/
Author: Лурье А.И.
Tags: общая механика механика твердых и жидких тел физика механика теория упругости
Year: 1970
Text
А. И. ЛУРЬЕ
Теория
упругости
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1970
531
Л 86
УДК 531
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 11
ЧАСТЬ Г
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 13
Глава I. Тензор напряжений 13
§ 1. Поле напряжений в сплошной среде 13
1.1. Координатные системы в механике сплошной среды A3). 1.2. Внешние силы A5).
1.3. Внутренние силы в сплошной среде A7). 1.4. Равновесие элементарного тетра-
тетраэдра A9). 1.5. Необходимые условия равновесия сплошной среды B1). 1.6. Тензор
функций напряжений B5).
§ 2. Свойства тензора напряжений 27
2.1. Преобразование компонент. Главные напряжения. Главные инварианты B7).
2.2. Круги Мора C0). 2.3. Разбиение тензора напряжений на шаровой тензор и
девиатор C2). 2.4. Примеры напряженных состояний C3).
§ 3. Материальные координаты 37
3.1. Представление тензора напряжений C7). 3.2. Зависимости Коши C7). 3.3. Необ-
Необходимые условия равновесия C8). 3.4. Другое определение тензора напряжений C9).
3.5. Элементарная работа внешних сил D0). 3.6. Энергетический тензор напряже-
напряжений D3). 3.7. Инварианты тензора напряжений D4).
§ 4. Интегральные оценки напряженного состояния 45
4.1. Моменты функции D5). 4.2. Моменты компонент тензора напряжений D5).
4.3- Случаи п=0, п=1 D6). 4.4: Моменты напряжений первого порядка D6). 4.5. При-
Пример. Сосуд под внешним н внутренним давлением D7). 4.6. Пример. Главный век-
вектор и главный момент напряжений в плоском сеченнн тела D8). 4 7. Оценка сред-
среднего значения квадратичной формы компонент тензора напряжений D9). 4.8. Оцен-
Оценка удельной потенциальной энергии деформированного линейно-упругого тела (.51).
4.9. Оценка удельной интенсивности касательных напряжений E1). 4.10. Моменты
напряжений второго и более высокого порядка E2). 4.11. Оценка снизу максимума
компонент напряжений E2). 4.12. Уточненная оценка E4).
Глава II. Деформация сплошной среды 57
§ 1. Линейный тензор деформации 57
1.1. Обзор содержания главы E7). 1.2. Определение линейного тензора деформа-
деформации E8).
§ 2. Определение вектора перемещения по линейному тензору деформа-
деформации 60
2.1. Совместность деформаций (зависимости Сен-Венана) F0). 2.'. Вектор переме-
перемещения. Формула Чезаро F3J. 2.3. Пример. Температурное поле F4). 2.4. Днсторсни
Вольтерра F6).
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Первая мера и первый тензор конечной деформации 68
3.1. Векторные базисы i>- и V-объемов F8). 3.2. Теизоры-градиенты V/J, 7г G1).
3.3. Первая мера деформации (Коши —Грии) G1). 3.4. Геометрическое значение
компонент первой меры деформации G3). 3.5. Изменение ориентированной пло-
площадки G4). 3.6. Первый тензор конечной деформации G5). 3.7. Главные деформа-
деформации, главные оси деформации G7). 3.8. Конечный поворот среды как твердого
тела G8). 3.9. Выражение тензора конечной деформации через лниейный тензор
деформации и линейный вектор поворота G8).
§ 4. Вторая мера и второй тензор конечной деформации 79
4.1. Вторая мера конечной деформации G9). 4.2. Геометрическое значение компо-
компонент второй меры деформации (80). 4.3. Второй тензор конечной деформации
(Альманзи — Гамель) (81).
§ 5. Связь между мерами деформации 82
5.1. Сопоставление мер деформации и обратных им тензоров (82). 5.2. Связь меж-
между инвариантами (82). 5.3. Представление мер деформации в главных осях (83).
5.4. Инварианты тензоров конечной деформации (85). 5.5. Объемное расшире-
расширение (86). 5.6. Преобразование подобия начального состояния (87). 5.7. Определение
вектора перемещения по мерам деформации (87).
§ 6. Примеры деформированных состояний 89
6.1. Аффинное преобразование (89). 6.2. Плоское поле перемещений (90). 6.3. Про-
Простой сдвиг (92). 6.4. Кручение круглого цилиндра (94). 6.5. Цилиндрический изгиб
прямоугольной плиты (95). 6.6. Радиальио-снмметричная деформация полой сфе-
сферы (97). 6.7. Осесимметричная деформация полого цилиндра (98).
ЧАСТЬ II
УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 100
Глава III. Закон состояния линейной теории упругости 100
§ 1. Изотропная сплошная среда . . 100
1.1. Постановка задачи лииейиой теории упругости A00). 1.2. Элементарная рабо-
работа A02). 1.3. Изотропная однородная среда Геики A03).
§ 2. Потенциальная энергия деформации 106
2.1. Внутренняя энергия лииейио-деформируемого тела A06). 2.2. Изотермический
процесс деформирования A07). 2.3. Адиабатический процесс A08). 2.4. Удельная
потенциальная энергия деформации. Среды Геики A09).
§ 3. Обобщенный закон Гука • > ; И1
3.1. Модули упругости A11). 3.2. Удельная потенциальная энергия деформации ли-
иейио-упругого тела A14). 3.3. Формула Клапейрона. Область значений модулей
упругости A16). 3.4. Учет температурных слагаемых. Свободная энергия A18).
3.5. Термодинамический потенциал Гиббса A20). 3.6. Уравнение теплопроводно-
теплопроводности A21).
Глава IV. Основные соотношения лииейиой теории упругости .... 124
| 1. Дифференциальные уравнения линейной теории упругости 124
1.1. Перечень исходных соотношений A24). 1.2. Краевые условия A24). 1.3. Диф-
Дифференциальные уравнения теории упругости в перемещениях A26). 1.4. Представ-
Представление решения в форме Папковича - Нейбера A28). 1.5. Решение в напряжениях.
Зависимости Бельтрами A31). 1.6. Преобразование Ю. А. Круткова A33). 1.7. Ре-
Решение Буссииека-ГалеркинаA35). Ь8. Криволинейные кбордИиаты A36). 1.9. Орто-
Ортогональные координаты A38). 1.10. Аксиальио-симметричйые задачи. Решение Ля-
ва A39). 1.11. Кручение тела вращения A41). 1.12. Деформация тела вращения A41).
1.13. Решение Папковича - Нейбера для тела вращения A44). 1.14. Учет темпера-
температурных слагаемых A46).
§ 2. Вариационные принципы статики линейно-упругого тела 148
2.1. Стационарность потенциальной энергии системы A48). 22. Принцип минимума
потенциальной энергии системы A50). 2.3. Метод Ритца A53). 2.4. Способ Галер-
кииа A54). 2.5. Принцип минимума дополнительной рабртн A56). 2.6. Смешанный
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
принцип стационарности (Е. Рейсснер, 1961) A59). 2.7. Вариационные принципы
при учете температурных слагаемых A61). 2.8. Принцип Сеи-Венана. Энергетиче-
Энергетическое рассмотрение A63).
§ 3. Теорема взаимности. Потенциалы теории упругости 167
3 1. Формулировка н доказательство теоремы взаимности (Бетти, 1872) A67).
3.2. Тензор влияния. Теорема Максвелла A68). 3.3. Применение теоремы взаимно-
взаимности A69). 3.4. Теорема взаимности при учете температурных слагаемых A72).
3.5. Тензор влияния в неограниченной упругой среде A73). 3.6. Потенциалы теории
упругости A76). 3.7. Определение поля перемещений по заданию внешних сил и
вектора перемещения на поверхности тела A79). 3.8. О поведении потенциалов
теории упругости на бесконечности A81).
§ 4. Теоремы единственности и существования решений 182
4.1. Теорема Кирхгоффа A82). 4.2. Интегральные уравнения первой краевой за-
задачи A85). 4.3. Интегральные уравнения второй краевой задачи A87). 4.4. Сопо-
Сопоставление интегральных уравнений первой и второй краевых задач A90). 4.5. Тео-
Теорема существования решения второй внешней и первой внутренней задачи A91).
4.6. Вторая внутренняя краевая задача IlW A92). 4.7. Эластостатическая задача
Робеиа A93). 4.8. Первая внешняя краевая задача iW A96).
§ 5. Напряженное состояние в двусвязном объеме 197
5.1. Обзор содержания A97). 5.2. Определение напряженного состояния по постоян-
постоянным барьера A98). 5.3. Теорема взаимности B00). 5.4. Потенциальная энергия ди-
сторсии B01). 5.5. Случай тела вращения B02). 5.6. Краевая задача для двусвяз-
иого тела вращения B05).
ЧАСТЬ III
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ... 207
Глава V. Пространственные задачи 207
§ 1. Неограниченная упругая среда 207
1.1. Силовые точечные особенности B07). 1.2. Система сил, распределенных в ма-
малом объеме. Формулы Лауричелла B09). 1.3. Интерпретация второго потенциала
теории упругости B15). 1.4. Потенциалы Буссииека B15). 1.5. Термоупругие пере-
перемещения B17). 1.6. Напряженное состояние, создаваемое включением B19).
§ 2. Упругое полупространство • 223
2.1. Задачи Буссинека и Черрути B23). 2.2. Частная задача Буссинека B24). 2.3. Рас-
Распределенная нормальная'нагрузка B25). 2.4. Применение функций Папковича — Ней-
бера к решению задачи Буссииека — Чеорути B27). 2.5. Тензор влияния в упругом
полупространстве B30). 2.6. Температурные напряжения в упругом полупростраяг-
стве B32). 2.7. Случай установившейся температуры B34). 2.8. О вычислении по-
потенциала простого слоя по плоской области B36). 2.9. Задача Дирихле для полу-
полупространства B37). 2.10. Первая краевая зацача для щолулрогтранства B40). 2.11.
Смешанные задачи для полупространства B41). 2.12. О принципе Сеи-Веиана.
Формулировка Мизеса B42). 2.13. Сверхстатическая система сил B44). 2.14. Тео-
Теоремы Стериберга A954) B46).
§ 3. Равновесие упругой сферы 247
3.1. Постановка задачи B47). 3.2. Первая краевая задача B48). 3.3. Эластостатн-
ческая задача Робеиа для шара B50). 3.4. Тепловые напряжения в шаре B51).
3.5. Вторая краевая задача для сферы B54). 3.6. Вычисление вектора перемеще-
перемещения B57). 3.7. Напряженное состояние в центре шара B59). 3.8. Тепловые напря-
напряжения B59). 3.9. Напряженное состояние в окрестности сферической полости B61).
3.10. Напряженное состояние в окрестности малой сферической полости в скручен-
скрученном цилиндрическом стержне B63). 3.11. Действие массовых сил B64). 3.12. Гра-
витирующнй шар B66). 3.13. Вращающийся шар B66). 3.14. Действие сосредото-
сосредоточенных сил B68). 3.15. Случай распределенной нагрузки B71).
§ 4. Тела вращения 272
4.1. Интегральное уравнение равновесия B72). 4.2. Растяжение однополого гипер-
гиперболоида вращения B76). 4.3. Кручение гиперболоида B7$). 4.4. Н?гиб гипербр-
ДОида B80). 4,5. Вращающийся эллипсоид вращения <2&\),
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Эллипсоид 284
5.1. Эластостатическая задача Робена для трехосного эллипсоида B84). 5.2. Посту-
Поступательное перемещение B85). 5.3. Распределение напряжений по поверхности эл-
эллипсоида B86). 5.4. Перемещение поворота B89). 5.5. Распределение напряжений
по поверхности эллипсоида B90). 5.6. Эллипсоидальная полость в неограниченной
упругой среде B92). 5.7. Краевые условия B95). 5.8. Выражения постоянных через
трн параметра B97). 5.9. Сфероидальная полость в упругой среде B99). 5.10. Кру-
Круговая щель в упругой среде C00). 5.11. Эллнптическаи щель в упругой среде C03).
§ 6. Контактные задачи 306
6.1. Задача о жестком штампе. Краевое условие. C06). 6.2. Способ решения за-
задачи о жестком штампе C10). 6.2а. Представление снл и моментов, прилагаемых
к неплоскому штампу C13). 6.3. Плоский, эллиптический в плане штамп C15).
6.4. Перемещения и напряжения C17). 6.5. Неплоский штамп C19). 6.5а. Определе-
Определение сил н моментов, действующих на неплоский, эллиптический в плане штамп C21).
6.6. Перемещения и напряжения C23), 6.7. Соприкасание поверхностей C24).
6.8. Задача Герца о сжатии упругих тел C29).
§ 7. Равновесие упругого кругового цилиндра 331
7.1. Дифференциальные уравнения равновесия кругового цилиндра C31). 7.2. За-
Задача Ляме для полого цилиндра C35). 7.3 Дисторсни в полом цилиндре C37).
7.4. Полиномиальные решения задачи о равновесии цилиндра C39). 7.5. Кручение
полого цилиндра снламн, распределенными по торцу C43). 7.6. Решения в бессе-
бесселевых функциях C46). 7.7. Задача Файлона C50). 7.8. Однородные решения C53).
7.9. Краевые условия иа торцах C56). 7.10. Обобщенная ортогональность C60).
Глава VI. Задача Сен-Венана 366
§ 1. Напряженное состояние 366
1.1. Постановка задачи Сен-Венана C66). 1.2. Интегральные уравнения равнове-
равновесия C67). 1.3. Основные предположения C68). 1.4. Нормальное напряжение аг в за-
задаче Сен-Венана C69). 1.5. Касательные напряжения xxz> Xyz C70).
§ 2. Приведение к краевым задачам для уравнений Лапласа и Пуассона 372
2.1. Введение функций напряжений C72). 2.2. Перемещения в задаче Сен-Вена-
Сен-Венана C74). 2.3. Упругая линия C77J. 2.4. Классификация задач Сен-Венана C79).
2.5. Определение постоянной а C81). 2.6. Центр жесткости C84). 2.7. Элементарные
решения C85).
§ 3. Задача о кручении 388
3.1. Постановка задачи C88). 3.2. Перемещения C90). 3.3. Теорема о циркуляции
касательных напряжений C92). 3.4. Жесткость при кручений C94). 3.5. Мембранная
аналогия Прандтля A904) C95). 3.6. Кручение стержня эллиптического сечения C97).
3.7. Неравенства для жесткости при кручений C99). 3.8. Кручение стержня прямо-
прямоугольного сечения D01). 3.9. Решения в конечном виде D03). 3.10. Двусвязная
область Г405). 3.11. Эллиптическое кольцо D07). 3.12. Эксцентрическое кольцо D09).
3.13. Вариационное определение функции напряжений D12). 3.14. Приближенное
решение задачи кручення D16). 3.15. Удлиненные профили D20). 3.16. Кручение
тонкостенной трубы D24). 3.17. Многосвязные области D27).
§ 4. Изгиб силой 430
4.1. Напряжения D30). 4.2. Изгнб стержня эллиптического поперечного сече-
ння D32). 4.3. Функция напряжений С. П. Тимошенко D33). 4.4. Прямоугольное
поперечное сечение D34). 4.5. Вариационная формулировка задачи изгиба D37).
4.6. Центр жесткости D39). 4.7. Приближенные решения D41). 4.8. Авиационный
профиль D43).
§ 5. Задача Мичелла 443
5.1. Постановка задачи D45). 5.2. Распределение нормальных напряжений D47).
S.J. Растяжение стержня D49). 5.3а. Растяжение стержня силами постоянной
интенсивности D51). 5.4. Касательные напряжения т^., хХуг D53). 5.5. Напряжения
"*' V хху и54)- 5-6- °пределенне ст° D56). 5.7. Изгиб тяжелого стержня D57).
5.8. Средние значения напряжений D59). 5.9. О задаче Альманэи D61).
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
Глава VII. Плоская задача теории упругости 462
§ 1. Постановка плоских задач теории упругости 462
1.1. Плоская деформация D62). 1.2. Функция напряжений Эри D65). 1.3. Дифферен-
Дифференциальное уравнение для функции напряжений D66). 1.4. Плоское напряженное со-
состояние D67). 1.5. Обобщенное плоское напряженное состояние D69). 1.6. Плоская
задача D70). 1.7. Перемещения в плоской задаче D71). 1.8. Главный вектор и
главный моментD73). 1.9. Ортогональные криволинейные координаты D74). 1.10. По-
Полярные координаты иа плоскости D75). 1.11. Представление бигармонической функ-
функции D75). 1.12. Введение комплексного переменного D76). 1.13. Преобразование
формул плоской задачи D77). 1.14. Формула Гурса D79). 1.15. Перенос начала
координат D81).
§ 2. Балка и брус с круговой осью 482
2.1. Постановка плоской задачи о балке и плите D82). 2.2. Плоская задача Сен-
Венана D84). 2.3. Операторное представление решений D86). 2.4. Функция напря-
напряжений в задаче о полосе D87). 2.5. Элементарная теория балки D91). 2.6. Полино-
Полиномиальное иагружеиие (Менаже, 1901) D92). 2.7. Синусоидальное нагружение (ре-
(решения Рибьера A898) и Файлона A903)) D94). 2.8. Сосредоточенная сила (Карман н
Зеевальд, 1927) D97). 2.9. Брус с круговой осью, нагруженный по торцам (Голо-
(Головни, 1881) E02). 2.10. Нагружение кругового бруса по поверхности E06). 2.11. Ко-
синусондальное нагружение E09). 2.12. Однородные решения E11).
§ 3. Упругая плоскость и полуплоскость 513
3.1. Сосредоточенная сила и сосредоточенный момент в упругой плоскости E13).
3.2. Задача Фламана A892) E16). 3.3. Общий случай нормального нагружеиия E18).
3.4. Нагружение силой, направленной вдоль границы E20). 3.5. Плоская контакт-
контактная задача E22). 3.6. Построение потенциала со E24). 3.7. Плоский штамп E28).
3.8. Штамп параболического очертания E28). 3.9. Сосредоточенная сила в упругой
полуплоскости E29).
§ 4. Упругий клин 531
4.1. Сосредоточенная сила в вершине клнна E31). 4.2. Интегральное преобразова-
преобразование Меллина в задаче о клане E33). 4.3. Сосредоточенный момент в вершине
клнна E37). 4.4. Нагружение боковых граней E40).
§ 5. Краевые задачи плоской теории улругости 544
5.1. Классификация областей E44). 5.2. Краевые задачи для односвязной конечной
области E45). 5.3. Степень определенности функций Н. И. Мусхелишвили E47).
5.4. Бесконечная область с отверстием E48). 5.5. Двусвязная область. Дистор-
сия E52). 5.6. Представление функции напряжений в двухсвязной области (Ми-
челл) E53). 5.7. Тепловые напряжения. Плоская деформация E55). 5.8. Плоское
напряженное состояние E57). 5.9. Стационарное распределение температуры E59).
5.10. Теорема Коши, интеграл Коши E62). 5.11. Интегралы типа Коши. Формулы
Сохоцкого — Племели E64).
§ 6. Области с круговой границей 566
6.1. Круглый диск, нагруженный сосредоточенными силами E66). 6.2. Общий слу
чай нагружения круглого диска E69). 6.3. Способ интегралов Коши E71). 6.4. Нор-
Нормальное напряжение og на окружности E72). 6.5. Напряжения в центре диска E74).
6.6. Статически неуравновешенный вращающийся диск E75). 6.7. Первая краевая
задача для круга E78). 6.8. Напряженное состояние E81). 6.9. Тепловые напряжения
в диске, заключенном в жесткую обойму E84). 6.10. Круговое отверстие в беско-
бесконечной плоскости E86). 6.11. Равномерное нагружение края отверстия E89). 6.12.
Растяжение плоскости, ослабленной круговым отверстием E89). 6.13. Продолже-
Продолжение Ф (г) E90). 6.14. Решение краевых задач пп. 6.2, 6.10 способом продолжения E92).
§ 7. Круговое кольцо 595
7.1. Напряженное состояние, вызываемое дисторсией E95). 7.2. Вторая краевая за-
задача для кругового кольца E96). 7.3. Определение функций Ф (?), V (?)
J597). 7.4. Труба под равномерным внешним и внутренним давлением (задача Ламе)
E99). 7.5. Температурные напряжения в кольце E99). 7.6. Растяжение кольца сосре-
сосредоточенными силами F01). 7.7. Способ продолжения F02).
§ 8. Применение конформного преобразования 606
«ли Бесконечная плоскость с отверстием F06). 8.2. Способ интегралов Коши
№и«). 8.3. Эллиптическое отверстие F11). 8.4. Гнпотрохоидное отверстие F13). 8.5. Од-
(кт?Я!Наа^ конечная область F15). 8.6. Пример F18). 8.7. Первая краевая задача
'""'• 8-s Эллиптическое отверстие F22). 8.9. Двусвязиая область F23). 8.10. Некон-
Центрнческое кольцо F26).
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ IV
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 628
Глава VIII. Законы состояния нелинейно-упругого тела 628
§ 1. Потенциальная энергия деформации 628
1.1, Идеальио-упругое телоF28). 1.2. Потенциалы деформации F29). 1.3. Однород-
Однородное изотропное идеально-упругое тело F32).
§ 2. Закон состояния изотропного идеально-упругого тела 633
2,1. Общая форма закона состоиния F33). 2.2. Начальное и натуральное состояния
F35). 2.3. Связь между обобщенными модулями при различных начальных состоя-
состояниях F35). 2.4. Представлеине тензора напряжений F37). 2.5. Выражение закона
состояния через тензоры деформации F38). 2.6. Главные напряжения F40). 2.7. Вы-
Выражение тензора напряжений F42). 2.8. Теизор напряжений Пнола A836) — Кирх-
гоффа A850) F44). 2.9. О задании удельной потенциальной энергии деформа-
деформации F45).
§ 3. Представление закона состояния квадратичным трехчленом 647
3.1. Квадратичная зависимость между двумя соосиымн тензорами F47).
3.2. Представлеине энергетического тензора напряжений F48). 3.3. Представ-
Представление тензора напряжений F49). 3.4. Разбиение тензора напряжений на шаровой
тензор и девиатор F50). 3.5. Применение логарифмической меры деформации F54).
§ 4. Аппроксимации законов состояния 657
4.1. Квадратичный закон состояния Сииьориии F57). 4.2. Зависимость коэффициен-
коэффициентов квадратичного закона от начального состояния F60). 4.3. Знак удельной потен-
потенциальной энергии деформации F62). 4.4. Применение к задачам об одноосном растя-
растяжении F64). 4.5. Простой сдвиг F65). 4.6. Закон состояния Муриагаиа F66): 4.7. По-
Поведение материала при сверхвысоких давлениях F67). 4.8. Одноосное растяжение
F69). 4.9. Несжимаемый материал F70). 4.10. Материалы с углом подобия девна-
торов, равным нулю F72).
§ 5. Вариационные теоремы статики нелинейно-упругого тела 674
5.1. Принцип виртуальных перемещений F74). 5.2. Стационарность потенциальной
энергии системы F75). 5.3 Дополнительная работа деформации F79). 5.4. Стацио-
Стационарность дополнительной работы F80). 5.5. Удельная дополнительная работа дефор-
деформации для полулинейного материала F82).
Глава IX. Задачи и методы нелинейной теории упругости 686
§ 1. Напряженное состояние при аффинном преобразовании 686
1.1. Теизор напряжений при аффиииом преобразовании F86). 1.2. Всестороннее сжа-
сжатие F88). 1.3. Одноосное растяжение F89). 1.4. Простой сдвиг F90).
§ 2. Упругий слой 692
2.1. Цилиндрический изгиб прямоугольной плиты F92). 2.2. Сжатие и растяжение
упругой полосы F95). 2.3. Уравнения статики F97). 2.4. Сжатие слоя G00). 2.5. Ра-
Растяжение слоя G00).
§ 3. Упругий цилиндр, упругая сфгра 701
3.1. Цилиндрическая труба под давлением (задача Ляме для иелинейио-упругого
несжимаемого материала) G01). 3.2. Напряжения G03). 3.3 Определение постоянных
G04). 3.4. Материал Муни G06). 3.5. Цилиндр, «вывернутый наизнанку»
G07). 3.6. Кручение круглого цилиндра G08). 3.7. Напряжения, крутящий момент,
осевая сила G11). 3.8. Симметричная деформация полого шара (задача Ляме для
шара) G14). 3.9. Несжимаемый материал G16). 3.10. Применение принципа стацио-
стационарности потенциальной энергии G17)
ОГЛАВЛЕНИЕ 9
§ 4. Малая деформация при наличии начального нагружения 719
4.1. Малая деформация деформированного объема G19). 4.2. Тензор напряжений
G22). 4.3. Необходимые условия равновесия G23). 4.4. Представление тензора в
G26). 4.5. Трехосное напряженное состояние G28). 4.6. Гидростатическое иапряжениое
состояние G30). 4.7. Одноосное растяжение G32). 4.8. Деформация кручения сжа-
сжатого стержня G34).
§ 5. Эффекты второго порядка 736
5.1. Выделение линейных слагаемых в законе состояния G36). 5.2. Уравнения рав-
равновесия G39). 5.3. Эффекты второго порядка G41). 5.3а. Измеиеяне объема тела,
подвергнутого днсторсин G45). 5.4. Выбор исходного приближения G46). 5.5. Эффек-
Эффекты второго порядка в задаче о кручении стержня G48). 5.6. Несжимаемая среда
G50). 5.7. Уравнения равновесия G51).
§ 6. Плоская задача 753
6.1. Геометрические соотношения G53). 6.2. Уравнение состояния G55;. 6.3. Уравне-
Уравнения статнкн G56). 6.4. Функция напряжений G56). 6.5. Плоское напряженное состоя-
состояние G59). 6.6. Уравнения равновесия G61). 6.7. Уравнение состояния G63). 6.8. Систе-
Система уравнений задачи о плоском напряженном состоянии G64). 6.9. Применение
логарифмической меры деформации в задаче о плоской деформации
G65). 6.10. Плоская деформация несжимаемого материала с равной нулю фазой
подобия девиаторов G67). 6.11. Пример. Радиальио-симметричиая деформация
G69).
§ 7. Полулинейный материал 771
7.1. Уравнения равновесия полулинейного материала G71). 7.2. Сохранение главных
направлений G72). 7.3. Примеры (цилиндр и сфера) G72). 7.4. Плоская деформация
G74). 7.5. Напряженное состояние прн плоском аффиииом преобразова-
преобразовании G78). 7.6. Изгибание полосы в цилиндрическую панель G79). 7.7. Наложение
малой деформации G82). 7.8. Случай сохранения главных направлений G86).
7.9. Уравнения нейтрального равновесия Саусвелла A913) G87). 7.10. Представление
решений уравнений Саусвелла G89). 7.11. Бифуркация равновесия сжатого стержня
G91). 7.12. Стержень круглого поперечного сечеиня G94). 7.13. Бифуркация равно-
равновесия полой сферы, сжатой равномерно распределенным давлением G95).
Приложение I. Основы тензорной алгебры 799
1.1. Скаляр и вектор G99). 1.2. Символы Леви-Чнвита (801). 1.3. Тензор второго
ранга (802). 1.4. Простейшие операции с тензорами (806). 1.5. Диада векторов, диад-
ное представление тензора второго ранга (809). 1.6. Тензоры высших рангов. Свер-
Свертывание индексов (811). 1.7. Обратный теизор (814). 1.8. Тензор поворота
(815). 1.9. Главные оси и главные значения симметричного тензора (817). 1.10. Выра-
Выражение компонент тензора через главные значения. Инварианты. Теорема Кейли —
Гамильтона (821). 1.10а. Главные оси и главные значения несимметричного тензора
(824). I. II. Разбиение симметричного тензора второго ранга на девиатор и шаро-
шаровой теязор (828). 1.12. Функции тензоров (830). 1.13. Выделение шаровой и девиа-
торной частей (834). 1.14. Лннейиая связь между тензорами (838).
Приложение II. Основные операции тензорного анализа 839
ИЛ. Набла-оператор (839). 11.2. Дифференциальные операции в векторном поле
(840). II.3. Дифференциальные операции над тензорами (842). II.4. Двукратное
дифференцирование (843). 11,5. Преобразование объемного интеграла в поверхно-
поверхностный (846). II.6. Преобразование Стокса (847).
Приложение III. Ортогональные криволинейные координаты . . . .850
III.1. Определения (850). Ш.2. Квадрат линейного элемента (851). Ш.З Ортогональ-
Ортогональная криволинейная система координат. Базисные векторы (852). III.4. Дифферен-
Дифференцирование базисных векторов (854). II 1.5. Дифференциальные операции в ортого-
ортогональных криволинейных координатах (856). Ш.6. Зависимости Ляме
«к?!' "'-7' Цилиндрические координаты (860). Ш.8. Сферические координаты
J°°l)- III.9. Тела вращения (861). ШЛО. Вырожденные эллиптические координаты
(«ЬЗ). III.п. Эллиптические координаты (общий случай) (865).
10 ОГЛАВЛЕНИЕ
Приложение IV. Тензорная алгебра в косоугольном базисе .... 870
IV.1. Основной и взаимный базисы (870). IV.2. Вектор в косоугольном базисе
(870). IV.3. Метрический тензор (872). IV.4. Тензор Леви-Чивита (873). IV.5. Тен-
Тензоры в косоугольном базнсе(874). 1V.6. Преобразование базиса (875). IV.7. Главные
оси симметричного тензора. Главные инварианты (876).
Приложение V. Операции тензорного анализа в криволинейных
координатах 878
V.I. Введение базисов (878). V.2. Производные базисных векторов (879). V.3. Кова-
риантное дифференцирование (880). V.4. Дифференциальные операции в криволи-
криволинейных координатах (883). V.5. Переход к ортогональным криволинейным коорди-
координатам (885). V.6. Тензор Римана-Кристоффеля (886). V.7. Тензор Ink?
(890). V.8. Преобразование поверхностного интеграла в объемный (891).
Приложение VI. Сведения по теории сферических и эллипсоидаль-
эллипсоидальных функций 892
VI.1. Разделение переменных в уравнении Лапласа (892). VI.2. Сферические функ-
функции Лапласа (894). VI.3. Решения Qn (ц), qn (s) (897). VI.4. Решение внешней и
внутренней задач для шара (900). VI.5. Внешняя н внутренняя задача Дирихле для
сжатого эллипсоида (сфероида) (901). VI.6. Представление гармонических поли-
полиномов произведениями Ляме (902). VI.7. Функции S^ (р) (904). VI.8. Потенциалы
простого слоя на эллипсоиде (905).
Литературные указания 9С9
Именной указатель 930
Предметный указатель 933
ПРЕДИСЛОВИЕ
Классическая теория упругости сохраняет свое почетное ме-
место в науке о поведении деформируемого твердого тела. Ее
исходные определения являются общими для всех разделов этой
науки, а методы постановки и решения задач служат для нее
образцами. Успехи и завоевания теорий пластичности, ползу-
ползучести, упруго-вязкой среды, разрушения твердых тел не засло-
заслоняют значения методов теории упругости для обоснования при-
приемов расчета напряженного состояния в строительных сооруже-
сооружениях и машинах, составляющих существенную часть наук о
сопротивлении материалов и строительной механики.
Первые две главы (ч. I) посвящены основным определениям
механики сплошной среды — тензорам напряжений (гл. I) и де-
деформаций (гл. II). Необходимость различения в нелинейной
теории начального и конечного состояний среды не позволяет
довольствоваться рассмотрением одной лишь меры (или тен-
тензора) деформации, а в связи с этим и в описание напряженно-
напряженного состояния оказывается целесообразным ввести отличные друг
от друга тензоры. Эти вопросы рассмотрены в § 3 гл. I, изуче-
изучению которого должно предшествовать изучение §§ 3—5 гл. II.
Усвоение содержания этих параграфов может быть без ущерба
отложено до изучения нелинейной теории (в гл. VIII, IX).
Получение замкнутых систем уравнений линейной теории
упругости и описание приемов решений составляет содержание
ч. II (гл. III — закон состояния, гл. IV — основные соотношения).
Решение специальных задач отнесено к ч. III (гл. V—VII).
Содержание гл. V только по направленности тематики соответ-
соответствует монографии автора «Пространственные задачи теории
упругости» (Гостехиздат, 1955); изложение рассмотренных в ней
задач целиком переработано, и включены отсутствующие в этой
монографии разделы (напряжения, создаваемые инородным
включением; обоснование принципа Сен-Венана; некоторые за-
задачи о концентрации напряжений (Нейбер); эластостатическая
задача Робена и т. д.).
Естественные затруднения возникли при отборе материала
гл. VI (задача Сен-Венана) и VII (плоская задача). В гл. VI
jfj ПРЕДИСЛОВИЕ
сравнительно подробно трактованы постановка задачи Сен-Вена-
на, теорема о циркуляции, вопрос о центре жесткости, вариа-
вариационные способы решения, тогда как рассмотрение решений для
профилей частного вида сведено к минимуму. В гл. VII примене-
применение теории функций комплексного переменного ограничено рас-
рассмотрением простейших краевых задач, уделено место примене-
применениям других средств решения (преобразование Меллина в за-
задаче о клине, операторные решения задач о полосе и брусе с
круговой осью).
Часть IV (гл. VIII, IX) посвящена основам нелинейной тео-
теории упругости: формулировкам закона состояния нелинейно-
упругого тела, рассмотрению простейших задач, постановкам
задач об эффектах второго порядка и бифуркации состояния
равновесия. В содержание Приложений включены используемые
в тексте книги способы тензорного исчисления и некоторые све-
сведения по теории сферических и эллипсоидальных функций.
В книге рассмотрены «строгие» постановки задач — решения,
не только статически допустимые, но и удовлетворяющие усло-
условиям совместности. От первоначального намерения включить в
содержание также «технические» теории тонких стержней, пла-
пластин и оболочек пришлось отказаться, так как это привело бы
к непомерному увеличению объема книги. Существенным про-
пробелом является также ограничение по той же причине лишь
статическими задачами.
Литературные указания, вынесенные из текста книги, не со-
соответствуют необозримой литературе, относящейся к принци-
принципиальным исследованиям и решениям специальных задач теории
упругости. Этот недостаток в некоторой мере компенсируется
указаниями на обзорные статьи и монографии, содержащие ис-
исчерпывающие библиографии по специальным вопросам.
Книга адресована подготовленному читателю, заинтересован-
заинтересованному в углублении знаний по теории упругости и приобретении
навыков решения ее задач. Она предназначается также служить
пособием в преподавании курса теории упругости.
Первыми читателями этой книги были Л. М. Зубов, проверив-
проверивший формулы и вычисления, и В. А. Пальмов, предложивший
внести ряд исправлений и разъяснений. Приятным долгом авто-
автора является выразить им искреннюю благодарность за большой
труд, ценные советы и критические указания.
Автор благодарит также за плодотворную и дружескую кри-
критику профессора И. И. Воровича и руководимый им коллектив
кафедры теории упругости Ростовского государственного уни-
университета, взявших на себя труд рецензирования рукописи.
ЧАСТЬ!
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
ГЛАВА I
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
§ 1. Поле напряжений в сплошной среде
1.1. Координатные системы в механике сплошной среды.
Сплошная среда характеризуется наличием в любом ее элемен-
элементарном объеме dx массы dm = pdr; коэффициент пропорцио-
пропорциональности р, плотность, считается непрерывной функцией коор-
координат точек среды.
Принимается, что под влиянием внешних воздействий ранее
находившаяся в равновесии сплошная среда в объеме v, ограни-
ограниченном поверхностью о, пришла в новое состояние равновесия, в
котором объем станет равным V; ограничивающую этот объем
поверхность назовем О. Первое состояние среды назовем на-
начальным (у-объём), второе — конечным (V-объем). В дальней-
дальнейшем будет иметь значение рассмотрение также натурального
состояния среды. Это — то состояние, в котором среда не напря-
напряжена; оно, пока не оговорено противное, не отождествляется с
начальным состоянием.
Вводится декартова система осей OXiX2X3; положение точки
среды М в начальном состоянии задается в этой системе ее
декартовыми координатами а\, а2, аз или вектор-радиусом *)
г = axi\ + a2i2 + a3i3 = asis, A.1.1)
где is — единичные векторы координатных осей. В конечном со-
состоянии эта точка занимает положение М', определяемое в той
же системе осей координатами хь х2, х3 или вектор-радиусом
R = x\U + x2i2 + x3l3 = xsis. A.1.2)
*) Знак суммирования по немому индексу опускается, как принято в
Приложениях I—III. Ссылки на Приложения отмечаются римской цифрой,
указывающей номер Приложения, номером пункта и формулы. Три числа в
формулах текста обозначают: первое — номер параграфа, второе — пункта,
третье — формулы. Они указываются при ссылке на формулу данной главы
и дополняются указанием номера главы при ссылке на формулу другой главы.
14
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИИ
[ГЛ. I
Геометрическая разность R — г определяет вектор перемеще-
перемещения точки М, обозначаемый и:
= г + и = ls(as + us), xs = as
A.1.3)
Проекции us вектора перемещения, называемые перемещениями,
рассматриваются как функции координат точек среды аи а2, а3
в ее начальном состоянии, непрерывные вместе с их производ-
производными по этим переменным до требующихся в проводимом иссле-
исследовании порядков. Предполагается также, что уравнения A.1.3)
разрешимы, и единственным образом, относительно перемен-
переменных as:
г — о и п — v п (\ \ 4)
» *\ И-j l*s <rt'S M'S» \ l * * •*/
причем здесь us рассматриваются уже как функции координат
Xh конечного состояния. Условием однозначной разрешимости
системы уравнений A.1.3) является необращение в нуль яко-
якобиана
J(au аъ а3) =
dxs
дак
dus
6sk + да,
1 _|- dUl
"*" dat
диг ,
даг
диъ
да.
дщ
да2
ди%
дй2
диъ .
да.
дщ
даъ
диг
. ди$
да3
в замкнутой области v + о. Принимается, что / > 0, — в про-
противном случае можно было бы изменить нумерацию переменных.
Якобиан представляет, как известно, отношение элементов
объема среды в конечном и начальном состояниях*):
dx=JdxQ. A.1.6)
По закону сохранения массы
= p0 dx0,
так что
р
A.1.7)
A.1.8)
Декартовы координаты as точки среды в ее начальном со-
состоянии можно рассматривать как переменные, сопоставляемые
этой точке и поэтому сохраняемые за нею в конечном состоянии
среды; в этом состоянии им приписывается роль криволинейных
координат; например, точки среды, располагавшиеся в и-объеме
*) См. также п. 5.5 гл. II.
§ 1] ПОЛЕ НАПРЯЖЕНИЙ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ 15
на прямой а2 — а°2, а3 = аз> параллельной оси ОХ\, в V-объеме
расположатся на кривой
По установившейся терминологии as называют лагранжевы-
ми, xs — эйлеровыми координатами. Лучше сказать, что as — ма-
материальные координаты, индивидуализирующие точку и отли-
отличающую ее от других точек, a xs — координаты ее места в
V-объеме.
Квадрат линейного элемента — расстояния между двумя бес-
бесконечно близкими точками М и N, — в и-объеме равный
ds2 = dr • dr = da2 + da2 + da2, A.1.9)
в У-объеме, когда точки займут положения М', N', станет рав-
равным
dS2 = dR-dR = dx\ + dx\ + dx% A.1.10)
В дальнейшем для сокращения речи применяются термины
и-метрика и 1/-метрика в зависимости от того, какое определе-
определение квадрата линейного элемента — A.1.9) или A.1.10)—приня-
A.1.10)—принято в данном рассмотрении. Конечно, обе метрики евклидовы [Ег).
Замечания. 1. Строгое различение начального и конеч-
конечного состояний необходимо при рассмотрении конечных дефор-
деформаций сплошной среды. В линейной теории упругости эта не-
необходимость, как правило, отпадает.
2. Не обязательно за материальные координаты точек среды
принимать их декартовы координаты as в начальном состоянии.
Изложение основ механики сплошной среды приобретает боль-
большую стройность, если в качестве материальных координат точки
принять любые криволинейные координаты ql, q2, qz — тройку
чисел, сопоставляемых этой точке по некоторому закону. Тогда
as = as(q\ q\ <Д r = r(q\ q2, q% A.1.11)
равн® как и
xs= xs{q\ q\ q\ R = R{q\q2,q\ A.1.12)
следует рассматривать как координаты места и вектор-радиус
в у- и соответственно в У-объеме.
1.2. Внешние силы. В этой главе сплошная среда рассмат-
рассматривается в ее конечном состоянии. Действующие на нее силы
подразделяются на внешние и внутренние. Внешние силы пред-
представляют воздействия на точки среды тел, не включенных в рас-
рассматриваемый объем V. Они могут быть массовыми или поверх-
поверхностными.
Массовыми называют силы, действующие на каждую частицу
среды. Вектор массовой силы, отнесенной к единице массы
jg ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. Г
среды, обозначается К; тогда pKdx будет силой, действующей
на элементарную массу pdx в объеме йт, а рК — силой, дей-
действующей на единицу объема, объемной силой. Главный вектор
и главный момент относительно начала координат массовых сил
равны
jjjpKdx, jjJRXpKdx. A.2.1)
V V
Простейшим примером массовой силы служит сила тяжести
K = -kg; A.2.2)
здесь k — единичный вектор восходящей вертикали, g — ускоре-
ускорение силы тяжести. При рассмотрении равновесия сплошной
среды по отношению к движущимся осям в число массовых сил
включается сила инерции переносного движения
K=-wt~-[w0 + mXR + nX{e>XR)], A.2.3)
где we — вектор переносного ускорения, равный геометрической
сумме ускорения w0 начала системы осей, вращательного & X R
и центростремительного со X (со X R) ускорений (со — вектор
угловой скорости, о — углового ускорения). Ускорение Кориолиса
не включено в правую часть A.2.3), так как среда покоится
относительно движущихся осей. В частном случае равномерного
вращения среды вокруг неподвижной оси массовой является
«центробежная сила»
К = _ © х (со X R) = a>2he, A.2.4)
где h — радиус окружности, по которой вращается рассматри-
рассматриваемая частица среды, е — единичный вектор из центра этой
окружности по ее радиусу. Начало вектора R взято на оси вра-
вращения.
В случае потенциальных массовых сил
K=-gradn, A.2.5)
где П — потенциальная энергия поля массовых сил. Например,
для поля силы тяжести и поля центробежной силы
U = gk-R, П = i- [(со - /?J - о2/?2] = - ±|<о х J? Р. A.2.6)
Внешние поверхностные силы — силы, распределенные по по-
поверхности О объема V. Поверхностная сила, отнесенная к еди-
единице площади этой поверхности, обозначается F; главный век-
вектор и главный момент поверхностных сил равны
jJRxFdO. A.2.7)
§ 1] ПОЛЕ НАПРЯЖЕНИЙ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ 17
Через dO обозначается элемент площади поверхности О в от-
отличие от элемента площади do поверхности о, ограничивающей
объем v среды в начальном состоянии. Единичный вектор нор-
нормали к площадке tdO, направленный вовне V-объема, обозна-
обозначается N (в отличие от п — единичного вектора нормали к do
вовне у-объема); N dO называется вектором ориентированной
площадки на О (ndo — на о). Нормальная компонента силы F
и ее составляющая в плоскости, касательной к О, равны
N-F, F — NN-F = (NXF)XN. A.2.8)
Примером поверхностной силы может служить гидростатическое
давление жидкости, в которую погружено тело:
F = —pN. A.2.9)
Другой пример — распределенные по поверхности контакта ре-
реакции основания, на котором покоится тело.
Потенциальными являются поверхностные силы, сохраняю-
сохраняющие неизменную величину и неизменное направление при дефор-
деформировании тела из начального состояния в конечное. Тогда
П = — F-R = — F.(r+u)=n0 — F и. A.2.10)
1.3. Внутренние силы в сплошной среде. Рассмотрение рав-
равновесия сплошной среды основано на двух положениях: 1) при
равновесии среды в равновесии находится любая по произволу
выделенная ее часть (способ сечений), 2) условия равновесия
абсолютно твердого тела являются необходимыми условиями
равновесия рассматриваемой части среды (принцип затверде-
затвердевания).
Мысленно разделим объем V на два объема 1Л и VV, поверх-
поверхность раздела назовем О', а часть О, ограничивающую 1Л, — О\.
В число внешних сил, действующих на среду в объеме V\, теперь
надо включить реакции на него среды в объеме V2. В против-
противном случае необходимые условия равновесия внешних сил —
массовых в Vi и поверхностных сил на О\ — не были бы, вообще
говоря, соблюдены. Эти силы должны компенсироваться силами
и моментами реактивных воздействий, создаваемых прилегаю-
прилегающей к Vi средой в Уг-объеме и распределенных по поверхности
раздела О'. Принимается, что распределение этих сил на пло-
площадке dO поверхности О" статически эквивалентно силе tNd0,
причем ориентация площадки задается единичным вектором
нормали к ней N, направленной вовне V\ (рис. 1).
Из сказанного следует, что, задавшись в любом месте среды
ориентированной площадкой NdO, мы должны сопоставить
этому вектору вектор силы tNd0, с которой часть среды «над»
площадкой действует на ту ее часть, откуда направлен вектор N.
По принципу равенства действия и противодействия сила t-Nd0,
2 А. И. Лурье
]g ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. I
равной величины и противоположно направленная, будет дей-
действовать со стороны второй из упомянутых частей среды (рас-
(расположенной «под» площадкой) на первую:
t-Nd0 = —tNd0. A.3.1)
Эти воздействия частей среды друг на друга определяют поле
внутренних сил — поле напряжений в сплошной среде. Его ко-
количественные характеристики изменяются не только от точки к
точке, как в скалярных полях, но и в данной точке ему нельзя
сопоставить определенного направления, как в случае векторных
полей. Величина, задающая поле напряжений, должна определять
вектор tNdO в каждой точке поля и для
каждой ориентированной площадки NdO в
этой точке (или вектор tN по вектору N).
Это значит, что физическое состояние, на-
названное полем напряжений, определяется
величиной, сопоставляющей одному вектору
N другой tN. Если принять, что связь между
этими векторами линейна (этот вопрос рас-
рассмотрен в следующем п. 1.4), то такой ве-
величиной служит тензор второго ранга*),
рис 1 в данном случае тензор напряжения. ®н
обозначается Т, а его компоненты в де-
декартовой системе осей OXiX2X3 — через tih. Вектор tN опреде-
определяется произведением Т на N слева:
tN = N-f. A.3.2)
Запись в форме произведения на N справа изменила бы только
обозначения компонент тензора Т.
Замечания. 1. Было предположено, что распределение сил
на элементарной площадке N dO статически эквивалентно одной
силе tNd0 — его главный момент относительно точки на линии
действия этой силы принят равным нулю. Это предположение
отброшено в разработанной в начале этого века братьями Кос-
сера системе механики сплошной среды. Основанием для такого,
казалось бы, парадоксального представления, что моменту мо-
можно приписать такой же порядок малости (порядок dO), что и
главному вектору, является, по-видимому, условность самого
понятия малости в механике сплошной среды. То, что называет-
называется бесконечно малым объемом, представляет само по себе слож-
сложный объект, содержащий весьма большое число элементарных
частиц, а передаваемое через площадку усилие следует тракто-
трактовать как интегральный эффект взаимодействия этих частиц. Нет
*) См. определение в п. 1.3 (пункт 3 Приложения I).
§ 1]
ПОЛЕ НАПРЯЖЕНИЙ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
19
ШО
ничего логически недопустимого в том, что по крайней мере в
местах резкой изменяемости напряженного состояния влияние
моментов может оказаться сравнимым с влиянием сил. В по-
последние годы идеи Коссера развиваются в большом числе работ
по «моментной» или «несимметричной» теории упругости.
2. Принятое предположение, что реактивное воздействие
объема Vo на V\ может быть заменено только системой сил, рас-
распределенных по поверхности О', обусловлено физическим пред-
представлением, что взаимодействия частиц являются силами близко-
действия. В нелокальной теории
упругости учитываются массовые
силы взаимодействия отброшенной
части тела с оставшейся.
1.4. Равновесие элементарного
тетраэдра. Предположение о линей-
линейной связи векторов силы t^dO и
ориентированной площадки NdO
заменим предположением, что эта
связь задается более общим соот-
соотношением
tNd0=f(Nd0). A.4.1)
Надо доказать, что / — линейная
операция над вектором NdO. С этой
целью рассматривается равновесие
элементарного тетраэдра с вершиной в точке О и ребрами
О А, ОВ, ОС, задаваемыми векторами Хеи ке2, Хе3, где К — мас-
масштабный малый параметр. Направленные вовне тетраэдра век-
векторы ориентированных площадок ОАВ, ОВС и ОСА (рис. 2)
равны
Рис. 2.
выделенного из среды
dO = \ Я2е2 X
= \r к2е3 X е2,
= \ Я2е, X е3.
Правая часть легко проверяемого тождества
<?3 X е2 + ех X <?3 + ег X *i = (*з ~ *i) X (е2 - <?,)
пропорциональна и направлена противоположно вектору NdO
вовне тетраэдра ориентированной площадки ABC:
Итак,
NxdO + N2dO + NsdO = - N dO.
A.4.2)
2*
20 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. 1
Выражая теперь, что главный вектор приложенных к тетраэдру
поверхностных и массовых сил равен нулю, имеем
1 2 3
tNl dO + tN, dO + tN, dO + tNd0 + pKdx = 0.
Последнее слагаемое пропорционально элементарному объему:
cft=g-A3e1-(e2Xe3).
и оно должно быть отброшено, так как при Х-*-0 прочие сла-
слагаемые пропорциональны к2. Итак,
ad0. A.4.3)
Учитывая A.4.2), A.4.3), а также соотношение A.3.1), перепи-
переписываемое в виде
f(-NdO)=-f(NdO), A.4.4)
можно равенству A.4.1) придать теперь вид
/ (JV, d6 + N2d6 + N3 dO) = / (JV, d6) + / (tf2 dO) + f (JV3 dO),
чем и доказывается линейность функциональной зависимости
A.4.1). Пришли к основному для всего построения механики
сплошной среды соотношению A.3.2), дающему определение
тензора напряжений Т.
В координатном представлении согласно A.3.2) и A.4.2) оно
записывается в виде
A.4.5)
Полагая N = iu так что Ni = l, N2 = N3 = 0, получим вектор
силы, действующей на площадку с внешней нормалью ц и от-
отнесенной к единице площади. Назовем его вектором напряже-
напряжения fi; его проекции на оси системы OXiX2X3, равные ^п, fa, ti3,
называются напряжениями: tu—нормальным; ti2, t\3 — каса-
касательными. Аналогично вводятся векторы напряжения t2, t3 на
площадках, нормалями которых служат единичные векторы ко-
координатных осей <2, «з- В матрице компонент тензора Т
hi ^12 ^13
t2l ta t23l A.4.6)
^31 ^32 ^33 I
диагональные элементы представляют нормальные, а недиаго-
недиагональные— касательные напряжения. На рис. 3 изображен вы-
§1]
ПОЛЕ НАПРЯЖЕНИЙ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
21
деленный из среды элементарный параллелепипед с ребрами,
параллельными координатным осям, и показаны напряжения на
его гранях с нормалями, сонаправленными с этими осями.
Замечания. 1. Соотношения A.4.5), полученные рассмо-
рассмотрением равновесия элементарного тетраэдра (с ребрами, напра-
направленными параллельно координатным осям), впервые сформули-
сформулировал Коши в 1827 г.
2. Можно лишь условно в выбранной координатной системе
называть напряжения tsh проекциями «вектора» ts, так как эти
величины при повороте коор-
координатной системы преобра-
преобразуются как компоненты тен-
тензора, а отнюдь не компоненты
вектора.
Квазивекторы iiS [см.
A.5.12)] могут быть введены в
диадное представление тензо-
тензора напряжений:
Т = Ш,к =
A-4.7)
3. На рис. 3 были показа-
показаны напряжения tsh на гранях с Рис. 3.
внешними нормалями, сона-
сонаправленными с координатными осями, в предположении, что
tsh > 0. Поскольку /_s = —/s, то на грани с нормалью (—/s) поло-
положительные tSh ориентируются по направлениям (—ih). Отсюда
следует, что положительные нормальные напряжения — растя-
растягивающие, а отрицательные — сжимающие; моменты положи-
положительных касательных напряжений tsk на гранях is и (—is) от-
относительно оси ir имеют знак символа Леви-Чивита eSkr (см.
1.1.2).
4. В технической литературе по теории упругости теперь
общеприняты обозначения нормальных и касательных напряже-
напряжений буквами о и т с соответствующими индексами, так что ма-
матрица тензора Т представляется в виде
A.4.8)
Эти обозначения мы будем применять наряду с обозначениями
A.4.6). Существует ряд других систем обозначений, например:
Ох = Хх, Тух = Ху И Т. Д.
1.5. Необходимые условия равновесия сплошной среды. Вы-
Выделим из среды целиком расположенный внутри нее, а в осталь-
остальном произвольный объем У», ограниченный поверхностью О„ не
Ох
ХУХ
хгх
= т21 с
= Т31 Хк
<у ~~ Т12 xxz — Т13
*у == ^2 tyz == ^23
•а = Х32 аг = аЗ
22 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. I
имеющей общих точек с поверхностью О объема V, равновесие
которого рассматривается. Распределенные по О* поверхност-
поверхностные силы, внутренние для V (внешние для V»), обусловлены
существованием в V напряженного состояния, задаваемого тен-
тензором Т. Они определяются основным соотношением A.3.2), в
котором N— единичный вектор внешней нормали к О*.
Имеются две группы необходимых условий равновесия —
уравнения равновесия в объеме V и уравнения равновесия на
его поверхности О.
Уравнения равновесия в объеме выражают условия обра-
обращения в нуль главного вектора и главного момента массовых и
поверхностных сил, действующих на произвольно выделенный
из V объем К*. Сославшись на A.2.1), A.2.7), имеем
J f J pKdx + J J tN dO = 0, J J J R X pKdx + J J R X tN dO = 0
vt o, vt o,
и после замены tN по формуле A.3.2)
J J iV- f dO = 0,
- A.5.1)
RXN-Td0 = 0.
0»
Преобразуя поверхностные интегралы в объемные [см. (II.5.5),
(II. 5.6)], получим
jj N-TdO= jj J div frit,.
, , °* /I , . d.5.2)
J J R X N • T dO = j J J (if X div T - 2a) dx,
o, v, J
где со — сопутствующий тензору Т вектор, определяемый косо-
симметричной частью этого тензора. Приходим к равенствам
J J J (p/C + div f) dx = 0, J J j[RX (p/C + div f) - 2w] dx = 0.
V, Vt
A.5.3)
Из равенства
когда У* — произвольный объем, a f — непрерывная функция
координат, следует, что / = 0, так как, если предположить, что
|^0 в некоторой точке У*-объема, то она сохранит по непре-
непрерывности знак в окрестности этой точки. Такую окрестность мо-
§ 1] ПОЛЕ НАПРЯЖЕНИИ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ 23
жно принять за объем F*, а интеграл от знакопостоянной функ-
функции не может быть нулем.
Отсюда и из формулы A.5.3) i следует, что
div f + р/С = 0. A.5.4)
Это — первое уравнение равновесия сплошной среды; из него и
A.5.3J следует теперь, что и = 0, а этим доказано, что тен-
тензор Т симметричный:
f = r. A.5.5)
Уравнения равновесия сплошной среды A.5.4), A.5.5) записаны
здесь в инвариантной форме. Их запись в декартовых координа-
координатах V-объема имеет вид трех дифференциальных уравнений ста-
статики сплошной среды
A.5.6)
и трех уравнений, выражающих симметричность тензора напря-
напряжений,
4з = ^32, hi = ti3, t\<i = ^2i- A.5.7)
Более общее предложение, выражающее это свойство, можно,
основываясь на A.5.5) и A.4.3), записать в виде (пип2—про-
(пип2—произвольно ориентированные единичные векторы)
nX'fn2 = n2-f-nx A.5.8)
— проекция на направление п2 вектора напряжения на пло-
площадке с нормалью «1 равна проекции на пх вектора напряжения
на площадке с нормалью Лг-
Уравнения равновесия A.5.6), A.5.7) легко получить из на-
наглядных представлений, выражая, что главный вектор и главный
момент действующих на выделенный из среды элементарный
параллелепипед поверхностных и объемных сил равен нулю.
Поверхностные силы на гранях (передней и задней), перпен-
перпендикулярных оси U, равны
+jdxi, x2,
-jdxu x2,
24 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. J
где t\ = ti(xux2,Хз) — значение t\ в центре параллелепипеда.
Вектор-радиусы точек приложения этих сил, взяв начало в вер-
вершине параллелепипеда, можно считать равными
1 1 1 1 1
f, dxx + у {h dx2 +13 dx3) = -j j, dxx + у is dxs; - у i, dxx + j is dxk,
причем
у is dxs = у («, dxx + i2 dx2 + i3 dx3)
— вектор-радиус центра параллелепипеда. Подобным же обра-
образом составляются выражения сил и вектор-радиусов их точек
приложения для правой и левой граней, перпендикулярных i2:
— i2
и для верхней и нижней граней, перпендикулярных ц:
+т -^dx») dx>dx- (*-» - т *к3 dx>) dx>dx»
j i3 dx3 + j is dxs, - ^ i3 dx3 + у is dxs.
Объемная сила pKdx\dx2dx3 считается приложенной в центре
параллелепипеда. Приравнивая теперь нулю главный вектор
всех перечисленных сил и их главный момент относительно точ-
точки О и учитывая A.3.1), после сокращения на dx\dx2dx3 при
дем к двум векторным уравнениям:
Ж7 + Ж7+ЖГ+Р* = ° 0-5.9)
A.5.10)
причем последняя группа слагаемых в A.5.10) отпадает по
A.5.9). Получили соотношения, представляющие иную запись
уравнений A.5.6), A.5.7):
) | 0' (Ь5Л1)
is Xts = is X tstit = еМг = 0. A.5.12)
Три уравнения равновесия A.5.6) содержат шесть компонент
симметричного тензора напряжения. Это, конечно, только необ-
необходимые условия равновесия; получение также и достаточных
условий неизбежно требует рассмотрения физической модели
§ 11 ПОЛЕ НАПРЯЖЕНИЙ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ 25
среды (упругое тело, вязкая жидкость). Задача о равновесии
сплошной среды статически неопределима.
Уравнения равновесия на поверхности О, ограничивающей
объем V, представляют запись основного соотношения A.3.2),
в котором tN заменено распределенной по О поверхностной си-
силой F:
N-f = F. A.5.13)
Другие формы записи этого равенства имеют вид
NJi + Nfc + NJs^F A.5.14)
или же
ЛГ,*„ + ЛГ2*21 +#3*31 = ^1, ]
#1*12+ #2*22 +#3*32=^2, A.5.15)
где Ns — проекции единичного вектора N на координатные оси.
Условимся говорить, что любое частное решение уравнений
равновесия в объеме и на поверхности определяет статически
возможное состояние среды. Многообразие таких состояний —
многообразие удовлетворяющих трем краевым условиям A.5.15)
частных решений системы трех дифференциальных уравнений в
частных производных A.5.6), содержащих шесть неизвестных.
Задача статики сплошной среды состоит в определении в этом
многообразии состояния, реализуемого в принятой физической
модели.
1.6. Тензор функций напряжений. Уравнения равновесия
сплошной среды A.5.4) линейны относительно компонент тензо-
тензора напряжений, и их решение представляется суммой какого-
либо частного решения уравнения
pK = 0 . A.6.1)
и решения однородного уравнения
divf<2> = 0. A.6.2)
Частное решение предполагается известным; оно для практи-
практически встречающихся заданий массовых сил (сила тяжести,
центробежная сила) без труда находится (в линейной теории
упругости при р = const). Поэтому речь будет идти об общем
представлении тензора с равной нулю дивергенцией; чтобы не
усложнять записей, назовем его Т, вместо Л2'. Такой тензор сле-
следует искать в виде (см. (П. 4.16))
f-rotP, A.6.3)
26
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. 1
где Р — тензор второго ранга, который надо в соответствии с
A.5.5) подчинить условию
rot P = (rot P)\ A.6.4)
Сославшись на (II. 4.13), можно удовлетворить этому усло-
условию, принимая
P = (rot6)\ A.6.5)
где Ф — любой симметричный тензор второго ранга. Итак, тензор
f = rot(rot<5)* = Ink6 A.6.6)
удовлетворяет поставленным условиям: он симметричен, а его
дивергенция равна нулю. Симметричный тензор Ф называется
тензором функций напряжений.
Взяв тензор Ф в диагональной форме
Ф = i,ii®ii + У2Ф22 + М3Ф33, A -6.7)
придем по (II. 4.15) к представлению напряжений через три
функции напряжений Максвелла:
i _ з2ф22 , <э2ф33 , , _ а2Ф33
'12— '21
щ
<Э2Фзз
дх\
<Э2Фи
дх\
дх\
{ дх2
дх\
'23 — ^32
'23
дх2
— '13 —
дхъдхх
A.6.8)
Представление тензора напряжений через функции напря-
напряжений Морера получим, полагая нулями диагональные компо-
компоненты
Ф = (|,?2 + i2ix) Ф12 + (i2i3 + цц) Ф23 Щ
Оно имеет вид
дх2 дх3
/22
-2-
дх3 дхх
= ~ 2
х{ дх2
дх_
= д I дФ12
дх2 \ дхц
д (дФ2г
¦ ~ дх3 \ дхх
¦ I
дФу.
дх2
дх2
дх3
A.6.9)
Представление напряжений через функции Максвелла неин-
неинвариантно, так как при преобразовании координат тензор, ра-
ранее диагональный, уже не останется таковым. Неинвариантно и
представление Морера. Инвариантное представление тензора
§ 2] СВОЙСТВА ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ 27
напряжений A.6.6) было независимо друг от друга дано
Б. Финци (В. Finzi), Ю. А. Прутковым, и В. И. Блохом.
В плоской задаче теории упругости напряжения не зависят
от координаты xs, а компоненты ^гз, hi тензора напряжений от-
отсутствуют. Инвариантное относительно поворота вокруг оси ОХ3
выражение тензора функций напряжений можно взять в виде
Ф = (v?2 + Уз) U(хи х2), Ей = Mi + i2i2 = Е-цц, A.6.10)
где v — постоянная. Тогда по A.6.8)
Функция U(xuX2) представляет функцию напряжений Эри
(Airy); сразу легко видеть, что выражения A.6.11) тождествен-
тождественно удовлетворяют однородным уравнениям равновесия плоской
задачи
дху дх2 ' дху дх2
Из представления A.6.6) видно, что по заданному тензору
напряжения Т тензор функции напряжений определен с точ-
точностью до слагаемого ФA) — симметричного тензора, операция
Ink над которым равна нулю. Таким тензором, как увидим ниже,
в п. 2.1 гл. II, и что легко проверить, является линейный тензор
деформации над любым вектором а:
<DA) = defa, 1пкФA) = Ink def a = 0. A.6.12)
Итак, полагая
Ф = Ф4 + def a, A.6.13)
имеем
f = 1пкФ = 1пкФ.. A.6.14)
Следовательно, в задание Ф входят три произвольно назначае-
назначаемые функции as; это позволяет понять, почему шесть функций tsh,
связанных тремя дифференциальными уравнениями A.5.6), ока-
оказались выраженными через шесть, а не три, функций напряже-
напряжений Фгг.
§ 2. Свойства тензора напряжений
2.1. Преобразование компонент. Главные напряжения. Глав-
Главные инварианты. Можно повторить применительно к тензору
напряжений сказанное в Приложении I о свойствах симметрич-
симметричного тензора.
28 ' ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. I
Закон преобразования компонент тензора напряжений при
повороте декартовой системы осей дается формулами (I. 3.6). Их
можно получить также, исходя из зависимости Коши A.4.5).
Совместим N с единичным вектором i'k; тогда aks = i'k • is = Ns и
проекции на старые оси «квазивектора» fk — напряжения на пло-
площадке с нормалью i'k — по A.4.5) будут
«Узз + 2 («и«1
а на новые оси
Например,
a13a22) t23 + (апЩ\ + ац«2з) ^3i- B.1.3)
Легко также получить эти формулы, записав тождество
f = E-f -Ё
и представив в нем единичный тензор Е в виде
?-ад-ад-
Снова получаем B.1.1):
f = Ws - W * <mAA • W = «*аЛЛК- B.1.4)
Главные значения тензора напряжений, называемые главны-
главными напряжениями, равны корням tu t2, h его характеристиче-
характеристического уравнения
'23
= 0. B.1.5)
Главные направления — главные оси напряжений — образуют
1 2 3
ортогональный триэдр единичных векторов е, е, е; косинусы их
углов с осями координат ek = e • ik определяются системой
уравнений (г = 1, 2, 3; s = 1,2, 3)
). B.1.6)
*) Нр суммирорать цо
СВОЙСТВА ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИИ
29
Диагональное представление тензора напряжений в главных
осях записывается в виде
11
T = t,ee-
22
33
t2ee + t3ee,
B.1.7)
и главные напряжения ts на площадках с нормалями е являются
нормальными, а касательные напряжения на них отсутствуют.
Выражения компонент тензора в
системе осей iu i2, i3 через глав-
главные напряжения записываются в
виде
+ as3ak3t3. B-1.8)
т
Здесь ocsm = is-e, так как глав-
главные оси играют роль «старых»
осей. Упрощается также запись
зависимостей Коши A.4.5):
*лп — ^l^i» tN2 = t2N2, tN3 = t3N3
(Nk = N-e). B.1.9)
Нормальное напряжение на пло- Рис. 4.
щадке с нормалью N по
B.1.8) выражается через главные напряжения по формуле
аы = N • Т • N= UN*
UNl + hNl
B.1.10)
легко получаемой по B.1.7) или B.1.9). Вместе с тем по B.1.9)
^ = ^ + ^ = W + ^ + ^I, B.1.11)
и этим определяется квадрат модуля квазивектора tN — полного
напряжения на площадке с нормалью W; через tjv обозначено
полное касательное напряжение на этой площадке (рис. 4).
Величина aN представляет NN компонент тензора Т, a /jy —
квадрат величины вектора N-T. Поэтому в системе осей is, не
являющихся главными,
= tsktktNsNu
B.1.12)
причем теперь Ns = N • it.
30 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. I
В плоской задаче теории упругости ось ОХ3 является одной
из главных осей, так как ^з = hi = 0; называя через ф, -=— ф
I 2
угол оси ц с главными осями е, е, имеем по B.1.8)
tn — ti cos2 ф + t2 sin2 ф = у (ti + t2) — у (t<i — t^ cos 2ф,
f22 = ^ Sin2 ф + t2 COS2 ф = -75- (ti + t2) + -5- (t2 — tx) COS 2ф,
hi= (^2 — ^1)cos Ф sin ф = y (ti ~h) sin 2ф.
B.1.13)
Здесь повторены формулы A.3.14). Сославшись на A.6.11),
легко теперь получить исходные соотношения плоской задачи
Формулы для главных инвариантов тензора Т, сославшись на
A.10.4) A.10.10), A.10.11), можно записать в виде
/, (f) = ti + t2 + t3 = tn + t22 + t33 = tss, 1
2 2 ' 1 (z.l.loj
/3 (f) = txt2t3 = \tsk\ = ~\l\ (f) - 3/, (f) /, (f2) + 2/, (f *)]. j
2.2. Круги Мора. Разыскиваются площадки, на которых нор-
нормальное и полное касательное напряжения имеют заданные на-
наперед значения oN и т^. Задача сводится к разысканию трех не-
неизвестных N2i, N2, N2 из уравнений B.1.10), B.1.11), к которым
добавляется уравнение
Искомое решение записывается в виде
«I .)(¦ 8) Bl)(^s) (.l)C*)
B.2.1)
«-де обозначено:
f (а х 1-т2 I (а - /2 +
2J
СВОЙСТВА ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ
31
Условимся, что нумерация главных напряжений идет в порядке
их убывания (t\ >t2>t3). Осуществимы, конечно, только такие
on, Xn, для которых N2s>0. Поэтому должны иметь место не-
неравенства
h > 0, h < 0, h > 0. B-2.3)
Кривые Cfc, на которых /й = 0, в полуплоскости tjv > 0 предста-
представляют полуокружности:
С, с центром в точке О!
С2 с центром в точке О2
h
радиуса
радиуса
2
U-к
2
и-и
B.2.4)
С3 с центром в точке О3 ( ' 2 -, 0) радиуса
В центрах этих окружностей fh < 0 (k = 1,2,3); поэтому /fe > 0
в частях полуплоскости, расположенных вне Си, а из неравенств
B.2.3) следует, что область осуществимых aN, %n распо-
расположена вне С3 и С] и вну-
внутри С2. Она заштрихована
на рис. 5.
Вершина S2 полуокруж-
полуокружности С2 соответствует мак-
максимальное полное касатель-
касательное напряжение
B.2.5)
Оно реализуется на площад-
площадках с нормалью Л^ :
Рис 5.
r(S2>
N\^ = i
(г=± 1).
Для полных касательных напряжений, соответствующих верши-
вершинам S3, Si полуокружностей С3 и С\, вводятся обозначения
4 _ 4 4 *
B.2.6)
Т3 —
Т1 ~
2 V'AT/Ss' 1 2
Ориентация соответствующих им площадок определяется нор
малями
32 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. I
Как видно из этих формул, касательные напряжения xh осу-
осуществляются на площадках, проходящих через главное напра-
направление е и делящих пополам прямой угол между главными
координатными плоскостями, пересекающимися по этому на-
направлению; th называются главными касательными напряже-
напряжениями.
При обозначениях B.2.5), B.2.6) из формул B.1.10), B.1.11)
легко находится
х% = 4 (х2ЩИ\ + х2ЩЩ + хЩЩ). B.2.7)
В частности, на октаэдрической площадке — площадке, одина-
одинаково наклоненной к главным осям, когда N\ = N\ = N\ = '/з. имеем
f —** * -° ' V2\
B.2.8)
4 = |(^ + ^ + '
Вместе с тем по A.11.6) и (I. 10.10)
т2 = t2 — а2 = — Г/ <Т2) - /2 ^1 = — I (T)?v f) (I 9 Q^
• < '• I? о Ц & J «
так что
/2 (Dev f) = - -| (t2 + T2 + t2). B.2.10)
Впрочем, зто же следует и из формулы A.11.8). Величина
х = V - /2(Dev f) = У\(?\ + tJ + т23) B.2.11)
называется интенсивностью касательных напряжений. Приве-
Приведенные формулы содержат истолкование механического значе-
значения инвариантов тензора напряжения.
Описанное в этом пункте построение области осуществимых
Одг, tn было дано О. Мором A882). Конечно, оно^применимо ко
всякому симметричному тензору второго ранга Q, причем роль
eN, fit отходит к N-Q-N, N-Q2-N.
2.3. Разбиение тензора напряжений на шаровой тензор и
девиатор. Тензор напряжений представляется в виде (I. 11.1):
B.3.1)
ряже-
О
ний на взаимно перпендикулярных площадках. В идеальной
Здесь 4-сх— среднее значение суммы трех нормальных напряже-
О
§ 2] СВОЙСТВА ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ 33
жидкости или в покоящейся вязкой жидкости осуществляется
напряженное состояние, в котором одинаковое давление
р= —^а действует на произвольно ориентированных площад-
площадках. Такое «гидростатическое» напряженное состояние соответ-
соответствует шаровой части тензора напряжений; его девиатором ха-
характеризуется уклонение напряженного состояния от гидроста-
гидростатического.
2.4. Примеры напряженных состояний. Г. В напряженном
состоянии чистого сдвига отсутствуют напряжения на площад-
площадках, перпендикулярных *3, а также напряжения tn, t^. Тензор Т
задается равенством
f = (M2 + *2*l)*12, B-4.1)
и его характеристическое уравнение B.1.5) имеет вид
-t tl2 0|
t2l -t 0 =-t{t2-A) = 0.
jo о -t :
Главные напряжения равны
U = tn, t2 = Q, U = —Ui. B.4.2)
Система уравнений B.1.6), определяющих главную ось напря-
1
жения е, будет
11 11 1 ill
*i2e2= °> Vi ~ fi2e2 = 0, -^а^з^0- е\ + е\ + е\=\.
Одно из них должно быть следствием прочих, в данном случае
второе повторяет первое. Получаем
и аналогично найдем
2 2 2 3 3 1 3
1
= е2 = 0, е3=±\, е, = -е2= ±—?=, е3 =
1
?=
1 3
Главные оси е, е имеют показанные на рис. 6 направления диа-
2
гоналей квадрата, а главная ось е направлена по ц, что, впро-
впрочем, следовало из задания тензора.
Расположение кругов Мора показано на том же рис. 6. Глав-
Главные касательные напряжения и интенсивность касательных на-
напряжений равны
1 = Т3 =
Т1 = Т3 = ~2 *12> Т2 = ^12> Т= у "(Т1 + Т2+ Тз) = *12«
Этим объясняется выбор множителя 2/3 в определении B.2.11)
величины т. Шаровая часть Т в случае чистого сдвига отсут-
3 А. И. Лурье
34
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. I
ствует, равно как и нормальные напряжения на октаэдрических
площадках, полное касательное напряжение на них равно
У у 'is-
Описанное здесь состояние чистого сдвига не сопровождается
в изотропной нелинейно-упругой среде деформацией простого
сдвига (см. п. 6.3 гл. II). Реализация последней требует прило-
приложения также нормальных напряжений.
trt12
Рис. 6.
2°. В подвергающемся кручению вокруг его оси i$ линейно-
упругом стержне возникает напряженное состояние, определяе-
определяемое тензором
1 = ^3i (Mi + Мз) + Ub {ЧН + hh)- B.4.3)
Инварианты этого тензора равны
/i (f) = 0, h (f) - - (tl + tl), h (f) = 0, B.4.4)
и его характеристическое уравнение по (I. 10.3) будет
Главные напряжения оказываются равными
а направления главных осей задаются таблицей косинусов
I 'i I ^ I h
е
2
е
3
е
8
— е sin а
8
у= cos а
/2
8
е cos а
8 л.
/2
е
0
е
§2]
СВОЙСТВА ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ
35
где cosoc = 4i/^i, sin ос =/2з/^ь Напряженное состояние по гра-
граням параллелепипеда с ребрами, имеющими направления i3,
2
главной оси е и перпендикуляра к ней т в плоскости iu i2,
представляет чистый сдвиг интенсивности Yt\\ + ?>з (рис. 7).
В этих осях выражение тензора записывается в виде
Т = Vtli + ti3 {mh + ism).
3°. Тензор одинаковых касательных напряжений задается
равенствами
tih = то (i Ф k), tn = hi = faa = 0. B.4.5)
Его инварианты равны
/,(?) = 0, /2(f)=-3t2, /3(г) = 2т3,
и главные напряжения, определяемые корнями кубического
уравнения
-13 + Зхр + 2тЗ = 0,
оказываются равными
м = 2т0, г2 == 'з== то-
Направление первой главной оси определяется вектором норма*
ли октаэдрической площадки
2 3
а главные оси е, е расположены в плоскости, перпендикулярной
е, и определены с точностью до поворота вокруг этой оси. По
A.9.14) тензор представим в виде
Т = то{3ее-Е).
36 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. I
1
Цилиндрик, ось которого имеет направление е, подвергается рас-
растягивающему напряжению 2то вдоль оси и сжимающему то по
боковой поверхности.
4°. Электростатическая система напряжений Максвелла за-
задается тензором
g( •) B.4.6)
в котором g— плотность свободных зарядов, k — диэлектриче-
диэлектрическая постоянная (предполагается, что она не зависит от g),
8— вектор напряженности электростатического поля. Оно воз-
возникает в поле объемных сил, действующих на диэлектрик:
рК = - div Т = - -^div(ge -1 ?8 • в).
Учитывая соотношения
j.8, 8 = gradV, rotg = 0,
где V — потенциал поля, имеем
pK=--g-8div8. B.4.7)
Главные оси и главные напряжения находим почти без вычис-
вычисления. По определению главных осей A.9.1)
и сразу видно, что можно удовлетворить этому уравнению,
приняв
Остающиеся решения получим, задавая единичному вектору е
произвольные направления в плоскости, перпендикулярной 8:
е.8 = 0, е-8 = 0, *2 = *3= - -^-8 • 8. B.4.9)
По направлению поля действуют растягивающие напряжения, а
в поперечных направлениях равные им по величине сжимающие
напряжения.
5°. Сосуд под равномерным давлением. Напряженное состоя-
состояние, определяемое шаровым тензором
Т=-рЁ, B.4.10)
является статически возможным в сосуде, подверженном извне
и изнутри одинаковому давлению; это следует из того, что при
§ 3] МАТЕРИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 37
таком задании тензора напряжения и при отсутствии объемных
сил удовлетворяется уравнение равновесия в объеме A.5.4), а
на любой поверхности выполняется условие
N-f=-pN,
что и требуется. Это статически возможное состояние действи-
действительно реализуется в линейно-упругом теле.
§ 3. Материальные координаты *)
3.1. Представление тензора напряжений. В §§ 1, 2 этой
Главы тензор напряжений Т задавался в деформированной среде
(в V-объеме) его компонентами, далее обозначаемыми t^, в де-
декартовой системе координат OXiX2X3. Переходу к материальным
координатам qs n к векторному базису Rs соответствуют диадные
представления тензора
T = fkRsRk = nRsRk C.1.1)
через его контравариантные tsh или смешанные компоненты 1\
(ковариантные компоненты тензора напряжений обычно не при-
применяются). Вместе с тем
* =
и из сопоставления этих- выражений, сославшись на C.1.6),
C.1.18) гл. II, получаем формулы связи
p-t дхт дхп гг дхт дд ,0 , „-.
t ~TTTF=tt~rr~*—• (о. 1.2)
dqT dql dqT dxn
7rt _ . dqr dq* rr _ , dqr dxn
3.2. Зависимости Коши. Исходное определение тензора на-
напряжения A.3.2) записывается в виде
t = JV • Г = l9SRsNq, Nq = N • Rq. C.2.1)
Отсюда имеем
t .Rk=tk = ?qkNq, t -Rk=tk = rkNq. C.2.2)
Это — зависимости Коши A.4.5), выражающие контра- и кова-
ковариантные компоненты в базисах V-объема вектора напряжения
*) Изучение этого параграфа предполагает знакомство с содержанием
3-5 гл. И,
38 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. 1
(л?)
t на площадке с нормалью N через компоненты (контравариант-
ные и смешанные) тензора напряжения. Сила, действующая на
эту площадку, по C.5.2) гл. II представляется выражением
ЫО = У~ FsRsrq • п do. C.2.3)
3.3. Необходимые условия равновесия. Инвариантная запись
уравнений статики в объеме была представлена в п. 1.5 двумя
соотношениями:
dhrf + pK = O, f = r. C.3.1)
Знак тильды, как условлено в п. 3.1 гл. II, обозначает, что опе-
операция дивергенции вычисляется в базисе V-объема. В этом
базисе по (V. 4.7) имеем
^ ? Rt + рК = 0. • C.3.2)
По закону сохранения массы и по E.5.1) гл. II
и другой записью уравнения статики в объеме может служить
д
dqs
C.3.3)
Сославшись на правило дифференцирования базисных векторов
(V. 2.2), можно представить вектор в левой части__ этого равен-
равенства через его контравариантные компоненты в виде
+ Ш VG>' + Ро. VIК" = 0. C.3.4)
Условие симметричности тензора f через его контравариант-
контравариантные компонеты и смешанные компоненты записывается в обыч-
обычном виде:
Jgk jkS JS _ fS _ JS /о О ЦЧ
1 l 1 l-k—lk —Ik- yo.o.O)
Это следует из соотношений (IV. 5.5) и, конечно, подтверждает-
подтверждается формулами преобразования C.1.3).
Уравнение равновесия C.3.3) легко получить из наглядных
представлений; рассматривается элементарное тело (параллеле-
(параллелепипед), ограниченное поверхностями gs и qs + dqs (s = 1,2,3).
По C.2.3) и C.5.3) гл. II силы, действующей по этим
§ 3] МАТЕРИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 39
поверхностям, представляется выражениями
- VWPlRt dq2 dq3, VcfP'Rt dq2 dq3 + -^ f G~F" Rtdql dq2 dq3,
dq3dq1, VcffURt dq3dq1 + ~ У7Й2' Rtdq2dq3dq\
t dq' dq2, V~G?3% dq1 dq2 + ~ Vg> Rtdq3 dq1 dq2,
так как на площадке, определяемой, например, векторами
Rd2d
NdO = R2xR3dq2dq3 = V~GRxdq2dq3, NdO ¦ f = YgV*Rtdq2dq\
Массовая сила, действующая на рассматриваемый объем, равна
= Кр0 dx0 = Кр0 V~g dq1 dq2 dq3.
Уравнение C.3.3) выражает равенство нулю главного вектора
перечисленных здесь сил. Уравнение равновесия на поверх-
поверхности О, ограничивающей объем V, выражает равенство векто-
pa t, определяемого по тензору напряжения основным соотноше-
соотношением C.2.1), вектору внешней поверхностной силы F. Сослав-
Сославшись на C.5.5) и C.2.2) гл. II, имеем
F = N.f= , 1 , Rmnm - Г%Ъ,
ИЛИ
F VGsknstik = fmtnmRt. C.3.6)
Запись через контравариантные компоненты поверхностной
силы имеет вид
rHtnm = FtVG*knsnk, C.3.7)
что, можно было бы записать и в форме
Fk^f%, Fk = HNq, C.3.8)
но запись C.3.7) имеет то преимущество, что в ней используется
вектор нормали п к обычно наперед заданной поверхности о,
ограничивающей и-объем, тогда как поверхность V-объема О
разыскивается.
3.4. Другое определение тензора напряжений. Треффтц, Га-
мель. Каппус и другие авторы называют тензором^напряжения йТ
тензор, связанный с ранее введенным тензором Т соотношением
40 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ 1ГЛ. I
Тогда по C.2.3)
^ t, C.4.2)
(л?)
где о* — вектор напряжений на ориентированной площадке N dO
в У-объеме, но рассчитанный на единицу площади, которую эта
площадка имела в начальном состоянии (в и-объеме).
Уравнения равновесия в объеме и на поверхности приобре-
приобретают вид
^ = О, C.4.3)
\ C.4.4)
Здесь Р — внешняя поверхностная сила, отнесенная к единице
площади поверхности о тела в о-объеме:
Pdo = FdO. C.4.5)
3.5. Элементарная работа внешних сил. Рассматривается
состояние равновесия среды в 1/-объеме, ограниченном поверх-
поверхностью О и подверженном действию массовых К и поверхностных
сил F. Согласно принципу виртуальных перемещений элемен-
элементарная работы всех внешних и внутренних сил на виртуальном
перемещении точек сплошной среды из ее равновесного состоя-
состояния равна нулю:
Ь'а(е) + b'a(i) = 0. C.5.1)
Поле виртуальных перемещений задается вектором
би = б (/? — г) = б/?, C.5.2)
так как в виртуальном перемещении из положения равновесия
в У-объеме вектор г, индивидуализирующий рассматриваемую
частицу в и-объеме, сохраняет неизменное значение Fг = 0).
Выражение элементарной работы внешних сил представляет*
ся в виде
6'aw = J J J р/С • 6и dx + J J F • би dO. C.5.3)
V О
Заменив во втором слагаемом поверхностную силу ее значением
и используя правила преобразования поверхностного интеграла
в объемный (И.5.5) и тождество (II.3.10), имеем по (II.3.11) и
A.5.5)
jJF.budO=jJN-f-6udO=jJlv.T
О О V
-= f f f[(V-f)-a« + f--Vea]dT C.5.4)
j j j
§ 3] МАТЕРИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 41
и возвращаясь к C.5.3), C.5.2), получим
6'а(в) = J J J (р/С + div Г) • 6и rfr -f- J J J f • - V 6J? rfr.
V V
Вместе с тем по определению (V. 4.3) набла-оператора в метри-
метрике У-объема
и, учитывая симметрию тензора Т, имеем
? t- RsbRs = Г" Я, • 6RS =
Теперь, сославшись на C.3.1) и на C.3.3) гл. II, приходим
к соотношению
6'а«> =Т Ш r4Gs<dx = Т Ш "[/ ^*G,,dT0. C.5.5)
V
Но по C.6.3) гл. II
4-
так как тензор ? при варьировании в У-объеме остается неиз-
неизменным. Это позволяет переписать C.5.5), C.5.1) в виде
6'а(е) = - 6'%) = jjj ^Т Г" 6&*4 dro- C.5.6)
0
В рассмотрение еще вводится элементарная работа сил, отне-
отнесенных к единице объема среды в начальном ее состоянии
(в и-объеме), — удельная элементарная работа
Ь'а{е) = J j J в'Л(в) dT0, b'ai = J J J b'AU) dx0. C.5.7)
V V
Тогда по C.5.6) и вследствие произвольности выбора объема V
Ь'А(е) = - й'Л@ = у ]/"-| Г 6Gsq = ]/"| Г* 6ISV C.5.8)
Это выражение можно получить и более наглядным путем, вы-
вычислив элементарную работу перечисленных в п. 3.3 сил, дей-
действующих в У-объеме на элементарное тело, ограниченное
поверхностями qs и qs + 6qs; при этом надо иметь в виду, что
42 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. 1
виртуальные перемещения точек противоположных граней отли-
отличаются вектором
~Wdq ='Wdq =6R^dq.
В частном случае, когда Т — шаровой тензор, описывающий
гидростатическое напряженное состояние (всестороннее равно-
равномерное сжатие) интенсивности — р, имеем
T = -pG, rq=-pGsq C.5.9)
и, далее, сославшись на A.7.9),
или
бМш = -р6]/-|=-р6?>. C.5.10)
Здесь по E.5.1) гл. II через D обозначено относительное изме-
изменение объема. Пришли к результату, который можно было пред-
предвидеть.
Замечания. 1. Виртуальными в объеме V сплошной среды
являются произвольные бесконечно малые перемещения, не на-
нарушающие ее сплошности, а на ограничивающей ее поверх-
поверхности О—такие, которые согласуются с наложенными связями.
Поэтому на части О\ поверхности, на которой перемещения
заданы,
би = 0. C.5.11)
Поверхностные силы F на Oi наперед неизвестны. Это силы
реакций тех приспособлений, которые сообщают точкам О] за-
заданные перемещения и (например, реакции неподвижных опор,
если и = 0). Но это не препятствует записи выражения элемен-
элементарной работы поверхностных сил в форме
J J F • 6и dO = J J N • f • б« dO,
так как на О\ выполнено условие C.5.11).
2. Знак б' в выражениях элементарной работы и удельной
элементарной работы применен для обозначения бесконечно ма-
малых величин, а введением штриха указывается, что эти величины
не являются, вообще говоря, вариациями некоторых функций.
Не существует величины Л(е) (или Л(г)), вариация которой равна
удельной работе внешних (или внутренних) сил.
§ 3] МАТЕРИАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 43
3.6. Энергетический тензор напряжений. Мера деформации
определялась в базисе у-объема формулами C.3.2), C.3.3) гл. II:
Gx = Gsqrsr4,
так что
bGx=rsr4Gsq. C.6.1)
Тензор же напряжений Т представляется в базисе У-объема че-
через его контравариантные компоненты выражением C.1.1). По-
Поэтому
±У^ C.6.2)
то есть удельная элементарная работа внешних сил не выражает-
выражается через свертку (первый инвариант произведения) тензоров на-
напряжения Т и вариации первой меры деформации 6GX.
Введем поэтому в рассмотрение тензор
контравариантные компоненты которого в базисе и-объема равны
контравариантным компонентам Ist тензора напряжений в базисе
У-объема. Тогда
q. .6G* = r«rjrq- -rmrn Wmn = Г bGsq
и, далее,
Здесь удельная элементарная работа представлена сверткой тен-
тензора Q, называемого поэтому энергетическим тензором напряжен
ний, с вариацией первой меры деформации.
Связь тензоров Т и Q может быть представлена и в инва-
инвариантном виде. Сославшись на формулы C.2.3) гл. II, имеем
и поэтому
и по C.6.3), а также C.2.6) гл. II
f = (VRY -Q-VR, Q = (VrY • f • Vr. C.6.5)
Заметим, что в уравнения статики в объеме C.3.3) и на поверх-
поверхности C.3.8) входят компоненты isq тензора Т, являющиеся
44 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. I
одновременно и компонентами (в другой метрике) тензора Q.
Но, конечно, было бы ошибкой записывать эти уравнения в виде
dTvQ + p^G~/C = O, F = N.Q.
Представим тензоры Q и ЫЯ их разбиениями на шаровые и де-
виаторные части:
б Dev J\
Тогда по C.6.4) выражение удельной элементарной работы
представится в виде
g/, (Q) + Dev Q) • • (у |б/, (t) + 6 Dev
так что, имея в виду соотношения (g — единичный тензор в
и-метрике)
) = 6/, (Dev i) = О,
Dev Q-•? = (),
получим представление удельной элементарной работы суммой
двух слагаемых:
Q • 6 Dev t)]. C.6.6)
В линейной теории упругости первое называют удельной элемен-
элементарной работой изменения объема, второе — изменения формы..
В нелинейной теории такая интерпретация не имеет места.
3.7. Инварианты тензора напряжений. Сославшись на
(IV. 7.5), (IV. 7.6), в 1/-объеме имеем
Il(f) = GJst, /3(f)=G|P'|. C.7.1)
Далее, переходя в формуле (IV. 7.11) к смешанным, а потом к
контравариантным компонентам Т, получаем
h if) = | (ЧП - ?%) = | GsqGrt (ГГ* - ГГ<) =
\ C.7.2)
§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 45
Вместе с тем
GsqGrt - GrqGst = (Rs • RqRr - RT ¦ RqRs)Rt = [(*, X Rr) X Rq]Rt =
= (*, X Rr) • (Rq X Rt) = esrmeqtnRm - Rn = GmnGesrmeqtn
и еще одним представлением h{T) служит
/2 (f) = 1 ОО^е^^Г "Г\ C.7.3)
§ 4. Интегральные оценки напряженного состояния *)
4.1. Моменты функции. Условимся называть моменты гс-го
порядка функции f(xi,X2,x3), заданной в У-объеме, интегралы
, % ^3) хГ42Л;з5 rfT> dr = dx1dx2dx3, D.1.1)
где Si,S2, s3 — неотрицательные целые числа, сумма которых
si + s2 + s3 = п. D.1.2)
При Si = 0 имеется /г + 1 чисел (вг, S3) с суммой и, при Si = 1
число чисел ($2, s3) с суммой п — 1 равно /г и т. д. Поэтому об-
общее число N моментов п-ro порядка равно
jV = (n+l) + rc+ ... +1=1(я+1)(я + 2). D.1.3)
4.2. Моменты компонент тензора напряжений. Уравнения
равновесия в объеме A.5.6) позволяют записать 3N соотношений
Первое слагаемое преобразуется по формуле Гаусса — Остро-
Остроградского
l3
Г з т
Ш—— (x**xs>xs»t \ — xsi^s»jks3 T1 — tu. \
, дхь 1.1 2 3 f«J Xl X2 *3 ZJ x lkt
= J J x№x*Ft dO
ft=l
*) Содержание этого параграфа не связано с последующими главами. o:i
может быть опущен без ущерба для понимания дальнейшего текста.
46 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. 1
причем использованы уравнения равновесия на поверхности
A.5.15)
htNk = Ft.
Теперь введя обозначения
С С 1
Xs'1 Xs'х*> о К л/т 4- xs>xs"Xs»F (id
' 2 3 ^ * J J ' 2 3 t uu >
v
_1_
V
v
придем к соотношениям
w
D.2.3)
Их правые части при заданных объемных и поверхностных си-
силах (по всей поверхности О, ограничивающей объем V) изве-
Q
стны. Число уравнений D.2.3) равно -^ (п + 1) (и + 2), а число
неизвестных — числу моментов (п—1) -го порядка для шести
функций tM, то есть Зп(п + 1).
4.3. Случаи п — 0, п = 1. При п = О S\ = s2 = S3 = 0 и три
уравнения
<!o«> = y\lllpKtdr + ll Ftdo]=0 D.3.1)
выражают условия обращения в нуль главного вектора внеш-
внешних сил.
При и = 1 приходим к девяти уравнениям, содержащим
шесть неизвестных; из них находим средние значения шести ком-
компонент тензора напряжений
t t t
(t\t)m = <7юо» (ht)m = <7oio> iht)m = <7ooi. D.3.2)
причем условия симметричности этого тензора
2 1 3 2 13
(t\2)m — (*2i)m = <7юо — <7ою — 0. <7oio — <7ooi = 0. <7ooi ~ <7юо = ° D.3.3)
выражают требования обращения в нуль трех компонент глав-
ного момента внешних сил.
4.4. Моменты напряжений первого порядка. При п = 2 при-
приходим к 18 уравнениям с таким же числом неизвестных
(thtXr)m=(tthXr)m (Г =1,2,3). D.4.1)
§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 47
Уравнения распадаются на две группы:
t t t
2 (*w*i)m = fcoo, 2(t2tx2)m = q020, 2(t3tx3)m = qm, D.4.2)
D.4.3)
(htxX
Из них находим все моменты первого порядка всех шести ком-
компонент тензора напряжений. Например, моменты первого поряд-
порядка напряжений ^п, i\2 (поделенные на объем) равны
1 I I 1 2 I j 3
(tnxl)m ~ ~2 <7200> (tux2)m = <7ll0 ~ "J <72ОО> (^Пхз)т = ^101 ~ "J <72ОО>
D.4.4)
1 2 j I j 2 1 3
(t\2xi)m — Y <72оо> (^12^г)т ~ ~2 *?О2о> (^12^з)« —"J^101 "^" 9оп ~<7по)- D.4.5)
4.5. Пример. Сосуд под внешним и внутренним 'давлением.
Объем тела обозначается Ve, а внутренней полости 1/,-; ограни-
ограничивающие эти объемы поверхности назовем Ое, О4. Поверхно-
Поверхностные силы создаются равномерно распределенными по Ое и Ог
давлениями — внешним ре, внутренним ри так что
J-РЛ. на О..
\-PiNi на Oit
где Ne, N{ — единичные векторы внешних по отношению к телу
нормалей к поверхностям Ое, Ot (вектор Nt направлен внутрь
полости Vi). Начало системы осей совмещено с центром тя-
тяжести объема тела (материала), так что
Увхаа-У1Х{а = 0, s= 1,2,3, D.5.2)
где **, x's — координаты центров тяжести объемов Ve, Vt.
По D.2.1) при пренебрежении массовыми силами имеем
J J Л1 2 A3JV et UKJ T Pi J J xl X2 X3 ™ itUU
°
где V = Ve—Vi — объем материала. Условия равновесия D.3.1),
D.3.3), конечно, выполняются. По D.3.2), D.4.2), D.4.3),
48 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ [ГЛ. I
учитывая D.5.2), находим средние значения нормальных напря-
напряжений и их первых моментов
iVV) (%) D.5.3)
Т (PeVeK - РУ^ '-У-(P.' Pi)
Средние значения и первые моменты касательных напряжений
равны нулю:
У«. = 0, (tghXs)m = 0 {q + k). D.5.5)
4.6. Пример. Главный вектор и главный момент напряжений
в плоском сечении тела. Рассматривается часть загруженного
массовыми и поверхностными силами тела V, отсеченная от него
плоскостью хъ = х\. Объем этой части назовем Т; он ограничен
поверхностью О* + Q, где 0^ — часть поверхности О тела V, а
Q — площадь плоского сечения. При этих обозначениях, прини-
принимая Хз^^з в объеме Т, имеем по D.2.1)
4'Fr d0]+
4--L Ys'xs*xs3t N dO = л* -
Т J J 1 2 37Г*"и ''^i2S3 7" J J
о, I
J J 2 3
так как Nk = —бзл на плоскости х3 = х\. В D.6.1) первое сла-
слагаемое определяется заданными внешними силами. Из уравне-
уравнений равновесия D.3.1), D.3.3) находим теперь выражения:
а) перерезывающих сил
Q(t \ =Tq* , Q(t ) — Tq* , D.6.2)
б) растягивающей силы
О(*зз)т =Tq*m, D.6.3)
в) крутящего момента
^ О^гз ~" xih\) = Т (^юо ~ ^ою)' D.6.4)
г) изгибающих моментов относительно осей Охи Ох2
3. 2. 2.
аи I Лп1 и 1 1 1 17л1п "~~ Цппл 1 Л оУллл /)
V *б ооу^**7 \ U1U * Uul о ' UUU/
'. 3. о1, D>6-5)
§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 49
Индексом mt обозначается среднее значение по площади Q:
1 г г
"О" J J l(Xl< Х2> Хз)С''Х1 2~^1'т,-
4.7. Оценка среднего значения квадратичной формы компо-
компонент тензора напряжений. Для упрощения записей здесь ис-
используются одноиндексные обозначения
Tl = tn, Т2 = ^22, Тз = ^33, Т4 = ^12, Т5 = ^23, Те = ^31 • D.7.1)
В рассмотрение вводится положительная 6X6 матрица \\qrs\\
постоянных*). Через г|) обозначен интеграл по объему тела от
знакоопределенной положительной квадратичной формы:
D.7.2)
(опущены знаки суммирований по г и s). Система осей Ох\х2хз
совмещена с главными центральными осями инерции объема
J J J хк dx = 0, j j ( хкхт dx = 0 {k, m = 1, 2, 3; k ф т.),
v v
D.7.3)
и вводятся обозначения
1Цх\йх = УЦ F= 1,2,3), D.7.4)
v
так что
О2 — <2 л- J2 П2 _ ;2 i ;2 П2 _ /2 i ;2
представляют квадраты радиусов инерции относительно главных
осей Ох\, Ох2, Охг.
Рассматриваемая как функция коэффициентов ag, ask, функ-
функция гр имеет минимум при условиях
*) Напомним, что матрица называется положительной, если образуемая
но ней квадратичная форма qrsXsxr — знакоопределенная положительная
(обращается в нуль только тогда, когда все хг = 0).
4 А. И. Лурье
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. 1
50
Поскольку определитель \qrs\^0, из них следует, что стацио-
стационарное значение if>, являющееся вследствие ее знакоопределен-
ной положительности минимумом, достигается при значениях
параметров ar0, aTk, равных
и вычисляемых с помощью формул D.3.2), D.4.2), D.4.3) по
заданию внешних сил. Этот минимум, если еще раз обратиться
к формулам D.7.3), оказывается равным
X
= J J I j qrs^r
v
Приходим к неравенству
Mm Mm + ]? If (^r
k-i lk
J_
V
J J j flVsVb dx > qrs {xr)m (xs)m + 5] 4" кгХк)т (t,xk)m . D.7.6)
•]¦
D.7-5)
Co знаком ^- оно имеет место и для положительной знакопо-
знакопостоянной формы qrsXrXs*). Пусть, например, все qrs, кроме од-
одного qrr, равны нулю. Тогда
В задаче о сосуде п. 4.5 по D.5.3) и D.5.4) неравенство
JJkv
Ц {Peve
lk J г, s-l
D.7.8)
*) Форма, сохраняющая знак, но обращающаяся в нуль не только в на-
начале координат пространства своих переменных, называется знакопостоянной.
§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 51
согласно с B.4.10) выполняется при ре = р, со знаком равенства.
Пусть теперь р{ = 0; полагая только одно <7SS Ф 0, имеем не-
неравенство
показывающее, что наличие полости сопровождается повышени-
повышением напряжений; это следует из того, что при отсутствии полости
Ve = V, хек = 0, и по B.4.10) в формуле D.7.9) надо принять
знак равенства.
4.8. Оценка удельной потенциальной энергии деформирован-
деформированного линейно-упругого тела. Эта величина, как будет показано
в п. 3.2 гл. III, выражается через инварианты тензора напряже-
напряжений по формуле
A=±-\l2i(T)-2(l+v)I2(f)l D.8.1)
где Е — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона материала.
Неравенство D.7.6) позволяет дать следующую оценку этой
величины; вычисляемую по заданию внешних сил. Обозначим
Mf) = (*„)«.
и также
(суммирование по индексу г от 1 до 3 с заменой г + 1 = 4 еди»
ницей). Тогда
- D.8.2)
4.9. Оценка удельной интенсивности касательных напряже-
напряжений. Квадрат этой величины, равный абсолютному значению
второго инварианта девиатора тензора напряжения, по B.2.11),
а также со ссылкой на формулы (I. 11.8), (I. 10.5), может быть
записан в виде
Т2 = i [(*! - hf + (t2 - tzf + (*3 - txf] = J \(tn - t22f + {t22 - t33J +
+ (t* - tuf + 6 (/'„ + t>23 + ft)] = 1 [(tn - tr+u r+lf + Ы1 r+1]. D.9.1).
4*
52 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЕ [ГЛ'. I
Это — знакопостоянная положительная форма, так как она обра-
обращается в нуль при /,2 = /гэ = tn = 0, /м = 4г =/зз =? 0. По
D.7.6) имеем
Согласно критерию Мизеса неравенство т. < тт во всем объеме
тела (tT — предел текучести материала) гарантирует отсутствие
в нем зон пластической деформации; поскольку (т2)'/г < ттах, то
условие тт>(т2)т2 представляет необходимое, но, конечно, не
достаточное условие недостижимости предела текучести. По-
Поэтому неравенство
тт<т. D.9.3)
является достаточным признаком наличия зон пластичности,
тогда как неравенство противоположного знака
тт > т. D.9.4)
представляет необходимое условие их отсутствия. Как уже го-
говорилось, эти критерии выражены с помощью формул п. 4.3 че-
через внешние объемные и поверхностные внешние силы (послед-
(последние предполагаются заданными по всей поверхности О тела).
4.10. Моменты напряжений второго и более высокого порядка.
Если п^-3, то число уравнений D.2.3) меньше числа неизвест-
неизвестных. Например, при п = 3 имеем 30 уравнений с 36 неизвест-
неизвестными. Однако 15 неизвестных (при любом п>3) оказывается
возможным определить. Это девять величин
и шесть величин вида
(я - 1) (*»-%tn)m = i_h I0 —i- qm, (n - 1) (xr%tn)m =
1 j 3
= <7«-i,oi--^<7/too- D.10.2)
4.11. Оценка снизу максимума компонент напряжений. Вы-
Вывод формулы D.7.6) для оценки снизу среднего значения квадра-
квадратичной формы компонент тензора напряжений основывался
только на свойствах ортонормированности D.7.3), D.7.4) в
объеме V четырех полиномов (нулевой и первой степени)
PP~ <*-1.2,3), ("и)
§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 53
и его можно применить к более общей системе ортонормирован-
ных полиномов
Ро,РиР2,Рз,...,Рг. D.11.2)
Например, к основной системе D.11.1) можно присоединить
один из полиномов второй степени
[3 -1
Г2 _;2 V .f*. r2 Y Лт (А 1 1 о\
Ч 'Ч V *d ;2 I J J Xq к "т ' ^•11><э/
причем
V к=\
Вычисление становится более громоздким при присоединении к
основной системе не одного, а двух полиномов, например поли-
полинома Р4 и полинома Рь, содержащего х%; тогда придется поза-
позаботиться об ортогональности Рь не только с основными полино-
полиномами, но с Pi.
Пусть построена ортонормированная в V система полиномов
q ' U <7=1. 2, ..., s. D.11.5)
Тогда введя в рассмотрение вместо D.7.2) выражение более
общего вида
S
v
)
t=a I ^ i-o
и повторив вывод в п. 4.7, придем к более общему, чем D.7.6),
неравенству
\\\
t=0
причем знак равенства может иметь место, если qrqXTXq — знако-
знакопостоянная положительная форма.
Пусть все qrq, кроме одного с одинаковыми индексами, равны
нулю. Тогда, учитывая, что
J4dT<N!w DЛ1-6)
V
придем к оценке снизу максимума модуля хд:
\rqU*>[v tiXqPtf^'. D.11.7)
54
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. I
Она представляется весьма грубой, но ее можно уточнить, уве-
увеличивая ее правую часть путем присоединения новых ортонор-
мированных в V полиномов. При выборе их, однако, надо поза-
позаботиться о возможности выразить величины
rPtdx D.11.8)
через вычисляемые по заданным нагрузкам моменты высоких
порядков D.10.1) и D.10.2).
Например, если ограничиться в этих формулах п = 3, то при
разыскании |ti|max, кроме основных полиномов D.11.1), можно
использовать еще построенный выше полином Р4, а для дальней-
дальнейшего уточнения еще один полином, ортонормированный с пред-
предшествующими пятью полиномами, включающий слагаемое Х\Х%
или Х\хг. Дальнейшее уточнение требует уже построения системы
семи ортонормированных полиномов (четырех основных и трех
квадратичных, содержащих х\, ххху ххх^. Этим при п = 3 воз-
возможность дальнейшего уточнения JTi|max будет исчерпана. Ана-
Аналогично строятся оценки максимумов остальных компонент.
Например, наилучшая оценка при п = 3 снизу |т4|тах = Uulmax
с помощью формулы D.11.7) может быть достигнута с помо-
помощью шести полиномов: полиномов Ро, ¦ ¦ ¦, Pi и ортонормиро-
ванного с ними полинома, содержащего х\.
4.12. Уточненная оценка. Исходим из равенства
6 s 6 s
Ш 2 iv* 2 а*р* ^=i/ 2 р* 2
<0
DЛ2Л)
<=0
в котором pg (<7 = 1,...,6) и at (t=\,...,s) — некоторые по-
постоянные. Тогда, поскольку модуль интеграла в левой части не
превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции,
имеем
dx
ш
V
6
V д
G = 1
S
6
2рл
9=1
ш
max V
s
и, возвращаясь к D.12.1), приходим к неравенству
в
,7-1
Рл
D.12.2)
Вхождение в знаменатель правой части интеграла от модуля
существенно усложняет вычисление, но преимуществом этой
§ 4]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
55
формулы по сравнению с D.11.6) является наличие постоянных
at, распоряжаясь которыми можно увеличивать правую часть
неравенства.
Полагая
6 /6
V
2л Цтцхтхц '-
г, q**\
имеем по D.11.6)
>
{"И
I t=o i,
Теперь примем в неравенстве D.12.2)
6
2 W,
D.12.4)
и через у назовем его правую часть:
s Г 6
(rgPt)m
s 6
V~ \t=0 o = l
D.12.5)
Полагая ф = sgn ip в известном неравенстве Буняковского —
Шварца
имеем
В приложении к знаменателю правой части D.12.5) это неравен-
неравенство с учетом D.11.5) дает
Ш
S 6
V
2л
:|МП
2 1 </«
t=u q-\
откуда следует, что
56
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
[ГЛ. I
Итак, оценка снизу по неравенству D.12.3) хуже, чем даваемая
неравенством D.12.2), если в последнем выбрать постоянные at
по D.12.4). Например, если только одна из постоянных |3? от-
отлична от нуля, то по D.12.2) и D.12.4)
V
ш
2 (T?P,)W Pt
D.12.6)
и эта оценка точнее, чем D.11.7).
В качестве примера приведем оценку снизу максимума мо-
дуля температуры 6 линейно-упругого тела при адиабатическом
нагружении. По C.5.8) гл. III имеем
где 6 — температура, отсчитываемая от натурального состояния
(при отсутствии нагружения), в0 — абсолютная температура в
этом состоянии, а — коэффициент линейного расширения, ср —
теплоемкость при постоянном давлении; через а обозначен пер-
первый вариант тензора напряжения (а = tl{ + t22 + ^зз)- По
D.12.3), ограничиваясь только основными полиномами D.11.1),
имеем
\ • DЛ2.7)
J
Более точная оценка по формуле D.12.5) дает
\{aPt)mPt\dx
D.12.8)
ГЛАВА II
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
§ 1. Линейный тензор деформации
1.1. Обзор содержания главы. Как говорилось в п. 1.1 гл.1,
переход из начального состояния среды (из с-объема) в ее ко-
конечное состояние (V-объем) определяется заданием вектора пе-
перемещения и точек среды. Построение механики сплошной сре-
среды нуждается в математическом средстве, обеспечивающем воз-
возможность определения по этому векторному полю изменения
расстояний между точками среды и углов между отмеченными
направлениями в данной точке.
Задача состоит в том, чтобы проследить за изменением дли-
длины и направления любого бесконечно малого отрезка и-объема,
задаваемого вектором
dr=e\dr\ = eds A.1.1)
и несущего те же частицы вектора У-объема
dR = ~e\dR\ = idS. A.1.2)
Речь здесь идет о сопоставлении вектора dR вектору dr, и есте-
естественно, что решение связывается с введением в рассмотрение
тензора второго ранга. Действительно, рассматривая вектор-
радиус R точки У-объема как функцию материальных координат,
за каковые можно принять, в частности, декартовы координаты
аи а2, а3 этой точки в и-объеме, имеем по (II. 2.11)
dR = dr-VR = (VR)'-dr, A.1.3)
где VR — тензор второго ранга— градиент вектора R. С по-
помощью этого несимметричного тензора строится симметричный
тензор второго ранга, называемый ниже тензором первой меры
деформации (Коши —Грина), позволяющий дать решение по-
поставленного выше вопроса об изменении длин отрезков и углов
в и-объеме.
Этим не исчерпывается вопрос о величинах, характеризую-
характеризующих деформацию, так как имеет значение и обратная задача —
58
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. II
определение в и-объеме вектора dr, заданного в 1/-объеме век-
вектором dR. Ее решение приводит к введению второй меры дефор-
деформации.
Еще одной существенно важной геометрической задачей яв-
ляется определение по заданной материальной ориентированной
площадке ndo в у-объеме соответствующей ей в У-объеме пло-
площадки NdO. Эта задача и ей обратная — нахождение ndo по
NdO — решаются введением еще двух мер деформации, опреде-
определяемых тензорами второго ранга, обрат-
ными первой и второй мерам (см.
п. 1.7).
Из равенства A.1.3) гл. I следует,
что
A.1.4)
м
В линейной теории упругости нет нужды
в использовании перечисленных мер де-
деформации; в ней основываются на впол-
вполне приемлемом при рассмотрении дефор-
деформации массивных и слабо деформируе-
деформируемых тел предположении о существенной малости элементов ма-
матрицы тензора V«:
Рис. 8.
да*
A.1.5)
Этим допускается последовательное пренебрежение квадратами
и произведениями компонент тензора V» по сравнению с их
первыми степенями. При таком допущении для описания дефор-
деформированного состояния достаточно ввести один симметричный
тензор второго ранга, называемый далее линейным тензором
деформации.
1.2. Определение линейного тензора деформации *). В и-объ-
еме рассматриваются две бесконечно близкие точки М и N
(рис.8):
M...r = isas, N.. .r + dr = is(as + das). A-2.1)
В V-объеме их положения М', N' определяются вектор-радиу-
вектор-радиусами
dus).
A.2.2)
*) См. также п. II.2.
§1]
ЛИНЕЙНЫЙ ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ
59
Здесь du представляет вектор относительного перемещения двух
бесконечно близких точек среды; по (II. 2.6) и (II. 2.11)
A.2.3)
du=^r-dr = (V«)* -dr^dr- V«.
Тензор du/dr — производную вектора и по направлению г —
представим суммой его симметричной и кососимметричной ча-
частей [см. A.4.8)]:
Первая определяет симметричный тензор второго ранга, назы-
называемый линейным тензором деформации и обозначаемый
A.2.5)
Матрица компонент этого тензора записывается в виде
_ 1 _ 1
6п 6i2~Y^12 8'3 ~ 2 ^
621 = о" Y21
622
_ 1
623 — Т Y23
_ 1 _ 1
е31 — ~2 Y31 632 — Y Y32 6зз
A.2.6)
A-2.7)
Выражения компонент е*ь = ъы через производные вектора пе-
перемещения по (Н.2.5) определяются формулами
_ dtij _ ди2 _ ди3
ди2 \ _ J_ I диг , диъ \ _ 1 / диъ , di
'A.2.8)
Диагональные элементы матрицы A.2.6) в линейной теории
упругости называются относительными удлинениями, а удвоен-
удвоенные недиагональные (\ш) — сдвигами. Происхождение этих наи-
наименований объяснено ниже (п. 3.6).
Второе слагаемое в формуле A.2.4) представляет кососим-
метричный тензор второго ранга
1 r/^..ч. V7..1 ^gg)
с матрицей компонент
О
(U2i = ©з
131 = — @2
@,2 = — С03 @13 = С02
0 С02з = —
A.2.10)
60 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
Здесь величины
1 / ди3 ди2 \ 1 / дщ ди3\ I (ди2 дщ \
A.2.11)
представляют проекции сопутствующего тензору (V«)* векто-
вектора ю, называемого вектором поворота. По (II.2.8) имеем
Переписав формулы A.2.5) и A.2.9) в виде
-g- = e + Q, V« = e-Q A.2.13)
и сославшись на A.2.3), а также на A.4.10), имеем
X dr. A.2.14)
Второе слагаемое в этой формуле представляет перемещение,
обусловленное поворотом бесконечно малой окрестности точкиМ
как твердого тела, а первое определяет перемещение относитель-
относительно точки М точек этой окрестности, создаваемое деформацией е.
Данное здесь в применении к вектору перемещения и опреде-
определение линейного тензора деформации распространимо на лю-
любой вектор (п. II. 2). Например, применение операции def к век-
вектор-радиусу г приводит к единичному тензору
(f) ^ ?, A.2.15)
так что
def# = ? + e. A.2.16)
§ 2. Определение вектора перемещения
по линейному тензору деформации
2.1. Совместность деформаций (зависимости Сен-Венана).
Ставится задача об определении вектора перемещения — его
трех проекций us, называемых кратко перемещениями, по задан-
заданному линейному тензору деформации е. Иначе говоря, речь идет
об интегрировании системы шести дифференциальных уравнений
дщ_ _ ди2 ди3
1 ( диг , дщ \ _ _ \_ ( ди
2\;
да, + да, ) ~ &зи
_
~ 23>
1 (диг duL\_
B.1.1)
§2] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ 61
заданные правые части которых непрерывны вместе с их произ-
производными первого и второго порядков. Число уравнений (шесть)
превосходит число неизвестных (три), поэтому задача может
иметь решение только при наложении некоторых условий на
задание компонент тензора ё. Это поясняется таким рассмотре-
рассмотрением: представив себе среду разделенной на элементарные ку-
кубики, сообщим каждому из отдельно взятых кубиков деформа-
деформацию, подвергнув его малым растяжениям и малым скошениям
первоначально прямых углов между ребрами; полученные тела
можно будет снова сложить в сплошную (лишенную разрывов)
среду лишь при надлежащей согласованности деформаций от-
отдельных кубиков. Это обеспечивается при существовании непре-
непрерывного вместе с его производными по крайней мере до третьего
порядка вектора перемещения и, так что заданный тензор ё яв-
является его деформацией (ё = def«). Иначе говоря, речь идет об
условиях интегрируемости системы уравнений B.1.1); сказан-
сказанное объясняет и другие наименования— условия сплошности и
условия совместности деформаций. На их важное значение в ме-
механике сплошной среды указал Сен-Венан, поэтому принят так-
также термин «зависимости Сен-Венана».
Исходим из формулы A.2.14). В ее правую часть входит не-
неизвестный кососимметричный тензор Q, и его надо исключить из
рассмотрения. Но условием интегрируемости соотношения
A.2.14), то есть существования вектора и, служит по (II.6.5) об-
обращение в нуль ротора тензора (е + Q)*:
rot(g + Q)* = rot(e-Q),
так как ё* = ё, Q* = —Q. Приходим к условию
rote = rotQ. B.1.2)
Выражение ротора кососимметричного тензора дается формулой
(II. 3.9):
rotQ = (V<ft)*-?divft> = -^, B.1.3)
поскольку
dive» = (!/, — rot ft) = О,
так как первый инвариант ротора симметричного тензора равен
нулю.
Приходим к соотношению
rotft = ^-, da = rotft-dr B.1.4)
и, снова обратившись к (П. 6.5), записываем условие его инте-
интегрируемости в виде
rot(rote)\=Inke = 0. B.1.5)
62 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
При его выполнении по B.1.4) имеем
м
<» = <»0+ J rote-dr. B.1.6)
Теперь правая часть выражения du в формуле A.2.14) пол-
полностью известна и выполнено условие ее интегрируемости
B.1.3)—из него при соблюдении условия B.1.5) определен век-
вектор с*. Поэтому последнее и представляет условие интегрируе-
интегрируемости соотношения A.2.14). Этим, кстати, объясняется наимено-
наименование Ink — условие InkP=?0 несовместимо с существованием
вектора, для которого симметричный тензор Р был бы дефор-
деформацией (см. п. П. 4).
Запись шести условий обращения в нуль тензора Inke сле-
следует из таблицы компонент (II.4.15) тензора Inke. Эти же
условия можно получить, исключив перемещения щ, и2, щ из
системы уравнений B.1.1). Процесс исключения ведется так.
Рассматривая три уравнения
дщ ди2 _ дщ , дщ _
15Г "' ~д^2~22> ~дщ"]"д^~Ут
замечаем, что их левые части удовлетворяют тождеству
д2 дщ . д2 д»2 _ д2 f д»[ , ди2
да\ дах да] да2 да1 да2 \ да2 да1
Из него получаем одно из трех условий, выражающих требова-
требование обращения в нуль диагональных компонент Ink ё:
d28]j | д2?22 д2\\2 /П « рт\
да2 да^ да.\ да2
Одним из тождеств второй группы является
_2 д3"з | д2 I дщ . дщ \ . д2 I диъ . ди2 \ _
да^ да2 даъ да2 да3 \ дщ ' да3 ) да3 да{ \ да2 ' да3 J
'дщ
^да2 да{
Оно приводит к соотношению
д2 1
dal \
2
Остающиеся условия получаем из B.1.7) и B.1.8) с помощью
круговой перестановки индексов.
Отметим еще, что формула B.1.5), конечно, применима к
линейному тензору деформации defa любого вектора а (не
только вектора перемещения):
Inkdefa = 0. B.1.9)
§ 2] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ 63
Симметричный тензор, «несовместность» (Ink) которого равна
нулю, представляет деформацию некоторого вектора. Это пред-
предложение было использовано в п. 1.6 гл. I.
2.2. Вектор перемещения. Формула Чезаро. Использовав вы-
выражение B.1.6) вектора о, перепишем соотношение A.2.14) в
виде
м
du^e-dr + щХ dr-dr X J rote (a) • dr (<т). B.2.1)
Пусть С — путь интегрирования, Мо — его начальная, М — ко-
конечная точка; М!, М" — точки на этом пути. Вектор-радиусы
этих точек обозначаются r0, r(s), r(a), r(а'). Тогда
и (s) = «о + <о0 X [г (s) - г0] +
М ММ'
+ J e(a)-dr (а) - J dr(a)X J rot e (a') • dr {о').
М, Ма АГо
Двойной интеграл известным приемом преобразуется в оди-
одинарный:
ММ' М М
- [dr (а) X J rot e (о') • dr (a') = j rot е (а') ¦ dr{<f) X j dr (a) =
Мо М, М, М"
м
J rot e (</) • dr (о') X [г (s) - г (</)].
Приходим к формуле Е. Чезаро, определяющей вектор переме-
перемещения по линейному тензору деформации:
м
и = ио + (»0 X (r-r0) + J {e(cr) + [г(а) -г(«)] X rotе(сг)} • dr{a) =
Мо
М
= «о + «о X (г - г0) + J П • dr {a). B.2.2)
Здесь введен в рассмотрение тензор второго ранга П (несимме-
(несимметричный) :
П = Г + (/ - г) X rot Г. B.2.3)
В этой записи r — r(s), а штрихами отмечены величины в
ке пути интегрирования. Пользуясь диадным представлением
этого тензора
[($^)k B-2-4)
64 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. И
можно придать формуле Чезаро вид
i>st4a>q-aq)(^-^)]da>t. B.2.5)
Вектор перемещения и, естественно, оказался определенным с
точностью до слагаемого вектора
«о + (»оХ(г —г0), . B.2.6)
представляющего малое перемещение среды как твердого те-
тела — геометрическую сумму перемещения и0 точки Мо и пере-
перемещения поворота йоХ (г — г0) вокруг этой точки.
Интегрируемость выражения B.2.2) проверяется непосред-
непосредственно. Надо убедиться в выполнении условия (II. 6.5):
rot П* = rot [Г + (/ - г) X rot еТ = rot [Г - (rot г')* X (/ - г)] = 0.
B.2.7)
Здесь учтено тождество A.5.11):
[(/ - г) X rot еТ = - (rot е')* X (/ - г).
Полагая теперь Q =(rote')* в тождестве
rot (Q X г) = rotQ Xr + Q*- ESpQ, B.2.8)
имеем
rot [(rot е'Г X (г' - г)] = rot (rot ё')* X {г' - г) +
+ (rot ё'Г - Е Sp (rot %')• = Inke' X {г' -г)Л- rot ё',
поскольку след ротора симметричного тензора (а значит, и
транспонированного тензора) равен нулю. Подстановка в B.2.7)
дает
rotn* = rote'-Inke'X(r/-r)-rote/= - Ink е'X (г'- г) = 0,
B.2.9)
и вследствие произвольности вектора г' —г приходим снова к
условию B.1.5).
2.3. Пример. Температурное поле. Деформация отдельно взя-
взятого изотропного кубика в температурном поле в(аь аг, аз) пред-
представляется известным выражением
(еп = е22 = е33 = а9, Y12 *= Y23 = Y31 = °)> B.3.1)
§ 2] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ 65
где а — коэффициент линейного температурного расширения.
В сплошном теле такая деформация возможна при выполнении
условия B.1.5):
Ink а9? = rot (rot а6?)* = is -~ X lit -^ X adiqiqj =
с к/ • \с ч/ • \ д2а8 . . д2а9
= (h X lq) (lt X *,) V^M
s t
0 11
(sfim mt да да
Итак,
Ink а0^ " Ё ^ ~ a^Sr W = (W - W) ав. B.3.2)
Учитывая еще, что
Sp(?V2-VV)a6 = 0,
имеем теперь
Условиями осуществимости деформации в сплошном теле по за-
закону B.3.1) оказались требования равенства нулю всех вторых
производных 6 по координатам, так что 6 представляет линей-
линейную функцию координат. Принимая a = const, имеем
6 = Go + qicti + q2a2 + <73a3 = 60 + q • r, B.3.4)
где q = grad 0 — постоянный вектор.
Вектор перемещения найдем, подставив это выражение в
формулу Чезаро B.2.5). Отбросив перемещение среды как твер-
твердого тела, получим
м
« = «'J Кео + я А) *« + К - «г) DAt ~ Ш\ da't =
м,
м
= a J [(во + q ¦ r')dr' + ±qd\ r' -r ?-q • {г'-г) ¦ dr']
J
м,
и в окончательном виде
a = a6(r-ro)-^-a|r-roPgrade. B.3.5)
При законе распределения температуры по объему тела, от-
отличном от линейного, свободное температурное расширение по
закону B.3.1) не может иметь места. На тензор ?а0 надо нало-
наложить компенсирующий тензор ё* такой, чтобы при деформации
е = ё* + EaQ B.3.6)
5 А. И. Лурье
66 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
удовлетворялось условие совместности
Ink г = - (?V2 - VV) об. B.3.7)
Было бы ошибкой думать, что вектор перемещения и теперь
можно представить геометрической суммой векторов щ, и2, опре-
определяемых условиями
def «[ «= аВЁ, def «2 = ё*,
так как тензоры aQE и ё*,- взятые по отдельности, не удовле-
удовлетворяют условиям совместности и Викторы иь «2 не суще-
существуют.
2.4. Дисторсии Вольтерра. Векторы поворота «* и перемеще-
перемещения и, определяемые интегралами B.1.6) и B.2.2), предста-
представляют в односвязной области однозначные функции координат
пи точки М — верхнего предела интеграла. В случае двусвязной
области в рассмотрение должны быть введены циклические по-
постоянные векторы — см. (II. 6.9):
rote'• <**•' = *, $(e' + r'Xrotr).rff' = c, B.4.1)
где К — несводимый непрерывным преобразованием в точку
контур. Значения о и а в точке М могут быть теперь записаны
в виде
i = ©о + J rot ё' • dr' + nb, B.4.2)
Mo
M
и = и0 + ю0 X (г - r0) + J [ё' + (г' - г) X rot ё'] • dr7 +
м,
+ №(с + 6Хг), B.4.3)
где и — число оборотов по Я-контуру на пути интегрирования
из Mq в М. Однозначность определения векторов и и «о теряется.
Ее можно восстановить проведением барьера, превращаю-
превращающего двусвязную область в односвязную, однако переход через
барьер сопровождается нарушением непрерывности этих век-
векторов.
Пусть о — поверхность барьера, о~ и сг+ — две конгруэнтные
с сг поверхности, расположенные непосредственно «над» и «под»
барьером; М, М~, М+ — близкие друг другу точки на о, а", а+.
§2]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
67
Тогда,, принимая ДО- за начальную, М+ за конечную точку пути
интегрирования, имеем (рис. 9)
й+ = <»" + J rote'-d/1', B.4.4)
м~
м+
и+ = и- + со" X (г+ - г") + J [ё' + (/ - г+) X rot г'] • dr'. B.4.5)
При наложении поверхностей от, о+ цд барьер, и
г, г* ^ г, г+ — г~ —5>- О
И интегралы B.4.4), B.4,5) равны их значениям по замкнутому
/(-контуру. Приходим к формулам Вейнгартена, определяющим
разрьшы на барьере векторов © и и
/ 1 r\r\ * \
рр
A901):
- = 6,
г( B.4.6)
•"Рис' 9.
Они указывают на то, что материал на
одной стороне барьера испытал относи-
относительно материала на другой его стороне
малое перемещение, возможное в твер-
твердом теле, задаваемое векторами rioBOpd1
та Ь и поступательного перемещения с.
Это можно объяснить так: из двусвяз-
ного те^а (тора, например) после его рассечения по поверхт
ности а удален тонкий слой материала, а затем конгруэнтные
кодвд сг+ и а~~ полученного односвязного тела снова спаяны
(в тор), причем им было Сообщено малое поступательное пере-
перемещение с и малый поворот, определяемый вектором Ь. Эту опе-
операцию образования нового тела из старого Вольтерра назвал
дисторсией; Ляв называет ее дислокацией, но в литературе по-
последнего десятилетия термину «дислокация» придается более
общее значение. В подверженном дисторсии упругом теле воз-
возникает напряженное состояние. Оно может быть теоретически
рассчитано по заданию циклических постоянных векторов ft, с.
Последние могут быть определены экспериментально по изме-
измерению смещений и поворртов концов разрезаемого кольцеобраз-
Його тела.
Возможность дисторсии в односвязном теле исключается,
так как после удаления из него, скажем, тонкого клинообраз-
клинообразного тела и последующего сшивания свободных краев теряется
непрерывность самого тензора деформации § (следовательно, и
напряжения становятся разрывными). Это.следует из того, что,
как указывалось ранее, перемещения в односвязном теле уне
68 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
могут быть многозначными, если тензор ё непрерывен. Этим же
следует объяснить, почему при рассмотрении дисторсии говори-
говорилось об удалении из тела полоски с обязательно конгруэнтными
краями, — дело в том, что разрыв на барьере вектора и, совме-
совместимый с предположением о непрерывности тензора ё, предста-
представляется смещением твердого тела. При всяком же разрыве бо-
более сложной природы этот тензор не останется непрерывным.
§ 3. Первая мера и первый тензор конечной деформации *)
3.1. Векторные базисы v- и V-объемов. Точка сплошной
среды задается материальными координатами qx, q2, q3. Ее по-
положение в и-объёме определяется вектором-радиусом
r = r{q\q\q*) = isas{q\q2,qz). C.1.1)
В 1/-объеме положение этой же материальной точки можно за-
задать вектор-радиусом
R = H(q\ q\ <73) = isxs(q\ q\ q3) = is(a. + us). C.1.2)
В частности, материальными можно считать декартовы коорди-
координаты и-объема
as = qs, C.1.3)
но с таким же основанием за них можно принять и декартовы
координаты У-объема
*S = <7S- C-1.4)
Векторный базис в u-объеме задается тройкой векторов
а в У-объеме — тройкой векторов
dR дхъ
b-w-bw- (ЗЛ-6)
Векторы взаимных базисов строятся по правилам (V. 1.5):
rs = j*sktrkXrt, C.1.7)
nS * ^Sktn w П /Q 1 Q\
Здесь
V g
*) Чтение этого раздела предполагает знание материала Приложений IV
и V.
§ 3] ПЕРВАЯ МЕРА И ПЕРВЫЙ ТЕНЗОР КОНЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ 69
причем через g и G обозначаются определители матриц кова-
риантных компонент
gsh = rs-rk, Gsh = Rs-Rh C.1.10)
метрических тензоров v- и У-объемов g и G, так что
g = \gsh\ = [rl-(r2Xr3)Y, G = |GSfcl = [*r(*2X*3)]2. C.1.11)
Сами эти тензоры, играющие роль единичных в у- и соответ-
соответственно в У-объеме, в их диадных представлениях записываются
в виде
U = gsursrk = gskrsrk = rkrk, C.1.12)
G = GskRsRk = GskRsRk = RkRk. C.1.13)
Здесь, как всегда, введены также контравариантные компо-
компоненты метрических тензоров g и G:
gSh = rs.rht Gsh = Rs-Rh. C.1.14)
Заметим, что тензоры g и 8, являясь единичными в базисах v- и
соответственно У-объемов, равны обратным им тензорам:
'-g = u~\ G = G-\ C.1.15)
Следствием определений C.1.7), C.1.8) служат известные соот-
соотношения
1, s = k,
»'«9
Заменив здесь rh, Rh их значениями C.1.5), C.1.6), имеем
Отсюда имеем
За, до* . За, 3afe
г" ¦ it —*т — - rs • ii —'- = rs • i = g»
dqk даг даг г &к даг даг
Итак,
и аналогично
Следствием являются упомянутые выше соотношения
C.1.18)
ДЕФОРМАЦИЯ- СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. И
П© C.1.10) и C.1.14) приходим к формулам
daf daf dxf dxf
~^l^' sb=W^' (ЗЛЛ9)
§ dat dat ' " dxt dxt • \6.\.JM)
Набла-оператор в у-объеме определяется символическим векто-
вектором (У. 4.3):
V=r^. C.1.21)
В V-объеме роль векторов г* Обходит к /?s и для набла-оператора
применяется обозначение
^ = Г^. C.1.22)
В последующем требуется тщательное различение операций
в и- и в V-объемах; действия и величины, относящиеся к V-объ-
ему, указываются знаком тильды (~). Например, вектор может
быть задан его компонентами в базисах у- и У-объемов; его
коварйантные и контравариантные компоненты в векторном ба-
базисе у-объем а обозначаются, как обычно, as и аа, но в вектор-
ноМ базисе F-объеМа — через as, as:
e =* asrs = asrs = ufR* = asRs. C.1.23)
Тензор, равный градиенту вектора а, в соответствии со сказан-
сказанным записывается в метрике и-объема в виде
Va = г* .gr = rsrk4sak = rsrkVsak, C.1.24)
а в метрике 1/-объема имеем отличный от него тензор
Щ = И3-щт = RsRkVsak = RsRkVsak. C.1.25)
Это объясняется тем, что транспонированный тензор (Va)* опре-
определен как производная в по направлению г, а (Va)* — по на-
направлению R:
В операциях ковариантного дифференцирования в у- и в
У-объемах требуется, конечно различать символы Кристоффеля;
например,
Т
§ 3] ПЕРВАЯ МЕРА И ПЕРВЫЙ ТЕНЗОР КОНЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ 71
Символы, снабженные знаком тильды, вычисляются по компо-
компонентам тензора G, а когда этот знак отсутствует — по компо-
компонентам g:
п 1
О[ЗГг)О№+
L J 2 V V а?* dqr
Отметим также формулы, обратные C.1.7), C.1.8):
г, = у W* X rfe, ^ =Д es«#' X *\ <3.1.29)
причем
«в«* = г, • (г, X rfe) = /g estk, €stk = /?s • (Rt X J?ft) /G = e,tt. C.1.30)
3.2. Тензоры-градиенты SIR и V*. По C.1.21), C.1.22), учиты-
учитывая определения базисных векторов C.1.6), C.1.6), имеем диад«
ные представления этих тензоров :
C.2.2)
Транспонированные тензоры —производная R по направлению
г и г по направлению R —определяются равенствами
= JifL =, J(sr\ (Vr)* = -^~ = rs/f. C.2.3)
Из этих определений следуют основные в последующем формулы
dR = (VI?)* -dr = dr- VR, C.2.4)
dr = (Vr)' -dR = dR- Vr. C.2.5)
Сразу видно также, что тензоры VR и Vr обратные:
VR-Vr = rsRs-Rkrk = rsrs = g, VR = (Vr)~\ )
s к / _ - ~ -i C-2-6)
Заметим еще, что в отличие от C.2.1), C.2.2) тензоры VR, Vr —
единичные тензоры в базисах V- и о-объемов:
= G, Vr = rVs = ^. C.2.7)
3.3. Первая мера деформации (Коши —Грим). Как уже го-
говорилось в начале п. 1.2, вектор MN = dr, определенный в
и-объеме двумя бесконечно близкими точками М и N, в V-объе-
ме становится равным вектору M'N' = dR. Связь между этими
72 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
векторами задается формулами C.2.4). Из них находится соот-
соотношение, определяющее квадрат линейного элемента dS в
У-объеме:
dR-dR = dS2 = dr.VR-(VR)*-dr = dr-Gx-dr. C.3.1)
Здесь в рассмотрение введен тензор Gx, называемый ниже пер-
первой мерой деформации (или мерой деформации Коши). Этот
тензор по C.2.1) равен
Gx = VR{VRy=rsRsRkrk = GsVsrft C.3.2)
и определен, как видно из этого представления, в векторном ба-
базисе у-объема своими ковариантными компонентами 6Д,равны-
6Д,равными ковариантным компонентам единичного тензора 1/-объема G,
имеющего диадное представление C.1.13),
G? = G,ft = *,.**. C.3.3)
Было бы ошибочно на этом основании отождествлять тензоры
6х и G. Контравариантные компопенты GxSk тензора меры де-
деформации определяются по общему правилу перехода от ко- к
контравариантным компонентам (IV. 5.4):
G^-sV'G,,, C.3.4)
и отнюдь не равны контравариантным компонентам Gsh тензо-
тензора G— последние определены формулами C.1.14) и предста-
представляют элементы матрицы, обратной ||Ggft||.
Вернемся к квадрату линейного элемента C.3.1); учитывая
C.3.2), C.3.3), приходим к его известному представлению ква-
квадратичной формой дифференциалов dqs, образуемой с помощью
матрицы ковариантных компонент тензора G:
dS2 = dr • r»Gskrh • dr = dq*rt • rsGshrh • rmdqm = Gshdqsdqk C.3.5)
Для вычисления ковариантных компонент первой меры дефор-
деформации служат формулы C.1.19):
Gsk = Rs.Rk = it^.im^f^^. C.3.6)
dqs dq" dqs dq"
Введем еще в рассмотрение тензор Gx .обратный Gx. Со-
Сославшись на A.7.14), имеем
Gx"' = (VR • VRT1 = (V/?)*-1. (V*)-1 = (V/?)* • (V*)
и по C.2.6), C.2.2), C.2.3), C.1.14)
Gх~' = фг)' • W = rsRs • R* ¦ rk = G''V*- C-3.7)
§ 3] ПЕРВАЯ МЕРА И ПЕРВЫЙ ТЕНЗОР КОНЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ 73
Контравариантные компоненты этого тензора, он обозначается
далее еще т, в векторном базисе и-объема равны контрава-
риантным компонентам единичного тензора У-объема G.
Вычисление компонент Gsk связано с обращением матрицы
Gsh- Можно поступить иначе. Примем на минуту декартовы
координаты точек У-объема за материальные координаты. Тогда
и по C.3.7), C.1.5), возвращаясь к материальным координа-
координатам qs, имеем
Ях-1 Л_ дг дг dg* dgm , m
Итак, снова получим формулы C.1.20):
G^^^-Jf-, C.3.9)
dxs dxs v '
и легко проверить, что матрицы ||Gsi||, ||Gs(|| обратные. Действи-
Действительно, по C.3.7)
дхт дхт дд' ддг _ дхт дхт dqT _ dxm dgT _ ддг _ ,г
st
dgs dg' dxt dx{ dgs dX[ dx{ dgs dxm dgs
что и требуется. Вычисление по формулам C.3.9) требует зна-
знания преобразования, обратного C.1.2), то есть выражения мате-
материальных координат через декартовы координаты У-объема.
3.4. Геометрическое значение компонент первой меры дефор-
деформации. Представим в формуле C.3.1) бесконечно малый век-
вектор dr в виде произведения его модуля \dr\ = ds на задающий
его направление единичный вектор е. Придем к равенству
e'Gx-e-ds2, -g-= (e • Gx • е)/г. C.4.1)
В частности, направляя dr по базисному вектору г,, имеем
е = -^ = -р= (±) C.4.2)
IM Yen ^ij
и, сославшись на C.3.2), получим
-¦?г,-
Этим определяется геометрическое значение диагональных ком-
компонент матрицы ||G«fc||. Обозначая 6< относительное удлинение
74 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
элементарного отрезка, направленного в и-объеме по базисному
вектору г и имеем
(зЛ4)
Единичный вектор е, имеющий направление вектора <Ш в
У-объеме, по C.2.4) определяется равенством
dR = ~е dS = е ds ¦ VR = (V/?)* • е ds,
так что по C.4.1)
Рассматривая теперь в точке и-объема М два направления е,
е' под углом р и называя е, е' сопоставляемые им направления
в У-объеме, получаем
\_.\ju к» v \* у , — i
Ve-Gx-e e'-Gx-e'
и, сославшись на C.3.2),
cos p = r C.4.6)
В частности, выбрав е и е' по направлениям базисных векторов
rs, rt, придем к формуле
поясняющей геометрическое значение недиагональных элементов
матрицы [IGstfl.
Определяя угол cpst, называемый углом сдвига, равенством
Ps( = Psi — tyst,
имеем
cos J3S, = cos ps/ cos cpst + sin ps< sin qst =
(cos %t
Это позволяет записать C.4.7) еще в виде
гв«cos ф,< + VsssSn - ё%sin Фй = d + б/
3.5, Изменение ориентированной площадки. Вектор ориенти-
ориентированной площадки ndo в и-объеме может быть представлен в
виде
ndo = je'Xe"ds'ds"
§3] ПЕРВАЯ МЕРА И ПЕРВЫЙ ТЕНЗОР КОНЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ 7§
где е', е" — единичные векторы в плоскости площадки.
В 1/-объеме он преобразуется в вектор
je'Xe
и по C.4.5), C.4.1), C.2.1) C.2.3)
N dO = | ds' ds" {(S/RY ¦ e<\ X (e" • VR) = \ dsr ds"Rs X R/Se"\
C.5 Л)
где e's, е"ч — контравариантные компоненты е', е" в базисе
у-объема. Сославшись теперь на C.1.20), C.1.30), имеем
N dO = 1 ds' ds"ZsqiRte'se"q = у is' ds" "|/-| (rs X r,) •rfe'ie/JR< =
= j ]/у ds' ds" (e' X e") • rtR' = ]/-| n • rtP? do C.5.2)r
или по C.2.3)
NdO = V^ n ¦ (Vr)' do = ]/— Vr ¦ n do. \ C,5.3)
Отсюда, имея в виду также C.3.7), приходим к соотношению
поясняющему геометрическое значение тензора G* ; им опреде-
определяется отношение площадей ориентированных площадок У- и
у-объемов вполне подобно тому, как мерой деформации Gx
определяется отношение длин отрезков [см. C.4.1)].
Теперь по C.5.3) имеем
Эта формула аналогична C.4.5).
3.6. Первый тензор конечной деформации. Замена в вйра-
жении первой меры деформации вектор-радиуса R точки V-ойъ-
ема его значением через вектор перемещения и ввбдйт в рас-
рассмотрение симметричный тензор второго ранга, называемый пер-
первым тензором конечной деформации (Коши—Грийа) и о^озна5-
чаемый далее
& =. Def и
(в противопоставление линейному тензору деформации е =
= dei«). Сославшись на A.1.4) и C.3.2) и заменив по C.2.7)
76 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
единичный тензор Е его представлением g в базисе и-объема,
имеем
G х = (ё + Vu) - [g + (Vu)'\ = g + Vu+ (Vu)' + Vu ¦ (Vu)'. C.6.1)
Определив § равенством
i = ^ [V« + (V«)* + V« • (Vu)'} = e + j Vu • (Va)\ C.6.2)
получим
GX = ? + 2J\ g = l{6x-g). C.6.3)
Если материальными координатами точки считать ее декар-
декартовы координаты as в системе осей ОХ\Х2Х3 и через u(s) обозна-
обозначить проекции и на эти оси, то по C.3.6) компоненты тензора
в этих осях представятся в виде
Ш 2 W *M 2\das дак + да$ дак dag дак )'
C.6.5)
где 8(88), 8(Sft) определяются по формулам A.2.7), A.2.8), в записи
которых us заменяются на щ$), чтобы отличить проекции и на оси
декартовой системы (перемещения) от ковариантных компо-
компонент us этого вектора в векторном базисе rs.
Выражения ковариантных компонент <%& тензора конечной
деформации Коши через ковариантные компоненты вектора пе-
перемещения записываются по (V. 4.5), (V.4.6) в виде
причем
1 1 / ди duh \ ( г I
zsk = _ (vs«A + Vkus) = — I—|-H s)~* \иг- (З-6-7)
Формулы, связывающие компоненты тензора конечной де-
деформации с относительными удлинениями элементарных отрез-
отрезков на базисных векторах rs в и-объеме и с углами сдвига ф8(,
непосредственно получаются из C.4.4) и C.4.8) при замене Glt,
Gst соответственно на git + 2e« и gst + 2esj. Они записываются
в виде
__ ^ si /о a q\
если в качестве материальных координат ввести декартовы ко-
координаты as в и-объеме.
§ 3] ПЕРВАЯ МЕРА И ПЕРВЫЙ ТЕНЗОР КОНЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ 77
Как указывалось в п. 1.1, в линейной теории упругости при-
принимается предположение о малости компонент тензора Vu, по-
позволяющее пренебречь квадратами этих величин по сравнению
с первыми степенями. При этом условии тензор конечной де-
деформации заменяется линейным тензором деформации
#» j[Va + (V«)*] = e, &st~Sst C.6.9)
и по формулам C.6.8)
б; « в„, sin ф„ « ф,, = yst. C.6.10)
Этим объясняются принятые в линейной теории наименова-
наименования диагональных компонент тензора ё относительными удли-
удлинениями, а недиагональных — сдвигами. Последние здесь пред-
представляют изменения первоначально прямых углов между отрез-
отрезками, параллельными координатным осям.
Относительные удлинения 6д и сдвиги ф„г в большом числе
задач теории упругости оказываются достаточно малыми, что
дает основание к замене формул C.6.8) приближенными равен-
равенствами C.6.10). Однако малость самих относительных удлине-
удлинений и сдвигов еще не может служить основанием для замены
тензора %> на ё—требуется, как говорилось, малость всех ком-
компонент тензора-градиента перемещения V«. Так, в п. 3.8 будет
приведен пример, когда § = 0 (поворот среды как твердого
тела), тогда как ёФО и компоненты этого тензора могут быть
сколь угодно большими. Очевидно, что здесь возможность ото-
отождествления тензоров Ж и ё отпадает. Эти же вопросы рас-
рассматриваются в п. 3.9.
3.7. Главные деформации, главные оси деформации. Конечно,
на тензоры Gx и <S, как на симметричные тензоры второго ран-
ранга, распространяется все сказанное в пп. 2.1 и 2.2 гл. I. Глав-
Главные деформации, обозначаемые Es, определяеются из характери-
характеристического уравнения тензора Ш
|<^)-Еб.И = 0 C.7.1)
или, в другой записи (IV. 7.4),
-Eei\ = 0. C.7.2)
Аналогично главным касательным напряжениям в п. 2.2 гл. I
вводятся главные сдвиги
Ej-Eg^r,, Е,-Е3 = Г2, Е,-Е2 = Г3 (E,>E2>E3). C.7.3)
Через них выражается второй инвариант девиатора тензора
#4(H 1 D = -?. C.7.4)
78 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [I7J- И
Здесь, подобно B.2.И) гл. I, введена величина, называемая ин-
интенсивностью деформации сдвига:
Г =* ]/| (Г? + 1а + Гз) -2 Y-It(Devi). C.7.5)
3.8. Конечный поворот среды как твердого тела. При таком
перемещении вектор-радиус г, не изменяя своей длины и ориен-
ориентации относительно системы осей, повернутых вместе со средой,
станет равным [см. A.8.3)]
RAU'A'
где A — тензор поворота, i's— единичные векторы повернутых
осей. В этом случае rs = is, Rs=i's> так чт0 по C-2.1)
VR^A, (VI?)*-X4, Gx-V#.{V*r = ? = g
и по C.6.3)
<#~0. C.8.1)
Этого следовало ожидать, так как перемещение среды как твер-
твердого тела не сопровождается изменениями длин элементов и
углов между ними. Однако линейный тензор деформации от-
отнюдь не равен нул,ю:
- 2Ё] ~ ^ (i/s + i% - 2isis).
C.8.2)
Например, при повороте на 90° вокруг оси /3
Й, ЗНаЧИТ, 6ц = 822 = —1.
Линейный вектор поворота определяется по A,2.12):
3-9. Выражение тензора конечной деформации через линей-
линейный тензор деформации и линейный вектор поворота. Обратив-
Обратившись к формулам A.2.13) и C.6.2), имеем
$ ±& \ j(e2 + e • Q-Q ¦ e-Q2)
и, сославшись на A.6.12), придем к формуле
[ё2 + ^<й
у + ^<й-<й-о)<й-<й X ё-((» X е)*] C.9.1)
(в базисе и-объема Е= g). Из нее следует, что условия
|e.ft|«l C.9.2)
§4] ВТОРАЯ МЕРА И ВТОРОЙ ТЕНЗОР КОНЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ /9
еще не являются достаточными для отождествления тензорой
& и ё даже при малости компонент тензора &; тогда по C.9.2)
будет мал и вектор со, но не исключено, что величины ess имеют
более высокий порядок малости, чем <а^. Тогда в формуле C.9.1),
придется сохранить квадратичные относительно w слагаемые;
а при 18gft | <С | ©ft | не исключена также возможность использо-
использования этой формулы в виде
i = 1 (|cft . с» - coed). C.14)
Она действительно может осуществиться в задачах о деформи-
деформировании тел с резко отличающимися по различным направлен-
ниям размерами (весьма Тонкий стержень, тонкая плита) при
некоторых условиях нагружения.
Из C.9.1) следует вместе с тем, что замена тензора, $ ли-
линейным тензором деформации требует малости одного порядка
не только компонент последнего eSh, йо и компонент вектора со:
I Q I ^ 1 I С\ I <%? 1 С\ Q ^\\
Но эти условия эквивалентны A.1.5):
< 1. C.9.6)
§ 4. Вторая мера и второй тензор конечной деформации
4.1. Вторая мера конечной деформации. Введение первой
меры деформации 6х и обратного ей тензора 6х позволило
указать способы определения геометрических объектов (длин
отрезков, углов мбжДу ними, Ориентированных площадок)
У-объема по их заданию в и-объеме. Здесь будет рассмотрена
обратная задача — определение этих объектов в у-объеме по
их заданию в 1/-объеме. Очевидно, что ее решение сведется к
замене в построениях § 3 векторов г на R, a R на г. Тот и дру-
другой вектор мы будем считать функциями материальных коор-
координат qs.
Исходным соотношением вместо C\2.4) теперь является
C.2.5):
dr = dR-Vr- (Vr)* • dR,
и, полагая dR = е \dR \ = еdS, dr = e\dr\ = eds, получим
dr • dr = ds2 -e -Sr • {Vrf -~e dS2 = ~е • gx -~edS2. D.1.1)
80 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
Введенный здесь симметричный тензор второго ранга
?х = Vr • (Vr)* = Rsrs ¦ rkRk = g5hRsRk D.1.2)
представляет вторую меру деформации. Его компоненты gsh в
векторном базисе V-объема равны ковариантным компонентам
единичного тензора g в у-объеме; но, конечно, нельзя отожде-
отождествлять эти тензоры: контравариантные компоненты меры де-
деформации gx определяются формулами
gxsk = GsrGkq • grq. D.1.3)
Для вычисления ковариантных компонент gx служат формулы
да, дап да, dat
gsh = it—7-tq-TT = — —T- D.1.4)
09 дця dqs dq
Тензор g*~l = М, обратный gx, определяется из соотношения
gx-' = [vr. (Vr)*] = (Vr)* • (Vr) = (V/?)* • V/?. D.1.5)
Здесь использованы равенства C.2.6); по C.2.3) имеем
Компоненты этого тензора представляют элементы матрицы,
обратной gSh. Повторив вычисление, подобное C.3.9), получим
также
„sk oq dq ,. . —ч
S =-ХГ-"яТ~- D.1-7)
4.2. Геометрическое значение компонент второй меры дефор-
деформации. По D.1.1)
^- = (}.йх.~е)-\ D.2.1)
В частности, рассматривая направление, определяемое базисным
вектором Rh в У-объеме, возвращаемся к формулам C.4.3),
Аналогично C.4.5) имеем также соотношения
е = -Й1- = ^=^. D-2.3)
определяющие единичный вектор о-объема, который в У-объеме
имеет направление е. Отсюда имеем
р. . р! = ros ft = — е' 1Х "е' D.2.4)
§ 4] ВТОРАЯ МЕРА И ВТОРОЙ ТЕНЗОР КОНЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ 81
и, направляя е и е' по базисным векторам Rs, Rt в ]/-объеме,
придем, как следовало ожидать, к формуле
*) D.2.5)
7 ^
VSssStt \rs\\ft\
Отметим еще аналоги формул C.5.4), C.5.5):
D.2.6)
4.3. Второй тензор конечной деформации (Альманзи — Га-
мель). Вводя в рассмотрение вектор перемещения и сославшись
на C.2.7), имеем
Vr-V(JJ-a) = 6-Va, D.3.1)
так что по D.1.2)
?х = уг . (Vr)* = G - [Va + (Va)*] + V« • (Va)' = G - 2#. D.3.2)
Здесь введен в рассмотрение тензор деформации Альманзи —
Гамеля
# = i.(G-^) = ~_|v«.(V«r> D.3.3)
где ё — вычисляемый в базисе ]/-объема линейный тензор де-
деформации
Принимая декартовы координаты xs в V-объеме за материаль-
материальные, имеем также
ди(к)\ ди«) du(
Через линейный тензор деформации и линейный вектор пово-
поворота тензор деформации Альманзи — Гамеля выражается фор-
формулой, подобной C.9.1):
§ = е - у [е2 + Ой ¦ « - шл - а Х~е - («> X е)*]. D.3.6)
1 (бх - §)=у (Gsk -
Сопоставляя равенства C.6.3) и D.3.2):
*
= \(G
6 А. II. Лурье
D.3.7)
82 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. IJ
приходим к соотношениям
&sh = ish. D.3.8)
Ковариантные компоненты тензоров $ и Ж — первого в ба-
базисе и-объема, второго в базисе У-объем;а — равны друг другу.
Но, конечно, было бы ошибочно отождествлять эти тензоры
(§ Ф.§).
§ 5. Связь между йерами деформации
,5.1. Сопоставление мер деформации и обратных им тензоров.
В .§§ 3 и 4 этой главы были введены четыре меры деформации;
мера Коши Gx и тензор M = gx , обратный мере ?х:
,M, E.1.1)
а также вторая мера gx и тензор, обратный первой мере &я
К
Gx"' = (VRT~l ¦ (VI}) - (Vr)* *Vr = m, E.1.2)
Тензоры Gx и th определены в базисах о-объема:
Gx = Gskrsr\ m = Gx~1 = GsVb E.1.3)
где GSh, Gsh — ко- и контравариантные компоненты единичного
тензора У-объема.
Представления gx и М в базисах У-объема имеют вид
?х-ft*****, M-fRsR,,, E.1.4)
причем gsh, gsk — ко- и контравариантные компоненты единич-
единичного тензора и-объема.
Формулы для компонент введенных тензоров в декартовой
системе осей OXiXvX3 записываются в виде
да. dat да dak
5.2. Связь между инвариантами. Известно [см. A.9.16)], что
главные значения произведений тензоров Q • Q* и Q" • Q равны
друг другу. Поэтому, называя главные значения тензоров
E.1.1), E.1.2) через Gs, Ms, gs, ms, имеем
Gs =M5, gs =m5. E.2.1)
§5) СВЯЗЬ МЕЖДУ МЕРАМИ ДЕФОРМАЦИИ 83
Вместе с тем главные значения тензора Q~l равны обратным
величинам главных значений Q. Поэтому
G, =-L = _L, g JL= i E<2i2)
Отсюда следуют формулы связи главных инвариантов {см.
(L 10.15), A.10.16)]:
G Is(gx)=*Is(m), E,2.3)
и, конечно, обращения этих формул
'ЛйХ)=Ш' '^Х)-1Ш' ''Ы*) = 1Ш- E-2'6)
К приведенным соотношениям следует добавить формулы,
определяющие главные инварианту тензоров мер деформ^дий
Gx и ?х. По E.1.3), E.1.4) имеем
k^Gs!tgtkr E.2,6)
что согласуется с определением (IV. 7.5). Далее, по (IV. 7.6)
Теиер*> по E,2-4), E.2.5) подучаем
/2(GX) = |^G^ /3(gX) = -|/feGsft. E.2.8)
Это соответствует (IV. 7.10).
5.3. Представление мер деформации в главных осях. Через
q
е обозначаются единичные векторы главных осей мер дефор-
деформации 6х и 6Х~1:
3 3 SS
Д E.3.1)
Js
s=\
В формуле C.4.5) npMMfeta e = е; тогда
s
x
=CS) е=^Ж = ^1-, E.3.2)
У G ¦ у G •
84 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
так что
s 3 ss
Л = ее = 2т^- VjR=GX~v'.V1?. E.3.3)
s=\
Этим определяется тензор поворота главных осей тензора Gx
при деформации и-объема. Но триэдры главных осей двух тен-
тензоров Gx и М, имеющих одинаковые главные значения, связа-
связаны преобразованием поворота [см. A.9.17)], а поворот тензо-
тензора Gx осуществляется тензором поворота E.3.3). Поэтому М —
это «повернутый тензор Gx» и по A.9.17)
М = А* • Gx • А = 2 ее • Gx • 2 ее = S G~ee, E.3.4)
S-1 Ч = 1 S=l
откуда следует также, что
з ??
Заметим еще, что соотношение E.3.3), переписываемое в виде
VR=Gx'h-A, V/?* = i*-Gx'/a, E.3.6)
согласуется с представлением (I. 10.17) несимметричного тен-
тензора в форме произведения справа или слева тензора поворота
на симметричный положительный тензор. Из E.3.6) сразу же
следует и соотношение E.3.4):
V/Г-УД = Л1 = Л*-ОХ- А.
Заметим еще, что следствием формул E.3.6) и C.2.6) являются
представления тензоров Vr, Vr* в виде
Vr = Д* • (?х~'\ Vr*=Gx~'/2-i. E.3.7)
Определение тензора поворота, когда известны исходные
преобразования C.1.1), C.1.2) и-объема в ]/-объем, требует
знания тензора Gx ; для этого должны быть известны глав-
главные направления и главные значения тензора Gx. Другой прием
основан на отыскании компонент тензора 5х~'/г. По A.6.9) это
сводится к системе уравнений
GwW\ = G-Slqh E.3.8)
процедура решения которой, по существу, не отличается от
разыскания главных осей и главных направлений тензора G*.
Она значительно облегчается, когда поле вектора перемещения
плоское. См. п. 6.2 этой главы.
§ 5] СВЯЗЬ МЕЖДУ МЕРАМИ ДЕФОРМАЦИИ 85
5.4. Инварианты тензоров конечной деформации. Они вычис-
вычисляются по инвариантам мер деформации Gx и gx с помощью
соотношений
E.4.1)
и формул [см. [1.10.10), A.10.11)]
/2(Q)=4[/2(Q)-/.(Q2)], |
} E.4.2)
Получаем
E.4.3)
SU 1 С 1 ~
E.4.4)
Обратные соотношения имеют вид
Л 7 EР\ I All SP\ [О Т (/~* X \ _
= 1+2/! («f) + 4/2 (t) + 8/3 {?), E.4.5)
= 1-2/, (I) + 4/2 {§) - 8/3 (I). E.4.6)
Более сложны зависимости между главными инвариантами тен-
тензоров деформации %> и S. Их можно получить с помощью фор-
формул E.2.4). Например,
и по E.4.5)
г ,Ш\ /t (i) + 4/2 <g) +12/3 (f)
86 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
5.5. Объемное расширение. Выражение элементов объема
среды в начальном и конечном состояниях представляются в
виде
dxo = rr(r2 X r3) dq1 dq2dq5 = VJгг-г1 dq4q2dq3=V7dql dq2dq3,
«=/(?/?,• R1 dq1 dq2 dq3 =VG dq1 dq2 dq3.
бтсюда находим
dx
dxQ
Величина D — относительное изменение элемента объема при
деформации — называется объемным расширением.
Сославшись на определение (IV. 7,6} третьего инварианта в
косоугольном базисе, имеем
j (Qx) = —\(j I = _ = A д. ?)J E 5 2)
или по E.4.5)
" " -1. E.5.3)
Учитывая также E.2.5) и E.4.6), можно это выражение запи-
записать еще в виде
D = \ 1 - 2/i (I) + 4/2 (I) - 8/3 A)Г'/2 - 1 • E.5.4)
Непосредственный вывдд формулы E.5.3) основан на том,
что объем в о-объеме единичного кубика с ребрами, направлен-
q л
ными по главным осям е тензора <?х, станет в F-объеме равным
A + 60 A + Ъ2) A + ЯЬ) = V A + 2^0 A + 21Г2) A + 2^3) = D + 1,
Где 6S — главные удлинения, Bs — главные значения тензора &;
см. также C.6.8). Остается сослаться на формулы A.10.4) —
(I. 10.6), связывающие главные инварианты с главными значе-
значениями тензора.
В линейном приближении, когда тензор 8 отождествляется
с линейным тензором деформации ё, объемное расширение, обо-
обозначаемое обычно ¦§ (вместо D), по E.5.3) представляется в
виде [см. также (IV. 7.5)]
# = /i(e) = gs4fe E.5.5)
или по (V.4.4), (V.4.6)
k\ ^^^. E.5.6)
§ 5] СВЯЗЬ МЕЖДУ МЕРАМИ ДЕФОРМАЦИИ 87
5.6. Преобразование подобия начального состояния. Рас-
Рассматриваются два начальных состояния среды: у-объем и
и*-объем, получающийся из первого преобразованием подобия
г,-Кг, asii = Kas. E.6.1)
Тогда меры деформации, вычисленные по первому и второму
начальным состояниям, связываются соотношениями
G,X = -^GX, <ix=K2?x, E-6.2)
непосредственно следующими из C.3.6), — достаточно в Каче-
Качестве материальных координат ввести декартовы координаты as
в и-объеме.
Связь между главными инвариантами мер деформации
h и h дается очевидными формулами
E.6.3)
Более сложный вид имеют формулы, связывающие инвариан-
инварианты тензоров конечной деформации. По E.6.3) и E.4.3) получим
If" ЧТ Л I г" л лО
/. [ Г / ^\ I *^ Q 1 7 / SP \ \ Т I SP\ I О Т / 5Р\ I ^
1 (& *) ~ ~FF Ml \^;~Г "о" Р » ^2 1*^*) =s ~^Т И2 1®)тРм 1^/1*4"
E.6.4)
причем
Р=1-Л:2. E.6.5)
Точно такие же формулы, но с заменой К2 на К~2, 8 на К~2 -^ 1,
связывают инварианты тензоров деформации ё\ и &.
В теории конечных деформаций следует предпочесть приме-
применение мер, а не тензоров деформации. «Вводя перемещения вме-
вместо координат, ничего не выигрывают, а, наоборот, теряют в
смысле краткости и обозримости формул» (Кирхгофф).
5.7. Определение вектора перемещения по мерам деформа-
деформации*). По заданной мере деформации Gx (матрице компо-
компонент Gsk) находится тензор Gx~' (обратная матрица). Этим
*) Принятым здесь изложением автор обязан беседам с М. А. Заком.
88 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
определяются символы Кристоффеля второго рода
ff.-^). E.7.,)
dqR dq' )
Конечно, предполагается, что известен метрический тензор
г-объема g и вычисляемые по нему символы Кристоффеля
. I * [. q;] f (| + ff Ц)E.7.2)
kq ) 2 \ dqi dq* cq' }
Теперь, исходя из равенств
Rq = rq-Vn, VR~r°Rs, E.7.3)
имеем
и при обозначении
приходим к системе линейных дифференциальных уравнений от-
относительно тензора VjR:
-^- = f(bl.VR ^ 7 ^
ft —L[k] *Ц. ^O./.Oj
dq
Условия интегрируемости ее следуют из сотоношений
<Э2Я
•fin -v/?=Mf+fw.rwЬv/?=
dqr dqR \ dqT J \ dq" j dq" dqr
и приводятся к виду
1«1 1П Г Г Р V IK Т R\
~Т~т ГТ" ~ W * W ~ * И ' И' ^а"' л>
Выполнив дифференцирования (при этом используются фор-
формулы дифференцирования базисных векторов rs, rq) и заменив
Г[й]. fw их значениями E.7.4), придем к соотношениям, экви-
эквивалентным требованию обращения в нуль компонент тензора
Риччи Апп (V.6. 14).
§ 6] ПРИМЕРЫ ДЕФОРМИРОВАННЫХ СОСТОЯНИЙ 89
Предположив решение системы уравнений E.7.5) извест-
известным*), далее по E.7.3) находим R по его полному дифферен-
дифференциалу
dR = Rm dqm = rm-VR dqm = dr ¦ V/f. E.7.7)
При задании меры деформации gx (значит, и обратного тен-
зора?х = М) искомым является вектор г, определяющий поло-
положение точки в у-объеме, тогда как ее положение в У-объеме и
метрический тензор в этом объеме известны — известны R и G
(например, положение в У-объеме задается декартовыми коор-
координатами xs, 6 = Е = isis).
Теперь из соотношений
Vr = Rsrs, rq = Rq-Vr E.7.8)
имеем
dqk \\ksj [sk
и система дифференциальных уравнений E.7.5) заменяется си*
стемой
$-Vfr. '--({i}-{i})r«r E-7-9)
Определив из нее тензор Vr, находим г по его полному диф-
дифференциалу
dr = dR-4r. E.7.10)
Вектор перемещения и определяется, конечно, равенством
и = R — г.
§ 6. Примеры деформированных состояний
6.1. Аффинное преобразование. Оно определяется соотноше-
соотношением [см. [1.3.15)]
R = Ar, F.1.1)
где Л — постоянный тензор второго ранга. Из соотношения
dR = Л • dr = dr • Л*
по C.2.4), C.3.2), C.3.7) имеем
V/? = A\ (V/?)* = A, 6* = Л'-Л, GX~' = /ft = (A*-Ar\ F.1.2)
а по C.2.5), D.1.2), D.1.5) и A.7.14)
Vr = A*~\ (Vr)' = A~\ ^х = (Л-Л'Г1, М = Л-Л*. F.1.3)
*) Его можно записать в форме матрицанга, строящегося по тензо-
тензорам тт.
90 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
Эти формулы поясняют различие между введенными мерами
деформации. Далее в записях компонент используются декарто-
декартовы координаты; поэтому в нарушение правил общей тензорной
алгебры (Приложение IV) свободные индексы в левой и правой
частях формулы занимают различные положения, а суммирова-
суммирование проводится по индексам, расположенным на одной высоте.
Компоненты первой меры деформации и тензора деформации
= -g- (G х — g) представляются в виде
F.1.4)
и по C.4.4), C.4.8) формулы для относительных удлинений и
сдвигов будут
F.1.5)
Через Xsr обозначается алгебраическое дополнение элемента Krs
матрицы WhsW, разделенное на определитель 2\, = |?w.s| этой ма-
матрицы. Тогда
ffr/ = W, $rt = jFrt-%srKst) F.1.6)
й, далее,
б9)
Отметим, что 6f =И=бг, — в Нервом случае речь идет об относи-
относительном удлинении отрезка единичной длины, который в ч-объ-
еме был параллельным оси it и приобрел длину 1 + 6* в
У-объеме; во втором — об отрезке длины 1 + б; в У-объеме, ко-
который в этом объеме стал параллельным оси it. В формуле
F,1.5) материальными координатами считаются а« (декартовы
координаты о-объема), а в F.1.6) — координаты xs (декартовы
координаты У-объема).
Инварианты меры деформации 6х по A.6.7) и E.2.4) пред-
представляются в виде
/, (G х) = А* • • А = КлКа, /2 <G ^|Йт
JAg )
F.1.8)
6.2. Плоское поле перемещений. Точечное преобразование
и-объема в ]/-объем задается соотношениями
хл = я, {аи аг), х2 = х2{аиа2), хц = а3. F.2.1)
Для упрощения записей вводим обозначения
|г- = А.л (s,k = \,2), X3s = %s3 = Q, Я,за=1. F.2.2)
§6]
ПРИМЕРЫ ДЕФОРМИРОВАННЫХ СОСТОЯНИЙ
Тогда вполне аналогично F.1.2) имеем
dR = Л • dr
и, сославшись на F.1.4), получим
л _,!,.! г _ , , loo /-
"II — Лц-гЛ21. 2—ЛЦЛ12 Т Л21Л22, bZ2 — '»в i /vai. i rp л п\
G =| Gs;| = GiiG22 — Gi2 = (Я11Я22 — Я12Я21) =Я. F.2.4)
Система уравнений E.3.8), определяющих компоненты тензора
"Gx \ записывается в виде
(Vx'/2Y_L (гХУг\2 Г Г**'2 (Г*'12-L Г*''2} Г
\О|1 ) +\2 / =1, Сг 12 41/11 +U12 /=U12,
у'/Л2 / - v'/A2
F.2.5)
Квадрат первого Инварианта этого тензора выражается через
главные значения и, значит, инварианты тензора 0х:
= Gx + G?
Поэтому
12-A21J. F.2.6)
Теперь из второго уравнения F.2.5) находим G& ', а потом и
диагональные элементы G\ G%-
— уг— [Я,
/22 =
F.2.7)
При обозначениях
(Яи+Я22), sinx = -7^(A21-A12) F.2,8)
эти равенства записываются в виде
Gj2 — Я,2 cos х + Я22 sin х = — Яп sin x + Я21 cos x,
G222 =? - ^12,siq X + Я22 CQS 5C«
F.2,9)
92 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. II
Выбор знака в определении F.2.8) угла % диктуется тем, чтобы
линейное преобразование
могло быть преобразованием поворота вокруг оси i3 на угол х-
Тогда выбор
Кп = %22 = cos х, Я,21= — Я12 = si
удовлетворяет определению F.2.8) и вместе с тем
х, = a, cosх — а2sin%, x2 = als'm% +
ss
F.2.10)
что и требуется.
Представление тензора Gx'/2 теперь записывается в виде
Gх'/2 = Gu'/2t,tfc + Уз - (М* cos х - «з X Wfe sin х) Я,яА + t3t3. F.2.11)
Выражение матрицы поворота А составляется по E.3.6):
А = G х'/г • (Vr)' = (уfc cos x - h X Mfe sin x) -^- • «Л 15Г + гз'з =
ft T
= (yr cos x - h X У, sin x) -^ -^ + »3'3 '
и, далее,
A = ?2cosx-«3X?;2sinx + M3 (?2 = У|+У2). F.2.12)
Структура этого выражения повторяет A.8.8).
6.3. Простой сдвиг*). Этот частный случай плоского аффин-
аффинного преобразования задается формулами
xl = ai + sa2, x2 = a2, х3 = а3) F.3.1)
где s — постоянная сдвига; прямоугольник ABDC превращается
в параллелограмм ABD'C (рис. 10). Матрицы Л, Л* записы-
записываются в виде
A = ? + s«V2, A' = E + si2iu F.3.2)
и по F.1.3), F.L4) имеем следующие отличные от нуля компо-
компоненты тензора &:
GX = ? + s(t1i2 + MI) + S2M2, #12 = ^21 =|. ^22 = ^S2. F.3.3)
Далее, по F.1.5)
A ^, F.3.4)
*) Не смешивать с термином «чистый сдвиг» (п. 2.4 гл. I).
§6]
ПРИМЕРЫ ДЕФОРМИРОВАННЫХ СОСТОЯНИИ
93
что, конечно, легко увидеть на рис. 10. Из характеристического
уравнения тензора 8х
(l-G)[(l-GJ-s*G] =
\ G, =1.
F.3.5)
Система уравнений для определения его главных направлений
будет
= 0 F.3.6)
1-G
s
0
находим
= 1B
его
+ t
s
1 + s2 - G
0
главные
;2 + S]/7
0
0
1-C
значения
+ T), G2
tgpl"
F.3.7)
и при s>0-^-^Pi^-2", — < p2^я.
Главные значения тензора gx no E.2.2) и F.3.6) равны
1 1
а система уравнений, определяющих их главные направления,
отличается от F.3.6) заменой s на —s. Поэтому
=-tgp2, tgp=-tgp,,
я
Т'
Расположение главных осей е, е тензоров 6х и ?х показано
S
на рис. 10. Угол, на который надо повернуть вокруг i3 оси е,
s
чтобы совместить их с осями е, равен
f = -iS. F.3.8)
С другой стороны, в формулах F.2.6) и F.2.8) имеем теперь
Яи = Ляг = 1, ^12 = s, Я21 =0, так что
2 5,1
+ 4, cos x =
ДЕФОРМАЦИЯ' СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. IF
что подтверждается формулой |6i3s8); тенаор поворота А ь за-
задаче о простом сдвиге оказывается представленным в виде
А = ее =
¦ BЁ2 + si3 X Ё2) + i3i3.
F.3.9)
6.4. Кручение круглого цилиндра. Осуществляемое при этой
деформации преобразование координат можно описать как ко-
конечный поворот среды вокруг оси цилиндра щ, в которвм угол
Й; it).
йбвдрота х представляет Лияёйнук) функций абсциссы, отсчитУ*-
р-аеледй вдоль этой оси:
% — 5&j +1|3#3- F.4. 1)
Здесь ^-^относительный угол пзворбта двух попбреадш сече-
сечений, отстоящих на единицу длины друг от друга. Тензор пово-
поворота определяется формулой F.2.12), так что
Д = г-Л, dR^dr-A + r- A'daz= А* • dr ^ А*'- гйцг> F,42)
причем штрихом отмечено дифференцирование по а3. Имеем
теперь
dS2 = dR • dR = dr • A • A" ¦ dr + dr • A ¦ A'' -rda3 +
•¦¦>¦•¦ +f-A' -A*- drda3
Отметив собтношеййя
(i3 X E2) Ё
t-du%.
имеем
= i3X?2) (i3XE2T=-t3xE2, (
равенства
Л • А* = Е, (А ч AJ = А' • А* + Д:- Ж !г О»
Д' = — ^ (?2 sin х + »з X ?2 cos x)>
3 Д' . л* *= - а|)»з X ?2, Я' •* Л*' = $%
§ 6] ПРИМЕРЫ ДЕФОРМИРОВАННЫХ СОСТОЯНИЙ 95
и после подстановки в F.4.3) получим
dS2 -Gst das dat = 6rf das dat +
+ ф [dr • (i3 X E2) - r - r • (i3 X E2) • dr\ da3 + ^2r-E2-r da2.
Итак,
= bst das dat + 2ty(a1 da2 - a2 da{) da3 + $2 {a\ + a2) da2 F.4.4)
и по C.3.5) компоненты меры деформации Gx оказываю^й
равными
F.4.5)
Отличны от нуля компоненты тензора деформации
_j_ =_ 1 . „ 1
Наличие компоиенты й'зз, обусловленное «стремлением ци-
цилиндра» изменить длину, указывает на необходимость прило*
#сения осевой силы для осуществимости предположенного поля
перемещения, в котором сохраняется длина цилиндра (отсут-
(отсутствует Из). Тогда
Это—одно из проявлений эффектов-^ экспериментально уста-
установленных Пойнтингом A909). Его нельзя было бы объяснить,
основываясь на линейной теории деформаций.
Объем цилиндра при рассмотренной деформации кручения
сохраняется; действительно,
10 — -фа2 !
0 1
-¦фа2 ^а1 1
и по E.5.1) объемное расширение D = 0.
6J5. Цилиндрический изгиб прямоугольной плиты. Рассмат-
Рассматривается преобразование
*,*C(a,)cosi^-, *2 = C(a,)sfn-*p-, x3^ea3, F.5.1)
с помощью которого область параллелепипеда
аЧКа^аЧ + h, -&<g2<&, -/<g3</, F.5.2)
представляющая прямоугольную плиту толщины h, ширины 2й
и длины 21 (рис. 11), деформируется в цилиндрическую
96
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. II
панель —в область, ограниченную поверхностями коаксиальных
цилиндров с радиусами
- И), F.5.3)
плоскостями
х2 = ± хх tg a
F.5.4)
и плоскостями Хз = ±el. Предполагается, что эта деформация
происходит с сохранением объема материала.
Компоненты меры деформации Gx определяются по C.3.6),
причем декартовы координаты и-объема принимаются за мате-
„ риальные; отличными от
,х нуля оказываются лишь
В' i диагональные компонен-
&у/\ ! ты тензора Gx
Из условия сохранения
объема имеем
Рис. И.
:>с = ^, F.5.6)
откуда после интегрирования, учитывая F.5.3), находим
так что
-r».
F.5.7)
F-5.8)
Проймем, далее, что в изгибаемой плите имеется плоскость
а, = а* такая, что отрезки прямых — Ь^а2-^Ь на ней, которые
были параллельны в о-объеме оси i2, сохраняют в ]/-объеме
длину. Тогда по F.5.5.) и F.5.8)
¦П--1
F.5.9)
§ 6] ПРИМЕРЫ ДЕФОРМИРОВАННЫХ СОСТОЯНИЙ 97
и выражения компонент меры деформации представляются в
виде
, f A-rl a\-a°
2
Gn=-p- 2"~5 5~> G22 = -i2Q-. G33 = e2. F.5.10)
. Г\~Ч> gi~ai
S
Учитывая F.5.7), можно записать равенство F.5.9) в форме
л2 —г2
квадратного уравнения относительно —§—> положительное ре-
решение которого дается формулой
г2, — rl 2,
F.5.11)
Из нее и из F.5.7) получаем отношение высоты прямоугольной
полосы к длине дуги поперечного сечения внутреннего ци-
цилиндра:
F.5.12)
Из приведенных формул следует, что при е & 1 компоненты
меры деформации отличаются от единицы слагаемыми порядка
h/b, весьма малыми для тонкой плиты. Компоненты тензора
деформации имеют этот же порядок, тогда как перемещения
отнюдь не малы.
6.6. Радиально-симметричная деформация полой сферы. За
материальные координаты принимаются сферические координа-
координаты и-объема
91 = г, q2 = #, q* = Я.
Тогда, сославшись на п. III. 8, имеем
г1 = -^г = ед, r2 = -^-=refl, r3 = -ф- = exr sin #,
и отличными от нуля ковариантными компонентами единичного
тензора и-объема g будут
8п = r,-r, = l, ga = r2 • ^ = г2, g33 = r3-r3 = г2 sin2 ¦&. F.6.1)
Далее, имеем
» sin2 #, F.6.2)
и контравариантными компонентами этого тензора по (V. 5.7)
будут
7 А. И. Лурье
98 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ; И
При радиально-симметричной деформации сферы, ограни-
ограниченной в у-объеме поверхностями концентрических сфер г = г0
и г = ги в У-объеме имеем
R = R (г) ея, Я, = R' (г) ея, R2<= R (r) efl, R3 = R (r) ek sin ft, F.6.4)
так что
Gjj =/? , G22 = /? , G33 = /? sin о", G = RR sin^.
Для материала, сохраняющего при деформации объем (несжи-
(несжимаемого), по E.5.1)
f=l, *'2 = ^-> F-6.5)
и, интегрируя это соотношение, имеем, как следовало ожидать,
дя (г) - г3 = const = R* - г\ = RI - г\,
Где Ri, Ro — радиусы сфер в конечном состоянии (в У-объеме).
Отличные от нуля ковариантные и контравариантные компонен-
компоненты единичного тензора G равны
в!' 22 ,' 33 , ' i F.6.6)
GП„Л_ Q22 _ _i_ Q33 _-_^___ I
л4 ' R2 ' R2 sin2 О ' j
Главные инварианты меры деформации Gx вычисляются по
E.2.6), E.2.8):
, (Ох) = -кг + 2-^2-, /2(GX) =-^- + 2 -kj- , /3(GX)=1. F.6.7)
6.7. Осесимметричная деформация полого цилиндра. Вычис-
Вычисление аналогично проведенному в п. 6.6. Материальными коор-
координатами служат цилиндрические координаты и-объема
q} = r, q2 = ф, qz = z.
Сославшись на формулы п. III. 7, имеем
т = гв + zk т = е т = те т = k F 71}
так что в согласии с (III. 7.1) и (V. 5.7)
g'.Li' g'L-^, gsLi' '( <6-7-2)
При осесимметричной деформации вектор-радиус R в У-объеме
определим равенством
R = R (r) er + azk,
§6]
так что
далее,
ПРИМЕРЫ ДЕФОРМИРОВАННЫХ СОСТОЯНИЙ
99
F.7.3)
Для несжимаемого материала
iL = 11 R'2RW = r2, a/?2 - г2 = const = a/?2 - r2 = a/?2 - r\, F.7.4)
где r0, г\ — радиусы концентрических цилиндров в о-объеме,
Ro и /?i — в У-объеме; ко- и контравариантные компоненты тен-
вора G равны
Gn = ^2a2 > G22 = R , G33 = a,
G11
1
П2 »
F.7.5)
и главные инварианты тензора меры деформации Gx будут
F.7.6)
ЧАСТЬ II
УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ГЛАВА III
ЗАКОН СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Изотропная сплошная среда
1.1. Постановка задачи линейной теории упругости. Как не-
неоднократно указывалось (пп. 3.6, 3.9 гл. II), возможность заме-
замены тензоров конечной деформации линейным тензором деформа-
деформации е обусловлена малостью компонент тензора-градиента век-
вектора перемещения Ун или, что то же самое, компонент тензора ё
и вектора поворота ©
dus
дак
|<о,|«1. A.1.1)
При этих условиях отпадает необходимость различения произ-
производных по координатам начального состояния as и конечного со-
состояния xf. Действительно, для некоторой функции f в той и
другой системе независимых переменных имеем
df . df dus
дЧ dxs dak dxs [°^ + dak ) dxk ^ dx, dah
и в принятом приближении
#-¦?¦ (U-2)
В линейной теории упругости, если не оговорено противное, за
начальное состояние среды принимается ее состояние при отсут-
отсутствии напряжений — натуральное состояние. Декартовы коорди-
координаты точки в напряженном состоянии обозначаются хи х%, xs, a
в начальном —через аи а2, а3 (п. 1.1 гл. I):
xs = as + us, A.1.3)
но их нет нужды явно вводить в рассмотрение. При разыскании
напряженного состояния принимают, что размеры и форма тела
§ 1J ИЗОТРОПНАЯ СПЛОШНАЯ СРЕДА 101
такие же, что и в начальном состоянии, не различая v- и У-объ-
еыов и поверхностей О и о, их ограничивающих.
Тензор напряжения, в отличие от основного соотношения
A.3.2) гл. I, вводится соотношением
tn = n-f. A.1.4)
Здесь tn do — вектор силы, действующей на ориентированную
площадку ndo, причем п — единичный вектор нормали этой пло-
площадки в начальном состоянии тела, do — ее площадь. Уравнения
равновесия в объеме сохраняют вид A.5.4) или A.5.6) гл. I
но, относя массу к начальному объему, принимают в выражении
объемной силы р/С плотность равной ее значению в начальном
состоянии (р = р0). Уравнение равновесия на поверхности в со-
соответствии с A.1.4) записывается в виде
F = n-f, A.1.5)
где F — поверхностная сила, рассчитанная на единицу началь-
начальной площади поверхности о, а п — единичный вектор внешней
нормали к ней.
В линейной теории равновесия сплошной среды отпадает
также необходимость в различении тензоров деформации Ко-
ши — Грина § и Альманзи —Гамеля S. Как следует из C.6.5)
и D.3.5) гл. II, тот и другой тензоры должны быть по A.1.1) и
A.1.2) заменены линейным тензором деформации
§ =|=8=y[VK + (V«)*], A.1.6)
причем безразлично, какими независимыми переменными (х$
или as) пользоваться при вычислении набла-оператора. Далее
принимаются обозначения xs для этих переменных, через V и О
обозначаются объем тела и ограничивающая его поверхность.
При применении криволинейных координат qs принимается обо-
обозначение g для метрического тензора, gsk, gsk, g^ = bks — для его
компонент. Первый инвариант линейного тензора деформации в
соответствии с E.5.5) гл. II (объемное расширение в линейном
приближении) обозначается
ft = /,(?) = diva. A.1.7)
В п. 1.5 гл. I уже говорилось, что задачей статики сплошной
среды является разыскание во множестве статически возможных
напряженных состояний (удовлетворяющих уравнениям статики
в объеме и на поверхности) фактически реализуемого в приня-
принятой физической модели среды состояния. Эта модель опреде-
определяется законом состояния; для большого числа сред он состоит
в задании связи между тензорами напряжения и деформации;
102 ЗАКОН СОСТОЯНИЯ ЛИНЕПНОП ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [171 III
в линейной теории сплошной среды это — линейное соотношение
связи тензора напряжения с линейным тензором деформации.
В линейно-упругом теле оно представляет систему линейных
уравнений, связывающих компоненты этих тензоров; они вы-
выражают обобщенный закон Гука для линейно-упругого тела*).
В выражение закона состояния входит также температура
тела.
Задание закона состояния приводит к замкнутой системе диф-
дифференциальных уравнений, по которой определяется реализуе-
реализуемое в теле напряженное состояние и вектор перемещения точек
среды. Из сказанного следует, что в линейной постановке задача
определения формы и размеров упругого тела в конечном со-
состоянии отодвигается на второй план—их находят после того,
как задача решена в предположении неизменности начальной
формы тела. Этот прием позволяет избежать серьезной труд-
трудности нелинейной теории упругости, когда напряженное состоя-
состояние приходится разыскивать в У-объеме — в теле с неизвестной
наперед границей О. Его законность подтверждается тем, что
при решении задач нелинейной теории упругости методом после-
последовательных приближений, например в форме ряда по степеням
параметра малости, характеризующего малость градиента век-
вектора перемещения, исходное приближение, получаемое при пре-
пренебрежении слагаемыми, содержащими этот параметр, пред-
представляет решение задачи для линейно-упругого тела, когда опре-
определяющие уравнения отнесены к начальному объему и начальной
форме его границы.
Дальнейшее изложение ведется преимущественно в декарто-
декартовой системе координат ОХ\Х2Хг; однако все результативные со-
соотношения формулируются в инвариантной форме зависимо-
зависимостей между векторами или тензорами и инвариантами тензоров.
Поэтому переход к криволинейным координатам нигде не соста-
составляет труда.
1.2. Элементарная работа. Выражение удельной элементар-
элементарной работы внешних сил Ь'А{е] или равной ей по величине, но
противоположной по знаку удельной элементарной работы вну-
внутренних сил 67l((), получим, заменив в формулах пп. 3.5, 3.6 гл. I
отношение Gjg единицей, а тензор деформации — линейным
тензором деформации. В линейной теории отпадает необходи-
необходимость различения метрик v- и V-объемов; поэтому энергетиче-
энергетический тензор напряжения тождественен тензору напряжений Т.
Итак, по C.6.4) гл. I имеем
6М{Р) = - b'A{i) = Т¦ -бе = /, (Т ¦ бе) = tsk tesk, A.2.1)
*¦) Ниже станет ясно, что линейность соотношений между тензорами не
равнозначна с линейностью связи их компонент.
§ 1] ИЗОТРОПНАЯ СПЛОШНАЯ СРЕДА ЮЗ
причем tSh, ESk — компоненты тензороз Т и е в декартовой прямо-
прямоугольной системе координат.
Первый инвариант тензора напряжений далее обозначается
а; это —сумма трех главных напряжений или трех нормальных
напряжений на ортогональных площадках:
a = tn + /,2 +/33 = ^1 + t2 + h. A.2.2)
При обозначении A.1.7) представление удельной элементарной
работы C.6.6) гл. I через шаровые и девиаторные части тензо-
тензоров Т и ё записывается в виде
i(Devf ¦ 6Deve). A.2.3)
Переход от удельной элементарной работы к элементарной ра-
работе во всем объеме тела, конечно, осуществляется интегрирова-
интегрированием
6'а(„= J f \b'A{e)dx, b'a(i)= \\\b'A(i)dx. A.2.4)
v v
1.3. Изотропная однородная среда Генки. Мы ограничимся
рассмотрением сред, в которых тензор напряжения определен
заданием тензора деформации и температуры 0, отсчитываемой
от температуры начального состояния. Компоненты этих тензо-
тензоров связываются соотношениями вида
tsh = fSft(en, е22, езз, 612, 823, е3ь хи х2, х3, 0), A.3.1)
на которые накладываются некоторые требования инвариант-
инвариантности— сохранения вида при преобразовании координатной си-
системы. Этим исключаются физические модели сред, в которых
тензору напряжения сопоставляются тензоры деформации и ско-
скоростей деформации, когда он предполагается зависящим от пред-
предшествующей истории деформирования и «возраста» материала,
и т. д. Далее не рассматриваются также неоднородные среды,
когда координаты Х\, х2, х3 явно входят в зависимости A.3.1).
Изотропными упругими средами будем называть среды, в
которых тензоры деформации и напряжений соосны (п. 1.12).
Кубик, выделенный из такой среды, одинаково деформируется
под действием приложенных сил при любой ориентации ребер.
Из теоремы Кейли — Гамильтона следует, что два соосных тен-
тензора связываются друг с другом квадратичной зависимостью
вида (I. 12.4). Одним из затруднений нелинейной теории упру-
упругости является указание той из мер деформации, которой дол-
должен быть сопоставлен тензор напряжения. В линейной поста-
постановке задачи оно отпадает, а квадратичная зависимость заме-
заменяется линейной вида
Т = аЁ + Ье, A.3.2)
104 ЗАКОН СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. ill
причем a, b — зависят от инвариантов тензора ё и, возможно, от
температуры; через Е обозначается единичный тензор.
Изотропную однородную среду, подчиняющуюся закону со-
состояния A.3.2), называют средой Генки. Запись этого закона
через компоненты тензоров Т и е имеет вид
U = abak + bzsk, A.3.3)
и поскольку а и Ь зависят от инвариантов е, эти соотношения
нелинейны. Среда Генки линейна геометрически, но физически
нелинейна. Частным случаем ее является линейная и геометри-
геометрически и физически упругая среда — среда Гука; описание пове-
поведения ее составляет основное содержание этой книги*).
По A.3.2) имеем
or = /, (f) = За + ЪЪ, A.3.4)
так что
Dev 7 —1 — -~gE = b I e—^-df =6Deve A.3.5)
и зависимость между вторыми (квадратичными) инвариантами
девиаторов Г и е записывается в виде
/2 (Dev f) = й2/2 (Dev ё).
Сославшись на формулы B.2.11) гл. I и C.7.4) гл. II:
т2= -/2(Devf), ~= -/2(Deve), A.3.6)
где т — интенсивность касательных напряжений, Г—интенсив-
Г—интенсивность деформации сдвига, вводим новое обозначение
и 9,1 „ *^т ,, т П Ч 7\
О1— ^(А — ^гГ i Ц —ТТ. ^1.0./)
Еще раз изменяя обозначения, представим коэффициент а сум-
суммой двух слагаемых:
а = М} + а',
причем второе а' зависит от температуры 8 и обращается в нуль
вместе с 0 (при температуре тела, равной температуре натураль-
натурального состояния). Тогда по A.3.4) и A.3.7)
+ а' = кЪ + а'. A.3.8)
*) В этой книге вопросы теории упругости анизотропных сред не рассма-
рассматриваются. Линейной теории упругости анизотропной среды посвящена книга
С. Г, Лехшщкого «Теория упругости анизотропной среды» (Гостехиздат,
1950). Нелинейным задачам поведения анизотропных упругих тел уделено
большое место в книге А. Грина и Дж. Адкинса «Большие упругие деформа-
деформации и нелинейная механика сплошной среды» (изд-во «Мир», 1965).
§ I] ИЗОТРОПНАЯ СПЛОШНАЯ СРЕДА Ю5
Здесь обозначено
й = й, + -|ц. A.3.9)
Величины k и |_i называются соответственно модулем объем-
объемного сжатия и модулем сдвига. В дальнейшем, ссылаясь на
большое число экспериментальных данных о поведении мате-
материалов при гидростатическом давлении (всестороннем равно-
равномерном сжатии), примем, что модуль объемного сжатия не за-
зависит от инвариантов деформации; его зависимость от измене-
изменения объема испытуемого образца была обнаружена в известных
опытах Бриджмена только при сверхвысоких давлениях.
При температуре 0 и при отсутствии внешних сил (тогда
а = 0) тензор деформации ё в испытуемом кубике является ша-
шаровым и определяется равенством
8 = а9?, /, (г) = «• = ЗаВ, A.3.10)
где а — коэффициент линейного расширения. Подстановка в
A.3.8) теперь дает
3/гаО + а' = 0, а' = — 3/га8.
Приходим к равенству
а = %% — 3/гаВ = Яд — (ЗК + 2ц) аб,
и теперь закон состояния Генки A.3.2) записывается в виде
Т = ХЪЁ + 2A8 - (ЗА + 2ц) aQE A.3.11)
или в эквивалентной форме
jo = jIl{T) = k{$-3aQ), Dev f = 2ц Dev ё. A.3.12)
Возвращаясь к выражению A.2.3) удельной элементарной ра-
работы, имеем теперь
Dev Т • 6 Dev е = 2ц Dev ё • б Dev e = цЬ (Dev ёJ
и по A.11.9), A.3.6)
/, [(Dev ёJ] = - 2/2 (Dev ё) = ~, б/, [(Dev ёJ] = Г бГ.
Теперь формула удельной элементарной работы внешних сил
представляется в таком выразительном виде:
Ь'А{е) = k (О - За9) 6fl + \xY 6Г = -| ЬЬ + % бГ. A.3.13)
Первое слагаемое представляет элементарную удельную работу
изменения объема, второе — изменения формы.
106 ЗАКОН СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. Ill
Напомним еще, что по формулам A.11.6), A.10.4), A.10.5)
Г2 = - 4/2 (Dev ё) = 4 \\ /? (е) - /2 (ёI =
A.3.14)
§ 2. Потенциальная энергия деформации
2.1. Внутренняя энергия линейно-деформируемого тела. За
независимые параметры состояния однородной изотропной сре-
среды Генки принимаются первый инвариант тензора деформа-
деформации*)— объемное расширение О, интенсивность деформации
сдвига Г и температура 8. Термодинамическая величина (потен-
(потенциал), называемая удельной внутренней энергией Е, предста-
представляется функцией этих параметров:
Е = Е(в,Г,в). B.1.1)
В соответствии с первым законом термодинамики ее приращение
(вариация) 6Е определяется суммой удельной элементарной ра-
работы внешних сил 6'Л(е) и подведенного к единице объема коли-
количества тепла d'Q. Последнее задается соотношением
b'Q = сдВ + хдФ. B.1.2)
Здесь с — теплоемкость при постоянном объеме (при 6д = 0),
а %д&— количество тепла, затраченного на изменение этого
объема. В дальнейшем через в обозначается абсолютная темпе-
температура; очевидно, что
0 = 00 + 9, 66 = 66, B.1.3)
где Go — абсолютная температура тела в натуральном со-
состоянии.
Теперь по B.1.2) и A.3.13) имеем
ЬЕ = Ь'А{Р) + b'Q = [k{& — ЗаЭ) + х№ + сб0 + цГбГ. B.1.4)
Условия интегрируемости этого выражения — существования Е
как функции перечисленных выше параметров — записываются
в виде
дс _., д^ I
дТ ~1 дВ '
, . B.1.5)
= U- J
*) На всем протяжении глав, посвященных линейной теории упругости,
линейный тензор деформации для сокращения речи называется тензором де-
деформации.
§ :'] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ ДО7
Вторым законом термодинамики утверждается существова-
существование еще одной функции параметров состояния системы — энтро-
энтропии 5; в обратимом равновесном процессе вариация этой величи-
величины определяется равенством
es=-5? = ?ee+-!w = -gee+-§Jw+§er, B.1.6)
и условия интегрируемости этого выражения представляются в
виде
Поскольку k не зависит от инвариантов деформации, из первых
двух равенств B.1.5) и B.1.7) имеем
f = 0, 1 = 0, ,=ф(Г). B.1.8)
Остающиеся равенства дают
|]. B.1.9)
Здесь и далее принимается, что аО — величина того же порядка
малости, что О; это позволяет в соответствии с принимаемыми
в линейной теории пренебрежениями и вследствие слабой зави-
зависимости k от температуры заменить B.1.9) соотношением
B.1.10)
Теперь по B.1.5) и B.1.7) имеем
J^ = 0, -§. = 0, с = С(в) B.1.11)
— теплоемкость при постоянном объеме зависит в принятом при-
приближении только от температуры.
Выражения 6'Q и ЬЕ теперь записываются в виде
6'(Э = ЗАав6# + с(е)бе, B.1.12)
ЬЕ = k {Ь + 3а0о) б* + цГ 6Г + с F) 60, B.1.13)
и при сделанных пренебрежениях следует считать k не завися-
зависящим от температуры.
2.2. Изотермический процесс деформирования. Если темпе-
температура в процессе деформирования поддерживается неизменной,
то е = 0, 6 = во и по A.3.13)
Ь'А{е) = kft6Ф + цТ 6Г = 1 а 6д + т бГ. B.2.1)
Обратившись же к B.1.2), B.1.4), B.1.6), имеем
б? = Ь'Ае + вб-S = 6М(Р) + 6 FS) — S6O. B.2.2)
108 ЗАКОН СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. Ш
Термодинамическая функция (потенциал)
F = E — 6S B.2.3)
называется свободной энергией системы. Ее вариация по B.2.2)
равна
6F = b'A(e) — S6S, B.2 А)
и, следовательно, в изотермическом процессе удельная элемен-
элементарная работа внешних сил равна вариации свободной энергии:
6F = Ь'А(е) = ШЪ + цГ6Г. B.2.5)
2.3. Адиабатический процесс. В этом процессе b'Q = 0 и по
B.1.12)
с(еN9 = — 3/гавбд. B.3.1)
В соответствии с ранее допущенными пренебрежениями пола-
полагаем
_ с @) , J
t»o ио L Wo J fcH
где Co = c(O)—теплоемкость при температуре начального со-
состояния @ = 0, в = во). Учитывая также, что ¦& = 0 при 6 = 0,
приходим к соотношению
Of /Г\
B.3.2)
с0
определяющему изменение температуры при адиабатическом
процессе деформирования.
Теперь по B.1.4) и B.3.2) имеем
6? = Ь'А(е) = к{Ъ- Заб)ЬЬ + цТбГ =
При обозначении
(9МвЛ BД4)
это равенство записывается в внде
ЬЕ = б'Л(е) = k'ftbti + цГбГ. B.3.5)
Величина к' называется адиабатическим, k — изотермическим
модулем объемного сжатия. Модуль сдвига \х имеет одинаковое
значение в адиабатическом и изотермическом процессах.
При свободном тепловом расширении, когда бд = ЗабЭ, со-
сообщаемое единице объема количество тепла b'Q = ср6в, где
§21
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
109
ср — определяемая в обычных опытах теплоемкость при отсут-
отсутствии напряжений (теплоемкость при постоянном давлении).
Поэтому по B.1.2) и B.1.10)
b'Q = cp 66 = с 69 + ЗЬв • За 66
так что по B.3.4)
en к'
B.3.6)
В приводимой табл. 1 даны значения этого отношения для
некоторых металлов (при 20°С). Из нее следует, что с прием-
приемлемой для технических расчетов точностью можно не делать
различия между адиабатическим и изотермическим модулями.
Таблица 1
Элемент
Алюминии . . .
Молибден . . .
Вольфрам . . .
Серебро ....
Марганец ....
Свинец
ср1°
1,043
1,007
1,006
1,004
1,044
1,067
Элемент
Железо ....
Медь
Кобальт ....
Никель
Платина ....
Золото
1,016
1,028
1,020
1,021
1,020
1,038
2.4. Удельная энергия деформации. Среды Генки. Основы-
Основываясь на равенствах B.2.5) и B.3.5), введем в рассмотрение
функцию инвариантов деформации Л (тЭ1, Г), вариация которой
определяется равенством
ЬА = ШЪ + цГбГ = Шд + тбГ. B.4.1)
В изотермическом процессе А отождествляется со свободной
энергией F, а в адиабатическом — с внутренней энергией Е, и
в этом случае k следует заменить на k'—адиабатический мо-
модуль объемного сжатия. Но в том и другом процессах может
быть определена функция состояния, называемая далее удель-
удельной потенциальной энергией деформации,
г
А = — &А2 -4- т бГ (9 4 9\
Го
с отличием (практически несущественным) в определении ве-
величины k для изотермического или адиабатического процессов
деформирования. В этих процессах удельная потенциальная
энергия деформации равна удельной работе внешних сил на
ПО ЗАКОН СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. Ill
непрерывной последовательности равновесных состояний, по ко-
которой среда переходит из натурального состояния в рассматри-
рассматриваемое равновесное.
Конкретизация выражения B.4.2) требует знания экспери-
экспериментально устанавливаемой зависимости
т = ц(Г)Г. B.4.3)
Частными случаями изотропных сред Генки являются: а)линей-
а)линейно-упругая гукова среда
ц(Г) = const; B.4.4)
б) среда в состоянии текучести, когда
т = ц(Г)Г = const = тя. B.4.5)
Через ts обозначен предел текучести материала.
Общий случай определяет упрочняющуюся среду. Один и
тот же материал при постоянном росте нагружения может пере-
переходить через все три стадии. Это
показано на диаграмме (Г, т),
схематически иллюстрирующей
поведение, например, литой ста-
стали (рис. 12). Участок О А соот-
соответствует линейно-упругому пове-
поведению, АВ— участок текучести,
на котором деформация растет
при неизменном т = т8; с некото-
•*"j- рого Г = Г* начинается участок
" *~* упрочнения ВС, на котором даль-
дальнейший рост Г требует роста т.
PfiC- '2- Для жестко-пластических мате-
материалов линейный участок практи-
практически отсутствует — материал до нагружения, соответствующего
т = ts, не деформируется, а при т = xs начинается его течение,
которое далее может смениться упрочнением. Для нелинейно-
упругих материалов (например, меди) отсутствуют участки
ОА и АВ.
В одноосном напряженном состоянии, приближенно реали-
реализуемом в опытах на растяжение стержня осевыми силами, от-
отлична от нуля единственная компонента ох тензора напряжений.
По B.2.11) гл. I в этом случае
9 1 о OV
% =7а Т = 7Г
так что, называя as значение ох, при котором достигается пре-
предел текучести, имеем
§ 3] ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА 1 { [
В случае чистого сдвига отлично от нуля только одно каса-
касательное напряжение и т равно этому напряжению. Определив
ts из опыта на чистый сдвиг, реализуемого при кручении тонкой
трубки, можно поэтому предсказать, что предел текучести в
опыте на растяжение стержня из того ж материала наступит
при ах = ]/3 rs. Это подтверждается опытами над мягкими ме-
металлами (Рош и Эйхингер и др.).
В развернутом виде условия B.4.5), его называют условием
текучести Мизеса, записывается в виде *)
т2= -/2(Devf) =
= Т [К - °уТ + К ~ ^J + К - °хJ} + **у + r% + *L = т». B.4.7)
В п. 4.9 гл. I даны оценки внешних сил, позволившие сформу-
сформулировать достаточный критерий наличия зон пластичности в на-
нагруженном теле и необходимый критерий их отсутствия.
Сказанное в этом пункте применимо к гипотетическому мате-
материалу — физической модели, обладающей способностью, накопив
энергию за счет работы внешних сил при нагружении, возвра-
возвращать ее без потерь при восстановлении исходного (натураль-
(натурального) состояния. Одним из предположений при построении этой
модели была обратимость процесса. Поведение множества
реальных материалов необратимо, накопленная энергия при раз-
гружении частично рассеивается; это делает предложенную мо-
модель приемлемой лишь для рассмотрения процессов, в которых
интенсивность касательных напряжений т монотонно растет.
Рассеивание энергии при разгружении линейно-упругого (гуко-
ва) тела незначительно, и необратимостью процесса «нагруже-
ние — разгружение» в нем принебрегают.
§ 3. Обобщенный закон Гука
3.1. Модули упругости. Закон состояния линейно-упругого
тела в изотермическом процессе деформирования (8 = 0) по
A.3.11) записывается в виде
Г = Ш? + 2цё. C.1.1)
Здесь Я, \i — постоянные модули упругости, называемые коэф-
коэффициентами Ляме. Форма закона сохраняется и в адиабатиче-
адиабатическом процессе, но по A.3.9) и B.3.4) следует заменить в нем К
*) Здесь применены и часто ниже будут применяться обозначения ком-
компонент тензора напряжения Т, указанные в матрице A,4.8) гл. I; для компо-
компонент тензора деформации используются аналогичные обозначения ея = е,(,
\'ху = 2е[2 и т. д.
112 ЗАКОН СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. III
мало отличающимся от него адиабатическим модулем А/:
C.1.2)
Из C.1.1) легко также выразить тензор деформации ё через
тензор напряжений Т. Имеем
Il(f) = o = CK + 2V)b = 3kQ, Ъ^-^^, C.1.3)
так что
Равенства C.1.1), C.1.4) выражают обобщенный закон Гука.
Поведение материала в нем задается двумя постоянными; это
является следствием предположений об изотропности среды и
малости компонент тензора Ун, позволивших в общей квадра-
квадратичной зависимости между соосными тензорами Т, е сохранить
только линейное слагаемое.
Запись законов состояния C.1.1), C.1.4) через компоненты
тензоров Г, е в декартовой системе осей имеет вид
ах = Яд + 2\мх, хх,, = цуху и т. д., C.1.5)
Y^7TT^ и т- д- (зл'6)
Обозначения Ляме применяются преимущественно в теорети-
теоретических работах, в технической литературе их заменяют другими
модулями упругости, чаще всего модулем Юнга Е (модуль
нормальной упругости) и коэффициентом Пуассона v. Чтобы
ввести эти величины, выделим в формуле C.1.6) для ех слагае-
слагаемое Ох из суммы а:
(ог" + в
% + \i Г Я
Г Я / | \1
При обозначениях
' я + ц -?> F(X"TIo-v (ЗЛ-7)
запись обобщенного закона Гука C.1.6) приводится к виду
^ = jK-vK + (Tj], Уху^ — txy,
K( + I
z = — xyz, \ C.1.8)
ег = ?г [аг - v (а, + аД Тгх = у тм. J
§3] ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА ЦЗ
В одноосном напряженном состоянии, когда отлична от нуля
только компонента ох, имеем
e-t=lP еУ = е* = ~ v"if" = ~ V8-" Vw = Yj/г = Y« = 0, C.1.9)
и в этой записи легко узнать элементарный закон деформирова-
деформирования растягиваемого осевой силой стержня — его относительное
удлинение в осевом направлении пропорционально напряжению
с коэффициентом пропорциональности Е~1; это осевое удлинение
сопровождается пропорциональным ему поперечным сокраще-
сокращением размеров стержня, определяемым коэффициентом Пуас-
Пуассона v. Общий случай трехосного растяжения можно истол-
истолковать как результат наложения трех последовательно нала-
налагаемых одноосных напряженных состояний. Это рассуждение,
конечно, предполагает линейность закона деформирования.
Вторая группа формул C.1.8) выражает пропорциональность
сдвига касательному напряжению при чистом сдвиге — при от-
отличном от нуля только хху имеет место только соответствующий
ему сдвиг уху. Учет нелинейности деформации вносит существен-
существенный корректив в это простое представление (п. 6.3 гл. II).
Выражения коэффициентов Ляме через Е и v по C.1.7) за-
записываются в виде
Модуль сдвига \х часто обозначают G, а вместо коэффициента
Пуассона вводят обратную ему величину, обозначаемую т:
H=G, m=*\. C.1.11)
Первая формула C.1.10), дающая выражение модуля сдвига
через Е, v, может быть истолкована с помощью известного гео-
геометрического построения, в котором рассматривается удлинение
диагоналей квадрата, по сторонам которого действуют касатель-
касательные напряжения, сообщающие изменение прямому углу между
этими сторонами.
В записи обобщенного закона Гука может быть, конечно,
использована любая пара из введенных выше модулей
k, К, ц= G, E, v = —.
Часто за такую пару принимают ц, v. Тогда соотношения C.1.1),
C.1.4) принимают вид, в котором они преимущественно исполь-
используются в этой книге:
(^ ) C.1.12)
8 А. И. Лурье
114
ЗАКОН СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. ИГ
В табл. 2 дается сводка формул, выражающих модули упру-
упругости через основную пару модулей.
Таблица 2
Мо-
Модули
X
ц-G
и
Е
V
Основная пара
К и
X
2
со
ц(ЗЯ+2ц)
Я + ц
Я
2(Я+ц)
к, ц
2
* з"
3k + u
3/г-2ц
6ft + 2ц
2nv
1 -2v
2ц A +v)
3(l-2v)
2ц A 4-v)
V
?, v
vE
A +v)(l -2v)
E
2A +v)
3A -2v)
V
(? - 2ц) (x
Зц-?
И
Ец
3 (Зц - ?)
Е
1 ?
2 Ц 1
3.2. Удельная потенциальная энергия деформации линейно-
упругого тела. Ее выражение по B.4.2) и B.4.4) в изотерми-
изотермическом и с заменой k на k' в адиабатическом процессах записы-
записывается в виде
| C.2.1)
или, если использовать формулы преобразования (I. 10.10),
(I. 11.6) и ввести модули ),, ц, в виде
C.2.2)
Учитывая теперь, что
j (v
приходим к следующему выражению удельной потенциальной
.энергии деформации через компоненты тензора ё, обозначае-
обозначаемому далее А (е):
А (е) = 1
2fx (e
ц
- C.2.3)
В рассматриваемых процессах, напомним, вариация удельной
потенциальной энергии (равная вариации свободной энергии в
§ 3] ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА 115
первом из них и внутренней энергии — во втором) равна элемен-
элементарной работе внешних сил и может быть по A.2.1) записана
в виде
= tn 6еп + t22 бе22 + tm 6833 + tl2 6Y12 + ^23 6Y23 + hi бу.чь C.2.4)
Из этого представления следуют формулы
1 / дА , дА \ I dzss ' '
выполняющиеся не только для изотропного линейно-упругого
тела, но и для всякой среды, когда может быть введено понятие
о потенциальной энергии деформации как функции от компонент
деформации, определяемой работой внешних сил.
В линейно-упругом (гуковом) теле Л—однородная квадра-
квадратичная форма компонент деформации, и по известной теореме
Эйлера
Пришли к билинейному представлению удельной потенциальной
энергии (в этом представлении она будет обозначаться А(е,о))
*xyYxy + TyzVyz + *zxVzx)- C.2.6)
Л(е, а) = уГ--е =
= J (Охех + (ГуВу + <Гг?
Из него, использовав закон Гука в форме C.1.13), получим вы-
выражение удельной потенциальной энергии деформации через
тензор напряжений, обозначаемое Л (о):
?] C.2.7)
или, в развернутой форме,
А И = W \°l + v2y + Gl-2v (ахау + ayoz + агау)] +
Соосные тензоры входят вполне равноправно в билинейное вы-
выражение удельной потенциальной энергии деформации C.2.6);
8*
116 закон состояния линейной теории упругости [гл. ш
поэтому, наряду с C.2.4), может быть записано представление
ее вариации в виде
= ех 6ох + еу Ьау + zz baz + уху &хху + yyz 6xyz + yzX &xzx. C.2.9)
Отсюда получаем соотношения, обратные C.2.5):
дА дА дА дА _ ) |
C.2.10)
дах х' да у у' daz z' дхху
дА дА
¦ = Угх,
дху2 ryz' dxzx
справедливые, однако, как и C.2.6), только для гукова тела.
3.3. Формула Клапейрона. Область значений модулей упру-
упругости. Потенциальная энергия деформации упругого тела опре-
определяется интегралом по объему от удельной потенциальной
энергии
а= j j j Adx. C.3.1)
v
Эта величина равна половине работы внешних сил на последо-
последовательности равновесных состояний линейно-упругого тела из
его натурального состояния. Доказательство основано на ра-
равенстве
J J J и ¦ (div f + pK)dx + J J (F- n ¦ f) • udo = 0. C.3.2)
V О
Действительно, по (П. 3.10) и C.2.6)
J J J « • div f dx= J J Jdiv(f-a)dT- J J J f--edx =
О V
и подстановка в C.3.2) приводит к искомому соотношению
C.3.3)
I
Это — формула Клапейрона. В ней утверждается, что работа
внешних сил затрачена на сообщение рассматриваемому объ-
объему линейно-упругой среды потенциальной энергии, возвращае-
возвращаемой в виде работы при постепенном разгружении тела (или ки-
кинетической энергии при внезапной разгрузке). Из этих энергети-
энергетических представлений следует, что а > 0. Такое утверждение
§3] ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА Ц7
эквивалентно локальному (осуществляемому в любой части
V-объема) свойству
А > 0, C.3.4)
вследствие произвольности объема V.
Утверждение C.3.4) является свойством, приписываемым
упругому телу, — в нем отсутствуют зоны, в которых А < 0.
В линейно-упругом изотропном теле оно должно обеспечиваться
требованиями, накладываемыми на модули упругости:
k>0, (i>0. C.3.5)
Отчетливее всего это видно из формулы C.2.1): при отсутствии
сдвигов (Г = 0) выполнение неравенства C.3.4) требует поло-
положительности модуля объемного сжатия (/г>0), а при неиз-
неизменности объема (•& = 0) — положительности модуля сдвига.
Неравенства C.3.5) соответствуют и привычным статическим
представлениям о поведении упругого тела: в напряженном со-
состоянии чистого сдвига (п. 2.4 гл. I) деформация сдвига имеет
знак касательного напряжения (|д>0), а при гидростатическом
сжатии объем кубика уменьшается (/г>0).
Из выражения k через ц, v:
h_2_ 1 +v
3 ^ 1 - 2v '
следует, что первое неравенство выполняется для значений ко-
коэффициента Пуассона в промежутке
-Kv<{. C.3.6)
Растяжение стержня из материала с отрицательным (но боль-
большим, чем —1) v сопровождалось бы увеличением его поперечных
размеров. Энергетически существование таких упругих материа-
материалов не исключено.
Заметим, что неравенства C.3.5) могут быть записаны еще
в виде
ЗА, + 2ц > 0, ц > 0. C.3.7)
Замечание. Известно, что квадраты скоростей распростра-
распространения волн сдвига и сжатия — расширения в упругой среде рав-
равны соответственно
р р ч г/ р 1 —2v
Поэтому A > 0, v < '/2 — распространение волн сжатия — расши-
расширения представляется возможным в среде с любым v < 0. Огра-
Ограничение v> —1 является следствием независимого требования
C.3.4). В гипотетическом материале с v<— 1 гидростатическое
сжатие кубика сопровождалось бы увеличением ею объема.
118 ЗАКОН СОСТОЯНИЯ ЛИНЕПИОП ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. Ill
3.4. Учет температурных слагаемых. Свободная энергия. От-
Отбросим предположение, что процесс деформирования происходит
изотермически или адиабатически. Тогда отпадает возможность
отождествления удельной элементарной работы внешних сил с
вариацией удельной потенциальной энергии деформации; само
это понятие приходится отбросить. Его роль отходит к одному
из термодинамических потенциалов — или к свободной энергии,
или к потенциалу Гиббса (п. 3.5).
Запишем, сославшись на B.1.13) и A.3.13), выражение ва-
вариации удельной внутренней энергии 6Е в виде
ЬЕ = ШФ + цГбГ + Зйавобд + сбб =
= 6ММ + 3/га(в0 + 0Nд + сбО
или, вспомнив также A.2.1), B.1.3),
б? = Ь'А(С) + З&авбд + сбО = tst6est + З&авбд + сбО. C.4.1)
С другой стороны, рассматривая внутреннюю энергии и энтро-
энтропию как функции компонент деформации и температуры, имеем
б? = бМ(г) + 6'Q = tst 6est + О 6S = tst 6ss; + 0
или
б? = (^ + 0^N8^ + 0-1160. C.4.2)
Сравнение с C.4.1) приводит к формулам
0,
s = t
из которых получаем выражение энтропии
в
C.4.4)
Е = 1
где за в0 можно принять абсолютную температуру в натураль-
натуральном состоянии тела.
По B.1.13) в случае линейно-упругого тела имеем
в
+ цГ2) + Зкав0® + J с (О) dS,
во
или
0
Е = А (е) + Ш@0Ъ + j с(в)d&, C.4.5)
во
причем А (г)—квадратичная форма компонент деформации, не
отличающаяся по виду от удельной потенциальной энергии в
изотермическом процессе.
§ 3] ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА Ц9
Теперь по C.4.5), C.4.4) и по определению удельной свобод-
свободной энергии B.2.3) имеем
F = А (е) - ЗЛад8 - f -Ц^- (в - I) d\. C.4.6)
ч S
Производные этой функции по компонентам деформации опре-
определяют компоненты тензора напряжения; действительно, по
C.2.3) и A.3.9) имеем
|^ J?L C.4.7)
|^ -(ЗА, + 2ц)ае, = |iY
ofc.v "Уху
и т. д. Это уже ранее установленное соотношение A.3.11) для
случая гукова тела
f = ХЪЁ + 2ре - (ЗА + 2ju) сс8?. C.4.8)
Дифференцирование выражения Z7 по 8 приводит к ранее полу-
полученному выражению энтропии
U
S. C.4,9)
\ в„ В }
По C.4.8) имеем
C.4.10)
Слагаемое
8/ = а9?; C.4.11)
представляет тензор деформации отделенного от среды элемен-
элементарного кубика, нагретого до температуры 8. Но поскольку окру-
окружающая среда препятствует изменению размеров этого кубика,
создается напряженное состояние, определяемое тензором Т; оно
в свою очередь создает, налагаемую на температурную дефор-
деформацию C.4.11), деформацию, определяемую законом Гука для
изотермического процесса *)
Этим поясняется структура формулы C.4.10). Заметим еще, что
по C.4.10)
^! C-4.13)
*) Именовать тензоры е', I" «деформациями», строго говоря, нельзя, по-
поскольку условия сплошности выполняются для тензора e — e' + t", а не для
каждого слагаемого этой суммы по отдельности.
120 закон состояния линейной теории упругости [гл. in
3.5. Термодинамический потенциал Гиббса. Эта термодина-
термодинамическая функция, обозначаемая через G, в которой за незави-
независимые переменные приняты компоненты тензора напряжения Т
и температура 6, связана со свободной энергией преобразова-
преобразованием Лежандра
G = tskesk-F = f--e-F.
Здесь по C.4.10)
[^] , C.5.1)
где А(а)—квадратичная форма компонент тензора напряжения
C.2.8). Через эти компоненты остается выразить также свобод-
свободную энергию F, в первую очередь входящую в нее форму А (г).
Имеем
/, (е) = /, (ё') + /, (е'О; /? (ё) = /2 (ё") + у^у Забег + 9а?62;
262
-а2е2?;
/, (ё2) = /, (ё) + - аб \~ а + За262,
так что по C.2.2), используя представление X через ц и v,
найдем
А (е) = 1 \xi\ (ё") + 2ц/, (ё//2)] + абст + ц 1Ц^ За262 =
= Л (q) + абст + ц . _ 9V За282 C.5.2)
и далее по C.4.13) и C.4.6)
F = Л (or) + абст + ц уз^- За262 - !
или
/^ = Л(а)-ц^
Подстановка приводит к следующему выражению потенциала
Гиббса:
G = Л (а) + аба + ц 11^ За262 + J ^- (О - |) dg. C.5.4)
On
По свойству преобразования Лежандра приходим к соотноше-
соотношениям, обратным C.4.7):
3G 1 г / , м , г. <5" 1 , _ _,
§ 3| ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА 121
и т. д. Энтропия определяется соотношением
е
^4. C.5.6)
Конечно, это же выражение следует из C.4.4) и C.4.13).
В задачах о тепловых напряжениях к свободной энергии и
к потенциалу Гиббса отходит роль потенциальной энергии де-
деформации, выраженной соответственно через компоненты дефор-
деформации и компоненты напряжения.
Считая теплоемкость с при постоянном объеме не зависящей
от температуры, а изменение последней 6 = 6 — во малым,
имеем
так что, сославшись еще на таблицу п. 3.1 формул, связываю-
связывающих модули, получаем
S = aCT + 9to2e + C7?-. C.5.7)
В натуральном состоянии S = 0, а в адиабатическом процессе
она остается равной нулю. Поэтому изменение температуры
упругого тела в этом процессе оказывается равным [см. также
B.3.2), B.3.4), B.3.6)]
где ср —теплоемкость при постоянном давлении. В п. 4.12 гл. I
даны оценки снизу максимума модуля этой величины.
3.6. Уравнение теплопроводности. В рассмотрение вводится
вектор теплового потока q, пропорциональный градиенту темпе-
температуры и направленный в сторону падения температуры:
q = — Kgrad6, C.6.1)
где К — коэффициент теплопроводности. Этим вектором опреде-
определяется количество тепла, выходящее в единицу времени вслед-
вследствие теплопроводности из произвольного объема V через огра-
ограничивающую его поверхность О;
J J n-qdo = - JJ п-К grad 9 do = - J J J div К grad 6 dx.
0 0 V
C.6.2)
122 злкон состояния линейной теории упругости [гл. in
Вместе с тем сообщаемое единице объема в единицу времени
количество тепла можно представить в виде
M = 0^- = GS. C.6.3)
Поэтому
С [ [ FS - div К grad 9) dx = 0
v
и вследствие произвольности объема V
6S-div/С grad 0 = 0. C.6.4)
Заменив здесь энтропию S ее значением C.4.4), получим
(ЗЯ + 2jx) ав4 + с (в) 8 - div К grad 9 = 0. C.6.5)
Как и выше, величину аб считаем малой того же порядка, что и
¦0-. Считая еще К постоянным, приходим к уравнению теплопро-
теплопроводности
V26 - 1 6 - —- (Зк + 2ц) i4 = 0, C.6.6)
где
;= *
(в0)
— коэффициент температуропроводности. Другой формой записи
уравнения теплопроводности, получаемой при замене S в C.6.4)
значением C.5.7), служит
V29-^re--^a = 0, C.6.7)
где теперь а' — К/ср, что следует из B.3.6), B.3.4).
Использование понятия энтропии в равновесном стационар-
стационарном процессе для вывода уравнения нестационарного распреде-
распределения температуры основывается на предположении о локально-
равновесных и медленно протекающих процессах.
Уравнения C.6.6), C.6.7) отличаются от классического урав-
уравнения теплопроводности Фурье
V26 - ~ 9 = 0 C.6.8)
слагаемыми, обусловленными учетом деформации среды. При
нестационарном температурном режиме задачи теплопровод-
теплопроводности и теории упругости оказываются связанными: распределе-
распределение температуры зависит от деформации, а последняя — от рас-
распределения температуры. Вместе с тем уравнения равновесия
§ 3', ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА 123
упругой среды должны быть заменены уравнениями движения
ее. Этот эффект может стать заметным при весьма резких изме-
изменениях температуры (при «тепловом ударе»), а в обычных усло-
условиях он пренебрежимо мал. Уравнения равновесия сохраняют
в форме Фурье C.6.8), а среду считают остающейся в условиях
равновесия, пренебрегая ускорениями ее точек («квазистатиче-
(«квазистатическое» рассмотрение). Задача теплопроводности решается неза-
независимо от задачи теории упругости.
При стационарном распределении температуры
V26 = 0. C.6.9)
ГЛАВА IV
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
§ 1. Дифференциальные уравнения линейной теории упругости
1.1. Перечень исходных соотношений. Основные уравнения
теории упругости задаются тремя группами соотношений. Пер-
Первая группа представлена уравнениями статики в объеме
divf + pjK = O, (Ы.1)
связывающими тремя соотношениями шесть компонент симме-
симметричного тензора напряжений Т.
Вторая группа уравнений содержит определение линейного
тензора деформации ё через вектор перемещения и:
e = -i[V« + (V«)*]. A.1.2)
Здесь имеется шесть уравнений, определяющих компоненты
тензора деформации по первым производным трех компонент
вектора перемещения.
В третьей группе шести уравнений формулируется закон со-
состояния линейно-упругого тела. Для изотропного тела и в изо-
изотермическом или адиабатическом процессах этот закон — об-
обобщенный закон Гука — записывается в форме
A.1.3)
или в форме обратного соотношения
Пятнадцать уравнений трех групп содержат такое же число
неизвестных: двенадцать компонент двух симметричных тензо-
тензоров второго ранга Г, ей три компоненты вектора и.
1.2. Краевые условия. К. системе уравнений A.1.1)—A.1.3),
определяющих поведение линейно-упругого тела в точках его
объема, добавляются условия на ограничивающей его поверх-
§ 1] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 125
ности. Они определяют задание или внешних поверхностных
сил, или перемещений точек поверхности. Здесь различают так-
также внутреннюю задачу для упругого тела, ограниченного извне,
и внешнюю, когда речь идет о бесконечно простирающейся сре-
среде, снабженной полостью (или полостями). Для каждой из них
обычно формулируют три типа задач.
В первой задаче ставится кинематическое краевое условие:
в объеме V разыскивается вектор перемещения, принимающий
на поверхности О, ограничивающей этот объем, заданное значе-
значение
и\0 = и*(хих2,х3). A-2.1)
Конечно, здесь координаты хи х2, х3 связаны уравнением поверх-
поверхности.
Вторая краевая задача — статическая. Задается распределе-
распределение поверхностных сил F, и краевым условием является уравне-
уравнение равновесия на поверхности
n-f\0 = F. A.2.2)
Третья краевая задача — смешанная. На части О\ поверх-
поверхности задается кинематическое, а на другой ее части О2 — ста-
статическое краевое условие:
и\0 =и.(*1> *2> *з)
Этим, конечно, не исчерпывается многообразие постановок
задач теории упругости. Например, на некотором участке грани-
границы могут быть заданы не все три компоненты вектора и или
силы F. Так, краевые условия на площадке, по которой тело
опирается на твердое гладкое основание, записываются в виде
и-п = 0, «X(fXn)-0, A.2.4)
где, как всегда, п — единичный вектор внешней нормали к по-
поверхности тела; первое условие выражает отсутствие нормаль-
нормальной компоненты перемещения, а второе — касательной соста-
составляющей вектора силы, тогда как ее проекция на нормаль
п.р — распределенная реакция гладкого основания — наперед
неизвестна. Задача значительно усложняется в случае неудер-
живающей связи: площадка не препятствует перемещению тела
в направлении — п. Тогда к A.2.4) надо добавить условие
F-n^-О, а на той (наперед неизвестной) части границы, где
оно нарушается, заменить условием F = 0.
Известны два способа решения задач теории упругости.
В первом начинают с разыскания вектора перемещения и, по
которому уже не представляет затруднения вычислить тензор
деформации е, а по последнему — тензор напряжения. Это
126 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
естественный путь, особенно если речь идет о первой краевой
задаче. Но он не всегда является наиболее простым, и ему во
многих случаях следует предпочесть способ решения задачи в
напряжениях. Тогда ставится вопрос о разыскании такого ста-
статически возможного тензора напряжения Т, что определяемый
но нему тензор деформации е удовлетворяет условию сплошно-
сплошности B.1.5) гл. II. Вектор перемещения и находится по формуле
Чезаро B.2.2) гл., II.
Оба описанных способа основываются на дифференциальных
уравнениях теории упругости, но ими не исчерпываются возмож-
возможные подходы к решению задач. Еще одна возможность заключе-
заключена в использовании минимальных энергетических принципов и в
применении основанных на них прямых методов решения вариа-
вариационных задач.
1.3. Дифференциальные уравнения теории упругости в пере-
перемещениях. Основываясь на перечисленных в п. 1.1 исходных
соотношениях, легко получить дифференциальные уравнения
для вектора и. Достаточно для этого в уравнение статики под-
подставить выражение тензора напряжений через этот вектор. При-
Приходим к равенству
^ ] pK = O, A.3.1)
которое после подстановок (см. также II.4)
div ЪЁ = Ё • gradft = grad div и, div V« = V • Vu = V2«,
д да. д2и
div W = V • W -*.-ET- hit ~i-=4 -щ^г " grad div u
приводит к искомому дифференциальному уравнению
1
l-2v
A.3.2)
Проектируя его на оси декартовой системы, приходим к трем
уравнениям, называемым дифференциальными уравнениями тео-
теории упругости в перемещениях:
1 — 2v дх
i-2v a_
- ? Кг = О,
l-2v дг
где
A.3.3)
§ 1] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 127
Они были впервые даны Навье A827), правда, в «одноконстант-
ной» теории (коэффициент Пуассона v = XU), и одновременно с
ним Коши A827—28).
Следствием уравнений A.3.3) является дифференциальное
уравнение для объемного расширения
Вспомнив преобразование (II. 4.5), можно придать уравнению
A.3.2) другую, иногда применяемую форму:
^^rotrotU + -^/C=0. A.3.6)
Еще одна запись основана на легко проверяемом соотношении
^^ , A.3.7)
где R = isxs — вектор-радиус; заменив теперь grad-& в A.3.2)
его значением из A.3.7), получаем уравнение в перемещениях
в форме, предложенной Тедоне:
При отсутствии объемных сил объемное расширение ¦& по
A.3.5) является гармонической функцией, а и — бигармониче-
ским вектором:
V2O = 0; V4h = 0: V4« = 0, V4i> = О, V% = 0. A.3.9)
Последнее сразу же следует из A.3.3), но надо заметить, что
три бигармонические функции и, v, w не независимы; действи-
действительно, по A.3.8) вектор и представим (при К = 0) через четы-
четыре гармонические функции — гармонический вектор а и гармо-
гармонический скаляр •&:
u = a-JTi^)m' A-ЗЛ0)
связанные условием A.3.4).
Краевое условие A.2.2) на части границы, на которой зада-
заданы поверхностные силы, записывается через вектор перемещения
в виде
F = п ¦ f = 2ц [yzr^ ®n + n-
A-3.11)
Здесь использованы равенства A.2.13) и A.2.12) гл. П. В проек-
проекциях на оси декартовой системы эти краевые условия имеют вид
ду } г\дг дх
A.3.12)
128 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
и т. д. Здесь
ди _ ди , ди . ди
Л '^ Г Л Г till ~~Л Г~ fl-7 —^
дп л дх у ду z дг
— производная и по нормали к поверхности.
1.4. Представление решения в форме Папковича—Нейбера.
Трудность разыскания частных решений системы уравнений тео-
теории упругости в перемещениях обусловлена тем, что каждая из
искомых функций и, v, w входит во все три уравнения A.3.3).
Эта трудность устранена в предложенном П. Ф. Папковичем
A932) и Г. Нейбером A934) представлении перемещений через
гармонические функции; этим достигается возможность исполь-
использования хорошо известного «каталога» частных решений урав-
уравнения Лапласа, а иногда даже удается привести задачу теории
упругости, если не целиком, то частично, к одной из классиче-
классических задач теории гармонических функций (теории потенциала).
Можно предложить большое число представлений вида
A.3.10) для решения однородной (К = 0) системы уравнений
теории упругости через гармонические функции; их недостатком,
устраненным в решении Папковича — Нейбера, является неза-
независимость вводимых гармонических функций.
Пусть В — гармонический вектор, вектор — лапласиан кото-
которого равен нулю:
V2B = 0. A.4.1)
Тогда и проекции этого вектора на оси декартовой системы коор-
координат также удовлетворяют уравнению Лапласа:
V2BX = 0, V2BV = 0, V2BZ = 0. A.4.2)
Было бы, однако, ошибкой распространить это на случай осей
криволинейной системы координат; проекции лапласиана от век-
вектора на оси переменного направления отнюдь не равны лапла-
лапласианам от его проекций на эти оси.
Предполагая, что объемные силы потенциальны:
РК = — gradll, A.4.3)
разыскиваем решение уравнения A.3.2) в виде
и = 4A — х)В + gradx- A.4.4)
Тогда, замечая, что
div « = 4A — v) div В + V2%, grad div и =
= grad [4 A—v) div В + V2yJ,
и учитывая A.4.1), приходим к соотношению
grad [4A-v) div В+ 2A - v) V2% - —^ n] = 0,
§ 1] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 129
которому можно удовлетворить, подчинив выбор % уравнению
17V П A45^
= -2divB+
2)iG-v)
Общее решение этого уравнения представляется суммой реше-
решения уравнения
V2 = — 2divB A.4.6)
и какого-либо частного решения %0 уравнения Пуассона
Частное решение уравнения A.4.6) может быть взято в виде
+ yBv + zBz), A.4.8)
что легко проверить непосредственным вычислением
sjtRB^R- V2B + BV2R + 2divB = 2divB, A.4.9)
так как V2R = 0. Общее решение этого уравнения получим, до-
добавив к A.4.8) произвольный гармонический скаляр, обозна-
обозначаемый —Во. Итак,
и искомое представление решения уравнений теории упругости
записывается в виде
и = 4A— v)B~grad(R-B + B0) + grad/o A.4.10)
причем последнее слагаемое отбрасывается, если объемные силы
отсутствуют, а при наличии непотенциальных объемных сил
его следует заменить каким-либо частным решением исходных
уравнений A.3.3). Обычно такое частное решение легко найти;
существует также общий прием его построения (п. 3.7 этой
главы).
По (Н.2.12), (II.2.9) имеем
VRB = R- (VB)* + В = R • def В + \ R X rot В + В,
и это позволяет записать решение Папковича — Нейбера
A.4.10) в видах
и = C - 4v) В - R • (VB)* - grad Во + grad &, A.4.11)
a = C-4v)B-J?. defB--Y#XrotB-grad?0 + gradxo. A.4.12)
Тензор деформации, вычисляемый по решению A.4.10), равен
ё = 4 A — v) def В — def grad {R ¦ В + Bo) + def grad &•
9 А. И. Лурье
130 соотношения линейной теории упругости (гл. iv
Замечая, что градиент вектора, являющегося градиентом ска-
скаляра г|), является симметричным тензором, имеем
def grad ф = j [VVijj + (VV^)] = VV-ф.
Поэтому
е = 4 A - v) def В - VV (R ¦ В + Bo) + Wfc, A.4.13)
и, далее,
Ъ = 11(е) =4A— v)divB— WRB + \12%0
или, если сослаться на A.4.9) и A.4.7),
^ = 2(l-2v)divB + -2tx1~!vv)n. A.4.14)
По A.1.3) теперь записывается выражение тензора напряжений:
f = 2ц [2vE div В + 4 A - v) def В - VV (R ¦ В + Bo)] + f°, A.4.15)
где Т° определяется по объемным силам:
f ^E A.4.16)
Воспользовавшись еще соотношением
VVR • В = isit —^ xkBk = 2 def В + xkVVBk,
можно представить тензор Т еще в виде
Т = 2ц [2vE div В + 2 A - 2v) def В - xfeVVBfe - VVS0] + f°. A.4.17)
Замечания. 1. Исходная система однородных уравнений
равновесия в перемещениях содержит три неизвестные функции
и, v, w. Поэтому приемлемо предположение, что достаточно
удержать в решении лишь три из входящих в него гармониче-
гармонических функций Ва, Во. Откинув Во (с целью сохранить симметрию
относительно координат), придем к решению
и=4A— v)B — VRB. A.4.18)
Однако может быть доказано, что в случае односвязной конеч-
конечной области общее решение уравнений равновесия в перемеще-
перемещениях может быть представлено в таком виде лишь при условии
v Ф 0,25.
2. Из уравнений равновесия непосредственно следует, что
решением их может служить градиент гармонического скаляра
(и = VSo, V26o = O), а также ротор гармонического вектора
{и = VXC, V2C = 0). Эти решения малосодержательны, так как
ими описываются только деформированные состояния с сохра-
сохранением объема (¦& = у • и = У2В0 = 0, ft = V-VXC = 0).
§ Ij ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 131
3. Легко проверяется, что задание вектора перемещения в
форме, предложенной И. С. Аржаных и М. Г. Слободянским,
и = 4A— v)B + R\B~ RXB, A.4.19)
где В — гармонический вектор, также является решением урав-
уравнения равновесия в перемещениях.
Представление A.4.19) переписывается в виде
и = 4A -v)B + R- MB-jRX rotB-RS/ В A.4.20)
и будет решением, если разность его и решения Папковича —
Нейбера в форме A.4.12)
A = 2/?defB + B-/?VB
также являются решением уравнений теории упругости в пере-
перемещениях; тогда она представима в форме ротора некоторого
гармонического вектора (А = rot С, \'2А = 0). Итак, надо про-
проверить, что
V • А = 0, V2A = 0.
Это следует из соотношений
V • 2R • dei В = 2/?-V-def В + /, (def В) = RV2B + R-S7W В + 2V • В,
V • (J?V • В) = 3V • В + R ¦ W • В,
V2/? • def В = 2 {V2B + VV • В), V2RS/ ¦ В = 2W • В
и условия V2B = 0.
М. Г. Слободяпским доказано, что A.4.19) представляет
общее решение уравнений теории упругости для односвязной
конечной области при любом у (не исключая v = 0.25); в случае
бесконечной области, внешней по отношению к замкнутой по-
поверхности, общим (не исключая v = 0,25) является решение
A.4.18).
1.5. Решение в напряжениях. Зависимости Бельтрами. Тен-
Тензор напряжений 7', удовлетворяющий уравнениям статики в
объеме, должен быть так выбран, чтобы вычисленный по нему
тензор деформации удовлетворял условиям совместности B.1.5)
гл. II:
^() 0. A.5.1)
Используя уравнение статики, можно преобразовать это соот-
соотношение к легче обозримому и запоминаемому виду. Проделав
это, придем к зависимостям Бельтрами A892).
По B.3.2) гл. II
Ink a? = ?V2a - Wa. A.5.2)
132 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1ГЛ, IV
Далее, сославшись на формулы (II. 4.15) и уравнения^ равно-
равновесия A.5.6) гл. I, можно представить компоненты (InkT)ih тен-
тензора Ink T в виде
О '22 | О '33 о " '2 3
дх\ дх\ дх2 дх3
¦ п дк3\ | / дчп ач„ ои2\
й^з Зх| \dx3oxi дх3 дх3 I \дх9дх1 дх2 дх2
дх1 axi \ дх2 дх3 ) \ дх2 дх3
дх\
/1^1 Ф\ и ul23 I "'31 "»12 \ V '33
(Ink У ),? = -=— -т h -з" 5— —^—т1-
v /и дхъ \ дхх дхг дхг I дхх дх2
д ( (Э/12 , Э^2 , „i^ \ д
i д2а -\ р(дК2 1
дд д
\ р( 1
дх{дх2 \дх\ дх%
В единой записи этим равенствам можно придать вид
откуда следует инвариантное (бескоординатное) представление
Ink f = (EV2 - VV) a - V2f + ?p div К - 2p def K. A.5.3)
Вообще для симметричного тензора второго ранга Q
InkQ= - V2Q + 2def div Q + (EV2-VV) /, (Q) - ?V • V • Q. A.5.4)
Теперь, подставив A.5.2), A.5.3) в исходное соотношение A.5.1),
получим
- V2f+?pdivK-2p def K+ у^-(?V2 - VV) a = 0. A.5.5)
Отсюда, образуя первый инвариант тензора в левой части этого
равенства, придем к соотношению
|± A.5:6)
которое, конечно, можно получить из A.3.5), заменив ¦& его
выражением C.1.3) гл. III через о.
§ 1] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 133
Приходим к обычно принимаемой форме записи зависимо-
зависимостей Бельтрами:
V2f + —^ Wor + 2р def К + Е -^ р div К = 0. A.5.7)
При отсутствии массовых сил они принимают без труда запоми-
запоминаемый вид
^ = 0 A.5.8)
или, в компонентах в декартовой системе координат,
+ 1 + v дх» и' v т'» + 1 + v дх ду и'
V2ct +—[— — = 0 V2t +—!— а% =0
г 1 + v 9г2 ZJ: 1 + v 9г дх
A.5.9)
1.6. Преобразование Ю. А. Круткова. Рассматривая случай
отсутствия массовых сил, представим, следуя A.6.6) гл. I,
тензор напряжений Т через тензор функций напряжений:
Г = 1пкФ. A.6.1)
Этим тождественно удовлетворяются уравнения статики, и
остается подчинить выбор Ф зависимости Бельтрами A.5.8).
Сославшись на A.5.2) и A.5.6), имеем
— InkaE, A.6.2)
и это позволяет записать A.5.8) в виде
0. A.6.3)
Но обращение в нуль операции Ink над симметричным тензором
означает, что этот тензор является деформацией некоторого век-
вектора (п. 2.1 гл. II); итак,
jJv A.6.4)
Вместе с тем
or = /, (Ink Ф) = /, (У2Ф) - div div Ф, A.6.5)
что нетрудно проверить сложением диагональных элементов
тензора 1пкф [см. (II.4.15)]. Поэтому, обозначая для сокраще-
сокращения письма
b A.6.6)
134 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
приходим к иной записи соотношения A.6.4):
^<1\уЬ) = <1е1с. A.6.7)
Вектор с можно исключить, выразив равенство следов тензоров
в левой и правой частях этого соотношения; имеем
/,(У2Ф) = У2Ф, /1(defc) = divc, V2<D= divgradO, /,(?) = 3.
Поэтому
(|^) A.6.8)
и вектор в скобках является ротором некоторого вектора, так
что
с = j-^- (Ь - rot q) - |^ grad Ф.
Считая, что rot q включен в вектор Ь, имеем теперь
c14*TX
l+V 1 +
и подстановка в A.6.7) приводит к дифференциальному уравне-
уравнению, содержащему только операции над тензором Ф:
У2Ф = -pi— Е {\2Ф - div Ь) + -j^~ def b - ^- УУФ. A.6.9)
l+v4 '1+v 1+v ч '
Теперь выражение тензора напряжений Т через тензор функций
напряжений, основываясь на формуле A.5.4), можно записать
в виде
f = InkФ = - У2Ф + 2 def Ь + (EV2- VV)Ф-Е divЬ
или, после исключения У2Ф с помощью A.6.9), в виде
Т = j~ Е (У2Ф - div Ь) - ~~ (def b - VVO). A.6.10)
Отсюда
от = /, (?) = У2Ф - div Ь, A.6.11)
так что выражение тензора деформации получает следующее
представление:
или
2\.ie = ~~-del(VO-b). A.6.12)
Из него с точностью до перемещения среды как твердого тела
находим вектор перемещения и:
\^6) = 1=^[У/,(Ф)-ШУФ]. A.6.13)
§ 1] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 135
Полученные Ю. А. Крутковым A949) формулы A.6.10),
A.6.13) представляют одну из форм общего решения задачи
линейной теории упругости; ими определяются по тензору функ-
функций напряжений, удовлетворяющему дифференциальному урав-
уравнению A.6.9), тензор напряжения Т и вектор перемещения и.
Они оказались вависящими лишь от первого инварианта Ф и
дивергенции Ь тензора Ф. Поэтому нет нужды в знании всех
компонент этого тензора, а достаточно лишь связать Ь и Ф
соотношением, являющимся следствием A.6.9).
1.7. Решение Буссинека—Галеркина. Искомое выражение
вектора Ь через Ф можно получить, приравнивая дивергенции
обеих частей равенства A.6.9). Имеем
div У2Ф = V26, div Е (У2Ф - div Ь) = grad У2Ф - grad div b,
div SS/Ф = У2УФ = grad У2Ф, div def b = у (V26 + grad div b)
и после подстановки в A.6.9) получим
Vft + yj^graddiv^ 21A_~^) gradV2O. A.7.1)
Можно удовлетворить этому соотношению, введя представление
Ь и Ф через вектор G в виде
Ф = у(Т^^уе. A.7.2)
Вектор G по A.7.1) оказывается бигармоническим:
V4G-0. A.7.3)
Выражения вектора перемещения и тензора напряжений через
вектор G по A.6.13) и A.6.10) записываются в виде
2\хи = grad div G- 2A -v)V2G, A.7.4)
f = WdivG-2(l - v) def V2G - vE div V2G. A.7.5)
Эта форма решения уравнений теории упругости была дана
Б. Г. Галеркиным A930) и ранее была известна Буссинеку
A878).
Основываясь на A.7.1) и A.6.13), можно сразу же получить
и решение в форме Папковича — Нейбера. Достаточно заметить,
что уравнение A.7.1) не отличается от уравнения в перемеще-
перемещениях A,3.2), если отождествить -у~2^М^2ф с потенциалом объ-
объемной силы П. Тогда по A.4.7) хо = Ф, и, записав решение урав-
уравнения A.7.1) в виде A.4.10):
l±^ A.7.6)
136 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
по A.6.13) придем к представлению вектора перемещения в
упомянутой форме (при отсутствии массовых сил).
Нетрудно также установить связь между векторами В и G.
По A.7.6) и A.7.2) имеем
так что по A.7.3), A.4.9)
и можно принять
4(l-v)B=-^V2G. A.7.7)
1.8. Криволинейные координаты. В предшествующих пунк-
пунктах основные соотношения были представлены в инвариантной
форме зависимостей между векторными или тензорными вели-
величинами; поэтому запись формул в криволинейных координатах
требует лишь внимательного соблюдения правил тензорного ис-
исчисления (Приложения III—V).
В линейной теории отпадает потребность различения базисов
начального и конечного состояний. Это позволяет представить
тензор напряжений Т через его контравариантные компоненты в
векторном базисе rs, вместо C.1.1) гл. I, формулой
f = tskrsrk. A.8.1)
Уравнения равновесия в объеме по C.3.4) гл. I записываются в
виде
^ {1} У7Ч = О. A.8.2)
Линейный тензор деформации представляется через его кова-
риантные компоненты
das , dut\ ( r 1 ,
— это формулы C.6.7) гл. II, в них иг — ковариантные компо-
компоненты вектора перемещения. По (IV. 7.5) и (V. 4.4) объемное
расширение может быть выражено в одном из видов
' Щ?* 0.8.4)
dqr
У g dqr
Записывая формулы, связывающие контравариантные компонен-
компоненты тензора напряжений с ковариантными компонентами тензора
деформации, следует иметь в виду, что роль тензора Е в выра-
«, 1] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 137
жении обобщенного закона Гука A.1.3) отходит к тензору g'
Поэтому, сославшись также на A.8.4), имеем
tsk = 2ц (j^ gs4 + gsmgknzmn) = 2ц (j^ gskgmn + gsmghl1) emn.
A.8.5)
Обратные соотношения записываются в виде
I /т rr J.ttltb ' rr л* 1 1ГГ/Т if rr \ -f-Wlft
^sfe 2\i \^smskn^ i i «j ssfe^ I 9и \№stn&kn i i „ HskSmn I ^ *
A.8.6)
Билинейное представление удельной потенциальной энергии
деформации C.2.6) гл. III записывается в виде
д [р а1) = — fjfte «, П 8 71
так что по A.8.5), A.8.6) ее представления А (г) и А (а) через
тензоры деформаций и напряжений будут
А & = » (т^27 SskSmn + ГЯЫ) %Фтп, d.8.8)
А(ст) = 1]Г [Ssrngkn ~ j^gskgmn) tsktmn. A.8.9)
Запись уравнений равновесия в перемещениях A.3.2) полу-
получаем, сославшись на (V. 4.9), в виде
По (V. 3.5), (V. 3.4) имеем
= V • Vf = rm -?я ¦ r%rtVQtst = ^"rsrtSmSlqtst,
rrrrVJ
dqn dqk dqk
и зависимости Бельтрами A.5.8) при отсутствии массовых сил
представляются в виде
, V' + Y~ *п~ = 0. A.8.11)
138
СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IV
Развернутые выражения операций двукратного ковариант-
ного дифференцирования в уравнениях A.8.10), A.8.11) весьма
громоздки.
1.9. Ортогональные координаты. В этом пункте индексами
(снизу) обозначаются физические (а не ковариантные) компо-
компоненты векторов и тензоров. Выражения используемых далее
дифференциальных операций приведены в п. III. 5.
Обобщенный закон Гука (в физических компонентах) запи-
записывается в виде
A.9.1)
l-2v
"sk ¦
причем выражения ¦&, е,,н даются формулами (III. 5.3), (III. 5.8),
(III. 5.9); в них надо лишь заменить as на us — проекции вектора
перемещения на направления единичных векторов es базисного
триэдра. Уравнение равновесия A.1.1) по (III. 5.10) записы-
записывается в виде
С = 0. A.9.2)
В цилиндрических координатах (пп. III. 1, III. 7) компонен-
компоненты тензора деформации и объемное расширение записываются
в виде
Yrcp
ди
дг '
dv
dr '
Еф
1
г
и
г
dv ,
г (Эф !
du v
(Эф г '
, dv
г <Эф
и
г ' Ег
dw
г дг '
dw
dz
dw
г Эф '
dv
dz ' ^
ди
dz
dw
dr '
A.9.3)
где и, v, w — проекции вектора перемещения на оси ет, еч, k
цилиндрической системы. Уравнения равновесия имеют вид
дг
дх
r<t
да„
dz
дх,„
дг
dxrz
дг
г <Эф ' дг
0,
0,
дх
z<p
A.9.4)
Выражения компонент тензора деформации в сферических
координатах (пп. III. 1, III. 8) более громоздки. Обозначая uR,
щ, их проекции вектора перемещения на базисные векторы
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
139
ев,
), вк
daR
dR
1 /
R \
dR
, имеем
> fci3
' ! '
^ R
1 с
R (
1
sin ft
duR
dX
ui
R
да.
R '
R sin
1 du
\
_^ I
dX ' dR R ' J
A.9.5)
)
1A.9.6)
Уравнения равновесия записываются в виде
daR ¦ 1 Эт^ ¦ } dxRk ¦
dR ~* R dft ' R sin Ф йЯ, '
+ -о" Bстй - ^ - а^ + тм ctg ¦&) +
х) Ctg
Зтл
^ sin & дХ
, ctg Ъ)
= О,
= О,
к = 0.
A.9.7)
1.10. Аксиально-симметричные задачи. Решение Лява.
В задаче о равновесии тел вращения (п. III. 9) при наличии
аксиальной симметрии нагружения (независимости объемных и
поверхностных сил от азимутального угла ф) тензор напряжения
и вектор перемещения не зависят от ф, а являются функциями
координат ql, q2 — напряженное состояние одинаково во всех
меридиональных плоскостях.
Через Mi, Иг, v — u(i, обозначаются проекции вектора переме-
перемещения на направления еь е2, е((, базисного триэдра. Тогда
1 ди1 ! и2 д In #i п 1 ди2 «1 d In Я2
е, =
Yl2 =
Я! а?1 ^
Uj <Э In г
G ==
д In г
dq{
1
Я,
du.
Я2
dq2
Я,
<5 In
dv din r
dq' dq1
dv
dq2
¦ — V ¦
dlnr
A.10.1)
A.10.2)
140 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
Компоненты тензора деформации распались на две группы —
группу относительных удлинений и сдвига Yi2 и группу двух
компонент ущ, Y2(f- Распадаются также и уравнения статики —
на два уравнения, в которые входят напряжения аь аг, Т12, otf:
\ . т12 3 In Hx а2 д\пН2
dq1 * dq2
0m д In Г
1 1дНхга2 , дЯ2пг12\ , т12 31пЯ2 (Ti gin Я,
A.10.3)
и уравнение для напряжений тС[ь тчг:
1 / ЗЯгПГф, 5Я,гтф2 \ тф1 Э In r тф2 <Э In r
ITJUx Vdq1 ' dq2 /+ ~Щ ~W ~th "dq2 г РЛф = О.
Нормальные напряжения и касательное напряжение xi2 вы-
выражаются с помощью обобщенного закона Гука через дефор-
деформации A.10.1) первой группы, а касательные напряжения тФь
т(B — через деформации A.10.2) второй группы. Поэтому
аксиально-симметричная задача распадается на две независимые
задачи — во-первых, задачу о деформации в меридиональной
плоскости, в которой отсутствует компонента перемещения v
(но, конечно, имеется нормальное напряжение o,t), во-вторых, на
задачу кручения. Ею определяется перемещение v(q\q2), пер-
перпендикулярное меридиональному сечению, не зависящее от ази-
азимутального угла ф.
Общее решение задачи о меридиональной аксиально-симмет-
аксиально-симметричной деформации может быть выражено через одну бигармо-
ническую функцию — функцию Лява %. Оно представляет част-
частный случай решения Буссинека — Галеркина A.7.4), A.7.5), ко-
когда бигармонический вектор G задается одной лишь компонен-
компонентой, направленной по оси симметрии.
G = kx(r,z). A.10.4)
В цилиндрических координатах при обозначениях п. 1.9 имеем
^ и = 0, 2цш = -0-- 2A -v)V\ A.10.5)
дг2 У )
A.10.6)
§ 1J ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 141
Здесь
V2y — — — г —-+-^ V4y = О П 10 7)
Легко, основываясь на этих формулах, сделать переход к об-
общим координатам тел вращения (п. III. 9). По (III. 9.8) полу-
получаем
- * JL(J- д% дг л- ' дг дг\ 2П vi ' gz У2-/
U
(s=l, 2), A.10.8)
причем теперь по (III. 5.5)
rH2 d
1.11. Кручение тела вращения. В решении Папковича—Ней-
бера A.4.10) достаточно принять, что гармонический вектор
имеет лишь компоненту по направлению еФ:
В = Вчеч. A.11.1)
Тогда
RB =(rer + zk)-B = 0,
и при отсутствии объемных сил перемещение v оказывается про-
пропорциональным Вч, а перемещения щ, щ обращаются в нуль,
что и требуется. Итак, иеф — гармонический вектор и по
(II.4.19), (III.7.5)
Vve4 = ефУ2и + t-V2^ + 2Vv ¦ Уеф = вф (v2y - -^-) = 0,
так как по (III.7.4), (III.7.5)
Итак, и определяется из дифференциального уравнения
v.o-vo r2 о- ^^ [~щг\-щ-dqi)+dqi { Н2 dqi)\ тг-O,
A.11.2)
так что не v, a ue'i' — гармоническая функция [см. (III. 5.5)].
По A.10.2) напряжения определяются из формул
_ г д v _ г д v ,...„>
T'<p~^7TlV~7' Т2(р ~ ц ~я71^-7 • U-n.cSj
1.12. Деформация тела вращения. Величины, характеризую-
характеризующие деформацию тела вращения (предположение об аксиальной
симметрии нагружения отбрасывается), являются периодиче-
периодическими функциями угла <р. Поэтому перемещение можно предста-
представить в форме рядов Фурье по переменной ср; общий член этого
ряда представляется формулами (сначала в цилиндрических
координатах)
и = и*{г, z)cos «ф, v — у*(г, 2)sin mp, w — w*(r, z)cos «ф. A.12.1)
(Конечно, можно было бы да и ы считать пропорциональными
i42 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
sin «ф, а и пропорциональным —соэщр). В решении Буссине-
ка — Галеркина теперь вместо A.10.4) полагаем
G = k%(r, г) cos тр.
Тогда по A.7.4)
2^ = те- 2^.= -g--2(l-v)V!x, 2^.= -f-|-, A.12.2)
причем теперь
то есть бигармонической является функция %ein(f. По A.7.5)
имеем, далее,
A.12.4)
причем эти величины являются множителями при cos Оф в вы-
выражениях соответствующих компонент тензора напряжений
(ar = ar cos rap и т.д.). Остающиеся компоненты пропорциональ-
пропорциональны sin mp:
Здесь в противоположность аксиально-симметричному нагруже-
нию разбиение задачи на деформацию в меридиональной пло-
плоскости и на деформацию кручения не имеет места.
В общих координатах тел вращения формулы для перемеще-
перемещений записываются в виде (s = 1,2)
1 д I \ д% дг , 1 д% dz \ 2A-у) дг у2
dq] dq1 H% dq2 dq2 J'
A.12.6)
причем по (III. 5.5)
_d_(Hjr__d%_\] _ ^_
A.12.7)
По A.7.5) гензор напряжения представляется в виде
Т = VV Jj- cos лф - 2 A - v) def ftV2 (x cos nqj) ~vE ? V2 (x cos mp).
A.12.8)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
143
Задавая бигармоническую функцию %cosnq> через две гармони-
гармонические хосоэяф и хз cos Пф:
Xcos rap = (хо + 2X3)cos «ф, A.12.9)
и полагая
4?- cos «ф = - 2цВ3, A.12.10)
придем к представлению тензора напряжений Г в форме Папко-
вича — Нейбера A.4.17), в котором сохранены лишь две гар-
гармонические функции В3, Во:
Y~ ? = 2 A - 2v) def ftB3 + 2v? -^ - zWB3 - VVB0. A.12.11)
Приняв теперь
Bo = b0 cos «ф, B3 = 63cosrap, A.12.12)
получим следующие значения множителей при cos Пф в выраже-
выражениях компонент ai, 02, 0сг, Ti2 тензора напряжений:
1 * п/. N 1 <5г ЭЬз i о I дг db3
1 '— \ */ 2~ 1 1 ^ 2 2 2
__L/^o_ ,
j
in я,
Я2 dql
dql
<?6„
+ 2-
dq1
1 / д2Ь0
9
dq2
1 д in //о / dbr, , db-\
Н2 dq \dq dq
1 д In Я2 / <Э&0
2 I I л 1 ' л
A.12.13)
2ц
In г
dq'
In г
dq* \dq
абз
dq2
a in я2 / <эб
dq1 \ dq
144
СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IV
Пропорциональные sin «ф множители при компонентах
равны
дЬ° '
r
d In r
A.12.14)
Наконец, вектор перемещения, равный по A.4.10)
ъ д ет д
,Hk dqk r
по A.12.12) определяется формулами
Г/о л \ 1 32 , 1
us = cos mp C — 4v)-tt- -д-s- O3 - -j,-
), A.12.15)
дЬв
дЬ3
A.12.16)
1.13. Решение Папковича—Нейбера для тел вращения. До-
Дополним решение, приведенное в предшествующем п. 1.12, сла-
слагаемыми, определяемыми проекциями Вх, Ву гармонического
вектора. Полагая поэтому теперь
B = /,BX + i2By = erBr + e{(B<f,
RB= (rer + 2ft) В = rBr,
и = 4A — v) (erSr + е(РВф)— gradrSr. A.13.1)
Подобно A.12.12) вводим в рассмотрение функции br(ql,q2),
так что
имеем
(p, Вф = bv(q\ q2)sm пц>. A.13.2)
Тогда выражения перемещений запишутся в виде
0 = sin пф |4A -v)b<f + nbr].
A.13.3)
§ и
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
145
Система дифференциальных уравнений для функций Ьг и Ь,{ по
(III. 7.4), (III. 7.5) и (II. 4.19) находится из соотношения
= (erV2Br + 2S/Br ¦ Ver + BrS2eT)
В, 2 М,
Получаем
2/1
A.13.4)
Она распадается в аксиально-симметричном случае (п — 0) на
два независимых уравнения, выражающих, что Ьге^, Ь,{е^ —
гармонические функции.
Компоненты тензора напряжений вычисляются по формулам:
множители при cos пер
1 * о/1 \ г дЬт д In г . о г dbr din r
— а. = 2A — v)—5-—г i—H2v—5"—w —9~
2ц
dq
d2br 1 a In Я) dbr
,2 „ , . T~
Н\
, 1 din Ht
а?"
_L T' _ _L
2ц Ti2 я,я2
dbr r dlnr dbr
—+ —^-^
dbT d\nr dbr a In г
dbj_ d\nH2 dbj
dq2
dq1 dq2
A.13.5)
10 А. И. Лурье
146 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
и при sin пф
ьт a in r
[ГЛ. IV
dlnr
dq2
A.13.6)
1.14. Учет температурных слагаемых. В системе исходных
уравнений теории упругости п. 1.1 изменится только форма за-
записи обобщенного закона Гука. Теперь по C.4.8) гл. III, вос-
воспользовавшись таблицей связей между модулями упругости в
п. 3.1 гл. III, имеем
A.14.1)
где, напоминаем, 0 — температура, отсчитываемая от темпера-
температуры натурального состояния. Обратное соотношение записы-
записывается в виде
6
2ц
A.14.2)
Далее принимается, что внешние силы (массовые и поверхно-
поверхностные) отсутствуют. В предположении, что задача теплопровод-
теплопроводности может рассматриваться независимо от задачи теории
упругости (см. п. 3.5 гл. III), это не идет в ущерб общности, так
как линейность задачи для тела, подчиняющегося закону Гука,
допускает наложение напряженных состояний, вызываемых дей-
действием объемных сил, поверхностных сил и изменением темпера-
температуры и определяемых по отдельности для каждого из перечис-
перечисленных факторов.
Повторив вывод уравнений в перемещениях A.3.2) с учетом
температурного члена в A.14.1), получим
j^ grad div и + V2m - 2 j±^ grad аб = 0. A.14.3)
Краевое условие A.3.11) запишется в виде
п div и + п • Vu + — п X rot и —
+v
l-2v
l-2v
= 0. A.14.4)
Сравнение показывает, что влияние температурного слагае-
слагаемого в выражении закона Гука можно формально свести к зада-
§ 1] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 147
нию массовых сил с потенциалом, пропорциональным темпера-
температуре:
n = 2M-,Li^-a0, A.14.5)
и нормальных к поверхности тела О поверхностных сил
F = 2A -~^- aQn = nil. A.14.6)
Из сопоставления выражений A.14.5) и A.4.7) следует, что
уравнение A.14.3) допускает частное решение
и, = gradjco, A.14.7)
где %о определяется из уравнения Пуассона
j~-ae. A.14.8)
Перейдем к составлению дифференциальных уравнений в на-
напряжениях. К уравнению статики при отсутствии массовых сил
div Г = 0 A.14.9)
добавляется по A.5.1) и A.14.2) условие
2ц1пкё = 1пк(г--г^а?) + 2ц1пкае?; = 0. A.14.10)
Но по A.5.2)
и условие A.14.10), сославшись на A.5.3), можно записать в
виде
V2f + (VV - ?V2) (-j-^- + 2fxae) = 0. A.14.11)
Из него, образуя первый инвариант, имеем
V20=-4n{i^aV2e, A.14.12)
так что
( j^) A.14.13)
Если температура — линейная функция координат (п. 2.3 гл. II):
6 = 9о + <7-#,
то зависящее от нее слагаемое в A.14.13) отпадает. Поэтому, в
предположении отсутствия поверхностных сил на всей поверх-
поверхности тела:
n-f=0, A.14.14)
10*
148 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
все уравнения A.14.9), A.14.14) и A.14.13), определяющие тен-
тензор Т, однородны; им во всем объеме удовлетворяет решение
f =0,
и оно — единственное (п. 4.1). Итак, при линейном законе рас-
распределения температуры в упругом теле не возникает темпера-
температурных напряжений. Вектор перемещения в этом случае вычис-
вычисляется по формуле B.3.5) гл. II, в которую можно внести еще
слагаемые вида B.2.6) гл. II, определяющие поворот среды как
твердого тела {R— вектор-радиус):
и = схб {R - #„) - j Щ | R - До I2 + «о + «о X (R - До). A.14.15)
Сказанное имеет место лишь в предположении, что условие
A.14.14) выполнено на всей поверхности О. Если же на ее части
и задан вектор перемещения, отличающийся от определяемого
формулой A.14.15), то возникнет напряженное состояние, обу-
обусловливаемое воздействием приспособлений (реакций связей),
обеспечивающих сообщение требующегося перемещения.
Нетрудно также проверить, что вектор перемещения A.14.15)
удовлетворяет при линейном распределении температуры диф-
дифференциальному уравнению A.14.3) и краевому условию
A.14.4).
§ 2. Вариационные принципы статики линейно-упругого тела
2.1. Стационарность потенциальной энергии системы. Эле-
Элементарная работа внешних сил 6'а{е) может быть отождествлена
с вариацией потенциальной энергии деформации 6а, равной ва-
вариации свободной энергии в изотермическом процессе и внутрен-
внутренней энергии в адиабатическом*):
6'а(е) = 6а = 6 J J J Л dt= JJJ р/С-бийт+ JJF-би do. B.1.1)
V V О
Из этого равенства можно получить три отличающихся друг от
друга энергетических принципа в зависимости от того, через
какие переменные выражена удельная потенциальная энергия Л.
Задавая ее квадратичной формой А (г) [см. C.2.3) гл. III] ком-
компонент деформации, придем к принципу минимума потенциаль-
потенциальной энергии системы; исходя же из квадратичной формы А(а)
компонент тензора напряжений [C.2.8) гл. III], получим прин-
принцип минимума дополнительной работы. В первом принципе
варьируются перемещения, во втором — компоненты напряже-
напряжения. Наконец, в смешанном принципе стационарности удельная
*) Только эти процессы рассматриваются в пп. 2.1—2.6
§ 2] ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 149
потенциальная энергия задается билинейной формой А(е,о)
и варьированию подлежат переменные той и другой группы.
В формуле B.1.1) содержится утверждение, что работа
внешних массовых и поверхностных сил на виртуальном переме-
перемещении 6« точек упругого тела из положения равновесия, опреде-
определяемого вектором и, равна вариации потенциальной энергии де-
деформации. При этом на той части О) поверхности О, на которой
заданы перемещения, следует принять 6и = 0, так что
J J F ¦ бн do = J J F • 6и do.
о.
Два состояния упругого тела — равновесное и бесконечно близ-
близкое к нему, когда точкам тела сообщено поле виртуальных пере-
перемещений,— рассматриваются при одних и тех же силах рК в
объеме и F на части поверхности О2, нигде не налегающей
на Оь Иными словами, в объеме V
бр/С = 0,
и на О2
Вынося еще знак вариации за знак интегралов, что законно, по-
поскольку объем V и поверхность О2 фиксированы, имеем по
B.1.1)
dx- J j j pK-udx- j j F.udo\ = 0. B.1.2)
v v o, J
Величину
ф= j j j A dx- J J J pK-ud-z- j j F -udo B.1.3)
V V Ог
называют потенциальной энергией системы; она равна разности
потенциальной энергии деформации и работы заданных внешних
сил (на О! они не заданы), вычисляемой в предположении, что
эти силы во всем процессе деформирования из натурального со-
состояния имеют значение, которое они приобрели в рассматри-
рассматриваемом равновесном состоянии.
Потенциальная энергия Ф представляет функционал над и,
численное значение которого меняется вместе с заданием и; в
этом множестве чисел Ф то, которое сопоставлено значению
вектора и в положении равновесия упругого тела, обладает за-
замечательным свойством стационарности:
6Ф = 0. B.1.4)
Это значит, что вычисление Ф один раз для поля перемещений
в положении равновесия, другой раз для поля перемещений
150 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ 'П-ОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
и + 6и приводит к одному и тому же значению при условии, что
это вычисление проводилось с учетом лишь величин того же по-
порядка малости 6м. Приращение функционала Ф при сообщении
упругому телу поля виртуальных перемещении 6м из положения
равновесия является величиной более высокого порядка малости,
чем 6м.
2.2. Принцип минимума потенциальной энергии системы.
Теперь будет доказано, что стационарное значение функциона-
функционала Ф в положении равновесия является его минимальным зна-
значением.
Для разъяснения последующего уточним понятие о прира-
приращении функции F(xu х% . . . , хп) от п переменных х\, х2, . . . , хп;
зададим им приращения (вариации) Ьх\, &х2, ¦ ¦ • , Ьхп. Тогда
приращение функции /\F определяется величиной
AF = F (х, + бх„ х2 + 6х2, • • •, хп + 6хп) - F (хи хъ .. ., хп) =
= 6F + 62F+ ..., B.2.1)
где первая вариация bF — линейное относительно 6xs слагаемое,
вторая 62F — квадратичное и т. д.:
Если теперь F — квадратичная форма переменных xs, то
г - 2 askxsxk, gxs dxk - ask, dxk дх^ dxi - u,
и поэтому
&F = jask6xsdxk = FF*1, 6x2 6ж„), 6sF = 0 (s>2)
•—вторая вариация квадратичной формы равна этой форме от
вариаций переменных. Вместо B.2.1) имеем
AF = 6f + FFxu 6x2,.-., bxn), B.2.2)
а если форма F линейна, то, конечно,
А/7 = б/7. B.2.3)
Возвращаясь к функционалу Ф, имеем по B.1.3)
дф = J J J AAdx- J| J ДрК • миг - J J AF • м dt.
V V О,
Но рК и F не зависят от м, поэтому, сославшись на B.2.3),
имеем
ДрК • и = 6рК • ы, AF ¦ и = 6F • м.
Вместе с тем по B.2.2)
ДЛ = Л(е + 6е) — Л(е) = 6Л + Л (бе),
§ 2] ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 151
так как А — квадратичная форма компонент тензора деформа-
деформации. Приходим к равенству
| A dx- \\ \ p/C- udx- $ $ $
V V Ъ, I V
так что по B.1.2) или B.1.4)
дф = Г Г Г Л (бе) dx.
v
Но по C.3.4) гл. III удельная потенциальная энергия А являет-
является положительно-определенной функцией, так что Л>0 при
любом отличном от нуля бе. Этим доказано, что
ЛФ >0
— функционал Ф возрастает при сообщении точкам упругого
тела отклонений из равновесного состояния, иными словами, он
имеет минимум в этом состоянии. Пришли к принципу миниму-
минимума потенциальной энергии системы: состояние равновесия линей-
линейно-упругого тела отличается от всех мыслимых его состояний
тем, что в нем функционал Ф, называемый потенциальной энер-
энергией системы, имеет минимальное значение. Словом «мыслимый»
указывается на то, что сравниваемые с вектором перемеще-
перемещения « непрерывные в объеме V перемещения и + Ьи принимают
то же, что и, значение на той части О\ поверхности О, где пере-
перемещение задано.
Из формулы Клапейрона C.3.3) гл. III и из B.1.3) следует,
что в положении равновесия
= Ф
т.п
F ¦ и do + ) \ F ¦ и do
о "о,
B.2.4)
Задача разыскания равновесного состояния линейно-упругого
тела сведена к вариационной задаче об определении вектора и,
сообщающего минимум функционалу Ф над ним и принимаю-
принимающего заданные значения на Оь Известно, что задаче вариацион-
вариационного исчисления сопоставляется эквивалентная ей краевая за-
задача. Дифференциальные уравнения и краевые условия послед-
последней получаются из рассмотрения вариации минимизируемого
функционала — это уравнения Эйлера и натуральные краевые
условия, соответствующие этому функционалу.
Переходим к составлению этой вариации. По C.2.4) гл. III
имеем
* л дА s ЗА ,
152 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
где вх, ..., тгх — линейные формы компонент деформации, опре-
определяемые равенствами C.1-5) гл. III. В другой записи [см.
(П.3.10)]
M = f •¦fie = div (Г • бн) - би • div f. B.2.5)
Тензор Т здесь выражен через тензор деформации, а выражая
последний через вектор перемещения и и сославшись на вывод
уравнений теории упругости в перемещениях в п. 1.3 этой главы,
имеем по A.3.2)
div f = V-[т^ъ grad div u + V2")* L М B>2-6)
и вместе с тем по A.3.12)
п- f = 2\x^j~-n divи + п • V« + yn X rota) = M(a). B.2.7)
Заметим, что здесь только для сокращения записей и чтобы не
повторять ранее проведенных преобразований, введены величи-
величины ах,...,х2х, которым сопоставлен тензор Т, — это лишь обо-
обозначения, которым можно и не приписывать никакого наиме-
наименования.
По B.2.5)-—B.2.7) имеем теперь
6 j j j Adx = f J f div (f ¦ 6u)dr - [ [ J бы • div fdx =
V ' V " V
= [ [ n • f ¦ 6u do - 11 J би • L(u) dx =
V v
= | j M(u) ¦ budo - 111 I (a) • budx. B.2.8)
Ог V
Здесь учтено, что вектор и разыскивается в классе функций,
принимающих на О\ заданное значение
и|о1 = и*, B.2.9)
так что б« = 0 на О\.
Подстановка в B.1.2) приводит к равенству
6Ф=- J J J[L(a) + pK]-flBdT+JJ[iM(a)-F]-flado, B.2.10)
V On
и вследствие произвольности Ьи в объеме и на той части О2 по-
поверхности, где перемещения не заданы, выполнение условия
стационарности B.1.4) требует обращения в нуль подынтеграль-
подынтегральных выражений в объемном и поверхностном интегралах. При-
Приходим к дифференциальным уравнениям равновесия в пере-
перемещениях
L(u)+9K = 0 B.2.11)
и к краевому условию на О2
М(и) =F. B.2.12)
§ 2] ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 153
Естественно, что получена именно эта форма уравнений, так
как Ф — функционал над и. Выше уже отмечена несвязанность
определения потенциальной энергии системы и формулировки
принципа минимума ее с представлением о напряженном состоя-
состоянии. О последнем нет речи в чисто энергетическом принципе,
определяющем поведение линейно-упругого тела по заданию
некоторого функционала над вектором перемещения. Подобно
принципу Гамильтона в общей механике, принцип минимума
потенциальной энергии системы синтезирует свойства физиче-
физической модели упругого тела, включая экспериментальные данные
о поведении его под нагрузкой.
2.3. Метод Ритца. Вариационная формулировка задачи
о равновесии, заключающаяся в принципе минимума потенци-
потенциальной энергии системы, подсказывает возможность применения
для решения задач теории упругости прямых методов вариа-
вариационного исчисления.
В методе Ритца A909) дифференциальное уравнение B.2.11)
и статическое краевое условие B.2.12) не рассматриваются, так
как наперед известно, что они автоматически удовлетворяются,
если найдется вектор и, точно минимизирующий функционал Ф.
Прием, позволяющий определить приближенно этот вектор, со-
состоит в задании его проекций аппроксимирующими представле-
представлениями вида
« = 2 ak(pk {х, у, z) + Щ {х, у, z),
п
v = 2 ak+nyk+n (х, у, z) + v0 (х, у, z),
fei
ak+2nq>k+2n(х, у, z) + w0{х, у, z).
B.3.1)
Здесь «о, vo, Wo принимают на Oi заданные значения B.2.9),
тогда как функции ф3 (s= 1, 2, ..., 3ft) выбираются равными
нулю на О\\ этим удовлетворяется краевое условие для вектора
и при любых значениях коэффициентов as. Система аппрокси-
аппроксимирующих («координатных») функций ф8 должна быть взята
в столь общей форме, чтобы при достаточно большом п всякая
удовлетворяющая условию B.2.9) система перемещений могла
быть представлена приближенно в форме B.3.1). Такую систему
представляют, например, произведения целых степеней пере-
переменных вида xqvyqiz4\ умноженные на функцию, обращаю-
обращающуюся на О[ в нуль.
После подстановки так или иначе назначенных представле-
представлений вида B.3.1) для перемещений и, v, w в выражение потен-
потенциальной энергии системы Ф последняя представится суммой
154 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
квадратичной и линейной форм коэффициентов as и постоян*
ного слагаемого
Ф = Ф2(аь . . . , а3„) — <Di (аи . . . , а3п) + Фо, B.3.2)
причем квадратичная форма Ф2 равна как раз потенциальной
энергии деформации а, вычисляемой по вектору и — н0:
. г , Зп Зп
ф2 = J J J А (е _ ео) dx = | ^ ^ ^ад, B.3.3)
К s = l />• = !
и поскольку А—знакоопределенная положительная форма ком-
компонент деформации, то и Ф2 — такая же форма от а.\, а2,. . . , а^п.
Поэтому определитель матрицы ее компонент положителен:
|Cet|>0. B.3.4)
По теореме о минимуме потенциальной энергии системы наилуч-
наилучшее приближение в выбранном классе аппроксимирующих век-
вектор и функпий обеспечивается значениями коэффициентов, со-
сообщающих минимум выражению B.3.2). Это приводит к системе
Зга линейных уравнений
JL((I>2_(Di) = о, f = l, 2, .... Зп, B.3.5)
или
Зга
%Cstas = Bt, t = l, 2, .... Зп, B.3.6)
с таким же числом неизвестных. Существование и единствен-
единственность ее решения следует из неравенства B.3.4).
Таким образом, строится приближенное решение задачи. При-
Приемлемо предположение, что при достаточной общности системы
аппроксимирующих функций вычисленное значение потенциаль-
потенциальной энергии системы будет все более с ростом п приближаться
к ее минимуму. Но из этой «сходимости по энергии» не следует
еще, что и последовательность приближений B.3.1) сходится к
искомому решению. Здесь нет места для этих рассмотрений,
которым посвящена обширная специальная литература*). Вы-
Вычисление дает при разумном выборе вида и числа аппроксими-
аппроксимирующих функций значения вектора и, достаточно близкие к точ-
точному решению; меньшей точности следует ожидать от вычисле-
вычисления по найденным методом Ритца перемещениям их производ-
производных, значит, и напряжений.
2.4. Способ Галеркина A915). Для краевых задач, допу-
допускающих вариационную формулировку, в частности для задач
теории упругости, этот приближенный способ интегрирования
дифференциальных уравнений представляет упрощающее вы-
вычисление видоизменение метода Ритца. Приближение B.3.1)
*) См., например, книгу С. Г. Михлина «Прямые методы в математиче-
математической физике», Гостехиздат, 1950.
§2]
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
155
подставляется в выражение вариации потенциальной энергии
системы B.2.10), а не самой энергии B.1.3); это исключает не-
необходимость возводить в квадрат суммы B.3.1) при вычис-
вычислении А.
Заменив в B.2.10) вариации Ьи, bv, bw их выражениями
п п п
б«=2фйбаь Su= ^qk+nbak+n, bw=^j<pk+2nbak+2n, B.4.1)
ft=i k=\ k=i
в которых вариации искомых коэффициентов bas произвольны,
придем к равенству
- 6Ф = 2 ba
J J J J [L, (в) + р/С,] Tferfx- J" J [Af, (н) - F,] cpft do \ +
\ V 02 J
n { J J J[L2(и) + p/C2]Ф*+nйт - J J[M2(«)-.F2]<pk+ndo|
= 0, B.4.2)
в котором Ls, Ms — проекции векторов L и М, определяемых
формулами B.2.6), B.2.7), на координатные оси. Конечно,
и, v, w в выражениях Ls, M, заменяются их представлениями
B.3.1).
Теперь, приравняв нулю коэффициенты при произвольных
вариациях 6as, получим систему Зи линейных уравнений для
неизвестных as:
J J J L, (и)
///ад
dx — \ М) (u)(fkdo =
02
do,
„ rfx - J J A?2 (и) q>k+n do =
O2
= - I I I pKWk+ndt- [ f
tJ t! tJ J J
v o2
2« dT - J J M'i («) Ф'е + 2« ^О =
п do,
F3q>k+2ndo.
B.4.3)
156 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
Конечно, это лишь другая запись уравнений B.3.6). Отли-
Отличается лишь последовательность, в которой проводилось вычис-
вычисление.
Часто под уравнениями способа Галеркина понимают си-
систему уравнений
JJ j
B.4.4)
при составлении которой используются только дифференциаль-
дифференциальные уравнения задачи. Но при этом выбор аппроксимирующих
решение функций tps должен быть подчинен всем не только
кинематическим, но и статическим краевым условиям B.2.12).
Тогда поверхностные интегралы в системе уравнений B.4.3) от-
отпадают и она переходит в систему B.4.4).
2.5. Принцип минимума дополнительной работы. Принцип
минимума потенциальной энергии системы был получен путем
сравнения полей перемещений упругого тела в состоянии равно-
равновесия и в бесконечно близком к нему допускаемом связями со-
состоянии. В принципе минимума дополнительной работы сравне-
сравнению подвергаются два статически возможных напряженных со-
состояния— истинное, задаваемое тензором напряжения Г, и
бесконечно близкое к нему, с тензором напряжения 7 + df. Оба
состояния рассматриваются, конечно, при одном и том же за-
задании внешних сил — объемных рК и поверхностных, распреде-
распределенных на части О2, ограничивающей тело поверхности О. Итак,
в объеме У
div f + р/С = 0, div(f + 67) + рК = 0 B.5.1)
и на О2
я- 7 = /\ n-(f + 6T) = F, B.5.2)
так что
div 6Г = 0, л-б7|Ог = 0. B.5.3)
Рассматривая удельную потенциальную энергию деформа-
деформации А как функцию компонент тензора напряжений, то есть в
форме C.2.8) гл. III, и учитывая C.2.9) гл. III, а также B.5.3),
имеем [см. (II. 3.10)]
ЬА (в) = ё • • 67 = div F7 • и) - и • div 67 = div FГ • и). B.5.4)
§ 2] ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 157
Поэтому
ба = | J j 6А dx = | J | div FT ¦ u) dx =
V V
= J /n-df -«do= J JM-6Fdo, B.5.5)
0 O,
где 6F — вариация поверхностной силы на той части Oi поверх-
поверхности, на которой задан вектор перемещения; на ней
б« = 0, u-6F = 6(u-F),
и равенство B.5.5) переписывается в виде
. B.5.6)
I
Выражение
У= $ j j A(o)dx- \ j u.Fdo= \ \ $ A(«)dx- \ j n-f -ado
v o, v o, B57)
называется дополнительной работой, а соотношение B.5.6) вы-
выражает свойство стационарности в положении равновесия этого
функционала- над тензором напряжения Т:
6W = 0 B.5.8)
Стационарное значение дополнительной работы является ее
минимумом. Действительно, по B.2.2), B.2.3)
№ = J J J 6Л (a) dx + J J J A Fa) dx- J J u-bFdo =
V V O,
= 6*+//|ЛFа)Л
и по B.5.8)
A^= JJJ Л(бст)йт>0,
что и доказывает наличие минимума в состоянии равновесия.
Итак, состояние равновесия линейно-упругого тела отличает-
отличается от всех статически возможных при заданных внешних силах
состояний тем, что для него функционал W над тензором напря-
напряжений Т, называемый «дополнительной работой», имеет минимум.
По B.5.7) и формуле Клапейрона C.3.3) гл. III этот мини-
минимум равен
xVmla = U\\\pK-udx-\\ F-udo + \j F-udo). B.5.9)
158
СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТКОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IV
В п. 2.2 было установлено, что уравнениями Эйлера и нату-
натуральными краевыми условиями вариационной задачи о мини-
минимуме потенциальной энергии системы служат уравнения равно-
равновесия в перемещениях и статические краевые условия. Есте-
Естественно ожидать, что принципу минимума дополнительной ра-
работы— функционала над статически возможным тензором на-
напряжений Т — должны соответствовать зависимости Бельтрами,
а также кинематические краевые условия, как натуральные
краевые условия вариационной задачи.
Для доказательства представим условие стационарности
B.5.8) в виде
ЬА (a) dx - | J и ¦ 6F do =
за
до г
J
+ ... +
dx — I I и ¦ 6F do =
О,
(в, Ьах + ... + Угх bxzx) - J J и • ЬР do =
v " о,
e--6Tdx- | J u-6Fdo = 0. B.5.10)
"o,
Здесь е.с, . . . , Yzx- — линейные формы компонент тензора напря-
напряжений Т, определяемые по C.2.8) гл. III и выражаемые форму-
формулами C.1.8) гл. Ill; e — тензор, задаваемый этими формами его
компонент и, значит, представимый формулой A.1.4). Вариации
компонент тензора ЬТ под знаком интегралов в B.5.10) не неза-
независимы, а должны удовлетворять зависимостям B.5.3). Пришли
к связанной задаче вариационного исчисления и, следует извест-
известному правилу, вводим в объеме V лагранжев вектор К; это по-
позволяет, представив теперь B.5.10) в виде
= С J J (е
-6Г
div6f)dx- [ Ja-fiFdo = 0, B.5.11)
o.
считать все шесть вариаций Ьох, . . . , 6xzx, связанных тремя усло-
условиями B.5.3), независимыми за счет надлежащего выбора трех
компонент вектора к.
Применив многократно использованное преобразование
(П. 3.10);
§ 2] ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 159
перепишем теперь B.5.11) в виде
б?= f f f (e-defX)--fif dr + [ [ [ div(fif -X)<ix- f [ и ¦ bFdo =
J J j J J J K j j
V V 0,
= JJ|(e-defX)..6fdx+|Jn.6f.Xdo +
V 02
+ 11 (n ¦ 6T ¦ X - и ¦ fiF) do,
o,
так что, сославшись на B.5.3), получаем
б"Ф" = f Г f(e-defX)..67;dT+ Г f 6F • (Х- и) do = 0. B.5.12)
J J J J J
v o,
Теперь, выразив условия обращения в нуль множителей в
подынтегральных выражениях перед вариациями 6Т и 6F, при-
придем к соотношениям
Первое показывает, что тензор, обозначенный ё, есть деформа-
деформация лагранжева вектора к; на 0\ последний должен быть равен
заданному здесь вектору перемещения, и ничто не препятствует,
отождествив К с вектором перемещения и в объеме V, вернуться
к определению тензора е как к величине, задаваемой полем
перемещений. В самом принципе минимума дополнительной ра-
работы понятие о тензоре деформации отсутствует, поэтому ото-
отождествление векторов к и и должно быть привнесено нами, «так
как принцип об этом не знает».
По B.1.9) гл. II тензор, являющийся деформацией, должен
удовлетворять условию
Ink def h = 0, B.5.14)
и исключение к из первого соотношения B.5.13) приводит к со-
соотношению
() O, B.5.15)
что вместе с условием A.1.1), выражающим, что Т — статически
возможный тензор, приводит к зависимостям Бельтрами (см.
п. 1.5). Это и требовалось доказать. Вектор X == и, поскольку
условие B.5.14) выполнено, может быть вычислен по формулам
Чезаро B.2.2) гл. II.
2.6. Смешанный принцип стационарности (Е. Рейсснер, 1961).
В формулировке принципа минимума потенциальной энергии
рассматривается функционал над вектором и; от последнего
требуется, чтобы он принимал предписанное значение на той
160 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
части О] поверхности, на которой он задан; тензор напряжений
из рассмотрения исключен. Дифференциальными уравнениями
Эйлера, естественно, оказываются уравнения равновесия в пере-
перемещениях, а натуральными краевыми условиями — выраженные
через вектор перемещения условия равновесия на той части по-
поверхности О2, на которой заданы внешние поверхностные силы.
В противоположность этому в принципе минимума дополнитель-
дополнительной работы речь идет о функционале над тензором напряже-
напряжений Т, причем к сравнению допускаются статически возможные
напряженные состояния, то есть тензоры Т, удовлетворяющие
необходимым условиям статики сплошной среды в. объеме и на
той части Ог поверхности, на которой заданы поверхностные
силы. Получающаяся связанная краевая задача приводит к за-
зависимостям Бельтрами (этим уравнения статики дополняются
до достаточных условий) и краевым условиям на части поверх-
поверхности Оь на которой задан вектор перемещения.
В рассматриваемом в этом пункте смешанном принципе ста-
стационарности вводится функционал над вектором перемещения и
и над тензором напряжения Т, как над независимыми величи-
величинами. Этот функционал записывается в виде
V V
- Jj я-Г-(a-a.)do- jj F-udo. B.6.1)
Ог Oi
Здесь ё — тензор, определяемый по вектору и формулами A.1.2);
F— поверхностная сила, заданная на О2; и» — вектор перемеще-
перемещения, заданный на Оь Через А(а) обозначена удельная потен-
потенциальная энергия деформации, задаваемая квадратичной фор-
формой C.2.8) гл. III. Ее производные по компонентам тензора на-
напряжения будут линейными формами этих компонент, опреде-
определяемыми левыми частями соотношений C.1.8) гл. III. Они пред-
представляют компоненты некоторого тензора, обозначаемого
так что по C.2.9) гл. III
бЛ(ст) = 67--ё\ B.6.3)
Теперь имеем
6/= JJJ [6f--(e-e') + T--de]d%- j j j pK-6ud%-
v v
- j j п-ЬТ -{u-ut)do- j J n-f -budo- j j F-budo, B.6.4)
О О О
j j j J j
О, О, Ог
§ 2] ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 161
так как 6F =-- 0 па Ог. Остается применить хорошо известное пре-
преобразование
[ ' [ Т- -бе dx = \ \ [ div (T ¦ бы) dx - \ \ [ би • div f dx =
V V V
= \ I n-f -dudo + f f л • f -budo- f f [ 6м • div f dx,
О, Ог V
чтобы записать условие стационарности функционала / в виде
6/= f [ f [6Г •¦(e-r)-(divf
n • 6f • (и - нЛ'^о + J J (n • f - F) • би do = 0. B.6.5)
О, . Ог
Отсюда, вследствие произвольности 6Г и 6« в объеме, а также
вариаций и- 6Г на О{ и бгг на О2, приходим к уравнениям ста-
статики в объеме
divf + pK = 0, B.6.6)
к обобщенному закону Гука
и к краевым условиям
H|Oi=Ht, n-f\Oi=F. B.6.8)
Уравнениями Эйлера вариационной задачи о стационар-
стационарности функционала / оказываются исходные соотношения линей-
линейной теории упругости, перечисленные в п. 1.1, а натуральными
краевыми условиями — кинематические и статические краевые
условия.
2,7. Вариационные принципы при учете температурных сла-
слагаемых. Уравнение теплопроводности рассматривается в его
классической форме Фурье C.6.8) гл. III, а в задаче теории
упругости сохраняется статическая постановка, то есть пре-
пренебрегают изменениями во времени напряженного состояния,
вызываемыми нееташюнарностыо температурного поля. Это по-
позволяет рассматривать температуру как неварьируемый при
варьировании напряженного состояния внешний фактор и в со-
соответствии со сказанным в п. 1.14 формально трактовать наличие
температурного поля как поля объемных сил с потенциалом
A.14.5) и поверхностных сил A.14.6). Учитывается действие
этих «сил» и реактивных сил на Ои создаваемых связями, обес-
обеспечивающими заданные перемещения на этой части поверхности
тела.
11 А. И. Лурье
162 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
Аналогом функционала Ф в принципе минимума потенциаль-
потенциальной энергии в соответствии с B.1.3), A.14.5) и A.14.6) служит
функционал
А {е)dx + 2\x~^(j j^ и • gradaddx- j ^ адп-udo),
V \ V 02 /
B.7.1)
где А (г) — квадратичная форма C.2.3) гл. III компонент тен-
тензора деформации ё Применив легко проверяемое преобразова-
преобразование
J | J и ¦ grad ав d% = J J л • иа8 dx - J J J Ш dx, B.7.2)
V О V
приведем B.7.1) к виду
причем по C.4.6) гл. III (см. также таблицу п. 3.1 гл. III)
величина
с точностью до не имеющего здесь значения слагаемого, зави-
зависящего только от температуры, представляет свободную энергию
системы.
Повторив над функционалом B.7.3) вычисление, которое
привело к формуле B.2.8), придем к соотношению
, = J | J f • • бе dx + 2ц у^ J J n • биаб do =
v о,
= JJ л-Г-6иdo- f JJda.divf rfT + 2|ij
О " V
О,
B.7.4)
Здесь 7 — тензор, определяемый формулами C.4.7), C.4.8)
гл. III:
так что
divf = ?(«)-2ii-~~grELdaQ, n ¦ f = M{u)-2\i-^~пав,
§ •:] ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 163
где введены обозначения B.2.6), B.2.7) дифференциальных опе-
операторов L(u), М(и).
После подстановок в B.7.4) получаем
6Ф =-
L (и) - 2ц J357 grad аб] • би dx +
v
+ J J \м{и) - 2ц j=± лаб] • би dx + | J М(и) • би do = 0, B.7.5)
ог о,
причем последнее слагаемое следует отбросить, поскольку
бн = 0 на О\.
Приходим к дифференциальному уравнению равновесия в
перемещениях A.14.3) и к краевому условию A.14.4), что и тре-
требовалось. Полностью повторив сказанное в п.2.2, убедимся, что
функционал Ф* в положении равновесия имеет минимум.
Аналогом функционала W в принципе минимума дополни-
дополнительной работы служит функционал
W, = | f J G dx - J J F • udo = J J J G dx - J J n-f и do, B.7.6)
V O, V O,
где G —потенциал Гиббса C.5.4) гл. Ill, a F — вектор поверх-
поверхностных реактивных сил на О\. Имеем
bG = t--bf, B.7.7)
где ё —тензор, компоненты которого, вычисляемые по C.5.5)
гл. III, представляют линейные формы компонент тензора на-
напряжений и температуры; выражение тензора ё дается также
формулой C.4.10) гл. III.
Доказательство стационарности и минимальности функцио-
функционала в положении равновесия, когда к сравнению допускаются
статически возможные напряженные состояния, не отличается
от приведенного в п. 2.5.
2.8. Принцип Сен-Венана. Энергетическое рассмотрение.
«Принцип упругой эквивалентности статически эквивалентных
систем сил» был впервые сформулирован в применении к задаче
о напряженном состоянии нагруженного по торцам призматиче-
призматического стержня в классическом мемуаре Сен-Венана «О круче-
кручении призм» A855). Более общую формулировку этого прин-
принципа, названного принципом Сен-Венана, дал Буссинек A885);
уточнению рассмотрений Буссинека посвящены работы Мизеса
A945) и Стернберга A954).
Системы сил F и F' называются статически эквивалентными
при равенстве их главных векторов и главных моментов относи-
относительно одного и того же центра приведения. Очевидно, что
система сил F — F' статически эквивалентна нулю — равны
11*
164
СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IV
нулям ее главный вектор и ее главный момент. Принцип Сен-Ве-
нана состоит в утверждении, что статически эквивалентная нулю
система сил, распределенных по малому участку поверхности
упругого тела, создает лишь локальное напряженное состояние;
оно быстро затухает по мере удаления от этого участка и ста-
становится пренебрежимо малым на расстояниях, достаточно боль-
больших по сравнению с его размерами. Например, напряженное
состояние в длинном призматическом стержне, нагруженном
только по его конечным по-
поперечным сечениям (тор-
(торцам), практически не зави-
зависит от способа распределе-
распределения по ним поверхностных
сил — оно определяется на
некотором расстоянии от
торцов лишь их главным век-
вектором и главным моментом.
Таким образом, речь
идет о возможности замены,
при оговоренных требова-
требованиях статической эквива-
эквивалентности и «малости» участ-
участка нагружения, одних крае-
Г
Рис. 13.
вых условий другими. Со-
Сознательно или бессознатель-
бессознательно та или иная идеализация
краевых условий всегда ис-
используется при решении
(корректно поставленных) задач математической физики. В за-
задачах теории упругости это тем более неизбежно, что детали
распределения поверхностных сил чаще всего неизвестны, а воз-
возможность замены его другим распределением с теми же инте-
интегральными свойствами представляется интуитивно приемлемой.
Вместе с тем ясно, что приведенную формулировку принципа
Сен-Веиана, имеющую лишь качественный характер, следует
дополнить возможными количественными оценками.
Одна из таких попыток, принадлежащая Занабони A937) и
Локателли A940, 1941), состоит в оценке доли потенциальной
энергии деформации, заключенной в частях тела, нагруженного
статически эквивалентной системой сил, примыкающих к месту
загружения и удаленных от него.
Рассматривается тело А\, нагруженное по участку поверх-
поверхности статически эквивалентной нулю системой сил Р; потен-
потенциальная энергия деформации тела обозначается cii(P). К телу
А\ по участку его свободной поверхности S' присоединим ничем
не нагруженное тело Л2 (рис. 13) и потенциальную энергию еди-
S о] ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 165
ного образовавшегося тела А\ -f А2 назовем а\+2(Р). Докажем,
что
а1(Р)>аш(Р). B.8.1)
Действительно, назовем через R[2 статически эквивалентную
нулю систему сил в сечении S* тела А\ + А2— это та ранее сво-
свободная часть поверхности S тела А\, которую пришлось
подвергнуть деформированию, чтобы слить А\ и А2 в единое тело
А\ + А2. Потенциальная энергия деформации части А2 тела
А[ + А2 равна a2(R\2), тогда как в части А{ этого тела заклю-
заключена потенциальная энергия
где a\(R12) — работа ранее приложенных сил Р, обусловленная
тем, что участок тела А\, загруженный этими силами, деформи-
деформируется вследствие приложения по S* сил R12. Итак,
а1+2 (Р) = а, (Р) + а2 (Rl2) + a, (Rl2) + a\ (Rl2). B.8.2)
Этапы этого рассуждения иллюстрируются рис. 13, а — г.
С истинным состоянием равновесия, когда силами Р соз-
создается напряженное состояние, дающее в сечении S* систему
сил /?i2, сравнивается состояние, в котором эта система (при
тех же Р) заменена пропорционально измененной системой сил
A + е)/?12. Отметим, что система уравнений статики, описываю-
описывающих поведение тела Л2, нагруженного по S* статически эквива-
эквивалентной нулю системой Rt2, линейна; поэтому и система
A + е)/?12 создается статически возможной системой напряже-
напряжений, что делает допустимым применение принципа минимума
дополнительной работы.
При указанном пропорциональном изменении сил R12 потен-
потенциальные энергии a\(Ri2), a2(Rl2) становятся равными
A + eJa\(Ri2), (I + eJa2(R]2), тогда как a\(Rl2) должно быть
заменено на A +е) а\ (/?12), так как в отношении 1 + е измени-
изменились лишь деформации, а силы Р остались неизменными. Итак,
варьированное выражение потенциальной энергии тела А\ + _42
должно быть записано в виде
а[+2 (Р) = fl] (Р) + A + еJ a, (R12) + A + еJ а2 (Rl2) + A + е) а\ (Rl2),
и поэтому
Ьа1+ч{Р) =
= е12а;
«1+2
[(#12
) + 2а
«1+2
о I A j
(Р) =
2) + а
2)] + e2 [a, (RVi) + a2 (Rl2)}. B.8.3)
Здесь ai(Rl2)>0, a2(Rl2)>0, a само выражение разности B.8.3)
по теореме о минимуме дополнительной работы должно оста-
оставаться положительным независимо от знака е. Поэтому
2а, (*12) + 2а2 (R!2) + a\ (R12) = 0, B.8.4)
166 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
и выражение B.8.2) записывается в виде
а,+2 (Р) = fli (Р) — а, (/?,2) — а2 (Rl3) < а{ (Р). B.8.5)
Знак равенства невозможен, так как силы /?]2 всегда возникают
при наличии Р. Предложение B.8.1) доказано. Продолжая про-
процесс мысленного присоединения к телу Ai + Л2 тела Л3 и т. д.,
имеем
а, (Р) > аш(Р) > «i+2+з(Р) > • •. B.8.6)
На втором этапе этого рассуждения сравниваются потенциаль-
потенциальные энергии, создаваемые системами сил Рп,2+з и Ри+2, з; как
видно из этих обозначений и рис. 14, первая система сил разви-
развивается в сечении S* тела Ль соединенного с ненагруженным те-
Рис. 14.
лом Л2 + Л3, а вторая —в более удаленном от места загруже-
ния силами Р сечении S2 между телами А^ + Лг и Л3.
По B.8.5) имеем при втором способе образования тела
fll + 2+3 (Р) = «1 + 2 (Р) ~ й1 + 2 (Р.1 + 2, з) ~ аЗ (Р. 1+2, з) =
= а, (Р) - а, (Р.12) - а2 (Р.12) - а1+2 (Я,+2,3) - а3 (/?1+2,3), B.8.7)
а при первом
fli+2+3(P)= al(P) — a1(Rh2+z)~ a2+3(RU2+3). B.8.8)
Из этих равенств имеем
fli(P-i,2+3) + а2+3(Р.,,2+з) = «1+2(^1+2,з) + «з(Рл+2,з) + «1 (Рчг) + а2 (А?12)
или, как следовало ожидать,
ai(P.i,2+3)+ а2+3(Р.1,2+з)>а1+2(Р.1+2,з) + аз(/?1+2,з). B.8.9)
Определим функционал a(R), равный потенциальной энер-
энергии деформации тела, вычисляемой по напряжениям, создавае-
создаваемым силами Р., развивающимися в сечении S от нагружения
тела статически эквивалентной нулю системой сил Р. Из дока-
доказанного неравенства B.8.9) следует, что a (R) уменьшается при
удалении сечения от места натружения. Поскольку a(R)—по-
a(R)—положительно-определенный функционал, его можно принять за
интегральную меру самих напряжений; найденные оценки ука-
указывают на уменьшение этой меры при удалении от места за-
гружения и служат подтверждением принципа Сен-Венана.
К другим оценкам самих напряжений мы вернемся ниже,
в п. 2.12—2.14 гл. V.
§ 3] ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ 167
§ 3. Теорема взаимности. Потенциалы теории упругости
3.1. Формулировка и доказательство теоремы взаимности
(Бетти, 1872). Рассматриваются два состояния равновесия ли-
линейно-упругого тела, называемые далее первым и вторым. По
векторам перемещений и', и", задающих эти состояния, опреде-
определяются тензоры деформации
e' = defa', e" = deftt", C.1.1)
а по ним — тензоры напряжений
(^Ъ"Ё+Ь"). C.1.2)
Теперь находим массовые и поверхностные силы, которые дол-
должны быть приложены к телу, чтобы осуществить эти состояния:
рК' = - div Г, Г = я • Г; рК" = - div f", F" = n- f". C.1.3)
Доказывается, что работа внешних сил первого состояния на
перемещениях, соответствующих второму состоянию, равна ра-
работе сил второго состояния на перемещениях первого состояния:
J J J рК' • и" dx + |J F' • и" do = J J JpK" • и! dx + J J F" ¦ и' do.
V О V 0
C.1.4)
Заменив в левой части этого равенства силы их выражениями
C.1.3) и используя преобразования (II. 3.10) и (II.5.5), имеем
- J J J и" • div f' dx + J J n • Г • u" do =
V О
= ///[-«"• div Г + div {u" ¦ T')\ dx= [[[f'.-ъ" dx,
V V
так что
J J J pK' • u"dx + J J F' • u"dx^ | J J f'--z"d% C.1.5)
V О V
и, конечно,
J J J рК" • н'dx + J| f". „' dx= j j jf"--e' dx. C.1.6)
V О V
Остается убедиться в равенстве правых частей. Это следует из
C.1.2):
Г• • г" = 2A
так как Е • • ё" = /, (ё") = Ь"; вместе с тем
е .-е -/^е е )-
р
168 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕИНОП ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
Итак, правая часть C.1.6) одинаковым образом записи г от пе-
личин первого и второго состояний, чго доказывает теорему.
Формулировка теоремы взаимности усложняется в примене-
применении к неодносвязному объему, если не исключается возмож-
возможность неоднозначности перемещений. См. п. 5.3 этой главы.
3.2. Тензор влияния. Теорема Максвелла. Упругое тело на-
нагружено в точке Q сосредоточенной силой е единичной вели-
величины, уравновешенной реакциями связей — опорных устройств.
Связи предполагаются идеальными — сумма работ их реакций
на всяком перемещении точек упругого тела, находящихся в
контакте с опорными устройствами, равна нулю.
Вектор перемещения точки М упругого тела, назовем его
и{М, Q), представляется в виде
u(M,Q) = G(M,Q)-e. C.2.1)
Здесь G(M,Q)—тензор второго ранга, называемый тензором
влияния. Его компонента GSh(M, Q) представляет проекцию на
направление is перемещения точки М, вызываемого единичной
силой, направленной по h-
Условившись называть Q, М точками истока и наблюдения,
рассмотрим два состояния упругого тела — первое: Q — точка
истока, М — наблюдения,
u{M,Q)=G(M,Q)-eQ,
и второе: М — точка истока, Q — наблюдения,
u(Q,M) = G(Q,M)-eM.
По теореме взаимности работа силы вц на перемещении в
точке М, создаваемой силой eQ, равна работе силы eQ на пере-
перемещении в точке Q от силы ем:
eM-u(M,Q) = eQ-u(Q,M) C.2.2)
или, в другой записи,
е™ • (GM, Q).eQ = eQ-G (Q, М) ¦ ем. C.2.3)
Этим выражается свойство тензора влияния, называемое тео-
теоремой Максвелла:
G(M,Q) = G'(Q,M). . C.2.4)
Здесь, как всегда, звездочка обозначает операцию транспониро-
транспонирования тензора, так что
Gah(M,Q)=Gks(Q,M), C.2.5)
чю и требовалось.
§ 3] ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ 169
Знание тензора влияния G(M, Q) позволяет представить в
квадратурах вектор перемещения при любом задании массовых
и поверхностных сил:
и Ш) = J J J G (M, Q) ¦ pi( (Q) rftQ + J J G (M, Qo) • F (Qo) doQ().
v о
C.2.6)
Ясно, что степень трудности эффективного построения тензора
влияния такая же, как и решения краевых задач. Оно просто
выполняется для неограниченного упругого пространства, когда
краевые условия отпадают (п. 3.5 этой главы).
3.3. Применение теоремы взаимности. В качестве первого
состояния задается обычно весьма простое напряженное состоя-
состояние. Теорема взаимности позволяет по заданным внешним си-
силам второго состояния (они, конечно, должны представлять ста-
статически аквпвалентпую нулю систему сил) определять некото-
некоторые осредиенные величины, относящиеся к этому состоянию.
Зададим вектор перемещения первого состояния афинным
преобразованием:
u' = A-R, C.3.1)
где А — постоянный тензор второго ранга. Тогда по A.2.3) —
A.2.5) гл. II -
du' = (V«T • dR = dR ¦ V«' =A-dR = dR- A*,
так что, сославшись еще «а A.2.13) гл. II, имеем
е' = J (А + Л*), Л = ё' + Q' C.3.2)
и, далее,
C.3.3)
По теореме взаимности (отбросив штрихи над величинами вто-
второго состояния), получим
о/С • Л • R dx + F ¦ Л • Rdo =
V О
2н ( -~ f)' n-u do •!- j | п ¦ ё' • и do ). C.3.4)
о' "о'
170 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
Тензор Л в левой части можно заменить на г', так как
= J J J p/C • («о X R) dx + J J f • (g> X R) do =
где © — сопутствующий тензору Л вектор (п. 1.4), а величина в
скобках — равный нулю главный момент внешних сил (второго
состояния). Вместе с тем
J п • и do = | j J ciiv и dx = J J J § dt,
OF V
n • e' • и do = J | J div (e' • и) dx =
V
= J J J и • div e' dx + e'- • J f | e rfx.
Обозначая индексом т среднее значение величины в объеме,
имеем
V
Приходим к равенству
1-
C.3.5)
преобразуемому с помощью тождества
Q • • аб = /j (Q • ab) = Ix (a • Q'b) = а • Q* • b
к виду
i / Г Г Г Г Г \
I. C.3.6)
Полагая здесь е = С имеем ¦&'= 3, г'--ет~®, e'--pKR =
= pK'R и т. д. Приходим к следующему выражению среднего
объемного расширения:
/ Г Г Г Г Г \
C.3.7)
§ 31 ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ 171
Подстановка в C.3.6) приводит теперь к соотношению
L \ v о
Например, при г' — i\i\, Ь' = 1 придем к выражению среднего
относительного удлинения
о
тогда как, полагая ё' = U2 + Mi, ft' = 0, получим среднее зна-
значение сдвига
jj ^y . C.3.10)
Отсюда теперь легко найти средние значения напряжений:
1
-(ст,)т = ^г I
vvt>
pyKxdx+ yFxdo
о
и т. д. Эти же выражения были получены в п. 4.3 гл. I с по-
помощью только уравнений статики и для любой сплошной среды,
а не гукова тела. По ним, основываясь на законе Гука, можно
перейти к приведенным выше формулам для средних значений
компонент тензора деформации в линейно-упругом теле.
Задавшись выражениями вектора перемещения и' в виде
квадратичных форм координат и используя теорему взаимности,
можно получить этим же путем формулы п. 4.4 гл. I для момен-
моментов напряжений первого порядка.
В задание компонент деформации г' в виде квадратичных
форм координат войдет 36 коэффициентов, связанных шестью
условиями совместности деформаций B.1.5) гл. II. Использо-
Использование теоремы взаимности в форме C.1.5)
зкКкdr= j /I * • «' dt + J J F-u'do
172 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
приводит к тридцати уравнениям (по числу независимых коэф-
коэффициентов этих форм). Число же неизвестных моментов напря-
напряжений второго порядка
tikxfxsdx
равно тридцати шести. Этот же результат был получен в п. 4.10
гл. I.
3.4. Теорема взаимности при учете температурных слагае-
слагаемых. В вывод формул C.1.5), C.1.6) не вносится изменений, но
при вычислении их правых частей следует учесть наличие тем-
температурных слагаемых в выражении тензора напряжения
A.14.1):
', * cr/ = 9ii ft it 4- p » • p 9нп ¦ H ту
r V 1 — 2v r 1 — 2v
¦ C.4.1)
r \ 1— 2v
и вместо C.1.4) получаем
pK' -u"dx+ F' ¦ и" do
V О V
pK"-u'dx+ f Jf//-M/rfo + 2l.ia1~; ( J| б"*'oft. C,4.2)
Ъ
Конечно, этот же результат можно получить формальной за-
заменой температурного поля объемными и поверхностными си-
силами A.14.5), A.14.6):
и" ¦ grad 8' dx + J J re • n' dr) =
о
что и требовалось.
В качестве примера примем напряженное состояние, созда-
создаваемое единичной силой eQ, приложенной в точке Q, за первое
состояние; пусть в нем В' = 0; пусть во втором состоянии силы
отсутствуют, рК" = 0, F" = 0, а температура равна 8. Примене-
Применение формулы C.4.2), если учесть C.2.1), приводит к равенству
cQ ¦ и (Q) = 2u.a -^ J j J e (M) divA1 G (M, Q) ¦ eQ dxM,
§ 3] ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ
н, поскольку c.q — произвольно направленный вектор,
и (Q) = 2ца ~^~ J J J 6 (М) div^i G (M, Q) dxM. C.4.3)
v
Знание тензора влияния позволяет определить поле перемеще-
перемещений в упругом теле по температурному полю.
3.5. Тензор влияния в неограниченной упругой среде. В не-
неограниченной упругой среде мысленно выделяется конечный
объем V,-, ограниченный поверхностью О; остающийся бесконеч-
бесконечный объем с полостью V, назовем Ve.
В точке Q упругой среды прикладывается единичная сосре-
сосредоточенная сила е, создающая напряженное состояние, опреде-
определяемое тензором Т. Тогда уравнения статики для Vj-объема за-
записываются в виде
Jn-fdo + e = 0, [Jl?X(n-f)do = 0, Q <= Vh C.5.1)
= 0, QczVe. C.5.2)
Через R обозначен вектор-радиус, имеющий начало в точке
Q — точке «истока». Если гл1, fq — вектор-радиусы точки «на-
«наблюдения» М и точки истока Q с началом в начале координат
О, то, очевидно,
R = rM — rQ. C.5.3)
Примем, что поверхностью О в формуле C.5.1) служит сфе-
сфера О радиуса R с центром в точке истока Q; это не ограничи-
ограничивает общности приводимого ниже рассуждения, так как значе-
значение интегралов в C.5.1) по любой поверхности, охватывающей
сферу О, неизменно. Уравнение C.5.1) теперь записывается в
виде
R2 Jj n-7W + e = 0, C.5.4)
о*
где О* — сфера единичного радиуса, do* — элемент ее поверх-
поверхности; отсюда следует, что главный вектор напряжений на лю-
любой поверхности, содержащей точку Q внутри себя, имеет не
зависящее от R значение — е, а это возможно лишь при условии,
что компоненты тензора Г убывают, как R~2. Но тогда вектор
перемещения должен убывать при удалении от точки Q, как R~l.
Этим подсказывается характер решения. Гармонический век-
вектор В в решении Папковича — Нейбера A.4.10) следует принять
равным
В А
174 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
так как R~l — единственная гармоническая функция с таким
характером убывания на бесконечности, а вектор е должен вой-
войти в решение задачи; через А обозначена постоянная, подлежа-
подлежащая определению из условия C.5.1). Введение гармонического
скаляра Во излишне, и вектор перемещения представляется по
A.4.10) в виде
u = A[C-4v)f+-^R], C.5.5)
так как
Тензор напряжения вычисляется по A.4.15). Имеем
divJB=--^-e-*, УЯ=-Л-^, def5=-4~ (Re + eR),
и подстановка дает
Т = Цр- [A - 2v) {Ее ¦ R - eR - Re) - Щ^- RR]. C.5.6)
Для определения А имеем равенство
_ е = -L-. | | (i _ 2V) (ne • R - л • eR - /i • J?e) - -^- n • J?J? j do.
о
Но на поверхности сферы О
так что
и, имея в виду, что
о о" v v
находим
Представляя теперь вектор перемещения в форме C.2.1), при-
приходим к равенству
u(M,Q)^U(M,Q)-e, C.5.8)
§ 3] ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ 175
в котором тензор влияния U(M, Q) для неограниченной упру-
упругой среды — тензор Кельвина — Сомильяна — представляется по
C.5.5) формулами
TJ /О Л.Л р I **" _ v v" \ /OCQ\
u — irttt, (\~v\p w 4V;?+ p2 — 4тгм I p л(\ _.л • (о.о.у;
Вектор напряжения на площадке в точке М с нормалью пм ока-
оказывается равным
-Ъ~~пМ'М] C.5.10)
и может быть представлен в виде произведения справа на век-
вектор е
пм-Т =Q>{M,Q)-e C.5.11)
«силового» тензора влияния, определяемого формулами
-2(l-v)EnM-R-R3nM-RVV±]. C.5.12)
Уравнения статики C.5.1) и C.5.2) теперь представляются в
виде
г г ~ \ -Ё, QczVi,
Jj <D{M,Q)doM = { Oj Q(_v^ C.5.13)
и при любом расположении точки Q
Q)rfoni = 0. C.5.14)
о
Развернутая запись первого имеет вид
Я
8n(l-v) JJ \^~2v)lp(nMR-RnM)-nM
о
о.
176 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
Вместе с тем согласно известной теореме Гаусса о потенциале
двойного сЛоя постоянной (единичной) плотности, распределен-
распределенного по замкнутой поверхности,
4л, Q а V,,
2л, QdO, C.5.16)
I 0, QcVf,
о
и поэтому
[A - 2v) -~(nMR - RnM) - пм ¦ i?VV -^J doM = 0 C.5.17)
о
при любом расположении точки Q, в том числе и на О. Это по-
позволяет записать C.5.13) в более полном виде:
&{M,Q)doM=-Eb(Q), C.5.18)
где 6(Q)—функция положения точки Q, определяемая равен-
равенствами
6(Q) =
0, QczVe
C.5.19)
Равенство C.5.18), многократно используемое ниже, будем на-
называть обобщенной теоремой Гаусса.
Заметим еще, что соотношения C.5.14) и C.5.17) несложно'
проверить непосредственным вычислением.
3.6. Потенциалы теории упругости. Обобщая классические
определения теории ньютонова потенциала, введем в рассмот-
рассмотрение два потенциала теории упругости. %
Первый потенциал является аналогом потенциала простого
слоя. Он определяется вектором
A (Q) = | | а (Мо) ¦ U (Mo, Q) doMn C.6.1)
о"
где U(M.Q)—тензор Кельвина — Сомильяна C.5.9). Предпо-
Предполагается, что О принадлежит к классу поверхностен Ляпунова;
вектор а(Мо)—заданная на О плотность слоя. Вектор A(Q) —
непрерывная по всем пространстве функция (разрыв непрерыв-
непрерывности при переходе через слой испытывает нормальная произ-
производная п-\'А), удовлетворяющая в V,- и Vc 'однородным уравне-
уравнениям теории упругости в перемещениях
l_ graj (| iv A + V2/l = 0 C.6.2)
1 — .iV
§ 3) ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ 177
Предельные значения потенциала A(Q) извне п изнутри, обо-
обозначаемые *)
A,(Qo) = lim A(Q), Ae(Q0) = lim A(Q), C.6.3)
VQQ VQQ
равны его «прямому значению», определяемому несобственным
сходящимся интегралом
A (Qo) = J J a Wo) • 0 Wo, Qo) dom. C.6.4)
о
Итак,
A-(Q ) = A(Qn) = A (Qn) C 6 5^
Второй потенциал теории упругости имеет свойства потен-
потенциала двойного слоя. Он определяется вектором
В (Q) = j J b Wo) • Ф Wo, Q) doK, C.6.6)
о
где Ф(УИ, Q)—силовой тензор влияния C.5.12). В I7,: и в Уе
этот вектор также удовлетворяет однородным уравнениям в пе-
перемещениях. Вектор плотности Ь(М0), равно как и ранее вве-
введенный вектор a Wo), предполагается удовлетворяющим усло-
условию Гельдера II (А, у) с положительным показателем у:
Ь {Мо) - Ь {Мо) I < Л г, - г „ Y. C.6.7)
Тогда интеграл, называемый прямым значением B(Q0) потен-
потенциала B(Q),
В (Qo) = / J b (Mo) • Ф (Мо, Qo) dom C.6.8)
о *
сходится в смысле главного значения**). Предельные значения
Bt(Qo), Be(Q0) потенциала B(Q):
Bt(Qn)= lim B(Q), Be(Qo)= lim B(Q), C.6.9)
VQ Q vq Q
не равны друг другу и не равны его прямому значению — потен-
потенциал B(Q) претерпевает разрыв при переходе через слой. То же
*) Запись Vt zd Q -> Q,,(Vr zd Q -> Qn) означает, что точка Q прибли-
приближается к точке Qo па слое, оставаясь в V; (в VP); предполагается, что при-
приближение происходит (в обоих случаях) по нормали к Q, направленной в
Ve — внешней к V,-.
**) Главное значение интеграла по поверхности определяется как предел
при в->0 интеграла по поверхпоан О — O(Q0,e), где 0(Qo,e)—окрестность
па О точки Qo с диаметром 2в.
12 Л. И. Лурье
178 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
самое имеет место и для ньютонова потенциала двойного слоя
(его плотность обозначается р (А10))
Однако доказывается, что его предельные значения равны пря-
прямому значению, если Qo— та точка на О, в которой плотность
равна нулю: при p(Qo) — О
W (Qo) = f { Р (AQ ^г^ dom = W{ (Qo) = We (Qo)
'о
и это свойство ньютонова потенциала сохраняет и второй по-
потенциал теории упругости: если b(Q0) = 0, то
B(Q0) = Bi(QQ) = Be(Q0). C.6.10)
Сославшись теперь на обобщенную теорему Гаусса C.5.18). за-
запишем равенство
В (Q) = ( f \Ь (Мо) - Ь (Qo)] ¦ Ф <Мп, Q) doM. +
+ Ь (Qo) • f J Ф (Мо, Q) doMn =\\\b (Мо) - Ь (Qo)] • Ф (Мо, Q) йош -
'о о
Г 6 (Qo), Q с vt,
~\ с\ /л ,— лг C.6.11)
Интеграл
представляет потенциал того же вида, что B(Q), но с плот-
плотностью
обращающейся в нуль в точке Qo. Поэтому, сославшись на
C.6.10), C.6.11), C.6.8) и снова на C.5.18), имеем
Bt (Qo) = f J [Ь (Mo) - Ь (Qo)] • Ф (Мо. Qo) doMa - Ь (Qo) =
\Ь (Л/„) - & (Qo)] • Ф (Л/о, Qo) rfo,Uj = P> (Qo) + j b (Qo).
о
§ 3] ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ 179
Пришли к формулам Племели для второго потенциала теории
упругости:
—jb(Q0), (З-6-12)
Be{Qo) = B(Q0)+jb{Q0). C.6.13)
3.7. Определение поля перемещений по заданию внешних
сил и вектора перемещения на поверхности тела. В точке Q не-
неограниченной упругой среды приложена единичная сосредото-
сосредоточенная сила е; тогда по поверхности О, ограничивающей мыс-
мысленно выделяемый из среды объем Vt-, будут распределены по-
поверхностные силы, определяемые по C.5.11):
(n-fH = O(MQ,Q)-e. C.7.1)
Вектор перемещения в этом объеме равен
u(M,Q) = 0(M,Q)-e. C.7.2)
Это состояние объема V,- принимается за первое его состояние
в теореме взаимности. Состояние того же тела под действием
внешних сил — объемных рК и поверхностных F — назовем вто-
вторым состоянием; вектор перемещения в этом состоянии обозна-
обозначается и(М).
Работа сил первого состояния на перемещениях второго со-
состояния равна ¦
Г
а' =
и (Q) + J | и (Мо) ¦ Ф (Мо, Q) do Л -е, QczVit
°п J C.7.3)
J J и (Мо) • Ф (Мо, Q) doAh -e, QaVe.
Сославшись на формулы Племели C.6.12), C.6.13), имеем в
обоих случаях
lim а'= lim а'= у«(<Эо)+ и(Лу-Ф(М0, Qo) dom \-e,
так что, вспомнив определение C.5.19) функции 6(Q), имеем
а' =¦ Гб (Q) и (Q) + J J и (Мо) • Ф (Мо, Q) do Л ¦ е, C.7.4)
условившись, что интеграл в правой части, когда Q<^0, пони-
понимается в смысле его главного значения
J Ju{M0)-&{M0,Qo)doMl. C.7.5)
12*
180 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕ1ТНОП ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
Работа сил второго состояния па перемещениях первого со-
состояния равна
а" = Г\ / / рК (Af) • 0 (М, Q) dxM + j j F(M0) ¦ U (Mo, Q) doM] • e,
C.7.6)
и по C.G.5) эта формула сохраняет свое значение как при
Q с V{, Q cz Ve, так и при QcO; в последнем случае несоб-
несобственный поверхностный интеграл сходится, так как особенность
тензора 0(M0,Q), рассматриваемого как функция точки М0, в
точке Qo слабая (обращение в бесконечность, как R~l).
Применение теоремы взаимности приводит теперь к соотно-
соотношению (произвольно задаваемый вектор е может быть отбро-
отброшен)
б (Q) и (<Э) = f j F Шо) ¦ О {Мо, Q) dom - \ j и (Л/о) • Ф (Л/о, Q) doAU +
О О
+ j | j 9К (М) ¦ б (М, Q) dxM. C.7.7)
Последнее слагаемое в этой формуле
и. (Q) = f [ f P^C (Af) • t/ (M, Q) йтж C.7.8)
представляет частное решение уравнений равновесия в пере-
перемещениях A.3.2), соответствующее объемным силам. Этим до-
доказано (см. п. 1.4), что оно может быть определено квадрату-
квадратурами при любом законе задания объемных сил.
Соотношение C.7.7) определяет вектор перемещения по за-
заданию на поверхности О и поверхностной силы F и вектора пе-
перемещения и. Поэтому оно, конечно, нех является решением
краевой задачи.
Проверим, что, когда второе состояние является натураль-
натуральным, то есть при рК = 0, F = 0, соотношению C.7.7) удовлетво-
удовлетворяет вектор перемещения тела как твердого:
и (М) = н0 + и X гм = н0 + и X rQ + со X R C.7.9)
Действительно, замечая, что
(и X R) ¦ Ф (.Но, Q) = со • [Я X Ф (Л'/о. Q)],
имеем
u(M0)-Q>(M0,Q)do,,u=-
= - (и0 + о) X rQ) • J J Ф (Ai0, Q) doMa - © . J j" J? X Ф (Mo, Q) do.M,
§ 3] ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ Jgl
и, сославшись на C.5.14), C.5.18), получаем
и (Мо) • Ф (Мо> Q) doMa = (щ + о X rQ) б (Q), C.7.10)
что и требовалось.
3.8. О поведении потенциалов теории упругости на бесконеч-
бесконечности. При достаточно большом удалении точки Q zd Ve от по-
поверхности О
R = rM — rQ~ - rQ, R~rQ C.8.1)
и ядро C.5.9) первого потенциала представляется в виде
J Ь^-КЗ - 4v) E + eQeQ], eQ = ^rQ.
По формуле C.6.1), в которой вследствие симметрии тензора (У
сомножители Ома переставимы, получаем
W0)dom. C.8.2)
По C.5.8) эта формула представляет вектор перемещения в
точке от действия силы
\ а (Мо) йом„
приложенной в начале координат; ее можно трактовать как
главный вектор системы сил на поверхности малого объема V,-,
когда последний стремится к нулю. Перемещение от такой си-
системы сил и, следовательно, первый потенциал убывают на бес-
бесконечности, как /-д1-
Для ядра C.5.12) второго потенциала при той же замене
C.8.1)
ф (Mo. Q) =
I
пм • eQE) + SnM • eQeQeQ],
Х eQeQeQ]
I Q
и выражение этого потенциала примет вид
в(Q) = та1^f^1 ~2v) I j ^b -b ¦ пм
L 'o
bnMdoM-eQE\.4-- C.8.3)
182 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
Он представляет перемещение точки Qx, создаваемое некоторой
системой сил, распределенных по поверхности малого объема
Vt, когда последний стремится к нулю. Главный вектор этой си-
системы сил равен нулю — в противном случае перемещение на до-
достаточном удалении Q от V,- убывало бы, как г^1, а не как г^2.
Второй потенциал, подобно потенциалу двойного слоя, ведет себя
на бесконечном удалении от О, как г^2. См. также п. 1.3 гл. V.
§ 4. Теоремы единственности и существования решений
4.1. Теорема Кирхгоффа. Исходная система уравнений и
краевых условий теории упругости приведена в п. 1.1. Вводятся
следующие предположения: 1) начальное состояние тела яв-
является натуральным; 2) постоянные ц, v в обобщенном законе
Гука удовлетворяют неравенствам C.3.5), C.3.6) гл. III, обес-
обеспечивающим положительность удельной потенциальной энергии
деформации: поэтому последняя может быть нулем лишь в на-
натуральном состоянии; 3) допускается общепринятое в линейной
теории упругости пренебрежение изменением формы тела при
формулировании краевых условий — ограничивающая упругое
тело поверхность О в состоянии равновесия такая же, как в на-
натуральном состоянии.
При перечисленных условиях решение краевых задач — един-
единственное (теорема Кирхгоффа). Действительно, предполагая на-
наличие двух отличающихся друг от друга решений и', V и и", Т"
при одном и том же задании объемных сил в V, а также по-
поверхностных сил на О2 и вектора перемещения на Оь получили
бы, что разности
и = и"-и', Т = ?'-?" D.1.1)
являются решением однородной краевой задачи*
divf = O, Т = Г,
е = ~ [Уи + (УиI,
и|0, = 0, я • f |Oj = 0. D.1.3)
Из этих уравнений следует [см. (II. 3.10)]
J f Jtt-divf d%= J J jdiv(f-u)dT- J j j T--zdx =
V V V
= jjn-f-«do-
§ 4] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ 183
Но поверхностный интеграл по D.1.3) равен нулю; поэтому
dx~0, D.1.4)
и вследствие положительной знакоопределенности удельной по-
потенциальной энергии деформации
Л^О, е = 0, ГзО. D.1.5)
По D.1.1) получаем
и' = и", Т' = Т", D.1.6)
что противоречит предположению о существовании двух отли-
отличающихся друг от друга решений.
В условиях смешанной краевой задачи A.2.3), а также пер-
первой краевой задачи A.2.1), из D.1.5) следует, что и = 0, тогда
как во второй краевой задаче вектор перемещения оказывается
определенным с точностью до перемещения среды как твердого
тела:
и = ио + <» Х(г — г0). D.1.7)
Замечания. 1. В теореме Клрхгоффа устанавливается
свойство уравнений линейной теории упругости. Из нее следует
недостаточность этой теории для предсказания явлений сосу-
сосуществования различных состояний равновесия при одних и тех
же условиях нагружения, например, изгиба сжатого продольной
силой стержня. В доказательстве было существенным пренебре-
пренебрежение изменений формы тела; если его не делать, то для каж-
каждого из предположенных состояний равновесия следовало бы
записать кинематические краевые условия в виде
причем О\ = О\, так как задание перемещения и* определяет
одну и ту же форму этой части поверхности в деформирован-
деформированном состоянии тела. Однако часть границы, на которой задает-
задается распределение поверхностных сил, не сохраняет вида
уО'ч ф О"), так что на ней N' ф N", и статические краевые усло-
условия следует записать в виде
N'-f'\, = F, N".T"\,, = F,
°2 °2
и поэтому краевые условия D.1.3) для разности решений не
имеют места.
2. Доказательство теоремы выражает, что при отсутствии
внешних сил в упругом теле не возникает напряженного состоя-
состояния. Этому не противоречит возможность существования напря-
напряжений - в ненагруженном односвязном упругом объеме, из
184 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
которого удалено клинообразное тело с последующим сшиванием
поверхностей разрезов. В таком теле нельзя создать непрерыв-
непрерывное вместе с его производными поле перемещений, которое
могло бы из этого начального состояния вернуть тело в нату-
натуральное состояние. В этих условиях приведенное доказательство
теоремы Кирхгоффа отпадает, хотя бы вследствие невозможно-
невозможности преобразования объемного интеграла в поверхностный, пред-
предполагающего непрерывность Г, к и их первых производных.
3. В неодносвязном объеме обеспечивается непрерывность
тензоров деформации и напряжений и при наличии неоднознач-
неоднозначности перемещений, создаваемой с помощью дисторсии Воль-
терра, как описано в п. 2.4 гл. II. В приведенной формулировке
теорема Кирхгоффа также здесь не имеет места. Она допол-
дополняется требованием, чтобы решениям и', и" соответствовали оди-
одинаковые циклические постоянные векторы Ь, с (одна и та же
дисторсия). Тогда вектор и = и' — и" — непрерывная и одно-
однозначная функция и приведенное доказательство сохраняется.
Более подробно об этом см. § 5 этой главы.
4. В теореме Кирхгоффа утверждается единственность реше-
решения, если оно существует. Доказательство существования ре-
решения первой и второй краевых задач рассматривается в пп. 4.2—
4.8 этой главы.
5. Теорема Кирхгоффа не исключает существования разрыв-
разрывных решений однородных краевых задач, когда при отсутствии
массовых сил равны нулю перемещения (или поверхностные
силы во второй краевой задаче) на поверхности тела. Непре-
Непрерывное и даже аналитическое в объеме тела решение однород-
однородных краевых задач можно построить для значений постоянной
Пуассона v вне допустимого интервала ее значений (при v>l/2
или v < — 1).
Примером могут служить однородные краевые задачи для
полого шара, ограниченного концентрическими сферами /? = /?0,
R = /?,. Решение может быть построено с помощью бигарыонк-
ческой функции Лява (п. 1.10) вида
+ CRS + ^) Р М ilx Cos
где Ps(n) —решение уравнения Лежандра
Индекс s определяется условием существования нетривиального
решения однородной краевой задачи — должен быть равен нулю
определитель А системы линейных однородных уравнений для
неизвестных коэффициентов Л,„ Д„ Cs, Db, получаемой в записи
§ 4] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ 185
краевых условии. Он зависит от s, v, Ro/R\, и корни трансцен-
трансцендентного no s уравнения
( f) 0 D.1.9)
в допустимом интервале значений v оказываются комплексными.
Решения, соответствующие каждому из этих корней, опреде-
определяются вещественной (или мнимой) частью функции /. По свой-
свойству функций Лежандра они разрывны при Ь = 0 или Ф = л —
решение задачи содержит линию особенностей на отрезке
Ro<R<Ru * = 0 (или я).
Задавая s целочисленные значения s = «^>2, получаем не-
непрерывные во всем объеме решения; определяемые по таким s
из уравнения D.1.9) значения параметра v при всех Ro/R\ рас-
расположены вне допустимого интервала.
4.2. Интегральные уравнения первой краевой задачи. Реше-
Решение представляется в форме второго потенциала теории упруго-
упругости C.6.6) с неизвестным вектором плотности Ь(М0):
v{Q) = u (Q) - и4 (О) = ^Ъ (Мо) ¦ Ф (Мо, Q) dom = В (Q). D.2.1)
о
Через «*(Q) обозначено частное решение, соответствующее дей-
действию массовых сил, находимое, например, формулой C.7.8);
поэтому вектор v(Q), определяемый по D.2.1), будет решением
однородных уравнений теории упругости в перемещениях как
при Q a Vi, так и при Q cz Ve. Значение v(Q0) этого вектора на
поверхности О задано.
Сославшись на( 3.6.12), C.6.13), записываем равенства
= v (Qo) = Bt (Qo) = Bo (Qo) ~\b (Qo), D.2.2)
D.2.3)
где Bo(Qo)—прямое значение потенциала B(Q). Приходим к
следующим интегральным уравнениям первой внутренней A!)
и первой внешней AС>) краевых задач:
I(" j Ь (Qo) -\\b (Мо) ¦ Ф (Мо, Qo) doMa =-v (Qo), D.2.4)
о
I(e> jb(Q0) + \j b(M0) ¦ Ф (Mo, Qo) doA1, = v(Q0). D.2.5)
о
186 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
Замечания. 1. Заданию в случае 1<*> вектора перемеще-
перемещения v(Q0) в форме перемещения твердого тела
соответствует решение интегрального уравнения D.2.4):
=-{v0 + ®XrM,), D.2.7)
что сразу же следует из C.7.10) при 6(Q) = l/2. Действительно,
представив D.2.7) в виде
имеем
J J Ь(Af0) • Ф (Mv Qo) dom -^(*0 + « х rj, D.2.8)
о
и сказанное следует из подстановки выражений D.2.7), D.2.8)
в D.2.4). Вместе с тем по D.2.1) и при 6(Q)= 1 находим, как
следует ожидать,
v (Q) = - J J (v0 + со X гМо) • Ф {Мй, Q) doMo = vo + (nXrQ D.2.9)
о
— при задании твердого перемещения поверхности О весь объ-
объем V,- перемещается как твердое тело, напряженное состояние
отсутствует. Это решение по теореме Кирхгоффа — единственное.
2. Из приведенного вычисления следует, что вектор
= v0 + e>XrMt, D.2.10)
где гH, (о — произвольные постоянные векторы, является реше-
решением однородного интегрального уравнения
0. D.2.11)
Отсюда следует, что вектор плотности Ь(М0) в задаче ?е> может
быть определен лишь с точностью до слагаемого D.2.10).
3. Вектор перемещения D.2.1) в случае внешней задачи, со-
согласно C.8.3), убывает на бесконечности не медленнее, чем ^~2.
Такое решение может быть получено, если равен нулю главный
вектор сил, которые должны быть распределены по О, чтобы
сообщить точкам этой поверхности, заданное вектором v(QQ).
Поэтому решение первой внешней краевой задачи в форме вто-
второго потенциала C.6.6) не существует при произвольном зада-
задании вектора v(Q0).
Аналогичное явление известно в электростатике. Решение
внешней задачи Дирихле, к которой сводится разыскание поля
§ 4] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИИ 187
электрического потенциала v(Q) в Ve, исчезающего на беско-
бесконечности, по заданному его распределению v(M0) на проводя-
проводящей поверхности О, может быть представлено потенциалом
двойного слоя только при условии, что полный заряд на О ра-
равен нулю. Поэтому задачу решают, налагая на потенциал двой-
двойного слоя решение так называемой задачи Робена. В ней по-
потенциал на О постоянен, а его значение в Ve представляется
потенциалом простого слоя. Понятно, что и решение первой
краевой внешней задачи теории упругости приводит к аналогич-
аналогичной «эластостатической задаче Робена».
4.3. Интегральные уравнения второй краевой задачи. Реше-
Решение однородных уравнений теории упругости в перемещениях
разыскивается в форме первого потенциала C.6.1)
v (Q) = uQ - и. (Q) = I а (М„) • U (Ma, Q) doMo = A(Q) D.3.1)
о
с неизвестным вектором плотности а{М0). Вычисляемый, как
указано в п. 3.5, по вектору v(Q), тензор напряжений равен
J
D.3.2)
Здесь, как и ранее,
R = rMl-rQ, D.3.3)
а отличие в знаке от C.5.12) объясняется тем, что при переходе
от D.3.1) к формуле D.3.2) дифференцирования проводились
по координатам точки Q. Законность дифференцирований под
знаком интеграла в D.3.1) не вызывает сомнения, поскольку
точка Q не расположена на О, так что R ф 0.
Вектор напряжения на площадке с нормалью nQ опреде-
определяется равенством
nQ-f(Q)=\J4 (Mo, Q) ¦ a (Mo) doMc, D.3.4)
причем, как следует из D.3.2), несимметричный тензор второго
ранга Ф(Л10, Q) равен
~(RnQ-nQR) + nQ-R
D.3.5)
188 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
Этот тензор существенно отличается от Ф(М0, Q) тем, что в его
определение входит нормаль к площадке в точке Q, а не Мо.
Вместе с тем по C.5.12) сумма
Ф (Мо, Q) + Ф (М01 Q) = -щ^у { 2~%^ (nQ - nMt) ¦ RE +
+ -Ц^ [R К - пли) - (nQ - ял1о) R] + (nQ - пм.) • i?VV± } D.3.6)
представляет ядро потенциала со слабой особенностью (ви-
(вида /?-')
С (Q) = J J [Ф (Мо, Q) + Ф (Мо, Q)] • а (Мо) doiWol
предельные значения которого извне и изнутри равны друг дру-
другу и равны его прямому значению (подобно случаю первого по-
потенциала)
lim C(Q) = Ct(Q)= Hm С (Q) = Се (Q) = С0 (Qo).
Поэтому
lim f f Ф(М0, Q)-e(
= J J [* (Mo, Qo) + Ф (Mo, Qo)] • a (Mo) doM, -
о'
- lim f f Ф(М0, Q)-a(M()dohU.
Но, подобно D.2.2).
lim [ [ Ф(М0, Q)-a(M0)a?OjVb =
= f f Ф(Mo, Qo) • a(MQ) doMn -\a(Qo),
Vt=>Q->Q0 ~0
так что
lim
j* J Ф (Mo, Qo) • а (Мо) doMo + у а (Qo) D.3.7)
'о
§ 4] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИИ 189
и аналогично
lim
" (Mo, Qo) • a. (Mo)doAh -~a(Qa). D.3.8)
i'e=>«-»«0 о
о
Сравнивая еще D.3.5) с C.5.12) и учитывая, что rQ — rM = —R,
имеем
Ф (Мо, Qo) = Ф (Qo, Mo). D.3.9)
Поэтому, введя в рассмотрение заданные на О распределения
поверхностных сил
lim no-f = (no-f)i = F(Q0), lim (nQ • f)e = f(Q0), D.3.10)
где в обоих случаях «g — единичный вектор нормали, внешней
к Vu и сославшись на D.3.4), D.3.7), D.3.8), D.3.9), приходим
к интегральным уравнениям второй внутренней (IIW) и второй
внешней (№') краевых задач:
II») | a (Qo) + Ф (Qo, Mo) • a (MQ) doMl = F (Qo), D.3.11)
H(e) | a (Qo) - J J Ф (Q.,, Mo) • a (Mo) doM, = - f (Qo). D.3.12)
'o
Заметим, что во второй формуле D.3.10) определение поверх-
поверхностной силы отличается знаком от ее обычного задания как
произведения внешней к Ve нормали на тензор напряжения.
Замечание. Сославшись на C.5.9), можно представле-
представление вектора перемещения D.3.1) в виде первого потенциала за-
записать еще так:
• (« " *5Г [Я Т^ <*"- + TaW Р-« Я
[о о
[
[о
D.3.13)
или, после замены R его значением rMn — rQ,
L О
D.з.14)
190
СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IV
Это решение в форме Папковича — Нейбера A.4.10), когда за
гармонические вектор и скаляр приняты потенциалы
1 Г Г а (Мо) 1
- - -doMr], BQ=
R
16лцA
Г tr{M0)-a(M0) ,
~) J J R й°м"
D.3.15)
4.4. Сопоставление интегральных уравнений первой и второй
краевых задач. Полученные в пп. 4.2 и 4.3 интегральные урав-
уравнения перепишем в такой последовательности:
~b(Q0)-
b{M0)-O(M0,Q0)doM>=-v(Q0),
E)(Qo, M0)-a(M0)doMt=~F(Q0),
I(fi) 16 (Qo) + J J b (Mo) • Ф (Mo, Qo) rfo^ = v (Qo),
о
1 a(Q0) + f Г Ф (Qo, Mo) • a (Mo) с?ож, = F (Qo).
D.4.1)
D.4.2)
Выше указывалось, что поверхностные интегралы понимаются
в смысле их главных значений, поэтому уравнения сингулярны.
Применимость к ним основных теорем и альтернатив Фредгольма
может быть доказана при значениях постоянных ц, v, для ко-
которых удельная потенциальная энергия деформации положи-
положительна [см. C.3.5), C.3.6) гл. III].
Интегральные уравнения, составляющие систему D.4.1),—
союзные уравнения; то же относится к паре уравнений D.4.2).
Соответствующие им системы однородных уравнений можно за-
записать в виде
T(t) T(e)
io , lo
TT(e)
Ho .
о
Ь°(М0)-Ф(М0, QQ)doM. = 0,
a" (Qo) -X \\ Ф(Qo, Мо) • a0(Mo)doM. = 0,
D.4.3)
причем X == 1 для задач W, Пое) и X = — 1 для 1Г, Щ'. Изве-
Известно, что собственные числа союзных однородных интегральных
уравнений одинаковы, так что эти уравнения или одновременно
(при одном и том же л) имеют только тривиальное (нулевое)
решение, или одновременно обладают собственными решениями,
отличными от тривиальных. Согласно альтернативе Фредгольма
известно, что в первом случае соответствующее неоднородное
уравнение имеет единственное решение, тогда как во втором оно
§ 4J ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИИ J91
не имеет решения при произвольной правой части, а при нало-
наложении на последнюю некоторых условий — решение не единст-
единственное.
Ниже доказывается, что К = 1 не является собственным чис-
числом системы союзных уравнений D.4.3). Поэтому первая внут-
внутренняя 1<г> и вторая внешняя П(е) задачи имеют единственное
решение при произвольных заданиях их правых частей.
Наоборот, при X = —1 однородное уравнение 1о имеет от-
отличное от нуля семейство решений D.2.10), зависящее от двух
произвольных постоянных векторов (от шести постоянных).Зна-
постоянных).Значит, и однородное уравнение По1) имеет также зависящее от ше-
шести постоянных семейство нетривиальных решений; поэтому за-
задачи IIW и ?е\ вообще говоря, решений не имеют. Это легко
понять, поскольку в задаче Ц(*> свободный член F(Q0), опреде-
определяющий распределение поверхностных сил, должен удовлетво-
удовлетворять уравнениям статики и при этом вектор перемещения опре-
определен с точностью до перемещения твердого тела. В задаче же
№ ¦—в самой ее постановке — накладывалось существенное ог-
ограничение на задание вектора v(Q0), на что обращалось внима-
внимание в замечании 3 п. 4.2.
Ниже группы задач D.4.1), D.4.2) более подробно рассмат-
рассматриваются по отдельности.
4.5. Теорема существования решения второй внешней и пер-
первой внутренней задачи. Пусть однородное интегральное урав-
уравнение
\ a (Qo) - J J Ф (Qo, Мо) • а (Мо) doMa = 0 D.5.1)
о
имеет нетривиальное решение a°(Q0). Тогда вектор перемеще-
перемещения v(Q), определяемый по D.3.1) первым потенциалом
° (Мо) • б (Мо, Q) doMo, D.5.2)
удовлетворяет однородным уравнениям теории упругости в пе-
перемещениях и убывает на бесконечности не медленнее, чем R~l,
а вычисляемые по нему поверхностные силы по D.4.1) и D.5.1)
исчезают на О и имеют порядок R~2 на поверхности Q сферы
достаточно большого радиуса R. Удвоенная потенциальная энер-
энергия деформации в таком напряженном состоянии, определяе-
определяемая формулой Клапейрона C.3.3) гл. III, равна
J J J f--edx= j j v -Fdo+ J J v-F do~
ve а о
- R2 J | v • F do* + J | v ¦ F do.
192 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ (ГЛ. IV
Здесь do*— элемент поверхности сферы Q* единичного радиуса,
а подынтегральная функция убывает не медленнее, чем R~3, так
что
' J J Т.. ё dx = J j' v ¦ F do = 0,
и вследствие положительной знакоопределенности удельной по-
потенциальной энергии деформации ё = 0. Поэтому v(Q) может
быть только перемещением среды как твердого тела, но оно
отсутствует на бесконечности, и поэтому
= A(Q,a°) = 0, QczVe. D.5.3)
Остается убедиться, что это равенство противоречит предпо-
предположению а0 Ф 0. Для этого отметим, что вследствие непрерыв-
непрерывности первого потенциала из D.5.3) следует
Ae(Q0) = Ai{Qo) = v{Q0) = 0, D.5.4)
и, еще раз обратившись к формуле Клапейрона, имеем
f--edx=jjv{Q0)-FdoMt = 0,
vt о
так что е = 0 и по D.5.4)
v{Q) = 0, QczVt. D.5.5)
Поверхностные силы, вычисляемые по равному нулю вектору
перемещения, конечно, отсутствуют, и по D.3.10) — D.3.12) те-
теперь получаем
(nQ •T)i — (nQ • Т)е = а°( Qo) = 0, D.5.6)
что и требовалось. Итак, интегральное уравнение Пое), значит
и союзное с ним уравнение ^о\ допускает только тривиальное
решение; X = 1 не является собственным числом этих уравнений.
Этим доказано существование и единственность решения задач
1(г), Ц(е) при произвольных заданиях на О вектора перемеще-
перемещения v(Q0) в первой из этих задач и поверхностных сил F(Q0) —
во второй.
4.6. Вторая внутренняя краевая задача (П(;>). Однородное
интегральное уравнение, соответствующее этой задаче,
lid0 yfl°(Q0) + J/ O(Q0, M0)-a°(Mо) doMn = 0 D.6.1)
о
является союзным с D.2.11):
If)e) | Ь° (Qo) + ' f b° (Mo) • Ф (AfOl Qo) doAU = 0. D.6.2)
§ 4] ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ 193
Но последнее имеет нетривиальное решение D.2.10), значит, не-
нетривиальным решением обладает и первое. Обратившись теперь
к неоднородному интегральному уравнению D.4.2) задачи П<*>,
имеем
J j Ь° (Qo) • F (Qo) doQa = ~ 11 6° (Qo) • a (Qo) doQo +
о о
+ / f doMa [ / / b°(Qo) • Ф(Qo, M0)do J ¦ a(Af0).
Ho no D.6.2) внутренний интеграл равен — уб0^0), так что
- j\ b°(M0) • o(M0)rfo
О
Здесь доказана одна из теорем Фредгольма, выражающая, что
задача П<*> может иметь решение, если заданное распределение
поверхностных сил F(Q0) ортогонально семейству собственных
решений союзного интегрального уравнения D.6.2):
0 D.6.3)
о
или, если заменить вектор b°(Q0) его значением,
и вследствие произвола в выборе векторов «о, ю приходим к
ожидаемым условиям статики, выражающим требования обра-
обращения в нуль главного вектора и главного момента поверхност-
поверхностных сил в задаче №*>:
V = | J F (Qo) doQa = 0, m° = J" J r (Qo) X F (Qo) doQ} = 0. D.6.4)
о о
При соблюдении этих условий вектор перемещения v(Q) опреде-
определен с точностью до слагаемого перемещения твердого тела,
являющегося, в соответствии с одной из теорем Фредгольма,
собственным решением союзного уравнения D.6.2).
4.7. Эластостатическая задача Робена. Нетривиальное соб-
собственное решение a°(Qo) задачи Но" примем за плотность
первого потенциала, решающего задачу №>. Распределение
13 А. И, Лурье
194 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
поверхностных сил на О, соответствующее так заданной плотно-
плотности, по D.4.1), D.6.1) и D.3.10) будет
Q j)-^ J Ф(<Э„, M0)-u°{M0)doM, =
о
D.7.1)
Этим дается истолкование механического значения собственного
решения второй внутренней задачи.
Первый потенциал теории упругости, образуемый по плот-
плотности а°{М0), обозначим
w (Q) = IJ а0 (Мо) ¦ 0 (Мо, Q) иол,.. D.7.2)
о
Эта непрерывная во всем пространстве функция определяет век-
вектор перемещения
( w, (Q), Q c= Vt,
w(Q)=\ w(Q0), QcO, D.7.3)
1 we (Q), Q с Ve.
Вычисляемые по D.3,11) поверхностные силы на О, соответ-
соответствующие вектору перемещения w{(Q) задачи 1И!'), оказываются
равными нулю:
Ф (Qo, M0)-a0(M0)do,M- = lnQ,-f(a;i)]0 = 0> D.7.4)
что следует из определения D.6.1) плотности a°(Q0). Но пере-
перемещение ii>i(Q) во второй внутренней задаче при отсутствии по-
поверхностных сил может быть только перемещением твердого
тела %
и0 + &Хгд D.7.5)
и по непрерывности потенциала простого слоя D.7.2)
v>i (Qo) = «о + о) X rQa = и;е (Qo). D.7.6)
Представим себе твердое тело, впаянное в полость V, неогра-
неограниченной упругой среды. Сообщим ему перемещение, определяе-
определяемое вектором D.7.5). Это создает в Vr иоле перемещений we(Q),
задаваемое первым потенциалом D.7.2), причем взятое со зна-
знаком минус собственное решение —a°{Q) задачи По0 определяет
распределение по поверхности смещенного твердого тела реак-
реакций среды на него (напомним, что nQ в D.7.1) — единичный век-
вектор нормали, направленной внутрь Ve).
Эта задача о напряженном состоянии упругой среды, возни-
возникающем при сообщении перемещения впаянному в нее твердому
§ 41
ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ
195
телу, представляет аналог задачи Робена электростатики. По-
Постоянству потенциала на проводящей поверхности и внутри нее
соответствует твердое перемещение объема Vu а отсутствию
поля электрического напряжения — отсутствие напряженного
состояния в Vj-объеме. Задача Робена сводится к разысканию
распределения заряда на проводнике О из однородного инте-
интегрального уравнения для плотности потенциала простого слоя;
этому соответствует сведение эластостатической задачи Робена
к разысканию собственного вектора a°(Q0) задачи По*. Суще-
Существование решения эластостатической задачи Робена гаранти-
гарантируется наличием нетривиального собственного решения инте-
интегрального уравнения По".
Главный вектор и главный момент системы сил, которые
надо приложить к впаянному в среду твердому телу, чтобы со-
сообщить ему перемещение D.7.5), определяются из уравнений
статики
V = J1 a°(Q0) doQn, mc= jjr(QQ)Xa° (Qo) doQn. D.7.7)
Назовем через
к k + 3
a, a (k = l, 2, 3) D.7.8)
распределения поверхностных сил по О, вызываемые приложе-
k
нием к твердому телу единичной силы V == ih с линией действия
по оси Cxk и соответственно единичного момента т = 4 относи-
относительно этой оси. Тогда по D.7.7)
г гk
J J a
Jr — '
3. • ^ = 0,
r(Q0) Xo.
k + 3
¦(Qo)X о (
ir = 0,
D.7.9)
так как линией действия равнодействующей сил а является
k + г
ось Cxh, а распределения сил а статически эквивалентны
парам.
Через
k fe+3
u = ik, u=ikXr(Q0) D.7.10)
назовем систему собственных решений интегрального уравнения
Icf. Очевидно, что любое перемещение впаянного в V; твердого
13*
196 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
тела является линейной комбинацией этих элементарных пере-
перемещений. Формулы D.7.9) теперь переписываются в виде
г=1, 2 6). D.7.11)
Этим определяется система распределений поверхностных сил —
собственных решений интегрального уравнения По", ортонорми-
рованных с системой D.7.10) собственных решений задачи I (ое)
[см. D.2.11)].
4.8. Первая внешняя краевая задача A(е)). Интегральное
уравнение D.4.2) этой задачи по упомянутой в п. 4.6 теореме
Фредгольма имеет решение лишь при условии ортогональности
его свободного члена любому собственному решению a°(Q0)
задачи По':
= 0. D.8.1)
Это условие, как уже говорилось в замечании 3 п. 4.2, вызвано
не существом задачи, а принятым представлением v(Q) в форме
второго потенциала теории упругости. При таком представлении
этот вектор на достаточно большом удалении от О убывает, со-
согласно C.8.3), не медленнее, чем R~2, тогда как следует потре-
потребовать его убывания не более медленного, чем R~l.
Введем вместо заданного распределения v(Q0) на О вспомо-
вспомогательный вектор
6 г
г
где и — элементарная система собственных решений D.7.10) ин-
интегрального уравнения \q .
Условие D.8.1) будет удовлетворено при любом собственном
векторе a°(Qo), если потребовать его выполнения с каждым из
векторов D.7.8). Сославшись на D.7.11), имеем
J v* (Qo) • a (Qo) doQt =\\v (Qo) • a (Qo) doQ, - Dk = 0. D.8.3)
о
Этим определены коэффициенты Dr, и, приняв теперь,
з
«о = ^ h \ | v (Qo) • а (Qo) doQtl,
D.8.4)
з
k=i
Иv
k + 3
а (
§ 5] НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ДВУСВЯЗНОМ ОБЪЕМЕ 197
представим D.8.2) в виде
f*(Qo) = »(Qo) — («o + 6)XrQ). D.8.5)
Разыскивая теперь решение v*(Q) в форме D.2.1) второго по-
потенциала теории упругости, придем, вместо D.2.5), к интеграль-
интегральному уравнению
у Ь (Qo) + ^Ь (Л*о) • Ф Шо, Qo) doM, = v (Qo), D.8.6)
о
имеющему решение, поскольку соблюдено условие ортогональ-
ортогональности D.8.3) его свободного члена собственному вектору за-
задачи Но' .
Остается построить в Ve первый потенциал we(Q), решающий
эластостатическую задачу Робена, соответствующую заданию
на О вектора перемещения
w, (Qo) = «о+ «»Х »¦<?,. D.8.7)
Решение первой внешней краевой задачи теперь представляется
в виде
v(Q) = v*(Q) + we(Q). D.8.8)
Действительно, это решение удовлетворяет в Ve однородным
уравнениям теории упругости (им удовлетворяет каждый из
потенциалов)., а на О по D.8.5) и D.8.7)
v (Qo) = v (Qo) - («о + « X rQo) + (и0 + (о X rQo) = v (Qo),
что и требуется. Единственность решения гарантируется теоре-
теоремой Кирхгоффа.
§ 5. Напряженное состояние в двусвязном объеме
5.1. Обзор содержания. В дальнейшем предполагается, что
компоненты тензора деформации е представляют однозначные
непрерывные функции координат, имеющие непрерывные част-
частные производные первого и второго порядка и удовлетворяющие
условию сплошности B.1.5) гл. II. Условимся называть такую
деформацию правильной.
При правильной деформации упругой среды в односвязном
объеме вычисляемые по тензору деформации вектор перемеще-
перемещения и и линейный вектор поворота « также однозначны и не-
непрерывны. Согласно теореме единственности (п. 4.1) Кирхгоффа
состояние этого объема при отсутствии внешних сил является
натуральным. Этого нельзя сказать в случае двусвязного объема
(тор, полый цилиндр); в нем может существовать напряженное
состояние при правильной деформации и при отсутствии рнеш-
]98 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
них сил, Сообщение напряженного состояния двусвязному упру-
упругому телу, ранее находившемуся в натуральном состоянии, мо-
можно мыслить осуществленным путем создания дисторсии Воль-
терра (п. 2.4 гл. II). Двумя конгруэнтными разрезами из тела
удаляется тонкий слой материала, и концы образовавшегося
односвязного объема спаиваются по конгруэнтным поверхно-
поверхностям— по «барьеру». Характеристиками дисторсии являются
два циклических постоянных вектора с, Ь, называемые ниже по-
поступательным и поворотным векторами дисторсии; ими опреде-
определяются поступательное перемещение и поворот, которые должны
быть сообщены одному из концов после разрезания, чтобы со-
совместить его с другим конгруэнтным
концом.
Заданием внешних сил, действую-
действующих на упругое тело в односвязном
объеме, определяется напряженное со-
состояние в нем и однозначный непре-
непрерывный вектор перемещения; в дву-
связном объеме определение напря-
напряженного состояния по внешним силам
возможно, лишь если наперед из-
Рис. 15. вестно, что векторы дисторсии равны
нулю.
Разрывы вектора поворота со и вектора перемещения и на
барьере определяются по формулам Вейнгартена через векторы
дисторсии с и Ь; компоненты их Вольтерра назвал постоянными
барьера. Для двусвязного тела формулировка теоремы Кирх-
гоффа должна быть дополнена требованием задания шести по-
постоянных барьера: если упругая среда заполняет двусвязный
объем и ее деформация правильная, напряженное состояние в
ней определяется заданием не только внешнцх сил, но и шести
постоянных барьера. Это доказывается в п. 5.2 построением
напряженного состояния в ненагруженном теле по заданию век-
векторов с, Ь. Измененная формулировка теоремы взаимности в дву-
связном теле дается в п. 5.3, а в пп. 5.4 и 5.5 приводится выра-
выражение потенциальной энергии деформации, определяемой нали-
наличием дисторсии. Краевая задача теории дисторсии сформулиро-
сформулирована в п. 5.6. Примеры, относящиеся к задачам дисторсии в
полом цилиндре, рассматриваются ниже, в п. 7.3 и гл. V.
5.2. Определение напряженного состояния по постоянным
барьера. Из упругого тела в двусвязном объеме Vt выделяется
объем Vi , ограниченный поверхностью 5, часть которой а пред-
представляет барьер, делающий Vt односвязным объемом. Поверх-
Поверхность объема Vj обозначается О, объем вне О — через Ve, а вне
S —через Vl = Ve + Vi~V] (рис 15).
§ 5] НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ДВУСВЯЗНОМ ОБЪЕМЕ 199
Пусть с, Ь — заданные постоянные барьера. Сославшись на
формулы C.7.9) и C.7.10), имеем
6 (Q) (с + Ь X rQ) = - J J (с + Ь X rMs) ¦ Ф (Ms, Q) doMs, E.2.1)
s
причем 6(Q)= 1 при QczV] и 6(Q) = 0 при QaVe, так что
левая сторона этого равенства может быть представлена в фор-
форме разности значений вектора перемещения
v (Q) = т «' v E.2.2)
при переходе через барьер. Тензор деформации e(vQ), вычисляе-
вычисляемый по этому вектору, равен нулю повсюду:
е (v (Q)) = 0 (Q cz V], Q с S, Q с Vl). E.2.3)
Итак,
w (Q) = - J J (с + 6 X rMs) ¦ Ф (М5, Q) doMs. E.2.4)
s
Интеграл справа представим в виде суммы двух интегралов:
и (Q) = - J J (с + Ь X rM(J) ¦ Ф (Ms, Q) doMa, E.2.5)
и' (Q) = - J J (с + 6 X r*s) • Ф (Мв, Q) doMs. E.2.6)
S-a
Вектор и'(Q) сохраняет непрерывность при переходе через а,
a u(Q) — через поверхность S — a; то же можно сказать о вы-
вычисляемых по и' и и тензорах деформации e(«'(Q)), e(«(Q)).
Вместе с тем по E.2.3)
Но тензор e(«'(Q)) остается непрерывным при переходе через а,
значит, на а непрерывен и тензор e(«(Q)), а вследствие непре-
непрерывности на а вектора и'(Q) вектор
= v(Q)-u'(Q)
остается непрерывным повсюду, исключая барьер о, на кото-
котором он испытывает тот же разрыв непрерывности, что и v(Q),
так что по E.2.4)
~H-(Q0) = c + 6XrCa. E.2.7)
Здесь в согласии с B.4.6) гл. II индексами « + » и «—» обозна-
обозначены значения и «под» и «над» барьером (рис. 9).
200 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
Вектор u(Q), представимый по E.2.5) в виде
(Ма, Q)doMg-
а
- Ъ ¦ J | гма X Ф (Ма, Q) doMa, E.2.8)
о
является вектором перемещения точек упругой среды, удовле-
удовлетворяющим однородным уравнениям теории упругости в пере-
перемещениях. Вычисляемые по нему тензоры деформации e(u(Q))
и напряжений T(u(Q)) повсюду непрерывны; оставаясь непре-
непрерывным всюду, кроме барьера о, этот вектор на барьере испы-
испытывает разрыв непрерывности требуемого вида E.2.7).
По тензору T(u(Q)) определяется распределение поверхно-
поверхностных сил n-T(u(Q)) на поверхности двусвязного объема О;
эта система сил статически эквивалентна нулю, так как опреде-
определяемое по вектору u(Q) напряженное состояние является равно-
равновесным.
Определим теперь в объеме У, напряженное состояние Т*,
создаваемое поверхностными силами — n-T{u(Q)) при отсут-
отсутствии дисторсии. Такое напряженное состояние по теореме п. 4.6
существует и определяется единственным образом, так как иско-
искомый в нем вектор перемещения «* непрерывен и однозначен, а
система поверхностных сил—n-T(u(Q)) статически эквива-
эквивалентна нулю. Наложение напряженных состояний T(u(Q)) и Г*
представляет напряженное состояние в двусвязном объеме, опре-
определяемое только дисторсией, так как внешние силы в нем отсут-
отсутствуют.
5.3. Теорема взаимности. Применим формулу Клапейрона
C.3.3) гл. III к односвязному упругому 'телу, получающемуся
из двусвязного с помощью барьера
2а= j j j pK-udx+ j j F-udo +
V 0
+ J J n+ • f + • u+ do + | J n- ¦ f~ ¦ u- do, E.3.1)
o+ o-
где n+ = — n~ — единичные векторы нормали к барьеру, напра-
направленные вовне рассеченного барьером тела; на барьере f+ =
= ?-=?. Сославшись на E.2.7) и считая, что внешние силы
отсутствуют, получим
2а = [ j п+ • f •{c + bXr)do = Q-c + m°-b. E.3.2)
§ 5] НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ДВУСВЯЗНОМ ОБЪЕМЕ 201
Здесь через Q и т° обозначены главный вектор и главный мо-
момент относительно выбранного начала координат создаваемых
дисторсией напряжений в выбранном барьере:
Q= J J n+ -fdo, m°= J J rX(n+ -f)do. E.3.3)
a a
Рассматривая два состояния упругого двусвязного объема —
первое, создаваемое действием массовых и поверхностных сил
рК', F' и при наличии дисторсий с', Ъ', и второе, в котором эти
величины обозначены рК", F", с", Ъ", по теореме взаимности
имеем
J J J p/C • u"dx+ \\F' - и"do + Q' - с" + тР'- Ь" =
V О
= 111 p/T • «' dt + 11 F" -ufdo + Q" • c' + mP". 6'. E.3.4)
у о
В частности, когда в первом отсутствуют внешние силы, а во
втором — дисторсия, приходим к соотношению (Колонетти, 1912)
J J J pK"-u'dx+j J F" • m' do + Q" ¦ c' + m°" ¦ V = 0. E.3.5)
V 0
При отсутствии внешних сил в обоих состояних
Q' ¦ с" + т0' • Ь" = Q" ¦ с' + т°". 6'. E.3.6)
В частности, считая первым состоянием поступательную дистор-
сию с, а вторым — поворотную Ъ, имеем с'— с, Ъ'= 0, с" = 0,
*" = Ь по E.3.6)
6 • то = с • Q, E.3.7)
где Q, т° — главный вектор и главный момент напряжений,
создаваемых соответственно поворотной F) и поступательной
дисторсией (с).
5.4. Потенциальная энергия дисторсий. В линейно-упругом
теле главный вектор Q и главный момент т° напряжений на
барьере, создаваемых дисторсией, представляют линейные век-
векторные функции определяющих дисторсию векторов с, Ъ:
Q=Cc + М-Ь, m° = N-c + В-Ъ. E.4.1)
Здесь С, М, N, В — тензоры второго ранга; слагаемые М-b и
N-c, очевидно, представляют векторы, обозначенные в E.3.7)
соответственно Q* и /п°; поэтому
с-М-Ь = b-N-c, E.4.2)
так что тензор N транспонирован с М:
N = М*. E.4.3)
202 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
Выражение потенциальной энергии дисторсии E.3.2) теперь за-
записывается в виде
а = 1 (с . с ¦ с + 1с ¦ М ¦ Ь + Ь ¦ В ¦ Ь). E.4.4)
В общем случае оно содержит 21 постоянную, так как тензоры
С , В, входящие в E.4.1) симметричны, что также легко следует
из теоремы взаимности. Действительно, рассматривая два со-
состояния, например, поступательной дисторсии на одном и том
же барьере, имеем
c' = Ci*i. *' = 0, Q=C -с' = схС •*!,
с" = c2h, Ь" - 0, Q" = C ¦ с" = с2С ¦ i2
и по E.3.6)
i{ ¦ С • i2 = i2 • С ¦ г'|.
что и требуется. Заметим, что величина потенциальной энергии
дисторсни зависит, вообще говоря, от выбора барьера — места
осуществления дисторсии.
5.5. Случай тела вращения. За ось вращения принимается
ось Охъ, барьером служит плоская область 0 пересечения тела
меридиональной полуплоскостью; через 0о назовем барьер, обра-
образуемый плоскостью ОхзА'1. В рассмотрение вводится триэдр еди-
единичных векторов цилиндрической системы координат ег, еф, k
(см. п. III. 7). Вследствие симметрии напряженное состояние, со-
создаваемое на барьере со дисторсией с0, 6°, такое же, как созда-
создаваемое на барьере дисторсией с векторами с, Ь, ориентирован-
ориентированными в осях er, efr, k так же, как с0, 6° — в осях e°r, e\y k. По-
Поэтому, введя в рассмотрение тензоры поворота [см. A.8.1)]
А = е\ег + <реф + kk, А* = ere\ +\e» + kk, E.5.1)
имеем
с = Д*. со = с0 • А, Ь = Л* ¦ 6° = 6° • А. E.5.2)
Эти значения с0, Ь° внесем в выражение потенциальной энергии
дисторсии, также, конечно, сохраняющей свою величину в двух
рассматриваемых состояниях дисторсии. По E.4.4) имеем
2а = с°-С0-с°+2с0- М°-60+60-В0-6° = с-С-
= с0 • А ¦ С • А" ¦ с0 + 2с° ¦ А ¦ М • А* • 6° + 6° • А- В ¦ А* • 6°, E.5.3)
так что
С°=А-С-А\ М°=А-М-А\ В° = А-В-А\ E.5.4)
§ 5] НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ДВУСВЯЗНОМ ОБЪЕМЕ 20,3
Тензоры С, М, В постоянные (не зависят от положения барьера,
то есть от угла ф), что следует из второго выражения потенци-
потенциальной энергии E.5.3).
По E.5.1) и (III. 7.3) имеем
dA п n dA* n п
pvp р\) р a pU U
и, чтобы не повторять одного и того же вычисления, вычислим
производную по ф от тензора А-Р-А*, где Р — постоянный тен-
тензор второго ранга:
±А.Р.А' = {е% - е%ег) • Р ¦ # + А- Р ¦ (erf - erf) =
= (« - е^У) (Р21 + Р12) + [frf + еуч) (Р22 - Рп) + e\kP,n +
+ *^з2-<*Лз-КРзг
Условия обращения в нуль этого тензора поэтому записываются
в виде
Рц = Pi2, ?*21 = —?*12, РЪ — Р$2 ~ Р\3 = Pi\ — 0,
так что
Р = Pn{eTer + elfe,r,)+ P33kk + Pi2(ereff — e,(er),
а если тензор Р симметричен, Р = P\ то и Р12 = 0. Итак,
С = М„ (erer + вфв,) + С33**, S = В„ (егег + ефеф) + B33kk,
, E.5.5)
= Ми {егег + е^) + M33kk + Ml2 (ere(f - ефег)
и выражение потенциальной энергии дисторсий E.4.4) на этом
этапе представляется в виде
2а = С„ (с\ + cl) + С33с23 + 2МИ (ft,c, + 62с2) + 2М,2 (с,62 - c2b,) +
+ 2МззС3йз + Ян (й? + йг) + Вззйз, E.5.6)
но возможно его дальнейшее упрощение, основанное на сохра-
сохранении симметрии при поворотной дисторсий Ьъ и поступатель-
поступательной с2.
Пусть отличны от нуля только &з, с3. Тогда по E.5.6)
2а = Сззсз + 2Мзз6зС3 + B33bl
и это выражение не должно менять величины при изменении
знака относительного поворота bs спаиваемых концов вокруг
оси симметрии; поэтому М3з = 0. Такое же рассуждение в при-
применении к случаю с2 ф 0, 62 Ф 0 дает Мп =0, так как и измене-
изменение знака поступательной дисторсий с2, перпендикулярной
204 СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. IV
барьеру, также не влияет на величину потенциальной энергии
дисторсий. Итак,
Мзз = 0, Ми = 0. E.5.7)
Пусть теперь только с2 ф 0. В напряженном состоянии, со-
создаваемом такой дисторсией, вследствие симметрии отсутствуют
касательные напряжения tx2 = tr(f, t23 = t4z, так что по E.3.3)
t22do = Q2er m° = J J (rer + x3k) X е^22 do =
о о
k П rt22 do — e(j x3t22 do = km\ — eTm\, E.5.8)
и вместе с тем, обращаясь к E.4.1), E.5.5) и E.5.6), имеем
Q = Cnc2ev=Q2e(f, т°=-М{2{е^ег-еге^) • с = — МХ2с2еп а = -^
E.5.9)
откуда следует, что СЬ^О, а момент т° имеет направление ег;
т\ = т\^ 0.
Перенесем центр моментов О в точку О* на оси Ох3; тогда
по E.5.8).
Х3 ~ Х3
=
и можно выбрать h так, чтобы обратить т°* в нуль:
Эту точку О* на оси х3 Вольтерра называет центральной; при
наличии в теле плоскости симметрии, перпендикулярной оси
вращения, центральной будет точка пересечения этой оси с пло-
плоскостью симметрии. Выбрав ее за центр моментов, имеем теперь
по E.5.8)
то, = _ м{2с2еТ = О, М12 = 0, E.5.10)
и по E.5.7) тензор М оказывается нулевым. Выражение E.5.6)
потенциальной энергии дисторсий приводится к виду
а = j [Си {с\ + сг) + Сззс\ + Ви [b] + bf) + B33bl]. E.5.11)
В него входит только четыре постоянных; вместе с тем по E.4.1)
главный вектор и главный момент относительно центральной
точки напряжений в меридиональном сечении тела оказываются
равными
О = С -с=Сп {с{ег + с2еф) + C33c3k,
§ 5] НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ДВУСВЯЗНОМ ОБЪЕМЕ 205
— в упругом двусвязном теле, обладающем симметрией враще-
вращения, каждой элементарной дисторсии сопоставляется ей соот-
соответствующее усилие при условии, что за центр моментов при-
принята центральная точка. Напряжения, создаваемые поступатель-
поступательной дисторсией, статически эквивалентны равнодействующей
с линией действия, проходящей через центральную точку, а со-
создаваемые поворотной дисторсией—паре сил.
5.6. Краевая задача для двусвязного тела вращения. Вектор,
задаваемый равенством
»¦ = -р-(е + Ъ X R) фU = arctg -7-, R = err + kx3 = isxs\, E.6.1)
обладает требуемой для вектора перемещения многозначностью,
а вычисляемая по нему деформация однозначна и непрерывна
в области, из которой исключена ось х5. Действительно, градиент
этого вектора и транспонированный с ним тензор равны
E.6.2)
и, далее,
def v, = ~ (ефс + сеф + еф6 X R + Ъ х Rev), E.6.3)
так как
ЬХЁ-ЁХЬ = еш (itis + isit) bk = 0. E.6.4)
Вектор z>« не удовлетворяет однородным уравнениям равнове-
равновесия в перемещениях; поэтому введя корректирующий вектор v,
однозначный и непрерывный в области, из которой исключена
ось Олг3, следует потребовать, чтобы вектор
u = vt + v E.6.5)
представлял частное решение этих уравнений. Непосредствен-
Непосредственным вычислением проверяется, что таким решением может слу-
служить вектор
X R)y + [k X c + (k X b) X R + Y(T^y hr]
E.6.6)
206
СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. IV
Тензор напряжении, вычисляемый по этому вектору, оказывает-
оказывается равным
ce(f + e((bX R + b X Re,e + erk X с + k X сег +
+ er (k X 6) X R + {k X b) X Rer] +
+ & lee (l + lnr)
+ 7"
'e' (l + lnr) + e/q) In r]}. E.6.7)
Краевая задача теории дисторсий Вольтерра сводится к ра-
разысканию из однородных уравнений равновесия вектора пере-
перемещения U по краевому условию на поверхности О двусвязного
объема
n-T{U) =
(и).
E.6.*
Громоздкость этих формул объясняется их общностью — рас-
рассмотрен общий случай дисторсий. Для поворотной дисторсий
вокруг оси симметрии, когда только 63 Ф 0, имеем
и==
¦2v
2(l-v)-rlnre')'
E.6.9)
причем возникают только нормальные напряжения
~ 23i
2-3v
-v)(l-2v)
3v — 4v2
l-v
2v
lnr),
\nr).
E.6.10)
2я 3\ A - v)(l -2v) ' 1 -v
Простые формулы получаются также для поступательной ди-
дисторсий с2:
и =
(X COS ф
еф cos ф) Ф — (er cos qp — е^ sin ф) In r]<
(х cos ф ц sin ф
E.6.11)
I
Решение этих задач для полого цилиндра приведено в п. 7.3
1л. V.
ЧАСТЬ III
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ГЛАВА V
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Неограниченная упругая среда
1.1. Силовые точечные особенности. Перемещение точки «на-
«наблюдения» М в неограниченной упругой среде под действием
сосредоточенной в «точке истока» Q силы Р определяется с по-
помощью тензора Кельвина — Сомильяна формулой C.5.9) гл. IV:
и(М, Q)= U(M, Q) Р. A.1.1)
Здесь
-^)Ё + ^1 R-rM-rQ, R = \rM-rQ\.
A.1.2)
Поместив точку приложения в близкую к Q точку Q':
r'Q=r0 + p, A.1.3)
и проводя вычисление с учетом слагаемых первой степени отно-
относительно р, имеем
При таком смещении точки истока тензор Кельвина — Со-
Сомильяна и вектор перемещения представляются в виде
и(М, Q') = u(M,Q) +
A.1.6)
208 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
В этих выражениях диада рР представляется ее разбиением на
симметричную и кососимметричную части, причем в первой из
них выделяются девиатор и шаровой тензор:
(рР + Рр) Q |(pPPp) A.1.7)
р = Dev р + { ?/,(р) = Devp + у р • Р?. A.1.8)
Теперь, учитывая также соотношения
Я ¦ Q • Я = 0, Я • рР • Я = Я • Dev р • Я + у Я2р ¦ Р,
Я • Q = 4 (J? • рР - R ¦ Рр) = у (р х Р) X Я = ^ mQ (P) X R,
где, как всегда т^(Р)—момент силы Р относительно точки Q,
можно представить формулу A.1.6) в виде
8ЯмГ; * [ + 2 A _32v) ^2 ЯЯ • Dev p • я] ¦ A.1.9)
Полагая р—>0, но Р->св так, что компоненты диады рР
сохраняют конечное значение, назовем величины р, mQ(P),
р • Р, локализуемые в результате предельного перехода в точ-
точке Q, соответственно силовым тензором, сосредоточенным мо-
моментом, интенсивностью центра расширения. Введение этих «си-
«силовых точечных особенностей» позволяет приписать самостоя-
самостоятельное истолкование отдельным слагаемым формулы A.1.9):
а) перемещение, вызванное действием силы Р в точке Q:
Ul(M,Q)=U(M,Q)-P; A.1.10)
б) перемещение от сосредоточенного в точке Q момента:
u2(M,Q) = -~rtn<i(P)xR; A.1.11)
в) перемещение от центра расширения в точке Q:
»з Ш, Q) - 24^-2! v) Р ¦ Р Jr = - J-{{2V_ v) P • Р V± ; A.1.12)
г) перемещение от силового тензора:
A.1.13)
Перемещения, создаваемые сосредоточенной силой, убывают
при удалении от точки истока, как Я, а от прочих точечных
особенностей, как R~2,
§ 1] НЕОГРАНИЧЕННАЯ УПРУГАЯ СРЕДА 209
1.2. Система сил, распределенных в малом объеме. Формулы
Лауричелла. Рассматривается действие на среду системы
сил Рь Р2, ..., Рп, приложенных в окрестности точки Q в точ-
точках Qb Q2, ..., Qn с вектор-радиусами р,, р2,..., р„, имеющими
начало в точке Q. Тогда перемещение точки М будет геометри-
геометрической суммой перемещений A.1.9), создаваемых каждой си-
силой по отдельности. Вводятся в рассмотрение: а) главный век-
вектор Р системы сил
б) ее главный момент относительно точки Q
т«=2/л<ЧР;), A-2.2)
в) тензор системы сил
п
i-^iQiPi + PiVi) A-2.3)
г) и его первый инвариант
п
Цр*-*/. (L2>4)
2=1 1=1
При непрерывном распределении сил по линии, поверхности,
объему эти суммы заменяются соответствующими интегралами.
Теперь вектор перемещения в точке М представляется в виде
и(М, Q)=U(M, Q).P + ^rmQXR + -^-^v) ^з /, (Р)
+ 8я, il'-v) *з [* • PevР + 2 A -I) ^ ^ • Pevр • /?]. A.2.5)
Рассмотрим случай силового диполя —так называется си-
система двух равных, противоположно направленных сил с общей
линией действия; направление этой прямой зададим единичным
вектором е, тогда
Р, = ~еР, Р2 = еР, р, = 0, р2 = ер,
причем произведение рР = о назовем интенсивностью диполя, а
тензор оее — дипольным моментом. В формулах A.2.J) — A-2.4)
теперь
Р = о, тЯ = 0, р = оее, /, (р) = a, Devр = (ее -1 f)а, A.2.6)
}4 А. И. Лурь?
210 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
и перемещение в точке М от диполя в точке Q по A.2.5) пред-
представляется в виде
Силовой тензор, определяемый тремя диполями одинаковой
интенсивности о по трем взаимно перпендикулярным направле-
направлениям, является шаровым:
р= <у{е\ех + е2е2 + е3е3) = оЁ, It(p)= За = q, Dev p = 0.
Такая особенность называется центром расширения, q — его ин-
интенсивность; ей соответствующее перемещение по A.2.5) равно
и{М, Q)= o/'7i2v)?P3 R = ~ o/~n2V x ?v-^- A-2-8)
v ^-' 24яц A - v) R3 24nn(l-v) ч R y '
Без труда находится напряженное состояние, создаваемое цент-
центром расширения; имеем
g = _w
24nn(l-v) R
12n(lv)v /
Компоненты тензора напряжения в сферической системе коор-
координат [см. A.9.4) гл. IV] можно записать в виде
_ 1 -2у q _ _ 1 -2v q _ __
°R~— 6n(l-v) Ж* CT«-^~ 12n(l-v) Ж' т«в~т^-т^-и.
A.2.10)
Такое напряженное состояние реализуется в упругой среде,
снабженной полостью радиуса Ro, по поверхности которой рас-
распределено нормальное давление интенсивности
р-
6n(l-v)
В этом радиально-симметричном напряженном состоянии пере-
перемещения и напряжения равны
^ ыв=«я = 0, 0Д = —р-^, oe = 0?i = p-A. A.2.11)
Перемещение от системы трех ориентированных по взаимно
ортогональным направлениям диполей, с суммой интенсивно-
стей, равной нулю, определяется только четвертым слагаемым
формулы A.2.5), так как в этом предположении силовой тензор
является девиатором.
Перемещение, создаваемое парой, не равно перемещению от
ее момента, так как второе слагаемое формулы A.2.5) пред-
§ I] НЕОГРАНИЧЕННАЯ УПРУГАЯ СРЕДА 211
ставляет перемещение от сочетания пар с равным нулю сило-
силовым тензором. Такая особенность называется центром враще-
вращения; ее можно, например, представить совокупностью четырех
равных по величине сил, расположенных в одной плоскости и
образующих пары одного направления вращения:
Для такой системы сил
р = о, т<?= р2 X Р2 + р4 X Р4 = 2/гРе, X е2 = 2hPe3 = тег, р=0,
причем т — алгебраическая сумма моментов пар. Перемещение,
определяемое центром вращения, по A.2.5) равно
т Rq з ' т
'3 /Ч ~ Rz ° R '
A.2.12)
Это распределение перемещений создается в упругой среде,
если впаянному в нее твердому шару радиуса Ro сообщить по-
поворот, задаваемый вектором 8 . Таково решение наиболее про-
простой из эластостатических задач Робена (п. 4.7 гл. IV). Вектор
напряжения на площадке с нормалью п здесь оказывается рав-
равным
R3
я • f = Зц -^- F х я - 29 X вдЯ • ед + я X елв • ел) A.2.13)
и по поверхности сферы R = Ro с наружной нормалью п = eR
f Q. A.2.14)
Главный вектор этой системы сил равен нулю, а ее главный мо-
момент будет
mQ = Зц J J R X (л X 6) do = Зц J J {пЯ ¦ 0 - QR) do =
о о
= Зц / J J | VR • G dx - 4п/?о6^ = —8яц#о6 = — m«3 A.2.15)
так как V#-8 = 8. К шару должен быть приложен момент про-
противоположного знака (он передается среде через поверхность
полости). Пришли к ожидаемому результату A.2.12).
Приведенными примерами показана возможность построе-
построения силовых систем (сила, центр вращения, центр расширения,
силовые диполи), соответствующих каждой из введенных осо-
особенностей по отдельности. Этим доказано, что каждая из четы-
четырех групп слагаемых формулы A.2.5) представляет некоторое
частное решение уравнений теории упругости, непрерывное
14*
212 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
вместе со своими производными в любой области с исключен-
исключенной точкой, в которой сосредоточена особенность.
Понятие особенностей, определяемых силовым тензором,
было использовано Лауричелла A895) для представления ком-
компонент тензора деформации упругого тела через внешние силы.
Вывод формул Лауричелла основан на применении теоремы
взаимности Бетти к двум состояниям: 1) первое состояние соз-
создается поверхностными силами F (при отсутствии объемных),
причем через и, Т обозначаются вектор перемещения и тензор
напряжения в этом состоянии; 2) второе состояние и*, Т* за-
задается: а) действием в точке Q силового тензора, определяю-
определяющего вектор перемещения м* и тензор напряжения f\, и б) на-
наложением на это действие напряженного состояния и*2, 7V сни-
снимающего нагружение поверхности О тела. Вектор перемещения
в этом состоянии и тензор напряжения равны
«* = «; + «; ? = f\ + f\, A.2.16)
так что по условию
n-f*|o = 0, A.2.17)
чем определяются конечные и непрерывные в объеме тела
функции и*, f*.
Теорема взаимности применяется к объему, ограниченному
извне поверхностью О тела, а изнутри сферой 2 с центром в Q;
через п — R~lR обозначается единичный вектор нормали, внеш-
внешней к сфере (внутренней к рассматриваемому объему). Тогда,
сославшись на A.2.17), имеем
J | F -и* do- J J n-f -и] do- | J n-f • u2do =
0 2 2
= — | J n • f; ¦ udo - J J n • f * • и do ,
2 2
и применение теоремы взаимности приводит к соотношению
J J F-u*do= J| n.(f-«;-f;-a)do. A.2.18)
О 2
Поскольку [см. A.2.5)] перемещения и напряжения, создавае-
создаваемые особенностью типа силового тензора, в точке Q становятся
бесконечными соответственно как R'2 и R'3, достаточно, как
станет ясным из приведенного ниже вычисления, принять, что
в объеме v сферы
= fQ, u = uQ + R-(Vu)Q, A.2.19)
§ 1] НЕОГРАНИЧЕННАЯ УПРУГАЯ СРЕДА 213
так как слагаемые более высокой степени относительно R отпа-
отпадут в предельном переходе R -> 0.
Обратившись к A.2.5) и переходя от поверхностных интегра-
интегралов к объемным, имеем
JJJ V-f-RR-Devp-R dr\,
v J
где Sa = l\(p). Сославшись на (И.3.10) и учитывая, что
V- Т = 0, имеем
V . f • R = f--E,V •? ¦ R- Devp = r--Devp, V-f -RRDevpR =
= f ¦ ¦ (ER • Dev p ¦ R + 2R- Dev pR)
и, далее,
V . f . R dx = | я/?3/! (f),
Нетрудно также видеть, что
и поэтому
JJJ V - f •/?/?• Devp •/?^т = ^ f--Dev/3.
Заменив еще тензор Т и его первый инвариант выражениями
найдем
J J п • f - и\ do - -Гд^гг^)- [5ст A + v) О + (8 - 10v) е • - Dev p].
214 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Переходя ко второму слагаемому в формуле A.2.18), заметим,
что вычисляемый по и* тензор напряжений оказывается равным
и поэтому
Теперь имеем
J J п ¦ ТI • и do = ]5A'_ - [- 10 A - 2v) 0^ + (- 7 + 5v) г¦ • Dev p],
и искомое выражение A.2.18) приводится к виду
F-u*do = aft + e--Devp = e--p. A.2.20)
В частности, для центра расширения Dev p = 0, и, положив
a = 1, получим
¦»= f f F-iTdo. A.2.21)
'о'
Для силового диполя ее о = 1/3, и по A.2.20), A.2.6) относи-
относительное удлинение по оси диполя будет
e-e-e= [ \ F -и* do, A.2.22)
о
Наконец, рассматривая особенность, задаваемую силами —heh,
—/геь в точке Q и heh, hes соответственно в точках h~les, h~leh
(причем si=k), имеем
Р = Des + esek), /, 06) = 0, р = Dev p
и по A.2.20) приходим к выражениям сдвигов
2ek-e,-es = yks= J ^ F • и" do. A.2.23)
о
Фактически вычислить входящие в эти формулы интегралы, ко-
конечно, можно, лишь зная вектор перемещения а*, представляю-
представляющий в сумме с а^ аналог функции Грина, соответствующий дан-
данной особенности.
§ 1) НЕОГРАНИЧЕННАЯ УПРУГАЯ СРЕДА 215
1.3. Интерпретация второго потенциала теории упругости.
Вектор перемещения в первой внешней краевой задаче A(е>)
теории упругости был представлен в форме второго потенциала
теории упругости — аналога потенциала двойного слоя. Для со-
согласования обозначений с обозначениями этого пункта в фор-
формуле D.2.1) гл. IV надо поменять буквы М и Q местами. Тогда,
вспомнив выражение C.5.12) гл IV, имеем
V(M) = я„н-,л ! I \(l-2v)(-Rb-n + nb-R + bn.R) +
|^. A.3.1)
Здесь силовой тензор представляется по A.1.7) диадой nb:
и подынтегральное выражение записывается в виде
^г [A - 2v) (- Я/, (р) + 26 • /?) + 3 ~ R ¦ р • Я] =
Поэтому
Сравнение с A.2.5) обнаруживает, что двойной слой в теории
упругости образуется распределением по поверхности О цент-
центров расширения и силовых диполей; силовые и моментные осо-
особенности в нем отсутствуют. Этой неполнотой силовой системы
объясняется неразрешимость задачи Пе) с помощью только вто-
второго потенциала.
1.4. Потенциалы Буссинека. Распределение особенностей по
линиям, поверхностям и объемам дают частные решения урав-
уравнений теории упругости бесконечной среды, из которой удалены
эти геометрические места. Решение краевых задач для ограни-
ограниченного тела иногда достигается путем комбинирования так
построенных решений.
Далее рассматриваются два примера такого построения
частных решений, определяемых распределениями центров
216 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
расширения и центров вращения на полупрямой. Направление
на ней задается единичным вектором е, а положение точки —
абсциссой X, отсчитываемой от начала О полупрямой. Вектор-ра-
Вектор-радиус R' точки А1 среды, имеющий начало в текущей точке полу-
полупрямой, представляется в виде
R' = R-eX, A.4.1)
где R отсчитывается от ее начала О. Сославшись на A.2.8),
A.2.12), приходим к частным решениям
lVM-^, «(M)=-CxJ dlVM-~r. A.4.2)
о о
Первое соответствует распределению центров расширения, вто-
второе— центров вращения. Постоянные — скаляр А и вектор С —
характеризуют интенсивность этих особенностей. Имеем
±
причем вычисление градиента следует провести до подстановки
верхнего предела, а потом подставить пределы; тогда слагае-
слагаемое, относящееся к верхнему пределу X = оо, исчезнет; полу-
получаем
оо
о
Итак, вводя в рассмотрение первый потенциал Буссинека
d>i = \n{R — R -e), A.4.3)
приходим к двум представлениям вектора перемещения:
в любой области, из которой исключена полупрямая. В этой
области Ф\ — гармоническая функция; можно непосредствен-
непосредственным вычислением проверить, что она удовлетворяет уравнению
Лапласа, но в этом нужды нет: если известно, что вектор пере-
перемещения в задаче теории упругости при отсутствии массовых
сил представлен в форме градиента скаляра, то этот скаляр —
гармонический; его можно отождествить, например, с гармони-
гармоническим скаляром Во в решении Папковича — Нейбера A.4.10)
гд. IV-
§ 1] НЕОГРАНИЧЕННАЯ УПРУГАЯ СРЕДА 217
Потенциал Буссинека A.4.3) возрастает с ростом R, как
inR; соответствующий ему вектор перемещения убывает, как
R'1. Вычисляемый по Ф( тензор напряжений равен
Т =
A.4.5)
и его компонентами, если линией центров расширения служит
отрицательная ось Oz, будут
1 А
2ц Ujr RiR + г) L R2(R + z) J'
1 A
2циу- R(R + z)[L RHR + z) J' .
1 _ Лху BR + z) 1 = _л-?- U-4.0)
Простота выражений компонент напряжения на площадках, пер-
перпендикулярных оси г, делает потенциал Ф1 пригодным сред-
средством решения задачи о напряженном состоянии в упругом по-
полупространстве z > 0.
В сферической системе координат при том же выборе направ-
направления е ( к южному полюсу сферы)
J_ А_ 1 A sin ft __ п )
_L = Л cos ft =n J_ _ A \ (J-4-7)
2(i fffl i?2 A + cos ft) ' T^ ~ U> 2ц °Ь ~~ R2 A + cos ft) • J
Для решения краевых задач применяется также еще один
потенциал Буссинека:
Ф2= | \n{R+z)dz = z\n{R + z)-R, и = УФ2. A.4.8)
Это, конечно, также гармоническая функция в области, из ко-
которой удалена отрицательная ось г.
1.5. Термоупругие перемещения. Сославшись здесь на фор-
формулы C.4.3) и C.5.9) гл. IV, имеем
«(Q) = 2ца -i±?- J J | e (м) diVyM D (M, Q) dxM.
Здесь
A.5.1)
218 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
и выражение вектора перемещения может быть представлено
также в виде
u{Q)=a 4Я(ГЛ) Ше{м)VmО)йхм=~v* °-5-2)
где в рассмотрение введен потенциал
Здесь 0 — превышение температуры над ее постоянным значе-
значением в натуральном состоянии; Vi— объем, в котором задано
распределение температуры; вне этого объема 8 = 0. Такое же
поле вектора перемещения в неограниченной упругой среде
создается, по A.1.12), распределением в объеме V{ центров
расширения с интенсивностью, пропорциональной 0. Функция /
представляет ньютонов потенциал притягивающих масс с плот-
плотностью, пропорциональной температуре. Первые производные
этого потенциала (компоненты силы притяжения, компоненты
вектора перемещения в нашем случае) непрерывны во всем
пространстве (в предположении, что непрерывна плотность);
разрыв вторых производных при переходе через поверхность О
извне (из объема Ve) внутрь объема V, определяется известными
формулами
(VVx), - (VVX); = а |^- Qonn, A.5.4)
где п — единичный вектор внешней нормали к О; 8о — значе-
значение 8 на О. Вне объема V{ потенциал % удовлетворяет уравне-
уравнению Лапласа, а в объеме—уравнению Пуассона
0, Q<=Ve,
Тензор напряжений, определяемый по потенциалу х. п0
A.14.1) гл. IV равен при QaVi
A.5.6)
а при Qcz Ve температурное слагаемое отбрасывается. По
A.5.4) получаем
(f(e) - Т{% = 2ц4^7 aQo Ф ~ пп), A.5.7)
§ 1] НЕОГРАНИЧЕННАЯ УПРУГАЯ СРЕДА 219
откуда следует, что вектор напряжения на поверхности О не-
непрерывен:
[п-(г(й)-7;"'))]о = 0) A.5.8)
тогда как этот вектор на площадках, перпендикулярных границе
(с нормалью га*, где га*-га = 0), в точках этой границы испыты-
испытывает разрыв своих нормальных компонент:
[и\(^)_^)).„*]0 = 2,ц4~-ае0. A.5.9)
Его касательные комппленты непрерывны.
Пусть, в частности, И, — объем нагретой до постоянной тем-
температуры 8° сферы радиуса а; по известным из теории ньюто-
ньютонова потенциала формулам имеем
и по A.5.6)
± |1±з^)-^, A.5.11)
и в согласии со сказанным
Т(П
<#'
R = a R l/? = a -">
4 1
так что Or остается непрерывным во всем пространстве, тогда
как ст^ и О}, испытывают разрыв непрерывности, определяемый
формулой A.5.9).
1.6. Напряженное состояние, создаваемое включением. По-
Повышение температуры элементарного объема, выделенного из
окружающей его среды, не является единственным средством
сообщения этому объему деформации, в которой не возникает
напряженное состояние — так называемой свободной деформа-
деформации. Можно представить себе другие физические процессы, со-
сопровождающиеся свободной деформацией*). Напряженное со-
состояние, однако, возникает в упругой среде, когда в некотором
ее объеме Vt имел место процесс, который вызвал бы свободную
*) Д. Эшелби относи^ к таким процессам двойникование в кристалле,
маргенсигное превращение в стали, выделение фазы с другой элементарной
ячейкой.
223 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
деформацию, задаваемую тензором ё°, если бы этот объем
Vi был свободным. В результате повсюду в среде создается де-
деформированное состояние, и описывающий ее тензор деформа-
деформации связан с тензором напряжения сотношением
'°' 0.6.1)
так как появление напряжений вызвано «деформацией» ё — ё°.
Соотношение A.6.1) является естественным обобщением закона
Гука C.4.10) гл. III с учетом температурного слагаемого ?а0
и может быть пояснено теми же соображениями, что и этот за-
закон (см. конец п. 3.4 гл. III). Из него находим
и, далее,
A.6.3)
Здесь через Г° обозначен «тензор напряжений», формально свя-
связываемый с тензором е° законом Гука:
A.6.4)
Введение этого «тензора напряжений» лишь сокращает запись
формул — свободная деформация не сопровождается, как ука-
указывалось, напряжениями.
Рассмотрим два состояния упругой среды. В первом ее со-
состоянии в точке Q прилагается единичная сосредоточенная си-
сила вр, а во втором — напряженное состояние при отсутствии
внешних сил обязано своим возникновением имевшей место сво-
свободной деформации.
Сославшись на формулу C.1.5) гл. IV и рассматривая объем
V — Vi + Ye, имеем соотношение
e'Q-u"(Q) = J J |Г--е"Л;- \\n-T'-и"do= \ \ Jf'--e"dT =
V S V
= J f J?'-.a"dT+JJ Jf'.-e"dT, A.6.5)
Ve
так как интеграл по поверхности S объема V при неограничен-
неограниченном расширении последнего стремится к нулю.
Во втором состоянии объема V внешние силы отсутствуют;
поэтому
JI Jr'..e'dT= f { f f"-.e'dT+ [J |Г"--ё'Л = 0. A.6.6)
§ 1; НЕОГРАНИЧЕННАЯ УПРУГАЯ СРЕДА 221
Тензор напряжений Т во всем объеме V и тензор f" в объеме Ve
определяются по закону Гука:
'), Т" = 2ц (-
тогда как в У, по A.6.3)
Т" = 2\х (—27 Ь"Ё + е") - f °.
Поэтому
(^^" + Г--е") в V,
или
Возвращаясь к соотношениям A.6.6), A.6.5), имеем
f f f f'..g"rfT-f f {f°-'t'dx = e'-u"(O)- f f f f°-
J J J JJJ <? ^' J J J
так что
Выражая здесь е' через тензор Кельвина—Сомильяна C.5.9)
гл. IV, имеем
(f°--VUf)dx-e'n
и, отбросив произвольно задаваемый вектор е' и ненужные
теперь штрихи, приходим к равенству
°.-VMU(M,Q)dTM. A.6.7)
222 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Здесь интегрирование проводится по объему включения, подверг-
подвергшегося свободной деформации. Далее будем считать, что эта
деформация однородна —тензор ё° и, значит, Т° постоянны. То-
Тогда, вспомнив еще выражение C.5.9) гл. IV тензора Кельвина —
Сомильяна, придем к формуле (Эшелби)
^(H
L Vt Vt J
A.6.8)
Введя в рассмотрение потенциалы
можно ее записать также в виде
L]. A.6.10)
Функция ф — ньютонов потенциал притягивающих масс единич-
единичной плотности, и, поскольку V2/? = 2R~\ имеем
У2г|5 = 2ф A.6.11)
и по A.5.3), A.5.5)
0, QczVe, f 0, QczVe,
Г 0,
а аналогичные A.5.4) соотношения разрыва непрерывности на
поверхности Q объема У, представляются в виде
1
(VVVVa])), - (VVVVil)), = 8ппппп, j ( }
так как компоненты тензора Wo]) представляют ньютоновы по-
потенциалы с плотностью, равной соответствующим компонентам
тензора —Dя)~'У?2ф.
Компоненты тензора деформации, вычисляемые по A.6.8),
равны
о а2ф о а2Ф \ Г о
ч I
s dxq dxf \ '
4A - v)
A.6.14)
В частности, когда тензор Т° шаровой, то
§2] УПРУГОЕ ПОЛЬ ПРОСТРАНСТВО 223
И ПО A.6.11)
_ _ -JL ' + v ар д2д>
Esk ~ 4л УA - у) дх5 дхк '
О, Q<=Ve,
l+v л0 ^^т/ A-6.16)
4я
3A-v)
Например, в температурном процессе Q° = ЗссЭ и при v = 0,25
объемное расширение, стесненное окружающей средой, состав-
составляет только 5/9 свободного, а в окружающей среде оно отсут-
отсутствует.
В общем случае компоненты напряжения вычисляются че-
через компоненты деформации A.6.14) в среде, окружающей
включение, по закону Гука в его обычной форме [A.1.3) гл. III],
а во включении — по формуле A.6.3). Вычисление требует зна-
знания обоих потенциалов <р, я]). Для определения ¦& достаточно
знать только первый. Действительно, по A.6.11) и A.6.14)
имеем
' 2 д2 '2v fn ууш^
qs дх дх
Я s
^1-г)Тг°- Qczl/b A>6Л7)
Отсюда и по A.6.13), A.6.15) находим разрыв ¦& на поверхно-
поверхности включения:
так как Dev f° = 2ц Dev ё°. При Dev ё° = 0 возвращаемся
к A.6.16).
§ 2. Упругое полупространство
2.1. Задачи Буссинека и Черрути. Разыскивается напряжен-
напряженное состояние в упругом полупространстве z > 0 — в упругой
среде, ограниченной плоскостью z = 0, при заданном законе
распределения поверхностных сил по этой плоскости
2 = 0: F = n-f=-i3-f B.1.1)
или
z = 0: F,, = ^ (х, «/) = - ххг, Fu = ^2 (л:, г/) = - туг
= p(x, У) =-<*,. J { '
224 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Принимается, что массовые силы отсутствуют, а главный вектор
поверхностных сил конечен:
V=jJFdo (do = dxdy), B.1.3)
а
где Q — область загружения на плоскости г = 0. При этих усло-
условиях требуется, чтобы искомое решение было при /?->оо убы-
убывающим не медленнее, чем R~l для вектора перемещения и не
медленнее, чем R~2 для напряжений.
Известно несколько приемов решения этой рассмотренной
Буссинеком и Черрути классической задачи. В частной задаче
Буссинека, когда qi = q?. = 0 и рассматривается нагружение со-
сосредоточенной силой Q, нормальной к границе полупростран-
полупространства, решение легко получить наложением напряженного со-
состояния A.4.6), создаваемого особой линией центров сжатия,
на напряженное состояние в неограниченной упругой среде от
сосредоточенной силы (решение Кельвина — Сомильяна, п. 3.5
гл. IV). Переход к общему случаю нормального нагружения
р(х,у) после этого, очевидно, прост. Другой прием состоит
в применении решения Папковича — Нейбера (п. 1.4 гл. IV);
он распространяется и на общую задачу Буссинека — Черрути,
то есть на случай нагружения B.1.2).
2.2. Частная задача Буссинека. В неограниченной упругой
среде приложение силы, имеющей направление оси Oz и при-
приложенной в начале координат, создает напряженное состояние,
определяемое по C.5.6) гл. IV равенством
Т = -^ [A - 2v) (Ez - i3R - Ri3) -§RR] (* = *,* + i2y + hz),
B.2.1)
где С — далее определяемый коэффициент пропорциональности.
Вектор напряжения на плоскости 2 = 0 поэтому равен
^ B.2.2)
Но таким же законом по A.4.6) задается распределение на
плоскости z = 0 напряжений, определяемых с помощью потен-
потенциала A.4.3) Буссинека:
П'Т = 2рА-Щ, B.2.3)
и можно удовлетворить требованию отсутствия напряжений на
этой плоскости, связав постоянные А и С равенством
Л = —C(l—2v).
§ 2' УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО 225
Теперь по C.5.5), C.5.6) гл. IV и по A.4.4), A.4.5) имеем
, B.2.4)
-~[A- 2v) (Ег - М? - **з) ~
Постоянная С определяется из уравнения равновесия выделен-
выделенного из среды полушара произвольного радиуса R с центром
в точке приложения силы isQ:
hQ + R2 JJe^-frfo.-O, B.2.6)
о»
где do, = s'mft dftdk— элемент площади поверхности единичной
полусферы О,, а
е^ = RR~l = ц cos -0 + sin -0 (it cos % + i2 sin К).
Имеем
R4R . f = 2цС [- A - 2v) h ~ &rcos * + -~~ (eR + f3)] =
cos2 ¦& + ....
где многоточием отмечены слагаемые, не вносящие вклада в
интеграл B.2.6). Получаем
2я я/2
Q - 6цС J dX J cos2 Ь sin ф d* = 0, С = -^-,
J J
0 0
и этим завершается решение частной задачи Буссинека. Вы-
Выражения перемещений приводятся к виду
,. ^ Q * ( * 1 - 2v \ Q У
4лц У? U Jи
+ г J' и 4лц
У / г 1 - 2у Ч
Bl2J)
Весьма простыми и не зависящими от коэффициента Пуас-
Пуассона оказываются выражения напряжений на плоскостях, па-
параллельных границе полупространства:
2.3. Распределенная нормальная нагрузка. Решение частной
задачи легко обобщается на произвольное число нормальных
15 А. И. Лурье
226 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
к границе 2 = 0 сил Q;r3 с координатами точек приложения
(хь У и 0):
Rl = il(x- Xi) + i, (у - yt) + i3z.
Переход к случаю распределенной нагрузки р(х,у) сводится
к замене Q,- на p(x',y')do' и к последующему интегрированию
по области загружения Q. В рассмотрение вводятся потенциалы
jj^ B.3.2)
со, (х, у, z)=\\p (*', у1) In (#' + г) do', B.3.3)
а
причем, конечно,
R' = *,(*- х') + i2(y- У') + hz, R' = [(х - х'Т + (у- y'f + г2]'1'.
Через эти потенциалы вектор перемещения представляется
в виде
и =
а напряжения на площадках, перпендикулярных оси z, — в виде
%xz 2л дхдг' ХУ* 2я ду дг ' Ог~2л\дг Z dz2 j' ^-^-^
Функция «>(x,y,z) представляет потенциал простого слоя, рас-
распределенного по площади загружения с плотностью р(х,у). Эта
непрерывная повсюду (включая область Q) функция убывает
на достаточно больших расстояниях от Q (при R =
= (х2 + у2 + 22)'/2->оо), как PR~\ где Р — главный вектор по-
поверхностных сил:
/>= J J р(х, у)do.
Q
Известно, что производная потенциала простого слоя по нор-
нормали к поверхности, на которой распределен слог, претерпе-
претерпевает разрыв непрерывности при переходе точки через эту по-
поверхность. В частности, для слоя, распределенного по области Q
на плоскости г = 0, имеют место соотношения
+2пр (х, у), (х, у) cQ,
0, (х, y)<?Q. (г-д-Ь)
УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
227
Отсюда еще раз следует, что найденное решение удовлетво-
удовлетворяет краевым условиям B.1.2), когда qx = q2 = 0.
Функция a\(x,y,z), гармоническая в полупространстве z>0,
возрастает вместе с R, как
Pln(R
B.3.7)
но ее первые производные по координатам, которые только и
входят в выражение вектора перемещения, убывают при /?->оо,
как /?-'. Отметим еще равенство
5, B.3.8)
дг ~ш'
определяющее вместе с условием на бесконечности B.3.7) функ-
функцию coi через со с точностью до несущественной аддитивной по-
постоянной.
2.4. Применение функций Папковича—Нейбера к решению за-
задачи Буссинека—Черрути. Выражения компонент тензора напря-
напряжений через эти функции по A.4.17) гл. IV записываются в виде
дгдх
дгдх
<9г2
B.4.1)
В случае только нормального нагружения достаточно принять
B.4.2)
Тогда
= 0, В2 = 0, ^ = (l-2v)B,
2ц %xz Z дх dz ' 2u X'JZ Z ду dz ' 2ц
B.4.3)
Краевые условия для касательных напряжений удовлетворяются
автоматически:
(тжг)г=о = (ту2)г=о = 0, B.4.4)
а остающееся краевое условие
B.4.5)
228
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
1ГЛ. V
подсказывает в соответствии с B.3.6), что 5з представляется
потенциалом простого слоя с плотностью Dл\х)~1р(х, у). Функ-
Функция So определяется вторым равенством B.4.2) и условием об-
обращения в нуль ее производных на бесконечности. Очевидно,
что В3, ^о отличаются от со и соi лишь постоянными множите-
множителями:
-2v) со,
B.4.6)
Переходя к общей краевой задаче B.1.2), представим вы-
выражения xxz, Туг в иной форме:
дг
дВ3
дх
д (х дВ>
дх \Х дг
дВъ
ду
дг
дВ*
дВ* I дВ
дг ^ дг
дВз Л дВ°
B.4.7)
Скаляр Во можно принять равным
оо
Во = - (хВ, + уВ2 + zB3) - 2 A - v) J B3 dz B.4.8)
при условии, что правая часть этого соотношения удовлетворяет
уравнению Лапласа
^(^ ^). B.4.9)
Тогда по B.4.7) приходим к весьма простым краевым условиям
^ v)-^.--<72(;c,0), B.4.10)
позволяющим определить Вь В2 как потенциалы простых слоев:
1 / 1
(х, у, г), В2 = 8n[iA_v) ф2 {х, у, z), B.4.11)
где обозначено
Qi{X:
: У° do' (/=1, 2). B.4.12)
§ 2] УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
По B.4.9) имеем также
1
229
B.4.13)
Нормальное напряжение ог по B.4.1) и B.4.9) представляется
в виде
Ъ- B-4Л4)
3~ 8nn(l-v) \ дх ' di
h(x,y,z)= f I qi(x', yr)\n{R' + z)do'.
Остается удовлетворить третьему краевому условию B.1.2); это
приводит к рассмотренной уже задаче о напряженном состоя-
состоянии в полупространстве, когда на его границе z = 0 отсутствуют
касательные напряжения, а нормальные равны
дВ,
B.4.15)
Гармонические функции Папковича, решающие эту задачу
(назовем их Б;), по B.4.2) и B.4.6) определяются равенствами
= 0, 53=
дг
B.4.16)
Исходная краевая задача решается наложением этих реше-
решений. Приходим к следующим значениям напряжений:
Li?L
хг 2л dz
_ 1 dq>2 _
Хч*~1~дг
да
2A
1
2л дг 2(l+v) дг '
B.4.17)
где обозначено
1 + v / dg>!
л \ дх
ду
¦ + —).
^ дг)
B.4.18)
Ниже доказывается, что о—сумма трех нормальных напря-
напряжений. Вектор перемещения определяется наложением приве-
приведенных выше решений:
и = 4 A - v) E + 5*) - grad [Ц.(В + В*) + (Во + 5o)J,
230
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
Результат вычисления представляется в виде
2яаи = ф, — тг z -т— -~
^ Т1 2 дх \ дх
дх \ дх г ду
1 да 1 ,, „
¦)~
ду
дх ~ ду
1 ( d<ti | дфг
2 \ <Эк ' dr/
ду '
-___
B.4.19)
причем введены потенциалы
Xi (х, у, z)=\jqi (х', у') [z In (R' + z)~ R'} do' (i = 1, 2). B.4.20)
Вычисляемое по этим выражениям объемное расширение ft ока-
оказывается равным
B.4.21)
дх ду д
откуда следует также B.4.18).
Формулы B.4.19) представляют решение задачи Буссине-
ка — Черрути.
2.5. Тензор влияния в упругом полупространстве. Разыски-
Разыскивается напряженное состояние в упругом полупространстве
2 > 0, создаваемое сосредоточенной в его точке Q@,0, h) си-
силой Р.
В рассмотрение вводятся точка Q*@, 0,—К) и сила Р*:
являющиеся зеркальным отображением точки Q и силы Р в
плоскости 2 = 0. Вектор-радиусы точки наблюдения M(x,y,z),
имеющие начала в Q и Q», обозначаются
П / у _L * v А 1 {'у h\ D - / у _1_ у v А- 1 ('у A- h\ (О ^ О\
ж\ — *1'^1 i *'2**'2 ' 3 \^ '*'/* -*^# — 'l^l ' ^2"^2 i~ *3 V1^ i~ '*¦/• \?>О,?)
Искомое напряженное состояние представляется суммой трех
состояний: двух состояний f° и Г° в неограниченном упругом
пространстве, создаваемых сосредоточенными силами Р в точ-
точке Q и Р* в Q*, и состояния 71', лишенного особенностей в полу-
полупространстве z > 0 и выбираемого так, чтобы граница полупро-
§2]
УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
231
странства 2 = 0 оставалась свободной от нагружения, создавае-
создаваемого состоянием f° + fl:
i3.f = i3.(T° + f0, + T%=Q = 0. B.5.3)
По C.5.6) и C.6.7) гл. IV тензоры f°, f° равны
8л A
-v)< ['
{l-2v)(EP,-Rt-PtR,-RtP,
Но на плоскости 2 = 0
B.5.4)
так что
B.5.5)
и краевое условие B.5.3) приводит к задаче о напряженном со-
состоянии полупространства при только нормальном нагружении
ограничивающей его плоскости, что, конечно, ожидалось по со-
соображениям симметрии. Краевые условия записываются в виде
1 -2у , ЗЛ2
W "Ж
Рхх + Р2у / 1 -2v _ ЗА2'
~ 4яA-у) [ R30 R50
= 0- a'- fih
4n(l-v)
С = о.
B.5.6)
Далее по отдельности рассматриваются каждая из групп
слагаемых, входящих в условия B.5.6). Пары гармонических
функций со и мь решающих эти задачи (п. 2.3), обозначим
соответственно со', coj и со", со".
По B.3.5) имеем
да'
дг
z-»e
и вместе
P3h
2A -v)
с тем
д 1
дг R
( ' ~
1 ь
Z +
R
2v
,3
h
3 '
ЗЛ2\
^ /?g )
(92 1
дг2 R
Pbh P,h I
R\ 2A-v)\
1 , 3B +/гJ
Я3 ' R5
1 . 3/г2
B.5.7)
232
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
Это позволяет переписать B.5.7) в виде
да'
дг
~\р д — -
а2 1
-v) дг*
B.5.8)
Правая часть представляет значение на границе области
функции, гармонической в области z > 0; да'/дг — также гар-
гармоническая в этой области функция. Итак, равенство B.5.8)
выполняется во всем полупространстве z > 0. Поэтому, сослав-
сославшись еще на B.3.8), имеем
(*2.5.9)
Аналогичное вычисление проводится для второй пары слагае-
слагаемых в краевом условии B.5.6). Имеем
дх
3x(z +
дгдх
д2
1п
R5 дгдх R
* *
и поэтому, сославшись также на A.4.8), имеем
~ЬТ
~dj) x
z + К) -
X {A - 2v) (z + h) [In (R, + z + h) - R.] + Aln I
Решение задачи дается потенциалами
со = со' + и" = 2A1_v) |^ +
А».
B.5.10)
p •v
h) In
¦/\ • V In (/?. + г + А).
B.5.11)
Вектор перемещения вычисляется по формулам C.5.8), C.5.9)
гл. IV и B.3.4). Этим решена задача о построении тензора влия-
влияния для упругого полупространства.
2.6. Температурные напряжения в упругом полупространстве.
Далее применяется соотношение C.4.3) гл. IV в предположе-
§ 2] УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО 233
нии, что G(M, Q)~тензор влияния для упругого полупростран-
полупространства. Достаточно знать дивергенцию этого тензора, равную
сумме дивергенций от перемещений и0, ы°, и'', соответствующих
тензорам напряжений f°, f°t, f', которые были определены
в п. 2.5. Выражение первой дается формулой A.5.1), а вторая
находится заменой R на Rt. Получаем
Дивергенцию вектора перемещения «' находим, пользуясь фор-
формулами B.5.11) и B.3.4):
л ¦ , _ 1 - 2v <Эш _
2Л(х дг
Сложив эти выражения к заменив Р* его значением B.5.1),
найдем
1 2
B.6.1)
Вектор, умножаемый на Р, представляет искомую диверген-
дивергенцию тензора влияния в полупространстве от единичной силы
в точке Q(О, О, К); при переносе этой точки в точку с коорди-
координатами (|, г], ?), далее также называемую Q, надо лишь заме-
заменить h на ?, a R и 7?, на
2 + (z + ?J]/2. I
По C.4.3) гл. IV имеем теперь
B.6.3)
Здесь I7 — нагретый объем, целиком расположенный в полу-
полупространстве z > О, Q(M)—распределение температуры в этом
объеме; градиенты вычисляются в точке M(x,y,z), которая те-
теперь стала точкой истока. Имеем соотношения
1 ,1 д 1 _ д 1
grad R, дг j- - ^
B#6<4)
234 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Учитывая их, можно представить B.6.3) в виде
C - 4v) (VQ - 2i3 -щ) %2 + 2?~ VqX2) B.6.5)
где введены потенциалы
l+v Г f f 6 (
V V
B.6.6)
Слагаемое, определяемое потенциалом хь представляет поле
перемещений, рассмотренное в п. 1.5 для неограниченной упру-
упругой среды. Функция /2 — гармоническая в полупространстве
z > 0; вычисляемые по ней напряжения
: дг
- д.. (gr d%2 i
»г — 41 ZZ Я„ Л,2 Г
ду дг2 ~ дудг)'
)
B.6.7)
аннулируют на плоскости 2 = 0 напряжения, определяемые по-
потенциалом %i-
2.7. Случай установившейся температуры. В установившемся
режиме температура Q(x,y,z)—гармоническая в полупростран-
полупространстве z > 0 функция; предполагается известным ее значение на
границе z — 0:
( %{х, у, 0), {х, y)c:Q,
Поэтому, введя в рассмотрение потенциал простого слоя с плот-
плотностью —8о/2я:
Ф(х,у, z)^-~
можно записать решение задачи теплопроводности для полупро-
полупространства в виде
6(х, 0, z) = -g-. B.7.3)
Действительно, определяемая этим равенством функция — гар-
гармоническая; она удовлетворяет краевому условию B.7.1), что
следует из B.3.6).
Переходя к решению задачи теории упругости, удержим
в решении Папковича — Нейбера A.4.10) гл. IV две гармони-
гармонические функции В3 и Во1-
в = 4 A - v) i3B3 - V {zB3 + Во) + V-ф, B.7.4)
§2] УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО 235
причем последним слагаемым учитывается наличие температур-
температурного поля, а функция, обозначенная здесь г|з, представляет част-
частное решение уравнения A.14.8) гл. IV:
4^a9. B.7.5)
Компоненты напряжения на площадках, перпендикулярных
оси z, вычисляемые по B.4.1) с учетом в B.7.4) слагаемого Уф,
оказываются равными
дМ дМ (. дВ3 о 1+v Q , дМ\ ,о _ с.
где для краткости принято
^ + fio) + 2jf • B.7.7)
Оказывается возможным распорядиться выбором Вг и Во так,
чтобы обратить М в нуль. Для этого примем
2fi3 = i|>, ^- = 2(l-v)fl3. B-7-8)
Из первого равенства и из B.7.5), B.7.3) имеем
V2253 = 2^-=l±^ae, В, = ^^аФ(х,у,г), B.7.9)
и, поскольку Ф — гармоническая функция, такой выбор ?3
возможен. Возвращаясь к формулам B.7.6), приходим к ре-
результату, возможность которого было трудно предвидеть: при
установившемся тепловом режиме полупространства отсутст-
отсутствуют температурные напряжения на плоскостях, параллельных
его границе *):
B.7.10)
Теперь находим по B.7.8) и B.7.2)
So = - ^ A + v) a f Г 80 (х', у', 0) In (#' + z) do', B.7.11)
и, сославшись на B.7.4), можно записать выражения проекций
вектора перемещения:
Через эту же гармоническую функцию Ва определяется
*) Это свойство сохраняется и в задаче о тепловых напряжениях в упру-
упругом слое при установившейся температуре.
236
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
температура:
B.7.13)
Выражения отличных от нуля компонент тензора напряжения,
вычисляемого по A.14.1) гл. IV, записываются в виде
а,, = 2и . ° , т ,„ = — 2и ——^-. B.7.14)
fin У fi~x У fiY ft 1
2.8. О вычислении потенциала простого слоя по плоской об-
области. Как показано выше, решение задач о напряженном со-
состоянии в упругом полупространстве существенно зависит от зна-
знания потенциалов слоя, распределенного по плоской области,—
в первую очередь потенциала простого слоя, через который бо-
более сложные потенциалы определяются интегрированием по г.
а)
6)
Рис. 16.
Пусть М1(х,у,0) обозначает проекцию точки наблюдения
M(x,y,z) на плоскость z = 0; принимая М1 за начало полярной
системы координат (рД), имеем
х1 - х = р cos Я, у' - у = р sin A,, do' = р ф d%, R'2 = р2 + z2. B.8.1)
Выражение потенциала простого слоя B,3.2) теперь записы-
записывается в виде
B.8.2)
Обозначения указаны на рис. 16, а при AJ1 ф Q; при М1 с Q
следует принять pi (А,) = 0, р2 = р(А,), Iq = 0, %х = 2я (рис, 16,6).
§ 2] УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО 237
Вычисление упрощается, когда значение потенциала разыски-
разыскивается в точках плоскости 2 = 0. Тогда
<o(x,y,Q)=*\Q(x,y,k)dK B.8.3)
где
®{х,у,к) = J p(x + pcosX, y + psinX)dp. B.8.4)
При постоянной плотности (р = const)
к
со (х, у, г) = р J (fp2 (I) + г2 - /р? (Я) + z2) ^ B.8.5)
и, в частности, на плоскости г = 0
л.
ш(х, г/, 0) = р f [р2(Я.)-р,(Я,)]Л. B.8.6)
я.
Например, вычисление по этой формуле потенциала круговой
области Q радиуса а дает
B.8.7)
где г — расстояние точки наблюдения М(х, у, 0) от центра диска,
K(k), E(k) — полные эллиптические интегралы первого и вто-
второго рода.
2.9. Задача Дирихле для полупространства. Гармоническая
в полупространстве z>0 функция Wt(x, у, z), представляющая
потенциал двойного слоя плотности ц(х,у), распределенного по
области й плоскости z = 0, определяется равенством
Я/* I*
ft'3 дг J J R' ° дг '
B.9.1)
где, как выше, R'= [(х — \J + {у — г)J + z2]'/», а функция
®(x,y,z)
(о (х, у, г) = J j -^|Д rfE rfti B.9.2)
238 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
представляет потенциал простого слоя той же плотности \i(x, у).
По B.3.6)
Wt{x, у, г)
(9@
±2щ{х, у), (х, у)ей,
z-*±0 I. О, (X,
Поэтому гармоническая функция
W(x, у, z) = ^J j 2^-dtdi) B.9.3)
дает в полупространстве z > О решение задачи Дирихле
*, у), (х, у) crQ,
1/' \;^
B.9.4)
Пусть точка наблюдения M(x,y,z) расположена внутри ци-
цилиндра с основанием Q и образующими, параллельными оси г.
Рассмотрим сначала случай постоянной на Q плотности; тогда
по B.8.5) и B.9.1)
2л
ш(х, у, z)= и I (/ТОУТ?-
zdl
и, далее,
dW
дг
2л
2Я
Г
J
п
[Р2
о2 (Я) dX
(Я) + 22]% '
дг
ц
2=о 2л
2л
Г
J
п
dX
р(Я) •
B.9.5)
Заметим, что правая часть не является постоянной, так как р(Х)
зависит от выбора начала (х, у, 0) системы полярных коорди-
координат р, К. В общем случае задания плотности, записав B.8.2)
в виде
2л р {%)
<л (х, у; z) = J d% J [\i (x + pcosl,y + p sin A,) - ц (х, у)] ^~ri +
0 0 ' P
2Л
§ 2]
имеем
УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
239
2л р(К)
г
р
W (х, у,г)=^-\ dX [ц {х + р cos Я, у + р sin Я) - ц (х, у)\ X
О О
2л
X
zd%
(Я,)
B.9.6)
и, далее,
2Я р (К)
2л
|i (*, у) Г р2 I
Полагая
^ (х + р cos Я, г/ + р sin Я) — ц (х, г/) =
2л J [Р2 (Я) + г2]3А •
)Я; х,у), B.9.7)
где g(p, Я; х, у) конечно при р = 0, и учитывая, что
Р(И
Г р4 - 2р2г2 , _ р (X) _
J (п2 + г2)ъ!г Vn2 (X) + г2
легко получим
2л
Ш_
дг
2л j \ дх ду I v
2л
2л
. B.9.8)
0 0
Этим доказано, что в предположении о представимости плот
ности в форме B.9.7) нормальная производная потенциала
двойного слоя будет конечной, когда точка наблюдения, остаю-
остающаяся внутри упомянутого цилиндра, переходит в точку
(х, у) cz й.
240
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
Сославшись на B.9.1), B.8.2), имеем также
дг
г-»0
Л, Pj(Л1
= 4~ \ dk I ^(x + pcosA,, y + psink)-^-, B.9.9)
^o Pi (
, г/)
и не может возникнуть сомнения, что нормальная производная
в этом случае также конечна; она равна нулю на бесконечности,
так как при ]/ х2 + у2 -> оо разность ?ч — Я,0->0.
2.10. Первая краевая задача для полупространства. Предпо-
Предполагается, что на плоскости z — 0 даны значения перемещений
2 = 0- и = «о^, «/), У = do(x, г/), ш = kjo(x, у). B.10.1)
Исходим из решения уравнений теории упругости в форме Те-
доне A.3.10) гл. IV:
и = а{ —
2(l-2v)
i V 0,2 r) /j t
где fli, а2, «з, ¦& — гармонические функции. Из третьего уравне-
уравнения B.10.2) имеем, сославшись на B.9.3),
1г_0:
1. B.10.3)
Этим определена функция а3(х, у, z) и ее производные в обла-
области z ~2> 0. Теперь имеем
дг дх ду дг
так что
2A-2у) [да
г=0 3-4V
Отсюда по B.9,3) находим
Теперь имеем
ди0
дх
2A -2v) J R
2A -:
B.10.4)
B.10.5)
B.10.6)
B.10.7)
и остается подставить найденные значения четырех гармониче-
гармонических as, ¦& в исходные уравнения B.10.2).
§21
УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
241
2.11. Смешанные задачи для полупространства. Предпола-
Предполагается, что на плоскости 2 = 0 заданы перемещения и, v и нор-
нормальное напряжение oz:
2 = 0: и = ио(х,у), v = vo(x,y), oz = ol{x
Имеем
аг v „ , dw 1 — v Л ди dv
~ЩГ~ l-2v
B.11.1)
дг
- 2v
дх
ду
ft 1 -2v / (Тг ,_ Д»
1 - v \ 2|x ^ Эх
B.11.2)
и гармоническая функция #, известная на границе
Ь(х,у,0) =
l-2v
-v \2ц ' дх ' Эг/
определяется решением B.9.3) задачи Дирихле
д (х, у, z) = —
-dc,dr\.
B.11.4)
Теперь по B.10.4) и B.11.3) имеем
3-4v <г° . l-2v м«0 (?»0 _
дг
2-0
2 (l-v)
2 (l-v)
и гармоническая функция сз представляется потенциалом про-
простого слоя
±\\Щ^й1йъ B.11.5)
тогда как аь а2 определяются формулами B.10.7), в которых
¦&(|, т), 0) должно быть заменено по B.11.3).
Перейдем к рассмотрению другой смешанной задачи — на
плоскости 2 = 0 заданы касательные напряжения и перемеще-
перемещение w.
, у),
= wo(x,y). B.11.6)
По B.10.2), решая задачу Дирихле для гармонической функ-
функции а3, имеем
/ \ _ г Г Г а>о A, л) .6 <
B.11.7)
Теперь, сославшись на уравнение в перемещениях A.3.3) гл. IV,
имеем
д ди д dv d2w
j
д& д ди д dv
j i
дг дх дг ' ду дг ' дг2
дг
yz
дх
)-¦
дх2
d2w
' ду*
16 А. И. Лурье
242 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
так что
2 = 0: -^
l-2v Г 1 (dxt . Зт° \ /dV, д\
BЛ1-8)
и гармоническая функция О определяется как потенциал про-
простого слоя
±\\ l^Ldld4. B.Ц.9)
Перемещение w(x, у, z) находим по B.11.7) и B.10.2). Гармо-
Гармонические функции а\, а2 определяются теперь как потенциалы
простых слоев по условиям
_ _ п _
dwa . хр {х, у)
[I *>- дх ^ 2(l-2v) '
да,
~дг
Получаем
1_
а'"~ 2л ,! ,
= ^т" -¦
(х, у)
2-=0 ц У* ду "^ 2A -2v) "
Г f Г_L то cs п\ - ёе± -L iPlliJoLl ЗА
,! J [ i-i ^^ь. Ф др г 2A — 2v) J R'
B.11.10)
В приведенных решениях предполагается дифференцируемость
нагрузок т",(^, у), x°uz(x, у) и двукратная дифференцируемость
перемещения wo(x,y).
2.12. О принципе Сен-Венана. Формулировка Мизеса.
В пп. 1.1 и 1.2 этой главы рассматривалось напряженное состоя-
состояние в неограниченном упругом пространстве, создаваемое си-
силами, распределенными в малом объеме, на достаточном уда-
удалении от него. Было показано, что, ограничиваясь учетом ве-
величин первой степени относительно линейных размеров этого
объема, можно заменить действие такой системы сил ее интег-
интегральными характеристиками — главным вектором, главным мо-
моментом и силовым тензором. Оказалось, что на достаточном
удалении точки наблюдения напряжения, создаваемые главным
моментом, имеют тот же порядок, что и создаваемые силовым
тензором. Здесь будет показано, что это же явление констати-
констатируется и в упругом полупространстве z > 0 при нагружении его
силами, распределенными по малой площадке о его границы
z = 0.
Выберем начало координат в точке О площадки о, через
р = i,| + г2т] обозначатся вектор-радиус какой-либо точки Q
§ 2j УПРУГОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО 243
этой площадки (точки истока), через R — ОМ — вектор-радиус
точки наблюдения; тогда R'= QM = R— р, причем р ^ е, где
е — радиус круга с центром в О, в который можно заключить
площадку. С точностью до величин порядка e/R, подобно A.1.4),
имеем
ж = т+^р-*- BЛ2Л)
Потенциалы фь ор2, со, введенные в п. 2.4, будем считать компо-
компонентами вектора
^J{ ^{|o, B.12.2)
причем вектор плотности f(\, ц) представляет поверхностную
силу, компоненты которой были обозначены q\, q2, p, а ин-
интегралы в B.12.2) представляют главный вектор F системы сил
и ее силовой тензор; последний разбиваем на симметричную р
и кососимметричную п части:
F, л) do,
о о
= j^(pf + fp)do + ±^((>f-f(>)do = p + Q. B.12.3)
о о
Вместе с тем
B.12.4)
причем
m°= [ Jp Xfdo, B.12.5)
о
где tn° — главный момент системы сил / относительно точки О.
Итак, в приближении B.12.1)
® = ±F + ^m°XR + ~R-p. B.12.6)
По B.4.17) и B.4.18) вектор напряжения на площадках, пер-
перпендикулярных оси z, рассмотрением которого ограничимся,
чтобы не загромождать вычисления, будет
k-f = -^(k- VO-zW-Ф). B.12.7)
Вычисление дает
VO =- -^з-RF- ^3-т° X Е- ^Rm° X R--JrRR ¦ р + ~р,
16*
244 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
где Е — единичный тензор. Поэтому
Далее имеем
и последнее выражение упрощается, если заметить, что, по-
поскольку k- р = О,
k-p-±kXm° = ±k-
После подстановки в B.12.7) получаем
B.12.8)
Естественно, что это выражение обращается в нуль при 2 = 0,
так как точка наблюдения должна оставаться вне площадки
нагруженйя. Как и для случая неограниченного пространства,
вектор напряжения оказался представленным через главный
вектор, главный момент, первый инвариант и девиатор силового
тензора.
Слагаемое, определяемое главным вектором, имеет порядок
FJR2 = а, тогда как все остальные слагаемые имеют порядок
o/Re независимо от того, является ли система статически экви-
эквивалентной нулю или нет (то есть будет ли при F = 0 также
т° = 0 или нет). Это заставляет принять более осторожную
формулировку принципа Сен-Венана (п. 2.8 гл. IV), предложен-
предложенную Мизесом A945): порядок величин напряжений, создавае-
создаваемых в упругом теле силами, распределенными по малым
участкам его границы, на конечном удалении от этих участков
уменьшается, если нагружение каждого из них статически экви-
эквивалентно нулю.
2.13. Сверхстатическая система сил. Статически эквивалент-
эквивалентная нулю система сил называется сверхстатической при обра-
обращении в нуль ее силового тензора:
/7 = 0, т° = 0, р = 0 B.13.1)
$ 2] Упругое полупространство 245
При нагружении малого участка о границы полупространства
сверхстатической системой сил все слагаемые B.12.8) будут ну-
нулями; на достаточном удалении от участка нагружения напря-
„ „ / 8 \2
жения будут иметь по крайней мере порядок слагаемых 1-^-1 а,
неучтенных в принятом приближении B.12.1).
Пример сверхстатической системы сил представляет стати-
статически эквивалентная нулю система сил, нормальных к границе
полупространства (как в частной задаче Буссинека); тогда
h = h = 0 и
га? = |j p2f3do = 0, /n°=- JJPlf3do = 0, m° = 0,
о о
а все остальные компоненты fkps do силового тензора будут
о
нулями, так как р3 = 0.
Более общий пример представляет система сил, остающаяся
статически эквивалентной нулю при любом повороте входящих
в нее сил. Обозначим / повернутый вектор силы /; тогда, со-
сославшись на A.8.1), A.8.2), имеем / = /-Л, где А—тензор по-
поворота. Примем для простоты, что при сообщенном повороте
силы повернулись на 90° вокруг оси is; тогда
i'k = isX ik, A = iki'k = - ikik Xis=-EX is,
и по условию
m'° = / J P X fdo = J J p X (is X f) do =
о о
По B.12.3) при т° = 0 силовой тензор симметричен, так что
jjf9do = p, ilIltf)-p-ia = 0, B.13.2)
о
и из этого соотношения сразу же следует, что
h{p) = Рп + Р22 + рзз = h-p-is = pss (S= 1,2,3),
так что
Pll = P22 = РЗЗ = 0. B.13.3)
Вместе с тем по B.13.2) при s=?k имеем
in • Ui (p) = 0 = ik-p-is = Pks, B.13.4)
246
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
что доказывает предложение. Например, силовой диполь
(рис. 17,а) не представляет сверхстатической системы сил,
тогда как сочетание пар на рис. 17,6 является примером сверх-
сверхстатической системы.
2.14. Теоремы Стернберга A954). Оценки быстроты убыва-
убывания напряжений в упругом полупространстве, приведенные
в п. 2.12, сохраняются в случае упругого тела конеч-
конечных размеров, ограниченного поверхностью с непрерывной кри-
кривизной.
Предполагается, что поверхность тела нагружена по не-
нескольким участкам, при выбранной единице длины имеющим
линейные размеры порядка е< 1; силы, распределенные по
участку, конечны; поэтому порядки величин главного вектора,
Рис. 17.
главного момента и силового тензора соответственно равны г2,
е3, е3. Через а(х, е) обозначается компонент напряжения, созда-
создаваемого нагружением по одному из участков, в точке наблюде-
наблюдения, находящейся от него на расстоянии х^-1. Порядок этой
величины обозначается ет:
о(лг, е) = 0{ет).
Стернберг доказал следующие предложения: 1) т^2,
если главный вектор системы сил на рассматриваемом участке
отличен от нуля; 2) т^-З, если он равен нулю, а также в слу-
случае статически эквивалентной нулю системы сил (то есть и
при обращении в нуль также и главного момента); т ^ 4, если
система сил на участке сверхстатическая.
Сказанное непосредственно следует из формул Лауричелла
A.2.20) — A.2.23). Пусть ok — один из участков загружения,
м\— фиксированная, Ми— любая точка на нем, так что
M\Mk = 9k и по условию ph -^ е. Представив вектор и" (Mh)
в виде
B.14.1)
§ 3] РАВНОВЕСИЕ УПРУГОЙ СФЕРЫ 247
имеем
так как второе слагаемое является первым инвариантом произ-
произведения тензора Vk^ на тензор F(ft)pfc. Итак, по A.2.20)
е^--р = и°- j j F{k)do + Vu°--j j F(k)pkdo+ ..., B.14.2)
и остается заметить, что первое слагаемое имеет порядок е2
площади загружения, а второй — порядок е3. Этим дается вы-
вышеприведенная оценка деформаций и значений напряжений в
точках тела, расположенных на расстояниях х\%> e. Напомним,
что тензор р и вектор u*k (M) — вспомогательные средства в вы-
выводе формул Лауричелла; конечно, они никак не связаны с рас-
распределением сил на Oh и с определяемой этим распределением
деформацией ё^.
§ 3. Равновесие упругой сферы
3.1. Постановка задачи. Решение первой и второй краевых
задач для сферы разыскивается в предложенной Е. Треффтцем
форме
u=U + (R2-Ro)Sn?. C.1.1)
Здесь #о — радиус сферы, R = isxs — вектор-радиус, U — Usis —
гармонический вектор, W — гармонический скаляр:
Г72Г/ _ Л У72Ш П 14 1 О\
V U ,5 — VJ, V 1 — \1. 1 0. 1 . ?* I
Представление решения в форме Папковича — Нейбера в слу-
случае сферы не столь быстро ведет к цели, в особенности для
первой краевой задачи.
Соотношения, связывающие гармонические функции Us и W,
следуют из уравнений теории упругости в перемещениях. По-
Последние при отсутствии объемных сил записываются в виде
A — 2v)V2m + VV-ы = 0. C.1.3)
По C.1.1), C.1.2) имеем
V2h = V^VY = 6V41" + 4# • VW = V BXF + 4R • уЧ), C.1.4)
VV • и — V(V • U + 2R • W), C.1.5)
и подстановка в C.1.3) приводит к искомому соотношению
-~V-f/=O. C.1.6)
248 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Тензор деформации и объемное расширение представляются
в виде
е = def U + RVW + (V40 R + (R2 - JXU/ . . -, , /о , ,
3.1./
Теперь легко составляется выражение вектора напряжения на
поверхности сферы R = const:
- Rl) R ¦ VVXV\ C.1.8)
или
-±-RPR = n + (R*-Rl)R.W4, C.1.9)
где в рассмотрение введен вектор
П = Т^г7 RW • v + T=?TRR • VW + /? • def f/+ tfW. C.1.10)
Этот вектор оказывается гармоническим. Действительно, исполь-
используя снова C.1.4), C.1.5), имеем
V2#V • U = 2VV • U; V2RR • VW = 2V {R ¦ V^);
W2R ¦ def U = VV • U; V2tfW = 2VW + 4VR
и подстановка в C.1.10) дает
j V [i V • U + A - 2v) W + C - 4v) R
Но величина в скобках по C.1.6) равна нулю; итак,
V2n = 0. C.1.11)
3.2. Первая краевая задача. Заданный на поверхности О
сферы вектор перемещения и представим в соответствии
с п. VI. 4 его разложением по сферическим векторам Лапласа:
= 2 ап0Рп (ц) + S Km cos ml + Ьпт sin m%) Pn (v) • C.2.1)
n=0 L m-l J
Ho no C.1.1) значения на О гармонического вектора U и век-
вектора перемещения и равны
д=0 п=0
§ 3] РАВНОВЕСИЕ УПРУГОЙ СФЕРЫ 249
Поэтому, сославшись на (VI. 4. 2) имеем
' Id ч d ^ а о л\
— (/2+1) \А ^ АО/. ^O.Z.t^
Здесь ?/„, f/_(n+i) — однородные гармонические векторы сте-
степени п и —(п+\). Гармонический скаляр W будем также
разыскивать в виде рядов по однородным гармоническим поли-
полиномам степени п для внутренней и —(п + 1) для внешней за-
задачи:
Ш C-2.5)
п=0 п=0
сох
C.2.6)
п=0 п=й
Здесь и далее при рассмотрении краевых задач для сферы мно-
многократно применяется теорема Эйлера об однородных функциях
(VI. 2.2):
R ¦ VUn = nUn, R'Wn = nVn. C.2.7)
Пользуясь ею и основным соотношением C.1.6), имеем
A - 2v) Чп-i + C - 4v) (я - 1) ЧГЛ_1 + \ V • Un = О,
так что
Ч^ , = - У'У" C 2 8Ъ
п~' 2 3re-2-2vB«-1) w.^.<->/
и, далее,
1 grad div Un /о 9 n\
2 3«-2-2vB«-l) ' \o.z.V)
причем V • Uо = V • а00 = 0. По C.1.1) имеем теперь
где по сказанному Ч*1-! = 0. Итак, решение внутренней задачи
представляется рядом
?%^] W<«o). C.2.10)
250 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Решение внешней задачи получим при замене под знаком
суммы л на —(п + 1):
Здесь по C.2.3), C.2.4)
Уп(ц, Л), ?/-(.+i) = (irf+4(H,A), C.2.12)
а векторы Уп(ц, Я) — сферические векторы Лапласа, задавае-
задаваемые разложением C.2.1).
3.3. Эластостатическая задача Робена для шара. В соответ-
соответствии с п. 4.7 гл. IV речь идет о напряженном состоянии в упру-
упругой среде, когда впаянному в нее твердому шару сообщается
малое перемещение
и* = и0 + (ох#. C.3.1)
Здесь «о и со — постоянные векторы. Точкам ограничивающей
среду полости О, поверхности шара R = Rq, сообщается пере-
перемещение
я I*-*.= "*'*-*» = "о+ fi>x*°' C-3.2)
где Ro — вектор-радиус точки на О. Правая часть C.3.2) уже
представлена суммой сферических векторов Лапласа нулевого
и первого порядка
Уо = ы0, У, = «> X Ro.
Поэтому, сославшись на C.2.4), имеем
^
C.3.3)
В общем выражении C.2.11) имеем теперь
и = н_1 + и_2, C.3.4)
причем
Имеем
divt/_, = -
div C/_2 = 0,
§ 3] РАВНОВЕСИЕ УПРУГОЙ СФЕРЫ 251
и решение задачи дается формулами
в \
C.3.5)
пЗ
C.3.6)
Последняя формула определяет перемещение, создаваемое цент-
центром вращения [см. A.2.12)]; там же был определен вектор на-
напряжений на поверхности шара, а также главный момент сил,
который следует приложить к шару, чтобы сообщить ему тре-
требуемый поворот о; главный вектор этих сил равен нулю.
Вычисление распределения напряжений, вызываемых посту-
поступательным смещением и0 шара, более громоздко. Имеем
е = def в-! = 2 E _ 6°v) Ri { - [A - 2v) + -^-J (Ru0 + UoR) +
-2v
и тензор напряжения на поверхности О оказывается равным
3 1
5-6v Rl
C.3.7)
1 f
2ц
Вектор напряжения на этой поверхности определяется теперь
формулой
1 Т „ _ ' Г Rl) 3A -У) ,г. „ „ч
ж " ~ ~ жг ¦ ж = E-6v) я; ""¦ C-3-8)
Поэтому главный вектор сил, сообщающий впаянному шару пе-
перемещение Но, равен
V-^rU C.3.9)
Их главный момент равен нулю.
3.4. Тепловые напряжения в шаре. Предполагается задан-
заданным установившееся распределение температуры 8 на поверх-
поверхности упругого шара, заключенного в абсолютно твердую обо-
оболочку. Иными словами, решение задачи разыскивается по усло-
условиям
г,_я = 2 Zn(n, I), «L „ =0. C.4.
252 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Здесь Zn(\i,%) — сферические функции Лапласа, по которым
разлагается гармоническая при R < Ro функция —температура
Частное решение и, уравнений равновесия в перемещениях, со-
соответствующее наличию в них температурного слагаемого, по
A.14.7) и A.14.8) гл. IV определяется соотношениями
«. = Vx, V2X - a ±tL 0 = а|±? ? вп. C.4.3)
Достаточно найти какое-либо частное решение х этого уравне-
уравнения. Оно разыскивается в виде
n-0
Правая часть представляет однородный гармонический поли-
полином. Полагая
In = AnR2Qn, S/2%n = Ап F6n + AR • VX«) = F ¦
имеем
7-~Ta l-v
так что
я-0
Решение разыскивается в виде суммы
C.4.4)
причем вектор v, представляющий решение однородных уравне-
уравнений равновесия в перемещениях, по C.4.1) должен быть опре-
определен по краевому условию
L д=о л-0
C.4.5)
Вектор V8n, как градиент гармонического скаляра, является
гармоническим вектором; поэтому значение его на поверхности
§ 3] РАВНОВЕСИЕ УПРУГОЙ СФЕРЫ 253
сферы представляет сферический вектор Лапласа порядка п—1.
Разбивая теперь искомый вектор v на два слагаемых:
v=a(v
определяемых краевыми условиями
д=0
можно, сославшись на C.2.10) и учитывая, что div V6n
= V28n = 0, сразу же записать выражение г>B) в виде
п-0
Задача сведена к определению вектора flA>. Ограничиваясь
рассмотрением случая симметричного распределения темпера-
температуры по поверхности сферы, имеем Zn = anoPn(\i)', теперь тре-
требуется заменить вектор
е^РпЫ) = tf'i cosX + «2sink)sin ¦& + i3 cos
его разложением по сферическим векторам Лапласа. Восполь-
Воспользуемся для этого известными рекуррентными формулами
Bп+ 1)цР„(ц) = (ft + 1) Рп+Х (ц) + яР„_, (ц),
Bп + 1) Р„(ц) = Pn+iiv) - P»-i О*)-
Тогда, вспомнив определение присоединенных к Р„ (ц) реше-
решений, получим
ецРп (и) = ^гг ft*i cos X + i2 sin X) р\+х (ц) + (п + 1) *3Р„
+1^тг f ~(ii cos х+'2sin ^ р«-'(|л) + "'
Величины в скобках представляют сферические векторы Ла-
Лапласа [см. (VI. 2.10)]. Теперь, введя обозначения
Y'n+l (ц, X) = -^-р \егР{п+х (ц) + ft (я + 1) Р
„+,
приведем краевое условие C.4.6) для вектора irt'> к виду
254 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Через er, k обозначены здесь единичные векторы цилиндриче-
цилиндрической системы координат (er = i\ cos к + h sin X, k = i3). Компо-
Компоненту Zn — an0Pn в краевом условии C.4.6) соответствуют два
гармонических вектора:
причем [7_i = 0. По C.2.10) и C.4.4) — C.4.7) решение задачи
дается равенством
п=0 п=0 п—0
Зя + 1 - 2v Bл +
п=0
Зл - 5 - 2v Bл - 3)
где
, C.4.11)
6„ = <Ц^-) Ра(ц). C.4.12)
Пусть, например, температура поверхности — линейная функ-
функция:
По такому же линейному закону она, очевидно, изменяется
внутри тела:
Вычисление по вышеприведенным формулам дает
и =
4 - 6v 2RQ
¦(R2-Rt)k,
что просто проверить по A.14.3) гл. IV; по A.14.1) гл. IV легко
вычисляются также напряжения.
3.5. Вторая краевая задача для сферы. Через Рп в п. 3.1
был назван вектор напряжений на поверхности любой сферы,
концентрической со сферой О радиуса Ro. На последней век-
вектор Pr задан и может быть представлен рядом по сферическим
векторам Лапласа
оо
пр j V у /,, И /"Ч Е\ 1\
§ 3] РАВНОВЕСИЕ УПРУГОЙ СФЕРЫ 255
Этот ряд по C.1.9) и C.1.11) представляет значение на поверх-
поверхности сферы вектора
п=-ш 2 (-?¦)" Yn ь> ^)=2 lln' (з-5-2)
/г=0 я —0
гармонического внутри сферы, и вектора
оо оо
п — _L VfA] v di ji — V тт (ч ъ ч)
2G /т^\ R ) п ^' ' ~ лЛ -(«+О> (,o.j.o;
гармонического вне ее. Буквой G здесь обозначается модуль
сдвига.
Решение внешней задачи, как известно, можно получить, за-
заменив п на —(га + 1) в решении внутренней. Поэтому сначала
рассматривается только последняя. По C.1.9) определение PR
требует знания гармонического скаляра ^F; он может быть най-
найден путем исключения гармонического вектора U из равенств
C.1.6), C.1.10). Из последнего уравнения, учитывая, что
V2l7 = 0 и V2? = 0, имеем
+ -R-VV
Заменив здесь Ч-U его значением C.1.6), получим
У-П = —2[A + v)W + A +2v)R-VW + K-VR- W].
Теперь, представляя гармонический скаляр 4s суммой гармони-
гармонических полиномов
ft-0
имеем
R • VT = ^ ftWft, /? . VJ? |j
ft=i ft=i
оо оо
V • П = 2 V • П„ = - 2 2 [*2 + A + 2v) ft + A + v)] Ч^.
n0 fe0
n=0
Слева стоит сумма гармонических полиномов степени п—1, так
что, полагая k = п— 1, получаек
=
д-i 2 и2-(! -2v)n + (l-v) '
СО
иг = _ ± V v-nn
2 ^J п?-(\-2у)п+\-у
C.5.4)
256
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
и, учитывая, что VH'n-i — гармонический вектор степени п — 2,
имеем по C.1.9)
Вместе с тем по C.1.6), C.1.1) находим
V . П= У C-4v)ra-2(l-v) „ _ п
1л я2 — A — 2v) п + 1 — у ' п'
«=о
n2 - A -
- v
C.5.6)
Из последней формулы определяется сумма нормальных напря-
напряжений
О = I
«2 — A — 2v) « + A —
C.5.7)
Система приложенных к шару внешних сил должна быть стати-
статически эквивалентна нулю — должны обращаться в нуль ее глав-
главный вектор V и главный момент т°:
= J J"
О,
C-5.8)
Известно, что интеграл по поверхности сферы от произведения
двух поверхностных векторов Лапласа различных порядков
равен нулю; поэтому при вычислении интегралов C.5.8) сле-
следует в разложении C.5.1) сохранить лишь слагаемое Уо в пер-
первом и У] во втором. Получаем
V =
= 0,
т
1G 11 J V -X Пч dx = Щ- GRlv ХП1 = О, C.5.9)
так как V X IIi — постоянный вектор. Итак, в разложении век-
вектора поверхностных сил должно отсутствовать постоянное сла-
-и
гаемое Уо> а слагаемое Ro Y\ подчинено условию
2GII, = JL У, = Vtf, R^Y^R
C.5.10)
где Я —некоторая однородная квадратичная форма координат
х, у, z. Суммирование в формулах C.5.5) — C.5.7) следует начи-
§ 3) РАВНОВЕСИЕ УПРУГОЙ СФЕРЫ 257
нать с п = 1, а во второй группе слагаемых C.5.5) с п = 3. За-
Заменив «на —(п + 1) в разложениях C.5.5), C.5.7), придем к
решениям внешней задачи
п = 0
" ,2 |2C-32V)B+~3(l'-v) ' C-5Л2)
3.6. Вычисление вектора перемещения. Формулами C.5.5),
C.5.7) определены сумма нормальных напряжений и вектор на-
напряжения на любой концентрической с О поверхности сферы
R < Ro. Более сложно находится вектор перемещения. Исполь-
Используя формулы
V X щ = cpV X а + Vcp X а, V X R ¦ def U = \- R • VV x U,
по C.1.10) и C.1.6) найдем
1
i_2vRXS?R-Vx? + 2RxW =
г-A -4v)RX V(R- V^O + jjR- VV X V, C.6.1)
откуда, учитывая еще, что
R • VV X Un = (п — 1) V X Un,
и вспомнив C.5.4), найдем при п Ф 1
V х U = ' [2V X П пA-4у)-3 + 2у ^ х vv . П 1
C.6.2)
Полагая теперь в C.1.10)
def C/ =
^RX(VX U)
и снова применив C.1.6), получим
П = - 2vR4 + A - 4v) RR • VW + ^2VY + /? . V?/+ ^- /? X (V x V),
так что
17 А. и. Л>рье
258 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Исключив теперь V X V с помощью C.6.2), a vF,>-i— по C.5.4),
придем к равенству
n
+ 7Г(Г-1)[^-0-йя + 1 -v]
и по C.1.1), C.5.4) вектор перемещения оказывается равным
Очевидно, что слагаемое, соответствующее м = 0, входит в вы-
выражение вектора перемещения сферы как твердого тела. Сла-
Слагаемое Mi представляет вектор, линейно зависящий от коорди-
координат; оно может быть представлено произведением
«, = А ¦ R = - (Л + А') ¦ R + \ (А - А*) ¦ R, C.6.5)
где А — постоянный тензор второго ранга, который можно счи-
считать симметричным (А == л"), так как присутствие в нем косо-
симметричной части добавило бы к вектору лишь слагаемое
входящее в произвольно добавляемый вектор перемещения
твердого тела. Вычисляемый по U] тензор напряжения ТО) равен
[t^ ] C.6.6)
так что
Первый инвариант тензора А определяем по C.6.6), C.5.7):
так что
«i=lIi-TT7*v>I1i- C>6-
§ 3] РАВНОВЕСИЕ УПРУГОЙ СФЕРЫ 259
В случае внешней задачи, изменив п на —(га + 1) в формуле
C.6.3), имеем
x rot п-
C.6.9)
для всех п = О, 1,2, ...; вектор перемещения определяется фор-
формулой
3.7. Напряженное состояние в центре шара. Вектор напря-
напряжения на произвольно ориентированной площадке в центре шара
(R = 0), определяемый формулой C.5.5), равен
Ro I/1 ' 2G + 5^
— для определения напряжений в центре сферы достаточно
знать только первый и третий члены разложения C.5.1) нагруз-
нагрузки в ряд по сферическим векторам Лапласа.
3.8. Тепловые напряжения. Поверхность О сферы предпола-
предполагается ненагруженной, а температурный режим — стационар-
стационарным. Вектор перемещения, как в п. 3. 4, представляется в виде
u = v + Vx, C.8.1)
где х — частное решение уравнения Пуассона C.4.4), v — век-
вектор, определяемый из однородных уравнений равновесия в пе-
перемещениях. Тензор напряжений по A.14.1) гл. IV равен
Т = Т (и) - 2G ~l^~aQE = T (v) + f (Vx) - 2G -^~
где операция Т над вектором а определяется очевидным равен-
равенством
Т (а) = 2G (-f^b— E div a + rief a),
так что
1?»
260 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Теперь, сославшись на A.14.8) гл. IV и на C.1.8), имеем
f = f (v) + 2G (WX - V25c?) = f (v) + 2G (wx - -i±^-a9?),
RPs=R.f = RPR(v) + 2
Но, как указывалось в п. 3.4,
-S VX.-a-|±J-2
д=0
где Э„ — однородные гармонические полиномы п-й степени, по
которым разложена в ряд гармоническая функция В, а %„ — од-
однородные полиномы (п + 2)-й степени, так что
R ¦ vvXn = (n+ i)vXrt = «4^ ww(w*+у ^2 • v
и, далее,
C.8.2)
Вектор г> определяется краевым условием
и гармонический вектор II (v) оказывается равным
1-v
" д=0
(n + 2)am Г/ ?> \"+i , / d \i-i
tt=O
§ 3] РАВНОВЕСИЕ УПРУГОЙ СФЕРЫ 261
где использовано уже известное по п. 3.4 представление век-
вектора (eRQn)R_R(t по сферическим векторам Лапласа C.4.8). Те-
Теперь по C.5.5) получаем
2 а
д=0
2 а 1-v ^ol^o- К ) 2и 2« + 3 L«2 + «(l+ 2v)+1+v +
(«-3)VV-n**_, 1
+ /i*-C-2v)n + 3(l-v)J' C-8>5)
где введены обозначения гармонических векторов
Гп+1, п»-1 = а«о(-^-) П-ь C.8.6)
Нетрудно проверить, что при линейном законе распределения
температуры
4^z; afe0 = 0, 6 = 2, 3, ...,
О
вычисляемый по этим формулам вектор PR действительно ока-
оказывается равным нулю (п. 1.14 гл. IV). Поэтому суммирование
надо начинать с п = 2.
Напряжение в центре (R = 0) определяется заданием лишь
второго слагаемого в разложении C.4.12) температуры в ряд
по гармоническим полиномам; остальные слагаемые, в том чис-
числе содержащие аю, при R = 0 обращаются в нуль. Вычисление,
в котором используются формулы C.8.5), C.8.6), C.4.8) и
(VI. 2.17), дает
±^^er). C.8.7)
3.9. Напряженное состояние в окрестности сферической по-
полости. На большом удалении от полости напряженное состояние
предполагается однородным; оно задается постоянным тензо-
тензором f°°. Тензор напряжений при наличии полости обозначается
Т, он представляется суммой
f = f°°+f*, C.9.1)
где V—тензор, обращающийся в нуль на бесконечности (при
R—>оо); им определяется возмущение напряженного состояния
262
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
вызываемое полостью. Поверхность последней R — Ro предпо-
предполагается свободной от нагружения. Поэтому
(eR • Г)*.*, = 0, (ей ¦ fV* = - («* • f\mR,.
или
RPR \R_Rit = - RoeR • f°° = - RoeR ¦ isikt7k =
= - Roik fsin О {tTk cos A + t?k sin l) + /.% cos fl] = - У, (ц, X). C.9.2)
Гармонический вектор П* должен быть определен равенством
п* = п*_, = - Л. (^J Y[ ^ к) = _ _L (^)ч я. f - (з.9.з)
(^) Y[ ^ к) = _ L
Выражение C.6.10) для вектора перемещения, в котором сохра-
сохраняется лишь одно слагаемое п= 1, записывается в виде
и =
?3 ' 7 - 5v Я3
Пусть, в частности, f°° = г'з&С то есть речь идет о напря-
напряженном состоянии в растягиваемом стержне при наличии в нем
сферической раковины с весьма малым по сравнению с разме-
размерами стержня диаметром. Для напряжений на поверхности ра-
раковины очевидное, хотя и довольно громоздкое вычисление по
формуле C.9.4) приводит к сравнительно простым формулам
оо
ofl = т 15v) B7 - 15v - 30 cos2 fl),
(I5v — 3 - 30v cos2 #)
°>-2/-fry)
и, в частности, при ¦& -- гг/2
а при д = 0
3+15 v по п__оо
0{) = оА = - -2j7~--^-y Ог « - 0,75а,- .
Максимальное растягивающее напряжение создается на эква-
экваторе полости, оно в 2,07 раза больше номинального напряже-
напряжения 0?; сжимающие напряжения 0,75сьГ создаются в полюсах
^ 3| РАВНОВЕСИЕ УПРУГОЙ СФЕРЫ 263
полости. Концентрация напряжений имеет местный характер.
Например, в плоскости экватора \1 = л/2
_ - _Л=Г1 4- 45V (
2 G - 5v) \ R ) ' 2 G - 5v) \ R
При R = Ro получаем, конечно, вышеприведенное значение
2,07а~, но уже при R = 2R0 оно падает до 1,03а".
3.10. Напряженное состояние в окрестности малой сфериче-
сферической полости в скрученном цилиндрическом стержне. Аналогич-
Аналогично рассматриваются задачи, в которых задаваемое на бесконеч-
бесконечности напряженное состояние неоднородно. Например, в скру-
скрученном цилиндрическом стержне
^хг ~ ~ ~1 У' %цг = '*''
1 р у 1 р
ИЛИ
т°° __ z \. (ii-i-ii)u-4-(ii-4-ii\r] C 10 1^
h 3 113
где М, — крутящий момент, 1Р — полярный момент инерции
стержня.
Полагая, как выше,
f = Г» + Г,
имеем
(RPr)r=r = — Ro^r • f °° = ^-sin dcos-e1 (— tj sin h + i2cosA) =
= - -~- P\ Ы (- h sin I + i2 cos X) = -Y2 ((x, k).
Поэтому
или
"IM00' «°° = ^(~-i,y-H2xJ> C.10.2)
где м1^ — вектор перемещения на бесконечном удалении от по-
полости, В разложении C.6.10) сохраняется лишь слагаемое п — 2.
Учитывая, что
,. ц°° _
div -j^- = 0,
получаем
В сферических координатах имеем
C.10.4)
264
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
и отличны от нуля только напряжения
dR
На поверхности полости
5 Мг
э5 | sin ¦& cos Ф.
. о
sin
C.10.5)
C.10.6)
Искажение напряженного состояния имеет резко выраженный
местный характер. Максимальное касательное напряжение на
М R
I2
М
25% превосходит номинальное напряжение —I
'р
Простота полученного решения объясняется тем, что задача
о кручении тела вращения сводится к разысканию одного лишь
перемещения их, причем произведение щеа представляет гармо-
гармоническую функцию (см. п. 1.11 гл. IV).
3.11. Действие массовых сил. При действии массовых сил с
потенциалом Ф частное решение уравнений равновесия в пере-
перемещениях определяется из соотношений A.4.7), A.4.10) гл. IV:
7 Ф ОП1)
2. Тогда и % разыскивается как
Далее рассматриваются частные случаи задания Ф.
1°. Ф-Ф(г), г =
функция только г:
_1_ d d% _
г dr dr
l-2v
2G(l-v) V,
l-2v
2G(l-v)
^ J ГФ
/
1
C.11.2)
и, далее, по A.1.3) гл. IV
s 1
— v
Е\Ф (г) +
+ A - 2v) [ егегФ (г) - ~ {егег - ефеф)[ J гФ (г) + С ) J |, C.11.3)
причем er, e!(, k обозначают единичные векторы цилиндрической
системы координат (см. п. III.7).
§ 3] РАВНОВЕСИЕ УПРУГОЙ СФЕРЫ 265
Например, при вращении твердого тела вокруг неподвижной
оси Oz с постоянной угловой скоростью (о потенциал центробеж-
центробежных сил равен по A.2.6) гл. I
Ф = --2-^-со2г2=-у71«Х^|2, C.11.4)
и остающееся конечным при г = 0 частное решение для вектора
перемещения будет
и = —
l-2v ум2 ,
Г е
2G(l-v) 8g " v——,
а отличные от нуля компоненты тензора напряжений равны
ум2 3 - 2у 2 уш2 1 + 2у 2 Y«2 v 2
°r— gg j_v > и<р 8j 1-v ' г 2g 1-v
C.11.6)
2°. ф = Ф(#), ^ = )/л:2 + г/2 + 22. Теперь по C.11.1), разы-
разыскивая х как функцию У?, имеем
1 d R2 d% _ 1-2у
/?2 d/? ^ d/? 2G(l-y)
так что
н= ] 2v e 1-^ I R2O(R)dR + C1J, C.11.7)
2G A — v) л1 v /?2 i \ ч' i / \ /
¦(l-2v)
/? + ? ) J } • C.11.8)
3°. Потенциал Ф — гармоническая функция, представимая
рядом однородных гармонических полиномов:
C.11.9)
Как и в п. 3.8, найдем
v - l~2v O2 V ЪЛх, У, г)
266 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
3.12. Гравитирующий шар. Из теории ньютонова потенциа-
потенциала известно, что сила притяжения, действующая на частицу
шара единичной массы, направлена к центру шара и пропорцио-
пропорциональна по величине радиусу этой частицы:
| C.12.1)
Здесь Ro — радиус шара, \ — значение объемной силы на по-
поверхности шара, то есть в случае земного шара вес единицы
объема. Частное решение C.11.7) будет
„•- 1 -2v у/?2 р /о to <?\
" бп^ГГ* ( )
а по C.11.8) и C.1.8) находим
п т* рр* = ~
Y,.
C.12.3)
Поверхность шара не нагружена, и по C.6.8) на решение
C.12.2) следует наложить решение
Получаем
Вектор напряжения в центре шара определяем по C.7.1):
(*Л-о = - lofr^T yR°eR- C-12'5)
Для Земли (у = 5,53 г/см3, /?0 = 6,37 • I08 см) вычисляемое по
этой формуле напряжение оказывается неправдоподобно боль-
большим; это указывает на неприменимость принятых методов линей-
линейной теории упругости в рассматриваемой задаче.
3.13. Вращающийся шар. Тензор напряжений Т и вектор
перемещения и представляются в виде
f = fo + fi u = mo + m\ C.13.1)
где f°, u° —частные решения C.11.6), C.11.5), определяемые
действием центробежных сил. Записывая Т° в виде
^ C~ 2v) + ***A + 2v) + Akkv] R2{[~fx2)l
^ЗЛЗ.21
РАВНОВЕСИЕ УПРУГОЙ СФЕРЫ
267
имеем, сославшись на (VI. 2.12), (VI. 2.16),
R.f°=- -20(iV!v)g R" {I2 <3 ~ 2v) егР>(fx) + C + 2v) *
- [1 C - 2v) erP3 (ц) + C + 2v) kP3 (ц) ]}, C.13.3)
где, как выше в п. 3.4, введен единичный вектор е,, так что
eR = ег sin ¦& + & cos ¦&.
Условие отсутствия иагружения на поверхности шара R = Ro
записывается в виде
или
Здесь Пь Пз — гармонические при R < Ro векторы
R тт / R \3 ¦
C.13.4)
а Уь У3 — сферические векторы Лапласа, определяемые по
C.13.3):
У, = А [2 C - 2v) er Р\ (ц) + C + 2v) kPl (ц)],
у3 = - Л [1 C - 2v) erP3 (ц) + C + 2v) kP3 (j
C-13.5)
причем
Л =
40G(l-v)g
Вектор перемещения определяется по формулам C.6.3),
C.6.4), C.6.8) и C.13.1), C.11.5). В п. 4.5 приведены более об-
общие формулы для случая эллипсоида вращения. В полюсе и на
экваторе шара вектор перемещения оказывается равным
3 I 2A-2у) 2 B + у)
I 2A
L 15
v)
2gG
пЗ[ 2A -2у)
3 G + 5v)
2 + v
k,
'5 A + v) r 3 G + 5v)
C.13.6)
где k, er — единичные векторы цилиндрической системы коорди-
координат. В применении к Земле, задаваясь сжатием у полюсов
ед = 1/300 и принимая v = 1/3, находим G~'2,6-IO5 кг/см'2—¦
это приблизительно значение модуля сдкига стекла.
268
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. \
Вектор напряжения на поверхности шара R < ^о, определяе-
определяемый по C.5.5), оказывается равным
(R2o - R2) [2 C - 2v) erp\ (ц) + C -
V»2
C.13.7)
Вместе с тем
Рн = еп • f = ет • Т sin ¦& + k ¦ f cos ¦&,
и поэтому на экваторе и в полюсе шара
2) [
Т) =
-v)
i-rj|2C-2v) +
2v-
14 +
21-2v
7 + 5v
C.13.8)
Векторы (e, • f) v=n/j, (ft'7")v-o коллинеарны соответственно ег
и fe, поэтому на экваторе и в полюсе касательные напряжения
%rz отсутствуют, а приведенные формулы определяют нормаль-
нормальные напряжения ог и соответственно о2.
Сумма нормальных напряжений в центре шара опреде-
определяется по C.5.7):
^^A5-6v). C.13.9)
Отсюда и из C.13.8) имеем
2 C - 2v)
^v)
21-2v
"I
20g(l~v)
C.13.10)
Равенство нормальных напряжений сг и а?. в центре шара,
впрочем, следует и из соображений симметрии.
3.14. Действие сосредоточенных сил. Рассматривается напря-
напряженное состояние в сфере, нагруженной уравновешенной си-
системой сосредоточенных сил Q{, приложенных в точках RoeW
поверхности. Конечно, эта система сил предполагается уравно-
уравновешенной:
N N
2Qi = 0, 2 е? X Q, = 0. C.14.1)
Плоскость, проведенная через вектор-радиус точки приложения
силы Qi и линию действия ее, пересечет сферу по меридиональ-
§ 3] РАВНОВЕСИЕ УПРУГОЙ СФЕРЫ 269
ной плоскости я?; положение меридиональной плоскости .-г*,
проходящей через точку приложения силы Q, и точку наблюде-
наблюдения ReR, определяется углом этой плоскости с плоскостью л°;
через Э, обозначается угол в плоскости щ между векторами
у. = cos 8(. = е^ ¦ eR = cos ft cos ft, + sin ft sin ft\ cos (A — X{), C.14.2)
где (Ro,®i,h) и (R, ft, А)—сферические координаты точек при-
приложения сил и точки наблюдения. Очевидно, что (Е — единич-
единичный тензор)
R ¦ Е /}/? 1
Уу. = Ve^ • eR = We^ ¦ -^- = eRl • ~^~ eRl • -^r = -g (e^ ~ YieR)-
C.14.3)
Разложение по сферическим поверхностным векторам Лап-
Лапласа вектора, представляющего сосредоточенную силу Qu полу-
получим путем предельного перехода в^ —*0 от поверхностной на-
нагрузки:
О, e,<9,<Ji,
-рр, 0<6г<е,,
Сославшись на (VI. 4.8), имеем
Вместе с тем
B«+1) f Рп(у'^с1у^ = Prt_,(cosE(.) — Pn j(coseA
cos z-t
так как Ри(\) = 1. Далее,
lim -\ [Pn-i{coset) - Pn+i(coset)] =
_ .. 1 dcose, rn/ .,. _,, .iSi 2n+l
e, = 0
de,-
и, следовательно, представление сосредоточенной силы (расхо-
(расходящимся) рядом по полиномам Лежандра Рп{Уг) будет
270 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Сославшись теперь на C.5.1), C.5.2), получаем
СО «1 Л'
n = SU-=8cbrSB»+1)(i)"S«^^). (ЗЛ4.4)
fl = 0 н = 0 ( = 1
Заметим, что ряд
сходится и имеет суммой
так что
П = ° У Q (№ + R2- 2RRny.V3k. C.14.5)
Возвращаясь к C.14.4), получим
TV
П - 2я+1 р" V
и, далее, сославшись на C.14.3),
)Qi, C.14.6)
так как
nPn-yiP'^-P'n-i- О-14-7)
Сумма нормальных напряжений по C.5.7) представляется
рядом
C.14.8)
Теперь имеем
* V • «Ч (V,) Qt = ^И~21(я - {
Снова применив C.14.7), молено этот результат записать в виде
%)} ¦ Qh
C.14.9)
§ 3] РАВНОВЕСИЕ УПРУГОЙ СФЕРЫ 271
и распределение напряжений на поверхностях R = const по
C.5.5) записывается в виде
р/? =
V Bга+ 1) (га-2) Г/ R \"-3 I R
2|ra2-(l-2v)ra+l-v| \\R0) \R0
В центре сферы по (VI. 2.12) и C.7.1) находим
е<»е«
t • eRe%]. C.14.1
Например, в случае сферы, сжатой двумя сосредоточенными
в ее полюсах силами, имеем
Q2 = kQ, ef=-k, Y2= -eR'kz= -
и no C.14.11)
так что нормальные напряжения на площадках, параллельных
направлению сил и к ним перпендикулярных, соответственно
будут (v = 1/3)
ох= 22Щ ^-Л" 0.605. а,
3.15. Случай распределенной нагрузки. В формулах C.14.10)
и C.14.8) следует заменить суммы интегралами. Задавай
272 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
распределение нагружения вектором Р^(ц', А/), имеем
п=\ О -1
Г/ р \п~3 / р \ге-П
X
1
"Т
X
1
" 4л;
2л
0
У
'А,'
i
1
J'
-i
Bft
г2-A
fH'PO
+
—
¦ ft
1)
2i
(n
')'
-2)
г + 1 - v]
tf
+ «/Л (Y) + («fo + вл^) Я?-, (V)], (ЗЛ5.1)
причем у = цц' + 1 1 — }л2 У 1 — j/ cos (Л —Я'). Выражение сум-
суммы нормальных напряжений представится в виде
If
R 1
2Я
X
о -i
1
Jdji'P» (jx', Я') • [е^; (v) - eR P;_, (у)]. C.15.2)
Заметим, сославшись на C.14.5), что первую группу слагае-
слагаемых в C.15.1) можно записать в форме известного интеграла
Пуассона
§ 4. Тела вращения
4.1. Интегральное уравнение равновесия. Применяя обозна-
обозначения п. III.9, рассмотрим тело вращения с ненагруженной бо-
боковой поверхностью q2 = q%; ортогональные ей поверхности
qx — ±qlQ будем называть торцевыми; принимается, что поверх-
поверхность q2 = q\ вырождается в ось вращения Oz и на ней
r(ql,q2) = 0 D.1.1)
и что поверхность q1 = 0 представляет на плоскости z = О
область внутри окружности радиуса ft:
z@,</2) = 0, r(O,^)<r@, </2)=й. D.1.2)
§ 4] ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 273
Вектор напряжения на торцевой поверхности равен
е, • f = а,е, Ч- т12е2 + т1феф, D.1.3)
и распределение напряжений на ней статически эквивалентно
главному вектору
2я "О
V = J dtp J (a,e, + т12е2 + т1феф) H2r dq2 D.1.4)
и главному моменту
2л "О
т° =
J (rer + kz) X (a,ei + т12е2 + т1феф) Н2г dq2. D.1.5)
Здесь H2r d(p dq2 — элемент площади поверхности q1 = const.
Полагая
V^iiVx + bVy + kVz, m° = mji + m^2 + mjt, D.1.6)
где в терминологии теории балок Vx, Vy — перерезывающие,
V2 — растягивающая силы, а тх, ту — изгибающие, mz—кру-
mz—крутящий моменты, и используя формулы (III. 9.8), имеем
2
"О
D.1.7)
Вместе с тем
2я «О
18 А. И. Лурье
г)] еф + Я2т1ф(rft -ze,)\,
274
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
так что
2я
г
тх = — dcp
0 "I
дг дг
Sinq>
2я
Щ —
)\ СОЭф - Я2Т1ф2 ЭШф
2л
Ш;
= 1
D.1.8)
Краевые условия на боковой поверхности, очевидно, записы-
записываются в виде
Я =^о: т12 = °> ^ = 0, т =0.
D.1.9)
Поскольку боковая поверхность не нагружена, главный век-
вектор V и главный момент т° напряжений, распределенных по
торцевой поверхности, не зависят от ql. Это следует из про-
простейших соображений статики: силы, приложенные к телу, огра-
ограниченному двумя произвольно взятыми поверхностями qx —
— const и боковой поверхностью q2 = q20, находятся в равно-
равновесии, так что их главный вектор и главный момент один и тот
же на любой поверхности qx. Далее на распределение напряже-
напряжений по этим поверхностям накладывается лишь требование их
статической эквивалентности заданным V и т°.
Так поставленная задача распадается на четыре существенно
различных задачи: 1) растяжение продольной силой Уг; 2) кру-
кручение моментом mz; 3) изгиб парой тх (или tnv); 4) изгиб
силой Vx (или Vу). Напряженное состояние в задачах 1) и 2),
как подсказывают формулы D.1.7), D.1.8), можно считать осе-
симметричным, причем в задаче растяжения отличны от нуля
напряжения а\, стг. сг(р, х\2 и перемещения «ь м2, а в задаче
кручения — напряжения ткг, т.2сГ, и перемещение v — щ (см.
п. 1.10 гл. IV). Более сложны задачи изгиба: в них отличны от
нуля все компоненты тензора напряжения и вектора перемеще-
перемещения; в соответствии с D.1.7), D.1.8) можно принять в задаче
§ 4] ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ 275
изгиба силой Vx (Vv) и парой ту (тх) напряжения и переме-
перемещения
ffi) а2> ^ср. Т12> «1> Щ пропорциональными cos ф (sin ф),
Tiq» т2ф, иф пропорциональными sin ф (cos ф).
В рассмотрение удобно ввести «номинальные» напряжения:
они определяются, как вычисляемые по элементарной теории
напряжения при действии рассматриваемой силы или момента
в круглом стержне с радиусом Ь = г @, q§:
Vx V z niyb Am у mzb 2mz
Формулы D.1,7), D.1.8) после интегрирования по ф можно
записать в виде
D.1.10)
D.1.11)
2
*
„2
4
2
2, D.1.12)
D.1.13)
,2
Здесь, как и в пп. 1.11 —1.13 гл. IV, звездочкой отмечены
.множители перед соэф, вшф в выражениях напряжений неосе-
симметричных задач изгиба.
Интегралы в формулах D.1.10) и D.1.12) указывают, что
в задачах растяжения и изгиба силой напряжения убывают при
./? = У г2 + z2-> оо не медленнее, чем R~2, а в задачах кручения
и изгиба парами — не медленнее, чем /?~3.
Поскольку величины qx, . . ., pz постоянные, не зависящие от
q], можно при вычислении по упомянутым формулам, сославшись
276
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
на D.1.2), принять q{ = 0, 2 = 0 и, значит, dz/dq2 = 0. Прихо-
Приходим к равенствам
4
dq\
D.1.14)
D-1.15)
\ D.1.16)
D.1.17)
4.2. Растяжение однополого гиперболоида вращения. С целью
определения концентрации напряжений в глубинной выточке на
поверхности цилиндрического стержня Нейбер рассмотрел ряд
задач о равновесии тела, ограни-
ограниченного поверхностью однополого
гиперболоида вращения (рис. 18),
при различных заданиях главно-
главного вектора и главного момента
внешних сил на торцевых поверхно-
поверхностях ненагруженного по боковой по-
г верхности деформируемого тела. В
этом пункте рассматривается зада-
задача растяжения, а далее — кручения
и изгиба. В рассмотрение вводятся
криволинейные ортогональные коор-
координаты п. III. 10
-26
Рис. 18.
г = a/l+s2 jA-H2. z = as\i,
причем —oo<s-<oo, 0<ц<Л (по III. 10.7) и на оси враще-
вращения гиперболоида q1 = g2 = ix= 1; на ненагруженной поверхно-
поверхности гиперболоида q2 = ql = \i0. Краевые условия D.1.9) записы-
записываются в виде
н = Ио: а2=0, Т12 = 0, D.2.1)
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
277
тогда как распределение напряжений на части поверхности лю-
любого эллипсоида s — s0, ограниченного поверхностью ц — ц0, удо-
удовлетворяет условию D.1.11) или D.1.15):
И-0 I
так как здесь Ь2 = а2 A — ц2,)- Напряжения с ростом s убывают
-2
не медленнее, чем s
Обращаясь к формулам A.12.13) гл. IV, имеем следующие
выражения напряжений через осесимметричные гармонические
функции Ьо. Ьъ\
2G~
дЬъ 1 + s2
+ u2 \ 3s r ds
363
?T + ^
2G
1-Д2
3ft0 , .. - 363
s(l+s2)
ааф 1 - ц2 Г
G~= s2 + n2 L
2v
1 + s2 363
+ S
s /36,
ds
1+s2
2G
ds
d\i ' ds
\i / 360 , „„ З&3
duds)^ s2 + Ц2 \ 3s
3s
D.2.3)
Из этих выражений следует, что с ростом s функция Ьо долж-
должна возрастать не быстрее ins, a b3 — убывать не медленнее,
чем s~K
278
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Ц'Л. \
Осесимметричной гармонической функцией, растущей, как
In s, является
In ~ = {in A + s2) + ~ In A - ц2).
D.2.4)
Она не остается ограниченной на оси гиперболоида (при ц =1);
но эту особенность можно исключить, добавляя к D.2.4) реше-
решение Qo(l-i) [см. (VI. 3.3)]. Поэтому одним из используемых ре-
решений, входящих в состав Ьо, будет
Ф (s, v) = In ^л Qo (и) = j In A + s2) + In (I + ц). D.2.5)
Осесимметричными решениями уравнения Лапласа, убывающи-
убывающими, как s~l и s~2, являются по (VI. 3.7) и (VI. 1.8) функции
qo(s)Po(\*)= arcctgs, <?, (s)P, (ц) = (s arcctgs— 1)ц. D.2.6)
Первое принимается за Ь2, второе включается в b0. Итак, по-
полагаем
D.2.7)
После вычисления по формулам D.2.3) краевые условия
D.2.1), которым надо удовлетворять при любом s, записы-
записываются в виде
Но
D.2.8)
Нет ничего неожиданного в том, что в правильно взятом реше-
решении выполнение, скажем, первого краевого условия (для ао = 0)
автоматически влечет выполнение второго. Для такого решения
распределенные но поверхностям двух произвольно взятых
эллипсоидов, ограниченных куском поверхности S]^s^Cs2 ги-
гиперболоида fx = цо. напряжения уравновешиваются. Но на этом
куске по условию <з2 = 0, значит, и напряжения х\2 на нем ста-
статически эквивалентны нулю, и вследствие произвола выбора
sb S2 напряжения Т|о = 0.
Получаем
? \
'i ISM)
\
§ 4J
и отсюда по D.2.2)
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
279
D.2.10)
Этим полностью определяется напряженное состояние. Ко-
Коэффициенты концентрации напряжений о\, о\г определяются от-
отношением их в наиболее глубокой точке выточки \х = цо, s = 0
(в критической точке) к номинальному напряжению:
V I -
U 2
D.2.11)
Например, при |io = 0,2, принимая v = 0,3, имеем k\ = 5,08,
k,{ = 1,65. Вместо цо в эту формулу вносят кривизну меридиана
в критической точке
а 1 -Но
Напряжения быстро убывают по мере удаления от критиче-
критической точки; это позволяет оценивать коэффициент концентрации
в точке максимальной кривизны наружной выточки на теле вра-
вращения при любой форме меридиана по его значению D.2.11)
для гиперболоида.
4.3. Кручение гиперболоида. Это — наиболее простая задача
в рассматриваемой группе задач, так как, в соответствии с
п. 1.11 гл. IV, решение сводится к разысканию одной лишь гар-
гармонической функции иег'ф такой, что v/r убывает с ростом s не
медленнее ,s~3. Решение дается функцией
v = aCq\ (s) Р\ (ц) = аС {-^^ - arcctg s) V^
q—--arcctgs).
и по A.11,3) гл. IV
0 TUp
^Т+Т5" у ~^ + ^2 >
D.3.1)
D.3.2)
Краевое условие на боковой поверхности D.1.9) удовлетворяет-
удовлетворяется, а постоянная С, определяемая по D.1.17), оказывается
равной
8 о
280 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Коэффициент концентрации напряжения Т1Ф дается формулой
A11] 3 <1 + ^а D34}
И-Ио
4.4. Изгиб гиперболоида. Задачи изгиба тела вращения не
осесимметричны, и гармонические функции Во, Въ следует брать
пропорциональными cos ср; при изгибе силой Vx и парой пгу в
решение включается также гармоническая функция В\, так что
Вг = В\ cos ф, В9 = —В\ sin ф,
и поэтому, приняв
Вг = br (q\ q2) cos ф, Bv = b,( (q\ q2) sin ф,
имеем в формулах A.13.5), A.13.6) гл. IV
п = 1, Ьг = —6Ф = Ви D.4.1)
причем 6Г, 6Ф — осесимметричные гармонические функции (см.
также A.13.4) гл. IV), равно как boei(f, 63ei(p.
Структура формул A.2.13), A.2.14) и A.13.5), A.13.6)
гл. IV с учетом того, что г, z, Я2 возрастают пропорционально s,
#i с ростом s остается конечной величиной, а напряжения в за-
задаче изгиба силой (парой) убывают, как s~2(s~3), накладывает
определенные требования на порядок роста введенных в рас-
рассмотрение функций bo, b%, br = —6Ф.
Изгиб силой. В состав гармонической функции Ьое{ч>
вносится слагаемое, остающееся конечным при s —>¦ оо. Таковы-
Таковыми при п= 1 являются по (VI. 3.12), (VI. 3.16), (IV. 3.17)
разность которых конечна на оси гиперболоида (при ц. = 1):
fii. D.4.3)
+
В состав bo вносится еще одно слагаемое вида D.3.1). Функция
Ьз должна убывать, как s~\ Таким решением, конечным на оси
гиперболоида, является
cp2(s, ц)- ~ 9j(s)lQi(n)-Pi0i)] = -p=r/Y^- ¦ D-4.4)
§4]
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
281
Наконец, Ъг — осесимметричная гармоническая функция, убы-
убывающая, как S'1; таковой является qo{s) = arcctgs. Итак, реше-
решение задачи строится с помощью функций
+ в
-arcctgs) r,
l/ -j—^ . &r= - &m=-Darcctgs.
F 1 4- II
D.4.5)
Трех постоянных оказывается достаточным, чтобы удовлетво-
удовлетворить трем краевым условиям D.1.9); четвертое уравнение
дается условием D.1.14).
Изгиб парой т,у. Набор функций, решающих эту задачу,
дается функциями
+s2
Bq\ (s)
Ьт = — Ьщ = DPX (ц.) qx (s) = D\i (s arcctg s — 1),
причем no (VI.3.7), (VI. 3.1.1), (VI.2.16)
q\ (s) = 3 V 1 + s2 s arcctg s — 1 —
D.4.6)
3 (.1 + s2)
Опускаем дальнейшее вычисление, которое заняло бы много
места. Аналогично рассматриваются задачи о напряженном со-
состоянии упругого пространства при наличии в нем полости,
ограниченной поверхностью сжатого эллипсоида вращения, при
заданном напряженном состоянии на бесконечности. Способ ре-
решения более общей задачи, когда поверхность полости является
трехосным эллипсоидом, указан в § 5 этой главы.
4.5. Вращающийся эллипсоид вращения. Предполагается,
что эллипсоид вращается вокруг его оси симметрии (оси Ог).
Частное решение, соответствующее действию массовой центро-
центробежной силы, предполагается выбранным по формулам C.11.5),
C.11.6). Решение этой осесимметричной задачи строится с по-
помощью бигармонической функции Лява х (см. п. 1.10 гл. IV).
Применяются цилиндрические координаты г, z, так как исполь-
использование вырожденных эллиптических координат было бы более
сложно.
На напряженное состояние Т°, задаваемое формулами
C.11.6), налагается также осесимметричное напряженное со-
состояние Т*, определяемое по краевому условию
282 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
или, в развернутом виде,
°Х + КгПг = Аг\> Х\гПг + аХ = А1Г\> D.5.1)
. _ ю2у C - 2v) , _ со2уу а с 9ч
а 9
А~ 8ff(l-v) ' Л'~ 2g(l-v) • ^4'5-^
Здесь иг, я2 — проекции на направления ет, k единичного век-
вектора нормали я к поверхности эллипсоида, так что
дг , дг , \ яг fe/C.5 г s2 ± 1 га2 г
nr dr/ds r s2 r c2 ra '
где а = с2/а2 — квадрат отношения полуосей эллипсоида, кото-
который может быть как сплющенным, так и вытянутым (см.
п. III. 10). По A.10.6) гл. IV приходим к краевым условиям
D.5.3)
которые должны быть выполнены на поверхности эллипсоида
z2 = c2 — ar2. D.5.4)
Нетрудно понять, что бигармоническая функция % должна быть
нечетной по г; тогда в правые части D.5.3) войдут (после со-
сокращения на г и г) только слагаемые, четные по z, которые да-
далее исключаются с помощью D.5.4).
Аксиально-симметричные гармонические внутри эллипсоида
функции RnPn(\i) представимы следующими однородными по-
полиномами по г, z (см. п. VI. 2):
R*Pt (и) = г4 - 3zV + 4 r\ R5P, (и) = г5 - 52V2 + -^ r*z
(отброшены несущественные числовые множители). Они обозна-
обозначаются далее фЬ ср2, ..., ф5. Бигармонической функцией яв-
является произведение гармонической на z или на z2 + г'2 = R2.
Поэтому в состав / кроме ф3, ф5 включаются
(Г2 + 22)фЬ гф2, (Г2 + 22)ф3, 2ф4, . . .
Оказывается достаточным принять
% = С3с2ф3 + С5ф5 + D^zr'1 + D2 (zY- - j r*z), D.5.5)
причем третье и четвертое бигармонические слагаемые линейно
представимы через перечисленные функции.
§ 4]
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
283
Определив постоянные, приходим к следующим выражениям
компонент тензора Г":
D.5.6)
где обозначено
Q= 8g(f-
. D.5.7)
Проекция вектора перемещения и на направления er, k опреде-
определяются по формулам
~ ur = ah \^ [2 C - 2v) - 4v (у + 2a + 2av)] +
+ r(c2~z2){C-2v)[2-v + 4a(l - v)] + 4v (-j-- 2av -
D.5.8)
nr>
+ z (c2 ~ —) {- 2 C - 2v) [1 + Da + 1) v + 4v Ba - 5v)]} +
2\ - C - 2v) [v-4a A - v)] + 4v ( П 10v+2a)|. D.5.9)
284 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
В частности, в полюсах и на экваторе эллипсоида вращения
B0 Ч-, - 8g A - v) Д { TTv t ~ 4 C - 2v) + 4v (v + 4a + 4av)] +
-|a[- 2C-2v)(H-4av + v) + 4vBa~5v)]}, D.5.10)
D.5.11)
При а= 1 возвращаемся к формулам C.13.10) для сферы*).
§ 5. Эллипсоид
5.1. Эластостатическая задача Робена для трехосного эллип-
эллипсоида. Постановка задачи была дана в п. 4.7 гл. IV, а в п. 3.3
приведено ее решение в наиболее простом случае смещения
твердой сферы в неограниченной упругой среде. Здесь эта за-
задача рассматривается в предположении, что смещаемым твер-
твердым телом является трехосный эллипсоид
2 2 2
Xi Хп Хо
~YJ+ 2/ 2_ 2) И 2/ 2_ ) -1=0 E.1.1)
с полуосями ар0, аУр^ —е2, а Ур|—1. При решении исполь-
используются потенциалы простого слоя на эллипсоиде, перечисленные
в (VI. 8.3) и обозначаемые здесь для упрощения записей через
tyi(x,y,z). На поверхности эллипсоида и внутри него эти потен-
потенциалы принимают значения, соответственно равные
фо = 1; i|>s = xs (s = 1, 2, 3), г),^ = x2xs, г]M = x3Xi, if6 = X\X2, E.1.2)
а вне эллипсоида
Функции со., (р) задаются эллиптическими интегралами с по-
помощью формул (VI. 7.5) — (VI. 7.9); обозначения а>\к) в них здесь
заменены на cos для s = 1, 2, 3, а и^ — на cos для s = 4, 5, 6.
*) Случай вращающегося тонкого сплющенного эллипсоида, рассмотренный
Кри (С. Chree, 1895), может быть получен из вышеприведенных формул
при a <C 1.
§ 5]
ЭЛЛИПСОИД
285
Далее рассматривается сначала случай задания впаянному
в упругую среду эллипсоиду поступательного перемещения
р = р0: и = ы°
и затем отдельно — перемещения поворота
р = р0: и = 6 X Ro,
E.1.5)
E.1.6)
где #о — вектор-радиус точки на поверхности E.1.1).
5.2. Поступательное перемещение. Для построения гармони-
гармонических вектора В и скаляра Во в решении Папковича — Ней-
бера A.4.10) гл. IV, записываемом здесь в виде
з
us = C - 4v) Bs - 2j Ч -
dxs
dxs
(s = 1,2,3), E.2.1)
применяются потенциалы \|з0, ipi, 1K2, ^з- Принимаем
Bs = C5ifo, Bo = Mufi + М2Ц2 + Af3if3 (s = 1, 2, 3), E.2.2)
и шести постоянных Cs, Ms оказывается достаточным, чтобы
удовлетворить краевым условиям E.1.5). Действительно, раз-
развернутая запись равенств E.2.1) представляется в виде
1
Д(р) dxs
<»о(Ро)
с,
<Во(Ро
;(Ро)
М,
И, (р0) р2
<-2 | '
МроГ <о2(ро) (р2-
и остается принять
ио (Ро)
С3
= 0,
S S
с,
ио (Ро) йз (Ро) (Ро -
(s=l, 2, 3),
= 0.
¦ = о,
E.2.4)
Отсюда находим постоянные Cs, Мя. Используя также соот-
соотношения (III. 11.26), приходим к выражениям перемещений
1 сг, (р0) 1^
¦(Р) л ,
а2 (р„)
м, =
E.2.5)
286 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
где введены обозначения
а2 (р) = C - 4v) ©0 (р) + (р2 - е2) ш2 (р),
[ГЛ. V
E.2.6)
н -ч
2 Lor, (Po)
сг2(Ро
- +
03(Ро) Р2-1
причем
р4 ^ (р2-е2J ' (р2-!J '
рД (р) D = А (р) Яр = а V(Р2 ~ й2) (Р2 ~ v2).
, E.2.7)
E.2.8)
5.3. Распределение напряжений по поверхности эллипсоида.
Зная вектор перемещения, конечно, можно вычислить тензор
напряжений в любой точке среды. Его выражение очень гро-
громоздко, поэтому ограничимся определением вектора напряжения
tn на поверхности эллипсоида (при р = р0). Учитывая при этом,
что
»//^_.. 40-v)
-1.2, 3),
E.3.1)
имеем (р = ро)
дщ Г 4A -V)
dxs
ди2
Л (Ро) "i (Ро)
4A — v) и\
Л(Ро) <МРо)
4A-v) и%
Ро2
2Ро
оШ
;-е-
Зхс
E.3.2)
2Ро
А(Ро) °з(Ро) Ро-1
Замечая еще, что на поверхности эллипсоида ns = ~- p0DQ, где
Ms — косинус угла единичного вектора нормали к поверхности
эллипсоида р = р0 с осью х,„ имеем
1
2A-2v)
dp
E.3.3)
f-l
§ 5]
ЭЛЛИПСОИД
287
Еще раз сославшись на формулы (III. 11.26), имеем вместе
с тем
V ЦТ дР = 4A-у) I" «1 х, и°2 х2 и\ л-3 1
ai(Po) Ро аг(Ро) Ро-е2 0з(Ро)Ро-и
2 ..2 ..1! \
4 U
так что по E.2.7), E.2.8)
з
E.3.4)
Подстановка в E.3.3) дает теперь
2G 90D
1 1
1g n2~~~^D0 \2
Ро
Ф° =-
2G
p0ZH
Po-1
или, по (III. 11.21) и (III. 11.22),
4G(l-v)
CTi(Po)
стг(Ро)
E.3.5)
af(Po)
0з(Ро)
(s= 1,2,3). E.3.6)
Этот неожиданно простой результат, полученный прямым вы-
вычислением, может быть сразу же найден, если основываться на
представлении вектора Папковича — Нейбера D.3.15) гл. IV,
в котором плотность а(М0) как раз является искомым вектором
напряжения —tn на поверхности полости в упругой среде, что
следует из выражения D.7.1) гл. IV. В нашем случае по E.2.2)
и E.2.5) проекции вектора В при р = р0 равны
Вя =
as (Ро)
«о (р),
E.3.7)
а на поверхности эллипсоида имеют постоянные значения, ко-
которые являются также значениями этих гармонических функ-
функций и внутри эллипсоида. Итак, сославшись на D,3.15) гл. IV,
288
имеем
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
1
16nG(l-v) J
О
°s (po)
°s (Po)
«о (р). Р > Ро.
«о (Ро). Р < Ро.
[ГЛ. V
E.3.8)
и по теореме о разрыве нормальной производной простого слоя
dB(i) gB(e)
дп дп
= — 4я ,g_^
16яОA -v) '
или
4G(l-v)
как и требовалось.
Уравнением
Qs+
определяются проекции силы Q, которую следует приложить к
эллипсоиду, чтобы сообщить ему перемещение и0. Имеем по
(III. 11.22), (III. 11.23)
do = #,,# v d\i dv,
do
Д (p0)
а (ц2-v2)
Д) (|х) Д (v)
du. dv,
так что по E.3.6)
= 32G(l-v)
0
(v)
¦ dv,
где интегрирование ведется по октанту эллипсоида. Вычисление
дает
1 е е 1
о I* .
Д (v) V J Д; (ц) ~
О е
Ми)
е 0
J
-0
= К (ef) E (е) - К И К (е)
§ 5] ЭЛЛИПСОИД 289
так что по известному соотношению Лежандра
1 е
е О
Получаем
l~v)irtb (*= 1.2,3). E.3.9)
5.4. Перемещение поворота. Задаем гармонические функции
Папковича — Нейбсра равенствами
5, = Dfi.x^ (р)-?>;езх2со2Н ]
Д, = DjjO^jCe, (p) - Я^А^з (Р). | E.4.1)
B3 = D3e,x2co2(p)- D&*,©, (р), |
Во = iV191x2x3co4 (р) + ^б^зх^з (р) + Ы3в3х^2а6 (р), E.4.2)
так что
л-, Б, + х2В2 + хД + Во = 9,х2х3 [D3co2 (p) - Z)^ co3 (р) + Л^,ю4 (р)] +
+ e^gX, [Z},(o3 (p) - D>, (p) + iV2co5 (p)| +
+ бз^Л [А>Ю1 (Р) " D>2 (P) + ^«е (Р>1- E-4.3)
Компонент и.\ вектора перемещения представляется формулой
и{ = %х3 [C - 4v) D,©3 (p) + D>, (p) - iV2co5 (p)] -
- 93х2 [C - 4v) D>2 (p) + D2co, (p) + ]Улш6 (p)j +
1 dp i Г D3 D'2 .V,
0 [ +
i
I
Do N,
' P2(P2-D
, E-4.4)
и аналогично записываются выражения ц2, «з- Теперь краевые
условия E.1.6)
р = р0: «1 = бг^з ~ 9з#2, = Эз-Vi — OiX3, u3 = 8]X2 — 02Xi
приводят к системе девяти уравнении для такого же числа неиз-
неизвестных постоянных A, Ds, Л/,. Она распадается на три незави-
независимые системы, соответствующие поворотам вокруг каждой in
19 А. И. Лурье
290
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
осей эллипсоида. Например, система, порождаемая поворотом
0i вокруг оси хи будет
C - 4v) D3«2 (p0) + D>3 (Po) - N^4 (Po) = 1'
C - 4v) D>3 (p0) + D3co2 (Po) + 7V,co4 (p0) = 1,
(р2о-1)(Ро2-е2)
Р2-1
= 0.
E.4.5)
Опуская вычисление, в котором используются также соотноше-
соотношения (VI. 7.7) — (VI. 7.9), приводим окончательные выражения
для перемещений точек упругой среды:
U\ =
1
(р0
I (Po)
P2
-ft 5'(р)
"з - н i*2 fll (ро)
Здесь обозначено:
fi1(p) = 2(l-2v)©2(p)©3(p0)
E.4.6)
б2 (р) = 2 A -2v) со3 (Р) со
, (po
(р0) [(р02- 1) оK
(р)],
E.4.7)
*
а функции 6S (p) отличаются от 6s(p) заменой индексов в пер-
первом слагаемом, например:
E.4.8)
и очевидно, что б* (р0) = 6,, (р0). Функция Q в решениях E.4.6)
определяется равенством
о._ 1 Г 8, (Ог(Ро)-Сйз(ро) ,
Ы ~ рД (р) Д2 L «1 (Ро) (Р2 - е2) (р2 - 1) *2*3 +
"г (Оз(ро)-Ю| (Ро) „ v , 63 СО, (р0) - И2 (ро)
I
:(ро) (р2- 1) р2
Р2(р2-е2)
5.5. Распределение напряжений по поверхности эллипсоида.
Вычисление проводится в предположении, что только Gi Ф 0; со-
соображения симметрии подскажут вслед за этим запись формул
для общего случая.
§5)
ЭЛЛИПСОИД
291
По E.4.1) и E.4.5) имеем
5, = О, В2=- 01D^3oK(p), B3 =
где
1
? -
- 2(l-v)e,(p0)
Подобно E.3.8) имеем теперь
(Р0) + О - 2V) СО3
(p), E.5.1)
E.5.2)
'о)]-
1т.
R
а также
1
16itG(l-v)
'из
1q)=52'), p<p0,
• =в(зв). Р>Ро>
и применение теоремы о нормальной производной потенциала
простого слоя приводит к следующим выражениям компонент
вектора напряжений на поверхности эллипсоида:
2G9,x3
т2(ро) .
J
2ое,х2
бх (Ро) //р
Po-1
: (РО) + Л-^Т ^З (РО) | '
E.5.3)
Моменты tn°s относительно осей xs, которые должны быть
приложены к эллипсоиду, чтобы сообщить ему поворот в, опре-
определяются равенствами
= - JJ (x2tn3 - x3tn2) do = ||^г {A - 2v) [co2'(po) /3 +
С03(Ро) /2] + (О, (р0) [(pg -
d0=то
v) [йз (Ро) 7i
= - J J
0
{A ~ 2V) [CO, (ft,) Jo
E.5.4)
19*
292 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Здесь
[ГЛ. V
Рол Ы
о
2 do г _ 1
11 о \"о ti )
¦^3 =
1
do
о о
Учитывая равенства
-, п, = -
3~
имеем
Вместе с тем
9 0
Р ~ в
Ро
—1
E.5.5)
E.5.6)
JJ
.v, do = И п,х2 do = rt-j-Xg do =
Г л-
так что
= у nabc = -г зга3р0 v (p2 — 1) (p2 — e2),
4
/) — J% — /3 — -5- Л!.'
и выражения E.5.4) приводятся к виду
8ла3
где введены обозначения:
Yi (Ро) = ftTTTZT U1 ~ 2v) f°>2 (Ро) + «з (РоI +
1, 2, 3),
E.5.7)
Y2 (Ро) = 57(^7
со3 (Ро) Н- (о, (po)j + Bр20 - 1) со5 (р0)},
E.5.8)
5.6. Эллипсоидальная полость в неограниченной упругой
среде. Напряженное состояние на бесконечном удалении от по-
полости задается тензором
f E.6.1)
главные оси которого параллельны осям эллипсоидальной по-
поверхности полости
V2 ,,2 -2
0|4т/т1тт-«г = С E.6.2)
§ 5] ЭЛЛИПСОИД 293
Тензор напряжений Т представляется суммой тензора Т°° и кор-
корректирующего тензора Т*:
? = Г» + Г, E.6.3)
определяемого по краевому условию
р = р0: п ¦ Г = - п • Г° = - {nj{qx + n2i2q2 + n3i3q3) E.6.4)
выражающему, что поверхность полости не нагружена; через
пв обозначены проекции внешней нормали к этой поверхности
на координатные оси.
Вектор перемещения, соответствующий корректирующему
тензору Т*, представляется через гармонические функции Bs, Bo
Папковича — Нейбера по формуле A.4.10) гл. IV:
щ = 4 A - v) Bs - -?- {Blxl + В2х2 + В3х3 + Во).
Сославшись также на формулу A.4.17) гл. IV, можно после не-
несложного преобразования привести краевые условия E.6.4) к
виду*)
^ fc=i
.У «|i.f|i E=1,2,3). E.6.5)
ьл R дп dxs дп dxs v > > / \ i
xs дп dxs
Гармонические функции Bs естественно задать потенциалами
(VI. 8.9), принимающими на поверхности р = р0 значения, про-
пропорциональные координатам:
В, = Л,л:М1(р), В2 = Л2г/оJ(р), В3 = А3г<й3(р), E.6.6)
причем функции cos(p) определены эллиптическими интегра-
интегралами. Гармонический скаляр Во зададим в виде
во = С, (pg - a,J F4co4 (р) + С2 (Ро2 - a2f F5v5 (p) + Л« + Л0а2со0 (р).
E.6.7)
Здесь ^^(р), ^^(р) — потенциалы, обозначенные в п. VI.8
через Ff&f, Ff&f,
F *2 \ У2 | г2 а2 р _ х2 , У2 | *2 Я2
а, + а,-е2 + ет, — 1 а> Г* а2
E.6.8)
*) В укороченных записях, конечно, Х]=х, Х2=у, Xi = z.
294 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
тогда как а — ньютонов потенциал (VI. 8.20):
оо
Г
E.6.9)
В преобразованиях краевых условий E.6.5) существенно ис-
используются равенства (III. 11.19), (III. 11.21), (III. 11.26) и вы-
выражения проекций вектора нормали
п = -*— = х_ и, = ^ = У _ ]
рЯр p«KD/ (р2-е2)Яр (Р*-»8)^'!
М5-6Л0)
zp
Р
Здесь D2 — форма, обозначенная в п. III. 11 через D\\
_е2J + (p*_i)»-- E.6.11)
В рассмотрение вводится также форма
^З" р6 + (Р2-е2K ^ (P2-1K " 2р ар ' 1О.О.U)
причем последнее соотношение легко проверить, обратившись
к указанным только что равенствам. Для укорочения записей
вводятся также обозначения форм
ФЛх,У,г) = А1^ + А2^т+А,-^гт + А,а\ E.6.13)
(х, y,z) = A{^ + A2 j^f + А,-^~т, E.6.14)
Ог = ^ + 715Г72Г+7-2—ТГ7 ГГ (/ = 1, 2). E.6.15)
1 р20. ' (р2-е2)(а. -е2) ' (р2-1)(о.-1) v ' > у '
Выражения производных первого порядка от функций, со-
содержащих р и декартовы координаты, несложны; например, со-
сославшись на (VI.7.5), (III. 11.26), имеем
д , ч , ч d<Bi да
^-хсо1(р) = со1(р) + х^^ =
=й'^-^г1=^(р)-тетр7- {5-6Л6)
Еще проще вычисление производной по нормали
1--—^y). E.6.17)
С помощью формул E.6.10) производятся преобразования вида
.,.„ _ ХУ _ „ ., Р2
§5]
ЭЛЛИПСОИД
295
и т. д., позволяющие в записи первого краевого условия E.6.5)
вынести в правой части за скобку пх, второго — п2, третьего —
«з- Более громоздки выражения вторых производных; это вычис-
вычисление облегчается тем, что вторые производные в краевых усло-
условиях E.6.5) представляют находимые по правилу E.6.17) про-
производные по нормали от первых производных функций Папко-
вича — Нейбера. Особенно просты вычисления, относящиеся к
потенциалу E.6.9); сославшись на соотношение E.6.2), выпол-
выполняющееся согласно (III. 11.9), при любом р имеем
1 -\ E.6.18)
да> _ „ д За
dxs 's s> дп dxs
^^ ~рМр)
Следует еще заметить, что одно из слагаемых, включенных в
состав Во, излишне, так как эти четыре функции связаны линей-
линейным соотношением (VI. 8.16).
5.7. Краевые условия. В каждое из трех уравнений, выражаю-
выражающих краевые условия E.6.5), входят две группы слагаемых.
В первую группу (Is) входят величины, постоянные на поверх-
поверхности полости р = р0; вторая группа (IIS) содержит слагаемые,
зависящие не только от р0, но и от декартовых координат х, у, z
точки на этой поверхности. Приходим к равенству: р = р0
-^ ••= - {A -2v)
+ А (Ив_ _Lj_
(P2-P2J
G2-as
tth
рД
2р2А;
,2Л2
р'-
{[is (P) - -g- P2A2] (Ф, + C,F4 + C2F5) +
-pWiO.-Cfii-C^i)} E.7.1)
9-^2
(s=l, 2, 3),
причем а! = 0, a2 = e2, a3=l и введены обозначения:
2Xs = 3p4-2(l+e2)p2 + e2 + -
A2(p) = (p2-l)(p2-e2),
E.7.2)
Следует потребовать, чтобы квадратичный полином
ф, + CiF4 + C2F5
293 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
делился нацело на ?J; при учете E.6.2) это условие записы-
записывается в виде
Oi + C\Fi + C2F5 = xD2 + kD\ E.7.3)
и приводит к четырем уравнениям
р2 - <xs ox — as 02 — as (p2 - asJ p2 - as
(s=l,2, 3),
I ~~г~ L>2 — Л i -^*q« \О-1 «О
Вторая группа слагаемых в уравнениях E.7.1) теперь при-
приводится к виду
, E.7.6)
и оказывается возможным член в квадратных скобках прирав-
приравнять KD2. Действительно, приняв
+ Ф2 - CjG, - C2G2- XD2 = 2jiD, = О
приходим к системе четырех уравнений
я _| As~X
(р2 - asK ^ (Р2 - a,J
Г ^ I ?* 1 -
L (Р2 - 0,) @, - а,) ^ (р2 - а2) (а2 - а,) ]
причем система уравнений E.7.8) тождественно удовлетво-
удовлетворяется в силу E.7.4), E.7.7). Действительно, по E.7.4) она мо-
может быть записана в виде
С / 1 1 \ i С2
0, - as \ р2 - 0, р2 - as j ~ а2 -
1
¦ as \ р2 - 02 р2 - as
то есть приводится к E.7.7).
Краевые условия E.7.1) теперь дают систему уравнений, пра-
правые части которой, как и надо, постоянны при р = р0:
<Ол + с, — — со,
4 1 о2 — а^
С'_ 1 С2 1 P2-Ct,
Рд •
§ 5]
ЭЛЛИПСОИД
297
5.8. Выражения постоянных через три параметра. Определив
постоянные Си С2 по E.7.5), E.7.7), имеем (здесь и далее
Р = Ро)
С, = -4— [(Я + Ао) (р2 - а,) - ц (р2 - а,) (р2 - а2)], ]
2 , ' | E.8.1)
С2 = ^^ Г- ft + А>) (р2 - *2) + и (р2 - <О (р2 - ъ)] j
п по E.7.4)
Л
Но по определению (VI. 6.8) чисел аи а2
=1,2). E.8.2)
5=1
Отсюда следует, что постоянные As должны быть связаны равен-
равенством
s-I
E.8.3)
которому можно удовлетворить, лишь приняв
Я + Ао = 0.
Но тогда по E.8.1)
С[ = -С2 = С = ^L- (р2 - а,) (р2 - о«), E.8.4)
и параметр ц далее можно заменить на С. По E.7.4) получаем
(от, - *,
as)
E.8.5)
или, подробнее,
E.8.6)
Постоянные Л., выражены через три параметра, но в краевые
условия входит еще четвертый параметр А; его присутствие
298 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
излишне. Действительно, обратившись к исходному представле-
представлению перемещений через гармонические функции Ss, Bq:
з
щ = 4 A - v) Asxs*a (р) - Ц-, V = V Лк*Х + 50,
и сославшись на E.6.7), E.8.3), E.8.6), E.6.9), имеем
з
V = (А - к) со + ^ V— *К + С [(р? - ст,J F4co4-(p2-cr2J F5co5] +
Pn U(
В выражениях трех перемещений по E.6.18) постоянные к, А
войдут в единой комбинации
так что сохранение постоянной А одновременно с к приводит
только к замене обозначений.
Сумма трех эллиптических интегралов coi + сог 4- соз выра*
жается элементарно:
1,1,1
{) г ' I2 - е2 " к2 - 1
Р
dk | 1 i и, ( 1 -г П I _,Л г_ л / 41 —1 /с О О\
р
что легко проверить дифференцированием.
Краевые условия E.7.9) теперь представляются тремя урав-
уравнениями, содержащими такое же число неизвестных к, к, С; при
р = р0 имеем
рА
V %S (Р) \ ¦
-а, 62Д2 1 +
р2 р2-е2 , P2-l \ 1-v Р2-ау
е2 ' е2A-е2) 2 1 - е2 3/ (а, - а^) (а2 - as) рЛ
0,-а, (Я2-0,J
§5]
ЭЛЛИПСОИД
299
Перемещения определяются соотношениями (здесь, конечно,
надо различать р и р0)
(
-2v) Л
с
i-°5 (°i-a,)(ff2-as)
,(P)-
at-as
¦ «5 (p) Xs +
1 dp | | x
K
Д(р) дх.
с? у2
Ро х\
+ С
2 2
Р~е
(Р2-0,J 4
1-е2 р2- 1
^F51|. E.8.10)
Здесь, напомним,
а, = 0, а2 = е2, а3 = 1,
=, .2 „ _ 1 _^Р_ _
_
р (р2 - as) D2 '
(aj - а;) (а2 - а;) = -j-, (al - а2) (сг2 - а2) = - -^ е2 A - е2),
(а, - а3) (а2 - а3) = у A - е2).
5.9. Сфероидальная полость в упругой среде. Пусть поверх-
поверхность полости представляет эллипсоид вращения, а поле тен-
тензора напряжения Т°° симметрично относительно оси вращения
этого эллипсоида.
При е — 0 поверхность полости представляет сплющенный
эллипсоид вращения вокруг оси г; тогда, полагая
Р2 = 1 + 52, fi?p =
s ds
У1 + s2
имеем
А (р) = s /1 + s2 pA(p) = s(l+s2)
и далее, сославшись на (VI. 3.7), (VI. 3.13), (VI. 7.5), находим
dk
i= г
(О, = СО, =
dX
A+Я2J 2
1 / s
— arcctg s
2 I 6
l+s2
E.9.1)
300
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
В предположении qi = Цг задача будет осесимметричной и
второе краевое условие E.8.9) повторяет первое; достаточно со-
сохранить лишь две постоянные К, х. Приходим к краевым усло-
условиям: при s = s0
AG
¦¦ A A — 2v) («! + и3) — к
Ы
iW
2vsg-4sg-l
2so3(l+s2J
Перемещения определяются формулами E.8.10):
4\
- + ¦
E.9.2)
E.9.3)
~2 (s2+lJ ' s4 *
В случае вытянутого эллипсоида вращения р = s, е = 1, Д(р) =
= s2—I и по (VI. 3.3), (VI. 3.11) имеем
©9 E) = I
s-1
\ (s)
E.9.4)
При <72 = ?з приходим также к двум уравнениям для определе*
ния постоянных х, К.
5.10. Круговая щель в упругой среде. Представляя коэффи-
коэффициенты уравнений E.9.2) при малых s0 степенными рядами
j я
So
§ 5] ЭЛЛИПСОИД 301
приходим к системе уравнений
4\sQ 2) 2s03
которой можно удовлетворить, разыскивая неизвестные X, у-
также в форме рядов
А = Ао + Vo + ..., x = x2s02+ ... E.10.1)
в которых
Яо=="~ ISg"^. «2 = iicft и т. Д. E.10.2)
Случаю круговой щели в упругой среде соответствует so-*O,
Я = Я0, и = h2s|. Решение оказывается не зависящим от q\, так
как наличие такой щели не изменяет напряженного состояния,
создаваемого нагружением, параллельным плоскости щели
(корректирующий тензор будет нулем).
При найденных значениях постоянных X, к корректирующий
вектор перемещения E.9.3) определяется его проекциями щ, w
на направления осей er, k цилиндрической системы координат:
Г) -
A+52J
E.10.3)
причем цилиндрические координаты выражаются через сферо-
сфероидальные ц, s (координаты сжатого эллипсоида) по формулам
(III. 10.1):
У /" E.10.4)
Это позволяет записать соотношения E.10.3) также в виде
E.10.5)
Известно, что значениям |.i = 0, s ф 0 соответствует часть пло-
плоскости z = 0 вне круга г — а, а ц =? 0, s = 0 — внутри этого
круга. На самой окружности s = 0, ц, = 0. Поэтому перемещением
302 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
в плоскости щели г = 0 оказывается непрерывной функцией г,
равной
q3 j ац = Ytf^?, r<a (s=0), ,_1ЛСЧ
W'=i-2yr\ E.10.6)
nG У 0, r>a (ц = 0).
Для вычисления напряжений используются формулы дифферен-
дифференцирования
ds |x(l+s2) <Э|х s(l—|x2) ]
~Ж~ a(s* + li2) ' ^7- a{s2 + v2) ' I ,_,.„
os sr d]i \ir j
"dT ~ a2 (s2 + |x2) ' ~b~r a2 (s2 + |x2) ' J
Касательное напряжение хгг оказывается равным нулю на всей
плоскости щели:
J_T J _(du,dw\ _f °. S = °> ^=5^°> /rino^
Далее находим
Gn a: п о..\Г„ ! о„ , s Л i !-^
iiv « = A — 2v) ©з 2©[ ¦
L S
Sz
°Л вю " .2v)(«3-4- + ^rb) +
Ay \ /10 о ' -c* -L и *
Ол аи ,, „ > Г s(l-n2)
-— -=r = (l-2v) со, -
dr Vl "'L ' (l+s2)(s2 + y.
Git и /1 о \ i
— T=-(l-2v)©1+ ....
причем слагаемые, обращающиеся в нуль на плоскости г = О
(при s = 0 или при [i = 0), не выписаны; они остаются непре-
непрерывными при приближении в плоскости z = 0 к фокальному
кругу s = 0, ц = 0.
Получаем на плоскости 2 = 0
f -Яг, s = 0,
,._А E.10.9)
и при приближении к фокальному кругу s = 0 со стороны s > 0
(то есть г > а) нормальное напряжение испытывает разрыв не-
непрерывности
I г 2q3 ^ 2q3 а /г .« . „¦,
Рассмотренное здесь напряженное состояние реализуется в
упругом полупространстве, покрытом снабженной круговым вы-
вырезом (г <^ а) твердой гладкой плитой; по кругу r-%a распре*
§ 5] ЭЛЛИПСОИД 303
делено давление <7з; а плита не допускает нормального переме-
перемещения w, не препятствуя перемещениям иг в ее плоскости.
Из вышеприведенных формул легко получить также распре-
распределения напряжений ог, <тФ на плоскости z = 0.
5.11. Эллиптическая щель в упругой среде. Аналогично рас-
рассматривается задача о напряженном состоянии в упругой среде
с эллиптической щелью—щель представляет эллиптическую
площадку в плоскости z = 0, ограниченную фокальным эллип-
эллипсом Ео [см. (III. 1.16)]. Решение системы уравнений E.8.9) пред-
представляется рядами по степеням параметра ]/р§— 1 =е:
и для решения задачи о щели достаточно ограничиться первыми
членами этих рядов. Учитывая, что по E.8.8), E.7.2)
I I
Щ = Тл" - @1 + С°2)> %\ (О = %2 (Ч = Т V1 ~ в >>
можно записать первые два уравнения E.8.9) в этом прибли-
приближении в виде
Из них следует
п П j -v
Oq VJ, /\/Q q ''
после чего из третьего уравнения E.8.9) легко найти
Н2= гО^+йг) ' Ао== ~ 4G((O,V(O2) • E.11.1)
Здесь
1
E.11.2)
?(е)-A-е2)^(е)
где К, Е — полные эллиптические интегралы первого и второго
рода, так что
«•, + ^=1— E.11.3)
и при е = 0 возвращаемся к формулам E.10.2) для случая круг-
круглой щели.
304
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
Решение задачи — выражение проекций вектора перемеще-
перемещения E.8.10)—записывается в виде, аналогичном E.10.3):
Gu =
Gv =
Gw =
:]¦
¦[(l-2v)z<D3(p) + .
2Ё(е) Lvi ""-mvk/ ' p(ps_l)*A(p)D2
Это решение записывается также в виде
¦]•
E.11.4)
t- = - 2 Л [A - 2v) t/co2 (р) +
(e)
E.11.5)
E.11.6)
и его можно представить через функции Папковича — Нейбера
Bi=—Axai(p), В2 = — Лг/со2(р), B3=Az&$(p), Во = Аа2щ{р).
E.11.7)
Проверим, что оно удовлетворяет всем условиям задачи.
Действительно, сославшись на формулы (III. 11.26) и E.8.8)
и учитывая равенство
имеем
= 2(l-2v)V-B =
1__
¦рд"(р) ?>2 L"p
4A(\-2v)
1-е2
\Е(а> с)
рД(р) + pA(p)(p2-lJD2
и также
<?2<йз
1 =
(Э2Ир1
§ .'I
ЭЛЛИПСОИД
305
Значения входящих сюда величин на плоскости z — 0 в об-
области внутри эллипса Ео (р = 1) и вне его (ц = 1) определяются
из соотношений
= 1 <г
1-е2
О вне ?0,
1 -!?-*{?=?¦)) ВНУТРИ ?о>
а2 а2 A-е2)
рЛ(р)(р2-1JО2
f
V 1 - е2
а2 а2 A-
p2-e
I
вне ?0,
внутри ?0,
вне ?0,
внутри ?0,
вне ?0,
внутри ?0.
Ha всей плоскости г = О
,5л;2 "^ ду2
_ о
(ПРИ г =
откуда следует, что на этой плоскости
дн . dv д^' 1 л
Поэтому нормальное напряжение oz\z..0, вычисляемое с учетом
напряжения на бесконечности
оказывается равным
oU.._n = ¦
tJ_1 | вне Ео
О
1 E.11.8)
внутри Ео.
На эллипсе /:0 это напряжение претерпевает разрыв непрерыв-
непрерывности.
20 А. И. Лурье
306 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Проверим еще, что касательные напряжения %хг, хш отсут-
отсутствуют на всей плоскости 2 = 0:
G %хг
= 2Л A-
дщ
Eл: <Эг
2=0
так как равна нулю по вышесказанному величина в скобках.
Отметим еще легко получаемое из приведенных формул вы-
выражение перемещения w:
( 0 вне Ео,
t W
Оно остается непрерывным на Ео.
§ 6. Контактные задачи
6.1. Задача о жестком штампе. Краевое условие. В контакт-
контактных задачах теории упругости рассматривается напряженное
состояние, возникающее в прижатых друг к другу упругих те-
телах. Одно из тел, в частности, может быть абсолютно твердым
(жесткий штамп), а упругое тело представлено упругим полу-
полупространством. Решение этой простейшей задачи оказывается
при некоторых добавочных предположениях достаточным для
построения решения более общей задачи Герца о контакте двух
упругих тел.
Плоскость, ограничивающую полупространство, примем за
плоскость Оху, направив ось Oz внутрь полупространства. Осно-
Основание, которым штамп прижат к полупространству, может быть
или плоским, или иметь форму выпуклой поверхности 5 (рис. 19).
Со штампом связывается система осей О|г), начало которой
расположено на поверхности S, а ось Ot, направлена по нор-
нормали к этой поверхности внутрь штампа. В начальном состоя-
состоянии, пока штамп не нагружен, начала систем осей Ogr|^, Охуг,
равно как и оси g и х, г| и у, совпадают, тогда как оси z и Z,
имеют прямо противоположные направления; указанные си-
системы осей поэтому разноименны (первая — левая, вторая —
правая).
В системе осей g, ц, ? уравнение поверхности S основания
штампа представляется в форме
S = <p(S,ti), F.1.1)
и при принятом выборе осей
(О, 0) = 0, га =0, Hf =0. F.1.2)
6]
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ
307
В случае плоского штампа уравнение плоскости, его ограничи-
ограничивающей, будет просто:
? = 0. F.1.3)
При нагружении штамп перемещается, погружаясь в деформи-
деформируемую им упругую среду; величины, характеризующие переме-
перемещение штампа, считаются малыми того же порядка, что и пере-
перемещения точек среды.
На плоскости Оху рассматривается область Q, содержащая
точки, располагающиеся после деформации на смещенной по-
поверхности основания 5 штампа. Как
всегда, краевые условия будем отно-
относить к недеформированной поверхно-
поверхности упругого тела, то есть к плоскости
z = 0. Основание штампа считается
абсолютно гладким; поэтому прини-
принимается, что касательные напряжения
т*х, туг отсутствуют на всей плоскости
г = 0:
= 0,
туг = 0.
F.1.4)
Нормальные напряжения отсутствуют
на плоскости 2 = 0 вне области сопри- г
касания Q штампа со средой. В точ- Рис. 19.
ках же области Q упругая среда под-
подвергается действию сжимающей нагрузки р(х,у), так что
I 0, гф Q,
<т,= , ' F.1.5)
~ (-р{х,у) zaQ.
Конечно, функция р(х,у) наперед не задана—-это основная не-
неизвестная задачи. Равновесие штампа при условиях F.1.4),
F.1.5) возможно при действии лишь силы Q, параллельной оси
Oz; обозначая через х0, у0 координаты точки пересечения линии
действия этой силы с плоскостью Оху, можно записать следую-
следующие уравнения равновесия штампа:
Q = | J р(х, у)do, xtiQ= ( J хр{х, у)do, Уо<3 = J J УР(x, у) do
q 'a a
F.1.6)
(do = dx dy).
Таковы интегральные условия, которым удовлетворяет неиз-
неизвестное распределение давления р(х,у).
Переходим к записи краевого условия для перемещения w
точек области Q; оно должно быть выражено через величины,
определяющие перемещение штампа. Под действием силы Q он
20*
308
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
переместится поступательно и совершит поворот. Поступатель-
Поступательное перемещение б параллельно оси г, а поворот произойдет
вокруг некоторой оси в плоскости Оху; через \5Х, ру назовем
проекции вектора малого поворота. Через три величины 6, |3Х, \iy
могут быть выражены перемещения точек поверхности S осно-
основания штампа, и требуется составить выражения координат то-
точек xs, ys, zs этой поверхности в системе осей Oxyz. Таблица
косинусов углов осей этой системы с осями Ogri? будет
X
У
z
1
0
0
1
РЖ
-ру
Р*
-1
Непривычная расстановка знаков в этой таблице обусловлена
разноименностью систем осей. В системе осей Oxyz координаты
начала системы осей ?г|? будут 0, 0, 6; поэтому формулы пре-
преобразования координат точки g, ц, ? = ф(|, ц) на 5 будут
, ц),
F.1.7)
Из равенств F.1.2) следует, что величина <р(е, ц) имеет второй
порядок малости относительно величин, характеризующих про-
протяженность контактной поверхности; это позволяет пренебречь
произведениями (Зд;ф, р,/р в формулах F.1.7). Тогда
xs = b ys = r\, zs = 6 — pyxs + pxys — (f(xs,ys). F.1.8)
Пусть (х,у, 0)—точка области Q, которая при деформации пе-
перейдет в точку (xs, ys, zs) на S:
xs= x+u, </<; = y + v, zs= w, F.1.9)
где, конечно, и, v, w обозначают проекции перемещения точки
(х, у, 0) на Q. По F.1.8), F.1.9) имеем теперь
, y
FЛЛ0)
В последнем из этих равенств пренебрегаем произведениями
[ixv, Cy«, а также полагаем
<f(x + u, y + v)~<p(x,y).
Приходим к искомому краевому условию
2 = 0, (ч)сй: ш = 6-р„* + Р^-ф(*.0)- F.1.11)
§6] КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ 309
В случае плоского штампа оно упрощается и принимает вид
2 = 0, (x,y)<=Q: w = Ъ — $уХ + $ху. F.1.12)
Задача о штампе теперь сведена к смешанной краевой за-
задаче теории упругости: во-первых, касательные напряжения хгх,
ту2 обращаются в нуль на всей плоскости z = 0; во-вторых, вне
области Q этой плоскости обращаются в нуль нормальные на-
напряжения; в-третьих, задано нормальное перемещение w точек
области Q. Величины |3Х, fiy, 6 наперед неизвестны; для их опре-
определения используются уравнения равновесия штампа F.1.6).
Сказанное можно пояснить еще так: точкам области Q на
плоскости 2 = 0 сообщаются нормальные перемещения w по
заданному закону F.1.11) или F.1.12), для чего по площади О.
должно быть распределено нормальное давление по наперед
неизвестному закону р(х,у). В образованную «впадину» встав-
вставляется штамп, прижимаемый для сохранения равновесия вер-
вертикальной силой Q.
Если пренебречь искажением, вносимым поворотом, то об-
область й в случае плоского штампа определяется формой его
поперечного сечения, нормального оси ?. На контуре этой об-
области нормальное напряжение az разрывно. Для неплоского
штампа, поверхность которого не имеет угловых линий (дц>/д%,
дц>/дц непрерывны), контур С области й определяется условием,
что на нем
Р(хс,Ус)=0. F.1.13)
Тогда по F.1.5) нормальное напряжение будет непрерывным на
всей плоскости 2 = 0. Постановка этого условия диктуется
тем, что при отсутствии угловой линии на поверхности штампа
среда плавно прилегает к его основанию*).
Величина w(xc,yc) представляет перемещение точек упру-
упругой среды вдоль контура С области Q (на плоскости z = 0). По-
Погружением штампа в среду 6i следует назвать величину, опре-
определяемую равенством [см. F.1.11)]
6; = 6 — w(xc, Ус) = $уХс — $хУс + Ч>(хс,ус), F.1.14)
выражающим, что перемещение штампа б равно сумме его по-
погружения в среду и перемещения ее в точках кривой С.
Штамп должен быть прижат по всей поверхности соприка-
соприкасания, так что искомое распределение давления удовлетворяет
условию
P(x,y)>0 (x,y)<=.Q), F.1.15)
причем равенство выполняется лишь на контуре С области Q.
*) Задача о штампе с неплоским основанием допускает при условиях
F.1.4), F.1.5), F.1.6) и F.1.11) семейство решений, зависящих or одного
параметра, определяемого требованием плавного прилегания среды к поверх-
поверхности штампа F.1.13).
310 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Это условие накладывает ограничение на расположение линии
действия прижимающей штамп силы Q.
6.2. Способ решения задачи о жестком штампе. В п. 2.3 была
рассмотрена задача Буссинека о напряженном состоянии упру-
упругого полупространства, на границе которого 2 = 0 отсутствуют
касательные напряжения xzx, xyz, а нормальное напряжение рас-
распределено по заданному закону. Решение сводилось к разыска-
разысканию гармонической функции со (по ней квадратурами определя-
определялась еще одна гармоническая функция со*)), которая была
определена потенциалом простого слоя, распределенного по пло-
площади загружения Q с плотностью, равной интенсивности нор-
нормального давления р(х,у):
ю=[[-7== Р(Х'''Л = do' {do'¦ = dx' dy'). F.2.1)
Касательные и нормальные напряжения на площадках 2 = const
определялись по формулам B.3.5):
1 д2со 1 d2a
% 2 Х Х а
F.2.2)
а перемещения — формулами B.3.4):
1 Г д<?> , м п \ <Эй ] 1 Г й ,,. р. ч E51
И= — -г"?^ Z-H—+A ~2v)^— , 0 = — -г—рг 2-5—+A — 2v) -г- ,
4nG L дх ч ' dx J 4jiG L 3(/ ч <5у J
F.2.3)
- !~V- ! -4!- F-2.4)
Известно, что нормальная производная потенциала простого
слоя, распределенного по плоской области, определяется ра-
равенством B.3.6):
2 = 0- —
2 и- дг
- 2хф (,v, (/), (х, г/) a Q,
0, (х, #)<?Q.
F.2.5)
Поэтому, сославшись на F.2.2), можно заключить, что решение,
определяемое через потенциал со, удовлетворяет условиям
F.1.4), F.1.5) задачи о жестком штампе, причем требуется под-
подчинить выбор плотности р(х,у) условию F.1.11). Оно по F.2.4)
сводится к интегральному уравнению первого рода для иско-
искомого распределения нормального давления
w(x, у, о) = б~
*) В. п. 2.3 она обозначалась щ.
F.2.6)
§6] КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ 311
или, в случае плоского штампа, по F.1.12)
w(xyO) = bfix + ^y = P\:J
F.2.7)
Решение задачи в замкнутом виде можно получить в пред-
предположении, что областью соприкасания Q является эллиптиче-
эллиптическая площадка, ограниченная эллипсом Ео:
Для плоского штампа полуоси а, а |А — е2 задаются фор-
формой его прижатой поверхности. В задаче о неплоском штампе
уравнение поверхности S представляется ее разложением в сте-
степенной ряд, начинающийся, согласно F.1.2), с членов второй
степени относительно ?, ц:
При надлежащем выборе направлений осей |, ri слагаемое, со-
содержащее произведение \ц, может быть сделано равным нулю.
Тогда
|2
F-2-9)
Здесь R] \ R2 — кривизны главных нормальных сечений поверх-
поверхности 5 в точке касания ее с плоскостью, ограничивающей полу-
полупространство. Предполагается, что они положительны и что
через R] обозначен больший из двух радиусов кривизны.
В уравнении F.2.9), удовлетворяясь рассмотрением только
локальных эффектов, ограничимся учетом лишь написанных
членов второй степени; это значит, что поверхность 5 аппрокси-
аппроксимируется в области ее касания с плоскостью г = 0 эллиптиче-
эллиптическим параболоидом. Теперь краевое условие F.2.6) записы-
записывается в виде
ft *. ..f\0 i / .. f\o \ * * /
— мы ограничиваемся в задаче о неплоском штампе только слу-
случаем его поступательного перемещения (рж=ру = О). Область
интегрирования Q, как указывалось выше, считается располо-
расположенной внутри эллипса Ео; его параметры а, е теперь наперед
неизвестны. Они определяются в конечном счете по заданию
прижимающей силы Q и кривизн R~[ , i?^1 прижимаемой по-
312 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
верхности. Принимается, что на Ео давление р(х,у) обращается
в нуль, то есть выполнено условие F.1.13).
Следует отличать границу площадки контакта (эллипс Ео)
от контура поперечного сечения штампа плоскостью ? = const.
Эллиптическая пластинка, имеющая «верх» (z > 0) и «низ»
B<0), ограниченная фокальным эллипсом ?0, представляет
одну из координатных поверхностей р = 1 семейства эллипсои-
эллипсоидов р = const в системе эллиптических координат р, |.i, v [см.
п. III. 11, в частности формулу (III. 11.16)]. Поэтому естественно
ввести в рассмотрение потенциал простого слоя со(х, у, z; р0) на
поверхности эллипсоида й* (р = ро>1), определив эту не-
непрерывную гармоническую функцию ее значением а>{х,у,г; р0)
на Q*. Можно для задачи о плоском штампе по F.2.6) принять
на Q,: <а(х, у, z; р0) = у-37 (б - Pff* + P,y), F-2.11)
а по F.2.10) для неплоского штампа
Теперь, составив решения со,(х, у, z; p0), ae(x,y,z;p0) внутрен-
внутренней и внешней задач Дирихле при этих заданиях на поверх-
поверхности эллипсоида р = р0, придем к функции
f щ (х, у, z\ Ро), р<р0, /СО1ОЧ
©(х, у, z; po) = i , ч . F.2.13)
I ©е (л:, у, z; р0), р > Ро,
непрерывной во всем пространстве и обращающейся на беско-
бесконечности в нуль; она представляет потенциал простого слоя с
плотностью p(x,y,z), определяемой равенством
F.2.14)
дп dn'(x,y.z)c:Q,
Поскольку плоскость 2 = 0 является плоскостью симметрии эл-
эллипсоида р = ро, а заданные на этой поверхности значения
со (х, у, z; ро) функций &и &е не зависят от z, то плотность р бу-
будет четна относительно z.
Для определения потенциала со(х, у, г) простого слоя на
эллиптической пластинке остается провести предельный пе-
переход
со(х, у, z)= lim со (я, у, z; р0) = lim ae(x, у, z\ p0). F.2.15)
И 1
§6] КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ 313
Потенциал a(x,y,z) удовлетворяет условиям F.1.11) или
F.1.12) на поверхности пластинки Q. При вычислении плотно-
плотности следует иметь в виду, что на каждый элемент площади пла-
пластинки лягут два симметрично расположенных относительно
плоскости 2 = 0 элемента эллипсоида й* с одинаковой плотно-
плотностью; поэтому плотность распределения слоя на fi, получаемая
в предельном переходе по формуле F.2.14), должна быть
удвоена:
(х, у, г; р.Л да>, (х, и, г; рЛ \
1^МtU^M) F.2.16)
Этим определяется интенсивность давления по поверхности со-
соприкасания штампа с упругой средой.
В предложенном способе решения избегнуто непосредствен-
непосредственное рассмотрение интегральных уравнений первого рода F.2.6),
F.2.7); кроме того, отпадает вычисление интеграла F.2.1) по
найденной плотности — функция м строится по F.2.15), что
предполагает лишь знание решения внешней задачи Дирихле
для эллипсоида (см. п. VI. 8).
6.2а. Представление сил и моментов, прилагаемых к непло-
неплоскому штампу. Предположив известным решение задачи о пло-
плоском штампе, можно получить выражения сил и моментов, ко-
которые следует приложить к штампу, основание которого очер-
очерчено по заданной поверхности <р(|, г|) == ?,, чтобы сообщить ему
поступательное перемещение б и повороты |3Х, [5У. Поперечное
сечение плоского штампа должно быть таким же по размерам
и по форме, как и площадка соприкасания (наперед неизвест-
неизвестная область Q плоскости г — 0) неплоского штампа.
Через qQ(x,y) назовем распределение давления по основа-
основанию плоского штампа, когда последнему сообщается поступа-
поступательное перемещение 6° = 1, но отсутствует его поворот (f$° = 0,
Р° = 0). Для главного вектора и главных моментов этого рас-
распределения принимаются обозначения
Qo = / { Яо О, У) do, j | yq0 (x, у) do = y0Q0,
F.2.1a)
xqo(x, y)do= -Q
Q
Аналогично в рассмотрение вводятся распределения давлений
qx{x,y), q2(x,y), при которых отсутствует поступательное пере-
перемещение штампа (бA) = 0, 6 ' = 0), но возникают повороты, рав-
равные соответственно $W = 1, ft<} = 0 и pw = 0, $w — i. для главных
3i4
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
векторов и главных моментов этих распределений принимаются
аналогичные обозначения (s — 1, 2):
F.2.2a)
Из этих определений и теоремы взаимности следует симмет-
симметричность матрицы
Qo </oQo - *oQ
Qs = \ qs (x, У) do, yqs (x, y) do = ysQs,
a a
¦<7S (x, y)do= — XSQS.
Qi
Вместе с тем, сославшись на F.2.7), имеем
, _ 1 - v Г Г qn (x\ if) do'
F.2.3а)
¦ X =
2ло .П
1-V И
2nG JpJ
1-v Ц
2jtG J J
V(x-
У {x -
X'J
+ (y-y'J
У') do'
+ (y-y'J
У') do'
+ (y-y'Y
F.2.4a)
Рассматривая теперь неплоский штамп и называя Р, ти т%
главный вектор и главные моменты приложенных к нему сил,
имеем
Р = f f Р(х, у) do, тх= [\ ур{х, у) do, т2= - f f xp(x, у) do,
an a
F.2.5a)
причем p(x,y) — распределение давления по контактной поверх-
поверхности штампа с упругим полупространством. Вместе с тем по
F.2.6)
б -
у' - ф (х', ;/') =
1-у
Р (х, У) do
U 1 (х'-хJ + {if-у)
=, F.2.6а)
где б, |3Ж, р„ — поступательное перемещение и углы поворота
штампа при действии этой силы и моментов.
§ 6] КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ 315
Обратившись теперь F.2.5а) и первому соотношению
F.2.4а), получим
р —
=^Я^^/ГГ plx'y)i
а
или, по F.2.6а), F.2.1а),
Аналогично этому, использовав второе и третье равенства
F.2.4а), а также F.2.2а), F.2.5а), F.2.6а), придем к соотно-
соотношениям
J J </1 (*', У') Ф (/, У1) do' = Q, E 4- р^, -
Q J F.2.8a)
) I
J j
Й
/) Ф (^'. /) d0' = Q2 (в
Уравнения F.2.7а), F.2.8а) еще не решают поставленной
задачи, поскольку не известна область интегрирования Q—по-
Q—поперечное сечение введенного в рассмотрение плоского штампа.
Очевидно, что как заданные (б, р\Х) §у, <р(х,у)), так и искомые
величины (Р,т\,т2) не должны зависеть от параметров, за-
задающих форму и размеры Q. Эти соображения дают средство
для определения Q.
Изложенный здесь прием разыскания сил и моментов, не
предусматривающий знания распределения давления р(х,у) по
основанию неплоского штампа, эффективно применим, к сожа-
сожалению, только к случаю штампа эллиптического (в частности,
круглого) поперечного сечения, так как требуемые решения в
замкнутом виде интегральных уравнений второго рода F.2.4а)
известны только для плоского эллиптического (круглого)
штампа.
6.3. Плоский, эллиптический в плане штамп. Функции
а>{(х, у, z; ро), ае(х, у, г; ро) определяются формулами (VI. 8.9):
_ 2nG ,. __ „ ,
„ ^ 2яО Г со0(р) сМр) со2(р)
е 1 - v L «о (Ро) у «1 (Р(
так что по F.2.15)
316
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
а для определения распределения давления по площади штампа
служит формула (VI. 8.15); в ней теперь
а величина ^A) для каждого слагаемого, входящего в это выра-
выражение, задается формулами (VI. 6.2), (VI. 6.4). Получаем
G Г
(l-v)ay 1-е2 L
g>oA)
Щ U)
У
X
. F.3.2)
Постоянные б, $х, Ру находятся из уравнений равновесия F.1.6):
_. G б С С I - у1 </2\-'<
a2 b2}
do =
2naG 6
G h [[х,({ *2 у2
(l-v)a/l-e2 co,(l) Jj \ а2 Ъг
G
F.3.3)
— v)a(l —
3A-v) (о,A) '
a2 b2 I
3A -v) ш2A) •
Величины сой A) определяются полными эллиптическими ин-
интегралами К(е), Е(е) с модулем е:
MX)
со,
2 [l-
F.3.4)
§ 6] КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ 317
Обозначения D(e), B(e) для представленных комбинаций
полных эллиптических интегралов первого и второго рода
я/2 я/2
E(e)=
приняты в известном справочнике таблиц и формул Янке и
Эмде; там же имеются таблицы этих величин*).
Получаем
Q(l-v) м о Q(l-v) „ В (е) 1
Распределение давления теперь представляется в виде
/ \ 1 fi Зххо i %^о l/i ^2 У2
Р{Х, У)=трт[\ +^^+a2A_e2)J^l --tf--a*(i-e*)J
F.3.6)
причем рт—среднее давление:
рт = ? . F.3.7)
ла2 У 1 - е2
Давление р, равное половине среднего в центре штампа, воз-
возрастает неограниченно при приближении к контуру области за-
гружения, являющемуся угловой линией штампа. Штамп будет
прижат к упругому полупространству по всей поверхности со-
соприкасания, если линия действия силы Q проходит внутри эл-
1 1 /
липтического цилиндра с полуосями -г-а, -^ауХ—е1.
Выражение F.3.1) потенциала ы записывается в виде
Q Г dX (. Злг.Ур Зуу0
р
6.4. Перемещения и напряжения. Для вычисления компо-
компонент и, v вектора перемещения требуется знание производных
да Г да , д& Г да , ,.,.,
= Jdz idz- F>4Л)
*) Э. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. Специальные функции. Формулы, гра-
графики, таблицы, «Наука», 1964.
318
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
Здесь по F.3.8) и (III. 11.26)
Зсо _ 3Qx0 ,
дх а3
а\(р)
Q
Зхл:0
¦
F.4.2)
Приходим к вычислению интегралов вида
оо оо оо
J dz j%{l)dl, J f{x, у, р)
г р z
По (III. 11.9) и (III. 11.26) имеем
, у, Я),
F.4.3)
причем второе равенство получено дифференцированием (III. 11.9)
по р при постоянных х, у. Итак,
оо оо
- J dz J х (Я) dk = J [2 - z (Я)] % (Я) dX,
z p
oo
p p
dz
ЯйЯ.
р
Применив эти равенства, получаем по F.4.2)
(Я)
СО
, _Q?_ Г Г1 , Злгхр . Зг/г/р
a2 J [ а2А2 а2 (Я2 - е2) J
Я2 /A,* - e2 y (*. У. Я) '
d&
~dy~
= ЗОКо. Г г _
OO
¦"^"J L1 +^ + "a2(A2-e2)J
(Я2 - e2f"> у (х, у, Я) "
F.4.4)
§ 6)
КОНТАКТНЫК ЗАДАЧИ
319
Выражения перемещений, составляемые по F.2.3), F.2.4), в
случае центрально нагруженного штампа (л'о = г/о = 0) будут
и =
v =
Qx
гД(р)
т — 2
dX
Qy
ap(p2-H2)(p2-v2) m J X2(X2~e2)y{x,y,X)
p
zp A (p)
4яОа2 L а (р2 - е2) (р2 - ц2) (р2 - v2)
т-2
dX
Qz
т -I (X2 - е2I' у (х, у, к)
Q(m-l) Г dX
4nGa3 (p2-l)(p2-n2)(p2-v2) ' 2nOma J A (X)
P
F.4.5)
: = —-, число Пуассона].
Здесь использованы соотношения (III. 11.21), (III. 11.12):
ГJ _ I1L _ „2
р р2 ~а
I I 2W 2 2\
(р -v)(p -ц )
Интересно отметить, что интегралы, входящие в выражения и,
и, вычисляются элементарно.
Объемное расширение вычисляется по формуле
„ __ т-2 да __ Q {т-2) гр А(р)
2nGm дг 2лОто3 (р2 - 1) (р2 - ц2) (р2 -
В точках на оси г имеем
v = 0, ц. = е, z = а Ур'2 — 1,
. F.4.6)
F.4.7)
и вычисление напряжений в точках этой оси приводит к фор-
формулам
1-е2
_ 1 }- 1-е2 Г т — 2 /
¦ ~ „ Рт I — IP '
2 Р L те2
{p2-e2)
1 1
2»рГ р2 - е
Р L 4- р ~ J j_ 1 \
2 _ Р2 \ п2 Г „2 „2 Г i | •
F.4.8)
Касательные напряжения на оси z отсутствуют.
6.5. Неплоский штамп. По F.2.12) краевое условие для по-
потенциала со представляется в виде
= 0, (х,
, Пч 2яО /, х
у2
320 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
причем плотность этого потенциала по F.1.13) должна обра-
обращаться в нуль на эллипсе Ео, ограничивающем область сопри-
соприкасания Q. В п. VI. 8 показано, что последнему условию удовле-
удовлетворяет потенциал (VI. 8.19)
Д(Я) L а2Я2 о2(Я2-е2) а2 (Л2 — 1)
р
с плотностью (VI. 8.18)
Р(*, У) = „ S ? У 1 -~~ 2lf 2, •
2лау1—е2 У а2 а2 A-е2)
Определяя постоянную С по уравнению равновесия F.1.6),
имеем
Q = \\ р (х, у
и
так что
f
-^- f , рт = ——^==г. F.5.2)
а2 о2 A-е2) па2}'1-е2
Максимальное давление в центре площадки равно 1,5 среднего
давления рт; эпюра распределения давления представляет по-
поверхность полуэллипсоида, опирающегося на ограничивающий
площадку соприкасания эллипс Ео.
Потенциал со представляется в виде
со =-
2а J А(Л) \ «2^-2 а2(^2-е2) а2 (Л
5!_
2 (Л2—
причем постоянные а, е должны быть определены из условия
F.5.1), принимающего вид
оо
_2nG f _ х2 _ j/M _ 3Q_ Г dl I. _ _х^ у2 \ =
- v \ ^7 ~ 2R2)~ 2а J Л(Л)\ а2К2 а2(Х2-е2))~
I. F.5.4)
Здесь использованы формулы F.3.4). Приходим к равенствам
, 3Q(l-v) v(n^ I _30(l-v)r>,v 1 3Q(I-v) Д(е)
^ ^'' i?2 2ла36' 1 - e2 '
F.5.5)
§61
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ
321
Ими определяются поступательное перемещение штампа б, боль-
большая полуось а и эксцентриситет е площадки соприкасания. По-
Последний находим из соотношения
R2 A-е2)О(е) A - е2) [К (е) - Е (е)]
R> B(e) Е(е)-A-е*)К(е) '
F.5.6)
после чего определяются а, 6:
L G
где обозначено
с <7\
Г
[
К(е). F.5.8)
В табл. 3 для некоторых значений е2 приведены значения
R2IR1, «а, СС6. ПОЛЬЗУЯСЬ ЭТОЙ ТаблИ-
цей, по заданному отношению кривиз-
кривизны находим е2 и далее аа, ос6.
На рис. 20 приведен график зави-
зависимости R2lR\ от е2. Смещение штампа 0,7
б оказалось пропорциональным Q!/s; jj-jj
этот необычный для линейной теории ц
упругости результат, конечно, объяс- о,л
няется тем, что одновременно с ростом й>2
силы увеличивается площадь площад- '0
ки соприкасания.
6.5а. Определение сил и моментов,
действующих на неплоский, эллипти-
эллиптический в плане штамп. Здесь приме-
применяется прием определения этих величин, изложенный в
п. 6.2а.
По F.3.2) и F.2.4а) имеем
G г. г« /#2 л~'Ь
0,1 0,2 0,3 0,4 0,50,60,7 0,8 0,91
Рис. 20.
<7о (х, У) =
Я\ (*> У) =
<7г (*. У) =
шоA)
а2 а2 A — е2) j
i У2 1
о2 a2(l-e2)J
-С
A -v) a ]/ 1-е2 со,A)
X \ I
a2 A-е2)
F.5.1a)
и отличны от нуля только диагональные элементы матрицы
F.2.3а), по F.3.3), F.2.1а), F.2.2а) равные
1шп
3A-v) о, A) '
X2Q2 = —
2na3G
3A — v)«i A) '
F.5.2а)
21 А. И. Лурье
322
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. v>
Таблица 3
е2
аа
а&
е2
R2IR1
аа
ай
0
1
0,722
0,520
0,50
0,594
0,783
0,565
0.05
0,963
0,726
0,523
0,55
0,549
0,793
0,571
0,10
0,925
0,731
0,526
0,60
0,502
0,803
0,580
0,15
0,885
0,736
0 530
0,65
0,454
0,815
0,589
0,20
0,846
0,741
0,534
0,70
0,405
0,829
0,597
0,25
0,806
0,747
0,538
0,75
0,353
0,844
0,609
0,30
0,765
0,753
0,543
0,80
0,297
0,863
0,623
0,35
0,724
0,760
0,547
0,85
0,238
0,888
0,642
0,40
0,682
0,767
0,553
0,90
0,174
0,921
0,668
0,45
0,637
0,775
0,559
0,95
0,101
0,975
0,713
0,50
0,594
0,783
0,565
1
0
-
-
По F.2.9)
F.5.3а)
Теперь, снова обратившись к F.3.3), по F.2.7а) получим
rcG а3 Л 1-е2
3A-v) ©о A) Ri \ + R2
2naG
A-v)cuoA)
б, F.5.4а)
причем юоA) =К(е), а величины Р, Ru R2,6 не зависят от а,
е2. Учитывая соотношения
В(е)
de2
- е2 '
и дифференцируя F.5.4а) по а и е2, найдем
причем второе равенство повторяет F.5.6), а первое дает
ж-25
Р(е)
F.5.6а)
Отсюда и из F.5.4а) легко получить теперь соотношения F.5.5).
Подынтегральные выражения в формулах F.2.8а) нечетны
по у и соответственно по х (см. F.5.1а), F.5.2а)). Поэтому вы-
выражения моментов приводятся к виду
2лаЮ ,„ _ .
1)Py> F.5.7 a)
3(l-v)a>2(l)
§6)
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ
323
внешне не отличающемуся от F.3.3), —следует иметь в виду,
что теперь а3 не задано, а определено вышеприведенными фор-
формулами.
6.6. Перемещения и напряжения. Имеем (см. также E.6.18))
да
17
ZQx
ду
По F.4.4) находим
дх as
да 3Qy
ду ~ а3
3Qy
dk
А2Д (Я,)
осо
3Q2
%(р). F.6.1)
[Z Z
(А2-е2)Д(А)
да
F.6.2)
и (х, у, z) =
и выражения перемещений по F.2.3), F.2.4) записываются в
виде
и —
w =
3Qx
4nGa3
SQy
inGa3
3Q(l-v
!-е2)Д(
F.6.3)
причем г(Х) определяется по F.4.3), и интегралы
Г z(X)dX
Я2Д (А)
у (х, у. Я.) d%
Я2 /А2 - е2 '
г(Я)
(Я2 - е2) Д (Я,)
= а
у (х, у, Я) d
(Я2-е2)8/'
выражаются через элементарные функции.
Зная перемещения, находим напряжения. Ограничимся при-
приведением резутьтатов, относящихся к центру площадки сопри-
соприкасания и к ее контуру.
21*
324 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
В центре (х, у, z = 0)
3 2va + b 3 2vb + a 3 ,c а л\
Gx = - 7Г Pm a + b > ay = - ~2 Pm a + b > ffz = --JP"» V6'b>4)
где 6 = a yl — е1. Ha контуре
1 -2v з
х у е2 2 "т
х[,-
-e2 X
l-2v 3
-г# е2 2 "т ' а2 \_2ex а — ех еу ь а (I — е
F.6.5)
В частности, на концах большой и малой полуосей эллипса име-
имеем соответственно
(Х = а> y = 0),
F.6.6)
6.7. Соприкасание поверхностей. Рассматриваются два тела,
ограниченные выпуклыми поверхностями Si, S2 и соприкасаю-
соприкасающиеся в точке О. Принимая эту точку за начало систем коорди-
координат, проведем оси z\, z2, перпендикулярные к общей касатель-
касательной плоскости П поверхностей Si, S2 в точке О, внутрь каждого
из тел. Оси {х\,у\), (дг2, г/г) систем Ox\ij\Z\, Ол:2г/222, связанных
с первым и соответственно со вторым телом, направим в пло-
плоскости II по главным нормальным сечениям поверхностей Si, S2.
Уравнения поверхностей Si, S2 в этих системах осей в окрест-
окрестности точки соприкасания О представляются в виде
%\ , У\ . -^2 i ^2 t /r n \\
гу ^^^_^^ 1^ \ /у —^ ~ 1 ) I Ii / II
/С 1 — . j "w j . . . , !&¦) ~Т. j Т. \~ ••*, \yj tl , 1J
где l/R\, l//?2~ главные кривизны поверхности Si в точке О,
положительные, если соответствующий центр кривизны распо-
расположен внутри тела, то есть на положительной оси Z\\ аналогич-
аналогичное значение имеют величины \]R", \1Щ для поверхности S2.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением локальных явле-
§6!
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ
325
ний в области контакта; это позволяет сохранить в уравнениях
F.7.1) только написанные слагаемые.
Расстояние между двумя точками М\, М2 поверхностей Si,
S2, расположенными на одном перпендикуляре к плоскости П,
равно
Z = Zi + 22 =
2
У\
2R~
А
F.7.2)
и очевидно, что z > 0; на рис. 21, а и б показаны два возмож-
возможных расположения поверхностей Si, S2 при их внешнем и внут-
внутреннем соприкасании.
а
Рис. 21.
Дальнейшее рассмотрение имеет целью представить z в виде
для чего вводится новая система осей Оху; если обозначить че-
через Ш1, «2 углы, составляемые осями хи х2 с осью х, то по
формулам преобразования координат
хх — х cos @) + у sin ©], t/, = — х sin @i + у cos (о(,
л:2 = х cos оз2 + У sin оз2> г/2 = — ^ sin ю2 + г/ cos co?
и выражение z представится в виде
1
~п ХУ (gi sin 2<B; + g2 sin 2оз2),
¦Л „2
2Rt ^ 2R2
где обозначено:
1 _ cos2 сох
sin2 M
, sin^ со, . cos2 (D2 , sin2 co2
Ro
cos^
sin2 co2 . cos2 ю2
n'
Д2
F.7.4)
F.7.5)
326 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Через а назовем угол между осями х\, х% (отсчитываемый от х\
к хг):
а = ш2 —юь F.7.6)
и введем в рассмотрение средние кривизны поверхностей Sit S2
в точке О:
2Я, = ЛН—т. 2Я2 = ~4н—\г, F.7.7)
так что
^- + 4- = 2(Я, + Я2). F.7.8)
Теперь подберем величину
/ I \ I ^ ^ (Pi П П\
Ш == Г~ \Cui ~Т~ ^2/ == ^1 ' "о" == ^2 — ~п" V®•' *^)
так, чтобы обратить в нуль слагаемое в F.7.4), содержащее
произведение ху:
gx sin 2cO[ + g2 sin 2co2 = (gx + g2) sin 2a cos a — (g{ — g2) cos 2co sin a = 0'
F.7.10)
Вместе с тем по F.7.5) и F.7.9) имеем
-$- = Я] + Я2 + -к" Kg'i + 82) cos 2co cos a + (g, — g2) sin 2co sin a],
~p- = Hl + H2 — -y [(g-, + g2) cos 2co cos a + (gL — g2) sin 2« sin a], j
F.7.11)
Из двух уравнений: F.7.10) и первого уравнения F.7.11) нахо-
находим теперь cos 2co, sin2co:
cos 2@ = ~ [~ - Нх - Н2) (gi + g2) cos a,
F.7.12)
sin 2co = -ir I -ir - Hi - H21 (g, - g2) sin a,
где
A = (g2l + g22 + 2glg2cos2ajh. F.7.13)
Теперь '-fr- находится по условию sin22co + cos22co = 1, после
чего -=- определится по F.7.8):
А2
^7 = Я1 + Я2-1л, -^_ = Я1 + Я2 + уЛ1 F.7.14)
через R[ обозначена большая из двух величин Ru R2. По
F.7.12) имеем также
cos 2@=—т- (gi + g2) cos a, sin2co= {g{ — g2)sina- F.7.15)
§6]
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ
327
Таким образом определена система осей Оху, в которых квад-
квадратичная форма F.7.4) приведена к сумме квадратов F.7.3),
и найдены коэффициенты этой формы -^5~> J5~ ¦ Они оба поло-
положительны, так как 2>0 при любых значениях переменных х, у.
:/ ось сращен.
у—.
' поверхности
Рис. 22.
Рис. 23.
В частном случае поверхностей вращения с параллельными
осями при их внешнем (рис. 22, а) и внутреннем (рис. 22, б)
соприкасании имеем а = 0 и по F.7.13), F.7.5)
_1 L_l_J L
г.' г,
Д =
Тогда при
имеем
Если же
R'i
А 2 R\
и = 0, — = -V
F.7.16)
то
R,
-Т77 F.7Л7)
и в обоих случаях Ri >
328 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Случай поверхностей вращения с осями, расположенными
накрест, представлен на рис. 23, а при внешнем соприкасании
и на рис. 23, б при внутреннем. Теперь а = я/2, так что
J 1 L-I--
Т> D D D
К) К2 К\ К
и при
J L_ 1 4- ' SO
A I А О А 1 А О
соответственно имеем
ю=т i=i+i' i=i+i' F-7Л8)
»=т t-v+-^' т=т+^- F-7Л9)
Интересен также случай соприкасания поверхностей вращения
в точке на оси вращения z. Тогда
J j i_ i l l
А] А 2 А А] А2 ^
Угол а произвольный, a g\ = g2 = О, Л = 0. Получаем при внеш-
внешнем соприкасании
-J- = -i-=-l-4--^r, F.7.20)
и эта же формула сохраняется и при внутреннем соприкасании,
но тогда большая по модулю из двух величин R', R" отрица-
отрицательна.
Например, для двух соприкасающихся извне шаров радиу-
радиусов /?', R" по F.7.20)
1 _ J 1 1
Г> Г) ПГ \ ПП )
Al A2 А А
а для шара радиуса R' в сферической полости радиуса R''
_j__ j j l
Ri ~ Ri ~~?~1г'
При соприкасании двух цилиндров радиусов а и b с накрест
расположенными осями
— — — — — — ( ~>h)
В случае шара Si радиуса R в цилиндрическом желобе S2 ра-
радиуса г > R
я7 = Т~Т' ~r7 = ~r'
§ 6] КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ 329
причем ось х направлена перпендикулярно образующей цилин-
цилиндра.
6.8. Задача Герца о сжатии упругих тел. Два упругих тела
прижаты друг к другу силами Q, линия действия которых пер-
перпендикулярна общей касательной плоскости П поверхностей S\
и S2 тел в точке О. Под действием сил Q тела деформируются
в области, примыкающей к месту контакта, и сближаются друг
с другом. Назовем через —6Ь —82 проекции поступательного
перемещения первого и второго тел на оси Z\ и z2, которые, на-
напомним, направлены внутрь соответствующих тел. Можно так-
также определить 6i и бг как перемещения достаточно удаленных
от места контакта точек первого и соответственно второго тела,
а величину
б = б,+б2 F.8.1)
называть сближением тел.
Рассмотрим две точки Ми М2 первого и второго тел, рас-
расположенные в области, примыкающей к месту контакта, на об-
общем перпендикуляре к плоскости П. В системах осей Oxyz\,
Oxyz2, введенных в п. 6.7, координаты этих точек до деформации
соответственно будут (z\,x,y) и (z2, х, у). При деформации тел
точкам М[, М2 сообщаются перемещения, проекции которых на
оси 2), z2 обозначаются через w\, w2. Одновременно точки Ми
М2 сместятся вместе со своими телами и займут положения
М.\, M'i\ поэтому после деформации интересующие нас коорди-
координаты z\, z'2 точек М\, М'2 станут равными
z[ = zl + wl-6v z'2 = z2 + w2-b2 F.8.2)
и расстояние М\М2 станет равным
z' = г\ + z'2 = z, + z2 + wl + w2 - Fj + 62) F.8.3)
или, по F.8.1), F.7.3),
Для тех точек Mi, M2 первого и второго тел, которые после
деформации вступят в контакт, это расстояние станет равным
нулю, а для точек вблизи места контакта оно положительно.
Поэтому поверхность О, контакта можно определить как место
точек, для которых
г' = 0, Wl + w2 = 6-~~^-, F.8.5)
тогда как вне контактной площади
-^-~^. F.8.6)
330 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
По поверхности контакта действует нормальное давление
с интенсивностью р(х,у), тогда как касательные напряжения
на ней считаем отсутствующими. Далее предполагается, что при
рассмотрении локальных эффектов в окрестности контакта мож-
можно заменить соприкасающиеся тела двумя упругими полупро-
полупространствами, прижатыми друг другу по площадке Q, располо-
расположенной в разделяющей полупространства плоскости П — каса-
касательной плоскости поверхностей Su S2 в точке О. На этой пло-
плоскости z\ = 0, z2 = 0. Как и в п. 6.5, площадка соприкасания
определяется областью внутри эллипса
оси которого х, у определены в п. 6.7. Давление р(х,у) на Ео
принимается равным нулю.
Напряженное состояние в каждом из полупространств опре-
определяется с помощью функции (Oi(x,y,Zi) (i = 1, 2), являющейся
потенциалом простого слоя, распределенного по площадке й с
интенсивностью р(х,у). По F.2.1) имеем
со, (х, у, z,) = | J P^W ^ ^ F88)
и можно ограничиться рассмотрением одного лишь потенциала
xtu,z)= — ¦ гг» F.O.9)
считая z положительным в каждом из полупространств. При вы-
вычислении же перемещений по формулам F.2.3), F.2.4), конечно,
следует упругим постоянным придавать соответствующие значе-
значения: G\, vi и G2, V2.
По F.2.4) на площадке соприкасания
^a{x, у, 0), w2 = -~-(s>{x, у, 0), F.8.10)
и, следовательно, по F.8.5) на Q
где обозначено
fy = -^p (i=l,2). F.8.12)
Потенциал оз определяется условием F.8.11) и требованием
обращения в нуль плотности р{х,у) на контуре Ео площадки Q.
Эта задача лишь заменой обозначения
V- на Ъ1 + Ъ2 = А^ + 1^ F.8.13)
§ 7] РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 331
отличается от задачи п. 6.5 о действии неплоского штампа на
упругое полупространство. Поэтому результаты решения задачи
о штампе тотчас же переносятся на задачу о контакте упругих
тел, прижатых друг к другу силами Q. Ход решения этой задачи
такой:
1) По заданным кривизнам (l/Ri, IIR2), (l/Ru IIR2) по-
поверхностей Sb S2 соприкасающихся тел в точке соприкасания О
и по углу а определяются с помощью формул F.7.14) и F.7.15)
величины I//?], \/R2 и направления осей х, у — угол и.
2) По F.5.6) определяется эксцентриситет е площадки со-
соприкасания.
3) Большая полуось эллипса а и сближение тел 6 опреде-
определяются с помощью формул
[|-^1 + ^)Т/за6> F.8.14)
причем функции эксцентриситета аа, а6 задаются формулами
F.5.8).
4) Перемещения определяются по формулам F.6.3) с за-
заменой v, G на V,, Gt (i = 1, 2); конечно, при вычислении напря-
напряжений следует также в формулах п. 6.6 заменить v на v<-
§ 7. Равновесие упругого кругового цилиндра
7.1. Дифференциальные уравнения равновесия кругового ци-
цилиндра. В последующем ограничиваемся рассмотрением слу-
случаев аксиально-симметричной и изгибной деформаций цилиндра.
В первом случае осевое w, радиальное и и кольцевое v (перпен-
(перпендикулярное меридиональным плоскостям) перемещения являют-
являются функциями цилиндрических координат г, г. Для деформации,
названной изгибной, первые две компоненты w и и вектора пе-
перемещения принимаются пропорциональными косинусу, аи —
синусу азимутального угла ср. Общий случай (пропорциональ-
(пропорциональность cos Пф и соответственно sinncp) здесь не рассматривается.
Вместо г, z вводятся безразмерные переменные х, ?:
* = 7Г' С = ?. G.1.1)
где а — наружный радиус цилиндра. Для полого цилиндра
длины 21 с внутренним радиусом Ь
4 = *,<*<1, -L<?<L = 1. G.1.2)
Аксиально-симметричный случай, как говорилось уже в
п. 1.10 гл. IV, распадается на задачу о меридиональной дефор-
деформации и задачу кручения. Решение первой может быть выра-
выражено через три функции Папковича — Нейбера (достаточно,
332 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
впрочем, двух). Сохраняя обозначения пп. 1.12 и 1.13 гл. IV,
две из них назовем Ьо, 63 —это гармонические функции; третья
обозначается br, причем гармонической функцией является про-
произведение brei(f;
V% = 0, V263 = 0, V2ft,--?f = 0. G.1.3)
Л
Здесь в обозначениях G.1.1)
v2 = JL+±J__i_i!l G 14)
V дх*^ х дх + дЪг' {/ЛА)
По A.12.16) и A.13.3) гл. IV перемещения выражаются через
эти функции формулами (п = 0)
а отличные от нуля напряжения по A.12.13), A.13.5) гл. IV
равны
2G r dt, \ дх2 ' ъ дх2 ) l v ' дх
2GX™-V Zv} дх \дхд?^<° dxdi) + (l ZVj dt, X
G.1.6)
В задаче о кручении отлично от нуля только перемещение v,
и по A.11.3) гл. IV отличные от нуля напряжения тгч. и тгф оп-
определяются из формул
— т -jc— - —т =— G 17)
G "Р dJt л: ' С гЧ> а? ' V'.i-';
причем ае1'* — гармоническая функция,.
-^ = 0. G.1.8)
В случае изгибной деформации в рассмотрение вводятся че-
четыре функции bQ, bz, br, b(f. Функции boei<f, b3ei(f гармонические,
тогда как по A.13.4) гл. IV дифференциальные уравнения, оп-
определяющие (при п — 1) функции Ьт, ЬФ, будут
РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
333
и следует ввести в рассмотрение их полусумму и полуразность
p = j(br + blf), q^jibr-by), br = p + q, blf = p-q. G.1.9)
Введенные функции определяются поэтому из дифференциаль-
дифференциальных уравнений
V2p--^p = 0, V2q = 0, ^--^ = 0, V263-^r = 0. G.1.10)
Выражения перемещений по A.12.16) и A.13.3) гл. IV при-
ведутся к виду
и —a cos ф —
w = (
v = a sin ф [ j (&0 + lh) + E - 4v) p - C - 4v) <?] .
G.1.11)
Напряжения определяются формулами A.12.13), A.12.14) и
A.13.5), A.13.6) гл. IV:
or __,mr2vi*L- I94" ' - а2&
2G
= COS ф 4
дх2
дх2
-х?1Ш.+ь*\.
дх
2G
= соэф 2A -v)
db3
&1
db3
dba
дЬ
^- = СО5ф
Тгф
~2С~
G.1.12)
334
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
Уравнения статики в цилиндрических координатах в акси-
аксиально-симметричном случае записываются по A.10.3) гл. IV в
виде: для меридиональной деформации
да г
дхГ
дхгг
дх
и для деформации кручения
дхг№ dxzm
2хг
G.1.13)
G.1.14)
Конечно, решения G.1.6) и соответственно G.1.7) удовлетво-
удовлетворяют, при отсутствии массовых сил, этим уравнениям.
В задаче об изгибной деформации уравнения статики A.9.4)
гл. IV представляется в виде (п = 1)
да.
Z
дх
2х,
дх
Zif
дх
дх
-~а'+9аК=0,
G.1.15)
причем штрихом указывается на замену sin cp в выражениях
Тгф, Tztp на cos ф и sin9 на cos cp — в выражении аФ.
В аксиально-симметричном случае распределенные по попе-
поперечному сечению цилиндра напряжения приводятся к осевой
силе и крутящему моменту:
1 !
Z = 2ita2 j azx dx, mz = 2яа3 j тгфх2 dx. G.1.16)
С помощью уравнений равновесия G.1.13) и G.1.14) эти ве-
величины легко выразить через напряжения на внутренней и внеш-
внешней поверхностях полого цилиндра:
= Z0 + 2ла2 J
Ъ
G.1.17)
где ZOt m® —осевая сила и крутящий момент в сечении ? = 0.
§71
РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
335
При деформации изгиба напряжения ог, rrz, x2<!. в поперечном
сечении статически эквивалентны поперечной силе X и изгибаю-
изгибающему моменту ту относительно оси у в плоскости г — 0:
1
X = яа2 J (т;г-т^)хdx,
1
-яа? J x4zdx, G.1.18)
причем звездочками обозначены множители при cos cp, sincp в со-
соответствующих выражениях напряжений. Выражая X, ту с по-
помощью уравнений равновесия G.1.15) через напряжения на по-
поверхностях х = Х\, х = 1, придем к формулам
X =
а; - г;,) - « - x^_
,-т° + по? J {j
G.1.19)
Эти вырал<ения легко непосредственно получить, рассматривая
равновесие конечной части цилиндра между сечениями % = 0
и 1 = 1
7.2. Задача Ляме для полого цилиндра. Рассматривается
осесимметричная задача о напряженном состоянии в полом ци-
цилиндре под действием нормального давления, равномерно рас-
распределенного по боковой поверхности
х = \: ог = —
0; х = Х\\
= —р\, хп = 0. G.2.1)
В решении Папковича — Нейбера достаточно удержать толь-
только одну функцию br, считая ее не зависящей от ?; тогда по
G.1.3)
так что
Поэтому
G.2.2)
G.2.3)
336
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
Определив постоянные С\, С2 по краевым условиям G.2.1), по-
получим
1
' (l-X^X2
I
l-xi
> xrz — 0.
G.2.4)
Далее, по G.1.5) найдем перемещения
-p0)—], о; = 0. G.2.5)
* j
Полученное напряженное состояние реализуется в упругом ци-
цилиндре, подверженном равномерному давлению снаружи и из-
изнутри и помещенном между двумя неподвижными жесткими и
гладкими плитами, не допускающими продольного перемещения
точек на торцах цилиндра (w = 0), но не препятствующими их
радиальным смещениям (rrz = 0). Реакции этих стенок создают
равномерно распределенное по торцу нормальное напряже-
напряжение az.
Случай цилиндра, края которого могут свободно смещаться
в осевом направлении (а2 = 0, тФО), можно получить, нало-
наложив на найденное напряженное состояние равномерное осевое
сжатие, противоположное а2 по знаку:
jo= _2v-
~ Ро
1-*?
Оно вызывает перемещение
но не создает добавочных напряжений оГ) Ос(, хгг. Решение за-
задачи Ляме для цилиндра со свободно смещающимися торцами
поэтому представляется в виде
2<3и =
- р0
1 + V 1-Х,
G.2.6)
причем а2 — 0, а прочие напряжения определяются формулами
G.2.4).
§7]
РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
337
7.3. Дисторсии в полом цилиндре. Постановка задачи была
дана в п. 5.6 гл. IV. Остановимся на простерших случаях вра-
вращательной дисторсии Ь3 вокруг оси Oz и поступательной с2 (по
направлению ev).
1°. Вращательная дисторсия Ь3. Задача состоит в
разыскании напряженного состояния Т', наложение которого на
напряженное состояние E.6.10) гл. IV освобождает поверхности
х = 1, х = Х\ полого цилиндра от напряжения о/-
= хх
2G
1
2G
о= —
4я 1 - 2v
Ьг ( 1
4л I 1 - 2v
'= _ 1 I
,1тг \ 1 О„ *
In х,
1-v
G.3.1)
Это —задача Ляме, в которой
_ Gb3 1
-°°~ 2я l-2v* Pl
Gb3
2п " I 1 - 2v
In
По G.2.4) и по E.6.10) напряжения получаются равными
/ 1 2 2
2. = а. + а[ = —- In х ¦
2n(I-v)
b3G
2n(l-v)
g 2
1 '— X] X
9 9* 1П AT] I j
-4 г )
-Inл:,
G.3.2)
Это напряженное состояние будет иметь место в подвергнутом
дисторсии /K цилиндре, заключенном между двумя недопускаю-
щими осевого перемещения w, жесткими и гладкими плитами,
создающими по торцам напряжение Sz. Разыскание напряжен-
напряженного состояния при свободных торцах требует наложения еще
одного состояния, ликвидирующего распределение напряжений
Е2 по торцам и не создающего напряжений на цилиндрических
поверхностях x=l, x = Х\. Решение этой задачи в конечном
виде, по-видимому, невозможно.
2°. Поступательная дисторсия с2. Здесь на напря-
напряженное состояние E.6.11) гл. IV следует наложить напряжен-
напряженное состояние изгиба, определяемое краевыми условиями
G.3.3)
22
А.
=
И
1:
*,:
. Лурье
2G
-А с
2ЯД:,
СОЭф,
ТГф
G" ~"
2G
2я
С2
2лл
sin ф
— sin ф.
338 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Используются не зависящие от ? функции ряд, определяемые
дифференциальными уравнениями G.1.10):
Их частные решения имеют вид
и определяемые по G.1.12) напряжения равны
а'г = [ Л,* + -^ + Л3 C - 2v) |] cos Ф>
iX + ~r~ A3(l -2v) 7 I Sin ф.
Постоянные определяются по краевым условиям G.3.3):
Из них находим
2n(l-v) '
и напрян<ения в цилиндре, подвергнутом дисторсии, записы-
записываются в виде
Множители при соэф, э1пф в выражениях Sr, Tr{p оказались
равными, и остается удовлетворить лишь двум краевым усло-
условиям:
РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
339
Получаем следующие значения напряжений (см. также фор-
формулы G.1.4) гл. VII):
coscp,
у
2<р =
Т
1 Г((
у
2я
2я
2я
С2Сг
A-v)
CiG
A-v)
c2G
A-v)
e2Gv
2яA -v) *
COS ф,
sinq>,
coscp.
G.3.4)
Это напряженное состояние осуществляется в подверженном в
сечении ср = 0 поступательной дисторсии упругом цилиндре, по-
помещенном между двумя препятствующему осевому перемеще-
перемещению, жесткими гладкими плитами. Как и в предшествующем
случае, строгое решение задачи об освобождении торцов весьма
трудно.
7.4. Полиномиальные решения задачи о равновесии цилинд-
цилиндра. В п. 7.1. представлены формулы, выражающие напряжения
и перемещения в цилиндре, подверженном аксиально-симметрич-
аксиально-симметричной деформации и деформации изгиба, через гармонические
функции двух видов — осесимметричные (зависящие от х, ?) и
произведения функций от х, ? на eilf. В этом пункте дается по-
построение этих решений в форме однородных полиномов от х,
t, для сплошного цилиндра и с членами, содержащими надле-
надлежащие особенности на оси z (при х = 0), в случае полого ци-
цилиндра.
1°. Осесимметричные гармонические функции.
Для сплошного цилиндра речь идет о выраженных в цилиндри-
цилиндрических координатах гармонических полиномах
= /?"/>„ (ц),
^cos# = ^-, G.4.1)
где
(Р') —полиномы Лежандра (VI. 2.11). В частности, имеем
Фо=1. <Pi = ?. <p2 = yB?2-*2), Фз = уB?3-3^2),
ф4
+
Ф5 =
2+ 15л:4) и т. д.
G.4.2)
В случае полого цилиндра добавляются решения вида
1|>„ (х, ?) = ф„ (х, ?) In Jf + Xn (*, S), G.4.3)
92»
340 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
причем слагаемое %п определяется но условию
У2г|>„ = 0, V2x« = —V2 ф„ In х = —2Уф„ • Vln х.
Здесь использовано известное представление лапласиана произ-
произведения и учтено, что У2фп = 0, V2 In x = 0. Возвращаясь к сфе-
сферическим координатам, имеем
Vtprt = Rn~l {nPneR - sin ЪРпеъ), V In л: = — (eR + eectg ¦&),
так что (если использовать известное рекуррентное соотношение
для полинома Лежандра)
V\n = - 2R'l-2(nPn - ixK) = 2Rn~2P'n^ (ц).
Теперь, разыскивая %„ в виде произведения
Xn = /?nSn(n), G.4.4)
приходим к неоднородному уравнению Лежандра
1A - ц2) Srn (n)]f + п (п + 1) Sn (ц) = 2Р;_, Oi).
Его правая часть представляет полином (я — 2)-й степени от ц,
представимый через полиномы Лежандра формулами
Рп-1 (ц) = Bл - 3) Р,г_2 (|i) + Bл - 7) Р„_4 (ji) + ...
... +9Ptdi) + 5P2(p) + P0(n) (n четно),
Р;г_, (ц) = Bл - 3) Р„_2 Ы + Bл - 7) Р„_4 (ц) + ...
... +11Р5(ц) + 7РзЫ + ЗР1М (л нечетно).
G.4.5)
Поэтому, записав уравнение Лежандра для полинома Pv(\x)
в виде
[A - ^2) К (]х)\ + п (л + 1) Pv (ц) = [л (л + 1) - v (v + 1)] Pv Ы
и разыскивая Sn(\i) в виде
«-2
Sra (|х) = 2 av-Pv W.
о
придем для определения av к соотношению
v=0
§ 7] РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 341
Из него, использовав G.4.5), найдем
я(я+1)-(я-4)(п-3) Рга^ + • ' - + n(n+l)-4-5 P4 ^ +
+ .(.+ 15)-2-3^^ + ^ТТУ («четно),
5 М Р ^ +
^^)+ +
i)(n-3) ' n~iW я(я+1)-5-6
P3 (ц) -\ . ., _ . „ Py (\i) (n нечетно). [
G.4.6)
С помощью этих формул, а также G.4.3), G.4.4) получаем
-Фз = Ф31п х + f S (S2 + ^2). ЧЧ = Ф41п^ + ^(j^ + g2)A9^-6^) и т. д.
G.4.7)
2°. Полиномиальные решения, пропорциональ-
пропорциональные cos ф. Выражение в цилиндрических координатах гармони-
гармонических полиномов, пропорциональных cosф, имеет вид
RnPn (ц) cos Ф = Rn sin Ъ cos цРп (ц) = xRn~lP'n (ц).
При обозначении
Фи*.?) = ^"^Ы. G-4.8)
так что
5
Ф1 = 1
5 15
1 ? №2 З*2) 1 ^
G.4.9)
и т. д., полиномиальные решения для сплошного цилиндра за-
записываются в виде
Ф1п = х^п(х,О- G.4.10)
В случае полого цилиндра добавляются решения, имеющие
особенности на оси z; эти решения разыскиваются в виде
К = Ч>» (х, ?) cos ф, ^ (*, g) = Ф" {Хх' С) + pi (x, g) jf in * + < (*, g)
G.4.11)
342
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
по условию
V2< = О, (V - ~) ^ = (V2 -^-){~ + Рпх In х + О?) = 0.
G.4.12)
Последовательно находим
Фз
105
G.4.13)
3°. В качестве примера рассмотрим цилиндр, нагруженный
нормальными давлениями, линейно распределенными по его
внешней и внутренней поверхностям:
х = 1: а, = - <70?, %TZ = 0,
G.4.14)
Решение представляется через осесимыетричные гармонические
функции bo, b3:
b0^A(f3{x,O + Bxpi(x,Q, b3 = Cy2(x,Q + Dtyo(x,i). G.4.15)
По G.1.6), G.4.2), G.4.5) после определения постоянных по
краевым условиям G.4.14) найдем напряжения
Or =
1 -х2
„2 2
А — л г
-qxx\
х2+:
G.4.16)
Это решение соответствует отсутствию загружения торцов цп-
линдра; продифференцировав его по ?, придем к решению
G.2.4) задачи Ляме (при замене с/о, Ц\ на р0, Pi)-
Задание решения в форме G.4.15) позволяет рассмотреть
также случай нагружения боковых поверхностей касательными
напряжениями постоянной интенсивности
1: Or = 0, %„ = То; х = Х\\ ог = 0, тгг = —т\. G.4.17)
§ 7] РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
Напряжения оказываются равными
343
т —
C0Xl
1-х
G.4.18)
Это напряженное состояние осуществляется приближенно в уда-
удалении от торцов длинного цилиндра, на торце которого ?= О
отсутствуют нормальные напряжения, тогда как по торцу t, = L
приложены сжимающие напряжения с равнодействующей
Z = —2яа/(то + xiti)
[см. также G.1.17)].
7.5. Кручение полого цилиндра силами, распределенными по
торцу. Задача состоит в разыскании перемещения v из диффе-
дифференциального уравнения G.1.8) по краевым условиям на боко-
боковых поверхностях цилиндра
дх х ~~и>
дх х
и на его торцах
- —
G.5.1)
G.5.2)
Предполагается, что распределение касательных напряже-
напряжений на обоих торцах одинаково. Решение разыскивается в виде
sh
s=l
ch ]isL
G.5.3)
где a, (us — надлежащим образом определяемые постоянные. По
G.1.7)
ch
q "^г<р "-^ '
ch
G.5.4)
и краевые условия G.5.1), G.5.2) приводят к требованиям
= 0, (-^У =0, G.5.5)
= f W ~ a*.
G.5.6)
344 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Функции gs(x) определяются по G.1.8) из дифференциального
уравнения Бесселя
общее решение которого представляется цилиндрической функ-
функцией
gs (x) = Z, fax) = cf/, fax) + c'tf, fax),
где /i, /V'i — бесселева и нейманнова функции первого порядка,
причем по G.5.5), используя известную формулу дифференци-
дифференцирования, имеем
Числа ц8 определяются корнями определителя этой системы
J2(iisxl)N2(lis)-J2(lxs)N2(^i) =0, G.5.8)
и выражение gs(x) представляется в виде
gs(x)^Cs[J1(iisx)N2(lxs) -Nl(v.sX)J2(ns)] = CaZi(Visx). G.5.9)
Задача сведена к определению постоянных Cs по условию
G.5.6). Постоянная а определяется по крутящему моменту
mz = 2яа31 тгфх2 их = 1 na3G A - х4-) а, G.5.10)
так как остальные слагаемые, по G.5.4) и G.5.7), не влияют на
выражение крутящего момента
1
f Z, (p,x)
I
= 0. G.5.1
I
Ортогональность системы функций Yx %i ifisX) легко прове-
проверяется; в известной формуле
sx) ZQ (\ikx) - \xsxZt {\xkx) Zo (nsx)
надо заменить Z0(]ix) выражением
Z № Z fox">
и учесть G.5.7). При ц., ?= цл получаем
1
J Zi (ц5*) Z, (nfcx) x dx = 0.
РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
345
Вместе с тем
G.5.12)
Теперь из краевого условия G.5.6), учитывая G.5.11), получаем
G.5.13)
и решение задачи представляется в виде
G-5Л4)
где Z\{\isx) определяется по G.5.9). Таблица корней трансцен-
трансцендентного уравнения G.5.8) для нескольких значений хх имеется
в справочнике Янке и Эмде*).
Таблица 4
Х\
5
6
2
3
1
2
15,807
6,474
3,407
31,466
12,665
6,428
Из
47,157
18,916
9,523
62,857
25,182
12,640
78,560
31,456
15,767
В формуле G.5.14) отсчет осевой координаты проводился от
среднего сечения цилиндра; называя через t,\ осевую коорди-
координату, отсчитываемую от «верхнего» торца, имеем Z, + ?i = L, так
что
Даже для «кубообразного» цилиндра (с длиной, равной диа-
диаметру, L = 1) для значений \is, приведенных в табл. 4, th \.isL
мало отличается от единицы, и поэтому
sh \ist, ^ —jjl^c,
ch ucL ~ '
*) Э. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш, Специальные функции (стр. 242),
«Наука», 1964.
346 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
так что слагаемые ряда G.5.14) экспоненциально убывают при
удалении от торцов. Полученное решение, представляя эффект
любого распределения напряжений xz(f, статически эквивалент-
эквивалентного крутящему моменту tnz, показывает, что влияние закона
распределения этих напряжений экспоненциально убывает с воз*
растанием расстояния от торцов. Принцип Сен-Венана оправ-
оправдывается здесь с большей точностью, чем можно было ожидать
по общим оценкам п. 2.14.
Для сплошного цилиндра
оо
lCs~er^sX), G.5.15)
причем |.is —корни уравнения J2([i) = О, равные
щ = 5,136; ц2 = 8,417; ja3 = 11,620; щ = 14,796
и т. д.; постоянные Cs определяются по формуле
1
Cs = 4f f f (x) J, Ы x dx, N2S = -1 J\ 0is). G.5.16)
Nsi 2
7.6. Решения в бесселевых функциях. В п. 7.1 показано, что
функции Папковича — Нейбера, решающие задачи о равнове-
равновесии упругого цилиндра при радиально-симметричной деформа-
деформации, представляются гармоническими функциями
Ь0(хЛ), h(x,zy, br(x,t)e% b^(x,l)e^. G.6.1)
В случае меридиональной деформации используются две из
трех функций bo, b$, br\ функция bl{, пропорциональная переме-
перемещению v, служит для решения задачи кручения.
Гармонические функции того же типа
q(x,'Q), bo(x,i)ei'f, bz(x,^)e^, p(x,?)e2iv G.6.2)
применяются для решения задач об изгибе, причем использо-
использование всех четырех функций излишне.
В этом пункте даются представления гармонических функций
с помощью произведений вида
gn(x)ert+n<* („ = 0, 1, 2), G.6.3)
обеспечивающего разделение переменных в уравнении Лапласа.
Для определения gn(x) приходим к дифференциальному урав-
уравнению цилиндрических функций
gn (x) + T8n(x) + (v2-i) gn (x) = 0. G.6.4)
§ 7] РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 347
Необходимость раздельного выполнения краевых условий на
боковых поверхностях (х=1, х = Х\) и на торцах (? = -—?,,
? = L), по-видимому, делает невозможным решение задачи
в «замкнутом» виде, иначе говоря, в форме рядов с коэффици-
коэффициентами, определяемыми конечным числом операций. Задача,
исключая случай осесимметричного кручения, приводится к бес-
бесконечным системам линейных уравнений для этих коэффициен-
коэффициентов; при надлежащем выборе исходных решений такие системы
оказываются вполне регулярными (или регулярными), что до-
допускает применение приемов приближенного определения неиз-
неизвестных.
Этого трудного пути, допускающего в конечном счете полу-
получение численных результатов не из общих формул, а для опре-
определенного задания геометрических параметров и параметров
нагружения, стараются избегнуть ценой тех или иных пренеб-
пренебрежений. В случае, когда длина цилиндра достаточно велика
BЬ~^> 1), можно, используя набор решений вида G.6.3) при |i
чисто мнимом, точно удовлетворить краевым условиям на бо-
боковых поверхностях и довольствоваться приближенным выпол-
выполнением условий на торцах. Система сил, распределенных по
торцам (наперед заданных, а также определяемых решениями
первой группы), заменяется ей статически эквивалентной си-
системой, для которой решение, оставляющее боковые поверхно-
поверхности свободными от нагружения, известно. Обычно эта цель
достигается наложением решения задачи Сен-Венана (гл. VI);
в последней краевые условия на торцах выполняются интеграль-
интегрально— строится решение, в котором главный вектор и главный
момент распределенных по торцам сил имеют заданные значе-
значения, а боковая поверхность оказывается ненагруженной.
Этот способ решения задачи о длинном цилиндре обосновы-
обосновывается «принципом Сен-Венана» (п. 2.8 гл. IV), утверждающим,
что так находимое напряженное состояние может отличаться от
искомого лишь местными возмущениями напряженного состоя-
состояния, убывающими при удалении от торцов*). Можно еще доба-
добавить, как уже говорилось, что практическая ценность «решений
по Сен-Венану» определяется тем, что детали закона распре-
распределения напряжений чаще всего не могут быть учтены в за-
задании.
Второй крайний случай — случай короткого цилиндра
BL<1), то есть круглой (сплошной или кольцевой) плиты.
Сказанное выше о случае длинного цилиндра здесь можно по-
повторить «в обратном порядке»: строится путем использования
*) Это подтверждается, в частности, примером задачи кручения в п. 7.5;
слагаемое ахС, в выражении перемещения G.5.14) представляет решение за-
задачи Сен-Венана, а входящий в него ряд определяет местные возмущения
напряженного состояния в окрестности торцов, См. также пп. 7.8, 7.9.
348 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ | ГЛ. V
набора решений вида G.6.3) при вещественном jj, решение, в ко-
котором строго удовлетворяются условия нагружения торцов ци-
цилиндра; приходится довольствоваться выполнением «в среднем»
краевых условий на боковых поверхностях (они могут быть раз-
разнообразными). Возникающие здесь вопросы в значительной мере
связаны с теорией изгиба плит, не рассматриваемой в этой
книге.
Наиболее труден случай «кубообразного» цилиндра с дли-
длиной, сравнимой с диаметром (L—1). По-видимому, общего
средства решения, отличного от приведения к бесконечным си-
системам линейных уравнений, здесь нельзя предложить.
Далее мы останавливаемся только на задаче о «длинном»
цилиндре, нагруженном по его боковым поверхностям. Торцы
предполагаются ненагруженными.
При |i = ф, где р вещественно, решение дифференциального
уравнения
С (х) + 7 g'n (х) - (р2 + -?) gn (x) = 0 G.6.5)
записывается в виде
ёп М = СТК (N + СЫКп (fix) (п = 0, 1, 2). G.6.6)
Здесь In (fix) =i~nJn (ifix) —бесселева функция от аргумента ifix;
Kn(fix) — функция /Чакдональда; последняя имеет особенность
на оси цилиндра (при х = 0) и поэтому исключается при рас-
рассмотрении задач о сплошном цилиндре.
Ограничиваясь далее случаем аксиально-симметричной де-
деформации, примем
Ьг = gx (x) cos pc b0 = go (x) cos pC- G.6.7)
По G.1.6) напряжения ог, тп, после исключения из их выраже-
выражений вторых производных с помощью уравнений G.6.5), при-
примут вид
G.6.8)
- Гр2 + A - 2v) Д-1 xgi (x) \ cos fit,
-^ тгг = f^ (x) + л:^; (дс) - A - 2v) gi (x)] fi sin K.
При задании нагружения боковых поверхностей по закону
х = 1: аг= — р cos р?, тгг = q sin p^
— p'cos% x = (?'sinK '
полагаем
go(x)^Dllo(^x) + D2Ko(fix))
§ 7] РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 349
С помощью формул дифференцирования (штрих обозначает
дифференцирование по х)
I'o(fix) = р/, (fix), I\(fix) = р/0(fix) -~h (И.
/Co (N = - P* i (N- tf (P*) = - P/Co (pJc) - j Ki (fix)
для определения четырех постоянных D,-, С,- получаем четыре
уравнения, не выписываемых здесь вследствие их громоздко-
громоздкости. Отметим лишь, что определитель этой системы в частном
случае сплошного цилиндра (х{ = 0) оказывается равным
Д(Р) = РЧ>(Р). 4>(P) = P2['o(P)-/i(P)]-2(l-v)/?(p). G.6.1D
Зная коэффициенты Сг, Du по формулам G.1.5), G.1.6) состав-
составляем выражения радиального и осевого перемещений и всех
компонент тензора напряжений. Это решение обобщается на
случай произвольного нагружения боковой поверхности ци-
цилиндра, симметричного относительно среднего сечения цилиндра
(? = 0). Тогда стг четно, %гг нечетно относительно ? и их крае-
краевые значения представимы тригонометрическими рядами
оо со ^
• knt, I
sin~T' !
x=l: vr=-Po-2jPkC0SL' %TZ = 2a
CXJ OO
* = *,: ar= ~P0- 2jPkC0SL » %rz = 2jIk sin "T
G.6.12)
Решение для постоянных слагаемых —pQ, —p'Q определяется по
формулам задачи Ляме п. 7.2, а каждому члену рядов соответ-
соответствует получаемое описанным выше способом решение, в ко-
kn
тором р принимается равным —г- .
Называя через Z осевое усилие в поперечном сечении ци-
цилиндра, имеем по G.1.17)
и, поскольку CTZ, trz пропорциональны cosp? и sin P?, получаем
Z (I) =
350 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
причем постоянное слагаемое вносится решением задачи Ляме.
Осевые усилия на торцах оказываются равными
Г = 2ла2L ^ГЪГ {Ъ ~ fad + 2паЧ Р01~2Р<> , G-6.13)
я система сил, распределенных по торцам, может быть сделана
статически эквивалентной нулю при нагружении торцов равно-
равномерно распределенными нормальными напряжениями интен-
интенсивности
< G6Л4)
2
ncf
-x\)
Так построенное решение определяет напряженное состояние
в цилиндре длины 2aL с точностью до местного возмущения
его в близости от торцов. Строго говоря, здесь дается решение
задачи о бесконечно длинном цилиндре, по боковой поверхно-
поверхности которого распределена нагрузка, задаваемая периодиче-
периодическими функциями G.6.12). Можно также использовать пред-
представление закона нагружения не рядом, а интегралом Фурье,
продолжая произвольным образом задание этого закона вовне
отрезка —L-C?<1L, например, принимая нагрузку равной
нулю при \t,\> L.
Точное решение требует удаления с торцов оставленных на
них статически эквивалентных нулю систем сил. Выше указы-
указывалось на трудность этой задачи; далее рассматривается прием
частичного выполнения этого требования с помощью «однород-
«однородных решений».
Случай кососимметричного относительно среднего сечения
цилиндра нагружения рассматривается аналогично; требуется
заменить cos |3?, sin pg на sin pg, —cos p^ в формулах G.6.7),
G.6.8). Общий случай нагружения можно рассмотреть наложе-
наложением симметричного и кососимметричного нагружении.
7.7. Задача Файлона. Рассматривается нагружение сплошно-
сплошного цилиндра касательными усилиями постоянной интенсивно-
интенсивности q, равномерно распределенными по двум участкам боковой
поверхности
Можно принять, что эта схема описывает загружение испытуе-
испытуемого на растяжение цилиндрического образца, которому пере-
передается с помощью кольцевых захватов через заплечики (вы-
(высоты Ьа) растягивающее усилие
Р = 2na2qb.
Распределение касательных напряжений по поверхностям, от-
отделяющим заплечики от тела стержня, считается равномерным.
§7]
РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
351
Краевые условия G.6.12) теперь записываются в виде
х = \: аг = 0, т„ = т(?), G.7.1)
причем т(?)—нечетная функция, задаваемая при
венствами
0.
q, Zo
О, ^
ра-
раG.7.2)
Коэффициенты ее разложения в ряд по синусам равны
t{Q sin s? dl = ^ [cos sfe?0 ~ cos
Тогда, задавая в соответствии с G.6.6), G.6.7) функции br, bo
тригонометрическими рядами
ОО
Ьт = S Ckh (skx) cos sftS,
cos sft?, G.7.3)
придем, записав краевые условия G.7.1), к уравнениям
Ck {C - 2v) sfe/0 (sfe) - [4 A - v) + s\] h (sh)} +
Ck [sklu(sk) - 2 A - v) A (sk)}
G.7.4)
определяющим неизвестные коэффициенты Ch, Dk. Зная bn b0,
no G.1.5), G.1.6) составляем выражения напряжений и пере-
перемещений. Вместе с тем по G.6.14)
(-I)*
•Як = -
ft=l
ft2
L L L \
G.7.5)
причем суммирование проведено с помощью ряда
(-D
~i cos ka
k-i
352
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
Добавив это равномерно распределяемое по сечению цилиндра
напряжение к напряжению az, вычисляемому по полученному
решению в форме тригонометрического ряда, придем к распре-
распределению напряжений
+ — 2uj fcos ¦
k=i
~ cos sk (So + b)] Sz (x, sk) cos s&, G.7.6)
статически эквивалентному нулю на торцах t, = ±L цилиндра.
Через Sz(x, р) обозначено выражение
5* (х- Р) = да {/° (pJf) [3р/°(Р) ~ 2 B " V) 7l (Р) ~ р2/| т +
+ рхЛ(|Зх)[р/0(р)-/,©]}, G.7.7)
и при подстановке в G.7.6) следует заменить р на sh = kn/L.
В приводимой ниже таблице, вычисленной Файлоном для
значений
/_И h — r— — — —
L~ 2 ' °~^°~3~6'
приведены распределения нормальных напряжений стг в различ-
различных сечениях цилиндра. Через от обозначено среднее значение
Р
-^¦ = 2qb при ?<?о; заметим, что при ? > ?0 + Ъ среднее зна-
значение этого напряжения, конечно, равно нулю.
Таблица 5
Отношение az/am
III
0
0,1
0,2
0,3
0,4
х = 0
0,689
0,673
0,631
0,582
0,539
х = 0,2
0,719
0,700
0,652
0,594
0,545
х = 0,4
0,810
0,786
0,720
0,637
0,565
х = 0,6
0,962
0,937
0,859
0,737
0,617
1,117
1,163
1,334
2,022
1,368
В последней строке дается распределение напряжения az в
сечении, расположенном уже в загруженной части цилиндра.
Из таблицы можно заключить, что распределение нормальных
напряжений az выравнивается при удалении от места загруже-
ния. Но даже в среднем сечении (? = 0) эти напряжения изме-
изменяются в пределах от 69% до 112% от среднего значения. Это
объясняется тем, что в рассмотренном случае цилиндр загру-
загружен по значительной части A/3) его боковой поверхности; при-
применение принципа Сен-Венана недопустимо.
5 Л
PABHOBECHF УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
353
7.8. Однородные решения. Ограничиваясь случаем аксиаль-
аксиально-симметричной деформации сплошного цилиндра, рассмотрим
при отсутствии загружения боковой поверхности {х = I) одно-
однородную систему линейных уравнений [см. G.7.4)]
С {C - 2v) р/0 (Р) - [4 A - v) + Р2] /, (Р)} + ]
+ />р[/1(Р)-р/о(р)] = О, G.8.1)
С [р/0 (р) - 2 A - v) /, (Р)] + Dp/, (Р) = 0, >
определяющую коэффициенты С, D решений
Ьг = Ch (И е''К, *о = D/o (pjc) e'W. G.8.2)
Эта система может иметь ненулевые решения для значений |3,
обращающих в нуль ее определитель G.6.11):
ч^ О) = Э2 [/§ (|5) — /? О)] — 2A — v) /? О). G.8.3)
Представление ф(Р) в форме степенного ряда можно получить,
используя формулу для произведения бесселевых функций
ТП-\-П
(т
2s)l
Приходим к равенству
из которого следует, что для v < 1/2 величина в скобках поло-
положительна при всяком целом s; поэтому г|з(|3) не имеет корней
при вещественных р, исключая очевидный двойной нулевой
Таблица 6
S
1
2
3
S
1
2
3
1,367 + 2,698/
1,558 + 6,060/
1,818 + 9,320/
0,9528 - 0,0692/
0,9712 + 0,0102/
0,997 +0,000/
'о (Р*)
-0,4695 + 0,7269/
0,4853 - 0,5576/
-0,567 +0,562/
1,489 + 2,476/
1,451 +5,901/
1,812 + 9,29/
'i (h)
-0,5453 + 0,7233/
0,4937 - 0,5794/
-0,568 +0,563/
*'№*)
2,85-1,48/
8,22 - 0,84/
12,06-1,56/
23 А. И. Лурье
354
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
корень. Она не имеет и чисто мнимых корней, в чем можно убе-
убедиться, положив р = 1ц и группируя слагаемые ряда попарно;
тогда окажется, что г[1(ф)<0.
Таким образом, все корни функции г[;(|3) комплексные; но
эта функция четна, а коэффициенты ее разложения G.8.4) в
ряд вещественны. Поэтому ее корни распадаются на четыре
группы:
P, = YS-H65> p;=-Ys-W6a> fis = ys-it>s, Fs=-ys-it>s GA5)
(Ys>0, 6s>0).
Значения первых трех корней, расположенных в первом квад-
ранге плоскости |3, приведены в таблице 6; в ней же приведены
числовые значения некоторых функций от этих корней. Вы-
Вычисление проведено для значения v = 0,25.
Поскольку уже jp3 1 = 9,496, достаточную точность прия>3
дают асимптотические формулы корней (с точностью до членов
порядка п,'1 In я)
ft, ~ гШ +1Ш inn - i
и функций от них
1 - 2 A - v)] } G.8.6)
h (p«)
2A-у)
Заметим еще, что при принятом обозначении
уравнение G.8.3) записывается в виде
v).
G.8.7)
. G.8.8)
G.8.9)
G.8.10)
Возвращаясь к уравнениям G.8.1), находим зависимость
между постоянными С, D, соответствующими корню ps:
(У) = [p. (Я2, - 1) - U C(s).
Постоянные С("> остаются неопределенными. Далее вводится
обозначение
(s) __ Ls __ Ms + iNs
С —
(Ps) Ml
§7]
РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
355
позволяющее записать выражения перемещений для каждого
корня в виде
где
^•Л*. Ps)= - р^7(р^ (PsJc/i (Psa;) + [2A -v)-я.врв1 /0(
В этой же форме записываются напряжения:
причем
20
^ = Lsosz(x,$s)ehsl, -?r = Ls%srz(x,
20
~2G
1
[G.8.12)
G.8.13)
(ps)
2v) /0
¦[2(l-v) + PAl,
G.8.14)
Л (Ps) ct? (x, ps) = B - p^s) /0 (p^) + psx/, (ps.t),
Л (Ps) т*г(*. P.) = -«№^o (P.*) - РЛ/j (P.^)].
и легко непосредственно проверить, сославшись на G.8.9),
G.8.10), что комплексные функции osr{x,$s), 7,srz{x,'f>s) обра-
обращаются в нуль на поверхности цилиндра х — 1. Конечно, равны
нулю и их вещественные и мнимые части (обозначаемые индек-
индексами г, I сверху).
Таким образом, построена система «однородных решений»
уравнений равновесия упругого цилиндра — решений, оставляю-
оставляющих его поверхность х = 1 свободной от нагружения. Система
напряжений, вычисляемых по этим решениям, в любом попе-
поперечном сечении цилиндра статически эквивалентна нулю. Это
сразу же следует из соображений статики и легко подтвер-
подтверждается вычислением
os_ (я, ps) х dx =
23*
B - РЛ) J /о (pVt) x dx -!- p, [ /, fox) x2 dx \ = 0,
I
356
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
[ГЛ. V
что следует из G.8,9) и из соотношений
*"/„_, (х) dx = х"In (х), /2 (х) = /0 (х) ¦
2/, (х)
Отделив в G.8.11) вещественную часть, получим
urs = {Ms [u(s>r) cos ysC - «(Sl" sin уД -
s'r)
sin
u(s>i] cos
[a>(s-r) cos yst, — w(s'l) sin уД —
{s-r) sin yl + w{s' °
Ns [w{s-r) sin ysl + w{s' ° cos
G.8.15)
Выражения, отличающиеся только перестановкой и знаком
постоянных, получили бы, взяв мнимую часть «s, ws. Таким об-
образом, для каждого корня |3S в первом квадранте плоскости р
имеем два частных однородных решения, соответствующих не-
независимым постоянным Ms, Ns. Наличие в выражениях G.8.15)
множителя е~ s указывает, что эти решения экспоненциально
затухают от края цилиндра 'Q = 0. Быстрота затухания возра-
возрастает с номером решения: 6i = 2,698 и уже бз = 9,320. Решения,
затухающие от края ? = L, получим, заменив в G.8.11) G.8.13)
множитель е'№ на е'к>, %\ = L — ? (и изменив знаки w и %rz).
Использование корней, расположенных в других квадрантах
плоскости C, не приведет к решениям, отличным от указанных;
для каждого |3S получаем, таким образом, четыре независимых
частных решения, из них два затухают при удалении от торца
? = 0 и два — от торца ?i = 0.
7.9. Краевые условия на торцах. Введенные в п. 7.8 одно-
однородные решения могут быть использованы для приближенного
выполнения краевых условий на торцах цилиндра, так как на-
наложение их не вносит никаких изменений в условия нагружения
боковой поверхности цилиндра.
Можно ограничиться рассмотрением полубесконечного ци-
цилиндра, так как следует предположить, что искажение напря-
напряженного состояния, вносимое невыполнением краевых условий
на одном из торцов, будет пренебрежимо малым в области, при-
прилегающей к другому торцу. Допустимость такого предположе-
предположения даже для «кубообразного» цилиндра (L ~ 2) оправды-
оправдывается экспоненциально;1! быстротой затухания однородных ре-
решений.
Выражения s-i\ пары вещественных однородных решений
для нормального и касательного напряжений на торце Z, = 0
будут
s, г) _
, г) _
§7]
РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
357
где, как говорилось, о^-г\ т^г) — вещественные, cr<f' l\ т;(.^г) —
мнимые части функций osz(x, s), xsrz(x, s), определяемых по
формулам G.8.14).
Краевые условия на торце ?, = 0 запишем в виде
? = 0: o, = F(x), т„=-Ф(*), G.9.2)
где функции F(x), Ф(х) задаются законом нагружения торца,
причем F(x)>0 при растяжении, а Ф(л:)>0, если касательные
нагрузки направлены в сторону возрастания х. Распределение
нормальных нагрузок на торце предполагается статически экви-
эквивалентным нулю:
1
xF(x)dx = 0, G.9.3)
так как удаление растягивающей силы Z (главного вектора-рас-
вектора-распределения нормальных напряжений) требует лишь наложения
элементарного решения az = Z/na2.
Итак, задача сводится к одновременному представлению
двух заданных функций рядами вида
ф(*)=- 2 [м&г) - адг>].
s = l
G.9.4)
Ограничиваясь приближенным решением, сохраним в пра-
правых частях G.9.4) конечное число п слагаемых и введем в рас-
рассмотрение квадратичное отклонение по площади
W{Mlt M2, ..., Мп\ Nlt N2, ..., Nn) =
F«- S
s=l
¦4-
ф ^ +
-r) -
r) -
x dx. G.9.5)
Коэффициенты Ms, Ns определяются по условию минимума
квадратичного отклонения; это приводит к системе In линей-
линейных уравнений
дМь
= 0,
= 0, k=\, 2, ..., п,
G.9.6)
358 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
или, в развернутом виде,
п _п_
~ Ms + CskNs) = it>k, G-9.7)
S-l
S-1
где обозначено
B
0
1
= - J (a<
XdX=
С* !,
G.9.8)
- «4»* = J [f (*) ^ (JC h) - ф (^) < (*. P*)] *
Коэффициенты ASh, BSk, Csft вычисляются (для фиксирован-
фиксированного коэффициента Пуассона v) один раз навсегда. Они пред-
представляются в виде (v = 1/4)
Ask - iBsk = y f;+ ®s, h) + /- (P«
G.9.10)
и вычисление приводит к следующим значениям величин У+ и /_:
.vPft (РДй -
G.9.11)
и при s =
(Р« Р.) = - 4 РДч + 2,667 - 4,5 ^ -f ^,
° Ps Ps
и/ р2,
G.9.12)
РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
359
G.9.13)
Цля п -- 2 вычисления с помощью чисел в табл. 6 дает систему
четырех уравнений
1,077/У, - 0,257\М2 + 0,401^! - 0,05085TV2 - <plf
-0.257Ш, + 3.05 Ш2 - 0,525^! + 1,662/V2 = ср2,
0,40Ш, - 0,525М2 + 0,2915Л/, - 0,2678//2 = ф„
- 0.05085М! + 1,662М2 - 0,2678iV2 + 1,6507V2 = г|J,
решение которой будет
М, = 2,391ф! - 0,4256ф2 - 4,222ф! - 0,1829г|з2,
М2= -0,4256ф1 + 0,9730ф2+ 1,675ч|э, — 0,7215г|з2,
N{ = - 4,222ф, + 1,675ф2 + 12,44^, + 0,2018г|з2,
дг2= — 0,1829ф, — 0,7215ф2 + 0,2018^! + 1,360ф2.
Определив по этим формулам коэффициенты Ms, Ns по значе-
значениям ф8, г|з5 для рассматриваемой задачи, найдем для s= 1, 2
вещественные однородные решения по формулам G.8.14). Чис-
Численные значения функций /0(psx), I\($sx) и вычисленные по
ним величины напряжений и перемещений
G.9.14)
s, r) + i(y(s, i)
s. r)
представлены в таблицах 7, 8, 9, 10.
Таблица 7
X
0
0,2
0,3
0,6
0,8
1,0
/о (Pi*)
1
0.9452 + 0,01780/
0,8752 + 0,1551/
0,4760 + 0,5078/
0,04951+0,7017/
-0,4695 + 0,7269/
0
0,1230 + 0,2675/
0,1600 + 0,3960/
0,0785 + 0,7162/
-0,1704 + 0,8090/
-0,5453+0,7233/
/о Фгх)
0
0,6776 + 0,1584/
0,331 +0,280/
-0,589 +0,0727/
-0,3618-0,4973/
0,4853-0,5576/
/i (M
0
0,0794+0,5193/
0,0040 + 0,627/
-0,439 +0,0599/!
-0,2326-0,5937/
0,4937-0,5794/
Таблица 8
X
0
0,2
0,3
0,6
0,8
1.0
аг г
0,4302-1,699/
0,403 -1,517/
0,368 -1,309/
0,172 -0,485/
0,014 -0,081/
0
г lGr
-2,119 + 2,490/
-1,247+1,658/
-0,34 -0,02 i
1,58 -2,233/
0,721-0,746/
0
A, г) , . B, ()
Ф *" * ф
0,4302-1,699 /
0,4571-1,638 /
0,485 - 1,562 /
0,6053-1,185 /
0,676 -0,843 i
0 7004-0,4769/
„B, г) B, «)
Ф т' ф
-2,119 +3,490/
-1,959 +2,784/
-1,75 +2,024/
-0,602 -0,244/
0,2103-0,6687/
0,5456-0,2271/
360
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Таблица 9
X
0
0,2
0,3
0,6
0,8
1,0
-2,522+1,195/
-2,273+0,952/
-1,966+0,685/
-0,450-0,221/
0,776—0,351/
1,681+0,303/
он,г) + й,е,г)
6,369-4,479/
4,252-2,410!
2,092-0,581/
-2,42 +1,17 1
-0,456-0,551/
2,151+0,335/
0
-0,5007 + 0,6171i
—0,7186 + 0,8357/
-1,030 +0,8790/
-0,7628+0,4486/
0
ТB,о + ,ЧМ)
0
2,669-2,880/
3,17 -3,04 /
0,54 +0,28 /
-1,325 + 0,889/
0
Таблица 10
1
X
,0
0,2
0,3
0,6
0,8
1,0
ц0,г)-н„A,0
0
0,1478-0,2394/
0,2124-0,3376/
0,3240-0,4836/
0,3059-0,4706/
0,2241-0,4422/
u&,r) + iuB,i)
0
-0,4335 + 0,4759/
-0,524 +0,522 /
-0,190 +0,011 /
0,0927-0,2208/
0,0600-0,2322/
w(\,r) + lw{\,i)
0,8906-0,1552/
0,7953-0,1139/
0,6819-0,0707/
-0,358 +0,051 /
-0,1568-0,0441/
-0,3050-0,2799/
wB,r) + iwB,i)
-1,118 +0,5443/
-0,7377 + 0,2753/
0,1756 + 0,0306/
0,388 -0,137 i
0,0794 + 0,0462/
-0,2448-0,1173/
7.10. Обобщенная ортогональность. Трудность выполнения
краевых условий на торцах цилиндра состоит в необходимости
одновременного представления двух независимых функций ря-
рядами вида G.9.4) по неортогональной системе решений, остав-
оставляющих боковую поверхность цилиндра (х = 1) свободной от
нагружения («однородных решений»).
Эти решения обладают, однако, некоторым свойством «обоб-
«обобщенной ортогональности». Его можно использовать для точного
выполнения одного из краевых условий, причем сохраняется
произвол, допускающий возможность приближенного выполне-
выполнения второго условия.
В рассмотрение вводятся функции
= е
и их производные по аргументу (Jsx
К =8'
G.10.1)
G.10.2)
Здесь, как и ранее, ps — корни трансцендентного уравнения
о /1 ,.\ о /1 2 11 1 _. 'о yPs) in г
РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
361
Однородные решения задачи о цилиндре (оставляющие его
поверхность свободной от нагружения) в этих обозначениях
представляются рядами
- е0 cos
G.10.4)
причем каждому корню s = 1, 2, ... соответствуют четыре сла-
слагаемых для значении G.8.5) корпя |3S. Ряды G.10.4) при над-
надлежащем выборе постоянных Cs дают представления веществен-
вещественных функций.
Вычисляемые по G.10.4) напряжения определяются по фор-
формулам
G.10.5)
Введенные функции е^, р^ обладают свойством обобщенной ор-
ортогональности (П. А. Шифф, 1883):
G.10.6)
Это проверяется непосредственным вычислением. Имеем
1 1
№- \)+кмч~
362 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
Входящие сюда интегралы вычисляются по фэрмулам
1
Ps h G.10.7)
т [П (h) - П (У + -^ Л> (Ps) л (Р.) E = *),
G>108)
и в сказанном можно убедиться подстановкой в G.10.6). Вме-
Вместе с тем
1
2 j p'ke'kx dx = Nk = I\ фк) {%\ - 1) [ 1 + $k%k (%l - 1) - 2Щ. G.10.9)
о
П. А. Шифф и позже П. Ф. Папкович A941) указали на воз-
возможность одновременного представления двух независимо за-
задаваемых функций Ft(x), Рг(х) в форме рядов по функциям,
обладающим свойством обобщенной ортогональности. В приме-
применении к функциям е^, р^ эти представления записываются в виде
l(x) = 2>Dse's, F2 {x) = 2j Dsp's. G.10.10)
s s
Одинаковые коэффициенты Ds этих рядов определяются с по-
помощью свойства обобщенной ортогональности
1 1
[ [p^i W + z'kF2 M]x dx = S D' I" Ke^ + 8*Ps) x dx = DkNk-
о s о G.10.11)
Например, положив F2(j;)»0, имеем
s 7] РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 363
получили представление нуля в виде ряда по функциям p's
с коэффициентами Ds, вычисляемыми по произвольно заданной
функции F\(x) *).
Функция 2GF\{x) может быть принята равной заданному на
торце ? = L касательному напряжению {xxz)i=l-
{xxz\_L = 2G S CX ^n PSL = 2GFi{x). G.10.12)
Тогда по G.10.11)
l
Произвол в задании функции F2(x) может быть использо-
использован для приближенного выполнения еще одного краевого усло-
условия. Так, если задать F2(x) в виде
п
F2(x)= 2 акщ(х), G.10.14)
то коэффициенты С, окажутся линейными функциями парамет-
параметров ah:
G.10.15)
Эти параметры можно определить, например, по условию мини-
минимума квадратичного отклонения заданного на торце ? = L нор-
нормального напряжения az от его требуемого значения G.10.5):
W(alt a2, ..., ап) =
1
о
Приходим к системе п линейных уравнений (k = 1, 2, ..., /г)
lr(Vv)osP'L]''t-=tl- G-Ю.17)
Например, приняв
F2 (х) = щх + а2х3 + ... + апх
2п~\
*) Изучению свойств сходимости рядов и установлению классов функ-
функций F,(x), F2(x), для которых возможны совокупные представления вида
G.10.10) по обобценно ортогональным функциям, посвящено (применительно
к задаче изгиба плит) исследование Г. А. Гринберга A951).
364
имеем
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [ГЛ. V
1 1
Nr sin %L -f^ = J ***e; dt =
* о о
Входящие сюда интегралы вычисляются с помощью формул
приведения
jV~7o@ it,
k + ]IQ{t)dt = x2k+[Il{x)-2kx2kIQ{x) + 4k
о о
X
\t2kl{{t)dt =
о
Г 9b 9
• — П Г /, (t) dt
J
x/0 @ dt = x/, (x), J /, (t) dt = /0 (x) - 1.
G.10.18)
Напомним, что только статически эквивалентные нулю си-
системы напряжений oz представимы в виде G.10.5):
1 1
U ] dx = 0.
xoz dx = 0, I x US
0 0
В случае цилиндра, растянутого осевыми сосредоточенными си-
силами Q, надо принять
Поэтому
1
, TaV> Р->О, тгг|?_? = 0.
I 0, х>р, Z
na2 p2
- v
x dx
и система линейных уравнений G.10.17) приведется к виду
(* = 1, 2 я)
Р-5
1-v
I 7] РАВНОВЕСИЕ УПРУГОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА 365
причем теперь
к=\ О
1
дСг 1 Г / / ч .
-~ = -тг—• о г I xzT4k \x) dx.
о
Вычисление интегралов проводится по формулам G.10.7) —
G.10.9) и получающимся из них дифференцированием по пара-
параметрам ps, pc Трудности будут связаны с вычислением двойных
рядов, представляющих коэффициенты при неизвестных ah в си-
системе G.10.19) *).
*) Автору неизвестны работы, в которых описанный процесс был бы
доведен до численных результатов
ГЛАВА VI
ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА
§ 1. Напряженное состояние
1.1. Постановка задачи Сен-Венана. Призматический стер-
стержень— тело, образуемое при поступательном движении плоской
фигуры S по прямой, перпендикулярной плоскости фигуры; фи-
фигура S представляет поперечное сечение стержня. Осью стерж-
стержня Oz называется прямая, являющаяся геометрическим местом
центров инерции поперечных сечений; оси Ох, Оу, расположен-
расположенные в плоскости поперечного сечения, направлены по его глав-
главным осям инерции. Начало О системы осей Оху расположено
в одном из поперечных сечений (в сечении z = const); началь-
начальное (.г = 0) и конечное (z = /) поперечные сечения называются
торцами стержня, их центры инерции обозначаются О~, О+.
Через /т, Iv назовем моменты инерции поперечного сечения от-
относительно расположенных в нем осей, через S — его площадь.
Итак,
\l Г Г = 0, \\ydo = 0 {do = dxdy),
s
, Iy=jjx4o,
s "s s
для всех z cz |0, /].
В задаче Сен-Венана рассматривается напряженное состоя-
состояние в призматическом стержне, нагруженном распределенными
по его торцам поверхностными силами; боковая поверхность 2
стержня свободна.
Краевые условия записываются в виде: на торцах
2 = 0 - XZX = XJ {X, у), - Xyz = Y~z [Х, У), ~O, = Z7 (X, tj), |
Z = / Хгх == XJ {X, tj), Xyz = Yt {Х, у), Ог = ZJ {Х, у), J
A.1.2)
§ 1]
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
367
где Xg, Yt, Zt — проекции на координатные оси поверхност-
поверхностных сил на торцах; на боковой поверхности 2 имеем
+ ХХуПу = 0, TXytlx
T.V2«X + Xy-Jly = 0.
A.1.3)
A-1.4)
Здесь п — единичный вектор внешней нормали к боковой по-
поверхности и одновременно к контуру Г поперечного сечения,
так что
„ _ йУ. „ Ах „ _ n
причем
x = x(s), y = y(s), г = const
A.1.5)
A.1.6)
— уравнение контура Г, s — дуга на нем.
1.2. Интегральные уравнения равновесия. Назовем через
Р, Q, R проекции на координатные оси главного вектора по-
поверхностных сил на правом торце (z = /), через пгх, mv, tnz —
проекции на эти оси их главного момента ш^° ) относительно
центра инерции 0+ этого торца. Тогда
Р = J J Xt (х, у) do, Q= \\Yt{x,y)do, R=\\zt{x,y)do,
s s s
A.2.1)
mx = [ \ yZt (x, y) do, my = - П xZt (x, y) do,
S S A.2.2)
m, = J J \xYt (x, y) - yXt (x, y)\ do.
s
Силы P. Q называют поперечными, R — осевой; inx, in,, — изги-
изгибающие моменты, in, — крутяишй момент.
Составим условия равновесия части стержня \z, /]; по его
левому торцу распределены напряжения хх:, т;;г, о., представ-
представляющие систему поверхностных сил с проекциями на коорди-
координатные ОСИ —Т.«, —Тут, —Ог.
Так как боковая поверхность не нагружена, а массовые силы
отсутствуют, то шесть уравнении статики запишутся следующим
образом: три уравнения проекций сил
f f xzx do = P, J \ xu, do = Q, f [ аг do = !< A.2.3)
368 ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА [ГЛ. VI
и три уравнения моментов относительно осей Ох, Оу, Ог сече-
сечения г
yazdo = tnx — (l — z)Q, — | xezdo = tny + (l — z) Py
s
(xryZ-yx2x)do = tnz.
s
A.2.4)
При z = 0, заменив xxz, x,J2. ог их значениями A.1.2), придем,
конечно, к условиям равновесия внешних поверхностных сил,
которые должны считаться выполненными.
1.3. Основные предположения. Интегральным условиям рав-
равновесия A.2.3), A.2.4) можно удовлетворить, полагая, что xxz, xyz
не зависят от z, a ov—линейная функция от (I— г):
Ххг = Тл.-Л-Г> У)> Ъуг=Хуг(Х'У)' °г = °1(Х> У) + (l ~ Z) Ol(X> У)-
A.3.1)
Эти приемтемые предположения, конечно, не являются след-
следствиями упомянутых уравнений, но, лишь приняв их, можно
продвинуться дальше в решении задачи о равновесии стержня.
Два из трех уравнений статики в объеме теперь запишутся
в виде
_1 + _^ = 0, ~-^!__? = 0. A.3.2)
дх ду дх ду '
Следствием этих уравнений, а также краевых условий A.1.3)
на боковой поверхности стержня является приемлемость второй
группы предположений, допускаемых в постановке задачи Сен-
Венана:
o.v = 0, x.vl, = 0. о„ = 0. A.3.3)
В предположениях A.3.1), A.3.3) заключена идея «полуоб-
«полуобратного метода Сен-Венана»: некоторые напряжения (или пе-
перемещения) назначаются («угадываются»); тогда уравнения,
определяющие остающиеся неизвестные, становятся доступными
рассмотрению. Конечно, эти допущения заставляют отказаться
от точного решения краевой задачи; в задаче Сен-Венана, на-
например, отпадает возможность точного выполнения краевых
условий на торцах A.1.2), они заменяются интегральными со-
соотношениями A.2.3), A.2.4). Приемлемость этой замены обос-
обосновывается принципом Сен-Венана (п. 2.8 гл. IV).
Усилиями основоположников теории упругости Ляме, Кель-
Кельвина, Буссинека, Черрути и др. были получены строгие реше-
решения некоторых краевых задач теории упругости для областей,
ограниченных поверхностями, задаваемыми одним параметром
(шар, полупространство); исследования, имеющие целью полу-
§ I] НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 369
чение точных решений, продолжаются в наше время, и число их
растет. Но началом теории упругости как прикладной дисцип-
дисциплины следует признать знаменитые мемуары Сен-Венана
«О кручении призм» A855) и «Об изгибе призм» A856), в ко-
которых предложен «полуобратный метод» и высказан «принцип
Сен-Венана».
1.4. Нормальное напряжение а2 в задаче Сен-Венана. Это
напряжение может быть определено в общем виде для стержня
любого поперечного сечения; уравнений статики здесь недоста-
недостаточно, надо (решая задачу в напряжениях) обратиться к зави-
зависимостям Бельтрами — Мичелла A.5.9) гл. IV. В них по A.3.3)
сумма нормальных напряжений о заменяется напряжением az
и по A.3.1) линейно зависит от (/ — г):
о = ог = о1{х, у) + A-г)оЦх, у). A.4.1)
Из A.3.1) следует также, что все вторые производные искомых
функций по z оказываются нулями, так что в оператор Лапласа
войдут только производные по х, у:
Из трех уравнений Бельтрами — Мичелла (для o.v, ay, хху) сле-
следует:
^_ = 0 -^ = 0 -^- = 0 A4 3)
дх2 ду2 дх ду v '
а уравнение для а2 по A.4.1) удовлетворяется тождественно.
Итак, а оказывается линейной функцией х, у:
о = о. = а\х + а2у + ao + (l — z) {b\X + b2y + b0). A.4.4)
Обратившись к геометрическим и статическим соотношениям
A.1.1), A.2.3), A.2.4), теперь легко получим
R т„ т, |
а\ =
~T7' Ix ' 1 A4 5)
и п и Р и Q ' ' '
О0 = U, О, = г— , 02= j— , I
и поэтому
Пришли к закону распределения нормальных напряжений в
упругом стержне, растягиваемом осевой силой R и изгибаемом
приложенными к торцу моментами т,, тч и поперечными си-
силами. Величины
AU = тл- Q{l — z), Mu = mu + P(l — z) A.4.7)
24 Л II. .'Ирье
370 ЗАДАЧА СЕН-ВЕНАНА [ГЛ. VI
представляют изгибающие моменты в сечении z. В элементар-
элементарной теории изгиба балок также принимается, что
R Ми Мх
^ > AА8)
причем этот закон распределения нормальных напряжений о2
распространяется на случай любого нагружения стержня по бо-
боковой поверхности, когда изгибающие моменты Мх, Му произ-
произвольным образом зависят от г.
1.5. Касательные напряжения xXz,xyz. Эти напряжения опре-
определяются из третьего уравнения статики и остающихся двух
уравнений Бельтрами—Мичелла
д^хг . дТуг даг I Р Q \
— —^—= ^—= — \-г- х + -г- и , A.5.1)
дх ду дг \1у 1х I к '
V2t VV= (L52)
Они рассматриваются совместно с краевым условием A.1.4)
на боковой поверхности или, что то же самое, на контуре Г об-
области S:
на Г: xxtnx + хугпу = 0, A.5.3)
и остающимися интегральными условиями A.2.3), A.2.4):
J J т*гdo = P, ^xyzdo = Q, ^ (xxyz-yxzx)do = mz. A.5.4)
s s s
Заметим, что всякое решение уравнений статики в объеме
A.5.1) и на поверхности A.5.3) удовлетворяет двум первым
условиям A.5.4). Действительно, после умножения на х и ин-
интегрирования по площади 5 поперечного сечения имеем, сослав-
сославшись на A.1.1), A.5.1),
/ дххг dTyZ \
л; —-— + -——)do =
V дх ду I
' дК ХХ" + ^у XX^)d° - j J T- d° = - 7^
= -Р.
Но по A.5.3) и формуле преобразования поверхностного интег-
интеграла в контурный
XIXz + -§r xxy)j do = | х (xxzttx + хугпу) ds = 0,
§ 1] НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 371
чем устанавливается первое соотношение A.5.4); конечно, ана-
аналогично приходим ко второму.
Заметим еще, чго уравнения A.5.1) и A.5.3) непротиворе-
непротиворечивы, что следует из соотношений
Эт„ дху2 \ ?
-&Г -Г -gy-j d0=§ {Xxztlx + хугПу) ds =
Г
l
У
'х
S S
у do = 0.
Ниже доказывается, что дифференциальными уравнениями
A.5.1), A.5.2) при краевых условиях A.5.3) и при задании ве-
величины крутящего момента т2 касательные напряжения xxz, хуг
вполне определяются единственным образом. Как видно, здесь
нет речи о выполнении предписываемых равенствами A.1.2)
условий на торцах. Можно сказать, что решение задачи в по-
постановке Сен-Венана является строгим решением краевой за-
задачи теории упругости лишь при условии, что нормальные на-
напряжения на торцах распределены в точности но закону
A.4.6), а касательные — по закону, найденному из решения
сформулированной выше задачи. Так найденные напряжения об-
образуют, однако, систему поверхностных сил, статически эквива-
эквивалентную (с тем же главным вектором и с тем же главным мо-
моментом) любому предписанному распределению поверхностных
сил Хг, YZ, Zt на торцах. Принцип Сен-Венана отвечает на
вопрос, насколько приемлема такая замена одной задачи дру-
другой. Об этом принципе упоминалось в п. 7.6 гл. V при поста-
постановке задач о равновесии упругого кругового цилиндра. Он
формулировался и обсуждался в п. 2.4 гл. IV и п. 1.14 гл. V.
Его содержание в применении к задаче Сен-Венана сводится
к утверждению, что статически эквивалентные системы сил, рас-
распределенных по торцам, составляющим малую часть всей по-
поверхности достаточно длинного стержня, создают в теле стерж-
стержня напряженные состояния, существенно отличающиеся друг от
друга в областях, примыкающих к торцам, и практически одина-
одинаковые на достаточном удалении от торцов. В подтверждение
можно сослаться на примеры экспоненциального убывания на-
напряжений при удалении от торца, нагруженного статически
эквивалентной нулю системой поверхностных сил, в задачах
о кручении (п. 7.5 гл. V) кругового цилиндра и об однородных
решениях (пп. 7.8, 7.9 гл. V). Но можно привести также пример
противоположного характера; таковым является случай круче-
кручения стержня с тонкостенным открытым профилем (корытным [,,
зетовым Z и т. п.), когда напряженн