническую
функцию кручения задачи Сен-Венана. Для составных брусьев решения
задач Сен-Венана. Для составных брусьев решения задач Мичелла
и Альманзи было указано Г. М. Хатиашвили A953, 1955). Классифи-
Классификация и последовательность решения краевых задач, возникающих в свя-
связи с задачей Мичелла, указаны А. И. Лурье A966).
Действие боковой полиномиальной нагрузки на трансверсально-изот-
ропный цилиндр, приводящее к его кручению и к осесимметричной дефор-
деформации, изучалось С. Г. Лехницким A961). А. С. Космодамианский A956,
1961) рассмотрел задачи Мичелла и Альманзи для анизотропной балки.
Г. КЗ. Джанелидзе A961) распространил предложенный им метод реше-
решения задачи Альманзи на случай анизотропного стержня. Подробнее эта
задача рассматривалась Г. М. Хатиашвили, который исследовал задачу
Мичелла для составных ортотропных и анизотропных стержней A962),
а также дал обобщение способа Джанелидзе на случай задачи Альманзи
для составного ортотропного стержня A964).
§ 4. Смешанные пространственные задачи статики упругого тела
Под смешанными краевыми задачами математической теории упру-
упругости обычно понимают такие задачи упругого равновесия, когда
на поверхности тела расположены линии раздела граничных условий
различных типов. Если поверхность рассматриваемого упругого тела
состоит из нескольких гладких граней, то могут представиться два основ-
основных качественно различных варианта смешанных задач.
1) В пределах каждой грани тип краевых условий не меняется. Про-
Простейшими примерами таких смешанных задач являются равновесие упру-
упругого слоя, на одной грани которого заданы напряжения, а на другой
перемещения, а также аналогичные задачи для клина, полого цилиндра,
конуса и др. Решения указанных конкретных задач можно получить
по методу интегральных преобразований Фурье, Ханкеля и т. п. Как
указано Г. Я. Поповым и Н. А. Ростовцевым A966), общие проблемы
подобного типа в принципе сводятся к бесконечным системам уравнений.
Эти задачи в настоящем обзоре не затрагиваются.
2) Хотя бы на одной из граней тела имеется линия раздела краевых
условий различного вида. Проблемы этого типа, сводящиеся, вообще
говоря, к интегральным уравнениям, мы предполагаем здесь разобрать
более детально, так как именно они дали толчок для развития, главным
образом в СССР, разнообразных методов решения многих важных сме-
смешанных задач теории потенциала и теории упругости. Вместе с тем к подоб-
подобным смешанным задачам относится ряд прикладных вопросов и, в частно-
частности, контактные задачи и некоторые задачи о концентрации напряжений.
К настоящему времени наиболее детально изучены контактные задачи
для упругого полупространства, деформируемого жестким штампом, кру-
круговым или эллиптическим в плане. Впервые подобная задача рассматри-
рассматривалась еще Ж. Буссинеском для случая осевого вдавливания без трения
кругового цилиндра. К этой же категории задач относится классическая
3 Механика в СССР, т. 3

34 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
проблема Г. Герца о сжатии упругих тел в таких условиях, когда пло-
площадка контакта оказывается эллипсом. В дальнейшее развитие этого
круга вопросов весьма существенный вклад внесли советские ученые.
А. Н. Динник A909) и Н. М. Беляев A924) провели вычисление напря-
напряжений в телах, соприкасающихся по круговой или эллиптической пло-
площадке (см. также М. С. Кролевец, 1966). Значительное количество важных
работ по контактным задачам было выполнено в тридцатых и сороковых
годах. В. А. Абрамов A939 и А. И. Лурье A940) дали решение контактных
задач о нецентрально нагруженном круглом и эллиптическом штампе.
Существенные результаты в этом направлении получены И. Я. Штаерма-
ном A939, 1941, 1943), рассмотревшим различные случаи контакта тел
вращения без предположения о малости поверхности их соприкосновения,
а также впервые исследовавшим задачу о плотном прилегании штампа.
В 1941 г. А. И. Лурье с помощью функций Ламе детально рассмотрел
некоторые контактные задачи, причем разработал естественный и едино-
единообразный подход к задаче Герца и задаче о плотном прилегании. В работах
М. Я. Леонова A939, 1940) и Л. А. Галина A946, 1947) дано дальнейшее
обобщение ряда контактных задач для полупространства. Большой мате-
материал оригинального и обзорного характера, относящийся к рассматри-
рассматриваемым проблемам, содержится в монографиях И. Я. Штаермана A949),
Л. А. Галина A953), А. И. Лурье A955), а также в обзорных статьях
Д. И. Шермана A950) и Г. С. Шапиро A950), в которых имеются ссылки
на многие работы, не вошедшие в настоящий обзор.
В последующие годы развитие методов, основанных на использова-
использовании общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Папко-
вича — Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упру-
упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач
теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесо-
целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства
заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области S гра-
граничной плоскости z = 0 известно нормальное перемещение uz = f (х, г/),
а вне S (в области 5") задано нормальное напряжение сгг = о* (х, у).
Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем а = 0, а функ-
функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что сме-
смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены
к нахождению одной гармонической функции, заданной в S, причем
в области S' известна ее нормальная производная. Советскими учеными
были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам тео-
теории потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения неко-
некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих мето-
методов являются следующие: применение сфероидальных и эллипсоидальных
координат (А. И. Лурье); построение и использование функции Грина
(Л. А. Галин; М. Я. Леонов, 1953); метод интегральных уравнений
(И. Я. Штаерман; В. И. Моссаковский, 1953); использование торо-
тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд,
1956, 1967); метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953,
1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных урав-
уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном *), поскольку его эффектив-
эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных
задач, о которых речь пойдет ниже.
*) См., например, его «Преобразования Фурье» A951; русский перевод: М.
1955), «Mixed boundary value problems in potential theory» A966).

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 35
Названные, а также многие другие авторы за последние десятилетия
дали исчерпывающие решения ряда новых смешанных задач простран-
пространственной теории упругости, в том числе и контактных. Так, Л. А. Галин
A947) и В. Л. Рвачев A959) рассмотрели вопрос о вдавливании в полу-
полупространство клиновидного штампа; в работах Н. А. Кильчевского A.958,
1960) даны обобщения задачи Герца и указана связь задачи об упругом
контакте с некоторой экстремальной проблемой; В. Л. Рвачев A.956,
1957) решил задачи о штампе в виде полосы и многоугольника, а также
рассмотрел случай штампа с основанием, ограниченным кривой второго
порядка; работы Г. Я. Попова A961, 1.963) посвящены смешанным задачам
для круговой области контакта и для штампа в виде полуплоскости
и квадранта; Н. М. Бородачев A962, 1964, 1966) и А. Ф. Хрусталев A.965)
исследовали ряд термоупругих задач для полупространства. Особо следует
остановиться на сложной задаче о действии на полупространство полого
кругового цилиндра, известной в литературе под названием задачи о коль-
кольцевом штампе. Точное решение этой задачи связано с нетабулированными
функциями кольца овального сечения (см. Н. Н. Лебедев, 1937). Различ-
Различные приближенные методы решения этой задачи предложены в работах
А. Я. Александрова A955), Ю. О. Аркадьевой A962), В. С. Губенко
и В. И. Моссаковского A960), К. И. Егорова A.963), Г. Я. Попова A967).
За последние годы наметился еще один подход к этой и сходным с нею
задачам, основанный на использовании парных интегральных уравнений,
евязанных с преобразованием Мелера — Фока (В. Т. Гринченко
и А. Ф. Улитко, 1.963; А. А. Баблоян, 1964; А. Н. Руховец и Я. С. Уфлянд,
1965—1967), а также на применении тройных интегральных уравнений *)
(Н. М. Бородачев и Ф. Н. Бородачева, 1966). Указанные методы позво-
позволяют получить эффективные приближения, основанные на численном
решении интегральных уравнений Фредгольма.
В советской литературе было опубликовано большое число работ,
посвященных смешанным задачам, связанным с вопросами изгиба балок
и плит на упругом основании. Укажем здесь только на исследования
А. Г. Ишковой A947), М. Я. Леонова A939) и В. А. Пальмова A960),
относящиеся к изгибу круглой плиты на упругом полупространстве, а также
на монографии М. И. Горбунова-Посадова A953) и Б. Г. Коренева A954,
1960). Итоги многих работ этого направления и большую библиографию
читатель найдет в обзорном докладе А. Г. Ишковой и Б. Г. Коренева A966).
Наряду с контактными задачами, рассмотренные выше смешанные
задачи теории потенциала для полупространства могут быть трактованы
как задачи о деформации неограниченного упругого тела, ослабленного
плоской щелью, занимающей область S (или S'). Действительно, в случае
загружения берегов щели, симметричного относительно ее плоскости,
достаточно рассмотреть полупространство, на границе которого в обла-
области S (или S') заданы напряжения, а вне ее отсутствуют касательные
напряжения и нормальное перемещение. В случае антисимметричного
загружения даже для круговой щели возникают некоторые дополнитель-
дополнительные трудности, разрешенные в работах В. И. Моссаковского A955)
и Я. С. Уфлянда A967), причем в последней работе эта задача рассмотрена
как частный случай общей смешанной задачи, когда на всей границе
полупространства задано нормальное напряжение, в области S (S')
известно касательное смещение, а в области S' (S) заданы касательные
*) Тройные интегральные уравнения исследовались в работах К. Дж. Траитера
(Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1961, 14:3, 283—292) и Дж. К. Кука (Quart. J.
Mech. and Appl. Math., 1963, 16:2, 193—203; 1965, 18:1, 57—72).
3*

36 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
напряжения. Интересная задача о контакте двух различных сред, на общей
границе которых имеется круглая щель, решена В. И. Моссаковским
и М. Т. Рыбкой A964); при этом осуществляется обобщение известного
критерия Гриффита — Снеддона на случай неоднородного тела (см. также
статью тех же авторов, 1965). Из работ, относящихся к деформации
тел со щелями, укажем еще на интересные статьи В. Т. Гринченко
и А. Ф. Улитко A965), В. М. Александрова и Б. И. Сметанина A965),
а также на работу Я. С. Уфлянда A958), посвященную задаче о равно-
равновесии тела с плоским полубесконечным разрезом.
В большинстве рассмотренных работ, связанных с контактными
задачами, предполагалось, что трение между штампом и упругим телом
отсутствует. Значительно большие математические трудности представляет
другой предельный случай, когда штамп и основание находятся в условиях
сцепления (такая задача есть частный случай основной смешанной задачи
теории упругости). В отличие от более простых смешанных задач, в этом
случае дело сводится к отысканию двух гармонических в полупространстве
функций с неразделенными краевыми условиями первого и второго рода.
Впервые такая задача для кругового штампа была решена В. И. Мосса-
Моссаковским A954) путем сведения ее к плоской задаче линейного сопряжения
двух аналитических функций. Впоследствии Я. С. Уфлянд A954, 1967)
дал непосредственное решение этой задачи с помощью тороидальных
координат и интегрального преобразования Мелера — Фока. В статье
Б. Л. Абрамяна, Н. X. Арутюняна и А. А. Баблояна A966) осуществлен
еще один подход к той же задаче, основанный на использовании парных
интегральных уравнений. Контактным задачам при наличии сцепления
посвящена также работа В. И. Моссаковского A963). Решение основной
смешанной задачи теории упругости для полупространства с прямолиней-
прямолинейной границей раздела краевых условий дано Я. С. Уфляндом A957)
с помощью интегрального преобразования Конторовича — Лебедева.
Исследованию поведения напряжений вблизи краевой линии штампа,
находящегося в условиях сцепления, посвящена статья Г. Н. Савина
и В. Л. Рвачева A963).
Естественным обобщением классической задачи о вдавливании жест-
жесткого штампа в упругое полупространство является контактная задача
для неограниченного упругого слоя. Исследования этих вопросов интен-
интенсивно проводились в СССР в пятидесятых годах, причем, в отличие от слу-
случая полупространства, здесь уже не удавалось получить точных решений,
а можно было лишь свести соответствующие задачи к интегральным
уравнениям. Первой работой здесь следует считать статью Б. И. Когана
{1954), в которой составлено и численно решено интегральное уравнение
первого рода для контактного давления между круглым штампом и слоем,
лежащим на полупространстве. Более эффективное решение сходной задачи
дано Н. Н. Лебедевым и Я. С. Уфляндом A958), которые рассматривали
осевое вдавливание кругового в плане жесткого штампа в упругий слой,
лежащий на жестком основании, при отсутствии трения.. Эта задача была
сведена к парным интегральным уравнениям вида
) (X) /0 (Xr) dX=f{r) @<г< а),

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 37
где а — радиус штампа, h — толщина слоя, / (г) — заданная функция,
связанная с формой основания штампа, Ф (К) — искомая величина. Путем
представления решения в виде квадратуры от новой неизвестной функции
и.
ф (X) = [1 — g (Я)] \ ф (t) cos It dt
второе уравнение удовлетворяется тождественно, а первое сводится к урав-
уравнению Фредгольма с непрерывным симметричным ядром. Такой путь
решения дает возможность провести ряд числовых расчетов и, в частности,
найти связь между перемещением штампа и осевой силой Р с помощью
простой формулы
а
P = 2n\®(t)dt.
J ф @ <
К. Е. Егоров A960) применил сходную методику к случаю неосевого
вдавливания штампа. В статье В. А. Пупырева и Я. С. Уфлянда A960)
и в монографии последнего A967) дано решение общей смешанной задачи
для упругого слоя, а также рассмотрен случай сцепления слоя и основания.
Существенно указать, что метод парных интегральных уравнений позво-
позволил эффективно рассмотреть и более сложную осесимметричную задачу
о сжатии слоя двумя штампами различных радиусов (Ю. Н. Кузьмин и
Я. С. Уфлянд, 1967). И. И. ВоровичиЮ. А. Устинов A959) получили сингу-
сингулярное интегральное уравнение непосредственно для функции Ф (к) и раз-
разработали приближенный метод его решения путем разложения в ряд по сте-
степеням alh. Аналогичный метод был применен Д. В. Грилицким к задаче
о кручении многослойной среды при помощи сцепленного с ней штампа,
а также к ряду сходных контактных задач. Метод парных интегральных
уравнений позволил ряду авторов (см., например, Г. М. Валов, 1964;
С. М. Котляр, 1964; В. И. Довнорович, 1964) решить различные контактные
задачи для упругого слоя, в том числе и термоупругие. Контактные и сме-
смешанные задачи для анизотропных тел рассматривались С. Г. Лехницким
A950), Д. В. Грилицким и Я. М. Кизымой A962, 1964), Р. Я. Сунчелеевым
A965, 1966).
Специальный эффективный метод подхода к • контактным задачам
о воздействии штампа на упругий слой, основанный на непосредственном
рассмотрении интегрального уравнения для давления под штампом, был
предложен В. М. Александровым и И. И. Воровичем A960, 1964). Решение
задачи имело вид разложения по малому параметру — отношению харак-
характерного размера штампа к толщине слоя. Существенно, что эффективные
результаты при этом удалось получить не только для кругового, но и для
эллиптического в плане штампа, а также для некоторых других форм
основания. Указанный метод получил свое дальнейшее развитие в работах
В. М. Александрова A963, 1964, 1967) и других учеников И. И. Воро-
вича (см., например, диссертацию В. А. Бабешко, 1966) и в настоящее
время может считаться одним из наиболее эффективных для решения
рассматриваемого класса контактных задач при произвольной величине
отношения толщины слоя к характерному размеру штампа.
Из работ, посвященных более сложным контактным проблемам, отме-
отметим статью В. С. Губенко A960), в которой исследуется вопрос о воздей-
воздействии кольцевых штампов на упругий слой, а также работу И. И. Воро-
вича и В. В. Копасенко A966) о контактной задаче для полуполосы.

38 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
С помощью парных интегральных уравнений могут быть успешно
решены задачи о концентрации напряжений в упругом слое, ослабленном
соосными круглыми щелями, параллельными границам слоя. Простейшей
задачей такого типа (Я. С. Уфляид, 1959) является равновесие упругого
слоя, содержащего в средней плоскости одну симметрично загруженную
круговую щель. И. А. Маркузон A963) исследовал этот же вопрос в связи
с задачей о нахождении размеров равновесной трещины по способу
Г. И. Баренблатта.
Из других работ, относящихся к равновесию тел со щелями и отвер-
отверстиями, укажем на статьи В. В. Панасюка A960), Н. Н. Лебедева
и Я. С. Уфлянда A960), Ю. Н. Кузьмина и Я. С. Уфлянда A965),
Ю. Н. Кузьмина A966) и Н. В. Пальцуна A967), а также на обзорную
работу Г. Н. Савина, А. С. Космодамианского и А. Н. Гузя A967).
Остановимся теперь на контактных задачах, относящихся к равно-
равновесию бесконечного цилиндра. При рассмотрении этих вопросов наиболее
эффективным оказывается метод парных интегральных уравнений, связан-
связанных с преобразованием Фурье по осевой координате. Характерной
особенностью этого способа является то обстоятельство, что в случае
полубесконечной области контакта эти уравнения допускают точное
решение с помощью методов теории функций комплексного переменного,
опирающихся на возможность факторизации аналитической функции,
заданной в полосе. Первой работой этого направления явилась статья
Б. И. Когана A956), посвященная изучению осесимметричного напряжен-
напряженного состояния бесконечного цилиндра, зажатого без трения в полубеско-
полубесконечную жесткую обойму. В предположении, что в области контакта задано
постоянное радиальное смещение, задача сводится к парным уравнениям
вида
о
точное решение которых осуществляется построением некоторой меро-
морфной функции в виде бесконечного произведения. В более поздних
работах Б. И. Когана, А. Ф. Хрусталева и Ф. А. Вайнштейна A958—
1965) эта методика была применена к различным смешанным задачам как
для сплошного, так и для полого цилиндра, а также в случае трансверсаль-
ной анизотропии. Метод решения подобных задач, основанный на сведе-
сведении их к интегральному уравнению Винера — Хопфа для контактного
напряжения, разработан Г. Я. Поповым A964). Им же дано решение кон-
контактной задачи для бесконечного цилиндра с двумя симметричными участ-
участками контакта. Укажем еще на статью Г. М. Валова A966), где с помощью
парных интегральных уравнений с тригонометрическими ядрами рас-
рассмотрена задача о кручении полого бесконечного цилиндра.
В самое последнее время было достигнуто существенное расширение
области разрешимых контактных задач в связи с развитием нового аппа-
аппарата парных рядов применительно к смешанным задачам для упругой
сферы *). Под парными рядами (или парными сумматорными уравнениями)
*) Решение некоторых смешанных задач теории потенциала с помощью метода
парных рядов дано во второй из упомянутых выше книг Я. Н. Снеддона (см. стр. 34).

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 39
понимается система уравнений
оо
2 апАпКп (х) = Л (х) (а < х < с),
п=0
оо
2 Тп^л^Д («) = U («) (С < X < Ь) ,
из которой надо определить коэффициенты Ап, причем предполагается,
что ядра Кп (х) образуют на промежутке (а, Ъ) замкнутую систему,
а числа ап и уп заданы. С помощью парных рядов, содержащих разложе-
разложения по полиномам Лежандра, в работах Н. X. Арутюняна, Б. Л. Абрамяна
и А. А. Баблояна A964, 1966) было решено несколько интересных задач
о деформации упругой сферы, а также элдипсоида вращения при смешан-
смешанных граничных условиях. Ими рассмотрено осесимметричное сжатие сферы
двумя симметрично расположенными одинаковыми жесткими штампами
в предположении отсутствия трения. Эту задачу удалось свести к парным
рядам указанного выше вида при Кп (х) = Рп (х), ап = п -f- V2, yn =
= 1 + Рл, (величины $п при п-+- оо имеют порядок 1/п), а = —1, Ъ = 1.
Если обозначить через V (х) значение суммы первого из парных рядов
при х > с, то решение сводится к интегральному уравнению
оо
S (|, у) = У2 2 РпРп й) cos [ {п + \) arccosу] ,
где
п=0
а Ф (х) — известная функция. Сходным приемом дано решение задачи
о кручении упругой сферы двумя сцепленными с ней симметрично распо-
расположенными одинаковыми штампами. Методом парных рядов по полиномам
Лежандра даны также решения некоторых смешанных задач о сжатии
и кручении упругой сферы и вытянутого эллипсоида вращения. Наконец,
рассмотрена контактная задача о вдавливании жесткого штампа в упругую
сферу, причем парные ряды по полиномам Лежандра были сведены к беско-
бесконечной линейной алгебраической системе. В качестве примера рассматри-
рассматривалась сфера, покоящаяся без трения на полусферической выемке и нагру-
нагруженная по остальной части поверхности.
Парные ряды по полиномам Лежандра могут быть также эффективно
использованы с помощью бисферических координат при решении смешан-
смешанной задачи о кручении полупространства со сферическим включением
(см. А. Н. Руховец и Я. С. Уфлянд, 1967).
Отметим также интересную статью Н. М. Бородачева A967), в которой
парные ряды по функциям Бесселя использованы в осесимметричной
задаче о вдавливании кругового штампа в торец полубесконечного
цилиндра.
Необходимо указать еще на один раздел пространственны;^ смешанных
задач теории упругости, получивший в работах советских ученых боль-
большое развитие за последние годы. Речь идет о контактных задачах для
линейно деформируемого основания и связанных с ними задачах о воздей-
воздействии штампа на неоднородное упругое полупространство. Основополож-
Основоположные работы здесь принадлежат Б. Г. Кореневу A954, 1957, 1960)

40 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
В дальнейшем этими проблемами занимались В. И. Моссаковский A958),
Г. Я. Попов A959), А. Ф. Раков и В. Л. Рвачев A961), Н. А. Ростовцев
A961, 1964) и ряд других авторов. Более подробные сведения по этим
вопросам содержатся в обзорном докладе А. Г. Ишковой и Б. Г. Корене-
Коренева A966).
В заключение отметим, что значительное количество сведений и боль-
большая библиография по смешанным пространственным задачам теории упру-
упругости, изученным в последние годы, содержатся в обзорах Д. И. Шермана
A962), Б. Л. Абрамяна и А. Я. Александрова A966), Г. Я. Попова
и Н. А. Ростовцева A966), Н. А. Кильчевского и Э. Н. Костюка A966)
В. Л. Рвачева A967).
§ 5. Постановка и методы решения задач плоской теории упругости
Одним из наиболее важных и хорошо разработанных к настоящему
времени разделов теории упругости, где достижения отечественной науки
особенно велики, является так называемая плоская задача теории упругости
Успех в разработке плоских задач объясняется привлечением к их рас-
рассмотрению теории аналитических функций комплексного переменного.
Первые и основополагающие результаты в этом направлении, определяю-
определяющие современный вид плоской теории в целом, были получены в фунда-
фундаментальных исследованиях Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили.
Под плоской задачей теории упругости понимают плоскую деформа-
деформацию упругой среды, параллельную заданной плоскости (деформация длин-
длинного цилиндра со свободными основаниями), либо плоское ее напряженное
состояние (деформация тонкой пластинки силами, лежащими в ее пло-
плоскости). Определение упругого равновесия в этих случаях сводится к реше-
решению краевых задач для бигармонического уравнения. К бигармоничес-
скому же уравнению сводятся задачи равновесия упругих пластинок,
подверженных нормальной нагрузке. Плоские задачи и задачи об изгибе
пластинок в математической их формулировке весьма сходны между
собой, сходны и методы их решений. Поэтому целесообразно совместное
рассмотрение этих двух типов задач.
5.1. Общие комплексные представления решения плоской задачи.
Основные соотношения плоской задачи в обозначениях Н. И. Мусхели-
Мусхелишвили предполагаются известными. Область S, занятая упругой средой,
представляет связную часть плоскости Оху, ограниченную одним или
несколькими замкнутыми контурами без общих точек L±, L2, . . ., Lm,
Lm+i, причем последний охватывает все предыдущие. При отсутствии кон-
контура Lm+i имеем бесконечную область плоскости с отверстиями; рассмат-
рассматриваются также случаи, когда среди контуров Lk имеются разомкнутые
части конечной длины или бесконечные (плоскость со щелями, полупло-
полуплоскость с отверстиями и т. д.). Предполагается отсутствие массовых сил.
Напряжения и перемещения выражаются через комплексные потен-
потенциалы Колосова — Мусхелишвили ср (z), о|э (z) по формулам
2(i (и + iv) = щ (z) — zq>' (z) — яр (z).
E.1)
Эти формулы впервые были указаны Г. В. Колосовым в 1.909 г. в осно-
основоположном труде «Об одном применении теории функций комплексного

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 41
переменного к плоской задаче математической теории упругости». Их[стро-
гое обоснование дано позже Н. И. Мусхелишвили (см. его монографию
«Некоторые основные задачи математической теории упругости», 1933;
изд. 5—1.966).
В односвязной и конечной области S при отсутствии сосредоточенных
сил и моментов потенциалы ф (z) и г|э (z) голоморфны. В случае же конеч-
конечной многосвязной области требования однозначности и конечности напря-
напряжений и перемещений в S приводят к представлениям
m
1
2яA + х) 2 (Xft + iYkS> 1П (Z ~" Z&) + ф* (Z)'
E.2)
k=l
^
где ф* (г) и *ф* (z) голоморфны в S, zk — точки внутри Lk, Xk + iYk —
главный вектор внешних сил на L&. Для бесконечной области S, когда
контур Z/m+i отсутствует, а поле напряжений в бесконечно удаленных
частях тела конечно, представления ф и я|э вблизи бесконечно удаленной
точки имеют вид
E.3)
Через комплексные постоянные Г, Г' определяются напряжения и враще-
вращение на бесконечности, X + iY — главный вектор внешних сил на полной
границе L области, а ф0 (z) и ty0 (z) голоморфны в окрестности z = оо.
Вектор перемещения на бесконечности ограничен при условиях Г =
= Г =±= О, X + iY = 0.
5.2. Формулировка основных задач плоской теории упругости. Под
основными задачами плоской теории упругости обычно подразумевают
следующие три.
Первая основная задача требует определения упругого равновесия
тела, когда на его границе заданы внешние силы. Эта задача приводит
к следующей граничной задаче теории аналитических функций:
Ф (t) + ftp' (f) -\- ty (t) = f (t) -\- С (t) на L, E.4)
где / (t) — заданная на L функция, определяемая через внешние силы
формулой
s
Xn + iYn)ds,
причем 5 — дуга контура L&, отсчитываемая на каждом L& от некоторой
его фиксированной точки в положительном направлении, а С (t) = Ck
на L&, Съ, — комплексная постоянная.
Вторая основная задача заключается в определении упругого рав-
равновесия тела по заданным смещениям точек его границы. Для отыскания
аналитических в области S функций ф и of) в этом случае мы будем иметь

42 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
граничное условие
к ф 00 — t q/ (t) — -ф (*) = g (t) на L, E.5)
где g (t) -— заданная функция, g (t) = 2\i (и + &z>) на L.
Основную смешанную задачу будем ради простоты формулировать для
конечной односвязной области, ограниченной одним замкнутым конту-
контуром. В этой задаче на части границы U = aibl-{- аф2~\~ • • • Л'йпЪп,
где ahbk (к = 1, . . ., п) — неперекрывающиеся дуги контура L, распо-
расположенные в определенном порядке, заданы внешние напряжения, а на дру-
другой части L" — &ia2 + b2a3 + • • • + Ьпап+1 {an+i = &i) заданы смеще-
смещения. Соответствующая задача теории аналитических функций имеет вид
к Ф (t) + t Ф' (t) + г|> (t) = /г @ + С (t), E.6)
где h (t) — заданная функция, к = i при г ? Z/, Л = —х при ? 6 •?">
С (t) = Ck = const при * ? Z/, С (^) = 0 при f 6 L".
Условия E.4) или E.5) должны быть соблюдены на каждом из конту-
контуров Lk. Постоянная С (t), фигурирующая в правой части E.4), может,
вообще говоря, принимать различные значения на различных контурах.
Только для одного из них она может быть зафиксирована как угодно
(обычно полагают Cm+i = 0), а на других контурах они остаются совер-
совершенно произвольными, подлежащими определению в ходе решения задачи.
Совершенно так же постоянные Ck в правой части E.6) (кроме одной,
выбираемой как угодно) не задаются заранее и подлежат определению
вместе с функциями ф и г|).
В плоской теории упругости рассматривают также так называемую
третью основную задачу, когда на границе среды задаются нормальная
составляющая вектора смещения и касательная составляющая вектора
внешнего напряжения. Это соответствует соприкасанию упругого тела
с жестким профилем заданной формы, когда контакт между упругим
и жестким телами происходит по полной их границе.
Если произвольные постоянные в правых частях E.4) и E.6) зафик-
зафиксированы, как указано выше, то дополнительные условия для ф и if будут
иметь следующий вид:
в первой задаче
Ф @) = 0, Im Ф' @) = 0;
во второй и смешанной задачах
Ф @) = 0 либо г|> @) = 0.
Этим исчерпывается весь произвол в выборе функции ф и ар.
Доказано, что если в случае первой задачи отвлечься от жесткого
смещения тела как целого, а в случае третьей задачи для круга — от жест-
жесткого поворота круга вокруг его центра, то каждая из поставленных задач
не может иметь более одного решения. Для существования решения первой
основной задачи необходимы условия равенства нулю главного вектора
и главного момента внешних усилий, приложенных к границе области.
При однозначности и непрерывности функции / (?), фигурирующей в правой
части E.4), эти два условия сводятся к одному (Н. И. Мусхелишвили,
1966):
Re j f(t)dt = O.

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 43
В теории изгиба пластинок доказывается, что прогиб w (х, у) средин-
срединной поверхности тонкой однородной упругой пластинки, подверженной
действию распределенной по ее поверхности нормальной нагрузки, удов-
удовлетворяет неоднородному бигармоническому уравнению
ДДи> = ?, E.7)
где q — интенсивность нагрузки, а В — цилиндрическая жесткость.
Цосле отыскания какого-либо частного решения E.7) мы можем
по известной формуле Гурса представить общее решение этого уравнения
через две аналитические функции ср и %, причем %' (z) = ty (z). Через них
выражаются основные величины, определяющие напряженное состояние
пластинки. Имеют место следующие формулы (С. Г. Лехницкий, 1938),
аналогичные формулам Колосова — Мусхелишвили:
2) + я|/ (г)]+Щ-М%+2Ш%у,
My=-8DA-v) [Ф' (z) + Ф' (*)] + М% + М»,
E.8)
Nx — iNy= — 8Dy"(z) + N°x-i№y. J
Здесь Mx, My — изгибающие моменты, Нху — скручивающий момент,
Nx, Dy — перерезывающие силы, приходящиеся на единицу длины;
М°х, .. . ., Щ — те же самые величины, относящиеся к выбранному част-
частному решению уравнения E.7). Степень определенности функций ф и а|>
такова же, что и в плоской задаче.
Для определения прогибов из уравнения E.7) необходимо к нему
присоединить граничные условия, соответствующие тому или иному
характеру закрепления границы.
Здесь мы имеем следующие три основные задачи. Мы сформулируем
их, имея в виду случай односвязной области, ограниченной замкнутым
контуром. .
I. Крайпластинки заделан. Это означает, что на гра-
границе области ?, занятой срединной поверхностью пластинки, должны
иметь место соотношения
w = 0, — = 0, E.9)
dn v '
где п — внешняя нормаль к контуру.
И. Край пластинки свободен. Граничные условия
имеют вид
ъ -г- (-5-Т—я-»-) sin20 + 2-5—«-cos20 =0,
dAw
dn
где 9 — угол, составляемый внешней нормалью с осью Ох; левые части
равенств представляют собой соответственно изгибающий момент и обоб-
обобщенную перерезывающую силу, отнесенные к единице длины и действую-
действующие на элемент пластинки с нормалью п.
III. Край пластинки оперт. Свободному опиранию края
отвечают следующие условия:
w = 0, |
E.И)

44 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
Кроме этих основных видов граничных условий, нередко встречаются
особо интересные для приложения смешанные условия, когда, например,
одна часть границы заделана, другая оперта, а остальная свободна.
Поскольку по граничным значениям функции w и ее нормальной про-
производной всегда можно найти граничные значения частных производных
этой функции по х и г/, задача I об изгибе пластинки вполне равносильна
первой основной задаче плоской теории упругости; граничные условия
задачи I в точности совпадают с условием E.4), без какого-нибудь про-
произвола в задании правой части последнего.
Условия на свободной границе E.10), как это было отмечено С. Г.
Лехницким A938) и И. Н. Векуа A942), приводят после их надлежащего
преобразования к граничной задаче теории функций, вполне аналогичной
E.5). Разница заключается лишь в том, что постоянная к в левой части
E.5) заменяется другой постоянной: х* = C + v)/(l — v), а правая часть
задается с точностью до слагаемого вида iCt + Ci, где С — вещественная,
С\ — комплексная постоянная. Впрочем, в рассматриваемом случае одно-
связной области эти постоянные можно положить равными нулю.
Наконец, условия свободного опирания краев E.11) можно записать
через функции ср и if> в виде (А. И. Каландия, 1953)
Re { ЬоФ' (*) - (*) 2 [1 Ф" (t) + ф' (*)] }=gi
Re {?[
где gi, g2 — заданные на L функции, Хо = 2 A + v)/(l — v).
Нетрудно убедиться, что задача E.12) и третья задача плоской теории
упругости равносильны между собой.
Из сказанного выше ясно, что методы решения плоских задач приме-
применимы иногда почти без всяких изменений к задачам изгиба тонких пла-
пластинок. Эта возможность впервые была использована А. И. Лурье A928).
5.3. Методы решения плоских задач. Ниже дается краткая характе-
характеристика методов решения плоских задач, основанных на применении теории
функций комплексного переменного *). Мы ограничимся главным образом
рассмотрением случая, когда упругая среда заполняет конечную односвяз-
ную область, ограниченную замкнутым контуром. Основную область S,
внутреннюю по отношению к L, будем здесь обозначать через S+, а внеш-
внешнюю (дополняющую S+ до полной плоскости) — через S~.
5.3.1. Напомним некоторые элементарные понятия и предложения,
относящиеся к теории аналитических функций и используемые в дальней-
дальнейшем изложении.
Под интегралом типа Коши подразумевается выражение
где t — аффикс точки контура L, az — аффикс произвольной точки пло-
плоскости. Если z — совпадает с точкой t0 контура L, то под интегралом E.13)
будем понимать его главное значение по Коши.
Функция F (z), определяемая формулой E.13), голоморфна как в обла-
области S+, так и в S~ и при достаточной гладкости плотности / (i) (например,
если она удовлетворяет условию Гельдера на L) непрерывна в соответ-
*) В п. 5.3.9 освещен также метод интегральных преобразований в плоских
задачах теории упругости.

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ '45
ствующих замкнутых областях S + -\-L и S~ -\- L. Предельные значения
этой функции слева и справа от L в какой-либо точке t0 ? ?> обозначаемые
обычно через F+ (t0) и F~ (t0) соответственно, даются известными форму-
формулами Сохоцкого — Племели.
Функцию, голоморфную как в S+, так ив<5"и обладающую непре-
непрерывными предельными значениями F+ и F~, называют, следуя Н. И. Мус-
хелишвили, кусочно-голоморфной. Пример кусочно-голоморфной функции
дает при известных условиях относительно функции / (t) интеграл E.13).
Для того чтобы заданная на L непрерывная функция / (t) являлась
предельным значением некоторой функции / (z), голоморфной в S+, необ-
необходимо и достаточно, условие
Ж? = о для всех *€*-• E.14)
Аналогично, условием того, чтобы функция / (t) была граничным
значением функции / (z), голоморфной в ?~, является равенство
= const для всех Z^S+' EЛ5)
В случае, когда S+ представляет круг единичного радиуса, предыду-
предыдущим условиям можно придать несколько иной, более удобный для даль-
дальнейших целей вид (Н. И. Мусхелишвили, 1966). По заданной функции
/ (z), голоморфной в ?+, определим другую функцию комплексного аргу-
аргумента согласно равенству
/* (г) = /({)• E-16)
Для этой функции мы будем иногда пользоваться обозначением
/*(*) = /(|). E-17)
Непосредственной проверкой условий Коши — Римана легко убе-
убедиться, что функция /* (z) голоморфна в области ?~, включая бесконечно
удаленную точку. Наоборот, если функция / (z) голоморфна в S~, то /* (z)
будет голоморфной от z в области S+.
Обозначение E.16) можно применить и в более общем случае, когда,
например, / (z) имеет внутри S+ конечное число полюсов. Функция /# (z)
будет тогда обладать полюсами тех же порядков в точках, являющихся
отражением полюсов / (z) в единичной окружности.
Для граничных значений функции E.16) будем иметь
?@ = 740, Л(О = 7ГТО. E-18)
Применяя E.14) к функции /* (z), получим условие
ST \ V—f =const Для всех z?s+i E.19)
L
необходимое и достаточное для того, чтобы непрерывная по окружности
функция / (t) была граничным значением некоторой функции / (z), голо-
голоморфной в S+. Постоянная, фигурирующая в правой части равенства,
имеет определенное значение / @). Аналогично предыдущему, условие
E.15) примет вид
^{^ = 0 для всех z?S~. ' E.20)

46 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
Операция E.16) дает один из возможных способов конструирования
голоморфной в S~ функции по заданной / (z), голоморфной в S+. Очевидно,
что распространение голоморфной в круге функции на его внешность
может быть осуществлено бесчисленным множеством способов. Однако
именно указанный способ распространения является одним из немногих,
которые полезны в приложениях.
Функция / (z), определяемая как в S+, так и в ?~ формулой
/ /(z) при И<!>
/*(*) при Н>1,
очевидно, кусочно-голоморфна. Кроме того, / (z) аналитически продол-
жима через те участки окружности | t\ = 1, на которых Im / (t) = 0.
Последнее свойство / (z) непосредственно следует из E.18).
Подобного рода распространение голоморфных функций часто исполь-
используется в прикладных целях и в случае, когда S+ — полуплоскость. Тогда
вместо E.16) полагают (Н. И. Мусхелишвили, 1966)
F(z)=F (z). E.21)
Из всех разнообразных методов решения плоских задач, известных
в научной литературе к настоящему времени, коснемся здесь в основном
лишь тех, которые непосредственно связаны с именами советских ученых
id вместе с тем наиболее эффективны как в смысле общих исследований
граничных задач, так и для конкретного их изучения в частных случаях.
Прежде всего, будем иметь в виду следующие четыре метода:
1. Метод степенных рядов с применением конформного отображения;
2. Приведение к функциональным (в частности, к интегральным)
уравнениям с применением конформного отображения (случай односвяз-
ных областей);
3) общие методы, приводящие к интегральным уравнениям без кон-
конформного отображения;
4) приведение к задаче линейного сопряжения.
В ряде специальных случаев, особенно при изучении многосвязных
сред, представляется целесообразным привлечение к рассмотрению того
или иного сочетания методов.
Дадим ниже краткое описание указанных методов.
5.3.2. При решении плоской задачи часто бывает полезно предвари-
предварительно отобразить конформно заданную область, заполненную упругой
средой, на некоторую другую область плоскости вспомогательной пере-
переменной ?. В случае конечной односвязной области S, ограниченной замк-
замкнутым контуром, обычно прибегают к отображению на круг единичного
радиуса, в случае конечной двухсвязной области — на круговое концентри-
концентрическое кольцо, в случае полубесконечной области с границей, уходящей
в бесконечность в обе стороны,— на полуплоскость и т. д.
Мы укажем здесь один из вариантов применения конформного отобра-
отображения в первом из указанных случаев (Н. И. Мусхелишвили, 1966).
Пусть
есть соотношение, реализующее требуемое конформное отображение
единичного круга | ? | < 1, контур которого мы обозначим через у,
на область S. Функции ф (z) и я|) (z), выраженные через новую перемен-
переменную ?, будем обозначать ф (?), ^(Q.

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
47
Граничные условия E.4) первой задачи примут тогда вид
Ф(а) + ||^7Й + фЙ = /(а) на у, E.22)
где а — точка контура у, о* = eiQ, f — заданная функция на у.
Предположим возможность следующих разложений в виде комплекс-
комплексных рядов Фурье:
со (а)
E.23)
и положим, что в единичном круге (при | ? | < 1)
E.24)
Тогда на основании E.22), при известных условиях относительно
сходимости предыдущих рядов, мы приходим для определения неизвест-
неизвестных коэффициентов aki a'h к следующим системам уравнений:
ат+
E.25)
E.26)
Доказано, что бесконечная система линейных уравнений E.25) раз-
разрешима, если соблюдены условия статики, и что ее решение, вместе
с E.26) дает решение рассматриваемой плоской задачи при достаточной
гладкости заданной функции / (t).
Для практики особое значение имеет следующий факт. В случае,
когда отображающая функция представляет собой полином
со (С) = с±1 + с^ + . . . + сп1п (с± Ф 0, сп ф 0), E.27)
бесконечная система E.25) вырождается в следующую конечную систему:
а2 + а&г А- 2а2Ь3
папЪп = А±,
(п — 1) an-ibn
E.28)
а формула E.26) дает
m+n+l
а'т+ 2
k=i
E.29)
Задача сводится к решению конечной системы E.28).
Указанный прием, очевидно, применим и в случае отображения
на круговое кольцо.

48 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
Метод степенных рядов в соединении с конформным отображением
широко используется до сих пор при решении отдельных конкретных
задач. Он применяется иногда и в несколько измененном виде (см., напри-
например, Д. И. Шерман, 1951; К. Грей, Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1951,
4 : 4, 444—448; M. Кикукава, Proc. Japan Nat. Congr. Appl. Mech.,
1953 &" 1954).
5.3.3. Особо полезным для эффективного решения задачи оказался
излагаемый ниже метод, сочетающий конформное отображение с приме-
применением аппарата интегралов типа Коши (Н. И. Мусхелишвили, 1966,
§§ 78—85). Состоит он в следующем.
Исходя из граничного условия E.22) и выражая условие, что г|э (сг)
является граничным значением на окружности функции г|э (?), голоморф-
голоморфной внутри круга и обращающейся в нуль при ? = О, получим на основа-
основании E.19) функциональное уравнение
^ E.30)
лт- { [ f{o)dG
v
Доказано, что при фиксированной постоянной Im [ф'@))/со'@)]
уравнение E.30) однозначно определяет функцию ф (?). После ее опреде-
определения функция if) (?) находится непосредственно из E.22) с помощью
интеграла Коши.
Функциональное уравнение E.30) позволяет строить совершенно
элементарными средствами точные решения задачи для широкого класса
областей. Приближенное же решение можно в принципе получать для
самого общего случая односвязной области.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим случай, когда отображаю-
отображающая функция со (?) рациональна. В этом случае выражение
фигурирующее под знаком интеграла в E.30), будет представлять собой
граничное значение функции
голоморфной вне у7 за исключением конечного числа полюсов — особых
точек функции со (?).
Так как точка ? в интеграле E.30) лежит внутри у, этот интеграл вычи-
вычисляется в конечном виде и будет представлять собой рациональную функ-
функцию, содержащую некоторое число неизвестных коэффициентов разло-
разложения <р (?). Для этих коэффициентов составляется конечная система
линейных уравнений, откуда они всегда могут быть определены вполне
однозначно.
Отсюда и следует известное предложение Н. И. Мусхелишвили сог-
согласно которому решение плоской задачи для рассматриваемого класса
областей можно получить в квадратурах с точностью до решения конеч-
конечной системы линейных алгебраических уравнений. В частном случае
полиномиального отображения вида E.27) функция ф (?) в E.30) пред-
представится в виде суммы интеграла Коши А (?) и полинома от ? степени п,

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 49
содержащего в качестве неизвестных первые п коэффициентов самой функ-
функции ср (?). Линейная система уравнений, получаемая для определения
последних, в точности совпадает с системой E.28). Обе искомые функции,
Ф (?) и г|) (?), определяются в замкнутом виде через решение этой системы
и заданную функцию /.
Если функция со (Q не рациональна, но разложение ее в круге изве-
известно, метод приводит к бесконечной системе линейных уравнений, а это
позволяет строить приближённое решение задачи с любой заданной точ-
точностью.
5.3,4. Комплексное представление упругих полей в соединении с раз-
различными интегральными представлениями аналитических функций пред-
представляет удобный аппарат для сведения плоской задачи к интегральным
уравнениям. В настоящее время известно несколько вариантов построения
таких уравнений. Укажем некоторые из них.
Интегральное уравнение Фредгольма относительно q/ (or) можно
немедленно получить из функционального уравнения E.30), предвари-
предварительно записав его в несколько ином виде и затем устремив точку ? изнутри
к точке окружности у (Н. И. Мусхелишвили, 1966, § 79). Элементарное
исследование этого интегрального уравнения позволяет доказать существо-
существование его решения (следовательно, и существование решения соответствую-
соответствующей плоской задачи), если, разумеется, в случае первой задачи для конеч-
конечной среды соблюдены условия статики. Более подробное исследование
этого уравнения провел Д. И. Шерман A938). Он изучил распределение
характеристических чисел интегрального уравнения и доказал, что оно
разрешимо для обеих основных задач методом последовательных прибли-
приближений.
Более общим, охватывающим случай многосвязных областейу является
метод приведения к интегральным уравнениям, не требующий предвари-
предварительного конформного отображения. Один из таких методов был пред-
предложен Н. И. Мусхелишвили A966, § 98). Сущность его мы разъясним
в предположении, что среда конечна и односвязна.
В равенстве E.4), выражающем граничное условие задачи, перейдем
к сопряженным значениям и согласно E.14) напишем условие того, что
функция гр (t) — граничное значение функции от z, голоморфной в S+.
Мы получим тогда функциональное уравнение
1 Г ф (t) dt , 1 f ty' (t)dt A . ч _ c
Ъп ) ^Tir + I^ ) -^=V- = ^ (z) для всех z?S~,
L L
Если мы вьгразим то же самое условие для ф (t) и q/ (z), то будем иметь
еще два других равенства, аналогичных предыдущему. Комбинируя эти
три равенства, после предварительного перехода в них к пределу по %
справа получим уравнение Фредгольма дляф (?), указанное Н. И. Мусхели-
Мусхелишвили:
<5-32>
Весьма сходное внешне с предыдущим, но по существу совершенно дру-
другое уравнение плоской задачи было иным путем построено Д. И. Шерма-
ном,A940), о чем мы скажем более подробно ниже.
4 Механика в СССР, т. 3

50
А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
Согласно исследованиям Д. И. Шермана A935—1937), уравнение
E.32) пригодно для любой многосвязаной области; оно всегда имеет реше-
решение, дающее решение соответствующей плоской задачи. Кроме того,
к уравнению E.32), предварительно, слегка измененному, применим метод
последовательных приближений (Д. И. Шерман, 1940).
Интегральное уравнение плоской задачи, также пригодное для любой
многосвязной области, было построено еще раньше С. Г. Михлиным
A934, 1935). Для этой цели в рассмотрение вводится так называемая
комплексная функция Грина, а затем с ее помощью — обобщенное ядро
Шварца, аналитическое в области, но неоднозначное. В многосвязной
области обобщенное ядро обладает свойством, аналогичным свойству
обычного ядра Шварца для круга. Уравнение Михлина для односвязной
области совпадает с уравнением E.32). С. Г. Михлин провел исследование
построенных уравнений; была доказана их разрешимость, а также приме-
применимость для их решения метода последовательных приближений. Резуль-
Результаты изложены в его монографии A949), где содержатся т^кже применения
ядра Шварца к решению плоской задачи в ряде частных случаев.
Исследования Л. Г. Магнарадзе A937, 1938) показали, что уравне-
уравнение Мусхелишвили сохраняет силу и в случае углов у границы, если инте-
интегралы, содержащиеся в уравнении, понимать в некотором обобщенном
смысле.
Простая и удобная во многих отношениях форма интегрального урав-
уравнения в общем случае многосвязной области была найдена в 1940 г.
Д. И. Шерманом. Дадим вывод уравнения Шермана, ограничиваясь
по-прежнему случаем конечной односвязной области. Первую и вторую
основные задачи будем на этот раз рассматривать одновременно, объединив
их граничные условия в следующее равенство:
= f(t) на L,
E.33)
где к = 1 в случае первой задачи ж к = —х в случае второй. Следуя
Шерману, положим в области S
_ к г 5Ti)dt i г
Г ю' (t) At
t-z
E.34)
где со (t) — некоторая функция точки контура L, подлежащая опреде-
определению. Переходя в этих формулах к пределу, когда точка z стремится
изнутри к точке 10 ? L, и подставляя найденные граничные значения в
E.33), после некоторых простых преобразований получим соотношение
'-Ч
E.35)
Это интегральное уравнение Фредгольма для со (?), о котором гово-
говорилось выше. Оно носит название уравнения Лауричеллы — Шермана.
В случае многосвязной среды целесообразно, следуя Шерману,
несколько видоизменить представления E.34), в результате чего изме-
изменится и уравнение E.35).

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 51
Исследование показывает, что однородное уравнение Лауричеллы -^-
Шермана не имеет «нетривиальных решений и что единственное решение
его дает по формулам E.34) решение исходной граничной задачи.
Представление E.34) применимо также к решению основной смешан-
смешанной задачи. Однако в этом случае мы будем иметь дело с интегральными
уравнениями, содержащими ядра типа Коши, теория которых разработана
к настоящему времени с той же полнотой, что для уравнений Фредгольма
(Н. И. Мусхелишвили, 1946, 1952; Н. П. Векуа, 1950).
Интегральные уравнения, безусловно, представляют удобное сред-
средство для общих исследований граничных задач, в частности для доказа-
доказательства существования их решения. Но вместе с тем метод интегральных
уравнений часто упрекают в недостаточной эффективности, и не без осно-
оснований. Попытки практического решения задач на основе этого метода,
с его обычной схемой, использующей для счета дискретный аналог инте-
интегральных уравнений, малоутешительны даже при современных вычисли-
вычислительных средствах. Поэтому, ввиду отсутствия более приемлемого алго-
алгоритма решения для общего случая многосвязной области, приходится
разыскивать специальные методы эффективного решения, приспособлен-
приспособленные к тем или иным классам граничных задач.
В этом смысле приобретают важное значение различные комбина-
комбинации перечисленных выше методов. Мы имеем в виду, прежде всего, соче-
сочетания функциональных уравнений с методом степенных рядов, метода
линейного сопряжения функций с конформным отображением, а также
более общие схемы решения, использующие попутно аппарат интеграль-
интегральных уравнений. Некоторые из этих специальных приемов будут указаны
ниже.
5.3.5. В ряде работ Д. И. Шермана (см., например, 1947, 1951) был
разработан эффективный способ решения плоской задачи для определен-
определенного класса (конечных и бесконечных) двухсвязных областей, ограничен-
ограниченных двумя замкнутыми кривыми. Основной чертой метода, определяю-
определяющей класс допустимых областей, служит требование, чтобы плоская зада-
задача для односвязной области (внешней либо внутренней по отношению
к одному из ограничивающих область замкнутых контуров) допускала
решение в замкнутом виде. Таким образом, границей области могут слу-
служить окружности, эллипсы, правильные многоугольники с округлён-
округлёнными вершинами и т. п. Пример бесконечной области — плоскость с дву-
двумя отверстиями требуемого вида. В рассмотрение можно включить и
полуплоскость с двумя отверстиями (трехсвязная область), если считать
отверстия расположенными далеко от прямолинейной ее границы, а на
этой последней требовать удовлетворения граничным условиям лишь
приближенно. Задачи этого типа особо важны для приложений в горном
деле. При изложении сущности метода будем для определенности считать
область S конечной, ограниченной кривыми L± (внутренней) и L2 (внеш-
(внешней).
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию со (?), определен-
определенную на Ь2 согласно равенству
Ф (г) — * ф' (t) — гЙО = 2 со (f) (f на L2). E.36)
Складывая и вычитая почленно равенства E.36) и E.4) на Z/2, получим»
считая С2 = 0:
_ 1
4*

52 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗБ и др.
С помощью о) (f) введем две новые функции ф0 (z) и % (z) следующего вида:
E.38)
(t) dt r, / ч
±1_ F(z),
= -ф(z) + -7Г-Т \ —^т11 — dt — Glz),
?iTtl j t — Z
JL/2
где
2m J t-z ' ^ w~~ 2rti
b2
Если теперь мы доопределим искомые функции фи\|), положив их вне
L2 равными нулю, то равенства E.37), как легко в этом убедиться, будут
выражать условие аналитической продолжимости вновь введенных функ-
функций через контур Z/2. Для этих голоморфных всюду вне L\ функций ф0 ия|;0
на основании равенства E.4) на Li будем иметь граничное условие
Фо (t) + f Ф' (t) + ^o 00 = ?2 [f; со (f)], E.39)
где Q — некоторый линейный оператор.
Согласно основному требованию метода мы полагаем, далее, что вспо-
вспомогательная плоская задача E.39) разрешима в конечном виде.,Очевидно,
это всегда будет именно так, если функция, отображающая область вне L\
на круг, рациональна.
По прайой части Q, считаемой временно заданной функцией от ?,
находится методом функциональных уравнений Мусхелишвили (см. выше
п. 3.3) решение задачи E.39) в замкнутом виде, и найденные функции
Фо, г|H вносятся в условие E.36). Это дает для определения со (f) соотно-
соотношение в виде интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Затем
используется разложение со (t) в комплексный ряд Фурье, и интегральное
уравнение сводится к бесконечной системе линейных алгебраических
уравнений.
5.3.6. В ряде случаев интегральные уравнения могут быть непосред-
непосредственно применены к эффективным решениям задач. Мы укажем на одну
возможность применения уравнения Лауричеллы — Шермана.
Предположим, что нам известна функция со (?), реализующая конформ-
конформное отображение круга на область (внутреннюю либо внешнюю по отноше-
отношению к контуру L). Если в уравнении E.35) произвести замену переменной
согласно равенству t = со (о*), то получим интегральное уравнение на
на окружности единичного радиуса. Ядро этого уравнения элементарно
выражается через со (а) и сохраняет простую структуру во многих случаях,
например в случае любого отображения вида E.27). Во всех этих случаях
к вновь полученному интегральному уравнению применим метод рядов
Фурье, что и приводит к эффективному решению задачи.
5.3.7. Под граничной задачей линейного сопряжения мы будем под-
подразумевать следующую задачу: найти функцию F (z), голоморфную на раз-
разрезанной вдоль линии L комплексной плоскости, по граничному условию
F+ (t) = a (t) F~ (t) + Ъ (*), E.40)
где a (t) и Ъ (t) — заданные на L функции, F+ (t) и F~ (t) — граничные
значения на L искомой функции F (z) слева и справа относительно выбран-
выбранного вдоль линии L положительного направления. Предполагается, что
эти граничные значения существуют всюду, кроме, быть может, конеч-

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 53
ного числа точек Ci, С2, . . ., Ст линии L, в окрестности которых F (z)
допускает оценку
{А и а —постоянные, а<1).
Иногда разыскиваются решения граничной задачей E.40), допускаю-
допускающие полюс в некоторой точке плоскости, не лежащей на L; обычно за такую
точку принимается бесконечно удаленная точка.
Мы будем рассматривать задачу E.40) при следующих предположе-
предположениях: L состоит из конечного числа непересекающихся замкнутых или
разомкнутых гладких контуров, функции a (t) и Ъ (t) удовлетворяют усло-
условию Гельдера на L, кроме конечного числа точек разрыва первого рода,
a (t) ф 0.
В этих предположениях задача E.40) решается в явном виде (в квадра-
квадратурах). Решение (имеющее полюс на бесконечности) имеет вид
o E.41)
где Р (z) — произвольный полином, а X (z) — так называемое канониче-
каноническое решение однородной задачи F+ (t) = a (t) F~ (t), которое строится
в явном виде (в квадратурах).
Для построения решения, имеющего определенный порядок на беско-
бесконечности, следует наложить определенные ограничения на полином Р (z),
а также на функцию Ъ (t) (см. Н. И. Мусхелишвили, 1966).
Сведение задач плоской теории упругости к задачам линейного сопря-
сопряжения является одним из эффективных методов решения этих задач (осо-
(особенно смешанных задач).
Для иллюстрации приведем решение основной смешанной задачи
для полуплоскости путем сведения ее к задаче линейного сопряжения
(Н. И. Мусхелишвили, 1966).
Пусть изотропное тело занимает нижнюю полуплоскость у < 0,
которую обозначим через S~. Верхнюю полуплоскость обозначим через S+,
действительную ось — через L, за положительное направление на L при-
примем направление, ведующее от —оо к +оо.
Будем исходить из формул общего комплексного представления напря-
напряжений и перемещений, в частности будем пользоваться формулами
Yy -iXy = <J)(z) + <5)(z) + z<b' (z) + W(z), E.42)
где Ф (z) и W (z) — искомые голоморфные в области S~ функции, которые
при больших | z | имеют вид
(X, Y) — главный вектор внешних усилий, приложенных к L.
Вместо двух голоморфных в области S~ функций Ф (z) и W (z) введем
одну кусочно-голоморфную функцию Ф (z), определенную как в S", так
и в S+, причем в верхней полуплоскости S+ она будет определена так, что
ее значения будут продолжать аналитически значения Ф (z) в нижней

54 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
полуплоскости S~ через незагруженные участки (если таковые имеются).
Определим Ф (z) в S+ следующей формулой:
Ф (z) = -Ф (z) -zO'(z)-f (z).
Эта формула дает выражение для функции W (z) через функцию Ф
распространенную и на 5+:
Y (z) = —Ф (z) — <D(z) — z Ф' (z);
следовательно, компоненты напряжения выражаются через одну функцию
Ф (z), определенную как в 5+, так ив5".
В частности, будем иметь формулу
Yy -1ХУ = Ф (z) - Ф (z) + (z - z) Ф' (z), E.44)
а из формулы E.43) получаем
2fji (-^-+& -]г-\ =хФ (г) + Ф(г) — (z — z) Ф' (z). E.45)
Пусть
представляет совокупность отрезков akbk действительной оси, и пусть
на V заданы компоненты смещения, а на остальной части L" = L — L' —
внешние усилия. Без ограничения общности можно считать, что заданные
на L" внешние усилия равны нулю (общий случай легко сводится к этому).
Будем считать, что функция Ф (z) непрерывно продолжима слева
и справа на L, кроме, быть может, точек ak, bki а в окрестности этих
точек
Будем считать также, что
lim (z — z) Ф' (z) = О,
когда z стремится к точке t действительной оси, отличной от точек ак и bk.
При этих предположениях из формулы E.44) вытекает
ф+ (t) = ф- (t). на L",
т. е. функция Ф (z) голоморфна на всей плоскости, разрезанной вдоль L э
и исчезает на бесконечности.
Из формулы же E.45) будем иметь
ф+ (I) = _х ф- (t) + 2fx g' (t) (t 6 L'), E.46)
где g (i) — заданная функция, g (t) = и (t) + i v (t), через и (t) и v {t)
обозначены известные на V граничные значения компонент смещения;
будем считать, что производная gr (f) удовлетворяет условию Гельдера.
Применив формулу E.41) для решения задачи сопряжения E.46),
получим

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 55
где X (z) (каноническое решение) имеет вид
Так как Ф (z) исчезает на бесконечности, а порядок X (z) на бесконеч-
бесконечности равен —тг, степень полинома Р (z) не должна превышать п — 1:
Р (z) =
При сведении рассматриваемой задачи к задаче линейного сопряжения
мы продифференцировали граничные условия вдоль отрезков акЪ^', следо-
следовательно, пока* мы сумели удовлетворить граничным условиям вдоль
akbk с точностью до постоянных слагаемых с&. Остается учесть условия
ci = с2 = . . . = сп = О, однако, как легко видеть, достаточно удовлетво-
удовлетворить условиям
Эти условия сводятся к следующим:
ak+i
\ (u' + w')dt = g(ak+1)-g{bk) (&=1,2, ..., тг--1). E.47)
\
Подставляя в равенства E.47) вместо и (t) + iv (t) ее выражение через
функцию Ф, получим систему п — 1 линейных уравнений.
Старший коэффициент Со полинома Р (z) определяется через задан-
заданный вектор (X, Y) внешних усилий:
г __ X + iY
Подставляя значение Со в систему E.47), получим относительно коэф-
коэффициентов Ci, С2, . . ., Cn_i систему п — 1 линейных уравнений. Эта
система однозначно разрешима на основании теоремы единственности
решения основной смешанной задачи.
5.3.8. Методы теории функций комплексного переменного, о которых
выше шла речь в связи с плоской задачей теории упругости, были суще-
существенно развиты в исследованиях И. Н. Веку а применительно к более
общим задачам теории дифференциальных уравнений в частных произ-
производных. В монографии И. Н. Векуа A948) именно с этой точки зрения
исследуется обширный класс эллиптических уравнений в случае двух
независимых переменных и даются приложения развитого автором аппа-
аппарата к различным вопросам теории упругости (стационарное колебание
упругого цилиндра, изгиб тонких пластинок и др.).
Здесь же следует упомянуть о многочисленных применениях тех же
методов в теории упругих оболочек (И. Н. Векуа, А. Л. Гольденвейзер,
Г. Н. Савин).
5.3.9. Наряду с методами теории функций комплексного переменного,
позволяющими осуществить решение плоской задачи для областей сравни-
сравнительно общего вида, эффективные решения для некоторых областей кон-
конкретной формы могут быть найдены частными приемами, например с помо-
помощью интегральных преобразований Фурье и Меллина.
Преобразование Фурье является весьма удобным аппаратом для рас-
рассмотрения различных задач упругого равновесия бесконечной полосы.
Простейшие решения подобного рода были найдены еще Л. Н. Дж. Фай-

56 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
лоном. Эта методика, получившая широкое развитие в работах советских
авторов, в конце тридцатых годов была обобщена и суммирована в извест-
известных монографиях П. Ф. Папковича A939, 1941). В последующем различ-
различными авторами было рассмотрено значительное количество новых задач,
относящихся к деформациям полосы, полуполосы, соответствующих слои-
слоистых сред и анизотропных тел, тепловым напряжениям и др. Не имея
возможности их перечислить, отошлем читателя к обзорным работам
Д. И. Шермана A962), Г. Я. Попова и Н. А. Ростовцева A966), монографи-
монографиям С. Г. Лехницкого A957) и М. П. Шереметьева A968).
Укажем еще на статьи И. Г. Альперина A930), М. Я. Беленького
A952) и С. Е. Бирмана A954), относящиеся к смешанным задачам для
бесконечной полосы, а также на работы И. А. Маркузона A963), В. С. То-
нояна A963, 1964), в которых некоторые классы смешанных задач для
полуплоскости, полосы и квадранта решены с помощью парных или трой-
тройных уравнений, связанных с преобразованием Фурье.
Ряд интересных задач получил свое разрешение с помощью аппарата
интегралов Фурье в биполярных координатах. Задачи подобного рода,
относящиеся в основном к круговым луночкам, рассматривались Я. С. Уф-
ляндом A950, 1963), Г. Н. Савиным A951), М. А. Савруком A957),
B. В. Еганяном A959, 1964) и другими авторами.
Некоторые плоские задачи теории упругости для бесконечного клина
допускают точное решение с помощью интегрального преобразования
Меллина. Первоначальные исследования этого круга вопросов принад-
принадлежат И. Г. Братцу и В. М. Абрамову A937). Задача о действии на клин
сосредоточенной силы впервые рассматривалась А. И. Лурье и Б. 3. Брач-
ковским A941). Анизотропный клин исследовался П. П. Куфаревым
A941). Библиография по указанным задачам имеется в книге Я. С. Уф-
лянда A963).
Развитие метода интегральных преобразований Фурье и Меллина
в сочетании с аппаратом интегралов типа Коши содержится в работах
C. М. Белоносова A962), относящихся к областям с угловыми точками
и, в частности, к полосе и клину (см. ниже п. 6.1.4).
§ 6. Основные результаты исследования задач
плоской теории упругости
В этом параграфе мы расскажем о некоторых конкретных результатах
теории плоских задач, полученных в СССР за истекшее пятидесятилетие.
Работы, которых мы коснемся, в основном тесно связаны с методами комп-
комплексного переменного и в этом смысле служат иллюстрацией применения
и дальнейшего их развития.
6.1. Решение основных задач для однородной среды. Первые резуль-
результаты конкретного содержания, относящиеся к равновесию плоских про-
профилей, были получены Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили.
6.1.1. Методом, указанным в п. 5.3.2, Н. И. Мусхелишвили дал
простое решение первой и второй основных задач для круга, кругового
кольца и бесконечной плоскости с круговым отверстием. Было разобрано
множество частных примеров для различного вида внешних воздействий.
Для областей подобного рода, разумеется, не требуется предварительное
конформное отображение. Применив конформное отображение, Мусхе-
Мусхелишвили решил трудную по тому времени задачу о равновесии сплош-
сплошного эллипса. Позже эту же задачу решал Д. И. Шерман другим приемом
(см. п. 5.3.6).

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 57
Методом же степенных рядов была исследована в эффективном виде
задача о софокусном эллиптическом кольце (А. И. Каландия, 1953).
Алгоритм эффективного решения этой задачи был еще раньше указан
М. П. Шереметьевым, использовавшим метод функциональных уравнений
в соединении с конформными отображениями (см. п. 5.3.3).
Только что названный метод оказался наиболее удобным для односвяз-
ных областей. Как это было выше отмечено, он всегда приводит к эффектив-
эффективному решению, если отображение области осуществляется рациональной
функцией. Первые применения метода были указаны самим Н. И. Мусхе-
лишвили, давшим замкнутые решения основных задач для ряда конкретных
случаев. Из этой серии задач мы выделим равновесие кругового диска под
действием контурных сосредоточенных нагрузок и бесконечную пластинку
с эллиптическим отверстием. Результаты Мусхелишвили, о которых здесь
говорится, были получены автором в его работах двадцатых и тридцатых
годов (среди них следует особо отметить его мемуар, опубликованный
в 1922 г.). Все эти результаты вместе с другими, принадлежащими тому же
автору, подробно изложены в не раз цитировавшейся выше монографии
Н. И. Мусхелишвили.
Отметим здесь одно важное применение этого же метода, указанное
Г. Н. Савиным. Будем рассматривать задачу о концентрации напряжений
в бесконечной пластинке, ослабленной каким-либо отверстием. Считая
контур отверстия прямолинейным многоугольником, отобразим внутрен-
внутренность круга на область вне отверстия с помощью интеграла Шварца —
Кристоффеля. Разложив этот интеграл в ряд по степеням ? и удержав
в ряде конечное число первых его членов, мы получим приближенное
отображение, переводящее окружность в близкую к исходному контуру
кривую вида
B) F.1)
или, в частном случае,
2 = C(i.+-mSn), F.2)
где С, Ck1 m — некоторые постоянные. Изменяя в F.1) постоянные
С, Сь, п, можно получить отверстия в форме круга, эллипса, овала, криво-
криволинейного треугольника и четырехугольника и т. п. При отображении
F.1) метод немедленно приводит к решению в замкнутом виде, а это
предоставляет возможность приближенного решения задач указанно-
указанного вида.
Этим путем Г. Н. Савин и его ученики рассмотрели большое число
конкретных задач о концентрации напряжений при различных формах
и конфигурациях отверстий в однородном поле. Решения этих задач дове-
доведены до численных результатов, представленных в виде таблиц и диаграмм.
Кроме того, в случаях, особо важных для приложений, построены графики
распределения контурных напряжений. Сходным образом решаются Сави-
Савиным задачи об изгибе тонкой пластинки с отверстием, подверженной дей-
действию моментов и нормальных усилий на бесконечности. Подробное изло-
изложение относящихся сюда результатов дано в книге Г. Н. Савина A951),
сыгравшей важную роль в последующей разработке этого круга вопросов.
Одновременно с Г. Н. Савиным вопросами о напряжениях в пластин-
пластинках с отверстиями в форме криволинейных многоугольников занимался
М. И. Найман A937, 1958), который применил оригинальный подход

53 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
к подбору приближенного отображения; он изучал в основном кручение
брусьев, ослабленных продольными выточками.
6.1.2. Метод, изложенный в п. 5.3.3, применим с некоторым видо-
видоизменением и к случаю полубесконечных областей, когда границей среды
служит кривая, удаляющаяся в бесконечность в обе стороны. В этом слу-
случае удобнее пользоваться отображением на полуплоскость. Применение
метода в общей постановке показано в монографии Н. И. Мусхелишвили
A966), где приведено также решение некоторых частных задач подоб-
подобного рода.
Особый интерес для приложений представляет задача о концентрации
напряжений в полуплоскости, ослабленной вырезом или имеющей выступы
у прямолинейной границы. Задачам этого типа было за последнее время
уделено много внимания, особенно за рубежом (Г. Нейбер, М. Сейка,
С. Шиоя).
Подход Н. С. Курдина к этим задачам представляется наиболее удач-
удачным. Ему удалось, применяя метод Мусхелишвили, детально разобрать
некоторые интересные случаи указанного вида A962).
Возможность применения методов теории функций к задачам об изгибе
пластинок впервые была иллюстрирована в работе А. И. Лурье A928),
где рассматривалась пластинка с опертыми краями, область срединной
поверхности которой конформно отображается на круг посредством рацио-
рациональной функции. Более подробное изучение этого вопроса было позже
проведено А. И. Каландия A953). В другой работе А. И. Лурье A940)
даются тем же методом замкнутые решения трех основных задач теории
изгиба для случая круга. Здесь, как и в предыдущей работе того же автора,
использовался метод Мусхелишвили (п. 5.3.3.).
Цитированная выше работа С. Г. Лехницкого A938) содержит систе-
систематическое применение методов комплексного переменного к задачам
об изгибе пластинок. В ней выводятся общие комплексные представления
основных величин для изотропного и анизотропного случаев, в оконча-
окончательном виде формулируются основные задачи в терминах комплексного
переменного и дается их решение в некоторых частных случаях.
Указанные работы А. И. Лурье и С. Г. Лехницкого явились началом
интенсивных исследований в теории изгиба пластинок.
Методом п. 5.3.3 М. М. Фридман A945) нашел решение некоторых
конкретных задач об изгибе пластинки с криволинейным отверстием,
изгибаемой моментами и усилиями, приложенными по ее краю.
Особое внимание уделялось задаче равновесия пластинки с опертыми
краями. Изучению ее посвящены работы 3. И. Халилова A950),
М. М. Фридмана A952), Д. И. Шермана A959), А. И. Каландия A953).
6.1.3. Метод линейного сопряжения функций (см. п. 5.3.7) оказался
весьма удобным средством для общих исследований задач, а также для
эффективного их решения в специальных случаях. Он обладает явным
преимуществом перед другими при изучении смешанных и контактных
задач, где важно уметь выделять особенности решения. Задачи этого типа
будут рассмотрены ниже в отдельном разделе.
Применение метода линейного сопряжения функций к плоским задачам
впервые было указано в работе Н. И. Мусхелишвили A941), где рассмат-
рассматривался случай упругой полуплоскости. Решения основных задач в этом
случае были найдены в простой и весьма изящной форме. Дальнейшее
существенное обобщение метода было предложено И. Н. Карцивадзе
A943), распространившим его на случай круговой области, а также на более
общий случай отображения на круг посредством рациональной функции.

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 59
Тому же автору принадлежат первые результаты применения метода
к решению конкретных задач для указанных областей. Результаты Кар-
цивадзе подробно изложены в книге Н. И. Мусхелишвили A966). Смешан-
Смешанная задача для плоскости с круговым отверстием рассматривалась
Б. Л. Минцбергом A948).
Этим же методом Н. И. Мусхелишвили указал решение в замкнутой
форме третьей основной задачи плоской теории упругости (см. стр. 53—55).
Задачу сопряжения с жестким профилем другими методами изучал
Г. Н. Положий. Граничные условия задачи были предварительно подверг-
подвергнуты некоторым преобразованиям, упрощающим форму этих условий
на прямолинейных участках границы. Это и дало возможность автору
указать решение задачи в явном виде вначале для выпуклых многоуголь-
многоугольников A949,1950), а затем, после проведения довольно тонких исследований
о поведении напряжений в угловых точках при условии непрерывности
вектора смещений, для многоугольников самого общего вида, а также для
бесконечной плоскости с произвольным многоугольным отверстием A957).
6.1.4. Изучая основные плоские задачи для односвязных областей
с углами, С. М. Белоносов A954, 1962) предложил метод их решения,
позволяющий дать теоретическое обоснование практического приема при-
приближенного решения, основанного на закруглении углов. Конформное
отображение данной области на полуплоскость Re ? > 0 позволяет для
отыскания комплексных потенциалов ф и я|э применить аппарат односто-
одностороннего преобразования Лапласа. В результате приемом, аналогичным
указанному Н. И. Мусхелишвили A966, § 78, 79), строятся интегральные
уравнения довольно простой структуры, применимые в известном смысле
к областям с угловыми точками. Если контур L не содержит угловых точек
и вообще достаточно гладок, то ядро интегрального уравнения является
фредгольмовым, а в общем случае кусочно-гладкого контура оно принад-
принадлежит к типу ядер Карлемана.
Интегральные уравнения С. М. Белоносова, как было им показано
A962), разрешимы для каждой из основных задач. В частных случаях
бесконечного клина или полосы интегральное уравнение решается в квад-
квадратурах, что приводит в этих случаях к решению задачи в конечном виде.
В цитированной книге С. М. Белоносова, куда мы отсылаем читателя
за подробностями, определен также класс областей, для которых основные
задачи разрешимы в квадратурах указанным методом. Этот класс, помимо
областей, близких по форме к клину, полосе и внешности гиперболы, вклю-
включает в себя также круговое концентрическое кольцо.
6.1.5. Изложенный выше метод Д. И. Шермана (см. п. 5.3.5) был
предложен им первоначально A947) для решения задач кручения и изгиба
определенного класса двухсвязных профилей. Применительно к плоской
деформации он был проиллюстрирован затем A951) на примере полупло-
полуплоскости, ослабленной двумя неодинаковыми круговыми отверстиями.
В более поздних исследованиях Шермана метод подвергался существенной
переработке, что привело к устранению большого объема промежуточных
вычислительных операций. В результате процесс решения стал более
обозримым и принял в основной своей части характер рекуррентных соот-
соотношений.
В многочисленных работах Д. И. Шермана и его учеников, опублико-
опубликованных в последние годы, дается применение метода к конкретным задачам
о плоской деформации. Были рассмотрены задачи о весомой полуплоскости
с двумя отверстиями (круговыми и эллиптическими), расположенными
на значительном расстоянии от прямолинейной границы среды, упругом

60 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
круге с отверстием довольно общего очертания, полуплоскости с отвер-
отверстием, по краю которого впаяно кольцо из другого материала, и другие
аналогичные задачи. Обстоятельный обзор результатов по применению
метода интегральных уравнений с полной библиографией содержится
в очерке Д. И. Шермана A962), куда следует обратиться читателю для
подробного ознакомления с этим кругом вопросов.
К отдельным случаям многосвязной среды применялся обобщенный
алгоритм Шварца, развитый в общей форме С. Г. Михлиным A949) при-
применительно к основной бигармонической задаче. Первая иллюстрация
метода была дана тем же автором A934) на примере весомой полуплоскости
с эллиптическим отверстием, когда напряжения на бесконечности распре-
распределены по гидростатическому закону.
Сходимость последовательных приближений по Шварцу исследовалась
при некоторых ограничениях относительно области в работах С. Г. Мих-
лина и А. Я. Горгидзе. Сходимость метода в общем случае была установ-
установлена С. Л. Соболевым A936).
Алгоритм Шварца не обладает быстрой сходимостью, что следует
помнить при практическом использовании метода. Тем не менее в ряде
случаев он может дать неплохие результаты. Примерами могут служить
работы А. С. Космодамианского A961, 1964), относящиеся к случаю доух
неодинаковых отверстий в бесконечной среде.
При изучении напряжений в пластинке со многими отверстиями
одним из основных вопросов является определение степени ослабления
среды около данного отверстия, вызванного наличием соседних отверстий.
Этим вопросом, представляющим большой интерес для практики горного
дела, были посвящены работы Д. И. Шермана и его последователей,
о которых говорилось выше. Укажем на некоторые обобщения в этом
направлении.
В случае, когда среда ослаблена любым конечным числом отверстий,
А. С. Космодамианский A961, 1962) применял метод Бубнова — Галер-
кина. Для искомых комплексных потенциалов ср и я|) он пользовался
представлениями в виде бесконечных сумм функций специального вида
с неопределенными коэффициентами и получал для приближенного реше-
решения систему конечного числа алгебраических уравнений. Метод приводит
к особенно хорошим результатам в случае круговых отверстий.
При беспредельном увеличении порядка приближения алгебраические
системы становятся бесконечными. Исследования того же автора показали,
что эти системы обладают благоприятными свойствами даже при сколь
угодно малой близости отверстий друг к другу. В случае некруговых
криволинейных отверстий часто оказывается целесообразным применение
методов, близких по идее к методу Н. И. Мусхелишвили (А. С. Космода-
Космодамианский, 1962). Указанные приближенные способы были использованы
Космодамианским и некоторыми другими авторами для решения задач
в ряде конкретных случаев.
Г. Н. Бухаринов A937, 1939), используя аналог некоторого алгоритма
последовательных приближений, разработанного Г. М. Голузиным для
задачи Дирихле, изучил задачу для пластинки или диска, когда среда
ослаблена любым конечным числом произвольно расположенных отверстий
круговой формы.
.6.1.6. Значительный интерес представляет периодическая задача тео-
теории упругости. Представим себе неограниченную однородную среду, ослаб-
ослабленную бесконечным рядом одинаковых и периодически расположенных
отверстий. Предположим, что все эти отверстия подвержены действию оди-

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 61
наковых внешних усилий и центры их расположены на одной и той же
прямой. В случае полуплоскости считается, что линия центров парал-
параллельна границе полуплоскости и находится от нее на расстоянии, значи-
значительно превосходящем размеры отверстия.
Наличие совместных факторов геометрической и силовой симметрии
влечет за собой периодичность смещений и напряжений относительно
(вещественной) переменной, изменяющейся вдоль линии центров. Периодич-
Периодичность, эта позволяет редуцировать задачу к сходной задаче отыскания
двух функций, голоморфных в области вне некоторого замкнутого контура,
Соображения, приведшие к интегральным уравнениям E.32), применимы
и здесь, что дает возможность построения для задачи интегрального урав-
уравнения Фредгольма, всегда разрешимого единственным образом. Это сде-
сделано Г. Н. Савиным A939) (см. также С. Г. Михлин, 1949).
Совместным применением методов функциональных уравнений и сте-
степенных рядов удается в ряде случаев построить эффективное решение
задачи. Укажем некоторые работы в этом направлении.
Д. И. Шерман A961) исследовал поле напряжений в весомой среде,
ослабленной периодически расположенными отверстиями круговой и квад-
квадратной формы. Задача решалась сведением к бесконечной системе линей-
линейных алгебраических уравнений. Количественный анализ решения позволил
автору проследить за распределением напряжений вблизи отверстий в зна-
значительном диапазоне изменения численного параметра 8, характеризую-
характеризующего относительные размеры области; не представляет исключения и слу-
случай близких между собой отверстий.
Периодическая задача с криволинейными отверстиями общей формы
рассматривалась еще раньше в работе И. И. Воровича и А. С. Космода-
мианского A959). Для искомых комплексных потенциалов авторами были
предложены некоторые интегральные представления, выражающие их
через другие аналитические функции, голоморфные в плоскости с одним
отверстием. Затем для разыскания этих последних использовался метод
малого параметра, и задача сводилась к последовательности однотипных
задач для односвязной области. Сходимость метода не исследовалась.
Подробный анализ с численными расчетами был проведен для случая
эллиптических отверстий, когда пластинка растягивается на бесконечности
усилиями, направленными под произвольным углом к линии центров.
Некоторое дальнейшее обобщение этого подхода дано А. С. Космо-
дамианским A965).
Следует отметить, что плоская периодическая задача теории упруго-
упругости впервые была рассмотрена В. Я. Натанзоном A935), исследовавшим
случай двоякопериодической системы круговых отверстий в бесконеч-
бесконечном теле.
Более подробные сведения о периодической задаче читатель может
найти в цитированном выше обзоре Д. И. Шермана A962).
6.1.7. За последние годы много внимания уделялось разысканию
эффективных методов решения плоских задач, когда основной закон
упругости нелинеен, но предположение о малости деформаций сохранено.
Особый интерес вызывали вопросы, связанные с определением концентра-
концентрации напряжений в пластинках и оболочках с отверстиями.
Если нелинейность закона упругости охарактеризовать малым чис-
численным параметром, то вместо бигармонического уравнения в этом случае
для функции напряжений получится нелинейное дифференциальное урав-
уравнение в частных производных четвертого порядка с главным бигармони-
ческим членом. Для интегрирования этого уравнения при соответствующих

62 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
граничных условиях использовался метод малого параметра, причем откло-
отклонения закона упругости от линейного и формы отверстия от круговой
считали малыми одновременно. Разлагая функцию напряжений, компо-
компоненты вектора смещения, а также функции, фигурирующие в граничных
условиях задачи, в ряды по двум параметрам, характеризующим назван-
названные выше отклонения, получаем последовательность некоторых бигармо-
нических задач для плоскости с круговым отверстием, которые и подлежат
решению приближенными способами.
Этим путем был решен ряд конкретных задач нелинейной теории
упругости.
Численные расчеты показывают, что учет физической нелинейности
приводит к более равномерному, по сравнению с линейной теорией, рас-
распределению напряжений вблизи отверстий; коэффициент концентрации
напряжений становится меньше.
С результатами в этом направлении можно подробно ознакомиться
по работам Г. Н. Савина A965), А. Н. Гузя, Г. Н. Савина и И. А. Цур-
пала A964).
6.2. Кусочно-однородная среда. Подкрепленные и усиленные пла-
пластинки. Кусочно-однородной мы будем называть упругую среду, состав-
составленную из конечного числа различных по форме и упругим свойствам
однородных частей, соединенных в одно сплошное тело тем или иным
способом. Соединения разнородных частей могут быть как естественными,
так и искусственными. Последние всегда служат цели усиления несущей
способности конструкций и часто применяются в инженерной практике.
6.2.1. Представим себе конечную или бесконечную пластинку, имею-
имеющую некоторое число отверстий, в которые вставлены сплошные или ослаб-
ослабленные в свою очередь отверстиями шайбы из другого материала. При
соединении шайбы с пластинкой она может быть впаяна в отверстие вдоль
обвода, запрессована или, скажем, посажена в нее в горячем либо холод-
холодном состоянии. Каждый раз, если шайба не впаяна, предполагается, что
контуры сопряженных между собой упругих частей приводятся в сопри-
соприкасание без зазоров и удерживаются от скольжения друг по другу.
В этом разделе будем дополнительно считать, что соприкасающиеся
поверхности тел нигде не отстают друг от друга вследствие деформации.
Подкреплять можно, разумеется, не только края отверстий. Пластинку
можно усилить кольцами по любому ее краю, а также во внутренних
частях, не прилегающих к границе. В последнем случае говорят об усиле-
усилении пластинки ребрами жесткости.
Полная граница L составного тела будет состоять из наружного конту-
тура пластинки (если, разумеется, она не простирается в бесконечность
во все стороны), из контуров неподкрепленных отверстий и, наконец,
из внутренних контуров вставляемых шайб, если они имеются. Тело может
испытывать любые воздействия как внутри, так и на границе.
Граничные условия на неподкрепленном крае пластинки будут, оче-
очевидно, обычными, соответствующими заданному на нем режиму силовых
воздействий или характеру его закрепления. Условия же на линии раздела
сред будут различными в зависимости от способа соединения прилегающих
к ней частей.
Например, в случае, когда все отверстия в пластинке, занимаю-
занимающей конечную многосвязную область S с границей L = L\ + ?2 + . . .
. . . + Lm+i, заполнены сплошными дисками из различных материа-
материалов, спаянными с пластинкой вдоль обводов отверстий, а напряженное
состояние вызвано внешними силами, приложенными лишь, на наружном

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 63
контуре пластинки, мы будем иметь следующую задачу теории аналити-
аналитических функций:
на Lm+1, F.3)
[i) на Lk, F.4)
- л|)& \i)\ на Juji угс — 1, &7 ..., nij, ^o.oj
где ф и ij; голоморфны в области 5, а ср^ и opfe голоморфны в конечной
области «Sfe, ограниченной контуром Lk (к ¦¦= 1, 2, . . ., ттг). Смысл гранич-
граничного условия F.3) ясен из предыдущего. Равенства же F.4) и F.5) выра-
выражают очевидные условия непрерывности компонент векторов смещения
и напряжения при переходе через линию раздела сред. Индекс к приписан
упругим элементам материала шайбы, занимающей область Sk.
Одним из ранних исследований, относящихся к телам неоднородной
упругости и выполненных на базе методов комплексного переменного,
была работа С. Г. Михлина A935), в которой с помощью ядра Шварца,
упомянутого выше в п. 5.3.4, изучалась общая задача о кусочно-однород-
кусочно-однородной среде методом интегральных уравнений. Некоторые частные случаи
были рассмотрены в эффективном виде в другой работе того же автора
A934).
В дальнейшем исследования задач с неоднородной упругостью стали
интенсивно развиваться. Значительные успехи были достигнуты в этой
области на Украине, где соответствующие вопросы были в течение длитель-
длительного времени предметом исследования многих авторов. Результаты этих
исследований изложены в монографиях Г. Н. Савина A951), Д. В. Вайн-
берга A952), М. П. Шереметьева A960) и Г. Н. Савина и Н. П. Флейш-
мана A964). Ниже мы коснемся вкратце некоторых основных результатов.
6.2.2. Начнем со сравнительно простого случая, когда основная пла-
пластинка и упругие шайбы, вставляемые в отверстия, изготовлены из одного
и того же материала. В этом случае мы должны предположить, что контуры
шайбы в ненапряженном состоянии несколько отличны от контуров соот-
соответствующих отверстий. Для приложений особенно интересен случай,
когда шайбы запрессованы либо посажены в отверстие с заданным упругим
натягом.
Граничные условия этой задачи получаются из F.3) — F.5), если
к правой части F.5) присоединить заданную функцию, выражающую
наличие скачка упругих смещений, и учесть, кроме того, что упругие
свойства тела везде одинаковы.
Общий способ решения этой задачи был предложен Д. И. Шерманом
A940). Способ этот основан на аналитическом продолжении функции,
подобном изложенному в п. 5.3.5. Согласно этому способу рассматривае-
рассматриваемая задача приводится к обычной плоской задаче для полной составной
области без каких-либо условий на линии раздела. При этом, однако,
вновь полученная задача будет (на наружном контуре) иметь несколько
измененное граничное условие; в правой части равенства, представляющего
это условие, появится дополнительное слагаемое, выражающее некоторое
фиктивное воздействие на всю систему в целом.
- В случае, когда включения имеют круговую форму, упомянутый
только что поправочный член может быть представлен в явном виде.

64 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф* МАНДЖАВИДЗЕ и др.
Он имеет особенно простую форму в часто встречающемся на практике
случае, когда скачок смещения направлен по нормали и величина его
постоянна.
В конечном счете в случае круговых включений решение задачи
доводится здесь до конца для составных областей, отображаемых на круг
посредством рациональной функции. Этим путем было рассмотрено боль-
большое число конкретных задач. Подробные указания на соответствующие
публикации имеются в цитированном выше обзоре Д. И. Шермана A962).
6.2.3. Иначе дело обстоит в случае включений с иными упругими
характеристиками. Рассмотрение жесткого включения, очевидно, не вно-
вносит, никаких осложнений, ибо в этом случае мы будем иметь дело с обыч-
обычной плоской задачей при заданных на контуре отверстия упругих смеще-
смещениях (вторая основная задача). Задача об упругих включениях из раз-
различных материалов значительно сложнее.
Эта задача для одного включения, при к = 1 в F.3) — F.5), исследо-
исследовалась методом, аналогичным намеченному в п. 5.3.5 (Д. И. Шерман,
1958). Для нахождения вспомогательной функции со (t), вводимой на этот
раз на всей границе пластинки 1ц + Z/2, автор получил интегральное
уравнение Фредгольма и дал его исследование. В частном случае эксцен-
эксцентричного кругового кольца с включением, рассмотренном для иллюстрации
метода, интегральное уравнение заменяется, как и прежде (см. п. 5.3.5),
бесконечной системой линейных алгебраических уравнений, позволяющей
довести решение до численных результатов.
Случай инородных круговых концентрических колец, последова-
последовательно вложенных одно в другое, как было отмечено выше, легко под-
поддается рассмотрению методом степенных рядов.
Этот же метод в соединении с функциональным уравнением позволяет
рассмотреть задачу о кольцевых подкреплениях в несколько более общем
случае, например, когда бесконечная односвязная область, занятая сопря-
сопряженными телами, отображается на внешность круга посредством рацио-
рациональной функции и подкрепляющее кольцо переходит при этом в концен-
концентрическое круговое. При таком предположении случай отображения F.2)
изучался М. П. Шереметьевым A949), который привел подробное решение
с численными результатами для подкрепления отверстия в виде софокус-
ного эллиптического кольца. В упомянутой монографии Г, Н. Савина
A951) приводятся результаты вычислений и для других форм упругого
подкрепления, доставляемых отображением F.2), и напряжения на под-
подкрепленном контуре отверстий сравниваются с теми же напряжениями
в двух предельных случаях, когда подкрепляющее кольцо абсолютно
гибкое (пустота) или когда оно абсолютно жесткое.
И. Г. Араманович A955), развивая метод Д. И. Шермана (см. п. 5.3.5),
построил эффективное решение задачи о напряжении в полуплоскости
с круговым отверстием, подкрепленным упругим кольцом из другого
материала. Нагружение среды может здесь осуществляться различными
способами, например растяжением ее, нормальным давлением на внутрен-
внутреннем контуре впаянного кольца, сосредоточенной нагрузкой на прямоли-
прямолинейной границе и др. Схема решения такая же, как и прежде (сведецие
к бесконечной системе уравнений). Установлено, что полученная здесь
система уравнений квазирегулярна при любой близости отверстия к краю
полуплоскости.
К эффективному решению задач рассмотренного вида применялся
также метод линейного сопряжения функций. В качестве примера укажем
на работу И. А, Прусова A957). рассмотревшего задачу об усилении

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 65
отверстия в бесконечной пластинке кольцом переменного сечения, огра-
ограниченным извне окружностью, а изнутри эллипсом.
6.2.4. До сих пор мы предполагали, что напряженное состояние упру-
упругого кольца, подкрепляющего край отверстия в пластинке, описывается,
как и напряженное состояние самой пластинки, уравнениями плоской
теории упругости или уравнениями изгиба тонких пластинок. Если под-
подкрепляющее кольцо достаточно тонко или имеет фасонный профиль, то его
с большим основанием следует рассматривать как кривой брус, дефор-
деформации которого описываются элементарными уравнениями теории сопро-
сопротивления материалов.
В такой постановке задача о подкрепленных краях впервые рассмат-
рассматривалась М. П. Шереметьевым (см., например, его книгу, 1960). Подкреп-
Подкрепляющее кольцо постоянного сечения было принято за тонкий стержень,
обладающий жесткостью на растяжение и изгиб в случае плоского напря-
напряженного состояния и жесткостью на изгиб и кручение при изгибе тонких
пластинок.
Будем для определенности рассматривать бесконечные пластинки
с одним подкрепленным отверстием.
Граничные условия на контуре подкрепленного отверстия получим,
как и прежде, требуя равенства соответствующих усилий и смещений
с обеих сторон. Эти условия в предыдущем случае были представлены
в виде равенств F.4) и F.5) На этот раз в правых частях указанных равенств
вместо граничных значений функций cpfe и i|)fe (уже отпадает надобность
рассматривать эти функции) будут фигурировать другие неизвестные,
а именно внешние усилия ХПч Yn, действующие на кольцо со стороны
пластинки, и смещения и0, v0 оси кольца.
Если теперь, исходя из известных уравнений теории малых дефор-
деформаций криволинейных стержней, выразить смещения и0 и и0 через внеш-
внешнюю нагрузку Хп, Yn и подставить соответствующие значения в упомя-
упомянутое выше граничное условие сопряжения, то для определения функций
Ф и г|5, голоморфных в области пластинки, получим два комплексных усло-
условия, содержащие в правых частях одни неизвестные усилия Хп и Yn. Для
задач иизгиба пластинки с подкреплением указанного вида неизвестные
функции в правой части можно вообще исключить, и мы будем иметь
всего одно граничное условие, правда несколько более сложное, нежели
обычное условие основной плоской задачи.
В конечном счете появляется возможность эффективного рассмотрения
задачи при частных видах отверстий. Случай кругового отверстия под-
поддается подробному анализу методом степенных рядов (М. П. Шереметьев,
1960). Для некруговых отверстий задача сложнее, и эффективное решение
ее требует применения метода последовательных приближений.
Дальнейшее обобщение этого подхода было дано Г. Н. Савиным
и Н. П. Флейшманом A961). Предполагая подкрепляющий стержень
весьма тонким (т. е. считая поперечное сечение стержня весьма узким),
они несколько ослабили граничное условие на контуре слоя и сформули-
сформулировали в терминах комплексного переменного объединенную задачу о коль-
кольцевых подкреплениях со смягченными граничными условиями. При выводе
этих условий использовалось предположение о том, что стержень в случае
плоского напряженного состояния не сопротивляется изгибу, а при попе-
поперечном изгибе пластинок лишен крутильной жесткости.
Полученная задача теории аналитических функций допускает, подобно
основным плоским задачам, решение в замкнутой форме» если область
пластинки конформно отображается на круг посредством рациональной
5 Механика в СССР, т. 3

66 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
функции. Это иллюстрируется на примере эллиптического отверстия в
бесконечной пластинке.
Г. Н. Савин и Н. П. Флейшман A964), а также М. П. Шереметьев
A960) рассмотрели усиление пластинки при ее поперечном изгибе тонкими
кольцами из другого материала (ребра жесткости), расположенными внутри
пластинки. В простейшем случае одного ребра имеем следующую картину.
Тонкое криволинейное кольцо (точнее, замкнутая упругая линия) при-
припаяно к пластинке во внутренней ее части. Область, занятая срединной
поверхностью пластинки, разбивается при этом осевой линией кольца
на две связные части (внутреннюю и внешнюю по отношению к этой осевой
линии). В каждой из этих областей надо определить пару голоморфных
функций комплексного переменного по некоторым условиям на контуре
пластинки, а также на линии кольца. Условия сопряжения на этой линии
следует составлять, учитывая совместную работу пластинки и подкреп-
подкрепляющего кольца (таких условий три). В конечном счете для определения
четырех голоморфных функций имеется четыре комплексных условия вида
F.3) — F.5), содержащие, кроме заданных величин, две комплексные
функции дуги оси кольца, не задаваемые заранее. Этим путем задача
об усилении пластинки ребрами жесткости изучалась в ряде случаев.
Например, для круглой пластинки с произвольным числом криволинейных
ребер построено разрешимое интегральное уравнение Фредгольма.
Некоторые частные задачи (например, круглая пластинка с концен-
концентрическим ребром жесткости, эллиптическая пластинка с центральным
круговым ребром) решаются эффективно методом рядов.
В упомянутых выше монографиях Г. Н. Савина A951), Д. В. Вайн-
берга A952), М. П. Шереметьева (I960) и Г. Н. Савина и Н. П. Флейш-
мана A964) рассмотрены также некоторые другие задачи о плоском напря-
напряженном состоянии и изгибе пластинок как в изотропном, так и анизотроп-
анизотропном случае. Наиболее полно изучены, например, вопросы, связанные
с влиянием анизотропии материала на концентрацию напряжений вблизи
эллиптических отверстий, о рациональном подборе параметров подкреп-
подкрепляющих элементов, о влиянии контурных сосредоточенных нагрузок
в многослойном диске.
6.3. Смешанные и контактные задачи. Смешанные и контактные задачи
относятся к числу наиболее трудных задач теории упругости; при изуче-
изучении их методом теории функций комплексного переменного получаются
граничные задачи с разрывными коэффициентами и возникает необходи-
необходимость изучения поведения решений в окрестностях точек разрыва.
Как уже отмечалось выше (п. 5.3.4), Д. И. Шерман A940) построил
сингулярное интегральное уравнение с разрывными коэффициентами для
основной смешанной плоской задачи; это же уравнение позволяет решить
задачу изгиба нормально нагруженной тонкой изотропной пластинки,
когда часть края заделана, а часть — свободна.
А. И. Каландия A952) построил систему сингулярных интегральных
уравнений для решения общей задачи изгиба пластинки, когда часть края
заделана, другая — оперта, а остальная — свободна. В ряде работ (см.
например, А. И. Каландия, 1961; Д. И. Шерман, 1955) дано численное
решение смешанных задач изгиба пластинок для областей частного вида.
Одним из наиболее эффективных методов решения смешанных задач
плоской теории упругости является метод линейного сопряжения функ-
функций; о решении смешанных задач этим методом говорилось выше (п. 5.3.7)г
Задачи о вдавливании жестких штампов в упругую полуплоскость
приводят к граничным задачам сопряжения, которые аналогичны задача

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 67
сопряжения, построенной выше (п.5.3.7) для основной смешанной задачи.
Задача соприкасания двух упругих тел (обобщенная плоская задача Герца),
близких по форме к полуплоскости, когда участок соприкасания мал,
также приводится к задаче линейного сопряжения. Решение этих
задач методом линейного сопряжения функций приведено в монографии
Н. И. Мусхелишвили.
Л. А. Галин A953) дал решение ряда контактных задач при помо-
помощи применения методов теории функций комплексного переменного.
И. Я. Штаерман A949) изучал контактные задачи методом интегральных
уравнений.
В работах В. М. Абрамова A937), Н. И. Глаголева A942, 1943),
B. И. Моссаковского и П. А. Загубиженко A954), И. Г. Арамановича
A955), В. В. Панасюка A953, 1954), А. И. Каландия A957, 1958),
М. П. Шереметьева A952, 1961) ряд контактных задач исследован раз-
различными методами.
6.4. Плоская статическая задача теории упругости анизотропного
тела. Методы теории функций комплексного переменного, как показал
впервые С. Г. Лехницкий, с успехом могут быть применены и к плоской
задаче анизотропного тела (первые работы С. Г. Лехницкого в этом направ-
направлении были опубликованы в тридцатых годах; см., например, монографию;
C. Г. Лехницкий, 1947, изд. 2—1957).
Пусть однородное анизотропное тело имеет в каждой точке плоскость
упругой симметрии, параллельную данной плоскости, которую мы примем
за плоскость Оху. Если тело подвергается плоской деформации, парал-
параллельной плоскости Оху, то функция напряжений (функция Эйри) удо-
удовлетворяет обобщенному бигармоническому уравнению (имеется в виду
случай отсутствия объемных сил)
д*и д*и wj А ш Рч
где а0, . . ., а4 — действительные постоянные, зависящие от упругих
свойств рассматриваемого тела (аналогичное уравнение имеет место и для
обобщенного плоского напряженного состояния пластинки).
И в этом случае удается построить общее представление решения при
помощи двух аналитических функций комплексных переменных. Эта пред-
представление зависит от корней характеристического уравнения, соответ-
соответствующего уравнению F.6):
а0 + ais + a2s2 + agS3 + а^ = 0. F-7)
Как показал С. Г. Лехницкий, это уравнение не имеет действительных
корней. В случае изотропного тела уравнение F.7) сводится к уравнению
1 + 2s2 + s4 = 0 и, следовательно, имеет двукратные корни i и —L
Если уравнение F.7) имеет двукратные корни s = а + ф, s = а — фг
то общее действительное решение уравнения F.6) представится в виде
U(x, y) = z<p(z) + zcp (z) + X(z) + x (z), F.8)
как и в случае изотропного тела, но на этот раз комплексное переменное
z имеет вид z = x-\-sy = x-\-ay + i$y ({х, у) ? ?), где S обозначает
область, занятую телом.
Произведя аффинное преобразование
х' = х + оцг, у' = Ру, F.9)
5*

^8 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
придем к комплексному переменному z' = xr + W •> изменяющемуся
в области ?', получаемой из области S аффинным преобразованием F.9).
Формула F.8) и вытекающие из нее выражения для компонент напря-
напряжения и смещения показывают, что этот случай (т. е. случай кратных
корней уравнения F.7)) представляет собой почти полную аналогию со слу-
случаем изотропного тела, и поэтому его обычно исключают из рассмотрения.
В случае, когда уравнение F.7) не имеет кратных корней, т. е. имеет
четыре различных попарно сопряженных корня
si = at + Фь si == oci — ipi, 52 = a2 + ?p2, s2 = a2 — фа,
общее действительное решение уравнения F.6) представляется в виде
U (х, у) = F± (zO + Ft (zt) + F2 (z2) + F2 (z2) F.10)
при помощи двух аналитических функций переменных
z± = х + Sij/ = x + am + iPiZ/, z2 = x + s2y = x + a2y + i$2y,
изменяющихся соответственно в областях Siii S2, полученных из области S
соответствующими аффинными преобразованиями.
В рассматриваемом случае, в отличие от случая изотропного тела,
приходится иметь дело с аналитическими функциями двух различных ком-
комплексных переменных Zj и z2, изменяющихся в двух различных областях
(легко видеть, что переменные z± и z2 связаны между собой аффинным,
ао неаналитическим преобразованием). Это обстоятельство, вообще говоря,
осложняет решение граничных задач (класс эффективно решаемых гра-
йичных задач в случае анизотропного тела значительно уже, чем для
изотропного тела). Однако и в случае анизотропного тела удается получить
решения граничных задач при помощи методов теории функций комплекс-
комплексного переменного. Ряд важных результатов в этом направлении принадле-
принадлежит С. Г. Лехницкому, С. Г. Михлину, Г. Н. Савину, Д. И. Шерману и др.
Из общего представления функции напряжений F.10) вытекают сле-
следующие комплексные представления напряжений и смещений:
Хх = 2 Re [ф[ (zO + *22Ф; Ы], Л
Yy = 2RelO'i(zi) + Of2(z^h \ F.11)
Ху - - 2 Re [8УФ[ (zx) + 52Ф; (z2)]; J
и = 2 Re [лФ! (zi) + р2Ф2 (z
v = 2Re 1д±ф± (zO + д2Ф2 (z2)]
Здесь <bi(zi) = dFi/dzi, <3J(z2) = dF2/dz2, pu p2, qu q2 — вполне опреде-
определенные постоянные, выражающиеся через упругие константы тела,
а со, и0, v0 — произвольные (действительные) постоянные, соответству-
соответствующие жесткому перемещению тела.
Если область S, занятая телом, односвязна, то аналитические функ-
функции, участвующие в общих комплексных представлениях, однозначны;
в случае многосвязной области это, вообще говоря, многозначные ана-
аналитические функции. Например, если область S ограничена несколькими
контурами, функции Ф± (zi) и Ф2 (z2) имеют вид
F.13)
. J
Oi (Zi) = ф? (z,) + 2
n
ф2 (z2) = Ф* (z2) + 2 Bk In (z2—z2ft),

ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 69
где Ф^ (zi) и Ф* (z2) — однозначные аналитические функции, zik и z2k —
фиксированные точки, а постоянные Акж Вк выражаются через главные
векторы внешних усилий, приложенных к граничным контурам. Если
главный вектор усилий, приложенных к каждому из контуров, равен
нулю, то постоянные Ak, Bk равны нулю и функции Ф1 (я^), Ф2 (z2) одно-
однозначны в областях S±, S2.
Из формул F.11) следует, что решение первой основной задачи (на гра-
границе заданы внешние усилия Хп, Yn) сводится к отысканию аналитиче-
аналитических в областях ?i и S2 функции Ф1 (zi) и Ф2 (z2) по граничному условию
2 Re [ф± (Zi) + Ф2 (*2)] = - ( Yn
2 Re [SiOi (z^ + *2Ф2 (z2)] = ^Xnds+ C2,
F.14)
где Ci, С2 — произвольные действительные постоянные.
Аналогично, вторая основная задача сводится к отысканию аналити*
ческих функций Ф1 (z^ и Ф2 (z2) по граничному условию
2 Re [piOi (z±) + р2Ф2 (z2)] - щ + щ = gu I
= g2, J
где gi и g2 — заданные граничные значения компонент смещения и и у.
В случае основной смешанной задачи следует комбинировать гранич-
граничные условия F.14) и F.15); в общем случае получим граничную задачу
с разрывными коэффициентами.
Следует отметить, что граничные задачи изгиба тонкой анизотроп-
анизотропной пластинки, как и в случае изотропной пластинки, сводятся к задачам
теории функций комплексного переменного, к которым приводят плоские
задачи. Задача изгиба анизотропной пластинки с заделанным краем
сводится к задаче вида F.14), а задача изгиба пластинки со свободным
краем сводится к задаче вида F.15); смешанная задача изгиба пластинки
с частично свободным и частично заделанным краем сводится к задаче
вида основной смешанной задачи плоской теории (см. С. Г. Лехницкий*
1947).
Следует отметить, что и некоторые стационарные динамические задачи
приводят к задачам указанного выше вида. Так, Л. А. Галин A953), рас-
рассматривая задачу о штампе, движущемся с постоянной скоростью вдоль
границы изотропной полуплоскости, свел ее к граничной задаче теории
функций комплексного переменного и таким путем построил ее решение.
6.5. Равновесие хрупких тел с трещинами. Построение теории разру-
разрушения хрупких материалов связано с изучением напряженного состояния
в окрестности поверхности разрыва поля перемещения («трещин») в упру-
упругом теле. Наиболее простой является задача о плоском напряженном состоя-
состоянии в плите с прямолинейным разрезом, нагруженной силами, перпенди-
перпендикулярными разрезу, концы которого достаточно удалены от краев плиты.
В линеаризованной постановке классическое решение, получаемое пре-
предельным переходом из решения задачи о напряженном состоянии в окрест-
окрестности эллиптического отверстия, приводит к бесконечным напряжениям
в концах трещины (угловых точках области). Без добавочных предполо-

70 А. И. КАЛАНДИЯ, А. И. ЛУРЬЕ, Г. Ф. МАНДЖАВИДЗЕ и др.
жений оно не дает средств судить, при каком значении параметра нагруже-
ния трещина будет распространяться — начнется процесс хрупкого раз-
разрушения.
Теория хрупкого разрушения ведет начало от работ А. А. Гриффита
A920), продолженных Дж. Р. Ирвином A948 и ел.) и Э. О. Орованом
A950 и ел.). В результате для характеристик прочности материала на хруп-
хрупкое разрушение была введена новая константа, позволившая рассматри-
рассматривать задачу о хрупких трещинах в постановке классической теории упру-
упругости *).
Вопросы кинетики роста трещин рассматривались Г. И. Баренблат-
том, В. М. Битовым, Р. Л. Салгаником A966, 1967), а также Г. И. Ба-
ренблаттом, Р. Л. Салгаником, Г. П. Черепановым A962). Л. М. Кача-
Качано ву A961) принадлежит попытка дать оценку долговечности тела
с трещиной в упруго-вязком теле.
Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов A960) рассмотрели задачу о рас-
расклинивании ортотропного упругого тела тонким жестким клином, пере-
перемещаемым с постоянной скоростью. В задаче о расклинивании бесконечного
тела клином конечной длины И. А. Маркузон A961) получил зависимость
длины трещины от длины клина. Распространение трещин сдвига рассмот-
рассмотрели Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов A961). Задача об устойчивом
развитии трещины, подкрепленной ребрами жесткости, рассмотрена
в работе Е. А. Морозовой и В. 3. Партона A961). Устойчивое развитие
двоякопериодической системы трещин исследовано В. 3. Партоном A965).
Г. П. Черепанов A966) изучил развитие трещин в сжатых телах.
Модель трещины, в которой учитываются также силы сцепления
на участках, соизмеримых с длиной трещины, рассматривалась с исполь-
использованием условия плавного смыкания краев трещины и конечности напря-
напряжений на них М. Я. Леоновым и В. В. Панасюком A959) **). Дано решение
большого числа плоских задач о предельном равновесии тела с трещинами
при различных расположении и форме трещин, различных способах
нагружения тела с трещинами (В. В. Панасюк и Б. Л. Лозовой, 1962;
В. В. Панасюк и Л. Т. Бережницкий, 1964—1966). К этому же классу
относятся плоские задачи о напряженном состоянии в окрестности угло-
угловых точек контура отверстия (В. В. Панасюк и Е. В. Буйна, 1966), в част-
частности круга с радиальными трещинами (В. В. Панасюк, 1965).
Начальное развитие трещины из угловых точек бесконечного прямо-
прямоугольного выреза, на дно которого давит жесткий штамп, изучено в работе
Г. П. Черепанова A963).
Задачи о напряженном состоянии вблизи края трещины, выходящей
на край плиты или близкой к нему, рассмотрены В. В. Панасюком (I960),
Г. И. Баренблаттом и Г. П. Черепановым A960, 1962). Задача о предель-
предельных значениях внешней нагрузки (изгибающего момента, равномерно
распределенного давления) на полосу (балку) с прямолинейной трещиной,
перпендикулярной оси полосы, рассматривалась в работах Б. Л. Лозового
и В. В. Панасюка A961—1963). Пространственные задачи о предельном
равновесии тела с плоской трещиной, имеющей в плане форму круга,
рассмотрены М. Я. Леоновым и В. В. Панасюком A961). Более сложный
случай эллиптической трещины рассматривали В. В. Панасюк A962),
М. Я. Леонов и К. Н. Русинко A963, 1964).
*) Подробнее о механике разрушения см. стр. 367—469. (Ред).
**) Статической теории трещин посвящена монография В. В. Панасюка «Предель-
«Предельное равновесие хрупких тел с трещинами» A968); в ней приведена также подробная
библиография.

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
В. В, НОВОЖИЛОВ, Л. А. ТОЛОКОННИКОВ, К. Ф. ЧЕРНЫХ
§ 1. Общие вопросы • 72
§ 2. Вторичные эффекты в задачах изгиба и кручения призматических и ци-
цилиндрических тел 76
§ 3. Плоские задачи 76
§ 4. Устойчивость равновесия упругого тела 77
При построении классической линейной теории упругости исполх
зуются два предположения: о малости и одинаковом порядке удлине-
удлинений, сдвигов и углов поворота и о возможности принятия обобщенного
закона Гука. Отказ от какого-либо из этих допущений или замена его
менее стеснительным ограничением приводит к различным вариантам
нелинейной теории упругости.
При переходе к нелинейной теории возникает ряд специфических
проблем и трудностей:
1) выбор системы координат, определяющих положения точек тела;
2) принятие тех или иных характеристик деформаций и отвечающих
им обобщенных напряжений;
3) установление, с учетом тензорно-инвариантных и термодинами-
термодинамических соображений, вида связи между напряжениями и деформациями;
выбор удобной совокупности инвариантов; конкретизация этой связи
для различных групп материалов и указание необходимых для этой цели
простейших экспериментов;
4) классификация задач нелинейной теории и нахождение подходов
к упрощению нелинейных соотношений в различных частных случаях;
5) формулировка вариационных и родственных им принципов;
6) постановка задачи об устойчивости равновесия упругих тел.
В § 1 обзора рассматриваются исследования общего характера, осве-
освещающие первые пять из перечисленных проблем. В § 2 разобраны работы,
посвященные вторичным эффектам, сопровождающим кручение и изгиб
призматических и цилиндрических тел. Работам по плоским задачам посвя-
посвящен § 3. В § 4 рассматриваются работы по устойчивости равновесия упру-
упругих тел, в которых исходными являются общие соотношения нелинейной
теории упругости.
Своим развитием нелинейная теория упругости обязана в XIX веке
О. Коши, Дж. Грину, Г. Кирхгофу, И. Фингеру, а затем Э. Трефтцу,
А. Синьорини, Ф. Д. Мурнагану, М. А. Био и многим современным
зарубежным ученым,, среди которых прежде всего нужно упомянуть

72 В. В. НОВОЖИЛОВ, Л. А. ТОЛОКОННИКОВ, К. Ф. ЧЁРНЫХ
Р. С. Ривлина, Р. Хилла и А. Э. Грина. Полученные ими результаты
во многом перекликаются с результатами советских ученых.
Поскольку целью настоящей статьи является обзор достижений имен-
именно советских ученых, она не может дать полной картины состояния нели-
нелинейной теории упругости в целом. Об этом следует помнить при чтении
статьи.
§ 1. Общие вопросы
Хотя первые публикации по нелинейной теории упругости в СССР
относятся еще к тридцатым годам (Н. В. Зволинский, 1939; Н. В. Зволин-
ский и П. М. Риз, 1938, 1939; Д. Ю. Панов, 1939; П. М. Риз, 1938, 1939),
глубокое внимание к нелинейным проблемам характерно лишь для послед-
последних двух десятилетий. Этому в значительной мере способствовало появле-
появление публикаций по общим вопросам теории (К. 3. Галимов, 1946, 1948,
1949; И. И. Гольденблат, 1950; Д. И. Кутилин, 1947; В. В. Новожилов,
1948) и некоторых других, более поздних. Указанные работы, обсуждаю-
обсуждающие широкий круг вопросов, определили направление отечественных
исследований по нелинейной теории упругости.
В механике сплошных сред используются два типа координат: про-
пространственные— эйлеровы и материальные («вмороженные в тело») —
лагранжевы (К. 3. Галимов, 1946—1955; И. И. Гольденблат, 1950, 1955;
В. В. Крылов, 1956; Д. И. Кутилин, 1947; В. В. Новожилов, 1948). Более
удобными в нелинейной теории являются материальные координаты
(В. В. Новожилов, 1958), в которых значительно проще формулируются
граничные условия и деформационные гипотезы (например, гипотеза пря-
прямой нормали в теории пластин и оболочек, гипотеза плоских сечений в тео-
теории изгиба балок). Если же рассматривать не сам процесс деформации,
а (как это и делается в теории упругости) только начальное и конечное
положения тела, то введение пространственных координат становится
излишним (Л. И. Седов, 1962). При этом величины, характеризующие
деформацию и равновесие тела, можно относить либо к недеформированно-
му, либо к деформированному материальному координатному базису.
Подробно о выборе координатных векторных базисов и связи между ними
сказано в монографии Л. И. Седова A962).
В качестве основных характеристик деформаций используются полу-
полуразности компонент основного метрического тензора в деформированном
и недеформированном состояниях (К. 3. Галимов, 1946, 1949, 1955;
И. И. Гольденблат, 1950, 1955; В. В. Крылов, 1956; Д. И. Кутилин, 1947;
В. В. Новожилов, 1948, 1958). Для описания больших деформаций исполь-
используются и другие характеристики, среди которых укажем, например,
следующие: логарифмические (или истинные) деформации; компоненты
тензора, совпадающие в главных осях деформации с главными относи-
относительными удлинениями; компоненты тензора, контравариантные состав-
составляющие которого являются полуразностями соответствующих компонент
метрических тензоров в деформированном и недеформированном состоя-
состояниях. При рассмотрении различных вопросов предпочтительны те или иные
характеристики. Для правильной обработки результатов важно, чтобы
принятым обобщенным характеристикам деформации отвечали соответ-
соответствующие (в выражении для элементарной работы) обобщенные напряже-
напряжения (В. В. Новожилов, 1951). В монографии Л. И. Седова A962), подводя-
подводящей итог более ранним работам (Л. И. Седов, 1960; В. Д. Бондарь, 1960,
1961; М. Э. Эглит, 1961), при рассмотрении деформации элемента тела

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 73
широко используется теория функций от тензоров. С этих позиций в каче-
качестве характеристики деформации может быть принята любая аналитиче-
аналитическая функция тензора деформации. Там же для деформации общего вида
вводится кососимметричный тензор, соответствующий вектору вращения
главных осей деформации.
Ранее была установлена связь между средним поворотом элемента
деформируемого тела и ротором вектора смещений (В. В. Новожилов,
1948).
Вопросу о выборе оптимальной системы инвариантов, вычислению
механического смысла инвариантов и связи между ними уделялось боль-
большое внимание (К. 3. Галимов, 1946—1955; И. И. Гольденблат, 1950,.
1955; В. В. Новожилов, 1948, 1958). Так, было отмечено (В. В. Новожилов,
1952), что с точностью до постоянного множителя интенсивность касатель-
касательных напряжений совпадает со средним значением касательного напряже-
напряжения в рассматриваемой точке тела. Далее, было использовано тригономет-
тригонометрическое представление главных значений тензоров деформации и напря-
напряжений (В. В. Новожилов, 1951). Основными инвариантами при этом
являются линейный инвариант, интенсивность девиатора и угол вида
тензора (девиатора). Связь между тензорами деформации и напряжения
характеризуют обобщенный модуль объемного расширения, обобщенный
модуль сдвига и фаза подобия девиаторов (равная разности «углов вида»
рассматриваемых тензоров). Из требования существования потенциалов
напряжений и деформаций устанавливаются дифференциальные связи
между введенными обобщенными модулями.
Сходные зависимости были получены при помощи кругов Мора
(А. К. Синицкий, 1958). Тригонометрическое представление главных
значений тензора дало возможность (В. В. Новожилов, 1951) конкрети-
конкретизировать коэффициенты предложенной В. Прагером связи между двумя
соосными тензорами. Дальнейшее развитие геометрической стороны вопро-
вопроса о связи между симметричными тензорами второго ранга дано в работах
В. В. Новожилова A963), Л. И. Седова A962), К. Ф. Черных A967).
Обстоятельное рассмотрение вопроса о связи между инвариантами,
с привлечением сведений из теории алгебраических инвариантов и теории
групп, произведено И. И. Гольденблатом A950, 1955). Была выяснена
возможность введения инвариантов, позволяющих раздельно рассматривать
изменение объема элемента и его формоизменение (Л. А. Толоконников,
1956). Там же были предложены соотношения, обобщающие закон подобия
девиаторов напряжений и деформаций. На основании этого Л. А. Толо-
Толоконников A957) развил вариант квадратичной теории (с четырьмя кон-
константами), основанный на следующих предположениях: всестороннее дав-
давление зависит только от относительного изменения объема, интенсивность
касательных напряжений — только от интенсивности деформации сдвига,
«углы вида» тензоров истинных напряжений и логарифмических деформа-
деформаций равны между собой.
Показано (Д. Д. Ивлев, 1961), что для изотропного тела, различ-
различным образом сопротивляющегося растяжению и сжатию, совокупность
простейших экспериментов не определяет полностью потенциала
деформации.
Установлено (В. Д. Бондарь, 1963), что всякое состояние равновесия
тела с отличными от нуля напряжениями и деформациями может быть
принято за начальное при специальном определении массовых сил.
Довольно часто использовались при построении нелинейной теории упру-
упругости термодинамические соображения (И. И. Гольденблат, 1950, 1955;

74 В. В. НОВОЖИЛОВ, Л. А. ТОЛОКОННИКОВ, К. Ф. ЧЕРНЫХ
Д. И. Кутилин, 1947; В# В. Новожилов, 1963). В монографии Л. И. Седова
A962) подробно рассмотрен вопрос о применении термодинамики обрати-
обратимых процессов для получения замкнутой системы уравнений нелинейной
теории упругости. Здесь используются все четыре термодинамических
потенциала. При этом в качестве их аргументов (наряду с обычно исполь-
используемыми компонентами тензоров деформации и напряжений, температу-
температурой и энтропией) вводятся также параметры, определяющие физико-
химические свойства материалов тела. Последние могут быть и тензорными
величинами. Рассмотрен случай наличия внутренних связей (например,
условие несжимаемости материала). Подробно исследован случай изотроп-
изотропного тела.
В монографии И. И. Гольденблата A955), подводящей итог более
ранним работам автора A949, 1950), детально рассмотрен случай, отве-
отвечающий принятию в качестве аргументов термодинамических потенциалов
инвариантов тензоров деформации и напряжений—упругих модулей (коэф-
(коэффициентов деформаций). Л. И. Седовым A965) введены в рассмотрение
моментные напряжения.
Конкретизация полученных соотношений применительно к резине
произведена в работах Г. М. Бартенева и Т. Н. Хазановича A960),
В. Л. Бидедмана A953, 1957, 1958, 1962), В. Л. Бидермана и Б. Л. Бухина
A960, 1961). Предложен общий подход к расчету деталей из резины при
больших деформациях и перемещениях (В. Л. Бидерман, 1958). Изуча-
Изучались формы потенциала несжимаемого материала. Выяснялись возмож-
возможности приближенного удовлетворейия условию несжимаемости (В. Л. Би-
Бидерман и Н. А. Сухова, 1963). Входящие в многочлен для упругого потен-
потенциала четыре константы определяются из экспериментов. Приведены
решения некоторых задач для резиновых амортизаторов и прокладок
(В. Л. Бидерман, 1962). Г. М. Бартенев и Т. Н. Хазанович A960) на осно-
основании анализа поведения резины при одномерной деформации предложили
форму потенциала напряжений с тремя константами.
В работе В. В. Лохина A963) было отмечено удобство классификации
анизотропных сред по их точечным группам симметрии. Показано, что
любой тензор, инвариантный относительно данной точечной группы, можно
представить в виде линейной комбинации тензоров, составленных при
помощи тензорных операций из некоторого минимального набора тензо-
тензоров. Л. И. Седов и В. В. Лохин A963) выявили такие системы тензоров
для 7 типов текстур и всех 32 классов кристаллов. Установлен общий вид
формул для тензоров произвольного ранга, являющихся нелинейными
тензорными функциями скалярных и тензорных функций произвольного
ранга (см. также В. В. Лохин и Л. И. Седов, 1963). Показано, что для
построения тензорных функций необходимо и достаточно знание полной
системы функционально независимых совместных инвариантов рассма-
рассматриваемых тензоров и тензорных аргументов. Выявлена структура тензор-
тензорных функций, описывающих состояние текстур и некоторых классов кри-
кристаллов (В. В. Лохин, 1963).
В работах Л. Н. Воробьева A956), Н. А. Кильчевского A963, 1964),
Д. И. Кутилина A947), В. В. Новожилова A958) рассмотрены общие тео-
теоремы нелинейной теории упругости. Расширенные вариационные начала
(типа предложенных в линейной теории Э. Рейсснером) сформулированы
К. 3. Галимовым A952) и И. Г. Терегуловым A962). Предложенные вариа-
вариационные принципы содержат в качестве независимо варьируемых функци-
функциональных элементов перемещения, напряжения и деформации, свободные
от каких-либо связей внутри и на границе тела. Вариационные начала

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 75
дают альтернативный подход к решению нелинейных задач — использо-
использование прямых методов математической физики. При наложении связей
на варьируемые элементы рассмотренные принципы переходят в классиче-
классические начала возможных перемещений и возможных изменений напряжен-
напряженного состояния (принцип Кастильяно).
Работы Н. В. Зволинского, Д. М. Панова и П. М. Риза A938—1943)
определили общее направление отечественных прикладных работ по не-
нелинейной упругости (§ 2, 3). Для последних характерно использование
так называемой квадратичной теории (варианта нелинейной), получаю-
получающейся при удержании во всех соотношениях наряду с линейными членами
также произведений и квадратов искомых величин.
В. В. Новожилов A948, 1958) высказал ряд критических замечаний
о квадратичной теории. Вкратце они сводятся к следующему. Возмож-
Возможность полной или частичной линеаризации геометрических и статических
(динамических) соотношений нелинейной теории упругости определяется
чисто геометрическими факторами: величиной удлинений, сдвигов и углов
поворота как по сравнению с единицей, так и между собой. Поэтому
используемый в квадратичной теории недифференцированный (указанным
выше образом) подход к упрощению статико-геометрических соотношений
носит формальный характер. Далее, для упрощения соотношений, связы-
связывающих напряжения и деформации, недостаточна малость компонент
деформации по сравнению с единицей. Требуется сравнивать их с фи-
физическими константами материала (пределами пропорциональности) —
величинами, как правило, весьма малыми по сравнению с единицей.
К тому же для квадратичной теории характерно сохранение в выражении
для потенциала напряжений, наряду с квадратичными, и кубических
членов (пятиконстантная теория Фойхта — Мурнагаца). Для большин-
большинства же реальных материалов отклонение от закона Гука обусловливается
четными степенями компонент деформации.
Альтернативный подход к упрощению нелинейных соотношений,
свободный от указанных недостатков, подробно изложен В. В. Новожи-
Новожиловым A948, 1958). Его следствием явилось, в частности, принятое в на-
настоящее время разбиение задач на четыре группы: 1) линейные физически
и геометрически; 2) нелинейные физически, но линейные геометрически;
3) линейные физически, но нелинейные геометрически; 4) нелинейные физи-
физически и геометрически. В монографии В. В. Новожилова A948) с позиций
общих соотношений нелинейной теории упругости проведен анализ гео-
геометрических допущений, широко используемых при изучении деформации
стержней, пластин и оболочек.
Хорошо известно, что в важном для практики случае простого нагру-
жения (все напряжения в теле изменяются пропорционально одному
и тому же параметру) зависимости теории пластичности вырождаются в фор-
формулы нелинейной теории упругости. Л. И. Седовым A959) показано, что
при больших деформациях простое нагружение для тела в целом может
быть осуществлено лишь при деформациях весьма специального вида.
Выяснению ограничений на вид деформаций, отвечающих простому нагру-
жению, посвящена работа В. Д. Бондаря A960).
В. М. Бабич A954) рассмотрел, с привлечением кинематических и ди-
динамических условий совместности, систему уравнений движения упругой
среды, потенциал формоизменения которой является произвольной функ-
функцией интенсивности деформации. Найдены скорости распространения
волн, зависящие от направления однородного поля начальных напряже-
напряжений, создающих анизотропию.

76 В. В. НОВОЖИЛОВ, Л. А. ТОЛОКОННИКОВ, К. Ф. ЧЕРНЫХ
В статье И. А. Викторова A963) показывается, что в нелинейной упру-
упругой среде продольная основная волна приводит к появлению вторичных
продольной и поперечной волн; то же относится и к основной поперечной
волне.
§ 2. Вторичные эффекты в задачах изгиба
и кручения призматических и цилиндрических тел
Подсказываемые квадратичной теорией эффекты, дополнительные
к тому, что дает линейная теория, называют вторичными. На возможность
и целесообразность учета вторичных эффектов указал в 1937 г. Ф. Д. Мур-
наган (Amer. J. Math., 1937, 59 : 2, 235—260). Оригинальный подход,
к кругу вопросов, возникающих при переходе к квадратичной теории,
дан в работах Н. В. Зволинского и П. М. Риза A939) и П. М. Риза A947)..
В качестве приложения построенной теории рассмотрены эффекты, свя-
связанные с осевой деформацией призматических тел при воздействии на них
крутящих моментов. Показано, насколько растяжение увеличивает, а сжа-
сжатие уменьшает крутильную жесткость брусьев. Определены критиче-
критические значения сжимающих сил, при которых брус лишается крутильной:
жесткости,
П. М. Ризом A938, 1939) решена задача кручения круглого цилиндра
с сохранением слагаемых порядка квадрата крутки. Обнаружено осевое
сжатие и удлинение радиальных волокон. Аналогичные эффекты возникают
при кручении эллиптического цилиндра (Д. Ю. Панов, 1939).
С целью оценки взаимного влияния деформаций чистого изгиба в каж-
каждой из главных плоскостей рассмотрен косой изгиб бруса (П. М. Риз
и А. И. Пожалостин, 1942). В работах А. Я. Горгидзе и А. К. Рухадзе
A941, 1943), Н. В. Зволинского A939), Р. С. Минасяна A962, 1963),
П. М. Риза A939), А. К. Рухадзе A941, 1947), А. К. Рухадзе и А. Я. Гор-
Горгидзе A944) выяснено взаимное влияние различных воздействий на брус
(однородный либо составной): осевого растяжения поверхностными и мас-
массовыми силами, изгиба парами, изгиба силой, кручения. Показано,,
в частности, что эффект взаимного влияния нагрузок является существен-
существенным для длинных тел тонкого профиля, типа винтов самолетов.
Дальнейшее развитие квадратичной теории дано Л. А. Толоконнико-
вым A956, 1959). Существенным здесь является принятие предположения
о подобии девиаторов деформаций и напряжений, а также разложение
обобщенных модулей упругости по двум параметрам (относительному
изменению объема и интенсивности формоизменения). Полученные зави-
зависимости иллюстрируются на задаче о кручении круглого вала. В работе
Н. В. Василенко A965) проведен анализ квадратичных соотношений термо-
термоупругости.
§ 3. Плоские задачи
При рассмотрении плоских задач нелинейной теории упругости, как
и в общем случае, можно выделить три направления.
Первое направление рассматривает задачи, нелинейные как физиче-
физически, так и геометрически, что характерно для дальнейшего развития теории,
сформулированной в работах Дж. Э. Адкинса, А. Э. Грина, Р. Т. Шилда
и Дж. К. Николаса. Здесь широко применяется метод малого параметра,,
использующий в качестве первого приближения линейное решение задачи.

НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 77
Такой подход позволил эффективно приложить (Г. Н. Савин, 1964)
развитый ранее применительно к линейным задачам метод функций ком-
комплексного переменного и интегралов типа Коши. Изучены особенности
и условия однозначности комплексных потенциалов, сформулированы
различные варианты статических и геометрических граничных условий
в начальном и деформированном состояниях (Г. Н. Савин и Ю. И. Койф-
ман, 1961). Затем был рассмотрен ряд задач о концентрации напряжений
около кругового и эллиптического отверстий (свободного и с подкре-
подкреплением) при однородном напряженном состоянии на бесконечности
<Ю. И. Койфман, 1961—1964). Здесь же рассмотрены родственные задачи
для пластинки с жестким ядром.
Оригинальный подход к плоскому несжимаемому состоянию пред-
предложен Л. А. Толоконниковым A958). В. Г. Громов A959) получил строгое
решение осесимметричной задачи, позволяющее оценить надежность
приближенных методов решения. Дальнейшее развитие получило при-
применение метода функций комплексного переменного (В. Г. Громов
и Л. А. Толоконников, 1963). В работе И. Г. Терегулова A962) снято огра-
ограничение, связанное с условием несжимаемости.
Ко второму направлению (задачи, нелинейные геометрически и линей-
линейные физически) следует отнести работу В. В. Крылова A946). В этой
одной из первых отечественных публикаций по нелинейной плоской задаче
проведен обстоятельный анализ плоского состояния. Продемонстрирована
возможность применения функций комплексного переменного.
Третье направление (задачи, нелинейные физически и линейные гео-
геометрически) рассматривает малые отклонения в законе формоизменения
(по Каудереру). Г. Н. Савиным A965) получено разрешающее уравнение
в произвольных изотермических координатах, определяемых отображаю-
отображающей функцией общего вида. Рассмотрен ряд конкретных задач по опреде-
определению концентрации напряжений около отверстий при различных полях
напряжений на бесконечности. Изучена эффективность упругого подкреп-
подкрепления контура (И. А. Цурпал, 1962—1965). В основу решения ряда задач
третьего направления положены соотношения квадратичной теории
упругости (И. Н. Слезингер и С. Я. Барская, 1960, 1965). Анализ полу-
полученных решений показывает, что учет физической нелинейности материала
приводит к уменьшению концентрации напряжений около отверстий.
§ 4. Устойчивость равновесия упругого тела
Остановимся лишь на работах по устойчивости равновесия упругих
тел, в которых исходными являются соотношения нелинейной теории
упругости и не используются предположения, присущие теориям тонко-
тонкостенных конструкций.
Начнем с работы Л. С. Лейбензона A961), в которой впервые было
произведено четкое разбиение напряжений, перемещений и деформаций
на основные и добавочные, возникающие при потере устойчивости. Полу-
Полученные для дополнительного состояния зависимости позволили опреде-
определить критические значения разности давлений, действующих на внеш-
внешнюю и внутреннюю поверхности полого шара и длинной трубы. В после-
последующих работах Л. С. Лейбензона проведен обстоятельный анализ при-
приближенных методов решения задач устойчивости упругого равновесия.
Обзор общей постановки задач устойчивости равновесия упругого
тела, следующего закону Гука, дан в монографии В. В. Новожилова
A948). Здесь выяснены (без каких-либо предварительных упрощений)

78 В. В. НОВОЖИЛОВ, Л. А. ТОЛОКОННИКОВ, К. Ф. ЧЕРНЫХ
условия, при которых возможно появление новой формы равновесия;;
сформулированы дифференциальные уравнения и граничные условия
проблемы упругой устойчивости; проведен анализ упрощений, следую-
следующих из предположения, что исходное состояние описывается соотноше-
соотношениями классической теории упругости; предложен энергетический крите-
критерий устойчивости.
Общим вопросам устойчивости посвящена и работа В. В. Болотина
A956). Основное состояние, описываемое зависимостями линейной теории
упругости, представлено в ней через тензор Грина, и задача сведена к ис-
исследованию систем линейных интегральных уравнений (последние при
соответствующих предположениях переходят в уравнения устойчивости
тонкостенных элементов конструкций). Изучено влияние на устойчивость
изменения поверхностных и массовых сил, а также деформаций, пред-
предшествующих потере устойчивости. Общие уравнения нелинейной упру-
упругости используются В. В. Болотиным A958) при обсуждении проблемы
устойчивости как «в малом», так и «в большом». При этом принимается
предположение о малости удлинений и сдвигов, анализируются собствен-
собственные значения общей краевой задачи устойчивости «в малом», формули-
формулируются соотношения устойчивости «в большом».
А. Ю. Ишлинский A943) применил уравнения устойчивости равнове-
равновесия упругого тела к проблеме устойчивости сжатой полосы. Критическое*
напряжение представлено им в виде ряда по степеням параметра, обраща-
обращающегося в нуль одновременно с толщиной полосы. Первый член ряда
дает значение критической нагрузки по Эйлеру. В развитие этой работы
исследована устойчивость сжимаемой полосы при других граничных
условиях (Л. В. Ершов и Д. Д. Ивлев, 1961).
В духе работ А. Ю. Ишлинского A943, 1954) с учетом нелинейности
закона формоизменения рассмотрена задача об устойчивости квадратной
плиты при одноосном и двуосном сжатии (И. Д. Легеня, 1961, 1962).
Дальнейшие исследования привели к выводу о необходимости учета углов
поворота при формулировании условий равновесия элемента тела в воз-
возмущенном состоянии (И. Д. Дегеня, 1963). Показано, что при этом —
в постановке В. В. Новожилова A948) —.в выражении для критического*
давления на квадратную плиту имеются отличные от классических сла-
слагаемые, не исчезающие при уменьшении толщины плиты.
С учетом поворота несжимаемых элементов тела рассмотрена
(К. Ы. Семчинов, 1961) потеря устойчивости полосой конечных размеров,
получены условия искривления полосы при сжатии; определены крити-
критические растягивающие усилия, при которых на полосе образуется шейка.
Задача о сжатии круглой пластины рассмотрена Л. А. Толоконнико-
вым A959) с учетом деформации и смещений основного состояния. Пока-
Показано, что зависимость критического давления от относительной длины
не является монотонной и однозначной. При этом существует предельное
отношение толщины к радиусу, при достижении которого пластина пере-
перестает терять устойчивость. Тем же методом найдены критические нагрузки
для кольцевой пластины, круговой цилиндрической оболочки и цилиндри-
цилиндрической панели при действии поперечного давления (Г. Б. Киреева, 1961,
1966).
Критическое значение сжимающей силы для стержня определено*
А. И. Лурье A966) из полученных им общих соотношений.

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
§ 1. Введение 79
1.1. Общие замечания 79
1.2. Краткий исторический очерк 80
§ 2. Связи между локальными характеристиками состояния и деформации среды 86
2.1. Идеально пластические среды 86
2.2. Упрочняющиеся среды с гладкой или кусочно-гладкой поверхностью
нагружения 87
2.3. Теории типа «теории скольжения» 89
2.4. Другие модели пластической среды с упрочнением 90
2.5. Деформация при неизменном положении главных осей. Деформа-
Деформационная теория 92
2.6. «Постулат изотропии» и исследования по вопросам общей теории тен-
тензорных функций и функционалов, возникшие в связи с проблемами
реологии пластических сред 94
2.7. Некоторые итоги 94
§ 3. Краевые задачи 96
3.1. Общие замечания 96
3.2. Жестко-пластическое тело 97
3.3. Теоремы о предельной нагрузке 101
3.4. Плоская деформация . 103
3.5. Плоское напряженное состояние 105
3.6. Кручение 107
3.7. Осесимметричные задачи 108
3.8. Анизотропия и неоднородность 109
3.9. Упруго-пластическое тело 110
3.10. Упруго-пластическое кручение 112
3.11. Плоская задача 112
3.12. Приспособляемость 113
3.13. Упрочняющееся тело 115
3.14. Заключение 117
§ 1. Введение
1.1. Общие замечания. Под пластичностью иногда понимают просто
способность тела испытывать деформации, не полностью исчезающие
с удалением вызвавших их причин. Пластичность в этом смысле — общее
свойство твердых тел. Но чаще в этот термин вкладывают более узкий
смысл, отождествляя «пластичность» с «атермической» («холодной») плас-
пластичностью, т. е. способностью к остаточным деформациям, не связанным
с тепловой подвижностью вещества. Внешне это проявляется в известного
рода независимости картины процесса от времени.

80 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
Для простоты рассмотрим случай, когда образец (или элементарный
объем среды) испытывает деформацию при неизменной температуре и неиз-
неизменных же внешних электрическом и магнитном полях. Пусть t — время,,
$ih &tj — компоненты тензора напряжения и тензора деформации эле-
элемента. В соответствии с одним из обычных исходных предположений,
в этом случае всегда, когда при t ^ f 0 элемент находится в термодинами-
термодинамически равновесном состоянии и заданы etj = гц (t) (t ^ f0), вполне опре-
определенными являются и функции (Уи = Gtj (t) (f ^> f0).
Говорят, что поведение элемента не зависит от времени, если для
любых двух процессов е^} (t), e\f (f) с одинаковым состоянием элемента
при t = tо и таких, что для некоторого с > 0 выполняются равенства
г{ц (t) = г($ (ct + 6) (b = A — с) t0, t ]> t0), при каждом t^>t0 будет
и а$ (t) = a\f (ct + Ь). Это условие очевидным образом обобщается на не-
неизотермические процессы деформации и процессы при изменяющихся
электромагнитных полях. Для любой сплошной среды, способной испы-
испытывать остаточные деформации и вместе с тем удовлетворяющей этому
условию независимости поведения от времени, оправдано название «пла-
«пластическая» в отмеченном смысле. Характерное с точки зрения термодина-
термодинамики свойство такой среды состоит в том, что не всякий квазистатический
процесс в ней является обратимым процессом.
Необходимо подчеркнуть, что остаточная деформация реального твер-
твердого тела вполне атермической быть не может. Чтобы в достаточной
мере исключить ползучесть и другие эффекты, связанные с тепловым дви-
движением атомных частиц, нужно ограничить снизу допустимые скорости
процесса, причем тем больше, чем выше при прочих равных условиях тем-
температура. Но для неметаллических материалов этим ограничивается и сама
способность к остаточным деформациям: при деформировании неметалли-
неметаллического тела со скоростями, обеспечивающими атермический характер про-
процесса, появление остаточной деформации обычно почти сразу сопровож-
сопровождается разрушением; предотвратить разрушение можно лишь наложением
достаточно большого (во многих случаях измеряемого десятками или даже
сотнями тысяч атмосфер) гидростатического давления. Значительной
атермической пластичностью при обычных значениях шаровой составляю-
составляющей напряжения обладают только металлы. Естественно поэтому, что
экспериментальные основания теории пластичности составляют почти
исключительно данные опытов над металлами.
1.2. Краткий исторический очерк. Начало развития теории пластич-
пластичности восходит к семидесятым годам.прошлого века и связано с именами
А. Сен-Венана и М. Леви. Сен-Венану первому удалось сформулировать
уравнения, удовлетворительно описывающие законы пластического тече-
течения металлов на языке механики сплошной среды. Этот успех во многом
был обязан экспериментальным исследованиям А. Треска, поставившего
в конце шестидесятых годов серию опытов по штамповке и выдавливанию
металлов через отверстия. С упоминания об этих опытах и начинается
классическая работа Сен-Венана об уравнениях для «внутренних движе-
движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости».
Эта работа ограничивается случаем плоской деформации, но построенные
в ней уравнения были сразу же обобщены М. Леви на трехмерный случай
(статьи Сен-Венана и Леви появились почти одна за другой в «Journal de
mathematiques pures et appliquees» за 1871 г.; перевод этих статей имеется
в сборнике «Теория пластичности», М., 1948).
Конец прошлого столетия принес мало нового, в начале же нашего
века проблемы пластичности стали опять привлекать внимание круп-

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 81
ных ученых. В 1909 г. появилась работа А. Хаара и Т. Кармана, содержав-
содержавшая попытку получить уравнения теории пластичности с помощью вариа-
вариационного принципа, в 1913 г. — важная работа Р. Мизеса (см. уже упо-
упоминавшийся сборник переводов «Теория пластичности»). В этой работе
Мизес отчетливо сформулировал условие пластичности, по которому
переход в пластическое состояние определяется значением квадратичного
инварианта девиатора напряжения (менее отчетливо и вне связи с построе-
построением теории пластичности такое условие высказывалось и ранее). Главным
из доводов Мизеса в пользу этого условия была его близость к условию
текучести, указанному Треска и использованному Сен-Венаном (условию
максимального касательного напряжения). Эта близость связана с тем,
что вследствие симметрии тензора напряжения всегда
где
5, - У2/3 (Т? + А + Tj) = 1Л/2
— интенсивность касательных напряжений (ть т2, т3 — главные каса-
касательные напряжения, stj — компоненты девиатора напряжения).
Ряд важных исследований появился в двадцатых годах. Так, Г. Ген-
Генки и Л. Прандтль обратили внимание на двумерные задачи теории идеаль-
идеальной пластичности, в первую очередь на задачи о плоской деформации:
в одной из работ этого периода Генки установил примечательные свойства
«линий скольжения» (траекторий ттах) в задаче о плоской деформации
идеально пластического тела (Z. angew. Math, und Mech., 1923, 3 : 4,
241—251); в опубликованной вскоре работе Прандтль указал пути приме-
применения этих свойств к решению некоторых конкретных задач (вдавливание
штампа, сжатие слоя; см. сборник «Теория пластичности», где имеется
и перевод статьи Генки). Вместе с работой X. Гейрингер A930 г.), в кото-
которой были получены уравнения для скоростей на линиях скольжения, эти
работы дали толчок широкому развитию исследований по плоской задаче
теории идеальной пластичности в конце тридцатых годов и позднее (см. § 3
настоящего обзора).
Еще в одной своей работе двадцатых годов Г. Генки дал хорошо извест-
известную сейчас (используемую во многих учебниках сопротивления материа-
материалов) энергетическую интерпретацию условия Мизеса и с помощью вариа-
вариационного принципа, аналогичного принципу, сформулированному ранее
А. Хааром и Т. Карманом, получил определяющие уравнения для идеаль-
идеально пластического тела в виде конечных соотношений связи тензоров
напряжения и деформаций. А. Надаи обобщил эти уравнения Генки
на случай изотропного тела с упрочнением. Как и в работе Генки, границы
применимости конечных уравнений связи тензоров напряжения и дефор-
деформации для описания пластичности при этом четко не определялись. Ясность
в этом вопросе была достигнута позднее, после появления в сороковых
годах ряда работ А. А. Ильюшина (см. п. 2.5.).
В двадцатых годах был сделан также существенный шаг в развитии
теории Сен-Венана — Леви, в которой рассматриваемая среда является,
в сущности, «жестко-пластической» (способной испытывать только оста-
остаточные деформации). Л. Прандтль, по-видимому, первым обратил внима-
внимание на этот факт: в одной из его работ начала двадцатых годов дано обоб-
обобщение уравнений Сен-Венана, по которому приращение деформации detj
в данной точке среды всегда состоит из упругой и остаточной частей, а тен-
тензор напряжения соосен тензору, характеризующему остаточную часть,
6 Механика в СССР, т. 3

82 . А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
а не все приращение деформации. В 1930 г. Э. Рейсе аналогичным образом
обобщил вариант теории Сен-Венана — Леви, указанный Р. Мизесом
(отличающийся от исходного варианта лишь условием текучести; Z. angew.
Math. undMech., 1930,10:3, 226—274, см. цит. сб. «Теория пластичности»).
К двадцатым годам по справедливости нужно отнести и начало систе-
систематических экспериментальных исследований в связи с вопросами теории
пластичности. В 1926 г. опубликовали результаты своих опытов М. Рош
и А. Эйхингер, а двумя годами позднее появилась фундаментальная рабо-
работа В. Лоде *). В обоих случаях испытывались образцы в виде тонкостенных
трубок, а одной из главных целей эксперимента было сравнение условий
текучести Треска и Мизеса для более широкого набора напряженных сос-
состояний, чем простое растяжение и чистый сдвиг. Лоде, кроме того, ввел
в рассмотрение параметр, характеризующий «вид» (отношение диаметров
кругов Мора) двухвалентного симметричного тензора, и изучал в своих
опытах связь между \ia и [i&> — «параметрами Лоде» соответственно тен-
тензора напряжения и тензора скорости деформации. На плоскости, отнесен-
отнесенной к координатам |ia, [x8', диаграмма этой связи, по данным опытов
Лоде, имеет характерный вид, всегда получавшийся и в более поздних
опытах такого типа и позволяющий сделать важные выводы относительно
конструкции определяющих соотношений.
Надо заметить, что в эти годы началось также экспериментальное
изучение пластичности и прочности металлических монокристаллов.
Как известно, при охлаждении жидкого металла обычно получается тело
с поликристаллической структурой. Выращивание металлического моно-
монокристалла — дело трудное, и, несмотря на многовековую историю метал-
металлургии, первые способы получения монокристаллов типичных металлов
были открыты лишь в 1918—1920 гг. Зато это почти сразу было использо-
использовано для широкого изучения законов пластической деформации на «кри-
«кристаллографическом уровне». С. Элам, М. Поляни, Э. Шмид и другие физи-
физики-металловеды осуществили в двадцатых годах сотни опытов по растяже-
растяжению и сдвигу монокристаллических образцов за пределами упругости
при разной ориентации решетки образца относительно главных осей
напряжения. В результате было установлено, что пластическая деформа-
деформация монокристалла происходит в основном путем взаимной трансляции
(«скольжения») его частей, разделяемых системами одноименных кристал-
кристаллографических плоскостей, что наименьшим сопротивлением скольжению
обладают кристаллографические плоскости и направления с наиболее
плотным размещением узлов решетки и ряд других простых по форме
фактов, важнейшие из которых выражают так называемые «законы Шмида»
(обзор этих фактов имеется в монографии Э. Шмида и В. Боаса «Пластич-
«Пластичность кристаллов», 1935; русский перевод: М.— Л., 1938).
Законы Шмида допускают чисто макроскопическую формулировку,
и потому с их помощью можно внести ясность и в некоторые из вопросов
о законах пластической деформации «квазиизотропного» (поликристалли-
(поликристаллического) тела. Однако построение таким путем достаточно полной и стро-
строгой теории деформирования поликристаллического образца представляет
собой весьма трудную задачу. По этой причине отмеченные успехи физи-
физического металловедения не оказали большого влияния на реологию пла-
пластических сред — развитие последней и позднее шло в основном по тому
*) См. цит. сб. «Теория пластичности». Статья В. Лоде содержит, в частности,
краткий обзор предыдущих экспериментальных исследований — опытов Дж. Геста,
В. Мазона, Дж. Кука и А. Робертсона и др., выполненных еще до начала первой
мировой войны и большого влияния на развитие теории пластичности не оказавших.

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 83
же пути, что и до 1930 г., т. е. исходя непосредственно из данных опытов
над обычными образцами.
В начале тридцатых годов важные опыты были поставлены Дж. Тей-
Тейлором и X. Квинни, Р. Шмидтом, Ф. Одквистом, К. Хоэнемзером. В опы-
опытах Тейлора и Квинни изучались взаимная ориентация главных осей тен-
тензоров напряжения и скорости деформации и упрочнение. Опыты Шмидта
были одними из первых экспериментов, посвященных специально упроч-
упрочнению при сложном напряженном состоянии (Ingr-Arch., 1932, 3 : 0,
215—235; см. сборник «Теория пластичности»). Подвергнув анализу ряд
вариантов условия упрочнения, Шмидт обнаружил, что наиболее удовле-
удовлетворительным из них является тот, по которому интенсивность касатель-
касательных напряжений — функция плотности работы напряжений: s* = h (м;),
dw = aa& deap (к такому же выводу на основании своих опытов пришли
Дж. Тейлор и X. Квинни). Оказалось, что диаграмма процесса на плоско-
плоскости в координатах s*, w мало изменяется даже с переходом от опытов с «про-
«пропорциональным» нагружением к нагружениям с резкими поворотами глав-
главных осей. Ф. Одквист почти сразу отметил, что не менее удовлетворитель-
удовлетворительным является условие, в соответствии с которым
В обоих случаях не учитывается упругая составляющая деформации.
Если упругой деформацией не пренебрегать, то приращение d&tj нужно
заменить остаточной его частью dsij — dstj — defj. Тогда для любого
допустимого состояния
s% ^С h (w), dw = cfa^ d&ufi
или, по Одквисту,
r A.1)
причем h и g — монотонные функции и в обоих случаях defj Ф 0 только
при знаке равенства.
Близость условий A.1), всегда подтверждавшаяся опытами, почти
диктует конструкцию простейшего обобщения уравнений Прандтля —
Рейсса на случай среды с упрочнением. Дело в том, что условия A.1)
вполне согласуются друг с другом (т. е. h (w) = g (X) для любого процесса)
только в том случае, когда в любом состоянии с defj Ф 0 тензор напряже-
напряжения соосен и подобен тензору defj. Вместе с условием пластической несжи-
несжимаемости материала и условием текучести Мизеса соосность и подобие
этих тензоров заключают в себе и уравнения Рейсса.
Отмеченное (получающееся заменой условия Мизеса любым из усло-
условий A.1)) обобщение уравнений Рейсса несколько иным путем было построе-
построено Г. Хандельманом и В. Прагером (Прикл. мат. и мех., 1947, 11 : 2,
291-292). Пусть / = У2 (s* - g (Я)), где по-прежнему dk =
Соосность и подобие тензоров напряжения и скорости остаточной дефор-
деформации вместе с условием пластической несжимаемости при этом равносиль-
равносильны соотношению
лй=л; A.2)
а в соответствии с A.1) для любого состояния / ^0, причем dX^=O только
при / = 0, df = 0. При указанной конкретизации «функции нагружения»
о*

84 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
/ эти соотношения совпадают с соотношениями Хандельмана — Прагера.
Для упругой составляющей деформации, как обычно, принимается спра-
справедливым закон Гука.
Соотношения Хандельмана — Прагера определяют вполне конкрет-
конкретную и простую модель упруго-пластической среды с упрочнением. В 1951 г.
Д. Ч. Драккер сформулировал постулат, вследствие которого тензор
скорости остаточной деформации должен быть связан с функцией нагру-
жения «градиентальным» соотношением вида A.2) в широком классе слу-
случаев. В применении к изотермическим процессам в среде с упрочнением
и обычным (не изменяющимся в результате пластической деформации)
законом разгрузки постулат Драккера равносилен следующему локально-
локальному принципу максимума:
о*аЗ de?p > 5а|з cZegp A.3)
для любых действительных (связанных определяющими соотношениями)
tf*.b defj и любого допустимого (ограниченного только условием / ^ 0)
напряженного состояния atj\ для идеально пластической среды A.3)
всегда выполняется со знаком равенства. Отсюда вытекает, что область
в пространстве напряжений, заполняемая траекториями обратимых изме-
изменений данного состояния, должна быть всегда невогнутой, а тензор defy
для каждого гладкого участка границы этой области («поверхности нагру-
жения») связан с нормалью к ней соотношением вида A.2).
Определяющие соотношения, в которых функция нагружения играет
роль «пластического потенциала», принято называть ассоциированным
законом. В случае идеально пластической среды с гладкой поверхностью
нагружения (в применении к таким средам чаще называемой поверхностью
текучести) принятие постулата Драккера исчерпывает вопрос об определя-
определяющих соотношениях, по крайней мере для процессов при неизменном поле
температуры. В случае среды с упрочнением требуются дополнительные
предположения. Если же поверхность нагружения имеет особые точки,
то возникает также вопрос о связи тензора defy с другими переменными при
изменениях состояния, соответствующих смещениям из этих точек.
Вопрос о законе течения в случае пластического потенциала с сингу-
лярностями был затронут еще Э. Рейссом в начале тридцатых годов, а позд-
позднее — в работах В. Прагера. В работах В. Т. Койтера 1953—1956 гг. дано
изящное решение этого вопроса для среды с кусочно-гладкой поверхностью
нагружения общего вида (Quart. Appl. Mech., 1953, 11 : 3, 350—354, и др.
статьи, основные результаты и библиография которых имеются в обзорной
работе В. Т. Койтера «Общие теоремы теории упруго-пластических сред»,
1960; русский перевод: М., 1961).
Если кусочно-гладкая поверхность нагружения состоит из п ^> 1
гладких участков, которым соответствуют функции нагружения /ь /2, . . .
. . . , /п, то, по Койтеру, для любого процесса
т=1
причем для каждого т = 1, 2, . . ., п
dXm>0 тогда и только тогда, когда /m = 0, -^p!L'daa^>0 A.4')
(для идеально пластической среды последнее условие формулируется
несколько иначе). Для точки на поверхности нагружения, принадлежащей

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 85
лишь одному гладкому ее участку, согласно A.4') ненулевое значение имеет
лишь один член суммы в A.4) и тензору defj по-прежнему в пространстве
напряжений соответствует отрезок с направлением нормали к этой поверх-
поверхности. Для точек последней, в которых нормаль к ней не определена,
больший произвол допускает и принцип максимума A.3); соответственно
в этих случаях на основании A.4) и A.4') «активными» могут быть одно-
одновременно несколько частичных функций нагружения.
Работы В. Т. Койтера, в частности, позволили понять связь теорий
обычного типа с теориями, претендующими на микроструктурный подход.
Один из наиболее важных фактов установил сам Койтер, показавший, что
при надлежащем выборе функций fm и переходе к пределу при п -> оо
соотношения A.4) сводятся к соотношениям «теории скольжения»
С. Б. Батдорфа и Б. Будянского.
Эта теория появилась в 1949 г. и была первой привлекшей внимание
попыткой построить уравнения теории пластичности, исходя из законов
пластической деформации монокристаллов (NAGA Techn. Note, 1949,
№ 1871; русский перевод в сб. перев. «Механика», 1962, № 1). В цятидеся-
тых годах было опубликовано несколько десятков статей, посвященных
анализу и некоторым уточнениям теории Бятдорфа — Будянского.
К концу пятидесятых годов, однако, стало ясно, что исходные ее положе-
положения чрезмерно упрощают картину «скольжения» в поликристалле. Сущест-
Существенную роль сыграли экспериментальные исследования, неизменно пока-
показывавшие несостоятельность характерных предсказаний этой теории.
Вследствие этого интерес к теориям такого типа на некоторое время угас.
В теорию же, развивавшеюся в рамках классического подхода, в этот
период был сделан новый значительный вклад. В соответствии с A.1)
поверхность нагружения в любом состоянии представляет собой цилиндр
Мизеса с фиксированной осью, при пластической деформации изменяется
лишь радиус цилиндра. Этим исключается прежде всего учет эффекта
Баушингера. В работах В. Прагера и других ученых в пятидесятых годах
были построены первые конкретные модели упруго-пластической среды
с деформационной анизотропией упрочнения и эффектом Баушингера.
Позднее появились работы, посвященные уточнению этих моделей. Глав-
Главным источником уточнений были результаты опытов с многократными
знакопеременными нагружениями, осуществлявшихся в пятидесятых
и шестидесятых годах многими экспериментаторами и позволивших
заметно продвинуться в понимании причин и форм проявления эффекта
Баушингера у реальных металлов.
В эти годы были выполнены и другие интересные экспериментальные
исследования со сложными нагружениями образцов. Принципиальное
значение имели опыты с «малыми догрузками» и исследования эффектов
«запаздывания», подробнее о которых будет сказано в § 2. Постепенно ста-
становилось очевидным, что удовлетворительно согласовываться с экспери-
экспериментом при любых нагружениях не может никакая теория, в которой
границы упругого поведения для каждого состояния тела описываются
одной поверхностью в пространстве напряжений или деформаций. В ре-
результате в последнее время снова начал возрастать интерес к теориям,
которые с известными основаниями можно назвать микроструктурными.
В заключение отметим, что первые работы по теории пластичности
в нашей стране появились в 1936—1938 гг. В послевоенные годы только
в изданиях АН СССР было опубликовано свыше двухсот работ. Следующий
параграф настоящего очерка посвящен работам советских ученых в обла-
области реологии пластических сред, § 3 — работам по краевым задачам.

86 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
Обзор не претендует на полноту. Мы избегали рассмотрения частных вопро-
вопросов или специальных проблем. Так, вовсе не затронуты теория пластиче-
пластических оболочек и пластин, течение тонких пластических слоев, приложения
теории к технологическим задачам, проблема устойчивости за пределом
упругости, динамические задачи и некоторые другие вопросы.
§ 2. Связи между локальными характеристиками состояния
и деформации среды
2.1. Идеально пластические среды. По определению идеально пласти-
пластического тела в процессах при неизменной температуре допустимым его
состояниям соответствует фиксированная область в пространстве напря-
напряжений. Тем самым функция / в уравнении / = 0 границы этой области
должна быть функцией только напряжений. В случае кусочно-гладкой
поверхности текучести это справедливо для каждой из функций /1? /2, . . .
. . ., /п, соответствующих гладким участкам. В результате соотношения
A.4) вместе с обычными (выражающими закон Гука) уравнениями для
упругой составляющей деформации образуют полную систему определяю-
определяющих соотношений; A.4') при этом заменится условием, в силу которого
дХт > 0 возможно только при fm = О, dfm = 0,— это также следует
непосредственно из определения идеально пластической среды.
Для изотропной среды функции fm должны быть инвариантны относи-
относительно полной ортогональной группы и потому могут зависеть от тензора
напряжения только через «абсолютные» его инварианты. Условие пласти-
пластической несжимаемости при этом равносильно условию, что fm от инвариан-
инварианта tfap6ap не зависят и, следовательно, представимы в виде функций ска-
скалярных инвариантов девиатора напряжения, в качестве независимых сре-
среди которых всегда можно рассматривать интенсивность
и «угол вида»
1 /
as = -тг arccos —
Конкретизация функций fm = fm (s*, as) должна удовлетворять условию
невогнутости поверхности текучести. Кроме того, обычно принимается,
что пределы текучести при растяжении и сжатии одинаковы. Но и с введе-
введением этого условия остается еще большой произвол. В частности, всем
перечисленным условиям удовлетворяют оба классических условия теку-
текучести: условие Треска и условие Мизеса.
Д. Д. Ив леву принадлежит идея воспользоваться принципом макси-
максимума мощности диссипации для сравнения условий текучести (Д. Д. Ив-
лев, 1958, 1966), С помощью такого сравнения доказывается предпочти-
предпочтительность условия Треска. Однако кроме принципа максимума при этом
приходится использовать предположение, регламентирующее способ изме-
измерения предела текучести (который должен всегда определяться из опыта
на чистый сдвиг).
Доводы в пользу большего соответствия условия Треска физике пла-
пластической деформации высказывались и другими авторами. Известно,
с другой стороны, что с экспериментальными данными чаще более удовлет-
удовлетворительно согласуется условие Мизеса. Особенно характерны в этом
отношении данные опытов о связи параметров Лоде, ибо эта связь зависит

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
87
от производных функции текучести и разница условий Треска и Мизеса
становится более ощутимой.
Известно, что «угол вида» данного симметричного тензора определяет
направление его составляющей в плоскости «октаэдрической» (равнона-
клоненной к главным осям) площадки. С учетом этого нетрудно видеть, что
в пределах каждой грани призмы Треска «угол вида» тензора defj сохра-
сохраняет фиксированное значение, изменяющееся на х/3 Jt при переходе на со-
соседнюю грань (рис. 1). При условии же Мизеса в состояниях с defj Ф О
всегда as = а^8Р. Параметр Лоде однозначно определяется «углом вида»,
Л
-/ о
/У
т
т
Рис. 1.
Рис. 2.
и, переходя к параметрам Лоде, получим картину, изображенную на рис. 2.
Условию Треска отвечает ломаная ТОТ, совпадающая при \id&p = О
с отрезком [—1, 1] оси fis, условию Мизеса — прямая \is = \ideV. После
опытов самого В. Лоде, о которых упоминалось в § 1, связь между пара-
параметрами Лоде в опытах над различными металлами изучалась Дж. Тей-
Тейлором и X. Квинни, в сороковых годах — Э. Девисом. В СССР ряд опытов
этого типа был поставлен Ю. И. Ягном с сотрудниками (Ю. И. Ягн
и И. И. Виноградов, 1954; Н. М. Митрохин и Ю. И. Янг, 1960, и др.).
По данным всех этих опытов, в любом случае (в том числе и для металлов
с ярко выраженной площадкой текучести) получаются кривые такого
вида, как отмеченная на рис. 2 точками, — гладкие и близкие к прямой
}XS = [Ids?.
В связи с вопросом о формах условия текучести следует отметить также
работы Н. К. Снитко A948) и В. В. Новожилова A952). В соответствии
с первой из них отношение пределов упругости при растяжении и чистом
сдвиге для поликристаллического образца зависит от типа решетки моно-
монокристаллических его элементов. В работе В. В. Новожилова показано,
что интенсивность касательных напряжений можно рассматривать как
квадратичное среднее касательных напряжений по всевозможным образом
ориентированным площадкам в данной точке тела.
2.2. Упрочняющиеся среды с гладкой или кусочно-гладкой поверхно-
поверхностью нагружения. Для среды с упрочнением поверхность нагружения
изменяется при defj Ф 0. Даже гладкость этой поверхности здесь может
быть разной в различных состояниях среды, например: на сначала гладкой
во всех своих точках поверхности нагружения в результате пластической

88 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
деформации могут появляться точки заострения, число гладких участков
кусочно-гладкой поверхности может быть разным в разных состояниях
среды и т. д.
С другой стороны, еще опыты тридцатых годов, о которых говорилось
в § 1, показали, что в некоторых случаях можно ограничиться простей-
простейшим предположением. Это предположение заключается в A.1) и состоит
в том, что изменение поверхности нагружения при defj Ф О всегда сводится
к преобразованию подобия относительно центра или оси ее симметрии
(«изотропное упрочнение»).
В рамках этого предположения не учитывается эффект Баушингера.
К началу пятидесятых годов было понято, что для описания этого эффекта
нужно, чтобы одним из элементов изменения поверхности нагружения
при defj Ф О была трансляция по направлению смещения текущей точки
в пространстве напряжений. В разных формах этот факт отмечался в ра-
работах Г. Эдельмана, Д. Ч. Драккера и В. Прагера. В работах В. Прагера
1954—1955 гг. были развиты конкретные модели среды с трансляцией
поверхности нагружения.
Одна из таких моделей рассматривалаь в 1954 г. А. Ю. Ишлинским.
Основные соотношения для этой среды вытекают из A.2) при следующей
конкретизации функции нагружения:
/ =¦(*<* - tW (SccP ~ Rap) - 2к\ B.1)
где к — постоянная, а девиатор с компонентами \itj представляет собой
линейную изотропную функцию девиатора остаточной деформации. В на-
начальном состоянии \iij = 0 и B.1) совпадает с условием Мизеса. С перехо-
переходом же за предел упругости цилиндр Мизеса поступательно перемещается
как жесткое целое.
Следующий шаг был сделан В. В. Новожиловым и Ю. И. Кадашевичем
A958), исходившими из того факта, что у реальных металлов эффект Бау-
Баушингера и деформационная анизотропия упрочнения связаны с «микрона-
«микронапряжениями» (неоднородностями поля внутренних сил в объемах с разме-
размерами порядка зерна и меньшими). Влияние последних на макроскопиче-
макроскопические свойства материала анализировалось с помощью механической модели
с элементом сухого трения на плоскости и системой пружин, имитирующих
макроскопические и остаточные микроскопические напряжения. Закон
пластичности, полученный в этой работе, вытекает из A.2) при функции
нагружения вида B.1), но, в отличие от работы А. Ю. Ишлинского, \xtj
связаны с компонентами девиатора пластической деформации нелинейны-
нелинейными уравнениями и к — монотонная функция скаляра A,, dk = V^de^ds^.
Авторы особо выделяют случай, когда к = const (среда с идеальным
эффектом Баушингера), однако в общем случае здесь поверхность нагру-
нагружения при ds^ Ф О испытывает одновременно трансляцию и изотропное
расширение. Позднее было показано, что для конкретизации связи тензора
M-ij c другими переменными существенное значение имеют результаты
опытов с многократными знакопеременными нагружениями образцов
(Р. А. Арутюнян и А. А. Вакуленко, 1965). Выяснилось также, что пред-
предложенное В. В. Новожиловым и Ю. И. Кадашевичем истолкование тензора
\xtj как некоторого «тензора микронапряжений» имеет основания и с точки
зрения теории дислокаций (А. А. Вакуленко и Л. М. Качанов, 1969).
Как показывает опыт, упрочнение реальных металлов всегда имеет
анизотропный характер. При подходящих нагружениях эффект Баушинге-
Баушингера и деформационная анизотропия упрочнения — эффекты, по существу г

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 89
такого же порядка, как и само упрочнение. Поэтому для любой модели
среды с изотропным упрочнением соответствие эксперименту может быть
вполне удовлетворительным лишь при процессах, траектории которых
в девиаторной гиперплоскости пространства напряжений лежат в доста-
достаточно узком конусе с вершиной в точке stj = 0. Для сред с трансляцией
поверхности нагружения такой конус заменяется цилиндром, пересекаю-
пересекающим эту поверхность в окрестности каждого конца какого-либо диаметра,
поскольку теперь допускаются нагружения с изменением знака напряже-
напряжений. Но в обоих случаях класс процессов, в рамках которого можно ожи-
ожидать удовлетворительного согласия теории с экспериментом, суживается
еще некоторыми дополнительными условиями, ограничивающими кривиз-
кривизну траекторий. Более значительны эти ограничения для сред с изотропным
упрочнением, поведение которых при резких поворотах главных осей тен-
тензора приращения напряжения даже качественно не всегда согласуется
с опытом. Впервые отчетливо это обнаружилось в опытах с так называе-
называемыми малыми догрузками.
2.3. Теории типа «теории скольжения». В СССР первые опыты с малой
догрузкой были поставлены А. М. Жуковым и Ю. Н. Работновым A954).
Образцы в виде тонкостенных трубок сначала подвергались растяжению,
входе которого им сообщалась некоторая оста-
остаточная деформация, после чего при фиксирован-
фиксированной растягивающей силе прикладывались кру-
крутящие пары, вызывавшие касательные напря-
напряжения Ат (траектория ОМ Mi на рис. 3). Если
поверхность нагружения остается гладкой в
«активной» ее точке к моменту догрузки, то
смещение ММ± лежит в касательной плоскости О
(рис. 3) и, в силу «нейтральности» таких смеще-
смещений, с точностью до малых более высокого по-
порядка Ду = Дуе, т. е. Ат = G Ау, где G — мо- рис< з.
дуль упругости при сдвиге. В эксперименте же
отношение Дт/Ду всегда получалось значитель-
значительно меньшим модуля G. Известны опыты, в которых осуществлял-
осуществлялся «веер» догрузок из данного состояния (опыты П. М. Нахди и Дж. Роули,
см. сб. перев. «Механика», 1955, № 3, и др.). Заметно неупругими измене-
изменения деформации образца при этом обычно оказывались даже при догрузках
со смещениями в пространстве напряжений под углами > 1/2 я относи-
относительно вектора, соединяющего начало координат с рассматриваемой точкой
на поверхности нагружения.
В рамках обычного определения этой поверхности отсюда неизбежен
вывод, что при начальной гладкости к моменту догрузки ра ней может
появляться заострение. В качестве еще одного довода в пользу такой воз-
возможности иногда рассматриваются также выводы, к которым приводит
«теория скольжения» Батдорфа — Будянского и некоторые сходные в сво-
своем существе с ней теории других авторов.
Так, В. Д. Клюшников A958) предложил плоскую модель пластичес-
пластической среды, в которой, как и в теории Батдорфа — Будянского, пластиче-
пластическая деформация представляет собой результат сдвигов по различным
образом ориентированным площадкам в данной точке тела. Вследствие,
однако, большей своей простоты модель В. Д. Клюшникова более доступна
для анализа связи между напряжениями и деформациями при разных
«путях нагружения». Еще более простую двумерную модель предложил
Ю. Н. Работнов A959). Обе эти модели приводят к сходной во многом

$0 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
картине изменения поверхности нагружения при пластической деформации,
которая в свою очередь близка к вытекающей из теории Батдорфа — Бу-
дянского и качественно отличается от соответствующей изотропному или
трансляционному упрочнению: в отличие от рассматривавшихся в п. 2.2
моделей среды с упрочнением, здесь для широкого класса путей нагруже-
нагружения на поверхности нагружения развивается заострение, вершина которо-
которого совпадает с точкой нагружения, в то время как «тыльная» часть этой
поверхности не изменяется и остается неподвижной.
Как уже отмечалось, соотношения теории Батдорфа — Будянского
можно получить из соотношений ассоциированного закона A.4) (см. рус-
русский перевод работы В. Т. Койтера в сб. перев. «Механика», 1960, № 2).
При несколько ином выборе функций fm и также переходе к пределу при
п —>¦ оо из A.4) получаются соотношения теории «локальности деформа-
деформаций», развивавшейся А. К. Малмейстером A957). В обеих теориях напря-
напряжения на площадках скольжения (локального сдвига) совпадают с напря-
напряжениями, которые на площадках данной ориентации обусловливаются
непосредственно внешними воздействиями. Известно, однако, что в реаль-
реальном поликристалле напряжения в зернах и частях зерен отличаются от
средних напряжений в больших объемах. С появлением макроскопиче-
макроскопической остаточной деформации микронеоднородность поля напряжений
в образце в определенном смысле усиливается, что и является причиной
деформационной анизотропии упрочнения и эффекта Баушингера. Естест-
Естественно поэтому, что предсказания теории Батдорфа — Будянского плохо
согласуются с экспериментом. Это относится и к выводу о «заострении»
поверхности нагружения.
В настоящее время известен ряд экспериментальных исследований
изменения поверхности нагружения при пластической деформации.
В СССР такие исследования проводились А. М. Жуковым A957), Ю. И. Яг-
ном и О. А. Шишмаревым A958), Г. Б. Талыповым и В. Н. Каменцевым
A959, 1961), Г. Б. Талыповым A961), О. А. Шишмаревым A962, 1966).
Во всех этих опытах изучалось поведение образцов в виде тонкостенных
трубок, но в деталях постановка опытов разными авторами была различ-
различной, а потому не во всем согласуются и их выводы. Один из общих выводов,
которые можно сделать на основании результатов этих опытов, состоит
в том, что существенным (часто единственным или в совокупности лишь
с изотропным расширением) элементом изменения геометрии поверхности
нагружения в результате заданной пластической деформации является
трансляция и что эта поверхность остается гладкой — ничего похожего
на появление особенности в точке нагружения во всех перечисленных
исследованиях не наблюдалось.
В опытах некоторых зарубежных исследователей трансляцион-
трансляционное смещение поверхности нагружения сопровождалось довольно
умеренной «тенденцией к образованию угловой точки» (опыты
П. К. Берча и В. Н. Финдли, П. М. Нахди с сотрудниками и некоторые
другие).
2.4. Другие модели пластической среды с упрочнением* В связи
с этими экспериментальными фактами были предприняты попытки постро-
построить теорию, удовлетворительную в применении к нагружениям типа орто-
ортогональной догрузки, с гладкой в любом состоянии среды поверхностью
нагружения. Так, следует отметить работы Г. А. Геммерлинга A964),
в которых было предложено определенного рода обобщение постулата
Драккера и, исходя из этого обобщения, построен вариант не ассоциирован-
ассоциированного закона пластичности.

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 91
Иное обобщение постулата Драккера ранее предложил А. А. Илью-
Ильюшин A961). В этой работе постулируется, что для любого замкнутого
по деформациям изотермического процесса
причем знак равенства имеет место только тогда, когда процесс является
обратимым.
Как уже говорилось, различие результатов рассматривавшихся
в п. 2.3 опытов в значительной мере связано с различием в постановке
исследования, точнее — в методе определения точек поверхности нагруже-
иия. Это можно понять уже на примере обычных в технике испытаний
металлов при одноосном растяжении или сжатии образцов. Известно,
что резкой границы между упругим и упруго-пластическим состояниями
обнаружить не удается и предел упругости в таких испытаниях приходится
определять условно — как напряжение, соответствующее некоторому
заданному малому значению остаточной деформации. Нисколько не лучше,
естественно, положение и в испытаниях при сложном напряженном состо-
состоянии — размеры и форма поверхности нагружения зависят от «допуска»
на остаточную деформацию, с которым определяются точки этой поверх-
поверхности.
Таким образом, в действительности граница упругости не является
такой отчетливой, как это определяется концепцией поверхности нагруже-
нагружения в обычной ее форме. С «размытостью» действительной границы упру-
упругости в конечном счете связаны и факты, обнаруживаемые в опытах с малой
догрузкой. Первый шаг в учете этой размытости составляет отказ от усло-
условия о нейтральности нагружений, которым соответствуют смещения по по-
поверхности нагружения. Но при этом исчезает непрерывность связи скоро-
скоростей otj и Eij для заданной точки на поверхности нагружения и возникают
определенные трудности в постановке краевых задач теории. Поэтому
представляется естественным сделать и следующий шаг — рассматривать
в качестве изменений с d&fj =^= О и такие изменения состояния среды, кото-
которым соответствуют смещения точки нагружения внутрь области, ограничи-
ограничиваемой поверхностью нагружения, при соответствующем уточнении,
разумеется, смысла последней. Именно эту поверхность теперь нужно
рассматривать не как границу в пространстве otj области вполне упругого
поведения материала, а как геометрическое место точек, соответствующих
некоторому заданному малому «допуску» на величину остаточной дефор-
деформации при нагружений «по лучам» из данного состояния (как, подчеркнем,
и определяется эта поверхность в опытах). Такой, по существу, подход
был намечен в одной из работ В. Д. Клюшникова A965), хотя и при
несколько иной аргументации.
Действительно, на основании неравенства Коши — Буняковского
можно положить
COS ф.
При обычном предположении о «нейтральности» нагружения со смещени-
смещением по поверхности / = 0 для дифференциальной формы dk в соотношениях
ассоциированного закона имеем

92 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
и с помощью этого и предыдущего выражений соотношение A.2) можно»
записать так:
(ф), B.3)
где г\ > 0 — функция напряжений и истории напряжений и
г|) (ср) = cos ф при 0 ^ I ф I <^ V2Jt, i|5 (ф) = 0 при х/2п <1 I Ф I ^ п-
B.3')
Подчеркнем, что B.3) и B.3') заключают в себе иначе записанную обычную
конкретизацию ассоциированного закона для упрочняющейся среды с глад-
гладкой поверхностью нагружения. Согласно B.3) функция о|? (ф) непрерывна,
но не дифференцируема при ф = ± V2 я. Учитывая, что это является
одной из основных причин сложности краевых задач теории упруго-пла-
упруго-пластических сред с упрочнением, В. Д. Клюшников предложил вместо B.3')
определять *ф (ф) в виде аналитической функции, близкой к определяемой
соотношениями B.3'). Трудно сказать, в какой мере это может упростить
краевые задачи, но ясно, что таким путем можно улучшить описание пове-
поведения образцов при малых догрузках, конкретизируя функцию г|) (ф)
непосредственно с помощью экспериментальных данных. Существенно, что*
при этом поверхность нагружения (понимаемая так, как было отмечено
выше) может оставаться гладкой в окрестности точки догрузки.
2.5. Деформация при неизменном положении главных осей. Деформа-
Деформационная теория. Пусть однородная деформация среды протекает так, что
в течение всего процесса положение главных осей тензора деформации
(относительно фиксированных материальных осей) остается неизменным.
Если среда в начальном состоянии изотропна, то будет неизменным и поло-
положение главных осей тензора напряжения, причем, не ограничивая общно-
общности, можно считать, что главные оси обоих тензоров совпадают. Тогда
в каждый момент процесса справедливо хотя бы одно из следующих тензор-
тензорных уравнений (В. В. Новожилов 1.951, 1954):
n (g8 4-2а Л , У 3 sin (as - аэ) / 2 2. \п ]
э* Г sin (^+20^) о , УЗ sin (а,— as) / 2 \1
5* L shT3^ W-7"~t~ S,sin3as
2 2. \1 i
-3- S^Oijj J , |
где stj и dtj — компоненты девиатора напряжения и девиатора деформации,
ocs = -o-arccos | —
о
a^ и аэ определяются аналогичным образом (когда одновременно sin 3as Ф
Ф О и sin Заэ Ф О, уравнения B.4) эквивалентны). Эти уравнения содер-
содержат в себе только соосность тензоров напряжения и деформации и потому
в рассматриваемом случае справедливы независимо от других (сверх
начальной изотропии) свойств среды. Специфика среды отражается в урав-
уравнениях связи s* и as со скалярами тензора деформации, которые нужно
присоединить к уравнениям B.4) и которые для пластической среды, вооб-
вообще говоря, неголономны и в этом случае. Заведомо голономной эта связь
будет лишь при определенном дополнительном ограничении изменения тен-
тензора деформации.

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 93
Именно допустим, что наряду с положением триэдра главных осей
остается неизменным и «угол вида» аэ девиатора деформации и что в любой
момент процесса ddjdt > 0. Тогда, как можно показать, при изотропии
среды в начальном состоянии и независимости ее поведения от времени
о = g (8, э*, аэ), s* = s* (е, э*, аэ), as = as (е, э*, аэ), где а =
= V3 огарбар, 8 — аналогичный инвариант тензора деформации. Обычно
рассматривается частная форма этих функций, при которой B.4) сводятся
к «тензорно-линейному» уравнению и, с соответствующей оговоркой отно-
относительно случая разгрузки, для пластической среды
Ф (э*) при s* = sM, ds* > 0,
— Э%) При 5J<5m ИЛИ S* = SM, ^<0
где К ж G — постоянные, Ф — монотонная функция указанного аргу-
аргумента, sM — максимальное из уже достигнутых (включая текущее состоя-
состояние) значений s*
Условие неизменности положения триэдра главных осей и значения
«угла вида» аэ девиатора деформации равносильно условию, что эц =
= 5* (*) dth гДе эа от параметра процесса t не зависят. Процесс деформа-
деформации, в течение которого выполняется это условие, называется процессом
простого или пропорционального деформирования. Аналогично опреде-
определяется процесс простого нагружения (А. А. Ильюшин, 1948). Согласно
B.5) при простом нагружении будет простым и деформирование.
Как показал Л. И. Седов A959), при произвольных (конечных) дефор-
деформациях процесс деформации может быть простым лишь для некоторых,
исключительных значений аэ. Это связано с тем, что при конечной однород-
однородной деформации углы между материальными («вмороженными» в материал)
прямыми, вообще говоря, изменяются (исключение составляет одноосное
растяжение и другие случаи, соответствующие sin3a.9 = 0), так что
ориентация относительно этих прямых главных осей симметричного тензо-
тензора сохраняться не может.
Уравнения B.5) представляют основной и наиболее простой вариант
так называемой деформационной теории пластичности. Исторически
последняя имеет своим началом известные работы Г. Генки и А. Надаи,
о которых говорилось в § 1. Однако основу этих работ составляли сообра-
соображения, не позволявшие с полной определенностью судить о сфере приме-
применимости теории к реальным металлам. Развитие представлений об основа-
основаниях и сфере действия этой теории обязано работам А. А. Ильюшина, опуб-
опубликованным в сороковых годах и суммированным в монографии
(А. А. Ильюшин, 1948)
При простом нагружении траектория процесса в девиаториой гипер-
гиперплоскости пространства напряжений представляет собой отрезок прямой
с началом в точке stj = 0. Если текущая точка в этой гиперплоскости
перемещается по прямой, проходящей через точку stj = 0, и пересекает
последнюю, то нагружение простым не будет. В. В. Москвитин A952,
1965) обобщил уравнения деформационной теории и теоремы А. А. Илью-
Ильюшина о простом нагружении на случай такого «знакопеременного простого»
нагружения. Эффекты типа эффекта Баушингера в этих работах учиты-
учитываются с помощью так называемого «принципа Мазинга» и предложенного
В. В. Москвитиным обобщения этого принципа. Подробное изложение
всех этих результатов можно найти в монографии (В. В. Москвитин, 1965).

94 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
2.6. «Постулат изотропии» и исследования по вопросам общей теории
тензорных функций и функционалов, возникшие в связи с проблемами
реологии пластических сред. Множество Ш всех симметричных двухва-
двухвалентных тензоров, которые можно определить для фиксированной точки
сплошной среды, замкнуто относительно линейных композиций своих
элементов и потому представляет некоторую шестимерную линейную сис-
систему. С точки зрения линейных свойств эта система вполне аналогична
шестимерному евклидову пространству. Но между этими линейными систе-
системами имеется и существенное различие. Так, вектор в евклидовом про-
пространстве (независимо от числа измерений пространства) имеет лишь
один «скалярный инвариант», в то время как элемент системы ш — три
независимых таких инварианта. Это обстоятельство было главным аргу-
аргументом одной из сторон в дискуссии о «постулате изотропии» (Д. Д. Ивлев,
1960; В. В. Новожилов, 1961). Позднее В. В. Новожилов более точно
охарактеризовал специфику линейной системы ш и наметил путь построе-
построения ортонормированного базиса такой системы A963). К. Ф. Черных A967)
детализировал эти соображения, построив конкретный пример такого
базиса.
В рамках классической механики сплошных сред тензор напряжения
и тензор деформации — симметричные двухвалентные тензоры и, следо-
следовательно, элементы множества ш. Соответствующим образом конкретизи-
конкретизируя физическую размерность базисных элементов, можно рассматривать
два экземпляра этого множества — «пространство напряжений» и «про-
«пространство деформаций». Девиаторы в каждом из этих пространств обра-
образуют линейное подмножество (подпространство), которое обозначим соот-
соответственно через Ds и D9. «Постулат изотропии» (А. А. Ильюшин, 1954),
представляет собой утверждение, согласно которому для начально изо-
изотропной среды траектория процесса в Ds зависит лишь от таких свойств
траектории в Дэ, которые инвариантны по отношению к ортогональным
преобразованиям D9. Под ортогональными при этом понимаются линейные
преобразования пространства D91 при которых сохраняются квадратичные
скаляры девиаторов (девиатор с компонентами эц преобразуется в девиатор
dtj, для которого эа$эа$ — эа$эа$). Так как кубические скалярные инва-
инварианты девиаторов произвольное ортогональное преобразование не сохра-
сохраняют, сфера действия постулата изотропии определенным образом ограни-
ограничена — включает в себя лишь среды, «закон материала» для которых опи-
описывается уравнениями, не содержащими произведения двухвалентных
тензоров (тензоров с компонентами вида aiabaj, aiaba$c$j и т. д.) и скаляр-
скалярные инварианты типа «угла вида».
В одной из глав монографии (А. А. Ильюшин, 1963) предпринята
попытка обобщить постулат изотропии, исходя из определенного аналити-
аналитического представления траекторий процесса в D3. Надо заметить, что
в связи с постулатом изотропии был осуществлен ряд экспериментальных
исследований (В. С. Ленский, 1958, 1961).
2.7. Некоторые итоги. В заключение подчеркнем, во-первых, что все
сделанное к настоящему времени в области «определяющих уравнений»
представляет разработку проблемы в классической ее постановке (§ 1).
В этих рамках естественным образом определяется понятие идеально пла-
пластической среды, при построении теории которой принимаются во внима-
внимание лишь самые основные элементы макроскопической картины пластиче-
пластической деформации металлов. Модели идеально пластической среды играют
в теории пластичности, в сущности, такую же роль, как идеальная жид-
жидкость и идеальный газ в механике жидкостей и газов.

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 95
Модели пластической среды с упрочнением должны отражать более
тонкие детали пластических свойств металлов. Многообразие и сложность
этих деталей делают задачу построения вполне удовлетворительной теории
таких сред весьма трудной. Известные к настоящему времени модели
пластической среды с упрочнением удовлетворительно согласуются с дан-
данными опытов лишь в рамках класса процессов, который, сверх ограниче-
ограничений, определяемых условиями о независимости поведения от времени
и неизменности поля температуры, существенно ограничивается также
в отношении допустимых путей деформирования или нагружения (траек-
(траекторий процесса в пространстве Ds или Dd). Особые затруднения вызывает
описание поведения реальных металлов при резких изменениях положе-
положения главных осей напряжения, соответствующих траекториям типа реали-
реализующихся в опытах с «ортогональной» догрузкой. В этих случаях наиболее
резко проявляется «размытость» действительной границы упругости мате-
материала, для учета которой необходим отказ от некоторых обычных допуще-
допущений механики пластических сред. Надо заметить, что эта «размытость»
проявляется также в результатах опытов по изучению картины «запазды-
«запаздывания» (В. С. Ленский, 1958, 1961).
Некоторые важные эффекты, по существу, совсем выпадают из сферы
реологии пластических сред в современном ее состоянии. К числу таких
эффектов относится, например, «старение» и другие формы влияния изме-
изменений состава «твердых растворов» на макроскопические механические
их свойства, хотя это влияние может быть значительным. Так, в ряде
работ советских физиков-металловедов было показано, что пластическая
деформация некоторых метастабильных сплавов сопровождается такими
изменениями состава, в результате которых необратимо изменяется объем
образца. Еще один фактор, с учетом которого предположение &%$8а$= О
может оказаться недостаточно точным, представляет собой так называе-
называемое «пластическое разрыхление» (развитие при пластической деформации
поликристалла сети пор и трещин по границам и внутри зерен). В. В. Но-
Новожилов A964) указал на то важное обстоятельство, что, будучи обычно
малым вплоть до видимого разрушения образца, при многократных
циклических нагружениях это «разрыхление» может стать заметным.
В последние годы наметились некоторые конкретные формы исполь-
использования в реологии пластических сред достижений физики твердого тела
и термодинамики.
Надо заметить, что первое и второе начала термодинамики позволяют
сделать ряд важных выводов уже при обычных общих предположениях
о свойствах среды. Так, обнаруживается, что картина «баланса энергии»,
при которой работа \ оа$ йг^ полностью диссипирует, характерна лишь
для идеально пластической среды. Для среды, свойства которой изменяют-
изменяются в результате пластической деформации, часть этой работы всегда пре-
превращается в так называемую «скрытую энергию деформации» (А. А. Ва-
куленко, 1961). С учетом этого обстоятельства открывается возможность
использования при анализе существующих и разработке новых моделей
пластической сплошной среды ряда экспериментальных фактов, которыми
располагает современная физика металлов.
Образец (элементарный объем) пластической среды представляет
собой систему, одной из характерных особенностей которой является
нелинейность и неголономность связей между внешними и внутренними
параметрами. В работах Л. И. Седова и М. Э. Эглит A962) намечен путь
построения общих форм «определяющих уравнений» для таких сред

9() А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
с помощью термодинамики. С этой целью может быть использовано также
предположение о наличии «феноменологических связей» (связей между
термодинамическими «силами» и «потоками»), лежащее в основе современ-
современной термодинамики необратимых процессов (А. А. Вакуленко, 1958, 1961;
В. Н. Николаевский, 1966).
Контуры еще одного «мостика» между реологией пластических сред
и физикой начали вырисовываться с развитием теории дислокаций. Такие
параметры деформационной анизотропии упрочнения, как, например,
тензор \iij в теории пластических сред с трансляцией поверхности нагру-
жения (п. 2.2), могут быть интерпретированы на базе понятий контину-
континуальной теории дислокаций. Несомненно поэтому, что прогресс теории
дислокаций окажет влияние на развитие реологии пластических сред.
Это влияние может стать взаимным — с прояснением деталей связи между
понятиями континуальной теории дислокаций и «обычной» теории пластич-
пластичности факты, которыми располагает последняя, могут оказаться полезны-
полезными при решении проблем теории дислокаций и других «дефектов» в твердых
телах.
§ 3. Краевые задачи
3.1. Общие замечания. Решение многих технических и геофизических
вопросов предъявляет значительные требования к теории пластичности
На эти вопросы современная теория пластичности может ответить лишь
частично. Прежде всего, как было показано в § 2, даже наиболее общее
из известных определяющих уравнений теории пластичности справедливо
при выполнении ряда ограничительных условий. Как правило, не пред-
представляется возможным убедиться в выполнении этих условий внутри тела
при заданных внешних воздействиях. Поэтому использование тех или иных
определяющих уравнений в конкретных задачах почти всегда опирается
на интуитивные соображения. С другой стороны, нелинейность и неголо-
номность уравнений пластического деформирования приводят к трудным
математическим проблемам даже в относительно простых (с точки зрения
формы тела и внешних воздействий) краевых задачах. При этом (кроме
чисто вычислительных) часто возникают трудности принципиального
характера.
Своеобразное положение, создавшееся в теории пластичности, отра-
отражает эти противоречия. Практические потребности заставляют ставить
и хотя бы приближенно решать разнообразные краевые задачи. В то же
время отсутствие надежных и достаточно общих уравнений пластического
состояния, а также сложная структура уравнений приводят к известной
сдержанности в развитии соответствующих теоретических разделов.
Другой аспект затронутой проблемы состоит в следующем. Хотя зна-
значение счетных машин быстро растет, нельзя тем не менее свести теорию
пластичности к одному лишь составлению вычислительных схем. Важна
система представлений о закономерностях и особенностях картины пла-
пластического течения. Это побуждает к поискам простейших моделей пласти-
пластической среды, справедливых хотя бы и в более узких пределах, но пригод-
пригодных для постановки и решения краевых задач.
Четко определились модели идеального жестко-пластического тела
и идеального упруго-пластического тела, использующие представление
о фиксированной поверхности текучести и являющиеся приемлемой осно-
основой для решения многих конкретных задач. Условие пластичности хорошо
подтверждено экспериментами в достаточно большом интервале изменения

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 97
напряжений. Необходимо также учесть и косвенные подтверждения этих
моделей, вытекающие из сопоставления решений многих задач с опытными
данными.
В схеме идеального жестко-пластического тела полностью пренебре-
пренебрегают упругими деформациями. Тело остается недеформируемым, пока
не достигается необходимый уровень напряжения, тогда возникает пласти-
пластическое течение. Эта схема пригодна для нахождения несущей способности
тела («предельные нагрузки») и анализа развернутого пластического тече-
течения («технологические» задачи).
Идеальная упруго-пластическая схема необходима для рассмотрения
задач, в которых упругие и пластические деформации одного порядка.
Использование этой схемы связано с преодолением больших математиче-
математических трудностей.
Рассмотренные модели являются хорошим приближением и в случаях,
когда среда обладает небольшим упрочнением.
При заметном упрочнении положение является менее определенным.
Рассмотрение краевых задач для упрочняющегося тела в большинстве слу-
случаев основывается на простейшей модели изотропного упрочнения. Огра-
Ограниченное значение этой схемы отмечалось уже выше; ее улучшение за счет
добавления жесткого переноса поверхности нагружения не устраняет всех
расхождений с экспериментами, существенно усложняя в то же время
исходные соотношения. По этим причинам задачи для упрочняющейся
среды целесообразно рассматривать лишь при несложных условиях нагру-
нагружения, когда характер внешних воздействий позволяет надеяться, что
элементы тела испытывают нагружение, в определенном смысле близкое
к простому. Большинство важных для приложений одномерных задач
(осесимметричные задачи для труб, дисков, пластин и т. п.) обычно удов-
удовлетворяет указанному условию. К^ак это ни парадоксально, но математиче-
математические трудности здесь играют известную положительную роль, заставляя
ограничиваться анализом лишь важнейших и в то же время достаточно
простых (по условиям нагружения) задач.
Как уже отмечалось, теорем, которые позволили бы оценивать уро-
уровень «простоты» данной задачи, нет. Оценка пригодности полученных реше-
решений основывается обычно на интуитивных соображениях и, быть может,
некоторых опытных наблюдениях.
3.2. Жестко-пластическое тело. Идеальное жестко-пластическое тело
начинает деформироваться лишь при достижении предельной нагрузки.
При этом некоторые части тела могут остаться жесткими. Скорости частиц
на границе пластической зоны должны быть согласованы со скоростями
движения жестких частей тела.
Схема жестко-пластического тела интуитивно применялась еще в ран-
ранних работах по теории пластичности (жесткие зоны иногда назывались
упругими). Однако необходимость согласования полей напряжений и ско-
скоростей долгое время не была осознана. Лишь к концу сороковых годов
идея последовательного применения схемы жестко-пластического тела
получила широкое признание.
Схема жестко-пластического тела пригодна, если пластическое тече-
течение, захватывающее все тело или его часть, не испытывает стеснений.
Другая картина имеет место, если, например, труба, испытывающая дей-
действие внутреннего давления, находится в недеформируемой обойме; здесь
использование жестко-пластической схемы исключается. .
Схема жестко-пластического тела является крайней идеализацией,
и ее последовательная интерпретация связана с рядом затруднений.
7 Механика в СССР, т. 3

98 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
Решение по этой схеме, вообще говоря, может отличаться от решения
такой же упруго-пластической задачи при модуле Юнга Е ->- оо. Выделе-
Выделение жестких зон в известной мере произвольно, а напряжения в них не оп-
определены. С этим связано характерное для жестко-пластического тела
отсутствие единственности конструкции решения и некоторые другие
парадоксальные заключения.
Вопросы неединственности решения отпадают, если рассматривать
жестко-пластическое тело как предельный случай упруго-пластической
среды. Однако реализация этой программы требует выхода за пределы
жестко-пластической схемы и связана с большими математическими услож-
усложнениями. Фактически мы вынуждены оперировать внутри жестко-пласти-
жестко-пластической схемы и мириться с ее недостатками.
Тем не менее идея последовательного применения схемы жестко-пла-
жестко-пластического тела при выполнении определенных условий естественна и ока-
оказалась плодотворной не только для решения статических задач, но и об-
обнаружила также большие преимущества и в анализе ряда динамических
вопросов. Затруднения, связанные с неединственностью решения, преодо-
преодолеваются оценкой последнего на основании экстремальных теорем для пре-
предельной нагрузки.
В пластических зонах решение удовлетворяет дифференциальным
уравнениям равновесия
закону течения
&и = Xstj C.2)
и условию пластичности Мизеса
SijSij = k\ C.3)
Здесь выписаны уравнения теории пластичности Мизеса для изотроп-
изотропного тела. Нетрудно привести и более общие уравнения, введя условие
текучести вида
и ассоциированный закон течения
для гладких точек поверхности текучести. При этом наибольший интерес
представляет условие пластичности Треска — Сен-Венана
= COnst,
соответствующее на девиаторной плоскости шестиугольнику, вписанному
в круг Мизеса (рис. 1).
Условие Мизеса несколько лучше согласуется с опытными данными,
однако общие соображения (близость максимального касательного напря-
напряжения к интенсивности касательных напряжений) и незначительность
наблюдаемых отклонений говорят о практической равнозначности усло-
условий пластичности Мизеса и Треска — Сен-Венана. В пользу каждого
из этих условий иногда приводятся те или иные, не лишенные интереса,
соображения. Так, некоторые схемы статистического анализа поликристал-
поликристаллических агрегатов, опирающиеся на ряд предположений о механизме*

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 99
пластической деформации, приводят к условию Мизеса. С другой стороны,
условие Треска выделяется в некотором смысле экстремальными свойства-
свойствами (Д. Д. Ив лев, 1966). Однако попытки представить условие пластичности
Треска — Сен-Венана как наиболее соответствующее природе пластиче-
пластического течения вряд ли убедительны; при этом исходной является картина
пластического течения в монокристаллах, Перенос этих представлений
на поликристаллические металлы нельзя считать правомерным.
Переход к условию текучести Треска — Сен-Венана позволяет во мно-
многих случаях упростить математическую формулировку задачи. Возмож-
Возможность последовательного использования этого условия текучести появи-
появилась сравнительно недавно после работ В. Прагера и В. Т. Койтера A953 г.),
в которых было дано формальное расширение схемы пластического потен-
потенциала (ассоциированного закона течения) на сингулярные поверхности
текучести. Течение на ребре представляется линейной комбинацией тече-
течений слева и справа от ребра;
^ Ц^. C-5)
где f1 ±= const, /2 = const — уравнения поверхности текучести по обе
стороны от ребра. Неопределенные множители Xi, X2 неотрицательны,
вследствие чего течение развертывается по направлению, лежащему
внутри угла, образованного нормалями к двум смежным граням. Дополни-
Дополнительный неопределенный множитель необходим для возможности выпол-
выполнения условий совместности деформации в связи с «лишним» ограничением
на напряженное состояние.
Подобное расширение ассоциированного закона течения позволяет
получить непротиворечивую систему уравнений, причем легко устанавли-
устанавливаются и соответствующие общие теоремы.
Физическая интерпретация определенного таким способом течения
на ребре связана с известными трудностями, обнаруживающимися уже
в случае простого растяжения, отвечающего угловой точке С (рис. 1) шести-
шестиугольника Треска — Сен-Венана. Течение здесь дано соотношениями
• • •
81 = ^1 + ^2» 82 ~ —^1» еЗ == —^2*
где первое главное направление ориентировано по оси стержня. Попереч-
Поперечные деформации, таким образом, произвольны, выполняется лишь условие
несжимаемости. Эта картина не согласуется с привычными представления-
представлениями о течении изотропного стержня. Однако подобные парадоксальные
результаты обнаруживаются лишь в крайних случаях и относятся главным
образом к полю скоростей. Общая же оценка решений, получаемых на ос-
основе ассоциированного закона, несомненно, благоприятна — предельные
нагрузки являются хорошим приближением.
Схема Прагера — Койтера в ряде случаев обладает значительными
вычислительными преимуществами. Именно это объясняет быстрое и ши-
широкое распространение этой схемы в задаче плоского напряженного состоя-
состояния, в теории пластических оболочек и пластин, в проблеме осесимметрич-
ного течения. Вместе с тем отмеченные выше затруднения побуждают оце-
оценивать схему Прагера — Койтера как идеализированную аппроксимацию
более реальной теории Мизеса; с этих позиций вряд ли целесообразно
пытаться искать физический смысл отдельных парадоксальных заключений.
Система уравнений C.1)—C.3), содержащая десять неизвестных функ-
функций (?и, Я, vu может быть записана в различных формах. В частности,,
7*

100 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
исключая компоненты девиатора напряжений 5г-7-, можно получить систему
пяти уравнений для пяти неизвестных функций 1, vt и среднего давления а.
Задачи трехмерного пластического течения весьма трудны и мало
изучены. Как показал Т. Томас *), рассматриваемая система уравнений,
как правило, эллиптическая. Лишь в отдельных задачах (плоская дефор-
деформация, кручение и некоторые другие случаи) уравнения имеют вещест-
вещественные характеристики. Поскольку нелинейные гиперболические
уравнения легче поддаются анализу и при этом существенно упрощается
постановка краевых задач, предпринимались попытки раздвинуть гра-
границы гиперболичности. Иногда это достигается использованием условия
текучести Треска — Сен-Венана. Существование характеристических
поверхностей при этом условии отмечено Т. Томасом, которому принад-
принадлежит систематический анализ разрывов в пластической среде.
К радикальному упрощению приводит так называемое условие «пол-
«полной пластичности», согласно которому реализуются напряженные состоя-
состояния, отвечающие ребрам призмы Треска — Сен-Венана (т. е. вершинам
А, В, . . ., F шестиугольника на рис. 1). Для таких («статически определи-
определимых») напряженных состояний (Д. Д. Ив л ев, 1966) система уравнений
будет гиперболической. Доводы физического характера, иногда высказы-
высказываемые в пользу этой схемы, продиктованы скорее заманчивой простотой
математического анализа, нежели существом вопроса. В рамках этой схемы
решение многих задач просто невозможно (например, задачи плоского
напряженного состояния). Вместе с тем представляется излишне суровой
и резко отрицательная точда зрения в отношении условия полной пластич-
пластичности, наиболее ясно высказанная в книге Р. Хилла («искусственное и не-
нереальное условие текучести», «такие вычисления имеют небольшое или
не имеют никакого значения»). Подобные решения могут иметь несомнен-
несомненный интерес. При этом, однако, оценка решений, построенных с помощью
условия полной пластичности, должна опираться на экстремальные теоре-
теоремы. Если решению по этой схеме отвечает кинематически допустимое поле
скоростей, то подобное решение приводит к верхней границе предельной
нагрузки. Если же напряженное состояние возможно продолжить на все
тело, не нарушая условие текучести, мы получим нижнюю границу. В тех
случаях, когда полученное решение нельзя отнести ни к одному из упомя-
упомянутых классов, вопрос о значимости решения остается открытым.
В связи со значением разрывных решений в теории пластичности
(в частности, для приближенного нахождения предельной нагрузки)
подробно изучены соотношения на поверхностях разрыва. На поверхности
разрыва напряжений при выпуклых условиях текучести, как показал
в 1.961. г. Р. Хилл, скорости деформации равны нулю, а скорости непрерыв-
непрерывны. С другой стороны, на поверхности разрыва скоростей девиатор напря-
напряжения, вообще говоря, непрерывен; лишь в случае грани призмы Треска
возможен разрыв промежуточного главного напряжения (Г. И. Быковцев
и Ю. М. Мяснянкин, 1966).
Условие пластичности накладывает определенные ограничения
на величину скачка напряженного состояния на поверхности разрыва
напряжений. При условии текучести Треска возникает пестрая картина,
так как с разных сторон поверхности разрыва могут осуществляться напря-
напряженные состояния, соответствующие различным режимам течения. При
*) Т. Томас, Пластическое течение и разрушение в твердых телах, 1961 (рус-
(русский перевод: М., 1964).

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 101
напряженных состояниях, отвечающих ребрам призмы Треска, соотно-
соотношения на поверхности разрыва рассмотрены Д. Д. Ивлевым A966).
Решения системы уравнений пластического течения строятся для раз-
различных частных случаев напряженного и деформированного состояний,
имеющих «обычный» механический смысл (плоская деформация, плоское
напряженное состояние, кручение и т. д.). Иногда рассматриваются и более
специфические случаи.
Например, для сферического деформированного состояния предпола-
предполагается, что в сферической системе координат г, 6, ф компоненты скорости
деформации и напряжения зависят только от 8, ф, причем тге = тГф = 0.
В состоянии чистого сдвига задача статически определима, причем соответ-
соответствующая система принадлежит к гиперболическому типу (Д. Д. Ивлев,
1.966). Рассмотрены задачи о конической трубе и о вдавливании клинооб-
клинообразного в плане штампа.
Используя особенности напряженного и деформированного состояний,
выявленные в известном решении Л. Прандтля о сжатии тонкого плоского
слоя, А. А. Ильюшин A954) развил общую теорию течения тонкого плас-
пластического слоя по недеформируемым поверхностям. Выведенные уравнения
применяются для расчета ряда задач обработки металлов давлением.
Имеющиеся решения для слоя относятся к конечной стадии пласти-
пластического течения, когда на поверхности контакта развиваются значительные
касательные напряжения. Изменение напряженного состояния в прослой-
прослойках с ростом нагрузки (от простого сжатия к сложному напряженному
состоянию в конечной стадии) рассмотрел Л. М. Качанов A954, 1962)
Помимо традиционной постановки задачи о разыскании предельной
нагрузки для тела заданной формы, представляют интерес задачи опти-
оптимального проектирования («предельное проектирование»). Под этим пони-
понимается выбор очертаний тела, обладающего необходимой несущей способ-
способностью и в то же время удовлетворяющего некоторым дополнительным
оптимальным условиям. Обычно таким условием является требование
минимальности веса. Эта проблема, при отсутствии надлежащих ограниче-
ограничений относительно возможных очертаний тела, является, вообще говоря,
неопределенной. При рассмотрении стержневых систем (решеток, рам)
проблема без большого труда сводится к задаче программирования. Этот
путь используется при решении ряда инженерных вопросов строительной
механики.
Значительно труднее предельное проектирование тел минимального
веса при более сложной их конфигурации; задачи такого типа изучены
слабо.
Изложение современного состояния теории оптимального проектиро-
проектирования и соответствующие литературные ссылки приведены в книге
М. И. Рейтман и Г. С. Шапиро A966).
3.3. Теоремы о предельной нагрузке. Ограничимся рассмотрением
малых деформаций и будем пренебрегать изменениями в геометрии тела
в процессе деформирования. Впрочем, при известных условиях получен-
полученные результаты переносятся на задачи установившегося пластического
течения.
Представление о предельной нагрузке («пластическом разрушении»,
«несущей способности») для идеально пластического тела приобрело
большое практическое значение. Расчеты по предельной нагрузке часто
позволяют более правильно и экономно определять размеры конструкций
и сооружений. К понятию предельной нагрузки можно прийти двумя
путями. Можно непосредственно исходить из схемы жестко-пластического

102 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. К 4.ЧАНОВ
тела; тогда' достижение предельной нагрузки будет отвечать моменту
возникновения пластического течения, деформации малы, тело имеет
начальную конфигурацию.
Другой путь основан на представлении об упруго-пластическом теле.
Здесь предельная нагрузка отвечает конечной стадии упруго-пластической
деформации тела, нередко сопровождающейся большими (иногда — беско-
бесконечно большими) деформациями (например, при изгибе и кручении).
Фактически этот процесс не прослеживается, и сразу определяется конеч-
конечное состояние тела при условии малости изменений его конфигурации.
Такой переход можно оправдать относительной малостью деформаций
упруго-пластического тела при нагрузках, приближающихся к предель-
предельной. В обоих случаях теоремы идентичны, речь идет лишь об интерпрета-
интерпретации конечных результатов. Мы будем исходить из схемы жестко-пласти-
жестко-пластического тела, не требующей оговорок и внутренне более последовательной.
Для этой схемы более естественно формулируются и конкретные краевые
задачи. Не нужно, конечно, забывать, что вся сумма допущений содержит-
содержится в идее жестко-пластического тела и пригодность этого представления
должна всякий раз подвергаться анализу. По этой схеме нельзя обсуждать
важные вопросы о приспособляемости конструкций, связанные с наличием
в ней остаточных напряжений. Эта проблема неизбежно возвращает нас
к упруго-пластическому телу.
Пусть жестко-пластическое тело находится под воздействием усилий
Fn, заданных на части поверхности тела SF, и скоростей^, предписанных
точкам части поверхности тела Sv. Объемные силы Xt для простоты опуще-
опущены. Так как непрерывные поля не представляют большого интереса,
предполагается, что напряжения разрывны на некоторых поверхностях Sk,
а скорости — на некоторых поверхностях Si.
Пусть v' — любое кинематически возможное поле, разрывное на
некоторых поверхностях S\\ тогда
J Fnv dSv^k j Я' dV — j F'nv' dSF + k \ Av't dS\, C.6)
где последний интеграл распространен на все поверхности разрыва S[,
Aui — абсолютная величина скачка в касательной составляющей скоро-
скорости v'j H' —интенсивность скоростей деформаций сдвига.
Это важное неравенство, характеризующее минимальные свойства
действительного поля скоростей, строго доказано А. А. Марковым A947)
для случая непрерывных полей скорости. В терминах строительной меха-
механики минимальные свойства действительных перемещений были ранее
указаны А. А. Гвоздевым A938), Современная формулировка выкристалли-
выкристаллизовалась в результате более поздних работ Г. Гринберга, Д. Ч. Драккера,
В. Прагера, Р. Хилла и других авторов.
Другое неравенство, вытекающее из сопоставления действительного
поля напряжений atj с любым статически возможным полем а^-, лежащим
внутри круга текучести или на нем, имеет вид
(k±T')AvtdSh, C.7)
где Fn —поверхностное усилие на Sv, отвечающее выбранному полю о^-,
а %' ^ к — касательная составляющая поля g[j на поверхностях разрыва
Si в направлении вектора относительной скорости.
Теорема о максимальных свойствах действительного напряженного
состояния имеет довольно длинную историю. Для некоторых задач стро-

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 103
ительной механики эта теорема была высказана еще в работе Г. Казинчи
A934). Ясная формулировка этой теоремы в терминах строительной меха-
механики содержится в упоминавшейся работе А. А. Гвоздева A938). Строгое
доказательство теоремы дал С. М. Фейнберг A948). Как недавно заметил
В. Т. Койтер, теорема Э. Мелана о приспособляемости, доказанная им
в 1938 г., содержит, по существу, как частный случай обсуждаемую здесь
теорему.
Приведенные выше формулировки относятся к среде Мизеса. Легко,
однако, установить соответствующие теоремы для произвольной выпуклой
поверхности текучести и ассоциированного закона течения. Значение этого
закона подчеркнуто В. Т. Койтером, показавшим, что для среды, образо-
образованной условием Треска — Сен-Венана и соотношениями Мизеса C.2),
экстремальные теоремы отсутствуют.
Применение приведенных теорем особенно просто в случае пропор-
пропорционального нагружения (внешние силы растут пропорционально некото-
некоторому параметру т); на части поверхности Sv скорости предполагаются
равными нулю (опоры). Кинематически возможному полю v' отвечает
кинематически возможный коэффициент mk. Статически возможному
напряженному состоянию o[j — статический коэффициент ms. Коэффи-
Коэффициент предельной нагрузки т^, отвечающий ее истинному значению,
ограничен сверху и снизу:
ms ^ m% ^ mh. C.8)
Итак, необходимо найти такой кинематический механизм пластиче-
пластического разрушения, для которого граница mk была бы наименьшей. С дру-
другой стороны, следует разыскать такое статически возможное поле напря-
напряжений o'ij, лежащее внутри круга текучести или на нем, для которого
граница ms была бы наибольшей.
При решении более или менее простых задач сближение mh и ms
обычно достигается угадыванием подходящих полей. Иногда даже удается
найти совпадающие верхнюю и нижнюю границы. В сложных задачах
получить хорошие результаты значительно труднее.
Для построения предельной поверхности пригодны методы математи-
математического программирования, получившие в последние годы широкое разви-
развитие. В ряде случаев условие текучести принимает линейную форму (зада-
(задачи строительной механики стержневых систем, некоторые осесимметрич-
ные задачи), тогда открываются перспективы использования хорошо
развитого аппарата линейного программирования. В этом направлении
имеется ряд работ, выполненных в СССР и за рубежом.
3.4. Плоская деформация. Плоская деформация описывается систе-
системой уравнений (Сен-Венан, 1870 г.)
дх т ду — v" дх * ду "v' ^'"Г
@Х _ 0z/J _j_ 4т|у = 4/с2, C.10)
4!т-+^г=0' (ЗЛ1)
—) K-ct,) + 2t,, {-?--—) =,0. C.12)
Эта система имеет два различных вещественных семейства харак-
характеристик, совпадающих с линиями скольжения. Вдоль последних

104 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
выполняются соотношения Генки A923 г.)
JL _ 0 = const = Ъ, -iL -|- е = const = т],
где а — среднее давление, 9 — угол наклона линии скольжения, и соот-
соотношения Гейрингер
du + v dQ = 0, dv — и dQ = О,
где и, и — составляющие скорости вдоль линий скольжения. Система
уравнений C.9), C.10) для напряжений преобразуется к виду
дх ' & ду дх
Эта система — приводимая, т. е. преобразуется в линейную, если
провести обращение переменных. При преобразовании выпадает важный
класс решений с прямолинейными характеристиками (простые напряжен-
напряженные состояния), широко используемый в приложениях. Разрешимость
решений х = х (?,, т]), У = У (%>, ц) исследована в известной работе
С. А. Христиановича A936); там же подробно рассмотрены решения
с прямолинейными характеристиками.
Возможность автономного решения уравнений C.9), C.10) для напря-
напряжений при допустимости некоторых изменений в граничных условиях
привела на начальном этапе развития теории к распространению решений
так называемых статически определимых задач; при этом поле скоростей
обычно не рассматривалось. Разнообразные задачи в этой области были
изучены Г. Генки, Л. Прандтлем, В. В. Соколовским A950) и другими
авторами.
Хотя простейшие разрывы напряжений (например, при изгибе) были
известны давно, значение разрывных решений было осознано значительно
позднее, после работы В. Прагера 1948 г. Границей пластической области
является линия скольжения; это положение, которым интуитивно (как
и схемой жестко-пластического тела) также пользовались давно, было
установлено Р. Хиллом.
Конкретные задачи обычно решаются полуобратным методом. Сначала
рассматривается краевая задача для напряжений, причем недостающие
условия стараются угадать. После этого изучается поле скоростей и выяс-
выясняется его совместность с ранее построенным полем напряжений.
Реализация этой схемы для контактных задач, вообще говоря, затруд-
затруднительна. Такой подбор осуществим, если линии контакта — прямые
и на них заданы простые условия. Если контактная линия — кривая,
угадать распределение контактных напряжений практически невозможно.
Тогда следует применить метод согласованного построения полей напря-
напряжений и скоростей, развитый Б. А. Друяновым A961) и В. В. Соколов-
Соколовским A961) при условии, что возможно указать конструкцию поля сколь-
скольжения. Решение задачи начинается с определения поля скоростей.
Для решения краевых задач обычно используется конечно-разностный
метод Массо. Реже применяются графические способы (В. Прагер, 1955;
С. С. Голушкевич, 1948). Л. С. Агамирзян A961) показал, что аналити-
аналитическое решение краевых задач методом Римана может быть эффективным
при использовании метацилиндрических функций и их таблиц. Тем не
менее за методом Массо сохраняется преимущество простоты.
Построению полей напряжений вокруг отверстий, вблизи границы
(«пластический пограничный слой»), уделено значительное внимание
• в работах В. В. Соколовского.

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
105
Методом характеристик изучено большое число разнообразных задач,
которые можно (разумеется, несколько условно) разбить на три группы.
Это, прежде всего, задачи о нахождении предельной нагрузки; здесь
пренебрегают изменениями конфигурации тела, рассматривая возникнове-
возникновение пластического течения. Сюда, например, относятся задачи о предель-
предельном состоянии полос, ослабленных вырезами, о давлении штампов на
пластическое тело, о сжатии слоя и т. д.
Вторую большую группу составляют задачи установившегося пласти-
пластического течения, связанные с описанием непрерывных процессов обработки
металлов (прокатка, волочение, прессование, резание и т. д.).
Более узкий класс образуют задачи неустановившегося пластического
течения с геометрическим подобием картины течения (автомодельные зада-
задачи), подробно изученные Р. Хиллом. Примером может служить задача
о внедрении жесткого клина в полуплоскость.
В тех случаях, когда решения сопровождаются построением надлежа-
надлежащего поля скоростей, найденная нагрузка является верхней границей.
Здесь не представляется возможным указать все или хотя бы большую
часть многочисленных задач, решенных этим методом советскими учеными.
Отметим лишь книги Д. Д. Ивлева A966), А. А. Ильюшина A948),
Л. М. Качанова A969), В. В. Соколовского A969), А. Д. Томленова A953),
в которых приводятся решения разнообразных задач.
3.5. Плоское напряженное состояние. Несколько более сложной
является задача о плоском напряженном состоянии, возникающем в тон-
тонких пластинках, подверженных действию нагрузок, лежащих в срединной
плоскости. Случай плоского напряженного состояния важен еще и пото-
потому, что аналогичное состояние реализуется при изгибе тонких пластин
и оболочек.
В отличие от упругой задачи, когда математические формулировки
для случаев деформации и плоского напряженного состояния идентичны,
в теории пластичности эти две задачи различны. Компоненты напряжения
(Уд., Gy, хху должны удовлетворять дифференци-
дифференциальным уравнениям равновесия C.9) и условию
Мизеса
а| _ OxGy _р а2 _i_ Зт|у = 3/с2 C.13)
или условию Треска — Сен-Венана
max {| Gi — g2 |, | oti |, | or2 \}=2k. C.14)
Первое уравнение на плоскости главных
напряжений о\, а2 определяет эллипс (рис. 4),
второе — вписанный в него шестиугольник.
Система уравнений для напряжений была
изучена В. В. Соколовским A945). При услот
вии Мизеса система может быть гиперболиче- Рис. 4.
ской (для внутренних точек дуг 1—2 и 3—4;
здесь | or | < ттах), параболической (точки 2, 2, 3, 4) и эллиптической
(для внутренних точек дуг 2—3 и 4—1; здесь | or | > ттах).
В гиперболическом случае характеристики не ортогональны и не
совпадают с линиями скольжения. В то же время система уравнений для
напряжений является приводимой и существуют простые интегралы,
отвечающие прямолинейным семействам характеристик.
Параболический случай отличается простотой: здесь главные напря-
напряжения постоянны, неизвестен лишь угол наклона главной площадки.

106 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
В эллиптическом случае построение решения наталкивается на боль-
большие трудности.
Уравнения для скоростей и разрывные решения рассмотрел в 1952 г.
Р. Хилл для случаев гиперболичности и параболичности. Он же установил
особенности разрывов скорости, появляющихся в плоском напряженном
состоянии; разрывна также и нормальная составляющая скорости, что
приводит к появлению локального утонения («шейка») или утолщения
(«валик»), проходящего по характеристике.
Решение жестко-пластических задач, если оно оказывается возмож-
возможным без рассмотрения области эллиптичности, реализуется, в общем,
теми же приемами, что и в случае плоской деформации, хотя технически
и несколько сложнее. Многочисленные конкретные задачи изучены
в работах В. В. Соколовского A950), Р. Хилла, А. П. Грина, Г. Форда
и Дж. Лианиса.
Существенное упрощение математической формулировки задачи дости-
достигается переходом к условию пластичности Треска — Сен-Венана. Соот-
Соответствующая система уравнений для напряжений изучена В. В. Соколов-
Соколовским A945). При 010*2 < 0 она гиперболического типа и совпадает с урав-
уравнениями плоской деформации. На горизонтальных и вертикальных гранях
шестиугольника система уравнений параболического типа и легко инте-
интегрируется. Различным типам уравнений соответствуют различные типы
поверхностей скольжения. Использование ассоциированного закона тече-
течения позволяет вывести уравнения для скоростей.
Можно предпринять и дальнейшие шаги в том же направлении, имен-
именно попытаться подобрать такое приближенное условие пластичности,
при котором система уравнений была бы всюду гиперболической. Подоб-
Подобное условие выдвинул, в частности, Р. Мизес; по его предложению эллипс
аппроксимируется двумя ветвями парабол. Следует, однако, заметить,
что эта аппроксимация довольно грубая, условие же Треска — Сен-Вена-
Сен-Венана настолько упрощает постановку задачи, что настоятельной необходи-
необходимости в дальнейших упрощениях математической формулировки нет.
Условие Треска — Сен-Венана при ассоциированном законе течения
нашло широкие применения при пластическом анализе изгиба пластин
и оболочек.
В последние два десятилетия получила развитие плоская задача
при условии пластичности общего вида
/ (оь сг2) = const. C.15)
Скорости деформации при этом обычно определяются посредством
ассоциированного закона течения. Отметим некоторые причины, побу-
побуждающие к анализу этой задачи. Различные условия текучести в случаях
плоской деформации и плоского напряженного состояния, несколько
пные предельные условия в механике грунтов делают естественным ана-
анализ задачи при общем условии пластичности. Некоторое значение имеют
поиски простых приближенных решений, возможных при частных форму-
формулировках условия текучести. Наконец, с условием пластичности общего
вида в какой-то мере может быть связан важный случай обобщенной пло-
плоской деформации, когда длинное цилиндрическое тело испытывает постоян-
постоянную скорость осевой деформации (sz = const), вызываемую заданной
осевой нагрузкой.
Возвращаясь к упомянутой выше системе уравнений плоской задачи
нри условии пластичности C.15), отметим, что эта система, вообще говоря,

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 107
не вытекает из уравнений трехмерной задачи. Несмотря на указанный
дефект, математический анализ этой системы представляет несомненный
^интерес. Тип системы зависит от вида кривой текучести и положения на
ней. Для «гиперболических точек» кривой текучести развита теория
характеристик и разрывов (Ж. Мандель, X. Гейрингер, Р. Хилл, В. В. Со-
Соколовский и др.)- Изучены различные случаи условия текучести C.15).
Выше уже называлось параболическое условие Мизеса. Отметим случай
циклоидальной кривой (В. В. Соколовский, 1950), для которого система
всюду гиперболическая, причем характеристики — прямые линии.
3.6. Кручение. Задача о чисто пластическом кручении призматиче-
призматического стержня, изученная в основном А. Надаи A923), отличается отно-
относительной простотой. Функция напряжений F (х, у) удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению
и условию постоянства F на каждом из ограничивающих контуров.
Поверхность напряжений z = F (х, у) является поверхностью постоянно-
постоянного ската, «крышей», построенной на заданном контуре; она определяется
беь особых затруднений. Ребра и конические точки поверхности напряже-
напряжений соответствуют линиям и точкам разрыва касательных напряжений
xxz-> Tyz- При этом величина вектора касательных напряжений постоянна,
скачком изменяется его направление. Предельный крутящий момент
вычисляется также достаточно просто.
Если кручение осложняется добавочным осевым растяжением (или
изгибом), задача становится более трудной. Подробно изучена осесиммет-
ричная задача о совместном кручении и растяжении круглого цилиндри-
цилиндрического стержня.
Обобщением задачи кручения прямого стержня является задача
кручения сектора кругового кольца неизменного поперечного сечения,
рассмотренная В. Фрейбергером, а также А. Вангом и В. Прагером
(в 1953—1954 гг.). Отличные от нуля компоненты напряжения тГф и т2ф
(в цилиндрической системе координат г, ф, z\ ось z направлена по оси
вращения кольца) при подстановке
тГф = к sin i|), т2ф = к cos ip C.16)
удовлетворяют условию текучести. Функция if) (r, z) определяется из
дифференциального уравнения
smi);-^- — cos г|? -~—2 -!- = 0. C.17)
В отличие от кручения прямого стержня здесь характеристики могут
быть криволинейными.
К аналогичной системе уравнений для напряжений приводит задача
кручения прямого круглого стержня переменного диаметра (ось z направ-
направлена по оси стержня), изученная В. В. Соколовским A945, 1950). Здесь
отличны от нуля те же компоненты напряжения тГф, TZ(p.
Необходимо найти решение уравнения C.17) при аналогичных же
граничных условиях; построение поля скоростей легко осуществляется.
Для вычисления предельного момента общий анализ поля напряжений
излишен. Легко показать, что в предельном состоянии происходит срез
в наименьшем поперечном сечении; части стержня выше и ниже этого
сечения остаются жесткими. Точное значение предельного момента равно

108 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
значению предельного момента для цилиндрического стержня с указанным
наименьшим диаметром.
3.7. Осесимметричные задачи. При осесимметричной деформации
компоненты напряжения и скорости деформации не зависят от полярного
угла ф. Если исключить кручение, то окружная составляющая скорости
уф = 0. Дифференциальные уравнения равновесия в цилиндрических
координатах г, <р, z имеют вид
дог д%тг
дг dz r ' C.18)
or dz r
Условие текучести Мизеса таково:
(сг •— о^J + (аф — czJ + (о^ — сгJ + 6t?z = 6/с2. C.19)
Компоненты скорости деформации
* dvr * vr * dvz * dvr . dvz
связаны с компонентами напряжения соотношениями Мизеса. Для шести
неизвестных функций vr, уф, о>, crz, сгф, xrz имеем систему шести уравне-
уравнений. Эта система, вообще говоря, эллиптического типа (Р. Хилл, 1948 г.);
постановка и решение краевых задач наталкиваются на большие матема-
математические трудности. Найдены лишь отдельные частные решения.
При решении разнообразных инженерных задач часто используется
гипотеза полной пластичности, т. е. принимается условие равенства двух
главных напряжений. Тогда, как показал в 1923 г. Г. Генки, задача ста-
становится статически определимой и система уравнений C.18), C.19) для
компонент напряжения будет гиперболической. Характеристики совпа-
совпадают с линиями скольжения в плоскости г, z. С помощью приемов, анало-
аналогичных приемам, применяемым в случае плоской деформации, можно
рассматривать различные частные задачи. Поле скоростей, если исходить
из соотношений Мизеса, построить, вообще говоря, нельзя из-за избытка
уравнений. В связи с этим подобные решения трудно оценить, поскольку
обычно их не удается отнести ни к статически возможным, ни к кинемати-
кинематически возможным решениям.
В отдельных частных задачах условие полной пластичности иногда
удается оправдать. По-видимому, решения при условии полной пластич-
пластичности дают в ряде случаев приемлемое приближение к предельной
нагрузке.
Известные перспективы анализа осесимметричной задачи открываются
при переходе к условию пластичности Треска — Сен-Венана и ассоции-
ассоциированному закону течения. При этом следует отдельно рассматривать
течения, отвечающие напряжениям на ребрах призмы текучести и на
гранях ее. В первом случае задача статически определима и гиперболична,
характеристики совпадают с линиями скольжения. Использование ассо-
ассоциированного закона позволяет ставить вопрос о разыскании согласован-
согласованного поля скоростей. Решения этого класса, обсуждавшиеся Р. Т. Шилдом,
Д. Д. Ивлевым A959) и другими авторами, можно рассматривать как.
кинематически возможные (если поле скоростей определено) и, следова-
следовательно, приписывать им смысл верхней границы. При условии полной плас-
пластичности рассмотрена задача о вдавливании гладкого круглого штампа

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 109
в полупространство (А. Ю. Ишлинский, 1944; Р. Т. Шилд, 1957). Изучен
также случай кольцевого штампа (Д. Д. Ивлев, 1966).
Анализ течения, отвечающего напряжениям на грани призмы, про-
проведенный А. Д. Коксом, Дж. Исоном и Г. Дж. Гопкинсом A961 г.), X. Лип-
пманом A962 г.) и другими авторами, показал, что оно является кинема-
кинематически определимым. На грани, по ассоциированному закону течения,
скорость главной деформации в направлении среднего главного напряже-
напряжения равна нулю; это условие доставляет дополнительное уравнение для
скоростей. В результате для нахождения составляющих скорости vr, vz
и угла я);, определяющего главное направление, имеем систему трех диффе-
дифференциальных уравнений. Эта система гиперболического типа; характери-
характеристики ее ортогональны и в диаметральном сечении г, z совпадают с траек-
траекториями главных напряжений.
В отличие от случая полной пластичности здесь решение связано
с известными трудностями, вызываемыми сравнительной сложностью
^системы уравнений для скоростей и необходимостью построения согласо-
согласованного поля напряжений. Найдены некоторые частные решения, характе-
характеризующиеся простыми полями скоростей.
Продвижение в решении осесимметричной задачи будет связано, веро-
вероятно, с развитием схемы, опирающейся на условие пластичности Треска —
Сен-Венана. Необходимо правильно комбинировать течения на ребрах
и гранях призмы текучести, что требует тщательного анализа поля скоро-
скоростей и возможных разрывов. Подобные решения явятся хорошим прц-
-ближением к предельной нагрузке.
3.8. Анизотропия и неоднородность. В теории анизотропной пласти-
пластической среды определились две линии развития. В первом направлении
условие пластичности вводится как обобщение квадратичного условия
Мизеса для изотропной среды. Второе направление опирается на обобще-
обобщение условия пластичности Треска — Сен-Венана.
Задача об анизотропной пластической среде впервые поставлена
Р. Мизесом в 1928 г. Условие пластичности было сформулировано им как
условие постоянства некоторой квадратичной формы напряжений, коэф-
коэффициенты ktj которой характеризуют анизотропию среды, именно:
i = hi (ах — GyJ + &2з (<*у — <УгJ + k3i (az — <УХJ +
+ tyz t&24 (<Ух — <*y) + &34 ((Ух — **)] + txz ik35 (<Уу — (Уг) +
+ Кь ((уу — (Ух)] + rxy \K% ((*z — (ух) + he ((yz — cfу)] +
+ Къ&у = const. C.20)
Эта форма инвариантна относительно замены данной координатной
^системы кристаллографически равнозначной системой и относительно
наложения гидростатического давления; она содержит 15 независимых
констант. Для изотропной среды условие C.20) переходит в известное
условие Мизеса. Скорости деформации определяются ассоциированным
законом течения
7_
Частный случай анизотропии, содержащий 6 констант, * подробно
изучил в 1948 г. Р. Хилл:
-*12 (** - <*уТ + k23 (ay - or,J + k3i (<yz - (TxJ + kux2yz +
= const. C.22)

110 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
На-основе приведенных условий выполнен ряд исследований в СССР
и за границей. Отметим здесь работы Е. В. Маховер A947), М. Ш. Микела-
дзе A951), В. О. Геогджаева A900), Р. Хилла, В. Олыпака и других
авторов, охватывающие кручение, плоскую деформацию, изгиб пластин
и оболочек и более частные задачи.
Несколько сложнее расширение условия пластичности Треска —
Сен-Венана на случай анизотропного тела. В этом направлении наиболее
общие результаты получены Д. Д. Ивлевым A959, 1966). Для анизотроп-
анизотропного тела кусочно-линейные условия не только приводят зачастую к более
простым краевым задачам, но, возможно, обладают преимуществами
и с физической точки зрения (по крайней мере для кристаллов).
При формулировке условия текучести принимается, что оно не зави-
зависит от гидростатического давления и определяется в пространстве главных
напряжений невогнутой поверхностью. В данном случае это будет поверх-
поверхность шестигранной призмы, грани которой параллельны гидростатической
оси оч = ог2 = 0*3. Пределы текучести, входящие в условие пластичности,
рассматриваются как функции направляющих косинусов главных осей
напряжения относительно главных осей анизотропии. Например, в случае
плоской деформации условие текучести имеет вид
(<** ~ *у? + **ly = 4Ла (ф),
где я|5 -— угол между направлением наибольшего главного напряжения
и осью х; оси х, у ориентированы по главным осям анизотропии. Зависи-
Зависимость к (я|э) считается известной.
Исследования кручения, плоской задачи и некоторых других задач
по этой схеме выполнили Д. Д. Ивлев A959), Г. И. Быковцев A961),
М. С. Саркисян A960, 1961).
В отношении пластических свойств реальные тела всегда являются
в какой-то мере неоднородными. Эта неоднородность может быть вызвана
различными причинами: зависимостью предела текучести от температур-
температурного поля, переменным упрочнением, влиянием нейтронного облучения
и т. д. Иногда тела состоят из различных материалов (разрывная неодно-
неоднородность). Использование неоднородности пластических свойств позволяет
нередко повысить сопротивление тел, в связи с чем возникают и некоторые
своеобразные задачи оптимального проектирования.
Вследствие неоднородности в схеме жестко-пластического тела предел
текучести уже не постоянен, а является заданной функцией координат
(непрерывной или разрывной). Это вносит значительные усложнения
в картину течения.
Теория пластичности неоднородных тел наиболее энергично развива-
развивалась в Польше в работах школы В. Олыпака *). В Советском Союзе ряд
исследований по теории жестко-пластических неоднородных тел выполнен
Б. А. Друяновым A959), А. И. Кузнецовым A958, 1960), М. А. Задояном
A962), Ю. Р. Лепиком A963) и другими авторами. Исчерпывающий список
литературы приведен в упомянутом выше обзоре.
3.9. Упруго-пластическое тело. Во многих случаях важно знать
напряжения и деформации в теле, частично перешедшем в пластическое
состояние. Интерес к таким упруго-пластическим задачам вызывается
многими лричинами. Так, вблизи отверстий, надрезов и других «кон-
«концентраторов напряжений» возникают местные пластические деформации.
*) См. обзор: В. Ольшак, Я. Рыхлевский и ВЛ рбановский,
Теория пластичности неоднородных тел, 1962 (русский перевод: М., 1964).

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 111
Соответствующие поля необходимо знать для оценки прочности и локаль-
локальных деформаций. Локальные пластические деформации появляются
в большинстве контактных задаче. Определение остаточных напряжений
и деформаций, лежащее в основе расчета автофретажа конструкций,
также требует рассмотрения упруго-пластического состояния. К анализу
упруго-пластических задач приводит и проблема температурных напря-
напряжений. Наконец, решение упруго-пластических задач позволяет судить
о темпе нарастания деформаций и приближения к предельному состоянию;
на конкретных примерах можно оценить приемлемость жестко-пластиче-
жестко-пластических решений.
Подходящей основой для рассмотрения упруго-пластических задач
являются уравнения теории течения (уравнения Прандтля — Рейсса)
= deb + dXsu. C.23)
Приращения упругих деформаций dsij вычисляются по закону Гука.
Напряжения удовлетворяют условию пластичности Мизеса C.3). В пла-
пластических зонах справедливы уравнения C.23); в упругих зонах dX = О
и соотношения C.23) переходят в закон Гука. На границе этих зон пласти-
пластические деформации равны нулю и выполняются условия непрерывности
напряжений, деформаций и смещений. Решение таких смешанных задач
является чрезвычайно трудным и доступно в принципе лишь с помощью
вычислительных машин. Обычный прием заключается в прослеживании
развития («шаг за шагом») упруго-пластического состояния по мере роста
параметра нагрузки; для определения текущего состояния могут быть
использованы различные варианты метода сеток или вариационных
методов.
Хорошо разработаны методы решения ряда технически важных «одно-
«одномерных» задач (осесимметричная деформация труб, вращающихся дисков,
изгиб прямого и кругового бруса и т. д.). В редких случаях удается полу-
получить аналитические решения.
При достаточно простых внешних нагрузках, условиях закрепления
и конфигурации тела можно надеяться, что нагружение в пластической
зоне приближается к простому; тогда допустимо исходить из уравнений
деформационной теории пластичности — уравнений Генки (вместо C.23))
ви - *Ь + Фи, C.24)
что существенно упрощает решение задачи. Обычно важные инженерные
«одномерные» задачи (трубы, диски, круглые пластинки и т. п.) рассматри-
рассматриваются на основе деформационной теории. Подобный подход получил
наибольшее распространение в Советском Союзе. Сопоставление имеющих-
имеющихся решений по обеим теориям свидетельствует, как правило, о незначи-
незначительных расхождениях.
В связи с трудностями построения решений в пластических зонах
в последних изредка используется условие полной пластичности. Этот
прием вносит искажения, оценить которые здесь обычно не представляется
возможным.
Несколько в стороне от затронутых вопросов лежат теоремы о при-
приспособляемости упруго-пластических тел при действии циклических нагру-
нагрузок. При известных условиях в каждом цикле могут происходить пласти-
пластические деформации, хотя нагрузки и ниже предельных. Пластиче-
Пластические деформации этого типа приводят к разрушению. Теоремы о приспо-
приспособляемости указывают такие границы изменения нагрузок, внутри
которых повторные пластические деформации не происходят благодаря

112 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОБ
благоприятному полю остаточных напряжений, возникшему при первых
нагружениях. Хотя использование этих теорем не требует решения
упруго-пластической задачи, они основаны на модели упруго-пластическо-
упруго-пластического тела, в котором могут быть созданы остаточные напряжения.
В заключение отметим также трудную и плохо еще поставленную,
но практически важную проблему упруго-пластических колебаний.
3.10. Упруго-пластическое кручение. Эта сравнительно простая упру-
упруго-пластическая задача была рассмотрена в ранних работах А. Надаи
A923); им указан способ экспериментального решения на основе мембран-
мембранной аналогии. Первые аналитические решения, полученные Э. Трефтцем
в 1925 г., относятся к определению пластической зоны, возникающей вбли-
вблизи входящего угла при кручении стержня уголкового профиля. Трефтц
применил метод конформного отображения для упругой зоны сечения.
К решению той же и некоторых других задач Ф. С. Шоу в 1944 г. успешно
применил метод сеток (на основе релаксационных приемов Р. Саутвелла).
Л. А. Галин A944) развил прямой метод решения задачи упруго-
пластического кручения стержней полигонального сечения.
Эффективными оказались различные варианты полуобратного метода,
впервые использованного В. В. Соколовским A942) для решения задачи
о кручении овала, близкого к эллипсу. Сначала задается форма упругого
ядра, затем надлежащим образом подстраивают к нему пластическую
область. Примеры подобных решений приведены в работах Л. А. Галина
A949) и Р. Мизеса. Этот же прием применил В. Фрейбергер A956) для
решения задачи упруго-пластического кручения кругового кольца почти
круглого поперечного сечения. В решении упруго-пластической задачи
кручения полезны также вариационные методы.
В работах Б. Д. Аннина A968) доказана теорема существования
и единственности решения задачи упруго-пластического кручения стержня
овального сечения и развит алгоритм численного решения.
Для односвязного профиля с возрастанием крутящего момента раз-
разгрузка, как недавно показал Ф. Г. Ходж, не происходит ни в одной
точке сечения. При кручении же стержня с многосвязным сечением раз-
разгрузка может в известных условиях наступить. Естественно, что это об-
обстоятельство сильно затрудняет аналитическое решение упруго-пласти-
упруго-пластических задач отмеченного класса.
К задаче упруго-пластического кручения математически близка задача
об упруго-пластической антиплоской деформации. Здесь также реализует-
реализуется состояние чистого сдвига, но заданы напряжения на контуре тела.
В работах Г. П. Черепанова A962) методами теории функций комплексно-
комплексного переменного рассмотрена упруго-пластическая задача для произволь-
произвольного выреза в неограниченной плоскости. На контуре выреза заданы
напряжения, предполагается, что пластическая зона полностью охваты-
охватывает отверстие.
3.11. Плоская задача. Значительно более трудны упруго-пластические
задачи в условиях плоской деформации. Для уменьшения трудностей
уже сама постановка здесь обычно упрощается. Именно принимается, что
в пластической зоне gz = V2 (gx + ау)> т- е- (если исходить из условия
текучести Мизеса) материал несжимаем. Далее, рассматривается состоя-
состояние, отвечающее конечным значениям нагрузок, не прослеживается «шаг
за шагом» развитие упруго-пластического состояния по мере роста нагру-
нагрузок. Между тем в этом процессе может наступать разгрузка в отдельных
частях пластических зон. Поэтому невозможно сказать, каким ограниче-
ограничениям должны следовать нагрузки, чтобы было достигнуто рассматриваемое

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 113
конечное состояние. Тем не менее несомненный интерес представляют те
немногие упруго-пластические задачи, решение которых удалось построить
при отмеченных условиях.
Некоторое представление о характере решения можно составить на
основании аналогии с изгибом пластинки, обжимаемой на жестком теле,
указанной Л. А. Галиным A948).
Для неодномерных упруго-пластических задач следует прежде всего
назвать изящное замкнутое решение задачи о растяжении плоскости со
свободным круговым вырезом, найденное Л. А. Галиным A946); на беско-
бесконечности действуют растягивающие напряжения р и q в направлениях
осей х ж у. Предполагается, что пластическая зона полностью охватывает
отверстие. Это накладывает некоторое ограничение на параметры нагруз-
нагрузки р, q. При решении существенно используется свойство бигармоничности
функции напряжений в пластической зоне, примыкающей к круговому
вырезу.
При дополнительных условиях решение Л. А. Галина обобщено на
случай пластически неоднородной среды, на случай неравномерного
теплового поля. Некоторые новые результаты можно получить, используя
метод малого параметра. Эти приемы, однако, не позволяют заметно
расширить условия задачи.
Приближенный прием решения упруго-пластических задач для пло-
плоскости с вырезом в обратной постановке (задается пластическая зона)
развит П. И. Перлиным A960).
В работах Г. П. Черепанова A963, 1964) также применяются методы
теории функций комплексного переменного, но предположение о том, что
на неизвестной границе раздела упругой и пластической зон напряжения
являются соответствующими вторыми производными от бигармонической
функции, уже снято. Считается, что указанные напряжения — известные
функции координат. Развитый метод решения применен к анализу упруго-
пластической задачи о двухосном растяжении тонкой пластинки с круго-
круговым вырезом (плоское напряженное состояние) при условии пластичности
Треска — Сен-Венана в случае, когда сгф ^ о> ^> 0.
В недавно опубликованных работах Б. Д. Аннина A968) рассмотрена
задача упруго-пластического распределения напряжений в плоскости
с отверстиями.
Отметим, наконец, мало разработанный круг вопросов, связанных
с обобщенной плоской деформацией. Речь идет о равновесии длинных
цилиндрических тел, испытывающих дополнительное осевое растяжение
(в отличие от плоской деформации, когда перемещение по оси равно нулю).
Для упругого тела эта задача сводится к случаю плоской деформации
наложением надлежащего осевого растяжения. В упруго-пластических
задачах необходимо рассматривать состояние обобщенной плоской дефор-
деформации. Из задач этого типа подробно изучена лишь важная для приложе-
приложений задача о толстостенной трубе под действием внутреннего давления
ж осевого усилия.
3.12. Приспособляемость. После первичного нагружения и разгрузки
в упруго-пластическом теле будут, вообще говоря, остаточные напряже-
напряжения. Если вновь нагрузить тело прежней нагрузкой, то вследствие само-
самоупрочнения новые пластические деформации при известных условиях не
произойдут.
При действии нескольких независимо изменяющихся нагрузок
возникает вопрос о безопасных границах их изменения, гаранти-
гарантирующих отсутствие повторных пластических деформаций.
8 Механика в СССР, т. 3

114 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
Повторные нагружения могут привести к двум типам разрушений:
1) разрушению вследствие повторяющихся знакопеременных пластических
деформаций {пластическая усталость); 2) разрушению вследствие нараста-
нарастания односторонней пластической деформации (прогрессирующая дефор-
деформация).
Благоприятное поле остаточных напряжений может способствовать
появлению некоторой области, внутри которой нагрузки могут изменяться
как угодно, не вызывая новых пластических деформаций. Тело как бы
приспосабливается в известных пределах к внешним воздействиям. Об-
Область приспособляемости определяется двумя теоремами.
Первая теорема (статическая теорема) в общей формулировке дока-
доказана в известной работе Э. Мелана 1938 г. Пусть упруго-пластическое телек
занимает объем F, ограниченный поверхностью S; на части поверхности
SF задана нагрузка/^, а на части Sv скорости равны нулю. Обозначим
через oij напряжения в теле в предположении его идеальной упругости,
через ptj — некоторое поле остаточных (самоуравновешенных) напряже-
напряжений, не зависящее от времени.
По теореме Мелана, тело приспособится, если в нем суммарное напря-
напряженное состояние o\j + р^ не нарушает условие текучести, т. е.
./W + PiK^- • C-25>
"Обратно, приспособляемость невозможна, если не существует не
зависящее от времени поле остаточных напряжений р^-, для которого
выполняется неравенство C.25).
Вторая теорема (кинематическая теорема) доказана В. Т. Койтером
в 1956 г.
Тело приспособится, если при всех допустимых циклах скоростей
пластической деформации е^о и всевозможных изменениях нагрузок Fni
в заданных пределах справедливо неравенство
г т
[dt\ Fnivi0 dSF> ]dt\w (вт) dV, C.26)
0 0
где vi0 — кинематически возможное поле скоростей, обращающееся в нуль
на Sv, Т — некоторый интервал времени, W (eij0) — мощность пластиче-
пластической деформации на допустимых скоростях. И обратно, приспособляемости
нет, если найдутся цикл 8ij0 и программа изменения нагрузок, нару-
нарушающие неравенство C.26).
Определение границ приспособляемости значительно сложнее вычис-
вычисления предельных нагрузок. Аналитические решения возможны лишь
для простейших задач. По теореме Мелана, необходимо найти такое пола
остаточных напряжений, которое при условии текучести C.25) максималь-
максимально раздвигало бы область изменения нагрузок. Такая постановка приво-
приводит к задачам математического программирования. Применение методов:
программирования к задаче приспособляемости аналогично их примене-
применению к разысканию предельной нагрузки. Как и прежде, в ряде важных
случаев применим аппарат линейного программирования.
В отдельных случаях время реализации цикла может быть длитель-
длительным. За это время могут развиться ^старение, ползучесть и другие явления^
влияющие на границу текучести, поле остаточных напряжений и, следо-
следовательно, область приспособляемости. Для ряда технических задач учет
этих эффектов представляется* важным.

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 115
Большой прикладной интерес имеет проблема приспособляемости
при циклических изменениях теплового поля. В результате теплосмец
может происходить знакопеременная пластическая деформация, приводя-
приводящая к разрушению при сравнительно небольшом числе циклов («термиче-
(«термическая усталость»). Возможно также постепенное опасное нарастание пласти-
пластических деформаций.
Расширение теоремы Мелана на случай переменных тепловых полей
не встречает затруднений; оно выведено В. Прагером в 1956 г. и независи-
независимо от него В. И. Розенблюмом (i957). В отличие от изотермического случая
здесь под а|. следует понимать решение соответствующей задачи термо-
термоупругости.
Кинематическая теорема Койтера также обобщена на тела, испыты-
испытывающие переменный нагрев (В. И. Розенблюм, 1965). Вопросы приспособ-
приспособляемости конструкций в условиях переменного нагрева подробно изучены
в работах Д. А. Гохфельда A970).
При циклических температурных воздействиях важную роль может
играть ползучесть, а также изменение предела текучести. Все это суще-
существенно усложняет расчеты и требует кропотливого анализа даже в случае
простых стержневых систем.
Отметим, наконец, что нередко в очень нагруженных конструкциях
детали испытывают переменные пластические деформации (т. е. работают
вне области приспособляемости). В связи с этим возникает необходимость
анализа изменений напряжений и деформаций от цикла к циклу. При неод-
неоднородных полях задачи этого типа весьма трудны, и пути их постановки
и решения только намечаются.
3.13. Упрочняющееся тело. Современные конструкционные металлы
заметно упрочняются; схема идеального упруго-пластического тела тогда
непригодна. В этих случаях обычно исходят либо из уравнений Прандтля —
Рейсса при условии изотропного упрочнения, либо из уравнений дефор-
деформационной теории при законе «единой кривой» (интенсивность касатель-
касательных напряжений — функция интенсивности деформаций сдвига). В Совет-
Советском Союзе значительное развитие получили решения, основанные на
уравнениях деформационной теории. Для зарубежных работ характерно
известное недоверие к использованию деформационной теории, хотя и не
отрицается ее практическое значение. Закон изотропного упрочнения при-
пригоден лишь при сравнительно несложных путях нагружения. Еще в более
узких пределах приемлема схема единой кривой. Поэтому решение крае-
краевых задач на основе обеих теорий ограничено рамками достаточно простого
нагружения. Более точно формулировать это условие не представляется
возможным. Сопоставление имеющихся решений, найденных по обеим
теориям, обычно свидетельствует о небольших расхождениях.
В теории течения основные соотношения могут быть записаны в форме
•
&и = (cUki + hijki) сАл "C.27)
где ctjki — упругие постоянные, a htjki — некоторые функции напряже-
напряжений, деформаций и истории деформирования. Эти соотношения внешне
напоминают уравнения Гука для линейно упругого анизотропного тела,
но возможность появления разгрузки (тогда hijki = 0) в отдельных зонах
и переменность hijki существенно усложняют решение. В подчеркнутых
выше сравнительно узких рамках схемы изотропного упрочнения при-
приобретает значение случай всюду продолжающегося нагружения. Тогда,
если рассматривать процесс деформации «шаг за шагом», последовательно
8*

116 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
'сообщая нагрузкам малые приращения, на каждой ступеньке нагру-
жения коэффициенты в C.27) можно считать зависящими только от
координат (но не от параметра нагрузки или «времени»). Решение
упруго-пластической задачи сводится, таким образом, к решению после-
последовательности задач для анизотропного упругого тела с переменными
коэффициентами. Реализация этой схемы в сколько-нибудь сложных
{неодномерных) случаях связана, конечно, с преодолением больших
вычислительных трудностей.
Некоторые дополнительные возможности построения решений выте-
вытекают из вариационных формулировок. На каждом этапе можно ввести
квадратичные формы скоростей деформаций П (&и) и скоростей напряже-
ний П (cTjj).
Тогда поле скоростей vt соответствует минимуму квадратичного
функционала
j П (ги) dV — j FniVi dSF = min. C.28)
Скорости напряжений atj сообщают минимум квадратичному функ-
функционалу
\ П (ви) dV— \ FnivtdSv = min. C.29)
Для решения вариационных уравнений могут быть использованы различ-
различные варианты прямых методов.
Как уже отмечалось, при несложных путях нагружения для решения
практических задач оправдано применение деформационной теории. Тогда
краевые задачи будут относиться к конечным значениям деформаций
ж напряжений, что существенно проще, чем в теории течения. Удалось
построить решения многих частных задач и доказать существование
решения (классического или обобщенного) в некоторых проблемах упруго-
пластического равновесия.
Решения реализуются при помощи различных вариантов метода
последовательных приближений (А. А. Ильюшин, 1948; И. А. Биргер,
1951, и др.) или численно. В первом случае нелинейные члены переносят-
переносятся в правые части уравнений или включаются в «коэффициенты упругости»,
затем в той или иной форме применяется метод последовательных прибли-
приближений. На каждом этапе приближения необходимо решить линейную
задачу теории упругости, но с «дополнительными» объемными силами
(«метод упругих решений») или с измененными коэффициентами упругости
(«метод переменных параметров упругости»). Процессы эти весьма трудо-
трудоемки, и в неодномерных задачах редко удается построить более чем одно-
два приближения. Сходимость большей части используемых процессов
ее изучена. Сходимость метода упругих решений при определенных усло-
условиях установлена в работах А. И. Кошелева A955) и С. Г. Петровой
A957).
Уравнения деформационной теории с помощью работы деформации П
ж дополнительной работы R можно представить в формах
дП OR /О олч

ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 117
Нетрудно показать, что действительное поле перемещений ut сообща-
сообщает минимум полной энергии системы:
UdV- ^ FmUidSF = min. C:31)
Для действительного поля напряжений достигается минимум допол-
дополнительной работы (Л. М. Качанов, 1940, 1942):
\ R dV— \ FniUi dSu = min. C.32)
Вариационные уравнения полезны для построения приближенных
решений методом Ритца. Система Ритца будет нелинейной, и ее решение
не всегда практически осуществимо, не говоря уже о трудностях составле-
составления самой системы. Более удобен модифицированный метод Ритца
(Л. М. Качанов, 1959), в котором коэффициенты уточняются при рас-
рассмотрении последовательности минимальных задач для квадратичных:
функционалов. Этот прием устраняет громоздкость решения с увеличением
номера приближения. Несколько иная модификация метода Ритца пред-
предложена А. А. Ильюшиным A961). Вообще, различные прямые методы,
опирающиеся на вариационные уравнения (например, метод прямых,
вариационно-разностный метод и т. п.), можно использовать для решения
нелинейных задач, если надлежащим образом комбинировать эти методы
с методом последовательных приближений. Это замечание относится
и к использованию метода Б. Г. Галеркина.
Несколько в стороне стоит метод малого параметра, позволяющий
немного расширить область применения ранее найденных решений; его
можно применять как в дифференциальных, так и в вариационных уравне-
уравнениях задачи. Так, зная осесимметричные решения, можно с помощью
этого метода рассмотреть задачи, близкие к осесимметричным (по нагруз-
нагрузкам или по очертаниям тела, по неоднородности и т. д.). Этод1 прием не
позволяет заметно расширить область решения. Лишь немногие задачи
этого типа представляют реальный интерес для приложений; сюда можно
отнести задачу о слегка овальных и эксцентричных трубах, задачу о вра-
вращении слегка эксцентричного диска и т. д.
Что касается численных методов, то в первую очередь их следует
использовать для решения практически важных задач, содержащих при-
притом небольшое число геометрических параметров. Здесь прежде всего
необходимо назвать цикл задач о концентрации напряжений за пределом
упругости.
Целесообразно упомянуть также о некоторых экспериментальных
возможностях решения задач пластичности с упрочнением, связанных
с методом фотоупругости. Имеется в виду применение метода фотоупругих:
покрытий и метода фотоползучести.
Наконец, необходимо отметить полезную аналогию между задачами
установившейся ползучести и задачами для упрочняющегося тела па
деформационной теории при условии несжимаемости. Эта так называемая
«упругая аналогия» позволяет осуществлять взаимный обмен решениями
и экспериментальными данными.
3.14. Заключение. В этом параграфе обсуждались лишь некоторые
(«классические») краевые задачи. Вопросы устойчивости, динамики, теория
оболочек и пластин не затрагивались. Несмотря на предпринимаемые
большие усилия и несомненный быстрый прогресс в развитии теории

118 А. А. ВАКУЛЕНКО, Л. М. КАЧАНОВ
пластичности, решения многих задач не известны. Частично по этой при-
причине многие важные прикладные задачи остаются неразрешенными.
Даже относительно простая задача определения несущей способности
на основе жестко-пластической схемы связана с математическими трудно-
трудностями. В преодолении последних несомненна роль вычислительных мето-
методов. В частности, весьма перспективно использование экстремальных
свойств предельной нагрузки и на их основе — методов математического
программирования. Здесь же целесообразно подчеркнуть значение этих
методов для определения области приспособляемости.
Мало изучена, но безусловно перспективна проблема оптимального
проектирования на основе жестко-пластической схемы.
Гораздо более трудны упруго-пластические задачи при условии
идеальной пластичности или изотропного упрочнения. Здесь трудно рас-
рассчитывать на успех, ориентируясь на аналитические методы. На первый
план выдвигаются вычислительные методы, с помощью которых можно
построить решения многих важных задач. В частности, целесообразно
отметить цикл задач о концентрации напряжений, дредставляющий
большой интерес для оценки прочности.
Следует ожидать возрастания роли упруго-пластических задач при
сложных условиях нагружения, когда необходимо более полно учитывать
изменение механических свойств в процессе пластической деформации.
Краевые задачи при сложных программах приложения нагрузок, при
повторных (циклических) пластических деформациях, анализ упруго-
пластических колебаний — вот некоторые проблемы, которые ждут реше-
решения. Задачи этого типа, в отличие от упомянутых выше, еще не имеют
бесспорной математической формулировки, и именно в этом направлении
должны быть сконцентрированы прежде всего усилия исследователей.
Другой круг вопросов, представляющих большой интерес, связан
с пластическими деформациями при сопутствующих немеханических полях
(термопластические задачи, задачи для облучаемого тела и т. д.). Наиболее
традиционна и значительна в прикладном отношении проблема термо-
термопластичности; здесь получено много приближенных решений, основанных
большей частью на уравнениях деформационной теории. Однако разно-
разнообразие термомеханических воздействий требует построения и использова-
использования существенно более сложных уравнений состояния.
Наконец, все чаще необходимо учитывать эффекты вязкости. Вязко-
пластические среды (в различных их вариантах) все чаще обсуждаются
на страницах журналов. Далее, своеобразные задачи возникают при рас-
рассмотрении упруго-пластических деформаций новых материалов, обладаю-
обладающих специальной гетерогенной структурой. Эти вопросы, впрочем, уже
лежат вне границ настоящего обзора.

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
Ю. Н. РАБОТНОВ*)
$ 1. Введение 120
| 2. Развитие и обоснование теории . • 123
2.1. Ползучесть как процесс течения 123
2.2. Течение, сопровождающееся старением 124
2.3. Установившаяся ползучесть : 125
2.4. Ползучесть с упрочнением 126
2.5. Более общие законы упрочнения 127
2.6. Теория старения 127
2.7. Теории деформационного типа 127
2.8. Разрушение при ползучести 128
2.9. Кратковременная ползучесть * 129
2.10. Линейная вязкоупругость 130
2.11. Нелинейная вязкоупругость 132
2.12. Экспериментальные работы 132
% 3. Установившаяся ползучесть и теория старения 133
3.1. Вариационные принципы 134
3.2. Методы последовательных приближений j 134
3.3. Расчет турбинных дисков по методу последовательных приближений 135
3.4. Точные решения 135
3.5. Пластины 135
3.6. Оболочки . 136
3.7. Осесимметричная деформация круговой цилиндрической оболочки 137
3.8. Краевой эффект в оболочках 138
§ 4. Неустановившаяся ползучесть . 138
4.1. Вариационный метод в теории течения 138
4.2. Изгиб стержней по теории упрочнения 139
4.3. Применение критерия Треска. Осесимметричные задачи .... 140
4.4. Вариационные принципы в теории упрочнения . . • • 141
4.5. Степенной закон ползучести со степенным упрочнением ..... 142
4.6. Пластины и оболочки 143
% 5. Устойчивость при ползучести 144
5.1. Постановка задачи об устойчивости 144
5.2. Устойчивость линейных вязко-упругих систем 145
5.3. Малые отклонения от основного состояния 146
5.4. Вариационные методы для задач выпучивания 146
5.5. Устойчивость оболочек 148
5.6. Разрушение при ползучести . 149
$ 6. Линейная вязкоупругость 149
6.1. Реологические модели и дифференциальные соотношения ¦ . . . 149
6.2. Ядра ползучести и релаксации 150
6.3. Определение параметров ядер по данным экспериментов .... 150
*) При составлении настоящего обзора автор использовал опубликованный
-обзор Н. Н. Малинина, посвященный задачам ползучести в машиностроении. В под-
-боре и обработке материала по вязкоупругости большую помощь оказал Л. X. Папер-
«сик, которому автор приносит благодарность.

120 ю. н. работнов
6.4. Принцип Вольтерра 151
6.5. Применение трансформации Лапласа 151
6.6. Динамические задачи вязкоупругости 152
6.7. Нелинейная вязкоупругость 152
6.8. Некоторые приложения теории вязкоупругости 153-
§ 1. Введение
Явление ползучести в узком смысле слова состоит в том, что телог
подверженное действию постоянных нагрузок, медленно деформируется
во времени. Задача механической теории ползучести состоит в установле-
установлении определяющих уравнений, связывающих механические параметры
состояния — напряжения и деформации. Эти соотношения должны суще-
существенным образом содержать некоторые временные операторы — диффе-
дифференциальные или интегральные. Процесс ползучести часто заканчивается
разрушением тела, поэтому в идеале механическая теория разрушения
должна содержать в себе элементы, позволяющие предсказывать момент
разрушения.
Феноменологический подход, свойственный механике, не избавляет
механика от необходимости считаться с физикой процесса и принимать
во внимание те внутренние механизмы, которые определяют этот процесс.
Кривые зависимости деформации от времени в опыте на растяжение
постоянной нагрузкой для стали при высокой температуре, любого пла-
пластика (например, полиэтилена) при нормальной температуре, бетонаг
льда, образца горной породы и т. д. внешне кажутся чрезвычайно похо-
похожими, и поэтому возникает надежда сконструировать некоторые универ-
универсальные уравнения, пригодные для описания всех материалов в любых
условиях. Однако внутреннее строение названных выше тел совершенна
различно, различны и те механизмы, которые вызывают ползучесть.
Глубокое различие процессов ползучести в металлах и полимерах, напри-
например, связанное с различием определяющих механизмов, может быть выяв-
выявлено и в макроэксперименте. Так, деформация ползучести стали практиче-
практически необратима, после снятия нагрузки накопленная деформация не воз-
возвращается или возвращается лишь ее небольшая доля. Деформация пол-
ползучести полимера при не слишком высоком уровне напряжений почти
целиком обратима, она исчезает после снятия нагрузки по истечении
некоторого времени.
При изучении ползучести технических сплавов также встречаются
разные обстоятельства. Существуют материалы, структурно устойчивые
в данном интервале температур и времен; ползучесть таких материалов
описывается относительно простыми соотношениями, и для них может
быть построена механическая теория. Значительно сложнее обстоит дело
с теми сплавами, которые в процессе ползучести при высокой температуре
претерпевают фазовые превращения. Описание ползучести таких материа-
материалов в терминах механики встречает значительные трудности. В различных
температурных диапазонах, как это следует из физических исследований,
преобладают различные атомно-дислокационные механизмы ползучести,
поэтому уравнения ползучести могут существенно меняться в зависимости
от области их приложения.
В настоящем обзоре основное внимание будет уделено теории ползу-
ползучести металлов при высокой температуре, однако будут освещены и неко-
некоторые теоретические результаты, имеющие отношение к ползучести поли-
полимерных материалов (теории линейной и нелинейной вязкоупругости).

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 121
Впервые с явлением ползучести встречались при эксплуатации паро-
паровых турбин, и проблема ограничения ползучести оказалась чрезвычайна
острой, при существующих материалах ползучесть и длительная проч-
прочность лимитировали возможность повышения рабочих параметров машин.
Потребности энергомашиностроения в первую очередь вызвали интенсив-
интенсивную работу по созданию новых теплоустойчивых и жаропрочных мате-
материалов и стимулировали большой цикл металлофизических исследований,
направленных на выяснение механизма ползучести металлов. Современное
состояние вопроса в этой области освещено, например, в обзорной статье
В. Л. Инденбома, А. Н. Орлова и В. М. Розенберга A965), в книге
В. М. Розенберга A968).
Одновременно перед конструкторами встал вопрос о том, каким обра-
образом использовать имеющиеся материалы в конструкции, как оценить
допустимый предел температур и напряжений для обеспечения заданной
долговечности. Для этого оказалось необходимым построение механиче-
механической теории ползучести. Испытания материалов на ползучесть по некото-
некоторым стандартным методикам велись промышленностью в большом объеме,
задачей этих испытаний была выработка некоторых условных критериев
стойкости сплава по отношению к ползучести и сравнительная оценка
пригодности тех или иных материалов для данных условий эксплуатации
на основе этих критериев. Большой опытный материал, накопленный
в результате испытаний такого рода, естественно, должен был быть поло-
положен в основу при создании механической теории. Однако этого было
недостаточно, для создания и обоснования механической теории необходи-
необходимы специальные целенаправленные эксперименты принципиального
характера. Основные вопросы, которые подлежали выяснению в первую
очередь, были следующие.
1. Известны закономерности ползучести при постоянном напряжении.
Можно ли на основе этих данных предсказать ход ползучести при пере-
переменной нагрузке? В частности, можно ли предсказать закон релаксации,
т. е. падения напряжения со временем при постоянной общей деформации?
2. Все опытные данные относятся к одноосному растяжению. Можно
ли по этим данным судить о ползучести при произвольном сложном напря-
напряженном состоянии?
Эксперименты, направленные на выяснение этих вопросов, система-
систематически проводились в разных странах, в том числе и у нас, однако окон-
окончательное их решение не получено. Это объясняется сложностью экспери-
экспериментальной техники, дороговизной подобных испытаний и различием
свойств материалов.
Что касается анализа кривых ползучести при одноосном растяжении,
здесь была проделана большая работа, направленная на поиски более
или менее универсальных соотношений, связывающих деформацию ег
напряжение а и температуру Т (при о — const). Цель этих поисков,
состояла в том, чтобы найти способы экстраполяции результатов относи-
относительно кратковременных испытаний на большие длительности.
Соответствующие формулы предлагались И. А. Одингом и другими
авторами. В практике нашли применение различные так называемые
температурно-временные параметры (см., например, Ю. Н. Работнов,
1966) для экстраполяции данных по ползучести, однако каждый из них
пригоден лишь для определенного круга материалов и надежных средств
экстраполяции не существует.
Современное развитие механической теории ползучести определяется
существенным расширением круга ее приложений. Появление транспортных

122 Ю. Н. РАБОТНОВ
газовых трубин, с одной стороны, привело к существенному увеличению ра-
рабочих температур и, следовательно, применению новых материалов, с дру-
другой стороны, заставило обратить серьезное внимание на анализ таких про-
процессов ползучести, при которых нагрузки и температуры нестационарны.
С проблемами ползучести пришлось встретиться в реактивной технике
и сверхзвуковой авиации, поэтому получила развитие теория ползучести
тонкостенных элементов конструкций — пластин и оболочек. Для этих
элементов возникли своеобразные проблемы устойчивости, на которых
в последние годы оказались сосредоточены большие усилия исследователей.
Широкое применение в технике полимерных материалов, в частности
армированных пластиков, заставило заниматься вопросами ползучести
и в применении к этим материалам. Существенная особенность здесь состо-
состоит в том, что при малых напряжениях связи между напряжениями и дефор-
деформациями линейны, поэтому долзучесть может рассматриваться как запаз-
запаздывающая или наследственная (термин Вольтерра) упругость.
В современной литературе более принят термин «вязкоупругость»,
которым мы и будем пользоваться, считая все же термин Вольтерра более
удачным. Развитие теории линейной вязкоупругости в основном базирует-
базируется на идее Больцмана — Вольтерра, и разработка ее относится скорее
к технической стороне, чем к идейной.
При более высоком уровне напряжений обнаруживается нелиней-
нелинейность, притом относительно слабая. Общая тенденция последних лет
и здесь состоит в возврате к старой идее Вольтерра — Фреше описания
подобного рода соотношений с помощью некоторых специальных операто-
операторов. Реализация этой идеи представляет существенные трудности, и в этом
направлении получен ряд новых результатов.
Теория ползучести как раздел механики деформируемого твердого
тела сформировалась сравнительно недавно. Первые исследования в этой
области относятся к двадцатым-тридцатым годам; общий характер их
определяется тем, что проблема ползучести представляла большую важ-
важность для энергомашиностроения и инженеры были вынуждены искать
простые и быстро ведущие к цели методы решения практических задач.
В создании основ теории ползучести большая роль принадлежала тем
авторам, которые внесли существенный вклад в формирование современ-
современной теории пластичности, отсюда общность многих идей и подходов.
В нашей стране первые работы по механической теории ползучести при-
принадлежат Н. М. Беляеву A943), К. Д. Миртову A946), к концу сороковых
годов относятся первые исследования Л. М. Качанова, Н. Н. Малинина,
Ю. Н. Работнова.
Линейная теория вязкоупругости основывается, с одной стороны,
на основополагающих концепциях Больцмана и Вольтерра, с другой
стороны, на теории вязко-упругих реологических моделей, восходящей
к Дж. Максвеллу и В. Фойхту. Объединяя свойства упругих тел и вязких
жидкостей в более общей связи, эта теория имеет дело с линейными диф-
дифференциальными или интегро-дифференциальными уравнениями, поэтому
в ней открывается широкий простор для приложения эффективных мате-
математических методов. Интерес к этой теории существовал все время, но
отсутствие реальных технических приложений не стимулировало ее
интенсивную'разработку. Ранние исследования в этой области (А. Ю. Йш-
линский, А. Н. Герасимов, А. Р. Ржаницын, Ю. Н. Работнов и др.), по
существу, не имели % виду решение определенных технических задач,
& были направлены скорее на извлечение некоторых математических
следствий из принятых моделей.

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 123
Реальная область приложения линейной теории вязкоупругости
открылась, когда теория была распространена на стареющие материалы
{И. X. Арутюнян, А. А. Гвоздев, Г. Н. Маслов) и применена к задачам
ползучести бетона и других строительных материалов. Эти исследования
получили очень широкое развитие, и им посвящен специальный обзор
Н. X. Арутюняна в этом сборнике (см. стр. 155—202).
Поведение полимерных материалов при умеренных напряжениях,
«которые обычно допускаются в конструкциях из этих материалов, как
оказывается, вполне удовлетворительно описывается теорией линейной
-вязкрупругости, притом с ядрами довольно сложного вида (не такими,
которые соответствуют простейшим реологическим моделям тела Максвел-
Максвелла или стандартного вязко-упругого тела). Предшествующие теоретиче-
теоретические исследования дали в руки готовый аппарат для построения теории
вязко-упругости полимеров, и в этой области за короткое время были
достигнуты значительные успехи. Большой объем исследований был
выполнен научными коллективами при участии А. А. Ильюшина,
А. К. Малмейстера, М. И. Розовского, Г. Н. Савина и других.
§ 2. Развитие и обоснование теории
2.1. Ползучесть как процесс течения. Обратимся сначала к одномер-
одномерному случаю, например растяжению цилиндрического стержня. Общая
точка зрения на процесс ползучести будет состоять в том, что ползучесть
это есть процесс вязкого течения, сопровождающегося некоторыми струк-
структурными изменениями. Это значит, что скорость ползучести при данном
структурном состоянии однозначно определяется напряжением и темпе-
температурой:
р =* v (a, T). B.1)
Считается, что полная деформация представляет собой сумму мгновенной
деформации е0 и деформации ползучести р:
В свою очередь, мгновенная деформация состоит из упругой и пластиче-
пластической составляющих, так что
Если ползучесть не сопровождается структурными изменениями или если
эти структурные изменения не влияют на зависимость скорости от напря-
напряжения и температуры, то уравнение B.1) определяет процесс установив-
установившейся ползучести и тело, находящееся в состоянии ползучести, можно
трактовать как нелинейно вязкую жидкость.
Распространяя эту точку зрения на общий случай трехосного напря-
напряженного состояния, следует считать, что компоненты тензора скоростей
деформации ползучести ptj являются функциями компонент тензора
напряжений и температуры:
Ри =* "и ((УгзЛТ). B.2)

124 Ю. Н. РАБОТНОВ
При этом единственное условие, налагаемое на функции vtj, состоит в том,,
что мощность диссипации должна быть положительной:
0.
Обычно предполагается, что зависимости B.2) — потенциального типа^
т. е. существует потенциал ползучести Ф (<?,•;):
Отсюда преобразованием Лежандра получаются обратные соотношения
<т„ = -^-, и = оири-Ф. B.4)
Со-
Сосуществование потенциалов Ф и Ur строго говоря, не является следствием
каких-либо общих законов механики или термодинамики, однако некото-
некоторое обоснование сделанной гипотезы может быть достигнуто в рамках
термодинамики необратимых процессов в результате обобщения принципа
Онзагера. В направлении построения термодинамической теории пластич-
пластичности и ползучести был выполнен цикл работ А. А. Вакуленко A958,
1961, 19ХХ), причем им рассматривались и более общие реологические
соотношения.
Следующий шаг по пути уточнения и усовершенствования теории
заключается в учете структурных изменений, сопровождающих пол-
ползучесть. Структурное состояние материала может быть охарактеризовано
набором структурных параметров qu скалярных в одномерном случае
и, вообще говоря, тензорных. Уравнение одномерной ползучести должно
быть записано в виде
р = v @, Г, qu g2, . . ., ~qs).
При этом должны быть заданы также уравнения, описывающие
изменение структурных параметров во времени. В общем случае следует
считать, что потенциалы ползучести зависят от структурных параметров:
Ф = Ф (сг„, Г, qm), U = U (ри, Т, qm).
2.2. Течение, сопровождающееся старением. Простейшее предполо-
предположение будет состоять в том, что структурный параметр, определяющий
сопротивление ползучести, монотонно изменяется со временем. Очевидно,
что в качестве такого параметра можно выбрать просто время. Если, как
это обычно делается, считать мгновенную деформацию упругой и деформа-
деформацию ползучести не сопровождающейся изменением объема, уравнения
теории течения со старением примут следующий вид:
1 • <?о (в„, t)
Теория ползучести, основанная на такого рода уравнениях, развива-
развивалась Л. М. Качановым. Особенно простой вид принимают уравнения этой
теории в том случае, когда кривые ползучести подобны. Тогда потенциал
можно представить в виде произведения функции от напряжений на
функцию времени Ф (Gtj) %' (t) и уравнения оказываются по форме совпа-
совпадающими с уравнениями установившейся ползучести B.3), если заменить
в последних дифференцирование по времени дифференцированием по моди-
модифицированному времени т. Поскольку упругие деформации выражаются

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 125
через напряжения соотношениями потенциального тцпа, соотношения B.5)
можно переписать в следующем виде:
д
-Здесь П — дополнительная работа. В уравнениях B.6) не обязательно
^предполагать упругую деформацию, линейно зависящую от напряжений.
Более того, можно считать, что мгновенная деформация является упруго-
пластической, подчиняющейся уравнениям теории деформационного типа.
Можно показать (Л. М. Качанов, 1960), что для тела, находящегося
а. состоянии ползучести, из B.6) следует вариационный принцип типа
Кастильяно, заключающийся в том, что функционал
для истинного распределения напряжений имеет минимум. При этом необ-
необходимо, чтобы мощность вариации внешйих сил на истинных скоростях
равнялась нулю.
2.3. Установившаяся ползучесть. В приложениях иногда оказывается
возможным пренебречь мгновенной деформацией. Полагая рн = е^, полу-
получим вместо B.3)
Уравнения B.7) называются уравнениями установившейся ползучести.
По существу, это уравнения течения нелинейно вязкой жидкости. По
форме они совершенно совпадают с уравнениями нелинейной теории
упругости или деформационной теории пластичности. В предположении,
что потенциал Ф — положительно-определенная и выпуклая функция
своих аргументов, для установившейся ползучести доказана теорема
единственности и формулируются вариационные принципы типа Лагранжа
и Кастильяно.
Что касается вида функции Ф, обычное предположение состоит в том,
что она может быть представлена в виде Ф = Ф (s), где s — однородная
-функция первой степени от Оц. Условия отсутствия объемной ползучести
приводит к тому, что s не должно зависеть от гидростатической составляю-
составляющей тензора напряжений. Для изотропных материалов обычно принимают
либо $ = (То, где а0 — интенсивность напряжений, либо s = а4 — а3,
где а±, а3 — соответственно наибольшее и наименьшее главные напряже-
напряжения. Уравнения ползучести {? 1) переписываются теперь следующим
образом:
^=ф'(')-^г- B-8)
Обращение формул B.7) или B.8) получается в результате преобразования
Лежандра. Допустим, что справедливы соотношения B.8). Производные
dsldGfj являются однородными функциями нулевой степени от atj\ следо-
следовательно, шесть производных, будучи функциями только пяти независи-
независимых аргументов, удовлетворяют тождественному соотношению. Можно
показать, что это тождественное соотношение записывается в виде
" ЬЕг -*• B-9)

126 Ю. Н. РАБОТНОВ
где о —" однородная функция своих аргументов. Положим v = со (еи)*
Подобно тому, как s является эквивалентным напряжением, v — экви-
эквивалентная скорость деформации. Теперь из B.8) следует, что
V = Ф' (S) = U (S).
По формуле B.4) потенциал напряжений
ff = *Ф' (*) — ф (s) = и (v)i
соотношения, обратные B.8), имеют вид
ou = U'i(v)-^- = s(v) ^-ш B.10).
detj d
2.4. Ползучесть с упрочнением. Под упрочнением понимаются такие*
структурные изменения материала, которые происходят по мере накопле-
накопления деформации ползучести и приводят к уменьшению скорости ползуче-
ползучести при данном напряжении и температуре. В одномерном случае простей-
простейшее предположение заключается в том, что величина накопленной дефор-
деформации ползучести служит мерой упрочнения. Таким образом,
р = v (а, Г, р).
Распространение гипотезы упрочнения на пространственный случай встре-
встречает определенные затруднения. Вообще говоря, упрочнение, вызванное-
ползучестью, резко анизотропно, как это следует, например, из опытов
В. С. Наместникова. Однако большинство авторов ограничиваются пред-
предположением изотропии упрочнения, которое в этом случае характери-
характеризуется одним только скалярным параметром р. Допуская по-прежнему
существование потенциала ползучести Ф, зависящего от однородной
функции первой степени s (огг7), запишем основные уравнения в виде B.8)г
учитывая, что Ф зависит также от р как параметра.
Естественный выбор меры упрочнения при этом может быть сделан
следующим образом. Величины ds/dotj, как однородные функции нулевой
степени своих аргументов, удовлетворяют тождеству B.9). Теперь мера
упрочнения естественным образом определяется следующей формулой^
и из B.8) следует |Что
дФ (s,
Если s = Со, то
( PuPtJ
если s = 2ттах> то р = р\ — р3 = 2утах^ гДе Pi и Рз — соответственно*
наибольшая и наименьшая главные деформации ползучести.
Когда кривые ползучести подобны, потенциал можно представить
как произведение функции от s и функции от р. В приложениях часто
используется степенной закон упрочнения
При записи уравнения B.12) масштабы выбраны так, чтобы в уравнении
не фигурировали размерные константы. Для законов упрочнения вида

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 127
р = p-af (а) функция / (а), как показал С. А. Шестериков A959), должна
удовлетворять условию
Отсюда, в частности, следует, что в формуле B.12) должно быть
п>1. Иногда, по аналогии с установившейся ползучестью, принимают
/ = ехр | а | — 1 (такой выбор функции / не удовлетворяют условию
Шестерикова). При отыскании точных решений несоблюдение этого усло-
условия может повести к странному и физически неприемлемому поведению
решения в области малых а. При приближенных методах это обстоятель-
обстоятельство существенной роли не играет и любая аппроксимация, пригодная
для тех значений напряжений, которые нас интересуют, будет приемлемой.
2.5. Более общие законы упрочнения. Выбор величины р в качестве
параметра упрочнения не единственный из возможных. Более общая
гипотеза будет состоять в том, что структурные параметры qs связаны
с напряжением, деформацией ползучести, температурой и временем неко-
некоторыми дифференциальными соотношениями, вообще говоря, неинтегри-
руемыми. Некоторые варианты таких соотношений рассмотрены в книге
Ю. Н. Работнова A966). В частности, за меру упрочнения может быть
принята величина необратимой работы, рассеянной в процессе ползучести:
q~\aijdpt^ B.13)
Такой выбор меры упрочнения был предложен в работах А. А. Ваку-
ленко и И. И. Бугакова A9ХХ), а также Ю. Н. Работнова A963). Экспе-
Эксперименты показывают, что опыты при переменных нагрузках описываются
таким способом лучше, чем с помощью параметра упрочнения (В, С. На-
Наместников и Н. С. Вилесова, 1964).
2.6. Теория старения. Применение физически обоснованной теории
упрочнения в том или ином варианте-, а также любых уравнений типа
уравнений течения связано с большими трудностями. Поэтому в практике
заводов и конструкторских бюро получила широкое распространение
теория, которая буквально совпадает по форме с деформационной теорией
пластичности, но вводит в уравнение время явно как параметр. Первич-
Первичные данные по ползучести при этом удобно представлять в виде так назы-
называемых изохронных кривых. Серия кривых ползучести в координатах
е — t для разных значений а представляет собою графическое изображение
зависимости между тремя переменными. Эту зависимость можно предста-
представить в координатах е — о ъ виде серии кривых, каждая из которых отве-
отвечает заданному времени t. Расчет на ползучесть по теории старения сво-
сводится к серии расчетов по обычной деформационной теории пластичности,
причем каждый раз изохронная кривая ползучести отождествляется
с диаграммой деформирования материала.
2.7. Теории деформационного типа. Применение деформационной
теории пластичности при рассмотрении частных задачГоказывается значи-
значительно проще, чем применение теорий типа течения. Поэтому и в теории
ползучести рядом авторов уравнения строились по следующему принципу.
Принималось, что тензоры напряжений и деформаций связаны зависи-
зависимостями деформационной теории Надаи — Генки — Ильюшина:

128 К). Н. РАБОТНОВ
(а0 и е0 — интенсивности напряжений и деформаций соответственно,
штрихи означают девиаторы). Далее, считалось, что величины ст0 и е^
связаны той же зависимостью, что напряжение и деформация при одно-
одноосном растяжении. Так, Н. Н. Малинин A948) в развитие идеи Н. М. Бе-
Беляева полагает
ео = °о -g- -
Здесь S (сто) — некоторая экспериментально определяемая функция,
т (t) — функция времени, учитывающая форму кривых ползучести
(Н. М. Беляев полагал х = t). Ф. С. Чуриков A949) исходил из гипотезы
упрочнения, полагая, что интенсивности напряжений и деформаций
ползучести связаны уравнением B.8),-где р заменено через рОу а — через 0О-
2.8, Разрушение при ползучести. Схема вязкого разрушения, предло-
предложенная Н. Хоффом (США) применительно к растяжению стержня постоян-
постоянной нагрузкой, состоит в следующем. Предполагается, что скорость пол-
ползучести есть функция истинного напряжения, равного а0 A + е), где
а0 — напряжение, отнесенное к начальной площади, е — конечная дефор-
деформация. Скорость деформации s = el A + е). Уравнение ползучести полу-
получается следующимэ
-i_ = i;[cyo(l + e)]. B.15)
Величина а0 задана как функция времени (в частном случае ого = const).
При интегрировании B.16) оказывается, что деформация е может стре-
стремиться к бесконечности при конечном времени t = ?к, которое принимает-
принимается за время разрушения. При степенном законе ползучести и = оп пере-
переменные разделяются и время до разрушения находится из условия
±. B.16)
Фактически анализ Н. Хоффа приводит к завышенной оценке времени
до разрушения, по достижении некоторого значения деформации напряже-
напряжение становится настолько большим, что в теле возникает пластическое
течение. В. И. Розенблюм A963) считает материал идеально пластическим
с пределом текучести as и принимает за момент разрушения время, когда
выполняется условие сго/A + е) = crs. При а0 = const и степенном законе
ползучести получается
У многих технических сплавов разрушение происходит в результате
развития системы трещин на границах зерен при малой деформации.
Схема хрупкого разрушения была рассмотрена Л. М. Качановым A958)
и Ю. Н. Работновым A959). Степень поврежденности материала характе-
характеризуется параметром^, меняющимся отг|; = 1 у неповрежденного материа-
материала до я|) = 0 в момент разрушения. Предполагается, что величина я|? в каж-
каждой точке меняется в соответствии с уравнением
B.18)

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 129
Здесь cTi — наибольшее растягивающее напряжение. Если h =
степенная функция, то время достижения величиной г|) значения гр = О
определяется из условия, имеющего тот же вид, что B.16):
*к
B.19)
J "i"" i + л •
о
Аналогичная схема, отличающаяся лишь в деталях, была рассмотрена
Ю. Н. Работновым.
Л. М. Качановым рассмотрен также случай смешанного разрушения,
когда условие г|э =; 0 достигается при достаточно большой деформации
ползучести и при определении действующего напряжения необходимо
считаться с изменением площади поперечного сечения.
В развитие идеи Л. М. Качанова была выполнена серия работ швед-
шведских авторов (Ф. Одквист, Я. Хюльт и др.), в которых учитывалось влия-
влияние мгновенной пластической деформации, а также деформации первой
фазы ползучести. По известной схеме Одквиста деформация на неуста-
неустановившемся участке добавляется к мгновенной.
Ю. Н. Работнов A963) предполагает, что параметр поврежденности
со = 1 — я|) входит в качестве структурного параметра в уравнения ползу-
ползучести. Таким образом, если пренебречь упрочнением, уравнения ползуче-
ползучести будут иметь следующий вид:
е = v (а, со), со = ф (а, со). B.20)
При этом может быть рассмотрен случай как конечных, так и малых дефор-
деформаций. Анализ проведен для довольно общей зависимости вида
е = оп A — со)-*, со ¦= cok (I — со)~г.
Такая точка зрения позволяет описать третьи участки кривых ползучести.
Если предположить, что функции и и ф в B.20) отличаются лишь
постоянным множителем, то со = ele%, где е% — равномерная деформация,
предшествующая разрушению и считающаяся не зависящей от напряже-
напряжения. Тогда уравнение ползучести имеет вид
т. е. совпадает по виду с уравнением B.8), описывающим упрочнение
(мгновенная деформация во внимание не принимается). Таким образом,
открывается возможность описывать всю кривую ползучести с помощью
одного лишь структурного параметра, за который принимается величина
деформации ползучести. Эта идея была реализована Г. Ф. Лепиным, кото-
который использовал уравнение вида
и показал на большом опытном материале его пригодность для описания
ползучести и релаксации.
2.9. Кратковременная ползучесть. При достаточно высоком уровне
температур и напряжений упрочнение практически отсутствует; таким
образом, вначале скорость ползучести определяется уравнением B.1),
которое остается справедливым независимо от предыстории нагружения.
8 этих условиях существенную роль играет мгновенная пластическая
9 Механика в СССР, т.З

130 Ю. Н. РАБОТНОВ
деформация, которая определяется уравнением B.2). Модуль упругости
и функция g (а) зависят от температуры. Ползучесть обычно сопровождает-
сопровождается интенсивным трещинообразованием, в результате чего скорость ползу-
ползучести увеличивается и наступает разрушение. Для описания процесса
необходимо вводить структурный параметр со, а уравнения кратковремен-
кратковременной ползучести для одномерного случая принимаются следующими:
Для большинства материалов можно принять п = &, тогда е%% — равно-
равномерная деформация в момент разрыва (С. Т. Милейко, 1962, 1963; С. Т. Ми-
лейко и Ю. Н. Работнов, 1966).
2.10. Линейная вязкоупругость. Ползучесть многих неметалличе-
неметаллических материалов описывается с помощью уравнений линейной вязкоупру-
гости. Один из путей построения соотношений этой теории состоит в комби-
комбинировании упругих и вязких свойств. Для наглядного изображения тако-
такого ряда комбинаций применяют реологические модели, представляющие
собою определенный наборы пружин и вязких сопротивлений. Соотноше-
Соотношение между напряжениями и деформациями для одномерного случая имеет
вид
Р (а) = Q(e). B.23)
Здесь Р и Q — линейные дифференциальные операторы с постоянными
коэффициентами. Соотношения типа B.23) используются для описания
как твердых тел, так и жидкостей. Большой цикл работ, относящихся
к описанию вязко-упругих свойств жидкостей, гелей и т. п., принято
относить к области реологии (в данном обзоре эти исследования не затра-
затрагиваются).
Другой аппарат для описания вязко-упругих свойств твердых тел
был предложен Л. Больцманоми детально развит в работах В. Вольтерра,
относящихся к началу этого столетия. Линейный оператор Вольтерра
определяется следующим образом:
] B.24)
Это соотношение можно записать в виде
t
Kf= j K(t-x)f(x)dx,
если считать, что ядро содержит особенность типа дельта-функции.
В теории В. Вольтерра используются ядра разностного типа к (?, т) =
= х (t — т), что вытекает из требования инвариантности относительно
изменения начала отсчета времени.
При определенных ограничениях, характеризующих твердые тела,
B.24) эквивалентно B.23), ядро к (t — т) представляет собою линейный
агрегат из экспоненциальных функций.
Общие уравнения линейной вязкоупругости для произвольного анизо-
анизотропного материала могут быть представлены следующим образом:
B.25)

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 131
Здесь Etjki — матрица линейных операторов Вольтерра, соответствующая
матрице модулей упругости в обычной теории.
Аппроксимация ядра х (t — г) с помощью экспоненциальных функций
позволяет простыми средствами обращать соотношения B.25), т. е. нахо-
находить резольвенты соответствующих ядер. При решении задач вязкоупруго-
сти используется принцип, сформулированный В. Вольтерра и заклю-
заключающийся в том, что решение задачи обычной теории упругости может
быть трансформировано в решение соответствующей задачи теории вязко-
упругости, если заменить упругие константы операторами. Расшифровка
появляющихся при этом функций от операторов в принципе всегда выпол-
выполнима, если эти функции рациональны. В противном случае возникают
определенные трудности. Следует заметить, что принцип Вольтерра при-
применим лишь тогда, когда вид граничных условий остается неизменным
(он непригоден, например, для задач о движущемся штампе).
В современной литературе для решения задач вязкоупругости при-
применяется также метод, основанный на преобразовании Лапласа. Для
изображений напряжений и деформаций соотношение B.25) принимает
вид обычного закона Гука:
~Ъ B.26)
Основные трудности связаны с переходом от изображений к оригина-
оригиналам. Для стареющих материалов типа бетона ядро оператора Вольтерра
не является разностным. Теория ползучести стареющих материа-
материалов, ведущая начало от работ Н. X. Арутюняна, получила очень
широкое развитие (ей посвящен в этом томе специальный обзор; см. ниже,
стр. 155—202).
Для одноосного растяжения закон линейной вязкоупругости прини-
принимает вид
t t
Г (* —т) е (т)
Функция К (t — т) называется ядром ползучести, его резольвента
Г (t — т) — ядром релаксации. Иногда оказывается удобным задавать
не сами ядра, а спектры. Если функция Г (t) представлена в виде
оо
T(t) = [ аА (а)ехр( —ctf) da,
функция А (а) называется спектром релаксации. Аналогично определяется
спектр ползучести. При решении динамических задач вводится комплекс-
комплексный модуль Е' + 1Е\ который выражается через спектр релаксации
по формуле
оо
[j^|da]. B.27)
В ранних работах по теории линейной вязкоупругости (А. Н. Гераси-
Герасимов, А. Ю. Ишлинский, В. Г. Гоголадзе, М. И. Розовский, Ю. Н. Работ-
нов и др.) развивался формальный аппарат теории и выяснялись каче-
качественные эффекты, которые могли быть обнаружены в тех или иных случа-
случаях. В работах, примыкающих к физико-химическому направлению
9*

132 Ю. Н. РАБОТНОВ
(Г. Л. Слонимский и др.)? теория применялась для описания тех аспектов
поведения различных тел, которые не соответствуют обычным моделям.
Значительное развитие теории в пятидесятых годах связано с существен-
существенным расширением области ее применения. При не слишком высоком уров-
уровне напряжений уравнения линейной вязкоупругости хорошо описывают
ползучесть бетона (с учетом старения), а также большинства полимерных
материалов. Эта теория успешно применяется в механике горных пород,
ледяного покрова и пр. Постановка новых прикладных задач сти-
стимулировала развитие общих методов и поиски многочисленных частных
решений.
2.11. Нелинейная вязкоупругость. Еще В. Вольтерра («Fonctions de
lignes», 1913) предложил описывать нелинейную вязкоупругость соотно-
соотношениями вида
t t
(t — xi)o(xi)dxi +
?= J
— оо — оо
B.28)
Эта идея была, по существу, забыта и лишь недавно воскрешена в работах
ряда американских и японских авторов. Более простое соотношение для
одноосного растяжения или чистого сдвига было предложено Ю. Н. Работ-
новым A948):
t
К (f —r\ п (т\ rlr (° 9Q\
М. И. Розовский A951) и Н. X. Арутюнян A952) построили для этого
же случая иное уравнение, а именно:
t
е = г|з (а) + [ L (t — т) F [а (т)] dx. B.30)
Функция ф (е) в левой части B.29) для активного нагружения должна
определяться экспериментально, при разгрузке применительно к металлам
ее следует брать линейной, соответствующей закону упругости. По-види-
По-видимому, основная область применения наследственных соотношений типа
B.29) или B.30) — это механика полимеров, для металлов они качествен-
качественно предсказывают наблюдаемый возврат, но преувеличивают этот эффект
{В. С. Наместников и Ю. Н. Работнов, 1961). Комбинация нелинейной
вязкоупругости и закона упрочнения позволила Г. И. Брызгалину хорошо
описать ползучесть целлулоида при переменных нагрузках.
2.12. Экспериментальные работы. В области исследования ползучести
и длительного разрушения было выполнено очень большое количество
экспериментальных работ, результаты которых позволили проверить
и уточнить как теорию ползучести, так и применяемые расчетные методы.
Эти работы можно разделить на следующие три группы.
1. Получение характеристик ползучести, релаксации и длительной
прочности отдельных материалов применительно к конкретным техниче-
техническим объектам. Обычно целью таких исследований является установление
некоторых условных, сравнительных характеристик, позволяющих выби-
выбирать материал для заданных условий эксплуатации. С развитием механи-
механической теории эти характеристики стали полагаться в основу расчетов,

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 133
хотя сами по себе они не дают возможности выбрать ту или иную теорию,
которую следовало бы положить в основу расчета сложного процесса.
2. Работы, направленные на проверку различных теорий ползучести.
3. Испытания натурных объектов или моделей и сравнение данных
испытаний с результатами расчетов.
В настоящем обзоре мы кратко остановимся на исследованиях второй
и третьей групп.
Систематическая проверка гипотезы упрочнения содержится в серии
работ А. М. Жукова, Ф. С. Чурикова и Ю. Н. Работнова A953), В. И. Да-
Даниловской, Г. М. Ивановой и Ю. Н. Работнова A955), В. С. Наместникова
и А. А. Хвостункова A960), В. С. Наместникова A957, 1960), Ю. П. Капте-
лина A962), Г. М. Ивановой A958). Все эти опыты производились при
растяжении, сравнивались результаты испытаний при постоянных и пере-
переменных нагрузках. В результате этих исследований, а также работ зару-
зарубежных авторов было установлено, что гипотеза упрочнения типа B.8)
удовлетворительно описывает в первом приближении, по крайней мере,
первую фазу ползучести.
Опыты на ползучесть при сложном напряженном состоянии техниче-
технически трудны и немногочисленны. Отметим исследование И. А. Одинга
и Г. А. Тулякова A958), которое для установившейся ползучести под-
подтверждает справедливость критерия типа Треска — Сен-Венана. Результа-
Результаты опытов В. С. Наместникова A957), относящиеся к неустановившейся
фазе ползучести, в общем, не подтвердили простые зависимости, описанные
выше, и заставили автора прибегнуть к более сложным построениям.
В. С. Наместников A957) показал также, что упрочнение при ползучести
резко анизотропно.
Ряд работ относится к установлению критериев разрушения при
сложном напряженном состоянии. Отметим опыты Б. В. Зверькова A958),
Ш. Н. Каца A955), В. П. Сдобырева A958, 1959), И. И. Трунина A967),
И. Н. Лагунцева и В. К. Святославова A959), И. Н. Лагунцева и Л. И. Фе-
Федотовой A959).
Систематические исследования ползучести моделей элементов турбо-
машин, а также натурных дисков велись в ЦКТИ (Д. П. Варшавский,
П. Я. Богуславский, И. Г. Полумордвинова, 1955) и ЦНИИТМАШ
(В. П. Рабинович, 1959, 1960). Общий итог этих исследований состоит
в том, что расчетные методы, основанные на простейшей теории старения,
дают удовлетворительный для практики результат в части предсказывания
величины деформации и остаточных напряжений. Время до разрушения
также может быть предсказано с удовлетворительной степенью точности.
§ 3# Установившаяся ползучесть и теория старения
Уравнения теории установившейся ползучести и уравнения теории
старения, по существу, тождественны с уравнениями деформационной
теории пластичности. Разница состоит лишь в том, что в теории устано-
установившейся ползучести деформации заменены через скорости деформации,
а в уравнениях теории старения время фигурирует как параметр. Методы,
применяемые для решения задач по этим двум теориям, по существу ана-
аналогичны. Для установившейся ползучести обычно выбирается некоторая
простая аналитическая аппроксимация функции v (s) = Ф' (s), например
v = гп (s/Gn)n или v = &е ехр (а/ае), где еп, ап, п, ее, ае — константы.
Основное преимущество теории старения, обусловившее ее широкое
распространение для инженерных расчетов, заключается в возможности

134 ю. н. работнов
использования первичных кривых ползучести без каких-либо аналитиче-
аналитических аппроксимаций, влекущих за собою их неизбежное искажение.
Поэтому здесь наибольшее распространение получили численные методы,
представляющие собою развитие или модификацию методов, разработан-
разработанных применительно к теории малых упруго-пластических деформаций.
3.1. Вариационные принципы. Вариационные принципы Лагранжа
и Кастильяно для задач ползучести являются, очевидно, простой пере-
перефразировкой соответствующих принципов для нелинейно упругого тела,
поскольку исходная гипотеза состоит в допущении зависимости потен-
потенциального типа между напряжениями и деформациями или скоростями
деформации. Систематическое развитие приближенных методов, основан-
основанных на принципе Кастильяно, принадлежит Л. М. Качанову. При степен-
степенном законе установившейся ползучести с возрастанием показателя п
в ряде случаев распределение напряжений мало отличается от того, кото-
которое соответствует предельному состоянию идеального жестко-пластиче-
жестко-пластического тела. Таким образом, вводится понятие о предельном состоянии
ползучести; напряжения о%- для этого состояния находятся по схеме
жестко-пластического тела, причем предел текучести зависит от характера
нагрузки. Приближенные значения скоростей находятся прямым приме-
применением теоремы Кастильяно. Более точные результаты получаются, если
представить компоненты напряжения в виде
Здесь o'ij — вообще говоря, любое статически возможное распределение
напряжений, например соответствующее упругому состоянию. Множитель
К (п) ищется из условия минимума соответствующего функционала.
Метод был проиллюстрирован на большом числе примеров, относя-
относящихся к фермам, балкам и рамам, к задачам кручения и пр.
3.2. Методы последовательных приближений. Естественным приемом
решения нелинейных задач механики твердого тела является способ
последовательных приближений, когда на каждом этапе решается линей-
линейная задача. В методе упругих решений А. А. Ильюшина в каждом при-
приближении решается задача теории упругости с фиктивными массовыми
силами и видоизмененными граничными условиями.
Метод переменных параметров упругости (И. А. Биргер, 1961)
основан на том, что уравнения теории ползучести совпадают с уравнения-
уравнениями линейной теории упругости, в которых упругие постоянные являются
функциями координат. Эти функции заранее неизвестны, так как зависят
нелинейным образом от искомых величин — компонент напряжения или
деформации. Каждое последующее приближение находится в результате
интегрирования линейных уравнений с переменными коэффициентами,
которые выражаются через параметры, найденные в предыдущем прибли-
приближении. И. А. Биргером указаны приемы, позволяющие добиться наиболее
быстрой сходимости процесса последовательных приближений. Такая
схема оказывается довольно удобной для реализации вычислений на
ЭЦВМ.
Идея переменных параметров упругости оказывается полезной и при
применении вариационных принципов типа Лагранжа или Кастильяно
(Л. М. Качанов). Вместо того чтобы отыскивать стационарные значения
сложного неквадратичного функционала, рассматривается последователь-
последовательность квадратичных потенциалов того же типа, что и для соответствующих
задач теории упругости с переменным модулем. Каждый из функционалов

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 135
минимизируется по методу Ритца, найденные значения параметров служат
для вычисления модулей упругости следующего приближения.
3.3. Расчет турбинных дисков по методу последовательных прибли-
приближений. Расчет на ползучесть вращающегося диска переменной толщины
с переменным температурным полем представляет собою одну из важней-
важнейших прикладных задач теории ползучести, которая не потеряла своего
значения до настоящего времени. Один из вариантов метода последова-
последовательных приближений для этой задачи состоит в следующем. Из уравне-
уравнения равновесия определяется радиальное напряжение о> как некоторый
функционал от окружного напряжения:
ог = Fi (oe). C.1)
После этого из уравнения совместности и уравнений ползучести опреде-
определяется <те как функционал от аг, сгв» содержащий константу С:
а0 = F2 (<rr, <re, С). C.2)
К решению полученной системы уравнений применяется метод после-
последовательных приближений, в качестве отправного пункта выбирается
некоторое распределение напряжений сге.
Если функционал F± определяется однозначно, функционал F2 может
быть представлен в различных видах, от этого существенным образом
зависит быстрота сходимости процесса последовательных приближений.
Различные варианты метода даются в работах П. Я. Богуславского
A950),А. Г. Костюка A953), Н. Н. Малинина A959) и других авторов.
Р. М. Шнейдерович принимает за искомые функции не напряжения,
а деформации, окружная деформация выражается через радиальную про-
простым соотношением, получаемым интегрированием уравнения совместно-
совместности. С помощью уравнения равновесия и уравнений ползучести строится
функционал, представляющий радиальную деформацию.
При изготовлении дисков путем ковки или штамповки материал неиз-
неизбежно приобретает текстуру, вызывающую анизотропию свойств"ползу-
свойств"ползучести. О. В. Соснин A963) рассмотрел установившуюся ползучесть анизо-
анизотропного диска. Выяснилось, что влияние реальной анизотропии на рас-
распределение напряжений не столь велико.
3.4. Точные решения. Сравнительно немногочисленные точные реше-
решения относятся к одномерным задачам. Так, задача о вращающемся диске
приводится к интегрированию системы двух квазилинейных уравнений
с краевыми условиями, заданными на границах интервала (Н. Н. Мали-
Малинии, 1959). Применение ЭЦВМ делает такие расчеты относительно неслож-
несложными. Применение кусочно-линейных потенциалов позволяет получить
для некоторых случаев решение задачи в замкнутом виде. Задача о кон-
концентрации напряжений около круглого отверстия в равномерно растяну-
растянутой пластине решена В. И. Розенблюмом A959) для критерия типа Треска
и Ю. В. Немировским A964) для критерия наибольшего приведенного
напряжения. А. Г. Костюк A950) рассмотрел диск с отверстием с толщи-
толщиной, меняющейся по степенному закону в зависимости от радиуса при
степенном законе ползучести. К наружному контуру приложена равно-
равномерная растягивающая нагрузка. Получено точное решение, представлен-
представленное в параметрическом виде.
3.5. Пластины. При отсутствии усилий связь между кривизнами
и моментами совершенно аналогична связи между деформациями и напря-
напряжениями в плоском напряженном состоянии и вычисление соответствующе-
соответствующего потенциала не вызывает каких-либо затруднений. Для круглых

136 Ю. Н. РАБОТНОВ
симметрично нагруженных пластин при кусочно-линейных законах ползуче-
ползучести получаются замкнутые решения. Л. М. Качанов применяет для этих
задач метод Ритца. Ряд частных случаев был рассмотрен Н. Н. Малининым
при помощи метода Галеркина.
Задача о полукольцевой пластине представляет интерес в связи с рас-
расчетом на ползучесть турбинной диафрагмы. Относительно простое прибли-
приближение решения по методу Ритца было дано В. И. Розенблюмом A954).
П. Я. Богуславский A950) дал решение этой задачи по способу последова-
последовательных приближений, построенному по принципу, который был описан
выше применительно к расчету дисков. При этом была выбрана схема,
довольно близко отвечающая конструкции реальной диафрагмы.
3.6. Оболочки. Теория ползучести оболочек строится обычно на осно-
основе гипотезы Кирхгофа — Лява с пренебрежением членами порядка h/R,
где 2h — толщина, R — характерный радиус. Уравнения связи между
усилиями и моментами, с одной стороны, и скоростями деформации сре-
срединной поверхности и скоростями изменения кривизны — с другой, для
теории установившейся ползучести записываются следующим образом:
дф дф /Q оч
иначе
rp
""'" ' "" C-4)
Основная трудность состоит при этом в вычислении потенциала
U (&ij, Ки). Если принять критерий типа Мизеса, то потенциал U полу-
получается в результате интегрирования по толщине функции от интенсивности
скоростей деформации Н, которая в данном случае имеет вид
tf = K + 2(ex)z + x^]1/2. C.5)
Здесь 80 и х0 — интенсивности скоростей деформации срединной поверх-
поверхности и скоростей изменения кривизн соответственно, (ех) — билинейная
форма, сконструированная из &tj и х^-. Для нахождения потенциала U
функция от Н должна интегрироваться по толщине оболочки, явного
выражения U при этом получить не удается.
Один из приемов заключается в кусочном осреднении функции Н
по толщине оболочки. И. Г. Терегулов A962) предлагает считать Н (z)
кусочно-постоянной, а именно:
Я2 = e;=F2Mex) + A,;x;. M
Верхний знак относится к области z>0, нижний — к области z<0. По-
Постоянные A,i и А,2 предлагается выбирать из условия того, чтобы получать точ-
точный результат в соответствующим образом подобранных частных случаях.
Вместо реальной оболочки иногда рассматривают двухслойную мо-
модель (Ю. Н. Работнов, 1951). Если толщина слоев достаточно мала по
сравнению с расстоянием 2/^ между ними, то распределение деформаций
по толщине каждого слоя можно считать равномерным, величина Н
в каждом слое получается из формулы C.5) при z = dh ^Г, следовательно,
в формуле C.6) нужно принять ЯА = Х2 = к±. Величина hi для модельной
оболочки связана с половиной толщины реальной оболочки соотношением,
которое устанавливает эквивалентность поведения реальной и модельной
оболочек в каком-либо частном случае, например при чистом изгибе.

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 137
Из этого условия при степенном законе ползучести с показателем п следует
S^. C.7)
Другое упрощение соотношения C.6) получается, если положить
Х1 = О, т. е. просто считать Н постоянным по толщине. Такая схема была
предложена В. И. Розенблюмом, однако из других соображений. При
п = 1 вычисление потенциала U сводится к интегрированию по толщине
выражения Н2; таким образом, U оказывается линейной комбинацией
из &1 и Xq. Вычисляя функцию Ф, находим, что она зависит от выражения
2- C-8)
Здесь t0 и то — интенсивности соответствующим образом определенных
безразмерных усилий и моментов. С другой стороны, В. И. Розенблюмом
ранее было получено приближенное условие предельного состояния для
упруго-пластической оболочки в виде
tl + ml = 1. C.9)
Известная теорема Ч. Р. Келладайна и Д. Ч. Драккера позволяет ут-
утверждать, что в пространстве ttj, Шц определенным образом нормирован-
нормированная поверхность S = const будет лежать между поверхностями tl +
+ 3/4 ?К = 1 и tl + mo = 1- Отсюда следует, что для 1 ^ п < оо ап-
аппроксимация потенциала Ф будет состоять в том, чтобы полагать его функ-
функцией величины
S *= (tl + km*I'*. C.10)
При этом 3/4 ^ к ^ 1. Сравнение с точным результатом для чисто изгиб-
ного состояния приводит к следующему выражению для к:
3.7. Осесимметричная деформация круговой цилиндрической оболоч-
оболочки. Применение двухслойной модели приводит к особенно простым резуль-
результатам для осесимметричной деформации круговой цилиндрической оболоч-
оболочки при отсутствии осевой силы. Изменение кривизны в поперечном направ-
направлении при этом отсутствует. Обозначая через 8 скорость окружной дефор-
деформации, а через х скорость изменения кривизны образующей, находим, что
C.12)
где к дается формулой C.11).
Задача о бесконечно длинной цилиндрической оболочке под действием
кольцевой нагрузки была решена с помощью вариационного принципа
Лагранжа В. И. Розенблюмом. Форма прогиба принималась той же, что
и в решении соответствующей задачи теории упругости; варьировалась
величина прогиба в том сечении, где приложена нагрузка, а также длина
волны.
Ю. И. Работнов A966) свел эту задачу к интегрированию системы
уравнений
C.13)

138 ю. н. работнов
Здесь и — безразмерная скорость окружной деформации, т — безразмер-
безразмерный продольный момент, р — параметр нагрузки. Функция со определяет-
определяется уравнением
v2 (со) - u2 + "i2co2, C.14)
где v (сг) — скорость ползучести при одноосном растяжении напряжением
о (с точностью до постоянного множителя). Штрихи означают дифферен-
дифференцирование по безразмерной координате |. Уравнения C.13) представляют
собою уравнения Эйлера вариационной задачи для функционала
& C.15)
где % (со)—известная функция. Функциональные аргументы т(%) и и(%)
задаются и варьируются независимо; в этом состоит преимущество
функционала C.15) по сравнению с функционалом Лагранжа. Примене-
Применение последнего позволяет определить с хорошим приближением прогиб,
но при вычислении момента точность теряется.
Были рассмотрены задачи о краевом эффекте для полубесконечной
оболочки с опертым и шарнирно закрепленным краем.
В следующей статье Ю. Н. Работнова было показано, что вариацион-
вариационное уравнение типа C.15) может быть получено из общего вариационного
принципа Рейсснера и для других задач теории оболочек, в которых
из тех или иных соображений можно считать усилие для одного направле-
направления известным, а скорость изменения кривизны для ортогонального
направления равной нулю. Это обстоятельство имеет место, например,
в теории цилиндрических оболочек средней длины.
В. Н. Мазалов и Ю. В. Немировский A966) рассмотрели задачу
о симметричной деформации круговой цилиндрической оболочки, исполь-
используя двухслойную модель и критерий наибольшего приведенного напряже-
напряжения. Был изучен случай шарнирно опертой оболочки конечной длины под
действием кольцевой нагрузки, получено замкнутое решение.
3.8. Краевой эффект в оболочках. Если напряженное состояние в обо-
оболочке является в основном бёзмоментным и интенсивность напряжений
достаточно велика, напряженное состояние краевого эффекта вблизи
закрепленного края может рассчитываться, как поправка к основному
напряженному состоянию. Эта идея была реализована И. Г. Терегуловым,
который использовал в зоне краевого эффекта уравнения, линеаризован-
линеаризованные около основного напряженного состояния, которое считается без-
момертным и, следовательно, известным. Теория краевого эффекта при
этих предположениях оказывается подобной теории краевого эффекта
в упругих оболочках. В качестве иллюстрации была рассмотрена задача
о краевом эффекте в цилиндрической круговой оболочке, сжатой в осевом
направлении. Краевой эффект в цилиндрической оболочке рассматривался
также И. В. Стасенко A962, 1963).
§ 4. Неустановившаяся ползучесть
4.1. Вариационный метод в теории течения. Наиболее простая теория
неустановившейся ползучести — это теория течения, сопровождающегося
старением. Как было отмечено выше, для этой теории справедлив вариа-
вариационный принцип Л. М. Качанова

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 139
Здесь П — соответствующий упругий потенциал. В принципе потенциал
П не обязательно должен быть квадратичным, он может соответствовать
нелинейной упругости или, что то же самое, мгновенной упруго-пластиче-
упруго-пластической деформации, которая описывается уравнениями деформационного
типа. В этом случае возникают осложнения, связанные с появлением зон
разгрузки.
Естественный приближенный метод решения задач неустановившейся
ползучести при неизменных внешних силах с помощью вариационного
уравнения D.1) заключается в следующем. Пусть olj — распределение
напряжений, соответствующее упругому состоянию, e'ij — распределение
напряжений при установившейся ползучести. Положим приближенно
<*ij = Oij + 9 @ (Oij — O'ij) ,1
0@) = 0, 9(оо) = 1. / D>^
Условие D.1) приводит к дифференциальному уравнению для функции
6 (t). В описанном виде метод применим только тогда, когда кривые пол-
ползучести подобны, поскольку лишь в этом случае можно говорить о состоя-
состоянии установившейся ползучести, характеризуемом распределением напря-
напряжения o'ij. Однако некоторая модификация метода позволяет снять это
ограничение.
Для задач релаксационного типа, когда на некоторой части поверх-
поверхности заданы фиксированные смещения, а остальная часть поверхности
свободна от усилий (объемные силы также отсутствуют), можно предполо-
предположить, что все напряжения изменяются пропорционально:
Gtj = р (t) olj.
Применение вариационного уравнения D.1) приводит в данном случае
к заключению о том, что функция р (t) не зависит от формы тела и характе-
характера закрепления, она совпадает с той функцией, которая описывает релак-
релаксацию напряжений, например, при одноосном растяжении.
Применение этого метода проиллюстрировано многочисленными при-
примерами, содержащимися как в книге Л. М. Качанова, так и в публикациях
других авторов. Эти примеры относятся к стержневым системам, задачам
изгиба и кручения.
4.2. Изгиб стержней по теории упрочнения. Даже простейшая задача
о неустановившейся ползучести стержня прямоугольного поперечного
сечения при чистом изгибе не имеет точного решения. Н. Н. Щетинин
исследовал эту задачу с помощью уравнения ползучести вида •
р = v-a (ехр I сг [ — 1). D.3)
При анализе выяснилось, что вблизи нейтральной оси напряжение мецяет
знак. Это является следствием того, что уравнение D.3) при малых а
непригодно (правая часть должна быть вида ап, где п > 1 + а, как это
показал С. А. Шестериков). Для устранения отмеченной особенности
в уравнение задачи было внесено некоторое исправление. Прием линеари-
линеаризации исходного уравнения позволил построить решение в рядах и иссле-
исследовать их сходимость.
Для расчета на изгиб стержней с произвольным поперечным сечением
и произвольным распределением температуры Б. Ф. Шорр A959) разрабо-
разработал метод численного интегрирования. Закон ползучести был выбран
при этом следующий:
(!^) D.4)

140 ю. н. работнов
Для того чтобы учесть как первый, так и второй участки на кривой
ползучести, было принято
h (Р) = Р~а (Р < Рс), h (р) = рёа = const (p > рс)
в тех областях, где напряжение (а следовательно, и скорость ползучести)
не меняет знака. Но нейтральная ось в процессе ползучести перемещаетсяг
поэтому в некоторых точках происходит изменение знака скорости. Для
этих областей предлагается заменять функцию h (p) функцией h (g), где
q определяется следующим образом:
q = p++Xp- (ет>0), )
q = p- + Kp+ (a<0). J ' {1'Ь)
Здесь р+ — деформация ползучести, накопленная при растяжении, р~ —
деформация ползучести, накопленная при сжатии. Сам расчет выполняет-
выполняется численным методом, шагами по времени.
4.3. Применение критерия Треска. Осесимметричные задачи. Если
главные оси напряжений в теле фиксированы и неравенство (Ti > сг2 > аг
все время сохраняется, закон упрочнения в соединении с критерием Треска
приводит к следующему результату. Величина эквивалентного напряже-
напряжения s = оч — аз, Pi = — Рз = Р, Рч = 0. Отсюда следует, что 2р =
= pi — рз? после чего уравнение ползучести записывается так же, как
и для одномерного случая:
р = v (р, s).
Если два главных напряжения, например а\ и а2, равны между собою,
ассоциированный закон дает неоднозначное распределение скоростей,
а именно:
Рз = — Р, Pi = А,р, Рг = A — Л) р @ < X < 1).
Определенная указанным образом величина эквивалентной деформа-
деформации ползучести р имеет смысл только в том случае, если условие оч >
> а2 > о3 сохраняется в течение всего процесса. При изменении знаков
в этом неравенстве максимальные сдвиги происходят в других плоскостях
и возможность суммирования эффекта упрочнения, происходящего по раз-
разным механизмам, является дополнительной гипотезой.
Изложенный упрощенный вариант теории упрочнения был применен
Ю. Н. Работновым для задач о ползучести вращающихся дисков и ци-
цилиндров. Закон ползучести принимался в виде
рр« = exp (s - Р). D.6)
Здесь величины р и s безразмерны, р зависит от температуры и, следова-
следовательно, является заданной функций координат. Принцип решения осе-
симметричных задач состоит в следующем. В результате интегрирования
уравнений равновесия и совместности находятся радиальное, окружное
и осевое напряжения как некоторые функционалы от р, содержащие еще
константы интегрирования. Для диска аг = 0, аг и gq зависят от двух
констант В и С. Уравнение D.6) приводится к виду
рр« ехр (р) = exp (S - Р). D.7)
Здесь S — функционал от р, зависящий от констант Б и С, радиальной

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 141
координаты, начального распределения напряжений и температурной
деформации. Вид функционала S зависит от соотношения между напряже-
напряжениями сгг и gq. Уравнение D.7) интегрируется шагами по времени, значе-
значения функционала S рассчитываются на основе величины р в предыдущем
приближении. На каждом шаге из граничных условий должны быть
определены константы В is. С. Случай цилиндра рассматривается совершен-
совершенно аналогичным образом. Если диск не имеет отверстия, в центральной
его части возникает конечная область, где аг = а0. Этот случай рассмотрел
О. В. Соснин A960). Численное интегрирование показало, что радиус этой
центральной области существенно меняется в процессе ползучести. В дру-
другой работе О. В. Соснина A963) для задачи о вращающемся диске был
развит иной метод решения, а именно было получено дифференциальное
уравнение для радиального перемещения, решение которого строилось
в рядах.
Задача о вращающемся цилиндре была рассмотрена И. Н. Даниловой
{1959) применительно к расчету напряжений в пусковом периоде для
ротора газовой турбины.
4.4. Вариационные принципы в теории упрочнения. Вариационное
уравнение D.1) не предполагает какой-либо специальной гипотезы
о характере зависимости потенциала от структурных параметров, оно
сохраняет силу и в том случае, если Ф зависит не от времени, а от пара-
параметра упрочнения р. Этот факт был замечен С. А. Шестериковым A957),
который сформулировал соответствующий вариационный принцип для
теории упрочнения и применил его для решения релаксационных задач.
Полагая приближенно
из D.1) можно получить функциональное уравнение для р (?), которое
для некоторых частных предположений о законе ползучести может быть
решено. С. А. Шестериков получил более общее решение этого уравнения
для степенного закона ползучести со степенным упрочнением и проиллю-
проиллюстрировал его применение на задаче о релаксации напряжений в диске
с отверстием A960).
В последнее время для задач ползучести получили распространение
более гибкие вариационные принципы, в которых независимому варьиро-
варьированию подтвергаются не только напряжения или скорости деформации,
но также скорости изменения напряжений или какие-либо другие пара-
параметры. Так, например, вариационный принцип типа Рейсснера для пол-
ползучести может быть сформулирован следующим образом. Рассмотрим
функционал
/= j [ оиеи-Ф(ои)- mftij) -*>,] dv- j Oijvjiui-af)d2- j T*utdL.
D.8)
Предполагается, что etj = 1/2 (ut, j — uit j), ai7-, uj варьируются неза-
•
висимо, тогда как a^-, а также структурные параметры, которые могут
входить в состав потенциала Ф, не варьируются. На части поверхности
2U заданы скорости ut = и*, на части поверхности 2Г заданы усилия Т*.
Из условия обращения в нуль вариации функционала D.8) следуют урав-
уравнения равновесия, граничные условия и уравнения ползучести.

142 id. н. работнов
Применение вариационного уравнения D.8) встречает определенные
технические трудности. Часть этих трудностей связана, например, с тем,
что, задаваясь распределением напряжений в виде функций от координат,
содержащих свободные параметры, при вычислении интеграла по объему
от потенциала Ф мы не можем представить результата в виде явной функ-
функции этих параметров. Чтобы обойти эту трудность, И. Г. Терегулов A9ХХ)
предложил видоизменение вариационного принципа. Предположим, что
Ф = Ф (qt, 5), где qt — любые структурные параметры, s — однородная
функция первой степени от оц, упругость предполагается линейной с тен-
тензором податливостей Bijrs. Положим дФ/ds = v (qti s) и рассмотрим сле-
следующий функционал:
==\ [<JP--J v(qi,
v ' О
— j Oijvj (щ - ut) dZ - j ТХщ dL. D.9)
2 2
Здесь, кроме atj и ut, независимыми функциональными аргументами
являются также ср и z. Варьируя ф, находим z — s; варьируя z, находим
Ф = и (qh z); уравнения равновесия, граничные условия и уравнения
ползучести получаются отсюда обычным способом.
Преимущество функционала {4.9) состоит в том, что как эквивалентное
напряжение s = z, так и функция v (qt, s) = ф не выражаются через
напряжения, а задаются независимо.
4.5. Степенной закон ползучести со степенным упрочнением. Удобной
аналитической формой закона ползучести с упрочнением является сле-
следующая:
Здесь все величины приведены к безразмерному виду, так что размерные
константы в уравнении не фигурируют. Мера упрочнения может быть
выбрана различными способами, а именно:
а) q =
б) g=j
При постоянных нагрузках, действующих на тело в предельном слу-
случае, когда упругая деформация пренебрежимо мала, уравнения D.10)
обращаются в уравнения установившейся ползучести с измененным масшта-
масштабом времени т = fci/U+a). Соответствующее состояние может быть названо
состоянием квазиустановившейся ползучести (Ю. Н. Работнов, 1966).
Ю. Н. Работновым A966) предложен следующий метод приближенного
решения задач о перераспределении реакций связей в статически неопре-
неопределимых системах и об обыскании перемещений некоторых точек. Пусть
на тело действуют обобщенные силы Qu которым соответствуют обобщен-
обобщенные перемещения qt. Примем рг = qt — $ijQj, ГД^ Ргу — матрица упругих
коэффициентов влияния. Решение задачи квазиустановившейся ползуче-
ползучести имеет вид

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 143
где Q — однородная функция первой степени от сил Qt. Приближенное
решение задачи неустановившейся ползучести получается из следующей
системы уравнений:
Величина Р определяется следующим образом:
а) величины dQldQt связаны тождественным соотношением
Q {dQIdQt) = 1, где Q — однородная функция первой степени, и
б)
р =
Был рассмотрен случай, кбгда на тело действует одна активная посто-
постоянная сила и одна реакция.
Т. Г. Мустафаев A968) развил этот метод применительно к решению
статически неопределимых задач. В окрестности точки минимума функции
Q, которая соответствует предельному состоянию квазиустановившейся
ползучести, эта функция хорошо аппроксимируется квадратичной зави-
зависимостью, что существенно упрощает вычисления. Рассмотрены примеры
балок и рам, релаксация составной трубы, релаксация диска, посаженно-
посаженного на вал.
4.6. Пластины и оболочки. Наиболее важные и интересные задачи
теории ползучести применительно к оболочкам относятся к вопросам
устойчивости и будут рассмотрены отдельно. Приближенный способ для
решения геометрически линейных задач по теории течения предложил
В. И. Розенблюм. Кривые ползучести предполагаются подобными, что
позволяет ввести модифицированное время т (t). Скорости деформации
срединной поверхности и скорости изменения кривизны по отношению
к модифицированному времени определяются следующим образом:
д% dtu \^^ д% ) ' д& дти \ ^ дт
Здесь П — упругий потенциал оболочки, выраженный через усилия
и моменты. Структура уравнений D.12) указывает на то, что для них
эквивалентной вариационной формулировкой является D.1); поэтому для
решения отдельных задач может быть использован приближенный прием,
указанный Л. М. Качановым и состоящий в том, что усилия и моменты
задаются в виде
hi = tlj + Э (t) (t'lj - tij), mu = mij + 9 00 {mlj - mlj). D.13)
Здесь одним штрихом отмечены величины, относящиеся к начальному
упругому состоянию, двумя штрихами — величины, найденные из реше-
решения задачи установившейся ползучести. Аналогичным образом решение
релаксационной задачи ищется в виде
*ц = Р (t) tij, mu = р (t) mij.
Таким способом были решены задачи о релаксации напряжений
в круглой пластине при чистом изгибе, о цилиндрическом изгибе прямо-
прямоугольной плиты, о ползучести свободно опертой круглой пластины под
действием равномерного давления.

144 ю. н. работнов
Ю. Н. Работнов A966) для рассмотрения задач ползучести оболочек
при степенном упрочнении, применил прием, описанный в п. 4.5. Если
принять потенциал квазиустановившейся ползучести в виде Sn+1/(n + 1),
где S — однородная функция первой степени ttj и т^, то, принимая
выражение для S в виде C.10), следует определить меру упрочнения Р
формулой
t
)dt. . D.14)
Здесь 8Оп и кОп — интенсивности скоростей деформации ползучести
и изменения кривизны вследствие ползучести, g — константа, зависящая
от п. При больших значениях показателя п можно ожидать, что для S ока-
окажется подходящей следующая аппроксимация:
S=mo + t2o, D.15)
которая соответствует предельному состоянию стержня, нагруженного
моментом и продольной силой. Выражение D.15) может быть преобразо-
преобразовано в однородное первой степени, и мера упрочнения определяться по
общему правилу.
Для оценки погрешности приближенных методов Г. В. Иванов A966)
рассмотрел простейший случай элемента пластины, к которому приложе-
приложены продольная сила и момент в том же направлении. Расчет производился
на основе вариационного уравнения Д. Л. Сандерса и др., в котором варьи-
варьируются скорости напряжений и перемещений. Для рассматриваемой зада-
задачи достаточно было варьировать скорости напряжений. В качестве эта-
эталонного принималось решение, полученное в результате замены интегралов
по толщине квадратурной формулой Гаусса с 15 узлами; с ним сравни-
сравнивался результат, полученный по методу В. И. Розенблюма при линейном
законе распределения напряжений по толщине и при аппроксимации этого
распределения четырьмя членами разложения по полиномам Лежандра.
Последняя аппроксимация дает всегда хороший результат, для других
можно указать области значения параметров, для которых они удовлетво-
удовлетворительны.
§ 5. Устойчивость при ползучести
5.1. Постановка задачи об устойчивости. Применение термина «устой-
«устойчивость» к многочисленным задачам, которые будут рассмотрены ниже,
в известной мере условно. Ползучесть металлов, как правило, не ограни-
ограничена; это значит, что при сколь угодно малой нагрузке деформация может
быть сколь угодно велика по прошествии достаточно большого времени.
Поэтому всякий процесс ползучести неустойчив. Это иллюстрируется
известной схемой Н. Хоффа для определения времени вязкого разруше-
разрушения. Если считать, что степенной закон ползучести справедлив при сколь
угодно больших деформациях, то при постоянной нагрузке деформация
растет со временем по закону
e=~log(l-nop). E.1)
Здесь сг0 — напряжение, отнесенное к начальной площади поперечного
сечения. Из выражения E.1) видно, что е ->- оо при t -> ?кр = 1/(шт").
Очевидно также, что если изменять величину а0 сколь угодно мало, можно

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 145
указать такое время t, при котором изменение е будет сколь угодно
большим.
Для некоторых задач ползучести, сформулированных в геометрически
линейной постановке, в отличие от задачи Н. Хоффа, оказывается, что
формальное решение приводит к обращению в бесконечность перемещения
при конечном значении времени. Это время называется критическим.
Очевидно, что определенное таким образом время лишено реального
содержания, оно исчезает, если рассмотреть ту же задачу в строгой гео-
геометрически нелинейной постановке. Однако характер зависимости пере-
перемещения от времени таков, что критическое время оказывается не слишком
завышенной оценкой для времени действительной работоспособности
элемента.
С другой стороны, ползучесть сопровождается упругой и пластической
деформацией. Непрерывный рост перемещений со временем вследствие
ползучести может привести систему в такое состояние, что перемещения
ее мгновенно изменяются на конечную величину. В геометрически нели-
нелинейных системах может произойти упругий хлопок, в пластических эле-
элементах — мгновенное выпучивание вследствие исчерпания упруго-пла-
упруго-пластического сопротивления. При решении задач ползучести момент хлопка
или выпучивания обнаруживается тем, что скорость роста перемещений
обращается в бесконечность при некотором конечном значении перемеще-
перемещений и конечном времени, которое принимается теперь за критическое.
Как известно, для начально искривленного стержня из упруго-пласти-
упруго-пластического материала величина критической сжимающей силы зависит от
начального прогиба. Наоборот, если сила задана, то можно указать
начальный прогиб, для которого эта сила будет критической. Увеличение
прогиба вследствие ползучести можно считать эквивалентным увеличению
начального прогиба упруго-пластического стержня; таким образом, при
любой величине сжимающей силы в некоторый момент достигается крити-
критическое состояние. Однако ползучесть вызывает перераспределение напря-
напряжений; поэтому, как показал С. А. Шестериков A963), приведенная про-
простая схема пригодна лишь для однопараметрической системы. Исследова-
Исследование выпучивания стержней при наличии пластических деформаций числен-
численным методом дано в работе В. И. Ванько и С. А. Шестерикова A967).
5.2. Устойчивость линейных вязко-упругих систем. В работе
А. Р. Ржаницына A946) был рассмотрен вопрос об устойчивости сжатого
стержня из вязко-упругого материала, поведение которого описывается
моделью стандартного вязко-упругого тела:
а +Ха = Е (е + \ie). E.2)
В отличие от металлов, ползучесть тела, описываемого уравнением E.2),
ограничена: при t = 0 о = Ее; при t = оо а = (\х/Х) Ее (|х < Я). Резуль-
Результаты исследования сводятся к следующему. Стержень устойчив, если сжи-
сжимающая сила меньше критической эйлеровой, определенной по длительному
модулю \\,Е/Х. Если сила больше длительной критической, но меньше мгно-
мгновенной критической, стержень неустойчив в том смысле, что любое возму-
возмущение приводит к неограниченному росту прогиба со временем. Если сила
больше мгновенной критической, возмущение вызывает мгновенную поте-
потерю устойчивости.
Это анализ приведен здесь для того, чтобы подчеркнуть разницу
между ползучестью металлов и тел, поведение которых описывается реоло-
реологическими моделями с ограниченной ползучестью.
10 Механика в СССР, т. 3

146 Ю. Н. РАБОТНОВ
5.3. Малые отклонения от основного состояния. При рассмотрении
геометрически линейных задач о стержнях, пластинах и оболочках есте-
естественно рассматривать безмоментное напряженное состояние как основное
и линеаризировать уравнения ползучести около основного состояния.
Рассматривая задачу о сжатом стержне из материала, следующего закону
ползучести с упрочнением, Ю. Н. Работнов и С. А. Шестериков A956)
установили, что вариации напряжений и деформаций связаны уравнением
типа E.2), в котором константы заменяются известными функциями вре-
времени. Прогиб представляет Ьобою функцию координаты, умноженную
на функцию времени т (t). Если стержень был первоначально прямой
и в некоторый момент времени t ему сообщено возмущение, например
приложена поперечная нагрузка, то можно указать такое критическое
время ?кр, что если возмущение произведено в момент t < tKP, то т < О,
если же t > ?Кр> то т > 0. Время ?кр было предложено принимать за
критическое, в некотором условном смысле. В действительности система
неустойчива по отношению к нагрузке, приложенной в любой момент,
функция т (t) сначала убывает, достигает минимума и после этого растет
неограниченно. Условное критическое время в указанном смысле характе-
характеризует относительную быстроту роста прогиба после приложения возму-
возмущения. Л. М. Куршин A961, 1963) предложил характеризовать эту отно-
относительную быстроту знаком второй производной; таким образом, за
критическое время по Куршину принимается такое время, когда внезапное
возмущение вызывает движение с начальным нулевым ускорением (т = 0).
В случае постоянно действующего возмущения, например при нали-
наличии начального эксцентриситета приложения нагрузки, т > 0, однако
ускорение меняет знак, вначале оно отрицательно, потом становится
положительным. С. А. Шестериков A959) предложил принять за критиче-
критическое время, когда становится т = 0 при постоянно действующем возму-
возмущении.
Линеаризованные уравнения ползучести для пластин были одновре-
одновременно и независимо получены С. А. Шестериковым A961) и Л. М. Курши-
ным A961); ряд задач, относящихся к устойчивости пластин и оболочек,
на основе линеаризованной теории рассмотрели С. А. Шестериков,
Л. М. Куршин, А. П. Кузнецов A964), И. Г. Терегулов A9ХХ) и другие
авторы. При этом использовались те же критерии, которые указаны выше
применительно к стержням. Г. В. Иванов A961) обратил внимание на то,
что при обобщении критерия устойчивости на случай неупругих систем
существенную роль играет способ перехода из основного состояния
в дополнительное, и дал обобщение классического критерия: за критиче-
критическое значение параметра нагружения принимается то наименьшее значе-
значение, при котором возможно нетривиальное состояние равновесия при
условии, что переход из основного состояния в нетривиальное равновесное
состояние осуществляется при выполнении некоторых ограничивающих
условий, налагаемых на дополнительные деформации. В задачах ползуче
сти роль параметра нагружения играет время.
5.4. Вариационные методы для задач выпучивания. Рассмотрение
задач устойчивости с помощью вариационных методов потребовало рас-
распространения этих методов на геометрически нелинейную теорию. Если
принцип Лагранжа допускает естественное распространение на нелиней-
нелинейный случай, принцип Кастильяно в его обычной форме уже перестает
быть применимым, поскольку уравнения равновесия содержат перемеще-

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 147
ния. Поэтому для указанных задач получили развитие более общие вариа-
вариационные принципы, допускающие независимое варьирование как вели-
величин, характеризующих напряженное состояние, так и величин, связан-
связанных с деформацией. В. И. Розенблюм A954) получил приближенное реше-
решение задачи о выпучивании сжатого первоначально искривленного стержня
из условия стационарности функционала
Здесь объемный интеграл имеет тот же смысл, что ив D.1), Р — сжимаю-
сжимающая сила, и — прогиб, z — координата вдоль оси стержня. Напряжение or
и перемещение и варьируются независимо.
Известный вариационный принцип Рейсснера, сформулированный
для теории упругости, находит естественное распространение и примени-
применительно к задачам неустановившейся ползучести. В частности, вариацион-
вариационное уравнение типа D.8) может быть получено и для того случая, когда
имеется продольное усилие; таким образом, его можно использовать для
рассмотрения задач выпучивания.
Для реализации численного счета оказывается удобным вариационное
уравнение Д. Л. Сандерса, Г. Д. Маккомба и Ф. Р. Шлехте (NACA Techn.
Note, 1957, № 4003). Соответствующий функционал имеет вид
J===) \°ijeij ~ У °iJubt iuk, j — ~2 (е^ + ZPij) a* j] dv ~
v
— j ft(Ui-ut)d2~ j TfiiidZ. E.4)
Здесь
1
( + + uh, j+ Uk, jUk, i),
efj — скорость мгновенной пластической деформации, которая выражает-
выражается через otj либо по закону Гука, либо уравнениями теории пластичности
типа течения, ptj — скорости ползучести, зависящие от ог^'и любых струк-
• •
турных параметров; варьируются о^ и ut. Если oj7- и иг заданы в виде
линейных агрегатов из надлежащим образом выбранных функций, условие
стационарности функционала E.4) приводит к системе обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений, линейных относительно произ-
производных.
Г. В. Иванов A963) построил для геометрически нелинейных задач
вариационное уравнение, в котором независимо варьируются напряже-
напряжения и смещения, при этом сравниваются такие состояния, для которых
выполнены как уравнения равновесия, так и уравнения, получающиеся
из них в результате дифференцирования.
Вариационное уравнение D.9), предложенное И. Г. Терегуловым,
сохраняет силу и в том случае, когда повороты не малы и компоненты
малой деформации выражаются через перемещения нелинейными форму-
формулами. Для установившейся ползучести И. Г. Терегуловым A962, 1966)
было построено также другое вариационное уравнение. Соответствующий
10*

148 ю. н. работнов
функционал имеет вид
н.
1* * * * 1 * *1
J — (м*. i + UJ> i + UU kUj, h + Щ, kUj, k)j+ FiUt | du +
+ J or//v^ (m, — ut) dl> — j rfi, dS. E.5)
Здесь независимо варьируются напряжения а^, скорости деформации е^-,
скорости перемещений мг, а также функции г|э и \ЙГ.
5.5. Устойчивость оболочек. Для достаточно толстых оболочек воз-
возможна такая же постановка задачи устойчивости, как и для стержней.
Если решать задачу о росте прогиба со временем в геометрически линейной
постановке, то оказывается, что прогиб обращается в бесконечность при
конечном значении времени, которое принимается за критическое. Таким
способом Ю. М. Волчков A965) рассмотрел выпучивание сжатой цилиндри-
цилиндрической оболочки конечной длины, опертой по краям, и полубесконечной
оболочки с опертым торцом. Ю. М. Волчков и Ю. В. Немировский A966)
распространили метод на оболочки, подкрепленные стрингерами и шпан-
шпангоутами. Особенность этих задач состоит в том, что вследствие условий
закрепления в оболочке нет начального безмоментного состояния и при
анализе нет необходимости вводить начальный прогиб.
Для тонких оболочек положение оказывается иным. Ползучесть
приводит к увеличению прогибов и перераспределению напряжений
в оболочке, так что в определенный момент времени оболочка оказывается
неустойчивой по отношению к мгновенным возмущениям, следующим
закону упругости; таким образом, происходит упругая потеря устойчиво-
устойчивости типа хлопка. В работе А. С. Вольмира и П. Г. Зыкина A962) дается
приближенное решение задачи об устойчивости сжатой цилиндрической
панели. Предполагается, что форма поверхности прогиба сохраняется,
но прогиб в результате ползучести растет. Изменение прогиба вследствие
ползучести считается эквивалентным изменению начального прогиба.
С другой стороны, для каждого значения сжимающей силы существует
такой начальный прогиб, для которого эта сила является критической;
время достижения величины этого эквивалентного начального прогиба
принимается за критическое время.
В действительности ползучесть приводит к изменению формы прогиба
и перераспределению напряжений, поэтому для определения критического
времени необходимо решать задачу о ползучести, сопровождаемой упру-
упругой деформацией. В одномерных задачах применение тех или иных вариа-
вариационных уравнений приводит к относительно простым приближенным
решениям. В. Н. Шепеленко A965) рассмотрел устойчивость арки с защем-
защемленными концами на основе вариационного уравнения E.4), И. Г. Тере-
гулов применил вариационные уравнения D.9) и E.5) к цилиндрической
панели бесконечной длины и к сферическому сегменту.
Среди двумерных задач наибольшее внимание было сосредоточено
на цилиндрической панели и цилиндрической оболочке. Здесь следует
назвать работы Г. В. Иванова A966), Л. М. Куршина A964), Л. М. Кур-
шина и А. П. Кузнецова A9ХХ), Э. И. Григолюка и Ю. В. Липовцева

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 149
A965, 1966). Использовались разные теории ползучести, и при вычисле-
вычислениях, как правило, требующих реализации на ЭВЦМ, принимались те
или иные упрощающие предположения. Так, в работах Л. М. Куршина,
а также Э. И. Григолюка и Ю. В. Липовцева использовались урав-
уравнения ползучести, линеаризованные около основного безмоментного со-
состояния.
5.6. Разрушение при ползучести. В. И. Розенблюм A957) получил
решение задачи об определении времени до разрушения диска постоянной
толщины с отверстием. В основу положены уравнения установившейся пол-
ползучести, распространенные на случай конечных деформаций, таким обра-
образом, рассмотрена схема вязкого разрушения. Л. М. Качанов A960) рас-
рассмотрел на основе своей теории некоторые задачи о времени разрушения
стержневых систем, сформулировал общую постановку задачи о движении
фронта разрушения и определил время разрушения скручиваемого вала.
Ю. Н. Работнов A963) решил задачу о разрушении диска с отверстием
по схеме хрупкого разрушения. При этом учитывалось влияние накопле-
накопления поврежденности на скорость ползучести и, следовательно, на распре-
распределение напряжений. Позже Ю. Н. Работнов A968) рассмотрел вопрос
о влиянии концентрации напряжений на длительную прочность. При этом
считалось, что распределение напряжений мало отличается от распределе-
распределения напряжений в жестко-пластическом теле, но переменная величина
степени поврежденности со фигурирует в условии пластичности, которое
становится подобным условию равновесия неоднородной сыпучей среды.
§ 6. Линейная вязкоупругость
6.1. Реологические модели и дифференциальные соотношения. В ран-
ранних работах по вязкоупругости за основу принимались дифференциальные
соотношения типа B.23), откуда, в частности, получаются известные моде-
модели Максвелла и Фойхта. А. Н. Герасимов A938) дал обобщение уравнений
Максвелла на трехмерный случай и получил уравнение типа B.25) с экспо-
экспоненциальным ядром. В другой работе А. Н. Герасимова A939) рассмотрен
вопрос о малых колебаниях вязко-упругих мембран. А. Ю. Ишлинский
A940) рассматривал модель, которая получила название модели стан-
стандартного вязко-упругого тела, для которого связь между напряжениями
и деформациями дается уравнением E.2). Были рассмотрены продольные
колебания стержня. В других работах А. Ю. Ишлинского к модели E.2)
добавлялись элементы сухого трения, изучались статистические модели,
сконструированные из большого числа вязко-упругих элементов с некото-
некоторым распределением параметров. В. 1945 г. А. Ю. Ишлинский предложил
обобщение уравнения E.2) на пространственный случай.
А. Р. Ржаницын A946) применял модель стандартного вязко-упругого
тела к решению многочисленных задач: движение груза по вязко-упругой
балке, вязко-упругая балка, лежащая на вязко-упругом основании, устой-
устойчивость вязко-упругого стержня и др.
А. Ю. Ишлинский A946) рассмотрел вопрос о разрушении вязко-упру-
вязко-упругих материалов. Существенное обобщение дифференциальных законов
вязкоупругости принадежит А. Н. Герасимову A948), который предложил
использовать для описания вязко-упругих свойств вместо обычных произ-
производных производные дробного порядка в смысле Лиувилля. Обращение
подобных соотношений приводит к интегральным уравнениям со слабо-
сингулярным ядром Абеля. Эта идея сыграла большую роль в дальнейшем
развитии теории.

150 ю. н. работнов
6,2. Ядра ползучести и релаксации. Для приложений теории вязко-
упругости существенное значение имеет выбор ядер, достаточно хорошо
воспроизводящих свойства реальных материалов. Л. Больцман считал, что
ядро ползучести обладает сильной особенностью типа {t — т), что при-
приводит к противоречию. По-видимому, Г. Дуффинг впервые применил ядра
со слабой особенностью, а именно (t — %)а (—1 < а ^ 0). В исследова-
исследованиях советских авторов было уделено большое внимание выбору и исследо-
исследованию специальных слабосингулярных ядер, описывающих чрезвычайно
быстрое нарастание деформации ползучести вначале и асимптотическое
стремление ее к некоторому предельному значению. Г. Л. Слонимский
A939) и А. П. Бронский A941) предложили ядро следующего вида:
х (t) = ja-i ехр (—f«) @ < a < 1). F.1)
С помощью ядра F.1) А. П. Бронский описывал процессы последействия
в резине. Резольвенту ядра типа F.1.) найти не удалось, но А. П. Бронский
показал, что приближенно в качестве резольвенты можно принимать
функцию того же вида. А. Р. Ржаницын A946) сформулировал условие
ограниченности ядра и предложил новое сингулярное ядро, более простое
по сравнению с F.1) и обладающее сходными свойствами;
к (t) = t*-1 ехр (— р*). F.2)
Ю. Н. Работнов A948) построил класс функций, являющихся резоль-
резольвентами ядра Абеля (t — т)~~а:
п=1
Эти функции были названы дробно-экспоненциальными. Если принять
5-функцию за ядро ползучести и релаксации, то, как оказывается, сущест-
существенные особенности ядер F.1) и F.2) сохраняются. Однако операторы
с ядрами, сконструированными из 3-функций, обладают некоторой спе-
специальной алгеброй, резольвенты их образованы из функций того же класса
с параметрами, вычисляемыми по простым правилам. Свойства *9-опера-
торов изучались в работах М. И. Розовского, И. И. Круша, Н. Н. Долини-
Долининой, Е. С. Синайского; был установлен ряд теорем о произведениях этих
операторов, о нахождении обратных операторов и т. д. М. И, Розовский
A959) установил связь 5-функций с функциями Миттаг-Леффлера. Асимп-
Асимптотика ,9-функций изучалась Б. Д. Анниным A961). Г. И. Брызгалиным
A963), Е. С. Синайским A965). С. 3. Вульфсон A961) установила, что
резольвента ядра Ржаницына имеет вид
ехр (-р*) Эа (yt). F.4)
В. Г. Громов A967) показал, что для операторов с ядрами F.4) спра-
справедлива та же алгебра, что и для 5-операторов. Тогда же он обобщил основ-
основные результаты алгебры экспоненциальных операторов на любые резоль-
резольвентные операторы, изучил аналитические функции операторов и общий
метод их расшифровки.
6.3. Определение параметров ядер по данным экспериментов.
М. А. Колтунов A966) предложил метод определения параметров ядра
Ржаницына и его резольвенты путем соответствующего сдвига кривой
ползучести, представленной в логарифмических координатах. Е. Н. Зво-
Звонов, Н. И. Малинин, Л. X. Паперник и Б. М. Цейтлин A966—1968) раз-
разработали метод подбора параметров дробно-экспоненциального ядра с ис-

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 151
пользованием ЭЦВМ. Экспериментальная кривая ползучести подвергается
преобразованию Лапласа, ищется наилучшее приближение для изобра-
изображения 3-функции. Вопросу об определении параметров ядра F.1) посвя-
посвящены работы Г. Л. Слонимского и Л. 3. Роговиной A964), а также
Г. Л. Слонимского с сотрудниками A966).
6.4. Принцип Вольтерра. При решении статических задач вязкоуп-
ругости основную роль играет принцип, сформулированный Вольтерра
и основанный на том, что линейные операции дифференцирования и инте-
интегрирования по координатам и умножения на временной оператор Вольтер-
Вольтерра коммутативны. Поэтому любое решение статической задачи классиче-
классической теории упругости трансформируется в решение соответствующей
задачи линейной вязкоупругости путем замены в окончательном результате
упругих постоянных соответствующими операторами. Если в решении
классической задачи упругие постоянные фигурируют в качестве множи-
множителя, представляющего собою их рациональную комбинацию, расшифров-
расшифровка рациональной функции операторов сводится к последовательному
решению интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Для экспо-
экспоненциальных и дробно-экспоненциальных операторов эти вычисления
производятся по стандартным правилам. Более сложное положение воз-
возникает тогда, когда в решении задачи теории упругости упругие констан-
константы не образуют рациональных комбинаций, а также если тип граничных
условий в разных точках поверхности тела меняется.
Методы, основанные на прямом применении принципа Вольтерра
с использованием 3-операторов, развивались М. И. Розовским A962—
1964) для различных задач вязкоупругости. Применительно к армирован-
армированным и неармированным полимерам следует отметить работы Г. Н. Савина
и Г. А. Ван Фо Фы A965), Г. А. Ван Фо Фы A965—1967), Г. И. Брызга-
лина A965), Ф. Я. Булавса и А. М. Скудры A964, 1965). В ряде работ
аппарат линейной теории вязкоупругости был применен к механике гор-
горных пород. В этой области следует указать исследования Ж. С. Ержанова
A962, 1963), Ш. М. Айталиева A964), В. П. Матвеевой, М. И. Розовского
и В. Т. Глушко A964), М. И. Розовского и Г. И. Булаха A964). Различ-
Различные варианты теории вязкоупругости для анизотропных материалов рас-
рассмотрены М. А. Колтуновым A964), В. В. Болотиным A966), А. А. Гер-
мелис и В. А. Латишенко A967).
Принцип Вольтерра оказался применимым и для некоторых контакт-
контактных задач вязкоупругости, а именно для таких задач, в которых область
контакта монотонно увеличивается. Такого рода контактные задачи рас-
рассматривали А. Б. Ефимов A966), Я. Я. Рушицкий A967), М. И. Розовский
и Н. Н. Долинина A968). Для тех задач, при которых вязко-упругие опе-
операторы не образуют рациональных комбинаций, М. И. Розовский A956)
предложил полу символический метод, который сводит задачу вязкоупру-
вязкоупругости к решению некоторого интегро-дифференциального уравнения. Зада-
Задача о движущемся штампе была рассмотрена Р. Я. Ивановой A964), а также
Л. А. Галиным и А. А. Шматковой A968).
6.5. Применение трансформации Лапласа. Применяя преобразование
Лапласа к системе уравнений и граничных условий задачи вязкоупругости,
для изображений получают уравнения классической теории упругости;
после решения этой задачи уже в окончательном результате переходят
от изображений к оригиналам. Ограничения, отмеченные выше в связи
с применением принципа Вольтерра, сохраняют силу и в этом случае.
Основная трудность состоит в фактическом выполнении обращения Мел-
лина. Указанный метод применялся в работах В. Б. Зеленского A963),

152 Ю. Н. РАБОТНОВ
М. А. Колтунова A964), Я. Г. Скоморовского A964), Е. С. Синайского
A964, 1965), В. Н. Кукуджанова A963), Т. Я. Бариновой A965), А. П. Хо-
рошуна A964). А. А. Ильюшин A968) развил приближенный метод реше-
решения задач вязкоупругости, основанный на специальной аппроксимации
зависимости решения задачи теории упругости от коэффициента Пуассона.
При этом решение задачи вязкоупругости оказывается зависящим только
от двух функций, которые могут определяться независимо из экспери-
эксперимента. В том же направлении построены работы Д. Л. Быкова A968), а так-
также В. С. Екельчика и В. Н. Ривкинда A968). Последние авторы рассматри-
рассматривали вязко-упругое поведение анизотропных пластин и оболочек.
6.6. Динамические задачи вязкоупругости. В. Г. Гоголадзе A938)
рассмотрел некоторые волновые задачи теории вязкоупругости, имея
в виду приложения к сейсмологии. Были изучены плоские волны расшире-
расширения и сдвига, а также волны Рейли. Распространение принципа Вольтерра
на свободные и вынужденные колебания было осуществлено в рабо-
работах М. И. Розовского A963), а также в ряде работ М. И. Розовского
и И. И. Круша. Основной факт, положенный в основу теории,— это уста-
установленное М. И. Розовским свойство коммутативности:
ф@) = Ф'@)=...=Ф<т-1>@). F.5)
Для задач о свободных колебаниях М. И. Розовским был построен класс
функций, связанных с дробно-экспоненциальными, подобно тому как
тригонометрические функции связаны с обычными экспоненциальными.
При изучении процессов внутреннего трения в металлах при весьма
малых амплитудах напряжений и деформаций соотношения линейной
вязкоупругости справедливы. До недавнего времени при описании частот-
частотных зависимостей внутреннего трения по преимуществу использовались
реологические модели, приводящие к дифференциальным зависимостям,
а также спектральные представления ядер. В работах Т. Д. Шермергора
и С. И. Мешкова A9ХХ) показано, что слабосингулярные ядра с особен-
особенностью типа Абеля хорошо описывают зависимости, наблюдаемые в экспе-
экспериментах.
6.7. Нелинейная вязкоупругость. Зависимости типа B.29) или B.30)
для нелинейного вязко-упругого поведения материала при одноосном
напряженном состоянии нашли многочисленные приложения и подверга-
подвергались уточнению на основе анализа экспериментальных данных. Н. И. Ма-
линин и А. В. Долгов A964) описали результаты своих опытов соотноше-
соотношением
i
М. А. Колтунов A966—1968) предложил уравнение, учитывающее непо-
непосредственно эффекты скорости деформации и нагружения:
t
<p(e,me)=--y(o,o) + ^K{t-x)y(o,o)dT. F.7)
о
Различные варианты нелинейных теорий рассматривали С. 3. Вульфсон
A963, 1964), А. А. Чижик A964).
Распространение зависимостей рассматриваемого типа на сложное
напряженное состояние осуществлялось разными способами. Ю. Н.Ра-

ТЕОРИЯ ПОЛЗУЧЕСТИ 153
ботнов A948) использовал уравнение деформационной теории пластично-
пластичности, при этом интенсивности напряжений и деформаций считаются свя-
связанными соотношением B.29). И. И. Бугаков A965, 1966) изучал инте-
интегральные зависимости общего вида
t
ей(*) = е^ (t) + j QtJ [t-x, стаР (г), Т (т)] dx. F.8)
О
Здесь ejj — упругая мгновенная деформация, Т (т) — температура.
В работах Г. А. Тетерса A965) и А. К. Малмейстера A965) развивается
теория локальных деформаций с учетом фактора времени, приводящая
к нелинейным интегральным уравнениям. Вариант нелинейно наслед-
наследственной теории применительно к мерзлым грунтам построил С. С. Вялов
A964), эта теория была несколько упрощена в работе Ю. К. Зарецкого
A964).
Распространение общих зависимостей B.28) на сложное напряженное
состояние приводит к соотношениям весьма сложного вида, и фактическая
возможность экспериментального определения последовательных ядер
вызывает сомнение. А. А. Ильюшин и П. М. Огибалов A966) разработали
относительно простой вариант теории для случая слабой нелинейности,
типичной для полимерных материалов. В основу было положено требова-
требование тензорной линейности получающихся соотношений. При удержании
в разложениях третьих степеней соотношения этой теории имеют следую-
следующий вид:
± е'ц = j [tf (t, т) + Ф (t, x)] а'ц (т) dx,
о
* I
Ф (t, х) = f [ K3 (t, x, I, Vi) S (I,
F.9)
0 0
Здесь штрихи обозначают девиаторы соответствующих тензоров. Обраще-
Обращения уравнений F.9) имеют аналогичную структуру. Материал при этом
считается изотропным, но инвариантность свойств не предполагается.
Для стабильных материалов оказывается возможным сделать некоторые
заключения о структуре ядер К и К2. При некоторых дополнительных
предположениях из F.9) получены более простые соотношения с ядрами,
зависящими от одной лишь переменной.
Рассмотрению нелинейных соотношений общего вида, а также иссле-
исследованию специальных частных случаев посвящены работы Б. Е. Победри
A965), Б. Е. Победри и М. М. Солдатова A966—1968), В. В. Москвитина
A967).
6.8. Некоторые приложения теории вязкоупругости. Многочисленные
приложения теории вязкоупругости относятся к стержням, пластинам
и оболочкам, при этом, кроме общих соотношений вязкоупругости, иссле-
исследовались и существенно более простые модели типа модели Фойхта или
Максвелла. Так, в задачах устойчивости при ползучести основной качест-
качественный эффект связан с геометрической нелинейностью, вследствие кото-
которой возникает возможность упругого хлопка; при рассмотрении отдель-
отдельных примеров применение линейных соотношений вязкоупругости вместо
нелинейного закона ползучести существенно упрощает технику, не меняя,

154 Ю. Н. РАБОТНОВ
по существу, качественного результата. С другой стороны, в зависимости
от свойств ядра и характера задачи решение, соответствующее некоторому
начальному возмущению, может стремиться к конечному пределу или
неограниченно возрастать.
Задачи об устойчивости вязко-упругих стержней рассматривали
A. М. Даткаев и И. И. Круш A966), А. М. Локощенко и С. А. Шестериков
A966), И. Е. Прокопович A967). Устойчивость оболочек рассмотрена
в работах В. И. Данилова A966), И. Г. Терегулова A965), П. М. Огибалова
A967), М. А. Колтунова A966, 1967), А. М. ДаткаеваиИ. И. Круша A966),
B. А. Коминара и Н. И. Малинина A966), И. Е. Прокоповича A967).
Устойчивость вязко-упругой арки рассмотрена А. П. Кузнецовым A965)
и В. Н. Шепеленко A965).
Слоистые пластины и оболочки с вязко-упругими слоями изучались
в работах Э. И. Григолюка A961), Э. И. Григолюка и П. П. Чулкова
A964).
Г. Н. Савин и Г. А. Ван Фо Фы A966) и В. Г. Савченко A966) рассма-
рассматривали вопрос о концентрации напряжений в вязко-упругих конструк-
конструктивных элементах.

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ.
ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА
Н. X. АРУТЮНЯН
§ 1. Экспериментальные исследования ползучести бетона 156
1.1. Ползучесть бетона при сжатии и растяжении 157
1.2. Ползучесть бетона при кручении, изгибе и сложном напряженном
состоянии 163
1.3. Влияние анизотропии на ползучесть бетона 164
1.4. Ползучесть бетона при переменных во времени напряжениях и при
повторных и вибрационных нагрузках 164
§ 2. Теории ползучести бетона 169
2.1. Феноменологический подход. Некоторые общие соображения . . . 169
2.2. Реологические модели и их применение к изучению ползучести бетона 170
2.3. Теория упругой наследственности 174
2.4. Теория старения 178
2.5. Наследственная теория старения 180
§ 3. Контактные задачи теории ползучести 193
3.1. Плоская контактная задача теории ползучести 193
3.2. Пространственная контактная задача теория ползучести 199
3.3. Учет ползучести оснований при решении различных контактных задач 201
Большая часть исследований по ползучести стареющих материалов
относится к бетону. Поэтому в настоящем обзоре приводятся наиболее
важные результаты экспериментальных и теоретических работ именно
по ползучести бетона. Отметим, что, как показывают данные эксперимен-
экспериментов, многие результаты, относящиеся к механике ползучести бетона, могут
быть применены и к другим стареющим материалам.
Первые немногочисленные исследования ползучести бетона относятся
к началу XX века, однако они были в то время почти неизвестны практи-
практикам. В последующие десятилетия велись систематические и глубокие
исследования явления ползучести. Эти исследования, а также опыт строи-
строительства показали, что ползучесть бетона оказывает существенное влия-
влияние на эксплуатационные свойства и надежность как бетонных, так и обыч-
обычных и предварительно напряженных железобетонных конструкций.
Поэтому в настоящее время ползучесть бетона привлекает все большее
и большее внимание исследователей и широких кругов инженеров-прак-
инженеров-практиков и учитывается в официальных нормах проектирования.
В § 1 настоящего обзора рассматриваются экспериментальные иссле-
исследования ползучести бетона, в § 2 — теории ползучести бетона и в § 3 —
контактные задачи теории ползучести. Из громадного количества работ,
посвященных изучению явления ползучести бетона, для обзора использо-
использованы лишь те, которые имеют отношение к этим вопросам. Физическая

156 Н. X. АРУТЮНЯН
сторона явления ползучести в обзоре практически не затрагивается, так
как она с достаточной полнотой рассмотрена в других трудах *). Не рас-
рассматриваются также вопросы, связанные с методами расчета бетонных
и железобетонных сооружений с учетом ползучести и усадки бетона,
поскольку этим вопросам посвящен ряд специальных монографий **).
При составлении настоящего обзора использованы различные мате-
материалы, в том числе весьма богатые по содержанию обзоры С. В. Александ-
Александровского A966), А. А. Гвоздева A964, 1966), Н. И. Малинина A966),
И. И. Улицкого и др. A960), из зарубежных — О. Вагнера, Р. Лермита,
Дж. Л. Сакмана, Т. Хансена ***), а также некоторые наиболее важные
новые советские и зарубежные работы. В соответствии с задачами настоя-
настоящего издания основное внимание уделено при этом, естественно, работам,
выполненным в СССР,
§ 1. Экспериментальные исследования ползучести бетона
Впервые на явление ползучести бетона обратил внимание А. Конси-
дер A905 г.) в своих исследованиях деформаций бетона при растяжении
в условиях непродолжительного действия нагрузки. Однако самые ран-
ранние исследования - по ползучести бетона принадлежат, по-видимому,
Дж. Г. Вулсону A905 г.) и В. К. Хатту A907 г.) которые в своих опытах
над железобетонными балками отметили увеличение их прогибов во вре-
времени под нагрузкой и дали четкое определение явления ползучести бетона.
Некоторое время этому свойству бетона не придавалось особого зна-
значения, хотя интерес к нему продолжал постоянно расти. Вскоре началось
систематическое экспериментальное исследование влияния различных
факторов на ползучесть бетона. Одними из первых исследований в этом
направлении были эксперименты Р. Э. Девиса, X. Э. Девиса и В. Г. Глен-
вилла, результаты которых опубликованы в 1928—1931 гг.
В Советском Союзе первые опыты по изучению ползучести бетона были
проведены Ю. А. Нилендером и Я. В. Столяровым и С. И. Дружининым
в 1931—1933 гг. Примерно к этому периоду A935—1939) относятся также
оригинальные по методике экспериментальные исследования М. С. Бори-
шанского, А. Н. Кузнецова и Е. А. Троицкого, проведенные под общим
руководством А. А. Гвоздева. В этих опытах было детально исследовано
влияние длительного загружения на поведение гибких внецентренно
сжатых колонн. Через несколько лет С. Е. Фрайфельд провел серию
интересных экспериментов по исследованию ползучести бетонных цилинд-
цилиндров и железобетонных балок A941).
Отметим также первые опыты по изучению ползучести бетона при
растяжении, поставленные А. В. Саталкиным A941), и опыты А. П. Коров-
*) См., например, О. Я. Берг A961), А. А. Гвоздев A966), К. С. Карапетян
A953), Я. В. Столяров A941), И. И. Улицкий A948), 3. Н. Цилосани A963), А. Е. Шей-
кин A946), а также книги Р. Лермита (Новые идеи в технологии бетона; русский пере-
перевод :М., 1959) и Э. Фрейсине (Переворот в технике бетона; русский перевод* М.— Л.,
1938). Отметим также обзор А. М. Невиля (Proc. Amer. Concrete Inst., 1955, 52:1).
**) С. В. Александровский A966), Н. X. Арутюнян A952), Н. А. Буданов
A949), А. К. Малмейстер A957), Н. Я. Панарин A957), И. Е. Прокопович A963),
Я. В. Столяров A941), И. И. Улицкий и др. A960, 1962), С. Е. Фрайфельд A941).
***) О. Вагнер (Das Kriechen unbewehrten Betons. Berlin, 1958), P. Лермит
(Les deformations du beton. Paris, 1961), Дж. Люблинер и Дж. Л. Сакман (J. Mech. and
Phys. Solids, 1966, 14:1, 27—32), Т. Хансен (Handl. Sven. Forskinginst. cement och
beton, 1961, № 31).

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА
157
кина A940, 1941) по исследованию пластической деформации керамзито-
керамзитового бетона при сжатии и изгибе.
Особенно интенсивное развитие получили исследования по ползуче-
ползучести бетона в Советском Союзе в послевоенный период. Именно в этот
период появился ряд важных работ по теории ползучести бетона, а также
новые экспериментальные исследования по изучению процесса ползучести
как в бетоне, так и в некоторых других стареющих материалах.
1.1. Ползучесть бетона при|сжатии и растяжении. Ползучесть бето-
бетона — явление сложное. Она зависит от взаимодействия ряда технологических
и физико-механических факторов, а также от той среды, в которой нахо-
находится бетон. Существенное влияние на ползучесть бетона оказывают
характер его загружения, возраст к
моменту загружения, продолжитель-
продолжительность действия нагрузки, размеры
образца (т. е. масштабный] фактор),
температура, влажность среды
и ряд технологических факторов,
связанных с самой структурой бе-
бетона.
Экспериментально установлено,
что возраст бетона к моменту загру-
загружения сильно влияет на величину
деформаций ползучести: чем моложе
бетон в момент загружения, тем больше
величина его деформации ползуче-
ползучести за один и тот же промежуток
времени наблюдения. Такой харак
тер влияния возраста бетона на егс
ползучесть вполне закономерен. В та-
такой же зависимости находятся и пре-
предельные деформации ползучести бе-
бетона, загруженного в разном воз
расте.
Это хорошо подтверждается как
старыми опытами Дж. Р. Шенка
A935 г.) для непрерывно высыхаю-
высыхающего бетона, так и опытами С. В. Алек-
Александровского и Э. Я. Багрия A966)
для гидроизолированного бетона,
искусственно защищенного от вы-
высыхания (рис. 1). Одновременно
эти опыты показывают, что после не-
некоторого времени с момента загруже-
загружения наблюдается характерная осо-
особенность в поведении стареющего бе-
300
/00
50 1
т
=====
— '¦*
г
—i —¦
г
—- -
—¦ —
_^—
т
20 40 ВО 80 100
б)
№0
120
80
40
V
\
г
"—-*
- Т
О 25 50 75 100 125
Рис. 1. Влияние возраста бетона на
его ползучесть {а — зависимость полной
удельной деформации от возраста бетона
к моменту наблюдения; б — зависимость
предельной удельной деформации пол-
ползучести от возраста бетона к моменту
нагружения; деформации в (см2/кг) X 10~7,
возраст бетона в сутках).
тона, а именно подобие его кривых ползучести. Это и положено в основу
одной из теорий ползучести бетона, а именно теории старения (см. п. 2.4).
Существенное влияние на ползучесть высыхающих под нагрузкой
бетонных образцов оказывает масштабный фактор. Многочисленные опы-
опыты *) показали, что ползучесть не защищенного от высыхания бетона
*) См., например, С. В. Александровский A961, 1966), В. С. Булгаков A961),
К. С. Карапетян A956, 1964), И. И. Темнов A961), И. И. Улицкий A963), а также
упомянутый выше обзор О. Вагнера.

158
Н. X. АРУТЮНЯН
в естественных условиях как при кратковременном, так и при длительном
действии нагрузки тем больше, чем меньше поперечное сечение образца*
На рис. 2 приведены кривые ползучести бетонных призм разных сечений
при сжатии (К. С. Карапетян, 1956).
Путем обобщения результатов большого количества эксперименталь-
экспериментальных данных К. С.^Карапетян A956) и И. И. Улицкий A962) разработали
методику определения коэффи-
коэффициентов масштабности ползу-
ползучести и усадки бетона, которая
позволяет по лабораторным
опытам на малых образцах
оценить ползучесть и усадку
бетона в образцах с большими
селениями.
Любопытно отметить, что
масштабный фактор, как по-
показали некоторые опыты
(К. С. Карапетян, 1964), почти
не оказывает влияния на пол-
ползучесть бетона при растяже-
растяжении. Однако эти опыты еще не-
недостаточны для того, чтобы
сделать окончательный вывод
по этому вопросу. Одновремен-
Одновременно отметим, что на ползучести
хорошо изолированных образ-
сказывается (А. А. Гвоздев, 1966).
эксперименты Р. Э. Девиса и
?00 РАО 280
Рис. 2. Зависимость ползучести бетонных призм
от длительности загружения A — призмы сече-
сечением 1 XI см, 2 — 10 X 10 см, 3 — 15 X 15 см,
4 — 20 X 20 см\ ползучесть в мм/м, время в
сутках).
цов влияние их размеров почти не
Относящиеся к тридцатым годам
X. Э. Девиса, Р. Дютрона, а позже и ряда других исследователей, среди
которых отметим К. С. Карапетяна A965) и И. И. Улицкого A963), выя-
выявили существенное влияние влажности среды на ползучесть непрерывно
высыхающего бетона как до, так и после его загружения. Результаты
этих опытов указывают на то, что по мере высыхания бетона его ползу-
ползучесть увеличивается.
В то же время в некоторых опытах (А. 3. Басевич, 1949; К. А. Маль-
Мальцов, 1945; К. М. Милейковская, 1962; Н. А. Мощанский, 1948) наблюда-
наблюдалось, что интенсивное увлажнение и особенно погружение в воду приводит
к ускорению ползучести бетона, однако с течением времени это явление
сглаживается даже для достаточно старого бетона (В. В. Блинков, 1958;
Н. А. Мощанский, 1948).
Для прямого исследования влияния влажности на ползучесть бетона
при одновременном его старении С. В. Александровским A961) по ори-
оригинальной методике были проведены специальные опыты, в которых,
помимо ползучести, изучалась также и релаксация напряжений в бетоне.
Эти опыты проводились таким образом, что исследуемый бетон, загружен-
загруженный последовательно в разных возрастах, имел различную, но остающуюся
уже неизменной с момента загрузки влажность.
Из этих экспериментов следует, что ползучесть и релаксация бетона
в естественных условиях повышаются при его высыхании, перекрывая
даже с некоторого момента обратное по своему характеру влияние старе-
старения бетона.
Таким образом, степень влажности бетона оказывает прямое и суще-
существенное влияние на его ползучесть и релаксацию, и учет влияния различ-

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 159
ной, в частности переменной, влажности на ползучесть бетона представля-
представляет непосредственный интерес для большей части инженерных сооружений,
находящихся в подобных условиях.
Выполненные иностранными исследователями опыты *) показали
также, что циклические изменения влажности увеличивают деформации
ползучести бетона.
По-видимому, между влиянием масштабного фактора и влиянием
влажности бетона на его ползучесть имеется тесная связь. В самом деле,
так как малые образцы высыхают быстрее больших, то влажность бетона
в них через определенный промежуток времени становится меньше, чем
в больших образцах, и поэтому ползучесть малых образцов под нагрузкой
выше, чем ползучесть больших образцов.
Из немногочисленных опытов по изучению влияния температуры
на ползучесть бетона следует, что с повышением температуры деформации
ползучести, особенно влажного бетона, увеличиваются, а с понижением
температуры уменьшаются (С. В. Александровский и О. М. Попкова,
1965; А. А. Гвоздев, 1966; см. также упомянутые выше обзоры Р. Лермита
и Т. Хансена).
Большую ползучесть обнаруживают при высоких температурах жаро-1
упорные бетоны (А. Ф. Милованов, 1963; В. А. Харламов, 1959).
Зависимость ползучести молодого бетона от температурных условий
изучалась в работе П. И. Васильева и др. A966). Из выполненных опытов
следует, что в очень раннем возрасте повышение температуры может сни-
снижать ползучесть, но позже, в зрелом возрасте, в согласии с другими опы-
опытами, может ее увеличивать. На это обстоятельство для старого бетона
ранее обратил внимание Т. Хансен.
Экспериментами С. В. Александровского и О. М. Попковой установ-
установлено, что в горячей воде (температура до 60°) значительно снижаются проч-
прочность на растяжение и модуль упругости бетона и одновременно сильно
возрастает его ползучесть.
Влияние температурных условий на рост модуля мгновенных дефор-
деформаций довольно подробно изучалось П. И. Васильевым и Ю. И. Кононовым
A964).
Многочисленные эксперименты показывают, что с ростом напряжения
ползучесть бетона возрастает. Как именно развиваются деформации пол-
ползучести бетона во времени при различных уровнях напряжения и какая
зависимость существует между ними, с достаточной полнотой было иссле-
исследовано в систематических опытах **).
На основании этих экспериментов можно считать, что при действии
постоянной нагрузки деформации ползучести бетона до образования
в нем необратимых микротрещин практически пропорциональны напря-
напряжениям, а коэффициент поперечного расширения имеет примерно ту
же величину, что и при кратковременном нагружении (Р. Лермит,
цит. соч.). Это — область почти линейной ползучести. Деформация пол-
ползучести в этой области, вызванная единичным напряжением, практи-
практически не зависит от величины напряжения и называется мерой пол-
ползучести. Правда, в первый момент после приложения нагрузки наблю-
наблюдается некоторая нелинейность деформаций ползучести и в этой области
(С. В. Александровский, 1966; Н. И. Катин, 1959), вследствие чего
*) См. упомянутые на стр. 156 обзоры Р. Лермита и Т. Хансена.
**) См., например, С. В. Александровский и др. A966), П. И. Васильев A951,
1953, 1958), К. С. Карапетян A952, 1953, 1959), Р. А. Мельник A960, 1961, 1963),
И. И. Улицкий и др. A959—1961), Е. А. Яценко A962).

160
Н. X. АРУТЮНЯН
а) 20
Ф 20
0
40
2

i ¦—
- '—
T
различие в кривых удельных деформаций ползучести (т. е. деформаций,
отнесенных к единице напряжений), возникшее в этот момент времени,
сохраняется и в дальнейшем (рис. 3). Однако степень этой нелинейности
быстро снижается (рис. 4), и поэтому в дальнейшем приращения деформа-
деформаций ползучести зависят от на-
напряжений уже линейно.
Отметим, что граница
образования необратимых
микротрещин, определяющая
верхнюю грань ус лов ной обла-
области линейной ползучести, не
составляет постоянной доли
от временного сопротивления
бетона сжатию R (А. А. Гвоз-
Гвоздев,1966).По данным О.Я.Бер-
О.Я.Берга A961), она лежит примерно
в пределах от 50 до 75% этого
сопротивления и тем выше,чем
прочнее бетон. Несомненно, на
ее положение могут влиять
и другие, пока еще малоизу-
малоизученные факторы.
Экспериментальные ис-
исследования по изучению
деформации ползучести бето-
бетона в широком диапазоне
изменений величины напря-
напряжений (от 0,2 R до 0,9 R) впер-
впервые в Советском Союзе про-
проводились П. И. Васильевым
A951, 1953, 1958). Эти иссле-
исследования имели своей основной
целью по данным опытов на
простую ползучесть (т. е. при
постоянном напряжении)
10
20 30
40
50 ВО
-
=т==
3 т
6) 20
О
10 20 30 40
50 ВО
Рис. 3. Зависимость удельных относительных
деформаций ползучести от возраста бетона к мо-
моменту наблюдения (а — %i = 5 cym, I — а =
= 53,9 кг/см2 = 0,41Япр, 2 — а = 35,8 кг/см2 =
= 0,27i?Ijp, 3 — о = 19,5 кг/см2 = 0,14i?np;
б — Ti = 11 cym, 1 — 0= 88,0 кг/см2 = 0,40#пр,
2 — а = 59,9 кг/см2 = 0,27Япр, 3 — а =
= 29,1 кг/^2=0,13Япр;в — Tj = 29 cym, I — в =
= 127,1 кг/см2 = 0,39i?np; 2 — а= 89,9 кг/см2 =
== 0,27#пр, 3 — а = 44,5 кг/см2 = 0,14i?np;
относительные деформации увеличены на гра-
графике в 107 раз).
установить возможность предсказания деформаций ползучести при произ-
произвольных режимах загружения в области высоких напряжений на основе
теории упругой наследственности (А. К. Малмейстер, 1957; Ю. Н. Ра-
ботнов, 1948; А. Р. Ржаницын, 1949; М. И. Розовский, 1956). Эти исследо-
исследования показали, что упруго-мгновенные деформации бетона остаются
пропорциональными напряжениям вплоть до их значений, почти соответ-
соответствующих пределу прочности бетона при сжатии R, и отклонение от ли-
линейной зависимости между деформациями ползучести и напряжениями
при сжатии, как это было известно и ранее, становится весьма существен-
существенным уже при напряжениях, превышающих 0,5Л.
Следует отметить, что как в упомянутых экспериментах П. И. Ва-
Васильева, так и в предшествовавших опытах иностранных исследователей
не учитывалось влияние возраста бетона, т. е. его старения, на развитие
деформаций ползучести при высоких напряжениях. Заметим также, что
эти опыты проводились при сравнительно кратковременном действии на-
нагрузки. В действительности же полное прекращение деформаций ползучести
бетона не наступает и в очень отдаленные сроки. В самом деле, опыты по
наблюдению роста деформаций ползучести бетона при действии постоянной

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА
161
нагрузки в течение 30 лет (Дж. Трокселл и др., Proc. Amer. Soc. Test.
Mater., 1958, vol. 58) показали, что деформации ползучести непрерывно
растут, хотя и чрезвычайно медленно в последний период (рис. 5).
Экспериментальные исследования ползучести бекона при высоких на-
напряжениях с учетом его старения были выполнены К. С. Карапетяном A953).
Эти опыты, проводившиеся
около двух лет, показали, что
характер самой связи между
напряжениями и деформация-
деформациями ползучести, так же как и
граница области линейной пол -
зучести, существенно зависит
не только от величины напря-
напряжения ,но и от возраста бетона,
в котором он был нагружен.
12
10
Указанное явление, с на-
шейточки зрения, весьма зако-
U*
U2
1,0
т
О
40
80
120
1 г
5 10 20 50 100
Рис. 4. Смягчение во времени
нелинейности деформации пол-
ползучести (время в сутках).
Рис. 5. Относительный рост де-
деформации ползучести со временем
(при относительной влажности
50%, время в годах).
номерно и исходит из самой сущности механизма ползучести бетона. При
напряжениях примерно @,5-f-0,6) R возникает новое качественное состоя-
состояние бетона в связи с развитием в нем необратимых микротрещин. Это состоя-
состояние зависит не только от уровня напряжений, но и от роста прочности,
а следовательно, и от возраста бетона.
Н. И. Катин A959) также исследовал деформации ползучести бетона
при высоких уровнях напряжений. Выяснилось, что при этих условиях
связь между скоростями деформаций ползучести и напряжениями нели-
нелинейна (рис. 6). Однако через небольшой промежуток времени после загру-
жения бетона указанная нелинейность существенно смягчается с ростом
времени действия нагрузки (рис. 4). Это наблюдается не только для ста-
стареющего бетона в связи с повышением его прочности (что ранее было обна-
обнаружено К. С. Карапетяном), но и для бетона, старение которого почти
прекратилось.
Кривые роста деформаций ползучести во времени при разных уров-
уровнях напряжений вследствие этого не подобны, особенно в нелинейной
области.
В экспериментальных исследованиях, проведенных в пятидесятых
годах в США, а позже также Р. А. Мельником A960—1963) и Е. А. Яценко
A962), обстоятельно изучены некоторые вопросы ползучести для высоко-
11 Механика в СССР, т. 3

162
Н. X. АРУТЮНЯН
прочных бетонов в широком диапазоне изменения напряжений и для лег-
легких бетонов типа термозитобетона.
Бетон, обладая свойством ползучести, обнаруживает, естественно,,
и релаксацию, т. е. способность изменять свое напряженное состояние,
когда дальнейший процесс деформирования невозможен. Релаксация
сжимающих напряжений в бетоне исследована довольно полно (С. В. Алек-
Александровский, 1962; 1966; И. И. Улицкиц и др., 1960; А. В. Яшин, 1959;
см. также упомянутые на стр. 156 обзоры О. Вагнера, Р. Лермита
и Т. Хансена).
Если бетонный образец, находящийся под длительным действием
постоянной нагрузки, разгрузить и сразу после возвращения упругих
деформаций зафиксировать
его длину, то упругому после-
последействию будут препятство-
препятствовать наложенные связи, бла-
благодаря чему в образце вос-
восстановится некоторая часть
усилий, под действием кото-
которых он прежде находил-
находился. И. Е. Прокопович и
И. И. Улицкий, изучавшие
это явление, справедливо
назвали его «восстановлением
напряжений».
Деформации последейст-
последействия после снятия высоких
напряжений также нелиней-
нелинейны, особенно в первый
период после разгрузки
IB
и
12
/О
В
-А-Г
-¦—•-
¦+- —•
^ 9-
J» <¦¦'
* •
¦» > ¦
¦O • ¦
-9 1"
-в—Л—
¦'• *l"
9 •—
-• •-
¦Ф -9 •
-9. 9
.9 9-
¦• •
1 •
.« a
« •
О 10 20 30
50 60 70 80 90
Рис. G. Зависимость отношения скорости деформа-
деформации к напряжению 8п/сг от длительности нагруже-
ния Т (X — о = 0,9i?nP, 2 — а = 0,81 ЛПю» 5 — а ='
= 0,70Лпр, 4 — а = б,61Лпр, 5 — а = 0,41йпр;
еп/а в (смУкг) X 10"«, Г в сутках).
(Н. И. Катин, 1959).
Ползучесть бетона при
растяжении менее изучена,
чем при сжатии. Наличие
линейной зависимости между
деформациями ползучести при растяжении, вплоть до напряжений,
близких к предельным @,9 i?p), было подтверждено опытами (П. И. Ва-
Васильев, 1953; К. С. Карапетян, 1953; Н. И. Катин, 1959; А. М. Скудра,
1956; А. Е. Шейкин и В. Л. Николаев, 1959).
При более высоких напряжениях имеют место нелинейные процессы,,
связанные с развитием необратимых микротрещин в бетоне и незатухаю-
незатухающей ползучестью, приводящей к разрушению образца. Ползучесть бетона
при высоких растягивающих напряжениях изучена очень мало, хотя она
имеет очень важное значение для правильной оценки трещиностойкости
железобетонных конструкций и несущей способности некоторых бетонных
сооружений.
Рядом авторов проводились исследования соотношения между вели-
величинами деформаций ползучести бетона при его сжатии и растяжении *),
но результаты ^Ttak исследований были весьма разноречивыми. Причины
этого рассмотрены С. В. Александровским A962). Опыты Н. И. Катин»
*) См., например, В. В. Блинков A958), П. И. Васильев A953), Н. И. Воронков
A956), А. В. Саталкин A954), а также относящиеся к тридцатым годам работы
В. Г. Гленвилла.

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 163
A959), проведенные на гидроизолиройанных от высыхания растворных
образцах из молодого бетона, внесли ясность в этот вопрос и показали, что
при численно равных по величине напряжениях ползучесть бетона при
растяжении на 20—30% выше, чем при сжатии. Объясняется это влиянием
микродефектов структуры бетона, неизбежно возникающих в нем при
растяжении в молодом возрасте. У бетона зрелого возраста в аналогичных
опытах наблюдалась почти одинаковая ползучесть при сжатии и растяже-
растяжении (С. В. Александровский, 1966; А. Е. Шейкин и В. Л. Николаев, 1959).
Можно, видимо, считать, что меры ползучести одного и того же бетона
при сжатии и растяжении практически мало различаются между
собой.
1.2. Ползучесть бетона при кручении, изгибе и сложном напряженном
состоянии. Специальные исследования ползучести бетона при кручении»
проведенные В. В. Блинковым A955), К. С. Карапетяном A962)
и А. М. Скудрой A959), установили, что связь между напряжениями
и деформациями ползучести бетона при кручении и осевом растяжении
линейна почти до его разрушения.
Исследованию ползучести бетона при чистом сдвиге посвящена также
работа К. М. Дака и X. Э. Девиса (Proc. Amer. Soc. Test. Mater., 1944,
vol. 44).
Имеются также некоторые интересные экспериментальные данные
о ползучести бетонных и железобетонных элементов при их изгибе в усло-
условиях длительного загружения как в раннем, так и в позднем возрасте
бетона (И. И. Улицкий и И. А. Русинов, 1956, 1958, 1959; В. Л. Федоров,
1941).
В ряде опытов С. В. Александровского A966) и И. И. Темнова A962)
неизменно наблюдалась большая ползучесть при изгибе бетонных брусьев
по сравнению со сжатыми образцами.
Опыты на ползучесть при изгибе можно осуществить сравнительно
просто на небольших бетонных или железобетонных (армированных)
образцах, однако неоднородное напряжейное состояние, в котором нахо-
находятся эти образцы, испытываемые на изгиб, осложняет явление, особенно
при высоких напряжениях, когда в сжатой зоне элемента ползучесть пере-
перестает быть линейной, а в растянутой зоне уже имеются трещины.
Ползучесть бетона при сложном напряженном состоянии изучена
мало. Кроме немногочисленных данных, которые можно найти в отдельных
работах и обзорных статьях (см. упомянутые выше обзоры О. Вагнера
и Р. Лермита), здесь следует указать на опыты И. Я. Кублинь A960)
и И. Е. Прокоповича A963) над полыми бетонными цилиндрами, находя-
находящимися под действием внутреннего давления и осевого сжатия или растя-
растяжения, а также на экспериментальные исследования Г. А. Гамбарова
A962), в которых наблюдалось, что боковое обжатие цилиндров очень
существенно уменьшает ползучесть в направлении оси цилиндра, вызван-
вызванную продольной сжимающей силой.
В последних опытах (К. С. Карапетян и Р. А. Котикян, 1966, 1967)
изучалась ползучесть бетона при сжатии с кручением в зависимости от воз-
возраста бетона к моменту загружения. Эти опыты подтвердили ранее извест-
известные данные о том, что мера ползучести бетона при свободном кручении
примерно вдвое больше, чем при осевом сжатии. Кроме того, из этих
экспериментов следует, что при данном сложном напряженном состоянии
возраст бетона оказывает существенное влияние на его ползучесть. С уве-
увеличением возраста ползучесть бетона уменьшается, причем почти с такой
же интенсивностью, как и при простом нагружении.

164 Н. X. АРУТЮНЯН
Обработка опытных кривых ползучести бетона при сжатии с кручением
для различных уровней напряжения, не превышающих половины пре-
предела прочности бетона при растяжении Др, показала, что эти кривые с до-
достаточной точностью могут быть описаны линейными уравнениями наслед-
наследственной теории старения бетона (С. В. Александровский, 1966; Н. X. Ару-
тюнян, 1952; Г. Н.-Масдов, 1941).
1.3. Влияние анизотропии на ползучесть бетона. Влияние анизотро-
анизотропии на ползучесть и длительную прочность изучалось как у тяжелых, так
и у легких бетонов. Исследования К. С. Карапетяна A957, 1964), а в даль-
дальнейшем и И. Е. Прокоповича A963) показали, что величина деформации
ползучести зависит от направления усилия относительно слоев укладки
бетона при его изготовлении. Это показывает, что бетон ортотропен отно-
относительно деформации ползучести. Однако степень ортотропности для
тяжелых и легких бетонов различна. Так, ползучесть туфобетона, загру-
загруженного перпендикулярно к слоям его укладки, оказалась примерно
на 63% больше, чем ползучесть этого же туфобетона, загруженного парал-
параллельно слоям (К. С. Карапетян, 1957). Результаты же опытов над тяжелы-
тяжелыми бетонами показали, что влияние анизотропии на их ползучесть и дли-
длительную прочность невелико. Например, в опытах И. Е. Прокоповича
деформации ползучести обычного тяжелого бетона при сжатии перпенди-
перпендикулярно к слоям укладки были всего на 7% больше, чем при сжатии вдоль
этих слоев.
Дальнейшие более систематические исследования в этой области
(К. С. Карапетян, 1964, 1965) позволили выявить, что с увеличением раз-
размера поперечного сечения бетонного элемента, содержания цемента
и влажности среды влияние анизотропии на ползучесть бетона при сжатии
уменьшается. При растяжении влияние анизотропии практически не за-
зависит от размера сечения образца. Интересно отметить, что в области нели-
нелинейной ползучести влияние анизотропии на ползучесть бетона с повыше-
повышением напряжения усиливается.
Таким образом, та предпосылка в современных теориях ползучести,
согласно которой бетон рассматривается как изотропный материал, при-
приемлема только для тяжелых бетонов. Что касается легких бетонов, то для
них основные уравнения теории ползучести должны быть построены с уче-
учетом ортотропности бетона.
1.4. Ползучесть бетона при переменных во времени напряжениях
и при повторных и вибрационных нагрузках. Ползучесть бетона при пере-
переменных напряжениях проявляется своеобразно и имеет характерные осо-
особенности, изучение которых очень важно по ряду причин принципиального
и прикладного значения. Так, например, действующие на сооружение
нагрузки в процессе его возведения и эксплуатации часто изменяются;
время от времени может происходить полная или частичная разгрузка.
Но даже при постоянных нагрузках напряженное состояние упруго-
ползучего тела может изменяться во времени вследствие влияния процесса
ползучести на первоначальное упруго-мгновенное поле напряжений.
С другой стороны, данные о ползучести бетона при переменных напряже-
напряжениях (например, при повышении нагрузки ступенями, при релаксации
напряжений, частичной или полной разгрузке, периодическом загруже-
нии) позволяют судить о степени точности исходных уравнений современ-
современных теорий ползучести бетона и, в частности, весьма важного для этих
теорий принципа наложения воздействий.
В 1954 г. В. В. Блинков опубликовал результаты экспериментальных
исследований ползучести бетона и цементного раствора при постоянных

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА
165
сжимающих и растягивающих напряжениях, а также под действием пов-
повторных загружений однозначной и знакопеременной нагрузкой в течение
1,5—2 и более месяцев. Величина сжимающих напряжений в этих опытах
не превышала @,44-0,5)i?, т. е. находилась в области линейной ползу-
ползучести. Обработка результатов этих опытов показала хорошее совпадение
160
80
а)
о
-80
72
64
48
32
16
О
>
— По 47?
0,7Ж
0,38RT
0,72Rr
OJffln
Р-5
Т
10 20 30
50 60 70 80 90
*р-
1
1
1
1
ь
д
f
1
1
1 !
[
L
[
1
; /
1
_. ¦— -"
т
4 10
го
30
40 50 00
70
80 90
Рис. 7. Зависимость напряжений и полных относительных деформа-
деформаций от возраста бетона к моменту наблюдения при периодических нагруз-
нагрузках (а — напряжения в кг/см2, сжатие указано положительным, растя-
растяжение __ отрицательным; б — полные относительные деформации, увели-
увеличенные в 105 раз; 1 — экспериментальные данные, 2 — расчет по наследст-
наследственной теории старения, возраст бетона указан в сутках).
полученных данных с наследственной теорией старения бетона и, в частно-
частности, с принципом наложения воздействий, хотя и были обнаружены неко-
некоторые расхождения, вызванные необратимыми деформациями, не связан-
связанными с процессом старения бетона. В настоящее время имеется большое
число работ, в которых экспериментально изучена применимость принципа
наложения воздействий к деформациям ползучести.
При ступенчатом повышении напряжений, если их величина не выхо-
выходит из области линейной ползучести, приемлемость принципа наложения
воздействий хорошо подтвердилась при кратковременных испытаниях
для молодого бетона (П. И. Васильев, 1953), а также для бетона, старение
которого практически уже прекратилось (Ли Гуан-цзун, 1960). При знако-
знакопеременных приращениях напряжений погрешности принципа наложения
оказались несколько большими (С. В. Александровский, 1966; А. В. Яшин,
1959).

166
Н. X. АРУТЮНЯН
Наибольший интерес представляют опыты С. В. Александровского,
Э. Я. Багрия, В. Я. Багрия и О. М. Попковой A966) по проверке принципа
наложения при переменных во времени напряжениях, при знакоперемен-
знакопеременных периодических нагрузках, а также при различных уровнях напря-
напряжений. Эти исследования, проведенные при характерных и важных для
приложений режимах загружения, показали, что погрешности принципа
1Z0
80
40
О К-^
0,50
А
А
19 и УЛпп
\
V—
/
У u,t
0,33
\\
Ь'Шр
^ — ~~~
Зтир
^-
/
\
/r0J4Rv
Т
20
30
40
50
32
16
J
/
7
1
1
i
•
К
/
/
\
\
J
\
Т
О
10
20
30
40
50
Рис. 8. Зависимость напряжений и полных относительных деформаций
от возраста бетона к моменту наблюдения при периодических нагрузках
(а — напряжения в кг/см2; б — относительный уровень напряжений;
в — полные относительные деформации, увеличенные в 105 раз; 1 — экс-
экспериментальные данные, 2 — расчет по наследственной теории старения,
возраст бетона указан в сутках).
наложения невелики и что в большей части случаев этот принцип приме-
применим. В частности, в опытах С. В. Александровского и В. Я. Багрия, резуль-
результаты которых приведены на рис. 7 и 8, было получено хорошее совпадение
экспериментальных данных с теоретическими кривыми полных деформа-
деформаций образцов при периодических нагрузках, рассчитанными по наследст-
наследственной теории старения бетона с применением принципа наложения воз-
воздействий. Аналогичный результат был получен и для случая переменных
во времени напряжений при различных режимах нагружения (рис. 9
и 10).
Вместе с тем многочисленные опыты по квазистатическому нагруже-
нию и разгружению бетона в области не очень больших напряжений
(В. В. Блинков, 1958; П. И. Васильев, 1953; Н. И. Катин, 1959;

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА
167
А. В. Яшин, 1959, 1963) показали, что восстановление деформации ползу-
ползучести бетона после его разгрузки (так называемая обратная ползучесть)
иногда на 20—30% меньше, чем деформация ползучести образца-близнеца,
впервые загруженного в том же возрасте теми же напряжениями одина-
одинаковой продолжительности действия (рис. 11). Это явление наблюдалось
и в последующих экспериментах С. В. Александровского и др. A966).
Рядом авторов был предложен метод учета этого явления в современ-
современных теориях ползучести бетона (С. В. Александровский, 1966; П. И. Ва-
Васильев, 1953; А. А. Гвоздев, 1964). Явление обратной ползучести нельзя
считать достаточно изученным. Надежно установлено, что после разгрузки
80
а)
40
/
л
Т
80
40 -г^
О 15 30 45 ВО 75 90 105
л
(
Т
(
Т
30
20
10
О 15 3D 45 ВО 75 90 105
Рис. 9. [Зависимость напряжений и
относительных деформаций ползуче-
ползучести от возраста бетона к моменту на-
наблюдения при переменных во време-
времени нагрузках (а — напряжения в
кг/см2] б — относительные деформа-
деформации ползучести, увеличенные в 105 раз;
1 — экспериментальные данные, 2 —
расчет по наследственной теории
старения, возраст бетона указан в
сутках).
О 15 30 45 60 75 90 105
30
Ф
20
^—
г———
Т
10
О 15 30 45 ВО 75 90 /05
Рис. 10. Зависимость напряжений и
относительных деформаций ползучести
от возраста бетона к моменту наблю-
наблюдения при переменных во времени на-
нагрузках (а — напряжения в кг/см2;
б — относительные деформации ползу-
ползучести, увеличенные в 10б раз; 1 —
экспериментальный данные, 2 — расчет
по наследственной теории старения,
возраст бетона указан в сутках).
в старом бетоне восстанавливается некоторая (причем большая) часть его
деформации, накопленная в первом периоде ползучести. Однако при мед-
медленно изменяющихся напряжениях иногда можно пренебречь эффектом об-
обратной ползучести бетона, правда, с некоторой погрешностью. При цикли-
циклических же изменениях напряжений восстановление деформации ползучести
бетона (т. е. его обратная ползучесть) может оказать существенное влия-
влияние на напряженное и деформированное состояние. Обратная ползучесть
в бетоне экспериментально изучалась Р. Лермитом (Proc. 4th Intern.
Symp. US Bureau Stand., 1964, vol. 2).
В условиях циклического изменения напряжения с большой
частотой возникает в бетоне эффект виброползучести; он состоит в том, что
деформация ползучести бетона при действии циклических напряжений
€ большой частотой может оказаться в 2—4 раза больше, чем обычная
деформация у образцов-близнецов при статическом нагружении их теми
же напряжениями (В. М. Бондаренко, 1966; А. К. Малмейстер, 1957).
При этом деформации виброползучести в бетоне тем выше, чем больше

168
Н. X. АРУТЮНЯН
амплитуда вибрационных пульсирующих напряжений и частота их коле-
колебаний.
По наблюдениям А. К. Малмейстера и К. К. Шкербелиса A957), пол-
ползучесть бетона существенно интенсифицируется, если на постоянно дей-
действующую нагрузку налагается вибрационное напряжение даже с незна-
незначительными амплитудами.
При испытании бетонных образцов на ползучесть в условиях цикличе-
циклического изменения напряжений с частотой порядка 500 в минуту через 24
200
70
часа G20 000 циклов) была
получена та же деформация,
что и у образцов-близнецов за
28 дней при их статическом
нагружении, а 14 суток дей-
действия циклической нагрузки
оказались эквивалентными (в
отношении величины дефор-
деформации ползучести) 600 сут-
суткам воздействия на образ-
образцы-близнецы постоянной наг-
нагрузки той же интенсивности.
Одновременно было замечено,
что образец, находившийся
под постоянной нагрузкой
около 1000 дней, почти не
обнаружил роста деформаций
при последующей пульсации
этого же напряжения в коли-
количестве 3 000 000 циклов (см.
упомянутый выше обзор
Р. Лермита). Следовательно,
бетон, находящийся под дли-
длительным действием постоян-
постоянной нагрузки, практически
не обнаруживает уже свойст-
свойства ползучести при последую-
последующих циклических нагруже-
ниях.
В. М. Бондаренко A966),
сопоставляя полученные им
опытные кривые ползучести
бетона при действии статиче-
статической нагрузки с соответству-
соответствующими кривыми виброползу-
виброползучести, заметил, что ординаты
любой кривой виброползуче-
виброползучести, полученные при стационарном режиме воздействия циклических
напряжений, отличаются от соответствующих ординат обычных кривых
ползучести у образцов-близнецов (при их статическом загружении теми же
напряжениями) постоянным множителем, называемым коэффициентом
виброползучести (рис. 12). На это ранее обратил внимание О. Я. Берг
A950).
Опытные данные о виброползучести, полученные при различных режи-
режимах циклических воздействий В. М. Бондаренко, позволяют утверждать,
2
г*
т
О' ,10 20 30
Рис. 11. Характеристики восстановления де-
деформации ползучести бетона после его раз-
разгрузки по опытам А. В. Яшина (а — дефор-
деформации ползучести при нагрузке г/а в (см2/кг)Х
X 10~7; б — деформации последействия после
разгрузки (в тех же единицах); в — модуль
упругости при загружении призм A) и при
их разгрузке после длительной выдержки под
нагрузкой B); 3, 5, 11, 12, 13, 15 — номера
призм, возраст бетона указан в сутках).

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА
169
что коэффициент виброползучести зависит только от амплитуды цикличе-
циклических напряжений и частоты их колебаний.
В НИИЖБ Госстроя СССР (см. А. А. Гвоздев, 1966) проводились
испытания бетонных призм на центральное сжатие в условиях циклическо-
циклического изменения напряжений, причем отношение минимального напряжения
к максимальному в цикле оста-
оставалось всегда постоянным. Эти
опыты проводились в широком
диапазоне изменения напряже-
напряжений, но при условии, что мак-
максимальное значение напряже-
напряжений не превышало половины
призменной прочности бетона
при сжатии i?np. Оказалось, что
при указанном уровне напря-
напряжений деформация вибропол-
виброползучести бетона зависит от на-
напряжений практически линейно.
Поэтому можно воспользовать-
воспользоваться (аналогично тому, как в слу-
случае статических нагрузок) поня-
понятием меры виброползучести, ко-
которая представляет собой вели-
величину неупругой деформации,
отнесенной к единичному нап-
напряжению, и является функцией
целочисленного аргумента, а
именно числа повторения наг-
нагрузки при заданном отноше-
отношении минимального напряжения к напряжению, максимальному в цикле
при данной частоте вибрации.
Изучение явления виброползучести бетона связана с известными
трудностями. Поэтому в настоящее время мы располагаем лишь неболь-
небольшим числом экспериментов в этой области. Пока еще не ясны причины
и механизм виброползучести бетона. Почти не изучено влияние техноло-
технологических и структурных факторов на протекание процесса виброползуче-
виброползучести. Поэтому экспериментальные и теоретические исследования в этой
области требуют самого интенсивного развития.
420
Рис. 12. Прогибы балочек, нагруженных ста-
статической и динамической нагрузкой A —
со = 30, Н = 18; 2 — со = 30, Н == 16; 3 —
25 Н 16 4 25 Я 14
со
5
7
9
1Л
ос тт
= Z0, ?1
— со = 20,
_ со = 15,
_ со = 10,
1 — СО — О,
= 16:
Я =
Я =
я =
-- 14;
12;
10;
= 8:
t —
6 -
8 -
10
12
со =
— со =
- со =
— со
— со
25,
= 20,
= 15,
= 10,
= 5,
Н = 14;
Я= 12;
Я= Ю;
Н= 8;
Я= 6:
13
со = 0, Я=0).
§ 2. Теории ползучести бетона
2.1. Феноменологический подход. Некоторые общие соображения.
Современные физические теории ползучести позволяют дать качественное
объяснение многим особенностям явления ползучести, наблюдаемого
в стареющих материалах, типичным представителем которых является
бетон. Однако эти теории пока еще очень далеки от возможности количест-
количественного описания ползучести бетона, находящегося в сколько-нибудь
сложных условиях нагружения. Поэтому на данном этапе развития науки
эти теории, позволяя глубже проникнуть в механизм ползучести, тем не ме-
менее не в состоянии помочь механике построить общие уравнения теории
ползучести. Вот почему современные теории ползучести бетона ограничи-
ограничиваются феноменологическим подходом: следуя обычному методу механики

170 Н. X. АРУТЮНЯН
сплошных сред, необходимые для количественного анализа уравнения
строят на основе некоторых достаточно общих предположений в сочетании
с результатами макроэксперимента. Эти уравнения должны давать карти-
картину развития во времени напряженного и деформированного состояний
в упруго-ползучем теле при различных условиях его загружения.
Вывод механических уравнений ползучести для материалов, подвер-
подверженных старению (в частности, для бетона),— задача трудная, так как
процесс ползучести в бетоне протекает не только сложно, но и своеобразно
ж зависит от многих факторов. Если стремиться учесть в механических
уравнениях ползучести все особенности этого явления (как главные,
и второстепенные), то мы не сумеем построить математическую модель
такого упруго-ползучего телл, а следовательно, не сумеем получить и зам-
замкнутую систему механических уравнений теории ползучести.
В настоящее время не существует единой теории ползучести, пригод-
пригодной для всех материалов, и, как справедливо полагает ряд авторов
(Л. М. Качанов, 1960; Ю. Н. Работнов, 1966), такой теории и не может быть,
так как законы ползучести для различных материалов различны вследствие
самой природы тех физических процессов, которые лежат в основе ползу-
ползучести этих материалов.
Поэтому при построении феноменологической теории ползучести для
стареющих материалов (в частности бетона) очень важно, чтобы исходные
уравнения, достаточно правильно отражая основные свойства явлений
ползучести этих материалов в наиболее важных случаях их нагружения,
в то же время в конкретных приложениях приводили к постановке
определенных краевых задач математической физики, допускающих
эффективное решение.
Такой путь построения феноменологической теории ползучести явля-
является вполне естественным и в настоящее время стал традиционным. Доста-
Достаточно вспомнить, что таким же путем развивались и другие разделы меха-
механики сплошной среды, например теория упругости и динамика идеального
газа, в основе которых лежат модели, также учитывающие только важней-
важнейшие особенности рассматриваемых ими объектов.
Для механики и особенно для такой ее обширной части, как механика
сплошной среды, справедливы некогда сказанные Шиллером слова:
«Чтобы схватить преходящее явление, человек должен сковать его узами
закона, прекрасное тело расчленить на понятия и сохранить его живой
дух в скудном словесном остове».
2.2. Реологические модели и их применение к изучению ползучести
бетона. Переходя к рассмотрению теоретических работ в области линейной
ползучести, начнем с исследований, в которых рассматривается одноосное
напряженное состояние.
Для описания явлений ползучести бетона часто пользуются в качестве
эвристического инструмента различного рода реологическими моделями,
составленными из пружин, цилиндров с поршнями и т. п. При этом пола-
полагают, что пружины и вязкие элементы в этих моделях описывают соответ-
соответственно свойства упругости и вязкости реальных материалов. Комбинируя
пружины и вязкие элементы при параллельном, последовательном или
групповом их соединении, можно получить механические модели, отве-
отвечающие тому или иному (простому или сложному) реологическому состоя-
состоянию. Можно получить, например, модель, нелинейно реагирующую на на-
нагрузку, или модель, выключающуюся при разгрузке, или, наконец, модель
с параметрами, изменяющимися во времени (А. М. Фрейденталь
и Р. Ролл, Amer. Concrete, Inst., June 1958; А. А. Гвоздев, 1966).

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 171
Последняя модель, по крайней мере качественно, воспроизводит картину
механического поведения бетона под нагрузкой во времени (Н. X. Арутю-
нян и М. М. Манукян, 1961).
Однако при этом необходимо помнить, что всякая модель такого рода
является, как это справедливо отметил Ю. Н. Работнов A966), лишь ана-
аналогом, отражающим в той или иной степени механическое поведение мате-
материала в зависимости от времени, но не средством объяснения явлений,
происходящих в нем.
Можно показать, что деформационные свойства наиболее простых
реологических моделей описываются линейным дифференциальным урав-
уравнением вида
2^=2^> BЛ)
где а0 = 1, ak и bk — параметры материала, соответствующие элементам
реологической модели и обычно принимаемые постоянными *), а 8 и а —
деформация и напряжение упруго-вязкого материала. Уравнением B.1)
обычно и пользуются при решении прикладных задач, подбирая при этом
значения коэффициентов а& и Ъ^ на основании результатов эксперименталь-
экспериментального изучения физико-механических свойств нестареющего упруго-вязкого
материала.
Если сформулировано реологическое уравнение материала, то можно
не задумываться над тем, какой именно механической модели оно соответ-
соответствует. Тем не менее желательно иметь возможность построить такую
модель, так как наличие ее обеспечивает по крайней мере непротиворе-
непротиворечивость рассматриваемого уравнения.
Следует отметить, что иногда при расчете элементов конструкций
на ползучесть применяют реологическое уравнение B.1), предварительно
заменяя в нем постоянные параметры материала некоторыми функциями
времени с целью учесть таким путем влияние старения бетона на его пол-
ползучесть. Незаконность такой операции очевидна, так как она противоречит
реологической схеме, на основе которой получено исходное уравнение B.1).
Пользуясь уравнением B.1), в ряде случаев удается получить удовлет-
удовлетворительное решение, пригодное, правда, только для описания ограничен-
ограниченного круга явлений в упруго-вязких материалах, не подверженных ста-
старению.
Ф. Леви (Pap. 4e Congr. Fed. intern, precontr. A962), 1963) принял
механическую модель, в которой упругий элемент (заполнитель) и упруго-
вязкий элемент (цементное тесто) соединены параллельно; при этом коэф-
коэффициенты соответствующего реологического уравнения определяются
из свойств и соотношения объемов указанных компонентов бетона. Однако,
как'отмечает сам Леви, такая модель не всегда удовлетворительно отражает
данные экспериментов. Для лучшего согласования с опытными данными
Леви видоизменил реологическую схему так, чтобы параметры материа-
материалов, входящие в соответствующее уравнение, получили новые значения,
более правильно отражающие некоторые особенности составляющих
элементов бетона. Теперь один из этих параметров зависит уже не только
от модуля упругости, но и от характера поверхности заполнителя.
Т. Хансен (цит. соч.) описывает деформационные свойства бетона
простой механической моделью, в которой скорость деформации при
*) Следовательно, уравнение B.1) справедливо для упруго-вязких тел, не под-
подверженных старению.

172 н. х. арутюнян
постоянном напряжении не зависит от времени, что,как известно, соответ-
соответствует состоянию установившейся ползучести. Однако, в отличие от метал-
металлов, для бетона такая реологическая модель принципиально неприемлема,
особенно в области линейной ползучести.
Опыт построения своеобразной теории ползучести бетона был предпри-
предпринят в 1943 г. А. А, Гвоздевым. Исходя из представлений о механизме пол-
ползучести, которые в свое время выдвигал Э. Фрейсине, и положений, при-
применяемых до настоящего времени к длительным деформациям грунтов,
Гвоздев рассмотрел тело с порами, заполненными жидко-газообразной
фазой, и предположил, что при приложении напряжений девиатор дефор-
деформаций мгновенно принимает значение, определяемое девиатором напряже-
напряжений и модулем сдвига, а жидко-газообразная фаза, удельный объем которой
линейно зависит от давления в порах и среднего нормального напряжения
скелета, фильтруется сквозь поры, причем объемная деформация меняется
во времени. Такая модель качественно отражает ряд свойств, присущих
ползучести, и была применена к решению некоторых задач. Однако вскоре
сам автор признал ее непригодной. Не говоря уже о том, что с ее помощью-
не могла быть объяснена ползучесть при кручении, она приводила к непра-
неправильному результату даже при одноосном сжатии; а именно получалосьт
что поперечные размеры образца должны сокращаться со временем по та-
такому же закону, как и продольные размеры, что не подтверждается экспе-
экспериментами.
А. Ю. Ишлинский A940), а затем А. Р. Ржаницын A954) пользова-
пользовались для исследований линейной ползучести уравнением
пЕ& + Нг = па + or, B.2)
где Е — мгновенный модуль упругости, Н — длительный модуль упруго-
упругости, п — время релаксации.
Уравнение B.2) является частным случаем уравнения B.1) при п =
= р — 1. Упруго-вязкое тело, поведение которого описывает реологиче-
реологическое уравнение B.2), соответствует механической модели Кельвина, пред-
представляющей собой параллельно соединенные упругий и вязкий элементы,
с которыми последовательно соединен упругий элемент *).
В таком упруго-вязком теле, часто называемом телом Кельвина,
имеет место полная обратимость деформации ползучести, и уравнение B.2)
описывает в нем упругое последействие. Релаксация же напряжения
в этом теле будет происходить по экспоненциальному закону с аргу-
аргументом —tin, как это легко установить из уравнения B.2), если его пред-
представить в интегральной форме (А. Ю. Ишлинский, 1940; Ю. Н. Работнов,
1966). При этом, если после приложения мгновенной деформации в рас-
рассматриваемом теле возникает напряжение, определяемое по мгновенному
модулю, то в дальнейшем, при сохранении этой деформации неизменной,
напряжение будет релаксировать до величины, соответствующей той же
деформации при длительном модуле.
Отметим, что реологическое уравнение B.2), описывая упругое после-
последействие, совершенно не учитывает наличия необратимой части деформа-
деформации ползучести бетона, а полученные на основе его экспоненциальные
кривые релаксации с аргументом —tin, как правило, располагаются выше
опытных кривых релаксации бетона и характеризуются более медленным
понижением напряжения (С. В. Александровский, 1966; П. И. Васильев,
*) Ф. Леви, по существу, рассматривал модель Кельвина применительно к изу-
изучению ползучести бетона.

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 173
4958; И. Е. Прокопович, 1963; И. И. Улицкий, 1963). Как указывает
А. А. Гвоздев A966), некоторые авторы *), для того чтобы избежать суще-
существенных расхождений между теоретическими результатами и опытными
данными, полученными при испытаниях бетона на простую ползучесть
и релаксацию, при использовании реологического уравнения B.2) под-
подбирают новые значения для его коэффициентов, особенно для времени
релаксации п, подчеркивая при этом, что параметры материала, входящие
в это уравнение, не являются постоянными, а зависят от времени и про-
процесса нагружения. Однако вид и характер этих зависимостей и путь
построения реологического уравнения с переменными параметрами (функ-
(функциями) пока остаются неясными.
Как известно (Ю. Н. Работнов, 1966), реологическое уравнение B.2)
•эквивалентно интегральному соотношению
е (t) =
t
-ii) J <т(т) *-*'-*> dx] , B.3)
где Е — мгновенный модуль упругости, 1/ji = пЕ/Н — время запазды-
запаздывания, а ИХ = п — время релаксации, причем длительный модуль упру-
упругости Н = Е\х/Х меньше мгновенного модуля Е, так как всегда X > \i.
Если определить скорость деформации ползучести бетона при дейст-
действии постоянной нагрузки, пользуясь интегральным соотношением B.3),
то она окажется гораздо меньше действительной скорости, имеющей место
сразу после нагружения, и выше ее в последующий период. Заметим, что
измерить эту скорость сейчас же после нагружения затруднительно,
поэтому фактически измеряется скорость в самой начальной фазе нагру-
нагружения.
Учитывая это обстоятельство, А. Р. Ржаницын предложил в интеграль-
интегральном соотношении B.3) сочетать свойства экспоненциального ядра со свой-
свойствами ядра типа Абеля со слабой особенностью, т. е. рассматривать ядро
следующего вида:
x) = -±—e-W-*\ B.4)
где Л > О, р.>0 и 0<а< 1 — постоянные параметры, определяемые
из опытов на простую ползучесть. Резольвента этого ядра построена
С. 3. Вульфсон A961).
Такой выбор функций последействия отвечает затухающему характе-
характеру процесса ползучести и гораздо лучше описывает развитие скорости
деформации бетона, у которого старение фактически уже завершено,
по крайней мере в начальной фазе нагружения.
Соотношения между напряжениями и деформациями с учетом влияния
времени являются остовом феноменологической теории ползучести любо-
любого материала (и, в частности, бетона), а вид и характер этих соотношений
отличают различные теории друг от друга.
Теории ползучести бетона в современной литературе обычно класси-
классифицируются следующим образом: а) теория упругой наследственности;
б) теория старения; в) наследственная теория старения **).
*) См., например, А. К. Малмейстер A957), А. М. Скудра A956), Г. А. Тетере
A964), А. Е. Шейнин A946), а также упомянутую работу Ф. Леви.
**) Было бы правильным называть последнюю теорией упругой наследственности
• со старением. Однако мы сохраняем приведенное в тексте название, поскольку оно
укоренилось в технической литературе.

174 н. х. арутюнян
Ниже излагаются основные положения и главные характерные осо-
особенности этих теорий.
2.3. Теория упругой наследственности. Как известно, дифференциаль-
дифференциальное уравнение B.1), которое обычно принимается за исходное физическое
соотношение в реологии упруго-вязких материалов, при п = р может быть
заменено интегральным соотношением, содержащим оператор Вольтерра,
подобно тому как дифференциальное уравнение B.2) заменяется интеграль-
интегральным соотношением B.3), с той только разницей, что теперь ядро ползу-
ползучести К (f — т) содержит уже не одну экспоненциальную функцию, а це-
целый набор таких функций вида
K{t-x)= S едь<Гр*(*-х\ B.5)
где Bk и Рь — постоянные параметры материала, определяемые из опытов
на простую ползучесть.
Естественно, что здесь напрашивается идея обобщить линейный закон
вязкоупругости.
В самом деле, мы можем рассматривать ядро полученного интеграль-
интегрального уравнения Вольтерра независимо от дифференциального уравнения
B.1) или от соответствующей ему реологической модели, т. е., иначе
говоря, понимать под ядром К (t — т) не сумму конечного числа экспонен-
экспоненциальных функций, а произвольную функцию, зависящую от разности
двух аргументов — времени приложения нагрузки х и момента наблюде-
наблюдения t. Эта функция должна удовлетворять некоторым весьма общим усло-
условиям, о которых будет сказано ниже. При этом должен только сохранять-
сохраняться общий принцип наложения воздействий, согласно которому деформация,
вызываемая суммой напряжений Доч + Дсг2, должна быть равна сумме
деформаций, вызываемых напряжениями Доч и Д(У2 в отдельности. Таким
путем мы приходим к основному уравнению теории упругой наследственно-
наследственности, которое записывается в одном из следующих видов:
} B.6)
a(t) = E [e (t) + \ Г (t — т) е (т) йт] . I
о ' > J
Функция К (t — т) называется ядром ползучести, а функция Г (f — х) —
ядром релаксации. Последняя функция является резольвентой ядра пол-
ползучести. Материал, поведение которого, в зависимости от времени, описы-
описывается соотношением B.6), называется упруго-наследственным материалом.
Если идеально упругий материал имеет свойство как бы моментально-
забывать все, что произошло с ним в прошлом, то упруго-наследственный
материал обладает своеобразной «памятью» и не забывает происходившее
с ним в прошлом. Однако эти «воспоминания» с течением времени изгла-
изглаживаются из памяти. В связи со сказанным функцию К (t — т) часто назы-
называют «функцией памяти». Эта функция при неограниченном возрастании
времени монотонно убывает.
Принцип наследственности впервые был указан Л. Больцманом
в 1876 г., а теория упругой наследственности была создана и развита
В. Вольтерра (Fonctions des lignes. Paris, 1913).
о

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 175
Итак, не зависящие от возраста свойства упруго-наследственного
материала полностью определяются модулем упругости и ядром ползуче-
ползучести (или ядром релаксации) интегрального уравнения Вольтерра B.6).
В некоторых случаях для описания свойств упруго-наследственного мате-
материала используются другие функции, связанные с его ядром ползучести
или ядром релаксации интегральным преобразованием Лапласа, например
спектры релаксации и ползучести, комплексный модуль упругости и т. п.
(Б. Гросс, Mathematical structure of the theories of viscoelasticity. Paris,
1953; H. И. Малинин, 1966; Ю. Н. Работнов, 1966), которыми характери-
характеризуют реакцию материала на единичный импульс.
Вместо ядер ползучести и релаксации иногда удобнее иметь дело
с функциями
Z 2
^{z)dz и i>(z) = jr(z)dz, B.7)
о
которые называются соответственно функциями ползучести и релаксации..
Они определяются непосредственно из опыта на ползучесть при постоян-
постоянном напряжении или из опыта на релаксацию при постоянной полной
деформации.
Для бетона функция ползучести и функция релаксации должны удов-
удовлетворять следующим условиям:
при z ->- оо,
B.8)
причем
а Со и Ро — предельные значения соответственно функции ползучести
и функции релаксации бетона. Эти соотношения справедливы в области
линейной ползучести бетона.
Как установил еще В. Вольтерра, интегральный оператор Вольтерра,
который входит в основную зависимость B.6) теории упругой наследствен-
наследственности, удовлетворяет также условию замкнутого цикла Вольтерра. Это
условие выражает инвариантность интегрального соотношения B.6)
относительно изменения начала отсчета времени; поэтому теория упругой
наследственности с условием замкнутого цикла может отражать только
поведение материалов, свойства которых не меняются во времени, т. е.
нестареющих материалов, а также материалов, подверженных старению,
но таких, для которых этот процесс фактически прекратился, иначе гово-
говоря материалов старого возраста.
Интересная попытка распространить теорию упругой наследственно-
наследственности на стареющие материалы, в частности на бетон, была сделана
А. Р. Ржаницыным A958), предложившим отразить явления старения
путем замены в исходном уравнении B.6) шкалы действительного времени
шкалой приведенного времени. Однако этот способ не позволяет учесть
изменение во времени модуля мгновенной деформации бетона, а также вли-
влияние возраста бетона в момент загружения на величину, к которой стре-
стремится деформация ползучести при неограниченном возрастании времени.
Между тем наблюдения показывают, что возраст бетона в момент его загру-
загружения существенно влияет на предельное значение как упруго-мгновен-
упруго-мгновенных деформаций, так и деформаций ползучести (С. В. Александровскийг

176 Н. X. АРУТЮНЯН
1966; П. И. Васильев, 1957; К. С. Карапетян, 1959; И. Е. Прокопович,
1963 ¦)).
Необходимо отметить, что в линейной теории упругой наследственно-
наследственности с условием замкнутого цикла деформация ползучести является пол-
полностью обратимой. Это непосредственно следует из уравнения B.5),
которое описывает явления последействия в упруго-наследственном мате-
материале. В действительности же, как показывают опыты (С. В. Александров-
Александровский, 1966; В. В. Блинков, 1958; И. Е. Прокопович, 1963, и И. И. Улиц-
кий, 1963), обратимая часть деформации ползучести в бетоне сильно зави-
зависит от возраста бетона и длительности его загружения и может составить
от 15 до 70%. При этом, чем короче длительность загружения, тем больше
степень обратимости деформации ползучести бетона, и, чем моложе бетон,
тем больше остаточная деформация его ползучести, которая может состав-
составлять соответственно от 85 до 30%.
Таким образом, линейная теория упругой наследственности в приме-
применении к бетону даже в его старом возрасте, когда выполняется условие
замкнутого цикла Вольтерра, совершенно не учитывает наличия необра-
необратимой части деформации ползучести, и поэтому согласно этой теории
начальная скарость релаксации напряжения получается меньше, а конеч-
конечная скорость — больше, чем в действительности.
В линейной теории упругой наследственности с условием замкнутого
цикла В. Вольтерра сформулировал важный принцип, который был позже
назван его именем. Этот принцип позволяет решить статическую задачу
теории упругой наследственности, если известно решение этой же задачи
в рамках обычной теории упругости. Для этого нужно лишь в решении упру-
упругой задачи заменить постоянные Ламе (модуль Юнга, коэффициент Пуас-
Пуассона или модуль сдвига) соответствующими операторами типа Вольтерра.
Дальнейшее развитие области применения принципа Вольтерра дано
в работах Ю. Н. Работнова A948, 1966), М. И. Розовского A951),
С. 3. Вульфсон A961). Отметим, что основная трудность применения этого
принципа заключается в определении результатов действия операторов
Вольтерра, так как единого метода для такого определения пока не имеется.
Основные уравнения линейной теории упругой наследственности при
условии замкнутого цикла для общего случая пространственного напря-
напряженного состояния легко получить из обычных уравнений теории упру-
упругости, если в них согласно принципу Вольтерра заменить упругие кон-
константы соответствующими операторами (Ю. Н. Работнов, 1966; М. И. Ро-
Розовский, 1951).
Исходные уравнения линейной теории ползучести для анизотропного
наследственного тела получены И. И. Гольденблатом A955),. который
на основе некоторых термодинамических соображений и так называемого
принципа Онзагера представил зависимость между напряжениями и де-
деформациями для такой среды в наиболее общем виде.
Как известно (см. § 1), при высоких напряжениях (а ^ 0,5 R) линей-
линейная связь между напряжениями и деформациями ползучести бетона
нарушается. Что же касается упруго-мгновенных деформаций, то они
остаются пропорциональными напряжениям вплоть до значений, почти
соответствующих пределу прочности бетона R. Учитывая это, П. И. Ва-
Васильев A953) предложил воспользоваться нелинейной теорией упругой
наследственности и представить зависимость между напряжениями
*) См. также В. Гленвилл, Building Res. Techn. Papers, London, 1940;
Дж. Р. Ш е н к, Bull. Ohio Univ. Engng Exptl Station, 1935, № 91.

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 177
и полными деформациями бетона во времени в следующем виде:
t
B.9)
где К (f — т) — ядро ползучести для бетона, удовлетворяющее условию
B.8), a F (о (t)) — некоторая функция, характеризующая нелинейную
зависимость между напряжениями и деформациями ползучести бетона.
Обе эти функции определяются из соответствующих испытаний бетона
на простую ползучесть.
Заметим, что с точки зрения применения к временным процессам
все сказанное об уравнении B.6), а именно об условиях замкнутого цикла
и полной обратимости деформаций ползучести, остается в силе и для урав-
уравнения B.9).
К нелинейной ползучести бетона и к уравнению типа B.9) мы вернем-
вернемся ниже. Здесь же хочется отметить следующее: обобщение теории упругой
наследственности при условии замкнутого цикла с целью изучения процес-
процессов нелинейной ползучести обосновал Ю. Н. Работнов A948), предло-
предложивший представить связь между деформациями и напряжениями в виде
следующего интегрального уравнения Вольтерра:
T)a(T)dT, B.10)
где ф (е) — некоторая нелинейная функция, характеризующая закон
мгновенной деформации, К (t — т) — ядро, определяемое по опытным
кривым ползучести.
Согласно этой теории, получившей название теории пластической
наследственности, изохронные кривые ползучести, построенные для
разных уровней напряжения, должны быть подобны кривой мгновенной
деформации. Это положение с достаточной точностью подтверждается
опытными данными для некоторых металлов и пластмасс (Н. И. Ма линии,
1966; Ю. Н. Работнов, 1966).
Указанный способ обобщения уравнения теории упругой наследст-
наследственности на случай нелинейной ползучести, конечно> не является единст-
единственным. Г. Лидерман (Elastic and creep properties of filamentous and other
high polymers. Washington, 1943) и М. И. Розовский A951) пользуются
интегральным уравнением другого вида:
t
e(t) = Op(o(t)) + ^K(t-T)F(o(i;))dT. B.11)
о
Лидерман применил уравнение такого вида для изучения ползучести
некоторых полимеров.
Уравнение B.11) содержит три функции, подлежащие определению
из опыта, и поэтому оно обладает большей общностью по сравнению с урав-
уравнением B.10) теории пластической наследственности, в котором фигуриру-
фигурируют лишь две такие функции. Однако определение функций, которые входят
в уравнение B.10), проще, чем определение соответствующих функций
в уравнении B.11), а результаты, получаемые по этим двум нелинейным
теориям наследственности, примерно одинаковы.
В то же время обработка экспериментальных данных показывает, что
обратимая часть деформации ползучести, наблюдаемая в действительности,
меньше, чем это следует из любой теории нелинейной ползучести наследст-
12 Механика в СССР, т. 3

178 Н. X. АРУТЮНЯН
венного типа (П. И. Васильев, 1953; В. С. Наместников и Ю. Н. Работновг
1961; И. Е. Прокопович, 1963).
Для описания явления нелинейной ползучести в телах, не подвержен-
подверженных старению, наряду с интегральными соотношениями B.9), B.10)
и B.11) можно воспользоваться и более общими уравнениями нелинейной
теории наследственности, которые при условии замкнутого цикла полу-
получаются путем функционального разложения Вольтерра — Фреше. Одна-
Однако применение этих уравнений связано со значительными трудностями.'
Отметим, что большой вклад в развитие методов решения задач теории
упругой и пластической наследственности для нестареющих материалов
внесли в СССР А. К. Малмейстер, М. И. Розовский, Ю. Н. Работнов,
А. Р. Ржаницын, а за рубежом — Э. Г. Ли, X. Бланд, Г. Лидерман.
2.4. Теория старения. Теория ползучести бетона развивалась не толь-
только в различных направлениях, но и параллельными путями, имея при
этом всегда единую цель — предсказать с той или иной степенью точности
поведение бетона во времени при переменных режимах его нагружения
и на основе этого оценить влияние ползучести на состояние и работу кон-
конструкций.
Исторически первые попытки в этом направлении с учетом старения
материалов были сделаны в тридцатых годах К. С. Уитни и несколько
позже Ф. Дишингером. Уитни обратил внимание на то, что кривые ползу-
ползучести бетонных образцов, загруженных в различном возрасте одинаковыми
напряжениями, начиная с некоторого времени, становятся почти парал-
параллельными друг другу в том смысле, что имеют параллельные касательные
в точках, соответствующих одному и тому же времени наблюдения. Иначе
говоря, кривую ползучести бетона для данного возраста можно получить
из кривой ползучести для более раннего его возраста, если отбросить ту
часть последней кривой, которая соответствует разности возрастов.
Из этой предпосылки непосредственно следует, что в этом случае мера
ползучести бетона С (?, г), под которой мы будем понимать относительную
деформацию ползучести стареющего материала (в частности, бетона),,
наблюдаемую к моменту времени f и вызванную единичным напряже-
напряжением, приложенным в некотором возрасте бетона т, имеет вид
C{t, %) = С(*)-С(т), B.12)
а это означает, что скорость удельной деформации ползучести
dC (?, %)Idt, равная в данном случае С (?), не зависит от возраста бетона т,
при котором он был нагружен. Тогда дифференциальное уравнение для
определения скорости полной деформации в области линейной ползучести
при переменном модуле упругости можно записать в виде
d& --i- d° 4-ст dC B 13\
Это соотношение обобщает известное уравнение Максвелла, которое полу-
получается из соотношения B.13) при С (t) = const и при Е (т) = Ео = const.
На основе уравнения B.13) поведение материалов, (в частности,
бетона), находящихся в условиях ползучести, можно представить простой
реологической моделью, состоящей из последовательно соединенных
упругого элемента и элемента вязкого трения, причем упругость и вяз-
вязкость этих элементов меняются со временем соответственно множителям
.
E(t) ж С (t) в уравнении B.13).

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 179
Зависимость между деформациями и напряжениями, записанную
в виде дифференциального уравнения B.13) можно представить и в инте-
интегральной форме:
где ядро ползучести
^[^ ] B.15)
— С (г)]
есть функция только возраста бетона т, т. е. времени действия напряжения.
Техническая теория ползучести бетона, исходящая из уравнения
B.13), связывающего деформацию, напряжение и время, или из эквива-
эквивалентного ему уравнения B.14), получила название теории старения *).
Эта теория благодаря своей простоте нашла широкое применение при реше-
решении задач по определению перемещений в железобетонных конструкциях,
потерь предварительного напряжения и в ряде других прикладных задач»
Теория старения применительно к исследованию напряженного и де-
деформированного состояний бетонных и железобетонных сооружений раз-
развивалась в работах Ф. Дишингера (Bauingenieur, 1937), Н. 33—36, 39—
40), Л. В. Столярова A941), Н. А. Буданова A949), И. Е. Скрябина A949),
В. Л. Федорова A941), И. И. Улицкого A948, 1960, 1963) и многих других
авторов. Эта теория вошла в немецкие нормы по предварительно напря-
напряженным конструкциям.
Концепции теории старения, по существу, придерживался в своих
ранних работах и С. Е. Фрайфельд A941).
И. И. Улицкий A959, 1964), помимо тех исследований, которые он
провел по линейной теории старения и ее приложениям к расчету бетон-
бетонных и железобетонных конструкций, рассмотрел ряд задач теории ползу-
ползучести в нелинейной постановке, пользуясь зависимостью между скоростя-
скоростями деформаций и напряжениями вида
^s I do . . Q , dC /n лп\
+ ^+Р^г' BЛ6)
где а, Рит — постоянные параметры. Подобное уравнение, по-видимому,
впервые рассматривалось X. Дейвенпортом.
Теория течения, основанная на уравнении типа B.16), получила широ-
широкое распространение для изучения ползучести металлов благодаря работам
Л. М. Качанова.
Теория старения не обладает достаточной общностью для описания
процессов деформирования упруго-наследственного материала (в част-
частности, бетона), свойства которого меняются во времени. Более того, она
в известном отношении противоречит опытам, поставленным для проверки
и уточнения некоторых основных положений и результатов этой теории.
С другой стороны, теория старения, имея в своей основе определенную
физическую предпосылку, исходит иь реологического уравнения B.13)
которое позволяет получить с достаточной точностью простые решения
для определенного круга прикладных задач. К числу таких задач отно-
относятся, например, перераспределение напряжения между бетоном и арма-
арматурой в центрально сжатых железобетонных элементах, потеря пред-
*) В теории ползучести ее называют иногда второй теорией старения или тео-
теорией течения.
12*

180 н. х. арутюнян
варительного напряжения вследствие усадки и ползучести бетона и дру-
другие задачи этого рода, когда нас интересует только конечное состояние,
к которому стремится данная конструкция вследствие ползучести.
Но при переменных напряжениях, особенно если они меняются доста-
достаточно интенсивно, теория старения приводит к неправдоподобным резуль-
результатам. Основной недостаток этой теории заключается в том, что скорость
изменения деформации ползучести бетона получается не зависящей от исто-
истории его нагружения, т. е. от свойств наследственности материала, а это
существенно расходится с данными макроэксперимента.
Недостатки теории старения проявляются особенно сильно при повтор-
повторных нагрузках и особенно при разгрузке. Вопреки экспериментам по этой
теории получается полная необратимость деформации ползучести и, как
следствие этого, отсутствие процесса восстановления напряжения при
релаксации. В итоге это приводит к интенсификации процесса релаксации
напряжения во времени и к существенному завышению степени релакса-
релаксации, особенно при загружении бетона в молодом возрасте (С. В. Александ-
Александровский, 1966; И. Е. Прокопович и И. И. Улицкий, 1963). Можно пока-
показать (И. Е. Прокопович, 1963), что меру ползучести бетона, определяемую
соотношением B.12) и принятую в теории старения, можно получить из вы-
выражения для меры ползучести С (t— т), принятой ?в теории упругой
наследственности, если разложить С (t — т) в ряд Тейлора и, удержав
два первых члена, изменить масштаб времени. Это обстоятельство есте-
естественно привело к идее попытаться синтезировать своеобразным способом
меры ползучести теории старения и теории упругой наследственности
с таким расчетом, чтобы те факты, которые не укладываются в рамки
теории старения, могли быть объяснены с помощью теории упругой наслед-
наследственности, и наоборот.
Первая попытка в этой области принадлежит Д. Макгенри (Ргос.
Amer. Soc. Test. Mater., 1943, vol. 43), предложившему своеобразное соче-
сочетание мер ползучести теории упругой наследственности и теории старения.
В дальнейшем аналогичные предложения были сделаны И. Е. Прокопови-
чем и И. И. Улицким A963), а также Е. А. Яценко A964). Однако эти
попытки, в том числе и первая, наиболее удачная из них, не отражают
с достаточной точностью основные свойства явления ползучести бетона
во времени, а именно его старение и наследственность, что, впрочем, при-
признает и сам Макгенри.
2.5. Наследственная теория старения. Большая часть исследований
в области наследственной теории ползучести со времен работ В. Вольтерра
посвящена нестареющим материалам, т. е. материалам, для которых выпол-
выполняется так называемое условие замкнутого цикла. Что касается исследо-
исследований явления ползучести в упруго-наследственных материалах, подвер-
подверженных старению, т. е. в материалах, свойства которых изменяются во вре-
времени, то их было проведено сравнительно мало. Большая часть этих иссле-
исследований относится к бетону.
Как показывают эксперименты (см. § 1), бетон имеет сложный механизм
ползучести и своеобразный спектр релаксации. Поэтому для математиче-
математического описания процессов ползучести и релаксации в бетоне, отражающего
ход этих процессов достаточно близко к действительности, необходимы
соотношения между напряжениями, деформациями и временем более общие,
чем зависимость B.6) теории упругой наследственности при условии зам-
замкнутого цикла или уравнение B.13) теории старения.
В настоящее время теорией ползучести бетона, наиболее полно отра-
отражающей основные свойства и поведение бетона во времени под влиянием

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 181
внешних воздействий, является теория, получившая название наследствен-
наследственной теории старения или теории упруго-ползучего тела. Эта теория одно-
одновременно учитывает как старение, так и наследственность материала, а так
же частичную обратимость деформации ползучести бетона.
Начало создания наследственной теории старения было положено
в работе Г. Н. Маслова A941), а ее полное построение как математической
теории ползучести бетона дано Н. X. Арутюняном A947, 1952).
Эта теория получила свое дальнейшее развитие в трудах С. В. Алек-
Александровского, П. И. Васильева, А. А. Гвоздева, И. Я. Панарина,
И. Е. Прокоповича и ряда других исследователей, и на ее основе разрабо-
разработаны надежные методы расчета элементов конструкций с учетом ползуче-
ползучести материала.
В области линейной ползучести бетона наследственная теория старе-
старения при одноосном напряженном состоянии исходит из следующих основ-
основных уравнений (С. В. Александровский, 1966; Н. X. Арутюнян, 1952;
А. А. Гвоздев, 1955).
4${п§-*<<'т>*' BЛ7)
а @ = Е (t) [е @ + j 8 (т) Г (*, т) dr] , B.18)
где функция Г (f, т) есть резольвента ядра
T) = E(x)-^8(t,x) B.19)
интегрального уравнения B.17), а б (?, т) — полная продольная относи-
относительная деформация, наблюдаемая в момент времени t и вызванная еди-
единичным напряжением, приложенным к бетону в некотором возрасте т.
Эта деформация, которая складывается из упруго-мгновенной деформации
и деформации ползучести, определяется зависимостью
^ т), B.20)
где Е (т) — переменный модуль мгновенной деформации бетона, а С (f,x) —
мера ползучести бетона, которая в области линейной ползучести
не зависит от величины напряжения, но зависит одновременно как от воз-
возраста бетона т, так и|от продолжительности действия нагрузки (f — т).
Напомним, что под мерой ползучести С (?, т) понимается относительная
деформация ползучести стареющего материала, наблюдаемая к моменту
времени t и вызванная единичным напряжением, приложенным к бетону
в некотором возрасте т.
Ядро оператора Вольтерра К (f, т), входящее в интегральное соот-
соотношение B.17), часто называют наследственной функцией влияния или
«функцией памяти». Эту функцию, характеризующую реакцию старею-
стареющего материала, в частности бетона, на единичный импульс, приложенный
в некотором возрастав материала т, имея в виду соотношения B.19)
и B.20), можно записать в виде
т. е. выделить из наследственной функции влияние мгновенной дефор-
деформации и влияние деформации ползучести бетона. Таким об разом f

182 Н. X. АРУТЮНЯН
наследственная функция влияния К (?, т) однозначно выражается через
модуль мгновенной деформации Е (т) и меру ползучести бетона С (t, т).
Основным вопросом при построении линейной теории ползучести бето-
бетона является выбор наследственной функции влияния, т. е. вида ядра
К (?, т) или Г (?, т) в интегральных уравнениях B.17) или B.18) на осно-
основании которых должны быть получены решения основных задач равнове-
равновесия упруго-ползучего тела, подверженного старению, каким является
бетон. Разумеется, выбор наследственной функции влияния эквивалентен
выбору вида функций для модуля упруго-мгновенной деформации Е (т)
и для меры ползучести бетона С (t, т).
Многочисленные опыты *) показывают, что модуль упруго-мгновенной
деформации бетона Е (г) с увеличением возраста бетона г монотонно растет,
асимптотически приближаясь к предельному значению модуля упругости
Ео для бетона весьма зрелого возраста. Правда, на изменение модуля упру-
упругости Е (т) оказывает некоторое влияние и длительность действия внешней
нагрузки, вызывающей изменение плотности бетона, особенно в раннем его
возрасте вследствие большой пластичности (А. Д. Росс, J. Instn Civ.
Engng, 1938; А. В. Саталкин и Б. А. Сеченко, 1956). Значительное влияние
на величину модуля упругости оказывает и условие твердения бетона,
т. е. условие, при котором происходит процесс его старения. Например,
с увеличением температуры твердения бетона скорость нарастания его
модуля упругости Е (т) во времени увеличивается (П. И. Васильев
и Ю. И. Кононов, 1964). Модуль упругости бетона в некоторых случаях
зависит и от величины напряжения, при котором измерены упруго-
мгновенные деформации, а именно: с ростом напряжений вплоть до пре-
предела прочности бетона при сжатии R он падает (Н. Г. Корсак, 1941).
Однако учесть одновременно зависимость модуля мгновенной дефор-
деформации бетона Е (т) от всех указанных выше факторов и от возраста бетона
весьма трудно. В этом направлении в настоящее время делаются только
первые попытки, поэтому в современной теории ползучести бетона учиты-
учитывают зависимость модуля мгновенной деформации только от возраста бето-
бетона т, делая это посредством аппроксимации с достаточно высокой точно-
точностью опытных кривых мгновенных деформаций гиперболическими или
экспоненциальными функциями различного вида (С. В. Александровский,
1966; Н. X. Арутюнян, 1952; И. Е. Прокопович, 1963).
Переходя к выбору вида функции для меры ползучести С (t, т),
предварительно отметим основные свойства и характер изменения этой
функции во времени.
Многочисленные опыты в области линейной ползучести бетона пока-
показывают, что мера ползучести С (?, т) должна удовлетворять следующим
условиям:
а) С (t, т)>0 при *>т,
С (t, т) = О при t = т;
б) lim дС{*'т) ^0 при 0<т<*;
t->oo 0%
в) мера ползучести С (f, т) должна монотонно убывать с возрастом
материала т, т. е.
при
*) См., например, С. В. Александровский A966), П. И. Васильев A 951, 1953),
И. Е. Прокопович A963), А. Е. Шейнин и В. Л. Николаев A959).

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 183
причем так, чтобы
(?, т) = ф (т),
где ф (т) — предельное значение меры ползучести для данного возраста
материала;
г) начиная с некоторого возраста т0, значение С (?, т) должно сколь
угодно мало отличаться от меры ползучести С (t — т) для старого или
уже стареющего материала, для которого выполняется условие замкнуто-
замкнутости цикла.
Что же касается наследственной функции влияния, то, как показыва-
показывают экспериментальные исследования (А. А. Гвоздев, 1955; А. В. Яшин,
1959), кривые К (т), отвечающие постоянному значению аргумента ?,
имеют два участка с весьма быстрым изменением функции К (т): один —
при малых значениях т, который, согласно B.21), связан со скоростью
изменения модуля упруго-мгновенных деформаций, т. е. с влиянием старе-
старения на упругие деформации, а другой — при малых значениях (f — т),
который связан с большой скоростью деформаций ползучести сразу же
после загружения и с резким падением этой скорости по мере роста дли-
длительности загружения (t — т). На это обстоятельство неоднократно ука-
указывал А. А. Гвоздев.
Некоторые из предложенных аналитических выражений (С. 3. Вульф-
€он," 1961; А. В. Яшин, 1959) для наследственной функции влияния
К (f — т), хорошо описывающие ее поведение на активных участках (т. е.
в окрестности т = 0 и t — т = 0), настолько сложны, что либо вовсе непри-
неприемлемы для построения решений уравнений теории ползучести, либо при-
приводят к чрезвычайно сложным операциям.
Одновременно отметим, что даже при очень высоких напряжениях,
«близких к разрушающим, ползучесть бетона, как показывают экспери-
эксперименты *), имеет затухающий характер. Поэтому интегралы
t t
i{t,x)=\K(t,x)d% и со (t, х) == \ Г (*, xjdx B.22)
X X
при любых значениях t> х и, в частности, при t -> сю должны быть конеч-
конечными, так как в противном случае ползучесть могла бы иметь незатухаю-
незатухающий характер, что не свойственно бетону и не наблюдается в действитель-
действительности. Отметим также, что при постоянном модуле упругости Е (х) = Ео
функции % (?, т) и со (?, х) с точностью до постоянного множителя Eq
совпадают с мерой ползучести бетона С (?, т) и мерой релаксации р (t, т).
На основании указанных выше соображений, а также принимая
во внимание, что процесс старения, т. е. изменение физико-механических
свойств материала во времени, может считаться не зависящим от процесса
деформации, Н. X. Арутюнян A947, 1952) предложил представить меру
ползучести С (?, т) для стареющего материала в виде произведения двух
функций, одна из которых учитывает процесс старения материала, а дру-
другая — влияние длительности его нагружения, т. е. в виде
С (*, т) = С (t - т, » = ф (т) / (* - т), B.23)
где ф (т) — функция, определяющая процесс старения материала (в даль-
дальнейшем будем называть ее функцией старения); эта функция с увеличением
*) См., например, С. В. Александровский A966), П. И. Васильев A953),
К. С. Карапетян A953), Н. И. Катин A959).

184 Н. X. АРУТЮНЯН
возраста материала х монотонно убывает и стремится к некоторой посто-
постоянной, т. е.
Итф(т) = С0. B.24)
Т-э-оо
Если под постоянной Со понимать предельное значение меры ползуче-
ползучести материала в его старом возрасте, то тогда функция / (t — т), характе-
характеризующая наследственные свойства материала, должна в интервале
О <С t — т <^ оо изменяться в пределах
0</(*-т)<1. B.25)
Воспользуемся для аппроксимации / (t — т) суммой экспоненциальных
функций вида
\{) %\ B.26)
k=Q
где Bk и yk — постоянные параметры, подобранные надлежащим образом
для данного материала, причем
k=n \
5о==1' SoBk==01 \ B.27)
7о = О, 7fe>0 (Л=1, 2,3, ...,/г). J
Таким образом, для меры ползучести С (t, х) получаем выражение
() () () ^ \ B.28)
где Bk и 7а удовлетворяют условиям B.27). Такое представление меры пол-
ползучести С (?, т) характерно тем, что оно отражает одновременно оба основ-
основных свойства явления ползучести материала, а именно его старение и на-
наследственность. Очевидно, что при больших т зависимость B.23) вследствие
условия B.24) переходит в асимптотическое равенство для меры ползуче-
ползучести С (f, х) « Со / (t — т), положенное в основу теории упругой наслед-
наследственности с условием замкнутого цикла.
С учетом зависимостей B.21) и B.28) наследственная функция влия-
влияния, т. е. ядро К (f, x) оператора Вольтерра в интегральном соотноше-
соотношении B.17), примет вид
() () ^g() B.29)
где для сокращения записи введены обозначения
^^р )]. B.30)
Функцию старения ф (т) обычно аппроксимируют одним из выражений
k=n
или Ф'.о*)=с0+ 2^**~v- B*31)
ft-1 T k=l
Впоследствии (К. С. Карапетян, 1959; И. Е. Прокопович, 1958) для аппро-
аппроксимации было использовано также выражение
где Со, Ак и г — константы материала- -

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 185
Как известно, для явлений ползучести стареющих материалов (в част-
частности, и для бетона) характерно большое разнообразие опытных данных.
Поэтому вряд ли имеет смысл стремиться к очень точному аналитическому
описанию кривых ползучести на всех их участках, так как это неизбежно
приводит к трудным математическим задачам и в то же время лишь при-
приближенно отражает (вследствие разброса) исходные данные, добытые
из экспериментов. Вместо этого достаточно того, чтобы получаемые в ре-
результате аппроксимации зависимости правильно отражали главные черты
явления ползучести в наиболее важных случаях загружения и одновре-
одновременно были бы простыми, чтобы в дальнейшем было ими удобно пользо-
пользоваться.
Исходя из этого, в выражении B.29) для наследственной функции влия-
влияния К (?, т) ограничимся только первыми двумя членами, т. е. примем, что
K(t, т) = ?(т)А[_1_+ф(ОA_е-г(*-г))]. B.33)
Важно отметить, что ядро К (t, т), определяемое выражением B.29)
или B.33), является вырожденным, и поэтому интегральное уравнение
B.17) можно заменить дифференциальным уравнением с переменными коэф-
коэффициентами, что открывает более реальные возможности для получения
качественных результатов, чем это возможно при оперировании с инте-
интегральными уравнениями.
Ядро К (?, т) интегрального уравнения B.17), определяемое выраже-
выражением B.33), имеет своей резольвентой (Н. X. Арутюнян, 1952)
+ Ы2 (т) + ц" (т)-уц> (т)] вч<*) j |М е-гцх) dx, B.34)
Т
где
т
j )E(-r)]dT, B.35)
Если функция старения ф (т) имеет вид ф (т) = Со + AJx, а модуль упру-
упругости Е (г) = Ео = const, то решение задач теории ползучести в большей
части случаев выражается через неполные гамма-функции с аргументом
р = yAiE0, которые табулированы. Это большое преимущество ядер
К (?, т) вида B.29) и B.33), т. е. наследственных функций влияния, опре-
определяемых этими выражениями.
Интересно отметить, что материалы, для которых р близко к нулю,
являются быстро стареющими; для них ядро наследственности мало зави-
зависит от возраста. Если же р близко к 0,5, что имеет место обычно для боль-
большей части бетонов, или превышает это значение, то такой материал являет-
является медленно стареющим.
Очевидно, что кроме Со, Ai ж р константой материала нужно считать
и нижний предел т± интеграла, входящего в уравнение B.17), так как это
есть время, начиная с которого можно считать, что поведение бетона описы-
описывается наследственной теорией старения.
Однако ядрам вида B.29) и B.33), которые можно представить в вида
К (*, т) = Е (т) + g (т) h (t - т), B.36)

86 Н. X. АРУТЮНЯН
где
в, ._ 1 <Ю(т)
Я (т) dx
(( f g{)
и которые положены в основу наследственной теории старения бетона,
свойственны и недостатки.
Как видно, выражение меры ползучести С (t, т) в виде B.23) исходит
из подобия кривых ползучести в различных возрастах бетона *). Между
тем, если сравнить опытные кривые ползучести, полученные на образцах,
загруженных в возрасте нескольких суток, с кривыми ползучести для
бетона зрелого возраста, то нетрудно убедиться, что подобие нарушается.
Скорости роста деформации ползучести в молодом возрасте бетона затуха-
затухают относительно быстрее, чем в старом возрасте, хотя абсолютные их зна-
значения в первом случае больше. Цоэтому, если определить скорость дефор-
деформации ползучести в первый момент приложения нагрузки, пользуясь
формулами B.28) и B.27), то она окажется гораздо меньше действительной,
иначе говоря, кривые ползучести, построенные по этим формулам, подни-
поднимаются более вяло, чем это наблюдается в экспериментах. Как показывают
исследования (С. В. Александровский, 1966; А. А. Гвоздев, 1955), это
может привести к определенным погрешностям в случае быстро изменяю-
изменяющихся напряжений, а также в задачах о релаксации напряжений в моло-
молодом возрасте бетона. Поэтому естественно, что с целью учета этих обстоя-
обстоятельств были сделаны различные предложения для дальнейшего уточнения
и усовершенствования выражений B.23) и B.28) для меры ползуче-
ползучести бетона С (?, т) при одновременном сохранении их основной структуры
и преимуществ.
Выше уже упоминалось предложение И. Е. Прокоповича и И. И. Улиц-
кого A963) представлять меру ползучести бетона как сумму мер ползуче-
ползучести теории упругой наследственности и теории старения, т. е. в виде
С (*, %) = С (t - х) + F (t) - F (т). B.37)
Для меры ползучести бетона С (t, т) А. В. Яшин A959) предложил
выражение, представляющее собой сумму меры ползучести Н. X. Арутю-
няна B.23) и меры ползучести теории старения B.12), т. е.
С (*, т) = <р (т) f(t-x)+F (t) - F (т). B.38)
Позже выражение для меры ползучести С (?, т), сходное с B.38)
при F (t) = К log t (К = const), было предложено на основе изучения
микроструктуры бетона Т. Хансеном (соч., цит. на стр. 156).
Наиболее удачная попытка в этом направлении принадлежит
С. В. Александровскому A964, 1966), предложившему для меры ползуче-
ползучести бетона С (t, т) следующее выражение, дающее большую скорость дефор-
деформации ползучести бетона в начале нагружения:
B.39)
*) Кривые семейства у = С (х, т), где т — некоторый параметр, называются
подобными, если имеет место соотношение у — С {х, т) = Э (т) / (х).

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 187
где у, a, Ai и А 2 — параметры материала, причем у ^> а > 0 при 0 ^
^ А2 ^ 1, аг|) (т) и А (т), подобно ф (t), суть функции старения, монотонно
убывающие с увеличением возраста бетона т. Легко видеть, что первый
член, входящий в выражение B.39), представляет собой не что иное, как
меру ползучести, определяемую соотношением вида B.23).
Интегральное уравнение B.17) наследственной теории старения
с ядром, отвечающим выражению B.39), можно свести к дифференциаль-
дифференциальному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами.
Сопоставляя результаты, полученные теоретическим путем и путем
специально поставленных экспериментов (С. В. Александровский и др.,
1966), проведенных при различных режимах загружения образцов (рис. 9
и 10), можно сделать вывод, что наследственная теория старения с ядром,
отвечающим выражению B.39), в области эксплуатационных значений
напряжений достаточно точно описывает линейную ползучесть бетона
•с одновременным учетом его старения и наследственности.
Наследственная теория старения, как это следует из основного инте-
интегрального уравнения B.17) с вырожденным ядром, например, вида B.33)
или B.36), учитывает частичную обратимость деформации ползучести,
причем доля необратимых деформаций определяется интенсивностью про-
процесса старения материала.
Это обстоятельство весьма существенно для напряженного состояния
инженерных сооружений, возникающего под влиянием температурных
воздействий, приложенных в раннем возрасте бетона и, как известно,
приводящих к образованию больших остаточных напряжений.
Как уже указывалось выше, среда, поведение которой описывается
наследственной теорией старения, по прошествии достаточно длительного
времени переходит в среду, описываемую теорией упругой наследственно-
наследственности с условием замкнутого цикла, т. е. в среду с полной обратимостью
деформации ползучести. Такое положение не вполне отвечает действитель-
действительности. Хотя в бетоне старого возраста отчетливо проявляются явления
упругого последействия, однако доля необратимых деформаций ползуче-
ползучести в нем может быть также весьма значительной.
Необратимые деформации, не связанные с процессом старения бетона,
не могут быть учтены с помощью основных уравнений B.17) и B.18) линей-
линейной теории наследственного старения. Способ учета таких деформаций,
а также обнаруженных в опытах явлений более интенсивного накопления
деформации ползучести при многократных повторных загружениях по
по сравнению с ползучестью при постоянной нагрузке, был предложен
П. И. Васильевым A953) и А. А. Гвоздевым A964). Изложим кратко сущ-
сущность этого способа в трактовке А. А. Гвоздева A964, 1966).
Сохраним соотношение B.17) для случая неубывающих нагрузок,
но для убывающей нагрузки введем другое ядро L (?, т), удовлетворяю-
удовлетворяющее условию
\L(t, %)\<\К (т, т) |. B.40)
Представим функцию
"V- E(t)
как разность двух неубывающих функций: э (t) = э± (t) — э2 (t), где
Эх (t) — сумма всех положительных, а э2 (t) — сумма абсолютных значений
всех отрицательных приращений функции э (t). Тогда механическое

188 н. х. арутюнян
уравнение ползучести можно записать в следующем виде:
t t
г (t) = э (t) — j ^ (т) К (t, x) dx+ \э2 (т) L (t, x) dx =
t t
^9(t)-\d(x)K(t,x)dx-\d2(x)[K(t,x)-L(t,x)]dx, B.41)
где t — момент наблюдения, x± — момент начала загружения и г (t) —
полная деформация.
Теперь функции L (?, т) и К (t, x) уже не являются наследственными
функциями влияния, понимаемыми в обычном смысле, так как они входят"
в уравнение B.41), которое отличается от уравнения B.17) дополнитель-
дополнительным членом с другим ядром, и если это ядро удовлетворяет условию B.40),.
то уравнение B.41) уже может отразить различие в эффектах нагрузки
и разгрузки, явление виброползучести и некоторые особенности поведения
бетона в условиях неоднородного напряженного состояния. В самом деле,
из соотношения B.41) при выполнении условия B.40) следует, что на по-
последующем изменении полной деформации во времени разгрузка скажется
слабее, чем нагрузка с такой же'интенсивностью и такой же длитель-
длительности.
При вибрационных напряжениях функции э± (t) и э2 (t) растут, но
так как влияние первой из них на рост деформации вследствие неравенства
B.40) сильнее, чем влияние второй на уменьшение деформации, то дефор-
деформации виброползучести окажутся больше деформаций ползучести под
постоянным напряжением, равным максимальному напряжению в цикле
вибрационного нагружения. Однако экспериментально эти предположе-
предположения пока еще не проверены, а аналитические выражения для ядер К (t, х)
и L (t, x) не предложены.
При рассмотрении пространственной задачи теории ползучести бетона
важно отметить, что для бетона, в отличие от других материалов, нельзя
считать, что наиболее существенную роль играет сдвиговое последействие,
а объемное последействие отсутствует. Учитывая это, Н. X. Арутюнян
A952) показал, что напряженное состояние, вызванное действием внеш-
внешних сил в упруго-ползучем теле, в двух случаях тождественно совпадает
с напряжениями упруго-мгновенной задачи для этого же тела, не обла-
обладающего ползучестью, а именно:
1) когда коэффициенты упругой поперечной деформации v (г) и по-
поперечной деформации ползучести v* (t, x) постоянны и одинаковы, т. е.
имеет место равенство
v (г) = v* (*, т) = v = const; B.42)
2) когда напряжения в теле постоянны или изменяются линейно^
в пространстве, независимо от того, выполняется ли равенство B.42),.
т. е. даже при различных коэффициентах поперечной деформации v (т)
и v* (t, v).
Если же напряженное состояние упруго-ползучего тела вызвано-
только вынужденными деформациями и при этом имеет место равенство
B.42), то его полные деформации не зависят от ползучести и тождественно
равны деформациям упруго-мгновенной задачи для этого же тела, а полные
напряжения отличаются от напряжений в соответствующем упругом
теле и определяются через них с помощью независимых интегральных

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 189
уравнений Вольтерра вида (Н. X. Арутюнян, 1952; Г. Н. Маслов, 1941)
о% (t) — ] а* (т) E(t)-^8(t, т) dx = ox (t),
t
х% (t) - J х%у (т) E(t)-^8 (t, т) dx = xxv @,
B.43)
tl
J
где a* (t), . . ., -T*y (?), ... — компоненты тензора напряженийв расмат-
риваемом теле с учетом ползучести и переменного модуля упругости мате-
материала, а ах (?), . . ., %ху (i) — соответствующие упруго-мгновенные на-
напряжения в этом же теле. (Остальные зависимости получаются цикличе-
циклической перестановкой координат х, г/, z.)
В дальнейшем С. В. Александровский A966) показал, что указанные
выше положения справедливы не только при граничных условиях, когда
на поверхности тела заданы напряжения, но и в случае, когда граничные
условия заданы в перемещениях или являются смешанными. Однако при
любых граничных условиях для этого необходимо, чтобы на поверхности
тела отсутствовали упруго-податливые связи.
Разумеется, эти положения не будут сохраняться, если учитывается
различие между эффектами нагружения и разгрузки.
Обобщение изложенных выше положений на случай нелинейной ползу-
ползучести дал Ю. К. Зарецкий A964).
И. Е. Прокопович A963) развил наследственную теорию старения
применительно с системам, неоднородным по своим упругим и реологиче-
реологическим свойствам, а С. И. Боре (Studii §i cere. sti. Acad. RPR, Fil. Ia§i, ser.
1, 1958, 9 : 1, 125—130) применил эту теорию к ортотропным средам, обла-
обладающим свойством ползучести.
В последние годы современная теория ползучести бетона нашла боль-
большое практическое применение. На ее основе решен ряд важных прикладных
задач и разработаны надежные методы расчета элементов инженерных кон-
конструкций с учетом ползучести материала, уже вошедшие в действующие
нормы проектирования.
Температурные задачи теории ползучести бетона рассматривались
С. В. Александровским A964, 1966), Н. X. Арутюняном A952), Н. X. Ару-
Арутюняном и Б. Л. Абрамяном A955), П. И. Васильевым A952, 1958, 1962),
М. А. Задояном A957, 1958), М. М. Манукяном A956), Н. Я. Панариным
A956, 1957), И. Е. Прокоповичем A962, 1963). Полученные результаты
показывают, что температурные напряжения в бетонных массивах при
учете деформаций ползучести во многих случаях в три-четыре раза меньше
соответствующих напряжений, найденных по упругому расчету.
Задачи кручения и изгиба составных призматических стержней и валов
переменного диаметра на основе линейной теории наследственного старе-
старения исследовались в работах Н. X. Арутюняна и К. С. Чобаняна A955—
1957), М. А. Задояна A959), В. С. Саркисяна A959). Изучению влияния
ползучести на напряженное и деформированное состояние оболочек и пла-
пластин различных видов посвящены работы Г. С. Григоряна A957, 1960)
и И. Е. Прокоповича A956, 1961, 1962), а задачи определения потерь
напряжения, обусловленных проявлением ползучести бетона в предвари-
предварительно напряженных конструкциях, рассматривались Н. X. Арутюняном
<1952), Н. А. Будановым A958, I960), Н. Я. Панариным A957), И. Е. Про-
Прокоповичем A958, 1963), И. И. Улицким A958, 1960), А. В. Швецовым

190 Н. X. АРУТЮНЯН
A962), К. К. Якобсоном A952, 1954), Е. А. Яценко A963, 1964). Вопросам
расчета бетонных и железобетонных конструкций с учетом ползучести
посвящены работы С. В. Александровского A966), Н. X. Арутюняна
A947, 1952), Н. X. Арутюняна и К. С. Чобаняна A955—1957), И. И. Голь-
денблата и Н. А. Николаенко A960), Г. С. Григоряна A957, 1960),
М. А. Задояна A956, 1958, 1959), М. М. Манукяна A956), И. Е. Прокопо-
вича A956, 1958, 1961—1963), В. С. Саркисяна A959), А. М. Смирнова
A953,1954), И. И. Улицкого A950, 1960), В. Д. Харлаба A961); в них рас-
рассмотрены задачи о влиянии осадки сооружений на напряженное и дефор-
деформированное состояние, о перераспределении напряжений между бетоном
и арматурой в железобетонных конструкциях и об определении прогибов
в железобетонных элементах и балках.
Исследования, проведенные над железобетонными балками, показали
значительный рост прогибов во времени за счет ползучести сжатой зоны
бетона.
Особенности поведения бетона в области нелинейной ползучести весь-
весьма сложны и изучены недостаточно полно, поэтому в настоящее время край-
крайне необходимы всесторонние и углубленные экспериментальные исследо-
исследования ползучести бетона при высоких уровнях напряжения и различных
режимах загружения.
Физический нелинейный характер ползучести бетона отчетливо про-
проявляется как при ступенчатом повышении нагрузки, так и при загружении
образцов постоянными сжимающими напряжениями различной величины.
Как уже отмечалось выше (см. § 1), нелинейность становится весьма суще-
существенной при напряжениях, превышающих (по абсолютному значению)
половину от предела прочности бетона на сжатие, т. е. при а^1/^./?. Учи-
Учитывая линейную зависимость между упруго-мгновенными деформациями
и напряжениями (которая, как известно, имеет место для напряжений,
почти соответствующих пределу прочности R) и пользуясь интегра-
интегралом суперпозиций, можно основное уравнение нелинейной теории наслед-
наследственного старения при одноосном напряженном состоянии представить
в виде
|11[^]1^т'0(т))Л {2М}
для всех значений a (t) > 1/2R- Если функцию Ф(?, т, сг(т)) представить
в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только
от т и (t — т), а вторая только от а, т. е. в виде
Ф (*, т, а (т)) = F (а (т)) Щ^ , B.45)
а меру ползучести С (t, т) определить выражениями B.28) или B.39),
то получится интегральное уравнение нелинейной теории наследственного
старения, предложенное Н. X. Арутюняном A952):
B'46>
При помощи этого уравнения Р. А. Александряном, Н. X. Арутюня-
Арутюняном и М. М. Манукяном в 1958—1963 гг. решен ряд задач по кручению-

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 191
и изгибу призматических стержней и валов переменного диаметра на основе
нелинейной теории наследственности с учетом старения материала. Реше-
Решения задач сводятся к исследованию нелинейных интегральных и интегро-
дифференциальных уравнений Вольтерра второго рода. Для решения этих
уравнений используется метод малого параметра (этим параметром харак-
характеризуется степень нелинейности деформации ползучести), причем
приводится доказательство сходимости предложенного метода ре-
решения.
На основе нелинейной теории старения решены *) задачи о релак-
релаксации напряжений в центрально сжатых бетонных и железобетонных
элементах и задача о напряженном состоянии центрально сжатого же-
железобетонного элемента при длительном действии постоянной нагрузки.
Особое внимание уделено исследованию величины потерь предварительного
напряжения.
М. А. Задоян A958) составил вариационные уравнения для нелинейной
теории наследственного старения и применил их к решению некоторых
прикладных задач.
Возвращаясь к уравнениям B.44) и B.46), нам хотелось бы здесь
отметить, что для стареющих материалов, у которых время упругого после-
последействия или время релаксации зависит от напряжения сг, функция
Ф (t, т, а (т)) не может быть представлена в виде упомянутого выше про-
произведения B.45), иначе говоря, для кривых ползучести не имеет места
подобие в области высоких напряжений, т. е. при о > V2 R-
Существование зависимости времени упругого последействия или
времени релаксации от напряжения для такого стареющего материала,
как бетон, подтверждается экспериментальными исследованиями К. С. Ка-
рапетяна A953, 1959) и Н. И. Катина A959). Эти исследования показали,
что при достаточно длительном приложении нагрузки кривые ползучести,
полученные на образцах, загруженных в одном и том же возрасте напря-
напряжениями различной величины, перестают быть аффинными, а нелинейность
деформации ползучести с течением времени смягчается.
Основной причиной этого является рост прочности бетона с течением
времени, т. е. процесс его старения и соответствующее увеличение области
линейной ползучести. Однако и в старом бетоне продолжается та же тен-
тенденция, хотя и не так интенсивно.
В работе И. И. Улицкого A963) приводятся многочисленные данные,
подтверждающие, что нелинейность деформации ползучести смягчается
со временем, и предлагается приближенный прием для учета этого явления
при решении различных задач по теории старения.
Е. А. Яценко A962, 1963) на основе теории старения получил в замк-
замкнутой форме решения некоторых задач с учетом временного, скоропреходя-
скоропреходящего характера нелинейной ползучести бетона.
Чжао' Цзу-у (Acta mech. Sinica, 1959, № 4) и С. 3. Вульфсон A964)
предложили отразить явление смягчения нелинейности деформации пол-
ползучести со временем путем представления меры ползучести для старого
бетона в виде суммы линейной и нелинейной частей с соответствующими
мерами ползучести С (t -»- т) и С (t — т), причем скорость затухания
С (t — т) больше, чем С (t — т). Однако этим путем нельзя учесть влияние
старения бетона на снижение нелинейности деформации его ползучести.
*) См. Н. X. Арутюнян и М. М. Манукян A957, 1958), П. И. Васильев A951),
С. 3. Вульфсон A961), Р. А. Мельник A963, 1964),.М. И. Розовский A956, 1958, 1959),
А. М. Симонян A966), И. И. Улицкий A959, 1961, 1964).

192 Н. X. АРУТЮНЯН
Это может быть отражено с помощью зависимости
t t
Zno*3(t) = H-^-Flo,v\]h(y]-~T)^d4dT1 B.47)
предложенной П. И. Васильевым A953).
В области линейной ползучести зависимость B.47) переходит в зави-
зависимость линейной теории наследственного старения с мерой ползучести
t
C(t,x) = ^g (т) h (t-%) dx, B.48)
X
где К (?, х) — g (т) h (t — г) есть ядро ползучести (при Е = const),
определяемое выражениями B.33) или B-.29). При отсутствии старения
уравнение B.47) переходит в уравнение B.9) нелинейной теории упругой
наследственности с условием замкнутого цикла.
Здесь нам хотелось бы обратить внимание и на следующее важное
обстоятельство: нелинейное уравнение наследственной теории старения
B.46), строго говоря, применимо лишь в случае отсутствия разгрузок.
В самом деле, опытами установлено (см. § 1), что в области нелинейной
ползучести бетона последействие в нем после его разгрузки при различных
уровнях напряжений не следует тому же нелинейному закону, по которо-
которому развиваются деформации ползучести при нагружении этого же бетона
согласно уравнению B.46) наследственной теории старения бетона. Более
того, на основании некоторых предварительных данных представляется
возможным полагать, что явление последействия в бетоне при его раз-
разгрузке в области высоких напряжений по своему характеру протекает
ближе к линейному закону, хотя при этом по-прежнему имеет место непол-
неполная обратимость деформации ползучести.
Поэтому нелинейная теория ползучести бетона в ее современном виде,
основанная на исходных уравнениях B.9), B.16) или B.46), т. е. на допу-
допущении подобия кривых ползучести, и не учитывающая явления смягчения
нелинейности деформации ползучести бетона со временем, а также разли-
различие между эффектами нагрузки и разгрузки, является хотя и важным,
но лишь первым шагом в создании нелинейной теории ползучести бетона.
Дальнейшее уточнение и развитие этой теории должно быть основано
на более широком и полном теоретическом обобщении экспериментального
материала.
Рассмотренное выше нелинейное уравнение B.46) наследственной
теории старения бетона относится к одноосному напряженному состоянию.
Для составления соответствующих уравнений при объемном напряженном
состоянии имеется еще слишком мало экспериментальных данных. Однако
здесь следует ожидать значительных трудностей. Необходимо иметь в виду
что, в отличие от ползучести металлов, на ползучесть бетона при высоких
напряжениях весьма существенно влияет среднее нормальное напряжение,
т. е. объемная деформация. Это обстоятельство всегда необходимо иметь
в виду при применении различных форм обобщения теории пластичности
на случай нелинейной ползучести бетона.
Другой важной проблемой является отражение в уравнениях теории
ползучести бетона влияния температурно-влажностного режима на дефор-
мативные свойства материала.
Как известно, при изменениях температуры и влажности ряда тел
изменяются также и все их физико-механические свойства, в том числе
и мера ползучести. Как показывают эксперименты, пренебрежение этим

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 193
обстоятельством при значительных изменениях температуры и влажности
недопустимо. В связи с этим при построении теории ползучести для ста-
стареющих материалов необходимо учитывать их теплофизические и механи-
механические свойства. При этом особое внимание следует уделить случаю перио-
периодически изменяющих температурных и влажностных полей.
Важно также всесторонне изучить ползучесть стареющих материалов
в условиях низких отрицательных температур.
Наконец, большой интерес представляет дальнейшее развитие наслед-
наследственной теории ползучести для анизотропных и разномодульных старею-
стареющих материалов. При этом не следует останавливаться перед применением
всего многообразия методов современной математики и средств вычисли-
вычислительной техники, если это может оказаться оправданным поставленными
целями.
§ 3. Контактные задачи теории ползучести
Развитие теории ползучести, в частности доказательство теорем
о влиянии ползучести на напряженное и деформированное состояние
изотропного тела (Н. X. Арутюнян, 1952; И. Е. Прокопович, 1956) и реше-
решение плоской контактной задачи теории пластичности (Н. X. Арутюнян,
1959) создало предпосылки для рассмотрения контактных задач теории
ползучести с учетом старения материала. Существенную роль в этом
вопросе сыграл также новый эффективный метод решения интегральных
уравнений Фредгольма первого и второго рода (М. Г. Крейн, 1954, 1955),
позволяющий получать решения, если известно решение соответствую-
соответствующего уравнения с правой частью, равной единице. Заметим, что с механи-
механической точки зрения это решение соответствует решению плоской кон-
контактной задали для случая давления на полуплоскость жесткого штампа
с прямолинейным основанием.
3.1. Плоская контактная задача теории ползучести. Плоская контакт-
контактная задача линейной теории ползучести впервые была изучена И. Е. Про-
коповичем A956). Известное решение теории упругости (И. Я. Штаерман,
1949) и основные уравнения наследственной теории старения (Н. X. Ару-
Арутюнян, 1952) позволили ему получить для определения вертикального
перемещения v X границы i-то полупространства, находящегося в условиях
плоской деформации и загруженного нормальными силами р * (#, t)y
приложенными на площади 5, следующую формулу:
v*(t) = — [Ft (t) — Li] \ К (х, s) р* (s, t) ds + Ct (t), C.1)
J
t
LiP* (s, t) = J Kt {t, x) p* (s, t) dr, * C.2)
C.3)
Kt (t, т) =-|r{[l-v?a (*, t)] 6, (*, т)},
Et (t) — модуль упруго-мгновенных деформаций, 8t (t, т) — полная отно-
относительная деформация, a vt (t) и v* (t, т) — коэффициенты поперечного
расширения соответственно при упругих деформациях и деформациях
ползучести i-то полупространства.
13 Механика в СССР, т. 3
где
XI

194 н. х. арутюнян
Пусть два соприкасающихся между собой в точке или по линии тела,
обладающих свойством линейной ползучести, прижимаются одно к друго-
другому под действием внешних сил, равнодействующая которых Р (t) перпен-
перпендикулярна к оси -х и проходит через начало координат. Соотношение, кото-
которому должны удовлетворять перемещения точек области контакта этих
тел, как известно, имеет вид
< if) + vt (t) = А* (t) - П И - U И, C.4)
где A*(t) — A* (t) + A* (t) — сближение тел в направлении оси i/, a /i (x)
и/г (#) — уравнения поверхностей, ограничивающих первое и второе тела.
Если полагать, что трение и сцепление между сжимаемыми телами
отсутствуют, то тогда на участке контакта каждое из этих тел будет испы-
испытывать только нормальное давление р* {х, t). Но обычно область контакта
бывает мала по сравнению с размерами сжимаемых тел; поэтому можно
считать, что перемещения на участке контакта сжимаемых тел будут таки-
такими же, как у граничных точек двух полуплоскостей (верхней и нижней),
находящихся под действием того же нормального давления р* (#, f)f
что и рассматриваемые сжимаемые тела.
Пользуясь формулой C.1) и соотношением C.4), И. Е. Прокопович
для определения контактного давления р* (х, t) получил следующее инте-
интегральное уравнение:
t
\ ~К (х, s) р* E, t) ds — j j К (x, s) p* (s, т) К (t, т) dsdx = F (x, t), C.5)
S S
j j
где
/o (x) = /i (x) f f2(x), Q(t)=A [F± (t) + F2(*)],
* I C.6)
где А — известная величина, зависящая от параметров материала, /*(#)
и f2(x) — уравнения контактных поверхностей первого и второго тела,
С (f) — функция, связанная с суммарным неупругим перемещением A* (f).
Интегральное уравнение C.5) позволяет разыскать интенсивность
контактного давления р* (х, t) в зависимости от положения точки по ши-
ширине контакта и продолжительности действия нагрузки. Это уравнение
можно представить в более компактной форме:
t
(х, t) — [ К (*, т) со (xr x)dx = F (x, *), C.7)
(o(x,t)=[K(x, s)р* E, t) ds, C.8)
СО!
'-I
что позволяет задачу определения неизвестного контактного давления
р* (#, t) свести к последовательному решению связанных между собой
двух интегральных уравнений C.7) и C.8).
Первое из этих уравнений, т. е. уравнение C.7), которому должна
удовлетворять со (я, f) как функция времени ?, учитывает влияние ползу-
ползучести материала на распределение контактных давлений р *(#, f) и пред-
представляет собой линейное интегральное уравнение Вольтерра второго рода,
которое для различных случаев ядер ползучести К (?, т) подробно исследо-
исследовано (С. В. Александровский, 1966; Н. X. Арутюнян, 1952; И. Е. Проко-

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 195
пович, 1963; М. И. Розовский, 1965). Если принять предположение B.42),
то C.7) перейдет в уравнение, аналогичное уравнению, описывающему
напряженное состояние системы, составленной из двух неоднородных
элементов, при наличии вынужденных деформаций (И. Е. Прокопович,
1963). Если два контактирующих тела обладают одинаковыми модулями
упругости и одинаковыми мерами ползучести, то при условии B.42) урав-
уравнение C.7) аналогично уравнению, описывающему релаксацию напряже-
напряжений в однородном и изотропном теле (Н. X. Арутюнян, 1952; И. Е. Проко-
Прокопович, 1963).
Второе интегральное уравнение, C.8), которому должна удовлетво-
удовлетворять ?>* (х, t) как функция #, представляет собой интегральное уравнение
Фредгольма первого рода с ядром К (х, s) = In A/ | х — s |), имеющим
слабую особенность, и правой частью со (#, ?), являющейся решением
уравнения C.7).
Если решение уравнения C.7) представить в форме
со (*, t) = у (f) - Н (t) /о (х) C.9)
и далее, пользуясь методом М. Г. Крейна A955), решить интегральное урав-
уравнение C.8) с правой частью C.9) при учете условия B.42), то для опреде-
определения р* (х, t) в случае симметричной задачи о контакте двух тел в усло-
условиях линейной ползучести и с учетом старения материала получается сле-
следующая формула:
^\\t\^=ds. C.10)
Заметим, что функция Н (?), которая является решением интегрального
уравнения C.7) с правой частью, равной 1/9 (?), учитывает влияние упруго-
мгновенных деформаций и деформаций ползучести сжимаемых тел с учетом
старения материала на контактное давление р* (х, t) в рассматриваемом
периоде времени. В формуле C.10) первый член представляет собою реше-
решение с особенностями в точках х = ± а и подлежит сохранению только
в случае заданной ширины контакта 2а; при этом неизвестная функция
у (f) определяется из уравнения равновесия
а
=* j p*(x, t)dx. C.11)
Когда же ширина контакта 2а (f) не задана, т. е. контакт между сжимаемы-
сжимаемыми телами происходит по плавным поверхностям, то неизвестная функция
у = у (t) определяется из требования, чтобы в формуле C.10) первый член,
представляющий решение с особенностью, исчез, т. е. 7 {$) = 0, а пере-
переменная во времени ширина контакта 2а (f) определяется из уравнения рав-
равновесия C.11).
Для случая контакта по некоторым поверхностям частного вида полу-
получены простые расчетные формулы. Например, при контакте по цилиндри-
цилиндрической поверхности /0 (х) = V2 x*/R, когда ширина контакта не задана,
D* (Х т - ЖЖ Л,/~ 2RP (*) Г2 /о л оч
Аналогичным путем И. Е. Прокопович A956) получил формулы для
определения р* (х, t) в случае кососимметричной задачи о контакте двуд
тел в условиях линейной ползучести с учетом старения материала..
В дальнейшем М. М. Манукян A965) показал, что решение плосцощ
13*

196 Ы. X. АРУТЮНЯН
контактной задачи линейной теории ползучести с учетом старения мате-
материала при двух симметрично расположенных участках контакта (— а ^
^ х ^ —Ь, Ъ ^ х ^ а) сводится к решению связанных между собой
интегрального уравнения C.7) и уравнения C.8) с ядром
*(*> s) = ln]^=^j- C-13)
Решение построено при помощи замены переменных и введения новой
функции q (?, f), связанной с давлением р* (я, f) и определяемой по фор-
формуле, аналогичной C.10).
Т. Ширинкулов A964) установил, что плоская контактная задача
линейной теории ползучести с учетом старения материала для тел, модуль
упругости которых возрастает с глубиной по степенному закону, тоже
может быть сведена к решению двух интегральных уравнений типа C.7)
и C.8). В другой работе того же автора A963) на основе наследственной
теории старения приводится решение плоской контактной задачи линейной
теории ползучести с учетом сил трения, когда коэффициенты поперечного
расширения сжимаемых тел равны и постоянны во времени.
В работе А. М. Симоняна A966) рассмотрено равновесие двух сжимае-
сжимаемых ортотропных тел при плоской деформации в условиях линейной
полвучести с учетом старения материала.
Значительно большие трудности пришлось преодолеть при рассмотре-
рассмотрении контактной задачи с учетом нелинейной ползучести материала.
Это связано с тем, что построению решения должны были предшествовать
рассмотрение задачи о равновесии полуплоскости (полупространства),
нагруженной приложенной к ее границе сосредоточенной силой Р (?),
и вывод формул для определения перемещений этой границы при действии
распределенного давления р* {х, t).
Плоская контактная задача нелинейной теории ползучести впервые
была поставлена и решена Н. X. Арутюняном A959). Основная зависи-
зависимость между интенсивностью деформаций s (f) и интенсивностью напряже-
напряжений a (f) была принята, согласно теории пластической наследственности
с учетом старения материала (Н. X. Арутюнян, 1952; Ю. Н. Работнов,
1966), в виде
г» (t) = a @ — j or (т) Я (*, т) dx, C.14)
где
дС?т) ), C.15)
С (f, x) — мера ползучести, а К0 и (х — физические константы материала.
Материал предполагается несжимаемым.
Тогда при действии сосредоточенной силы Р (f) для определения вер-
вертикального перемещения границы полуплоскости (или полупространства
в случае плоской деформации), с учетом нелинейной ползучести и ста-
старения материала, получается следующая формула:
v*(t) = A[{l-L)P(t)]m\s-x\i-m + D{t). C.16)
где m=l/\i, х — текущая абсцисса точки границы полуплоскости, для
которой определяется перемещение v*(t), s — абсцисса точки приложе-
приложения силы Р (t),
А = ^, C.17)

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 197
L — оператор Вольтерра с ядром ползучести C.2) или C.15), а / — из-
известная постоянная, зависящая от \л.
Далее Н. X. Арутюнян показал, что если разбить эпюру давления
р* (х, t), действующего на участке контакта S (а ^ х ^ Ь), на элементар-
элементарные полоски шириной Asj и высотой p*(sj t) (j = 1, 2, . . ., п) и рассмот-
рассмотреть действие одной из этих полосок (например, ;-й с абсциссой х = Sj)
на нижнюю полуплоскость, то граничная точка этой полуплоскости с про-
произвольной абсциссой х получит в направлении оси у перемещение у* (?),
которое определится с помощью формул
v (t) = [v* (t) —D (jQf, C.18)
H (t) = hj (t) p*(sj, t)_Asj, hj (t) = Л»*| sj - x |^ A - L). C.19)
В дальнейшем величину v (t) будем называть обобщенным перемещением
точек границы полуплоскости. Здесь важно отметить, что это обобщенное
перемещение, как это следует из соотношения C.19), линейно зависит
от действующей силы, что для истинных перемещений у* (t) не имеет места
ни в одной точке тела.
При одновременном действии на участке контакта S системы сил
Pj (t) = p* (sj, t) Asj (j = 1, 2, . . ., n; n — число элементарных полосок
шириной Asj на участке контакта) с помощью разложения в ряд Тейлора
доказана возможность представления обобщенного перемещения v (f)
в виде
п п
v (t) = * 2 hj (t) p* E, t) Asj + 2 CJk (t) p* (sj, t) p* (sh, t)p* (sj,t) AsjAsh +...
C.20)
Вследствие малости участка контакта S в выражении C.20) для обобщен-
обобщенного перемещения v (f) при той степени точности, которая принята при
решении данной задачи, можно ограничиться первым главным членом раз-
разложения. Это позволяет после перехода к пределу при Asj -> 0 получить
для определения обобщенных перемещений границы i-ж полуплоскости,
вызванных давлением р* (#, ?), действующим на участке контакта 5, сле-
следующую формулу:
v(t) = A\ (I— L) \Ё(х, s)p*(s, 0^I™ +D(t), K(x, s) = ]~тг-
L J J | s — x\
C.21)
Таким образом, формула C.21) выражает и обосновывает принцип
приближенной суперпозиции обобщенных перемещений v (t), дающий
возможность свести решение плоской контактной задачи нелинейной тео-
теории ползучести с учетом старения материала (или теории пластичности
со степенным упрочнением) к совместному решению двух связанных между
собой интегральных уравнений вида
t
о (х, 0 — j <*>(я, T)K(t, T)dr = F(x, t), C.22)
[%±Р* («, t) ds _ , Г2Ц
J \s-x\l »
где
F (x, t) = [y {t) - /o (x)]^ /0 (x) = h{xJ + YX) • <3-24)

198 л Н. X. АРУТЮНЯН
а А\ и42, согласно C.17), определяются через константы материалов обоих
тел:
Таким образом, и в нелинейной постановке, основанной на физиче-
физической зависимости C.14), контактная задача наследственной теории ползу-
ползучести сводится к последовательному решению двух связанных между
собой интегральных уравнений C.22) и C.23). Решение уравнения C.22)
при различных ядрах C.15) достаточно хорошо изучено (С. В. Алексан-
Александровский, 1966; Н. X. Арутюнян, 1952; И. Е. Прокопович, 1956; Ю. Н. Ра-
ботнов, 1966; М. И. Розовский, 1955); поэтому разыскание функции со (х, t)
не встречает затруднений. Решение же интегрального уравнения Фред-
гольма первого рода C.23) со слабой особенностью, когда областью кон-
контакта между телами является отрезок — а ^х ^ а, строится по методу
М. Г. Крейна A954, 1955).
Например, для случая симметричной задачи о контакте двух тел
в условиях нелинейной ползучести получена формула
где
JC(|i) = * * 'VI" ^-. O'i(a,t,y) = i- V ^^-,C.26)
а Г (z) — гамма-функция.
При заданной ширине контакта 2а неизвестная функция у = у (t)
Подбирается так, чтобы выполнялось условие C.11), которое равносильно
уравнению
Йз этого Я\е уравнения определяется величина 2а (t) при неизвестной
ширине контакта; при этом функция 7 00 должна удовлетворять условию
обращения в нуль первого члена в формуле C.25), представляющего реше-
решение с особенностями, т. е. условию
Ф; (а, *, у) = 0. C.28)
Изучена и решена также кососимметричная плоская контактная зада-
задача с учетом нелинейной ползучести. Следует отметить, что случай произ-
произвольного нагружения сжимаемых тел не может быть получен путем нало-
наложения указанных выше двух случаев (симметричного и кососимметричного)
и должен быть решен отдельно как самостоятельная задача (Н. X. Арутю-
Арутюнян, 1959).
Уравнения и формулы, полученные Н. X*. Арутюняном A959) при
t = Ti, представляют собой решение плоской контактной задачи теории
пластичности со степенным упрочнением материала, а при \i = 1 — реше-
решение плоской контактной задачи теории упругости (И. Я. Штаерман, 1949).
При т = 0 давление под жестким плоским штампом р* (х), полученное

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 199
согласно формуле C.25), дает закон распределения, соответствующего
известному решению Л. Прандтля (см. Л. М. Качанов, I960)*
На основании решения Н. X. Арутюняна М. М. Манукян A963) изучил
задачу о вдавливании жесткого клина в полуплоскость в условиях неуста-
неустановившейся ползучести. Им рассмотрены случаи заданной и неизвестной
ширины контакта и выведены формулы для определения у (t) и a (t).
Плоская контактная задача нелинейной теории ползучести при нали-
наличии сил трения в условиях установившейся ползучести рещена Н. X. Ару-
тюняном и М. М. Манукяном A963). При этом зависимости между интен-
интенсивностью скоростей деформации и интенсивностью напряжений приняты
в виде
Кое» = 0, C.29)
где Ко и [х — константы материала @ < \i < 1).
Если принять, что одно из тел неподвижно и на участке контакта
соприкасающихся тел действует нормальное давление р (х) и кулоново
трение q (х) ,== кр (х), и воспользоваться принципом суперпозиции для
обобщенных перемещений, то решение задачи нелинейной теории ползу-
ползучести с учетом сил трения сведется к решению сингулярного интеграль-
интегрального уравнения Фредгольма первого рода следующего вида:
.где
а аь а2, gi — постоянные, определяемые через физические константы мате-
материала Ко, (х и коэффициент трения к.
Структура ядра этого интегрального уравнения вызвала необходи-
необходимость в специальной разработке способа его решения. Для случая вдавли-
вдавливания жесткого штампа с прямолинейным основанием в полуплоскость, т. е.
когда правая часть интегрального уравнения C.30) со слабой особенностью
является постоянной, удалось получить (Н. X. Арутюнян и М. М. Ману-
Манукян, 1963) точное решение этого интегрального уравнения в замкнутом
виде. При помощи этого решения для определения контактного давления
р (х) была получена формула
содержащая постоянную р, которая определяется через параметры аи
а2 и \i.
Решение контактной задачи с учетом сил трения развито М. М. Ма-
Манукяном A963) для случая неустановившейся ползучести, описываемой
зависимостью C.14).
3.2. Пространственная контактная задача теории ползучести. Про-
Пространственная контактная задача теории ползучести в линейной постанов-
постановке изучалась Н. Ф. Какосимиди и И. Е. Прокоповичем A962). При выпол-
выполнении условий B.42) для определения вертикальных перемещений границы

200 н. х. арутюнян
i-то полупространства получена формула
vt (t) = At [Ft (t) - Lt\ \\~K(s, л) p* (s, % t) ds dx\, C.31)
где
=st' C-32>
а оператор Lt определяется соотношением C.2).
Неизвестное контактное давление р* (х, у, t) определяется из инте-
интегрального уравнения
С E, i\)p*(s, л, t)dsdi\—
t
E, т|)К(t, х)р* E, ть т) d5di)dx = F (x, у, 0. C.33)
Ti S
аналогичного C.5) и допускающего представление в виде двух уравнений:
со (я, г/, t)— \(o(x, y,x)K(t, x)dx = F(x, г/, t) C.34)
о) (х, y,t) = \ [ К (s, У]) р* (*, ч, t) ds dr\. C.35)
s
При этом jRT (t, x) и F (x, y, t) определяются формулами, аналогичными
C.6), с учетом того, что /0 = /о (#, У) = /i (#> ^/) + /г (^, 2/).
Интегральные уравнения C.34) и C.7) совершенно идентичны. Урав-
Уравнение C.35) при фиксированном моменте времени t описывает упруго-
мгновенную задачу.
Пространственная задача линейной теории ползучести с учетом ста-
старения материала рассматривалась также М. Пределяну (Bull. math. Soc.
sci. math, et phys., 1964, 6 : 3-4, 219—229) с приложением полученных
результатов, в частности, к решению задачи о контакте двух сферических
тел, находящихся под действием постоянной сжимающей силы.
В работе А. Б. Ефимова A966) рассмотрена осесимметричная контакт-
контактная задача для линейно-вязко-упругих тел. Контактное давление автор
выражает через интегральный оператор, воздействующий на некоторую
функцию координат г и времени ?, отображающую влияние нагружения
и разгрузки. При этом установлено, что связь контактного давления с ра-
радиусом круга контакта при повторной разгрузке зависит не от полной исто-
истории процесса контакта, а от соответствующей «усеченной траектории» «на-
«нагружения — разгрузки».
А. И. Кузнецовым A962) на основе идей, развитых в работах
Н. X. Арутюняна A959), решена задача о вдавливании жесткого штампа
в полупространство, находящееся в условиях нелинейной ползучести,
характеризующейся физическим уравнением, аналогичным C.14), или
при степенном упрочнении материала. Построению решения рассматривае-
рассматриваемой задачи предшествовали: рассмотрение задачи о равновесии полупро-
полупространства с учетом ползучести материала при действии сосредоточенной
силы Р (t), вывод формул для определения перемещений границы этого полу-
полупространства, находящегося в условиях установившейся ползучести, при
действии распределенного давления р* (#, t/, t) и, наконец, решение зада-

ПОЛЗУЧЕСТЬ СТАРЕЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ. ПОЛЗУЧЕСТЬ БЕТОНА 201
чи о вдавливании штампа в полупространство со степенным упрочнением
материала.
Решение задачи о вдавливании жесткого штампа в полупространство
при нелинейной ползучести материала основано на возможности представ-
представления вертикальных перемещений границ полупространства формулой
вида
[^ Y ( = ±) . C.36)
которая получается из принципа суперпозиции обобщенных перемещений.
Здесь А — известная величина, зависящая от параметров материала К®
и |х @ < \х < 1); оператор L определяется согласно C.2) и C.3) или C.15),
а ядро
\ ' I/ I —| /"* \О I / \О I ^ *
Формула C.36) позволила свести задачу определения неизвестного
контактного давления р* (х, г/, t) к решению двух интегральных уравне-
уравнений C.34) и C.35). При этом ядра К (?, т) и К (s, r\) принимаются согласно
C.15) и C.37), a F (ж, г/, t) — по C.24) с учетом того, что
i (^ 7/\ f*(x> y) + f2Jx, У)
То\х, У) ^
и у (t) в общем случае имеет вид у (t) = Д* (t) + a (t) х + р (t) y\ для
определения неизвестных функций A* (t), a (t) и р (t) используются три
условия равновесия штампа.
А. И. Кузнецов A962) рассмотрел случай штампа с плоским эллипти-
эллиптическим основанием и случай осесимметричного штампа.
Все полученные в упомянутых работах решения задач о контакте двух
тел, находящихся в условиях неустановившейся ползучести, относятся
к случаям, когда определение контактного давления р* (х, t) сводится
к последовательному решению двух связанных между собой интегральных
уравнений типа C.22) и C.23) или C.34) и C.35).
Решения контактных задач теории неустановившейся ползучести,,
естественно, оказалось возможным получить из такого рода системы
уравнений только благодаря определенным предположениям о физической
зависимости между напряжениями и деформациями, положенным в осно-
основу наследственной теории ползучести.
Характерным является то, что, согласно полученным выше решениям,
ползучесть материала контактирующих тел не влияет на закон распреде-
распределения контактных напряжений во времени, если контакт между этими тела-
телами происходит по линии или по плоскости, как, например, при вдавлива-
вдавливании жестких штампов в полуплоскость или в полупространство в условиях
неустановившейся ползучести.
Ползучесть материала контактирующих тел влияет на распределение
давлений только в случае, когда контакт между этими телами происходит
по криволинейным поверхностям, причем при заранее неизвестной ширине
контакта площадь его при длительном действии нагрузки существенно
изменяется со временем.
3.3. Учет ползучести оснований при решении различных контактных
задач. Вопросы расчета балок на упругом основании, обладающем пол-
ползучестью, рассматривались в работах А. Р. Ржаницына A949), М. И. Ро-
Розовского A956), И. И. Гольденблата и Н. А. Николаенко A960), И. Е. Про-
коповича A963). В них приводятся решения задач расчета балок, лежащих

202 н. х. арутюнян
на сплошном основании, в случаях, когда материалы балок и оснований
соответствуют реологической модели упруго-вязкого тела Кельвина или
подчиняются законам линейной теории упругой наследственности.
М. И. Розовский A951) дал решение задачи о деформации фундамен-
фундаментальной балки с учетом ползучести основания, когда последнее подчиняет-
подчиняется винклеровой гипотезе коэффициента постели.
В работе И. И» Кийсса A949) приводится расчет железобетонных балок
с учетом ползучести бетона и основания исходя из условия равенства кри-
кривизны балки и поверхности основания. Для решения исходного уравнения
И. И. Кийсс пользовался приближенными методами. В качестве приложе-
приложения им рассмотрена задача, в которой основание является слоистым.
При решении задач старение материалов балки и основания не учитывалось.
Своеобразной контактной задачей является задача о термонапряжен-
термонапряженном состоянии массивного бетонного блока, лежащего на основании
из скалы или ранее уложенного бетона. Соответствующее решение плос-
плоской задачи выполнено Н. X. Арутюняном и Б. Л. Абрамяном A955);
при этом считалось, что между основанием и блоком расположен упругий
слой. В дальнейшем это решение было развито М. М. Манукяном A956)
и М. А. Задояном A957) и применено ими к круглым и прямоугольным бло-
блокам с учетом ползучести бетона. И. Е. Прокопович A962) предложил при-
приближенный способ расчета бетонных блоков с учетом их упругих свойств
и ползучести основания. Соответствующее решение позволило ему выявить
особенности влияния соотношений геометрических размеров блоков на их
термонапряженное состояние и послужило основой для последующей
разработки им практического способа расчета A964). Этот способ позво-
позволяет учесть изменение температурного и влажностного режима, геометри-
геометрические размеры блоков, конструкцию основания, изменение модуля
упруго-мгновенных деформаций и релаксацию напряжений вследствие
ползучести бетона. В последующем было изучено термонапряженное состо-
состояние системы двух массивных блоков (В. В. Крисальный, 1966).
На основе идей работы И. Е. Прокоповича A956) Н. Ф. Какосимиди,
применив наследственную теорию старения, разработал приближенный
способ расчета фундаментной полосы A960) и круглой плиты A965), лежа-
лежащих на упруго-ползучем основании. Для описания механических свойств
оснований автор использовал модель упруго-ползучего полупространства,
находящегося в условиях плоской деформации. Задача свелась к решению
интегрального уравнения Вольтерра второго рода. Учет ползучести осно-
основания при расчете фундаментных полос (а также балок) приводит к возра-
возрастанию расчетных усилий, заметному перераспределению контактных дав-
давлений и возрастанию изгибающих моментов.
Ж. С. Ержанов A964) рассмотрел на основе наследственной теории
Ю. Н. Работнова несколько задач, посвященных исследованию напряжен-
напряженно-деформированного состояния подземных сооружений с учетом ползуче-
ползучести горной породы. Он исследовал напряженно-деформированное состоя-
состояние горного массива вокруг закрепленной и незакрепленной шахтной
и горизонтальной выработок. Ж. С. Ержанов и А. К. Егоров A965) иссле-
исследовали механизм зарождения складчатой структуры в земной коре при
тектонических процессах, исходя из модели релаксирующего упруго-вяз-
упруго-вязкого тф1а, представленного вольтерровыми уравнениями.
Используя общие принципы термодинамики, Л. С. Лапидус A965)
получил для горной породы при некоторых допущениях наследственную
«функцию влияния, совпадающую по виду с функцией Кольрауша —
Вронского и хорошо согласующуюся с экспериментом.

МЕХАНИКА ГРУНТОВ
С. С. ГРИГОРЯН, В. А. ИОСЕЛЕВИЧ
% 1. Введение 203
§ 2. Исследования деформируемости грунтов . . . 205
§ 3. Исследования прочности и несущей способности грунтов 210
§ А. Влияние временных эффектов „ • 217
§ 5. Динамика грунтов * 222
§ 1. Введение
В науке о твердом деформируемом теле механика грунтов занимает
особое положение. Выражается это в том, что механика грунтов привле-
привлекает ряд представлений и методов из различных разделов механики сплош-
сплошной среды (теорий упругости, пластичности, ползучести, фильтрации)*
Поэтому аппарат и задачи механики грунтов выглядят довольно пестро.
Эта особенность обусловлена тем, что объект исследований — грунт пред-
представляет собой сложную многофазную дисперсную систему, макроскопи-
макроскопическое поведение которой под действием нагрузок определяется протека-
протеканием многих параллельно идущих процессов различной механической
природы. Из-за многообразия природных разновидностей грунтов и усло-
условий воздействия на них эти процессы могут проявляться с различной интен-
интенсивностью и тем самым приводить к соответствующему многообразию
форм макроскопического поведения среды. Задача механики грунтов,
таким образом, в принципе представляется достаточно сложной. Для ее
постановки и решения требуются ясное понимание и рациональная схема-
схематизация основных процессов, протекающих в грунте, и привлечение аде-
адекватных научных методов количественного анализа.
В историческом плане развитие механики грунтов, действительно,
характеризовалось постоянными и небезуспешными попытками привлече-
привлечения методов механики сплошной среды для решения практических задач
и формирования общего облика этой научной дисциплины. С другой сто-
стороны, само развитие некоторых разделов механики сплошной среды (теории
пластичности, теории предельных состояний) стимулировалось зада-
задачами механики грунтов, некоторые фундаментальные представления кото-
которой были сформулированы еще в XVIII и XIX веках (Ш. Кулон, В. Том-
«сон, О. Мор, В. Ранкин, О. Рейнольде и др.). Тем не менее в самостоятель-
самостоятельную механическую дисциплину механика грунтов сформировалась
сравнительно недавно, в двадцатых годах, когда были начаты система-
систематические и значительные по результатам исследования К. Терцаги

204 с. с. григорян, в. а. иоселевич
и Н. М. Герсеванова. В этих исследованиях уже были намечены основные
направления развития механики грунтов и методы решения соответ-
соответствующих задач, основанные на использовании математических средств
из теорий упругости, пластичности и фильтрации.
Последующее развитие механики грунтов характеризовалось углуб-
углублением внимания к экспериментальному изучению механических свойств
грунтов, необходимых для разработки теории, и совершенствованием
самой теории. Предмет исследований в соответствии с нуждами практики
был подвергнут систематизации, и были очерчены основные разделы меха-
механики грунтов. Эти разделы можно обрисовать следующим образом.
1. Вопросы деформируемости грунтовых осно-
оснований и массивов. Одной из основных практических задач,
для решения которых необходимо привлекать методы механики грунтов,
является оценка деформаций и смещений грунта вблизи фундаментов
зданий и сооружений, а также деформаций грунта в окрестности подзем-
подземных сооружений. Напряженно-деформированные состояния указанных
сооружений и грунта, на котором или в котором они возведены, сущест-
существенным образом связаны. Поэтому для расчета деформируемости (эксплуа-
(эксплуатационной пригодности), прочности и устойчивости этих сооружений необ-
необходимо знание деформационных, характеристик грунтового массива,
В связи с этим один из важных разделов механики грунтов имеет дела
с экспериментальным изучением деформаций различных грунтов под
нагрузкой и разработкой теоретических методов количественного описа-
описания и расчёта поведения системы «сооружение — грунтовый массив».
2. Вопросы прочности и несущей способности
грунтовых оснований и массивов. Оценка несущей
способности и устойчивости оснований под сооружениями и откосов также
является одной из основных инженерно-строительных задач, решаемых
методами механики грунтов. Для решения этой задачи разрабатываются
соответствующие экспериментальные методы исследования пластических
и прочностных свойств грунтов и теоретические модели.
3. Вопросы развития медленных механиче-
механических процессов в грунтах во времени. Описанные
выше две задачи о деформируемости и прочности грунтов являются основ-
основными для приложений. В ряде случаев развитие деформаций в грунтах
и достижение предельных по прочности или устойчивости состояний
в грунтовых основаниях и массивах протекают в течение длительных про-
промежутков времени, значительно превосходящих время приложения внеш-
внешних нагрузок. Это обусловлено процессами ползучести минерального ске-
скелета и движением воды в поровом пространстве деформирующегося грунта.
Изучение и количественное описание этих процессов требуют привлечения
методов теорий ползучести и фильтрации с учетом реальных свойств, харак-
характеризующих деформируемость и прочность грунтового скелета.
4. Вопросы динамики грунт о в. Исследование поведе-
поведения грунтов под действием динамических нагрузок приобретает все боль-
большую актуальность в связи с практическими задачами оценки и расчета
эффектов, сопровождающих ударное, взрывное и вибрационное воздейст-
воздействия на грунты. Здесь основные задачи сводятся к изучению характеристик
деформируемости и прочности грунтов при больших скоростях приложе-
приложения внешних нагрузок и к обоснованному учету инерционных эффектов.
Интенсификация и разнообразие строительства в нашей стране, свя-
связанное с этим повышение удельных нагрузок на грунтовые основания,
применение более^экономичных статически неопределимых сооружений

МЕХАНИКА ГРУНТОВ
205
и конструкций, необходимость разработки проектов и строительства уни-
уникальных крупных сооружений (гидротехнических, транспортных, подзем-
подземных и т. д.), широкое использование взрыва и вибрации при проведении
строительных и иных работ стимулировали и продолжают стимулировать
углубленный научный анализ вопросов механики грунтов и привели
^значительному прогрессу в этой области в нашей стране.
В настоящем кратком обзоре дается описание основных этапов и дости-
достижений в развитии механики грунтов в СССР за 50 лет.
§ 2. Исследования деформируемости грунтов
Изучение деформационных свойств грунта, естественно, начинается
с постановки простейших опытов по сжатию образцов, позволяющих уста-
установить соответствие между действующим в образце напряжением и возник-
возникшей в нем деформацией. Результаты такого рода экспериментов, называе-
называемых компрессионными (сжатие образца без возможности его расширения
в боковые стороны), изображенные на плоскости переменных а, 8 (сжимаю-
(сжимающее напряжение и деформация), имеют вид, показанный на рис. 1. Харак-
Характерной особенностью приведенного графика является наличие близкого
Рис. 1.
Рис. 2.
к прямолинейному начального участка, за которым следует резкое
искривление диаграммы, приводящее к почти полному прекращению роста
деформации 8 при дальнейшем увеличении напряжения а.
Другая схема эксперимента, предназначенного для выявления дефор-
деформационных свойств уже не образца грунта, а массива в целом, состоит
в измерении осадок жесткого штампа, вдавливаемого в грунт заданной
нагрузкой. Типичный результат такого эксперимента в переменных S, Р
(осадка, вдавливающая сила) изображен на рис. 2. Здесь также наблю-
наблюдается начальный прямолинейный участок на диаграмме, за которым
последняя резко искривляется, и с дальнейшим ростом нагрузки на штамп
осадка растет весьма значительно (исчерпывается несущая способность
грунтового основания под штампом).
Наличие прямолинейных участков на приведенных диаграммах, есте-
естественно, приводит к мысли рассматривать грунтовую среду, подверженную
действию сравнительно небольших напряжений, как линейно упругую.
Такое предложение было сделано еще П. А. Миняевым в 1914 г. Дальней-
Дальнейшее развитие эта идея получила в работах Н. П. Пузыревского A923,
1934) и особенно Н. М. Герсеванова A930, 1933). Для того чтобы подчерк-
подчеркнуть не вполне упругий характер поведения грунта даже при малых

206 С. С. ГРИГОРЯН, В. А. ИОСЕЛЕВИЧ
напряжениях, проявляющийся при разгрузке, Н. М. Герсеванов ввел спе-
специальное название «линейно деформируемая среда». Идея оказалась
весьма прогрессивной — она позволила применить хорошо развитый
аппарат теории упругости для систематического количественного анализа
разнообразных задач механики грунтов, установить, в какой мере-
получающиеся при этом результаты согласуются с реальностью, и дала
возможность формулировки на этой основе практических рекомен-
рекомендаций.
В грунтовом основании под жестким штампом (сооружением) даже
при небольших нагрузках вблизи краев штампа из-за резкой концентра-
концентрации напряжений развиваются области неупругого деформирования.
Поэтому вопрос о применимости теории упругости должен быть решен
прежде всего путем оценки влияния этих областей на поведение системы.
B. А. Флориным A936) было указано, что при размерах неупругих обла-
областей, составляющих некоторую небольшую долю размера штампа, их влия-
влияние несущественно, и, используя аппарат теории упругости, можно
расчетным путем определять осадки сооружений. В дальнейшем реше-
решения задач теории упругости были широко использованы для разработки
методов расчета осадок сооружений и прочности конструкций на упругом
основании. В этой связи следует упомянуть работы Н. М. Герсеванова
и А. Я. Мачерета A935,, 1937), Н. Н. Маслова A936, 1940), В. А. Флорина
A936, 1948, 1959, 1961), К. Е. Егорова A938, 1949, 1960, 1961), В. Г. Ко-
роткина A938), О. Я. Шехтер A939), Н. А. Цытовича A941, 1963, 1967),
М. И. Горбунова-Посадова A946, 1949, 1953), Б. Н. Жемочкина
и А. П. Синицына A947, 1962), А. А. Ничипоровича A955, 1957),
C. А. Роза A959).
Наряду с интенсивным применением теории упругости для решения
прикладных задач механики грунтов продолжались исследования по уста-
установлению пределов применимости и обоснованию этого подхода. В теоре-
теоретическом плане эти исследования сводились к следующему. По решению
задачи в рамках теории упругости и экспериментально установленному
соотношению, связывающему компоненты тензора напряжений в предель-
предельном состоянии (в частности, по условию Кулона), определялись очертания
и размеры областей, в которых «нарушается» условие применимости упру-
упругой модели. На этой основе формулировались ограничения на нагрузку,
при выполнении которых применение теории упругости должно приводить
к удовлетворительным результатам. Вывод сводится к тому, что размеры
«пластических» областей не должны превышать 0,25 а, где а — размер
фундамента сооружения. Кроме того, был сделан ряд схематизации
по учету влияния начального напряженного состояния грунтового осно-
основания, обусловленного его весомостью, а также неоднородности и анизо-
анизотропии грунта на распределение напряжений и деформаций основания
под сооружением, предназначенных для устранения наблюдающихся
несоответствий (иногда значительных) между предсказаниями теории
упругости и опытом. Эти схематизации сводились к тому, что вместо одно-
однородного упругого основания тем или иным способом в рассмотрение вво-
вводилось упругое основание конечной толщины, выбор которой позволял
согласовать данные теории и опыта.
По этому поводу следует отметить, кроме упоминавшихся работ
Н. П. Пузыревского, работы В. А. Флорина A938, 1949), Д. Е. Полыпина
A939, 1961), В. Г. Березанцева A960), Р. В. Серебряного A961), М. И. Гор-
Горбунова-Посад ова A962). Соответствующие выводы и рекомендации этих
работ нашли отражение в ныне действующих нормах A962).

МЕХАНИКА ГРУНТОВ
207
Экспериментальные исследования, проводившиеся для установления
применимости упругой модели при описании механического поведения
грунтового основания, уже в тридцатых годах (X. Пресс, 1930; X. Р. Ха-
кимов, 1939) выявили один весьма Существенный факт. Оказалось, что
при фиксированной удельной нагрузке на жесткий штамп осадка послед-
последнего с изменением его размеров лишь в сравнительно узком диапазоне
значений размера может быть согласована с предсказаниями теории упру-
упругости. Типичные результаты таких опытов, впоследствии проводившихся
в большом количестве, изображены на рис. 3, где показана зависимость
S
Рис. 3.
Рис. 4.
осадки квадратного штампа S от размера его стороны а при постоянной
удельной нагрузке q. Результат применения теории упругости (в тех же
терминах) изображен на рис. 4.
Существующие объяснения качественного и количественного различий
между этими диаграммами носят интуитивный характер и состоят в сле-
следующем. Если при фиксированной удельной нагрузке уменьшать размер
штампа а, то роль пластических деформаций в основании начинает возра-
возрастать, соответственно растут и осадки, пока при каком-то значении а не
будет исчерпана несущая способность основания (ср. рис. 2). Затухание
же роста осадок с ростом а связывается либо с неоднородным строением
основания по глубине, либо с влиянием начальных напряжений в основа-
основании, обусловленных весомостью грунта. Приведенное объяснение сущест-
существования нисходящей ветви зависимости S = S (а) представляется удовле-
удовлетворительным, однако следует подчеркнуть, что из этого объяснения не ясно,
почему при уменьшении а роль сдвиговых пластических деформаций возра-
возрастает. Имеющиеся в литературе соображения относительно природы зату-
затухания роста осадок при больших а и расчетные приемы, связанные с упо-
упоминавшимся выше способом введения деформируемого основания конечной
толщины, весьма расплывчаты и не могут быть приняты в качестве рацио-
рационального научного объяснения.
Необходимость правильного объяснения обсуждаемых эффектов имеет
принципиальное и существенное прикладное значение. С решением этого
вопроса связана проблема выбора между сравнительно простым линейным
аппаратом теории упругости и возможными построениями нелинейных
моделей. Конечно, существенная нелинейность в поведении грунта прояв-
проявляется уже в простейших опытах типа компрессионных, так же как и ли-
линейно упругое поведение при малых напряжениях (см. рис. 1). Примене-
Применение теории упругости при умеренных значениях а также допустимо (ср.
рис. 3 и 4). Однако для больших значений а (порядка 10 м и более) упру-
упругая модель резко расходится с опытом, и требуется выяснить, с чем на са-
самом деле связан этот эффект.

208 С. С. ГРИГОРЯН, В. А. ИОСЕЛЕВИЧ
Можно показать, что для однородного грунтового массива при любой
нелинейности модели грунта в условиях невесомости эффект затухания
роста осадок с ростом а невозможен. В самом деле, в любой нелинейной
модели однородной среды, не учитывающей изменений в напряженно-
деформированном состоянии при фиксированных нагрузках (именно о та-
таких моделях только и идет речь в настоящем параграфе), могут фигуриро-
фигурировать различные параметры, имеющие лишь размерность напряжения (раз-
(различные модули деформации или прочностные константы Ей ^2, . . ., Еп).
Поэтому зависимость осадки S от определяющих ее параметров можно
записать в виде
S =f(q, а, Еи Е2, .. ., Еп).
Из соображений теории размерностей следует, что это соотношение допу-
допускает представление
с т? ( Я.
•¦?)•
из которого видно, что при постоянной удельной нагрузке на штамп
(q = const) и фиксированной среде (Ег = const; i = 1, 2, . . ., п) зависи-
зависимость осадки S от размера штампа а линейна. Таким образом, нелиней-
нелинейность зависимости S = S (а) при больших а может быть в рамках рассма-
рассматриваемого типа моделей среды обусловлена либо неоднородностью среды,
либо взаимодействием начального напряженно-деформированного состоя-
состояния среды, вызванного ее весомостью, с напряжениями и деформациями
от внешней нагрузки. Однако, как показали опыты, нелинейность зависи-
зависимости S = S\(a) наблюдается и в однородных грунтах. Поэтому следует
в этом случае исключить первую из указанных возможностей.
Можно, далее, показать, что в случае линейно упругой модели даже
при наличии начальных напряжений и деформаций, вызванных весомо-
весомостью, нелинейной зависимости S от а получить нельзя. В самом деле,
для такой модели среды в силу линейности задачи в целом задача опреде-
определения напряжений, деформаций и т. д., вызванных внешней нагрузкой,
полностью отделяется от соответствующей задачи, связанной с весомостью
среды. Таким образом, задача определения дополнительной осадки грунта
под штампом, вызванной нагрузкой (только об этой осадке и идет
речь), ничем не отличается от этой же задачи для невесомой среды.
Вывод сводится к тому, что только в рамках нелинейной модели возможна
взаимная игра начальных полей напряжений и деформаций, обусловлен-
обусловленных весомостью, с полями, индуцированными внешней нагрузкой, и объ-
объяснение эффекта затухания роста осадки с ростом размера штампа должно
быть связано именно с этим обстоятельством.
Обратимся теперь к вопросу о природе нисходящей ветви зависимости
S = S (а). Как уже отмечалось, в отсутствие весомости при любой нели-
нелинейности модели эта зависимость будет линейной. Поэтому существование
нисходящей ветви также вызвано влиянием силы тяжести, только в этом
случае, т. е. при малых а, имеет место взаимодействие нелинейных эффектов
при деформациях сдвига (а не уплотнения) с весомостью.
В обоих случаях среди определяющих параметров появляется объем-
объемный вес среды у, и зависимость осадки от этих параметров приобретает вид
S -п F I ya q Ег . Еп
откуда и следует, что зависимость S = S (а) может быть достаточно слож-
сложной. При малых а влияние весомости проявляется на сдвиговых деформа-

МЕХАНИКА ГРУНТОВ 209
циях (нисходящая ветвь диаграммы S — а), а при больших — на деформа-
деформациях сжатия (затухающая ветвь).
Дополнительно отметим, что наличие обсуждаемого нелинейного
взаимодействия будет еще сказываться благоприятным образом на раз-
развитии упруго-пластических областей у краев штампа при росте нагрузки,
стесняя это развитие, что приведет и к повышению теоретических значений
несущей способности оснований. В связи с этим укажем, что существую-
существующие методы оценки несущей способности приводят к заниженным ее
значениям в сравнении с экспериментом (см., например, М. И. Гор-
Горбунов-Посадов, Устойчивость фундаментов на песчаном основании.
М., 1962).
Для иллюстрации сказанного рассмотрим задачу определения осадки S
при очень больших значениях а. Если допустить, что при а ->- оо осадка S
остается конечной (это согласуется с опытом, см. рис. 3), то это будет
означать, что при действии однородной нагрузки q на поверхность весомого
грунтового полупространства осадка этой поверхности будет конечной,
а соответствующая задача — одномерной. Для получения решения этой
задачи требуется лишь компрессионная диаграмма грунта (рис. 1), и ре-
результат имеет вид
со
= J
Iе (У* + q) — ? (yz)] dz,
где 7 — объемный вес грунта»
Для сходимости интеграла в этом соотношении требуется только выпу-
выпуклость и ограниченность функции 8 = 8 (а) при а—>• оо, а именно такими
свойствами и обладает компрессионная диаграмма. Оценка интеграла при
не очень больших q дает
*Ъоо~— ,
где
8оо = lim e (a).
а->оо
В качестве примера рассмотрим случай, когда
q = 2 кГ/см2, 7 = Ii6 Г/см3, е^ « 3-Ю" (песок).
Для осадки Soo получаем S^ ж 0,4 м, что согласуется с данными
натурных наблюдений за осадками крупных в плане сооружений.
Таким образом, дальнейшие исследования деформируемости грунто-
грунтовый оснований и массивов должны базироваться на построении согласую-
согласующихся с опытом нелинейных моделей среды. К этому выводу приводят
и экспериментальные факты, полученные в результате систематических
лабораторных исследований деформируемости образцов грунта при слож-
сложных напряженных состояниях (А. И. Боткин, 1939, 1940; С. С. Вялов,
1956, 1959; М. Н. Гольдштейн, 1956; А. С. Строганов, 1956, 1964; И. В. Фе-
Федоров, 1957, 1958; Г. М. Ломизе, 1959, 1961, 1965, 1966; С. С. Вялов
и Е. П. Шушерина, 1964; И. Н. Иващенко, 1966; Г. М. Ломизе и А. Л. Кры-
жановский, 1966, 1967, и др.), данные натурных наблюдений за осадками
фундаментов и перемещениями поверхности грунта вокруг возведенных
зданий и сооружений, а также наблюдения за осадками поверхности грун-
грунта при исследовании грунтовых оснований пробными нагрузками
14 Механика в СССР, т. 3

210 С. С. ГРИГОРЯН, В. А. ИОСЕЛЕВИЧ
(Ю. М. Абелев, 1934, 1948; X. Р. Хакимов, 1938; И. И. Черкасов, 1958;
К. Е. Егоров, 1960; Д. Е. Полыпин и Н. Я. Рудницкий, 1960; В. П. Ушка-
лов, 1962, и др.)- Среди зарубежных работ этого направления следует
отметить исследования X. Муса и X. Каля (DEGEBO, 1961, Н. 14).
Опыты показали, что при нагружении грунта наблюдается нелиней-
нелинейность не только в объемной деформируемости (компрессия), но и при дефор-
деформациях сдвига. При этом сдвиговые деформации обусловлены не только
касательными, но и нормальными напряжениями, а объемная деформация
определяется не только средним давлением — она существенно зависит
от девиатора напряжений (эффект дилатансии). Последний эффект
был обнаружен в опытах еще О. Рейнольдсом A885), однако серьезное
его изучение и использование в теоретических построениях началось
много позднее.
Попытки учета нелинейных эффектов в деформируемости грунтов
делались путем замены упругих постоянных в модели линейно деформируе-
деформируемой среды некоторыми функциями инвариантов тензора напряжений
(И. В. Федоров, 1957, 1958; Г. М. Ломизе, 1959, 1961, 1966; А. С. Строга-
Строганов, 1961; С. С. Вялов, 1964—1966; X. А. Рахматулин, А. Я. Сагомонян
и Н. А. Алексеев, 1964; Г. А. Гениев, 1965; И. Н. Иващенко, 1965; Г. М. Ло-
Ломизе и И. Н. Иващенко, 1965, 1966; В. А. Иоселевич и Б. И. Дидух, 1966;
А. Л. Крыжановский, 1966, и др.).
Появление экспериментальных данных о деформационных свойствах
грунтов при сложных напряженных состояниях позволило более рацио-
рационально подойти к проблеме построения нелинейных моделей, приспособ-
приспособленных для описания специфики механического поведения материала,
свойственной именно грунтовой среде. Были сформулированы полные-
математические модели, учитывающие поведение среды как в допредельных
состояниях (состояния, при которых деформации ограничены и могут расти
лишь с ростом напряжений), так и в предельном напряженном состоянии
(состояние пластического теченил). Этим вопросам посвящены работы
С. С. Григоряна A959, 1960) и В. А. Иоселевича A967), в которых были
учтены основные экспериментально установленные существенные свойства
деформируемости грунтов в рамках современных представлений о моделях
механики сплошной среды.
Отметим, что в настоящем параграфе речь идет только о моделях
деформируемости, не учитывающих временных эффектов. Последние
будут специально обсуждены в § 4.
Дальнейшая работа в рассматриваемом направлении, как нам пред-
представляется, должна быть связана с совершенствованием и детализацией
математических моделей грунтовой среды и разработкой эффективных
расчетных методов решения основных прикладных задач на основе таких
моделей.
§ 3. Исследования прочности
и несущей способности грунтов
В строительной механике грунтов наряду с задачей о деформируемости
основания имеет важнейшее значение задача о его несущей способности
и устойчивости. Эта задача оказывается главной при расчете и проектиро-
проектировании сооружений с большой удельной нагрузкой, действующей на осно-
основание, и особенно в случаях, когда внешняя нагрузка имеет горизонталь-
горизонтальную составляющую (гидротехнические и иные сооружения). Для решения
задач, связанных, с оценкой устойчивости грунтовых откосов и бортов?

МЕХАНИКА ГРУНТОВ 211
карьеров, также требуются главным образом сведения о прочностных свой-
свойствах грунтов.
Важнейшей особенностью механического поведений грунта под нагруз-
нагрузкой является существование двух диапазонов изменения напряженного
состояния, в пределах которых поведение грунта существенно различно.
Первый из них, соответствующий так называемому допредельному состоя-
состоянию, характерен тем, что при данном напряженном состоянии деформа-
деформации оказываются вполне определенными и стабильными, изменение послед-
последних происходит лишь при увеличении уровня напряжений. Второй
из указанных диапазонов характеризуется достижением некоторой ком-
комбинацией напряжений критического уровня, при котором деформации
могут неограниченно развиваться и привести либо к хрупкому разруше-
разрушению грунта, либо к возникновению значительных смещений (пластическое
течение). Наличие этих двух диапазонов делает картину до некоторой сте-
степени похожей на то, что имеет место при деформировании обычных кон-
конструкционных упруго-пластических материалов, где первой стадией являет-
является упругость, а второй — упруго-пластическое деформирование. Суще-
Существенная разница заключается в том, что, во-первых, для грунтов в допре-
допредельном и предельном состояниях значительная часть деформаций оказы-
оказывается необратимой и, во-вторых, из-за пористости и дисперсности грунтов
необратимость деформаций не ограничивается лишь сдвиговыми деформа-
деформациями — объемная деформация в грунтах также главным образом необра-
необратима.
Все это, конечно, осложняет задачу адекватного математического опи-
описания такого материала и требует реализации значительно более обшир-
обширной программы экспериментов, достаточных для обоснования и конкретиза-
конкретизации такого рода описания. В этих трудностях кроется причина того,
что в отличие от других разделов механики твердого деформируемого тела,
развитых к настоящему времени достаточно хорошо, в механике грунтов
решение соответствующих вопросов общего и принципиального характера
оказалось продвинутым в меньшей степени.
Одним из основных вопросов здесь является установление кри-
критерия перехода материала в предельное состояние. Постановка и первое
решение этого вопроса для простейших ситуаций восходят к работам
Ш. Кулона A773 г.), который показал, что в предельном состоянии на пло-
площадках возможного скольжения нормальное и касательное напряжения
связаны линейным соотношением типа закона сухого трения. Дальнейшее
развитие этот вопрос получил в работах О. Мора и В. Ранкина. Выработан-
Выработанные на основе этих работ представления о законе прочности грунта приве-
привели к разработке специальной экспериментальной техники и методик для
опытного определения параметров прочностного соотношения в реальных
грунтах.
К сожалению, в течение длительного промежутка времени схемы
лабораторных опытов оставались принципиально неудовлетворительными
(в испытуемых образцах напряженное состояние оказывалось существенно
неоднородным и плохо контролируемым), а получаемые результаты давали
лишь качественные представления о процессе и грубо ориентировочные
количественные сведения. Только в сороковых годах началось более углуб-
углубленное изучение вопроса и разработка более совершенной эксперименталь-
экспериментальной техники (появились приборы трехосного сжатия, сдвиговые приборы
с кручением образцов и др.).
В работах А. И. Боткина A939, 1940) было показано, что условие пре-
предельного напряженного состояния представляет собой инвариантное
14*

212 С. С. ГРИГОРЯН, В. А. ИОСЕЛЕВИЧ
соотношение, связывающее линейным образом интенсивность касательных
напряжений со средним давлением, и, таким образом, не совпадает с усло-
условием Кулона. Это соотношение в традиционной механике пластичности
известно под названием условия Губера — Мизеса — Шлейхера. Впослед-
Впоследствии в механике грунтов это соотношение иногда стало называться усло-
условием Боткина. Новые опыты, проведенные более тщательно и на большем
разнообразии грунтов М. В. Малышевым A954, 1963), Б. Н. Баршевским
A956), И. В. Федоровым A957), С. С. Вяловым и Е. П. Шушериной A963,
1964), С. С. Бабицкой A964), А. С. Строгановым A964, 1965), Г. М. Ло-
мизе и А. Л. Крыжановским A966) и др., выявили дополнительные особен-
особенности и детали прочностного соотношения для грунтов. Однако общее
свойство этого соотношения, заключающееся в росте предела сдвиговой
прочности грунта с давлением, осталось без существенных изменений.
Вопрос об использовании того или иного конкретного инвариантного вида
этого соотношения может решаться на основе опытных данных и в зависи-
зависимости от конкретных особенностей рассматриваемых задач. При этом
соображения математического удобства, связанного с решаемой задачей,
могут играть важную роль. В связи с этим следует отметить, что в литера-
литературе (Б. Н. Баршевский, 1956; М. В. Малышев, 1963; А. С. Строга-
Строганов, 1964, и др.) имела место дискуссия по поводу выбора между условия-
условиями Кулона, Боткина и др., которая в связи со сказанным лишена сколько-
нибудь содержательного предмета.
Наряду с углубленными экспериментально-теоретическими исследо-
исследованиями самого вида условия прочности (условия предельного состояния),
в механике грунтов интенсивно развивались математические методы реше-
решения задач о предельных напряженных состояниях грунтовых массивов.
Это было связано с тем, что некоторые задачи (плоская и осесимметричная)
при определенных граничных условиях, формулируемых в напряжениях,
оказываются статически определимыми, если предположить, что в каж-
каждой точке рассматриваемой в задае области грунтового массива среда
находится в предельном напряженном состоянии. При этих условиях
соответствующая математическая задача формулируется для некоторой
системы гиперболических уравнений, для решения которой можно вос-
воспользоваться хорошо развитым математическим аппаратом, в частности
методом характеристик. В этом направлении после классических работ
В. Ранкина, Л. Прандтля, Р. Хилла было решено множество конкретных
краевых задач о несущей способности оснований и устойчивости откосов и
подпорных стенок (В. В. Соколовский, 1942, 1954, 1960; С. С. Голушкевич,
1948, 1957; В. Г. Березанцев, 1953, и др.)- Нужно отметить, что в отличие
от плоской задачи в случае осевой симметрии для замыкания системы урав-
уравнений в напряжениях одного условия предельного состояния Кулона недо-
недостаточно, и приходится привлекать дополнительное предположение о на-
напряженном состоянии. В качестве такого предположения В. Г. Березанце-
вым было использовано известное условие Кармана — Хаара о полноте
предельного состояния, т. е. о совпадении промежуточного по величине
главного напряжения с одним из двух других.
По поводу обсуждаемого направления теоретических исследований
необходимо отметить, что они, во-первых, приспособлены для решения
лишь ограниченного класса задач, допускающих формулировку только
в напряжениях, и, во-вторых, даже для этого класса построенные реше-
решения не позволяют сказать что-либо о деформациях и смещениях в среде.
Более того, известно, что решения задач в рамках описанной схематизации
не всегда единственны и выбор решения без привлечения дополнительных

МЕХАНИКА ГРУНТОВ 213
сведений о полях деформаций и смещений невозможен. Использование
таких соображений позволяет не только сделать выбор, но иногда приво-
приводит даже к заключению о некорректности некоторых решений, построенных
без рассмотрения соотношений, связывающих напряженное состояние
с деформированным. Все это хорошо известно в теории пластичности *),
однако в механике грунтов этому вопросу до недавнего времени не уде-
уделялось достаточного внимания.
В инженерно-строительной практике постоянно делались сопоставле-
сопоставления решений задач, основанных на описанных выше схематизациях, с дан-
данными натурных наблюдений. Такие сопоставления часто обнаруживали
значительные несоответствия, и это побуждало исследователей изыски-
изыскивать пути совершенствования теории. Дело в том, что при формулировке
математической задачи в рамках схемы теории предельного равновесия
необходимо сделать допущение о том, что часть грунтового массива не ох-
охвачена предельным состоянием и остается жесткой. Выбор же этой части,
по существу, делается в значительной степени произвольным образом.
Из-за этого не всегда такой выбор приводит к результатам, сколько-нибудь
близкими к действительности. Это обстоятельство привело к возникнове-
возникновению более сложных построений, в которых делалась попытка учесть
упругое деформирование грунта в части массива, примыкающей к области
предельного состояния (упругое ядро под штампом в задаче о несущей спо-
способности основания). Такие уточнения были сделаны на основе экспери-
экспериментальных данных (В. И. Курдюмов, 1889, 1891 гг.; М. Ш. Минцковский,
1952, 1957, 1962; М. В. Малышев, 1953; А. С. Кананян, 1954, и др.), выя-
выявивших существование «упругих» областей. Полученные с учетом
этой особенности приближенные решения задач (М. И. Горбунов-
Посадов, 1957, 1962; М. В. Малышев, 1959; М. Ш. Минцковский, 1962)
позволили приблизить расчетные данные к результатам натурных
наблюдений.
Приближенный характер этих решений связан, во-первых, с заданием
границы, разделяющей упругую область и области предельного состояния,
и, во-вторых, с тем, что на этой границе задаются дополнительные соотно-
соотношения для смещений, неизбежные из-за отсутствия сведений о смещениях
в области предельного состояния.
Отрыв теоретических построений, связанных с определением несу-
несущей способности оснований и устойчивости откосов, от методов оценки
деформационных свойств грунтов и осадок сооружений в механике грун-
грунтов осознан уже давно, и постоянно делались попытки установления
связи между теорией деформирования грунтов и теорией предельных
состояний. Очевидно, оценка деформаций грунтового массива и соответ-
соответствующих осадок при приближении к предельному состоянию откоса
или системы «грунтовое основание — сооружение» имеет не менее
важное значение, чем оценка просто несущей способности. Тем не менее
методы расчета деформаций и осадок именно в этих состояниях почти
отсутствуют.
По-видимому, впервые на необходимость единого подхода к построе-
построению теории деформируемости и перехода в предельное состояние обратил
внимание Г. М. Ломизе A959), исходя из представлений о том, что всякая
деформация грунта (как в допредельном, так и в предельном состояниях)
и значительной степени необратима и обусловлена взаимными смещениями
*) См. Р. X и л л, Математическая теория пластичности, 1950 (русский пере-
перевод: М., 1956).

214 С. С. ГРИГОРЯН, В. А. ИОСЕЛЕВИЧ
и переукладкой частиц грунтового скелета, вызванными локальными пере-
переходами в «предельные» состояния. При этом «глобальный» переход эле-
элемента грунта в предельное состояние есть просто следствие возрастания
числа таких локальных переходов до максимально возможного. Эти
представления, весьма ясные по своему физическому содержанию, при-
приводят к необходимости развивать единую теорию деформирования и пере-
перехода в предельное состояние. Конечно, при этом фактические построения
и математические схематизации могут быть различными и приспособлен-
приспособленными для решения различных специфических классов задач. Однако
важно иметь в виду, что математическая модель среды должна быть одна.
Она должна позволять в принципе решить любую задачу о поведении
грунтового массива в процессе его нагружения с определением полей нап-
напряжений, деформаций и смещений, определением областей допредельных
и предельных состояний вплоть до полного исчерпания несущей способ-
способности и даже последующего разрушения, разыгрывающегося с участием
динамических эффектов.
Попытки такого рода единых теоретических построений с той или
иной степенью математической полноты были предприняты в упоминав-
упоминавшихся выше работах Г. М. Ломизе и его учеников (И. Н. Иващенко,
А. Л. Крыжановский и др.)? в которых, однако, свойства деформируемости
рассматривались вплоть до предельного состояния, но не в самом предель-
предельном состоянии. В этих работах формулировались связи между напряже-
напряжениями и деформациями в виде обычного инвариантного квазилинейного
тензорного соотношения. Определенные инвариантные обобщения экспе-
экспериментальных данных по испытанию грунта, необходимые для возможных,
построений такого рода, делались еще А. И. Боткиным A940) и позднее
И. В. Федоровым A957, 1958), А. С. Строгановым A961), С. С. Вяловым
A964) и др.
X. А. Рахматулиным, А. Я. Сагомоняном и Н. А. Алексеевым A962)
была предложена деформационная модель грунта, являющаяся конкрет-
конкретным вариантом нелинейно упругой модели сплошной среды (связь между
напряжениями и деформациями допускает потенциальное представление).
Однако следует отметить, что из-за преимущественной необратимости
процессов деформирования грунтов модель нелинейно упругого тела
не может быть удовлетворительным описанием (потенциальность связи
напряжений с деформациями является недопустимо жестким ограниче-
ограничением). При существенной необратимости процесса деформирования ука-
указанная связь должна быть более общей (неголономной).
Простейшая модель грунтовой среды, учитывающая нелинейный
и необратимый характер объемных и сдвиговых деформаций и охватываю-
охватывающая как допредельные, так и предельные состояния грунта, была пред-
предложена С. С. Григоряном A959, 1960). В этой модели связь между
напряжениями и деформациями при сдвиге в допредельном состоянии
принята в виде линейно упругого закона, а влияние сдвигающих
напряжений на объемную деформируемость отсутствует (нет эффекта
дилатансии).
Математическая модель, учитывающая нелинейность материала при
допредельном деформировании, а также эффект дилатансии, основанная
на анализе многочисленных экспериментальных данных, была предло-
предложена В. А. Иоселевичем A967). Эта модель для допредельных процессов
голономна, но не является моделью нелинейно упругого тела и поэтому
содержит меньше ограничительных допущений. Вместе с тем голономность*
делает ее в принципе ограниченной — в рамках этой модели нельзя

МЕХАНИКА ГРУНТОВ 215
получить удовлетворительного описания процессов, в которых нагруже-
ние оказывается существенно не простым.
В связи с вопросами оценки несущей способности и устойчивости
-оснований и откосов необходимо упомянуть специальное направление
исследований, связанное с разработкой приближенных методов. Основная
идея этих методов, по-видимому, содержалась уже в работах Ш. Кулона,
и ее мотивировка и реализация выглядят следующим образом. При исчер-
исчерпании несущей способности грунтового массива потеря устойчивости
осуществляется в результате смещения некоторой части массива по поверх-
поверхности скольжения. Детальный механизм этого явления связан с таким
развитием напряженно-деформированного состояния массива, при кото-
котором приближение к состоянию, когда теряется устойчивость, характери-
характеризуется резкой локализацией сдвиговых деформаций вблизи некоторой
поверхности, по которой затем и происходит соскальзывание части массива.
Естественно, для точного расчетного описания этого явления требуются,
с одной стороны, достаточно совершенные модели среды,- допускающие
детальное прослеживание развития процесса деформирования в допредель-
допредельном и предельном состояниях, и, с другой стороны, соответствующие
математические методы решения возникающих здесь существенно нели-
нелинейных задач. Ни тем, ни другим вплоть до недавнего времени исследо-
исследователи не располагали. Теория предельного равновесия, как уже отме-
отмечалось, в принципе не в состоянии решить эту задачу.
Поскольку в действительности потеря устойчивости происходит
именно с образованием четко выраженной поверхности скольжения,
то естественным образом возникает идея получить числовые оценки, задав-
шить правдоподобными очертаниями этой поверхности и полагая, что
на ней нормальные и касательные напряжения связаны условием предель-
предельного равновесия (условием типа Кулона). При таком подходе задача обычно
состоит либо в определении предельно допустимых нагрузок, либо в оценке
коэффициента устойчивости, в некотором смысле выясняющего, насколько
допустимая нагрузка больше действующей. Фактическое решение этой
задачи заключается в том, что вводится в рассмотрение семейство поверх-
поверхностей скольжения заданной формы (плоскости, круглоцилиндрические
поверхности и т. д.), для каждой из них определяются условия равнове-
равновесия массива, ограниченного снизу этой поверхностью, и находится вели-
величина предельной нагрузки или коэффициента устойчивости. Затем выби-
выбирается та поверхность из рассматриваемого семейства, для которой крити-
критическая нагрузка или коэффициент устойчивости минимальны. Полученные
таким образом величины позволяют в какой-то мере судить о действитель-
действительной несущей способности массива (по величине предельной нагрузки)
или о близости системы к предельному, в смысле устойчивости, состоянию
{по коэффициенту устойчивости). Исследования в этом направлении раз-
развивались в работах С. И. Белзецкого A914), Н. М. Герсеванова A923),
М. М. Гришина A951), М. И. Горбунова-Посадова и В. В. Кречмера
A951), Д. Е. Полыпина и Р. А. Токаря A952), В. А. Иоселевича
A961) и др.
В этих работах поверхности скольжения задавались либо в виде
системы плоскостей, либо предполагалось, что скольжение происходит
по круглоцилиндрической поверхности. В зарубежных работах этого
направления использовались также комбинированные поверхности сколь-
скольжения (см., например, Л. Бьеррум, Geotechnique, 1954, 4:0, 59—69;
1955, 5:0, 101—119). В работах В. И. Новоторцева A938) и П. Д. Евдо-
Евдокимова A956, 1966) форма поверхностей скольжения выбиралась из

216 С. С. ГРИГОРЯН, В. А, ИОСЕЛЕВИЧ
решений задач теории предельного равновесия для невесомой грунтовой
среды, а устойчивость таким образом очерченного массива грунта
оценивалась описанным выше путем.
В связи с обсуждаемым вопросом нужно еще раз остановиться
на общих представлениях о характере напряженно-деформированного
состояния грунтовых массивов при приближении к критическим условиям *
приводящим к потере устойчивости и разрушению основания или откоса.
Представляется нереальным используемое обычно допущение о том, что
при этих условиях весь сползающий массив грунта находится в предель-
предельном напряженном состоянии. Более того, рассмотрение, например, задачи
об устойчивости свободного от пригрузки откоса показывает, что вблизи
точки излома поверхности откоса напряженное состояние, обусловленное
только собственным весом грунта, вообще говоря, не будет предельным.
В то же время при неблагоприятных в целом очертаниях поверхности
откоса его устойчивость не будет обеспечена. Потеря устойчивости связана
с тем, что в глубине откоса развивается некоторая область предельного
напряженного состояния, выходящая на поверхность грунтового массива,
к которой и приурочена поверхность скольжения. Именно такая точка
зрения была высказана в работах Г. И. Тер-Степаняна A957, 1961)
и М. Н. Гольдштейна A964). Нам представляется, что более строгие
и рациональные по сравнению с существующими решения вопроса об устой-
устойчивости и несущей способности оснований и откосов должны основы-
основываться на такого рода представлениях и полных математических моделях
грунтовой среды.
Наконец, отметим еще, что вопрос о влиянии взаимодействия нелиней-
нелинейной деформируемости грунта и его весомости, обсуждавшийся в § 2Г
столь же важен и для решения проблемы несущей способности и устойчи-
устойчивости оснований и откосов. Этот вопрос должен, на наш взгляд, быть
подвергнут систематическим исследованиям.
К проблеме оценки деформируемости и прочности грунтов относится
также своеобразный процесс резкого падения прочности и соответствую-
соответствующего возрастания деформируемости особых разновидностей грунтов
(лессы, лессовидные суглинки и др.)? проявляющийся при их сильном
увлажнении (замачивании),—так называемое явление просадки. Механизм
этого явления состоит в том, что указанные грунты в их естественном мало-
маловлажном состоянии обладают аномально высокой пористостью и в то
же время значительной прочностью скелета. При замачивании проч-
прочность скелета резко уменьшается из-за растворения цементирующего
материала, и грунт под действием нагрузки испытывает значительную
деформацию.
Традиционные методы оценки просадочности макропористых грунтов
обычно связаны с компрессионными испытаниями образцов незамечен-
незамеченного и замоченного грунта, а также с определением дополнительной
осадки штампа при замачивании грунтового основания. По данным такого
рода экспериментов в инженерных расчетах учитывается влияние просадки
на деформации основания и возводимого на нем сооружения.
Исследованиям просадочных свойств грунтов посвящены работы
Р. А. Токаря A937), Н. Я. Денисова A946, 1953), Ю. М. Абелева A948),
А. Л. Рубинштейна A951, 1957), М. Н. Гольдштейна A956, 1961), А. К. Ла-
Ларионова A958, 1959). Попытки учета влияния сложного напряженного
состояния на просадочность были предприняты в работах Г. М. Ломизе
и А. А. Григорян A957), М. Н. Гольдштейна A959), Г. М. Ломизе
A959).

МЕХАНИКА ГРУНТОВ 217
В теоретических и экспериментальных работах более позднего вре-
времени была намечена необходимость учета совместного развития во вре-
времени двух взаимосвязанных процессов: инфильтрационного процесса
увлажнения грунта и процесса просадочного деформирования скеле-
скелета (Г. М. Ломизе, 1961,1962, 1967; А. А. Мустафаев, 1961, 1964, 1966;
В. И. Крутов и И. В. Тарасова, 1964; А. А. Григорян и Б. Б. Кулаченок,
1965; А. А. Мустафаев и С. К. Алиев, 1966; Г. М. Ломизе и И. Н. Иващенко,
1967, и др.)- Следует отметить, что взаимная связь указанных процессов
в данном случае весьма существенна, ибо просадка приводит к значитель-
значительному уменьшению фильтрационной способности грунта и тем самым
к затруднению замачивания новых областей грунтового массива и соот-
соответствующему ограничению дальнейших просадок. Наконец, отметим, что
в просадочных явлениях наблюдается пороговый эффект — для возник-
возникновения просадочной деформации элемента грунта при заданных усло-
условиях необходимо, чтобы напряжения превзошли некоторое пороговое
значение.
Совокупность возникающих здесь задач скорее относится к разделу
механики грунтов, в котором изучаются временные эффекты (§ 4). В связи
с этими вопросами ограничимся лишь указанием на то, что до настоящего-
времени детально разработанная теория рассматриваемых явлений отсут-
отсутствует.
§ 4. Влияние временных эффектов
В предыдущих параграфах рассматривались вопросы деформируе-
деформируемости и прочности грунтов в условиях, когда при заданной системе внеш-
внешних нагрузок на грунт последний находится в равновесном состоянии
с фиксированными полями напряжений, деформаций и смещений. При
определенных условиях (сухие или маловлажные грунты, медленно
меняющиеся внешние нагрузки и т. п.) такие состояния вырабатываются
синхронно с изменением внешней нагрузки. Однако не менее распростра-
распространенными являются случаи, когда такого рода стабилизированные состоя-
состояния вырабатываются в течение более или менее продолжительного вре-
времени после прекращения изменений внешней нагрузки. Это связано с тем,
что наличие воды в порах грунтовой среды (как правило, это глинистые
грунты) обусловливает при приложении нагрузки протекание процессов
ползучести минерального скелета и фильтрации так называемой свобод-
свободной воды в грунте через пористый скелет, что, в свою очередь, приводит
к перераспределению напряжений и возникновению дополнительных
деформаций скелета. Процессы подобного рода, обусловленные только
фильтрацией свободной воды, в механике грунтов имеют специальное
название — фильтрационная консолидация грунтов. Эффекты же, вызы-
вызываемые ползучестью скелета, в литературе иногда называются вторичной
консолидацией:
Очевидно, перестройка напряженно-деформированного состояния,
грунтового массива под сооружением или в откосах, обусловленная
процессами ползучести и консолидации, может привести к эффектам,
влияние которых в ряде случаев будет решающим и должно быть принято
во внимание при оценке несущей способности основания, его деформируе-
деформируемости и т. д. Поэтому задача правильного количественного описания этих
процессов представляется важной для механики грунтов.
Исторически вопросы фильтрационной консолидации грунтов начали
разрабатываться раньше, чем проблема ползучести в грунтах. Первые

218 С. С. ГРИГОРЯН, В. А. ИОСЕЛЕВИЧ
работы в этом направлении были выполнены К. Терцаги *) и Н. М. Гер-
севановым A934). В этих работах была предложена модель, в которой
грунтовый скелет предполагался линейно деформируемым и проницаемым
для поровой жидкости, причем фильтрация описывалась при помощи
закона Дарси (К. Терцаги) или уточненного за счет учета движения ске-
скелета грунта, связанного с его деформируемостью, закона Дарси — Гер-
севанова. На этой основе был решен ряд одномерных задач фильтрацион-
фильтрационной консолидации грунтов.
Впоследствии существенный клад в рассматриваемую проблему был
сделан в работах В. А. Флорина A938—1953), которым были учтены сило-
силовое воздействие фильтрационного потока жидкости на пористый скелет,
зависимость фильтрационных характеристик процесса от меняющейся
пористости, существование фильтрационного порога (начального гра-
градиента напора), сжимаемость жидкости в порах грунта, обусловленная
присутствием газа в жидкости, влияние ползучести скелета на процесс
консолидации и т. д. В. А. Флориным были составлены уравнения консо-
консолидации для общего пространственного случая и решено большое коли-
количество конкретных задач. Следует отметить, что для возможности более
полного учета многочисленных нелинейных эффектов, сопровождающих
консолидацию, В. А. Флориным были развиты численные методы решения
задач, что в его время, когда еще не была создана современная вычисли-
вычислительная техника, было, безусловно, большим достижением.
Аналогичная теоретическая модель для описания консолидации была
предложена за рубежом М. А. Био (J. Appl. Phys., 1941, vol. 12).
В связи с развитием теории консолидации грунтов необходимо отме-
отметить также работы Я. А. Мачерета A934), Н. А. Цытовича A934, 1940),
С. А. Роза A937, 1950), Я. И. Френкеля A944), В. Г. Булычева A948),
Д. Е. Полынина A948), В. Г. Короткина A951, 1955), М. Н. Гольдштейна
A952) и др. Фильтрационная теория консолидации развивалась и в послед-
последнее время **).
На основе модели Флорина — Био был решен ряд неодномерных
задач (Н. Н. Веригин, 1961, 1965; В. 3. Партон, 1961, 1965), рассмот-
рассмотрены некоторые вопросы распространения акустических волн в такой
среде (В, Н. Николаевский, 1962).
Н. Н. Масловым A935, 1955, 1958) и М. Н. Гольдштейном A952, 1957)
была ясно сформулирована важность и необходимость введения в рас-
рассмотрение явления ползучести минерального скелета при расчетах про-
процессов деформирования грунтов во времени. Последующие исследования,
в частности экспериментальные, показали, что развитие деформаций грун-
грунтов во времени при фиксированных внешних нагрузках обусловлено
двумя существенно разными по природе явлениями — фильтрационной
консолидацией и ползучестью скелета. Было показано также, что на-
наличие газа в порах скелета, приводящее к заметной сжимаемости поровой
жидкости, существенно сказывается на количественных характеристиках
процесса.
Первое математическое описание явления ползучести грунта в рам-
рамках линейной наследственной теории было выполнено еще В. А. Флори-
Флориным A953). Однако дальнейшие исследования ползучести грунтов прово-
*) К. Терцаги, Строительная механика грунтов, 1925 (русский перевод:
М.— Л., 1933).
**) См., в связи с этим также обзор Г. К. Михайлова и В. Н. Николаевского во
втором томе настоящего издания. (Прим. ред.)

МЕХАНИКА ГРУНТОВ 219
дались в какой-то мере в отрыве от теории фильтрационной консолидации.
Этому, вероятно, способствовало появление существенных эксперименталь-
экспериментальных данных о свойствах ползучести плотных глинистых грунтов и мерзлых
грунтов (С. Р. Месчян, 1954—1967; С. С. Вялов, 1955—1965; М. Н. Гольд-
штейн, 1957, 1962; А. М. Скибицкий, 1957, 1961; Н. Н. Маслов, 1958,
1965; А. Л. Гольдин, 1963, 1965; Е. П. Шушерина, 1964, 1966, и др.),
которые удовлетворительно согласовывались с теорией наследственной
ползучести. Стали интенсивно разрабатываться детали этой теории при-
применительно к конкретным особенностям грунтовой среды. Исследовались
влияние характера напряженного состояния на соотношения ползучести
(С. С. Вялов, 1961, 1964), нелинейность оператора ползучести (А. Л. Голь-
Гольдин, 1963; Ю. К. Зарецкий, 1964; С. Р. Месчян, 1964, 1967; В. А. Мизюм-
ский, 1964, и др.), возможность описаний без наследственных операторов
в рамках нелинейно вязкой модели Шведова — Бингама (Н. Н. Маслов,
1958).
Следует отметить, что развитие теоретических работ в этом направле-
направлении оказалось в определенном несоответствии с экспериментом в том
смысле, что существующий экспериментальный материал не столь богат
и представителен, чтобы на его основе с необходимой полнотой произво-
производить апробацию многочисленных теорий и их конкретизацию для реальных
разновидностей грунтов. С другой стороны, чрезмерная сложность указан-
указанных теорий затрудняет широкое их использование для решения конкрет-
конкретных прикладных задач.
В этой связи нам представляется рациональной попытка Н. Н. Мас-
лова обойтись для описания процессов ползучести грунтов простыми
аппроксимациями соотношений ползучести в рамках ненаследственных
моделей. Можно надеяться, что в дальнейшем на этом пути для многих
задач будут получены относительно простые решения, достаточные по
точности для приложений.
Работы последнего периода по рассматриваемой проблеме характери-
характеризуются попытками построения расчетных моделей, в которых произво-
производится одновременный учет как свойства ползучести грунтового скелета,
так и фильтрационной консолидации. В этой связи укажем на работу
Ю. К. Зарецкого A967), в которой сделано обобщение модели фильтра-
фильтрационной консолидации Флорина — Био путем введения линейных наслед-
наследственных операторов вместо упругих постоянных для грунтового скелета
ж на этой основе решен ряд задач. Нужно, однако, отметить, что при
построении общей системы уравнений Ю. К. Зарецким вводится физи-
физически нереальное предположение о разуплотняющем действии парового
давления в жидкости на минеральный скелет, причем этот эффект также
наделяется свойством наследственной ползучести. С другой стороны
в соотношениях этой модели утрачен ряд существенных особенностей
доведения грунта, введенных в рассмотрение еще В. А. Флориным
(нелинейные эффекты, порог фильтрации и т, д.). Поэтому неясно,
в какой мере подобные обобщения соответствуют реальному поведению
грунта.
В зарубежной литературе вопросу одновременного учета фильтра-
фильтрационной консолидации и ползучести скелета посвящены выполненные
в КНР работы Т. К. Тана A957—1959), которые отличает математическая
простота схематизации ползучести скелета (скелет наделяется свойством
вязкости).
Среди работ последнего времени нужно отметить экспериментальные
исследования М. Н. Гольдштейна A957), М. Ю. Абелева A963),

220 с. с. григорян, в. а. иоселевич
С. С. Бабицкой A963), 3. Г. Тер-МартиросянаиН. А. Цытовича A965,1967)f
в которых проводилось лабораторное изучение развития порового давле-
давления и деформаций грунта в образцах при разнообразных способах при-
приложения внешней нагрузки. Эти исследования позволяют опытным путем
оценить отдельно влияние сжимаемости поровой жидкости, обусловленной
наличием в ней пузырьков газа, фильтрационных эффектов и свойств
ползучести минерального скелета. В работах 3. Г. Тер-Мартиросяна
и М. Ю. Абелева по результатам опытов отмеченного типа на основе реше-
решений соответствующих задач, возникающих для условий опыта, предло-
предложены методики нахождения количественных характеристик указанных
выше эффектов, определяющих протекание деформаций грунта во вре-
времени. Обсуждаемое направление экспериментально-теоретических иссле-
исследований временных свойств грунтов представляется важным. На этом
пути возможно дальнейшее совершенствование и упрощение теоретических
моделей, приспособленных и практически пригодных для прикладных
целей. Аналогичное утверждение нужно сделать относительно направле-
направления экспериментально-теоретического изучения свойств ползучести грун-
грунтов для случаев, когда эти свойства оказываются единственно существен-
существенными (плотные глины, мерзлые грунты и т. д.).
Следует еще остановиться на вопросах оценки влияния порового
давления на прочность и несущую способность оснований и откосов.
Подобно тому как изучение эффектов ползучести и фильтрационной кон-
консолидации существенно для прогноза развития деформаций оснований
и осадок сооружений во времени, учет этих факторов в задачах о несущей
способности и устойчивости оснований и откосов также необходим и важен
для приложений. Простейшие и широко распространенные приемы для
такого учета сводятся к следующему. В соотношении, связывающем
сдвигающие и нормальные напряжения в предельном состоянии, из нор-
нормальных сжимающих напряжений вычитается поровое давление. Допу-
Допустимые внешние нагрузки на основание или откос при этом оказываются
пониженными. Решение практических задач устойчивости обычно про-
производится по приближенной схеме с использованием поверхностей сколь-
скольжения фиксированной формы, рассмотренной в § 3. По этому вопросу
следует отметить работы Г. И. Тер-Степаняна A957, 1961), М. Н. Гольд-
штейна A964) и др.
К обсуждаемым вопросам примыкает проблема длительной прочности
в грунтах, т. е. задача исследования эффекта снижения сопротивления
сдвигу в процессе ползучести (Н. И. Маслов, 1958, 1964, 1965; М. Н. Гольд-
штейн и С. С. Бабицкая, 1959, 1964; Я. Л. Коган и В. А. Иоселевич, 1961;
С. Р. Месчян, 1961, 1962, 1965; А. М. Скибицкий, 1961, и др.).
В связи с рассматриваемым в настоящем параграфе кругом задач
нам представляется важным еще следующее обстоятельство. При обсуж-
обсуждении проблемы описания деформируемости грунтов было отмечено (§ 2)*
что существующие расчетно-теоретические методы, основанные на схеме
линейно деформируемой модели среды (теории упругости), находятся
в резком противоречии с данными наблюдений, и это вынуждает вводить
искусственные схематизации в расчеты (эквивалентный упругий слой,
активная толща и т. д.).
Как было показано в § 2, природа такого несоответствия кроется
во взаимной игре нелинейной деформируемости грунта и его весомости,
учет которой позволяет легко согласовать данные наблюдений с теоре-
теоретическим прогнозом. Поскольку эта нелинейность, безусловно, влияет
столь же существенным образом на все характеристики фильтрацион-

МЕХАНИКА ГРУНТОВ 221
ной консолидации и ползучести грунтов (это влияние было установлено
на самых ранних стадиях изучения консолидации и рассматривалось
уже в работах Н. М. Герсеванова, В. А. Флорина и др.)> то для
многих практических задач, в которых массивы грунта, охваченные
процессами консолидации и ползучести, простираются на достаточные
глубины, влияние взаимодействия нелинейности и весомости может ока-
оказаться определяющим. Об этом, по-видимому, свидетельствует следующий
факт. Значения коэффициента вязкости грунтов, получающиеся при лабо-
лабораторных исследованиях образцов грунта, как правило, на несколько
порядков меньше оценочных значений, получающихся при обработке
данных наблюдений за осадками крупных натурных сооружений.
К сожалению, исследование этих вопросов, как и в теории стаби-
стабилизированных деформаций грунтов, пока еще не получило должного
развития.
К проблеме исследования и описания изменений во времени напря-
напряженно-деформированного состояния грунтов при фиксированных нагруз-
нагрузках относятся также специфические задачи о так называемом набухании
глинистых грунтов и морозном пучении промерзающих грунтов. Суще-
Существо явлений, о которых идет речь, состоит в следующем. Плотные глини-
глинистые грунты, поры которых не вполне насыщены влагой, при контакте
с водой интенсивно ее поглощают, что приводит к увеличению объема
грунта. Если возможность такого увеличения объема ограничена, в грунте
возникают дополнительные напряжения, которые могут достигать значи-
значительных величин. Аналогичное явление наблюдается при промерзании
грунтов.
Распространяющийся в грунте фронт промерзания, поглощающий
незамерзшую влагу, создает впереди себя дефицит влажности, что порож-
порождает миграцию незамерзшей воды по направлению к фронту. Возникающее
при этом перераспределение влаги в массиве грунта после ее замерзания
приводит при соответствующих условиях к заполнению пор льдом и воз-
возникновению обусловленных этим напряжений. Здесь так же, как и в слу-
случае набухания глин, будут возникать дополнительные деформации и пере-
перемещения в грунтовом массиве и дополнительные значительные напря-
напряжения. Естественно, при расчете деформируемости и прочности оснований
и сооружений на них эти эффекты могут оказаться важными, и нужны
методы их количественного описания.
Ясно, что как процесс набухания, так и морозное пучение, будучи
обусловлены миграцией влаги в порах грунта, развиваются во времени.
Поэтому теория этих явлений должна основываться на закономерностях
массо- и теплопереноса в пористой среде и предсказывать развитие напря-
напряженно-деформированных состояний в грунтах во времени.
К сожалению, экспериментальному изучению процессов набухания
посвящено весьма небольшое число работ, выполнявшихся, как правило,
в связи с конкретными прикладными задачами. Некоторые теоретические
результаты по этому вопросу были получены в работах Б. В. Дерягина
{1937, 1956), С. В. Нерпина A955, 1958, 1961). Однако сколько-нибудь
развитая теория этих процессов пока отсутствует.
Аналогичным образом дело обстоит с вопросами морозного пучения.
Экспериментальное исследование морозного пучения проводилось в рабо-
работах М. И. Сумгина A932, 1937), Н. А. Цытовича A937, 1940, 1941,
1945, 1947), И. А. Тютюнова A947, 1951), М. Н. Гольдштейна A948,
1950), Б. И. Далматова A954, 1957), Г. М. Шахунянца A955, 1958,
1961) и др.

222 с. с. григорян, в. а. иоселевич
§ 5, Динамика грунтов
В механике грунтов динамические задачи возникли первоначально»
в связи с необходимостью расчета оснований под фундаментами крупных
машин, возбуждающих вибрации фундаментов и грунтовых основанийг
и вопросами расчета погружения свай. Задачи, связанные с забивкой свайг
в грунт, рассматривались еще Н. М. Герсевановым A932), который ввел
в расчетную схему волновые процессы в забиваемой свае. Впоследствии
исследования в этом направлении были развиты в работах Б. П. Попова
A949), В. Н. Голубкова A950) и др.
Расчет колебаний фундаментов основывается на сведении задачи тем
или иным способом (например, с использованием упругих, упруго-вязких
и иных схематизации основания) к задаче о колебаниях системы с конечным
числом степеней свободы (Н. П. Павлюк, 1933; О. А. Савинов, 1940,.
1960; Д. Д. Баркан, 1948, 1956; О. Я. Шехтер, 1948, 1955, 1961; Н. М. Бо-
^одачев, 1964, 1966; В. М. Сеймов, 1967, и др.).
К проблеме расчета колебаний оснований близки задачи о вибрацион-
вибрационном погружении свай в грунты и вибрационном уплотнении грунтов.
Эксперименты по определению механических характеристик грунтов прж
вибрационных воздействиях, выполнявшиеся в связи с этим направлением
исследований, обнаружили определенные зависимости указанных харак-
характеристик от параметров вибрационного воздействия (Д. Д. Баркан, 1943,.
1959, и др.)- Полученные сведения позволили использовать эти зависи-
зависимости для разработки инженерных методов расчета вибропогружения
(Д. Д. Баркан, 1943, 1959; Ю. И. Неймарк, 1953; О. А. Савинов^
и А. Я. Лускин, 1960; О. Я. Шехтер, 1961, и др.) и в задачах о коле-
колебаниях оснований.
Основные экспериментально установленные факты, выявившие харак-
характер влияния вибраций на механические свойства грунтов (в основном
песчаных), сводятся к следующему. Вибрация вызывает изменение-
деформационных и прочностных свойств грунта (существенно возрастает
сжимаемость и резко падает сопротивление сдвигу). Кроме того, грунт
приобретает свойства вязкой жидкости. Особенность рассматриваемых
эффектов состоит в том, что они оказываются обусловленными только-
ускорениями колебаний, и зависимость механических характеристик
от ускорения носит четко выраженный пороговый характер — влияние-
колебаний на механические характеристики (сжимаемость, коэффициент
вибровязкости и т. д.) начинает сказываться лишь после достижения
амплитудой вибрационного ускорения некоторого порогового значения.
Проведенные эксперименты позволили выявить как сами пороговые зна-
значения ускорения, так и конкретный вид указанных зависимостей:
(Н. А. Преображенская, 1958; И. А. Савченко, 1958; Д. Д. Баркан, 1959,
и др.). Д. Д. Барканом, О. Я. Шехтер, О. А. Савиновым и другими
с учетом полученных в опытах данных были разработаны методы теоре-
теоретического решения задач о вибропогружении свай и иных конструкций
в грунт и о глубинном и поверхностном уплотнении грунтов вибра-
вибраторами. Полученные при этом результаты позволили разработать,
рациональные инженерные методы расчета и проектирования как
вибровозбудителей, так и самих процессов вибропогружения и вибро-
виброуплотнения. %
Следует отметить, что наличие упомянутых выше порогов важно
не только в принципиальном отношении, оно существенной в чисто приклад-
прикладном атенте проблемы, ибо приводит к локализации проявления виброэф-

МЕХАНИКА ГРУНТОВ 223'
фектов в некоторой области вблизи источника вибраций и количественно*
определяет размеры этой области.
В последнее время делались попытки построить общие математические
модели для описания механического поведения грунтов с учетом описан-
описанных выше зависимостей механических характеристик среды от вибрацион-
вибрационных ускорений (Н. Н. Ермолаев, 1963, 1967; Б. И. Дидух, 1967, и др.).
К рассмотренной проблеме близко примыкает задача количественного*
описания явлений разжижения и консолидации грунтов (песчаных) при
динамических воздействиях. Проведенные экспериментальные исследо-
исследования показали, что разжижение песков, по-видимому, также обусловлено
в основном амплитудой ускорений динамического воздействия (М. Н. Гольд-
штейн, 1953; Н. Н. Маслов, 1957, 1959; П. Л. Иванов, 1962, и др.). С дру-
другой стороны, имеются экспериментальные свидетельства того, что при
прохождении ударных волн разжижение песчаного грунта определяется
интенсивностью скачка давлений на фронте волны (Г. М. Ляхов, 1961,
1964). Вопрос о природе разжижения в настоящее время нельзя считать
окончательно решенным.
Резкое повышение интереса к динамическим задачам в механике грун-
грунтов относится к сороковым годам. Оно было обусловлено возникновением
практических задач, потребовавших количественной оценки результатов
действия интенсивных кратковременных нагрузок на грунты (взрыв, удар-
ударное трамбование грунтов, проникание твердых тел в грунт и т. п.). Особен-
Особенность этих задач состоит в том, что действующие на грунт напряжения
оказываются намного (на порядки) превосходящими уровни напряжений,
характерные для традиционной инженерно-строительной практики,
и меняются в широком диапазоне значений. В этих задачах, как правило*
динамическое воздействие существенно отлично от вибрационного (обычно
это однократное ударно-волновое воздействие) и виброэффекты описанного
выше характера не имеют места. Однако кратковременность и большая
скорость приложения нагрузки приводят к тому, что механические харак-
характеристики грунта оказываются, вообще говоря, отличными от статических..
Это связано, очевидно, с тем, что в рассматриваемых условиях все медлен-
медленно развивающиеся во времени эффекты (фильтрация жидкости, ползучесть
скелета и т. п.) оказываются «замороженными». Поэтому для получения
фактических сведений о динамических характеристиках грунтов оказы-
оказываются необходимыми динамические эксперименты. С другой стороны,
ясно, что в целом характер зависимостей между параметрами, определяю-
определяющими механические свойства грунтов, будет таким же, что и в статике.
Поэтому здесь также возникают проблемы описания деформационных
и прочностных свойств грунта в^рамках представлений, подобных имею-
имеющимся в статике.
Первые попытки схематического расчета действия взрыва в грунте
были предприняты в работах X. А. Рахматулина A945, 1951) и А. Ю. Иш-
линского, Н. В. Зволинского и И. 3. Степаненко A954), в которых грунт
схематизировался идеальной (лишенной касательных напряжений) необ-
необратимо уплотняемой средой.
В работах А. С. Компанейца A956), Э. И. Андрианкина и В. П. Коря-
вова A959) и А. Я. Сагомоняна A961) эта схема была усовершенствована
введением в рассмотрение касательных напряжений, связанных с
нормальными напряжениями условиями предельного состояния типа
условия Кулона. В задаче о центрально симметричном взрыве этого
условия достаточно для замыкания уравнений и получения расчетных
соотношений.

224 с. с. григорян, в. а. иоселевич
Большое внимание в связи с проблемой оценки действия взрыва
на грунт уделялось рассмотрению задачи о распространении плоской
взрывной волны в грунте. Одним из первых здесь было исследование
Б. А. Олисова A953), в котором использован подход X. А. Рахматулина
в задаче о волне разгрузки A945). Впоследствии задача о плоской одно-
одномерной взрывной волне рассматривалась многими авторами. Полезные
простые приближенные решения были получены Г. М. Ляховым
и Н. И. Поляковой A959). G. С. Григоряном A958), по-видимому, впервые
на основе анализа особенностей диаграммы деформируемости грунта была
предсказана качественная картина развития взрывной волны в процессе
ее распространения (появление упругих волн впереди фронта ударной
волны сжатия). Эксперименты подтвердили существование ожидаемой
картины, и впоследствии в теоретических построениях это обстоятельство
было принято во внимание.
В отмеченных выше подходах к решению простейших одномерных
задач вопрос о построении общей математической модели грунтовой среды
не ставился. Такая модель была предложена С. С. Григоряном A959,
1960). В его модели учтены все основные механические свойства грунтов,
существенные для динамических процессов (нелинейная и необратимая
объемная деформируемость, упруго-пластический сдвиг, зависимость пре-
предела упругости при сдвиге от давления). Объемная деформация предпола-
предполагается зависящей только от среднего давления (необратимым образом),
тем самым игнорируются эффекты дилатансии. Сдвиговая деформируе-
деформируемость в допредельном состоянии описывается по линейно упругой схеме,
а в предельном состоянии — по схеме Прандтля — Рейсса с условием
пластичности типа Мизеса — Шлейхера — Боткина. Автором предла-
предлагается эту модель использовать как для быстрых динамических процессов,
так и для статических в условиях, когда не проявляются временные
эффекты, с учетом того, что для динамики и статики конкретный вид
определяющих среду уравнений состояния и значения механических
параметров могут быть различными.
Впоследствии для проверки основных допущений, принятых в этой
модели, и конкретизации входящих в нее функций и параметров были
проведены обширные полевые динамические эксперименты, обнаружив-
обнаружившие ее приемлемость для описания динамического поведения основных
разновидностей грунтов (В. Д. Алексеенко, С. С. Григорян, Л. И. Коше-
лев, Г. М. Ляхов, 3. В, Нарожная, В. В. Мельников, А. Ф. Новгородов,
Г. В. Рыков, Г. М. Тавлинцев, 1960—1964).
В рамках предложенной модели С. С. Григоряном был решен ряд
задач о действии взрыва в грунтах (задача о подземном взрыве, 1964;
задача о действии наземного взрыва, 1962, 1965; задачи об одномерных
плоских взрывных волнах, 1965, и др.). Задача о подземном взрыве в мяг-
мягком грунте рассматривалась и ранее (см. выше, а также работы В. Н. Ро-
Родионова, А. Н. Ромашова и А. П. Сухотина, 1958, 1959), но в более схема-
схематизированной постановке, которая, в частности, не позволяла рассчитать
параметры излучаемой взрывом упругой волны.
На основе модели С. С. Григоряна был решен ряд других задач дина-
динамики грунтов (одномерные автомодельные и квазистатические движения —
С. С. Григорян, Ф. Л. Черноусько, 1961; отражение и преломление упруго-
пластических волн на границе раздела сред и от жестких преград —
Н. В. Зволинский и Г. В. Рыков, 1963; А. М. Скобеев, 1964; точные
решения об одномерных автомодельных движениях с ударными вол-
волнами применительно к задаче о волнах в грунте, индуцированных

МЕХАНИКА ГРУНТОВ 225
воздушной ударной волной наземного взрыва,— Э. Ф. Хайретдинов,
1966, и др.).
Соображения, принятые при построении модели для мягких грунтов,
впоследствии С. С. Григоряном были использованы также при построении
математической модели, предназначенной для описания динамических
процессов в скальных горных породах с учетом их упруго-пластических
свойств и хрупкого разрушения A967). На этой основе была решена
задача о подземном взрыве в горной породе (С. С. Григорян и А. Б. Багда-
сарян, 1967). Построенное решение позволяет рассчитать процессы разру-
разрушения породы вблизи взрывного очага и излучения упругих волн взрывом.
При этом оказывается, что на форму излученной волны и ее затухание
с расстоянием существенно влияет протекание процесса разрушения
породы вблизи очага. Подобная задача рассматривалась ранее при сильных
упрощающих предположениях (В. П. Корявов, 1962; В. Н. Родионов,
1962, и др.).
В связи с вопросом о построении динамических моделей грунтовой
среды нужно отметить работы Г. М. Ляхова A959, 1961, 1964), в которых
на основе опытных данных о распространении взрывных волн в водона-
сыщенных песках было предложено рассматривать такие грунты как
идеальную сжимаемую жидкость с особым уравнением состояния, в кото-
котором учитывается существенное влияние защемленного в поровой воде
газа. Используя эту модель, Г. М. Ляхов и Н. И. Полякова решили ряд
одномерных задач о распространении и действии взрывных волн в водо-
насыщенных грунтах A959, 1962).
Применительно к вопросу о динамическом уплотнении грунтов рас-
рассматривалась одномерная задача трамбования массивной плитой, сбрасы-
сбрасываемой на грунт с определенной высоты (Б. И. Дидух, 1962, 1963; С. С. Гри-
Григорян, 1964), и были получены простые формулы, позволяющие рассчитать
остаточные уплотнения грунта и толщину уплотненного слоя.
В связи с проблемой описания динамических процессов в грунтах
необходимо отметить, что в определенных условиях даже при кратковре-
кратковременных воздействиях в поведении грунта проявляются временные эффекты
(«динамическая» вязкость). В последнее время эти свойства грунтов под-
подвергались экспериментальному исследованию (Г. М. Ляхов, В. В. Мель-
Мельников, Г. В. Рыков и др.), однако исчерпывающего решения вопроса
и соответствующего количественного описания этих эффектов пока
еще нет.
Развитие исследований по динамике грунтов, кроме продвижения
в области теории, сопровождалось разработкой и совершенствованием
экспериментальных средств и методик, приспособленных для изучения
динамических процессов в грунтах в широких масштабах.
Для решения прикладных задач, связанных с действием взрыва
на грунт, был построен ряд простых расчетных схем и сделаны соответ-
соответствующие инженерные рекомендации, оказавшиеся при фактической
реализации достаточно эффективными. К числу таких предложений
относится идея М. А. Лаврентьева A960) о направленном метании массы
грунта при подрыве заряда специальной формы. Идея состоит в том, что
если импульс, передаваемый взрывом выбрасываемой массе грунта через
его поверхность, убывает по линейному закону в направлении метания,
то выбрасываемая масса грунта приобретает поступательное движение,
как целое, и, таким образом, при выбросе грунт не разбрасывается. Много-
Многочисленные опыты, проведенные сотрудниками М. А. Лаврентьева
(В. М. Кузнецов, Е. Н. Шер и др., 1960)f подтвердили это положение —
15 Механика в СССР, т» 3

226 С. С. ГРИГОРЯН, В. А. ИОСЕЛЕВИЧ
в опытах процесс выброса грунта обладает очень хорошей направлен-
направленностью.
Разработке расчетных методик для описания выброса грунта
при взрыве и реализации мощных взрывов на выброс были посвящены
также работы Г. И. Покровского и И. С. Федорова A957), Г. И. Покров-
Покровского и А. А. Черниговского A957), В. Н. Родионова, А. Н. Ромашова
и А. П. Сухотина A958), Т. М. Саламахина A958), М. М. Докучаева,
В. Н. Родионова и А. Н. Ромашова A963) и др.
Проблема адекватного описания поведения грунтов при динамиче-
динамических воздействиях в настоящее время не может считаться полностью
решенной. Здесь, как и в статике, дальнейшая работа должна быть направ-
направлена на совершенствование и детализацию математических моделей среды,
экспериментальных методов исследования и разработку методов решения
задач, необходимых для приложений, а также для проверки представи-
представительности тех или иных гипотез и моделей.
В заключение мы считаем необходимым специально отметить, что
настоящий обзор, конечно, не является исчерпывающим и не должен
быть таким, по нашему мнению. Литература по механике грунтов, в част-
частности из-за большого многообразия ее задач и объектов исследования,
столь обширна, что составление исчерпывающего обзора практически
невозможно.
Авторы видели свою задачу лишь в том, чтобы по возможности
полно охарактеризовать важнейшие принципиальные вопросы рассма-
рассматриваемой области механики и описать главные тенденции ее развития
в нашей стране за 50 лет. Мы отдаем себе отчет также и в том, что на реа-
реализацию этой программы, конечно, повлияли личные вкусы и воззрения
авторов#

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК
Н. А. АЛУМЯЭ
§ 1. Введение 227
§ 2. Основные соотношения теории упругих оболочек 230
§ 3. Вариационные методы 234
§ 4. Качественный анализ напряженного состояния 237
§ 5. Сведение к интегро-дифференциальным уравнениям 240
§ 6. Метод комплексного представления уравнений общей теории оболочек 242
§ 7. Напряженное состояние около отверстия 242
§ 8. Расчет оболочек на сосредоточенную нагрузку 245
§ 9. Безмоментные гибкие оболочки 246
§ 10. Гибкие оболочки в приборах 247
§ И. Собственные колебания 248
§ 12. Переходные процессы деформации 251
§ 13. Новые задачи динамики оболочек 254
§ 14. Анизотропные оболочки 257
§ 15. Слоистые оболочки 259
§ 16. Приведение задач теории упругости к теории оболочек 261
§ 17. Заключение 265
§ 1. Введение
В связи с большой областью практических приложений теория оболо-
оболочек развивалась в Советском Союзе быстрыми темпами, следуя в этом
неуклонно за ростом технологической вооруженности и производственных
мощностей.
Со временем область приложений теории оболочек существенно рас-
расширялась, перемещался центр тяжести усилий, направленных на реше-
решение конкретных задач: если в первые десятилетия стимулирующей иссле-
исследования областью была строительная техника, то позже ведущая роль
перешла к авиационной технике, судостроению и машиностроению.
Вместе с непрестанным ростом объема научных исследований для
обеспечения технического прогресса в целом возросло и число специа-
специалистов, занятых решением проблем теории оболочек. Если ранее вопросы
теории оболочек обсуждались в рамках всесоюзных конференций по проч-
прочности и пластичности на уровне секции или же на небольших совещаниях,
посвященных исключительно расчету оболочек (Москва, 1952; Тарту,
1957), то последующие всесоюзные конференции по теории оболочек
и пластинок в Казани A960), Львове A962), Ереване A963), Москве
A965), Баку A966) и Днепропетровске A969) были уже весьма предста-
представительными собраниями, со все возрастающим числом участников
15*

228 н. а. алумяэ
(до 700 человек), докладов и сообщений. Следует отметить весьма полную
публикацию материалов этих конференций. Исследования по теории оболо-
оболочек были неплохо представлены и на всесоюзных съездах по теоретической
и прикладной механике, состоявшихся в Москве A960—1968). Весьма
существенно расширялась в СССР сеть научных центров по разработке
теории оболочек. Наряду с Москвой, Ленинградом и Киевом, возникли
и укрепились сильные коллективы в Казани, Новосибирске, Ереване,
Тбилиси, Харькове, Ростове-на-Дону и других городах.
О развертывающемся размахе исследований по теории оболочек сви-
свидетельствует и число опубликованных работ: в 1955 г. Реферативный
журнал «Механика» реферировал в разделе «Оболочки и пластинки» около
60 работ советских авторов по теории пластинок и оболочек, а в 1967 г.
соответствующее число было, по грубой оценке, около 600 (многие рабо-
работы по теории пластинок и оболочек реферируются в других разделах
РЖ «Механика», например в разделах «Упругие волны», «Колебания
упругих тел»).
Однако было бы ошибочно полагать, что основная часть результатов,
составляющих в данное время содержание теории оболочек и пластинок,
получена за последние десять лет. Бурное развитие теории оболочек
стало возможным благодаря фундаментальным исследованиям ученых-
предшественников.
Результаты работ советских ученых в области теории пластинок
и оболочек в раннем периоде развития теории подытоживались неодно-
неоднократно, в частности, они кратко изложены в обзорных статьях Ю. Н. Ра-
ботнова A950), И. Г. Васильева A956), Б. Г. Коренева A956) и О. Д. Ониа-
швили A957). В настоящем обзоре эти результаты могут быть затронуты
еще более кратко.
Отметим прежде всего работы Б. Г. Галеркина A932, 1935) по при-
применению к анализу толстых плит общих решений уравнений теории упру-
упругости, выраженных через бигармонические функции, а также монографии
Б. Г. Галеркина A934) и Ю. А. Шиманского A934), посвященные расчету
пластинок разного очертания по классической теории изгиба. Метод
асимптотического интегрирования для расчета оболочек вращения впервые
был применен И. Я. Штаерманом A924); он же указал на аналогию между
статическими расчетами оболочки вращения и кривого (плоского) стержня
на упругом основании. Решение ряда интересных задач безмоментной тео-
теории куполов дано в монографии В. Э. Новодворского A932), с именем
которого связано одно из условий применимости безмоментной теории:
тангенциальные кра-евые условия не должны допускать изгибания средин-
срединной поверхности (В. Э. Новодворский, 1933).
В начале тридцатых годов интенсивно велись исследования цилиндри-
цилиндрических оболочек (наиболее существенные результаты опубликованы в ста-
статьях А. А. Гвоздева, 1932; П. Л. Пастернака, 1932, и в монографиях
В. 3. Власова, 1933, 1936). В работах В. 3. Власова последовательно
и весьма эффективно проводилась идея сочетания методов теории упру-
упругости и строительной механики. С. М. Файнберг A936) предложил упро-
упрощенную теорию расчета круговых цилиндрических оболочек открытого
профиля, сводящуюся к интегрированию дифференциального урав-
уравнения четвертого порядка с комплексными коэффициентами. Весьма
актуальной в эти годы была задача о безбалочном покрытии; за разведоч-
разведочной работой Л. С. Лейбензона последовали труды С. А. Гершгорина
(A933) и А. С. Малиева A935), в которых была уточнена постановка
.задачи.

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 229
К этому времени относятся также первые работы по нелинейной
теории пластинок типа Кармана (П. А. Соколов, 1932; Б. И. Слепов,
1935; В. М. Даревский, 1936; П. Я. Полубаринова-Кочина, 1936). В связи
с этими исследованиями нельзя не отметить как выдающееся достижение
двустороннюю оценку для редукционного коэффициента пластинки после
потери устойчивости, полученную Н. В. Зволинским A940) с помощью
вариационного метода.
Заслуживают внимания ранние работы о действии удара на пластинку
(А. И. Лурье, 1934; А. П. Филиппов, 1938).
Разработанные к концу тридцатых годов методы решения линейных
и нелинейных задач статики и динамики пластинок сведены в капитальной
монографии П. Ф. Папковича A941), сыгравшей весьма существенную
роль в деле подготовки научных и инженерных кадров для различных
отраслей техники.
Первые крупные исследования по общей теории упругих оболочек
созревают к началу сороковых годов. Освоению и анализу теории оболо-
оболочек способствовало применение ведущими учеными страны тензорной
символики для записи основных соотношений теории. Уравнения совме-
совместности деформации впервые вывел А. Л. Гольденвейзер A939); А. И. Лу-
Лурье A940) и А. Л. Гольденвейзер A940) ввели в теорию оболочек
функции напряжения, через которые определяются усилия и моменты,
тождественно удовлетворяющие уравнениям равновесия. А. Н. Кильчев-
ский A940) указал способы построения теории оболочек и решения ее
задач на основе теоремы о взаимности. Уравнения в перемещениях
геометрически нелинейной теории были опубликованы X. М. Муштари
A939) — изложенный им вариант теории является обобщением упрощенной
нелинейной теории пластинок Кармана на оболочки произвольного
очертания.
Позже В. 3. Власов A944) представил упрощенные уравнения общей
линейной теории в форме, аналогичной классической форме уравнений
пластинок теории Кармана,— здесь все искомые величины выражены
через одну функцию напряжения (плоской задачи) и функцию прогиба
срединной поверхности. В этой же работе Власов ввел также обще-
общеизвестное теперь понятие пологой оболочки; расчет пологой оболочки про-
проводится в предположении, что главные кривизны оболочки постоянны,
а срединная поверхность может быть задана в евклидовой метрике (отметим,
кстати, что этот вариант стал, после соответствующих обобщений,
наиболее популярным также при постановке и решении геометрически
нелинейных задач теории оболочек).
Серия работ по качественному исследованию напряженных состояний
в оболочках была открыта А. Л. Гольденвейзером A945—1947); впослед-
впоследствии изложенные в его статьях методы были использованы при анализе
задач линейной теории устойчивости и колебаний, а также в нелинейной
теории оболочек.
Аналогия между статическими и геометрическими соотношениями
в частных случаях была подмечена давно. В общей линейной теории такая
аналогия была указана А. Л. Гольденвейзером A940). Наиболее последо-
последовательно это свойство основных соотношений линейной теории оболочек
было использовано В. В. Новожиловым A946) при выводе уравнений
общей теории оболочек посредством введения комплексных неизвестных,
попарно составленных из величин-аналогов; первые приложения этой
теории относятся к расчету оболочек вращения и цилиндрических обо-
оболочек.

230 Н. А. АЛУМЯЭ
В. В. Новожилов A946) и Л. И. Балабух A946) предложили простей-
простейшие соотношения упругости, не противоречащие шестому уравнению рав-
равновесия и обеспечивающие выполнение в теории оболочек теоремы един-
единственности Кирхгофа (или вариационных принципов) и теоремы взаим-
взаимности Бетти.
Параллельно развитию общей теории были достигнуты существенные
результаты и в решении частных задач линейной теории. Теория безмо-
ментных оболочек обогатилась установлением зависимости общего харак-
характера решения от знака гауссовой кривизны срединной поверхности
(В. В. Соколовский, 1943), использованием аналогии между задачами
изгибания поверхностей и безмоментной теории для вывода заключений
о единственности решения (Ю. Н. Работнов, 1946), применением в ряде
работ теории функций комплексного переменного для расчета оболочек,
представляющих собой центральные поверхности второго порядка. Боль-
Большое количество исследований было посвящено расчету цилиндрических
оболочек — наиболее часто встречающемуся в практике типу оболочек
(В. В. Новожилов, 1946; А. Л. Гольденвейзер, 1947; А. И. Лурье, 1946).
В. 3. Власов A944), развивая далее идею сочетания методов строительной
механики и теории упругости, разработал вариационный метод расчета
многосвязных призматических оболочек, в частности для расчета этих
конструкций на колебания (В. 3. Власов, 1947).
Математическое изложение состояния линейной теории оболочек в эти
годы дано в обзорной статье А. Л. Гольденвейзера и А. И. Лурье A947).
К этому времени накопилось много новых результатов в теории оболочек;
содержание теории уже во многом отличалось от классического изложения
О. Лява. Поэтому неудивительно, что одна за другой в течение небольшого
времени вышли в свет монографии А. И. Лурье A947), В. 3. Власова A949),
В. В. Новожилова A951), А. Л. Гольденвейзера A953), составляющие
фундамент современной теории оболочек. Они также широко известны
за границей и переведены на иностранные языки (английский, немецкий,
испанский). Эти выдающиеся труды посвящены линейной теории. Исклю-
Исключение представляет монография В. 3. Власова, в которую включено
и изложение основ нелинейной теории пологих оболочек.
Общая нелинейная теория развивалась главным образом в трудах
X. М. Муштари и К. 3. Галимова; в систематизированной форме получен-
полученные результаты приведены в их совместной монографии «Нелинейная
теория упругих оболочек» A957). Более детально эти результаты будут
освещены в дальнейших разделах обзора.
§ 2. Основные соотношения теории упругих оболочек
Было бы естественно думать, что за время длительного развития основ-
основные уравнения теории упругих оболочек получили законченную форму
и в наши дни уже не являются предметом исследований и дискуссий. Фак-
Фактически же последнее десятилетие свидетельствует о все возрастающем
интересе именно к проблеме построения самих уравнений или, вернее,
к установлению процедуры последовательного уточнения напряженного
состояния. Было бы ошибкой полагать, что интерес этот связан исклю-
исключительно с новыми задачами — расчетом однородных анизотропных оболо-
оболочек из новых конструкционных материалов и многослойных анизотропных
оболочек, определением полей ускорения около фронта распространения
волн напряжения и т. д. Эта проблема продолжает стоять, и не без осно-
оснований, также и перед линейной теорией равновесия изотропных ободочек.

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 231
Ее постановка стимулируется в линейной теории равновесия, во-первых,
важностью разработки основ расчета оболочек «средней» толщины, во-вто-
во-вторых, потребностями анализа напряженного состояния в особых точках
(например, около вершины конической оболочки, в зоне приложения
сосредоточенной нагрузки), в-третьих, необходимостью выяснения вопроса
о том, как удовлетворить краевым условиям (или в каком смысле будут
удовлетворены при помощи того или иного расчетного алгоритма краевые
условия); наконец, на примере простейших задач (линейной теории равно-
равновесия) легче всего разработать основные методы приведения задач теории
упругости к задачам теории оболочек, когда размерность объекта иссле-
исследования уменьшается на единицу.
Из сказанного, однако, не следует, что теория оболочек опирается
сегодня еще на шаткие основания. Нет сомнения в том, что для широкого
круга практических задач классический вариант теории Кирхгофа —
Лява дает вполне адекватное описание напряженного состояния оболо-
оболочек. Как и многие другие выдающиеся достижения науки, этот вариант
теории подвергался с течением времени лишь небольшим (хотя и необхо-
необходимым) поправкам; он будет и впредь находить оправданное применение
при решении многих сложных задач теории оболочек.
Слабое место теории Кирхгофа — Лява заключается в кажущемся
противоречии исходных гипотез: A) при определении деформации по тол-
толщине оболочки предполагается, что поперечный сдвиг равен нулю,
но в условиях равновесия сохраняются поперечные силы; B) при опреде-
определении деформации по толщине оболочки предполагается, что длины отрез-
отрезков на нормали к срединной поверхности в процессе деформации не изме-
изменяются, но в соотношениях упругости принимается azz = 0. В настоящее
время эти противоречия научились в большинстве случаев устранять при
помощи надлежащей интерпретации. Исключение представляют напряжен-
напряженные состояния с большим показателем изменяемости и напряженные
состояния в многослойных оболочках с мягким заполнителем, где учет
поперечного сдвига обязателен. Однако, поскольку исключения суще-
существуют, оправдан и пересмотр основных уравнений теории оболочек с помо-
помощью новых средств научного исследования. Например, численное решение
на ЭВМ задач теории упругости, близких к задачам теории оболочек,
вполне может выявить новые способы сведения и даже поставить проблему
сведения в явной форме.
Вместе с тем полезно не упускать из виду возможность практического
приложения новых результатов, ожидаемых при выполнении программы
пересмотра теории. Оболочка, как правило, является только элементом
конструкции. Чтобы рассчитать оболочку, нужно определить, вообще
говоря, условия упругой заделки ее краевого сечения. Нередко эта задача
может быть решена только в первом приближении путем выражения усло-
условия заделки через ограниченное число коэффициентов жесткости (или
податливости). При этом кинематические условия сопряжения оболочки
окаймляющей оболочку конструкции формулируются через такое же число
обобщенных перемещений (отнесенных к линии пересечения срединной
и контурной поверхностей оболочки).
Классическая теория Кирхгофа — Лява определяет кинематику
на краю оболочки через четыре обобщенных перемещения, а различные
ее современные модификации (теории типа Рейсснера, Тимошенко) —
через пять. В последнем случае предполагается, что тангенциальные
перемещения изменяются в направлении нормали по линейному закону,
а нормальные перемещения одинаковы для всех точек на одной нормали.

232 Н. А. АЛУМЯЭ
Но даже при пяти обобщенных перемещениях для представления кине-
кинематики оболочки необходимо введение дополнительного предположения
о том, что абсолютное значение azz всюду на нормали существенно меньше
суммы абсолютных значений тангенциальных напряжений сгасб, (тар, сг^р.
Нелинейные уравнения теории типа Тимошенко для негибких много-
многослойных оболочек даны Э. И. Григолюком A958). Приведем здесь основ-
основные соотношения геометрически нелинейного варианта теории для изо-
изотропной однослойной оболочки (Л. Я. Айнола, 1965).
Пусть аар, Ъа$ — тензоры первой и второй квадратичных форм сре-
срединной поверхности, Va — символ ковариантного дифференцирования
в метрике aap, G — модуль сдвига, v — коэффициент поперечного расши-
расширения, р — плотность материала, h — толщина оболочки, ра, р — компо-
компоненты вектора внешних сил, та — компоненты вектора моментов, отне-
отнесенных к единице площади срединной поверхности, va + zq)a, w + zi|) —
компоненты вектора смещения, z — расстояние точки от срединной поверх-
поверхности. Тогда основные соотношения сводятся к следующей системе:
уравнения движения
Vv [D + е*
УУ^ ^ = О, B.1)
(9v-MaP) - 9hw + p = 0, B.2)
Na -bl^May -^ Р^3фР + m* =0; B.3)
соотношения упругости
- Gh (ea$ + eta + ey*4v + ^щ), B.4)
= jg Gh? (хаз + X0a + e'ayV№v + e'^Va^v + bl®a<py + Ъ1щ<ру), B.5)
кш Na = Gh (coa + Фа + Ф^ат), B.6)
где
причем а|) определяется недифференциальным соотношением
A + v) Gh Bф + ф^Ф?) - vaa$T^ = 0. B.7)
Краевые условия к этой системе приведены в упомянутой выше работе
Л. Я. Айнолы.
Изложенный вариант предназначен для решения весьма общих нелиней-
нелинейных задач динамики. Необходимость учета сил инерции заставляет решать
такие задачи в перемещениях. При решении же задач равновесия жела-
желательно иметь большой набор основных соотношений. В первую очередь
интерес представляют условия совместности деформаций (десять величин
<?а|3, Ха{3, соа определяются через шесть величин иа, w, cpa, г|э); однако
в нелинейной теории они пока не получены.
Разнообразие нелинейных динамических задач весьма велико; сюда
относятся проблемы распространения упругих волн с конечной амплиту-

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 233
дой, а также задачи о стационарных нелинейных колебаниях около состоя-
состояния равновесия. Общие же соотношения нелинейной динамики весьма
сложны, поэтому при решении конкретных задач необходим предвари-
предварительный качественный анализ решения с целью упрощения (или даже
частичного уточнения) чисто формально выведенных квазилинейных урав-
уравнений. Нередко такой анализ приводит к хорошо известным нелинейным
уравнениям типа Кармана, дополненным учетом сил инерции нормальных
колебаний.
Для решения нелинейных задач равновесия более удобным может
оказаться вариант соотношений, выведенный К. 3. Галимовым A951)
на основе гипотезы Кирхгофа — Лява. Эти соотношения сводятся к сле-
следующим:
условия равновесия
- Ь&Д« + ^ - 0, B.8)
^ р - 0, B.9)
VaAf0* + а^Рь, ауМ^У — № - т^= 0; B.10)
условия совместности деформаций
С С ! VvVa^a|3 rf^af^Ytf" 2~ я» а|3* .,<ту ) —
-Ka*hav = Q, B.11)
^ = 0; B.12)
соотношения упругости
B.13)
B.14)
соотношения между тензорами деформации и компонентами вектора
перемещения срединной поверхности
а^З, B.15)
B.17)
где Я — средняя, а К — гауссова кривизна срединной поверхности.
От физических соотношений надо требовать, чтобы они допускали
существование потенциальной энергии деформации, кинематические же
соотношения должны дать нулевые значения компонентам тензоров дефор-
деформации при движении оболочки как твердого тела. К условиям требования
«красоты» можно отнести существование аналогии между соотношениями
равновесия и совместности деформаций (вариант такой нелинейной теории
опубликован автором обзора в 1956 г.).
Предметом дискуссии может являться еще так называемое шестое
уравнение равновесия. Классическая теория требует, чтобы физическими
соотношениями оно удовлетворялось тождественно. Однако А. И. Лурье
A950) показал, что с введением симметричных тензоров усилий и моментов
этот вопрос отпадает.

234 Н. А. АЛУМЯЭ
Несмотря на большое количество предложенных вариантов, «единой»
общей нелинейной теории упругих оболочек, удовлетворяющей всем тре-
требованиям, пока не существует. Что же касается практических приложений
нелинейной теории, то громадное большинство исследователей применяют
упрощенный вариант нелинейных соотношений, известный под названием
системы уравнений типа Кармана. Об этом свидетельствуют монографии
А. С. Вольмира A956), X. М. Муштари и К. 3. Галимова A957), М. С. Кор-
нишина A964), обзорные статьи А. С. Вольмира A958), X. М. Муштари
A958, 1962), В. И. Феодосьева A966).
Применение упрощенной системы уравнений типа Кармана в рас-
рассмотренных на практике случаях достаточно удовлетворительно обосно-
обосновано и целесообразно. Однако интегрирование даже этой системы пред-
представляет большие трудности. В настоящее время естественной предпосыл-
предпосылкой для решения задач нелинейной теории оболочек является использо-
использование вычислительной техники, инициаторами чего у нас были
А. Ю. Биркган и А. С. Вольмир A959). Вместе с тем прогресс в этом направ-
направлении не столь велик, как можно было ожидать. В качестве примера
можно указать на задачу об осесимметричных формах равновесия сфери-
сферического купола, привлекающую до сих пор внимание многих видных иссле-
исследователей (В. И. Феодосьев, 1963; М. С. Корнишин, 1966; И. И. Ворович
и В. Ф. Зипалова, 1966). Если общее математическое обеспечение вычис-
вычислительной техники в ближайшее время значительно улучшится, на что
можно надеяться, то многие трудности решения нелинейных задач теории
оболочек будут устранены с помощью создания универсальных программ
(как это имеет место в настоящее время в линейной алгебре). Однако
на исключено, что в некоторых случаях будет целесообразно разработать
специфические для задач теории оболочек расчетные алгоритмы. Одна
из таких процедур предложена М. С. Корнишиным и X. М. Муштари
A959). Небольшой обзор применения вычислительных методов в теории
оболочек дан И. В. Свирским A966).
В заключение следует отметить, что интегрирование уравнений тео-
теории оболочек и пластинок в элементарных или специальных (табулиро-
(табулированных) функциях удается лишь в исключительных случаях. Далеко иду-
идущие результаты в этом направлении достигнуты А. Д. Коваленко, разра-
разработавшим применение теории обобщенных гипергеометрических функций
для определения напряженного состояния в дисках, круглых пластинках
переменной толщины и конических оболочках вращения по линейной
теории равновесия. Эти результаты частично изложены в монографиях
и обзорной статье А. Д. Коваленко A955, 1959, 1963) и в книге А. Д. Ко-
Коваленко, Я. М. Григоренко и Л. А. Ильина A963).
§ 3. Вариационные методы
Включение в настоящий обзор раздела о вариационных методах может
показаться неожиданным, однако эти методы находят в .теории оболочек
со своими сложными соотношениями такое широкое и разнообразное
применение, что следует подчеркнуть их значимость. Общая теория обо-
оболочек или же ее упрощенные варианты для решения каких-либо конкрет-
конкретных задач, конечно, могут быть построены без использования аппарата
вариационных методов, но нужно привлечь внимание и к обратной точке
зрения: раз некоторая совокупность расчетных соотношений построена,
следует проверить, обладает ли данная модель упругой системы потенциа-
потенциалом, допускающим вариационную формулировку рассматриваемой задачи.

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 235
На завершающем этапе разработки уравнений линейной теории оболочек
это хорошее правило не упускалось из виду (А. Л. Гольденвейзер, 1944).
Исторически оправдана высокая оценка роли вариационных методов
для вывода краевых условий к системе дифференциальных уравнений,
моделирующих тонкое упругое тело сложной конфигурации и строения.
Путеводителем в области применения вариационных методов в линей-
линейной теории пластинок и оболочек можно считать монографию Л. С. Лей-
бензона A943). Данное в ней изложение методов Лагранжа, Кастильяно
и Трефтца для случая пластинки открыло также возможности обобщения
этих результатов без особых затруднений и на линейную теорию оболочек.
Подлинное значение вариационных методов выявилось при дальней-
дальнейшем развитии теории оболочек, в связи с постановкой новых задач нелиней-
нелинейной теории, созданием теории анизотропных и слоистых оболочек, попыт-
попытками усовершенствовать линейную теорию оболочек.
При постановке новых проблем исходным пунктом в большинстве
случаев является начало возможных перемещений, приводящее к вариа-
вариационной формуле Лагранжа для данного объекта. Если задачу целесооб-
целесообразно формулировать в перемещениях, то на этом функции вариационного
исчисления при решении рассматриваемой задачи и кончаются. В нелиней-
нелинейной же теории оболочек самым распространенным вариантом являются
уравнения типа Кармана, сформулированные в смешанной форме (через
прогиб и функцию напряжения). Ясно, что различным формулировкам
соответствуют разные вариационные формулы. Получение таких формул
нередко представляет достаточный интерес (хотя бы для нестрогого обосно-
обоснования процедуры метода Бубнова — Галеркина). Например, большое
внимание было уделено обобщению вариационного принципа Кастильяно
на нелинейную теорию равновесия пластинок и оболочек (Н. А. Алумяэ,
1950; К. 3. Галимов, 1951, 1958).
Первые вариационные формулировки нелинейной теории оболочек
были построены по интуиции. Среди них назовем вариационные уравнения
смешанного типа обобщенной теории Кармана (Н. А. Алумяэ 1950;
М. А. Колтунов, 1952 ], а также уравнения общей нелинейной теории
(К. 3. Галимов, 1956).
Немного позже Л. Я. Айнола A957) на примере уравнений типа
Кармана показал, что при помощи метода неопределенных множителей
Лагранжа можно из вариационной формулы возможных перемещений
вывести замкнутую (с возвращением в исходную) систему вариационных
формул; в случае уравнений Кармана число различных формул оказалось
равным 181. В общей нелинейной теории это число может оказаться и еще
больше.
К. 3. Галимов, разрабатывая в своих трудах вариационные формулы
общей теории (точной в рамках гипотез Кирхгофа), не обращал внимания
на промежуточные результаты — вариационные формулы, а стремился
к узловым точкам замкнутой цепи этих формул. Основные результаты этой
работы приведены в монографии X. М. Муштари и К. 3. Галимова A957).
Весьма полный набор известных в теории изотропных оболочек вариа-
вариационных формул обобщен Н. К. Галимовым A965) на нелинейную теорию
трехслойных оболочек.
Как было отмечено, вариационные методы являются надежным сред-
средством для вывода краевых условий. Одна из сложнейших задач в нелиней-
нелинейной теории — формулировка геометрических граничных условий в уси-
усилиях и моментах — успешно решена не без помощи вариационных урав-
уравнений К. 3. Галимовым A958, 1960).

236 И. А. АЛУМЯЭ
Исходным положением при определении нестационарных процессов
деформации с помощью вариационных методов является принцип Гамиль-
Гамильтона для упругих систем. Однако этот принцип применяется для вывода
уравнений движения, но не для непосредственного построения прибли-
приближенного решения по методу Ритца, так как обобщенные координаты
системы неизвестны в конечный момент интервала времени, в течение
которого изучение процесса представляет интерес. Для того чтобы исполь-
использовать метод Ритца, нужно к энергетическому функционалу прибавить
некоторые дополнительные члены, описывающие состояние системы
в конечный момент времени, но в итоге полученный функционал не обла-
обладает уже потенциалом.
Сравнительно недавно Л. Я. Айнола A966) все же построил вариа-
вариационное уравнение для решения нестационарных линейных задач в форме
интеграла свертки (по времени), где функциональные аргументы должны
удовлетворять начальным условиям относительно координат, но не обя-
обязательно относительно скоростей; в конечный же момент времени функ-
функциональные аргументы ничем не стеснены. В нелинейных задачах анало-
аналогичное по содержанию вариационное уравнение в форме билинейного
интеграла типа свертки может быть получено за счет удваивания числа
функциональных аргументов (введением дополнительных неизвестных).
При исследовании кратковременных нестационарных процессов
(например, в случае, когда упругие волны, распространяясь от источника,
не успели охватить всю оболочку) может оказаться полезным приложение
вариационных уравнений в форме, предложенной Л. И. Слепяном A965).
В этих вариационных формулах учитывается изменение границы дефор-
деформированной области во времени, т. е. функциональные аргументы задаются
только в области существенных деформаций. Естественно ожидать, что
выделение области существенных деформаций значительно повышает прак-
практическую сходимость при решении широкого класса нестационарных задач,
в том числе и "задач, описываемых уравнениями параболического типа.
Основной базой для сведения двумерных задач теории пластинок
и оболочек к задачам систем с конечным числом степеней свободы служат
методы Ритца и Бубнова — Галеркина для решения вариационных урав-
уравнений. Подавляющее большинство нелинейных задач теории пластинок
и оболочек решено именно таким путем. При этом всегда возникают вопро-
вопросы: в каком смысле приближенное решение, если оно существует, будет
удовлетворять условиям исходной краевой задачи? какова погрешность
приближенного решения? Этим вопросам посвящен цикл работ И. И. Во-
ровича A955—1958) по нелинейной статике и динамике пологих оболочек.
Ответы на поставленные вопросы Ворович дал в терминах функционального
анализа. К сожалению, здесь невозможно даже конспективно изложить
эти результаты *). Отметим лишь, что указанное направление получило
дальнейшее развитие в основном в работах В. Н. Морозова A958, 1962),
Л. С. Срубщика и В. И. Юдовича A962, 1966).
*) В работах И. И. Воровича основные рассмотрения ведутся в так называемых
«энергетических» пространствах, в которых вначале устанавливается сильная ком-
компактность приближений, получаемых по методу Бубнова — Галеркина для статиче-
статических задач. Далее автор выводит условия на исходные данные задачи (внешнюю на-
нагрузку, срединную поверхность оболочки, контур опирания), при которых приближе-
приближения сходятся в сколь угодно сильных нормах Гельдера. В случае смешанных динами-
динамических задач устанавливается слабая сходимость приближений. Для придания более
конкретного содержания отдельным результатам И. И. Воровича потребовалось бы
практически воспроизвести значительные части его работ.

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 237
§ 4. Качественный анализ напряженного состояния
Трудно себе представить направление, которое больше содействовало
бы развитию теории и расширению алгоритмов расчета оболочек, чем
разработка общих методов качественного анализа напряженного и дефор-
деформированного состояний. Результаты качественного анализа выявляют
возможности расчленения общего напряженного состояния на элементар-
элементарные, указывают упрощенные соотношения для определения этих элемен-
элементарных состояний, позволяют установить оценки погрешностей, возникаю-
возникающих при переходе на упрощенные соотношения, и, наконец, намечают
итерационные процессы для нахождения общего напряженного состояния
с нужной равномерной точностью во всей области.
Разработка всех этих вопросов имеет длительную историю. Так,
например, И. Я. Штаерман A924) указал на целесообразность раздельного
определения основного (безмоментного) напряженного состояния и крае-
краевых эффектов в оболочках вращения при осесимметричной нагрузке еще
более сорока лет тому назад. В начале тридцатых годов произошло бурное
развитие методов расчета цилиндрических оболочек, в основном благо-
благодаря успешным исследованиям В. 3. Власова A933, 1936), приведшим
к варианту расчета (получившему в наше время название «полубезмомент-
ной» теории — по терминологии В. В. Новожилова, 1951), описывающему
обобщенные краевые эффекты около асимптотического края. Позже в рабо-
работах А. Л. Гольденвейзера A947, 1953) были даны обобщения упрощенного
расчета краевых эффектов в статике оболочек нулевой гауссовой кривизны
произвольного очертания и отрицательной гауссовой кривизны около
асимптотического края. Результаты этих исследований показали, что
для недлинных оболочек полученные соотношения представляют собой
частные случаи так называемой «технической» моментной теории оболочек
(по терминологии В. 3. Власова, 1944), предназначенной для расчета
напряженных состояний с большим показателем изменяемости. В тен-
тензорной записи разрешающее уравнение этой теории имеет в смешанной
форме следующее представление:
Щ2 (V°VaJ V + c^c^ba^yVQV - 0, D.1)
где V = 2Ehr\2w + ?ф, причем ф — функция напряжения, w — нормаль-
нормальное смещение срединной поверхности, т]2 = h/УЗ A — v2). В случае обоб-
обобщенных краевых эффектов показатели изменяемости напряженного состоя-
состояния в направлениях вдоль и поперек края различны, поэтому дифферен-
дифференциальные инварианты в этом уравнении выписываются в упрощенной
форме, с пренебрежением несущественными членами.
При длинных асимптотических краях обобщенные краевые эффекты
вырождаются: показатель изменяемости напряженного состояния около
края уже не будет достаточно большим для применения разрешающего
уравнения D.1).
Следует отметить, что техническая теория оболочек сама по себе
не ставит задачу расчленения напряженного состояния на элементарные;
это для нее, можно сказать, задача второстепенная. Такой вариант теории
оболочек давно уже применяется не только в линейных задачах статики,
но и в нелинейных задачах статики, устойчивости равновесия и динамики
(X. М. Муштари, 1939; В. 3. Власов, 1947). Вопросы расчленения напря-
напряженного состояния и раздельного определения элементарных напряжен-
напряженных состояний в только что названных задачах изучены сравнительно

238 Н. А. АЛУМЯЭ
слабо (X. М. Муштари, 1949; Н. А. Алумяэ, 1953, 1954; Л. Я. Айнола,
1965; А. Л. Гольденвейзер, 1966). Отметим, что в этих задачах основное
напряженное состояние оболочек нулевой кривизны весьма часто отно-
относится к типу обобщенного краевого эффекта.
Важно подчеркнуть, что самым трудным моментом при качественном
анализе напряженного состояния является не установление возможности
существования того или иного элементарного состояния, а установление
краевых условий для конкретного элементарного состояния. Например,
основное напряженное состояние плоской пластинки при большой более
или менее равномерно распределенной поперечной нагрузке будет мемб-
мембранным. Это состояние описывается системой уравнений
(V°VaJ Ф = 0, са?сЗруаУзФ -VvVpH? = р. D.2)
Для того чтобы проинтегрировать эту систему методом расчленения
напряженных состояний, необходимо определить краевые условия для
элементарных напряженных состояний. Для этого нужен анализ нелиней-
нелинейных краевых эффектов (при больших прогибах пластинки они, как изве-
известно, появляются). Само собой разумеется, что не всегда возможно раздель-
раздельное наложение краевых условий по отдельным состояниям, т. е. в конеч-
конечном итоге их раздельное определение. Впрочем, вопросы существования
мембранного решения пластинок и оболочек вращения были в последнее
время обстоятельно исследованы с применением функционального анализа
в работах Н. Ф. Морозова A962), Л. С. Срубщика A964), Л. *С. Срубщика
и В. И. Юдовича A964, 1966).
Между тем аналогичные трудности существуют и в линейных задачах.
Примером служит проблема выяснения граничных условий, которые сле-
следует выполнять по безмоментной теории. Этому вопросу посвящены работы
А. Л. Гольденвейзера A948, 1960), К. Ф. Черных A964).
Для линейных задач наиболее совершенный аппарат исследования
элементарных напряженных состояний был предложен А. Л, Гольден-
Гольденвейзером A953); ему же принадлежит дальнейшая разработка A959)
этого аппарата, представляющего собой обобщение известного из теории
обыкновенных дифференциальных уравнений метода асимптотического
интегрирования *) на уравнения в частных производных, содержащие
малый параметр (относительная толщина оболочки),
V(x\ x*) = ekr (yo + ±v±+...)t D.3)
где г, vOi Vi, ... — функции только от координат х1 и х2, а к — некоторая
достаточно «большая» постоянная, порядок которой определяется харак-
характером осцилляции краевых условий.
В качестве простейших можно наметить следующие три процедуры
рекуррентного определения г, у0, у1? . . .:
A) постоянная к — относительно малая величина:
агр = 0 (гт = V/%
p ^oVa^) + Щ2№ (T^aJ V0 « 0
и т. д.;
*) Этот метод иногда называется сокращенно методом В КБ (Вентцеля — Кра-
мерса — Бриллуена); ради краткости обобщенный метод А. Л. Гольденвейзера далее
также будет условно называться методом ВКБ и не будет делаться каждый раз ого-
оговорка, что речь идет об уравнениях в частных производных.

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 239
B) постоянная к определяет показатель изменяемости того же
порядка, что и у простого краевого эффекта:
(rar*J + c«vcPPbvprar3 = О,
2 [2ik2rf (r«ra) гЭ + c*vc№bypra] V^o +
Va^] vo= 0
и т. д.;
C) постоянная к — относительно большая величина:
(г*га)* = О,
щ2
= 0;
здесь из-за краткости характеристических линий оператора (VaVaJ функ-
функцию vQ нужно определять из линейного уравнения второго порядка с пере-
менными коэффициентами. Для интегрирования последнего уравнения,
очевидно, может быть применен опять-таки метод ВКБ. Следовательно,
v0 нужно представить в форме
^) D.4)
где р = р (я1, х2), и0 = щ (х1, х2), . . .; процедура метода ВКБ приво-
приводит к следующему уравнению для определения функции р:
) = 0 (pa = Vap). D.5)
Таким образом, решение в рассматриваемом случае ищется в форме
V = ехр (кг + Укр) .(и0 + Л-1/!^ + ...)• С4-6)
Это еще удачный случай в том смысле, что здесь все же удалось
указать процедуру отыскания решения. А удалось это потому, что крат-
кратность характеристик оператора (VaVaJ всюду одинакова. А. Л. Голь-
Гольденвейзер A960, 1962) указал общие приемы (в отношении более общих
уравнений) построения решений, с применением нисходящих дробных
степеней к для представления как функции изменяемости, так и функции
интенсивности.
При применении метода ВКБ могут встретиться значительно более
трудные вопросы построения решения. Примером может служить случай,
когда выполняется рекуррентная процедура A) и срединная поверхность
оболочки содержит линию, где изменяется знак гауссовой кривизны.
Впрочем, определенные функции v0 по линейному дифференциальному
уравнению в частных производных первого порядка сводится к интегри-
интегрированию системы обыкновенных уравнений, поэтому выяснение особых
точек и характера решения около этих точек не должно представлять
в каждом конкретном случае принципиальных затруднений. Вопросы же
построения решения в духе метода ВКБ являются при наличии таких
особых точек предметом исследования в современном математическом
анализе даже в задачах, сводящихся к обыкновенным дифференциальным
уравнениям.

240 Н. А. АЛУМЯЗ
Обращая в данном обзоре так много внимания на конструктивную
сторону построения решения, следует в противовес также отметить, что
рассмотренное здесь простое уравнение технической теории оболочек
само является результатом упрощения системы более точных (?) уравне-
уравнений на основе качественного анализа. Поэтому определение того или
иного напряженного состояния разделяется на три этапа: A) выяснение
структуры разрешающих уравнений при заданном показателе изме-
изменяемости напряженного состояния с определением облаюти примени-
применимости упрощенных соотношений (здесь процедура ВКБ применяется
в скрытой форме); B) выяснение возможностей применения метода ВКБ
в его стандартном виде для интегрирования уравнений в установленной
ранее области; при наличии в этой области точек поворота реше-
решений необходимо, как правило, C) обобщение метода ВКБ хотя бы
для формального построения решения в области, содержащей точку
поворота.
К настоящему времени почти все основные результаты получены сред-
средствами первого этапа; ко второму этапу относятся исследования А. Л. Голь-
Гольденвейзера A959, 1960). Относящиеся к третьему этапу задачи находятся
еще в стадии постановки, если говорить о системах, не сводящихся к
обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Обидно признаться, что можно указать только одну работу по теории
оболочек, где процедура метода ВКБ была применена для фактического
(численного) построения решения двумерной краевой задачи (А. Петрова-
Денева, 1966). Следовало бы ожидать, что мощный метод качественного
анализа является по крайней мере удовлетворительным расчетным алго-
алгоритмом
В целом проблематика качественного анализа решения уравнений
теории оболочек ничем не отличается от соответствующей проблематики
в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Настоя-
Настоящих математиков — специалистов по теории дифференциальных уравне
ний — проблемы теории оболочек пока мало привлекают. Участие в раз-
развитии теории оболочек М. И. Вишика и Л. А. Люстерника A957, 1960)
было слишком кратковременным, чтобы оставить глубокий след в мате-
математической теории оболочек. В то же время чувствуется, что в теории
оболочек использовано не все то, что может предложить для «внедрения»
теория дифференциальных уравнений. Впрочем, следует сказать, что
и среди специалистов по теории оболочек в последнее время ослабел
интерес к проблемам общей теории и, в частности, к проблемам качествен-
качественного анализа напряженного состояния произвольных оболочек. Ответ-
Ответственность за это несут не широкие возможности вычислительной тех-
техники, упраздняющие необходимость качественного анализа, а скорее
то обстоятельство, что многие объекты новой техники хотя и работают
в сложных условиях нагружения, но по своей конфигурации просты
(цилиндрические панели, оболочки вращения) и для них эти вопросы
не так остры. Оболочки сложной конфигурации прежде всего встречаются
в современной архитектуре; возникающие там уникальные задачи
решаются так или иначе без заметного сопутствующего вклада в теорию.
§ 5. Сведение к интегро-дифференциальным уравнениям
Естественное стремление к расширению арсенала методов исследо-
исследования и расчета привело к формулировке краевых задач теории оболочек
в форме интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Работы

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 241
в этом направлении заслуживают внимания, так как изучение свойств
решения интегральных уравнений весьма мощными методами функцио-
функционального анализа значительно проще, чем изучение дифференциальных
уравнений; кроме того, численное интегрирование функций — операция
более точная, чем дифференцирование, поэтому необходимая точность
результата достигается с меньшим объемом вычислений. Однако сразу
нужно отметить, что ядра интегральных уравнений теории оболочек
не просты и препятствуют получению конечных результатов без заметных
усилий. Кроме того, результаты приходится интерпретировать с позиций
теории обобщенных решений.
Сведение дифференциальных уравнений теории оболочек к инте-
гродифференциальным уравнениям производится на базе теоремы о
взаимности работ. Для того чтобы получить систему интегро-дифферен-
циальных уравнений, в качестве вспомогательных состояний рассмат-
рассматриваются действия на оболочку единичных (сосредоточенных обобщен-
обобщенных) сил.
Впервые такой подход к выводу интегро-дифференциальных уравне-
уравнений наметил Н. А. Кильчевский A940). В этой и более поздних работах
Кильчевского A946, 1959), а также во многих работах его последователей
вспомогательные состояния определялись в плоской пластинке, поэтому
между метриками на пластинке и изучаемой оболочке устанавливалось
взаимно однозначное соответствие; согласно такой концепции те члены
в уравнениях, которые характеризуют влияние кривизны оболочки, необ-
необходимо рассматривать как нагрузочные. Впрочем, принятие пластинки
за систему, по которой строятся вспомогательные состояния, не является,
конечно, обязательным.
Это направление со временем получило значительное развитие — рас-
расширилась номенклатура объектов, а также сфера воздействий на оболочку.
Отметим здесь только некоторые работы, посвященные задачам равнове-
равновесия цилиндрических оболочек (Н. И. Ремизова, 1959), оболочек вращения
(Г. И. Ткачук, 1961) и пологих оболочек (Б. Н. Фрадлин и С. М. Шахнов-
ский, 1958), исследованию динамики оболочек с привлечением аппарата
операционного исчисления (Н. А. Кильчевский, 1955), представлению
интегро-дифференциальных уравнений оболочек в усилиях-моментах
(Н. И. Ремизова, 1962).
Не прибегая к теореме взаимности работ упругой системы, можно чисто
формальными методами вывести интегро-дифференциальные уравнения
равновесия даже при конечных перемещениях пологой оболочки и обо-
оболочки вращения (А. А. Березовский, 1959, 1960). Этот путь применялся
в более простых случаях неоднократно и ранее (В. Н. Шаншмелашвили,
1955; И. А. Биргер, 1956).
Все же.в силу отмеченных выше трудностей, возникающих при построе-
построении решения вспомогательных задач — ядер интегральных уравнений,—
метод приведения дифференциальных уравнений к интегро-дифференциаль-
интегро-дифференциальным и интегральным уравнениям в целом в теории оболочек не пользо-
пользовался особым успехом.
Вместе с тем этим методом эффективно решены до конца далеко не
простые задачи о напряженном состоянии около отверстий (прямоуголь-
(прямоугольных и эллиптических) в цилиндрических оболочках (Д. В. Вайнберг
и А. Л. Синявский, 1961). Это дает повод поклонникам данного направ-
направления выразить надежду, что оно имеет преимущество при решении
особо сложных задач, круг которых должен постепенно обрисоваться
(Н. А. Кильчевский, 1964).
16 Механика в СССР, т. 3

242 н. а. алумяэ
§ 6. Метод комплексного представления уравнений
общей теории оболочек
Аналогия между статическими и геометрическими соотношениями тео-
теории оболочек привела В. В. Новожилова A946) к установлению уравне-
уравнения в комплексной форме, где неизвестными являются комплексные пере-
перемещения. Этот способ применим только для линейных задач равновесия,
но при их решении он имеет явные достоинства. Уже в первой стадии раз-
разработки соответствующей теории были определены несущественные члены
в разрешающих уравнениях. Введение комплексных функций позволило
понизить вдвое порядок дифференциальных уравнений, что сделала
систему уравнений более обозримой. Это имеет большое значение при
решении задач с переменными коэффициентами. Например, при рассмот-
рассмотрении осесимметричной или обратносимметричной нагрузки для оболочек
вращения задача сводится к уравнению второго порядка, где легко разо-
разобраться в осложнениях, вызванных наличием точек поворота. Типичным
представителем такого случая является тороидальная оболочка (Е. Ф. Зе-
нова, В. В. Новожилов, 1951; В. С. Чернина, 1955), Это замечание отно-
относится, однако, к любой оболочке неположительной кривизны; в других
случаях метод приводит просто к упрощению качественного анализа
и нужных при решении выкладок (Р. Л. Малкина, 1954). Любопытно
отметить, что существуют задачи, для которых краевые условия могут
быть сформулированы в терминах комплексных усилий или перемеще-
перемещений,— в этом случае отпадает необходимость отделения вещественных
и мнимых частей до получения решения (в аналитической форме). Задачи
этого типа указаны в монографии К. Ф. Черных A962, 1964), где изложены
все основные результаты, связанные с представлением соотношений теории
оболочек в комплексной форме. Отметим из них следующие.
Сконструированы вариационные уравнения, для которых уравнения
в комплексных усилиях, уравнения в комплексных смещениях и условия
комплексного сопряжения являются уравнениями Эйлера (К. Ф. Черных,
1958); даны методы определения смещений в случае многозначной функ-
функции напряжений, введены уравнения Мейснера при обратносимметричной
нагрузке (К. Ф. Черных, 1959); указан эффективный прием расчета обо-
оболочек на сосредоточенные воздействия (В. В. Новожилов и К. Ф. Черных*
1963); предложено уточнение уравнений пологих оболочек В. 3. Власова;
выведены комплексные уравнения термоупругости.
В заключение следует заметить, что в линейной теории равновесия
многие известные варианты расчета элементарных напряженных состоя-
состояний представляются в комплексной форме, без установления связи с поня-
понятиями, введенными в теорию оболочек В. В. Новожиловым. Эта связь с
точки зрения общей теории рассматривалась А. Л. Гольденвейзером A957).
Краткий обзор развития метода комплексного представления дан
В. В. Новожиловым A964).
§ 7. Напряженное состояние около отверстия
Разработка проблемы напряженного состояния около отверстий была
начата А. И. Лурье A946) на примере кругового отверстия в цилиндри-
цилиндрической круговой оболочке, находящейся под действием равномерного дав-
давления. В указанной работе, которая служит идейным источником боль-
большого числа последующих исследований, Лурье исходит из системы, опре-
определяющей быстро изменяющееся напряженное состояние около отверстия.

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 243
Если совместить центр отверстия с началом полугеодезической системы
координат, то около отверстия напряженное состояние будет описываться
решением уравнения в комплексной форме
1 д
= o G.1)
для произвольной оболочки с параметрами кривизны у, 6 (линия 6=0
совпадает с линией кривизны), причем %2 = 2 ]/3 A — v2) r2JhR, а /г — тол-
толщина оболочки, г0 — радиус кругового отверстия (р = 1), R — характер-
характерный радиус кривизны срединной поверхности. Уравнение G.1) — прибли-
приближенная запись более общего уравнения
A2A2F — i%2c*yctobaf&yV9V= 0 G.2)
в полугеодезической системе координат около малого отверстия.
Решение в тригонометрических рядах по координате приводит к слож-
сложной системе совместных уравнений. В случае цилиндрической оболочки
(у == i/27 6 = —V2) А. И. Лурье удалось преобразованием функции V
значительно упростить задачу и свести ее к решению уравнения Бесселя.
Числовые результаты получены в случае малого отверстия (%2 <^ 1) путем
разложения решения в ряд по степеням %. Таким образом, в первом при-
приближении исследуется напряженное состояние пластинки; следующие
приближения получаются как решения неоднородных уравнений плоской
задачи и изгиба пластинки. Отсюда вытекает возможность (Ю. А. Шевля-
ков, 1953) привлечения к решению задачи мощного аппарата аналити-
аналитических функций, разработанного Н. И. Мусхелишвили. Результаты работ
по применению теории аналитических функций описаны в общем обзоре
по теории упругости, включенном в настоящий сборник (стр. 40—70).
Однако применение аппарата теории аналитических функций не
является обязательным в данном круге задач; Лурье и большинство его
последователей провели исследования в рамках математического анализа
с вещественными координатами.
После появления фундаментальной статьи А. И. Лурье стали посте-
постепенно разворачиваться исследования по напряженному состоянию около
отверстий; в настоящее время число публикаций по этому вопросу быстро
растет: так, Г. Н. Савин в своем обзорном докладе A962) на Львовской
конференции смог сослаться на 40 отечественных работ по концентрации
напряжений в оболочках, а за последующие 5 лет их число утроилось.
Метод малого параметра (за который в рассматриваемом случае при-
принимается приведенный радиус отверстия) применим для решения широкого
круга задач по определению напряженного состояния около отверстий.
Можно даже сказать, что работы, в которых применяется предложенный
Лурье подход к решению, преобладают в рассматриваемой области исследо-
исследований. В этом нет ничего удивительного, так как имеется достаточный
простор для обобщения задачи без существенного изменения методики
исследования. Так, вместо равномерного внутреннего давления можно
рассматривать другие виды нагрузки цилиндрической оболочки, например
кручение (Ю. А. Шевляков и Ф. С. Зигель, 1954); рассматривались сфери-
сферические и пологие оболочки, ортотропные оболочки, оболочки с так или
иначе закрепленным отверстием (с кольцом при различных свойствах
жесткости или же с шайбой, твердой или упругой). Обзор исследований,
16*

244 Н. А. АЛУМЯЭ
выполненных в этом направлении до 1961 г., дан Г. Н. Савиным A961,
1962). Основные работы в рассматриваемой области были выполнены перво-
первоначально Ю. А. Шевляковым A953, 1955, 1956) и И. М. Пироговым A956,
1962, 1963), опубликовавшими несколько десятков работ по довольно
узкой тематике. Позднее в эти исследования включился Г. Н. Савин
со своей школой, расширивший круг исследований отверстиями, контур
которых представляет гладкую кривую без угловых точек. Это обобщение
достигается конформным преобразованием z = со (?) (z = р ехр Ю, ? =
= pi ехр iy) единичного круга р = 1 в контур Г с помощью функции
ф (Q = с (? + s/?k)- Например, эллиптическое отверстие с полуосями
а и Ъ характеризуется коэффициентами с = V2 (а + Ъ), г = (а —
— Ъ)!(а + Ь), к = 1. Концентрация напряжений в сферической обо-
оболочке около эллиптического отверстия исследовалась Г. Н. Савиным
й Г. Н. Ван Фо Фы A960), у квадратного и треугольного отверстия —
А. Н. Гузем A964, 1965). Следует отметить, что Гузь опубликовал в те же
годы большую серию статей по результатам исследования напряженного
состояния около малых отверстий различного очертания в оболочках
разной конфигурации; достигнуты эти результаты методом разложения
решения по степеням малых параметров. Методом малого параметра изу-
изучены и физически нелинейные задачи о концентрации напряжений около
отверстий (И. А. Цурпал, 1963). К изложенному следует добавить, что
результаты приложения метода малого параметра тем лучше, чем меньше
отверстие, в то время как классическая теория оболочек вовсе не позволяет
исследовать концентрацию напряжения около очень малых отверстий.
В последнее время возник интерес к задаче о подкреплении отверстия,
при котором бы сохранилось то же самое напряженное состояние, которое
имеется при данной нагрузке без отверстия (Г. Н. Савин и Н. П. Флейш-
ман, 1964; В. И. Тульчий, 1965). Решение этой задачи, впрочем, не всегда
возможно.
Относительно мало результатов имеется по концентрации напряжений
около больших отверстий (р ^ 1). Это можно объяснить тем, что при
р > 1 расчет оболочки сводится к типичной однородной задаче теории
оболочек в двухсвязной области, где наличие отверстия в оболочке уже
не является определяющим. Среди задач такого рода простейшими
являются задачи с круговым отверстием в оболочке положительной гаус-
гауссовой кривизны, труднейшими же, по-видимому,— с отверстием, контур
которого в отдельных точках касается асимптотических линий (в случае
оболочек отрицательной или нулевой гауссовой кривизны). В этих точках
простой краевой эффект вырождается, в чем легко убедиться, рассматри-
рассматривая, например, приближенное уравнение для определения простого крае-
краевого эффекта (при %2 > 1) около кругового отверстия
отсюда следует, что при значениях 0 ¦= 60, где у = 8 cos 260, краевой
аффект действительно вырождается. Вместе с тем такая точка на контуре
является одновременно особой точкой безмоментного оператора уравне-
уравнения G.1); поэтому расчленение решения на безмоментное состояние и крае-
краевой эффект в этом случае лишается обычных качественных свойств. Анализ
и решение подобных задач представляют несомненный интерес *). Вкратце
*) При больших отверстиях безмоментный оператор уравнения G.1) может
оказаться неадекватным рассматриваемой задаче, так как в нем правильно даны
лишь члены со старшими производными.

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 245
с постановкой этого вопроса можно познакомиться по статье Л. Б. Име-
нитова A966), где рассмотрен частный случай оболочки положительной
кривизны.
Энергетический метод определения напряжений при больших отвер-
отверстиях применил О. А. Фролов A961). Д. В. Вайнберг и А. Л. Синявский
A961) искусно использовали для этой цели принцип взаимности работ.
Обстоятельный обзор состояния проблемы концентрации напряжений
около отверстий дан Г. Н. Савиным A966). В нем подчеркивается, что
практически концепция о малых отверстиях применима в более широком
интервале (вплоть до %2 = 3); это установлено теоретическими и много-
многочисленными экспериментальными исследованиями (А. Я. Александров
и др., 1966).
§ 8. Расчет оболочек на сосредоточенную нагрузку
Элементарное правило конструирования требует, чтобы более или
менее значительные сосредоточенные нагрузки были приложены к под-
подкрепляющим оболочку ребрам, распределяющим нагрузку на оболочку
по линиям сопряжения. Несмотря на это, иногда приходится нагрузку
на оболочку передавать непосредственно через небольшую площадь,
линейные размеры которой соизмеримы с толщиной стенки оболочки.
Определение напряженного состояния оболочек при сосредоточенной
нагрузке уже длительное время занимает внимание исследователей. Сфе-
Сферическая оболочка рассмотрена А. Г. Гольденвейзером A944), свободно
опертая пологая оболочка — В. 3. Власовым A949), цилиндрическая
оболочка — В. М. Даревским A952). Во всех этих работах получены ана-
аналитические выражения для особенности решения в окрестности точки
приложения нормальной сосредоточенной силы. Позже круг задач был
расширен в направлении разного типа воздействий (тангенциальная
и моментная сосредоточенные нагрузки) и очертания оболочек. К ана-
анализу напряженного состояния оболочек был привлечен аппарат теории
обобщенных функций и полигармонических уравнений. Отметим здесь
работы В. В. Новожилова и К. Ф. Черных A963), а также Г. Н. Черны-
Чернышева A963) по выявлению особенностей в произвольной упругой оболочке,
вызванных сосредоточенными силами и моментами.
Знание аналитических выражений для особенностей решения около
сосредоточенной нагрузки имеет большое теоретическое и практическое
значение. Последнее заключается в возможности улучшить сходимость
рядов, к которым обычно приводит расчет оболочки, подверженной дей-
действию сосредоточенной нагрузки. Однако надо заметить, что эта возмож-
возможность используется редко *).
Причиной такого отношения является, очевидно, то обстоятельство,
что аналитическое выражение особенности аппроксимирует решение удо-
удовлетворительно только в очень малой области около точки приложения
нагрузки. Получение формул, учитывающих наличие напряженного состоя-
состояния типа краевого эффекта, представляло бы большой интерес. Но в этом
направлении пока сделаны лишь первые шаги (В. С. Чернина, 1963,
1965; Г. Н. Чернышев, 1966).
*) Например, в обзорной статье Ю. П. Жигалко A966) по расчету цилиндриче-.
ских оболочек выводятся формулы для особенностей, но в следующей статье того же
сборника (Ю. П. Жигалко и Н. Г. Гурьянов, 1966), посвященной свободно опёртой
оболочке, эти формулы не находят применения для ускорения сходимости решения,
представленного в форме двойного тригонометрического ряда.

246 Н. А. АЛУМЯЭ
Далее, напряженное состояние оболочки под площадкой и около
площадки нагружения существенно трехмерно. Поэтому уравнения теории
оболочек не в состоянии описать особенностей решения (в самом благо-
благоприятном случае они лишь моделируют эти особенности), выводимых
на базе только старших операторов уравнений теории Кирхгофа — Лява.
В связи с этим возникает вопрос о том, какие коррективы вносит в получен-
полученные до сих пор результаты по особенности решения применение уравнений
типа Рейсснера (или Тимошенко) или же двумерной системы более
высокого порядка, лучше учитывающей трехмерный характер действи-
действительного напряженного состояния.
В последнее время начаты исследования о влиянии местного усиления
площадки нагружения разной формы накладками на напряженное состоя-
состояние, цилиндрических оболочек (В. М. Даревский, 1964; Ю. Г. Коноплев
и А. В. Саченков, 1966); даны рекомендации о выборе формы накладки
для уменьшения концентрации напряжений около приложения нагрузки.
Недавно изучены особенности напряженного состояния около сосре-
сосредоточенной массы при свободных колебаниях цилиндрической панели
(В. М. Даревский и И. Л. Шмаринов, 1966). Представляет интерес обзор-
обзорная статья В. М. Даревского A966).
§ 9. Безмоментные гибкие оболочки
Тонкие оболочки с весьма малой изгибной жесткостью (часто именуе-
именуемые «мягкими») рассчитываются в основном по безмоментной теории. Для
них является характерным более или менее равномерно распределенное
внутреннее давление. В общем случае равновесного состояния в оболочке
образуются две зоны: «растянутая» и «складчатая». В «складчатой» зоне
одно из главных безмоментных усилий равно нулю (складки образуются
из-за местной потери устойчивости), а другое — положительно. Граница
между этими зонами, конечно, заранее не известна.
До сих пор основным объектом исследования были оболочки вращения.
Разработка общей теории безмоментных весьма гибких оболочек находится
в начальной стадии (С. А. Алексеев, 1966). Это неудивительно, так как
здесь только в отдельных случаях возможна линеаризация задачи. Физи-
Физические соотношения в работах по гибким оболочкам варьируются в широ-
широком диапазоне. С одной стороны, существуют материалы для гибких
оболочек, которые можно считать нерастяжимыми. Допущение о нерастя-
нерастяжимости материала значительно упрощает исследование. Относящийся
к такому материалу круг задач рассмотрен С. А. Алексеевым A955).
С другой стороны, нередко приходится считаться с весьма большой дефор-
мативностью материала, когда в основу механической характеристики
кладется зависимость между истинными напряжениями и логарифмиче-
логарифмическими деформациями (А. С. Григорьев, 1957, 1961; И. В. Кеппен, 1960;
И. И. Федик, 1962).
При больших растягивающих усилиях возможно существование без-
безмоментных краевых эффектов (Ю. Н. Работнов, 1946). Это позволяет при
благоприятных условиях воспринимать безмоментной оболочкой распре-
распределенную по линии (не по площади) нагрузку. Ряд задач такого типа
решен В. И. Усюкиным A964), в том числе для тороидальной оболочки.
В последнее время внимание уделяется несущей способности гибких
безмоментных оболочек (И. С. Мамедов, 1963; Ю. Ф. Фокин, 1965), выра-
выражающийся в наличии максимальной нагрузки даже в предположении
об идеальных материалах с неограниченной прочностью.

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 247
В целом проблематика безмоментных гибких оболочек сводилась бы
к задаче определения основного напряженного состояния жестких оболо-
оболочек, если бы перемещения были малыми. Но теорию мягких оболочек
характеризует, как правило, применение точных геометрических
соотношений. Далее, проблема местной устойчивости у мягких оболочек
не является решающей для суждения о работоспособности — нередко
возникающие складки допустимы. Тем не менее выяснение условий суще-
существования двухосного напряженного состояния не может не представлять
интереса, поскольку локальные критерии типа
0, CavCppraprp > О
малоэффективны для решения сложных задач. С. А. Алексеев A965) вывел
условие неотрицательности главных компонент тензора усилий ГаР, накла-
накладывающее ограничение на форму оболочки при заданной нагрузке; напри-
например, в случае трехосного эллипсоида и равномерного давления это выра-
выражается в требовании, чтобы на отрезках, обратно пропорциональных квад-
квадратам осей, можно было построить треугольники.
Сжатое изложение теории и основных задач по мягким оболочкам
имеется в статьях С. А. Алексеева A965, 1966); частично в них дан также
краткий обзор выполненных работ.
§ 10. Гибкие оболочки в приборах
Значительный цикл работ посвящен установлению основных харак-
характеристик упругой гофрированной мембраны, являющейся важным элемен-
элементом некоторых приборов. В первом приближении такая мембрана может
рассматриваться как анизотропная пластинка, а на самом деле — это обо-
оболочка с переменной по знаку гауссовой кривизной (в случае, например,
синусоидального гофра) или комплекс соединенных между собой коротких
конических оболочек (при пилообразном профиле мембраны). Обилие
параметров, определяющих конфигурацию гофрированной мембраны,
необходимость расчета гибкой оболочки по нелинейной теории — все это
представляет большие трудности для получения общих заключений о рабо-
рабочих характеристиках в зависимости от конструктивных параметров.
Вместе с тем при расчете гофрированной мембраны основная задача
заключается не в определении распределения напряжений, а в отыскании
прогиба в центре мембраны. Это делает доступным ее решение вариацион-
вариационными методами, которые и были до сих пор основным орудием исследо-
исследования гофрированных мембран.
Работа Д. Ю. Панова A941) была одной из первых по нелинейной
теории мембран с весьма пологой гофрировкой. Позже к этой тематике
подключился В. И. Феодосьев A945, 1946, 1949). Со временем были сняты
стесняющие предположения относительно пологости гофра и плавности
его формы, рассмотрены гофрированные пологие оболочки (Л. Е. Андре-
Андреева, 1953, 1958, 1962), проведены экспериментальные исследования
{В. Я. Ильминский, 1955). При расчете гофрированных пластинок
и пологих оболочек вариационными методами большое значение имеет
выбор координатных функций, особенно в случае, когда число их должно
быть невелико, а гофр оболочки густой; при выборе координатных функ-
функций должны быть учтены шаг и глубина гофра, его форма, индивидуаль-
индивидуальные характеристики жесткости (Э. Л. Аксельрад, 1963, 1964).
Второй тип широко используемых в приборостроении тонкостенных
упругих элементов представляют сильфоны. Эти объекты были предметом

248 Н. А. АЛУМЯЭ
анализа уже в монографии В. И. Феодосьева A949), а позже в работах
В. И. Королева A954) и В. С. Черниной A955). Сильфоны представляют
собой составную конструкцию из тороидальных оболочек, поэтому раз-
развитие методов расчета сильфонов следует продвижениям в теории торо-
тороидальных оболочек. В разработку этих взаимосвязанных вопросов в послед-
последнее десятилетие внесли вклад С. А. Тумаркин A959), В. С. Чернина A961),
A. Н. Волков A962, 1963), А. Р. Ярошенко A965), В. А. Сухарев A966).
К этим работам примыкают исследования по изгибу кривых тонкостенных
труб (Э. Л. Аксельрад, 1961, 1965).
§ 11. Собственные колебания
Весьма широкую тему для исследований [представляет определение
спектра частот и принадлежащих им собственных форм колебаний. Оно
является вспомогательной задачей при динамических расчетах как вынуж-
вынужденных колебаний, так и других квазистационарных процессов. За исклю-
исключением свободно опертых пологих оболочек и цилиндрических панелей,
любая задача из этой области содержит и сегодня достаточно трудностей
для ее решения.
Исследования колебаний пластинок и оболочек имеют длительную
историю. Определение собственных частот пластинки, например, можно
отнести к классическим задачам математической физики; то же можно
сказать и по поводу колебаний сферической оболочки, хотя последние
являются предметом многочисленных исследований и в настоящее время
(П. Е. Товстик, 1965),— классические задачи не обязательно просты.
Ранний период исследований колебания оболочек характеризуется
решением частных задач (А. П. Филиппов, 1937; В. 3. Власов и Б. М. Те-
ренин, 1947, О. Д. Ониашвили, 1950; В. Е. Бреславский, 1953, 1954;
Э. И. Григолюк, 1956). Состояние первоначальной разработки этой про-
проблемы описано в монографии О. Д. Ониашвили A957); некоторые более
поздние результаты по частным объектам приведены в справочнике
B. С. Гонткевича A964). Отметим работы Р. Л. Малкиной A958, 1960)
о колебаниях некруговых цилиндрических оболочек, В. Е. Бреславского
A959) о влиянии отверстий на частоты, И. И. Трапезина A959). Д. Д. Уль-
яницкого A958) о малых колебаниях конической оболочки и лопастей
гидротурбин; У. К. Нигул A958) подробно исследовал полный спектр
и формы колебаний цилиндрической оболочки. К этому же времени
относятся первые работы по свободным колебаниям анизотропных и мно-
многослойных оболочек.
Естественное обобщение задачи о свободных колебаниях получается
при анализе собственных частот оболочки, находящейся под нагрузкой
(при некотором, обычно безмоментном напряженном состоянии). Резуль-
Результаты для конкретных нагрузок имеются у В. Е. Бреславского A956),
М. В. Никулина A959). Как известно, изучение колебательных свойств
под нагрузкой является основным методом исследования устойчивости
равновесия данной системы. Поэтому чаще всего центр тяжести в этой
серии работ лежит в сфере проблем устойчивости упругих систем.
Достаточно большой ряд работ по колебаниям пластинок и оболочек
с конечными прогибами был открыт Э. И. Григолюком A955). Основной
путь исследования колебаний оболочек с конечной амплитудой — это
сведение к системе с одной-двумя степенями свободы и дальнейшее при-
применение результатов, разработанных в нелинейной механике. Этот прием
господствует в настоящее время при решении сложнейших задач динамики

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 249
оболочек. Сюда относятся задачи по параметрическим колебаниям, нели-
нелинейному флаттеру, динамической устойчивости при ударной нагрузке
и т. п.
Линейная теория колебаний пластинок и оболочек по своей форме
мало отличается от линейной теории равновесия — согласно принципу
Даламбера влияние инерции можно учесть в качестве нагрузки. Развитие
этой теории могло бы идти параллельно с развитием теории равновесия.
Однако пока в нашем распоряжении нет исследований по теории колеба-
колебаний оболочек такой общности, как мы имеем в теории равновесия. Никак
не умаляя значения монографии О. Д. Ониашвили и справочника
B.C. Гонткевича, следует сказать, что они посвящены изложению частных
результатов и не ставят целью систематический анализ многообразия
колебательных форм с позиций общей теории оболочек.
Вместе с тем уже давно обнаружено, что в задачах по малым колеба-
колебаниям оболочек возможно расчленение общего состояния движения (и напря-
напряженного состояния) на элементарные состояния, известные из общей
теории равновесия оболочек. Такие состояния были описаны в обзорной
статье Н, А. Алумяэ A958). За исключением простейших объектов, про-
проведение качественного анализа задачи с целью расчленения общего состоя-
состояния движения на элементарные приводит к значительному сокращению
вычислительной работы. Опираясь на эту процедуру, Л. Ю. Поверус
и Р. К. Ряямет A958) определили основные тоны колебания конической
оболочки по полубезмоментной теории.
Рассматриваемая проблема была предметом обстоятельного анализа
в рамках А. Л. Гольденвейзера A961, 1966), подошедшего к ней с точки
зрения общей теории оболочек, т. е. применительно к произвольной
оболочке. В последней статье Гольденвейзер подытожил результаты каче-
качественного исследования свободных колебаний с большим показателем
изменяемости состояния перемещений. Целью исследования было уста-
установление областей для параметров, характеризующих функцию изменяе-
изменяемости, в которых возможно расчленение общего состояния перемещений
на элементарные. Классификация задач проведена с учетом геометриче-
геометрических свойств контурной линии, от которых существенно зависит характер
дополнительных интегралов, привлекаемых для удовлетворения краевых
условий. Основное внимание в статье уделено безмоментным поперечным
колебаниям, происходящим при относительно малых частотах и сопро-
сопровождаемым лишь малыми тангенциальными колебаниями. Разрешающее
уравнение этих колебаний имеет любопытную структуру:
± 0)aaPVaVj3W — 0 A1.1)
(со — приведенная частота), она заслуживает дальнейшего изучения.
Это же замечание относится и к чисто изгибной деформации оболочек отри-
отрицательной кривизны, где изгибание срединной поверхности с большим
показателем изменяемости не локализовано, как у оболочек положитель-
положительной кривизны.
Принципиальные трудности применения метода В КБ могут появиться
даже при решении одномерных задач. Дело в том, что уравнения с пере-
переменными коэффициентами в определенной полосе частот имеют в области
интегрирования так называемые точки ветвления; в окрестности этих
точек метод ВКБ перестает работать. Решение возникающих в этом слу-
случае проблем посвящены работы Н. А. Алумяэ A960) и П. Е. Товстика
A965, 1966). В случае двумерных задач эти вопросы применительно к тео-
теории оболочек практически не изучены.

250 Н. А. АЛУМЯЭ
В последнее время при исследовании существенно двумерных линей-
линейных задач наибольшее внимание привлекал, пожалуй, асимптотический
метод определения частот (по терминологии В. В. Болотина, предложив-
предложившего этот метод в 1960 г.). Основная идея метода заключается в следую-
следующем. При свободных колебаниях прямоугольной пластинки с большим
числом узловых линий естественно ожидать, что во внутренней части
пластинки прогиб определяется выражением
w (х, у) ¦= w0 sin кх (х — Xi) sin k2 (у — Яа),
где ki и к2 — показатели изменяемости напряженного состояния в направ-
направлении х и у. Учитывая это, прогиб можно искать в форме w ~ Wi (x) w2 (г/).
Новые искомые функции w± (x) и w2 (у) определяются в некоторой мере
раздельно; при нахождении Wi (x) предполагается, что w2 (у) =
= sin к2 (у — Я2). Решение одномерной задачи содержит пока неизвестный
параметр к2. Для получения уравнения, определяющего к2, поступают
аналогично: составляется уравнение для w2 (у) в предположении, что
Wi (х) = sin к2 (у -— Х2). Совместное решение полученных характеристи-
характеристических уравнений двух одномерных задач (с параметрами к± и к2) опре-
определяет совместные корни к±, к2 и вместе с тем частоту. Исходная идея
предполагает, что все интегралы в функции Wi (х), кроме sin ki (x — ?ц),
вносят корректив в напряженное состояние только около краев, т. е. они
затухают достаточно быстро (В. В. Болотин называет такие интегралы
«динамическими краевыми эффектами»), но следует отметить, что показа-
показатель изменяемости у этих интегралов такой же, как и у основного интег-
интеграла.
Описанный метод был достаточно быстро развит В. В. Болотиным
и его школой. После работ по прямоугольной пластинке (В. В. Болотин,
1961; В. В. Болотин и др., 1960) появились исследования спектра попереч-
поперечных колебаний цилиндрических замкнутых оболочек и цилиндрических
панелей (Ю. В. Гаврилов, 1961, 1963), пологих оболочек (В. В. Болотин,
1960), пластинок по теории Тимошенко (В. Н. Москаленко, 1961). По тео-
теории Тимошенко краевые эффекты при высоких частотах вырождаются;
вырождение заключается в том, что основное напряженное состояние
описывается несколькими слагаемыми типа
w = w0 sin ki (x — Ki) sin k2 (у — A,2),
и применение метода в этом случае несколько усложняется.
Метод изучался на примере пластинки также с позиции вариационных
уравнений способом неполного разделения переменных (Л. Я. Айнола,
1963).
Обобщение данного метода асимптотического интегрирования на обо-
оболочки, для которых следует учитывать переменность метрических коэф-
коэффициентов, представляет несомненный интерес, но требует, согласно мне-
мнению В. В. Болотина A961, 1962), привлечения аппарата метода ВКБ.
В первую очередь должны поддаться анализу оболочки, срединная поверх-
поверхность которых развертывается на поверхность вращения, а контурные
линии совпадают с линиями кривизны. Несомненный академический и прак-
практический интерес представляют также оболочки, очерченные по мини-
минимальной поверхности, где контурные линии являются асимптотическими
линиями срединной поверхности (расчет колебаний турбинных лопаток).
В отношении применимости метода остается вопрос: получим ли мы
таким путем все частоты? Утверждать это пока трудно, ибо имеется при-
пример простой одномерной задачи, на котором показано, что при применении

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 251
асимптотического метода теряются некоторые частоты (Ж. К. Махортых,
1964). Тем не менее предложенный В. В. Болотиным метод является
весьма эффективным для определения большого количества частот и соб-
собственных форм свободных колебаний; метод нашел широкое применение
при решении различных динамических задач.
На базе асимптотического метода В. В. Болотиным A963, 1966)
изучены плотности собственных частот пластинок и пологих оболочек;
им показано существование точек сгущения спектра изгибных колебаний,
причем у оболочек неотрицательной кривизны имеется одна такая точка,
а у оболочек отрицательной кривизны — две. Точки сгущения спектра
собственных колебаний находятся при частотах (Oi = | clRa | и со2 =
= | с1Щ | (при последней только в случае оболочек отрицательной кри-
кривизны); в этих выражениях с — скорость распространения волн сжатия —
растяжения в оболочке; координатная сетка на срединной поверхности
установлена так, что | Ra | < \ Щ |, причем i?a, R$ — главные радиусы
кривизны. Эмпирические данные, извлеченные из анализа сферических
и круговых цилиндрических оболочек, подтверждают теоретические
результаты. Тем не менее любопытно, что при указанных частотах харак-
характеристические линии уравнений безмоментных изгибных колебаний
являются кратными; однако кратные характеристики появляются и у обо-
оболочек положительной кривизны при частотах coi и со2 (у сферической
оболочки эти значения совпадают). Вопрос о связи между этими явлениями
еще ждет ответа. Отметим здесь, что впервые исследования об асимптоти-
асимптотическом поведении собственных частот колебаний цилиндрических и поло-
пологих оболочек проводились С. А. Терсеновым A955).
Несомненный интерес представляет распространению результатов
о плотности собственных нормальных колебаний на другие типы колеба-
колебаний оболочек (тангенциальные колебания, высокочастотные изгибные
колебания, появляющиеся при учете инерции поворота по теории типа
Тимошенко). Эти результаты находят применение при изучении пласти-
пластинок и оболочек, подверженных действию случайных нагрузок.
§ 12. Переходные процессы деформации
В современной технике нередко возникают задачи, в которых история
процесса представляет интерес только в течение небольшого промежутка
времени, соизмеримого со временем пробега волнами деформации пути,
равного характерному размеру срединной поверхности оболочки. Для
переходных процессов деформации типично наличие невозмущенных обла-
областей в оболочке в течение существенной доли от полной истории процесса.
Граница возмущенной области характеризуется (в зависимости от нагруз-
нагрузки) более или менее ярко выраженным фронтом волн напряжений. Если
движение оболочки описывается уравнениями гиперболического типа,
• то это физически очевидное обстоятельство проявлется и математически.
На фронте волны решение, вообще говоря,— разрывное. Так как в упру-
упругой среде разрывы распространяются с двумя скоростями, то картина
разрывов (не говоря уже о поле перемещений) может оказаться весьма
сложной, если учесть, что разрывы отражаются от боковых и контурных
поверхностей. Ясно, что при медленном (и длительном) возрастании
нагрузок роль этих разрывов в напряженном состоянии ничтожна. При-
Прикладной интерес в первую очередь представляют переходные процессы,
возникающие при соударении оболочки с другим телом или преградой,
а также при обтекании оболочки ударной волны.

252 н. а. алумяэ
Состояние исследований переходных процессов деформации в оболоч-
оболочках и пластинках подробно освещено в обзоре Л. Я. Айнолы и У. К. Ни-
гула A965), некоторые Дополнения к нему можно найти в обзорном док-
докладе автора (Н. А. Алумяэ, 1966). Ограничимся здесь сжатым изложением
основных результатов. Некоторые данные об ударе о произвольную обо-
оболочку приведены уже в монографии Н. А. Кильчевского A949), в которой
оболочка моделировалась по теории Кирхгофа — Лява; возникающие при
ударе перемещения определены путем применения теоремы о взаимности
работ.
Исследования переходных процессов на основе модели гиперболиче-
гиперболического типа были начаты Я. С. Уфляндом A947), который вывел новый
вариант уравнения изгиба пластинки путем обобщения на пластинку
системы гипотез, предложенной С. П. Тимошенко для уточнения уравне-
уравнения движения стержня. Уфлянд применил для решения нестационарной
задачи метод преобразования Лапласа и получил некоторые численные
результаты.
Если исключить деятельность геофизиков (см., например, Г. И. Пет-
рашень, 1951, 1953) с несколько иной областью интересов, то после работы
Я. С. Уфлянда последовало почти десятилетнее затишье в публикациях
по рассматриваемой теме. Однако в последнее время намечается заметное
оживление — вырисовались две основные проблемы.
Первая проблема заключается в разработке методов анализа быстро
изменяющихся полей на основе уравнений теории упругости *). Один
из этих методов основывается на применении двукратных интегральных
преобразований с обращением при помощи метода перевала и с учетом
только конечного числа мод. Естественно, что решению конкретных задач
должно предшествовать исследование дисперсионных соотношений в высо-
высокочастотной области. Оно проведено, например, для антисимметричной
(относительно срединной поверхности) деформации пластинки (Ю. К. Ко-
Коненков, 1960; У. К. Нигул, 1963; А. И. Мяннил и У. К. Нигул, 1963),
для которой имеется весьма богатая информация о фазовых и групповых
скоростях распространения волн. Уже эти результаты дают возможность
оценить точность дисперсионных соотношений, полученных на базе упро-
упрощенных теорий (И. Т. Селезов, 1960). Наряду с этим большой интерес
представляет анализ конкретных переходных процессов; сюда относится
работа У. К. Нигула A963) о волновом процессе изгиба в полубесконечной
пластинке.
Применение метода Каньяра для обращения двукратных интеграль-
интегральных преобразований приводит, по существу, к построению системы эле-
элементарных волн, возникающих при отражении первичных волн от боковых
поверхностей. Этот метод требует большого аналитического мастерства,
но все равно не приводит к простым вычислительным алгоритмам
(Г. И. Петрашень, 1958). Имеющиеся результаты, главным образом, опре-
определяют характер разрывов на фронтах элементарных волн.
Отчасти из-за аналитических трудностей, отчасти в связи с расши-
расширением возможностей применения вычислительной техники начали появ-
появляться работы, в которых динамические уравнения теории упругости
непосредственно интегрируются численными методами (У. К. Нигул,
1965, 1966). Полученные результаты дают довольно ясное представление
об областях применимости приближенных теорий; в частности, нашло
*) Приближенные теории (в частности, теория типа Тимошенко) неадекватна
моделируют движение около фронтов волн напряжения, где онЬ складывается и&
высокочастотных колебаний.

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 253
подтверждение предположение о том, что около фронтов и других линий
разрыва решения приближенные теории сглаживают движение (этот недо-
недостаток может оказаться весьма ощутимым, когда определению подлежат
ускорения).
Вторая проблема возникает вследствие того, что с помощью теории
упругости нельзя выполнить весь нужный объем расчетов и поэтому необ-
необходимо усовершенствовать упрощенные теории, построенные на основе
различных процедур приведения. Эта проблема в нестационарной дина-
динамике стоит так же остро, как и в теории трехслойных оболочек. Подходы
к ее решению кратко изложены в параграфе, посвященном приведению
уравнений теории упругости к уравнениям двумерной теории оболочек
¦(§ 16). Пока конкретный анализ и приложения не ушли дальше теории
типа Тимошенко. Приближенные модели для описания напряженного
состояния около разрывов отсутствуют.
На базе теории типа Тимошенко решено достаточно большое коли-
количество задач по переходным процессам. Если опустить те исследования,
где применяется метод разложения по собственным функциям колебаний
(предназначенный для решения квазистационарных задач), то можно упо-
упомянуть публикации М. В. Дубинкина A959), В. Д. Кубенко A965),
Н. Д. Векслера и др. A965,1966) по решению одномерных задач при крае-
краевой нагрузке, а также статью А. В. Агафонова A965) о действии сосредо-
сосредоточенной силы на цилиндрическую оболочку (двумерная задача). Далее
следует отметить работы о реакции пластинки или оболочки на действие
подвижной нагрузки: Д. Е. Хейсин A963) исследовал установившееся
движение пластинки, плавающей на поверхности жидкости, В. Л. При-
секин A961) определил критические скорости движения нагрузки в осевом
направлении цилиндрической оболочки, Л. И. Слепян A966) установил
-асимптотические законы роста амплитуд смещений при критических ско-
скоростях движения нагрузки по простым объектам (стержень, безмоментная
цилиндрическая оболочка), М. А. Ильгамов и А. А. Яббаров A965) рас-
рассмотрели установившееся движение цилиндрической оболочки с переме-
перемещающимся внутри нее разделом между газообразной средой и сплошным
упругим заполнителем (с учетом термических эффектов), А. Н. Тюманок
A965) определил по теории типа Тимошенко неустановившиеся колебания
цилиндрической оболочки; получены формулы для разрывов при обтека-
обтекании сферической оболочки ударной волной (Н. А. Алумяэ, 1966);
П. Ф. Сабодаш A965) исследовал установившееся воздействие подвижной
нагрузки на пластинку по теории упругости.
Большое внимание уделено нестационарным задачам гидро- и аэро-
аэроупругости. Гидравлический удар с учетом деформативности был предме-
предметом изучения в работах Н. А. Кильчевского и др. A962), А. С. Вольмира
и М. С. Герштейна A966), причем в последней работе труба моделировалась
нелинейно как геометрически, так и физически. Воздействие на длинную
круговую цилиндрическую оболочку акустической волны с параллельной
к оси оболочки плоскостью фронта рассматривалось Э. И. Григолюком
и В. Л. Присекиным A963) в линейной, а позже — А. С. Вольмиром
и М. С. Герштейном A965) в нелинейной постановке; эти результаты
относятся к начальной стадии удара.
За редкими исключениями, решенные до сих пор задачи — одномер-
одномерные. Это можно понять, если учесть существующую мощность вычисли-
вычислительной техники, с одной стороны, и сложность картины разрывов напря-
напряженного состояния, с другой стороны. Решение двумерных линейных
:задач стоит в повестке дня ближайших лет. Принимая во внимание нужды

254 Н. А. АЛУМЯЭ
техники и опыт геофизиков, выполнение намечаемой программы немысли-
немыслимо без применения вычислительной техники, которая уже обеспечивала
решение ряда сложных нелинейных задач.
Применение простейших расчетных алгоритмов для решения диффе-
дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих переход-
переходные процессы, возможно лишь в случаях, когда решение достаточно глад-
гладкое. Этого можно достичь, если из общего решения выделить разрывную
часть вплоть до нужного порядка. Впрочем, при решении линейных одно-
одномерных задач такое разложение применяется весьма часто. Если нелиней-
нелинейный процесс может быть описан полулинейными уравнениями, то для
выделения разрывной части решения применимы методы, извест-
известные из линейной теории. Исследование же разрывных решений квазили-
квазилинейных уравнений представляет собой пока белое пятно в теории оболочек.
Между тем можно предполагать, что результаты по изучению квази-
квазилинейных уравнений внесут дополнительные аспекты в проблематику
динамической устойчивости нестационарных процессов в пластинках и
оболочках.
Перспективы исследования затронутого здесь вопроса затемнены
одним обстоятельством: в зонах, примыкающих к разрывам, теория обо-
оболочек неадекватно описывает происходящие там явления. Поэтому иссле-
исследования в этой области необходимо вести в тесном контакте с разработкой
указанной в начале настоящего параграфа первой проблемы. Наконец,
заметим, что в практических задачах могут встретиться очень сильные
разрывы (например, при обтекании цилиндрической оболочки ударной
волной, фронт которой параллелен оси оболочки), поэтому анализ и уста-
установление качественных и количественных характеристик разрывов
не является «академическим» увлечением т. е. некоторым гиперболизмом
в «параболической природе».
§ 13. Новые задачи динамики оболочек
За последнее десятилетие бурно развился ряд интересных направле-
направлений динамики пластинок и оболочек, в которых основные результаты пока
исчерпывались областью динамики систем с конечным числом степеней
свободы. Сюда относятся параметрически возбужденные колебания, коле-
колебания, возбуждаемые потоком газа, колебания сосудов, частично или
целиком заполненных жидкостью, колебания при случайных нагрузках
или конструктивных свойствах.
Указанные здесь циклы питаются запросами практики, поэтому
о недооценке важности развития начатых исследований говорить не при-
приходится. Вместе с тем поставленные задачи весьма сложны, если рассма-
рассматривать пластинки и оболочки как объекты одномерного или двумерного
континуума. В результате уже в начальной стадии анализа пластинка или
оболочка сводится каким-то вариационным методом к системе с конечным
числом степеней свободы. Вследствие этого может создаться впечатление,,
что перечисленные новые направления исследований не имеют пока непо-
непосредственного отношения к «внутренней» теории оболочек, хотя, впрочем,
трудно отрицать, что для сведения оболочки к системе с одной степенью
свободы необходимо иметь ясное представление о работе оболочки в дан-
данных условиях нагрузки. Во всяком случае, приближение этих направле-
направлений к «внутренней» теории оболочек должно быть проведено специалистами
по теории оболочек, и поэтому в настоящем обзоре следует остановиться:
на основных этапах развития затронутых областей.

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 255
Параметрические колебания В некоторых линейных
задачах пластинок и пологих оболочек возможно разделение переменных
(Б. 3. Брачковский, 1942; Г. Ю. Джанелидзе, 1955), в этом случае коле-
колебания конструкции определяются хорошо известным уравнением Матье —
Хилла, через коэффициенты которого устанавливаются зоны параметров,.
в которых колебания неустойчивы. Впервые такие задачи были решены
для пластинок В. А. Боднером A938) и 3. И. Халиловым A942), для
оболочек А. Н. Марковым A949) и о. Д. Ониашвили A950).
У оболочек из-за большой плотности спектра свободных колебаний
зоны неустойчивости параметрических колебаний покрывают значитель-
значительную область в плоскости «сила — частота», поэтому для практических
целей необходимо установление амплитуд колебаний при помощи нелиней-
нелинейной теории с учетом демпфирования. Эта задача была поставлена В. В. Бо-
лотиным для пластинки A954, 1956), а позже и для сферической оболочки
A958). При рассмотрении нелинейных задач, так же как и в случае линей-
линейных задач с неразд'еляющимися переменными (Н. А. Алфутов и В. Ф. Ра-
зумеев, 1955), оболочка моделируется системой с одной-двумя степенями
свободы.
Если речь идет о системе с одной степенью свободы, то ее динамика
определяется уравнением типа
/" + 2е/' + соЧ1 - Т (*)] f-e(t)f + d(t)f = q (t),
где со — частота свободных малых колебаний системы. Структура этой
системы не изменится, если вместо однородной изотропной оболочки рас-
рассмотреть оболочку неоднородную с анизотропными слоями в условиях
нелинейной упругости, в нестационарном температурном поле (С. А. Ам~
барцумян и В. Ц. Гнуни, 1964; В. Ц. Гнуни, 1965). Чаще всего задача
заключается в установлении режима стационарных вынужденных коле-
колебаний.
Колебания оболочек и пластинок в потоке
газа. Первые исследования по совместным колебаниям пластинок и газа
относятся к дозвуковым скоростям потока (Г. И. Копзон, 1956; В. В. Бо-
Болотин, 1956), а также небольшим сверхзвуковым скоростям. Задачи рас-
рассматривались в линейной постановке, причем течение предполагалось
потенциальным. Следует учесть, что при такой постановке размерность
аэродинамической задачи на единицу больше, чем в задаче эластодина-
мики для пластинки. Вскоре, однако, было обнаружно, что при больших
скоростях потока (с числом Маха М > 2) возможен сильно упрощенный
учет аэродинамического взаимодействия; этот вариант учета аэродинами-
аэродинамических сил, получивший название «поршневой теории», был применен
уже в работах А. А. Мовчана A957) и Р. Д. Степанова A957). Надо отме-
отметить, что, кроме условий М ^ 1 и квазистационарности потока, имеется
еще условие относительно показателей изменяемости вдоль и поперек
возмущенного потока (В. В. Болотин, 1961). «Поршневая теория» осталась
пока основной расчетной моделью потока, обтекающего пластинку или
оболочку. Несмотря на упрощения в аэродинамической части, точное
решение даже линеаризованных краевых задач возможно только в исклю-
исключительных случаях. Один из таких случаев — осесимметричное обтекание
бесконечно длинной замкнутой круговой цилиндрической оболочки —
был предметом многочисленных исследований (Б. И. Рабинович, 1959;
Ю. Ю. Швейко, 1960; Г. Е. Багдасарян, 1962; Е. П. Кудрявцев, 1964),
представляющих собой разного рода обобщения простейшей задачи,
поставленной В. В* Болотиным в 1956 г. К этому неполному перечню

256 Н. А. АЛУМЯЭ
нужно добавить работы, где изучаются колебания оболочек в газовом
потоке с изменяющейся во времени температурой оболочки (С. А. Амбар-
цумян и Г. Е. Багдасарян, 1964).
В случае пластинок и оболочек конечных размеров прибегают к исполь-
использованию метода Галеркина для сведения задачи к системе с небольшим
числом степеней свободы. При решении нелинейных задач это пока един-
единственный метод получения законченных результатов, причем число степе-
степеней свободы, как правило, составляет два.
Первые нелинейные задачи аэроупругости решены В. В. Болотиным
A958, 1960) и им же с его сотрудниками A959). Отметим еще работы
Ю. Ю. Швейко A961), Ю. Н. Новичкова A962), Г. Е. Багдасаряна A963).
Изучение нестационарного флаттера при одновременном изменении ско-
скорости и температуры также начато В. В. Болотиным A962). К. К. Лива-
Ливанов A963) учел влияние тангенциальной инерции на критические скорости
(обычно в рассматриваемых задачах учитывается только нормальное
ускорение). Обзор исследований по колебаниям пластинок и оболочек в
потоке газа, опубликованных до 1961 г., имеется в докладе В. В. Болотина
A962).
Так как линейные задачи об устойчивости пластинок и оболочек
в потоке газа сводятся в конечном итоге к исследованию системы с двумя
степенями свободы, то без принципиальных затруднений возможны разные
обобщения решения «классических», т. е., казалось бы, простейших,
задач; объектом могут быть оболочки пологие, анизотропные, многослой-
многослойные, ребристые, нелинейные упругие — учет всех этих факторов не вносит
существенных изменений в процедуру исследования.
Колебания оболочек, заполненных жидко-
жидкостью. Свободные колебания заполненных частично или целиком сосудов
имеют, естественно, два качественно различных участка спектра. При
низких частотах колеблется жидкость, оболочка же является практически
безынерционной (квазистатической). При высоких частотах, наоборот,
колеблется оболочка, увлекая при этом в движение вместе с сосудом
некоторый объем жидкости. Несмотря на возможные упрощения (идеаль-
(идеальная жидкость, малые колебания), задачи гидроупругости являются далеко
не простыми даже в случае осесимметричных колебаний оболочек враще-
вращения — ведь движение жидкости и тогда определяется двумерным волно-
волновым уравнением.
Пока перечень выполненных исследований по этой проблеме невелик.
Отметим здесь работы Б. Н. Бублика и В. И. Меркулова A966), Ю. С. Шке-
нева A964), В. П. Шмакова A964); Ф. Н. Шклярчук A965, 1966) ввел для
упрощения гидродинамической стороны гипотезу плоского отражения
жидкости; у Ю. Н. Новичкова A966) анализ собственных частот напрасно
осложнен заданием неконструктивного стыка между оболочкой и диафраг-
диафрагмами; в работе Г. Е. Багдасаряна и В. Ц. Гнуни A966) задача сведена
к линейной системе с одной степенью свободы.
Нет сомнения, что в рассматриваемых вопросах имеется широкое
доле для дальнейших исследований.
Обзор исследований по квазистационарным задачам аэро- и гидро-
гидроупругости пластинок и оболочек имеется в докладе Л. И. Балабуха A966).
Колебания при случайных нагрузках. Нередко
тонкие пластинки и оболочки находятся под действием атмосферной тур-
турбулентности, акустического излучения от работающих двигателей и т. д.,
т. е. подвержены случайным нагрузкам, возбуждающим колебания в широ-
широком диапазоне спектра. Большая плотность собственных частот колебаний

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 257
делает в этих условиях неприменимым метод разложения решения по соб-
собственным функциям. Наоборот, эффективным методом исследования про-
происходящих при случайных нагрузках колебаний оказывается замена
дискретной схемы расчета распределенной — вместо суммирования
по частотам свободных колебаний применяется процедура интегрирования
в пространстве волновых чисел (по другой терминологии — показателей
изменяемости основного напряженного состояния в двух характерных
направлениях). Эффективным средством исследования простейших объек-
объектов при широкополосной нагрузке является предложенный В. В. Боло-
тиным A961) асимптотический метод определения собственных частот
и собственных функций. В указанной статье этот прием использовался
им применительно к защемленной пластинке; при определенных условиях
относительно корреляционных свойств нагрузки был вычислен средний
квадрат нормальных напряжений вблизи края. Позже В, В. Болотин
A963) показал, что для средних квадратов и спектральных плотностей
можно получить интегральные оценки при достаточно широких условиях
для корреляционных функций нагрузки. Частные виды случайного аку-
акустического поля в качестве нагрузки были предметом исследований
М. Ф. Диментберга A961, 1962) и Ю. А. Федорова A963), выполненных
на базе корреляционных методов. Далее Ю. А. Федоров A964) рассмотрел
действие на свободно опертую плоскую пластинку плоских акустических
волн со случайной частотой и амплитудой, учитывая методом малого пара-
параметра геометрическую нелинейность деформации. В. А. Пальмов A965)
вывел спектральные плотности прогиба и напряжений в достаточно удален-
удаленной от краев точке при случайной нагрузке волнового типа; им не при-
применялся метод разложения решения по формам собственных колебаний,
а учитывалось только частное решение (с большим показателем изменяе-
изменяемости).
Обзор выполненных до 1964 г. исследований можно найти в статье
В. В. Болотина A964), где, кроме корреляционного метода, обсуждены
также возможности и полученные результаты в области применения ква-
квазистатического метода и метода кинетических уравнений для исследования
статистических свойств колебаний пластинок и оболочек при случайных
нагрузках. Болотин отмечает, что применению математической стати-
статистики в различных областях физики и техники посвящено огромное коли-
количество работ, причем многие результаты из статистической динамики
могут быть интерпретированы в терминах теории пластинок и оболочек.
В свойственных теории оболочек задачах приложения этих результатов
заключаются в установлении общих свойств спектра колебаний. В линей-
линейных задачах это в настоящее время выполнимо; что касается колебания
оболочек с конечными амплитудами, то здесь в ближайшем будущем при-
придется, по-видимому, ограничиться рассмотрением конкретных задач, пред-
представляющих непосредственный интерес для практики. С точки зрения
теории оболочек упор надо делать на учет континуального характера
работы оболочки (В. В. Болотин, 1966).
§ 14. Анизотропные оболочки
Развитие исследований в области однородных анизотропных оболочек
шло, в общем, по пути разработки соответствующих разделов теории изо-
изотропных оболочек. Это вполне естественно, так как упругие коэффициенты
изотропного и анизотропного тел редко различаются по порядку. В этом
случае нетрудно сообразить, что A) основные уравнения трацсверсально-
17 Механика в СССР, т. 3

258 Н. А. АЛУМЯЭ
изотропной оболочки отличают от уравнений изотропной оболочки только
другим коэффициентом поперечного сдвига; B) основные уравнения орто-
тропной оболочки сохраняют такую же структуру, но вместо двух появ-
появляется шесть упругих постоянных; вместе с тем C) при анизотропии с одной
плоскостью симметрии (в дальнейшем называемой общей анизотропией)
структура основных уравнений изотропной и анизотропной оболочек уже
различна. Как и следует ожидать, большинство результатов по анизотроп-
анизотропной деформации относится к ортотропным оболочкам, причем чаще всего
предполагается, что главные направления ортотропии совпадают с линиями
кривизн срединной поверхности. Все же нужно отметить, что представители
теории анизотропных оболочек были весьма активны и при возрождении
проблемы уточнения классической теории оболочек, базирующейся на гипо-
гипотезах Кирхгофа — Лява (С. А. Амбарцумян, 1958). Внутренним стимулом
для выдвижения этого вопроса была при этом несостоятельность класси-
классической теории при существенной анизотропии материала, а также необ-
необходимость применения при таких материалах относительно толстых обо-
оболочек (в том числе и многослойных).
Первые работы по анизотропным оболочкам появились давно
(И. Я. Штаерман, 1924; X. М. Муштари, 1938), но более или менее обстоя-
обстоятельная разработка соответствующей теории началась лишь около два-
двадцати пяти лет тому назад, когда были опубликованы первые статьи
С. А. Амбарцумяна A947, 1948). Конечно, немалую роль в развитии тео-
теории анизотропных пластинок и оболочек сыграли и монографии С. Г. Лех-
ницкого A943,1947), хотя примененный там аппарат теории функций непри-
неприменим для расчета оболочек (за исключением некоторых частных случаев
безмоментных оболочек).
В течение десятилетия построение теории проводилось по гипотезам
Кирхгофа — Лява, причем в условиях многослойных анизотропных обо-
оболочек для всего пакета слоев. Такой подход должен быть вполне приемлем
для широкого круга задач, в которых нет существенной анизотропии или
же ярко отличных упругих свойств у составных слоев.
За небольшой срок были получены обобщения результатов по основ-
основным задачам изотропных оболочек на анизотропные оболочки — по без-
моментной теории, по расчету оболочек вращения при симметричном
и циклическом нагружениях, содержащему задачу о простых краевых
эффектах. До тех пор пока главное внимание уделялось ортотропным
(в линиях главных кривизн) оболочкам, эти исследования не приводили
к обнаружению существенно новых явлений. Исключение представляет
случай, при котором срединная поверхность оболочки имеет (изолирован-
(изолированную) омбилическую точку (эту точку, согласно С. А. Амбарцумяну, сле-
следует называть физико-геометрически особой точкой), однако в настоящее
время этот вопрос интересен, пожалуй, только с теоретической точки
зрения.
Когда же начали рассматривать задачи более общей анизотропии,
то выяснилось, что безмоментное ж чисто моментное состояния не могут
быть выделены; вместо этих элементарных состояний возникает сложное
напряженное состояние с малым показателем изменяемости. Далее, у обо-
оболочки, очерченной по поверхности вращения, при циклически симметрич-
симметричной нагрузке деформация уже не обладает этим свойством; большое
влияние оказывает анизотропия, на функцию интенсивности краевого
эффекта; увеличивается по модулю остаточный член первого приближения
простого краевого эффекта, определяемого методом ВКБ (Л. А. Мовсисян,
1958, 1959).

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 259
Уравнения ортотропных цилиндрических оболочек впервые были выве-
выведены X. М. Муштари A939); общий случай анизотропии был рассмотрен
значительно позже (С. А. Амбарцумян, 1948); однако в отношении методов
интегрирования уравнений при общей анизотропии первые результаты
получены лишь сравнительно недавно (В. С. Саркисян, 1963). Обилие
упругих постоянных при общей анизотропии порождает именно у цилин-
цилиндрических оболочек большое число возможных вариантов соотношений,
описывающих элементарные состояния (С. А. Амбарцумян, 1954). Может
быть, нелишне отметить, что состояния изотропной цилиндрической обо-
оболочки сводятся к обобщенному краевому эффекту и простому краевому
эффекту; только при расчете напряжений около сосредоточенной нагрузки
или малого отверстия к этим состояниям присоединяется еще состояние
с большим показателем изменяемости в произвольном направлении на сре-
срединной поверхности.
Исследования по линейной и геометрически нелинейной деформации
пологих оболочек относятся к случаю ортотропии, и в них для интегри-
интегрирования уравнений используются в основном методы, заимствованные
из области изотропных оболочек (X. М. Муштари, 1938; Е. Ф. Бурмистров,
1955, 1956). Исследованы также задачи термоупругости в нелинейной
постановке (Е. Ф. Бурмистров, 1960; С. П. Дургарьян, 1962; С. А. Амбар-
Амбарцумян, 1963); построены варианты нелинейной теории по гипотезам, отли-
отличающимся от гипотез Кирхгофа — Лява (С. А. Амбарцумян и Д. В. Пешт-
малджян, 195^).
Систематическому изложению линейной теории анизотропных обо-
оболочек посвящена монография С. А. Амбарцумяна A961). Более широкий
круг задач по анизотропным оболочкам охвачен в его обзорных статьях
A962, 1964), где сформулированы также основные направления развития
и задачи, стоящие на пути успешного продвижения теории анизотропных
оболочек. По мнению Амбарцумяна, наибольшего внимания в данное
время заслуживают задачи, в которых анизотропия деформации имеет
общий характер. В этой области имеется опасность распыления сил
и средств на решение частных задач. Вместо этого упор надо делать на раз-
разрешение фундаментальных методических вопросов — нужно классифици-
классифицировать отдельные ситуации, провести качественный анализ напряженного
состояния для каждого класса и разработать на основе этого эффективные
методы решения.
§ 15. Слоистые оболочки
Самый распространенный тип слоистых оболочек в современной тех-
технике — это трехслойная оболочка, состоящая из двух тонких внешних
слоев из прочного материала, присоединенных к легкому и малопрочному
среднему слою — заполнителю. (Применяются также двухслойные и мно-
многослойные оболочки.)
Проблема сведения трехмерной задачи к двумерной проявляется здесь
сложнейшим образом. Дело в том, что заполнитель может быть не только
из изотропного материала, но может обладать и свойствами однородной
общей анизотропии или может быть реализован из гофрированного листа
и т. п. с трудно определяемыми характеристиками конструктивной анизот-
анизотропии, причем совместность деформаций между отдельными слоями нужно
устанавливать лишь вдоль дискретно расположенных линий.
Первые отечественные публикации по теории слоистых пластинок
и оболочек относятся к концу сороковых годов (С. А. Амбарцумян, 1948,
17*

260 Н. А. АЛУМЯЭ
1949; А. П. Прусаков, 1949). В этих и многих последующих работах
за основу построения расчетных соотношений была принята система
гипотез Кирхгофа — Лява для целого пакета. Главное внимание в первое
время было уделено трехслойным пластинкам и прежде всего вопросам
устойчивости (общей и местной потери устойчивости несущих слоев).
Перечень работ этого времени можно найти в соответствующем разделе
обзорной статьи Л. М. Куршина A962). Проблемы и результаты расчета
слоистых оболочек освещены весьма подробно также в монографии и обзо-
обзорах С. А. Амбарцумяна A961, 1962, 1964), а достаточно богатый к этому
времени справочный материал по формулам расчета и экспериментам —
в книге А. Я. Александрова, Л. Э. Брюкнера, Л. М. Куршина и А. П. Пру-
сакова A960).
Для построения простых и универсальных уравнений по расчету
трехслойных пластинок с легким заполнителем пришлось прибегнуть
к другим гипотезам в отношении заполнителя; одним из пионеров в этом
направлении был А. П. Прусаков A951). С методической точки зрения
обоснование рабочих гипотез иногда страдало от внутренних противоречий,
В чем можно убедиться на примере изложения основных идей в только
что упомянутой статье Л. М. Куршина (см. там стр. 168—169).
Может быть, именно в создании теории слоистых оболочек была впер-
впервые обнаружена существенная необходимость отказаться от привычных
гипотез Кирхгофа — Лява и учесть влияние поперечного сдвига, а также
обжатия.
Э. И. Григолюк A957, 1958) при построении геометрически нелинейной
теории трехслойных оболочек симметричной структуры исходил из предпо-
предположений, что в отношении среднего слоя применимы гипотезы Тимошенко,
а внешний слой следует гипотезам Кирхгофа — Лява. Прогиб всех слоев
принимался равным. В итоге получалась нелинейная система 12-го поряд-
порядка. Обобщение этих результатов на оболочки несимметричной структуры
дано X. М. Муштари A961). Слабым местом этого варианта теории явлется
предположение о том, что вектор поворота нормали у крайных слоев оди-
одинаков и равен градиенту прогиба.
С. А. Амбарцумян A957) для уточнения классической теории оболо-
оболочек предложил задавать распределение поперечного сдвига по параболе;
это положение заменяет гипотезу Кирхгофа — Лява о сохранении нормали
к срединной поверхности после деформации (остальная часть предложений
Кирхгофа — Лява сохраняется). Построение теории на основе этой гипо-
гипотезы несколько сложнее, чем по энергетическому методу, примененному
Э. И. Григолюком; но в более или менее существенной мере это прояв-
проявляется только в нелинейных задачах.
В одной работе по трехслойным оболочкам Э. И. Григолюк и П. П. Чул-
ков A963) учли формально и обжатие заполнителя при помощи введения
соответствующей координаты; деформация внешних слоев была принята
точно по гипотезам Кирхгофа — Лява, и это привело к системе 16-го
порядка. Позже те же авторьг A964) отказались от учета обжатия (при-
(принимая при составлении физических соотношений для слоев gzz = 0)
я получили систему 12-го порядка, которую в некоторых случаях считают
возможным свести к системе 10-го порядка, пренебрегая одним краевым
эффектом типа Сен-Венана. Вместе с тем упрощенные соотношения
все равно описывают один краевой эффект типа Сен-Венана урав-
уравнением такой же структуры, что и отброшенное уравнение; пока не впол-
вполне ясно, какой из этих краевых эффектов имеет большую физическую
й

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 261
В последнее время повысился интерес к многослойным оболочкам.
Без особых затруднений можно построить теорию на основе гипотез Кирх-
Кирхгофа — Лява, и во многих случаях действительно можно получить при-
приемлемые результаты при помощи такой теории (С. А. Амбарцумян, 1961).
При существенно различных упругих свойствах отдельных слоев все же
напрашиваются исследования по созданию адекватной расчетной модели.
Нелинейные уравнения анизотропных многослойных оболочек при
произвольном нагреве, с использованием гипотезы прямых нормалей
в каждом слое, приведены Э. И. Григолюком и П. П. Чулковым A965).
Принятая система гипотез сводит расчет ?г-слойной оболочки к системе
квазилинейных дифференциальных уравнений F + 4/г)-го порядка, реше-
решение которой на контурном срезе оболочки должно удовлетворить 3 + 2п
краевым условиям.
В области теории многослойных анизотропных оболочек многие
вопросы еще ждут решения, хотя путь этого решения заложен в известной
мере достижениями теории* однородных изотропных оболочек. Отметим
здесь только некоторые из этих вопросов, которые представляются наибо-
наиболее существенными: 1) какими уравнениями можно описать медленно
изменяющиеся напряженные состояния? 2) существуют ли (и при каких
условиях) напряженные состояния, которые в классической теории назы-
называют простыми краевыми эффектами? каково их число на краю? 3) при
каких условиях происходит вырождение простых краевых эффектов
в обобщенные краевые эффекты с более медленным затуханием от края?
4) какое число краевых эффектов типа Сен-Венана порождает конкретная
теория многослойной оболочки? можно ли их группировать в отдельные
классы по свойствам напряженных состояний и адекватна ли данная
теория для описания краевых эффектов типа Сен-Венана? При этом нельзя
упускать из виду реальные возможности определения 3 + 2п коэффициен-
коэффициентов упругой заделки на каждом краю: именно здесь существует большой
разрыв между теорией и практикой.
§ 16. Приведение задач теории упругости к теории оболочек
Очевидно, имеется много возможных путей приведения задач теории
упругости к задачам теории оболочек для тонкостенных объектов типа
пластинок и оболочек. Основные относящиеся сюда результаты освещены
в обзорах И. И. Воровича A966) с упором на задачи равновесия; состояние
проблемы приведения при решении динамических задач изложено в обзор-
обзорной статье Л. Я. Айнолы и У. К. Нигула A965).
Весьма условно методы приведения можно разделить на следующие
основные группы: A) аналитические методы, B) вариационные методы,
C) асимптотические методы.
Наибольшую историю среди методов приведения имеет метод степенных
рядов, при котором коэффициенты разложения искомых величин (по нор-
нормальной к срединной поверхности координате z) определяются рекуррент-
но через шесть основных функций (от внутренних координат а, Р средин-
срединной поверхности); последние же определяются условиями на боковых
поверхностях (Н. А. Кильчевский, 1939, 1963), которым удовлетворяют
с точностью до членов определенного порядка zk, так как практически
возможно лишь рассмотрение усеченных систем (т. е. систем дифферен-
дифференциальных уравнений конечного порядка). Следует отметить, что удовлет-
удовлетворение краевых условий (на контурных поверхностях) и начальных усло-
условий с заданной точностью требует вывода системы дифференциальных

262 Н. А. АЛУМЯЭ
уравнений более высокого порядка точности. Полученные методом разло-
разложения решения в степенные ряды усеченные системы в ряде конкретных
случаев даны И. Т. Селезовым A961, 1963) и У. К. Нигулом A962).
В случае простейших объектов (пластинки, круговой цилиндрической
и сферической оболочек) алгоритм степенного ряда может быть доведен
до изящных формул «символического» метода А. И. Лурье A942, 1955)
или до метода начальных функций В. 3. Власова A955). Символический
метод применен также для вывода упрощенных уравнений динамики
с малыми показателями изменяемости (У. К. Нигул, 1963); однако крае-
краевые условия к уравнениям равновесия толстых пластинок получены
с использованием вариационной формулировки задачи (В. К. Проко-
Прокопов, 1965).
При рассмотрении указанных выше простейших объектов к символи-
символическому методу примыкает метод «однородных» решений. По этому методу
решение задачи теории упругости ищется в форме бесконечной суммы
частных решений, удовлетворяющих однородным краевым условиям
на боковых поверхностях (параллельных срединной поверхности),
но, вообще говоря, не краевым условиям на контурных поверхностях;
к этому агрегату решений прибавляется частное решение уравнений тео-
теории упругости, удовлетворяющее неоднородные краевые условия на боко-
боковых поверхностях. Основные моменты решения задачи заключаются
A) в определении корней трансцендентного характеристического уравне-
уравнения «однородных» решений и B) в установлении процедуры, определяющей
произволы интегрирования однородных решений через заданные краевые
условия на контурных поверхностях; обычно для этой цели пользуются
принципом возможных перемещений.
Описанный метод был применен к изучению состояния равновесия
круглых.пластинок В. К. Прокоповым A952), О. К. Аксентяном и И. И. Во-
ровичем A963); случай замкнутой круговой цилиндрической оболочки
при осесимметричной деформации был рассмотрен В. К. Прокоповым
A949), а также Н. А. Базаренко и И. И. Воровичем A965). Вопросам при-
приложения данного метода к теории упругости посвящена обзорная статья
Г. Ю. Джанелидзе и В. К. Прокопова A963).
Следует добавить, что при определении корней характеристического
уравнения и принадлежащих к каждому корню напряженных состояний
систематически применяется разложение неизвестных по степеням малого
параметра, т. е. относительной толщины. Конечно, это самый надежный
метод исследования проблемы приведения, но, к сожалению, он применим
только для весьма ограниченного класса задач. Например, при изучении
распространения волн напряжения метод однородных решений при-
применим без осложнений лишь при определенных краевых условиях, допус-
допускающих sin — cos-интегральное преобразование по координате (У. К. Нигул,
1963).
К аналитическим методам сведения в динамике следует отнести также
процедуру сопоставления формальных решений в виде контурных интег-
интегралов задач теории упругости и теории пластинок. По замыслу Г. И. Пет-
рашеня A951) обе теории должны дать одинаковые разложения для иско-
искомых величин в малочастотной части (комплексных) колебаний. Поскольку
приближенная теория с меньшей размерностью этого не может полностью
обеспечить, то из сопоставления выводятся условия применимости при-
приближенной теории.
Для приведения весьма часто используются энергетические методы,
в которых искомые величины аппроксимируются как функции от z неко-

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 263
торой замкнутой системой (например, полиномами Лежандра), а диффе-
дифференциальные соотношения между коэффициентами получаются из вариа-
вариационной формулы Лагранжа или Кастильяно (или какой-то другой расши-
расширенной вариационной формулы). Этим путем без затруднений могут быть
построены системы дифференциальных уравнений сколь угодно высоко-
высокого порядка и получены соответствующие краевые условия (во многих
методах, применяемых при решении проблемы приведения, формулировка
краевых условий к усеченным системам является самым уязвимым местом
теории).
Примеры построения таких уточненных теорий оболочек даны в рабо-
работах И. Н. Векуа A955, 1965), И. Г. Терегулова A962), Н. А. Кильчевского
A963), В. В. Понятовского A962). Анализ выведенных систем показывает,
что с увеличением порядка системы дифференциальных уравнений выше
восьмого в решениях появляются краевые эффекты типа Сен-Венана;
более того, увеличение порядка системы уравнений (физически это соот-
соответствует увеличению числа степеней свободы) порождает только новые
интегралы с большим показателем изменяемости — краевые эффекты типа
Сен-Венана. Итак, если нужно выделить краевые эффекты Сен-Венана,
соответствующие краевому кручению и краевой плоской деформации в пер-
первом приближении, то система дифференциальных уравнений теории обо-
оболочек должна быть 14-го порядка. Однако пока не имеется опубликован-
опубликованных результатов по анализу таких расширенных систем уравнений теории
оболочек.
В связи с попытками решения проблемы приведения вариационными
методами следует отметить постановку задачи о наилучшем варианте
системы дифференциальных уравнений для определения основных напря-
напряженных состояний. Обычно структура уравнений задана (например, в слу-
случае изгиба пластинки требуется, чтобы разрешающее уравнение было
четвертого порядка), ищется наилучшее в энергетическом смысле и постоян-
постоянное по срединной поверхности распределение перемещений и напряжений
по толщине, выраженных через одну (искомую) функцию от z (Л. Я. Ай-
нола, 1963). Задача сводится к решению системы интегро-дифференциаль-
ных уравнений способом последовательных приближений.
Третья линия решения проблемы приведения — метод непосредст-
непосредственного асимптотического интегрирования. Здесь заменой координат—
различной при отыскании качественно различных напряженных
состояний — в уравнения теории упругости искусственно вводится
параметр (скажем, е), характеризующий тонкостенность оболочки. Далее
каждой неизвестной функции должен быть присвоен определенный
непротиворечивый показатель интенсивности, допускающий рекуррентную
процедуру определения членов разложения неизвестных по степеням
малого параметра 8. Отсюда ясно, что для успешного применения
метода весьма желательна предварительная информация об основных
свойствах определяемого напряженного состояния, иначе можно запу-
запутаться в подыскании непротиворечивых показателей интенсивности.
Но если этот «пусковой» момент преодолен, то дальнейшее быстро при-
приводит к изящным процедурам определения и последовательного уточне-
уточнения напряженного состояния для широкого круга задач.
У нас это направление разрабатывается А. Л. Гольденвейзером A962,
1963, 1965) и его сотрудниками А. В. Колос A964, 1965), А. Н. Волковым
A965) и М. И. Гусейн-заде A965). Опубликованные результаты показы-
показывают, что основной процесс асимптотического интегрирования приводит
в первом и только в первом приближении к известным из классической

264 Н. А. АЛУМЯЭ
теории пластинок и оболочек расчетным соотношениям, описывающим
так называемые основные напряженные состояния (сжатие и изгиб пла-
пластинки, безмоментное и моментное состояния, состояния с большим пока-
показателем изменяемости). Существенно же новыми являются соотношенияf
по которым определяются в первом приближении краевые эффекты типа
Сен-Венана (уравнения в частных производных краевого кручения и крае-
краевой плоской деформации), быстро затухающие у края.
Как во всех неэнергетических методах приведения некоторые труд-
трудности представляет собой определение краевых условий, которым должны
удовлетворять дифференциальные уравнения, интегрируемые на опреде-
определенном этапе приближения. Эта проблема решена лишь частично для
некоторых вариантов краевых условий пластинки.
Любопытно отметить, что основная процедура сводится к выделению
напряженных состояний, которые быстро изменяются в направлении
нормали (z), но не в тангенциальных к срединной поверхности направле-
направлениях (а, Р); вместе с тем это предположение ведет в нулевом приближении
к напряженным состояниям, при которых перемещения иа, up, w и напря-
напряжения oaai аар, сг/зр являются линейными функциями z; в этом случае,
конечно, трудно утверждать, что эти величины быстро изменяются по z.
Таким образом, кое-что нужно еще переформулировать, чтобы вполне
приемлемые для практики и давно известные результаты не противоре-
противоречили исходным предположениям.
Применение методов асимптотического интегрирования для решения
проблемы приведения находится в целом в начальной стадии развития.
Ярким примером этого утверждения является постановка А. Л. Гольден-
Гольденвейзером задачи о напряженных состояниях замкнутой оболочки типа
полной сферы (всюду положительной кривизны?). Такую задачу считают
наиболее благоприятной в отношении классической теории оболочек.
Результаты анализа решения этой задачи весьма интригующие; Гольден-
Гольденвейзер показал, что некоторыми изменениями в физических соотношениях
можно увеличить точность уравнений классической теории оболочек.
Однако эти соотношения не могут быть выведены на базе гипотез Кирх-
Кирхгофа — Лява; поэтому можно лишь сказать, что в рассматриваемом случае
новое содержание удалось представить в старой форме, что не всегда
возможно или целесообразно.
Метод асимптотического интегрирования обобщен также для вывода
уравнений динамики пластинок при больших перемещениях (Л. Я. Ай-
нола, 1965, 1966). Результаты показывают, что известные уравнения мем-
мембранной теории Кармана, линейной теории изгиба с плоским напряженным
состоянием и чисто линейной теории являются при определенных условиях
нагрузки асимптотическими приближениями уравнений геометрически
нелинейной теории упругости. Указанные выше исследования должны
представлять интерес в отношении методики — уравнения движения и гра-
граничные условия выводятся из требования, чтобы вариация соответствую-
соответствующего функционала равнялась нулю с требуемой асимптотической точ-
точностью.
Среди методов приведения особое место занимает применение теоремы
о взаимности работ упругой системы к выводу двумерных интегро-диффе-
интегро-дифференциальных уравнений. Разработка способов и приемов в данном
направлении была начата Н. А. Кильчевским A940); результаты исследо-
исследований подытоживались им неоднократно в статьях обзорного характера
и в монографии A962, 1964), где можно найти и библиографические данные
об основных работах по затрагиваемому вопросу.

ТЕОРИЯ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИНОК 265
Теорема о взаимности работ допускает весьма широкую интерпрета-
интерпретацию, так как силы и перемещения могут быть рассмотрены также в обоб-
обобщенном смысле. Хорошо известно, что в этой теореме сопоставляются два
состояния; одно из них — основное (искомое) состояние, второе — вспомо-
вспомогательное. Эта теорема может принести пользу, если решение вспомога-
вспомогательной задачи значительно проще решения основной задачи. Одна из двух
возможностей заключается в том, что за основу вспомогательного состоя-
состояния принимается решение о действии сосредоточенной силы в неограни-
неограниченной упругой среде. Но оболочка имеет (по крайней мере в направлении
нормали к срединной поверхности) конечную протяженность, поэтому
отсутствие «среды» в этом направлении нужно компенсировать нагрузкой,
распределенной на граничных поверхностях оболочки (а также на кон-
контурных поверхностях, которые обычно имеются). В проблеме приведения
вместо сосредоточенной силы рассматриваются обобщенные силы (напри-
(например, моменты нулевого, первого и последующих порядков по толщине)
и соответствующие обобщенные перемещения; это требует внесения неслож-
несложных изменений в вышеописанную процедуру.
При исследовании оболочек нулевой кривизны и пологих оболочек,
срединная поверхность которых изометрична плоской пластинке, нередко
за вспомогательное принимается состояние пластинки, что упрощает
построение ядер, но вместе с тем меняет и их структуру. В последнее время
выдвинута идея о применении «фокусированных» ядер, т. е. быстро зату-
затухающих вспомогательных состояний, для улучшения сходимости вычис-
вычислительного процесса (Н. А. Кильчевский, 1960; Н. А. Кильчевский,
X. X. Константинов и Н. И. Ремизова, 1966). Пока же весь этот круг
вопросов характеризуется различными постановками задач, выдвиже-
выдвижением новых способов и отсутствием конкретного опыта, добываемого при
решении задач приведения до логического конца, т. е. до определенной
системы двумерных уравнений. Наибольший интерес представляет реше-
решение задач, при которых напряженное состояние оболочки должно быть
найдено при помощи уравнений теории упругости (например, краевые
эффекты типа Сен-Венана, состояние около «сосредоточенной» нагрузки,
около фронтов распространения возмущений и т. д.).
Однако это замечание относится в равной мере ко всем направлениям
решения проблемы сведения. Основной тематикой в ближайшем будущем
должны являться задачи о напряженном состоянии около особых точек
и линий «искажений» напряженного состояния. С точки зрения решения
этих задач все известные методы имеют равные шансы на успех. Может
быть, к разобранным здесь методам следует присоединить еще чисто чис-
численные методы решения уравнений теории упругости (без явной форму-
формулировки задачи приведения).
§ 17. Заключение
Любая задача упругих оболочек характеризуется большим числом
исходных данных. Для примера можно указать на следующие признаки:
— законы упругости: линейные, нелинейные;
— анизотропия материала: изотропия, ортотропия, трансверсальная
изотропия, общая анизотропия;
— структура оболочки: однослойная, двухслойная, трехслойная, мно-
многослойная;
— связность срединной поверхности: односвязная, двусвязная, много-
многосвязная (например, перфорация);

266 Н. А. АЛУМЯЭ
— кривизна срединной поверхности: положительная, нулевая, отри-
отрицательная, переменного знака (тор, гофрированная пластинка);
— геометрические свойства контурных линий: неасимптотические,
простые асимптотические, кратные асимптотические;
— форма нагрузки: распределенная по поверхности, распределенная
по линии, сосредоточенная;
— процесс деформации: статический, стационарный, квазистационар-
квазистационарный, переходный;
— определение нагрузки: заданное, зависящее от взаимодействия
оболочки и внешнего поля, случайное (с заданными статистическими
характеристиками);
— геометрия деформации: линейная, нелинейная;
— расчетная модель: безмоментная, Кирхгофа — Лява, типа Тимо-
Тимошенко, различные упрощенные варианты этих теорий (например, обоб-
обобщенный краевой эффект), теория упругости;
— способ анализа: качественный анализ, аналитическое решение,
численный метод.
При этом нередко весьма сложно провести четкую границу между
деталями отдельных признаков.
Затронутые в данном обзоре вопросы представляют неполную и субъек-
субъективную выборку из всей проблематики теории упругих оболочек. Этот
же характер имеет и перечень упомянутых работ, который может не оста-
оставить по своему размеру внушительного впечатления.
Вклад советских ученых в мировую сокровищницу теории упругих
оболочек и пластинок имеет весьма большой удельный вес. Нет сомне-
сомнения в том, что развернутая по стране сеть признанных научных школ
обеспечит успешное решение относящихся к теории оболочек задач, выдви-
выдвигаемых запросами практики, а также внутренними потребностями разви-
развития самой науки.

ОБ ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ ПОСТРОЕНИЯ
ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Я. Н. ВЕКУА
§ 1. Введение 267
§ 2. Теория тонких пологих оболочек 270
*§ 3. Безмоментная теория оболочек . . . 282
§ 1. Введение
1.1. Этот обзор состоит из двух частей. Первая часть касается общей
задачи построения теории упругих оболочек. Вторая часть посвящена
краткому изложению некоторых результатов по мембранной теории выпук-
выпуклых оболочек. Мы будем касаться только тех вопросов, которые были
предметом изучения автора начиная примерно с 1950 г. Обе части тесно
связаны с применениями методов теории аналитических функций, которые
стали проникать в теорию оболочек с сороковых годов главным образом
под влиянием известных исследований Н. И. Мусхелишвили по плос-
плоской задаче теории упругости.
Теория оболочек, очевидно, прикладная наука, но она связана со мно-
многими разделами современного анализа, являясь источником постановки
ряда важных и интересных математических задач. Изучение безмомент-
лой теории выпуклых оболочек привело к необходимости расширения
рамок классической теории функций. Была развита новая ветвь ана-
анализа — теория обобщенных аналитических функций, которая также тесно
связана с геометрической проблемой бесконечно малых изгибаний выпук-
выпуклых поверхностей (И. Н. Векуа, 1959).
1.2. Теория оболочек — раздел механики сплошной среды. Она раз-
разрабатывает методы расчета тонкостенных оболочек, которые широко исполь-
используются в современных инженерных сооружениях и машиностроении.
Типичными примерами оболочек могут служить стены и разного рода пере-
перекрытия, обшивки судов, фюзеляжей и крыльев самолетов, корпуса под-
подводных лодок и т. п. Можно различать оболочки упругие и неупругие.
Это зависит не только от материала оболочки, но главным образом от харак-
характера распределения и величины внешней нагрузки, а также от вида внеш-
внешних кинематических (геометрических) связей. Если внешняя нагрузка
распределена кусочно-непрерывно и не превосходит некоторую характер-
характерную критическую нагрузку, то можно рассматривать оболочку как упру-
упругую. В дальнейшем, говоря об упругих оболочках, будем предполагать,

268 И. Н. ВЕКУА
что они подчиняются линейному обобщенному закону Гука. Такие обо-
оболочки имеют довольно широкие технические применения. Поэтому их изу-
изучение представляет значительный прикладной интерес. За рамки упругих
свойств можно выходить при изучении состояния безмоментного напря-
напряженного равновесия изогнутых оболочек. Здесь нет необходимости привле-
привлекать соотношения упругости, если речь идет только об определении напря-
напряженного состояния. В этом случае имеем статически определимую задачу.
Соотношениями упругости необходимо воспользоваться лишь в том случаег
когда требуется определить также деформированное состояние. Такая
задача возникает, если приходится, например, обеспечить выполнение
не только физического краевого условия, но также некоторого геометри-
геометрического (кинематического) граничного задания.
1.3. Расчет оболочек на основе уравнений теории упругости связан
с большими математическими трудностями. Наука еще не располагает
практически удобными методами решения более или менее широкого кру-
круга прикладных задач. Теория оболочек стремится упростить эти задачи
с учетом специфики оболочек. Прежде всего, принимается во внимание тот
факт, что толщина оболочки мала по сравнению с двумя другими линей-
линейными ее размерами.. Легко представить, что картина деформированного*
и напряженного состояний тонкой оболочки существенно зависит также*
от свойств срединной поверхности. Во многих технических применениях
встречаются оболочки, срединные поверхности которых являются в доста-
достаточной степени пологими, и учет этого факта позволяет также вносить
значительное упрощение в задачу.
1.4. Первым существенно важным шагом в теории оболочек является
редукция трехмерной задачи к двумерной. Для этой цели часто оболочку
представляют как в достаточной степени твердую материальную поверх-
поверхность, обладающую весьма малой, но все же конечной толщиной. Очевидно,*
такая модель является весьма грубым приближением к реальной об л очке..
Тем не менее она позволяет упростить математическую задачу, воссоздать,
картину, в достаточной степени близкую к той, которая наблюдается
в реальных оболочках. Такая схематизация задачи требует принятия ряда
гипотез физического и геометрического характера, формулирующихся,
как правило, на основании интуитивных представлений. На первый взгляд,
эти гипотезы кажутся весьма правдоподобными, но их слабой стороной
является отсутствие точных методов экспериментальной проверки для:
сколько-нибудь широкого круга задач и материалов. Рамки их приме-
применимости можно определить в некоторых случаях лишь апостериори, сопо-
сопоставляя полученные численные результаты с экспериментальными дан-
данными или с точными решениями соответствующей трехмерной задачи.
Эта довольно неопределенная ситуация создает почву для возникновения
различных вариантов теории оболочек. Существующие варианты иногда
значительно отличаются друг от друга, причем очень трудно судить
о преимуществах того или иного варианта. Общим недостатком для многих
существующих вариантов теории оболочек является отсутствие внутрен-
внутренней согласованности между исходными кинематическими и физическими
предположениями. Эта несогласованность проявляется, например, в том,
что система дифференциальных уравнений теории оболочек не позволяет
обеспечить выполнение всех тех краевых условий, которые вытекают
из исходных допущений.
1.5. В основе большинства вариантов теории оболочек лежит физиче-
физическая гипотеза, согласно которой принято считать, что для описания напря-
напряженного состояния тонкой оболочки практически достаточно определить

ОБ ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 269
усилия и моменты, действующие на элементарные поперечные площадки.
В каждой поперечной площадке необходимо определить пять величин:
нормальное и касательное усилия, перерезывающую силу, крутящий
и изгибающий моменты, которые, очевидно, зависят от положения точки
на срединной поверхности, а также от ориентации площадки. Эта задача
сводится к определению двух тензоров второго ранга и одного тензора
первого ранга, принадлежащих срединной поверхности. Таким обра-
образом, требуется найти всего десять функций, являющихся компонентами
искомых тензоров. Эти функции удовлетворяют системе пяти уравнений
с частными производными первого порядка. Поэтому задача является,
зообще говоря, статически неопределимой. С целью устранения этой неоп-
неопределенности необходимо принять некоторые дальнейшие ограничения
относительно характера распределения напряжений или деформаций
в оболочке. Можно попытаться сделать задачу статически определимой,
приняв с этой целью некоторые ограничения относительно закона распре-
распределения усилий и моментов. Например, допустив, что моменты сил напря-
напряжения равны нулю всюду, получим статически определимую задачу.
Однако состояние безмоментного равновесия представляет собой весьма
частный случай общего напряженного состояния оболочки. Это видно
из того, что соответствующая система дифференциальных уравнений
не позволяет полностью обеспечить выполнение естественных физически
краевых условий задачи. Вообще говоря, на границе можно задавать
произвольно значения только одной из двух компонент вектора усилия.
Например, в случае выпуклой оболочки, задавая граничные значения
нормального усилия, можно, решив задачу, определить соответствующие
граничные значения касательного усилия. Поэтому заранее нельзя зада-
задавать произвольно краевые значения обеих компонент вектора усилия.
Несмотря на это, безмоментная, или, иначе, мембранная, теория оболочек
имеет значительные практические применения. Это объясняется тем фак-
фактом, что, как показывают инженерная практика и теоретические исследо-
исследования, упомянутое выше расхождение порождает для весьма широкого
круга задач лишь некоторый краевой эффект, который не оказывает
существенного влияния на характер распределения напряжений вдали
от границы. Важным преимуществом мембранной теории является сравни-
сравнительная простота соответствующей математической задачи, а также тот
факт, что она не использует соотношений упругости и, следовательно,
применима к весьма широкому кругу упругих и неупругих оболочек.
Другой путь устранения неопределенности, присущей задаче опреде-
определения усилий и моментов, состоит в использовании соотношений, вытекаю-
вытекающих из линейного закона Гука. Однако при этом для получения коррект-
корректной математической задачи необходимо принять еще ряд добавочных
допущений.
Принятие за основу теории оболочек упомянутой выше физической
гипотезы тем самым накладывает некоторые ограничения на характер
деформации оболочки. Если оболочка подчиняется требованиям физиче-
физической гипотезы, то это, по существу, означает, что элементарные попереч-
поперечные площадки должны рассматриваться как абсолютно жесткие фигуры
(по крайней мере в первом приближении). В противном случае нельзя
было бы, строго говоря, заменять непрерывное распределение сил напря-
напряжений по площадке статически эквивалентной совокупностью силы и пары
(усилие и момент). Сложность вопроса состоит в трудности построения
такой кинематической модели, которая находится в полном согласии
«с принятой физической гипотезой. Имеющее здесь место несоответствие

270 и. н. векуа
порождает тот факт, что полученная система дифференциальных уравне-
уравнений не согласована с краевыми условиями, которые вытекают из исходных
гипотез. Именно такого рода ситуация возникает, например, при исполь-
использовании известной гипотезы Кирхгофа — Лява. Она налагает слишком
стеснительные ограничения на деформацию. В результате настолько сильно
суживается класс искомых функций, что невозможно обеспечить выполне-
выполнение пяти физических краевых условий классической моментной теории
оболочек; соответствующая система дифференциальных уравнений обеспе-
обеспечивает выполнение лишь четырех независимых краевых условий.
Таким образом, в моментной теории оболочек, так же как и в мембран-
мембранной теории, можно лишь частично обеспечить выполнение физических
краевых условий. Это противоречие составляет серьезный недостаток клас-
классических построений. Стремясь устранить этот дефект, многие исследо-
исследователи старались найти новые подходы к построению более совершенной
теории. В этом направлении учеными разных стран было выполнено много
важных исследований, среди которых укажем, например, работы Э. Рейсс-
нера *).
В дальнейшем разговор будет итти главным образом о тех резуль-
результатах, которые были получены в этом направлении за последние 15—20 лет
автором настоящего обзора. Разработан общий метод, позволяющий стро-
строить различные варианты теории оболочек, которые классифицируются
по степени порядка приближений. Следуя естественному и, по существу,
довольно простому пути, удалось построить общую теорию, которая обла-
обладает необходимой математической корректностью.
Сначала был исследован случай так называемой призматической
оболочки, срединной поверхностью которой является плоскость A955).
Такие оболочки могут иметь, вообще говоря, переменную толщину. Поз-
Позже эти исследования были обобщены на случай произвольной пологой
оболочки A964, 1965). Ниже вкратце охарактеризуем суть используемога
метода и в общих чертах изложим полученные результаты.
§ 2. Теория тонких пологих оболочек
2.1. С помощью обозначений и понятий векторного и тензорного-
анализа уравнения равновесий сплошной среды и соотношения теории
упругости можно записать в следующем виде:
1) уравнение равновесия:
2) сила напряжения, действующая на площадку с нормалью {:
3) обобщенный закон Гука:
Эти равенства записаны относительно произвольной системы коор-
координат. Поясним принятые здесь обозначения: g — дискриминант метри-
метрической квадратичной формы пространства,
ds* = gikdxidx\ gth = VttlRh, B.4).
*) Довольно полную библиографию по этому вопросу можно найти в книге
А. Э. Грина и В. Зерны «Theoretical elasticity» A954) и сборнике переводов «Упругие-
оболочки» (М., 1962).

ОБ ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 271
g — массовая сила, $рг — контравариантные составляющие силы напря-
напряжения (*рг = Ptkffik, где Ргк — контравариантные компоненты тензора
напряжения), 9f?fe и 9ftfe — базисные и сопряженные базисные векторы
избранной системы координат, U — вектор смещения, X и jli — упругие
постоянные Ламе.
Вопрос об интегрировании системы уравнений B.1) и B.3) с учетом
граничных условий является основным предметом изучения теории упру-
упругости. Основными краевыми задачами считаются задачи отыскания такого
решения этой системы, которое удовлетворяет краевому условию
SPd> = f на F B5)
или
U = f на F, B.6)
где F обозначает границу рассматриваемого упругого тела.
Кроме того, не менее важный практический интерес представляет
изучение разного рода смешанных краевых задач.
2.2. Как уже отмечалось выше, главной целью теории оболочек яв-
является разработка методов, позволяющих с учетом специфических свойств
оболочек строить приближенные решения упомянутых краевых задач.
Переходим к схематическому изложению предложенного для этой цели
метода.
Пусть S+ и S" — лицевые поверхности, S — срединная поверхность
оболочки, а 2 — боковая поверхность, ограничивающая оболочку. Если
умножить скалярно обе части уравнения B.1) на некоторый вектор 95
и затем проинтегрировать по области Z), занимаемой оболочкой, то, при-
применяя интегральную формулу Остроградского — Гаусса, получим
J j
s-
Ш^^й!) B.7)
дхг v
где $рGг+) и $р(п-) — силы напряжения, действующие на S+ и S~" соответ-
соответственно. Это равенство справедливо для любого- непрерывно дифферен-
дифференцируемого векторного поля 23, если *рг удовлетворяют уравнению B.1).
Легко можно доказать, что интегральное равенство B.7) эквивалентно
уравнению B.1).
В дальнейшем будем пользоваться специальной системой координат,
для которой координатными линиями о? является семейство нормалей
к срединной поверхности S. Тогда поверхность S будет координатной
поверхностью а? = О, а радиус-вектор ffi точки оболочки выразится фор-
формулой
Ш = х (я\ х2) + Xs п (я1, х2), B.8)
где п — единичная нормаль к S в точке (я1, #2), а г — радиус-вектор этой
точки.
Возьмем теперь в качестве 23 в равенстве B.7) векторы вида
*п(х\а*)Рп(^-) in =±0,1, ...), B.9)
где Рп — полиномы Лежандра степени п, а 93П (ж1, х2) — произвольная
непрерывно дифференцируемая вектор-функция на S, которая отлична
от нуля в некоторой подобласти S', лежащей строго внутри S. Тогда

272 и. н. векуа
из B.7) получим следующие равенства:
,_ (п)а (п-1) (п-3)
[ ду а $ Bлг + 1) [ % 3-{-h2 9? 3
B.10)
(тг = и, 1, ...; ць =0 при
где
-/г
(п)
Здесь а обозначает дискриминант первой основной квадратичной формы
срединной поверхности
do2 = aa$dxadx$, aa$ = таТ|з, B.13)
т. е.
а ~ апа22 — а\2 > 0- BЛ4)
Из равенств B.10) сразу следует, что
^ (п~3)
ф 3
(п-2) (п-4) (п)
$ а Д2 $J5 a+...]+g=0 B.15)
Надо заметить, что эта система уравнений в точности эквивалентна
исходному уравнению B.1). Она имеет то преимущество, что искомые
функции зависят лишь от двух независимых переменных х1 и х2. Ее недо-
недостатком является то, что они содержат бесконечное множество уравне-
уравнений. Ниже будет показано, каким способом можно избавиться от этого
неудобства.
2.3. Примем два допущения. Первое из них имеет чисто математи-
математическое содержание и опирается на известную теорему Вейерштрасса,
утверждающую, что любую непрерывную в замкнутом промежутке функ-
функцию можно приблизить равномерно полиномами. На основе этой теоремы
можно предположить, что приближенное решение задачи (компоненты
вектора смещения U и тензора напряжений) можно искать в виде поли-
полиномов некоторой степени iV по переменной х3 (—h ^ х3 ^ К).
Второе допущение накладывает ограничение на класс рассматривае-
рассматриваемых оболочек. Будем рассматривать так называемые тонкие пологие
оболочки, для которых можно принять
1 — kiX* « 1, 1 — к2х3 « 1 (—fe<x3<fe), B.16)
где ki жк2 — главные кривизны срединной поверхности S, Нужно сказать,

ОБ ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
273
что в том случае, когда срединная поверхность является плоскостью,
допущения B.16) выполняются в точности, ибо к± = к2 = 0. Следователь-
Следовательно, в случае призматических оболочек (в частности, для пластинки)
второе допущение отпадает и теория строится только лишь на основе
первого допущения.
Возьмем на срединной поверхности в качестве координатных линий
х1 и х2 линии кривизны. Тогда
sr1 = Xl (l _ k±a*), ЗЬ = х2 A - к2х*), Ж3 = п. B.17)
Следовательно, в силу допущений B.16) можно принять
ffii « хь $2 ^ х^, йз = п, B.18)
B.19)
B.20)
= ТаТр, gaB = 0, g33 = 1 (а, р = 1, 2),
= а И - 2Яа:3 + К (а:3J] « а,
где Нж К — средняя и главная кривизны срединной поверхности. Поэтому
формулы B.11) можно переписать в виде
%
B.22)
B.23)
B.24)
Используем теперь формулы, вытекающие из закона Гука;
где
В силу B.18) напишем
' dVL ди3
Используя формулы
(п) I 1\ п С
J
-ft
и представляя вектор смещения при помощи бесконечного ряда
(к)
U (х\ х\ а*) = 2 hhU(x\ а*) Pk (-f) ,
й=0
где
(к)
и
п
г) йШ J U № ^2- xS) рп (-f
B.25)
B.26)
B.27)
B.28)
18 Механика в СССР, т. 3

274
И. Н. ВЕКУА
после некоторых выкладок получим
(та) (те) (п) (та) (те).
где
(та) __ Д2та+1 г (п)
B.29)
(п)
2 б аз-
(та) (та) (те) дГп/г, (та) д In /П Л
p + VpMa —2Ьаэи8-- ^а~^--~ ^~^Г_|' !
(та) (те) (п) (те) л1л
B.30)
(та) 2П+1(П)-
^ 33 == *1 ^ 3'
Va — символ ковариантной производной относительно метрики срединной
>(п) (та)- (п) |(п)
поверхности -5, [м t, гг2? ^з — компоненты вектора U, т. е.
(п) (п) (п)
Ц(Ж1, х*)= иах*+ и3п. B.31)
Далее,
(та)
(n)
1
B.32)
h2k щ ,
Теперь, согласно первому допущению, представим компоненты векто-
вектора смещения в виде полиномов степени JV:
Следовательно,
(/г) (fe)
и г = 0, е ik — О при /c>iV, B.34)
а суммы B.32) будут содержать лишь конечное число слагаемых.
(та).
Представим теперь $рг по формулам
(те) (те). (п)
5Р*= Рга1а+Ргзп. B.35)
Тогда, используя известные деривационные формулы Гаусса и Вейнгар-
тена, равенства B.15) можно переписать в виде
(та)
аЗ
(п)
(та-2)
( Р
(те-2)
Р а
р ар
(та-1)
(п-3)
= 1,2; в = 0, 1, ...;ЛГ;
' = 0при ^<0).
B-36)

ОБ ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 275
Внося сюда выражения
Pik = XQgik + 2ii e ik (ga$ = aa$, g^ = 0, g33=l), B.37)
где
(П) Q (П) (П) (П) (П), ft (П)/о ^i
~" 7,2^+1 r\7a 7/ P _1_ V7^ 7/ a -,- ^Л^Э 7/ 7/ aV7p In /? 7/ V7 In /?1 !
^^ /6 у W/ —— у ti/ "' g' ^jC/ * Ы/ о "™"^ 66 у xll /6 — (^, y^ 111 [(/] • I
B.38)
(n) (n)
e 33 — ^ ^3)
получим
(n) (n) (n)
a 3) (^2n+13 a) lb (A2n+1 a
+ + (P,), B.39)
(n) (n) (n) I
) M3^3
(n.)
где MJ — однородные линейные дифференциальные выражения, содер-
(п)
жащие искомые функции w^ и их частные производные первого порядка
относительно переменных х1 и х2. Таким образом, получена система урав-
уравнений с частными производными второго порядка эллиптического типа.
Эта система содержит 3N + 3 уравнения и столь же искомых функций
(п)
ии зависящих от двух независимых переменных. Ее порядок равен 6N -)-6.
(п) (п)
Теперь в формулах B.32) щ и щ суть конечные суммы, так как
in)
ui = 0, если гг > N.
Нужно заметить, что из бесконечной системы уравнений B.15) здесь
удержаны только первые N + 1 уравнений, а остальными мы пренебрегли.
2.4. Если на боковой поверхности оболочки заданы силы напряже-
(
()
ния 5K@, то значения $|J(;) можно вычислить вдоль контура L оболочки
по формулам
+ у)л" J 5Р<г,Рп(х)^3 (» = 0, 1, ..-)• B-40)
— А
Следовательно, к системе уравнений B.36) и B.37) можно присоедить
краевые условия вида
($(Z) = ($«Za = f* (/г = 0, 1 iV). B.41)
Если на боковой поверхности задано поле смещений U, то совер-
(п)
шенно так же можно вычислить контурные значения U. Следовательно,
к системе уравнений B.39) можно присоединить краевые условия вида
(п) (п) (п)
И- иаха+ u3n = U (п = 0у 1, ...,N). B.42)
18*

276 . И. Н. ВЕКУА
Рассматривая проекции на координатные оси, легко убедиться, что крае-
краевые условия B.41) и B.42) содержат по 3N + 3 равенства.
Для доказательства теорем единственности решения этих краевых
задач важную роль играет следующее тождество (предполагается, что
in)
JFO)
При помощи этого равенства легко доказываются теоремы единствен-
единственности для основных краевых задач B.41) и B.42), а также для ряда дру-
других задач смешанного типа (И. Н. Векуа, 1965). Теоремы существования
можно доказать, используя методы интегральных уравнений (см. там же).
Теоремы единственности и существования обнаруживают внутреннюю
непротиворечивость построенной теории. Наличие этого свойства является
необходимым атрибутом всякой правильно построенной для физической
задачи математической теории. Нельзя, однако, недооценивать и приклад-
прикладное значение этих теорем. Опираясь на них, легче искать практические
приемы решения краевых задач. В ряде случаев метод интегральных
уравнений можно использовать также в качестве практического способа
построения приближенного решения задачи.
Практическое интегрирование системы уравнений B.36) и B.37)
является, конечно, трудновыполнимой задачей. Степень трудности, оче-
очевидно, значительно возрастает с увеличением числа N.
Однако для случая тонких оболочек можно ограничиться приближе-
приближениями порядка N = 0 и N = 1. Поэтому остановимся на них более детально.
При этом для пластинки и сферической оболочки постоянной толщины
полученные выше системы уравнений можно проинтегрировать в явной
форме. Приближения порядка N = О соответствуют тому случаю, когда
картины напряженного и деформированного состояния вовсе не зависят
от координаты я3, т. е. одинаковы вдоль поверхностей, параллельных
срединной поверхности. Этот случай напряженного равновесия оболочки,
по существу, является безмоментным. Но в приближении порядка N = О,
в отличие от классической безмоментной теории, мы получаем корректную
систему дифференциальных уравнений, которая совместима со всеми
(в данном случае с тремя) физическими краевыми условиями. Следует
подчеркнуть, что здесь имеем эллиптическую систему уравнений, кото-
которая равносильна одному эллиптическому уравнению шестого порядка,
а в классической безмоментной теории задача сводится к эллиптическому
уравнению второго порядка.
При N = О система уравнений B.39) принимает вид
s. „VP = 1'2)> B>44)
(ЛЛЭ) + ^ = О.
В случае пластинки постоянной толщины (h = const) система уравне-
щий B.44) значительно,упрощается и принимает вид (в декартовой системе

ОБ ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 277
координат)
B.45)
Общий интеграл этой системы уравнений выражается формулами
2\х (щ + ш2) = к ф (%) — z ф' (z) — ij) (z) +
+8?ГТ1^^ И C|E|- (^-^2)-2 C-4a) (^1+г,Р2)In 1 g-S
где ф, я|) и x — произвольные аналитические функции переменной z =
= х + iy,
*=-w=3-4*- {2-47)
Интегральные члены в формулах B.46) выражают частное решение неодно-
неоднородной системы B.45), а внеинтегральные члены представляют общее
решение соответствующей однородной системы уравнений. Присутствие
в формулах B.46) трех произвольных аналитических функций ср, г|) и %
означает, что при этом можно обеспечить выполнение трех краевых усло-
условий. Кроме того, формулы B.46) позволяют строить бесконечное множе-
множество полных систем частных решений системы B.45), при помощи которых
можно решать. различные краевые задачи для областей частного вида
(круг, круговое кольцо и т. п.). Эти частные системы решений можно
использовать также для аппроксимации решений для областей любого
вида.
Как видно из B.46), краевые задачи для пластинки сводятся к
решению плоской задачи и уравнения Пуассона. Для их решения можно
использовать широко известные методы и результаты Н. И. Мусхе-
лишвили.
Если рассматривать однородную систему уравнений (F\ = F2 == 0),
то усредненные компоненты тензора напряжений ра$ можно выразить
формулами
^ = #' Р* = Р*=-ьпЬ* ^22 = 1^' B'48)
где функция ф удовлетворяет уравнению (И. Н. Векуа, 1955, 1965)
дх дх ду ду 1 — a
При h = const (пластинка) получается бигармоническое уравнение
ААф = 0, B.50)

278 и. н. векуа'
общий интеграл которого, как известно, выражается в явной форме.
Интерес представляет также рассмотрение пластинки переменной
толщины (И. Н. Векуа, 1965) вида
h = hoeax+by (h0, a, b — const). B.51)
При этом уравнение B.49) принимает вид
B.52)
дхду)
Общий интеграл этого уравнения построил А. Р. Хволес.
Для сферической оболочки радиуса R система уравнений в компонен-
компонентах смещения принимает вид
а (AV Ua) + A,V (AVa^a) Ж"М^~Ь
О (Р=1, 2), | B.53)
JR.
Рассмотрим случай однородной системы уравнений (F1 = F2 = F = 0)
и постоянной толщины (h = const). Тогда общее решение системы имеет
вид
u = Wi-\-w2i Wi-j-ii/2= —=-» B.54)
dz
где
U = 2i? (м74 — ы>2 + гм?з). B-55)
Здесь u?i, i^2 и и;3 = произвольные решения уравнений
(V2 + Щ) w = 0 (i = 1, 2, 3), B.56)
где
¦/л__ ^ /с2= ^ ^.2___j_^ B.57)
а V2 — оператор Лапласа на сфере радиуса R. В изотермической системе
координат он имеет вид
V2 =
№ dzd~z> (^
Z = tg-|^. B.59)
Общее решение уравнения вида
(V2 + &2) и? = 6 (fe2 = const) B.60)
выражается формулой (И. Н. Векуа, 1948)
1
w = а0Рп (cos 9) + \ [Ф (zt) + Ф* (zt)] Pn[t + (l — t) cos 0] dt, B.61)

ОБ ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
279
где п (п + 1) — №, а0 — произвольная постоянная, а Ф и Ф^ — произ-
произвольные аналитические функции от z. Если w — вещественная функция,
то а0 — вещественная постоянная, а Ф* = Ф. В рассматриваемом слу-
случае wu w2 ж w3 — произвольные вещественные функции. Поэтому общее
решение системы уравнений B.53) при h = const выражается посредством
трех произвольных аналитических функций. Подходящим выбором этих
функций можно обеспечить выполнение трех граничных заданий.
В явной форме можно построить частное решение при h = const
и для неоднородной системы уравнений B.53) (И. Н. Векуа, 1965).
2.5. Переходим теперь к обзору результатов, относящихся к слу-
случаю приближения порядка N = 1 (И. Н. Векуа, 1965).
Компоненты тензора напряжений и вектора смещений в этом случае
можно представить в виде
2h
ра3 =
рзз = ;
2h
¦" 2 Д3
3 хЗ ,
1Ж1
где
B.62)
B.63)
B.64)
= -i (VayP + V V) - 6арг;,
е = 8„ + Зу = Vaua — 2Ни + Зу,
B.65)
Уравнения равновесия имеют» вид
= l, 2),
= l, 2),
B.66)

280 И. Н. ВЕКУА
где Х#, X, УР, У — компоненты векторов
h
Ж = j % dx* + $p(n+) + 5J5(n_) = Z3rp + Zn,
} B.67)
-Л
Остановимся здесь на случае однородной системы уравнений
= X — Ур = У = 0). Тогда система уравнений B.66) интегрируется
в явной форме для пластинки и сферической оболочки постоянной тол-
толщины (И. Н. Векуа, 1965). В обоих случаях вектор смещения можно выра-
выразить по формуле
U = grad Р + п X grad P + wn, B.68)
где grad берется относительно срединной поверхности, а Р, Р и w—скаляр-
w—скалярные функции, которые выражаются по нижеприведенным формулам.
1. В случае пластинки постоянной толщины
z&2 + Ф3 + Ф3)
B.69)
B.70)
B.71)
где
|^ B.72)
{2-73)
/i» /2» Ф1 и Ф2 — произвольные аналитические функции от z, a % и со —
произвольные решения уравнений
Наконец,
Ф3=_|ф1 + АA1^)^ф;. B.75)
Общее решение уравнения вида
Ди _ Х2и = 0, B.76)
где Я,2 — вещественная постоянная, выражается формулой (И. Н. Векуа,
1948)
B.77)
где / — произвольная аналитическая функция от z = х + iy.

ОБ ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 281
Таким образом, общий интеграл системы уравнений равновесия пла-
пластинки в случае приближения порядка N = 1 содержит шесть произволь-
произвольных аналитических функций. Подходящим выбором этих функций можно
обеспечить выполнение шести граничных условий.
2. В случае сферической оболочки постоянной толщины функции
Р, Р и w имеют вид
Р =4 i?2 (dwi + C2w2 + C3w3 + C3w3) +1 x*R (B2w2 +rB3w3 + B3w3), B.78)
P = 1 i?2 (w, + w&) + I a*R (B,w, + B5w5), B.79)
I 3
A 3w3 + Л3^з) + -j х* (w2 +wd + w3), B.80)
где At, Bu Ct — вполне определенные постоянные, которые зависят
от упругой постоянной Пуассона сги от отношения hIR. Что же касается wb
то это произвольные решения уравнений вида
(V2 + &f)^ =0 (* = 1, . . ., 5), B.81)
где V2 — оператор Лапласа на единичной сфере, а Щ — вполне определен-
ные постоянные. Кроме к\, все остальные Щ — вещественные постоянные.
Поэтому wt (i Ф 3) — вещественные функции, a. w3 — функция комплекс-
нозначная. Итак, формула B.68) содержит в конечном итоге шесть про-
произвольных аналитических функций. Следовательно, она позволяет обе-
обеспечить шесть независимых граничных заданий. Например, в случае
краевой задачи B.41) имеют место пять краевых условий классической
моментной теории (задаются вдоль границы нормальное и касательное
усилия, перерезывающая сила, крутящий и изгибающий моменты) и еще
одно новое краевое условие, которое в классической теории не рассматри-
рассматривается, а именно условие вида
S(D = S4a = U B.82)
Выясним физический смысл последнего условия. Согласно формулам
B.62) на поперечную площадку 2г с нормалью I действуют силы напряже-
напряжения
4%i dii)B-83>
Отсюда легко видеть, что на каждую половинку площадки 2Ь симметрично
расположенную относительно срединной поверхности, действуют усилия
п, |
Таким образом, на площадку 2г действует суммарное усилие
T*hah + Tal** B.85)
и пара сил
(^a* f±S*lan, -JLs^h—Ls^n). B.86)

282 и. н. векуа
Последняя пара представляет собой сумму трех пар:
B.87)
Первые две пары (с точностью до постоянного множителя) совпадают
с изгибающей и крутящей парами классической моментной теории,
а последняя представляет собой пару противоположно направленных
параллельных нормали срединной поверхности сил, которую условно
назовем поперечной парой. Ее момент равен нулю. Если принять гипо-
гипотезу о жесткости поперечных площадок, то, очевидно, механический
эффект действия такой пары сводится к нулю. Но на самом деле:поперечные
площадки испытывают деформации. Поэтому пренебрегать поперечной
парой априори нет оснований.
Приближение порядка N = 1 отличается от классической моментной
теории лишь тем, что в рассмотрение вводится дополнительно поперечная
пара сил, которой в классических построениях обычно пренебрегают,
как величиной бесконечно малой высшего порядка. Действительно,
по величине сила Sala может оказаться незначительной. Однако рассмот-
рассмотрение поперечной пары сил имеет важное принципиальное значение. При
*ее помощи удается построить непротиворечивый вариант теории оболочек,
согласованный с соответствующими краевыми условиями. Эта теория пред-
представляет собой видоизменение классической моментной теории, но ее преи-
преимуществом является то, что она свободна.от внутренних противоречий,
присущих классическим построениям. Следует также заметить, что услож-
усложнение математического аппарата не создает при этом новых существенных
трудностей. Это видно на примерах пластинки и сферической оболочки.
§ 3. Безмоментная теория оболочек
^Характерной чертой безмоментной (или мембранной) теории оболочек
является то, что она приводит к статически определимой задаче. Эта
задача в конечном итоге сводится к системе уравнений с частными про-
производными первого порядка с двумя независимыми переменными. Тип
этой системы уравнений определяется знаком гауссовой кривизны К сре-
срединной поверхности оболочки. Если К > О, то имеем систему урав-
уравнений эллиптического типа, а если К < О или К = 0, то соответственно
систему гиперболического или параболического типа.
3.1. Мембранное состояние равновесия является частным случаем
общего напряженного состояния равновесия. Условие его реализации
выражается равенством
jjjttdS = O, C.1)
где Э? — приведенная поверхностная нагрузка оболочки,
h
Зе- [$da;3+^(n+) + $(n~). C.2)
Л

ОБ ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 283
? — контурная нагрузка, a U — вектор смещения при бесконечно малом
изгибании срединной поверхности, т. е. U удовлетворяет равенству
dUdx = 0. / C.3)
Равенство C.1) должно удовлетворяться для любого непрерывно диффе-
дифференцируемого векторного поля U, удовлетворяющего равенству C.3).
Соотношение C.1) органически связывает безмоментную теорию оболочек
с теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей. Эта связь весьма
плодотворна. Совместное рассмотрение задач дает возможность глубже
и полнее изучить их. Нетрудно понять механический смысл равенства
C.1). Оно означает, что для реализации мембранного состояния напряжен-
напряженного равновесия необходимо и достаточно, чтобы работа внешней нагрузки
на перемещениях, соответствующих бесконечно малым изгибаниям сре-
срединной поверхности оболочки, равнялась нулю.
Очевидно, чем шире класс векторных полей U, удовлетворяющих
уравнению C.3), тем более стеснительным является условие C.1).
Это равенство превращается в известное условие статического равно-
равновесия абсолютно жесткого тела в случае замкнутой выпуклой оболочки.
Как известно (И. Н. Векуа, 1965), такая оболочка является жесткой,
т. е. поле смещений имеет вид
U = т X Q + © (Q, © — const). C.4)
В других случаях уравнение C.3) имеет бесконечное множество линей-
линейно независимых решений. Поэтому условие C.1) будет выполняться лишь
для некоторого частного класса нагрузок (Ж, ?) оболочки. Несмотря
на это, мембранная теория оболочек находит широкое применение в инже-
инженерных расчетах. Дело в том, что применяемые винженерных сооружениях
оболочки в большинстве случаев обладают довольно высокой жесткостью.
Поэтому, если две внешние нагрузки ($, ?) и ($, ?) близки, то можно
утверждать, что соответствующие поля напряжений также будут близки,
(Ниже будет точно определено понятие близости двух нагрузок.) Если
одна нагрузка (X, ?) удовлетворяет условию безмоментности C.1),
то можно считать, что оболочка является практически безмоментной и при
близкой нагрузке (9?, ?). Это обстоятельство позволяет применять без-
безмоментную теорию к весьма широкому кругу инженерных задач.
Если за счет практически незначительных вариаций внешней нагрузки
удается получить другую нагрузку, которая удовлетворяет условию без-
безмоментности, то будем говорить, что данная нагрузка допускает мембран-
мембранное регулирование. На первый взгляд общая задача мембранного регули-
регулирования имеет довольно неопределенный характер. Однако, как мы увидим
ниже, она допускает вполне определенную математическую формулировку.
В последующем сосредоточим внимание исключительно на выпуклых
оболочках (К > 0). Тогда задача приводится, как уже отмечалось выше,
к интегрированию системы уравнений с частными производными первого
порядка эллиптического типа.
Излагаемые ниже результаты были получены автором, в связи с раз-
разработкой общей теории комплекснозначных функций, удовлетворяющих
так называемой обобщенной системе уравнений Коши — Римана
(И. Н. Векуа, 1952, 1959)
ди ди . , 7 л \
у К C.5)
ди . ди , t ( j ^ \ х 7
ду ' дх

284 и. н. векуа
Теория функций вида w = и + iv имеет много общего с классической
теорией аналитических функций комплексного аргумента z = х + iy,.
Поэтому она названа теорией обобщенных аналитических функций.
Уравнения мембранного равновесия имеют вид
= 1,- 2), }
6
Известно, что на поверхности положительной гауссовой кривизны
можно ввести в рассмотрение сопряженно-изометрическую сеть координат-
координатных линий, относительно которой коэффициенты второй основной квадра-
квадратичной формы имеют вид
Ьн = Ь22, Ь,2 - 0. C.7)
Тогда можно выбрать ориентацию нормали п к срединной поверхности
так, чтобы имели место равенства Ъц = 622 = У а,К, где а — дискрими-
дискриминант соответствующей метрической формы срединной поверхности. При
этом третье из уравнений C.6) дает
Т^Т11C.8)
Вводя теперь в рассмотрение комплексную функцию напряжения
w' = aKlu (T11 - iT1*) + i- л/~j~ X, C.9)
первые два из уравнений C.6) можно записать в виде одного комплексного
уравнения
J*C = F', C.10)
dz
где
В^{(Т\ш^Г\1 + 2Г1) + ^(Ги-Т1^2Т\ъ), C.11)
Г = у УаК*'*-^^) -\аК1и (X1- iZ2), C.12)
Г^з — символы Кристоффеля второго рода,
д 1 / д .а\ д 1
Итак, найдя решение уравнения C.10), можно по формулам C.9)
и C.8) определить соответствующее поле напряжений.
Таким образом, задача определения поля напряженного состояния
безмоментного равновесия выпуклой оболочки сводится к интегрированию
неоднородного обобщенного уравнения Коши — Римана C.10). Следова-
Следовательно, эта задача составляет предмет теории обобщенных аналитических
функций, которой в настоящее время посвящена обширная литература.
Следует указать на то, что уравнение C.3) также допускает комплекс-
комплексную запись. Оно эквивалентно однородному комплексному уравнению
^ = 0, C.14)

ОБ ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 285
-сопряженному с (ЗЛО). Здесь w — комплексыозначная функция, задавае-
задаваемая формулой
щ + ua = Uxa). C.15)
V а~\/К
Векторное поле U, удовлетворяющее уравнению C.3), выражается
формулой
{^ ^^} C.16)
где п — единичная нормаль к срединной поверхности оболочки.
Для двух произвольно взятых решений уравнений C.10) и C.14)
выполняется тождество
^ r^) =0, C.17)
D
где D — область на плоскости z, на которую отображается срединная
поверхность S, а Г — граница области D. Можно доказать, что равенства
C.1) и C.17) эквивалентны.
Из C.17) следует, что если w и wr удовлетворяют однородным урав-
уравнениям
^ ^C C.18)
dz dz
то выполняется тождество
Re (jr- \ ww' dz} =0. C.19)
г
Усилие, действующее на элементарную площадку 2г шириной ds с нор-
нормалью I, выражается формулой
где
Здесь ks и ts — нормальная кривизна и геодезическое кручение срединной
поверхности в направлении j, перпендикулярном I, причем нормаль п
направлена в сторону вогнутости поверхности и п = I X [.
Из C.20) легко следует, что
w' (^Y=-K1/i[(VK + ixs)Tai)-iksT(lS) + ^xli, C.22)
где Т(ц) и Т(щ — нормальное и касательное усилия, действующие на 2/.
Из этого равенства можно получить ряд важных следствий.
Из равенства C.22)' сразу видно, что w'dz2 является инвариантом,
т. е. величиной, которая не зависит от выбора системы координат на сре-
срединной поверхности.
Равенство C.22) показывает также, что правая его часть не может
принимать любые заданные (комплексные) значения вдоль границы обо-
оболочки. Дело в том, что функция w', удовлетворяющая обобщенному неодно-

286 И. Н. ВЕКУА
родному уравнению Коши — Римана C.10), обладает тем свойством, что
она определяется, вообще говоря, заданием на контуре области либо
вещественной, либо мнимой ее части. Поэтому значения w нельзя зада-
задавать произвольно на контуре области (точнее говоря, ее нельзя задавать
произвольно даже на любой сколь угодно малой дуге границы). Отсюда
следует, что для реализации безмоментного напряженного равновесия
оболочки при заданной нагрузке (Ж, ?) необходимо и достаточно, чтобы
нормальное и касательное усилия Тщ) и Тц8), а также приведенная нор-
нормальная поверхностная нагрузка X удовлетворяли равенству C.22), т. е.
выражение
)-гк3Тае) + ^х] (-g-J C.23)
должно принимать граничные значения некоторого решения уравнения
C.10). •
Это требование всегда можно обеспечить при помощи подходящего
выбора граничных значений величин Тщ), T^sy и X. Если при этом
получится нагрузка (X, ?), которая близка к заданной внешней нагрузке
(Ж, ?), это будет означать, что данная нагрузка допускает краевое мембран-
мембранное регулирование. Особенно важным является случай, когда мембранное
регулирование достигается за счет подходящего выбора приведенной нор-
нормальной нагрузки X вдоль края оболочки. Этот вопрос хорошо изучен
в случае, когда приведенная поверхностная нагрузка допускает потен-
потенциал, т. е.
Зе0 = К grad* V + KV, C.24)
где V — скаляр, a grad* V означает градиент скаляра V на сферическом
изображении срединной поверхности. Для этой нагрузки характерно тог
что правая часть уравнения C.10) обращается в нуль (F' = 0), т. е.
к д Iх \ V2- к д (х
Задача сводится, таким образом, к следующей обобщенной задаче Рима-
Римана— Гильберта: отыскать решение м/ уравнения C.10), удовлетворяю-
удовлетворяющее на L краевому условию
Im [u/ (-J-J] - -K-^lXsTilh-ktTaa)]. C.26)
Если эта задача допускает решение, то граничные значения искомого
потенциала V определяются по формуле
Если краевая задача C.26) имеет решение, то задача мембранного
регулирования нагрузки (96, ?) указанным способом допускает бесконеч-
бесконечное множество решений. Формулой C.27) значения искомого потенциала
определяются только на границе оболочки. Внутрь области потенциал V
можно продолжить произвольно, при этом достаточно обеспечить, чтобы
продолженная функция имела кусочно-непрерывные производные первого
порядка. Кроме того, очевидно, важным является, чтобы видоизмененная
нагрузка сравнительно мало отличалась от первоначальной. Этого можно
добитья, если учесть, что функцию V можно продолжить так, чтобы
вне некоторой сколь угодно узкой граничной полосы она тождественно

ОБ ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 287
равнялась нулю, причем это можно реализовать таким образом, чтобы вели-
величина max | V | в области была меньше или равна max | V | на границе.
Как видно из формулы C.20), добавочное поле напряжений, соответствую-
соответствующее добавочной потенциальной нагрузке $<ь будет выражаться формулой
C.28)
Следовательно, вне узкой граничной полосы это поле тождественна
обращается в нуль.
Таким образом, если мембранное регулирование возможно посред-
посредством нагружения оболочки силами вида C.24), то его можно осуществить
так, чтобы действительная картина напряженного состояния подвергалась
искажению лишь внутри некоторой узкой граничной полосы. (Разумеется,
мы предполагаем, что оболочка обладает достаточно высокой жесткостью.)
Это явление обычно называется краевым эффектом.
Теперь остается выяснить вопрос, всегда ли возможно мембранное
регулирование при помощи добавления потенциальной нагрузки. Это
зависит от того, допускает ли решение задача Римана — Гильберта C.26).
Последний вопрос в настоящее время хорошо изучен. Приведены некото-
некоторые относящиеся сюда результаты (И. Н. Векуа, 1959).
Исследование задачи C.26) показывает, что выпуклая оболочка с дву-
двумя и большим числом отверстий (т ^ 2) всегда допускает мембранное
регулирование за счет добавочного нагружения силами вида C.24).
Если же оболочка ограничена одним (т = 0) или двумя (т = 1) замкну-
замкнутыми простыми гладкими контурами, то она, вообще говоря, не допускает
такого рода мембранного регулирования. Это возможно только в исключи-
исключительных случаях.
Для односвязной и двухсвязной оболочек необходимо варьировать
не только нормальную поверхностную нагрузку X, но также нормальное
и касательное усилия на границе.
Как видно из C.2), нормальная поверхностная нагрузка X зависит
от толщины h. Поэтому обеспечение выполнения условия C.27) можно
добиться в ряде случаев посредством подходящего выбора толщины h (x, у)
оболочки вдоль ее края. Иными словами, в таких случаях мембранное
регулирование оболочки можно осуществить посредством утолщения
и утончения оболочки вдоль ее границы. Этим способом, как известно,
часто пользуются на практике.
Если массовая сила g сводится к силе тяжести, то будем иметь
X = Qv + Х+ + Х_, C.29)
где Q = 2pyh, v — проекция единичной нормали п на вертикальное
направление в соответствующей граничной точке, Q — вес объемного
элемента оболочки, рассчитанный на единицу площади. При этом в ряде
случаев мембранное регулирование можно обеспечить посредством под-
подходящего выбора веса Q оболочки. Вес можно варьировать как посредством
подходящего выбора толщины h, так и за счет изменения плотности р мате-
материала оболочки вдоль края.
3.2. При изучении проблемы мембранного регулирования полезно
рассмотреть пространство Гильберта Н, элементами которого являются
нагрузки е = (Э?, ?). Определяя скалярное произведение формулой
= \ \
dS+ j X&ds, C.30>

288 и. н. векуа
введем следующие норму и расстояние:
\\е\\ = [ (е, е) ]V2, d (ei9 e2) = || е,- е2 ||. C.31)
Пусть Н&— подпространство элементов (Ж, ?), удовлетворяющих усло-
условию C.1). Тогда сопоставим каждой нагрузке е — (Ж, X) неотрицатель-
неотрицательное число
d(e) = mm \\e — ео\\. C.32)
Так как Но — замкнутое подпространство пространства Н, то в Но суще-
существует такой элемент е#, что
d (е) = || е - еф\\. C.33)
Очевидно, условием регулярного мембранного состояния является равен-
равенство d (е) = 0.
Число d (e) можно рассматривать как меру степени отклонения
нагрузки е = (Ж, ?) от множества мембранных нагрузок. Если число
d (e) достаточно мало, то нагрузку (Э?, %) можно считать практически
мембранной.
Пусть Н+ — подпространство, элементами которого являются пары
g = (U, U^s)), где U — вектор смещения при бесконечно малых изги-
изгибаниях срединной поверхности, a tt(S) — касательная компонента U
вдоль границы. Пусть U/ — полная система частных решений уравнения
C.3), удовлетворяющих условиям
(gu gj) = в», gj = (Щ, ПУ) C.34)
(полные системы частных решений U/ уравнения C.3) можно строить
по формуле C.16), беря полную систему частных решений уравнения
C.14) в качестве Wj). Тогда нетрудно доказать, что
оо
d(e)= S cl C.35)
i=o
где cj — коэффициенты Фурье нагрузки (Ж, ?), т. е.
cj = j j ЖИ,- dS + j ?U(/} Л. C.36)
S L
Из C.35) следует, что сп -> 0, если п —>¦ оо.
Таким образом, условие безмоментности (d =' 0) равносильно требо-
требованию
с,- = 0 (/ = 1,2,.. .)• C-37)
Однако практически трудно проверить выполнение бесконечного числа
равенств C.37), особенно в тех случаях, когда нагрузки задаются не ана-
аналитическими выражениями, а в табличной или графической форме. Но
в практических задачах нет необходимости требовать точного выполнения
всех равенств C.37), а достаточно лишь обеспечить малость числа d (e),
т. е. выполнение некоторого конечного числа первых равенств
cj = O (/ = 1, 2, . . ., п). C.38)
Так как сп —>¦ 0, если п -> оо, то для заданного s>0 всегда можно выбрать
такое п = п (б), что
d(e)= Sc?<e. (З-39)

ОБ ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 289
Итак, для практического обеспечения мембранного состояния равно-
равновесия оболочки достаточно лишь выполнения конечного числа п равенств
вида C.38). Очевидно, что всегда п ^-6, ибо равенства C.38) должны содер-
содержать обязательно шесть условий статического равновесия оболочки как
абсолютно твердого тела.
Важно заметить, что в равенствах C.38) нет необходимости требовать
от векторов Uj взаимной ортогональности. Если условия C.38) выполне-
выполнены для ортогональной системы векторов Uj, то они будут выполняться
и для любой их линейной комбинации. Поэтому нет необходимости при-
прибегать к практически сложному и трудоемкому процессу ортогонализации.
Укажем еще один практический способ обеспечения мембранного регу-
регулирования. Это нагружение оболочки точечными поверхностными сосре-
сосредоточенными силами (И. Н. Веку а, 1960).
3.3. Практическое построение безмоментного поля напряжений связа-
связано с решением обобщенного уравнения Коши — Римана C.10). Эта задача
просто решается в том случае, когда В = 0. При этом имеет место неодно-
неоднородное уравнение Коши — Римана
^C ' C.40)
и его общее решение выражается формулой
П
D
где / — произвольная аналитическая функция от z = х + iy. Случай
В = 0 реализуется для алгебраических поверхностей второго порядка.
Поэтому он охватывает весьма широкий круг задач, важных для техниче-
технических приложений. Используя хорошо известные методы решения краевых
задач для аналитических функций одного комплексного переменного,
можно изучить ряд прикладных задач. В отдельных случаях (например,
для круговых областей) можно написать их решения в явной форме.
Особо следует рассмотреть случай замкнутой выпуклой оболочки,
нагруженной силами вида C.24). Такая нагрузка всегда является мембран-
мембранной, и соответствующее поле напряжений определяется в явной форме:
Z{h = X%l)=~\^{ksl + ^), ' C.42)
Последний случай реализуется, например, если приведенная нормальная
поверхностная нагрузка пропорциональна главной кривизне в соответ-
соответствующей точке срединной поверхности:
X = сК (с. — const). C.43)
Тогда потенциал V = const и поверхностная нагрузка $о имеет вид
Зе0 = сКп, C.44)
а соответствующее поле напряжений выражается формулой
= -\c{ksl + xs$). C.45)
Предположим, что усилие ?(г>, заданное формулой C.42), имеет
направление I. Тогда xs = 0, т. е. срединная поверхность является сфе-
сферой. Таким образом, если замкнутая выпуклая оболочка нагружена
19 Механика в СССР, т. 3

290 И. Н. ВЕКУА
силами вида C.24), то соответствующее усилие Хщ в каждой точке средин-
срединной поверхности имеет направление i тогда и только тогда, когда сре-
срединная поверхность является сферой. В этом случае формула C.42) при-
принимает вид
Z<b=-±RXU -C.46).
где R — радиус сферы.
3.4. Закончим обзор следующим замечанием, которое в ряде случаев
может сильно облегчить практическое решение конкретных задач. Урав-
Уравнения C.10) и C.14) инвариантны относительно проективного преобразо-
преобразования пространства (И. Н. Векуа, 1959). Поэтому легко можно получить
формулы преобразования полей смещений и усилий при переходе от дан-
данной оболочки к другой, срединные поверхности которых проективно экви-
эквивалентны. Используя эти проективные свойства, можно, решив задачу
для данной оболочки, построить решения соответствующих задач для
проективно эквивалентных оболочек. В силу этого, например, многие
задачи для оболочек эллипсоидальной формы можно свести к задачам,
для сферической оболочки.

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Н. В. ЗВОЛИНСКИЙ, М. И. РЕЙТМАН, Г. С. ШАПИРО
§ 1. Динамика упругих тел 292
§ 2. Общие вопросы динамики неупругих тел 301
2.1. Вводный исторический очерк 301
2.2. Распространение волн сильного и слабого разрыва 304
2.3. Экстремальные принципы 307
§ 3. Распространение волн в неупругих средах 308
3.1. Упруго-пластические тела 308
3.2. Упруго-вязко-пластические тела 311
3.3. Сферические, цилиндрические и неодномерные волны 313
§ 4. Динамика неупругих конструкций 315
4.1. Гибкие нити и мембраны 315
4.2. Балки 317
4.3. Арки и рамы 318
4.4. Пластинки и оболочки 320
На первой стадии своего развития динамика деформируемых твердых
тел занималась упругими телами.
Уравнения движения упругих тел были выведены еще в начале про-
прошлого столетия. Первоначально они использовались для решения одно-
одномерных задач о динамическом растяжении —сжатии и кручении стержней,
изгибе балок и колебаниях круговых цилиндров и сфер. Лишь в начале
нашего века эти уравнения были применены для решения сейсмических
проблем.
Сейсмология нуждается в изучении законов распространения волн
от очага землетрясения до земной поверхности и тех изменений, которые
претерпевают эти волны при отражении и преломлении на границах
раздела. По наблюдениям движений земной поверхности надо получить
наибольшую информацию о механизме очага и, в частности, оценить энер-
энергию, освобождающуюся при землетрясении. Большое значение имеет
изучение структуры земной коры (или ее верхнего слоя) на основании
наблюдений за распространением волновых возмущений. Эти задачи чаще
всего решаются на основе представления о грунте как упругом теле.
После второй мировой войны под влиянием научно-технической рево-
революции лицо динамики деформируемых твердых тел коренным образом
изменилось. Прежде всего это относится к теории воздействия на тела
кратковременных нагрузок. Эффективное использование импульсивного
нагружения (посредством взрывчатого материала, электромагнитного или
электрогидравлического эффекта и т. д.) произвело подлинный переворот
19*

292 н. в. зволинский, м. и. рейтман, г. с. шапиро
в таких технологических процессах, как клепка, формовка, сварка, упроч-
упрочнение и резание металлических заготовок. Не меньшее значение имело
применение взрывной техники при добыче полезных ископаемых и нефти,
создании котлованов и полостей в грунтах, при сейсморазведке, возведе-
возведении земляных плотин, уплотнении грунтов, бурении скважин *). Важную
роль приобрела оценка разрушений при импульсивном нагружении
(откол, действие землетрясений и в.зрывов на конструкции и т. д.).
В названных выше технических приложениях основное значение
обычно имеют пластические или вязкие свойства материалов. Эти свойства
оказались существенными и для описания поведения ряда новых материа-
материалов (в частности, полимеров), характеристики которых резко чувствитель-
чувствительны к изменениям температуры и скоростей деформаций. Еще более слож-
сложные свойства обнаружили гетерогенные и армированные среды — такие,
как грунты, стеклопластики, железобетон и т. д. Естественно, что за послед-
последнее время центр тяжести исследований рассматриваемого раздела механи-
механики переместился в область динамики неупругих сред.
Предлагаемый обзор не претендует на полноту. В нем освещены пре-
преимущественно те разделы динамики деформируемых твердых тел, которые
наиболее близки к научным интересам авторов. При этом авторами исполь-
использованы опубликованные ими ранее или при их участии обзоры (X. А. Рах-
матулин и Г. С. Шапиро, 1955; Н. В. Зволинский, 1965; Н. В. Зволинский,
Б. М. Малышев и Г. С. Шапиро, 1966; М. И. Рейтман и Г. С. Шапиро,
1968).
§ 1. Динамика упругих тел
Успехи динамики упругих тел в Советском Союзе были в известной
мере подготовлены достижениями ученых дореволюционной России.
Первые работы по общим методам интегрирования уравнений динамиче-
динамической теории упругости были выполнены еще в 1831 г. М. В. Остроград-
Остроградским, построившим (одновременно с С. Пуассоном) решения уравнений
движения при произвольных начальных данных. Суммируя решения про-
простого гармонического типа, М. В. Остроградский получил решение, соот-
соответствующее распространению в неограниченной упругой среде волн двух
типов: волн расширения и волн искажения. При распространении волн
первого типа в среде возникают сжатия, растяжения и сдвиги, но отсут-
отсутствуют вращения; волны второго типа вызывают сдвиги и вращения, не со-
создавая объемного расширения.
В предреволюционной России динамике упругого тела уделялось
относительно мало внимания. В начале века А. Н. Крылов изучал распро-
распространение упругих волн в цилиндрах и стержнях в связи с задачами о на-
напряженном состоянии стволов артиллерийских орудий и снарядов при
выстрелах. С. П. Тимошенко развил теорию, учитывающую как местные,
так и общие деформации при ударе шарика о балку. А. Н. Динник исследо-
исследовал динамические напряжения в подъемных канатах.
В первые послереволюционные годы исследования советских ученых
были посвящены решению отдельных важных, преимущественно одно-
одномерных задач. Е. Л. Николаи A919) исследовал движение струны пере-
переменной длины. Его работа послужила отправным пунктом для многочислен-
многочисленных дальнейших исследований в этой области, имеющих приложения
*) Сведения о литературе по техническим приложениям импульсивного нагру-
жения можно найти, например, в библиографии к обзору Н. В. Зволинского, Б. М. Ма-
Малышева и Г. С. Шапиро A966).

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 293
к расчету подъемных шахтных канатов. Их подробный обзор содержится
в книге Г. Н. Савина и О. А. Горошко A962). Н. М. Беляев A925) положил
начало развитию теории динамической устойчивости движений упругих
систем, решив задачу об устойчивости прямолинейного призматического
стержня с шарнирными опорами, сжатого продольной гармонически меня-
меняющейся со временем силой. Результаты последующих работ в этой области
суммированы в монографии В. В. Болотина A956).
Новый этап развития плоской и трехмерной теории распространения
упругих волн начался в тридцатых годах и был связан с достижениями
математиков Ленинградского университета, сотрудничавших в Сейсмо-
Сейсмологическом институте (ныне Институт физики Земли) Академии наук
СССР. Математическая школа этого университета, блестящими предста-
представителями которой в прошлом были П. Л. Чебышев, А. М. Ляпунов,
А. Н. Коркин и В. А. Стеклов, имела замечательные достижения в области
решения математических проблем, связанных с принципиальными вопро-
вопросами естествознания и техники. Видные представители математической
школы ЛГУ и их последователи В. И. Смирнов, С. Л. Соболев, В. Г. Го-
голадзе, С. Г. Михлин, Е. А. Нарышкина, Д. И. Шерман и другие были
привлечены к работе в Сейсмологическом институте и публиковали свои
работы в «Трудах» этого института. После Отечественной войны исследо-
исследования в области распространения упругих волн продолжались в ЛГУ под
руководством Г. И. Петрашеня, а в Институте физики Земли — под руко-
руководством Н. В. Зволинского и В. И. Кейлис-Борока. Следует заметить,
что в послевоенные годы развитие работ по динамическим задачам для
упругих сред стало очень широким. Это связано с интенсивным развитием
ряда отраслей техники и народного хозяйства (сейсморазведка, промышлен-
промышленное применение взрывов, антисейсмическое строительство и т. п.). По-
Последние два десятилетия характеризуются не только большим количеством
публикаций, но и разнообразием отдельных направлений в исследовании
упругих волн.
Ниже мы перечисляем отдельные направления, сопровождая их
краткой характеристикой и ссылками на основные опубликованные работы.
Перечень охватывает весь пятидесятилетний период. В то же время ссылки
не исчерпывают всей литературы по каждому направлению. Этот недо-
недостаток возмещается полным списком работ советских авторов, составляю-
составляющим заключительный (четвертый) том настоящего издания.
1. Результаты общего характера, методы
решения уравнений теории упругости*). Колебания
линейно упругой однородной среды описываются векторным уравнением
(X + 2fx) grad div и — fx rot rot u = p -^§- (!•!)
или, соответственно, системой скалярных уравнений. Здесь и — вектор
смещения, t — время, X и [х — константы Ламе. Эта система уравнений
имеет вещественные характеристики и потому может быть отнесена к ги-
гиперболическому типу. Краевые задачи включают еще начальные и, вообще
*) Основные результаты в этой области получены В. И. "Смирновым и С. Л. Со-
Соболевым A932), С. Л. Соболевым A934, 1937), В. И. Смирновым A936), Н. П. Еруги-
ным A944), Д. И. Шерманом A946, 1949), С. Г. Михлиным A947), В. Д. Куп-
радзе A950,1953), А. Г.Свешниковым A953), Г. И. Петрашенем, А.С.Алексеевыми
Б. Я. Гельчинским A959), Г. А. Скуридиным A959), Б. А. Бондаренко A960), Б. М. Най~
марком A960), А. С. Алексеевым A962), В. М. Бабичем A962, 1967), К. И. Огурцрвым,
Л. С. Пахоменко и А. И. Сутягиной A962), И. П. Цаем A962), Г. И. Петрашенем
A964, 1966), А. С. Благовещенским A966), Л. Я. Айнолой A967).

294 н. в. зволинский, м. и. рейтман, г. с. шапиро
говоря, граничные условия. Таким образом, задачи динамической теории
упругости суть либо задачи Коши, либо смешанные краевые задачи.
Одно векторное дифференциальное уравнение второго порядка может
быть заменено системой двух волновых уравнений для скалярного и век-
векторного потенциалов.
Важный класс частных решений представляют функционально-инва-
функционально-инвариантные решения, т.е. такие решения / (х, у, z, t) волнового уравнения,
которые порождают решения F (/ (х, у, z, t)) для любой (дважды диффе-
дифференцируемой) функции F. Эти решения были найдены и изучены первона-
первоначально для двумерной задачи (С. Л. Соболев, 1934), а затем обобщены
на пространственный случай (Н. П. Еругин, 1944). Приложения к конкрет-
конкретным задачам получены для двумерных задач. При этом существенно то, что
важные сингулярные решения типа сосредоточенных воздействий описы-
описываются функционально-инвариантными решениями. Особенно удобны
функционально-инвариантные решения для описания автомодельных дву-
двумерных задач.
Другой цикл плоских и осесимметричных задач динамической упру-
упругости доведен до аналитического решения и анализа методом интегральных
преобразований (методом неполного разделения переменных). Эти работы
выполнены Г. И. Петрашенем и его учениками. Представляя определен-
определенные удобства для анализа решения и изучения физических следствий,
метод интегральных преобразований более сложен для строго математиче-
математического обоснования. В прикладных задачах такое обоснование, впрочем,
обычно не требуется.
Принцип взаимности, утверждающий некоторую симметрию между
внешним воздействием и наблюдаемыми результатами деформации упру-
упругого тела, известен в статике и может быть выражен известной формулой
Бетти. Распространение его на динамические упругие явления выполнено
В. М. Бабичем A962).
Стационарные колебания упругой среды описываются эллиптической
системой дифференциальных уравнений. Они могут быть приведены к ин-
интегральным уравнениям (В. Д. Купрадзе, 1953), в известной степени род-
родственным интегральным уравнениям теории потенциала, но более сложным
(из-за наличия собственных значений — частот собственных колебаний
ограниченных объемов). В случае внешних задач должны быть постав-
поставлены условия излучения в бесконечности, которые обеспечивают единст-
единственность решения (А. Г. Свешников, 1953).
Следует отметить немногочисленные попытки поставить обратные
задачи динамической теории упругости, в которых по известным свойствам
источника колебаний и движениям границы упругого неоднородного полу-
полупространства делаются выводы о свойствах этого полупространства.
2. Конкретные задачи с простейшей геомет-
геометрией*). Изучались задачи с простыми граничными поверхностями:
*) Основные результаты в этой области получены В. Д. Купрадзе и С. Л. Собо-
Соболевым A930), Е. А. Нарышкиной A933, 1934), В. И. Смирновым A937), Г. И. Петра-
Петрашенем A945, 1946, 1949, 1950), Д. И. Шерманом A946), X. Л. Смолицким A947),
Г. И. Петрашенем, Г. Й. Марчуком и К. И. Огурцовым A950), К. И. Огурцовым и
Г. И. Петрашенем A951), Л. Н. Сретенским A952, 1955, 1956), В. А. Свекло A954),
Е. И. Шемякиным и В. А. Файншмидтом A954), Г. С. Мархасевым A955), К. И. Огур-
Огурцовым A956, 1960, 1966), Б. Я. Гельчинским A958), А, С. Ставровским A959),
А. Н. Марготьевым A960), Я. С. Уфляндом A961), Е. И. Шемякиным A961), К. И. Огур-
Огурцовым, Л. С. Пахоменко и А. И. Сутягиной A962), Д. Н. Климовой и К. И. Огурцо-
Огурцовым A966), Ж. М. Именитовой и К. И. Огурцовым A967), Л. А. Молотковым A967,
1968).

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 295
полупространство, полуплоскость, слой, сфера, цилиндр. Их выбор опре-
определялся, с одной стороны, тем, что граничные поверхности можно было
рассматривать как координатные; с другой стороны, в этих простых ситуа-
ситуациях можно было схематизировать реальные задачи практического значе-
значения. Особенно много было уделено внимания упругому полупространству
(осесимметричная и плоская задачи). Им моделировались некоторые сей-
сейсмические задачи. Первая работа о распространении волн в упругом полу-
полупространстве опубликован^ Г. Ламбом еще в 1904 г. Впоследствии она
заново решена С. Л. Соболевым методом функционально-инвариантных
решений и Г. И. Петрашенем с его учениками методом интегральных
преобразований. Такие повторные решения оправданы тем, что новый
метод решения дает исследователю и новые возможности анализа решения.
Волновые поля в полупространстве были изучены довольно подробно.
Помимо традиционного источника (нормальной сосредоточенной силы
на поверхности) были рассмотрены и другие: центр расширения, касатель-
касательные воздействия на граничной плоскости.
В дальнейшем рассматривалась подвижная нагрузка на границе полу-
полупространства; этим схематизировались перемещения центров атмосферного
давления по поверхности Земли либо перемещения распространяющейся
ударной волны взрыва. К числу геофизических приложений относятся
также работы о влиянии гравитационных колебаний водных бассейнов
на сейсмические колебания (микросейсмы). Общетеоретическое значение
имеют работы о движении упругого полупространства при произвольных
начальных и граничных условиях.
3. Отражение и преломление на одной грани-
границе*). Изучение отражения и преломления на одной изолированной плос-
плоской границе раздела двух сред является основным звеном расчета много-
многократных отражений в слоистой среде. Вместе с тем изучение однократного
.акта отражения — преломления вскрывает важные качественные особен-
особенности явления.
Наиболее типичным и распространенным является случай полного
контакта двух сред с разными упругими константами по обе стороны гра-
границы раздела, когда относительные смещения сред на границе полностью
отсутствуют.
В. Г. Гоголадзе A947) показал, что коэффициенты отражения и пре-
преломления имеют смысл для плоской падающей волны произвольной «фор-
«формы» (отсутствие дисперсии), и нашел эти коэффициенты. Зависимость коэф-
коэффициентов от параметров сред и угла падения сложна. Это обусловлено
сменой режимов явления при переходе через критические углы и возник-
возникновением полного внутреннего отражения. Для облегчения расчетов
в прикладных задачах составлены обширные таблицы коэффициентов отра-
отражения и преломления. С границами раздела, вообще говоря, связаны
и приуроченные к ним поверхностные волны.
Кроме указанного случая полного контакта были рассмотрены и дру-
другие граничные условия на плоскости контакта. Рассматривались случаи
нежесткого контакта или такие условия, когда не отражаются объемные
волны. Имеются также работы, посвященные «слабым» границам раздела,
т. е. таким, на которых модули упругости непрерывны, но производные
*) Основные результаты в этой области получены С. Г. Михлиным A941),
В. Г. Гоголадзе A945, 1947), М. А. Исаковичем A956), Т. И. Облогиной A956),
Н. В. Зволинским A957, 1958), Б. Я. Гельчинским A958), Л. М. Флитмаиом A958),
Г. С. Подъяпольским A959, 1963), К. И. Огурцовым (I960), В. В. Тютекиным A962),
В. А. Свекло A962).

296 н. в. зволинский, м. и. рейтман, г. с. шапиро
от модулей терпят разрыв. Впрочем, эта ситуация уже относится к неодно-
неоднородным средам. Если на плоскую границу падает неплоская волна, то воз-
возникают, вообще говоря, и головные волны. Они также были предметом
многочисленных исследований. Головные волны, наряду с другими типами
волн, имеют большое значение для сейсморазведки.
Наконец, отметим изучение отражения на криволинейной границе;
этот случай относится, по существу, к явлению дифракции.
." Слоистые среды*). Основным объектом исследования здесь
была система плоскопараллельных однородных слоев с различными упру-
упругими свойствами. Такая структура моделирует толщу земной коры. Рабо-
Работы этого направления имели выход преимущественно в области общей,
разведочной и инженерной сейсмологии.
Возможны два подхода к расчету сейсмического поля слоистой среды.
Один базируется на решении задачи методом интегральных преобразова-
преобразований; он не связан (по крайней мере на первом этапе) с выделением индиви-
индивидуальных волн. Второй основан (если исходная постановка позволяет это)
на рассмотрении последовательных отражений и преломлений. Последний
путь наталкивается на трудности учета большого количества волн, которое
с каждым актом отражения — преломления все время увеличивается.
Впрочем, современная электронно-вычислительная техника позволяет
в ряде случаев успешно справиться с этой задачей.
Если рассматривается волна, бегущая по слоистой среде параллельно
границам, то в зависимости от упругих свойств слоев она может в одних
слоях и для одних волн описываться уравнениями эллиптического типа
(тип поверхностной волны), в других — гиперболического (интерференци-
(интерференционная волна). Общее исследование интерференционных и поверхностных
волн можно найти в монографии В. И. Кейлис-Борока A961). Частоты
интерференционных колебаний слоев являются внутренней характери-
характеристикой слоя как элемента слоистой структуры. Были выполнены работы,
в которых рассматривались и жидкие слои. Такие постановки, с одной
стороны, могут служить для оценки различия между явлениями, протекаю-
протекающими в твердых и жидких (сжимаемых) средах, а с другой — имеют прило-
приложения к распространению волн в твердом основании дна и в самом водоеме.
Глобальное геофизическое рассмотрение волновых свойств земного
шара отражено в работе 3. А. Янсон, в которой рассматривается шаровая
слоистая среда.
Следует отметить большую, хорошо продуманную и тщательно напи-
написанную монографию Л. М. Бреховских A957) о волнах в слоистых средах
(в том числе и даже преимущественно акустических и электромагнитных).
5. Тонкослоистые среды **). Упругий слой можно счи-
считать «тонким», если время пробега волны по его толщине много меньше
*) Основные результаты в этой области получены И. Н. Векуа A937), Л. К. Иш-
ковым A941, 1956), Д. И. Шерманом A945), В. Г. Гоголадзе A947), Н. В. Зволинским
A947), М. А. Наймарком A948), В. И. Кейлис-Бороком A952, 1954, 1956), Г. И. Пет-
рашенем A952, 1956, 1957), И. М. Хайковичем A954), Г. Г. Погоняйло и И. Н. Успен-
Успенским A959), Г. С. Подъяпольским A959), Т. Я. Бариновой A961), К. И. Огурцовым
A961, 1962), Л. Б. Левитиным, Г. А. Скуридиным и К. П. Станюковичем A963),.
3. А. Янсон A965).
**) Основные результаты в этой области получены М. А. Наймарком A947, 1948),
Г. И. Петрашенем и В. А. Енальским A956), Г. И. Петрашенем и Л. А. Молотковым
A958, 1964), Ю. А. Ворониным A959), Т. Б. Яновской A959), Л. А. Молотковым A961),
Г. С. Подъяпольским A961), П. В. Крауклисом A962), П. В. Крауклисом и Л. А. Мо-
Молотковым A962, 1963), Г. И. Петрашенем A966), Л. А. Молотковым и Д. К. Озеровым
A967).

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 297
характерного времени процесса в целом (например, характерного времени
внешнего воздействия). При этом условии можно волновые явления в «по-
«поперечном к слою» направлении рассматривать суммарно (в известном
смысле асимптотически). Эта точка зрения дает начало большому циклу
работ по выводу приближенных уравнений поперечных колебаний пластин
(а также стержней и оболочек). Были предложены многочисленные уточне-
уточнения и поправки к обычной приближенной («инженерной») теории колеба-
колебаний пластин. Основная идея состоит в том, что выделяется низкочастотная
мода колебаний. Если тонкий слой окружен средами с меньшими скоростя-
скоростями распространения, то возникает так называемая интерференционная
головная волна. Каждое отражение в слое порождает фронт головной вол-
волны; эти волны накладываются друг на друга с небольшим сдвигом по фазе
и образуют суммарную низкочастотную волну (Л. А. Молотков и П. В. Кра-
уклис, 1963). С тонким слоем с повышенной скоростью распространения
связано образование экранированных волн. Они появляются также в ре-
результате интерференции волн, отраженных внутри слоя, которые форми-
формируют плавную низкочастотную проходящую волну, имеющую облик «сгла-
«сглаженной» преломленной волны. Сглаживание тем больше, чем толще слой;
поэтому экранированная волна хорошо наблюдается лишь для тонких сло-
слоев (Г. И. Петрашень, 1954; А. С. Алексеев и В. М. Бабич, 1954; Ю. А. Во-
Воронин, 1959).
6. Лучевая асимптотика*). Фронт распространяющейся
волны представляет собой поверхность разрыва для производных некото-
некоторого порядка от смещений. В силу этого в окрестности фронта изменение
поля смещений в направлении нормали к фронту значительно более
интенсивно, чем такое же изменение вдоль фронта. Это позволяет рассмат-
рассматривать окрестность каждой точки фронта как локально-плоскую волну.
На этой идее построен асимптотический метод изучения окрестности фрон-
фронтов (для неподвижного наблюдателя — окрестности первого вступления
некоторой волны). Этот метод давно известен в акустике и оптике. Перенос
его в теорию упругости был впервые осуществлен в работе М. Л. Левина
и С. М. Рытова A956). В дальнейшем он подвергался разработке и исполь-
использовался как средство приближенного решения задач отражения и прелом-
преломления. Описание поля в окрестности фронта можно строить с разной сте-
степенью точности; в прикладных задачах обычно пользуются первым приб-
приближением, но есть случаи, когда оно принципиально недостаточна
(Г. С. Подъяпольский, 1959). Лучевой подход, с одной стороны, обладает
большой общностью, например, он применим без особых осложнений к не-
неоднородным средам. С другой стороны, есть исключительные ситуации, где
он не работает или требует существенной перестройки, например в окрест-
окрестности начальных точек головных волн (и вообще точек пересечения фрон-
фронтов), в окрестности каустики и др. (В. М. Бабич, 1961; Ю. Л. Газарян,
1961; Б. Т. Яновская, 1964).
7. Поверхностные волны **). Эти волны характерны
тем, что распространяются «вдоль» граничной поверхности.' Они имеют
*) Основные результаты в этой области получены А. А. Гвоздевым A952),
Н. В. Зволинским и Г. А. Скуридиным A956), М. Л. Левиным и С. М. Рытовым A956),
A. Ф. Филипповым A957), В. М. Бабичем и А. С. Алексеевым A958), А. С. Алексеевым
и Б. Я. Гельчинским A959, 1961), Г. С. Подъяпольским A959), А. С. Алексеевым,
B. М. Бабичем и Б. Я. Гельчинским A961), В. М. Бабичем A961), Т. Б. Яновской
A964).
**) Основные результаты в этой области получены В. Д. Купрадзе и С. Л. Собо-
Соболевым A930), Е. А. Нарышкиной A934, 1936, 1940), И. Г. Петровским A945), Я. А. Мин-
длиным A946), Г. И. Петрашенем A946), В. Г. Гоголадзе A948), И. А. Викторовым

298 н. в. зволинский, м. и. рейтман, г. с. шапиро
особенно большое значение в сейсмологии и изучены, в'основном, с позиций
этой науки. Будучи приурочены к граничной поверхности, они затухают
медленнее объемных волн и несут энергию на большие расстояния. Струк-
Структура среды, в которой они образовались и через которую прошли, оста-
оставляет свой след в виде закона дисперсии. По наблюдениям этого закона де-
делаются попытки получить сведения о строении среды (земной коры).
Поверхностные волны могут быть связаны как со свободной границей,
так и с границей раздела сред (В. Д. Купрадзе и С. Л. Соболев, 1930,
В. И. Кейлис-Борок, 1960).
Помимо сред плоскослоистой структуры, в связи с поверхностными
волнами рассматривались и непрерывно-неоднородные среды (В. М. Бабич
и И. А. Молотков, 1966), а также области с неплоскими границами. В по-
последнем «случае изучались высокочастотные волны, быстро затухающие
с удалением от границы. Предельный случай этого рода — распрост-
распространение разрыва производной от смещения по граничной поверхности
(И. Г. Петровский, 1945). Для криволинейных границ простейших типов
(сфера, цилиндр) могут быть получены точные частные решения задачи
о поверхностных волнах. Помимо упомянутых здесь типичных поверхно-
поверхностных волн, были обнаружены и изучены волновые движения, имеющие
характер поверхностных волн, но формирующиеся в более сложных усло-
условиях (Л. П. Зайцев, 1960; Г. С. Подъяпольский и Ю. И. Васильев, 1960).
8. Неоднородные среды*). Так называют упругие среды,
в которых коэффициенты Ламе X, \i и плотность р суть функции координат.
Если Я, (д, и р — непрерывные функции, а производные этих функций раз-
разрывны на некоторых поверхностях, такие поверхности принято называть
«слабыми» границами. Некоторые сведения об исследованиях непрерывных
сред упомянуты выше в связи с лучевой асимптотикой и поверхностными
волнами. Уравнения движения для неоднородных упругих сред, сохраняя
те же старшие члены (относительно дифференцирования), имеют еще допол-
дополнительные слагаемые с производными первого порядка от вектора смеще-
смещения. Для этих уравнений были построены фундаментальные решения
(В. М. Бабич, 1961). Рассматривались преимущественно среды, неоднород-
неоднородные относительно одной из координат (этот выбор подсказан как соображе-
соображениями простоты, так и геофизическими приложениями). В неоднородной
среде нельзя, вообще говоря, разложить движение на сумму продольных
и поперечных волн; однако это возможно при выполнении некоторых усло-
условий (дифференциальных), которым надо подчинить функции Я, jut и р
(В. Ю. Завадский, 1964).
Неоднородная среда, так же как и однородная, обладает двумя типами
волновых фронтов — продольным и поперечным. Они распространяются
каждый со своей местной скоростью (соответственно продольной и попереч-
поперечной). На продольном фронте терпит разрыв ротор вектора и, на попереч-
поперечном — дивергенция (А. А. Гвоздев, 1959).
A958), Л. П. Зайцевым A959, 1960), Ю. И. Васильевыми Г. С. Подъяпольским A960),
В. И. Кейлис-Бороком A960), В. М. Бабичем A961), В. М. Бабичем и Н. Я. Русаковой
A962), А. Г. Аленициным A963, 1964), Я. А. Миндлиным A963), Т. Я. Бариновой
A964), Р. В. Гольдштейном A965), В. Ю. Завадским A965), В. М. Бабичем и И. А. Мо-
Молотковым A966), Л. М. Бреховских A966, 1967), В. М. Бабичем и Т. С. Кравцовой
A967), И. А. Молотковым и И. В. Мухиной A967).
*) Основные результаты в этой области получены С. Л. Соболевым A930),
А. А. Гвоздевым A959), Н. В. Цепелевым A959), Б. С. Чекиным A959, 1964), В. М. Ба-
Бабичем A961), Ю. А. Газаряном A961), В. Ю. Завадским A964, 1965), И. А. Чабан
A964, 1965), А. Г. Аленицыным A966, 1967).

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 299
В неоднородной среде лучи криволинейны. Это приводит к новым
и очень непростым эффектам. Так, в неоднородных средах возникают зоны
геометрической тени, в которые возмущения могут проникать только путем
.дифракции; вблизи границы раздела в результате многократного отра-
отражения криволинейных лучей могут образовываться рефрагированные
волны.
Отметим рассмотрение задачи Ламба для неоднородной среды
(А. Г, Аленицын, 1966).
9. Анизотропные среды*). Материалы, обладающие упру-
упругой анизотропией, широко встречаются в природе и технике. Помимо
подлинной (молекулярной) анизотропии, встречается «структурная» ани-
анизотропия, обусловленная, например, мелкослоистой структурой материала.
Большое разнообразие в типах анизотропных тел (число констант
изменяется от 3 до 21) осложняет их исследование. По большей части
рассматривались частные виды сред с небольшим числом констант упруго-
упругости. Волновые процессы описываются при этом гиперболической системой
уравнений с постоянными коэффициентами (для однородной среды). Для
анизотропных тел существуют уже не два, а три типа волн.
Из результатов более общего характера следует отметить построение
сингулярных (фундаментальных) решений для частных видов анизотро-
анизотропии, обобщение на эти случаи функционально-инвариантных решений
{В. А. Свекло, 1961), решение задачи Ламба.
Достаточно много работ посвящено отражению и преломлению волн
на плоской границе (которая совпадает с одной из плоскостей анизотро-
лии), а также поверхностным волнам типа Рейли (И. О. Осипов, 1961).
Решена также задача дифракции на полупрямой.
10. Дифракция**). Под дифракцией в широком смысле обычно
понимают волновые явления, которые не могут быть описаны с помощью
лучевых представлений или плоских волн. Типичные задачи дифракции —
взаимодействие волн с различными препятствиями. Аналитические труд-
трудности задач дифракции в теории упругости связаны с наличием двух типов
волн (продольных и поперечных), которые переплетаются в граничных
условиях.
До настоящего времени точных решений имеется очень мало. Для
препятствий с простой геометрией (сфера, цилиндр, эллипсоид) решение
может быть построено методом разделения переменных (В. Д. Купрадзе,
1935). Однако такое решение в бесконечных рядах имеет формальный
характер — оно трудно поддается обоснованию и весьма трудно для физи-
физического анализа (облегчить это положение может привлечение современ-
современных вычислительных средств).
*) Основные результаты в этой области получены В. Г. Гоголадзе A935),
Ж. М. Лифшицем и Л. Н. Розенцвейгом A946), В. А. Свекло A949, 1961), И. М. Лиф-
шицем и Г. Д. Пархомовским A952), И. О. Осиповым A961—1963), И. Н. Успенским
и К. И. Огурцовым A962).
**) Основные результаты в этой области получены В. Д. Купрадзе A935), С. Л. Со-
•болевым A935), Д. И. Шерманом A945), Г. И. Петрашенем A946), М. М. Фридманом
<1949, 1959), А. М. Кусковым A950), Г. И. Петрашенем, Н. С. Смирновой и Б. Я. Гель-
чинским A953), В. В. Тютекиным A956), А. Ф. Филипповым A956, 1959, 1964),
Г. А. Скуридиным A957), В. С. Булдыревыми И. А. Молотковым A958, 1961), Г. И. Пет-
Петрашенем, Б. Г. Николаевыми Д. Н. Коузовым A958), В. А. Свекло A958), В. А. Свекло
и В. А. Сюкияйнен A958), В. С. Булдыревым A959), Г. Д. Малюжинцем A959), В. В. Те-
текиным A959, 1960), Ю. Л. Газаряном A961), А. С. Голубевым A961), И. А. Молот-
Молотковым A961), П. И. Цоем A961), А. В. Боровиковым A962), И. Г. Филипповым A963),
И. А. Чабан A963), И. М. Яворской A964—1967), Б. В. Костровым A965), В. Ю. За-
Завадским A966).

300 н. в. зволинский, м. и. рейтман, г. с. шапиро
Дифракция на полубесконечном разрезе (со свободными или закреп-
закрепленными краями) допускает удобное применение функционально-инва-
функционально-инвариантных решений и приводит к решению в замкнутой форме (М. М. Фрид-,
ман, 1949, А. Ф. Филиппов, 1956).
Много проще задачи дифракции в акустике; в то же время они имеют
значительное родство с аналогичными задачами для твердой упругой среды
и поэтому изучение дифракции звуковых волн важно для теории упруго-
упругости. Тонкие аналитические исследования проведены по изучению неста-
нестационарного дифракционного фронта, отделяющего область геометриче-
геометрической тени за выпуклым телом от возмущенной среды (В. С. Булдырев»
и И. А. Молотков, 1958; В. С. Булдырев, 1959).
К задачам дифракции применялись также приближенные методы.
Приближенный подход можно построить на коротковолновой или длинно-
длинноволновой асимптотике (сравнительно с характерным размером препят-
препятствия). Заслуживает внимания приближенный метод, предложенный
Г. Д. Малюжинцем A959).
11. Контактны езадач и; волны, вызванные вне-
внезапными трещинами*).В волновых процессах этого рода суще-
существенным образом участвует дифракция, поэтому их можно было бы,
вообще говоря, объединить и с предыдущим разделом. Задачи о волнахг
вызванных мгновенным нарушением сплошности, подсказаны сейсмоло-
сейсмологией. Современные представления о механизме очага землетрясения тре-
требуют решения следующей задачи: в предварительно напряженной среде
мгновенно образуется трещина (разрез), и напряжения с берегов разреза
снимаются; надо определить вызванное при этом волновое поле. Для тре-
трещины конечной длины такая задача в плоской постановке была впервые
решена Л. М. Флитманом A963). Впоследствии эта постановка была обоб-
обобщена на случай трещины, возникающей на границе раздела двух различ-
различных упругих сред, и на осесимметричные трещины. В этих постановках
размер образовавшейся трещины или закон ее распространения считается
заранее заданным; это значит, что условия разрушения и процесс разру-
разрушения не рассматриваются. Этот второй аспект — рассмотрение трещины
как результата разрушения — требует выхода за пределы собственно
теории упругости и здесь не затрагивается **).
Смешанные задачи, которые имеются здесь в виду, могут быть двоя-
двоякого рода. Во-первых, это динамические задачи о действии штампа на упру-
упругое тело. В простейших постановках под телом понимается упругое полу-
полупространство, а штамп рассматривается либо в виде бесконечной полосы
(плоская задача), либо круговой в плане (Л. М. Флитман, 1959; Н. М. Бо-
родачев, 1960). Задачи такого типа решались аналитически, но для завер-
завершения требовали расчета последовательных типов дифракции на краях
штампа или обращения к длинноволновой асимптотике. Предполагалось,
что касательное напряжение на подошве штампа отсутствуют (свободное-
проскальзывание).
Как бы обращением этого рода задач является следующая постановка:
жесткое массивное тело вмещено в упругую среду или лежит (без отрыва)
*) Основные результаты в этой области получены Л. М. Флитманом A958, 1959,
1962, 1963), В. А. Свекло A959, 1962), Н. М. Бородачевым A960, 1962, 1964, 1966)г
Б. В. Костровым A964, 1966), Л. П. Зайцевым и Л. М. Флитманом A965), Р. В. Гольд-
штейном A966), Л. О. Сигаловым A966), И. В. Симоновым и Л. М. Флитманом A966),
О. Я. Шехтер A966), А. Н. Ковшовым и И. В. Симоновым A967).
**) См. помещенный в конце настоящего тома обзор «Механика разрушения»
В. 3. Партона и Г. П. Черепанова (стр. 365—467). (Ред.)

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 301
на ее поверхности, задана набегающая волна, и требуется определить дви-
движение тела. Эта постановка подсказана проблемами инженерной сейсмо-
сейсмологии. Были решены задачи, когда массивным телом является полоса
на поверхности полупространства (Л. М. Флитман, 1962), полоса, впаян-
впаянная в упругую среду (Б. В. Костров, 1964), и динамически асимметрич-
асимметричный шар, вмещенный в упругую среду (А. Н. Ковшов и И. В. Симонов,
1967). В этих задачах, явно относящихся к области дифракции, внимание
переносится с дифракционного поля (которое в некоторых случаях не тре-
требуется полностью знать) на закон движения массивного тела.
§ 2. Общие вопросы динамики неупругих тел
2.1. Вводный исторический очерк. Динамика неупругих тел — срав-
сравнительно молодой раздел динамики деформируемых сред, возникший
накануне и в период второй мировой войны. Многие главные результаты
в нем получены советскими учеными. Становление динамики неупругих
тел шло путем, несколько отличным от динамики тел упругих. Первые
результаты в динамике упругих тел относились к природе возмущений
(волн расширения и волн искажения), распространяющихся в неограни-
неограниченной среде; лишь спустя несколько десятилетий были исследованы кон-
конкретные задачи, касающиеся распространения продольных волн в стерж-
стержнях. В теории распространения упруго-пластических волн, напротив,
сперва было исследовано распространение волн в стержнях и лишь после
этого рассмотрена проблема распространения возмущений в неограничен-
неограниченной среде.
В начале § 1 отмечалось, что главные достижения динамики упругих
тел были связаны с математической школой Ленинградского университета
и Сейсмологическим институтом Академии наук СССР. В известной мере
аналогичное утверждение можно высказать о связи первых достижений
динамики пластических и вязко-пластических тел с механико-математиче-
механико-математической школой Московского университета и Институтом механики Академии
наук СССР. Основоположниками динамики вязко-пластических и пла-
пластических сред стали современные представители названной школы —
А. А. Ильюшин и X. А. Рахматулин. Их исследования были продолжены
в Институте механики (В. В. Соколовский, Г. С. Шапиро и др.) и в МГУ
(В. С. Ленский, П. М. Огибалов и др). Основные результаты в этой обла-
области опубликованы в изданиях Института механики — журнале «Приклад-
«Прикладная математика и механика» и «Инженерном сборнике», а также в «Уче-
«Ученых записках» и «Вестнике» Московского университета.
Большую роль в развитии динамики неупругих сред сыграла также
школа строительной механики А. А. Гвоздева, И. М. Рабиновича
и А. Р. Ржаницына Московского инженерно-строительного института
(МИСИ), тесно связанная с Центральным научно-исследовательским
институтом промышленных сооружений (ЦНИПС) (ныне Центральный
научно-исследовательский институт строительных конструкций —
ЦНИИСК).
А. А. Гвоздев был основоположником теории предельного равновесия,
использующей упрощенную пластическую модель тела, не учитывающую
упругие деформации и упрочнение (так называемую жестко-пластическую
модель). Эта модель нашла широкое применение в статической теории
пластичности; она была впервые использована и для решения динамиче-
динамических задач А. А. Гвоздевым A942). Спустя 10 лет этот метод был усовер-
усовершенствован в США Э. Ли, П. Саймондсом, В. Прагером и Г. Гопкинсом

302 н. в. зволинский, м. и. рейтман, г. с. шапиро
и вплоть до настоящего времени успешно используется как в СССР, так
и за рубежом.
Упрощенные методы решения динамических задач теории пластично-
пластичности, в которых конструкции рассматриваются как системы с одной степенью»
свободы, разрабатывались И. М. Рабиновичем A948). Это инженерное
направление получило в дальнейшем широкое развитие.
Весьма перспективные исследования вариационных методов решения
динамических задач для неупругих сред, начатые А. Р. Ржаницыным
A959), были продолжены в МГУ В. П. Тамужем A962) и в ЦНИИСК*
М. И. Рейтманом A964). Представители той же школы МИСИ (Г. А. Гени-
Гениев, 1959, 1961; М. И. Эстрин, 1958, 1961, 1962) одними из первых исследо-
исследовали распространение волн разрыва в двумерной и трехмерной пластиче-
пластической среде.
Труды ученых данной школы публиковались главным образом в сбор-
сборниках ЦНИПСа (ЦНИИСКа), издававшихся «Стройиздатом».
Сфера распространения исследований по динамике неупругих сред
за последние два десятилетия быстро расширялась. В Москве, помимо*
МГУ и Института проблем механики Академии наук СССР (организован-
(организованного на базе Института механики), вопросы динамики неупругих сред,
ныне изучаются во многих академических и ведомственных институтах>
вузах. Исследования по этим проблемам ведутся и вне Москвы: в Алма-
Ате, Баку, Воронеже, Горьком, Киеве, Кишиневе, Ленинграде, Минске,.
Новосибирске, Риге, Тарту, Ташкенте, Тбилиси и т. д. Регулярно созы-
созываются всесоюзные симпозиумы по распространению упруго-пластических
волн в сплошных средах (Москва, 1962; Баку, 1963; Ташкент, 1966; Киши-
Кишинев, 1968; Алма-Ата, 1971).
Поведение материалов при динамическом нагружении часто сущест-
существенно отличается от их статического поведения. Это показывает, что адек-
адекватное описание динамического поведения материалов может потребо-
потребовать использования определяющих уравнений, зависящих от времени.
Таким образом, к трудностям преимущественно математического характе-
характера, возникающим при решении задач динамики упругих тел, в динамике
неупругих тел добавляются новые трудности, связанные с выбором над-
надлежащей модели материала, т. е. с выбором определяющих уравнений.
В статических условиях одной из простейших характеристик мате-
материала служит диаграмма растяжения. При динамическом нагружении
определение диаграммы растяжения становится нетривиальной пробле-
проблемой. Вследствие возникновения сил инерции (их приходится учитывать
при скоростях деформаций, превышающих 10 1/сек) поля напряжений
и деформаций в образцах неоднородны. Так как одновременное определе-
определение напряжений и деформаций в одной и той же точке образца практически
невозможно, по данным таких испытаний нельзя нецосредственно устано-
установить вид определяющего уравнения. Обычно формой определяющего
уравнения задаются наперед, с точностью до некоторого числа свободных
параметров, а затем решают соответствующую волновую задачу и по дан-
данным экспериментов определяют неизвестные параметры. Отсюда видно
фундаментальное значение простейшей динамической задачи о растяжении
стержня при различных допущениях о свойствах его материала.
Очевидно, что попытки установления универсальных определяющих
уравнений, пригодных в любом диапазоне изменения напряжений, дефор-
деформаций, их производных по времени, температуры, гидростатического дав-
давления и т. п., должны привести к почти безнадежным трудностям. Поэтому
на практике стремятся использовать идеализированные модели, описы-

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 303
вающие поведение материалов в ограниченных пределах, отвечающих
условиям рассматриваемой задачи.
Полное решение проблемы выбора надлежащей модели материала
даже в такой упрощенной форме далеко от завершения, однако имеются
примеры удачных частных решений. Так, при сверхвысоких (порядка моду-
модуля упругости) давлениях, развивающихся при гиперскоростных соударе-
соударениях, успешно используется модель идеальной жидкости (М. А. Лавренть-
Лаврентьев, 1949). Для материалов типа полимеров, для которых существенны
эффекты несовершенной упругости, иногда используется модель вязко-
упругого тела (см., например, А. Ю. Ишлинский, 1940). Что касается мате-
материалов типа металлов, находящихся под действием умеренно высоких
напряжений порядка предела текучести (которым, в основном, и посвящен
данный обзор), то для их изучения могут использоваться два подхода.
В основе первого из них лежит допущение, что за пределами упругости
материал переходит в вязко-пластическое состояние и его определяющее
уравнение зависит от времени. Начало этому направлению положили
работы А. А. Ильюшина A940, 1941), в которых в качестве определяющих
уравнений использованы уравнения вязко-пластического течения, не учи-
учитывающие упругих деформаций. В этих работах дано решение нескольких
теоретических задач (удар по цилиндрическому образцу твердым телом,
деформирование полого цилиндра под действием внутреннего давления)
и описан сконструированный автором первый пневматический копер,
позволявший достигать скоростей деформаций порядка 104 1/сек (с помо-
помощью его были определены коэффициенты вязкости некоторых металлов).
Сразу вслед за тем учениками А. А. Ильюшина были решены задачи о вра-
вращении цилиндра в вязко-пластической среде (П. М. Огибалов, 1941) и об
ударе цилиндра по вязко-пластической пластинке (Ф. А. Бахшиян,
1948 — опубликование этой работы задержалось на ряд лет). С математи-
математической точки зрения уравнения динамики одноосного вязко-пластического
тела принадлежат к классу уравнений параболического типа.
Отечественная война прервала работы в данном направлении, однако
после войны они стали развиваться у нас и за рубежом во все возрастаю-
возрастающем масштабе. Новое направление этим исследованиям дала работа
В. В. Соколовского A948), в которой для анализа распространения про-
продольных волн в стержне была использована известная (предложенная
К. Хоэнемзером и В. Прагером) упруго-вязко-пластическая модель мате-
материала*. При скоростях деформаций, равных нулю, уравнения этой модели
переходят в уравнения идеальной пластичности, а при бесконечно боль-
больших скоростях деформаций — в уравнения теории упругости. Модифици-
Модифицированная модель, учитывающая деформационное упрочнение материала,
была предложена в 1951 г. в США Л. Малверном. Уравнения одноосного
движения, основанные на этой модели, принадлежат к гиперболиче-
гиперболическому типу.
Второй подход, принадлежащий X. А. Рахматулину, предполагает,
что при динамическом нагружении материал за пределом упругости пере-
переходит в пластическое состояние. Эта точка зрения оправдывается тем, что
кривые деформирования многих материалов, особенно металлов, обнару-
обнаруживают слабую зависимость от скоростей деформаций. У закаленных ста-
сталей, например, эти кривые при статических и динамических условиях
почти в точности совпадают. С другой стороны, для ряда задач скорости
деформаций меняются в пределах всего двух-трех порядков, что может
почти не отразиться на связи напряжений и деформаций. Таким образом,
при динамическом нагружении часто можно, по крайней мере в первом

304 н. в. зволинский, м. и. рейтман, г. с. шапиро
приближении, пользоваться законами деформирования упруго-пластиче-
упруго-пластических сред, хотя параметры этих законов могут отличаться от статических.
Начало исследований по распространению упруго-пластических волн
положила работа X. А. Рахматулина A945) о распространении продоль-
продольных волн в полубесконечном стержне. Беря за основу диаграмму напряже-
напряжений — деформаций с различными законами нагружения и разгрузки,
X. А. Рахматулин обнаружил существование так называемой волны раз-
разгрузки, разделяющей плоскость «пространство — время» на области
нагружения и разгрузки. Годом позже Дж. Тейлор в Англии и Т. Карман
в США опубликовали менее полные (без учета разгрузки) исследования
этой задачи.
Проблема определения волны разгрузки занимает ключевое положе-
положение в одномерной теории распространения упруго-пластических волн.
Анализ показал, что эта проблема не сводится к классическим задачам
Гурса, Коши или смешанной задаче теории гиперболических уравнений.
Для нее был разработан специальный метод решения (Г. С. Шапиро, 1946),
получивший впоследствии дальнейшее развитие (В. Л. Бидерман, 1952).
Исследовались также специфические случаи распространения разрывов
(X. А. Рахматулин и Г. С. Шапиро, 1948), причем в случае продольного
удара стержня по жесткой преграде была обнаружена возможность суще-
существования стационарных разрывов (В. С. Ленский, 1949). Построение
автомодельных решений анализировалось Г. И. Баренблаттом A952).
Своеобразный подход к проблеме распространения упруго-пластических
волн был предложен К. П. Станюковичем A955).
Решение следующей по сложности, после задачи о продольных волнах,
проблемы — о распространении продольно-поперечных волн в нитях —
также принадлежит X. А. Рахматулину A946) (см. §4). Его работа послу-
послужила источником большого цикла исследований в данной области.
Теория распространения продольных волн вскоре была обобщена
и на случай сферической симметрии (Л. В. Альтшулер, 1946; Ф. А. Бах-
шиян, 1948; Я. Б. Лунц, 1949).
Некоторые методы применения ЭВМ в задачах динамики пластических
сред систематически изучались В. К. Кабуловым (итоги его работ подве-
подведены в монографии 1966 г.).
В последующей части обзора освещены далеко не все аспекты дина-
динамики неупругих сред. Она посвящена динамическим задачам пластичности
и вязкопластичности. В ней вовсе не затрагиваются вопросы, касающиеся
моделирования, неоднородных и анизотропных сред, вязко-упругих сред,
явлений разрушения, эффектов сверхвысоких (порядка модуля упругости)
давлений, а также эффектов проникания; почти не упоминаются экспери-
экспериментальные исследования.
В настоящем общем введении главное внимание уделено обзору
начальных стадий развития каждого направления исследований. Пред-
Представление об их дальнейшем развитии дано ниже. Обширный материал
по тематике обзора можно почерпнуть также из монографий И. И. Голь-
денблата и Н. А. Николаенко A961), X. А. Рахматулина и Ю. А. Демьяно-
Демьянова A961), И. Л. Диковича A962), Л. П. Орленко A964), Н. Н. Попова
и Б. С. Расторгуева A964), Ю. Я. Волошенко-Климовицкого A965),
Н. Н. Попова и Б. С. Расторгуева A966), а также из материалов II и III
Всесоюзных симпозиумов по распространению упруго-пластических волн
в сплошных средах A966, 1969).
2.2. Распространение волн сильного и слабого разрыва. За пределами
упругости полная деформация &и упруго-пластических тел представляется

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 305
как сумма упругой efj и пластической sfj частей. При малых деформациях
зависимость между упругими деформациями и напряжениями устанавли-
устанавливается законом Гука &ij = Huki^ki- Предполагается, что объемная дефор-
деформация является упругой, т. е. е« = 0, тогда в?,- будут компонентами девиа-
тора деформаций.
В деформационной теории пластичности считается, что соотношения
между главными напряжениями зависят только от соотношений между
главными деформациями. Простейший вариант изотропных зависимостей
между пластическими деформациями и напряжениями имеет вид &fj =
= F (I2) stj, где I2 = 1/2sijsij (stj — компоненты девиатора напряжений).
Различие между нелинейно упругими и пластическими деформациями
проявляется только при разгрузке. При dl2 = stj dstj > 0 имеет место
нагружение, при dl2 < 0 — разгрузка по закону Гука, а при dl2 = 0 —
нейтральное нагружение. При 12<Ск2, где к2 — пластическая постоянная,
имеет место упругое состояние.
Как показал ряд проведенных в СССР исследований, закономерности
распространения слабых и сильных разрывов в нелинейно упругой и упру-
упруго-пластической средах существенно отличаются от классического случая
распространения разрывов в линейно упругой среде.
В случае трехмерной нелинейно упругой среды возникают три вида
волн (В. М. Бабич, 1954). Если вектор смещения непрерывен вместе со сво-
своими первыми производными, а его вторые производные имеют скачки
на некоторой нестационарной поверхности разрыва, то максимальная
и минимальная скорости распространения волн зависят от направления.
Таким образом, Поле напряжений создает своеобразную анизотропию:
самые быстрые и самые медленные волны не являются ни продольными,
ни поперечными. Волны, движущиеся с промежуточной скоростью, имеют
характер поперечных волн. Направление вектора разрыва этих волн зави-
зависит от поля напряжений, однако скорость их распространения не зависит
от направления.
Анализ распространения волн в двумерной сжимаемой пластической
среде показал (Г. А. Гениев, 1959, 1961), что при этом скорости распро-
распространения линий слабых разрывов отличны от местной скорости звука.
Совпадение бывает только при распространении слабых разрывов в на-
направлении главных нормальных напряжений. Скорость распространения
линий слабых разрывов в направлениях, совпадающих с нормалями
к площадкам главных касательных напряжений, равна нулю. Всякая
линия слабого разрыва является характеристикой. В случае установив-
установившихся движений возможно существование действительных характеристик
и при дозвуковых скоростях. Ориентация направлений характеристик
зависит как от направления и величины модуля вектора скорости, так
и от ориентации главных осей напряжений.
Особо изучено распространение волн сильного и слабого разрывов
при плоском деформированном состоянии идеально пластической среды
в предположении линейной связи между первыми инвариантами тензоров
напряжений и скоростей деформаций (М. И. Эстрин, 1961), а также распро-
распространение волн слабого разрыва при плоском напряженном состоянии
(М. И. Эстрин, 1962; А. Д. Чернышев, 1966). Изучено также распростра-
распространение сильных разрывов в среде, обладающей нелинейной жесткой *)
*) Понижение или повышение приращения напряжений при заданном прира-
приращении деформаций по сравнению с начальным линейным поведением характеризует
соответственно «мягкое» и «жесткое» поведение материала,
20 Механика в СССР, т. 3

306 н. в. зволинский, м. и. рейтман, г. с. шапиро
характеристикой при нагружении и характеризующейся линейной раз-
разгрузкой (Г. И. Быковцев, 1961).
Существенные упрощения в анализ распространения волн разрыва
вносят представления о кусочно-линейных поверхностях текучести и ассо-
ассоциированном законе течения. Сперва такой анализ для волн слабого раз-
разрыва был проделан в предположении, что точка напряжений находится
на ребре призмы поверхности текучести Треска.
В инкрементальной теории пластичности (теория течения) Прандтля —
Рейсса предполагается, что приращения пластических деформаций de^j
определяются значениями напряжений и пропорциональны приращениям
напряжений. Если поверхность нагружения совпадает с поверхностью'
пластического потенциала, то приращение пластической деформации будет
ортогонально к поверхности нагружения и простейшая связь между при-
приращениями напряжений и деформаций будет иметь вид
где / — функция нагружения, G — скалярная функция, зависящая
от напряжений, деформаций и истории нагружения.
Полнее всего изучено распространение волн слабого разрыва в изо-
изотропных идеально упруго-пластических средах. Наиболее подробный
анализ удается провести для сред, удовлетворяющих кусочно-линейным
условиям текучести (Г. И. Быковцев, Д. Д. Ивлев и Т. Н. Мартынова,
1966). Для напряженного состояния, соответствующего некоторому ребру
призмы текучести, обнаружено, что в теле по любому направлению могут
распространяться три волны, причем все три скорост# распространения
волн действительны и не зависят от характеристик ребра. Максимальная
скорость распространения волн при условии текучести Треска получается
равной [{к + З^/р]1/2, она достигается при совпадении волнового фронта
с поверхностью касательных напряжений. При произвольной ориентации
нормали волновой поверхности относительно главных осей волна сопро-
сопровождается изменением как объемной, так и сдвиговой деформации. Для
напряженного состояния, соответствующего грани призмы текучести, одна
из волн распространяется как упругая со скоростью (|i/pI/2 и не вызывает
изменения пластических деформаций; скорости двух других волн слабого
разрыва зависят как от направления нормали к поверхности разрыва
относительно главных осей тензора напряжений, так и от вида условий
текучести.
В случае несжимаемого упруго-пластического материала существуют
две скорости распространения волн слабого разрыва. Обе они носят сдви-
сдвиговой характер, причем одна из них не вызывает изменения пластических
деформаций.
Некоторые результаты более частного характера были получены ранее
для плоского деформированного (М. И. Эстрин, 1961) и плоского напря-
напряженного (М. И. Эстрин, 1962; А. Д. Чернышев, 1966) состояний. Изуча-
Изучалось также распространение волн сильного разрыва в среде, обладающей
нелинейной жесткой характеристикой при нагружении и характеризую-
характеризующейся линейной разгрузкой (Г. И. Быковцев, 1961).
Для упруго-вязко-пластической среды с определяющим уравнением
в форме (Д. Д. Ивлев, 1959)
., ао- = A,e«fe6/7- + 2Gef., -^
B.2)

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 307
где т] — коэффициент вязкости, г|) —'некоторый положительный множитель,
причем г|) > 0 при SijStj ^> о^, я|э = 0 при s^s^ < а^, анализ распростра-
распространения слабых и сильных разрывов (Г. И. Быковцев и Н. Д. Вервейко, 1966)
показал невозможность разрывов пластических составляющих скоростей
деформаций: [sfj] = 0. Волны ускорений в такой среде распространяются
со скоростью упругих волн, равной (G/pI/2. Затухание волн в рассматри-
рассматриваемом материале происходит быстрее, чем в упругом. Для развертываю-
развертывающихся и выпуклых волновых поверхностей интенсивность эквиволюми-
нальных волн равномерно стремится к нулю, если с обеих сторон волновой
поверхности имеет место пластическое деформирование. ч
Интересный анализ распространения волн разрыва был проделан
для своеобразной динамически упрочняющейся среды, текущее состояние
которой определяется некоторыми параметрами, характеризующими свой-
свойства, приобретенные материалом в процессе динамического нагружения
(В. А. Скрипкин, 1962).
2.3. Экстремальные принципы. Основная трудность формулировки
вариационных принципов для неупругих сред состоит в том, что такие
среды представляют собой бесконечномерные механические системы с не-
голономными неидеальными связями, для которых несправедлив принцип
Лагранжа. Исключение составляет такое движение жестко-идеально-
пластического тела, форма которого не меняется со временем (М. И. Рейт-
ман, 1965); естественно, что раньше всего экстремальный принцип был
предложен именно для этого случая (А. Р. Ржаницын, 1959). Позже был
предложен принцип, свободный от названного ограничения (В. П. Тамуж,
1962). Он состоит в требовании минимума функционала /, являющегося
гауссовым принуждением для сплошной среды:
1 = 1 f рщщдУ- j PiUtdV— f TtUtdS+ J GijE]jdV= j FdV, B.3)
v v sT v v
где p — плотность, ut — ускорения, Pt — массовые силы, Tt — поверх-
поверхностные силы, otj — компоненты тензора напряжений, 8^- — компоненты
тензора деформаций, V — объем тела, ST — часть поверхности тела, на ко-
которой заданы внешние силы. При этом кинематически возможные ускоре-
ускорения деформаций гц связаны с компонентами вектора ускорений формулами
8iv = y (и*,./ + и/,/)« B.4)
Принцип сохраняет силу, если имеются сильные разрывы ускорений.
В этом случае к гауссову принуждению для среды без разрывов нужно
добавить принуждение на поверхностях разрыва
[щ] dl, B.5)
где Vj — компоненты нормали к поверхности разрыва Z. Легко видеть, что
уравнениями Остроградского — Эйлера для функционала / являются
уравнения равновесия сплошной среды. В дальнейшем было показанЬ
(М. И. Рейтман, 1965), что этот принцип можно обобщить на среды со
свойствами весьма общего вида. Свойства сред входят в последний член
функционала /. В качестве условий Вейерштрасса — Эрдмана для / можно
получить условия на поверхностях слабых разрывов ускорений
Щ1щ9Л. B.6)
20*

308 н. в. зволинский, м. и. рейтман, г. с. пгапиро
Следует заметить, что общий вариационный принцип, с помощью
которого находятся инвариантные уравнения движения, определяющие
уравнения (модель) и различные дополнительные условия (краевые, началь-
начальные условия на поверхности скачков и пр.), был сформулирован Л. И. Се-
Седовым A965). Этот принцип был использован для исследования разрывов
в сплошной среде М. В. Лурье A966),
§ 3. Распространение волн в неупругих средах
3.1. Упруго-пластические тела. Первые два раздела этого параграфа
посвящены плоским волнам. Плоские волны делятся на два класса: плос-
плоские волны напряжений и плоские волны деформаций. Первые возникают
в стержнях и характеризуются трехмерным деформированным состоянием
и одномерным (точнее, близким к одномерному) напряженным состоянием.
Вторые возникают в плитах и характеризуются трехмерным напряженным
состоянием и одномерным деформированным состоянием (см., например,
Г. С. Шапиро, 1952).
Скорости деформаций для упруго-пластических тел в явном виде
не входят в определяющий закон. Динамический характер нагружения
учитывается тем, что связь а = а (г) между напряжениями и деформация-
деформациями принимается отличной от статической.
Распространение продольных волн нагружения описывается нелиней-
нелинейным гиперболическим уравнением
^ = а2-^, C.1)
где и — продольное смещение, а2 = A/р) (da/de), p — плотность материа-
материала. При монотонном непрерывном нагружении на границе полубесконеч-
полубесконечной среды и d2o/ds2 < 0 в теле не возникает ударных волн; при d2o/d&2 > О
ударные волны появляются (X. А. Рахматулин, 1945; Г. С. Шапиро, 1946).
Исследован общий случай автомодельных решений уравнения C.1), вклю-
включая возможность перемены знака d2a/d&2 и появления ударных волн
(Г. И. Баренблатт, 1953, 1957). Рассмотрено также распространение авто-
автомодельных возмущений под действием постоянного напряжения, прило-
приложенного к концу полубесконечного стержня (Г. Я. Галин, 1958).
За пределами упругости зависимость a = a (e) для упруго-пластиче-
упруго-пластических сред имеет различный вид при нагружении и разгрузке. Задача о рас-
распространении упруго-пластических волн в полубесконечной среде при
d2o/d&2<:0 ив предположении, что разгрузка совершается по линейно
упругому закону, впервые рассмотрена X. А. Рахматулиным A945).
Если х — продольная координата, t — время, то в случае полубесконечной
среды область (х, t) делится на две части. В одной из них происходит нагру-
жение, в другой — разгрузка. Трудность решения соответствующей систе-
системы двух гиперболических уравнений связана с тем, что граница между
названными зонами, называемая волной разгрузки, заранее неизвестна.
13 случае, когда волна разгрузки представляет собой волну слабого разры-
разрыва, предлагались различные способы решения: метод степенных рядов
<Х. А. Рахматулин, 1945), метод характеристик (Г. С. Шапиро 1946;
В, Л. Бидерман, 1952), графический метод (С. Д. Мочалов, 1952) и др.
Проблемы существования и единственности волны разгрузки изуча-
изучались А. М. Скобеевым A962); им, кроме того, показано, что при t->- оо
р&орость распространения волны разгрузки асимптотически стремится
jk скорости распространения упругих волн.

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 309
Случай ударного нагружения, при котором волна разгрузки пред-
представляет собой волну сильного разрыва, был также исследован весьма
подробно (X. А. Рахматулин и Г. С. Шапиро, 1948; В. С. Ленский, 1949;
Н. Ф. Лебедев, 1952). Этот случай важен в том отношении, что он встреча-
встречается в задачах о продольных соударениях стержней за пределами упруго-
упругости (В. Г. Чебан, 1952; Р. И. Надеева, 1953). Для подобных задач представ-
представляет интерес одновременный учет местного смятия и процесса распростра-
распространения волн (С. А. Зегжда, 1965). При этом удалось обнаружить существо-
существование некоторого безразмерного параметра, определяющего процесс
(в том числе времена соударения и нарастания контактного усилия, мак-
максимальное значение контактного усилия и коэффициент восстановления).
Кроме того, для полубесконечного стержня и стержня конечной длины
из условия равенства потенциальной энергии деформации удалось линеа-
линеаризовать зависимость между контактной силой и местным смятием.
Прогресс в исследовании распространения плоских упруго-пластиче-
упруго-пластических волн выразился как в усовершенствовании аналитических средств,
так и в применении ЭВМ.
Существенные упрощения аналитической процедуры были достигнуты
за счет удачных аппроксимаций связи между напряжениями и деформация-
деформациями или преобразований исходной системы уравнений. Так, если записать
уравнения движения в виде (Г. А. Домбровский и Г. В, Литвинов, 1966)
dh . ч dt dh . ч dt /O оч
причем
^? fde' . C-3)
где h — лагранжева координата, t — время, и — скорость, р0 — началь-
начальная плотность, и придать а (и) одну из следующих форм *);
а (и) = п2 tg2 (ти), а (и) = п* th2 (mv), а (и) = п2 cth2 (mu) C.4)
(здесь т и п — произвольные постоянные), то по формулам
еИ= jl^P a(i;) = Po J a(v)dv C-5)
можно получить три семейства зависимостей напряжений от деформаций
от = а (г; т, п, Си Со), каждое из которых зависит от четырех парамет-
параметров: ттг, п, С± и Сз (Ci и С2 — произвольные постоянные интегрирования
в C.5)). Если заданная связь or = a (e) совпадает с одним из этих трех
семейств, то решение задачи будет точным; в противном случае удается
получить простые приближенные решения. Примеры использования тако-
такого преобразования приведены Г. А. Домбровским и Г. В. Литвиновым
A966) и Г. В. Литвиновым A965).
Принятие связи между напряжениями и деформациями в виде кусков
двух линий (прямой и параболы) дало возможность изучить явление рас-
распада произвольного разрыва при взаимодействии волны разгрузки
с ударной волной на примере задачи о стержне конечной длины, к одному
из концов которого приложена нагрузка, остающаяся некоторое время
*) Эти аппроксимации были предложены ранее Г. А. Домбровским A963) для
уравнений газовой динамики.

310 н. в. зволинский, м. и. рейтман, г. с. шапиро
постоянной, а затем мгновенно снижаемая (А. И. Буравцев и Н. А. Есенина,
1966). С помощью зависимости
<* = <>•—$?щ> C-6)
где А, Ь, с* и к — константы материала, решена задача о стержне конеч-
конечной длины, один из концов которого движется с постоянной скоростью
(А. И. Буравцев, 1965).
Ряд интересных решений был получен с помощью кусочно-линейных —
билинейной (Л. Р. Ставницер, 1964) и трилинейной (А. П. Синицын, 1964)—
аппроксимаций диаграммы сг — 8. Последний случай дал возможность
изучить распространение волн в затвердевающем упруго-пластиче-
упруго-пластическом слое.
Что касается использования ЭВМ, то преимущества применения вычи-
вычислительной техники в случае метода характеристик были продемонстри-
продемонстрированы Н. А. Нестеренко A964). Была также рассмотрена задача о затуха-
затухании одномерной волны при экспоненциальном затухании давления на кон-
конце стержня (Л. П. Орленко и Г. Ф. Ефремова, 1965).
Особенности распространения упруго-пластических волн в стержнях
с переменным пределом текучести, важные при изучении многократных
ударов по стержню, рассматривались X. А. Рахматулиным A946).
С теоретической и практической точек зрения большое значение имеет
задача об отражении и преломлении плоской пластической волны при
наличии граничной плоскости. Не удивительно, что она привлекла боль-
большое внимание исследователей. Однако посвященные этой проблеме работы
(Г. М. Ляхов и Н. И. Полякова, 1962; Н. В. Зволинский и Г. В. Рыков,
1963, 1965; Г. М. Ляхов, Р. А. Осадченко и Н. И. Полякова, 1965;
Г. М. Ляхов, 1966; 3. В. Нарожная, 1966; Н. В. Зволинский, 1967) либо
содержали решения, основанные на простейшей аппроксимации закона
сжатия, либо не учитывали граничной плоскости, либо приводили к слож-
сложному аналитическому описанию, из которого было затруднительно сделать
какие-либо выводы.
Предположение о жесткой разгрузке (Н. В. Зволинский, 1967) позво-
позволило изучить некоторые общие свойства задачи отражения, а также иссле-
исследовать характер явлений на основе численных решений. При этом оказа-
оказалось, что обычно принимаемое априорное предположение о том, что в об-
области отраженной волны имеет место разгрузка, вообще ошибочно, хотя
погрешности, истекающие из этой ошибки, обычно малы. В частности, если
закон сжатия линейный, то гипотеза о разгрузке оправдывается. Исследо-
Исследование влияния граничной плоскости с заданным на ней напряжением
на распространение отраженной волны показало, что отраженная волна
начинает «чувствовать» внешнюю нагрузку сразу же после начала отраже-
отражения. Сначала это влияние невелико, но, постепенно возрастая, оно приоб-
приобретает решающее значение и, наконец, приводит к уничтожению ударной
волны, которая никогда не может достигнуть плоскости, кроме случая
стационарной волны. Оказалось, что этот факт, отмеченный для частных
случаев (см., например, 3. В. Нарожная, 1965), имеет общий характер.
Для некоторых материалов, например для отожженной малоуглероди-
малоуглеродистой стали, обнаружен эффект так называемого «запаздывания текучести».
Оказалось, что при внезапно приложенном постоянном давлении, превы-
превышающем статический предел текучести, пластическая деформация воз-
возникает не мгновенно, а через некоторое время. Каждому частному значению
напряжения а соответствует свое время ti запаздывания текучести. В слу-

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 311
чае, если приложенное напряжение возрастает со временем, для U обычно
используется формула
J (?)'* = *, C.7)
О
где о>*, а и С — постоянные материала. Формула C.7), хорошо согласую-
согласующаяся с экспериментами, была предложена на основании теоретических
соображений Дж. Кемпбеллом, который принял за критерий текучести
некоторое критическое значение плотности освобожденных дислокаций;
величина t\ не должна превосходить 1 сек. Влияние температуры на запаз-
запаздывание текучести исследовалось Ю. Я. Волошенко-Климовицким A962,
1965). Теория распространения продольных упруго-пластических волн
в стержнях с учетом эффекта запаздывания текучести была предложена
Ю. Н. Работновым A967).
Эффекты, связанные с распространением плоских волн при тепловом
ударе в упругой среде, изучались В. И. Даниловской A952). Аналогичная
задача для упруго-пластического материала, обладающего линейным
упрочнением, исследовалась Ю. П. Суворовым A964), рассмотревшим теп-
тепловой удар по концу полубесконечного стержня при линейном законе воз-
возрастания температуры со временем (коэффициент теплопроводности счи-
считался пропорциональным температуре, а механические характеристики
материала — независимыми от температуры). При таком законе нелиней-
нелинейное уравнение теплопроводности допускает простое автомодельное реше-
решение, что существенно упрощает уравнение распространения упруго,
пластических волн. Оказалось, что при скорости распространения тепла-
равной скорости распространения упругих или пластических возмуще-
возмущений, происходит образование волн сильного разрыва.
Значительный интерес представляют одномерные задачи, посвящен-
посвященные распространению волн при сложном напряженном состоянии. Поста-
Постановка такой задачи принадлежит X. А. Рахматулину A952), давшему и ее
решение на основе деформационной теории пластичности для случая скру-
чивающе-сжимающего удара. Позднее аналогичная задача была рассмот-
рассмотрена для сдвигающе-сжимающего удара (X. А. Рахматулин и В. С. Анци-
Анциферов, 1964). Эта проблема в дальнейшем привлекла большое внимание
за рубежом. Детальное исследование сдвигающе-сжимающего удара на ос-
основе теории Прандтля — Рейсса было проделано А. М. Скобеевым A965).
3.2. Упруго-вязко-пластические тела. Несмотря на то, что упруго-
пластическая модель во многих отношениях правильно отражает динами-
динамическое поведение металлов, для выполненных за два последние десятиле-
десятилетия работ по распространению нелинейных волн в твердых телах характе-
характерен критический подход к теории упруго-пластических волн, имеющий
целью ее уточнение. Выявлены некоторые экспериментальные факты,
не допускающие объяснения на основе модели упруго-пластического тела.
В первую очередь сюда относятся наблюдения над распространением
догрузочных импульсов (волн) в предварительно напряженных стержнях,
выведенных за пределы упругости. Теория распространения упруго-
пластических волн предсказывает, что скорость распространения догру-
-зочного импульса по предварительно деформированному стержню опреде-
определяется наклоном динамической диаграммы при данной деформации.
Однако опыты (см., например, М. В. Малышев, 1961) показали, что в ме
таллических стержнях передний фронт догрузочного импульса при любых
предварительных деформациях распространяется со скоростью упругих

312 н. в. зволинский, м. и. рейтман, г. с. шапиро
волн. Имеются основания полагать, что эффект, связанный со скоростью
пластических деформаций, зависит от величины а — / (е), представляющей
собой превышение мгновенного напряжения над напряжением, соответ-
соответствующим той же деформации при статическом испытании. Поэтому для
модели упруго-вязко-пластической среды обычно используется закон
деформирования
при
т — /(е)) при a>crs, J.
где as — статический предел текучести, или еще более общий закон
Ег = о при a<;as, 1
"I о \ > / Ir -^" S? У
который согласуется с теорией дислокаций. При высоких скоростях дефор-
деформаций модель вязко-упруго-пластической среды ведет себя упруго с моду-
модулем Е, благодаря чему она объясняет распространение догрузочных волн
со скоростью упругих волн.
Добавление к этим определяющим уравнениям уравнения движения
^-Р-?- (ЗЛО)
дх k dt v '
и уравнения непрерывности
дг dv /q л л \
dt дх V • /
приводит к системе уравнений гиперболического типа, имеющей три семей-
семейства характеристик: dx ± с dt = О, dx = 0, где с = (ElpI/2. При этом
вдоль da; = с d? do — рс dv = — g (or, s) Л,
вдоль б&с = — ей do -\- рс dv — — g (or, e) dt,
вдоль dr = О Е ds — do = g (g, г) dt.
Замена дифференциальных соотношений вдоль характеристик урав-
уравнениями в конечных разностях дает возможность численного решения
задач. Именно таким путем были получены первые решения в данной обла-
области, найденные В. В. Соколовским A948) для случая / (г) — ors, т. е. для
случая материала, не обладающего деформационным упрочнением.
Наиболее полное с математической точки зрения исследование систе-
системы уравнений C.8), C.10), C.11) проведено В. Н. Кукуджановым A965,
1967). В первой из его работ дано решение задачи о распространении
упругой волны разгрузки, а во второй — выполнен анализ системы урав-
уравнений асимптотическим методом и с его учетом проделаны детальные вычис-
вычисления на ЭВМ.
На основе предположения / (е) = os было изучено распространение
продольных волн в полубесконечном стержне, составленном из двух частей,
обладающих разными пределами текучести (В. Н. Кукуджанов и Л. В. Ни-
Никитин, 1966). При этом рассматривались разные случаи. В частности,,
если в зоне, прилегающей к ударяемому концу, предел текучести выше,
чем в более отдаленной зоне, и величина скорости удара подобрана так,
чтобы предел текучести был превышен только во второй зоне, первая часть
стержня остается упругой. Введением новых переменных оба уравнения

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 313
сводятся к такому виду, к которому удобно применить преобразование
Лапласа.
Были изучены некоторые обобщения закона деформирования C.8).
В частности, анализ распространения волн нагружения для среды с нели-
нелинейной вязкостью вида
?к? (ЗЛ2)
показал (А. М. Скобеев, 1967), что в такой среде возмущения могут распро-
распространяться со скоростью, отличной от упругой (движение при этом пред-
предполагалось близким к автомодельному).
Явление запаздывания текучести с учетом вязких эффектов исследо-
исследовали В. С. Ленский и Л. Н. Фомина A959) и В. А. Котляревский A962).
При использовании линейной вязко-пластической модели (пренебре-
(пренебрегающей упругими деформациями) скорости и напряжения в области, где
возникают пластические деформации, должны подчиняться уравнению
теплопроводности. Ряд известных решений теории теплопроводности непо-
непосредственно переносится на задачи о распространении возмущений в вязко-
пластических телах. Например, задача об ударе с постоянной скоростью
по полубесконечному вязко-пластическому стержню эквивалентна задаче
о внезапном нагреве полубесконечного стержня, температура конца кото-
которого внезапно повышается и остается постоянной (В. В. Соколовский,
1949). В случае вязко-пластического тела, обладающего жесткой разгруз-
разгрузкой, аналогичная задача сводится к задаче Стефана теории теплопровод-
теплопроводности (Г. С. Шапиро, 1966).
Большой интерес был проявлен к задаче об ударе вязко-пластического
стержня конечной длины о жесткую преграду. Решение ее показало
(Г. И. Баренблатт и А. Ю. Ишлинский, 1962), что при ударе стержень делит-
делится на две части. В одной из них, примыкающей к ударяемому концу, имеет
место вязко-пластическое течение; другая часть движется как твердое тело.
Положение подвижной границы определяется в ходе решения задачи.
Справедливость этой схемы была доказана А. М. Скобеевым A966).
Первоначально система основных уравнений задачи решалась прибли-
приближенно, методами осреднения, применяемыми в теории пограничного слоя.
В дальнейшем та же задача была решена с использованием приема дискре-
дискретизации (А. Ю. Ишлинский и Г. П. Слепцова, 1969): стержень заменялся
системой сосредоточенных масс, соединенных вязко-пластическими стерж-
стержнями. При этом решение уравнения теплопроводности с подвижной гра-
границей сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Распространение возмущений при ударе твердым телом по полубеско-
полубесконечному вязко-пластическому стержню с учетом линейного деформацион-
деформационного упрочнения было исследовано И. Н. Зверевым A950); задача была
позднее обобщена на случай упруго-вязко-пластического материала
(Г. Л. Комиссарова и С. А. Лежов, 1965).
Существенный интерес представляет проблема динамической устой-
устойчивости стержней за пределами упругости. С учетом эффектов запазды-
запаздывания текучести и вязкости ее рассматривали А. К. Перцев и А. Я. Ру-
колайне A965).
3.3. Сферические, цилиндрические и неодномерные волны. При воз-
возникновении упруго-пластических волн в полубесконечном стержне пла-
пластические деформации распространяются до бесконечности (легко пока-
показать, что волна разгрузки никогда не догонит фронта упругой волны).

314 н. в. зволинский, м. и. рейтман, г. с. шапиро
В случае сферических и цилиндрических волн пластические деформации
распространяются только на конечное расстояние.
Задача о распространении сферической волны нагрузки была впер-
впервые поставлена Л. В. Альтшулером A946). Решение для волны нагрузки,
справедливое до момента размыва волны сильного разрыва, отделяющей
области упругих и пластических деформаций, было получено Ф. А. Бах-
шияном A948). Полное исследование задачи о распространении волн нагру-
жения (включая определение момента размыва волны сильного разрыва)
и разгрузки было произведено Я. Б. Лунцем A949).
Исследование распространения цилиндрических волн сдвига пока-
показало (X. А. Рахматулин, 1948), что в случае линейного упрочнения материа-
материала величины скоростей и деформаций на фронте упругих волн падают
обратно пропорционально квадратному корню расстояния до центра сим-
симметрии.. Относительно просто исследуется вопрос о напряжениях в цилин-
цилиндрической трубе из идеально пластического несжимаемого материала
при внезапном приложении нагрузки: дело сводится к интегрированию
обыкновенного нелинейного дифференциального уравнения первого поряд-
порядка (Е. X. Агабабян, 1953). В случае сжимаемого материала с одним и тем же
модулем сжатия как в области упругих, так и в области пластических
деформаций задача решается методом характеристик (Е. X. Агабабян,
1955). При этом обнаружено наличие особого типа волн, исходящих
от внутренней поверхности цилиндра с одной и той же скоростью и в даль-
дальнейшем расслаивающихся.
Аналогичные задачи о распространении возмущений при сферической
и цилиндрической симметрии были получены и с учетом вязких эффектов.
Численные решения на основе упруго-вязко-пластической модели были
найдены для цилиндрических волн сдвига (В. В. Соколовский, 1948),
для сферических волн давления (В. Н. Кукуджанов, 1959) и для цилин-
цилиндрических волн давления (Л. В. Никитин, 1959).
На основе вязко-пластической модели были решены задачи о дефор-
деформировании цилиндра под действием внутреннего давления (А. А. Илью-
Ильюшин, 1940) и о распространении цилиндрических волн сдвига (П. М. Оги-
балов, 1941; Ф. А. Бахшиян, 1948).
Ряд задач о взрыве в условиях сферической симметрии был решен
с ориентацией на динамику грунтов *).
Успехи в решении неодномерных динамических задач на основе пла-
пластической модели тел достигнуты лишь за последнее десятилетие. При
этом использовались, в частности, некоторые методы газовой динамики..
Как известно, при обтекании тонкого тела со сверхзвуковой скоростью
движение среды происходит в основном вдоль плоскостей, перпендику-
перпендикулярных к направлению полета, что существенно упрощает анализ. Это
использовалось при решении задач о распространении волн в полупро-
полупространстве, на границе которого действует нормальное давление. Здесь
также можно выделить характерное направление движения, совпадающее
с направлением действия давления. Приближенное решение для упруго-
пластического полупространства под действием нормального давления
на части границы было получено на основе этого соображения X. А. Рах-
матулиным A959).
Систему уравнений плоскодеформированного движения сжимаемой
идеально пластической среды оказалось возможным свести и к волновому
*) Механике грунтов посвящен в этом томе обзор С. С. Григоряна и В. А. Иосе-
левича (стр. 203—225) (Ред.).

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 315
уравнению движения баротропного газа (Г. А. Гениев, 1962). С помощью
применяемого в газовой динамике метода естественных координат удалось
построить приближенные приемы решения уравнений плоскодеформиро-
ванного движения жестко-пластической и упруго-пластической сред
(О. Д. Григорьев, 1962).
Автомодельные движения несжимаемого идеально пластического
тела в условиях плоской деформации рассматривались М. И. Эстриным
в условиях плоского напряженного состояния A958) и в случае сжимаемой
среды, подчиняющейся условию текучести Треска A962). Задача о дви-
движении с постоянной скоростью ступенчатой нагрузки исследовалась
А. М. Скобеевым A965).
§ 4. Динамика неупругих конструкций
Под конструкциями будем понимать тела, у которых одно или два
измерения значительно превышают третье. К ним относятся стержни, гиб-
гибкие нити, мембраны, балки, рамы, пластинки и оболочки. Обзор работ
по распространению волн в стержнях дан в § 3.
4.1. Гибкие нити и мембраны. Трудности построения упруго-пласти-
упруго-пластической теории поперечного удара по нитям связаны с необходимостью
учета как двойной нелинейности задачи (отклонений нити от первоначаль-
первоначальной формы и нелинейной формы связи между напряжениями и деформаци-
деформациями), так и условий контакта нити с ударяемым телом.
В теории, развитой в ряде работ Х.'А. Рахматулина A945, 1947, 1952),
проблемы распространения продольных и поперечных волн в нитях удалось
разделить. В первой из указанных работ было дано решение задачи об уда-
ударе по гибкой нити бесконечной длины, когда ударяющее тело движется
с постоянной скоростью. Аналитически задача сводится к решению двух
дифференциальных уравнений относительно двух компонент перемещения.
В частности, был рассмотрен практически важный случай, когда диаграм-
диаграмма растяжения нити может быть представлена ломаной из двух участков
(билинейный закон). Кроме того, рассматривался нормальный удар телом
конечной массы с исчезающе малыми размерами. Возникающее в резуль-
результате удара натяжение сразу после соударения уменьшает скорость тела.
При этом вправо и влево от места соударения одновременно распростра-
распространяются риманова волна и волна разгрузки. Дальнейшее решение зависит
от постулированного соотношения между скоростями этих волн.
Первые по времени решения относились к бесконечным нитям.
И. Н. Зверев A950) рассмотрел удар нити о клин. В его работе была введе-
введена импульсивная сила, действующая на частицы нити, которые находятся
на границе областей прилегания и свободного движения.
В задачах о нитях конечной длины картина усложняется за счет
отражений от концов. В этих случаях наиболее эффективными оказались
численные методы. Последующие улучшения касались главным образом
учета реальных условий нагружения.
Так, X. А, Рахматулин исследовал удар по гибкой нити телом задан-
заданной формы (например, тупым клином).
Заметим, что относительная аналитическая простота задачи о нити
позволила использовать ее в непрямых методах определения механических
характеристик материалов.
А. А. Рябис A966) развил это направление. В его постановке беско-
бесконечно длинная гибкая прямолинейная нить налетает на притуплённое тело
и разбивается на две области: область свободного движения нити и область

316 Н. В. ЗВОЛИНСКИЙ, М. И. РЕЙТМАН, Г. С. ШАПИРО
прилегания нити к телу. Для границы этих областей, названной волной
сильного разрыва, выводятся уравнения движения и неразрывности.
В обеих областях считается, что движение подчиняется волновым уравне-
уравнениям. Добавлением геометрических условий задача замыкается. Зависи-
Зависимость а (е) берется по схеме линейного упрочнения. Найдена деформация
нити в области прилегания до момента проникновения поперечной волны
в прямолинейную часть нити. А. А. Рябисом введена обусловленная
импульсивной силой сила трения в области прилегания на волне сильного
разрыва. Показано, что сила трения значительно больше касательного
усилия, возникающего на волне сильного разрыва. Благодаря этому окаг
залось возможным ввести дополнительное условие равенства нулю каса-
касательной скорости частиц в области прилегания на волне сильного разрыва.
Это позволило определить деформацию названных частиц. Деформация
получилась положительной, т. е. на волне сильного разрыва возникает
растяжение, в отличие от предшествующих результатов, упомянутых выше,
где возникало сжатие и приходилось в области прилегания вводить волну
разгрузки. Рассмотрены условия применимости данной схемы.
Новые численные и алалитические методы дали возможность расши-
расширить круг исследуемых задач о нити.
А. Л. Павленко, Б. М. Павлов и Г. С. Росляков A965, 1966) численна
исследовали движение нелинейно упругих нитей.
Н. Н. Попов и Б. С. Расторгуев A966) дали с помощью разложения
в тригонометрический ряд по длине приближенное решение задачи о дви-
движении нити из упруго-пластического материала с упрочнением по били-
билинейному закону, а также для материала, закон деформирования которого
имеет вид
S D.1)
под действием равномерно распределенной нагрузки. Ими рассмотрена
та же задача для упруго-вязко-пластического материала. Движение упру-
упруго-вязко-пластической нити в пластической стадии описывается нелиней-
нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка, для решения кото-
которого авторы применяют численный метод Адамса — Штермера. П. А. Рах-
Рахманов A959) добавил к условиям задачи об ударе по нити учет влияния
сопротивляющейся ее движению среды.
Некоторая аналогия в механическом поведении гибких нитей и тонких
мембран позволила вскоре же после исследования явления удара по гибкой
нити перейти к аналогичному анализу гибкой мембраны. Первое прибли-
приближенное решение при условии пренебрежения кольцевыми напряжениями
в круглой мембране получил Д. М. Григорян A949). В ряде последовав-
последовавших за этим работ это допущение было снято. Так, М. П. Галин A949)
рассмотрел удар по круглой мембране в одной точке телом с постоянной
скоростью движения. Позже рассматривался удар по мембране осесиммет-
ричным телом (У. Бектурсунов, 1966)* В последнем случае принималось,
что радиальные и поперечные движения не связаны друг с другом и что
решение задачи может быть получено с помощью раздельного интегриро-
интегрирования двух различных уравнений распространения волн.
Более сложную задачу рассмотрели С. М. Белоносов, А. Л. Павленко,
Б. М. Павлов и Г. С. Росляков A966), которые исследовали удар по мем-
мембране абсолютно жестким цилиндром. Начальный скачок скорости при
этом передается по мембране в виде двух волн: поперечной и продольной*

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 317
4.2. Балки. Систематическое изложение теории динамического нагру-
жения балок можно найти в монографиях X. А. Рахматулина
и Ю. А. Демьянова A961), И. Л. Диковича A962), И. И. Гольденблата
и Н. А. Николаенко A961).
Получение достаточно строгих решений для динамического нагру-
жения упруго-пластических балок встречает серьезные трудности, которые
удается преодолеть только в отдельных случаях нагружения и опирания
балок. В работе И. Л. Диковича A962) описано решение для движения
свободно опертой балки под действием внезапно приложенной равномер-
равномерной нагрузки, постоянной во времени и не превышающей 4по величине
предельную статическую нагрузку. В некоторый момент времени в сере-
середине балки образуется пластический шарнир, после чего рассматривается
движение двух половинок балки, из анализа которого получается выра-
выражение для перемещений, которое остается справедливым до тех пор, пока
угловая деформация в пластическом шарнире не изменит знака. Для упро-
упрощения И. Л. Диковичем предложены приближенные методы, например
метод Бубнова — Галеркина. Как это часто делается в нелинейных зада-
задачах, удерживайся один член аппроксимирующего ряда. При этом прихо-
приходилось вводить допущение о стационарности пластических шарниров,
которое, как известно, с ростом интенсивности внезапной нагрузки пере-
перестает оправдываться и может привести к серьезным погрешностям. Весьма
перспективно применение ЭВМ к расчету балок. Так, В. К. Кабулов A963)
для представления изгибных колебаний консольной балки переменной
жесткости воспользовался системой неравных сосредоточенных масс,
подвешенных к невесомому упруго-пластическому элементу.
Специфические черты имеет механическое поведение балок из арми-
армированных материалов. Рядом особенностей обладает расчет железобетон-
железобетонных балок (Н. Н. Попов и Б. С. Расторгуев, 1964). Это вызвано тем, что
работа железобетонных элементов распадается на четыре стадии: 1) от на-
начала нагружения до появления трещин в растянутой зоне бетона; 2) от
окончания первой стадии до наступления текучести арматуры; 3) от окон-
окончания второй стадии до разрушения сжатой зоны бетона; 4) потеря несу-
несущей способности конструкции. В переармированных конструкциях третья
стадия отсутствует и хрупкое разрушение бетона происходит сразу же
по окончании второй стадии.
Характер движения железобетонных балок связан в первую очередь
«с интенсивностью нагружения, которая определяет возникновение упо-
упомянутых стадий работы материала. Все стадии, кроме первой, требуют
учета пластических деформаций, причем во второй и третьей стадиях воз-
возможен затухающий колебательный процесс. В случае потери несущей
способности можно применять результаты жестко-пластического анализа,
принимая за предельный пластический момент соответствующее предель-
предельное значение для железобетонных сечений. Аналогичным образом рассмот-
рассмотрена задача о движении хрупко разрушающейся балки, причем зависи-
зависимость между углом поворота и моментом принята в виде билинейного
закона разупрочнения. Поскольку согласно этой диаграмме сопротивле-
сопротивление с ростом прогибов падает и в конечном счете становится равным нулю,
для каждого вида нагружения можно указать определенную величину
прогиба, при превышении которой произойдет разрушение конструкции.
Н. Н. Попов и Б. С. Расторгуев рассмотрели также движение железо-
железобетонной балки в первых трех стадиях с учетом линейной зависимости
предела текучести арматуры от времени. Схема разрушения балки, как
ж прежде, принималась в виде механизма с одним шарниром в центре.

318 н. в. зволинский; м. и. рейтман, г. с. шапиро
Анализ полученных результатов для конкретной балки показал суще-
существенное отличие их от расчета по схеме Прандтля. Оказалось, что с увели-
увеличением интенсивности импульса динамический предел текучести стремится
к постоянной величине, равной 1,75 Мо (Мо — статический предельный
пластический момент).
Как уже отмечалось, существенные математические трудности, воз-
возникающие при решении упруго-пластических задач, а также тот факт, что
при интенсивных нагружениях стадией упругой работы балки можно пре-
пренебречь, создают условия для применения жестко-пластического анализа.
При этом могут быть успешно применены вариационные принципы (см.,
например, решение А. Р. Ржаницына A959), относящееся к движению
балки на двух опорах, в котором результат, полученный вариационным
методом, совпадает с точным).
В то же время применение жестко-пластического анализа позволяет
учесть некоторые дополнительные факторы, которые сделали бы неосу-
неосуществимым упруго-пластический анализ. К числу таких факторов можно
отнести влияние внешней среды на движение балки. Движение жестко-
пластических балок в сопротивляющейся среде впервые рассмотрел
Г. С. Шапиро A962). В порядке развития этой работы А. А. Амандосов
A965) рассмотрел движение жестко-пластической балки в сопротивляю-
сопротивляющейся среде под действием сосредоточенной силы при заданной скорости
движения одного из сечений в любой момент времени. Сопротивление сре-
среды принималось зависящим от скорости перемещения балки. При неко-
некотором специальном задании функции перемещения фиксированного сече-
сечения балки удалось получить решение задачи в квадратурах.
Ряд решений задач по движению жестко-идеально-пластических балок
приведен в книге И. Л. Диковича A962). В частности, там собраны реше-
решения задач о движении бесконечных балок при перемещении с постоянной
скоростью одного сечения и действии в некотором сечении сосредоточенной
силы, о движении безопорной балки конечной длины при действии сосре-
сосредоточенной нагрузки, о движении свободно оперной балки при действии
нагрузки, распределенной по параболе.
4.3. Арки и рамы. В. П. Тамуж A962) рассмотрел движение круго-
круговой жестко-пластической арки под действием приложенной в центре сосре-
сосредоточенной нагрузки. Предполагалось, что движение арки, аналогична
статическому деформированию, происходит с образованием трех пласти-
пластических шарниров. Далее автор использовал для определения двух неза-
независимых параметров, характеризующих механизм деформирования, при-
принадлежащий ему же вариационный принцип, в результате чего задача
свелась к решению двух трансцендентных уравнений. Для подтверждения
правильности полученных решений необходимо, кроме того, убедиться,
что предел текучести не превышен в жестких частях арки. Полученная
картина движения в общем удовлетворительно подтверждается экспери-
экспериментом. Данная работа интересна также как первый пример использова-
использования в динамике неупругого тела математического аппарата квадратичного
программирования. Если разбить дугу арки на п равных частей, то соглас-
согласно B.3) задача сведется к отысканию минимума некоторой квадратичной
функции при линейных ограничениях, т. е. к задаче квадратичного про-
программирования. Для решения этой задачи автор предлагал использовать
метод Уолфа.
Аналогичный с точки зрения кинематического механизма подход,
применялся к круговым железобетонным аркам Н. Н. Поповым и Б. С. Ра-
Расторгуевым A966), которые дали выражения для прогибов упруго-пласти-

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 319
ческих арок под действием симметричной и несимметричной наг-
нагрузок.
Во всех упомянутых работах, касающихся движения арок, влиянием
нормальной и поперечной сил на несущую способность пренебрегалось.
Судя по исследованному влиянию этих факторов для прямолинейных
балок, они могут существенно сказаться на картине деформирования.
Начиная с шестидесятых годов стали появляться многочисленные
исследования, посвященные описанию динамического поведения много-
многостержневых систем, в которых образуются пластические шарниры.
В работе Г. В. Иванова, Ю. В. Немировского, Ю. Н. Работнова A963)
рассмотрена динамика перекрестных балок, перекрывающих прямоуголь-
прямоугольный пролет и расположенных на одинаковых расстояниях одна от другой.
В зависимости от соотношения пролетов, расстояний между балками и пре-
предельных пластических моментов в них могут встретиться два случая:
1) перекрестные балки остаются неподвижными во все время движения,
а каждая главная балка ведет себя как неразрезная на s опорах (s — коли-
количество перекрестных балок); 2) после того, как началось движение балок
главного направления, исчерпывается несущая способность перекрестных
балок. Для каждого случая составлены уравнения движения главных
и перекрестных балок. Вид уравнений движения и количество шарниров
зависят от того, четно или нечетно количество балок одного направления.
Так, при четном количестве перекрестных балок задача сводится к реше-
решению системы линейных дифференциальных уравнений.
Расчет рам на динамические воздействия производился главным обра-
образом в связи с проверкой их на сейсмические нагрузки. Эта весьма сложная
и актуальная проблема находится сейчас в центре внимания ученых, при-
причем учет пластических деформаций здесь совершенно необходим. Требо-
Требование, чтобы в результате сейсмического воздействия деформации в
каркасе сооружения оставались упругими, приводит к громадному перерас-
перерасходу материалов. Преодоление математических трудностей, связанных с
расчетом рам в упруго-пластической стадии работы, так же как и в случае
пространственных конструкций, производится обычно за счет уменьшения
числа степеней свободы системы и сосредоточения масс в одной или несколь-
нескольких точках. При этом чаще всего рама приводится к системе с одной сте-
степенью свободы — консоли с сосредоточенной на конце массой. Система-
Систематическое изложение такого подхода и его обобщение на системы с дву-
двумя степенями свободы проведено в монографии И. И. Гольденблата
и Н. И. Николаенко A961). Авторы рассматривают движение системы
с одной степенью свободы, когда материал несущего элемента определяет-
определяется диаграммой Прандтля под действием мгновенного и прямоугольного
импульса. Для работы рам при сейсмических нагрузках характерно пол-
полное разрушение элементов в местах действия наибольших изгибающих
моментов, в связи с чем в этих местах образуются не пластические, а иде-
идеальные шарниры. С математической точки зрения решение таких задач
не представляет дополнительных трудностей по сравнению с упругим
расчетом, между тем результаты их существенно разнятся. Эта разница
проистекает еще и из того, что сейсмические нагрузки, действующие
на сооружение, зависят от величины реакции сооружения, а последняя
намного уменьшается при учете пластических деформаций и тем более при
выключении из работы отдельных связей.
В той же монографии содержится изложение задач о движении систем,
в которых несущий элемент обладает упрочнением, при действии мгновен-
мгновенного, прямоугольного, синусоидального и экспоненциально убывающего^

320 Н. В. ЗВОЛИНСКИЙ, М. И. РЕЙТМАН, Г. С. ШАПИРО
импульсов. В качестве обобщения исследуется система с двумя степенями
свободы, материал несущих элементов которой подчиняется схеме Прандт-
ля (разгрузка параллельна прямому нагружению). Рассмотрены свобод-
свободные колебания описанной системы при условии, что в начальный момент
ей придана заданная скорость. Такой подход применим в первом прибли-
приближении для определения остаточных деформаций.
Следует отметить, что назначение величин сейсмических нагрузок
при расчете сооружений весьма условно. Более точный подход связан с уче-
учетом акселелограмм реальных землетрясений, что в общем случае следует
производить с использованием теории случайных процессов. Однако
возможен в качестве приближенного и детерминистический подход к зада-
задаче, когда в качестве входных воздействий оперируют математическими
ожиданиями ускорений основания сооружения. Тогда же, в начале шести-
шестидесятых годов, стало ясно, что возможности аналитического подхода к за-
задаче динамического расчета неупругих рам практически исчерпаны и необ-
необходим переход к численным методам, основанным на использовании ЭВМ.
В работе А. С. Тяна A964) процесс движения системы с одной степенью
свободы рассматривается по этапам. Использование ЭВМ сделало воз-
возможным и неаналитическое задание закона изменения ускорений.
Э. Е. Хачиян A966) рассмотрел подобным же образом колебания
упруго-пластических рам с любым числом степеней свободы. В качестве
воздействия принимались акселелограммы реальных землетрясений. Чис-
Численный пример проделан для четырехэтажной рамы, материал которой
следует диаграмме Прандтля. Интегрирование системы производилось
приближенным методом с помощью ЭВМ. В результате полученные авто-
автором остаточные деформации составляют не более 10—15% от амплитуд,
и их роль в колебательном процессе невелика. Этот вывод, сделанный для
одного частного примера, разумеется, не дает еще повода для обобщений.
Обратим внимание, что решение этой и аналогичных задач хотя и име-
имеет прямой целью описание поведения рам, ко за счет введенных аппрокси-
аппроксимаций фактически сводится к расчету консольных балок. В связи с этим
здесь могут быть с успехом использованы результаты, полученные для
описания движения консольных балок (см. п. 4.2). Это позволит учитывать
рассредоточенные по длине массы и, в частности, решить задачу о распро-
распространении по высокому сооружению изгибных волн, вызванных сейсми-
сейсмическим толчком.
Разумеется, аппроксимация рамы консолью далеко не отвечает всем
требованиям. В связи с этим в ряде работ последнего времени предлагалось
рассматривать динамическую картину движения механизма, получающе-
получающегося при образовании в раме пластических шарниров. Опыт исследования
движения жестко-пластических балок показывает, что к реальным резуль-
результатам здесь можно прийти, только считая шарниры стационарными.
4.4. Пластинки и оболочки. Специфика тонкостенных пространствен-
пространственных конструкций часто позволяет считать, то при многих видах нагруже-
ния все точки конструкции вовлекаются в работу одновременно, и не
исследовать соответствующий волновой процесс. Однако даже в таких
условиях задача является весьма сложной за счет необходимости учета
пространственной работы материала и непростой кинематики движения.
Исследования советских ученых относились сначала к вязко-пластиче-
вязко-пластическим и жестко-идеально-пластическим осесимметричным пластинкам.
Вязко-пластические пластинки были исследованы Ф. А. Бахшияном
A948). Он считал материал бингамовым с линейной зависимостью напря-
напряжения от скорости деформации и рассмотрел случай, когда ударяющая

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 321
масса намного больше массы части пластинки, испытывающей удар, в силу
чего можно пренебречь изменением скорости в момент удара. Затем в уточ-
уточненной постановке изгиб круглой пластинки из вязко-пластического мате-
материала исследовался в работе Г. М. Гизатулиной A964).
А. М. Кочетков A950) рассмотрел удар абсолютно жестким цилиндром
по пластинке из идеально пластического материала и получил численное
решение.
Несколько позже исследования были перенесены на другие модели
материала пластинки. Упруго-пластические пластинки исследовал
М. П. Галин A958, 1959). Им изучались поперечные колебания балок
и пластинок, нагруженных за пределом упругости. Материал считался
линейно упрочняющимся и несжимаемым, влиянием сдвигающих усилий
и вращательной инерции пренебрегалось. Решение получено с помощью
разложений в ряды.
В работе А. П. Синицына A965) изучены общие условия распростра-
распространения термоупруго-пластических волн напряжений и проведен расчет
упруго-пластических пластинок трех видов (прямоугольной пластинки,
пластинки на упругом основании и трехслойной пластинки) при действии
внешнего потока тепла, изменяющегося со временем. Для трехслойной
пластинки исследованы две специфические формы колебаний и получен
критерий для определения оптимального соотношения жесткостей эле-
элементов пластинки. Произведена оценка влияния пластических зон.
А. Д. Багдасаров A964) составил систему дифференциальных уравне-
уравнений для описания колебаний произвольных упруго-пластических пласти-
пластинок при больших прогибах. Я. Аминов A964) составил соответствующую
систему для круглых пластинок.
Применение модели жестко-пластического материала позволило
Г. С. Шапиро A959) дать решение задачи об ударе по кольцевой пластинке.
Состояние численных методов и вычислительной техники до середины
шестидесятых годов не позволяло использовать упруго-пластическую
модель для анализа динамического поведения пластинок, исключая слу-
случай осесимметричной задачи. В силу этого для конструкций более сложного
очертания в плане (в частности, для прямоугольных пластинок) был пред-
предложен ряд решений, в основе которых лежит представление о линиях
пластических шарниров, т. е. о некотором обобщении понятия пластиче-
пластического шарнира в изгибаемой балке.
При расчете прямоугольных плит на поперечную нагрузку Н. Н. По-
Попов и Б. С. Расторгуев A964) предполагали, что после достижения момен-
моментом в направлении меньшего пролета в середине плиты предельной вели-
величины мгновенно образуются линейные шарниры пластичности, очертание
которых соответствует обычной схеме «конверт», которая применяется при
определении верхней границы несущей способности при статическом рас-
расчете (углы наклона шарниров в углах принимались равными 45°). Такая,
схема, разумеется, весьма приближенна, но она несколько выигрывает
по сравнению с полным пренебрежением упругой работой плиты, приня-
принятым в жестко-пластическом анализе. Таким образом, плита в пластиче-
пластической стадии представлялась как система с одной степенью свободы. При
составлении уравнений движения в пластической стадии работы исполь-
использовалось уравнение работ. Очевидно, что такой путь возможен лишь при
жестком задании механизма деформирования. При интегрировании урав-
уравнения движения в пластической стадии начальными условиями служило
равенство количества движений в конце упругой и в начале пластической
стадии.
21 Механика в СССР, т. 3

322 н. в. зволинский, м. и. рейтман, г. с. шапиро
Как подчеркивает В. П. Тамуж A963), для уточнения механизма
деформирования плиты в пластической стадии может быть использован
вариационный принцип B.3).
Ряд исследований был направлен на уточнение понятия внешней
среды, в которой происходит движение деформируемых пластинок.
Задача об упруго-пластических деформациях пластинки, лежащей
на жидком основании, рассматривалась Л. И. Слепяном A964).
Удар с постоянной скоростью по кольцевой жестко-пластической
пластинке, находящейся в среде, сопротивление которой пропорционально
скорости движения пластинки, изучался А. А. Амандосовым A962).
Предпринимались попытки ввести в рассмотрение более сложные
модели механического поведения материала пластинок. Еще в 1959 г.
появилась работа Л. В. Никитина, в которой он исследовал движение
упруго-вязко-пластических балок и пластинок.
Задача о динамическом поведении осесимметричных оболочек при
учете пластических деформаций особенно актуальна в связи с исследова-
исследованием влияния взрыва и теплового удара на такие конструкции. Поэтому
она стала предметом многих исследований. Начнем с исследований по ци-
цилиндрическим оболочкам.
Задача динамической устойчивости для упруго-пластической оболочки
с начальными несовершенствами решалась А. К. Перцевым A964). Авто-
Автором рассмотрен процесс потери устойчивости круговой цилиндрической
оболочки, находящейся под действием внешнего гидростатического давле-
давления, к боковой поверхности которой приложена динамическая нагрузка.
Считалось, что в пластических зонах компоненты напряжения остаются
постоянными. Далее вводилась функция напряжений для прогибов и на-
начальной погиби. Влияние жидкости на изгибное движение оболочки учи-
учитывалось приближенным коэффициентом. В результате ряда допущений
оказалось, что уравнение неразрывности может быть проинтегрировано
точно, а уравнение движения — методом Бубнова — Галеркина. В итоге
автор проанализировал поведение коэффициента перегрузки, определяю-
определяющего превышение критической динамической нагрузки над соответствую-
соответствующей статической. С увеличением длительности действия нагрузки коэффи-
коэффициент перегрузки уменьшается, а при значениях длительности, равных
или больших трех периодов собственных колебаний, становится практи-
практически равным единице.
Упруго-пластический анализ железобетонных оболочек при действии
динамической нагрузки дан Н. Н. Поповым и Б. С. Расторгуевым A964),
которые рассмотрели осесимметричную и пологую прямоугольную в плане
оболочки. При анализе пологих оболочек в качестве условия перехода
в пластическую стадию работы принималось условие достижения теку-
текучести в бортовых элементах оболочки. Тангенциальными инерционными
силами авторы, как обычно, пренебрегли. В качестве механизма разруше-
разрушения в пластической стадии работы принималась система шарниров в углах
оболочки, направленных под углом 45° к сторонам, и шарниров, параллель-
параллельных сторонам? так что средняя прямоугольная часть оболочки перемеща-
перемещалась как жесткое целое. При подсчете работы внутренних сил работой
изгибающих моментов в шарнирах текучести пренебрегалось.
Для цилиндрических оболочек оказалось возможным проследить весь
процесс деформирования конструкции аналитически, разбив его на ряд
стадий.
П. А. Кузиным A963, 1964) изучено динамическое деформирование
жестко-пластической цилиндрической оболочки с заделанными и со сво-

ДИНАМИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 323
бодно опертыми краями. Нагрузка считается приложенной в некотором
сечении оболочки по кольцу.
Полное исследование задачи о движении полубесконечной оболочки
со свободным краем под действием кольцевой сосредоточенной нагрузки
дано в работе П. А. Кузина и Г. С. Шапиро A965).
Ряд исследований посвящен движению жестко-пластических сфери-
сферических куполов. Сюда относятся работы Н. Н. Попова и Б. С. Расторгуева
A964), М. И. Рейтмана A964) и М. И. Ерхова A966).
Для динамического нагружения жестко-пластического железобетон-
железобетонного купола Н. Н. Попов и Б. С. Расторгуев A964) предложили использо-
использовать меридиональную схему деформирования, которая реализуется при
недостаточно прочном опорном контуре.
В работе М. И. Рейтмана A964) задача о динамическом деформирова-
деформировании жестко-пластической оболочки, материал которой подчиняется усло-
условию Треска, решена с использованием вариационного принципа B.3)
и обобщенного метода Ритца. При этом механизм деформирования, в отли-
отличие от описанных выше работ, характеризуется не сосредоточенными, а рас-
распределенными деформациями удлинения и изгиба.
Как видим, во многих приближенных исследовайиях авторы пренебре-
пренебрегали работой изгибающих моментов. Это оправдывает применение к зада-
задачам о динамическом нагружении идеально пластических оболочек обычно-
безмоментной теории оболочек.
М. И. Рейтман A964) рассматривал идеально пластическую оболочку
в предположении, что вся она находится в состоянии текучести. Это позво-
позволяет выделить простую систему уравнений, напоминающую уравнения
плоской задачи теории пластичности при статическом нагружении,
М. И. Ерхов A966) рассматривал пологую сферическую оболочку под дей-
действием нагрузки, действующей в течение заданного конечного промежутка
времени. Материал оболочки считался следующим условию текучести,
предложенному автором ранее.
А. А. Амандосов A962) обобщил задачу о движении цилиндрической
жестко-пластической оболочки под действием внутреннего давления
на случай наличия сопротивляющейся среды. Сила сопротивления при-
принималась пропорциональной скорости нормального перемещения. Автор
пришел к выводу, что влияние сопротивляющейся среды существенно даже
при «средних» нагрузках.
Задачи динамического деформирования оболочек при взрывных
и электрогидравлических воздействиях решались Л. П. Орленко и изло-
изложены в его монографии A964).

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ
в. в. болотин, э. и. григолюк
§ d. Общий исторический обзор 325
§ 2. Понятие устойчивости упругих систем 328
§ 3. Уравнения возмущенного движения 331
§ 4. Методы определения критических параметров 333
§ 5. Устойчивость упругих стержней и стержневых систем 338
§ 6. Устойчивость упругих пластин. Устойчивость упругих оболочек (линейная
теория) 340
§ 7. Устойчивость упругих оболочек (нелинейная теория) 342
§ 8. Устойчивость упругих и упруго-пластических систем 346
§ 9. Устойчивость вязко-упругих и вязко-упруго-пластических систем .... 347
§ 10. Устойчивость упругих систем при следящих нагрузках 350
§ 11. Устойчивость при ударных нагрузках 351
§.12. Устойчивость вынужденных колебаний и параметрический резонанс
в упругих системах 353
§ 13. Устойчивость упругих систем, взаимодействующих с жидкостью или газом 355
§ 14. Статистические методы в теории упругой устойчивости 358
§ 15. Ближайшие задачи и перспективы 360
§ 1. Общий исторический обзор
Теория устойчивости упругих и неупругих систем принадлежит
к числу разделов механики, разработка которых тесно связана с развитием
техники. Большая часть задач теории устойчивости зародилась непосред-
непосредственно из инженерной практики. Повышение прочности конструкционных
материалов, тенденция к снижению веса сооружений и машин, внедрение
рациональных тонкостенных конструкций — все это стимулировало раз-
разработку теории. Последние десятилетия характеризовались резким повы-
повышением скоростей, ускорений, температур и других параметров, внедрени-
внедрением новых материалов и новых технологических процессов, выдающимся
прогрессом в авиации, ракетной технике, судостроении, энергетике и тех-
технологии. В связи с этим возникли новые направления в теории упругой
и неупругой устойчивости. Можно без преувеличения сказать, что теория
устойчивости деформируемых систем никогда не утратит своей актуаль-
актуальности. Проблема обеспечения устойчивости неотъемлема от задачи повыше-
повышения прочности конструкционных материалов.
Интерес отечественных ученых к теории устойчивости упругих и не-
неупругих систем имеет традиции, уходящие в далекое прошлое. Эти тради-
традиции берут свое начало от классических трудов Л. Эйлера A744—1757 гг.)
по теории продольного изгиба. Среди работ, относящихся к предреволю-
предреволюционному периоду, следует указать на исследования Ф. С. Ясинского
A892—1895 гг.) по упруго-пластическим задачам продольного изгиба

326 в. в. болотин, э. и. григолюк
и по обоснованию применимости линейных уравнений для вычисления
критических сил, труды И. Г. Бубнова A902, 1904, 1912 гг.) по устойчи-
устойчивости и послекритическим деформациям элементов судовых конструкций,
С. П. Тимошенко A905—1916 гг.) по продольному изгибу стержней и
стержневых систем, плоской форме изгиба стержней, изгибу пластин
и оболочек, а также работы Б. Г. Галеркина A909 г.), А. Н. Динника
A911, 1913 гг.), А. П. Коробова A911, 1913 гг.). Особое влияние на после-
последующее развитие теории оказали сформулированный С. П. Тимошенко
A907 г.) энергетический метод определения критических нагрузок, а также
предложенный впервые И. Г. Бубновым A911, 1913, 1914 гг.) прибли-
приближенный метод, получивший позднее название метода Бубнова — Га-
Галеркина.
В периодизации последних пятидесяти лет развития теории, которые
являются предметом настоящего обзора, естественно различать довоенный
период A917—1941 гг.) и послевоенный период A945—1967 гг.). Работы,
опубликованные во время войны, будем условно относить к довоенному
периоду. Основным направлением довоенного периода было развитие теории
устойчивости упругих стержней и стержневых систем. Вскоре после
революции были опубликованы исследования Е. Л. Николаи A918, 1923)
по устойчивости упругих колец и криволинейных стержней. К тому же
направлению относятся работы И. Я. Штаермана A929, 1930, 1937)
и А. Н. Динника A929, 1933, 1935, 1936). Устойчивости стержней и стерж-
стержневых систем были посвящены исследования А. Н. Крылова A931, 1935),
И. М. Рабиновича A932), Н. В. Корноухова A935), А. П. Коробова A936),
Н. Г. Ченцова A936), А. А. Белоуса A937), Н. К. Снитко A938),
П. Ф. Папковича A939), И. Я. Штаермана и А. А. Пиковского A939).
Общую теорию устойчивости тонкостенных стержней открытого профиля
разработал В. 3. Власов A938, 1940). По устойчивости упругих пластин
и оболочек .было опубликовано сравнительно немного работ. К ним отно-
относятся, в частности, работы Л. С. Лейбензона A917), П. Ф. Папковича
A920, 1929), И. Я. Штаермана A929), X. М. Муштари A934, 1938),
В. В. Новожилова A941).
Вместе с тем в довоенный период появились работы, которые по новиз-
новизне постановки и содержащимся в них результатам на несколько десятилетий
опередили свое время и были по достоинству оценены лишь позднее.
К ним, прежде всего, относится статья Н. М. Беляева A924), в которой
впервые была поставлена и решена задача о динамической устойчивости
стержня, сжатого периодической продольной силой. Перед войной эти
исследования были продолжены Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым
A935), В. Н. Челомеем A938, 1939), который ввел также термин «дина-
«динамическая устойчивость» упругих систем, наконец, Г. Ю. Джанелидзе
и Ю. М. Радцигом A940) и В. А. Боднером A940). Разработка другого
аспекта в теории упругой устойчивости была начата Е. Л. Николаи
A928, 1929), который рассмотрел некоторые задачи устойчивости упругих
стержней, находящихся под действием «следящих» сил.
Послевоенный период характеризуется обращением к более общим
и принципиальным вопросам теории, разработкой теории устойчивости
упруго-пластических и вязко-упругих систем, теории динамической устой-
устойчивости. Но основное внимание было все же обращено на развитие теории
устойчивости оболочек. Разработка линейной теории устойчивости упру-
упругих оболочек была завершена В. 3. Власовым A944, 1949), Ю. Н. Работ-
новым A946), X. М. Муштари с сотрудниками A946—1958) и др. Общая
нелинейная теория устойчивости оболочек разрабатывалась Н. А. Алу-

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 327
мяэ A949—1956), X. М. Муштари и К. 3. Галимовым A948—1967),
И. И. Воровичем A955—1957) и др. Своеобразный метод решения нелиней-
нелинейных задач был развит А. В. Погореловым A960—1966). Многочисленные
задачи были рассмотрены Н. А. Кильчевским A942, 1967), В. И. Феодосье-
вым A946, 1954), Д. Ю. Пановым и В. И. Феодосьевым A948, 1949),
С. А. Амбарцумяном с сотрудниками A950, 1955), А. С. Вольмиром с сот-
сотрудниками A950—1964), М. А. Колтуновым A952, 1961), Э. И. Григолю-
ком A954, 1955), X. М. Муштари с сотрудниками A954—1966), Н. А. Алу-
мяэ A955—1958) и др. Разрабатывались вопросы устойчивости слоистых
ортотропных и анизотропных пластин и оболочек. К этому направлению
принадлежат работы X. М. Муштари A938, 1961), С. Г. Лехницкого A947),
В. И. Королева A956, 1965), А. П. Прусакова A951—1958), Э. И. Гри-
голюка с сотрудниками A957—1966), А. Я. Александрова с сотрудниками
A959,1960), С. А. Амбарцумяна с сотрудниками A961—1966), Ю. М. Тарно-
польского и Г. А. Тетерса A965—1967) и др.
Были продолжены исследования по динамической устойчивости упру-
упругих систем. Параметрические колебания были рассмотрены в работах
И. И. Гольденблата A947, 1948), В. В. Болотина A951—1956), Г. Ю. Джа-
Джанелидзе A953, 1956), В. Н. Челомея A956), В. А. Якубовича A958) и др.
Исследование В. Н. Челомея A956) нашло также и важное техническое
приложение. Устойчивость упругих систем при действии сил, зависящих
от деформации («следящих») сил, рассматривалась В. В. Болотиным
{1956—1961), Г. Ю. Джанелидзе A958) и др. Статьей М. А. Лаврентьева
и А. Ю. Ишлинского A949) было начато изучение явлений потери устой-
устойчивости при ударной нагрузке. Эти явления изучались далее А. С. Вольми-
Вольмиром с сотрудниками A959—1966), Э. И. Григолюком с сотрудниками A963)
и др. Устойчивость пластин и оболочек, взаимодействующих с жидкостью
или газом, анализировалась В. В. Болотиным A956—1961), Э. И. Гри-
Григолюком A956), А. А. Мовчаном A956, 1957), Р. Д. Степановым A957—
1960), В. В. Болотиным с сотрудниками A959, 1961), С. А. Амбарцумяном
с сотрудниками A961), П. М. Огибаловым A961), Э. И. Григолюком
с сотрудниками A962—1965). Г. Н. Микишевым A959), В. В. Болотиным
A958—1961), И. И. Воровичем A959) и А. С. Вольмиром с сотрудниками
A964, 1965) было начато применение статистических методов к задачам
теории упругой и неупругой устойчивости.
В области устойчивости упруго-пластических систем существенные
результаты были получены А. А. Ильюшиным A944, 1948), Л. А. Толокон-
никовым A949), Л. М. Качановым A951—1956), Ю. Н. Работновым A952),
Я. Г. Пановко A954, 1962), Ю. Р. Лепиком A956, 1957), Э. И. Григолюком
A957, 1958), В. Д. Клюшниковым A957, 1966), Л. В. Ершовым A961)
и др. Устойчивость линейных вязко-упругих систем рассматривалась
А. Р. Ржаницыным A946, 1949). Устойчивость стержней, пластин и обо-
оболочек в условиях ползучести изучалась Ю. Н. Работновым и С. А. Шесте-
Шестериковым A957, 1959, 1961, 1963), Л. М. Куршиным A961, 1963), Э. И. Гри-
Григолюком и Ю. В. Липовцевым A965, 1966), М. А. Колтуновым A965—
1967) и др.
Было достигнуто продвижение в области общей теории. В. В. Ново-
Новожилов A948) проанализировал проблему теории упругой устойчивости
с точки зрения нелинейной теории упругости. Эти исследования были
продолжены Г. Ю. Джанелидзе A955), В. В. Болотиным A956, 1958)
и др. Выводу уравнений устойчивости упругих систем из общих вариаци-
вариационных принципов посвящены работы В. В. Болотина A961, 1965). Другое
направление берет начало от работы А. Ю. Ишлинского A954), в которой

328 в. в. болотин, э. и. григолюк
задача об устойчивости равновесия стержня решается на основе уравнений
теории упругости. К этому направлению принадлежат, например, работы
Д. Д. Ивлева A965), А. Н. Гузя A967) и др. Стала общепринятой точка
зрения, согласно которой не только задачи устойчивости движения, но
и задачи устойчивости равновесия упругих систем следует рассматривать
с позиций общей теории устойчивости движения. Была дана строгая поста-
постановка задач устойчивости распределенных систем путем распространения
теории А. М. Ляпунова на метрические функциональные пространства
(В. И. Зубов, 1957; А. А. Мовчан, 1959, 1960).
В послевоенный период продолжена разработка методов расчета стерж-
стержней и стержневых систем на устойчивость. А. Ф. Смирнов A947) предло-
предложил эффективный матричный метод расчета. Развитие этого метода содер-
содержится в дальнейших работах А. Ф. Смирнова с сотрудниками A950, 1957,
1958). А. Р. Ржаницын A948) предложил метод расчета на устойчивость
составных стержней. Е. П. Попов A948) рассмотрел послекритическое
поведение гибких стержней и классифицировал возможные расчетные схе-
схемы. Расчету стержней и стержневых систем на устойчивость посвящены
работы Н. В. Корноухова A949), Я. Л. Нудельмана A949), Н. К. Снитко
A952, 1956), В. Г. Чудновского A952), И. К. Снитко A960), С. А. Ро-
гицкого A961), Р. Р. Матевосяна A961), Н. И. Безухова и О. В. Лужина
A963) и др. Устойчивость тонкостенных стержней изучалась В. 3. Вла-
Власовым A947, 1959), С. А. Амбарцумяном A952), И. Ф. Образцовым A953)
и др. Прикладные вопросы расчета конструкций на устойчивость разра-
разрабатывались Б. М. Броуде A949), А. В. Геммерлингом A949), А. И. Сега-
Сегалем A949), В. В. Пинаджаном A956) и др.
В довоенные годы получили распространение книги А. Н. Динника
A939), И. Я. Штаермана и А. А. Пиковского A939). Современное состоя-
состояние теории устойчивости упругих систем освещено в ряде монографий.
К ним относятся книги А. С. Вольмира A956, 1963, 1967), В. В. Боло-
Болотина A956, 1961), А. Ф. Смирнова A958), X. М. Муштари и К. 3. Гали-
мова A957), П. М. Огибалова A963) и др. Расчеты на устойчивость занимают
большое место в классической трехтомной монографии по строительной
механике корабля П. Ф. Папковича (часть 2, 1941) и в третьем томе
руководства С. Д. Пономарева и др. A959).
Вопросы устойчивости широко представлены в трудах съездов и кон-
конференций по механике и, в частности, в трудах всесоюзных конференций
по проблемам устойчивости в строительной механике, а также по теории
оболочек и пластин.
§ 2. Понятие устойчивости упругих систем
Устойчивость есть свойство движения (в частном случае — равнове-
равновесия), понимаемого в широком, общенаучном смысле слова. Рассмотрим
некоторую механическую, электрическую, термодинамическую, биоло-
биологическую и т. п. систему. Допустим, что известно некоторое движение этой
системы, осуществляемое при определенном сочетании параметров системы
и окружающей среды. Назовем это движение невозмущенным. Теперь
представим себе, что упомянутые параметры (все или их часть) получили
небольшие изменения. Движение системы при этом также изменится.
Весьма важный вопрос состоит в том, насколько велики будут эти измене-
изменения, т. е. насколько возмущенное движение будет отличаться от невозму-
невозмущенного. Если малые воздействия будут вызывать малые отклонения от не-
невозмущенного движения, то возмущенные движения будут более или менее

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 329
плотно группироваться около невозмущенного движения. В этом случае
невозмущенное движение называется устойчивым. Если же малые воздей-
воздействия вызывают большие отклонения системы от невозмущенного движе-
движения, то движение называется неустойчивым. Таким образом, устойчивость
есть свойство системы мало отклоняться от невозмущенного движения при
малых возмущающих воздействиях.
Понятие устойчивости имеет фундаментальное значение. И в природе,
и в активной человеческой деятельности сколько-нибудь длительно могут
быть использованы лишь устойчивые явления и процессы. Неустойчивые
движения могут наблюдаться только непродолжительное время. Таким
образом, понятие устойчивости оказывается тесно связанным с понятием
осуществимости, реализуемости.
Вопросам устойчивости принадлежит видное место в инженерных
расчетах. Идеализированная конструкция, проектируемая инженером,
отличается от осуществляемой по этому проекту реальной конструкции.
Это отличие обусловлено многочисленными более или менее мелкими откло-
отклонениями от проекта, дефектами и несовершенствами. Инженеру необхо-
необходима уверенность в том, что, несмотря на наличие этих отклонений, реаль-
реальная конструкция будет работать примерно так же, как и соответствующая
ей идеализированная конструкция. При отсутствии такой уверенности
проектирование утратило бы смысл. Нетрудно видеть, что именно здесь
используется концепция устойчивости. Равновесие или движение проек-
проектируемой конструкции будет устойчиво, если малые несовершенства и де-
дефекты, малые отклонения от расчетной схемы вызовут малые отклонения
от идеализированных условий работы. Если же малые несовершенства
вызовут несопоставимо большие отклонения, то равновесие (движе-
(движение) будет неустойчивым. Проектировщик должен выбрать размеры кон-
конструкции таким образом, чтобы при всех возможных комбинациях нагру-
нагрузок равновесие (движение) конструкции оставалось устойчивым по от-
отношению ко всем видам возмущений, которые могут встретиться, и, более
того, чтобы обеспечивался определенный запас устойчивости.
Отметим четыре элемента, которые должны войти в любое определение-
устойчивости. Во-первых, это указание на невозмущенное движение
(равновесие), устойчивость которого исследуется. Нельзя говорить об
«устойчивости системы» вообще, можно говорить лишь об устойчивости
определенного движения (равновесия) этой системы. Во-вторых, опреде-
определение устойчивости должно содержать указание на то, по отношению
к каким параметрам движения исследуется устойчивость. Движение может
быть устойчивым по отношению к одной группе параметров и неустойчи-
неустойчивым по отношению к другой. Третьим элементом определения является
указание на класс возмущающих воздействий, вызывающих отклонения
от невозмущенного движения. Четвертый элемент — указание на интер-
интервал времени, в течение которого требуется близость невозмущенного
и возмущенного движений.
Математически строгое определение устойчивости движения упругих
систем берет начало от классического определения устойчивости по
А. М. Ляпунову A892 г.). Теория Ляпунова была построена для систем
с конечным числом степеней свободы, движение которых описывается
обыкновенными дифференциальными уравнениями. Распространение тео-
теории Ляпунова на континуальные системы стало возможным после того,
как она была сформулирована в терминах функционального анализа
(Н. Н. Красовский, 1956; В. И. Зубов, 1957; А. А. Мовчан, 1959, 1960).
Это позволило обобщить на весьма широкий класс метрических

330 в. в. болотин, э. и. григолюк
пространств многие понятия, теоремы и методы, данные Ляпуновым
и его последователями для конечномерного евклидова пространства.
Приведем основные определения (В. И. Зубов, 1957), опуская при
этом некоторые математические тонкости. Для простоты ограничимся
случаем, когда движение описывается одной функцией и (х, t) координаты
х и времени I. Рассмотрим множество движений, удовлетворяющих гра-
граничным условиям, условиям непрерывности и начальному условию
и (х, 0) = ср (х). Обозначим элементы этого множества через U = U (ф, t)
и введем метрическое расстояние между элементами множества U и F,
обозначаемое через р (U, V). Пусть невозмущенному движению Uo соот-
соответствует, начальное условие и (х, 0) = ф0. Невозмущенное движение Uo
называется устойчивым по отношению к метрике р, если для любого
8 > 0 можно указать такое б > 0, что из условия р (ф, ф0) < б следует
р [U (ф, t), Uo] < 8 для любых t >>' 0, В противном случае движение
называется неустойчивым. Если невозмущенное движение Uo устойчиво
и, кроме того, р [U (ф, t), U0]^>-0 при ?->оо, то оно называется
асимптотически устойчивым. А. А. Мовчан A960) отметил целесообраз-
целесообразность определения устойчивости, в котором одновременно используются
две различные метрики.
Выбор метрик зависит от типа задачи и требований, которые наклады-
накладываются на невозмущенное движение из соображений физического и техни-
технического характера. Требование локальной близости функции и ее произ-
производных приводит к метрикам типа
р! = SUp | U — V |, р2 = SUp | U — V | + SUp \utt + Vtt\,
X X
р3 = sup \u — и | + sup | и, t + vt t \Jr SUP I ut x — vtX\
X X X
и т. д. Другую группу образуют метрики, соответствующие близости
в среднем:
V2
о о
V2
= { J l(u~v)
и т. д. В приложениях обычно требуется не только устойчивость по пере-
перемещениям и скоростям, но и по напряжениям и деформациям. К тому же
в сплошной среде малость начальных перемещений и скоростей не означает
малости начальной энергии системы и не исключает «всплесков» переме-
перемещений и скоростей при t > 0. Поэтому важное место принадлежит метри-
метрикам энергетического типа. А. А. Мовчан A959, 1960) и А. М. Слободкин
A962) на примерах показали, что метрика, соответствующая полной энер-
энергии системы, приводит к результатам, которые согласуются с непосред-
непосредственным решением задачи Коши для возмущенного движения.
Технические приложения часто требуют обобщения данных выше
определений устойчивости на случай, когда возмущаются не только
начальные условия, но и коэффициенты дифференциальных уравнений,
граничные условия и сама граница. Расширенные таким образом опреде-
определения находятся в тесной связи с понятием корректности краевых задач
в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Вообще,
теория устойчивости деформируемых твердых тел, соответствующая
по строгости и эффективности классической теории Ляпунова, еще нахо-

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 331
дится в стадии начальной разработки. Практически все конкретные резуль-
результаты по устойчивости упругих и неупругих систем получены либо на ос-
основе методов, формально перенесенных из теории устойчивости дискрет-
дискретных систем, либо на основе линеаризованных уравнений возмущенного
движения.
§ 3. Уравнения возмущенного движения
Во многих случаях для суждения об устойчивости можно предполо-
предположить возмущения достаточно малыми и исследовать их характер, исходя
из линеаризованных уравнений возмущенного движения. Покажем поря-
порядок составления линеаризованных уравнений применительно к задачам
об устойчивости форм движения упругого тела. При этом будем исходить
из уравнений нелинейной теории упругости в форме, предложенной
В. В. Новожиловым A948).
Рассмотрим невозмущенное движение упругого тела, характеризуемое
вектором перемещений uj, тензором напряжений сг^, векторами объемных
и поверхностных сил Xj и pj. Невозмущенное движение в прямоугольных
декартовых координатах описывается уравнениями
[ом (8ji -\- Ujfi)]ik + Xj — puj,tt = 0, C.1)
где р — плотность материала. Здесь и в дальнейшем использовано правило
суммирования по немым индексам. На загруженной части поверхности
тела должны выполняться условия
_, /с I \ /О г>\
®hl \Pjl \ uj, l) Пк == Р) (O.Z)
(rij — вектор нормали к поверхности тела). Дадим телу некоторые малые
отклонения от невозмущенного движения и проследим за тем, как эти
возмущения меняются со временем. Компоненты возмущенного движения
(будем обозначать их значком ~, а возмущения — черточкой наверху)
будут иметь вид
(и.о)
= Xj + \lXj, Pj = pj + V>PJ
(возмущения объемных и поверхностных сил в общем "случае зависят
от времени t; jul — малый параметр). Подставляя C.3) в C.1) и C.2) и ис-
используя малость возмущений, получим после линеаризации уравнения
[стАг (8Я + wJt i) + aMujt t])k + Xj — pujttt = 0 C.4)
и граничные условия на загруженной поверхности
tew (8л + uJt i) + GkiUj, i\hh = pj. C.5)
При ЭТОМ Ojk = hjhlmUl, m, ГДе hjklm ~ ТвНЗОр упруГИХ ПОСТОЯННЫХ, СООТ-
ветствующий невозмущенному напряженному состоянию.
Во многих технических задачах невозмущенное движение мало отли-
отличается от начального недеформированного состояния и лишь переход
от устойчивости к неустойчивости сопровождается нарастанием деформа-
деформаций. Это позволяет отождествить геометрию невозмущенного состояния
с геометрией недеформированного состояния. Уравнения C.4) и граничные
условия C.5) при этом существенно упрощаются, поскольку в них опу-
опускаются члены, содержащие перемещения uj, а упругие постоянные берут-
берутся для недеформированного состояния.

332 В. В. БОЛОТИН, Э. И. ГРИГОЛЮК
Если внешние силы потенциальны, то нетрудно составить квадратич-
квадратичный функционал от uj, варьирование которого на множестве кинематиче-
кинематически допустимых движений приводит к линеаризованным уравнениям воз-
возмущенного движения ^3.4) и граничным условиям C.5). Например, в слу-
случае, когда все Xj = pj = О, а перемещения в невозмущенном состоянии
пренебрежимо малы, указанный функционал принимает вид
'1
= J [ J
t V
J [ J j> кЩ>т + GJkUijUi, k — puj, tuj, t) dV^ dt. C.6)
to
Здесь to и ti — произвольно выбираемые моменты времени; на концах
временного интервала движение не варьируется. Функционал C.6) с точ-
точностью до постоянного множителя совпадает со второй вариацией от ин-
интеграла действия, вычисленной на действительных отклонениях от невоз-
невозмущенного движения.
Задачи устойчивости типичны для тонких и тонкостенных тел. Реше-
Решения этих задач для стержней, пластин и оболочек строятся обычно на осно-
основе приближенных уравнений, в которых используются некоторые кинема-
кинематические и динамические гипотезы. Имеется несколько путей для получения
этих уравнений. Первый, наиболее ранний способ состоит в непосред-
непосредственном рассмотрении форм движения (равновесия), смежных с невоз-
невозмущенным. При этом ищется некоторая приведенная нагрузка, которая
вводится в уравнение невозмущенного движения. Все рассуждения носят
наглядный характер; однако в достаточно сложных задачах эта нагляд-
наглядность оказывается обманчивой. Другой путь состоит в использовании
нелинейных уравнений соответствующих прикладных теорий. Линеаризуя
последние в окрестности невозмущенного движения, получим искомые
уравнения. В теории оболочек этот путь использовался X. М. Муштари
A939), Н. А. Алумяэ A949), X. М. Муштари и К. 3. Галимовым A957),
Н. А. Кильчевским A963), В. М. Даревским A963) и другими авторами.
Однако в нелинейной теории имеется еще меньше единства взглядов на то,
как должны записываться основные уравнения. Следовательно, идя по это-
этому пути, мы лишь смещаем все трудности в другую, еще менее согласован-
согласованную область. Третий путь состоит в использовании общих уравнений
теории упругой устойчивости (В. В. Новожилов, 1940, 1948). Метод, осно-
основанный на соответствующем вариационном принципе, был применен
В. В. Болотиным A965). Этот метод открывает возможность для оценки
погрешности различных приближенных вариантов. При этом за меру
погрешности принимается взятое по модулю отношение членов, отбрасы-
отбрасываемых в выражении для плотности квадратичного функционала, к остав-
оставляемым главным членам — «энергетическая» погрешность. Был дан вывод
и последовательное упрощение уравнений теории устойчивости тонких
упругих оболочек на основе понятия «энергетической» погрешности.
Для удобства дальнейших ссылок приведем линеаризованные урав-
уравнения возмущенного движения для некоторых простейших задач. Малые
поперечные отклонения тонкого упругого стержня при наличии растя-
растягивающей осевой силы N описываются уравнением
(EIw,xx),xx - (Nw,x),x + 9Fw>tt = 0. C.7)
Здесь w (x, t) — нормальное перемещение точек, принадлежащих оси
стержня, EI — изгибная жесткость, F — площадь поперечного сечения.
На защемленном конце должны выполняться условия w = wtX = 0,
а на опертом конце — условия w = wtXX = 0. Если конец свободен, то

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 333
граничные условия зависят от поведения силы, приложенной на этом
конце. В случае силы, которая перемещается вместе с концом, сохраняя
начальное направление в пространстве («мертвая» сила), условия имеют
вид w)XX = О, (EIw,xx), x — Nw,x = 0. Если сила поворачивается, оставаясь
направленной по касательной к деформированной оси стержня («следя-
(«следящая» сила), то граничные условия будут иметь вид
wtXX = (EIwtXX)tX = 0.
Малые поперечные отклонения w (x±, х2, t) тонкой упругой пластины
постоянной толщины h с начальными усилиями в срединной поверх-
поверхности iVa/з описываются уравнением
DAAw - (Nafiwtp),ta + phw>tt = 0, C.8)
где ха (а = 1, 2) — декартовы координаты на срединной поверхности,
D — цилиндрическая жесткость. Для пологой оболочки естественно
использовать прямоугольные декартовы координаты, мало отличающиеся
от ортогональных криволинейных координат на срединной поверхно-
поверхности. При этом получаем уравнения (В. 3. Власов, 1944; Ю. Н. Работнов,
1946)
DAAw-Ak% — (ЛГази\э),а + рАм>,« = 0, л
АА% +Eh Akw = 0. J ( }
Здесь w (#i, x2, t) — функция нормальных перемещений, % (х\, х2, t) —
функция дополнительных усилий в срединной поверхности,
AlV = Wtii + U7f22, AkW = ^2^,11 + ^1^,22»
hi и к2 — главные кривизны срединной поверхности. Более подробные све-
сведения можно получить в учебниках и монографиях С. П. Тимошенко A946,
1955), В. В. Новожилова A948), X. М. Муштари и К. 3. Галимова A957),
А. С. Вольмира A963, 1965).
До сих пор мы обсуждали линеаризованные уравнения возмущенного
движения для упругого тела. Аналогично могут быть составлены уравне-
уравнения для тел, материал которых обладает неупругими свойствами. Так,
уравнения для линейного вязко-упругого материала получаются из урав-
уравнений для упругого материала, если произвести замену упругих постоян-
постоянных соответствующими вязко-упругими операторами. Однако в случае
упруго-пластического материала возникают существенные трудности.
Поведение упруго-пластического материала весьма чувствительно к малым
изменениям пути деформирования, что проявляется, в частности, в необ-
необходимости различать сколь угодно малые нагружения и разгрузку. Урав-
Уравнения деформирования упруго-пластических систем, вообще говоря,
не допускают линеаризации. Линеаризация возможна лишь при некоторых
дополнительных предположениях (например, при предположении, что
всюду происходит нагружение). Предположения такого рода сужают
класс рассматриваемых возмущенных движений; поэтому результаты,
полученные на их основе, имеют ограниченный или условный характер.
§ 4. Методы определения критических параметров
Основная задача теории устойчивости деформируемых систем заклю-
заключается в отыскании таких значений параметров системы и (или) внешних
условий, которые соответствуют переходу от устойчивости к неустойчи-
неустойчивости. Эти значения называются критическими. Чаще всего с точностью
до параметров задаются внешние силы; тогда говорят о критических силах.

334 В. В. БОЛОТИН, Э. И. ГРИГОЛЮК
Пусть, например, задача характеризуется одним параметром р. Без
ограничения общности можно принять, что р изменяется в пределах
О ^ р ^ оо, причем при р = 0 невозмущенное движение устойчиво.
Верхняя грань значений р = р*, при которых невозмущенное движение
остается устойчивым, называется критическим значением. В более общем
случае конечного числа параметров целесообразно ввести тг-мерное про-
пространство параметров рь |52, . . ., Рп и различать в нем области устойчи-
устойчивости и неустойчивости. Поверхности F (рь р2, . . ., рп) = 0, разделяю-
разделяющие области устойчивости и неустойчивости, называются критическими.
Если невозмущенное состояние есть равновесие, то может возникнуть
вопрос об одновременном существовании других устойчивых равновесных
состояний. Рассмотрим вновь случай одного параметра р. Верхняя грань
значений р = р**, при которых невозмущенное состояние является един-
единственным устойчивым состоянием равновесия, называется нижним крити-
критическим значением. При р** < р < Р* достаточно сильное возмущение
может перевести систему в другое устойчивое состояние равновесия.
Хорошо известным примером служит явление «хлопка» в тонких оболоч-
оболочках, испытывающих сжатие. В тех задачах, где используется понятие
нижнего критического значения, значение р = р* называется верхним
критическим. Если поведение системы зависит от п параметров р1? р2, . . . г
Рп и начало координат в пространстве параметров соответствует устой-
устойчивости, то по аналогии с предыдущим можно ввести понятие о верхней
и нижней критических поверхностях.
Общий метод исследования устойчивости упругих систем состоит
в рассмотрении совокупности движений, смежных с невозмущенными.
Этот метод тесно связан с общей теорией устойчивости движения и назы-
называется динамическим методом. При рассмотрении устойчивости форм рав-
равновесия уравнения возмущенного движения обычно линеаризуют. Полу-
Получаемые таким путем уравнения описывают малые колебания системы около
положения невозмущенного равновесия. Отсюда и другое название —
метод малых колебаний (Е. Л. Николаи, 1928, 1929).
Рассмотрим в качестве примера тонкий упругий стержень, испыты-
испытывающий осевое сжатие силами, не зависящими от времени. Заменяя в урав-
уравнении C.7) N через — piV и полагая w = ф ехр (г?), получим
(Е1ср,хх),х + р (N<p9X)tX.+ pFr\ = 0. D.1)
Уравнение D.1) рассматривается вместе с однородными граничными
условиями (например, <р = ф,хх = 0 для опертого по концам стержня).
Мы получаем, таким образом, задачу о собственных значениях, содержа-
содержащую два параметра — характеристический показатель г и параметр
нагрузки р. При р = 0 все г—чисто мнимые, а частоты колебаний —
действительные. Критическое значение р^ определяется из условия, что
при Р > Р* среди характеристических показателей г впервые окажется
хотя бы один, имеющий положительную действительную часть. Если выход,
на правую полуплоскость происходит через значение г = 0, то потеря
устойчивости невозмущенной формы равновесия носит неколебательный
характер. В остальных случаях будет иметь место неустойчивость коле-
колебательного типа. В задачах аэроупругости говорят о дивергенции и флат-
флаттере соответственно.
Метод малых колебаний не является строго обоснованным. Если
диссипация не учитывается, то при р < Р# все характеристические пока-
показатели лежат на мнимой оси. По аналогии с теорией устойчивости дискрет-
дискретных систем такой случай следует квалифицировать как сомнительный.

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 335
При потенциальных внешних силах с помощью прямого метода Ляпунова
(А. А. Мовчан, 1959) удается строго доказать устойчивость при C < C*.
К тому же в этом случае введение сколь угодно малой полной диссипации
смещает все характеристические показатели с мнимой оси на левую полу-
полуплоскость. Тогда при Р < Р* получаем аналог асимптотической устойчи-
устойчивости в теории дискретных систем.
Если внешние силы непотенциальны, то случай чисто мнимых харак-
характеристических показателей правильнее называть «квазиустойчивостыо»,
а значение параметра р* — «квазикритическим». Введение диссипативных
сил с полной диссипацией и здесь устраняет сомнительный случай. При
некотором р < Р*^ все показатели г находятся в левой полуплоскости;
при р > p#D хотя бы один из них находится в правой полуплоскости.
В неконсервативных задачах упругой устойчивости мы встречаемся с весь-
весьма существенным и на первый взгляд неожиданным фактом, что стремление
параметра диссипации к нулю не обязательно влечет за собой p*D -> р#.
При этом предельное значение р*?> зависит от принятого закона диссипа-
диссипации (В. В. Болотин, 1959, 1961).
Остановимся на других методах исследования устойчивости упругого
равновесия при потенциальных внешних силах. Среди этих методов важ-
важное место принадлежит энергетическому методу. Этот метод основан на те-
теореме Лагранжа — Дирихле, согласно которой в положении устойчивого
равновесия суммарная потенциальная энергия системы принимает мини-
минимальное значение.Теорема Лагранжа — Дирихле, доказанная строго для
системы с конечным числом степеней свободы, была распространена
на упругие системы Дж. X. Брайаном A888 г.), С. П. Тимошенко A907,
1908, 1910 гг.) и другими.
Применение энергетического метода сводится к исследованию свойств
квадратичного функционала потенциальной энергии Э, равной сумме
потенциальной энергии деформации (внутренней энергии) и потенциаль-
потенциальной энергии внешних сил. Если для всех кинематически допустимых вариа-
вариаций состояния 623 > 0, то состояние равновесия устойчиво; если хотя бы
для некоторых вариаций 82Э <С 0, то неустойчиво. Критическое значение
параметра р следует искать среди тех значений, для которых одновременно
8Э = 0, б25 = 0. В предположениях, при которых составлены уравнения
возмущенного движения C.6), имеем
62<9 = ( %jklmuj, huh m dV~ p j sJhui, Зщ9 k dV D.2)
V V
(Gjh = —Ps/fe). Уравнению C.7) соответствует выражение
i i
= j EI{w\xx)*dx-$ J N(w;x)*dx. • D.3)
о о
В формулах D.2) и D.3) для вариаций перемещений использованы те же
обозначения, что и для малых возмущений. Заметим, что в учебной и тех-
технической литературе слагаемые в правых частях выражений типа D.2)
и D.3) обычно интерпретируются как «потенциальная энергия деформа-
деформаций» и «работа внешних сил». Формулы типа
i
I EI(w,xx)*dx
р=А D-4>
J N (wt xJ dx
6

336 В. В. БОЛОТИН, Э. И. ГРИГОЛЮК
дают для критических параметров оценку сверху, если сравниваются
кинематически допускаемые состояния. Эти формулы можно рассматри-
рассматривать как одну из возможных реализаций энергетического метода (С. П. Ти-
Тимошенко, 1907 г. и ел.).
Исследование свойств функционала потенциальной энергии можно
заменить систематическим рассмотрением смены форм равновесия при
изменении параметров системы. Соображения, близкие к известной теории
бифуркаций А. Пуанкаре A884 г.), приводят к статическому методу в тео-
теории устойчивости упругих систем. Этот метод позволяет свести исследова-
исследование устойчивости к отысканию точек разветвления и предельных точек.
В окрестности точки разветвления наряду с исследуемой формой равно-
равновесия существуют некоторые смежные формы. При переходе через эту
точку может происходить потеря устойчивости по типу разветвления форм
равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообраз-
скачкообразный переход от одной формы равновесия к другой. Анализ типов предель-
предельных точек и смен равновесных состояний упругих систем можно найти
в работах Г. Ю. Джанелидзе A955), И. И. Гольденблата A965) и др. Основ-
Основную трудность в применении метода бифуркаций упругих систем состав-
составляет выбор параметров, характеризующих состояние системы. Строго
говоря, наличие точек бифуркации не является ни необходимым, ни доста-
достаточным условием смены устойчивости. Достоверность выводов, основанных
на бифуркационных соображениях, можно повысить, если увеличить число
параметров. Но при этом утрачивается главное преимущество бифуркаци-
бифуркационного метода — геометрическая наглядность.
Аналитическая реализация статического метода приводит к условию
б (Ъ*Э) = 0. D.5)
Здесь 62<9 — вторая вариация потенциальной энергии системы около
невозмущенного состояния равновесия системы, вычисленная в предполо-
предположении, что вариации перемещений совпадают с действительными возму-
возмущениями. Функционал 82Э вычисляется по формулам типа D.2) и D.3)
и варьируется далее по всем кинематически допустимым состояниям.
Соответствующие уравнения Эйлера — Остроградского представляют
собой известные уравнения нейтрального равновесия, которые описывают
равновесие системы в состоянии, смежном с невозмущенным. Варьирова-
Варьирование функционала D.2) приводит к уравнению
(hjklmul,m),k — Р (skl UJtl)tk = 0, . D.6)
а варьирование функционала D.3) — к уравнению
{EIw,xx),xx + Р (NwJ,x = &х D.7)
и"'т. д. Эти уравнения совпадают с линеаризованными уравнениями воз-
возмущенного движения, если полагать возмущения не зависящими от време-
времени. Уравнение D.7) получается из D.1), если положить характеристиче-
характеристический показатель г равным нулю.
В учебной и технической литературе обычно утверждается, что этот
метод годится только для тех задач, в которых потеря устойчивости про-
происходит по типу разветвления форм равновесия. В действительности урав-
уравнения нейтрального равновесия могут описывать поведение системы в ок-
окрестности предельных точек. Однако при этом необходимо учитывать
перемещения и деформации невозмущенного состояния, т. е. исходить

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 337
из уравнений типа C.4). Параметр нагрузки будет входить в уравнения,
вообще говоря, нелинейно.
Значительное число частных задач теории упругой устойчивости реше-
решено на основе уравнений нейтрального равновесия типа D.6) и D.7). Реше-
Решение задач сводится к отысканию собственных значений и выбору среди
них тех, которые соответствуют переходу от устойчивости к неустойчиво-
неустойчивости. При этом применяются разнообразные методы — как заимствованные
из математической физики, вычислительной математики, теории колеба-
колебаний, так и более специализированные приемы строительной механики,
теории оболочек и т. п. Среди них важное место занимают вариационные
методы: метод Рейли — Ритца A873, 1889, 1908 гг.), метод Бубнова
A911 г.) и др. Применение этих методов широко освещено в книгах
С. П. Тимошенко A946), П. Ф. Папковича A939), Л. С. Лейбензона A945),
Я. А. Пратусевича A948) и др. В задачах устойчивости оболочек потеря
устойчивости, как правило, сопровождается переходом через предельные
точки; кроме того, послекритические состояния оболочек представляют
определенный технический интерес. Поэтому в теории устойчивости обо-
оболочек широко используются нелинейные уравнения и соответствующие
энергетические функционалы. Вариационные методы служат здесь почти
единственным средством получения конкретных численных результатов
(X. М. Муштари, 1946, 1955; А. С. Вольмир, 1956, 1965; X. М. Муштари
и К. 3. Галимов, 1957; А. В. Погорелов, 1962, 1966, 1967, и др.). Многие
задачи решены при помощи процедуры П. Ф. Папковича A939), согласно
которой часть уравнений удовлетворяется точно, а часть — в вариацион-
вариационном смысле. Получил распространение также метод сведения задачи устой-
устойчивости к обыкновенным дифференциальным уравнениям (В 3 Власов
1932, 1939). ^ ..
Применяемый к расчету устойчивости оболочек при конечных проги-
прогибах метод последовательных нагружений (В. В. Петров, 1959) является
модификацией метода последовательных приближений. Метод игнориро-
игнорирования форм выпучивания при определении критических сил оболочек,
предложенный сперва для линейных задач (В. 3. Власов, 1949), был рас-
распространен на нелинейные задачи для однородных (А. В. Саченков, 1963;
К. 3. Галимов, 1965) и слоистых оболочек (Э. И. Григолюк, П П Чулков
1965). '
Ряд результатов в теории упругой устойчивости получен при помощи
других аналитических методов, например метода малого параметра
(П. Я. Полубаринова-Кочина, 1936; С. А. Алексеев, 1956), метода линей-
линейных интегральных уравнений (Н. В. Зволинский, 1937; Я. Л. Иудельман,
1949), асимптотических методов (И. И. Ворович, 1955; В. М. Корпев, 1967)!
Широко применяются численные и матричные методы (А. Ф. Смирнов,
1947, 1958; А. А. Петропавловский, 1961; А. Ф. Смирнов с сотрудниками^
1964, и др.). Для расчета стержней и стержневых систем используются
методы строительной механики: метод сил, метод деформаций, метод
начальных параметров (Н. В. Корноухов, 1939, 1949; А. Ф. Смирнов,
1947; И. П. Прокофьев и А. Ф. Смирнов, 1947; Н. К. Снитко, 1952, 1956;
В. Г. Чудновский, 1952; А. Р. Ржаницын, 1955; С. А. Рогицкий, 1961;
Н. И. Безухов и О. В. Лужин, 1963, и др.). Применяются качественные
методы, позволяющие получить для критических параметров односторон-
односторонние и двухсторонние оценки. Эти методы берут начало от работы П. Ф. Пап-
Папковича A937), в которой устанавливаются некоторые общие свойства
критических поверхностей в пространстве параметров. Развитие каче-
качественных методов содержится в работах А. Ф. Смирнова A947),
22 механика в СССР, т. 3

338 в. в. болотин, э. и. григолюк
Я. Л. Нудельмана A949), Р. Р. Матевосяна A961), Б. М. Броуде A964),
И. И. Гольденблата A965) и др.
Если внешние силы непотенциальны, то статический и энергетический
методы, вообще говоря, непригодны. Количество неконсервативных задач
упругой устойчивости, для которых удается получить точное решение,
весьма невелико. Обычный путь решения состоит в переходе к некоторой
эквивалентной системе с конечным числом степеней свободы. Такую систе-
систему можно получить, например, если распределенную массу заменить
конечным числом сосредоточенных масс (Е. Л. Николаи, 1928, 1929;
К. С. Дейнеко и М. Я. Леонов, 1955). Другой путь состоит в применении
метода Бубнова; при этом решение ищется в виде ряда с коэффициентами,
которые являются неизвестными функциями времени. Еще один способ
заключается в решении задачи Коши для достаточно широкого класса
начальных возмущений. Это решение может быть осуществлено на модели-
моделирующих или цифровых вычислительных машинах. Моделируя различные
возмущенные движения, мы можем сделать вывод и об устойчивости невоз-
невозмущенного движения. Этот способ применялся А. С. Вольмиром с сотруд-
сотрудниками A959, 1960), В. В. Болотиным и сотрудниками A959, 1960),
В. И. Феодосьевым A963) и другими.
§ 5. Устойчивость упругих стержней и стержневых систем
Вопросы устойчивости равновесия упругих стержней и стержневых
систем, нагруженных потенциальными силами, относятся к числу наиболее
разработанных разделов теории упругой устойчивости. Исследование этих
вопросов было начато еще в XVIII веке Л. Эйлером и продолжено
Ж. Л. Лагранжем, Г. Кирхгофом и другими крупными математиками и ме-
механиками. Бурное развитие промышленного и транспортного строитель-
строительства, судостроения и т. д. в конце XIX — начале XX века дало толчок
к усиленной разработке практических аспектов теории упругой устой-
устойчивости. Расчетной схемой для большинства конструкций того времени
служили стержни и стержневые системы. Основное внимание исследовате-
исследователей было вначале уделено стержням. К указанному периоду относятся
работы Ф. С. Ясинского, И. Г. Бубнова и С. П. Тимошенко.
Среди работ советского периода по устойчивости равновесия упругих
стержней можно выделить три направления.
Первое направление образуют работы по устойчивости криволинейных
стержней и колец. К ним относятся исследования Е. Л. Николаи A918,
1923), А. Н. Динника %A929—1936) и И. Я. Штаермана A929-1937),
продолженные в последующем А. А. Белоусом A937), Г. Ю. Джанелидзе
A939), Э. И. Григолюком A951), В. Г. Чудновским A952), Я. А. Пратусе-
вичем A952), А. Б. Моргаевским A957, 1959), В. М. Макушиным A959)
и др. В ряде работ подробно изучались пространственные формы потери
устойчивости с учетом поведения нагрузки в процессе потери устойчивости
(А. А. Петропавловский, 1953; В. В. Холчев, 1961, и др.).
Второе направление — это исследование устойчивости тонкостенных
стержней открытого и закрытого профиля. Первые и основополагающие
результаты здесь принадлежат С. П. Тимошенко A905, 1906 гг.), постро-
построившему теорию устойчивости двутавровых прямолинейных балок. В даль-
дальнейшем основные заслуги принадлежат В. 3. Власову A936—1940), кото-
который разработал общую теорию тонкостенных прямолинейных стержней,
подробно изучил изгибно-крутильные формы потери устойчиврсти, ввел
понятие круга устойчивости и т. д. Работы В. 3. Власова были продолже-

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 339
ны И. Ф. Образцовым A949, 1953), С. А. Амбарцумяном A953), Ю. Д. Ко-
пейкииым A957, 1960), В. И. Реутом A959), В. В. Мещеряковым A959Г
1962) и др.
Третье направление связано с исследованием деформаций стержней
после потери устойчивости. Ряд работ посвящен расчету гибких элемен-
элементов, встречающихся в приборостроении. Расчет этих элементов базируется
на точных (нелинеаризованных) уравнениях упругой кривой. Е. П. Попов
A948) ввел классификацию форм равновесия гибких стержней, имеющих
первоначально прямую или круговую оси, и предложил эффективные мето-
методы отыскания этих форм. В ряде работ изучаются послекритические дефор-
деформации упругих стержней, стесненные за счет наложения связей, и оцени-
оценивается несущая способность после потери устойчивости.
Вопросам расчета стержневых систем на устойчивость посвящена
весьма обширная литература. Статически неопределимые фермы, рамы
и арки являются типичными расчетными схемами в мостостроении, про-
промышленном строительстве, транспортном машиностроении и т. п. Расчет
таких систем на устойчивость составляет значительные вычислительные
трудности, особенно если система состоит из большого числа стержней
и если степень статической неопределимости достаточно высока. Для прео-
преодоления этих трудностей разработано большое число приемов, берущих
свое начало от классических методов строительной механики. Различные
методы обсуждаются в книгах А. Ф. Смирнова A947, 1958), Н. В. Кор-
ноухова A949), А. И. Сегаля A949, 1955), Н. К. Снитко A952, 1956),
В. Г. Чудновского A952), А. Р. Ржаницына A955), И. К. Снитко (I960),
Р. Р. Матевосяна A961), А. А. Пиковского A961), С. А. Рогицкого A961),
Н. И. Безухова и О. В. Лужина A963). Вопросам устойчивости стержневых
систем посвящены работы В. А. Гастева A929), И. М. Рабиновича A932),
А. П. Коробова A934—1954), С. Н. Никифорова A938), А. А. Курдюмова
A941-1964), Н. К. Снитко A947-1966) и др.
Помимо классических методов строительной механики, большое
развитие получили численные методы. А. Ф. Смирнов A947) предложил
матричный метод расчета сложных стержневых систем с произвольной
степенью статической неопределимости. Этот метод, объединяющий концеп-
концепции строительной механики с идеями интерполяционных методов, оказал-
оказался весьма универсальным средством расчета, приспособленным для реали-
реализации на электронных вычислительных машинах. В зарубежной литера-
литературе аналогичный метод был предложен лишь на десять лет позднее
(работы Дж. Аргириса и др.).
Метод А. Ф. Смирнова был применен к расчету на устойчивость слож-
сложных стержневых систем —пролетных строений мостов, арок снадарочным
строением, многопролетных рамных систем, высоких радиомачт и др.
Дальнейшее развитие метода освещено в книгах А. Ф. Смирнова A958),
А. Ф. Смирнова, А. В. Александрова, Н. Н. Шапошникова и Б. Я. Ла-
щеникова A964), в статьях А. В. Александрова A955, 1957), А. А. Пет-
Петропавловского A957, 1964), В. А. Смирнова A962), Б. Я. Лащеникова
A963), Б. П. Державина A966) и др.
Инженеры-расчетчики нуждаются также в качественных методах,
которые позволили бы делать грубые оценки численных значений крити-
критических сил, легко находить наилучшие способы повышения устойчивости,
переносить результаты, полученные для одних систем, на более широкий
класс систем. Основные результаты в этой области принадлежат П. Ф. Пап-
ковичу A937), А. Ф. Смирнову A947), Я. Л. Иудельману A949), Р. Р. Ма-
тевосяну A961), Б. М. Броуде A963). Примером реализации качественных
22*

340 в. в. болотин, э. и. григолюк
методов служат теоремы П. Ф. Папковича о выпуклости критической
поверхности. Другим примером могут служить теоремы А. Ф. Смирнова
о необходимых условиях для повышения критических сил путем изменения
свойств системы,
§ 6. Устойчивость упругих пластин.
Устойчивость упругих оболочек (линейная теория)
Линейная теория устойчивости плоской формы равновесия упругих
тонких пластин разработана весьма подробно. Большое количество резуль-
результатов было получено в предреволюционный период С. П. Тимошенко
A907—1916 гг.), А. Н. Динником A911 г.) К. А. Чалышевым A914 г.),
И. Г. Бубновым A914 г.). Работы последнего, посвященные расчету эле-
элементов судовых конструкций, были продолжены П. Ф. Папковичем A920),
А. П. Филипповым A933), А. Ш. Локшиным A935), Н. В. Зволинским
A938), А. И. Лу?ье A939), П. А. Соколовым A939) и др.
К настоящему времени накоплен большой материал, относящийся
к устойчивости пластин разнообразной формы при различных видах
нагружения. Н. А. Алфутов и Л. И. Балабух A967) вновь вернулись
к этой задаче, видоизменив вариационный способ нахождения критиче-
критического параметра внешних сил.
Опыт показывает, что пластины обычно могут нести значительную
нагрузку и после потери устойчивости. Анализ послекритических дефор-
деформаций базируется, как правило, на системе уравнений, полученной
Т. Карманом A910):
D AAw — (и?, хх%, уУ + wy уу%, хх — 2wt ху%, ху) = 0,. 1
,xxw,Xy-w*xy) = Q. J (ЬЛ)
Здесь использованы те же обозначения, что и в уравнении C.9).
Методам приближенного интегрирования уравнений F.1) посвящено весь-
весьма большое число работ. П. Ф. Папкович A920) предложил метод, согласно
которому первое уравнение F.1) удовлетворяется приближенно — в смыс-
смысле метода Бубнова, второе уравнение удовлетворяется точно, тангенциаль-
тангенциальные граничные условия — в среднем. Развитие этой идеи содержится в ра-
работах П. А. Соколова A932), Э. И. Григолюка A949), М. А. Колтунова
A953), А. С. Вольмира A956), А. В. Кармишина A956) и др. Наряду с этим
для решения уравнений F.1) применялись другие методы: метод малого па-
параметра (П. Я. Полубаринова-Кочина, 1936), метод последовательных приб-
приближений (С. А. Алексеев, 1956), асимптотический метод (И. И. Ворович,
1955), метод конечных разностей (А. С. Вольмир и А. Ю. Биркган, 1963) и др>
Потребности современной техники дали толчок к развитию теории
устойчивости анизотропных и слоистых пластин. Вопросы устойчивости
анизотропных пластин разрабатывались С. Г. Лехницким A941—1947)
и С. А. Амбарцумяном A961). Обширная литература посвящена устойчив
вости трехслойных пластин с мягким и жестким заполнителями: А. П. Пру-
Прусаков A951), Э. И. Григолюк A957, 1958), Л. М. Куршин A958),
А. Я. Александров, Л. Э. Брюккер, Л. М. Куршин и А. П. Прусаков (I960),
А. В. Иванов A964). Устойчивость биметаллических пластин рассматри-
рассматривалась Э. И. Григолюком A953). Теория многослойных пластин, состоящих
из чередующихся жестких и мягких слоев, была дана В. В. БолотиныЛ
A963); теория была применена к расчету пластин на общую и локальную
устойчивость Л. П. Помази A965) и Е. Н. Синицыным A966).

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 341
Ранние результаты в области теории устойчивости оболочек были
получены на основе линейной теории Р. Лоренцем A908 г.), С. П. Тимо-
Тимошенко A910, 1914 гг.), Р. Саутвеллом A913 г.), Р. Мизесом A914,1929 гг.),
Р. Целли A915 гг.), Л. С. Лейбензоном A917 г.). Оказалось, что для неко-
некоторых основных типов оболочек и типов нагрузки критические параметры
могут быть определены по весьма простым приближенным формулам.
Так, в случае не слишком длинной и не слишком короткой круговой цилин-
цилиндрической оболочки радиуса R с толщиной стенки h, нагруженной осевыми
усилиями р, имеем приближенную формулу
Р*«0,6^-. F.2)
Для сферической оболочки, находящейся под действием внешнего гидро-
гидростатического давления р, также получается простая приближенная фор-
формула
p,«l,2^i. F.3)
Большое количество последующих работ было посвящено уточнению
и обобщению ранних результатов. Были рассмотрены задачи устойчивости
цилиндрических оболочек при различных способах нагружения, включая
комбинированное нагружение (Н. В. Зволинский, 1935, 1937; X. М. Муш-
тари, 1938—1957; А. С. Вольмир, 1950—1956; В. М. Даревский, 1957—
1965; С. Н. Кан, 1962—1966, В. В. Кабанов, 1963—1967, и др.). Подвер-
Подвергались исследованию задачи устойчивости конических оболочек (X. М. Му-
штари, 1943; Э. И. Григолюк, 1951, 1955; И. И. Трапезин, 1952—1960;
Н. А. Алумяэ, 1955, 1957, и др.), тороидальных оболочек (П. А. Загуби-
ненко и И. Н. Спиридонов, 1959) и оболочек других форм. Исследовались
также задачи устойчивости оболочек при наличии температурных гради-
градиентов (В. В. Кабанов, 1962, и др.). В исследованиях X. М. Муштари A938—
1943) оболочка, имеющая большое число подкрепляющих элементов, была
заменена некоторой эквивалентной гладкой анизотропной оболочкой.
Такое «размазывание» подкрепляющих элементов затем применялось
многочисленными авторами. Учет дискретности подкрепляющих ребер про-
проводился в работах Н. А. Алфутова A956), В. М. Даревского и Р. И. Кшня-
кина A960), которые анализировали условия, при которых «размазы-
«размазывание» допустимо. Устойчивость конструктивно анизотропных оболочек
рассматривал В. В. Кабанов A964, 1967).
Сравнительно недавно внимание было вновь обращено к классической
линейной задаче об устойчивости цилиндрической оболочки. Оказалось,
что смягчение тангенциальных граничных условий может приводить
к заметному снижению критических усилий по сравнению с классическими
граничными условиями. Так, в задаче об осевом сжатии круговой цилинд-
цилиндрической оболочки переход от классического шарнирного опирания к опи-
ранию, в котором обращаются в нуль торцевые касательные напряжения,
снижает критическое усилие почти в два раза. При этом уменьшается число
полуволн в окружном направлении, соответствующее форме потери устой-
устойчивости. Среди работ, посвященных изучению влияния тангенциальных
граничных условий, отметим работы А. С. Авдонина A963), В. И. Кожев-
Кожевникова A964), Н. А. Алфутова A965), Н. А. Кильчевского и С. Н. Нику-
Никулинской A966), Ю. М. Хищенко A966).
Расчет реальных конструкций требует изучения несущей способности
оболочек, находящихся под действием локальных нагрузок, имеющих

342 В. В. БОЛОТИН, Э. И. ГРИГОЛЮК
существенные начальные несовершенства, и, вообще, оболочек, которые
с самого начала нагружения находятся в моментном напряженном состоя-
состоянии. Количество работ по этому направлению весьма велико.
Разрабатывались также проблемы устойчивости различной формы
трехслойных оболочек с заполнителем (Э. И. Григолюк и П. П. Чулков,
1963; Л. М. Куршин, 1958—1964; Т. Н. Васицына, 1962; К. 3. Галимов,
1965; М. А. Колтунов, 1965).
§ 7. Устойчивость упругих оболочек (нелинейная теория)
Важнейшим стимулом для развития нелинейной теории упругих
оболочек явилось систематическое расхождение между результатами
линейной теории и опытными данными. Для многих типов оболочек и усло-
условий нагружения опытные критические усилия оказываются значительно
ниже, чем значения, вычисленные согласно линейной теории. Явление
потери устойчивости нередко происходит по типу «прощелкивания»,
«хлопка», т. е. сопровождается скачкообразным нарастанием деформа-
деформаций с заметным изменением формы срединной поверхности. При этом
наблюдаемая картина послекритической деформации обычно существен-
существенно отличается от формы бифуркации, которую предсказывает линейная
теория.
Первые исследования по нелинейной теории тонких упругих оболочек
относятся к предвоенному периоду (работы Л. Г. Доннела, Т. Кармана
и С. С. Цяня, X. М. Муштари). Они существенным образом основаны
на теории прощелкивания стержней, развитой С. П. Тимошенко A925,
1935 гг.), К. Б. Бицено A929 г.), К. Маргерром A938 г.). После войны
исследования развернулись широким фронтом. Руководящая идея этих
исследований состояла в том, что для задач устойчивости оболочек типичен
факт существования устойчивых форм равновесия, отличных от невозму-
невозмущенной формы, при значениях параметра нагрузки, меньших классиче-
классического критического значения. Большое число работ было посвящено оты-
отысканию нижних критических усилий для различных типов оболочек
и граничных условий и типов нагружения. Устойчивость цилиндрических
оболочек и панелей рассматривалась А. С. Вольмиром A944—1956),
X. М. Муштари, К. 3. Галимовым, М. С. Корнишиным и А. В. Саченковым
A946—1957), М. А. Колтуновым A952), Н. А. Алумяэ A954), О. И. Те-
ребушко A956) и многими другими авторами. Устойчивость сферических
оболочек и панелей изучалась В. И. Феодосьевым A946—1961), X. М. Му-
Муштари и Р. Г. Суркиным A950—1956), Э. И. Григолюком A956, 1959),
Н. К. Лебедевой A964), И. И. Воровичем и В. Ф. Зипаловой A966) и др.
Устойчивость конических оболочек рассматривал Э. И. Григолюк A956).
Вопрос о существовании нижних критических усилий изучался И. И. Во-
Воровичем A955, 1957). Рассматривалось прощелкивание биметаллических
оболочек при нагреве и охлаждении (Д. Ю. Панов, 1948; Э. И. Григолюк,
1953). Изучалось послекритическое поведение трехслойных оболочек
(цилиндр, сфера, конус) (Э. И. Григолюк и П. П. Чулков, 1965). Более
подробные сведения содержатся в книгах X. М. Муштари и К. 3. Галимо-
ва A957), А. С. Вольмира A956, 1967), а также в обзорной работе А. С.
Вольмира A966).
Обычно исследования основываются на теории пологих оболочек.
Приведем исходную систему дифференциальных уравнений задачи
применительно к трехслойным оболочкам с жестким заполнителем,

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 343
воспринимающим поперечный сдвиг (Э. И, Григолюк и П. П. Чулков,
1963):
vh2 \ гу о Ч
G.1)
— 2F, i2 (ki2—w, 12 — w° 12) + F, и (&22— гу, 22
1 —у
_
Прогиб равен
Здесь V2( )= ( ),и + ( ),225 ^i (^ = 1^ 2) — ортогональные коорди-
координаты в исходной поверхности, D — цилиндрическая жесткость пакета,
h — толщина его, v — параметр изгибной жесткости внешних слоев,
кц (h j = 1? 2) — кривизны линий исходной поверхности, w° — началь-
начальный прогиб, q — поперечная нагрузка; коэффициент Пуассона всех трех
слоев одинаков.
При р = оо, w = %, ф = 0 получаются известные уравнения Мар-
герра, а при дополнительном условии
имеем уравнения Феппля — Кармана F.1). Систему G.1) можно тракто-
трактовать как уточнение классической теории изгиба однородных обо-
оболочек, когда учитывается сдвиг по толщине; в отличие от классической
теории, эта система совместна с пятью естественными граничными
условиями.
Уравнения типа G.1) можно построить и для многослойных оболочек
однородных, ортотропных, анизотропных при конечных прогибах. Это
сделано в работах Э. И. Григолюка и П. П. Чулкова A965). Суть дела
в следующем. Оболочка, независимо от того, является она слоистой или
нет, разбивается на некоторое число п фиктивных слоев. Далее, для пере-
перемещений точек каждого фиктивного слоя принимается линейный закон
распределения в зависимости от поперечной координаты. Условия сопря-
сопряжения слоев и гипотеза о несжимаемости материала каждого слоя в попе-
поперечном направлении позволяют охарактеризовать перемещения точек
всего пакета 2п + 3 независимыми функциями от координат параметриза-
параметризации поверхности оболочки.
Принцип возможных перемещений дает ровно 2п + 3 уравнения рав-
равновесия, которые, на основе закона Гука, записываются относительно
перемещений. Ясно, что такой подход позволяет получить двумерную
систему уравнений бесконечного порядка, эквивалентную системе трех-
трехмерных уравнений упругости слоистой оболочки в предположении
ее несжимаемости в поперечном направлении; для этого достаточно
число фиктивных слоев устремить к бесконечности равномерно по
всей толщине оболочки. Ограничение, накладываемое несжимаемостью
материала слоев в поперечном направлении, не является принципиаль-

344 в. в. болотин, э. и. григолюк
ным, поскольку от него легко избавиться, считая, что и нормальные пере-
перемещения в пределах каждого слоя распределены по линейному закону
от поперечной координаты. Выражая перемещения с помощью дифферен-
дифференциальных операций через три произвольные функции (функцию напряже-
напряжений F и две функции перемещений %, я);), удается исходную систему 2п -\- 3
уравнений привести к трем эквивалентным ей разрешающим уравнениям
того же порядка. Преимущество разрешающих уравнений по сравнению
с исходной системой состоит главным образом в том, что дифференциаль-
дифференциальный оператор разрешающей системы содержит резко убывающие коэффи-
коэффициенты с увеличением порядка производных. Это позволяет в зависимости
от вида внешней нагрузки и типа краевых условий удерживать необходи-
необходимый порядок производных, т. е. фактически учитывать только наиболее
существенные краевые эффекты. Математически введение функции напря-
напряжений F и функций перемещений %, г|? равносильно разложению напряжен-
напряженно-деформированного состояния оболочки по собственным функциям пол-
ноосного положительно-определенного оператора, специально приспособ-
приспособленного к структуре данной слоистой оболочки, а усечению операторов
разрешающих уравнений соответствует удержание главных коэффициен-
коэффициентов разложения.
Последующее развитие исследований привело к существенному пере-
пересмотру точки зрения на эту проблему. Чтобы сделать ситуацию более
понятной, рассмотрим подробнее задачу об устойчивости круговой цилин-
цилиндрической оболочки, испытывающей осевое сжатие.
Классическая теория при некоторых упрощениях дает для этой задачи
приближенную формулу F.2). Опытные значения обычно лежат в пределах,
которым в этой формуле соответствуют значения числового коэффициента
от 0,18 до 0,60. При этом верхнее значение получается для наиболее
тщательно изготовленных оболочек и для наиболее аккуратных условий
эксперимента. Теоретическое значение нижней критической силы вычис-
вычислялось для этой задачи приближенно — путем применения вариационных
методов либо к системе уравнений нелинейной теории оболочек, либо
к соответствующему энергетическому функционалу. Число варьируемых
параметров в ранних работах было весьма невелико. Так, принимались
выражения типа
в которыхJпервый член соответствует приближению линейной теории,
а остальные учитывают несимметричный характер вмятин, образующихся
после «хлопка». Здесь /0, f± и /2 — варьируемые параметры, I — длина
оболочки, mi и т2 — положительные целые числа. Вычисления, основан-
основанные на подобных выражениях, приводили к значениям нижнего критиче-
критического усилия, которому в формуле F.2) соответствует коэффициент, близ-
близкий к 0,2. Это значение вполне удовлетворяло исследователей. Однако
в последние годы появились результаты более аккуратных вычислений,
в которых использовались ЭВМ, что позволило существенно увеличить
число варьируемых параметров. Оказалось, что уточнение метода влечет
за собой уменьшение нижнего критического значения. Так, по данным
Н. Дж. Хоффа A966 г.), при увеличении числа членов ряда от трех до пят-
пятнадцати коэффициент в формуле F.2) снижается от 0,1860 до 0,0427. При
этом неясно, до какой величины будет уменьшаться этот коэффициент,
если мы будем и далее увеличивать число членов ряда. Не менее драмати-

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ . 345
ческой оказалась ситуация с задачей об устойчивости замкнутой сфериче-
сферической оболочки, находящейся под внешним давлением. Приведем некоторые
данные о коэффициенте в формуле F.3), если применять ее для нахождения
нижнего критического давления: X. М. Муштари и Р. Г. Суркин A950)
получили значение 0,10, В. И. Феодосьев A954) —0,13 (отрицательное
значение), X. М. Муштари A955) + 0,11, А. Г. Габрильянци В. И. Феодо-
Феодосьев A961) + 0,06.
Объяснение этих и аналогичных результатов состоит в следующем.
Задание формы срединной поверхности после хлопка в виде конечного ряда
сильно ограничивает класс возможных форм ее равновесия. Между тем
оболочка — континуальная система. Не исключена возможность, что для
нагруженных оболочек существует бесчисленное множество докритиче-
ских форм равновесия, отличных от невозмущенной, в том числе некоторое
количество устойчивых форм равновесия. Увеличение числа членов ряда
расширяет класс возможных форм равновесия. Их практическое значение,
впрочем, весьма ограниченно. Для того чтобы реализовать эти формы,
требуется конечное возмущение специального класса и достаточно боль-
большой величины.
Главной причиной снижения опытных критических сил по сравнению
с их классическими значениями служат начальные отклонения средин-
срединной поверхности от идеальной формы, несовершенства опорных закрепле-
закреплений, наличие остаточных напряжений и т. д. Верхнее критическое усилие
для реальных оболочек, как правило, весьма чувствительно к измене-
изменению параметров начальных несовершенств. Этим объясняется как
факт снижения опытных критических сил, так и факт их большого раз-
разброса. Последнее обстоятельство делает необходимым учет случайного
характера начальных несовершенств, что возможно лишь в рамках стати-
статистических методов.
Несколько лучше обстоит дело с устойчивостью пологих панелей,
опирающихся на достаточно жесткие контуры. Устойчивость цилиндриче-
цилиндрических, конических и сферических панелей в нелинейной постановке рас-
рассматривалась А. С. Вольмиром A956), Э. И. Григолюком A956, 1960),
О. И. Теребушко A958), И. И. Воровичеми В. Ф. Зипаловой A966). Наличие
достаточно жесткого контура сильно сужает класс возможных форм потери
устойчивости панели, поэтому невысокие приближения дают здесь обычно
достаточно достоверный результат. Сходная ситуация может встретиться
и при расчете подкрепленных оболочек.
Новое направление в нелинейной теории оболочек развивается
А. В. Погореловым A960,1962,1966, 1967). А. В. Погорелов ввел предполо-
предположение о том, что форма прощелкнутой части срединной поверхности изомет-
рична ее первоначальной форме. При этом прощелкнутая часть стыкуется
с остальной частью срединной поверхности по некоторым ребрам, в окре-
окрестностях которых происходит местное сгибание. Поскольку метод вычисле-
вычисления перемещений и критических усилий у А. В. Погорелова мало отлича-
отличается от обычного энергетического метода, то наиболее существенной частью
предложений А. В. Погорелова является введение нового широкого класса
функций, приближенно описывающих деформации в тонких оболочках.
А. В. Погорелов произвел вычисления для весьма широкого класса задач
и сопоставил результаты вычислений с проведенными им же оригинальны-
оригинальными экспериментами. Метод А. В. Погорелова применялся также В. И. Ба-
бенко A966) и В. В. Михайловым A966). Обсуждение работ А. В. Пого-
Погорелова содержится в приложении И. И. Воровича к книге А. В. Погорело-
Погорелова A966).

346 В. В. БОЛОТИН, Э. И. ГРИГОЛЮК
§ 8. Устойчивость упругих и упруго-пластических систем
Поскольку задачи устойчивости типичны для тонких и тонкостенных
тел, то они обычно ставятся и решаются в рамках прикладных теорий
стержней, пластин и оболочек. Тем не менее имеется несколько причин
для рассмотрения некоторых задач устойчивости с точки зрения общей
теории упругости.
Во-первых, общие уравнения нелинейной теории упругости исполь-
используются для обоснованного вывода уравнений устойчивости для тонких
и тонкостенных тел. Работы этого направления (В. В. Новожилов, 1940,
1948; В. В. Болотин, 1956, 1965; А. И. Лурье, 1966, и др.) уже обсужда-
обсуждались в § 3. Во-вторых, решения задач, полученные на основе теории упру-
упругости, могут быть использованы для оценки точности и установления гра-
границ применения известных приближенных решений. К этому направлению
относятся работы Л. С. Лейбеязона A917) и А. Ю. Ишлинского A.954).
Заметим, что в этих работах в качестве уравнений для описания форм
равновесия, смежных с невозмущенной формой, предлагалось использо-
использовать классические уравнения теории упругости; внешние силы входили
при этом только в возмущенные граничные условия. Этот подход обсуж-
обсуждался недавно А. Н. Гузем A.967). В-третьих, необходимость в привлечении
уравнений теории упругости возникает в задачах об устойчивости пластин
и оболочек, находящихся в контакте с упругим материалом пониженной
жесткости. Применительно к слоистым пластинам с мягким наполнителем
этот подход развивался А. П. Вороновичем A948), В. Н. Москаленко A964)
и другими. Устойчивость цилиндрических оболочек с мягким упругим
ядром рассматривалась А. П. Варваком A966). Типичным для этих задач
является применение теории пластин и оболочек к несущим слоям и трех-
трехмерной теории упругости — к заполнителю.
Если система не обладает достаточной гибкостью, то потеря устойчи-
устойчивости может происходить в упруго-пластическом состоянии. Ф. Энгессер
развил теорию устойчивости центрально сжатых стержней за пределом
упругости в предположении, что во всех точках поперечного сечения про-
происходит процесс нагружения. В этом случае критическая сила определяет-
определяется не модулем упругости, как в задаче для упругого материала, а касатель-
касательным модулем (мы получаем касательно-модульную критическую силу).
Ф. С. Ясинский по поводу этой теории заметил, что следует учесть раз-
разгрузку в части сечения. Это приводит к существованию нейтральной оси
сечения. Учитывая разгрузку в поперечном сечении в предположении,
что результирующая осевая сила остается неизменной, Ф. Энгессер полу-
получил формулу для критической силы, которая отличается от соответствую-
соответствующей формулы для упругого стержня тем, что вместо модуля упругости
в нее входит приведенный модуль, зависящий от формы поперечного сече-
сечения стержня. В течение почти всей первой половины нашего столетия
считалось, что приведенно-модульная нагрузка и есть критическая нагруз-
нагрузка для упруго-пластических систем и «что первоначальный результат
Энгессера ошибочен. Было опубликовано большое число работ, в которых
на основе этой концепции решаются различные задачи.
Приведенно-модульная концепция явилась результатом переноса
теории бифуркаций форм равновесия из теории упругой устойчивости
на упруго-пластические задачи. Этот перенос лишен основания, что
стало общепризнанным фактом лишь после того, как на простых моделях
была показана ограниченность приведенно-модульной концепции. Ока-
Оказалось, что нижняя граница критических сил равна касательно-модульной

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 347
нагрузке, величина которой подсчитывается по аналогичной формуле для
упругого стержня, если подставить в нее касательный модуль вместо
модуля Юнга. При этом нетрудно указать условия, при которых реали-
реализуется именно касательномодульная критическая нагрузка.
Этот вопрос изучался Ю. Н. Работновым A952), Я. Г. Пановко
A954—1965), В. Д. Клюшниковым A957, 1964), Г. В. Ивановым A961,
1963), Ю. А. Чернухой A966) и др. В частности, В. Д. Клюшников рассмо-
рассмотрел задачу об устойчивости простейшей упруго-пластической системы
в динамической постановке и показал, что невозмущенное состояние систе-
системы устойчиво вплоть до достижения касательно-модульной нагрузки.
Вывод о том, что касательно-модульная и приведенно-модульная
нагрузки ограничивают интервал действительных критических усилий,
был бы весьма привлекателен, тем более что для многих систем численная
разница между этими значениями невелика. Имеется, однако, пример,
в котором критическое усилие, по-видимому, превышает приведенно-
модульное значение. А. А. Ильюшин A960) и В. Г. Зубчанинов (I960)
рассмотрели выпучивание упруго-пластического стержня, входящего
в состав статически неопределимой стержневой системы. Если система
оказывает на стержень разгружающее влияние, то, как указывают авторы,
прямолинейная форма стержня может оставаться устойчивой и при неко-
некотором превышении приведенно-модульной нагрузки.
До сих пор достаточно сложные задачи упруго-пластической устой-
устойчивости рассматриваются в ограниченной постановке, аналогичной каса-
касательно-модульной или приведенно-модульной концепциям. Конечные
результаты зависят при этом и от того, какой вариант теории пластично-
пластичности используется. Устойчивость упруго-пластических стержней рассмат-
рассматривалась Л. М. Качановым A951, 1956), А. В. Геммерлингом A952, 1959,
1965), Я. Г. Пановко A954, 1962), А. Р. Ржаницыным A955), В. В. Пи-
наджяном A956), Ю. Р. Лепиком A957), Б. П. Макаровым A965). Общая
теория устойчивости пластин и оболочек на основе деформационной теории
была предложена А. А. Ильюшиным A944). Им же было дано решение
ряда интересных практических задач. На основе касательно-модульной
концепции общая теория устойчивости оболочек развивалась Э. И. Гри-
голюком A957, 1958) в рамках теории типа течения и деформационного
типа с учетом упругой сжимаемости материала. Ряд задач устойчивости
пластин и оболочек за пределом упругости был рассмотрен Л. А. Толокон-
никовым A949—1955), С. М. Поповым A951, 1954), Ю. Р. Лепиком A954—
1957), Л. М. Качановым A956), В. Д. Клюшниковым A957), Э. И. Григо-
люком A958) и др. Общая теория устойчивости двухслойных оболочек
за пределом упругости развита Э. И. Григолюком A958), ее обобщение
дано Э. И. Григолюком и В. В. Кабановым A966), которые оценили влия-
влияние перестановки слоев на величину критических сил. Расчет анизотроп-
анизотропных оболочек за пределом упругости проводил В. В. Кабанов A966, 1967).
Современному состоянию теории устойчивости оболочек за пределом упру-
упругости посвящен обзор Э. И. Григолюка A966).
§ 9. Устойчивость вязко-упругих и вязко-упруго-пластических систем
В настоящем параграфе рассматриваются вопросы устойчивости сис-
систем, материал которых подвержен ползучести. При этом будем различать
два случая: когда мгновенные пластические деформации отсутствуют
и когда имеют место мгновенные пластические деформации. В первом слу-
случае будем говорить о вязко-упругих системах, во втором случае — о вязко-

348 в. в. болотин, э. и. григолюк
упруго-пластических системах. В свою очередь, будем различать линей-
линейные и нелинейные вязко-упругие системы.
Нелинейность вязко-упругих систем, по крайней мере в рамках боль-
большинства предлагавшихся до сих пор моделей, является аналитической
и допускает линеаризацию. Поэтому задачи устойчивости для вязко-упру-
вязко-упругих систем оказываются проще, чем для систем упруго-пластических,
и теория продвинута здесь несколько дальше. Процесс деформирования
вязко-упругих систем развертывается во времени. Существенное значение
приобретает тип возмущений и последовательность их действия во вре- *
мени, а также продолжительность интервала времени, на протяжении кото-
которого исследуется устойчивость. В расчетах вязко-упругих систем часто
используется понятие критического времени ?*, под которым понимается
продолжительность времени от начала нагружения до достижения кри-
критического состояния в некотором смысле. В общем случае время t*
оказывается функцией параметров внешних сил и типа возмущений.
Проще всего решается задача об устойчивости систем из линейного
вязко-упругого материала. Рассмотрим, например, прямолинейный стер-
стержень, сжатый постоянной силой Р. Пусть материал стержня является
стандартным линейным материалом в том смысле, что связь между напря-
напряжением о и деформацией е дается формулой
Здесь Ео — мгновенный модуль упругости, Е^ — длительный модуль
упругости, х — время релаксации. Уравнение возмущенного движения
имеет вид D.7), где модуль упругости Е следует заменить соответствую-
соответствующим линейным оператором. Оказывается, что прямолинейная форма
стержня устойчива на любом интервале времени, если Р < Р^, где Роо—
эйлерова сила, вычисленная по длительному модулю упругости. Если
P>Pooi то прямолинейная форма стержня будет неустойчива. При
Р >Poi где Ро вычисляется по мгновенному модулю Ео, потеря устой-
устойчивости происходит мгновенно (с точностью до динамического переход-
переходного процесса).
Указанная задача была впервые рассмотрена А. Р. Ржаницыным
A946, 1949). Модель линейного вязко-упругого тела удовлетворительно
описывает ползучесть многих видов полимеров и бетона; поэтому она широ-
широко применяется для расчета конструкций из этих материалов. Укажем
на работы Г. С. Григоряна A964) и Е. Н. Синицына A966). В. В. Болотин
и Е. Н. Синицын A967) решили задачу о поверхностном выпучивании
полупространства из слоистого материала, один из компонентов которого
обладает линейными вязко-упругими свойствами. Общая теория вязко-
упругих слоистых оболочек с воспринимающими поперечный сдвиг запол-
заполнителями при конечных прогибах развита Э. И. Григолюком и П. П. Чул-
ковым A964).
Ползучесть металлов и сплавов, как правило, носит ярко выраженный
нелинейный характер. Модели нелинейной вязко-упругой среды, приме-
применяемые в теории ползучести, обычно таковы, что при сколь угодно малых
напряжениях они дают деформацию ползучести, неограниченно возрастаю-
возрастающую во времени. Поэтому, если задачу об устойчивости систем из таких
материалов ставить строго, то будем получать неустойчивость для мно-
многих практически важных случаев. Между тем конструкции успешно
эксплуатируются в условиях ползучести, если прочность материала не
нарушается и если деформации не достигают нежелательных раз-

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 349
меров. Таким образом, строгая постановка задачи об устойчивости
оказалась с точки зрения технических приложений недостаточно
реалистичной.
Было сделано немало попыток для преодоления указанных трудно-
трудностей. Ю. Н. Работнов и С. А. Шестериков A957) впервые применили к зада-
задаче об устойчивости стержней и пластин из нелинейного вязко-упругого
материала динамический критерий устойчивости. При этом рассматрива-
рассматривались возмущения, прикладываемые в некоторый момент времени t > 0.
Было найдено некоторое критическое значение ?*, такое, что возмущения,
приложенные при t >?*, приводят к немедленному росту перемещений.
Оказалось, что найденное значение t# находится в согласии с некоторыми
инженерными полуэмпирическими критериями. Дальнейший анализ
и развитие этих результатов содержатся в статьях Ю. Н. Работнова
A960), Г. В. Иванова A961), Л. М. Куршина A961) и С. А. Шестерикова
A961), И. Г. Терегулова A965, 1966).
В работах Э. И. Григолюка и Ю. В. Липовцева A965, 1966) был раз-
развит статический метод исследования устойчивости вязко-упругих оболо-
оболочек, основанный на изучении ветвления форм равновесия в процессе
ползучести. Так как вследствие ползучести напряженное и деформирован-
деформированное состояние оболочки непрерывно меняется, то в некоторый момент
времени исходная форма равновесия оказывается не единственно возмож-
возможной и появляются смежные формы равновесия, отличные от исходной.
Э. И. Григолюком и Ю. В. Липовцевым было показано, что учет ползу-
ползучести не приводит к принципиальным изменениям тех представлений о
понятии устойчивости и методов решения, которые сложились при иссле-
исследовании устойчивости упругих систем. Меняется и уточняется лишь рас-
расчетная схема. Причем эти изменения существенны лишь в той ее части,
которая связана с определением напряжений и деформаций исходного со-
состояния системы. Здесь необходимо учитывать возможные отклонения систе-
системы от идеального состояния, обусловленные наличием начальных перемеще-
перемещений, особенностями приложения нагрузки и т. д. Уравнения же нейтраль-
нейтрального равновесия, записанные относительно мгновенных приращений
(вариаций) напряжений и перемещений, имеют тот же вид, что и для упру-
упругих систем. При их записи необходимо лишь учитывать те дополнительные
деформации и напряжения исходного состояния, которые накапливаются
в процессе ползучести.
Другой путь для получения результатов состоит в следующем. Вместо
задачи устойчивости рассматривается задача о поведении системы во вре-
времени при заданных начальных условиях и прочих заданных возмущениях.
Устанавливается некоторая предельная величина перемещений, деформа-
деформаций, скоростей и т. п. Ищется время ?*, в течение которого будет достиг-
достигнуто это предельное значение. К работам этого направления принадлежат
работы В. И. Розенблюма A954), А. С. Вольмира и П. Г. Зыкина A962),
Ю. В. Липовцева A964), Л. М. Куршина и 10. В. Липовцева A964),
М. А. Колтунова A965, 1966), Г. В. Иванова и В. Н. Шепеленко A966).
Широкое распространение получили также полуэмпирические крите-
критерии: критерий критической деформации, касательно-модульный критерий
и т. д. Обзор этих критериев содержится в книгах Ю. Н. Работнова A966)
и А. С. Вольмира A967).
В области устойчивости вязко-упруго-пластических систем сделаны
лишь первые шаги. Вопрос об учете мгновенной пластической деформации
при анализе поведения систем из материала, подверженного ползучести,
разбирается в книге Ю. Н. Работнова A966).

350 В. В. БОЛОТИН, Э. И. ГРИГОЛЮК
§ 10. Устойчивость упругих систем
при следящих нагрузках
В классической теории упругой устойчивости рассматривались по-
потенциальные внешние силы (в основном гравитационного происхожде-
происхождения). Развитие техники привело к существенному расширению класса
нагрузок, действующих на конструкцию. Среди них особое место занима-
занимают непотенциальные силы, не зависящие явно от времени. Примером могут
служить силы, векторы которых поворачиваются при деформации системы,
сохраняя постоянные углы с ортами местного лагранжева базиса. Силы
такого типа обычно называют следящими.
Е. Л. Николаи A928) был, по всей вероятности, первым, кто рассмот-
рассмотрел задачу об устойчивости упругой системы, нагруженной следящими
силами. В его работе исследуется устойчивость прямолинейной формы
гибкого стержня, один конец которого заделан, а другой — нагружен
сжимающей силой и скручивающим моментом. Было установлено, что
в случае, когда вектор момента является «тангенциальным» (т. е. остается
направленным по касательной к изогнутой оси стержня), не существует
никаких иных форм равновесия, кроме прямолинейной. Отсюда Е. Л. Ни-
Николаи сделал вывод, что обычный метод определения критической силы
в данной задаче неприменим. Составив уравнение малых колебаний стерж-
стержня около прямолинейной формы равновесия, Е. Л. Николаи установил,
что это равновесие неустойчиво при любых значениях скручивающего
момента (если не учитывать демпфирование и рассматривать стержень
круглого сечения). В следующей работе A929) было показано, что при
наличии неравных изгибных жесткостей прямолинейная форма стержня
является устойчивой при достаточно малой величине крутящего момента.
При этом существует критическая величина момента, начиная с которой
прямолинейная форма перестает быть устойчивой. Результаты Е. Л. Ни-
Николаи были развиты Г. Ю. Джанелидзе A939) и И. Е. Шашковым
A941, 1950).
В работах Е. Л. Николаи отсутствовали явные указания на непотен-
непотенциальный характер внешних сил. В 1939 г. В. И. Реут поставил задачу
об устойчивости консольного стержня с траверсой на конце; стержень
сжимался силой, линия действия которой оставалась неизменной в про-
пространстве. Оказалось, что и здесь форм равновесия, отличных от прямо-
прямолинейной, не существует. Б. Л. Николаи A939) указал на то, что сила
является неконсервативной, исследовал малые колебания стержня около
положения невозмущенного равновесия и получил критическое значение
силы. Работы Е. Л. и Б. Л. Николаи долгое время, по-видимому, остава-
оставались незамеченными. Это видно, в частности, из того, что Г. Циглер
в 1951—1953 гг. опубликовал ряд работ, в значительной степени повто-
повторяющих результаты Е. Л. Николаи. С другой стороны, в пятидесятых
годах появилось несколько работ, в которых отсутствие смежных форм
равновесия у потенциальной системы ошибочно квалифицировалось как
признак устойчивости невозмущенного равновесия, к неконсервативным
системам применялся энергетический метод и т. п. В последние годы коли-
количество публикаций по неконсервативным задачам упругой устойчивости
резко увеличилось. Укажем на работы К. С. Дейнеко и М. Я. Леонова
A955), В. В. Болотина A956, 1959), Г. Ю. Джанелидзе A958, 1965),
К. Н. Гопака и С. Г. Кривошеевой A959), Л. М. Зория и М. Я. Леонова
A961, 1962), И. И. Жинжера A967). Обзор работ этого направления
можно найти в статье Г. Ю. Джанелидзе A965).

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 351
Укажем на некоторые особенности задач об устойчивости упругих
систем, нагруженных следящими силами. Потеря устойчивости равнове-
равновесия такой системы может иметь как колебательный, так и неколебательный
характер. В первом случае критический параметр внешних сил зависит
не только от распределения жесткостей, но и от распределения масс систе-
системы. В частности, возможно снижение критического параметра при сбли-
сближении парциальных частот собственных колебаний. Другой особенностью
является сильное влияние демпфирования на величину критических пара-
параметров, если потеря устойчивости происходит по колебательному типу.
В большинстве работ по устойчивости упругих систем при наличии сле-
следящих сил диссипативные силы в рассмотрение не вводятся. То, что в этих
работах называется устойчивостью, по существу представляет собой ква-
квазиустойчивость в смысле § 4. Если вычислить критический параметр с уче-
учетом диссипации, а затем устремить коэффициенты диссипации к нулю, то
предельное значение критического параметра, вообще говоря, не будет
совпадать с соответствующим значением, найденным без учета диссипации.
Этот эффект был обнаружен еще Г. Циглером в 1952 г. Дальнейший анализ
показал (В. В. Болотин, 1959), что предельное значение существенно зави-
зависит от соотношения между парциальными коэффициентами диссипации.
При этом квазикритическое значение параметра внешних сил представля-
представляет собой верхнюю границу критических значений при диссипации, стре-
стремящейся к нулю. Недавно этот вопрос был более подробно изучен II. И.
Жинжером A967).
Следящие силы могут появиться как результат идеализации взаимо-
взаимодействия конструкции с потоками жидкости или газа (включая давления
и реакции струй), при взаимодействии систем с электромагнитным полем
и т. п., а также в упругих звеньях систем автоматического управления.
Попытка реализовать следящие силы с использованием воздушных струй
была предпринята Ю. Н. Новичковым A967) и Л. К. Паршиным A967).
Устойчивость стержней, подверженных следящим силам и находя-
находящихся в сверхзвуковом потоке, изучена А. Г. Горшковым и Ф. Н. Шкляр-
чуком A966).
§ 11. Устойчивость при ударных нагрузках
К задачам устойчивости упругих систем относят также многие задачи
о поведении упругих тел, нагружаемых быстро изменяющимися нагруз-
нагрузками, если последние таковы, что им соответствуют некоторые задачи
устойчивости равновесия в классической теории упругой устойчивости.
При изучении динамического нагружения упругих систем обычно опре-
определяют их поведение во времени при некоторых вполне определенных
начальных условиях, т. е., по существу, решают задачу Коши. Вопрос
об устойчивости этих решений, как правило, не ставится. Тем не менее
в прикладных работах говорят об «устойчивости», «неустойчивости»,
«критических силах» и т. п., приписывая этим понятиям в зависимости
от контекста тот или иной смысл.
Следуя установившейся традиции, эти понятия будут также иногда
употребляться в данном параграфе.
Первые работы, посвященные устойчивости упругих систем при удар-
ударных нагрузках, принадлежат И. М. Рабиновичу, М. А. Лаврентьеву
и А. Ю. Ишлинскому. И. М. Рабинович A944) рассмотрел задачу о про-
продольном динамическом нагружении стержня, имеющего малую начальную
кривизну. М. А. Лаврентьев и А. Ю. Ишлинский A949) впервые исследо-

352 в. в. болотин, э. и. григолюк
вали влияние величины внезапно прилагаемой силы на скорость возраста-
возрастания возмущений различного типа. Авторы исходили из уравнения типа
D.7), в первом слагаемом которого w заменялось на w — w0 (w0 — началь-
начальное перемещение). Если в момент t = О прикладывается сила N = —Р,
которая при t > О остается постоянной, то наиболее быстро растут те
возмущения, которым соответствуют числа полуволн к, близкие к
Аналогичные выводы были получены для кругового кольца и круго-
круговой цилиндрической оболочки. М. А. Лаврентьев и А. Ю. Ишлинский
A949) произвели опыты, создавая ударную нагрузку при помощи взрыва,
и подтвердили теоретические результаты. Среди других работ, посвящен-
посвященных динамическому выпучиванию стержней, укажем на работы Н. К. Снит-
ко A944), И. М. Рабиновича A947, 1953), В. А. Гастева A949), И. М. Ра-
Рабиновича и А. П. Синицына A956), А. С. Вольмира A963), А. С. Вольмира
и И. Г. Кильдибекова A966). Динамическое выпучивание упруго-пласти-
упруго-пластического стержня было рассмотрено А. К. Перцевым и А. Я. Руколайне
A965).
Динамику выпучивания пластин и оболочек, как правило, следует
рассматривать в нелинейной постановке. Исследование сводится к интегри-
интегрированию уравнений типа G.1) с инерционными членами при ненулевых
начальных условиях или соответствующих уравнений с дополнительными
членами, которые учитывают начальные несовершенства и т. п. В такой
постановке поведение цилиндрических оболочек и панелей было впер-
впервые исследовано В. А. Агамировым и А. С. Вольмиром A959), а также
Г. А. Бойченко, Б. П. Макаровым, Н. И. Судаковой и Ю, Ю. Швейко
A959). Первая группа авторов рассматривала нагружение круговой
цилиндрической оболочки силами, возрастающими во времени. Решая
задачу Коши на электронной вычислительной машине, они установили
значение нагрузки, соответствующей наибольшей скорости нарастания
прогибов. Это значение авторы назвали «динамической критической
нагрузкой». Вторая группа авторов рассматривала внезапное нагружение
упругой цилиндрической панели силами, значения которых затем умень-
уменьшаются во времени до нуля. При этом оказалось возможным сформулиро-
сформулировать задачу устойчивости. Для некоторого класса задач на плоскости пара-
параметров была построена область, соответствующая устойчивости начальной
формы панели. В последние годы изучение динамического выпучивания
пластин и оболочек велось широким фронтом; обзор этих работ дан в книге
А. С. Вольмира A967). Наибольший интерес и вместе с тем наиболь-
наибольшую трудность представляет учет влияния волновых движений и плас-
пластических деформаций на поведение оболочек при быстро меняющихся
нагрузках.
К данному вопросу примыкают также задачи о взаимодействии обо-
оболочки, находящейся в газе или жидкости, с ударными волнами. Наиболее
существенные результаты здесь получены В. В. Новожиловым, А. Д. Алек-
сандриным, Ю. С. Яковлевым, Б. В. Замышляевым, А. К. Перцевым
и Ю. И. Кадашевичем A961—1964), Э. И. Григолюком, В. Л. Присекиным,
Л. М. Куршиным, А. Г. Горшковым и Ф. Н. Шклярчуком A961, 1963,
1967), А. С. Вольмиром и М. С. Герштейном A.965, 1966). Дальнейшие
исследования в этой области должны сопровождаться отказом от чрезмер-
чрезмерно упрощенных предположений о взаимодействии между оболочками
и окружающей средой.

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 353
§ 12. Устойчивость вынужденных колебаний и параметрический
резонанс в упругих системах
Для обширного класса задач теории упругой устойчивости уравнения
возмущенного движения содержат коэффициенты, периодически завися-
зависящие от времени. Таковы задачи об устойчивости установившихся вынуж-
вынужденных колебаний упругих систем: прямолинейного упругого стержня,
сжатого периодической продольной силой, упругой пластины или оболоч-
оболочки, совершающей периодические колебания в условиях безмоментной
деформации, и т. д. К этому классу примыкают также некоторые задачи
теории упругих колебаний для систем, параметры которых периодически
изменяются во времени. Явления неустойчивости в таких системах назы-
называются параметрическим резонансом.
Рассмотрим, например, прямолинейный стержень, нагруженный про-
продольной силой N = No -f- Nt cos co?. Если пренебречь осевыми деформа-
деформациями в невозмущенном состоянии, то линеаризованное уравнение возму-
возмущенного движения будет иметь вид D.7). Представляя решение в виде
и>=2Ы*)Ф*(*)> A2.1)
где ср& (х) — полная система базисных функций — форм собственных
колебаний стержня, придем к бесконечной системе обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами относительно
коэффициентов ряда fk (t). Этот важный результат принадлежит В. Н. Че-
ломею A938), который рассматривал случай произвольного изменения
сечения по длине и произвольного изменения сжимающей силы N во вре-
времени. В случае стержня, опертого по концам, неизвестные функции в сис-
системе разделяются, и мы приходим к уравнениям Матье:
fkttt + Q1 A — 2jxA cos (ot)fh = 0 (ft = 1, 2, . . .). A2.2)
Здесь Qk — частоты собственных колебаний стержня, нагруженного силой
А^о» Nk — эйлеровы силы:
О _Jf3l(ILV/2 A ^L\1/2 JV _
h ~~ I* \ pF ) V N ) ' V k ~~
Nk ) ' V k ~~ Z2 ' № — 2(Nk—N0)'
Известно, что уравнение A2.2) в некоторых областях на плоскости
параметров имеет решение, неограниченно возрастающее во времени.
Этим областям соответствует неустойчивость невозмущенной формы дви-
движения — установившихся продольных колебаний стержня. При малых
\ik области неустойчивости лежат вблизи частот
^ (ft,/г=1, 2, ...)• A2.3)
Указанная задача была впервые рассмотрена Н. М. Беляевым A924).
В 1935 г. Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов разобрали общий случай
опорных закреплений. Применив вариационный метод Бубнова, авторы
в первом приближении свели задачу к уравнению A2.2). Н. Е. Кочин
A934) изучил родственную в математическом отношении задачу о ко-
колебаниях коленчатых валов. Другие задачи об устойчивости установив-
установившихся вынужденных колебаниях стержней, стержневых систем, пластин
и оболочек рассматривались В. Н. Челомеем A938, 1939), В. А. Бодне-
ром A938), Г. Ю. Джанелидзе и М. А. Радцигом A940), И. С. Аржаных
23 механика в СССР, т. 3

354 в. в. болотин, э. и. григолюк
A940), 3. И. Халиловым A942), В. М. Макушиным A947), А. Ф. Смир-
Смирновым A947), А. Н. МарковымA949), О. Д. Ониашвили A950), В. В. Боло-
тиным A951—1956) и др.
Было показано (Б. 3. Брачковский, 1942; Г. Ю. Джанелидзе, 1953,
и др.)? что подстановка типа A2.1) дриводит к разделяющимся уравнениям
типа Матье — Хилла в том и только в том случае, если формы собственных
колебаний упругой системы совпадают с формами потери устойчивости при
статических нагрузках (собственными элементами задачи о бифуркациях).
Уравнения для общего случая впервые исследовались В. Н. Челомеем
A938). В. В. Болотин A953) предложил метод для построения областей
неустойчивости в общем случае; этот метод основан на разложении реше-
решения в матричные ряды. В. А. Якубович A.958), отправляясь от результатов
М. Г. Крейна A955), развил метод, основанный на введении малого
параметра. Подозрительным с точки зрения устойчивости являются часто-
частоты, лежащие вблизи
|Q±Qft|
(/, к, п = 1,2, ;. .)• A2.4)
М. Г. Крейн A955) показал, что для гамильтоновых систем области
неустойчивости имеются лишь вблизи частот, которым в формуле A2.4)
соответствует верхний знак. Затем В. А. Якубович A957) установил, что
для негамильтоновых систем опасными могут оказаться и остальные ком-
комбинационные частоты. В некоторых случаях (например, в задаче об устой-
устойчивости плоской формы полосы, изгибаемой периодическими моментами)
комбинационные области неустойчивости (/ Ф к) могут оказаться шире
основных областей (у = к).
В большинстве работ по устойчивости вынужденных колебаний и по
параметрическим колебаниям диссипативные силы не учитываются.
В областях, которые квалифицируются как области устойчивости, реше-
решения линеаризованных уравнений невозмущенного движения ограничены.
С точки зрения теории устойчивости Ляпунова это соответствует сомни-
сомнительному случаю. Таким образом, для более убедительных выводов об
устойчивости необходим учет диссипативных сил. Надо отметить также
высокую плотность областей неустойчивости, найденных без учета дисси-
диссипативных сил. Вследствие этого во многих задачах области неустойчиво-
неустойчивости заполняют почти всю плоскость параметров. Условия ограниченности
решений уравнения Матье с добавочным членом, содержащим первую
производную от искомой функции, изучались еще А. А. Андроновым
и М. А. Леонтовичем A927). Применительно к параметрическим колеба-
колебаниям упругих систем этот вопрос рассматривался К. А. Наумовым A946),
В. В. Болотиным A956) и К. Р. Коваленко A959). Наименьшее значение
коэффициента |i&, при котором возможен п-й параметрический резонанс
к-ж формы, имеет порядок
A2.5)
где г|)& — относительная диссипация при колебаниях по этой форме.
Вследствие соотношения A2.5) при не слишком больших амплитудах
изменения внешних сил возбуждаются лишь главные резонансы (п = 1)
и, может быть, один-два побочных резонанса. Следует заметить, что в не-
некоторых случаях добавление диссипативных сил может и расширить обла-
области неустойчивости. Примером служит влияние диссипации на области
комбинационных параметрических резонансов. С другой стороны, весьма
важный результат получил В. Н. Челомей A956). Он показал, что введение

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 355
высокочастотных параметрических сил может стабилизировать статически
неустойчивые формы равновесия.
Вопрос о необходимости учета перемещений в невозмущенном состоя-
состоянии при составлении уравнений возмущенного движения был поставлен
Г. Ю. Джанелидзе и В. В. Болотиным A956). Было установлено, напри-
например, что в задаче об устойчивости прямолинейной формы стержня, сжатого
периодической продольной силой, возможны явления неустойчивости при
частоте внешней силы, близкой к частоте собственных продольных колеба-
колебаний стержня. Большое число задач об устойчивости стержней, стержневых
систем, пластин и оболочек было решено с учетом перемещений в невозму-
невозмущенном состоянии. Дальнейшие исследования были выполнены Г. В. Ми-
шенковым A961), В. Ц. Гнуни A961) и другими. В последней работе было
показано, что учет перемещений в иевозмущенном состоянии может рас-
расширить границы области неустойчивости для пологой панели на несколько
десятков процентов.
Нелинейные задачи параметрических колебаний упругих систем впер-
впервые рассматривались И. И. Гольденблатом A948). Систематическое изуче-
изучение нелинейных задач для стержней, стержневых систем, пластин и обо-
оболочек было выполнено В. В. Болотиным A951—1.956). Параметрические
колебания тонких оболочек с учетом геометрической нелинейности рас-
рассматривались Г. В. Мишенковым A961), С. А. Амбарцумяном и В. Ц. Гну-
Гнуни A961) и другими. Нелинейные комбинационные колебания упругих
систем исследовались Г. В. Мишенковым A966).
Подробности и дополнительные библиографические указания можно
найти в обзорных статьях Е. А. Бейлина и Г. Ю. Джанелидзе A952)
и Г. Ю. Джанелидзе A965).
§ 13. Устойчивость упругих систем, взаимодействующих
с жидкостью или газом
Большой интерес представляют задачи, в которых рассматривается
устойчивость установившегося движения упругих тел, взаимодействую-
взаимодействующих с жидкостью или газом. В этих задачах существенно как воздействие
среды на конструкцию, так и обратное влияние деформаций конструкции
на распределение скоростей, давлений и т. п. в окружающей среде. Соглас-
Согласно существующей терминологии задачи такого типа относятся к теории
аэрогидроупругости.
Первые работы в области аэроупругости были связаны с расчетом
устойчивости крыльев и оперения самолетов в потоке воздуха. Явления
аэроупругой неустойчивости (дивергенция крыла, флаттер крыла и хво-
хвостового оперения) были причиной ряда неудач уже на самой заре авиации;
правильное понимание и теоретическое объяснение этих явлений пришло
значительно позже. Значительный вклад в эту область был внесен
М. В. Келдышем и М. А. Лаврентьевым A935); Е. П. Гроссман A937)
решил ряд задач, моделируя конструкцию балочной моделью. С точки
зрения теории упругой устойчивости флаттер и дивергенция представля-
представляют собою типичные явления неустойчивости при наличии неконсерватив-
неконсервативных сил. При этом флаттер соответствует колебательной неустойчивости,
дивергенция — потере устойчивости путем разветвления форм равновесия.
Если судить по числу публикаций, то наиболее представительным
направлением в данной области является теория флаттера пластин и обо-
оболочек в сверхзвуковом потоке газа. Интенсивная разработка этой теории
началась десять — пятнадцать лет тому назад в связи с задачей обеспечения
23*

356 в. в. болотин, э. и. григолюк
устойчивости тонких обшивок летательных аппаратов. Правда, привлека-
привлекательность теории панельного флаттера для исследователей в значитель-
значительной степени объяснялась тем, что многие ее задачи удавалось сформули-
сформулировать в «чистом» виде, т. е. не усложняя техническими подробностями.
В последние годы прикладное значение этой теории значительно возросло.
Многие работы по панельному флаттеру базировались на теории плос-
плоских сечений (поршневой теории) А. А. Ильюшина A948, 1956) или ее
эквивалентах — формулах Я. Аккерета, Дж. Лайтхилла и т. п., которые
устанавливают локальную связь между возмущенным давлением сверх-
сверхзвукового потока на деформируемую поверхность и перемещением поверх-
поверхности в данной точке. Так, малые возмущения р давления на пластину,
которая обтекается сверхзвуковым потоком с невозмущенной скоростью
G, направленной вдоль оси Ох, определяются по формуле
Здесь ро — невозмущенное давление, с0 — невозмущенная скорость зву-
звука, % — показатель политропы. Именно на основе формул типа A3.1)
были получены основные качественные и количественные результаты:
предсказано явление панельного флаттера, оценен порядок критических
скоростей, исследовано влияние кривизны оболочки, начальных усилий
в срединной поверхности, конструкционного демпфирования и т. д.
В частности, было показано, что для плоской ненагруженной прямо-
прямоугольной панели со сторонами одного порядка а критическая скорость
U% имеет порядок
С0
* а3 хро
Основные относящиеся сюда результаты были получены А. А. Мов-
чаном с сотрудниками A956—1961), Р. Д. Степановым A957, 1960),
В. В. Болотиным A958-1960), Ю. Ю. Швейко A960—1966), Э. И. Григо-
люком, Р. Е. Лампером и Л. Г. Шандаровым A963, 1964).
Исследование панельного флаттера в нелинейной постановке пред-
представляет интерес в двух отношениях. Во-первых, оно позволяет оценить
амплитуды перемещений и напряжений при повышении критической ско-
скорости флаттера и ответить на вопрос, в какой мере это превышение являет-
является опасным. Во-вторых, исследование нелинейных задач необходимо для
того, чтобы изучить поведение упругой системы на границе области неустой-
неустойчивости и судить о возможности возбуждения автоколебаний конечной
амплитуды при докритических скоростях. Теория панельного флаттера
в нелинейной постановке разрабатывалась В. В. Болотиным A958—
1961), С. А. Амбарцумяном и Ж. Е. Багдасаряном A961), Б. П. Макаро-
Макаровым A961), Ю. Н. Новичковым A961—1963), Ю. Ю. Швейко A961) и др.
В указанных работах учитывался ряд факторов: геометрическая и аэро-
аэродинамическая нелинейности, аэродинамический нагрев, начальные усилия
в срединной поверхности и взаимодействие панели с подкрепляющей кон-
конструкцией. Для плоской ненагруженной прямоугольной панели, закре-
закрепленной на контуре от тангенциальных перемещений, получена оценка
амплитуд (В. В. Болотин, 1958)
1где h — толщина панели, U* — критическая скорость флаттера. В ряде

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 357
работ было исследовано влияние параметров конструкции на характер
колебаний вблизи границы неустойчивости, рассмотрены нестационарные
колебания, оценена скорость возрастания амплитуд при пересечении обла-
области неустойчивости и т. д. Многие результаты были получены при помо-
помощи аналоговых и цифровых вычислительных машин (Ю. В. Гаврилов,
Б. П. Макаров и Ю. Ю. Швейко, 1959; А. С. Вольмир, А. Ю. Биркган
и Э. Д. Скурлатов, 1966, 1967).
Параллельно с использованием упрощенных аэродинамических фор-
формул задачи устойчивости пластин и оболочек в потоке газа рассматривались
с применением линеаризованной потенциальной теории. В. В. Болотин
A956) рассмотрел устойчивость бесконечно длинной круговой цилиндри-
цилиндрической оболочки в условиях внешнего и внутреннего обтекания в дозвуко-
дозвуковой и в сверхзвуковой области. Среди последующих работ укажем на статьи
Б. И. Рабиновича A959), Ю. Н. Новичкова A963), Е. П. Кудрявцева
A964), А. Н. Гузя и В. Н. Буйвола A966), Д. А. Дербенцева A967).
С. А. Алексеев A967) рассмотрел задачу об устойчивости «мягкой» оболоч-
оболочки в дозвуковом потоке. Начиная с 1961 г. уже не раз обсуждался вопрос
о границах применения поршневой теории к задачам устойчивости пластин
и оболочек в потоке газа. Среди последних работ отметим статьи
К. Е. Ливанова A965) и О. Ю. Полянского A965). Наряду с условием
М Э 1(М — число Маха для невозмущенного потока), условиями малости
возмущений и квазистационарности, должно выполняться некоторое
условие, связывающее показатели изменяемости возмущений вдоль и по-
поперек потока. Что касается границы сверху для числа М, то она устанав-
устанавливается с учетом аэродинамического нагрева, ионизации, диссоциации
и других явлений, происходящих в пограничном слое. Учету влияния
ионизации на устойчивость панели в потоке посвящены статьи А. Д. Ли-
сунова (I960), Л. П. Кляуза и А. М. Мякушева A966), Г. Е. Багдасаряна
и М. В. Белубекяна A966).
По-видимому, имеется некоторая область, для которой применение
поршневой теории приводит к разумным результатам. Поэтому ее приме-
применение оправдано, если задача осложнена некоторыми дополнительными
(преимущественно конструкционными) факторами. Большое количество
работ посвящено расчету подкрепленных, слоистых и анизотропных обо-
оболочек. Среди этих работ в первую очередь должны быть указаны исследо-
исследования С. А. Амбарцумяна с сотрудниками A963—1967), Э. И. Григолюка
с сотрудниками A965). Несколько статей С. А. Амбарцумяна с сотрудни-
сотрудниками A964—1966) посвящены рассмотрению панельного флаттера с учетом
влияния температуры на упругие параметры оболочки. Среди других
работ, в которых используется поршневая теория, следует отдельно упо-
упомянуть статью А. Д. Брусиловского, Л. М. Мельниковой и Ю. Ю. Швейко
A966). В ней рассматривается ставшая уже классической задача об устой-
устойчивости круговой цилиндрической оболочки конечной длины. В отличие
от ряда предшествующих работ, где используется метод Бубнова, здесь
доводится до численных результатов точное решение задачи. :
Количество работ, посвященных экспериментальному исследованию
панельного флаттера, невелико. Укажем на работу Г. Н. Микишева A959),
который изучал поведение плоских панелей при числах Маха от 1,7 до 3,
и работу Э. И. Григолюка, Р. Е. Лампера и Л. Г. Шандарова A964).
Последние авторы исследовали устойчивость цилиндрических панелей
при Rlh = 2250 и М = 1,39. Эксперименты дают подтверждение общей
качественной картины, которая предсказывается расчетом, хотя явление
осложнено рядом побочных факторов.

358 В. В. БОЛОТИН, Э. И. ГРИГОЛЮК
§ 14. Статистические методы в теории упругой устойчивости
Между понятиями устойчивости и вероятности имеется глубокая
связь. Устойчивые состояния и устойчивые движения в природе и технике
наиболее вероятны, а неустойчивые — наименее вероятны и даже невоз-
невозможны. Статистический подход к проблеме устойчивости в некотором
смысле является расширением классического подхода. Устойчивость
в классическом смысле — это, по существу, свойство системы оставаться
вблизи рассматриваемого, состояния (движения). Статистический подход
состоит в исследовании распределений параметров системы вблизи рассмат-
рассматриваемого состояния и, таким образом, содержит в себе более детальное
описание поведения системы.
Значение статистических методов для теории упругой устойчивости
определяется в первую очередь высокой чувствительностью упругих
систем к малым изменениям ряда параметров и случайным характером
изменения этих параметров. Для тонких стержней, пластин и особенно
оболочек такими параметрами служат малые начальные отклонения
от идеальной формы (начальные несовершенства). Именно влиянием
малых начальных несовершенств объясняется большой разброс экспери-
экспериментальных критических сил для тонких упругих оболочек (Б. П. Мака-
Макаров, 1.962; А. С. Вольмир, 1963, и др.).
Решение стохастических задач для распределенных нелинейных систем
встречает серьезные математические трудности. Поэтому обычно распре-
распределенную систему заменяют эквивалентной в некотором смысле системой
с конечным числом степеней свободы. Одна из задач состоит в отыска-
отыскании распределения критических сил по заданному распределению пара-
параметров начальных возмущений. Пусть известна детерминистическая
связь между критическим параметром C* и параметрами возмущений щ,
и2, . . ., ит. Тогда при некоторых ограничениях (В. В. Болотин, 1958)
плотность распределения вероятности р (Р*) может быть выражена через
совместную плотность р (щ, и2, . . ., ит). Этот метод был применен для
анализа распределения критических сил пологой цилиндрической панели,
нагруженной осевыми давлениями. Вычисленные значения математиче-
математических ожиданий и дисперсий оказались близки к опытным значениям.
Б. П. Макаров A962, 1963) и В. М. Гончаренко A962) рассмотрели ряд
других случаев: осевое и гидростатическое сжатие круговой цилиндриче-
цилиндрической оболочки, гидростатическое сжатие цилиндрической панели и др.
Б. П. Макаров A962) и А. С. Вольмир A963) произвели статистическую
обработку экспериментальных данных по испытаниям оболочек на устой-
устойчивость; в частности, Б. П. Макаров A962) исследовал экспериментальные
данные с точки зрения высказанной им гипотезы о возможности бимодаль-
бимодальных распределений критических сил.
Задача о поведении упругих систем с малыми случайными несовер-
несовершенствами при квазистатическом возрастании внешних сил, строго говоря,
выходит за пределы теории упругой устойчивости. Пусть задана детер-
детерминистическая зависимость параметров состояния системы v±, v2, . - -, vn
от параметра нагрузки р и параметров щ, щ, . . ., ит. Тогда при некото-
некоторых ограничениях может быть вычислена совместная плотность вероятно-
вероятности р (vi, v2, . . ., vn\$) для параметров v±, v2, . . ., vn. Вероятность
пребывания системы в пределах области допустимых значений параметров,
включающей устойчивое положение равновесия, определится путем инте-
интегрирования плотности р fa, v2, . . ., vn\ P) по этой области. Если макси-
максимальное значение параметра нагрузки р есть величина случайная, то

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 359
применяется формула полной вероятности. Вычисленная таким путем
вероятность имеет смысл меры надежности системы (В. В. Болотин,
1958, 1965).
Практическая реализация данной схемы встречает ряд трудностей.
Они состоят как в нахождении детерминистической связи между парамет-
параметрами, так и в экспериментальном определении плотности вероятностей
р (щ, и2, . . ., ит). Возможность преодоления экспериментальных труд-
трудностей недавно была продемонстрирована Б. П. Макаровым A967), кото-
который произвел обмер и статистическую обработку на ЭВМ около 60 круго-
круговых цилиндрических оболочек и построил корреляционную матрицу пер-
первых 50 коэффициентов Фурье для функции начальных неправильностей.
Изучение устойчивости упругих систем при действии случайных ди-
динамических нагрузок было начато И. И. Воровичем A959). Рассматри-
Рассматривая оболочку как нелинейную систему с конечным числом степеней сво-
свободы, находящуюся под действием медленно меняющихся сил и случайных
толчков броуновского типа, он исходил из следующего уравнения относи-
относительно функции р (vi, v2, . > ., vn):
dt 2e ЛЛ dvj \P dvj / T 8e2 Zl dv2. ' \l4:'L)
Здесь Э (vi, v2, . . ., vn) — потенциальная энергия системы, 8 — пара-
параметр диссипации, с — параметр, характеризующий уровень флуктуации.
Стационарное решение уравнения A4.1) имеет вид
ip3)f A4.2)
где С — нормировочная постоянная. Распределение A4.2) совпадает
с распределением Гиббса в статистической физике. Оно описывает явную
связь между устойчивостью и вероятностью (минимумы потенциальной
энергии соответствуют максимумам плотности вероятности, и наоборот).
В то же время распределение A4.2) может быть обосновано лишь при весь-
весьма частных предположениях о характере внешних случайных сил и дисси-
диссипации в системе.
Уравнение A4.1) есть уравнение Фоккера — Планка — Колмогоро-
Колмогорова для непрерывного марковского процесса в пространстве конфигураций.
В работах В. М. Гончаренко A962, 1964), М. Ф. Диментберга A962, 1964),
А. С. Вольмира и И. Г. Кильдибекова A964, 1965) эволюция упругих
систем с конечным числом степеней свободы трактовалась как марковский
процесс в фазовом пространстве. Основное содержание этих работ состав-
составляет приближенная оценка вероятности «хлопка» (первого выхода за пре-
пределы сепаратрисы или первого пересечения энергетического барьера для
простейшей модели оболочки — нелинейной системы с одной степенью
свободы). Эта задача изучалась также Б. П. Макаровым A965) методом
электронного моделирования. Переход к системам с несколькими степеня-
степенями свободы связан, однако, с большими трудностями. В. В. Болотин
и Б. П. Макаров A965) предложили оценивать устойчивость равновесия
по среднему времени пребывания системы в некоторой окрестности равно-
равновесия и разработали приближенный метод решения дифференциального
уравнения Л. С. Понтрягина. Дальнейшие результаты даны в работе
Б. П Макарова A965).
Рассмотрение вероятностных задач устойчивости упругих систем,
трактуемых как распределенные системы, еще только начато. В. В. Боло-

360 в. в. болотин, э. и. григолюк
тин и Б. П. Макаров A967) в линейной постановке решили задачу о докри-
тических деформациях пологой упругой оболочки с начальными непра-
неправильностями. Предполагалось, что масштабы неправильностей и корреля-
корреляции малы по сравнению с характерным размером оболочки и что началь-
начальные неправильности образуют однородное эргодическое случайное поле.
Получены формулы для корреляционных функций, спектральных плотно-
плотностей и дисперсий полных и дополнительных перемещений, дополнитель-
дополнительных усилий в срединной поверхности и т. д. Исследовано изменение спек-
спектрального состава неправильностей и характера корреляционных связей
между различными типами неправильностей с увеличением нагрузки,
§ 15, Ближайшие задачи и перспективы
Теория упругой и неупругой устойчивости относится к числу тех
разделов механики, в процессе развития которых решение частных задач,
как правило, значительно опережало разработку общих теоретических
вопросов. Многие задачи, возникшие из потребностей техники, решались
без должного анализа основных понятий, существа используемых методов
и границы их применимости. Примером могут служить многолетнее преоб-
преобладание статического метода и приведенно-модульной концепции в теории
устойчивости упруго-пластических систем, необоснованное применение
статических критериев к задачам упругой устойчивости при наличии
неконсервативных сил и др. Само понятие устойчивости нередко исполь-
использовалось применительно к задачам, в которых исследование устойчивости,
по существу, отсутствовало. Впрочем, эта ситуация свойственна и ряду
других прикладных наук; именно это имел в виду Р. Беллман A964 г.),
характеризуя понятие «устойчивость» как «сильно перегруженный термин
с неустановившимся определением».
В последнее десятилетие положение заметно изменилось к лучшему
(см. § 2—4, где была сделана попытка осветить современное состояние
общей теории). Все же уточнение фундаментальных понятий и разработка
общих строгих методов остаются наиболее важным направлением на бли-
ближайшее будущее. Следует ожидать развития теории устойчивости дефор-
деформируемых твердых тел, которая по строгости и общности соответствовала
бы классической теории Ляпунова. По-видимому, можно возлагать боль-
большие надежды на теорию Ляпунова, распространенную на случай метриче-
метрических функциональных пространств. Если для упруго-пластических,
вязко-упруго-пластических систем, а также для упругих систем, нагру-
нагруженных непотенциальными силами, удастся найти способы построения
функционалов, аналогичных функциям Ляпунова в классической теории
устойчивости, то мы получим новые эффективные и строгие методы для
исследования конкретных задач.
В области устойчивости упругих систем, находящихся под действием
потенциальных сил, наиболее важным разделом остается теория устой-
устойчивости тонких упругих оболочек. Исследования, выполненные в послед-
последние годы, окончательно поколебали утвердившуюся было ориентацию
на нижние критические усилия. С точки зрения расчета тонкостенных
конструкций, а также оценки экспериментальных данных наибольший
интерес представляют истинные (верхние) критические усилия, найденные
с учетом начальных отклонений срединной поверхности от идеального
состояния, реальных способов осуществления граничных условий и реаль-
реального способа нагружения. При этом во многих задачах появляется необ-
необходимость трактовать невозмущенное состояние как моментное и учитывать

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 361
при этом перемещения, соответствующие невозмущенному состоянию.
Таким образом, возникает необходимость учета всей сложности поведения
реальных оболочек в процессе возрастания нагрузок. Преодоление всех
этих трудностей требует дальнейшего уточнения нелинейной теории упру-
упругих оболочек, разработки эффективных численных методов решения кон-
конкретных задач, не основанных на слишком жестких предположениях о ха-
характере деформации оболочек, а также совершенствования эксперимен-
экспериментальных методов и накопления экспериментальных данных. К сказанному
следует добавить, что большая часть факторов, учет которых необходим
для приближения теоретических расчетных схем к реальным оболочкам,
носит случайный характер. Вообще, развитие вероятностных и статисти-
статистических методов является одним из наиболее перспективных направле-
направлений в теории упругой и неупругой устойчивости. В наибольшей мере
это относится к теории устойчивости тонких оболочек, поскольку пове-
поведение последних весьма чувствительно к малым изменениям формы сре-
срединной поверхности, способа осуществления граничных условий и способа
нагружения.
Устойчивость упруго-пластических и вязко-упруго-пластических
систем остается наиболее трудным и наименее разработанным разделом
теории устойчивости деформируемого твердого тела. В этой области почти
исключительно используются нестрогие, приближенные методы. Хотя
обычно они вполне удовлетворяют инженеров и дают правильное пред-
представление о несущей способности конструкции, с точки зрения теории
положение нельзя считать удовлетворительным.
Теория устойчивости упруго-пластических систем должна строиться
на основе теории устойчивости движения. Должна рассматриваться
не устойчивость какой-либо формы. упруго-пластического равновесия,
а устойчивость всего процесса деформирования, развертывающегося
во времени. Это не обязательно требует учета сил инерции. Если внешние
силы консервативны, то в силу диссипативности упруго-пластической
системы достаточным будет рассмотрение медленных возмущений. Для
этого можно, например, использовать «медленное» время теории пласти-
пластического течения. Наряду с невозмущенным процессом следует рассматри-
рассматривать возмущенные процессы упруго-пластического деформирования.
Исследование устойчивости сводится к выяснению условий, обеспечиваю-
обеспечивающих близость возмущенных процессов к невозмущенным.
Поставленная задача является весьма трудной. Дело в том, что упру-
упруго-пластическая система представляет собой существенно нелинейную
систему с неголономными односторонними связями. Уже в одномерных
задачах мы сталкиваемся с математическими трудностями при линеариза-
линеаризации уравнений возмущенного движения. Эти трудности связаны с необ-
необходимостью различать нагружение и разгрузку, а в ряде случаев учиты-
учитывать вторичные пластические деформации.
В двумерных и трехмерных задачах дело еще более усложняется из-за
наличия угловых точек на поверхности текучести и эффектов, связанных
с деформационной анизотропией. К тому же вследствие необратимости
пластических деформаций даже сколь угодно малые возмущения на лю-
любом этапе процесса деформирования могут накапливаться и, таким обра-
образом, влиять на последующее поведение системы. Ввиду этого возникает
необходимость различать однократные и повторные нагружения.
Поскольку подавляющая часть конструкций работает в условиях
повторных нагружений, то возникает весьма важная задача об устойчи-
устойчивости упруго-пластических систем при повторнопеременных нагрузках.

362 в. в. болотин, э. и. григолюк
Эта задача, очевидно, тесно связана с задачей о приспособляемости.
Приспособляемость является не чем иным, как явлением стабилизации
процесса накопления упруго-пластических деформаций. Таким образом,
приспособляемость и устойчивость — родственные понятия. Возможно,
что, отправляясь от теории приспособляемости, можно получить ряд
результатов, относящихся к теории упруго-пластической устойчивости.
Можно высказать гипотезу, что при исчезающе малых возмущениях каса-
тельно-модульная нагрузка будет верхней границей для сил, при которых
имеет место приспособляемость.
Решение перечисленных вопросов требует соответствующего развития
теории пластичности. Поведение упруго-пластических систем в процессе
потери устойчивости может существенно отличаться от пропорционального
нагружения. Поэтому требуется подробное и адекватное описание про-
процесса пластического деформирования при малых, но резких с качественной
стороны изменениях путей нагружения. Возможно, что здесь потребуется
учет временных эффектов.
Задачи упруго-пластической устойчивости, сформулированные в стро-
строгой и полной постановке, могут оказаться слишком трудными для их
практического использования. Кроме того, строгая постановка может
оказаться нереалистичной с практической точки зрения. В этом случае
исследование устойчивости целесообразно заменить непосредственным
решением задачи Коши при заданных возмущениях. Развитие вычисли-
вычислительной техники открывает широкие возможности для такого подхода.
В сущности, речь идет о математическом моделировании движений, смеж-
смежных с невозмущенным движением. Этому моделированию можно придать
статистический характер, если задавать возмущения в соответствии
с некоторыми вероятностными распределениями. Аналогичные подходы
уже используются для изучения систем, работающих в условиях ползу-
ползучести или находящихся под действием ударных нагрузок. Следует отме-
отметить, однако, что при этом решаются не задачи устойчивости, а некоторые
родственные задачи. При надлежащей постановке такой анализ может дать
более полную информацию о свойствах движения, смежных с невозмущен-
невозмущенным, чем анализ устойчивости в узком смысле.
В неклассических разделах теории устойчивости также имеется много
нерешенных вопросов. Возьмем, например, теорию устойчивости упругих
систем, взаимодействующих с жидкостью или газом. В настоящее время
наблюдается стремление к использованию более совершенных аэродина-
аэродинамических подходов, стремление к получению точных решений или хотя
бы весьма надежных приближенных решений на основе применения ЭВМ.
На очереди стоит исследование задач с учетом пограничного слоя, турбу-
турбулентных пульсаций в потоке, начальных неправильностей в оболочке,
вибраций, вызываемых дополнительными внутренними факторами, и т. п.
Учет дополнительных осложняющих факторов необходим, если мы желаем
получить теоретические результаты, полностью согласующиеся с поведе-
поведением реальных конструкций в условиях эксплуатации или эксперимента.
Остаются нерешенными некоторые вопросы, связанные с учетом
влияния демпфирующих сил на устойчивость упругих систем, нагружен-
нагруженных непотенциальными силами. Большая часть задач об устойчивости
упругих систем при наличии следящих нагрузок решалась без учета дем-
демпфирования. То, что во многих работах квалифицировалось как устой-
устойчивость, на самом деле представляет собой «квазиустойчивость» (в смысле
определения, данного в § 4). Учет реальных свойств демпфирующих сил
в конструкциях может привести к пересмотру некоторых решений, полу-

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ И НЕУПРУГИХ СИСТЕМ 363
ченных ранее. Нуждаются в дальнейшем изучении нелинейные задачи.
На очереди стоит учет упруго-пластических и упруго-вязко-пластических
эффектов, а также волновых процессов в динамических задачах теории
устойчивости и т. п.
Одно из наиболее перспективных направлений связано с применением
методов теории вероятностей и математической статистики. Необходи-
Необходимость учета континуального характера упругих систем приводит к рассмо-
рассмотрению стохастических краевых задач. Методы решения нелинейных
задач такого рода разработаны еще весьма слабо. До сих пор большая
часть задач решается путем приведения упругой системы к эквивалентной
в некотором смысле системе с конечным числом степеней свободы. Даль-
Дальнейшее развитие в данной области требует совершенствования математи-
математических методов.
Запросы техники и внутреннее развитие теории будут способствовать
постановке все новых и новых задач устойчивости деформируемых систем.
В этом отношении теория устойчивости: практически неисчерпаема. Раз-
Разнообразие конструктивных схем, среди которых мы находим сложные
пространственные стержневые и тонкостенные системы, анизотропные,
подкрепленные и слоистые конструкции, сетчатые и «мягкие» оболочки
it. п., разнообразие механических свойств материалов и связанная с этим
необходимость учитывать упругие, пластические и вязкие деформации,
разнообразие окружающих сред (газ, жидкость, плазма, сложные реоло-
реологические среды) и способов их взаимодействия с конструкциями (силовые,
тепловые, электромагнитные взаимодействия) — все это служит источни-
источником новых интересных задач. Но интерес к новым задачам все же не должен
уменьшать внимания к фундаментальным понятиям, общим и строгим
методам.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ*)
В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
% 1. Введение 365
| 2. Теории разрушения и теории прочности 367
| 3. Анализ напряжений для тел с трещинами 377
3.1. Изотропное упругое тело, плоская задача 379
3.2. Осесимметричные и пространственные задачи для упругого изо-
изотропного тела 384
3.3. Кручение, изгиб и продольный сдвиг 386
3.4. Анизотропные материалы 387
3.5. Неоднородные материалы 387
3.6. Изгиб полос (балок), напряженное состояние оболочек с трещинами 388
3.7. Динамические задачи теории трещин . . . 388
3.8. Трещины в горных породах, развитие трещин в сжатых телах . . . 390
3.9. Температурные напряжения 391
| 4. Анализ предельного состояния , 392
§ 5. Влияние конфигурации и размера конструкции на прочность .... 394
5.1. Физическая природа масштабного эффекта 394
5.2. Статистическая природа масштабного эффекта 400
§ 6. Разрушение при циклическом нагружении 405
§ 7. Влияние температуры на прочность твердых тел . . * 414
§ 3. Проблемы длительной прочности 422
% 9. Влияние внешней среды на разрушение твердых тел * . . 433
§ 10. Вопросы перманентного разрушения 441
•§ 11. Разрушение при взрыве 449
| 12. Некоторые специальные вопросы механики разрушения 456
12.1. Разрушение жидкостей 457
12.2. Влияние остаточных напряжений и скорости нагружения на проч-
прочность твердых тел 460
12.3. Разрушение под действием высокочастотных электрического и маг-
магнитного полей 463
12.4. Влияние нейтронного облучения на механические свойства, проч-
прочность и разрушение твердых тел 465
12.5. Разрушение под действием мощного фотоизлучения 466
§ 1. Введение
Термин «механика разрушения», появившийся несколько лет тому
назад и быстро завоевавший себе популярность, употребляется в двояком
«смысле. В первоначальном, узком понимании этого термина к механике
разрушения относили только исследования по распространению трещин,
*) Авторы глубоко благодарны Е. Ф. Афанасьеву, Р. Д. Вагапову, Б. А. Дроз-
довскому, Т. К. Зиловой, Л. Н. Карпенко, В. П. Когаеву, Н. А. Махутову,
В. Н. Мосинцу, Н. Д. Соболеву, Н. И. Тихонову, М. В. Ханину, К. К. Шальневу и
Р. М. Шнейдеровичу за предоставленные для составления обзора материалы.

366 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
получившие широкий размах за последние два десятилетия как у нас
в СССР, так и за рубежом, особенно в США. В более широком смысле
механика разрушения включает в себя ту часть науки о сопротивлений
материалов, которая связана с изучением прочности конструкций и соо-
сооружений как с учетом имею'щихся в теле начальных трещин, так и без
него, а также с исследованием различных закономерностей развития тре-
трещин. Именно в таком широком смысле авторы понимают здесь механику
разрушения.
У истоков этой науки стоят такие корифеи, как Леонардо да Винчи
и Галилео Галилей. Леонардо да Винчи, по-видимому, первым поставил
задачу проведения опытов по определению несущей способности (экспе-
(эксперименты с железной проволокой). Хотя людям с древних времен прихо-
приходилось строить различные и весьма сложные сооружения, знания о проч-
прочности и разрушении материалов раньше накапливались эмпирически
и в значительной степени случайно, опыт передавался из поколения
в поколение как некое искусство. Леонардо да Винчи, в частности, при-
приписывают открытие того явления, которое называют теперь масштаб-
масштабным эффектом. Однако достижения Леонардо да Винчи остались неизвест-
неизвестны непосредственно следовавшим за ним поколениям и поэтому не оказали
влияния на развитие механики разрушения. Галилео Галилей, установив-
установивший, что разрушающая нагрузка растягиваемого бруса прямо пропорцио-
пропорциональна площади его поперечного сечения и не зависит от его длины, по пра-
праву может считаться основоположником механики разрушения. Заметим,
что этот вывод, несколько модернизированный на неоднородное напряжен-
напряженное состояние, до сих нор играет основную роль в практических инженер-
инженерных расчетах на прочность.
Дальнейшее развитие механики разрушения связано с именами
Ш. Кулона, А. Сен-Венана, О. Мора, А. Гриффита. Ш. Кулон, А. Сен-
Венан и О. Мор положили начало теории предельного равновесия,
А. Гриффит — теории хрупкого разрушения. Обе эти теории, в настоящее
время доведенные их многочисленными последователями до совершенства,
составляют фундамент современной механики разрушения. Они дают тео-
теоретическое описание различных свойств процесса разрушения, в той или
иной мере присущих всем твердым телам.
В природе и человеческой практике встречается великое многообра-
многообразие материалов, обладающих различными свойствами разрушения. Преж-
Прежде всего, это металлы и их сплавы, имеющие главное практическое значе-
значение в инженерных конструкциях. Затем идут полимеры, биологические
ткани и кости, горные породы и грунты, сыпучие тела, стекла и керамика,
пористые материалы, композиты, лед и т. д. Многообразны также внешние
условия, типы нагрузок, конфигурации конструкций, температура и пр.
Изучением способности к разрушению отдельных материалов или некото-
некоторых их классов в определённых условиях занимаются в рамках различных
естественно-технических дисциплин целые научные направления.
Для механики характерно стремление к описанию основных черт
явления разрушения в рамках строго сформулированных и достаточна
общих моделей, применяемых к некоторым классам материалов. Вместе
с тем существует ряд весьма важных для практики явлений разрушения,
которые до сих пор не имеют своего механического истолкования и пред-
представляют собой интересное поле деятельности для будущих теоретических
изысканий.
Отдавая предпочтение наиболее типичному для механики математи-
математическому подходу, авторы тем не менее сочли необходимым изложить также

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 367
основные результаты практического направления. Авторы заранее созна-
сознают, что некоторые интересные работы по механике разрушения не отра-
отражены в предлагаемом обзоре или же освещены недостаточно. Некоторым
оправданием может служить обширность избранной темы.
Ряд ценных замечаний и соображений, существенно способствовав-
способствовавших улучшению обзора, был высказан А. А. Ильюшиным, В. В. Новожи-
Новожиловым, Г. С. Писаренко, Ю. Н. Работновым, Л. И. Седовым и С. В. Серен-
сеном. Авторы приносят им свою искреннюю благодарность.
§ 2. Теории разрушения и теории прочности
Наличие структурных образований типа зерен, микротрещин, дисло-
дислокаций, пачек молекул и т. д. во всех материалах, которые встречаются
на практике, приводит к тому, что их прочность оказывается на два-три
порядка меньше теоретической, соответствующей идеальному молекуляр-
молекулярному порядку. При этом, описательно говоря, чем больше дефектность
материала, отклонение его структуры от идеального порядка, тем меньше
прочность при прочих равных условиях.
Для различных классов материалов характерны те или иные типы
структурных образований, определяющие особенности их деформирования
и разрушения. Наряду с физическим исследованием микроструктуры
и микроразрушения материалов целесообразно проводить также феноме-
феноменологический анализ явления разрушения на основе некоторых моделей,
отражающих наиболее существенные стороны этого явления. Поскольку,
по-видимому, в настоящее время еще рано говорить о возможностях
построения какой-то общей теории разрушения, более предпочтительным
представляется развитие частных теорий, более или менее хорошо описы-
описывающих поведение некоторых классов материалов в определенных усло-
условиях. При этом возникает необходимость достаточно полной и общей клас-
классификации основных типов поведения твердых тел и соответствующих
теорий.
Вначале дадим классификацию употребляемых реологических моде-
моделей. Рассмотрим элементарный объем dx dy dz, нагруженный по поверх-
поверхности напряжениями Gtj, как некоторый «черный ящик», на вход которого
подаются напряжения otj, а на выходе снимаются деформации е^-. Для
простоты будем считать, что если в число параметров этой системы ввести
температуру Г, то система будет замкнутой *). Согласно основному фено-
феноменологическому допущению, деформации г^ должны вполне определять-
определяться величинами cr^-, T и эволюцией их изменения. При этом бесконечно
малые приращения выходных величин могут быть записаны через соответ-
соответствующие приращения domn, dt и dT в следующем виде:
deu = Aijmn domn + Btj dt + Cu dT (t — время). B.1)
Здесь Aijmn, Btj, Ctj — некоторые функционалы, от параметров
etj (х, z/, z, t), otj (х, г/, z, t), T (х, г/, z, t) в области, занятой телом.
Введем гипотезу «близкодействия». Согласно этой гипотезе парамет-
параметры, определяющие уравнения B.1) для произвольно взятого элементар-
элементарного объема, не зависят от состояния в любом другом элементарном объемег
даже сколь угодно близко расположенном. Кроме того, предполагается,
что в уравнения B.1) не входят объемные силы (в частности, инерционные
*) Иначе говоря, мы исключаем из рассмотрения общий случай моделей с вну-
внутренними степенями свободы, характеризуемых дополнительными параметрами.

368 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
и гравитационные). Эта гипотеза основана на физическом наблюдении,
заключавшемся в том, что силы взаимодействия элементарных частиц
весьма быстро убывают с увеличением расстояния между ними. Системы,
удовлетворяющие этой гипотезе, будем называть системами с близкодейст-
вием. Многие известные в механике реологические модели относятся к си-
системам с близкодействием. Только такие системы и рассматриваются в даль-
дальнейшем. Функционалы А^тп, Btj, Сц по t, x, г/, z в определяющих уравне-
уравнениях B.1), в случае систем с близкодействием вырождаются в функцио-
функционалы только по t от параметров etj ст-7-, Т и только нескольких их произ-
производных по #, г/, z.
Реологические модели для систем с близкодействием можно разбить
на градиентные и безградиентные. В последнем случае в определяющие
уравнения производные по х, г/, z от etj ai7-, T не входят. Большинство
изучающихся в механике моделей являются безградиентными, однако
в теории упругости были предложены также некоторые градиентные моде-
модели (Э. и Ф. Коссера, Р. Д. Миндлин и Р. А. Тупин за рубежом; В. В. Боло-
Болотин, В. А. Ломакин, В. В. Новожилов и М. Э. Эглит в СССР). В последние
годы внимание к градиентным теориям заметно усилилось. По-видимо-
По-видимому, это объясняется тем, что физические теории микронеоднородного упру-
упругого тела приводят к необходимости учета градиентных членов для неко-
некоторых порядков производных.
Если функционалы Ajjmn, Вц, Ctj «неинвариантны» относительно сдви-
сдвига во времени, то соответствующие системы называют системами «со ста-
старением». (В действительности время влияет через соответствующие струк-
структурные физические параметры, которые исключаются из явного рассмот-
рассмотрения.) Системы такого типа в теории ползучести изучал, в частности,
Н. X. Арутюнян (применительно к ползучести бетона). Неинвариантность
относительно сдвига во времени показывает, что реологические свойства
системы изменяются со временем. Большая часть предложенных реологи-
реологических моделей инвариантна относительно изменения начала отсчета вре-
времени и поэтому описывает системы, свойства которых не изменяются
со временем. Далее в настоящем обзоре рассматриваются только безгра-
безградиентные модели, инвариантные относительно сдвига во времени, для
систем с близкодействием.
Дальнейшую классификацию таких систем естественно дать по ха-
характеру реакции системы на внешние возмущения. Заметим, что роль
реакции системы (элементарный объем) играют деформации etj, а роль
внешних возмущений — нагрузки otj и температура Т на поверхности
элементарного объема. Здесь не обсуждается (не имеющий в данном случае
принципиального значения) вопрос о том, в каком смысле понимаются,
вообще говоря, конечные деформации е^- элементарного объема. Мы пред-
предполагаем, что для заданного состояния частицы, начиная с некоторого
момента времени t = 0, эволюция внешних возмущений с^/и Т в точности
известна; считается известным также распределение е^, Gtj и Г в началь-
начальный момент t = 0. Элементарный объем состоит из одних и тех же мате-
материальных частиц (х, г/, z — лагранжевы координаты). Требуется опреде-
определить реакцию системы etj во времени.
Реакция системы на внешнее возмущение может быть мгновенной
и с последействием (соответствующие системы будем называть системами
€ мгновенной реакцией и с последействием). Для систем с мгновенной
реакций Btj = 0, а функционалы А^тп и CtJ- не зависят от времени (в том
числе от производных параметров по t любого порядка). В таких системах
реакция на мгновенное возмущение появляется мгновенно и в дальнейшем,

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 369
вообще говоря, остается неизменной, если сгг;- и Г не изменяются. В произ-
произвольных системах естественно представить полную реакцию (полное при-
приращение деформаций) в виде суммы мгновенной реакции и последействия.
Последнее, по определению, представляет собой ту часть полной реакции,
которая возникает с течением времени.
Предположим, что внешнее возмущение исчезает с течением времени.
При этом реакция системы также может исчезнуть (обратимая реакция).
Системы, в которых хотя бы за бесконечно большое время реакция на ис-
исчезнувшее возмущение также исчезает, будем называть системами с обра-
обратимой реакцией (это определение моделей в теории упругости, см. Л. И. Се-
Седов, 1960). Таким образом, полную реакцию произвольной системы на ис-
исчезнувшее внешнее возмущение в некоторый конечный момент времени
можно представить в виде суммы обратимой реакции и необратимой, кото-
которая остается даже по истечении сколь угодно большого промежутка вре-
времени. В свою очередь, каждое слагаемое состоит из мгновенной реакции
и последействия. Остаточные деформации характеризуют «память» системы
об исчезнувшем внешнем возмущении в прошлом.
Основные реологические модели по типу реакции можно классифици-
классифицировать следующим образом.
Термоупругое тело относится к системам с мгновенной обратимой
реакцией. Деформации 8г7- в термоупругих телах представляют собой
однозначные функции Оц и Г. Таким образом, для этого случая коэффици-
коэффициенты Aijmn и Ctj (Btj = 0) в определяющих уравнениях B.1) представляют
собой некоторые обычные функции от Оц и Г, удовлетворяющие, кроме
того, условию существования полного дифференциала. К тому же выводу
можно прийти, используя термодинамический метод. Дальнейшие упро-
упрощения в уравнения B.1) привносятся при наличии свойств физической
или геометрической симметрии системы (например, изотропии), малости
деформаций, линейности соотношений B.1), изотермичности процесса.
В рамках таких моделей удалось найти эффективное решение многих важ-
важных задач о деформации твердых тел. Соответствующие направления
в механике твердого деформируемого тела изучались в многочислен-
многочисленных работах советских авторов (В. В. Болотин, Л. А. Галин, Э. И. Гри-
голюк, Н. И. Мусхелишвили/ В. В. Новожилов, Г. С. Писаренко,
И. М. Рабинович, А. Р. Ржаницын, Г. Н. Савин, В. И. Феодосьев и
др.). Работы по этим разделам освещены в других обзорах этого тома.
Упруго-пластическое тело принадлежит к системам с мгновенной
реакцией (Вц .= 0). Введение дополнительной гипотезы о существовании
поверхности нагружения и применение квазитермодинамического постулата
Драккера, по-видимому, наиболее просто позволяют получить ассоцииро-
ассоциированный закон течения, лежащий в основе современной теории упруго-
пластических сред. Вместо постулата Драккера можно использовать
также следующие два допущения: а) вся необратимая работа переходит
в тепло, б) скорость приращения энтропии максимальна; возможно при-
принять и некоторые другие допущения. Согласно ассоциированному закону
роль эксперимента, кроме определения термоупругих констант, сводится
к определению поверхности нагружения и ее изменения при необратимых
процессах деформирования. Использование дополнительных физических
принципов дает возможность найти в специальной форме функционалы
Aijmn и Ctj из меньшего числа опытов. Тело называют идеально упруго-
пластическим, если соответствующая поверхность нагружения не
изменяется при любом процессе деформирования (в этом случае ее на-
называют также поверхностью текучести или условием текучести).
24 Механика в СССР, т. 3

370 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
Наиболее известны различные варианты теории текучести, применяе-
применяемые в основном к металлам и их сплавам, а также к грунтам (Р. Мизес,.
Э. Рейсе, В. Койтер, В. Прагер, Ф. Ходж, В. В. Новожилов, X. А. Рах-
матулин, С. С. Григорян, Д. Д. Ивлев и др.).
Если имеет место пропорциональное нагружение, т. е. в каждой точке
тела параметры состояния возрастают по известному закону прямо про-
пропорционально параметру нагружения, то уравнения B.1) (при Btj = 0)
интегрируются. То же самое справедливо для любого фиксированного^
пути нагружения данной малой частицы в пространстве (сг^, Т). В таком
направлении подходят к изучению упруго-пластических сред так назы-
называемые деформационные теории пластичности (Г. Генки, А. Надаи,
А. А. Ильюшин, В. Д. Клюшников, В. С. Ленский и др.).
В СССР по теории пластичности проводились и проводятся широкие
исследования как общего порядка (А. А. Ильюшин, В. В. Новожилов,
Л. И. Седов и др.), так и посвященные решению конкретных проблем
(Л. А. Галин, Д. Д. Ивлев, А. А. Ильюшин, Л. М. Качанов, X. А. Рахма-
тулин, В. В. Соколовский, Г. П. Черепанов, Г. С. Шапиро и др.).
Следует отметить, что основные успехи в решении конкретных задач
в основном связаны с идеальной жестко-пластической моделью или с одно-
одномерностью задачи, однако определенные результаты достигнуты и по го-
гораздо более сложным неодномерным упруго-пластическим задачам.
Теории предельного состояния (идеальное жестко-пластическое телог
сыпучее тело, тело, не выдерживающее растягивающих напряжений, и др.)
можно рассматривать как предельные случаи соответствующих теорий
идеальной упруго-пластической среды, в уравнениях которых опускаются
члены с упругой компонентой деформации.
Вязкое тело относится к системам с последействием (с нулевой мгно-
мгновенной реакцией) и с необратимой реакцией; при этом в уравнениях B.1)
Aijmn = Ctj = 0. При этом естественно считать Btj обычными функциями
Gij, &tj и Г. В простейшем случае, когда Вtj представляют собой линейные
функции оц, получается классическая модель вязкой жидкости.
Если учесть также мгновенную деформацию, определяемую согласно
теории упруго-пластических сред, и считать Btj некоторыми функциями
Qiji (8ij — 8?-) и Т, то из B.1) получится наиболее широко распростра-
распространенный вариант теории ползучести металлов (е?. — мгновенные деформа-
деформации). В основу этой теории положено допущение о существовании потен-
потенциала скоростей ползучести. Исследования по теории ползучести получи-
получили большой размах в работах Н. X. Арутюняна, Л. М. Качанова,
Ю. Н. Работнова, М. И. Розовского и др. *).
Наследственное тело с последействием и с полностью обратимой
реакцией описывает поведение большинства полимерных материалов.
Весьма общее описание таких систем дается при помощи несколько обоб-
обобщенной теории Вольтерра:
mnlT, t-t\ Omn(t')]dt' +
JJ Kijklmn [Г, t-t\ t-f, akl (*'), omn (f)] dt' df+..., B.2)
о
t t
о о
*) Подробные сведения по этому вопросу содержатся в монографии Ю. Н. Ра-
Работнова A966). См. также помещенные в этом томе обзоры Н, X. Арутюняна (стр. 155—
202) и Ю. Н. Работнова (стр. 119—154).

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 371
где
t — t\omn(t']=0 . при t'>t'o,
\ t — t', t — t", ohl(t'), aTOn(O]=0 при *'>*;, t">tm0,
, t, Omn)-+0 При ^->ОО,
, t, t, Gkh Gmn) -> 0 При t->- OO,
B.3)
Здесь Kijmn, Kijkimn, ... — непрерывные однозначные функции аргу-
аргументов Т, omn, oki, ... и вообще говоря, обобщенные функции.
Если отказаться от условий B.3), то появится также остаточная ком-
компонента деформаций и уравнениями B.2) можно будет описывать также
необратимую реакцию (ползучесть).
Наиболее широко распространен вариант линейного вязко-упругого
тела или наследственного тела Больцмана, содержащегося в B.2). По
вязкоупругости наиболее существенные результаты в СССР получены
в работах Н. X. Арутюняна, А. А. Ильюшина, А. К. Малмейстера,
Ю. Н. Работнова и др.
Вязко-пластическое тело относится к разновидности нелинейно вязких
сред. Предполагается, что в пространстве (а^, Т) существует такая фик-
фиксированная поверхность, что по одну сторону от этой поверхности реакция
на внешнее возмущение отсутствует, а на самой поверхности среда ведет
себя как некоторое вязкое тело. Простейшими моделями такого типа опи-
описывается поведение густых смазок, металлов при высоких температурах
и т. д. В СССР теория вязко-пластического тела разрабатывалась в трудах
А. А. Ильюшина, X. А. Рахматулина, В. В. Соколовского и др.
Указанными основными типами реологических тел (упруго-пласти-
(упруго-пластическое, вязкое и наследственное тела) или некоторой их комбинацией
описывается поведение рассматриваемой системы, если только в системе
нет каких-либо скрытых параметров (описывающих, например, химиче-
химические реакции, фазовые переходы, электромагнитные эффекты и т. д.).
В конкретных исследованиях основная сложность заключается в искус-
искусстве разумного подбора наиболее простой модели, дающей требуемое
объяснение и описание наблюдаемого на опыте реологического явления.
Правильный выбор реологической модели является определяющим
при решении проблемы разрушения и прочности, которой занимается
механика разрушения. Без предварительного исследования деформатив-
ных свойств тел невозможно изучение задач механики разрушения.
Вместе с тем подчеркнем, что в физическом плане пластическое деформи-
деформирование играет роль процесса накопления повреждений, т. е. процесса
микроразрушения, постепенно подготавливающего макроскопическое раз-
разрушение.
Работы по механике разрушения можно разбить на два направления.
Согласно первому направлению, берущему начало еще от Галилея, пред-
предполагается, что разрушение тела происходит, как только в некоторой его
точке определенная комбинация параметров о^, гц, Т и ? достигнет крити-
критического значения. При этом сам процесс разрушения не рассматривается.
Ясно, что при таком подходе проблема прочности решается тем или иным
подбором реологической модели и критерия разрушения (выбор послед-
последнего в сопротивлении материалов обычно называют теорией прочности).
Этот подход является прямым логическим следствием принятого
феноменологического рассмотрения в рамках указанных параметров.
Физически он оправдывается тер, что развитие дефектов материала,
24*

372 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
приводящих к потере несущей способности, весьма часто происходит в уз-
узкой околокритической области, так что детальное знание самого процесса
разрушения имеет второстепенное значение. При этом определяемый
экспериментально критерий разрушения часто можно рассматривать как
результат сложных микрофизических процессов разрушения, происходя-
происходящих в масштабе структурной ячейки вплоть до молекулярного уровня
и приводящих к образованию макродефекта. Кроме того, поведение макро-
макродефекта (понимаемого феноменологически как некоторый разрыв смеще-
смещения) зависит от типа разрыва. Например, образование дислокаций и линий
скольжения, даже перерезывающих тело, как правило, не приводит к его
разрушению.
В качестве критериальной величины чаще других берут наибольшее
главное напряжение, наибольшее главное относительное удлинение,
наибольшее главное касательное или октаэдрическое напряжение, удель-
удельную энергию формоизменения, полную удельную энергию деформации.
Каждый из критериев применим при вполне определенных условиях для
некоторого класса материалов. Правильное использование этих критериев
существенно зависит от практического опыта исследователя или инженера.
Накоплению такого опыта посвящено большинство экспериментальных
работ по прочности, излагаемых ниже.
Заметим, что в разное историческое время этим критериям придавали
различное значение. Например, Г. Ламе и В. Ранкин принимали в качестве
критерия прочности наибольшее главное напряжение, а В. Понселе
и А. Сен-Венан — наибольшую деформацию.
Приведем два наиболее ярких образца использования, например,
критерия наибольшего главного относительного удлинения.
При растяжении стержня под действием постоянного напряжения а,
вообще говоря, возникают необратимые деформации ползучести (наиболее
существенные для металлов при высоких температурах и полимеров).
При этом большую часть времени до разрушения т стержень ползет с по-
постоянной скоростью деформации ес (установившаяся ползучесть). Таким
образом, получаем
8ст = в0, B.4)
где 80 — наибольшее относительное удлинение. Если считать величину 8о
постоянной материала и учесть эмпирическую зависимость скорости уста-
установившейся ползучести от нагрузки *)
8С = сехо (С и Я — постоянные материала), B.5)
то формула B.4) позволит найти время до разрушения в зависимости
от приложенного напряжения. Получающаяся формула для долговечно-
долговечности была предложена впервые С. Н. Журковым. Дальнейшие эксперимен-
экспериментальные исследования С. Н. Журкова и его сотрудников показали спра-
справедливость этой формулы для широкого класса полимеров и металлов,
в том числе и для таких материалов, которые до разрушения практически
не обнаруживают необратимых деформаций и разрушаются хрупко.
Для последних приведенные выше соображения теряют смысл.
При нагружении стержня циклическим напряжением с амплитудой
о, меньшей условного предела текучести о0>2, в стержне происходит нако-
*) Для многих материалов оказываются более предпочтительными другие эмпи-
эмпирические формулы, например в виде степенной функции; при этом изменяется также
форма зависимости для долговечности.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 373
пление пластической деформации и усталостное изменение структуры
материала, физически объясняющиеся его микронеоднородностью и, как
следствие, невозможностью избежать локальной концентрации напряже-
напряжений. Пусть за каждый цикл накапливается деформация Агр, причем
величина Аер экспоненциально зависит от приложёнцого напряжения о
(по аналогии с накоплением необратимых деформаций ползучести):
Дер = Be™. B.6)
Очевидно, деформация е0, накопленная за N циклов до разрушения, будет
равна Ae,pN. Отсюда, используя допущение о постоянстве 8о, легко найти
число циклов до разрушения в зависимости от нагрузки (кривая Велера):
N^-^-e-™. B.7)
Такая зависимость действительно наблюдается в том случае, когда нагруз-
нагрузка о больше предела усталости. При меньшей нагрузке, по-видимому,
вследствие эффекта микроприспособляемости становится неприемлемым
допущение о накоплении пластических деформаций.
По изучению теории прочности в СССР были проведены многими
научными коллективами широкие исследования, связанные с именами
Н. М. Беляева, В. В. Болотина, Н. Н. Давиденкова, А. Н. Динника,
С. Н. Журкова, А. А. Ильюшина, Л. М. Качанова, В. В. Новожилова,
И. А. Одинга, Г. С. Писаренко, С. Д. Пономарева, И. М. Рабиновича,
Ю. Н. Работнова, П. А. Ребиндера, А. Р. Ржаницына, С. В. Серенсена,
Н. С. Стрелецкого, Г. В. Ужика, В. И. Феодосьева, Я. Б. Фридмана,
Н. П. Щапова и многих других. Эти исследования позволили выработать
методы расчета, коэффициенты запаса, стандарты и нормативы, по которым
строятся разнообразные сооружения и механизмы. Можно уверенно ска-
сказать, что без использования результатов этих исследований был бы невоз-
невозможен грандиозный успех в подъеме строительства и индустрии в СССР.
Изучение критериев разрушения (теорий прочности) в рамках ука-
указанного подхода в настоящее время сохраняет основное практическое
значение при расчетах на прочность. Однако исследование прочности
и разрушения только в этом направлении недостаточно по ряду причин.
Еще В. Фойхт, проведя серию экспериментов с хрупкими материала-
материалами, пришел к отрицательному заключению относительно возможности
применения критериев прочности. П. Бриджмен обнаружил в 1931 г.
явление «пинч-эффекта», которое невозможно объяснить с позиций теорий
прочности (объяснение этого явления дано Г. П. Черепановым, 1965).
В известной работе А. Ф. Иоффе с сотрудниками A924) была поставлена
серия опытов по изучению прочности кристаллов каменной соли при раз-
различных состояниях поверхности образца. Было обнаружено, что прочность
кристалла с растворенным в горячей воде поверхностным слоем во много
раз превышает его техническую прочность, достигая в отдельных случаях
значения теоретической прочности. Обнаруженный эффект, а также много-
многочисленные случаи разрушения металлических конструкций при напря-
напряжениях, меньших условного предела текучести aOj 2, и многие другие
явления разрушения, принципиально необъяснимые с точки зрения теорий
прочности, заставили некоторых исследователей отказаться от галилеева
представления о прочности как о некоторой константе материала (разу-
(разумеется, при фиксированных внешних условиях). Это направление, беру-
берущее начало от работ А. А. Гриффита, Дж. И. Тейлора, Э. О. Орована,
Дж. Р. Ирвина и др., опирается на изучение самого процесса разрушения.

374 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
В качестве исходных используются обычно следующие соображения.
Разрушение твердого тела почти всегда происходит вследствие разви-
развития в нем некоторых поверхностей разрыва смещений. При этом, если реа-
реализуется разрыв нормального к поверхности смещения, то говорят о тре-
трещине нормального разрыва (отрыва) или просто трещине; если же реали-
реализуется разрыв касательного к поверхности смещения, то говорят о трещине
сдвига или дислокации. Роль указанных двух типов разрывов различна
в различных конкретных условиях. С уменьшением прочности материала,
увеличением температуры, при сжатии, как правило, возрастает роль тре-
трещин сдвига и дислокаций. С увеличением прочности, уменьшением темпе-
температуры, при наличии циклических нагрузок, агрессивных сред, облуче-
облучения, как правило, возрастает роль трещин нормального разрыва.
Развитие поверхностей разрыва начинается с несовершенств струк-
структуры материала, которые приходится рассматривать в начальный момент
как некоторые заданные конечные возмущения, всегда присутствующие
в системе. Эти возмущения обычно рассматривают в виде некоторых началь-
начальных трещин или дислокаций, что хорошо согласуется с прямыми экспе-
экспериментальными наблюдениями. Дальнейшее развитие начальных возму-
возмущений при нагружении может быть самым различным.
Для роста дислокаций характерно почти одновременное и стабильное
развитие сразу многих дислокаций, образующих полосы скольжения
и целые пластические области. Поэтому теория дислокаций является
физической основой феноменологической теории пластичности. Заметим,
что модель идеального упруго-пластического тела и теории предельного
состояния (типа теории Мора*)) дают ответ на вопрос о предельных
нагрузках и несущей способности конструкций в рамках самой реологи-
реологической модели без привлечения каких-либо дополнительных критериев
прочности.
Для роста трещин характерно преимущественное развитие одной
наиболее опасной трещины (однако есть исключения, например рост тре-
трещин в условиях сжатия, близкого к всестороннему), способность ее к быст-
быстрому неустойчивому росту, обычно вызывающему разделение тела на части.
При составлении критерия прочности на основе теории трещин оказывает-
оказывается, что в большинстве случаев получаются обычные теории прочности,
однако фигурирующие в них константы следует считать уже зависящими
от размеров начальных трещин, а также от их формы и местоположения.
Впрочем, для широкого круга явлений разрушения микронеоднородных
тел прочность не зависит от величины начального возмущения (начальной
трещины) и определяется характерными параметрами структуры тела,
например величиной зерна (на это обстоятельство обратил в 1939 г. вни-
внимание Г. Нейбер; см. также Г. П. Черепанов, 1967). Таким образом, фор-
формально к этому вопросу можно подойти как к простейшему обобщению
обычных теорий прочности введением одного дополнительного внутреннего
структурного параметра, не участвующего в формулировке реологической
модели. Такой подход созвучен идее о введении в уравнения состояния
дополнительных структурных параметров, развиваемой Л. И. Седовым.
Не следует забывать также о том, что исследование процесса разрушения
весьма часто представляет самостоятельный интерес вне связи с вопросом
о несущей способности.
Исторически теория дислокаций и теория трещин сложились отдель-
отдельно; различие формального аппарата этих теорий объясняется тем обстоя-
*) Большое применение теории Мора нашла в железобетонных конструкциях.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 375
тельством, что в теории дислокаций рассматривают непосредственно раз-
разрывы смещений и поэтому в линейной теории имеют дело с логарифмиче-
логарифмическими особенностями, а в теории трещин на поверхности разрыва обычно
задают силовые условия и поэтому имеют дело со степенными особенностя-
особенностями. Однако между этими теориями имеется глубокое внутреннее сходство,
заключающееся в том, что коэффициентам при этих особенностях в обеих
теориях придается смысл основных параметров системы, ведущих процесс.
В теории трещин наиболее принципиальным моментом является фор-
формулировка условия локального разрушения в рассматриваемой точке
контура трещины. Для решения вопроса о развитии трещины это так же
важно, как, например, выбор правильного
критерия разрушения для гладкого образца. I
Наиболее просто формулируется усло-
условие локального разрушения в теории так
называемых квазихрупких трещин, когда
наибольший размер области пластических
деформаций в рассматриваемой точке конту-
контура трещины мал по сравнению с расстояни-
расстоянием этой точки до ближайшей границы тела.
Простейший вариант этого условия на осно- и
ве физических идей А. А. Гриффита и Г. Ней- Рис- *•
бера был предложен в 1957 г. Дж. Р. Ирви-
Ирвином. Он заключается в том, что коэффициент при особенности напряжений
в рассматриваемой точке в момент локального разрушения (и продвиже-
продвижения трещины в этой точке) считается равным некоторой постоянной мате-
материала; при этом напряжения вычисляются в предположении идеальной
упругости тела. Поскольку указанный коэффициент представляет собой
некоторую функцию внешних нагрузок, длины трещины и геометрии тела,
находимую из решения упругой задачи в целом, условие локального
разрушения на контуре трещины в принципе позволяет определить ее
развитие и, в частности, отыскать ту комбинацию внешних нагрузок,
которая разделяет области устойчивости и неустойчивости.
Если рассматривать эти внешние нагрузки как некоторые независимые
параметры, вполне определяющие состояние системы, то полученная ком-
комбинация нагрузок будет аналогична поверхности предельного равновесия
для этого же тела без трещины из некоторого гипотетического идеального
упруго-пластического материала. Однако при изменении пути нагружения
разрушающая комбинация нагрузок, вообще говоря, будет другой. Таким
образом, аналогия поведения идеально упругого тела с трещиной некото-
некоторому идеальному упруго-пластическому телу без трещины справедлива
лишь для каждого заданного пути нагружения (в частности, для пропор-
пропорционального нагружения или при монотонном увеличении одного внеш-
внешнего параметра нагрузки). На рис. 1 эта аналогия изображена схематиче-
схематически диаграммой в координатах «обобщенная нагрузка р — обобщенное
смещение г;» (стрелками изображены допустимые способы передвижения
по диаграмме). Разумеется, аналогия имеет место с точки зрения внешнего
наблюдателя, который умеет лишь измерить реакцию системы v на внеш-
внешнее возмущение р.
Были предложены различные модели детального механизма разруше-
разрушения в конце квазихрупкой трещины. Модель Леонова — Панасюка A959),
предложенная независимо от зарубежных авторов, наиболее проста и уни-
универсальна. Согласно этой модели принимается, что на продолжении трещи-
трещины имеется область ослабленных связей; толщина этой области в рамках

376 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
теории малых деформаций считается равной нулю. Кроме того, предпола-
предполагается, что противоположные берега этой области притягиваются один
к другому некоторым напряжением, представляющим собой константу
материала, а в начале этой области, совпадающей с концом трещины, ска-
скачок нормального смещения в момент разрушения становится равным неко-
некоторой другой константе материала. Этот критерий может быть применен
также к трещинам в упруго-пластических телах, если пластическая область
не мала, но пластические деформации сосредоточены вдоль некоторого
тонкого слоя на продолжении трещины. Последний случай реализуется,,
например, в тонких пластинах из малоуглеродной стали.
В дальнейшем было показано, что все известные модели (а их в на-
настоящее время насчитывается около десяти), отличающиеся детальной
схемой описания локального разрыва в конце хрупкой трещины, экви-
эквивалентны в том смысле, что всегда приводят к условию Гриффита —
Ирвина.
Подход к описанию развития трещин в прюизвольных сплошных сре-
средах был предложен Г. П. Черепановым A967). Он основан на энергетиче-
энергетической концепции и на представлении о сверхтонкой структуре конца тре-
трещины, размер которой мал сравнительно с размером пластической области
вблизи вершины трещины.
Теория предельного равновесия и теория хрупких трещин составля-
составляют основу современной механики разрушения. На основе этих теорий было
решено много конкретных проблем большого практического значения.
Эти теории дают идеализированное описание свойств пластичности и хруп-
хрупкости, которые присущи в разной мере всем твердым телам. Однако не сле-
следует противопоставлять феноменологические теории прочности и теорию
трещин, которая расшифровывает феноменологическое понятие сопротив-
сопротивления отрыву, объясняет снижение последнего по сравнению с бездефект-
бездефектным кристаллом и придает ему статистический характер.
В реальных условиях прочность твердого тела может зависеть от сле-
следующих основных факторов: материала, формы и размеров тела, времени,,
способа приложения нагрузки, числа циклов нагрузки, температуры,
параметров, определяющих степень агрессивности внешней среды, скорости
и предыстории деформирования.
В следующих параграфах будут указаны, в частности, некоторые
обобщения упомянутых выше теорий на случай влияния этих факторов
(простейшие обобщения состоят, например, в указании зависимости посто-
постоянных, фигурирующих в этих теориях, от некоторых параметров).
На практике оказывается, что существует некоторая переходная зона
изменения указанных факторов, которая отделяет область вязкого разру-
разрушения от области хрупкого разрушения, причем в последней эксплуатация
конструкции обычно считается недопустимой. В области вязкого разруше-
разрушения расчет прочности производят либо по теории предельного равновесия,,
либо по теориям прочности.
Вывод о недопустимости работы конструкции в области хрупкого
разрушения связан с трудностью обнаружения заранее, методами нераз-
рушающего контроля, трещиноподобных дефектов, могущих привести
к разрушению и фигурирующих в формулах хрупкой прочности. Следует
иметь в виду, что типы таких дефектов многообразны; могут быть, напри-
например, различного рода непровары в сварных конструкциях, зоны окислен-
окисленного или охрупченного металла, загрязнения, инородные включения метал-
металлургической или технологической природы и т. д. Во многих ответствен-
ответственных конструкциях зачастую не удается избежать даже весьма больших

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 377
по размерам дефектов. Это связано, прежде всего, с общей тенденцией
использования все более прочных (и, как правило, более хрупких) мате-
материалов и со специфическими условиями работы некоторых конструкций.
Следует принять также во внимание, что разрушение кристаллов, близких
к идеальным, носит хрупкий характер. На подобных кристаллах, пока
еще в лабораторных условиях, достигнуты весьма большие значения проч-
прочности, в десятки и сотни раз превосходящие техническую прочность.
Вывод о недопустимости работы конструкции в области хрупкого раз-
разрушения имеет временный характер, и в будущем, по-видимому, его при-
придется пересмотреть. В некоторых конструкциях уже в настоящее время
допускается наличие контролируемых трещин, размеры которых не пре-
превышают критические.
Отметим два важнейших круга задач, когда вопрос о предельных
нагрузках может быть в принципе решен без привлечения механики
разрушения, на основании решения задачи в рамках реологической моде-
модели. Это — случаи, когда тело способно испытывать произвольные конечные
деформации, и задачи на потерю устойчивости.
§ 3. Анализ напряжений для тел с трещинами *)
В последнее время изучению способности материалов к трещинообра-
зованию и определению возможности эксплуатации элементов конструк-
конструкций и сооружений с трещинами уделяется значительное внимание. Одной
из важнейших особенностей при такого рода расчетах в рамках линейной
теории упругости является учет возникающего перераспределения напря-
напряжений в результате образования щелей и трещин под действием внешних
нагрузок. Коэффициенты при особенности упругих напряжений в конце
трещины (которые, согласно условию Гриффита — Ирвина, определяют
локальное разрушение в рассматриваемой точке контура трещины) назы-
называют коэффициентами интенсивности напряжений.
При этом поле упругих напряжений в малой окрестности произволь-
произвольной точки О контура трещины представляется в следующем виде:
e (л . . е . 39\ , Кц . е е зе
A + sinsm)+fesmcoscos
кг . е е зе
C.1)
*) Дополнительные библиографические сведения по излагаемым в этом пара-
параграфе вопросам читатель может найти в сборнике «Прикладные вопросы вязкости
разрушения» A964; русский перевод: М., 1968), обзоре Д. Д. Ивлева A967) и в сле-
следующих статьях: Г. Н. Савин и В. В. Панасюк (Прикл. мех., 1968, 4:1, 3—24),
Г. П. Черепанов (Intern. J. Solids and Structures, 1968, 4 : 8, 8, 811—831), E. M. Моро-
Морозов и Я. Б. Фридман (в сб.: Прочность и деформация материалов в неравномерных
физических полях, в. 2, М., 1968, с. 216—253), Г. Г. Джонсон и П. К. Парис (Engng
Fracture Mech., 1968, 1 :1, 3-45).

378
В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
irsil4-
C.1)
J
Здесь gx, Gy, gz xxy, xxz, Xyz — напряжения, и, v, w — компоненты смеще-
смещения по осям декартовой системы координат xyz, гиб — полярные коор-
координаты в плоскости ху (рис. 2), Къ
К-ц, Кщ — коэффициенты интенсивно-
интенсивности напряжений, G и v — модуль сдви-
сдвига и коэффициент Пуассона соответст-
соответственно.
Если выполняется условие ло-
локальной симметрии Кц = Кш = О,
то говорят о трещинах нормального
2 разрыва (или трещинах отрыва). В том
случае, когда Ki = Кш = 0, Кц Ф О,
применяют выражение ч<трещина попе-
поперечного сдвига», а при Кг = Кц = 0, Кцг Ф 0 — «трещина продоль-
продольного сдвига».
Для наиболее распространенного и важного случая трещин нормаль-
нормального разрыва условие Гриффита — Ирвина имеет следующий вид:
C.2)
Рис. 2.
Здесь постоянная хрупкого материала Кю — критический коэффициент
интенсивности напряжений, Е — модуль Юнга, у — энергия диссипации,
приходящаяся на единицу площади растущей трещины *).
Нужно отметить, что в окрестности концов трещин в твердых телах
условия геометрической и физической линеаризации являются недопусти-
недопустимыми с точки зрения оцределения тонкой структуры. Поэтому вблизи
кромки трещины всегда существует некоторая область, в которой решение
C.1) не описывает деталей явления. При этом упругое решение C.1) реа-
реализуется на расстояниях, больших сравнительно с характерным размером
указанной области, но малых по сравнению с характерным линейным раз-
размером тела или трещин. Следовательно, при более строгой постановке
задачи решение C.1) играет роль промежуточной асимптотики. Величина
7 равна необратимой работе внешних сил, затраченной на образование еди-
единицы площади поверхности трещины.
Таким образом, основная задача механики хрупкого разрушения
сводится к анализу напряжений в соответствующем теле с трещинами.
В настоящем параграфе изложен обзор основных работ по теории
хрупких трещин, посвященных определению напряжений для тел с тре-
трещинами (при этом упоминаются не только работы, где непосредственно
получено выражение для коэффициента интенсивности напряжений, но
и важные для теории трещин исследования решений задач теории упруго-
упругости для областей, содержащих щели и разрезы). Не останавливаясь
подробно на методах решения задач математической теории трещин, отме*
*) Соответствующая зависимость для случая динамического распространения
трещин получена Г. П. Черепановым в 1968 г.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ ' 379
тим, что исследования Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили явились
тем фундаментом, на котором были построены решения важнейших задач,
относящихся к этому разделу механики сплошной среды. В силу известно-
то изоморфизма многих явлений исследования Л. А. Галина, Ф. Д. Гахо-
ва, М. В. Келдыша, Н. Е. Кочина, М. А. Лаврентьева, С. Г. Лехницкого,
А. И. Лурье, Г. Н. Савина, Л. И. Седова, Я. С. Уфлянда, Д. И. Шермана,
И. Я. Штаермана и других ученых неоднократно использовались и могут
быть непосредственно использованы в дальнейшем для получения реше-
решений задач теории трещин. Следует отметить, что большая часть работ по ме-
механике хрупкого разрушения выполнена в последнее десятилетие.
3.1. Изотропное упругое тело, плоская задача. Исследования по тео-
теории напряженного состояния вблизи отверстия, подобного разрывам при
образовании трещин, были начаты Ч. Э. Инглисом в 1913 г. и Н. И. Мус-
Мусхелишвили A919), который в рамках классической теории упругости полу-
получил решение задачи о равновесии бесконечного тела с эллиптическим отвер-
отверстием (в частности, с прямолинейной щелью) под действием произвольного
поля напряжений. Основополагающими работами в механике разрушения
являются работы А. А. Гриффита (Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1920,
A221 : 587, 163—298; Proc. 1st Intern. Congr. Appl. Mech. A924), 1925,
p. 55—63), который, используя решения Ч. Э. Инглиса для бесконечного
хрупкого тела с прямолинейной трещиной, определил критические значе-
значения разрывающих напряжений в случае плоской деформации и плоского
напряженного состояния. Он учел явление поверхностного сцепления
вблизи края трещины и предложил энергетический критерий для равно-
равновесных трещин.
В дальнейшем вопросу развития изолированных прямолинейных
трещин в бесконечном хрупком теле при различных вариантах задания
внешних нагрузок было посвящено большое количество работ.
Д. И. Шерман A940) и Н. И. Мусхелишвили A942) дали точное реше-
решение основных задач теории упругости для произвольного числа разрезов
вдоль одной прямой или окружности в бесконечной плоскости.
В работе В. И. Моссаковского и П. А. Загубиженко A954) была реше-
решена задача об определении просвета между двумя приближаемыми одна
к другой упругими полуплоскостями, возникающего вследствие некото-
некоторых сил, приложенных к берегам просвета. Примерно в это же время
A955—1960) некоторые задачи о трещинах в горных породах были постав-
поставлены и решены как задачи математической теории упругости без учета
прочностных свойств пород у краев выработок (см. п. 3.8).
В 1959 г. были предложены некоторые модели локального разрушения
в конце хрупкой трещины (см. указанную выше модель М. Я. Леонова
и В. В. Панасюка и моделирование сил сцепления у конца трещины
Т. И. Баренблатта, эквивалентное по своим результатам построению
Гриффита — Ирвина).
В работах В. В. Панасюка и Л. Т. Бережницкого A965) исследован
общий случай двухосного растяжения пластины с произвольно ориентиро-
ориентированной трещиной. В. И. Моссаковский и др. A968) рассмотрели задачу
о распространении прямолинейной трещины под некоторым углом к пер-
первоначальному направлению, когда в процессе роста на.конце трещины
появляется точка излома. Вопросу влияния начальных напряже-
напряжений на характер распространения хрупкой трещины посвящена работа
И. А. Маркузона A965). Здесь нагрузка выбрана так, что в отсутствие
начальных напряжений трещина во всех случаях развивается устойчиво,
а начальные напряжения являются причиной, создающей неустойчивость.

380 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
Нужно отметить, что начало роста трещины нельзя отождествлять
с полным разрушением. Последнее имеет место только в случае лавинооб-
лавинообразного неустойчивого распространения. Как показывают эксперименты
и расчеты, во многих случаях взаимодействия трещин с препятствиями
и границами, а также в задачах взаимодействия систем трещин на значи-
значительном участке изменения нагрузки развитие трещины протекает устой-
устойчиво. Очевидно, что наличие устойчивых трещин в конструкциях и соору-
сооружениях, работающих зачастую в определенных режимах изменения внеш-
внешних нагрузок гораздо менее опасно, а усиление таких сооружений за счет
постановки заклепок и пластин, высверливания отверстий на пути распро-
распространения трещин и т. д. может значительно продлить их «жизнь». Задача
о подкреплении трещины поперечными ребрами жесткости была решена
в работе Е. А. Морозовой и В. 3. Партона A961).
Большое значение при расчетах на прочность и разрушение имеет-
вопрос взаимного влияния коллинеарных или произвольным образом
ориентированных систем трещин. Г. И. Баренблаттом и Г. П. Черепано-
Черепановым A960) получено решение задачи о периодической системе разрезов,
которая может быть использована для определения длины щели в полосе.
В той же работе исследовано влияние границ тела на распространение*
трещин и рассмотрен случай двух трещин одинаковой длины, поддержи-
поддерживающихся в раскрытом состоянии сосредоточенными силами, приложен-
приложенными к их поверхности. Более детальное исследование вопроса о предель-
предельном равновесии пластины с двумя коллинеарными трещинами равной
длины и вывод расчетных формул были даны в работах В. В. Панасюка
и Б. Л. Лозового A961), Б. Л. Лозового A964), Л. Т. Бережницкого
A965). Задача о развитии двух коллинеарных трещин разной длины рас-
рассмотрена В. В. Панасюком и Б. Л. Лозовым A962). Б. Л. Лозовым A964)
определены критические напряжения для пластины с тремя коллинеар-
коллинеарными трещинами.
Л. Т. Бережницкий A965) рассмотрел наиболее общий случай трещин
разной длины, расположенных вдоль прямой под углом к направлению*
растяжения, причем полученные результаты позволяют определять кри-
критические напряжения в задачах с произвольным числом трещин разной
длины, расположенных вдоль одной оси. В случае систем трещин разной
длины, параллельных некоторому направлению, наибольшую опасность
представляет та из них, которая начинает двигаться первой *).
Известно, что реальные материалы, какой бы предварительной обра-
обработке они ни подвергались, содержат большое число микродефектов раз-
различного рода, развитие которых под действием приложенного поля на-
напряжений приводит к появлению систем трещин, где характер их
взаимного влияния может быть весьма разнообразен.
В. 3. Партон A965), используя асимптотические представленияг
В. Т. Койтера, получил решение задачи для упругой плоскости, ослаблен-
ослабленной двоякопериодической системой трещин одинаковой длины (шахмат-
(шахматное расположение трещин), каждая из которых подвержена однородному
растягивающему напряжению. В этой работе было показано, что определен-
определенное взаимное расположение трещин приводит к их стабилизации (устой-
(устойчивое развитие).
*) Исследованию этого вопроса посвящена работа Е. А. Морозова и В. 3. Пар-
тона A968), где в качестве примера для различных условий нагружения была рассмо-
рассмотрена задача о взаимодействии трех трещин, расположенных вдоль действительной
оси, причем внешние разрезы являются полубесконечными.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 381
В. М. Кузнецов A966) рассмотрел приближенный способ решения
задачи о равновесии системы полубесконечных параллельных трещин,
•с постоянной нагрузкой, действующей на участке конечной длины, при-
причем касательные усилия отсутствуют. Здесь же автор провел сравнение
с точными решениями аналогичных задач, полученных ранее. Этим же при-
приближенным методом П. А. Мартынюк A966) рассмотрел упомянутую выше
задачу об определении напряжений в бесконечной пластине, ослабленной
«системой трещин, расположенных вдоль оси и равноотстоящих одна от дру-
другой. Как и в работе В. М. Кузнецова, здесь вводится упрощающее пред-
предположение о том, что gx = Gy на продолжении разреза, а расстояние
между трещинами велико по сравнению с их длиной.
При рассмотрении вопроса о распространении криволинейной тре-
трещины используется дополнительная гипотеза о том, что начальное рас-
распространение трещины происходит в плоскости, в которой растягивающее
напряжение сге (см- Рис- 2) достигает максимального значения. Эта гипо-
гипотеза была высказана независимо Г. П. Черепановым A963) и Ф. Эрдоганом
и Г. С. Си (Trans. Amer. Soc. Mech. Engrs, 1963, D85 : 4, 519—527),
л также в работах В. В. Панасюка и Л. Т. Бережницкого A964—1966).
В последних с помощью этой гипотезы были получены выражения для
-определения величины предельных нагрузок в случае одной, двух
и системы дугообразных трещин. Заметим, что в работе Л. В. Ершова
и Д. Д. Ивлева A967) предложена постановка задачи определения направ-
направления развития трещины исходя из энергетических соображений. Пред-
Предварительное определение поля упругих напряжений в окрестности вершин
разрезов осуществляется с помощью решения Н. И. Мусхелишвили *).
Особый интерес представляет вопрос исследования предельного равно-
равновесия пластин, ослабленных остроконечными отверстиями. Помимо
«самостоятельного значения определения несущей способности деталей
с такими дефектами, важным является различие в величине критических
нагрузок для этих областей и прямолинейных трещин соответствующей
длины.
Эффективное решение многих задач указанного типа оказывается
возможным при помощи методов, использующих теорию функций комп-
комплексного переменного, разработанных в монографиях Н. И. Мусхели-
Мусхелишвили A966, 1968), Г. И. Положего A949), Г. Н. Савина A951, 1968),
Ф. Д. Гахова A963), С. М. Белоносова A962). Г. П. Черепановым A962)
указан класс задач плоской теории упругости, в котором соответствующие
краевые задачи для аналитических функций могут быть решены в зам-
замкнутом виде.
В. В. Панасюк A962) построил решение задачи о растяжении пластины
о отверстием в виде гипоциклоиды и определил упругие напряжения
в окрестности угловых точек. Эта же задача была исследована в работе
А. П. Гресько A965) с помощью метода, предложенного С. М. Белоносо-
вым A962). В. В. Панасюк и Е. В. Буйна A967) рассмотрели задачу о хруп-
хрупком теле, ослабленном отверстиями в виде гипоциклоидальных полостей,
не взаимодействующих одна с другой. С помощью методов Н. И. Мусхели-
Мусхелишвили ими найдено условие достижения критического состояния хотя бы
в одной из вершин отверстия. При рассмотрении вопроса о предельном
равновесии пластины с острыми концентраторами напряжений В. В. Пана-
яюк и Л. Т. Бережницкий A965) выразили коэффициенты интенсивности
*) Для произвольных криволинейных хрупких трещин дополнительное условие
конце трещины было получено Г. П. Черепановым в 1968 г.

382 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
напряжений через функцию напряжений и функцию, отображающую»
такой контур на единичный круг. Это делает возможным получение при-
ближедных решений также в случае далеко отошедшей трещины.
Трудности, связанные с отсутствием рациональных отображающих:
функций на полуплоскость и плоскость с круговым отверстием, имеют
место в задачах о трещинах, выходящих на поверхность тела. К настоя-
настоящему времени разработано несколько приемов численного решения задач:
о трещинах, выходящих на границу тела, в первую очередь благодаря
работам О. Л. Бови (J. Math, and Phys., 1956, 35 : 1, 60—71), Г. Ф. Бюк-
нера (Boundary problems in differential equations. Univ. Wisconsin, 1960),
А. А. Каминского A965 и ел.). При рассмотрении задачи о произвольном
числе симметрично расположенных трещин, выходящих на свободную
поверхность кругового*отверстия в бесконечном теле, О. Л. Бови применил
для отображения такой области на внешность единичного круга прибли-
приближенное представление аналитической функции полиномами, после чего
стало возможным применение методов Н. И. Мусхелишвили. Проведенные
им конкретное расчеты для простейших случаев одной и двух диаметрально,
противоположных трещин потребовали большого объема вычислительных
работ, так как для достаточной точности оказалось необходимым удержи-
удерживать около тридцати членов полиномиального разложения. А. А. Камин-
Каминский существенно усовершенствовал метод Бови, добившись гораздо луч-
лучшей сходимости при замене отображающей функции такой рациональной:
функцией, которая, сохраняя особенность на концах трещин, скругляет
углы в местах выхода трещины в полость. Им получены простые формулы
для определения величины предельной нагрузки в упомянутой задаче
о пластине, ослабленной круговым отверстием с двумя равными ради-
радиальными трещинами. Используя этот метод, Н. Ю. Бабич и А. А. Камин-
Каминский A965) построили решение задачи для одной прямолинейной трещины,
а А. А. Каминский A965) — для двух прямолинейных трещин, выходя-
выходящих на контур эллиптического отверстия (здесь же приведены результаты
расчетов критической нагрузки в зависимости от длины трещины). В даль-
дальнейшем А. А. Каминский A966) получил решение задач для случая, ког-
когда одна или две равные трещины выходят на контур произвольного^
гладкого криволинейного отверстия при одноосном или всестороннем
растяжении, и определил критические нагрузки, вызывающие развитие
расширенных трещин. Г. Г. Гребенкин и А* А. Каминский A967) в ка-
качестве примера произвели расчет критических нагрузок для двух равных
трещин, выходящих на контур квадратного отверстия. В. В. Панасюк
A965) рассмотрел задачу Бови о круговом отверстии с двумя радиаль-
радиальными трещинами разной длины, выходящими на границу отверстия.
При определении нормальных напряжений используется приближенный
метод, аналогичный методу последовательных приближений, развитому
в работах С. Г. Михлина A935) и Д. И. Шермана A935). Сравнение
с решением О. Л. Бови для двух трещин одинаковой длины дает удов-
удовлетворительное совпадение. Некоторые результаты относительно влияния
свободной границы полупространства на распространение терщины были
получены ранее в работах Ю. А. Устинова A959) и В. В. Панасюка A960).
Отмеченные выше численные методы дают хорошие результаты именно
для бесконечных областей с трещинами, выходящими на контур отвер-
отверстия. При рассмотрении конечных областей с угловыми точками указан-
указанные методы становятся малоэффективными, и здесь возникают особые
трудности. Впервые задача о всестороннем растяжении диска с радиальной
трещиной, выходящей на контур, была рассмотрена в работе Е. М. Моро-

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 383
зова и Я. Б. Фридмана A958), но там только приближенно определялось
разрушающее напряжение, приложенное по краю диска при малых длинах
разреза. Л. Л. Либацкий A965) свел решение задачи о круглой пластине
с прямолинейными разрезами вдоль одного из диаметров к сингулярному
интегральному уравнению с регулярной частью, для которого построил
приближенный способ решения, сохраняющий вид особенности на краях
трещин.
Решение задачи предельного равновесия круглого диска с централь-
центральной трещиной получено в работе Л. Л. Либацкого и С. К. Ковчика A967),
в которой аналитическое решение сопоставлено с экспериментальными
данными.
При изучении вопроса о концентрации напряжений около щелей
и трещин значительный интерес представляет решение смешанных задач
теории упругости для неклассических областей типа полосы (слоя). В мате-
математическом отношении эти задачи очень трудны. Однако начатое около
десяти лет назад систематическое исследование этого вопроса привело
к созданию эффективных методов решения задач такого класса (В. М. Алек-
Александров, И. И. Ворович, Н. Н. Лебедев, Я. С. Уфлянд и др.). Методами
операционного исчисления эти задачи довольно легко сводятся к решению
интегральных уравнений первого рода с нерегулярным ядром. Наиболь-
Наибольший эффект в нахождении удобных для практического использования
решений этих уравнений был достигнут при использовании специфичных
асимптотических методов. Начало исследований вопроса равновесия тре-
трещин в полосе было положено И. А. Маркузоном A963). В. М. Александ-
Александров A965) исследовал равновесные трещины вдоль полосы или слоя, где
интегральное уравнение строится для функции, определяющей форму
трещины. Им получено приближенное решение путем разложения ядра
уравнения в ряд при больших отношениях толщины к размеру трещины
и получены зависимости нагрузки от размеров трещины. Используя этот
метод и решения уравнений Винера — Хопфа, В. М. Александров
и Б. И. Сметанин A965, 1966) получили выражение для коэффициента
интенсивности напряжений на краях равновесной трещины в слое малой
толщины. Для случая постоянной нагрузки определяется связь размера
равновесной трещины с действующей нагрузкой. Аналогичное решение
получено для дискообразной трещины в слое конечной толщины. В. М. Ен-
тов и Р. Л. Салганик A965) рассмотрели в балочном приближении задачу
о полубесконечной трещине, проходящей по средней линии полосы, причем
для нагрузок, приложенных к берегам трещины, задача сводится к рас-
рассмотрению расслаивания под действием нормальной или тангенциальной
силы. В этой работе с помощью метода Винера — Хопфа получено выра-
выражение для коэффициента интенсивности напряжений для достаточно боль-
больших и достаточно малых значений отношения расстояния от конца трещины
до точки приложения силы к полуширине полосы. Используя аналитиче-
аналитический метод, развитый В. М. Александровым и И. И. Воровичем A960)
при исследовании контактных задач для слоя большой относительной
толщины, Б. И. Сметанин A968) рассмотрел задачу о продольной щели
в клине, а также плоскую и осесимметричную задачи о продольной щели
в слое при различных условиях на гранях клина и слоя. Для щели, рас-
пол оженной симметрично относительно граней клина (слоя), и нормальной
нагрузки, приложенной к поверхности щели, получены формулы для
определения поверхности щели. Коэффициент интенсивности напряжений
выражается в виде асимптотического ряда по степеням безразмерного
параметра.

384 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
Впервые плоская смешанная задача для щели рассматривалась
в работе В. И. Моссаковского и П. А. Загубиженко A954). Важные в прак-
практическом отношении задачи расклинивания также являются смешанными
задачами теории упругости. Решение задачи расклинивания хрупких тел
представляет собой своеобразную комбинацию решений контактной задачи
теории упругости и задач математической теории трещин *).
Задачей, допускающей эффективное точное решение, является задача
о расклинивании бесконечного тела неподвижным клином. Г. И. Барен-
блатт A959) получил решение такой задачи для клина постоянной тол-
толщины. В отличие от этого случая, когда положение точек схода известно,
для клина с закругленной передней кромкой требуется еще определение
положения точек схода поверхности трещины с клина. Г. И. Баренблатт и
Г. П. Черепанов A960) исследовали вопрос распространения трещины
перед клином с малым закруглением и клином, где форма закругления
задается по степенному закону. Здесь проведено исследование случая куло-
нова трения, действующего на щеках клина. И. А. Марку зон A.961) сделал
дальнейший шаг в исследовании проблемы расклинивания хрупких тел.
Он получил зависимость длины трещины от длины клина и исследовал
влияние однородных сжимающих или растягивающих напряжений на бес-
бесконечности на длину свободной трещины в задаче о расклинивании беско-
бесконечного тела клином конечной длины. Задачи расклинивания рассматри-
рассматривались также в работе Г. П. Черепанова A962) в качестве примера прило-
приложения полученного им решения одной линейной краевой задачи Римана
для двух функций к смешанным задачам плоской теории упругости.
Точные решения задач расклинивания полосы отсутствуют. Наряду
с работой И. В. Обреимова A930) упомянем исследования В. Д. Кузне-
Кузнецова A954), М. С. Мецика A958), Н. Н. Давиденкова A960), в основе
которых также лежит балочное приближение **).
3.2, Осесимметричные и пространственные задачи для упругого
изотропного тела. Впервые распределение напряжений для хрупкого
трехмерного изотропного тела, содержащего плоскую круглую в плане
трещину, при растяжении на бесконечности постоянным напряжением
определил М. Я. Леонов A939) ***).
В дальнейшем эта задача при различных вариантах задания внешней
нагрузки исследовалась М. Я. Леоновым и В. В. Панасюком A961),
а в последнее время A968) Е. М. Морозовым и В. 3. Партоном. Найденные
здесь в ряде случаев соотношения, связывающие длину трещины с при-
приложенными нагрузками, вполне аналогичны соответствующим случаям
плоской деформации и могут быть получены с точностью до безразмерного
постоянного множителя из анализа размерностей (Л. И. Седов, 1957).
Первая основная задача теории упругости для пространства с плоской
круглой щелью в общем виде была решена В. И. Моссаковским A955).
*) Первой работой, где рассматривались вопросы расклинивания, было иссле-
исследование И. В. Обреимова A930), выполненное им в связи с опытами по расщеплению
слюды. Здесь отошедшая стружка рассматривалась как тонкая балка и для решения
задачи применялись методы сопротивления материалов.
**) Отметим здесь же работы Е. М. Морозова и В. 3. Партона A968), в которых
рассмотрен вариационный принцип и показана возможность и эффективность его
применения в решении различных плоских и пространственных задач для тел, содер-
содержащих трещины, при всевозможных вариантах задания внешних нагрузок. Помимо
обычного определения величины предельных критических нагрузок, авторами построен
приближенный прием, позволяющий определять траектории трещин.
***) Следует отметить также классические работы А. Зоммерфельда и Н. Е. Кочи-
на A938), в которых были решены аналогичные по математической постановке задачи
теории дифракции и гидродинамики.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 385
Случай кольцевой (круглой в плане) трещины рассмотрен в работе
В. Т. Гринченко и А. Ф. Улитко A965). Полученное ими значение вели-
величины предельных напряжений отличается от полученного в 1945 г. резуль-
результата Р. А. Зака только числовым множителем.
Осесимметричная задача теории упругости для неограниченного про-
пространства, содержащего две плоские круглые щели, где напряженное
состояние симметрично относительно средней плоскости, рассматривалась
в работах Я. С. Уфлянда A958), Н. Н. Лебедева и Я. С. Уфлянда A960).
Решение этой задачи строится с помощью выражения компонент через
две гармонические функции (представления Папковича — Нейбера)
с последующим сведением задачи с помощью преобразований Ханкеля
к парным интегральным уравнениям.
Преобразования Мелера — Фока позволили Я. С. Уфлянду A959)
получить решение задачи об осесимметричной деформации неограничен-
неограниченного тела, содержащего плоскую щель, занимающую внешность некоторого
круга заданного радиуса. Здесь получены решения как для случая сим-
симметричного, так и антисимметричного нагружения. В. В. Панасюк A962)
вернулся к рассмотрению этой задачи и определил возникающие при
этом разрушающие нагрузки.
В. И. Довнорович A962) с помощью разработанных им методов реше-
решения пространственных задач теории упругости A959) определил напря-
напряженное состояние упругого тела при наличии плоской щели (разреза).
В качестве примеров получены уравнения для расширенных щелей при
различных вариантах задания нормального давления, приложенного
к поверхности плоской щели в неограниченном упругом теле. В работе
Ю. Н. Кузьмина и Я. С. Уфлянда A965) рассмотрена осесимметричная
задача теории упругости для полупространства, ослабленного плоской
круглой щелью, а Ю. Н. Кузьмин A966) исследовал случай неограничен-
неограниченного тела, имеющего две соосные щели различных радиусов.
Преобразования Ханкеля, сводящие задачу к проблеме решения
парных интегральных уравнений, находят эффективное применение в осе-
симметричных задачах для упругого слоя, в частности в задачах о кон-
концентрации напряжений в упругом слое, ослабленном плоской круглой
щелью (Я. С. Уфлянд, 1959). Эти же задачи другими методами исследо-
исследовались в упомянутых выше работах В. М. Александрова A965), В. М. Алек-
Александрова и Б. И. Сметанина A965, 1966), Б. И. Сметанина A968). Исполь-
Используя аппарат дуальных интегральных уравнений, Н. В. Пальцун A967)
решил некоторые задачи о круглых трещинах в слое.
С помощью преобразований Конторовича — Лебедева Я. С. Уфлянд
A958) рассмотрел задачу для неограниченного упругого тела, содержа-
содержащего разрез в виде полуплоскости, под действием произвольной системы
внешних сил.
В. В. Панасюк A962, 1965) для неограниченного изотропного хруп-
хрупкого тела исследовал вопрос о развитии трещин, имеющих в плане форму,
близкую к круговой. Такой называется трещина, максимальное удаление
контура которой от окружности мало по сравнению с радиусом круга.
Продолжая исследования, начатые в работе М. Я. Леонова и К. И. Чу-
Чумака A959), В. В. Панасюк развил метод приближенного решения указан-
указанного класса задач, где вопрос о предельной нагрузке для трещины, имею-
имеющей в плане форму, близкую к круговой, сводится к определению упругих
напряжений в окрестности контура трещины. Частным примером, отно-
относящимся к этому классу задач, является случай плоской трещины, имею-
имеющей в плане форму эллипса. С помощью развитого приближенного метода
25 Механика в СССР, т. 3

386 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
В. В. Панасюк определил предельные критические напряжения для точек
меньшей и большей осей эллипса и сравнил их с результатами точного
решения этой задачи, полученного им несколько ранее A962).
Выражение, определяющее величину предельных напряжений, необ-
необходимых для распространения трещины в направлении ее меньшей оси,
было получено в работе М. Я. Леонова и К. Н. Русинко A963) на основе
теории макронапряжений, развитой этими же авторами A961).
Ю. Н. Кузьмин A966) нашел распределение напряжений в упругом
пространстве, ослабленном системой периодических вдоль оси z плоских
трещин одинакового радиуса. Для нормальной нагрузки, приложенной
к поверхности трещин, задача сводится к решению парных интегральных
уравнений, сводимых в дальнейшем к уравнению Фредгольма с непрерыв-
непрерывным ядром, выражаемым через известные специальные функции.
3.3. Кручение, изгиб и продольный сдвиг. Начало исследований
вопроса кручения стержней с отверстиями (в предельном случае со щелями)
принадлежит Л. Н. Дж. Файлону (Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1900,
vol. A193, p. 309—352). A. H. Динник в 1913 г. получил решение задачи
о кручении кругового стержня, содержащего радиальную трещину. При
решении задач этого класса широко используются методы, изложение
которых содержится в монографиях Н. И. Мусхелишвили A966), К. В. Со-
ляника-Крассы A949), Н. X. Арутюняна и Б. Л. Абрамяна A963).
Е. А. Ширяев A956), используя развитые им методы решения задач
при кручении и изгибе A951), рассмотрел задачу о кручении однородного
изотропного круглого бруса с одной трещиной по дуге окружности или
по радиусу и с двумя трещинами, расположенными вдоль диаметра.
А. А. Балобян * A958) рассмотрел вопрос кручения призматических
стержней коробчатого поперечного сечения с трещиной.
Общая постановка задач о трещинах продольного сдвига, где распре-
распределению смещений соответствует случай так называемой «антиплоской»
деформации (напряженное состояние в бесконечном цилиндрическом теле,
возникающее под действием постоянных нагрузок, направленных вдоль
образующих цилиндра), рассмотрена в работе Г. И. Баренблатта и Г. П. Че-
Черепанова A961). В отличие от трещин нормального разрыва и трещин
поперечного сдвига, в этом случае возможно получить эффективные
точные решения многих задач, так как единственное отличное от нуля
смещение w удовлетворяет в этом случае уравнению Лапласа. Здесь
возможно непосредственное применение широко развитых методов и резуль-
результатов гидродинамики благодаря очевидной аналогии задач теории упру-
упругости для антиплоской деформации и задач плоской гидродинамики.
В указанной работе были получены точные решения задач для бесконеч-
бесконечного тела, содержащего круговое отверстие с одной или двумя трещинами,
нагруженного на бесконечности постоянным касательным напряжением
(аналог задач О. Л. Бови для трещин нормального разрыва),и смешанной
задачи для изолированной прямолинейной трещины, на части которой
задано постоянное смещение (аналог задачи о расклинивании клином конеч-
конечной длины, рассмотренной И. А. Маркузоном.в 1961 г.). Здесь же исследо-
исследованы задачи взаимодействия бесконечной системы одинаковых трещин,
расположенных вдоль действительной оси, и случай, когда равные тре-
трещины расположены в виде вертикальной однорядной решетки. При рас-
рассмотрении задачи о развитии криволинейных трещин продольного сдвига,
а также трещин, форма которых мало отличается от прямолинейной или
круговой, авторы использовали гипотезу о том, что развитие криволиней-
криволинейной трещины продольного сдвига происходит по направлению максималь-

механика Разрушения 387
ного напряжения %zQ. В этой же работе с использованием формул Кел-
Келдыша — Седова получено решение динамической задачи о разрезании тела.
Р. Л. Салганик A962) рассмотрел две задачи об осесимметричных
трещинах продольного сдвига (дискообразной и бесконечной кольцевой)
в бесконечном теле, когда трещины подвержены действию распределенных
по их поверхности касательных напряжений.
3.4. Анизотропные материалы. При рассмотрении задач равновесия
и распространения трещин в анизотропных средах могут быть широко
использованы методы, развитые в монографиях С. Г. Лехницкого A947,
1950). Впервые задачу о прямолинейной трещине в анизотропной пластине
исследовал А. Н. Стро (Adv. Phys., 1957, v. 6, p. 418—465).
Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов A961) рассмотрели задачу об изо-
изолированной прямолинейной трещине, простирающейся вдоль некоторой
линии упругой симметрии в ортотропном бесконечном теле в условиях
плоской деформации. В этой же работе рассмотрена задача расклинивания
ортотропного тела с плоскостями симметрии, параллельными двум осям,
абсолютно жестким бесконечным клином, движущимся с постоянной ско-
скоростью. Предполагается, что на поверхности соприкосновения клина
с расклиниваемым телом действуют силы кулонова трения. Более детально
исследуется вопрос о расклинивании ортотропного тела неподвижным
клином постоянной толщины в пренебрежении силами трения. В работе
Э. П. Фельдмана A967) в рамках дислокационной теории тонких двойни-
двойников и трещин исследован вопрос распространения тонкой равновесной
трещины вдоль анизотропной полосы конечной толщины. При посте-
постепенном возрастании внешних нагрузок трещина растет до некоторого кри-
критического значения, после чего происходит мгновенное разрушение полосы.
Некоторые задачи о трещинах, расположенных на границе спаянных
полуплоскостей из различных и анизотропных материалов, были иссле-
исследованы Д. В. Грилицким A963). Д. В. Грилицкий и Р. М. Луцышин A967)
рассмотрели напряженное состояние анизотропной пластины с впаянным
круговым изотропным ядром при наличии разрезов на спае.
О. Н. Романив и Р. С. Косычин A968) рассмотрели задачу предель-
предельного равновесия хрупкой анизотропной пластины с произвольно ориенти-
ориентированной трещиной в условиях двухосного растяжения — сжатия. Ани-
Анизотропия сопротивления хрупкому разрушению учитывается соответствую-
соответствующим заданием коэффициента интенсивности напряжений, и считается, что
развитие трещины вначале происходит вдоль плоскости, где предельная
интенсивность нормальных растягивающих напряжений достигнута
раньше, чем в других направлениях.
3.5. Неоднородные материалы. Важное практическое значение имеют
исследования разрушений склеенных тел, где возможно распространение
трещин по месту склейки, в том случае, когда прочность последней отно-
относительно невелика. Если прочность склейки, например, двух упругих
однородных тел значительная, то трещина распространяется в глубь
одного или обоих склеенных тел сообразно закономерности развития
трещин в однородных материалах.
Г. П. Черепанов A962) дал решения основных задач плоской теории
упругости в том случае, когда линией раздела различных упругих тел
является прямая или окружность, а произвольное число разрезов распо-
расположено на этой линии. Аналогичные задачи другим методом были неза-
независимо решены Д. В. Грилицким A963).
В работе Р. Л. Салганика A963) исследовано поле напряжений и сме-
смещений в окрестности конца прямолинейного разреза, являющегося
25*

388 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
границей склейки. Р. В. Гольдштейн и Р. Л. Салганик A963) решили
задачу о развиТи трещин между плоскими пластинами по прямолинейной
границе склейки.
Аналогичная задача еще раз была исследована в работе В. И. Мос-
•саковского и М. Т. Рыбки A965), где на основе условия Гриффита уста-
установлен критерий разрушения неоднородной пластины, состоящей из двух
однородных, но различных по упругим свойствам частей, ослабленной
трещиной по границе.
В. И. Моссаковский и М. Т. Рыбка A964, 1965) рассмотрели упомя-
упомянутую выше задачу Р. А. Зака для случая неоднородного хрупкого мате-
материала, состоящего из двух склеенных полупространств с различными упру-
упругими свойствами. В плоскости склейки имеется круглая в плане трещина
под действием однородных напряжений, приложенных на бесконечности
и перпендикулярных границе раздела полупространств. С помощью задач
теории потенциала авторы получают решение сведением проблемы к линей-
линейной краевой задаче теории аналитических функций.
3.6. Изгиб полос (балок), напряженное состояние оболочек с трещи-
трещинами. Ряд задач предельного равновесия полос, содержащих различные
трещины, был решен В. В. Панасюком и Б. Л. Лозовым A961—1964)
с использованием эффективных методов решения соответствующих задач
теории упругости, разработанных Н. И. Мусхелишвили и Г. Н. Савиным.
Здесь были рассмотрены как задачи об изгибе полос с симметричными
относительно продольной оси полосы сквозными прямолинейными тре-
трещинами, так и с несимметричными (перпендикулярными боковым граням
полосы). Напряженно-деформированное состояние и величина предельной
разрывающей нагрузки определяются для различных условий задания
внешних нагрузок (постоянные изгибающие моменты, сосредоточенные
силы, равномерное давление).
П. Е. Беркович A966), продолжая исследования В. И. Моссаковского
и П. А. Загубиженко A954), получил решение задачи об изгибе полосы
(балки), содержащей прямолинейную трещину конечной ширины, рас-
расположенной под некоторым углом к продольной оси балки.
Изучение напряженного состояния оболочек, содержащих трещины
связано с большими трудностями. В настоящее время эти исследования
только начинаются, но благодаря большим успехам, связанным с реше-
решением задач общей теории оболочек, можно надеяться, что в ближайшее
время будут предприняты широкие исследования, касающиеся анализа
напряженного состояния и условий предельного равновесия оболочек,
содержащих трещины *).
3.7. Динамические задачи теории трещин. В последнее время значи-
значительное внимание привлекают исследования, связанные с вопросами дина-
динамического распространения трещин. Начало этим исследованиям было
доложено Н. Ф. Моттом (Engineering, 1948, 165 : 4275, 16—18), рассмот-
рассмотревшим процесс развития изолированной прямолинейной трещины в беско-
бесконечном теле под действием однородного поля растягивающих напряжений.
Динамическая задача теории упругости для бесконечного тела с прямо-
*) Здесь же отметим работу С. Я. Яремы и М. П. Саврука A967), исследовавших
напряженное состояние цилиндрической оболочки с трещиной при симметричном
нагружеиии, а также работу Е. М. Морозова и В. Т. Сапунова A968), рассмотревших
задачу о сферической оболочке с трещиной под действием внутреннего давления,
В последнем случае определяется напряженное состояние в окрестности концов тре-
трещины и, в частности, характер изменения напряжений в зависимости от толщины
]й кривизны оболочки и от длины трещины.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 389
линейной трещиной фиксированной длины, движущейся с постоянной
скоростью под действием приложенного на бесконечности однородного
растягивающего напряжения, была рассмотрена Э. Г. Иоффе (Phil. Mag.,
1951, 42 : 330, 739—750). Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов A960)
исследовали стационарные задачи о движении прямолинейных трещин
нормального разрыва. Ими была найдена предельная скорость распростра-
распространения прямолинейной трещины в однородном упругом теле (равная при-
примерно 0,6 с2» гДе С2 — скорость поперечных волн). Эта та скорость, при
которой нарушается прямолинейный характер распространения и начи-
начинается ветвление трещины из-за перераспределения напряжений вблизи
ее конца. Однако при обеспеченной заранее прямолинейности предельная
скорость трещины, распространяющейся в однородном материале, равна
скорости поверхностных волн Рейли (—0,9 с2).
Исследования равновесия и распространения трещины в анизотроп-
анизотропной среде (Г. И. Баренблатт и Г. П. Черепанов, 1961) показали, что, как
и в изотропном теле, скорость распространения трещины не может пре-
превосходить скорость волн Рейли. В случае ортотропного тела с двумя вза-
взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии для прямолинейности
трещины необходимо, чтобы отношение критических коэффициентов интен-
интенсивности напряжений в направлении расклинивания и в направлении,
ему перпендикулярном, не превышало единицы. Одно из основных пред-
предположений в задачах стационарного расклинивания с постоянной ско-
скоростью состоит в том, что конец трещины, образующейся перед клином,
движется равномерно с той же скоростью. Однако экспериментальные
исследования показали, что при развитии трещины, например, с малой
скоростью скорость конца совершает регулярные колебания около неко-
некоторого среднего значения. Г. И. Баренблатт и Р. Л. Салганик A963)
исследовали явление автоколебательного процесса при расклинивании,
предположив, как и А. Н. Стро (J. Mech. and Phys. Solids, 1960, 8 : 2,
119—122), что критический коэффициент интенсивности напряжений зави-
зависит от мгновенной скорости распространения трещины, вначале убывая,
а затем возрастая с увеличением скорости. Ими рассмотрены автоколеба-
автоколебания при расклинивании жестким клином, движущимся с постоянной ско-
скоростью, для бесконечного хрупкого тела> тонкой балки и тонкой стружки,
отщепляемой от большого тела.
Проблема неустановившегося распространения трещин исследовалась
Г. И. Баренблаттом, Р. Л. Салгаником и Г. П. Черепановым A962).
С учетом ряда предположений относительно сил сцепления *), действую-
действующих в концевой области, и распределения растягивающих напряжений,
найденных К. Б. Бробергом (Arkiv fys., 1960, 18 : 2, 159—192), авторы
получили зависимость скорости распространения трещины от величины
приложенного напряжения. Оказалось, что для любого материала суще-
существует минимальная скорость устойчивого распространения трещины,
которая с увеличением нагрузки возрастает, стремясь к скорости волн
Рейли.
Б. В. Костров A964) с помощью метода инвариантных решений Смир-
Смирнова — Соболева нашел решение автомодельной задачи о неустановив-
неустановившемся распространении осесимметричной трещины под действием прило-
приложенного на бесконечности однородного растягивающего напряжения.
*) В рамках классической теории упругости введение сил сцепления является
ненужным и лишним при формулировке критерия разрушения; оно не в состоянии
объяснить истинную картину процесса деформации в случае детального анализа явле-
явлений у края трещины (см., например, Е. М. Морозов и В. 3. Партон, 1968).

390 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
Продолжая исследование вопроса динамического развития трещин,
Б. В. Костров A966) нашел решение нестационарной задачи распростране-
распространения трещины продольного сдвига в безграничном упругом теле, причем
было вычислено распределение напряжений вне трещины при произволь-
произвольном временном законе перемещения концов трещины. Здесь использовались
методы, развитые в задачах о сверхзвуковом обтекании крыла конечного
размаха.
Проблеме определения напряжений в окрестности конца трещины,
стационарно движущейся по границе склейки двух различных упругих
материалов, посвящена работа Р« В. Гольдштейна A966). В ней рассма-
рассматривается в условиях плоской деформации движение с постоянной ско-
скоростью (меньшей скорости звука в обоих материалах) полубесконечной
трещины, на фиксированном расстоянии от конца которой приложены
равные по величине и противоположно направленные сосредоточенные
силы. Решение с помощью преобразования Фурье и метода Винера —
Хопфа сводится к задаче Римана — Гильберта для системы функций
с кусочно-постоянными коэффициентами. Продолжая изучение законо-
закономерностей развития трещин в склеенных телах, Р. В. Гольдштейн A967)
исследовал поверхностные волны, распространяющиеся в соединенных
материалах вдоль границы соединения при различных условиях контакта
вдоль этой линии.
А. М. Михайлов A966) рассмотрел движение трещины в узкой полосе
в балочном приближении. С использованием вариационного принципа
им выведены уравнения движения и граничные условия для смещения
нейтральной оси балки, расположенной по одну сторону от трещины.
Точное решение задачи о стационарном движении полубесконечной
трещины вдоль средней линии полосы, когда скорость конца трещины
не превышает скорости волн Рейли, получено в работе Р. В. Гольдштейна
и М. Матчинского A967). Ими отмечено, что и решение, и коэффициент
интенсивности напряжений зависят от частоты собственных антисиммет-
антисимметричных волн полосы, распространяющихся с той же скоростью, что и тре-
трещина *).
3.8. Трещины в горных породах, развитие трещин в сжатых телах.
Значительный практический интерес представляет исследование развития
трещин в горных породах, возникающих как естественным образом вслед-
вследствие тектонических движений, так и искусственно образующихся при
гидравлических разрывах пластов и т. п.
Впервые задача?о вертикальной трещине (трещина, не полностью
заполненная вязкой жидкостью, под действием бокового горного давления)
была изучена Ю. П. Желтовым и С. А. Христиановичем A955). При реше-
решении задачи учитывалось только боковое горное давление и давление жидко-
жидкости. В этой работе для определения зависимости длины трещины от внеш-
внешних нагрузок использовалось условие конечности напряжений на концах
трещины, высказанное С. А. Христиановичем A955). Еще раньше это усло-
условие выдвигалось в работе Г. М. Вестергарда (J. Amer. Concrete Inst.,
1933, 5 : 2, 93—103; J. Appl. Mech., 1939, 5 : 2, A49-A53).
Г. И. Баренблатт A956) при исследовании механизма гидравлического
разрыва нефтеносного пласта рассмотрел задачу о горизонтальной диско-
дискообразной трещине, содержащей вязкую жидкость и находящейся на неко-
*) В 1968 г. Р. В. Гольдштейн, используя, как и в предыдущем случае, метод
Винера — Хопфа, построил решение задачи и для условия превышения скорости
волн Рейли, причем им отмечено, что спектр собственных волн приводит к своеобраз-
своеобразным резонансным явлениям в полосе.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 391
торой глубине от поверхности тяжелого полупространства. С использова-
использованием решения Я. Н. Снеддона и условия о конечности напряжений
у конца трещины было получено выражение для радиуса трещины в функ-
функции объема и давления закачанной жидкости, глубины залегания и удель-
удельного веса породы.
В этой же постановке в работах Ю. П. Желтова A957) получено реше-
решение обобщенной задачи о вертикальной трещине для случая фильтрую-
фильтрующейся через ее поверхность жидкости. Им же предложен приближенный
метод решения задачи о горизонтальной трещине в переменном по радиусу
поле вертикального давления.
Развитие теоретической геологии, расчеты напряжений, возникающих
в горных выработках,.железобетонных конструкциях и т. п., потребовали
исследований проблемы прочности хрупких тел на сжатие.
B. И. Моссаковский и М. Т. Рыбка A965) предложили подход в целях
построения теории прочности сжатых хрупких тел с трещинами, исходя
из энергетических соображений А. А. Гриффита. Критерий Гриффита
использовался М. Т. Рыбкой A966) для определения длины прямолиней-
прямолинейной трещины, вдоль которой действуют силы кулонова трения, в задаче
о двухосном сжатии упругой изотропной пластины. Не проводя анализа
напряженного состояния в конце трещины, В. И. Моссаковский и др.
A965) нашли распределение напряжений в плоскости, содержащей тре-
трещину в виде трехзвенной ломаной, причем однородное сжатие на беско-
бесконечности происходит под некоторым углом к среднему звену трещины.
Г. П. Черепанов A966) исследовал закономерности теории прочности
хрупких тел на сжатие в идеализированном случае трещины со свобод-
свободными берегами. Там же получено замкнутое решение плоской задачи
теории упругости для «налегающих» трещин (математический разрез
€ заданным скачком нормальных смещений и напряжений и касательного
напряжения, в то время как силовое взаимодействие противоположных
берегов произвольное и нелинейное), расположенных вдоль одной пря-
прямой. В качестве приложения предложена теоретическая схема горного
удара, и высказаны некоторые соображения о наиболее безопасных*формах
выработок.
П. Е. Беркович A966) определил распределение напряжений в упру-
упругой плоскости с трещиной в неоднородном поле сжимающих напряжений.
В предположении, что трещина состоит из трех участков, причем на уча-
участке контакта разность вертикальных смещений берегов постоянна, автор
€ помощью комплексных потенциалов сводит задачу к решению четырех
задач линейного сопряжения для определения четырех функций.
C. Я. Ярема и Г. С. Крестин A966) методом последовательных при-
приближений определили величину предельной нагрузки в задаче о сжатии
диска, содержащего симметричную трещину, сосредоточенными силами.
В работе А. А. Каминского A967) были определены критические
нагрузки, вызывающие развитие одной и двух трещин, которые выходят
на контур криволинейного отверстия, когда плоскость сжимается посто-
постоянными усилиями. В случае эллиптического отверстия автор получил
простые формулы для определения критической нагрузки.
3.9. Температурные напряжения. Как известно, температурные задачи,
в которых рассматривается установившийся поток тепла, с помощью
метода, предложенного Н. И. Мусхелишвили в 1916 г., могут быть све-
сведены к решению обычных плоских задач теории упругости. При этом пред-
представление о коэффициенте интенсивности напряжений в основном сохраня-
сохраняется и для задач, связанных с определением температурных напряжений.

392 В. 3. ПАТРОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
Н. М. Бородачев A966) определил распределение термоупругих напря-
напряжений для бесконечного тела, содержащего осесимметричную трещину,
а Г. С. Кит и Я. С. Подстригач A966) нашли распределение стационарного
температурного поля напряжений, возникающего в окрестности щели,
обладающей теплосопротивлением, когда в бесконечно удаленных точках
пластины задан однородный тепловой поток.
Более общая постановка такого рода задач содержится в работе
Я. С. Подстригача и Г. С. Кита A967). Для случая плоскости, содержащей
произвольное число теплопроводящих трещин, между противоположными
берегами которых отсутствует идеальный тепловой контакт, они предло-
предложили метод, позволяющий определить стационарное температурное поле *).
§ 4. Анализ предельного состояния
Теория предельного состояния и теория идеальных упруго-пластических сред
дают идеализированное описание основных свойств процесса деформации и разруше-
разрушения большинства твердых тел в области вязкого разрушения в широком диапазоне
времени, температур, скорости деформирования и т. д. Зародившись в работах
Ш. Кулона, А. Сен-Венана, А. Треска, М. Леви, О. Мора, Л. Прандтля, эти теории
затем были всесторонне разработаны советскими и зарубежными учеными. Практиче-
Практическое значение этих теорий выходит далеко за рамки определения прочности и несущей
способности конструкций. Здесь следует указать в первую очередь их приложения
в вопросах технологической обработки металлов, механики грунтов и горных пород,
недавние приложения к решению проблемы псевдоожижения в химической технологии-
В нашей стране развитие теории пластичности началось в тридцатые годы рабо-
работами С. Л. Соболева A935), С. А. Христиановича A936), С. Г. Михлина A938), кото-
которые исследовали некоторые задачи для упруго-пластического и жестко-пластического
тел. Важное значение имели работы А. А. Гвоздева A934, 1938), в которых был предло-
предложен метод верхней и нижней оценок для предельных нагрузок на жестко-пластическое
тело. Этот метод интенсивно разрабатывался в дальнейшем и лег в основу расчетов
прочности на основе кинематически возможных полей скоростей и статически допусти-
допустимых полей напряжений.
Широкое развитие теории пластичности в нашей стране относится к сороковым
годам. А. А. Ильюшин A943) предложил теорию малых упруго-пластических дефор-
деформаций, получившую распространение в приложениях. Им была доказана A945, 1947)
теорема о простом нагружении, позволившая на важном частном случае использовать
связь между моделью нелинейно упругого тела и моделью упруго-пластической среды.
Л. М. Качанов A940), А. А. Марков A947) и С. М. Фейнберг A948) получили основ-
основные результаты по вариационным принципам для нелинейно упруго и жестко-пласти-
жестко-пластического тел. Л. А. Галин, А. А. Ильюшин, X. А. Рахматулин, В. В. Соколовский
и многие другие дали решения ряда интересных и трудных задач, положивших начало
основным научным школам по теории пластичности в СССР.
В. В. Соколовский получил решение некоторых упруго-пластических задач
A942, 1944, 1948) и контактных задач о давлении жестких штампов на жестко-пласти-
жестко-пластическое тело A940), развил теорию плоского напряженного A946) и плоского деформи-
деформированного A945) состояний.
Для упрочняющихся тел А. А. Ильюшин A948) предложил метод упругих реше-
решений, сводящий решение граничной задачи для нелинейно упругого тела к бесконечной
последовательности соответствующих задач для линейно упругих тел с дополнитель-
дополнительными объемными силами. Значительные результаты получены А. А. Ильюшиным
A944—1950) в теории несущей способности пластин и оболочек из упруго-пластиче-
упруго-пластического материала и, в частности, при потере устойчивости.
Л. А. Галин A944—1949) применил методы теории функций комплексного пере-
переменного для решения некоторых сложных существенно двумерных упруго-пластиче-
упруго-пластических задач.
*) Иллюстрацией этого метода являются найденные в 1968 г. Г. С. Китом и
Ю. С. Френчко стационарное температурное поле и напряжения в бесконечной пло-
плоскости с теплоизолированной дугообразной трещиной при фиксированном однородном
тепловом потоке на бесконечности. Распределение напряжений в окрестности концов
трещины и предельное значение теплового потока дают возможность определить начала
распространения трещины в хрупком материале.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 393
X. А. Рахматулин A945—1948) заложил основы теории распространения волн
в упруго-пластических средах.
В последующие годы математическая теория пластичности в СССР развивалась
как по пути общих построений и анализа исходных предпосылок, так и по пути накоп-
накопления конкретных результатов и методов решения краевых задач.
Отметим лишь некоторые общие результаты.
Л. И. Седову A962) принадлежит общий термодинамический и кинематический
анализ основных моделей сплошной среды, наиболее общая формулировка ассоци-
ассоциированного закона течения для упрочняющегося тела при произвольном числе пара-
параметров, ответственных за предысторию нагружения. В 1965 г. Л. И. Седов предложил
вариационный метод построения математических моделей сплошной среды и указал
общую форму соответствующего принципа, применимую не только в классической
механике, но также и в релятивистской механике сплошных сред и электродинамике.
В рамках этого метода установлены связи теории пластичности и континуальной
теории дислокаций.
Ю. Н. Работнов A968) предложил теорию пластичности, учитывающую эффект
задержки текучести для общего трехмерного случая. В 1958 г. он убедительно показал
справедливость соотношений деформационного типа при сингулярных поверхностях
нагружения. В 1951 г. К). Н. Работнов предложил техническую теорию оболочек,
которая оказала большое влияние на дальнейшее развитие теории несущей способно-
способности оболочек.
В. В. Новожилов A947) разрабатывал теорию конечных деформаций, а в 1957—
1958 гг. совместно с Ю. И. Кадашевичем предложил вариант теории пластической
среды с трансляционным упрочнением.
A. А. Ильюшин A963) с общефункциональных позиций провел анализ возмож-
возможных соотношений между напряжениями и деформациями, сформулировал постулат
изотропии и вывел структурные формулы для соотношений между напряжениями
и деформациями.
Д. Д. Ивлев A958, 1966), исходя из принципа максимума скорости диссипации
механической энергии, предложил вывод ассоциированного закона течения и дал
анализ уравнений для наиболее распространенных вариантов теории пластич-
пластичности. При этом были исследованы сильные и слабые разрывы в смещениях и напря-
напряжениях для произвольного трехмерного случая. Им были предложены и изучены
также различные модели сложных сред. В 1958 г. Д. Д. Ивлев выдвинул теорию
анизотропной идеальной пластичности на основе обобщения условия пластичности
Треска.
B. Д. Клюшников A958) разрабатывал варианты теории пластичности с анизо-
анизотропным упрочнением. А. А. Вакуленко A959) предложил подход к теории упруго-
пластических сред с точки зрения развиваемой им нелинейной термодинамики необ-
необратимых процессов.
Модель упруго-пластического тела и теория предельного равновесия нашли широ-
широкое применение в механике грунтов и горных пород. Теорию предельного равновесия
при условии текучести Кулона обычно называют статикой сыпучей среды. В этом
направлении наиболее существенные результаты получены В. В. Соколовским,
В. Г. Березанцевым, С. С. Голушкевичем, А. Ю. Ишлинским и др.
Значительное продвижение имело место также в направлении создания новых
моделей упруго-пластической среды, применяемых к изучению определенного класса
явлений деформирования и разрушения грунтов.
Н. М. Герсеванов, В. А. Флорин, Н. А. Цытович развивали так называемую тео-
теорию фильтрационной консолидации для описания деформации грунтов, насыщенных
жидкостью. При этом использовалась концепция двойной сплошной среды и опре-
определенные представления о свойствах скелета и жидкости, а также об их взаимодействии.
Более общую теорию в том же направлении развивал В. Н. Николаевский A960—
1962), а математическое исследование проблем консолидации принадлежит В. 3. Пар-
тону A964—1968).
Ю. П. Гупало и Г. П. Черепанов A967) для решения некоторых проблем псевдо-
псевдоожижения в химических реакторах применили модель тела, не выдерживающего
растягивающих напряжений.
C. С. Григорян A967) применительно к взрывам в прочных горных породах пред-
предложил использовать один вариант упруго-пластического тела, являющийся некоторым
обобщением (наблюдаемой в опытах с мягкой сталью, но имеющей другие, более слож-
сложные закономерности) одномерной диаграммы а — ее фиксированным «зубом». При
этом распространяющаяся граница упругой и пластической зон будет линией разры-
разрыва напряжений и деформаций (фронт разрушения). Указанная модель представляет
собой обобщение модели мягкого грунта, предложенной тем же автором в 1960 г.г
и построений В. П. Корявова A962) и В. Н. Родионова A962).

394 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
§ 5. Влияние конфигурации и размера конструкции на прочность
Наука о прочности в последние полвека переживает период бурного
развития. Прежде всего это связано с прогрессом в создании новых мате-
материалов и сплавов, обладающих все более высокой прочностью. Если
в течение XIX века для применявшегося в конструкциях технического
железа (литое железо) предел прочности поднялся примерно с 30 до
40 кг/мм2, то в настоящее время существуют стальные сплавы с преде-
пределом прочности порядка 200—300 кг/мм2, и вполне достижимыми в после-
последующие десятилетия являются прочности порядка 400—600 кг/мм2.
При этом физические теории о природе прочности и разрушения оказали
существенное влияние на выбор пути по созданию все более прочных
сплавов (прежде всего это относится к теории дислокаций и теории
трещин).
Будем различать два понятия; металлургическую прочность и конст-
конструкционную прочность. Под первой понимается (обычно приводимое
в справочниках по материалам) значение прочности, полученное на глад-
гладких лабораторных образцах определенных стандартных размеров из мате-
материала в состоянии поставки. Прочность изделия из этого же материала
(конструкционная прочность) иногда оказывается существенно меньше.
Особенно часто это происходит при приближении к области хрупкого
разрушения. Влияние размера конструкции.на (конструкционную) проч-
прочность будем называть масштабным эффектом.
В области вязкого разрушения масштабный эффект отсутствует,
зависимость прочности от конфигурации тела определяется расчетом
в рамках выбранных модели тела и условия разрушения в точке по какой-
либо теории прочности. В случае идеальных упруго-пластических тел
надобность в теории прочности отпадает и прочность вычисляется в рам-
рамках самой модели. В области хрупкого разрушения масштабный эффект
всегда имеет место, зависимость прочности от конфигурации и размера
тела (и в том числе от формы и размеров трещиноподобных дефектов)
вычисляется в рамках модели упругого тела по теории Гриффита — Ир-
Ирвина. В этом параграфе рассматривается в основном наиболее практически
важная область переходного разрушения, в которой масштабный эффект
также имеет место и которая изучена гораздо менее полно.
5.1. Физическая природа масштабного эффекта. Эволюция взглядов
на физическую природу масштабного эффекта была сравнительно длинной
и мучительной. Это было вызвано тем, что феноменологические представ-
представления о хрупкости и пластичности носили описательный характер, связан-
связанный с наблюдением процесса разрушения и формы поверхностей излома.
Хрупкое разрушение характерно быстрым протеканием процесса разру-
разрушения, отсутствием шейки, ориентировкой поверхности отрыва вдоль
площадки наибольшего главного растягивающего напряжения. При вязком
разрушении, когда развиваются значительные пластические деформации,
в образце образуется шейка, а поверхность отрыва ориентируется вдоль
площадки максимального касательного напряжения. Однако на практике
во всех материалах в различной мере имеет место сочетание хрупкого
и вязкого разрушения.
При увеличении масштаба образца и наличии в нем надрезов или
каких-либо концентраторов напряжений наблюдается тенденция к возра-
возрастанию вероятности хрупкого разрушения. Поэтому первый вопрос заклю-
заключается в том, как сравнивать пластический и хрупкий характер разруше-
разрушения материалов (как определять сопротивление отрыву и склонность мате-

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 395
риала к хрупкому разрушению). Несмотря на то что теоретический ответ
на этот вопрос был дан еще в классической работе А. А. Гриффита A920),
она в течение почти тридцати лет не оказывала влияния на решение
вопросов для конструкционных металлов»
Трудность сравнения состоит в том, что идеальной пластичности мас-
масштабный эффект не свойствен *), а в области хрупкого разрушения проч-
прочность зависит также от внутренних структурных параметров размерности
длины. Последними, по теории А. А. Гриффита, являются длины некоторых
начальных трещин, всегда присутствующих в реальном материале, а на
самом деле роль трещин могут играть различного рода концентраторы
напряжений (инородные включения, пустоты, поры и т. д.), как это впер-
впервые подчеркнули А. П. Александров и С. Н. Журков A933).
Только в последние годы получила общее признание сравнительная
оценка материалов по хрупкости или пластичности путем испытания
на разрыв образцов с искусственно создаваемой трещиной минимально
возможного радиуса кривизны**) в ее конце (создающей относительно
наибольшую концентрацию напряжений). Основную роль в формирова-
формировании этой точки зрения сыграли работы Н. Н. Давиденкова, А. Ф. Иоффе,
Г. В. Ужика, Я. Б. Фридмана, Б. А. Дроздовского.
При таком способе испытания заранее локализуется место разруше-
разрушения и тем самым сводится к минимуму статистический фактор; остаются
лишь физические причины, лежащие в основе явлений вязкого и хрупкого
разрушения и позволяющие объяснить масштабный эффект. При этом,
как показали многочисленные эксперименты (см., например, работу
С. В. Серенсена и Н. А. Махутова, 1967), среднее напряжение в сечении
нетто в момент разрушения Gn для образца с надрезом следующим образом
зависит от характерного линейного масштаба / (глубины надреза-трещины
или расстояния ее конца от противоположной стороны образца): при
малых L и соблюдении условий геометрического подобия величина оп
не зависит от L и равна металлургической прочности данного сплава
{вязкое разрушение); с возрастанием масштаба L прочность ап падает,
стремясь к квазихрупкой асимптотике Гриффита — Ирвина (хрупкое раз-
разрушение) ***)•
*) В теоретическом плане модель идеального упруго-пластического тела или
предельного равновесия не в состоянии объяснить масштабный эффект. То же самое
относится к любой другой модели, если разрушение описывается теорией прочности,
причем прочность в этом случае, очевидно, оказывается вполне определяющейся
внешними параметрами нагружения.
**) Фактически существует некоторое критическое значение радиуса кривизны
конца трещины, уменьшение радиуса кривизны ниже которого уже не имеет смысла.
Эта критическая величина зависит от пластических свойств металла (она имеет поря-
порядок 10 — Ю-2 см).
***) В 1968 г. Г. П. Черепановым было предложено количественное описание
явлений хрупкого и вязкого разрушения, а также переходных явлений (и тем самым
масштабного эффекта) с единой точки зрения. Согласно этому подходу вопрос о степени
хрупкости возможного разрушения конструкции сводится к вычислению и сравнитель-
сравнительной оценке безразмерного числа %; все возможные значения этого числа заключены
между нулем и бесконечностью, причем при % <^ 1 разрушение хрупкое, а при % > 1 —
вязкое. Использованная при этом энергетическая концепция представляет собой обоб-
обобщение известной концепции Гриффита — Ирвина — Орована; она позволяет также
определить стабильное подрастание конца трещины, которое всегда имеет место
в упруго-пластическом материале перед потерей устойчивости, и, кроме того, опреде-
определить скорость роста трещины при переменном (например, циклическом) нагружении.
При наличии в конструкции выточек или надрезов испытания с соответствующей
острой трещиной на меньших образцах могут служить непосредственной проверкой
опасности хрупкого разрушения путем сравнения числа % и модельных экспериментов
(или функции % G1), если температуры Т различны).

396 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
А. Ф. Иоффе A924) впервые предложил весьма удобную схему, пояс-
няющую переход вязкого разрушения в хрупкое с понижением темпера-
температуры. Согласно этой схеме напряжения сгв и сго.2 по-разному зависят
от температуры Т: первое возрастает с увеличением 7\ а второе — убывает,
так что точка пересечения этих кривых (температура хладноломкости)
разделяет области вязкого и хрупкого разрушения.
Развивая схему А. Ф. Иоффе, Н. Н. Давиденков A930—1936) ввея
понятия хрупкого и вязкого сопротивления отрыву. Сопротивление отрыву
он предлагал оценивать растяжением гладких образцов в жидком азоте.
В 1930 г. Н. Н. Давиденков опубликовал исследование А. М. Драгоми-
рова (выполненное в 1917 г.), который первым обратил внимание на связь
между видом излома и характером снижения нагрузки после максимума
при изгибе надрезанных образцов (кристаллические участки в изломе
соответствуют срывам нагрузки). Н. Н. Давиденков связал эти наблюде-
наблюдения с испытаниями на ударную вязкость. В эти же годы Н. Н. Давиденков
развил определение критической (переходной) температуры хрупкости
при помощи построения кривых «ударная вязкость — температура» г
им было предложено также цспользовать эти кривые для косвенного опре-
делейия сопротивления отрыву. Н. Н. Давиденков A.938) отметил, что
наиболее чувствительна к температуре испытания та часть работы сопро-
сопротивления, которая затрачена после достижения максимальной величины
нагрузки, и что понижение температуры в первую очередь уменьшает
именно эту характеристику.
В 1946 г. Б. А. Дроздовский разделил работу изгиба надрезанного
образца на работу упруго-пластических деформаций при заданном надрезе
и на работу, израсходованную на развитие трещины; последнюю он пред-
предложил использовать в качестве количественной оценки вязкости разруше-
разрушения материала (отвечающейкачественной оценке по виду излома). Эта кон-
концепция весьма похожа на обобщение концепции Гриффита, примерно
в то же время развивавшееся за границей К. Зенером, Дж. Г. Холомоном,
Дж. Р. Ирвином, Э. О. Орованом.
Отметим некоторые работы по определению сопротивления отрыву
гладких образцов. Сопротивление отрыву предлагалось оценивать кру-
круговым изгибом дисков при температуре —196° С (Я. Б. Фридман, 1941),
испытанием на растяжение тонкого диска, приваренного к двум тягам
более твердого материала (А. Л. Немчинский, 1950—1955).
С. И. Ратнер A959) изучала корреляцию величины сопротивления
отрыву с величиной разрушающего напряжения при повторных нагруз-
нагрузках. М. В. Якутович и В. А. Павлов A953) исследовали связь типа напря-
напряженного состояния с направлением роста трещин.
П. О. Пашков A950) проводил исследование сопротивления материа-
материала хрупкому и вязкому разрушению в связи со структурой материала
и формой образца. Я. М. Потак A955) дал обстоятельный анализ хруп-
хрупких разрушений конструкций из легированных сталей и показал опас-
опасность хрупкого разрушения для сплавов с крупным зерном феррита.
Е. М. Шевандин A953—1965) провел обширные экспериментальные иссле-
исследования в области хладноломкости малолегированных конструкционных
сталей.
Для ряда конструкционных сталей Т. А. Владимирский A953—1.958)
построил пространственные диаграммы «ударная вязкость — острота над-
надреза — температура»; оказалось, что при изменении остроты надреза
материалы могут меняться местами по сравнению с их оценкой по темпе-
температуре хладноломкости.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 397
Развивая представления Н. Н. Давиденкова, Я. Б. Фридман A941 —
1952) предложил так называемую обобщенную теорию прочности, полу-
получаемую путем синтеза теории наибольших касательных напряжений и тео-
теории наибольших удлинений. Предложенные Я. Б. Фридманом диаграммы
механического состояния учитывают как вид напряженного состояния,
так и свойства материалов (сопротивление отрыву и сопротивление теку-
текучести или срезу). Для одного и того же материала, как следует из этой
теории, критерием разрушения в зависимости от отношения растягиваю-
растягивающих и максимальных касательных напряжений может быть либо сопротив-
сопротивление срезу, либо сопротивление отрыву.
На образцах с щелевыми дефектами методом накатанных сеток было
показано, что процесс разрушения локализуется вблизи конца щели
(Я. Б. Фридман и Т. К. Зилова, 1950—1959).
В 1950 г. Г. В. Ужик предложил оценивать сопротивление отрыву
путем испытаний на растяжение круглых образцов с острым кольцевым
надрезом. В развитие этой методики Ю. И. Лихачев A956) предлагал
в процессе растяжения измерять также диаметр в надрезе. А. Е. Аснис
A947) качественно оценивал хрупкость стали путем инициирования уда-
ударом трещины в надрезе сварного соединения, находящегося под действием
внутренних напряжений; в качестве характеристики принималась наи-
наибольшая температура, при которой происходило хрупкое разрушение.
Существенным этапом в развитии экспериментальных методов оценки
хрупкой прочности явилось использование образцов с заранее полученной
усталостной трещиной в испытаниях на статический или ударный изгиб,
предложенное Б. А. Дроздовским и Я. Б. Фридманом A955—1960) в каче-
качестве универсальной методики оценки чувствительности металлов (в том
числе высокопрочных) к трещине. Эта методика позволяет при помощи
специальных вибраторов достаточно легко получить практически любую
усталостную трещину с радиусом кривизны в ее конце, который может
быть на порядок меньше радиуса кривизны обычной трещины отрыва,
т. е. заведомо обеспечивает требование наибольшей остроты надреза.
Отметим здесь еще методику В. Д. Робертсона, по которой трещина
иницируется ударом из локально охлажденной области вблизи конца
надреза, а затем оцениваются температура и напряжение остановки тре-
трещины. Некоторое видоизменение этой методики (применение статических
контролируемых нагрузок) было осуществлено В. Г. Черкашкиным
и И. М. Розенштейном A964). А. П. Гуляев A967) исследовал на ударный
изгиб образцы с надрезами различной остроты и экстраполировал зависи-
зависимость «ударная работа — радиус надреза» прямой линией вплоть до нуле-
нулевого значения радиуса.
В 1965—1967 гг. Я. Б. Фридман, Б. А. Дроздовский и В. М. Маркочев
предложили строить «диаграмму разрушения» (зависимость прироста тре-
трещины от приложенного напряжения, числа циклов или времени) в каче-
качестве характеристики способности материала тормозить разрушение. При
построении таких диаграмм в листовых материалах была использована
разработанная ими методика регистрации развития трещины.
В. С. Иванова A967) предложила определять вязкость разрушения
на усталостных трещинах по разрушающему напряжению цикла.
Экспериментальные исследования динамики роста трещин выполнил
В. М. Финкель A964 и ел.).
В последние годы все большее признание в СССР среди работников
прикладного направления и экспериментаторов начинает находить под-
подход к рассмотрению развития трещин и связанных с ним вопросов

398 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
разрушения и прочности в рамках исследования тонкой структуры конца
трещины, т. е. в рамках одного (для наиболее важного практически слу-
случая трещин нормального разрыва) параметра, описывающего распределение
напряжений и деформаций вблизи конца трещины,— коэффициента интен-
интенсивности напряжений. Эта точка зрения хорошо согласуется с математи-
математической теорией квазихрупких трещин и, несмотря на свою ограниченность
(она не применима к вязкому или близкому к нему разрушению), весьма
прогрессивна.
Экспериментальные работы по контролируемому разрушению (с тре-
трещинами) в таком направлении выполнили Б. М. Малышев A964, 1965)
(опыты по расклиниванию), С. Е. Ковчик и В. В. Панасюк A963—1967)
(исследование роста трещины под действием сосредоточенных сил, изуче-
изучение влияния влажности и температуры на поверхностную энергию стекла
и т. п.), В. М. Маркочев A966) (исследование скорости роста трещин под
действием циклических нагрузок).
Контролируемый устойчивый рост хрупкой трещины было предло-
предложено использовать для определения постоянных хрупкого разрушения
и тем самым чувствительности материалов к трещинам.
Следует отметить изящный способ прямого определения эффективной
поверхностной энергии по гистерезисной ветви, полученной в координатах
«смещение — сила» при нагружении и разгрузке в процессе устойчивого
подрастания трещины. Этот способ применительно к нагружению сосре-
сосредоточенными силами был предложен С. Е. Ковчиком и В. В. Панасюком
A961). За границей аналогичный метод применительно к началу неста-
нестабильного роста трещин в металлах был использован Дж. Р. Ирвином
в 1958 г. (так называемый метод смещения или податливости). При таком
подходе не используются теоретические решения, а поэтому этот метод,
нужно применять для любой формы тела; последнее в некоторых случаях
может представлять большое практическое удобство.
Для теории разрушения в переходной области, когда размер пласти-
пластической зоны сравним с характерным линейным размером тела, представ-
представляют интерес решения задач для идеально упруго-пластических тел с раз-
разрезами нулевой толщины. Дополненные каким-либо условием локального
разрушения в конце трещины, эти решения позволяют определить зави-
зависимость прочности от формы и конфигурации тела и, в частности, вычис-
вычислить масштабный эффект в переходной области. Существенно подчеркнуть,
что при этом жестко-пластическое (вязкое) и хрупкое разрушения описы-
описываются всегда как некоторые предельные случаи,
В качестве критериальной величины, определяющей начало роста
конца трещины, предлагались скачок смещения в конце трещины в том
случае, когда пластические деформации сконцентрированы вдоль линии
нулевой толщины на продолжении трещины (М. Я. Леонов и В. В. Пана-
Панасюк, 1959), и удельный поток энергии в конец трещины (Г. П. Черепанов,
1967).
Отметим некоторые полученные теоретические решения. М. Я. Лео-
Леонов и В. В. Панасюк A959, 1961) получили решение плоской и осесиммет-
ричной упругих задач для одной трещины с разрывом нормального
смещения на продолжении трещины; это упругое решение может быть
истолковано как решение упруго-пластической задачи в приближенной
постановке (постановке Д. С. Дагдейла, названной так по имени англий-
английского ученого, который в 1961 г. на основании экспериментальных наблю-
наблюдений предложил аналогичное решение в качестве решения упруго-пла--
стическЪй задачи).

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 399
М. Я. Леонов и Н. Ю. Швайко A961) рассмотрели твердое тело, дефор-
деформируемое упруго всюду, за искоючением прослоек «плохого материала»
(полосы скольжения), который можно мысленно вырезать, заменив его
действие соответствующими силами. При этом возникает задача линейной
теории упругости о деформации тела с разрывными перемещениями
на некоторых поверхностях. П. М. Витвицкий и М. Я. Леонов A960—1962)
решили некоторые плоские задачи с линейными дислокациями Вольтерра.
Ими найдены значения функций Колосова — Мусхелишвили, определяю-
определяющих напряженно-деформированное состояние под действием линейной
дислокации в неограниченной плоскости с эллиптическим отверстием.
В работах П. М. Витвицкого и М. Я. Леонова предложена расчетная
схема в задачах о развитии полос скольжения около острых концентрато-
концентраторов напряжений в упруго-пластических материалах, с помощью которой
найдено решение задачи для пластины с узкой щелью или круговым отвер-
отверстием. Последняя задача была также предметом исследований Л. Л. Ли-
бацкого A966). В этих работах получена зависимость длины полос пластич-
пластичности от нагрузки.
П. М. Витвицкий, М. Я. Леонов и С. Я. Ярема A963) показали, что
первые косые полосы скольжения в конце разреза при растяжении тонких
металлических пластин возникают при напряжениях на бесконечности,
равных 0,66 as, где crs — предел текучести материала, в то время как
направление этих полос образует с плоскостью трещины угол в 58°. Экспе-
Экспериментальное подтверждение этирезультаты получили в работах С. Я. Яре-
мы A962, 1964). Этот же вопрос исследован в работе К. Н. Русинко
A964).
При исследовании возможности существования устойчивой трещины
в задачах о разрушении упруго-пластических пластин Л. Г. Лукашев
A963) развивал представления, близкие к модели Леонова — Панасюка.
П. М. Витвицкий A965) исследовал вопрос об упруго-пластических
деформациях тонкой пластины, ослабленной коллинеарными трещинами
равной длины, а также двумя внешними полубесконечными трещинами,
в условиях растяжения на бесконечности усилиями, перпендикулярными
линии расположения трещин.
В работе Б. В. Кострова и Л. В. Никитина A967) получено решение
задачи для трещины продольного сдвига с бесконечно узкой пластической
зоной вблизи концов трещины, причем на границе пластической зоны
требуется выполнение условия пластичности Мизеса.
Г. П. Черепанов A962) получил решение упруго-пластической задачи
для трещины продольного сдвига с пластической зоной, формы и размеры
которой определяются. В 1967 г. он предложил решение упруго-пласти-
упруго-пластической задачи о распределении напряжений и деформаций в окрестности
конца щели; материал предполагался несжимаемым, со степенной зави-
зависимостью между вторыми инвариантами девиаторов напряжений и дефор-
деформаций *).
Дефекты, служащие причиной разрушения образца или конструкции,
можно условно разделить на дефекты, образующиеся в металлургическом
*) Позже при рассмотрении задачи о трещине в постановке Д. С. Дагдейла
Г. П. Черепанов A968) на основе предложенной им модификации энергетического усло-
условия Гриффита — Ирвина — Орована получил подрастание длины трещины в зави-
зависимости от приложенной нагрузки («диаграмму разрушения») и вычислил масштабный
эффект во всей области (хрупкое и вязкое разрушения, естественно, оказываются пре-
предельными случаями).

400 В- 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
процессе, создаваемые в технологическом процессе и возникающие или
развивающиеся в процессе эксплуатации конструкции (например, корро-
коррозионные или усталостные трещины). Сплав, образующийся в результате
металлургического процесса, весьма сложен по свой структуре (неодноро-
(неоднороден, анизотропен, со сложным распределением внутренних напряжений).
По определению прочность равна примерно KiCl\fd, где d — характерный
диаметр наиболее опасного трещиноподобного дефекта, а Кю представ-
представляет собой некоторую сложную функцию координат. Задачей металлурги-
металлургического процесса, помимо определенных условий химической и темпера-
температурной устойчивости сплава, является создание минимальных по размерам
и однородно распределенных в пространстве структурных ячеек, границы
которых играют роль энергетических прочностных барьеров (такими
ячейками чаще всего являются зерна основного металла и химически
активных примесей, образующиеся из центров кристаллизации при отвер-
отвердевании расплава; роль барьеров, по-видимому, играют межкристаллитные
пленки, образующиеся из химически неактивных атомов примесей, которые
оттеснены к границе в процессе роста зерен). При этом начальный тре-
щиновидный дефект в процессе нагружения развивается примерно до конт-
контролируемых заранее размеров зерна, так что в момент разрушения вели-
величина d примерно равна диаметру наибольшего зерна. Это поясняет тот
факт, что прочность даже очень хрупких сплавов меняется в относительно
небольшом диапазоне по сравнению с прочностью аморфных материалов
типа стекла. Таким образом, основной путь увеличения металлургической
прочности с точки зрения линейной механики разрушения состоит в уве-
увеличении К 1С (применением легирующих добавок и термообработки,
влияющей на фазовые превращения, в первую очередь на границах зерен)
и уменьшении размера наибольшего зерна (гомогенизацией процесса кри-
кристаллизации).
Некоторые исследователи указывали на важность учета общего запаса
упругой энергии и податливости системы для объяснения масштабного
эффекта (Н. Н. Давиденков, Т. К. Зилова, И. А. Разов, Я. Б. Фридман,
Е. М. Шевандин и др.)-
5.2. Статистическая природа масштабного эффекта. Прочность мате-
материала всегда представляет собой некьторую случайную величину, так
как, во-первых, точное расположение всех дефектов неизвестно заранее,
а во-вторых, если бы это расположение и было известно, решение соответ-
соответствующей математической задачи было бы невозможно из-за ее сложности.
Вероятность встретить наиболее крупный и опасный дефект в большем
образце больше — это соображение лежит в основе объяснения масштаб-
масштабного эффекта статистической теорией.
При построении статистической теории можно идти следующими
двумя путями:
а) на основании опыта или интуиции выделить один или несколько
наиболее опасных дефектов, а остальные дефекты как бы равномерно
«размазать», считая свойства получившейся сплошной среды строго извест-
известными из макроэксперимента (длина и, может быть, еще некоторые пара-
параметры, определяющие расположение наиболее опасного дефекта, счи-
считаются случайными величинами с заданными функциями распределения);
б) все без исключения дефекты «размазать» по объему, считая полу-
получившуюся усредненную среду сплошной и «бездефектной» (локальная
прочность этой среды, а также напряжения считаются некоторыми слу-
случайными функциями координат с заданными функциями распределения
в каждой точке тела, средние же значения напряжений и прочности опре-

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 401
деляются соответственно из макротеории и макроопыта); при этом под-
подходе для получения окончательных выражений требуется еще ряд допол-
дополнительных допущений (см. ниже). Первый метод ближе, к теории трещин
(в нем подчеркивается физическая природа прочности и масштабного
эффекта); второй метод более формален, он ближе к теориям прочности
в сопротивлении материалов. Указанные подходы имеют несколько раз-
различные области применения и играют различную роль на разных ста-
стадиях физического процесса разрушения.
Допустим, что в процессе технологии или эксплуатации конструкции
в ней не возникли более опасные дефекты, чем металлургические (которые
предполагаются не большими размера зерна), и характерный линейный
размер конструкции велик по сравнецию с размером зерна. В этом случае
применимость второго подхода не вызывает сомнения. Именно этот подход
разрабатывается в большинстве исследований, посвященных статистиче-
статистическим вопросам прочности и излагаемых ниже.
Теперь допустим, что при технологическом процессе или в течение
предшествующей эксплуатации в конструкции могут возникнуть более
опасные дефекты, чем металлургические. Для получения функций распре-
распределения согласно второму подходу требуется представительная выборка
из некоторого числа п соответствующих конструкций, при этом прогноз
относительно прочности одной конкретной конструкции оказывается уже
вероятностным. Поэтому практически указанный подход может быть
применен лишь к сравнительно малоценным изделиям массового производ-
производства, для уникальных же или дорогих конструкций его использовать
невозможно. В этом случае может оказаться единственно возможным пер-
первый подход, позволяющий, например, путем анализа сравнительно неболь-
небольшого числа поломок установить примерную величину и расположение
дефектов, вызывающих разрушение. При этом следует подчеркнуть, что
технологические и эксплуатационные дефекты могут совершенно исказить
даже обычный характер масштабного эффекта (например, в более крупных
изделиях прочность может быть больше). В дальнейшем эти дефекты
исключаются из рассмотрения и под прочностью будет пониматься обычная
металлургическая прочность. Следует отметить также условный характер
разделения дефектов по происхождению. Для количественного описания
стохастических закономерностей прочности предложен ряд статистических
теорий. Основные принципы статистической теории прочности для микро-
микроскопически неоднородных хрупкоразрушающихся тел были сформулиро-
сформулированы на основе экспериментальных наблюдений А. П. Александровым
и С. Н. Журковым A933). Их можно описать следующими положениями.
Распространение неоднородности свойств (дефектов) по объему хрупко-
разрушающейся среды равновероятно. Момент разрушения наиболее
слабого элемента тела совпадает с разрушением тела в целом. Прочность
образца, вырезанного из такого тела, определяется наиболее опасным
дефектом из всех присутствующих в его поверхностном слое.
Случайный характер распределения неоднородности свойств по объему
среды проявляется в рассеивании хрупкой прочности образцов. С увели-
увеличением размеров (поверхности) образцов частота попадания более опасных
дефектов возрастает, область рассеивания сужается и наиболее вероятная
величина прочности убывает, в чем и проявляется масштабный эффект.
При однородном напряженном состоянии нижняя граница рассеивания
остается общей для образцов всех размеров и прочность самых больших
образцов определяется наиболее низкой прочностью образцов малых раз-
размеров, если последние еще велики по сравнению с дефектами.
26 Механика в СССР, т. 3

402 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
В работе А. П. Александрова и С. Н. Журкова A933) вводится понятие
общей нижней границы рассеивания прочности и зависимость распреде-
распределений случайных значений прочности тела от его размеров.
Эти представления являются основой предложенной в 1939 г. стати-
статистической теории прочности В. Вейбулла, которая опирается на гипотезу
«наиболее слабого звена». Такая теория в случае однородного растяжения
приводит к степенной зависимости прочности от объема. В дальнейшем она
была подтверждена некоторыми экспериментальными данными для метал-
металлов (например, в трудах Н. Н. Давиденкова, 1943, и Б. Б. Чечулина,
1954-1963).
Предлагалась также логарифмическая зависимость прочности от
объема, которая, как показали Г. М. Бартенев и Ю. С. Зуев A964),
лучше описывает экспериментальные данные для резин. Для стекол объем
в формуле Вейбулла следует заменить рабочей поверхностью (Г. М. Бар-
Бартенев и Ю. С. Зуев, 1964).
Математический вариант теории «наиболее слабого звена», записан-
записанный в форме распределения наименьшего члена случайной выборки, был
предложен Т. А. Конторовой и Я. М. Френкелем в 1941 —1943 гг. Эта
теория была использована для определения масштабного эффекта по сред-
средним значениям хрупкой прочности в случае однородного напряженного
состояния с применением упрощенной формы нормального -закона распре-
распределения для случайных значений прочности элементов тела.
В дальнейшем теория «наиболее слабого звена» предлагалась в 1949 г.
В. Вейбуллом для описания усталостных разрушений и получила обоб-
обобщенную математическую трактовку в работе В. В. Болотина A961), а также
была привлечена к описанию масштабного эффекта при усталостном раз-
разрушении (Р. Д. Вагапов, 1958—1964; С. В. Сервисен и В. П. Когаев,
1959-1962).
Значительные экспериментальные исследования по выяснению при-
природы масштабного эффекта при однократном нагружении провели
Г. М. Бартенев, Ф. Ф. Витман, А. Я. Воловик, М. Я. Гальперин, Н. Н. Да-
виденков, Н. А. Махутов, Н. Г. Плеханова, С. И. Ратнер, С. В. Сервисен,
Г. А. Степанов, Г. В. Ужик, Я. Б. Фридман, Б. Б. Чечулин, Е. М. Шеван-
дин, Н. П. Щапов и др.
Особенно большую роль начинает играть масштабный фактор при
наличир1 охрупчивающих факторов (поверхностно-активная внешняя
среда и т. д.). Наиболее изучен масштабный эффект усталостной
прочности.
При современных тенденциях развития техники (создание крупных
энергетических конструкций, гидротехнических сооружений и т. д.) натур-
натурные испытания крупногабаритных деталей на усталость становятся прак-
практически нереальными. Поэтому все большее значение приобретает оценка
масштабного эффекта, так как в расчет на прочность закладываются харак-
характеристики сопротивления усталости, получаемые на лабораторных образ-
образцах, размеры которых могут быть в десятки и сотни раз меньше характер-
характерных размеров деталей.
Применительно к действию переменных нагрузок было установлено,,
что снижение предела усталости образцов и деталей с увеличением их раз-
размеров имеет два аспекта: металлургический и механический. В первом
случае масштабный эффект обусловлен сравнительно высокой степенью
несовершенства структуры материала в больших отливках или поковках,
идущих на изготовление крупногабаритных деталей. Во втором случае-
масштабный эффект проявляется в снижении прочности геометрически

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 403
подобных образцов при увеличении их абсолютных размеров и тогда, когда
эти образцы вырезаны из одного и того же же тела (Г. В. Ужик, 1942).
Первые экспериментальные работы были посвящены выяснению зави-
зависимости пределов усталости геометрически подобных образцов при пере-
переменном изгибе и кручении от размеров их поперечного сечения. Для
исключения влияния металлургического фактора образцы вырезали из
одной и той же заготовки.
Обобщение экспериментальных исследований влияния масштабного
фактора по пределу усталости позволило ввести этот фактор, наряду
с эффектом концентрации, в определение несущей способности элементов
конструкций при переменных напряжениях (С. В. Серенсен 1937—1945*
Г. В. Ужик, 1942).
С целью перехода от пределов усталости лабораторных образцов
к прочности детали был введен коэффициент влияния размеров попереч-
поперечного сечения, равный отношению пределов усталости образцов большого
диаметра и лабораторного (С. В. Серенсен, 1934). Экспериментальные
исследования обобщаются в виде графиков зависимости относительного
снижения пределов усталости от возрастающих размеров поперечного
сечения (С. В. Серенсен, 1957; Г. В. Ужик, 1957).
Установлено, что масштабный эффект имеет асимптотическую тен-
тенденцию, проявляется сильнее для высокопрочных сталей, неоднородных
литых материалов, при наличии концентрации напряжений (С. В. Серен-
Серенсен, И. В. Кудрявцев, В. П. Когаев и Л. А. Козлов, 1949).
Одновременно развивались методы натурных испытаний деталей
позволившие получить важную информацию (Н. П. Щапов, С. В. Серен-
Серенсен). Для приближения результатов опыта к натурным размерам дета-
деталей и оценки металлургического фактора были созданы испытательные
стенды, позволявшие разрушать образцы с характерным размером сечения
150—300 мм. Оказалось, что для образцов таких сечений пределы уста-
усталости снижаются в два-три раза по сравнению с пределами усталости
стандартных образцов диаметром 7 —10 мм (В. А. Веллер, В. П. Когаев
И. В. Кудрявцев, С. В. Серенсен, С. И. Яцкевич). '
Исследовались особенности масштабного эффекта в коррозионной
среде (Л. А. Гликман, 1953; Г. В. Карпенко, 1953).
Одновременно с обобщением опытных данных с целью аналитической
экстраполяции в область натурных размеров деталей развивалась теория
масштабного эффекта при действии переменных нагрузок.
Для описания масштабного эффекта по пределам усталости в зави-
зависимости от размеров поперечного сечения тела и неравномерности распре-
распределения макроскопических напряжений по этому сечению была привлечена
статистическая модель микроскопически неоднородного поликристалличе-
поликристаллического тела (Н. П. Афанасьев, 1940).
Согласно статистической теории Н. П. Афанасьева предельная безо-
безопасная амплитуда напряжения определяется наличием в теле некоторого
числа рядом расположенных кристаллитов, микронапряжения в которых
в процессе циклического нагружения достигают значения их предела
прочности. Достоверность такого события зависит только от размеров
поперечного сечения тела и неравномерности распределения макронапря-
макронапряжений по этому сечению, так как предполагается, что переход от одного
поперечного сечения к другому не приводит к новой комбинации в распре-
распределении микронеоднородностей. Поэтому длина тела и распределение
напряжений вдоль его контура не учитываются. Отсюда получается
детерминированная зависимость снижения пределов усталости при
26*

404 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
растяжении — сжатии с увеличением размеров поперечного сечения тела
и более сильный масштабный эффект при переменном изгибе. По другому
варианту той же теории масштабный эффект связан с неравномерностью рас-
распределения микронапряжений в поверхностном слое, глубина которого
определяется минимальным разрушающим напряжением, равным пределу
усталости при растяжении — сжатии большого образца. Отсюда получается
зависимость предела усталости, выраженного через амплитуду напряже-
напряжения в опасной точке тела, от градиента напряжений в поперечном сече-
сечении. Эта теория дает единую детерминистическую интерпретацию масштаб-
масштабного эффекта при изгибе гладких образцов и при наличии концентрации
напряжений.
По предложению И. А. Одинга несовершенства реального тела на мик-
микроскопическом уровне при переменных деформациях, феноменологиче-
феноменологически близких к упругим, схематизируются диаграммой идеальной пластич-
пластичности с горизонтальным участком при напряжении, равном пределу уста-
усталости на растяжение — сжатие. Фиктивный предел усталости, вычислен-
вычисленный в предположении упругого распределения напряжений, оказывается
тем меньше, чем меньше неравномерность распределения напряжений
в опасном сечении тела, т. е. чем больше диаметр образца при изгибе.
На основе разделения влияния градиента напряжений и размеров
тела на величину предела усталости масштабный эффект был представлен
двумя составляющими, одна из которых обусловлена несовершенством
материала на микроскопическом уровне, другая — макроскопической
неоднородностью, проявляющейся в рассеивании характеристик сопротив-
сопротивления усталости (Р. Д. Вагапов, 1955). В дальнейшем масштабный эффект
стал рассматриваться и в области ограниченной долговечности, т. е.
по кривой усталости, представляемой в координатах «амплитуда напря-
напряжения — долговечность».
Было показано, что масштабный эффект можно интерпретировать как
уменьшение среднестатистических значений долговечностей и пределов
выносливости с увеличением поверхности тела при сохранении общей
нижней границы рассеивания, если область рассеивания представлена
в координатах «амплитуда напряжения в опасной точке — долговечность»
в циклах (масштабного эффекта по нижней границе нет).
С приближением распределения напряжений в поперечном сечении
тела к равномерному вся область рассеивания может смещаться в сторону
меньших долговечностей, при этом предельной будет кривая усталости
по нижней границе рассеивания для гладких образцов, испытанных
на растяжение — сжатие. Тем самым показывается возможность вероят-
вероятностной оценки сопротивления усталости крупногабаритных деталей
по результатам модельных образцов (Р. Д. Вагапов, О. И. Шишорина
и Л. А. Хрипина, 1958—1960).
В 1959 г. В. П. Когаев на основе статистического анализа результатов
испытаний образцов различной формы и размеров также показал возмож-
возможность существования общей нижней границы минимальных значений дол-
долговечностей для малых вероятностей начальной стадии повреждения при
существенной зависимости средних значений долговечности от формы
и размеров тела.
Я. С. Подстригач и М. И. Чаевский A959) предложили учесть темпе-
температурный эффект циклического нагружения, обусловленный несовершен-
несовершенством материала на микроскопическом уровне, и неравномерность возни-
возникающего при этом в образце установившегося температурного поля.
По этой теории за счет уменьшения теплоотдачи из внутренних зон тела

МЕХАНИКА -РАЗРУШЕНИЯ - 405
с увеличением его поперечного сечения величина растягивающих термо-
термоупругих напряжений в поверхностном слое возрастает; масштабный эффект
трактуется как влияние асимметрии цикла, вызванной указанными термо-
термоупругими напряжениями.
Для стадии разделения тела магистральной трещиной предлагается
оценка масштабного эффекта по возрастанию скорости развития трещины
с увеличением размеров тела при соблюдении геометрического и силового
подобия (Р. Д. Вагапов, 1960, 1961).
С. В. Сервисен и В. П. Когаев A962) с использованием теории «наи-
«наиболее слабого звена» и функции распределения Вейбулла описали мас-
масштабный эффект с учетом неравномерности распределения напряжений
в поперечном сечении тела. Масштабный эффект определялся как умень-
уменьшение среднестатистических пределов усталости с уменьшением градиента
напряжений в опасном сечении тела и увеличением его периметра. Пара-
Параметры исходных распределений для элементарных макрообъемов тела
и нижнюю границу рассеивания предлагалось определять по результатам
статистических испытаний двух серий образцов с различным соотноше-
соотношением градиента напряжений и диаметра образца. Такая информация
является универсальной для описания масштабного эффекта в зависимости
от градиента напряжений и размеров тела.
В работах Р. Д. Вагапова A964, 1965) с использованием той же функ-
функции распределения Вейбулла масштабный эффект по повреждению тела
первой макротрещиной описывался в зависимости от распределения напря-
напряжений в его поверхностном слое. Были приведены экспериментальные
подтверждения зависимости среднестатистических значений долговеч-
долговечности и прочности от поверхности тела и распределения напряжений вдоль
его образующей (в частности, от длины цилиндрического образца), причем
параметры исходного распределения определялись по результатам испыта-
испытаний образцов одной формы.
§ 6. Разрушение при циклическом нагружении
Явление усталостного разрушения было открыто В. Ранкином
и А. Велером более ста лет тому назад. С тех пор оно было подвергнуто
интенсивному изучению, и в настоящее время механика усталостного
разрушения лежит в основе проектирования и расчета большинства дина-
динамически напряженных конструкций и машин. С разработкой вопросов
усталости непосредственно связано повышение эксплуатационной надеж-
надежности, снижение веса и увеличение экономических показателей использо-
использования динамически напряженных конструкций в народном хозяйстве.
Начатые в первые годы этого столетия (М. В. Воропаев, К. К. Симииский)
исследования усталости конструкционных материалов, в том числе мосто-
мостовой стали, чугуна, авиадревисины, получили дальнейшее развитие после
революции. М. В. Воропаев раньше многих зарубежных авторов подошел
к изучению усталостного разрушения как к процессу и ввел представление
о необратимых гистерезисных потерях как о причине усталостного разру-
разрушения.
Остановимся на некоторых аспектах явления усталостного разруше-
разрушения, не касаясь здесь таких вопросов, как ползучесть металлов и поли-
полимеров.
В механике усталостного разрушения проводились исследования
по определению критериев прочности в зависимости от режима и вида
напряженного состояния, анализировались условия подобия и кинетика

406 В, 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
накопления усталостных повреждений при нестационарном переменном
нагружении, привлекались статистические представления и теория пла-
пластичности для количественного описания закономерностей возникновения
и развития усталостных трещин и перехода к хрупкому разрушению.
Разработка статистического аспекта механики усталостного разру-
разрушения позволила связать исследования прочности при переменных на-
нагрузках с теорией эксплуатационной надежности. По современным пред-
представлениям, усталостное разрушение металлов и полимеров физически
обусловлено микронеоднородностью структуры материала и, как следствие,
невозможностью избежать локальной концентрации напряжений, что
вызывает накопление необратимых микропластических деформаций.
Критерии сопротивления усталостному разрушению при симметрич-
симметричных и асимметричных циклах и сложном напряженном состоянии разра-
разрабатывались в свете аналогий с критериями пластичности и статической
прочности, а также на основе статистических энергетических представ-
представлений.
С. В. Серенсен A937) предложил принимать зависимость предельных
амплитуд напряжений от средних напряжений цикла в форме линейной
аппроксимации, выражая коэффициент, характеризующий влияние асим-
асимметрии цикла, через пределы выносливости при симметричном и пульси-
пульсирующем циклах. Л. И. Савельев в 1955 г. предложил выражать этот коэф-
коэффициент через предел выносливости при симметричном цикле и истинное
сопротивление разрушению.
Принимая в качестве критериальной величины, характеризующей
усталостную прочность, площадь петли гистерезиса, И. А. Одинг A937)
получил квадратичную зависимость предельных амплитуд от средних
напряжений. Д. И. Гольцев A953), используя аналогию со статической
прочностью, пришел к степенной зависимости предельных амплитуд
от средних напряжений. При этом в качестве критериальной величины
он использовал степенную функцию интенсивности касательных напряже-
напряжений и среднего давления.
И. А. Одинг A948) предложил несовершенства реального материала
при переменных деформациях, феноменологически близких к упругим,
схематизировать петлей гистерезиса или соответствующей ей диаграммой
идеальной пластичности с горизонтальным участком при напряжении,
равном пределу усталости на растяжение — сжатие. В то же время он при-
принимал за критерий усталостного повреждения ту амплитуду деформаций,
при которой ширина петли гистерезиса имеет определенную малую
величину.
В дальнейшем в работах Г. С. Писаренко и В. Т. Трощенко A967)
уравнение кривой усталости в области больших чисел циклов было пред-
предложено выражать в амплитудах деформаций. За предел усталости авторы
предлагали принять те напряжения, которые соответствуют некоторому
(малому) значению ширины петли гистерезиса. Таким образом, предел
усталости определялся как циклический предел пропорциональности.
На основе экспериментальных исследований усталости для сталей,
чугунов и легких сплавов С. В. Серенсен A941) предложил выражать
условия прочности при переменных напряжениях для плоского напря-
напряженного состояния гипотезами наибольших касательных или октаэдри-
ческих напряжений с учетом (в линейной форме) влияния составляющих
нормальных напряжений по соответствующим площадкам.
Н. Н. Афанасьев A940) сформулировал основные статистические
положения механики разрушения поликристаллического тела.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 407
Для получения условий прочности при симметричных или асиммет-
асимметричных циклах и сложном напряженном состоянии он использовал физиче-
физические представления о металле как микронеоднородней среде, характери-
характеризующейся неравномерной микронапряженностью кристаллитов. При этом
предполагается, что в процессе циклического нагружения напряжения
в отдельных, неблагоприятно ориентированных зернах возрастают вплоть
до сопротивления отрыву, что приводит к их разрушению. Однако разру-
разрушение изолированных зерен не вызывает еще разрушения тела. За кри-
критериальную величину усталостной прочности тела принимается разруше-
разрушение некоторого числа (достоянного для каждого материала) рядом распо-
расположенных микрозерен металла. Вероятность такой ситуации зависит
от размеров поперечного сечения тела, неравномерности распределения
макронапряжения и макроскопического напряженного состояния.
Существенный вклад в дальнейшее развитие статистической механики
поликристаллического тела был внесен С. Д. Волковым A953, 1954).
Рассматривая материал детали как микронеоднородную среду и принимая,
что разрушение в каком-либо микрообъеме наступает при достижении
растягивающими напряжениями прочности сцепления, он получил усло-
условия прочности при переменных нагрузках и сложном напряженном состоя-
состоянии с учетом асимметрии цикла A960).
Д. И. Гольцев A953), используя характеристики несовершенной упру-
упругости, принимал площадь петли гистерезиса без учета площади петли
на пределе усталости как меру повреждения за один цикл. При этом мера
повреждения не зависит от числа циклов, а суммарная работа разрушен-
ния -*- от уровня амплитуды напряжений. Отсюда вытекает уравнение
кривой усталости, линейный закон суммирования повреждаемостей при
нестационарных режимах нагружения и условие прочности при перемен-
переменных напряжениях и сложном напряженном состоянии в степенной форме.
Продолжая эти исследования, Р. Д. Вагапов A964) в связи с явлени-
явлениями ползучести и релаксации (повторное нагружение) рассмотрел вопрос
о петле гистерезиса с переменными по числу циклов параметрами, описы-
описывающими зависимость меры повреждения от числа циклов, отклонение
от линейного закона суммирования повреждений и зависимость долго-
долговечности от типа нагружений.
Н. Н. Вассерман и В. А. Гладковский A965) рассмотрели явление
усталости с точки зрения двух взаимосвязанных процессов: упрочнения
и разупрочнения. Процесс упрочнения был охарактеризован величиной
минимального повреждающего напряжения, которое возрастает с числом
циклов. На этой основе была дана единая интерпретация уравнений кри-
кривой усталости и явления тренировки при нестационарных циклах.
И. А. Биргер A948) сформулировал условия прочности при плоском
напряженном состоянии с асимметричными циклами на основе предполо-
предположения о том, что при асимметричном цикле на сопротивление усталости
оказывают влияние только статистические нормальные напряжения.
В работах С. В. Серенсена A933) была предложена зависимость пре-
предела усталости от амплитуды максимального напряжения и от локального
градиента напряжения. Продолжая исследование этого аспекта, Н. Н. Афа-
Афанасьев A936) предложил статистическое объяснение указанной зависи-
зависимости. Тот же эффект И. А. Одинг A948) описал на основе представлений
о несовершенной упругости с помощью циклической вязкости (равной
произведению модуля упругости на ширину петли пластического гисте-
гистерезиса). С. В. Сервисен, Г. В. Ужик и Р. Д. Вагапов A955) предложили
условия моделирования усталостного разрушения.

408 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
В дальнейшем изменчивость усталостных свойств, проявляющаяся
в рассеивании характеристик сопротивления усталости, стала объектом
теоретического и экспериментального исследования. В 1948 г. А. И. Коче-
Кочетов и А. Д. Кролевецкий, а в 1952 г. М. Я. Шашин применили корреля-
корреляционный анализ для статистического описания наклонного участка кривой
усталости с учетом различных вероятностей разрушения. Здесь был при-
принят нормальный закон распределения логарифма долговечности с пара-
параметрами, не зависящими от уровня амплитуд напряжений. Исследовалась
возможность применения логарифмически нормального распределения для
разрушающего числа циклов с учетом порога чувствительности (В. П. Ко-
гаев, 1957) и регрессионного анализа для описания наклонного участка
кривой усталости по разрушению с учетом зависимости функций распре-
распределения от уровня напряжений (М. Н. Степанов, Е. В. Гиацинтов
и В. П. Когаев, 1959).
Процесс усталостного повреждения разделяется на две стадии: ста-
стадию накопления микроповреждений, рассеянных по объему тела, завер-
завершающуюся образованием первой макротрещины, и стадию разделения
тела магистральной трещиной. Оценка закономерностей производилась
по параметрам равной вероятности равного повреждения (Р. Д. Вагапов,
О. И. Шишорина и Л. А. Хрипина, 1958—1964). В этих работах устанав-
устанавливается аналогия между статистической моделью разрушения идеально
хрупкого тела по наиболее «слабому звену» (С. Н. Журков и А. П. Алек-
Александров, 1933) и предложенной моделью повреждения тела первой макро-
макротрещиной усталости. Показана возможность такой вероятностной оценки
прочности и долговечности крупногабаритных деталей по результатам
статистических испытаний модельных образов вплоть до определения
нижней границы рассеивания по повреждению первой макротре-
макротрещиной.
В работах Л. Г. Седракяна A958 и ел.) предложена статистическая
теория деформирования и разрушения хрупких материалов, позволяющая
выявить некоторые особенности сопротивления деформированию реаль-
реальных конструкционных материалов типа чугуна, бетона, горных пород
и др. В основе теории лежит схема идеально неоднородного материала,
причем реальные характеристики деформирования зависят от одной про-
произвольной функции (функция распределения неоднородности материала
по данному признаку неоднородности) и постоянной материала (коэффи-
(коэффициент трения), которые определяются из опыта. Эта модель позволяет
объяснить постепенный характер процесса разрушения, усталостную
и долговременную прочность, увеличение объема материала при его пре-
преимущественном сжатии, наличие нисходящей ветви диаграммы сжатия —
растяжения и др.
В. В. Болотин A961) для описания статистических закономерностей
усталостного разрушения привлек гипотезу «наиболее слабого звена»
и уточнил формулировку этой гипотезы в связи с существованием
порога минимальных значений.
На основе упомянутой гипотезы С. В. Сервисен и В. П. Когаев A962)
установили зависимость функций распределения случайных значений
долговечности и прочности тела данной формы и данных размеров от гра-
градиента напряжений в опасном сечении и периметра опасного сечения.
В качестве статистического критерия подобия было принято отношение
периметра опасного сечения или его части к относительному градиенту
первого главного напряжения в этом сечении. С помощью введенного
критерия устанавливалась связь между максимальным разрушающим

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 409
напряжением в зоне концентрации напряжении и вероятностью раз-
разрушения тела.
Р. Д. Вагапов A959—1965) для предельного случая, когда вероят-
вероятность повреждения тела на глубине исчезающе мала, предложил теорию
рассеивания долговечностей и предела усталости, учитывающую не только
поперечные, но и продольные размеры тела и распределение макронапря-
макронапряжений вдоль его контура. Функция распределения зависит при этом
от формы, размеров тела и способа его нагружения, т. е. дает вероят-
вероятностную оценку концентрации напряжений и масштабного эффекта. В рас-
рассмотрение вводится совместная плотность случайных величин прочности,
долговечности и случайной координаты повреждения первой макротре-
макротрещиной.
Приблизительно в сороковых годах начинаются интенсивные иссле-
исследования сопротивления усталости деталей при переменных в процессе
эксплуатации амплитудах нагрузок. В работах С. В. Серенсена A944),
Д. Н. Решетова A945) и В. М. Бахарева A945) для оценки долговечности
и прочности при переменной во времени амплитуде напряжения анализи-
анализировалась линейная гипотеза суммирования усталостных повреждений.
Были предложены феноменологические трактовки процесса накопления
усталостных повреждений при варьируемых амплитудах, которые основы-
основываются на анализе свойств вторичных кривых усталости при программном
нагружении и отклонений их параметров от условий линейного суммиро-
суммирования повреждений (С. В. Серенсен, Л. А. Козлов, 1953), на использова-
использовании энергии гистерезиса, поглощаемой металлом при напряжениях, пре-
превышающих предел выносливости (Д. И. Гольцев, 1955), на анализе свойств
меры повреждений и введении двух стадий усталостного разрушения
(В. В. Болотин, 1959—1963).
Большой практический и теоретический интерес представляет изуче-
изучение проблемы усталостной прочности при случайных внешних воздей-
воздействиях.
B. В. Болотин A963) сформулировал принципы разбиения случайного
процесса на циклы и условия, необходимые для определения среднего
ресурса долговечности с использованием представлений о предельной
поверхности усталости (в координатах «амплитуда напряжения — среднее
напряжение цикла — долговечность»).
C. В. Серенсен, Е. Г. Буглов и В. П. Когаев A960 и ел.) трактовали
оценку сопротивления усталости при случайном нагружении в вероят-
вероятностном аспекте *).
Оценка опытных закономерностей усталости по параметру равной
вероятности повреждения позволила выделить из статистических детер-
детерминистические закономерности нелинейного суммирования относительных
долговечностей при нестационарном режиме нагружения (Р. Д. Вагапов,
1964 и ел.). Иа основании изучения накопления усталостных повреждений
в статистическом аспекте С. В. Серенсен и В. П. Когаев A966) оценили
детерминированную и случайную составляющие в сумме относительных
долговечностей и предложили корректировку линейной гипотезы в зави-
зависимости от спектра амплитуд напряжений.
Дальнейшее развитие этого раздела механики связано с построением
стохастических моделей процесса усталости. В. В. Болотин и X. Б. Кор-
*) В 1968 г. М. Я..Филатов использовал в качестве критерия усталостного раз-
разрушения энергию, накопленную в единице объема металла за весь период нагружения,
что позволило проанализировать влияние сложной формы цикла на сопротивление
усталости.

410 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
донский A961) предложили рассматривать процесс усталостных повреж-
повреждений как случайный процесс марковского типа. Использование неодно-
неоднородных во времени процессов, с уменьшающимися во времени интенсив-
ностями переходов, позволило обосновать логарифмически нормальное
распределение долговечности и объяснить явление тренировки, т. е. увели-
увеличение или уменьшение долговечности при переходе с одного уровня ампли-
амплитуды напряжений на другой (X. Б. Кордонский, 1961).
С. В. Серенсен и В. П. Когаев A965) на основе рассмотрения процесса
усталости как однородного во времени марковского процесса с конечным
множеством состояний и непрерывным временем проанализировали и коли-
количественно охарактеризовали статистические закономерности накопления
усталостных повреждений при программном нагружении. Функции рас-
распределения долговечности при этом получаются методом перемножения
стохастических матриц и методом Монте-Карло.
Введение понятия тензора повреждений, который функционально
зависит от тензора напряжений, позволило А. А. Ильюшину A966) разра-
разработать подход к исследованию прочности материалов с учетом истории
нагружения при циклических нагрузках.
Усталостное разрушение при переменных контактных давлениях изу-
изучалось путем исследования контактных напряжений с учетом как нор-
нормальных, так и касательных сил в, местах соприкосновения деталей и ана-
анализа условий прочности для объемного напряженного состояния, что
позволило получить зависимости между предельными контактными давле-
давлениями и характеристиками усталости (М. М. Саверин, 1948; С. В. Пине-
гин, 1967).
Обширные экспериментальные исследования закономерностей уста-
усталостного разрушения позволили накопить, начиная с середины тридцатых
годов, обширный материал, касающийся характера кривых усталости,
типов функций распределения случайных значений прочности и характе-
характеристик влияния состояния поверхности, воздействия сред, полей остаточ-
остаточных напряжений и механических свойств поверхностного слоя на сопро-
сопротивление усталости (Н. М. Беляев, М. Э. Гарф, Л. А. Гликман, М. М. Гох-
берг, Н. И. Давиденков, Г. В. Карпенко, И. В. Кудрявцев, А. В. Ряб-
ченков, М. Н. Степнов, В. И. Труфяков, М. Я. Шашин, Н. П. Щапов и др.).
Результаты теоретических и экспериментальных исследований в обла-
области механики усталостного разрушения явились основой улучшения кон-
конструктивных форм деталей, усовершенствования их расчетов на прочность
и технологии изготовления, в том числе поверхностного упрочнения.
Создание конструкций высоких параметров, больших мощностей
и размеров потребовало разработки вопросов прочности при циклическом
нагружении в упруго-пластической области. В этих условиях в наиболее
напряженных зонах узлов и деталей происходит существенное изменение
закономерностей деформирования и условий образования и распростра-
распространения трещин циклического нагружения. Это связано с тем, что при
указанных уровнях нагрузок, соответствующих сравнительно 'малому
(до 103—104) числу циклов до разрушения, наблюдается перераспределение
по числу циклов упруго-пластических деформаций, зависящее от условий
нагружения (неоднородность напряженного состояния, температура, ско-
скорость деформирования и др.) и от циклических свойств материалов. Про-
Процессы образования и развития трещин малоциклового нагружения в общем
случае протекают на фоне накопления однонаправленных и циклических
пластических деформаций, причем описание ведется на основе соот-
соответствующих критериев малоциклового разрушения. Нестацисшарность

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 411
упруго-пластических деформаций при малоцикловом нагружении опреде-
определяет условия достижения предельных состояний элементов конструкций
и соответственно их несущую способность.
Первые работы в СССР по малоцикловой усталости элементов авиа-
авиационных конструкций были выполнены Н. И. Марииым A946). Экспери-
Эксперименты, проведенные на цилиндрических трубах (со сварными швами
и без них) и пластинах с отверстием, показали, что сопротивление мало-
малоцикловому разрушению, выраженное номинальными разрушающими
напряжениями, оказывается ниже сопротивления разрушению при одно-
однократном статическом нагружении, в зависимости от механических
свойств материала и уровня концентрации напряжений.
В последующие годы основные результаты по исследованию сопро-
сопротивления малоцикловому разрушению были получены в работах
Д. А. Гохфельда, В. В. Москвитина, В. В. Новожилова, С. И. Ратнер,
С. В. Серенсена, Я. Б. Фридмана, Р. М. Шнейдеровича. Существенное
внимание при этом уделялось построению, с одной стороны, уравнений
состояния для случая циклического нагружения и, с другой стороны,
критериев разрушения.
В. В. Москвитин A951 — 1965), обобщив положения Г. Мазинга
ж используя теорию малых упруго-пластических деформаций для случая
повторного нагружения, доказал ряд теорем относительно переменных
нагружении, вторичных пластических деформаций и предельных состоя-
состояний. На основе этих теорем оказалось возможным использовать конечные
соотношения между напряжениями и деформациями для решения соот-
соответствующих задач. Эти соотношения справедливы при нагружениях,
близких к простому. В работах В. В. Москвитина показана также воз-
возможность применения разработанной им теории для случая сложного
нагружения, когда главные напряжения при циклическом нагружении
меняют знак. Теория малых упруго-пластических деформаций при цикли-
циклическом нагружении была использована В. В. Москвитиным и В. Е. Ворон-
ковым A966) для решения ряда конкретных задач (циклический изгиб
бруса и пластин, повторное кручение стержней кругового и овального
поперечного сечения, повторное нагружение внутренним давлением тол-
толстостенного цилиндра и шара и др.).
Наряду с таким подходом в работах Н. Н. Афанасьева A953),
Ю. Д. Софронова A959), Н. И. Черняка и Д. А. Гаврилова A966) были
развиты статистические модели поликристаллического конгломерата,
состоящего из значительного числа элементов, обладающих различными
ориентировкой и механическими свойствами (как без упрочнения, так
и с упрочнением). На основе этих моделей представляется возможным ана-
аналитически описать форму петли упруго-пластического гистерезиса,
эффект Баушингера, а также процесс изменения напряжений и деформа-
деформаций. Применительно к циклически упрочняющимся материалам Ю. Д. Соф-
роновым получена зависимость между напряжениями, деформациями
и числом циклов до разрушения.
Систематическое экспериментальное исследование уравнений состоя-
состояния, выполненное С. В. Серенсеном, Р. М. Шнейдеровичем и А. П. Гусен-
ковым A960—1966), позволило показать существование обобщенной
диаграммы циклического деформирования, являющейся для данного мате-
материала функцией числа циклов, независимо от характера и вида нагружения.
На основе обобщенной 'диаграммы циклического деформирования было
предложено записать в конечном виде поцикловые зависимости между
напряжениями и деформациями для процессов нагружения.

412 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
В этих работах показано, что пластические составляющие цикличе-
циклических деформаций (ширина петли) убывают или возрастают в зависимости
от свойств циклического упрочнения или разупрочнения материала.
Кроме того, установлены свойства циклической анизотропии, проявляю-
проявляющейся в одностороннем накоплении пластических деформаций.
В дальнейшем обобщенная диаграмма циклического деформирования
была распространена на асимметричные циклы напряжений и на дефор-
деформирование в условиях повышенных температур с привлечением гипотезы
старения. В такой постановке были решены задачи об изгибе и кручении
сплошных стержней, о растяжении — сжатии полосы с отверстием и стерж-
стержней кругового сечения с кольцевыми выточками при циклическом
деформировании (Р. М. Шнейдерович, А. П. Гусенков и Г. Г. Медекша,
1966, 1967).
В работах В. В. Новожилова, Р. А. Арутюняна, А. А. Вакуленко,
Ю. И. Кадашевича уравнения состояния при циклическом деформировании
получены на основе обобщенной теории пластического течения с исполь-
использованием модели с сухим трением и с учетом микронапряжений. При этом
оказалось возможным рассматривать сложное нагружение и соответствую-
соответствующие предельные состояния.
И. 3. Паллей A965 и ел.) исследовал процессы неизотермическо-
неизотермического циклического нагружения на основе обобщения теории пластич-
пластичности и ползучести с введением подобия девиаторов напряжений и
скорости пластической деформации. В связи с этим была решена задача
о неравномерно нагретой пластине и диске при циклическом на-
гружении.
B. И. Розенблюм, Д. А. Гохфельд и В. В. Москвитин A958 и ел.)
провели исследование предельного состояния при циклическом нагруже-
нагружении стержневых систем, пластин, дисков и оболочек в свете теории приспо-
приспособляемости.
Д. А. Гохфельд A964—1967) разработал критерии стабилизации про-
процессов деформации при повторном нагружении и нагреве, описал накопле-
накопление деформаций, ведущее к «прогрессирующему» разрушению, и на основе
теории приспособляемости решил задачу о несущей способности дисков,
труб, оболочек и других конструктивных элементов. Для решения задач
о приспособляемости стержневых систем А. А. Чирас A966) использовал
методы линейного программирования.
C. В. Серенсен, Н. А. Махутов и Р. М. Шнейдерович A964—1966)
предложили описание условий малоциклового разрушения на основе
силовых и деформационных критериев разрушения. Анализ условий мало-
малоциклового разрушения получен ими на основе деформационных критериев.
В качестве критерия квазистатического разрушения предложена вели-
величина предельной односторонне накопленной пластической деформации,,
равной деформации при разрушении от однократной нагрузки для
однородных и неоднородных напряженных состояний. Использование
обобщенных кривых циклического деформирования и деформационных
критериев позволило этим авторам A966 и ел.) определить предельные
состояния при усталостных малоцикловых процессах. Для случаев мало-
малоциклового нагружения, при которых интенсивности накопления квазиста-
квазистатических и усталостных повреждений сопоставимы, предельное число
циклов устанавливается на основе гипотезы суммирования этих повреж-
повреждений.
Для экспериментальной проверки кинетики циклического деформи-
деформирования и критериев разрушения развиты экспериментальные методы

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 413
исследования пойей деформаций с помощью оптически активных покрытий
{Р. М. Шнейдерович и В. В. Ларионов, 1965), метода муара (Р. М.
Шнейдерович и О. А. Левин, 1967) и метода сеток (Н. А. Махутов,
1964).
В работах В. В. Новожилова и О. Г. Рыбакиной A966) в качестве
критерия разрушения при статическом и малоцикловом нагружении пред-
предложен путь пластической деформации, пропорциональный произведению
интенсивности пластических деформаций на число циклов, предельное
значение которого зависит от пластического разрыхления материала. Этот
критерий использовался для описания циклических разрушений при сим-
симметричном и асимметричном цикле деформаций.
Силовой критерий малоциклового нагружения в форме максимального
местного напряжения разрабатывался Р. М. Шнейдеровичем и В. В. Ла-
Ларионовым A962—1965). Этот критерий позволил описать разрушение при
жестком нагружении в условиях однородного напряженного состояния,
а также разрушение при внешнем нагружении в зонах концентрации
по заданным напряжениям.
Нужно отметить, что в основу энергетических критериев малоцикло-
малоциклового разрушения положены различные соображения: полная энергия
пластической деформации (А. Г. Костюк, 1966), тепловой эквивалент
упруго-пластических деформаций (В. С. Иванова, 1967), энергия пласти-
пластических деформаций в пределах области упрочнения (Н. С. Можаров-
<жий, 1966).
Для описания условий разрушения при малом числе циклов исполь-
используется функция повреждения материала, зависящая от пути пластиче-
пластического деформирования (В. В. Новожилов и О. Г. Рыбакина, 1966), накоп-
накопленной энергии пластической деформации (А. Г. Костюк, 1966). Эта функ-
функция вводится как в уравнения состояния, так и в условия прочности для
установления степени циклического и длительного статического повреж-
повреждения, влияния асимметрии цикла деформаций.
Весьма важной частью общей проблемы усталости является изучение
закономерностей развития трещин в металлах и полимерах при цикличе-
ческом нагружении. Еще первыми исследователями явления усталости
было замечено, что разрушению обычно предшествует длительное устой-
устойчивое развитие трещины. Последующие исследования показали, что около
30—60% всего времени до разрушения в изделии, подвергающемся цикли-
циклической нагрузке, растет трещина (С. В. Сервисен, Р. М. Шнейдерович
и Н. А. Махутов, 1966). Экспериментальные данные по этому вопросу,
однако, достаточно разноречивы вследствие трудности обнаружения
начальной развивающейся трещины.
Одна из первых работ в СССР по устойчивому развитию фиксирован-
фиксированной усталостной трещины была выполнена Р. Д. Вагаповым A959). В даль-
дальнейшем в связи с результатами теории хрупких трещин на основе много-
многочисленных экспериментов было установлено, что скорость распростране-
распространения усталостной трещины зависит только от характеристик коэффициента
интенсивности напряжений в конце трещины, когда размер пластической
зоны на краю трещины мал по сравнению с размерами тела (Д. К. Доналд-
сон и В. Э. Андерсон, Proc. Crack Propagation Symp. A961), v. 2, Cranfield,
1962, p. 375—441; П. К. Парис - там же; В. М. Маркочев, 1966;
К. Д. Миртов, 1968).
Таким образом, зависимость скорости роста трещины от геометри-
геометрических размеров тела и параметров внешней нагрузки в этом случае пред-
представляется через одну величину (коэффициент интенсивности напряжений).

414 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
Следует отметить, что допущение о малости пластической области
для усталостных трещин гораздо менее существенно, чем для случая раз-
разрушения при монотонном нагружении, вследствие более низкого уровня
напряжений, при котором протекает процесс разрушения *).
§ 7. Влияние температуры на прочность твердых тел
При исследовании прочности и разрушения металлов и полимеров
исключительно важными являются вопросы термопрочности, заключаю-
заключающиеся в изучении прочности материалов и конструкционных элементов
под действием различного рода силовых и тепловых нагрузок в широких
диапазонах изменения температуры. Особенно большую актуальность эти
вопросы приобретают в связи с развитием таких отраслей современного
машиностроения, как реакторостроение, двигателестроение, ракетная тех-
техника, и многих других. Наметившаяся тенденция повышения рабочих
температур различных агрегатов и установок требует не только точного
определения распределения и интенсивности температурных напряжений
и деформаций, но и исследования их влияния на кратковременную и дли-
длительную прочность, термическую усталость, термическое выпучивание
и другие явления.
С другой стороны, представляют интерес критерии прочности при
сравнительно низких температурах. Развитие космических исследований,
вопросы химической технологии, использование металлических конструк-
конструкций в условиях Дальнего Севера и пр. приводят к необходимости изуче-
изучения закономерностей явления хладноломкости.
В нашей стране проведены широкие теоретические и эксперименталь-
экспериментальные исследования различных общих и частных проблем термоупругости
и термопрочности (В. В. Болотин, И. И. Гольденблат, Э. И. Григолюк,
В. И. Даниловская, А. А. Ильюшин, А. Д. Коваленко, Г. С. Писаренко,
Ю. II. Работнов, С. В. Серенсен, В. Н. Феодосьев, Я. Б. Фридман и др.).
В этом параграфе будут рассмотрены только вопросы термопрочности
и разрушения при высоких и низких температурах; вопросы же анализа
термоупругих и термопластических деформаций и напряжений до разру-
разрушения здесь не освещаются. Исследование прочности при высоких и низ-
низких температурах охватывает большой круг вопросов экспериментального
и теоретического характера. Экспериментальные исследования прежде
всего связаны с получением основных характеристик прочности и дефор-
мативности различных материалов (в первую очередь жаропрочных)
в зависимости от температуры как при кратковременных, так и при дли-
длительных нагрузках. К этому же циклу исследований нужно отнести экспе-
экспериментальное определение упругих постоянных материала при высоких
и низких температурах.
За последнее время накоплен значительный объем данных о свойствах
твердых тел и полимеров при повышенных температурах и различных
нагрузках **). Изучению механических и термических свойств твердых
*) Г. П. Черепанов в 1968 г. вывел теоретическую зависимость скорости роста
усталостной трещины от характеристик коэффициента интенсивности напряжений
и решил некоторые конкретные задачи (аналог задачи Гриффита, трещина в слое под
действием циклического момента и др.)« В основу им была положена некоторая моди-
модификация физических представлений Дж. Р. Ирвина и Э. О. Орована об удельной дис-
диссипации энергии. Из выведенной зависимости, в частности, при не слишком высоком
уровне напряжений получается эмпирическая формула П. К. Париса.
**) См., например, «Справочник по машиностроительным материалам», т. 2
(М., 1959) и сборник «Пластические массы органического происхождения. Классифи-
Классификация, технические наименования и основные свойства (справочный материал)» A959).

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 415
тел и полимеров при различных температурах посвящено огромное коли-
количество интересных и важных работ. Систематические исследования в этом
направлении проводились Н. Н. Давиденковым, Б. А. Дроздовским,
И. А. Одингом, Г. С. Писаренко, С. В. Серенсеном, Я. Б. Фридманом
и их учениками.
В работах Г. С. Писаренко и его сотрудников разрабатывались
вопросы, связанные с методикой и средствами определения различных
характеристик материалов при высоких и низких температурах A958 и
ел.). Выяснению сложных закономерностей механической и термической
прочности в широком диапазоне режимов нагружения и нагрева посвя-
посвящены работы И. А. Одинга A945—1962), С. В. Серенсена A950 и ел.),
Я. Б. Фридмана A952—1962) и их сотрудников.
Накопленный объем данных о свойствах различных материалов при
повышенных и пониженных температурах облегчает задачу определения
допускаемых напряжений при расчетах конструкций на прочность
по напряжениям, вызванным внешней нагрузкой и температурой. Пра-
Правильный выбор допускаемых напряжений является исключительно важной
задачей, так как от этого зависит не только прочность конструкции,
но и ее экономичность и легкость. Отметим, что почти все методы расчета
допускаемых напряжений при высоких и низких температурах носят
весьма приближенный характер, так как материал со временем «устает»,
«стареет» и находится под действием ряда трудно или совершенно неучи-
неучитываемых условий, не вводимых в расчеты. Поэтому выбор допускаемых
напряжений производится в основном на основании эмпирических или
статистических данных *). Построенные методы расчета позволяют опре-
определить как кратковременные допускаемые напряжения при равномерной
и неравномерной температуре, так и допускаемые напряжения при дли-
длительном воздействии нагрузки при повышенных температурах.
В последнее время большое внимание привлекают также исследования
вопросов усталости и несовершенной упругости материалов при нормаль-
нормальных и высоких температурах **).
С. В. Серенсен и Л. А. Козлов A958, 1965) при исследовании уста-
усталости сплавов при повышенных температурах применили статистический
подход, который позволяет оценивать надежность и запасы прочности
деталей, работающих при повышенной температуре. Аналогичные иссле-
исследования для металлокерамических материалов были проведены Г. С. Пи-
Писаренко и др. A962).
Особое внимание следует обратить на явление так называемой темпе-
температурной (тепловой или термической) усталости, сущность которого
состоит в возникновении и развитии микротрещин в результате повторного
действия температурных напряжений, обусловленного циклическим изме-
изменением температуры. В этом случае разрушение протекает в условиях,
сходственных с малоцикловым разрушением при повышенных темпера-
температурах, протекающим, однако, неизотермически, в связи с чем на разру-
разрушение оказывают влияние термоструктурные напряжения.
Проблема термоусталости особенно важна в таких областях, как
энергетика (повторные пуски агрегатов, варьирование их мощности),
самолетостроение (повторный кинетический нагрев), двигателестроение
*) См. например, 3. Б. Канторович A946), С. Д. Пономарев и др. A956, 1959),
И. А. Одинг A962), Н. И. Безухов и др. A965).
**) См. сборники «Вопросы высокотемпературной прочности в машиностроении»
(Киев, 1962, 1963) и «Термопрочность материалов и конструкционных элементов»
(Киев, 1965).

416 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
и т. д., когда в элементах конструкций возникают значительные темпе-
температурные напряжения.
Еще в 1919 г. Д. К. Чернов подметил основные особенности термиче-
термической усталости. Он подчеркнул, что причиной образования сетки трещин
на стенках канала артиллерийских орудий и на поверхности прокатных
вальцов является знакопеременная пластическая деформация, возникаю-
возникающая при повторных нагревах и охлаждениях.
До пятидесятых годов изучение сопротивления конструкционных
металлов термоусталостному разрушению проводилось с целью качествен-
качественного сопоставления поведения материалов при циклически меняющихся
температурах. В этих исследованиях использовались образцы различной
формы и размеров, в которых для «ужесточения» условий испытания созда-
создавались надрезы в виде отверстий и выточек. Нагрев образцов осуществлял-
осуществлялся различным образом (в печах электросопротивления, токами высокой
частоты, в потоках продуктов сгорания или нагретого воздуха, газовой
горелкой, внесением в расплав), а охлаждение — погружением в жидкость
или на воздухе.
В указанных исследованиях для заданного термического режима
определялись число циклов до появления трещин, изменение формы и раз-
размеров образцов, а иногда и кинетика развития трещин без анализа напря-
напряженного и деформированного состояния, возникающего при нагреве
и охлаждении образцов. Например, в работе Л. А. Гликмана A937) при
определении числа циклов до разрушения в целых призматических
образцах и с продольными канавками было установлено, что трещины
появляются быстрее в образцах с надрезами.
В. И. Залесский и Д. М. Корнеев A954) провели исследование разга-
ростойкости цилиндрических образцов из различных сталей, нагреваемых
в свинцовой ванне и охлаждаемых в проточной воде. Было установлено
более раннее о.бразование трещин при наличии структурных превращений
в менее «плотной» стали и при менее тщательной обработке поверхности.
М. В. Приданцев и А. Р. Крылова A958), испытывая листовые образцы
с отверстиями при нагреве газовой горелкой и охлаждении на воздухе,
показали снижение термостойкости с увеличением толщины листа,
а М. Я. Львовским и И. А. Смияном A958) была разработана методика
для оценки сопротивления листовых материалов действию теплосмен.
Как уже отмечалось, результаты этих исследований использовались
в основном для сравнительной оценки сопротивления термической уста-
усталости различных материалов. В то же время они не могут применяться
для оценки несущей способности элементов конструкций и сооружений,
напряженное и деформированное состояние в опасных зонах которых
существенно зависит от размеров и форм изделий, а также условий тепло-
теплопередачи.
Развитие исследований по термической усталости в последние
10—15 лет основывается на температурно-временном анализе напряжен-
напряженного и деформированного состояния в элементах конструкций и рассмот-
рассмотрении сопротивления разрушению применительно к соответствующим
тепловым и механическим процессам, что открывает определенные воз-
возможности в решении задач расчета на прочность деталей при циклическом
термическом нагружении.
Важным этапом экспериментального исследования термоусталости
явились работы Л. Ф. Коффина и Р. П. Весли (Trans. Amer. Soc. Mech.
Engrs, 1954, 76 : 6, 923—930), позволившие сравнительно просто и надежно
определять напряжения и деформации путем испытания защемленного

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 417
по концам тонкостенного циклически нагреваемого трубчатого образца.
В дальнейшем было предложено (С. В. Серенсен и П. И. Котов, 1959)
проведение испытаний с варьируемой жесткостью путем управления упру-
упругой системой нагружения, т. е. варьирование граничных условий в том
случае, когда величина силовой деформации оказывается меньше темпе-
температурной.
Расширение возможных вариантов соотношения механического и тем-
температурного циклов (деформация от внешних нагрузок может быть больше
температурной, а в момент достижения максимальной температуры может
быть не сжатие, а растяжение; сдвиг фаз температурного и механического
циклов; различные сочетания термических и механических нагрузок
и т. д.) было получено Н. Д. Соболевым и В. И. Егоровым A962) путем
синхронной температурному циклу подгрузки (при нагреве — сжатие,
при охлаждении — растяжение), А. В. Стрижало A967) с использованием
установки с программным изменением нагрузки и температуры, А. И. Ива-
Ивановым и Б. Ф. Трахтенбергом A968) путем разработки методики незави-
независимого механического и теплового нагружения.
А. А. Платонов и Н. М. Скляров A962) и А. В. Ратнер A964) пред-
предложили оценивать сопротивление материала термической усталости путем
испытания образцов при одностороннем накоплении пластической дефор-
деформации по полуциклам растяжения в момент охлаждения образца.
Р. А. Дульневым, В. И. Егоровым, Е. Н. Пироговым и Н. Д. Соболе-
Соболевым были предложены более точные методы определения величины упруго-
пластической деформации при испытании образцов на растяжение — сжа-
сжатие A962 и ел.).
Большое разнообразие вариантов напряженного и деформированного
состояния в реальных условиях циклического температурного нагруже-
нагружения определило необходимость проведения соответствующих исследо-
исследований. В экспериментах В. Н. Кузнецова A957) в трубчатом образце
создавалось знакопеременное плоское напряженное состояние за счет
циклически изменяющегося радиального температурного градиента.
Ю. Ф. Баландин A967) осуществил испытания циклически нагреваемых
и охлаждаемых трубчатых образцов, защемленных по концам, при
одновременном их нагружении внутренним постоянным давлением.
Нужно отметить, что механизм термической усталости во многом
подобен механизму усталости при механическом воздействии, так как
в обоих случаях причинами разрушения являются одни и те же факторы:
воздействие переменных многократных напряжений и знакопеременные
пластические деформации. Поэтому для определения закономерностей
термической усталости часто используют вспомогательные данные о пове-
поведении изучаемого материала при изотермическом циклическом нагруже-
нагружении (Я. Б. Фридман, 1962). Однако существуют и различия между ними,
не позволяющие в ряде случаев заменить испытания на термическую
усталость испытаниями на механическую усталость. Дело в том, что за счет
изменения температуры в течение каждого цикла происходит постоянное
изменение различных физических свойств материала (модуля упругости,
предела текучести и др.), приводящее, в свою очередь, к изменению сопро-
сопротивления материала воздействию термических напряжений. Для терми-
термической усталости характерна локализация деформации в зонах с наиболь-
наибольшим температурным перепадом даже в однородном поле напряжений (тер-
(термическая концентрация) из-за неравномерности температурного поля, воз-
возникающего в деталях. Отметим также, что сопротивление механической
усталости при невысоких температурах и не слишком малых частотах
27 Механика в СССР, т. 3

418 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
нагружения мало зависит от частоты нагружения, в то время как терми-
термическая усталость существенным образом связана с длительностью цикла
нагружения, а также с временем выдержки материала в высокотемпера-
высокотемпературной части цикла.
Многократные циклические напряжения зачастую приводят к разру-
разрушению сначала отдельных зерен или границ между ними, а затем и к пол-
полному разрушению образца (термическая усталость от термоструктурных
напряжений). Исследование микроструктурных напряжений в зависимости
от температуры было проведено в работах В. А. Лихачева A958), Н. Н. Да-
виденкова и В. А. Лихачева A960).
Отмеченные выше факты указывают на необходимость систематиче-
систематического исследования термической усталости и, в частности, получения
для заданных интервалов температур кривых, связывающих величину
деформации с числом циклов до разрушения.
Серьезные теоретические исследования этого аспекта принадлежат
Л. Коффину (см. выше) и С. Мансону (Mach. Design, 1958, № 12—13
и 16—18), причем последним предложена единая кривая усталостной
прочности.
В. Н. Кузнецов A957) экспериментально изучал вопросы прочности
при термической усталости и предложил зависимость между числом
циклов до разрушения, интенсивностью пластической деформации и мак-
максимальной амплитудой линейной пластической деформации.
В работе С. В. Серенсена и П. И. Котова A960) были получены диаг-
диаграммы деформирования в полуциклах нагрева и охлаждения.
Н. С. Можаровским A966) на основании экспериментальных исследо-
исследований на растяжение стержней из жаропрочных упрочняющихся материа-
материалов получены зависимости между напряжением и деформацией при любом
цикле теплового нагружения.
В дальнейшем в работах С. В. Серенсена, Ю. Ф. Баландина, В. И. Его-
Егорова, П. И. Котова, Н. С. Можаровского, Н. Д. Соболева A960 и ел.),
были получены эмпирические зависимости долговечности (число циклов
до разрушения) от различных параметров напряженного и деформирован-
деформированного состояния и термического цикла (величины изменения пластической
и полной деформации, напряжений, перепада температур за цикл и т. д.).
Результаты испытаний ряда жаропрочных сталей в одном и том же
интервале температур при одноосном напряженном состоянии и чистом
сдвиге позволили Н. Д. Соболеву и В. И. Егорову A963) предложить
энергетическую теорию формоизменения для термической усталости. Уста-
Установление энергетического критерия разрушения и существование единой
кривой циклического деформирования позволяют получить зависимости
долговечности от изменения интенсивности напряжений, деформаций
и энергии пластической деформации за цикл и показать связь между
этими зависимостями.
В работе Н. С. Можаровского A967) показано, что в качестве основ-
основного критерия разрушения пластических упрочняющихся материалов при
термоциклических нагрузках, вызывающих знакопеременные пластиче-
пластические деформации, можно принять величину суммарной необратимо
поглощаемой энергии, затраченной на процесс деформационного упрочне-
упрочнения и определяемой по соответствующим диаграммам неизотермического
деформирования.
Ю. Ф. Баландин A964) и Н. С. Можаровский A967) исследовали влия-
влияние наложения статической нагрузки на термоциклические напря-
напряжения. ,

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 419
Характер температурного цикла (уровень температур, продолжитель-
продолжительность цикла) определяет величину деформации, ход кривой циклического
деформирования, релаксацию напряжений и сопротивление разрушению.
В связи с этим практическое значение имеют результаты исследований
Ю. Ф. Баландина A966) и Р. А. Дульнева A967), изучавших вопрос влия-
влияния времени выдержки при максимальной температуре цикла.
В работах П. И. Котова A961) и Н. С. Можаровского A963) была
показана возможность представления характеристик теплостойкости мате-
материалов при различных температурных режимах в виде единой кривой тер-
термической усталости.
Большое число работ посвящено изучению «повреждаемости» мате-
материала в результате термоусталостного нагружения. Отмечается существен-
существенное изменение (снижение) сопротивления материала деформированию и
разрушению при последующем однократном статическом нагружении
(Я. Б. Фридман и В. И. Егоров, 1960).
Н. Д. Соболевым и Е. Н. Пироговым A967) исследовались закономер-
закономерности накопления повреждений при нестационарных режимах с разделе-
разделением процесса нагружения на две стадии, одна из которых связана со вре-
временем до образования макротрещины, а вторая — с развитием этой тре-
трещины. Было установлено, что при одной и той же вероятности разрушения
на первой стадии переход с более высокого уровня нагрузок на меньший
уровень дает большее повреждение, чем это следует из линейного закона
суммирования повреждений, и, наоборот, меньшее — при обратном
порядке нагружения. Накопление повреждений на второй стадии описы-
описывается линейным законом, и скорость развития трещины в данный момент
не зависит от предыстории нагружения. Вопросы суммирования повреж-
повреждений изучались В. М. Филатовым A967), показавшим в условиях своих
опытов применимость линейного суммирования по относительному числу
циклов.
В настоящее время важным вопросом является возможность сопостав-
сопоставления различных материалов по их термостойкости с учетом влияния
комплекса изменения физических и механических свойств.
Г. Н. Третьяченко A964) получил выражение, определяющее мини-
минимальное значение перепада температур для граничных условий тепло-
теплообмена, при котором на поверхности цилиндра возникают пластические
деформации, ответственные за термоусталостное разрушение. Этот перепад
температур является функцией предела текучести, коэффициента Пуас-
Пуассона, модуля упругости и величины, зависящей от критерия Био (Bi =
= tib/X, где h — коэффициент теплоотдачи, Ъ — характерный размер тела,
X — коэффициент теплопроводности).
В работе В. И. Егорова и И. Д. Соболева A963) для одноосного напря-
напряженного состояния дается, с одной стороны, относительная оценка мате-
материалов по их долговечности при одних и тех же величинах деформаций
и напряжений в фиксированном интервале температур, а с другой сто-
стороны, сопоставление проводится для одних и тех же граничных условий,
когда деформация при фиксированном перепаде температур зависит от коэф-
коэффициента линейного расширения.
Одним из способов оценки термостойкости деталей является испыта-
испытание их в условиях, моделирующих натурные. В этом направлении
Г. Н. Третьяченко, Р. Н. Куриат и Л. В. Кравчук A963, 1964) провели
испытания реальных сопловых лопаток газовых турбин с моделированием
температуры потока и граничных условий теплообмена на газодинамиче-
газодинамическом стенде.
27*

420 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
С целью повышения сопротивления термической усталости исполь-
используются различные методы, в том числе применяемые для повышения меха-
механической прочности (улучшение качества поверхности, уменьшение кон-
концентрации напряжений и т. д.), а также и специфические методы, исполь-
используемые для выравнивания температурного поля (теплопроводные покры-
покрытия и т. д.).
Отметим еще один аспект прямого воздействия температуры на проч-
прочность металлов и полимеров. В некоторых случаях детали и элементы
конструкций и сооружений подвергаются воздействию температурных
напряжений, возникающих в весьма короткий промежуток времени (почти
мгновенно) в результате быстрого изменения температуры. Такое нагру-
жение, называемое температурным (тепловым или термическим) ударом,
вызывает динамические термические напряжения и приводит к хрупкому
разрушению материала.
Наибольшую опасность температурный удар представляет для мате-
материалов в хрупком состоянии. В пластическом состоянии тепловой удар
обычно безопасен, так как напряжения не могут значительно превзойти
предел текучести и уменьшаются со временем.
Как известно, напряженное и деформированное состояние тела,
вызванное термическим ударом, может быть определено в ряде случаев
путем совместного решения уравнений теплопроводности и термо-
термоупругости.
Для сверхбыстрых тепловых процессов (взрыв, тепловые системы
с большими тепловыми потоками) правильную картину распространения
термоупругих напряжений дает решение динамических задач термоупру-
термоупругости с учетом инерционных членов, в то время как поля температурных
напряжений при более медленных тепловых воздействиях довольно точно
определяются из решения квазистатических задач термоупругости.
Сравнительно недавно были найдены аналитические решения некото-
некоторых динамических задач термоупругости, определяющие характер рас-
распространения динамических термоупругих напряжений (В. И. Данилов-
Даниловская, 1950, 1952, 1960). Однако, несмотря на всю важность динамических
задач, относящихся к различного рода взрывным, быстрым процессам,
следует отметить, что наибольшее практическое применение во многих
отраслях техники нашли решения статических задач термоупругости при
нестационарных температурных полях. В этом случае предполагается, что
напряженное состояние в каждый момент времени в точности соответствует
перепаду температур, созданному к этому моменту времени, причем инер-
инерционными членами пренебрегают. На практике же прибегают к значитель-
значительным упрощениям даже этих теоретических результатов, обращаясь во мно-
многих случаях к непосредственному экспериментальному определению сопро-
сопротивления материалов при термическом ударе.
Основные методы экспериментального исследования сопротивляе-
сопротивляемости материалов тепловому удару состоят в следующем. Резкое изменение
температурного поля осуществляется путем помещения (сбрасывания)
образца в жидкостную ванну или обдувом образца потоком газа или жидко-
жидкости. Разность температур среды и образца подбирается при этом из усло-
условий разрушения.
Возможно также использование резкого нагрева образцов с помощью
малоинерционного нагревателя или с помощью внутреннего тепловыделе-
тепловыделения в материале образца. Тепловыделение может быть создано ядерным
излучением, пропусканием электрического тока или токами высокой
частоты.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 421
Г. Н. Третьяченко и Л. В. Кравчук A964) для создания термического
удара использовали газодинамический стенд, где кольцевые образцы или
детали различной формы подвергались нагреву в продуктах сгорания
и охлаждению воздушным потоком. В результате были найдены величины
разрушающей разности температур (температура газа — начальная тем-
температура образца) для ряда высокотемпературных металлокерамических
материалов.
Методика исследования сопротивляемости хрупких материалов тер-
термическому удару при переменном коэффициенте теплоотдачи предложена
в работе Н. И. Тихонова и др. A963). Согласно этой методике образцы
нагреваются в подвижной печи, которая затем удаляется, а образец охла-
охлаждается теплоизлучением. Теплонапряженность в ходе эксперимента
определяется расчетным путем с использованием измеренной во время
опыта температуры поверхности образца.
В работе В. И. Даукниса и др. A967) описывается установка для
изучения термического удара, где применена подвижная сборка образцов.
Заслуживают внимания также предложения по использованию лучи-
лучистого и электронного нагрева в установках по термическому удару, появив-
появившиеся в литературе за последнее время.
Одним из полезных приложений термических разрушений является
огневое бурение, или термобурение, при котором для разрушения породы
используется высокотемпературная струя газа. Теоретическое модели-
моделирование явления огневого бурения было предложено Г. П. Черепановым
A966).
О влиянии температуры на прочность полимерных материалов будет
сказано ниже. Здесь же отметим исследования прочности резин при повы-
повышенных температурах. При изучении вопросов влияния температуры
на скорость разрушения ненаполненных резин Г. М. Бартенев A958—1964)
показал, что с повышением температуры увеличивается скорость образо-
образования и роста трещин и надрывов. В этих же работах проведено исследо-
исследование влияния температуры на временную зависимость прочности резин
в интервале от 20 до 140° С. Установлено сложное влияние температуры
на долговечность, и указан диапазон практически безопасных нагрузок.
Было показано, что температурно-временные зависимости для резин отли-
отличаются от таковых для твердых полимеров, причем при высоких темпе-
температурах (90—140° С) в области больших долговечностей наблюдается
отклонение кривых временной зависимости прочности от линейной (в коор-
координатах lg г — lg а), что, по-видимому, связано с изменением структуры
в поверхностном слое образцов под действием процессов деструкции. Кроме
того, в отличие от твердых тел (Г. М. Бартенев, 1964), напряжение оказы-
оказывает незначительное влияние на энергию активации, которая для резин
принимает довольно низкое значение; это связано, по-видимому, с тем,
что кинетику процесса разрушения резин определяют главным образом
межмолекулярные связи.
В последнее время, в связи с широким использованием низких темпе-
температур (жидкие кислород, водород, гелий) во многих отраслях современной
техники, потребовалось детальное исследование механических и других
свойств металлических материалов в условиях низких температур. Опуб-
Опубликовано большое количество работ, относящихся к исследованию пове-
поведения конструкционных металлических и неметаллических материалов
при температурах до —253° С B0° К). Эти сведения помогают в процессе
выбора материалов при конструировании различных машин, использую-
использующих, например, в качестве рабочего тела или рабочей среды сжиженные

422 в. з, партон, г. п. Черепанов
газы. Испытания, проводимые при низких и весьма низких температурах,
дали возможность изучить процесс перехода от вязкого к хрупкому разру-
разрушению и определить величину предельного сопротивления хрупкому раз-
разрушению.
Проблема хладноломкости неразрывно связана с именами Ф. Ф. Вит-
мана, Н. Н. Давиденкова, А. Ф. Иоффе, Е. М. Шевандина, Н. П. Щапова,
М. В. Якутовича и др.
Большое значение имели исследования прочности паяных, сварных
и клепаных соединений, а также материалов, содержащих концентраторы
напряжений, что позволяло предвидеть и предотвращать внезапные ава-
аварии, возможные в условиях низких температур.
Исследования, связанные с оценками хладноломкости, были начаты
Н. Н. Давиденковым A930—1938), который дал определение критической
(переходной) температуры хрупкости и предложил использовать кривые,
связывающие ударную вязкость с температурой, для косвенного определе-
определения сопротивления отрыву. Н. Н. Давиденков A938) отметил, что наибо-
наиболее чувствительной к температуре испытания является та часть работы,
которая затрачивается после достижения максимальной нагрузки (при
изгибе надрезанного образца), и что именно эта характеристика умень-
уменьшается при понижении температуры.
В дальнейшем Е. М. Шевандин A953—1965) провел исследования
в области хладноломкости малолегированных конструкционных сталей,
а Я. М. Потак A955) дал анализ хрупких разрушений конструкций из леги-
легированной конструкционной стали. Им же отмечена склонность к хруп-
хрупкому разрушению деталей, содержащих крупные зерна феррита.
Цикл исследований, проведенных Т. А. Владимирским A953—1958),
привел к построению пространственных диаграмм (ударная вязкость-
острота надреза — температура) для ряда конструкционных сталей.
Им показано, что при изменении остроты надреза материалы могут
меняться местами по оценке их критической температуры.
В работе Г. В. Ужика и Ю. Я. Волошенко-Климовицкого A962)
отмечено, что хрупкое разрушение является преобладающим видом нару-
нарушения прочности при низких температурах, и установлены закономер-
закономерности изменения предела текучести металлов при высоких скоростях
нагружения и низких температурах. Здесь же отмечено существенное
значение этих параметров при оценке опасности хрупкого разрушения.
Данные о влиянии низких температур на механические свойства
металлических сплавов систематизированы в работе П. Ф. Кошелева
и С. Е. Беляева A967).
В заключение обратим внимание на то, что большинство исследовате-
исследователей отмечали усиливающуюся чувствительность материала к концентра-
концентрации напряжений и падение прочности надрезанных образцов с понижением
температуры (Я. Б. Фридман, 1952; Я. М. Потак, 1955; Г. В. Ужик, 1957).
§ 8. Проблемы длительной прочности
Одним из простейших видов нагружения является статическое нагру-
жение до некоторого определенного значения, принимаемого тензором
напряжений, с последующим длительным выдерживанием материала при
достигнутых значениях нагрузки. В этом случае деформации увеличи-
увеличиваются (уменьшаются) и по истечении некоторого времени материал раз-
разрушается. Однако разрушение не происходит до тех пор, пока тензор

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 423
напряжений не древосходит некоторого определенного значения, назы-
называемого предельной длительной прочностью материала.
Систематические исследования различных закономерностей, связан-
связанных с длительной прочностью металлов и полимеров, привели к созданию
ряда направлений в этом разделе механики разрушения (А. П. Александ-
Александров, Г. М. Бартенев, С. Н. Журков, В. А. Каргин, П. П. Кобеко, Б. П. Кон-
Константинов, Ю. С. Лазуркин, А. К. Малмейстер, А. Н. Орлов, Ю. Н. Ра-
ботнов и др.).
Исследования временной зависимости прочности начались с выявле-
выявления роли времени в процессе нагружения силикатных стекол. Еще
А. А. Гриффит в 1920 г. показал, что свежеприготовленные стеклянные
палочки имеют гораздо большую прочность, чем пробывшие некоторое
время на воздухе. Аналогичное явление, отмеченное А. П. Александро-
Александровым и С. Н. Журковым A:933) при исследованиях прочности кварцевых
нитей, послужило началом теоретических и экспериментальных исследо-
исследований в этой области, проведенных С. Н. Журковым с сотрудниками
{1953—1961). Рассмотрение, в основном, одноосного растяжения мате-
материалов с различными механическими свойствами показало, что для метал-
металлов, пластмасс и полимерных волокон связь между напряжением и дол-
долговечностью может быть выражена экспоненциальной зависимостью
х = Ае~™, (8.1)
где А и а — некоторые константы, зависящие от температуры. Зависи-
Зависимость (8.1) справедлива в довольно широком диапазоне изменения темпе-
температур, причем «прямые долговечности» при различных температурах
образуют (в координатах In г — о) пучок, выходящий из одной точки,
по-видимому, соответствующей критическому напряжению afe. При
относительно низких температурах временная зависимость слабо выра-
выражена, и если, например, растяжение происходит с большой скоростью,
то разрушение носит характер, близкий к критическому разрушению.
В этом случае время слабо влияет на величину разрывного напряжения
и разрушение не происходит для всех значений а <С crfe, как бы долго
материал ни находился в напряженном состоянии. Сообразно этому вво-
вводится понятие «предела прочности» или техническое понятие «временного
сопротивления отрыву». Временная зависимость практически не прояв-
проявляется для пластмасс при температуре —200° С и ниже, в то время как
для металлов и неорганических стекол, имеющих высокую температуру
плавления, уже обычные температуры являются низкими. За исключением
случая относительно низких температур, вопрос о прочности решается
в зависимости от времени до разрушения, в течение которого образец
находился в напряженном состоянии.
В начале тридцатых годов стали интенсивно развиваться исследова-
исследования, связанные с изучением механических свойств аморфных и высоко-
высокомолекулярных твердых тел. Развитие этого направления связано
с именами А. П. Александрова, П. П. Кобеко, М. О. Корнфельда,
Е. В. Кувшинского и др. Приблизительно к этому же периоду относится
зарождение представлений о ведущей роли теплового движения в опре-
определении механических свойств твердых тел. Такой подход в значительной
мере основывался на идеях Я. И. Френкеля о термофлуктуационном меха-
механизме движения частиц, едином для всех жидкостей и твердых тел.
Согласно этой концепции изменение конфигурации атомов в твердом теле
происходит в момент тепловой флуктуации, повышающей на некоторое
время локальную энергию, а внешнее напряжение приводит лишь

424 в. з. партон, г. п. Черепанов
к направленности таких изменений и макроскопическим процессам
пластической деформации и разрушения.
В основном в сороковых годах был выполнен обширный комплекс
работ по изучению влияния температуры на деформирование полимеров
(А. П. Александров, П. П. Кобеко, Е. В. Кувшинский, Ю. С. Лазуркинг
Н. И. Шишкин и др.) и металлов (Н. Н. Давиденков, Ф. Ф. Витманг
Н. А. Златин, В. А. Степанов, Л. М. Шестопалов и др.).
Кинетическая концепция, где определяющим фактором при пласти-
пластической деформации считаются тепловые флуктуации, была распространена
и на разрушение всех твердых тел. На основе эмпирических исследований
долговечности твердых тел под нагрузкой С. Н. Журков получил следую-
следующую температурно-временную зависимость:
) (8.2)
Здесь т0 — константа, близкая к периоду тепловых колебаний (для твер-
твердых тел т0 ж 10~12 -т- 10~13 сек), к — 1,37 X 10~16 — постоянная Больц-
мана, U = Uq — y*G — энергия активации, Uo — энергия активации
в отсутствие напряжения, близкая к энергии сублимации для металлов
и к энергии химических связей для полимеров, у* — поправочный коэф-
коэффициент, зависящий от природы и структуры материала.
Зависимость (8.2) оказалась пригодной для довольно широкого класса
материалов, в том числе и полимерных, на значительном диапазоне темпе-
температур и времен испытаний. Отметим, что наибольший разброс экспери-
экспериментальных данных наблюдается при очень длительных и очень коротких
временах разрушения, а наименьший при средних временах длительной
прочности, где наиболее хорошо оправдывается зависимость (8.2). Испы-
Испытания, проведенные в высоком вакууме (Г. М. Бартенев, 1955), показали,
что внешняя среда не является первостепенной причиной влияния на вре-
временную зависимость, за исключением отдельных частных случаев сильных
поверхностно-активных сред (см. В. И. Лихтман, Е. Д. Щукин и П. А. Ре-
биндер, 1962).
Проблема получения законченных характеристик длительной проч-
прочности различных материалов в необходимом диапазоне рабочих температур
связана с огромным объемом экспериментальных исследований, зачастую
просто невыполнимых для материалов, предназначенных для длительной
службы. Естественными поэтому являются многочисленные попытки
построения теорий длительной прочности, основанных на экстраполяции
результатов кратковременных испытаний или таких, где длительные испы-
испытания при низкой температуре заменяются малодлительными испытаниями
при высокой температуре. В основе физических моделей, построенных
с учетом этих экспериментов, лежат идеализированные материалы,
а абсолютно универсальных формул, по-видимому, вообще не существует^
так как различные материалы ведут себя, вообще говоря, по-разному
в процессе испытаний. При разрушении кристаллических тел основную
роль играют дислокации и пластические деформации, для хрупких аморф-
аморфных тел — различного рода дефекты и микротрещины.
Еще в двадцатых годах Я. И. Френкель на основе изучения тепловых
флуктуации предсказал появление в кристаллических телах термодинами-
термодинамически равновесных точечных дефектов — вакансий. В настоящее время
' теория вакансий является одним из основных направлений исследования
в теории твердого тела. В частности, конденсация вакансий, ставших нерав-
неравновесными вследствие быстрого охлаждения при пластической деформации,

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 425
может приводить к образованию пор, рост и объединение которых вызы-
вызывает разрушение. Теория коагуляции вакансий была развита в работах
В. И. Владимирова A960), В. И. Владимирова и Ш. X. Ханнанова A967).
Как уже отмечалось выше, пластическая деформация всегда пред-
предшествует разрушению и затем зачастую сопровождает его, в связи с чем
важным является исследование свойств дислокаций. Первая математи-
математическая модель подвижной дислокации была построена Я. И. Френкелем
и Т. А. Конторовой A938). В дальнейшем работы по кинетике дислокацион-
дислокационных структур и тонкой структуре ядра дислокаций были продолжены
А. Н. Орловым и др. A950 и ел.).
Для кристаллических тел теории временной зависимости были пред-
предложены Б. Я. Пинесом A955, 1959), Л. Э. Гуревичем и В. И. Владимиро-
Владимировым A960), А. Н. Орловым A961) и др.
В основе этих теорий лежат те или иные предположения о характере
зарождения микротрещин, которые в процессе роста сливаются в одну
магистральную трещину, приводящую к разрушению. В работах Б. Я. Пи-
неса A955, 1959) предложена идея самодиффузионного механизма роста
трещин, что привело автора к соотношению, сходному с (8.2). Л. Э. Гуревич
и В. И. Владимиров A960) обратили внимание на роль пластической дефор-
деформации в процессе зарождения и раскрытия трещин.
Вопрос о связи трещинообразования с ползучестью и длительной проч-
прочностью пока еще недостаточно изучен. Однако хорошо известен (особенно
для чистых металлов и однофазных сплавов) эмпирически установленный
(С. Н. Журков и Т. П. Санфирова, 1958; Б. Я. Пинес и А. Ф. Сиренко,
1960) факт постоянства произведения скорости установившейся ползу-
ползучести е = de/dt на время до разрушения:
8Т = А, (8.3)
(при этом А, не зависит от напряжений и температур). Это обстоятельство *)
позволило использовать одни и те же соотношения для экстраполяции
данных по ползучести и длительной прочности.
А. Н. Орлов A961) указал, что из-за пластической деформации проис-
происходит параллельное развитие ползучести и подготовка материала к разру-
разрушению. Этот вывод автор сделал на основе отмеченной выше эксперимен-
экспериментальной зависимости (8.3), связывающей скорость ползучести с временем до
разрушения. А. Н. Орловым была предложена модель разрушения при
объединении большого числа микротрещин, образованных на различных
линиях скольжения. В последние годы эти работы были продолжены
А. Н. Орловым, В. И. Владимировым и Ш. X. Ханнановым, которые по-
показали, что учет дискретности дислокационных скоплений и их перемеще-
перемещений в процессе раскрытия трещины объясняет возможность зарождения
микротрещины при локальных напряжениях, значительно меньших
теоретической прочности за счет тепловых флуктуации.
Несколько близких более общих теорий временной зависимости проч-
прочности для хрупких тел и хрупких твердых полимеров предложены как
в нашей стране (Г. М. Бартенев, 1955), так и за рубежом (П. Гиббс
и И. Б. Катлер, J. Amer. Geram. Soc, 1951, 34 : 7, 200—206; Д. А. Стюарт
и О. Л. Андерсон, там же, 1953, 36 : 12, 416—424). В основе этих теорий
лежит кинетика роста трещин, рассматриваемая как последовательный
*) См. монографию Ю. Н. Работнрва A966).

426 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
разрыв связей в вершине трещины под действием напряжений и тепловых
флуктуации атомов или молекул. Важными для кинетики длительного
статического разрушения явились работы Ю. Н. Работнова по уравнениям
состояния с учетом растрескивания (см. также работы С. Т. Милейко,
В. Л. Миркина, И. А. Одинга и др.).
В последнее время появился ряд работ, где делается попытка учесть
временные эффекты в макроскопической теории трещин. Этот учет про-
производится различными способами.
В модели идеально упругого тела с постоянной поверхностной энер-
энергией развитие трещины при фиксированной нагрузке невозможно. Поэтому
наблюдаемый рост трещины при постоянной нагрузке должен быть
связан с упругими несовершенствами, в частности с явлением текучести
твердых тел.
Л. М. Качанов A961, 1963) рассмотрел случай линейной ползучести,
отвечающий схеме максвелловской среды, и установил линейную зависи-
зависимость критического коэффициента интенсивности напряжений от времени,
вводя при этом новую константу материала, названную коэффициентом
повреждаемости. В такой постановке он рассмотрел задачу о развитии
трещины под действием сосредоточенных сил в бесконечной плоскости
и в полосе конечной ширины. Л. М. Качанов отметил, что качественная
картина сохраняется в общем и для других линейных сред, обладающих
свойством текучести (например, среда, подчиняющаяся интегральным
соотношениям Больцмана).
В работах Г. И. Баренблатта, В. М. Ентова и Р. Л. Салганика A966,
1967) показано, что постоянная в теории равновесных трещин величина
критического коэффициента интенсивности напряжений при учете кине-
кинетики разрушения становится функцией скорости распространения тре-
трещины. При этом считается, что все эффекты при достаточно больших
напряжениях (вязкоупругость, микронапряжения и т. д.) сосредоточены
в малой концевой области, а материал вне трещины считается по-прежнему
упругим. Вид функциональной зависимости этого критического коэф-
коэффициента можно определить для той или иной конкретной модели связей
из составленной авторами системы основных уравнений. В качестве при-
примера был рассмотрен случай гриффитовой трещины, близкой к равновес-
равновесной, где связь критического коэффициента интенсивности напряжений
€0 скоростью продвижения конца трещины выбиралась для случаев чисто
флуктуационного и чисто реологического механизмов. При исследовании
условий разрушения и вопросов, связанных с длительной прочностью,
авторы показали, что обобщением известного статического условия разру-
разрушения является возможность определить разрушение в рассматриваемом
случае как несуществование решения системы дифференциальных уравне-
уравнений, определяющих длину трещины (при заданном пути ее распростра-
распространения). В этих работах было показано также, что критический коэффи-
коэффициент интенсивности напряжений зависит от характера нагружения, при-
причем должен существовать значительный диапазон скоростей нагружения,
в котором критический коэффициент, отвечающий моменту разрушения,
практически постоянен.
Особому исследованию подверглось чисто флуктуационное разруше-
разрушение, имеющее место при относительно малых нагрузках. В этом случае
временное эффекты возникают только за счет случайных разрывов связей
под действием тепловых флуктуации, а продвижение трещины происходит
настолько медленно, что релаксационными процессами можно пренебречь.
Предположив, что начальные трещины имеют размер порядка концевой

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 427
области трещины, авторы получили значение характерного времени, вхо-
входящего в формулу для долговечности (8.2) *).
Как уже отмечалось, важнейшей прочностной характеристикой мате-
материала является его долговечность при произвольных режимах нагруже-
ния. Обычно эта характеристика определяется непосредственно опытным
путем. Но возможен и теоретический расчет в том случае, когда известна,
например, временная зависимость прочности при постоянных растягиваю-
растягивающих нагрузках. Если, как С. Н Журков и Б. Н. Нарзуллаев A953),
считать, что разрушение является необратимым процессом и скорость
роста трещин зависит только от напряжения сг, то выполняется условие
Дж. Бейли (Glass Ind., 1939, v. 20, № 1—4; Ceram. Abs., 1940, 19 : 4,
p. 89)
Здесь %' — долговечность образца при любом заданном режиме испытания,
т (а) — долговечность при постоянном растягивающем напряжении, кото-
которая находится из известной временной зависимости прочности.
Для оценки времени разрушения при переменном во времени нагру-
жении применяется правило Бейли суммирования повреждаемостей, запи-
записываемое в форме (8.4), где теперь а = a (t), а т (а) = т (а (?), Т) и нахо-
находится, например, из соотношения (8.2). Многочисленные эксперименталь-
экспериментальные проверки дают хорошее подтверждение соотношения (8.4), особенно
при небольших скоростях изменения нагрузки.
Исключительно важным является вопрос влияния времени на дефор-
деформацию и прочность полимеров. Как известно, в зависимости от строения,
температуры, тепловой предыстории полимеры могут находиться либо
в структурно-жидком (вязкотекучем и высокоэластичном), либо в двух
твердых (кристаллическом и стеклообразном) состояниях. Прочность поли-
полимера зависит не только от его строения и деформационных свойств,
но и от физического состояния, тесно связанного со временем деформа-
деформации, температурой и пр.
П. П. Кобеко, Е. В. Кувшинский и Г. И. Гуревич A937) впервые
предложили релаксационную теорию деформации полимеров, а В. А. Кар-
Картин и J1. Л. Слонимский A941, 1948, 1960), исходя из общей теории Больц-
мана — Вольтерра и представлений о молекулярном строении полимеров,
разработали математическую теорию трех деформационных состояний
(стеклообразное, высокоэластичное и вязкотекучее), имеющих место при
малых напряжениях. При больших напряжениях возникает ряд интерес-
интересных особенностей, например ориентированная структура при растяжении
твердых полимеров, влияющая на прочность и разрушение и резко упроч-
упрочняющая материал.
В. А. КаргинымиТ. И. Соголовой A953, 1964) исследовано влияние
ориентации, структуры и времени релаксации на прочность полимеров
(температурно-временная зависимость времени релаксации предложена
и изучена А. П. Александровым, Г. И< Гуревичем и др., 1945).
*) В 1968 г. Г. П. Черепанов на основе концепции Г. Нейбера и опытных данных
по длительной прочности получил следующее уравнение для скорости роста трещины
dlldt в зависимости от коэффициента интенсивности напряжений К:
dt T
Здесь а и А — некоторые постоянные, Т — температура.

428 в. з. партон, г. п. Черепанов
Как уже отмечалось выше, согласно С. Н. Журкову, процесс разруше-
разрушения есть процесс накопления разорванных термофлуктуационным путем
связей. С. Н. Журков, Э. Е. Томашевский и др. A964) непосредственно
наблюдали такое увеличение числа разорванных связей, метод ом парамаг-
парамагнитного резонанса. В работах С. Н. Журкова, А. И. Слуцкера, В. И. Бе-
техтина и др. A962—1967) была установлена связь между дислокационной
структурой материала и структурно-чувствительным коэффициентом *).
Новые представления о кинетической природе разрушения были распро-
распространены на случай сложного напряженного состояния в работах
В. А. Степанова и др. A964).
Зарождение микротрещин за счет термофлуктуационных разрывов
отдельных связей в ориентированных полимерах рассматривалось
А. И. Губановым и А. Д. Чевычеловым A963 и ел.). Ими было показано,
что за счет перераспределения напряжений по связям, в зависимости
от длины полимерных цепочек в полимерах, разрывы связей начинаются
сразу после приложения нагрузки; это приводит к образованию микро-
микротрещин с размерами —100—600 А (порядка размера фибрилл).
Таким образом, согласно современным представлениям микротре-
микротрещины как в кристаллах, так и в полимерах образуются на самых ранних
стадиях пластической деформации, с течением времени их концентрация
растет, они взаимодействуют между собой, объединяются, появляются
макроскопические трещины, что в конце концов и приводит к разру-
разрушению.
Экспериментальные исследования временной зависимости прочности
для органических и неорганических стекол, проведенные как в нашей
стране (Г. М. Бартенев, 1950, 1951, I960; Б. Я. Пинес и А. Ф. Сиренко,
1960), так и за рубежом (А. Холланд и В. Тернер, J. Soc. Glass TechnoL,
1940, 24:101, 73—93, и 1948, 32:144, 5—20), привели к получению
довольно большого количества эмпирических формул, причем наиболее
удачной оказалась степенная аппроксимация
т = Bg-K ' (8.5)
Здесь по-прежнему т и а — значения долговечности и растягивающих
напряжений, а В и Ъ — некоторые константы. На основе этих данных
были предложены некоторые теоретические схемы временной зависимости
прочности (Т. А. Конторова, 1946; Г. М. Бартенев, 1960).
Исследования прочности и механизма разрушения различных поли-
полимеров* (кристаллических, аморфных твердых полимеров, линейных и про-
пространственно-структурированных) позволили выявить временные зави-
зависимости понижения прочности полимеров (статическая усталость).
Для построения универсальных кривых долговечности полимеров
А. В. Тобольский (I960) предложил метод обобщенных координат. Обычно
очень трудно получить зависимости различных свойств полимеров в широ-
широком интервале времени. В целях получения таких зависимостей кривые
для различных значений температур перемещают на графике для получения
обобщенной кривой при выбранной температуре. Такой широко приме-
применяемый метод, сформулированный А. В. Тобольским, основан на принципе
температурно-временной суперпозиции, в частности температурно-частот-
*) Увеличение числа микротрещин с размерами ~100—600 А в ориентирован-
ориентированных полимерах под нагрузкой наблюдалось в 1969 г. В. С. Куксенко, А. И. Слуцкером
и С. Н. Журковым; было показано, что микроскопическому разрушению образца соот-
соответствует вполне определенная концентрация микротрещин ~1013-г-1017 1/см3 (в за-
зависимости от типа полимера и среднего размера трещин).

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 429
ной зависимости деформации полимеров, впервые обнаруженной
А. П. Александровым и Ю. С. Лазуркиным в 1989 г. Этот метод может быть
применен и для построения кривых долговечности в условиях, недоступ-
недоступных для прямого эксперимента.
Широкие исследования влияния времени на прочность кристалличе-
кристаллических полимеров и аморфных твердых полимеров проведены А. П. Алек-
Александровым, Г. М. Бартеневым, В. А. Каргиным, А. И. Китайгородским,
Ю. С. Лазуркиным, А. К. Малмейстером, Г. Л. Слонимским и др. При
малых напряжениях кристаллические полимеры, пластмассы при обычных,
а каучуки и резины при низких температурах ведут себя как обычные
твердые тела. Однако после достижения некоторого значения напряжения
в наиболее слабом месте образуется «шейка», в которую переходит с тече-
течением времени весь образец, после чего вновь происходит растяжение до пол-
полного разрыва. Отметим, что, несмотря на сходство, механизм образования
ч<шейки» кристаллического полимера и аморфного твердого полимера
различен. Механизм разрушения аморфных полимеров, находящихся
в стеклообразном состоянии, исследован Г. М. Бартеневым A960,
1964, 1966).
Учет временных эффектов является важным при анализе разрушений
любых материалов, но особое значение этот вопрос приобретает при рас-
рассмотрении полимерных материалов, для которых характерна резкая зави-
зависимость разрушения от внешних условий и наличие релаксационных про-
процессов.
Г. Н. Савин и А. А. Каминский A967) исследовали рост трещин в усло-
условиях разрушения твердых полимеров (полимерных стекол) при фиксиро-
фиксированной температуре для случая постоянной внешней нагрузки длительного
действия. Рассмотрев развитие в вязко-упругом материале трещины,
^структура контура которой учитывает особенности строения трещин
в полимерных материалах (противоположные берега трещины в концевой
области на участке конечной длины соединены тонкими нитями-тяжами),
авторы, в отличие от предыдущих работ, не требовали выполнения условия
малости концевой области. По этой схеме в течение некоторого промежутка
времени 0 ^ t ^ ?* происходит расширение трещины без удлинения,
а с момента времени t* — рост всей трещины.
Согласно представлениям Г. М. Бартенева A960), действие вибрацион-
вибрационных нагрузок создает неоднородное распределение температуры в образце,
приводящее к активизации процесса разрушения именно в той области,
где оно локализовано. Влияние вибрационного разогрева на распростра-
распространение трещин в полимерах исследовалось в работе Г. И. Баренблатта,
В. М. Ентова и Р. Л. Салганика A967). Они предположили, что время
разрушения определяется развитием магистральной трещины и разруше-
разрушение носит флуктуационный характер. Авторы не учитывали при этом
непосредственное силовое воздействие вибрационных нагрузок, ограни-
ограничившись лишь учетом вызванного ими разогрева (распределение напряже-
напряжений и деформаций вычислялось по уравнениям теории упругости). Такой
подход продиктован тем, что в опытах при циклическом нагружении поли-
полимеров при температуре окружающей среды фактически наблюдаемое время
разрушения оказывается меньше, чем вычисленное из условия Бейли
(8.4), что объясняется либо влиянием релаксационных процессов, либо
разогревом материала при циклическом деформировании за счет механи-
механических потерь (В. Р. Регель и А. М. Лексовский, 1965).
Г. П. Черепанов A967) рассмотрел квазистатический изотермический
процесс распространения трещин в изотропном однородном вязко-упругом

430 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
теле. Он получил для общего случая нелинейное интегро-дифференциаль-
ное уравнение для определения времени, а с ним и закона распростране-
распространения трещины во времени *). ¦
Заметим, что термин «вязкоупругость» включает в себя большой диа-
диапазон физических процессов, таких, например, как релаксация, вызывае-
вызываемая физико-механическими, термоупругими, электрическими, механиче-
механическими или другими явлениями. Как известно, между теориями упругости
и вязкоупругости существует глубокая внутренняя связь, причем уравне-
уравнения линейной теории упругости (с линейными граничными условиями)
можно' распространить на случай вязкоупругости путем подстановки
зависящих от времени операторов вместо упругих констант (принцип
Вольтерра).
Наряду с энергетическим подходом, обладающим преимуществом про-
простоты и общности, существует тенденция к созданию таких моделей разру-
разрушения, где происходит последовательный разрыв напряженных связей
в теле. Впервые модель такого хрупкого разрушения была предложена
Л. Прандтлем (Z. angew. Math, und Mech., 1933, 13 : 2, 129—133), рас-
рассмотревшим два скрепленных по всей длине упругих тела (балки), содер-
содержащих трещину, когда поперечные упругие связи хрупко разрушаются
при достижении некоторого удлинения **).
В последнее время все большее значение приобретают исследования
долговечности резин. По С. Н. Журкову и Б. Н. Нарзуллаеву A953),
уравнение (8.2) может быть применимо не только для твердых тел, но и для
всех резин, кроме кристаллизующихся. В то же время экспериментальные-
исследования, проведенные Г. М. Бартеневым и Ю. С. Зуевым A964),
приводят к соотношению (8.5) для определения величины длительной:
прочности резин. Теперь в соотношении (8.5) В — некоторая константа,.
*) В 1968 г. А. А. Каминский воспользовался для исследования развития трещин
в вязко-упругих средах 6к-теорией М. Я. Леонова — В. В. Панасюка. Он выписал
решение задачи для трещины, ослабляющей тонкую упругую пластинку, где к бере-
берегам разреза приложены равные по величине сосредоточенные силы, и, воспользовав-
воспользовавшись принципом Вольтерра, получил уравнение движения концов трещины разруше-
разрушения, заменив модуль Юнга соответствующим временным оператором. А. А. Каминский:,
исследовал частные случаи для тела Максвелла, экспоненциальных и дробно-экспо-
дробно-экспоненциальных ядер наследственности. Из двух последних примеров следует, что при
неустановившейся ползучести, когда эффект ползучести затухает со временем, рост
трещины происходит с затухающей скоростью и через некоторое время практически
останавливается. В то же время в случае установившейся ползучести рост трещины
не замедляется, а происходит с постоянной скоростью. Эти выводы согласуются с ре-
результатами Л. М. Качанова A961, 1963) и Г. П. Черепанова A967).
В. М. Ентов и Р. Л. Салганик A968) рассмотрели, с учетом распределения напря-
напряжений в вязко-упругом теле с распространяющейся трещиной, задачу о разрыве-
балки из вязко-упругого материала с трещиной симметрично приложенными силами
для материала, обладающего «памятью». С помощью полученной зависимости, свя-
связывающей длину трещины I (t) и приложенную нагрузку Р (?), была определена рабо-
работа, затрачиваемая на образование новой поверхности, аналогично подсчету, прове-
проведенному И. В. Обреимовым A930) для случая расщепления упругой балки. Авторами
было также изучено распределение напряжений и деформаций вблизи конца полу-
полубесконечной трещины при произвольном (симметричном) нагружении в материале
Кельвина — Фойхта.
**) В. М. Ентов и Р. Л. Салганик в рамках этой модели изучили в 1968 г. полу-
полубесконечную трещину в бесконечном теле, где связи предполагаются идеально хруп-
хрупкими. Ими было рассмотрено соответствие между микроскопическим и макроскопи-
макроскопическим подходом в теории разрушения. При анализе кинетики разрушения в чисто
флуктуационном случае, в отличие от предыдущих своих работ, авторы не сделали
никаких упрощающих предположений о форме концевой области трещины. Здесь же-
изучался вопрос о стационарном распространении трещины со скоростью, близкой:
к скорости волн Рейли.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 431
зависящая от толщины образца и температуры, Ъ — константа, характери-
характеризующая наклон прямых долговечности и зависящая от жескости резины
C ^ Ъ ^ 12 для реальных резин). Наблюдаемое отклонение от уравне-
уравнения (8.2) (если предполагать константы не зависящими от напряжения
и времени для таких материалов, как резина, силикатное стекло, некоторые
пластмассы и эбонит) объясняется изменением структуры полимера в про-
процессе деформирования. Временная зависимость прочности резин тесным
образом связана с типом каучука и степенью его поперечного сшивания г
а также с влиянием температуры, причем для некоторых каучукоподобных
полимеров наряду с (8.2) предложена следующая температурно-временная
зависимость прочности:
(^) (8.6)
Здесь Ъ и С — константы, зависящие от типа каучука и структуры вулка-
низата.
С помощью соотношений (8.2), (8.4), (8.5), и (8.6) были проведены
расчеты долговечности пластмасс и резин при циклических растяжениях
(С. Н. Журков и Э. Е. Томашевский, 1955; Б. И. Паншин, Г. М.Бартенев
и др., 1960; В. Р. Регель и А. М. Лексовский, 1962).
Вопросы влияния агрессивных сред на долговечность пластмасс
и резин изложены в следующем параграфе. Детальное исследование этих
вопросов с изложением методов увеличения долговечности резин в агрес-
агрессивных средах содержится в работе Г. М. Бартенева и Ю. С. Зуева A964).
Остановимся еще на одном аспекте, связанном с исследованием искус-
искусственных камней, в частности бетона. Известно, что бетон твердеет после
его изготовления, причем с течением времени меняются его упругие,
неупругие и прочностные свойства. Для описания процесса деформирова-
деформирования бетона используются различные реологические уравнения как в диф-
дифференциальной, так и в интегральной форме, где реологические коэффи-
коэффициенты с течением времени меняются. В этом направлении отметим, в част-
частности, работы Н. X. Арутюняна, А. А. Гвоздева, А. К. Малмейстера,
Ю. Н. Работнова и А. Р. Ржаницына.
Бетон представляет собой совокупность кристаллизационных и коагу-
ляционных структур, которые оказывают влияние на прочностные свой-
свойства бетона. Однако при рассмотрении вопросов длительной прочности
определяющей является кристаллизационная структура. Свойства бетона
разрушаться с течением времени при меньших нагрузках, чем величина
кратковременных нагрузок, известно давно (Дж. Р. Шенк, J. Amer.
Concrete Inst., 1935, vol. 27, p. 2). А. К. Малмейстером с сотрудниками
A957) были предложены методы определения реологических коэффициен-
коэффициентов и проведены детальные исследования длительной прочности систем,
способных двойниковаться, которые качественно удачно моделируют явле-
явление разрушения реальных материалов при отрыве и срезе. Эксперименталь-
Экспериментальная проверка полученных результатов (А. М. Скудра 1956; Е. К. Шкер-
белис 1957) дала хорошее их подтверждение. Разработанная методика
расчета длительной прочности бетона при растяжении позволяет предви-
предвидеть раскрытие трещин в железобетоне во времени и дает возможность
судить, о перераспределении напряжений, протекающем в бетоне при его
разрушении с течением времени.
Исключительно важными являются исследования длительной проч-
прочности в условиях сложного напряженного состояния. В зависимости
от условий (температура, напряжения, материал) разрушение происходит

432 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
при больших или малых деформациях, т. е. носит вязкий или хрупкий
характер. Таким образом, можно говорить о времени вязкого разрушения
и времени хрупкого разрушения. Расчет времени вязкого разрушения
является задачей теории ползучести, где эксперименты полезны скорее
для проверки тех или иных законов ползучести, но не для получения
критериев разрушения (Ю. Н. Работнов 1966).
Область хрупких разрушений во многих случаях является более
важной при оценке долговечности конструкций и сооружений. Чаще всего
предельная деформация бывает не очень большой и срок службы лимити-
лимитируется этой предельной деформацией, а не вязким разрушением в области
больших деформаций. Для современных материалов, например, исполь-
используемых в турбостроении (характерен хрупкий характер разрушения при
относительно малой величине деформации в момент разрушения. Отно-
Относительно критерия хрупкого разрушения логично предположить, что
скорость развития трещин зависит от величины нормального напряжения
в плоскостях возникновения трещин. Испытания, проведенные В. П. Сдо-
быревым A958, 1959) на сплавах ЭИ-437Б, изготовленных из прутковых
материалов и из штамповочных заготовок для диска газовой турбины,
показали, что оценка по наибольшему нормальному напряжению более
точна. Было предложено за эквивалентное напряжение принимать вели-
величину сэ == х/г (tfK + Со), ск — максимальное напряжение при хрупком
разрушении, сг0 — напряжение локализованного разрушения. В коор-
координатах аэ— lg х (х — время до разрушения) опытные данные располага-
располагались близко к единой кривой. Обработка опытных данных Ш. Н. Каца
A955, 1957) для трубчатых образцов из углеродистой и аустенитной стали
и данных Б. В. Зверькова A958) для сплава ЭИ-496 показала, что наилуч-
наилучшие результаты получаются, когда за эквивалентное напряжение прини-
принимается именно указанное выше выражение. Исследования В. П. Сдобы-
рева, а также И. Е. Курова и В. А. Степанова A962) и И. И. Трунина
A963) показали, что значение долговечности металлов при кручении опре-
определяется по-прежнему сообразно зависимости (8.2), но она несколько
меньше значения долговечности при растяжении.
Проведенные экспериментальные исследования длительной прочности
при сложном напряженном состоянии позволяют определить время до раз-
разрушения изделий различной формы в условиях сложного и неоднородного
напряженного состояния. Обычный подход состоит в том, что на основе
какой-либо теории ползучести находится величина наибольшего нормаль-
нормального напряжения, которая сопоставляется с кривой длительной прочно-
прочности, найденной в результате эксперимента. По кривой длительной прочнос-
прочности находится время до разрушения. Такой способ носит, очевидно, услов-
условный характер, так как совершенно не принимается во внимание трещино-
образорание. При расчетах по теории старения это учитывается лишь
частично.
Л. М. Качанов A958, 1960) предложил схему определения долговеч-
долговечности, в которой используются обычные уравнения ползучести, а трещи-
нообразование возникает только на площадках, перпендикулярных наи-
наибольшему напряжению а\, причем уравнение кинетики растрескивания
принимает вид
со = ф ((Ть со). (8.7)
При фиксированных внешних нагрузках, в то время как распределе-
распределение напряжений остается постоянным, со согласно (8.7) растет, принимая
лсо временем значение со = 1, что соответствует границе фронта разруше-

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 433
ния, отделяющей зону, способную к сопротивлению (со < 1), от зоны, где
уже произошло разрушение.
Возможности построения более общих теорий длительной прочности
с применением различных теорий ползучести были указаны Ю. Н. Работ-
новым A959, 1966) *).
§ 9. Влияние внешней среды на разрушение твердых тел
О влиянии внешней среды на механические свойства твердых тел,
и в частности металлов, известно давно. Вначале исследование этого
аспекта осуществлялось в основном с точки зрения химического (корро-
(коррозионного) воздействия среды (изменение механических свойств металлов
при электрохимической коррозии или растворении).
Продолжая исследования, начатые А. Ф. Иоффе с сотрудниками
A924) по изучению упругих свойств и прочности кристаллов (каменная
соль) в различных средах, П. А. Флоренский и др. A932) показали, что
техническая прочность меняется с изменением среды (исследования проч-
прочности слюды в воздухе, масле и ряде органических жидкостей). С. Н. Жур-
ков A932) выявил условия получения образцов повышенной прочности
из стекол разных сортов при травлении их поверхности плавиковой кис-
кислотой. В это же время им были проведены исследования влияния среды
на прочность кварца.
Однако влияние окружающей среды наблюдается не только при ее
химическом воздействии. Было показано, что адсорбция поверхностно-
активных веществ из окружающей среды вызывает облегчение деформации
и разрушения твердого тела зачастую в гораздо большей степени, чем при
каких-либо химических превращениях.
В основе физико-химического влияния внешней среды на процессы
деформации и разрушения лежит эффект понижения прочности в резуль-
результате адсорбции. Первичное действие адсорбции состоит в том, что поверх-
поверхностно-активные вещества, понижая поверхностную энергию металлов,
способствуют зарождению пластических сдвигов и развитию разнообраз-
разнообразных дефектов при меньших напряжениях. Работа по образованию таких
«дефектных» поверхностей уменьшается, если свободная поверхностная
энергия на границе твердого тела с окружающей средой оказывается
сниженной по сравнению с ее наибольшим значением в вакууме. Следо-
Следовательно, присутствие поверхностно-активной среды приводит к тому,
что взаимодействие с адсорбционно-активными молекулами (или атомами)
помогает перестройке и разрыву межатомных связей в данном материале.
Эффект адсорбционного облегчения деформации или адсорбционного
понижения прочности иногда называют эффектом П. А. Ребиндера.
Благодаря исследованиям в этой области, возникающей на границе
между молекулярной физикой, физикой твердого тела и физической
и коллоидной химией, удалось установить ряд новых явлений, вызываемых
адсорбционным взаимодействием деформируемых твердых тел с окружаю-
окружающей средой. К этим новым явлениям следовало бы прежде всего отнести
такие, как структурные изменения деформируемых материалов и пони-
понижение предела текучести под влиянием адсорбции, повышение скорости
ползучести металлов, электрокапиллярный эффект облегчения деформа-
деформации металлов и понижение усталостной прочности.
*) См. обзоры Н. X. Арутюняна и Ю. Н. Работнова, помещенные в этом томе
(стр. 119—202).
28 Механика в СССР, т. 3

434 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
Исследования и использование адсорбционного понижения прочности
привели в настоящее время к созданию самостоятельной области науки
и техники. Изучение отрицательного влияния поверхностно-активных
веществ на прочность материалов привело, например, к тому, что недавно
предложен новый метод получения более прочных материалов, основан-
основанный на использовании адсорбционно-активных веществ.
Первоначально исследовалось главным образом влияние окружаю-
окружающей среды на механические свойства металлических монокристаллов,
таких, как олово, свинец, цинк, алюминий, выращиваемых по методу
П. Л. Капицы, И. В. Обреимова и методом рекристаллизации. Было
установлено, что интенсивность воздействия поверхностно-активных
веществ на механические свойства металлических монокристаллов суще-
существенно зависит от температуры и скорости деформации (В. И. Лихтман,
П. А. Ребиндер и Л. П. Янова, 1947). В то же время при одинаковых
температурах и скоростях деформации механические свойства твердых
тел и особенно металлов могут меняться в довольно широком диапазоне
в зависимости от распределения напряжений внутри образца. Как изве-
известно, обычные диаграммы деформации представляют собой усредненные
значения сил и деформаций и дают весьма косвенное представление
об истинном распределении напряженного и деформированного состояния
внутри тела. Количественная сторона этого вопроса весьма сложна,
но качественная картина явления довольно полно исследована, начиная
по преимуществу с работ Н. Н. Давиденкова A936). Дело в том, что в про-
процессе деформирования происходит превращение гомогенной механической
системы в гетерогенную, причем это превращение заключается в основном
в развитии дефектных участков структуры, всегда присутствующих
в реальном твердом теле. Как показали эксперименты (В. И. Лихтман
и Е. К. Венстрем, 1949), объемное напряженное состояние существенным
образом влияет на величину адсорбционного эффекта (например, он воз-
возрастает по мере отклонения напряженного состояния вблизи поверхности
от состояния всестороннего сжатия; см. П. А. Ребиндер, Л. А. Шрейнер
и др., 1944, 1949).
Дальнейшие исследования монокристаллов позволили выявить влияние
поверхностно-активной среды в начальной пластической стадии до пре-
предела текучести (В. И. Лихтман и Е. П. Закощикова, 1949). При этом были
получены зависимости коэффициента упрочнения от числа циклов нагру-
жений в неактивной и активной средах. Наблюдаемое здесь явление пере-
перераспределения деформаций и напряжений под действием адсорбирующихся
веществ объясняется активацией релаксационных процессов.
В то же время в работах П. А. Ребиндера, Е. К. Венстрем и др. было
исследовано интересное явление, названное электрокапиллярным эффек-
эффектом, которое состоит в том, что при поляризации поверхности хрупких
тел, обладающих электронной проводимостью, а также металлов в водных
растворах электролитов твердость металлов изменяется в зависимости
от скачка потенциала на границе «твердое тело — раствор».
Известно, что величина поверхностного натяжения определяет ряд.
механических свойств твердого тела, таких, например, как твердость,,
ползучесть, коэффициент трения и др., что положено в основу определения
точки нулевого заряда металлов. Сообразно изменению этой зависимости
механических свойств от потенциала, можно определить область адсорб-
адсорбции органического вещества и судить о степени адсорбируемости послед-
последнего (П. А. Ребиндер и Н. А. Калиновская, 1934; П. А. Ребиндер
и Е. К. Венстрем, 1944, 1945, 1949; В. И. Лихтман, Е. Д. Щукин

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 435
и П. А. Ребиндер, 1962). В работах П. А. Ребиндера с сотрудниками была
установлена зависимость твердости металла от потенциала в форме элек-
трокапиллярной кривой, полученной для жидких металлов.
Нужно отметить, что твердость металла отражает степень его диспер-
гируемости, приводящей к образованию и расширению микротрещин,
причем скорость протекания этих процессов увеличивается при понижении
поверхностного натяжения металла. Отсюда при смещении потенциала
электрода (в положительную или отрицательную сторону от потенциала
нулевого заряда) и при адсорбции органических веществ на границе
«электрод — раствор» твердость металлов снижается.
В связи с интересом, проявленным к роли окисных пленок (Б. В. Де-
рягин, 1937) в адсорбционном эффекте облегчения деформаций, были
продолжены исследования электрокапиллярного эффекта при изучении
ползучести металлических монокристаллов (Е. К. Венстрем и П. А. Ре-
Ребиндер, 1952). Для металлов с кубической решеткой различия в механи-
механических свойствах между моно- и поликристаллами незначительно. Однако
это различие становится весьма ощутимым для металлов, имеющих одну
основную систему плоскостей скольжения (например, металлы с гексаго-
гексагональной решеткой или |3-олово). Проведенные исследования (В. И. Лихт-
ман и П. А. Ребиндер, 1947; С. Я. Вейлер и Л. А. Шрейнер, 1949, 1950;
С. Я. Вейлер и Г. И. Епифанов, 1953) показали значительное влияние
поверхностно-активных веществ в упругой области деформаций поликри-
поликристаллических металлов.
Рассмотрев этот аспект с иной стороны, С. Я. Вейлер и В. И. Лихтман
A960) установили влияние адсорбционных слоев на упругие деформации
металлов при использовании поверхностно-активных смазок в процессах
обработки металлов давлением. Работы этого направления привели к раз-
разработке теоретических основ и методов применения смазок. Было пока-
показано, что в присутствии поверхностно-активных веществ поверхностный
слой металла становится более текучим, пластифицируется и при обработке
давлением принимает на себя основную часть избыточной сдвиговой дефор-
деформации. Происходит своего рода самосмазывание (металл смазывается
не смазкой, а своим же тонким слоем, пластифицированным этой смазкой).
Действие этого тонкого легко деформируемого слоя усиливается от хими-
химического взаимодействия металла с активными молекулярными группами
поверхностно-активных веществ, что приводит к образованию своеобразных
металлических мыл, связанных с поверхностью и усиливающих процесс
ее пластификации. Количественные оценки этого явления, очевидно,
затруднительны, но С. Я. Вейлером A949, 1950, 1953), например, был
предложен метод оценки смазочного действия среды в процессах глубокой
вытяжки металлов. Значительное снижение усилий в присутствии актив-
активных смазок, как оказалось, характерно для различных способов обработки
металлов (прессование, осаживание, вытяжка, резание).
Дальнейшие эксперименты, проведенные на поликристаллических
металлах, позволили установить эффект возрастания степени возникаю-
возникающего наклепа (упрочнения) при периодических деформациях в присут-
присутствии поверхностно-активных веществ (Т. Ю. Любимова, П. А. Ребиндер
и др., 1948, 1950).
Продолжая исследования этого аспекта, Г. В. Карпенко с сотрудни-
сотрудниками A949—1953, 1962) расширил представления о разнообразных формах
адсорбционного и коррозионного влияния среды на усталостную проч-
прочность металлов. Известно, что усталостная прочность металлов может
значительно снижаться под влиянием понизителей прочности (таких,
28*

436 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
например, как коррозионная среда), причем это снижение зависит от вре-
времени пребывания детали в коррозионной среде и от числа циклов нагруже-
нагружения (И. А. Одинг, 1949). Показано, что при коррозионной усталости, при-
приводящей к значительной потере усталостной прочности, имеет место только
ограниченная выносливость, причем истинный передел усталости отсут-
отсутствует (Г. В. Карпенко, 1952).
Вообще, коррозионная усталость включает два процесса: первичный
состоит в адсорбционном облегчении образования микротрещин под
действием циклической нагрузки, вторичный — в электрохимической
коррозии внутри образовавшихся микротрещин, способствующей их
дальнейшему росту. Интересно отметить определенную ориентированность
микротрещин усталости в коррозионной среде и преимущественную
насыщенность поверхности очагами разрушения при малых величинах
коэффициента циклической нагрузки (Г. В. Карпенко, 1951).
Явление коррозионной усталости показывает, что среда, химически
воздействуя на металл, влияет на его усталостную прочность. Однако
и при отсутствии химического воздействия происходит снижение усталост-
усталостной прочности, если среда содержит поверхностно-активные вещества.
Это явление было названо адсорбционной усталостью, причем, в отличие
от коррозионного воздействия, снижение усталостной прочности под дей-
действием поверхностно-активных сред не зависит от времени пребывания
детали в среде и от числа циклов нагружения.
Влияние поверхностно-активных сред на усталостную прочность стали
исследовал Ш. Я. Коровский A948). В дальнейшем было изучено охлаж-
охлаждающее влияние жидких сред и вообще адсорбционное и коррозионное
влияние жидких сред на усталостную прочность стали (Г. В. Карпенко
и др., 1949, 1952; И. В. Кудрявцев, 1949). Отметим, что существенную
роль в снижении усталостной прочности под действием поверхностно-
активных веществ играет концентрация этих веществ в растворе и при-
природа растворителя (А. Б. Таубман, 1930; Г. В. Карпенко, 1950).
Важными для механики разрушения являются исследования разру-
разрушения металлов в области концентрации напряжений под действием
агрессивной среды. Экспериментальные исследования указывают как
на катастрофическое падение усталостной прочности образцов с концен-
концентраторами напряжений, находящихся под воздействием жидких металлов
(М. И. Чаевский, 1961), так и на отсутствие разупрочняющего эффекта
при воздействии коррозионной среды (Г. В. Карпенко и Ф. П. Янчишин,
1955; М. И. Чаевский, 1959). Таким образом, в процессе усталостного
нагружения адсорбционные, диффузионные и коррозионные факторы
могут как снижать, так и повышать усталостную прочность образцов
с концентраторами напряжений или не оказывать вообще заметного влия-
влияния (М. И. Чаевский и Г. В. Карпенко, 1962). Как показал И. А. Одинг
A959), при циклическом нагружении генерирование дислокаций, их дви-
движение, коагуляция и аннигиляция вакантных мест, связанная с диффузией
и движением дислокаций, происходят более интенсивно, причем изменение
кристаллической решетки препятствует возвращению части дислокаций
при разгрузке. Напряжения от циклической нагрузки накладываются
на напряжения, возникшие в разультате направленного движения дисло-
дислокаций и их скопления около препятствий (создание постоянного градиента
напряжений в объеме зерна).
М. И. Чаевский A962, 1965, 1968), используя результаты исследо-
исследований адсорбционного, диффузионного и коррозионного влияния агрес-
агрессивных сред при статическом нагружении, пришел к следующим выводам

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 437
относительно характера взаимодействия деформируемого металла с агрес-
агрессивной средой (образцы с концентраторами напряжений, поперечный раз-
размер сечения которых во много раз превышает размер зерна): 1) усталост-
усталостная прочность может значительно снизиться в результате диффузии среды
в дефектную часть металла в вершине концентратора напряжений; 2) экс-
эксплуатационные возможности образцов с концентраторами напряжений
повышаются в результате образования средой защитного диффузионного
слоя из-за диффузии и взаимодействия с дефектным объемом металла;
3) среда растворяет металл у дна концентратора (см. М. С. Гойхман,
A. М. Дацишин и др., 1968). Регулярный процесс сглаживает концентра-
концентратор напряжений, а нерегулярный (по границам зерен) разупрочняет
образец с концентратором напряжений, причем уменьшение работоспособ-
работоспособности образца происходит только при большой базе испытаний (Г. В. Кар-
Карпенко и Ф. П. Янчишин, 1955; М. И. Чаевский, 1959).
Таким образом, наряду с существенной ролью адсорбционных эффектов,
большое значение в разупрочнении поликристаллического металла, дефор-
деформируемого в агрессивной среде, играет химизм процесса.
Вопрос влияния смазочных масел (практически коррозионно-безопас-
ных) на прочность стали приобрел в последнее время самостоятельное
значение. Как показали эксперименты, при циклическом нагружении
стали в маслах наблюдается явление адсорбционной усталости, зависящее
от адсорбционной активности масла (Г. В. Карпенко, 1953). Некоторые
аспекты исследований, касающихся влияния жидких сред на усталость
стали, качественных изменений стали под действием адсорбционно-уста-
лостного и коррозионно-усталостного процессов, изложены в монографиях
B. И. Лихтмана, П. А. Ребиндера и Г. В. Карпенко A954) и Г. В. Карпенко
A963). Здесь же освещены результаты, касающиеся изменения цикличе-
циклической вязкости стали в различных средах, вопросы влияния частоты изме-
изменения напряжения, остаточных напряжений на адсорбционную и корро-
коррозионную усталость стали и масштабный эффект.
Действие внешней среды проявляется по-разному в зависимости
от структуры и состава металла (например, у мягкой стали с малым содер-
содержанием углерода предел усталостной прочности в агрессивной среде сни-
снижается на 3—7%, а у сталей с повышенным содержанием углерода—
на 15—20%). Изучение вредного действия поверхностно-активных веществ
на усталостные свойства металлов привело к созданию методов повышения
стойкости металлов (и особенно стали) к усталости в агрессивных средах.
Детальное ^исследование вопросов прочности предварительно напряжен-
напряженных элементов конструкций и сооружений, подвергающихся коррозион-
коррозионному воздействию, коррозионной усталости стали и растрескивания
металлов содержится в работах А. В. Рябченкова A953), В. В. Романова
A960, 1967), Я. М. Потака A955), Г. В. Карпенко A963, 1967), Э. М. Гут-
Гутмана A967).
Еще одно важное направление связано с проблемой прочности метал-
металлов при наличии расплавленных металлических покрытий. В технике
давно известны многочисленные случаи разрушения ответственных дета-
деталей в конструкциях при наличии на их поверхности небольшого коли-
количества жидкого металла, когда приложенные напряжения намного ниже
предельно допустимых. Интерес к проблеме сохранения прочности кон-
конструкций и сооружений при наличии расплавленных металлов особенно
возрос в связи со строительством энергетических, ядерных и ракетных
установок, где в качестве теплоносителей используются жидкие металлы.
Впервые это явление было объяснено с помощью эффекта Ребиндера

438 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
в работах С. Т. Кишкина и Я. М. Потака A955), а исследования П. А. Ре-
биндера, В. И. Лихтмана, Е. Д. Щукина A962) и их сотрудников показали,
что наибольшие разрушения металлов могут происходить именно в при-
присутствии жидких металлов. Проведенные исследования показали, что
адсорбционная активность жидкого металла зависит от величины его
растворимости в твердом металле, причем при решении вопроса об адсорб-
адсорбционном понижении прочности (Н. В. Перцов и П. А. Ребиндер, 1958)
диагностирующей является диаграмма плавкости соответствующей бинар-
бинарной системы (диаграмма с узкой областью растворимости легкоплавкого
металла в тугоплавком указывает на возможное понижение прочности,
в отличие от диаграмм с широкой областью твердых растворов или хими-
химических соединений). Изучение электронного строения атомов обоих метал-
металлов показало, что резкое понижение прочности происходит в основном,
когда оба металла относятся к числу непереходных (Ю. В. Горюнов,
Н. В. Перцов и П. А. Ребиндер, 1959). Дальнейшее рассмотрение адсорб-
ционно-активного влияния расплавленных металлов выявило интересную
аналогию между закономерностями температурной хрупкости без покры-
покрытий и закономерностями хрупкого разрушения при обычных температурах
под действием расплавленных металлов, приводящих к разрушению
при значительно более низких значениях напряжений (Ю. В. Горю-
Горюнов, Н. В. Перцов, П. А. Ребиндер, Б. Д. Сумм, Е.Д.Щукин и др.,
1963 и ел.).
Помимо резкого понижения прочности и появления хрупкости, жидкий
адсорбционно-активный металл при высоких температурах и сравнительно
малых скоростях деформирования приводит к понижению предела теку-
текучести и коэффициента упрочнения металла (пластифицирующее действие),
о чем уже упоминалось выше при рассмотрении влияния смазок в про-
процессе обработки металлов давлением. Напомним, что пластическое течение
в кристаллах представляет собой зарождение и движение дислокаций
в плоскости скольжения и их выход на поверхность кристалла. Как пока-
показал Е. Д. Щукин A962), адсорбция поверхностно-активных веществ влияет
на взаимодействие дислокаций с поверхностью. Благодаря уменьшению
поверхностной энергии деформируемого твердого тела в результате адсорб-
адсорбции происходит пластифицирование материала (выход дислокации на
поверхность происходит при меньшем общем напряжении, а при постоян-
постоянном внешнем напряжении в единицу времени выходит больше дислока-
дислокаций, т. е. происходит больше пластических сдвигов). Пластифицирующее
действие расплавов аналогично действию органических адсорбционно-
активных веществ — в обоих случаях облегчается выход дислокаций
на поверхность.
Одним из важных вопросов механики твердого тела является вопрос
о развитии макроскопических трещин, причем наличие адсорбционного
металла Существенным образом отражается на всем характере разрушения.
Скорость роста трещины зависит от быстроты «омывания» берегов тре-
трещины и особенно от скорости поступления металлического расплава
в вершину трещины. Наряду с распространением расплава вдоль берегов
происходит впитывание жидкого металла стенками образующейся тре-
трещины, причем конечная длина трещины зависит от своеобразной конку-
конкуренции этих процессов. Е. Д. Щукин показал, что чем быстрее распростра-
распространяется адсорбционный металл и чем медленнее он впитывается стенками,
тем больше длина трещины при прочих одинаковых условиях (масса
раствора, растягивающие напряжения, геометрия пластинки и т. д.).
Получена следующая зависимость длины трещины I от массы адсорбционно-

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 439
активного расплава т (Ю. В. Горюнов, Н. В. Перцов, Б. Д. Сумм,
Е. Д. Щукин и др. 1962, 1963)
I = ряг2/з. (9.1)
Таким образом, процесс развития трещины теснейшим образом связан
с закономерностями, распространения жидкого металла по свободной
от окисной пленки металлической поверхности, где надо различать поверх-
поверхностную диффузию (миграционное перемещение монослоев) и вязкое
растекание фазового слоя.
Изучение закономерностей распространения адсорбционно-активных
металлов (Ю. В. Горюнов, Б. Д. Сумм, Н. В. Перцов, П. А. Ребиндер,
Е. Д. Щукин и др., 1963) дало возможность объяснить ряд специфических
особенностей развития микротрещин в присутствии ртути и галлия. Инте-
Интересно заметить, что закономерности распространения жидких металлов
могут быть с успехом применены не только при рассмотрении вопроса
о развитии микротрещин, но и к процессам сварки, пайки, нанесения
защитных металлических покрытий, поведения жидкости в условиях
невесомости и т. д. Дальнейшее исследование процессов деформации поли-
поликристаллических металлов в присутствии адсорбционно-активных жидких
металлов позволило получить расчетные уравнения для определения коли-
количества расплава, необходимого для получения предельного адсорбционного
понижения прочности (К). В. Горюнов, Г. И. Деньщикова, Б. Д. Сумм,
В. Ю. Траскин, 1965, 1967). Как показали Ю. В. Горюнов, Б. Д. Сумм,
Н. И. Флегонтова A964), понижение прочности в определенных диапа-
диапазонах зависит от отношения количества жидкого металла к объему
образца.
До сих пор подчеркивалось, что эффект Ребиндера проявляется
в основном тогда, когда на твердое тело действует в совокупности внешняя
нагрузка и поверхностно-активная среда (в ненапряженном состоянии
заметных изменений механических свойств твердого тела не происходит).
Однако, например, поликристаллическая пластинка цинка в присутствии
галлия начинает течь при очень малой нагрузке — собственном весе, что
происходит обычно с металлами при очень высоких температурах, близких
к температуре плавления. Резкое повышение пластичности в этом случае
связано со структурными изменениями, происходящими в межзеренных
прослойках при снижении поверхностной энергии из-за адсорбции атомов
галлия.
Еще более поразительны изменения структурных свойств моно-
монокристаллов (особенно четко в паре «галлий — олово»). Оказалось, что
монокристалл, не имеющий структурных дефектов, подобных границам
зерен, в присутствии галлиевой пленки превращается в поликристалли-
поликристаллический образец. Явление самопроизвольного внутреннего диспергирования
металла, сопровождающееся сильным понижением поверхностной энергии,
может быть использовано для повышения прочности металлов, причем
адсорбционно-активные расплавы оказываются уже не понизителями проч-
прочности, а способствуют повышению прочности металлов. Наряду с усовер-
усовершенствованием способов выращивания маленьких, почти бездефектных
нитевидных кристалликов предложен метод (В. И. Лихтман, П. А. Ре-
Ребиндер и Е. Д. Щукин, 1960; П. А. Ребиндер, 1968) замораживания образ-
образцов, в которых произошло внутреннее: диспергирование, приводящее
к однородной и мелкозернистой структуре. Прочность таких образцов
в несколько раз превышает прочность исходного недиспергированного
образца.

440 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
В последнее время удалось использовать влияние внешней среды для
повышение прочности катализаторов, играющих огромную роль в совре-
современной химической промышленности, исследовать адсорбционное пони-
понижение прочности твердых тел при облучении. Понижение прочности неме-
неметаллических тел под действием поверхностно-активных веществ нашло
применение в вопросах понижения прочности минералов, что приводит
к заметной интенсификации процессов бурения.
Важным для механики разрушения, как отмечалось выше, является
тот факт, что вещества, находящиеся на поверхности образцов, могут
значительно изменять критические напряжения, при которых начинают
расти трещины (например, прочность хорошо высушенного стекла повы-
повышается в 4—5 раз).
Е. Д. Щукин и В. И. Лихтман A958, 1959) высказали следующее
предположение относительно механизма хрупкого разрушения тел, имею-
имеющих произвольные дислокационные неоднородности. При разрушении
металлов наблюдаются две основные стадии. На первой из них происходит
зарождение и развитие равновесных трещин под действием скалывающих
напряжений в местах с высокой концентрацией напряжений. На второй
стадии трещины под действием нормальных напряжений переходят от рав-
равновесного состояния к спонтанному распространению по всему сечению
монокристалла. Эти оба процесса, естественно, облегчаются при пони-
понижении свободной поверхностной энергии в результате внедрения по-
поверхностно-активных частиц внутрь кристалла по дефектным участкам
структуры. Такая модель может служить теоретическим обоснованием
известного опытного факта о постоянстве произведения нормальных и ска-
скалывающих напряжений при хрупком разрыве, что позволяет выбрать эту
величину произведения в качестве меры прочности монокристалла.
Как уже отмечалось, большой интерес представляет исследование
влияния поверхностно-активных сред на развитие трещин. Возникающие
при этом многообразные и сложные процессы физико-химического взаимо-
взаимодействия сред, протекающие в условиях высоких локальных напряжений
в конце трещины, могут быть сведены к тому, что зависимость физического
(адсорбционного) и химического (коррозионного) факторов от напряженно-
деформированного состояния в конце трещины в области хрупкого разру-
разрушения оказывается вполне определяющейся одним естественным пара-
параметром — коэффициентом интенсивности напряжений (Г. Г. Джонсон
и П. К. Парис, EngngFracture Mech., 1968, 1 : 1, 3—45). При этом скорость
роста трещины в феноменологическом плане зависит лишь от коэффициента
интенсивности напряжений и от физико-химических констант пары «дефор-
«деформируемое тело — внешняя среда». Следует отметить важный опытный
результат, заключающийся в том, что влияние внешней среды (проявляю-
(проявляющееся в подрастании трещины при постоянном коэффициенте интенсивно-
интенсивности напряжений) начинает сказываться лишь при определенном соотно-
соотношении между физико-химическими параметрами среды и коэффициентом
интенсивности напряжений.
Наиболее изучен, по-видимому, чисто адсорбционный механизм пони-
понижения эффективной поверхностной энергии твердого тела в поверхностно-
активной среде. При этом докритическое подрастание трещины в ряде
случаев будет пренебрежимо мало, так что указанное изменение эффектив-
эффективной поверхностной энергии вполне описывает эффект. Для силикатного
стекла, например, поверхностная энергия в присутствии влаги понижается
примерно на 20%. В металлах эффективная поверхностная энергия при-
приблизительно на три порядка превышает свободную поверхностную энер-

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 441
гию, оцениваемую из физических соображений *). Любопытно отметить,
однако, что разрушающее напряжение определяется именно эффективной
поверхностной энергией, а адсорбционный эффект влияет в первую очередь
на свободную поверхностную энергию **)„
§ 10. Вопросы перманентного разрушения
Наряду с процессами локального разрушения (например, в конце
трещины) и объемного разрушения (например, при абсолютно вязком
разрушении, когда несущая способность образца исчерпывается равно-
равномерно по всему опасному сечению) представляют большой практический
и теоретический интерес процессы постепенного разрушения поверхности
тела или некоторого ее участка. Наиболее важными явлениями, отно-
относящимися к этому кругу, являются эрозионное разрушение поверхностного
слоя твердого тела в результате силового воздействия потока газа или
жидкости (пары «твердое тело — жидкость», «твердое тело — газ»), износ
твердых тел при трении (пара «твердое тело — твердое тело»), износ твер-
твердого тела в потоке жидкости с твердыми частицами (пара «твердое тело —
жидкость с твердыми частицами»), а также некоторые другие.
Короткие сроки разрушения конструкционных материалов эрозией,,
по истечении которых эксплуатация промышленных объектов становится
экономически неэффективной, явились причиной многочисленных иссле-
исследований этого явления. Вследствие трудностей, связанных с исследованием
эрозионного разрушения в чистом виде, практически все исследователи
были вынуждены рассматривать эрозионное разрушение при одновремен-
одновременном воздействии ряда факторов, влиявших в большой или меньшей сте-
степени на процесс собственно эрозионного разрушения и во всяком случае
затруднявших его изучение. Среди них можно указать следующие: хими-
химическое взаимодействие материалов с потоками газа или жидкости, хими-
химические превращения в самом материала, сублимация, плавление, терми-
термические напряжения, явления адсорбции, влияние на свойства материалов
различного вида излучений и т. д.
В этом параграфе рассматриваются газовая эрозия, гидроэрозия,
износ при граничном трении и абразивная эрозия. При этом охватываются
только те работы, которые, по мнению авторов, заметно повлияли
на эволюцию взглядов по указанным вопросам и оказали существенное
влияние на современное состояние этого направления. Знакомство с этой
областью знаний, граничащей с физико-химической механикой, в которой
получены пока в основном лишь качественные результаты, представляется
также небесполезным для механиков-теоретиков, поскольку это — новая
область будущих количественных изысканий.
Большинство исследователей газовой эрозии видели причину меха-
механического разрушения поверхности материалов в различных процессах,
сопровождающих эрозию. Этим взглядам не в малой степени способ-
способствовал тот факт, что напряжения трения на поверхности материалов
даже в таких тяжелых условиях, как например, при входе космических
аппаратов в плотные слои атмосферы, невелики и значительно меньше
предела прочности материала на сдвиг.
*) См., например, Дж. Дж. Г и л м а н, Скол, пластичность и вязкость кри-
кристаллов A959; русский перевод в сб.: Атомный механизм разрушения, М., 1963).
**) Объяснение этого кажущегося противоречия было дано Г. П. Черепановым
A968), который для случая тонкой пластинки нашел из уравнения энергии следующую
оценку: отношение эффективной поверхностной энергии к свободной поверхностной
энергии имеет порядок отношения модуля Юнга к пределу текучести.

442 в. з. партон, г. п. Черепанов
В пятидесятых годах К. К. Снитко и др. предложили так называемую
окислительную теорию — одну из разновидностей химических теорий
газовой эрозии. Согласно этой теории главная причина эрозионного раз-
разрушения металлов состоит в, окислении железа (и выгорании углерода)
и других элементов, окисляющихся легче железа, под воздействием пря-
прямого окисления свободным кислородом, а также при непрямом окислении
посредством находящихся в газах двуокиси углерода и паров воды. Эти
выводы были основаны на результатах исследования механизма и кине-
кинетики процесса разложения пороха при высоких давлениях.
Согласно химическим теориям газовой эрозии поверхность металла,
омываемая горячими газами под давлением, претерпевает как структурно-
химические (под действием окисления, цементации, азотирования), так
и механические изменения, следствием чего является разрушение тонкого
поверхностного слоя металла.'
А. Ф. Головин A941) провел систематическое изучение разрушенных
вследствие эрозии стволов артиллерийских орудий и установил наличие
наклепанных участков под полями нарезов, обусловленных динамическим
действием ведущих поясков снарядов. При этом им был сделан вывод,
что на процесс горячей газовой эрозии преобладающее влияние оказывает
термический фактор, причем основой механизма разрушения является
«вымывание» или «сдувание» струей газов расплавленного или размягчен-
размягченного и потерявшего сплошность (вследствие наличия мелких трещин тер-
термической усталости) поверхностного слоя металла.
И. С. Гаев A950) с сотрудниками получили некоторые эксперименталь-
экспериментальные данные, косвенно подтвержавшие идею испарения металлов при эро-
эрозионном разрушении. Было установлено, что скорость испарения для
стали возрастает с увеличением температуры и содержания углерода.
Сопоставление уменьшения веса образцов при испарении под воздействием
высокой температуры с эрозионными испытаниями образцов из тех же спла-
сплавов показало, что материалы по их стойкости в обоих видах испытаний
располагаются в одинаковой последовательности. Было установлено, что,
наряду с диффузией и рекристаллизацией, скорость испарения может
характеризовать прочность связей, удерживающих атомы в кристалличе-
кристаллической решетке при нагревании. Эти же параметры, по-видимому, частично
характеризуют выносливость металлов и сплавов при высокой температуре
и в случае эрозионных испытаний. И. А. Одинг A949, 1963) считал, что
процесс эрозионного разрушения представляет собой чисто механическое
воздействие на металл протекающего пара, содержащего капельки воды
и различные твердые частицы.
К аналогичному выводу пришел также Н. С. Алферов A952), который
исследовал эрозионное разрушение лопаток газовых турбин в запыленном
газовом потоке. По его мнению, одной из причин механического разруше-
разрушения поверхности металлов в потоке газа, не сопровождающегося оплавле-
оплавлением их поверхности, является наличие в нем пылевидных частиц. Вслед-
Вследствие многочисленных ударов этих твердых частиц о поверхность металла
происходит его механическое разрушение.
На поверхности лопаток было обнаружено образование мельчайших
трещин, направленных в глубь металла. Они свидетельствуют о явле-
явлениях усталости металла в поверхностных слоях. Механическое разру-
разрушение при этом объясняется выбиванием мельчайших частиц металла,
образующихся в результате появления микротрещин, и срезом образовав-
образовавшихся неровностей (возвышений, бугорков) ударяющимися о них быстро-
летящими частицами.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 443
И. Н. Дехтярев A949) высказал мнение, что значения напряжений
в верхних слоях металла турбинных лопаток могут достигать величин,
соизмеримых с пределом усталости лопаточных сталей.
И. Н. Богачев и Р. И. Минц A958 и ел.) на основании имеющей место
неоднородности распределения акустических давлений при обтекании
воздушным потоком поверхности самолетных крыльев сделали вывод
о неравномерном распределении напряжений в металле. При этом поток
быстротекущего газа оказывает на металлическую поверхность механиче-
механическое воздействие, которое в силу неоднородности потока приводит к суще-
существенной неоднородности поля напряжений в металле. Последнее проли-
проливает свет на один из наиболее важных механизмов эрозионного разрушения.
При локальном нагружении в каком-либо участке могут встретиться мик-
микрообъемы, в которых наряду с упругой деформацией будут иметь место
пластическая деформация и даже микротрещины. При этом общий уровень
регистрируемой деформации может быть невелик, однако наличие микро-
микроразрушения является уже в известной мере опасным в отношении доста-
достаточной надежности работы конструкции. Те же авторы отмечали большое
значение нагрузок, связанных с аэродинамическим воздействием газов,
вытекающих из реактивного сопла, а также возникающих при этом
импульсов давления с высокочастотными колебаниями и т. д. При этом
оказывается, что нагрузки от указанных факторов, которые могут при-
привести к разрушению за срок службы самолетов, встречаются довольно часто.
При воздействии газового потока на поверхность металла происходит
формирование ее рельефа. При этом характер микрорельефа определяется
не только видом нагружения, деформацией, но и природой металла. Микро-
Микрорельеф получаемый при воздействии на поверхность металла быстроте-
быстротекущего потока, следует рассматривать как характеристику поверхности,
определяющую эксплуатационную стойкость конструкции. Характер
рельефа позволяет сделать предварительное заключение о стойкости
металла в данных условиях, так как между способностью металла к обра-
образованию микрорельефа и долговечностью существует прямая взаимосвязь.
При этом обычные свойства материала (макрохарактеристики, полученные
на стандартных образцах с учетом агрессивности среды и температуры)
являются лишь грубо ориентировочным критерием оценки долговечности
материала при контакте с быстротекущим потоком.
Л. А. Урванцев A966) на основе анализа известных теорий эрозион-
эрозионного разрушения материалов, вызванного различными причинами,
предложил обобщить существующие представления, введя для этого так
называемую «главную обобщающуя функцию», которая должна характери-
характеризовать свойства среды, пограничного слоя и материала. Предлагаемое им
описание механизма эрозионного разрушения охватывает повторноцикли-
ческое нагружение поверхностного слоя материала и возникающие в нем
усталостные трещины (как в теле зерен, так и по их границам), химическое,
тепловое и электрическое воздействие среды и происходящие в материале
в результате этого превращения и изменения.
Причину гидроэрозии материалов большинство исследователей усмат-
усматривает в процессах коррозии и кавитации. А. Д. Моисеев A954—1956)
рассматривал гидроэрозию как электрохимический процесс, который раз-
развивается в зависимости от скорости движения воды. Предполагается, что
при больших скоростях движения потока окисная пленка не успевает
образоваться и коррозионная среда, взаимодействуя с обнаженной поверх-
поверхностью, создает условия для интенсивного развития электрохимического
процесса.

444 в. з. партон, г. п. Черепанов
И. Н. Воскресенский, В. В. Фомин и др. A949) считали, что разруше-
разрушение металлов при гидроэрозии происходит под действием коррозионного
и механического факторов и зависит от скорости движения воды. При малых
скоростях потока развивается в основном только электрохимический про-
процесс. С увеличением скорости начинает действовать механический фактор
и процесс разрушения металла становится коррозионно-механическим.
При больших скоростях потока преобладающим является механический
фактор. В работе М. Г. Тимербулатова A965) было показано, что, помимо
высокой механической прочности и высокого предела усталости, материалы
должны обладать высокими антикоррозионными свойствами.
Л. А. Гликман A955) показал подчиненную роль коррозионного
фактора при гидроэрозии. Было установлено, что скорость гидроэрозии
иногда в 105 раз превосходит скорость коррозионного разрушения.
Эрозионное разрушение носит существенно неоднородный характер.
Временное упрочнение пластичных металлов (наклеп) под воздействием
кавитации распространяется в глубину на несколько микрон (Л. А. Глик-
Гликман, Ю. Е. Зобачев и др., 1956), эрозии подвергаются прежде всего мало-
малопрочные участки поверхности сплавов (И. Н. Богачев, Р. И. Минц и др.,
1961), на поверхности сплавов и бетонов эрозия локализуется прежде всего
в естественных порах и трещинах (К. К. Шальнев, Н. П. Розанов
и др., 1965). В работе К. К. Шальнева, Р. Д. Степанова и др. A966)
было обнаружено существенное влияние на интенсивность эрозии нагру-
жения испытуемого образца внешней растягивающей силой.
Представляет интерес изучение эрозионного разрушения на моделях.
И. Варга, Б. А. Чернявский и К. К. Шальнев A962, 1963) исследовали
зависимость интенсивности эрозии от гидродинамических параметров
и физических свойств жидкостей (скорость потока, характерный размер
модели, плотность, поверхностное натяжение, вязкость, объемная упру-
упругость жидкость).
И. Р. Крянин A955—1962) рассматривал гидроэрозию металлов как
коррозионно-усталостный процесс в результате одностороннего цикли-
циклического сжатия. По его мнению, причиной неудачных попыток установить
зависимость между кавитационной стойкостью металлов и их корро-
зионно-усталостной прочностью является особенность характера цикла
гидравлических ударов при кавитации, которая не принимается во вни-
внимание многими исследователями. В. В. Гавранек A955) считал гидроэрозию
микроусталостным процессом. Имеющиеся на поверхности металла
выступы рассматривались им как микроконсоли, которые при гидравли-
гидравлических ударах испытывают знакопеременные нагрузки и вследствие этого
отламываются.
В. А. Константинов A947), изучая физическую природу кавитации,,
пришел к выводу, что разрушение металла при кавитации связано с элект-
электрическими разрядами, которые возникают при сжатии кавитационных
пузырьков. Эти электрические разряды в виде микроскопических «молний»
способны разрушить в течение короткого времени материалы любой
прочности. Впоследствии в связи с применением катодной защиты гидротур-
гидротурбин от кавитационной эрозии были проведены дальнейшие исследования
электрических эффектов зоны кавитации (В. И. Скоробогатов, 1960;
Ю. Н. Пауков, М. К. Болога и К. К. Шальнев, 1968). При этом было под-
подтверждено наличие электрических эффектов и влияние внешнего электри-
.ческого поля на интенсивность эрозии.
В работе И. Н. Богачева и Р. И. Минца, В. В. Гавранека, М. Фукса,
Д. К. Большуткина и др. A955) показано, что процесс гидроэрозии обус-

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 445
ловлен механическим воздействием гидравлических ударов, возникающих
при сокращении кавитационных пузырьков. В результате таких много-
многократных ударов отдельные микрообъемы деформируются, появляются
линии сдвигов и двойников. При этом в поверхностном слое повышается
твердость. Рентгенографический анализ показывает искажение кристалли-
кристаллической решетки и измельчение блоков структурной мозаики. Разрушению
металла предшествует возникновение в поверхностном слое трещин и оча-
очагов разрушения.
Исследования, проведенные С. П. Козыревым, К. К. Шальневым
и М. Г. Тимербулатовым A956, 1965) в гидродинамических трубах, пока-
показали, что кавитационные каверны при срывной кавитации не только
не схлопываются мгновенно, как это следует из теории Рейли, но и вообще
не схлопываются. Обнаружена пульсация каверны во времени с большой
частотой, причем при пульсации каверна уменьшается в диаметре, затем
исчезает, снова образуется и т. д. Основу кавитационных разрушений
составляют поверхностно-усталостные явления в результате высокоча-
высокочастотного импульсного воздействия *).
В. В. Фомин A966) на основании своих исследований процесса гидро-
гидроэрозии металлов и обобщения результатов, полученных другими авторами,
пришел к выводу, что она, как правило, наблюдается при больших ско-
скоростях потока и происходит в основном за счет механического воздействия
жидкости. Природа этого воздействия связана с качественным изменением
характера течения жидкости. В этих условиях ударное нагружение при-
приобретает импульсивный характер, т. е. отличается быстрым возрастанием
давления, за которым следует такое же быстрое его уменьшение. Характер-
Характерной особенностью при этом является очень малая область действия макси-
максимальных напряжений, соизмеримая с размерами отдельных микроучастков
(величиной приблизительно 10~4—10~6 мм2). При этом напряжения отли-
отличаются локальностью и неравномерностью и возникают в отдельных микро-
микрообъемах независимо от того, что происходит в любом другом месте поверх-
поверхностного слоя. При таком характере механического воздействия разруше-
разрушение металлов связано с отрывом очень мелких частиц вследствие образо-
образования в поверхностном слое микроскопических трещин, которые возникают
в результате пластической деформации, протекающей в микрообъемах.
В. В. Фомин считает, что гидроэрозию металлов следует рассматривать
как процесс, возникающий в результате микроударного воздействия
жидкости. При таком характере нагружения сопротивление металла раз-
разрушению определяется не усредненными свойствами отдельных макро-
макрообъемов, а свойствами металла в микрообъемах, т. е. механической проч-
прочностью отдельных микроучастков или структурных составляющих.
При микроударном воздействии возникают напряжения и деформации,
локализованные в микрообъемах поверхностного слоя, так что разруше-
разрушение носит местный характер. Эрозионную прочность металла определяют
свойства поверхностного слоя.
На возникновение очагов разрушения влияет также состояние поверх-
поверхности образца. Однако влияние профиля поверхности сказывается только
в начальной стадии эрозионного процесса. При образовании деформацион-
деформационного рельефа это влияние устраняется.
И. Н. Богачев и Р. И. Минц A958, 1964) исследовали ряд сталей
на их сопротивляемость кавитационно-эрозионному разрушению.
*) В 1968 г. С. П. Козырев рассмотрел в качестве одной из наиболее вероятных
причин интенсивного силового воздействия на поверхность эффект кумулятивного
схлопывания кавитационной каверны.

446 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
В результате ими было установлено, что кавитационно-эрозионная стой-
стойкость стали зависит от величины зерна, характера границ и тела зерен.
Интенсивность разрушения определяется сочетанием свойств зерен и его
границ. Было также подмечено, что стали в вязком состоянии сопротив-
сопротивляются эрозии лучше, чем в хрупком состоянии. Авторы высказали пред-
предположение, что сопротивление кавитационно-эрозионному разрушению
должно зависеть от демпфирующей способности материала (т. е. от вели-
величины декремента затухания колебаний), если рассматривать разрушение
металла от эрозии как усталостное явление, учитывая многократность воз-
воздействия водяных капель на поверхность лопаток.
В процессах взаимного контактирования твердых тел большую роль
играют исследования вопросов абразивного разрушения при граничном
трении. В. Д. Кузнецов A947) считал, что механизм абразивного изнаши-
изнашивания является предельно простым и сводится к сумме большого числа
элементарных процессов царапанья. При этом между явлением простого
царапанья и абразивным износом должна существовать глубокая связь.
Однако исследования показали, что однозначной зависимости между абра-
абразивным износом и механическими свойствами металла не существует.
Исходя из представления о том, что при изнашивании в одинаковых
условиях достигается одинаковая степень пластической деформации
и упрочнения, М. М. Хрущов и М. А. Бабичев A960) предложили теоре-
теоретическую зависимость между объемным износом, протяженностью пути
трения, размером абразивного зерна, нагрузкой и начальной твердостью
металла. Проведенные испытания показали, что, действительно износ
прямо пропорционален пути трения, нагрузке и размеру абразивного
зерна, причем для размера зерна существует критическая величина, при
превышении которой абразивный износ не увеличивается. Вместе с тем
износ обратно пропорционален значению твердости металла до испытания,
что было экспериментально подтверждено для технически чистых метал-
металлов и сталей в отожженном состоянии.
Последующие работы показали, что фактическая площадь соприкосно-
соприкосновения двух поверхностей значительно отличается от контактной, очер-
очерченной внешним контуром этих поверхностей и используемой условно
для подсчета средних удельных давлений. При достигаемой сейчас чистоте
обработки фактическая площадь контакта составляет от 10~5 до 10 ~2 кон-
контактной площади, вследствие чего на площадках контакта возникают
удельные давления в тысячи кТ/см2. Естественно, что это приводит к быст-
ропротекающей пластической деформации микронеровностей, а также
к разрушению отдельных участков поверхностного слоя металла. Разру-
Разрушение наступает вследствие образования микро- и макротрещин; основной
причиной возникновения трещин являются, по-видимому, внутренние
и термические напряжения. Последние возникают вследствие локальной
температурной вспышки, вызванной.переходом в тепло более 50 % внешней
энергии, затраченной на необратимый процесс пластической деформации,
а также благодаря быстрому охлаждению поверхностных слоев всей массы
металла. При этом, поскольку у пластических материалов в условиях
переменного температурного поля напряжения в пластической области
много меньше, чем упругие напряжения в хрупких материалах, послед-
последние хуже сопротивляются термической усталости и, следовательно, выкра-
выкрашиванию. Кроме того, необходимо помнить, что микропластическая дефор-
деформация зерен, возникающая при циклических теплосменах и проявляющая-
проявляющаяся в виде линий скольжения, а у некоторых металлов также двойникова-
ния и мозаичных структур, сопровождается искажением кристаллической

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 447
решетки, разрыхлением границ зерен и образованием микропустот, что
также ухудшает механические свойства (предел выносливости, длитель-
длительную прочность) и способствует разрушению материала.
И. В. Крагельский A963 и ел.) рассматривает появление свободных
частиц при граничном трении как результат процессов микрорезания,
«глубинного» вырывания и повторного деформирования. Микрорезание
наблюдается при внедрении контактирующего выступа на достаточную
глубину (примерно 0,2—0,3 радиуса выступа), т. е. при переходе порога
внешнего трения. В обычных узлах трения получение частиц износа за счет
микрорезания практически исключено, так как заранее подбирают нагруз-
нагрузки, при которых внедрение не достигает необходимой для резания
величины.
Глубинное вырывание возникает при нарушении порога внешнего
трения за счет возникновения отрицательного градиента механических
свойств по глубине поверхности трения или за счет слишком большого
относительного внедрения. Оно носит характер выдирания или выкалы-
выкалывания материала не по месту спайки, а внутри одного из тел. Однако мик-
микрорезание и глубинное вырывание материала представляют собой край-
крайние случаи износа при трении.
Согласно И. В. Крагельскому, при установившемся режиме трения
шероховатость поверхности воспроизводится, однако механизм воспроиз-
воспроизведения шероховатости остается неизвестным. Обычно износ поверхностей
трения происходит в основном при скольжении. Это возможно только
при образовании на поверхностях пленок, которые предохраняют основ-
основной материал от прямого соприкосновения. Пленка, разделяющая поверх-
поверхности, является совершенно обязательным условием скольжения. Если
ее нет, неминуемо глубинное вырывание.
В условиях сухого трения пленка окисла, которая возникает на
поверхности, увеличивается по толщине до определенной величины,
отшелушивается, растет снова и т. д. Эта пленка вступает в молекулярное
взаимодействие с пленкой другой поверхности. Пленки защищают основ-
основной материал от глубинного вырывания, однако не защищают его от дефор-
деформации, которую он испытывает при скольжении по нему внедрившегося
выступа.
Каждое сечение истираемого тела последовательно подвергается сжи-
сжимающим и растягивающим напряжениям. Этот эффект на основе экспери-
экспериментальных данных был впервые описан А. С. Радчиком и В. С. Радчи-
ком A958), обнаружившими изменение знака деформации в определенной
зоне истираемого образца.
Даже малая повторнодействующая нагрузка на поверхность может
привести к ее усталостному разрушению. Усталостные трещины возникают
на дефектах, всегда имеющихся в твердом теле. Они связаны как со струк-
структурой металла (вакансии в кристаллической решетке, границы блоков),
так и со следами обработки (царапинами) и, наконец, с металлургическими
дефектами (усадочными порами, газовыми пузырями, включениями
шлака, резкой неоднородностью размеров кристаллов, различием
в твердости и др.).
В процессе развития трещины, постепенно сливаясь, могут приве-
привести к образованию частицы износа. Разрушения, возникающие на поверх-
поверхностях трения в результате повторных воздействий, названы И. В. Кра-
гельским A963 и ел.) фрикционной усталостью. Разрушение материала,
в результате повторных деформаций, приводящих к разрыхлению металла
подробно описано Н. Н. Афанасьевым A965).

448 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
М. В. Ханин A966 и ел.), изучая процесс разрушения материалов
в высокотемпературных и высокоскоростных потоках инертного газа в ус-
условиях, исключающих практически все виды разрушения, кроме эрозион-
эрозионного, экспериментально показал наличие механического разрушения
поверхности. Микроструктурные исследования поверхностных слоев мате-
материала, подвергнутого эрозионному разрушению, выявили характерные
усталостные изменения (широкие полосы скольжения, микротрещины
и т. д.). Это указывает на наличие циклически изменяющегося силового
воздействия на поверхность материала со стороны обтекающего его газо-
газового потока. Во впадинах неровностей возникает вихревое, пульсирующее
движение, вследствие которого на бугорки неровностей действуют изме-
изменяющиеся во времени силы, являющиеся причиной эрозионного раз-
разрушения.
На основе анализа усталостной теории эрозионного разрушения мате-
материалов при граничном трении, развитой И. В. Крагельским, и сопостав-
сопоставления ее с механизмом эрозионного разрушения Материалов в потоках
газа и жидкости М. В. Ханин пришел в последнее время к выводу, что эро-
эрозия как при трении, так и при воздействии потока жидкости
представляет собой процесс усталостного разрушения поверхностного
слоя, происходящего в результате вынужденных колебаний частиц мате-
материала, на выступающие части которого действуют переменные силы. При
этом были получены формулы для определения скорости эрозионного раз-
разрушения материалов и величины шероховатости их поверхности.
В нашей стране, особенно в послевоенные годы, проводились также
значительные исследования по изнашиванию различного оборудования
в потоке жидкости или газа с твердыми частицами. Отметим, например,
работы, посвященные борьбе с так называемым золовым износом котель-
котельного оборудования. Этому вопросу уделено значительное внимание в иссле-
исследованиях И. К. Лебедева, О. Н. Муровкина, А. В. Рябченкова, С. Н. Сыр-
кина и др.
Изучение процесса гидроабразивной обработки металлов посвящены
работы Е. И. Пазюка A953), Ш. М. Билика A960) и др. Особенно остро
стоит проблема абразивно-эрозионного изнашивания оборудования,
используемого в нефтяной и газовой промышленности (фонтанная арма-
арматура, буровые насосы, турбобуры, трубы и т. д.). Значительные работы
в этом направлении выполнены А. В. Кольченко A956), Л. А. Шрейнероми
А. И. Спиваком A958), А. А. Антоновым A963), В. Н. Виноградовым A963)
и др.
Одна из гипотез, объясняющих природу абразивно-эрозионного выкра-
выкрашивания, высказана Л. Б. Эрлихом A950). Согласно этой гипотезе боль-
большинству сопряженных деталей, работающих в условиях контактных
нагрузок, присущи определенные характерные черты, а именно: кратко-
кратковременность нагружения отдельных участков рабочих поверхностей, зна-
значительные локальные нагрузки, многократноциклическое повторение
внешней нагрузки, сравнительно большая масса металла, примыкаю-
примыкающая к поверхностным слоям, наличие структурной составляющей в ви-
виде белой полоски, не травящейся обычными реактивами и обнаружива-
обнаруживаемой лишь в результате металлографического анализа. Л. Б. Эрлих
предложил схему, намечающую некоторую последовательность явлений,
происходящих в поверхностных слоях работающих деталей. Согласно этой
схеме в поверхностном слое возникает сначала мгновенное силовое воз-
воздействие, затем контактная нагрузка, далее последовательно-пластиче-
последовательно-пластическая деформация, температурная вспышка и быстрое охлаждение. Мгно-

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 449
венное силовое воздействие обусловлено кинетической энергией удара
абразивных частиц о поверхность изделия и зависит от массы и скорости
частиц. Особое значение приобретает контактное давление, достигающее
крайне высоких значений.
При многократных воздействиях абразивных частиц на поверхности
металла наблюдается тепловая знакопеременная нагрузка, вызванная
изложенными выше причинами. Образующиеся при этом трещины носят
усталостный характер, способствуют концентрации напряжений на поверх-
поверхности изделия и служат, вероятно, одной из главных причин выкрашива-
выкрашивания материала. Таким образом, видно, что кинетика процесса выкраши-
выкрашивания, в том числе и при абразивно-эрозионном разрушении, включает
в себя различные виды дефорации и определяется рядом механических
свойств металла.
Одной из весьма интересных разновидностей перманентного разруше-
разрушения является разрушение сверхпрочных материалов, прочность которых
приближается к теоретической (высокопрочные стекла, получаемые при
соблюдении специальных технологических условий, металлические «усы»,
«бездефектные» стеклянные волокна, высокопрочные полимерные волокна
и др.). Разрушение таких материалов происходит «взрывообразно», с рас-
распадом на множество мелких частиц. Заметим, что разрушение идеальной
кристаллической структуры при достаточно высокой нагрузке должно
в пределе происходить в виде распада на отдельные атомы.
«Взрывообразное» разрушение сверхпрочных стекол наблюдалось,
например, М. С. Аслановой, Г. М. Бартеневым, Ф. Ф. Витманом, Л. К. Из-
Измайловой и др. Теория этого явления, названного явлением самоподдер-
самоподдерживающегося разрушения, была предложена Л. А. Галиным и Г. П. Чере-
Черепановым A967). Она основана на рассмотрении фронта перманентного
поверхностного разрушения, распространяющегося за счет запаса упру-
упругой энергии в теле (аналогично движению детонационной волны за счет
запаса химической энергии). Заметим, что подобный тип разрушения
может происходить также в обычных хрупких телах (например, в проч-
прочных горных породах), если создан достаточный запас упругой энергии.
Этого можно добиться, например, в результате сжатия, близкого к все-
всестороннему. В монографии С. Г. Авершина A955) подробно освещены
различные аспекты указанного явления разрушения, которое играет все
более важную роль в горной механике (горный удар),
§ 11- Разрушение при взрыве
Если рассмотренные выше проблемы прочности в основном относились
к вопросам профилактики сооружений и конструкций, разрушение кото-
которых нежелательно, то исследование процессов разрушения при взрыве
представляет самостоятельный интерес и в значительной мере определяет
эффективность и целесообразность взрывных работ.
При очень быстром выделении достаточно большого количества энер-
энергии в некотором объеме твердого тела происходят многообразные процессы
разрушения, характер которых существенно зависит от общего количества
выделяющейся энергии и ее концентрации, от источника и способа выде-
выделения энергии, от физико-механических свойств твердого тела.
Источники взрывообразного выделения энергии многообразны. Это —
ядерные реакции (атомные и ядерные взрывы), химические реакции (боль-
(большинство применяемых ВВ), сильные электрические разряды (например,
атмосферная молния), мощные световые импульсы (получаемые в кванто-
29 Механика и СССР, т. 3

450 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
вых генераторах), запас кинетической или упругой энергии (реализую-
(реализующийся, например, при соударении быстро движущихся тел, при взрывах
баллонов со сжатым газом, при горных ударах и землетрясениях, при
разрушении высокопрочных стекол или сильно хрупких материалов) ит. д.
Проблема управления энергией взрыва с целью получения наибольшего
полезного эффекта является одной из важнейших технических задач.
Существенный вклад в решение этой проблемы сделали русские инженеры
и ученые Б. EL Бокий, М. М. Боресков, М. М. Протодьяконов и др. Однако
наиболее значительное продвижение в этой области имело место в послед-
последние десятилетия.
Остановимся вначале на основных результатах, полученных при излу-
излучении действия взрыва в горных породах и грунтах. Взрывчатые
вещества используются в горном и строительном деле для дробления
и разрыхления пород, а также для выброса или перемещения породы
в целях образования искусственных полостей, плотин и т. п.
Практика взрывного дела основана на эмпирическом законе подобия,
согласно которому объем разрушенной породы (а также объем полости,
образующейся после взрыва) прямо пропорционален объему заряда ВВ.
Сейчас трудно установить, кто впервые сформулировал этот закон (одно
из первых упоминаний о нем относится к 1628 г. и принадлежит французу
Девилю). Коэффициент пропорциональности в нем зависит от прочности
пород, характеристик ВВ, формы и расположения зарядов и т. д. Указан-
Указанный закон подобия нарушается для весьма мощных взрывов из-за сравни-
сравнительно большого влияния силы тяжести и, по-видимому, для весьма проч-
прочных хрупких пород, вследствие появления прочностной константы мате-
материала (критический коэффициент интенсивности напряжений), размерность
которой отлична от размерности напряжения.
При исследовании действия взрыва в грунтах и горных породах
широко использовалась модель идеальной несжимаемой жидкости (сам
взрыв считался мгновенным). При этом распределение импульсов давле-
давления и скоростей в пространстве сразу после взрыва определяется из реше-
решения некоторой краевой задачи для уравнения Лапласа и может быть
построено достаточно эффективно. Такой подход развивали М. А. Лав-
Лаврентьев, а также О. Е. Власов A945). Он имеет определенное физическое
обоснование, так как давление в камере взрывания от взрыва обычных ВВ
достигает десятков и сотен тысяч атмосфер, что намного превышает
прочность горных пород. В рамках этого направления О. Е. Власов
и С. А. Смирнов A962) разработали теоретическую схему дробления гор-
горных пород взрывом сосредоточенных и удлиненных зарядов, нашли гра-
границы и объем зоны дробления, распределение крупности дробления, веро-
вероятностный гранулометрический состав раздробленной части горного мас-
массива, оценили продолжительность процесса дробления. При этом было
существенно использовано введенное О. Е. Власовым представление о кри-
критической скорости разрушения. Согласно этому представлению размер
кусков породы, образующихся вследствие взрыва, таков, что разность двух
соседних кусков равна некоторой критической величине (своей для каж-
каждого материала). Эти расчеты позволили получить общее описание харак-
характера дробления породы при взрыве. Отметим, что проблема равномерного
дробления (чтобы в результате взрыва не оставались куски породы, раз-
размер которых превышает некоторый предельный объем, допускаемый
из технологических условий) чрезвычайно важна в горнодобывающей
промышленности и решению ее было посвящено много экспериментальных
и теоретических работ.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 451
В. М. Кузнецов A966) применил указанную модель среды для рас-
расчета формы воронки выброса. При этом им была использована постановка
задачи, предложенная М. А. Лаврентьевым. Модель идеальной жидкости
была применена Г. П. Черепановым для решения некоторых задач о воз-
воздействии взрыва на подводные и подземные сооружения A966), а также
при построении гидродинамического варианта теории трещин, возникаю-
возникающих под действием взрыва A963). С этим направлением тесно связан
акустический вариант теории откола, предложенный ранее В. С. Ленским
A958).
М. А. Лаврентьев, В. М. Кузнецов и Е. Н. Шер в 1960 г. поставили
задачу о направленном выбросе грунта взрывом и дали ее изящное реше-
решение как некоторой обратной задачи гидродинамики. Это'решение нашло
экспериментальное подтверждение для мягких грунтов. На его основе
были предложены способы массовых взрывов на выброс при помощи
системы удлиненных зарядов, расположенных соответствующим образом
в подземных выработках. При использовании камер увеличенного объема
для повышения эффективности действия взрыва было признано целесооб-
целесообразным заполнять их водой.
При исследовании сейсмического эффекта взрыва грунт или горную
породу обычно рассматривают как упругое тело. Проблема затухания
ударных и сейсмических волн в мягких водонасыщенных грунтах была
исследована в последнее десятилетие Г. М. Ляховым, В. Н. Николаевским
и др. При этом было использовано представление о грунте как о двухком-
понентной среде («двойная» сплошная среда — пористое деформируемое
твердое тело, поры которого заполнены жидкостью или газом). Эти
вопросы освещены в специальном обзоре Г. К. Михайлова и В. Н. Нико-
Николаевского, помещенном во втором томе сборника, и здесь не затраги-
затрагиваются.
Для изучения процесса разрушения и волн напряжений в зоне взрыва
предлагалось много подходов с использованием разнообразных услож-
усложненных моделей сплошной среды. Отметим вначале основные результаты,
полученные путем формулировки математической модели и решения опре-
определенных граничных задач для соответствующих дифференциальных урав-
уравнений. Все эти результаты опираются на различные варианты описания
упруго-пластического тела.
В 1957 г. X. А. Рахматулин предложил модель «пластического газа»,
являющуюся некоторым обобщением модели идеальной сжимаемой жидко-
жидкости. Согласно этой модели между давлением и плотностью газа (касатель-
(касательными напряжениями пренебрегается) при нагружении существует одно-
однозначная зависимость, которая при разгрузке заменяется некоторой другой
закономерностью (в простейшем случае принимается, что в условиях раз-
разгрузки плотность остается постоянной). Эта модель дает идеализирован-
идеализированное описание свойств грунта, когда среднее гидростатическое давление
намного превосходит касательные напряжения.
В дальнейшем X. А. Рахматулин, А. Я. Сагомонян и Н. А. Алексеев
A965) обобщили модель на случай наличия касательных напряжений
в рамках деформационных представлений (получающаяся система уравне-
уравнений представляет собой обобщение уравнений Генки — Надаи на случай
произвольной и необратимой объемной сжимаемости). В более ранних
работах А. Ю. Ишлинского, Н. В. Зволинского и И. 3. Степаненко A954)
и А. Я. Сагомоняна A954) рассмотрены некоторые одномерные задачи
динамики грунтовой массы при определенных конкретных положе-
положениях относительно свойств среды («пластического газа»). В работах
29*

452 в. з. партон, г. п. Черепанов
А. С. Компанейца A956), Н. В. Зволинского A960), А. Я. Сагомоняна
A961) в аналогичных одномерных задачах учитываются также касательные
напряжения (с условием пластичности Прандтля).
Следует отметить экспериментальные работы В. В. Адушкина
и А. П. Сухотина A961), С. С. Григоряна, Г. М. Ляхова, В. В. Мельникова
и Г. В. Рыкова A963), М. В. Гоголева, В. Г. Мыркина, Г. В. Пархомова
и А. Н. Ханукаева A965), А. Б. Багдасаряна и С. С. Григоряна A967).
В этих работах изучалась физическая картина процесса разрушения
в ближней зоне камуфлетного взрыва (для изучения взрыва в органи-
органическом стекле применялась скоростная киносъемка, а при взрыве в лес-
лессовом грунте — вскрытие взрывной полости после взрыва).
Задача о камуфлетном взрыве в идеально пластическом теле для раз-
различных частных вариантов была исследована Дж. Тейлором, Р. Хиллом,
Э. Пинни и др.
В работах Э. И. Андрианкина, В. П. Корявова A962, 1965), В. Н. Ро-
Родионова A962), X. М. Алиева A964) при решении сферически симметрич-
симметричной задачи о взрыве в хрупком теле было введено представление о волне
разрушения, разделяющей два возможных состояния среды (разрушенное
и неразрушенное). Напряжения на этой волне, вообще говоря, терпят
разрыв.
В работах С. С. Григоряна A959—1967) задачи динамики грунтов
были рассмотрены в наиболее общей постановке. Им сформулированы
гипотезы механической и термодинамической природы, отражающие специ-
специфические свойства грунтов и горных пород. На основе этих гипотез построе-
построены модели, описывающие процессы деформирования, разрушения и дви-
движения рассматриваемых сред при произвольных внешних воздействиях.
Построены модели для мягких грунтов A960) и для твердых хрупко раз-
разрушающихся горных пород A967). Автором изучены общие свойства
решений построенных уравнений, выявлены основные качественные осо-
особенности описываемых ими движений, сформированы условия и правила
моделирования.
На основе предложенных моделей С. С. Григорян рассмотрел ряд
задач о действии взрыва в грунтах и горных породах. В частности, были
даны решения задач о действии взрыва сосредоточенного заряда в безгра-
безграничных массивах мягкого грунта и скальной породы.
Кроме того, С. С. Григоряном A962) дана постановка и алгоритм
численного решения задачи о волнах, индуцируемых в грунтовом полу-
полупространстве наземным взрывом. В результате решения получены коли-
количественные сведения об изменении параметров взрывных волн с расстоя-
расстоянием (максимальных напряжений, скоростей, остаточных и полных дефор-
деформаций, смещений, характерных времен действия волны и т. д.), о динамике
расширения полости и границ областей разрушений и пластических дефор-
деформаций, о характере разрушений в этих областях.
Реальный грунт или горная порода в окрестности места достаточно
мощного взрыва проявляют свойства, присущие, по-видимому, всем воз-
возможным наборам моделей сплошной среды от идеальной жидкости непо-
непосредственно вблизи места взрыва до упругого тела на достаточно больших
расстояниях от места взрыва. Задача осложняется развитием множества
поверхностей разрыва смещений (трещин) в зоне взрыва. В этих условиях
любая, даже очень сложная модель среды может рассчитывать лишь
на весьма приблизительное описание всей указанной совокупности явле-
явлений разрушения. К тому же надо учесть, что объем и сложность соответ-
соответствующих вычислений при усложнении модели среды резко возрастают.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 453
В этих условиях приобретают практическую важность простые приближен-
приближенные приемы расчета, основанные в значительной мере на инженерном
опыте.
Следует отметить также, что проблема оптимизации процессов дроб-
дробления или выброса при взрыве представляет собой по существу обратную
(и потому гораздо более сложную) задачу по сравнению с расчетом дефор-
деформаций и напряжений в среде, подвергнутой заранее заданному воздей-
воздействию. Поэтому важность отыскания достаточно простых оценок решения
прямых задач (иногда только качественного характера) очевидна.
Постановка вопроса о создании общей теории дробления горных пород
взрывом принадлежит М. В. Мачинскому A935). Согласно его иссле-
исследованиям, три главных фактора, которые определяют раздробление,— это
ударная волна, распределение слабых мест в породе и скорость распростра-
распространения трещин в ней. При этом М. В. Мачинский рассмотрел совместное
действие системы точечных и линейных зарядов; особое внимание было
уделено определению наивыгоднейшего расстояния между зарядами.
В последние десятилетия установлена связь взрывчатых характери-
характеристик ВВ с различными проявлениями действия взрыва в породе.
А. Ф. Беляев и М. А. Садовский A952) показали, что бризантные
характеристики ВВ, обусловленные головной частью импульса взрыва
и связанные с плотностью ВВ и скоростью его детонации, предопределяют
степень переизмельчения породы только в непосредственной окрестности
заряда. Общее действие взрыва, проявляющееся в разрушении тела
на более значительных расстояниях от заряда, пропорционально полному
импульсу взрыва, связано с общей энергией взрыва и не зависит непосред-
непосредственно от скорости детонации. Поэтому для дробления больших объемов
горной породы необходимо не повышение пикового давления, а увеличе-
увеличение длительности воздействия взрыва на породу.
Для решения последней задачи Н. В. Мельников и Л. Н. Марченко
A958, 1964, 1965) предложили видоизменить конструкции зарядов. Эти
изменения сводятся к различному соотношению высоты заряда и его диа-
диаметра, введению воздушных промежутков между зарядами, а также между
зарядами и стенками зарядной камеры. Указанные предложения, оказав-
оказавшиеся полезными также при взрывах на выброс, были проверены на боль-
большом экспериментальном материале и внедрены в производство. Увели-
Увеличение времени взрыва оказалось возможным также путем создания новых,
менее бризантных видов ВВ.
Той же цели служит короткозамедленный способ взрывания, заклю-
заключающийся в том, что взрывание каждого последующего заряда или
их серии производится с некоторым отставанием во времени (порядка
10 сек) по отношению к взрыву предыдущего заряда. Особенно действен
этот способ в сочетании с рациональным выбором пространственного рас-
расположения зарядов. Большую роль в развитии этого направления сыграли
теоретические и экспериментальные исследования К. А. Берлина A934),
Ф. И. Кучерявого, М. Ф. Друкованного и Ю. В. Гаека A962), Н. Г. Пет-
Петрова A964), В. Н. Мосинца A967), которые предложили ряд схем расста-
расстановки зарядов с расчетом времен замедления.
Цикл работ Г. И. Покровского A955—1958) посвящен исследованию
разрушения горных пород взрывом. Согласно его представлениям, в неко-
некоторой окрестности места взрыва среда переходит в пластическое состоя-
состояние, подвергаясь только сжимающим напряжениям. Вслед за этой областью
следует зона трещинообразования, в которой действуют растягивающие
окружные напряжения.

454 в. з. партон, г. п. Черепанов
Г. И. Покровский подчеркнул невозможность существования скачка
уплотнения в грунтах с полого возрастающей компрессионной характери-
характеристикой и указал на большое влияние свободных поверхностей или искус-
искусственно созданных свободных полостей на распределение энергии разру-
разрушения в пространстве. Как только волна сжатия доходит до свободной
поверхности, сжатое тело начинает расширяться и возникает волна разре-
разрежения, вызывающая растягивающие напряжения. В акустическом при-
приближении эта волна соответствует источнику растяжения, являющемуся
зеркальным отображением заряда относительно свободной поверхности.
Отраженная волна растягивающих напряжений производит несравненно
большие разрушения, чем волна сжатия. Этот механизм аналогичен меха-
механизму явления откола. В зависимости от механических свойств горных
пород и расположения зарядов относительная доля прямой и отраженной
волн в общем разрушении будет различной. Основываясь на общей
качественной картине разрушения и простых расчетных схемах, Г. И. Пок-
Покровский предложил ряд удобных формул, нашедших широкое применение
во взрывном деле в широком диапазоне изменения параметров.
Иные представления о действии взрыва развивали С. Д. Основин
A939), А. Ф. Суханов A950, 1958), М. П. Бродский A953) и др. Они
считали, что при взрыве часть энергии расходуется на отрыв породы
от разрушаемого массива по боковой поверхности воронки, а другая часть
затрачивается на преодоление силы тяжести взрываемого объема и на дроб-
дробление породы внутри этого объема. Согласно этим представлениям (осно-
(основанным также на некоторых дополнительных допущениях) указанный
выше закон подобия должен быть заменен другой зависимостью (представ-
(представляющей собой обобщение формулы М. М. Фролова, которая была пред-
предложена еще в 1868 г.).
Дальнейшее развитие указанный подход нашел в работах А. Н. Хану-
каева A958, 1962) и В. Н. Мосинца A963, 1967). А. Н. Ханукаев, в част-
частности, предложил классифицировать разрушаемые породы на основе
акустических характеристик (наиболее известная классификация горных
пород по крепости была дана М. М. Протодьяконовым в 1911 г.). В. Н. Мо-
синец сформулировал общий энергетический закон дробления горных
пород взрывом, в соответствии с которым процесс разрушения горных
пород характеризуется наличием строго определенного предела энерго-
энергоемкости дробления, зависящего от механических свойств горных пород,
статистической функции распределения естественных трещин и развивае-
развиваемых в процессе дробления деформаций! Для исследований этих авторов
характерно углубленное изучение механизма передачи энергии взрыва
горному массиву с учетом физико-механических свойств пород, слагающих
массив, и его естественной трещиноватости.
Перспективным методом управления действием взрыва является созда-
создание специальных искусственных полостей (путем взрывов малой мощ-
мощности). Такие полости могут использоваться в качестве защитного экрана,
предохраняющего от разрушения полезные объекты, а также с целью
отражения волны сжатия (и направления отраженной волны растягивающих
напряжений в заданный объем, подлежащий разрушению). В. Н. Мо-
синец A963, 1967) нашел некоторые основные закономерности экраниро-
экранирования волн напряжений. Проведенные им экспериментальные исследо-
исследования показали, что таким способом можно отражать в сторону разру-
разрушаемого объема до 20—25% энергии волн (при этом 67—72% теряется
на разрушение материала вблизи экрана и лишь 8—10% проходит через
экран).

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 455
В связи с проблемой защиты сооружений от взрыва следует упомя-
упомянуть исследование М. А. Лаврентьева, В. М. Кузнецова и Е. Н. Шерра
A962), которые разработали систему пузырьковой защиты от взрыва.
Взрыв начинает находить все большее применение в строительстве
грандиозных сооружений, требующем все более мощных и хорошо рас-
рассчитанных взрывов. С увеличением масштаба взрыва закон подобия начи-
начинает нарушаться вследствие влияния сил тяжести и возникает потребность
в более точных расчетных формулах, учитывающих масштабный фактор.
Г. И. Покровский предложил соответствующие поправки к формуле
М. М. Борескова для расчета величины заряда. Экспериментальные иссле-
исследования М. М. Докучаева, В. Н. Родионова и А, Н. Ромашова A963)
с мощными взрывами на выброс позволили установить формулу расчета
крупных зарядов с учетом их масштаба.
Теории образования выемок и теории движения породы при взрывах
на выброс в последние годы было посвящено много исследований. Наибо-
Наиболее существенные результаты в этом направлении получили Ф. А. Баум,
Л. К. Белопухов, А. Ф. Беляев, В. А. Виноградов, О. Е. Власов, М. М. До-
Докучаев, В. М. Кузнецов, М. А. Лаврентьев, Г. М. Ляхов, Л. Н. Марченко,
Г. И. Покровский, В. Н. Родионов, А. Н. Ромашов, К. П. Станюкович,
И. С. Федоров, А. А. Черниговский, Е. Н. Шер, Б. И. Шехтер.
Особый интерес представляют исследования направленного выброса
породы взрывом. Г. И. Покровский, И. С. Федоров и М. М. Докучаев
A963) предложили осуществлять направленный выброс путем создания
дополнительных свободных поверхностей, полостей или воронок в задан-
заданной стороне выброса. М. А. Лаврентьев, Е. Н. Шер и В. М. Кузнецов
A964), исходя из простого точного решения задачи в гидродинамической
постановке, предложили исцользовать для этой цели неравномерное рас-
распределение заряда ВВ по глубине скважин (толщина слоя ВВ должна
возрастать с глубиной линейно). А. А. Черниговский A965) разработал
вариант этого способа путем применения специальной системы плоских
и клиновидных зарядов. По-видимому, наиболее эффективным является
совместное использование указанных способов взрыва на выброс.
Характерным примером мощного направленного взрыва на выброс
можно считать взрыв в Медеу в октябре 1966 г., в результате которого была
образована против осе левая плотина. При этом за несколько секунд
до взрыва основного заряда (около 3700 т тротила) были осуществлены
взрывы четырех вспомогательных зарядов (общим весом около 1600 т),
создавшие искусственную вспомогательную воронку, которая обеспечила
направленный выброс породы.
Чрезвычайно интересным является использование мощных кратко-
кратковременных давлений, возникающих при направленном вызрыве, для соз-
создания высокоскоростных струй металла (явление кумуляции). Кумуля-
Кумулятивный эффект, открытый еще в прошлом веке, заключается в том, что
если, например, на внешнюю поверхность металлической оболочки в форме
конуса равномерно распределить заряд и затем взорвать его, то в резуль-
результате взрыва из металла формируется тонкая струя (проволока), движу-
движущаяся вдоль свой оси с огромной скоростью (порядка 2—10 км/сек).
В экспериментах с кумулятивной струей в вакууме достигнута скорость
около 100 км/сек. Этот эффект нашел себе применение в конструкции бро-
бронебойных снарядов.
В теории кумуляции основополагающими являются работы М. А. Лав-
Лаврентьева, создавшего гидродинамическую теорию этого явления. На основе
этой теории он определил скорость, толщину и длину сформировавшейся

456 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
кумулятивной струи, а также скорость и глубину проникновения исходной
струи в твердое тело, расположенное на пути ее движения.
За рамки настоящего обзора выпадают многие интересные аспекты
использования взрыва (например, при штамповке, упрочнении структуры
металлов, при каталитическом ускорении химических реакций и т. д.),
которые заслуживают специального рассмотрения.
Проблема, родственная разрушению при взрыве, возникает при изу-
изучении соударения тел, движущихся с большими относительными скоро-
скоростями (в зависимости от материала от сотен метров до космических скоро-
скоростей порядка десятков километров в секунду). Существенные результаты
в этом направлении получили Л. В. Альтшулер, Ф. А. Баум, М. И. Браж-
Бражник, Ф. Ф. Витман, Л. А. Владимиров, Л. А. Галин, Н. А. Златинг
К. К. Крупников, М. А. Лаврентьев, К. П. Станюкович, В. А. Степанов,
Г. П. Черепанов, Б. И. Шехтер и др. Степень изученности этого явления
примерно соответствует общему уровню теории действия взрыва на поверх-
поверхности твердого тела.
§ 12. Некоторые специальные вопросы механики разрушения
Бурное развитие техники ставит перед механикой разрушения ряд
важных новых задач. Отметим в первую очередь проблему влияния облу-
облучения на прочность и разрушение твердых тел (пучки нейтронов и про-
протонов, мощное фотоизлучение, высокочастотные электрические и магнит-
магнитные поля и т. д.). В связи с потребностями ракетной и космической
техники большое значение приобретает разрушение твердых топлив, проис-
происходящее в сложных условиях горения и являющееся зачастую причиной
перехода работы двигателя на неустойчивый режим *). Некоторые проб-
проблемы, связанные с новыми технологическими процессами, возникают
также при изучении уже известных явлений (разрыв жидкостей, влияние
остаточных напряжений и др.).
Фундаментальное значение для механики разрушения и ее многочис-
многочисленных приложений имеет исследование проблемы прочности идеальных
структур. Под идеальной структурой понимается строго периодическое
расположение атомов в пространстве (идеальная кристаллическая решетка).
Уже первые оценки теоретической прочности оказали революционизирую-
революционизирующее влияние на развитие физики прочности и механики разрушения.
Дальнейший прогресс в этом направлении, по-видимому, может быть
достигнут путем использования с самого начала квантовомеханических
представлений. Здесь можно ожидать значительных успехов не только
в более глубоком и точном исследовании теоретической прочности уже
*) Своеобразные проблемы механики разрушения, тесно связанные с физической
химией и газовой динамикой, возникают при изучении некоторых вопросов неустой-
неустойчивости горения твердых топлив, особенно важных в ракетной технике (И. Е. Соркин,
1964).
Одной из распространенных причин выхода двигателя на нерасчетный режим
является наличие в твердом топливе слишком больших трещинообразных дефектов,
которые могут привести к неустойчивому горению. Механизм неустойчивости заклю-
заключается в следующем. При подходе фронта горения к краю трещиноподобной полости
горение быстро охватывает поверхность полости, поскольку давление в камере на-
намного больше первоначального давления в полости. Вследствие затрудненного газо-
отвода локальные давления и температура могут резко возрасти (в особенности в кон-
концевой части полости). Кроме того, из-за специфической структуры твердых топлив
в указанной концевой области возможно возникновение объемного горения, которое
в сочетании с механизмом разрушения этой области может привести к прогарам или
даже взрыву.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ
457
Рис. 3.
известных кристаллических структур, но и в открытии новых структур,
обладающих, например, гораздо большей прочностью.
Остановимся вкратце на некоторых из указанных выше вопросов.
12.1. Разрушение жидкостей. За верхнюю границу объемной проч-
прочности жидкости принимают абсолютную величину максимального
отрицательного давления, которое может быть приложено к жидкости.
Верхняя граница объемной прочности изменяется в широких пределах
для различных жидкостей. Например, при 20 °С эта величина для ртути
равна 24 500 кг/см2, для воды —
3250 кг/см2, а для этилового эфи- J
pa — 600 кг/см2. Эти цифры соответст-
соответствуют представлению о разрыве или,
распаде жидкости, происходящем
одновременно во всем объеме. Одна-
Однако механизм разрушения жидкостей
гораздо сложнее. Разрыв жидкости
начинается всегда с наиболее «слабо-
«слабого» звена (таковым может быть, на-
например, пузырек газа, содержащийся
в объеме жидкости). При растяжении
жидкости радиус пузырька и поверх-
поверхностная энергия жидкости увеличи-
увеличиваются, а давление газа в нем падает. Простой расчет показывает, что
зависимость приложенного растягивающего напряжения р от радиуса
пузырька R имеет вид, изображенный на рис. 3. Таким образом, до тех
пор, пока гидростатическое давление не достигнет максимального значе-
значения, пузырек газа устойчив. Потеря устойчивости происходит в момент
достижения гидростатическим давлением максимума. Механизм разрушения
жидкостей аналогичен механизму хрупкого разрушения твердых тел.
Исследование прочности жидкости показало, что она уменьшается
с увеличением радиуса пузырька. Следовательно, опасность представляет
газовый пузырек наибольшего радиуса из всех имевшихся до начала
растяжения. Эти соображения находят экспериментальные подтверждения
в существенном увеличении прочности жидкости при устранении газовых
пузырьков путем приложения значительных давлений (Э. Н. Харви,
В. Д. Макэлрой и А. Г. Вители, J. Appl. Phys., 18:2, 162-176).
Однако существование маленьких пузырьков газа затруднительно
из-за растворимости их в окружающей жидкости, в связи с чем приходится
рассматривать пузырьки пара, возникающие в жидкости при благоприят-
благоприятных флуктуациях. Такой пузырек растет, если упругость пара жидкости
рп больше внешнего давления р (сумма гидростатического давления и силы
поверхностного натяжения), и уменьшается в противоположном случае.
Критический размер пузырька
20
Рп —
A2.1)
Таким образом, разрыв жидкости, подверженной давлению рп — ру
произойдет в момент возникновения пузырьков пара радиуса R > R*.
Экспериментальные проверки показали, что прочность жидкостей
оказывается на 5—6 порядков ниже теоретической прочности. Одной
из причин такого расхождения является тот факт, что разрыв жидкостей
происходит не в объеме, а на границе раздела жидкости и какой-либо

458 в. з. партон, г. п. Черепанов
твердой поверхности (взвешенные в жидкости частицы, стенки сосуда
и т. д.).
Расчет прочности при разрыве пузырька пара на границе «твердое
тело — жидкость» был выполнен Я. И. Френкелем A945), который ввел
в рассмотрение величину краевого угла (угол смачивания). Как показали
расчеты, поверхностная прочность снижается с ростом краевого угла
и становится гораздо меньше объемной прочности.
Объемная прочность жидкостей монотонно уменьшается с повыше-
повышением температуры, обращаясь в нуль вблизи критической температуры,
что довольно хорошо оправдывается экспериментально для большинства
жидкостей, кроме воды, для которой максимум объемной прочности дости-
достигается при 6° С. Сходство механизмов разрыва жидкостей и твердых тел
явилось толчком для проведения ряда экспериментов, которые показали,
что при достаточно больших скоростях деформации жидкость ведет себя
как твердое тело, способное к хрупкому разрушению.
М. О. Корнфельд и М. М. Рыбкин A939) провели серию оригинальных
опытов на смеси канифоли с трансформаторным маслом, причем желаемая
вязкость смеси достигалась варьированием концентрации канифоли. Раз-
Разрыв струи, вытекающей через дно сосуда, производился при помощи вра-
вращающегося копра. Опыты показали, что при малых скоростях наблюдается
пластическая (ламинарная) деформация струи, а при скорости удара около
23 м/сек наступает хрупкое разрушение струи, причем явление хрупкого
разрушения может наблюдаться при вязкостях порядка 103 пуаз, т. е.
в веществах, заведомо считающихся жидкими.
Отметим здесь также интересные особенности неустойчивого течения
полимерных систем, приводящего при определенных условиях к хрупкому
разрушению.
Эксперименты, проведенные над различными полимерными материа-
материалами (растворы и расплавы полимеров, эластомеры, резиновые смеси
и т. д.) при выдавливании их из гладких насадок, показали, что поверх-
поверхность струи в зависимости от расхода может изменяться от легкого помут-
помутнения (шероховатость) до полного разрыва струи на отдельные куски
неправильной формы. Для описания этого явления в литературе приме-
применяют различные термины, стараясь подчеркнуть особенность поведения
поверхности струи в данном рассматриваемом случае («акулья кожа»,
«кожура апельсина», «разрушение» или «дробление» расплава, «эластичная
турбулентность» или «неустойчивое течение»). Под разрушением расплава
понимают появление резких колебаний потока на входе в капилляр, при-
приводящих к резкой дефектности. Изучение разрушения расплава имеет
большое значение, например, для технологии производства изделий
из полимерных материалов, где дефектность струи существенно тормозит
производительность таких процессов, как экструзия волокон, листов,
кабельной изоляции и т. д.
В экспериментальных исследованиях течение в основном осуществля-
осуществлялось в изотермических условиях при постоянном объемном расходе или
перепаде давления, причем определялось напряжение сдвига и скорость
сдвига. Момент наступления неустойчивого режима течения соответствовал
некоторым критическим значениям скорости и напряжения сдвига.
Г. В. Виноградов, М. Л. Фридман и др. A962) показали, что суще-
существуют две критические точки, первая из которых соответствует началу
неустойчивого течения, а вторая — появлению на струе (при более высо-
высоких скоростях) крупных периодических дефектов. Широким исследова-
исследованиям подверглось изучение зависимости этих критических величин от раз-

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 459
личных параметров (таких, как температура, относительная длина капил-
капилляра, молекулярные характеристики полимера).
В большинстве работ, где изучалось влияние температуры, показано,
что критическое значение напряжения сдвига мало изменяется при наступ-
наступлении неустойчивости течения. В этом случае температурная зависимость
критической скорости сдвига определялась энергией активации, вычислен-
вычисленной по наибольшей ньютоновой вязкости (Г. В. Виноградов и А. Я. Мал-
кин, 1965).
Исследование влияния длины капилляра на уловия наступления
неустойчивости показало, что критические значения скорости и напряже-
напряжения сдвига возрастают с увеличением длины при постоянном давлении,
что, по мнению многих авторов, связано с эффектом возмущающего дей-
действия входа *).
При построении теоретических схем описанного выше явления было
учтено большое число экспериментальных фактов, показывающих, что
неустойчивое течение полимеров во многих случаях связано с их эластич-
эластичностью. Предположение о главной роли высокоэластичности при наступ-
наступлении неустойчивости течения было высказано впервые Дж. П. Торделлой
(Trans. Soc. Rheol., 1957, v. 1, p. 203—212) и Э. Б. Бегли (Trans. Soc.
Rheol., 1961, v. 5, p. 355-368).
Г. В. Виноградов, А. И. Леонов и А. Я. Малкин A963), не рассмат-
рассматривая детальный механизм неустойчивости, предложили в качестве усло-
условия наступления неустойчивости достижение определенного соотношения
между силами упругости и вязкости в потоке. Для системы с одним вре-
временем релаксации этот критерий представляет собой произведение харак-
характерного времени релаксации на скорость сдвига, причем в простейшем
случае он равен критическому значению упругой деформации. Экспери-
Экспериментальные исследования, проведенные для различных полимерных систем,
показали, что наступление неустойчивости удовлетворительно описывается
этим критерием. Таким образом, высокоэластичная деформация, накоплен-
накопленная в потоке, определяет критические условия течения.
В последнее время в работах В. А. Городцова, А. В. Каракина,
А. И. Леонова и С. А. Регирера сделаны попытки получить решение
проблемы устойчивости течения упруго-вязких сред и получения реше-
решения отдельных частных задач.
Отметим, что при определенных условиях была замечена некоторая
аналогия между явлением разрушения хрупких тел и наступлением
неустойчивости течения.
Дж. Ф. Хаттон (Nature, 1963, 200 : 4907, 646—648; Proc. Roy. Soc.
London, 1965, A287 : 1409, 222—239) предложил критерий наступления
неустойчивости течения, аналогичный критерию Грифита при образовании
трещин в упругой среде. Однако Э. Б. Бегли с соавторами (Nature, 1964,
203 : 4941, 175—176) подверг критике это положение, так как критерий
Грифита не учитывает диссипацию энергии при необратимых деформациях,
играющую существенцую роль для упруго-вязких сред.
*) Г. В. Виноградов, А. Я. Малкин и В. Ф. Шуйский высказали в 1968 г. пред-
предположение, что это обусловлено чрезвычайной замедленностью установления стацио-
стационарных, значений нормальных напряжений и деформаций в сдвиговом потоке по срав-
сравнению с касательными напряжениями. Однако влияние геометрии входной зоны скорее
качественное, чем количественное. Другими словами, критические условия остаются
одними и теми же вне зависимости от угла конусности входа (в достаточно широком
диапазоне изменения), а интенсивность проявления дефектов струи зависит от условий
течения на входе в капилляр.

460 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
12.2. Влияние остаточных напряжений и скорости иагружения
на прочность твердых тел*). Как известно, остаточные напряжения **)-
существуют в телах независимо от внешних воздействий (силовых и тем-
температурных) и возникают вследствие неоднородности линейных или
объемных деформаций в смежных объемах материала. В соответствии-
с размерами последних различают макро-, микро- и ультрамикроскопиче-
ультрамикроскопические напряжения (напряжения первого, второго и третьего рода). Пер-
Первые научные исследования по остаточным напряжениям принадлежат
X. Родману A857 г.), И. А. Умнову A871 г.) и Н. В. Калакутскому
A887 г.), которые впервые предложили метод измерения внутренних
напряжений. Однако эти работы долгое время оставались незамеченными,
и только с двадцатых годов нашего века было обращено серьезное внима-
внимание на изучение вопросов, связанных с внутренними напряжениями.
Единой классификации внутренних напряжений, по-видимому,
не существует. Наиболее полная и точная классификация была предло-
предложена Н. Н. Давиденковым A936) и уточнена Б. М. Ровинским A948,
1949). Вопросу «классификации и номенклатуры внутренних напряжений»
был посвящен доклад Э. Орована на симпозиуме по внутренним напряже-
напряжениям в металлах и сплавах (Лондон, 1948), в котором определение внут-
внутренних напряжений отвечало понятию «внутреннего напряжения», вве-
введенному еще Н. В. Калакутским. Не касаясь анализа этих вопросов,
можно условно разделить остаточные напряжения на макронапряжения
и микронапряжения в зависимости от скорости изменения напряжений
по пространственной координате. Макронапряжения — это такие напря-
напряжения материала, которые несущественно изменяются в пределах размера
зерна.
В дальнейшем здесь будут затронуты некоторые вопросы, связанные
с влиянием остаточных напряжений на прочность и деформации деталей,
учитывая действие макроскопических напряжений.
Необходимым условием возникновения внутренних напряжений
является появление неоднородности деформированного состояния в раз-
различных точках тела (нарушение условия совместности деформаций). Эта
неоднородность может быть вызвана самыми различными причинами:
неоднородным тепловым расширением или сжатием при неравномерном
нагреве или охлаждении тела, фазовыми превращениями, приводящими
к неоднородным объемным изменениям (закалка, затвердевание, охлаж-
охлаждение после сварки и т. д.), неоднородной пластической деформа-
деформацией и т. д.
Сложность изучения закономерностей появления остаточных напря-
напряжений связана с необходимостью учета механических, тепловых и физико-
химических факторов, влияющих на ход технологического процесса.
Вопрос об определении остаточных напряжений, возникающих в ходе
металлургического и технологического процессов, очень сложен, так как
для его решения требуются теоретические исследования происходящих
при этом физико-химических процессов. Перспективные исследования
в этом направлении были начаты Я. С. Подстригачом A964 и ел.). Эксплуа-
*) Детальное изложение затронутых ниже вопросов можно найти в моногра-
монографиях Ф. Ф. Витмана A933), И. Е. Канторовича и Л. С. Лившица A943), П. М. Гура
A947), И. В. Кудрявцева A951), Я. Б. Фридмана A952), М. А. Бабичева A955),
Б. А. Кравченко A962), А. Д. Монасевича A962), В. В. Абрамова A963), И. А. Бирге-
ра A963).
**) Иначе они называются внутренними, собственными или первоначальными
напряжениями.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ . 461
тационные остаточные напряжения, вообще говоря, могут быть вычислены
в рамках соответствующих механических моделей сплошной среды с необ-
необратимой реакцией.
Рассмотрим влияние остаточных напряжений на прочность при стати-
статических и переменных нагрузках. Многочисленные экспериментальные дан-
данные указывают на сильное влияние остаточных напряжений на надеж-
надежность и долговечность конструкций и сооружений. Разрушение последних
(зачастую в начале эксплуатации) при достаточно низком уровне действую-
действующих напряжений иногда объясняется неблагоприятным распределением
остаточных напряжений. Как показывают опыты, для пластичных материа-
материалов остаточные напряжения мало влияют на величину разрушающего
усилия, а пластическая деформация, возникающая от однократных внеш-
внешних нагрузок, приводит к уменьшению или даже полному исчезновению
остаточных напряжений.
Исследование влияния остаточных напряжений на статическую проч-
прочность хрупких материалов показало, что величина разрушающей нагрузки
обычно ниже значения этой же нагрузки при отсутствии остаточных напря-
напряжений. Возникающие перед разрушением малые пластические деформации
не устраняют остаточные напряжения, и при склонности материала к хруп-
хрупкому разрушению влияние остаточных напряжений может оказаться
весьма значительным.
Для уменьшения остаточных напряжений и снижения их вредного
влияния на хрупкую прочность обычно применяют специальную термо-
термообработку деталей.
Часто в процессе эксплуатации различные детали подвергаются дей-
действию переменных напряжений. Тогда в общем случае выражение для
напряжений, изменяющихся по асимптотическому циклу, имеет постоян-
постоянную и переменную составляющие:
от = ат И- crv/ (т), A2.2)
где / (т) — периодическая функция безразмерного времени (—1 ^ / (т) ^
^ 1), crv — переменное напряжение, ат — постоянное напряжение.
Как известно, остаточные напряжения могут изменяться под воздей-
воздействием циклических нагрузок. Если сумма остаточных напряжений с пере-
переменными больше предела упругости материала, то при циклическом
нагружении возникают пластические деформации, уменьшающие остаточ-
остаточные напряжения. Более того, в том случае, когда пластическая деформа-
деформация, обусловленная переменными напряжениями, превышает величину
первоначальных остаточных напряжений, может наблюдаться изменение
знака остаточных напряжений (Л. А. Гликман, 1956).
В том случае, когда суммарные напряжения (остаточные и перемен-
переменные) меньше предела упругости материала, остаточные напряжения мало
изменяются при действии переменных нагрузок.
Как показали экспериментальные исследования, если происходит
снижение остаточных напряжений, то это имеет место в поверхностных
слоях, более слабых по своей физической природе. В этом случае для
сохранения остаточных напряжений применяют наклеп поверхностных
слоев и обдувку дробью, приводящие к возникновению сжимающих оста-
остаточных напряжений и повышению усталостной прочности деталей (С. В. Се-
ренсен, 1950; И. В. Кудрявцев, 1951; М. М. Кобрин, 1954; М. М. Северин,
1955). Таким образом, сжимающие остаточные напряжения повышают
усталостную прочность, в то время как растягивающие действуют
неблагоприятно. Увеличение усталостной прочности при значительных

462 В, 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
остаточных напряжениях в большей степени проявляется для менее пла-
пластичных материалов и при концентрации напряжений.
Явление остаточных деформаций при термических циклах подверглось
изучению в работах А. А. Бочвара и др. A957), А. А. Бочвара и Г. И. Том-
сона A957), Н. Н. Давиденкова и В. А. Лихачева A960).
Исследованием влияния остаточных напряжений на процесс разруше-
разрушения занимались В. А. Ломакин, Я. С. Подстригач, С. Ф. Юрьев (механи-
(механические исследования по определению величин остаточных напряжений
в связи с объемными изменениями), С. П. Борисов, Н. А. Бородин (вопро-
(вопросы релаксации остаточных напряжений), В. П. Когаев, М. Н. Степнов
(количественные закономерности повышения и понижения несущей спо-
способности в связи с полями напряжений, температурно-временным факто-
фактором) и многие другие.
При расчетах на прочность в некоторых случаях необходим учет
скорости нагружения, так как в реальных условиях процессы деформи-
деформирования происходят с самыми различными скоростями, от крайне малых
(например, в условиях длительной ползучести) до весьма высоких скоро-
скоростей (например, в тех случаях, когда процессы пластической деформации
и разрушения заканчиваются в ничтожные доли секунды). Основную
массу работ в этом направлении составляют экспериментальные исследо-
исследования, связанные с определением механических свойств динамически
деформируемых материалов. Наиболее полный обзор проведенных в этом
направлении исследований можно найти у Л. П. Орленко A964), а также
в книге П. М. Огибалова и И. А. Кийко A966), где приведены сведения
относительно поведения материалов при сверхинтенсивных воздействиях.
Статические и динамические характеристики армко-железа и различ-
различных сталей при ударном и скоростном нагружении приведены в моногра-
монографии Ю. Я. Волошенко-Климовицкого A965).
Влияние скорости нагружения, в общем, сводится к тому, что с уве-
увеличением скорости нагружения относительная роль пластических эффек-
эффектов уменьшается и разрушение становится более хрупким.
Лучше всего исследовано влияние скорости нагружения для углеро-
углеродистых сталей. При этом вводятся два предела текучести (верхний и ниж-
нижний) и оказывается, что наиболее чувствителен к изменению скорости
нагружения верхний предел. Чтобы иметь представление о величине
этого эффекта, заметим, что при увеличении скорости нагружения на поря-
порядок верхний предел текучести углеродистых сталей увеличивается при-
примерно на 4 кг/мм2. Таким образом, при увеличении скорости нагружения
на пять порядков, что примерно соответствует переходу от статического
к ударному нагружению, верхний предел текучести возрастает на
20 кг/мм2. Ясно, что для мягких (малоуглеродистых) сталей этот эффект
весьма существен, а для высокопрочных (высокоуглеродистых) сталей
им можно пренебречь *).
П. И. Скоков и В. И. Беляев A966), применив статистическую теорию
прочности, исследовали вопрос о повышении сопротивляемости деформи-
деформированию с увеличением скорости деформации. Авторы показали, что уве-
увеличение скорости деформирования приводит к более равномерному рас-
распределению напряжений по сечению образца.
*) Обзор экспериментальных работ по запаздыванию текучести в сталях дан
в 1968 г. Ю. В. Суворовой. Тогда же Ю. Н. Работнов предложил общую трехмерную
модель упруго-пластической среды с запаздыванием текучести. В рамках этой модели
им совместно с Ю. В. Суворовой было решено несколько конкретных динамических
'задач.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 463
При исследовании конструкционных сталей, подвергнутых разным
видам термической обработки, Г. И. Погодин-Алексеев и Б. А. Артамонов
A964) провели сравнение диаграмм деформаций, построенных методом
деформационных характеристик и путем осциллографирования на ненад-
резанных образцах. Продолжая исследования в этом направлении,
В. И. Бугай и В. Т. Трощенко A966), с учетом экспериментальных данных,
показали, что рассеяние энергии в условиях упруго-пластической дефор-
деформации зависит от степени неоднородности и вида напряженного состояния
(например, по данным Ф. С. Савицкого A964), потери энергии в условиях
упруго-пластического удара при изгибе составляют приблизительно 7%,
а при ударном растяжении — 5%).
В. Я. Мороз, А. В. Попов и Ю. П. Согришин A964) изучали влияние
скорости деформирования на пластичность различных сталей, а также
алюминиевых и других сплавов. Эти материалы авторы подразделили
на три группы в зависимости от реакции на повышение скорости дефор-
деформирования.
Статические и динамические испытания медных образцов, проведен-
проведенные А. Г. Бобровым, А. И. Николаевой и Е. О. Швайковской A964), пока-
показали, что при динамическом нагружении кристаллическая решетка иска-
искажается меньше, чем в случае статического испытания.
В отличие от металлов и большинства естественных материалов, для
полимеров характерно более сильное влияние таких факторов, как ско-
скорость деформирования, температурные и временные эффекты.
В работе К. А. Керимова A965) на примере резины и поливинила
было показано, что динамические кривые «напряжение — деформация»,
близкие к прямым, лежат выше статических, причем в области напряже-
напряжений, близких к нулю, остаточные деформации от динамических нагрузок
могут втрое превышать статические.
Исследование различных пластиков (эпоксиднойолиэфирная смола,
поливинил-бутираль, стеклотекстолита) позволило Н. П. Иванову
и В. А. Степанову A965) выявить довольно сильную зависимость ударной
прочности от температуры (увеличение скорости удара в 107 раз в условиях
повышенных температур приводит к повышению прочности в 3—6 раз,
тогда как при температуре —196° при таком повышении скорости проч-
прочность повышается только на 25%).
В работе С. М. Кокошвили и В. П. Тамужа A966) проведено исследо-
исследование влияния скорости деформирования на механические свойства
образцов из полиформальдегида. Результаты показали, что увеличение
скорости деформации приводит к повышению прочности материалов,
в то время как податливость практически не меняется, что приводит
к увеличению энергии разрушения *).
12.3. Разрушение под действием высокочастотных электрического
и магнитного полей. В последнее время как в Советском Союзе, так
и за рубежом ведутся интенсивные исследования электрофизических мето-
методов разрушения различных материалов, что потребовало детального изуче-
изучения электрофизических и других свойств материалов, подвергающихся
воздействию электромагнитных полей и электрических разрядов. Первые
исследования в этом направлении относятся к электротермическому раз-
разрушению диэлектрических материалов при диэлектрическом нагреве.
В сороковых годах Г. И. Бабат, А. В. Варзин и др. на примере горных
*) Достаточно полные сведения, касающиеся исследований влияния скорости
на механические свойства и прочность металлов и полимеров, содержатся в опубли-
опубликованном в 1968 г. обзоре М. И. Рейтмана и Г. С. Шапиро.

464 В. 3. ПАРТОЙ Г. it. ЧЕРЕПАНОВ
пород изучили поведение диэлектрических материалов в электрических
полях высокой частоты между плоскими электродами. Было показано,
что создающиеся под электродами электрические поля высокой напряжен-
напряженности приводят к диэлектрическому нагреву областей, примыкающих
к электродам, и образованию температурных напряжений (для горных
пород это приводит к расколу крупных кусков и отколу породы от мас-
массива). Эффективность разрушения существенно зависит от правильности
согласования параметров колебательного контура генератора со свойствами
материла (с нагрузкой). Более того, определенным образом сформированное
электрическое поле может обеспечивать раскол материала вдоль заданной
линии раскола («направленное высокочастотное разрушение»). Многочис-
Многочисленные эксперименты в этой области проведены на горных породах
В. С, Кравченко, А. П. Образцовым, В. М. Семеновым и др. A961—1963).
Направленное высокочастотное разрушение может иметь особое значение,
например, в таких вопросах, как диэлектрический нагрев горных пород,
содержащих ценные включения, что требует избирательного разрушения
пустых пород и сохранения ценных.
Попытки интенсифицировать процесс разрушения по отношению
к простому диэлектрическому нагреву привели к открытию явления высо-
высокочастотного теплового пробоя и электрического разрушения.
Теория высокочастотного теплового пробоя и электротермического
разрушения должна связать физические свойства материалов, подвергаю-
подвергающихся дроблению, с параметрами поля, определяющими условия теплового
пробоя и разрушения. Попытки построения такой теории для горных пород
(железистые кварциты и подобные им породы) были предприняты В. Д. Иц-
хакиным, А. П. Образцовым и В. В. Устиновым A962—1964), но сложность
строения и анизотропия горных пород, изменчивость их свойств и слож-
сложная зависимость последних от температуры, напряженности поля и частоты
для разных образцов обусловили получение только некоторых качествен-
качественных результатов.
За последнее время в связи с успехами в области электроники боль-
больших мощностей, позволившими создать мощные генераторы сверхвысокой
частоты, волноводы и излучатели, начались некоторые исследования раз-
разрушения материалов радиоволнами сверхвысоких частот (СВЧ). В пяти-
пятидесятых годах Г. И. Бабат, А. В. Варзин и др. показали, что радиоволна
СВЧ (порядка 3000 Мгц), падающая на песчаник, вызывает откол тонких
пластинок с его поверхности. При мощности магнетрона 5 кет имеет
место импульсивный откол с перерывами в несколько десятков секунд,
причем увеличение мощности магнетрона в 3 раза увеличивает произво-
производительность разрушения в 6 раз. Глубина и распределение потока элект-
электромагнитной энергии в материале зависят от длины электромагнитных
волн, способа их подведения и электрофизических свойств материала.
При действии электромагнитных волн на расстоянии возможна их фокуси-
фокусировка на некоторой глубине, что может привести к явлению откола мате-
материала («радиоволновое взламывание»). Экспериментальное подтверждение
этого явления на образце гранита получено В. С. Кравченко, А. П. Образ-
Образцовым и др. A965).
Тепловой фактор является причиной разрушения не только в случае
воздействия потоком тепла (реактивная горелка или плазматрон),
но и в случае разрушения радиоволнами. Однако радиоволновый нагрев
происходит во всем объеме, пронизываемом электромагнитным потоком,
в то время как при тепловом нагреве тепло распространяется вглубь
в основном за счет теплопроводности.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 465
Особое значение для горной науки имеют исследования интерграну-
интергрануляционного превращения, приводящего к ослаблению прочности вплоть
до полного разрушения зерен материала или к ослаблению межкристал-
межкристаллических связей, под действием высокочастотных электромагнитных полей,
а также эффекта расщепления слюды в высокочастотных электрических
полях. Поиски наиболее эффективных методов выдвинули проблемы раз-
разрушения горных пород токами промышленной частоты (тепловой пробой,
способ электрической дуги и расплавления породы) и импульсными элект-
электрическими разрядами, отличающимися динамическим, взрывным харак-
характером.
12.4. Влияние нейтронного облучения на механические свойства,
прочность и разрушение твердых тел *). Многочисленные эксперименты
по радиоактивному облучению показали заметные изменения как хими-
химических, так и механических свойств материалов, причем эти изменения
во многих случаях являются трудно восстановимыми и сохраняются в тече-
течение длительного времени. Это обстоятельство потребовало не только
выработки технологических мер защиты от вредных воздействий, но и раз-
разработки новых методов расчета элементов конструкций и сооружений,
испытывающих радиоактивное облучение (атомные реакторы, искусствен-
искусственные спутники, космические корабли и станции).
Основным методом экспериментального исследования радиоактивных
облучений, влияющих на прочностные характеристики материала,
является определение спектра собственных частот образца и изменения
логарифмического декремента затухания. Большое количество экспери-
экспериментальных данных по радиоактивному облучению показало незначитель-
незначительное изменение модуля упругости, в то время как прочность (и особенно
текучесть) чрезвычайно чувствительна к облучению. Общим для метал-
металлов при облучении является неоднородность упруго-пластических
свойств, смещение вверх диаграммы растяжения, тенденция к охруп-
чиванию и в большинстве случаев уменьшению прочности у пластиче-
пластических масс.
Особый интерес вызывает действие облучения на высокомолекулярные
вещества. При умеренных дозах облучения пластмассы (например, поли-
полиэтилен) упрочняются, в то время как другие вещества теряют прочность,
становясь хрупкими, вплоть до превращения в порошок. Однако при
больших дозах облучения почти все пластмассы разрушаются, что
на первое место выдвигает проблему упрочнения пластмасс и создания
радиационностойких полимеров.
Наиболее полный перечень работ, касающихся изменения свойств
материалов под действием радиоактивного облучения, с описанием неко-
некоторых физических механизмов этого явления содержится в обзорах
Ф. Бови A959) и В. С. Ленского A960). В обзоре В. С. Ленского пред-
предложено обобщение теории малых упруго-пластических деформаций
на случай неоднородности среды, обусловленной неравномерностью радиа-
радиационного облучения.
Облучение вещества потоком нейтронов вызывает ряд сложных струк-
структурных изменений и превращений. Первичные эффекты состоят в смеще-
смещении атомов из узлов решетки, а также в возбуждении атомов и электронов
без смещения и в ядерных превращениях; вторичным является эффект
ионизации.
*) Более полные сведения по этим вопросам можно найти в монографии П. М. Оги-
балова и И. А. Кийко A966).
30 Механика в СССР, т. 3

466 В. 3. ПАРТОН, Г. П. ЧЕРЕПАНОВ
Внутренние напряжения могут появиться в теле благодаря различ-
различным физическим процессам (например, в результате образования в теле
объемного расширения). Вообще говоря, появление в разных точках тела
различного объемного расширения приводит к возникновению внутренних
напряжений даже при отсутствии внешних нагрузок.
Ю. И. Ремнев A958, 1959) рассмотрел связь между напряжениями
и малыми деформациями в кристаллическом твердом теле при объемном
расширении, вызванном облучением тяжелыми частицами, и предложил
ряд гипотез, позволяющих определить это расширение. Было рассмотрено
нейтронное облучение, так как бомбардирующий нейтрон, проходя через
кристаллическую решетку, не взаимодействует с атомами кулоновыми
силами и производит наибольшее нарушение. Предполагается, что
в результате облучения механические свойства материала (модуль Юнга,
предел текучести и т. д.) могут меняться, а изотропия материала не нару-
нарушается. А. А. Ильюшин и П. М. Огибалов A960) предложили методы
расчета прочности оболочек толстостенного цилиндра и полого шара.
Как и в работах Ю. И. Ремнева, здесь принимается, что падение потока
нейтронов пропорционально энергии и толщине слоя, а свойства
тела в данной точке зависят от дозы облучения в этой точке.
А. Г. Журавлев A961, 1962) в работах, связанных с определением
напряженного и деформированного состояния легких металлов при облу-
облучении, помимо предположения об отсутствии ядерных реакций и выполне-
выполнения указанных выше двух гипотез, пренебрегал возникающей в теле
неоднородностью упругих свойств. Это обусловлено наличием экспери-
экспериментальных фактов слабого изменения упругих свойств по сравнению
с изменением характеристик пластичности и прочности, что позволяет
для расчета напряжений и деформаций пользоваться обычными уравне-
уравнениями теории упругости.
12.5. Разрушение под действием мощного фотоизлучения. Новые
аспекты исследования прочности и разрушения твердых тел открываются
в связи с применением квантовых генераторов, способных создавать лазер-
лазерные лучи огромной мощности. Исследования напряженного состояния
при прохождении лазерного луча были начаты на прозрачных полимерах
(органические стекла). Процесс прохождения лазерного луча сопровож-
сопровождается сложными физическими явлениями и при определенной мощности
импульса приводит к разрушению прозрачного материала. К настоящему
времени накоплен сравнительно небольшой объем физико-механических
исследований этого явления. В связи с этим вопросы выделения основных
параметров, влияющих на разрушение, а также выявление закономернос-
закономерностей превращения энергии электромагнитных колебаний в механическое
напряжение далеки от своего завершения.
Первой работой в этом направлении было исследование Б. М. Ашки-
надзе, В. И. Владимирова, В. А. Лихачева и др. A966), установивших
образование плоских с круглым очертанием трещин, расположенных при-
приблизительно под углом 45° к оси луча. Трещины возникают и на пути
отраженного от границы тела лазерного луча, когда последний имеет полное
внутреннее отражение. Нужно отметить исключительно большую кон-
концентрацию энергии при образовании трещин, сравнимую, вообще говоря,
с концентрацией энергии при атомном взрыве. По мнению авторов упо-
упомянутой работы, разрушение происходит под действием когерентного
гиперзвука, генерируемого лазером. Разрушение материала под углом 45°
происходит под действием предельных и поперечных фононов, непосред-
непосредственно генерируемых световой волной.

МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 467
В то же время В. В. Волков, В. А. Лихачев и др. A967), В. А. Лиха-
Лихачев, В. М. Салганов и др. A968) отмечают, что главным эффектом в этих
процессах является тепловыделение.
В работах Г. И. Баренблатта, Н. Н. Всеволодова, О. Е. Марина
и др. A967, 1968) выдвинуто предположение о том, что в начальный момент
разрушения в области канала создаются динамические напряжения
в результате нагрева и действия гиперзвука. Возникновение этих напря-
напряжений приводит к образованию мельчайших сдвиговых дефектов в плоско-
плоскостях наибольших касательных напряжений, находящихся под углом в 45°
к оси луча. Возникновение этих дефектов сопровождается поглощением
световой энергии, приводящим к образованию газовых пузырьков с высо-
высоким внутренним давлением и температурой, что предопределяет дальней-
дальнейшее развитие трещин.
Отметим, что разрушение прозрачных диэлектриков под действием
мощного лазерного излучения протекает за времена порядка 10—10~8 сек.
Разрушение начинается на локальных неоднородностях и зависит как
от мощности, так и от энергии световой волны.
Некоторые соображения относительно характера разрушения про-
прозрачных полимеров высказаны также в работах Б. М. Ашкинадзе,
В. А. Лихачева и др. A966, 1967), Б. Ф. Пономаренко, В. И. Самойлова
и др. A968).
30*

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелев М. Ю. 219
Абелев Ю. М. 210, 216
Абенова М. 19
Абрамов В. А. 34
Абрамов В. В. 460
Абрамов В. М. 56, 67
Абрамян Б. Л. 19, 20, 29—31, 36, 39, 40, 189,
202, 386
Авазашвили Д. 3. 25, 28
Авдонин А. С. 341
Авершин С. Г. 449
Агабабян Е. X. 314
Агамирзян Л. С. 104
Агамиров В. А. 352
Агарев В. А. 18
Агафонов А. В. 253
Адкинс Дж. Э. (Adkins J. Б.) 76
Адушкин В. В. 452
Айзенберг Д. Ю. 18
Айнола Л. Я. 232, 235, 236, 238, 250, 252, 261,
263, 264, 293
Айталиев Ш. М. 151
Аккерет Я. (Ackeret J). 356
Аксельрад Э. Л. 247, 248
Аксентян О. К. 19, 24, 262
Александрии А. Д. 352
Александров А. В. 260, 339, 353
Александров А. П. 395, 401, 402, 408, 423, 424,
427, 429
Александров А. Я. 22, 23, 35, 40, 245, 327, 340
Александров В. М. 36, 37, 383, 385
Александровский С. В. 156—159, 162—167, 172,
175, 176, 180 — 183, 186, 187, 189, 190, 194, 198
Алексаыдрян Е. А. 29
Александрии Р. А. 190
Алексеев А. С. 293, 297, 337, 340
Алексеев Н. А. 210, 214, 451
Алексеев С. А. 18, 246, 247
Алексеенко В. Д. 224
Аленицын А. Г. 298, 299
Алиев С. К. 217
Алиев X. М. 452
Алумяэ Н. А. 235, 238, 249, 252, 253, 327, 332,
341, 342
Алферов Н. С. 442
Алфутов Н. А. 235, 340, 341
Альпсрин И- Г. 56
Альтшулер Л. В. 304, 314, 456
Амандосов А. А. 318, 322, 323
Амбарцумян С. А. 255, 256, 258—260, 327, 328,
339, 340, 356, 357
Амензаде Ю. А. 26—28, 31
Аминов Я. 321
Андерсон В. Э. (Anderson W. Е.) 413
Андерсон О. Л. (Anderson О. L.) 425
Андреева Л. Е. 247
Андрианкин Э. И. 223, 452
Андронов А. А. 354
Аннин Б. Д. 112, ИЗ, 150
Антонов А. А. 448
Антонов Е. Е. 30
Анциферов В. С. 311
Араманович И. Г. 64, 67
Аргирис Дж. (Argyris J.) 339
Аржаных И. С. 7, 8, 353
Аркадьева Ю. О. 35
Артамонов Б. А. 463
Арутюнян Н. X. 27—30, 36, 39, 123, 131, 132,
156, 164, 171, 181—183, 185, 186, 188—191,
193—200, 202, 368, 370, 371, 386
Арутюнян Р. А. 88, 412, 431, 433
Асатурян А. Ш. 29
Асланова М. С. 449
Аснис А. Е. 397
Афанасьев Е. Ф. 365
Афанасьев Н. Н. 403, 406, 407, 411, 447
Ашкинадзе Б. М. 466, 467
Бабакова О. И. 25
Бабат Г. И. 463, 464
Бабенко В. И. 345
Бабешко В. А. 37
Бабицкая С. С. 212, 220
Бабич В. М. 75, 293, 294, 297, 298, 305
Бабич И. Ю. 382
Бабичев М. А, 446, 460
Баблоян А. А. 19, 20, 24, 29—31, 35, 36, 39
Багдасаров А. Д. 321
Багдасарян А. Б. 225, 452
Багдасарян Г. Е. 255, 256, 356, 357
Багрий В. Я. 166
Багрий Э. Я. 157, 166
Базаренко Н. А. 24, 262
Байда Э. Н. 21
Баканов С. А. 31
Балабух Л. И. 230, 256, 340
Баландин Ю. Ф. 417—419
Баренблатт Г. И. 38, 70, 304, 308, 313, 379,
380, 384, 386, 387, 389, 390, 426, 429, 467
Баринова Т. Я. 152, 296, 298
Баркан Д. Д. 222
Барская С. Я. 77
Бартенев Г. М. 74, 402, 421, 423—425, 428—
431, 449
Баршевский Б. Н. 212
Басевич А. 3.- 158
Батдорф С. Б. (Batdorf S. В.) 85, 89, 90
Батырев А. В. 25
Баум Ф. А. 455, 456
JBaxapeB В. М. 409
Бахтияров И. А. 26
Бахшиян Ф. А. 303, 304, 314, 320
Башелейшвили М. О. 12
Бегли Э. Б. (Bagley E. В.) 459
Безухов Н. И. 328, 337, 339, 415
Бейли Дж. (Bailey J.) 427, 429
Бейлин Е. А. 355
Бектурсунов У. 316
Беленький М. Я. 56
Белзецкий С. И. 215
Беллман P. (Bellman R.) 360
Белоносов С. М-. 56, 59, 316, 381
Белопухов Л. К. 455
Белоус А. А. 326
Белубекян М. В. 357
Беляев А. Ф. 453, 455
Беляев В. И. 462
Беляев Н. М. 34, 122, 128, 293, 326, 353, 373, 410
Беляев С. Е. 422
Берг О. Я. 156, 160, 168
Бердзенишвили С. Б. 32
Бережницкий Л. Т. 70, 379—381
Березанцев В. Г. 212, 393

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
469
Березовский А. А. 241
Беркович П. Е. 388, 391
Берлин К. А. 453
Берман М. Э. 30
Берч П. К. 90
Бетехтин В. И. 428
Бидерман В. Л. 21, 27, 74, 304, 308
Билик Ш. М. 448
Био М. A. (Biot M. А.) 71, 218, 219
Биргер И. А. 116, 134, 241, 407, 460
Биркган А. Ю. 234, 340, 357
Бирман С. Е. 56
Бицено К. Б. (Biezeno G. В.) 342
Благовещенский А. С. 293
Бланд Д. P. (Bland D. R.) 178
Блинков В. В. 158, 162—164, 166, 176
Блох В. И. 8, 10, 18, 26, 31
Боас В. (Boas W.) 82
Бобров А. Г. 463
Бови О. Л. (Bowie О. L.) 382, 386
Бови Ф. (Bowie F.) 465
Богачев И. Н. 443—445
Боголюбов Н. Н. 326, 353
Богуславский П. Я. 133, 135, 136
Боднер В. А. 255, 326, 353
Боженко А. С. 28
Бойченко Г. А. 352
Бокий Б. Н. 450
Болога М. К. 444
Болотин В. В. 78, 151, 250, 251, 255—257, 293,
327, 328, 332, 335, 338, 340, 346, 348, 350, 351,
354, 355, 358—360, 368, 369, 373, 402, 408,
409, 414
Больцман Л. (Boltzmann L.) 122, 130, 150,
174, 426, 427
Большуткин Д. К. 444
Бондаренко Б. А. 24, 27, 293
Бондаренко В. М. 167, 168
Бондарь В. Д. 72, 73, 75
Боресков М. М. 450, 455
Борисов С. П. 462
Боришанский М. С. 156
Боровиков А. В. 299
Бородачев Н. М. 35, 39, 222, 300, 392
Бородачева Ф. Н. 35
Бородин Н. А. 462
Боре С. И. (Вог§ С. I.) 189
Боткин А. И. 209, 211, 214
Бочвар А. А. 462
Бояршинов С. В. 21
Бражник М. И. 456
Брайан Дж. X. (Bryan G. Н.) 335
Братец И. Г. 56
Брачковский Б. 3. 56, 255, 354
Бреславский В. Е. 248
Бреховских Л. М. 296, 298
Бриджмен П. В. (Bridgman P. W.) 373
Броберг К. Б. (Broberg К. В.) 389
Бродский М. П. 454
Бронский А. П. 150, 202
Броуде Б. М. 328, 338, 339
Брусиловский А. Д. 357
Брызгалин Г. И. 132, 150
Брюккер Л. Э. 260, 340
Бублик Б. Н. 256
Бубнов И. Г.- 326, 337, 338, 340
Бугай В. И. 463
Бугаков И. И. 127, 153
Буглов Е. Г. 409
Буданов Н. А. 156, 179, 189
Будянский Б. (Budiansky В.) 85, 89, 90
Буйвол В. Н. 357
Буйна Е. В. 70, 381
Булаве Ф. Я. 151
Булах Г. И. 151
Булгаков В. С. 157
Булдырев В. С. 299, 300, 302
Булычев В. Г. 218
Буравцев А. И. 310
Бурак Я. И. 26
Бурмистров Е. Ф. 259
Бурчуладзе Т. В. 12
Буссинеск Ж. (Bou^sinesq J.) 6, 9, И, 33
Бухаринов Г. Н. 19, Z0, 60
Бухин Б. Л. 74
Быков Д. Л. 152
Быковцев Г. И. 100, НО, 306
Бьеррум Л. (Bjerrum L.) 215
Бюкнер Г. Ф. (Biickner H. F.) 382
Ваганов Р. Д. 365, 402, 404, 405, 407—409,
.413
Вагнер О. (Wagner О.) 156, 157, 162, 163
Вайнберг Д. В. 63, 66, 241, 245
Вайнштейн Ф. А. 20, 38
Вакуленко А. А. 88, 95, 96, 124, 127, 393, 412
Валов Г. М. 19, 20, 24, 37, 38
Ван Фо Фы Г. А. 151, 154, 244
Ванг A. (Wang A. J.) 107
Ванторин В. Д. 30
Ванько В. И. 145
Варвак А. П. 346
Варга И. (Varga J.) 444
Варзин А. В. 463, 464
Варшавский Д. П. 133
Василенко Н. В. 76
Васильев И. Г. 228
Васильев П. И. 159, 160, 162, 165-167, 72, 176,
178, 181 — 183, 187, 189, 191, 192
Васильев Ю. И. 298
Васицына Т. Н. 342
Вассерман Н. Н. 407
Вейбулл В. (Weibull W.) 402, 405
Вейлер С. Я. 435
Векслер Н. Д. 253
Векуа И. Н. 29, 44, 55, 263, 267, 275, 276 —
280, 283, 287, 289, 290, 296
Векуа Н. П. 51
Велер A. (Wohler A.) 405
Веллер В. А. 403
Венстрем Е. К. 434, 435, 437
Вервейко Н. Д. 307
Веригин Н. Н. 218
Весли Р. П. (Wesley R. Р.) 416
Вестергард Г. М. (Westergaard H. М.) 390
Ветчинкин В. П. 27
Викторов И. А. 76, 297
Виленская Т. В. 24
Вилесова Н. С. 127
Виноградов А. И. 18
Виноградов В. А. 455
Виноградов В. Н. 448
Виноградов Г. В. 458, 459
Виноградов И. И. 87
Витвицкий П. М. 399
Вители А. Г. (Whiteley A. H.) 457
Витман Ф. Ф. 402, 422, 424, 449, 456, 460
Вишик М. И. 240
Владимиров В. И. 425, 466
Владимиров Л. А. 456
Владимирский Т. А. 396, 422
Власов В. 3. 228—230, 237, 242, 248, 262, 326,
328, 337
Власов О. Е. 450, 455
Волков А. Н. 248, 263
Волков В. В. 467
Воловик А. Я. 402
Волошенко-Климовицкий Ю. Я. 304, 311, 422,
462
Волчков Ю. М. 148
Вольмир А. С. 148, 234, 253, 327, 328, 333,
337, 340—342, 345, 349, 352, 357—359
Вольтерра В. (Volterra V.) 122, 130—132, 151,
174, 175, 180, 427, 430
Воробьев Л. Н. 74
Ворович И. И. 23, 24, 37, 61, 234, 236; 261,
327, 337, 342, 345, 346, 359, 383
Воронин Ю. А. 296, 297
Воронков В. Е. 411
Воронков Н. И. 162
Воропаев М. В. 405
Воскресенский И. Н. 444
Всеволодов Н. Н. 467
Вулсон Дж. Г. (Woolson J. H.) 156
Вульфсон С. 3. 150, 152, 173, 176, 183, 191
Вялов С. С. 153, 209, 210, 212, 214, 219
Габрильянц А. Г. 345
Гавра Д. Л. 25
Гавранек В. В. 444
Гаврилов Д. А. 411
Гаврилов Ю. В. 348, 357
Гаев И. С. 442
Гаек Ю. В. 453
Газарян Ю. А. 298, 299
Галеркин Б. Г. 6, 9, 11, 17, 21, 25, 28, 60, 117,
136, 228, 235, 236, 256, 326

470
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Галилей Г. (Galilei G.) 366
Галимов К. 3. 72—74, 230, 233—235, 327, 328,
332, 333, 337, 342
Галимов Н. К. 235
Галимханов К. Г. 27
Галин Л. А. 27, 34, 35, ь7, 69, 112, 113, 151,
369, 370, 392, 449, 456
Галин М. П. 316, 321
Галфаян П. О. 30
Гальперин М. Я. 402
Гамбаров Г. А. 163
Гарф М. Э. 410
Гастев В. А. 339, 352, 354
Гахов Ф. Д. 381
Гвоздев А. А. 102, 103, 156, 158—160, 169, 170,
172, 173, 183, 187, 301, 392, 431
Гвоздев А. А. 297, 298
Гегелия Т. Г. 12
Гейрингер X. (Geiringer H.) »1, 104, 107
Гельчинский Б. Я. 293, 295, 297, 298
Геммерлинг А. В. 328, 347
Геммерлинг Г. А. 90
Гениев Г. А. 210, 302, 305, 315
Генки Г. (Hencky H.) 81, 93, 104, 108, 111,
370
Геогджаев В. О. 110
Геонджян Г. П. 28
Герасимов А. Н. 122, 131, 149
Гермелис А. А. 151
Герсеванов Н. М. 204, 205, 206, 215, 218, 221,
222, 393
Герц Г. (Hertz H.) 34
Гершгорин С. А. 228
Герштейн М. С. 253, 352
Гест Дж. (Guest J.) 82
Гиацинтов Е. В. 408
Гиббс П. (Gibbs P.) 425
Гизатулина Г. М. 321
Гилман Дж. Дж. (Gilman J. J.) 441
Гильман Л. С. 31
Глаголев Н. И. 67
Гладковский В. А. 407
Глазунова Н. Т. 19 •
Гленвилл В. Г. (Glanville W. . Н.) 156, 162,
176
Гликман Л. А. 403, 410, 416, 444, 461
Глушко В. Т. 151
Гнатыкив В. Н. 22
Гнуни В. Ц. 255, 256, 355
Гоголадзе В. Г. 131, 152, 293, 295, 296, 297, 299
Гойхман М. G. 437
Головин А. Ф. 442
Голубев А. С. 299
Голубков В. Н. 222
Голузин Г. М. 60
Голушкевич С. С. 31, 104, 212, 393
Гольденблат И. И. 72—74, 176, 190, 201, 304,
317, 319, 327, 336, 338, 355, 414
Гольденвейзер А. Л. 55, 229, 230, 235, 237—
240, 242, 245, 249, 263, 264
Гольдин А. Л. 219
Гольдштейн М. Н. 209, 216, 218—221, 223
Гольдштейн Р. В. 298, 300, 388, 390
Гольцев Д. И. 406, 409
Гонткевич В. С. 249
Гончаренко В. М. 359
Гопак К. Н. 350
Гопкинс Г. Дж. (Hopkins H. G.) 109, 301
Горбунов-Посадов М. И. 35, 206, 209, 213,
215
Горгидзе А. Я. 32, 60, 76
Городцов В. А. 459
Горошко О. А. 293
Горский В. Г. 21
Горшков А. Г. 351, 352
Горюнов Ю. В. 438, 439
Гохбаум Ф. А. 21
Гохберг М. М. 410
Гохфельд Д. А. 115, 411, 412
Гребенкин Г. Г. 382
Грей К. (Gray G. A. M.) 48
Гресько А. П. 381
Григолюк Э. И. 148, 149, 154, 232, 248, 53,
260, 261, 327, 337, 340—343, 345, 347—
349, 352, 356, 357, 368, 414
Григоренко Я. М. 234
Григорьев А. С. 246
Григорьев О. Д. 315
Григорян А. А. 216, 217
Григорян Г. С. 189, 190, 348
Григорян Д. М. 316
Григорян С. С. 210, 214, 224, 225, 314, 370,
393, 452
Гриднев С. А. 26, 28
Грилицкий Д. В. 18, 31, 37, 387
Грин А. П. (Green А. Р.) 106
Грин А. Э. (Green A. E.) 72, 76, 270
Грин Дж. (Green G.) 71
Гринберг Г. (Grinberg H. J.) 102
Гринберг Г. А. 19
Гринченко В. Т. 19, 20, 35, 36, 385
Гриффит A. A. (Griffith А. А.) 36, 70, 366, 373,
375, 379, 391, 395, 396, 423
Гришин М. М. 215
Гродский Г. Д. 6
Громов В. Г. 77, 150
Гросс Б. (Gross В.) 175
Гроссман Е. П. 355
Губанов А. И. 428
Губенко В. С. 35, 37
Гузь А. Н. 38, 62, 244, 328, 346, 357
Гулканян Н. О.. 27—29, 31
Гуляев А. П. 397
Гупало Ю. П. 393
Гура П. М. 460
Гуревич Г. И. 427
Гуревич Л. Э. 425
Гурьянов Н. Г. 245
Гусейн-заде М. И. 18, 263
Гусенков А. П. 411, 412
Гутман С. Г. 8, 18, 22
Гутман Э. М. 437
Давиденков Н. Н. 373, 384, 395—397, 400, 402
410, 415, 418, 422, 424, 434V 460, 462
Дагдейл Д. С. (Dugdale J. S.) 398, 399
Дак К. М. (Duce G. М.) 163
Далматов Б. И. 221
Данилов В. И. 154
Данилова И. Н. 23, 141
Даниловская В. И. 133, 311, 414, 420
Даревский В. М. 229, 245, 246, 332, 341
Даткаев А. М. 154
Даукнис В. И. 421
Дацишин А. М. 437
Девиль (Deville) 450
Девис Р. Э. (Davis R. Е.) 156, 158
Девис X. Э. (Davis H. Е.) 156, 158 163
Девис Э. (Davis E. А.) 87
Деев В. М. 8
Дейвенпорт X. (Davenport H.) 179
Дейнеко К. С. 338, 350
Демьянов Ю. А. 304, 317
Денисов Н. Я. 216
Деньщикова Г. И. 439
Дербенцев Д. А. 357
Державин Б. П. 3 39
Дерягин Б. В. 221, 435
Детинко Ф. М. 21
Дехтярев И. Н. 443
Джанелидзе Г. Ю. 6, 30, 32, 33, 255, 262, 326f
327, 336, 350, 353, 354, 355
Джонсон Г. Г. (Johnson H. Н.) 377, 440
Джрбашян М. М. 31
Дзюба В. Б. 29
Дидух Б. И. 210, 223, 225
Дикович И. Л. 304, 317, 318
Диментберг М. Ф. 257, 359
Динник А. Н. 22, 25, 34, 292, 326, 328, 338»
340, 373, 386
Дишингер Ф. (Dischinger F.) 178, 179
Довнорович В. И. 37, 385
Докучаев М. М. 226, 455
Долгов А. В. 152
Долидзе Д. Н. 32
Долинин Н. Н. 150, 151
Домбровский Г. А. 309
Доналдсон Д. К. (Donaldson D. С.) 413
Доннел Л. Г. (Donnell L. Н.) 342
Драгомиров А. М. 396
Драккер Д. Ч. (Drucker D. С.) 84, 88, 102»
137
Дроздовский Б. А. 365, 395—397, 415
Дружинин С. И. 156
Друкованный М. Ф. 453
Друянов Б. А. 104, 110

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
471
Дубинкин М. В. 253
Дульнев Р. А. 417, 419
Дургарьян С. М. 259
Дуффинг Г. (Duffing G.) 150
Дымков С. С. 19
Дютрон P. (Dutron R.) 158
Евдокимов П. Д. 215
Еганян В. В. 56
Егоров А. К. 202
Егоров В. И. 417—419
Егоров К. Е. 35, 37, 206, 210
Екельчик В. G. 152
Енальский В. А. 298
Ентов В. М. 70, 383, 426, 429, 430
Епифанов Г. И. 435
Ержанов Ж. С 151, 202
Ермаков П. И. 21
Ермолаев Н. Н. 223
Еругин Н. П. 293, 294
Ерхов М. И. 323
Ершов Л. В. 78, 327, 381
Есенин Н. А. 310
Ефимов А. Б. 151, 200
Ефремов Г. Ф. 310
Жарков В. Н. 23
Желтов Ю. П. 390, 391
Жемочкин Б. Н. 206
Жигалко Ю. П. 245
Жинжер Н. И. 350, 351
Жуков А. М. 89, 90, 133
Журавлев А. Г. 466
Журков С. Н. 372, 373, 395, 401, 402, 408, 423—
425, 427, 428, 430, 431, 433
Заварский В. Ю. 298, 299
Загубиненко П. А. 67, 341, 379, 384, 388
Задоян М. А. 110, 189—191, 202
Зайцев Л. П. 298, 300
Зак P. A. (Sack R. А.) 385, 388
Залесский В. И. 416
Замышляев Б. В. 352
Зарецкий Ю. К. 153, 189, 219
Захаревич А. Ф. 23
Зверев И. Н. 313, 315
Зверьков Б. В. 133, 432
Зволинский Н. В. 27, 31, 32, 72, 75, 76, 223,
224, 229, 292, 293, 295—297, 310, 337, 340,
341, 451, 452
Зегжда С. А. 309
Зеленский В. Б. 151
Зенер К. (Zener G.) 396
Зенова Е. Ф. 242
Зерна В. (Zerna W.) 270
Зигель Ф. С. 243
Зилова Т. К. 365, 397, 400
Зипалова В. Ф. 234, 342, 345
Златин Н. А. 424, 456
Зобачев Ю. Е. 444
Зоммерфельд A. (Sommerfeld A.) 384
Зорий Л. М. 350
Зубов В. И. 328, 329
Зубчанинов В. Г. 347
Зуев Ю. С. 402, 430, 431
Зыкин П. Г. 148, 349
Иванов А. В. 340
Иванов А. И. 417
Иванов Г. В. 144, 146—148, 319, 347, 349
Иванов Н. П. 463
Иванов П. Л. 223
Иванова В. G. 397, 413
Иванова Г. М. 133
Иванова Р. Я. 151
Иващенко И. Н. 210, 214, 217
Ивлев Д. Д. 73, 78, 86, 94, 99—101, 105, 108—
110, 308, 330, 372, 378, 383, 395
Измайлова Л. К. 449
Ильгамов М. А. 253
Ильин Л. А. 234
Мльминский В. Я. 247
Ильюшин А. А. 81, 91, 93, 94, 101, 105, 116,
117, 123, 127, 134, 152, 153, 301, 303, 314,
, 327, 347, 356, 367, 370, 371, 373, 392, 393,
410, 414, 466
Именитов Л. Б. 245
Именитова Ж. М. 294
Инглис Ч. Э. (Inglis Ch. E.) 379
Инденбом В. Л. 121
Ионов В. Н. 20, 23
Иоселевич В. А. 210, 214, 215, 220, 314
Иоффе А. Ф. 373, 395, 396, 422. 433
Иоффе Э. Г. (Yoffe E. Н.) 389
Ирвин Дж. P. (Irwin G. R.) 70, 373, 375, 396,
398, 414
Исакович М. А. 295
Исмаилов М. У. 26
Исон Дж. (Eason G.) 109
Ицхакин В. Д. 464
Ишков П. К. 296
Ишкова А. Г. 35» 40
Ишлинский А. Ю. 78, Ь8, 109, 122, 131, 149,
172, 223, 303, 313, 328, 346, 351, 352, 393,
451
Кабанов В. В. 343, 349
Кабулов В. К. 304, 317
Кадашевич Ю. И. 88, 352, 412
Казинчи Г. (Kazinczy G. V.) 103
Какосимиди Н. ф. 199, 202
Калакутский Н. В. 460
Каландия А. И. 5, 44, 57, 58, 66, 67
Калиновская Н. А. 434
Каль X. (Kahl H.) 210
Каменцев В . Н. 90
Каминский А. А. 382, 391, 429, 430
Кан С. Н. 341
Кананян А. С. 213
Канторович 3. Б. 415
Канторович И.- В. 460
Канторович Л. В. 17, 26, 27
Капанян Л. К. 26, 28
Капица П. Л. 434
Каптелин Ю. П. 133
Каракин А. В. 459
Карапетян К. С. 156—159, 161—164, 176, 183,
184, 191
Каргин В. А. 423, 427, 429
Карман Т. (Karman Th.) 81, 229, 264, 304,
340, 342
Кармишин А. В. 340
Карпенко Г. В. 403, 410, 435—437
Карпенко Л. Н. 365
Карпов А. П. 27
Карцивадзе И. Н. 58, 59
Катин Н. И. 159, 161, 162, 166, 183, 191
Катлер И. Б. (Cutler I. В.) 425
Кауфман Р Н. 22
Кац Ш. Н. 133, 432
Качанов Л. М. 70, 88, 101, 105, 117, 122,
124 — 126, 129, 134, 136, 138, 139, 143, 149,
170, 179, 198, 326, 347, 370, 373, 392, 426, 430,
432
Квинни X. (Quinney H.) 83, 87
Квитка А. Л. 21
Кейлис-Борок В. И. 293, 296, 298
Келдыш М. В. 7, 355. 379, 387
Келладайн Ч. P. (Calladine Ch. R.) 137
Кемпбелл Дж. (Campbell J.) 311
Кеппен И. В. 246
Керимов К. А. 463
Кизыма Я. М. 37
Кийко И. А. 462, 465
Кийсс И. И. 202
Кикукава М. (Kikukawa M.) 48
Килль И. Д. 18
Кильдибеков И. Г. 352, 359
Кильчевский Н. А. 35, 40, 74, 229, 241, 252,
253, 261, 263—265, 327, 332, 341
Киносита Н. (Kinoshita N.) 15
Киреева Г. Б. 78
Кирин Е. Я. 29
Кирхгоф Г. (Kirchhoff G.) 71
Кит Г. С. 27, 392
Китайгородский А. И. 429
Китовер К. А. 26
Кишкин С. Т. 438
Климова Д. Н 294
Клюшников В. Д. 89, 91, 92, 327, 347, 370,
393 » » »
Кляуз Л. П. 357
Кобеко П. П. 423, 424, 427

472
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Кобрин М. М. 461
Коваленко А, Д. 234, 414
Коваленко К. Р. 354
Ковчик С. Е. 383, 398
Ковшов А. Н. 300, 301
Когаев В. П. 365, 402—405, 408—410, 462
Коган Б. И. 20, 36, 38
Коган Я. Л. 220
Кожевников В. И. 341
Козлов Л. А. 403, 409, 415
Козырев С. П. 445
Койтер В. Т. (Koiter W. Т.) 84, 85, 90, 99, 103,
114, 370, 380
Койфман Ю. И. 77
Кокошвили С. М. 463
Кокс А. Д. (Сох A. D.) 109
Колос А. В. 263
Колосов Г. В. 25, 40, 56, 379
Колтунов М. А. 150—152, 154, 235, 327, 340,
342, 349
Кольченко А. В. 448
Коминар В. А. 154
Комиссарова Г. Л. 313
Компанеец А. С. 223, 452
Коненков Ю. К. 252
Кононенко Е. С. 24
Кононов Ю. И. 159, 182
Коноплев Ю. Г. 246
Консидер A. (Considere A.) 156
Константинов Б. П. 423
Константинов В. А. 265, 444
Конторова Т. А. 402, 428
Конторович М. И. 36, 385
Копасенко В. В. 37
Копейкин Ю. Д. 339
Копзон Г. И- 255
Кордонский X. Б. 409, 410
Коренев Б. Г. 35, 39, 40, 228
Коркин А. Н. 293
Корнев В. М. 337
Корнеев Д. М. 416
Корнишин М. С. 234, 342
Корноухов Н. В. 326, 328, 337, 339
Корнфельд М. О. 423, 458
Коробов А. П. 326, 339
Коровкин А. П. 157
Коровский III. Я. 436
Королев В. И. 248, 327, 342
Короткий В. Г. 17, 206, 218
Корсак Н. Г. 182
Корявов В. П. 223, 225, 393, 452
Космодамиамский А. С. 21, 28, 30, 33, 38,
60, 61
Коссера Ф. (Gosserat F.) 368
Коссера Э. (Gosserat Е.) 368
Костандян Б. А. 31
Костров Б. В- 299—301, 389, 390, 399
Костюк А. Г. 135, 413
Костюк Э. Н. 40
Косычин P. G. 387
Котикян Р. А. 163
Котляр G. М. 37
Котляревский В. А. 313
Котов П. И. 417—419
Коузов Д. Н. 299
Коффин Л. Ф. (Coffin L. F.) 416, 418
Кочетков А. М. 321
Кочетов А. И. 408
Кочин Н. Е. 353, 379, 384
Кошелев А. И. 116
Кошелев П. Ф. 224, 422
Коши О. (Cauchy A. L.) 71
Кравцова Т. С. 298
Кравченко Б. А. 46а
Кравченко В. С. 464
Кравчук Л. В. 419, 421
Крагельский И. В. 447, 448
Красовский Н. Н. 329
Крауклис П. В. 296, 297
Крейн М. Г. 193, 195, 198, 354
Крестин Г. С. 391
Кречмер В. В. 215
Кривошеева С. Г. 350
Крисальный В. И. 202
Кролевец М. С. 34
Кролевецкий А. Д. 408
Круг Е. М. 18
Крупников К. К. 456
Крутков Ю. А. 10, 11
Крутов В. И. 217
Круш И. И. 150, 152, 154
Крыжановский А. Л. 209, 210, 212, 214
Крылов А. Н. 292, 326, 353
Крылов В. В. 72, 77
Крылова А. Р. 416
Крянин И. Р. 444
Кубенко В. Д. 253
Кублинь И. Я. 163
Кувшинский Е. В. 423, 424, 427
Кудрявцев Е. П. 255, 357
Кудрявцев И. В. 403, 410, 436, 460, 461
Кузин П. А. 322, 323
Кузнецов А. И. 110, 200, 201
Кузнецов А. Н. 156
Кузнецов А. П. 146, 148, 154
Кузнецов В. Д. 384, 446
Кузнецов В. М. 225, 381, 451, 455
Кузнецов В. Н. 417
Кузьмин Р. О. 25
Кузьмин Ю. Н. 37, 38, 385
Кук Дж. (Cook J.) 82
Кук Дж. К. (Cooke J. С.) 35
Куксенко В. С. 428
Кукуджанов В. Н. 152, 312, 314
Кулаченок Б. Б. 217
Кулон Ш. (Coulomb Gh.) 211, 215, 366
Купрадзе В. Д. 12, 14, 15, 17, 293, 294, 297—
299
Кур дин Н. С. 58
Курдюмов А. А. 339
Курдюмов В. И. 213
Куриат Р. Н. 419
Куров И. Е. 432
Куршин Л. М. 146, 148, 149, 260, 327, 340„
342, 349, 352
Кусков А. М. 299
Кутателадзе Г. А. 29
Кутилин Д. И. 72, 74
Куфарев П. П. 25, 56
Кучерявый Ф. И. 453
Кшнякин Р. И. 341
Лаврентьев М. А. 7, 225, 303, 327, 351, 352,
355, 379, 450, 451, 455, 456
Лагунцев И. Н. 133
Лазуркин Ю. С. 423, 424, 429
Лайтхилл Дж. (Lighthill M. J.) 356
Ламб Г. (Lamb H.) 295
Ламе Г. (Lame G.) 372
Лампер Р. Е. 356, 357
Лапидус Л. С. 202
Ларионов А. К. 216
Ларионов В. В. 413
Латишенко В. А. 151
Лауричелла Дж. (Lauricella G.) 17
Лащеников Б. Я. 339
Лебедев И. К. 448
Лебедев Н. Н. 23, 35, 36, 38, 383, 385
Лебедев Н. Ф. 308
Лебедева Н. К. 342
Леви М. (Levy M.) 80, 392
Леви Ф. (Levi P.) 171—173
Левин М. Л. 297
Левин О. А. 413
Левитин Л. Б. 296
Левшин В. А. 23
Легеня И. Д. 78
Лежов С. А. 313
Лейбензон Л. С. 17, 26, 27, 30, 77, 228, 235У
326, 337, 341, 346
Лексовский А. М. 428, 431
Ленский В. С. 94, 95, 301, 304, 309, 313, 370,
451, 465
Леонардо да Винчи (Leonardo da Vinci
366
Леонов А. И. 459
Леонов М. Я. 26, 27, 34, 35, 70, 338, 350, 384—
386, 398, 399, 430
Леонтович М. А. 354
Лепик Ю. Р. НО, 327, 347
Лепин Г. Ф. 129
Лермит P. (L'Hermite R.) 156, 159, 162, 163,
167, 168
Лехницкий С. Г. 18, 22, 29, 31—33, 43, 44, 56»
58, 67—69, 258, 327, 340, 379, 387

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
473
Ди Гуан-цзун 165
Ли Э. Г. (Lee E. Н.) 178, 301
Лианис Дж. (Lianis G.) 106
Либацкий Л. Л. 383
Ливанов К. Е. 357
Ливанов К. К. 256
Лившиц Л. С. 460
Лившиц П. 3. 20, 31
Лидерман Г. (Leaderman Н.) 177, 178
Липовцев Ю. В. 148, 149, 327, 349
Липпман X. (Lippmann Н.) 109
Лисунов А. Д. 357
Литвинов Г. В. 309
Лифшиц И. М. 299
Лихачев В. А. 20, 418, 462, 466, 467
Лихачев Ю. И. 397
Лихтман В. И. 424, 434, 435, 437—440
Л оде В. (Lode W.) 82
Лозовой Б. Л. 70, 380, 388
Локощенко А. М. 154
Локшин А. Ш. 25, 30, 31, 340
Ломакин В. А. 368, 462
Ломизе Г. М. 209, 210, 212—214, 216, 217
Лоповок Б. Н. 26
Лоренц P. (Lorenz R.) 341
Лохин В. В. 74
Лужин О. В. 328, 337, 339
Лукашев Л. Г. 399
Лунц Я. Б. 304, 314
Лурье А. И. 5, 8, 9, 18, 19, 21, 22, 27, 32—34,
44, 56, 58, 78, 229, 230, 233, 242, 243, 262,
308, 340, 346, 379
Лускин А. Я. 222
Луцышин Р. М. 387
Лысков В. Н. 25
Львовский М. Я. 416
Любимова Т. Ю. 435
Люблинер Дж. (Lubliner J.) 156
Люстерник Л. А. 240
Ляв О. (Love A. E. Н.) 8, 230
Ляпунов А. М. 293, 328, 329
Ляхов Г. М. 223—225, 310, 451, 452, 455
Магнарадзе Л. Г. 50
Мазалов В. Н. 138
Мазинг Г. (Masing G.) 93, 411
Мазон В. (Mason W.) 82
Макаров Б. П. 347, 352, 356—360
Макгенри Д. (McHenry D.) 180
Маккомб Г. Д. (McGomb H. G.) 147
Максвелл Дж. (Maxwell J.) 122
Макушин В. М. 354
Макэлрой В. Д. (McElroy W. D.)
457
Малверн Л. (Malvern L.) 303
Малиев А. С. 228
Малинин Н. И. 150, 152, 154, 156, 175,
177
Малинин Н. Н. 119, 122, 128, 135, 136
Малкин А. Я. 459
Малкина Р. Л. 242, 248
Малмейстер А. К. 90, 123, 153, 156, 160, 167,
168, 173, 178, 371, 423, 429, 431
Малышев Б. М. 292, 398
Малышев М. В. 212, 213, 311
Малюжинец Г. Д. 299, 300
Мамедов И. С. 246
Мандель Ж. (Mandel J.) 107
Манджавидзе Г. Ф. 5
Мансон С. (Manson S. S.) 418
Манукян А. X. 30
Манукян М. М. 171, 189—191, 195, 199,
202
Маргерр К. (Marguerre К.) 342
Марготьев А. Н. 294
Марин Н. И. 411
Марин О. Е. 467
Марков А. А. 102, 392
Марков А. Н. 354
Маркочев В. М. 397, 398, 413
Маркузон И. А. 38, 56, 70, 379, 383, 384,
386
Мартыненко М. Д. 19
Мартынюк П. А. 381
Мархосев Г. С. 294
Марченко Л. Н. 453, 455
Марчук Г. И. 294
Маслов Г. Н. 17, 123, 164, 181, 189
Маслов Н. Н. 206, 218—220, 223
Массо Ж. (Massau J.) 104
Матвеева В. П. 151
Матевосян Р. Р. 328, 338, 339
Матчинский М. 390
Маховер Е. В. 110
Маховиков В. И. 25
Махортых Ж. К. 251
Махутов Н. А. 365, 395, 402, 412, 413
Мачерет А. Я. 206, 218
Мачинский М. В. 453
Медекша Г. Г. 412
Мелан Э. (Melan E.) 103, 114, 115
Мелконян А. П. 24
Мельник Р. А. 159, 161, 191
Мельников В. В. 224, 225
Мельников Н. В. 453
Мельникова Л. М. 357
Меркулов В. И. 256
Месчян С. Р. 219, 220
Мецика М. С. 384
Мецугов В. X. 32
Мешков А. И. 24
Мешков С. И. 152
Мещеряков В. В. 328
Мизес P. (Mises R.) 81, 82, 1F, 109, 370
Мизюмский В. А. 219
Микаелян В. В. 30
Микеладзе М. Ш. 110
Микишев Г. Н. 327, 357
Милейко С. Т. 130, 426
Милейковская К. М. 158
Минасян Р. С. 30, 32, 76
Миндлин Р. Д. (Mindlin R. D.) 368
Миндлин Я. А. 297, 298
Минц Р. И. 443—445
Минцберг Б. Л. 17, 59
Минцковский М. Ш. 213
Миняев П. А. 205
Миркин В. Л. 426
Мирошниченко Е. П. 20
Миртов К. Д. 122, 413
Мительман Л. М. 27
Митрохин Н. М. 87
Михайлов А. М. 390
Михайлов В. В. 345
Михайлов Г. К. 218, 451
Михайлов Л. В. 28
Михлин С. Г. 14, 17, 50, 60, 61, 63, 68, 293,
295, 382, 392
Мичелл Дж. Г. (Michell J. H.) 32
Мишенков Г. В. 355
Мовсисян Л. А. 258
Мовчан А. А. 255, 327—330, 335, 356
Можаровский Н. С. 413, 418, 419
Моизил Г. (Moisil G.) 9
Моисеев А. Д. 443
Молотков И. А. 297, 298, 300
Молотков Л. А. 294, 296
Монасевич А. Д. 460
Мор О. (Mohr О.) 203, 211, 366, 392
Мороз В. Я. 463
Морозов В. Н. 236
Морозов Е. М. 377, 382, 384, 388, 389
Морозов Н. Ф. 238
Морозова Е. А. 70, 380
Мосинец В. Н. 365, 453, 454
Москаленко В. Н. 250, 346
Москвитин В. В. 93, 153, 411, 412
Моссаковский В. И. 34—36, 40, 67, 379, 384Г
388, 391
Мотт Н. Ф. (Mott N. F.) 388
Мочалов С. Д. 308
Мощанский Н. А. 158
Мура Т. (Мига Т.) 15
Мурнаган Ф. Д. (Murnaghan F. D.) 71, 76
Муровкин О. Н. 448
Мус X. (Muhs H.) 210
Мустафаев А. А. 217
Мустафаев Т. Г. 143
Мусхелишвили Н. И. 22, 25, 29, 40—42, 45,
46, 48, 49, 51, 53, 56—59, 67, 243, 267, 277,
369, 379, 381, 382, 386, 388, 391
Мухина И. В. 298
Муштари X. М. 25, 229, 230, 234, 235, 237,
238, 258—260, 326—328, 332, 335, 337*
341, 342, 345

474
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Мякушев А. М. 357
Мяннил А. И. 252
Мяснянкин Ю. М. 100
Надаи А. (Ш(Ш А.) 81, 93, 107, 112, 370
Надеева Р. И. 309
Найман М. И. 26, 57
Наймарк Б. М. 293
Наймарк М. А. 296
Наместников В. G. 126, 127, 132, 133, 178
Нарзуллаев Б. Н. 427, 430
Нарожная^З. В. 224, 300
Нарышкина Е. А. 293, 294, 297
Натанзон В. Я. 61
Наумов К. А. 354
Нахди П. М. (Naghdi P. M.) 89, 90
Недорезов П. Ф. 18, 23
Невиль А. М. (Neville A. M.) 156
Нейбер Г. (Neuber H.) 6, 7, 58, 374, 375,
427
Неймарк Ю. И. 222
Немировский Ю. В. 135, 138, 148, 319
Немчинский А. Л. 396
Нерпин С. В. 221
Нестеренко Н. А. 310
Нетребко В. П. 28
Нигул У. К. 18, 246, 250, 259, 260
Никитин Л. В. 312, 314, 322, 399
Никифоров G. Н. 339, 341
Николаев Б. Г. 299
Николаев В. Л. 162, 163, 182
Николаевский А. И. 463
Николаевский В. Н. 96, 218, 393, 451
Николаенко Н. А. 190, 201, 304, 317, 319
Николаи Б. Л. 350
Николаи Е. Л. 292, 326, 334, 336, 350
Николас Дж. К. (Nickolas G. С.) 76
Никулин М. В. 248
Нилендер Ю. А. 156
Ничипорович А. А. 206
Новгородов А. Ф. 224
Новичков Ю. Н. 254, 351, 356, 357
Новодворский В. Э. 228
Новожилов В. В. 30, 72—75, 77, 78, 87, 88,
92, 94, 95, 229, 230, 237, 242, 245, 326, 327,
331—333, 346, 352, 367—370, 373, 393,
411—413
Новоторцев В. И. 215
Нудельман Я. Л. 328, 337—33S
Облогина Т- И. 295
Ободовский Б. А. 28
Оболенский Е. П. 26
Образцов А. П. 404
Образцов И. Ф. 328, 339
Обреимов И. В. 384, 430, 434
Огибалов П. М. 21, 153, 154, 301, 303, Ь*,,
328, 462, 465, 466
Огурцов К. И. 293—296, 299
Одинг И. А. 121, 133, 373, 404, 406, 407, 415,
426, 436, 442
Одквист Ф. (Odqvist F. К. G.) 83, 129
Озеров Д. К. 296
О лисов Б. А. 224
Ольшак В. (Olszak W.) 110
Ониашвили О. Д. 228, 248, 249, 255, 354
Орленко Л. П. 304, 310, 323, 462
Орлов А. Н. 121, 423, 425
Орован Э. О. (Orowan|E. О.) 70, 373, 396, 414, 460
Осадченко Р. А. 310
Осипов И. О. 299
Основин С. Д. 454
Остроградский М. В. 292
Павленко А. Л. 316
Павлов Б. М. 316
Павлов В. А. 396
Павлюк Н. П. 222
Пазюк Е. И. 448
Паллей И. 3. 412
Пальмов В. А. 35, 257
Пальцун Н. В. 38, 385
Панарин Н. Я. 31, 156, 181, 189
Панасюк В. В. 38, 67, 70, 377, 379—382, 384«-
386, 388, 398, 430
Панов Д. Ю. 25—27, 32, 72, 75, 76, 247, 327.
342 *
Пановко Я. Г. 327, 347
Паншин Б. И. 431
Паперник Л. X. 119, 150
Папкович П. Ф. 6, 7, 19, 56, 229, 326, 328,
337, 339, 340
Парис П. К. (Paris P. С.) 377, 413, 414,
440
Партон В. 3. 70, ^18, 380, 384, 389,
393
Пархомов Г. В. 452
Пархомовский Г. Д. 299
Паршин Л. К. 351
Пастернак П. Л. 228
Пауков Ю. Н. 444
Пахоменко Л. С. 293, 294
Пашков П. О. 396
Перлин П. И. 23, 113
Перцев А. К. 313, 322, 352
Перцов Н. В. 438, 439
Петрашень Г. И. 252, 262, 293—297,
299
Петришин В. И. 18
Петров В. В. 337
Петров Н. Г. 453
Петрова С. Г. 116
Петрова-Денева А. 240
Петровский И. Г. 297, 298
Петропавловский А. А. 337—339
Пештмалджян Д. В. 259
Пивоваров А. М. 26
Пиковский А. А. 326, 328, 329
Пинаджян В. В. 328, 347
Пинегин С. В. 410
Пинес Б. Я. 425, 428
Пинни Э. (Pinney E.) 452
Пирогов Е. Н. 417, 419
Пирогов И. М. 244
Писаренко Г. С. 367, 369, 373, 406, 414,
415
Платонов А. А. 417
Плеханова Н. Г. 402
Победря Б. Е. 153
Поверус Л. Ю. 249
Погодин-Алексеев Г. И. 463
Погоняйло Г. Г. 296
Погорелов А. В. 327, 337, 345
Подгорный А. Н. 21
Подильчук Ю. Н. 22, 23
Подстригач Я. С. 392, 404, 460, 462
Подъяпольский Г. С. 295—298
Пожалостин А. И. 76
Покровский Г. И. 226, 453—455
Положий Г. Н. 31, 59, 381
Полубаринова-Кочина П. Я. 229, 337
Полумордвинова И. Г. 133
Польшин Д. Е. 210, 215, 218
Полякова Н. И. 224, 225, 310
Поляни М. (Polanyi M.) 82
Полянский О. Ю. 357
Помази Л. П. 340
Пономарев С. Д. 328, 373, 415
Пономаренко Б. Ф. 467
Понселе В. (Poncelet J. V.) 372
Понтрягин Л. Q. 359
Понятовский В. В. 263
Попкова О. М. 159, 166
Попов А. В. 463
Попов Б. П. 222
Попов В. Н. 19
Попов Г. Я. 33, 35, 38, 40, 56
Попов Е. П. 328, 339
Попов Н. И. 28
Попов Н. Н. 304, 316—318, 321—323
Попов С. М. 347
Потак Я. М. 396, 422, 437, 438
Прагер В. (Prager W.) 73, 83—85, 88, 99, 102,
104, 107, 115, 301, 303, 370
Прандтль Л. (Prandtl L.) 81, 101, 104, 199, 212,
392, 430
Пределяну М. (Predeleanu M.) 200
Преображенская Н. А. 222
Пресс X. (Press H.) 207
Приданцев М. В. 416
Присекин В. Л. 253, 337, 352
Приходченко О. Е. 19
Прокопов В. К. 5, 18—20, 28, 30, 262

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
475
Прокопович И. Е. 154, 156, 162,. 164, 173, 176,
178, 180—182, 184, 186, 189, 190, 193—
195, 198, 199, 201, 202
Прокофьев И. П. 337
Проктор Г. Э. 27
Протодьяконов М. М. 450, 454
Прусаков А. П. 260, 327, 340
Прусов И. А. 64
Пуанкаре A. (Poincare H.) 336
Пуассон С. Д. (Poisson S. D.) 292
Пузыревский Н. П. 205
Пупырев В. А. 37
Рабинович Б. И. 254, 353, 357
Рабинович В. П. 133
Рабинович И. М. 301, 302, 326, 339* 351, 352,
369, 373
Работнов Ю. Н. 89, 121, 122, 127—133, 136—
138, 140, 142, 144, 146, 149, 150, 152, 160,
170—173, 175—178, 198, 202, 228, 230,
246, 311, 319, 326, 327, 347, 349, 367, 370,
371, 373, 393, 414, 423, 42.5, 426, 431—433,
462
Радциг М. А. 326, 353
Радчик А. С. 447
Радчик В. С. 447
Разов И. А. 400
Разумеев В. Ф. 255
Ракивненко В. Н. 2&
Раков А. X. 40
Ранкин В. (Rankine W. J.) 203, 211, 212, 372,
405
Раппопорт Р. М. 18, 19
Расторгуев Б. С. 304, 316—318, 321—323
Ратнер А. В. 417
Ратнер С. И. 396, 402, 411
Рахманов П. А. 316
Рахматулин X. А. 210, 214, 223, 224, 292, 301,
303, 304, 308—311, 314, 315, 317, 370, 371,
392, 393, 451
Рвачев В. Л. 35, 36, 40
Ребиндер П. А. 373, 424, 433—435, 437—
439
Регель В. Р. 429, 431
Регирер С. А. 459
Рейнольде О. (Reynolds О.) 203, 210
Рейсе Э. (Reuss E.) 82, 84, 370
Рейсснер Э. (Reissner E.) 270
Рейтман М. И. 101, 292, 302, 307, 323, 463
Ремизова Н. И. 241, 265
Ремнев Ю. И. 466
Решетов Д. Н. 409
?жашщын А. Р. 122, 145, 149, 150, 160, 172,
173, 175, 178, 201, 307, 318, 327, 328, 339,
347, 348, 369, 373, 431
Ривкинд В. Н. 152
Ривлин Р. С. (Rivlin R. S.) 72
Риз П. М. 31, 32, 72, 75, 76
Робертсон A. (Robertson A.) 82
Робертсон В. Д. (Robertson W. D.) 397
Ровинский Б. М. 460
Рогицкий С. А. 328, 337, 339
Роговина Л. 3. 151
Родионов В. Н. 224—226, 393, 452, 455
Родман X. 460
Роза С. А. 206, 218
Розанов Н. П. 444
Розенберг В. М. i21
Розенблюм В. И. 115, 128, 135—137, 143, 144,
147, 149, 412
Розенцвейг Л. Н. 299
Розенштейн И. М. 397
Розовская Б. А. 26, 31
Розовский М. И. 123, 131, 132, 150—152, 160,
176—178, 191, 195, 198, 201, 202, 370
Ролл Ф. (Roll P.) 170
Романив О. Н. 387
Романов В. В. 437
Ромашов А. Н. 224, 226, 455
Росляков Г. С. 316
Росс А. Д. (Ross A. D.) 182
Ростовцев Н. А. 17, 18, 33, 34, 40, 56
Роули Дж. (Rowley J. G.) 89
Рош М. (Ros M.) 82
Рубинштейн А. Л. 216
Рудницкий Н. Я. 210
Руколайне А. Я. 313, 352
Русакова Н. Я. 298
Русинко К. Н. 70, 386, 399
Рухадзе А. К. 29, 32, 76
Руховец А. Н. 35, 39
Рушицкий Я. Я. 151
Рыбакина О. Г. 413
Рыбка М. Т. 36, 388, 391
Рыбкин М. М. 458
Рыков Г. В. 224, 225, 310
Рытов С. М. 297
Рыхлевский Я. (Ryehlewski J.) НО
Рябис А. А. 315, 316
Рябченков А. В. 410, 437, 448
Ряямет Р. К. 249
Саакян С. М. 24
Сабодаш П. Ф. 251
Савельев Л. И. 406
Саверин М. М. 410
Савин Г. Н. 36, 38, 55—57, 61—66, 68, 77, 123*
151, 154, 243—245, 293, 369, 377, 379, 381,
388, 429
Савинов О. А. 222
Савицкий Ф. С. 463
Саврук М. А. 56, 388
Саврук М. П. 388
Савченко В. Г. 154
Савченко И. А. 222
Сагомонян А. Я. 210, 214, 223, 451, 452
Садовский М. А. 453
Саймондс П. (Symonds P.) 301
Сакман Дж. Л. (Sackman J. L.) 156
Саламахин Т. М. 226
Салганик Р. Л. 70, 383, 388, 389, 426, 429,
430
Салганов В. М. 467
Самойлов В. И. 467
Сандерс Дж. Л. (Sanders J. L.) 144, 147
Санфирова Т. П. 425
Сапунов В. Т. 388
Саркисов Г. М. 27, 31
Саркисян В. С. 30, 189, 190, 259
Саркисян М. С. 29, 30, 110
Саталкин А. В. 156, 162, 182
Саутвелл P. (Southwell R. V.) 112, 341
Саченков А. В. 246, 337, 342~
Свекло В. А. 18, 294, 295, 299, 300
Свешников А. Г. 243, 294
Свирский И. В. 234
Святославов В. К. 133
Сдобырев В. П. 133, 432
Северин М. М. 461
Сегаль А. И. 328, 339
Седов Л. И. 72—75, 93, 95, 367, 364, 370, 308,
374, 379, 384, 387, 393
Седракян Л. Г. 408
Сейка М. (Seika M.) 58
Сеймов В. М. 222
Селезов И. Т. 252, 262
Семенов В. М. 464
Семенова И. И. 19
Семчинов К. Н. 78
Сен-Венан A. (Saint-Venant A.) 80, 81, 366, 372,
392
Серенсен С. В. 367, 373, 395, 402, 403, 405—
415, 417, 418, 461
Сеченко Б. А. 182
Си Г. С. (Sin G. С.) 381
Сигалов Л. О. 300
Симинский К. К. 405
Симонов И. В. 300, 301
Симонян А. М. 191
Синайский Е. С. 150, 152
Синицкий А. К. 73
Синицын А. П. 206, 310, 321
Синицын Е. Н. 340, 348, 352
Синьорини A. (Signorini A.) 71
Синявский А. Л. 241, 245
Сиренко А. Ф. 425, 428
Скальская И. П. 23
Скибицкий А. М. 219, 220
Скляров Н. М. 417
Скобеев А. М. 224, 308, 311, 313, 315
Скоков П. И. 462
Скоморовский Я. Г. 152
Скоробогатов В. И. 444
Скоробогатько А. А. 25
Скрипкин В. А. 307

476
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Скрябин И. Е. 179
Скудра А. М. 151, 162, 163, 173, 331
Скуридин Г. А. 293, 296, 297, 299
Скурлатов Э. Д. 357
Слезингер И, Н. 77
Следов Б. И. 229
Слепцова Г. П. 313
Слепян Л. И. 236, 253, 322
Слободкин А. М. 330
Слободянский М. Г. 7, 8, 17, 26
Слонимский Г. Л. 132, 150, 151, 427, 429
Слуцкер А. И. 428
Сметанин Б. И. 36, 383, 385
Смирнов А. М. 190
Смирнов А. Ф. 328, 337, 339, 340, 354
Смирнов В. А. 339
Смирнов В. И. 293, 294
Смирнов С. А. 450
Смирнова Н. С. 299
Смиян И. А. 416
Смолицкий X. Л. 294
Смоловик И. И. 21
Снеддон Я. Н. (Sneddon I. N.) 34, 38, 391
Снитко К. К. 442
Снитко Н. К. 87, 326, 328, 339
Соболев Н. Д. 365, 417—419
Соболев С. Л. 60, 293, 294, 297—299
Соголова Т. И. 427
Согришин Ю. П. 463
Соколов Б. А. 31
Соколов П. А. 229, 340
Соколовский В. В. 104—107, 112, 212, 230,
303, 312—314, 370, 371, 392, 393
Солдатов М. М. 153
Соловьев Ю. И. 22
Соляник-Красса К. В. 20, 22, 23 31,
386
Соркин И. Е. 456
Соснин О. В. 135, 141
Софронов Ю. Д. 411
Спивак А. И. 448
Спиридонов И. Н. 341
Спихтаренко В. Н. 24
Сретенский Л. Н. 294
Срубщик Л. С. 236, 238
Ставницер Л. Р. 310
Ставровский А. С. 294
Станюкович К. П. 296, 304, 455, 456
Стасенко И. В. 138
Стеклов В. А. 293
Степаненко И. 3. 223, 451
Степанов В. А. 424, 428, 432, 456, 463
Степанов Г. А. 402
Степанов М. Н. 408, 410, 462
Степанов Р. Д. 26, 356, 444
Столяров Я. В. 156, 179
Стрелецкий Н. С, 373
Стрижало А. В. 417
Стро А. Н. (Stroh A. N.) 389
Строганов А. С. 209, 210, 212, 214
Стюарт Д. A. (Stuart D. А.) 425
Суворов Ю. П. 311
Суворова Ю. В. 462
Судакова Н. И. 352
Сумгин М. И. 221
Сумм Б. Д. 438, 439
Сумцов В. С. 21
Сунчелеев Р. Я. 37
Суркин Р. Г. 342, 345
Сутягина А. И. 293, 294
Суханов А. Ф. 454
Сухарев В. А. 248
Сухаревский И. В. 30
Сухова Н. А. 74
Сухотин А. П. 224, 226, 452
Сыркин С. Н. 448
Сюкияйнен В. А. 299
Тавлинцев Г. М. 224
Талыпов Г. Б. 90
Тамуж В. П. 302, 307, 318, 322, 463
Тан Т. К. (Tan Tjong-Kie) 219
Тарасова И. В. 217
Тарнопольский Ю. М. 327
Таубман А. Б. 436
Тейлор Дж. (Taylor G. I.) 83, 87, 304, 373,
452
Темнов И. И. 157, 163
Теребушко О. И. 342, 345
Терегулов И. Г. 18, 74, 77, 136, 138, 142, 146,
147, 154, 263, 349
Теренин Б. М. 248
Тер-Мартиросян 3. Г. 220
Тер-Мкртичьян Л. Н. 7, 18
Тернер В. (Turner W. E. S.) 428
Терсенов С. А. 251
Тер-Степанян Г. И. 216, 220
Терцаги К. (Terzaghi К.) 203, 218
Тетере Г. А. 153, 173, 327
Тимербулатов М. Г. 444, 445
Тимошенко С. П. 252, 292, 326, 333; 335—338,.
340—342
Тирский Г. А. 25
Тихонов Н. И. 365, 421
Ткачук Г. И. 241
Тобольский А. В. 428
Товстик П. Е. 248, 249
Токарь Р. А. 215, 216
Толоконников Л. А. 73, 76—78, 327, 347
Томашевский Э. Е. 428, 431
Томленов А. Д. 105
Томас Т. (Thomas T. Y.) 100
Томсон В. (Thomson W.) 203
Томсон Г. И. 462
Тоноян В. С. 28, 29, 56
Торделла Дж. П. (Tordella J. Р.) 459
Трантер К. Дж. (Tranter С. J.) 35
Трапезин И. И. 248, 341
Траскин В. Ю. 439
Трахтенберг Б. Ф. 417
Тренин С. И. 20
Треска A. (Tresca H.) 80, 81, 392
Третьяченко Г. Н. 419, 421
Трефтц Э. (Trefftz E.) 71, 112
Троицкий Е: А. 156
Трокселл Дж. (Troxell G.) 161
Трунин И. И. 133, 432
Труфяков В. И. 410
Тульчий В. И. 244
Туляков Г. А. 133
Тумаркин С. А. 248
Тупин P. A. (Toupin R. А.) 368
Тютекин В. В. 295, 299
Тютюнов И. А. 221
Тян А. С. 320
Угодчиков А. Г. 25, 30
Ужик Г. В. 373, 395, 397, 402, 403, 407,
422
Уздалев А. И. 22
Уитни К. С. (Whitney С. S.) 178
Улитко А. Ф. 19, 22, 23, 35, 36, 385
Улицкий И. И. 156—159, 162, 163, 173, 176,
179, 180, 186, 189 — 191
Ульяницкий Д. Д. 248
Умнов И. А. 460
Урбановский В. (Urbanowski W.) 110
Урванцев Л. А. 443
Успенский И. Н. 296, 299
Устинов В. В. 464
Устинов Ю. А. 37, 382
Усюкин В. И. 246
Уфлянд Я. С. 5, 17, 26, 34^-39, 56, 252, 294,
379, 383, 385
Ушкалов В. П. 210
Фадеева В. Н. 26
Файлон Л. Н. Дж. (Filon L. N. G.) 55, 56,
386
Файнберг С. М. 228
Файншмидт В. А. 294
Федик И. И. 246
Федоров В. Л. 163, 179
Федоров И. В. 209, 210, 212, 214
Федоров И. С. 226, 455
Федоров Ю. А. 257
Федотова Л. И. 133
Федянин В. К. 17
Фейнберг С. М. 103, 392
Фельдман Э. П. 387
Феодосьев В. И. 234, 247, 248, 327, 338, 342Г
345, 369, 373, 414
Филатов В. М. 419

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
477
Филатов М. Я. 409
Филиппов А. П. 229, 248, 340
Филиппов А. Ф. 297, 299, 300
Филиппов И. Г. 299
Филоненко-Бородич М. М. 24, 28
Фингер И. (Finger J.) 71
Финдли В. Н. (Findley W. N.) 90
Финкель В. М. 397
Финци Б. (Finzi В.) 10
Флегонтов Н. И. 439
Флейшман Н. П. 22, 63, 65, 66, 244
Флитман Л. М. 295, 300, 301
Флоренский П. А. 433
Флорин В. А. 206, 218, 219, 221, 393
Фойхт В. (Voigt W.) 122, 373
Фокин Ю. Ф. 246
Фомин В. В. 444, 445
Фомина Л. Н. 313
Форд Г. (Ford H.) 106
Форсман Н. А. 23
Фрадлин Б. И. 241
Фрайфельд С. Е. 156, 179
Фрейбергер В. (Freiberger W.) 107, 112
Фрейденталь А. М. (Freudenthal A. M.) 170
Фрейсине Э. (Freyssinet E.) 156, 172
Френкель Я. И. 218, 423—425, 458
Френкель Я. М. 402
Френчко Ю. G. 392
Фридман М. Л. 458
Фридман М. М. 58, 299, 300
Фридман Я. Б. 373, 377, 383, 395—397, 400,
402, 411, 414, 415, 417, 419, 427, 460
Фролов М. М. 454
Фролов О. А. 245
Фрумкин П. В. 27
Фукс М. 444
Хаар А. (Нааг А.) 81
Хайкович И. М. 296
Хайретдинов Э. Ф. 224
Хакимов X. Р. 207, 210
Халилов 3. И. 255, 354
Хандельман Г. (Handelman G. Н.) 83
Ханин М. В. 365, 448
Ханнанов Ш. X. 425
Хансен Т. (Hansen Т.) 156, 159, 162, 171,
186
Ханукаев А. Н. 452, 454
Харви Э. Н. (Harvey E. N.) 457
Харлаб В. Д. 190
Хасис А. Л. 33
Хатиашвили Г. М. 32, 33
Хатт В. К. (Hatt W. К.) 156
Хаттон Дш. Ф. (Hutton J. F.) 459
Хачатурян Т. Т. 18
Хачиян Э. Е. 320
Хволес А. Р. 277
Хвостунков А. А. 133
Хейсин Д. Е. 253
Хилл P. (Hill R.) 72, 100, 102, 104—107, 109,
110, 212, 213, 452
Хищенко Ю. М. 341
Ходж Ф. Г. (Hodge Ph. G.) 112, 370
Холланд A. (Holland A. J.) 428
Холомон Дш. Г. (Hollomon J. H.) 396
Холчев В. В. 338
Хорошун Л. П. 152
Хофф Н. Дш. (Hoff N. J.) 128, 144, 145,
344
Хоэнемзер К. (Hohenemser К. Н.) 83, 303
Хрипина Л. А. 404, 408
Христианович С. А. 104, 390, 392
Хрусталев А. Ф. 20, 35, 38
Хрущов М. М. 446
Хюльт Я. (Hult J.) 129
Цай И. II. 293
Цейтлин Б. М. 150
Целли P. (Zoelly R.) 341 '
Цепелев Н. В. 298
Циглер Г. (Ziegler H.) 350, 351
Цилосани 3. Н. 156
Цой П. И. 299
Цурпал И. А. 62, 77, 244
Цытович Н. А. 206, 218, 220, 221, 393
Цянь С. С. (Tsien H. S.) 342
Чабан И. А. 298, 299
Чаевский М. И. 404, 436, 437
Чалышев К. А. 340
Чанкветадзе Г. Г. 22
Чебышев П. Л. 293
Чевычелов А. Д. 428
Чекин Б. С. 298
Челомей В. Н. 326, 327, 353, 354
Ченцов Н. Г. 309, 326
Чепова Т. К. 27
Черепанов Г. П. 70, 112, ИЗ, 370. 373, 374,
377, 378, 380, 381, 384, 386, 387, 389, 391,
393, 395, 398, 399, 414, 421, 427, 429, 430,
441, 449, 451, 455, 456
Черкасов И. И. 210
Черкашкин В. Г. 397
Черниговский А. А. 226
Чернина В. С. 242, 245, 248
Чернов Д. К. 416
Черноусько Ф. Л. 224
Чернуха Ю. А. 347
Черных К. Ф. 73, 94, 238, 242, 245
Чернышев А. Д. 305, 306
Чернышев Г. Н. 245
Чернявский Б. А. 444
Черняк Н. И. 411
Чечулин Б. Б. 402
Чжао Цзу-у 191
Чижик А. А. 152
Чирас А. А. 412
Чобанян К. С. 30, 189, 190
Чудновский В. Г. 328, 337, 339
Чулков П. П. 154, 260, 261, 328, 342, 343, 348
Чумак К. И. 385
Чуриков Ф. С. 8, 128, 133
Шаин Я. С. 20
Шальнев К. К. 365, 444, 445
Шандаров Л. Г. 356, 357
Шаншмелашвили В. Н. 241
Шапиро Г. С. 18, 19, 23, 34, 101, 292, 301, 304,
308, 309, 313, 318, 321, 323, 370, 463
Шапошников Н. Н. 339
Шарангия А. Ф. 32
Шахновский С. М. 241
Шахунянц Г. М. 221
Шачнев В. А. 21
Шашин М. Я. 410
Шашков И. Е. 350
Швайковский Е. О. 463
Швейко Ю. Ю. 256, 352, 356, 357, 399
Швецов А. В. 189
Шёвандин Е. М. 396, 400, 402, 422
Шевелев А. А. 19, 21
Шевляков Ю. А. 243, 244
Шевченко Ю. Н. 21
Шейкин А. Е. 156, 162, 163, 173, 182
Шемякин Е. И. 294
Шенк Дш. P. (Shank J. R.) 157, 176, 431
Шепеленко В. Н. 148, 154, 349
Шер Е. Н. 225, 451, 455
Шербелис К. К. 168
Шереметьев М. П. 56, 57, 63-—67
Шерман Д. И. 17, 25, 26, 28, 34, 40, 48—52,
56, 58—61, 63, 64, 66, 68, 293, 294, 296,
299, 379, 382
Шермергор Т. Д. 152
Шестериков С. А. 127, 139, 141, 145, 146, 154,
327, 349
Шестопалов Л. М. 424
Шехтер Б. И. 455, 456
Шехтер О. Я. 19, 206, 222, 300
Шилд Р. Т. (Shield R. Т.) 76, 108, 109
Шиллер Ф. (Schiller F.) 170
Шиманский Ю. А. 228
Шиоя С. (Shioya S.) 58
Ширинкулов Т. 196
Ширяев Е. А. 25, 386
Шишкин Н. И- 424
Шишмарев О. А. 90
Шишорина О. И. 404, 408
Шкенев Ю. С. 256
Шкербелис К. К. 431
Шклярчук Ф. Н. 256, 351, 352
Шлехте Ф. P. (Schlehte F. R.) 147
Шмаков В. П. 256
Шмаринов И. Л. 246

478
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Шматкова А. А. 151
Шмид Э. (Schmid E.) 82
Шмидт P. (Schmidt R.) 83
Шнейдерович Р. М. 135, 365, 411, 412,
413
Шорр Б. Ф. 139
Шоу Ф. С. (Show F. S.) 112
Шрейнер Л. А. 435, 448
Штаерман И. Я. 34, 67, 193, 198, 228, 237,
258, 326, 328, 338, 379
Шумский В. Ф. 459
Шушерина Е. П. 212, 219
Щапов Н. П. 373, 402, 403, 410, 422
Щепетев А. Н. 21
Щетинин Н. Н. 139
Щукин Е. Д. 424, 434, 438, 440
Эглит М. Э. 72, 95, 368
Эдельман Ф. (Edelman F.) 88
Эйлер Л. (Euler L.) 325, 338
Эйхингер A. (Eichinger A.) 82
Элам С. (Elam G. F.) 82
Энгессер Ф. (Engesser F.) 346
Эрдоган Ф. (Erdogan F.) 381
Эрлих Л. Б. 448
Эстрин М. И. 302, 305, 306, 315
Юдович В. И. 236, 238
Юрьев С. Ф. 462
Яббаров А. А. 253
Яворская И. М. 299
Ягн Ю. И. 87, 90
Якобсон К. К. 190
Яковлев Ю. С. 352
Яковлева В. И. 26
Якубович В. А. 327, 354
Якутович М. В. 396, 422
Янова Л. П. 434
Яновская Т. Б. 296, 297
Янсон 3. А. 296
Янчишин Ф. П. 436, 437
Ярема С. Я. 388, 391, 399
Ярошенко А. Р. 248
Ясинский Ф. С. 325, 338, 346
Яценко Е. А. 159, 161, 180, 190, 191
Яцкевич С. И. 403
Яшин А. В. 162, 167, 166, 183, 186-

СОДЕРЖАНИЕ
Линейная теория упругости (Л. И. Каландия, А. И. Лурье, Г. Ф. Манджавидзе,
В. К. Прокопов, Я. С. Уфлянд) 5
Нелинейная теория упругости (В. В. Новожилов, Л. А. Толоконников.,
К. Ф. Черных) ' 71
Теория пластичности (А. А. Вакуленко, Л* М. Кочанов) 79
Теория ползучести (Я). Я. Работное) 119
Ползучесть стареющих материалов. Ползучесть бетона (Я. X. Арутюнян) 155
Механика грунтов (С. С. Григорян, В» А- Иоселевич) 203
Теория упругих оболочек и пластинок (Я. А. Алумяэ) 227
Об одном направлении построения теории оболочек (И. Я. Векуа) .... 267
Динамика деформируемых твердых тел (Я. Z?. Зволинский, М. И. Рейтман,
Г. С. Шапиро) ; 291
Устойчивость упругих и неупругих систем (В. В. Болотин, Э. И. Григолюк) 325
Механика разрушения (В. 3. Партон, Г. Я. Черепанов) 365
Именной указатель 468

МЕХАНИКА В СССР ЗА ПЯТЬДЕСЯТ ЛЕТ
Том 3
Механика деформируемого твердого тела
М., 1972., 480 стр. с илл.
Редактор Г. К. Михайлов
Техн. редактор К. Ф. Брудно
Корректор Н. В. Румянцева
* * *
Сдано в набор 6/V 1972 г. Подписано к печати 7/IX 1972 г.
Бумага 70 X 108/ie. Физ. печ. л. 30. Условн. печ. л. 42.
Уч.-изд. л. 41,13. Тираж 5400 экз. Т-03379.
Цена книги 3 р. 29 к. Заказ № 0291
* * *
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
* * *
Ордена Трудового Красного Знамени
Московская типография № 7 «Искра революции»
Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР
г. Москва, Трехпрудный пер., 9