Text
НЕЛИНЕЙНАЯ
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 19 8 0
22.25 Л 86 УДК 531 Лурье А. И. Нелинейная теория упругости.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.— 512 с.
Книга содержит последовательное изложение принципов и приемов рассмотрения задач нелинейной теории упругости — интенсивно развивающегося в последние десятилетия направления механики твердого деформируемого тела.
Основные определения и методы разъясняются в прямых тензорных обозначениях, чем достигается доступность изложения.
Необходимые сведения из тензорного анализа изложены в Приложениях.
Рассмотрены законы состояния сжимаемого и несжимаемого нелинейно упругого тела, постановки и методы решения задач о его равновесии и устойчивости равновесия, уделено место уравнениям термоупругости.
Книга предназначена специалистам по теории упругости в научно-исследовательских институтах и высших учебных заведениях. Чтение ее не требует математической подготовки, выходящей за рамки программ исследовательских факультетов втузов.
Табл. 3, библ. 111.
Анатолий Исакович ЛУРЬЕ
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
М., 1980 г., 512 стр.
Редактор Н. П. Рябенькая
Технический редактор В. Н ”Кондакова
Корректор Е. В. Сидоркина
И Б № 2 211
Сдано в набор 25.01.80. Подписано к печати 24.06.80.
Т-13030. Бумага 60Х90*/1в. тип. № 1. Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 32,125. Уч.-изд. л.
35,59. Тираж 4500 экз. Заказ № 1 248. Цена книги 5 р. 20к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
1 1 7071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15]
Набрано в Ордена Октябрьской Революции н ордена Трудового Красного Знамени
Первой Образцовой типографии имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, М-54, Валовая, 28
Отпечатано во 2-ой тип. изд-ва «Наука». Шубинский пер. 10, Зак, 3278
20304—089 © Издатель ство «Наука».
Л ЯП 160-80. 1703040000 Главная редакция
иоо t.uzj-ou фнзико-математической литературы, 1980
ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства ..................................................... 8
Предисловие ......................................................... 9
Глава 1. Деформация сплошной среды.............................. 11
§ 1. Материальные координаты. Координаты места.................. 11
§ 2. Векторные базисы........................................... 13
§ 3. Градиенты места............................................ 14
§ 4. Меры деформации Коши — Грина и Альманзи.................. 16
§ 5. Тензоры, обратные мерам Коши — Грина и Альманзи............ 20
§ 6. Ортогональные тензоры, сопровождающие деформацию. Левый и
правый тензоры искажений. Мера деформации Генки .... 21
§ 7. Тензоры деформации........................................ 23
§ 8. Объемное расширение. Ориентированная площадка............. 26
§ 9. Дифференцирование мер Коши — Грина и Фингера.......... 28
§ 10. Варьирование деформированного состояния................... 30
§ 11. Варьирование сопровождающего деформацию ортогонального тензора.................................................. 33
§ 12. Вторая вариация скалярной функции тензорного аргумента 35
§ 13. Кинематические соотношения........................... 37
§ 14. Материальная производная интеграла. Закон сохранения массы 39
§ 15. Жесткие движения. Индифферентные тензоры............. 42
§ 16. Объективная производная тензора .......................... 45
§ 17. Переменная отсчетная конфигурация. Тензоры Ривлина—Эриксена ......................................................... 47
§ 18. Определение вектора места по заданию меры деформации . . 49
§ 19. Тензоры аффинной деформации.............................. 52
Глава 2. Напряжения в сплошной среде................................ 57
§ 1. Массовые и поверхностные силы............................ 57
§ 2. Тензор напряжений Коши................................... 61
§ 3. Уравнения движения сплошной среды..................... 67
§ 4. Тензор функций напряжений................................ 70
§ 5. О полярных средах...................................... 71
§ 6. Другие определения тензоров напряжений................... 73
§ 7. Элементарная работа...................................... 76
Глава 3. Уравнения состояния..................................... 80
§ 1. Простое тело ............................................ 80
§ 2. Принцип материальной индифферентности.................... 83
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Упругий материал............................................................................................................. 86
§ 4. Группа равноправности материала.............................................................................................. 89
§ 5. Ортогональное преобразование. Изотропный материал .... 93
§ 6. Твердое тело ................................................................................................................ 95
§ 7. Изотропный твердый материал.................................................................................................. 99
§ 8. Упругая жидкость............................................................................................................ 101
•
Глава 4. Уравнения и постановки задач нелинейной теории упругости ............................................................... ЮЗ
§ 1. Удельная потенциальная энергия деформации.................................................................................... ЮЗ
§ 2. Уравнения состояния ортотропного и трансверсально-изотропного материалов............................................... 106
§ 3. Уравнения состояния упругого изотропного материала .... 107
§ 4. Преобразование подобия отсчетной конфигурации............................................................................... 111
§ 5. Варьирование напряженного состояния......................................................................................... 112
§ 6. Уравнения равновесия в варьированном напряженном состоянии 114
§ 7. Тензор упругостей изотропной среды.......................................................................................... 116
§ 8. Представление тензора упругостей в базисе собственных направлений тензора напряжений.................................. 118
§ 9. Тензор упругостей........................................................................................................... 120
§ 10. Уравнения движения и равновесия изотропного упругого тела 123
§ 11. Эллиптичность уравнений равновесия................................... 126
§ 12. Акустический тензор упругой среды....................................................... 129
§ 13. О постановке краевых задач равновесия . 131
§ 14. Приемы рассмотрения задач о равновесии нелинейно упругого тела ........................................................... 133
§ 15. Универсальное решение уравнений нелинейной теории упру-
гости. Теорема Эриксена........................................................................... 136
§ 16. Принцип стационарности потенциальной энергии системы . . 138
§ 17. Принцип стационарности дополнительной работы........ 141
§ 18. Смешанные принципы стационарности Рейсснера и Ху—Вашицу 145
§ 19. Принцип Гамильтона — Остроградского............................ 147
Глава 5. Уравнения состояния нелинейно упругого материала . . . 150
§1.0 выборе уравнения состояния изотропного упругого тела . . 150
§ 2. Тело Сетха. Тело Синьорипи.................................................................................................. 151
§ 3. Материал Мурнагана.......................................................................................................... 154
§ 4. Преобразование коэффициентов уравнений состояния Синьори-ни и Мурнагана............................................... 162
§ 5. Полулинейный материал Джона................................................................................................. 163
§ 6. Материал Блейтца и Ко........................................................................................................ 168
§ 7. Энергия изменения объема и изменения формы.................................................................................. 172
§ 8. Тригонометрическое представление уравнения состояния . . . 174
§ 9. Критерий монотонности напряженного состояния Колемана —
Нолла........................................................................................................................ 177
§ 10. Критерий роста мощности..................................................................................................... 181
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ И. Эмпирический критерий......................................................................... 186
§ 12. Выпуклость удельной потенциальной энергии деформации . . 188
§ 13. Дополнительные неравенства нелинейной теории................................................. 190
Глава 6. Задачи нелинейной теории сжимаемой упругой среды . . . 194
§ 1. Аффинное преобразование отсчетной конфигурации.............................................. 194
§ 2. Одноосное растяжение стержня................................................................. 195
§ 3. Одноосное растяжение в материале Синьориии, Блейтца и Ко, полулинейном материале....................................... 196
§ 4. Простой сдвиг................................................................................ 199
§ 5. Чистый сдвиг................................................................................. 202
§ 6. Полулинейный материал. Задачи Ляме для цилиндра и сферы 206
§ 7. Круглая мембрана............................................................................. 210
§ 8. Плоская задача для полулинейного материала............................................... 215
§ 9. Изгибание полосы в цилиндрическую панель. Деформирование полого цилиндра ............................................. 222
§ 10. Эффекты второго порядка. Исходные уравнения....... 227
§ 11. Эффекты второго порядка. Построение решения....... 230
§ 12. Изменение объема тела, подвергнутого дисторсии. 235
§ 13. Эффекты второго порядка в задаче о кручении и растяжении стержня....................................................... 237
§ 14. Эффекты второго порядка в плоской задаче для полулинейного материала.................................................. 244
§ 15. О «физически-нелинейной» теории упругости.................................................... 249
Глава 7. Несжимаемый упругий материал................................................................. 253
§ 1. Упругий материал с наложенными связями....................................................... 253
§ 2. Несжимаемый упругий материал ... ............................................................ 257
§ 3. Эффекты второго порядка в несжимаемом упругом теле . . . 261
§ 4. Удельная потенциальная энергия деформации несжимаемого упругого тела................................................ 264
§ 5. Плоская деформация несжимаемого материала.................................................... 266
§ 6. Эффекты второго порядка в задаче о плоской деформации несжимаемого материала......................................... 277
§ 7. Аффинное преобразование отсчетной конфигурации в несжимаемом упругом теле.......................................... 281
§ 8. Универсальные деформации несжимаемого материала.............................................. 283
§ 9. Перечень универсальных решений............................................................... 285
§ 10. Кручение, растяжение, изменение диаметра кр\глого цилиндра 293
§ И. Задача Ляме для полого цилиндра.............................................................. 295
§ 12. Цилиндр, вывернутый наизнанку................................................................ 297
§ 13. Задача Ляме для полого шара.................................................................. 299
§ 14. Изгибание листа в цилиндрическую панель...................................................... 300
§ 15. Универсальные решения при наличии массовых сил.............................................. 302
§ 16. Универсальные решения уравнений движения..................................................... 305
§ 17. Дифференциальные уравнения Лагранжа для параметров в универсальных решениях .......................................... 308
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 18. Радиальные колебания цилиндрической трубки................. 309
§ 19. Радиальные колебания полой сферы........................... 311
§ 20. «Антиплоская» деформация в несжимаемом материале .... 313
§ 21. Построение универсальных решений Эриксена.................. 317
Глава 8. Малая деформация первоначально нагруженного тела . . . 327
§ 1. Равновесие в варьированном напряженном состоянии .... 327
§ 2. Потенциальная энергия, определяющее уравнение в "т^эх-кон-фигурации..................................................... 331
§ 3. Принципы стационарности в ‘7/эх-к0НФигУРайии.............. 335
§ 4. Малая деформация гидростатического напряженного состояния 337
§ 5. Наложение малой деформации на однородное напряженное состояние ...................................................... 341
§ 6. Наложение деформации кручения на одноосное напряженное состояние.................................................... 343
§ 7. Плоские волны в однородно напряженной упругой среде . . 345
§ 8. Плоские волны в гидростатически напряженной упругой среде 347
§ 9. Главные волны ............................................. 348
§ 10. Нейтральное равновесие и устойчивость ..................... 350
§ 11. Нейтральное равновесие полулинейного материала............. 352
§ 12. Приложение к задаче устойчивости сжатого стержня .... 355
§ 13. Безопасное нагружение. Оценки Холдена...................... 358
§ 14. Неравенство Корна ......................................... 362
§ 15. Неравенства Холдена и Битти................................ 364
§ 16. Сжатый стержень (эйлерова колонна). Материал Мурнагана 368
§ 17. Безопасное нагружение. Полулинейный материал............... 371
§ 18. Несжимаемое упругое тело................................... 374
§ 19. Безопасное нагружение несжимаемого упругого тела .... 377
§ 20. Устойчивость неискаженного состояния несжимаемого материала 378
§ 21. Несжимаемый материал. Сжатый стержень...................... 380
§ 22. Выпуклость по градиенту. Условие Адамара................... 380
§ 23. Условие Адамара и устойчивость............................. 386
§ 24. Сильная эллиптичность и устойчивость....................... 388
§ 25. Пример. Диск, деформируемый в жесткой обойме............... 390
§ 26. Плоские волны в однородно напряженной, несжимаемой упругой среде...................................................... 393
§ 27. Критерий Адамара в однородно напряженной, несжимаемой упругой среде ................................................. 399
Глава 9. Термодинамические соотношения. Уравнения термоупругости 406
§ 1. Уравнение баланса энергии. Первый принцип термодинамики 406
§ 2. Второй принцип термодинамики ............................. 408
§ 3. Свободная энергия. Диссипативное неравенство.............. 409
§ 4. Термодинамические потенциалы. Определяющие величины . . 411
§ 5. Представления через удельную внутреннюю энергию .... 414
§ 6. Уравнение теплопроводности................................ 415
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
§ 7. Изотермический и адиабатический процессы............... 417
§ 8. Уравнения термоупругости................................ 419
Приложения. Тензорная алгебра и тензорный анализ................. 422
Приложение I. Тензорная алгебра.................................. 422
§ 1. Векторные базисы........................................ 422
§ 2. Символ Леви-Чивита...................................... 424
§ 3. Представления вектора в. основном и взаимном базисах . . . 425
§ 4. Тензор второго ранга .................................. 426
§ 5. Определитель тензора .................................. 428
§ 6. Произведение тензоров. Обратный тензор................. 429
§ 7. Преобразование компонент тензора. Инварианты тензора . . . 430
§ 8. Ортогональный тензор................................... 432
§ 9. Главные оси, главные значения тензора второго ранга . . . 434
§ 10. Симметричный тензор.................................... 438
§ 11. Кососимметричный тензор. Ортогональный тензор.......... 439
§ 12. Полярное представление тензора......................... 440
§ 13. Представление тензора суммой шарового тензора и девиатора 441
§ 14. О тензорах высших рангов............................... 442
§ 15. Изотропные тензоры..................................... 444
Приложение II. Тензорные функции................................. 447
§ 1. Линейная функция тензорного аргумента.................. 447
§ 2. Скалярная функция тензорного аргумента. Производная скаляра по тензору.............................................. 448
§ 3. Формулы дифференцирования скаляра...................... 449
§ 4. Производная тензора по тензорному аргументу............ 451
§ 5. Изотропная скалярная функция тензора................... 453
§ 6. 'Скалярная функция векторов............................ 457
§ 7. Тензорные функции тензорного аргумента................. 458
§ 8. Обращение формулы связи между тензорами................ 462
§ 9. Тригонометрическое преобразование В. В. Новожилова . . . 464
Приложение III. Сведения из тензорного анализа................... 466
§ 1. Вектор-радиус. Единичный (метрический) тензор.......... 466
§ 2. Набла-оператор Гамильтона.............................. 467
§ 3. Примеры применения набла-оператора..................... 469
§ 4. Производные базисных векторов. Символы Кристоффеля . . . 470
§ 5. Ковариантное дифференцирование......................... 472
§ 6. Вычисление дифференциальных операций над тензорами ... 474
§ 7. Ортогональные криволинейные координаты................. 477
§ 8. Преобразование Гаусса — Остроградского. Преобразование
Стокса.................................................. 481
§ 9. Определение вектора по заданию линейного тензора деформации 485
§ 10. Тензор Римана — Кристоффеля. !Тензор Риччи............. 486
§ 11. Сведения из теории поверхностей........................ 490
Литература и библиографические указания.......................... 496
Предметный указатель............................................. 509
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Эта книга была сдана в печать, когда пришла горестная весть о кончине ее автора, выдающегося ученого-механика, профессора Анатолия Исаковича Лурье.
Работая над своим последним произведением, Анатолий Исакович поистине совершил человеческий и научный подвиг. Неизлечимо больной, преодолевая мучительные страдания, он спешил закончить рукопись. Ему не суждено было увидеть корректуру; она была просмотрена его учениками и сотрудниками.
Все, созданное Анатолием Исаковичем — ученым и педагогом,— несет отпечаток его замечательной личности. Неутомимый и страстный в исканиях, бескомпромиссный во всем, он отличался простотой и благородством, глубокой человеческой и профессиональной порядочностью.
Выходящая ныне книга — последнее свидетельство щедрого таланта ее автора; издательство гордится тем, что в течение полувека представляло читателям его труды.
Анатолий Исакович ЛУРЬЕ
1901—1980
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга посвящена теории упругости — одной из глав механики твердого деформируемого тела. Ревизия основных предпосылок и определений механики сплошной среды не входит в программу книги, на первое место ставится исследование процесса деформирования в принятой модели среды, упругом теле в данном случае.
Первые две главы содержат общие для всех сред представления о деформации и напряженном состоянии сплошной среды. Нет нужды передавать их содержание, об этом —в оглавлении и сопровождающих главы вводных замечаниях. Использован естественный для механики сплошной среды язык «прямого» тензорного исчисления без ссылок на компонентные представления, затрудняющие восприятие основных понятий и действий над ними.
Возвращение к компонентным записям, часто неизбежным в частных задачах, не может затруднить усвоившего этот язык читателя; требуются лишь навыки в элементарных алгебраических преобразованиях. В подтверждение автор может сослаться на многолетний опыт преподавания.
Цель третьей главы —определить место теории упругости в механике материалов, четвертой и пятой —описать поведение упругого тела: определяющие уравнения, получаемые по заданию удельной потенциальной энергии деформации, принципы стационарности; уделено место некоторым критериальным неравенствам, выводимым из требований монотонности и сильной эллиптичности. Вероятно не исключено, что в ближайшие годы эту «основную, неразрешенную задачу» ожидает решающее продвижение в связи с незатронутыми в книге вопросами существования решения краевых задач нелинейной теории упругости.
В шестой главе рассмотрены задачи равновесия сжимаемого упругого тела. Предполагается, что читатель этой книги отодвинет на второй план чисто математические вопросы и ограничится достаточно подробным изучением «эффектов второго порядка».
Наибольшим успехом нелинейной теории упругости признаются достижения в исследованиях несжимаемого (резиноподобного) материала; их очерк представлен в седьмой главе.
Убедительная постановка задачи устойчивости равновесия недостижима в линейной теории. Возможность продвижения со
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
стоит в рассмотрении малой деформации, наложенной на предварительно напряженное тело. Этому посвящена восьмая глава.
В девятой, заключительной главе, излагаются применительно к упругой среде основные термодинамические соотношения. Спорно место, отведенное в книге этим исходным для механики сплошной среды физическим предпосылкам. В другом варианте вывод уравнения состояния базировался на принципах термодинамики. Но в следующих главах для уравнений термоупругости не осталось места.
Ознакомление с первым и третьим Приложениями рекомендуется даже подготовленному читателю, чтобы приучиться к языку книги. Во втором рассмотрены применяемые на всем ее протяжении правила дифференцирования по тензорному аргументу.
О стандартных обозначениях в нелинейной теории упругости пока нет речи. В частности, обозначения в книге не согласованы с применяемыми в зарубежной литературе; в последних также имеется существенный разнобой. Читатель найдет и записи «с точностью до наоборот» одних и тех же соотношений в книге и в зарубежных публикациях.
Промежуточные выкладки проводятся с требующейся полнотой. Одно звено в цепи преобразований восстановимо, два — нет (Литлвуд).
С теплой благодарностью отмечаю помощь и критику моих дорогих друзей —Е. Л. Гурвича, В. В. Елисеева, П. А. Жилина, Л. М. Зубова, В. А. Пальмова, В. А. Пупырева, В. С. Черниной.
Отчетливо сознаю недостатки этого труда. Ни один автор не свободен от этого чувства. Сделал, что мог.
Автор
Глава 1
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 1. Материальные координаты. Координаты места
В механике системы конечною числа или счетного множества материальных точек каждой точке приписывается сохраняемый ею в процессе движения номер. Эта возможность отпадает цри рассмотрении сплошной среды —континуального множества элементов, называемых частицами, материальными точками, «телами-точками». Различение достигается введением непрерывно изменяющихся переменных. Для этого, задавшись некоторой фиксированной конфигурацией трехмерной сплошной среды, приписываем каждой ее частице М тройку чисел с?1, q2, <?3 —ее «номер», остающийся неизменным в процессе движения. Частицам окрестности М сообщаются бесконечно близкие номера дЧ-бд1, g2-|-6g2, <734-6д3. Место частицы в этой фиксированной конфигурации, называемой далее отсчетной и-конфигурацией, задается вектор-радиусом г— непрерывной и требуемое число раз дифференцируемой вектор-функцией
г = г (q\ q\ q3). (1)
Тройку чисел (q1, q2, q3) называют материальными координатами частицы М. Например, qs могут быть декартовыми координатами (обозначаемыми as) места частицы в отсчетной конфигурации среды в системе осей OXYZ
г = ца1 + i2a2 +i3a3. (2)
Это необязательно, конечно. Ничто не препятствует принять за qs криволинейные координаты, например, цилиндрические (г, <р, г), сферические (Э1, fl, X). Существенно лишь то, что задается правило взаимно однозначного сопоставления троек qs и частиц
Движением среды определяется место каждой ее частицы в любой момент времени t. Оно задается вектор-радиусом
R-R(r/\ g2, q3-, t). (3)
Этим определяется актуальная ^-конфигурация— ее гладкое отображение в момент t на область в евклидовом пространстве ©8> определяемую заданием области изменения материальных координат.
12
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
Необязательно считать, что отсчетная v-конфигурация является одной из актуальных при фиксированном t (например, £ = 0); но часто это во многих отношениях удобно. Тогда
RG?1, q2, q2; O)^r(q1, q2, q2). (4)
Во введенной выше единой для всех конфигураций декартовой системе 0XYZ
R-iX^1- q2- q''\ t), r isas (q1, q2, q2) *) (5)
и, в частности, при q' u':
xs (a1, a2, a2-, 0) — as (s — 1, 2, 3). (6)
Требование однозначности отображений (1) и (3) предполагает разрешимость систем уравнений
as = as(q1, q2, q2), x^x^q1, q2, q2', t) (7)
относительно qk. Известно, что необходимым и достаточным условием этого является необращение в нуль якобианов
I das I £7) (а', а2, а2) , /-^ _ I dxs I_45 (х1, х2. х2)
V S 45 (у1. ?2, ?3)’ ° ~~ I dqk\“ S>(<71, <72. Л
в области задания qs', они положительны при надлежащем согласовании нумераций координат.
По известному свойству якобианов их отношение
дх5 S) (х1, х2, х2) dV дак YD (а1, а2, а2} — dv
(9)
равно отношению элементарного объема dV частиц в актуальной конфигурации к объему dv тех же частиц в отсчетной конфигурации.
Функцию T (q1, q2, q2\ t) материальных координат и времени, будь то скаляр, вектор, тензор, вследствие однозначной разрешимости уравнений (7), можно рассматривать и как функцию или (ак, t), или (хк, t). Конечно, вместо проекций г, R на оси можно говорить об их компонентах в любом векторном базисе и принять обозначение
4(q‘- t) -Т(г; I), ¥(</', 0 = ^(R; 0- (Ю)
Эти функции определяют поля величины ¥ в V- и соответственно ^-конфигурациях. Первое представление называют материальным, второе — пространственным. Часто встречающиеся наименования «лагранжево» для (г; t) и «эйлерово» для V (R; t) не применяются далее. К- Трусделл указывает, что они не оправ
*) Векторный базис ц совпадает со взаимным Ч; в последнем декартовы координаты будут обозначаться as, xs. Это позволит сохранить правило суммирования по повторяющимся верхнему и нижнему (немым) индексам.
§2]
ВЕКТОРНЫЕ БАЗИСЫ
13
даны исторически—Эйлер применял и «лагранжево», а Далам-gep_ «эйлерово»» описание.
Материальное описание — слежение за движением фиксированной частицы qs, при пространственном — наблюдается протекание во времени процесса в данном месте. «При движении жидкости, когда деформируемая масса приходит неизвестно откуда и уходит неизвестно куда, предпочтительно рассматривать, что происходит здесь и теперь. Но, будучи удобным кинематически, пространственное описание малопригодно при изучении принципов механики сплошной среды, так как не то, что происходит в пространстве, а явления в самой среде определяют законы ее поведения» (К. Трусделл).
В статических задачах отпадает зависимость R от времени Т, вместо здесь говорится об актуальной ^-конфигурации. Отчетливое различение конфигураций — необходимая предпосылка понимания всех построений механики сплошной среды.
§ 2. Векторные базисы
Векторные базисы — исходный и взаимный (I, § 1), в отсчетной конфигурации задаются тройками векторов (п-базисы)
г'-^% = |е1йг4хг(, (1)
а единичный (метрический) тензор и тензор Леви-Чивита их представлениями
Е = = 6 = esktrsrkrt ejHrJr‘rf (2)
через их компоненты
gSk-rs-rk, /у'!< r'-rk. r-щ es*‘-rs-(r‘xr'), еш = г5-(г^хг().
В актуальной конфигурации применяются соответствующие прописные буквы (Тэ<-базисы)
R, R =G^Ra-Ц R ..R.,
Е - GsftRsR* - G^R.R, - R.R - R‘’R/>
e - e^RAR(=ejHR^RftRz. w
Компоненты вектора и тензора в у-базисах снабжаются нуликом сверху; в ^-базисах следовало бы применить сверху t, но это не будет делаться, так как обычно нет нужды фиксировать момент времени. Например,
о о
Q = qmnrmrn = qmnrmrn = qmnRmR” =
14
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
и т. д. Такая же система обозначений применяется для символов Кристоффеля, набла-операторов, ковариантного дифференцирования
г ° 1 (dSrs jdgts dgrt\ (°( /° 1
= Т < > M s [rZ> m]’ (7)
[rt, s] =4^ + ^--j s\ = Gsm[rt,rn],
L J 2 \ Qqt 1 dqr dqs j \rt ( l > J
° а о 00
v v“-rV-',r'r‘VA' (8)
V-R,a?’ va=R‘^™RsR*vA. так что
5a 0 0
^y = rj- va = var rf = R5-va= VaT-R,. (9)
Применяются представления тензоров одновременно в двух конфигурациях, отсчетной и актуальной, например,
Q = <7amraR“ = qamraRm = qma^mra, (Ю)
причем для отсчетной конфигурации использованы греческие индексы.
Представления базисных векторов в декартовой системе осей определяются формулами
. . дат . -mdqs г, . дхт s .mdqs ,11ч г - i — Г'5 = 1/Я——• к — i -— (11) * mdqs ’ да”' s дх™ ' '
Вектор места R в актуальной конфигурации (г —в отсчетной) иногда представляют в базисе отсчетной (актуальной) конфигурации:
r=Rip5=R5pJ (12)
и применительно к этим представлениям о
Rt = Hv/%*> n~-R'’v/pi- (13)
§ 3. Градиенты места
В соответствии с определением базисных векторов и набла-операторов составляются тензоры-градиенты векторов места частицы в актуальной и отсчетной конфигурациях
^R = r’3?“r’R- 'г X R'. Ш
и транспонированные градиенты места о
VRT = Rp-\ VrT = r,R\ (2)
§31
ГРАДИЕНТЫ МЕСТА
15
Представления этих тензоров через компоненты в декартовых координатах имеют вид
0 дх11 NR = И/; , /г das v пт . .^дхк - к das v .„. duk Vr = 15к T—; « dxs (3)
и по (1.9) 0 det NR _ |dx*|_ 1/'G ~ | das | — V g ’ (4)
Тензор Vr —обр 0 0 атный VR, VR — Vr = (vr)-1, обратный Vr VR = (Vr)"1, (5)
что сразу же следует из их определения (1) о
Vr VR = 1Сг. • r*RA = R*R, = E.
Из приведенных соотношений следует о о
dR = dr VR = VRTdr, dr ~dR-Vr = VrTdR. (6) Например,
о
dr • VR = dqkrk rsR^ = dqkRk = dR.
Полезны также представления дифференциалов dqs dqs=Rs-dR = rs-dr. (7)
Из соотношений а 0
-£- = r.V=R.V (8)
dqs s - ''S \ f
0 следуют формулы, связывающие набла-операторы V, V оо о
V() = VR.V(), V() = Vr-V() (9)
в применении к вектору а и к тензору второго ранга Q. В применении к вектору имеют место и соотношения
оо о
VaT = VaT-VRT, VaT = VaTVrT. (10)
Следствием (2.12) служат формулы 0 0 0
VR = rtriV<x5 = rfrsV/xi, Vr = R%VtZs= RfRWtx,. (11)
Очевидны соотношения
о
VR = RX = E, Vr==r*rf = E. (12)
16
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
Понятие градиента места постоянно используется во всем дальнейшем. Другое наименование, применяемое в зарубежной литературе,— градиент деформации *).
§ 4. Меры деформации Коши — Грина и Альманзи
Деформацию в сплошной среде принято характеризовать изменением длин и направлений векторов
о о
dr = e)dr| = eds, dR = e|dR| = edS (1)
в точке (q1, q2, q2), место которой в v- и ^-конфигурациях задается вектор-радиусами г и R. По (3.6)
оо 0 0
dR -dR -= dS2 = dr • VR • VRT • dr = dr • G • dr = ds2e • G • e, (2)
dr • dr ds2 - dR Vr • VrT • dR = dR • g • dR = dS2e • g • e. (3)
Здесь введены в рассмотрение тензоры: мера деформации Коши — Грина G
о о
VRVR‘-G r'R5R/;K Gskrsrk (4)
и мера деформации Альманзи g
Vr- VrT = g = R?rrrfcRA = g'iARiRA. (5)
Мера Коши — Грина определена в д-базисе, мера Альманзи — в ^-базисе; их ковариантные компоненты равны ковариантным компонентам метрического тензора Е в и соответственно в v- базисе. Было бы тяжелой ошибкой отождествлять G или g с Е. Так, переход к контравариантным компонентам этих тензоров осуществляется по общим правилам пересчета от ковариантных компонент в v- ^-базисах
Gsk^gsmgknGmn, gsk^GsmGkngmn, (6)
и это отнюдь не контравариантные компоненты Е.
Определитель произведения тензоров равен произведению их определителей [см. (1.6.4)]; поэтому, основываясь на (3.4) и определениях (4) и (5), имеем
detG=—, detg = -|, (7)
g ’ s G ' '
тогда как det E = 1. Напомним, что через G и g обозначались определители ковариантных компонент Е [см. (1.1.9), (1.4.14), (2.5)].
*) Наш термин «деформация» в литературе на английском языке передается словом strain; deformation применяется в нескольких смыслах.
§41
МЕРЫ ДЕФОРМАЦИИ КОШИ — ГРИНА И АЛЬМАНЗИ
17
Тензоры G и g определенно-положительны, это следует из оп-/ ^5 \ 2 / ds \ 2
ределенной положительности квадратичных форм —
см. (2), (3). Поэтому положительны их главные значения Gk, а обозначив через ей, еА—главные направления этих тензоров, имеем по (1.9.14)
0 0 0 0 0 0
G = G1e1e1 + G2e2e2 + G3e3e3, g = ^е1 + g3e2e2 + g3e3e3 (8)
, О О \ 0 0
конечно, е5 = е^, es = e,J. Теперь, приняв в (2) и (3) е. = е.к и соответственно е = ел, получаем
(f)rr^=1 + 6fe’ (йК = ^==1 + ^==<1 + ^"1 <9)
— единичный в отсчетной конфигурации отрезок по главному о
направлению еА меры Коши приобретает длину 1 Ьк в ^-конфигурации, тогда как единичный в актуальной конфигурации отрезок на главном направлении еА меры Альманзи имел в отсчетной конфигурации длину 1 + Аа; бА и Ал можно назвать главными относительными удлинениями
я 4S/; dsk . dsk — dSk k~~~dTk ’ /г ~ dSk
Далее используются также обозначения
Gk = v%, гу-ИА: gk--G/[1^vki. (10)
Очевидно, что —1 < < сю, 0 < ик < <х> — крайним значениям
соответствуют исчезновение длины и бесконечная длина стержня. Принимая теперь в (2) и (3)
о о
Т/и ____. R ________R tn
lr«l е = /сА’
(11)
иначе говоря, рассматривая единичные отрезки по направлению базисных векторов, приходим к формулам
(— ( гт*И*Гт''. /2 । Gmm / ds \ / Rm'g’ ~l/~ gmm
sim \ gmm J ' gmm ’ \dSjm \ Gm№ j r Gmm’
(12) содержащим геометрическое истолкование диагональных компонент мер деформации G и g.
С целью выяснить геометрическое значение недиагональных компонент, рассмотрим>й^^ще^Жчв v- и ^-конфигурациях
18
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
векторы dr', dr" и соответственно dR', dR". По (1), (2), (3)
о о
dR' = dr' • VR = е' dS', dR" = VRT dr" = e"dS",
0 0 0 0
dR' • dR" = e' e" dS' dS" = dr' • W? VRT dr" = ds' ds" e' G • e",
о о
причем, конечно, dr' = e'ds', dr" = e"ds". Получаем j.» о о /о oo о \->/2 о о
e'-e" = g7^7e'-G-e" = (4e'-G-e'e"-G-e"/) e'Ge" (13) и аналогично
О 0 лс/ ле»
е'-е" = <14)
Uu Llj о о
Направив е', е" вдоль базисных векторов г.., rt v-конфигура-ции и назвав <psf угол, образуемый этими векторами в актуальной конфигурации, по (12) имеем
C0S(p5f= yg^-^=.G-^ = -7^L=. (15)
Н ' GssGtt^gss ygtt ]^GssGit
По (14) аналогично получим
cos<p^=-^L=, (16)
V gssgtt
причем — угол в ^-конфигурации между базисными векторами
RJ; Rt ^-конфигурации.
о
Формулы связи между единичными векторами е, е в точке в v- и ^(-конфигурациях. Имеем 0 0 0 О О . О О j
dR = edS = dr-VR = eds-VR, е = е-VR^ = VRT-е и аналогично 0 0 до до
dr = eds = dR- Vr -e.dS- Vr, e = e-Vr-^- = VrT-e-^.
Приходим к соотношениям oo oo
e = —e'vR = VRT~e e~Vr _ Ут~е му)
/0 0V/2 /о 0V/2 ’ (e-g-e)‘/2 (e-g-e)1/2
\e-G-e J \e-G-e )
0
В частности, если e — единичный вектор на направлении г$, то по (11), (12) и (3.1)
(19)
(20)
(21)
$4] МЕРЫ ДЕФОРМАЦИИ КОШИ — ГРИНА И АЛЬМАНЗИ 19
__иначе говоря, вектор в левой части (17)j — единичный вектор о
на направлении R/, конечно, е слева в (17)2—единичный вектор на г,. В частности, для главных направлений еА, е/; мер G и g 0 0 о
efc-^=l/Gftefc.Vr. (18)
/G/г ^gk Х
По (3.11), (4) и (5) выражениям мер деформации G и g можно придать также вид
G = VR. VRT = r*rfV4, v// G5/ = V5xftVfxft, g = Vr • VrT = RSR* VjP/.V/P\ gst = V5pAVfpft.
В частности, в декартовой системе осей г' г' dxk dxk
G==6<s<>11’ G<s(> = ^ —, _ -см dak: dak
g = gw/ g<so = ^^.
Через q<mn> обозначаются компоненты Q в декартовой системе, если это неясно по тексту.
Перемещение сплошной среды называется жестким, если преобразование отсчетной конфигурации в актуальную задается законом перемещения абсолютно твердого тела
R = Ro + (г- г0) -О. (22)
Здесь О — собственно ортогональный тензор, один и тот же для всех частиц среды, Ro, г0 —векторы места полюса 6, u0 = Ro — г0— его перемещение.
По (22) имеем
R5 = r5-0, VR = r’rrO—О, VR VRr G E. (23)
Мера Коши в жестком перемещении оказалась единичным тензором; этого следовало ожидать: для любого направления е по (2)
fdsy ° г ° 0 ° 0 0 .
-у- — е-G-е — е-Е • е = е-е = 1 \ ds J
расстояние между частицами среды остается неизменным. Надо Доказать обратное — условие G = E выполняется только для жесткого перемещения. Сославшись на теорему Риччи (III.2.17), (Ш.5.11), имеем
VG = VE == О, VftGf (= (V.R,) Rt + Rf • VftRf = 0.
20
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
Записав еще два соотношения, получающихся из написанного при круговой перестановке индексов kst, вычтя из суммы двух третье, получим
(VX)-Rt=o.
Теперь, приняв декартовы координаты отсчетной конфигурации за материальные, приходим к системе уравнений
с определителем (1.7), равным 1
= = 1, (24)
да1 |
так как рассматривается собственно ортогональное преобразование.
Итак, следствием условия GE является равенство нулю всех вторых производных декартовых координат актуальной конфигурации по координатам отсчетной
=0, — = Xsm, xm = 'ksmas+cm, R=rA-)-c. (25)
daW das v '
Такое линейное преобразование отсчетной конфигурации в актуальную (декартовых координат в декартовы) называется аффинным; А —постоянный тензор, осуществляющий это преобразование. Но
VR = A, G-=E = A-A’, Ar = A“i, А = О,
так как условие равенства транспонированного тензора обратному определяет ортогональный тензор. По (24)—это собственноортогональный тензор.
Формулу (25) теперь можно представить и в виде (22), как и требуется.
§ 5. Тензоры, обратные мерам Коши—Грина и Альманзи
Эти тензоры вводятся соотношениями [см. (3.5)]
G-' -(VR-VRrr' - Vr1-Vr rsR"-R/;r;; G'%r/;, (1)
g-1 — (Vr • Vrr)“l --- VR1 • VR — RsrJ rftRft g,ftRsRft. (2)
Они определены — первый в v-, второй в ^-базисе, а их контравариантные компоненты равны контравариантным компонентам единичного тензора Е соответственно в и ц-базисах.
§ 6] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ. МЕРА ГЕНКИ 21
Главные значения, значит и инварианты, тензоров G и g-1, g и G-1 друг другу равны, поскольку равны главные значения тензоров А-Ат и А1'-А. Вместе с тем главные значения G и G1, g и g-1 обратны друг другу, а их главные направления совпадают— см. (1.9.14), (1.9.15). Тензор g-1, далее постоянно при-
меняемый, называется мерой Фингера и обозначается
Fg'VR'AR. (3)
Представлениям введенных четырех мер деформации теперь придается вид
0 0 0 0 0 0
G = G^e1 4-G3e2e2 + G3e3e3, (4)
g==’UTeiel + ie2e2+оГезе3’ (5)
1 0 0 1 0 0 1 о о
G-* = -^-eiei4-l-e2e’ + J-e3e3, (6)
F=g-1 = G1e1e1 + G2e2e2 + G3e3e3. (7)
Инварианты этих тензоров определяются формулами
К (G) = I, (F) = Gj + G2 + G3 = gskGsk,
I2 (G) = /2 (F) = G,G2 + G3G3 + G3G4 = = I3 (G) gsfcG'k,
/3(G) = /3(F) = 0^ = 1, (8)
Л (g) - A (G-) = i
A(g)-4(G 0 = /g = G|Gi + G/! + A'O;..
/M = f.
Были использованы соотношения (1.7.12), (1.9.8).
§ 6. Ортогональные тензоры, сопровождающие деформацию. Левый и правый тензоры искажений.
Мера деформации Генки
о
Градиент места VR, как всякий неособенный тензор, можно представить его полярным разложением (I. § 12.1)
VR = U 0 = 0 V, (1)
в котором U, V —определенно-положительные симметричные тензоры, О —ортогональный тензор, сопровождающий деформацию
22
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
По (1)
VRT=O U VOT (2)
и представлениям мер Коши—Грина и Фингера придается вид
G = VR VRT = U О 0‘ U = U2, F = VRT VR = V • От О • V = V2,
(3) так что
U-G-, V —F1/*; O G -VR-VR F -. (4)
Тензоры U и V называют левой и правой мерами искажений.
Их главные значения по (4.10) равны ]/Ga = va, а главные нап-о
равления задаются ортонормированными триэдрами е$ и е5. Ортогональный тензор, осуществляющий совмещение первого триэдра со вторым, по (1.8.12) может быть представлен выражением
о о
О = e5es, От = е^е*, (5)
преобразуемым по (4.18) к видам
/ ° ° оо о о х
о = ( + IVR^G'VRL'-1-VR, (6)
vKGi Kg2_ KGs/ _ '
OT = (KG^e1 + ]^G2e2e2 + G3e3e3) • Vr = F1^ • Vr = V - Vr. (7)
Представление (6) непосредственно проверяется по (4). Следствием (1) и (3.5) являются соотношения
Vr = ( Vr)-1 — От-U-1 = V-1 • От, VrT= U-1O =0-V-1. (8)
Из них также следует представление (7). Отметим еще применяемые далее формулы
V = OT U О, U = O V От; F = OT G О, G = O F OT. (9)
Процесс деформирования, описываемый мерой Коши—Грина, можно характеризовать изменением длин единичных отрезков по главным направлениям до значений щ. и последующим пово-о
ротом триэдра е5 в триэдр es главных направлений меры Фингера.
Ортогональные тензоры, сопровождающие деформации, которые здесь рассмотрены, обозначаются, если требуется их отличить от других ортогональных тензоров, 0х, Охт.
Тензоры G и g (или F) непосредственно вычисляются через производные векторов места R, г. Определение же тензоров U, V — извлечение квадратного корня из тензора — неизбежно
§7]
ТЕНЗОРЫ ДЕФОРМАЦИИ
23
потребовало бы представления через эти данные главных значений и направлений G и F, возможного лишь при конкретном числовом задании компонент Gst, g11*.
Через правый тензор искажений выражается применяемая иногда мера деформации Генки
H = lnV, V = ехр Н = e^l/Gj + е2егКб2 + вде8}/G3. (10)
Главные значения и первый инвариант меры Генки равны
tfA = lnj/G; = lnvA) Л(Н) = 1п/^ад = 1п}/(И) о
Замечание. Собственные векторы е^, е5 определены с точностью до знака, если собственные значения Uk тензора U некратные. Поэтому формула (5) определяет восемь различных ортогональных тензоров, когда все Uk различны, и континуум ортогональных тензоров при наличии кратных собственных значений Uk тензора U. В соотношении (5) предположено, что вы-fl
браны какие-либо три собственных вектора efe; собственные векторы еЛ тензора V определяются вслед за тем формулой (4.18).
§ 7. Тензоры деформации
В рассмотрение вводится вектор перемещения из отсчетной конфигурации в актуальную
u = R- г (1)
— отсчетная и актуальная конфигурации неотличимы при и = 0. При этом условии меры деформации представляют единичный тензор Е, тогда как определяемые по ним тензоры деформации оказываются нулевыми тензорами. Это облегчает их линеаризацию при достаточно малых градиентах вектора перемещений.
о
В ^выражениях мер деформаций градиенты места VR, Vr заменяются их представлениями [см. (3.12)]
ООО о
VR = Vr4-Vu = E + Vu, Vr = VR —Vu = Е — Vu (2)
И это позволяет преобразовать выражения мер к виду
„ / о \ / О \ ГО ,00-1
G = \E + VuJ-(4E + VutJ = E + 2 |e(u) + y Vu-VutI = Е + 2С, (3)
= E-2A, (4)
8 = (E—Vu)-(E — VuT) = E — 2 (u) — | Vu- Vu
G~1 = (E —VuT)-(E —Vu) = E —2 Гв(и) —у VuT-Vu = E-2C',(5) f = (e + Vut) • (e + Vu)=E + 2 e(u) + y VuT-Vu] =E+2A'.(6)
24
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
О
Здесь е(и) и 8 (и) — линейные тензоры деформации (III.2.И) в v- и Т^-базисах
0 1 / 0 0 \ 1
E(u) = y (vu + VutJ, E(u)=y (Vu + VuT). (7)
Симметричные тензоры С, А, С', А'— тензоры деформации, С — тензор Коши—Грина, А — тензор Альманзи. Изопределений (3)—(6) следуют соотношения
С = у (G — Е) = у (Gsk r’r\ А = у (Е—g) =
= (8)
С' = у (Е — G-1) = у -G'*) гЛ, А' = | (F - Е) =
= l(^_G^)RjRft (9)
— ковариантные компоненты С и А, контравариантные С' и А' равны; но это конечно, различные тензоры, так как С, С' заданы в п-базисе, А, А' в — ^-базисе. Например, контравариантные компоненты С и А равны
Cst = gsmginCmn, Ast = GsmGtnAmn.
По (III. 2.4), (1.14.12), (1.11.4) тензоры вида Vu-VuT преобразуются к виду
Vu • VuT = (в — Й) • (в + й) = 82 £ й — й • 8 — й2
= 82 “Г 8 Й + (е- Й)т — Й2 =82 — 0X8 - (ох е) т-ф- Е(0(0 — (0(0. (10)
Здесь й — кососимметричная часть VuT, (о — сопутствующий Й вектор. Это позволяет представить выражения тензоров деформации Коши—Грина и Альманзи в виде
О 1 ГО 0 0 / О 0\ 0 0 0 0'
С — 8 ф-у 82 — 0X8—( 0X8 )тфЕо-О-ОО
А =8 — у [е2 — (0X8—((0/'8)'-ЕО'(0— (0(0].
(11)
(12)
Аналогично, имея в виду, что
VuT • Vu = 82 ф- (О Х8 ф- ((О X 8) г + Е(0- (О — (0(0, (13)
можно записать выражения С' и А'. Например,
0 1
А =Е(и)+у
'О 00 / О 0\ 00 0 0-
82 ф- О X 8 ф- ( О х 8 )т 4 Е(0 • (О —(0(0
(14)
§ 7]
ТЕНЗОРЫ ДЕФОРМАЦИИ
25
В декартовых координатах компоненты С и А представляются формулами
г — о I 1 duk ди'! д — с 1 duk дик
C<s/> - e<s/>+ 2 daS м , Ast-^st> 2 -g^s~ (15)
Представления в криволинейных координатах составляются по формулам ковариантного дифференцирования (III. § 5), а в ортогональных криволинейных координатах — (III. § 7).
Компоненты в декартовых координатах тензоров С', А' имеют вид
__ 1 dus ди, , о 1 dus dut
A^t> = s<st> + ~2 ~fak (16)
(в декартовых координатах нет нужды компоненты вектора и отмечать нуликом).
Инварианты тензоров деформации. Их несложно выразить через инварианты мер Ik (G) 1к (F), Zft (g); надо степени тензоров до третьей включительно выразить через степени мер
С = ЙО-Е), C2 = -hG2-2G+E), ! (17)
C3 = -i(G3 — 3G2 + 3G — Е)
и вслед за этим использовать формулы, выражающие инварианты степеней тензора через его инварианты (1.7.9), (1.7.11). Получаем
Л (С) = 4 [Л (G) — 3], /2 (С) = 1 [Л (G) - 21, (G) + 3], ! (18)
Л (С) = у [Л (G)-/2(G) + /X (G) —1] и аналогично
Л (А) = 1 (3 - Л (g)), /2 (А) = 1 [/2 (g) - 2Л (g) + 3], . 4 (19)
Л (А) = |[- Л (g)H-/2 (g)-1, (g) Ф1].
Обратные соотношения имеют вид
I, (G) 21, (С) + 3, /2 (G) 4/2 (С) + 41, (С) + 3, /3 (G) = 1 + 21, (С) + 4/2 (С) + 8/3 (С),
/х (g) =^3 —2/х (A), /2(g) = 3-4A(A) + 4/2(A),
Л (g) = 1 - 21, (А) + 4/2 (А) - 8/3 (А). >
Более сложны зависимости между инвариантами тензоров А и С. Можно их получить, используя формулы связи (5.9) между
26
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
1ГЛ. 1
инвариантами мер. Например,
ЛЙ)=з-2/,(А) = И§,
так что по (20)
j . /i(C)+4/a(c)+i2/3(c)
1 ' 1 + 2/1(С) + 4/2(С) + 8/3(С) •
Громоздкость этих соотношений, как и предшествующих формул, заставляет предпочесть меры деформаций тензорам. «Вводя перемещения вместо координат *), ничего не выигрывают, а наоборот теряют в смысле краткости и обозримости формул» (Кирхгофф).
При жестком перемещении среды (4.22) тензоры деформации — нулевые. Это и само по себе понятно и, конечно, следует из (4.23), (8), (9).
Линейный тензор деформации при жестком перемещении — отнюдь не нулевой.
Действительно, по (7) и (4.22)
g (Ц) = Vu + VuT) == 1 ( VR + VR? - 2Е) = у (О + От-2Е). (22)
Вместе с тем о о Vu • VuT = (О — Е) • (От — Е) — 2Е — (О ф- От)
и, как требуется, по (3)
2СО + ОГ — 2Е + 2Е-(ОДОТ) = 0.
§ 8. Объемное расширение. Ориентированная площадка
1. Объемное расширение—это отношение разностей элементарных объемов dV и dv в актуальной и отсчетной конфигурациях к объему dv в отсчетной конфигурации. По (1.9) и (7.20)
® = /|-1=/7Г(С)-1 =
= [14-2Z1(C)4-4Z3(C) + 8Z3(C)]V2 _ 1. (1)
Эту же величину можно представить выражениями
® - 1 = - 1 = (1 + 6J (1 + 62) (1 + S3) - 1 =
= [(1 + 2СХ) (1 + 2Q (1 + 2С3)Р - 1, (2)
причем СА, —главные значения тензора деформации Коши—Грина.
*) В принятом здесь изложении «вектора места».
J8] ОРИЕНТИРОВАННАЯ ПЛОЩАДКА 27
2. В обозначениях (4.1) векторы ориентированной площадки в отсчетной и актуальной конфигурациях определяются выражениями
о о
п do = dr'X dr"— е'Хе" ds'ds", NdO = dR'xdR" = e'xe"dS'dS". (3)
формулы (4.17) и (3.1) позволяют преобразовать NdO к виду 0 0 0 0 о о
N dO = е' • VR х УRr - е"ds'ds" = е' r% х Rfcr*- е" ds'ds". (4)
По (1.2.4), (1.2.3) и (2.2), (2.3) имеем далее
RfxRft=6^tRf= У ]/-|e^Vr-r' = ]/ yVr-(r,xrft)
и подстановка в (4) приводит к соотношению
/7Г /° о \ /7Г /° 0 \
— Vr-^е' rsrsxr/lrk-e"jds'ds"= у у Vr-( е' xe"J ds'ds".
Пришли к многократно применяемому далее соотношению между параметрами ориентированной площадки в актуальной конфигурации и ее прототипа в отсчетной конфигурации
NdO = j/ Vr • n do = У n • VrT do. (5)
Обратное соотношение имеет по (3.5) вид
ndo = j/-jVR-NdO = ]/|-N-VRTdO. (6)
Следствием этих формул и определений мер деформации (5.1), (5.2) являются соотношения
= У|(n-VrT-Vr-n)‘/2 = У^-(n-G^-n)*/*, 5 б
^-=/X(N.F.N)V. (7)
— меры G-1 и F определяют отношения площадей ориентированных площадок в и ^-конфигурациях, подобно тому как G. g—отношения длин отрезков.
Формулы связи между единичными векторами N и п имеют вид
N = (n-G-1-n)-I/! Vr-n, n = (N-F-N)-‘^VR-N (8)
или в компонентном представлении
Ns = {Gktn.^ ' п$, ns = (gktNkNt)-'^Ns. (9)
28
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
§ 9. Дифференцирование мер Коши—Грина и Фингера
Дифференцирование инвариантов /(G) по аргументу G осуществляется по формулам (II.3.2), а по градиенту места по (II.3.5)
/(G)o --2E-VR-2VR, VR
/2(G)0 =2(E/1(G)-G)--VR^2VR.(E/1(G)-F), (1)
VR
/3(G)0 =2/3(G)VrT. VR
Из последнего соотношения, учитывая, что
=4 i/TWg-1, (2)
получаем
/MGjo -/ W) Vr'. (3)
VR
Дивергенция этой величины оказывается равной нулю. Действительно, по (III.6.4) и (III.4.8)
V • /77(G) VrT = -4= /у V 77(G) /1 г5 • VrT = 4т /GR' -
- г 3 ' ' dq 3 ' ’ s [/g l/q
Пришли к тождеству Пиола
V -/77(G) VrT -= V • //3(G)o = 0. (4)
VR
По (П.3.4) ( Фо ')г Фо \ V R / V R г
и по (1), учитывая равенство инвариантов Ik(G), /(F), получаем
Z1(F)0 .--2VR-', Z2(F)0 ---2VRT.(E/(F)-G),
Vr vr
/3(F)0 =2/3(F)Vr. (5)
VR
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ МЕР
29
§ 91
О
Сложнее выражение производной по VR самого тензора G.
По (II.4.15)
Go = VR • Сш + rsr' • VRTr 5r1 = VR • Сш +r‘r%r/ • R/; =
VR
- VR-CnI - VR-Сш +Cir°VR.
Сославшись еще на (1.15.9), получаем
Go = (Си +СШ) • VR, gVr == (Сц+ Сщ) • Vr (6) VR
—-второе соотношение получено аналогично первому.
Формула обобщается на дифференцирование по градиенту места любого тензора. По (II.4.11) и (1.15.3)
Qo ==Qg,,Cu--G0 -- Qg • • (Сц -ф Сш) • VR
VR VR
и, обратившись к определению производной по симметричному тензору, получаем
о
QG = yrmr„-^(rj< + rfrJ,
(ГJt + ПН) • • (Си + сш) - 2 (гЛ + Г/ГJ,
Qg-•(CII + CIII) = rwr„-^-(rirt + rfri) =2Qg,
Qo = 2QG-VR, Qg = 1qo - Vr. (7)
VR 2 TR
В частности при Q G, Gg = у (Сп-ф СП1) приходим к (6ф. По
(II.4.16) имеем также
( О о \ /О о \
Fo =4VRr-VRj0 -(VRT.r/r, + r,rrVR)r^ =
VR VR
--(R/Cd (8)
и no (7) при условии соосности F и G
Fg=4f0 Vr = |(RtR* + R‘R()r^. (9)
VR
По (3) и (7) имеем также
[lzMGjQ]0 -|O:i7G) ' QVrr-!-2QG-VR (1O)
VR
30
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
В компонентном представлении по (3.11), определениям (И.4.7) и (6), имеем
Go - г^г^га 4^- = г‘г' (ГЛЛtX" + Пг>Ххп)
VR д\д^Р
и поэтому
= г/7гЛ • • • • (гд„Vtr + .
Получаем
vkPp+^трР. (Н)
^qX.p Q
Понадобится также знание производной VrJ . Имеем
VR
Угт0 = — VrT • r/t VrTr*rf = — rmRm • r,g(nR"r^ = — rmR'JRz’r„ VRT
и далее
о
VrT0 ^Vrl -.Сп-.VRJ =Vr0T ••CIj--Cm = VrT0 ..CIb
VR VR1 VR VRr VRT
так что
Yro =-rfflR'rr. (12)
VR
§ 10. Варьирование деформированного состояния
Частицам среды в ее актуальной ^-конфигурации сообщается в фиксированный момент времени t перемещение tjw^1, q\ q3)', с точностью до линейных слагаемых относительно малого^ параметра ц разыскиваются вариации (приращения) величин, характеризующих деформацию. Иначе говоря, определяется конфигурация в которой место частицы задается теперь вектор-ра-диусом
Rx-R--t|w. (1)
Вектор-радиусы г и R, как и ранее, задают место частицы в отсчетной v- и актуальной ^^-конфигурациях. Вариацией вектора R, обозначаемой 6R- Rsbqs, определяется его изменение при смещении частицы е< (qk) в ее окрестность (qk8qk). Разность же Rx —- R определяет изменение места этой частицы, создаваемое налагаемым полем смещений тру. Ее будем обозначать
6x;?==Rx_R = »1W, (2)
j J0] ВАРЬИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 31
а коэффициент при ц в этой и приводимых ниже формулах точкой в верхнем индексе варьируемой величины
R’-lim w. (3)
т) -> О Ч
Векторный базис в ^^-конфигурации по (1) задается тройкой векторов
R? = Rs + Р = Rs • (Е + Т] Vw) = (Е + t]VwT) • Rs, (4)
r'r, vw = Vwt r,.
Взаимный базис проще всего определять из соотношения, выражающего неизменность единичного тензора. Отбрасывая величины порядка г]2, получаем
Е = R^R* -= RXSR, -ф RysnRr Vw = R^R5 + pR^R,• Vw =
= RysR5 + r)Vw, так что
RXSRJ •= E — T]V w, Ryj=R^— T]Vw-Rf, _
Rs= — R'VwT =—Vw-R*. '
Это позволяет определить набла-оператор в -^^-конфигурации выражением
Vy = R- = (R' - цVw - R-) А , V = - Vw • V. (6)
Градиенты места в По (4) и (5) получаем
/ о \х о о г о \. о о
(VRy = r^R^= VR-|-rjVR-Vw; (.VR) = VR-Vw = Vw, .
/о' у оо V/
Qvrt7 = Vwtvrt = Vwt,
(Vr)x = R^xrJ= Vr — -qVwVr; (Vr)' = — Vw-Vr,
(VrT)’ = — VrT-VwT.
Меры деформации в T3*. По (7) и (8), пользуясь легко про-геряемым правилом
(ФТу^Ф'^ + ФТ, (9)
получаем
/ о о \. о о о о
G’= y^VR• VRTJ = VR-(Vw +VwT). VRr = 2VR.e(w). VRT, (10)
F'^(vr<Vr)‘ = F-Vw4-Vwt-F. (11)
Функция места частицы ®^(^ft) в ^’^-конфигурации представляется разложением
Ффх) = Ф(К)-Шх-Н)^Ф+... =Ф(К) + ^-УФ+...
32 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I
и в соответствии с принятыми обозначениями
Ф’ = Нгп — [O(Rx)-O(R)]==w-¥Ф ит.д. (12) Т| -* о Л
Например, в применении к вектору a(R) и тензору Q (R)
a(R)' = w- Va = VaTw, Q(Rf w VQ. (13)
Величину Ф’ следует назвать конвективной производной; ею определяется изменение отнесенной к частице величины Ф, обусловленное переносом этой частицы векторным полем w из места R в Rx.
Конвективная производная функции тензорного аргумента Q, следуя определению производной по тензору, вводится соотношением
6x(|)^<T)q..6xQt ([>q..T|Qt-; ф(О)^фв. QT. (14)
Конвективные производные инвариантов /A(G). По (4) и (10) имеем
Ц (G)’- Е- G' 2Е • VR-e(w). VRr = 2VRT-VR- -e(w)==2Z1(F-e),
(15)
Z2 (G)’ = [E/j (G) — G] • • G’ = 2/x (G) /j (F • e) — 2F2 • • e =
= 2 [/, (F) Ц (F-в)-Л (F4)], (16)
I3 (G)’==/3 (G)G-1- -G* = 2/3 (G) VRTG-1VR. -e =
= 2/3 (G) E • - e 2/3 (G) I. (e) = 273 (G) V • w. (17)
Были использованы правила свертывания (1.7.16) и формулы для производных от инвариантов (II.3.1), (II.3.3). По (17) получаем также
= /у ’= Y-W. (18)
Конвективная производная ориентированной площадки. По (8.5), (18), (8) имеем
(N dO)’= ( уП-VrTdo) = ]Zy (n-VrrV.w —n- VrT-VwT)do = N dO • (EV • w - VwT) - (EV • w - Vw) • N dO. (Iе’)
Отметим также применяемые далее соотношения
[T(F)]’ = Tf- -F’= Tf- -(F- Vw + VwT-F), (2°)
г / о \ л. 0 / о A о n ь
Lp(vrJJ =Po • .VR^P^VRJ.-Vwt; (21)
VR
(N-TdO)* = (N doy • T + N dO-Т = N dO-(T* + TV-w— VwT • T). (22)
§11] ВАРЬИРОВАНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО ТЕНЗОРА 33
Конвективная производная отношения площадок. По (18), (8.7), (8) и (8.5) получаем
Г т/-2. (n-G-1-n),/°]’ = Z-V-w +
\ do J L ' g J do 1
+ т j/y (n-G-i.n)--/, (n-G-i-n)*;
(n-G-1-n)’ = — n -[VrT- VwT- Vr ф- VrT • Vw - Vr] -n =
= 2n- (Vrr-e- Vr) n — 2 N-e - N,
' - ' \ do J G ’
так что
4 Vy(n-G-1-n)-,/4n-G-1-n)- = ~-^-N-E.N.
Итак,
Ш = 44 <V-W - N-N)- (23)
§11. Варьирование сопровождающего деформацию ортогонального тензора
Варьируя по правилу (10.9) соотношение, определяющее главные значения q,. и главные направления ef симметричного тензора Q, имеем
Q-e# = 2?A, <Г-е5 + О-е;=2](<7;е54-^е;) (1)
s S
или после скалярного умножения на е/;
• Q’ es + Т, qAeA et, =~- S (?Л ег + qsek • e;). k S
При k = s, е5 • es = 1,
erQ’-es
k qs-Qk
Qs^e^Q’-e,,
es‘es=-0; при k=y=s, e/;-e5 —0. Получаем
k
(штрих указывает на пропуск слагаемого k — s). Таковы формулы для конвективных производных главных значений и главных направлений тензора. <'4
В применении к мере деформации Коши — Грина по (10.10), (6.1), (6.2) имеем
-.ооооо о
Gs = 2erVR.sVRT.ei = 2ei.UO-EOT-Ue,=
г_о о __
-2/С,е.-О-Е-От-е//С„
2
А- И. Лурье
34
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
(3)
о о _________
так как е5- U = e,j/G/, по (6.5) находим
G's = 2Gses-&-es.
о
Представление вектора ej аналогичным образом преобразуется к виду
. , 0 0 0 0 ____
’_9У evvR-«'vR4“ oV VGA
" V k
О
(4)
Задавшись представлением (6.6) сопровождающего поворот ортогонального тензора, можно представить его конвективную производную в виде
0= -X
Г и и ___ 1
Us . 1
77 I / - г
2G<* s VGS
0 0 0 0
~Ь e5ej
„ Рр /" V г _ 1 00
+ = ~Х'/^Те'9’ее^е5е^
Были использованы формулы (3), (4) и (10.7). Двойная сумма преобразуется к виду
и это позволяет объединить суммы в квадратных скобках в (5). Приходим к искомому представлению конвективной производной
О’=-2Уу е VR + O-Vw =
VGs+VGk к
— (О
Здесь использованы формулы (4.18). Имеем также
(7>
Приняв представление (6.5) тензора О, легко проверить выполнение условия
О’-ОЧ-О От =0. (8)
ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ СКАЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ
35
§ 12]
Отметим также соотношения
O‘ VRr VR OT 0. (9)
Действительно,
О’- . VRT = O' 0T 11 = (О’ 0т) 11 = 0,
так как тензор О’-О1 по (8) кососимметричен, a U симметричен.
Основываясь на формулах (6), (7), можно вычислить и конвективные производные тензоров искажений U, V
/О у. о
U=4vR-Ot; = VR.(Vw От + от ),
V = (vRT-o)' = (10)
= Vwr • V + VRT O’ - Vw'- V + V • Vw -2 У У -^J- VsVkekes.
s k
Сославшись на (9), имеем также
MU^W^Vw- -Ог VR = Vw -V. (11)
§ 12. Вторая вариация скалярной функции тензорного аргумента
Мера деформации Gx в “^-конфигурации представляется ее точным выражением
ООО о
Gx = VRx . VRTX = VR(E - tjVw) • (Е + T]VwT) • VR* = ООО о
= G -f-2r| VR •£• VRT + -)^2VR • Vw - VwT - VRT. (1)
Поэтому следует иметь в виду при вычислении с учетом слагаемых второй степени относительно параметра малости т] необходимость внести в формулу (II.4.23) для второй вариации ф (Gx) слагаемого tj2VR- Vw-VwT- VRr в выражение множителя 6GT при первой вариации. Формула (II.4.23) приводится к виду
Ф (Gx) — ср (G) = фс (G) • • (2r]VR - е- VR1 + rf2VR • Vw - VwT • VRT) Ц-
+ y2T)VR-8-VR1- -фС0 (G)- -2t]VR-e-VRr-|- . . . = rppG (G) -G’-f-
, и2 Г 0 0 1
+ у 12фс (G) • • VR Vw • VwT - VRt + G’ • • фСС (G) • • G’J + ..., (2)
причем G’ задается no (10.10). Эта необходимость отпадает при о разыскании второй вариации скалярной функции аргумента VR;
2*
36
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. i
тогда в (II.4.23) о о
6VRt = t|Vwt-VRt;
/ ° \ / 0 \ 0 (3)
<р ( VRXJ — ф VRJ = т)ф0 • -VwT VR r +
VR
„2 о о
+ у Vwr-VRr--ф0 0 • VwT-VRr4- ...
VRVR
Например, при ф(О)^= 74(G), ф<, -Е, Фсс = 0 и по (2)
(Gx) - (G) -1- 2т|Е • VR е VR'r -|- T|2E • • VR • Vw • VwT VRг =
= Л (G) + 2t]F•-е-Ьr|2F• • Vw-VwT (4)
— конечно, это же выражение непосредственно следует и из (1). При
ф(О)=Г7ЙО), фС(0)=1]/7Й0)0-\
<₽gg(G) -4^737g)G-1g-+1/7;Gg1
и по (2)
о о
//3 (О*)-//3 (G) = Vl3 (G) {4 r]G-1 • G- +
4-у г)2 -у G"' ‘ G1 • G-1 • • G* 4- G"1 • • VR • Vw - Vw1 • VR1 4-
4-1 G’ Gg1- G’
Вычисление входящих сюда выражений по (II.4.20) и правилам свертывания (1.7.16) дает
yG-1- -2VR е VR - VRr G-1 VR -е = Е- е- V-w,
G-1- • VR - Vw - VwT • VRT = E • Vw- VwT = Vw - Vwr,
1g*- -G-iG-1- -G’ =1(G* • -G-1)2= (V-w)2,
1g‘. Gg1 -G- =
= —VR-e-VR*- -G-'-r'r’-G-1 (r5rt4-rtrj• -VR-e-VRT =
= — e VRr G-1r'rJ G-1VR[vRI r,rrVR4-VRT г^-Vr] • -e
= _ g. . RtR. (RfR/ _|_ R/Rj. .g = __ g. . (Cin + Cn)..g =
= —2e- -e = —"2/1 (e2).
§131
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
37
Были использованы также выражения градиентов места (3.1) и сверток (1.15.4) изотропных тензоров с тензором второго ранга. Приходим к соотношению
/77(^7- /7Г(ё) =
= {ПЛ (8) + [/1 («) + Vw • • VwT - 2/х (с2)] j> =
= V13 (G) <!r]V-w-j--7-r]2[(V-w)2 —Vw - • Vw]l . (5)
Следствием; служит формула, определяющая вычисленное с учетом слагаемых порядка т]2 приращение объема тела после наложения поля перемещений rjw
Vх— V ~ т] V-wdV + y i"]2 [(V-w)2—Vw - • Vw]dV. 4(6)
§ 13. Кинематические соотношения
По уравнению движения (1.3) частицы ^(q1, q2, q3) определяется вектор ее скорости
v^Rfr1, ?’Д)- (О
После замены в этом представлении материальных координат координатами места в актуальной ^-конфигурации (см. § 1) выражению (1) придается вид
v = v(x1, х2, х3; 0 = v(R; 0- (2)
Здесь совершен переход от материального («лагранжева») описания движения к пространственному («эйлерову»), как объяснялось в § 1. Соотношением (2) определяется поле скоростей в среде. В (1)х прослеживается движение данной частицы, в (2) наблюдается движение «теперь, в этом месте».
Пусть в поле скоростей (2) задано скалярное поле
ф = ф(?1, ?2, <?3, 0 = 4>(R; 0- (3)
Дифференцируя это выражение и используя (3.7), получаем d(f = ^-dt + ^d^ = ^dt + dR-^l^ = ^dt + dR.^. (4)
Первое слагаемое определяет приращение <р в данном месте за промежуток времени dt—локальное изменение; наличие вто-Р°го объясняется тем, что за этот промежуток времени частица °^(<7а), несущая значение скаляра <р, сместилась из места R в место R-{-cfR = R^-vdZ, в котором скалярное поле приобретает
38 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ , [Гл. 1
приращение v-Vipd/. Иначе говоря, это—конвективный перенос, создаваемый поле,м скоростей. По обозначениям § 10 имеем
6хф = dt v-Vcp, <р- ==v-Vcp (5)
— поле вектора w здесь заменено полем v, а параметр малости т] через dt.
Соотношению (4) придается вид
+ (6?
Этим выражением определяется «материальная производная» (говорят «индивидуальная», «субстанциальная») <р по времени, равная сумме локальной и конвективной производной. Обозначение точкой над буквой просто, но не общепринято ^встречается d _D_\ dt ’ Dt )
Аналогично определяется материальная производная вектора а, тензора Q
a(R; /) = -g- + v-Va = ^- + VaT.v, Q (R; t) = ^ф- v-VQ. (7)
В частности, при a = v первое соотношение определяет поле ускорений b
b==-|^ + v’Vv = -^4-VvT-v. (8)
Обозначение (10.3) вектора R’ повторяет определение (1) вектора скорости; поэтому остальные формулы в § 10, если речь идет о величинах, зависящих от R (но не от его производных по qs) и не зависящих явно от t, сохраняют свое значение при замене w на v, а точки в верхнем индексе точкой над буквой.
При a, Q, явно не зависящих от времени, формулы (7) повторяют определение (10.13) конвективной производной, когда говорится и о конвективном переносе, создаваемом полем w. Само собой разумеется, производные по времени величин, зависящих только от времени (но не от места) также можно обозначать точкой над буквой. В этой книге почти не отведено места нестационарным полям (явно зависящим от времени), поэтому теряется различие между материальной и конвективной производными.
Производная по времени градиента места, заданного его полярным представлением (6.1), определяется по (10.7)
(vr)'=VR.Vv = (U-O)- = U-O+ и 6.
Поэтому
Vv = Vr-(U-Оф-U-б) = От-(U”1 II-Оф-6). (9)
, МАТЕРИАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ИНТЕГРАЛА 39
§ 141
пинейный тензор деформации e(v) над вектором скорости («де-ж пмапия скорости») традиционно обозначается через D, а тензор
я (спин над v)-через W. По (9) получаем
D 1 (Vv + VvT) = 4-°т-(U-1 • I) ф-С • U”1)-°,
w __ A. (WT—Vv) =От-Оф-уОт-(и-и-1—U-1-U)-O.
Было использовано соотношение (11.8).
(10)
(11)
§ 14. Материальная производная интеграла.
Закон сохранения массы
Рассматривается интеграл от величины, заданной в 7/э4-кон-фигурации сплошной среды, включенной в объем V
Чг = фф1!|7, сффл Р=Ш<Ъ!К (1)
В отсчетной конфигурации частицы, включенные вУ, заполняли объем V, это позволяет, заменив dV по (1.1.9), представить выражения (1) интегралами по объему v
T=fff /Дф*. c= [(J /фа*. р=ф|ф (2)
V "о
Вычисление материальной производной от величин (1) затруднено переменностью объема V; ограничивающая его поверхность О сама изменяется. Это затруднение отпадает, если обратиться к выражениям (2); теперь достаточно выразить материальные производные самих подынтегральных величин. По (10.18) и (13.6) получаем
V у(Фу-и+Ф)^=Ш’/т(сР¥-у+у,¥ср+^)ау= v V V
= ДУ(^Ф-У.фу)г/У (3)
и аналогично
с=Ш (4)
v Г
V v
40
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
Действительно,
V.vQ = (V.v)Q + R5-v^r = (V-v)Q + v-VQ.
В условиях допустимости преобразования Гаусса —Остроградского (III. § 8) эти формулы преобразуются к виду
* - Ш >dV+ПN d0’ с - Ш >dv+ПN ™ d°.
VO VO
t,-^TrdV+^N-v<id0-V 0
Формула (3) применяется к выводу уравнения неразрывности, выражающего закон сохранения массы. Масса сплошной среды в объеме V актуальной “^-конфигурации "определяется интегралом
"А=Щр(А Я2, Я3‘, t)dV. (7)
v v
Через р обозначена масса в единице объема среды —ее плотность, положительная функция материальных координат и времени. Масса т — сумма масс ее материальных частиц в объеме Г; эти же частицы в отсчетной конфигурации образуют объем v с мае сой т0, распределенной по нему с плотностью р0 (q1, q\ q3). По закону сохранения массы
т = т0, т — 0 (8)
и по (7) иТ(3)
mP(R; (9)
\ V J V , -
Объем V можно назначить произвольно. Приходим к уравнению неразрывности
|^- + V-pv = 0. (Ю)
Это же соотношение можно получить, выразив неизменность массы элементарных объемов dv и dV
dmo = podu = dm= р dV, —. = — 1/" — . (11)
р dv г g
Действительно, дифференцируя по времени, имеем
->Р=(/у)’== /yV-v, P(R; /) = > + v-Vp, (121
§ 141
МАТЕРИАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ИНТЕГРАЛА
41
так что
(t+'”vp)=p/Tv-v' > + v',p+pv''' '°-
как и требуется. В стационарном движении p --^p(R), уравнение (10) приводится к виду
V-pv = 0 (13)
и При р = Ро = const дивергенция скорости оказывается равной нулю
V-v-0 (14)
— это уравнение несжимаемости несжимаемой среды. В несжимаемом движении сжимаемой среды
^ + v-Vp = 0.
Материальная производная циркуляции вектора по материальному контуру Г. По (3.6) и по определению (III. § 8) циркуляции вектора имеем
С = dR-a = ^dr-VR-a, г V
С = ф dr • (VR • а) = <^dr-VR-[Vv-a + a] = v v
= фdR • [V (v • a) — (Va) • v Ц-a],
причем у — контур в отсчетной конфигурации, образуемый теми же частицами, что и Г. Вместе с тем по (II 1.2.3)
dRV (v-a) = d (v-a), f dR-V (v-a) = 0
г
в предположении, что скаляр v-a однозначен. Итак,
С = ^dR-[a — (Va)-v]. (15)
В частности при a=v по (III.3.2)
v у2 1
V-2~ = -2-V(v-v) =(Vv)-v,
/dR-(Vv)-v = 4/dR- Vv2 = A/d^ -0.
Г 2 Г г
42
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. |
Приходим к теореме Кельвина:
C==^*dR-v, С = £ dR v — • b
г г г
(16)
— производная по времени циркуляции вектора скорости по материальному контуру равна циркуляции вектора ускорения.
§ 15. Жесткие движения. Индифферентные тензоры
Напряжения, возникающие в твердых телах, порождаются, в частности, деформациями этих тел. Поэтому, если на рассматриваемое движение тела накладывается жесткое движение, т. е. движение, не сопровождающееся деформацией, а все прочие параметры (например, температура) остаются неизменными, то мы ожидаем, что и напряжения при этом окажутся неизменными. Вместе с тем понятно, что при жестком повороте тела тензор напряжений поворачивается вместе с телом, т. е. поворачиваются его главные оси, а собственные значения не меняются. Иными словами, тензор напряжений оказывается как бы «вмороженным» в данное тело. Объекты, обладающие при жестких движениях аналогичными свойствами, будут в дальнейшем называться индифферентными.
Рассмотрим два движения деформируемого тела R (g1, q2, q3-, t) и R' (q1, q2, q3; t), ни одно из которых, вообще говоря, не является жестким. Будем говорить, что эти два движения различаются жестким движением, если в данный момент времени между ними существует связь вида
R'G?1, q2, q\ 0 = c(0 + [R(g1, q\ q\ 0~Ro(0]-0(0- (0
Здесь c(/) —место, занимаемое Ro при движении R', О (t)— собственно ортогональный тензор. Если между любыми двумя движениями тела можно установить соответствие (1), то такое тело называется абсолютно твердым.
Определение: тензорное поле Л-го ранга A (g1, q2, q\ R) называется индифферентным, если при наложении жесткого движения оно преобразуется по следующему закону:
A' (R') = Ail'' (R) eZi • О (0. ..e,-fc О (/)• (-)
Здесь O(/) —тот же ортогональный тензор, что и в (1), е,- — произвольный базис. В частности, скаляр является индифферентным, если выполнено условие
ф' (R') = Ф (R).
Типичным примером индифферентного скаляра является плотность. Последняя зависит от движения R, поскольку при этом
ЖЕСТКИЕ ДВИЖЕНИЯ. ИНДИФФЕРЕНТНЫЕ ТЕНЗОРЫ
43
§ 15J
меняется объем. Однако объемы в движениях R и R' совпадают, поэтому и плотности совпадают. Примером неиндифферентного скаляра является кинетическая энергия, но внутренняя энергия индифферентна.
Вектор а индифферентен при условии
a'(R') = a(R)-O(0 = OT(0-a(R). (3)
Из (1) немедленно следует, что базисные векторы R? индифферентны. Действительно, поскольку с (t) и О (t) одинаковы для всех частиц тела, то
R^ R.O^O^R,, (4)
т. е. базисные векторы «вморожены» в тело.
Найдем компоненты индифферентного вектора в движениях R и R'. Легко убедиться, используя (3) и (4), в справедливости равенства
a'(R')-R; = a(R)-R,.
Отсюда вытекает, что положение вектора а' относительно базиса Rs точно такое же, как и положение вектора а относительно базиса R^. Вполне аналогично из (2) и (4) следует, что компоненты индифферентного тензора относительно базиса R? остаются неизменными при наложении жестких движений.
Согласно (2) индифферентный тензор Q второго ранга определяется соотношением
Q' (R') = qsiRs• ORf • О = От• <^%Rf • О, так что
Q' (R') = OT-Q«O. (5)
Индифферентные величины «вморожены» в базис, сохраняются числовые величины их компонент, равно как и ориентация в векторных базисах R4. и R^ Поля а и Q смещаются и поворачиваются вместе с базисом, «наблюдатель» за поведением индифферентных полей не знает, с каким базисом он связан.
Дифференцируя (1) по I, имеем
v' =с (0 + OT-v + Or-(R — Ro) =c + OT v + OT O (R'— с), так что
v' — От v =C + 6T O (R — с). (6)
Вектор скорости неиндифферентен; это следует из (3), поскольку правая часть (6) не нуль. Это и понятно: так как частица Движется, вектор v не «вморожен» в среду.
Кососимметричный тензор
й =дт 0 = — От б = — (7)
44
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
представляет тензор угловой скорости (спин) штрихованной системы относительно нештрихованной; ю — сопутствующий ему вектор угловой скорости. Формула (6) преобразуется к виду
v' = с4-От-v + Q - (R' — с) = От• v + (ох (R' — с) + с. (8)
Дифференцируя (1) и (8) по qs, получаем
r; Rro. o rr;, о.r'*=r*6*= r*,
R'5 = 0TR5, R5R'5 = 0t,
2у_„*.о+й.к;,
V'v’ = R'«^ °+R'‘B • r;=O’- r« • o - r’>r; • я.
Итак,
V'v' =Or Vv-O — Й, (V'v')T = OT• VvT-О + Й. (9)
Градиент скорости — неиндифферентный тензор. По (13.10) и (13.11) получаем
D' = 0TD0, W'-0*-W-0 + fi (10)
— деформация скорости — индифферентный тензор, тензор вихря скорости неиндифферентен. Формулы (10) составляют содержание теоремы Зоравского (Zorawski).
Формулы преобразования градиентов места, поскольку отсчетная конфигурация не преобразуется, представляются выражениями
VR' = rR; = rRrO = VRO, VR'T = OTVRT, (11) V'r = R^r5 = 0TR^^0TVr, V'rT = VrTO (12)
и из них следуют преобразования мер деформации
G' = VR'-VR' r - VR O OT VRT = VR VRT = G, (13)
F' = VR'TVR = OTVRTVRO = OrFO. (14)
Мера Коши —Грина неиндифферентна, Фингера — индифферентна. Следствием из этого и формул (6.4) является неиндифферентность левого, индифферентность правого тензора искажений. К этому же можно прийти, основываясь на полярном представлении градиента места о о
VR —1ЬОХ = VR' Or -U' О Or, причем, как было условлено, крестиком обозначено ортогональное преобразование, сопровождающее деформацию (§ 6). Но полярное
§161
объективная производная тензора
45
о
представление VR единственно. Поэтому
U-U', ОХ' = ОХО. (15)
Отсюда и из (11) следует о о
VR = ОХ• V = VR' От = 0х • V От = 0х О-V От, V = O-V'-O’
и этим подтверждается индифферентность V
V'=OTVO. (16)
Из определений (2) индифферентного тензора и (II.7.1) изотропной тензорной функции следует, что значение всякой изотропной функции от любого’числа индифферентных тензоров есть индифферентный тензор. Конечно, изотропной может быть и функция неиндифферентного тензора.
§ 16. Объективная производная тензора
Пусть a, Q индифферентны. Их производные по времени, однако, неиндифферентны, например,
а'= (а-О)" = а-О 4-а-О. \1)
Соотношения, описывающие присущие сплошной среде свойства, должны единообразно формулироваться во всех базисах — ни один из них нельзя считать преимущественным. Это заставляет придать понятию производной по времени от индифферентной величины определение, сохраняющее индифферентность. Это достигается и не единственным способом.
Используя соотношения (15.7), (15.10) и (15.3), можно преобразовать (1) к виду
а' = а-О —а-О-Й — а О — a O (W'-OT W-O)-
== (аa-W)-О — а'• W'
и по (15.3) оказывается индифферентным вектор
a = a + a-W-(a'+a'-W')0T-a-W-a, (2)
называемый объективной (индифферентной) производной а по Яуманну — Ноллу.
Аналогично, хотя и более громоздко, вычисление для тензора второго ранга
Q' = (Ot Q O)- =OrQO + bT Q о + от Q О
= 0TQ04^0TQ0-0TQ0a==0rQ0 4-W'Q' —
— Q'.W'-0T W 0 OT Q 0 4-0T Q 0 OrWO =
= 0r Q 0 + W' Q'-Q' W'-0T W Q-0 + 0T Q W 0
46
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
ИЛИ
Q'—W' Q' + Q' W' = OT (Q-W Q + Q W) О,
откуда и следует объективность производной Яуманна— Нолла тензора второго ранга
Q = Q—WQ + QW. (3)
Новые определения объективной производной можно получить, включив в выражение производной Яуманна — Нолла или отбросив в нем индифферентные слагаемые вида Da, DQ или aD, QD. Например, заменив W его выражением D — Vv, получим
a = a + a-D-a Vv, Q = Q —D Q-j-Vv Q + Q D —Q -Vv.
Отбросив индифферентные слагаемые, придем к производной Олдройда
а = а —а-Vv, Q =Q + Vv-Q — Q • Vv, (4)
или в другом виде, добавив слагаемые 2а D, 2QD, д д
a = a + a-VvT, Q = Q + VvQ + QVvT. (5)
Определение, предложенное Трусделлом, основано на рассмотрении вектора N-TdO (NdO —ориентированная площадка, Т — индифферентный тензор второго ранга). По (4) и (10.2.2) получаем
(N-TdO)~ = (N-TdO)-— N-Т-VvdO =
= N dO-(T-j-TV-v—VvT-T—Т-Vv) (6)
и это позволяет определить объективную производную по Трусделлу выражением
Tv = t + TV-v~Vvt-T — Т Vv. (7)
В приведенных формулах точкой над буквой обозначены материальные производные
a=4r+v'Va’ Q = ^- + v-VQ- W
Компонентное представление Q дается одной из формул
Q = RjRt
- R R(
'dqst ~dt
dq's dt
dost
К + v“ I
dqr 1
4П )
И I (дг/ У*
sv
§ 171
переменная отсчетная конфигурация
47
Вместе с тем
VvT Q — Q-Vv = RsRt <7
,t dvr ,r dvt r dcp _ 9s Iq7
_ г, гл гл -/ dvs . dvf
VvT-Q+Q-Vv=R.R4<7r w + q W
Приходим к таким, не содержащим символов Кристоффеля, представлениям производных Олдройда и Трусделла
О’-КЛ о»)
§17. Переменная отсчетная конфигурация. Тензоры Ривлина — Эриксена
В предшествующем тексте отсчетная конфигурация была отнесена к началу отсчета времени t—О, на что указывалось в обозначении градиента места (3.1). Но ничто не препятствует принять за отсчетную актуальную конфигурацию в момент т, указывая на это в обозначениях. Тогда формулам (3.1), (6.5) пришлось бы придать вид
о
VR = R*(0)Rs(0- Ох = еД0)е^(0 (1)
и соответствующие указания внести в обозначения мер деформации Коши — о о
Грина и Фингера, называя их G(t), F (t) вместо G, F. Нет нужды в реконструкции обозначений величин, определение которых не связано с отсчетной конфигурацией, каковы вектор скорости v, его градиент yv, деформация D, вихрь W.
При явном указании на отсчетную конфигурацию градиенты места представляются формулами
VR (0 = Rs (т) R.? (/), vR (Пт = R$ (О R5 (т)
и, если поменять т и t местами
VR (т) = R* (О R, (т), vR (т)т = R, (т) Rs (t).
Заменяющим (3.5), (3.12) соотношениям придается вид
vR(/)-vR(t) = e, vR(0 = e.
Мера деформации Коши — Грина представляется выражением
G(/) = R* (т) Rs(0-RH0 RftM
и при заменах о о
R, (/) = R, (0)• vR (/) = [VR (01т• R. (0),
R*(t) R,(0)=[vR(t)] \ R5(0) Rs (t) = [vR (t)t]
(2)
(3)
(4)
48
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЬ!
1ГЛ. I
приводится к виду
т ГО -1-1 ГО -1-1 О то
G(/)=[_vR(T)J -G(/)-|_vR (OTJ , G (t) = VR (T)-G (Z)-vR (t)t. (5) o
Здесь мы вернулись к обозначению G = G меры Коши — Грина.
Аналогичное вычисление для меры Фингера дает
F (0 = vR (/)т-F (т).VR (/). (6)
В этих преобразованиях, конечно, Rs(0) = rs, R^(0) = rs.
Далее рассматриваются тензоры вида ~ dn * ^-Q(t) , л —О, I, 2.......
зависящие только от t, значит, не связанные с отсчетной конфигурацией — т о
«лишенные памяти»; в определение величин G (£), G (?) внесена «память» об отсчетной конфигурации.
Примерами лишенных памяти величин служат тензоры
d *
L1= £v*(t)
и т. д. К их числу относятся тензоры Ривлина—Эриксена dn (
Э« = G (И
' [(1лп v Jt=/
Получаем
(7)
(8)
(9)
'nt f
9i= VR CO-vR CO
и no (4)
Rs(0^?-VR(t)t + + VR(T)-^R*(O
Vv(/)-v R (0 + VR (t) Vv (/)
91 = vv-|-VvT = 2D.
(10)
d2 z
Аналогично получим
Э2 = vb-|-vbT + 2vv-VvT.
(H)
Возвращаясь к (10), имеем также
2НгА>],.,Чй16«]Х,=
= Оо [я i «],.,+ [£ ь w],_, Фо ~2 [/t i (»]t=,
и еще одним представлением тензора деформации скорости служит
D=|/b(T)] .
\_dx Jt=<
(12)
j ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА МЕСТА 49
По (7) (
?’= [й <”],.= [й 6 М'6*'” ],.,-»+ 0Х(,) ],_ =
= D + es (0 е5 (х) ] = D + е, (<) е* (<)
(напомним, что е6.—то же самое, что es). Вместе с тем
es (0 ё* (0 + ё5 (0 es (/) = [е, (/) е‘ (Ок =0.
Получаем
1 . Г d t 1
W= j (VvT —Vv) = — ел. (t) e* (/) = (/) e* (0 = — [^Ox(t) ,
-гак что
ёИО-W.e, (/) = -e5 (/)-W.
Этим определяются производные по времени векторов ортогонального триэдра 0х; изменение во времени этих векторов обусловлено вихревым полем. Формулам (14) и (1.11.3) можно придать также вид
®s=4 (VXv)Xe, (0,
так как VXV—сопутствующий 2W вектор.
Компонентное представление индифферентного тензора в штрихованном базисе О х представляется выражением
Q' = qsieset
и для наблюдателя в этом базисе производная Q' в этом базисе по времени (обозначим ее Q') равна
Q' = qsti'^'t-
«Неподвижный» наблюдатель констатирует при наличии вихревого поля скоростей вращение базиса es. Определяемая им производная по времени равна Q' = qste'st't^-qst (е^е/) ‘ = qstese'i -ф qst (W'-е^е/—е'е/• W') =
=Q'+w-Q'—Q' wr.
Отбросив ненужные теперь штрихи, получаем
Q = Q — W-Q+Q.W.
Этим показано, что производная Яуманна — Нолла (16.3) — не что иное, как производная тензора по времени во вращающейся системе осей. Ее определяет наблюдатель, следящий за поведением тензора в вихревом поле скоростей.
§ 18. Определение вектора места по заданию
меры деформации
Предполагается известной отсчетная конфигурация—вектор места в ней г (q1, q2, q3). По этому вектору строятся векторные базисы rs, г5, компоненты метрического тензора gsk, gsk, символы Кристоффеля [s^, г], j г | _ Задана положительная матрица
50
Деформация сплошной среды
[гл. 1
ковариантных компонент меры деформации Коши —Грина
G,; = RrR/- (1)
По ней определяется обратная матрица (контравариантные
компоненты метрического тензора в базисе ^'’/-конфигурации/ и символы Кристоффеля [sZ, г], . Требуется определить ба-
зисный триэдр Ri. Rs, R, актуальной конфигурации, а по нему вектор места в ней R(gl, </2, ф!). Задача сводится к рассмотрению системы дифференциальных уравнений вида (II 1.4.2)
J 9 I Р f J 9 I 9 U /9,
Qqt | st j \ | st I \ ts j ) ’ ' '
интегрируемой, как было разъяснено в III. § 10, при тождественном обращении в нуль тензора кривизны Римана —Кристоффеля (или тензора Риччи) (II 1.10.14)
ф = ДмДЗДТ, (3)
вычисляемого по заданию матрицы (1) по формулам (III. 10.15ц в них, конечно, теперь gsk, gsk заменены на Gsk, Gsk; требуется, чтобы были равны нулю шесть компонент (III.10.21) тензора Риччи.
Поскольку, согласно (2), dRs dRt a?* dcls ’ 1
соотношение
dR = R.sdqs
интегрируемо; вектор места R (д1, <у2, </3) определяется квадратурой, коль скоро базисные векторы R, будут определены системой (2).
Постановка задачи остается неизменной при наложении на задание (1) меры Коши не создающего деформации тензора Е. Это позволяет принять G (-//0) = Е в фиксированной частице еД.
Следствием тождественного равенства нулю тензора кривизны (3) является существование единой декартовой системы осей 0XYZ, в которой векторы места определяются выражениями
г = 1^\ R = i5x5(H1, й2, а3) (5)
и as можно рассматривать как материальные координаты qs частицы.
Системе (2) может быть теперь придан вид
дхП - дг™ - J 9 I 7т 16)
да° s ’ ' да*
Эта система восемнадцати дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных распадается на три системы
§181
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА МЕСТА
51
по шесть уравнений (ш = 1,2,3). Она «вполне интегрируема» — условия интегрируемости ее по (4) выполнены тождественно.
Доказывается, что существует трижды непрерывно дифференцируемое решение этих систем, принимающее наперед задаваемые значения *)
z™ = ksm при ак = а£ (7)
и в окрестности этих значений
хтksm (as — as0)+x^. (8)
Иначе говоря, в окрестности г//0 (ак) вектор места R представим в виде
R = iAm(flS — «?) + R0 = (r-r0)-A + R0, A = A;misim, (9) где А —постоянный тензор, Ro —вектор-радиус o/Z0. Поэтому о о
Ri = rJ A, VR=rsrJ A = A, VRT = AT, G = A AT
в окрестности е//0. Но тензор G задан, поэтому А — не произвольный постоянный тензор, его девять компонент связаны шестью соотношениями. Принимая G (aj, а20, а^) = Е, можно этим соотношениям удовлетворить, полагая
Е = А'АТ, А = О; R = (г—г0) О + Ro (10) — как предвиделось, преобразование отсчетной конфигурации в актуальную определено с точностью до аддитивного жесткого перемещения среды (§ 4). В решение входит шесть постоянных — три компоненты R0 = R(<^0) и три независимых параметра, определяющих поворот среды в точке s<0.
Аналогично решается задача об определении вектора места г (<?1, q2, q9) в отсчетной конфигурации по заданию в актуальной конфигурации меры Альманзи
(Н) Векторный базис г$ определяется системой уравнений
о
Дп = l я \г dql | st I q'
интегрируемой при тождественном обращении в нуль шести независимых компонент (III.10.21) тензора Риччи (конечно, в
. *) Карта н Э. Геометрия римановых пространств.— М.; Л.: ОНТИ,
1936. Теорема доказана в предположении', что функции Gst (а1, а2, а3) дважды непрерывно дифференцируемы по всем переменным ak в некоторой односвязной области их задания. В «Курсе математического анализа» Э. Гурса (т.11) доказывается существование голоморфных решений вполне интегрируемых систем с голоморфными правыми частями.
52
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
О
(III. 10.15) следует заменить [&$, т\ на [&s, tri]). Вектор места определяется квадратурой из соотношения
dr = rsdqs. (13)
§ 19. Тензоры аффинной деформации
, При однозначном и дважды непрерывно дифференцируемом преобразовании материальных координат qs к новым координатам qr
q'- = qr(q1, q\ q3) (1)
символы Кристоффеля преобразуются по формулам (III.4.9). Записав эти формулы один раз в векторном базисе актуальной конфигурации, второй — в отсчетной, после почленного вычитания придем к соотношению
) st J { st) 1 s k \ (rm | | rm j J ’
(2)
в котором c™, cl определяются только преобразованием (1) и никак не зависят от выбора векторных базисов. Этим доказано, что разности символов Кристоффеля в актуальной и отсчетной конфигурациях оказываются связанными преобразованием вида (III.4.10) и поэтому представляют компоненты тензора третьего ранга
о
Aq... I и I и
(s/ j ~ । sq •
Этот тензор можно определить как в актуальной, так и в отсчетной конфигурации представлениями
А-= A^R^R'A?/, (4)
A = r"r'r„A’z, Ar = r9r4rMfz, (5)
симметричными относительно нижних индексов s, t. Знаком «т» обозначена замена триады R’R'R,, (или rVr9) на R^R^R' (на г?г*г#). Формулы (4) и (5) определяют различные тензоры, имеющие одинаковые компоненты (тензоры-«изомеры»).
Аффинным называется преобразование отсчетной конфигурации в актуальную, в котором декартовы координаты актуальной конфигурации — линейные функции декартовых координат отсчетной
/ О \ о
Xs = ’kst[at—ad ) ф- xs.
ТЕНЗОРЫ АФФИННОЙ ДЕФОРМАЦИИ
53
§ 191
В ДРУГОЙ записи
R--=(r—r0)-A +R0, (6)
где Л—постоянный тензор — тензор, компоненты которого в декартовых координатах постоянны. Ковариантная производная Л равна нулю (при любом выборе координат qs).
Следствием (6) служат соотношения
так что
< = 0.
(7)
Значит и тензоры (4), (5) — нулевые, если преобразование отсчетной конфигурации в актуальную не отличается от аффинного. Эти тензоры, характеризующие «неаффинность» преобразования, называются тензорами аффинной деформации (А. П. Норден).
Формулы (3) можно представить через ковариантные производные мер Коши — Грина и Альманзи. Имеем
Isd L ’ J 2 \dqs ' dqt dqr )
(8)
mr
tm •
Но в базисе отсчетной конфигурации о 0 0
V Gt =dGtr___г: \m
5 tr dqs
Отсюда и из двух аналогичных равенств, получаемых круговой перестановкой индексов str, находим
VsGtr + VtGrS — VrGst ' -2 W Gmr.
гг 1 r r st dqs fiqt dqr mr
Теперь учитывая, что
0 0
G4rG lm\ = И m r\. j , \
после подстановки в (8) приходим к искомому представлению
<-^c^AsG(r-4,Gs-VrGj. (9)
Аналогично получим
-^g^^sgtr + ^tgsr — ^rgst)- (1°)
54
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
dqkT
а о 00
— VRT = VRT Ат г oqk
— Vr = -Rfe-A-Vr, dqk
Г7„Т Г7„ Т Ат гь
Вспомним также, что по теореме Риччи (III.5.11)
VGS/ = O, Vgst = 0-, можно представить (9) и (10) также через ковариантные производные компонент тензоров деформации (7.8)
Aqst = Gqr \ysctr + vtcsr — Vrcst), Aqt - g4r (Vsatr + ^tars ~ ^rast)-
(H)
Применение тензоров аффинной деформации позволяет избежать введения символов Кристоффеля в представлениях дифференциальных операций над тензорами. Исходными соотношениями служат формулы дифференцирования градиентов места
rsR^ — / s I г4К5=Л54гаИ,с=Л^г|'гг VR=rAA- VR.
\kq)
Итак,
з О 00 00 00
^VR = r,.A-VR, VVR = AVR. (12)
Аналогично получаем
VVRT = r*VRT-AT-rA;, (13)
VVr = — Ayr, (14)
VVrT = — RftVrT • AT-R*. (15)
Основываясь на этих формулах, получаем представления производных мер деформации Коши —Грина и Альманзи
•—-= rft-A-G4-G• Ат-гл, ^ = -(Rft-A-g + g’AT-Rft). (16) dq,; dqk
Свертки компонент тензоров аффинной деформации по верхнему и нижнему индексам приводят к выражениям
AA__dinVG dinа , ,/Т ,17)
------1П к Т' 1 1
При свертывании по нижним индексам тензоры аффинной деформации определяют векторы о о
G^RT^E--А-Аг- Е. g%A?s==E-.A=A--E, (18)
$ 19] ТЕНЗОРЫ АФФИННОЙ ДЕФОРМАЦИЙ
Дивергенция меры Фингера. По вышеприведённым формулам имеем
J-F = — VRT-VR = VRM Ат-га + Г/,-а)- vr-
’ dqk dqb ' k
= VRT- (rffr’4-r\)-VRA& ^^(RJ^ + R,^) 09)
V.F = 6^-FA?/e+g%A^.VR = F-R^ln]/ Д + VRT-(AT • • E).
Получаем
V-F = F-Vlnj/y+(E.-A)-VR = F-Vln)/^ +VRT-(AT-- E).
(20)
Понадобится еще знать VF2. Имеем
V F2=F V F hF VF, F • V • F — F2 • V In + F-VRT-(Ar • • E),
F VF - (F R*R7R + F R*F RR4) Ajk -
F R,R*RM?ft F + F--F-RftR'R(;< F-• (AT-F 4-F-A).
Итак,
V F2=F2 V ln]Z|- + F-VRr. (A- • E) + F • • (AT-F + F • AT). (21)
Применение тензоров аффинной деформации позволяет связать дифференциальные операции над функциями градиента места или мер деформации с производными по этим мерам. Например, для скаляра оо оо
6r|?(VR) = Vt[)-rft6<7fe = % •6VRT; ф0 • -Ат-rkbqk, VR VR
так что
¥ф = ф0 ••VRT-AT = % •VRT--Ат —2i|?g-G--Ат. (22) VR VR
Аналогично для тензора второго ранга по (9.7) до 0 0
^=Q0 • VRT-AT-rA, a<7/v VR
V-Q—rA-(Q0 -VRT-AT)-r/c -2rft-(QG-G--AT)-rft. (23) VR
Дифференциальное уравнение (12) для градиента места, записываемое в форме системы уравнений первого порядка о оо
VR Z, VZ = A-Z, (24)
56
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I
тотчас же преобразуется к виду (18.6)— достаточно принять декартовы координаты as отсчетной конфигурации в качестве материальных, представить Z в виде (3.3) и учесть, что символы Кристоффеля в отсчетной конфигурации при qs — as обращаются в нуль. Рассмотренная в § 18 задача сведена к разысканию по (24) тензора Z и к последующему определению вектора места R по его полному дифференциалу
dR = dr-Z. (25)
г л а в a 2
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
§ 1. Массовые и поверхностные силы
Тело (сплошная среда) в этой главе рассматривается преимущественно в актуальной конфигурации. Как и выше, объем тела и ограничивающая его поверхность в этой конфигурации обозначаются V, О, а в отсчетной—о, о. Сохраняются обозначения плотности р, р0 в актуальной и отсчетной конфигурациях. По закону сохранения массы
dm = pdV = podv, (1)
так что
Ро ЗУ т /о\
р ~~dv ~ V g ’ 1 '
Внешние силы—воздействия на частицы тела 33 окружающих его тел. Их подразделяют на массовые и поверхностные.
Массовые силы действуют на каждую частицу среды. Вектор массовых сил, отнесенный к единице массы, обозначается к; поэтому
kdm = pkdV = pokdy (3)
— сила, приложенная к элементарной массе в объеме V, а рк — сила, рассчитанная на единицу объема (объемная сила). Главный вектор массовых сил и их главный момент относительно начала векторов R равны
J$$pkdV= J$$p0kdo, JJJ RxpkdK=$$J Rxpokdo. (4) V v V v
Примером массовой силы является сила тяжести
k = —i3g. (5)
Здесь i3 — единичный вектор восходящей вертикали, g—ускорение силы тяжести. Другой пример—если частицы покоятся в системе осей, равномерно вращающихся вокруг неподвижной (в галилеевой системе) оси, то в число массовых включается «центробежная» сила
к = — wx(w х R) = и2/ге. (6)
56
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ |ГЛ, 1
тотчас же преобразуется к виду (18.6)— достаточно принять декартовы координаты as отсчетной конфигурации в качестве материальных, представить Z в виде (3.3) и учесть, что символы Кристоффеля в отсчетной конфигурации при qs — as обращаются в нуль. Рассмотренная в § 18 задача сведена к разысканию по (24) тензора Z и к последующему определению вектора места R по его полному дифференциалу
dR = dr-Z. (25)
г л а в a 2
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
§ 1. Массовые и поверхностные силы
Тело (сплошная среда) в этой главе рассматривается преимущественно в актуальной конфигурации. Как и выше, объем тела и ограничивающая его поверхность в этой конфигурации обозначаются V, О, а в отсчетной—у, о. Сохраняются обозначения плотности р, р0 в актуальной и отсчетной конфигурациях. По закону сохранения массы
dm = pdV = podv, (1)
так что
Ро _ЗУ__ G /о\
р ~~dv ~ V g • 1 '
Внешние силы—воздействия на частицы тела 33 окружающих его тел. Их подразделяют на массовые и поверхностные.
Массовые силы действуют на каждую частицу среды. Вектор массовых сил, отнесенный к единице массы, обозначается к; поэтому
kdm = pkdV = pokdy (3)
— сила, приложенная к элементарной массе в объеме V, а рк — сила, рассчитанная на единицу объема (объемная сила). Главный вектор массовых сил и их главный момент относительно начала векторов R равны
J$$pkdV= J$$p0kdo, JJJ RxpkdK=$$J Rxpokdp. (4) V v V v
Примером массовой силы является сила тяжести
k = —(5) Здесь i3 — единичный вектор восходящей вертикали, g—ускорение силы тяжести. Другой пример—если частицы покоятся в системе осей, равномерно вращающихся вокруг неподвижной (в галилеевой системе) оси, то в число массовых включается «центробежная» сила
к = — их (о х R) = co2/ie. (6)
58
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
[ГЛ, 2
Здесь ю—постоянный вектор угловой скорости, R — вектор места частицы во вращающейся с этой угловой скоростью системе осей, имеющей начало на оси вращения; через h обозначен радиус окружности, по которой вращается эта частица, е—единичный вектор из центра окружности по ее радиусу. Кориолисова сила не включена в (6), так как частицы среды покоятся во вращающихся осях; «касательная сила инерции» также отсутствует, поскольку <о — постоянный вектор.
Для потенциальных сил
к —Vn. (7)
Здесь л — потенциальная энергия поля массовых сил. В поле силы тяжести и в поле центробежных сил
^ = gi3-R, л ----~ | соR 12 j со• (RR — ER-R)-со. (8)
Из числа массовых сил исключены силы взаимодействий частиц среды самого рассматриваемого объема, например, силы ньютонова тяготения. Поля массовых сил в принятом определении создаются окружающими объем телами. Предполагается, что он достаточно мал, чтобы можно было пренебречь взаимными притяжениями его частиц в поле тяготения Земли.
Силы, распределенные по поверхности О объема V, —-внешние поверхностные силы. Поверхностная сила, отнесенная к единице площади на О, обозначается f, главный вектор и главный момент поверхностных сил равны
fdO = [| р7- (n-G^-n/Afdo, X ' (9)
Ц RxfdO=-Ц ]/ — (n-G-1-n)'/2 Rxfdo ' б " о
— см. (1.8.9). Формулой
f-f-NN + (Nxf)xN, (Ю)
в которой N—единичный вектор внешней нормали О, определяется разбиение поверхностной силы на нормальную и касательную к О составляющие.
Давление жидкости на погруженное в нее тело —пример поверхностной силы
f = — pN. (11)
Другой пример — распределенная по поверхности контакта реакция тел, на которых покоится рассматриваемое тело.
§11
МАССОВЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ СИЛЫ
59
При «мертвом нагружении» поверхностная сила fdO сохраняет величину и направление в пространстве, будучи приложена в той же точке e/Z тела *)
fdO = f°do, (n-G-i-n)-1/». (12)
Здесь f°—-поверхностная сила в отсчетной конфигурации. Сила давления (11) — пример «следящего нагружения».
Элементарная работа равномерно-распределенного по всей поверхности тела давления (р = const) на виртуальном перемещении 8R точек поверхности равна
— ( fpN-6RdO = — р ffj V.6RdV = -p J| f 6 j/-£ dv =
'6 " V v"
= — (J I* dv — 8pV
— были использованы преобразования Гаусса — Остроградского и (1.10.18), (1.10.2). Получаем
— f| pN-6RdO = — 8П, П = рУ, (13)
’ о
П—определенная в объеме тела потенциальная энергия равномерно распределенного по всей его поверхности давления.
Давление жидкости на погруженное в нее тело изменяется по закону р уг, у —вес единицы объема жидкости, z— отсчитываемая от горизонтальной поверхности жидкости, по нисходящей вертикали координата точки на О.
Элементарная работа на виртуальном перемещении 6R теперь определяется выражением
*) Например, если в первом положении тела сила составляла с нормалью N к поверхности острый угол, то во втором положении, когда тело повернуто на 180°, угол станет тупым (вектор N стал —N).
60
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
[ГЛ. 2
причем zc—центр тяжести погруженного объема тела V. Пришли к формулам
Ш -бугДС II = yVzc. (14)
При «мертвом» нагружении по всей поверхности
f»-Rdo = 6 j$f-Rt/O,
О о о О
П = —jjf-RdO. (15)
О
Понятие «силового тензора» вводится выражением
B=$$$pkRdV + $JfRdO. (16)
V' о
Удвоенная кососимметричная часть этого тензора выражается через главный момент т° внешних сил — массовых и поверхностных. Действительно, по (1.14.19)
В —Вт = $$$ P(kR-Rk)dV+$$ (fR-Rf)dO v о
= Exf JJ$pRxkdV+J$ Rxfd0) = Exm°. (17)
\ v о >
Если массовое и поверхностное нагружения—«мертвые», то их потенциальная энергия представляется через первый инвариант силового тензора
7,(В) = -П.,$55Рк. RdV + JJf-RdO. (18) v о
Сложнее представление элементарной работы равномерно распределенного давления по части Ох поверхности О. Через Гх обозначается ограничивающий Ох замкнутый контур на О. По теореме Стокса (III.9.11) и по (III.3.4), (1.10.19) имеем
(f dR-(Rx6R) = H N-VX(Rx6R) dO -rx °x
N-[6R-VR — 6RV-R — R V6R — RV • 6R] <40 — °x
3 JJ N-6RdO+ jj N-6RdO + jj NdO-(EV-6R — V6RT)-°x °x °x
= — 3 Jj N-6RriO+<5jj N-RdO.
°x °x
2j ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ КОШИ 61
Выражение элементарной работы приведено к виду
__pjjN-6RdO = --3-p8j‘j‘N-RdO + yp J dR-(Rx6R). (19)
ох ох гх
Нагружение равномерно распределенным по части поверхности давлением непотенциально. Исключением является случай жестко заделанного края. Тогда 5R = 0 и по (19)
_p^N-6RdO = yp6N-RdO
Ох ох
6П, pN-RdO.
°х
(20)
К этому результату приводит рассмотрение и случая жесткого контура, могущего смещаться в своей плоскости, не отрываясь от нее.
§ 2. Тензор напряжений Коши
Тензор напряжений является одним из главнейших, и притом первичных, понятий в механике сплошных сред. Существует много способов введения тензора напряжений, однако все они
содержат, по существу, следующие предположения.
1. Уравнения, выражающие баланс количества движения и
момента количества движения, сформулированные для системы
конечного числа материальных точек и абсолютно твердого тела, естественным образом обобщаются применительно к деформируемым телам. Это—эйлеровы законы динамики.
2. Если внутри тела выделить произвольный объем V посредством замкнутой поверхности О, то воздействие части тела вне V на объем V сводится к заданию на О некоторого векторного
поля, называемого вектором напряжения In и представляющего собой поверхностную плотность вектора силы. При этом вектор силы dP, действующий на бесконечно малый элемент dO, вычис-
ляется по формуле dP tNdO. Выбор tN предполагается непрерывным по пространственным координатам.
Вторым предположением исключены из рассмотрения так Называемые полярные среды, в которых помимо вектора напряжений на поверхности О действует вектор моментных напряжений p.N такой, что момент dM, приложенный к dO, находится по формуле dM= dO. Полярные среды в этой книге не рассматриваются.
Дальнейшее рассмотрение основывается на применении сформулированных предположений.
Выберем в качестве объема V цилиндр радиуса а и длины I. Ьудем считать, что единичный вектор N направлен вдоль оси
62
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
[ГЛ. 2
цилиндра. Напишем для этого тела уравнение баланса количества движения
/ а 2л I а 2л Z 2Л
trr dcp dz -
ООО 000 оо
а 2л а 2л
t_Nr dipdr + J J tNrdq>dr. (1)
oo oo
Объемный интеграл в левой части этого равенства есть суммарное количество движения рассматриваемого цилиндра. Правая часть, являющаяся главным вектором действующих на цилиндр сил, представлена интегралом по объему от массовых сил, интегралом по боковой поверхности цилиндра (г-а) и двумя интегралами по торцам г О и z — l. Вектор N является внешней нормалью к торцу г-=1, а вектор (—N) — внешней нормалью к торцу z = 0. Вектор напряжения, действующий на бесконечно малой площадке dsN, обозначен через (n. Устремляя в (1) длину I цилиндра к нулю, получаем, что левая часть и первые два интеграла в правой части обращаются в нуль, а последние два интеграла вычисляются по разным сторонам одной и той же площадки z = 0. Поэтому уравнение (1) принимает вид
а 2л
5 j (t_N + tN) г dip dr = 0. о о
Применяя к этому равенству первую теорему о среднем, получаем
t-N | r=r, +tN |r=r2 =0, О^ГрГ^а, <p2s^2n,
Ф = Ф1 4> = <f2
где произведено сокращение на множитель па2. Устремляя теперь радиус цилиндра а к нулю, получаем первое искомое свойство вектора напряжений tN
In = — t-N, (2)
где обе части вычислены в одной и той же точке. Поскольку направление оси цилиндра, а также точка r = 0, z — 0 совершенно произвольны, приходим к заключению, что соотношение (2) выполняется во всех точках, и на произвольных площадках рассматриваемого тела.
Применим теперь уравнение баланса количества движения к элементарному тетраэдру, построенному на векторах Rrdq\ Rtdq2, R3dq3. Гранями этого тетраэдра являются площадки R, X R3 dq1 dq2, R2 x R3dq2dq3, R^xR^dq3 dq1 и плоскость, проведенная через концы векторов Rjdg1. R2dg2, R3dg3. Интеграл по замкнутой (кусочно гладкой) поверхности от единичного вектора
§21
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ КОШИ
63
внешней нормали, очевидно, равен нулю. Действительно, используя теорему Гаусса — Остроградского, имеем
JJ NdO =JJ N-EdO-= Щ V-EdV - 0.
О О V
Выбирая в качестве О поверхность тетраэдра, получаем равенство
мЯС DI R2 dcl2 х R*dcl''' i D2 R3d<73 X R, dq1 D3 R, dq1 X R2 dq2
M I R11 ‘ I R21 ‘ । Rs । • W
При получении этого равенства было учтено, что внешняя к тетраэдру нормаль к площадке, натянутой, например, на векторы R2dq2, R3dq3, равна (—R11 R11 -1). Из равенства (3) получаем следующие три соотношения:
| Rmdqm х Rndqn | = N • R;, | R^|d5, т=£п, п=£р, т^=р. (4)
Конечно, никакого суммирования по повторяющемуся индексу в (4) нет.
Обозначим через t(OT) вектор напряжений, действующий по площадке с нормалью R“|R“|-1. Этот вектор действует по площадкам 7m = const и характеризует воздействие среды, находящейся со стороны возрастания qm. Запишем уравнение баланса количества движения элементарного тетраэдра
tN dS + t_t | R2 x R31| dq2 dq"’ j Д t_21 R3 x R, \ | d?3 d?11+
+1_31 Rt X R21 \dq2dq21 = (A pv -pk) (Rx dq2 X R2 dq2) • R3 dq*. (5)
В левой части последнего равенства стоит малая второго порядка, а в правой — малая третьего порядка. Поэтому с точностью до малых второго порядка включительно левую часть (5) можно считать нулем. Используя (2) и (4), уравнение (5) запишем в виде
з _______ _____________
tN=N-2 RX)KGffle, |R“|^/G““. (6)
m=sl
Векторы tN и N не зависят от выбора системы координат. Следовательно, не зависит от этого выбора и сумма диад, стоящая в правой части (6), хотя, конечно, каждая диада в отдельности зависит от выбора системы координат. Это возможно в том и только в том случае, когда величина в правой части (6) представляет произведение вектора N на тензор второго ранга, причем объект t(OT) J/ Gmm является «контравариантным тензором с векторными компонентами»
64
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
[ГЛ. 2
Заметим, что векторы t(m) являются физическими векторами напряжений, однако, действуют они по площадкам, величина и ориентация которых зависят от выбора системы координат.
Итак, соотношением (6) введен в рассмотрение тензор второго ранга
Т-М", (7)
который называется тензором напряжений Коши. Он является функцией точек тела и не связан с выбором каких бы то ни было площадок в нем. Значение этого тензора состоит в том, что вектор напряжения tN по площадке, определяемой нормалью N, находится с помощью формулы Коши
tN-N-T. (8)
Тензор Т, являющийся функцией места в актуальной конфигурации среды, описывает состояние среды в этом месте, ее напряженное состояние. Соотношение (8) —основное во всем построении механики сплошной среды,— было сформулировано в мемуарах Коши 1823—1828 гг., Т —тензор напряжений Коши.
Тензор напряжений обычно задается его контравариантными или смешанными компонентами
Т = = (9)
В § 3 доказывается симметричность тензора напряжений
Т = ТТ, tsk = tks, ts.k-=fsk-^tsk, N-T = T-N. (Ю)
Нормальное напряжение на площадке NdO, обозначаемое crN, равно
оN -• N N-Т NХ*ЛдА'/г (11)
— это квадратичная форма компонент N. Слагаемое tN в касательной плоскости к площадке, определяющее вектор касательного напряжения tn на этой площадке, равно
rN = tN — Non^N х (tN X N) = N-T-(E — NN). (12)
Квадрат модуля tN представляется квадратичной формой
tN-tN = N-T-T-N N-T2-N, (13)
а квадрат полного касательного напряжения выражением
TN-Tn = tN -tN— On = N-T2-N - N-T-NN-T-N
— N-T-(E —NN)-T-N. (14)
Представление тензора напряжений через его главные значения («главные напряжения») и главные направления es = e
S.2J
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ КОШИ
65
(главные оси напряжения) записывается в виде
Т --ст1е1е1 + ог2е2е24-ог3е3е3. (15)
Написанные выше формулы теперь приводятся к виду
tN =ст1Л^1е1 + ст2Л^2е24-ст3Л?3е3, (16)
on =оЛ12 + о2^ + су3^, (17)
+ + (18)
x2N = 4(NlN23x1l + N23Nirl + NiNm). (19)
Здесь ту, т2, т3 —модули полуразностей главных напряжений
т1==у1СГ2“0’31’ = T । ~CT1 I’ тз = у|^1 —а2| (20)
— «главные касательные напряжения». Они реализуются, как видно из (19), на площадках, делящих пополам угол между главными плоскостями. Выражение приобретает на них стационарные значения.
На площадке, нормаль которой Nx одинаково наклонена к главным осям напряжения N*k = у —«октаэдрической площадке»
СУг4х = Т^1 + а2 + СГз) (Т)’
^х = 4(о! + а2+о32)=--4л(т2)- (22)
== 4 «++о - 4 Р. (т*) -4 ' <т>1 -
= |[Л2(Т)-/2 (Т)] = —у/2 (devT), так что 9 1
-12 (dev Т) - у (т2 + т2 + т3) у [(aj - ст2)2+ (ст2— ст3)2 + (о3—оу)2].
(23)
Этим дается механическое истолкование инвариантов тензора напряжений. Его первый инвариант пропорционален нормальному напряжению на октаэдрической площадке; второй инвариант его девиатора — квадрату полного касательного напряжения на ней.
Ниже будет показано, что в изотропном упругом материале главные оси напряжений сонаправлены главным осям меры деформации Альманзи (или меры Фингера F = g-1). Площадь грани ।
единичного кубика do в отсчетной конфигурации с нормалью е? —главное направление меры Коши —Грина G (и меры G-1),
3 А. И. Лурье
66
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
[ГЛ. 2
в актуальной конфигурации приобретает значение dO. По (1.8.7), (1.5.1), (1.8.2)
dO==do ]/(e?-G~1-e?)‘/2 = =
'6 г 5 У G1
Vi 1+61
причем 8к — главные относительные удлинения. Отнесенная к еди-1
нице площади do в отсчетной конфигурации сила равна
ti = сгх = ^Isv (G) CTj = viv3o1 = (1 + 62) (1 + 63) Gj. (24)
do 1
Величины
tk — Gk
//3(G) _
Vk
„ //3(G)
ft 1+6A
(25)
называются в отличие от главных напряжений «главными силами».
«Напряжениями» в общепринятом понимании этого термина являются «физические» компоненты тензора Т.
Единичные векторы нормалей к поверхностям qs ~ const и векторы сил, отнесенных к единичной площади на них, обозна-S S
чаются N, t (ниже qs — ортогональная система координат)
и по (9)
f R fktT> р _____________. р___________V1 /st I Rt I „
1 | R4 | 1 |ps| Kt | R4 | et’
причем ef —единичные векторы координатных линий qf.
Физические компоненты Т, обозначаемые crst, равны проек-
S
циям t на эти направления
c^t-ef = +‘|!kl ]/.21L , (26)
Здесь Gtt, GsS—диагональные компоненты мер деформации G и G-1. Конечно, не являются компонентами тензора; очевидно, ast=ots, поскольку GS'S1 = GSS.
Исключение представляют декартовы координаты; тогда e( = i( и отпадает отличие компонент тензора напряжений от его физи
§ sj УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 67
ческих компонент. Общеприняты обозначения с>х, о oz нормальных и гх туг, tzx касательных напряжений, так что
—t22 = a.,, t33 = az, tr2-xXll, Г2:1т, t31^=rzx. (27)
В цилиндрической системе координат R, Ф, Z
Gu-Gu=l, G33-G:,3-l, G22-/?2, G22 = R~2
и no (26)
Г1 = Сгл> t33=Gz, t^ = xZR, t22 = ^, т т <28)
j ___ ЯФ y23 _____
412 R ’ ’ *
§ 3. Уравнения движения сплошной среды
Рассматривается произвольно выделяемый в сплошной среде объем Vх, ограниченный поверхностью 0х. Как бы ни был он выделен из объема V (часть поверхности 0х может принадлежать границе О объема V), поверхностная сила на 0х определяется уравнением Коши (2.8)
f = N-T = tN. (1)
Законы динамики Эйлера, записанные для объема V, имеют вид уравнений баланса количеств движения и момента количеств движения
Vх Vх 0х /рх
^®pRxvdy=KfRxpkd/+n RxtNd°-Vх Vх 0Х
Заменив в поверхностных интегралах tN его значением (1) и применив преобразование Гаусса —Остроградского, по (II 1.8.4) и (III.8.5) получим
JJ N-TdO = $$$ V-TdV, $$ RxN-TdO= (Rx V-T-2co)dV, 0х Vх 0х Vх
(3)
причем co — сопутствующий кососимметричной части Т вектор, равный нулю, если Т — симметричный тензор. Подстановка в (2)
3*
68
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
[ГЛ. 2
приводит к соотношениям
У>< (4)
Ш [RX(P’5r-pk~V'T) + 2“]dV^°‘
Поскольку Vх — произвольный объем, подынтегральные выражения должны быть равными нулю. Первое соотношение приводит к уравнению движения Коши
V-T + pk = p-^; (5)
вторым устанавливается симметричность тензора напряжений со = 0=>Т = Тт. (6)
Соотношение (1), отнесенное к поверхности О объема ^доставляет граничное условие на поверхности О. Если рассматриваются равновесные конфигурации объема V, то правая часть (5) обращается в нуль. В этом случае уравнения движения называются уравнениями статики.
Возвращаясь к выражению (1.16) силового тензора после замены в нем f по (1), получим
B = JJJ pkRdV+JJ N- RdO = JJJ (pk + V-T) RdV + $ JJ TdV, V O V V
так как
VTR = (V.T)R + RSTRS = (VT)R + T.
Итак,
В “ ИS PkR dv + И,R В * i0 = Ш ТЛ7 =
т-.>"ЯПтл/' (7>
V
Здесь Т(га) — среднее по объему значение тензора напряжений. Симметричность тензора напряжений — также непосредственное следствие (1.17) и (7)
В —BT=Exm°-= (Т—TT)dV = 0, Т = ТТ (8) v
(так как это соотношение применимо и к произвольно выделенному из V объему Vх).
Из этих соотношений следует также, что при равенстве нулю главного вектора сил рк и f и при отличном от нуля их главном моменте можно удовлетворить необходимым условиям равно-
§31 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЬ! 69
весия, сообщив объему конечный поворот и сохранив неизменными направления сил (или повернуть силы при неизменной ориентации тела). Действительно после поворота, задаваемого ортогональным тензором, силовой тензор преобразуется к виду
В' = Щ pkR' dV+ fR' d0 ~ BO, (9)
v
так как R' = RO. Тензор О по (8) определится условием
В'— В'Г В О От Вт = 0. (10)
Вместе с тем, предположив, что В — неособенный тензор (detB^O), и использовав его полярное представление
В = (В Вт)*/2 б, Вт = бт (В Вт) А, (11)
можно удовлетворить условию (10), приняв
О = бт.
При таком повороте удовлетворяются все условия статики, поскольку остается равным нулю и главный вектор всех сил.
Замечание. Соотношения вида (7) обобщаются при замене диад kR, fR тензорами вида кЧ*’(R), PF (R), причем Ч*’ —тензор любого ранга. Имеем
JJfT (R) dO= J J N-T4f (R)dO = $ ¥-ТЧ^У =
о O v
= [(V• T) Ч*’(R) + T• V4f]dV (12)
V'
и no (5)
JJJpk'FdV+SJ fTdO= Щт-УЧ'ДУ. (13) V O V
Например, приняв Ч*' = RR, приходим к соотношению
$ J $ pkRR dV + $ $ fRR dO = $ $ $ T (ER + R*RRJ dV, (14) V O V
приводящему к системе восемнадцати уравнений, определяющей все моменты первого порядка декартовых компонент тензора напряжений
(t<Sq>xr +1^х^ dv = pkis>x4xrdV + f<s>x4xrdO. (15)
v vo
Оно распадается на три легко решаемые системы. Приняв Чр = = RRR, получили бы 30 уравнений для 36 моментов второго порядка.
70
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
[ГЛ. 2
§ 4. Тензор функций напряжений
Известно, что тензор с равной нулю дивергенцией представим ротором другого тензора —это следует из того, что дивергенция ротора тензора равна нулю
V-L--=0, Л-VxM, V-L = V-(V х М) = 0. (1)
Если L — симметричный тензор (L -=LT), то следует тензор М подчинить условию
(VxM)T = VxM. (2)
Ему можно удовлетворить no (III.6.23), (III.6.27), приняв
М :(V/Q)T, V/M- -V/(V/Q)T, L = InkQ, Q = QT. (3)
Из сказанного следует, что уравнениям статики сплошной среды при отсутствии массовых сил удовлетворяет тензор «несовместимости» InkQ любого дважды дифференцируемого симметричного тензора
V-T-0, Т ТГ, TInkQ-V/(V/Q)T, Q = QT. (4)
В декартовом базисе, принимая поочередно
Q = Q<11>i1i1 + Q<22>i2i2 + Q<33>i3i3,
Q = Q<12> (ij2 + i2ix) + Q<i3> (i2i3 + i3i2) + Q<31> (i3it + i1i3), (5)
приходим к известным представлениям Максвелла и Морера компонент тензора напряжений через функции напряжений.
Выражение плоского тензора Т с равной нулю дивергенцией и не зависящего от координаты х3 может быть задано в виде
T = /^RaRp^Inki3i3C/(71, Л (а, (3=1,2). (6)
В формуле (II 1.6.26) теперь
V3Q = i3i3V*£7, V.Q = R“.^-i3 = 0, Д (Q) = U и поэтому
Т - Ink Q Ink i3i3U - — i3i3+ EV2t/ —Wf/.
Пришли к известному представлению тензора напряжений через функцию напряжений Эри (Airy)
Т E2V2H — Wi/ - R“RaV2t/ - R“R₽VaV3t/. (7)
В частности, в декартовых координатах
§5]
О ПОЛЯРНЫХ СРЕДАХ
71
Представления компонент тензора напряжений, выражающихся через остающиеся компоненты тензора функций напряжений Q11, <222, Q12, Q23, Q31, приводятся к виду
,u_.d2Q2i d2Ql1 /п_- а PQ2:i i ^31 /оч
1 ~ дх3* ’ 1 дх3* ’ ’ Эх3 ( дх3 Эх2 Эх3 У ’ 1 ’
d2Qn , a2Q12 , д / dQsi dQ23 \ ,.п
Эх2 Эх3 ‘ Эх1 Эх3 *" Эх1 \ Эх2 Эх1 ) ’
/з1 Э2(?22 , Э2(?12 д / dQ23 dQ33 \
Эх3 Эх1 + Эх2 Эх3 ‘ Эх2 \ Эх1 Эх2 ) ’
,33 d2Qu 32Q22 „ Э2(?12 Ш)
“ Эх22 ' Эх12 Эх1 Эх2
Не зависящие от х3 компоненты тензора напряжений t31, t2'3 представимы через функцию напряжений Прандтля Ф (х1, х2) в задаче о кручении стержня
/si _ д ( dQ23 3Q31 \ _ ЭФ
Эх2 ( Эх1 Эх2 У Эх2 ’
/2з_... д /dQ33 dQ23
Эх1 \ Эх2 Эх1
В задаче Сен-Венана имеет щих от х3 компонент Q11, Q12,
значение случай линейно Q22. Тогда
ЭФ
Эх1 '
(12)
завися-
Z12 О, - О
и выражению тензора напряжений придается вид
Т - i3T + xi3 + i3i3 (V§/j (Q)—Vo-Vo-Q).
Здесь вектор т определяется формулой
т - afr (Vo/i (Q) + Vo • Q) - i3 x V0O,
причем Vo — набла-оператор по двум переменным х1, х2,
Q =i1i1Q11 + i2i2Q22 + (i1i2 + i2i1) Q12.
§ 5. О полярных средах
Предполагалось, что действие окружающих рассматриваемый объем V тел описывается заданием внешних массовых к и поверхностных f сил. В более общих построениях допускаются также распределения внешних массовых ц и поверхностных v моментов (пар). Описывая в этих условиях взаимодействия между мысленно определенными частями среды, приходится принять предположение, что распределение по ориентированной площадке N dO' воздействий частиц в объеме У2 на прилегающие частицы в Vi статически эквивалентны не только силе t^dO'
72
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
[ГЛ. 2
(главному вектору), но и моменту тмсЮ' относительно некоторого центра на dO'. Оправдание для казалось бы парадоксального представления, что моменту приписывается тот же порядок малости dO', что и силе, можно почерпнуть в самом понятии «малости» в модели сплошной среды.
Сам по себе «бесконечно малый объем» представляется сложным собранием весьма большого числа элементарных частиц, а • передаваемые через площадку усилия надо трактовать как некоторый интегральный эффект их воздействий.
Ограничиваемся рассмотрением равновесия (уравнениями статики).
Для описания напряженного состояния вводится не только тензор напряжений Т, но и тензор моментов напряжений М. Подобно (2.8) он определяется соотношением
N-M mu, (1)
подтверждаемым, как и (2.8), рассмотрением равновесия моментов (пар), распределенных по граням элементарного тетраэдра.
Остается неизменным первое условие (3.2), выражающее теперь требование обращения в нуль главного вектора сил, действующих на произвольно выделяемый объем среды, а также следствие из него — уравнение статики в объеме. Второе условие (3.2) надо существенно дополнить, представив его в виде
JJJ (Rxpk+pg)JV + JJ (RхtN + mN)dO = 0. (2)
yX qX
После замен в поверхностном интеграле tN и mN по (3.1) и (1) и преобразования его в объемный интеграл теперь получим
J [RX (pk + V-T) -2® + V-М + pg]dV = 0. (3)
г*
Уравнения статики в объеме для сил и моментов приводятся к виду
V-T-|-pk = 0, V-M + pg = 2(0, (4)
причем по (1.14.17)
w=ye--T=|^R5xRA.
Материалы, в поведении которых проявляются действия моментов напряжений, называются полярными. Их теория, разработанная в начале века братьями Коссера (Е. et F. Cosserat, 1909), продолжена в последние десятилетия в большом числе публикаций по «моментным теориям сплошной среды». Здесь им не уделено места. Во всем последующем тензор напряжений Коши симметричен.
§61 ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕНЗОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ 73
Замечание 1. Уравнения (4) можно получить вариационным путем, если в выражение потенциальной энергии упругой среды включить вторые градиенты места (Тупин, 1964); это несовместимо с принимаемым далее ограничением, что упругая среда принадлежит к классу «простых материалов» (гл. 3, § 1). Доказано также (Гертин, 1965), что теория «непростых материалов второго порядка» требует во избежание противоречий с принципами термодинамики учета моментных напряжений.
2. В мультиполярной теории сплошной среды (материалы порядка выше второго) для описания взаимодействий частиц среды через ориентированную площадку приходится вводить моменты выше первого порядка.
§ 6. Другие определения тензоров напряжений
Описание напряженного состояния тензором Коши Т, определенным в актуальной конфигурации, естественно и физически наглядно. Трудность в том, что, как правило, сама эта конфигурация наперед неизвестна, тогда как отсчетная конфигурация входит в состав исходных данных.
Введение несложно выражаемого через тензор Коши Т тензора Пиола Р, определенного в отсчетной конфигурации, упрощает общие построения, а в некоторых случаях подходы к отдельным задачам.
В исходном соотношении (2.3) ориентированная площадка NdO заменяется ее представлением (1.8.4) через ndo в отсчетной конфигурации. Получаем
MO = N-TdO = n-VrT-Tdo = n-Pdo. (1)
В рассмотрение введен тензор Пиола
Р= VrTT, Рт= TVr. (2)
Обратные соотношения имеют вид
Т ; V'f VRT> Р = ]/ -f- рт‘ ?R- (3)
Главный вектор внешних сил, действующих на произвольно выделенный объем Vх, представим через тензор Р равенством ffipwv + nt„do = $$$p0k*+JJ п• Рdo = J\ (р0& + V• Р)dv Vх qX jjX ох -,х
74
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
1ГЛ. 2
и условие равенства его нулю (при произвольном Vх) приводит к уравнению статики в объеме, выраженному через тензор Пиола
о
V-P + pok = O. (4)
Здесь набла-оператор определен в отсчетной конфигурации. Соотношение (1) имеет вид
— это уравнение статики на поверхности. Оно значительно упрощается при «мертвых» поверхностных силах [см. (1.12)]
пР = 1°. (6)
Тензор Пиола несимметричен, симметрично по (3) его произве-о
дение на VRT слева
VRTP = ]/Т-=Т(0). (7)
Тензор Т(0) использован рядом авторов (Гамель, Каппус, Треффтц).
Уравнение статики в объеме для тензоров Т и Р записываются по (III.6.4) в виде
VG i^Rf + р0 Vg к = 0, Vg pstvt +p0Vgk О, (8) причем pst — контравариантные компоненты Р в отсчетном базисе. Для тензора Т(о) уравнения статики принимают вид; в объеме 4v/i^)Rt+Po/gk = O) (9)
а на поверхности
t(0)N = n.Vr-.T(0). (10)
Через t(o) n обозначен вектор силы на ориентированной площадке N dO, но отнесенной к единице площади в отсчетной конфигурации.
Рассматривается также тензор Г, определяемый формулами Г = VrT-7-Vr, Т = VRT-Tv• VR, T~ = j/ -J- P Vr,
Г (Q 0
P= ]/ у T VR. (1П
ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕНЗОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ
75
§ 6]
Представляя Т~ через его контравариантные компоненты, имеем
T^.VrT-^RsRfe.Vr-^%rft (12)
—-контравариантные компоненты Т” в векторном базисе отсчетной конфигурации равны контравариантным компонентам тензора Коши Т в актуальной.
Заменив в (12) градиенты места их полярными представлениями, получим
т = о*т и Т и 0х,
Tv = U-1-OX-T-OXT-U-1 = OX-V-1-T-V-1-OXT. (13)
Тензору Т“ далее присвоено наименование «энергетический» (гл. 2, § 8); его называют также приведенным (reduced).
Представив' тензоры Р и Т через смешанные их компоненты одновременно в базисах обеих конфигураций [см. (1.2.10)]
P = p“raR#, T^RaR*, (14)
получаем
A«R' = ]/yrpRMRaR'-
(15)
Тензоры Р и Т ' — удобные вспомогательные величины, непосредственно не определяющие напряженного состояния; разыскание последнего требует возвращения к тензору Коши Т, называемому иногда тензором истинных напряжений.
Уравнение статики, выраженное через энергетический тензор напряжений
V-P + Pok = V ]/^T-VR + pok = O, (16)
по (1.19.12) преобразуется к виду
V-(]/|t)-VR1H |т-(ггд)+Рок-¥г-=О, (17)
а в компонентном представлении — к виду
Z + (18)
Тензор
Тх = ]ZjT = p.Vr = /5Vt (19)
называют вторым тензором Пиола—Кирхгоффа.
76
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
1ГЛ. 2
§ 7. Элементарная работа
Элементарная работа внешних массовых и поверхностных сил на виртуальном перемещении 6R частиц среды в объеме V из состояния равновесия в ее актуальной конфигурации равна = Ш Pk'8R^V + JJf-6RdO. (1)
V о
Обозначение б'Д(г) (и далее б'а(г)) напоминает, что речь идет о малой величине порядка 6R, но отнюдь не о вариации функции состояния среды; б'А(е} — элементарная работа, а отнюдь не «вариация работы»—такой величины, вообще говоря, нет.
Преобразование формулы (1) проще всего осуществить, переходя к интегрированию по объему v отсчетной конфигурации и используя тензор Пиола
б'Д(е) =: $ $ 5 P»k' n-P-6Rdo = 5(pok + V - р) • 6R dv +
V О V
+ (v6R)Tdt> = $$$P--6VRW, (2)
V V
было использовано преобразование дивергенции произведения тензора на вектор (III.3.10), формулы (7.4), (7.5) и перестави-о
мость операций V и б
о л ООО
V6R = r^6R = r6Ri==6r%==6VR, V6R = 6VR (3)
(так как отсчетная конфигурация не варьируется, бг’=0). Операции V и б не переставимы; по (1.3.10)
О О / О \
V6R = Vr-V6R = Vr-6VR, (V6R)T-46VRj.VrT. (4)
Возвращаясь к (2), имеем
б'Д(е) = б'а(е) du = Р-• 6VRTdv, б'а(е) = Р--6VRT. (5) V V
Здесь б'п(е)— элементарная работа внешних сил, отнесенных к единице объема отсчетной конфигурации (удельная элементарная работа). Ее можно представить и через тензор Т~ по (7.11)
Z7T 0 ° АТТ ° 0
б'а(е, = V — Т~-VR--6VRT = J/ — T-VR-6VRr
= 4 ]/уГ- (vR• 6VRT + (6VR)- VRT) ,
что следует из правил свертывания (1.7.16), (1.7.17). Вспомнив определения (1.4.4), (1.7.8) меры и тензора деформации Коши—
§7]
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА
77
Грина, получаем
S'a<e>=4 Т"'--6G= ]/-|т'-..бС. (6)
Эта формула объясняет наименование 1"' энергетическим тензором напряжений. В линейной теории элементарная работа определяется сверткой тензора напряжений с линейным тензором деформации.
Представление через тензор напряжений Коши по (6.11) и (4) приводится к виду
S'a(e) = ]/ j VrTTVr-VR- -6VR'r-: ]/ -|т. .(fiVRT).VrT =
= |/£t--(V6R)t. (7)
По определению меры деформации Фингера (1.5.2), (1.5.3) и по (4)
/ 0 \ О 0 о
SF = 16VRT) VR + VRT 6VR = (V6R)T• F + F VSR,
V6RT ^ ISF -F• VSR) F_|
и после подстановки в (7) приходим к выражению
6'а(е)= (F_1-T--SF-F-^T-F--VSR),
значительно упрощающемуся, если тензоры Т и F ереставимы (это осуществляется в изотропном упругом теле). Тогда по (7)
б'й<е) = т j/jT.-F-MF. (8)
Вспомнив также определение (1.6.10) меры Генк имеем по (8) (вывод формулы (9) приведен в конце этого параграфа)
64= ]/-|т--дН (9)
— это наиболее простое определение удельной элементарной работы через тензор напряжений Коши, пригодное, однако, лишь в изотропном упругом теле.
Переходя к движению, заменим виртуальное перемещение 6R действительным dR = vdi; следуя (1), теперь получаем
= pk-vdV+tN vdO = jJJ (pk + V-T)• vdV + v О V
+ ШТ,,?уТЙ1/ -JJfpv-vdK+|fJJT--(VvT + Vv)pV (10)
v J V ' ' V
78
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
[ГЛ. 2
— использовано уравнение движения (3.5) и симметричность тензора Т. Первое слагаемое преобразуется к виду
JJJpv-vr!V=J£fpov.v^^4OTp4v'v^=THnpoV'V^ = ^-V v v
Здесь Ж’ — кинетическая энергия частиц среды в рассматриваемом объеме
v V V
Второе слагаемое в (10), в соответствии с обозначением (1.13.10) записываемое в виде
# = 1^Т--(¥ут + ¥у)^ = ^Т.-О^, (12)
V V
определяет величину, называемую мощностью. Пришли к уравнению работы
= + (13)
— сумма материальной производной по времени кинетической энергии и мощности равна работе внешних массовых и поверхностных сил за единицу времени.
Представление мощности через тензор Пиола приводится к виду
= = f-V»R^P..VvTdV==
= nJP.-Vv>.^R
и no (1.3,9)
*=ИИ-°‘lv=1S S p- rv’*. (14)
V v
Замечание. Вывод формулы (9). Тензор exp М по определению равен
ехрМ = £ -^ = Е+М + ^М2 + А-М3+.. .
§ 7]
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА
79
и представление его вариации имеет вид
6 exp М=6М + ^(М • 6М+6М • М) + ^(М2 • 6М+М • 6М • М+
2.1 о I
~ й-1
+ бм-м2)+.. - = XiXM'-бм-м*-1-5.
Й=1 s = 0
Тензоры М и Q предполагаются симметричными и соосными. По правилам свертывания получаем
Q -бехрМ- Q. -(6М + М-6М+1М2-6М+ .. J =
= Q-- 6М+ У, jrМА• 6М = Q-• (exp М)-6М = Q-exp М-• 6М.
k = 1
Возвращаясь к (8) и к представлению (1.6.10) меры Генки, имеем теперь
F-1 = ехр (—2Н), 6F = 6exp2H,
Т - -F_1-6F = Т-ехр (—2Н)-ехр2Н- -б2Н = Т- -2бН, что и требовалось.
Глава 3
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
§ 1. Простое тело
Уравнения движения сплошной среды определяют в заданных полях массовых сил и скоростей дивергенцию тензора напряжений, но не напряженное состояние ее. Все процессы (движения и равновесия) происходят в соответствии с этими уравнениями; будучи необходимыми условиями осуществимости процессов, они недостаточны для их полного описания,, так как различные среды (материалы) по-разному реагируют на воздействие одной и той же системы сил (кусок глины, стальной стержень). Единые для всех сред общие теоремы механики — количеств движения, моментов количествдвижения, из которых выведены уравнения движения, должны быть дополнены физическими закономерностями, определяющими поведение материалов различных свойств. Ими формулируются уравнения состояния (называемые также определяющими уравнениями) — соотношения связи тензора напряжений с величинами, определяющими движение частиц среды, если ограничиться только механической постановкой задачи (тепловые воздействия рассматриваются в гл. 9). Эксперимент является решающим в установлении этих закономерностей, но только «в конечном счете». Неизбежно умозрительное рассмотрение с целью установить общие принципы построения уравнений состояния и классификации материалов. Лишь исходя из математической модели некоторого достаточно узкого класса материалов, можно извлечь сведения о нем экспериментальным путем — «чем позже, тем лучше» (Синь-орини).
Для уравнений состояния существенны понятия «теперь» и «раньше», исключение времени обеднило бы их содержание. Статическое рассмотрение следует отложить на более поздний этап.
Весьма общее описание напряженного состояния «здесь и теперь», иначе говоря, в данный момент t в частице, отмеченной в отсчетной конфигурации местом г (g1, q2, 73), состояло бы в задании тензора напряжений Т, как функции г (q1, q2, q3), t и временного переменного
x~t — st^t, 0<s<oo, (1)
§11
ПРОСТОЕ ТЕЛО
81
входяГцего в задание предыстории движения каждой частицы тела S3
R (г (q1, q2, q2); т) ‘ '
Тензор напряжений Т (г (q1, q2, q3)", t) представляется функционалом над предысторией (2), функцией материальных координат q\ q2, q3 данной частицы eSL и, возможно, явно входящего времени t
Т (R (г; t)) = (R (г (91, q2, q2)-,T); q1, q2, q2; t) ’
Внесение явной зависимости от t соответствует попытке учета изменяемости свойств материала, обусловленной происходившими в нем тепловыми, химическими и т. д. процессами (старение бетона, например). Это достигалось бы более полно внесением, вместо t, величин, описывающих эти процессы и их предисто-рии. Довольствуясь только механическими постановками задач, мы исключим t из числа рассматриваемых аргументов.
В записи исходного определяющего уравнения (3) фактически можно считать участвующей и температуру и, возможно, другие параметры состояния (химического или иного происхождения). Однако во всем изложении главы температура как параметр состояния не фигурирует. Это объясняется тем, что существует широкий круг подлежащих изложению вопросов, не связанных с термодинамикой. Именно эти вопросы (группы равноправности, понятие твердого тела, типы анизотропии, понятие упругой жидкости и т. д.) составляют рсновное содержание главы. Введение дополнительных параметров только внесло бы в изложение лишние детали, тем более, что существует обширный класс явлений, для описания которых не требуется введения температуры. В частности, в отсутствие химических реакций приведенное описание справедливо для изотермического либо адиабатического процесса деформирования. Более общие задачи, исследование которых существенно опирается на термодинамические соображения, рассматриваются в гл. 9.
Еще более упрощая задачу, примем, что среда однородна, «материально однообразна»*). Это значит, что уравнение состояния одинаково формулируется для всех частиц тела 33\ при таком условии в (3) не войдут и аргументы места частицы q1, q2, q3 ъ S3.
При этих упрощающих предположениях _____________________________________(4)
Т (R (г; 0) (R (г (q\ q2. q3); т)).
*) Не останавливаемся на различении этих двух понятий; однородность (homogeneity) и материальное однообразие (material uniformity).
82
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. 3
Представление определяющего уравнения в этой форме основано на соображении причинности —«материал не знает будущего, но сохраняет память о про илом».
Конечно, соотношение (3) него упрощенная форма (4) —только отправные пункты для дальнейшей конкретизации. Следующий шаг — принцип «соседства», близкодействия, локальности: напряженное состояние в месте г (q1, q\ q3) определяется действием на частицу а/Z в нем лишь расположенных в ее окрестности частиц
|г(?, q2, q3)--г (q1, q2, q3)| < e, (5)
где e достаточно мало. Вместо (4) приходим к записи
_______
T(R(r; 0>^(R(r(?W, ?3);^)), (6)
обозначением <№ указывается на соседство с частицами, оказывающими воздействие на напряженное состояние в «//. Аргумент функционала в (6) представляется в виде
_____&У______ о
R (г (q1; q2; q3)- t) = R (r (q\q2, q3); r) + AR=dr • VR (r (q1, q2, q3); т)ф-
4- у dr VVR (r (q1, q2, q3); r) -dr + . . . (7)
Тензор напряжений T «здесь и теперь» представлен функционалом над историей движения, ее первого, второго и т. д. градиентов
Т (R (г; 0) = & (R (г; т), VR (г; т), VVR (г; т), ...). (8)
Но было бы лишено смысла удержание аргумента R(r;r), так как частица материала реагирует на соседние частицы независимо от ее расположения в среде. Соотношение (8) сменяется записью
о о о •
Т (R (г; Z))=Jr(VR(r; т), VVR (г; т),...). (9)
Высший порядок включаемого в функционал градиента определяет «порядок материала». Во всем последующем мы ограничимся материалами первого порядка—«простыми телами»
T(R(r; /))—<F(VR(r; т)). (10)
В их число входят не только классические материалы —упругое тело, вязкая жидкость, но и более широкие классы. Рассмотрению «непростых» тел нет места в этой книге по теории упругости. Принятое ранее ограничение неполярными средами, по-видимому, предполагает и отказ от рассмотрения материалов второго порядка.
§ 2] ПРИНЦИП МАТЕРИАЛЬНОЙ ИНДИФФЕРЕНТНОСТИ 83
§ 2. Принцип материальной индифферентности
Следуя определению индифферентной величины гл. 1, § 15, примем, что индифферентен вектор силы In на площадке, ориентируемой вектором N dO. Индифферентность N легко проверить, основываясь на формулах (1.8.8), (1.15.13), (1.15.12)
Nz = (n G-1' n)_12 • Vr' • п = (n-G-1 • n)-1/* От-Vr • п = От• N = N O.
(1) Поэтому
t'N, =. N'-T' = N-0-Г = tv О, tjv = NOT'OT = N-T
и этим доказывается индифферентность тензора напряжений Коши Т, так как вектор N можно выбрать произвольно
Т' (г; 0 = От-Т(г; /)-О. (2)
Соответствующее утверждение для тензора Пиола выражается равенством
Р'(г; /) -- ]/1 VrT'.T'- |/у Vr Г О-От-Т-0 = Р (г; t)-O. (3)
Свойство материала, описываемое функционалом (1.10), не может зависеть от векторного базиса—функционал ST над аргу-о
ментом VR' в штрихованном базисе полностью сохраняет форму о
своей зависимости от VR в нештрихованном
о о
T = ^(VR'(г; т)), T = Jr(VR(r; т)). (4)
Такова формулировка принципа материальной индифферентности.
Поясним это простейшим примером. В исходном базисе (неподвижной комнате) измеряется удлинение пружины, нагруженной подвешенной к ее концу гирей. «Штрихованный» наблюдатель в вертикально движущемся лифте обнаружит другое удлинение при той же гире, но скажет, что свойства пружины остались неизменными, а изменение ее удлинения свидетельствует об ускорении лифта, подсчитываемом по этому изменению. Точно так же, зная удлинение вертикально подвешенной пружины, можно по его изменению вычислить угловую скорость горизонтального вращающегося стола, на оси вращения которого закреплен конец этой же пружины с той же гирей на другом конце. В дифференциальном уравнении движения сохраняются неизменными свойства материала пружины, задаваемые модулем Юнга и плотностью.
84
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. 3
Следствием (1.15.11), (2) и (4) является соотношение оо о
JF (VR' (г; T)) = <F(VR(r; т)-О(т)) = От (/) & (VR (г; т))-О(0- (5)
Воспользовавшись теперь полярным представлением градиента места (1.6.1) о
VR (г, т) = U (г; т) -0х (т), (6)
в котором 0х — ортогональный тензор, сопровождающий деформацию, приходим к равенству о
cF (U (г; т)-Ох (т)-О (т)) = От (^)-©Г (VR (г, т))-О(0, (7)
выполняющемуся для всех ортогональных тензоров О. Это позволяет принять для всех t
O(t) = OXT(t), От(0=Ох(0 (8)
и преобразовать (7) к виду о
Т (г; 0=<^(VR(r, T))- OX r(/)-<F(U(r; т))-Ох(0- (9)
Этим доказывается фундаментальное свойство простых материалов— их поведение определяется только предысторией тензора искажений U, предыстория поворотов не оказывает влияния на тензор Т (г; t) «теперь».
Принцип материальной индифферентности дает средство распознавания пригодности априорного задания тензора напряжений через задающие движения среды величины. Приведем два примера.
Включив в состав функционала <£Г вектор места R (г; т) о
(г; f) = 3" (R (г, т), VR (г; т)), получили бы по (1.15.1) и (5) о о
<T(R' (г, т), VR'(г; т)) = От (/) • J7" (R (г; т), VR (г; т))-О(/).
В частности, при поступательном движении штрихованной системы о о
О = ОТ = Е, VR'=VR, R' = c+R
и предшествующее равенство привело бы к соотношению о о
©Г (R (г; т) + с(т), VR(r, r))=^(R(r, т), VR (г, т)), которому нельзя удовлетворить при произвольном с(т). Уравнение состояния материала не может зависеть от места R ча
J2] ПРИНЦИП МАТЕРИАЛЬНОЙ ИНДИФФЕРЕНТНОСТИ 85
стицы среды, как уже говорилось выше. Здесь этот очевидный факт представлен, как следствие принципа материальной индифферентности.
Более содержателен второй пример. Для описания движения жидкости предложено уравнение состояния
T = H(v, D, W, р) (10)
— тензор напряжений представлен функцией вектора скорости v, его тензора деформации D, тензора вихря W, плотности р. Принцип материальной индифферентности здесь представляется соотношением
T' = H(v', D', W', p') = OT H(v, D, W, p) O
и по (1.15.6), (1.15.10), (1.15.7)
H (c+Or v + OT R, OTDO, OT W O + OT O, p) =
= OTH(v, D, W, p)-O. (11)
При поступательном движении штрихованной системы получили бы
О Е, 6 = 0, H(c + v, D, W, p) = H(v, D, W, p),
откуда следует, как можно было заранее предвидеть, что вектор скорости не может быть включен в представление (10). Приняв теперь
Г HID. W, р), Т =Н(От D O, OT W О + ОТ О, р)
и, рассматривая мгновенно-вращательное движение, имеем
О = Е, 6=^0, Н (D, W + OT, р) = Н (D, W, р),
так что исключается возможность вхождения аргумента W в состав Н.
Принцип материальной индифферентности допускает представление
T=H(D, р), T' = H(OTDO, p) .OT-H(D, р)-О. (12)
По (11.7.1) симметричная тензорная функция Т над симметричным тензором D изотропна H'JnoJ(II.7.7) представима квадратичным трехчленом
Т = <р0Е + Ф1О + <p2D2 (13)
с коэффициентами <р, зависящими от инвариантов D и от р. Допуская, властности, только линейную зависимость*от D, следует принять
<Ро = — P(p) + ^(p)/i(D) •= — /?(р) + А(р) V v, <pi-=2p(p), <р2 = 0,
86
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. 3
приходим к уравнению состояния классической жидкости Навье— Стокса
Т = [- р (р) + 2. (р) V. v] Е + 2н (р) DД (14)
Для несжимаемой жидкости
р = р0 = const, V-v = 0, Т = — pE + 2piD, (15)
но давление р отнюдь нельзя считать постоянным. Оно определяется из уравнения движения, рассматриваемого совместно с уравнением неразрывности
V.T + pok = pob, V-v = 0, или
— Vp + pV2v-|-p0k = p0b, V.v = 0 (b = v), (16)
так как V.VvT = VV-v = 0, V-D = yV2v.
§ 3. Упругий материал
Основываясь на принципах причинности, соседства (локальности взаимодействий)' и материальной индифферентности, мы пришли в § 2 к уравнению состояния простого материала в форме (2.9) представления тензора напряжения функционалом над пред-историей тензора искажений. Для упрощения записей в этом соотношении далее опускается указание на само собой подразумевающуюся зависимость от материальных координат частиц
T(0 - Ox40cF(U (т))-0х (0- (1)
Фактически о предыстории можно делать лишь более или менее приемлемые предположения. Ближайшей задачей поэтому является исключение предыстории — замена функционала функцией величин, определенных «теперь» в момент t, а нет=/ —s. Первым шагом должно быть выделение из'и(т) слагаемого U (t) и представление остаточного члена Q (/, т)
U(t)^U (t) + Q(t, т). (2)
Обратившись к обозначениям гл. 1, § 17, заменим в тождестве о tot
VR (т) - г% (т) - r'R. (О VR (т) = VR (Z)-VR(r) градиенты места их полярными представлениями
U (т) • Ох’(т) = U’(0 • 0х (0 • U (т) • 6х (т),
U (т) = ВД .0х (0- И(т) -Ох,(т) -Охт (т).
§3]
УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
87
По (1.12.12)
6х (т) -= R (О 1Д (т), Ох'г (т) - Rft (т) гь
0х (т) Охт (т) = R’ (t) rs = 0х г (/), откуда находим
U(t) = U(/)-Ox(0-IJ(t)-Oxt(0. (3)
Теперь разбиению U (т) на два слагаемых (2) придается вид и (т) = и (t) + и (0 • 0х (0 • (и (т) - -е) • 0хг (I),
Q(t, t) = U(0-Ox (0-(и(т)-Е)-ОХг(0, (4)
t
причем Q (t, так как U (/) — Е. Функционалу (1) придается вид
(U (т)) =еГ (U (Z)-J-Q (/, t))=^-(U(0)+<£(/, т), (5)
причем
S (t, т) (U (0 + Q (Л т)) — (U (/)). (6)
Уравнение состояния представляется соотношением
Т(о =охг-<^([/(0)-о(/)+охт(0-^(Л П-ох(0, (7)
в котором первое слагаемое —функция (не функционал) тензора U (/) в актуальной конфигурации, второе —функционал над пред-дысторией движения (функционал памяти). Его структура определена выражениями (6) и (4).
Далее на всем протяжении книги постулируется существование материалов, подчиняющихся условию
W-r>0 £(t, т) = 0, (8)
согласующемуся со следствием t) — 0 из соотношений (4) и (6).
Этот постулат исключает из рассмотрения вязкие и упруговязкие материалы, поведение которых нельзя описать, не учитывая его связи с протеканием во времени предшествующего деформирования. Не требуется и знания последовательности, в которой материал подвергался деформированию, — исключено изучение пластичности. Речь идет только о материалах, полностью лишенных «памяти», не возникает вопроса об их предыстории. Такими свойствами наделяется упругий материал.
Далее рассматриваются две ситуации. Во-первых, речь может идти о статических только процессах —нагруженное тело нахо
88
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. 3
дилось и продолжает оставаться в покое, так что определяющие деформацию величины вообще не зависят от времени, но зависят только от материальных координат
11= Щ91, q\ q3).
Определяющее уравнение простого’материала теперь принимает вид
T = OXT-Jr(U)-Ox. (9)
Во-вторых, можно ограничиться рассмотрением материалов с «мгновенно исчезающей памятью». Тензор U (/) остается зависящим от времени, но функционал памяти т), равный, напоминаем, нулю при t = t, пренебрежимо мал по сравнению с первым слагаемым в (5).
Тогда по (7)
T(0=oXT(0-<F(U(0)-ox(0. (Ю)
Материалы с уравнением состояния (9), (10) называются упругими. Теория упругости — часть механики сплошной среды, изучающая поведение этих материалов. Речь идет о существенно различных материалах.
Результаты, основанные на рассмотрении уравнения состояния (9) сохраняются для всех простых материалов. В статических условиях «теории упругости» приписывается большая общность, чем указывается в наименовании этого предмета.
Совершенно иначе приходится трактовать содержание уравнения состояния (10). Здесь речь идет о весьма идеализированной модели материала, немедленно и независимо от предшествующего состояния реагирующей на деформирование в данный момент t. Изучение функционала памяти показывает, что такая идеализация приемлема, как «нулевое приближение», при достаточно медленно протекающих процессах деформирования; в следующем приближении в рассмотрение должны быть включены скорости этих процессов.
Итак, простой материал «упруг», если напряженное состояние в нем в момент t не зависит от предыстории деформирования, а определяется деформацией в этот момент. «Упругий материал немедленно забывает», как протекало деформирование.
Меры деформации определяются сравнением актуальной конфигурации с отсчетной. Это дает повод к высказыванию, что упругий материал наделен совершенной памятью об одной единственной конфигурации — отсчетной. С таким воззрением нельзя согласиться, так как эту конфигурацию можно назначить произвольно, ей, вообще говоря, нет нужды приписывать особые физические свойства. Произвол выбора ее позволяет во многих
§4]
ГРУППА РАВНОПРАВНОСТИ МАТЕРИАЛА
89
случаях упростить уравнение состояния и это дает основание предпочесть некоторую специально выбираемую отсчетную конфигурацию.
В записях (9) и (10) уравнения состояния упругого материала заменим ортогональный тензор 0х его представлениями
о о
O U~'-VR, OXr VRTU~J. (11)
Придем к соотношению о ООО
T VRrU-1<F(U)U’VR VR‘.O(U)VR. (12)
Здесь введено обозначение
Ф (U) U-1-^’(U)-U-1==G-1/-Jr(G‘/9-G-1A = O(G‘/2). (13)
При новом обозначении
O(U) = O(G*/2)==4p(G) (14)
уравнение состояния записывается еще в виде о о
Т = VR*T(G)VR, (15)
а для тензора Пиола и энергетического тензора по (2.7.2) и (2.7.И) _ __
Р = |/-1q(U).VR = j/-|v(G).VR, (16)
T''-O(U) = T(G). (17)
Напомним еще, что по (2.5) записи выражения принципа материальной индифферентности для упругого материала можно придать вид
S' (vr.o) = Ot-<^(vr ho, <t(vr) = O-XvR-o)-Ot. (18)
§ 4. Группа равноправности материала
Ограничения на зависимость уравнения состояния от градиента деформации, выраженные функциональным уравнением (3.18), обусловлены соображениями инвариантности актуальной конфигурации сравниваемых движений в «нештрихованном и штрихованном» базисах. Отсчетная конфигурация оставалась неизменной. Рассмотрение вопросов, связанных с ее выбором, позволит дать некоторую классификацию простых упругих материалов (твердое тело, жидкость) и точно определить понятие изотропии. Актуальная конфигурация в этих рассмотрениях предполагается Неизменной.
90
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
1ГЛ. 3
I 2
Рассматриваются отсчетные конфигурации v, v; места частицы 1 2
St(q\ q2, qs) в них задаются векторами г, г. Однооднозначная зависимость между ними представляется равенствами
г.= г(г), г--г(г) (1)
12 2 1
— первое определяет преобразованием—>щ, второе о—ш. Набла-операторы, определенные в этих конфигурациях, обозначаются
1 1 о 2 2 о
V г'/., V = r^ (2)
dqs dqs
1 2 2 1
и градиенты преобразований v—>-v, v—>v равны
1 21212 2 12121
v—и: Vr r'r5 -S; v—Vr — г*г5 — S-1. (3)
k
Градиенты места VR в актуальной конфигурации теперь представляются формулами
1 1 1 2 2 2 2 1
VR = r'R5 S VR; VR r'R. S-’VR. (4)
Уравнение состояния записывается в одном из видов
Т = (vr) = <f(s-Vr).= (f(vr) ^/( S-1-Vr). (5)
1 2
Здесь <F, S' — отличные друг от друга функциональные зависимости, описывающие одно и то же напряженное состояние. Подобно этому отличаются друг от друга уравнения одной и той же кривой, записанной в разных системах координат. Но не исключено, что они сохранят вид, например, когда координатные оси, являющиеся осями симметрии кривой, повернуты на 180°.
Возникает вопрос о разыскании таких преобразований отсчетной конфигурации, которые оставляли бы неизменной функциональную зависимость тензора, напряжений от градиента места, иначе говоря, запись уравнения состояния. Градиент такого 1 2
избранного преобразования м—>м обозначается Н (вместо S), 1 2
индексы над ST отбрасываются S' ST — S'. Формулы (5) должно теперь записать в виде *)
VVR, VR: Vr) — (VR J = еГ (н • Vr) =.-еГ (н-1 • Vr) . (6)
*) Знаком ух обозначается «для всех х».
§ 4j ГРУППА РАВНОПРАВНОСТИ МАТЕРИАЛА 91
Из них следует, что никаким опытом над напряженным состоянием нельзя обнаружить, был ли материал подвергнут в отсчет-1 / 2 \ 12/
ной конфигурации v у или v) Н-преобразованию v—>v ^или Н^-преобразованию v—>v) или не был.
Изменение плотности обнаруживаемо, Н-преобразования должны оставлять плотность неизменной
det Н - ± 1 (7)
(не исключены преобразования, сопровождаемые инверсией).
Самый простой пример представляет мысленный опыт с нагружением кубика силами, сохраняющими величину и направление. Грани кубика, перпендикулярные осям XYZ, назовем 1, 2, 3; нагружение осуществляется силами, параллельными оси Y.
1 I 2
В ^-конфигурации нагружена грань 2, а преобразование v—>v осуществляется поворотом кубика на 90° вокруг оси Z. Нагруженной окажется грань 1, причем деформация кубика, значит, и напряженное состояние в нем может измениться, может остаться неизменным. В первом случае поворот не является, во втором является Н-преобразованием. То же можно повторить о повороте на 90° вокруг оси X, когда нагруженной становится грань 3.
Н-преобразования образуют группу. Это значит, что если соотношениям (6) удовлетворяют Нх- и Н2-преобразования, то и преобразования Н1Н2, H2HX являются Н-преобразованием. Н-1 —также Н-преобразование; единичный тензор Е, конечно, Н-преобразование.
Доказательство очевидно, Достаточно в соотношениях
VVR: <t(vr)=«t(hi.Vr), ДЧVRj-=<Д (h2-VrJ (8)
2 2 2 2
сделать замены VR—>H2VR в первом, VR—/H^VR — во втором; это допустимо, поскольку эти соотношения выполняются 2
для всех VR. Приходим к равенствам
& (h2-Vr)^^(hi-H2-Vr), (Hj-Vr) =«F (н2-Нх-Vr)
и по (8), как и требуется,
& (vr) =$ (hx-vr) = S~ (h2-vrJ (hxH2vr) =
= <r (h2-hx-vr) .
Группа Н-преобразований, обозначаемая g, называется группой равноправности материала; тензоры Н — элементы этой группы
Hag. (9)
92
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
ГЛ. 3
Через и обозначается группа всех унимодулярных преобразований-преобразований, сохраняющих объем. По (7) группа равноправности — подгруппа унимодулярной группы
g<=.u. (10)
Напомним, что Н-преобразование отнесено к некоторой отсчетной и-конфигурации; по ней с помощью Н-преобразования определяются отсчетные конфигурации, экспериментально от нее неотличимые.
1
Рассмотрим материал, обладающий в ^-конфигурации группой 1 2 2
равноправности g, а в ^-конфигурации— группой g. По (5) и (4)
VVR: Т = (vr) J7" (vr) == J" (s"1-Vr) , (11)
а по (8)
VVR, H,czg: сГ (vr)-^(Hj-Vr) . (12)
i i i
Условие VVR допускает в (11) замену VR . H, VR, так что к (н^ vr) -/(s-^Hj-Vr)
и это соотношение по (И) и (12) можно записать в виде
& (vr) =/ (h^Vr) -= / (s-1-Vr) =-(s^-H-Vr) . (13)
Заменив теперь по (4)
12 1 2
SJVR VR, VR = S VR,
no (13) получаем
2 2 / 2 3 2 / 2 3 2 / 2 3
VVR, H2ag: VRy <F i H.-VRJ S’1- HrSVR) . (14)
Пришли к соотношению, называемому правилом Нолла
. H2 = S-l-H1-S, H^S H, S’1, (15)
в обозначениях теории групп оно записывается в виде
2 1 12
g-S-igS, g-SgS"1. (16)
Этим установлена связь между группами равноправности, отне-1 2
сенными к отсчетным конфигурациям и, V, связанным S-преобразованием (3). Соотношение (15) удовлетворяет условию (10): 1 2
если gcu, то и gcu. Действительно, по (15)
det Н3 - det S-1 • det Н:-detS --det Hj-± 1, u-S^uS. (17)
§51 ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 93
При преобразовании подобия (а — коэффициент подобия) 2 1 12 11
г = аг, S = Vr = аг% = аЕ, S’^a^E
и по (16)
2 1 1
g = a~1EgEa=g (18)
— группа равноправности остается неизменной. Как выяснится далее, это позволяет сказать, что преобразование подобия сохраняет присущие материалу симметрии. При тождественном преобразовании (S = E) и преобразовании инверсии (S = — Е) также 2 1
g = g по (16).
Триклинным называется материал, группа равноправности 1
которого состоит из двух элементов g = (E, —Е}. Этот материал минимальной симметрии остается таковым во всех отсчетных конфигурациях
g = S"1 {Е, — Е) S= (Е, — Е} = g. (19)
Для материалов максимальной симметрии (таковыми являются 1
простые жидкости) группа равноправности g = и — полная уни-модулярная группа для v-конфигурации, но и для всех конфигураций, что следует из (17),
2 1
g = S-1uS = u —g. (20)
§ 5. Ортогональное преобразование. Изотропный материал
Ортогональный тензор Осо унимодулярен *) (detO=±l), ocg. Иначе говоря, во множество Н преобразований некоторой отсчетной о-конфигурации, необнаруживаемых опытом, могут входить и ортогональные преобразования. Для этих, представляющих наибольший интерес преобразований, соотношение (4.6) может быть записано в виде
VVR: T = <^(vr)=^(ot-Vr) (1)
о о
И при замене VR на VRO
VVR: T-J7’ (vR-o) = ^(ot-VR-o) . (2)
*) о—обозначение группы всех ортогональных преобразований.
94 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. 3
Но, согласно принципу материальной индифферентности, записанному в форме (3.18),
S' (VR-о) = От-S' (vr) О. (3)
Пришли к соотношению
VVR, Oczg: ^(ot-VR.o)-Ot-^(vr)-O, (4)
определяющему ортогональное преобразование, принадлежащее группе равноправности в некоторой отсчетной и-конфигурации. Мы подошли к определению изотропного материала — «одной из великих идей Коши» (Трусделл): материал изотропен, если существует отсчетная о-конфигурация, для которой группа равноправности содержит полную ортогональную группу о — уравнение (4) выполняется для всех преобразований этой группы
VVR, VOczo: ((Г VR • о) = От • S' (vr) О. (5)
Такая и-конфигурация называется неискаженным состоянием материала. Любое ортогональное преобразование оставляет неискаженное состояние неискаженным. Уравнение (5) удовлетворяется в изотропном материале тождественно для всех Ос:о.
Тензор Н в (4.6) может быть любым ортогональным тензором. Приняв Н = ОХ, где 0х —ортогональный тензор, сопровождающий деформацию, можно переписать (4.6) в виде
t(vr) = ^(vr) =sT-(oxr-VR) = ^(oxT-Ox.v) = ^- (V) (6) — здесь использовано определение правого тензора искажений (1.6.1).
о
Соотношением (6) доказывается допустимость замены VR на V в (5).
Получаем
VOczo: S' (От-VО) = ОТ J (V)-0 (7)
и этим показано, что симметричная тензорная функция
Т==ТТ = ^Г (V) (8)
над симметричным тензором V удовлетворяет определению (II.7.1) изотропной тензорной функции. Поэтому она представима по (11.7.7) квадратичным трехчленом над V
T = XoE + Z1V + x2V2
(9)
§6]
ТВЕРДОЕ ТЕЛО
95
со скалярными коэффициентами — функциями инвариантов Ik (V) = = К (U)
Xr = Xr(A(V), A(V), 73(V)) (Г = 0, 1, 2). (10)
В неискаженной отсчетной конфигурации
V = E, 71(V) = Z2(V) = 3, /3(V)=1
и по (9)
Т = —рЕ, —р = Хо (3, 3, 1) + Х1 (3, 3, 1) + х2 (3, 3, 1) (И) — напряженное состояние в неискаженной конфигурации может быть лишь полем равномерного сжатия (р > 0) или растяжения (р < 0). При p = Q неискаженное состояние называется натуральным (напряженное состояние отсутствует).
Следует особо подчеркнуть, что тогда как уравнения состояния упругого тела в формах (3.12), (3.15) сохраняют вид независимо от выбора отсчетной конфигурации, представление (9) пригодно тогда и только тогда, когда отсчетной конфигурацией служит неискаженное состояние материала.
В уравнении (8) исключены из рассмотрения сопровождающие деформацию повороты и это полностью соответствует идее изотропии. Понятно и то, что тензор напряжений Т выражается непосредственно через индифферентный тензор V (его, конечно, можно заменить тензором Фингера F V2), естественно задаваемый, как и Т, в векторном базисе актуальной конфигурации.
По (3.12) и (9)
Ф (U) - VrT (ZoE + Х1V + V2) • Vr
и по (3.16), (3.17) представлениям тензора Пиола и энергетического тензора придается вид
Р= ]/-|(Хои-1 + '/.1Е + х2и)-ох\
Т" = X0U-2 +Хги-1 + ХзЕ.
§ 6. Твердое тело
В твердом теле существуют преимущественные состояния; всякое изменение формы (деформирование) из этих состояний влияет на поведение материала при нагружении. На это поведение может влиять, но может и не влиять поворот испытуемого образца. Этому качественному описанию соответствует определение: простой материал тверд, если можно указать такую отсчетную и-конфигурацию, что соответствующая ей группа равноправности g является подгруппой ортогональной группы,
96 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. 3
В противоположность (5.4) для этой конфигурации, называемой неискаженной,
g^o. (1)
Термин «неискаженная конфигурация» здесь и в определении изотропии § 5 применен в различных значениях. В § 7 будет показано, что для изотропного твердого тела эти определения равнозначны.
Простое твердое тело анизотропно, если его группа равноправности g относительно неискаженного состояния представляет подгруппу ортогональной группы. Тип анизотропии определяется заданием g. Элементы этой группы удовлетворяют соотношению о
(5.4) для всех VR. Ему, очевидно, удовлетворяет группа {Е, —Е} из двух элементов; это позволяет при задании анизотропии ограничиться рассмотрением собственно ортогональных преобразований.
Можно придумать, разумеется, сколько угодно групп поворотов g, но только двенадцать групп исчерпывают описание симметрий в реальных твердых телах.
Пусть v, v'—две неискаженных конфигурации, причем в обозначениях § 4
г' = г-О, r>r?O, S = r^ = r%0 = 0
и по правилу Нолла (4.16)
/ = OTgO. (2)
Здесь g — группа равноправности неискаженного состояния (и-кон-фигурация), g' — группа равноправности ^'-конфигурации, также неискаженной, поскольку ортогональное преобразование не сопровождается изменением формы. Группы g, g' — сопряженные внутри ортогональной группы. Термин «тип анизотропии» следует понимать в широком смысле, он определен группой равноправности g', а не группой специальных поворотов g, непосредственно связанных с характеристиками симметрий материала. Например, симметрии ортотропного материала определяются преобразованиями вида (II.5.3)
2={О", о?„ О?,}, О^, = 2сЛ-Е, (3)
а его группу равноправности («тип анизотропии») предпочтительно задать по (2) соотношением
g' = OT-{O", Ос2, 0с3}-0 = (2с)с) —Е, 2с^-Е, 2с;с'-Е) (4)
— в этой записи отражена возможность введения вместо орто-нормированного триэдра сх, с2, с3 любого ортонормированного триэдра c.’k = ck O. Запись (4) выражает свойство материала
ТВЕРДОЕ ТЕЛО
97
§ 61
в инвариантной форме, не связанной со специальным выбором триэдра направлений сп с2, с3.
Назовем, переходя к более общему рассмотрению, g и g группы равноправности твердого материала, соответствующие двум неискаженным конфигурациям v и v. Согласно правилу Нолла (4.15)
б= S-^OS, SO = OS, (5)
причем S = r*r5—градиент места, соответствующий преобразованию v—>-v ^-конфигурации в V. Как всякий неособенный тензор, тензор S представим его полярным разложениям
S = UOX = OXV, V Ox'r-U-Ox (6)
— сохранены обозначения тензоров искажений и сопровождающего деформацию v—ортогонального тензора. Конечно, U, V, 0х имеют значения, отличающиеся от ранее так же обозначенных величин для деформации
Теперь по (5) и (6) имеем
и 0х 'О (L C0 =. ООХ(ОХТ- и 0х) = 0 0х- V (7)
и по теореме о единственности полярного разложения
б = ох 0 = 0 0х, и 0 = 0 V, 6 = ОХТ О ОХ. (8)
Последнее равенство подобно (2) в терминах групп переписывается в виде
OXTgOx, (9)
но при более общем предположении о преобразовании v—g и g—группы равноправности внутри ортогональной группы.
Теперь по (8) и (6)
и О-V бг Д) 0х г-и 0х бг о ох ох г и ох охт ог.
Пришли к искомому соотношению
U = O U OT, От U = U OT, U-O = OU. (10)
Оно выражает, что тензор Ocg, задающий преобразование отсчетной неискаженной конфигурации v в отсчетную также неискаженную конфигурацию v переставим с тензором искажений U деформации и—Доказывается обратное предложение: при условии (10) тензор 0 в (5) —ортогональный (0-0т = £). Иначе говоря, группа равноправности geo, если geo. Заменив для
4 А. И. Лурье
98
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. 3
этого S в (5) его выражением (6), имеем
О 0Хт-и-1 О и -0х = ОХГ-О-ОХ, 6Т = ОХТ-ОТ-ОХ, 6-бт- Охт О -Ох-Охт От-Ох = Е, что и требуется.
Подставив теперь общее представление ортогонального тензора (1.11.10) в соотношения переставимости (10), имеем
U O = U cosco -|- (1 —cosco) U - сс — U X csinco, О - U -= L cos со + (1 —cosco) сс - U — с X U sin со, так что
U - О —О - U — (U сс—сс - U) (1 — cos со)-у (с х U — Uxc) sin со = О или
U-cc — сс- U + (сХ U — U Хс) ctg ~ = 0. (11)
Далее, как и в II, § 5, рассматриваются моноклинная, ортотропная, кубическая и трансверсально-изотропная группы симметрии.
Тензор U представляется через его главные значения и главные направления
U и3&3&3 (12)
и соотношение (11) преобразуется к виду
з
X iu/Txc(eAc-cej + «Jc><eAed eftc> eft)ctg-|-| =0. (13) fe=l L J
Примем, что вектор е/; имеет направление одного из векторов см ортонормированного триэдра с1; с2, с3. Заменив в (13) с на сга (т —фиксировано), имеем | 0, k=^ni,
е/г-си- кт-\ j, £ = cmxek = emktet, е*хся = — emkiet. Первая группа слагаемых в (13) отпадает, приходим к соотношению
з
—ис)еЛ = °- (И)
А= 1
Например, при т—1, ctg-^-(u2-u3) (е2е3+ е3е2) -0 (15)
и при любом со=^=л
и., -u.lt U (ux —и,) e^j-у и2Е (16)
§71
ИЗОТРОПНЫЙ ТВЕРДЫЙ МАТЕРИАЛ
99
— трансверсально-изотропный материал, подвергнутый растяжению вдоль оси трансверсальной изотропии и преобразованию подобия с коэффициентом н2, остается трансверсально-изотропным в новой отсчетной конфигурации. Материал остается «неискаженным», сохраняет свои симметрии.
При
0) Л, ctg-^- = O, О = Ое.
условие (15) выполняется для моноклинного материала независимо от главных значений тензора искажений, если одна из его осей имеет направление оси моноклинной симметрии. Моноклинный материал остается таковым при любом растяжении вдоль этой оси и в перпендикулярных ей направлениях. Не теряя присущей ему симметрии, он не приобретает новых симметрий.
Сохранение группы равноправности ортотропного материала требует совпадения всех трех осей с,, с2, с3 ортотропии с главными направлениями тензора искажений! (c,„-^em, т = 1, 2, 3). Подвергнутый растяжениям по этим направлениям материал остается ортотропным.
При со л условие (14) принимает вид
(u2 u3) (е2е3 -|- е3е2) (z/:{ и3) (едв^ ~Т е2е3)
“1“ (771 Wj) (®1®2 "Ф ®2®1) 0
и выполняется только при преобразовании подобия
иг = и2~ и3, U = aE.
В частности, только при таком преобразовании сохраняется группа равноправности кубической симметрии.
Теорема переставимости (10), конечно, выполняется при тривиальном условии U —аЕ независимо от типа анизотропии, в частности, для триклинного материала. Ни потеря, ни приобретение симметрий в этом материале невозможны.
Пусть со = л, и2^=и3. Этим, как говорилось, определяется моноклинный материал. Но можно трактовать иначе: подвергнутый растяжениям и2, и3 в двух взаимно перпендикулярных направлениях, перпендикулярных оси трансверсальной изотропии Cj Cj, трансверсально-изотропный материал становится моноклинным, изменяется его группа симметрии. Точно так же материал с кубической симметрией становится ортотропным при сообщении ему растяжений вдоль трех осей кубической симметрии.
§ 7. Изотропный твердый материал
По определению изотропного материала его группа равноправности gv в любой неискаженной и-конфигурации, являясь подгруппой группы и всех унимодулярных преобразований,
4*
100
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. 3
содержит группу всех ортогональных преобразований ocg^cu. (1)
Твердый материал характеризуется наличием в нем неискаженных конфигураций v с группой равноправности g~ —некоторой подгруппой ортогональных преобразований
g.-czo. (2)
Иначе говоря, ни при каком неортогональном преобразовании неискаженное состояние не остается неискаженным.
Из (1) и (2) следует, что в твердом изотропном материале имеются конфигурации v (неискаженная по определению «изотропность») и v (неискаженная по определению «твердость»), такие что
gv^o, g~<=o. (3)
Следствием (1), как доказывается в теории групп, являются утверждения
или gv = o, или gv^u. (4)
Приняв второе gv--=u и основываясь на (4.20), можно было бы найти преобразование v—>v, определяемое тензором S, такое что
g~= S-1gj,S = S-1uS= и (5)
V
в противоречие со вторым соотношением (3), так как оа.и. Из (6.9) следует также, что группы gv и g~—сопряженные внутри’ группы ортогональных преобразований. Но о по первому соотношению (4); поэтому g~~o.
Итак, группа равноправности изотропного твердого тела в его неискаженной v-конфигурации —полная ортогональная группа
gv^o. (6)
Любое ортогональное преобразование переводит неискаженное состояние в неискаженное. Никакой опыт над призматическим образцом, изготовленным из твердого изотропного материала в неискаженном его состоянии, неспособен указать, как была направлена в теле ось образца до его изготовления.
Напомним, что осуществляемое тензором S=UOX преобразование одной неискаженной ^-конфигурации в другую v также неискаженную конфигурацию выполнимо при условии (6.10), соблюдающемся лишь для преобразования подобия S = aE. Изо.
УПРУГАЯ ЖИДКОСТЬ
10i
§8j
тропное твердое тело остается таковым только при этом преобразовании. Например, твердый изотропный материал становится трансверсально-изотропным при преобразовании (6.16).
§ 8. Упругая жидкость
Простой материал представляет простую жидкость, если для некоторой отсчетной ^-конфигурации его группа равноправности gv является унимодулярной группой
g^u- (1)
В этом определении уже содержится утверждение, что жидкость — изотропный материал. Сославшись же на (4.20), можно сказать большее: группа равноправности жидкости остается унимодулярной в любой конфигурации. Жидкость лишена предпочтительных конфигураций, все ее конфигурации —неискаженные. Ранее уже отмечалось, что изотропный материал— либо твердое тело, либо жидкость —см. (7.4).
Уравнение состояния упругой жидкости, как изотропного тела, представляется выражением (3.5.9), но в значительно упрощенном виде. Во-первых, любая конфигурация является отсчетной, так что V = E; во-вторых, обнаруживаемы только изменения плотности. Иначе говоря, в представление тензора напряжений может входить лишь третий инвариант тензора V
MV)^/y=|°, ' (2)
но не первый и не второй. В противном случае обнаружились бы свойства, которых жидкость лишена. Итак, уравнение состояния упругой жидкости должно иметь вид
Т = —р(р)Е. (3)
Из него следует, что в упругой жидкости не возникают касательные напряжения.
В § 3 из рассмотрения были исключены материалы, поведение которых зависит от предыстории движения. Но значительная часть содержания § 4 — § 7 —группа равноправности, определение изотропии, твердое тело—переносится и на такие (не-упругие) материалы. Ограничение упругими материалами обеднило понятие жидкости, оказалась исключенной из рассмотрения даже классическая жидкость Навье —Стокса.
Здесь неприемлемо представление о лишенном памяти материале, в уравнении (3.3.7) должен быть сохранен в том или ином приближении функционал памяти т). Например, стоксова жидкость «обладает памятью» о состоянии, непосредственно предшествующем конфигурации в момент t. С другой стороны,
102
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
1ГЛ. 3
в гидростатике любая простая жидкость ведет себя в соответствии с уравнением состояния (3) упругой жидкости. Это целиком согласуется с определением упругого материала в статических условиях.
В гидродинамике модель упругой жидкости повторяет «идеальную», лишенную трения жидкость. Эта модель применима в тех же процессах, что и классическая «эйлерова» гидродинамика, в частности, и для несжимаемой жидкости р = const. Но было бы ошибкой принять, что в соответствии с (3) теперь и p - const. Дело в том, что при р = const движение жидкости подчинено уравнению неразрывности (1.14.13)
V v= 0
и это условие делает несжимаемую жидкость «материалом с наложенными связями». Теория таких материалов рассматривается в гл. 7.
Замечание. В число простых материалов, чтобы исчерпать их классификацию включаются «жидкие кристаллы». В отличие от твердого тела здесь нет места утверждению (7.6) —группа равноправности жидкого кристалла может включать и неортогональные преобразования. В этом отношении жидкий кристалл подобен жидкости, в которой необнаруживаемо любое унимоду-лярное преобразование. От жидкости жидкий кристалл отличается наличием некоторых обнаруживаемых, как в твердом теле, ортогональных преобразований. Жидкий кристалл —жидкость тогда и только тогда, когда он изотропен, когда в нем необнаруживаемо никакое ортогональное преобразование. Жидкий кристалл— материал, не лишенный памяти.
Г л а в a 4
УРАВНЕНИЯ И ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Удельная потенциальная энергия деформации
Теория упругости излагается в этой книге, как чисто механическая дисциплина, оперирующая понятиями сила, напряженное состояние, деформация, уравнение состояния. Основные положения термоупругости изложены в заключительной гл. 9, при полном сознании того, насколько обогащает содержание механики сплошной среды включение термодинамических принципов. Оправдать это можно тем, что не хотелось, во-первых, отягощать и без того непростую задачу, во-вторых, что во многих приложениях тепловые эффекты отодвигаются на второй план.
Принятое в гл. 3, § 3 определение упругого материала, как простого материала, поведение которого не зависит от предыстории деформирования («лишенного памяти»), дополняется требованием существования потенциала напряжений—э-функции гра-о
диента места VR или тех или иных мер деформации. Вариация этой величины равна элементарной работе внешних сил, отнесенной к единице объема в отсчетной ц-конфигурацни
6э —б'а(е). (1)
В соответствии с этим определением э представляет «меру запасенной энергии». Далее она называется удельной потенциальной энергией деформации (коротко п. э., там, где это не может вызвать сомнения).
Потенциальная энергия деформации тела в объеме V определяется, разумеется, выражением
Э = adv. (2)
V
Существование функции э естественно связывается с приписываемой упругой среде способностью аккумулировать работу внешних сил при нагружении и возвращать «запасенную энергию» при разгружении. Представление о п. э. можно связать с термодинамическими потенциалами — свободной энергией (в изотермическом процессе) или внутренней энергией (в адиабатическом). По существу, соотношение (1) выражает первое начало
104
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
термодинамики применительно к этим процессам. Более общая ситуация рассмотрена в гл. 9.
Различают упругость по Коши, когда постулат о существовании потенциальной энергии не выдвигается, и упругость по Грину, когда этот постулат принят*). Упругий по Грину материал по предложению Трусделла называют «гиперупругим», но многие авторы не видят необходимости в этом разделении. Следуя им, мы принимаем, что упругий материал «гиперупруг».
Возвращаясь к (1) и вспомнив определение элементарной работы (2.7.5), имеем
63 = P--6VRT. (3)
Поэтому, принимая, что э — скалярная функция тензорного о
аргумента VR, по определению (II.2.7) производной приходим к фундаментальному соотношению для тензора Пиола
Р==-Г- = 5о • (4)
5?R vr
Воспроизводя снова один из выводов гл. 3, § 2, представим индифферентный скаляр э (vr) в штрихованном базисе выражением
э ( Vr) = э ( VR') - э ( VR • о) = э (U • 0х О) = э (U) --= э (G1/») (5)
(было использовано соотношение (3.2.6)). Это позволяет далее о
принимать п. э. функцией VR, U и V, но только для изотропного материала. Во всех случаях для нее сохраняется обозна-. чение э
з = з (vr) = з (U) = з (G). (6)
По (11.3.5) получаем также о
Р = з0 = 2sg-VR (7)
VR
и далее по (2.6.3), (2.6.11)
Т = 2 VRT-3G-VR, Т'=2 3G. (8)
Представления тензоров Р и Т в изотропном материале при неискаженной отсчетной конфигурации через э приобретают со
*) Понятие о потенциале ввел в математическую физику Грин (G. Green) в публикациях 1839—41 гг.
§ tJ УДЕЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ 105
гласно правилу дифференцирования (II.3.6) вид
Р э„ -2VR-.9K, Т . -f- VR P 2 j/|- F-3F. (9)
VR
Перечисленные здесь формулы, исключая (9), применимы ко всем упругим, а в статике ко всем простым материалам. Конкретному заданию функциональной зависимости п. э. от ее аргументов соответствует некоторая группа материалов. Пригодность принятой зависимости должна проверяться сравнением результатов решенных на ее основе простейших задач (растяжение, простой сдвиг и т. д.) с данными измерений. Предложены также критерии, основанные на априорных представлениях о поведении упругого тела при нагружении — см. гл. 5, §§ 9—13.
Отметим, что переход от исходного соотношения (3) к представлению (4) тензора Пиола и следствия из него (6) — (9) за-о конны в предположении, что вариация градиента места 8VRT— независимая величина. Об этом см. гл. 7.
Векторные базисы двух отсчетных неискаженных конфигураций v и v задаются тройками векторов г, и rs, совмещаемыми ортогональным преобразованием Охсох, определяющим группу равноправности g материала (гл. 3, §§ 4, 6). Связь между гради-о
ентами места в этих базисах VR и VR задается соотношениями о о
VR = rsR^ = OXT rsRs = OXT VR, VRr = VR?Ox (10) — не следует смешивать их с формулами (1.15.11) преобразования актуальной конфигурации при переходе к штрихованному базису.
Меры деформации Коши — Грина и Фингера преобразуются в противоположность (1.15.13), (1.15.14) по формулам
GVRVRO’-GO, F = VRr VR = F. (11)
Естественно, что тензор F, задаваемый в базисе актуальной конфигурации, нечувствителен к замене отсчетного базиса. Компоненты Gsk повернутого тензора G в базисе г? равны компонентам Gsk тензора G в базисе rs [(1.8.11)] и по (II.5.2) функция 3(G) компонент G изотропна в подгруппе Охсох ортогональных преобразований
3(G) = 3(GU, ..., G31W(G31, ..., G51)-a(G). (12)
Этим подтверждается сохранение группы равноправности материала— необнаруживаемость, в какой из отсчетных конфигураций (ц или V) задана мера G.
Во всем последующем рассматривается твердый упругий материал по определениям гл. 3, §§ 6, 7.
106 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ [ГЛ. 4
§ 2. Уравнения состояния ортотропного и трансверсально-изотропного материалов
Формы зависимости скалярной функции ср от ее аргументов, инвариантные для некоторых подгрупп ортогональных преобразований, рассмотрены в I, § 5. Основываясь на этих представлениях и отождествив здесь ср с удельной потенциальной энергией деформации э, по (1.8) приходим к уравнениям состояния. Ограничимся случаями ортотропного и трансверсально-изотропного материалов.
Для ортотропного материала по (II.5.10)
G22, G33, Gf2, С22з, G3\, /3(G)), (1)
причем Gsk—компоненты G в ортонормированием базисе Cj, c2, c3 осей симметрии материала.
По определению производной скалярной функции по симметричному тензору (II.2.8) имеем
з з
= 2" dGS), + сас^) =
з
2-* г)(: 4 , „2 ^12 (С1С2 “Г С2С1) 2 G23 (с2с3 + С3С2) +
" 3G12 <2023
+ i G31(c3Cl + C1c3)+^- 4G-1. (2) 0G31 01 з
Теперь учитывая, что оо оо
VRT с,сА VR RJ4, VRT-G~1-VR = E,
так как в декартовом базисе cs = с''
VRt.c^R^-c^R,, cftVR=Rft,
по (1.8) приходим к уравнению состояния ________г з
Т^2/f /3-|^Е+ L^R^+^GuCRt^ + IW 4
+ i G23 (R2R3 + R3Ri) + Л G31 (R3R1 + RtR3) • (3)
. OO 23 OG31 J
Вектор места г в отсчетной конфигурации здесь определен декартовыми координатами as в базисе сп с2, с3 представляющими здесь материальные координаты частицы
г = с^, r, = cs, R. = ^-. (4)
§ 3J
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА
107
В трансверсально-изотропном материале по (II.5.28)
э = э(1г (G), /2(G), /3(G), L, М), L = c-G-c, AI c-G2-c, (5)
причем с—ось трансверсальной изотропии. По (II.3.3) и (II.3.8), (II.3.9) имеем
( дэ । т дэ \ с дэ .п . т дэ ж-,_. .
^=fe + ;ia7;jE-57rG + ;3WG +
+ 4гсс (CC-G4-G-CC) (6)
и уравнение состояния (1.8) приводится к виду
дэ д I я
F2 +
0 0 Ла 0 0
(--JCW,Rft + ^c^(R,RrF + F.RftRJ . (7)
о
Здесь cs — контравариантные компоненты с в векторном базисе г5 отсчетной конфигурации.
В качестве материальных координат qs выбраны декартовы координаты с базисом с1( с2, с3.
§ 3. Уравнения состояния упругого изотропного материала
Разнообразие имеющихся в литературе форм уравнений состояния объясняется возможностью выбора различных мер деформаций и использования отличающихся друг от друга определений тензора напряжений.
Потенциальная энергия деформации представляется функцией инвариантов (относительно полной ортогональной группы) выбранной меры деформации. Отсчетной конфигурацией является неискаженное состояние; по (3.5.11) напряженное состояние в ней представляется шаровым тензором, описывающим равномерное во всех направлениях сжатие или растяжение; в частности оно может отсутствовать, если отсчетная конфигурация — натуральная. Преобразование подобия натуральной конфигурации приводит к новой отсчетной неискаженной конфигурации, но уже не являющейся натуральной.
Далее э задается, как функция инвариантов меры деформации Коши —Грина или, что то же самое, меры Фингера, определяемых формулами (1.5.8)
^(A(G), /2(G), /3(G)), /ft(G) = 7ft(F)- (1)
108
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
В другом представлении используются инварианты меры Альманзи g (или G"1)
3 = 3(7, (g), /2(g), /,(g)), 7ft(g) = /ft(G-i). (2)
Они связаны с инвариантами Ik(G) формулами (1.5.8).
Потенциальная энергия деформации определена с точностью до аддитивной постоянной и может быть принята равной нулю в отсчетной конфигурации
з = з (Л(Е), I„ (Е), /3(Е))=з(3, 3, 1)=0. (3)
Уравнение состояния изотропного упругого тела в форме Фингера следует из (!), (1.8) и формул дифференцирования инвариантов (II.3.3)
Т = 2 ]/f (ф0Е+ 1^+^) = 2 ]/f . (4)
Здесь введены обозначения функций от инвариантов Ik (F)
, дэ . г дэ . дэ . дэ /е.
' + '5)
Это представление следует предпочесть (3.5.9), так как выражение тензора V через вектор места R весьма сложно. Напомним, что формула (3.5.8) была получена вне всякой связи с потенциальной энергией деформации, для «упругого», не обязательно «гиперупругого» материала. Конечно, повторив ход вывода уравнения (3.5.8), можно прийти и к формуле (4) для «упругого» материала. Но в гиперупругом материале функции фг связаны дифференциальными соотношениями •
£ (4, + /*) — , /, ф- (♦, + W - %.
получаемыми исключением потенциала з из формул (5), аналогично (II.7.18).
Представление уравнения состояния через меру Альманзи можно, конечно, получить по (II.3.7), (1.9), (2)
T=2)/f F-3f = -2 /f 3B.g.
Получаем
Т=2 |/-|'(фоЕ + ф(ё + ф^) (7)
§31
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА
109
и в соответствии с (5)
Конечно, фгсвязаны дифференциальными соотношениями вида (6).
Главные направления тензоров Т и F совпадают, как это следует из уравнения состояния (4). Их главные значения связаны соотношениями
т и т 1 К /п\
Г-0 (У/
(fe=l, 2, 3).
Здесь uk—главные напряжения и по (1.4.10), (1.5.7) vl = Gk = Fk = (1 + 6АГ (10)
— главные значения меры деформации Фингера и Коши — Грина. Коэффициенты фг также выражаются через vl, v2, v% при посредстве инвариантов
/1(F)=o? + ^ + v!, /a(F) = v?v! + vlv! + vM, /,(П=Ж (И)
Главные силы, определяемые по (2.2.25), задаются формулами
__ flf2V3 „ . -- fe> Vk R
tf = V2V3CS1, 12 = V3V^2, t3 =
и no (9)
(12)
tr - 2vj /;i+(vi+v!)/;2+v^;;3 v2, v3
— 2v2 =-t(v2, v3, v±
t3 = 2o3 = t(v3, Ol v2
(13)
или в другой записи
tk~2vfe[a/1+^1 dl2 d/3] ’
(14)
Рассматривая теперь э, как функцию
переменных vk, имеем
д! з . dt’k —
4^=2з/с, ^J-=2vk(Il^vl),
А dVk к \ i к/’
2v
/з
k 2
(15)
так что
з
дэ дэ dls Г дэ , п дэ
с — 1
/з дэ
vl dls
но
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
(16)
Сравнение с (14) приводит к формулам дэ дэ
Можно было предвидеть этот простой результат; действительно, элементарная работа 6'<7,. дэ сил tk, распределенных по граням кубика с ребрами vk-~- 1 параллельным главным направлениям меры Фингера, на виртуальном перемещении 6пА = = 6(1 -)-6А) граней из актуальной конфигурации равна
з з
k=i а й=1
откуда сразу же следует (16).
Представление тензора Пиола в изотропном упругом теле по его определению (2.6.2) и определению мер деформации (1.4.4), (1.5.3) приводится к виду
о о
Р = 2VrT- (ф0Е -J-^F + Ф2Р2) = 2 (ip0VrT-yr|yVrT- VRT- VR + оо.оо о о
+ rp3VrT- VRT. VR VRT - VR) = 2 (ф0 VrT + ^VR + ip2GVR), или
P = 2 (^G-1 + фуЕ + ф26) • VR. (17)
Заменив здесь G'1 с помощью тождества Гамильтона—Кэли (1.9.22), приходим к еще одному представлению
Р = 2 (ФоЕ + Ф1С + <p2G2) • VR (18)
с коэффициентами дэ , г дэ , . дэ { дэ . , дэ \ дэ
Фо~ д11^11~дЦ+12'дЦ' (57? +71 57?J ’ <Р2 = ’а77’
(19)
Представлениям энергетического тензора по (2.6.11) придается вид T“ = 2)/f [ф0О-1 + ф1Е + ф2О] = 2 [^E + TxG + qUJ2].
(20)
В отсчетной конфигурации тензор напряжений — шаровой
T = 2£(ip0 + ^ + i|,2)<>.-=2E(^- + 2^- + ^)0 = —рЕ, (21)
n-_9 f А_Л_ 9_^_ '
Р~ 2 \dli + 2 dl2 dl3 )
— нуликом указано, что после дифференцирования инвариантам придаются значения /3== 1,
§4] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ ОТСЧЕТНОЙ КОНФИГУРАЦИИ Ш
Отметим еще, что по (11) и (16)
так что ___
Т= 1/-^------— — е-Л(Н)_д£_ (24)
1 V G д In И “е ЛН ’ { >
где Н — логарифмическая мера деформации (1.6.10) (мера Генки).
По (1.8) и определению (2.6.19) второго тензора Пиола — Кирхгоффа имеем также
Тх = 2, V - -f- . (25)
dG дС oCst '
§ 4. Преобразование подобия отсчетной конфигурации
Рассматриваются две отсчетные, неискаженные конфигурации, связанные преобразованием подобия
г(<Л <72, 73) — осг (t/1, (/2, <7;!), г5 -ars. (1)
Элементарные объемы в и и v конфигурациях равны dv = rt • (r2 х r3) dq1 dq2 dq3, dv = r, (г2хг3)<1дг dq2dq3, dv-==a3dv. (2) Поэтому
f1 =_L rLx\ = a-iri r3 = a-ir3. (3)
rr(r2Xr2) a n-faXrs)
Вектор места, в актуальной конфигурации R, конечно, один и тот же. Поэтому О
VR = rsR5 = a-1VR, G = a-aG, F — cc-2F (4) и связи между инвариантами определяются формулами 71(F)-cz-2/1(F), 7г (F) —а-4/2 (F), 73(F) - a~43(F). (5)
Потенциальная энергия деформации в актуальной конфигурации одна и та же в преобразованиях v—>%'э, v—>‘7/3 э-- SSSэ(л> ;2> Ш^(^ v V
= э (а~21г, а-4/2, а”6^з) cd'dv V
и, поскольку объем v — произвольный, э(1г, 1г, /3)-= а3э (a-Vj, а~Ч2, а~ЧзУ (6)
112
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
Поэтому
дэ „ дэ дэ
<э/1 5/1 а/х
дэ , дэ дэ , дэ
-ггг- =- а-1 - г-
5/2 д!2 5/3 д]3
и по (3,5)
Фо -- “3Фо, Ф1 аф,, ф2 а-1 ф2.
(7)
Теперь уравнение состояния (3.4) в отсчетной ц-конфигура-ции, записываемое в виде
Т-2/3-‘л OkE-HhF+^F2),
преобразуется к виду
Т = 2а8/ф'/2 (а~3ф0Е-а~1ф]с<~2Р + аф2а-4Р2)
и как следовало ожидать
Т = 2/3-1/2(ф0Е + Ф1Е + ф2Р2)^Т. (8)
Тензор напряжений в актуальной конфигурации независим от выбора отсчетной неискаженной конфигурации.
§ 5. Варьирование напряженного состояния
Предполагается, что на актуальную конфигурацию среды наложено поле виртуальных перемещений qw^1, q2, q3), q — малый параметр. Тензор напряжений. Коши, если ограничиться линейными по q слагаемыми, станет равным
Tx = T + qT, T = lim — (Тх—Т). (1)
Т|-0 'I
По определению в гл. 1, § 10 тензор Т представляет конвективную производную Т, не отличающуюся от его материальной производной, поскольку Т явно не зависит от времени (q отождествляется с 81).
Основываясь на представлении (3.4) и формулах в гл. 1, § 10 имеем
— /f V->
T^-TV.w + 2 ]/f [фгЁ +ф2(Р• F + F-F) + (Еф0 + Ь’фх +
(2)
§51
ВАРЬИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
ИЗ
и по (1.10.11)
2 ]/f [^F + i|)2(F.F + F.F)]=2 ]/f [iMF-Vw + Vwt-F) + 4-t|)2F • (F • Vw + VwT- F) + ф2 (F • Vw VwT- F} F] --
= 2 [(ij’iF -J-il’oF2) • Vw-P VwT-(^F + 42F2) +
+ 'ФгР ' (^w + ^WT) -F],
Это выражение по (3.4), если ввести в рассмотрение линейный тензор деформации e(w), приводится к виду
T-Vw + VwT-T — 4 j/ — [фое (w) — i|?2F е (w) -F]. (3)
Переходим к вычислению фг (Г-0, 1, 2). По (II.3.3) и (1.10.15)—(1.10.17) получаем
dipr . 34г . дфг
~ д/, 71 + д/2 '2+ д!3 /з ”
или
Фг= 2(ПоГ£ + HirF-|-Il2rF2) • • 8 (w) 2 S 0,vrFjV--e(w) (4)
ОТО
(суммирование по значениям N — 0, 1, 2, F° -Е). Коэффициенты Фаг определяются‘по формулам
п 7 ЭФг „ Эфг , , ЭФг
^г’=/з-а7Г’ ^1Г =Ж + /1’а7Т’ г]-,г (5)
и структура зависимости Ibvr от фг та же, что фг от э; по формулам (3.5) выражаются через вторые производные э по инвариантам. При этом обнаруживается симметричность этих коэффициентов по индексам N, Г
Нот ='Эта/, N, Г = 0, 1, 2. (6)
После подстановки в (2) приходим к представлению Т
Т = -TV.w + VwT-T4-T-Vw + 4 ]/A[_^oE(w) + ^F-e(w)-F]+
+ 22HwrFrFA'..e(w). (7) Г N
114
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
Очевидно, что тензор Т симметричен. Окажется далее целесообразным ввести в рассмотрение тензор
0 Т Vw + 4 ]/ ~ [— фое (w) + ф2р е (w) • F] -f-
+ 22^vrFrF'V..e(w), (8)
г л
так что
Т-— TV-w + VwT-T + 0. (9)
Конвективная производная тензора Пиола вычисляется теперь по (2.6.2) и (1.10.8)
Р-( ]/у VrT-T+ ]/ (VrT)--T +
+ j/y VrT-T= ]/у VrT-(TV-w —VwT-T + T) и no (9)
P=l/— VrT-0. (10)
' 6
Оказалось, что P связан с тензором 0 тем же соотношением, что и Р с Т.
§ 6. Уравнения равновесия в варьированном напряженном состоянии
Основываясь на уравнении статики (2.6.4) для тензора Пиола, мы избегнем затруднений, связанных с варьированием базиса актуальной конфигурации. Имеем
V.(P + llP) + p0k + npokx = 0, V.p + p0k + i1(V.P + Pokx) = O.
Через kx обозначена вариация массовой силы. Считая актуальную конфигурацию равновесной, приходим к уравнению равновесия в варьированном состоянии
V-P + pokx = O (1)
в векторном базисе отсчетной конфигурации. По (5.10) оно преобразуется в базис актуальной конфигурации на основании (II 1.3.11) и тождества Пиола
V- ]/VrT-0 = 0T-V. -j/ у VrT+ У у Vr-V0 =
= 1/ — т^= 1/ — V-0.
У g s dql‘ У g
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
115
§ 61
Уравнение равновесия в варьированном состоянии, если учесть также (2.1.2), приводится к виду
V-0 + pkx=O. (2)
На поверхности варьированного объема по (2.6.5)
/п । h. f Г dO 1 / dO \ •“! f dO /Q
n-(P+iiP)-f J + ( )
причем fx — вариация поверхностной силы. По (1.10.23) получаем
п • Р = [f (V • w — N • 8 (w) • N) + fx]
и по (5.10)
N -0 -= f (V-w — N-8 (w) •N)4-fx. (4)
Роль тензора напряжений T в варьированном состоянии отходит к тензору 0. Через этот тензор выражаются уравнения статики в объеме и на поверхности. Конечно, напряженное состояние в актуальной конфигурации должно быть наперед известно. Краевая задача (2), (4) линейна относительно вектора w. Ее коэффициенты постоянны, если преобразование отсчетной конфигурации в актуальную аффинно, тогда Т—постоянный тензор.
При нагружении поверхностным давлением, сохраняющим величину р и остающимся направленным по нормали к поверхности, поверхностная сила в варьированном состоянии по (2.1.11) и (1.10.19) определится из выражения
— pN dO — v\p (N dOy = — pNdO —rjpN dO- (EV- w — Vw1) (5) и уравнения равновесия на поверхности (4) и (3) приобретают вид
N - 0 = — pN • (EV-w — VwT), n-P = - ]/у n-VrT-(EV-w — VwT).
При мертвом поверхностном нагружении поверхностная сила на площадке dO сохраняет в варьированном состоянии ту же величину и направление, что в актуальной конфигурации, так что по (1.10.22) и (5.9)
(fdO)- = (N-TdO)- = N dO-(T-f-TV-w—VwT) = N-0dO = 0. (7)
Как следовало ожидать, уравнения равновесия на поверхности для тензоров 0 и Р оказываются однородными
N-0-O, п-Р = 0. (8)
116
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
§ 7. Тензор упругостей изотропной среды
Тензор упругостей —тензор четвертого ранга, равный производной тензора напряжений по мере деформации, через которую он представлен. Например, для линейно-упругого изотропного тела тензор напряжений — линейная функция линейного тензора деформации
T = V1(e)E + 2pe(u) (1)
и по (II.3.1), (II.4.13)
Те =. ХЕЕ + р (Сп + Сш) - (2)
и компоненты тензора упругостей представляются выражениями
хрчп = г^г?ггг/.... [ЕЕх (Сп ф- Сш) р] -=
= + ёг^р) И- (3)
Тензор Тв сохраняет значение при перестановке индексов в каждой паре (pq), (rt).
Переходим к определению тензора упругостей по представлению Фингера (3.4) тензора напряжений Коши. По (1.10.2) конвективная производная Т определяется сверткой
Т = TF • • F (4)
и теперь требуется к этому виду преобразовать выражение (5.2) тензора Т.
Выражение дивергенции вектора w можно представить в виде
у F"1- F ==у F-1- -(F-Vw +VWT-F) =
= у Е- • Vw + у F- F-1- • Vw Е - - e(w) = V-w (5)
и первое слагаемое в (5.2) заменяется выражением
— TV-W = —1TF-1- F.
Далее по (1.15.4), (1.15.7) записываются формулы
(ФхЕ + Ф2Е) • F = у (ФхЕ + ф2Р) (Сп + С1П) • F, . 1 . (6)
f-f = c11--f-f=4ci1--[f.(cii+ciii)]--f.
Остается еще, обратившись к (II.3.3) и (5.5) записать формулы
4’r=(^r)F--F = [W1 + I>1rE + &2rF]--F= 2 (7)
N-0
§71
ТЕНЗОР УПРУГОСТЕЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ
117
Получаем
|/ f [(^e+^fmCh+Ch.h r— 2 2 4
+ ^Cn--{F-(CII+CI1I)H + 2]/f V ^^,rFrpv-4..F. (8)
Г=0Л' = 0 )
Тензор четвертого ранга в волнистых скобках по (4) и является тензором упругостей. По (5.6) его развернутое представление имеет вид
TF =-1tF-4- [(TiE + ф2Р).(Сп + С1и) +
+ rp2Cir-{F.(Сп+Сш)}] + 2 /f [T00EF-1 + T11FE+&22FT +
+ Д (ЕЕ + FF-1) + Т02 (EF + FT-1) -|- 0I2 (FF + F2E)J. (9)
В отсчетной конфигурации, если она натуральна (Т = 0)
(Тр)о = (Ф1 + 2ф2)° (Сп + Сш) +
+ 2ЕЕ (Тоо + Д + Д + 2^01 + 2 Д + 2Д)°. (Ю)
После замены ^дгг их значениями по (5.5) имеем
(Д + Иц Ч~ Н22 Т 2Т01 + 2Т02 20,2)° =
= аф2 I о аТ1_О дЧ’о \°
V д!3 "* dlj. “Г д12 д12 д!я д!г J '
Обратившись теперь к представлениям (3.5) коэффициентов фг через удельную потенциальную энергию деформации э, можно это выражение записать в виде
[(Э77+ д^)э + ЬтГ+2'И7Г + ^г) э|0==
= [Ьтг + 217г + ^7г) OK-Wi + Kl] , так как
[(т7т + 2р7Г+ PT?) (Ф0 + Ф1 + Ф2)] =
= (7Л_+?Л. ±_+^ + / ±________?Ц10 =
LU/1 1 oi2 г д13 ДУз д!3 1 dh : д!2 д12 Л]
f дэ дэ \О Г / д , о д . й 1 о
+ IA + аТГ/ И '
118
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
1ГЛ. 4
Итак,
(TF)° = (Ф, +2^)° (СП+С1П) +
+ 2ЕЕ If4- + 2 757-
L\ dll д/2
^7^ (Фо+ +++>)] • (11)
Сравнение с (2), если учесть, что в линейном приближении
F = E+2e (и),
позволяет выразить коэффициенты Ляме уравнения состояния линейно упругого тела через коэффициенты фг и значения их производных в отсчетной натуральной конфигурации. Учитывая еще, что по (3.22)
(Фо+Ф1 + Ф2)°= [(-Д
|_2—+л-+— д12 : д!3
= 0,
приходим к формулам
ц = 2 (фх + 2ф2)° = 2 (ф2 —ф0)° =
=2 = _2 Л°- (12)
L\o/i 1 d/2 7 J L \ dl2 dl3 J J v '
[_Ы1’ + 2^ + ^г)(г|’о + 1!’1 + 1]’2)]О = 4[(а7Г+а7г)5]О + + 4 [(д7г + 2 37Г+3]°- В * * * * (13)
Следствием (12) и (13) является также соотношение
x+^->4[(++2+++)’]"• (И)
§ 8. Представление тензора упругостей в базисе собственных направлений тензора напряжений
В (7.9) тензор напряжений, мера Фингера и мера Альманзи
заменяются их компонентными представлениями
T = F = ^R,R„ (1)
Компонентному представлению TF придается вид
Tf = t^%RpR,Rm (2)
так что
= .Tf R'RC
(3)
. §81
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ тензора упругостей 119
По (7.9) получаем
x4Pst = -1 t‘‘pgm,lGm!<Gni +2 j/ [K0G,J,,G'‘1G^gmn +
+ ^g^JGis + ^22g“mgnpGmngst + 401 (G^G^ +^gm„G<«G'«) + + -&02 (G™gst + g!<’‘gmPGmfiktG,sgkl) + »12 (gp“gsi + g“mgpnGmnGts)] +
+ )/ -f-['|’i (G" G/'4-G-"Gr'J 7-
+ ^2 (g^G^ +g^tGPs * * * + gPtG4s + gp^*)]. (4)
Тензор упругостей сохраняет значение при перестановке индексов в каждой паре (qp), (st). По (II.1.6) число его компонент равно 21. Это следует из (7.9), (4), а также из определений производной (И.4.5) тензора по тензору
TF == R/)RflRsR/ = T^R,R,RsRf.
Представление (4) доступно сравнительно простой интерпретации в ортонормированием базисе собственных направлений е1( е2, е3 тензоров (1). Их главные значения в этом базисе, напоминаем, равны v\, v~2.
Имеем
(О, т^=п, 10, т^п, 10, т^=п, _
Gmn = G =< smn = l а (5)
тп (1, т — п, (от, т = п, тп |г'т2, т п
и отличными от нуля оказываются: а) .три компоненты
= -Ш _2— ГЁ22 + ад + ад + 2й01 +
2 Vs 41^2^3 L
4" 2й02Оз + 2{I120s 4- + 2т|) 2о1
б) шесть компонент
^sskk __ __ 1 I 2
о 2 "Г 2 Vk
—г 4~ t!11WS 4~ &22ys Vk 4“
I 2 \ / ,4 \
oi( 1 4—г Vr 4|12 ( о* 4—V ) + ^i2 4-of)
\ Vk / V rft /
в) три компоненты
xsksk _ у 4 [4?! 4>2 (o2 4~ Oft )] ’ Xsksk = xksks = xkssk
(6)
(7)
(8)
Всего в рассматриваемом базисе имеется 12 различных компонент.
120
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
|гл. ;
Эти соотношения можно значительно упростить и придать им отчетливое содержание, основываясь на представлении (3.9) главных напряжений через главные значения vj меры деформации Фингера (или Коши — Грина).
Сославшись на формулы (3.15), (5.5), получаем
dos dvl
1 , 2 v аг/ ЛРГ , т а'1’г
“ 2* П / j I ~~ F 11 ~~Г~
2 vk tWsLr-o \ dli ol2 |ф1 + 2ф2, k = s
+ ( 0, fe=As
2
k dl2
1 з <9i|'r X
Vk д/3 ,
1 g; । 2
2 v'l vxv2v3
Г + ^01 + 'j + (Хо ~i” + ^12УМ ) +
\ Vk / x Vk /
+ ( ^20 "r+^l^S + ^22V*Vk ) ф- | 0 1
\ Vk z ( u, «
и эти выражения воспроизводят соотношения (6) и (7). Т!так,
— d®s ^sskk — d°s
1 a 2 ’ 1 a 2 •
OVfi
Эти компоненты тензора упругостей можно назвать касательными модулями продольного и поперечного растяжения, так как -^-—тангенс угла касательной кривой cr_ (vf, v2, v%) на плоско-dvk сти (v2k, 0S).
Формулу (8), имея в виду (3.9), легко представить rsksk _ °s — ak ’ 2fe2-4)
и эту величину следует интерпретировать в терминах напряжений сдвига» и «главных деформаций сдвига».
в виде
(10)
«главных
§ 9. Тензор упругостей
По (1.4) тензор упругостей Ро представляется второй про-
VR
изводной удельной потенциальной энергии деформации по градиенту места
р — д2,9 — э / J)
•о — 0 0 — ‘’00- v I
Vr dyRdyR VRVR
Использовав представление градиента места (1.3.11) и произ-
водной тензора по тензорному аргументу (II.4.4), приходим
§91
ТЕНЗОР УПРУГОСТЕЙ
121
к компонентному представлению
Р = Эо Ро =rmrV—J!L----------, (2)
VR д\,п7.’‘ VR й\р7У0ът7.п
а в декартовом базисе
Другие представления следуют из правил вычисления производной произведения тензоров и замены аргумента при дифференцировании по тензору (II.4.10), (II.4.12)
о f д \ о
P=23G-VR, Ро = 2aG-Cn + 2l —’Sg-]-VRr'ry==
VR \dvR )
= P• Vr • C„4- 2 { [5gg • • (Cn + Cm) • Vr] } VRr^r*
— были использованы также правила (II.4.13), табличка (1.15.3), формула (1.9.6). Приходим к соотношению, не предполагающему изотропии среды
о
Ро =P.Vr.CII + 2[3OG--(r^+r<r«)].VRr<Rff. (4)
VR
Для изотропного упругого тела
з0 = ф0Е + <PiG + <p2G2, (5)
причем фГ определяются формулами (3.19). Повторив ход вычисления в § 7, имеем
3GG= V У ^г0^ + 1(ф1Е + ф2С)-(Сп+Сш) +
N = 0 Г=0
+ уЧ’аСц' ‘ {G• (Сц +СП1)}, (6)
причем коэффициенты 2дг выражаются через фг формулами (3.19), определяющими фг через э
f д д д \ ^“г + + фг’
_ ( д л г д г — дфг
~1Г \ d/8 "I 1 д/а ) ’ ^2Г д!а ’
122
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
После подстановки (6) в (4) получаем
Ро =p.Vr C„ + 4VR- 2 2 UrFAAVR-pr +
Vr ,v=or=o
+ 2 (Ф1Е + cp2G). [сп- • { VR*. (CH + €,„)}] • VR +
+ 2tr2C11..[vR*.G-(Cll + ClI1)].VR (8)
— оказалось возможным подобно (7.9) представить Ро в несо-
VR
держащей базисных векторов (инвариантной) форме.
В натуральной отсчетной конфигурации, повторив вычисление § 7, получаем
Г/г) д г) \ 10
р» =4ЕЕ[(т>77+2^+wr)<‘b + 'f. + f->| -
V R
-2(С||+С,„)[(^ + ^-)ф (9)
и сравнение с (4.7.2) приводит к соотношениям
[(, д!± ~^2'д/2 dls ) (сРо + Фг + Фа) ] ’ и_-2[(Д- + ф-)ф, r L\ dl2 ' dl3 ) J
(Ю)
повторяющим (4.7.12), (4.7.13).
Формулу, выражающую Ро через
VR
тившись снова к правилам (II.4.10),
TF , можно получить, обра-ГПЛ.12)
Ро
Vr
]/ 4VrT’T)o S Vr
Vr*-T0
VR
+
•ТНо.
Обратившись к формулами
Ро =PVrr~rJrfPrtrJVrT
VR
о "ГЛ VR
гл. 1, § 9, приходим к выражению
-'гр ^Vr*.TF-.(RA + r^r'rV(ll)
приводимому также к виду
Ро PVr rPR 1/Vrr-TF • (С,,-фС]И)• • VRr-Cll. (12)
VR
j io] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ 123
§ 10. Уравнения движения и равновесия изотропного упругого тела
Здесь рассматриваются аналоги уравнений линейной теории упругости в «перемещениях», получаемых после замены тензора напряжений его представлением через линейный тензор деформации, а последнего —выражением через вектор перемещения. В нелинейной теории дело осложняется возможностями определения напряженного состояния несколькими тензорами (Коши, Пиола) и множественностью их представлений через меры деформации (Коши — Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Вектор перемещения предпочтительно заменить вектором места в актуальной конфигурации.
Дивергенция тензора Пиола представляется выражением (1.19.23)
О 0 0
V-P = r* P0 ••VRT-AT-rft, (1)
VR
преобразуемым по (1.19.13) к виду
О 0 0 л о
V-P = rA P0 • rfVVRT = r‘P0 -VRT. (2)
VR VR дс>к
Заменив теперь градиент места его координатным представлением, придем к трем уравнениям движения
rZ”Po ••r/v*vtX" + P<A, = P(&r (3)
VR
линейным относительно вторых производных компонент в отсчетном базисе вектора места актуальной конфигурации. Эта система, разумеется, имеет очень сложную структуру: первые ковариантные производные у/ в нее входят нелинейно, как через тензор упругостей Ро , так и в развернутых записях вторых ковариант-
VR ных производных.
Заменив в (3) тензор упругостей его представлением (9.2), придем к уравнениям движения анизотропной упругой среды
д'2з 00 0
т----V-V^r + Po^ = Po^ (7-1, 2,3). (4)
dVk %sdVt%4
Заменим теперь в (1) тензор упругостей Ро его представле-
VR
Пнем (9.11) через Тр. Слагаемые, содержащие Р, при этом
124 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ |ГЛ. 1
выпадают. Действительно, сославшись на (1.19.17), получаем
г* • PVrT • • VRT • Ат • rk = Рг r*VrT • • VRT • A^r„rOT =
= Pr-rM)Jfe-= Рт-V In ]/~ ,
r* • rsr* • Prfrs • VrT • • VRT • AT • rk = PT • rfrfr* • • r4rs Aqt = о Л Q
= PT-rM’s = PT-Vln у — ,
что и требуется. Теперь, используя также (1.19.12), (1.19.13) и (9.11), имеем
г*-Р0 • • VRT • Аг г&-- 1/Д R^TF--(R(rsy-r5Rjr'r^.RmrvZ- .
VR й
= У -у Rfe-TF • (vRr• r^Rm -р Rmr^ VR j А^ =
/--— f Г\ 0 О А \
= 1/ — R*TF • / VRT-^ + -^- • VR ).
У g \ dqb dqh J
Уравнению движения изотропного упругого тела теперь придается вид
R*.TF--^- + pk = pb. (5)
К этому же уравнению можно было прийти, основываясь на уравнениях движения, составляемых по тензору Коши Т. Действительно, по (1.19.19), (1.19.12) и (1.9.8)
ат / о о \ v-T=R*-^ = Rft- т0 • • vrt-ат Yrft— 4 \ VR /
= Rft-TF • -Сн • • F 0 --R^A^ VR
/ О о \ 6F
= R^TF..(R^.VR + VRT.r«Rj A-ft = R^TF.-—
как и требуется.
Заменив теперь тензор упругостей компонентным представлением
TF =4' R,R„RJRf (6)
dF
и используя только что приведенное представление — , получим dqk
уравнение движения в компонентной записи
(4л” + 4л")^,А^ + р^=р&« (п=1, 2, 3). (7)
§ to] Уравнения движения и равновесия
125
Выражение через вектор перемещения можно получить, выполнив преобразования
позволяющие представить Asqk в
As J s I / s I _ Ds dRk qk \qk) \qk} dq4
После подстановки в (7) приходим к уравнениям
о
о
/ k + R(VaVftt?, kq J
виде
о о
( с 1 )
"I -- I A {VtUS.
\ qk) 1 \ kq J 1
R*—Гл +
dR* .
(4""+4"")^
L
(8)
Еще одну форму уравнений движения изотропной упругой среды получим, заменив в них тензор напряжений Коши представлением (3.4) через меру деформации Фингера
V-T-|-pk = V-2
(^oE + ^F +^2F2) + pk = pb
или в развернутой форме
— - 2
Т-Vlnl/ f + 2)/ -f- £ Fr.V^r + ^V-F + ^V.F2 +pk = pb. U _Г=0 J
По (1.19.22) и (1.3.10)
3 3
v*- ” Е 5г V/, = 2 Е Vr (/,)» о А> =
О JL 0 0
- 2Vr-(0irG4-0..rG24 ЭоГЕ)--Ат = 2 > , дЛ'гРЛ'-1-VRT-• Ат. w = o
Использовав еще формулы (1.19.20), (1.19.21) и исключив Т по
(3.4), приходим к уравнению
2 2 ___
2£ V 4лтРгРЛГ-1 • VRT-• Ат —-v|)0V In V~ +
г = ол'=о ' s
0 7 0 \
+ (4iE + ip2F)-VRT4AT- -EJ +42F--(AT-F + F-AT) +
4 2”= ~2 Pob.
126
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
1ГЛ. 4
§ 11. Эллиптичность уравнений равновесия
Здесь и далее рассматриваются уравнения равновесия — в уравнениях § 10 отсутствует вектор ускорения Ь.
Следуя III, § 11, рассмотрим в отсчетной неискаженной ^-конфигурации упругой среды произвольно выбираемую гладкую поверхность if. Гауссовы координаты на ней обозначаются иа (я=1, 2), а отсчитываемая по нормали п к поверхности координата—через qs — материальные координаты частицы в объеме v.
Предполагается, что заданная в v функция ф (q1, q\ q3) дважды непрерывно дифференцируема по координатам иа на поверхно-сти ст, а определенная на ней нормальная производная также непрерывно дифференцируема по иа—в обозначениях (III.11.21)
По (III. 11.26) разрыв на а? второй производной по £ определяется при этих условиях выражением
Г д2(Р ] Г VV 1 =n- LvvTJ?=o-n.
В другой записи
[vVT]s=0 = r^[vAJ^»=nn [|^=о (1)
и в компонентном представлении
= (2)
причем nk — ковариантные компоненты п в базисе гА. Формула (2) определяет «слабые» разрывы ф на — разрывы ее вторых производных.
В применении к функциям у/ в уравнениях равновесия (10.3) соотношение (2) позволяет составить три однородных линейных уравнения
=0 (7= 1,2,3) (3)
VR L ’V К-о
для неизвестных разрывов вторых производных у/ по £.
Следуя Ноулсу и Стернбергу*) (J. К. Knowles, Е. Sternberg, 1975) назовем систему уравнений равновесия (10.3) эллиптической, если в отсчетной и-конфигурации не существует поверхно-
*) См. также Смирнов В. И. Курс высшей математики.— М.: Наука, 1951, Т. IV, § 161.
§ 111
ЭЛЛИПТИЧНОСТЬ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ
127
стей слабого разрыва функций у/ —уравнения (3) допускают только тривиальные (нулевые) решения, детерминант матрицы их коэффициентов отличен от нуля
det|jran--P0 ••rJnj|=7^0. (4)
VR
Этой 3x3 матрице, как всякой другой, может быть сопоставлена квадратичная форма трех переменных ms — компонент единичного вектора m в г^-базисе
m^n- Pg • nCrvn —mn- -Ро -mn. (5)
VR VR
Система уравнений равновесия называется сильно эллиптической, если эта квадратичная форма положительно определенная
mn - -Ро - mn > О
VR
(6)
для любой диады mn единичных векторов. Для сильно эллиптической системы детерминант (4) не только отличен от нуля, но и должен удовлетворять всем условиям теоремы Сильвестра. Разумеется, сильно эллиптическая система — заведомо эллиптическая.
В применении к уравнениям равновесия, записанным в форме (10.4), требование сильной эллиптичности равнозначно условиям «сильвестровости» при любых пк матрицы
д2э
~о о
(7)
пкЩ ,
эквивалентным неравенству
~0 Э%-- nkntmsm4 >0. (8)
dyi УЛ бЩУ7
Отсутствие эллиптичности подразумевало бы возможность разрывов на некоторых поверхностях гладкости решений уравнений равновесия упругого тела. Это трудно примирить с представлениями о приписываемых упругому материалу физических свойствах. Но нет и бесспорных оснований исключать такую возможность, например, при достаточно больших деформациях. Сильная эллиптичность —дополнительное, более ограничивающее требование. Далее мы увидим, что оно соответствует некоторым априорно предполагаемым свойствам упругой среды, непосредственно не следующим из ее определения как простого материала, лишенного памяти и наделенного свойством аккумулировать работу внешних сил. Сильная эллиптичность —свойство материала, определяемое заданием удельной потенциальной энергии деформации.
128
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
1ГЛ. 4
При заданной энергии сильная эллиптичность может иметь место о
для определенных множеств значений VR и отсутствовать для других множеств этих значении.
Матрица детерминанта (4) далее преобразуется в случае изотропного материала заменой в ней Ро тензором упругостей TF
VR
по формуле (9.12). При этой подстановке два первых слагаемых в (9.12) выпадают
г?п• PVrr- r.n ryv •PR”-rinra,
r<;n• • rHiP'RM • • г5п = пиг9 Рт• nR” • г, гуп• • PR • rsti,n, как и требуется. Приходим к рассмотрению матрицы ]/Лгвп- • Vrr TF. -(Rfr +ГRJr'r/’- ГД1=
/— /0 о
-V I3 lyi- Vrr- TF • • \VRr-nrJt 4-r^VRr-n), преобразуемой к виду
rq [/Лп • VrT (TF + TF • • Cn) • VRr • n] • r5 = ra • Q • rs, (9) причем TF--C[j — тензор TF, в котором третий и четвертый индексы переставлены местами
TF • Сн-rW%ReRjRt. -C^t^R^R^. (10)
Итак, система уравнений равновесия эллиптична при условии detQ^O, Q n-VrT-(TF + TF •-Сп) • VRT-и (11) — должен быть отличен от нуля детерминант ковариантных компонент Q (его знак по (1.5.1) не отличается от знака detQ). Предпочтительно заменить вектор нормали п к поверхности в отсчетной конфигурации вектором N — в актуальной. По (1.8.8) о
n VrT==(n G-1-n),/« N, VRr-n — (n-G"1-n),/° F-N. (12)
Отбросив несущественную для знака Q положительную квадратичную форму ]/73 (n-G^-n)1^, придем к представлению в актуальной конфигурации
Q = N • (TF 4-TF •-Сп) • F • N. (13)
Заменив в (13) TF его выражением (7.9), придем к развернутому представлению тензора Q
Q = (Hoo-|^o)nn+h11n-ff-n+{}22n-f2f2.n+ -H0,(NF-N FNN-FN)-H02(N-F2N + NF2.N) + + 412(N-FF2-N + N-F2F-N) +
-г у(ф,Е гФЛ) N • F• N Ц-у ф2 (N • FF• N + EN • F2F • N). (14)
§121 АКУСТИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР УПРУГОЙ СРЕДЬ! ]2<)
Тензор Q, как видно из этого представления, симметричен. Его собственные числа пропорциональны квадратам скоростей распространения в предварительно напряженной упругой среде плоских волн в направлении N (когда преобразование отсчетной конфигурации в актуальную аффинно). Это дает основание назвать Q акустическим тензором [см. гл. 8, § 7]. Скорости вещественны, если система — сильно эллиптическая.
§ 12. Акустический тензор упругой среды
Для линейно упругой среды по (7.2), (7.11) — (7.13)
(Тр)0-- |[ц(Сп + С1П) + %ЕЕ]--=|те, (Те + Те.-Сн)»^^
и F = E в формуле (11.13). Представление акустического тензора приводится к виду
Q = N • Те • N -= (X + р) NN + pEN • N = (X + 2p) NN F р (tjtj + t2t2),
(1) так как
N-CH-N NN, N-Сш- N = NSENS EN • N,
а единичный тензор E представим в ортонормированном триэдре N, tn t2 выражением
E-NN + tJj + M,.
Матрица тензора Q диагональна и ее детерминант равен
detQ =ц2 (ХН-2р). (2)
Уравнения равновесия линейной теории эллиптичны при условиях
(.1=7^0, 2р Д: 0. (3)
Они строго эллиптичны при соблюдении критериев Сильвестра, сводящихся в этом случае к неравенствам
И > 0, л-^211-211> 0 -, — оо < v < у . (4)
Собственные числа тензора Q равны ^1 = Х + 2р, k2 = k.} и и условиями строгой эллиптичности (4) гарантируется существование волн растяжения и волн сдвига (со скоростями |/ (X з-2ц)/р, /Й7р) в линейно упругой среде.
Известно, что необходимыми и достаточными условиями положительности удельной потенциальной энергии деформации линейно упругого тела являются неравенства
^>0, Зл+-2р 2р^>0->-1 <v<l. (5)
5
А. И. Лурье
130
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
Выполнение этих требований гарантирует сильную эллиптичность, обратное утверждение не имеет места; например, при 2. <—2р/3, 3Z + 2p<0, но %4-2р>0.
Рассмотрение нелинейно упругой среды, разумеется, значительно сложнее. Представив тензор упругостей его компонентным выражением (8.2), имеем по (11.13)
Q = (vs7w + RfR? (6)
и в базисе собственных направлений меры Фингера
Q = NsNqv* (rstP9 4- т47^) etep, Q*p = NsN4vq (х^рч 4- т4<^). (7)
В формирование этих величин из 12 компонент тензора упругих модулей войдет только 4 различных
q-1111 X1122 Т1212 X1313
Получаем
(8)
Q11 = 2 4- Whai21t1 + W.h3l3M) >
Q12 2NrN2 (v2t1122 4- w2t1212), Q21 = 2N2Nr (у2т22“ + ф2121),
причем учтено правило переставимости индексов (8.8). Обратившись к (8.9), (8.10), приходим к выражениям
Q^^v^Nl + vl^jNl + vl^^Nl, (9)
0L'l 1'1 — V 2
/* I n (7i — (7o\ > r x r f до» . q (7i — СТо \
- y./V, 4. ,4 + v?^). Q = ВД 4,
(10)
и несложно проверить, что Q12 = Q21 — акустический тензор симметричен. Действительно, по (3.12), (3.16)
day 1 д-э до, 1 д2э
V, -j—=—ч—ч-----О,, V, — — -т—3-------О»
2 OT2 г3 dv2dvx 11 1 dvx v3 dv±dv2 2
и как требуется
Q12-Q21 = ^2
— CFj 4-<Т2 + (v? — у|) =0.
Vl — v2 J
Конечно, остальные компоненты Q получаются круговой перестановкой индексов в (9) и (10).
Структура det Q, как видно из полученных выражений компонент Qmn, достаточно сложна и получить из его рассмотрения отчетливые суждения о сильно эллиптическом материале вряд ли возможно.
Ограничимся рассмотрением случая вектора нормали, направленного по одной из главных осей меры Фингера. Пусть, например, N=ej, A\ = l, N2^Na -0. Тензор Q становится диаго-
§13] О ПОСТАНОВКЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ РАВНОВЕСИЯ 131
нальным
Q33--vl^=^. (II) dt,i у2— t'l v3— vi
Условия Сильвестра, выражающие сильную эллиптичность, приводятся к требованиям
^>0
0^1
С>1 — СТ2
2 2
V1 — У2
>0,
°1 — °3
2 2
VI— *'з
> о.
(12)
Повторив это рассуждение, во-первых, приходим к требованиям монотонного возрастания главных напряжений вместе с соответствующей главной деформацией
^>0, s= 1, 2, 3. (13)
dvs
Во-вторых, к равенствам знаков разностей главных напряжений и главных деформаций — «59<£-критериям» (Бейкера—Эриксена)
sgn(os—oft) = sgn (ys — vk)\ s, 6=1,2, 3, s=^6. (14)
Как говорилось в § 11, понятие о сильной эллиптичности согласуется с представлениями о том, как «должен себя вести материал». Более подробные сведения могут быть йолучены при рассмотрении конкретных материалов по явному заданию /2, /3).
§ 13. О постановке краевых задач равновесия
Предполагается известной неискаженная отсчетная а-конфигу-рация. Первая краевая задача, как и в линейной теории, состоит в разыскании актуальной Т^-конфигурации—вектора места R(<y, q2, q3) любой частицы тела a^t^q1, q2, q3) по заданию его или вектора перемещения u = R —г на поверхности О в этой конфигурации
на О: R = R (q1, q2, q3) = r (q1, q2, q3) -f- u (q1, q2, q3). (1)
Искомое решение должно удовлетворять уравнениям равновесия в одном из перечисленных в § 10 видов (при Ь = 0).
Сложнее формулировка второй краевой задачи. Бесперспективно было бы требование удовлетворить уравнениям статики на поверхности О, не ограничивая класса рассматриваемых поверхностных нагружений — наперед неизвестна не только эта поверхность, но и какие направления примут заданные на ней силы. Поэтому ограничиваются рассмотрениями «мертвого» и «следящего» нагружений.
При мертвом нагружении по (2.1.12) и (1.8.7)
на О: N-T = f = f°-^= f°(n-G-1-n)~,/s на о: n-P = f°, (2)
5*
132
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
1ГЛ. 4
причем поверхностная сила f° задана на поверхности о тела в отсчетной конфигурации. Решение должно удовлетворять уравнениям равновесия в объеме V актуальной конфигурации, следовательно, требованиям равенства нулю главного вектора и главного момента внешних сил
JJ J pk dV+ f dO = 0, Щ RxpkdP+JJ RxW = 0. (3)
VO V о
Равновесной должна быть и отсчетная конфигурация
pok + f°do---0, г Хрокб!у ф- rxf°do= 0. (4)
V V о
Первое условие (3) немедленно преобразуется в первое условие (4)—это следует из закона сохранения массы рФИ = росй> и определения (2) «мертвого» нагружения. Иначе говоря, обращение в нуль главного вектора внешних сил в отсчетной конфигурации гарантирует равенство его нулю в актуальной конфигурации. Того же нельзя сказать о главном моменте внешних сил. Он будет в актуальной конфигурации нулем при выполнении условия совместимости (Синьорини)
SS5 (R~~r)XPok (R —г)хР do=0 или V о
JJJ Rxpokdv + JJ Rxf°do = 0, (5)
V о
непосредственно следующего из (3) и (4).
По заданию внешних сил вектор места R в актуальной конфигурации, как и в линейной теории, определяется с точностью до жесткого перемещения [см. (1.4.22)]. Этот произвол можно использовать, чтобы удовлетворить условию (5) в предположении, что силовой тензор (2.1.16)—неособенный; это доказывалось в гл. 3, § 3. Осложнение может возникнуть, если силовой тензор В —особенный (detB = 0). Об этом см. гл. 6, § 11.
Реальным примером следящего нагружения служит остающееся направленным по нормали к деформированной поверхности тела гидростатическое давление. Уравнение равновесия на поверхности в этом предположении записывается в виде
на О: —pN = N-T; на о: — |/ — pn-VrT = nP. (6)
Ошибочно было бы ожидать единственности решения краевых задач нелинейной теории упругости. Об этом свидетельствуют простые примеры.
Пусть внутренняя поверхность полого цилиндра закреплена неподвижно, а наружной с помощью цилиндрической обоймы, в
j 14| ПРИЕМЫ РАССМОТРЕНИЯ ЗАДАЧ О РАВНОВЕСИИ 133
которую она заключена, сообщен поворот в первом опыте на угол ф0, во втором —на <р0 + 2л. Напряженные состояния в этих опытах резко различны, тогда как записи краевых условий (1) в них неразличимы — точкам наружной поверхности приписан один и тот же вектор места R.
Неединственность решения второй краевой задачи иллюстрируется примером «выворачивания наизнанку» полусферического купола, когда наружная й внутренняя его поверхности в отсчетной конфигурации становится внутренней и наружной в актуальной; внешние силы отсутствуют в той и другой конфигурациях, но в актуальной конфигурации возникает напряженное состояние, хотя отсчетная могла быть и натуральной. Аналогична задача о выворачивании наизнанку полого цилиндра [см. гл. 7, § 12].
К верхнему и нижнему 0{ и 02 торцам призматического стержня приложены параллельные его образующим «мертвые» силы, направленные на О, вверх, на 02 — вниз — стержень растянут. Во втором мысленном опыте образец повернут на 180°, торец О, становится нижним, Ог— верхним, но силы сохраняют направления, так как они «мертвые». Образец сжат. Это — пример неединственности решения второй краевой задачи при «мертвом» поверхностном нагружении. Здесь, конечно, не идет речь об образце в нагрузочном устройстве; создаваемое устройством нагружение не «мертвое»: оно сохраняет направление независимо от ориентированного образца, последний или сжат, или растянут.
§ 14. Приемы рассмотрения задач о равновесии нелинейно упругого тела
«Лобовая атака» краевых задач, нелинейной теории упругости, описанных в § 13, как ппавило, безнадежна. Для малых, но 1 о о
конечных значений градиента вектора перемещения Vu~VR — Е из натуральной отсчетной конфигурации возможно построение решений второй краевой задачи в рядах по степеням j Vu [, когда исходным приближением служит решение линейной теории. Процедура построения этих рядов разработана Синьорини (1940), а исследование их сходимости и единственности (при некоторых ограничительных предположениях) представляемого ими решения проведено Стопелли (Stopelli, 1954) и ван Бюреном (W. van Buren, 1968). На каждом этапе процесса требуется разыскание решения уравнений линейной теории при «массовых и поверхностных силах», определяемых по предшествующим приближениям, которые считаются известными. На всех этапах приближений главный вектор этих «сил» оказывается нулем, затруднения возникают при рассмотрении «условия совместности» (13.5),
134
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
1ГЛ. 4
поскольку не исключено, что «силовой» тензор В может оказаться особенным.
Эффективное определение слагаемых уже второй степени по Vu, «эффектов второго порядка», достаточно сложно, попытка идти дальше приводит к труднообозримым выражениям «сил» в правых частях линейных уравнений.
Следует вспомнить, что для пространственных задач линейной теории упругости (исключая случаи полупространства и шара) неизвестен способ эффективного представления решения второй краевой задачи при произвольном задании массовых и поверхностных сил. Это исключает возможность разыскания напряженного состояния уже для эффектов второго порядка, определимы лишь некоторые его интегральные характеристики. Доступнее плоские задачи, так как применимость приемов решения задачи линейной теории упругости методами теории функций комплексного переменного не ограничена спецификой задания массовых и поверхностных сил для обширного класса областей. Это позволило получить решения нелинейных задач не только для эффектов второго порядка, но довести их для ряда примеров до величин четвертого порядка (в многочисленных работах Ю. И. Койфмана и др.). Здесь же следует отметить исследование в рамках нелинейной плоской задачи поведения материала в окрестности конца прямолинейной трещины (J. К- Knowles, Е. Sternberg, 1975).
Накопление опыта решения нелинейных задач при больших деформациях обязано применению «полуобратного метода»— метода, которым были достигнуты первые выдающиеся успехи и в линейной теории. На первом этапе процесса задаются предполагаемой формой осуществляемого преобразования R (г (q1, q2, </3)) отсчетной неискаженной конфигурации в актуальную, содержащей подлежащие определению функции материальных координат, на втором —по этому заданию составляется выражение меры деформации, а по ней (из уравнения состояния материала) тензор напряжений (Коши Т или Пиола Р). Третий этап — по уравнениям равновесия в объеме и на поверхности находят распределения массовых и поверхностных сил, допускаемые предположенным заданием вектора места R. Требуется, чтобы так определяемые массовые силы соответствовали их заданиям, например, были постоянны (сила веса) или пропорциональны расстоянию от некоторой оси (центробежная сила). Чаще всего принимают к = 0, наперед предполагая, что напряженное состояние создается поверхностными силами, а влияние массовых несущественно, о
Тогда выбор R подчинен условию V-T = 0 (или V-P = 0). Остается потребовать от «произволов» в представлении R, созданных внесением в него пока неопределенных величин (функций материальных координат, постоянных параметров), чтобы определенные
ПРИЕМЫ РАССМОТРЕНИЯ ЗАДАЧ О РАВНОВЕСИИ
135
§ 14] в этой процедуре поверхностные силы соответствовали условиям задачи. Успех этого последнего шага, конечно, связан с назначением вектора места R, согласуемым с интуитивно предвиден-нь.ли свойствами напряженного состояния, с его симметриями и т. д. Можно ожидать часто удачи в определении сил не на всей поверхности О в актуальной конфигурации, а на значительной его части; на остающейся части тогда довольствуются требованием равенства главного вектора и главного момента получаемых распределений поверхностных сил их известным значениям. Пример — боковая поверхность призматического достаточно длинного тела, на которой поверхностные силы имеют заданное распределение, и его торцы; на них добиваются выполнения указанных интегральных условий. Классическим примером такого построения может служить теория кручения.
В линейной теории упругости, напомним, распространен вариант полуобратного метода, в котором исходным этапом служит задание статически возможного, иначе говоря, удовлетворяющего уравнениям статики в объеме и на поверхности, напряженного состояния. Далее проверяется, что это состояние согласуется с уравнениями Бельтрами — Мичелла; этим гарантируется, что линейный тензор деформации, вычисляемый по принятому тензору напряжений, допускает определение вектора перемещения и. Перенесение этого приема в нелинейную теорию затруднено тем, что обращение уравнения состояния — разыскание меры деформации по тензору напряжений из нелинейного уравнения состояния практически неосуществимо (II, § 8) и неоднозначно. Аналог уравнений Бельтрами—Мичелла в нелинейной теории может быть использован лишь в исключительных случаях (§ 17). Поэтому вторым вариантом полуобратного метода здесь может служить исходное задание меры деформации, удовлетворяющее условиям обращения в нуль тензора Риччи (III. 10.21). По этой мере и по уравнению состояния составляется тензор напряжений. Он должен быть статически возможным: его дивергенция должна быть нулем, если не учитываются массовые силы, а по его произведению на вектор нормали определяются поверхностные силы. Конечно, нет оснований ожидать, что такая процедура не потребует при выполнении уравнений статики в объеме конкретизации задания коэффициентов определяющего уравнения, как функций инвариантов меры деформаций (скажем, коэффициентов фг(/1, /2, /3) в (4.3.4)). Значит и формы представления поверхностных сил зависят от выражений этих коэффициентов, иначе говоря, их нельзя представить в единой записи, независящей от того, какой принят закон зависимости удельной потенциальной энергии э (/п /2, /3) от ее аргументов.
Формулы для поверхностных сил различны для различных материалов; для одних уравнения статики в объеме выполняются
136
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ'НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
1ГЛ. 1
по исходному заданию меры деформации, для других потребуется другое ее задание.
Но не исключено, что эти затруднения могут и отсутствовать. «Универсальными» называются такие деформации, задание которых обеспечивает в описанной процедуре вычисления выполнение уравнений статики при любом материале, т. е. независимо от конкретного задания э(/п/2,/3) или, что то же самое, фг(/,, /2, /3). Тогда и формулы, определяющие поверхностные силы, обеспечивающие реализацию такой «универсальной» деформации, окажутся представленными только через э. Они универсальны в том смысле, что по ним производится расчет сил для любого материала. Конечно, численные величины этих сил будут различны для различных материалов. Универсальным назовем и решение R (у1, q\ <у3) уравнений теории упругости, определяемое по универсальной деформации. Напомним, что в этих определениях предполагалось отсутствие массовых сил.
§ 15. Универсальное решение уравнений нелинейной теории упругости. Теорема Эриксена
Совершенно очевидно, что универсальным является решение, определяющее аффинное преобразование отсчетной конфигурации в актуальную
R ; г А,- xs = akA.’ks, (1)
где А—постоянный тензор, detA=^0. Меры деформации также постоянны
VR = A, VR'-V, G \ • Ат, F = A‘ A, (2)
значит и их инварианты, в том числе /3 = (detA)2. Тензор напряжений Т по (4.3.4) представляется квадратичным трехчленом с постоянными коэффициентами
Т-2«МА)-. [/.^£ + (^ + /4) F-^F=] . (3)
При отсутствии массовых сил уравнение статики в объеме V-T = О удовлетворяется, а уравнение статики на поверхности дает распределение поверхностных сил
f „ N. Г2 «Н А) - [ I, N + ( ; -1, £ ) N F - £ N . г. ] .
(4) ос\ществляющих рассматриваемое преобразование.
Теорема Эриксена (J. L. Ericksen, 1955) утверждает, что универсальных решений задачи о равновесии изотропного упругого
$ 15]
УНИВЕРСАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ. ТЕОРЕМА ЭРИКСЕНА
1з;
тела, отличных от реализуе,мых при аффинном преобразовании (I), не существует. Приводимое далее доказательство принадлежит Шилду (R. Т. Shield, 1971).
Сначала устанавливаются два вспомогательных предложения: а) при э(7х, /2, /.j /, уравнение статики удовлетворяется, если
R— гармонический вектор. Действительно, по (II.3.5)
Р = з0 -НЛ)о -• 2VR, V.p=::2V-V/7- V2R = 0. (5)
VR VR
б) Пусть теперь 3(7,, 72,73) 7:.— уравнения статики удовлетворяются при 7Я —const. Обратившись к (1.9.1), (1.9.4), имеем
(Кл)о v.j/7;vr^-o, (73) 0 ^2 Кл(К7;)о (6)
VR VR VR
и поэтому (используя правило V• <pQ = cpV-Q -RQT• Vcp)
P ~э о (Л)о ’
VR VR
v.p=2V./7?(/7;)o =
VR
= 2 VT3 V • /Д VrT 4 2 VT3 Vr • V VT3 - 2 / Д V /7~3 = V/3 = 0, (7)
откуда и следует, что 73 —const (градиент этого скаляра равен нулю).
Пусть теперь з=К 13э (11, /,, 73) и вычисляемые по з и з тензоры напряжений удовлетворяют уравнению статики. Имеем
Р = 3О = /Дз'о +(/4) 0 э, VP = ]/7;v.3~0 +з'т0 •VI/7:,-
VR VR VR VR VR
о _ _ о
-F7V.(J//3)o +(/73)т0 .Уз'.
VR VR
Первое слагаемое равно нулю по условию, второе по (7), третье по (6). Приходим к уравнению
V • Р |С/;| Vr Va-I/,! V.9-0, 3=-const. (8)
Значит и все инварианты Ik постоянны. Поэтому
V27x-0. (9)
138
ПОСТАНОВКИ задач нелинейной упругости
[ГЛ. 4
Вместе с тем
0 0 0 0 _? / л k \ 2
G = VR-VRT, /1(G) = VR..VRi = ^^ ^ >
s =1 /г = 1 V '
0 V V d3 / дхк \ 2
r = l й=1 s=l 4 '
3 3 T , n 3 3 3
s=l*=1 r=ls=lk=l
Но первое слагаемое равно нулю по (5). Получаем
Итак, xk — линейные функции as, преобразование отсчетной конфигурации в актуальную аффинно, что и требовалось.
I Конечно, линейное преобразование остается универсальным решением и в случае несжимаемой среды (/3=1), но теорема Эриксена в вышеприведенной формулировке в этом случае не имеет места; оказывается, что линейное преобразование — не единственное универсальное решение (см. гл. 7, §§ 8, 9).
§ 16. Принцип стационарности потенциальной энергии системы
Здесь и в § 17, § 18 формулируются вариационные принципы нелинейной теории упругости. Доказывается, что уравнения равновесия и краевые условия на поверхности О тела в его актуальной конфигурации могут быть получены, как следствие этих формулировок. Вместе с тем ими подсказываются возможности применения прямых методов типа Ритца, Бубнова — Галер-кина и их видоизменения, предложенного Л. В. Канторовичем, к приближенному решению задач нелинейной теории упругости.
Исходным пунктом вывода принципа стационарности потенциальной энергии системы служит соотношение
6э=6'а(е), (1)
выражающее равенство вариации удельной потенциальной энергии деформации элементарной работе внешних массовых и поверхностных сил на виртуальном перемещении 6R частиц тела из состояния равновесия в актуальной конфигурации.
Запись в интегральной форме имеет вид
JJJ 6эг/ц-JJJpk-SRdK-dO = 0. (2)
v V “о
§16]
СТАЦИОНАРНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
139
Массовые силы не варьируются, они те же в рассматриваемом состоянии равновесия, что п в сравниваемых с ним состояниях. Поэтому
f pk-6R dV = J pok- 6R dv — 8 J \ j pok- Rcfo = 6 J pk- R dV.
V v v V
(3)
Знак вариации был вынесен за знак интеграла, так как отсчетная конфигурация, конечно, также неизменна при варьировании.
Принимается, что о2 = о— о1 — та часть поверхности тела в отсчетной конфигурации, на которой задается вектор перемещения и, на части ох задано «мертвое» поверхностное нагружение f°. Тогда по сказанному
на о2: 6R = 0; на ох: 6f° = 0.
Итак,
JJf-6RdO = JJf-6RdO+$Jf-6RdO=$ \ f'MR^/o
О O-i О 2
= 6 f’.Rdo
и соотношение (2) приводится к виду
6 J(э —pok-R)cto—f°-Rdo I =0 - ,v ot J
(4)
(5)
(6)
или после перехода к интегрированиям в актуальной конфигурации
s W/£s“pkR)dM?®-R"|-0'
(7)
01
V
причем следует заменить его значением (1.8.7). Величина в квадратных скобках
Г1=Ш (э —pok-R)dv — £Jf°.Rdo = JJj ( Уз - pk-R^/-v ot V
<8)
О,
называемая потенциальной энергией системы («тело + внешние силы») представляет функционал над вектором места R частицы в актуальной конфигурации. Соотношение (6) (или 7) выражает теорему (принцип) стационарности этого функционала: из всех допустимых полей векторов места (иначе говоря, принимающих на 02 наперед заданное значение) в состоянии равновесия
140
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
1ГЛ. 4
осуществляется поле того вектора, в котором функционал Ц7, сохраняет стационарное значение (6117,-^0).
Напомним, что стационарным называется значение функционала, приобретающее при сообщении вектору места R вариации 6R приращение АЦ7, более высокого порядка малости, чем | 6R |. В линейной теории доказывается, что ДМф ;> 0 (при э > 0), т. е. что стационарное значение функционала является его минимумом. В нелинейной теории для такого утверждения нет основания.
Дифференциальные уравнения и натуральные краевые условия вариационной задачи о стационарности. функционала 117, представляют уравнения равновесия в объеме и на поверхности одного из видов, представленных в § 10.
Действительно, вспомнив (4.1.3), (2.6.2), (II.2.7), (1.3.10) и (III.3.10), имеем
J 8adv -= $ J Ьо • • 6VRrdv - J J J-P- • V6RTcfo -
v v VR B
= ffj |/ £ VrT-T- • V6Rrdy= fJjT--V5RT-VrrdV-'0 u v
= JJJt- • V6RMI/= JJJ[V-(T-6R)-(V.T)-6R]dV =
" Г V
= N-T-6R4O-Щ 6R-(V-T)dI7 (9)
О V
и это позволяет представить (2) в виде
JJJ (V.T + pk)-6R<iV+(N-T—f)-6RclO + v о,
+ JJ (N-T-f)-6RdO = 0. (10)
b2
Согласно лемме вариационного исчисления, вследствие произвольности 6R в объеме V, отсюда следует
V-T4-pk = 0. (11)
Поверхностный интеграл по О2 отпадает, так как на О.. вектор R задан, 6R = 0. На вектор 6R произволен и поэтому
N-T = f°. (12)
Заметим, что в этих преобразованиях только для сокращения записи и чтобы не повторять ранее проделанного в § 10 применены обозначения Р или Т. Удельная потенциальная энергия задана через меры деформации и, приняв принцип стационарности потенциальной энергии системы, как исходное предпо
§ 17] СТАЦИОНАРНОСТЬ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 141
ложение механики упругого тела, можно вообще не упоминать о напряженном состоянии, «не знать о его существовании».
Если массовые силы имеют потенциал, а поверхностные силы —«мертвые», то функционалу IF) придается вид
И $ (a + pon)du — $$f°-Rdo, (13)
V О!
так как k-6R = — Vn-6R =— 6л по (1.1.7) и по определению (III.2.1) градиента скаляра.
Если еще в число внешних сил, распределенных по всей поверхности "тела, включено и равномерное давление на ней р, то по (2.1.13)
П^УУ^ + роЛ + р]/ |)dy__yyf0.Rdo. (14)
V ot
§ 17. Принцип стационарности дополнительной работы
Этот принцип противопоставляется принципу стационарности потенциальной энергии системы. Здесь речь идет об отборе из множества гстатически возможных напряженных соостояний состояния,^фактически реализуемого в упругом теле, тогда как принцип стационарности потенциальной энергии не содержит упоминаний о напряжениях, а выражает свойство истинного поля перемещений.
Функционал, стационарность которого рассматривается, должен быть выражен через тензор напряжений или его инварианты, если среда изотропна; геометрические величины не должны в него входить. В линейной теории упругости это не сопряжено с трудностями, так как выражение линейного тензора деформации через тензор напряжений Т известно и это позволяет сразу же получить представление удельной потенциальной энергии через напряжения. В нелинейной теории эта процедура требует обращения уравнения состояния материала; о практической неосуществимости такой операции в общем случае (для любого материала) говорилось в § 14 и II, § 8. Но ход вывода принципа стационарности дополнительной работы требует предположения, что обращение осуществлено; принимается, что соотношение
Р = э0 =p(vr) (1)
VR
о разрешено относительно VR
0 0 / о \
VR = VR(P), 3(VR;=3(P). (2)
142 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ [ГЛ. 4
Производящая функция преобразования Лежандра обратного (1), как известно, определяется выражением
3x(P) = P--Vir(P)_3(vR(P)). (3)
Действительно, по (1)
0 ° а. О
6эх (Р) = 6Р • • VRг (Р)Р • -6VR(P)-• 6VRT =
dyR о о
= 6Р-• VRT (Р) = VR (Р) • • 6РТ, (4)
так что по определению производной скаляра по тензорному аргументу о
VR (Р) = (эх)Р, (5)
что и требуется; эх (Р) называется удельной дополнительной работой. Это соотношение —аналог теоремы Кастильяно линейной теории упругости.
Далее рассматривается статически возможное напряженное состояние; в нем тензор Пиола Р удовлетворяет уравнениям статики в объеме v и на той части поверхности olt на которой задано мертвое поверхностное нагружение
о
в V. V-P~]~pok = O; на ох: n-P = f°. (6)
Для статически возможных состояний, сравниваемых с реализуемым состоянием равновесия, выполнены условия о
в v: V(P-|-6P)-{-pok = O; на ох: п - (Р Д-6Р) = f°, так как массовые и поверхностные силы на ох остаются неизменными. Итак,
о
в v. V-6P = 0; на ох: n-6P = 0. (7)
Рассматривается функционал IF2 над статически возможными тензорами Р, называемый дополнительной работой
IF2= Щэх (P)dv— JJ R.f’do (8)
V 02
— здесь f° следует трактовать как реакции приспособлений, обеспечивающих выполнение требуемого на о2 задания вектора места R.
,S171
СТАЦИОНАРНОСТЬ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
143
Теперь, сославшись на определение (4) и учитывая, что на вектор R не варьируется, имеем по (1)
бль=И^кг'в|>‘'1’-И'’'вм» =
V °2
= $$$ [v-(6P-R)-(v.5p).R]dn-$$ R-6f°do =
V L о2
Rdv Д- j n• бР• R do + JJ (n.6P-6f»).R6/o. (9)
0 °1 °2
Но на o2
п-бРбГ
(10)
и, сославшись на (7), приходим к принципу стационарности дополнительной работы
6Г2 = 0, 1^2 = Ш [p--yRT-5(vR(P))]do-n-P-Rdo (11)
V 02
— функционал IF2 сохраняет стационарное значение на всех статически возможных (удовлетворяющих условиям (6)) заданиях тензора Пиола.
Известно, что ротор градиента вектора — нулевой тензор. Поэтому, из соотношения (5) имеем
оо о
Vx VR = Vx(sx)p = 0.
(12)
Это—аналог уравнения совместности напряжений линейной теории—уравнений Бельтрами — Мичелла. Известно, что принцип минимума дополнительной работы в этой теории выделяет из множества статически возможных напряженных состояний реализуемое состояние, допускающее определение вектора перемещения. Естественно ожидать, что принципу стационарности дополнительной работы в нелинейной теории отводится та же роль*).
Чтобы убедиться в этом, составим уравнение Эйлера для связанной задачи вариационного исчисления о стационарности Функционала (И) при наличии связей (7).
*) Заранее нет оснований считать, что функция yR (Р) аргумента Р, фигурирующая в формулах (2) — (5), является градиентом, т. е. удовлетворяет усло-
(12). Символ VR(P) в этих формулах следует рассматривать просто как обозначение тензорной функции аргумента Р. Если, однако, придать этому имволу смысл градиента, как это сделано в (9), то получается принцип допол-пркельн°й работы в форме (11). Доказательство того, что указанный символ А йствительно можно считать градиентом, следует ниже.
144
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУ ГОСТИ
1Г/1 4
Введя в рассмотрение лагранжев множитель (вектор) X, имеем
61Г2 = JJJ VRr- -SPrfo-JJ R-6f°do + X-V-6P<fo^0.
V O2 V
Повторяя знакомое преобразование (HI.3.10), имеем
JJJx.V.SPJu У \ [v.(5P.X)-( vx)r--6p]cfo:-v v
= X-n • 6Pdo X - n - 6Pdo — J W- • 6P dv =
У y.n-SPdo- У VV- .SPJe, O, V
так как по (7) интеграл по о, отпадает. Сославшись на (10), получаем
= JJJ (vrt — Vv)--SPdv-Y JJ (X —R)-n-Pdo---0. (13) l) O2
Можно считать за счет выбора трех компонент X независимыми все девять компонент ЙР, связанных тремя условиями (7) в объеме v. Приходим к требуемым результатам
в V. VR VX; на о^. Z R. ' (14)
о
Доказано, что тензор VR, определяемый по (5), представляет градиент вектора — соотношение (5) интегрируемо
о дэ., дэу дэу
VR^r’Rs = y, Rs -rs--p , R- pr.y + R«) (lo) — интегрирование проводится по любой кривой, соединяющей ^(q1, q\ q3) с ^(ql, q20, q30).
Предположение об обратимости соотношения (1), на котором основывался вывод принципа стационарности дополнительной работы, вызвало сомнения в публикациях, последовавших за работой Л. М. Зубова. Койтер (W. Т. Koiter) в двух статьях (1978, 1975), посвященных принципу Зубова, указал на приемлемость предположения об обратимости, однако неоднозначной. Л. М. Зубов, основываясь на полярном разложении тензора Пиола, доказал, что представление (2) меры деформации через тензор Пиола имеет, вообще говоря, четыре ветви, однако, если деформации не чрезмерно велики (угол поворота триэдра главных направлений меры деформации Коши не превосходит 70 b реализуется только одна ветвь (1976).
-§181
ПРИНЦИПЫ РЕЙССНЕРА И ХУ - ВАШИЦУ
145
§ 18. Смешанные принципы стационарности Рейсснера
и Ху— Вашицу
В принципе стационарности Рейсснера (Е. Reissner, 1950) рассматривается функционал W3 над вектором места R и тензором Пиола Р
Гз= Ш [p--VRt-9x (Р) —рД-r] dv -JJfo.Rdo-
01
-jjn-p. (R-Rx)do. (1)
°2
Здесь эх (P) — удельная дополнительная работа; Rx — заданный на о2 вектор места. В другой записи в соответствии с (17.3) функционал Рейсснера имеет вид
U73= J$$[9(P)-p0k-R]du-Jf0-Rdo-$$n.p.(R-Rx)do. (2)
V 01 О2
Варьируя функционал W3, получаем
= £бР-• VRr-ф Р-• 6VRT —(эх)Р • • 6РТ —pok-Sr] du —
V
— JJf°-6R do-JJn-6P- (R-Rx)do-JJn-P-SRdo. Oi o2 02
Заменив поверхностный интеграл по о2 объемным, имеем
J$n-P-6Rdo== n-P-6R do — n-P-SRdo = 08 0 Oi
= Щ [(v.p).6R-j-P..6VR-] du — n-P-6R do
V 01
и это позволяет представить 6IF3 в виде
VR^..6PT + (v.p+pok)
• 6R du +
+ J J (n-P—f°)-6R do — J J n-6P-(R-Rx) do = 0. 01 o2
(3)
Отсюда вследствие произвольности задания 6R и 6Р в объеме следуют соотношения
О о
VP + Pok-O, -^-VR.
(4)
146 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ Ц'л. 4
На части поверхности ot произвольна вариация 6R, на части о2 —вариация 6Р. Итак,
на Oj: n-P = f°; на о2: R ^Rx. (5)
Используя функционал Рейсснера, не надо заботиться о выборе тензора Р из множества статически возможных тензоров, в этом преимущество принципа Рейсснера перед принципом стационарности дополнительной работы. Как и в последнем выполняется соотношение (17.5) —тензор Пиола, определяемый из принципа Рейсснера, удовлетворяет уравнению состояния материала.
Задавшись выражениями вектора места R в актуальной конфигурации и тензора Р, содержащими некоторое число описывающих их функций материальных координат и постоянных параметров, следует составить по ним выражение функционала 1К3. Эти функции и параметры далее разыскиваются из уравнений Эйлера вариационной задачи и диктуемых ею краевых условий. Этот прием «двух аппроксимаций» (R и Р) с успехом применяется в задачах линейной теории. Конечно, в нелинейной теории уравнения Эйлера для аппроксимирующих функций нелинейны. Трудности, связанные с представлением удельной дополнительной работы эх (Р), конечно, сохраняются и при составлении функционала 1К3.
Эта трудность избегнута в принципе стационарности Ху — Ва-шицу (К. Washizu, 1955).
Функционал задается выражением
Ш [э (С) — Рт-• (с—VRT) — pok-r] cfo —
V
— JJf°-6Rdo-$Jn-6P.(R-Rx)do. (6)
01 02
Здесь С —некоторый тензор второго ранга, э (С) — выражение о
удельной потенциальной энергии, в котором VR заменен тензором С. 1К4 — функционал над тремя независимыми величинами Р, о
С, R; по R составляется выражение VRT.
Вычисление вариации 61К4 в значительной части повторяет (3). Получаем
6Г‘=Ш [(fu-p)--SCT-(v.p + Pok).6R-
du+JJ (n-P—f°)-6Rdo—
01 o2
— (c-Vr).-6P
Ип-бР-(R—Rx) do = 0.
(7)
$19] ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА - ОСТРОГРАДСКОГО 147
Уравнения Эйлера и краевые условия в силу независимости вариаций 6Р, 6С, 6R приводятся к виду
Ла 0 0
C=VK- VP + pok = O, (8)
на <у: n • Р = f°; на о2: R = RX- (9)
В записи (8) представлены как уравнения статики, так и определяющее уравнение.
§ 19. Принцип Гамильтона — Остроградского
Действием по Гамильтону называется функционал над вектором места R(<7x, <?2, <?3; i) при движении системы
л
= (1) to
Здесь Ж — кинетическая энергия
= y Шру‘уг/У = тПУР()У’у^’ (2)
v
W — потенциальная энергия системы, определяемая по (16.8)
№ = Щ (э —pok-R)cto — $$ f°-Rdo =
V ot
“Ш(/Is-pk-Rk-n<з> V о.
Осуществляемое движение R (ql, q2, q3\ t) подлежит сравнению с движением R + 6R, в котором 6R— виртуальное перемещение, сообщаемое мысленно частице из ее мгновенного положения в бесконечно близкое (синхронное варьирование), 6R —непрерывная и дифференцируемая функция материальных координат и времени. Операции варьирования и дифференцирования по времени принимаются переставимыми
(6R)=6R. (4)
На концах промежутка времени [t0, вариации 6R принимаются равными нулю — сравниваемые движения совпадают в начальный и конечный моменты этого промежутка
6R(7i, q\ рз; /о) = О, 6R (р1, q2, q3; tt)=0 (5)
Для каждой частицы среды.
Свойство движения, заключенное в вариационном принципе Гамильтона— Остроградского, формулируется так: от всех
148
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
1ГЛ.
4
мыслимых (допускаемых связями) движений в промежутке времени [ta, f], совпадающих в начале и конце этого промежутка, осуществляющееся движение отличается тем, что для него действие У стационарно, его вариация равна нулю
6^ = 0. (6)
Надо доказать, что в этом требовании заключаются уравнения движения, приведенные в § 10, включающие не только уравнения (гл. 2, § 6), но и уравнения состояния среды.
Используя свойство вариации (4) и (5), имеем
6$У = ~ р0 dv § 6v- vdt-, \ bv-vdt- \ (6R) • ydt =
V t0 tQ to
/1 tl ti
= J (6R)--vd^6R-v | —Jv-6Rd/== — f b-6Rrfz, to ^0 ^0 to
так что
(7)
Вычисление вариации функционала W сводится к преобразованиям, проведенным уже в § 16.
Поскольку на от задана сила f°, а на о2 — вектор места R, получаем
(v.P + p0k)-6Rdv + Jj (f° —n-P)-6Rcfo, (8)
V ot
причем в ходе вывода использовалось уравнение состояния
Р=(5)о . (9)
VR
Условию (6) теперь придается вид
6^=р/ RJ f (- Роь + vp+Рок) to L V
• SRtfc'+fJ (f’ — n-P)- 6Rdo
= 0 (10)
и хорошо 'известное рассуждение приводит к ожидаемым уравнениям движения и краевым условиям
о
в v. VP4-p0k = p0b; на of n-P = f°, (П)
причем, подчеркиваем, тензор Пиола Р определен здесь по (9).
Выполнение кинематического краевого условия на о2 предусмотрено в самом задании функционала о/’, входящий в него
ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА — ОСТРОГРАДСКОГО
149
ST9]
вектор R должен удовлетворять этому условию. Это предусмотрено в словесной формулировке принципа (говорится о допускаемых связями движениях).
Обратив ход вывода, несложно от уравнений (И) прийти к принципу стационарности действия. Формальное преобразование позволяет представить уравнения (11) в форме
в V: V.T + pk = pb; на Of N-T = f°^ = f. (12)
Известно, что разность — W называется лагранжианом системы Ф', так что
(13)
t о
и запись (10) можно представить в виде
Л н
ФУ = \ 6J? dt = dt^ (— pb 4- V • Т + pk) dV -ф
Zo V
ф JJ (f — N-T)-6R сЮ = 0. (14)
o2
Замечание. В записи потенциальной энергии W предполагалось, что поверхностные силы «мертвые», значит потенциальные. Можно отказаться от этого предположения, задав выражение их элементарной работы в виде
6'Л(е) = $ $ f • 6R do (15)
отдельно и исключив соответствующее слагаемое из представления (3). Определив 6УХ, как и ранее 6У по (10), но с так измененным W, получим
ФУф-^// ПР-—P»b ф VP pok) • SRfifo — j j n•₽• 6R do ,
0, L V Ot -
так что
z, бУхф $б'Л(е)^ = 0. to
Можно назвать это соотношение принципом Гамильтона —Остро-градского, но без эпитета вариационный, так как здесь нет Функционала, стационарность которого рассматривается.
Г л а в a 5
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНО УПРУГОГО МАТЕРИАЛА
§ 1. О выборе уравнения состояния изотропного упругого тела
Квадратичный закон состояния (4.3.4) упругого, изотропного, однородного материала конкретизируется априорным заданием явного выражения удельной потенциальной энергии деформации э, как функции инвариантов меры деформации, либо представлением через них самих коэффициентов фг (Л, Ц, Ц) этого закона, совместимым с существованием э (для гиперупругого тела). Рассмотрение простейших деформаций (всестороннее сжатие, растяжение, кручение), допускающих сравнение с опытом, дает основание для суждения о пригодности или непригодности предложенных представлений э (или фг) для рассматриваемого материала.
Выбор варианта оправдывается степенью его близости к уравнению состояния линейно упругого тела. Например, заданию э в линейной теории квадратичной формой компонент градиента перемещения Vu с постоянными коэффициентами сопоставляется задание, приводящее к учету в уравнении состояния хотя бы квадратичных по Vu слагаемых. Другой прием основан на удержании величин этого порядка в самих уравнениях состояния, сохраняющих при этом свою инвариантную запись. Еще один критерий состоит в сравнительной доступности последующего математического рассмотрения. Наконец, в отступление от подходов механики сплошной среды привлекают к построению определяющих уравнений статистические представления; предложенные соотношения корректируют и дополняют экспериментальной проверкой.
Нет недостатка в критических высказываниях, относящихся к описанным приемам. Например, «природа не отдает предпочтения представлениям функциональных соотношений степенными рядами» (Трусделл); «там где не хватает идей, им на смену приходят слова — простота, доступность» (Ривлин).
Успеха в рассмотрении этой «главной неразрешенной задачи механики сплошной среды» (Трусделл) надеются достигнуть, постулируя достаточно общие требования к математической стрмк-туре задания определяющего уравнения, которые позволили бь1 отбраковывать или признавать приемлемым предложенный! вариант. Об этом см. §§ 9—13.
ТЕЛО СЕТХА. ТЕЛО СИНЬОРИНИ
151
§21
§ 2. Тело Сетха. Тело Синьорини
Казалось бы, что очевидной и простейшей попыткой описать поведение материала при больших деформациях может служить предложенная Сетхом (€eth, 1935) замена в законе Гука линейной теории линейного тензора деформации е тензором конечной •деформации, например, тензором (1.7.8) Альманзи А или соответствующей ему мерой g
Т = ХЕЛ (А) + 2рА = 1 (ЗХ + 2И) Е -1 (V, (g) Е + pg). (1)
Сравнение с (4.3.7) дает /jR+sp-p/Ug)], =
Условия интегрируемости (4.3.6) не выполняются, «квазилинейный» закон (1) непригоден для описания поведения гиперупругого тела. Однако, как показал Сетх, он позволяет учесть некоторые особенности нелинейной теории, например, конечность силы, создающей разрыв образца (бесконечное возрастание одного из главных удлинений), необходимость приложения нормальных усилий для осуществления деформации простого сдвига. При малых градиентах вектора перемещения количественные результаты не могут значительно отличаться от предсказаний линейной теории, но квазилинейный закон не налагает ограничений на перемещения и повороты, поэтому допускает рассмотрение недоступных линейной теории явлений.
Синьорини (Signorini, 1943—48) предложил закон квадратичной зависимости тензора напряжений Т от меры деформации Альманзи, согласованный со структурой определяющего уравнения (4.3.7)
T=(m172 + m2/f + m371 + m4) Е —(m5/( + me) g+m7g2. (3)
Здесь 7*=7ft(g). Постоянные тк определяются требованием существования потенциала э, иначе говоря, их выбор подчинен условиям (4.3.8). Они приводят к уравнениям
^777 = - 7 -3/2
dl^dls 4 2
J77P = — 7 [(m5 — m7) 7[ + m(i] 1 (7') - 3А (2т,I [ + т3)
V13U11 4 2
(третье тождественно выполняется). Получаем
/7г7 = 2/и1; т5 = 2т1 ф-4/тг,, ~2т3.
Число коэффициентов уменьшено до четырех
(/V;4-m27;2 + m3/; + m4) Е—[(2m1+4m2) 7(+2m3]g+2m1g2. (4)
152 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [ГЛ. ,
Выражение удельной потенциальной энергии приобретает вид
э -= (/з) "'/2 (т^ + ^2Ф + + + const.
В отсчетной конфигурации (g---E, Гх-~ --3, Г3 = 1)
— рЕ, —р=- — mx — ‘im.2^rtn3 + mi (51
и формулы (4), (5) заменяются представлениями
Т = [—р + «1 (Л + 1) + m2(/f + 3)+т3 (Л—1)]Е —
— [(2m14-4m2)/; + 2т3^ + 2т^2, (6)
о (/ф’-'фщ (/2 + 1)+т2 (Ф + 3)+/и3 (/; — 1)—р]. (7)
Число постоянных снижается до трех, если неискаженное отсчетное состояние —натуральное (р-0).
После перехода от меры к тензору деформации Альманзи А и его инвариантам, обозначаемым /fe (А), и введения с целью приблизиться к обозначениям линейной теории новых постоянных
4/71! = с, 4т2 = у ^Х-фр — -jj , 4т1 + 12т2 -ф 2т3 = р -ф ~ (8)
получаем по (1.7.21)
Т = ^ХД -ф с/2 +"2" ( X -фИ —2") /1 j Е -ф2 —
X р ф J А 2сА2, (9)
э= 7 [СА + у (х + в—Я +
+ ^Р+'2’)^ /1)] (н+у]-
Отсчетная конфигурация (в ней А---0) —натуральная, а аддитивная постоянная в (10) выбрана так, что в ней э- 0.
Закон Синьорини — общее и единственно правильное представление соотношения, определяющего квадратичную зависимость компонент тензора напряжений от компонент деформации в гиперупругом изотропном теле. В «упрощенном квазилинейно:! законе» Синьорини с = 0
т = [х/;+у(Х+р)/12] Е+2[р—(х + р)/;] a. (in
Вхождение подчеркнутых слагаемых, отличающих его от закона Сетха (1), обеспечивает существование потенциала э. Его выражение, если вернуться к инвариантам (g) меры Альманзи.
§21
ТЕЛО СЕТХА. ТЕЛО СИНЬОРИНИ
153
р упрощенном законе записывается в виде
8э У J = 9Х + 5р ~ 2 № + р) /; + (Z + р) Л2 - 8р VT3 =
= 4 И [(Л + 3) Л — 18 К Л] + (9А + 5р) ( 4 Л - 1 )2. (12)
Далее находятся достаточные условия положительности э. Величина в квадратных скобках положительна. Действительно, можно усилить неравенство
отбросив в его правой части
^- = ^_[Дг (^ + 3)2-'f (/I —З)2] отрицательное слагаемое. Поэтому
7з^2-7112^^' + 3)2’ (Л + 3)Л-18]/Л>0 (13)
и по (12) искомые условия приводятся к виду
р > О, 9Z~p5p>0 — у и) • (14)
Необходимость первого условия следует из (12) для деформации, в которой /( = 3.
Область допустимых параметров Z, р в линейно упругом теле р > 0, 3Z-L2p>0 (15)
шире, чем в теле Синьорини. Это следует объяснить тем, что неравенства (15) должны обеспечивать положительность э лишь при малых деформациях. Введя в рассмотрение величину
1 К v 7 2 Л-l-р, ’
называемую в линейной теории коэффициентом Пуассона, можно неравенства (14) и (15) для тела Синьорини и для линейно упругого тела записать еще в виде
Р>0, — 4 <v < у; И>°> -Kv<4- (16)
Замечание. В работах Н. В. Зволинского и П. М. Риза (1939) предложен квадратичный закон состояния, включающий пять констант
Т -= /1 В 4- -g- 1 ^/1 (С 3Z ) /2 j Е 4-
+ [2р' 4- (С + — 2р') /1] А 4- (D 4- 5р ) А2.
154
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[гл. 5
Его можно согласовать с законом Синьорины (9), определив В, С, D через %, р, с равенствами
В — у ^р — , С =— с — ЗХ, D = 2c~ 5р;
X' = /., р' = р.
§ 3. Материал Мурнагана
Представление удельной потенциальной энергии деформации полиномом по степеням компонент тензора деформации Коши — Грина с постоянными коэффициентами, подлежащими экспериментальному определению, было использовано в многочисленных исследованиях Мурнагана (F. D. Murnaghan), содержание которых воспроизведено в его монографии 1954 г.
Отправным является задание удельной потенциальной энергии деформации э, обеспечивающее включение в уравнение состояния всех слагаемых второй степени относительно градиента перемещения Vu. Если ограничиться изотропными материалами, то выражение э следует задать скалярными структурами (1.15.16), (1.15.14) второй и третьей степени. Присоединив к ним слагаемое первой степени, придем к шестиконстантному выражению
э- - рК (С) + у [V? (С) + 2р/х (С2)] +1 [vj? (С) +
+ 6va/x (С) Ц (С2) + 8у3Л (С3)] - - рЦ (С) +-L (X + 2р) П (С) -
- 2р / 2 (С) +1 (I + 2m) П (С) - 2m/x (С) /2 (С) + nl3 (С). (1) О
Здесь X, р— постоянные Ляме второго, v1( v2, vg-—третьего порядка, через /, т, п обозначены постоянные Мурнагана, связанные с v1( v2, v3 формулами (1.15.15).
В экспериментальных исследованиях, связанных с задачами нелинейной акустики, накоплено значительное число данных о постоянных Ляме третьего порядка для ряда материалов. Некоторые сведения о них были получены по результатам статических испытаний Бриджмена при весьма высоких давлениях (Р. W. Bridgman, 1948).
После замены Ik (С) через инварианты Ik (G) Ik меры деформации Коши — Грина формула (1) преобразуется к виду (если начальное состояние натурально, р = 0)
э==4[(-ЗХ-2И + 4/+|)/1 (G)+|(X + 2p-3/-2m) Ц (G) 4
+ ( - 2р + Зт -/2 (G) - ml. (G) I2 (G) +1 (/ + 2m) Ц (G) +
+ |(/3(G)-1)J. (2)
$ 3] МАТЕРИАЛ МУРНАГАНА j 55
jlo (4.3.5) имеем
Фо = у п^3'
Ф1 =Т [(А-3) Л-2и+1/ (Л-3)2 + т (Л-/2)-1)] -
Фг=4[2н+^(Л-з)+|]. (3)
Нетрудно проверить выполнение равенств (3.7.12), (3.7.13).
В приводимых далее формулах ограничимся удержанием слагаемых второй степени относительно производных вектора перемещения. Имеем
F E---2e(u)-{-Vut-Vu, (4
F2 = Е + 4е (и) +4е2 (и) + 2VuT- Vu,
Л(Е)=3 + 2И + х, /2 (F) = 3 + 4И + 2/ + 2х, (5)
/3 (F) — 1+2И+ х+2х
при обозначениях /О \ О / 0 0 \ 00 /0 \
d = (^е (u) / — V и, у +, ( VuT Vu j 2(о-« (s+ ,
х = 2/2 (е) ={}2 —/j (е (и)2) ,
73'1/2(F)= 1 -4% -х + (6)
0 I/O ° \
8(и) = у <Vu + Vury , о о
ю(и) —сопутствующий кососимметричной части Vu вектор. В этом приближении
4ф0 = у/г +у« (2& + х+2х),
4фх =— 2р —п + 2Я (л, — т—т~ ~2т7.---'21'Г~, (7)
4ф2 = 2р. + 2тИ + т/ + у /г *
и выражение тензора напряжений может быть записано в виде
Т= (1 -fl)T0 + 28-T0 + T'. (8)
Здесь Т° — тензор напряжений линейной теории
Т° = ZHE+ 2р8 (и), (9)
1S6
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
1ГЛ
а через Т' обозначена совокупность слагаемых
Т' + (т~Е + 2 (т —+
ООО
4~/ie2 + pVuT • Vu, (10)
о о
причем VuT-Vu определяется по (1.7.13). Естественно, что коэффициенты Мурнагана входят лишь в представление Т'. Вместе с тем, ограничившись в задании удельной потенциальной энергии (1) только квадратичными по компонентам С слагаемыми, иначе говоря, приняв /, т, п равными нулю, пришли бы к представлению Т, отличному от выражения линейной теории с заменой о
е на С, как в «теле Сетха».
Коэффициенты Мурнагана второго (А, р) и третьего (vn v2 v3) порядков
/ = yv1 + v2, m = v2+2v3, n = 4v3
указаны для различных материалов в табл. 1—3. Данные сообщил автору С. С. Секоян.
Следующие далее в этом параграфе рассмотрения преследуют цель разъяснить связь коэффициентов закона Мурнагана с изменением модулей А и [I линейного закона при сообщении малого возмущения в натуральной отсчетной конфигурации.
Примем для этого, что частицам находящейся в равновесии среды в актуальной конфигурации сообщено поле виртуальных перемещений r]W (ry1, <у2, д3).
Тогда по (8)
Т = (!-&) Т0-ЭТ" + 2Е--Т0 + Т' + 2е-Т0 (11)
и вычисление, выполняемое по формулам гл. 1, § 10, дает
Т° = AV-w-]-2e (w), —V-w, e'-=e(w),
О 0 0 0 / О О \
% = VuT- -Vw + VwT- - Vu*— 2/, (Vu’VwK ,
(-ft2)’ = 2-&V-w, [/j (e2)] 2/, (e-e (®)}
ooo о
и т. д., причем здесь e = e(u), $ = V-u в отличие от e(w), 0 f ° \
V-w = /j (VwJ .
§31
МАТЕРИАЛ МУРНАГАНА
157
Таблица 1. СТАЛИ
Таблица 2. СПЛАВЫ Al и Си
Материал В 53 S D 54 S D 16 Латунь Л-62 Латунь ЛС-59-1 Бронза фосфористая БрОФ Бронза фосфористая БрОФ БрОФ 65-0,15 Бронза бериллиевая Бр Б2 Ссылка 2 2 3 3 3 3 3 4 4 Плотность г/см3 2,677 2,719 8,921 8,317 А 0,580± ±0,002 0,491± ±0,002 1,133± ±0,002 1,042± ±0,002 ! и- ± ± ± ' о о о о о о о о । ;i ОФ 1 1 1 1 1 О ND О ND и 1 осоо*-* 1 1 1 1 1 о О О О 1 ND О ND *4 О —О , ft , 1, Н- ± Н- 1± . * ицах 1 О12 д Vi —2,49± ±0,60 —3,79± ±0,025 — 1,3 —3,0 4,8 12,6 12,1 —4,9± ±0,4 —4,0 + ±0,3 ин/см2 V2 —0,99± ±0,10 —1,98± ±0,09 —2,1 —2,1 1,7 — 1,5 —2,4 —1,67± ±0,08 -1,7± ±0,08 V.3 —0,60± ±0,05 —0,80± ±0,03 —0,92 -1,25 — 1,22 —0,60 —0,42 —0,500± + 0,010 —0,600 + ±0,010 Примечание 2,8% Mg; 0,8 Мп; 0,1% Сг 4,5% Mg; 0,8% Мп; 1% Сг Отожженный образец Отожженный образец Отожженный образец Отжиг при 350° С, 1 час Закалка с 770—780° С, отпуск при 350° С, 1 час. Твердость НРС = 36 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА 1ГЛ. J
Таблица 3. РАЗНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Материал Ссылка Плотность г/см3 А В единицах 1012 дин/см2 V.3 Примечание
J1 V1 V 2
Медь 5 — 1,07 0,477 —5,6± ±1,4 1,72± ±0,14 —3,98± ±0,05
Магний 2 1 ,716 0,259± ±0,002 0,166± ±0,03 —0,654± ±0,01 —0,574± ±0,01 —0,421± ±0,04 96% Mg, 3% Al, 1% Zn £ >
Железо Армко 8 — 1,100± ±0,004 0,820± ±0,010 2,6± ±13,7 —4,8± ±6,2 —2,8+ ±2,8 га га S
Молибден 2 9,71 1,57± ±0,02 1,10± ±0,01 —0,51± ±0,50 —2,83± ±0,30 —0,93± ±0,04 Спеченный из порошка 99,99% чистоты ь g
10,2 1,78 1,24 1,94 —3,98 —2,27 Рекристаллизованный >
Вольфрам 2 14,16 0,750± 0,005 0,730± ±0,01 —2,15± ±0,30 — 1,43± ±0,15 — 1,24± ±0,02 Спеченный из порошка 99,99% чистоты > ж >
17,8 1,63 1,37 —4,29 -2,58 —2,67 Рекристаллизованный
Оргстекло 6 1,160 0,390 0,186 —0,078 —0,070 0,047
Плавленый кварц 7 2,203 0,15872 0,31261 0,54± ±0,13 0,93± ±0,08 —0,11± ±0,03
Стекло (пирекс) 8 — 0,1353± ±0,0003 0,275± ±0,003 2,6± ±3,7 ’ — 1,68± ±1,38 1,05 + ±0,88 сл о
160
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ. 5
После подстановок в (8) и (10) получаем
Т = (1 — &) Т° —T°V-w+2e (w)-T° + 2s-T° +
i f 0 О \ 0 го + ° 1
+ Е ^Vu-VwJ + 2/&V-W — (2m —п) |_^V-w — /Де-е (w) J J / +
TOO 0 -1 /0 0 0 0 \
+ (2m — rt) (_eV- w + He (w) j + rt Д & (w) + s (w) -ej +
+ p (VuT-Vw + Vwr-Vu) . (12)
Ограничимся простейшим случаем —актуальная конфигурация представляет преобразование подобия натуральной отсчетной конфигурации. Тогда по (6) и (9)
R-r(l + 6), и - гб, Vu-E6, lb-36,
Т" --- (ЗХ + 2р) Е6, % - 362, х - 662
и по (8), (10)
Т (3л + 2р) 6E-6a[|(3Z + 2p)-(9/ + «)^ Е. (13)
При наложении на это равновесное состояние поля перемещений T]w конвективная производная Т по (12) представится выражением
о
Т = Т° —E6V-w(3% + 2p-6/ + 2m —п)ф-
+ 2s(w)6f3Z+2p + 3m-y) . (14)
Далее рассматриваются два частных случая.
а) Примем
w = yr(1+6), 8(w) = y(l+6)E,
о ' *
V-w=l+6, Т°:/г();6;Е,
2
причем 6= К + у р —модуль объемного сжатия линейной теории. Результату подстановки (15) в (14) придается вид
Т —— рЕ, р = - [(1 - б2) 6 + 66 (1 + 6) (/ + |)]^-6х (б). (16)
Здесь через р обозначено давление, прилагаемое, чтобы сообщить первоначально сжатому (б < 0) или растянутому (6 > 0) материалу перемещение w. Получаем
6х(0) = 6, 6х(0) = б(/+|) . (17)
§3]
МАТЕРИАЛ МУРНАГАНА
161
Это соотношение указывает на принципиальную возможность определения Z + лг/9 по наклону касательной к кривой kx (6) в отсчетной конфигурации (при 6 = 0). Большинство экспериментальных данных свидетельствует, что k'x (0) < 0 — сопротивляемость материала изменению плотности растет вместе с последней.
Например, обработка результатов опытов Бриджмена с натрием, в которых давление доводилось до 100 000 атм, приводит (Мурнаган) к численным значениям
k = 0,628-104 атм, «4-9/ = —406,2-104 атм.
Как видно | «4- 9/14> k — при таких нагружениях учет нелинейных слагаемых необходим.
fWf б) Принимается, что предварительно сжатая среда (6 < 0) подвергается простому сдвигу в плоскости OXY параллельно оси ОХ. Обозначая через s параметр сдвига, имеем
о о
w = К (1 + 6) set?, Vw = i2ii(l + 6)s, V-w = 0,
0 ।
e (w) = (iii2-hi2ii) (1 + 6) s, T°=p (i^ + iJJ (1 4-5)s. (18)
По (14) получаем
= (*1*2 H- *2*1) ^12>
Tl2 = j\l-j-6)p4-(l +6) 6 4-3/77 — S = px (6)s, (19)
так что
px(0) = p, ^(0) = 3(X + p)4-3/n-|. (20)
Здесь r12 — касательное напряжение, сообщаемое предварительно сжатому материалу, чтобы осуществить сдвиг.
Величины &х(0), Рх(0), определяющие изменения модулей объемного сжатия и сдвига из натуральной отсчетной конфигурации, отнесены в формулах (17) и (20) к значениям относительных удлинений 6. Отнеся их к объемному расширению
М) = М38), Их(6) = Рхх(Зб),
получаем
Л;х(0)=2(/+|) , p;x(0) = X4-p + m--J. (21)
Соотношения (17), (20), (21) указаны Вангом (Wang, 1965).
6 А. И. Лурье
162
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО Л1ЛТЕРИАЛЛ
[ГЛ. 5
§ 4. Преобразование коэффициентов уравнений
состояния Синьорини и Мурнагана
Представления удельной потенциальной энергии деформации тела Синьорини по (2.7) при отсчетных конфигурациях v, v, связанных преобразованием подобия (4.4.3), имеют вид
э~-= (/з)-*Л (Н + 1) -\-т„ (/^ + 3) +т3 (Д — 1) — р], (1)
э -= (7;)-,/2[m1(7; + i)+/?2.2(71'2 + 3) + m3(7()—р]. (2>
Здесь /^ = ZA (g) и инварианты /(., Г1г связываются в отличие от формул преобразования (4.4.5) инвариантов /ft(F) соотношениями
1'1 -те, 7?-те, 7;;-те (3)
(обозначение коэффициента подобия а в (4.4) здесь заменено на К).
По (4.4.6), (1) и (2) получаем
э ^К3э, m^I^+^+m^lf+ 3)+т3(Г1 — 1) — р--=
- т, + 1) + т, (К* if + 3) + т3 (№/( - 1) - р (4)
и этому соотношению удовлетворяют значения tnk и р, определяемые по формулам
т1К~',т,, т2 --К~ -'т2, т3 — К~гт3,
Р =-- Р + [(«j + 3m?) (1 + №) — ш3№].
При обозначениях (2.8) они приводятся к виду
/зл + и-±)(1 — Д3), )
Г с . (5)
H = /<'V + 4/<"4 ЗХ + ц-£) (1-№), с-к^с, ]
р=|Ц^[а+к2)(|+зхф-зи')+к2(я+2р-С)]. (6)
Принято р==0, v-конфигурация натуральна; р — всестороннее растяжение (сжатие при р<0), обеспечивающее преобразование v в ^-конфигурацию.
Для материала Мурнагана аналогичное рассмотрение, проводимое по формулам (3.2) и (4.4.5), приводит к формулам Брил-луэна (L. Brillouin, 1938)
-/<лг, т -К3т, 1. ^ К'Ч,
2h=/c[2h + (1-№) (у-З^)] ,
K + 2^=K[l + 2[i + (\~K^(2m + 3l)l (7)
^Т'[^1^4'Т(1~/<2)(П + 9П] = * + (8)
§ 51 ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ ДЖОНА ЩЗ
формула (8) определяет напряженное состояние всестороннего растяжения (сжатия при р < 0) в v-конфигурации; она согласуется с (3.13), если пренебречь в ней степенями 6 = /<—1 выше второй. Обозначив через 0 относительное объемное сжатие
№ -=—=1—0, 0 = _(9)
v ’ v v '
имеем по (8)
- р -- (1 - 0)-*/з { [1 - (1 - 0Г»]|k -1 [1 - (1 -0)2/з] (п + 9/) } = = 6© + у (б —0% (10)
если отбросить степени выше второй. В металлических материалах при всесторонних давлениях, не превышающих 10“ атм, не обнаруживается отклонений от линейной зависимости
— p^kQ. (11)
Коэффициент линейного температурного расширения а (9) определяется уравнением
dl == la (0) dQ
и при преобразовании подобия, осуществляемом в переходе от изотермического состояния и к изотермическому v
i^-Kl, dl ^ldK = ld~, i- = ~- = a(tydQ,
так что
e
К = exp а (0) df), (12)
о
причем 0 —разность температур изотермических состояний v и V. Этой формулой совместно с (5) и (7) определяется зависимость коэффициентов тел Синьорини и Мурнагана от температуры.
При слабой зависимости от температуры и в небольшом диапазоне температур
К==1+а0. (13)
§ 5. Полулинейный материал Джона
В линейной теории упругости удельная потенциальная энергия деформации э выражается, как известно, квадратичной формой главных значений линейного тензора деформации
э = у [X/? (е) + 2и/, (е2)] = у [X (в, + е2 + е3)2 + 2р (в2 + в22 + в2)]. (1)
6*
164 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ нелинейного материала [гл. S
Основываясь на аналогичном представлении э, но через главные относительные удлинения 8k, определяемые формулами (1.4.10) теории конечных деформаций,
4А + V + 2р (б* + 81 + 6|)], (2;
Джон рассмотрел несколько задач о распространении колебаний в нелинейно упругой среде. Но по (1.6.4) и (1.4.10) 8k — главные значения тензора U—Е, поэтому
Si + ^ + es^s^/JU-E), 62+ 6i+6| = s2 = /1((U-E)2) (3)
и выражение (2) представляется в виде
э - | Xs2 + ps22 -==1 X/2 (U - Е) + iilt ((U - E)2). (4)
Джон назвал такой материал «гармоническим», так как решение плоской задачи при этом задании э сводится к нелинейной краевой задаче теории гармонических функций (или функций комплексного переменного). Подходящим наименованием, используемым далее, может служить «полулинейный материал».
Обратившись к формулам (II.3.10), (II.4.И), (1.9.6), (1.6.1), имеем
Л(и-Е)0 =/1(U)g--G0 ^1u-1..(Cii + C„i)-VR=U-i-VR=O\
VR VR
Л((и-E)2)0 = /,(G)0 -2/,(U)0 ^2VR-2OX Vr Vr Vr
и уравнениям состояния для тензоров Пиола и Коши придается вид о ‘ о
Р = э0 = (Xs, — 2р) 0х 4-2pVR — [(Xs,— 2р) IP1+2рЕ]-VR,
VR _
т= ]/|vr.p= |/-|[(Xs,-2p) V^hF]
= ]/| [^(/1(V)-3)E + 2p(V-E)]-V. (5)
Удельная потенциальная энергия деформации э полулинейного материала представима через инварианты симметричного тензора (Р-Рт)‘/2. Дей ствительно,
Xs, — 2р) 0х+2pVR] • [(Xs, — 2р) OXT4-2pVRT
( ° ° \
= (Xs, - 2р)2 Е 4- 2р. (Xs, — 2ц) <ОХ • VRг Ц- VR • ОХт) 4- 4p2U2 =
— (Xs,— 2р)2Е 4-4)i (Xs, — 2р) U 4- 4p2U2
Р-Рт= [(
§ 51
ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ ДЖОНА
1GS
или
р.рт — [(Asj —2|i) Е+ 2|iU]2, (P-PT)‘/2^(Xs1 —2^)Е+2^и. (6)
Первые инварианты этих тензоров оказываются равными
Л ((Р-РТ2) - Л (As,E + 2ц (U — Е)) -- (ЗА + 2ц) s„
Л (Р Рт) - 3A2s? + 4pAs,I, (U — E) + 4ц2/, ((U — E)2) -
: -Z(3Z + 4ii) sM 4p2s2. (7)
Отсюда получаем
_ Л ((P-PT) /2) =_!_Г/ (р. рт)_ T+T J2 г/р. рт\>/2)1 (8)
si-- з%+2р ’ 4р,2|_;1^ ' (ЗТТ2 7 Ч ' 'J (0'
и далее по (4)
>Т(Р'₽'Т';№Т' '-=^. ст
. По (5) имеем также
р. .VRt = [(%S1—2р) U-T2pE]-VR- ((As,— 2ц) U +
ТТТ ((As,+ 2^) (U —E) + 2p(U —E)2 + As,E),
так что по (4) и (8) о
р.. VRT(%s, + 2р) s, + 2ps2 -j- 3As, As, + 2ps2 + (3A-|-2p) s, —
— 2э + Ц ((P-PT2)- (10)
Теперь no (4.17.3) удельная дополнительная работа эх также оказывается выраженной через инварианты тензора (Р‘РГ)’^
ЭХ = Э + л ((Р • РЧ'/2)=А- [л (Р Р4 - /2 ((Р • Рт)'/2) ] +
+ Л ((Р-РТ2)- (Н)
Соотношение (4.17.5) позволяет определить градиент места VR. Имеем
б/, (Р-РТ б(Р- -Рт) Р -6РТ + 6Р- РТ = 2Р 6РТ, ^((Р-РТ2) =
=-L (р. рт) - >/2.. бр. рт _L (р. Рт) - >/2.. (р. бр >• + (бР) • рт) =
= 4{(р-рп-1/2-р- -6рг + [(р-р4-,/2Г-р- -6ргт-(р-рт)-‘/2-р- -6РТ
— использовано правило дифференцирования (II.3.10) и симметричность (Р-РТ’/г-
166
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ.
Сославшись на определение производной (II.2.7) по тензорному аргументу, получаем теперь
/JP-P^P^P, /1((Р-Рт)1/2)р = (р.рт)-</2.р (12)
и по (4.17.5)
vR^(3x)P^X^E + ^„_^_/i((p.p7/2)] (p.pt)-v^.p. (13)
В полулинейном материале оказалась осуществимой операция обращения уравнения состояния (5).
При деформации, не сопровождающейся поворотом главных осей меры деформации оо о
ОХ=Е, U VR Vu yE, s, V u (14)
и в полулинейном материале по (5)
о о
P = W-uE + 2pVu. (15)
Уравнения равновесия в объеме и на поверхности (2.7.4). (2.7.5) приобретают вид
0 о о яо
(А2;t) V2upok (), 2.nV и ; 2пп Vu f . (16)
Это—-частный случай уравнений равновесия линейно упругого 0 0/0 \
тела при Vu = VuT (^или Vxu = 0j. Нелинейность задачи обусловлена правой частью краевого условия при «немертвых» поверхностных силах.
К уравнениям (16) сводятся задачи о растяжении стержня, об осесимметричной деформации цилиндра, о центрально-симметричной деформации сферы.
Акустический тензор в полулинейном материале. Главные напряжения, определяемые формулой (5), равны
ofi = ^r[(^s1-2p) + 2iw1] и т. д.
Отсюда получаем
1 ,, , „ . дщ
Cl—а2 _ 1 /Xsi— 2р 9 \
2 2 ( . "Г )
И1—1'2 «1^з\ e'l+«2 /
[(^1 - 2р) + 2^ — Н], - [%+ 2р + ^3~(ЗХ+ад1
i'i + v2
и подстановки в формулы (4.12.9), (4.12.10) определяют компоненты акустического тензора в ортонормированием триэдре глав-
§5] ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ ДЖОНА 167
ных направлений е1( е2, е3 тензора напряжений Т (или меры Фингера*) F)
= [(А + 2ц) (vlNl + vlNl + v23N2) + 2и) +
[ -(3A,-p 2p) о Д72 1
' yi + V3 3 3j 1
Q12 = - V1V2 -"3~(^2p) N.N2 = Q21 и т. д.
При обозначениях
Xvi—(ЗА -- 2ii) Ау2 — (ЗА- Л - 2ц) Au3—(ЗА4-2p) __ q
' V2-[-U3 ’ V3 i-l’l ~ ’ Ч-Н'2
vfl^x, v2N^--y, v3N3 = z
акустический тензор Q представляется выражением
Q = (A+ 2ц) (x2 + у2 + г2) E + е£е, (Су2 + Bz2) A- e2e2 (Az2 + Cx2) + + e3e3 (Bx2 + Ay2} — (ere2 + e2et) Cxy — (e2e3 + e3e2) Ayz — — (e^ + ^e,) Bzx. (17)
Для параллельного e, вектора N имеем Л\=1, У2 = У3 = 0 и тензор Q приобретает диагональный вид
‘Q = (Л + 2ц) е^! 4- —- [(Л + 2p)’(iy + v2) 4- Av3 — (ЗА 4- 2ц)] е2е2 + 4Т и2
+ Va [(^ + 2р) (Oj + у3) + Ау2 (ЗА 4~ 2р)] е3е3.
Условиями его положительности являются неравенства А4-2р>0, (А4-2ц)(н14-н2) + Ан3 > ЗА-|-2р,
(A-p2[i)(vx> ЗА-|-2|а. (18)
Конечно, приняв в (17) У2=1, У3 = У1 = 0, получили бы еще одно неравенство
(А2ц) (v2 +н3) + Ahj ЗА Д- 2р. (19)
Неравенства (18), (19) преобразуются к виду
(1— 2q}(v1 + v2) + qv3> 1, (1 ~2q} (v2 4-vs) + qv± > 1,
(1— 2q)(v3 + v1) + qv2> 1, (20)
причем g = v/(14-v), —oo<(?<1/3.
Когда лишь одна компонента N обращается в нуль, например ^з==0, тензор Q становится равным
Q = [(А 4-2ц) (х2 + у2) + Су2] 4- [(А + 2ц) (х2 + у2) + Сх2] е2е2 4-
4-[(^ + 2ц) (X2 4-у2) 4- (Ау2 4- Вх2)] е3е3 — (е1е24-е2е1) Сху.
*) Как и в представлениях (4.12.9) (4.12.10) отброшен не изменяющий знака Q множитель У73.
168
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
1ГЛ. 5
Условия положительности компоненты Q33
%4-2р-|-В > О, + 2р + X > О
уже заключено в (18) и (19). Точно так же в силу этих условий оказывается положительным и диагональный минор
[(* + 2И) (%2 + У2') + Су2] [(% + 2И) (х2 + у2) + Сх2] - С2х2у2 =
= (X + 2р) (х2 + У W + 2р + С)
равно как и два других диагональных минора.
Без труда проверяется, что условия (20) гарантируют положительность диагональных членов и диагональных миноров матрицы компонент акустического тензора (17) при любых N (отличны от нуля х, у, z). Этим гарантируется и положительность; как можно проверить,
det Q > 0.
Итак, доказано, что неравенства (20) —не только необходимые, но и достаточные условия положительности акустического тензора, значит и сильной эллиптичности полулинейного материала.
§ 6. Материал Блейтца и Ко
Опытные данные, полученные Блейтцем и Ко при измерении деформаций одного из специальных сортов резины в широком диапазоне нагружений, оказалось возможным аппроксимировать представлением удельной потенциальной энергии трехконстантным выражением
•э=41Ф [л + |(Л-“-1)-з] +4р(1 -р) +
« = ^ = ^(G). (2)
Упрощенный вариант этой зависимости, признаваемый этими авторами приемлемым, использован в одной из работ Ноулса и Стернберга (J. К- Knowles, Е. Sternberg, 1975) при значениях постоянных
Р = 0, v = -|, сс = у.
Выражение э в этом предположении принимает вид
(3)
§6]
МАТЕРИАЛ БЛЕЙТЦА И КО
169
и уравнения состояния для тензоров Пиола и Коши представляются формулами
р = *о =^[ez1-g + (/;/2-/2)g-].vr, VR 3 (4)
тЧ1/;!/=|е (М- /2) + М- F2].
В линейном приближении, используя (3.4), (3.5), получаем
Т-р(Е^-Ь2е)
— это линейно упругий материал при %=р (v = 0,25). Главное напряжение Oj оказывается равным
— оу = 1 + /3“3/2 [— (yfyl + v2v2 + сф'2) + vl (vf + vf 4- t’l) — сф] =
. i---!—
га ’
так что
1--^ = -Х-2, 1- —= -у^-2, 1-£2=—L_ (5)
р К/зр? и //3«2 и КМ
Получаем
так что по (5)
[('“К) (-?)’' <s-]-2,3). (7)
Закон состояния (4) оказался обратимым. При обозначении
।( ।______£2) ( ।_£з \ _ ।_К (Т) । 2 (Т)_I з (Т)
\ Р / \ Р 1 \ Р ) Р Р2 Р3 ’
(8) получаем
/1(G) = D-V6(3-^ + ^),
Z2 (G) = D-3/6(3-^),
/3 (G) = Z)-2A.
По (3) выражение э теперь представляется через инварианты тензора напряжений Коши
а = 1И [5 (D-*/. - 1) - D-Vs МП] . (9)
170
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ.
Имеем также
Р • VRT = КЛЛ (Т) = О-’/ьД (Т)
и выражение удельной дополнительной работы (4.17.3) приводится к виду
Эх = I н [5 (1 - D - -А) + 3D-(Т)]. (10)
Здесь оказывается возможным обратить уравнение состояния (4) — выразить F через Т
з з
F = У ф,е5 = У =
или
f = o-4a Ге (i—MLLj-MD'i-i.It/'I
L \ H и- / H \ H/HJ
= -5p(D*/.)T, (Hj
Последнее равенство — следствие соотношения (8) и формул дифференцирования II, § 3
_^т=Е(1^'1ф+'1т) + Лт(1-[Ш>)+1;»Р0'/, (|2)
Формула обращения оказалась достаточно сложной —в ней D следует заменить по (8).
Обратимся еще к построению акустического тензора Q для материала Блейтца и Ко. Используется формула (4.11.16). По (4.3.5), (4.5.5), отбросив положительный множитель ц, имеем
^оо— 2/3 V2 + )> Ию 2 13 ’ ^°2 2/3 ’
11 = "27^ > ^22 = ^12 = О
и подстановка в (4.11.16) дает
4/?Q = 3/2NN-2Ix (NF- N + N • FN) + 2 (NF2- N + N • F2N) +
+ N• FF-N + (ЛЕ-F) N• F• N -EN• F2-N. (13)
§61
МАТЕРИАЛ БЛЕЙТЦА И КО
171
Через главные значения и главные направления F тензору Q придается вид з
Q = £ (2A7J + №) + (eie2 + е2е, ) Q + А\А72 +
+ (е2е3 + е3е2) (+ (ЧА H^e,) (^ + \\n3Ni. (14) \ t’2 1'3 / \ V3 Г1 /
При обозначении e^ = vX приходим к представлению, полученному Ноулсом и Стернбергом
3
Q = X (2NI + №) еХ + (еХ + е2е() 4 + ^ +
\ со С] 1
s= 1 ' “-
+ (е2е3 + 6362) ( у-+ ~ I + (еЗе1 + е1ез) f + ~ V (15)
В работе Ноулса и Стернберга доказано, что матрица тензора Q удовлетворяет всем условиям теоремы Сильвестра при всех N для деформированных состояний, в которых
2-КЗ< ^<2+/3. (16)
В этой области деформирований материал — сильно эллиптический.
Не лишено интереса рассмотрение другого варианта материала Блейтца и Ко, соответствующего заданию |3= 1 в (1)
5=т4/1+^(/з~“-1)-3] • (17)
Тензоры Пиола и Коши для этого «гипотетического» материала представляются выражениями
Р = э0 =p(vR-Z3-“VrT), Т = р7Г,/2(Р-Е73-“) (18)
VR
и в линейном приближении приводят к уравнениям состояния линейной теории
<т5 = 2ре5, s= 1,2,3. (19)
По (4.3.5) и (4.5.5) неравными нулю оказываются лишь
^о= —у Ф1 = 4н> $оо=4иа/з"“
и по (4.11.16) представлению акустического тензора придается вид
Q=|p[EN.F-N + (2a+l)Zs-“NN]. (20)
172
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ. 5
При —1/2<а<оо, что соответствует —oo<v<l/2, det Q удовлетворяет всем условиям теоремы Сильвестра для всех N и всех положительных тензоров F —при любых деформациях; система уравнений для «гипотетического» материала — сильно эллиптическая.
§ 7. Энергия изменения объема и изменения формы
В. А. Пальмову (1976) принадлежит обобщение известного в линейной теории представления удельной потенциальной энергии суммой двух слагаемых, определяющих энергию изменения объема и «формоизменения».
Исходной предпосылкой, определившей успех этого предложения, послужила замена мер, деформации Коши —Грина и Фингера мерами
G+ = /;'G, F+^/^’F (/3 =/3 (G) =/3 (F)). (1)
Главные значения этих тензоров в соответствии с этим определением равны
Gt = Ft= Ц'/зСк= i;1/3Fk (Gk = Fk^=vk, k=\, 2, 3) (2)
и поэтому их третий инвариант оказывается равным 1 — они «нечувствительны» к изменению объема
I3 (G+) = I3 (F+) = GfGJGJ = (/7,/з)3 GiG2G3 = 1. (-!)
Аналогичные соотношения для меры Альманзи g и меры G-’ представляются выражениями
g+ = /3/3g, (G-i)+ = /,3/’G-i = (/3)-1AG-1, /3 —/3 (g) =/ф1. (4)
Удельная потенциальная энергия деформации э далее представляется суммой энергии изменения объема э, и энергии формоизменения эп
з=э1 + эп, э,== (КЛ), 3„ = an(/1(F+), /2(F+)). (5)
Тензор напряжений определяется по (4.3.2)
Т = 2/3-‘Sf • F = 2/3-*/г (Э1)Р - F + 2/3-’/2 (эп)е • F = Т, + ТП. (6)
По правилам дифференцирования в II, §§ 2, 3 имеем
з, (VT3)F = ± э; (/Л) I/^F-1
cf у 13 2
и первое слагаемое в (6) оказывается равным
Т! = э{(К^)Е. (7)
§7]
ЭНЕРГИЯ ИЗМЕНЕНИЯ ОБЪЕМА И ИЗМЕНЕНИЯ ФОРМЫ
173
Более громоздко вычисление Тп. Имеем
(эп)е = <| (F+) + 71 (F+) а/2 (f+)] e (F+jF+} ’' Ff
— использовано правило (II.4.12). По (II.4.9), (II.4.18) имеем также
(F+)f = (FZ3-‘/3)f = - j ^FF-1 + Z71'3 4 (Сп + СП1)
и теперь
р _ О Г-‘/г r~*/a f Г дэц , f дЭц 1 р ^11 р+.р________
j[a/1(F+) + /l( 'd/2(F + )J d/2(F + )
- 7 [sTHFTj + Л ФЧ 57^Ц] Л (F) Е +Л (F+ -F) е)
или по (1)
T”=2/l‘‘'‘n^nh + /‘<Ft)57>4](F^4E/‘(Ft|)“ -57ЛР) [f-4e'1<f+’>]} •
При аналогичных (4.3.5) обозначениях
= dh (F + ) + 11 (F + ) dl2 (F + ) ’ ^2==~ d/2 (F + )
и вспомнив определение девиатора тензора в I, § 13, получаем
Тп= 2Ц'/г dev (1P1+F+ + ip2+F+2). (9)
Тензор напряжений Коши оказался представленным суммой шарового и девиаторного слагаемых
T = 5f(/7;)E + 2 |/|dev(^F++^+F+2). (10)
Аналогично представление через измененную меру Альманзи
T = af(j/7])E+2 }/<|-dev(ll’i+g++^+g+2)’ (П)
причем подобно (4.3.8)
= ~ [a/i(g+) + /1 (g+)a/2(g+)] ’ ^+==a/2(g+) • (12)
Для задания эп может быть использовано выражение, линейное относительно Д (F+), /2(F+)
an = C1/1(F+) + C272(F+) (^>0, С2>0), (13)
174
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ. 5
подобное потенциалу Муни для несжимаемой среды [см. гл. 7, § 2]. Тогда
Тп = 2 ]/dev{[C1 + C2/1 (F+)] F + —C2F + 2[. (14)
Приемлемой аппроксимацией Э; может служить выражение з1(/Л)--/г(1пГЛ-1/'7;+1)) (15)
так что
Tj= -k(i;42- 1) Е, /, (Т; - —ЗА-(/;' =- 1),
? = (Т) = -£^,
О Ро
где q — среднее нормальное напряжение.
§ 8. Тригонометрическое представление уравнения состояния
Следуя I, § 13 представим тензор напряжений Коши Т его разбиением на шаровую и девиаторную части
Т = 4 Л (Т) Е + dev Т = 4 Л (Т) Е 4- Е (1) S= 1
— через o's обозначены главные значения devT. Деформированное состояние задается соосным с Т тензором логарифмической меры деформации Н. Аналогично (1) имеем
Н = 4 Л (Н) Е + dev Н = 4 Л (Н) + £ 1г'М. (2)
S=1
Здесь й' —главные значения devH. По (1.13.10) можно представить их формулами
hi= ]/"-y-sinip, h2 — ]/-^sin +
йз= ; Ж<|, (3)
причем по (1.13.4), (1.13.5)
& = - 4/2 (dev Н) = 4 [(й1 - й2)2 + (h2 - h3y + (h3 - =
Ч[(^У+ИУ+ИУ] <4>
gj ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 175
__использованы формулы (1.6.11). По определению девиатора h's - = hs — у Д (Н) = In vf — у In tytyty;
Д У|п--1, /i2^-'-ln — /1з"=4-1п—. (5)
Следствием (3) и (5) являются соотношения
sin гЬ = —-4=-In —— , cos ф--= In — (6)
V 3^2 1'.Л3 У §2 Ь'з
— второе получено по выражению /г2 после замены • ! । । 2л 'l 1 • । । V з , Sin гф + ут- ) =--------------5-31Пф + -г-5—COS1|5.
Формулами (6) определяется ф. Другое определение следует из (1.13.5), (1.13.9)
£3 = — (1г) Л sin34’= 4/3 (dey н). (7)
В применении к dev Т записи формул в I, § 13 приводятся к виду __ _________________
]/-y-sinv, (Д--- |/-y-Sin(%+-^) .
Д l//-Tsil! ’ 1x1 <J> (8)
б2 = — 4/2 (dev Т) — у [(di — ст2)2 + (<т2 — о3)2 + (о3 — nJ2], (9)
ст; = 4 (20, —о2 —о3), ст2 = 4-(2ст2 —Оз-ст,),
ст3' = у (2ст3—oy — CTs), (10)
а аналогом формул (6) и (7) являются соотношения
sinx = -y=-(2o1-<j2 — оД- cos% = -y=- (<т2-о3), (11)
G3 = -f-^y/zsin3x = 4/3(devT). (12)
По (6) и (11) имеем теперь
/i^cosco = ((T2-0-3) In^ + y (2с-!—<т2—<73) In—- , (13)
d U2V3
l/‘3g2G3sinco = (2o1 — a2-a3)ln^--(o2 — as)ln-^-. ‘ (14)
Здесь
®=x—Ф
176
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ. 5
— введенная соотношением (II.9.6) фаза подобия девиаторов тензора напряжений Коши и меры деформации Генки.
Возвращаясь к соотношениям (4.3.16), (4.3.12), имеем теперь
3 3
бэ = У t/^vk е!><н) У <т/; =
£•=1 А = 1 к
= е;ин) V о-Аб1пУ/г .--е'* <н> ukbhk, /г=1 *=1
а после выделения шаровых и девиаторных слагаемых тензоров Т и Н
з
[^+4 Л(Т)] [б^ + 1бЛ(Н)] =
= e'r (Н) £ a'kbh'k +1 еб <н> /, (Т) 6/t (Н), k=\
так как , i^=0, 28^=0.
k=\ к=\
По (3) и аналогичному представлению c'k имеем 3
У a'k8h'k = Vg2 |шп%созф+ sin (% + -yj cos (4 + 4r) +
+ sin f x + 4^ ) cos f ф + 'j 1 бф 4- Г sin % sin ф +
\ *3 / \ о j J I
i • I , 2л \ . /. . 2л\ , . f . 4л \ . I . , 4л \1 KiZTrl 4-sin ^x +-3-;sin И + tj +sln и sin У + M J
и после очевидных упрощений з
У = g-2sin®64+ cos®6/g-2) . (15)
k=i
Вариации удельной потенциальной энергии, рассматриваемой здесь как функция задающих меру Генки величин, теперь придается вид
бэ= б*; (МН), ф, = [|/1(Т)6/1(Н) +
+ у /О2 (У&зпшбф + созюб У g2) I . (16)
§91
КРИТЕРИЙ МОНОТОННОСТИ КОЛЕМАНА — НОЛЛА
177
Приходим к соотношению связи инвариантных величин, определяющих тензоры Т и Н
ад" 4<т> «о 4=7 е‘'sinM'
l'7>
По (II.9.4) и (II.9.12) определяющему уравнению devT него обращению придается вид
dev Т = ~соз‘з~Ф' У'— ]cos -I 34) dev Н -LUoOw т (
-2 [(dev Н)2 —^Eg,] sin®} , (18)
dev H ТБГзГ V< {cos “ + 3X) dev T +
+ 2]/^ [(devT)2-|EG2] sin®} . (19)
Они тождественно удовлетворяются вышеприведенными соотношениями.
§ 9. Критерий монотонности напряженного состояния Колемана — Нолла
Непрерывная функция f (х) называется монотонно возрастающей, если для любых двух значений х, х0 переменной х в области ее определения
[/(х) — / (х0)] (х —х0) > О, х^х0. (1)
Это определение обобщается на тензорные функции тензорного аргумента: Q (А) — монотонно возрастающая функция А, если условие
[Q (Ах) — Q (А)]-• (Ахт—-Ат) > 0 (2)
выполнено для всех тензоров Ах вида
A* =A-S, S#=E. (3)
Было предложено считать монотонность тензора Пиола Р (vr) критерием пригодности задания определяющего уравнения
[p(vRx)-p(vr)]. .(vRxr-VRz) >0
/ 0 ° \
!VRX-VR.S, S^=EJ. (4)
178
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ. 5
1. Покажем, однако, что при S O, О —ортогональный тензор, принцип материальной индифферентности (гл. 3, § 2) ограничивает применимость критерия (4) узким классом напряженных состояний. Действительно, согласно этому принципу при ортогональном преобразовании по (3.2.3) и (2.7.2)
РХ = Р О, Рх — Р= ]/ у Vrr-T-(O-E).
Критерий (4) представляется теперь неравенством
VrT-T-(О —Е) • (0т—Е) • VRr —Т • • (2Е —-О — От) =
= 2 [л(Т)--|т--(О+От)] > О и по (1.11.10)
у (О-фОт) = Е cos® + (1 — cos®) ее,
К (T)-i-T--(O4-Or) = (l-cos®)(/((T)-T.-ee).
Заменив здесь Т его представлением через главные напряжения и обозначив через углы оси поворота е с главными направлениями Т, приходим к неравенству
«ТА + о2а2 + сг3а3 >0, as - sin2 ys (5)
для всех
а1 + а2 + а3=1.
Это неравенство выполняется конечно при
miners > 0 или > 0, ст2 > 0, сг3 > 0.
Пусть далее
mincr3 = сг3 < 0, cTi —сг3 >0, сг2 —о3>0. S
Тогда (5) после исключения as приводится к виду
(ах —а3)а1Н-(а2 —ет3)а2 —|(j31 > 0, f (а1У сс2) =
На плоскости а2 прямая f (alt сс2) = 0 отсекает наосихс^, а2 отрезки
§9] КРИТЕРИЙ МОНОТОННОСТИ КОЛЕМАНА — НОЛЛА 179
и область / («J, сс2) > 0 расположена выше этой прямой, но обязательно в треугольнике
О ^^^0,5, 0 ^а2^0,5,
ограниченном положительными осями о^, ос2 и прямой сс1 + а2 = 0,5. Поэтому
J^<0,5, |о3]<0,5а/. + 0,5|а,|, oft + o3>0 (6=1,2).
Здесь показано, что определяемый неравенством (4) критерий применим лишь для таких материалов, напряженное состояние в которых характеризуется положительностью суммы любых двух главных напряжений
а1 + ст2>0, о2+о3>0, Og+Oj + 0
о независимо от характера деформации VR.
2. Это заставляет ограничить класс допускаемых неравенством (4) тензоров: в предложенном Колеманом и Ноллом критерии предлагается выбирать в качестве тензора S только чистую деформацию, иначе говоря, требуется, чтобы S был симметричным положительным тензором
S = ST, a-S-a>0 (6)
для любого вектора а#=0.
К (6) далее добавляется условие, что сопровождающий деформацию ортогональный тензор тот же в актуальном и сравниваемом с ним состоянии. Тогда
0 т
VRx = UXO = OVX, Vrx=Vx“‘OT, Vrx =OVX"‘, px = l/c/ O-Vx~‘-Tx r g
и критерий (4) записывается в виде
О.( Vх"-Тх— j/'-lv-1-?)- -(Vх —V)-OT =
= ( ]/уХ’VX-.I'X- ]/-(Vх- V) > 0.
Входящие в это неравенство тензоры соосны: Vх и V по условию, Т и V, поскольку среда изотропна. Вспомнив определение главных сил (4.3.12), имеем
__ 3 3
S 4з=1 к k=l
180
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ. 5
и предшествующее неравенство приводится к виду
Ju ~ ~ — ~~ +
+ (4x-^)fe><-y3)>0, (7)
включающему рассматриваемые ниже критерии (§ 13), подтверждающие привычные представления об изотропном упругом материале. Не следует думать, что описание поведения материала с помощью критерия Колемана — Нолла исчерпывается неравенством (7), так как при выводе этого неравенства использовалось предположение о совпадении главных осей актуальной и сравниваемой с ней деформации.
Из неравенства (7) следует, что если Vk = ик хотя бы для одного k, то t*^tn хотя бы для одного п. Иначе говоря, разным ик соответствуют разные tk. ик^1у t2, t3) — однозначные функции; уравнения (5.3.13), определяющие tk(vt, v2, v3), однозначно обратимы при выполнении критерия Колемана — Нолла.
В дифференциальной записи неравенства (7) учитываются лишь первые степени разностей — vs = Avs. Тогда
з зз
ЕЕ (8)
k=\ я S=1k=\ я
При переходе от строгого неравенства (>) к его дифференциальной форме следует иметь в виду, что приращение — ts, вычисленное с точностью до линейных относительно &vk слагаемых может оказаться равным нулю. Поэтому в (8) знак «>» заменен на «^».
Рассматривается также усиленный критерий монотонности, исключающий в (8) знак равенства,— тогда матрица
положительна; ее детерминант —сильвестров
з з
(9)
s = 1 fe = 1 я
или, сославшись на (4.3.16),
з з
ЕЕэ5^„л>о (ю>
S =1 fe=l 5 й
— симметричный тензор VVa положителен (положительны его собственные значения).
§101
КРИТЕРИЙ РОСТА МОЩНОСТИ
181
3. В линейно упругом теле напряженное состояние сравнивается с натуральным (когда оно отсутствует)
о / о \ о
VR = E, P(4VrJ = P(E) = 0, VRx = E + 8 = ES, S = E + b,
причем e —линейный тензор деформации, S = ST при малом е —положительный тензор. Тензор Пиола в линейной теории неотличим от тензора напряжений Т. Неравенство (4) по (4.7.2) приводится к виду
Р (Е + 8) • • 8 — Т (Е + 8) • • 8 = 8 • • Ts • • 8 =
= 8- -[%ЕЕ + р(С1Г' + С1П)]- *8~ кЦ (8) + 2рЛ (82) =
= (Л. —|— 2pi) (е3 <С-'- e2) 4-2Z (е;е2 Ц-е2ез + езе1) > 0 (11)
и выражает положительность (удвоенной) удельной потенциальной энергии э линейно упругого тела. Определитель матрицы коэффициентов этой квадратичной формы и его диагональные миноры равны
4р3 (ЗА.4- 2р), А-|-2ц, 4р(% + р)
и условия теоремы Сильвестра удовлетворяются неравенствами |х > 0, А-фр>0, АЦ-2р> 0, 3% + 2р>0.
Второе и третье неравенства — следствия первого и четвертого, так как ЗА-|- 2ц + р -= 3 (Хф- р), ЗА-)-2р ф-4р = 3 (АЦ-2р). Два неравенства
р>0, ЗА + 2р>0 (12)
— не только достаточные, но и необходимые условия выполнения критерия (4) в линейно упругом теле. Конечно, критерий (10) приводит к этим же условиям.
§ 10. Критерий роста мощности
При более общем, чем в § 9, задании сравниваемой с актуальной конфигурации следует ожидать обнаружения свойств материала, не содержащихся в критерии (9.7).
Примем
ООО
S = E+tD, D =D?, VR'=VR tVRD,
0 0 о
VRXT-VRT = rD VRT. (1)
Здесь т — параметр настолько малый, что S остается положительным тензором. Критерию (9.4) придается вид
о г ( 0 0 \ ’/ о \ л "TW
(T)-f (O)] = tD.VRt..Lp^VR + tVR.DJ-P(VR;J >0. (2)
182
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ. 5
Величина
о о / “Tj" о г ~7)
f (0) = D-VRT- -P(VR) — 1/ — D VRT• • VrT• Т = 1/ — D• • Т (3) ' ё * s
пропорциональна мощности напряжений в актуальной конфигурации, f(r) — в сравниваемой с ней. В линейном по т приближении
/о о \ /о х / о \ о
Р (VR H-tVR-DJ = Р у VRJ-фтР у VRJ0 • • D-VRT. (4)
VR
Неравенство (2) после деления на т2 и перехода к пределу т—>-0 принимает вид квадратичной формы шести переменных ~ &пт 0 0
(0) = D• VRT• • Ро --D-VR'^O. (5)
VR
Заменив здесь Ро его представлением (4.9.11) и выразив в нем Р VR
через Т, получим
(O)=D..(TE + RSTR*)..D +
+ D • • [TF • • (R + rsRf) • D • VRT) ].
После преобразования
(R^ + r.R^r^-D.fRT =
= (Rp-S + r sRf) gt”Rmr' • • D = (F • RMERm + rsFr*) • D
неравенство (5) оказывается возможным записать в виде
У^-f (0) = D--В-D>0, (6)
причем тензор четвертого ранга В оказывается равным
В = ТЕ Щ R/TRS Ц-ТР -(F -RmEROT |-гДг4). (7)
Имеем
D--TE--D=/1 (D^/JD), D • • R5TRs • D = DmsD^Rq • • T = 7j (D2 • T).
Далее, TF заменяется компонентным представлением, так что
D- •T^/R?RpRsRf -(F.R'»ERe, + riFr5)- D =
= Dpqx^ (DsmY • • RtR“ + Dt„F • • R,Rm) =
= 2DMDifflT^F-.R,R'*
КРИТЕРИЙ РОСТА МОЩНОСТИ
183
§ 101
— использовано правило переставимости x9Pst=xP4ts и симметричность D. Неравенство (6) приведено к виду
=4 [Л (D) Л (D • Т) - Л (D* • Т)] + х^ D pqD smgmnGnt > 0
с заменой на > для усиленного критерия.
В ортонормированном базисе главных направлений тензоров Т и F
3 3 1 U2 /71 ~ /1
Р=У^еЛ; Гп= п’
s = l s = l I и, R
I 1, п = t, 33 '°'
Gn/ = \ 0, n^=t, D =
и поэтому
Л (D) I. (D-T)-7t (D2-T) = i Dhk 3 Dssvs- £ a, 2 D2,-k = 1 s= 1 s= 1 k — 1
= ((Jj + CT2) (T)11T)22 — 7)22) + (a2 + a3) (T)22Z)33 — 7)2з) +
+ (o's + °'i) (D33Dn — D31).
Во вторую группу в (7) войдут слагаемые, соответствующие неравным нулю 12-компонентам (4.8.9), (4.8.10) тензора упругостей TF
Е + DnD22 (vf + vl-^-U
flsl ovq \ dvi dv2 /
I Г) Г) (T.2 dg3 | 3 ^2 . n n /.,2 dgl . 2 d<X3 \
+ ^22^33 ^2 dvl +^3 dvl ) + 4 dv, + Vi dvl j +
+ (vf + vl) + Dl3 (vl + V2) + Dl> (V2 + V2).
Vl — V2 V2—V3 C3 —
Квадратичная форма (6) шести переменных
D$s s 1>2,3; xt— D12, x5 — DM, xe — D31
184
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ. 5
теперь может быть записана в виде
Id- в--d =
3
x2svl
dos dv2s
2Л3
<9<72 . о dc>i . 1 , . . .
“Гг~ T ^2 уг + у (а1 +°s) +
OPl dv2 2
+ у (a2 +a3) +
dv3 2
+-^1~Гг + 4 (tfs+o'i)! +
dvi z
+ %42
Г..2 d°3 u2 dv2
V2 -^1 [ 3 dvl
4—^I(fi + fa) — +
_ Pi — v2 2
<?2— <T3
_ ^2 — ^3
+ •^3
(vi + v!)- 2-(ст2+О'з) +
--1(^з + у1) 2 (аз+а1) •
Уз—Pi 2
(9)
J- ^1^2
vl
В. этой записи главные напряжения заменим далее главными силами
vl
до2 dvl
vi до2 _ J_ v д t2 = 1 f 1 dt2
1 gv2 2 1 dvt v3vr 2 \ v3 dvi
1 д2э -1/ g д*э
v3 dvx dv2 V G dvx dv2 ’
<9ctj dvl
1 d
TT^i У-------~
2 1 ouj p2p3
и т. д. При обозначениях
x;=iZ-^-vA (s= 1,2,3), a-a 1 <10)
Л=4—Ift’i+i'D-y (Ci+tf2) и т. д. У1 —v2 £
приходим к рассмотрению квадратичной формы
ф=4Е х^+А1Х*+л^ь+А^- о1)
§ 10]
КРИТЕРИЙ РОСТА МОЩНОСТИ
185
Образующая ее матрица имеет структуру
д2э д2э д2э
dvl dvi dv2 dvt dv3
d2s д2з d'-э Г
dv2 dvt dvl dv2 dv3 v
д2э d-э д'э
dv3 dv± dv3 dv2 dvl
Аг
( 1 A2
(12)
и условие положительной знакоопределенности формы (10), т. е. усиленный критерий монотонности, соблюдается при выполнении условий
д2э л д2з д2э ! д2э \2 . п
--г > 0, --5---; 35 —- > 0 И Т. Д.
dvi dvi dvl \dVidv2J
повторяющих (9.10), и условий
Дг>0, Г = 1,2, 3. (14)
В другой записи неравенствам (14) придается вид
Aab = Aba = (v* + vg)К + <ть) >0, (15)
va—vb
причем а, 6=1, 2, 3 и а^Ь.
После тождественных преобразований, в которых отбрасываются некоторые положительные множители, (15) заменяется ему эквивалентным неравенством
(va-vb) (ott-ob) > 2аь -2~^Г (^ + ^) (а^Ь), (16)
Va + 3vb
причем его левая часть положительна при выполнении ВЕ-кри-териев (4.12.12), а в правой сгь заменимо по (15) на <та. Достаточным условием выполнимости этого равенства является наличие в паре (ста, аь) хотя бы одной неположительной величины.
Все три неравенства (14) выполняются поэтому при наличии в каждой из пар (ff1; ст3), (о2, ст3), (ст3, оу) хотя бы одной неположительной величины, иначе говоря, все неравенства заведомо выполняются, если при выполнении ^^-критериев два из трех главных напряжений неположительны.
Подобное же рассмотрение для главных сил приводит к неравенствам
<17>
186
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ. 5
В гл. 5, § 13 выводится неравенство упорядоченных сил (6F «ordered forces»)
(va-vb)(ta-tb)>Q (a^b). (18)
При соблюдении этого критерия достаточным условием выполнимости неравенства (17) является наличие в паре (ta, ib) хотя бы одной отрицательной величины — из трех главных сил по крайней мере две неотрицательны.
Знаки главных напряжений и главных сил одинаковы, и поэтому всегда реализуется или неположительность, или неотрицательность двух из трех главных напряжений.
Итак, одновременное выполнение и б^'-критериев характеризует выполнение всех неравенств (14). Обратное заключение не имеет, конечно, места.
§11. Эмпирический критерий
Основываясь на уравнении состояния
т"2/1[е('-1е+/-Д)+(1>
непосредственно получаемом после замены F2 (4.2.4) с помощью тождества Гамильтона — Кейли (1.9.22), можно неравенствам (10.14) придать вид
+ + ит. д. (2)
& \ ^‘1 U * 2 / \ ^‘2 ” ‘ 3 /
Выполнение всех трех равенств гарантируется соблюдением условий
г-#->0, -§->0, /2^- + /3^<0, (3)
dlx dl2 ’ 2 д/2 3 <?/3
называемых «эмпирическими критериями». Конечно, это только достаточные, но не необходимые условия выполнимости неравенств (10.14).
а) Для упрощенного (две постоянных) материала Синьорини по (2.12)
3=|/T;[9Z + 5p-2(3^ + p)^ + (Z + p)(^y]; (4)
величина в квадратных скобках, равная р в натуральном состоянии, остается положительной при р>0 и при любых /2//3. Это следует из неравенств (2.14) и условия знакоопределенности
(9Л-(-5р) (ХДр)— (ЗХДр)2 = 4р (2ХДр) >0, 2Х-|-р > 0,
§ 111
ЭМПИРИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ
187
так как при 2^Ц-ц < 0 имели бы одновременно 3^ + ц<0, а Хф-ц>0 для значений v в интервале (2.16); корни /2//3 величины в скобках оказались бы отрицательными.
Первое из условий (3) выполняется со знаком равенства. Имеем вместе с тем по сказанному
ЛД + 7з [(^+И)т|-2(ЗХ+И)А + 9Л+2И =
= |(э+ц)>0 (5)
в противоречие с третьим неравенством. Это делает сомнительным пригодность эмпирического критерия (3), но не материала Синьорини.
б) Для материала Блейтца и Ко в упрощенном варианте (6.3)
дэ ._ /. г дэ 1 7g , дэ , дэ 1 1/, __ с\
Э77>0’ —G>°
— третий критерий (3) также не соблюден. Вместе с тем по (10.10) и (6.5) условия (10.14) приводятся к неравенствам
1 , 1 2 112 11.2 /с.
—+ —— + —>^1^3, -2+->tW3) (6)
V1 V2 3 Vz V3 3 V3 V! 3
очевидно, соблюдающимся в кубе vs 31/s» 1,25.
в) Малонадежны и противоречивы суждения о пригодности или непригодности эмпирических критериев для материала Мурнагана. По (3.2)
4^- = (/1-3)^ + 2И(/1-1) + 1/(/1-3)Нт(Л2-2/1-/2) + |, . дэ п п /г л дэ п
4 д12 —-“2ц — — т(11 3), 4-^- — Д
и критерии (3) в натуральной конфигурации приводят к неравенствам
4 ц + ~ > 0, 4ц + «<0, 6ц + и>0,
или (при ц > 0)
1 < — Л< 1,5.
4р.
Для двух сортов стали «Hecla» по акустическим измерениям (R. Т. Smith, R. Stern, R. W. Stephens, 1966) были получены Данные (в 1012дин/см2)
Hecla 37 %=1,11±0,01, у--0,821+0,005, / = —4,61+0,65,
т =—6,36+0,46, п ——7,08±0,32,
188
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ. 5
Hecla 17 Л== 1,10±0,01, р = 0,820+0,005, I = — 3,28±0,30,
т = —5,95±0,32, п = —6,68+0,24.
По ним трудно высказать суждение о выполнении или невыполнении критериев (3).
§ 12. Выпуклость удельной потенциальной энергии деформации
Критерий монотонности Колемана — Нолла можно связать со свойством выпуклости удельной потенциальной энергии деформации э, как функции инвариантов Ik (G) меры деформации Коши —Грина или Фингера.
Для разъяснения понятия выпуклости нам достаточно ограничиться рассмотрением дважды непрерывно дифференцируемой функции <F (х); она выпукла (книзу), если ее первая производная— монотонно возрастающая функция /(х). Введя параметр тсз[0, 1] и приняв
х (т) = х0 + т (хх — х0), (1)
по (9.1) имеем
[/ к(т)) — f (х0)] [х (т) — х0] = т (Xj -х0) [/ (х (т)) — f (х„)] > 0, = (2)
Из этих равенств следует
rff (х, т) _х^ == f __х^ (3)
и интегрирование по т позволяет представить выпуклую функцию через монотонно возрастающую производную
F(x1)—^(х0)—/(х0) (Xj — х0) = С’Ф)) —f (*о)] (х(т)-х0). (4)
о
Для функции тензорного аргумента этому определению сопоставляется соотношение
э (vRx) — э (vr) — Р (vr) • .(vrtX-Vrt) =
= J7 [р ( VR (т)) -Р (vr)] • [vRT (Т)-Vr]> 0, (5) о
причем здесь по (1)
VR (т) = VR + t(vRx-Vr), (6)
§ 12] ВЫПУКЛОСТЬ УДЕЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ 189
а условию хх — х0 > 0, входившему в определение монотонно воз-fl о
растающей функции, сопоставляется требование VRX = VR-S, S = ST — положительный тензор.
о о
Поменяв в (5) VR и VRX местами, по (5) получим
3(vr)-3 (VRx) > p(vRx). .(vrt_Vrtx) (7)
и сложение неравенств (5) и (7) приводит к первоначальной формулировке (9.4) критерия монотонности.
/о о \
Если отсчетная конфигурация натуральна VR — Е, VRx = Sj, то по (5)
э (S) > э (Е) (8)
— в натуральном состоянии удельная потенциальная энергия минимальна. Это уже было выражено неравенством (10.13), определяющим выпуклость дважды дифференцируемой функции.
Еще одно представление критерия монотонности можно получить, заменив в (9.4) тензор Пиола его выражением через удель-/ о \ ную потенциальную энергию деформации a^VRJ.
Следуя (10.1), полагаем
ООО VRX VR S VR-(E + t]D).
причем т] —малый параметр. Сославшись теперь на разложение
/° о\/о\ о
AVR + 'nVR.D,)-^'VRj-r3() ••i]D-VRr +
Vr
+ |n2D-VRT.-30 0 •-D-VRT-|-... —a (vr) ф-
VR VR
0 ,0 0
4-T]VRTP. D + ^ n2D VRT Po D VRr+..., (9) VR
получим ранее известное соотношение (10.3)
’ л / о 0 \ 1 0 Г~с~
_a(VR + T1VR.D)]ii=o = VRT. / Vr-T--D =
= /^(T-D). (10)
Вместе с тем
_ / 0 \ / 0 о \ / 0 \ о
PyVRxJ P VR qVRD P VR X pD-VRr P0 +...,
VR
190
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
[ГЛ.
так что по (9)
{^[pCvrx)-p(vr)].(vrxt_vrO}i)=o =
Критерий монотонности (9.4) представляется неравенством
\/2 / 0 0 \
э vR+1)vr.d >о.
di]2 4 1 Jn=o
(И.)
§ 13. Дополнительные неравенства нелинейной теории
Выводы, получаемые из рассмотрения условий эллиптичности уравнений равновесия (гл. 4 § 12) и монотонности напряженного состояния, позволяют сформулировать некоторые частные критерии («дополнительные неравенства»), согласуемые с ожидаемыми свойствами напряженного состояния в упругой изотропной среде.
1. -неравенства (tension-extension, extension-tension).
Пусть два из трех главных удлинений сохраняют в сравниваемом состоянию значения, которые они имели в актуальном состоянии. По (9.7) приходим к ^«^-неравенствам для главных сил
(^-v,-)> 0 (i -1.2,3, vr-=vf, j^i). (1)
Такие же неравенства выполняются для главных напряжений
(о? —оу) (t^ —ty) > 0 (t -1,2,3, (j=#i). (2)
Действительно,
tx = v.1v3a1, — v.2v3o^,
H—oj (t^-cy) ==-~^ (Tx — О K['--c-y),
так как в сравниваемом состоянии v.> ----v2, v$--=v3.
В неравенствах (1) и (2)
ts = ts(yx, v.2, v3), os -- os(vx, v2, v3) (s — 1,2,3). (3)
Первая система уравнений однозначно разрешима относительно су
(ti, t2, t3), (4)
так как по (5.9.10) отличен от нуля ее якобиан
det j -^-U det |^-|> 0.
|| dvk || || dvk dvs ||
§13] ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ Ю]
Это позволяет заменить (1) -неравенствами
i= 1,2,3; q = j^i. (5)
Но нет оснований утверждать, что вторая система уравнений (3) также разрешима относительно vk. Например, уравнение состояния упругой жидкости (3.8.3)
- о2 = о, - — р (р0 ) = — р = f (/Д)
\ г и / ^1^2 .3 /
может быть разрешено относительно произведения UjV2v3, но не каждого из vk по отдельности. Иначе —с главными силами
ii ^I3f (KA).
Из последнего уравнения ]//3 определяется через произведение это позволяет определить ц;- формулами вида
/=-1,2,3. (6)
ч
2. Уже упомянутое в § 10 беГ-неравенство упорядоченных сил
>0, v^vk, i —1,2,3, (7)
выражает привычное представление, что большей силе соответствует большая деформация. Его вывод основан на рассмотрении сравниваемого состояния, в котором
v?=-v2, v^ = vlt (8)
и на соотношениях (4.3.13), согласно которым
Д-=^(»3, v2, v3), = t (t>2, и3, 0!)=-42.
Теперь неравенствам (5) может быть придан вид
(^2 — Q (v2 — V!) > 0, иг^и2
и аналогично получаются два других GiF-неравенства. Остается проверить, что преобразование перестановки индексов (8) не нарушает условия (9.6) вывода неравенства (9.7). Действительно, о о
VRX OV VR SO VS, V-XVX = S, Ho здесь
Vх = е1е1о2 + е2е2о3 + е8е3о1(
S = 4- е2е2 + е3е3 = Vх • V’1 = ST
1 1 уг 1 2 2‘ v2 3 3 v3
И S = Sr —положительный тензор, что и требуется.
192 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА [Гл. 5
3. В параллель с 6<F-неравенствами приводятся ЗЭ^-неравен-ства (4.12.12)
(оу — ак) (у,- — vk) > 0, i^k', 1,6 = 1,2,3, (9)
следующие из условий сильной эллиптичности уравнений теории упругости. Их представления в виде
Щ —Па
2 2
U1 — у2
> О,
О’о— ^3
~2 2
v2 — v3
>0,
g3---ffl
2 2
V3 —fi
(10)
0
можно выразить, основываясь на уравнениях состояния (4.3.9), также в форме
дэ . дэ ~ г, -лт~ + Vs тт~ > ° д1х 1 5 д12
или
I,
дэ . 13 дэ q
dh + v2tvl д12
6=1,2, 3.
Vi^Vk,
(И.)
Аналогичное вычисление по (4.3.13) для неравенств (7) приводит их к видам
(Z1 /2) (ui f2) '—2(V! °г)2 [ + (^ иА) д/2 —
=2 (^ - v.2)2 [Д + (v? + vl + уху2) ~ -
__ 1 / , дэ . , дэ \ \ 2 д12 "г 3 dl3 J
(12)
Очевидно, что неравенства (11) и (12) подтверждаются эмпирическими критериями (11.3); обратное, конечно, не имеет места критерии (11.3) отнюдь не следуют из и б^"-неравенств. Напомним (гл. 5, § 10), что одновременное выполнение этих неравенств гарантирует справедливость неравенств (10.14).
4. Как пример ^-неравенств рассмотрим случай всестороннего растяжения или сжатия: vf = = Vх. Если неискажен-
ная конфигурация — натуральная (р~ 0, / = 0, о=1), то по (1) и (2)
pxgx •> о, > 0
— растягивающие напряжения (силы) увеличивают, сжимающие — уменьшают линейные размеры.
Но если искаженное состояние ненатуральное, то неравенства
(рх-р) (vx-у) >0, (tx-t) (ох-у) > 0
§ 13]
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
193
неэквивалентны. Действительно,
(/к _ /) (vx —v) — (Vх — у) (vx*px — v2p) = = (Ух — у) [ух* (рх —
— (ух — у) (рх — р) Ух2 +
р) + /7 (уХ2 —У2)] =
(рх1р)Т (РХ - Р) (.Vх - «) (.Vх + У)1 ,
(рх - р) (Ух - У) = (/ХУ2 - ^Ух2) -
и2уХ
- —(Vх - V) [(iх - t) V* -1 (ух2 - У2)] = ->2-i
=--^(vx-v) (tx~ v2vx
/) У2—
~(tx~t) (Ух-У) (ух+у)\ ч
(13)
При растяжении (р > 0) второе равенство (13) — следствие первого, в состоянии сжатия первое —следствие второго.
А- И. Лурье
Г л а в a 6
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ
§ 1. Аффинное преобразование отсчетной конфигурации
В гл. 4, § 15 было приведено доказательство теоремы Эриксена о несуществовании универсальных, иначе говоря, сохраняющих форму при любом задании удельной потенциальной энергии деформации э(11У /2, /3) решений задач нелинейной теории упругости для сжимаемой среды при преобразовании отсчетной конфигурации в актуальную, отличном от аффинного.
В этой главе повсюду, если не оговорено противное, предполагается отсутствие массовых сил; напряженное состояние создается поверхностными силами. Постоянный тензор напряжений Т при этом условии определяется уравнением состояния (4.3.4), главные силы и главные напряжения равны
/ = (s^l,2,3), (1)
„ _ vs f 9 /1/7- дэ vl Г дэ п , дэ 11
7з Э77+ KT7 1.57? + (/1 Vs) dl2 J)
(s= 1,2,3). (2)
Простейшее аффинное преобразование —преобразование подобия. Для него
R /Д, VR = Kr% = KE, F-№E, (s — 1,2, 3) (3)
и, приняв
э(щ, v2, vs)^f (о), (4)
получаем
£ = = + + = t = (5)
Согласно (2), в состоянии всестороннего сжатия зависимость давления (р =—as, s= 1,2,3) от плотности определяется соот-
ношением
—(у)=—-т-f ((-У/з\
Зг- / ; Ро др ' \ \ р ) )
(6)
$2]
ОДНООСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ СТЕРЖНЯ
195
Примерами аффинного преобразования служат задачи об одноосном растяжении (гл. 6, §§ 2—3), простом (§ 4) и чистом (§ 5) сдвиге.
§ 2. Одноосное растяжение стержня
Ось растягиваемого призматического стержня совмещается с осью ОХ; тогда о2—о3 = 0. Главные значения меры Фингера обозначаются и2, а2у2, а2о2; ее инвариантны равны
/i= (1 ф-2а2) v2, /2 = (2 4-а,2) а2г>4, /3=а4у6. (1)
По (1-2) имеем
„ о Г 1 дэ . о дэ . „ . дэ 1 ,п.
а, 2Й^Й7'2Ж^'7'<|’ <2>
С2=2г’[^+(1+с42)^+у2а2ж]==М(а2’у2)=0- (3)
В отсчетной натуральной конфигурации F = E, о = 1, а2= 1; в ее окрестности
ф(а2, v2)=[(a2— + ••• (4)
По (3), сославшись на (4.7.12), (4.7.13), имеем
. I дэ , 2 дэ , о Г д2э . 5а2/Е=Е ) й/г’1 д!3 д11^~
Л2д Л2д
д/2 д1з
+2"' <1 + а^г, + 2»= 0 + »’)5^7 + 2 айт-/»1 }„,
а= 1
। ol (-L
<4 ' dls) 'rZLV6
(5)
и аналогичное вычисление дает
<«»
По (4) получаем теперь
ф(а2, у2) =|[(ЗХ + 2р) (Ч- 1) + 2 (Х + р) (а2- 1)]+ . . . (7)
В линейном приближении, обозначив 6,, б2 продольное и поперечное относительные удлинения, имеем
4=1+26,, +=1т26г
и ПО (7)
(ЗХ+2р) б, + 2 (к + р) (б2 - 6J + ... О, Ь = - v (8)
этим определяется коэффициент Пуассона в линейной теории.
7*
196
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I,
Поскольку ( ^1^=4= О можно, сославшись на теорему о неявных функциях, утверждать, что по крайней мере в окрестности натурального состояния уравнение (3) однозначно разрешимо относительно а1 2; подстановка этого значения а2 (у2) в (2) приводит к выражению (у) —диаграмме растяжения образца.
Применение критерия монотонности (5.10.13) приводит к более общему заключению. Полагая v2 = v3=v, имеем
Это уравнение разрешимо относительно v при условии
rd2g(t>n у2, у3) , д2з(г>1, У2, У3) dv ~ Qvl dv3dv2
(Ю)
По теореме Сильвестра в применении к детерминанту матрицы (5.10.13) имеем
Г дЪ
dv3
д-э dv2dv3
Из этих неравенств имеем
д~э dvl
0,
0.
откуда следует, что при любом знаке смешанной производной
д2э д2э \
dvl + dv2dv3)Vz=V3=v
0
и по (10) уравнение (9) имеет решение ц = цп что и требуется.
§ 3. Одноосное растяжение в материале Синьорини,
Блейтца и Ко, полулинейном материале
1. Выражение тензора напряжений (5.9.2) после замены А через [1 и v по (2.8) при с = 0 (упрощенный материал Синьорини) приводится к виду
k2jTT=(v^ + 4^ )E+(1~2v-h)A- (1)
Здесь А —тензор деформации Альманзи, /£= (А). По (1-7.8)
A=4(E-F-1), А5 = 1(1-ц-2), -оо<А5<1, (2)
§31 ОДНООСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ В МАТЕРИАЛАХ 197
причем Л3 — 0 в натуральном состоянии, а границам интервала (— сю, 1/2) соответствуют бесконечное сжатие и бесконечное растяжение стержня.
В одноосном напряженном состоянии Л2^=Л3, Ц=-А1~1~2А1 01 = А, (1 - v) —| Л? - Л,Л2 + 2v Л2 + Л2, (3)
о^Л, + 4 ЛН Л2 - А1 = 0. (4)
Корень квадратного уравнения (4), меньший 1/2, определяется формулой
Л2=4(1-Д1/2)> A = A2 + 4v + 1
и Д для допустимых в теории Синьорини значений v (5.2.16) неотрицательно. Главная сила
/1 = 1^1 = (1 — 2Л2)~1о1 = Д“1/2 щ по (3) представляется выражением
^=t^[A-1-2v+a^ о+гг+А-л?)]. (5)
Соответствующая бесконечному удлинению Л1 = 1/2 разрывающая образец сила Q = tlS0 оказывается конечной (So — площадь сечения в натуральном состоянии) и равной и при всех допустимых v:
-|<v<4’ (6)
Сжимающее усилие, доводящее длину стержня до нуля (Лг—+ оо), бесконечно.
2. Для материала Блейтца и Ко при одноосном растяжении (с2 = Сз = 0) п0 (5.6.5)
//3 = щп2 = и2-2, v2= nr4, l//3 = j/ti1, 4=1—»Г5/2> (7)
Г
Оц —монотонно возрастающая функция, отрицательная при сжатии (0<щ<1) и положительная при растяжении (Vj > 1). Иначе ведет себя главная сила t±
1/ ==12зо1 = п1-1/2 —щ-3, -д^= -|^(1 _бщ-5'2), (8)
Монотонно растущая от — оо до 0 при сжатиях, а при растяжениях имеющая весьма пологий максимум if«0,58р при
198
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
v1 = «2,1. Любому значению = соответствуют два
> 1: одно vt < vf, другое vt > v£. Этим иллюстрируется действенность критериев монотонности (5.10.13) не во всей области значений v, а в окрестности (в этом случае, однако, достаточно далекой) натуральной конфигурации.
3. Для полулинейного материала при одноосном растяжении по (5.5.5)
о1 = 4[(^ + 2р)61 + 2б2], о2 = -^г[Хб1 + 2(Х + И)62] = 0
V2 \и)
(6,=+-1)
и как следовало ожидать
«—w''-”"'-’ (10)
JL»±2Be 1£в t, = £(>,, £„!№ +ЭД (]1)
1 v! ^+Р 1’2 k+H
как в линейной теории. При одноосном растяжении призматического стержня направления главных осей меры деформации сохраняются, поэтому
0х = Е, VR = VRT = V, Vr = VrT = V-1, Р= |/£ VrT-T = w1V-1-i1i1/1 = i1i1Z1;
как можно было предвидеть, — (11)-компонента тензора Пиола. По (5.5.1) имеем
Э = 4 * (6х + 2б2)2 + р (6? + 26а) - 6? [4 А (1 - 2v)2 + и (1 + 2v2) ] =
__-L X2I7 _
2 1 2 Е
Далее по (5.5.11), (5.5.13) находим
1 ,2 0 л / .2 \
= э +у Д((Р• Р'9V2) = + Z], VR (5х)р - ij, + tt)
и, как ожидалось,
g=4+i, +=(4+i)+=(61+i)+=o+i.
Это вычисление приведено с целью показать применение принципа стационарности дополнительной работы в простейшем случае.
§4]
ПРОСТОЙ сдвиг
199
§ 4. Простой сдвиг
Задаче о сдвиге принадлежит в нелинейной теории особое место —ею дается неосуществимое в линейной теории объяснение предсказанных и экспериментально обнаруженных явлений в изотропном упругом материале (эффекты Кельвина — Вертгейма, Пойнтинга).
Простой сдвиг задается линейным преобразованием, осуществляющим превращение прямоугольного поперечного сечения ABCD параллелепипеда в параллелограмм AB'C'D'; разыскиваются поверхностные силы, осуществляющие эту деформацию.
Преобразование координат as отсчетной, натуральной конфигурации в координаты Xs актуальной и обратное преобразование задаются соотношениями
R = isX's = r4 iLscz2, г = isas - R — ijsx2, s = tg у — — const
(оси X и Y имеют направление сторон AD и АВ прямоугольника, ось Z нормальна к плоскости сдвига). Как говорилось, поперечное сечение а? = const параллелепипеда —прямоугольник ABCD — становится параллелограммом с острым углом при вершине л/2 — у. Получаем
VR = E + i2ijS, Vr = E —iJjS,
VRr E i|i2s, VrT = E —iJaS.
Меры Фингера и Альманзи оказываются равными
F = VRT. VR = Е + (ij2+ i2i,) * + hM2, (2)
g = Vr- VrT = Е — (iri2 + i2it) s+ i2i2s2,
Z3(F) = 1, /t (F) = 3 + s2 = /2 (g), 71(g) = 72(F) = 3 + s2 (3)
и no (4.3.4) уравнение состояния приводится к виду
t-2[e^,+5;f+^</-e“f)-f] = 2[(^+2^+^)e+
+ (''+ 'л) s+ 'Л (iri+Tr,)s>+ 'Лзт/ф (4) Полагая
9(1., /2, 73) = Э (3 + S2, З + Л 1) =Д(52), имеем
2№+Й“2да=^5’’- (5>
200
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
При обозначениях
t = 2 2^ + -^ (6)
\d/i д!г 1 dlsj , v ’
компоненты тензора напряжения в декартовых осях (его физические компоненты) представляются выражениями
H=H + 2s2^, /22=/, /33=/ + 2^52,
/12=:p(S2)S, /23 = /31 = 0.
Выражение t12 делает естественным наименование и (s2) модулем сдвига; по (4.7.12) р (0) = р —модуль сдвига линейной теории. Заметим, что t (s2) — четная функция, равная по (4.3.22) нулю при 5 = 0. Отметим также универсальное (не изменяющее формы записи для всех материалов) соотношение
- Z22 = 2s2 = s2p (s2). (8)
При s =0= 0 необходимым и достаточным условием равенства /11 = /22 является Z12 = 0.
В упругой жидкости Z12 = 0 и равенство соблюдается, но в твердом упругом теле наличие сдвига неизбежно создает касательное напряжение Z12 и сопровождается неравенством t22— явление, необъяснимое линейной теорией (эффект пропорционален s2). Осуществление простого сдвига требует приложения нормальных напряжений по всем граням параллелепипеда, в их числе напряжения /33, нормального плоскости сдвига. Эти напряжения, пропорциональные s2, непредсказуемы линейной теорией; не учитываемые этой теорией слагаемые Z12 имеют порядок не ниже в3. Универсальное свойство деформируемого твердого тела, выраженное соотношением (8), представляет отмеченное Пойнтин-гом явление, необъяснимое в линейной теории.
Среднее нормальное напряжение также пропорционально по крайней мере $2
(/И + /22 + /33) = / (S2) '1 / - (52) + 2 S2. (9)
О О \ U1 2 /
Кельвин предвидел, что оно должно быть отлично от нуля.
Вектор нормали в актуальной конфигурации N по (1.8.8) представляется формулой
N = (п • G-1 • п)_ i/2 Vr-n = (1 — 2sntn2 -НФ2) -1/2 (n — i2rtjS), (10) так как
G-1 = VrT Vr = Е — (i1is + i aij) s + iJjS2, n-G"1-n= 1 — 2sn1«2 + HiS2.
§41
ПРОСТОЯ сдвиг
201
Вычисляемое по (2.2.6) нормальное напряжение на любой площадке оказывается равным
<tn = N-T-N =
=/4-2(1-2snln2 + -1 -g-2 + nls* . (11)
В частности, на гранях п =н i, (иначе говоря, АВ', DC'}
°'.=rbte + (2+s’)^+<1 + »!)^] (12)
и, конечно, при n = i2, n i3 нормальные напряжения равны Z22, i33. Вектор касательного напряжения rN определяется по (2.2.7)
Tn = N- T — N<Tn=2(1— 2$п1п2 + s2n2) ~3/2 ^ (1 — 2.511^ 4-
+ s2nl) Г(nxi2 4- n2ix) s 4- «3*Ч <57- —
dS~ °'2,
— [«iii4-(«2 —«15) i2+ «з«з] (2«i«2s-£-wis2-£+ • (13)
Конечно, обнаруживается отсутствие касательных напряжений на площадках n = i3. При n = i1, п- i, получаем
^x=(l+s2)-3/2(i24-iiS)six(s2), | = (14)
Ч = i1s|£ (s2).
Одному из главных направлений е3 = i3 тензора Т соответствует главное напряжение /33 = о3; два других направления получаем, приравняв нулю правую часть (13) (при п3 = 0, Tn • Ц = 0, tn • i2 = = 0). Приходим к двум уравнениям
M--4J № + ni (ni + n2s) («18 —2п2) = 0, 1 4-п2 (/ijS —2п2) = 0, (15)
в которых га1( п2 — проекции на оси in i2 одного из главных направлений ех или е2 тензора напряжений Т
ei: П1 = соза, n2 = sina; е2: /гх = — sina, /г2 --costz.
По второму уравнению (15) находим
ctg 2а — $ или sin 2а — —-2s - , s 2 J/S2 + 4
cos 2а ----(e — + 1),
]/s2~r4 7’
202
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
причем, конечно, удовлетворено и первое. Можно принять л/4 < а < л/2 при е = 1 и Зл/4 < а < я при е = — 1. Получаем .
8 = 1,
1 / K~s2 + 4 —s VA
п = е,: е, = cos а = —— ' I
1 \ 2/К2-|-4 /
s2-p4 +s
2 /
(16)
2
ег = sin а =
1 2
e = —1, n = e2: e2 = — sin a, e2 — cos a.
Главные напряжения Oj, о., находим подстановкой этих выражений в (11).
§ 5. Чистый сдвиг
В задаче о «чистом сдвиге» осуществляется напряженное со-। стояние
Т= (i2i3 + М2) т> т = const >0, (1)
а разыскивается преобразование отсчетной конфигурации в ак-Н дуальную, иначе говоря, главные значения vf, п2, п| меры Фин-гера F. Конечно, эта задача, связанная с обращением уравнения lh состояния материала, значительно сложнее, чем «простой сдвиг». ^В актуальной конфигурации рассматривается кубик, нормали ! к граням которого образуют ортонормированный триэдр направ-лений еп е2, е3; напряженное состояние в нем задается тен-t зором
1 Т= т (е2е2 — е3е3) (2)
— растягивающие напряжения т—по направлениям е2, сжимаю-щие этой же абсолютной величины — по е3. В системе осей
*i = ei> i2 = у-— (е2 + е3), i3 = _ (е3 е3) (3)
(i2, i3 направлены по диагоналям поперечного сечения кубика) / напряженное состояние представляет как раз чистый сдвиг (1). Главные напряжения и инварианты Т равны
О1 = 0, о2 = т, о3 = —г;
Л(Т) = О, /2(Т) = —т2, /3(Т)=0.
Тензор Т равен своему девиатору и по (1.13.5), (5.8.9), (5.8.Hi
G2 = 4t2, х = 0, G3 = 0. (4 i
В отсчетной натуральной конфигурации кубик представлял параллелепипед с ребрами пр1, пр1, пр1. В плоскости сдвига е2,
I
1
§5)
ЧИСТЫЙ сдвиг
203
е3 его поперечное сечение —прямоугольник с ребрами up1, up1; угол между его диагоналями 2а определяется формулами
V2 I/2 — V2
cos а = , , cos 2а = 2 cos2 а— 1 =—%-.—.
Мерой сдвига по гл. 1, § 4 следует считать разность косинусов углов 2а в отсчетной и л/2 в актуальной конфигурациях
В рассмотрение вводится логарифмическая мера деформации Н и ее девиатор. По формулам (гл. 5, § 8)
1 vi
и = — ф, sin СО = — sin ib --------—Г In-----,
3 Vg2 W3
1 / (6)
cos (0 = cos ф = —==- In —2- ,
причем g2 определяется по (5.8.4).
Предполагая выполнимость для рассматриваемого материала ®<(Лкритерия (5.13.9) и учитывая, что знак разности положительных чисел совпадает со знаком логарифма их отношения, имеем
(ст t — ст.) In — — — т In — > 0, (ст2 — ст3) In — = 2т In — > 0,
' 1 27 V2 V2 ' ^3 01
(ст3 — СТ1) In — = — т1п— > О, х 2 17 Vi vt
так что для такого материала
v2 > Vi > ; 0 < у < 1. (7)
Угол а не может превосходи'- 45°, что впрочем следует и из определения сдвига.
По (5.8.17) имеем теперь
'57^’ = 0, 7ТТ 'те/,<Н)со311’’ ^у = -те/1'Н)1/^з1пф, (8)
откуда следует
^y=J/g-2 8Шф + -^-СО8ф=0 ИЛИ
Ээх дэх
din /iT ~" dlncos,'l’
и общее решение этого уравнения в частных производных первого порядка представляется функцией
= созф) = / (in =<р . (10)
204
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
Вместе с тем по (8) и (6)
dax = хе1' (cos ipd У g2 — У g2 simp dip) = те71 (H) d У g2 cos гр =
= те7» (H)d In —= те7» ro' ,
v2 V3 \ V3 j Сз
так что
т^е-лот^'. (П)
г'з \ Г3 j
Отношение vjv3 можно выразить через меру сдвига. Получаем
<12>
Использование этого соотношения предполагает знание э как функции /ДН), Уу, гр, тогда как э обычно задается через инварианты тензора F или через его главные значения.
По определению главных сил и по заданию главных напряжений
01 — —2==-— 0, о2 + о3 — (v2t2 Ц-ц3/3) — О,
V Лз V ' з
О2 Од = - (^2^2 ^з^з) = 2т (13)
и по (4.3.16)
Р
I ! i
,i
дэ А дэ . дэ „
-ч— — 0, Vo "5-----h V3 ~ч—- — 0,
dvt ’ 2 dv2 d dv3
1 / дэ дэ \
X =---7= V? а---Из “5- •
2 УI3 \ dv2 дг3 J
(14)
Из первого и второго соотношений снова получаем (10) э==ч’(тг) О5)
и из третьего (11) и (12)
[1 v2 > (1 2Ч d /1С1
,=Т7Г'Р’’ 37<l/-r=f). (16)
При задании э через инварианты Ik (F) уравнения (14) приводятся к виду
(8Н^-2vl) -g- + [2vlvl~vyv’ + vl)] ^=0, (17)
/7< + 2/2< + 3/з< = 0’ 08)
<19)
Вычисления,диктуемые этими формулами,—представления^, v.2! vs через т,—доводимы до конечных соотношений лишь при
§ 5]
ЧИСТЫЙ сдвиг
205
особо «удачных» заданиях зависимостей э от инвариантов. В общем случае возможно лишь построение формул, описывающих «эффекты второго порядка» для достаточно малых т. Они исчерпывающим образом представлены Трусделлом и Муном (С. Truesdell, Н. Moon, 1974).
Материал Синьорини. Удельная потенциальная энергия, задаваемая выражением (5.11.4), не зависит ст и по (17) в задаче о чистом сдвиге
Л = /3=-¥^. (20)
Соотношение (18) приводится к виду
(k + p)f4Y +2(3X + p)-^--3(9k + 5u) = 0. У J з / Ъ
Это уравнение имеет корень /2//3 = 3, второй —отрицательный должен быть отброшен. По (20) получаем
^ = о, 4 + 4 = 2, (21)
v2 t>3
так что и2>1, v3 < 1 по (7). По (19), (20) и (21) получаем теперь
и формула связи касательного напряженного т со сдвигом в упрощенном варианте (с = 0) тела Синьорини повторяет соотношение линейной теории
т=ру, (23)
но, конечно, у отнюдь не должно быть малым.
Эта же зависимость имеет место в материале Блейтца и Ко.
Для него по (5.6.5)
< 2 2
1-4=4, 1+4=-^’ т=^- (24) у /з г vs И v3
В задаче о простом сдвиге по (5.11.4), (4.3) и (4.5) для материала Синьорини
9=yps2 + 4z, + p) s4, p(s2) = p + y (X + p)s2 (25)
и по (4.7) напряжения определяются по формулам
р1=/зз=_|-4Х_(Х + |х)
(26)
/22 = - [4 (К + 2р) + 3 (X + р) s2] 4 , = р (s2) s.
206 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
§ 6. Полулинейный материал. Задачи Ляме
для цилиндра и сферы
При аффинном преобразовании отсчетной конфигурации в актуальную тензор напряжений постоянен и представим в единой для всех материалов форме записи уравнения состояния. Явное задание его коэффициентов или представление удельной потенциальной энергии через инварианты деформации требовалось на этапе количественного разыскания связей между деформациями и напряжениями в конкретном материале.
При преобразованиях, отличных от аффинного, уравнения статики уже неотделимы от задания материала его определяющим уравнением. Единый доступный прием — построение решений, близких к решениям линейной теории и обращающихся в них при удержании лишь слагаемых первой степени относительно компонент градиента вектора перемещения. Это не исключает возможности для некоторых материалов и частных предположений о характере деформации продвижения вперед, когда уравнения равновесия в перемещениях или применение вариационных принципов допускают сведение” задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
К числу таких «доступных» материалов принадлежит «полулинейный» (гл. 5, § 5); особенно ценным оказывается свойство обратимости его уравнения состояния с помощью принципа стационарности дополнительной работы. Задачи, относящиеся к полулинейному материалу, рассмотрены в §§ 6—8.
1. Осесимметричная деформация круглого полого цилиндра. Поверхностное пагружение*’осуществляется равномерно распределенными по внутренней’’и наружной поверхностям цилиндра (г = г0, г —г,) давлениями р0, рг. Материальными координатами служат цилиндрические г, <р, г в отсчетной конфигурации. Для принятых условий нагружения следует принять'радиальное перемещение зависящим только от г, а осевое — линейной функцией г. Место точки в актуальной конфигурации определяется выражением
R = еД (г) ф-kaz. (1)
По формулам III, § 7, в частности, (III.7.17), имеем
Ri = erf'(r), R2-=eJ (г), R3 = ak; >
г^Н^е,, г2 = геф, г2 = -^-( г, -г3-k,
так что по гл. 1, § 4
о । о
VR = riRjr = ererf' (г) + — f (г) ефефф-кка = VRT,
s (3)
G = F==ereJ'2(r) дефеф-ЕМ7.-|-kka2.
$ 61
ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ. ЗАДАЧИ ЛЯМЕ
207
Тензоры G и F соосны, и для полулиней нс го материала уравнения равновесия в объеме и на поверхности по (5.5.16) приводятся к виду
( ( dO\
о о о Г=Го,
V2u -0, Ze,.\ u 2per- Vu \ / dO ' (4)
Г = Г1’
так как
n = — er, f = erp0 при r = r0;
n = er, f = — erp1 при г = гг.
Понадобятся представления физических компонент тензора напряжения Т через его контравариантные компоненты, а также формулы связи последних с компонентами тензора Пиола при преобразовании (1). Имеем
Т = RjRi/11 + R2R^22 -г R3IU33 = +
+ еФеф/2t22 + kka2/33 = окейел + оФеФФ ф- ст2егег
(недиагональные элементы в рассматриваемых здесь задачах, согласно (3), отсутствуют). Но направления единичных векторов при преобразованиях (2) сохраняются: ей=ег, еФ = еф, к = ег. Поэтому
оф--И22, аг = а2/33. (5)
Теперь по (2.7.3) и (5.5.5)
Т= -j/-^ VRT-[X(V.R-3)E+2p(VR-E)>
= 7/V'{ |Z (/' +у + к)— (ЗА4-2p)j (/'erer e^ + akk) +
+ 2|х ^'2erer + -^- e(f.e(p-L<z2kk j , так что
Од = [j’ — (ЗХ + 2p)J ,
оФ = ут^- +~~ + a^+2py—(ЗА—|-2fx)J , (6)
cz = yy k +y + +2pa — (3X 4-2p)J .
Ho Vr=E, V2r V-Vr = 0 и поэтому
V2u = V2R = V2(erf (r) + kaz) = er (f +^' = 0, ^4-1 = 2^, f = Cir + ^-
208 ЗХДХЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. f,
и выражения компонент тензора напряжений приводятся к виду
й+сЬ^[Х(2С.+»)+^(С>--&)^ДО'+ЭД •
OlI, = 7c л7. а,77 + а) ’ -'ll i С, +4)— (ЗЛ4-2|И , (8)
ки1— u2/v / U’ L \ ! J
я?- (26) + °0 +2pa— (ЗА-f-2|л)].
Из последнего выражения находим выражение продольной силы Q, которую следует приложить к торцам стержня, чтобы осуществлялось рассматриваемое равновесное состояние
«I о
Q = 2л <jzR dR = 2л,^ <jzf (г) f (г) dr =
7?в г о
= л (г{ — г„) [А (2СХ + а) + 2ра — (ЗА 4- 2р.)].
Это — одно из уравнений для трех констант Clt С2, а
A(2C1 + «) + 2pa = -7^—i- + 3A + 2p. (9)
л(Г1—ГО)
Два других следуют из краевых условий (4) на цилиндри-„ dO f (г)
ческих поверхностях. Они, если учесть, что =а- ' , приводятся к виду
A(2C1 + a)+2pfci-4V“/?o fC1 + 4V + 3A4-2p, (Ю) \ Го / \ Го /
X(2C1 + a)+2ii(ci~^} = ~p1 <C1 + b.V + 3A + 2p. (11) \ Г! / \ П )
J j.
Краевое условие на торце удовлетворено интегрально, в «смысле Сен-Венана». Этим приходится ограничиваться и в линейной теории.
Для цилиндра, расположенного между двумя неподвижными гладкими плитами, а=1 (длина неизменна). Приняв, что внутреннее давление отсутствует (/?о = О, р1 = р), получим
— С1Г0 4
, р 1-1-/г — 2у 2и 1 — /г
Г'{
2(А-|-ц)
(12)
Таково выражение внутреннего радиуса сжатого наружным давлением цилиндра. Сохранив лишь первую степень малой величины р/(2р), придем к выражению классической задачи Ляме
<'3>
§61
ПОЛУЛИНЕЙНЫЙ МАТЕРИАЛ. ЗАДАЧИ ЛЯМЕ
209
2. Радиально симметричная деформация полой сферы. Нагружение осуществляется равномерно распределенными давлениями р0, pt по внутренней г = г0 и наружной г = г1 поверхностям сферы. Материальными служат сферические координаты г, О, X частицы в отсчетной натуральной конфигурации; сферические координаты при радиально симметричной деформации в актуальной конфигурации обозначаются R = f(r), © = {}, А=Х. Векторные базисы в отсчетной и актуальной конфигурациях определяются формулами
г=гег: r^e,, г2 = ге^, r3= re>. sinft;
г^е,, г2=~, г3 = r ;
R = f('')er: R1 = f (r)er, R2 = /(r)e#, R3 = f (r) exsinft;
Ri=f(r)er, R2--^_, R3 = T;-tX"-¥, ' v 7 r’ /(r)sinv
так что
VR = ererf(r) + (eeefl. + exex)-^- = ez.err + E y=VRT, G=F = eA(r2-^-) + E^-.
Вспомнив, что здесь VR = VRT, V2R = V-VRT= VV-R, имеем
V-R = f' + 2-L, V2R=er(r+2i)
и из уравнения равновесия (5.5.16) в объеме получаем
Ш = С1г + ^-. (14)
На поверхностях г = const
XerV-(R — г) ф-2цег-V (R — г)= [(3^ + 2ц) (сх — 1) - 4цег, dO R- / । с2 V
do г'1 ~~ \ 1 ' г3 у
Постоянные Cj, с2 определяются краевыми условиями
г --= г0: (ЗХ + 2ц) (А - 0 -4ц== — (А р0,
Гс / (15)
г = гг: (ЗИ-2ц) (g - 1) — 4ц -f- — (q +-|-) р]
ы \ Г1 /
уравнения для с1( с2 нелинейны.
210
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
1ГЛ. 6
Рассмотрим случай шаровой полости в неограниченной упругой среде; одна из постоянных в (14) определяется условием равенства нулю радиального перемещения при г —> оо
{R-r}r^ „ = Г(С1- 1) г =0, q=l.
L Г2 J Г «>
Постоянная с2 теперь представляется корнями квадратного уравнения
f4y-2 = (16)
\ г о / v Р" / Гй
'|
i' t
i
.ill
вещественными при /д < р; они оказываются равными
Давление, распределенное по поверхности г — const, по (15) определяется выражением (k = rl:r3)
-= р0^, r° r° '____________ (18)
П=1Н-4^-1)(1±1/ 1-4 )-4(fe-l)3.
4 Сохранив верхний знак перед радикалом, в линейном приближении (ро/р = О) получили бы неприемлемый результат =
/•3 \
ро — ь взяв нижний знак, придем к известному в линеинои Го / 3
теории закону убывания давления р = Радиальное смеще-
щение частицы среды следует определить поэтому выражением
/?-г =
Го
2
3 г О Pfl г2 4ц
(19)
— первое слагаемое справа представляет решение линейной теории.
§ 7. Круглая мембрана
Уравнения статики для тензора Пиола, представленного через физические компоненты в цилиндрических координатах
Р = огегег -ф сгфефеф Д- огкк -ф тГ(регеф + тфгефег +
+ к4-тгфкеф + тггкег + тггеД'
•' § 7J КРУГЛАЯ МЕМБРАНА 211
по (III.7.28) приводятся к виду (77t = 1, Н3 = г, Н3=1)
НЕ Г°г + “Эф- "tг ~дГ + rPoki-= °’
-^7/-тлф + 'г(рг + ^ + г^ + гро^ = О, (2)
3 ~ , дтф2 , dSz , , г.
д- гг„ + 4- г 4- rpnkz 0.
dr rz ' dtp ‘ dz 1 1 0 z
Обозначения стг, .. ., тгг применены, чтобы отличить эти величины от физических компонент тензора напряжений Коши Т; конечно, в (1) и (2) тГф=^тф,. и т. д.
На поверхностях г = const и г— const
ег • Р =3 стгег + тГфеф + тггк = f(г), к Р = т2гег 4- тгфеф + стгк = f(ft>.
Койтер (W. Т. Koiter, 1975) рассмотрел, как пример применения принципа стационарности дополнительной работы, задачу о заделанной по краю r-а круглой мембране пренебрежимо малой толщины. Статически возможное напряженное состояние задается тензором Пиола, его компонентами (уг, тгг, зависящими лишь от г. По (1) и (2), учитывая собственный вес мембраны (pokz =— у), приходим к соотношениям
^=(/5,)', тгг = 1уг, ог = 0. (3)
Конечно, более содержательной была бы постановка задачи с пренебрежением весом мембраны, но с учетом распределенного давления по ее поверхности.
Имеем теперь
Р = огегег + (гог)' ефеф +у yrerk,
Рт = агегег + (<тг г)' ефеф + у угкег, так что
Р РТ= (а? + у Т2г2) елег + (гаг)'2ефеф, к 1 V/, (4)
(Р-Рт)‘/2= (о2+у y2r2J егег + (гстг)'ефеф.
По (5.5.11) выражение удельной дополнительной работы приобретает вид
эх = ^у^ст2+(го,.)'г+-|-у2гг —2v (гаг)' ]/ ст?+уу2г2 +
причем Е = 2р, (1 v) — «модуль Юнга».
j
212 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
i
I yl h
11 "IJ I
По (5.5.12) теперь определяется градиент места 0 1 erar + —kyr
VR = (Эх)Р =4р + е, —( 1 +
/sh|a2 V ____________________
+ С(реф (]/ а* +± ) . (6)
«Аналог уравнения Бельтрами» (4.17.12) приводит теперь к дифференциальному уравнению для напряжения ст,.
VXVR=(er^ + le,A)xVR = 0.
Проделав это довольно громоздкое вычисление, получаем ±/г^;+Зго;-1 — ^2:2 =-\+1-------------_5 .^. = 0. (7)
\ у Чг+^-у2г2 / у огг+4-7М
Введя, следуя Койтеру, безразмерные величины, ( у2 а2 у/» - „ г „ .,
«=|-L *g2~l , CTr=£as, р = —, Оф —na(ps),
т2 = -i- у2р2а2 = у £2а3р2 (8) можно записать (7) в виде
1----=- + « (P2s" + 3ps' - 1 vap2 \ = 0. (9)
j/s2+_ap2 |/s2 + |ap2;
Штрихами здесь обозначены производные по р. Поскольку а<|1, можно довольствоваться полученным Койтером (другим путем) упрощенным уравнением
p2s" + 3ps'+^ = 0, (10)
не содержащим ни геометрических (ос), ни материальных (£, v) параметров.
Переходим к определению вектора места. По (6) о о
dR = dr • VR = (er dr -ф геф dtp ф- k dz) • VR =
i.
5 71
КРУГЛАЯ МЕМБРАНА
213
Через w обозначается вертикальная компонента R —прогиб мембраны, равный нулю-при г = а
<v + ^Y2r2
(12)
Теперь выражению вектора места придается вид
R = кау +
1
Е
i~(rSry
]/ ^+4'Т3гг
or dr +
Г'-'Л-тг
(13)
и должно выполняться условие интегрируемости, записываемое в виде
]/" '7г+-|'У2/'2
Конечно, оно представляет лишь другую форму записи уравнения (7); (13) приводится теперь к виду
R = ko;-|-
(.ГОгУ
Е
или
J а <егг Гй
(ГРг)' Е
(гщ)' Е
у2Г2
геф dtp ,
V
J.,2,-2
= ки/4-г4-егмг. (14)
Здесь иг — радиальное перемещение частиц мембраны
U. = Г
(ГОгУ V
Е Е
,2Г2
(15)
214
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГД. 6
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА 215
При г = а отсюда получаем одно из краевых условий для нения (7)
урав-
(щ)г=а 0:
(гаг)' — v )/ог + у у2а2
= 0 г = а
или
р - 1: s' + s —V j/s2+-| а-0. (16)
Возвращаясь к (15), естественно потребовать обращения в нуль (по условию симметрии) перемещения иг в центре плиты. Это приводит к условию конечности при г-0 величины (15) в квад, ратных скобках
(rar)'— var или ps' + (l—v)s конечно. (17,
Но ог в центре плиты также конечно, так что (17) можно свести к условию конечности (гог)г=0. Возвращаясь теперь к (7), умножая на г и интегрируя по г, приходим к соотношению
1 2 _ f orrdr _1_ _ £ vy2 f r3 dr
2 ---j----- + E r Gr 2 E E—--------------1----
так как (i'3Or)r=o = 0 при конечном ro'r. При малом г, поскольку ог^0, оно приводится к виду
После замены краевого условия (16) его приближенным выражением
р = 1: s' + (1 — v) s = 0 (21)
задача приводится к дифференциальному уравнению (10) при условиях (21) и (18). В работе Койтера приведены результаты численного решения этой краевой задачи для нескольких значений v.
§ 8. Плоская задача для полулинейного материала
1. Геометрические соотношения. Преобразование отсчетной конфигурации в актуальную задается соотношениями (греческим индексам сообщаются значения 1, 2)
ха = ха (a1, а2), X'3 = са3, "(1)
определяющими плоскую деформацию призматического тела; с==1, если предотвращено смещение его торцов в продольном направлении. Материальными координатами служат декартовы координаты а1, а2, а3 отсчетной конфигурации; градиент места равен
° ах3
VR -= iaip 4х- + i3i3c. (2)
да
Мера деформации Коши G и ее компоненты определяются формулами
0 0 аЛ
, „/^4у /а*2 у
11 \ 5a1 / + \ да1 ) ’
так как выражение в скобках имеет порядок не ниже г4. Условие (17) выражает поэтому краевое условие
г = 0: 0^ = 0 или р = 0: s' = 0. (18)
Прогиб в центре плиты по (12) определяется выражением
1
. 4-“+ Т | vrz (ps)'J о
р dp j/ s2 + ^-ap2
(19)
Малость параметра а допускает замену (19) приводимой Ко*1' тером формулой
1
о
„ / дх1 \2 / дх2 \2 „ дх1 дх1 дх2 дх2 (3)
°22 ~ у da2 J да2) ’ ^12 ~ д^ да2 ' дгЕ'да2 ’
G23 = G31 = 0, G33 = c2.
Компоненты тензора искажений U = G1/2 определяются системой Уравнений
U • U = U2 = UayUyp i«ip = Gapiaip i3i3c , Gh + ^-Gu, U221 + Ul^G22, (4)
^12(^1 + ^) = ^, US3 = c, t/Sa = 0.
Инварианты меры Коши оказываются равными
Л (G) = G11 + G22^c2-G1 + G2 + c2,
Ц (G) Gfi2 +с2 (Gx + G2) - GnG22 - G£ + c2 (Gu + G22), (5)
Ia (G) = detG = c2 (GuG^-Gh),
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА 217
216
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
1ГЛ. „
причем Glt G2< с2 —главные значения G. Принимается обозначение
Рг Р Р Р ™ _ ( дх1 дх2 дх1 дх2 X2
(J — O1(J2 — (ju(j22 ~ О12 — |^-j-
i/r ————— ' да1 да2 да2 да1 ’
eV G —определитель преобразования (1). Теперь имеем
m + и2у - (V g; +m)a - g, + g2+2 V =
_/' дх1 дх2 X 2 / дх2 дх1 X 2
~~ \ da'- da2 J \ да1 da2 ) '
При обозначении
Г/dx1 dx2X2 /Зх2 dxiyi-A
q ~ [Дда1 + да2 ) + [да2 да2 У J ’
возвращаясь к уравнениям (4), получаем
,,, _ ,, __ 1/ дх1 дх1 . дх2 дх2 X
и + ^гг—U12~y [l^lW^datda2 j ’
U^-Uh = q (t/u - G22) = Gn — G22,
_ p . 2\________________L[ d*1 { 9x1 1 9x2 X 1 дх2 / дх2 дх2 X 1
11 2q2 11 22 + 7 / q Lda1 \ да1 ' da2 j ' да1 уда1 да2)]’
U _ 1 Г9x2 /9х' । дх2 X . дх1 / дх1 дх2 X 1 U22 ~ q |_да2 X да2 ' да2 J~ да2 \Sa2 да1 J J ’
Эти формулы подсказывают целесообразность ввести в рассмотрение подстановки
1 / дх1 . дх2 X . 1 / дх2 дх1 X
COS 7 = — -ГТ + TTV , Sinv = — з-i-------ГГ 1
'• q \ да1 'да2 J ’ л q \ да1 да2 J
позволяющие представить формулы (8) и выражение тензора U в виде
,, дх1 . дх2 .
Gn^^rcosx + ^rsmx,
, , дх1 , дх2
0'22= —зт-smv cos V,
22 gaL л I Qai л>
,, дх2 . , дх2 . дх1 . , дх2 0 °)
и 12 “ TTCOS Y-r-y-T sm 7 - — 7T,- Sln7. + T-rCOSV,
12 ga2 л. I ga2 л, ga! /- i gai
dxa
V = Gapiaip + ci3i3 - (iaip cos x — i3 X iai3 sin x) + ci3i3.
Угол X естественно связывается с ортогональным тензором поворота 0х, сопровождающим деформацию. По (1.6.8) и (1.3.3)
имеем
ox = UVrT =
₽ (iai₽cosx-i3xiaipsinx)-^p- + ci3i3 . + l i3Q =
= (iaie cos x - i3 X iai6 sin x) + i3i3 =
= (iai« cos x— i3 X iaie sin x) 6g + i3 i3, так что
0х = E2 cosx-i3 X E2 sinx + i3i3 (E2 = ij, + i2i2). (11)
Дальнейшее рассмотрение можно упростить введением комплексных обозначений (черточкой над буквой обозначается переход^ сопряженным величинам)
(9)
t = а1 ia2, z == x14- ix2,
так что
д д д д . / д д\.
да2 dZ dl ’ да2 ~ 1 \dZ ' < 7 ’
9_Д_ д . д 0 д д . д
dZ да2 да2 ’ dZ да2 да2
Получаем по (9), (6)
2 4. 4. i _ Jil V ае<% dZ даУ 1 да2 1 1 да2 . да2 } ~qe ’
= (12)
dZdZdZ v 7
?=2 — =2 4lY/2 = ~ —I-1 e^ = -l^- (131
\dZ dZ J ’ dZ dZ 1 ’ dZ 1 dZ V ’
2. Представление тензора Пиола для полулинейного материала. Уравнения равновесия. По (5.5.5), учитывая (8), имеем
₽=[M<? + c-3)-2p]Ox + 2pVR =
= im + c — 3) — 2р] (E2cosx — i3xE2sinx) +
+ 2piaip-^ + i3i3P33; (14)
p33 = k(q-}-c — 3)-{-2p(c— 1), p3a=pa3 = Q.
В рассмотрение вводятся представления компонент pa₽, подобие формулам Колосова — Мусхелишвили линейной теории
рЦ Z pi а = ф (7) е'х 4- 2pi ~ ,
p22-ip2^(q)e -2И^, (15)
218
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
lrjl- 6 i js]
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
219
причем
ф (7) = © + 2р) (7 — 2) + 2р + X (с — 1) —
(’=27^) ('б)
Уравнения статики при отсутствии массовых сил др™ , др21 __ п др12 , др22 _ „ др™ _ п да' ' да2 ’ да1 да2 ’ да2
теперь преобразуются к виду
-4 (Р“+‘>1!)+‘ -4 = (© + ‘ -W) Ч’ («) +
Ф (. да' да2 да2 да' ) ’
так что
Я=- гр (7) е1'х = 0, р33-=р33 (а1, а2). (17)
dt,
Первое соотношение содержит основной результат —выражение ф (7) etx представляет функцию комплексного переменного обозначаемую далее
гр (7) е‘х = Ф'©), е‘х = т^§т. (18)
Это и дало основание назвать «полулинейный» материал «гармоническим» (John, 1960). _
3. Краевая задача. Связь между функциями z (£, £) и Ф'© устанавливается соотношением
о дг Ф'(£) , 1 —у (С— 1) Ф'(0 ,1Q)
“ Ф Х+2р+ 1-v |Ф'(Ш ’ 1 '
следующим из формул (12), (16).
Уравнения равновесия на боковой поверхности призматического тела записываются в виде
fdO = n-Pdo, /, -^- = п1р11 + п2р21, /2-^- = »1Р21 + п2Р22-
Здесь flt /2 —проекции поверхностной силы на оси а1, а"-, конечно, в плоской задаче /3 = 0 на боковой поверхности. Введя комплексные векторы
, , ,£ £ . da2 . da1 dt,
h + = + = п = -^-1-^-1-^,
где ds —элемент дуги контура I поперечного сечения в отсчетной конфигурации, и обратившись к (15), (18), получим
if^-= 1с[^- = ^Ф' (£) —2р-^- . (20)
'do 1 ds ds r ds
Через dS обозначается элемент дуги контура L, в который обращается в актуальной конфигурации контур /; очевидно, что
dO - ^dScda1, do —ds da2.
Главный вектор V поверхностных сил на дуге теперь определяется равенством
S М М
icV = Ф’ $ fdS = $ Ф' (С) d'Q — 2р. J dz Мо Ло
= Ф©)-Ф©0)-2И[г©, 1)-г©0, Со)]. (21)
При действии равномерно распределенного по боковой поверхности давления р на I
f = — pN^pi-^, icV = —ср (z — z0),
Ф©) = (2р — ср) г (4, □ +const. (22)
Тензор напряжений Коши Т по (2.7.3), учитывая обозначение (6), представляется выражением
т = 7 /Fr,'p"7 V1 [‘“В^* + 1лИ • (23)
Нормальное напряжение в поперечном сечении а3=const определяется выражением
<J3V~G=--p33, o3dO = p33do = [X(7-2) + (X + 2p)(c-l)]do, (24)
так как определитель © G преобразования плоской области а3 = ~ const в плоскую область z3 = const равен отношению элементарных площадок dO/do. Продольная сила в рассматриваемом теле оказывается равной
5 5 Ф do == $ J p33do = Z J J (7 - 2) do + (X + 2p) (q - 1) Qo, (25) a
причем Qo — площадь поперечного сечения в отсчетной конфигурации.
Возвращаясь к (23), имеем
® после вычисления, в котором используются формулы (15), (6), получаем
с ©1 4- о2) + 4р-^Ж) .
V
(26)
220 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. Г)
01 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА 221
Это —первая формула Колосова — Мусхелишвили. Второй опре
деляется выражение
о2 —Ст! —2fT12 = i2-T-i2 —ij-T-ij —t (hT-i2 + i2-T-ij =
= __L_ Г 9x2 nV2— — — i f— ov2 Д- —
G да'! даУ \даУ дсУ
и после вычисления, в котором используются формулы (15), получаем
/ г,. ч 1 , i , 1ч ( dz , . dz \
с (ст2 — Щ — 21т12) = — ф (а) е'- (---(- i —-- =
k 2 1 127 \ даУ да2 J
=______4_ Ф(<?) dz dz
V"G q dt dC
Возвращаясь к представлению (20) силы f, составим выражения ее нормальной fN и касательной [$ компонент на дуге А. Обозначив N, S единичные векторы нормали и касательной этой дуги, имеем
/N = N-f, fs-S-f; S = ^. (28)
Uu uO
Скалярное произведение двух векторов выражается через их комплексные представления формулой
a-b = 4j- (ab+ab).
Заменив теперь в (28) силу f ее выражением (20), придем к формулам
<29)
= 411 • <30)
Напомним, что \dz\=dS, |d£| = ds.
Замечания. 1. В задаче о плоском напряженном состоянии рассматривается деформирование тонкой пластинки (толщины 2/г0), нагруженной по ее боковой поверхности силами, параллельными ее средней плоскости п3 = 0 и симметрично распределенными относительно нее. Торцевые поверхности a3 = + ha не нагружены. Такое состояние приближенно осуществляется при преобразовании отсчетной конфигурации в актуальную, определяемом формулами
ха = х“(а1, а2), х3—с(а1, а2)а3 (|а3|=С^о) (31)
при пренебрежении слагаемыми порядка /i2, если довольствоваться рассмотрением средних по толщине пластинки компонент д
тензора Пиола; средние значения раз, р3а оказываются равными нулю, а функция с (а1, а2) определяется условием обращения в нуль р33.
Действительно, по (31)
(L____• . дх1 . . дх13 ... дс „ . .
R да* ~ +l“*3 ~д^а +1з'зС’
так что
VD ирг i ; ( 9xi 9х* । з2 de дс
O = VR-VR + —
dc , . . о
—-ф- 1313С2 даа 33
и среднее по толщине пластинки значение меры Коши оказывается
равным
/l()
G = — Г Gda3 = 2h0 J
. . / dXv dx'! ’“lfJ \ daa dap
1 h2 dc dc 3 ° daa dap
так как J a3da3 = 0. Пренебрегая слагаемым с множителем Л2, -%
приходим к выражению G, повторяющему (3), и для средних значений всех величин сохраняются найденные выше соотношения (отбрасываем знак ~ над их обозначениями). В частности, р“3 = р3“ = 0, а требование р33 = 0 приводит по (14) к определению с
С~ 1 = ““М72|х^_’2^ (32)
Теперь выражению ф(<у) по (16) придается вид
(33)
. 2. В задаче о плоской деформации призматического тела, когда предотвращено смещение его торцов (с = 1), представлению Ф(<7) придается вид
Ш^+2р)(7-24^±кГ) (34)
и нетрудно проверить, что уравнения состояния для в задаче ° плоском напряженном состоянии приобретают тот же вид (15), что и в плоской деформации, если заменить X величиной
2цЛ
Х+2ц ’
(35)
222
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
Действительно, по (33) и (34) требуется, чтобы
/1' । о,.\ ( „ 2 (/-' + jx)\ __ 4ц (X + р.) / 37,Д-2р. \
Z' + 2p Д Л + 2р \q 2(Z + p)J’
иначе говоря,
У' _|_о.| __ Ф11 (^ + р-) ту I .. _ .. + 2Р-
Л +2И_^-+— , 7, 4р -Ит—— .
Оба эти соотношения удовлетворяются, если определить X' по (35) (или при замене v на v/(l+v)). Известно, что такая же связь между постоянными в законе упругости соблюдается в линейных плоских задачах.
3. При преобразовании поворота г = £е10, 0 = const по (12)
9 = 2, х = 0, /С=1
и ф(д) = 2р по (16) при с = 1. Формулы (26), (27), как следовало ожидать, дают а1 = а2 = т12 = 0.
При Ф(<?) = 0, <7 = (1—v)-1 из тех же формул находим ах = о2 = — 2р, т12 = 0 — среда находится в состоянии гидростатического сжатия интенсивности 2р.
§ 9. Изгибание полосы в цилиндрическую панель. Деформирование полого цилиндра
1. Рассматривается деформирование параллелепипеда
— —I еф а3 еф I
в цилиндрическую панель
гогСггСг1> —<z<,i'С7-,
а3
— ее внутренний и наружный радиусы равны r0, гх, центральный угол 2а; предполагается, что предотвращено смещение торцов a3 = + Z в продольном направлении. Изгибание в панель осуществляется распределением изгибающих моментов по краям панели <р=±« (в отсчетной конфигурации по краям п2 = ±^)' Цилиндрические поверхности г = г0, г = п (в отсчетной конфигурации грани = н= Л) свободны от нагружения.
Преобразование описывается формулами
. а ,
г = х1 + ix2 = С (a1) el b а = re‘t₽, х3 = а3,
(1)
§ g] ИЗГИБАНИЕ ПОЛОСЫ. ДЕФОРМИРОВАНИЕ ЦИЛИНДРА 223
так что г = | г | — С (а1), ф = ау— значениям а2 = ±6 соответствует азимутальный угол <[ - + а. По (8.12)
2Й“»-г₽=|.С' +lC«o]
откуда по (8.16), (8.18) имеем
q^C (cd)+^C(a'),
Ф' (£)- (Х + 2И) [с (a1) +|c(a1)-(l-v)-i]e^
и дифференциальное уравнение, определяющее С (а1), получается из условия
+ 0. с„(а1)__о!с(а1)= a (1-v)-1.
д? да1 да1 \ / дч \ / g \ /
(2)
Его решение при краевых условиях
C(-/i)-r0, C(h)-r, (3)
записывается в виде
Неизвестные радиусы панели определяются условиями отсутствия нагружений на поверхностях al^= + h. По (5.20) при /=0, ds=±da2 получаем
2и S -= ф' ® S •• 2И | С (± Л) = (X + 2И) [с (± й) + С (± й) ] и по (4)
П + Го^2^-, r1-r0 = 2^-thy. (5)
Теперь С (а1), С (a1), q, ф(д) представляются выражениями
С(О1)^ * fsh^-^ch^V
' ' a ch у \ b 1 —v b ) ’
с (fll) * fch^-sh^V
« = Xw(rTe4>T+2l + 24 (6)
i / \ 2li аа1 Ш = ^ехр—.
I
224
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
§91
ИЗГИБАНИЕ ПОЛОСЫ. ДЕФОРМИРОВАНИЕ ЦИЛИНДРА 225
Компоненты fN, fs напряжения на площадках а2 = ±Ь определяются по формулам (8.29), (8.30); на этих площадках
ds^+da1, Ф' (У = ф (?) е‘%,
|$| = ^ = С' (а1). | ds | ds ' '
Получаем
. dS , , , „ , ,, 2ц. { аа1 , аа1 , v , аа1)
/n = Ф (?) — 2цС (а ) - ~^ (ехр -у— ch b + j_vsh b J —
Е 1 чссл1 = 1? -г— sh —г- , 1 —v2 ch у * b ’ fs=--0 (£-2p(l+v)) (7)
— касательные силы на краях а2=±Ь отсутствуют, главный вектор нормальных напряжений, как ожидалось, равен нулю
h h
^fNdS = r.—
J 1 " (1 —v2) ch у J b
-h -h
Их главный момент относительно оси панели в любом сечении а2 const, отнесенный к единице длины по оси а2, оказывается равным h h
т- - f С(о‘) fudS= . 1 .. Ansh-^-^sh^ch^W-J \ (1—v2)ch2yaj \ b 1—v b b J
-й ~h ’
= ^L_Lfthv-1J-y (8)
1 —v2 y2 \ • ch2 у /
Из этого уравнения по заданию момента "т2 "определяется центральный угол панели a = by!h.
Разлагая правую часть (8) в степенной ряд по у, имеем
— первое слагаемое определяет решение линейной задачи об изгибе тонкой плиты толщины 2h и длины 21 (в направлении о3) моментами, распределенными по краям а2 = + Ь).
Продольная сила (отнесенная* к единице длины по оси а2) вычисляется по (8.25)
Q = Zy((7_2)da1 = -^(l-^). О) (
-h
2. Деформирование полого цилиндра. Преобразование, осуществляющее плоскую деформацию полого достаточно длинного
цилиндра, задается соотношениями
/? = /(г), ф=Ф4-0(г), г = г. (10)
Здесь г, ф, г —цилиндрические координаты частицы в отсчетной натуральной конфигурации (ее материальные координаты), /?, ф, Z — в актуальной. Функции 7? (г), 0 (г) подчинены краевым условиям
f{r0) = r0, f(r1) = r1, 0(ro) = O, 0(rI) = a, (11)
причем r0, rt — внутренний и наружный радиусы цилиндра.
Об этой постановке задачи говорилось в гл. 4, § 13. Внутренняя поверхность цилиндра заделана. Наружная заключена в жесткую обойму, с которой она скреплена по всей длине I. Рассматривается деформированное состояние, обусловленное поворотом обоймы вокруг оси цилиндра на угол а.
Вектор места частицы в актуальной конфигурации может быть определен комплексной координатой
г=^г)ейт+0(О) (r)eW) (12)
Через £ обозначается, как в § 8, комплексная координата в отсчетной конфигурации; имеем
= Й = “-к*-
По (12) и (13) находим n dz _ । о dz de‘rf __
дг д£‘зе‘Ч> —
= [f (O + y f (r) (r) f (r)^j ei0<r) = (/eH0(r)+7(n). (14)
Здесь функции от г (но не от ф) определены выражениями q= [(Г (r)+f~^y+f2(r)Q'2(r)y2,
C0ST = 7 Р'(r)+^], sinY f (г) 0' (г). (15)
По (8.13) и (8.16) имеем
Х = 0 + у, Ф(<?) = (А + 2ц)
(было уже принято в (10), что с=1). Введенная соотношением (8.18) функция Ф' (£) представляется теперь выражением
Ф'(0^а+2ц) Г7-1§±^Иече+т). (16)
| /V -J
8
А. И. Лурье
226 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
Итак, эта разыскиваемая в кольце и представляе-
мая в нем рядом Лорана функция комплексного переменного оказалась зависящей только от г. Поэтому она постоянна. Принимается обозначение
Ф' (С) = (^+2н) [я — е‘"’’ D = const, p = % = const. (17)
Задача сведена к рассмотрению системы дифференциальных уравнений
(f +-^y + f0,! = Z)2 или (rf)'2 + r2f20'2 = r2D2, (18)
Г + 7 /0'
cosy = —р— = созф —0), siny = ^- = sin ф —0). (19)
Из последней получаем
тт-жто)6'. <7s!n<p-0)=C, (20)
где С —новая постоянная, причем, обратившись к (11), имеем
r2sinp = C, r?sin(P-a) = C, A = sinJP~< (21)
Исключив теперь rf с помощью (20) из выражения (18), после замены С значением (21) и очевидного вычисления придем к дифференциальному уравнению
0'2 _ O2r2 de _ Dr
sin* (Р—е) — r4 sin2 Р ’ sin2 (р—0)~ I sin р I ‘
Его решение после определения постоянных по условиям (11) приводится к виду
ctg Ф - 0) = 4=4 ctg (₽ - а) + 4=4 ctg ₽. (23)
Г1 — ГО Г1 — г0
Это уравнение совместно с соотношением
fr sin ф —-0) = r2sinp (24)
и формулой для определения постоянной [3
ro _sin(p—а)
rl ~ sinp (2
дает решение задачи.
1
jiol эффекты Второго порядка, исходные уравнения 227
Заметим, что определенная выше постоянная D оказалась равной
Д = 2 2Го—[ctg(P — a)— ctgP]|sinP|. (26)
Т1 — гй
Напряжения определяются по формулам (8.26), (8.27)*).
§ 10. Эффекты второго порядка. Исходные уравнения
Уравнение состояния линейно упругого изотропного тела
Т = М}Е-|-2р,Е (б=/1уЕ/), E = y(kVu + VuTJ (1)
выводится в предположении о малости компонент градиента век-fl
тора перемещения Vu при последовательных пренебрежениях второй и более высокими степенями относительно этих величин. В гл. 6, § 6 уже говорилось, что учет количественных отклонений от предсказаний линейной теории естественно связывается с сохранением слагаемых второй степени по этим величинам — с рассмотрением «эффектов второго порядка».
В § 14 уже говорилось, что учет более высоких степеней связан, как правило, с необозримо громоздкими вычислениями. В этой книге не отведено также места построениям рядов по о
степеням Vu и исследованию их сходимости.
В определяющем уравнении изотропного упругого тела (4.3.4) мера деформации F должна быть заменена ее представлением о
через Vu
00 / О \ / 0 \ О 00
F = VRT-VR = \Е + VuTy • (4E + Vu; = E + 2e(u) + Vut-Vu. (2)
Тогда в принимаемом приближении
оо оо
F2 = E + 48 + 4e24-2Vut- Vu,
/° А
Л (F) = 3 + 26 + 2(0.о) + Л \&), (3)
/2 (F) = 3 + 40 + 262 + 4о) • о), /3(F)= l + 2d + 2fl2 + 2(o.(o-/1 Q2)
*) Предложение использовать для решения задачи преобразование (10) исходит от Н. X. Суюншкалиева. В его (еще не опубликованной) работе рассмотрены другие варианты постановки задачи.
8*
228
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
ГГЛ. С,
— была использована формула (1.7.13). Определяющее уравнение приводится к виду
Т - 2/ з1/2 [Е (ф0 + фх + ф2) + 2 (фх + 2ф2) е +
+ (Ф1 +2ф2) VuT- Vu-j-4ip2£2]. (4)
Здесь по (4.3.5)
/ = Фо + Ф1 + г1,2 = э1 + (Л— 0 +
Ф = Ф1 + 2ф2 = э1 + (71 —2) э2, ф2 = — э2, (5)
причем эк = дэ/д!к. Далее эти величины определяются с требуемой точностью: f — с учетом квадратичных, <р —линейных слагаемых; значения в натуральной отсчетной конфигурации обозначаются нуликом справа сверху. Используются формулы (4.3.22), (4.7.12) и (4.7.13)
. (Э1 + 2э2 + э3)° = 0, ф°= (51+92)o = — (э2 + э3)° = ур,
I.z,= |7 =
4 L \ d/i ' d/2 д13) 1 J
= [зл2э22з332 (2э12-|-2э23-|-э13)-|-э2э3] . (6)
Рассматриваемые величины разлагаются в ряды по степеням /х— 3, /2— 3, /3 —1. С требуемой точностью получаем, использовав формулу для 7,
( 2 р + (^71 + 2 д12^д13) "
= у р + 24 (эх1 + Зэ12 + 2э2а -ф э31 + з32 4- з2)° =
= у и -г у 71} — 24 (з12 -г.э, +э13 Зэ23 4~ э33)п.
На этом этапе тензор напряжений Т можно представить выражением
Т = 2Ц /гЕ/Д2р (1 — 4) £4-27е4 —
- 8е4(э12 4- э3 4- э13 + Зэ23 4- э33)° — 8э2е2 4- pVuт • Vu = 0 0 000
= 2/3~ ЛЕ/ 4- 2 (1 - 4) £ + 2fi • Т° 4- 8э3°£2 4- ИVuT • Vu -
о
— 8 (эХ2 4~з3 4~з13 4~ Зэ23 4~з33)0 ей, причем использовано представление (1) тензора напряжений в отсчетной конфигурации и формула (6) для р; Ц'/г заменено на 1—4 и 1 при умножении на линейное и соответственно квад-
3 101 ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 229
ратичное слагаемые. Остается дать представление f рядом с точностью до квадратичных слагаемых
+'.(»!Ш^И+24(^М+
(«) + 2 (»-/, G*)) [(и;+э7;) /]'+
Искомому представлению тензора напряжений Коши придается теперь вид
о
Т = (1 - ft) Т° + 28.Т° + Т',
Т' = Е («.(o + j Л (s0) + 4(ft2-Л(еа))[(^ + ^) /]° +
\ 0 0 0 0
+ ,4ft2 > + 8э§£2 + B8ft + pVuT-Vu, (7)
причем
= 4 4~ 2, В ——8 (э12 4-э3 + э13 4- Зэ23 Ч-Эзз)0.
(8)
Например, для материала Мурнагана при задании f по (5.3.8) и удельной потенциальной энергии э по (5.3.2) получаем
Л==/’ 4[(^ + ^P]0=:_m + T’ 5 = -«+2m- 8эз=«
и тензор напряжений представляется выражением
Т' = Е
о
T = (l^-ft) Т° + 28-Т°+ Г,
z(o>.(o + 4/1(82))-(m-|) (ft2-/1(°82))+Zft2] +
0 000
4-п82+(2т—п) 8ft + nVuT-Vu. (9)
230
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. С,
При переходе к тензору Пиола в формуле (2.7.2) достаточно принять
о 0
/Зл = VrT== V (R —u)T= Е—VuT,
о о
так как Т0 в (8) линейно выражается через Vu, a VuT«VuT, Г31г = !-]-•& в линейном приближении. Получаем
Р = /‘/!VrT-T— (1 + $) (е-VuT)Т = Т° + Vu-Т0 + Г. (10)
Только в линейном приближении тензоры Пиола и Коши совпадают. Учет слагаемых второго порядка требует их различения. Уравнения равновесия в объеме и на поверхности должны быть записаны в виде
о 40
V.P + Pok = O, n-P=fg, (11)
причем, учитывая слагаемые первого порядка, по (1.8.7) имеем
]/(п-VrT-Vr-n)*/» = (1 +fl) [n-(E + VuT)-
( о \ T/s Г о -|</г
•<E + Vu;-nJ = (14Л) 12п • £ (и) • n j -так что
40 °
— = 1 + »4-п.Е(и)-п. (12)
§ 11. Эффекты второго порядка. Построение решения
Исходим из уравнений равновесия (10.11) в объеме и на поверхности через тензор Пиола, определяемый выражением (10.10). Поверхностные силы предполагаются «мертвыми».
Вектор перемещения представляется суммой двух векторов
u = v-}-w, (1)
в которой v — предполагаемое известным решение линейной задачи
о
V.T° + Pok = 0, n-T° = f°, (2)
а корректирующий вектор w вносится, чтобы компенсировать о
слагаемое второй степени относительно компонент Vv, которые войдут в (10.11). Тензор Т° —линейный оператор над и
Т° (и) = Т° (v)+T“ (w)
§11] ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ 231
И поэтому
О / о о \ о
Vu-T°(u) =(4Vv + Vw;-(T°(v) + T°(w))« Vv-T°(v), (3)
Т' (u) « Т' (V)
— неучтенные слагаемые имеют по крайней мере третий порядок малости. Имея в виду (2), теперь можно преобразовать уравнения равновесия (10.11) в объеме и на поверхности к виду
V7-T°(w)4-pokx = 0, n-T°(w) = fx, (4)
в котором играющие роль массовых и поверхностных сил векторы кх и fx представляют операторы над v второй степени
о
относительно Vv
kx == V-(vv-T° (v)Ц-T'(v)), fx = — n.(vv-T°(v) + T' (v)). (5)
Известно, что необходимым условием существования решения краевой задачи (4) является статическая эквивалентность нулю этой системы сил. Непосредственно повторяется равенство нулю ее главного вектора. Действительно,
JJJ рокх dv = $ JJ V-(vv-T° (v) + T' (y))dv = V V
= 5 S n’ (Vv-T° (v) 1 T' (v)) do = — $ $ fx do, 0 0
что и требуется. По (2.3.8) остается выразить условие симметричности силового тензора. По (2.1.16) и теореме Гаусса — Остроградского
В = Ш Ро^хГ^п — n-(vv-T°(v)-(-T' (v))rdo =
V о
= JSS Pokxr^-JJS [v-(Vv,T° (v)4-T' (v))]rdo —
V V
~SSS rS' (v) + T' (v)) rsdv =
V
= - SSS [Vv.r(v) + T'(v)]rdo.
V
Использовано представление дивергенций тензора третьего ранга
V-Qr=(v-Q)r + H-Qr, = (v-Q)r + QT.
232 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 6
Итак,
В = — Ш [^V-T° (v) + T'(v)T dv,
Вт=-Щ [vv.T°(v) + T'(v)]<fo. V
0 0 0 0
После замены Vv = e(v)—-S2 (v) (е (v)—линейный тензор дефор-о
мации над v, S2 (v) — тензор вихря этого вектора) силовой тензор преобразуется к виду
В = - И $ [е (V) • т° (v) + т° (v) •« (V) + т' (v)] dv,
с с с Г° ° 1
Вг = — J J J |_е (V) т° (v) — й (v) -Т° (V) + Т (v) J dv, V
0
так как тензоры e(v), T°(v), Т'(v) симметричны по их определениям (10.1), (10.7). Условию симметричности силового тензора теперь придается вид
ВТ=В: (т°-й + Й.Т'’)^ = — Щ (т°Хю + юхТ»)<Ь=0,
V V
(8) о о
причем о — сопутствующий О вектор. Сопутствующий же кососимметричному тензору под знаком интеграла вектор по (1.14.17) равен
— у €•• !ГХйфО)ХТ°]=-уб--tamn&s (гиг„хг4-г„хг,ги) =
О о
= tX (г„ X г J = tem"as (г„ги • г, - rsrm г„) =
о о
= Т°.(й—(дЛ (Т°),
так как g - -ab= bxa, tmnrm• rn = (Т). Условию (8) придается вид [т° (v)-o) (v) — о) (v) ст] dv = 0, ст = /!(?“(¥)) (9)
V
— таково необходимое условие существования решения задачи (2). Ему можно удовлетворить, вспомнив, что линейная задача (2) для вектора v решается с точностью до аддитивного слагаемого, о
выражающего перемещение твердого тела v = у04-о>0хг, а для о ] о 0
ректора ш = у V х v—с точностью до постоянного слагаемого w9.
$ц] ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ 23 3
О
Поэтому, фиксируя значение а»' в некоторой точке тела, можно принять
г ООО
®(v) = ®' (v) 4-®0
и представить (9) в виде
®о- (у) — Еа) di> = — Щ [о»' (v)-T° (v) — ш' (v)o]dv = c.
V V
(10)
Вектор с вычисляется по предполагаемо известному решению задачи (2). Тензор в левой части (умножаемый на ®0) может быть определен непосредственно по заданным силам pok, f°. Действительно, по (2.3.7)
В = Щ р0 krdo+$$f°rdr = $$$T(’ (v)dv,
° ° ° (11)
Л (В) = $ П (т° (v))du==$n Pok-r^+П f°-rdv. V VO
Уравнению (10) придается вид
о
®0.[В-Е/1(В)] = с (12)
и оно разрешимо, если тензор В—E/j (В) —неособенный
det (В — ЕЛ (В)) у=0. (13)
Проверка этого критерия, как сказано, осуществляется по заданию внешних сил pok, f° и не требует решения линейной задачи.
При невыполнении условия (12) краевая задача (2) не имеет, вообще говоря, решения.
Осью равновесия а тела в отсчетной конфигурации назовем постоянный вектор, определяемый условием
(axr)xpokdv + J5 (axr)xf°do = 0 (14)
V о
при неизменных по величине и направлению внешних силах с равным нулю главным вектором. Оно выражает статическую эквивалентность нулю этой системы сил, приобретаемую при повороте тела вокруг а на 90°. Уравнение (14) преобразуется к виду
а • р0 (кг — Ек • r)dv -j- а (f°r — Ef° • г) do = 0
V о
Или по (11) к виду системы однородных уравнений
а-[В-ЕЛ(В)] = 0 (15)
234
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
и может иметь отличные от нуля решения при условии det (В-ЕЛ (В)) = 0. (16)
Представив симметричный тензор В в главных осях з
B=£bseses, /1(В) = &1 + &2 + &3,
s= 1
можно придать уравнениям (15) вид
й1(Л + Л) = 0, а2(Л + Л) = 0, а3(Л + Ь2)=0. (17)
Вектор а остается произвольным при Ь2 + Ь3 = 0, Ь3 + Ь± = 0, bl-{-b2 = O или, что то же самое, В = 0. Если b2-^b3 = Q,b1^ — b3,
—Ь2, то a = ej; при а-е3 = 0 вектор а расположен в плоскости (еп е2). Конечно, возможны расположения оси равновесия по осям е2, е3 и в плоскостях (е2, е3), (е3, ej. Во всех этих случаях
det [В - ЕЛ (В)] = (Л + Л) (Л + Л) (Ь3 + Л) = 0. (18)
При условии же (13) ни один из этих множителей не нуль и а = 0 по (16) — оси равновесия не существует.
Система неоднородных уравнений (12) может при условии (16) не иметь решений вовсе или иметь больше чем одно решение; иначе говоря, когда (12) несовместна, не исключена возможность специальных ситуаций, в которых она станет совместной. При существовании оси равновесия нагружение не определяет единственного равновесия, так как повороты вокруг этой оси переводят тело из одной ориентации в неотличимую от нее другую (при тех же силах).
Доказано, что при В = 0, когда ось равновесия —любой вектор, система уравнений (12) может оказаться несовместной при любой ориентации тела. Учет нелинейности в этом случае не достигается внесением предложенным приемом поправки к решению линейной задачи.
Решение краевой задачи (4) для вектора w мало доступно, как правило, вследствие сложности выражений сил pokx, fx-Но их специальная структура облегчает вычисление некоторых осредненных величин. Этим можно довольствоваться, когда нужда в учете деталей распределения напряженного состояния отодвинута на второй план.
§12] ИЗМЕНЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА, ПОДВЕРГНУТОГО ДИСТОРСИИ 235
Начнем с определения среднего значения T°(w). По (2.3.7) и (5)
n т° <w)dv=
V
= = V.[VV-T° (у) + Г (v)]rdn -
— J J n-[Vv-T° (v)H-T' (v)] rdo О
= - T Ш [T° (v) VvT + T' (V)] dv (19)
V
— было использовано преобразование Гаусса —Остроградского и правило вычисления дивергенции произведения тензора на вектор г. Средние значения первого инварианта тензора напряжения и определенного по нему объемного расширения оказываются равными
(w) = (v)•£(¥)) + /! (Г (v))]dv,
V
(20)
так как первый инвариант произведения симметричного тензора на кососимметричный равен нулю:
о л (Т° (v)-Q(v)) = 0.
По (19) составляется также среднее значение линейного тензора деформации
(w) = Tm (w) - EgjA^a^w). (21)
Эти же соотношения можно получить, применяя теорему взаимности в линейной задаче определения w по силам pokx, fx-
§ 12. Изменение объема тела, подвергнутого дисторсии
При отсутствии внешних сил (к = 0, f = 0) среднее значение Ти(ц) тензора напряжения, как это следует из (2.3.7), равно нулю. Конечно, сам тензор Т (и) при этом может быть отличным
236
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
1ГЛ. 6
от нуля. Например, напряжения возникают при наличии дисторсии Вольтерра или дислокаций более общей природы *).
В приближении эффектов второго порядка, основанном на выражении (10.7) тензора Т (и), условие равенства нулю среднего значения этого тензора представляется выражением П$т(и)лМ$5(1+<>)т(и)Л>-
V V
= Щ [T»(u) + 2e(u)-T°(u)+T'(u)]^ = 0. (1)
V
Среднее значение его первого инварианта стт (и) для материала Мурнагана по (10.9) выражаются формулой
om(u)= IJjJ Г(ЗХ + 2И)ад+(2Х + 3/-/п + » L
+ f4p + 3m — 1г (s (ц)2) (37i-|-2р.) (ы • ю +
(2)
Этим определяется среднее значение первого инварианта линей-о
ного тензора деформации 8(и) через величины второго порядка малости. Но эта же величина может быть выражена через относительное изменение объема тела. По (10.3) получаем
V V
V
00 1 1 7°
а (и) + (О- (О + у»)2 — у
(3)
Исключив •& из
D'»=-3X+2jljn
V
этих уравнений, приходим к представлению
2с—р. —|— 3Z — m+-g-^'&2 +
*) Понятие дисторсии Вольтерра можно объяснить так: из двусвязного тела (тора, например) после его рассечения на поверхности о удален тонкий слой, а затем конгруэнтные концы полученного односвязного тела снова спаяны (в тор), причем им было сообщено малое поступательное перемещение с и малый поворот Ь. Эту операцию образования нового тела из старого Вольтерра назвал дисторсией. В подверженном дисторсии упругом теле возникает напряженное состояние. Оно может быть рассчитано теоретически по заданию векторов с,Ь. Последние могут быть экспериментально определены измерениями смещений и поворотов концов разрезанного кольцеобразного тела. Термин «дислокация» связывается с физическими явлениями, подобными нарушению структуры кристаллической решетки, также создающими напряженное состояние при отсутствии внешних сил.
§13]
ЗАДАЧА О КРУЧЕНИИ И РАСТЯЖЕНИИ СТЕРЖНЯ
237
Входящие в него постоянные Мурнагана оказывается возможным выразить через величины (5.3.21)—изменения второго порядка модулей объемного сжатия и сдвига. Приходим к формуле, полученной Ценером (Zener, 1942) из других соображений
— 7.-1- 2/3р {т [Х + ^хх (°) ~ б'Ихх (°)] й2 + V
+ [и + Нхх(°)]Л (5)
Входящие в нее инварианты & = /, (в), 7, (в2) определяются решением задачи о напряженном состоянии подвергнутого дисторсии линейно упругого тела.
Более общие результаты для анизотропных упругих сред приведены в работе Тупина и Ривлина (Toupin R. A., Rivlin R. S., 1960).
§ 13. Эффекты второго порядка в задаче о кручении и растяжении стержня
. 1. Линейная задача о кручении стержня. Ось Оа3 направлена по оси призматического стержня, оси Оа1, Оа3—по главным центральным осям поперечного сечения а3 = const; длина стержнй обозначается L, площадь поперечного сечения S, полярный момент инерции Iр\ р обозначает вектор-радиус точки в поперечном сечении, так что
р = Ra1-у j2a2, JJpdo = 0, ,Пр-р^о = /„. (1)
s s ..
Решение линейной задачи задается вектором перемещения
v = a[a3i3Xp + i3q) (а1, а2)] (2)
— отброшены слагаемые, определяющие твердое перемещение. Через а обозначен угол кручения, отнесенный к единице длины. «Депланация» <р (а1, а2) —гармоническая в S функция, определяемая по значению" ее нормальной производной на контуре Г поперечного сечения
о
¥2ф
Э2Ф , d2<p __q да12 "Г да22
+ а1}!?— а2п, = 0
дп * • 1
(«1 =
dads
da^\ ds J
(3)
П2
0
Определяемый по (2) тензор Vv равен
v Г ° 1 /о Эф дф\
vv = a[a’(i1i2 —i2iJ)4-i3(i3xp) + V<pi3J = + i2^)
(4)
238
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
Отсюда находим выражения линейного тензора деформации о о
e(v), его первого инварианта •& и вектора малого поворота о
0 1 /° 0 \ 1
8 (V) = у <Vv + Vvt; = у a[i3 (i3 X р) + («з * Р) i3 + V(pi8 + >зVcp], (5)
w(v) =yVx v = y a^2a3i3—p + V(pxi3; , {[ = 0. (6)
Тензор напряжений T° (v) оказывается равным or о о I
Т° (v) = ME + 2ps (v) = pa Li3 (i8 X p) + (i3 X p) i3 4- V<pi3 4- i3Vtp J = — T3i (Ms + Mi) + Т2з (Ms Мз)>
T3i = pa(^r-a2}> T23' paf'||4-a1^ . (7)
Постоянная a выражается через крутящий момент mz и жесткость при кручении С
tn2 = раС, тг = (а1^ — а2т31) do (8)
s
и по (7) и (1)
C-Zp + jj (а1|^-а2^ро--/1,4-f f (i3 х р) -Vcpdo. (9)
s s
Другое представление жесткости при кручении дается выражением л л о о
С=/р—Vcp-Vcpdo. (10)
s
Имеют место соотношения
JjJv<pdo=0, JJp-V(pdo = 0 (11)
s s
— первое по (7) выражает, конечно, равенство нулю главного вектора напряжений т23, т31; оно легко следует и из краевого условия (3). Несколько сложнее подтвердить второе. Имеем
JJp-V<pdo= ff + fCtpdo^
S S S
= фр-nds —2 фс1о = 0, г s
ЗАДАЧА О КРУЧЕНИИ И РАСТЯЖЕНИИ СТЕРЖНЯ
239
S131
так как из преобразования Грина в применении к ср (а1, а2) следует
ff (p-pV2<p-(pV2p.p) do = (f) (р- p^-cp^p-pW r /
4 <pdo — 2ф<pp• nds s г
— здесь было учтено, что <р —гармоническая функция, а линейный интеграл над р-р|^ по (3) оказывается равным нулю:
р • р ds = (а1‘ -ф а2’) (ain1 — а1^) ds = 2 (а1^2 — aW) = 0.
г г s
2. Эффекты второго порядка. Необходимое условие существования корректирующего вектора w (11.9), поскольку /х (Т°) = = 0, приводится к виду
— *з $ J р-V(pdo4~a3J J (v<p + i3Xp)do^=0.
s s
Оно выполняется no (11) и (1). Изменение AL длины выражается через среднее относительное удлинение
о
AL = Li3-e/B (v)-i3
и по (11.20), (11.21) представляется выражением
" гЬМ) “0{зхТ2? [' + '* <т’>] -
0 S
-i3-(г-VvT4~T') • i8j-
— достаточно знания первых инвариантов и (ЗЗ)-компонент тен-о
зоров T°-VvT, Т'.
Вычисление дает
/ О \ .0 г осот
Д (kT°-Vv1J = Т°« • VvT = pia2|_р-р+ 2 (i3Хр)• V<p 4-V(p-VipJ , i3-T°.VvT-i3 = pa2 [p’p + (i3Xp)-Vcp] ,
j T°(v) • co (v) do = pa21
стержня
(13)
240
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. С
а обратившись к представлению (10.9) тензора Т', приходим к выражениям
Ц (Г) = а2
i3-T'
i3=a2
/ , t ,00л
(3^+2р,)(а3 +ур-р+^ср-¥ср^ +
+ 4 (3m ~4) (р’Р + 2 Оз X р) Vcp-J-Vtp-Vtp)
А^+ур-р +jv,p.V,p) +
/ 0 0 0 X 0 0 "
+ ymAp-p + 2(i3Xp)-Vcp + Vq>-V(pJ + pV<p-Vcp .
После подстановок в (13) и упрощений получаем
_ к С С С Г f I _1 3w __________________L т 'l у
2puSJ йа J J [\3Z-[-2pi+ 2 Л 3%+2ц 2 т] Х
о s
X <р• р+2 (isXp) -Vcp+Vtp.VtpJ— HkP’p+GsXР)'Vq>-|-Vq>-Vq>>J do.
По (9) и (10)
П (p-p + 2(i3xp)-V(p + Vcp.VCp)rfO=//, + 2(C-/p) + //,-C = C, s
П (p*p4-(i3Xp)-Vcp) do=Ip+C— Ip~Cy JJvcp-Vcpdo- Ip — C s
s
и искомое представление относительного удлинения выражается формулой *)
AL L
a2/p а2С 1 h n't'
2S + 2S 3/.+ 2р Г' 4p т
a2lp , a2C Г nv z< 2S"+2S (H-v) [V ~ 4jx “I1 ~
(14)
Укорачивается ли стержень при кручении или удлиняется, наперед сказать нельзя: это зависит от постоянных материала; напомним, что для многих материалов п < 0, т < 0.
3. Растяжение стержня. При действии продольной силы R вектор перемещения точек призматического стержня и тензор
*) Задача была рассмотрена Ривлиным (R. S. Rivlin, 1951). После согласования с принятыми Ривлиным обозначениями обнаруживается отличие (14) от формулы Ривлина — в ней первое слагаемое в квадратных скобках 2v, а не V. Вычисление в тексте многократно проверено разными путями.
0
Л (s2) = (1 4-2v2)
§131 ЗАДАЧА О КРУЧЕНИИ И РАСТЯЖЕНИИ СТЕРЖНЯ 241
напряжений в нем определяются общеизвестными формулами
v = — ve3p4-i3e3a3, Т° = 2р (1 + v) e3i3i3;
е R - -- Стз
3 2 (1 + у) |iS 2(14-v)|x’
так что
Vv = e3 (—vE24-i3i3) = VvT = e(v), V.v = ft(1 — 2v) es,
о
w = 0, (15)
причем E2 = ijj-|~i2i2. Требуемые для вычисления эффектов второго порядка величины оказываются равными
о
Т°-VvT = 2р (1-ф v) eli3i3, о о
VvT-Vv = ef (v2E24-i3i3).
Корректирующий тензор напряжений Т' по (10.9) представляется выражением
Г - el { Е2 [1Л (1 + 2v2) 4-/(1 -2v)2+ (2m-n) v (1 + v)4- (n-фр)v2] + 4-i3i3 [4z(14-2v2) + /(l~2v)24-(2m-ra)(l-v2)4-«4-p]}.
Необходимое условие (11-9) существования корректирующего вектора w соблюдено, конечно, так как (о = 0. По (11.21) среднее относительное удлинение, налагаемое на е3, оказывается пропорциональным е3 и зависящим только от упругих постоянных материала
. . = -4 е2 --|[/ (1 -2v)2 + 2m (1 - v) (1 4- v)2 4-3nv2] (1?)
(£ = 2p(14-v)).
«Характеристику» материала (диаграмму е3,ст3 растяжения образца) называют мягкой при AL/L < 0, жесткой —при AL/L >0.
4. Кручение растянутого стержня. Далее величины, относящиеся к кручению, снабжаются индексом 1, а растяжению — о о
индексом 2. В частности, ft— ft2.
Необходимое условие существования (11.9) вектора w остается выполненным, так как
Jjj [Тз-®! — ®1Л (T?)]dv-(1 4-v) (p — Vipxijdn -0.
V v
242
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 6
Далее по (4) и (5)
о о о г О I
Vv = Vvt + Vv2 = а |_а3 (ij2 — i2ij Д i3i3 х р + V<pi3J ~Н3 (—vE2+i3i3)
и поэтому
0 0 0 0 0
Т». Vvr =Т?. Vvl + T°-VvI + TJ-VvJ + T“-Vv{ =
0 О г 0 1
=T?-Vv{ + T^VvT+p.ae3 [ — vi3 (i3 х р) + i3 (i3 X р) + VtpiJ ф-
+ 2рае3 (1 + v) [i3 (i3 X p) + i3V<p] .
/ о \
Отсюда следует, что на формирование средних значений /ДТ°-VvTJ, о
i3T°Vvri3 взаимодействие деформаций кручения и растяжения не влияет; их действия аддитивны. Слагаемые взаимодействий, входящих в представление (10.9) корректирующего тензора, образуют тензор
„ / 1 , 1 \ /о о о о \ /оо о о \
Т =Е (д + + «(481-82+e2-eJ +
О /00 О О \
+ (2т — п) 8^2 +рД Vvl-Vv2 +Vv|-VvJ
и легко обнаруживается, что первый инвариант этого тензора и его (ЗЗ)-компонента равны нулю. Средние величины эффектов второго порядка в задаче о совместном кручении и растяжении равны сумме этих величин в каждой из деформаций по отдельности. Конечно, здесь речь идет об исключении из общего правила—в нелинейных задачах эффекты действия отдельных факторов не аддитивны.
5. Кручение сжатого по боковой поверхности стержня. Боковая поверхность стержня нагружена давлением, пропорциональным осевой координате f = — qa3n. Непосредственно проверяется, что уравнениям статики в объеме и на поверхности
о
V-T° = 0, п-Т° = — ga3n
можно удовлетворить, приняв
Т0- — qa3E2. (18)
Уравнения Бельтрами также выполнены, поскольку Т° лишь линейно зависит от координат.
Линейный тензор деформации, вычисляемый по известной формуле, оказывается равным
е = Гт° — i^-E/JT0)] = —^ i3i3(19)
2ц |_ 1+v 14 2|1 3 3 l-J.-v/ v
f 13] ЗАДАЧА О КРУЧЕНИИ И РАСТЯЖЕНИИ СТЕРЖНЯ 243
По нему интегрированием (например, по формуле Чезаро) находим вектор перемещения
оа3 1—v , о /1—v 1 . v „2> .
V = — -75— т——р+тг- Г-i-Tp'p + i-i—а >3
2р. 14-v 2р \ 1 -|-v 2 r г 1 l-|-v ) 3
и далее вектор малого поворота
Ю = -^ГТТ?3ХР- <2°)
Необходимое условие (6.11.9) существования вектора w выполнено, так как здесь
$П^[т°-®-®Л(т»)] =
V
L/2
= j a3da3 Jdo [Е2-(i3 х р) — 2i3 х р] = 0. (21)
-L/2 S
Начало координат выбрано в центре инерции стержня
L/2
j J^pdo = 0. (22)
-L/2 S
, Переходим теперь к рассмотрению совместной деформации кручения и сжатия по боковой поверхности. Тензор в левой части уравнения (11.10) теперь записывается в виде (величины, относящиеся к сжатию, обозначаются индексом 3, к кручению — индексам 1) .
Щ [т° (у1 + уз) - Е/1 (Т° (vi + v3))] dv =
Ы2
= J da3 do (T° (vj - </a8E2 + 2?a3E) = 0, -L/2 S
как следует из (22) и (7). Надо рассмотреть теперь правую часть
[т° (у1 + у3)-(и1 + ю3)-(ю1 + (03) Л(т° (vt + v3))]dv = V
Г р р Г О О 00 о
= Ш Lt°(v1)-®i + T°(v3).®3 + T»(v1).(03 + T(v3).(01-V
0 0 / 0 \ “I
-®зЛ (Т° (д (v3)JJdv =
7 /2
р ггГ 0 00/0 \ “|
= J da3 j J Lt° (Vj) • ю3+ Т0 (v3) • (Oj — (Oj/j Д (v3)/J =/i3, -L/2 S
244
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[гл. G
так как остальные слагаемые по (21) и (12) отпадают, остались лишь величины, обусловленные взаимным влиянием деформаций. Обратившись к формулам (6), (7), (18), (20), после вычисления
получим
1 / /2
Л=2
1—v С \
1 + v S/
Эта величина отлична от нуля. Критерию существования корректирующего вектора w нельзя удовлетворить, хотя для каждой из деформаций по отдельности (а=4=0, = 0), (а = 0, <7=^0) он выполняется. Любое направление служит осью равновесия, так как левая часть уравнения (11.10) —тождественный нуль.
Этот пример невозможности построения эффектов второго порядка приведен в монографии Гриоли (Grioli, 1962).
§ 14. Эффекты второго порядка в плоской задаче для полулинейного материала
Задача рассматривается в предположении с=1 в исходных определениях (8.1); вводится, вместо (8.18), обозначение
Ш?х=ф*(£) = 2рЛР(С). (1)
Далее предполагается, что q > 2 (Х-]-р)/(Х4-2р), так что ф (q) > 0; при ф (q) = 0, q = 2 (Хф-р)/(Х-|-2р) по (8.16) и по (8.26), (8.27) получили бы щ-Щ;- — 4р —среда находится в состоянии гидростатического сжатия интенсивности 4р. При принятом условии М2 (£) — функция, не имеющая нулей в рассматриваемой плоской области S3. Напомним также, что при q — 2, ф(<7)==2щ Л42 (С) = exp iy, напряженное состояние отсутствует.
Основное соотношение (8.19) связи искомых функций z(£, f) и М2 (0 в .©-области переписывается в виде
J = j-L М2 + (2)
Из него получаем
z —
__ ?
^LM(o-^M(M-¥© , (3)
так что
с
fм <й 4 те-чя- ip®
(4)
s mJ
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
245
Выражение производной г по дуге контура I в области b (в отсчетной конфигурации) приобретает вид
dz сгГ _ ; /п Г МЧП I X+|X —
Js ds "f" ds | X+2p. A, + 2р. M (?)
-ft##- (5)
^ + 2hLJ J
и условие (8.20) представляется соотношением
- i
Х-}-2р г dS 2р"(Х-|-р)' ds
МЧУ
M(g)-| М(У.
(у . (6)
М (?) b w Г 7
Такова нелинейная краевая задача разыскания двух аналитических в b функций М (У, N (у.
Непосредственно проверяется, что правая часть (6) удовлетворяет условиям статической эквивалентности нулю распределенной по контуру I области системы сил f. Используются соотношения
$ф(У У nds = 2 ff do, ^Ф(У У nds = 2 Су-^йо, (7) i ь П °
представляющие форму записи преобразования Гаусса —Остроградского, например,
§ Ф (£Л Qnds=(f) (ft! + tft2) Ф (у у ds =
= П ^ds = 2^~^do’
b s
По (5) выражение главного вектора V сил f представляется функцией
V = ЛтхЧ fdS =
2р(л + р) 2р(А.+ р)У'
=2 jC [дм*(£) ь
м (□ д м (О dN' (01
М (О "%? (О _
do — 0.
д
С
Выражение момента силы записывается в виде
246
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. G
и по (6) имеем
2р (%+% т° 2 / № dS
= ±(6 {гп Гл42(£) — -£гтЯ] — гп [ЛР(£)—-ОЩ ds +
2 У I [ w М (g) J w м (?) J f
а м(?) м (о
Этому выражению, если исключить из него по (2) и (4)
Aft. Ь «2.й;-/й5 и® J в? м«)
и использовать преобразование (7), придается вид
т° = [znM2 (£) — г/гЛ42 (£)] ds =
==2[ИП I—/Ro—^m2(c)U.
По (1) и (8.19) выражение под знаком интеграла равно нулю, как и требовалось.
Переходим к рассмотрению эффектов второго порядка. Не имеющая нулей в 6-области функция экспоненциально представима в ней, так что
M2© = expQC), == exp
Л4 (g) z
Е Е
S жгdt=~ i Q'(0 fехр
В рассмотрение вводятся потенциалы Мусхелишвили Ф(П> Т (£), дающие решение линейной задачи
jA±|^ г = п [Ф (0 + ф О - п [£Ф' ® + V (£)] (8)
(предполагается здесь и далее, что нагружение «мертвое», иначе говоря, f= f° — сила остается при деформировании неизменной).
$141
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА
247
Соотношение (8) позволяет теперь заменить краевое условие (6) записью
п (Ф (С) + Ф Ю) - п (СФ' (С) + ¥ О =
= 2п [exp й (£) - ехр 4 (й (С) - ад] -
Г ’
-П I й' (С) J ехр 4 (О (?) - Й (0) dt, + N' (С)
(9)
Модули функций Ф(£), Т (£), решающих линейную задачу, имеют порядок линейных деформаций. Чтобы учесть эффект второго порядка, следует принять
йЮ-ФЮ+ФхЮ. (£)+«) (10)
— корректирующие слагаемые Ф! О (£) должны быть по крайней мере второго порядка. Отбрасывая слагаемые выше второго порядка, получаем
ехр й (£) = 1 + Ф (□ + Ф, (Q + 4 Ф2 (С), ехр j (й (£) - ЙО =
= 14 4 (ф (□ - фто)+4 (ф1 (S) - ФЖ) + 4 (ф Й) ~ Ф®)2.
2 [ехр Й © - ехр 4 (Й (D - ЗД)] = (Ф (С) + ФО +
+ (Фйи+ФГо+4ф2 (С)-тФЧ0+4ф®фо Е
й' (С) j ехр 4 (й (С) - ЙО = [ф' (?) + ф{ (С)] £ +
Е
+4Ф' (о у[фо-ф(М-
После подстановки этих выражений в (9) линейные относительно Ф(С), ¥ (Р слагаемые сокращаются; это служит проверкой того, что первые слагаемые в (10) действительно дают решение линейной задачи. Для определения О (£) получаем краевое условие
п (ф( (0 + ФЙО - «СФГ© - «О) =
=4»(-уф2 (о+|фчи-ф(оф©) +
/ Е \
+44ф'®уф(м-?ф(оф'(о4 (Ц)
248
ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
1ГЛ. О
соответствующее линейной задаче с «поверхностными силами» / Е
1 Л Зф2(СИ 1 ^_ф(£)ф(^+ 1 |ф' а) СФЮ
Л^ф7© I)+«Q(C, С), (12)
известными по решению задачи (8). Без труда проверяются соотношения
дР ,^_f)
Из них и формул (8) следует, что главный вектор «сил» (12) равен нулю.
Выражению главного момента их придается вид
тй = 27 $ (пР + ~ (пР + ds =
I
= -i^(p~p)d0=2i^ (Ф2(£)-ФЧР)do b ь
и условие обращения его в нуль приводит к соотношению
JJ [Ф2 (С)-ФЛ)]т/о-0. (13)
ь
Но^решение линейной задачи определяет функцию Ф (£) с точностью до аддитивной чисто мнимой постоянной 1С. Приняв
Ф (£) = Фх (С) + iC, Ф2 (£) = Ф2Х (£) + 2/СФх (С) - С2, ф2 (£) _ ф2 = ф2 (0 _ ф2х (?) + 2iC (ф (£) + Ф (£)) (
можно теперь переписать (13) в виде
2С J J [ф (£) + Ф7Г)] do = i $ J [Ф2Х (0 -ФГ©] do. ь ь
Постоянная С может быть определена отсюда при условии
2$$[Ф(С)+ф7Г)]с(о¥=0.
ь
В задаче о плоской деформации
2 (Ф + Ф) = о, + о2 = 1 о3, У f (Ф + Ф) do = 1Q
1 ь
j ]5l О «ФИЗИЧЕСКИ-НЕЛИНЕЙНОЙ» ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 249
__здесь Q —продольная сила, создаваемая приспособлениями, предотвращающими продольное смещение торцов цилиндра (было принято, напомним, с= 1).
§ 15. О «физически-нелинейной» теории упругости
Известно, что в некоторых материалах (горные породы, чугун) уже при весьма малых деформациях обнаруживаются нарушения линейной зависимости тензора напряжений от линейного тензора деформации в. В «физически-нелинейной» теории предлагается компенсировать этот недостаток, сохраняя в уравнении состояния вторую и иногда более высокие степени е.
Такой прием учета, предложенный Каудерером (Н. Kauderer, 1958), получил распространение в ряде публикаций. Здесь он сопоставляется с построениями «эффектов второго порядка», в которых сохраняются все слагаемые, квадратичные по градиенту деформации вектора перемещения Vu.
Ограничиваясь рассмотрением изотропного упругого материала, будем исходить из соотношений (2.7.6), (4.1.8)
6э= эс--6Сг = Г--6Ст, (1)
в которых С —тензор деформации Коши —Грина (1.7.9), а Т~— энергетический тензор напряжений (2.6.11)
0 1 о о
C = e(u) + |Vu-VuL Г = у эс. (2)
Тензор напряжений Коши по (4.3.26) связан с Т” соотношением
0 ° / ° \ / о \
Т= VRTT''-VR= (4E + VuT;-T'’-<E + Vu; =
= Т + VuTT~ +Т~ Vu + Vu‘ T“• Vu. (3)
Задавшись удельной потенциальной энергией э в форме Мурнагана
9 = 4 (X + 2р.) II (С) -2р/2 (С) +1 (/ + 2m) (С) -
-2тЛ(С)/2(С) + п/з(С), (4) по (11.3.3) получаем
Т = [д77(С) + 71 077(C)+ 12 077(C)] Е —
0 — [э7Г(С) + /1^ 077(C)] С + 377(С)С2 =
Т (С) + [И2 (С) - (2m—и) /3 (С)] Е + (2m - ti) 1г (С) С + пСа, (5)
250 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ. G
О
причем Т (С) — линейный оператор закона Гука над С
Т (CJ = (С) Е + 2рС = Т (е) + ± Т ( Vu • VuT) =
/0\ 0 i / О О \ 00
= A/j (4eJ 4-2р,8 + у X/j (,Vu-VuTJ +pVu-VuT. (6)
0 zo\
Конечно, Туе/—тензор напряжений линейной теории упругости. Сохранив теперь в (5) лишь слагаемые не выше второй о
степени относительно Vu, получаем
0 /0\ | ,/ О О \ 0 0
Т~ (C)=tW+|U1 (.Vu-Vu*,) E + pVu-VuT +
+ [//? (е)—- (2m — п) /2 (е)] Е + (2m — га) 11 (е)е + /ге2. (7)
По (5.3.6) и (3) приближенному представлению тензора напряжений Коши Т придается вид
T = T^eJ-Л (е)Т(е) (.Vu-Vu^ +pVu. Vur +
+ VuT • T (e) + T (e) • Vu + [Hl (») — (2m — n)I2 (e)] E + /о\ о о
+ (2m — ri) Ix ^ey e + ne2. (8)
Его, конечно, можно преобразовать и к знакомому виду о /о\ /о\ о /о\ о 0 /0\
т=т^;-л (,е,)тЫ+28-Т W+г,
Т' = 1Т (VuT • Vu) + [Z/f (е) - (2m- п) I2 (е)] Е +
/оу о о
+ (2m — ri) Ц \е.) е + пъ2 (9)
— обозначения несколько изменены с целью сопоставить (8) или (9) с представлением Т в «физически-нелинейной» теории.
В последней удельная потенциальная энергия деформации предполагается зависящей только от линейного тензора деформации: э(С) заменено на э(б). Например, для материала Мурна-гана принимается, во-первых, вместо (4)
э у (X + 2р) /i (£) — 2p.Zx (е) + у (/ + 2m) 11 (е) —
— 2m/j (s)/2 (е)(s). (1())
Во-вторых, верные в линейной теории соотношения
6? = Т--6ег, Т = э0 (П)
g !5] О «ФИЗИЧЕСКЙ-НЕЛЙНЕЙНОЙ» ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 251
считают применимыми вместо (1) и при учете слагаемых второй о
степени по 8. В-третьих, вычисляемый по (11) тензор Т не представляет ни тензора напряжений Коши, ни энергетического тензора напряжений.
При сделанных упрощениях тензор напряжений «физически-нелинейной» теории, обозначаемый далее Т по (10) и (И) представляется выражением
° Г /°П /о\ ° о
f = э0 Т [_//i (s) — (2т — п) /Де) J Е 4- (2т—п) /х (8) 8 4-ns2, е
(12)
Оказались утерянными слагаемые той же второй степени по градиенту вектора перемещения, что и учитываемые этой теорией ° о
Т-Т=Д vrt-3c-vr—э0 =
/ 0 \ 0 / 0 \ 00/0\ ,0/0 0 \
= -Zj8jT Ы+28-Т ДМуТДгК.УиЛ (13)
В приводимом далее иллюстративном примере простого сдвига компоненты тензора напряжений Коши, определяемые формулами (4.7) по заданию (5.3.2) удельной потенциальной энергии, представляются формулами
Р = | [Д + 2р.) -hy/s2 + m(l +s2)+2p (s2)] s2,
' i22 = y [(X + 2p)+-|^ + m(l+s2)] s2,
/3:1 = [ A 4- у As2 -j- tn — y-j s2, /12 = p(s2)s, /23=431 = 0
и при учете лишь слагаемых не выше второй степени по s
= y (A4-4p4-m) s2, /22 = -|- (А4-2р4~/Д s2,
/33 = l(A4-m-|).
Имеем также
VuT = i1i2s, Vu^ipjS, 0 J 0 0
e =-g-(iii2 + >2*1) VuT-Vu = i1i1s2, aG)=0, T = ps(i1i24-i2i1), 2eT = ps2 (ijj + iai2),
i ° (° о \ i
252 ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ [ГЛ.
и по (13) приходим к’равенствам
/11-7и = у (Z + 4p)s2, Z22 —f22 = yb(Z + 2p)s2, t^-ii3 = ~Ks\
Из них при s—>0 следует, что
/22 z ] ।
/12 ' tn ’ 722 ' т ’
n/2 ' (14)
Для стали Hecla 17 по приведенным в гл. 5, § 11 данным
В опытах Зеегера (A. Seeger, 1960) было получено для одного из сортов стали
— =1,39, — = — 1,6, — = —10,1, — = — 22,7
р. ’ ’ р и р.
и по (14) оказывается
Неприемлемость «физически-нелинейной» теории — следствие как этих экспериментально обнаруживаемых результатов, так и перечисленных выше ошибочных предпосылок самой теории. Можно также добавить, что процедура вычислений физически-нелинейной теории не имеет и преимущества простоты по сравнению с описанными в §§6—10 правилами расчета «эффектов второго порядка».
Глава 7
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
§ 1. Упругий материал с наложенными связями
1. Во всем предшествующем предполагалась способность материала как угодно деформироваться под действием надлежащим о
образом выбранных сил. Градиент места VR и определяемые по нему меры деформации считались произвольными достаточно гладкими функциями материальных координат. Но оказывается целесообразным рассмотрение моделей материалов, наделенных способностью не допускать некоторых деформаций, каковы бы ни были приложенные к телу силы —материалы с наложенными связями. Несжимаемая жидкость — классический пример этих материалов.
Связь задается условием, налагаемым на градиент места
y(VR) = 0. (1)
Это свойство материала должно удовлетворять принципу материальной индифферентности (гл. 3, § 2); иначе говоря, скалярная функция у должна сохранять вид при любом ортогональном преобразовании о о
VO с о: у (VR) = у (VR-О) = 0. (2)
о о
Заменив VR его полярным представлением VR = UOX и принимая 0 = Охт, придем к соотношению
о
v(VR) = y(U-Ox-OXT) = y(U) = 0, (3)
являющемуся решением функционального уравнения (2). Итак, сохранив обозначение уравнения связи буквой у, имеем
о
Y(VR) = y(U) = Y(GI/2) = V(G) (4)
о
При всех VR. Отсюда, вспомнив определение (II.2.7) производной скаляра по тензору и сославшись на (II.3.5), имеем
„ООО О 00
6Y = У (VR + 6VR) - у (VR) = у0 • • 6VRT = 2yG • VR • • 6VRT = 0.
254
Несжимаемый упругий материал
[ГЛ. 7
2. По (2.7.5) удельная элементарная работа б'а(е) внешних сил, равная вариации удельной потенциальной энергии э, представлялась сверткой
о о оо
6'а(е) = бэ = э0 •-6VRT= Р--6VRT = 2aG-VR-• 6VRT (6) VR
и из этого соотношения, как условие произвольности вариаций о
6VRT, следовало представление тензора Пиола в форме произ-/ о \ о
водной э IVRJ по VR. Теперь же следует учесть связанность о
вариаций 6VRT условием (5). Хорошо известный прием введения лагранжева множителя А, позволяет записать (6) в виде
оо о
бэ= 2 (aG + /.yG)• VR-• 6VRT= P• 6VRT (7)
о
и вновь считать за счет выбора А, вариации 6VRT независимыми. Это позволяет представить тензор Пиола в материале с наложенными связями в виде
о
P = 2(3O + M’g)-VR = P£ + Ps, (8)
причем в задании э должно быть учтено уравнение связи (4). Подобно известной в общей механике классификаций’ сил на задаваемые (активные) и реакции связей (реактивные силы), тензор представлен здесь суммой слагаемых: «определяемого» по э напряжения Р£ и реактивного Ps
о о
Р£= 2sg • VR = э 0 , Ps = 2AyG-VR= Ау0 . (9)
VR VR
Аналогично разбиение тензора напряжения Коши на «определяемое» напряжение Т£ и «напряжение связи» Ts
T = T£ + TS, TF= ]/ | VRt-P£=2 vrt-5g-vr,
TS = 2Z VRt-Vg-VR. (10)
Сказанное обобщается без труда на случай нескольких связей
V,-(G) = 0 (i = 1, 2, ..., s). (П)
Введя лагранжевы множители .........ks, получим
А ° гт ° °
Ps-22\7,.(G)c.VR, Ts=2)/| VRt-£Mz(G)g-VR. (12)
§1] УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ С НАЛОЖЕННЫМИ СВЯЗЯМИ 255
В число подлежащих рассмотрению уравнений включаются уравнения связей (11), чем компенсируется вхождение такого же числа неизвестных А2, ..ks.
3. Удельная мощность напряжений связи, определяемая сверткой тензора напряжений с тензором скорости деформации D по (2.7.12), (1.10.10), (1.13.10), равна
Ts--D = 2|/j AVRT-yG-VR--D =
= 2|/-j ZTG. VR DVRt= ]/ | ATg.-G.
И так,
Ts D= j/f A?g--G = j/f Ay(G) = 0, (13)
так как у (G) = 0 — уравнение связи должно выполняться при всех t. Удельная мощность напряжений связи оказалась равной нулю. Этим на механику сплошной среды распространено понятие идеальных связей общей механики. Доказывается обратное предложение: если соотношение (13) выполняется во всех допускаемых связями движениях (для всех D), то тензору Т$ должна быть придана структура (10). Действительно
о о
G = 2VR D VRT, 2D Vr G VrT,
Ts- D = yTs- Vr G vr = lvr’ Ts Vr G.
Вместе с тем по уравнению связи
?(G) = 0, Vg--G = 0
и введя лагранжев множитель —Aj/", получаем (vrT-Ts-Vr-2A]/-| Tg)..G = 0, VrT-Ts-Vr = 2A)/| Vg, откуда снова приходим к (10). Распространение на механику сплошной среды соотношения (13) позволяет прийти к представлению тензора напряжений связи, не используя понятия об удельной потенциальной энергии деформации. Допустимо, иначе говоря, рассматривать «упругий», а не «гиперупругий» материл.
4. Одним из примеров наложения связей может служить материал с вмонтированными в него в одном направлении и с достаточной плотностью нерастяжимыми нитями. Уравнению связи (4) по (1.4.2) может быть придан вид
о о
у (G) = е-Gе — 1 = 0, (14)
256
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
О
где е —единичный вектор, задающий направления нитей в отсчетной конфигурации. Сам материал («матрица») изотропен. Нетрудно понять, что вектором е определяется одно из главных направлений тензора меры деформации G, а соответствующее этому направлению собственное значение равно 1. Это следует из определения главных направлений (1.9.1) тензора
Ge=Ae, e-Ge=A
о
и этому соотношению по (14) удовлетворяет е = е, А = 1. По (1.9.7), (1.9.8)
Р3 (1) = -1 +1. (G) -/2 (G) +I3 (G) = О, /2 (G) = /, (G) +13 (G) - 1
(15)
и удельную потенциальную энергию э можно считать функцией, скажем, /1( 13
э (Ju IЛ) = 3 (Л> Л + Л — 1, /;|).
Определяющее напряжение по (4.3.4) оказывается равным
Т£ = 2 (Ф0Е + Ф1Р + >
причем фг находится по формулам (4.3.5), в которых 12 следует заменить его значением (15).
По (II.3.8) и (10) тензор напряжений связи представляется выражением
0 0 ЛТ 0 0 0 0 /"7 -
yG = ee, Ts = 2 у AVRTee-VR = 2А ее,
причем е — единичный вектор направления нитей в актуальной конфигурации — см. (1.4.17) и (14).
Уравнению состояния придается вид
Т = 2 j/j (Аее + ф0Е + ф1Р Ч~ф2Р2)/2= ,
а уравнение связи можно записать также в виде о о
е • G • е = е • Vr • G • Vrт • е = е • е = 1, Gskesek = 1.
Здесь ek — контравариантные компоненты е в векторном базисе актуальной конфигурации.
Конечно, здесь имелось в виду, что связь (14) — удерживающая, иначе говоря, приведенные соотношения неприменимы, если о
материал матрицы сжат в направлении е,
$21
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
257
В нерастяжимом в трех взаимно ортогональных направлениях е1( е2, е3 материале все три собственных значения G равны 1, G = E, деформация отсутствует, «материал» по (1.4.23) представляет абсолютно твердое тело. Тензор напряжений связи есть
Т5 = А,] ех ег Z2e2e2 Z3e3e3,
al потому тензор напряжений остается полностью неопределенным.
§ 2. Несжимаемый упругий материал
Этот «материал с наложенными связями» представляет наибольший интерес. Несжимаемой с достаточным приближением можно считать резину—-важнейший объект исследований нелинейной теории упругости —этот «наиболее упругий из упругих материалов, не поддающийся исследованию средствами линейной теории упругости» (Трусделл).
Любой элементарный объем несжимаемого материала остается неизменным при деформировании. По (1.8.1) и (1.4) уравнение связи имеет вид
у (G) =/8 (G) — 1 = 0 (1)
и по (II.3.2), (1.12)
Vg = /3(G)G-1 = G-1, Ts = 2]/-| A,VRT G-1VR = 2|Aj ZE.
(2)
В представлении удельной потенциальной энергии несжимаемого материала /3 =1 и для изотропного материала
Э(Л,/2,/3) = Э(Л,/2). (3)
Обозначив еще 2 Л= — р, приходим к уравнению состояния
T = Ts + TE = -pE +21^ + 2^, (4)
причем, согласно (4.3.5),
Ф1= (-07^ +Л ^7^) 5 (Л, Л)> Фг = (5)
Конечно, р — неизвестная наперед функция материальных координат (и времени в динамических задачах), определяемая из уравнений равновесия (движения), при условии несжимаемости. Аналогична ситуация в гидродинамике несжимаемой ^жидкости; в ней, как и в несжимаемой упругой среде р-«-давление. Роль уравнения связи отходит к уравнению неразрывности (1.14.13).
9 А. И. Лурье
258
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
При обозначении главных удлинений t\, v2, v3 инварианты мер деформации Коши G и Фингера F представляются формулами
/1 = ^+^+^. = + (6)
так как в несжимаемом материале
/3 =1/^=1. (7)
Представление тензора напряжений (4) может быть записано и в виде
T=-/’E+2wF-2^tF’1 (8)
— были использованы преобразование Гамильтона — Кэли
F2 =/jF —/2E-|-F-1
формулы (1.9.22), а р + /2ф3 снова обозначено р.
Из уравнения связи, записанного в виде = 1, следует соотношение
6^ 6^ бс^о. (91
V1 ' ' Уз
Используя его и вспомнив определение главных сил tk, имеем з з
бэ = ^2 tk8vk=y^ ------— }Svk=0.
aTi dVk Vk-
Главные силы и главные напряжения oft представляются теперь формулами
» Р । дэ . дэ g* t« си
t ъ = “К , (J b — Р "д * » ( Ю)
* Vk 1 dVk * г । /г QVk \
Уравнениям равновесия в объеме и на поверхности придается вид
V-T = V-Ts + V-T£ + pk = — Vp + V-T^ + pk-O, f = — pN + N-T£. (11)
Вариации 6R вектора места ненезависимы; по (1.5) и (2) они связываются соотношением
б/3 = 2G-1 • VR • • 6VRT = 2VrT[ • 6VRT = 2VrT- • (V6R)T-VRT=
= 2E--V6R'r = 0 (12)
— были использованы преобразования (2.8.4) и правило свертывания. .л
Вывод принципа стационарности потенциальной энергии системы никак не связан со свойствами материала. Поэтому и для
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
259
несжимаемой среды этот принцип сохранит вид (4.16.8); когда р = р0, Kg/G=l, он представляется соотношением
- 6 Ш $ (э - V
— рок • R) dV— f • R dO
Oi
0.
(13)
Но теперь при варьировании должно быть учтено наличие связи (1). Варьируемому функционалу придается вид
(И)
V
причем вариации 6R связаны соотношением (12) и no (III.3.10)
бШ 2LP(/3-1)^ = j‘JJpE--vSRTdy = j‘Jj [V-(pE-6R) —
V V vd
— Vp-6R]dI/ = JJ Np-6RdO-JJJ Vp-6RdV (15) ot * v J
(6R = 0 на части поверхности O2, на которой заданы перемещения). Поэтому
SadV-JJJ (pok —Vp)-6R dV-JJ (Np + f)-6RdO = 0.
V J V 01
(16)
Вместе с тем по (11.3.6), (4.3.4)
8э=э0 • • 6VRr = 2VR-3F- -V6Rr-VRr - 2VRT-VR• • V<5RT =
VR
= 2F-9f- •V6Rr T/:- V6R^V.(T7i.-6R)-(V-T£)-6R, JJJ 8adV = N-T£-6RdO-J\$ V-Tfc--6RdV
V 0, V'
и подстановка в (16) приводит к соотношению
(V-T£ + Pok-Vp))-6RdV + V
+ $$ (N-Т£ —Np —f)-6RdO = 0. (17)
01
Из него, как ожидалось, следуют уравнения равновесия (11). В базисе отсчетной конфигурации, продолжив (15), имеем
6 ~р (13 — 1) dv pn-Vrr-6Rdo —yyj (Vr-Vp; 6R dv
и Oj V
9*
260
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
и вместе с тем
И) «»*=)))’• • 8VR’dMS$₽r eVR’* =
v v Vr v
= Ш [v^P£-6R)-(v-P£)-6rU==
V
(vpF)-6RA>.
(?! V
Поэтому при «мертвом» нагружении (fdO = t°do)
-HS (v-p£-Vp + pok)-6R<to + V
\ \ (n р;, —/Л1 • VrT — f!J) 6R сУбл О (18)
и уравнения равновесия в объеме и на поверхности отсчетной конфигурации приводятся к виду
о о
Vp£ — Vp4-pok = 0, f° = n • р£—pn-Vrr. (19)
Конечно, можно получить их и непосредственным преобразованием уравнений (11). Действительно, по (2.6.2) тензор Пиола в несжимаемой среде представляется выражением
р= Vrr-T = р£—Vr тр (20)
и, сославшись на тождество Пиола (1.9.4), получаем соо о -> „ ° о
V р --V • р/; —V - VrTpV • р/:----г-• Vr1 Vp£— Vp-VrT,
07
что и требуется.
Выражение принципа Гамильтона —Остроградского (гл. 4. § 19) для несжимаемой среды следует дополнить слагаемым
V
преобразуемым далее согласно (15). Повторив вывод в (гл. 4. § 19) приходим к представлению принципа выражением
^dt\b^- JJJ Vp-6RdK+ J$pN-6Rr/O + 6'4
-0. (21)
Oi
§33
НЕСЖИМАЕМОЕ УПРУГОЕ ТЕЛО
261
Здесь —лагранжиан, равный разности кинетической и потенциальной энергий системы
^ = 3^-11, 9^=4jH*pV'VdK,
у
П = Ш [э(/„/2)-p0k.R]dv-$Jf°-Rdo. (22)
V Oi
Отдельным слагаемым в (21) представлена элементарная работа 6'Л(е) — непотенциальных поверхностных сил
6' Л(е) = J$f-6RdO. (23)
Oi
Следуя (15), можно записать (21) также в виде
$ ЦЁ-.VfiR^ i 6\4(<,У-°. (24)
Ц, L V
§ 3. Эффекты второго порядка в несжимаемом упругом теле
При учете только квадратичных по | Vu | слагаемых уравнение связи (2Л) по (6Л0.3) выражается соотношением
00 1 Л 1
$-н2+<о-<о—у/Д82;=о (О
и поэтому
(F) — 3 =/2 (F) — 3 = 2/t (е2) ф-2D2. (2)
Инварианты flt /2, значит и коэффициенты фг уравнения состояния, отличаются от их значений в отсчетной конфигурации членами второго порядка.
Уравнение состояния (2.4) после замены мер деформации по формулам (гл. 6, § 10) приводятся к виду
Т = — рЕ + 4 (ф! + 2ф2) е (и) + 4 (фт + 2ф2) VuT • Vu + 8ф282 (и) =
О ООО
= — рЕЦ-4 (Ф1 + 2ф2)° е (и) ф-4 (ф1 + 2ф2)° VuT- Vu -ф8ф^82 (и),
так как при принятой точности нет нужды учитывать отличие коэффициентов фг от их значений в отсчетной конфигурации. Обратившись теперь к (6.10.6), имеем
Ч>т=—эл <3>
262
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
Ггл. 7
и уравнение состояния с учетом всех слагаемых второго порядка приводятся к виду
Т = — рЕ+2ре (u)+2pVu-VuT —8 f e2(u). (4)
В линейном приближении (р0—давление в этом приближении)
Т Т° (и) = — р0Е4-2ре (и) (5)
и это соотношение должно рассматриваться совместно с уравнением связи
§ = (е) =V-u = 0. (6)
Уравнения равновесия в объеме и на поверхности по (2.11) записываются в виде
0 0 о
pV2u |-pok - Vp, п-Т°(ц)= — пр0 + 2цп е (u) = f, (7)
так как
00 <0/0 0 \ 1/0 00 \ ,0
V-8 = 2_VAVu + VuTJ = 4kV2u + VV - и;=у V2 (и).
Уравнение движения в объеме и уравнение связи повторяют линеаризированные уравнения медленных стационарных движений вязкой несжимаемой жидкости Навье —Стокса; отличие заключается в краевых условных.
Введя, подобно (6.11.1), в рассмотрение корректирующий вектор w, можно представить с требуемой точностью тензор напряжений в виде
Т = Т° (v) + T° (w) + Tz (v),
Г (v) = 2pVvT-Vv — 8 & (v), (8)
причем здесь о
T°(w) = — p1E + 2ps(w), p р. + Рг. (9)
Требуется еще заметить, что
7 0 \
N dO = n- VrT do — п • (Е — VuT) do « n- ^Е — VuT; do ,
о
так как VuT отличается от VuT слагаемым второго порядка по (1.3.9) 0 0 о
Vur VuT-VrrVur-(Е —Vur) » VuT.
§31
НЕСЖИМАЕМОЕ УПРУГОЕ ТЕЛО
263
Уравнение равновесия на поверхности может быть записано теперь в виде
N-TdO — (п—п- VvT) -Т° (v) do + n-T0 (w)do4-n-T' (v) do =
о
= [n • T° (v) + n • T° (w) + n • T' (v) - n • VvT • T° (v) ] do = f dO
и краевое условие для корректирующего вектора w представляется по (7) уравнением
о
n-T°(w) = — np1-|-2pn-8 (w) = fx,
fx = — n-(—VvT-T°(v)+T'(v)). (10)
Поэтому
J J (n• T°(w)-fx)do = J $ $ [v. T°(w)+V (—VvT • T°(v)+T' (v)) ]dv=0 o V
и уравнение равновесия в объеме приводится к виду
V.T(w) + kx = 0, kx = V. [-VvT-T°v)+T'(v)]. (11)
Уравнение связи (1) в этом приближении будет
,о оо
•& (w) = V-w =у /j (s2 (v)) — со (v)-(o (v), (12)
так как ft(v) = 0 по (6). Поэтому
00 ,0/0 ° \ 1 / о 0 0 \
V-8(w) = -g- V-(4Vw4-Vwt/) = -2- V2w + VV • wy =
,o i ° Г i 0 0 о
= _V2w + yV l/Js2^))-®^)-©^)
и уравнению равновесия в объеме (11) придается вид
1 .° о о
о о о ,
— Vpi + pV^ + pV у Л (82 (v)) — (О (v)• (О (v) 4-кх = 0.
(13)
Корректирующие вектор w и скаляр р, определяются этим уравнением, условием (12) и краевым условием (10). Главный вектор массовых кх и поверхностных fx сил равен нулю и необходимым условием существования вектора w является симметричность силового тензора
В = J J У kxr dv + f xr do = J QT dv, Q = — VvT • T°(v) 4-T' (v).
V О v
(14)
264
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
(15)
о
Заметив, что Т' = Т'т, а тензоры Т° и е сонаправлены, приходим к соотношению
В - Вт= Щ (й • То+Т°• o)dv^ Щ [<» (v) х T°(v)+T°(v) х ft>(v)]=0,
V V
приводимому, подобно (6.11.9), к виду
$ 5 J [t°(v) • (О (v) - co (v) Ц (t°(v) )] dv = I V
Используя равенство о о оо
T°(v) • со (v) = — роьл (v) + 2ue (v) • ю (v),
Л (t°(v)) = — Зр04-2цЛ(е(у))= — Зр0, можно придать этому условию также вид
J $ J[p8 (v) • (О (v) +р0(о (v)] dv = 0.
V
(16)
§ 4. Удельная потенциальная энергия деформации несжимаемого упругого тела
Наиболее распространено задание э в форме двухконстантного потенциала Муни
э = С, (Л (G)-3) + C2 (/2 (G) — 3) =
= Сх (и?+и* + of - 3) + С2 (пГ2 + v-l + v~l - 3), (1) представляемого также в соответствии с (3.3) в виде э = |н[(1+₽)(Л-3) + (1-₽)(/2-3)] ('С1 + С2 = 1И). (2)
Здесь ц —модуль сдвига при малых деформациях, (3 —подлежащая определению постоянная. Упрощенной формой потенциала Муни
з = С,(Л-3) (0=1) (3)
является «неогуков» потенциал, иначе называемый потенциалом Трелоара по имени автора, получившего это представление из рассмотрения конструктивной модели резины, как системы связанных друг с другом длинных молекулярных цепочек.
Необходимыми и достаточными условиями положительности э являются неравенства
С,>0, С2>0 (р, > 0, — 1<р<1). (4)
§4] ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ НЕСЖИМАЕМОГО ТЕЛА 265
Действительно, сумма трех положительных чисел vl, vl, vl произведение которых равно 1, имеет минимум, когда эти числа равны и значит, каждое из них равно 1. Итак,
—3>0, ир24-и2 24-и3'2 — 3>0,
откуда следует, что (4)—достаточные условия положительности э, но они и необходимы. Действительно, по крайней мере одна из постоянных, пусть С1( положительна. Приняв, что С2 < О, всегда можно было бы подобрать три положительных числа vl, vf, vl с произведением равным единице, чтобы выполнялось неравенство
С] Ч •—3 t'l 4~ + v3 . а О
I ^2 I Л 3
Определяемые по потенциалу Муни тензоры напряжений Коши и Пиола равны
Т = - рЕ 4-2 [(С, 4-ЛС2) F - C2F2],
Р = VrT• Т = {- pG-1 + 2 [(С, 4- ЦС2) Е - C2G]} VR. (5)
Конечно, механические свойства многочисленных резиноподобных материалов, весьма чувствительные к химическому составу и процессам их изготовления, не могут быть описаны единственным потенциалом Муни. Существует большое число других описаний, претендующих на лучшее совпадение с экспериментальными данными в пределах тех или иных эксплуатационных деформирований и температур.
Примером может служить потенциал Ривлина и Сондерса (Rivlin R. S., Saunders D. W., 1951), обнаруживших тщатель-
дэ I дэ ,
ными опытами зависимость отношения зж/жг от Ото дало основание корректировать формулу Муни более общим соотношением
э = С1(/1-3)4-/(/2-3) (/>0). (6)
Основываясь на статистическом рассмотрении поведения молекулярных цепочек с учетом ориентирующего влияния поля напряжений, Г. М. Бартенев и Т. Н. Хазанович (1960) предложили потенциал
э = 2И (V1-H2 + u3-3) = 2рД (U), U = G*/«. (7)
Его экспериментально подтвержденное по широкой программе исследований обобщение К. Ф. Черных и И. М. Шубиной (1976) представляется выражением
э = И [(1 + Р)(и1 +и2 +^8 — 3) + (1 Р) (fl 1 4-г'г 1 + у 3 — 3)] =
= u [(1 4-Р) 1г (U) 4- (1 -Р) h (V-1)] -6И. (8)
266 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
Следует заметить, что более простой, чем для потенциалов Трелоара и Муни, вид этой формулы даже усложняет применение этих потенциалов к решению задач. Сославшись на (II.3.5), (II.3.10), (7) имеем
о о
Р£ = э„ = 2эс • VR = 4И71 (U)G • V R =
VR
= 2pU~1-VR = 2pOx (vR=U-Ox), так что
T£ = 2pVRT-P£ = 2pV=2pF1A, T = —PE + 2HF4 (9)
тогда как для потенциала Трелоара T;;-uF по (5); это упрощает его использование, пока неизвестно представление F в главных осях.
§ 5. Плоская деформация несжимаемого материала
I 1. Векторы места г, R в отсчетной и актуальной конфигура-
циях задаются в соответствии с (6.8.1)
j r = b-)-i3cz3, b = aUj + a2i2, R = В -ф i3 са3,
Hi B = i1x1 + i2x2, x3 = ca3, (1)
i,i причем с постоянно. Вводятся материальные координаты: q1, q2,
I пока не специализируемые, и q3 = x3, так что
а“ = а“(<у1, </2), xa = xa(q1, q2)\ x3 = q3, а3 = — (2)
11
и как всегда греческим индексам придаются значения 1, 2.
|| Векторные поля b и В на плоскости определяют базисы
|1 ba = i₽-^, = b“ = e«₽bpxi3, B“ = e“PBsxi3. (3)
Здесь е, С —плоский тензор Леви-Чивита с контра- и ковариантными компонентами
£а& _ _2_ еа$ __ .
V Ь f В
Р п =
^«0 — —
е<х(3 — ^а|3, — JAB
0, а = |3,
1, а=1, ₽ = 2,
— 1, а = 2, |3 = 1,
(4)
§5]
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА
267
причем КЬ, ]/В — якобианы преобразований
V ^^S=(biXb2).i.
а(<р,<?2) v 1 2/1
/•д _ 5 (а1, х2)
й5л?’/’''-(В‘;<в‘н
(5)
Определяются градиенты места и по ним плоские меры деформации
VB=b“Ba, VB' B.b’-, Gx-=VB-VB^Bapb“b₽,
Fx -VBT-VB = b“₽BaBp> gx = F-1 = feaPB“B₽.
Здесь ba[i, Ba$ — контравариантные, bap, Вар— ковариантные компоненты плоского метрического тензора Е2. Инварианты плоских мер деформации определяются формулами
D /О
/1(FX) = /; = ^BaP = G1B + G?, ^ = 4 = GR, /1(gX) = _G (7)
'2
2. В последующем преобразовании уравнений плоской задачи к комплексным переменным в качестве материальных координат оказывается плодотворным выбор комплексных координатных, <7a = z, в актуальной конфигурации.
Условившись сопоставлять вектору c = c1i1 + c2i2 комплексное число (вектор) c = c1 + fc2, можно скалярное произведение двух векторов представить в виде c-d = Recd. Это приводит к соотношениям
__ да , Pg __ / Р , \ l Эа h —• f д_ д \f
11 дхх ’ 1 дх' ~~ \^Pz j 2 - Рх-’ 2 дх2 1 ^Pz дТ/’
так что
h -h .h h h
11 11 PxLPxl ’ 22 дх2 dx2 ’ 12 2 \ Px1 Px2 dx1 dx2
Перейдя к переменным г, г, получим используемые ниже формулы
h 9/Xag , PSPg\ , , 9/pgpg pgpg\
\ог дг дг cz j \az az дг дг J
h ; (dt, ________dg 5g \
12 ^z дг д~г дг J
(8)
Потребуется еще представление определителя преобразования (г, г)—(-(а1, д2)
д (д1, а2) __ dg Pg dg д£ д (г, z) &г дг дг дг
(9)
268
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
3. Переходим к рассмотрению поля преобразования (1) —на плоское векторное поле налагается перпендикулярное ему поле. Материальными координатами служат q1, q2, q's--x\ Векторные базисы задаются выражениями
г1 = Ь1, г2 = Ь2, г3 = ; R. = Bj, R2=B2, R3 = i3,
g=\gSk\ = ^2> G--=\Gsk\ = B. (10)
Тензоры градиенты места и мер деформации равны
VR = 15R5 = b“Ba + r3R,3 ^В+ ci3i3, VRT=VBT + ci3i3, G = Gx+c'2i3i3, F . F-' rc2i3i:i.
Компоненты (аЗ) этих тензоров обращаются в нуль —это и является существенным свойством плоской задачи. Инварианты мер деформации оказываются равными
Л = + 13 = с2^ = с2Ц (12)
Следствием этих формул является соотношение между инвариантами Ik (G)
(13)
и удельную потенциальную энергию деформации можно рассматривать как функцию инвариантов Ц, 13
/3)=5Х(Л, /3), (14)
так что
дэ* дэ . » дэ дэ* , дэ , бэ
5/1 5/х «/, 5/з = с 5/2 1 5/3 • (15)
Уравнение состояния, основываясь на (11), можно записать в виде
Т= 2/3-‘/’
' I ( I J \ Fx ___________________ Fx-:
3 di31" ил ~ ’ 5/2 J 5/2 г
, Г ( дэ . , дэ \ , дэ ,
+ тп—г 11 тп- с хт~ с
1 L \ 5/х 1 1 д12 ) д!->
Отсюда следуют соотношения
/“3 = 0, а=1,2; +
’(17)
§51
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА
269
и определяется тензор на плоскости
Тх = taii RaRp = - 2/3 - ‘А { ЕЛ +
. I дэ , , дэ \ v дэ v 21
+ Л+ЛЛГ “F с
Заменив здесь плоский тензор Fx2 его представлением по теореме Гамильтона — Кэли
fx2=/;fx-e2/°, получим
+ + Р«].
По (12) и (15) это выражение приводится к виду
Тх = 2/3_,/2 Ге2/„ -5^4--^- Fx V (18)
Тензор напряжений представляется формулой
Т = ТХ + i3M33 = 273“’M ЕЛ Fx +
13 3 J I 2 3 I I
+ ь>з [л-^ + с2-^-4-с2(/1—. (19)
4. В несжимаемом упругом теле э = э(/!, /2). Соотношения (12), (14), (15) приобретают вид
+ /2=:с-2 + с2/1-с4 = с-2-|~с2/;, (20)
э(/1; /2) = эЛ, С2/1 + с-2-л = 5х(/1), + (21)
а второе уравнение (11) отпадает, так как /3 не входит в исходное задание э; слагаемые, содержащие дэ/д!3, дэ*/д13, должно отбросить из выражения (19). «Определяемое» напряжение Tf представляется формулой
Ь - 2 { F« + I,[^ + (/, -с") } (22)
и выражению тензора напряжений Т придается вид
Т = - рЕ 4- Т£ - - рЕ2 - pi3i3 4- Л = Тх + МЛ3. (23)
В этой формуле
Tx = Z“₽RaR3 = -pE24-2 ^-Fx,
t” -’ - Р+2с[4л + ('.-=’) -44 (24)
— тензор напряжений в плоской задаче для несжимаемого материала представлен суммой плоского тензора Тх и тензора i3i3i33.
270
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
Эти тензоры не зависят от третьей материальной координаты q3 = х3.
Уравнение статики при отсутствии массовых сил преобразуется к виду
V.T = (vx+ilijjA).T =
= (В“ + i3 й ) • (Тх + iaU33) - Vx-T'c - 0, (25)
так как производные по х3 равны нулю, a B“-i3 = 0. Компонента Н3 тензора напряжений определяется формулой (24); входящие в нее инварианты Ц, /2 и множитель связи р (давление) станут известными функциями материальных координат q\ q2 и с из решения задачи равновесия для тензора Тх; на последнем этапе постоянная с определяется по заданию продольной силы Q
Q = Ц t™dO = § f /3»?(А f f ]/ — t^dcdda2. (26)
A A' d (a , a") • '>
5. По (2.4.9) уравнению статики удовлетворяет представление Тх через функцию напряжений U (q1, q2). Обратившись также к формулам (3), получим
Тх = /а₽ВаВр -= — i3 X VW х i3 - Bv х i3B6 x i3V?V6(7 =
= e*a (ва x i3) x i3e6₽ (bp x i3) x i3v?v6t/=e^e6PBaBpvvv6H. (27)
Обозначив
VV£7 = M = ВаВэта|3, Tx = — is x M x i3 = Ba x i3Bp x i3m“₽, легко обратить это соотношение, умножив его векторно справа и слева на i3. Получим
i3 X ТХ х i3 = i3 х (Ba х i3) (Bp X i3) х i3ni“₽=- BaBpm“₽=- M=VW.
Итак,
VVf/ = —i3xTxxi3. (28)
Через t, N обозначим единичные векторы касательной и нормали кривой Г в плоскости х3 = const; предполагая, что N, t, i3 ориентированы как оси XYZ и dS—элемент дуги этой кривой, имеем
t = 5S’ N==txi3>
N • Тх = — (t X i3) • (i3 X VW X i3) = t • (VVU X i3)
§51
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА
271
и главный вектор Р сил, распределенных на дуге кривой Г, оказывается равным
a/fl all all a/tl
P= J tds (VVf/x i3) = J dB-VV6/xi3 = \ dVU x i3=V6/x i3 | , c//Zo oAlq
так как dB-VV(7 = dVU. Главный момент этого распределения сил определяется теперь выражением
ш°= J Bx(dVt/xi3)== — i3 $ В-dVt/ е^о
и главный момент относительно оси OZ оказывается равным
о/$ оЖ’ м
m°z= — $ B-dVt/ = — $ d(B-Vf/)+ J dB-V(/ = (C/-B-Vl/) | .
e^o a/flb <Мй
Итак, с точностью до аддитивных слагаемых
P=--Vl/xi3, m*z = U~ B\U. (29)
Для любого плоского тензора Мх имеем
/1(i3xM><xi3) = -/1(MX).
Обратившись теперь к (28) и (24), получим для несжимаемой среды
V2[7 = Ц (Тх) = — 2р + 2 Д, р = — 1 (WU —211 (30)
Ct 1 j. w К “И /
Тензор Тх теперь можно представить выражением
TX=1e2(J2U-- 2A°-^) + 2^-Fx. (31)
Отметив еще, что i3xE2xi3 =— Е2, можно придать формуле (28) вид
VVU = j Е2 (V*U -2 1[} - 2 i3 х Fx х i3. (32)
£ у / U11
В компонентном представлении
Wt/ = B“B»VaVA E2 == B“B|35ap, Fx = HB?Bs, — i3 X Fx x i3 = ^SBV x i3B6 X i3 = ^6evae6₽B“B .
В последнем выражении по (3)
= bv- be = e?Mv (bg x i3) • (bv x i3) = e6vbuv,
272
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
'll
м!,
так что
b?6evae6p=&nve^evae6ve63 =4-fenve?gevaeevee₽ =
и теперь
- i3 х FX X i3 = Ие?ае6рВ“В₽ = 4- ^еВ“В₽;
наконец, по (12) в несжимаемой среде В)Ь = с~2. Компонентному представлению соотношения (32) придается вид
vaVpU=| (w-2/^) ваР+2 -g^e7ae6₽ =
1 Z у и/1 у ’ (11 j ‘
= |(V2t/-2/»4A5ap + 2c-2-^a₽- (33)
w \ U1 у (Л J £
iljil
г
6. За независимые переменные в системе трех дифференциальных уравнений (33) принимаются х1-^ г/’, х2 —г/2. Искомыми функциями в ней являются U и координаты частицы в отсчетной конфигурации аа (х1, х2). Имеем здесь
-а — 1», 1$дха’
1, а = р, д v
Ва^\0, ау=р, =
да"'
С2 = — = Ь с в
— были использованы соотношения (10), 5=1 и условие несжимаемости. По (7)
/; = 1+ьм = 1 (&и+ь22) = с-2 (йи + &22). (34)
Уравнения (33) приводятся к виду
1 /d2U d2U\ , 'da*
d2U дх1дх2
= 2с~2^Ь.
U11
(35)
Еще одно уравнение, выражающее условие несжимаемости, представляется получаемым по (5) соотношением
ь=2=bi^ ~=с2- <36)
Из выражения (27) тензора напряжений следуют хорошо известные формулы для его компонент
д2и
дх2‘ ’
d2U ох12
d2U
дх'-дх- ’
(37)
5 51
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА
273
позволяющие вместо (35) придать «комплексным напряжениям» Колосова — Мусхелишвили вид
оц + о*2 = V2£7 = 4
д2и дг дг
2рф-4с
_2^Х/agag\ dlr\dz gz дгдг/ ’
(38)
Охг Ох1 ~Г ^i^xlx2 —
дх1'
д2Ц дх22
21
dW ,d2U d^d^
dx1dx2 dz2 ' dlv dzdz
, (39)
причем использованы формулы (8). Входящий в эти соотношения множитель, определяемый заданием материала, представляет по (21) функцию инварианта 1г. По (9) формуле (36) может быть придан еще вид
dzgz dzdz
позволяющий представить /? формулой
/°! = 2с-2
Следствием (39) служит дифференциальное уравнение
д2 ds>< д! d£____ д2 da* d’l d£
d72 dlr dz dz ~ dz2 dlr dz dz ’
(40)
(41)
(42)
которому должна удовлетворять любая возможная в данном материале плоская деформация £==£(z, z, с) при наличии продольного растяжения с (и при отсутствии массовых сил).
Представление (29) главного вектора сил, распределенных на дуге контура Г, ограничивающего рассматриваемую область, приводится к виду
Р = Л + = (43)
дг
— это краевое условие при задании поверхностных сил.
За независимые переменные могут быть приняты координаты а1, а2 отсчетной конфигурации, иначе говоря £, £. Из соотношений
dz , dzd£ . dzd^ dz dLdz^~ дУдг ’ ^ = 0 = dz ‘a£dz dt,dz
и условия несжимаемости (40) получаем
дг 1 d£ dz 1 dz dz 1 a?
k
c dz ’ d’Q c dz’ c dz ’ d£~ C dz
так что по (21)
(44)
274
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
|ГЛ. 7
Предположив теперь, что известно решение уравнения (42)
£ = z, с), (45)
рассмотрим преобразование
г = 7 Ж Z,c), (46)
причем f — та же самая функция, что и в (45). Тогда по (44) инвариант /?, значит для того же материала и , окажется представленным теми же функциями от £, £, с, какими он был представлен через z, z, с в исходной деформации (45). Неизмен-ность формы выражения позволяет проверить непосредственным (хотя и громоздким) вычислением, что преобразование (46) удовлетворяет соотношению (42), если ему удовлетворяет (45). Это —«обратная теорема» Адкинса (J. Е. Adkins, 1958), позволяющая находить по плоской деформации, сопровождаемой продольным растяжением с, другую плоскую деформацию при том же с, также совместимую с условием (42).
Двойственность полей деформации и напряжения в плоской задаче. Соотношения, аналогичные теореме Адкинса, выполняются при плоской деформации сжимаемого материала
— (а1, а2), х2 --- х2 (а1, а2), х;!-^-са3. (47)
В выражениях меры деформации Фингера и тензора напряжений плоские тензоры отделяются от (ЗЗ)-компонент
F =FX4-i3i3c2, T = TX4-i3i3/33 (f“3 = 0> z<z3=0j. (48)
Здесь по (6)
0 0 2 0 dxfi
FX = VBT-vB, FX =/JFX —/»Е2, VB = i“ip ~, B = i(jx₽ (49) и по (12), (16)
Были использованы выражения
I^ll + с2, /2 с2
в которых 1а — инварианты Fx. Теперь, основываясь на соотношении а(Л, /2, /3) = з(/г-псф /3 = /“С2),
получаем дэ___________________дэ 2 дэ дэ _ дэ 2 дэ
дГ2’ дГ»-д172+с дГ3’
/о Ж /о±
дс2 2с дс д!х' 1 д!^ 2 д!3‘
5 5]
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА
275
Это позволяет представить Тх и Р3 в виде
так что
ТХ ____-__(/о ।
Vil дс’
2
Л (Т)=—
o^l+2/o—V—-
idii ' 2di°J уц дс'
(50)
(51)
Удельная дополнительная работа э в соответствии с гл. 4, § 17 определяется выражением
3=P..VRT-s = ]/73vrT-T.-vRr-3==c]/'/^1(T)-5
и по (51)
-Э = 2(1^+2Р—\+с-2 д!1Г дс
(52)
Из выражения тензора Пиола также выделяется его плоская часть
Р = с K^VrT-T = Px + i3i.jP33=cj</о(уЬт+i3i3') • (TX+i3i3Z33) =
так что
/ дэ дэ 0 \ дэ
Px = 2(/^VbT+/»^VB). p33 = J. (53)
\ П / о О /1 /
Обратившись теперь к представлениям тензора Пиола и градиента места (4.17.1), (4.17.5), имеем
о dxfl ~
Р-э0 , vR = i“ip^ + i3i3C=aP (54)
VR
и по определению (П.2.7) производной скаляра по тензорному аргументу
n nv । • чз • -к дэ . . дэ , . . дэ
р “ р +1з,з/?'' - '“1Г +1313 д~с~э? + '313 ~дс ’
VB
0_ О . . . . .о дэ , . . дэ
yR = уВ-|-ci3i3 = 1а1Р —— 4 i3i3—х— -
дд4
дс о
так что плоские тензоры Рх и уВ оказались представимыми выражениями
РХ=.3() , уВ = эрХ. (55)
VB
Уравнение статики при отсутствии массовых сил и условие существования вектора В (условие интегрируемости) приводят к соотношениям
оо ООО
уРХ = у.а0 =0, уХуВ = vXapX = 0. (56)
VB
276
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
Условия (56) удовлетворяются, если ввести в рассмотрение «тензор функций напряжений Пиола»
<T> = i3il3(Pp (а1, а2) (|3 = 1, 2) (57)
и принять
рх = э0 =2pvx® = 2pe“viai|3
(причем с12 —е21=-1, е11—е22 = 0). Итак,
/)“р, = ---2(1ег^£1е. , px~=2ui?av icciP . (58)
дау да1
Возвращаясь теперь к (55)2, имеем
1
° . дХ VB^P-ip— = да дэ 0 др^ ’ дхР . дап дэ др% (59)
и по (56)2 Система двух а2Х • v ч, .а • и л ' 1 'УщЛуг '' уравнений ‘'Г» д~э _ dp.fi -0.
при обозначении усе д дэ да^ др% = 0 (Р = i. 2; 1 дх$ (60)
QX = iaip(?Pa = i3>: :i«i „ —- = i3Xi“i 'Р да (61)
представляет уравнения статики для y.QX=eVaj «тензора Пиола» д дэ 13 даУ <Эр.р QX (62)
Приведенные формулы обнаруживают двойственность полей деформации и напряжения. Плоское поле перемещений в материале с удельной потенциальной энергией деформации э определяется формулами (47), а напряженное состояние в нем—формулами
<₽1 = <Р1 (a1, о2), <f2 = (p,2 (а1, «2). (63)
Если теперь ввести в рассмотрение «поле перемещений» (63) в материале с удельной потенциальной энергией «деформации» э, то по (59) поле напряжений в нем определится формулами (47).
Соответствие полей перемещений и напряжений оказалось возможным представить таблицей
Материал э ^Материал э
Поле перемещений Поле напряжений X1, X2 (fl, ср2 Ф1, Ч>2 X1, X2
§6]
ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
277
По (51) и (58) имеем также
даг да даv да
откуда следуют симметричные представления
э~ 2це
d^daa
о ау аФр -
э = 2ие“т —L
Г даа дау
Простейшей иллюстрацией может служить задача в гл. 6, § 9 об изгибании полосы в цилиндрическую панель. По (58) и формулам (6.9.6), (6.8.14) в этом случае имеют место представления
(ax)cos у —%2, сра = ф (a1) sin y-'-.v1
и выполняются соотношения
Scpi . <Эф2 дх2 дх1 Зф2 дф]________дх1 ; дх2
д’а1^'да2="~да1'да2' да1 ~да2+да2 ’
причем аа1 , ехр — , . ,. b Ь аа2 , Ла
ф(а1) =-----;----, X — —7~ > спу = — .
а сп у А b ‘ 2Ь
§ 6. Эффекты второго порядка в задаче о плоской деформации несжимаемого материала
1. Комплексное представление вектора перемещения D дается выражением
О (z, г) = z —£ (z, г) (1)
и в формулах (5.39), (5.40) следует провести замены
\__dD dZ___dD d^_^_dD ^__dD
dz dz ' dz dz ' dz dz ’ dz dz
Далее предполагается, что с=1 — торцы деформируемого цилиндрического тела не смещаются в продольном направлении (х3 = а8). Тогда
= dD , dD_(dD^D_dDdD\_r> /от
dz2 dli \dz ) dz ’ dz~^ в? \dz §z dz dz / ' ' '
а инвариант 1° представляется по (5.41) выражением
/о = 2 + 4^ад_ (3)
При разыскании эффектов второго порядка полагаем
и = и0 + иг< D = DO + DU (4)
278
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ, 7
удерживая в последующих соотношениях квадратичные по De и линейные по D, слагаемые. Получаем по (3) и (5.21) в требуемом приближении
дэ дэ ___ 1 dDndDa _/о!* 2эх\
и по (2) уравнения первого и второго приближения приводятся к виду
= _+ (5)
dz- г дг dz дг '
d2Uj__ dl~), . dDodDo dDt .dD-, __dDn dDlt dDa did,
dz2 дг dz дг ’ dz ' gd dz g~z g~z dz '
Эти уравнения имеют единый вид для всех несжимаемых материалов — знание постоянной х не требуется для определения I/,, Dl.
Уравнение (5)— уравнение плоской задачи линейной теории несжимаемого материала (с коэффициентом Пуассона 1/2). В ней Uo и Do представляются через две аналитические функции-потенциалы Мусхелишвили
= у + г(р0 + +Хо (7)
2цО0 = ф0 (г) — (г) -|- ф0 (г),
реше-
(8)
причем ф0 (г) = (г). Эти выражения, как легко проверить, со-
гласуются с (5). Потенциалы " ф0 (z), ф0 (г) определяются нием линейной краевой задачи.
Уравнение (6)j интегрируется
диг । 7T ?dDadDa, —у-г
— р -=^dz + ф! (г).
Далее имеем, используя также (5)2,
d2Uj , dDi С fd2D0 dDa , dD0 d dD0\ , ,
й7г + 11-й=1*1Ытг+тГйУг)* + '11>И“
СдЧ)„дЬ0. 1 fdDn\2 , .
+ Ф1.(2)-
d2U
Далее по (6), и (5),, поскольку -г вещественно
дг дг
2^ dz dz
= —р,
2
W£Oorf , _
J P~z2 dz <1г ‘ > dz2 д'г
! , /dD0\2l ,, , . , , , dD0dD0 . dD,
+ (“Г +<Р1(г) + ф1(г)+p
\ dz / oz dz
dDa dDn , , , < r —TT x
+ (2)+<Pi (2)-
dz az
___dD0 = дг дг
Cd2D0dD0,~ , W^2J+fx
J61
ЭФФЕКТЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
279
После интегрирований с использованием (5)2 и учитывая, что по (7)2
±£о=0 д3Р0 _ 0
dzdz2 ’ dzdz2 ’
получаем
dWj dzdz
4 [СП (z) + ф( (г)] + у р
дР0 р , Жп jd-PvdD, dzdz ° dzdz ° dz dz _
(9)
и еще одно интегрирование по z приводит к искомым представлениям
44 = 4 [fPi (2) + zcp{ (г) + фх (г)] +1 рГ (г, г), (Ю)
рД- 4 ['Pi (?) - z<pl (г) —(г)] + р f ^--^>dzГ(г, й), (11) J дг дг z
Г(г, F)-^PD0 + ^Do+J(^)2dz. (12)
2. Потенциалы cpj (г), (г) определяются решением линейной
краевой,задачи для второго приближения. Осуществление этой программы достаточно хорошо разработано; требующееся вычисление кропотливо.
В исходном приближении и в эффектах второго порядка напряжения определяются по (5.38), (5.39) выражениями
4 (<Ьл + 0 = 2 гр' (г) -ф ср' (г),
z dz dz
+ 2itxix2)» = 2^ = —2р^- = ?ф;(г) + фо(г), (13)
2 + <^) -2 —=г - Фх (z) + Фх (г) + р = Do + D„ +
+ -^^-°У (И)
dz az /
у (о^ — + 2гтх1х2)х = 2 = ?ф( (?) + (?) + р •
По (5.38) или (5.30) получаем также
р = ро + р1==< 2^ + р\+Г 2^4 + 2(р + х)^^] . (15) \ dzdz / L dzdz dz J
3. Известно, что краевая задача о напряженном состоянии в области при задании нагружения по ее границе может быть
280
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
сведена к функциональному уравнению [(<ГХ1 + (ТхО п — (Ох* — 0x1 — 2гТх1хОп\ =
= [Ф (г) ф-Ф (г)] п — [гФ' (г) -фТ (г)] п = —f. (16;
Здесь Ф (г) = <р' (г), W (г) = ф'(г) — «вторые» потенциалы Мусхе-лишвили, п —внешняя нормаль к контуру области, f — распределенная статически эквивалентно нулю поверхностная сила. Представив входящие в (16) величины суммами вида (3) величин, отнесенных к линейной задаче и к эффекту второго порядка, примем, что решение линейной задачи определено краевым условием
[Фо (г) + Фо (г)] п - [гФ; (г) + То (г)] п = - f. (17)
Эффекты второго порядка теперь разыскиваются по краевому условию
у ((Тх'+ахО1»—4 (^1 —огх‘ + 2гТх1х01п = 0, (18)
в котором напряжения axi и т. д. определены формулами (14). Приходим к функциональному уравнению вида
[Фг (г) + ФГ(Г)]п - [гФЙ?) + W(7)]n = пР + nQ, (19)
в котором Р и Q, согласно (14), определены формулами
дгР0 -п , п , дгдг ° Г дгдг и ' дг дг /
= Ц1 + ^£« Ч дР о+ д?
По+ 2
_ г
^dDi + 2Cd_D.^dz дг дг J дг дг
(20)
— была использована формула (10).
Система «сил» в правой части (19) должна быть статически эквивалентна нулю. Как уже говорилось в (гл. 6, § 14), достаточным условием обращения в нуль ее главного вектора служит одно из равенств
дР dQ _ „ дР . dQ „
Если оно соблюдено, то будет выполнено и требование равенства нулю главного момента
(21)
Р-Р = 0, (20).
громоздка. После подстановок, диф
(22)
так как Р вещественно по Проверка критерия (21) ференцирований и упрощений с использованием (5)2 приходим к
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОНФИГУРАЦИИ В НЕСЖИМАЕМОМ ТЕЛЕ
281
условию
дЮ„ бЗДр _0 дг дг дгг ’
которое выполняется по (7)2. Необходимое условие разрешимости краевой задачи (19) соблюдается.
§ 7. Аффинное преобразование отсчетной конфигурации
в несжимаемом упругом теле
1. Линейное напряженное состояние при одноосном растяжении. Главные значения рианты равны
= ц|=из = и-1, и по (2.8) выражениям
меры деформации Фингера и ее инва-
/1 = y2 + 2v~l, I.2 = 2у + ^~2, У8=1 (О
главных напряжений придается вид
, с, [ дэ , дэ \
р + 2 ---.-v х —Ццт-\dJj d/2J
, о / дэ , дэ „
р + 2 [ -ri-v —-ТГ и ' 1 \ dl2 dl2
Исключение из них давления р приводит к «закону растяжения» о1 — <+(р) и представлению главной силы форму-
лами
О’2 ^3 —
(2)
(3)
2 (»-«-’) (+ +«-> +
Из (2) следует, что при любом задании v можно подчинить выбор р условиям (т2 = а3=0; это приводит к заключению, что любому наперед заданному и соответствует единственное значение напряжения оу.
В соответствии с ^«й’-критерием (4.12.12)
—су2 — су3 q
у — ,/—
2 2 2 2
— V2 t’l — С’З
SgnOi -sgn V
но /и-1>0 при удлинении, Vv—1<0 при укорочении стержня; иначе говоря, при растяжении стержня (ох > 0) его Длина увеличивается, при сжатии < 0) уменьшается. Основываясь только на .©(^-критерии, нельзя было бы утверждать, что это «тривиальное» утверждение распространимо на изотропный сжимаемый материал.
282
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
2. Простой сдвиг. Осуществление этой деформации (гл. 6, § 4) в сжимаемом материале требует приложения нормальных напряжений по всем граням деформируемого параллелепипеда, в их числе напряжения t33, перпендикулярного плоскости сдвига. В несжимаемом материале простой сдвиг осуществим при отсутствии нагружения этих граней. Действительно, принимая
/> = 2^ + 2 (2 + ^,
(4)
получим
и в соответствии с (6.4.7) формулы, определяющие нормальные напряжения в несжимаемом материале, приобретают вид
Zu^2^-s2, t22=—2~s2, /33 = 0
dh di.,
— не требуется нормального нагружения в плоскостях й3 = const. Из этих же формул и эмпирических критериев (5.11.3), приемлемых для резин, следует, что напряжение t22 < 0 (сжатие) на сдвигающихся (по оси ОХ) плоскостях a2- const; Z11 > 0 (растяжение) на*"плоскостях а1 = const.
Аналогично можно убедиться в осуществимости простого сдвига, когда не нагружены нормальными к ним силами грани а1 == const или а2 = const.
3. Плоское напряженное состояние. Плоскости, нормальные главному направлению е3 тензора напряжений, не нагружены; тогда
дэ , dIA 3
dl^3
/3 = 0, Z] 2 ( ------J-2-)
\ 1’11’2 /
дэ
h = 2 ( v2
дэ । ,,2 дэ \ д!г + 2 д!2)’
___ ,,__
t-M Д dJt di J ’
7i = Ui2 + t'H^A)"2, 72 = vr2j n2~2 + t'X
Эти формулы подсказывают возможность определения э(/1, /2) в последовательности экспериментов, проводимых в плоском напряженном состояниии.
В опытах Ривлина и Сондерса (R. S. Rivlin, D. W. Sounders, 1951) над пластинками из сортов резины, не обнаруживавших явлений гистерезиса даже при четырехкратном увеличении линейных размеров (u,, n2sC4), (измерению подвергались напряжения при деформациях, когда один из главных инвари-
§ 8] УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ НЕСЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА 283 антов сохранялся постоянным, а другой подвергался изменению в достаточно широком диапазоне. Программа испытаний предусматривала значения /1( /2 в пределах 5 Ц 11, 5^X/2sc6 30. Было обнаружено, что напряжения мало чувствительны к изменению /j и значительно зависят от /2; наблюдения проводились при деформациях растяжения, сжатия, чистого сдвига, чистого сдвига с наложенным растяжением. Основываясь на этих опытах, Ривлин и Сондерс рекомендовали корректировать потенциал Муни (4.1) выражением (4.6).
§ 8. Универсальные деформации несжимаемого материала
В основополагающих работах Ривлина 1948—54 гг. были найдены строгие «универсальные», иначе говоря, не требующие специализации . задания удельной потенциальной энергии а(/х, /2) решениЯ-Некоторых задач механики несжимаемой сплошной среды.
В гл. 4 § 15 приводилось доказательство Шилда теоремы Эриксена (1955) о несуществовании универсальных решений уравнений равновесия нелинейной теории для сжимаемой упругой среды при преобразованиях отсчетной конфигурации в актуальную, отличных от аффинного. Несколько ранее (1954) в тщательном и трудном исследовании Эриксена было обнаружено четыре класса (нелинейных) преобразований, допускающих универсальные строгие решения для несжимаемого упругого тела (они включают, конечно, рассмотренные Ривлиным задачи). Еще один класс преобразований был обнаружен позже Шилдом и Клингбейлом (W. W. Klingbeil, R. Т. Shield, 1966;. По-видимому, этим исчерпаны возможности построения универсальных решений уравнений равновесия несжимаемого упругого тела.
Речь идет здесь о решениях уравнений равновесия несжимаемого упругого тела при отсутствии массовых сил
V-T=~Vp + V-7-£ =
=~’нф<~р-’'ФяЛр-|'т--)=о, (1)
сохраняющих вид при любом задании э(/1( /2) и, конечно, удовлетворяющих условиям существования вектора места R (q1, q\ q3) в актуальной конфигурации — соблюдено требование обращения в нуль тензора Риччи для меры деформации Фингера (или Альманзи). Поверхностные силы, осуществляющие найденное равновесное состояние, определяются по этому состоянию, когда оно Получено. Нет речи о решении наперед заданной краевой задачи.
284
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
9I
||
В более подробной записи уравнения (1) имеют вид
V.t__Vp+2[Qv/i + s57-|V/,).F + Av.F-
= (2’
С целью исключить из рассмотрения неизвестный скаляр р составляется уравнение
VxV-Т-О. (3)
При этом, конечно, VxVp = 0, а вычисление остальных слагаемых, представляющих произведения скаляра на вектор, основывается на правиле
V х tpa (Уф) х а + cpV х а.
Например,
VX^V/1.F=v||xV/1.F + gvX(V/1.F) =
= + V72\xV71-F + -f-Vx(V71.F).
д1.гд!1 2/ а/?
Уравнение (3) представляется теперь выражением
-g V7, х (V/x. F) V/2 х (V/2 • F-) +
+ [V/2 X (V/, F) + V/, X (V/2 • F) - V/t x (V7, • F-1)] +
+ ^h[V72x(V72.F)-V/2x(V/1.F-1)-V71x(V/2.F-F)] + u/j (7/2
+ |J(Vx(V71.F) + V/1xV.F)-
-Ц (Vx(V/2.F-1)+V72xV.F-1) +
4 дТГдТ2 x (W*•F) + V72 X v • F - V x (V7X • F-1) - V/, X v • F-1) + + ^VxV-F-A-VxV.F-^O. (4) dli dl2
Для универсальных решений, не зависящих, как говорится выше, от формы задания удельной потенциальной энергии от инвариантов, это соотношение будет выполнено лишь при равенстве нулю всех коэффициентов при производных э; приходим к
§91
ПЕРЕЧЕНЬ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
285
системе уравнений
V71x(V/1-F) = 0, V7, х (V72 F-1) = О, (5)
V/2 X V (7, • F) + V7, х (V72. F) - V7X X (V/j • F-1) = О,
V/,x (V/2• F-1) + V/2 x V• F"1 - V/2 X (V7a F) = 0, W
VX(V71-F) + V71xVF = 0, Vx (V72-F-1) + V72 X V-F-1 = 0, (7)
V x (У/2 • F) + V/2 X v • F - V X (V/x F-1) - x V- F-1 = 0, (8)
VxV-F = O, VxV-F-’ = O. (9)
К ним присоединяется условие несжимаемости
/з (F) = l
и шесть условий равенства нулю компонент тензора Риччи (III.10.21), выражающихся через компоненты gsk, gsk искомых тензоров F и F-1 = g. Существенным условием является также выполнение неравенств, характеризующих положительность тензора F —его собственных значений cy = Vs, связанных равенством
Сильно переопределенной системе 9x3+1+6 = 34 уравнений удовлетворяет постоянный в объеме тела тензор F, определяющий, как следовало ожидать, линейное преобразование отсчетной конфигурации в актуальную. Но оказывается, что этим не исчерпывается множество всех преобразований —тензоров F, удовлетворяющих всем перечисленным требованиям.
§ 9. Перечень универсальных решений
Исследование систем уравнений § 8 и вывод из них представлений искомого тензора F отнесено к § 21 этой главы. Здесь перечисляются результаты этого исследования.
Используются обозначения а1, а2, а3 и х1, х2, х3 декартовых координат в отсчетной и актуальной конфигурациях; г, <р, г и
Ф, Z — в цилиндрических системах этих конфигураций; г, 0, и Л?, 0, А—в сферических. Правила дифференцирования единичных векторов цилиндрической (ег, еф, к и ел, еф, к) и сферической (ег, ее, е>_ и е^, е0, ел) систем координат приведены в III, § 7-формулы (III.7.18) —(III.7.20).
Материальными координатами служат координаты (декартовы, Цилиндрические, сферические) в отсчетной конфигурации. Семейства Эриксена представляют задания координат места в актуальной конфигурации, как функций материальных координат, иначе говоря —преобразования R = R(r), удовлетворяющие усло-о
вию несжимаемости dctVR -- 1.
286
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
1. Изгибание плиты в цилиндрическую панель. Семейством преобразований
R=V2AaC Ф=Ва2 + Са>, Z^Da2 + Ed\
R=e/v. ]/ 24а1 ф-k (Da2-\-Ea3) (1)
плоской плите («J а1 < —b^a2^.b, —l^.a3^.l) сопо-
ставляется цилиндрическая панель. Постоянные связаны условием несжимаемости
A (BE-CD) = 1. (2)
Векторные базисы актуального состояния представляются формулами
За1 R
п 3R n de# , dZ , п ЗФ , . „ n D , . п
R2= R ттг Н- тт к = 7? -5^7- -7-7 ф- кО = R e<j>B ф- кО,
2 да2 да2 да1 ЗФ да2
Я3 = ЯеФС + к£;
R1-^^’ R А еФ-кс),
R3= А (_-2.еФф-кв).
Выражения градиентов деформации и мер деформации Фингера и Альманзи приводятся к виду
0 А
VR = i4Rs = -5- ixe^R (Bi2ф- Ci3) ефф- (Oi2 ф- £i3) к, R . А . . . W
едк Ф~ e<i> (Ai2 — Oi3) ф- Ак (—Ci2 ф- Bi3),
0 0 J2
F = VRT • VR = Jy елел ф- R2 (В2 ф- С2) еФеФ ф- (О2 ф- Е2) кк ф-
+ R (BD + ЕС) (ефк ф-кеФ), (5)
g = F-1 = Vr • VrT = е^ед ф- (£3 + О2) еФеФ +
ф- А2 (С2 4- В2) кк—~ (ВО ф- АС) (еФк ф-кеФ). (6)
Компоненты этих тензоров, значит и их инварианты, зависят от одной лишь координаты R актуальной конфигурации (от координаты а1 отсчетной конфигурации). Это —общее свойство универсальных решений. Оно предопределяет простоту уравнений статики, их решение сводится лишь к разысканию^ функции р, после чего выражения компонент тензора напряжений составляются но уравнению состояния.
§9]
ПЕРЕЧЕНЬ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
287
к' Инварианты Ц (F), /3(F)=/1(g) и дивергенции V-F, Vg равны
л (F) = + R2 № + С2) + (D2 + £2), р 2 у) 2 (7)
/2(Р)=^ + ^(£2 + П2) + Л2(С2 + В2),
V.F = -[^ + 7?2(B2 + C2)]e«, V.g=[^-^(^ + ^)]eR. (8)
Конечно, 3(7,, /2)—функция только от £. Это позволяет записать уравнение статики в виде
Vp = 2V.T,,»2V.(-|tF—Si-F-) =
= 2[(5rV'F~5CV'F") + (Vl7r)-r-(V^)-F”] =
= 2'«K<n7f# + R(B' + c’’]-^[^~S(£’+D,)] +
, A2 d дэ R2 d 3s)
^R‘2dR ~дЦ~AAdR ~дГ2 f '
Складывая его с равенством
v9==P ( дз д1' I дэ \
R \ d/j dR + Э/2 dR J
= 2[^[-^ + 7?(В2 + С2)]+^[^-^(£2 + П2)]}ей,
приходим к соотношению
У(р + Э) = 2ер[-^
дэ 2R дэ
А2 д12
A2 d дэ R2 d дэ “I__
R2 МГдЦ “"Л2 dR дТ^ | =
oVfA2 дэ R2 дэ
\R2 dh А2 д!г
Этим определено с точностью до аддитивной постоянной р
, „ / А2 дэ R2 дэ \ /’-/’о+2 ( R2 d/i А, dlJ э.
Выражение тензора напряжений Т записывается по уравнению состояния
T—'’E + 2(1B7F-£F’‘)' (9)
288
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ 7
По (5) и (6) приходим к представлениям его компонент
ой = э — р„, оф = э—р0 + я1^ = ~Яак, ^ = а«+2[Х°2+£2-^) + ^(^-Л2С2-Л2В2)]’ tz,^2(BD + EC)^s]iR+-~^, тКФ-0, tz«=0.
I
I
(Ю)
Решение «универсально» — представлено в единой записи через задание удельной потенциальной энергии.
Остается выяснить, каким распределением поверхностных сил реализуется это напряженное состояние. На «основных» цилиндрических поверхностях панели R = Ro = REAR,, R R1 = ]/ 2Аа} допускается лишь равномерное распределение нормальных сил [з(Л(7?0), /2 (/?»))-Рв]ел=/()ел, [э(Л (RJ, /2(R,))-p0]e^=Ae^. Этим на постоянные в решении (1) налагается условие
НЛ (Ro), Ш-эЩЫ UR^fv-K
и определяется р0. Поверхностные силы, которые должны быть распределены по остающимся поверхностям панели —в них преобразуются прямоугольные границы плиты а2=+&, а3=±/, зависят лишь от R. Они (эти силы; определяются самим решением, а задания главного вектора их и главного момента на каждой из этих поверхностей приводят к системе уравнений для тех же постоянных А, Е.
2. Разгибание цилиндрической панели. Семейством преобразований
R = у Аг\ + (Вер + Сг) i2 + (Оф + Вг) i3
(7= (а12 + а2*)1/2, Ф = агс1§-^-) (11)
определяется разгибание цилиндрической панели
—Фо^Ф^Фо, —в плоскую плиту. Условие несжимаемости сохраняет вид (2).
Повторяется с некоторым изменением последовательность вычислений п. 1. Векторные базисы актуальной конфигурации и градиенты деформации равны
R1 = Ari1, R2 = Bi2 -ф Di3, R3 — Ci2 + Ei3,
R^^h, R2 = Л (Bi2 — Ci3), Кз=Д(_О12 + В1з),
о e
VR = r^R, = Areri1 + EL (Sj2 + Di3) + k (Ci2 + Bi3),
Vr - Rvr, = iter + A (Bi2 — Ci3)re,P + A (—Oi2 -ф Bi3) k,
ПЕРЕЧЕНЬ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
289
§ 91 так что
F = 24x41i1 + (^iB2 ДС2) i2i2 + (А^2+ £2) i3i3 +
4- 2^1 BD + (i2i3 + M2)>
g = 2^г *i*i + (24^£2 + Л2О2) i2i2 + (2Ах1С2 + Л2В2) i3i3 +
+ (—2АхгЕС - A2BD) (i2i3 + i3i2),
Д (F)=24x! + A (В2 + £2) + С2 + £2,
л (F) = 2^г + 2Ах1 (Ег + С2) + Л2 (D2 + В2), (12)
у.р^глц, v-g = -2±ri,
Далее получаем
Ур = 51^(4Лх1|т--Р = Ро + 4Дхх^-------------л^1г
ил \ U1 1 /1Л U1 2 / (J 1 1 АЛЛ UI 2
и по уравнению состояния находим
<71^—Ро,
с. - - Л + 2 Д ( -2.4*’ + Д В’ + С-) + +2IH4?-2-4£V--w)’ о,--Л + 2|С(-2^-^+24о‘+В") +
+ 2^(^-2ACV-A‘B’)- <13>
ь. = 2 # (A BD + + 2 fl (2Ах‘ЕС + -I’SO)-
U J ] у 4Л j U1 2
На поверхности плиты х1 =const допускается равномерное распределение давления о, =—р0. Постоянные А, ..., Е определяются заданием сил и моментов на ее боковых поверхностях.
3. Преобразование цилиндрической панели. Панель ограничена соосными цилиндрическими поверхностями. Преобразование задается соотношениями
Д2 = Лг24-В, Ф = С(р-|-Ог, Z = E(fA~Fz> R = T?eR + Zk (14) при условии несжимаемости
A (CF — DE)= 1. (15)
10 А. и. Лурье
290
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ, 7
Вычисление дает следующие представления тензоров F, g, их инвариантов и дивергенций:
F - Л2е-^4-R2 (f? + D2) еФеФ + кк +
+ /?(^ + ^)(еФк + кеФ),
g = eReR + -g- (r2F2 + £2) еФеФ Л2 (С2 + г2П2) кк -
— ~ (DFr^+EC) (еФк -4- кеФ),
7t (F) - Л2 Л- С2 + R4F+— Л- F2,
Л (F) = R2 + 4i £2 -I- Л2<?2 +A2D2,
V' F “ [А'Я V + -1‘ж- R + °!) ]'» ''г=|тк1гЛ-Ь7&-“жемчЕ’)]"
(16)
Давление р, определяемое уравнением статики, оказывается
равным
, с, I tv Р дэ /?2 дэ \ ,
Р — Ро + 2 А“-^ -jj- J +
-ж(ж.—<171
Компоненты тензора напряжений определяются формулами
R
R«
__дэ / Р~ г'2 А2 —2 I Э/2 \ Л2г2 R2 F2 Л ’
= (18)
1ж (4* ж - (Л-р) - Ж (Фг. - л=с‘ - A'DV-') | '
-2 [жЛ ж+Dfj + ж ж<0Лг1+««] •
Здесэ также на внутренней R =Ra и наружной R -Rj цилиндрических поверхностях получено равномерное распределение поверхностных нормальных сил.
§91
ПЕРЕЧЕНЬ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
291
Постоянную В в (14) можно выразить через внутренний и наружный радиусы г0, г, отсчетной конфигурации
В --R^-Ar^Rl-Arb Ri-Rl-A (У-r?). (19)
Для полого цилиндра но условию однозначности перемещений следует принять
С 1, Е -0. (20)
Уравнению неразрывности (15) теперь придается вид
AF - 1. (21)
4. Радиально-симметричное преобразование полой сферы. Оно задается соотношениями
R- i-E А. (-) -6, А-Х (е--л±1). (22)
В этом преобразовании
г- ( (В1 г2\ , Е „
F = —yrj е/Д/? TpE' § = (73- — ^ е^ + ^-Е,
v г Г d ri । 2 iri B*\]
V F [dR R4^R [R4 c2 ) '
v _ Г d Ri t 2 (В1 E V
V ~~ Cr [dR ri 'r R V4 Ryj ’
/,(F)=^ + 2^, /2(F) = |?y2^.
Давление p и компоненты тензора напряжений равны
R
о / г4 дэ R4 дэ \ . . Р г6 —R6 ( дэ . R2 дэ \ dR /г)^
P-P<> + 2[lRdR-AdE +43 -ТоН.сд + нсУ ’ <23>
«о
, , Р R«-r6 ( дэ , R2 дэ \dR I d D,
Po+4J R4/2 \d/t 1 r-1 d!R’ o0-nA 2R dR R °R'
«0
(24)
Равномерно распределенные по внутренней (R - /?„) и наружной поверхностям нормальные к ним силы представляются выражениями
с f с , , С R°— re'! дэ । Я2 дэ \dR
lo z Ро, h lo^v^ J \д/гА- r2 di2) p
Постоянную А можно определить формулой
.1 /?( и-:) /?2 е/У (25)
5. Преобразование цилиндрической панели (Шилд, Клинг-бейль, 1966) в цилиндрическую панель другой кривизны
1 з*
292 Несжимаемый упругий материал [гл. 7
J
T N
задается выражениями
R = Аг, Ф = В1пгф-Сср, Z = Dz,
R = В ew + kZ; A 2CD =- 1. (26)
Здесь
RL — А (ед + Ввф). R2 --- /?Сеф, R., Dk;
R,-T-
VR = Aer (еяФ- Веф) ф- АСефеФф-Пкк,
vr = x e7?er + (еф - Вей) еф +
и представления мер деформации приводятся к виду
I
I
F- А2
1
S — Д2
е/?ет? I- (В2 + С2) еФеФ В (ейеф ф- еФел)] ф П2кк, (, , В-\ 1 _ . 1 кк
е/?ея ( 1 + £2 ) + £» еФеФ В (ейеФ ф- еФел) ф- .
(27)
Инварианты и физические компоненты этих тензоров постоянны
/, (F) А2 (1 ф- В2 + С2) + D2, Ц (g) = (В2 + С2) + ± ,
но, конечно, сами тензоры F и F~'- -не постоянные тензоры. Постоянна удельная потенциальная энергия, значит —коэффициенты определяющего уравнения. Дивергенции V-F, V-g равны
У.Ра=±[(1-В2-С2)е^ф-2ВеФ], V.g = -^V-F
и определяемый уравнением статики градиент давления р представляется выражением
Ч (-4’тД да 1 - В! - С!> е«+2Ве«] -
_ др 1 др
+ дФеф' Получаем
А-2 кф+дай)) [<1-В1-С)|пД+2Вф]+а.
а„--А + 2[.4=ф-ф;3(В’+С-)Д],
<.«=-p + 2[T4B> + C-)^-^ii,
। г> 7 па дэ 1 дэ \ п / Л„ дэ , 1 дэ \
°Z~ P + 2^D — ТфФ -В^А +
(28)
§ 101 КРУЧЕНИЕ, РАСТЯЖЕНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА 293
В отличие от преобразований 1—4 реализация преобразований (26) требует распределения на поверхностях F = F,
нормальных сил, зависящих от Ф, и постоянных касательных сил.
В исследовании Эриксена не рассматривались тензоры F с постоянными инвариантами.
6. Замечание. «Произволы» в решениях 1—4 соответствуют входящим в них постоянным; поэтому ограничено число краевых задач, доступных рассмотрению с помощью этих решений. Допускается выполнение требования отсутствия нагружения на «основных поверхностях» или наличия на них только равномерно распределенных нормальных напряжений. На остальных границах приходится довольствоваться интегральным выполнением краевых условий («в смысле Сен-Венана»).
Значение этих решений состоит не только в их «универсальности», иначе говоря, в представлениях общих для всех изотропных несжимаемых материалов и поэтому пригодных для любого материала, если известна зависимость удельной потенциальной энергии его от инвариантов меры деформации. Они подкупают простотой, наглядностью и неожиданностью результатов, заставляют отказаться от некоторых привычных представлений линейной теории, сделать ненужными построения необъяснимых этой теорией явлений, оставаясь в ее рамках.
Решения рассматриваемых ниже задач, как говорилось выше, впервые даны в основополагающих работах Ривлина; значение выдающегося исследования Эриксена скорее «отрицательно»— показана бесперспективность поиска новых «универсальных» решений, не включенных в перечень 1—4, дополненный решением 5.
В последующих параграфах рассмотрены применения решений перечня 1—4 к частным задачам.
§ 10. Кручение, растяжение, изменение диаметра круглого цилиндра
В формулах преобразования (9.14) принимается
В = 0, С=1, £ 0; А£=1;
й = КАг, Ф-фф-Dz, Z Fz. (1)
Постоянная F определяет изменение длины цилиндра (L = Fl)-, V Аа = jR0 — радиус цилиндра в актуальной, а —в отсчетной конфигурации; через a=D/F обозначается угол кручения на единицу длины
;j I p r'
294
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
При ненагруженной поверхности цилиндра (ро = О) формулы (9.17) для компонент напряжения преобразуются к виду
л
£-RdR,
«о
о 2 гл? । Р3 ” • дэ 1 дэ
так как в рассматриваемом случае
Постоянные а и F определяются по заданию крутящего момента mz и продольной силы Q
ll!
7^0
mz-2nC 7?4Z(I)d7? = ^f =
J СС J ОК
о о
! 1 к
Ji
! I
Г «0-1
= RadR ,
L о
7?0
Q -= 2л j azR dR 2л [э (Ro) - э (0)] -
О
7?0
-2«№j (Jr+7^)R’dR-
О
(3)
(4)
Ji1 к i'j n'l' к
Здесь двойной интеграл был преобразован в одинарный; через a(R0), э(0) обозначены значения э(11( /2) на поверхности и на оси цилиндра.
Если длина цилиндра остается неизменной, то F1 и
7? о а •
г(^+2^)<Ж —2^|г-(Д+2^)<1г. (5)
О о
Цилиндр в соответствии с эмпирическим критерием (5.11.3) сжат.
При отсутствии продольной силы (торцы цилиндра свободны) «»
«2/73 [5 Ш — Э (0)] = а2рЗ д^^~
О 7?о
=2 V) (£+kT>dR=“‘d <6»
О о
§11]
ЗАДАЧА ЛЯМЕ ДЛЯ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА
295
откуда следует, что F— 1 имеет порядок а2. Учитывая величины лишь этого порядка, имеем, сославшись на (3.3),
L О Jf=l
= 3(F-1) R-a2
—- нуликом указывается на замену ==/2 = 3 в отсчетной конфигурации, по (6)
/,, /2 их значениями R = С этой степенью точности
F — 1 = -^ а2а2
(7)
Это соотношение соответствует наблюденному Пойтингом эффекту изменения длины проволоки при кручении, необъяснимому линейной теорией —в формулу (7) входит не учитываемая этой теорией величина.
Для материала Муни формулы (4.1), (3), (4) при свободных торцах приводят к соотношениям
т =97 (с я—1 С,-| C2/f
mZ 27 ЦС1 + р /72 C^2C^F' 4 ~2 )'
§ 11. Задача Ляме для полого цилиндра
Применяется то же решение (9.14), в нем теперь
C=l, D = 0, £ = 0, R2 = Ar2 + B, Ф = <р, Z = AF=\.
(1)
Постоянная В выражается через радиусы (г0, ту) и (R„, RR в отсчетной и актуальной конфигурациях цилиндра (г0 —внутренний, ту —наружный радиус; г^ = г2(1Ц-6), 6 > 0)
В = R2 — Аг2 = 7?о — Лг„ = RI— Аг2, ^-Rs. = A(r^rJ) = AH (2)
При Л>0 7?, > Ro и 7?i— наружный, /?0 — внутренний радиусы в актуальной конфигурации: рассматриваемый в § 12 случай Л <0 представляет задачу о «вывернутом наизнанку цилиндре».
|По (9.17) и (1) касательное напряжение т2ф отсутствует, нормальные напряжения равны
R
R ' ° J L-5/i \ R2 гЧ dR\A4 R ’ R«
G(S>=±RaR, oz = (j +2(л-2-Л2^/) + .
(1R z ( \ R2) чВ г2 dR/
296
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
I, l I, ; ii
'I
Здесь
I (Р) = Л2^ + ^ + Л-2, / (F) = -^ + й + Д2
X \ / Jj it I у i I I it \ / Д i. j’ £ I у J it I
и имея в виду, что 7?d7? = 4rdr, получаем d/i_op2 R2\(RA A>\AB2(r! R- \ dR ~~Z \7?2 Л2г2Дг2 Л2г2/ ’
dl2_da ______________ В 2 / r2 R2 \ / . 2 дэ . дэ \
dR~A dR ’ дР~Аг2^[^2~~А2г2)\ЛдГ1+д/2)
Это позволяет представить gr также в виде
|Г|
R
__ „ С dR / г2
Gr 2J R\R2
R„
J¥_\ ( Д2±._кЛ\
Л2г2 J dl^ dI2J
— Po =
R
-4J
Ю
причем p0 == — aK (Ro) — давление на внутренней поверхности цилиндра. Его значение на наружной поверхности обозначается Pi = — °r(Ri)’ так что
(^1) =
R2
А2г2
дэ , дэ дЦ^дК
Продольная сила определяется выражением
Q = 2n j* RozdR =
R«
~2лА
преобразуемым по (4) и (5) после замены oR его выражением и замены двойного интеграла одинарным к виду
d
; Г
7
Q = 2л А
у [Фя (^о) - flOR (#1)] + 4 S Tr ri dr +
ГО
+ 2 Ua-*-A2£) +
1 J \ R2J \dli 1 г2 д12] ।
Гн 7
(6)
§ 121
ЦИЛИНДР, ВЫВЕРНУТЫЙ НАИЗНАНКУ
297
формула (5) после замены R2 его выражением по (2) переписывается еще в виде
г о
Уравнениями (6) и (7) определяются неизвестные постоянные А, В.
При неподвижных торцах, когда цилиндр помещен между двумя твердыми гладкими плитами, F = A = 1 и уравнению (7) придается вид
O«(R.)-о*(К,) = вИ1 + /+у й <'’ '+ •
Й = 2(^+®- <8>
причем р (3, 3) = р. — модуль сдвига в отсчетной конфигурации. При свободных торцах Q--0.
§ 12. Цилиндр, вывернутый наизнанку
Принимается, что в этом состоянии отсутствуют нормальные напряжения на поверхностях цилиндра (о# (7?0) = o-/?(7?i) ^0), отсутствует и продольная сила (Q = 0). Обозначив —А = |3 > 0, по (11.5) имеем
__— щ—\ — о m
J R \R2 &2r2 A dR-t- dlJ { '
До
Условие Q = 0 после замены da/dr в (11.6) по (И.З) приводится к виду
Д,
f ri ( '2 В2 \ /р2 дэ_ , дэ \ dR _
J kfl2 P2r2J dl^ dl2) R ~
Rf)
= Я'(₽--Р^)(я7 + ^Д)««. (2)
Ro
После введения переменной интегрирования
£ = S (3)
Имеем
^d^dR^dr^^(]+l\
2 г2 г2 г2 \ 1 р } ’
1 2 PrfS dR_ 1 р +
2 5+P’ R ~ 2 g (UP) ’
298
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. ~
Уравнению (1) придается вид 2
<4’
•Y1
Здесь х0 = 7?0/г„, и по (11.2)
хНР = (1 + 5) (м + Р), х2 = (1 Дб)х2 + (36, (5)
причем 1 -- б Tj/rL 8 > 0, так что х§ > (1 + 6) х2, х2 > xt Уравнение (2) при этих обозначениях приобретает вид
• 2 2
%0 XQ
С ₽ — I /рг дэ ! 2 Г g —₽4 I дэ ? дэ \ dg „
j mvJ di^dijv 0 1 Sa/J в • w
2 2
M X1
Задача приведена к определению трех неизвестных Хо, х2, 0 из системы уравнений (4), (5), (6). Исследовать эту систему, не специализируя задания э(/1; /2), вряд ли возможно. Остановимся на случае потенциала Муни (4.1). Тогда, отбросив в (4) постоянный множитель, после интегрирования придем к уравнению
Определенная при положительных к функция f (к) к- In к, оставаясь оложительной, монотонно убывает (от оо до 1) при О а при 1 к sC оо монотонно возрастает (от 1 до оо).
Поэтому каждому значению 7.0 = (3/х2< 1 уравнение (7) сопоставляет единственное значение 2ц=|3/х2> 1.
Для неогукова материала (4.3) условие (6) приводит к уравнению
+4W +4W(i+p-3). (8)
\ х0 / \ XI /
Уравнениями (7), (8) совместно с (5) определяются неизвестные р, х2, х2 — наружный и внутренний радиусы вывернутого цилиндра.
Остановимся еще на формулах для напряжения <тф при 7? = 7?О и R = R1-t о-д = 0 на этих поверхностях и по (9.18), (11.4) (оф)л=Ло=|0’_-А)(С]|32+С2), (<Ttl>h=R1=4f4—V)(c^+C2) <9)
Р \ Р Xi J
§ 13]
ЗАДАЧА ЛЯМЕ ДЛЯ ПОЛОГО ШАРА
299
для материала Муни. Как следовало ожидать, напряжения оф —растягивающие на наружной и сжимающие на внутренней поверхности.
§ 13. Задача Ляме для полого шара
Преобразование отсчетной конфигурации в актуальную определяется формулой (9.22). По (9.25)
х?-е = (1 +б) (х?-е), 1 + 6^4, б > 0, (1)
Го
при г0, ту — внутренний и наружный радиусы сферы в отсчетной конфигурации. В задаче Ляме е=1, q0, q1 — внутреннее и наружное давления. Здесь
7?з_7?з = гз_гз>0) 7?1 > Ro (2)
и в актуальной конфигурации 7?, — наружный, 7?0 — внутренний радиусы. При е = —1
Rt-R30 = rs0-rt, R,<RJ; (3)
— это задача о сфере, вывернутой наизнанку.
1. Задача Ляме. По (9.24)
— 41 f —r<i f г>я . В2 <Ээ \ dR
—“R*r*~ дГг) RR '
Ro
Введя переменную интегрирования
е Л' 1 ____dR ...
~ г3 ’ з ~ R , W
приходим к уравнению
$
$(? + !) + (5)
Х1
определяющему совместно с (1) при е=1 неизвестные х„, xf. Легко проверить, основываясь на выражениях инвариантов
+ 12^=^ + 2^,
что формулу (5) можно записать также в виде
X3
,?0
С йэ dg ,г.
qi ~ J dU— 1 ’
v3 ъ ъ
Л1
300 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
2. «Выворачивание наизнанку». Теперь 7?0 — наружный, — внутренний радиус; = 0. Неизвестные л'„, х[, связанные
соотношением (1) при е =— 1, определяются уравнением
Процесс выворачивания можно представить осуществимым с помощью протягивания материала через малое отверстие в стенке, вслед за этим заделываемое.
!й
’! § 14. Изгибание листа в цилиндрическую панель
Т
|| Приняв в формулах (9.1) С = 0, В = 0ипо (9.2) £—(ДВ)-1,
имеем
' R2 = 2Aa1, Ф = Ва2, Z = ~ = Ea3. (1)
; Ad х '
'il r____ r___________
! Поверхности панели R0 = y 2Аа„, Rt = y 2Аа$ не нагружены и
ill; по (9.10)
I; /1(7?о) = /1(В1), 72(В0) = 72(В1). (2)
Выражения инвариантов (9.7) приобретают вид
.1 Л = ^ + В2В2+(ДВ)-2, Л = ^ + ^2 + Д2В2 (3)
и соотношения (2) удовлетворяются при
(4)
; Здесь 2а —центральный угол панели (2а Ф при а2 = Ь). Глав-
ный вектор напряжений сгф определяется выражением
IE R, R,
J dZ \ ^RaRdR=2lERoR I =0.
-IE Ro R„
§ 14]
ИЗГИБАНИЕ ЛИСТА В ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ ПАНЕЛЬ
301
Их главный момент относительно оси панели в соответствии с (2) и (9.10) можно представить выражением
2Е1 j |>(э-р0) + 7?2 «о L
2Е1
Ri _2-р0(^_^) + у R~aRdR Яо
R, R,
— 2Е1 -^Po(Rl-Rl)+Rb | — RadR =
*0 ^0
4(7?21-7?о2)э(/1(7?о), /2(O-j RsdR .
Ro
= 2Е1
Заменив здесь Rlt Ro их значениями и учитывая (4), приходим к выражению момента
Другим его представлением служит равенство
/?1 г Rt я,
mz = 21Е у R RaRdR -=21Е R'2gr | — У RoRdR =
Ro L Ro Ra
R,
= —2lE^RoRdR. (6)
Ro
Оно позволяет представить выражение продольной силы в виде [см. (9.10)]
Ri
Q = 2a у R<3zdR=-~~mz-}-
Ro
Ri
Ro
(Bi
U2
£2) ] dR
(7)
302
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
и условие обращения ее в нуль представляется уравнением, определяющим Е2. Получаем
fe(A(7?0), /2(Т?0)) — J Ж/.,
(Г
дэ
' 1 a1/?* дЕ r г, i/ 1 / 1 . , \ д1« 1'“д'
' х J 1 Е )' а0 (ай — й) ' J
“'о
п при вычислении /2 следует выразить через переменную а1
I У^Чр (чр~|- j Ч1 1 ^72
£fll ’ (9)
г ЕсЕ ЕУаЦаЪ -/г) р_„
Выбор постоянной aj свя.зывается с шириной полосы 2Ь и центральным углом панели 2а
а = /В=А[а10(а10 + й)]-1/щ al0 = ±( |/1 + 2L-1Y (Ю) Cl Cl \ ’ ЧА/t/
По‘приведенным формулам по заданию материала, размеров листа h, 2b, 21 и требуемого угла панели определяются напряжения в ней, .наружный и внутренний радиусы /?t, /?„ и длина 21Е.
§ 15. Универсальные решения при наличии массовых сил
1. При потенциальных массовых силах уравнение статики пмеет^вид
V-T = Vn, pk _—Ул (1)
и его решение представляется суммой частного решения Ел и «общего» решения Т однородного уравнения. Для несжимаемой среды
Т = Ел + Т£, V-t--Vp + V.Tr, T.--pE + 2(F^— g
(2’ и поэтому
Т,Е(«-Й+2(Р^8^-). (31
Первым шагом построения универсальных решений было исключение р из уравнения статики —см. (7.8.3). Поэтому определяемое
§ 15]
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ МАССОВЫХ СИЛ
30.3
в этих решениях преобразование отсчетной конфигурации в актуальную, иначе говоря, вектор места R, зависящий от материальных координат п некоторых постоянных, не зависит от р. Эти решения поэтому применимы для тензора напряжений (3). Различие возникает на этапе определения поверхностных сил, реализующих рассматриваемое состояние
f-N-T ._Nji-Np + 2N.(F^—. (4)
В универсальных решениях р, F, g зависят лишь от одной из координат (пусть ql), а на «основных» поверхностях q1-- const принимают постоянные значения. Поэтому во избежание трудно осуществимых поверхностных сил (которые зависели бы от q2, q3) требуется, чтобы потенциал л также зависел бы лишь от q1. Этим существенно ограничивается применимость универсальных решений к задачам, в которых требуется учет массовых сил.
2. Вращающийся цилиндр. Цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью ш вокруг своей оси. В системе осей, связанных с вращающимся цилиндром, уравнению движения придается вид уравнения статики, в которое включены «центробежные силы» с потенциалом
л--'-рсо27?2. (5)
В универсальном решении (9.14) полагаем В -^0, С - 1, D-^=0, Е = 0, F -А'1. По (9.16)
F — А [Е + (/1 ~3 - 1) kkj, g-A-![E + (X3-l) kk], /1-^2А + А~2, /, 2А-'--АА (6)
так что э(/г, /2) — э (А) — const. По (9.17) и (3)
Т = --4(Аро)2г2 + 70)Е + 2(Д-3-1)А(^-+Д^)кк.
Поверхность цилиндра R~RY (ее радиус в отсчетной конфигурации обозначается rt) свободна от нагружения. Поэтому о>=4 Ар®2 (г2 —г2),
<т7 = 1Арсо2(Н-г2) + 2(Л-3-1)Д . (7)
Постоянная А определяется условием отсутствия продольной силы. Учитывая R dR = Ar dr, имеем
Q^2nA^ozrdr^Q, ipco2/-2 -=(1 — Д-3) + A . (8)
304
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
Здесь > 0, > 0 в соответствии с эмпирическим крите-
рием (5.11.3). Поэтому А>1—-цилиндр утолщается и укорачивается.
3. Вращающийся полый цилиндр. Задача существенно усложняется. Как и в задаче Ляме (§ 11) разыскивается двухпараметрическое решение (11.1). Повторив вычисление § 11, приходим к формулам для нормальных напряжений
Ri
^=4р®2(^-^2)-4 J
+,
аФ = 4к^ + Р“2Я2. (9)
так что <тл — 0 на внутренней поверхности цилиндра. В этих формулах
= Л г2 дз В 2 / __/?2 (л-2 дэ \
dR Р л В dR ’ dR Ar-2 R\R2 Л2г-) \ dl^dlsT
Постоянные А и В определяются условиями отсутствия нормального напряжения на наружной поверхности цилиндра R = R, и продольной силы Q. Приходим к двум уравнениям
ва
Я.
У <yRRdR + 2 У RdR + (11)
Во Во 12
После введения переменной интегрирования (12.3) эти уравнения преобразуются к виду
4 Poj2+<5
2 xl
y2 Ro ,.2 Xo + Л6
xl
2 + 6 (Ч+-4 ( ds , 4_2 ds\dR ,
4-Д dl2) §2 +
x2
+ — С (Д1-?) ( —4. ? —\__________________
S4a/1 д1г) Щ-АУ
(12)
(13)
§161 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 305
Согласно эмпирическому критерию правая часть уравнения (12) положительна, так что %„ > xi- По (12) отсюда следуют неравенства
х*(1 4-8) > + х'о>А, х?>А.
Следует ожидать, что при вращении полого цилиндра, как и сплошного, его диаметры (внутренний и наружный) увеличиваются, а длина укорачивается, иначе говоря, что Л> 1.
§ 16. Универсальные решения уравнений движения
1. Рассматривается уравнение движения несжимаемой упругой среды при отсутствии массовых сил
— Vp + V-Th-=pb. (1)
Ему сопоставляется «квазиуравновешенное движение»; оно определяется уравнением равновесия в поле давления р (R, О
-Vp-'-V-T;;--0. (2)
В параметры определяемого им вектора места R (ограничиваемся универсальными решениями) t входит, как фиксированный параметр.
Следствием (1) и (2) является соотношение
V(p-p) - pb,
которому можно удовлетворить, предположив наличие потенциала ускорений £
b = V£, р£ = р-р. (3)
Здесь £ —однозначная функция координат, существующая согласно теореме Томсона (1.14.16) в движениях с постоянной во времени циркуляцией вектора скорости
ф R-dR = const. (4)
г
Квазиуравновешенное движение динамически возможно тогда и только тогда, когда по определяемому в нем вектору места может быть найден однозначный потенциал ускорений —выполнено условие (4). При этом условии тензор напряжений определяется уравнением
Т = р£Е + Т, (5)
причем Т —общее представление тензора напряжений, соответствующего равновесию в момент t.
306
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ материал
[гл. 7
2. О потенциале ускорений. Равенство (4) — необходимое и достаточное условие существования потенциала ускорений. Достаточным является равенство нулю циркуляции скорости, тогда движение безвихревое и потенциальное
V х v = 0, v^=V%^R's —у, V-v^=0, V2y^0.
dqs
Здесь x — потенциал скоростей и по нему вычисляется потенциал ускорений £
b=V^v_(R-|A)=R-94X+R-|L =
= VA_Vv.R^_v£-Vv.v-.v(i-4X) .
Была использована формула (1.10.5). Итак, при существовании потенциала скоростей потенциал ускорений с точностью до аддитивной функции времени представляется выражением
(6)
3. Примеры, а) Аффинное преобразование. В этом случае R = c(0 + r-A(Z), detA^O.
v = с-J-г - А(/) .-= с-f- (R — с) А-1-А
и далее, обозначив ®— сопутствующий тензору А-1-А вектор, имеем (1.11.1)
V х v = V х RA-1A=RV х R^ • (А-1 • A)ranRwRn— -=(R‘XR”) (A-1-A)in = —2<o
и достаточным условием существования потенциала £ является симметричность тензора А'1-А
(о-О: А-1 • А = (А-1 • А)т, А^А-’-Л-А1. (7)
Например, при деформации простого сдвига это условие не выполнено
А = Е + i2ijS, А-'1 - - Е — iJpS,
Л-1- Л = (Е —i2i1s)-i2i1s= iJjS, 2® = i;(s =Х= 0.
Необходимое и достаточное условие определяется равенствами
b = c + r-A(0 = c + (R-c) А-х-Л(0, Лт==А-1-А-Ат (8)
и потенциал ускорения представляется выражением
R.A“1-A-R4-(c —с-А-^Л)^. (9)
§ 161
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
307
б) Преобразование полого цилиндра в полый цилиндр, сохраняющее осевой размер. В формулах (11.4)
/?2 г24-Л, Ф-ф, Z = z, R = eR ]/г2ф Л + кг
и, учитывая, что ел -ефФ--=0, имеем
у = -^ей=|л¥1п7?, х=1л1п7?, J | Л InR +1 А
£1\ Z VL £ Ч 1\
и по (4)
?=1(л1п/?+1А). (10)
Вместе с тем
Л /?2 -г2, Я 2А\,/?0, Л--2(7?Л + 7?2)
и поэтому
v = ^A/?- % R0R0 In 7?2,
С = | (R0R0 + R№R*)+^R* . Lj [\
в) Преобразование полого цилиндра в полый, когда осевой размер не сохраняется. По (11.1) теперь
/?2 = Лг2 + В, Ф = ср, 7=Д-1г; R = 7?es + k^-,
v = «e8+kZ = l[4R+±(B^4B)]eR-4zk,
х-[т4«’+(й-4)|"л+Н2Ф
потенциал ускорений, определяемый по (4), оказывается равным
Е=4(4—тя4)«1+-як(я-4в)’+
+т[4(4в-в)+(ё-4й)]1п«+(4—т4>- <>2)
г) Центрально-симметричное преобразование полой сферы. По (9.22)
/?3 = г3 + Л, 0 = 0, А л;
R = Res, v = T?e^=-Aes, х = —А (13) и по (4)
Е-=га4~з4—(^+(Аг)' <14)
308
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
§ 17. Дифференциальные уравнения Лагранжа для параметров в универсальных решениях
Уравнения (16.2) определяют тензор напряжений через мате-риальные"координаты и входящие в представление вектора места R параметры А, В, С и т. д., далее здесь обозначаемые ц“, и их первые и вторые производные по времени. Дифференциальные уравнения, их определяющие, диктуются краевыми условиями подобно тому, как получались конечные соотношения между ними в~§§ 10—15. Но представляется, что проще ведет к цели прием составления этих! уравнений, использующий принцип Гамильтона — Остроградского.
Задание вектора места
R = R(?1, q*, q3- ц“) (1)
определяет представления его вариации, вектора скорости и кинетической энергии
<2>
Вспомнив также выражение вариации лагранжиана
6^ = -<£a(J?W, (3)
ш (7|Л др,
и следуя (2.24), можно теперь записать выражение принципа Гамильтона в виде
л
i, ' ' v" ' o\
В несжимаемой среде, сославшись на (1.10.18), имеем
/ =7 V-v = V-v = p“V--^- = 0, V--^ = 0
г фх06 сфа
и слагаемое в (4)
(4)
(5)
Нет нужды включать его в выражение принципа, когда —независимые параметры; отпадает необходимость вводить множитель связи. Выражению (4) придается вид
\dt бц“=о. (6)
J J J ]
§181
РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРУБКИ
309
Заметим еще, что вектор ускорения и условие существования потенциала ускорения можно представить выражениями
VX
др06
5R
d2R
d2R
рарН = о.
(7)
Ь =
|х“|Х₽,
§ 18. Радиальные колебания цилиндрической трубки
Предполагается, что трубка помещена между двумя гладкими плитами, не допускающими осевых перемещений, но не препятствующими радиальным смещениям стенки на торцах.
В обозначениях § И при Д=1
B~R2 — г2 - R2 — r20=--Rl — rl, R = 7?e^ = ]/B + r2e^ + kz. (1)
Параметр В —искомая функция времени; В>—г2 при любом t, в отсчетной конфигурации В = 0. 'Вектор скорости и кинетическая энергия трубки равны
V=^=2^^e«’
^ = 4n/pBalng = |nZpB2ln|±^-. (2)
Потенциальная энергия деформации трубки определяется выражением *)
П(В) = 2лф(11, IJrdr, Л = = + +
г о
(3) так что П (0) — 0. Производная П'(В) оказывается равной
(4)
Го
причем ц(3, 3) = ц — модуль сдвига в отсчетной конфигурации. Очевидно,
П'(0) = 0;
П' (В) < 0 при — г’о < В < 0; (5)
П'(В)>0, 0 < В < оо,
*) Напомним, что э—потенциальная энергия в единице объема отсчетной конфигурации.
310
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
так что положительная функция П (В) монотонно убывает от оо до 0 при отрицательных и монотонно возрастает от 0 до оо при положительных значениях аргумента.
Используемое универсальное решение допускает приложение поверхностных сил давления, распределенных по внутренней и наружной поверхности трубки. В (17.4) теперь
/о = 9о (0 £/?, fi ~ ~ 91 (0 ед;
<?R 1 f С t dR ,
2R j J *" fig •+(9о 91)
о,
и уравнение движения Лагранжа для «обобщенной координаты» В приводится к виду
1 Гй, тр Bln
^ + ri . 1 Ь2 / J__I
B + ro 2 VB? Bo/,
+ Л)у = 9о-91- (6)
Его первый интеграл —интеграл энергии, представляется выражением t
Т-;-Н - л/ J [qQ(t')-q1(t)]Bdt + 2h. (7)
о
Постоянная энергии h — О, если начальные значения В и В равны нулю. При постоянных qa, qr и h-- 0 уравнение (7) определяет движение находившейся в покое в отсчетной конфигурации и внезапно нагруженной в момент / = 0 постоянным давлением трубки.
Далее рассматривается пример свободных колебаний (70=<7i = 0) весьма тонкой трубки из материала^ потенциалом Муни (4.1)
4=1+6, б<1; p = 2(Ci+C3).
г о
Вычисление, в котором удерживается лишь первая степень 6, позволяет записать интеграл энергии в виде
х2
1 + х
V3
X2
1 -[-X
2/i,
pro
В
Х = -Г г о
В колебательном движении х заключено между корнями х0 и х, уравнения
-v+2-r2/jx-.'2/i-0, Xo = A(j ,
•'•=М> + /1+^).
$Г91
Радиальные колебания Полой сферы
311
Независящий от начальных условий период колебаний равен _________________________ 2л _ лг0 У р
Соотношения (16.5), (16.10) и формулы § И позволяют составить выражения напряжений.
Задача о колебаниях цилиндрической трубки впервые рассматривалась Ноулсом (Knowles, 1960); решение воспроизведено и дополнено в книге Трусделла и Ванга (1974). Исходным соотношением в этих работах служило представление напряжения Его, следуя формулам (16.5), (16.10) и (11.4), можно записать в виде
1 ( а 1 , 1 & \ , D Р - ,, , , ВЩ2г2 dr ,0.
0/? = р ( В !п7?2 + 4-В j H.(ZT, /2) — Ро- (8)
г о
Напряжения aR на внутренней и наружной поверхностях трубки r = r0, r = t\ обозначались — qa, — qx. Уравнение (8) приводит поэтому к соотношению
4-рГв1п
4 ‘
Д + П3 , 1 П2/ 1
B+rl 2 °
1
dr__
(B^r^ г 91’
повторяющему, конечно, (6). Представляется, что вычисление, использующее уравнение Лагранжа, быстрее привело к цели.
§ 19. Радиальные колебания полой сферы
Преобразование отсчетной конфигурации в актуальную задается формулами (16.13). С подлежащей определению функцией А (0 внутренний RB (?) и наружный Rt (/) радиусы сферы в актуальной конфигурации связаны соотношениями
А = — r3 * = R3B~ r3 = Rl~ r{, —г!<Л<оо. (1)
Выражение кинетической энергии имеет вид
(2)
V
Инварианты Л(Р), /2 (F) по § 9 определяются формулами r4 02 04 г2
/ =_£___L9— / । 9 —
1 1 /^4 Т f2 > 1 2 д4 “ д>2 '
(3)
312
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
Далее R и следует заменить их выражениями
R = M+ (4)
и потенциальная энергия деформации представляется выражением
П(А) = 4л ^{Ilt I2)r2dr.
Го
Это—положительная функция, равная нулю в отсчетной конфигурации Л = 0; при А—>—ri, и Л —ос, П (Л) —>оо. Выражение ее производной приводится к виду
ПЧЛ)-4л?( — + — ^- \r2dr -
н ИР дА у- д1^ дА )r аг —
Го
__ '6л д ( / дэ R- дэ \ / пз । <-з\ dr /с\ з л J \<эл + г2 a/J + > г? ’
откуда, предположив выполнимость эмпирических критериев (5Л1.3), заключаем, что П (Л) монотонно убывает при отрицательных и монотонно возрастает при положительных Л, имея единственный равный нулю минимум при Л = 0.
Уравнение движения представляется выражением
Ri—
RiRa
1 Л 2 ^1-^0
6 RtRt
р А
+ l2.4j^(R- + r-)(^-+^A) =
= 3(<7о — 9i) (6)
и, конечно, его можно получить по уравнению аналогичному (18.8), в котором теперь согласно (9.24)
Г1 I
°r = — р£ + 4Л J э(71; /2) г2 dr = 6 [9о(О—9i (ty\Adt + h, . (7)
г0 0
а £ определено формулой (16.10).
Интеграл энергии приводится здесь к виду
рЛ1иЧг)+18И-'
Го
t
г2 dr = 6 J [<70 (0 ~91 (0] Adt + h.
о
(8)
Задача была рассмотрена Гуо Шонг-Хен и Солецким [7.14], решение воспроизведено в книге Трусделла и Ванга. Исходным
§20] АНТИПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ 313
соотношением служило уравнение (19.7). Для сферической оболочки весьма малой толщины г® = г® (1 Д- 6), 1; сохранив в (8)
лишь линейные по 6 слагаемые, имеем
1 С5(/1, /2)гМг = (/?,/§). * = 4>
Ro R1 6го J ° ГО
Г„
причем
4 D2
л°=4 +2 (1 + ~4/3+2 (1+*)2/%
Ro Го
Р4 г2
/» = 4 + 2-^-=(1+х)‘/з + 2(1+х)-2/з. Го Ro
Уравнение (8), если ограничиться рассмотрением свободных колебаний, приводится к виду
рr2x2 (1 + х) -*/» Д 18э (/“, 7°) = Д = Е = const,
причем —1 < х < оо и отмеченные выше свойства функции П (Л) позволяют утверждать, что при любом Е > 0 уравнение
Е — \8э(1Ч, 1°2) О
имеет два и только два вещественных корня х0 <0, лу > 0. Движение представляет колебание в этих границах x0=^-X^Xi с периодом
Т — 2Го V р ( 2/ -I Г— 7~о Лц • (9)
<•> (1 + Д 13 V Е—э ( 71, 72)
х0
Например, для неогукова материала
т = J {Л(1 +х)‘/.-[1 +2 (1 + х)2]}"'^. (10)
§ 20. «Антиплоская» деформация в несжимаемом материале
Деформацию цилиндрического тела называют «антиплоской», если перемещения его частиц параллельны образующей и не зависят от аксиальной координаты.
Декартовы координаты as отсчетной конфигурации служат ее материальными координатами. Предполагается, что антиплоская деформация осуществлена в предварительно растянутом Цилиндре, так что в актуальной конфигурации декартовы
314 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ _ [ГЛ. 7
координаты xs определяются формулами
х1 — х2 — к~'ка2, х2 = Ха3 ф-и (а1, а2), (1)
причем X — постоянная, а и (а1, а2) — подлежащая определению, дважды непрерывно дифференцируемая в открытой области поперечного сечения цилиндра функция.
о
Градиент места VR, мера деформации G и ее инварианты равны
VR-(i1i1 + i2i2)X-1^-I- 1313А,ф-Vui3, (2)
оо / о о у о о
G = VR- VRT -= (iJi + i.2i2) A.-1 -p A,2iai3 ф-A. (, Vui3 ф- i3Vu) ф- Vu Vu,
(3)
о 0
Д (G) — 2A-1 ф- А2 ф- Vu • Vu, о 0
I2 (G) -=2v-2 + 2X + ^-1Vu-Vu, /3(G)-1, (4)
а представление Vr имеет вид
/ 0 \-1 о
Vr-k.VRJ -= (i^! 4-i2i2) Х1/г-I-laigA-1 —Viz i3. (5)
По (2.4), (2.5) тензор напряжений Коши Т и определяемый по нему тензор Пиола Р равны
Р VrT • Т = 2 Г ~ + -If-(ДЕ — G)1 • VR—pVrT. (6’ L°'l Ol2 ..я I
В три уравнения статики
V-P = 0 (7)
входят две неизвестные функции р и и (а1, а2); поэтому «анти-плоская» деформация осуществима не при любом, а только при удовлетворяющем некоторому условию задании удельной потенциальной энергии деформации 12). В частности, как будет видно из дальнейшего, она осуществима в материале Муни — Ривлина (4.1). Общий случай рассмотрен Ноулсом (J. К. Knowles, 1976).
Для материала Муни — Ривлина тензор Пиола (6) по (2) —(5) приобретает вид 0 0 о
Р = — к~'к (<?Е ф- 2С2 Vu. Vu) ф-2 (С\ ф-А-1Сг) Vu i3 ф-
i5 V°U4-(2W1 ф-4С2-Vip) i3i3, (8)
р0] ЛНТИПЛОСКЛЯ ДЕФОРМАЦИЯ 315
причем здесь
q = \p—2СХ — 2 U.2 Vu-Vu') С2. (9)
На поверхности цилиндра
/ о о \ о
{= п Р = — V‘/2 \<?п + 2С.2п-Vw Vu) -|-2 (С| -/х'С.,) n- Vu i3 (10) и из (9) следует, что p — pia1, а2), если поверхностная сила f не зависит от а3. При этом условии уравнения статики (7) приводятся к виду
Vi? + 2C2V-у Vu Vu J — 0, (11)
V‘-u X). (12)
Но по (11)
0/00/ 0 0 000 0 00
V • у Vu Vu ) = V2u Vu 4~ Vu •VVu = Vu • VVu
и уравнениям (И) придается вид
О ООО
Vq 4- 2С2 Vu-VVu — 0. (13)
Система уравнений (12), (13) совместна, так как
О /О 0 0 \ /0 0/00 О ООО
V X \Vu-VVu) \V х Vu) -VVu — Vu х V-VVu —
/О О \ О О О 00
—: ( V х Vu ) - VVu —Vu х VV2u 0,
0 0 0 0 0
поскольку V/Vu-Q, V2u — 0. Итак, VxVi/ -О, как и требовалось.
Пример. Трубка из несжимаемого материала Муни — Ривлина, ограниченная соосными цилиндрическими поверхностями радиусов rlt г2 (г1 > г2), помещена между жесткими обоймами. Наружной обойме (ее внутренний радиус равен ту) сообщено продольное перемещение с; внутренняя (с наружным радиусом г2) остается неподвижной — речь идет о резиновой втулке между металлическими цилиндрами.
Продольное смещение частиц материала трубки по (12) является осесимметричной гармонической функцией, принимающей значения с при г = г1 и равной нулю при г —г2. Ее выражение имеет вид
и (г) = с In— ' In — . (14)
г 2 I г 2
Отсюда получаем
0 се 00 с
Vu ——— -f, VVu----------— (—егег4-ефеф)
In -И- г-In El
X X
316 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
И ПО (13)
О /'2
Vg = 2С2 —,cer ,-2- , q = q0 — C2---,
г3 ( In — | г2 ( In — )
\ Г 2 J \ Г г J
причем q0~постоянная интегрирования.
Далее ограничимся случаем отсутствия предварительного натяга (X—1). Тогда по (9) и (8)
/?^7 + 2(C1-b2C2)+2C2V«-Vz/, (15)
(16)
Поверхностная сила на ориентированной площадке N dO = = VrT -ndo представима выражениями
fdO N-ТбЮ п-Рг/о
и на цилиндрических поверхностях трубки (п = ±ег) равна
idO
причем i=l, 2 и верхний знак (+) отнесен к наружной, нижний (—) — к внутренней поверхности.
Главные векторы этих распределений поверхностных сил, отнесенные к единице длины в продольном направлении, определяются теперь выражениями
(^о)Ц. = ±МСх + С2)-^-13, (17)
ГЧ.
причем верхним знаком задается прилагаемая к наружной обойме сила, сообщающая смещение с; нижним знаком определяется реакция внутренней обоймы. Здесь и ниже при вычислении учтено, что 2л 2л
j erd(p = j — 0.
о о
§211
Построение универсальных решений
317
На торцах n = ±i3 трубки dO - г dr dq, так что С,с2 \ с ~
У о Н 7 т ст ) т-
г2 ( In — ) ) г In — к г2 / / r2J
<7о4~С2—------—2- I
г2 / 1П Z1
f dO = +
2(С1^гС2)—~ г In
г dr dq
+
и продольные силы определяются
<2 = л Г<7о(Г1 —Г2) + 2С.
формулами
с2 ~
(18)
2 г 1п^ r2 J
Постоянная q0 определяется условием отсутствия этих сил
7о--2С2-—-------7~- (19)
Тензор напряжений Коши представляется теперь выражением
Т <?о ( ^2 *3>3) "Т [С2 (^ф^ф еге,.) (2СГ С2) е3е3] -|-
г2 / 1П -1 1
(20)
Задача об «антиплоской» деформации области, ограниченной извне и изнутри двумя гладкими контурами, конформно преобразуемыми в круговое кольцо, сводится аналогичным образом к краевой задаче теории аналитических функций.
§ 21. Построение универсальных решений Эриксена
1. Структуры тензоров F и F-1, удовлетворяющих уравнениям (8.5)—(8.9).
Уравнения (8.5) позволяют установить соотношения
F-y/1 = Hy/1, F-Hy/^ Л-’у/ц F~’•у/2 = В-1у/2. F-у 12 = By 12- (1)
в которых А, В — некоторые скаляры. Подстановка этих выражений в два Уравнения (8.6) приводит к одному лишь соотношению
(В-Л)у/1Ху/2 = 0 (или (4-4-)v/iXv/2 = 0). (2)
Если оба инварианта /х, /2 не постоянны, то у/х 0, у/2 ?0и следствием (2) является параллельность векторов у/х, у/.
причем или А В, или А = В. Предположив первое, получили бы
F-e1 = zle1, F-e1 = Be1 . (4)
318
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
— направлению ег соответствуют два отличных друг от друга собственных числа. Поэтому А = В=с1— собственное значение тензора F; е,— соответствующее ему собственное направление. Как показывает (3), векторы могут быть параллельны (соблюдено условие (4)), но могут и не быть таковыми. В последнем случае Щ— кратное собственное число (ему соответствуют отличные друг от друга собственные направления V^i/| УЛ I и V/2'1 V/2 I)- Теперь, обратившись к представлениям инвариантов
] С| -)-с:>, /2 — CiC2 4 С’СзД еде,, /3 — сруюз = 1 > (5)
следует заключить, что с,, с2, с2 функционально связаны. При параллельных y/j, V/2 —это следует из (3), а при наличии кратного собственного числа — из равенства нулю якобиана
^(/т, Сз+ с1) ^:. (^) с, =0.
Ы|, С2, с3)
Это позволяет считать /2 функциями одной скалярной величины Ф
/1 = /т(Ф). /2 = /2(Ф); у/2 = /2уФ (6)
— штрихами обозначены производные по Ф. Корни определяющего уравнения— функции его инвариантов; поэтому Q с7г(Ф)- k—\, 2, 3. Уравнениям (1) и (3) теперь придается вид
р.уФ=С1уФ, ei==T^T = z rtJnL'/-- (7)
I V® I (уф-уф) 2
Первое слагаемое в (8.7) поэтому оказывается нулем; действительно,
V X(V/i• F) = V X/1уФ • F = V X/[cj V® V (/Jci) X уФ + /№ у X уФ
= (/1^)' уф ХуФ-|-/1'cjV X уф = о
и уравнения (8.7) приводятся к виду
/[уФХу-F-O, /2уФ X у • F ~ х = о, (8)
так что удовлетворяются и уравнения (8.8). Из (8) следует параллельность векторов уФ, y-F
у-F а+уФ. y-F1 а'уФ- (9)
Чтобы удовлетворить остающимся уравнениям (8.9), достаточно принять, что а+=а+(Ф), а~ =а~ (Ф). Действительно, тогда, скажем,
уху-Р = уХа+уФ = уа+ (Ф)ХуФ---а+' (Ф) уФхуФ = 0.
Итак, все условия (8.5) — (8.9) выполнены.
2. Представление через Ф д! ад собственных векторов тензоров F Из этих представлений
Р=с1е1е1 + с2е2е2хСзезе3, F-1 — <?£ 1егеч-( с-Г1е2е2Д-сз“1езе3
исключается диада е3е3=Е—е^ — е2е2. Получаем
F-1.
И
F = (ci—с3) eiej Д- (с2—с3) е2е2-!-с3Е,
С1
— I е2б2 +— Е, с3 / с3
(10.
причем по (7.7)
уф ТФ е,ех~ уф. уф
(11!
§211
ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
319
По (10) имеем
y.F = a+ (Ф) уф = уф.[(с^ —Cg) eiei4-(сг~ Сз) е2е2-|-сзЕ] +
+ (И—Сз) V ’eiei_F (с2—Со) у • е2е2 = V®ci-{- (С1—сз) V •eiei4_ (сг—сз) V'CaCj,
так как уФ-е1е1 = уФ по (11), а уф-е2 = 0 по (7).
Для определения неизвестных дивергенций диад получили систему двух уравнений
(С1 — С3) —с3) у-е2е2 = (a+ — cj) V®,
(сГ1— Ф1) vejei-Hd1— сз1) У-е2е2 = ^а~ V®
с определителем
А = (С1 — с») (с2—с3) (с,,—ед.
Из нее при отсутствии кратных корней определяющего уравнения находим
у-е^-уФ-фх (Ф), У-е2е2 = уФф2 (ф)> (12)
где ipi (Ф), ф2 (®)— рациональные функции сх, с2, с3, а+, а~. При
С2 = С3^С], У-е1е1 = ф1 (Ф) уФ; с3 = сх^с2, у-е2е2 = ф2 (Ф) уФ, (13)
причем в первом случае отпадает возможность определения у-е2е2, во втором У’-еф,.
По (7), вспомнив представление (111.3.5) дивергенции диады векторов, можно представить теперь (12) в виде
[y-ei —(уФ-уФ)'/г ф, (Ф)]е1-| ег.уег —0. (14)
Но векторы е, и е^уе, взаимно перпендикулярны, так как по (III.3.2)
(ei-yel)-e1=er(ye1.e1)=y et.y (е1.е,)=0
и соотношение (14) осуществимо лишь при условиях
у.е1 = (уФ-уФ)’'2ф1(Ф), ej-yei = 0. (15)
По (7)
уф ууф ууф-уф _
Vе! = У--------Г7 =--------г----12---“Т7" V®,
(уф-уф) /z (уф.уф) 2 (уф-уф) /г
так как у (уФ-уФ) —2ууФ-уФ. Второе соотношение (15) оказывается эквивалентным равенству
уф-ууф=у у (уф-уф)=-(уф.уф)-1 (уФ-ууФ-уФ) уФ, (16)
иначе говоря, векторы у (уФ-уФ) и уФ параллельны у (уФ-уФ)хуФ = 0. (17)
Остается вспомнить предложение теории неявных функций, что необходимыми и Достаточными условиями существования функциональной связи % (/\, /2) = 0 Между двумя функциями трех переменных /д (q1, q2, q3) и )2 (р1, q2, q3) является обращение в нуль их якобианов по каждой паре переменных
S)(M W_n <0(Л, f2)_n ®(А,/2) „
’ ®(<?2,Q3)-’ S)(q3, q1)
320 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
В других терминах это обозначает, что градиенты этих функций у/д, V/г — параллельные векторы. Вернувшись к (17), приходим к основному для последующего построения утверждению: величина уФ-уФ —функция от Ф. Иначе говоря, представление дивергенции диады V'eiei в форме (12) возможно лишь для функций Ф (<уг, рг. q3), удовлетворяющих этому утверждению. По (15) приходим к соотношению
у-е, = ф (Ф) ф, (Ф), уф.уф = ф(ф). (18i
Второе соотношение (12) переписывается теперь в виде
V • е2е2 = (V е2) е2 + е2 • уе2 = ф (Ф) ф2 (Ф) ev
Но e2-ej=0, е2'уе3-е2 = -^-е2у (е2-е2) = 0 и поэтому
у-е2 = 0 (с2 с3); (19)
это равенство отпадает при с2 = с3. Далее окажется необходимым также представление свертки yev-yep Вычисляется дивергенция вектора e^ye,, по (15) равного нулю. По (III.3.9) имеем
у • (в! ув1) = у • (у е}- ej) = (у • у е!) • et + у е{ • • уе! = 0. yei• • yel = уе, • • yet = — (у • yej) е,.
Правая часть этого равенства далее представляется с помощью вышеприведенных соотношений через функцию Ф; использовав (18), а также (III.6.16), имеем
у уе!=уу -е, = yi|p (Ф) ср (Ф)^фН (Ф) ср (Ф)]' уФ, (v-yel)-et = ^)' ф (Ф).
Этим доказывается соотношение
уег •уе1 = — ф(Ф) №(Ф) ф (Ф)]' (20)
— существенно, что эта свертка также функция от Ф.
3. Поверхности Ф = const. Было показано, что вектор нормали п = е, к поверхностям ® = const характеризуется свойствами (18), (20) — его диверген ция у-n и двукратная свертка его градиента уп--уп постоянны на этих поверхностях.
Требуемые формулы теории поверхностей собраны в (III, § 11). П<> (III.11.11) и (III.11.12)
уп = р% = -р“рр&Р, у-п = -&“ = -2Я,
У и* • У п = р“р3&Р • • р7р6&? = Фр =%> (211
где Н—средняя, К — гауссова кривизны поверхности. Итак, на поверхности Ф = const постоянны и средняя и гауссова кривизна. Такими поверхностями могут быть лишь сферы, круговые цилиндры, плоскости. Перемещаясь вдоль нормали п, т. е. полагая dn-dR, имеем
dn-= dR yn — dR, yn~ E, иначе говоря, при таком смещении n = ej — постоянный вектор и поверхностями Ф = const являются концентрические сферы, коаксильные круговые цилиндры, параллельные плоскости. Уравнения семейств этих поверхностей, если через R обозначить вектор места па них, при принятых в § 9 обозначениях задаются выражениями
1 R Rep, R-/\’ep-!kZ, n-R = const. (22)
4. Приведенное исследование выясняет структуры мер деформации F Фингера и Альманзи F-1 = g. Собственные числа ср. (Ф) тензора F (q1—тензора
§21] ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
321
Альманзи) принимают постоянные значения на перечисленных поверхностях (21)- Собственное направление е, представляет единичный вектор нормали к ним; направление е2 в касательной плоскости при с2 = с3 удовлетворяет условию (19). Конечно, CiC2c3= 1; тензоры Fug положительные.
Для разыскиваемых по этим условиям тензоров F (или g) должны выполняться условия интегрируемости—обращения в нуль шести компонент тензора Риччи.
Подлежат рассмотрению случаи
a. cj # с2 # с3, F = (сг~сз) eiei | (с2 —с3) е2е2фс3Е, ct = (c2c3)-1, (23)
б. с2 с3 Д су, -с3Е, с, -с22,
(24)
в. Lp-C-Ec,, F (<2—с3) е2е2фс.1Е, с2 = с32.
Последний случай далее не рассматривается; Эриксен доказал, что ему соответствует или постоянный тензор F (линейное преобразование), или некоторые тензоры, не удовлетворяющие условиям интегрируемости. Напомним еще, что случай, когда оба инварианта (F), /2 (F) постоянны (Шилд и Клингбейль), был исключен здесь из рассмотрения.
5. Для трех перечисленных семейств поверхностей векторные базисы Rv, R' актуальной конфигурации и отличные от пуля компоненты единичного тензора Е в ней определяются формулами:
а) Плоскости: R4 = is=R'S (s= 1,2,3);
Gn = G22 = G33 = G” = G22 GM = 1, (25а)
причем is—единичные векторы осей декартовой системы; i1 = e1.
Р) Цилиндры:
R1 = R1 = eR = e], R2=Re(I), R3 = R3 = k. R2=-^-e(1);
Gn = G11=l, G33 = G38=1, G22 = R2, G22 R-2, (25P)
у) Сферы:
Ri= Rx = e^ =-.£!, R2 = Ree, R3 = Rsin0eA, R2 = R-]ee)
R3 = (R sin©)-1 eA; (25y)
G11 = G11 = 1, G22 = R2, G33 = R2sin20, G22 = R-2, G33 = (R sin 0)~2.
6. Векторы e2, e3. Обозначив e4, es — ко- и контравариантные компоненты единичного вектора е2 (чтобы избежать обозначений вида e2s, <?!), имеем
е2 = Ry' = R^., Gs/:esek = Gskeieh = 1
и поэтому в трех перечисленных случаях можно, учитывая, что су-е, !), е1=е1 = 0, принять
а) с,---e2 -cos i|', е3 = <?3 — sin ф;
Р) e2 = RcosTp, e3 = e3 = sinip, e2 = R-1cosi|?;
y)e2 = Rcosi|>, e3= R sin 0 sin ф, е2 = /?_1созф, e3 = (R sin 0)-1 s'n ф
и представления векторов е2, е3 = е;Хе2 приводятся к виду
а) е2 = i2 cos ф-(- i3 sin ф, е3 = —i2 sin фф i3 cos ф,
P) e2== R2R cos фф R3 sin ф= R2R -1 cos фф R3 sin ф,
e3 = —R2R sin фф- R3 cos ф = —R2R-1 sin фф- R3 cos ф,
?) e2= R2R cos ф+ R3R sin 0 sin ф= R2R -1 cos фф R3 .fln .
T R sin 0
e3 = —R2R sin ф-|^:^ sin 0 cos ф = — R2R-1 sin фф R3
(26а) (26p)
(26V)
H А. И. Лурье
322
НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ
[ГЛ. 7
Далее вплоть до п. 10 рассматривается случай простых корней су 7= с2 с3. Вектор е2 подчинен условию (19), кроме того это — единичный вектор. Поэтому
V-e, = 0,
Ve2• е2 — e2v • е2 = е2X (v Xе2) = e'R 5X(R“ X Rft) \ mek = Rmek (V,п«к — \kem) = 0.
Этим дифференциальным соотношениям подчинен выбор ф в представлениях (26). Приходим к системам уравнений
а)
о1 = х1, о2 = х2, о3 = х3: cos ф ^-|-sin ф =0, ч ч ч I дх2 I г дхз
• , дф । , <Эф л
— sin ф v2,-Л-cos фч-Г = 0, т дх2 1 т дхл
откуда следует
44 = дЩ = 0’ ф = ф(х1)- (27а)
дх2 дх2 т
₽) ql = R, <?2 = Ф. = созф-|^-|-з1пф-|| = 0,
. дф . . дф
_31П11,__+сО8ф-- = 0,
дф дф (27^
дФ = °’ д> = °’
у) Д = q2= в, q2 = A ; cos ф sin 0 ^--(-sin ф f cos 0-|- j = 0,
— sin ф sin 0 -~4-cos ф (cos 0+4-r^ = O' d0 1 T\ 1 dA)
дф дф
-vX=0, ,y- —— cos
d0 dA
0;
д2ф
дДд0 =
д2ф д0дЛ
sin 0
— эта система не имеет решения. Иначе говоря, условия сг^ с3 исключают возможность существования универсальных решений для семейства концентрических сфер. Далее поэтому рассматриваются случаи а, (3. Тогда ф зависит лишь от координаты q1 (х1 и соответственно R), постоянной на поверхности O = const (плоскости, цилиндра).
7. Мера Альманзи. Ее представление записывается так
g = Ci 1e]e14-c-2e3e2 + c-3e3e3 = g^Ri'R*, gsk = rs-rk.
Отсюда находим
g5fe = cr1ei-R5Rft-ei + c^1e2-RJRA.-e2-|-C31e3-RiRA.-e3
или подробнее
gn ^2-= о, g'u —0; (e2-R2)2+c3‘1(e3-R2)2;
(е2 (e3-R3)2; £23 —£2 е2’^2е2‘R.3 ^3 e3*R2e3'R3’
так что
S^lg5ft|--gii(g22g33—§32з); a): g=-[, ₽): g (26)
По (26) приходим к таким представлениям матриц ковариантных компонент меры Альманзи (или, что то же самое, ковариантных компонент Е в отсчетной
J 211 ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
конфигурации)
323
?11 = С1 1
о О
а)
₽)
gn —С1 О
О
О О
g22 = C21 COS2 ф + с3 1 sin2 ф g-23—(сг 1 — Сз г) sinip COS Ф >
g23 = (сГ1 — Сз"1) Sin Ф COS Ф ga3 = C2 1 Sin2 ф + СзХСО52 ф
(29а)
о о
g22=R2 (cj^cos2 ф+сз 1 sin2 ф) g23 = l? (сз1 — Сз ') sin ф cos ф •
g23=R (сг1 — Сз г) sin фсоз ф g33=cr1sin2 ф + с^соз2 ф
(29р)
Элементы этих матриц — функции одного аргумента q1 (a): q1 = x1; р): q1 = R), определяемые условиями интегрируемости систем уравнений для координат в отсчетной конфигурации по координатам ее места в актуальной конфигурации.
8. Уравнения Риччи. Выражения компонент тензора Риччи (III.10.15), (III.10.21) значительно упрощаются. Два из них /?1223, Д2з.-ц—тождественные нули. Требование равенства нулю /?2згз Дает условие (штрих—дифференцирование по q1)
’ ' '2 л
g22g.33—g23 = O.
Пользуясь им, остающиеся три условия можно привести к виду
^1212 = 0: g22-2"g22S = 0;
^3i3i = 0: g3s—2"g33S = 0;
^i23i = 0: g23—2~g23^ = 0>
S = gUgll + g22g22 “I" g33g33+ 2g23g23.
После замены в S элементов gsft обратной матрицы их значениями, получаем S = (lngn)'+[ln (g22g33 —g23)]'=(lng)', g = gll (g22g33— gls),
причем здесь: a) g=l, P) g=R2. Условия интегрируемости приводятся к виду ЛП-^Й=0, =0, fln-^Ko, g22g33-g232 = 0. (30)
\ Kg / \ V g J \ V g J
Из них находим
a) g22 = 2/l£'2, g33—2AC2, g23 =—2ACE; (g22g33— g2s) = 0,
gi2 = 2AE2x1 + A2D2, g33 = 2AC2xl + A2B2, g,,-^—C2ACEEA2BD) (31a)
— обозначения постоянных интегрирования согласованы с (9.12). По (28)
gn (g22g33—g2s) =2Д3 (ЕВ —CD)2 x1g11= I
и, подчинив постоянные условию (9.2), получаем
811 2Ах1’
(32a)
11*
324
несжимаемый УПРУГИЙ материал
1гл. 7
Остается проверить, что выбор постоянных обеспечивает положительность g. Требуется
gii > 0, £22 > fe.sM — £23 > 0. (33а)
Эти условия выполняются при А > 0 и неотрицательных х1. Знаки постоянных В, С, D, Е, входящих квадратично и в форме квадрата ЕВ — CD, не определены. Они назначаются так, чтобы эта разность была положительна.
Р) По (30) и Кg = R имеем
Й22 = а1В24-°2. £2з = °з^24 а4, g33^ a3R2A~a6; а^а^а2. (31 р>
Условия положительной определенности g приводятся к виду
g22 = a1R2 Н2 > 0, £22£33—£23-(aio6-+ а2а5 —2о3а4) R2+о2а6—От > 0. (33|3)
PJ В первом варианте выбора коэффициентов а^, согласующемся с (9.6) и с требованием (33а)
о]=а3 = о6 = 0, а2 = й22 = Л2 (£2-|-О2) > О,
at=£23 = —Л2 (BD + ЕС), a6 = g33 = Л2 (С2-фЛ2) > 0.
Напомним, что gsk определены в базисе R^; в нем 7?еф= R^, так что формулы (31(31) полностью согласуются с (9.6).
Компонента gn находится по выражению определителя
g=R2=gu (£22^33—£23) = £iM4 (BE — CD)2
и по (9.2)
gn = ^- ТО
02) Сложнее второй вариант назначения коэффициентов а/., удовлетворяющих неравенству (ЗЗР) и условию aja^-al
g22 = A [,4£2-И2 (R2-B)], йз=4 МС2-рО2(«2-В)], g23=-H [AEC-j-ED (R2 — B)].
Здесь, учитывая условие нормирования (9.16), получаем
£-^2-£хМ3 (R2~B) (FC-ED)2 = eilA (R2-B), так что
R2
^Ай^В)>0 (В<*2)-
Исследование не обнаруживает других соотношений, удовлетворяющих условиям положительной знакоопределенности (33(3).
9. Вектор места г в отсчетной конфигурации. Векторный базис отсчетной конфигурации разыскивается по известным уже значениям ковариантных компонент gsil = rs-ril метрического тензора Е этой конфигурации из интегрируемой системы уравнений (1.18.12). Вектор места г определяется вслед за этим квадратурой по (1.18.13). Получающиеся формулы должны, конечно, представлять решения систем уравнений (9.1), (9.11) и (9.14) относительно координат в отсчетной конфигурации, соответствующие случаям а, [ф, р2.
Подлежащая рассмотрению система шести уравнений
drs ( 0 1 0
О / О О \ / 0 о \
= £ИГ1[$/, l] + r2(g22 [st, 2]+g»[sZ, 3]) г3 (^g23 |s/, 2}+g33 [st, 3]/
§211
ПОСТРОЕНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
325
коэффициенты которой зависят лишь от одной координаты q1 (a) q1 = х1, Р) gi = R), в подробной записи приводится к виду
J_ gn
dq1 2 gu *’
dri dr2 1 £fii г/' < \ , / >
--“9“ ~ L\g22gs3 g23g23/ Г2 + \—gzzglS + gzsgis) r3J>
dq3 —g33&23~гй23?2з) r2 ~r (§ззЙ2—gzsgss) гз]’
<ЭГ2__ 1 g22 Дг2 _ 5Гз__ 1 g23 ^r3__ _J_g33_
dq2 2 gu b dq3 dq2 2 gn 11 dq3 2 gn r '*
Интегрирование этой системы в каждом из случаев а, [Зц [32 сопряжено с преодолением некоторых технических трудностей; оно заняло бы слишком много места и не может быть здесь помещено. Конечно, оно приводит к предвиденным формулам.
10. Концентрические сферы (решения четвертого класса). Здесь с2 = с3, с1=с^2 и мера Альманзи представляется выражением
й = (сз2—с3) e1e1 + c3E = gJ.J,R-fRft. (35)
В сферической системе
R = /?e^, R1 = eR = e1, R2 = 7?e0, R3=/?eAsin0
и ковариантные компоненты тензора Альманзи по (1.4.10) оказываются равными
gsk ™ Rs'g* Rfc = (сз '-з) Rs- c3Rs- R^;
gll = C32> g22 = C3R2, g33 = C3^2Sin2 0, gl2=g23=g31-- 0.
Мера Альманзи—диагональный тензор
g =cr2R1R1 + c3/?2R2R2 + c37?2 sin2 0R2R2. (36)
Функция c3 (R) должна удовлетворять шести условиям равенства нулю компонент тензора Риччи. Его компоненты ^1223, Т?1231, Т?2331— тождественные нули. Вычисление компонент /?i2i2» ^1313 приводит к одному и тому же дифференциальному уравнению (г = с3/?2)
Его несложно находимый первый интеграл имеет вид
г'К^ = С/?2, z'2c3=C2R2. (37)
Условию /?2323 = 0 теперь придается вид
4/?4 = гг'2 или 4R2 = c3z'2
и оказалось возможным удовлетворить всем требованиям интегрируемости, приняв в (37) постоянную С — 4. Это уравнение, если ввести новое независимое переменное x—R3, преобразуется к виду
(dz\2 4
\dx] Z~ 9 ’
Интегрируя его, получаем
гз = (х — А)2 или c3(R) = R~2 (R3 — А)2^. (38)
;|
326 НЕСЖИМАЕМЫЙ УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ [ГЛ. 7
В предположении, что деформация радиально-симметрична, имеем
r=r(R)er, ti — r'iRjer, r2 = re0, r3 = re^sin9,
так что по (38)
£п = Г! .Г1 = г'2 (R) = Ri (R3 - Л) -4/\ g22 --- г2 • r2 = г2 = (R3 - Л)!/=,
g'33 = r3-r3 = 7-2sin20 = (/?3 — Л)2/з5'п20, g12 = g23^g3L- 0.
Из первого соотношения следует, что
R
г=± f R2dR2/-=±(R3-A)'\
причем удовлетворяются второе и третье (при 0 = ф9) — преобразование отсчетной конфигурации в актуальную задается формулами (9.22). Принятое предположение о радиальной симметричности деформации оправдано тем, что любое решение подлежащей рассмотрению системы уравнений (1.18.12) может отличаться от найденного лишь жестким перемещением.
Глава 8
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПЕРВОНАЧАЛЬНО НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
§ 1. Равновесие в варьированном напряженном состоянии
Задача о варьировании напряженного состояния, напомним, рассматривалась в гл. 4, § 5. Как всегда, речь шла об отсчетной V- и актуальной ^-конфигурациях. Напряженное состояние задавалось или тензором Пиола Р, или тензором напряжений Коши Т. Уравнения статики в объеме и на поверхности тела представлялись соотношениями
0 dO
в vt У-Рф-рок = О, на о: n-P = f^- , (1)
в Г3: V.T + pk = 0, на О: N-T = f. (2)
Частицам среды, находившимся в равновесии под действием сил, массовых к и поверхностных f, сообщаются в актуальной ^’-конфигурации виртуальные перемещения t]w (g1, q2, q3), ц— малый параметр. Величины в новой ^^-конфигурации снабжаются крестиком ( )х справа сверху, в частности Rx = R ф- i]w — вектор места. Виртуальные перемещения, по их определению согласующиеся со связями, должны быть подчинены наперед заданным ограничениям. Например, в несжимаемой среде согласно (1.10.18)
V-w = 0. (3)
На той части поверхности О2 тела, на которой заданы перемещения (6R— 0), требуется
w = 0. (4)
При задании на всей поверхности О тела поверхностных сил f назначение вектора w подчинено условию равенства нулю главного момента сил в ‘^-^-конфигурации, если последняя равновесна. Формулировка этого условия приводится ниже (см. (21)). Наконец, иногда довольствуются рассмотрением полей виртуальных перемещений специального вида.
Величина Ф в ^-конфигурации, как условлено выше, в -уэх-конфигурации обозначаемая Фх, определяется по гл. 1, § 10 выражением
Фх = Ф ф. Г|Ф.
(5)
328
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
Включение слагаемого цФ обусловлено изменением геометрии ‘^’-конфигурации, сопровождающимся наложением на поле вектора перемещения u = R — г из v- в ^-конфигурации поля виртуальных перемещений. Но не исключается возможность внесения в состав Фх величин порядка ц, не связанных с ^-конфигурацией.
Массовая сила к dm в элементарном объеме ^-конфигурации по (5) в Тэх-конфигурации принимается равной
kxdmx — (к + цк) dm = к dmч]к dm, кх==к-фг]к, (6) так как dinx = dm по закону сохранения массы. Например, в поле силы тяжести к-— i3g, k = 0, а в поле центробежных сил (2.1.6) при неизменившейся угловой скорости к = —<ox(wxw). Далее кх определяется выражением (6), но не обязательно к — конвективная производная к, так как не исключено проявление массовых сил, отсутствовавших в ^-конфигурации.
Аналогично рассматриваются поверхностные силы
(fdO)x = fdO + n(fdO),= N-TdO + n(N.TdO),=
= fdO4-T]NdO- (T’ + TV-w—VwT-T) = fdO + i]N-0dO — использовано соотношение (1.10.22) и определение (4.5.8) тензора 0. Приходим к представлению
(fdO)x = fdO + t]N-0dO + XfxdO (7)
— слагаемым r)fx учитываются поверхностные силы, отсутствовавшие в ^-конфигурации.
В дальнейшем преимущественно рассматривается «мертвое» нагружение массовыми и поверхностными силами (см. (4.6.8))
о
к = 0: кх = к; (f dO)x = f dO^ f do, fx = 0, N-0 = O. (8)
Будет рассмотрен и случай поверхностного нагружения силами равномерно распределенного давления f = — pN. По (1.10.19)
(tdO)x = f dO — r\p (N dO)x -tdO — rjpN dO- (EV-w — VwT)
и при fx = 0
N • 0 = — pN • (EV-w — VwT). (9)
Тензор 0, введенный соотношениями (4.5.9), (4.5.8)
0 = T‘ + TVw — VwTT, (10)
связан с конвективной производной тензора Пиола Р формулой Р= '|/-^-VrT-0, 0= j/-J-VRT-P (И)
§11
равновесие в варьированном состояний
329
и согласно (5)
рх^р р (vRx) -Р ( VR) p(vR + t]Vw)-p(vr)-= т]Р (vw) .
Поэтому, вспомнив определение производной по тензорному аргументу
Р Vw Ри ••VwT (12)
VR
и представление (4.1.4) тензора Пиола через удельную потенциальную энергию деформации, получаем
Ро =зо о = — 0---rFrrarar„ = /C^«r/mrQr„. (13)
VR VRVR
В этой формуле — ковариантные компоненты R в у-базисе, о о
Р = г"7.м> VR = rfr“v^m, (14)
a }{pmqn_ компоненты тензора упругостей Ро , симметричные
VR
по парам индексов (рт), (qn). Следствием этой симметрии является свойство взаимности
. /о \ о ./о \ о
Р\VwjJ • • VW2 = Р k^w2/) • • Vwi. (15)
Действительно,
. / 0 \ 0 , О О 00
Р у VwJ • Vw's = Ро • • Vwf • Vwq = Kpmqn¥ qw2n --VR
= KqHpm qwlnV pw2m = Kpm4'‘ \pw2nS/qwXn = P (vw2) • • Vw’.
Заменив в (15) P его представлением (11) через 0, получаем также по (1.3.9)
. / ° \ 0 о
Р уVwj; • • VW2 = у — VrT • 0 (VwJ • • Vwi =
= J/^~ 0 (VwJ- • VwT-VrT = jZ 0 (Vwj)- -Vw2
и это позволяет распространить свойство взаимности на тензор 0
0 (VwJ • Vw’ = 0 (Vw2) • • Vw}. (16)
По (4.6.1), (4.6.2) уравнения статики в объеме Т''3*-конфигурации имеют вид
V-P + pok = O, V-0-ppk = O. (17)
330
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
1ГЛ. 8
На поверхности 0х по (11) и (1.8.9)
N-0dO=J/ n- VrT- ®do = n- Р do (18)
и при «мертвых» поверхностных силах по (7)
N-0 = -fx, n.P = -fx-g. (19)
В этой записи не исключены силы, отсутствовавшие в конфигурации.
Силовой тензор (2.1.16) в <7/ЭХ-конфигурации по (6), (7), (8) представляется при «мертвых» массовых и поверхностных силах выражением
ВХ = В + ПВ= JJJpk(R + nw)dy ф- JJf (R + T]w)dO = V о
= в + Т]
J р kw dV + $ fw dO v 0
Здесь по (2.3.1), (2.3.5)
П- И N-Tw d0=Ш <V-T) w dV+Ш R‘- T>dl/=
О О V V
SSJpkw^ + SJjT.Vwdr,
V V
так что
B=JJjT-VwdB, В1 = Щ VwT-TdV,
V V
В-Вт = JJj (T-Vw-VwT-T)dB (20)
v
и в равновесной ^-конфигурации
JJJ (Т-Vw —VwT-T) ФУ = 0. (21)
v
Отсюда следует, что при задании «мертвых» поверхностных сил по всей поверхности О тела налагаемое поле виртуальных перемещений i|w должно удовлетворять этому соотношению.
При «мертвых» силах и нагружении по всей поверхности еще и равномерно распределенным давлением (f = — pN)
В= JJJpkw ФУ + $$ fwdO — p $$ N • (EV-w- Vwr)RdO =
V oo
=- Щр kwrfy + $$ N-TwdO-p J J V-(EV-w —VwT) RrfO.
V 0
§ 21 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ В %°Х-КОНФИГУРАЦИИ 331
Учитывая, что
V • (EV • w — Vwг) R = (VV • w — V • VwT) R -{- ЕV • w — Vw,
VV-w — V-VwT = 0,
JJ N-TwdO = $$$ (V-T)wdF + dV,
O V V
приходим к представлению
B = JJJ[(T + pE)-Vw-EV-w]dy, v (22)
В —Вт = $$$ [(T-Vw — VwT-T) + p(Vw — VwT)]dF.
v
При только поверхностном давлении Т =— рЕ и как следовало ожидать
В — Вт = 0 (23)
— требование равновесия в ^^-конфигурации не налагает ограничений на задание поля виртуальных перемещений.
§ 2. Потенциальная энергия, определяющее уравнение в ^^-конфигурации
Удельная потенциальная энергия деформации s(vr) по (II.4.23) и (1.12) представляется отрезком ее разложения в ряд Маклорена, включающим слагаемые второй степени по ц
э (vrx) —э (vR -ф T]Vw) =э (vr) + т]Э0 • • VwT -ф
VR .10 о /о \ 010.
ту r)2Vwr--э0 0 • VwT э VR J-фг]Р-• VwT +у ifVw1' • Р. (1)
VRVR
Потенциальная энергия системы в ^-конфигурации при «мертвых» массовых и поверхностных силах, назовем ее здесь W (R), была определена формулой (4.16.8)
r pok-Rdy-SSf0-Rc;o- (2)
V V ot
В 7/эх-конфигурации этому выражению придается вид
W (R + nw) = r (R) + nri(R) + n2r2(R). (3)
332
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
1ГЛ. 8
Здесь по (1)
= $ $ $ Р - VwTcto — J рок- w dv — f0’w do, V V Oi
= VwT-.3o 0 ••VwMu = 4SSS VwT--P0
» VRVR v VR
(4)
о
••VwTcto =
V V
= НЛ0'¥'У’Ж <5)
V
Очевидно, что Wt представляет вариацию потенциальной энергии системы (2), равную согласно принципу стационарности (§ 16) нулю, если ^-конфигурация равновесна
W1 = 0. (6)
В другой записи формулам (5) придается вид
Г2= $$Jo(vw)dv, W2 = Щ V(Vw)dl/. (7) v V
Здесь Ф —квадратичная форма переменных Vw, Т — переменных Vw
1 . О ] О О ]
ф = ±р. .VwT = 4-VwT--Эо о --VwT, ¥ = 4-0--VwT, (8) 2 VRVR 2
Р И 0 линейно зависят от этих переменных. Поэтому
Р ( Vw + SVw) = Р ( Vw) + Р (fiVw) , 0 (Vw + 6Vw) = 0 (Vw) 4- 0 (6Vw).
о
Операции 6V, 6V "переставимы при варьировании в |^/эх-конфи-гурации. Получаем
6Ф = у б(р- • VwT) =-|- [р (vw) • -V6wT + P (vSw) • -VwT)| ,
64f = y 6(0- • VwT) = y [0 (Vw) - • V6wT 4- 0 (VSw)- • VwT].
По свойству взаимности (1.15), (1.16), приняв Wj=w, w2 = 6w, получаем отсюда
о
M) = p..6VwT, 6T=0(Vw)- -6Vw. (9)
5 2] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ В ^^-КОНФИГУРАЦИИ 333
Остается вспомнить определение производной скаляра по тензорному аргументу (II.2.7). Приходим к соотношениям
Р=.ф0 , 0 = ¥Vw, (10)
Vw представляющим аналог уравнений состояния изотропного упругого материала в задаче о наложении малой деформации на конечную деформацию нелинейно упругого изотропного тела. Впрочем, формулы (10) следуют и из известных свойств квадратичных форм —теоремы Эйлера о производной однородной функции.
Явное выражение квадратичной формы V (Vw) сразу же следует из представления (4.5.8) тензора 0. Учитывая равенство нулю первого инварианта произведения симметричного тензора на кососимметричный, имеем соотношения
е • VwT = е • • (е 4- йт) = е • • е = Ц (е2), F-е-F• • VwT = F•£• F•-е =/3 (F• е-F• е) =((F-e)2)
и т. д.; получаем
Т = у 0- -VwT = y Т- -Vw-VwT + 2 УVi (еа) +
+ Vi ((F • е)2) + [йооЛ2 (8) + ад (F • е) + ад (F2 • е)+
+2V д (8) л (F-8)+ 2ад (8) Л (Р2-8) + 2ад (F-8) Л (F2 • е)]}.(11)
Величину W2 можно назвать потенциальной энергией в |Дэх-кон-фигурации при «мертвых» в ^-конфигурации силах. Напомним, что е в (11) —линейный тензор деформации над вектором w в Rj-базисе
e = 2(Vw + VwT). (12)
В представление W2 может быть включено слагаемое
— — ^fx-wdO, (13)
V о,
где k, fx — массовая и поверхностная силы, отсутствовавшие в Т’-конфигурации.
В векторном базисе главных направлений е5 тензоров F и Т инварианты /1(F2V-e) представляются через диагональные компоненты е,. тензора е в этом базисе
з
ZJF^e) = = 2 (е„ = 8,).
stnk S=1
334
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
Квадратичной форме в квадратных скобках (11) придается вид
2 31
SSW1(F^B)71(Fr.e)= 2 2 $NrvlNvl\% =
АГ N, Г=0 s, fe=l
3 3
~ 2 2 asAeseA-s= 1 А= 1
Имеем
12 2 5
ask=aks-=-- 2 2 $аг^л'Дг=$оо+$п^4+$2244 +
А = 0 Г=0
| + $01 («s + «I) + $02 (Vf + Vk) + $12 + Ф1)• (И)
Вспомнив определение~величин
fl +^'/2 £ । дЪ ; рд2э
v°° 5/з/з + а/2з 31 11 <5/2+И+ 11 д]2’
fl
1/22 д,2 >
012
!д2э
ч _ т 1д*э f г / 'д2э 3 1
Uo1 35Л5/3+ 1 sdl2dl3’ U(l2 Зд12д!3
„ _ д2э , д2э
получаем
» дэ । 2 2 дэ
‘sd^-VVsVk-gi^-r vsvft ^-^2-Г
Ol2 U12U12
, д2э
’4(л-^)+4(л-^)] +
L vs vk J
____/1з.д ,1^
'адД 4 + 4Г д/l 4 4 г ( }
Продолжая преобразование, введем в рассмотрение производные э по переменным v2
дэ _дэ । и „2\ дэ * h дэ
dv2s + ( 1 Vs) dl2+vj д/3-
Они явно зависят от инвариантов и от v2 для t^s. Поэтому
д дэ д2э
+ 2^-^-|^ + 2
2\ d2g ’8Й
I, <г->
V2 dl3dl
2 д2э д/23 ’
так что
дэ , ц дэ , 4 з —h fs "л7—F «s 3 д!3 1 s д12 1 4
^ss
д2э
(dvl)2
(16)
§31 ПРИНЦИПЫ СТАЦИОНАРНОСТИ В ^^-КОНФИГУРАЦИИ 335
При вычислении смешанных вторых производных следует учесть, что
Л(л-у?)=1- -А4=-4 (^*)
dv£ ’ dvk i>s v% vl
и поэтому
= (17)
dvkdvs
Квадратичная форма (11) может быть теперь представлена в виде
V = 1 {Т • • Vw • VwT - 4 / [ /3 Л (е2) 4- Л ((F • е)2)] +
+ 2 (18)
' u s= 1 k= 1 J
причем ask определяются по формулам (14), (15) или (16), (17), Еще одно их представление — следствие соотношения
о^ = 2
d2;t dvjdvk
Из него получаем
ask-=vlv2k
2
/ 2 dos , 1 \
\ dvk 2 /
«^ = -^4 + v22, Vl)
(19)
(20)
Тождественность представлений (19) легко проверяется. В (20) принято обозначение
а (^+'.Д-2”’Д) <2»
В натуральной конфигурации р(1, 1, 1) = р по (4.7.12).
§ 3. Принципы стационарности в Тэх-конфигурации
Представим в соответствии с (2.7), (2.13) вторую вариацию потенциальной энергии функционалом над w вида
YdV-JJJpk-wdV- JJfx-wdO. (1)
V V о.
336
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
1ГЛ. 8
Его вариация (варьируется w) по (2.9) определяется выражением
61У2 = $ \ \ ® ‘ ' ^wT dV — J $ $ рк • 6wdV'- - \ j fx • &wdO v v о,
и по (111.3.10) преобразуется к вид}'
6Г2 = — JJJ (V-© + pk)-6w</7 + V-(0-6w)dV —
v vd
- JJ fx-6wdO=--—JJj(V•0 + pk).6wdV +
o^ V
+ J J (N • 0 — fx)-6w dO + N • 0- frwdO. (2) Oi оd
На части поверхности 02 в ^-конфигурации задавалось перемещение w и на О2 по (1.4) в ^-'-конфигурации 6w--=0. По (1.17) приходим к принципу стационарности потенциальной энергии 1У2 в ^^'-конфигурации
61Е2 = 0. (3)
Конечно, верно обратное —в (2) заключены уравнения (1.17) в У и на Oj и требование равенства w его значению (1.4) на О2.
Однородная краевая задача для системы линейных дифференциальных уравнений (1.17) может иметь нетривиальные (отличные от нуля) решения для w при некоторых значениях параметров нагружения в ^-конфигурации, входящих в представление 0. Равновесие в ^-конфигурации в этом случае называется нейтральным, а параметры нагружения критическими (или бифуркационными). Сказанное здесь связывается с задачей устойчивости равновесия; разъяснению ее содержания уделено место в §§ 10—25 этой главы.
о
В системах уравнений (2.10), линейных относительно Vw, Vw, квадратичные формы Ф и Y представляют производящие о
функции преобразований Vw—> Р, Vw - >0. о
Обратные преобразования Р—>Vw, 0- >Vw осуществляются квадратичными формами от Р и 0
° /о .А
Фх (Р)-= Р" • VwT (Р) — Ф у V (w (Р) у , (4)
Чгх(0) 0 -VwT (0) — 4r(Vw(0)).
о
В них Vw(P), Vw (0) — решения систем линейных уравнений (2.10). По свойству преобразования Лежандра они представимы в виде
о
Vw(P) = (Ox)p, Vw(0)^CFx)0. (5)
s |j ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 33?
Следствием этих соотношений является принцип стационарности дополнительной работы —равенство нулю вариации функционала
w-^d0 w
V 02
для всех напряженных состояний, удовлетворяющих уравнениям (1.17) в объеме и на части поверхности О,, на которой заданы силы. Для этих состояний
в V: V-60 —0; на О/. N-60-6fx; на О,: 6fx^N-60=O. (7)
Действительно, по (4) и (2.10)
61У2Х j J j(60- • Vwr(0)-!- 0• • 6VwT—0- 6VwT)dI7—J W- 6fxrf0=: г o2
= J[V-(60. w) — (V 60)• w]dV — \ w- 6fxdO =
V Ог
= — Щ (V-60)-wdV+$J(N-60-6fx)-wdO+$$N-60-wdO=O,
V O2 0,
как следует из определений (7) статически возможных состояний.
§ 4. Малая деформация гидростатического напряженного состояния
Напряженное состояние в ^’-конфигурации создается равномерно распределенным по всей поверхности тела давлением р, так что
k = 0, f = — pN. (1)
Уравнениям статики в объеме и на поверхности в этой конфигурации
V-T = 0, N-T = — pN
удовлетворяет шаровой тензор напряжений
Т = —рЕ. (2)
Мера деформации Фингера F —также шаровой тензор с инвариантами
F .-УБ, /,(F)- 3t'3, /2(F) = 3u4, /3(F)=u6
и уравнение состояния (4.3.13) приводится к виду
~Р -.2v-" ф,»*) -2»-1 Д ' 2ДХ Д =
-2»Д1)>!й+ДД+»’.О <3»
338
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
1ГЛ. Й
или в другой записи
р (у) — 2ох
(4)
Здесь р(1) ~р—модуль сдвига в отсчетной неискаженной конфигурации. По .Щ’-критерию в форме (5.13.11) р (н) > О для сильно эллиптического материала.
Потенциальная энергия в ^-конфигурации представляется по (4.16.14) выражением
D \ F S /
Ее представлению в ^эх-конфигурации по (2.3), (2.7) и (1.12.6) придается вид
Г (R + nw) = «7(R) + r1iri + T1a^2==R?'(R) + ^
J$jT--VwTdP +
V
4-pJJ^V-wdV v
+ ~ г)2 / J f j W + p J J j[(V • w)2—Vw • • Vw]dV I. (5) I У У J
При составлении по (2.11) выражения ¥ используются формулы
/1(Р-е)-у2/1(е), Ц (F2-8)=h4/1(e), /1(Р2-е2)-=у4/1(е2),
[-ФоЛ (е2) + ФЛ (F2• в2)] = - н4 + у2 Д (в2) =
= 4 у3 <е2)’
ч — ^э
V22 -.,2 ’
У/2
,Л) „ _ дэ д2э . fi , д2э g 4 д2э
^1’ а,1^+^+ di2’
। у6 лйг + 3у8агЙ- > “ у6 ’
01 д^д/з 1 д/3д1з д/2д/з
я __ д2Э о 2
-d7^7-2-3v^r
Получаем
1 Г о г)2 а
¥-=-4pVw--VwT^P(a)+P]W) + M У + +
I L 2
д11 dixdi2^w di2di3^ } ‘ э/2 { д/з1
/?(8).(6)
Рассматривая удельную потенциальную энергию деформации, как функцию v2
э (Ilt 12, /3) = э (Зу2, Зу4, ув) — э (у2), (7)
§41 ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 33g
имеем
~ д (de2)2
of дэ 9 , дэ 4 дэ \ ~^~6\дГА2У дГ2+ дГз)’
' 4у« £2 j_ ув£!? ( 4^2 Р~э_1 4ув _д2э_ , 2у _22 ] ,
|<Ж д/Г д/Г d/1az2+W dl2dl3 + zv д/3д/г\ +
и это позволяет заменить (6) выражением
Y = — у pVw • • VwT 4- [р (у) + р] /х (е2) + +M^+3te+o’®]w (8)
Учитывая также соотношения
—ypVw- -VwT + jp (V-w)2—4pVw- -Vw = y plf (e)—
— у Vw- •(Vw+Vwr) = yp/12(e) —pVw- -E=yp/2(e) —p/j (e2),
можно придать теперь выражению второй вариации потенциальной энергии вид
V
V = и (V) Jx (В2) + 4 [р + 4 V (-^-2 + | V + V2^ ) | 11(E) .
(9)
Величина V приобретает значение удельной потенциальной энергии в Т3*-конфигурации (относимой к единице объема ^-конфигурации). Сравнение с известным выражением удельной потенциальной энергии деформации линейного упругого тела
|ui2(e)+pZ1 (е2)
делает естественным теперь ввести в рассмотрение «приведенный коэффициент Ляме» Х(и), наряду с выше определенным р. (о)
1 „ I 4 d2s 4 / дэ „ дэ \ 1 2 ~ . 4 д2э
( ) - Р + 9 v (du2)2 + з v [dj2 + v d/J — з P у P- (0 + у V
(10) Получаем
=4 (y) (e)+11 (y) zi (e2)'
(H)
340
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
«Приведенный модуль объемного сжатия» представляется формулой
+ = + • (12)
Введя в рассмотрение переменную t = V/3 = v3, равную отношению объемов при гидростатическом сжатии и в натуральной отсчетной конфигурации, имеем по (3)
da da 2 дэ d/t дэ dl2 . дэ dl3
dx dv2 3 V dl3 dx dl2 dx 'dl3 dx
Поэтому d2a 4 v d2a 1 da________________ 4 v d2a . 1
dx2 ~ T ~ ЗгЛ^У T (dv2)i + 3xP'
Выражение k (v) приведено к виду
(13)
Представлению удельной потенциальной энергии линейно упругой среды
4 (X + 2р) /? (е) - 2р72 (е) = 1 kl2 (е) + 2р 7? (е) - Ц (е)) =
= у ЬЦ (в) — 2p/2(devs)
соответствует в гидростатически сжатой среде по (11) выражение
¥= 4 k (у) 11 (е)— 2р (у) /2 (dev б). (14)
Но 72(devs)<0 по (1.9.23) или (1.13.3) и ¥ > 0 во всяком случае для у, удовлетворяющих естественному условию - /У24 d2a
k(y) = rl±>0, 54 > 0, (15)
v ' dx2 dx2 v '
выражающему, что темп роста э увеличивается вместе с ростом деформации.
Форма V по (8), (10), (11) приводится к виду
— 4 P^w• •Vwr + рл (е2) — 4 (е)+ 4 (w) (е) + l171
и по (2.10)
0 = Yyw = 1(у) 7Х (е) Е +2р (у)е—р (EV-w—VwT). (16)
§51
НАЛОЖЕНИЕ МАЛОЙ ДЕФОРМАЦИИ
341
Здесь были использованы формулы
Zj (e2)vw = 2e = Vw + VwT, (e)Vw == E/j (e), (Vw-• VwT)vw = 2Vw.
Уравнения статики в объеме и на поверхности в ‘^^-конфигурации (1.17) и (1.9)
V-0-0, N-0-- pN-(EV-w — Vwr)
приводятся к виду
V • [X (у) Л (в) Е -ф 2р (у) в — р (ЕV • w — VwT)] (X -ф р) VV • w -ф pV2w,
(17)
N - 0 = N -(XE/j (в) -ф2рв)—pN -(EV-w—VwT) = —pN (EV-w—VwT).
(18)
Учтено, что V-(EV-w — VwT) = 0; приходим к уравнениям равновесия линейной теории упругости в перемещениях, в которых X, р заменены приведенными модулями X, р, а вектор перемещения и заменен на w
(Х-фр) VV- w -ф py2w = 0, N • (2EV-W-P 2рв) = 0.
•Массовые и поверхностные силы отсутствуют, и по теореме Кирхгоффа о единственности состояния равновесия в линейной теории уравнения (17) не имеют решений для w, отличающихся от жесткого перемещения тела, при условиях
Х+-|-р=Д>о, р > о, . о
согласующихся со сказанным выше. При этих условиях нейтральные равновесия в гидростатически сжатой среде не существуют.
§ 5. Наложение малой деформации на однородное напряженное состояние
В аффинном преобразовании отсчетной неискаженной у-кон-фигурации в актуальную 7/а по (4.15.1), (4.15.2)
R = r A, F A A, T=2(det А)-1(ф0Е + ф1Ат-А-фф2(Ат-А)2)
(1)
342
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
и коэффициенты линейного преобразования над вектором w в формуле (4.4.8) постоянны,
0_ T-Vw4~4 ]/
+ SE’r'.vrFrF".-E(w) .
Г=0М = 0
—фое (w) 4- ip2F • е (w) F +
1
(2)
Ограничимся далее рассмотрением одноосного растяжения стержня гл. 6, § 2. Ось стержня совмещается с осью OZ, и выражению меры Фингера и ее квадрата придается вид
F = (ijj + i2i2) aV + i3i3y2 -= Ea2v2 -ф v2 (1 — a2) i3i3,
F2 = Ea4u4 ;- vi (1—a4) i3i3. (3)
Главные напряжения a2 равны нулю,
= 2v + O + a2)^T2 + y2a2^] =0’ W
(5)
0's
а напряжение o3 представляется выражением
1 дэ , дэ , „ , дэ \ -5-jлт + 2 тт-фу2а2, u2a2 o/j 1 д12 1 dI3J
представимым по (4) еще в двух видах
2 (1—а2) (дэ 2 2 дэ \ 2о ,. ( дэ
о3 = —4- у2к2 =---------------5 (1 — а2) Пт- 4~ а v
3 а2с \д!х 1 д12) а2 4 ' \д 2
(ty
По (2) тензор 0 оказывается равным
0 = i j „
U 'з1*СТз дх^ а2
3
дэ дТ2
3*3633 (Ms Ф 0*3.
+ 422y4F2 p.4V-w-T (1 —a4) e33] 4-401y2E [a2V-w + (l — a2) e3
+ ^i0FV-w + 402d4E [a4V-w-|-(l — ос4) e33] 4-420F2V-w4-
4- ft12y4F [a4V-w4~ (1 —a4) e33] -ф 021y2F2 [a2V-w - (1 —a2) e33] ]
Основываясь на 53^-критерни (5.13.11), имеем по (6) a; 1 при сжатии (о3 < 0) ис( <1 при растяжении (о3 > 0).
$ 6] НАЛОЖЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ КРУЧЕНИЯ 343
§ 6. Наложение деформации кручения на одноосное напряженное состояние
Вектор перемещения w задается его проекциями
wi = — УУг> w> = Угх, w3 -= уф (%, у) (1)
на главные центральные оси инерции поперечного сечения призматического стержня в отсчетной ^-конфигурации. Эти оси сохраняют свои направления в ^’-конфигурации, так как преобразование в нее ^-конфигурации осуществляется преобразованием подобия
х -= та1, у — та2 (2)
(а1, а2 —координаты в v-, х, у — в ^-конфигурации точки поперечного сечения.) Площадь поперечного сечения, полярный момент инерции и жесткость при кручении в Т’-конфигурации выражаются через эти величины в отсчетной конфигурации по формулам
S — a2v2S0, 1 р = аЧ)Ч°р, С=^а4ц4С°. (3)
Имеют место соотношения
^xdO = 0, ydO -Q, \^ху(Ю = 0, (4)
ООО
выражающие, что OX, 0Y — главные центральные оси.
Только компоненты е23, е31 линейного тензора деформации над w отличны от нуля и равны
«2з = ^(| + х)’ Ъя1 = Цд^-уу (5)
В формулах § 5
А (®) 0, 8дз 0, 8 ('2'3 + 'з'г) ®23 + ('зЦ + '1'з) £.31 (6)
и после вычисления по (5.7)
e=W3(—iiZ/+i2x)—4v (^+<Л2^ [(i3i1 + i1i3)e31 + (i2i3 + i3i2)e23]
и по (5.6)
0 = ?стз {*з (—ЧУ + i2*) + [(i3ii + Ms) (J—#) +
+ (12'3+13'2) (^ + x)] }• (7)
Уравнения равновесия в объеме и на боковой поверхности стержня
V-0 = O, N.0-(;V1i1^;V2i2)-0 -O
344
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЁННОГО ТЕЛА
1ГЛ .8
сводятся к известным уравнениям линейной теории кручения Сен-Венана
\> 0, ^y^-xN... (8)
Вектор напряжения в поперечном сечении определяется выражением
ь= i3-© = ?Оз+ 12х)+1^2 [12 (§ + -\) +*1 } (9>
и нетрудно проверить, что главный вектор этих сил равен нулю. Действительно, например, по (8)
о о
= £ x^ — yN.+xN^d^Q г ' '
и по (4), (9), как требуется,
J$fdO=.-0. (10)
О
Главный момент напряжений равен
55 (м + i2y + i3z)Xfdo = О
= W3 + + (^ + x)—у (g—}^do+
+ i3zxJJ fdO.
Второе слагаемое по (10) отпадает, а сославшись на (3) и (6.13.9), получаем
m, = Vo3aV(T^C» + ^) • (Н)
Крутящий момент может оказаться равным нулю при а> 1, когда в ^-конфигурации согласно (5.6) стержень сжат. Тогда по (11)
1 г°
(12)
1 р
Известно, что причем равенство имеет место только
для круглого поперечного сечения и концентрического кольца. Поэтому неравенство
I
°<^=1-7-о<1 (13)
§7]
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В ОДНОРОДНО НАПРЯЖЕННОЙ СРЕДЕ
345
позволяет определять геометрические характеристики стержня с поперечным сечением отличным от круга (или кольца), когда при надлежащем задании напряжения сжатия | о31 одноосное напряженное состояние нейтрально — не исключается деформация скручивания при отсутствии крутящего момента на торце стержня.
Критическое (бифуркационное) значение сжимающей силы определяется по (5.6) и (3)
Q j оу | - (с/.-- -1) , (14)
причем v и а, определяются по (12) и (5.4). Последнее условие отпадает, если материал несжимаем, и заменяется условием
.— со
У /3 = aV — 1, Vя =-- а-2 1----0
!р
и критическая сжимающая сила представляется выражением
п 2S„C" г/ С»У,', дэ m
У /о-С» V /о) d/tdl2 ’
В несжимаемой среде
/1 = у2 + 2у-1, /, э(11, /2) = э(у),
/ дэ , дэ \
^ф = 2(|-„-=)(5Г'+й;)
и это позволяет представить Q формулой
дэ dv
Q-s0
(16)
Вектор перемещения из У3- в ^^-конфигурацию в рассмотренной задаче был наперед задан формулами (1). Поэтому нельзя отвергать существования других нейтральных равновесий (изгиб-ных форм, например) при меньшем, чем определяемое формулой (14), значении сжимающей силы.
§ 7. Плоские волны в однородно напряженной упругой среде
Плоская волна в направлении, задаваемом вектором N, определяется вектором перемещения
w (/) = w0 (/) ехр i&N-R, w„ (f) = woe'“f. (1)
Здесь k — волновое число, со —частота, с = со/&— скорость распространения волны. Уравнение движения частиц первоначально напряженной неограниченной упругой среды записывается в форме (1.17), причем отсутствовавшая в ^-конфигурации мае-
346
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
совая сила в 'Т''3*-конфигурации трактуется, как «сила инерции» (этой терминологии, конечно, можно и избежать)
р'к = — pw (/) = — pw0 (/) exp ikN R = pco2 w (/). (2)
Уравнение движения приобретает вид
V-0 4~ p®2w (/) — 0. (3)
В представлении (5.2) тензора 0 градиент w заменяется его выражением
Vw .= R5w0 (t) exp i/^N R ik N • R — z/eR'w (t) N • Rs rtNw (/) (4)
— набла-оператор заменен вектором ikN. Поэтому
e --; у ik (Nw + wN), Fv -e= у ik [F^Nw-pF^wN], /1(FA'-e)^^N-F7V-w
и т. д. Получаем
0 = Z^!t-Nw + 2 ]/-J
— ф0 (Nw-j- wN) +ф2Р -(Nw^-wN)- F +
+ 2 t O.vrFrN-FA'-N
Г=о N = o
} (5)
и далее
\0- N-T-NE +2 ]/ -g-
ф0 (E + NN) ф-ф2 (N F • NF 4-
+ N-FF-N)+2 S X • F,vFr• N
N~oГ=о
w.
Заменив здесь T его выражением (4.3.4), придем к представлению
V-0 = —4/г2 ]/| y(4,N-F-N --»p2N-F2-N)E-4
4- 4ф2 (N • F • NF + N • FF N) 4- (\0-|Фо) NN+HnN FF • N +
4- 422N • F2F2 N 4-(NF• N 4- F • NN) + й02 (N• F2N 4-NF2- N) +
4-{>]2 (N • FF2-N 4- N• F2FN)] • w (6) в виде произведения
V 0= 4^2 ]/yQ-w (7)
справа на w тензора, отличающегося только множителем от акустического тензора (4.11.16). Уравнение движения (3) приво
§8]
ВОЛНЫ В ГИДРОСТАТИЧЕСКИ НАПРЯЖЕННОЙ среде
347
дится теперь к виду
(Q-4poC2e)-w = O (8)
характеристического уравненения акустического тензора, причем !/4р0с2— ег0 собственные числа.
Как будет показано в § 11, они положительны, значит и скорости N по любому направлению вещественны для деформированных состояний в ^-конфигурации, пока материал остается сильно эллиптическим.
§ 8. Плоские волны в гидростатически напряженной упругой среде
Проще всего, не прибегая к общему представлению (7.6), преобразовать по (7.4) выражение (4.17)
V-0 = (Хф-р) VV- w ф-pV2w =- — k [(Хф-р) NN ф-рЕ]- w. (1)
Уравнение (7.3) приводится к виду
[(Хф-р) NNф-рЕ — рс2Е]-w = О, Е = NN ф-titiф-t2t2, (2)
причем tj, t2, N — ортонормированный триэдр, векторы t,, t2 расположены в плоскости, перпендикулярной N. Уравнение (2) переписывается в виде
[(X + 2р - pc2) NN + (р - pc2) (t,tt +1212)] w = 0.
Для продольных волн t5-w = 0 и скорость их распространения см оказывается равной
= (3)
Для поляризованных перпендикулярно направлению распространения волн, поперечных волн, N-w = 0. Их скорость равна
В ненапряженной линейно упругой среде v— 1, Х=Х, р = р. Приходим к хорошо известным выражениям продольной и поперечной скоростей
(5) г Ро ' Ро
348
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
1ГЛ. 8
§ 9. Главные волны
Собственные значения акустического тензора в общем случае зависят от направления волны N, и вычисление скоростей связано с решением кубического уравнения с зависящими от N коэффициентами. Задача значительно упрощается при рассмотрении волн, названных Трусделлом главными; они имеют направления главных осей тензора напряжений (или меры Фигнера) е,, е2, е3 в ^-конфигурации.
Для первой главной волны ех = N
F -s;NN + vfe2e2 + v|e3e3,
^1 = N-eJ = l, N2--N-e2 = 0, A'3 = N-e3 = 0. (1)
Выражение акустического тензора (4.11.16) приводится к виду
Q — -уФо) + ^2) +У1^22 + 2&о1У1-|-2{1о2Н14-
+2$12у?] NN + у уДфх + Е+у ф2 (yJNN + а|е2е2 + nle3e3). (2)
Скорости волн, поляризованных в направлениях е2, е3, определяются по (7.8) формулами
-^р0с?2 = ф1 + ф2 (vJ + vf), ^РоС12з = Ф1 + Ф2(у! + ^)- (3)
По (4.3.4)
Ф1+Ф2М + ^)=4 1/--<74=£1> Ф1 + Ф2(иНУз)=у Т
2 Г g Vr —1>2 2 Г g Vi — t'a
и представлениям (3) придается вид
рС12 Щ—<J2 РС13 О) — 0.3 /их
2 2 2 ’ 2 2 2’ 1 V
Vl Vl— Vz Vl t’i—v3
Квадрат скорости продольных волн представляется по (2) выражением
IpoC^ftoo — у ф0 + у ф2) + и?И22 + 2И01и? + 2Д02и1 +
+ 2^1 + у vf (ipi + 2ф2). (5)
Оно также представляется через главное напряжение
<?1==у=(Фо + Ф1У2 + Ф2У4) (6)
§91
Главные волны
340
и несложно проверить, вспомнив определение (4.5.4), что правая часть (3) представима в виде
Приходим к выражению
РП\==^. (7)
Можно было бы избежать этих вычислений, вспомнив представления компонент акустического тензора (4.12.11), когда вектор нормали N определен по (1).
Полученные выражения скоростей вещественны для сильно эллиптического материала согласно неравенствам (4.12.12), (4.12.13).
Для материала Мурнагана по гл. 5, § 3, если довольствоваться приближениями
/1 = 3 + 2Д, /2 = ЗД4Й, 73=1+2Й,
^=1+26, (s= 1,2,3),
формулы для скоростей поперечных волн приводятся к виду + 6а) -ф g- -ф—-& f (а =2,3).
(8) Отличными от нуля оказываются коэффициенты
= fl11 = |[M-Z(/-3)+m(l-/1)—J], S12=|m
(9) и скорость продольных волн в том же приближении определяется формулой
р^^=А+2 + (^+4-Д+10)б1 + (А + 2Д я. (10)
Для полулинейного материала акустический тензор был определен формулой (4.12.17); сравнение с (4.12.11) приводит при N = ex к соотношениям
“Ш=(Х+ад°!’ <">
Скорость главной продольной волны (N = ех) по (7) определяется формулой
= Oj 1 f LLrll , ' Р
350
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
тогда как скорости волн, поляризованных в направлениях е2 и е3, оказываются по (4) равными
С12 = У1 1/ [(1 - - 2?) (vt + щ) -l qt\ - I]1/* ,
V р (Ql4- Qg)
G3 - Vi 1/ 3,X + 2(\ [(1-2?) (Vx 4- Чз) +.qv.2 - 1 p .
V р(м-"з)
(12)
§ 10. Нейтральное равновесие и устойчивость
Мы ограничиваемся рассмотрением однопараметрического семейства of состояний равновесия в ^'’-конфигурации; р~ параметр, характеризующий нагружение, осуществляющее преобразование неискаженной натуральной V- в -^-конфигурацию.
На поле перемещений u = R —г в сУ* -состоянии налагается, напоминаем, поле виртуальных перемещений tiw)?1, ?2, ?3), обращающихся по (1.4) в нуль на части поверхности О2 рассматриваемого объема V. Вторая вариация потенциальной энер-
гии системы по (2.5), (2.7) представляет функционал над Vw
№f = yJJj0--VwTdV=JJjT(Vw)dV, (1)
V V
где Ч*’ — квадратичная форма от Vw, и по (2.4)
(2)
Представление (1), учитывая соотношение
0. • VwT = V- (0- w) — (V • 0) • w, (3)
может быть преобразовано к виду
= — 4 jJ*j(V-e)-wdV + 4 N-0-wdO. (4) о.
Определения. 1. Положение равновесия ef р назовем устойчивым, если
WT > 0 (5)
для всех w, не равных тождественно нулю и удовлетворяющих условию (1.4). Оно неустойчиво при невыполнении этого условия
< 0 (6)
для некоторого w, удовлетворяющего (1.4).
2. Положение равновесия efp„ назовем нейтральным, если для некоторого w=w0, не равного тождественно нулю (w0 ф 0; и удовлетворяющего условию (1.4), при р = рй соблюдены урав
j 10] НЕЙТРАЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ 351
нения нейтрального равновесия *)
в V: V-0 (w0) = 0; на Ох: N-0^-0; на О2: wo = O. (7)
Из определений следует, что «нейтральное равновесие» неустойчиво. Действительно, = 0 по (4).
Уравнения нейтрального равновесия (7), как следует из принципа стационарности § 3, выражают формально существование форм равновесия &Ра, близких к рассматриваемому.
Пусть S’ , р р0 — семейство положений равновесия и пусть р0 > 0 таково, что для некоторого е>0 равновесия afp, р£ €(Ро —е> Ро)> устойчивы, а &р, р(г(р0, р0 + е).— неустойчивы. Естественно предположить, что в этом случае
М» (да) > 0 (8)
для всех допустимых w, но для некоторого w0 ф 0
^(wo) = O. (9)
Тогда &’Ра —нейтральное положение равновесия. Действительно, приняв
имеем по (4) W — Wo + T]V,
^»(w) = r2p“ (w0)+1t]/ \№v’0(w°)]‘vdy+ + j>jN-0(wo).vdO + O(71)Y (10) O1 J
причем г]-1» (т]) l^o —> 0; отсюда и следует, что коэффициент при г] равен нулю при любом v —в противном случае согласно (9) при надлежащем выборе ц пришли бы к противоречию с неравенством (8).
Этим подтверждается, что значение р = рй параметра нагружения является бифуркационным (критическим) — однородная краевая задача (7) имеет нетривиальное решение w0; им определяется нейтральное, по принятому определению неустойчивое, равновесие afPa тела в Т’-конфигурации.
Замечание. ^Принятое определение (5) упрощает, но и обедняет понятие устойчивости. Можно привести следующую аналогикг.Тпользуясь им, можно сказать, что равновесие тяжелого шарика в вершине (0, 0) параболы у ахг устойчиво при й>0 и неустойчиво, если а < 0. Но его применение не дает сведений о реальной устойчивости или неустойчивости в вершине параболы у -ах1.
*) В уравнениях (1.17) принято k = 0, f*=0.
352
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
§ 11. Нейтральное равновесие полулинейного
материала
Уравнение состояния полулинейного материала представляется через тензор Пиола в форме (5.5.5)
Р= (Xsj — 2р) 0х +2pVR. (I)
Обратившись к формулам (1.10.7), (1.11.5) и (1.11.11), получаем выражение его конвективной производной
о о
Р = XS1OX + (XS1—2ц) 0х -ф2p.VR Vw = [(Xsx - 2ц) 0х + 2р.VR] • Vw4-
3 3
-ф WXV-• Vw —2 (Zs, -2n)Vr.££ ^g-efcese*.e-e5, (2) s=i fe = i k
причем первое слагаемое можно записать ив видеР-Vw.
Далее мы ограничимся случаем линейного преобразования отсчетной неискаженной конфигурации в актуальную, сохраняющего главные направления
xs = vsas, R - 'A- VR VRr V,
Vr^V-1, es = e“=i,, 0 х Е.
При этом преобразовании тензор Пиола симметричен, триэдр i, определяет его главные направления
р = 2 ЬЬРя = (^! — 2р.) Е + 2цУ, ps = XSj — 2р. + 2p.ys (4)
s = 1
й имеют место соотношения
(д-2."-=1 ед+р* _ „ (5)
2 vs~\~vk
Теперь, использовав также преобразования оо о
VR-Vw = Vw, Vw —V-1-Vw, о о
2eft-e-ei = ift-Vw-ii + ift-VwT-i,-yi1Vw- -1Л + uy’Vw1- iftis,
VrT • ek v^ik, V • • Vw = Vw,
можно переписать (2) в виде
ООО
Р = (Zsj — 2ц) V-1 • Vw + 2p.Vw -фЛЕV• w —
3 3
— У У, ^S1~2^ ( — Vw- •isiJ, + Vw- -ifeisY
k?\ Vs + Vk \vk к * /
g 11] НЕЙТРАЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ МАТЕРИАЛА 353
Заметив еще, что
V-EVw ^y У — УУ Vw--iL=— Vw-Li = — s= 1 * = 1 да^ ’ 5 h dak ’ VW das
и обратившись к (5), получаем 0 0
Р = 2pVw + XEV • w + 3 3
+Е X (X - ад [1 (। - &] у. -
= 2И+ + XEV w + £ f (i,ls ~ *А) =
= 2р. Vw + ХЕV • w +1 iA)-nVw + iiVwT =
z s=i * = i l; da
= XEV • w + 2pe (w) 4--^ ГР1 У-У2 ] (i i —i2j ) +
1 r v ' 1 2 Lyi + y2 уда1 da2 ) v 1 2 2 17
I P2-+Ps(dws dw2\ . 4 , Рз + Pi Z<bj дшя\ ... . J
р2+уз \да2 da3 ) 2 3 3 2'^ 03+15 \дал да1 ) ' 3 1 1 33 J •
Введя в рассмотрение теперь диагональный тензор А с компонентами
Д ±£2±£з а 1£з+щ а ±Pi±P2 (6) и р2 + 43 И 43 + 15 3 р 15 + v2 v
и вектор вихря вектора w о । о о । / 5^3 \
о “2" V X W, (Щ "2" \ да2 да3 J ’
° 1 (дш-, dw4\ 0 1 / dw« dw-t\
со, = -г -Н—, ®3=-7Г д-4—, (7)
2 2 \да3 да1) ’ 3 2 уда1 да2) v '
можно придать представлению Р вид о о
Р = XEV w -J- 2р.е (w) + го о о л
+ р. А1Сох (i2i3 “Ь А2со2 (ig^ iii3) + А3со3 (iji2 Uh) j (8)
или же в независящем от координатной системы (инвариантном) виде
0 0 о
Р = XEV• w + 2ре (w) — р,Е х А • со.
А. И. Лурье
(9)
354 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. s
Квадратичная форма Ф по (2.8) теперь представляется выражением
Ф — у Р- VwT = у /J V • v/) +р/1 у в2/ + р ( XjWi + 42ci4+43ci)3у -=
= y4V'w) +p/i ^е2У +рА-• оно. (10)
Уравнения нейтрального равновесия в объеме и на поверхности записываются в виде *
О 0 0 О 0 0 \
V-P (Л-I-LI) VV-w + pV2w-pVx(A-(oJ -0, (11)
0 0 о
XnV- wу 2pn e (w) — pn A-<o0. (12)
Уравнения (11) в форме
° О 0 0
( /. , , \ д V • W о . * дсо о л да q /1 rt
— + 1 -ж-г + V + тп-- j*s = 0 и т. д. (13)
О ц ' у да1 । v 1 । 2 да-1 * да1 х
были из других соображений получены Саусвеллом (Southwell R. V., 1913). Их обобщение на неоднородное напряженное состояние в ^-конфигурации предложено в работах Бицено п Генки (С. В. Biezeno, Н. Hencky 1928—1929) и воспроизведено в книге Бицено К. Б., Граммеля Р. Техническая динамика, т. I.— М.—Л.: Гостехиздат, 1950.
Заметим, что выражения (8) и (9) тензора Р отличаются от представления тензора напряжений Т линейной теории упругости только наличием слагаемых, определяемых ротором вектора w. Слагаемыми подобного же происхождения отличается квадратичная форма Ф от удельной потенциальной энергии деформации линейно упругого тела; точно так же уравнения нейтрального равновесия (И), (12) переходят в однородные урав-о
нения равновесия линейной теории при Vxw 0.
Отсюда согласно теореме Кирхгоффа о единственности решений уравнений равновесия линейной теории упругости можно заключить, что равновесное состояние в ^-конфигурации устойчиво по отношению к безвихревым виртуальным перемещениям; о
лишь при условии VxwФ 0 возможно существование нетривиальных решений уравнений нейтрального равновесия (для значений коэффициентов Ляме линейной теории).
После замены оо о у о \ о W • w.— VxyVxwJ— V2w уравнениям (И) можно придать вид
VV-w~VxB4Vxwb-=0, Еф1А . (14)
ЗАДАЧА УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ
355
§ 121
Общее решение этой системы уравнений может быть представлено суммой векторов *)
w —w'4-w". (15)
Здесь w представим через градиент бигармонического скаляра ср / 0 0 0 0 \ О 00 о
W'--J В-.VV r 3,323:!U-J--VV ; Vq -B-VV2!], vV~'O. (16) a w" — через соленоидальный вектор q
0 0 / 0 \ О ООО
w В V2q V В V q. V-q-О, В-1 • • VVV2q = 0. (17)
Выражения компонент этих векторов в декартовых осях даются формулами
= [(в, + в2в3) + (В2 -I- в3в,) б2 + (В3 + в^дг-в^] а]Ф
\ 5 dasJ ’ о
w'i^B^q^— д, (B1d,q1 + B.2d2q2 + B3d3q3) и т. д.
§ 12. Приложение к задаче устойчивости
сжатого стержня
Напряженное состояние в ^-конфигурации задается здесь тензором Пиола
р= т/ 2 VrT-T = n12v3V-1-i3i3o-3 --vfcr3i3i3, Р1=р2^0, p3=v[<J3
г S
и по (11.4) компоненты + = v2, v3 тензора V определяются из уравнений
2 (Х-|-|т) щ 4- Хи, ЗХ + 2ц, 2Хщ Ц- (Х + 2ц) п, ЗХ + 2ц + р3-
Из них находим
yi = V2=l-V^ = l-V63, ^:1Г^ -1+6.,
Е = 2ц (1 + v)^ , причем
*) Вывод этих соотношений приведен в гл. IX, § 7.10 «Теории упругости» автора («Наука», 1970). Там же в § 7.13 эти решения применены к задаче об осесимметричном нейтральном равновесии полой сферы, сжатой равномерно Распределенным по ее поверхности наружным давлением. См. также [8.6].
12*
356
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
1гл.
и Здесь Q —продольная сила, 63 — относительное удлинение в Т3-
конфигурации, S и 3’0— площадь поперечного сечения стержня в этой и отсчетной конфигурациях.
1 По (11.6) получаем
' А — Л — 2(1-|-у)бз 4—0 /91
Выражению (11.10) квадратичной формы Ф придается теперь вид
Ф = 1 е (w)) + рЛ ( е2 (w)) + ^(’-Д)^
Задача об устойчивости сжатого круглого цилиндра была рассмотрена Сенсенигом (С. В. Sensenig, 1964) на основе точ-( ных уравнений (11.14). Решение, конечно, очень громоздко,
'| бифуркационное значение параметра определяется трансцендент-
) ным уравнением сложной структуры, представленным через бес-
'' селевы функции *).
|’| Для оценки критического нагружения естественно использо-
!'/ вать априорное задание вектора w, соединенное с условием ста-
J,' ционарности второй вариации функционала (10.1)
J г>(") p -grR'-p.-Vw'di.'^
• ЧЖ-^MSW-
V V
I Следует предвидеть, что так определяемый критический пара-
метр нагружения превышает его точное значение, поскольку априорное задание вектора w эквивалентно наложению связей, ограничивающих деформативность стержня. Это заставляет относиться с осторожностью к так находимым параметрам.
Примем, например,
ге\ = О, w2 = f(as), u>3 = — a2f'(а3). (51
Это соответствует заданию бокового смещения (по оси OY) осп стержня и повороту его остающегося неизменным поперечного сечения вокруг оси X. Здесь
ООО 000
en = 0, е22 = 0, е33 = — a*f' (а3), е12 = е23 = е31 = 0,
° _ 1 /дш3 dw2\ (, , 3. 0 0 п
2 у да1 да3 J f (а 0
*) Это решение воспроизведено в IX, § 7.11 «Теории упругости» автора. Использованы представления решений (11.16), (11.17).
12j ЗАДАЧА УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ 357
§
и по (11.10), (4), (3)
= + §§§ [Г(а3)а2]2^ +f'2^dv =
V V
I
= ^а‘ [la + 2|>)Z,8" + 2+(,g_.v,6ig‘] • (6)
о
Здесь
f(a3)-g(fi3), Ix = (a2)2 da1 da2, Q = 2p(l + v)S0<53.
s„
Условие стационарности функционала (6) приводится к виду
Ц_ (X + 2р) /xg" + 2 + Д)бз g]8gda3+g' (l)6g(l)^
-g'(0)6g(0) = 0
и для консольного стержня (на нижнем конце 6g(0)==0, на верхнем 6g (I) произвольно) однородная краевая задача приведена к дифференциальному уравнению и краевым условиям
«'+гп?^77«=0' «'<0 = 0. (?)
причем в знаменателе выражения Лх отброшено малое слагаемое (1—v) 63 = (1 — v) Q/(£S0). Находимая отсюда критическая сжимающая сила определяется выражением
Iг) ।_л2Е1х ______1 у ____________q ( 1__ 2v2 \ -1 „
1ч| 4/2 £ — l<3(1_2v)(l + v)—4^1 1— v)
(8)
и превышает эйлерово значение для всех vc(— 1, 1/2), исключая v = 0. Эту же формулу приводит Пирсон [8.11].
Следуя Пирсону, зададим поле вектора w соотношениями w] — — va1a2f" (a3), w2=-^-v (а12 — а22) /" -ф/, ws = — a2f (9)
--это формулы для перемещений в задаче Сен-Венана об изгибе парой тх, в которых постоянная тх1(Е1х) заменена кривизной оси ["(а3) изогнутого стержня.
Теперь
eu== —Wf (а3), е22 = — va2f", е33 = — a2f",
° 0 1 2 2 0 1
Ei2--0, e23==yv(a1 — a2)f" , е31 = — -^-va3a2f" ,
о । о , о
«! = — -^-v ($4 — a2 )f"’—f, со2 = — у vaWf", со3 = 0
358
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[гЛ. к
и выражение (3) квадратичной формы Ф приобретает вид
Ф = и (1 + v) а*гГг + pAf’2 +1 v2n (1 +4 А ) (а12 + й2’)2 f "2 +
+ 1^Л(а12-^2)/7'". (10)
к
Сохранив здесь лишь первое и второе слагаемые и заменив, как выше, А его приближенным значением (1 -f-v)63, придем к эйлерову значению критической продольной силы.
Естественно пренебрежение третьим слагаемым в (10) — оно внесло бы в представление функционала Ц72 член с множителем
С С (й12 + й22)2 da1 da1,
малым для тонкого стержня. Менее приемлемо пренебрежение последним слагаемым в (10). Сохранив его, получим для функционала 117 2 выражение, пропорциональное
’|
i
{g=r.
1
|i
причем, поскольку задание (9) вектора w предполагает изгибание в плоскости YZ, следует принять / //х > 1. Соответствующая краевая задача для консольного стержня
g" l+lvi^l(^-l)]+^lg = 0, g(0>-0, g'(/) = 0
приводит к критической сжимающей силе, превосходящей эйлерово ее значение
M'+T’-nrGMK
§ 13. Безопасное нагружение. Оценки Холдена
Задача состоит в определении нагружений, гарантирующих положительность подынтегральной квадратичной формы Т, значит и интеграла (10.1) от нее. По определению (10.5), при этом
§ 13J БЕЗОПАСНОЕ НАГРУЖЕНИЕ. ОЦЕНКИ ХОЛДЕНА 35g
условии невозможна потеря устойчивости равновесного состояния ^-конфигурации.
Предполагается, что по всей поверхности тела задано «мертвое» нагружение и выполнено условие (1.21), иначе говоря, что и после наложения поля виртуальных перемещений главный момент внешних сил остается равным нулю. Эта постановка задачи принадлежит Холдену (J. Т. Holden, 1964), она была развита в публикациях Битти (М. F. Beatty, 1967—1971).
Следуя Холдену, представим вектор w суммой
w = w'Fw', (1)
в которой первое слагаемое подчинено условию равенства нулю среднего по объему значения его вихря
ТJU W = = О или — Vw'r)dt':0.
V ' V v
(2)
Слагаемое w" представляет наложение малого жесткого поворота
I dw" dw",
8(w") =-s-(Vw"4-Vw"r) =0 ИЛИ —у =----------- . (3)
dx‘ dxs
При таком разбиении
Т • Vw
/ dwt dws\
eset у*7'5 dxs dxt ) ~
причем e5 — триэдр главных осей тензора напряжений, wt— компоненты w в этом триэдре, <т5— главные напряжения.
Во всем последующем рассматриваются равновесные ‘7гэ-кон-фигурации в однородном поле напряжений — тензор Т, значит и F постоянны в объеме. Условию (1.21) придается вид
JJJ (T-Vw — VwT-T)dV =
ж-. CP? dw', dw".
= IF =0’
s t L v'
так как по (2) и (3)
dw\ ~dx*
dw”t dxs
const,
(5)
360
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
кл. 8
При ст^ + ст(#:0 получаем формулы Холдена
V
а в случае <т^ + <т( = 0
(6)
(7)
V
Следствием равенства (1.21) служит соотношение
(T-Vw-Vw1-!)- -Vw"T dV = jjf (T- -Vw-Vw"T —
— T--Vw"T-VwT)dI/=-2 (T • Vw'-Vw"T + T- -Vw"-Vw"r)dC-0 v
(8)
Были использованы условия (2) и (3). Обратимся теперь к преобразованию первого слагаемого квадратичной формы (2.11). Учитывая (8), имеем
у - • Vw - VwTdV = Т Т’ ’ Vw' • Vw'Tdl/ +
J V V
+ JCC T--Vw'-Vw"IdV---^ JfjT- -Vw"-Vw"rdV =
Т • • Vw' • Vw"T dV
Далее проводятся оценки этих слагаемых. Обратившись к (6). получаем
JJ T--Vw'-Vw"TdV = ^^o/ V t s
+ (стз—CTi
V dw' Г f f dw' dw" p f C dw'
—) 1 -^rdl/+(a2—-<?з)-^2- ] ' V v
dw' \2
dV +
dv = -~ (СТ17°2)2
V <7,4- а2
2"
02 + 03 \JJJ dx* ) 1 П3+01 J J dx1
Через о обозначим неотрицательную величину
0<о = Мах/^^, 0
I CTi4~a? °г+аз °з+а1
§13] БЕЗОПАСНОЕ НАГРУЖЕНИЕ. ОЦЕНКИ ХОЛДЕНА 361
и воспользуемся неравенством Буняковского—Шварца
По (10) и (11) приходим к неравенству
>
V
• Vw'-Vw"rdV^ — а
dV.
(12)
В ходе вывода, основанного на равенстве (6), можно было бы повсюду заменить
V V
и это позволяет придать неравенству (12) вид
dV. (13)
Обратимся к оценке первого слагаемого в (9). Пусть Oj тогда
и по ранее сказанному
Основываясь на непосредственно выводимом по (1.7.10) тождестве
Vw • VwT = /j (е2) + 2<в • со,
352 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
п
Jj
и поэтому
имеем
vivi Гз f^wa\2 1 dw„dws~
/aE2) + «-co = Vw.-Vw^«.tt = ££ ItUs) =
= eil + g22 + 633 + ei2 + g23 + 611 +
1 [ / dwt \ 2 ( dw:i \2 / dw2 \2 / ttoj \ 2 / dw3 '' 2 / dw2 \2
+ '\~дх^) +\dxi ) ' \ ~di? ) ~'\d^ } + \d^}
'll'
11 ii
^[Л(е2) + о).(о]Ж (15)
§ 14. Неравенство Корна
При рассмотрении задачи о существовании решения уравнений линейной теории упругости Корн (A. Corn, 1908) использовал неравенство
/<Ш/1 (Е2)
V V’
w=-^Vxw, e = -|(Vw + VwT)
ii
соблюдающееся при равенстве нулю среднего значения вихря вектора перемещения
(2)
Константа Корна К зависит только от геометрии объема V, его поверхность не обязательно гладкая, может содержать углы и ребра. Точное значение К известно только для сферы [8.14]. Бернстейн и Тупин [8.13] предложили нижнюю оценку К, задав вектор w в виде
w = e-RexR, (3)
причем е — постоянный единичный вектор. При этом задании
Vw = еех R — е-RE х е, VwT = exRe + e-RExe,
Vw - • Vw = VwT- Vwr = (e-R)2Exe - -Exe =—2 (e-R)2, Vw• • VwT = VwT• • Vw = |ex R|2 — (e-R)2Exe - - Exe =
= | ex R |2 + 2 (e-R)2 = R2 + (e• R)2
V
§ 1*1
НЕРАВЕНСТВО КОРНА
363
и далее
(Vw + VwT) • • (Vw + Vwт) 2 [/?2 — (e • R)2], (VwT - Vw) • • (Vw - VwT) = 2 [/?2 + 3 (e • R)2] =
= 2[/?2-(e-R)2] + 8(e-R)2.
Задание (3) удовлетворяет также условию (2); действительно,
VwT — Vw = 2Ехее' R, ~ (Vw* — Vw)dK = v
-Exe e-RdV=0,
v
если начало координат поместить в центре тяжести объема. Теперь, представив неравенство Корна в виде
К §(Vw 4- VwT) • • (Vw + VwT) dV
Jfj(VwT-Vw).-(Vw-VwT)dV,
приходим к соотношению
4 JJJ (e-R)2dV
V V
. ! 4e-0-e
+ /J0) — е-6-е ’
(4)
Здесь 0 —тензор центральных моментов инерции объема относительно плоскостей координат
s t V
Отношение квадратичных форм в правой части (4) имеет максимум одновременно с максимумом формы в числителе. Последний же достигается для направления е, соответствующего наибольшему собственному значению 03 тензора 0. Итак,
(/(0) = 01 + 02 + 03). (5)
Знаменатель имеет наибольшее значение при ©1 = ©2, так что
и минимум этой величины достигается при 03 = 0j. Итак, /оз. (6)
Этим определяется нижняя граница константы Корна.
364 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
Для круглого цилиндра радиуса г и длины I центральные моменты инерции относительно продольной и поперечной осей равны
Д/г4 Л /Зг2
4 ’ 12 ’
так что
(4)2>3, 03 = ^, 01 + 02 = Д/г4;
(4)<3, ©з=-”-/г4, 01 + 02 = ^/г* + ^Рг’
и по (6)
Отметим, что для круглого диска (/—>0) эта формула дает значение К 5 и это по Пейну и Вейнбергеру— наилучшая возможная оценка для плоской круговой области.
Достоинство задания w в форме (3) состоит еще в том, что входящие в неравенство (5) величины непосредственно выражены через геометрические характеристики объема.
Заметим еще, что неравенству Корна (1) можно придать также вид
(^ + 1) Ш л (s2)dV > S $ 5 [ю • ю + 7 4 (s2)]dV- (8)
v • v
§ 15. Неравенства Холдена и Битти
Сложение неравенств (13.13) и (13.14) приводит по (13.9)
к неравенству
CffT-.VwVwTdVXa3-a) А,
Л _ 1 ('(’(’ ГУ Y I ( ди'г Y , (. /дауЛ2 , А ~ 2 J JJ [д дх2 / + V дх1 ) + \<Эх3 ) + \ дх2) +
v
Вместе с тем, использовав (14.8), можно усилить неравенство (13.15), записав его в виде
(tf+1) J$JW)dV> А (2)
v
§ 15] НЕРАВЕНСТВА ХОЛДЕНА И БИТТИ 365
При естественном условии (напомним, что о3 — меньшее из трех главных напряжений)
о3-а<0 ’ (3)
из сопоставления неравенств (1) и (2) следует усиленное неравенство (Холден)
$$$T--Vw-VwTdl/>(o,-a)(K+l) $$ I^dV (4) V V
—.действительно, здесь правая часть (1) заменена меньшей (при условии (3)) величиной.
Переходим к оценке'второй’группы слагаемых в формуле (2.18).
Л ((F • в)2) = 2 s v%fits Р 2 s B3<eti = V42 (в2), s t st
причем
V2 = Max (vf, vl vl). (5)
Приходим к неравенству
<<=’)+я; ' №"))<('£. + р Ш) '(е,)- (6)
При обозначении
С (ех, в2, е3) = 4 £ £ аЛеА (7)
s k
имеем теперь по (2.18), (4), (6)
2Т = Т- • Vw W - 4 /f [/3 Д- Л (e2) + ДЛ ((F e)2) ] +
+ С(еп e2, e3)> (K + 1) (<r3 — cr) —
~4 ’•)=
= B/1(£2)4-C(e1, e2, e3). (8)
Через В здесь обозначена постоянная Битти
= (Х+1)(а.-о):+2(Йу-«,)+4 /|^|) , (9)
причем использована формула (2.20) и подстрочный индекс V соответствует номеру переменной, определяемой условием (5).
366
малая ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО тела
1ГЛ. 8
Достаточное условие устойчивости равновесного состояния
B/j (е2)4~С(е1, е„, е3) > 0 (10)
Битти заменяет двумя порознь рассматриваемыми условиями
В>0, С(е1; е2, е3) > 0. (11)
Очевидно, что этим гарантируется выполнение и неравенства (10). Безопасное нагружение далее определяется условием
В----0, (12)
а с целью упростить вычисление, связанное с установлением знака квадратичной формы (7), предлагается ограничиться проверкой ее положительности при выполнении условия (12) в рассматриваемом материале, иначе говоря, при принятом задании удельной потенциальной энергии деформации э(Ц, /2, 13). Как видно из определений (2.15) коэффициентов ask формы С (ех, е2, е3), ее знак зависит только от этого задания: положительный для одного материала, он может оказаться отрицательным для другого. В последнем случае становится неприемлемой замена одного неравенства (10) двумя (11).
Замечание. По (2.22), (2.23) квадратичная форма (7) преобразуема к видам
з
C(en е2, е3) =Z3^/1(g2) + |L^t,4e2 +
з з
+ ЕХ 03)
s=l fe=l dvk
С (e1( e2, e3) = /3 (g2) + +
“ S=1
I 1 V V db 1 V d23 , 2
+ -4 LL
s= 1 £= 1 5 * s = 1 Oi$
S = 1 S = 1 k — I 15 /v
3 -lyfE^s2, (и)
s *=i
367
05] НЕРАВЕНСТВА ХОЛДЕНА И БИТТИ
это позволяет придать выражению (8) одну из форм
2T^T--VwVwr + 4 У 4^
£
3
2Y = T--Vw.Vwt + 4
0.8?
3
£ф?-л((р-е)2) —
s=l
/ f ЕЕДвдл;
< _ 1 /> — J •!> '<
(16)
в этих представлениях
3 3 3 3
2 [Ф1—A((f-«)2)]= 2 рХ- 2 2
s=l S = 1 S=1 / = 1
-= —2 (<ф?е?2 + ф2е23 4-у32ф?!) <0. (17)
В предположении, что материал удовлетворяет критерию монотонности (5.10.13), выполняется неравенство
3 3
У. у уд 4 - vsEsvkek > 0. (18)
диdv ь 6 6 R R
s=l A—1 ' /v
Достаточное условие устойчивости выражается одним из неравенств
(К + 1) (о3 - о) Л (е2) - 4 )/ 4 £ £ aS -
S — 1 k—1 L
- - 2 ~ (ф28?2 + У22^Е22з 4- Ф?811) ] > 0 > (19)
(К+ 1) <<т3 — а) Ц (е2) —
г__ з
—8 ]/ -f- (Ф?81\ + у^8234- зуфф-У ю4 > 0, (20)
причем в записи (20) учтено неравенство (18).
При дэ/дЦ >0 оба неравенства (19), (20) нарушаются—достаточно принять es. O для всех s— 1, 2, 3 и e5fe=4=0 хотя бы для одного esk(s^k). Это и заставило отказаться от непосредственной оценки неравенства (10), заменив ее сначала требованием Неотрицательности В и последующей проверкой положительности формы С (ех, е2, е3).
I
I
I
3gg МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА (ГЛ. S
§ 16. Сжатый стержень (эйлерова колонна).
Материал Мурнагана
Главные напряжения в сжатом продольной силой Q стержне равны
Oj — 0, сг2 =0, ст., =-----1- (1)
и по (13.11)
а = 0. (2)
При принятых в гл. 6, § 2 обозначениях по (15.5) и (2.21)
Wi = u2 = au, v3 = v, сс>1, V = Vi; У73 == cc2t>3, (3)
Отсюда и из представления (5.6) напряжения а3 определяются сс, v и далее и,.
Предполагается, что в рассматриваемом материале
и критерий Битти по (15.9) и (15.11) приводит к неравенству
(6)
Если ^-конфигурация — натуральная, a So обозначает площадь поперечного сечения в этой конфигурации, то
^ = И, S-So, Q<-^. (7)
Для стержня круглого поперечного сечения при //г>КЗ по (4.7) оказывается безопасным нагружение силой
llSo
(8)
эйлеровой
(9)
Представляет интерес сравнить это выражение с критической силой
.-j n?ESor2 Уэ - 4/2
для стержня, края которого лишены возможности
ваться при наложении поля виртуальных перемещений w («заделанные» концы) —в такой конструкции выполняется условие (1.21), существенно использованное в ходе вывода неравенства
§161
СЖАТЫЙ СТЕРЖЕНЬ. МАТЕРИАЛ МУРНАГАНА
369
Холдена (15.4). По (8) и (9) получаем
Q3 n2(l-j-v) ' '
и это отношение составляет приблизительно 0,6 —0,4 при 0 < v < 1/2.
а) Материал Мурнагана. По (5.3.2) имеем
^=^[x(a-3)+2h(/1-1)+4/(/1-3)2 + + /п(/?-2Л-/2) + |] ,
дэ 1 Го , /г , I 1 дэ I ~дЦ~~Т |_2н + т(Л — 3)+ 2 nJ , а/3 — 8 п’
и отличны от нуля вторые производные
^- = 1[% + 2и + /(Л-3) + 2/и(Л-1)], С' *
(Э2.? 1
,, ,, =--- т.
dlidl2 4
Ограничимся в предстоящем вычислении удержанием
мых, линейных по относительным удлинениям — продольному (— 6) и поперечному (6Х) (6, >0, 6 > 0) в сжатом стержне. В этом приближении
И1 = и2=1+6П и=1-6; и2=1-2б,
/1(F) = /1-3 = 2(261-6), /2 —3 = 4(261 —6), /3 —1 =2(26Х —6).
(13)
Из условия
(И)
(12)
слагае-
и формул (11) —(13) следует, что
(26Х —6)^ + 2И61 = 0, 61 = 2^=v, (14)
причем v — коэффициент Пуассона линейной теории. В этом приближении
о3 = — 2р(1 +v) 6. (15)
Обратившись к (4), получаем в этом же приближении
^ = р(1 +тб), T=l+2v-(l-2v)^- + ^. (16)
Постоянная т может оказаться и отрицательной; в этом случае оценка безопасного нагружения по формуле (6), имеющая
370 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
смысл лишь при щ > 0, сохраняет значение для относительных сжатий 8 < j т|-1.
По (6), (15), (16) «безопасное» относительное сжатие 6 и безопасная продольная сила Q определяются выражениями
[(K+1)(1+v)-t]6<1, Q = S|o3| =-------(17)
Кф1—
В последней формуле
S = 50Д = So (1 + 2\) - So (1 + 2v8) =
= S0 (1 +2v[(K+ 1)(1 +v)-t]-h но внесение такой поправки, по-видимому, лишено практического смысла; можно принять S-S,,.
Переходник рассмотрению знака квадратичной формы (15.11)2. Вычисление, проводимое по формулам (2.15) и (13), дает
С(81; 82,83) = | [Д/2 (8)-/? (F • 8)] + | [V2 (F • 8) + / (Д-З) У2 (F • 8)] Д
+ ^[/1(F.8)/1(F2.8)-l(/1-l)/2(F.8)'| . (18)
Для большинства материалов
/<0, m<0, n<0, Z = T^->0 ’ 1 —2v \ 2 )
и вместе с тем
/1(8) /1(8)
По (13), (14)
Д- 1 = 2 (28,-8) = — 2(1—2v) 8 < 0, Д-3 = 2(28,-8) = = — 2(1—2v) 6 <0 и, возвращаясь к (18), имеем
crain = 4 И (е2) + 4 (Д - 3) Д (8) о* +
+ П (8) [ц» - Vi 4 (Д - 1) ] -ф 4 П (8) ( Д - V*) =
= 4^4/1(е){1— |[2/(l-2v)-2/n(5 + 4v)-n(1+2v)]j>. (19)
Оценка (17) безопасного нагружения оказывается приемлемой при продольном относительном сжатии б, определяемом неравенством
6^X|[2/(l-2v)-2m(5 + 4v)-n(l +2v)]|. (20)
По данным для сталей (см., например, гл. 5, § И) т/( 1 ф-v)w 1, и для достаточно длинных стержней при (//г)2 «90, К -J-1---62
§17] БЕЗОПАСНОЕ НАГРУЖЕНИЕ 371
поправка в (17) к «инженерной» формуле (7) теряет смысл. По этим же данным
-A->2-2/n(l-2v)6, (21)
чем подтверждается при достаточно малых 6 приемлемость предположения (5).
б) Сжимаемый материал Муни — Ривлина. Удельная потенциальная энергия деформации в этом материале, называемом еще материалом Адамара, задается выражением
э = }(13)+С1/1+С212, С\>0, С2>0. (22)
В формуле (6) теперь по (2.21)
• ^2v~'(Cl + C.2v*), (23)
По (2.15)
С(Ет- е2, e3) = /3[/3f (/3)ф /?(»)+ C2/?(F-е), Сты-[/3(/зГ)' + С#]/Пе) V j
и опенка (23) критического сжимающего напряжения приемлема при условии Cnijn^O:
МТОР-СЛ (25)
причем v, определяются из уравнений
<71 = 0, I3f3 (/3) + vl [С, + С2 (vl + t?)] == О,
Ы =------2-[I3f3(I3) + v^C1 + 2C2vl)],
V1V
так что наряду с (25) задание удельной потенциальной энергии стержня должно удовлетворять неравенству
Iaf'(i3^-v^C1+2C2vl). (26)
§ 17. Безопасное нагружение. Полулинейный материал
Предполагается, что удельная потенциальная энергия деформации задана, как функция инвариантов Ik (V) тензора V = F1/2, Далее обозначаемых l’k (k = 1, 2, 3)
э = э(/(, Г2, Г3\ (1)
Имеют место соотношения
-1'11' + 2Г2 = 12, 132=13, (2)
372
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
из которых легко получить таблицу производных
d/i = /з, 2D 4г-dli = /з, dls dli = 0,
24т~ = д!% = 1, dl2 = /;, дГя dl2 = 0, (3)
2 _ /( 2D^~ _ Ji 0 д!'з _ 1
д!3 /з dl3 /з ’ dls /3
причем
Del'll', (4)
Обратившись к формулам (4.2.5), получаем
. _ , дэ 1'я1\ ( & \ J' дз \ \ { дэ Зд13~ 2D \d/i 1 д12 / + 2 3 д!3 ’
1 1 / г<2 / дэ . т, дэ \ 1 дэ
Ф1 = ^(Л -Л) 77-+Л — — т—г, 2D \ dh dl2 / 2 о/з
, 1 / дэ . г, дэ \
Фз 2/5 ( ai' I- 7i л < I
\ д!\ д12 /
и представлению (4.2.4) тензора напряжений Коши вид
(5)
придается
Т =
(6)
?-/2)F-F2]f^ + /(^ +
\ dli oU J
I -l/Zf/з^гЕ----
V G dls dl2 J •
Заменив здесь F2 по формуле Гамильтона — Кэли
F2 = V4 = (/f - Г2) V*-DV + 7(/зЕ, после подстановки в (6) получим
дэ ~дЦ
т =
3
&3 уг _ д12
= у f(# + ^V + Ps).
Выражения фг повторяют формулы (4.2.5) ., 7, дэ ., дэ . т, дэ ,, дэ
Фо— 7з—г> Ф1 ——-г + 71—Г , Фз , ,
о/з dli д]2 д12
но в представлении (7), аналогичном (4.2.4), отсутствует житель 2.
Для полулинейного материала по (5.5.4)
э = 1 (X + 2р) I? - (ЗХ + 2р) Д - 2рД +1 (9% + 6р)
(7)
(В)
мно-
(с0
§171
БЕЗОПАСНОЕ НАГРУЖЕНИЕ
373
и по (8) и (7)
« = 0, = 3)-2р; ^ = -2И;
и 12
Т= ]/-f {[Х(/;-3)-2И]¥ + 2ИУ2}, (10)
причем представление Т, конечно, согласуется с (5.5.5).
Повторив вычисление (4.5.2) в применении к представлению (7) тензора Т, имеем
Т=-TV-W+ ]/f 0KV + ^F)+ / f (^E + ^V + ^V2) =
= -TV.w+]/-J
+ 4>;(Vw'-VI + V’-Vw) +2
s k /
- 2 2
-£ £ ^rVrV^..e(w).
r=0 N = 0
Были использованы выражения (1.11.10) и (1.10.11) тензоров V, F --(V2)’; 11ЛТ выражаются через фг по формулам (4.5.5). Полученное выражение преобразуется теперь к виду
Т= — TVw + VwTT + T- Vw —2 У -f-(^e(w) + ____________________________________2 2
+ЕЕ е* •е (w) •е АеЛ+2 V -q Е Е • е (w)
s k S / Г=0 N = 0
и по (4.5.8) приходим к представлению тензора 0
© = T Vw-2 ]/-J 4>;e(w) + rp(££^^^erE(w).eJefteJ
__ 2 2
{l'vrVrVjV.-e(w). (11)
Г = 0 Л’ = 0
Квадратичная форма 0--Vwr, положительность которой гарантирует безопасное нагружение, приобретает вид
0- -VwT=TVw- • VwT—2
f ^Л(е2)+^ЕЕ^'
s k s 1 R
-2 2
+ 2/fEE(12)
N=0Г=0
374
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
Первое слагаемое оценивается формулой (15.4) и применение критерия (15.11) приводит к неравенству
(13)
s k V J
Введя здесь, вместо (15.4), обозначение v для максимального из трех главных значений тензора V, имеем
у < т (fc + Vk) < — Ц, vsJrvk ' 4 ' s 2
3 3
(14)
и, усиливая неравенство (13), получаем
^+1)(О-О3)< ]/(15)
Для полулинейного материала по (10) эта оценка приводится к виду
(К + 1)(о-о3)С ]/й|Х(Д-3)-2р| (16)
и, конечно, сохраняется задача проверки знака квадратичной формы
С(61, в2> г3) = 2 у' [днЛа(¥-8) + ВД(Р-8) +
+ 2%/1(V-8)/1(F-e)] (17)
(так как ^оГ = О, Г —0, 1, 2).
Для стержня, сжимаемого продольной силой, в обозначениях гл. 8, § 13 имеем
ф( = 7,(26! — 6) — 2pi, | | = 2р (1 ф-v6),
jX-y = (1 + v6)2 (1 —6), t>=l-f-v6
и безопасное нагружение представляется выражением
Q _._„ <? 2ц(14-у6)230 .
§ 18. Несжимаемое упругое тело
В несжимаемом упругом теле удельная потенциальная энергия-функция инвариантов Ilt /2
э=э(/п /2) (1)
«181
НЕСЖИМАЕМОЕ УПРУГОЕ ТЕЛО
375
и формулами (2.3) задаются «определяемые величины» (обозначаемые индексом Е).
Представление потенциальной энергии записывается в виде ^(R + nw)-lF£(R) = WI£+n2^. (2)
Здесь
pok-wdV-$$ ia-wdO, (3) V V о,
W2E = 0£.. VwT dV (4)
и no (2.11)
± T£- • Vw• Vwr + 2 [ф2Л ((F • 8)2) + dnZ?(F • e) +
+ ^2/HF2-e) + 2{l12/1(F.e)/1(F2.8)]. (5)
Здесь T# — определяемое напряжение
T£ = 2(^F + ^2F2), (6)
а фг и dyvr (N, Г=1, 2) задаются формулами (4.3.5), (4.5.5). Тензор 0£, определяемый по (2.10), линейно выражается через Vw eB = (T/;)Vw-T7rVw + 4[T2F.e.F4{}11/1(F.E)F-y
+ ^1, (F2• e) F2 + {112 [/x (F2 • 8) F + (F • 8) F2]}. (7)
Уравнение связи
/73(R + T]W) - V MR)=0
при учете квадратичных по т] слагаемых по (1.12.5) представляется формулой
п71(е)+4ii2[/i(e)—VwT> •VwT]==o (8)
и после умножения на р + 1/2г]р' и интегрирования по объему, преобразуется к виду
П Jjj PV’wdl/+yrl2 г
= т] ( С Г pN • w dO
SSS (p'V-w — pVwT- -VwT)dV =
p'N-wdO —
о
+P^wT’ •VwI)dO =0. (9)
.2
v
Слагаемое
PM8) = '(/7W^‘w)— ИS w ‘ ‘WldV =
V ' V J
= pN• wV-wdO — Jw• V(p• Vw)dV о Jv
376
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
; не включено в (9), так как V-w- О с точностью до членов по-
! рядка т|2 — оно не внесло бы вклада ни в уравнение статики,
I ни в краевые условия.
Вычитая (9) из (3), (4), приходим к представлениям
W^W^-^pV-wdV-
\ v
— J (Т£- • VwT — pV- w — pok- w)dV~ w dO —
V 0,
' = $$$ (T^-• VwT-|-w-Vp —pok-w)dy—(f° + pN)-wdO, (10)
2Г2 = 2И71£-JJJ (p'V-w + p0VwT - -VwT)dy-
J v J
= J5$ [—p'V-w + (0£4-pVwT)-• VwT]dV. (11) V
В соответствии с принципом стационарности потенциальной энергии Wz1 = 0. Это непосредственно следует и из преобразования выражения (10)
$$$Tz;..Vw^V=J$$[V.(T£.W)-(V.T£).w]dy = V V
= JJ N-T£-wdO-$$$ (V-TJ-wdl/ О, V
и в соответствии с уравнениями равновесия (7.2.11) в ^-конфигурации
r1=-HS(v-T^-v/7+p»^dl/+nS[N-(T^-E/’)-fo]-wdo-V ох
По определению, принятому в § 10, это равновесие устойчиво, если вторая вариация потенциальной энергии W2 положительна. По (11) получаем
JJJ(0£ + pVwT)-.VwTdlZ>O, (12)
v
так как включение в подынтегральное выражение равного нулю слагаемого p'V-w, конечно, не влияет на знак.
При составлении уравнений нейтрального равновесия это слагаемое следует сохранить. Имеем
И $ I—p'V-w + (0H + pVwT)- • VwT} dV = $ {—V• p'w -ф w- Vp'
V " V
+ V • [(0£ + pVwT) • w] — [ V • (0Я + pwT)] -w}dV =
§191 БЕЗОПАСНОЕ НАГРУЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОГО ТЕЛА 377
= — И S [^‘(^ + pVwT) — Vp']- wdV 4-v
+ $$ N-[(0£ + pVwT) — Ep'l-wdO.
Oi
Вхождение лагранжева множителя р' позволяет записать уравнения равновесия в объеме и на поверхности
в V: V6£ + V.pVwT-Vp' = 0, (13)
на Op N-(6^ + pVwT) —Np' = O, (14)
к которым присоединяется уравнение связи
V-w = 0. (15)
В этих уравнениях р считается найденным по уравнениям равновесия в ^-конфигурации, дополненным уравнением связи /3-1=0.
§ 19. Безопасное нагружение несжимаемого упругого тела
Как и ранее в § 13, «мертвое» нагружение предполагается заданным на всей поверхности тела, а поле виртуальных перемещений удовлетворяющим условию (1.21) и, конечно, условию несжимаемости (18.15). Входящий в критерий (18.12) тензор преобразуется по (18.7) к виду
0/:- 4-pVwT = Т£- Vw-f- pVwT + 4фаР •£• F ф-
+ 4 X X ^гЛ(РГ.8)Р". (1)
N =IГ=1
После замены T?; его значением Т-фрЕ, имеем
Т£- Vw + pVwT = (Т +рЕ)- Vw-|-pVwT = Т • Vw-f-2pe (2)
и далее
(Т £ • Vw + pVwT) • • VwT = Т • • Vw • VwT ф- 2рЦ (е2),
так как e--VwT e -e. Имеем также, сославшись на (15.5), (15.6),
F е - F • • VwT •-= F е - F • -е = ((F -е)2), ф2Л((Р.£)2)>- |Ф2|У4Л(е2), (3)
X X ^vrA(Fr-e)F..VwT= X X Wi(Fr.e)/1(F".e) = .V=l Г=1 1V=1 Г=1
3 3
= X X W*. (4)
s - 1
378
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
причем подобно (2.14)
ask = У $NrV2sNvlF = + $12Ф1 (tl + и£) +
+ $22Ф* = vlv2k { + ^| + эТ^Гг U71 —^) + (Л —ий)] +
+ 5|(Л-^)(Л-^)}. (5)
или
ask^vlvk-g^ При S^k-
ass^s(^ + -^\ (s, k=\, 2, 3). (6)
\Ol2 (dus) /
Критерий Битти подобно (15.9) представляется выражениями В=«+2р-4»;|-^|, (7,
причем здесь подобно (2.21)
й,,,«1 + р-2^_2 [(^ + 7,^-2^] . (8)
Сохраняются записи условий безопасного нагружения в форме неравенства (15.11) или в более полном виде (15.10).
§ 20. Устойчивость неискаженного состояния несжимаемого материала
В неискаженной ^’-конфигурации материал подвергнут всестороннему растяжению или сжатию. В этом состоянии тензоры Т и F — шаровые
Т =пЕ, Е СЕ Е.
так как для несжимаемого материала /3 = о6=--1. Уравнение состояния задается соотношением
. с, f дэ . J дэ дэ \ с f дэ . с. дэ \ . „ дэ
ст- р+ст^-, сг£-2 ( dJi+Ii dli dIi J-2 a/i +2 д!г ;-p+2 д!г •
Здесь no (19.8) о f дэ [ дэ \ z I \
=2 (ТЦ^"дГ2) ’
так что
/т— a 4- p 2 -jj- . (2)
§ 201 УСТОЙЧИВОСТЬ НЕИСКАЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
379
В выражении (18.1) отпадает рассмотрение двойной суммы, так как теперь по (18.5)
(8) = V-w = 0.
Получаем
0F + pVwT = ( ц + 2 -57-^ (Vw + Vwr) — aVwT — 4 е = 2tie — oVwT,
Л \ V ‘ 2 / и 12
так что
(0Я + pVwT) • • VwT = 2р/т (82) — oVwT • • VwT.
Для преобразования второго слагаемого используется тождество
VwT- • VwT = (е-(- й)- • (еД- й) = Д (е2) + I х (й2) =
= /х(е2) — 2со-со (71(й-е) = 0)
и условию устойчивости (18.12) придается вид
(2р — о) $ $ $ Л (g2) dV + 2о со • со dV > 0,
так что устойчивость при условии
растяжении (ст > 0) имеет место при
2 и > а.
(3)
Оценка Холдена (15.4) неприменима при ст > 0, так как не удовлетворяется условие (15.3).
При сжатии ст < 0 и по (19.7), (1) и (2)
в""+2Р-4Й| = <'<+|)‘’-2’ + 2н-‘>(К|-^
(^1)a+2(l_4(l+l-+)
и достаточное условие безопасного нагружения выражается равенством
не-
В > 0: 2н > — (+-— 1)о + 4 (|Д|
дэ д12
О
= (К- 1)|ст| +
при
при
дэ
"дЦ >
дэ
д!2
о,
0.
(4)
В частности, для двухконстантного материала Муни по (7.4.1) и (7.4.4)
2р> (К- 1) |ст|. (5)
380
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
§ 21. Несжимаемый материал. Сжатый стержень
Сжимающее (продольное) напряжение обозначается о3 < 0; о-j = сга = 0 и о = 0 по (13.11). Собственные значения тензора Фингера обозначаются, как и ранее, Vi = v^ —v~1, ц3 = г? и в соответствии с ^^-неравенством (5.13.10)
2 °3,, > 0, и3 —1 <0, v< 1. (1)
и2—1/V '
По (7.2.4), (7.2.5) напряжения определяются формулами
ai = — Р + ~ Гтгг + + v~r) -5Т~] =
/0з дэ \ / дэ дэ \ &
О3 = -р + 2п2(^- + 2У-^)=2(п-^) (ц —+ —j
и постоянной Битти (19.7) придается вид
В-2«+ 1)(0-«-)(»^+^)+40- + +
Для двухконстантного материала Муни критерий безопасного нагружения приводится к виду
(С^ + С2) [(К + 1) v3 -(Д- 1)] + 2С2 Д3 -1) > 0.
При С2 = 0 приходим к неравенствам
1 тДг <3>
и по (1) и (7.4.9)
щ = 2С^ Д3-1) > -^21, | Стз | < Jgll,
Q = S|o3|< W
причем So—площадь поперечного сечения в натуральной конфигурации (S = S0Ui = Sou-1).
Пришли при и«1 к той же «инженерной» формуле вида (16.7).
§ 22. Выпуклость по градиенту. Условие Адамара
Дифференцируемая функция s(vr) «выпукла по градиенту»
VR в некоторой области ее изменения, если для любого тензора Q выполнено неравенство
^а(гр.(Е + лО))ф=0>0. (1)
§221
ВЫПУКЛОСТЬ ПО ГРАДИЕНТУ. УСЛОВИЕ АДАМАРА
381
Аргумент
О 0.
VRX = VR • (Е + T)Q) в этом неравенстве можно заменить, согласно принципу материальной индифферентности (гл. 3, § 2), аргументом
о о
VRx.O VR(E i]Q)O,
где О—ортогональный тензор. Для изотропного материала до-0 о
пустима также замена VRX на OVRX.
В частности, ортогональный гензор О можно принять равным ехр(—цй), где О — кососимметричный тензор. Это позволит придать неравенству (1) вид
э ( VR -(Е + T]Q) • ехр (-П«))] п=0> 0. (2)
Тензор Q далее представляется его разбиением на симметричное и кососимметричное слагаемые
Q = S + Q, S = 1(Q + QT), Q = 1(Q-QT),
а выражение удельной потенциальной энергии приобретает вид
a(vR-(E + nQ)) — з (vR-(E + r)S +т]й)-ехр (—т]Й)) =
0 / 1
VR• (Е + tjS + T]Q)• (^Е—т|й-|-у т]2й2+ ...
= э
= 3(vR-[E + nS-4n2(«2 + 2S-fi)+ .. ,])=a(vR) +
(fl2 + 2S-fi)].VRr +
+ э0 •|i]S--yT|'2 VR L
i о о /0 \
+ ^-n2S-VRr--э0 0 • •S-VRt+...=AVR.(E + t1S)/) vrvr
-1ц2э0 •-(й2—2Й-8)-VRT+. . . =4vR-(E + i]S))_-VR
-yi]2 |т--(Й2 -28-й).
Здесь была выделена совокупность слагаемых
/О \ /0 \ о
3(4VR-(E + t1S)J =4VRj + ip0 •SVRT +
VR
+1 r]2S-VRT--э0 0 • -S-VRT + . . .,
VRVR
382
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
проведена замена
э0 (Q2-2S Q)VRT = VRrP -(Й2-2Й-8) = - (£22—2Q • S)
VR ~ в
и не выписаны слагаемые степени ц2 и выше.
Приходим к соотношению
— У -|т-• (Й2 —2Q-S), (3) позволяющему выделить в определении выпуклой по градиенту функции часть, соответствующую симметричной составляющей S тензора Q.
В частном случае симметричного тензора Q, когда Й--0, свойство выпуклости по градиенту оказывается равнозначным критерию монотонности Колемана—Нолла (5.9.4).
При S==0, й = й критерий выпуклости (1) приводит согласно (3) и (1.11.4) к неравенству
Т •Й2 = /1(Т-Й2)--=(.> Ты- /ДТ) ы-ы<0. (4)
Приняв, что со — единичный вектор ej одного из главных направлений тензора напряжений, имеем
О1 — +о2 + <*зХА о2 + о3>0
— пришли к уже известным неравенствам из гл. 5, § 9.
Проводимое далее преобразование имеет целью исключить из представления (3) кососимметричный тензор й. Имеем
Т QQT = T• -(S + fi).(S — Й) = Т S- -T S Й + ТЙ S-
—Т- Й2 = Т S2—Т -(Й2—2Й-8).
Возвратившись к (3), получаем
^(^.(Е + пй))]^ /у (Т--Q’QT—Т--S'2)
+ [^9(VR-<E + nS))]ii_D. (5)
Это равенство позволяет дать еще одно представление удельного значения второй вариации удельной потенциальной энергии Ф. Действительно, приняв
Q Vw, S = е
и вспоминая (2.8), имеем
,72/0 \ 0 0
VR.(E^ r|Vw); .Vwr.VRr-30 0 • VwTVRT, П VRVR
2Ф= j/-|(T..VwVwT~Т..е2)+[^4VR • (Е + це))]^. (6)
§22] ВЫПУКЛОСТЬ ПО ГРАДИЕНТУ. УСЛОВИЕ АДАМАРА 383
Выражению удвоенной второй вариации, удельной потенциальной энергии теперь придается вид
2Г2= J $ J = J J J Т -VwVwMl/ — $ $ $T.-e2d7 +
v I7 V
И -^2-s(vR.(E + Tie))dv
(7)
Tj = О
причем согласно критерию монотонности
S 5 S Л VR-(E + ne)) dv > 0.
(8)
Определение выпуклости по градиенту при замене в нем Q диадой векторов ab принимает вид неравенства Адамара (J. На-damard, 1903)
А (а, Ь)
~э fvR-(E + nab)) >0. dr] ' \ । । //Jn=0'
(9)
В другой записи, имея в виду представление
a(vR-(E + r]ab)) ~э (vr) + тр0 • - ba. VRT +
VR
1 с 0
+ -У г|2Ьа• VRT- -э0 0 ••baVRr,
VRVR
этому неравенству придается вид
ba-VRT- -э0 0 • -baVRT>0. (10)
VRVR
По (4.11.5) оно оказывается связанным с определением эллиптичности системы уравнений равновесия и сильной эллиптичности ее, когда неравенство (9) строго выполняется.
В компонентном представлении
эо о =г5г(г?г?пгЦ—- Asl^vsvtrrJv^ (11)
VrVr dVsXtdVpXq
и неравенство Адамара записывается в виде
A (a, b) = AstP‘iasb°tapb^0 (as = a-Rs, b°t= brj. (12)
По (4.9.12)
эо о = ро -PVr-r,P^+ 1/у VrT-Ту.--• (Сн-|-Сш)• • VRT-Сп, VrVr vr 1
(13)
384 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ.
причем, повторив .вычисление в гл. 4, § 10, можно убедиться, что слагаемые PVrT, rJPTRJ в этом выражении взаимно уничтожаются. Получаем
А (а, Ь)= ba-VRT• VrT-TF • • (Сп + СШ) • • VRT-Cn-• ba-VRT=, = ]/ |ba--TF--(C,I + CIII).-VRT..VR.ab = = ]/^b-[a-(TF+TF--Cn)-F-a]-b- ]/|b-Q b. (14) Здесь no (4.11.13) в рассмотрение введен акустический тензор
Q = a-(TF + TF--CI1)-F-a, (15)
и критерием эллиптичности материала оказывается выполнение неравенства Адамара (10) или (12), а сильной эллиптичности — усиленного неравенства
А (а, Ь)>0. - (16)
В сильно эллиптическом материале все собственные значения акустического тензора положительны при любом выборе а=А=0.
Если f (х) — выпуклая функция для всех х > 0 и материал с удельной потенциальной энергией э сильно эллиптичен, то таковым же будет материал с удельной потенциальной энергией f (э). Действительно, при обозначении
<p(r]) = 9(VR + T]VR-ab), F (т]) = f (ср (т])) имеем
(П). Р" (п)-=-^т[ф' (п)]2 + ф"(П), так что
[E"(n)L=o=^X6o --Ьа-¥рЛ2 +
Ф \ VR J
df / ° ° \
+ ba-VRT.-a0 0 -•ba-VRT)>0, (17)
ф ч VRVR /
так как по определению выпуклой функции >0, > 0.
Приводимый в заключение пример*) иллюстрирует, насколько неравенство Адамара менее ограничительно по сравнению с критериями выпуклости вида (1). Рассматривается материал с удельной потенциальной энергией деформации (5.6.17)
э = 1и[/1 + 1(/3-“--1)-з], (18)
сильно эллиптический при любых деформациях.
) Сообщил автору Е. Л. Гурвич.
§22] ВЫПУКЛОСТЬ ПО ГРАДИЕНТУ. УСЛОВИЕ АДАМАРА 385
О о
= VRT-QT--30 0 -VRT QT =
VRVR
По (1.9.1), (1.9.12) имеем здесь
э0 = р (VR — /3~“Vfr) ,
VR
эо о = (^Сп + 2ocVrTVrT + rmR'r/Rm),
VRVR
И по определению (1) выпуклости требуется рассмотреть нера-. венство
^L(9(vr + iivr.q))
dr]2 4 1 J 11=0
== [/“Qr• VRT• • VR-Q+2ccQT- - EE - QT +
+ QT- RmR(Qr- R/Rm] =
= [Wi (F Q • QT) + 2cc/2 (Q) + Л (Q2)] > 0.
Задача сведена к определению знака квадратичной формы девяти переменных
S (Q) = /3“Л (F • Q • (Г) + 2а/2 (Q) + Ц (Q2), представимой в собственном базисе меры Фингера суммой квадратичных форм
£ (Q) = <6\ (711’ 7г2> 7зз) <^2(723’ 7за)+ <^з (7з1> 71з)+<^4 (712’ 7г1)-
При обозначениях -фц“+1ц“ц“)2, Х2 = (г??г/(+1г“)2, л3 - (г“г?“г?“+1)2 матрицы коэффициентов этих форм записываются в виде
Лг —2а !-1 2а 2а
2а 2а
Х24-2а4-1 2а (
2а Х3 + 2а + 1 j
и т. д. Матрица формы (Q) оказывается диагональной цей матриц
II <£пII о О 0 1
0 II <^22 II 0 0
0 0 || $33 || 0
0 0 0 || $ц ||
матри-
Если ограничиться значением а = Х/2р>0, что составляет 0^v<^0,5, то ||^>1|| будет положительной («сильвестровой») матрицей, матрицы ||<£2||, ||<£3 ||, || St || положительны при условиях
> 0, Х.Д > 0, XjX2 > 0, приводимых к неравенству
/3 > us-<a+1), uJ = min(u], u2, t>3), (19)
тогда как условие сильной эллиптичности не налагает никаких ограничений на собственные числа меры Фингера F.
13 А. и. Лурье
386 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА 1ГЛ. 8
§ 23. Условие Адамара и устойчивость
Ограничиваемся, как и ранее, рассмотрением аффинных преобразований натуральной отсчетной и-конфигурации в актуальную равновесную ^-конфигурацию. Эта конфигурация, напомним, устойчива, если потенциальная энергия в ней имеет минимум—ее вторая вариация положительна для всех w^O при w = 0 на части границы О2, на которой задаются перемещения.
По (2.5) и (10.5) этому условию придается вид
ijj^wT’’5o о ••VwTcto>0 (1)
и VRVR
для всех w, удовлетворяющих перечисленным требованиям.
Доказывается, что следствием устойчивости является выполнение неравенства Адамара (22.12)
Ьа--э0 0 -Ьа>0 (2)
VrVr
для всех векторов а, Ь. Иначе говоря, если это условие не выполняется, то ^-конфигурация неустойчива. Приступая к исследованию устойчивости некоторой равновесной конфигурации, следует убедиться, что в рассматриваемой области удлинений ц,, ц2, п3 выполнено условие Адамара.
Введя в рассмотрение скаляр ср (g1, q2, q3), примем
о / о \ /ОАТ 0
w<pb, Vw^ 'V<p)b, yVw) =^bVcp, (3)
причем наложенные на выбор w ограничения будут выполнены, если ф^О и ф = 0 на всей границе О — это обеспечивает условие на О2; на остающейся части границы (\ вектор w—любой, в частности, также может быть принят равным нулю.
Неравенству (1) придается вид
е е с 00
j)) V<p-S-Vtpdv > 0, S = A‘frtsbrbsrclrt = (4)
V
В другой записи выражений (4) и (2) имеем
WTidv> °’ (5)
J и J °ч даг V
и необходимо убедиться, что выполнение первого (интегрального) неравенства требует неотрицательности матрицы Цв^Ц. Это «неочевидно», так как положительность интеграла не обеспечивает того, что таковой будет и подынтегральная функция. Требуется так выбрать удовлетворяющую наложенным на нее услО'
УСЛОВИЕ АДАМАРА И УСТОЙЧИВОСТЬ 387
виям функцию ср^1, </2, <73), чтобы подтвердить это предположение.
Постоянный (не зависящий от координат q1, q2, q3) тензор S = ST может быть приведен к главным осям
S A.jijil Х21212 + Xgigig. (6)
Здесь главные значения тензора, 1А -его главные направления, одни и те же во всех точках тела. Их можно принять за оси декартовой системы х1, х2, х3
з з
v<p.s• Vq, = s,< i,i«.V<p _ £ 4 (^)’. (7)
Неравенства (5) приобретают вид
3 з
Ё 1ЛП(тт)'л‘л,^’>». (8)
к=1 V \ох / k = i
и остается убедиться, что первое требует неотрицательности kk.
Примем точку xj, х„, х3 за вершину параллелепипеда Kh с ребрами /ц, /i2, ha, целиком расположенного внутри тела. Координаты точек в нем удовлетворяют неравенствам
xJsCxft<x^ + /iA; (9)
положим
f 0
ф (х1, X2, X3) = < / Х1 -4 \ / х2-4 \ f ( х3 -Хо3 У
[ \ Л1 / ' \ Лг J h3 /
вне Kh,
„ (Ю) внутри дл. v '
Здесь функция /(/) определена при 0</<1 и вместе со
своими производными до достаточно высокого порядка обращается в нуль при / = 0 и t — \. Теперь интегралы (8) преобразуются к виду
WOP*1 dx2dx3=
V
При обозначениях
1 1
(t)dt = a, $f2(/)d/ = |3 (ос > 0, |3 > 0) о о
13*
388
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[гЛ. .8
получим теперь
f f dx1 dx2dx3 = сф2
После подстановки в (8) приходим к неравенству
з
V X. I СI (_^LY dx1 dx2 dx3 = сфг /гх/г2/13 + Л1 + ~т'') > О,
'}}\дхк ) \ hl hl hl J
откуда и следует, что
4>о
(6 = 1,2,3),
причем одновременное выполнение трех равенств исключается. Этим завершено доказательство теоремы:
устойчивость равновесия => условие Адамара.
§ 24. Сильная эллиптичность и устойчивость
Обратное предложение:
сильная эллиптичность => устойчивость аффинной
равновесной конфигурации
может быть доказано для первой краевой задачи — перемещение задано на всей поверхности тела — налагаемое поле возможных перемещений подчинено требованию
на О: w = 0. (1)
Его можно мыслить осуществимым, предполагая, что в натуральной конфигурации тело заключено в абсолютно твердую обойму и предотвращены смещения прилегающих к ее внутренней поверхности частиц среды. Предполагается наличие приспособления, допускающего изменение размеров аффинно преобразуемой обоймы.
В рассмотрение вводится вектор
непрерывный по (1) и кусочно дифференцируемый в <§3. Это позволяет заменить (23.1) выражением
лллО 0 р р р о о
JJJVwT-.a0 0 • -VwT<fo = JJ) VWT-э0 0 •-VWMv, (3)
V VR VR $3 VR VR
в котором, напоминаем, Эо 0 —не зависящий от координат
VRVR
тензор четвертого ранга.
§ 241 СИЛЬНАЯ ЭЛЛИПТИЧНОСТЬ и устойчивость 389
Определенный в S3 вектор W представим преобразованием Фурье
W (71, q2, <73) —- (2л)_3/г j j j ехр (г • ®) С (со15 а>2, ю3)d(o1 d(a2d(o3, (4)
причем С —трансформанта Фурье вектора W
С -= (2л)'3/г ехр (—j'r-<o)W(<71, q2, q3)dv. (5) Sa
Обозначая чертой над буквой переход к сопряженным величинам и переходя к декартовым координатам имеем
№о ° р р р сЛГг dWs
VW’..3„ 0
s,
= У Aqr,s $$$ (— «%) Cr (— ico) (i(at) Cs (ia>) d(o2d(o3, (6)
qrts - <*>
причем последнее равенство —следствие теоремы Планшереля и теоремы о дифференцировании —трансформанта производной функции по ат равна произведению t®m на трансформанту функции.
Равенство (3) теперь переписывается в виде
HJvwt »» « • Aqrts a^dti^dbAzdcaz =
VRVR -°° rs nt
OO
= Ш У |CTcA X Vtd®idt02dt03. (7)
- OO rs
причем введены векторы с, о> Cs Cs~ I С I
Для сильно эллиптического материала квадратичная форма компонент единичного вектора е
определенно положительна. Пусть —ее наименьшее собственное значение.
Через е > 0 обозначим наименьшее из лгг и заменим Krs при r=£s нулями. Имеем
Aqriseqet > edrs, at
У У crcs У Aqrts e4et > е У У 6rs crcs = | У cscs = е г s п, t г s s
6)q е^ = — .
390
МАЛАЯ ДЁ60ЙМАЦЙЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
(ГЛ. 8
и, возвратившись к (3) и (7), получаем
fffvwT--30 о • • VwTcto > е i UI У. к»; | Ck |2d(0j dw2dco3 =
VRVR i.k
-^^d^^^dv>0-(8)
Этим доказано, что равновесная аффинная деформация сильно эллиптического материала в условиях первой краевой задачи устойчива.
Сильная эллиптичность —свойство материала в некоторой области деформирования. Например, для полулинейного материала эта область определяется неравенствами (5.5.20), для материала Блейтца и Ко —неравенствами (5.6.16); гипотетический материал (5.6.17) сильно эллиптичен при любых деформациях.
Когда в описываемом здесь «мысленном эксперименте» определяющие аффинную деформацию параметры выходят из области сильной эллиптичности, ранее устойчивая ^’-конфигурация перестает быть устойчивой. Сменяющая ее новая равновесная (Т’)-конфигурация, если она существует, не аффинна, потенциальная энергия в ней меньше, чем в Т3. Процесс перехода из в Т3 должен сопровождаться перемещениями частиц тела в занимаемом им фиксированном объеме. «Материалу некуда деваться» — следует ожидать появления в устойчивой ^’-конфигурации (с минимумом энергии) появления складок, точек и линий разрыва производных.
§ 25. Пример. Диск, деформируемый в жесткой обойме
Диск единичного радиуса в отсчетной натуральной конфигурации заключен в цилиндрическую обойму, снабженную приспособлением, допускающим изменение ее внутреннего радиуса. Материал обоймы (полого цилиндра и покрывающих его плит) — абсолютно твердый. Предполагается отсутствие перемещений частиц материала диска относительно покрывающих его поверхностей обоймы. В частности, компонента тензора удлинений по направлению, перпендикулярному плоскости диска, ц3=1.
Материал диска — полулинейный. По (5.5.20) он остается сильно эллиптическим при выполнении неравенств
7.0 = ^ + ^ ——> 0,
Д = (1—+ — 2v > 0, (1)
L, = vuj ф- (1 — v) и2 — 2v > 0.
§25]
ПРИМЕР. ДИСК В ЖЕСТКОЙ ОБОЙМЕ
391
Область сильной эллиптичности — устойчивой аффинной деформации— в квадранте > О, v2 > 0 плоскости щ, v2 ограничена отрезками с координатами концов
^(0; 2), (у^у; на прямой ^ = 0,
[(2; °)- ь=^)] на прямой Д2 = 0, (2)
[(гЬ; о* (1;пЬ)] на прям°й l»=°
И расположена над ними. На биссектрисе угла между осями и1( v2 расположена ближайшая к началу координат точка
= 2(1—v) ’ (%)
и при
vs 2(1—V) (s = 1,2) (4)
материал теряет свойство сильной эллиптичности.
Материальными являются полярные координаты г, <р в отсчетной конфигурации. Преобразование
R = kr, Ф = ср, Z=z, R = ferer + i32 (5)
определяет некоторую аффинную деформацию.
При
fe > 2дкг) (при v = 0: £0 = |; при v = |: £0= 1} (6)
материал сильно эллиптический, аффинная деформация устойчива, при k < k0 неустойчива.
Неаффинная деформация при наложенных связях может быть осуществлена, в частности, наложением на деформацию (5) поворота на угол ф(г), равный нулю на окружности диска
Ф(1) = 0. (7)
Вместо (5) имеем
R = kr, Ф = (р4-ф(г), Z = z или К = &гед-Н3г, (8)
Причем
eR = er cos ф + еф sin ф, dtp . . .
~дФ= еФ = -^ = —ег31пф + ефсо5ф,
^ = Ф'('')еФ. (9)
392
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
(ГЛ. 8
Базисные векторы R5 в этой конфигурации и градиент места определяются формулами
К1 = Иг = ^(ед + гф'еф), R2 = Rq, = £rea>, R3 = Rz = i3,
О
VR = k [ег (ел + гф'еф) + ефеФ] + i3i3.
Мера деформации Коши и ее инварианты оказываются равными 0 0
G = VR-VRT = /e2[erer(l+ г2ф' ) + (егеф + ефег)гф' + ефеф]ф-i3i3,
Л (G) = k2 (2 + г2ф'2) + 1 = vl + v2 + 1,
' I2 (G) = Л4 + k2 (2 + г2ф'2) = vlvl + vl + vl,
, A(G) еИ
!' Отсюда получаем
^1 + у2 = ^2(2 + а'2Ф'2), vlv2 — k2, v1-j-v2 = AA, A = (4 4-г2ф'г)‘^ (10)
"J и инварианты Ik(G'^) = /'k определяются формулами
| A-- v1 v2 1 — kA -J- 1, I2 = v1v2A-v1-\-v2~ k2 A-kA, /3 — k2.
j1 Удельная потенциальная энергия полулинейного материала
:: (17.9) после очевидных преобразований приводится к виду
э(А) = 4(Л + 2р)[^М2-г^^]+2Л-2р(1-А2). (11)
Здесь А определяется по (10), а при аффинной деформации А = 2.
!>| Минимум энергии в рассматриваемом случае равнозначен с ми-
' | нимумом поте'нциальной энергии
i|p 1
' Э = 2л г dr э (А), (12)
if i о
так как работа поверхностных сил на виртуальном перемещении ! из равновесной конфигурации (8) равна нулю.
,। По (И) э(А) имеет минимум при
' Л = Г7тЦ- (13>
i Если аффинная деформация неустойчива, т. е.
2(1—V)’
то существует неаффинная деформация вида (8), для которой
i имеет место соотношение (13), и по (10)
2 ,2 1— 4А2(1 — v)2
- fe2(T-v)2 ~
!
§ 26]
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В НЕСЖИМАЕМОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ
393
По (7) находим
И-4^(1-у)2 1
* г_______’ (14)
Т 6(1—V) г
Угол ф неограниченно возрастает при приближении к центру диска.
Центр —особая точка поля напряжений, реальный материал не сохранит в его окрестности сплошности, следует ожидать образования трещины.
§ 26. Плоские волны в однородно напряженной, несжимаемой упругой среде
Здесь мы возвращаемся к рассмотрениям §§ 7 — 9 в предположении о несжимаемости упругой среды. Уравнениям движения (18.13) в <7/эх-конфигурации придается вид
V 0^- —V pVwT — Vp' J-po)2w -0, (1)
причем поле виртуальных перемещений удовлетворяет уравнению неразрывности
V-w = 0. (2)
Напряженное состояние в ^-конфигурации предполагается однородным —тензоры Т и F постоянны
Т = — рЕ Ц-2 [(эг Ц-ДаД F — a2F2],
F = u?e1e1 + v|e2e24-v|ese3. '
Здесь е^ —главные направления меры Фингера, сд — ее постоянные главные значения, причем
/3(Р) = гЖ= 1- (4)
Давление р также постоянно и поэтому
V-pVwT = pV-VwT = pVV-w = 0. (5)
Поскольку теперь э = э(1х, 12), акустический тензор Q в уравнении движения (7.7)
V-0£ = —4^2Q-w (6)
определяется выражением
Q==^(4’iN-F-N+i]:2N-F2-N)E+^2(N-F.NF + N-FF-N) +
+ -&11N-FF-N+^12(N-FF2-N + N-F2F-N) + ^22N-F2F2-N. (7)
!|
394 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
Задавая плоскую волну формулой (7.1) и пользуясь соотно-
шением (7.4), по (2) получим
Vw = i£N-w, N-w = 0 (8)
— в несжимаемой среде, как и следовало ожидать, продольные волны отсутствуют. По (1) и (5) имеем
'ч N • Vp'= — 4fe2 N • Q• w, NN • Vp'= — 4й2 NN • Q • w.
Вместе с тем
N • Vp' = ik N-Np' = ikp', NN• Vp' = ik Np' = Np г и поэтому
Vp' = —4£2NN-Q-w. (9)
- Уравнение движения (1) приведено к виду
J Qx-w = lpc2w, QX Q —NN-Q (с2 = ®7£2). (10)
'I , Здесь Qx следует назвать акустическим тензором несжимае-
| ,' мой упругой среды. Его представление по (7) приводится к виду
р Qx =4(i|51N-F.N +^2N-F2-N)(E-NN) + р
fl I + 4 [N • F • NF + N • FF-N -2N-FNNN • FJ +
fjl +Sn(N-FF-N-N-F-NNN-F) +
I'l -H12 [(N • F—NN • F • N) F2-N+ (N • F2 — NN • F2-N) F • N] +
p + ^22(N-F2-NN-F2-N)F2-N. (11)
'!ij:
। После замен fyvr их значениями
I, ^1 ~ ^1 “Ь ^1^2» ^2 ~ ^2» ^11 ~ ^11 2/1<Э12 “I- /1^22 Н-^2»
’f $12 = —Э12-71Э22, й22 = э22; Р = -^> (fe=1’2)
ji приходим к выражению
h QX =|9in.F-N(E-NN) +
!| +у э2 [(PN • F • N - N • F2- N) (E - NN) - N • F • NF + N • FF- N] +
:i +3n(N-FF-N-N-F-NNN-F) + 922[N-F2F2-N-N-F2-NN-F2 +
4-/f(N-FF-N — N-F-NNF-N) — Л (N • F2F2-NNF-N)] +
4-312[2/1(N-FF-N-N-F-NNF-N)-(N-FF2-N-N-F-NNF2-N)— — (N • F2F • N — N • F2-NNN • F)]. (12)
Конечно, Qx-N = N-Qx = 0, так как все слагаемые Qx имеют это свойство. Поэтому в ортонормированном триедре N, tt, t2
§26] ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В НЕСЖИМАЕМОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ 395
тензор Qx оказывается плоским тензором
Qx = Mrtx + (М2 + t2tj + X22t2t2, (13)
причем здесь
^ = |M-F-N+MAN-F.N-N-F2-N)] bsk +
+ |32(N-F-t,N-F.tft-N.F.NtJ-F.tft) + 311N-F-tiN-F.tfe +
4-322[N-Fa-tJN-F2-tfe + /iN-F-tiN-F-tft — -MN.FM.N-F-t^ + N-F.t.N-FM^H
+ э12 [2/jN • F • tfN • F • tft - N-F-tfN-F2-tft-N • F2-tftN • F tj; (14)
s, k = 1, 2, a символ Кронекера.
Переходим к рассмотрению частных случаев.
1. Главные волны. Нормаль N совмещается с главным направлением ех меры Фингера; можно принять tx = е2, 12 = е3,таккак векторы tj, t2 определены с точностью до поворота вокруг N. Получаем
= +32^), %22 = yWl(^+92U2)’ ^12 = °-
так что
Qx = у ^[(Э1 + э2из)е2е2 + (э1 + э2^)е3е3], (15)
и квадраты скоростей главных поперечных волн, распространяющихся в направлении и поляризованных в плоскостях (е1( е2), (ех, е3), представляются формулами
। 2 ,2
-р = + 1р-£И- = 31 + з21>1. (16)
2 Vi 2 vi
Аналогично получаем, совмещая N с е2 и е3,
1 2 .2
7?-^- = ^+^!, (17)
2 V2 2 V2
1 2 1 2
-Р ~- = 9l + 9zvl, -p-V=31 + 32U12. (18)
2 v3 2 у3
Сославшись на уравнение состояния (3), имеем
1 Щ О2 . । - „2 1 °2 ст3 „ ! „ „2 1 ст3— Щ | - „2
1?~2--2~ 91 +52U3, —“2---Г —Э1+Э2и1, ---2~ Э1+52^2
2 У1—v2 2 v2—v3 2 Уз—Vi
и это позволяет придать выражениям квадратов скоростей главных волн вид
рС12 Р^21 Щ—О2
2 2 ’ 2 2 ’
LI V2 Vi—V2
2 2
рС23 __ рС32 _ 02—0^3
2 2~ 2 2 ’
V2 V3 V2 — Va
0.? — 01
2 3 2 *
Vi У3— V1
396 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
При выполнении 53<£-критериев, иначе говоря, пока материал остается сильно эллиптическим, скорости вещественны — по главным направлениям меры Фингера распространяются плоские волны. Это — необходимые условия устойчивости среды, но они неполны, так как не исключена возможность, что по направлениям, не совпадающим с главными, скорости не вещественны.
При невыполнении одного из .“^-критериев несжимаемая среда в однородном напряженном состоянии неустойчива.
2. Плоская задача. Следуя Ривлину и Сэйрсу (1973), рассмотрим волны в плоскости (ej, е2), линейно поляризованные в этой плоскости, так что
w-N = 0, we3 = 0, N-e3 = 0, N = e1lV1-)-e2lV2, (20)
причем, как и выше, —главные направления меры Фингера. Здесь в соответствии с принятыми обозначениями
e3 = tr, t2 = Nxtt = — Af te2 4-Af 2ea, (21)
и уравнение (10) приобретает вид [^11^3^3 “Н ^12 (®3^2 “Н ®2^з) "Р ^22^2^2] ’ ®2^2 =
= (Х12е3+Z22t2)ui2 = 4pci2i3y2t2, (22)
причем с12 —скорость волны в плоскости (еп е2). При да2^=0 получаем
^12= 0, Х22 = -j- рс22 (23)
и по (14)
%22 = 191n-f.n +
+-g-э2 [/jN• F• N — N • F2-N + (N • F-12)2 —N • F-Nt2-N • t2]+
(N • F • t2)2+322 (/XN • F• t2—N • F2- t2)24-2a12 (/tN • F • t2-N • F2• t2).
Заменив здесь N и t2 их значениями (20), (21), имеем
N-F.N = A\M + JV2v2, N • F-12 = Л\ЛГ2 (vj-vj), t2-F-t3 = ^2 + W
и т. д. Приходим к формулам
-|рС12=(э1 + »|э2) Nlvl + Nlvl +
+ 2A\W2 (vl — vl)2 Э11±.?Э12^+ 31 -f- Э2Гз
иным путем полученным в упомянутой работе Ривлина и Сэйрса.
(24)
§26l
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В НЕСЖИМАЕМОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ
397
Принимается, что э1 + ф2>0 — в противном случае однородное напряженное состояние было бы неустойчивым при распространении главных волн. Необходимым условием устойчивости его для волн рассматриваемого здесь типа служит поэтому положительность величины
Ф3 = + Nfvl + 2NINI (vl- vjy В3,
d 2Э12Уз + 322l':i (25)
D g —“ 2 *
+
Знак Ф3 обнаруживается из рассмотрения волн, для которых
fl+^2
Vl
г, 4~ v2
(26)
удовлетворяют требуемым условиям Nl-]~Nl—\, O^ZNl^i, О О Nl 1. Получаем
Ф3 = и1и2[1+2(о1-и2)2В3],
(27)
так что
Ф3^0 при В3 = - 1 (V, - п2)-2. (28)
Э1 + ЭоГз 2
Аналогично для волн в плоскостях (е2, е3), (е3,
ф, 0 при
91tV1 4 (29)
Ф2аео при в2 = , 1
3i + 32r2 2
Необходимым условием устойчивости является соблюдение этих трех неравенств с верхним знаком (>). Неустойчивость имеет место, если хотя бы одно из них выполняется с нижним знаком (<).
3. Материал Муни — Ривлина. Для него
э = С1(/1-3)+С2(/2-3), э1 = С1>0, э2 = С2^0. (30)
Здесь эп = э22 = э12 = 0 и, опустив громоздкие элементарные преобразования, приходим по (14) к формулам
2Х12==э2
2X.u = axN • F • N + з2
2%22 = 3XN • F N + э2
2'
'(14 . /iZ22 , ФГ _ vl vl vl _
(31)
(32)
(33)
причем здесь
^ = ti-eb
(t = t2-eA
(^=1,2,3)
398
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
— компоненты векторов tx, t2 по главным направлениям меры деформации F.
Главные значения акустического тензора определяются корнями квадратного уравнения
О2 — (Ди + ^-22) Л" ^11^22 Xj2 = 0 (34)
и, поскольку Хп >0, Х2 > 0, по (30) приходим к неравенству
^22-^?2>0. (35)
Оно же по (31) —(33) преобразуется к виду
a2(N-F.N)2 + 3x32N-F-N
' 1—Л^1
l-Nz , 1— Nr 2 1 2
V2 V3
+/4т [(W+- 2tityri]+
I ЧЩ2
+4т [(^1)2+т2 - т]+
U2V3
+4т t( w+т - w>] I,
V3V1 j
и выражение в фигурных скобках оказывается преобразуемым по (4) к виду
4т wi - w+4т (^1^2 - tuiy+4т - tut)=
t'lt'2 ад V3V1
= vlNl + vlNl + vlNl = N • F • N.
Приходим к неравенству
Xnk22 —X22 = N • F-N p?N-F-N +
+ ---2---1---2— л----2— + Э2 > U (00)
\ Vl Vz v3 )
и этим устанавливается устойчивость материала Муни — Ривлина.
Иным способом при отличающейся от (10) и (11) форме записи уравнения распространения плоских волн задача рассматривалась Ривлином и Сэйрсом (1977). В их работе устанавливались критерии устойчивости не только материала Муни —Ривлина, но и материалов с потенциальной энергией з(/2); слу-
чай любого несжимаемого материала остался до конца неизученным—не были получены алгебраические критерии устойчивости, выраженные через Э/, при любом N. Безуспешной оказалась попытка прийти к более определенным результатам и в публикациях этих авторов 1978 г.
s 27] КРИТЕРИЙ АДАМАРА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ
399
§ 27. Критерий Адамара в однородно напряженной, несжимаемой упругой среде
В записи алгебраических критериев положительности квадратов собственных чисел акустического тензора
Хц > 0, ^-ц^-22-’^12 > О
входят не только исходные задания описывающих деформацию величин vlt v2, v3 и функций от них аг-, определяемых выбором материала, но и компоненты Nlt N2, N3 вектора нормали N к волне и перпендикулярных к нему векторов tlt t2. Исключение этих величин., связанных шестью условиями
N-N = l, ta-t3 = 6aP, N-ta = O (а,(5=1,2),
из вышеприведенных неравенств, иначе говоря, разыскание критериев, определяемых только исходными данными, связывается, по-видимому, с непреодолимыми трудностями: чтобы их оценить, достаточно взглянуть на формулы (26.14). Столь же громоздки иначе записываемые, но также содержащие Nlt N2, N3 неравенства, приведенные в работах Ривлина и Сэйрса (1977, 1978).
1. Здесь задача будет рассматриваться другим путем. Через эк, эк1! в отличие от § 26 обозначаются производные э по п,, v2, v3 дэ д2э
Эк ~ dvk ’ 3ft's “ dvk dvs ’
а компоненты акустического тензора в ортонормированном базисе ех, е2, е3 собственных направлений меры деформации Фингера определяются по формулам (4.12.9), (4.12.20). В них главные напряжения ак заменяются их выражениями через эк по (4.3.12), (4.3.16)
_ ~ да1 — Vl дЬ
1 У~Г3 Г’ Л’1 VT3 dvl ’
^ = /- — Э1 = ~^=г (э12 — — 'j И т. д.
dv2 dv2v2v3 v^l3\ v* 1
Получаем
У ЛЗ11 = 3^1 + vlNl + v^-v^ vlNl (1)
Vl—V3 V1 — VS
Выражение Q12 преобразуется к виду
Q12 = ад (v2 +И12 = ад (W12 - vi91+
\ 0V2 —1’2/ \ fl — V2 /
и после упрощений
/ЛЗ12 = (э12 + ^2~Т) • (2)
\ Vl— V2 /
400
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. К
При обозначениях
4]Л — У2Э2
2 2 ’
41 — V2
4 - 4 zl23 — л32
2 2 ’
42— 43
_ Д _4з*з—4Р1
31 ^13 2 2 '
43 — 41
12 ^21 ’ 2 2 »
Vl~ V2
^23 ^32
В31 — ^13
.934] —5]43 2 2
43—41
(3)
(4)
Aj2 — ^21
^1^2 — ^2^1
Э0У3 — ^3^2 2 2~~ ’
V2— ^3
акустический тензор представляется теперь выражением 3 3
/T3Q = "2 2 dikNiNkvivkeiek + (,A12vlN22 + Ai3v23Nl')e1e1 + 1=1 i=i
4- A^vfNl) e2e3 + (A31v2JVl+ A32v22N22) e3e3 +
4~ B12N2vtv2 (e1e2 Ц- e2ex) 4~ B23N2N 3v2v3 (e2e3 -T e3e2) 4~
+ B3lN3Nlv3v1(e3e1 + e1e3). (5)
Отметим еще соотношения
^+8.. = ^?,. A„ + B„ = ^, + (6)
= A,.-(?)
2. Неравенство Адамара (22.12) в соответствии с (22.14) и при обозначении
А;и,. = а,. (t = 1,2,3) (8)
теперь может быть записано в виде
А (а, Ь) = 2 9ikaiakbibk + Ла + alb22) + А23 (а32^ + а22Ь23) +
4-А31 (a21bl+a23b21)+2B12a1b2a2b1+2B23a2b3a3b2 + 2B31a3b1a1b3 ^0. (9)
В частности, приняв а± = а2 = 0, а3 = 1, /4 = 1, b2 = b3 = 0, придем к неравенству
А31>0.
Это условие и два аналогичных
Л12>0, А232>0, А31^0 (10)
представляют знакомые 5Э<£-критерии (5.13.10), выражающие необходимые условия эллиптичности системы уравнений равновесия рассматриваемого материала.
Теперь, введя в рассмотрение величины
Ufbi^x,- (i = l,2, 3), (И)
§27
КРИТЕРИЙ АДАМАРА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ
401
можно заменить (9) неравенством
3 3
A (a, b) = £ 2 э,кх;Хк 4~ 2Bi2xtx2 2fi23x2x3 Ц- 2В31х3х1 -|-
1=I k= 1
в силу (10) выполняющимся при замене величины *КкГА;(£)’ = * + Т = '<г>' г=Ш
и ей аналогичной их минимумами (при фиксированных xs). Но f(z) достигает минимума при
и этот минимум равен
Жк1)"41т7НШ-21ха|-
Неравенство (12) теперь приведено к виду
А (х) — + э22х2 З33Х3 -f- 2 (з12 4~ В12) х3х2 4~ 2 (э23 4~ В23) Ч~
~г 2 (э31 -ф В31) х3хг 4- 2А121 хгх214~ 2А231 х2х314- 2Д311 х3х, | ф® 0. (13)
Оно выражает не только достаточное, но и необходимое условие выполнимости неравенства (9), так как минимум выражения
Д12 Wbl + albl) + Л23 (albl + albl) ф Л31 (а^ + «
действительно достигается в области задания переменных as, bs.
3. Переход от неравенства (9) к (13) — решающее место всего построения. Форма шести переменных заменена формой трех переменных, правда, усложненного вида, так как последняя содержит не только переменные xt, х2, х3, но и их модули. Задача в общей постановке остается громоздкой; она упрощается, если ограничиться рассмотрением несжимаемой среды.
о
В этом предположении аргумент VR выражения удельной 0 0 у—
потенциальной энергии a(VR) подчинен условию det VR = p /3=1. Это же условие несжимаемости материала должно выполняться во всех сравниваемых с актуальным состояниях, иначе говоря, и для аргумента
VR-(Е ф r]Nb),
Il
402 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
i'i входящего в определение (22.8) неравенства Адамара. Итак,
' det VR • (Е + i]Nb) = det VR • det (E + nNb) = det (E + t]Nb) =
= 14-7]N-b=l, N-b = 0,
так как det (E + r|Nb) = 1 4-r|N-b.
Теперь no (8) и (11) приходим к соотношению связи
3 3 А 3
i= 1 i= 1 i~ 1
налагаемой на переменные х; в несжимаемой среде. Поскольку V[ > 0, оно не удовлетворяется, если хх, х2, х3 имеют одинаковые знаки—два из восьми октантов пространства этих переменных выпадают из рассмотрения. Сочетания знаков в остающихся исчерпываются формулами
1. %! > 0, х2 < 0,
2. х2 >0, х3 < 0,
3. х3 >0, xv < 0,
х3 < 0, 1'. xt < 0,
Xi <0, 2'. х2 < 0, х2 < 0, 3'. х3 < О,
х2 >0, х3 > О, х3>0, Xi >0,(15) Xi >0, х2 > 0.
При обозначении
Ыад-5,
(i= 1,2,3) (16)
приходим к рассмотрению лишь трех комбинаций решений уравнения (14)
(1, 1 ) Xi = it ^151, = "F ^2^2, ^з = + &з5з,
(2, 2 ) х2 ~ i О2В2» *^з= И- ^з5з, ^i5i, 5 г =~ 5з > 5,, (17)
(3, 3 ) Х3 == zb Og^g, Xi — X2 ~ "4- О2^2, B3 ~
Верхние знаки соответствуют случаям 1, 2, 3, нижние — случаями Г, 2', 3'.
4. Задача сведена к определению условий неотрицательности трех форм от двух неотрицательных переменных, получаемых поочередным исключением хп х2, х3 из выражения (13)
f(1) (U У = № + 2/^3 + Ж,
г у=да+2/Шг+mi, (is)
(у у=mi+2^’5152+mi
По (3), (4) и (6), (7) коэффициенты этих форм оказываются равными
№ = /н = 3iiVl + d22v22—2 (э12
= a22ul + э33и|—2 (э23 tW
§27]
КРИТЕРИЙ АДАМАРА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ
403
f 11’ = fss = Э33и% + 3UV® —2 f Э31 — о V fzs = $nvl Ч~ С э23Ц-Э2~Эз И2И3 —
I 4SO 11 * I I 60 I 7| __71 I 4 0
\ ^2 и3/
(19)
Э3 —S1
"Т- V3 —Vi
v3vt
Э1 Ч~ Э2
~I- Го
V1V2~
___э2 Ч~ эз\
s2 + v3/
ад,,
Л32==э33Из+(э12-4
__э2 Ч~ э3\ ч2Ч- vs/
Э1 —э2
Vl— v2
v3v3 —
ViV2 —
^З31
__Эз Ч~ 91\
V3 +V1J
V3Vt.
Необходимые и достаточные условия неотрицательности квадратичной формы двух неотрицательных переменных zlt z2
f = a11z21 + 2a12z1z2-\-a22zl (20)
выражаются неравенствами
йц > 0, а22 > 0
и, если й12^0, то йц«22 — aj2^0.
(21)
Действительно, условия аг1 0, а22 0 гарантируют неотри-
цательность формы при г2 = 0, Zj^O или соответственно Zj —0, г2=Н=0. При а12^0 трехчлен
«и Ч-2а12н Ч-а22«2
не имеет положительных корней, а при atla22 — al2^0 не имеет вещественных корней. Критерии (21) можно записать и в единой форме
ап>0, а22>0, /апа22 + й12> 0. (22)
Алгебраические критерии эллиптичности (или выполнимости неравенства Адамара, или положительности квадратов скоростей распространения плоских волн) сведены к девяти неравенствам: к трем неравенствам
= (23)
к трем неравенствам
V f№+> о, V f№+А? > 0,
/ЖЧ-Л32’>0 (24)
404
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
и к трем .©«^-критериям (10). Формулы громоздки, но вычисления по ним при явном задании функциональной зависимости a(i\, v2, v3) или э(/п /2) не могут встретить затруднений.
4. Для материала Муни — Ривлина (7.4.1) все неравенства соблюдены. Например,
(ц1+ц2)*+с2('±+-1)2,
4 \ VI С'2 /
4а13,=с1(ц3+ц1)2+с4^+л2,
4 AV =£#+4+^ (у + т + -еИ+С2 (^+^+^з)
\ V1 V2 l3 )
и, напомним, С\ > 0, С2 > 0. Материал эллиптичен при любых деформациях.
В качестве второго примера рассмотрим материал с удельной потенциальной энергией деформации
э = э(/1) = э(ц? + ^ + ^)-
Здесь
э1=2а1э', э11 = 2э'+4ф", э12 = 4ц1ц2э" и т. д.,
причем э > 0 по (10). По (19) получаем
4 А” = (у1 + И2)2 0' + 2э" (&!—Ц2)2],
4 / зз’ = («3 +^1)21>' + 2э" (ц3—И1)2],
4 Аз = (И1 + из) (&1 + У3) [э' + 2э" (Wj — Ц2) (Wj — ц3)]
и т. д. Требуется удовлетворить трем неравенствам
э' -]-2э'' (t\—у2)2 Дг 0, э’ + 2э" (v2—v3)2 0,
э'+2э"(ц3—цх)2>0 (25)
и, скажем, при < 0 неравенству
/»- (Аз)2 > 0, (26)
приводимому к виду
э'э" (v2-v3)2> О, э" > 0.
Итак, при
э" > 0 (27)
соблюдены три неравенства (26) и, конечно, три неравенства (25).
§27] КРИТЕРИЙ АДАМАРА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ 405
Примем теперь э" < 0 и пусть v1'^v2^v3. Три неравенства(25) выполняются при
a'>2|/|(w1— v3)a (28)
и этого достаточно, чтобы выполнялись три неравенства
ли / 23
£(2) /31
£(3) /12
>0:
>0:
>0:
э'>2|э"|(у1—v2) (V, — v3), э'>2|э"|(&2—и3) (Wj—v2), э'>2|/|(у1-и3)(и2 —w3).
Отметим, что для рассматриваемого материала неравенство (28) подтверждается неравенством (26.30).
Глава 9
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
§ 1. Уравнение баланса энергии. Первый принцип термодинамики
Полная энергия в объеме V сплошной среды определяется суммой его внутренней энергии £ и кинетической энергии №
<§ + №. (1)
Закон сохранения энергии выражается уравнением баланса
<£+^=Ц^+бг- (2)
Его левая часть представляет изменение полной энергии в единицу времени—ее материальную производную. Первое слагаемое правой части было определено соотношением (2.8.13), как отнесенная к единице времени работа внешних (массовых и поверхностных) сил
= (3)
v
Второе слагаемое 62— подведенное в объем за единицу времени тепло — «нагревание».
Речь идет только о механических и тепловых процессах; энергии прочих процессов, скажем, электромагнитных явлений и химических превращений, не включены в рассмотрение. Нагревание 62 входит в уравнение баланса (2) равноправно с первым слагаемым, это соответствует принципу Джоуля—Майера экви-лентности тепла и работы. Конечно, 62 измеряется в единицах мощности.
По (2) и (3) уравнение баланса приводится к виду
S = JJJ Т-DdV + Q. (4)
у
В рамках механики сплошной среды внутренняя энергия вводится в уравнение баланса (2), как слагаемое в левой его части. Уравнение механики mb = f выражает не тождество («определение силы»), а равенство двух величин —«информация» о силе
. j] ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ 407
§
должна задаваться отдельно. Подобно этому'уравнением (4) устанавливается связь между тремя величинами, но не следует думать, что им по заданию правой части определяется <£; внутренняя энергия, подобно силе в уравнении движения, должна независимо задаваться через величины, определяющие состояние среды.
Так же как мощность напряжений (первое слагаемое правой части (4)) определяется внешними поверхностными и массовыми силами, в формирование нагревания 6? входит тепло, поступающее в объем V через его поверхность (теплопроводность), и тепло, распределенное по объему (создаваемое, например, за счет лучеиспускания внешних источников),
62 = J$(?dO+$J$prdr. (5)
О V
Через q выражается вектор теплового потока h; к этому понятию приводит такое же, хотя и более простое, рассуждение, чем использованное при введении тензора напряжений: заданию ориентированной площадки N dO в любой точке объема V сопоставляется проходящее через площадку в единицу времени тепло qdO. Скаляру qdO сопоставлен вектор N dO, а линейность этой зависимости подтверждается знакомым рассмотрением потоков тепла через грани элементарного тетраэдра. Приходим к соотношению
q = — Nh. (6)
Теплу, покидающему объем, приписывается отрицательное значение; N, как всегда, нормаль вовне объема. Подобно основному соотношению Коши (2.2.3), соотношение (6) отнесено к любой ориентированной площадке в объеме V, в нем определено поле вектора h теплового потока — скаляр q, линейно зависящий от |N, представим скалярным произведением N на некоторый другой вектор — напомним (II.1.2). Точно так же по силе In, линейно зависящей от N, вводилось поле тензора напряжений Т. В соотношении (6), если относить его к ограничивающей объем поверхности О, следует видеть краевое условие для h; подобно этому (2.3.1) —краевое условие (уравнение равновесия на поверхности) для Т.
Преобразование Гаусса —Остроградского позволяет теперь представить (5) и (4) в виде
® = V-h)dV, (7)
V
<£ = $$$ (T--D-V-h + pr)dV. (8)
V
408
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
(ГЛ. Я
Принимается, что внутренняя энергия — аддитивная функции массы, иначе говоря,
<£ = $J$pedV = JJJpoedv, <£ = J JJ Pl)edv---JJ J pedV (9) V v v V
— через е обозначена внутренняя энергия, отнесенная к единице массы—удельная внутренняя энергия. Теперь (8) приводится к виду
JJJ (ре—ТD-|-V h —pr)dV --0. (10)
v
Это—первый принцип термодинамики, представленный в интегральной форме. Его дифференциальная форма выражает условие обращения в нуль подынтегрального выражения, так как объем V может быть назначен произвольно:
ре—Т-D + V-h — рг = 0. (11)
Записав выражение поступающего в единицу времени в объем тепла через его поверхность в виде [см. (1.6.5)]
jj*qdO =—^jN-hdO=— -j-п-VrT-hdo =
O 'o Vo
г p 0 p [ Y 0 0
= — И n-hdo = — J V-hdw (12)
О V
0 мы вводим в рассмотрение вектор h
о / 7Г
h=|/yVrh, (13)
выражаемый через h точно так же, как тензор Пиола выражен о
через тензор напряжений Коши [см. (2.7.2)]. Можно назвать h — вектором Пиола теплового потока. Обратившись теперь к выражениям первого принципа термодинамики в интегральной и дифференциальной формах и сославшись на представление (2.7.14) мощности через тензор Пиола, приходим к записям этого принципа в отсчетной конфигурации
р л р , О 0 0
(рое —Р-• VvT-}-V-h —p„r)du—-0, (14)
V 0 0 0
рое —Р--VvT —V-h —рог = О. (15)
§ 2. Второй принцип термодинамики
Для механики сплошной среды температура —первичное понятие. Можно довольствоваться его словесным определением «степень нагретости», например, и указанием способов измерения.
§31
СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ
409
Важно отметить, что определено наименьшее значение температуры, которой в шкале Кельвина приписывается значение 0 = 0, так что всегда 0 > 0.
Второй принцип термодинамики связан с понятием энтропии. Материальная производная по времени энтропии, поступающей в объем V от внешних источников тепла, определяется (подобно (1.5)) выражением
V О V о
Внутренняя энтропия в объеме V, обозначаемая Н, представляет аддитивную функцию массы и выражается через удельную энтропию г] (относимую к единице массы) формулой
Н = Ш (2)
V v
Из большого числа формулировок (неравнозначных друг другу) второго принципа термодинамики, следуя Трусделлу, мы остановимся на неравенстве Клаузиуса —Дюгема
ti^SSSipr‘lv-SSiN-h‘10’ <3’
V о
выражающем, что внутренняя энтропия в объеме не убывает. Процесс со знаком равенства называется обратимым, неравенства — необратимым.
В другой записи после преобразования поверхностного интеграла в объемный
f(|N.h<io = yjJv4^=JJJl(v.h-h.vlne)<rt'
О V V
неравенству Клаузиуса—Дюгема придается вид
у (р0ц —pr + V-h —h-V In 0) 0, (4)
v
а в дифференциальной форме р0г) — (pr — V • h)—h-Vln0^O. (5)
§ 3. Свободная энергия. Диссипативное неравенство
Из неравенства (2.5), дающего представление второго принципа термодинамики в дифференциальной форме, исключим с помощью этой же формы первого принципа слагаемое
pr-V-h,
410
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
[ГЛ. 9
определяемое подаваемым в объем V извне теплом. Приходим к неравенству
р0т]—рё-фТ--D-h-Vln0>O, (1)
преобразуемому после замены
р0т] = р(0т])’ — р0г] к виду
Т- • D — р (е — От])- — рбт] — h-VlnO^sO. (2)
Сюда в рассмотрение оказалась включенной величина
/ = е-0П, (3)
называемая удельной свободной энергией или термодинамическим потенциалом Гельмгольца. Второй принцип термодинамики оказался представленным теперь в форме «диссипативного неравенства»
Т--D-p(f + 0T])-h-Vln0>O. (4)
Входящие в него слагаемые
<р = Т--D —p(f+ 0т]) • (5)
определяют «удельную диссипативную функцию», называемую еще «удельной диссипацией (рассеянием) энергии». Среды, в которых <р = 0, к ним, как увидим, относится упругий материал, называются недиссипативными. В них по (4)
h-Vln0 = ~h-V0<O. (6)
Смысл этого неравенства становится ясным, если вспомнить условие о знаке (1.6) и что 0 > 0. Оно выражает, что вектор V0, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания 0, составляет угол не меньший 90° с вектором теплового потока h —тепло распространяется в сторону падения температуры. Это заключение может и не выполняться при положительной диссипации (<р > 0); тогда нельзя исключить возможности неравенства знака, противоположного (6): «не исключено, что при надлежащих условиях вода поднимается по склону горы».
Выражение первого принципа термодинамики через свободную энергию приводится-по (1.11), (3) и (5) к виду
р0г) = Т- -D — р (/ ф0т])фрг — ¥-Ь = ффрг — V h. (7)
В недиссипативных средах (<р = 0) это соотношение представляет уравнение распространения тепла (теплопроводности)
р9т) = рг —V-h. (8)
pj ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 411
В отсчетной конфигурации вышеприведенные формулы приобретают вид: первый и соответственно второй принципы термодинамики
. о . . оо
ро0т] = Р- • VvT —р0 (/ + 0т]) + рог — V-h, (9)
о ..оо
p..VvT—po(f4-t]0)— h-Vln0>O, (10)
выражение диссипативной функции и уравнение распространения тепла в недиссипативных средах
о
cp = P--Vv^-po(H0n)> (11)
о о
ро01Г=рог— V-h. (12)
§ 4. Термодинамические потенциалы. Определяющие величины
Применение принципов термодинамики в механике сплошной среды требует заданий одного из термодинамических потенциалов—свободной или внутренней энергии, а также вектора теплового потока в зависимости от определяющих движение среды и тепловых процессов в ней величин. Без этого дальнейшее продвижение бесперспективно, подобно тому как «бесполезен» закон Ньютона /nb = f, если ничего неизвестно о зависимости силы f от места точки в силовом поле, скорости, времени.
Ограничиваясь рассмотрением простого упругого материала й считая его однородным, примем, что величинами, задающими его состояние (определяющими параметрами), являются градиент о о
места VR, температура 0 и ее градиент V0. Свободная энергия f о
и вектор теплового потока h задаются, как материально индифферентные функции этих параметров
/ 0 О \ 00/0 о \
/ = / yVR; 0, V0y, h = hyVR; 0, V0y, (1)
иначе говоря, преобразуемые при переходе от «нештрихованной» актуальной конфигурации к «штрихованной» по закону
/(vR-O; 0, V0)=f (VR; 0, Vo);
0/0 0 \ 0 / О О \
hyVR-O; 0, V0J=h(4VR; 0, V0J.
Здесь, чтобы упростить дальнейшее построение, эти задания представлены в отсчетной конфигурации. Сами определяющие параметры—искомые функции координат и времени, хотя многое
412
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
[ГЛ, <1
о чем говорится далее, сохраняет свое значение, когда f и h — функционалы над предысторией среды.
Задача состоит в определении по заданиям (1) уравнений состояния—функциональных зависимостей тензора Пиола Р и о о
энтропии г] от VR, 0, V0
P = P(VR; 0, Уб), T] = t](vR; 0, V©), (3)
удовлетворяющих принципу материальной индифферентности
PyVR O; 0, V0J = P(VR; 0, V0J,
nQVR-O; 0, V0 / = tj <VR; 0, V0J. (4)
Это достигается применением второго принципа термодинамики в форме диссипативного неравенства (3.9). Входящая в него производная свободной энергии по времени по (1) представляется согласно (1.10.7) выражением
Но ..VvT + |0 + ^-(v0)‘. (5)
VR Зуб
Исключение f из (3.10) приводит теперь к неравенству fP-Po/o V-VvT-po(| + ii')0 + 4--(v0)’-h-Vln0>O. (6) \ Vr j ' Зуб
Но линейному относительно переменных х, у, г неравенству
Ах + By Cz + D 0
(в нем А, В, С, D от этих переменных не зависят) можно удовлетворить лишь при условиях
Д = 0, В = 0, С = 0, D>0
— в противном случае, задав х, у, z надлежащие значения, можно было бы левой части неравенства придать любой знак.
Роль переменных х, у, г в неравенстве (4.4.6) отходит 0 7 0 V
к VvT, 0, \V0J ; коэффициенты в нем по (1) от этих величин не зависят. Итак,
Р = Ро/о . П = ^=0, -h-Vln0>O. (7)
VR Зуб
Эти фундаментальные результаты нельзя получить из рассмотрения первого принципа (3.9)—в его выражение входит величина
, $ 41 ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 413
О о
рог—V-h, определяемая подаваемым извне в объем V теплом, которой можно придать любой знак.
Следствием (7) является недиссипативность простого упругого материала. Действительно, по (3.11) и (5)
<P = Pof/o ••Vvt + |mV°- (8)
\ VR J
Подтверждаются неравенство (3.6) и запись уравнения теплопроводности в форме (3.12). Свободная энергия оказалась независящей от градиента температуры
4^ = 0, / = /(vR;0), (9)
dv0
так что от него не зависят Р и г|
P = po/(VR; в)0 , (10)
VR
n = ~^(vR;0). (11)
о
По (2) и заменив VR его полярным представлением, имеем f(vR; e) = /(vR-O; o)=/(U-Ox-0; 0) = /(U; 0) = f(G;0). (12) Здесь принято OX O E и повторено преобразование (3.2.9); сохранив для свободной энергии обозначение /, имеем теперь по (10) и (II.3.5)
P = pJ(G; 0)о = 2р0/(G; 0)с • VR
VR
и по (2.7.3), (2.7.11) приходим к представлению тензора напряжений Коши и энергетического тензора
Т = 2pVRT-/G-VR, Tv = 2p/G, (13)
так как р0 Vf=₽ в этих обозначениях, вместо (11), имеем n = -/0/(G, 0). (14)
Уравнению теплопроводности (3.12) по (1.13), (1.7.3) придается вид
р0П= рг- УV- )/у VrT-h = pr-r5-VrT^ = pr-R’^ и как следовало ожидать
р0т]=рг—V-h. (15)
414
УРАВНЁНЙЯ ТЕРМОУПРУГОСТЙ
(ГЛ. 9
Здесь h—вектор теплового потока. Но вектор Пиола тепло-fl
вого потока h удовлетворяет требованию индифферентности; поэтому, воспроизведя преобразование (12), имеем по (1.13)
0 0/ О \ О / о \
h = h(u; е, ve; = htG‘A; е, voj,
h = ]/ -^VR'-h-hfo; 0, ve). (16)
§ 5. Представления через удельную внутреннюю энергию
Уравнение (4.11) при условии
а2/ ае2
=^0
(1)
однозначно разрешимо относительно 0
( 0
0:--O!VR; г]
(2)
Вместе с тем (4.11) позволяет назвать—/ производящей функцией преобразования Лежандра 0—>т|. Производящая функция обратного преобразования т]—>0, согласно известному правилу, представляется выражением
0 (VR; n)+f(vR; 0 (vR; ij)=e(.VR; t])- (3)
Им в соответствии с (3.3) определяется внутренняя энергия, представленная через градиент деформации и энтропию. Диф-о
ференцируя (3) no VR и tq, имеем
ео = 11®о +/о = /о ®о ') = /о >
VR VR VR VR VR \ VR VR J VR
^=e(vR; n) + n“+i“ = e(vR; 4) + 5(1)-n)=e(vR; „)
— здесь использовано соотношение (3.11).
Пришли к соотношениям
P = pe(vR; n)0 , 0 = Де (vR; т])> (4)
VR 1
которыми, конечно, подтверждаются свойства преобразования Лежандра.
Задание внутренней энергии должно быть материально индифферентным— удовлетворять функциональному соотношению вида (4.4.1)
е (vR; T])=e(vR-O; т])- (3)
§61
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
415
Поэтому, повторив ранее сказанное, можно представить теперь тензор напряжений Коши, энергетический тензор и температуру выражениями
о о
T = 2pVRT-e(G; t])g-VR, Tv = 2pe(G; t])g, e = ^(G;n). (6)
В изотропной упругой среде, когда за отсчетную конфигурацию принято неискаженное состояние материала, f и е представимы через меру деформации Фингера F
/ (G; 0) = / (0х • F - Охт; 0) = / (F; 0), е (G; П) = е (F; П), (7) так как f и е в этом предположении—изотропные скаляры [см. (II.5.30)].
Но по (II.3.6)
о /о =2VR.fF, VR
так что по (4.10), (4), (2.7.3) получаем
T = 2pF-fF, T - 2pF • eF. (8)
Здесь f и е— функции инвариантов Ift(F) = Ift(G).
В представлениях свободной и внутренней энергий принималось, что материал однороден, его свойства, единообразные во всем объеме, не зависят явно от материальных координат. Учесть неоднородность можно внесением в выражения (4.1) и (5) вектора места r(^x, q2, q3) в отсчетной конфигурации. Это не изменило бы формы полученных зависимостей, но осложнило их содержание.
§ 6. Уравнение теплопроводности
о
Предполагается возможность представления вектора h суммой вида
0/0 0 \ 0 / 0 \ 0/0 о \ о
h у VR; 0, V0J = ho QVR; 0, 0j—К <VR, 0; V0J-V0, (1)
в которой первое слагаемое не зависит от градиента темпера-о
туры V0, второе определяет вектор, представимый произведением о о
тензора второго ранга К на градиент температуры V0 и обращающийся в нуль вместе с последним.
Неравенство (4.7) теперь дает
00 00 00/0 о \ о
h-V0 = hp-V0—V0-K k.VR; 0, V0j.V0^O (2)
lb
41g УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ [ГЛ. 9
li °
| и наличие в его левой части слагаемого, линейного по V0, по-
зволяет, как объяснялось ранее, придать ей любой знак. Поэтому
О О 0/0 0 \ 0 0 0 0 .
h0 = 0, h = — К (VR, 0, V0/-V0, V0-K-V0>O. (3)
; о
Построенная по тензору К квадратичная форма неотрицательна,
о
иначе говоря, тензор К, представляющий тензор теплопровод-
i ности среды, неотрицателен.
В изотропном для тепловых процессов материале, когда отсчетная конфигурация является неискаженным состоянием, о
тензор К —шаровой
О 0 0
К = Е/г, £>0, h = —6V0, (4)
k — коэффициент теплопроводности, по (3) — неотрицательный.
I О
Далее мы ограничимся этим представлением К.
Уравнение теплопроводности (3.12) теперь приобретает вид
I I .00
Po0n = Po'' + v-^V0. (5)
। В привычной записи используется понятие теплоемкости я —
тепла, расходуемого для повышения температуры единицы массы на один градус
Индексом Г указывается, что величина отнесена к некоторому «термодинамическому пути» материальной частицы. Необходимость такого определения объясняется тем, что величина — не полный дифференциал. Обобщением понятий теплоемкости газа при постоянном объеме и при постоянном давлении являются теплоемкости твердого тела при неизменной деформации и при неизменном напряженном состоянии.
Обратившись к (1.7) и (4.15), можно записать соотношения
По.(4.11)
Первое слагаемое справа в этом соотношении отпадает при неизменной деформации (vR—постоянно). По (6) и (4.11) получаем
х -0 _ п Щ [9)
U 00 ° 002
§7]
ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ И АДИАБАТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕССЫ
417
__выражение теплоемкости при неизменной деформации. Теперь в левой части (5)
4=ss-3e+4»R--Vv’ = l«e+l^..Vv-
и уравнению теплопроводности придается вид ар 0 0 0
PoxO=por + 0^..VvT + V^V0.
В статических задачах (vvT = о) приходим к хорошо известному уравнению Фурье
о о
рох0 = р|/4-V.&V0. (11)
соотношение (4.10) разрешено относи-
(Ю)
Предположив, что о тельно VR,
имеем
5vR
0
5vRT
50
о
о о
VR = VR(P; 0), 1 0
.т/дРХ 4-^-n 5vRT | 5tl Л21 <p 50 Jr +50“50 +50’ ( 21 x ' J VR
когда процесс
нии (при постоянном Р). Вместе с тем VR и 0—независимые переменные
происходит при неизменном напряженном состоя-0
По (12) неизменном
в представлении свободной энергии и по (4.10), (4.11)
п = _m __£f __1^р
'о ум/о де'о ~ о0 де •
VR v 'vr VR 0
и (9) приходим к выражению теплоемкости и' при напряженном состоянии
Ро 50 50
(13)
§ 7. Изотермический и адиабатический процессы
Изотермическим называется процесс с неизменной во всем объеме и в любой момент времени температурой
0 = 0Х = const. (1)
Такой идеализированный процесс приближенно реализуется в среде с весьма большой теплопроводностью, когда приемлемо предположить, что всякая неоднородность поля температуры без промедления и в любом месте ликвидируется возникающим тепловым потоком.
14 А. И. Лурье
418
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
[ГЛ. 9
В изотермическом процессе уравнение теплопроводности выпадает из рассмотрения, температура входит в выражение свободной энергии и тензора Пиола (или тензора напряжений Коши), как постоянный параметр 0Х. По (4.10), (4.11)
/ = /(vR;0x), P = pJ0 (VR; 0х), n = --f (vR; 0X).
VR *
(2)
Параметрически она войдет и в уравнения движения, решаемые теперь вне связи с тепловыми процессами.
Другой предельный случай—теплоизолированный объем. По (1.5), (1.6) в этом предположении
/' 0, с/—0, h — 0. (3)
Этим определяется адиабатический процесс. В недиссипативных средах первый принцип термодинамики приводит по (4.15) к уравнению
r) = ^ + v-vn, (4)
выражающему постоянство энтропии вдоль траектории материальной частицы. По (2.2) отсюда следует, что Н = 0, внутренняя энтропия Н в объеме V сохраняет постоянное значение, неравенство Клаузиуса—Дюгема обращается в равенство. Адиабатический процесс в недиссипативной среде, в частности в упругом материале, обратим. Тензор Пиола и температура определяются по заданию внутренней энергии e(vR; г) соотношениями (5.4). Задача сводится к рассмотрению уравнений движе-/ о \
ния (2.3.5), в которых тензор напряжений T\VR; т]/ определен уравнением (5.6) совместно с (4). Распределение температуры в объеме V и по времени находится после того как задача решена. В статических задачах осложнений нет. Механическая задача отделяется от тепловой, энтропия войдет в уравнения равновесия, как постоянный параметр.
Условия (3) при /' 0 и (4) выполняются согласно (6.5) в средах с исчезающе малой теплопроводностью k’—>0. Идеализированные процессы—изотермический и адиабатический —предполагают прямо противоположные свойства материалов—бесконечно большую и бесконечно малую теплопроводность. Это делает приемлемым взгляд, что изучение деформирования в этих идеализированных процессах указывает некоторые пределы, в которых происходит деформирование реальных материалов с конечной теплопроводностью.
§81 УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ 419
§ 8. Уравнения термоупругости
Свойства упругого материала задаются функциональной зависимостью свободной энергии от градиента деформации и температуры или внутренней энергии от градиента деформации и энтропии; должен быть задан также коэффициент (тензор) теплопроводности, зависящий от градиента деформации, температуры и ее градиента. Задаются массовые силы и сообщаемое тепло от внешних источников за счет лучеиспускания. Самыми различными могут быть задания на поверхности тела (краевые условия), бесполезно перечислять все их возможные сочетания. В динамических задачах должны быть сформулированы также начальные условия.
Независимых переменных четыре—три материальных координаты q\ q2, q3 и время t. Конечная цель — определение век-тор-радиуса места R и температуры 0 (или энтропии т)), как функций этих переменных. Если она достигнута, то найдено напряженное состояние и энтропия (или температура).
Сказанное помечает такую последовательность действий:
а) По заданию свободной энергии с помощью формул (4.10), (4.11) составляются выражения тензора Пиола и энтропии или тензора Коши по (4.13).
б) Подстановка этих выражений в уравнения движения (2.3.5) приводит к системе трех дифференциальных уравнений для компонент вектора перемещений u = R — г — к аналогу «уравнений в перемещениях» линейной теории. Высший порядок входящих в них производных по времени и координатам — второй.
в) К этой системе уравнений движения добавляется уравнение теплопроводности (6.9). Конечно, эта же последовательность сохраняется, если исходят из задания внутренней энергии е; используются формулы (5.4) или (5.6).
Исключая тривиальные случаи, сформулированная динамическая задача неприступна не только математически; трудность заключается в скудности надежно проверенных экспериментальных сведений, могущих подтвердить или отвергнуть приемлемость принятых зависимостей термодинамического потенциала от мер деформации и температуры (или энтропии) и еще менее коэффициента (в общем случае тензора) теплопроводности от его аргументов. Эти же трудности сохраняются и в статических задачах термоупругости, хотя математическая задача упрощается. Механическая и тепловая задача остаются неразделенными. Динамическая задача в изотермическом материале (в изотермическом процессе) упрощается, так как из рассмотрения выпадает уравнение теплопроводности, а температура входит в выражение свободной энергии и далее в уравнения движения, как постоянный параметр. В адиабатическом процессе этого упро-14*
420
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
[ГЛ. 9
щения нет, уравнения движения должны рассматриваться совместно с уравнением (7.4), выражающим постоянство энтропии вдоль траектории частицы.
В изотермическом процессе, сославшись на (4.10) и (2.7.5), имеем
Р-• 6VRT = р0/(vR; ех)0 ..6VRT=Po6/(vR; 0х) = 6Че> 0) VR
— удельная элементарная работа равна вариации свободной энергии. Обозначением
э (VR; 0Х) == Ро [/= (VR; 0Х)-f (Е; 0Х)] (2)
определяется равная нулю в отсчетной конфигурации (что впрочем несущественно) величина, называемая удельной запасенной свободной энергией этого процесса. Повторяя вышеприведенные записи, имеем
P = 4VR; 0jo = 2э (G; OX)G-VR,
Vr
/7 0 0
T=2 J/-|VRT-a(G; 0x)G-VR (3)
или в изотропном упругом теле
Т= 2 F.3(/t (F), /2(F), I3 (F); 0x)f. (4)
Сказанное может быть повторено и для адиабатического процесса, если вместо (2) ввести в рассмотрение удельную запасенную внутреннюю энергию
о о
a(VR; nx) = Po[e(VR; т]х) — е(Е; Их)]- (5)
Конечно, в формулах (3) и (4) теперь придется заменить о о
3(VR; 0Х) на a(VR; Пх). Можно их записать и в виде
Р = э0 , Т = 2 j/-|VRT.aG-VR = 2 ]/-|F-sf (6)
Vr
не забывая, что одно и то же обозначение э сохранено для двух отличных друг от друга величин. Например, в линейной теории упругости отличают адиабатические модули упругости (получаемые из представления э по (5) через внутреннюю энергию) от изотермических (определяемых по свободной энергии). Аналогичное более сложное рассмотрение распространимо и в нелинейной теории.
§8] УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ 421
Очевидно, что напряженные состояния (если исключить динамические задачи в адиабатическом процессе), определяемые по заданию запасенной свободной или внутренней энергий, не могут отличаться друг от друга—они разыскиваются из тождественных уравнений равновесия и краевых условий; в формулировках тех и других нет упоминания о тепловых величинах (0Х или Т]х).
Итак, применение принципов термодинамики позволило доказать существование «потенциалов напряжений» («запасенных энергий») в изотермическом и адиабатическом процессах.
Теория упругости может строиться, однако, и без введения подобных величин, т. е. как чисто механическая дисциплина, вообще не входящая в рассмотрение тепловых процессов. Эта точка зрения и проводилась в предшествующем изложении, как разъяснялось в начале гл. 4 (§ 1).
i
h I Приложения
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
1 Содержание «Приложений» ограничено необходимыми для изложения ме-
ханики сплошной среды сведениями о правилах и приемах применения тензор-
1 ного исчисления в трехмерном евклидовом пространстве (в Обозначения,
отличающиеся некоторым своеобразием, согласованы с основным текстом. Пре-: имущественно используются «прямые», а не индексные обозначения тензорных
величин; этим формулам и теоремам механики придается краткость и выразительность, утрачиваемые в индексных записях. Переход к последним требует лишь навыков в элементарных алгебраических преобразованиях. Опыт препо-II' давания позволяет констатировать отсутствие здесь каких-либо затруднений.
II Предполагается, что читатель владеет первоначальными сведениями об
операциях векторной алгебры и анализа и о действиях над матрицами. Под-т черкнем еще, что «Приложения» ни в какой мере не претендуют заменить си-
«II стематические курсы тензорного анализа, скорее они имеют целью избавить
ji читателя от постоянных ссылок на них.
il, Приложения нумеруются римскими цифрами, главы основного текста —
1|! арабскими. Эти разделы разбиваются на параграфы (§), последние часто на
|' пункты (1, 2 и т. д.). В параграфах принята порядковая нумерация формул.
I При ссылке на формулу данного параграфа указывается номер формулы, а на
!'| формулу из другого параграфа той же главы — его номер и номер формулы,
f Номера главы, параграфа и формулы указываются в ссылках на формулы
? в предшествующих главах.
Приложение I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
У
§ 1. Векторные базисы
if!
У Векторный базис образуется тремя не расположенными в одной плоскости
f1 (некомпланарными) векторами rlt г2, г3. Ортонормированный триэдр, когда он
1,!! понадобится по ходу изложения, образуется векторами i1( i2, i3 (ii-i* = 0 при
। sp !)•
Объем v параллелепипеда, построенного на базисных векторах, представ !| ляется выражением *)
о = г]-('-2Хг3) = г2.(г3Хг]) = г3-(г1Хг2). (1)
Взаимный векторный базис определяется тройкой векторов
r1 = -j-r2Xr3, Г2 = -^Г3ХГ!, г3 = -^ггхг2, (2)
*) Скалярное и векторное произведения векторов а, b обозначаются а-Ь, aXb.
§ 1]
ВЕКТОРНЫЕ БАЗИСЫ
423
перпендикулярных соответствующим плоскостям векторов основного базиса. Из этого определения следует
О при s -jz k, 1 при s = k
rs-rk =
(б*—символ Кронекера). Принимаются обозначения скалярных произведений векторов основного и взаимного базиса
^•rA = §Jft = gfc, rs.r>! = gsl! = g>!S, rs-rk = 6k = gsk. (4)
Легко проверяется, что векторы основного базиса представляются через векторы взаимного формулами
г1 = гт2Хг3, г2 = уг3Хг1, г3 = ог1Хг2. (5)
Действительно,
v (г2 X г3) = -1- (г3 X fj) X (rxX г2) = у [гхг2 (r3X гх) — г^ • (r3X гД] = гР
Другие представления г5 через гк и обратно даются формулами r'f = g^rfc) rs = gskrk.
(6)
В них, как и во всем последующем, опущен знак суммирования по повторяющемуся верхнему и нижнему индексу («немому» индексу). Формулы (6), непосредственно проверяемые по (3) и (4),
r-r.rf = g'rM-rA = §^61=5^, Ts.Tt = gskrk-rt=gst представляют простейший пример операций подъема и опускания индексов с помощью величин gsk, gsk.
В ортонормированием базисе i^, конечно, отпадает отличие между основным и взаимным базисами; но с целью сохранить правило суммирования в принятой формулировке векторы этого базиса иногда обозначаются if. Например, представление вектора а в ортонормированном базисе иногда записывается в видах
a = a-si.s = asH.
Здесь, конечно, as = as. В применении к базисным векторам эта запись приобретает вид
rs — psifc) rt = Pim'm> (7)
так что £ £ gst “ Гу’ = Psfitmlk • i772 — pspfft* (8)
Записывая теперь v2 в форме произведения определителей
1 pl 1 Р2 1 рз 2 Pl 2 P2 2 Рз 3 pl 3 р2 3 рз • Pll Р21 Psi
по (8) получаем
gll §12 §13
J2 = §21 §22 §23
§31 §32 §33
По (6) и (7)
rf =gs ггк = = gSkgkt^<
Р12 Р13 k k k pipife Pipafe PiPsfe
Р22 Р23 — P2P1S P2p2fc Ргрзй
k k k
Р32 РЗЗ РзР1* рЗр2й рзрз/г
= l§rf 1, c = rj.(r2xr3)= y~g
(9)
Н • rm = бт = gskgk$n = gS,!gkm
424
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
— матрицы [|gs*|| и || gkm 1| — обратные, их произведение представляет единичную диагональную матрицу || 6m ||
\\gskH\gkm ll = bm||-
Иначе говоря, gsk равно алгебраическому дополнению элемента gsk определителя | gsk |, деленному на этот определитель. Вместе с тем
|gsfe|=g~l. (10)
§ 2. Символ Леви-Чивита
Формулы (1.1) и им аналогичные, в виде
V~geskt = rs-(rhXrt),
получаемые по (1-5), можно записать
-L-eskt=Ts.(TkXrty (])
V g
Величины eskt, eskt равны нулю, если в числе индексов ski имеются повторяющиеся, они равны 1 для последовательности индексов 123 и получающихся из нее круговой перестановкой последовательностей 231, 312; они равны — 1 при нарушении этого порядка (для последовательностей 213, 132,321). При обозначениях
ZM=--V~geskt, eskt = -l^e^t (2)
V g
приходим к записям
еш = гг(ГйХГ/), е^ = Р-(г*хг<), (3)
г*хг*=е*/5г5, rkxrt = ektsrs. (4)
Возвращаясь к (1.7), имеем соотношения _ к. т xm k. m.f km
l\ = Pslb ri.rm = Os =ps 1*-pZ lr = pspfe >
позволяющие представить Sskte'nnp в виде eSkt^mnp = rs- (i>Xr() r“.(r«XrA) =
Ps ps ps 1 tn tn tn pl P2 p3 q tn q n q p pspq 9sPq pspq
12 3 n n n q m q n q p
Pfc PA pE Pl p2 p3 PkPq Pkpq Pspq
12 3 PPP q m q n ~Q p
Р/ Pf pz Pi P2 p3 P/P<7 P/P(? Ptpq
так что
W 6? 6f
^ktemnr'- № 6£ 6? (5)
er 6? ef
Отсюда приходим к «правилам свертывания» — формулам для сумм
е^е^=з (sX-6f6?) +
+ 6? (&pk - 6f 6g) = 6?6f - 6?6g (6)
и далее
e^tes^ = 26p„ eshieskt = 6. (7)
$31 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЕКТОРА В БАЗИСАХ 425
Теперь по (4) получаем
rftXrfeAtw = eft ^ktmrs ~ %(>inrs = 2rm, откуда следуют обращения формул (4)
ги = у ем«г'гхг«, r'” = le«“rJixrf. (8)
§ 3. Представления вектора в основном и взаимном базисах
Термину «вектор» теперь часто придается смысл совокупности п чисел, называемых его компонентами — «вектор обобщенных координат» (qlt q2, ..qn). В этой книге «вектору» придается его общеизвестный смысл—это определенная в трехмерном евклидовом пространстве физическая величина, задаваемая ее численным значением (модуль вектора) и направлением; таковы скорость, сила и т. д. Выбор базиса определяет компоненты вектора, их численные значения; конечно, не сам вектор, различны в различных базисах.
Представления вектора в основном и взаимном базисах имеют вид
a = afr,s = air«. (1)
Величины as называются ковариантными, as — контравариантными компонентами вектора а. По (1.3)
a.s = a-r.s, а5 = а-г*, (2)
так что as (а1) равно произведению | г5 | = Уgss (| г5 | = Уgss) на проекцию а по направлению вектора основного базиса (взаимного базиса г4). Можно иначе: а—диагональ параллелепипеда с ребрами as У gss (as У gss), имеющими направления по г* (по rs).
Формулы связи между ко- и контравариантными компонентами имеют вид as==gskak, as = gskau (3)
— здесь опять узнается операция опускания и подъема индексов. Эти формулы следуют из (1) и (2)
a .r*-= а* = asrs • г* = gskas, а • гк = ак = a-'rs • гк = gskas.
Скалярное произведение двух векторов представляется в виде
а-b = • bAr* = gshasbk = asrs • bkrk = asbkgsk = asrs-bkrk = asbkb$ =asbs. (4)
В частности, квадрат модуля вектора равен
a2 = a-a = asas = gskasak = gskasak. (5)
Векторное произведение по (2.4) представляется выражениями
c = aXb = a's&*esftfrf=.ai6Aesft<rt, ct = asbk£skt, ct = asbk£skt.
Как пример, приведем преобразование
ах (Ь х с) = atbsckrt х ef kqr4 = atb^cket,!meskl}rm =
= afbsсктт ($Ук — 6*6s) = bsrsatct—ckrkatbt = ba- с — са- b, что и требуется.
Проверим еще соотношение
г^Хг4 = 0.
426
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
Действительно, по (2.8)
r$Xr*=y г^х(гАхг<) еШ (rkgts—rtgsk) =
= ~(etks-ekts) rtgsk^etksttgsk = 0) так как gsk = gks, но etks = —ekts.
§ 4. Тензор второго ранга
Рассматривается преобразование тройки величин ak (матрицы столбца, с помощью умножения ее слева на квадратную матрицу qsk в тройку bs (матрицу строки)
bs = qSkak (s=l,2, 3). (1)
Приняв, что ак — контра-, a bs ковариантные компоненты векторов а и Ь, можно записать соотношения (1) в виде
Ь = д^аМ = д^г*-а. (2)
Эквивалентные записи сопоставления вектору а вектора b можно получить, используя другие представления их компонент
bs = qskak, b = qskrsrk-a-,
ь =qS.krsrk-a’ b = q-krsrk-a. (3)
Величиной
Q = 9^rsrft = qskrsrk = q*krsrk = q'krsrk, (4)
называемой тензором второго ранга, задается преобразование вектора в вектор, записываемое в форме произведения справа тензора на вектор
b = Q-a. (5)
Здесь одной физической величине (вектору а) сопоставляется другая (вектор Ь), поэтому следует считать объект Q величиной, наделенной физическим содержанием. Для задания Q в основном и взаимном базисах используются его ковариантные (</5k), контравариантные (qsk) или смешанные контрако- (gfA) и коконтравариантные q'k компоненты. Но тензор Q — не матрица его компонент, величины которых зависят от назначения базисов, а инвариантная, физическая величина. Инвариантный и не связанный с базисом смысл имеет запись (5).
Введенные в § 3 и здесь определения вектора и тензора второго ранга должно дополнить рассмотрением, при каких условиях тройка наперед заданных чисел (а,; или as) или девять чисел (qsk или qsk, или q*k, q'k) действительно определяют независящий от назначения базиса объект (вектор, тензор). Иначе говоря, требуется установить правила преобразования этих чисел при переходе от базиса, в котором они предположены заданными, к новому базису. Об этом см. § 7.
Аналогично (5) определяется умножение Q на а слева; им задается отличный от b вектор
с = а • Q = а • д^Нг* = q^a1 = qs trfrs - а. (6)
Переставив местами в (4) базисные векторы, приходим к транспонированному тензору, обозначаемому QT
QT= <7st«4rs = qstttTs = q*krkrs = q'krkrs. (7)
§4] ТЕНЗОР ВТОРОГО РАНГА 427
Его As-компонента равна sA-компоненте Q. По (5)
b = Q-a = a-QT (8)
и этим правилом дается независимое от выбора базиса определение QT.
Формулы связи между компонентами тензора различных наименований следуют из (4) и (1.6). Например,
Q = qSkrsrk = '7sfe§r-smrmg*n''n=qSkgsmgkn^m^n = qmnrm*n-
Получаем соотношения вида
qmn = qSkgsmgkn=q'sgsm' qmn= qskgsmgin = qs.ngsrn (9)
и т. Д. —снова те же правила «игры» индексов.
Компоненты тензора представимы также формулами вида r5-Q-rt = <7if, rs-Q-rf --q'1,
rs-<l-rk = qs.k, rs-d-rk = q-k. (10)
Диада векторов. Это — простейший пример тензора второго ранга, образуемого по двум векторам; их диада обозначается ab (часто а0Ь). Ее произведение на вектор с справа (слева) определяет вектор ab-c (вектор c-ab). Представления диады через базисные диады и правило транспонирования даются формулами
ab = asbkrsrk = asb!lrsril — asbllrsrk = asbi;rsr,t, (ab)T=ba. (11)
Формулы (4) представляют тензор суммой девяти базисных диад, умножаемых на соответствующую компоненту.
Единичный тензор Е. Это—тензор, произведение которого на вектор а справа или слева равно этому вектору а
Е-а = а-Е = а. (12)
Из этого определения и формул (8) и (10) следует, что
Е = ЕТ, r*-E-rf = gsk, rs-E-rk = gsk, rs-E-rk = gk^bk- (13)
Диадные представления единичного тензора по (4) записываются в видах
Е = gskrsrk = gskrsrk=gsk rs rk = dskrsrk = г^г-' = г'щ, (14)
так что gsk, gsk, — компоненты единичного тензора. Формула (2.5) для квад-
рата длины отрезка позволяет назвать единичный тензор метрическим.
Симметричным называют тензор, равный своему транспонированному
Q = QT. qsk = qks, qsk = qks, q\k = q^ = qsk (15)
(нет нужды указывать, с какого места поднят индекс). Для симметричного тензора
Q = QT: Qa = aQ. (16)
Простейшие примеры: диада аа, единичный тензор Е.
Кососимметричный тензор определяется условием
QT = —Q, qks = —qsk, qks=-- — qsk, qs.k = —q'k’ (17)
его диагональные компоненты равны нулю. Матрица компонент симметричного тензора задается шестью, кососимметричного—тремя компонентами. Тензор Q
428 ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
может быть представлен разбиением на симметричную и кососимметричную части
Q=1(Q+QT)+1(Q-QT) =-s+o. S = ST=1(Q+QT),
Q=1 (Q —QT) = — 12т. (18)
Для экономии места здесь не были упомянуты очевидные предложения, что умножение тензора на число (скаляр) представляет тензор с компонентами, равными произведению на это число компонент тензора, что сумма тензоров также тензор с компонентами, равными сумме компонент слагаемых тензоров.
Возвращаясь к формулам (4) и (5), запишем выражение скалярного произведения
c-b = b- C“C-Q-a-a-QT-c = qskcsak (19)
— билинейная форма компонент векторов а и с, образуемая матрицей компо. нент Q, инвариантна—ее численное значение . не зависит от выбора базиса. Инвариантна также квадратичная форма компонент а
7^a5a^ = a-Q-a = a-QT-a. (20)
В этом равенстве содержится еще одно определение симметричного тензора второго ранга—физической величины, с помощью которой вектору а сопоставляется инвариантная квадратичная форма его компонент. Заданием квадратичной формы определяется только симметричная часть S тензора Q, так как по (18)
а-й-а = а-йт-а = — а- й-а = 0.
§ 5. Определитель тензора
If'
3
I' f-i’
По формулам (4.9)
II II=II q-smSmt II = II II; II qst II = || qs.mgmt |j=|| q^gms || ’
о (1.9), (1.11) и по правилу умножения определителей
I^fl=7l^|=7l4|- (’)
о б
Определителем det Q тензора Q называют определитель его смешанных компонент
det Q= | | = | q-< | = 11 qst | =g | qst | = det qt (2)
В формуле (2.5) возьмем одно из шести размещений индексов тпр, например 123; придем к равенству
6S1 62 q-! q\2 q-*
с & / S2 б3 q^q- = q'z q'z q'23 = det Q.
V V % I' q's q'2 q's3
Этот же результат получим при любом другом размещении индексов тпр. Поэтому
detQ=le,ftte-^^.
(3)
j 6] ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТЕНЗОРОВ. ОБРАТНЫЙ ТЕНЗОР 429
в действие правило суммирования по т.
при q т
Тензор Q называют неособенным, если det Q 7= 0. Кососимметричный тензор — особенный, особенный тензор—диада векторов ab.
Коэффициент при q'j. в (3) представляет алгебраическое дополнение этого элемента, обозначаемое А'[. Но q'? встречается в (3) три раза: (/ = s, r = m), (l = k, r = n), (l = t, r = p). Поэтому
А-т-^^тпрЯп^. (4)
Произведение матриц и |И^|) пРеДставляет матрицу
li и Aiq 11=\kas 11=4 ie^e 4np^Pk в •
Но при q т в числе индексов qnp неизбежно повторение, так как в тройке тпр повторений по условию нет. Если же справа заменить q на т, то требуемый результат утроится: вступит Итак, возвращаясь к (3), имеем
I °
1 , 1 л ~т — ' ( det Q при q — т
Тензором алгебраических дополнений матрицы тензора назовем определяемый по (4) тензор
Qx = Afr'rm-=y ^sMrs^mnprmqtqp =
= ^-rkXrtq^rnXrPq^ = у (rfe Х17) (Q-r4) X(Q-r<), (6)
представленный через диады 17X17, (Q-rft)X(Q-rf).
Если тензор Q—неособенный, то матрице его компонент может быть сопоставлена по (4) матрица
по (5) обратная матрице компонент Q ||«|1=|1%||- (8)
§ 6. Произведение тензоров. Обратный тензор
Двум тензорам второго ранга Р, Q и вектору а сопоставляется вектор c = P-b = P-(Q-a). Записав эту операцию в виде c=(P-Q)-a, мы вводим в рассмотрение величину R = P-Q; это — тензор второго ранга, так как произведение R на а справа определяет вектор с—R-a. Компоненты этого тензора выражаются через компоненты сомножителей одним из выражений
P.Q:^/)5(r'r/.(/m"r„,r„ =pstqtnrsrn^=p-stqtllrsrcl (1)
и т. д. Аналогично определяется произведение трех, четырех и т. д. тензоров, в частности, целые положительные степени тензора
Q2 = Q.Q=^Wirn, w = qstqtnqnmrj,n- (2)
Непосредственно проверяется правило транспонирования
(P-Q)T = QT-PT, (P-Q-R)T= RT-QT-PT. (3)
! !| 430 ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
Ь' В частности, (Q-QT)T Q-Qr, так как QTT = Q—тензор Q-QT симметричен.
W Произведение тензора на единичный тензор Е справа или слева приводит к этому
' же тензору, любая степень единичного тензора — единичный тензор; определи-
тель произведения тензоров равен произведению их определителей
j Q E = E-Q=Q, Е-Е Е- Е, Е« = Е, det Р-Q det Р• det Q. (4)
! Обратный тензор. Неособенному тензору Q сопоставляется обратный тен'
II зор Q-1 с помощью соотношения
Q.Q-1-E, (5)
s'l Диадное представление Q-1 по (5.8), (5.6) записывается в виде
'I Q-I-p;’r^^2^e'weW^r'r^2dlTQrftXr‘(Q,rft)X(Q'r<)- (6)
Н, Решение системы уравнений (4.1) можно с помощью тензора Q-1 записать в виде
Н: a Q '-Ь. (7)
р| как это сразу же следует по (4.5) и (5). Легко проверяются равенства
У det Q-1--(det Q)~l, (P-Q)-' Q-'-P-\ (QT)-1 — (Q-1)T>
(Q-1)-1- Q. (8)
i.< Операция векторного умножения тензора на вектор а справа и слева оп-
ределяет тензоры второго ранга
QXa^?4ffl’e^mr6rOT, axO^-a^e^r'”^—(QTXa)T. (9i
§ 7. Преобразование компонент тензора.
I Инварианты тензора
6 Вместе с базисами rs. г4' рассматриваются новые базисы r^, rVs.
Формулы связи между старыми и новыми базисными векторами можно за-писать в виде
г, = Е.г, = гУГУ*.г,, Е г' г/ЛТУ-г'', rvWrrrv\
I! В применении к вектору а приходим к формулам
у а asrs = asr'Jkr^-rs = a^r^k, а Л г., asr% rvfc-r5 = aJkr£, (1)
в которых
= asr^-rs, avk = asrvk-rs (2)
В
ф — ковариантные компоненты вектора преобразуются по тому же правилу, что
(. и векторы основного базиса («ковариантно» с ними); контравариантные — по
I!1 правилу преобразования векторов взаимных базисов.
Аналогичны правила преобразования компонент тензора второго ранга
!! ^s*^rsV-rmr//?vs/i= rVs-rMrv*-r„y““,
9y^rV.rV^.rnC (3)
Инварианты тензора. Так называются функции его компонент, сохраняющие неизменную, не зависящую от выбора базиса величину. Скаляр (тензор нулевого ранга) — инвариант. Распространенное словоупотребление «проекция век-1 тора—скаляр» или «скалярные уравнения движения» неприемлемо.
р] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА. ИНВАРИАНТЫ 431
Любая функция инвариантов — инвариант. Инвариант вектора (тензора первого ранга) — квадрат его длины. Это подтверждается вычислением
u2-=avsasv — a/,rA'-rsvrVs-rma™ = akamrk-E-rm ~сц.ак.
Вектор не имеет инвариантов, отличных от функций его длины. Симметричный тензор второго ранга имеет три независимых инварианта. Здесь рассматриваются его алгебраические инварианты, выражающиеся через компоненты тензора с помощью действий сложения и умножения. Это — линейное, квадратичное и кубическое относительно компонент тензора выражения, обозначаемые /х (Q), Za(Q). Z3(Q).
Линейный инвариант /х (Q) образуется с помощью операции двойного свертывания Q с единичным тензором Е
ZX(Q)--E--Q. (4)
Развернутая запись имеет вид
Е • Q г% • • = г. г"г' • г,= 6" (5)
— скалярно перемножаются внутренние и наружные базисные векторы. Этот же конечный результат достигается, конечно, если пользоваться другими компонентами Q, например,
Е • Q = gskrsrk-•qmnrmrn—gsllgiimgsilqmn = tfngsnqmn=gmnqmn =-- q„
и т. д. Можно прийти к этим ясе формулам, заменив в диадном представлении тензора диады базисных векторов их скалярными произведениями или составив произведение тензора слева и справа на векторы основного и взаимного базиса одинакового номера
It W = qstrs-rt=gstqst = q'tt, li(Q.) = rm-Q-r”‘=gmsqsm = rm-(l-rm. (6)
Все эти выражения представлены в записи (4), не содержащей векторных базисов; поэтому они сохраняют свою величину в любом базисе. Достаточно принять E = rvsrV, чтобы сразу же получить
/1(Q) = E..Q = 9/ = 7y-s.
Линейный инвариант тензоров Q2, Q3 по (4) и (6.2) представляется выражениями
/1(q2) = e..q2.-9'4s. A(q3)=9'44s- О
Квадратичный инвариант /2 (Q) можно определить, как линейный инвариант Л (Qx) тензора алгебраических дополнений (5.6)
4 (Q) = /, (Qx) =|Е" =
= | (5”6f-6?6g) q-knqj = 1 (q-M-q-^ (8)
и по (5), (6) его можно представить выражением
Л (Q) 1 = 2 (/i(Q)-Zi(Q2)). (9)
Третий инвариант Z3 (Q) = det Q. По (5.3) <г*
gm 6? Я*
/3 (Q) = detQ = l 6'fn % 6? 4k Я? Q'k 4't Г (10)
432
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
Развернув этот определитель и использовав (5), (7), (9), придем к формулам /з (Q) = | [/1 (Q) -3/i (Q) Л (Q2) Ч-2/х (Q3)] =
=4- Гл (О3)-л8 (Q)+3A (Q) Л (Q)] . (И) о
Если Q — неособенный тензор, то по (6.6) и (9)
ЛЩ-1)—/2(Q-1)=tS’ ;з (Q-1) = det Q-i = 7-|— , (12) 1 з (Ч) ‘ з (.4) ‘з (41
причем второе соотношение получено из первого заменой Q-1 на Q.
Легко проверить, что Л(0) = Л(0т)1 сославшись на (8) и (10), имеем поэтому
4(QWHQT) (*=1,2,3). (13)
Доказываемая в § 9 теорема Гамильтона — Кэли
Q3 = Z1(Q)Q2-/2(Q) Q+E/s(Q) (14)
позволяет последовательно представлять тензоры Q.n(n^3) линейно через Q3, Q, Q° = E с коэффициентами ZX(Q), Л (Q)> 73(Q). Число независимых инвариантов тензора второго ранга равно трем—это Л (Q) или Zx (QA) (k = 1, 2, 3). Конечно, инвариантна любая функция этих инвариантов.
Свертывание произведения тензоров. Основываясь на определении (6.1) и правиле свертывания (6), имеем
7г (P-Q) = pifqf'lrs-r„ = ps;(?<s = Z1 (Q-P).
Но, когда составлялось произведение Р —р5(Г4'г( на Q = ?m'!rmr„, свертывались векторы г* с г,„. Поэтому вычисление инварианта Zj (Р-Q) сводится к двойному свертыванию
h (P-Q) = E--P-Q = P-.Q = prfrsr/- qmnrmrn--- р^дтпг*-rmrs-r„ = pstqts. (15)
Аналогичны правила двойного свертывания трех тензоров
Zj (P.Q.S) = Р--QS = P Q-S = S-P--Q (16)
и большего числа тензоров. Напомним еще, что
Л (Р-О) = Л ((P-Q)TW1 (QT-PT). (17)
Далее эти правила многократно используются.
§ 8. Ортогональный тензор
Тензор О называется ортогональным, если он представляет решение уравнения
О-ОТ = ОТ О = Е => ОТ = О-!. (1)
Пусть а, Ь векторы, преобразуемые тензором О по правилу (4.5) в а', Ь'
а'=а-О = От.а, b' = b-O = OT.b. (2)
Тогда
а'-b' = а-О-От-Ь = а-Е-Ь = а-Ь (3)
и, в частности,
а'-а' = а'2 = а-а = аа (4)
— ортогональное преобразование не изменяет длины вектора и сохраняет угол между векторами.
§81
ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ТЕНЗОР
433
Полагая
O = oysrf = o^rmr„. ' (5)
имеем
0.0т = 0>;'гг5г'.г„г'« = Е 6^г5г“
— приходим к шести условиям ортогональности, записываемым в видах
0>;« = 6m- = gksgtrOMOmr = ^m. (6)
На девять компонент О наложено шесть связей—ортогональный тензор определяется тремя независимыми параметрами. Далее,
detO = detOT, (detO)a=l, det 0 = 1 или . detO = — 1. (7)
При det Q = 1 тензор называется собственно-ортогональным, им осуществляется поворот системы векторов; ниже приводится представление тензора О через угол осуществляемого им поворота и единичный вектор оси поворота. При detO = —1 поворот сопровождается зеркальным отображением оси. Далее речь будет преимущественно идти о собственно-ортогональных тензорах, и, если не оговорено противное, наименование ортогональный тензор (тензор поворота) применяется к собственно-ортогональному тензору.
Базисные триэдры щ, г5 преобразуются при ортогональном преобразовании в повернутые триэдры
rs' = rrO = OT.r5, г'* = г*-О = От-г* (8)
и обратно
г. = г;.От = О.г,, г’ = г'*-От = О-г'< (9)
Компоненты а' в повернутых базисах равны, конечно, компонентам а в исходных—вектор повернут вместе с базисом
a'=a-O = airJ-O = air'JI, as = as, a's = as. (10)
Это относится и к тензору второго ранга
Q' = OT-QO, Q = O-Q'-OT, q'st=qst. (11)
Диадное представление ортогонального тензора по (8) можно записать в видах
О = Г(Г,< = гМ> OT = r'frt = rJrf. (12)
Например, а-О = а-г^г'* = а1Г*, что и требуется. Следует отличать, конечно, компоненты а' в повернутых базисах (os= as) от компонента/ вектора а в этих базисах
a = a/r'5 = aftrA, а/ = akrk-rs = akrk-O'I-rs = ofak (13)
и т. д.
Аналогично для тензора второго ранга
= qY(s=qkmos^o-tm (14)
— повторены формулы (7.3) в применении к ортогональному преобразованию. Инварианты ортогонального тензора (тензора поворота), определяемые по (7.6), (7.12), (12), (5) и (7), оказываются равными
/1(0) = г(т'* = <4 /2(О) = /з(О)/1(От) = /1(О), /з(О) = 1. (15)
| г
।'I' 434 приложение l тензорная алгебра
|i При повороте вокруг оси 13 декартовой системы осей на угол со
Ч ii = ijcos со-J-i 2 sin со, 12 =—ix sin co-[- i2 cos co, i3 = i3
! и no (12)
J 0 = 11 (*i cos co-f- i2 sin co) + i2 (— ix sin co 4- i2 cos co)-]- i3i3 =
j Мйк+Ыг) cos co + (ixi2 — i2ix) sin co + i3i3 =
il , = E cos co-4- 'з>з (1 —cos co) — Exi3 sin co.
так что независимо от выбора векторного базиса, назвав е единичный вектор 4 оси поворота, приходим к инвариантному определению тензора поворота
J О = Е cos со-^ее (1—cos со)-)-eXE sin со, (16)
| содержащему лишь задания угла и оси поворота. Из пего следует
р Z1(0) = /2(0) = 1+2cosco, - 1<Л(О)<3. (17)
I) По (14) и (6)
I = = /1(Q’) = /1(Q).
У Но инварианты /2 (Q')» (Q') представимы через Л так что
I /ft(Q') = /fe(Q) 1,2,3). (18)
Верно и обратное: при равенстве всех трех инвариантов двух симметричные тензоров (/* (Р) = /j, (Q), k—\, 2, 3) существует ортогональное преобразование, 1 связывающее эти тензоры (P = Q') [См. § 10].
и § 9. Главные оси, главные значения тензора
I второго ранга
| По заданному тензору второго ранга Q определяются векторы е, ех, со
If! храняющие направления в их произведениях на Q справа и слева
Q-e = Xe, ex-Q = Xxex, (1}
('I
!j - здесь X, Xx— подлежащие определению скаляры. В другой записи (Q—XE)-e = 0, ex.(Q—ХхЕ) = 0. (2!
I'lil Заменив здесь Q его диадным представлением через смешанные компоненты,
₽ приходим к системам линейных однородных уравнений
| (с^ —6^X)ef = 0 (qst — dpvx) е? = 0 (3)
|i! относительно неизвестных et, е$; нетривиальные решения этих систем сущест-
;:f|. вуют при равенстве нулю определителей
б)Х| = О, (4)
откуда следует, что Х = Хх. Полипом третьей степени по X
i д (X) = det (Q—ХЕ) =| q-,-6*Х | (5)
i) называется определяющим или характеристическим полиномом тензора, а урав-
нение 4р(Х) = 0—его определяющим или характеристическим уравнением. Корни Xlt Х2, Х3 называют главными (или собственными) значениями тензора Q-
§ 91
ГЛАВНЫЕ ОСИ, ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТЕНЗОРА
435
Развернутое представление определяющего полинома имеет’вид
г? (А) = det (Q—
^2
9?2---
9.32
ч\
Ч^ I
<??3 р— ^ + ^(^1 + ^2
— Х [G.1!^—9.12731) + (?>3J — '73^32) -г (<3<7\ — я\ч\) ] + det Q =
--A’-Hi (Q) %2 —Z2 (Q)-| z3(Q). (6)
Здесь использованы представления инвариантов (7.6), (7.8), (7.10). Этим доказана инвариантность главных значений Аъ А2, А3 тензора— подобно инвариантам Ik (Q) они сохраняют независящие от выбора векторного базиса значения. Известно, что полином У* (X) представим через его корни
(X) — (Х{ —А) (А2— X) (Ад — А) =- — - А3 А2 (А3 4~ Ад-}- Ад) —
—A (AxAg-J- А3А3-[- АдА2) А1А2Ад. (7)
Сравнение с (6) определяет инварианты тензора через его собственные значения
/1 (Q) = Aj-f-А2 + Ад, Z2 (Q) = AjAg J-AjAg-pgAj, /3 (Q) = AjAgAg. (8)
Очевидно, что As—также собственные значения QT. Правые и левый «"собственный» векторы тензора Q, обозначаемые eft, е*, соответствующие собственному значению А&, определяются по (1) уравнениями
Q.eA = A^e/i., ek-Q = Aj,eft. (9)
Здесь нет суммирования по k *). Компоненты этих векторов — нетривиальные решения уравнений (2), в которых А (или Ах) заменены на Aft. Общий множитель, входящий в их выражение, может быть определен условием
е^-е^=1 (s=l,2,3). (10)
Вместе с тем
e^-Q-e/e^ А^е' -е*, e-'-Q^ А^е-’-е/,, щ.-А^ е-'-е^О
и при As 4 Afc (предполагается, если не оговорено противное, что корни определяющего полинома — простые) получаем
е?-е;г^5/г (11)
— векторные базисы е^, е-? взаимны; поэтому
ое1 = е2Хег, ое2 = е3Хе1, <?е3 = еа Хе2, ti = ef(e2Xej). (12)
Сказанное имеет пока формальное значение, так как в числе корней полинома З3 (А) может оказаться пара комплексных сопряженных At, А2 = А; им соответствуют пары векторов также комплексно сопряженных (e2 = et, е2 = ех), что следует из (3), поскольку компоненты Q вещественны.
В базисах е5, е' тензор Е представим по (4.14) выражением
Е = е^е^ — е'ел = eje1 -L- e.2e2 — e3e3 = e1 et 4- e2e2 -J- e3e3 (13)
*) Индекс, входящий в левую и правую части равенств (9), не является, конечно, немым.
1
436
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
I И ПО (1)
' з
Q = E.Q = Q-E= 2 >.5е,е-'^?.1е1е'-7?.2е2е'- : ?.3еге:1,
3 S=1 (14)
j QT= 2 А^е^ = А1е1е14-А2е2е2 + А3е3е3.
I
г Была бы неуместна запись так как правило предполагает суммирование
по двум индексам.
При det Q # 0 в числе корней полинома (А) нет равного нулю. Это |1 позволяет сразу же составить выражение обратного тензора Q-1. Имеем
I, Q“1-Q = E, Q“1-Q-e;; = E-e^ = ei,
11 3
|Г Q 3*2 1 ’А5е5—ез> Q 1*е5 = -?-s es
[1 *=1
Ш — главные значения обратного тензора равны обратным значениям главных
1 значений тензора, а собственные векторы Q и Q-1 совпадают
I. 3
| Q-i = ^-e1ei+^-e2e2 + J-e3e3 = y (15)
Лт Л2 '*3
I S=1
Непосредственно по (14) имеем также
I 3 3 3
Q2 = Q.Q=2 2 А^е-’Д^е* = 5J ^е^
i'l| S= 1 k— 1 s— 1
ji и вообще при целом положительном, а для неособенного тензора и при отри-
цательном целом, п
j ‘I з
Q'2 = V I"esei = ^e1ei4-^e2e2 + ^e3e3. (16)
|i| Диады е1е1, е2е2, е3е3 определяются из решения системы уравнений
е1е1Ч-е2е24-е3е3 = Е,
W А1е1е1 + Х2е2е2 + Х3е3е3 = Q,
А^е3 + А2е2е2 + ^e3e3 = Q2
j с определителем Вандермонда
A=(Aj----A2) (Aj- /-з) (A3- Al),
"1
.j отличным от нуля, когда корни определяющего уравнения — простые. Получаем
1 eiel = ср/ (Q2 (^2 Т ^"3) Е^г^з] — ср, j (Q—A,2E)-(Q—А3Е)
। и т. д., причем
' У' (kj) = — (^j— ^2) (A-i—А-з) ит. д.
В другой записи этим выражениям придается вид
I e'e,=-;sy7rT[Q2—(T(Q)—Aj) Q+ea/zhq)]. (17)
<7
il
j9J ГЛАВНЫЕ ОСИ, ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТЕНЗОРА 437
Следующие замечания относятся к случаю, когда Q—симметричный тензор. В этом случае при наличии кратного корня (А.х = А,2 Z3) по (14) имеем
Q (e^e1 -j-е2е-) A.14-A.3e3e3 = EA.1+(A.3—Xj) е3е3 (18)
— диады е^1, е2е2 не входят в определение Q и их знание не требуется. При наличии трехкратного корня (?ц = Л2 = ^з) тензор Q «шаровой», равный произведению скаляра на единичный тензор
Q = ^E. (19)
Если Q-—несимметричный тензор и полином (5) имеет кратные корни, то представление тензора по собственным векторам, вообще говоря, усложняется: оно определяется структурой соответствующих элементарных делителей. В этой книге подобное представление несимметричного тензора не находит применения.
Тензор Q1/2. Положительным называют тензор, если образуемая по нему квадратичная форма a-Q-a положительна для любого отличного от нуля вещественного вектора а. Единичный тензор Е положителен, так как а-Е-а = -а-а — а2. Другой пример — произведение Q-QT, если Q — неособенный тензор. Действительно,
a-Q-QT-a = b-b = 62> О (b = a-Q = QT-a),
так как b £ 0, поскольку a = b-Q-1 7= 0. Положителен тензор, главные значения которого положительны, так как е’-Ц-е5 = ?15 | es |2 при s=l, 2, 3. Матрица компонент положительного тензора — сильвестрова, положителен ее определитель и главные диагональные миноры.
По положительному тензору может быть определен тензор, главные значения которого равны квадратным корням из главных значений тензора
О'^е^^е^ + егК^еге^ез/^зезе3, е^= ±1.
Можно назначить различные комбинации знаков, но условимся, если не оговорено противное, приписывать (s=l, 2, 3) положительные значения, иначе говоря, считать Q1^2 положительным тензором
Q1/» = /^е1е1 + KW2 + fV,e3. (20)
Определение компонент тензора Q по компонентам Q сводится к решению системы уравнений вида
tn.rmr.t = qs.t (msr = rs-г г).
Эта задача в существенных чертах той же трудности, что и решение кубического уравнения, определяющего собственные значения Q.
Теорема Гамильтона — Кэли. Уже упоминалось, что эта теорема (7.14) позволяет выразить Q3, а вслед за этим Q" при п > 3 через Q2, Q, E = Q°. Исходим из равенства
з
Q3— 2
S = 1
в котором Z3 может быть заменено его значением из характеристического уравнения
^s3=/i (Q) Л|-/2 (Q) ^ + /3(Q).
Получаем
ззз
Q3 = A(Q) 2 ^e^-/2(Q) 2 M^+/3(Q) 2 е^>
s = 1 s = 1 s = 1
438
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
откуда по (16) сразу же следует
Q3-/1 (Q) Q2 + /2 (Q) Q-/3-(Q) Е = 0 (21)
— «тензор удовлетворяет своему характеристическому уравнению». Следствием для неособенного тензора является соотношение
[Q2-A(Q)Q+/2(Q)E]. (22)
1 з W
Неравенства для инвариантов положительного тензора
/1(Q)^3/1/’(Q), /2(Q)^3/7“(Q), /2(Q)3&3/2(Q). (23)
Первые два следуют из теорем о среднем геометрическом и среднем арифметическом
(М.Лз)1/з < 4 м. (~Y/3 < т (1-+-Г+т- У о у AiAgAg / О \ А^ Ao Ag j
Третье следует из легко проверяемой по (8) формулы
/?(Q)-3/2(Q)=y [(^-^2)2 + (^2-Лз)2 + ^з-^1)2].
Только для шарового тензора неравенства (23) становятся равенствами. Третье неравенство (23) не требует, чтобы тензор Q был положителен.
§ 10. Симметричный тензор
Существенное упрощение, вносимое предположением о симметричности тензора, состоит в том, что отпадает различие между произведениями справа и слева тензора на вектор. Триэдры еА, е* совпадают—это единственный орто-нормированный триэдр, и по (9.10), (9.11)
e^-efc = 0, s # k\ е^-е^ = 1 (s=l, 2,3). (1)
Корни определяющего уравнения симметричного тензора вещественны; действительно, собственные векторы для комплексно сопряженных корней Л| и ^2 = ?ij были бы также комплексно сопряженными
a-i-ib — а — (Ь
— -L-— , в2 — 61 — — — .
Ка2+^2 Ка2+*2
Но тогда ei-e2 = l, что противоречит условию ei-e2 = 0.
По (9.17)
~Я.тт COS2 (е5, Гт) —
= + (2)
J' L J
(не суммировать по т, s!). Этими формулами определяются с точностью до знаков направления е3 в векторном базисе г,„.
Два ортонормированных триэдра es, es совместимы друг с другом с помощью ортогонального преобразования. Поэтому два симметричных тензора с равными инвариантами можно связать соотношением (см. § 8 в конце)
з
Q = OT.P.O, O=Ve?es'. (3)
s = 1
§ 14
КОСОСИММЕТРИЧНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ТЕНЗОРЫ
439
§ 11. Кососимметричный тензор. Ортогональный тензор
Заменив в представлении кососимметричного тензора диады г^г/ векторными-произведениями ffXrs, получим величину
го =у го^г/Хг^ =-^ (й = a)strsrt), (1)
называемую сопутствующим тензору Й вектором. Его ковариантные компоненты по (2.1) равны
Wj = y Kg(®32—“23) = КЪ»32- ®2= КЪ»13. ®з= К£<»21- (2)
Следствием определения (1) являются соотношения
Й-а = гоХа, а-Й = аХго. (3)
Действительно,
иха = у е/л?й'5М'ха=-|-etsq£imnasiamvn =
=4 (ОГ-W) со^тгп = со^атг„ = й.а,
как и требовалось. Рассматривая теперь квадратичную форму, образуемую сим метричным тензором Й2
а-Й-Й-а = (аХго)-(гоХа) = а-[гоХ(гоХа)] = а-гого-а—а2го-го = а-(гого — Его-го)-а, имеем
Й2 = гого— Его-го. (4)
Инварианты кососимметричного тензора определяются формулами
Л(Й) = 0, /2(Й) = -у71(Й2) = го2, /3(й) = 0. (5)
Определяющий полином (9.6) и его корни оказываются равными
(Х) = — К (?v2+ го2), A.! = —iro, X2 = tw, 2i3 = 0. (6)
Правые и левые векторы е3, е3 по (9.1) определяются из соотношений
Й-е3 = гоХе3 = Х3е3 = О, е3-е3=1, е3 = е3 = -^-. (7)
Поэтому
й-ej = гоХе1 = гое3Хе1 = —йоех, e1 = ie3Xe1. е2 = —ге3Хе2;
е1-Й = е1Хго = гое1хе3 = — iroe1, ех = —ie3Xe1, e2 = ie3xe2
И сравнение этих соотношений позволяет принять
е! = е2, е2 = ех, Е = е1е24-е2е14-е3е3.
Комплексно сопряженные пары векторов (ej, е2), (е1, е2) представимы в видах в] = е2 = (cj—ic2), е2 = е1 = (сх + гс2)
и Условия е1-е1 = 1, е2-е2 = 1 удовлетворяются, если принять |с1| = |с2| = 1. Получаем
С1—ic2 = ie3X(c1 —гс2), С! = е3Хс2, c2 = crXe3
440
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
— триэдр вещественных векторов сх, с2, е3 ортонормирован, расположенные в плоскости, перпендикулярной е3, векторы сх, с2 определены с точностью до поворота вокруг е3. Тензор О по (9.14) представляется выражением
Q = — /со (е^1 —е2е2) = — ico (ехе2— е2ех) = со (cxc2—c2cx) =
= coe3XE = coXE = EXco. (8)
Ортогональный тензор. Его инварианты определены формулами (8.17); характеристическое уравнение приводится к виду
3* (X) = — V + (1 + 2 cos со) (V—X) + 1 = (1 — X) (V — 2Х cos со + 1) = 0
и собственные значения оказываются равными
X} = e~ia, K2 = eia, X3=l. (9)
Для корня Х3
е3-0 = е3, О-е3 = е3
и этим определяется направление е3 = е3, остающееся неизменным при ортогональном преобразовании—ось осуществляемого им поворота. По (9.14)
О = е1е1е“ 1“+ е2е2е1ш -]-е3е3 = (eie1 е2е2) cos со — (eie1 — е2е2) i sin со+ е3е3
и это выражение приводимо к вещественному виду (8.16), если принять ei = e2 = —L (Cj—сс2), е2 = е1 = —~ (сх4- ic2),
причем удовлетворены все условия (9.11) в ортонормированием триэдре с1; с2, е3. Получаем, как и требуется
О = (с^4- с2с2) cos со4- (С]С2—c2cj cos со4- ее =
= Ecosco-4(l—cos со) ее—eXEsinco. (10)
§ 12. Полярное представление тензора
Неособенный тензор Q представим произведением симметричного положительного тензора U (или V) справа (или слева) на ортогональный тензор
Q = UO, Q = O.V. (1)
Это следует из определения ортогонального тензора
Q.QT = UOOTU = U2, QT-Q = VOT-O.V = V2;
U = (Q-QT)‘/2, V = (QT-Q)I/s. (2)
Симметричные тензоры U и V, как говорилось в § 9 в связи с определением корня нз положительного тензора Q-QT, положительны.
Ортогональность О при таком определении U и V—следствие соотношений
O = U-i.Q, OT = QT-U-i, OOT = (Q-QT)-I/2QQT(Q-QT)-*/2 = E,
O = Q.V-!, OT = V-i-QT, OT.O = (QT-Q)~‘/2-QTQ.(QTQ)-,/2 = E.
Определения тензоров U и V согласуются с соотношениями
U-O = OV, и = О V От, V = OTUO, (3)
если тензор О в формулах (1) один и тот же. Действительно, как и требуется
V2 = OT-U O OT U O = OT U2O = QTQ.
$ 13] СУММА ШАРОВОГО ТЕНЗОРА И ДЕВИАТОРА 44]
§ 13. Представление тензора суммой шарового тензора и девиатора
По тензору Q определяется его шаровая часть 1/3/] (Q) Е, а отклонение тензора от этой наиболее простой структуры определяется его девиатором dev Q
Q = 4 E/i (Q) + dev Q- (О
и
Из определения следует, что 7j(devQ) = 0. Первый инвариант кососимметричного тензора О равен нулю, devQ = Q, и рассмотрение его девиатора теряет смысл. Далее предполагается, что Q—симметричный тензор
Q = QT, Q.e = Xe, dev Q-e= Гл, — 4г Л (Q) | e = — xe.
I о J
Главные направления тензоров Q и dev Q совпадают, а главные значения ks девиатора определяются формулами
^ = ^-4 Л (О) (з = 1,2, 3). (2)
О
По (9.8)
Л (dev Q) = x1 + x2 + x3 = 0,
1 2
12 (dev Q) = xxx2 Ч-ХгХз+хзХх ==/2(Q) —у 7i (Q),
1 2 ч
lз (dev Q) = xjx2x3 = I3 (Q) —x- Ii (Q) 12 (Q) + 97 A (Q).
Еще одно представление второго инварианта девиатора следует из (7.8)
(dev Q) = —g- (x.i~y Х2-7х.з) = —g- [(^1—^3)2 “h (^2 —^з)2-Ь G-з— ^i)2]- (4)
При обозначениях
— 12 (dev Q)= jg,, 73 (dev Q) =-|-g3 (5)
характеристическое уравнение девиатора приводится к виду
4х3 —g2x—g3 = 0. (6)
Переход к нему от уравнения 5>(^) = 0 воспроизводит хорошо известный прием сведения полного кубического уравнения
t/3 + ag2+6g+c = 0
к стандартной форме
х3-^рх-]- q = 0.
Дискриминант уравнения (6)
Д =ga —27g3 =64 [| /2 (dev Q) |3-11 (dev Q)] > 0, (7)
так как собственные числа х5 вещественны. Это «неприводимый случай», когда выражения в радикалах вещественных корней нельзя избавить от комплексных величин. Численные значения корней разыскиваются в тригонометрической Форме
х= sin ф,
(8)
442 ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
причем ф определяется подстановкой в (6)
так что zi=g|cos23ip > 0, как и требуется. По (9) находим три значения х, а по ним главные значения девиатора
%! = j/'y sin х2= sin , х3= j/^^sin ,
m<f. (Ю)
В применении к девиатору теорема Гамильтона — Кэли приводится к виду
(dev Q)3+ /2 (dev Q) dev Q — E/3 (dev Q) = 0
и из нее следуют формулы
/2 (dev Q) = - 1 Л ((dev Q)2), 7g (dev Q) =1 Л ((dev Q)3), Z. О
/2(devQ) = | /i((devQ)4) (П)
и т. д. Сравнение (6) с дифференциальным уравнением
^2(z) = 4^(z)-g^ (Z)-g3
для функции $(z\g2, gs) Вейерштрасса обнаруживает, что Xi, x2, x3 —корни №'(z\g2, £з)> стандартно обозначаемые c>(, е2, е3.
Формулы (11) известны в теории эллиптических функций
2 , 2 , 2 1 3,3,3 3 4,4,4 1 2 ,,
xi + x2-f-xs—у gi, xi-f-x2-f-xs— т gs, Х14-х2-|-Хз — -у §2- (12)
§ 14. О тензорах высших рангов
Величиной
»Q = 9’1S2,'’s* г г ...г, rSft + 1 ...rs" (Г)
Ъг + i • -sn S1 Sz sk
определяется тензор n-го ранга. Его ранг снижается на две единицы при свертывании по двум индексам с номерами р и v. Получающийся тензор может быть обозначен
(|X-V) (V-IX)
<»-2)Q = »Q=nQ . (2)
Например, свертывание тензора третьего ранга 3C = Qa (диады тензора второго ранга и вектора) приводит к векторам
(1'2) (2-3) (3-1)
3С =/!(Q)a, 3С = Qa, 3С =QT-a.
Важным примером тензора третьего ранга служит тензор Леви-Чивита
e = es(Qr'yr'r'? = evf<?rirp(;. (3)
Его компоненты определяются формулами (2.3); все свертывания приводят к нулевым векторам.
$141
О ТЕНЗОРАХ ВЫСШИХ РАНГОВ
443
Свертывание тензоров четвертого ранга приводят к тензорам второго ранга. Например,
(1-2) (1'3)
4C = PQ, 4С =/i(P)Q, “С = PTQ и т. д.
В частности, все свертывания тензора ЕЕ дают тензоры ЗЕ, Е. В числе свертываний тензора шестого ранга QQQ имеются тензоры четвертого ранга Q2Q, QQ2; двукратное свертывание приводит к тензору второго ранга Q3.
Операция сопоставления тензору n-го ранга тензора (п—1)-го ранга осуществляется векторным перемножением двух базисных векторов на местах р, и v (|i> v). Векторное произведение вписывается в месте v (слева) или в ц (справа). Возможны обозначения
-4- — >
«- [|XXV] 1M-XV]
(n-DQ = nQ , <w-DQ= BQ . (4)
Вектор, сопоставляемый (сопутствующий) симметричному тензору второго ранга — нулевой
qstrt Xrs = e1sqqstrl = estqqshl = qstrs X rt = 0
и сопутствующий Q вектор 2w определяется только кососимметричной частью Й этого тензора по формулам (11.1), (11.2).
В число тензоров второго ранга, сопоставляемых тензорам Qa, aQ, входят тензоры (6.9)
Qxn = qstametmqrsrri = — (axQT)T, aXQ = —(QTXa)T. (5)
В частности, для симметричного тензора
Qxa = — (axQ)r, axQ = —(QXa)T (6)
и легко проверяется, что первый инвариант этих тензоров равен нулю
Л (QXа) = qsta”>etmqrs-r“ = = qsta”>esmt = О,
Л(ах0) = 0.
К числу тензоров третьего ранга, сопоставляемых тензору ЕЕ, принадлежит тензор Леви-Чивита
— ЕхЕ = — rXXr*rfe = — rsrtrkesfli = rsrtrkesik, е = —ExE. (8)
Представление (11-8) тензора Й через сопутствующий вектор (о теперь преобразуется к виду
О = йХЕ = й-ЕхЕ = —(0«е = —е-о>. (9)
Соотношение (8) применяется к преобразованию векторных произведений. Приходим к знакомым соотношениям (11.3)
ах<» = а-ЕхЕ-(0 = —а-е-(о = а-й, (оха=й-а, (10)
применимым и к тензорам любого ранга
QX(o = Q-ExE-w = — Q-e-ro = QQ, wXQ = 2-Q. (И)
В применении к тензорам Q-QT, QT-Q по (4.18) и (1.4) имеем
Q-Qt = (S4-Q)-(S — Q) = S2+O.S — S-й — Q2=S2 + (oxS+(wXS)t +
+ Е<»-(0 — йй, (12)
QT.Q = S2—(OXS — (йХЗ)ттЕй'й — <ow. (13)
444
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
Однократное свертывание тензора шестого ранга ее приводит к тензору четвертого ранга
е-е = (ЕхЕ)-(ЕхЕ) = ЕхЕхЕ = г5г* X гЛ/ X Г/гг * = = eStqeikmrsrqrmri;= (6fe6m — OD rsrqrmrk =
= г5г*гМ — r srmrmrs = Cj j—С, н.
Здесь введены обозначения тензоров четвертого ранга, названных далее изотропными
Сц=г^1>гМ, С1П = г5г*гМ = г^Ег\ (14)
Приходим к соотношению е-е = ЕхЕхЕ = Сц—Сщ. (15)
При двукратном свертывании
е- •e = rst/!-rsrli—rsrm-rmrs = Е — ЗЕ = — 2Е. (16)
Следствием этого соотношения является обращение формул (8) и (11.8)
е--Й — — е-•е-<в = 2Е-<о = 2о), и = уе-Й. (17)
В частности, по (11.1) сопутствующий диаде ab вектор (i>=ybxa (18)
и по (17) векторное произведение axb оказывается представимым в виде axb = e--(ba — ab), Ьа—ab = Ex(axb). (19)
Замечание. Применяется обозначение векторного произведения в форме «векторного инварианта»
y(ab —Ьа)х= у (axb —bxa) = axb.
§ 15. Изотропные тензоры
Компоненты тензора, называемого изотропным, остаются неизменными при любом ортогональном преобразовании векторного базиса. Конечно, произведение изотропного тензора на скаляр — изотропный тензор.
Единичный тензор — единственный изотропный тензор второго ранга, его, например, ковариантные компоненты в исходном и повернутом базисах равны
gSk = rsri! = r's-O-O'T-rk = r's-r'k = g'sk.
Отличных от ЛЕ изотропных тензоров второго ранга нет.
Тензоры высшего ранга, представляемые через тензор Е, изотропны. Таков, согласно (14.8). тензор третьего ранга Леви-Чивита е; Ле—единственный изотропный тензор третьего ранга *).
Тензорами четвертого ранга, образуемыми по Е, является тензор ЕЕ и по (14.15) тензор Сц—Сщ. Но и каждый по отдельности тензор Сц, Сщ изотропен. Действительно, по (8.5), (8.8)
г'* = Г S • okmrkrm = osmrm, 1-s = Г5 • ОтГтГп = osnrn,
*) Компоненты е меняют знак при несобственно ортогональном преобразовании. Такие тензоры (нечетного ранга) называют демитропными.
§151
ИЗОТРОПНЫЕ ТЕНЗОРЫ
445
так что
r'^Ers = osmos"rraEr„ = 6mr'"Er„ = rmErm =- Сщ.
Для трех изотропных тензоров четвертого ранга
С1 = ЕЕ = г^1>г*, Сц =rsrkr^rk, Сш = г^Ег^ = г^гМ (1) возможны эквивалентные записи. В каждой из диад r5rs, г*г* тензора С[ допустима замена верхнего индекса нижним, нижнего верхним, тензор остается равным ЕЕ. В Сц переставимы диады г^г^, rsrk. Их можно записать и в видах г5г/е, г*гЛ. В Сщ переставимы первый вектор с четвертым, второй с третьим. Например,
Сц = rsrkrsrk = = Ъ™гЧгкгтгк = г4г*г?г*
и т. д. Изомером тензора называют тензор, получающийся из данного при перестановках индексов базисных векторов. Например, QT — изомер Q, изомерами тензора са^сгагьгс является тензор саЬсгсгагь и т. д. Существует п! изомеров тензора n-го ранга, их число уменьшается при наличии симметрий структуры тензора. Так из общего числа 24 изомеров изотропного тензора четвертого ранга несводимы друг к другу только три тензора (1).
Общее выражение изотропного тензора четвертого ранга поэтому записывается в виде
4C = XEE-J- ц (Сп—Cni)H-v (Сщ + Сц). (2)
Двукратное свертывание С^-С/. (К, L = I, II, III) приводит, конечно, к одному из этих же изотропных тензоров, как показано ниже
Cj Сц Сщ
Ст ЗСт Ст с,
г с с с О)
Сщ С; Сц С1п
Двукратные свертывания с тензором второго ранга приводят к тензорам
С] • -Q = E/j (Q) = Q--C], CII--Q = Q--C11 = QT, Сщ--Q = Q--Сщ =Q. (4)
Поэтому двукратное свертывание с -£-(Сц4-Сщ) выделяет симметричную, а с ту (Сщ—Сц) — кососимметричную часть Q. Приходим к соотношению
Z,Ci —р, (Сп~|-Сщ)-)- — v (Сщ —С„)] • -Q —TiE/j (Q)-f- p.S-|-v£2. (5)
На правилах (7-16) основываются ранга)
(Cr-AJ-B^ (А) В, (СП--А)-В = АТ-В, (С1П--А)-В = А-В,
соотношения (А, В—тензоры второго
Сц-А-В^Е/ДА-В), (6)
С„--А-В = Вт-Ат, (7)
Сщ--А-В = А-В. (8)
Найдут применение формулы
C!-A = EA, Сщ-А = А-Сщ. (9)
Свертки тензоров (их всего 9)
CK-Ci; К, L = I, II, III (10)
•— изотропные тензоры шестого ранга. Но это не все такие тензоры, к ним надо добавить каждое слагаемое представления по базисным векторам
446
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
тензора ее. По (2.5)
6Г 6s <
ее = г^г*гтгп1> 6”1 б" 6f । = рг d
= г*гМ [гДг(гй—rftrt)+rt(rftr5—r5rA) + rft (r^rt—Г/rJ]. (11)
В формулах (10), (11) представлены 15 изотропных тензоров шестого ранга из 6! —120 возможных. Окажутся полезными формулы шестикратного свертывания этих тензоров с тензором шестого ранга ААА, причем А = АТ. Например,
ЕЕЕ.......ААА —/1(А), ЕС,...........ААА = /ДА) /ДА2),
Сц-Сп1......ААА==/ДА3). (12)
Но инвариантных скалярных структур третьей степени относительно компонент А, кроме перечисленных в (12), нет. Поэтому к этим же инвариантам приведет свертывание с ААА изотропного тензора (6) 6С общего вида
6С== X 2 а^Сд-Сд + г^г6 [г, (a10r(r*+anrftrt) +
К L
+ П (aj2r/fri-l-a13rirft) + rft (апг^4-а13г^)]. (13)
Получаем
6С.....ААА = 1 [vt/? (А) + 6v2/t (А) Д (А2) + 8у3Д (А3)], (14)
причем vj, v2, v3 линейно выражаются через а^. В применении к удельной потенциальной энергии нелинейно-упругой изотропной среды Тупин и Бернштейн [8.13] называют vj, v2, v3 постоянными Ляме третьего порядка. Правую часть (14) можно записать и в виде
1 (Л + 2т) /? (A)—2mZj (А) Z2 (A) + «Z3 (А);
/=yViH-v2, m = v2-(-2vs, n = 4vs. (15)
Через I, т, п. обозначены постоянные Мурнагана (F. D. Murnaghan, 1951).
В аналогичном, но более простом виде, представляется четырехкратная свертка тензора (2) с тензором АА (при А -Ат)
4С....АА = 1 [Wf (А) + 2[х/1 (А2)] , (1о)
X и р.—постоянные Ляме второго порядка.
Свертывания тензора четвертого ранга, определяемого двумя симметричными тензорами второго ранга
АВ, АВ2, А2В, А2В2; BA, В2А, ВА2, В2А2,
приводят к четырем инвариантам
7ДА-В), 7j(A-B2), /ДА2-В), /ДА*.В2).
Добавив к этому перечню шесть инвариантов Д (А^), /ДВ*) (А=1, 2, 3i, получаем десять совместных инвариантов двух симметричных тензоров. Совместные инварианты /2, Z3 выражаются через перечисленные с помощью формул (7.9), (7.10) и теоремы Гамильтона — Кэли*).
*) Спенсер Э. Теория инвариантов.— М.: Мир, 1974.
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ ТЕНЗОРНОГО АРГУМЕНТА
447
§ Н
Приложение II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Линейная функция тензорного аргумента
Рассматриваются линейные однородные функции компонент тензора первого (вектора а) и второго (тензора Q) ранга. Эти функции могут быть скалярными <р, векторами с, тензорами второго ранга Р. Они задаются одним соотношением в первом случае, тремя и девятью—во втором и третьем (три компоненты cs, девять pst в избранном базисе гд
ф(а) = т*аА, ф (Q) = mstqts, (la)
cs(&) = msiai, cs(Q_) = mstrqrt, (16)
Pst (a) = mstra'', pst W=mstmnqnm. (1b)
По определению после перехода к новому базису 1\ скаляр ср остается неизменным, a cs, pSf должны преобразовываться, как компоненты вектора и соответственно тензора второго ранга. Тогда m*, mSf, mstr, mSfmn должны быть компонентами в базисе г5 вектора т. тензора второго М, третьего "М и четвертого 4М рангов
Ф = та, ср—-M-.Q, (2а)
с = Ма, c = 3M--Q, (26)
Р = 3М-а, Р = 4М . Q. (2в)
Доказательство основывается на правилах (1.7.2), (1.7.3). Например, для второго соотношения
qts ^qnmxt .r„r«.rm, tf-=mstq^--^mri-rn^.'rmmsf.
Определив величины ттп формулами преобразования компонент тензора mmn = mstrm-rSrn.Tt, получаем, как и требуется
ф = ^»тж„ = М..Ц.
Аналогично проверяются остальные записи.
Примерами линейных функций над тензором служат ф (Q) = Е•-Q=(Q), P(Q)=Cr-Q = E/1(Q),
Р (Q) = C„-•Q = QT, P(Q) = Cln-.Q = Q — тензору 4M приданы значения изотропных тензоров С*.
Свертка изотропного тензора — е с вектором со определяет по (1.14.9) крсосимметричный тензор, а двукратная свертка с тензором второго ранга — вектор 2<о по (1.14.17).
Квадратичная форма компонент Q—скаляр, определяемый формулой (2а), z в которой вместо М взята линейная функция от Q, т. е. Р [см. (2в)]. Имеем ср (Р (Q))-ф (4М--Q) = (4M.-Q)..Q = m'^"'9wrt9w. (4)
Заданием этой формы тензор 4М определен при переставимости пар (Ik), (пт) mlknm =mninlk (5)
— подобно этому по заданию квадратичной формы qstasat определяется только симметричная часть тензора Q.
При Q=QT
pst- = rnxtmnqnm, mstmn = mstnm,
448
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
а при Р = РТ
pst--= pts =:mstmnqnm, mstmn — mtsrnn_
Если симметричны оба тензора
Q = QT, P(Q) = [P(Q)]T,
то тензор 4М симметричен по индексам в каждой паре
mstmn = mtsmn = mstnm (G)
и число его компонент снижается от 81 до 36, а при преобразовании (5) до 21.
В линейной теории упругости роль тензоров Р и Q отведена тензору напряжений Т и линейному тензору деформации е, 4М — тензор упругих модулей. 'обозначаемый 4С
Т = 4С-е (7)
и поскольку Т, е—симметричные тензоры, число упругих модулей равно 3(5 («упругость по Коши»). Квадратичной формой (4) определяется удвоенная потенциальная энергия в единице объема
2Г = Т--е = (4С.-е)--е. (8)
Существование ее, обусловленное выполнением соотношений (5),
52F d2W
доводит число модулей до 21 («упругость по Грину»).
§ 2. Скалярная функция тензорного аргумента.
Производная скаляра по тензору
Функция компонент qst тензора Q, заданных в г5-базисе
<р = ф(^11, q22, q21), (1)
представляет скаляр («скалярнозначна»), если ей приписывается одно и то же числовое значение в любой координатной системе
ср (914, q22, . .., qn) = y(q11, q22.?31). (2)
Например, скалярнозначна функция
<p = a-Q-b.
Непосредственно проверяется, если вернуться к исходному базису, что <р ср
q> = a-(}-b = a-rsrs-(l-rtrt-b = asbtq*t=ambnq'nn, (3)
как и требуется.
Принятое в анализе определение производной
f'W = lira _L[/(x + /i) — f(x)] (4)
о h
необобщаемо на функцию тензорного аргумента. Следует исходить из определения производной, как множителя при линейном относительно вариации 6* независимого переменного приращения (вариации) 6/ функции f
6f=f(x+6x)—f(x) = f'(x)8x. (5)
Вариация скаляра (1)
6<р (</41, q22, ..., q22) =^-bqst (6)
dqst
§31
ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СКАЛЯРА
449
представима в форме двукратной свертки тензоров
<Pq = 7^7 r-srf, 6Q r -r„,r„ 6;/"“, 8^' ^ф(!--6С1г==6ф
oqs‘ dqst
и естественно, сославшись на (5), назвать ф0 производной ф по тензору Q; по (1-1а) и (1.2а) величина — тензор второго ранга дф дф у ,
ф9=ао=^гг’ 6ф = Фо-’бОт.
Дифференцирование в (6) приводится по всем (девяти) компонентам тензора Q. Для симметричного тензора во избежание ошибки следует заменить
(7)
ф (дт«) = ф (q'nn+ qnm) J
н после дифференцирования по каждой из девяти компонент принять qmn — qnm Получим
п пт 1 дф
Q-Q-
(8)
откуда следует, что производная скаляра по симметричному тензору—симметричный тензор
Q = QT: (Ф0)Т = Ф0. (9)
Формальные правила дифференцирования суммы и произведения переносятся на операцию дифференцирования скаляра по тензору. Например,
6фф--фбфЧ-ф6ф--=(ффо + фф(5)..бОт, (фф)0 = фф0+фф0. (10)
§ 3. Формулы дифференцирования скаляра
Приводимые здесь формулы найдут многократные применения в основном тексте. Их вывод основан на инвариантном представлении (7) вариации бф.
1. Производные инвариантов тензора. Первый инвариант Ц (Q)—линейная функция Q. По его определению (1.7.4) имеем
б/i (Q) = /i (Q+6Q)-/1(Q) = E..(Q + 6Q)-E--Q=E-.6Q = E..6Qt, так что
/i(Q)q = E.
Далее, вспомнив правила свертывания (1.7.16), (1.7.17), получаем
6/1 (Q2)= Л ((Q + 6Q)-(Q+6Q))- (Q2) -= Ц (Q-6Q+6Q-Q) =
= Е• -Q 6Q+ Е• -6Q-Q = Q--6Q+ Q- 6Q = 2Qr- 6QT,
Л (Q2)q=2Qt н аналогично
б/i (Q3) = Л (QMQ-l-Q.fiQ.Q-HQ.Q2) = 3Q2 = -6Q 3Qi2..<5Qt,
(Q3)q =3Qt2.
Пришли к выражениям производных первого инварианта степеней тензора
/i(Q)q = E, /hQ2)q-2Q', МСНд-ЗОЛ (1)
А. и. Лурье
450 ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Из них по (1.7.9), (1.7.11) и используя теорему Гамильтона — Кэли, получаем /2(Q)q=E/1(Q)-Qt, /3(Q)q = Qt2-/i(Q)Qt + E/2(Q) = /3(Q)(Qt)-1. (2) Эти важнейшие формулы позволяют составить выражение производной скалярной функции инвариантов
Ф(Л(О), MQ). + Е—
2. Производная <p(Q-QT). Заменив в исходном определении (2.7) Q на QT, имеем, сославшись еще на (1.7.13),
6<P = (P(}..6Qt==(PqT..6Q = (pTt--6Qt> q>QTT = q>Q, (4)
откуда снова следует (2.9). Рассматривая теперь ср, как функцию симметричного тензора S = Q-Qr, имеем
= <pQ • 6QT = qps -6ST = cpQ qT- •(Q-6QT + 6Q-Q'r) =
-<Pq.qT-Q--6Qt+Qt-<Pq,qT--6Q = [<Pq.qT-Q+(cpq.qT)t.Q].-6Q^ и no (2.9)
<Pq^2<Pq.qt,Q- 'Pq.q^y'Pq-Q"1’ <5)
причем последнее соотношение имеет место, если Q — неособенный тензор.
После замены Q на QT имеем, учитывая (4),
<Pq = 2Q-('pqtq)T’
так что
<Pq=2Q"Pqt.q- (Pqt.q=4Q’1-(₽Q- (6)
3. Формула связи <рц с Имеем
Q Q'^E, 6Q-Q-1-| Q-dQ-1 = 0, 6Q-1 = - Q-MQ Q-1
и поэтому
6<p = <pQ- •6QT = cpQ_1. -6Q~1T = — <pQ-r •Q“1T-6QT-Q“1T =
= -Q-1T-<Pq_1-Q-1t--6Qt, так что
Qr • <Pq = — <pQ-i Q~1T. (7)
4. Производные билинейных форм a-Q-b, a-Q2-b. Имеем
6(a-Q-b) = a-6Qb = 6Q--ba = ab--6QT, (a-Qb)q = ab, (8)
d(a-Q2-b) = a.(Q-6QJ 6Q Q)-b = (Q SQ + 6Q Q)- ba =
= 6Q (ba-Q | Q-ba) = (QT.ab + ab-QT)- 6QT,
(a-Q2-b)Q =a-Qb j aQ-b, (a-Q2 b)QT ^ ba-Q , Q ba. (9)
§ 4] производная Тензора по тензорному аргументу 451
5. Производные / л (Q) но Q3. Имеем
6/1 (Q) = Е • • 6QT = Л (Q)Q2 • • (QT- 6Qr -I- 6QT • QT) -
= [/i(Q)q2-Qt + Qt-/i(Q)q2]--6Qt.
Тензорному (матричному) уравнению
Л (Q)q2-Qt + QMi (Q)q2 = E удовлетворяет решение
/i(Q)Q2 = yQT-1- (10)
Аналогично приходим к тензорному уравнению /1(Q3)q2-QT+QT-A (Q3)q2 = 3QT2, имеющему решение
MQ3)q2=4qT- (И)
Конечно, /j(Q2)q2 = E. Обратившись к (1.7.9), (1.7.11), приходим к формулам
/2(Q)Q2 = |[/i(Q) Qt-1 —е],
1 1 (12)
. /3(Q)Q2 = y[QT-/i(Q)E-|-/2(Q)QT-1]=y /3(Q)QT~2-
В (10) и (12) предположено, что Q—неособенный тензор.
§4. Производная тензора по тензорному аргументу
В векторном базисе задается девять функций ртп компонент Ртп Р тп (^11 > •••> тензора Q (1)
В новом базисе г5 им приписываются значения
Pst =rS-tmrrrnPmn -ГкГг] • Г1) (2)
и этим определяется тензор второго ранга Р (Q)
р (Q) = Psi^r* = . г“г'г/ г«р,л„ = г®г«р,яп. (3)
По (2.7) производная PQ представляется выражением
PQ = r">r« (pm„)Q = г“г«г-М . dqst По (3) и (2.7) (4)
6Р = г'яг',6р,л,( = г'лгя (р,„„)0 • 6QT -=rmr«Mrf ^22. -6QT 4 dqst и по (4) 6P = Pq.-6Qt. (5)
(6)
Здесь тензор второго ранга 6Р линейно связан с 6QT соотношением вида (1.2в); величина (4), названная производной тензора Р по тензору Q, представляет тензор четвертого ранга. Формула (6) дает инвариантное определение «произ
15*
452
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
водной тензора по тензору», формула (4) — правило ее вычисления. Последнее можно записать и в других видах
Ро = г"^4 (7,
dqst dqst dqs
и т. д. Для симметричного тензора Q QT по (2.8)
PQ =4 T'nrn (rSrt + r'rS) 4 2 dqst
1. Производная произведения скаляра на тензор <p(Q)P(Q). Имеем
б (фР)-=Р6<р+фёР = (Р<р0 + фР0)--6QT, (<pP)Q = P(pQ + <pPQ. (9)
Записывая в другой последовательности, имели бы
бфР = (бф) Р-|-фбР = (фч- -6Qr) Р фР()- •6От Рфо- -6Qr -- фРд. -6QT,
так как скаляр ф0--бЦт можно записать и справа; получили то же выражение (9). Конечно, записи Рфр и фдР представляют различные тензоры; в правильном выражении (9) тензор Р в первом слагаемом расположен слева.
2. Производная произведения тензоров
6P-S = (6P)-S + P-6S (Pq--6Qt)-S P-Sq--6Qt.
Но по правилу (6) в первом слагаемом 6QT должно быть перенесено вправо. Применив (1.15.4), имеем
6QT - Сщ • • 6QT -= rsrt (Hr*• 6QT), (PQ• • 6QT) • S = (PQ • • W)• SHr*• • 6QT,
так как скаляр в скобках переносим вправо. Получаем
(P.S)Q = P.SQ4-(PQ..r5r/).Sr^ = [P.(SQ-TJr/) + (PQ..r5r/).S]r^, (10)
так как So- rJJr(r(r* = SC!--Сц] = SQ.
3. Замена независимого переменного. Тензор Р предполагается зависящим от Q через посредство S(Q). Тогда
6Р =PQ--6QT = PS • •6Sr, 6S = Sq--6Qt, 6ST-=Cir-6S^Cii--SQ.-6QT,
Pq = Ps’ ‘Сц • "Sq — PS‘ • W (r*H• -SQ).
Аналогично и для скаляра
Tq ” Фь ’ ’Cir •S(j=Ts -SQ, (12)
так как <р5,,Сцт=ф5 по (1.15.4).
4. Производные Q, Q2, Q-QT, QT-Q, Q-1. Имеем
6Q-Cn-.6Qr, 6Qr-Cni..6QT; QQ=Cn, Q^=Cm, QQT=Cln. (13)
Далее no (10)
(Q2)q ==Q-CI1 + rjri-Qr^ = (Q-rfr5 + r/ri-Q) ' (14)
(Q-Qt)q (Q-rs.rr!-rlrs-QT)riH, (15)
(QT Q)Q -- (QT r(rs + rsr(• Q) г(IД
Имеем далее
EQ ^0=(Q-Q-1)Q-(CI1-Tsr/)-Q“WA Q-(Q-i)Q = r/rs.Q-ir^+Q.(Q-')l3-
ИЗОТРОПНАЯ СКАЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ ТЕНЗОРА
453
так что (Q-,)Q---Q-’Tyr<Q-|r'r\ (17)
Для симметричного Q формулы (13), (14), (17) приводятся к виду
Qq =^-(Сп+Сш)> (18)
(Q2)q =4fQ-(r<rS+r^) + (r)r^r^).QT], (19)
(Q~1)q =—Q-1 •r|rs-Q~1 (r^ + ^r'). (20)
5. Производная первого инварианта произведения тензоров. Имеем fi/j (P-S) = 6 (P--S) = P--6S + S.-dP==(P.-SQ + S--PQ)..6QT,
Л (P’S)q = Р • • Sq S- -Pg. (21)
6. Вторая вариация скалярной функции тензора. Сохранив в ряду Тейлора скалярной функции (2.1) тензора Q квадратичные по bqsf слагаемые, имеем АгФ = (Р (<?П+ 61?и> •••• 9й’ + 6?31)-ф (q11, >?')
= ^Lbqst ф_1------^2---6q«« 6q<
dqsi 2 dq,nn dqsi
По (2.7) и его определению производной тензора по тензору (4)
ф0 = г*Н—, ф00 гтг'г,лг«—^-2—- (22)
dqst dqmn dqsl
Непосредственно проверяется запись
Приходим к выражениям
Аур <5ср-г<52ф, <3cp = cpQ--dQT, б2ср=у 6QT--cpQQ -c'QT. (23)
§ 5. Изотропная скалярная функция тензора
В I. § 8 через qmn, q'mn обозначались компоненты подвергнутого ортогональному преобразованию тензора Q
Q' = OT-Q.O (1)
соответственно в векторных базисах «старом» и «новом» rs. Конечно, qmn = ~ q'mn и поэтому скалярная функция компонент Q не изменяет вида при такой замене переменных
ср (q11 , q22, ..., q31) = cp (q'11, q'22, ..., q'31).
При замене же переменных qmn на qmn
cp(qu, q22, ..., q31)==<p(q]1, q22, ..., q31)
1см. (2.1)] сохраняется числовое значение скалярной (скалярнозначной) функции (при любом, не только ортогональном преобразовании), но не форма функциональной зависимости <р от qmn. Но она может оставаться и неизменной; Например, если ср зависит только от инвариантов.
j| l| 454 ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
I 1
I f Ограничиваясь ортогональными преобразованиями, назовем скалярнуюфунк-
J !( цию компонент тензора изотропной, если она сохраняет форму зависимости от
[' । них при любом ортогональном преобразовании *)
1 , VOco: Ф (i?11, .... <?31) = ф(<?и, •••, <?81).
Такое свойство функции ф может выполняться не для всех ортогональных ( * преобразований, а некоторой их подгруппы ох С о. Скаляр называется изотрон-
। ( ным в этой подгруппе — это свойство, как увидим, связано с зависимостью его
от определенных сочетаний функциональных аргументов. Если ф — удельная , ! потенциальная энергия, то принадлежность к той или иной подгруппе опреде-
) ляется свойствами симметрий среды.
। I В определении не исключены несобственно ортогональные преобразования,
так как повернутый тензор (1) не изменяется при замене О на —О, a det (—О) -
; I, = —detO=l.
i1 j 1. Триклинная подгруппа ортогональных преобразований включает лишь
1'1 единичный тензор О Е. Любой скаляр изотропен в этой подгруппе.
1 || 2. Моноклинная подгруппа содержит преобразования поворотов на угол д
1 вокруг фиксированного направления с3. По (1.8.16)
jil О£=2c1Cl-Е = (0£)т. (.1)
। Представление тензора Q в ортонормированием триэдре clf с2> с3 задастся
i выражением
। Q = 711с1с1ф 91а (CjCcH cacj) <?“Рсаср (а, 0 = 2, 3). (4)
Повернутый тензор равен
| • Q = (°?1)T-Q-0?i=(2c1c1 — E)-[<7llcic1+?1«(c1ca-|-cac1)+9«l?cacp]-(2c1c1 — Е) --
if =<711CiCi+?a|3caC|3 —<71а (CiCa+caC|)
If и изотропный в моноклинной подгруппе тензор сохраняет форму зависимое!и
I. от компонент тензора Q в ортонормированной системе с3, с2, с3 при преобра-
зовании переменных
| (?п, ?22, <733, ?12> ?23, <731)~?22. <?33, — <?12, <?23, —<?31)> <5)
как можно было предвидеть. Мы ограничимся рассмотрением полиномиальных представлений ф через компоненты Q. Существует лишь только три комбина-|! нации х2, у2, ху, оставляющие полином F (х, у) неизменным при замене зна-
| ков x = g12, y = q33. Итак, представление изотропного в рассматриваемой под-
I группе скаляра имеет вид
I' Ф Ф1 ('/"> ?22, <?33, ?122, <?23, ?31Т <?12?31)- (6)
| 3. Группа ортотропии. Изотропный в этой подгруппе скаляр сохраняет
jjf вид при преобразовании (5). но и при преобразовании
; (q11, q22, q33, q'2, q23, q31)—> (q31, q22, q33, —q12, —q23, q31). (7)
Это соответствует тому, что в подгруппу преобразований включен также поворот
О3 2с2с2— Е.
Поэтому сохраняющий форму скаляр оказывается зависящим от аргументов q11, q22, q33, у122, q23\ q31-2, q12q23q31. (8)
*) Запись VOc о обозначает «для всех элементов О группы ортогональных преобразований о».
§51 ИЗОТРОПНАЯ СКАЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ ТЕНЗОРА 455
Произведение q12q23q33 входит в состав /3 (Q)
/3(Q) = ?ll932(?;13_(?n7232_922(?312__(?:>39122+2912(?23931> (9)
причем остальные входящие в него слагаемые выражаются через аргументы в перечне (8). Итак, изотропный в подгруппе ортотропии скаляр представим в виде
<р = ф (<?и, q33, q322, q232, q3'2, I3 (Q)). (10)
Из этого представления следует, что он сохраняет вид и при повороте
О" = О£ • О£ = -2 (с1С1+с2с2) + Е = 2с3с3 —Е. (11)
4. Преобразование О"^2. Тензор Q, заданный выражением (4), преобразуется к виду
Q' = (0^ ")J -Q -О"/" - (сгС] - • с3с2 — с,с3) • Q • (cjCj с2с3 с3с2) =
= ^CiCi + <733с2с2-4- <722с3с3 + <у12 (с3с, + QCg) —
— ?23 (с2сз~г сзс2) — q33 (CiCs+c^!) (12)
и этим осуществляется преобразование
(q11, q22, q33, q32, q23, q31) (<?H, q33, q22, — q33, — q23, q32). (13)
Диагональные и недиагональные элементы преобразуются по правилам
(?U. q22, q33)^(q33, q33, q22), (q32, q23, q33)^(-q33, -q23, q32). (14)
Эти требования удовлетворяются, если <р зависит от диагональных компонент в комбинациях (q11, q22Jrq33, q22q33), а от недиагональпых — в комбинациях (q1224-q312, q232, q12q23q31). Каждое по отдельности из соответствий (13) выполняется, если принять
<p = <p(q11, q22--|-q33, q22q33, q232, q122-[-?2з2+ q312, q12q23q31) (15)
или в другой записи
<р = ф(/1 (Q), /2(0), q11, q23\ q^^q^-yq332, q32q23q33), (16)
так как аргументы q224-q33, q22q33 в (15) восстанавливаются соотношениями (/22+t?33 = /i(Q)_(?ll; (?22<,33=/2(Q)_(?11/j(Q)+1?122 + (/232 + q3P (17)
Формула (16) обеспечивает инвариантность <р при преобразованиях по каждой из групп переменных (14). Этим не исчерпаны все мыслимые аргументы, обеспечивающие инвариантность ср при преобразовании (13); в число аргументов следует еще включить /3 (Q); это позволит согласно (9) заменить q33q23q33 суммой q11q2324- q22q3124- q33q322. Приходим к представлению
<Р = Ф(Л(О)> /2 (Q). /з (Q), q11. ?232- ?122 + ?2з2-!-<?312,
q33q232-\-q22q33S + q33q322) (18)
как функции семи аргументов. Этим исчерпаны все представления <р полиномом не выше третьей степени. В перечень аргументов, оставляющих инвариантным полином любой степени, следует включить q332q122.
5. Группа кубической симметрии. Представление (18) следует дополнить Получающимися круговой перестановкой индексов еще двумя представлениями, соответствующими инвариантности при преобразованиях
°?г/2 = с2сг + сзс1 —С1сз. О^/2=с3с3 + с1сг—c2Cj. (19)
456
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Полином третьей степени, инвариантный в группе кубической симметрии, поэтому должен сохранять вид при заменах
(qn, ?23) (q22, q3i) (q™, q12)
и это требует включения в перечень (18) трех аргументов
q^q22q33, q^q23*+q22q'^+q33q122, q232 ф- q312 ф- <?122,
так как степени выше третьей не включаются. Но два из этих трех аргументов уже включены в (18). Инвариантный полином не выше третьей степени в рассматриваемой группе симметрии оказывается зависящим от шести аргументов ф = ф(/1(О), Z2(Q), /3(Q), ?u?22?33, qi22+q232+q312,
qiiq332+q32q312 + q33q322). (20)
Замечание. Приводимые Г рином и Адкинсом [ 1 ] представления изотропного в трех классах кубической симметрии полинома содержат также шесть аргументов и сводимы (если ограничиться третьей степенью полинома) к (20).
В изотропной группе кубической симметрии полином четвертой степени включает также аргумент
^31’^122^^122^232^^232^312. (21)
6. Трансверсальная изотропия. Скаляр, изотропный в этой группе симметрии, ’остается неизменным при преобразовании поворота на любой угол со вокруг фиксированного направления с3. Тензор Q задается в ортонормированием триэдре Cj, са, с3
Q = c3c3?33 + ?“3 (сас3 + с3са) + ?а|3саср (а, р = 1, 2). (22)
Представление повернутого тензора имеет вид
Q' = [Е cos соф- (1 —cos со) с3с3ф-с3хЕ sin co]-Q-[E cos соф-(1 — cos со) с3с3 —с3 •.
X Е sin со] = с3с3<733 -]- (сас3 ф- с3са) q^3 ф- ?“РсаС|з, (23)
причем qst—компоненты Q' в том же триэдре. Они оказываются равными
911 =q1J- cos2 соф-?32 sin2 со — 2q12 cos со sin со,
q2- — q11 sin2 соф- q22 cos2 соф- 2g12 cos co sin co, (24)
ql2 = (q22— qlv) cos co sin соф- q12 cos2 co,
g31 = q3i cos ^23 sjn q23 _—q3i sin co ф- q23 cos co, q33 = q33. (25)
Формулы (24) определяют преобразование компонент тензора двух измерений ?“Рсаср при повороте осей С|, с2 на угол со. Инварианты этого тензора равны
911ф_922=^11ф_^22; qiiq22_qi2t = qiiq22_qi& (26)
— это результат исключения со из трех уравнений (24). Исключение со из дв\ х уравнений (25) определяет инвариант
?312_|_(?232 = “312_|_ -гэг.
В число аргументов включается также /3 (Q) — результат исключения со гз пяти уравнений (24), (25). Скалярный инвариант в группе трансверсальной изотропии оказывается функцией (не обязательно полиномом) пяти аргументов
(р = ф(9Пф-(?221 qiiq22_qi2>t q33t q3i2+q232t /3 (Q)). (27)
§61
СКАЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ ВЕКТОРОВ
457
Его можно представить и функцией аргументов
ф = ф(/1(О), /»(Q), /3 (Q), q33, + =
= T(/i(Q), I2 (Q), 73(Q), c3-Q-c3, c3-Q2-c3). (28)
7. Изотропный скаляр сохраняет форму функциональной зависимости от компонент тензора Q при всех преобразованиях 0“ (поворот на любой угол вокруг произвольно направленной оси). Аргументы в (28), зависящие от с3, отпадают
<P = T(/i(Q), /S(Q). /3(Q)). (29)
Конечно, в это представление не входит базис, в котором был определен тензор Q. Определение изотропного скаляра заключено и в записи
V0“: ср (Q) =ф (0T-Q-0). (30)
Доказывается обратное предложение: скалярная функция над симметричным тензором представляет скалярный инвариант тогда и только тогда, когда она представима функцией инвариантов этого тензора. Дополнением является утверждение: инвариантный скаляр, являющийся полиномом от компонент симметричного тензора, представйм полиномом от его инвариантов 7ft(Q).
8. Число слагаемых полиномиальных инвариантов второй (ф2) и третьей (ф8) степени.
а. Т риклинная группа. Форма ф2 содержит 21, <р3—56 слагаемых. В остальных группах число слагаемых снижается.
б. Моноклинная группа. Квадратичная форма п переменных содержит yn(n-f-l) слагаемых; всего в ф2 от переменных с/11, <?22, q33, q33 возникнет 10; q11 войдет в ф3 как с?113, трехкратно как произведение <?112на q33, q33, q33, шесть раз как произведение q11 на квадратичную форму этих величин и еще три раза в произведение </11 на ?122, g312, q13q31 — всего 13 слагаемых. В дальнейший счет q11 не входит. Теперь такой подсчет для q23 дает 6, для q33—три слагаемых. Всего ф2 содержит 13, <р3—32 слагаемых.
в. Группа opmomponuu. Формы <р2 и ф3 содержат 9 и 20 слагаемых.
г. Группа кубической симметрии. Формы ф2 и ф3 содержатб и 9 слагаемых.
д. Группа трансверсальной изотропии. В ф2 входит 5, в ф3—8 слагаемых.
е. Группа изотропии. В ф2 войдут слагаемые if (Q), /2 (Q), в ф3—слагаемые 7i(Q), 7i(Q) /2 (Q), 73(Q)—см. также (1.15.16), (1.15.14).
§ 6. Скалярная функция векторов
Скалярами, определяемыми по двум векторам а, Ь, являются их скалярные произведения а-а, a-b, b-b или выражающиеся через них величины, например, | aXb |2 = a-ab-b— (а-b)2. Тремя векторами определяется в числе прочих скаляр а-(ЬХс), представимый через попарно взятые скалярные произведения
этих векторов
а-(Ьхс) =
а-а а-b а-с b-a b-b b-c с-а с-b с-с
При ортогональном преобразовании a-b = a'-b'. Поэтому скаляр
ф(а-Ь, b-с, с-а, а-а, b-b, с-с) = ф(а'-Ь', b'-с', с'-а', а'-а', Ь'-Ь', с'-с') сохраняет форму зависимости от компонент входящих в него векторов в базисах, связанных ортогональным преобразованием. Это — изотропный скаляр.
458
ПРИЛОЖЕНИЕ II, ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Доказывается и обратное предложение: скалярная функция векторов изотропна тогда и только тогда, когда ее представление через компоненты векторов пред, ставимо в виде
tp(asbr, bscs, csas, asas, bsbs, cscs) —
= q(gskasbk, gskbsck, gsl!csak, gSkasak, gskbsbk, gskcsck)
и т. д. Базисные векторы могут входить в представление изотропного скаляра только через компоненты единичного тензора. Сказанное, конечно, относится к любому числу векторов.
§ 7. Тензорные функции тензорного аргумента
Понятие изотропной функции обобщается на тензорные функции от тензорного аргумента. Функция F (Q, S, ...) называется изотропной, если для всех тензоров О ортогональной группы выполняется соотношение
F' = O’-F(Q, S, ...)-O=F(OT.Q-O, OrS-O, ...)= F(Q', S', ...). (1)
Далее рассматривается изотропная функция одного тензора. Примерами служат
F (Q) Q2, OT.Q2.O = OT.Q O OT-Q-O = (OT-Q.O)2 = Q'2
и вообще любая целая степень Qm.
Заменив в выражении целой функции
F (А.) = с0 J- С1К c2F2 + с:!/.3 + ... (2)
переменную Л тензором Q, получим представление тензорной функции F (Q) степенным рядом
F (Q) — с0Е ф- CjQ 'c,Q2c.jQ; ф- ... = (соф- c2fo-|- • • •) eie1 ф-
“г ci^2~r с2Аа-ф ...) е2е2ф- ('Д-'-сАзф-с2Азф- ...) е3е3. (3)
Здесь Xs, es, es—главные значения и главные направления Q. Тензор F имеет такие же главные направления (соосен с Q) и главные значения F (А.Д
F (Q) = F fo) ехе1^/7 (Х2) е2е2ф-К (А3) е3е3. (4)
Он изотропен, так как OT-e^e,’-O = ese''’, а главные значения инвариантны относительно ортогонального преобразования. Следствием (1.9.14) является соотношение
F(QT)=F(Q)T. (5)
Целой функции ехр А ставится в соответствие тензор ехр<Жф если SK — кососимметричный тензор, то по (5)
(ехр 5Г)т = ехр (—<Ж"), ехр б'ГЦехр 5С)т = ехр (5С — Ж) =Е, (б)
так что ехрхГ — 0 — ортогональный тензор. По (4) и (1.11.9)
ехр -Ж" е ~‘“eje1 ф- е1ше2е2-'- е3е3 = cos <0 foe1 -ф е2е2) —
— i sin со foe1—е2е2)--' е3е3 = foq -|- с2с2) cos со-ф- foc2 — c2cj) sin соф- е:)е
что и требуется по (1.11.10). Кососимметричный тензор , порождающий эго' ортогональный тензор, определяет в соответствии е (1.11.8) угол поворота со и направление его оси e3 = CjXc2.
В выражении (3) целой функции F (Q) над Q степени Q выше второй могут быть заменены согласно теореме Гамильтона — Кэли (1.9.21) линейными
§71
ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ ТЕНЗОРНОГО АРГУМЕНТА
459
относительно Q° = E, Q, Q2 выражениями с коэффициентами /А, (Q). Тензор f (Q) окажется представленным квадратичным трехчленом
F (Q) = <РоЕ + Ф1ОЧ- TaQ2 (7)
с коэффициентами, зависящими от инвариантов 7*(Q)
Фг=<Рг(М0), Z2(Q). 73(Q)) (Г = 0, 1, 2). (8)
Коэффициенты трехчлена в (7) определяются следующим образом. Заменив в представлении (2) целой функции степени X выше второй с помощью характеристического уравнения
(X) = - X2 + Л (Q) №- /2 (Q) X + /3 (Q) = (Xt-1) (Х2 - X) (Х3-X) = 0 (9) приведем (2) к виду
Z (Х) = Ф0+фА~Ч4Л2> (Ю)
а задав X значения Xi, Х2, Х3, придем к трем уравнениям с неизвестными Фо- Ф1- Фз
F (Х.?) = ф0Ч-ф1Х5ф <p2Xs2 (s=l, 2, 3). (11)
Их решения при обозначениях (1.9.8) представимы в виде
ф =_/ (Q) V , ф1==У (/^Q)-XJ,
st^'(Xs) т
Но корни Х5 — функции коэффициентов уравнения (9), так что q?r преобразуется к виду (8). В дополнение следует отметить, что если К (X) —полином от X, то суммы вида
3 yk
S = 1
полиномиально представимы *) через коэффициенты уравнения (9)
<То = 0, О1 = 0, 02 = —1, Оз =—Zi(Q). о4 =—/1 (Q) +12 (Q), • ••
Итак, если известно, что F (Q) полиномиально зависит от Q, иначе говоря, компоненты F — изотропные полиномы от компонент Q, то <рг — полиномы от инвариантов 7* (Q).
Для справедливости (7) существенно только наличие целой порождающей Функции (2). Функциями (3), которые порождаются таким образом, не исчерпывается, конечно, весь класс тензорных функций. Так, например, линейная тензорная" функция F,'(Q) = 4М--Q, где 4М— изотропный тензор 4-го ранга, не
*) Эти формулы можно получить из представления [У’(Х)]-1 разложением на простейшие дроби
з
[^(Ь)]-^ V -о>.х * . .
" ,^'(Х5)(Х-Х5)
И сравнением коэффициентов разложений левой и правой частей этого равенства по степеням X-1.
460
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
представима в виде (2), если Q — несимметричный тензор. Однако, если ограничиться классом изотропных функций от симметричных тензоров, то пред, ставление (7) останется справедливым. Имеет место теорема: всякая изотропная функция D = F (Q) от симметричного тензора (Q==QT) допускает пред, ставление вида (7).
Доказательство*). Очевидным является утверждение, что любой инвариант D одновременно является инвариантом Q. Действительно, скалярная функция тензора называется инвариантом этого тензора, если справедливо соотношение
J (D) = J (OT-D-O), VO: ОТО = Е. (13)
Обозначим инвариант F (Q) через J [F (Q)]; можно написать
J[F(Q)] = Ji(Q).
Докажем, что если J инвариант F, то Ji инвариант Q. Согласно (13) и (1) имеем
J [F (Q)] Jr (Q) = J [От- F (Q)-01 = J [F (OT-Q-O)] = Л (OT-Q.O),
откуда вытекает, что Jj — инвариант Q.
Убедимся теперь, что область значений изотропных функций симметричных тензоров есть множество симметричных тензоров. Для этого введем в рассмотрение группу симметрии тензора Q, которую обозначим через OQ Последняя определяется как множество ортогональных решений уравнения
OTQO = Q, Q = QT. (14)
Для симметричных тензоров группа OQ всегда содержит подгруппу Oq з
Oq= 2 е*е*е*’ 4=1’ (!5>
где е£—собственные векторы Q, e^-e5 = 6*s. Если собственные числа Q все различны, то Oq совпадает с Oq. Обозначим через OD группу симметрии D=F(Q). Докажем, что OD содержит OQ. Действительно, пусть O£Oq, Тогда, согласно (1) и (14), имеем
OT-D-O = F(OT Q.O) = F(Q) = D, О £ Oq.
Отсюда вытекает, что О £ OQ принадлежит OD, следовательно, Oq есть подгруппа OD.
Представим D в базисе главных осей Q
з D= V
k, s = 1
и потребуем, чтобы тензоры Oq принадлежали группе симметрии D. Тогда получим $
2 O^eftg5eftes= 2 Dks^s-
k, s = I s, k = 1
Отсюда вытекают равенства
Dkse,/1e,s = D,tS (не суммировать по k и s).
*) Принадлежит П. А. Жилину.
§71
ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ ТЕНЗОРНОГО АРГУМЕНТА
461
Выбирая числа так, чтобы e;;es =—1 (k s), получаем Dl's = 0 (k # s). Указанный выбор чисел в/; всегда существует: действительно, выбирая из множества тензоров (15) такой, у которого е,„ (т—фиксированное число из интервала 1, 2, 3) равно 1, а остальные е* =— 1, получаем Dms = 0 (s # т). Меняя теперь т, т. е. переходя к другим тензорам из (15), получаем требуемое свойство. Таким образом, для D получили следующее представление:
з
4 = 04 D = DT. (16)
*=i
Из этого равенства видно, что главные оси Q одновременно являются главными осями D, а коэффициенты dk являются собственными числами D и, следовательно, его инвариантами. По доказанному выше они представляют собой и инварианты тензора Q. Отметим теперь следующее важное свойство собственных чисел dfc. Если два каких-либо собственных числа тензора Q совпадают, то совпадают и соответствующие собственные числа тензора D. Действительно, пусть собственные числа Q, скажем, qx и q2, совпадают. Тогда к группе симметрии принадлежит, например, ортогональный тензор
О = е1е2+е2ег-|-е3ез, OgOQ.
Значит, этот тензор принадлежит и к группе симметрии D, что возможно тогда и только тогда, когда 4 — 4- Немного расширяя это рассуждение, убеждаемся, что число различных собственных значений D не превосходит числа различных собственных значений Q. Теперь теорема становится очевидной. Для ее доказательства достаточно выразить диады е;,е;, через сам тензор Q. Чтобы добиться этого, выпишем систему уравнений
Е = efteft, k= I
з
Q= 5} q^k-k = \
3
Q2= 'X qk^k-k=\
(17)
Решение этой системы относительно диад eftej; единственно, если числа q^ все различны. Каждая из диад будет иметь вид
efteft = <p^E + (p^ Q 4 <p^Q3, (18)
где скалярные функции ср’У являются инвариантами Q. Подставляя (18) в (16) и учитывая, что 4 также инварианты Q, получаем доказательство теоремы в случае различных собственных значений тензора Q.; Если среди собственных значений Q есть равные, например, </1 = д2, то следует учесть, что в систему (17) входят только два неизвестных тензора, а именно, тензор 616x4-6262 и диада е3е3. Отбрасывая любое уравнение из системы (17), за исключением первого, получаем систему из двух уравнений относительно такого же числа неизвестных тензоров. По доказанному выше свойству тензора D (4=4) в (16) входят именно эти неизвестные тензоры. Определяя их, вновь приходим к представлению (7). Разумеется, теперь представление это перестает быть единственным.
Изотропный тензор (7) с коэффициентами [см. (3.3)]
(19>
где <р (/1, /2, Лз)—изотропный скаляр, является производной ср по Q Фо^ФоЕ-ЬфхО + фаО2. (20)
462
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Ф— потенциал тензора F (Q). Существование потенциала требует выполнения условий интегрируемости, получаемых исключением <р из (19)
(^+ZW2) (tpi+ /1<р2) + ^7“г (ср0~/2ф2) °’
(Ф1 + f’271)-аГ3 /2<р2) ==0- (21)
Часто предпочтительна запись F (Q) в форме
F (Q) = ф0Е-|- ipjQ-f- ф_ 1Q- Ч Фг=ф'г(71’ 7г’ 7з)’ Г == 1> 0, 1.
Здесь
, i dq . дф . дф
"Фо — Фо-^зф2 ' 1 ~дТ2 ’ '' ~~ ф1 1<р2 — ~ ~дЛ ’
, , i дф
Ф-1 — /зфз — 13 -Qj- •
§ 8. Обращение формулы связи между тензорами
В нелинейной теории упругости роль тензоров F и Q отводится надлежащим образом определенным тензорам напряжения и деформации. Возникает (для изотропной среды) обратная задача: из соотношения
F = ФоЕЧ- Ф1О+ qp2Q2. (1)
в котором ф0, ф1( ф2—функции инвариантов /ft(Q), выразить Q через F
Q = XoE + XiF+x2F2. (2)
Намечается такой ход вычисления: подставим в (2) значения F и F2, причем тензоры Q3, Q4 в представлении F2 заменяются через Е, Q, Q2 с помощью теоремы Гамильтона — Кэли; вслед за этим коэффициенты при Е, Q, Q2 в правой части так преобразованного уравнения (2) приравниваются 0, 1, 2. Это приводит к системе трех линейных относительно коэффициентов х0, Xi, /г уравнений, выражающих их через ф0, фх, ф2 и инварианты (Q)-Инварианты /fe (F) выражаются через //,. (Q) по уравнению (1) и получаемым из него представлениям F2, F3. Найденные так /ft(F) окажутся полиномами от /^(Q), если предположить, что фй также полиномиально зависят от ls (Q). Обратное представление инвариантов Is (Q) через /ft(F) поэтому нельзя получить в общей алгебраической форме.
Этот ход вычисления можно несколько упростить, заменив тензоры Q и F их разбиениями на шаровую часть и девиатор
Q=4 /i(Q) Еф-devQ, F = l/1,(F)E + devF. (3)
О о
Здесь по (1) /1(Е)=зФо4-ф1/1(а)+ф2/1(а2)- (4)
так что
dev F = фгО+ ф2Ог-у Е [ф^ (Q)+ ф2/х (Q3)] = фх dev Q +
+ф2 ^-Ie/hq2)].
Здесь Q2 также следует заменить через devQ
Q2 = -~ fi2(Q)E + -^/x(Q)devQ+devQ2.
У О
§81 ОБРАЩЕНИЕ ФОРМУЛЫ СВЯЗИ МЕЖДУ ТЕНЗОРАМИ 463
Сославшись еще на (1.13.3), получаем
dev F = a dev Q p j (dev Qj--! y /.2 (dev Q) e| , (5)
2
a= cpi-Ly/t (Q) cp2, p - <p2. (6)
Но в аналогичном виде записывается представление dev Q через dev F
dev Q = ax dev F -f- Pi I (dev F)2 + у /2 (dev F) E1 . (7)
Следуя намеченному ходу вычисления, теперь имеем
dev Q = «i< a dev Q4- Р I (dev Q)2 -J-y /2 (dev Q) E | >-{-
+₽1
a2 (dev Q)M
2сф I (dev Q)3 /2 (dev Q) dev Q | -ф-
+ p2 I (dev Q)4 + -i Z2 (dev Q) (dev Q)2+4 е/з (dev Q) + 4 E/2 (dev E>] У > (8) I о У о | I
причем /2 (dev E) определяется условием равенства нулю первого инварианта выражения справа
/2 (dev F) = a2/2 (dev Q)—Зар/3 (dev Q)—p2/2 (dev Q). (9)
О
Заменив еще (devQ)3, (dev Q)4 в (8) по теореме Гамильтона — Кэли, придем к двум уравнениям
ata+ Р1Р
2
-~-а/2 (dev Q) -|- р/3 (dev Q)
= 1,
aiPH-pt [a2 + lp2/2(devQ)]=0.
Из них находим а1? рь а после подстановки в (7) получаем
dev Q = 77 { [а2 ' Т Р2/з (dev Q)]dev F~₽ [(dev E)2+y E/2 (dev F)] У ’
H = a3-|- /2 (dev Q) ap2—p3/3 (dev Q). (11)
Задача обращения не решена, так как в (10) входят 1 k (Q). К двум уравне-I ниям (4) и (9) связи между инвариантами следует добавить третье для /3 (dev F). I '. Для этого предварительно потребуется выразить (dev F)3 по (5); для вычисления /3 (dev F) придется дополнить (1.13.11) формулами
Л ((dev Q)s) = —5/2 (dev Q), , Д ((dev Q)e) = - 2/1 (dev Q) + 3/3 (dev Q).
Приходим к выражению
/3(devF)= а3/3 (dev Q)-)--|-a2p/2 (dev Q) — О
— сф2/2 (dev Q) /3 (dev Q)-L p j /3 (dev Q) + ^ /2 (dev Q)1 , (12)
1
Причем a, p здесь и в (4) и в (8), напомним, функции /д, (Q). Конечно, выразить из этих уравнений //. (Q) через Ir (F) в общем виде невозможно.
464 ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
При существовании скалярного потенциала (7.17)
F = <pQ (13)
формальное представление Q через F выражается через производящую функцию обратного преобразования — преобразования Лежандра
Ф (Q (F))= F--QT (F)—T(Q (F)). (14)
Тогда
Q = ipF. (15)
Действительно,
6ф = фр..6FT = 6F • СГ (F) ф- F• • 6СГ — cpQ • • 6QT = Q• • 6FT, откуда следует (15).
§ 9. Тригонометрическое преобразование В. В. Новожилова
В формулах (8.9), (8.12) вернемся к обозначениям (1.13.5) инвариантов dev Q и введем аналогичные обозначения инвариантов dev F
G2 = — 4/2 (dev F), G3 = 4/s (dev F). (1)
Использовав (1.13.9), можно представить теперь (8.9) в виде
G2 a2g2—Зар /281пЗф-|-т^Р2£2=:
\ О / 1 Z
= Я2
(а— у7 -у- Sin Зф) j/’y-cos Зф)
Этому равенству можно удовлетворить, приняв
а---р у/ у-зтЗф= jX-у-cos со,
“4^ /-усозЗф= |/sin со. (2)
Отсюда получаем
„_1Л °2 cos ~ЬЗф) р, —_9 ч/ sin со
И g2 cos Зф ’ Р V g2 V g2 cos Зф
и это позволяет придать представлению (8.5) тензора dev F вид
dev F — J/ -у- (cos Зф)-1 j cos (соф-Зф) dev Q —
— 2 ^(devQ)2—— g2Ej sinco^ . (4)
Выражение (8.12) третьего инварианта F преобразуется к виду
—3 3 —--------[cos3 (со-|-Зф) sin Зф-фЗ cos2 (соЗф) sin соф-
G./2 cos3 Зф
ф-3 cos (соф- Зф) sin2 соф- 2 sin2 Зф sin3 со—sin3 со!-
После громоздкого, но вполне элементарного преобразования правая часть преобразуется к виду
(3 cos2 со—sin2 со) sin cocos Зф-|- (cos2 со—3 sm 2 со) cos со sin Зф -_-sin 3 (соф-ф),
$9] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В. В. НОВОЖИЛОВА 4с5
Сз- — '2ь:пЗ(<м ф) - \ п 3/. (5)
Выражение (1.13.9) позволяет приписать величине
Х = со-|-ф (6)
ту же роль в задании dev F, что ф—в задании dev Q. Через % по (1.13.10) определяются главные значения dev F
Vi= |/ -у-sin/,
V2= /^Sin(X + ^)’ . V3=]/^Sin(z+^-),
|X|<£- (7)
Поэтому
vs = -i / G2 sin/s -./'GT s:n((o + ^) j 2 3. ,g.
V g2 sin ф^ V g2 sin ф5 1 '
При <o = 0
— = т/ — , dev F = 1/ — dev Q, (9)
*s V gs V g2
что следует и из (4). Это дало основание назвать со степенью подобия девиаторов—этой величиной характеризуется их «неподобие», а вместе с тем степень «нелинейности» связи тензоров F и Q, так как одновременно с со по (3) обращается в нуль Р = <р2> ив исходном представлении (8.1) отпадает слагаемое Q2.
Величины ф, со, G2, входящие в (4), определяются инвариантами самого тензора Q и коэффициентами cpj, ср, представления F через Q. Действительно, по (1.13.9). (1.13.7)
8,пЗф = --Ц^£-й.3, cos Зф---------^7=- (10)
g2 У gi g2 V gz - ° '
и далее по (3) и (8.9)
KActgco = -КТ J [^4-~ I. (Q) | g.+ Sgsj., (И)
gT=gT (4"2/1(Q) +Т2ср^л} • (12)
В выражение связи первых инвариантов F и Q входит также <р0.
Представление (4) допускает немедленное обращение: достаточно заменить Ф на х- 0) на —со
divQ= '|/(cos З/)-1 ^cos (3%—со) dev F I-
-1-2 Г(dev Fp—G2E ] sin со} . (13)
466
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Приложение III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
§ 1. Вектор-радиус. Единичный (метрический) тензор
Вводится система криволинейных координат q1, q2, q3. Место (положение) точки задается вектор-радиусом г, начало которого О фиксировано (г = 0Л1) г = Г(?1, q2, q3). (I)
Декартовы координаты точки о//—проекции вектор-радиуса на оси системы OXYZ, задаваемые ортонормированной системой векторов ц, i2, i3, обозначаются *) а1, а2, а3
as = at(q1, q2, q3), r = isas. (2)
Предполагается, что в области их задания эти функции непрерывно дифференцируемы и что отличен от нуля якобиан
При этом условии уравнения (2) однозначно разрешимы относительно qk.
В тензорной алгебре векторный базис определялся тремя произвольно назначаемыми некомпланарными векторами rj, г,, г3. Здесь они принимаются равными частным производным вектора места
дг
(si'2’3) (4)
и в обозначении (1.1.9)
__ I дI
Vg= Г1-(Г2ХГ3) = |^-Г|. (5)
Якобиан можно считать положительным (надлежащим образом нумеруя координаты).
В алгебре все операции были относимы к фиксированной точке, введение криволинейных координат и векторного базиса (4) соответствует переходу к изучению поля—сравнению величин (скаляров, векторов, тензоров) в различных точках трехмерного евклидова пространства В нем возможно задание положения любой точки, как это сделано выше, в единой декартовой систем OXYZ.
Вектор dr = a/fMl', где a/fl' точка в бесконечно близкой окрестности определяется формулой
dT=x^dqS=Ts dqS’ (6)
oq*
так что квадрат линейного элемента представляется положительно
определенной формой
ds2 = dr • dr = г s dqs • rz, dqk = gsk dqs dqk. (7)
Здесь и далее сохранены обозначения Приложения I: ||^й||—матрица ковариантных компонент единичного (метрического) тензора Е. Его представления через контравариантные gsk и смешанные £*--=6/г компоненты даются формулами (1.4.14). В декартовых осях
Е —Ц4 (8)
*) Чтобы сохранить правило суммирования по верхнему и нижнему немым индексам, i5, где это требуется, обозначаются i4’, a as через as.
Ill
it §21 НАБЛЛ-ОПЕРЛТОР ГАМИЛЬТОНА 457
It и это соответствует записи квадрата линейного элемента в «пифагоровой» форме
Ж dd~ (da1)2-]- (da2)2-d (da2)2. (9)
Ж После введения взаимного базиса rs по (6) имеем
В dqs = rs-dr = dr-rs. (10)
В Это простое соотношение далее многократно применяется. Оно облегчает полу-II чение записей, не содержащих базисных векторов, значит, и не связанных 1| с выбором тех или иных криволинейных координат. Назначение их относимо II ’к этапу перехода от общих соотношений к конкретному вычислению.
1 § 2. Набла-оператор Гамильтона
Ц Рассматривается скаляр ф(<?1, ?2, ф!) и его дифференциал d<f> — прираще-» ние, обусловленное переходом из точки поля в точку q/Ц' в бесконечно К близкой окрестности. По (1.10)
I' dtp =-уу- dqs = rs-~- • dr (1)
т dqs 4 dqs v '
в —справа показано скалярное умножение вектора dr и величины, также являю-| щейся вектором, так как результат действия — скаляр dtp [см. (11.1.1а)]. Этот I вектор называют градиентом скаляра и обозначают
I г д о д
I V<P = r^cp, V = r^- (2)
Позволительно трактовать эту запись как произведение символического век-® тора у, набла-оператора Гамильтона, на скаляр. Можно было бы записать к.’в (2) набла-оператор справа (эу) от величины, на которую он «действует»
, Такие записи применяются, но мы будем избегать их.
’ Сказанное можно использовать в применении к вектору
, да , , _ да , , да . , .„.
г da——^dqs = dr-rs тг—==dr-ya, da=-—r^-dr. (3)
t dqs dqs dqs
В первой записи вектор da представлен произведением слева на dr вели-Кчины, представляющей по (II.1.16) тензор второго ранга, обозначаемый уа
J Va=rSdFa- (4)
«Этот тензор, формально представленный диадой векторов у и а, называется Ж градиентом вектора а. Вторую запись (3) можно представить через ау, новсоот-ж вегствии со сказанным мы примем для нее обозначение уат—транспонирован-кйый градиент. Итак,
|| da = yaT-dr *). (5)
Ж *) Мы следуем обозначениям Н. Е. Кочина: уа—градиент вектора а; жтензор уат Н. Е. Кочин называет производной вектора а по направлению г
- т da ,г , .
В уат=-^-, yar*dr=da.
зарубежной литературе градиентом называют как раз уат.
468
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Распространение этих действий на тензор второго ранга приводит к тензору третьего ранга .
dQ=-~ dqs - dr-rs ^</r-vQ. vQ^r’-^Я-, -|% = rv-vQ. (6)
dqs dqs dqs dqs ’
Подобно тому как диаде ab сопоставляется скаляр a-b и вектор axb, по тензору Va определяется скаляр
. да
V-а г5 . ___ = chvа, (/)
dq-
называемый дивергенцией а, и вектор-ротор а
.. да
VXa —г X х-j=rot а - - 2<в. dq
Вектор о» называют вихрем вектора а; это — вектор, сопутствующий кососим метричному тензору Q. По (1.14.9)
_ 1 . ( . да \ 1 ( . да г „ да \
О =Е Х(0=— rftr*X г’Х ч-j =-5-г* г* • - —г"т' — =
2 \ dqs ) 2 \ dqs dqsj
= y(VaT—Va). (9)
Обратно, по (1.14.17)
w = e--Q. (10)
Кососимметричный тензор 1} называется тензором спина; симметричный тензор, определяемый по va, называют линейным тензором деформации над а
e=y(Va + VaT). (И)
В этих обозначениях
Va = e — £!, vaT = e-|-£}. (12)
Сославшись на (3), приходим к формуле Гельмгольца
da=~var-dr^-s-dr ! Q-dr -s-dr-l mxdr (13)
— ею определяется поле вектора а в окрестности через тензоры деформации и спина в a/)t.
Сверткой V-Q определяется вектор, называемый дивергенцией тензора
V-Q =div Q = H • -4Я-- (Н)
dqs
Ротор тензора—тензор второго ранга, определяемый соотношением
V XСП--rot Q = rf х -4Я-. И11)
dqs
Аналогично проводятся действия с набла-оператором в применении к тензорам любого ранга.
В применении к вектор-радиусу
Vr = rsrs = E, v-r = 3, VXr = Hxn = 0. (16)
Легко понятны соотношения
VE —0, ve = — VEXE-0, (!')
§ 3]
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ НАБЛА-ОПЕРАТОРА
469
так как в декартовой системе Е iji', а тензор уЕ— инвариант, не зависящий от базиса.
В применении к кососимметричному тензору О формула (15) преобразуется к виду
уХЙ =уХ(юХЕЦ=г*Х хЕ^=гХх Xi>) гА =
3(0 ,.е h . ды
или
Отсюда следует
УХЙ =у<от —Еу-о).
Il (ухй) = —2y-w.
(18)
(19)
§ 3. Примеры применения набла-оператора
Здесь приведены формулы, определяющие дифференциальные операции над некоторыми композициями тензорных величин. Цель — представить результаты в инвариантном виде через набла-оператор и сами тензорные величины, но не через базисные векторы и компоненты тензоров; иногда их приходится использовать в ходе вывода.
1. Градиент произведения скаляров, скаляра на вектор, на тензор
Уфф = ф У<р + ф Уф, Уфа = (уф) а + фу а, уфй = (уф) Q-фф yQ. (О
2. Градиент скалярного произведения, векторного произведения, ротор векторного произведения, дивергенция диады, векторного произведения
ya-b (уа)-Ь-фа-уЬт^=(уа)-Ьф (yb)-a, (2)
yaxb =(ya)Xb —(yb)xa, (3)
у X(axb) = b-ya —by-а—а-уЬ-фау-Ь, (4)
y-ab = (y-a) Ь-фау-Ь, (5)
y-(axb) = b-(yxa) —a-(y xb). (6)
Можно разнообразить эти записи. Например, по (2.12), (2.8) уа = уат—2Й,
(ya)-b = b-ya— 2Й-& = Ь-уа—2ихЬ = Ь-уа-фЬх(уха)
и выражению (2) может быть придан вид
уа-Ь = Ь-уа-фа-уЬ + ЬХ(у Ха)-фах(У Xb). (2')
3. Дивергенция Qxr
У • (QXr) = (у-Q) хг-ф r*-Qxrs.
Представив Q суммой симметричного и кососимметричного слагаемых, имеем (г5 • S) X г = S strt xrs=X rt = Sstrs X r( = 0, (r’ • Й) X r 5 = (rJx <o) X r 5 = <r>r?-r5—r?a> • r5 = 2<b.
Пришли к соотношению
У-(ЙХг) = (у-й)Хг-ф2ш, (7)
в котором w—сопутствующий кососимметричной части Q вектор. При
Q = QT: y-(Qxr) = (y-Q)xr. (8)
470
ПРИЛОЖЕНИЕ hi. сведения из тензорного анализа
4. Дивергенция rXQ
y-(rxQ) = y-(rXr,„r„<7m«) = r?-(rixrm)rny"’n + r?-(rxrm)r„ у^т« =
= (г* X rs) • Q -г г • (г5 X r,„r„) ysq т п = (гт X rs) Q — г (v X Q).
Первое слагаемое ио (2.16) отпадает. Получаем
V-(rxQ) = —r-(VXQ) (9)
— в ходе вывода было использовано правило дифференцирования тензора (5.3))
5. Дивергенция произведения тензора на вектор
y-(Q-a) = (y-Q)-a + rJ-Q • ^ = (y-Q)-a + r'y-(Q-yar)-rs = = (V-Q)-a+/i(Q-vaT).
Пришли к часто используемому преобразованию
V-(Q-a) = (vQ)-aJ- Q-• уат. (10)
6. Дивергенция произведения тензоров. В ходе вывода используется приводимая ниже в § 5 формула дифференцирования тензора второго ранга
5Р
-—.=TmTnVsPmnt yp = r^rmrnv5/7OT„.
Здесь уР—тензор третьего ранга. Получаем
v.(O.P) = (r-.^).P+(,-.Q).^=
-(V-Q)-P-HQTT''')-r'»r« Vs/7m„=PT-V-Q+QT--rJrmr« yspmn, так что
y.(Q.P) = PT.(y.Q) + QT.уР. (11)
7. Ротор векторного произведения QXr
yx(QXr) = (yxQ)Xr+r4'X(QXrJ,
г*5X (QXгД = г?Xг"r„Xri9n? =- =
—E/,(Q), так что]
yX(Qxr) = (yxQ)Xr + QT —E/t (Q). (12)
§ 4. Производные базисных векторов.
Символы Кристоффеля
1. Принимается обозначение производных базисных векторов дг5 Эг/ д2г
—= - (1)
dqf dqs dq’ dqs
Их представления в форме разложения по базисным векторам задаются выражениями
Коэффициенты этого разложения называются символами Кристоффеля второго рода (они часто обозначаются Г^). Из определения следует симметричность
§4]
ПРОИЗВОДНЫЕ БАЗИСНЫХ ВЕКТОРОВ
471
символов по нижним индексам
J ? I__/ Ч I _г<7 _р<7
Vh- W st ts'
Следствием (2) являются соотношения
I ? I
| si I Srjk - rsfrk<
(3)
(4)
правые части которых выражаются через производные ковариантных компонент метрического тензора. Действительно,
д д ,
rs-Tfe—~~ gsk— *st'*k-T*s'rki< dq1 dq‘
d
d^gkt-=rks-rt + rkTts, d
—— gts--rtk ‘rs+ rt rsk
dqk
и величину в правой части можно получить, вычитая третье равенство из суммы первого и второго
r r _ 1 ( d&sk .dgkt dgst\ ,, rsftk = —l —г+—---------= [« «1-
2 \ dq* dq6 dqk /
Величины справа называются символами Кристоффеля первого рода
[si, £] = [is, = (5)
2 \ dqt dq dqk /
Формулам (4) и их обращениям придается вид
= j>r9-rft==[si, 6], j.=g?A[si, k]. (6)
Этим вполне определены производные (2) векторов основного базиса.
По ним можно определить и производные векторов взаимного базиса:
6/ = ^= О, ~ . г14-г5’-г№=-У- • rt+r*. / Ц г9 = 0. dqk dqk \tk)
Приходим к формулам drs , I s 1 drs ( s 1 +
dqk ’ 17 + \kt J ~ °’ ~dqk~~ pj Г ’ (7)
2. Производная g. Имеем
Ч^~=5^Г1,(Г2ХГз)= {Ik } r“,(r2Xr^T I ГИ-(Г3ХГ1)+
/ r'"'(r,r2)U<x vu* /+w+i з4 J ’ так как, например, r,„• (r2xr3) 0 только при m=l. Приходим к часто при-
меняемым соотношениям
s I s I ’ (8)
dqk ' Isk I ’ dqk / sk I
472
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
3. Преобразование символов Кристоффеля. В новой системе криволиней ных координат
qr = qr (q\.q\ q")
базисные векторы преобразуются по закону
dr dr dqr dqr - г
г = —— = —— = гг -~^=ггггrs — cirr,
s Qqs dqr $qs Qqs
r r - &qr
cs = rr • rs =
dqs
Поэтому
r 4 — dt\ _ / q I ~ m dCs m r I k 1 q~ ‘ r'+ct Cs W
так что
q
st
tn dcs -'q . m r~q ( k ~Ct ~d^PCr+ct CsCk\rm
~q dqq
Ck = tq-rk = ~d^-
(9)
Формулы преобразования компонент тензора третьего ранга (I, § 7) вид
имеют
Р^.^Р^.сЩ,
(10)
тогда как в (9) входит лишнее (подчеркнутое) слагаемое. Символы Кристоффеля поэтому не являются компонентами тензора.
§ 5. Ковариантное дифференцирование
Проведение вычислений над тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной структуры. Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) обусловлено присущими ему свойствами; оно определяется с помощью набла-оператора — в символической записи: d (• • •) = dr-v (• • •)• Иначе обстоит дело с компонентами, их изменение зависит еще от внесенного в рассмотрение базиса. Например, пусть а—постоянный вектор, da = 0, но ак или ак вовсе не постоянны вследствие изменяемости базиса. Обратно, при постоянных компонентах вектор а не остается неизменным по величине и направлению. Требуется поэтому ввести в рассмотрение характеристики изменяемости тензора, сочетающие учет изменяемости как его компонент, так и базиса, к которому они отнесены. Это достигается операцией ковариантного («абсолютного») дифференцирования.
Задав вектор его контравариантными компонентами и сославшись на формулу дифференцирования базисных векторов (4.2), имеем
За д . дак ,. f q I (дак . f k I \
3^ dqs dqs | sk) q \oqs (sq ] J
При задании вектора его ковариантными компонентами по (4.7)
dqs dqs k dqs ; | sq ( yd?5 | sk J q)
Величины
Vsak
да/г I q i ^^=^\sk]aq
CD
§5]
КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
473
< называются ковариантными производными компонент (контра- и ковариантных) В. вектора. С их введением производная вектора представляется выражениями
да да .
, (2)
i Сходное вычисление для тензора второго ранга дает
I : дЛ-±.дтпт г r J тп(\ q \ + \ q\ \
1 dqs~dqs q ГтТп~ dqs тп 1 7 Ц sm f г‘п 1 \ sn f т 4)
или после переименования немых индексов
(90 darnn I tn i ( ti I
: (3)
Аналогично для ковариантных и смешанных компонент
£9._rrarnv 0 v a —dqmn I ? 1 _ / ? I « (4)
; v-s9m"’ dqS \sm]q<in \sn^qm4’ w
dQ _dqmn ,1 m\ q I q \ m
vsq-n, vsq.n- dqS +<[ sq <5>
dQ .n .n__________dqm J q 1 -n , ( n 1 .q
' ^-r |-?<7 +jS(? J ?m. (6)
j Вглядываясь в структуру этих формул, легко усвоить способ их состав-I ления; целесообразность правил расстановки индексов сверху, снизу и суммирования по немым индексам исключает возможность ошибок, «формулы ‘ сами себя пишут». Конечно, развернутые выражения с явно выписанными : значениями символов Кристоффеля очень громоздки, они потеряли бы простоту и изящество.
При ковариантном дифференцировании сохраняются формальные правила дифференцирования суммы и произведения. Например,
\/rasbt = ^ras) bt : as\'rbt. (7)
| По определению (2.2) набла-оператора
J
:7 ya r' ^ = rsrk^sa/! = rsrk^sa>1, (8)
k 9
| так что \7rfl/.., \/sak — ковариантные и коконтравариантные компоненты V&-Конечно,
J VaT = r'!rs^sail = rkts^salt. (9)
I t Аналогично,
| VQ = rirmr«Vs?m,i = rir,,;r„Vs?''’n и т. д. (10)
(
< Здесь \sqmn, X/sq"1" — компоненты различной структуры тензора третьего ранга vQ-
Следствием соотношения (2.17) является равенство нулю ковариантных 8 производных компонент единичного тензора (теорема Риччи)
I V^mn = 0, V^m,i = 0, = (11)
* Это легко проверяется и непосредственным вычислением; например, по (4)
| Л-1». «1-0. (!2)
г как это следует из определения (4.5) символов Кристоффеля первого рода.
474
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Компоненты метрического тензора при ковариантном дифференцировании ведут себя подобно постоянным, их можно вносить или выносить за знак ковариантной производной. Например,
\sak--= Msgktat = gktVsat’ Nsak=gkt\saf-
Это соответствует определению метрического тензора
уа = уЕ-а Е-уа.
Теорема Риччи распространима на изотропные тензоры любого ранга (I. § 15)—тензор Леви—Чивита е -—ЕхЕ тензоры четвертого ранга (1.15.1) и т. д.
«Приложение» имеет цель сообщить правила вычисления с тензорами в Поэтому здесь не уделено места геометрическому истолкованию ковариантного дифференцирования — понятиям параллельного переноса, геодезических линий и т. п.
§ 6. Вычисление дифференциальных операций
над тензорами
Инвариантные представления операций над тензорами (градиент, дивергенция, ротор) были определены в § 2. Здесь рассматриваются правила их вычисления.
1. По выражению градиента вектора (5.8) определяются его ротор
и дивергенция у. а = г» • r*y4aft = gskVsak = у sas=|^+ По (4.3) и (4.8) q \ = ei‘st J q l = -e^ J q\=0, J s I a' ) sk) 1 sk j | sk) ( sm j так что , da'3 da2 „ „ da1 da? уХа=г^«^, 2<o =— — —-, 2(o2=— — -s-j. dqs dq2 dq3 dq3 dq1 1 d l/~ s 2. Ротор и дивергенция тензора второго ранга У XQ=r5’ Xt^sqmn=esmtrtrnf^_ J ? 1 q(in_ V'Q -Р'ХГДХ”'1 -WA'" r„ d4^- I Соотношения И 0 r I S I am. m J d In Уg m — r & am dq^ ’ да2 da' , 2<i>3=3-j— 3-2, dq1 dq2 (1) (2) ’{sn} ’ n \ . 1 1 sm 1 ч ) tl I ^=dr,n-
§ 6]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ
475
позволяют преобразовать эти выражения к виду
V/^^^"‘trt^.r4qm4 = rsXrmtll\sqmct, ’ (3)
\ v,Q=7i^KW'rf'
Первый инвариант ротора симметричного тензора оказывается равным нулю
Q~-QT: /i (VzXQ) = (r^Xr"’)-r‘?V.s7,»(/ ^"‘4\sqmq -= 0. (5)
Первый инвариант ротора кососимметричного тензора определяется по (2.19).
3. Двукратное дифференцирование. Набла-оператор над градиентом скаляра определяет симметричный тензор второго ранга
д . dm . / д2Ф ( т 1 дф \ т
УУФ- - r? — rfe --С гМ с j-т — / , (—-С)=ууф)т. (6)
dqs dqk. \dqsdqk | sk ) dqm J '
Скаляр, определяемый по этому тензору, представляет лапласиан над ф
V- УФ== У2ф '-Jgsk (——--! т. V (7)
v vt ё {dqSdqll ) sk \д(]т) ». >
а вектор (ротор от градиента) равен нулю
УХУФ^М^М "3-^Л=0. (8)
\dqs dqk 1 ) dqm j
В другой записи формулы (6) учитывается, что в применении к скаляру операции дифференцирования и ковариантного дифференцирования неразличимы
УУФ = (УУф)т -- Гк — Гуу5ф = гМу*у5ф = гМ’у^ф = гМу^ф. (9)
dq*
Соотношение V*ViT- VsV/гф. очевидное для скаляра, остается верным (это доказывается в § 10) для компонент тензора любого ранга
УлУД---) = У5Уй (••)• (Ю)
Выражению лапласиана теперь придается вид
V2ц - г* • r^vftv/P = g'lS\kV.sT = У*УзФ• (И)
Здесь введено обозначение операции «контравариантного» дифференцирования y*=g^yft. (12)
4. Развернутые выражения операций второго порядка над вектором громоздки. Тензор третьего ранга ууа допускает следующие свертывания, снижающие его ранг на две единицы: образование лапласиана и градиента дивергенции
у2а = у • уа = г5 • = gstr^s^tak -- r^tak, (13)
уу.а = г’А_2_ 1 y~g ак = гу^как. (14)
dqs V g dqk
Через эти векторы представляется еще один вектор
ух(у\а) = уу-а —у2а. _ (15)
476
ПРИЛОЖЕНИЕ Ш. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Дивергенция тензора vaT представляется выражением
V-vaT = r* • rftr*vfa* = 61r/vsV/“ft = r'V/Wfc
и по (14)
V'VaT-=Wa. (16)
Снижая ранг тензора vVa на единицу, получаем тензоры второго ранга— ротор градиента и градиент ротора
V> Va O, vVXa - r^xr/v?Vsa/=e'v/MrAv,/vsa/. (17)
5. По тензору четвертого ранга VVQ образуются тензоры второго ранга— градиент дивергенции, дивергенция градиента (лапласиан) и ротор ротора
VV-Q = r%V.sWA'i, VVQ = V2Q = rftrtv?Vs<?^ (18)
VX(vXQ) = VV-Q — V2Q (19)
и образуемый по (9) тензор
VV/i (Q) = rATsv*Vi/i (Q)- (20)
Векторами, вычисляемыми no VVQ, являются
VXV/i (Q)=-= 0, V(VXQ) = 0, vx(v Q) = es'ImrmViVf<?-n- (21) а скаляром
(22)
6. Тензор Ink Q. Этот тензор, называемый «несовместимостью Q» (Inkorn-patibilitat), имеет существенные применения в механике сплошной среды. Он представляет ротор транспонированного ротора Q
Ink Q = V X (V XQ)T. (23)
Далее предполагается симметричность тензора Q. По (19) выражению (23) можно придать вид
Ink Q = — V2Q-rVV'Q — VX[(VXQ) — (VXQ)T| (24)
и надо рассмотреть выражение в скобках. Сославшись на (1.14.19), имеем
VXQ-(VXQ)T-(г^Хгмг„-г„г^Хги) V4<?m'i = Ex[r„X(r*Xrm)] ysq'™ = ЕХ(г^я„-г,Х) \sQmn = ^X(rs\sgmnqmn— rm^nqmn),
так что
VXQ — (V>'Q)T EX[v/i (Q) — V-Q] ЕХй. (25)
Здесь w по (1.11.8) — вектор, сопутствующий кососимметричному тензору Я и по (2.16)
ухЯ у<"‘ Еу ы VV/i (Q) — (VV-Q)T — Е [V2/i (Q) — V-V-Q1-
Подстановка в (24) приводит к искомому представлению
Ink Q — V2Q+ VV-Q + (VV-Q)T4- (Ev2— VV) h (Q) —Ew Q- (26)
Из него сразу же следует симметричность Ink Q при Q = QT Q-QT: Ink Q = (Ink Q)T. (27)
Второе представление Ink Q следует немедленно из определения (23)
Ink d^e,nl!£smrrqrr^sqnm = rtxr'1rsxrm\ft\/sq„m, (28)
§71
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
477
откуда, учитывая переставимость операторов ковариантного дифференцирования, приходим к следующим выражениям контравариантных компонент:
(Ink Q)11 =— (КМзз-гVsfe— 2V2V3<7’3)>
f (29)
(Ink Q)12= — [— ViV2<733 + Vs (\ ifer Va^si V3<?i2)]
(остающиеся четыре компоненты получаем круговой перестановкой индексов).
Пусть Q — линейный тензор деформации (2.11). В декартовых координатах выражения (29) ’принимают вид
(1пк е)11
= ^езз о2е33 2 д2е2з
да22 + да*2 daW ’
(Ink е)12 =
д2е3з да*да2
д I де23 . де31 да3 у да1 ' да2
дб12 \ да? )
(30)
и условия Inke = 0 приводятся к известным шести уравнениям сплошности Сен-Венана в линейной теории упругости.
§ 7. Ортогональные криволинейные координаты
1. Выбор криволинейных координат q1, q2, q2 подчинен требованию ортогональности базисных векторов
= = s # k; rs-rs--=gss^--H2 (s=l, 2, 3). . (1)
Величины Hs = \ rs | называются коэффициентами Ляме. В рассмотрение вводится ортонормированный базис
6.5 = -^-, s^=l, 2, 3; | e_s | = 1; е5-ел = 0, s # k. (2)
“ s
Вектор е — единичный вектор нормали поверхности qs = <;'o=const, он имеет направление касательной к кривой [<js], вдоль которой эта координата qs переменна (в сторону, куда она возрастает), а две другие постоянны.
Матрица ковариантных компонент метрического тензора || gs^ |j диагональна, как и обратная матрица !| gsk ||
||=diag (//?, Hl Hl), i|^H = diag (4. -1 -V). (3)
\/il r?2 ^3/
Поэтому
rs = gSkrk=^, rs = Hses, rs=-^- ,
Hs ns
es d _ ...
V = Tr-yr-s> E-eses. (4)
Hs dq
Конечно, индекс, входящий в левую и правую части формулы, не является немым; суммирование по нему не предполагается. Сохраняется суммирование по немому индексу; в отличие от принятого правила оно проводится и по повторяющимся трем индексам и независимо от расположения индексов: примерами служат выражения V и Е в (4).
2. Цилиндрические и сферические координаты — хорошо известные примеры ортогональных криволинейных координат.
478
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Для цилиндрических координат
у1 — г, q- = if, qJ — г; 0 < г < оо, 0 < ф < 2л, оо < г < оо (,Д
— это радиус, азимутальный угол, высота. Координатные поверхности — круговые цилиндры г = г0, осью которых является ось OZ (единичный вектор к = е3), полуплоскости ф = ф0, проходящие через ось, ей перпендикулярные плоскости z = z0. Координатными линиями в пересечении соответствующих пар поверхностей служат прямые [г], параллельные оси OZ, радиально направленные полупрямые [г] и окружности [ф]. Касательные к этим линиям— векторы е3 = к, е1 = е,., е2 = еф. Якобиан 7= Уё г обращается в нуль па оси OZ', эта прямая не включена в область задания координат. Вектор-радих с точки в цилиндрических координатах представляется выражением
r = rer + kz. ((>)
Для сферических координат
qr — R, <у2 = Д, у1 — к; 0 < R < оо, 0 < Я < л, 0 < X < 2л (7) — радиус сферы, угол, отсчитываемый по меридиану от северного полюса, долгота (с востока на запад). Координатные поверхности: сферы = с центром в начале координат О; fl = fl0— круговые конусы с вершиной О: полуплоскости Х = Х0, проходящие через ось OZ. Координатными линиями служат параллельные круги [X], по которым пересекаются поверхности сфер и конусов, радиально расходящиеся полупрямые [/?] — пересечение конусов fl„ и полуплоскостей Хо; меридианы [Я] — пересечения полуплоскостей Хо со сфе рами Ro. Касательные к этим линиям—векторы 63 = 6^, е1 = е;?, e2 = efl; k = e^ cos fl — e^.sin fl — единичный вектор оси OZ.
Якобиан У g = /?2slnfl. Вектор-радиус определяется формулой
г = е^/?. (8)
Квадрат линейного элемента в ортогональных координатах представляется выражением
б/г-б/г —//цй/'2'- H^dq22-}-Hldq3Z = ds2, (9)
а элементы дуг на координатных линиях [q^1] равны
dfyS — Нк dqk — | Г/. | dqk. (10)
Для цилиндрических и сферических координат
dts = dr, Hv — Hr = \\ d2s = rd(f, Нг = Н =r\ dss = dz, H3--Iiz = l. (11)
d!S = dR, = d2s = Rd-&, H2 = H&-R;
d3s= R sin fl dX, = R sinfl. (12)
3. Дифференцирование векторов ортонормированного базиса. Конечно, могут быть использованы формулы § 4; предпочтительно избежать вычисления символов Кристоффеля и прибегнуть к кинематическому способу подвижного триэдра Дарбу (G. Darboux).
Пусть вершина ортонормированного триэдра ел. движется с единичной скоростью t'=l по координатной линии [q"1], так что
d,„s = H,„ dqm—dt
it— время). В каждом мгновенном положении триэдра векторы es в этом движении должны приобретать направления касательных координатных линий в точке ее движение поэтому сопровождается вращением триэдра вокруге//:
§ 7]
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
479
т
угловая скорость этого вращения обозначается <о. По известной формуле кинематики твердого тела скорости концов единичных векторов относительно вершины триэдра будут равны
и искомые формулы приобретают вид т т т
d^^oxes, о = Нты. (13)
т т
В рассмотрение вводится кососимметричный тензор Й, для которого о является сопутствующим вектором т т т т
Q==oXE = oXeses=^es==opgepe9 (14)
с компонентами т d^q
°РЧ=~^^Р
т
и по (1.11.1) вектор о в ортонормированной системе е4. представляется выражением
т Im 1 дйд
° "2" °P9e<lPie'l=^ dqm 'ePe4Ptet- (15)
По (4.3), (1) и (2) имеем
г - 1 fdgsk dg1k dgs1\ dHk dHk dHs
rsfrk = — —т + —-------~ } = nt —— Ofc) — Ht —— bst =
2 \ dq1 dqs dqk / Oq' dqs dqk
=-L(Hsts). Hktk=^- Hk6sk+HsHk^.tk, dq1 dq1 dq1
так что des Ht Г dHk . dHs . \ dHk , dHs . dqt HsHk\dqs dqk У Hsdqs Hkdqk
Подстановка в (15) приводит теперь к соотношению
т 1 / дНр дНд \
° = 2" \ ТГ^ч 8Рт ~ Нр dqP =
1 / дНгп дНт \ дНт и
— ( -> „ eqm и „ етр1 ) е/~ egXem — \Нт хе,л.
2 \ Нд dq4 4 Нр dqP ) Нд dq4
Итак,
o = vHmXem, -~^-(\HmXen)Xes = em-^^-------6msyHm. (16)
dqm Hs dqs
Это — искомые деривационные формулы базисных векторов ортонормиро-т
ванного триэдра. Отметим, что векторы о часто можно определить без вычисления, основываясь на их кинематическом истолковании.
480
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Для цилиндрических координат
1 <р з
//г = 1, Н<р = г, о = 0, о = угхе(,, = к, о = 0, (17)
как и следовало ожидать—движение триэдра по координатным линиям [г] и [г] — поступательное, а по окружности [<р]— вращение с угловой скоростью Ч>
<o = k/r.
Отличны от нуля производные
дег <₽
—L=oXer = e .
дер ч>
5е<р <₽
--Т- =0
Оф
Тр ' ет-
(18)
В сферических координатах
Я О
HR=l, о = 0; H^ = R, о = V/?Xee, = eJ?Xe# = e? ; Нк = R s.n ft,
X
0 = v/7z Xez=(e£ s:n ft+e# cos ft) Xex = — efl. s'.nft-|-effcos ft = k. (19)
Отличны от нуля производные
дел deit deR
-е/. еЯетЭ' QQ —е1Хе& — ~еЯ> (R. ~ к Хер s.n ft,
/е,, док п (20)
-= к Xе0 = е, cos ft, —= к е; -: - (ер s rnV eft cos 0).
Подстановка в тождества
.0 (21)
dqs dqi dqt dqs
выражений производных (13) приводит к равенству
откуда следует соотношение связи между векторами о
t до
()qs
(22)
4. Дифференциальные операции в ортогональных координатах. Вывод приводимых ниже соотношений основан на представлении (4) набла-оператора,
S
на деривационных формулах и определении (16) векторов о.
а. Градиент вектора
су. д даь
Va — е/ХД — е5ед — -
Hsdqs Hsdqs
a-т S Г даъ , ат (Г, \
ез 7~ ° Хе/Л - e5eft — - )- — в/. • ( о . от )
f/s Hsdqs Hs
и далее
/'s 3s, , и . , ч дН s х
еИ охе„; ) =о-(е„хе4) = v^rie5X(em (ед)] = —-—0лд — bsm.
Hmdqm Hkdqk
§8]
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАУССА - ОСТРОГРАДСКОГО И СТОКСА 481
Получаем
дН,
/ dak va = etet. ( -
\Hsdq‘ HsHkdq*
dHs Hsdqm
(23)
d m
б. Линейный тензор деформации
-----Оз_дН^_--^A_^fe. + 26 (24)
2 S k\Hsdq^Hkdqk HsHkdqk HkHs dqk HmHsdq”J
в. Дивергенция вектора
д a? , am d In H? „ ''•a-3?lt+-B7T^6“'
^-£м.+ М.+1«Щ-£|" KJ.
Получаем
v.a = —L_ — Уg —?-= H2H3ax + — Н.,Нха2 + — НДЦаЛ .
У g dqs Hs H-Jiyis \dql dq2 dq3 /
(25)
г. Ротор вектора. После замены esХе/1=-^- (esXef.—е^Хеф получаем
1 еоXеь / д .. и \ /оп\
VXa =-------- --- Hkak-----I • (26)
2 HsHk \dqs dqk J
д. Лапласиан скаляра. Полагая а = Уф в (25), имеем
1 / д Н2Н3 <Эф д Н3НХ дф . д НГН2 дф \
V HiH2H3\dq3 Нг dq1~'dq2 Н2 dq2 dq3 Н3 dq3)' 1 '
е. Дивергенция тензора второго ранга. По (6.4) получаем
: V’Q=77; ‘ а^елМ'' =
I
’ (28>
Далее используются формулы (16).
Хорошо приспособленные для вычислений в частных задачах, в которых за редкими исключениями применяются ортогональные координаты, приведенные здесь формулы лишены отчетливости и симметричности, присущих соотношениям § 6. Последние предпочтительно применять в общих построениях, когда доведение до конкретных вычислений отодвинуто на второй план.
г § 8. Преобразование Гаусса — Остроградского.
Преобразование Стокса
1. Предполагается ^известной теорема Гаусса—Остроградского в форме
". W^dV==^ns(pd0' (1)
V о
t Здесь du — da1 da2 di3 — элемент объгма v, <Ь — Э72мзнт ограничивающий его поверхности, ns—проекция на s-ю ось декартовой системы нормали п, направ-
16 А. И. Лурье
482
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
ленной вовне v. Функция ср (а1, а2, fl:i) предполагаема непрерывной и ограниченной вместе с ее частными производными первого порядка в •замкнутой области v фо.
Объем v может содержать внутренние полости, направление п может ис пытывать разрывы на кривых поверхности о; пример — ребра параллелепипеда *) Простейшим обобщение:,! формулы (I) является соотношение
= ('ПС1 + п2с2-\-п3с3) do-- Ц n-cdo, (2)
О о
связывающее интеграл по объему дивергенции вектора у-с с потоком век гора П’С через ограничивающую поток поверхность.
Заключенное в (2) правило замены набла-операюра в объемном интеграле вектором п в поверхностном распространяется па другие соотношения, поскольку в конечном счете все сводится к исходному преобразованию (1). Например,
S S S V Хс пХс do, ус dv nc do, \ vcTdo= сп do, (^) V О V О V о
Аналогично в применении к тензору
S S 5 \ n’Q fb, jj V >,Q de =-= n' :Q do. (4)
VO V
Частое приложение найдут формулы, основанные на соотношениях (3.7), (3.10) j (rXn-Q) do = — (n-Q); r do —- |(У’(1)Уг-|-2»] dv =
OO V
--- |(rX V’Qb 2<o] do, (5)
n-Q-a do= v-(Q-a) do -= Ц |(yQ)-a-|-Q- • var] do. (O 0 V V
В формуле (5) через (о обозначен вектор, сопутствующий кососимметричной части Q. Для симметричного тензора
Q Q1'- (rxn-Q)do = (гху-Q) dv. (7)
О V
2. Преобразование Стокса. В объеме о задан замкнутый контур Г, сводимый непрерывным преобразованием в точку, пока он не выходит за огра ничивающую этот объем поверхность. Например, речь может идти о контурах внутри параллелепипеда, об области, ограниченной извне и изнутри сфера ческими поверхностями. На контуре строится поверхность о («шапках), за ключенная в о.
*) Точные формулировки достаточных усл >вий выпотним >сга преобразования Гаусса — Остроградского приводятся в книгах по теории потенциала.
§8] ПРЕСЕРАЕСВА БИЯ ГАУССА-ССТРОГРЛДСК.ОГО И СТОКСА 483
Пусть а — векторное ноле в о, непрерывное вместе ними. Рассматривается циркуляция (линейный интеграл)
с первыми производно Г
С
$ dr-a
1’
(dr —векторный элемент на Г, | dr | - ds). Обход по контуру предполагается происходящим в положительную сторону вокруг принятого направления нормали к поверхности «палки»*). Преобразованием Стокса устанавливается равенство
ф dr-a j) a-dr — n-(y Ха) do = (n'< V)-a do
I’ Г о о
(8)
— циркуляция вектора равна потоку его ротора через поверхность «шапки».
Ilpii рассмотрении циркуляции тензора следует различать произведения па dr слева и справа
(£ dr-Q, $ Q-dr = dr-QT г
и преобразование Стокса принимает вид
(!) dr-Q = (nX'v)-Q do, j) Q-dr = (n-y)-QT do. Го Го
В этих записях содержится правило замены стоящего слева в линейном интеграле вектора dr на n><v do в поверхностном. Оно является следствием равенства
$dasq(a\ nm^do, (10)
Г о
на котором основывается вывод преобразования Стокса. Например,
о. , р , . dtp ,
(р ц бащр = ф dr ср = ц esmn ) \ n,a do --
г г о
= J imnm X i„ ” do n X V<p do,
* О о
что и требуется. Применение этого правила позволяет дополнить формулы (8) и (S) соотношениями
dr а - (пХу) a do, ф drxa = (nXy)Xa do— (п-уат—nV-а) do.
Го Го о
(И)
*) В правой (левой) системе осей положительное направление обхода происходит против часовой стрелки (по часовой стрелке), если глаз наблюдателя помещен в конце п.
16*
484
Приложение ш. сведения из тензорного анализа
Например, как следовало ожидать
у rXdr^ — у ^drXr=y (nV-г —n-vrT) do =
“4П(3п-")‘,”"Лпл
о о
Поверхность «шапки» назначается произвольно. Поэтому при равенстве нулю циркуляции
яя *яя
^dr-a = 0: vXa = 0, а = уф. J dr-a = dr-v<P = d(p^=<pM —<рМо (12)
1 *ЯЯq <ЛЯ *ЛЯQ
линейный интеграл по кривей не зависит от выбора этой кривой, а определяется только координатами конечной и начальной точки на ней — разностью потенциалов в этих точках.
Аналогичные соотношения для тензора второго ранга имеют вид
ж ж
ф dr-Q -О, \/Q О, Q yza, dr-Q j dr-va --= d&—&M — aMi>, (13)
Г *ЛЯq ж^
яя яя яя
Q-dr = 0, VXQT = O, Q = vaT, Q-dr=^ vaT-dr= j da--aM —
I ЯЯ q ж§ ж^
(14)
3. Двусвязный объем. В двусвязном объеме имеются замкнутые контуры, назовем их Д-контурами, сводимые непрерывным преобразованием друг к другу, но не сводимые в точку. Таковы осевая линия тора, контур в объеме между двумя коаксиальными цилиндрами, охватывающий внутренний цилиндр. Дву связный объем можно превратить в односвязный с помощью барьера, он не теряет при этом связности — не распадается па два куска. Например, барьером для коаксиальных цилиндров может служить полуплоскость, проходящая через ось цилиндров.
Пусть выполнено, как в (12), условие интегрируемости a = V<p; однако теорема Стокса неприменима к K-контуру, так как над ним нельзя построить «шапку» о, не выходящую за пределы у, поэтому нет основания считать циркуляцию по /(-контуру нулем, <р— неоднозначная функция координат
a=V<p. dr-a = ^dr-v<[ ^d<[ /_. (15)
я К к.
«Циклическая постоянная» % — одна и та же для всех /(-контуров. Это подтверждается рассмотрением интеграла по сводимому непрерывным преобразованием в точку контуру Qj\Pie^io//2<JV’20#2s^i<>№i, составленному из двух контуров /<1 (dV’ie^iJV’1)- Кг (а/^Жга^г) и барьера adlvJtf Теорема Стокса применима к этому контуру и условие обращения в нуль циркуляции по нему выражается равенством
§ 91
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ТЕНЗОРУ ДЕФОРМАЦИИ
485
и после приведения подобных членов получаем
') dr • а =
dr-а —
а,
К1
Кг К1 Кг
что и требуется. Конечно, сказанное относится и к циркуляции тензора
Q = уа,
к к
— ф da. = Ь,
Q~ уат,
(J) da = с. К
К
К
Здесь b (или с)—циклические постоянные векторы.
§ 9. Определение вектора по заданию линейного тензора деформации
В уравнении Гельмгольца (2.13)
da = (e+£2)-dr=8-dr + (OXdr (1)
первое слагаемое правой части известно, второе должно быть определено условием интегрируемости — существования вектора а, линейной деформацией над которым является заданный тензор е. Роль Q в соотношении (8.14) отходит к тензору е-|- Й и условию интегрируемости придается вид
VX(s-|-Q)r = yxe —УХЙ О, (2)
приводящий по (2.18) к соотношению
ухе -ya>T—Ey-w. (3)
Но по (6.5) и (2.19)
/х (ухе) = — 2у-о> = 0, у-<о = 0, ухе = уют, (4)
так что
(У Xe)-dr = ywT-dr = dw. (5)
Условиям интегрируемости этого соотношения снова по (8.14) и по определению (6.23) тензора несовместимости придается вид
уХ(уХе)т= Ink 8--0 (6)
— задание е должно удовлетворять этому условию—шести уравнениям сплошности Сен-Венана.
Возвращаясь к (51, получаем м
(O=w0+ (yxe)-dr (7)
м„
и уравнению Гельмгольца (1) придается вид м
da = (i)0Xdr—drX (УXe)-dr-j-e-dr. (8)
м
486
Приложение ш. сведения из тензорного анализа
Следующее интегрирование дает
М (s') М (а) М (s')
а = а04-ю0Х(г —r0)— dr (cr) X (у Хе (o')) dr (о') + e(o)-dr(o). (9)
Ж 0 Ж 0 0
Здесь ao, <о0, г0—постоянные значения векторов а, о, г в начальной точке а//о (s0) пути интегрирования, г—r(s) — вектор места точки a/fl, (s); о, о'— переменные интегрирования на пути (a-//oe//), (е//о, att (о)).
Обобщая известное преобразование двойного интеграла в одинарный
ах а а
dx \ f (х, у) dy=^ dy / (х, у) dx, оо Од
имеем
М М (a) M(s) М
dr(o)x (VXe(a'))-dr(o')-- — (у xs (o')) dr (o') X J dr (cr) —
fl M (d')
M
=-~ У [r(5) —r(o')]x(vxe(a'))-dr(a').
Выражение (9) теперь преобразуется к виду
a(s) = a0+w0X(r (s)—г0)-|- {е (а)-|-[г (о)—г (s)lx(yXe (o))}-dr (а) (10)
„«0
— это формула Чезаро, определяющая вектор по его линейному тензору деформации.
Остается проверить, что интеграл в (10) не зависит от выбора пути интегрирования. Называя П—тензор под знаком интеграла, имеем, сославшись на (1.14.5),
Пт-={е (a)+|r(a)-r(s)]X(yXe (о)}т = е (о) —(ухе (о))’Х(г (о) —г (s)]
и по (8.14) следует убедиться в равенстве нулю ротора этого тензора. Приняв в формуле (3.12) тензор Q = (VXe)T, имеем, сославшись также на (1.14.7),
УХ{(УХе (<J)]TX [г (о) —г (s)]} {у Х)у Хе (o)]T}X[r(o) —r(s)] +
+ [VXe (<г)]тт —Е/Х(ухе (cr)) = Ink е (<т) x[r (<т) —г (s)] +у Хе (о).
Итак, условие
V ХПТ = у Хе (о) — Ink е (о)х[г (о)—г (s))—-у Хе (а) = 0 сводится к тому же требованию (6), выполненному здесь, так как вектор г (о)—г (з) — произвольный.
§ 10. Тензор Римана—Кристоффеля. Тензор Риччи
Квадрат линейного элемента в евклидовом пространстве представим в пифагоровой форме
ds2 = (da1)2-;-(da2)2 + (da3)2. (1)
Этому представлению, введя криволинейные координаты
afe = afe(p1, <?2, </3) («= 1, 2, 3), (2)
§ 10]
ТЕНЗОР РИМАНА — КРИСТОФФЕЛЯ- ТЕНЗОР РИЧЧИ
487
можно придать вид квадратичной формы
= (3)
коэффициенты которой — ковариантные компоненты метрического (единичного) тензора Е, определяемые по заданию преобразования (2) формулами
3
«'-LFFyy <>.»-!, 2. 3). <4>
„1=1 4
Поставим вопрос иначе: предполагается, что квадратичная форма (3) задана ее коэффициентами gsk (q1, q2, ф1) и что эта ферма определенно-положительная. Ею определяется (при некоторых оговорках) римапово пространство ,%3. Неизвестным остается само преобразование (2), его разыскание сводится к задаче интегрирования шести дифференциальных уравнений (4) с тремя неизвестными а1, а2, а3. Преобразование существует лишь при выполнении условий интегрируемости этой системы. Если задания gsk таковы, что эти условия выполняются, то риманово пространство ,у):! становится евклидовым <§3 — положение точки в нем может быть определено в единой декартовой системе осей, а квадрат линейного элемента представлен в пифагоровой форме (1).
Определенно-положительная форма (3) может быть линейным преобразованием приведена к сумме квадратов
ds2 —/з, (z1, г2, г3) dzl2-|-62 (г1, г2, z3) dz22--'r b3 (z1, z2, z3) dz32, (5)
где zA— новые переменные, a bk— положительны. Величина }^bk (z1, z2, z3) dz!1 не является дифференциалом некоторой величины, и только фиксируя zl, z2, z3, можно принять da,;= ]^Ьк (zJ, z2, z3) dzk и этим определить в окрестности точки ,“%з декартову систему осей — пифагоров элемент длины. Иначе говоря, возможно локальное внесение в метрики Выполнение же условий интегрируемости обозначает вырождение в £3 во всей области задания функций gsk (ql, q2, q3), а не только в «касательном к ,“Х3 пространстве <§3».
Итак, искомые условия интегрируемости обеспечивают существование трех функций (2) или, что то же самое, возможность задания места любой точки вектор-радиусом
Г^гф’, q2, q3) (6)
в единой декартовой системе осей OXYZ. По этому заданию определяются базисные векторы Гу, а по ним формулами (4.2) их производные
Коэффициенты этой системы дифференциальных уравнений — символы Кристоффеля, вычисляемые по заданию квадратичной формы (4) по правилам (4.6).
Следствием их симметрии по индексам s, / являются соотношения
гарантирующие интегрируемость выражения
dr = rsdqs, (9)
иначе говоря существование вектор-радиуса (6). Теперь задача сводится к вопросу о существовании векторов r,s—требуется установить, какие условия следует наложить на коэффициенты системы (7) (в конечном счете на задание
488
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
(4) величин gsk), чтобы она была интегрируема. Выражения
I ,
drs = < f rmdq*
(10)
должны быть полными дифференциалами—производная по qk коэффициента при dq* должна быть равна производной по q* коэффициента при dqk
д (ml dim]
dqk is4 ls^J Г”’
” \dqk V C' W I \qk] J m \&qt\ sk\ ski \ qt} J '
Условия интегрируемости записываются в виде
n m=A/fflL±JmLpUmLpUmL0 (11)
Kkts- dq* ls^ ) ' [s4 ItfM JskJ I '
Тензорный характер этих величин обнаруживается рассмотрением разности компонент тензоров третьего ранга УлУ/пК ViW9 — вторых ковариантных производных контравариантных компонент вектора а. Имеем
„ dcfl ,(<71
Vt“ ^+W°S’
_ д*аЧ iq\da° д (<И ( q 1 das f q II m 1 (m I
dq^dq* l^sl dqk dqk Vs/ Ps I («m) |s/j
Подчеркнутые слагаемые взаимно уничтожаются при составлении разностей. Получаем
_д~ dqk
= Rkts-aS- (12)
Следствием этого соотношения и (11) является неоднократно применявшееся правило переставимости при действиях в индексов ковариантного диффер енцирования
(VfcVt — VtV*)a? = 0. (13)
Доказанное для вектора это правило сохраняется и для тензоров любого ранга — вышеприведенное вычисление лишь несколько усложняется.
Согласно (12) свертка величин RMf. с вектором определяет тензор третьего ранга. Эти величины поэтому представляют компоненты тензора четвертого ранга—тензора Римана — Кристоффеля, называемого также тензором кривизны в 5?з
i^=tkr*tsrmRktsm=rkr*r^rRMsr. (14)
В $3—это нулевой тензор. Четырежды ковариантные компоненты 4R по (14) и (11) определяются выражениями
Rktsm = gmrRktsm = gmr(-~-gm4[st, q] — ^-:gm,*{sk, <?] W \dqk dq1 )
-]rg.4m ({kq, r] [si, mJ — [tq, r] [sk, mJ)
§10] ТЕНЗОР РИМАНА - КРИСТОФФЕЛЯ. ТЕНЗОР РИЧЧИ 489
5
— были использованы формулы (4.6). Использовав соотношения
Smr^-hgmg = — gmq -^-bgmr = — gmg([rk, m] + [mk, г]), dqk dqk
приходим к выражениям
Rktsr^^~h[st, г] — ^—\sk, r\ gm4 [(\rk.. m] + \mk, r])[s/, <?] — ([г/, т]ф-dqk dq1
-| [mt, r]) [s&, q] — [km, r] [sf, + r] [s/г, 7]}.
Развернув еще выражения символов Кристоффеля первого рода (4.5), приходим к представлению ковариантных компонент тензора кривизны
Rktsr=^ q] [rt, m}_[s/, dx
2 \dqkdqs dqtdqs dqtdqr dqkdqr J
'} W Is'*
& \dqkdqS dq‘dqs dqfdqr dqkdqr / ' ' 1 '
(15)
Структура их симметрична относительно пар индексов (И) и (sr)
Rktsr-Rsriit (16)
и кососимметрична по индексам k, t и s, г
Rktrs — Rtksr> Rktsr — Rktrs- (17)
Поэтому парам индексов kt, sr надо задавать лишь значения 12, 23, 31, а комбинируя эти пары, рассмотреть лишь шесть компонент
d?1212> ^?1223> ^1231, ^2323’ ^2331’ ^3131 (1®)
из общего числа 81. Остальные или нули, или выражаются через перечисленные.
Имеют место тождества Риччи: оставив на месте четвертый индекс и перебрав круговую перестановку прочих индексов, имеем
Rktsr + Rtskr + Rsktr = 0. (19)
Это следует из того, что один из трех индексов kts неизбежно равен г. Приняв k = r, действительно получаем
Rktsk+ Rtskk+ Rsktk — ^’
так как второе слагаемое и сумма первого с третьим равны нулю.
Конечно, gSk = fs'rk< вычисляемые по заданию (6) вектор-радиуса места, тождественно обращают в нуль тензор кривизны. Если же, задавшись положительной симметричной матрицей и определив по ней обратную матрицу вычислим величины (18) и все они окажутся нулями, то это укажет на то, что квадратичная форма (3) приводима к пифагорову виду (1), gsk—ковариантные компоненты евклидова метрического тензора. В противном случае ds2—квадрат линейного элемента в 5?з-
По тензору 4R может быть составлен тензор второго ранга R путем замены диад гАг(, г'гг в (14) векторными произведениями r*Xrf, г?Хгг
/?=-| г*Хг'г'Хгг/?/ц5Г = у б*/”б^«г,лг„/?л.(5Г (20)
490
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
(введен для удобства множитель '.д). По (14) этот тензор, тензор Риччи, симметричен. Его контравариантные компоненты равны
Z?11 =' /?2323> R12—~R2'331< R1’ =~ ^2312’
ООО
Й22=|«3Ш. «3112- (21)
^3212-
Конечно, тензор Риччи обращается в нуль вместе с тензором кривизны.
В ортогональных криволинейных координатах соотношения (10) заменяются условиями
des=--^-dqk (s= 1,2,3) (22)
dqk
и требование интегрируемости — существования ортонормированного триэдра еъ е2, е3 приводится к виду (7.22). Подставив в них значения (7.16) векто-t
ров о, приходим к шести зависимостям Ляме
д 1 дНг д 1 дН1дН2
dq1 Нг dq1 'dq2 Н2 dq3 dq3
d2Ht___X-OHtOHt (23)
dq2dq3 H3 dq2 dq3 H2 dq2 dq3
(остальные получаем круговой перестановкой индексов). Соблюдение этих соотношений гарантирует приводимость выражения квадрата дифференциала дуги (7.9) к пифагорову виду. Условия (23) представляют требования обращения в £3 в нуль тензора Риччи, выраженные в ортогональных координатах.
§ 11. Сведения из теории поверхностей
Эти сведения будут использованы в основном тексте. Содержание § 11, конечно, не заменяет ни одной из многочисленных монографий по теории поверхностей.
1. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Поверхность определяется заданием вектор-радиуса р на ней, как функции гауссовых координат q1, q2
Р = Р(<?1, 92). (1)
Квадрат линейного элемента do2 на поверхности определяется определенно-положительной квадратичной формой (первая квадратичная форма)
I=d(j5=dp.rfp = prj.d9a.padpf3 = aa$4qadqP, GafJ = pa-pp (2) (греческим индексом задаются значения 1, 2). Здесь
Ра=^ («=1-2) (3)
— базисные векторы на поверхности. Матрице || || сопоставляется обратная || ||
а» = ^, а'-г а12—а-|оа₽| = а11п22-^2> = (4)
и- U Cl L“ 1
§ 11J СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 491
Этим определяется метрический тензор на поверхности
Е2- оарр“рр -=aalJpap|3 =РаР“. ра-й«₽рр, р® р ₽ = бр . (5)
Здесь р® также принадлежащие поверхности векторы взаимного базиса.
Поверхность представляет риманово многообразие ,7/а. Геометрию па ней можно построить, основываясь на знании квадратичной формы (2) — коэффициентов </2). Они могут быть определены измерениями длин отрезков,
проводимыми существами на поверхности, не знающими о третьем измерении. Мы покидаем поверхность, введя в рассмотрение единичный вектор нормали к ней
Дифференцированием соотношений ра-п = 0 приходим к формулам
Ра₽-П — — Ра-np 6«|3, рар-П — Р0-ПК, 6ар^6ра, (?)
определяющим величины ba^ — b^a. По ним строится вторая квадратичная форма поверхности
II -- bafrdqadq$, (8)
принимающая при переходе к новым переменным qa--qa(ql, <?2) вид
Н-6ар-^-----dqVdq6 67б dqVdq6, b-o, - Ькр -^т- . (9)
dqV dq6 dq'< dq&
Этим устанавливается, что Ьар — компоненты двумерного симметричного тензора
В-6кррарЗ =&«рарр =6“₽ркрр, 6a = aSv6av, (Ю)
а векторы па, пр оказывается возможным представить формулами
пк = — б£рр, пр=—&рра. (11)
Инварианты тензора В определяют величины
I, (В) =6i +b? = 2Н, /2 (B) = 6j &! —6? 62 = Д'=-i-(6П622—6^) (12) называемые средней (И) и гауссовой (Д') кривизнами поверхности.
2. Деривационные формулы. Вторые производные ркр вектор-радиуса поверхности не являются поверхностными векторами, их нормальные компоненты по (7) равны 6ар. Основываясь на определении коэффициентов аар = = ра-рр первой квадратичной формы и в точности повторив вывод формул (4.5), приходим к равенствам
--2 I~) =[а₽’ 71 v6 W ' (
Здесь в рассмотрение введены поверхностные символы Кристоффеля.
Формулам дифференцирования базисных векторов придается вид
ЮР^^Ртс /?®Вп (14)
(деривационные формулы Вейнгартена). Для векторов взаимного базиса они приобретают вид
,|5)
что следует из формул (4.7) и соотношений рар^ а®^Ь^б = 6б.
492
ПРИЛОЖЕНИЕ Ш. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
3. Геометрия в окрестности поверхности. Вектор-радиус г точки в евклидовом пространстве $3 в окрестности поверхности представляется выражением
г=р+п£. (16)
Здесь q3 — t,—третья координата, отсчитываемая по нормали к поверхности. Базисные векторы, ковариантные компоненты метрического тензора и их определитель определяются формулами
Га = рос ~т ?па — Ра—?^аРу, Г;{ П, (17)
йаР = ЯаР — ^26а^Ьр, g з = ра'П = 0, g33 = 1, (18)
g=giig22— gi2, /g=(riXr2)-n -= — 2//g-|-^2) (19)
— были использованы соотношения (7), (10), (11), (12),
Контравариантные компоненты метрического тензора при сохранении лишь линейных по £ слагаемых определяются выражениями
§ар = аар^2^ьар, (20)
что легко проверить непосредственным вычислением
gapg^ = (°aP — 2^feap) (a^ + 2£b&V) = 6a Ц- 2^ (aap^Pf '-P'^aP) = ^a, как и требуется. Векторы взаимного базиса в этом приближении, набла-опе-ратор и метрический тензор определяются теперь формулами
ra = ga₽rp =р“ + ^рр₽, г3 = п, (21)
v-^+%V<p“+SftS₽8,^+n5l' <22»
Е = rar“ + пп = pap“ + £ (6ppap₽ + &appР“) + пп = Е2 + 2£В 4- пп. (23)
Эти формулы позволяют сформулировать правила вычислений дифференциальных операций с точностью до линейных по £ слагаемых над тензорами, заданными в $3 в окрестности рассматриваемой «опорной» поверхности. В частности, при £=0 они определяют величины по самой поверхности. Приведем здесь пример тензора (vv<p)g= 0. Имеем
(VVT)£= 0 = [(г«^+п^) (г₽^+п^)^=о=[г«г₽^ +
I / a I д2ф , d2<p , „ дгЗ dtp dip дг₽ <?q> “1 4~(rzn--nrg) Д-ппчт^-ф-гИ——-Х-Д-г«п^-п -5Е--Х
1 ' dQdq0- 1 д£2 1 dqa dqfi 1 dt 1 dg d£Jg=o
и по (17), (21)
+(р.п+Ч)«)(-г^г + Д*Ь)+т,^.]>о. (24)
В предположении, что функции
„ дф дф
Ъ dqa ’
§ 111 СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 493
непрерывно дифференцируемы по координатам qa опорной поверхности *)
[М.-1 <я>
получаем
ПП [jJL=0^nn(vW0 ’ [S]5;=o n'[VW,^o'n' (26)
4. Формулы Гаусса, формулы Кодацци. Вторые производные вектор-ра-диуса г в окрестности поверхности, вычисляемые по (17) и (14), определяются формулами
га|3 = (Ра —£ЬаР?) = | Р? + 6арп — £ (h'i | Р6 + &а&урп-|-
+ рб^Г6“) = ({ар}~ *“) Рб4-(М~?^МП> (27)
гза = Па — — ^аРу, Г3з = 0. (28)
Использование формул (10.15) для представления компонент тензора кривизны (равных в нулю) приводит к громоздким выкладкам, Следует предпочесть непосредственное рассмотрение условий интегрируемости системы уравнений (10.10), приводимых здесь к виду
rfra=ra|3d7₽ +rapd?’ rfr3 = ra3d9“ + r33d? = na dqa. ^(29)
Интегрируемость второй группы очевидна: г3 = п. Первая группа распадается на две системы уравнений
а) б) _ ^‘аз
dq"? dq$ Я, ИЛИ dq$ drai dq2 dr - a2=0 dq1 (30)
Уравнения (30 а) выполняются тождественно. Это легко проверяется по формулам (27), (28), (14) и (И). Уравнения (306) будут нас интересовать на самой опорной поверхности
Приравняв нулю коэффициенты при п и р6 , приходим к двум формулам
Кодацци
Ма1
dq2
dq1
(a =1,2)
(31)
6 1 Pl a2 | ^6i~ | al j ^62
*) Квадратными скобками здесь обозначается разность предельных значений величин при £ ->--1-0 и С ->•—0
[М)Ь=о= Итф(?)— Нт ф(£). ь :^+о £->-о
494
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
и к формуле Гаусса
_____________LJ 6 Ь J У U 6 l._J V I. Р I _ (Ь Ь6._Ь гА, (32) dq1 (0.2 f dq- (al j ' | а2 | | yl | ] al | ]у2 ) ( ai 2 аг 1? •
Левая часть воспроизводит выражение (10.11) при k-- 1, т -6, s = a, 2 — это компонента Rua- тензора кривизны в ,7?а —на поверхности. Переходя к его четырежды ковариантному представлению, имеем
%Р12Кб =
и по (10.18) следует принять a—1, Сославшись на (10.15), приходим к представлению гауссовой кривизны через производные коэффициентов пергой квадратичной формы
Р — -L /д;.?11.___—2-^Р2 VLa“p(fH al[22 Ri —
'^2Цг' dqv Oq1dq‘1 j ' а
-[12, a] [12, £])=. —(,ЬгЬ22~ъУ) = -аК. (33)
5. Представления в линиях кривизны. В ортонормированием триэдре еь е2> ез
еа=рА| = ))Г- ез = п; «22=^2, <'!3 —0, Уа --= Н,Н2. (34>
В рассмотрении вводится плоская кривая Га — сечение поверхности плоскостью векторов еа, и. Главная нормаль этой кривой (нормаль в сторону вогнутости ее, к центру кривизны) обозначается гл, очевидно, что m = en, е=± 1. По формулам для кривой
Ап __ _ dea __ m
два ~ ра ’ два ~ Ра ' (,?5)
Здесь doa = Hadqa—элемент дуги на Га, ра-~ее радиус кривизны. Было бы ошибочно отождествлять главную нормаль пГ в бесконечно близкой точке на Га с ей', п'—нормаль к поверхности в ,-41’ • Такое свойство присуще по любой ортогональной сети на поверхности, а сети линий кривизны на ней. Далее предполагается, что кривые [ра|—линии кривизны. По их определению три вектора е>, п и п n,. dq1 расположены в одной плоскости
(е, X п)-(п+ пг dq1) = 0, — е2-п, = — р2 П1 = -L-bl=O.
Итак, на линиях кривизны
b2 = bi = 0, Д, = 0. (36)
По (35), (36) и (11) имеем теперь
П1 = -±Р1 = -(фР1, L=by L = bi.
Величины кр“г, обозначаемые Д”1, называются главными кривизнами поверхности— это взятые с надтечсацим знаком кривизна глнзных нормальных сечений Га. Итак, для линий кривизны
RiRs
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
495
Для координатных линий на поверхности, образующих ортогональную сеть, символы Кристоффеля представляются выражениями
ан. и dH, .. он.
111,2)=- [12,!] = /^,
ан» [22,11-= dq1 [22.2W/2>, (38)
1 1 И a in Из J 2 1 HL dlh ( Ц __ d In H,
111 Р од ’ U1) ~ Н% ’ )12) dq'1 ’
j 2 ( д 1п И 2 Р 1 . Н2 dH2 ) 2 | d In Н» (39)
! р/ ад ’ /22/ Hl dq1 ’ 122/ dq'1 '
Эти формулы совместно с (37) позволяют переставить формулы Кодацци и
Гаусса в видах
д /Д dfR 1 d H2_ dH2 1 (40)
,. ОД /?! dq'1 R2 ’ dq1 R2 ад Rj ’
Н,Н2_ d v dH2 d (41)
«1Я2 од 1 dq1 dq'1 П 2 P—• dq1
Оставаясь на поверхности, принципиально невозможно определить кривиз-ны линий па ней. Но измерения па поверхности (знание первой квадратичной j формы) позволяют существам па ней констатировать наличие или отсутствие ! гауссовой кривизны. Таково заключенное в формулах (30) и, в частности, (41) содержание теоремы Гаусса — одного из величайших его достижений. В § 10 П уже говорилось, что знание квадратичной формы (10.3) пространства трех измерений позволяет установить, является оно евклидовым £3 или римановым .Тф— в первом случае ‘R (!, во втором ффО. Аналогия с геометрией поверхности объясняет наименование этою тензора тензором кривизны пространства.
Изгибанием называют такую деформацию поверхности, при которой сохра-) няются расстояния между ее точками, иначе говоря, остается неизменной пер-вая квадратичная форма. Гауссова кривизна — инвариант изгибания.
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
МОНОГРАФИИ
1. Грин А. Е., Адкинс Дж. Е. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды.— М.: Мир, 1965.
2. Лурье А. И. Теория упругости.— М.: Наука, 1970.
3. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости.— М.: Гос-техиздат, 1948.
4. Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды.— М.: Физматгиз, 1962.
5. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошной среды,—М.: Мир, 1975.
6. Er ingen А. С. Nonlinear Theory of Continuous Media.— McGraw—Hill. New York, London, 1962.
7. Green A. E., Zerna W. Theoretical elasticity.— Oxford, Clarendon-Press, 1954.
8. Grioli S. Mathematical theory of elastic equilibrium (recent results).— Ergebnisse angew. Math., № 7. Springer — Verlag, 1962.
9. Leigh D. C. Nonlinear Continuum Mechanics.— McGraw—Hill, New York, London, 1968.
10. Truesdell C. The mechanical foundations of elasticity and fluid dynamics.— J. Rational Meeh, and Anal., 1952, v. 1, p. 125—300; Corrections and additions.— J. Rational Meeh, and Anal., 1953, v. 2, p. 505—516.
11. Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of mechanics.— Encyclopedia of Physics. II1/3, Springer — Verlag, 1965.
В книге имеется подобный библиографический указатель работ по нелинейной механике сплошной среды до 1965 г. Рост интереса по этим исследованиям иллюстрируется числом публикаций: 1938 г.— 4, 1949 г.— 28, 1960 г.— 60, 1962 г,—79.
12. Truesdell С., Toupin R. A. The classical field theories.— Encyclopedia of Physics, III/I, Springer—Verlag, 1960.
13. Wang С. C., Truesdell C. Introduction to rational elasticity.— Woltjers—Noordhoff, Groningen, 1972.
К ГЛАВЕ 1
Глава геометрического содержания, естественно предпосылаемая изучению механики твердого деформируемого тела.
В §§ 1—3 поясняются исходные понятия: материальные координаты и координаты места, отсчетная и актуальная конфигурации, векторные базисы в них, тензоры, градиенты места.
В §§ 4—5 через градиенты места определяются меры деформации и обратные им тензоры. Приписываемые им собственные имена (Коши — Грина, Альманзи, Фингера) не претендуют на историческую точность.
В § 6 введены полярные разложения градиентов места, рассматриваются «тензоры искажений» (6.4) и ортогональные тензоры, сопровождающие деформацию (6.5) — (6.7). Переход от мер к тензорам деформации осуществлен в § 7,
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
497
Постоянное применение найдет преобразование ориентированной в отсчетной конфигурации площадки в актуальную—формулы (8.5) —(8.8).
Включение §§ 9—12 преследует цель подготовить аппарат преобразований, применяемых в главах 4 и 8.
Основные кинематические величины, понятие материальной производной и вычисление ее рассмотрены в §§ 13—14.
В § 15 введено понятие индифферентной величины. Сформулирована теорема Зоравского (15.10) об индифферентности тензора, деформации скорости, неиндифферентности вихря. Она использована в § 16 для построения операции объективного дифференцирования.
В § 18 намечен ход решения задачи об определении вектора места по заданию меры деформации. Введенные А. П. Норденом тензоры аффинной деформации третьего ранга нашли применение в § 19. Например, задача § 18 оказывается сведенной к системе линейных дифференциальных уравнений (19.12) для градиента места, коэффициенты которой—компоненты тензора аффинной деформации (19.9); дифференциальные операции над функциями градиента места или мер деформации ставятся в связь с производными по этим мерам, формулы (19.20), (19.23).
Содержание главы основано на книгах [3], [4], [6], [10] —[12]; использованы материалы статей:
1.1. Норде н А. П. К вопросу о геометрической теории конечных деформаций.—Изв. Казанского филиала АН СССР, серия физ.-мат. и техн, наук, 1950, № 2, с. 53—61.
1.2. Зубов Л. М. О производной Яуманна для тензора второго ранга.— Изв. Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки, 1976, № 2, с. 27—30.
К ГЛАВЕ 2
В § 1 введены в рассмотрение массовые и поверхностные силы, пояснено понятие о силовом тензоре (1.16). В §§ 2—3 в рассмотрение введен тензор напряжений и приведены уравнения движения сплошной среды. Уточненное изложение содержания §§ 1—3 см. в книге [5].
Формулами (3.7), (3.14) определены среднее по объему и моменты первого порядка тензора напряжений. Подробнее об этом —в книгах [2], [8].
Наиболее полно тензор функций напряжений (§ 4) рассмотрен в книге 2.1. К рутков Ю. А. Тензор функций напряжений и общие решения в статике теории упругости.— М.: Изд-во АН СССР, 1949.
Мы ограничились только упоминанием о далее не рассматриваемых полярных средах. См. [6], [8], [10].
В §§ 6—7 введены тензор Пиола (6.2) и «энергетический тензор» напряжений (6.11). Использование тензора Пиола упрощает многие выводы и соотношения нелинейной теории. Это можно объяснить простотой представления (7.5) через него удельной элементарной работы; существенно также, что уравнения статики, представленные через тензор Пиола (6.4), (6.5), отнесены к отсчетной конфигурации. Об определении тензоров напряжений см. также [3].
К ГЛАВЕ 3
В §§ 1—3 приводятся определения простого тела и упругого простого тела. Изложение основано на сформулированных Ноллом в его хронологически первой публикации о принципах причинности, соседства и материальной индифферентности.
3.1. Noll W. On the continuity of the solid and fluid states.— J. Rational Meeh, and Anal., 1955, v. 4, p. 3—81.
498
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Вводится понятие простого материал:! (2.4) и устанавливается его фундаментальное свойство (2.9). Даются определения упругого материала (3/:), (3.10) и приводятся записи (3.15) — (3.18) ею уравнений состояния.
Следствием замены отсчетной конфигурации может быть изменение формы уравнения состояния при неизмснившемся актуальном напряженном состоянии, но не исключена возможность, что эта форма сохранится. Это связывается с понятием «группы равноправности') материала (§ 4) и со строгим определением свойства его изотропин (§ 5). Следствием являетсг! соотношение (5.7) — тензор напряжений оказывается изотропной тензорной функцией правого тензора искажений и поэтому' представим квадратичным трехчленом (5.9).
В §§ 6—8 даются определения и разъясняются понятия твердого тела (изотропного и анизотропного), упругой жидкости.
Использована литература [5], [9], [11].
К ГЛАВЕ 4
В этой главе, как и в последующих 5—8 рассматривается гииерупрутая среда (упругость по Грину); к определению упругого тела добавляется требование существования потенциальной энергии деформации — функции градиента места, вариация которой равна элементарной работе внешних сил («накопленной энергии»); через ее производные выражаются тензоры напряжений — см. (1.4)-(1.9).
В § 2 приведены уравнения состояния ортотропного и трансверсальноизотропного упругого тела. Их применение можно найти в книге [1].
Уравнения состояния изотропного упругого тела приведены в 3 в форме представления тензора напряжений Коши через меры деформации Фингера и Альманзи: часто используются формулы (З..ь) для главных напряжений и (3.11) для главных сил. Свойства нелинейно упругого изотропного материала, таким образом, описываются тремя функциями инвариантов деформации, например (3.5), связанных дифференциальными соотношениями (3.G). Линейная теория обходилась лишь двумя постоянными Ляме; естественно, что многие эффекты нельзя объяснить в ее рамках.
В §§ 5—6 введен тензор 0, которому в варьированном напряженном состоянии отведена роль тензора напряжений — см. (6.2) — (6.4). Связи 0 с конвективной производной тензоров Коши и Пиола представлены формулами (5.9), (5.10). Последняя указана в работе
4.1. Зубов Л. М. Вариационные принципы нелинейной теории упругости.
Случай наложения малой деформации на конечную.— Прикл. матом, и мех., 1971, т. 35, № 5.
Тензор 0 вычисляется по формуле (5.8), менее отчетливо представленной в [2].
В §§ —9 дается определение тензора упругостей — тензора четвертого ранга, равного производной тензора напряжений по мере деформации, через которую он выражен. Формулой (7.9) дается его инвариантное представление, (8.4) — его компоненты. Следует остановить внимание на формулах (7.12) — (7.14), выражающих коэффициенты Ляме через значения коэффициентов уравнения состояния и их производных в натуральной отсчетной конфигурации.
В векторном базисе собственных направлений меры Фингера компоненты тензора упругостей вычисляются по формулам (8.6) — (8.8); их содержание разъясняется представлениями (8.9) — (8.10) через главные напряжения.
Уравнения равновесия, выраженные через вектор места в актуальной конфигурации («уравнения в перемещениях»), представлены в § 10 в различных видах, наиболее простой —(10.3). Это — система уравнений в частных производных сложной структуры линейных относительно старших (вторых) производных вектора места. Понятие об эллиптичности (§11) связывается со свойствами гладкости решений. Особенностей их следует ожидать вне некоторой области параметров, определяющих деформацию. См. работы
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
499
4.2. Knowles J. К.. Sternberg Е. On the ellipticity of the equations of nonlinear elastoslatics for a special material.— J. Elasticity, 1975, v. 5, 3—4.
4.3. Knowles J. K., Sternberg E. On the failure of ellipticity of the equations for finite elastostati> plane strain.— Arch. Rational Meeh, and Anal., 1977, v. 63. № 4.
Признак сильной эллиптична сти формулируется в неравенствах (11.6), (11.8). Он сюдг'м к требованию сп «еделсиной положительности акустического тензора (11.14). Общее представление этого тензора и специализация для некоторых заданий удельной потенциальной энергии деформации даны в работе
4.4. Лурье А. П. Критерий эллиптичности уравнений равновесия нелинейной теории упругости,—Механика твердого тела, 1979, №2, с. 213—234. Представление акустического тензора в триэдре главных направлений меры Фингера приводится в (12.9), (12.10); см. также [5].
В 13—14 описываются формулировки и приемы решения краевых задач статики нелинейной теории упругости, поясняется понятие «универсальных решений». Формулируется теорема Эриксена об их несуществовании при неаффинных преобразованиях
4.5. Ericksen J. I.. Deformations possible in every compressible isotropic, perfectly elastic materials.— J. Math. Phys., 1955, v. 34, p. 126—128
и приводится ее доказательство, предложенное Шилдом.
4.G. Shield R. Т. Deformations possible in every compressible, isotropic, perfectly elastic material.— J. Elasticity, 1971. v. 1, № 1.
Вариационные принципы рассматриваются в 16—19. Они полно представлены (семь формулировок) в работе
4.7. Зубов Л. М. Вариационные принципы нелинейной теории упругости.— Прикл. матем. н мех., 1971, т. 35, №> 5.
Особый интерес представляет принцип стационарности дополнительной работы, поскольку оказалось возможным выразить его через функционал, не содержащий определяемых по мерам деформации величин. См.
4.8. Зубов Л. М. Принцип стационарности дополнительной работы в нелинейной теории упругости.— Прикл. матем. и мех., 1970, т. 34, № 2.
Эта работа вызвала отклики в статьях
4.9. Koi ter W. Т. On the principle of stationary complementary energy in the nonlinear theory of elasticity.— SIAM J. Appl. Math., 1973, v. 25, № 3.
4.10. Ko i t e r W. T. On the complementary energy theorem in non-linear elasticity theory.— Technische Hogesschool Delft, 1975, № 72.
4.11. C h r i s t о f f e r s e n J. On Zubov’s principle of stationary complementary energy and a related principle.— Danish Center for Applied Math, and Meeh., 1973, Rep. 44
(принцип применен к анизотропному телу).
Неоднозначность представления градиента места через тензор Пиола, на что обращалось внимание в [4.9] — [4.11], проанализирована в статье
4.12. Зубов Л. М. О представлении градиента перемещения изотропного упругого тела через тензор Пиола.— Прикл. матем. и мех., 1967, т. 40, .Ks 6.
К ГЛАВЕ 5
Уравнение состояния приобретает конкретное содержание после того, как принято то или иное представление удельной потенциальной энергии через инварианты мер деформации.
Не приводит к цели предложенная Сетхом замена в законе Гука линейного тензора деформации тензором конечной деформации — условия существования удельной потенциальной энергии оказывается невыполненными.
5.1. Seth В. R. Finite strain in elastic problems.— Phil. Trans. Roy Soc.
London, 1935, v. A234, p. 231—264.
500
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Общее представление квадратичного закона зависимости тензора напряжений от тензора деформации содержится в уравнении состояния Синьорини (2.9), согласующемся с существованием удельной потенциальной энергии.
5.2. Sig nor ini A. Transformazioni termoelastiche finite.— Mem. la. Ann.
di Mat. (4), 1943, v. 22, p. 33—143; Mem. 2a. Ann. di Mat. Рига Appl. (4), 1949, v. 30, p. 1—72.
См. также [8] и работу
5.3. ЗволинскийН. В., РизП. М. О некоторых задачах нелинейной теории упругости.—Прикл. мат. и мех., 1939, т. 2, № 4.
Мурнаган предложил исходить из полиномиального представления удельной потенциальной энергии деформации (3.1) или (3.2). Работы Мурнагана объединены в монографии
5.4. Murnaghan F. D. Finite deformation of an elastic solid.— Second Edition, N. Y., 1967.
Постоянные закона Мурнагана третьего порядка (/, т, и) определяются в акустических измерениях; к настоящему времени о них накоплено значительное число данных. Таблицы 1—3 содержат сведения к 1975 г.
Формулы, выражающие изменение модулей объемного сжатия и сдвига с коэффициентами Мурнагана, получены Вангом.
5.5. Wang С. С. Second order change of volume in isotropic materials free from applied loads.— Zeitsch. angew. Math, und Meeh., 1966, v. 46, № 2, p. 141—144.
Формулы (4.5)—(4.8), определяющие преобразование коэффициентов законов Синьорини и Мурнагана при преобразовании подобия отсчетной конфигурации, в частности, в изотермических состояниях отличающихся температур, имеются в книге
5.6. Brillouin L. Les Tenseurs en Mechanique et en Elasticite.—Pans, Masson, 1932.
Удельная потенциальная энергия деформации материала, названного Джоном гармоническим и далее называемого полулинейным, представима квадратичной формой (5.2) относительных удлинений, приводимой к виду (5.4).
5.7. John F. On finite deformation of elastic isotropic material.— Inst. Math.
Sci. New York Univ.' Report IMM-NYU, 1958, № 250.
Представление (5.9), (5.11) удельной потенциальной энергии и дополнительной работы через тензор Пиола и формулы для вектора места получены в [4.8] и [2]. Условия сильной эллиптичности полулинейного материала сообщил автору Е. Л. Гурвич; см. также [4.4].
Представление удельной потенциальной энергии (6.1) было предложено в работе
5.8. Blatz Р. J., Ко W. L. Applications of finite elasticity theory to deformation of rubbery materials.—Trans. Soc. Rheol., 1962, v. 6, p. 223—251.
Упрощенный вариант использован в [4.2]. Акустический тензор определяется формулой (6.14), приводимой к виду (6.15), использованному в [4.2]. В другом варианте выражения (6.1) материал оказывается сильно эллиптическим при любых деформациях.
В § 7 удельная потенциальная энергия деформации представлена суммой энергии изменения объема и формоизменения. Уравнение состояния приводится к виду (7.11). См.
5.9. Пальмов В. А. Колебания упруго-пластических тел.—М.: Наука, 1976.
Тригонометрическое представление уравнения состояния, предложенное В. В. Новожиловым, выражено формулой (8.18); удельная потенциальная энергия деформация представлена по (8.16) через первый инвариант логарифмической меры деформации (тензор Генки), второй инвариант его девиатора и фазу подобия девиаторов тензора напряжений и тензора Генки.
В §§ 9—12 ставится задача сформулировать общие требования к заданию удельной потенциальной энергии — оно не должно приводить к результатам,
ЛИТЕРАТУРА и" БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
501
не согласующимся с интуитивными представлениями о поведении упругого тела. Большое место предложенным критериям отведено в [5], [12], [13].
Критерий монотонности напряженного состояния (9.4) предложен в работе. 5.10. Coleman В. D., Noll W. Material symmetry and thermostatic inequalities in finite elastic deformation.— Arch. Rational Meeh, and Anal., 1964, v. 15, p. 87—111.
В предположении, что полярные представления сравниваемого и актуального градиентов места выражены через один и тот же ортогональный тензор, приходят к неравенству (9.7) и его дифференциальной форме (9.10). При более общем выборе сравниваемой конфигурации в § 10 к условиям, диктуемым неравенствами (9.10), добавляются неравенства (10.14).
Следствия, извлекаемые из критериев монотонности и сильной эллиптичности, собраны в § 13.
Значения коэффициентов Мурнагана в таблицах 1—3 указаны по данным работ [5.11] — [5.19].
5.11. Crecraft D. I. Ultrasonic wave velocities in stressed nickel steel.— Nature, 1962, t. 195, № 4847, C. 79—80.
5.12. Smith R. T., Stern R., Stephens R. W. B. Third-order elastic moduli of polycristalline metals from ultrasonic velocity measurements.— J. Acoust. Soc. Amer., 1966, t. 40, № 5, c. 1002—1008.
5.13. Савин Г. H., Лукашов А. А., Лыско Е. М., Веремеенко С. В., В о ж е в с к а я С. М. Распространение упругих волн в твердом теле в случае нелинейно-упругой модели сплошной среды.— Прикл. мех., 1970 , 36, № 2, с. 38—42.
5.14. Субботина Е. К-, Секоян С. С. Об определении барической зависимости скоростей распространения упругих волн в твердых телах по результатам ультразвуковых измерений при одноосном нагружении образцов.— В кн.: Сборник трудов 1 Всесоюзного совещания по физике и технике высоких давлений, Донецк, 1973.
5.15. Seeger A., Buck О. Die experimentalle Ermittelung der elastischen Konstanten hoherer Ordnung.— Z. Naturforsch., 1960, 15a, c. 1056—1067.
5.16. Гузь A. H., Махорт Ф. Г., Гуща О. И., Лебедев В. К. К теории распространения волн в упругом изотропном теле с начальными деформациями.— Прикл. мех., 1970, т. 6, № 12, с. 42—49.
5.17. Bogardus Е. Н. Third-order elastic constants of Ge, MgQ and fused SiO2.—J. Appl. Phys. 1965, T. 6, № 12, c. 42—49.
5.18. Hughes D. S., Keil у J. L. Second order elastic deformation of solids.—Phys. Rev. 1953, T. 92, № 5, c. 1145—1149.
Подробные данные для стали ЭП-56 приводятся в работе
5.19. Секоян С. С., Субботина Е. К., Авербух И. И. Влияние термической обработки на константы упругости третьего порядка стали марки ЭП-56.— Труды ВНИИФТРИ, вып. 5(35), М., 1971.
К ГЛАВЕ 6
При аффинном преобразовании отсчетной конфигурации в актуальную определение напряженного состояния не требует конкретизации задания удельной потенциальной энергии деформации.
В §§ 1—3 рассмотрены преобразования подобия и одноосное напряженное состояние. В задаче о простом сдвиге (§ 4) обнаруживаются непредсказуемые линейной теорией нормальные напряжения. Более сложна задача о чистом сдвиге (§ 5) — по заданию напряженного состояния сдвига (5.1) разыскиваются главные значения меры деформации. Напряжение сдвига по (5.16) представляется функцией меры сдвига (5.6), однако восстановление формы этой зависимости по заданию удельной потенциальной энергии возможно только в приближениях. Задача рассмотрена также в работе
502
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
6.1. Moon Н., Truesdell С. Interpretation of adiscitiiious inequalities through the effects pure shear stress produces upon an isotropic elastic solid.— Arch. Rational Meeh., Math., 1974, v. 55, № 1, p. 1 — 17.
В §§ 6—9 рассматривается полулинейной материал. Решения задач Ляме для полого цилиндра и полой сферы приведены в § 6. Сложнее задача об изгибе круглой мембраны в § 7. Использован принцип стационарности дополнительной работы, уточнены уравнения, полученные в работе [4.10|.
Постановка плоской задачи рассматривается в § 8. Изложение близко к предложенному в работе
6.2. Лурье А. И. Плоская задача для полулинейного материала.— В кп.: Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа.— хМ.: Наука. 1972,—с. 289—296.
Плоская задача для полулинейного материала рассматривалась в работе 6.3. Овсянников А. В. К решению задач плоской деформации полулинейной упругой среды.— Прикл. мех., 1972, т. 8, Кг 10, с. 47—54.
Плоская задача для материала Мурпагана была предметом большого числа исследований 10. И. Койфмана, указанных частично в библиографическом перечне обзора
6.4. Савин Г. Н., Койфмап Ю. И. Общая нелинейная теория упругости (обзор).— Прикл. мех., 1970, т. 6, № 12, с. 3—26.
Общие уравнения плоской задачи (материал не специализируется) представлены в обзоре
6.5. Черных К. Ф- Обобщенная плоская деформация в нелинейной теории упругости.— Прикл. мех., 1977, т. 13, № 1, с. 3—30.
Примерами приложения соотношений § 8 служат доводимые до результативных формул задачи в § 9 об изгибании плиты в цилиндрическую панель и задача о скручивании полого цилиндра.
В §§ 10—14 рассматриваются эффекты второго порядка. Формулами (10.7), (10.10) даются представления тензоров напряжений Коши и Пиола с учетом всех слагаемых второй степени относительно компонент градиента вектора перемещения; в частности, для материала Мурпагана приведено выражение (Ю.9).
Построение решения и вопрос о его существовании рассмотрены в § И. Вопрос сводится к системе уравнений (11.12); затруднения возникают при равенстве нулю ее определителя. Им уделено значительное место в [8]. [П], [5.2].
Подход к задаче учета эффектов второго порядка, несколько отличающийся от описанного, предложен в работе
6.6. Rivlin R. S., Т о р а к о g 1 u С. A theorem in the theory of finite elastic deformation.— J. Rational Meeh, and Anal., 1954, v. 2, p. 53—81.
Обзор способов учета эффектов второго порядка дан в докладе
6.7. Truesdell С. Second order effects in the mechanics of materials.— Proc. Int. Symp. Second-Order Effects. Haifa, 1962, p. 1—47.
Формула (12.5), определяющая изменение объема подвергнутого дисторсии тела, была получена в работе
6.8. Zener С. Theory of lattice expansion introduced by coldwork.— Trans.
Amer. Soc. Mining Engrs, 1942, v. 147, p. 361—364.
Более общие результаты (и для анизотропного тела) — в статье
6.9. То up in R. A., Rivlin R. S. Dimensional changes in cristals caused by disclocations.— J. Math. Phys., 1960, v. 1, p. 8—15.
Эффекты второго порядка в задаче о кручении стержня (§ 12) рассмотрены в статье
6.10. Rivlin R. S. The solution of problems in second order elasticity theory.— J. Rational Meeh. and Anal., 1953, v. 2, p. 53—81.
Пример сжатого по боковой поверхности и скручиваемого стержня приведен в [8]. Задачи о плоской деформации сжимаемого и несжимаемого материала рассмотрены в монографиях [1], [7].
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 503
Плоская деформация сжимаемого и несжимаемого материала рассматривается в работе
6.11. Adkins J. Е., Green А. Е. Plane problems in second order elasticity theory.— Proc. Roy. Soc. London, 1958, v. A239, p. 257—275.
На необоснованность исходных предпосылок «физически-нелинейной» теории упругости в книге
6.12. Каудерер Г. Нелинейная механика.— М.: НЛ, 1361 указано в статье 6.13. Bharat ha S., Levinson M. On physically nonlinear elasticity.— Journ. of Elasticity, 1977, v. 7, № 3.
К ГЛАВЕ 7
В § 1 разъяснено понятие о наложении связи (формулы (1.1) — (1.4)) и представлены определяющие уравнения материала с наложенными связями.
В § 2 рассмотрен случай несжимаемого материала, записаны уравнения статики (2.11) и (2.19), приведена формулировка принципов стационарности потенциальной энергии и принципа Гамильтона — Остроградского.
В § 3 составлены уравнения статики в объеме (3.13) и на поверхности (3.10), служащие совместно с уравнением связи (3.12) для определения эффектов второго порядка.
В § 4 представлены выражения удельной потенциальной энергии в форме потенциала Муни, его упрощенного варианта — неогукова потенциала Трелоара и усложненного — Ривлина — Сондерса.
7.1. Mooney М. A theory of large elastic deformations.— J. Appl. Phvs., 1940, v. 11, p. 582—592.
7.2. Rivlin R. S„ Saunders D. W. Large elastic deformations of isotropic materials. Experiments of the deformations of rubber.— Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1951, v. A243, p. 251—288.
Экспериментальные данные для некоторых сортов резины дают основание к рассмотрению потенциала (4.8), рассмотренного в работе
7.3. Черных К- Ф., Шубина II. М. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов.— Механика эластомеров, Краснодар, 1977, т. I, с. 54—64.
Плоская задача рассмотрена в §§ 5—6. См. работы [6.13], [6.14]. Им уделено значительное место и в [1], [2], [7].
Упомянутая в § 5 обратная теорема Адкинса установлена в работе
7.4. Adkins J. Е. A reciprocal property of the finite plane strain equations.— J. Meeh. Phys. Solids, 1958, v. 6, p. 257—275
и нашла продолжение в работах
7.5. Hill J. М. On a duality of stress and deformations fields in finite elasticity.— J. Elasticity. 1973, v. 3, № 1.
7.6. Hill J. M., Shield R. T. Notes on a duality of stress and deformations fields in plane finite elasticity,— J. Elasticity, 1974, v. 4, № 2.
В § 7 рассмотрены задачи растяжения и простого сдвига в несжимаемом материале. Приведены выражения главных сил в плоском.напряженном состоянии; по ним обрабатывались результаты измерения в опытах Ривлина и Сондерса; см. [7,2], [11].
В § 8 сформулирована теорема Эриксена об универсальных решениях уравнений теории упругости для несжимаемого тела.
7.7. Ericksen J. L. Deformation possible in every isotropic uncompressible perfectly elastic body.— Zeitsch. angew. Math, und Phys., 1954, № 5, p. 466—486.
Ее доказательство, разбитое на несколько этапов, помещено в § 21.
Перечень универсальных преобразований представлен в § 9:
1) изгибание плиты в цилиндрическую панель, формулы (9.1) — (9.10);
2) разгибание цилиндрической панели, формулы (9.11)— (9.13);
3) преобразование цилиндрической панели, формулы (9.14)— (9.21);
504
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
4) радиально-симметричное преобразование полой сферы, формулы (9.22) —(9.25);
5) преобразование цилиндрической панели, формулы (9.26) — (9.28).
Пятое семейство преобразований было обнаружено в работе
7. 8. К 1 i n g b е i 1 W. W., Shield R. Т. On a class of solutions in plane finite elasticity.— Z. angew. Math. Phys., 1966, v. 17, p. 489—511.
Специальный выбор входящих в универсальные решения постоянных дает решение задач §§ 10—14. Эти строгие решения уравнений нелинейной теории упругости были найдены ранее Эриксена в основополагающих работах 7. 9. R i v 1 i n R. S. Large elastic deformations of isotropic materials. IV.
Further developments of the genera! theory.— Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1948, v. A241, p. 379-397.
7.10. Rivlin R. S. Large elastic deformations of isotropic materials. V. The problem of flexure.— Proc. Roy. Soc. London, 1949, v. A195, p. 463—473.
7.11. Rivlin R. S. Large elastic deformations of isotropic materials. VI. Further results in the theory of torsion, shear and flexure.— Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1949, v. A252, p. 173—195.
Задача о напряженном состоянии во вращающемся цилиндре рассмотрена в работе
7.12. Green А. Е., Shield R. Т. Finite elastic deformation in incompressible isotropic bodies. — Proc. Roy. Soc., London, 1950, v. A202, p. 407—419.
Постановкам универсальных решений уравнений движения (§§ 15—16) уделено значительное место в [11] и [13]. Приведены примеры радиальных колебаний цилиндрической трубки (§ 18) и радиально-симметрических колебаний полой сферы (§ 19). См. работы
7.13. Knowles J. A. Large amplitudes oscillations of a tube of incompressible elastic material.—Quart. Appl. Math., 1960, v. 18, p. 71—77.
7.14. Guo Zhong-Heng, Solecki R. Free and forced finite amplitude oscillations of an elastic thick-walled hollow sphere made of incompressible material.—Arch. Meeh. Stosow., Warszawa, 1963, v. 15, S. 427—433.
Предложенный в §§ 18—19 способ решения этих задач отличен от рекомендованных в [11], [13] и в этих работах.
«Антиплоская» деформация рассмотрена в статьях
7.15. Knowles J. К. On finite anti-plane shear for incompressible elastic materials. —Journ. of the Australian Math. Soc., 1976, XIX, ser. B, part 4, p. 400—415.
7.16. Knowles J. K- A note on anti-plane shear for compressible materials in finite elastostatics. — Journ. of the Australian Math. Soc., 1977, XX, ser. B, part 1, p. 1—7.
7.17. Adkins J. E. Some generalizations of the shear problem of isotropic incompressible materials. — Proc, of Cambridge Phil. Soc., 1954, v. 50, p. 334 -365.
К ГЛАВЕ 8
В §§ 1—3 приводятся исходные соотношения: определяющие уравнения, уравнения нейтрального равновесия, принципы стационарности при наложении малой деформации на конечную. Использованы результаты из [2], [10]. Теоремы взаимности (1.15), (1.18) сформулированы в [4.1].
Приложения этих соотношений представлены в §§ 4—6. В § 4 рассмотрено наложение малой деформации на гидростатически напряженное упругое тело; показано, что его уравнения равновесия приводимы к виду уравнений линейной теории, если определить постоянные Ляме формулами (4.4), (4.10). Задача о кручении предварительно сжатого стержня рассмотрена в [7] и в статье 8.1. G г е е n А. Е., S h i е 1 d R. Т. Finite extension and torsion of cylinders.—
Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1951, v. A224, p. 47—86.
ЛИТЕРАТУРД И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 505
Распространение волн в однородно напряженной упругой среде (§§ 4—9) было предметом работ
8.2. Truesdell С. General and exact theory of waves in finite elastic strain.—Arch. Rational Meeh, and Anal., 1961, v. 8, p. 263—296.
8.3. Hayes M., Rivlin R. S. Propagation of a plane wave in an isotropic elastic material subject to pure homogeneous deformation.—Arch. Rational Meeh, and Anal., 1961, v. 8, p. 15—22.
В § 10 устойчивость равновесного состояния определяется условием минимума в нем потенциальной энергии системы. Представление этого условия неравенством (10.5) упрощает задачу, но оставляет в стороне трудные вопросы, возникающие, когда неравенство становится равенством.
Уравнения нейтрального равновесия для полулинейного материала (11.11) — (11.12) были другим способом получены в [2]; они оказались повторением уравнений, найденных задолго до того, как приобрели распространение воззрения и методы нелинейной теории.
8.4. Southwell R. V. On the general theory of elastic stability. — Phil.
Trans. Roy. Soc., London, 1913, v. A213, p. 187—244.
8.5. Biezeno С. B., He nek у H. On the general theory of elastic stabili-
ty.— K. Akad. Wet. Amsterdam Proc., 1930, v. 31, p. 569—592; v. 32, p. 444—456.
Совпадение следует объяснить тем, что тензор дополнительных напряжений, потребных, чтобы сообщить точкам среды из актуального состояния перемещение rjw, связывается уравнением состояния линейной теории упругости с тензором линейной деформации е (w). Это проходит для полулинейного материала; в работах [8.4], [8.5] не упоминается о материале.
Применение уравнений нейтрального равновесия к задаче о сжатом продольной силой цилиндре и сфере, сжатой распределенным по ее поверхности давлением, приведено в [2] и в работе
8.6. Sense nig С. В. Instability of thick elastic solids.—Comm. Pure and Appl. Math., 1964, v. 17, p. 451—491.
Задача о выпучивании пластинки рассмотрена в работе
8.7. Зубов Л. М. Приближенная теория выпучивания тонких пластинок из полулинейного материала при аффинной начальной деформации.— Прикл. матем. и мех.. 1969, т. 33, № 4, с. 668—675.
Задача об устойчивости сферы из материала Мурнагана рассмотрена в работе
8.8. Волокитин Г. И. Влияние физической и геометрической нелинейности на величины верхнего критического давления при выпучивании полой сферы.—Прикл. мат. и мех., 1978, т. 42, № 3, с. 504—510.
Отличный от предложенного способ построения уравнений нейтрального равновесия предложен в работах
8.9. БалабухЛ. И., Яковенко М. Г. Уравнения бифуркации равновесного упругого изотропного тела в скоростях изменения лагранжевых координат.—Прикл. матем. и мех., 1974, т. 38, № 4, с. 694—702.
8.10. Балабух Л. И., Яковенко М. Г. Об учете деформационной анизотропии в задачах устойчивости изотропных упругих тел.—В кн.: Механика деформируемых тел и конструкций, М.; Машиностроение, 1975, с. 52—61.
В § 12 рассмотрен прием приближенного определения критического нагружения колонны в случае полулинейного материала. Воспроизведены результаты в статье
8.1- 1. Pearson С. Е. General theory of elastic stability.—Quart. Appl. Math., 1956, v. 14, p. 133—144.
В рассмотрениях §§ 17—19 исходной является работа
8.12. Hol den J. Т- Estimation of critical loads in elastic stability theory.— Arch. Rational Meeh, and Anal., 1964, v. 17, p. 171—183.
В § 14 помещены требуемые сведения о константе Корна.
506
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
8.13. Bernstein В., Т о u р i n R. A., Korn inequalities for the sphere and circle.—Arch. Rational Meeh, and Anal., 1960, v. 6, p. 51—64.
8.14. Payne L. E.. Weinberger H. F. On Korn’s inequality.—Arch. Rational Mcch. and Anal., 1961, v. 8, p. 89—98.
Исследование Холдена продолжено Битти в работе
8.15. Beatty М. F. Estimation of ultimate safe loads in elastic stability-theory.— J. Elasticity, 1971, v. 1, № 2, p. 95—129, содержащей указания па предшествующие публикации.
Критерий Битти применен в § 16 к определению продольной сжимающей стержень силы. При всей грубости проведенных оценок она оказалась равной 0,4—0,6 эйлеровой критической для заделанного по концам стержня.
В § 17 рассмотрен полулинейный материал. Самостоятельное значение представляет уравнение состояния (17.7), когда удельная потенциальная энергия деформации представлена функцией инвариантов тензора искажений, в частности, (17.9) для полулинейного материала. Неравенство, определяющее безопасное нагружение, приводится к виду (17.14).
В §§ 18—21 приведено условие устойчивости равновесия и уравнения нейтрального равновесия несжимаемого материала (18.12) — (18.14), дано выражение критерия Битти в применении к задачам устойчивости равновесия в неискаженном состоянии (20.4) и сжатого стержня (21.4). См. также [8.15] и [1].
Понятие выпуклости удельной потенциальной энергии по градиенту места определяется неравенством (22.6), в частности, неравенством Адамара (22.8), эквивалентным свойству сильной эллиптичности. Приведенные в § 22 примеры имеют цель показать преимуществешюсть критерия Адамара перед иначе формулируемыми критериями выпуклости.
Содержанием §§ 22—25 автор обязан беседам с Е. Л. Гурвиче.м.
В § 23 доказывается, что следствием устойчивости равновесия является выполнение усиленного неравенства Адамара, иначе говоря сильная эллиптичность. Обратное предложение устанавливается в § 24 для первой краевой задачи. Приведен пример диска, деформируемого в жесткой обойме (§ 25).
Распространение волн в несжимаемой упругой среде (§ 26) было предметом рассмотрения в работах
8.16. Ericksen J. 1.. Он the propagation of waves in isotropic incompressible perfectly elastic materials.—J. Rational Meeh. Anal., 1953, v. 2, p. 329—337.
8.17. Sawyers K. N., R ivlin R. S. Instability of an clastic material.— Int. J. of Solids and Structures, 1973, v, 9, p. 607—613.
8.18. Sawyers K. R ivlin R. S. On the speed of propagation of waves in a deformed elastic material. — Journ. of Applied Mathem. and Physics (ZAMM), 1977, v. 28, p. 1045—1057.
8.19. Sayers K. N., R ivlin R. S. A note on the Hadamard criterion for an incompressible isotropic elastic material.—Meeh. Res. Comm., 1978, v. 5(4), p. 211-214.
Вопросы, связанные с критерием Адамара (§ 27), рассматривались в статьях 8.20. Truesdell С. General and exact theory 'of waves in finite elastic strain. — Arch. Rational Meeh. Anal., 1961, v. 8, p. 263—296.
8.21. Гурвич E. Л. Условие Адамара в нелинейной теории упругости.— Изв. АН СССР, МТТ, 1979, № 1, с. 45—51.
8.22. Лурье А. И. Критерий эллиптичности уравнений равновесия нелинейной теории упругости.— Изв. АН СССР, МТТ, 1979, №2, с. 23—34.
К ГЛАВЕ 9
Использованы книги |5[, [8], [11], [12], [5.9J, а также
9.1. Truesdell С. Rational Thermodynamics.—McGraw Hill, 1969.
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 507
ЛИТЕРАТУРА К ПРИЛОЖЕНИЯМ
П.1. Ко чин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.— М.: Наука, 1965.
П.2. Сокольников И. С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и механике сплошных сред.—М.: Наука, 1971.
П.З. Мак-Коннел Дж. Введение в тензорный анализ.—М.: Физматгиз, 1963.
К ПРИЛОЖЕНИЮ I
§§ 1 —11 содержат разъяснения основных понятий: векторные базисы, символы Леви-Чивита, тензор второго ранга, его инварианты, главные оси и главные направления, полярное представление. Дополнительны.' сведения см. [П.З].
О главных значениях и направлениях тензора второго ранга в хорошо известных курсах, например, [П.1], [П.2], говорится лишь в применении к тензору второго ранга. В § 9 рассмотрен, следуя [4], общий случай.
Содержание § 15 найдет многократные применения в основном тексте книги. Понятие об изотропных тензорах четвертого ранга поясняется в книге П.1.1. Jeffreys Н. Cartesian Tensors.—Cambridge University Press, 1931. Изотропные тензоры шестого ранга использованы в работе
П.1.2. Toupin R. A., Bernstein В. Sound waves in deformed perfectly elastic materials.—J. Acoustic Soc. Amer., 1961, v. 33, p. 216—225.
Читатель облегчит себе труд изучения предмета, если остановит внимание на часто используемых далее соотношениях:
1. Формула свертывания компонент тензора Леви-Чивита (2.5) — (2.7).
2. Правила двукратного свертывания произведения тензоров (7.15) — (7.17).
3. Представления инвариантов тензора второго ранга (7.4), (7.9). (7.11), (9) и (8); теорема Гамильтона — Кэли (9.21), (9.22).
4. Правила действий с изотропными тензорами (15.3) — (15.9).
5. Формулы связи кососимметричного тензора с сопутствующим вектором (14.9), (14.17).
6. Определения ортогонального тензора (8.1), (8.12), (8.16); представления вектора (8.10) и тензора второго ранга (8.11) в повернутых базисах.
К ПРИЛОЖЕНИЮ II
Основное место уделено действиям дифференцирования скаляра и тензора по тензорному аргументу. Инвариантные определения этих операций даются формулами (2.7), (4.6); формулами (3.1), (3.2), (3.3) определяются производные инвариантов тензора и скалярной функции их. Приведены правила дифференцирования произведения тензоров (4.10) и замены аргумента (4.12). Использование изотропных тензоров четвертого ранга обеспечило краткость выводов и записей полученных соотношений (4.10) — (4.16).
Содержание §§ 2-4 воспроизведено в работе
П.П.1. Лурье А. И. Дифференцирование по тензорному аргументу. — В кн.: Вопросы математической физики. —Л.: Наука, 1976, с'. 48—57.
См. также
П.Н.2. Pietraszkiewicz W. Stress in isotropic elastic solid under superposed deformations. — Archiwum Meehaniki Stosowanej, 1974, v. 26, p. 871-884.
П.П.3. Лурье А. И. О дифференцировании тензоров по времени.—Л.: Машиностроение, Труды ЛПИ: 1971, № 318.
Разъяснение понятия изотропного в подгруппе ортогональных тензоров содержится в § 5. Рассмотрены примеры моноклинной, ортотропной, кубической, трансверсально-изотропной симметрий. Изложение прямо ведет к цели, но менее общо, чем в [1].
508
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Теорема о квадратичной зависимости изотропной тензорной функции ог симметричного тензора представлена в § 7. В §§ 8—9 рассмотрена задача об обращении этой зависимости. Здесь существенно использована работа П.П.4. Но вожиловВ. В. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейно-упругих телах.—Прикладная математика и механика, 1951, т. 15, № 2.
См. также
П.П.5. Truesdell С., Moon Н. Inequalities sufficient to ensure semi-in-vertibility of isotropic functions. — J. of Elasticity, 1975, v. 5, № 3—4.
К ПРИЛОЖЕНИЮ III
Знакомый с тензорным анализом по книгам [П.1] — [П.З] не найдет для себя существенно нового в этом Приложении.
Изложение имеет цель приучить к действиям с набла-оператором и ковариантного дифференцирования; опущены не используемые в основном тексте рассмотрения параллельного переноса, геодезических линий и т. п.
Рекомендуется остановить внимание на соотношениях (3.7), (3.10), (2.19), (6.4), (6.5). Повсеместное применение найдет преобразование Гаусса — Остроградского (§ 8). Включение § 11 имело целью вывод, существенно используемый в гл. 4, § 11 (формулы (4.11.26)). Понятия о средней и гауссовой кривизнах поверхности используются в гл. 7 при разыскании универсальных решений Эриксена.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Анизотропия 96
Базис векторный взаимный 13, 31, 423 — — исходный 13, 31, 422, 466
Дифференцирование ковариантное 14, 472, 473
— скаляра по тензору 449
— тензора по градиенту места 29
— — по тензору 451
Вариация вектора 30
— вторая скалярной функции тензора 35, 453
Варьирование синхронное 147
Вектор 425
— в повернутом базисе 433
— главный массовых сил 57
— — поверхностных сил 58
— индифферентный 43
— места 14
— Пиола теплового потока 408, 414, 415
— сопутствующий 439, 443
— теплового потока 407, 411, 414
Вектор-радиус 466
Вектор-ротор 468, 474
Величина индифферентная 42
Вихрь вектора 468
Волны главные 348
Выпуклость функции 188
— — по градиенту 380
Градиент вектора 467
— — в ортогональных координатах 480
— — транспонированный 467
— деформации 16
— дивергенции вектора 475
— тензора 476
— места 14, 21, 31
— — второй 73
— — транспонированный 14, 15
— ротора вектора 476
— скаляра 467
Группа равноправности материала 91, 100
Жесткость при кручении 238
Жидкость идеальная 102
— классическая Навье — Стокса 86
— несжимаемая 252
— простая 101
— стоксова 101
— упругая 101
Зависимости Ляме 490
Задача Ляме 208, 295, 299
— - Сеи-Венаиа 71
Закон Сетха 151
— Синьорини 151—153
— — упрощенный квазилинейный 152
— сохранения массы 40, 57
— — энергии 406
Законы динамики эйлеровы 61, 67
Значение тензора главное 434
— — напряжений среднее по объему 68
— — собственное 434
— функционала стационарное 140
Изгибание 495
Изомер тензора 445
Изотропия 94, 99
Инвариант векторный 444
— тензора 430—432, 460
Инварианты мер деформаций 21
— тензоров деформации 25
Индифферентность материальная 83, 411, 412, 414
Движение квазиуравновешеиное 305
— жесткое 42
Девиатор 441
Действие по Гамильтону 147
Депланация 237
Деформация аитиплоская 313
— сдвига главная 120
— скорости 39, 44, 48
— универсальная 136
Диада 427
Дивергенция вектора 468, 474
— — в ортогональных координатах 481
— градиента тензора 476
— меры Фингера 55
— тензора 468, 474, 476
— — в ортогональных координатах 481
Дислокация 236
Диссипация энергии удельная 410, 411
Дисторсия Вольтерра 236
Колонна эйлерова 368
Компонента вектора 425
— — ковариантная 425
— — коконтравариантная 426
— — коитравариантная 425
— — контраковариаитиая 426
Константа Корна 362 — 364
Конфигурация актуальная 11
— неискаженная 94, 96
— отсчетиая 11
— — переменная 47
- 30
Координаты декартовы 11
— криволинейные ортогональные 477
— материальные 11
— места 11
— сферические 478
— цилиндрические 478
Коэффициент Ляме 477
510
ПРЕДМЕТ НЫЙ УКАЗА! ЕЛЬ
Коэффициент Ляме приведенный 339
— Пуассона 153, 195
Коэффициенты Мурнагана 1 5 1, 156 — 159, -116
Кривизна поверхности гауссова 191, 194, 195
— — средняя 491
Кристаллы жидкие 102
Критерий Адамара 399
— Битти 365, 366, 368, 378
— Бейкера —Эриксена 131
— Колемана — Нолла 117
— — — усиленный 180
— роста мощности 181
— эмпирический 186
Масса 40
Материал Адамара 371
— анизотропный 96
— Блсйтца и Ко 168, 187, 197, 205
— гармонический 161, 218
— гиперупругий 101
— изотропный 9-1, 99
— — твердый 100
— максимальной симметрии 93
— моноклинный 99
— Муни 264, 299
— Муни — Ривлина 314, 315. 371, 397, 10 1
— Мурнагана 151, 187, 224, 236, 250, 3 19, 369
— нсдиссипативный 410
— непростой второго порядка 73
— однородный 81
~ ортотропный 99, 106
— полулинейный 164, 198, 206, 218, 319
— полярный 72
— простой 73, 82—84
— с наложенными связями 102
— Сетха 151 — 153
— Синьориии 151 — 153, 186, 205
— — упрощенный 196
— твердый 95, 100
— — абсолютно 42
— трансверсально-изотропный 98, 99, 107
— триклинный 93
— упругий 103
— — несжимаемый 257
— — простой 87, 88
— — с наложенными связями 253
Мера деформации Атьмапзи 16, 21, 330, 322, 325
— — Генки 23, ill
— — Коши — Грина 16, 21, 22, 44
— — логарифмическая ill, 203
__ _ Фингера 20 — 22, И, 28!, 320, 337
— искажений 22
— сдвига 203
Метод полуобратный 13 1, 135
Модуль касательный 120
— объемного сжатия приведенный 310
Момент главный 57, 58
Моменты первого порядка тензора напряжений 69
Мощность 78
— напряжений 107
— — связи удельная 255
Набла-оператор в актуальной конфигурации 14, 15, 31
— Гамильтона 467
Нагревание 406
Нагружение «мертвое*» 59, 60, 131
— «следящее» 59, 132
Напряжение 66
— касательное 64
Напряжение нормальное 61
— определяемое 254
- - связи 251
— сдвига главное 120
Напряжения главные 61, 65
— комплексные Колосова — Мусхелишви ли 273
Начало термодннампл inopoe 409 — 411
— — первое 103, 408, 410, 411
Iк'равснс 1 ва дополнительные 190
Неравенство Адамара 3‘О, 381, 386, 399
— 13и I 111 365, 378
— диссипативное -110
— Клаузиуса - Дюгома 409
— Корна 362 —364
-- УЦОРЯДОЧС JlHi.lX сил 186
Обьем индифферентный -12
Однородность 81
Описание движения лагранжево Г-.
— — эйлерово 12, 13, 37
Определи гель тензора 128, 430
Ось напряжения главная 65
Ось равновесия 233
Ось тензора главная 134, 461
Оценки Холдена 358—362, 379
!е. 37
Параметры нагружения критические (бифуркационные) 336, 351
Перемещение жесткое 19
Перенос конвективный 38
1 Ело гпость 10
1 Бтощадка октаэдрическая 65
-- ориентированная 27
Ноле тензорное инднфферен нюе 12
Но.тппим тензора од ждс. ьнощи и 13 1, 42“
— — .характерно цчеслич 13 1
Положение равновесия 72, 336, 350
Порядок материала 82
Постоянна I Битти 365
Постоянные Лоло 118, 35 1, 446
- Мурнагана 15!, 15G, 159, 446
По'тспниа", Муни 174, 264, 283, 298
— напряжений 103
— исогуков 261
— Ривлина и Сондерса 265
— термодинамический 103
— — Гельмгольца 410
— Трелоара 26!
- ускорений 305, 306
11о।енциалы Мусхелишьили 216, 278
— — вюрые 280
1 !<) 1 OK T и 11 !0!’01! ’ 07
11РтI ила свертывания 421
Правило Нолла 92
— транечоппрования 429
Представление т •еизора полярное 110
— Максвелла и Морера 79. 71
Преобра зовачие аффинное 20, 52, 19 1
-- Гаусса — Ос iроградского 481. 182
— Новожилова 164, -11)5
— ортогональное 93, 94, 432
— подобия 93, 194
— — отсчетной конфигурации 111
— Сгокса 481, 483
— уяимодулярное 92
Принцип Зубова 144
— Гамильтона -- Осгроградского 147 — 1 19. 308
— материальной индифферентности 83, 89, 412. 414
— стационарности Ху—Вашицу 146
— — дополнительной работы 143, 211, 337
ИРЕ ДМ Е Т11Ы Й УКАЗАТЕЛЬ
511
Принцип стационарное-! п энергии 139, 258, 259, 33b — — Рейсснера 145
1Н-) i ell Ц11 a л ьно fi
— термодинамики торой -109—-111
— — первый 103, 408, 410, 111
Произведение векторное 422, 425, -in
• - матриц 429
— скалярное 422, 425, 428
- - тензоров 429
Производная вектора по направлению 467
— индивидуальная 38
— конвек1Ивная 32, 33
— материальная 38
— — интеграла 39
— — циркуляции вектора по материальному контуру 41
— объеьливпля (индпфферсп<пая) Ятманна--Нолла 45
— Олдройда 1G, 47
— произведенчя скаляра па тензор 152
— — тензоров 452
- - скаляра ио тензору 112. 1-19
— субстанциональная 38
— тензора по тензору 451
- - Трусделла 4 6, 47
Производные векторов взаимного базиса 171
— — основного базиса 470
— градиентов места 54
— инвариантов тензора 119, 450
— ковариантные 472. 473
-- мер деформации 54
Процесс адиабатический 418
— изотермический 117
— необратимый -109
-- обратимый 109
Работа дополни iельиая 142
- удельная 112
— лчеметарпая 59, 60—61. 76, 1 61
— - удельная 76, 77, 251
Равновесие 72, 336, 350, 352
Разложение полярное градиента моста 21
Разрыв слабый 126
Расширение объемное 26
Решение, уравнений теории ynpyj ост универсал иное 136
Решения универсальные Эриксена 317
Ротор вектора в ортогональных координатах 481
— градиента вектора 176
- - poiopa тензора -176
— тензора 468, 171
Сдвиг простой 199, 282
• - чистый 2 02
Сжаню объемное от постельное 163
Сила внешняя 57
— массовая 57, 328
— обьемная 57
- понерхносшая 58, 328
Силы главные 66
Символ Кропокора 123
-- Леви-Чивита 424
Символы Кристоффсля 14, 47’0, 471
Система уравнений равновесия эллиптическая 126, 127
Скаляр изотропный 151
- иплифферентаый -12
Сосгомвпе материала неискаженное 91
— — — натуральное 95
— напряженное линейное 281
— -- плоское 282
Сипи 39, 44
Среда (см. материал)
Среднее по объему низора напряжений 68
Тело (см. материал)
Температура 408, 409
Тензор акустический 129, 166 170 171 394
ЛеанЛзГоерС42е9СКИХ ’ матриц^
— аффинной деформации 53
— в повернутом базисе 433
— вихря 39, 44
— второго ранга 426
— высшего ранга 422
— единичный 13, 427, 430, 466
— дсмитропный 444
— деформации Альмапзи 24
— _ Коши — Грина 21
— — линейный 468, 481
— изотропный 44 1
— индифферентный -13
— искажения 22
- истинных напряжений 75
— кососимметричный 127, 139
-- кривизны 488, 495
— Леви-Чивита 13, 366, 442. 143
— «лишенный памяти» 48
— метрический 427, 466, 491
— моментов напряжений 72
- - напряжений Коши 61, 63, 6 1, 73, 80 81
— — приведенный 75 ’ ’
— неособенный 429
— несовместимости 70
— обратный 430
— — мере деформации Альмапзи 11, 15, 21
— — — — Коши — Грина 20, 21 ’
— орюгональный 432, 440
-- — сопровождающий деформацию 22
-- Пиола 73, 104, 105
Пиола-Кпрхгоффа второй 75
- поворота 433
• положительный 437
- Ривлина —- Эриксена 18
- - Римана — Кристоффсля 488
— Риччи 489, 490
-- силовой 60
— симметричный 427, 428, 438
— собственно-ортогональный 4 33
спина 468
। ранспонированный 426
— упругостей 116, 117, 119, 120
— функций напряжений 70, 71
— — — Пиола 276
— шаровой 437, 441
— энергетический 75, 77, 413
1 ензоры деформации 23,'24
Тензоры-изомеры 52
Теорема Адкинса 274
— взаимности 329, 330
- Гамильтона — Кэли 432, 437,,438
— Гаусса 495
— Гаусса — Остроградского 481, 482
-- Зоравскою 14
- Касчильяно 112
- • Кельвина 42
— переставимости 99
- - Риччи 473
— стационарности потенциальной энергии системы 139
- Стокса -183
— Эриксена 136, 283 — 285, 317 — 326
Теория сплошной среды моментная 72
_ мультиполярная 73
__ упругости 88, 103
-- — фнзически-нелинейная 249
Гсплоемкость 416, 417
Термоупругость 1 03
Тождеслва Риччи ^зд
Тождество Пиола 28
Трансформанта Фурье 389
5
512 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
i-I -^-1 !-l । J ' l-L I LL I J__L I L_L I __1 1 1 1 1 I 1 J I I 1 _ J_ LI 1 1 | xx 1 xx | x
Триэдр ортонормировании# 422
Удлинение главное относительное 17
Упругость 88
— по Грину 104, 448
— по Коши 104, 488
Уравнение баланса 62, 406
— Гельмгольца 468, 485
— движения Коши 68
— — несжимаемой упругой среды 305
— неразрывности 40
— несжимаемости 41
— определяющее 80, 434
— работы 78
— равновесия в варьированном состоянии 114
— распространения тепла 410, 411, 413, 416, 417
— состояния 80
— — изотропного материала 107 — 111
— — классической жидкости Навье — Стокса 86
— — ортотропного материала 106
---Сетха 151 — 153
— Синьорини 151—153
— — трансверсально-изотропного материала 107
— — упругого материала 88, 257, 261
— — упругой жидкости 101
— теплопроводности 410, 411, 413, 416, 417
— Фурье 417
— характеристическое 434
— — акустического тензора 347
Условие Адамара 383, 384, 386
— несжимаемости 272
— совместимости Синьорини 132
Условия ортогональности 433
Форма квадратичная поверхности 490, 491
Формула Гаусса 494, 495
— Гельмгольца 468, 485
— Коши 64
— Чезаро 486
Формулы Бриллуэна 162
— деривационные 479, 491
Формулы Кодацци 493, 495
— Колосова — Мусхелишвили 220
— Ляме 490
— Холдена 360
Функционал памяти 87
— Рейсснера 145
— Ху —Вашицу 146
Функция диссипативная удельная 410, 41
— напряжений Праидтля 71
— — Эри 70
— производящая преобразования Лежан дра 142, 414
— скалярная векторов 457
— — тензора 448
— — — изотропная 454
— тензорная линейная 447
— — тензора 458
— — — изотропная 458
Характеристика материала жесткая 241
— — мягкая 241
Число собственное тензора 434, 461
Эллиптичность материала 384, 388 — 390
— уравнений равновесия 126, 127
Энергия внутренняя 103, 406, 408
— — удельная 408
— — — запасенная 420
— деформации потенциальная 103
— — —удельиая 103
— изменения объема 172
— кинетическая 78
— полная 406
— потенциальная системы 139
— свободная 103, 411, 413
— —удельиая 410
— — — запасенная 420
Энтропия 409
— внутренняя 409
— удельная 409
Эффект Кельвина — Вертгейма 199
— Пойнтинга 199, 200,'295
М. М<
Ml М(
М(
н
н н.
н