АэроДинАМИЧЕСКИЕ
ПРОИЗВОДНЫЕ —
"ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
(И КРЫЛА —
ПРИ ДОЗВУКОВЫХ —
_ СКОРОСТЯХ _

С. М. БЕЛОЦЕРКОВСКИЙ
Б. К. СКРИПАЧ
АэрРоДинАМИЧЕСКИЕ
ПРОИЗВОДНЫЕ
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
И КРЫЛА ПРИ ДОЗВУКОВЫХ
СКОРОСТЯХ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
С. М. БЕЛОЦЕРКОВСКОГО
ИД
ия)
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА,
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1975

533
Б 43
УДК 533.6
Аэродинамические производные летательного аппа-
рата и крыла при дозвуковых скоростях. С. М. Бело-
церковский, Б. К. Скрипач. Изд-во «Наука»,
Главная редакция физико-математической литературы,
Москва, 1975 г.. 424 `стр.
В книге дано систематическое изложение линейной
нестационарной теории несущей поверхности при гармо-
нических законах движения с малыми числами Струхаля.
Рассмотрены численные методы расчета обтекания лета-
тельных аппаратов на дозвуковых скоростях полета,
основанные на широком использовании ЭВМ.
Книга содержит все основные сведения и материалы,
необходимые для исследования по аэродинамике, а также
аэроупругости и динамике полета летательных аппара-
тов различного назначения. Она рассчитана на научных
работников, инженеров и студентов.
Таблиц 14, рис. 236, библиограф. ссылок 62.
СЕРГЕЙ МИХАЙЛОВИЧ БЕЛОЦЕРКОВСКИЙ
БОРИС КИРИЛЛОВИЧ СКРИПАЧ
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА И КРЫЛА
ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ
М., 1975 r., 424 стр. с илл.
Редактор В. Д. Вотяков
Техн. редактор Н. Я. Мурашова
Корректор И. В. Хорошаева
Сдано в набор 5/11 1975 г. Подписано к печати 2/1Х 1975 г. Бумага 60Х 90'/,,_ №
Физ печ. л. 26,5. Условн. печ. л.26,5. Уч.-изд. л. 25,26. Тираж 3500 экз. Т-14865.
Цена книги 2 р. 31 к. Заказ № 582.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Набрано в Ленинградской типографии № 6 Союзполиграфпрома при Государственном
комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, Ленинград, С-144, ул. Моисеенко, 10
Отпечатано в ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской типографии № 2 имени
Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров
CCCP по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052,Ленинград, JI-52,
Измайловский проспект, 29
© Главная редакция
20 303-127 153-75 физико-математической литературы
053 (02)-75 | издательства «Наука», 1975 г,


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 2. 1 ww oe ew we we ee hte еее ня
Глава |. Общие сведения... 2. 2 ee ee ew ee ew
$ 1. Системы координат... we ee
$ 2. Схематизация летательного аппарата... ..........
$ 3. Монопланное крыло сложной формы в плане. Основные геометриче-
ские параметры и соотношения . еее еее...
$ 4. Аэродинамические коэффициенты . еее еее еее
$ 5. Средняя аэродинамическая хорда... 1 we we ew ee we
$ 6. Кинематические параметры ...... ууу
$ 7. Коэффициенты аэродинамических производных еее не
$ 8. Коэффициенты присоединенных масс ... уе
$ 9. Пересчет аэродинамических коэффициентов Wa другие характер-
ные размеры ... ... .
$ 10. Пересчет аэродинамических ` коэффициентов на. другие оси....
$11. Фокусы аппарата при нестационарных нагрузках ........
Глава II. Постановка задачи. Некоторые общие свойства линейных
дозвуковых задач .... еее еее
$1. Уравнение движения. Интеграл Коши—Лагранжа. ......
$2. Уравнение для потенциала возмущенных скоростей. ......
$ 3. Граничные условия на поверхности летательного аппарата. ...
§ 4. Условия на вихревой пелене и вне е . «we ww we we ww
$5. Гипотеза Чаплыгина—Жуковского . ww ww we te et wt
$ 6. Постановка задачи... ....... ооо.
$7. Некоторые общие свойства решений линейных задач. .....
$ 8. Схематизация управляющих органов и граничные условия на них
Глава III. Основные вихревые системы. Теорема Н. Е. Жуковского
$1. Общие положения численных методов на дозвуковых скоростях
$2. Косой подковообразный вихрь при установившемся движении. . .
§ 3. Косой подковообразный вихрь при неустановившемся движении
$ 4. Случай гармонической зависимости напряженности присоединенного
вихря от времени ......... ИР
$ 5. Поле скоростей при малых значениях числа Струхаля.....
$6. Теорема Н. Е. Жуковского «в малом» для циркуляционного обте-
кания .. ... уе. ине.
$ 7. Теорема Н. Е. Жуковского «В малом» ‘при бесциркуляционном обте-
кании . ~~ ee ee ee еее. ... уе
Глава IV. Численный метод расчета обтекания схематизированного
летательного аппарата в несжимаемой среде. ....
$1. Вихревая модель схематизированного летательного аппарата. ..
§ 2. Расчет напряженности присоединенных вихрей при бесциркуля-
ЦИОННОМ обтекании e e e ® ea eo о » eo eo eo e e 2. e a e e e e e e

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
$ 3. Расчет аэродинамических нагрузок, сил и моментов при бесциркуля-
ционном обтекании „еее еее еее.
$ 4. Расчет напряженности присоединенных вихрей при циркуляционном
обтекании «ww еее еее еее ине
$ 5. Расчет коэффициентов аэродинамических производных распределен-
ных и суммарных нагрузок „еее.
§ 6. Расчет безударного обтекания „и...
$ 7. Расчет аэродинамических характеристик деформирующегося летатель-
ного аппарата (метод заданных форм) ............
$ 8. Расчет функций аэродинамического влияния. ..........
$ 9. Связь функций аэродинамического влияния с коэффициентами аэро-
динамических производных .. еее ине.
$ 10. Расчет аэродинамических характеристик управляющих органов
Глава V. Расчет коэффициентов аэродинамических производных при
дозвуковых скоростях (0 < М < 1) и малых числах Стру-
халя (р*-—> 0)... 2... 2.2. ...
Основное преобразование. . ... и. ,
. Соотношения между кинематическими параметрами .......
. Преобразование дифференциальных уравнений и граничных условий
Связь между коэффициентами аэродинамических производных по-
тенциала в сжимаемой и несжимаемой средах. . уе.
Коэффициенты аэродинамических производных нагрузки в сжимае-
мой и несжимаемой средах... иене.
Коэффициенты аэродинамических производных сил и моментов
в сжимаемой и несжимаемой cpeqax ....... ....
Метод расчета аэродинамических характеристик летательного
аппарата в сжимаемой среде при р* 0... ..
Расчет безударного обтекания при дозвуковых скоростях...
. Расчет функций аэродинамического влияния ..........
. Определение аэродинамических характеристик управляющих орга-
нов в сжимаемой среде .............
QM Q Lr  Qr бор
SOM NYDN вьюн
—
e e © » e e e
Глава VI. Теорема обратимости и ee следствия. .....
$ 1. Teopéma обратимости .. иене,
$ 2. Связь между аэродинамическими производными прямого и обратного
летательных аппаратов .. еее еее. .
$3. Вычисление аэродинамических производных при деформациях
летательного аппарата... еее.
$ 4. Аэродинамические производные летательного аппарата, связанные
с отклонением рулей и элеронов „и... ..
§ 5. К выбору управляющих органов с заданными свойствами... .
§ 6. Экспериментальная проверка некоторых следствий теоремы обра-
THMOCTH . ... 1... ee. we
Глава VII. Индуктивное сопротивление летательного аппарата. ..
$ 1. О подсасывающей силе... иене
. Представление индуктивного сопротивления через коэффициенты
аэродинамических производных .. еее ние
. Теорема количества движения в случае установившегося посту-
пательного движения „еее еее
. Общие соотношения при произвольных зависимостях от времени
.‚ О течении газа вблизи передней кромки... .......
. Вычисление коэффициентов аэродинамических производных индук-
тивного. сопротивления без подсасывающей силы. .......
OAD, с MH
С) Ol pf Go [5%
100
103
106
108
115
116
120
123
131
131
134
135
137
140
142
143
151
154
155
162
162
166
168
171
172
175
179
179
181
185
188
191
193

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 7. Вычисление индуктивного сопротивления при установившемся Дви-
жении . ° e e ° » e e ° e ° . e О e
$ 8. Вычисление коэффициентов аэродинамических производных подсасы-
вающей силы... ие.
Глава VIII. К оптимизации аэродинамических производных и ка-
чества летательного аппарата ........
$ 1. Общие положения ..... ео
$ 2. Об учете влияния подсасывающей еилы И.
$ 3. Аэродинамические производные подъемной силы и продольного
момента .. . еее
$ 4. Сопротивление без подсасывающей cul we wee
$ 5. Сопротивление с подсасывающей силой... ee
$ 6. Некоторые свойства коэффициентов сопротивления ооо
$ 7. Аэродинамическое качество ........ уе
$ 8. Оптимизация подъемной силы и продольного момента летательного
аппарата ... уе
$ 9. Оптимизация аэродинамического качества ...... ...
$ 10. Оптимизация максимального значения аэродинамического ‘качества
$11. О мощности, затрачиваемой на движение и деформации. .. .
$ 12. К численному определению некоторых интегралов ......,.
Глава IX. Некоторые точные и известные решения.......
$ 1. Деформирующееся крыло бесконечного удлинения .......,
$ 2. Крыло бесконечного удлинения с рулем. Коэффициенты аэродинами-
ческих производных .........
$ 3. Крыло бесконечного удлинения с рулем. Коэффициенты аэродинами-
ческих производных при бесциркуляционном обтекании
$ 4. Деформирующееся прямоугольное крыло весьма малого удлинения.
Коэффициенты аэродинамических производных циркуляций .
$ 5. Прямоугольное крыло весьма малого удлинения. Коэффициенты
аэродинамических производных подъемной силы и моментов .
$6. Коэффициенты сопротивления прямоугольного крыла весьма ма-
JIoro удлинения e e e e e e e e e e e ° e e ° e e e e
$ 7. Коэффициенты аэродинамических производных прямоугольных
крыльев при M+>1up*->0O........-+-266-
лава Х. Особенности методики расчета на ЭВМ .....
Г
§ 1. К выбору положения вихрей и контрольных точек. .. .
$2. О сходимости решения в методе дискретных вихрей. . .
$ 3. Обоснование плоской схемы численным экспериментом.
$ 4. Исследование практической сходимости решения ....
$ 5. Сравнение численных расчетов с точными решениями. .
$
6. Контроль численных ‘расчетов с помощью теоремы обратимости
Глава XI. Некоторые расчетные данные и их анализ. .
$ 1. Коэффициенты аэродинамических производных крыльев с прямыми
кромками при бесциркуляционном. обтекании. .........
$ 2. Коэффициенты аэродинамических производных крыльев с прямыми
Кромками ы ° . ° e e ° e . e ° ® ° . ® ° hd e ° ° ® ® Ld
$ 3. Индуктивное сопротивление крыльев с прямыми KPOMKaMH. . .
$4. Тяга при поступательных колебаниях крыла . ее.
| 2. Механизация прямоугольных крыльев .. .,
td
Влияние геометрических параметров и числа М на аэродинамиче-
ские производные о ° о ° o e e e e ° e e ° ° ° 9 9 ¢ e

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
$ 7. Влияние центровки на коэффициенты аэродинамических производных
$ 8. Влияние геометрических параметров и числа М на индуктивное с со-
противление 2. 1 1 1 ee ee ee ee ...
$ 9. Влияние отклонения закрылков и носков Ha аэродинамическое ка-
Чество еее еее неее
Глава XII. Сравнение расчетных и опытных данных. ......
$1. Бесциркуляционное обтекание крыльев ... ее.
$ 2. Установившееся движение жесткого летательного аппарата и крыла
$3. Характеристики крыльев при неустановившемся движении. ...
$ 4. Механизация крыла ......... о.
$ 5. Индуктивное сопротивление и аэродинамическое качество... oe
Литература... et te wee
Список сокращенных наименований в JIMTepaType. .........
Основные обозпачения „еее ны
Указатели ....,... еее ео ооо ное
382
385
388
392
392
394
400
405
410
413
416
417
421

ПРЕДИСЛОВИЕ
Появление ЭВМ позволяет существенно расширить и углубить
исследование и оптимизацию летательного аппарата, включая
его систему автоматического управления (САУ). При этом повы-
сились требования к исходным данным в области аэродинамики
и гидродинамики. Нужно уметь находить суммарные харак-
теристики аппарата при установившемся и неустановившемся
движении, а также подбирать рулевые поверхности, секции
отклоняемых носков крыла, их углы поворота, при которых имеют
место нужные данные управляемости, или безударный вход,
обеспечивающий высокое значение аэродинамического качества,
ит. д. |
В связи со сказанным требуется изучение аэродинамики и
гидродинамики летательного аппарата и его частей во всем летном
диапазоне чисел Маха. Для самолетов от М = 0 (несжимаемая
среда) до М = 3-4. Многочисленные исследования у нас и за
границей показали, что в качестве основы можно использовать
для указанных целей линейную теорию. Это объясняется, в част-
ности, и тем, что формы летательных аппаратов таковы, что на
основных рабочих режимах имеют место линейные зависимости
подъемной и боковой сил и моментов от кинематических пара-
метров. Можно ожидать, что линейная теория может играть и
следующую роль в исследованиях. Она позволяет получать за-
висимости, которые реализуются лишь при отсутствии всякого
рода кризисных явлений (общие отрывы, местные срывы, появле-
ние местных скачков). Способы и пути, которыми это достигается,
могут быть установлены только на основе специальных экспери-
ментальных и теоретических исследований.
Основой для практического определения аэродинамических
характеристик летательного аппарата и его частей должны быть
численные методы, связанные с широким использованием” элек-
тронных цифровых вычислительных машин.
Большое внимание также должно уделяться тщательному
анализу математической постановки общей задачи и выявлению
общих свойств решений, а также отбору и развитию общетеоре-
тических результатов, включая точные решения частных задач,
и аналитических методов исследования. Это нужно для рацио-
нального построения общей расчетной системы по определению

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
стационарных и нестационарных аэродинамических Характе-
ристик аппарата на ЭВМ, для организации контроля за резуль-
татами численных расчетов, при получении предельных (асимпто-
тических) решений, особенно когда прямой численный расчет
затруднен.
В установлении правильности принятых допущений, пределов
применимости расчетной аэродинамической схемы и линейной
теории основой является эксперимент. Совместный анализ ре-
зультатов теоретических и экспериментальных исследований при
специальной направленности их: позволяет He только констати-
ровать совпадение или расхождение теории с экспериментом, но
и понять причину того или другого, установить пределы приме-
нимости теории, найти тот кратчайший путь, по которому следует
уточнить ее.
Особенности предлагаемой вниманию читателя книги заклю-
чаются в следующем. Она строится как часть общей расчетной
системы, направленной на определение с помощью ЭВМ стацио-
нарных и нестационарных аэродинамических характеристик ‘лета-
тельного аппарата и его частей. По своей научной и методической
направленности она продолжает и развивает линию, начатую
в монографиях: [1.12] и [1.14].
По. сравнению с. опубликованными ранее книгами развитие
шло по следующим основным направлениям.
1. Совершен переход от ‘изучения изолированного крыла к ле-
тательному аппарату в целом. Предложена и развита простейшая
расчетная аэродинамическая схема аппарата, дано обоснование ее.
2. Большое внимание ‚уделено расчету индуктивного сопро-
тивления и подсасывающей силы ‘летательного аппарата и крыла;
в том числе способам расчета деформаций, которые обеспечивают
безударный вход на передней кромке крыла, высокое аэродина:
мическое качество и требуемые аэродинамические производные.
3. Получили развитие и методы расчета аэродинамических
характеристик деформирующегося летательного аппарата и аппа-
рата с отклоняющимися рулями: шарнирных моментов; мощ:
ностей, затрачиваемых на отклонение рулей; сопротивления;
связанного с отклонением рулей и деформациями.
_ При написании книги использованы теоретические и экспери-
ментальные материалы, любезно ‘предоставленные нам В. И. Бу-
шуевым, Ф. И. Ганиевым, Н. A. Кудрявцевой, И, К. Лифановым,
Т. М. Музыченко, В. С. Павленко, Я. Е. Полонским, В. Г. Та-
бачниковым и И. Я. Тимофеевым. Всем им авторы приносят
свою глубокую благодарность. .
С. М. Белоцерковский, Б. К. Скрипач

ГЛАВА `1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
$ 1. Системы координат
При описании движения летательного аппарата и расчете
аэродинамических нагрузок, сил и моментов, действующих на
аппарат и его отдельные части, будем пользоваться подвижной,
жестко связанной с самолетом системой координат (рис. 1.1).
Система координат Ох:у:2, левая, прямоугольная, ось Ox,
направлена назад по оси симметрии летательного аппарата, ось Oy,
лежит в плоскости симметрии, ось OZ, перпендикулярна пло-
скости Ox,y, и направлена в сторону правого крыла.
Мгновенное движение летательного аппарата как твердого
тела полностью определяется вектором абсолютной скорости
какой-либо его точки (центра) и вектором угловой скорости вра-
щения относительно этого центра.
Пусть Uy — вектор абсолютной скорости подвижного на-
чала О, а ® — вектор абсолютной угловой скорости. Векторные
кинематические характеристики будем проектировать на подвиж-
ные оси связанной системы координат: .
Oy = i а + ЛИо и + #0 “ (1.1)
Q = Ол + ЛЭя + а.
Положительные направления. угловых. скоростей вращения при-
няты такими же, как в стандартной: связанной системе коорди-
нат (в ней ось Ох, направлена вперед), и показаны на рис. 1.1.
Вектор скорости точки О в общем случае не совпадает с на-
правлением Ox,. Его отклонение от оси Ox, определяется двумя
углами: углом атаки @ и углом скольжения В. OTH углы и направ-
ления положительного ‘их отсчета также указаны на рис. 1.1,
причем проекции скорости Uy, на принятые координатные оси
соответственно равны
Оо а = —U,cosacosB, Uy, = —U,sinacos8, Us» =U, эВ.
Для малых величин & и В будем иметь с линейной точностью
U5) а = —U p, = — О, = а. (1.2)
| Uy ’ Ч
Реакция среды на движущийся в ней аппарат будет характе-
ризоваться вектором результирующей аэродинамической силы R

10 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ [Гл.1
и результирующим аэродинамическим моментом М относительно
центра приведения О. Спроектируем результирующую аэроди-
намическую силу на оси связанной системы координат (рис. 1.1)
R=i4T + ЛМ + #124.
Величину Т называют тангенциальной, М — нормальной и Z, —
поперечной силами.

Рис. 1.1. Системы осей координат: Ох1у:21 — связанная,
Oxyz— скоростная.
Момент аэродинамических сил, действующих на летательный
аппарат, центром приведения которых является начало О, спроек-
тируем на те же оси
М = Ма + ЛМи + Мл.
Проекцию Ма принято называть поперечным ‘моментом или
моментом крена, M,, — моментом рыскания, Ми — продольным
моментом или моментом тангажа. Положительные направления
моментов совпадают с положительными направлениями угловых
скоростей и также показаны на рис. 1.1.
В аэродинамических расчетах наряду со связанной часто
применяется скоростная (поточная) система осей координат
(рис. 1.1), в которой ось Ох направлена по скорости И’, ось Oy
к ней перпендикулярна и лежит в плоскости симметрии крыла,
а ось Oz составляет с осями Ох и Оу правую систему координат.
Спроектируем силу К на скоростные оси:
R=—iX+/jY + kZ.
Проекцию X называют силой лобового сопротивления, У —
подъемной силой и 1 — боковой силой.

$ 2] СХЕМАТИЗАЦИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА 11
Компоненты силы и момента в скоростной системе координат
следующим образом выражаются через проекции на связанные оси:
Х = Тсоз а со$ В + N sinacosp — Z, sin В,
У =Ncosa—T sina,
Z=Tcosasinf + № sina зп В + Z, cos;
М, = M,,cosacosB— Ми: sinacosB + Мл sin,
M,=M,,cosa + M, sina,
М, = — M,cosasinB + M,,sinasinB + M,, cos В. }
В дальнейшем будет рассматриваться установившееся и не-
установившееся движения летательного аппарата только с ма-
лыми углами атаки без скольжения, когда В = 0, sina ~a,
cosa = 1. В этих случаях зависимости между проекциями аэро-
динамической силы и момента в связанных и скоростных осях
определяются формулами
X =T + Na, У =N—Ta, =), | 1.4
М =Ма— Миа, M,=M,+Mae, М, = Ма. (1.4)
Крылья и оперения летательных аппаратов имеют отклоняе-
мые части — управляющие поверхности. Если углы отклонения
этих поверхностей 6, одинаковы на левой и правой половинах
крыла или стабилизатора симметричных форм в плане, будем для
краткости называть их рулями. У элеронов углы отклонения 4,
равнопротивоположны. Примем, что 6, > 0, когда рули откло-
нены вниз, и 6, > 0, если правый элерон опущен, а левый иод-
нят (см. рис. 1.1). Одна и та же управляющая поверхность может
использоваться и как руль, и как элерон (элевон). Элероны на
правой и левой половинах крыла могут отклоняться на разные
углы (дифференциальные элероны). Далее будет показано, что
оба эти случая в рамках линейной теории могут быть получены
комбинацией указанных простейших.
Нормальную силу Уш, действующую на управляющий орган,
будем называть подъемной силой руля, а момент ее относительно
оси шарниров (ось О’О” рис. 1.1) — шарнирным моментом. Шар-
нирный момент считаем положительным, если он способствует
увеличению угла отклонения управляющего органа.
(1.3)

$ 2. Схематизация летательного аппарата
Все основные ‘несущие элементы современных летательных
аппаратов являются сравнительно тонкими и слабоизогнутыми.
Поэтому для большей части поверхности самолета можно считать
cos (п, х1) < 1, (1,5)
где и — нормаль к поверхности.

15 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ (fa. 1
Используя это неравенство и рассматривая в дальнейшем
только линеаризованные задачи, можно показать (см. главу П),
что при расчете нагрузок и соответствующих суммарных аэро-
динамических характеристик можно реальный самолет заменить
схематизированным, у которого граничные условия сносятся
на соответствующие плоскости, параллельные продольной оси Ox,
(рис. 1.2). Такая схематизация летательного аппарата при рас-
чете его аэродинамических характеристик была предложена
в 1966 г. С. М. Белоцерковским. Следует заметить, что указанная
Uh


21 a
Рис. 1.2. К схематизации самолета крылом сложной формы в плане.
схематизация позволяет приближенно определять аэродинами-
ческие характеристики даже изолированных тел вращения [1.29].
Рассмотрим летательный аппарат, близкий к среднеплану,
с горизонтальным оперением, не сильно вынесенным из плоскости
крыла, вертикальными элементами, лежащими только в плоскости
симметрии. Ниже будут рассмотрены аэродинамические харак-
теристики в основном при движениях в плоскости симметрии и при
симметричных относительно нее деформациях. Тогда летательный
аппарат можно рассматривать как крыло сложной формы в плане
(рис. 1.3). Изгиб срединных поверхностей фюзеляжа, крыла
и оперения, а также малые симметричные отклонения любой
механизации крыла или горизонтального оперения можно интер-
претировать как деформации указанного крыла, происходящие
по нормали к его поверхности.
Следует заметить, что крыло современного самолета обычно
имеет в плане также сложную форму: с изломами по передней
и задней кромкам, криволинейными кромками, изменяемой в по-
лете геометрией (за счет поворота консолей). Некоторые типы
крыльев сложной формы в плане показаны Ha рис. 1.4.

















A OQ Z
~
fi
\
< — =
| ‘Г0ее-1 L965
w _
I “pees = 2065
Kye=K в
Loge+1 = 2067
| ов Дев*Т” 2067
| gio , 5
te
к
Xe w т
L т
Digg] TN 3
Is Тре ГУ
и Zieed 2
“ 6ЕЯ
|"
зо RON
| р rs PSN
=
i OSS —
] |
ry
Рис. .1.3. К описанию геометрии крыла сложной формы.




zl 0) é)
Рис. 1.4. Крылья сложной формы в плане: а) двойной стреловидности, 6)
с несколькими стреловидностями, в) изменяемой геометрии, г). с 5-образ-
ной кромкой, 0) готическое, е) серповидное.

14 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ (Гл. 1
Для изолированных крыльев сложной формы в плане, когда
вертикальных поверхностей нет, будут рассматриваться любые
симметричные и антисимметричные деформации, а также вращение
и вокруг продольной оси.
Ниже будет показано, что все указанные задачи для схемати`
зированного самолета и изолированного крыла обладают общ:
ностью математического алгоритма и решаются одним методом
$ 3. Монопланное крыло сложной формы в плане. Основные
геометрические параметры и соотношения
Чтобы описать геометрию, поступим следующим образом.
Выделим на фюзеляже подфюзеляжные части собственно крыла
и горизонтального оперения, соединив прямыми их бортовые
хорды (на рис. 1.3 показана правая половина схематизированного
симметричного самолета). Затем, из всех угловых точек контура,
включая сюда и угловые точки управляющих поверхностей,
проведем линии, параллельные оси симметрии. Этими линиями
крыло, оперение, фюзеляж с выделенными из него подфюзеляж-
ными частями разобьются на ряд зон-трапеций (рис. 1.3). Про-
нумеруем зоны # = 1, 2, ..., идя последовательно от носовой
к хвостовой части самолета и от оси симметрии к концу крыла.
У каждой зоны индексом «0» будем отмечать точки передней
кромки (т. е. кромки, на которые поток набегает) и индексом «1» —
заднюю кромку.
Форму и положение каждой зоны будем определять, задавая
координаты ее угловых точек. Для координат, кроме индексов,
указывающих положение точки на передней, либо задней кромках,
введем дополнительную двойную индексацию. Первая цифра
дополнительного индекса указывает номер зоны, к которой
принадлежит TOUK2, а вторая соответствует номеру зоны слева
(=-—1) или справа (e + 1), с которой эта точка граничит. Если
такой граничащей зоны нет, повторяем индекс основной зоны.
На рис. 1.3 в виде примера приведены некоторые координаты
с соответствующими индексами угловых точек. На рис. 1.3 и
далее в формулах индексы «1», отмечающие связанную систему
координат, опущены.
По заданным координатам угловых точек зон в каждой зоне г
находим необходимые в дальнейшем следующие геометрические
параметры в текущем сечении:
20 ге-1 S ZS 20 ге+1.
Расстояние от оси Oz до передней кромки

A — X _ |
Xoe (2) = Xo ев 1 + Zo een, — 2, ее, (2 — Zp ee-1)s (1.6)

$ 3] ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ 15
Текущую хорду 6’:
, Хх 4 —х _)—(x —х
be (2) — (X1 гг—1 — X0 ee_1)—! 1 28-1 о ee-1) — (1 esas 0 2241)

x
20 8=+1 — 20 &ё—1
X (2—2 гв_1). (1.7)
Угол стреловидности линии, которая делит текущие хорды в отно-
шении 9
__ Хо в8--1 — Х0 82-1 Х1 25-41 —— %1 22-1
16 Xge = (1 — I) +) ‚ (1.8)
0 8841 0 82-1 1 22+1 1 82-1


где 90 = 0 для передней кромки, 9 = | для задней кромки. Легко
находится и площадь зоны

S, = (*1 ee-1—*o ee-1) ” (%1 2e41—%o e241) (20 еез1 — 20 ee-1)s (1.9)
откуда площадь всего схематизированного самолета, считая его
форму в плане симметричной, будет
5:=2 LS. (1.10)
Определим некоторые характерные линейные размеры. Та-
кими размерами будут размах крыла / и длина самолета Ё
(рис. 1.2). В практике расчетов обычно за характерную площадь
берут не площадь проекции всего самолета, а площадь собственно
крыла ©, считая за таковую площадь наибольшей по размерам
несущей поверхности с подфюзеляжной частью, а за характерный
линейный размер — наибольшую, корневую, хорду 6 этой по-
верхности (рис. 1.3) или ее среднюю аэродинамическую хорду 6.
(см. ниже).
У крыльев с криволинейными кромками (типа г, д, е рис. 1.4)
форму крыла естественнее всего определять уравнением передней
кромки Хо (2) и величинами текущей хорды b’(z) (см. рис. 1.4, г)
в зависимости от координаты вдоль размаха. При расчетах гео-
метрические параметры таких крыльев легко определяются по
формулам (1.6)—(1.10), если криволинейный контур крыла за-
менить достаточно близкой ломаной линией с прямыми кромками
каждого ее участка.
Форму крыла в плане принято характеризовать безразмер-
ными параметрами. В качестве таких параметров бёрут удлинение
крыла A, сужение ц и стреловидность передней кромки Хо:
=> =. , 1g % == (1.11)
b, — концевая хорда (рис. 1.3).

16 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ (Ta. ]
Хотя для крыльев сложной формы в плане типа показанных
на рис. 1.4 эти параметры являются характерными, они не опре-
деляют полностью их геометрию. Форма в плане монопланного
крыла с точностью до масштаба определяется параметрами A, \
И Хо только для крыльев симметричной формы с постоянными
стреловидностями передней и задней кромок и параллельными
боковыми кромками. Такие крылья будем для краткости назы-
вать крыльями с прямыми кромками. Изменяя величины пара-
метров ^, П и Хо, можно получить большое разнообразие форм
в плане крыльев с прямыми кромками.
_ Приведем некоторые нужные в дальнейшем геометрические
соотношения для крыльев с прямыми кромками. В этом случае
на половине крыла будет только одна зона и из формул (1.7)—
(1.10), учитывая (1.11), получим следующие равенства. Текущая
хорда 6’ будет равна

Le b’ __ — 1 — 22
b= T=! 2 ( 7 ) “— р» (1.12)
кроме того, 1
PA Ч!
Угол стреловидности линии, делящей текущие хорды в OTHO-
шении 09, определяется формулой
__ b | _ 40 y—1 |
12 x9 = 18 — 2-7 (1 — = — тт, (1.14)
где 90 =0 для передней кромки и 9 = | — для задней.
В частном случае крыла с нулевой стреловидностью по задней
кромке (, = 0) будем иметь
Mg yo = 4 (1.15)
и для треугольного крыла
1,45, = 4. (1.16)
$ 4. Аэродинамические коэффициенты
Ниже изучаются задачи об установившемся движении и гармо-
нических колебаниях тонкой несущей поверхности на дозвуковых
скоростях в линейной постановке, т. е. при малых по сравнению
с единицей значениях углов атаки @ и других кинематических
параметров (см. об этом подробнее в § 6 настоящей главы). В этом
случае продольная сила Т будет малой величиной. Поэтому
из (1.4) следует, что при a < 1, В =0 с принятой точностью
можно не делать различия между подъемной У и нормальной М

$ 4] АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ 17
силами, а также силами Си Z,. Далее для удобства обозначений
индексы | у связанной системы координат будем опускать, а коэф-
фициенты для указанных силы и моментов обозначать так, как
это‘принято в скоростной системе координат, т.е. без индексов.
Примем в качестве характерной площадь крыла с подфюзе-
ляжной частью $. За характерный линейный размер для про-
дольного момента М, будем брать либо величину корневой хорды 6,
либо так называемую «среднюю аэродинамическую хорду» ь.
(см. § 5). Центром приведения сил и моментов будем считать либо
носок схематизированного самолета (крыла), либо носок средней
аэродинамической хорды. Во втором случае коэффициент про-
дольного момента будем отмечать дополнительным индексом «а».
Тогда соответствующими коэффициентами будут



у М М
С, = 2 ‚ 1S 5 » Та == о" ° (1.17)
Uo Uo Yo
o 7 wo SP Poo —g 56а
Для поперечного момента М, за характерный размер будем
брать либо корневую хорду 6, либо размах крыла [. В последнем
случае отмечаем коэффициент момента индексом «1». Итак,


n= 2 ‚ Ny =. 2 (1.18)
V0 sp о sy
Poo 9 Poo ~~
Для тангенциальной силы и силы сопротивления коэффициенты
вводятся формулами


Х T -_
— $ 0 5
Pro 9 Po 9
Введем аналогично коэффициенты подъемной силы руля и
шарнирного момента. В данном случае за характерную площадь
возьмем площадь руля S,, за характерный линейный размер —
наибольшую хорду руля bp, а центром приведения подъемной
силы руля и шарнирного момента всегда будем считать ось шар-
ниров. Итак, имеем


У М
Uo. _ 00
Po 9 Sp Pro 9 Spbp
В ряде случаев представляет интерес определение мощности Р,
затрачиваемой на движение и деформации крыла, в частности

18 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ [Гл. 1
на колебания управляющих органов Ри. Введем коэффициенты
мощности следующими формулами:


Р Р
Ср = vs ‚ю Cpy = т —. (1.21)
Po $ Poa Sp
Аэродинамические подъемная (нормальная) сила, продольный
и поперечный моменты вызваны разностью нормальных давлений
Ар = р, — р, Ha его ниж-
ней и верхней поверхно-
CTAX. Следовательно,
для них можем написать
(рис. 1.5)
у = | | Ар4ха2,
Sy
M,= | Apx dx dz,
5;

М; = —|| Арг dx dz,
$
° (1.22)

где интегрирование ведется
по всей площади слож-
Рис. 1.5. К вычислению сил и моментов на
летательном аппарате. ного крыла (летательного
аппарата) Sy.
Введем коэффициенты давления и их разности:


— P—Po — Py — Pa
= » Ар = 1.23
р (2 U3 ? ( )
ao 9 Po >
a также безразмерные координаты
Е у to, 7a”
x=f= >, Y=1=S=F> C= b? г — 1° (1.24)
Тогда из (1.22) получим для коэффициентов сил и моментов крыла
симметричной формы в плане при любом установившемся либо
неустановившемся движении соотношения
1/25 $1 )
y= 2-y | | №44
42 1/2 by be 42 1/2b Е, (1.25)
(Mz = — 2-5 | ры =? | J Anca de

у

6 41 АЭРОДИНАМИЧ ЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ 19
Здесь Ё и &, — безразмерные координаты соответственно перелд-
ней и задней кромок крыла (летательного аппарата).
Покажем теперь, как найти аэродинамические характеристики
сечений. Для подъемной силы, продольного и поперечного момен-
тов сечения ширины 42 можем написать
dY = | ДАрахаг, АМ, = — | Apx ax dz, dM,=— | Ape dx dz.
Xo Xo Xa
(1.26)
Соответствующие коэффициенты введем следующим образом:
‚ 2 ‘ 2 ‚ 2 |
dY dM, dM, (1.27)
4 — ров" dz ° — Poo Go” dz Ugo? dz



х —
где b’ — хорда в рассматриваемом сечении 2 = const, тогда
= | Ара, т. = - (+) ( ae ae, т, = — 646. (1.28)
Eo Eo
Интегрирование здесь ведется по данному сечению € = const
аппарата от передней ‘до задней кромки.
Аналогично вышеприведенному, для подъемной силы руля
и шарнирного момента напишем
Уи = | | Аха, My=— | [ Ap(x—xyq)cos0dxdz, (1.29)
$ $
р р
где Хр — координата передней кромки руля, а 0 — угол ее
стреловидности. (Здесь для простоты принято, что передняя
кромка руля является осью шарниров.) Из (1.29) для коэффи-
циентов подъемной силы руля и шарнирного момента получим
2 НВ р |
Cm = $ | Ap dé dg,
бо
НВ Е
ps Т.Р” СР
ти = — 35. J J AP E—Eqo) cos 0 dé df.
1 ро
‚ (1.30)

В формулах (1.30) через E,5 = хь/Б обозначена передняя кромка
руля, Ем = Xpi/b — задняя, 6, = 2,/b — ближайшая к оси сим-
метрии координата боковой кромки руля, а через J, его размер
вдоль оси Oz (рис. 1.5).
В различных прикладных вопросах, при изучении равномер-
ного и прямолинейного движения летательного аппарата, большое
значение имеют понятия «центр давления» и «фокус несущей
поверхности»,

20 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ (fa. 1
Центром давления (ц. д.) называют точку пересечения равно-
действующей аэродинамических сил несущей поверхности с пло-
скостью крыла.
Вообще говоря, коэффициент продольного момента зависит от
угла атаки. Однако, как будет показано ниже, в пределах линей-
ной зависимости существует такое положение оси OZ, относи-
тельно которого момент М, не зависит от угла атаки %. Точку F,
характеризующую положение этой OCH, принято называть GOK y-
сом несущей поверхности.
Пусть аэродинамические коэффициенты с, и т, относительно
какой-либо системы координат Охуг известны. Поскольку дей-
CTBHE равнодействующей силы У, проходящей через центр давле-
ния (рис. 1.5), равно действию результирующей силы У и Mo-
мента M,, которые соответствуют оси OZ,, проходящей через
центр ‘приведения О, имеем

М, = — Ух m
откуда
. m,
fy
Ky qo HA, (1.31)
Обозначим через М» момент ‘относительно оси, параллель-
ной Oz и проходящей через фокус F (рис. 1.5); тогда если
Хо. — координата фокуса при установившемся движении под
углом атаки @, то
Mr = M, + Ухо,
или, переходя к соответствующим коэффициентам, имеем
теб == m,b + Суха.
При.малых углах атаки с, и т, линейно зависят от %, поэтому
—__ pm __ . a
Су ==Cy(A— 00), M,=M oy +m, a.
Здесь через &@, обозначен угол нулевой подъемной силы. В общем
случае
a a x
Mp = Т.о + Mz& + Cy (& — ao) >,
откуда следует, что коэффициент момента Mp не зависит от угла
атаки % при условии
x
mz + cy = 0.

$5] - СРЕДНЯЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКАЯ ХОРДА 51
Таким образом, определяем безразмерную координату фокуса Ё
относительно начала координат

a
_ x m
Ха = = — a . (1.32)
Сопоставляя формулы (1.31) и (1.32), нетрудно видеть, что
хотя в общем случае xX, д = Xr, HO для плоского монопланного
крыла-пластинки центр давления совпадает с фокусом, так как
в этом случае
Qo — 0, MM 9 = 0.
Центровкой принято называть безразмерную величину, пред-
ставляющую собой отношение расстояния от носка средней аэро-
динамической хорды крыла до центра тяжести самолета к длине
средней аэродинамической хорды:
7 An. т
x,=> ——.
ba
В данной работе под центровкой будет пониматься отношение
расстояния от начала координат (условный «центр тяжести»)
до носка корневой хорды к корневой хорде крыла:
— т. (1.33)
$ 5. Средняя аэродинамическая хорда
Если коэффициент продольного момента самолета. т, и коорди-
нату фокуса xX, связать с величиной и положением корневой
хорды крыла 6, то т, и хо будут сильно зависеть от геометриче-
ских параметров крыла, особенно от стреловидности Хо. Коэффи-
циенты т, и Xq становятся значительно более стабильными,
когда их относят к средней аэродинамической хорде несущей
поверхности (САХ) Б..
Под средней аэродинамической хордой понимают осредненное
по площади крыла значение хорды (рис. 1.6) [1.14]
ра = М f (b')? dz. (1,34)

22 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ (f'n. 1
Координата ее передней кромки относительно начала О опреде-
ляется величиной

1
bl 7; =
= 35 | b’t, dz, (1.35)
где &) = хо/6 — координаты передней кромки сложного крыла.
Рассмотрим крыло симметричной формы в плане с прямыми
кромками. Для такого крыла 6’ представляет собой линейную
0 2
ыы
р функцию от 2 [см. (1.12)].
—> Кроме того, имеем


h = 21 Y%.

После несложных преобразо-
ваний, принимая во внимание
соотношения (1.11)—(1.14), на-
ходим из (1.34)—(1.35)
= [1 ето]
h __ Л 49 xo N+2 (1.36)
a 12 n




Если через 2. обозначить KOOp-
динату сечения, в котором пе-
ресекаются передние кромки



avy двух крыльев, TO
Рис. 1.6. К определению средней аэро- 2, = ha
динамической хорды Dg. tg Xo
Поэтому выражение для 2, крыльев с прямыми кромками можно
представить В следующем виде:
- ] 2 - 22
2 | 2. == “а.
—
Зиг, “A |

a
Нетрудно убедиться, что для таких крыльев при г = 2, хорда
рассматриваемого крыла равна 6..
Из (1.34) следует независимость 6, от таких геометрических
параметров, как ^ и Хо. Средняя аэродинамическая хорда зависит
только от закона изменения величины текущей хорды по раз-
маху и, в частности, для крыльев с прямыми кромками — только
от сужения 1. Положение 6,, определяемое величиной й., зависит
от всех геометрических параметров. На рис. 1.7 показана вели-
чина и положение средней аэродинамической хорды 6, крыла

$ 6] КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ 23
с 5-образной передней кромкой, а на рис. 1.8 — перемещение
положения 65, при изменении угла стреловидности крыла изменяе-
мой геометрии. В последнем случае, кроме значительного пере-
мещения средней аэродинамической хорды назад с увеличением



/ | \
/ } | \ \
/ / \
/ 7 \ \
и \ \
д” we)
Рис. 1.7. Средняя аэроди- Puc. 1.8. Положение средней аэродинамической
намическая хорда $-образ- хорды крыла изменяемой геометрии.
ного крыла.
стреловидности консоли, несколько изменяется и ее величина.
Это связано с некоторым изменением площади крыла при измене-
нии стреловидности консоли.
$ 6. Кинематические параметры
Рассмотрим летательный аппарат, совершающий неустановив-
шееся движение, и введем параметры, характеризующие его
движение как твердого тела. При этом поверхность аппарата
может деформироваться, например, за счет отклонения органов
управления.
Возьмем систему координат, жестко связанную с телом
(рис. 1.1).
Пусть Оо — вектор абсолютной скорости начала подвижной
системы, £2 — вектор абсолютной угловой скорости связанной
системы координат, а ®,, &,, 2, — его проекции на связанные
оси. При изучении неустановившегося движения будем считать,
что движениё совершается со средней скоростью И = И, которая
не зависит от времени, причем угол скольжения В и угловая
скорость рыскания 92, равны нулю. В этом случае в качестве
кинематических параметров q;, определяющих неустановившееся
движение летательного аппарата как твердого тела, примем

24: ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ [Гл. 1
следующие три безразмерные функции времени:
41 == @& == 9 (0), nao, =, q3 = 0, = 22 ale ‚(1 .37)
Здесь « — угол атаки, а за характерный линейный размер при-
нята корневая хорда В. Если за характерный линейный размер
для 4. взята половина размаха [/2, а для 43 — средняя аэроди-
намическая хорда 6., то соответствующими кинематическими
параметрами будут
Q, (t) 1 Q, (t) ba
gaol, go, (138
Поверхность крыла в общем случае является деформируемой.
Деформацию будем характеризовать отклонением срединной по-
верхности крыла от его плоскости и = 0:
Unt
1@ бо= Я, pao, (1.39)

В линейных задачах без ограничения общности можно рас-
сматривать деформации в виде следующих зависимостей:
Ц (Е, С, т) — is (Е, С) б (т), (1 40)
где р (&, Э-функция, He зависящая OT времени, определяет форму
деформации, а зависящий от времени параметр 6 (т) — ее масштаб.
Действительно, любую функцию т (&, 6, т) всегда можно предста-
вить в: виде
ть D= Lior ©0961,
и аэродинамические характеристики получить как линейную
комбинацию рассмотренных решений. Представление уравнения
деформируемой поверхности в виде (1.40) позволяет существенно
сократить число аэродинамических задач, подлежащих решению.
Удобно в зависимость от времени т включить и масштаб дефор-
мации, нормируя тем самым функцию [| (E, 0.
Итак, за кинематический параметр, характеризующий дефор-
мацию, примем 6 (т), причем деформация определяется формулой
(1.4
В ‘результате за параметры, характеризующие неустановив-
шееся движение и деформацию схематизированного самолета
и крыла, принимаем следующие безразмерные функции безраз-
мерного времени: .
Q, (t) 0
фл == &(T), Jz = Wx (t) = Set” ?
Q(t) b ” tU (1-41)
=. =- у, Hol), t= >.

$ 6] КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ 95
Функции времени 4; (т) будем далее для краткости. называть
кинематическими параметрами движения и деформации или просто
кинематическими параметрами.
При введении коэффициентов аэродинамических производных
понадобятся производные каждого кинематического параметра
по безразмерному времени, которые будем обозначать тем же
символом, что и кинематические параметры, но с точкой сверху.
Если характерным линейным размером является корневая хорда,
TO
(= = аа 6 ‚ Qo, = 4% 2
И dt Uy a “dt Ш,
| 1.42
ры = BL Сия
13 OG TAO ET
Если же за характерные размеры приняты 6, и 1/2, To
.. da в - dQ, PB)
ба GE Uy? Fa Ox 40,
. dQ, ® - dd b, | (1.49)
93 = 2a = “Gr UF? 4—8, = р = Uy °

Эти безразмерные величины для. краткости также будем называть
кинематическими параметрами. - |
Для примера на рис. 1.9 приведены наиболее простые случаи
движения при различных значениях параметров q,. Ha puc: 1.9, a
тело движется поступательно вдоль оси Ох с постоянной ско-
ростью И. и одновременно совершает поступательные колебания
вдоль оси Оу. При этом будут отличны от нуля только пара-
метры gj =~=QU @ =
На рис. 1.9, 6 показано тело, которое, кроме поступательного
движения вдоль оси Ох co скоростью И, под нулевым углом
атаки @, совершает вращательные колебания вокруг оси Ох. Не
равны нулю будут только параметры 45 = @, и go = @,. Если
вокруг оси Ох тело совершает установившееся вращение, то
д» = Ox, а qs = 0.
Тело движется поступательно со скоростью U, вдоль оси Ox
‚и совершает вращательные колебания относительно оси Oz
(рис. 1.9, в). Отличными от нуля будут параметры 4: = a, 91 =а,
Js = @,, 93 = ®, и имеет место равенство ®, = @.
°— Ha рис. 1.9, г показано движение тела по некоторой траекто-
рии (на рис. 1. 9, г — синусоидальной) с постоянной скоростью Uo,
причем угол между касательной к траектории движения и хордой
тела остается постоянным и, в частности; равным нулю: 4, = a =0.
{PH этом отличными от нуля будут кинематические параметры

26 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ (fa. 1
дз = ©, И gs = ®.. Частным случаем этого движения является
движение по круговой траектории.
Тело движется под нулевым углом атаки со скоростью U,
вдоль оси Ox и деформируется относительно плоскости Охг,
Led, =
eo EES ма.
§)
. Ih
с +9 а
a) “Sk i)
Травнтории бвижения
7
Ute. y y
if < А 9
Рис. 1.9. Некоторые виды неустановившегося движения аппарата.
например за счет переменного по времени угла отклонения руля
(рис. 1.9, 0). Не равны нулю будут параметры деформации q = 6
И Ya = 6. |
$ 7. Коэффициенты аэродинамических производных
При неустановившемся движении тела обтекание его, а сле-
довательно, и действующие на него аэродинамические нагрузки
зависят не только от мгновенных значений кинематических пара-
метров, но и от того, как тело двигалось в предшествующие пе-
риоды времени, или, как обычно говорят, зависят от предыстории
его движения.
При различных законах движения, деформациях крыла, BO3-
действии порывов со всей поверхности тела сходят и движутся
за ним свободные вихри. Теоретически это объясняется тем, что
изменение циркуляции в идеальной среде может происходить
лишь за счет уноса равнопротивоположной циркуляции свобод-
ными вихрями. Образующийся таким образом’ вихревой `след
тянется по телу и за ним. Он оказывает влияние на обтекание,
вызывая дополнительные скорости.
В данной работе изучается безотрывное обтекание несущей
поверхности сложной формы в плане, когда форма следа задана.
Поэтому теоретические зависимости для нестационарных аэроди-
намических характеристик учитывают только влияние нестацио-
нарного вихревого следа, но не учитывают срывов потока с несу-

$7] КОЭФФИЦИЕНТЫ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ 27
щей поверхности, кавитационных и прочих явлений, возможных
в вязкой жидкости, а также местных скачков уплотнения при
обтекании ее околозвуковым потоком.
С учетом сделанных замечаний рассмотрим аэродинамические
нагрузки на тонкой несущей поверхности, движущейся в сжимае-
мой среде. Положим, что движение происходит при конечном
значении средней поступательной скорости И, и кинематических
параметрах (1.41) и (1.42), которые по абсолютной величине ма-
лы по сравнению с единицей. ‚
Пусть несущая поверхность движется в безграничном Про-
странстве. Порывы перед несущей поверхностью известны, и
в среде нет других источников возмущений, кроме летательного
аппарата и его следа. При этих предположениях можно считать,
что воздействие среды на аппарат полностью определяется без-
размерными кинематическими параметрами (1.41), характери-
зующими движение летательного аппарата и его деформации.
Во всех дальнейших исследованиях будем считать законы изме-
нения во времени параметров (1.41) и (1.42) заданными.
Рассмотрим гармонические законы изменения кинематических
параметров во времени. В этом случае удобнее изменение аэроди-
намических характеристик несущей поверхности связывать не
со временем &, а непосредственно с кинематическими параметрами
и их первыми производными по времени (,.
Начнем с установления совокупности определяющих пара-
метров для аэродинамических нагрузок [1.8]. Сюда необходимо
включить совокупность П параметров, характеризующих уста-
новившееся движение тела. Будем считать, что в рассматривае-
мых явлениях существенны сжимаемость, вязкость и инерция
среды и несущественны такие свойства, как весомость, тепло-
проводность и др. Тогда совокупность параметров П будет содер-
жать характерный линейный размер 6, который для геометрически
подобных тел определяет все размеры тела, поступательную
скорость Uy, массовую плотность среды Po, вязкость и, скорость
звука Qo, а также некоторый постоянный угол атаки ©, вблизи
которого совершается колебание аппарата. Кроме того, к ука-
занной совокупности П прибавится еще группа Q определяющих
параметров, специфичная для нестационарных задач. Поскольку
воздействие среды на аппарат в этих задачах зависит от всего
закона движения, деформации и порыва в целом, то каждый из
рассматриваемых законов должен быть подвергнут специальному
изучению. _
Все параметры, определяющие закон движения, будут входить
‚В. совокупность Q. Чтобы определить мгновенное состояние про-
Цесса изменения во времени аэродинамических характеристик
несущей поверхности, нужно задать мгновенные значения кине-
матических параметров g,, 4, (1.41), (1.42).

#5 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ (Гл. I
Переходя от аэродинамических сил и моментов к соответству-
ющим коэффициентам аэродинамических производных, опреде-
лим совокупность безразмерных параметров П* и Q*, соответ-
ствующих Пи 0.
На основании л теоремы теории размерностей [1.8] нетрудно
заключить, что II* будет состоять из угла о,, числа Рейнольдса
R=U бр, числа Маха М = И / а».
В случае, когда параметры 49; меняются по гармоническому
закону, т. е.
Ч: = 9:08 (р -- в), #=1,..., 4, (1.44)
где р; — круговая частота, а #; — сдвиг фазы 4;-движения, TO
бе == —Gipi sin (it + e:), 1=1,..., 4
Здесь 4; — амплитуда. Кроме того, введем число Струхаля
рб. 1
р; = “Uy ° ( .45)
Для каждого. i система определяющих параметров (; будет
состоять H3 Gj, Pi, &, а общая совокупность безразмерных пара-
*
метров Q* будет содержать все 0;. Тогда для коэффициента аэро-
динамической силы и момента в случае гармонических законов
изменения кинематических параметров во времени получим
с(П*, Q*, t) =с(П*, Q*, д,, 9). (1.46)
Теперь любую аэродинамическую характеристику можно пред-
ставить при помощи так называемых аэродинамических (враща-
тельных) производных [1.23], так как на основании формулы
Тейлора имеем разложение по кинематическим параметрам вблизи
9: — 0, qi = 0:
с (П*, Q*, 44, qi) = Cp + Dl, о, +
> 2 > с; У > д +
t f ij
+ Уиица, + у р с tess (1.47
Е. | . i
В дальнейшем He зависящие от времени коэффициенты типа с“
будем для краткости называть коэффициентами аэродинамических
производных соответственно с точками или без точек, а типа с“,

$ 7] КОЭФФИЦИЕНТЫ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ 29
с]. — коэффициентами аэродинамических производных второго
порядка и т. д. 7
В. общем случае постоянный член Cy и все коэффициенты аэро-
динамических производных будут зависеть как от П*, так и
от Q*. Таким образом, указанные коэффициенты будут зависеть
от совокупности Q* всех безразмерных кинематических пара-
метров, определяющих весь комплекс движений и деформаций
тела и порыв.
Считая безразмерные параметры (1.41), (1.42) малыми по
сравнению с единицей, основное внимание будем уделять аэроди-
намическим производным первого порядка, так как во многих
практических задачах можно ограничиться рассмотрением линей-
ных зависимостей от 4,, 9;, пренебрегая малыми высших порядков.
В теоретических исследованиях, основанных на линеаризованных
методах, как это будет показано ниже, такое представление при
гармонических зависимостях от времени является точным.
Коэффициент продольной силы с, для хорошо обтекаемых
тел является малой величиной второго порядка, поэтому наряду
с си! следует рассматривать и коэффициенты аэродинамических
производных второго порядка. Более подробно коэффициент
сопротивления с, и его представление через коэффициенты аэро-
динамических производных будут рассмотрены в главах УП и
УПТ. Здесь же дадим представления для аэродинамических
коэффициентов первого порядка. —
Ограничиваясь для аэродинамических коэффициентов Ap, ¢,,
т», т, линейной точностью, на основании (1.47) можем написать
ь
Ap =D) (РЕ + 24, = ри рее + py +
+ p®*o, + p®20, + p®2a, + pS + р88,
Су = > с.) ты > (и + mitG,), | (1.48)
Су — > (cfg, + fan), n= > (mq, + та),

т, = > теч ++ ти). `. |
Считая, что за характерный линейный размер принята корне-
вая хорда, из (1.25), (1.28) легко получим выражения для коэф-
фициентов аэродинамических производных подъемной силы и

30 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ (ra. I
моментов через коэффициенты аэродинамических производных
нагрузки
(/2b Е, 1/26 &: .

2b2 gq, 2b
dae | [р dim | |4
:/26 Е l/2b
qj 262 РО qi 9; 26 91
ти а” | | p"cagat, те =— | | p'cagar,
0 Е 0
1/26 Е, . 1/25 & .
9; 262 у Г qi qj 262 Г 9:
ти = 55° | |4, тех | | 444
Eo 0 (1.49)
Ey ,
’ b 1 b t
oy! = -- | 2% dé, cy = +r | p' dé,
: Eo
"ЧЕ b s , 7 b , 7
my" =— FH o,f, т," = —_ or и,
Es . G1
т р | РЕ т; | pea
Eo Eo J
В аналогичном виде могут быть представлены и коэффициенты
подъемной силы руля и шарнирного момента
Cyn = у (cfu + ogi), Тш = >, Ca + mii ii). (1,50)
Для этих коэффициентов из (1.30) легко получим



9 62 “ree!” бо 9;
с = | р de dg,
1 Epo
it!p/> бра
b2 q
mas | | 284
1 ‘ро
НВ Spy | (1.51)
тиф | | р" cos) dk at
ш — Spbp р po ,
1 ро
+s ЯНЬ Ep,
9; ‹ qj
ni = — 95 | J р ‘(Е — &) cos Е dé.
1 ро

§ 8] КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС 31
$ 8. Коэффициенты присоединенных масс
При исследовании неустановившихся движений летательного
аппарата в несжимаемой среде (М = 0) необходимо знать аэроди-
намические нагрузки и в том случае, когда оно обтекается бес-
циркуляционным потоком [1.14]. Бесциркуляционная схема обте-
кания нужна и для изучения обтекания аппарата в отсутствие
поступательной скорости, а также в ряде случаев для прибли-
женного определения нагрузок при движении сильно вытянутых
тел в воде и с малыми скоростями полета в воздухе [1.19],
[1.20]. Согласно этой схеме течение среды везде вне тела при-
нимается потенциальным и считается, что вихревой след за
телом не образуется. Тогда аэродинамическое воздействие потока
на твердое тело может быть определено при помощи так называе-
мых присоединенных масс [1.19], [1.20].
Если написать в проекциях на оси координат шесть уравнений
движения тела (три уравнения сил и три уравнения моментов),
то в них войдет масса и соответствующие моменты инерции, кото-
рые полностью характеризуют инерционные свойства тела в пу-
стоте. В рамках указанной схемы уравнения движения тела
в идеальной несжимаемой среде будут иметь такой же вид, как
и в пустоте, только массовые характеристики его изменятся на
величины, называемые присоединенными массами. Возмущения,
вызываемые телом данной формы в среде, будут зависеть не только
от формы тела и плотности среды, но и от того, как движется
тело. [оэтому, например, присоединенные массы при поступа-
тельном движении тела вдоль разных осей будут разными, если
только тело не обладает соответствующей симметрией. Для сокра-
щения записи при изучении присоединенных масс наряду с обо-
значениями (1.1) удобно пользоваться следующими:
= Ил jU,+kU;, Q=U,+jU,+kU, = (1.59)
Потенциал скоростей при общем бесциркуляционном неустановив-
шемся движении тела можно записать в виде
6
Ф = > U,O,, Ф, — Ф, (х, у, 2), U, — И (2). (1.53)
Зная потенциалы Ф,, соответствующие частным видам движения
тела, которые совершаются при (Ц; = 1, можно найти присоеди-
ненные массы тела
Мк —Poo | | Ф. 5 до = — рь [ | Фе do. (1.54)
z =
Введем в рассмотрение главные векторы силы и момента
R=iX+jY+kZ, M=iM,+ jM,+kM, — (1,55)

32 “ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ (Гл. 1
тогда выражения для сил и моментов, действующих на произволь-
ное тело при бесциркуляционном обтекании, через присоеди-
ненные массы примут вид в связанной системе координат
6
X= У га Ума, — Yin
i=l -
у=— ue м: — Уи, + SU dn
i=l =
ot Nis ~ Sow, Mig + Уи,
1—1 1—1 i=l
—_—_ =
|
tea
6 6
dU;
M, == — 1 dt. Mig — у UU hig +
i=l i=l
6
+ UUs — у UU his + у И, Г (1.56)
(=1 i=l i=l
oy 6
M,= у 7 Мь > UU this +
i=l i=
6 6
i=l i=1
6
ул. Уи, + Yow hia: |
t=] i=l

Обратимся теперь к схематизированному аппарату — пла-
стинке произвольной формы в плане, Так как движения ее,
соответствующие скоростям U,, U3, U;, не возмущают среды, то
O,=0, Ф,=0, Ф,=0, D=U,O,+U,0,+U0, (1.57)
Формулы (1.54) для присоединенных масс можно записать и так,
чтобы интегрировать в них не по двусторонней поверхности ее,
а по его ‘площади Ss. Обозначая индексом «—» все значения,
которые относятся к верхней поверхности крыла (у > 0, y — 0),

6 8] КОЭФФИЦИЕНТЫ ПРИСОЕДИНЕННЫХ МАСС 33
и индексом «+» — к нижней (у < 0, y— 0), можем написать
Ф (x, у, 2) = — Ф (х, — и, 2),
Ф.=—Ф, (5). =—(%) =. (1.58)
Таким образом,
м = — Эр» | | O,. aie dS = — Эр» [| Фи.
Ss Sy
i= 2, 4, 6; k= 2, 4, 6; Nik = Avi,
причем интегрирование ведется по площади © у.
Для аппарата симметричной относительно Ох, формы в плане
(рис. 1.2) число отличных от нуля присоединенных масс еще
уменьшится. Действительно, D, и Ф, будут четными функциями 2,
а D, — нечетной; аналогичное заключение относится и к ОФ./ду,
дФ,/ду и ЭФ./ду. Поэтому присоединенные массы Ao и Aggy обра-
тятся в нуль и отличны от нуля будут только
А = — Эры ff, бое 43, ми = — ow | | Oe.
Sy Sy
ОФ; _
ду


45, (1.59}
Фа _ dS )
ду ’

(1.60
ОФ; _ ОФ -
hes = — 2a | | Ds. 58-45, dag =— 2x0 | f O,. “HE a.
$5 Sy

Соотношения (1.56) в этом случае принимают вид
= — ль — Об, У, —* Ig
Z = — МИЛ, — И
My = — ма — Омь — UU shag + UsU shan + UsU chs, | (1.61)
M, = —UU shay + Ul ggg + UU oho
М, = — "8 hog — 2 ag + UsUadhgg — UU shag — ИИ, |

Рассмотрим движение поверхности при U,=0, Ц, = 0.
В этом случае в соотношениях (1.61) пропадают члены, в которые
входят указанные скорости. Введем коэффициенты присоединен-
ных масс следующим образом:
— Mog а Лав hog
При бесциркуляционном обтекании нагрузки возникают и
Из-за деформаций, причем каждому закону деформаций будут
соответствовать свои аэродинамические нагрузки. Поэтому здесь

34 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ (fa. 1
нецелесообразно вводить коэффициенты присоединенных масс,
а проще непосредственно определять нагрузки при разных дефор-
мациях. В этих случаях по формулам (1.48) введем коэффициенты
аэродинамических производных при бесциркуляционном течении.
Для отличия от аналогичных коэффициентов при циркуляционном
обтекании будем записывать их с индексом А перед коэффициентом




Am, = 2 >. = 7 Am*iq; ani)
Ат ns = Dy (Anta + Ama), ое
Acyn = те. — 2 (Aching: + Aching) |
ода, 7 Oy ai + Ai)
i= 1, 2, 3, 4.

Аналогично вводятся и коэффициенты аэродинамических произ-
водных для характеристик сечений.
Неустановившееся движение крыла или самолета будем, есте-
ственно, характеризовать кинематическими параметрами (1.41),
(1.42), которые связаны со скоростями U, соотношениями
Us — __ d(U,/U) 6 — —а
Us ’ dt oe ,
U,b __ d(U,b/Up) 6 __: |
о, “Ooh 7 =o, (1.64)
Об __ d(U,b/U9) 6 —0
ии dt Uo 2




Установим соответствие между коэффициентами azpoqnHamnye-
ских производных при бесциркуляционном обтекании твердого
тела и коэффициентами присоединенных масс. Представляя левую
часть выражений (1.61) в виде (1.63), а в правой части используя
соотношения (1.62), (1.64), легко установим, что при симметрич
ном относительно плоскости Ox,y, аппарате

Acy = Ac,? = Am," = 0, Act = 2Коо, Ace? = — ов,
Amy” = —2ki, Amt = 2k», Ата = ЭР, + (1.65)
Ат = — 2, Am,? = — 2kee.


$ 9] ПЕРЕСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ НА ДРУГИЕ РАЗМЕРЫ 35
$ 9. Пересчет аэродинамических коэффициентов
на другие характерные размеры
Характерные размеры при аэродинамических расчетах лета-
тельного аппарата могут отличаться от тех, которые использова-
лись при расчетах его аэродинамических коэффициентов. Дадим для
всех введенных выше аэродинамических коэффициентов формулы
пересчета на другие характерные размеры. Учтем, что в общем
случае могут быть разными не только характерные размеры,
принятые для аэродинамических коэффициентов и для кинемати-
ческих параметров, но и характерные размеры для разных кине-
матических параметров также могут быть разными. Не нарушая
общности, можно принять, что для исходных аэродинамических
коэффициентов за характерную площадь взята площадь S, а за
характерный линейный размер как для аэродинамических коэффи-
циентов, так и для кинематических параметров взят размер 6.
Новую характерную площадь обозначим S,, новый характерный
размер, к которому относятся аэродинамические моменты, обо-
значим [1, а для кинематических параметров — [.. Исходные
коэффициенты для нагрузок, сил, моментов и кинематические
параметры будем записывать без индекса, а при отнесении к но-
вым характерным размерам — отмечать их индексом |.
Будем рассматривать одинаковые движения аппарата как твер-
дого тела. Кроме того, считаем, что он претерпевает одинаковые
деформации. Тогда можно написать |
a= Ол, Q, = Qu, =,
y/b =f, 6, 6), Yy/l, = TE, С) 6...
Очевидно, что распределенные нагрузки, силы, моменты и мощ-
ности в обоих случаях будут одни и те же, т. е.
Y=Y, М.= Ма, М. = Ма, Уш=Уш, Ma = Мих, Р=Р..
Выражая аэродинамические нагрузки через соответствующие
коэффициенты по формулам (1.17)—(1.21)
2
U U2 U2 U2
CyPo > S= CyiPoo >" Si, MxPo >" SO = Тре >=" Sih,
U2 U2 U2 U2
CxDo = S = Cx1P co 5 Si, Т.2 Ос 3 Sb — 1210 =" Sih,
2
U2 U2
СушОосо =" S= Суш 1Оо = S1,
U2 U2 U3 3
Muda a 56 = тшре ge Sit, Сррь-9 S = сыры 5 St,

36 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ (Гл. 1
получаем формулы пересчета аэродинамических коэффициентов
сил, моментов и мощности



$ S ]
Cyl = Cy Si” Сх1 = Cx Si ’
SO Sb
My — Ma “oT Т2г1 == Mz Si’ | (1.66)
Sb
Суш1 = Суш $, Тит = My Sih” СР1 = Cp я’.
Условия равенства углов атаки, деформаций, углов отклонения
рулей или элеронов, угловых скоростей вращения и соответству-
ющих производных по времени согласно (1.41), (1.42) дают


U U
6 — От, ©, + = Ov aa ©, —- 9.1 >, 65 — 6,/,,
2 2
au y a,U, - UP U2 - U2 - U2
b — I? хр = OW i? oop = г: а»
tU5 tU


р
6U, = 610, 6 = бра, 0, = бы, t= р’ y= 1 °
2
Следовательно, кинематические параметры движения на. новые
характерные размеры пересчитываются по формулам

| / / ь |
=A, Oy =O, 0,1, = 0,—, b= 0-7:
=, dy =0,2, Фи, | (1.67)
1 — b? x1~~ р, zl “2 $2? .
. . [ . [
b= 6, бары, бы. |
Найдем формулы пересчета аэродинамических производных
первого порядка, т. е. нагрузок, суммарных и распределенных
подъемной силы, продольного, поперечного и шарнирного мо-
ментов. Согласно (1.48), (1.50) в первом случае (старые характерные
размеры)
p= У (p%q, р" де), бу — » (cia: + ca),
/
i t
Ту = » (mig, + mq), т: — > [те + mea),
i
q; 9; e q; а; *
Суш — У (ching: -- Cym qi), Ny = у (ты: + Mun 91),
$ i

6 8]
ПЕРЕСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ НА ДРУГИЕ РАЗМЕРЫ
37
Во втором случае (новые характерные размеры) эти соотношения
запишутся в виде
—
Pi
My
—
—<
> (ричи + pig),
>, (ти + mitgi,),
р
4; НИ
и= У, (Сдал + да
t
q; а; ®
та = у Е + mega),
i
а (4; Gin \ a Gin"
com = >, (Ча + сий да), man = >, и + ты).
i р
Используя соотношения (1.66) и (1.67), получаем формулы пере-
счета коэффициентов аэродинамических производных нагрузок

[2 o, b o ®, В
рт" — ый pi =p *-, pi” p г —,
ly [5
4 16 № и “6. Oy __ о, 6
©, 6? 8, j 6 5 b 5 5. b
2 2

Для коэффициентов аэродинамических производных суммар-
ной подъемной силы, продольного и поперечного момента формулы
пересчета будут иметь вид




4 — сх 5 Oy a Sb On 2 Sb |
Cyl = Cy 5. Cyl = Су Ур Cyl = Су Sih”
С ©, Sb? 6 6 51 6, 85
СУГ! = Су? КР. ’ yl == Cy 55, Cyl = Cy Ss,”
6 6 $ 6, 6 Sb
cP == Су Ss cf! = С $14’
Oxy @, Sb? 1 __ Oo, Sb b?
x1 = Тх Sills тТх1 = Nx S ly [2 )
ий № by pS Sb
My| = My Si [1 Ь ти = тх $) L ,
КИ meet = тв В | (1.69)
xl — x Si Ll, 3 ХЕ — Xx Si [а р >
5 Ob . S 6 6b
co __ a _ 91 — 9% —___
mz; = т. Si L ; Mz 2 $, Ly i, ,
Ч „2 Ss Ob] b 91 __ о, S 6b 6?
Mz, == Mz S, i l, э Mz, = Mz $. [А [8 9
5, 6S b 1 6 бо 6b
т = M25 т; = т, Tr
6 5$ Ь 5 6, S b b
Pl ро 9 Pr __ po
SST? es ice Ta


38 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ [Гл. 1
По таким же формулам производится ‚пересчет коэффициентов
аэродинамических производных сечений.
Коэффициенты аэродинамических производных подъемной силы
руля и шарнирного момента пересчитываются на новые размеры
по формулам

a a S a S b Oy __ Oy, S b )
Cyn 1 = буш, , Суш1 == буш, Tt’ Cyint = Суш 5, i,?
) o, S 62 a) oe, S b о, S 6
x1 x 21 —_ „2 2
Суш1 == Sym S, П, Cym 1 = буш “ST Cym 1 = Суш 5 RR?
и 6 Sl 6. 6 5 6 6 ©
Суши — Суши Sy LL? Cyt — буш, ’ Суш1 = Суш кл Ty 9
a ао b Qa ао 6b 6b
Ma = Шш -<- Fz Ny = Mya
У: ly S Ц l,
oe | - | (1.70)
me =m 3-2 2 том — то 2 6
wil ш . Г l, э wil Ш $, [А Гр. )
o, 0 S 6 b Oo o, S b oF
Myr = My Si | 1. 9 My = Тш Si L i ?
: 6, Бо bk, 5 бо Ob
т =MNn,, — -— — = — —
wil ul St [р Б Mint My $. [А ’
6 6, Sb 6 6 S b b
Pl —. р Pl pr * 7
Ти] Ти $1 д ? Miu My Si li Г )
65 655 6 851 6, S 6b 6b
Mut = Mu > i? Mot = Mu

Формулы пересчета коэффициентов присоединенных масс Ha
новые характерные размеры легко получить из (1.62):
563
(Roo) = — Каз —=—- Sir г (Ras)1 = Ry, SH ,
(Евв)1 = — hes Sor a ] (Roe) = — Reg < = oF °
(1.71)
$ 10. Пересчет аэродинамических коэффициентов
на другие оси
Для практических приложений важно уметь пересчитывать
аэродинамические коэффициенты, найденные при одном положении
начала координат связанных осей, на любое другое положение
этого начала. При этом могут встретиться три случая:
а) Кинематические параметры движения определяются для
старого начала координат 0, а центром приведения сил служит
новое начало О, (рис, 1.10, а);

$ 10] ПЕРЕСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ НА ДРУГИЕ ОСИ 39
6) Кинематические параметры определяются для нового Ha-
чала O,, а центром приведения сил остается старое начало О
(рис. 1.10, 6);
в) Новое начало О, является и новым центром приведения
сил (рис. 1.10, в).
Примем, что при разном положении осей координат все харак-
терные размеры, к которым относятся коэффициенты аэродинами-
ческих характеристик и кине-
матические параметры движе-
ния, сохраняются. Это не на-
рушает общности получаемых
результатов, так как переход
к новым размерам может быть
осуществлен по формулам пре-
дыдущего параграфа после того,
как будут найдены значения
аэродинамических коэффициен-
тов для нового начала.
о Дадим формулы пересчета
для коэффициентов аэродина-
мических производных только
первого порядка, т. е. подъем-
ных сил самолета и руля,
поперечного, продольного и
‘шарнирного моментов. Будем
считать, что для исходного по-
ложения осей координат, кото-
рое одновременно является и
центром приведения сил, изве-
стны все аэродинамические
коэффициенты для всех инте-
ресующих кинематических па-
раметров g;. Эти значения коэф-
фициентов будем записывать
без индексов. В случае, когда Pile 110. К пересчету кожффищиентов
центр приведения сил переме- другое положение начала координат.
щается в новое начало, а кине-
матические параметры определяются относительно старого начала,
коэффициенты аэродинамических характеристик будем ‘отмечать
индексом «1»; если же центр приведения сил остается прежним,
а‘кинематические параметры определяются относительно нового
начала, отметим их индексом «2», и, наконец, если новое начало
является и новым центром приведения сил, аэродинамические
коэффициенты снабдим индексом «3». Формулы пересчета дадим
для случая, наиболее часто встречающегося на практике, когда
не происходит перемещения нового начала вдоль осей Оу и Oz,








40 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ [Гл. 1
Пусть имеем две системы осей координат, неизменно связан-
ных с жестким телом, движущимся без скольжения и угловой
скорости рыскания о, причем вторая 01.6: получена из пер-
вой ОЁтб путем параллельного сдвига вдоль оси OF на величину &,
(см. рис. 1.10).
Рассмотрим случай, когда кинематические параметры движе-
ния определяются относительно старого начала, а центром при-
ведения сил является новое начало О, (рис. 1.10, а). При перемене
центра приведения результирующая сила А не изменится, а мо-
мент изменится на величину ох R (ry = м + Jo + 20 —
радиус-вектор начала О относительно O,). В рассматриваемом
r .
случае р, = = = # поэтому
Cyy Cy Шт My, =, MN, CyEo, (1 .72)
где Ё, = x,/b — безразмерная координата старого начала 0
относительно нового O,. Коэффициенты подъемной силы руля Cyy
и шарнирного момента ть, для которого в этом случае центр
приведения, т. е. ось шарниров, не изменяется, остаются преж-
ними. Учитывая разложение (1.48), из (1.72) получим для коэф-
фициентов аэродинамических производных
ь
Qe 4 % 5 _ 6
| 5 ® © ©
Cy1 == Су, Су == Су’, СУТ = Су”,
| @ @ 6 6 3 $
тхт = ту, i," — ту”, My, = Тх, My, == ТЬу, (1 73)
a ct be é |
Mz, == Т2 — боСу» Mz, —= т, — EC ys
6 5 5
Mz, = Ш. — EqCys Mz = т, — EoCys

o © ® ® o @
m, | = m,* — Foc,’”, Mz it =m," — oc,”. J
Коэффициенты сил, распределенных по размаху крыла, не
изменяются, а распределенные моменты пересчитываются по
формулам (1.73) для каждого сечения. |
Получим теперь формулы пересчета коэффициентов аэродина-
мических производных в том случае, когда центром приведения
сил остается старое начало, а кинематические параметры движения
определяются относительно ячового начала (рис. 1.10, 6). Одно
и то же движение тела можно характеризовать двояко: как посту-
пательное движение со скоростью Uy, точки О и вращение, соответ:
ствующее вектору угловой скорости @, проходящему через
точку О, или как поступательное движение со скоростью точки О,
при котором вектор ® проходит через точку Oj.
Для одного и того же движения силы, действующие на тело,
и моменты относительно одних и тех же осей в случае, когда

6 10] ПЕРЕСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ НА ДРУГИЕ OCH 41
центр приведения сил не изменяется, будут одинаковы; следова-
тельно, не изменятся и аэродинамические коэффициенты, вве-
денные по формулам (1.17), (1.20), т. е.
Со =С Ту о == Mm, Mio = т
y2 и, x 2 ху 23 2
| (1.74)
Com о — Com Ти = Ти.
Однако в этом случае некоторые из кинематических параметров,
характеризующих движение тела относительно нового начала,
изменятся. Поэтому и некоторые из. коэффициентов аэродинами-
ческих производных приобретут новые значения.
Скорость начала О, относительно О будет равна вектору
Охг,, ПОЭТОМУ угол атаки &., для точки О, в рассматриваемом
случае будет
Фа == Ay = © — Ey,. (1.75)
Кроме того, , , , ,
dig = Mz = &— Fo, (1.76)
Bce остальные кинематические параметры сохраняют свои 3Hde
чения, т. е.
Ч12=9» Qe, 1==2, 3,4. (1.77)
Пусть с — какой-либо из коэффициентов аэродинамической
подъемной силы или моментов, суммарный или распределенный.
Для него согласно (1.48) имеем
c= У (6144, + c%g;), (1.78)
аналогично ,
с = > (ан + д). (1.79)
t
Выразив gj. через g, по (1.75)—(1.77) и подставив полученные
выражения в соотношения (1.79), получим новое выражение для с,
которое тождественно (1.78) при всех 4;. На основании этого
тождества получим формулы пересчета

Cty 0%, 6% = c%, Cy 2 = Cy =
Су = су? + 06% cy = су? + Each,
meme, my = me, ma=m, mbz—mb, | (1.80)
Mz. == mz, me, = та, те 2 — me, тб = тб,
т: = m2? + бо, mss = me? + Eom’.

42 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ (Гл. I
Для коэффициентов аэродинамических производных подъемной
силы руля и шарнирного момента будем иметь
a @ a (7 6 6
Суш2 == Суш» Суш2 == Суш, Cym 2 == Су»
6 5 Oy Oy x Ox
Cym2 = Суш» Суш 2 = Суш, Суш = Суш,
® w а © o б
Суш? — Суш + EoCym Суш 2 —= Суш + EoCym>
me Ob a a 6 6
Ти 2== Ши, My 2 == Ти, Ти = Ши,
(1.81)
8 5 © © © ©
Тш2 == My шо == Тш, = шо == My,

o wo © ® .
Myo = My? + Eom, tye == Ma? + Eom. |
Найдем коэффициенты аэродинамических производных, когда
кинематические параметры берутся для точки О, и эта гочка
является центром приведения сил. Применяя соотношения (1.73)
и (1.80), будем иметь формулы пересчета
a % 0 oF б 6 6 6
Cys Су, Cys Cy, Cys ly Cy3= Cys

cy’ == Cy? - осу, суз = of ++ Ect,
mes =m, то тоя, тать, mb,=md,
Таз = Mz — Еобу, тез = та — ЕС, с (1.82)
m3 = m>— 20°, m 5 = тб — Ec,
m= ты [те — су?) — 0%,
т = me? + £5 (me — cf) — 8.
Пересчет коэффициентов аэродинамических производных сече-
ний.осуществляется соответственно по (1.78) и (1.80). Аналогично
для коэффициентов аэродинамических производных нагрузок
будем иметь
9, qj qj qj
q; qi
— = ’ — = ’ j—a, 5, Ox,
рз p2 р рз 02 p 9 (1.83)
. . °
p3? = po? = p 2+ Fop%, p3? = pr? = р + вр”.
Формулы пересчета коэффициентов аэродинамических произ-
водных при изменении положения оси колебаний руля (OCH
шарниров) будут даны ниже, в главе ГУ, посвященной расчету
эффективности управляющих органов.

$ 11] ФОКУСЫ АППАРАТА 43
Формулы пересчета коэффициентов присоединенных масс полу-
чаются путем выкладок, полностью аналогичных приведенным
для коэффициентов аэродинамических производных. Сохраняя
принятую индексацию, будем иметь при ‘изменении центра при-
ведения сил
(Ree) — Roo, (Raa) = Rass
(Rog) = hog — ооо, (Ree) = keg— ов.
Когда изменяется только начало координат для кинематических
параметров, а центр приведения сил остается прежним, получим
(Роз) == Ао», (аа) = Аа, (ов) = Regs (Ree)e = Reg + Вов. ( 1.85)
Если же и центр приведения сил перемещается в новое начало
координат, имеем
(Roa)s == Аз, (Ааа) = Rasy (ов)з == Ков — оао, |
(Res)3 = Res — 2006 + 020.
(1.84)
(1.86)
$ 11. Фокусы аппарата при нестационарных нагрузках
В случае неустановившегося движения аппарата не существует
такого положения оси OZ, относительно которого момент неста-
ционарных аэродинамических нагрузок не зависел бы от кине-
матических параметров движения. Однако аналогично тому, как
это было сделано в случае установившегося поступательного
движения крыла, можно ввести понятие о фокусе для отдельных
компонентов нестационарных нагрузок, т. е. найти на крыле
положение точек, в которых приложены честационарные силы,
соответствующие c%/, с% (i = 1, 2, 3, 4). Безразмерные коорди-
наты этих точек Xq, = Xq,/b, ‘Xq, = х;/6 будем называть 4,-,
4,-фокусами крыла (например, a-oxyc, я-фокус и т. п.). В фор-
мулы (1.82) координаты фокусов подставляются с обратным зна-
ком, так как они определяются относительно начала коорди-
нат (старого начала). Определим такое положение оси Oz, при
котором коэффициент продольного момента не зависит от угла
атаки & (& — фокус крыла). Эта ось характеризуется тем, что
здесь mz3 = 0. Согласно формуле пересчета
a то
т;з = Mz + Хабу =0,
откуда
-- my
lq = = лы. (1.87)
Найдем такую ось Oz, относительно которой коэффициент т,
не зависит от кинематического параметра @ (a — фокус крыла).

44 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ (fa. 1
Ее положение определяется из условия
Ge т. @
Mz3 —= Ш. + Хаос == 0,

откуда ,
i= aS a . (1.88)
Аналогично рассмотрим условия, определяющие существо-
вание и положение фокусов ®, и ®,. Найдем такие положения
оси OZ, относительно которых т, не зависит от кинематических
параметров ©, и ®.. Используя формулы пересчета
1.8 = тг“ — Xo, (т — cy?) — x65 = (0,
@ o — у ry > а
2 2 9 2 9%
M23 = Mz" — Ху, (та — Су | — Хо Су = 0,


получим
— oO @_\2 ©
о, =— |— (mt — c°2} + У (mz — cy?) + деть? | ,
26
_ | | [в о.) у | о, с о (1.89)
x5 = dll \172 — Су + Mz —Cy + 4су т.
2 2

Рассмотрим вращательные колебания крыла относительно оси,
когда ®, = %. Определим такое положение оси OZ, при котором
коэффициент т, не зависит от w, +a (®, + я — фокус крыла).
В этом случае безразмерная величина Xw,+& Определяет положение
С] | a
точки, в которой приложена сила, соответствующая (су? +
+ cy), Используя формулы пересчета (1.82)
© ° © е \. _ / ° © e —9
(ms? + mé)s=(me* + тб) (те сео) у
2
о
имеем при (m,? + mz), = 0
1 a © a
[не
у

+ Ив + oft) + 4c, (mz? + m=) | . (1.90)
Проанализируем выражения (1.89) и (1.90). В отличие от Xq
и х«, безразмерные координаты Xo, Хб, Xo, +o не всегда суще:


$ 11] ФОКУСЫ АППАРАТА 45
ствуют. Условием их существования является положительное
значение соответствующего дискриминанта. Так, например, для Хо,
условием существования будет
9
(те — сч?) + 4c* mz? > 0. (1.91)
Для x6, находим
&__ 2) ав,
Mz — су’) + 4c,m,? >0, (1.92)
и для вращательных колебаний относительно оси Oz
a , 4 2 a Oo, 4
Mm,—Cy* + cy) + 4c, \m,* + т. | >0. (1.93)
Формулы (1.89) и (1.90) в этих случаях дают два действительных
решения, которые соответствуют двум точкам пересечения соот-
ветствующей параболы с осью х .
(кривая J на рис. 1.11). При 06- mm
ращении дискриминанта в нуль
получается одно решение — точка 1
касания (кривая 2). Отрицатель-
ное значение дискриминанта соот-
ветствует случаю, когда парабола
(кривая 3) не пересекает оси Ох.
Следует отметить, что неста-
ционарные фокусы крыла пред-
ставляют определенный практиче-
ский интерес. Так, если написать
уравнение продольных колебаний
самолета (см., например, [1.13 ]),

Qn
ay
~.
~~,
. @
TO комплекс коэффициентов т.” +

+ т» будет входить в член, ха-
т демпфирование Рис. 1.11. Типичные зависимости от
колебаний. ри отрицательной центровки продольного демпфиро-
величине этого комплекса про- вания при вращательных коле-
дольные колебания будут зату- баниях.
хать, при положительной — воз-
растать. Таким образом, фокусы %o,.5 в случае их существо-
вания будут ограничивать область центровок (см. § 4 настоящей
главы), при которых аэродинамические нагрузки на крыле спо-
собствуют устойчивому движению самолета.
Проанализируем поведение коэффициентов присоединенных
масс в зависимости от положения начала координат и найдем
для них некоторые характерные точки. Для рассматриваемого

46 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ (fi. 1
движения плоского крыла-пластинки живая сила жидкости
согласно [1.10] будет
E = PeoSb (ВЛ + БИ + Бы). (1.94)
Живая сила возмущенного движения жидкости может быть выра-
жена через потенциал скоростей
p= pon |] + (+ (By Je as
Как видно, живая сила имеет величину существенно положитель-
ную, так как если функция ОФ/дп не равна тождественно нулю
на поверхности тела, то дФ/дх, ОФ/ду, OD/dz не будут все тож-
дественно равны нулю и в некоторой окрестности тела. Отсюда
и из (1.94) следует, что
hoy 3>0, Ри>>0, Reg > 0.
Рассматривая формулы пересчета (1.86), приходим к заключе-
нию, что квадратное уравнение относительно Ey
Роз о — ЭВовЕо + kes = 0
He имеег действительных решений, т. е. дискриминант его отри-
цателен. Получаем неравенство
hee < оо №5б, (1.96)
справедливое для любого положения центра О,`на оси Ох. Точка,
для которой А = 0, называется центральной. Ее координата
определяется формулой
Е ==, (1,97)
Из (1.86) следует, что в центральной точке Rk, имеет минимум,
причем |
Ю
( 66) min = Reg — Rog i ° (1,98)
Аналогично можно показать, что для аппарата симметричной
формы в плане величина К. принимает минимальное значение
при вращении. его относительно оси Ох, совпадающей с осью
симметрии.

ГЛАВА II
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ДОЗВУКОВЫХ ЗАДАЧ
$ 1. Уравнение движения. Интеграл Коши—Лагранжа
Будем пользоваться подвижной системой координат, связан-
ной с самолетом (рис. 1.2).
Пусть W,, W, и \* — векторы абсолютной, относительной
и переносной скорости газа, тогда
W,= W.+ W*. (2.1)
Пусть движение схематизированного самолета (см. $ 2 гл. I)
как твердого тела характеризуется векторами U, и @, а его де-
формация происходит вдоль оси Оу. Запишем уравнение поверх-
ности аппарата в виде
y= У (Хо, 20, t)
и знаком O/Of будем обозначать частную производную по времени
в подвижных осях. Тогда для точки с координатами (Xp, Из, 2)
W*=U,+2 X г, = — № + Л + Reo. (2.2)
Течение газа всюду вне тела и следа за ним предполагаем без-
вихревым, среду считаем идеальной (лишенной трения). O6o3Ha-
чив через Ф (x, у, 2, 1) потенциал возмущенных скоростей, можем
написать
гор Ш, =0, Ш, = втааФ. (2.3)
В общем случае уравнения абсолютного движения идеального
Газа В ПОДВИЖНЫХ OCHX при OTCYTCTBHH внешних массовых сил
имеют вид [1.10]
w?
We —— + grad (a —W we) —
—(W,— W*) x rot W, = — > gradp, (2.4)
где р — давление, о — плотность.
Считая, что плотность среды зависит только от давления, т. е.
среда баротропна, введем функцию давления Р, положив
— { 4P_
p= J р (р) ° (2.5)

48 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (Ta. П
Тогда можем написать
- grad р = grad Р. (2.6)
Принимая во внимание соотношения (2.3) и (2.6), уравнения
движения (2.4) запишем так:
Ww
grad (7 +—+4-— w,W* +] = 0.
Отсюда получаем интеграл Коши—Лагранжа для всего про-
странства вне летательного аппарата и вихревого следа за ним
am и.
я +5 WLW PHF, (2.7)
где F (1) — произвольная функция времени. Чтобы определить
ее, достаточно задать функцию давления Р (1 в какой-либо
точке пространства. Считая, что далеко перед аппаратом возму-
щения от него затухают, т. е. полагая здесь
дФ
a =0, И. =0, W,W* = , Р=Рь, (2.8)
находим
Е (1) = Po.
Таким образом, наиболее общее выражение для интеграла
Коши—Лагранжа в рассматриваемых задачах имеет вид
Ww
P—P,=W,W*—— 2. (2.9)
a 2 Ot
В выражение (2.9) иногда удобнее ввести вместо абсолютной
относительную скорость. На основании (2.1) имеем


и » Wo we
И.
Поэтому интеграл Коши—Лагранжа можно записать в виде
2
we Wo 0 (2.10)
РР.
В сжимаемом газе предполагаем, что теплообмен отсутствует.
Тогда в области непрерывного изменения параметров газа течение
будет изэнтропическим, т. е.
Peo
oF get x= 2 — const, (2,11)

§ 1] УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ. ИНТЕГРАЛ КОШИ-— ЛАГРАНЖА 49
Здесь с, и с, — теплоемкости газа при постоянном давлении и
объеме. На основании (2.5) и (2.11) для изэнтропического про-
цесса имеем
х—1
Що (ep _Р\ р _ Po /p\ ”
РР = т (2 =). (=) с 6.12)
Подставив (2.12) в (2.9), получим
- p и 09
р х—1 _ бэ Wa coy
se) О, (Ww. Ww" yO (2.13)
XP

Учитывая, что = Az, где а» — скорость звука в невозму-
со
щенной телом среде, и разложив выражение (2.13) в биномиаль-
ный ряд, будем иметь

Ww.
214% (Ww +



р’ — p— Ро, Po =
Тогда (2.14) запишется в виде
2 2
__ P 0% a х + И’. дФ
р =, Ев. 2 ~ 2) 4



х и ao \?
+ [9.9 № +
2a‘
x (2—%) (Ww ws W, 0Ф\ 9
+ Sa а 2 | Tope @.15)
со


Считаем, что возмущения, вносимые движущимся телом в среду,
малы и имеют первый порядок малости 6:
aw
7 =9(5, \,=0(6), W,W*=0(6),

50 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ [Гл. I]
Поскольку аэродинамическое сопротивление имеет второй поря-
док малости, сохраним в (2.15) члены не выше этого порядка;
\. 0Ф
р а
2 =(w.we— 4h — SP) +
со

+> [м —2w, we 22 + (2 )]. 2.16)
Из (2.16) легко получить выражения для возмущенных давле-
ний р’в различных случаях движения. Введем углы атаки @
и скольжения В, переменную часть скорости подвижного начала
и(‹, тогда для переносной скорости точки Xo, Yo, 2, не деформи-
рующегося летательного аппарата можем написать
W =, ЛИ, АУ. |
W, =—U (1 + и) cos & cos В — 29 Q, + yo, | еп
W, = — (о (1 - и) sin a cosp — x2, — 29, (4.17)
У, = U,(1 + и) sin B+ yo, + xQ,.
Считая безразмерные кинематические параметры и, a, В, о,,
@,, @®,, введенные согласно соотношениям (1.41), а также возму-
щенные скорости дФ/дх, 0M/dy, 9Ф/дг и OW/dt малыми, при под-
становке (2.17) в (2.16) сохраним члены не выше второго порядка
малости. В результате получим развернутое выражение интеграла
soups

1
р’ om om |
red а — oF 7 Es (UU 9 + 282, — и.) —
ны
+ FP UB + и, + 0] [U—MA (35) +
м i 2g se (Gr) + 248
2a?
В случае установившегося движения с постоянными углами &
и Ви Ш = const (и = 0) будем иметь
0Ф om дФ
= — М6; — № oy eT U, = B—
oes x) + + (в) + (=) ]- (2.19
В несжимаемой среде М =
/
-Р_
со

6 11 УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ. ИНТЕГРАЛ КОШИ—ЛАГРАНЖА 51
Большая часть аэродинамических нагрузок, действующих на
летательный аппарат (подъемная сила, продольный и поперечный
моменты), являются величинами первого порядка малости. Пре-
небрегая в (2.18) величинами второго порядка малости, получим
линеаризованное выражение интеграла Коши—Лагранжа
, дФ дФ
р = р— Po = — Po (5 +4) (2.20)
В таком виде интеграл справедлив как для изэнтропических про-
цессов при любом значении х, так и для несжимаемой среды.
Введем безразмерный потенциал
Ф (x, и, г, В = Ud (E, т, 6, т). (2.21)
Так как все вихри, заменяющие летательный аппарат, распола-
гаются в плоскости Oxz, то в симметричных относительно нее
точках производные ОФ/дх и 0Ф/д2 имеют противоположные,
а ОФ/ду одинаковые знаки. Отсюда следует, что потенциал яв-
ляется нечетной функцией координаты y
D (x, y, 2, ) =—Ф(х, — и, z, 0), lim Ф (x, у, г, t)=0. (2.22)
y>
Поэтому, учитывая (2.22), из (2.20) получаем
- д д = = = д д |
2 (5+5), рр =4 (3h +2). 2.23)
В случае гармонических зависимостей от времени имеем согласно
(1.48)
9 _ _ 9; ”,.
=o a+o%G) Ар= У 94.+2'4,). (2.24)
Выразим левые и правые части второго равенства (2.23), в соот-
ветствии с (2.24), через коэффициенты аэродинамических про-
изводных, которые не зависят от времени. Учитывая, что при
гармонических законах движения
ты 09 OO р
0
находим для коэффициентов аэродинамических производных на-
грузки (индекс «—» опускаем)
9; ° ° ;
qj д у #2 fi i д 9
р = 4 3 —p ф’ } р’ = (oe -- o") ° (2,25)


59 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (fn. П
$ 2. Уравнение для потенциала возмущенных скоростей
Рассмотрим уравнение неразрывности, которое для относи-
тельных pone в подвижных осях имеет вид [1.10]


20 5 2(eWos) 4 о (oF w) 7—0. (2.26)
Проекции относительной скорости газа на оси подвижной системы
координат, жестко связанной с самолетом, согласно (2.1) и (2.3)
равны
о dO *
ao
— И, Мф,
М, = — W,, ’ Woy = —
ov
Для баротропной среды, когда р = (р) и скорость звука а? =
= dp/do, можем написать
9—1 9 9 | op
Ox а? Ox ? ду а? ду?
Op _ 1! Op др _ 1 др
02 — а? 02’ Ot a2 Ot ©
lA |
На основании этого уравнение неразрывности (2.26) представим
в следующем виде:
OW ox ww |
(ое бо бр) + oF +
И д
+ Vee ode + Woy Se + We 0. (2.21
Далее, из (2.27) нужно исключить все динамические параметры,
оставив только кинематические. Для этого воспользуемся урав
нениями движения, которые согласно (2.3) и (2.6) можно записать
Wa



Ww.
— -- grad ( . ; ), W,=grad® (2.29
На основании (2.2) и (2.28) для изучаемых движений имеем с ли
нейной точностью, считая все производные потенциала скоростей
и кинематические параметры малыми величинами,
1 д. aD Amd \

p Ox = — дх? — Ox Ot”
Г Op _ 0°Ф aw
ду -° Oxdy Oya’ ff (2.29)
д2 -° oxdz oOzat’

Г
1 д _ a2@ a2
о

$51 ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ АППАРАТА 53
Из (2.20) получаем с принятой точностью
i Op —_y д2Ф 020
р Ot 0x dt OF?

(2.30)
Учитывая, что для изэнтропического течения с учетом (2.12)
а? = dp/do = хр/о, запишем интеграл Коши—Лагранжа в виде

2
ОФ И’. x a2 со
a tao М.М 4+ HS (2.31)
где Ao — скорость звука в невозмущенной среде. С линейной
точностью имеем из (2.31)
. ОФ om
a? = a (и— 1 (US + Fr): (2.32)
Используя соотношения (2.29), (2.30) и (2.32), можно (2.27) с
линейной точностью представить в виде
020 02M 02 02M 02 д2Ф
2 Ee _ | — 2
Ae ( ox2 ‘ Oy? 922 ) U
———
0 д — 2% 0х0 OF = 0.

Обозначим через М = Иа» число Маха невозмущенного
потока. Тогда линеаризованное уравнение для потенциала ско-
ростей в системе координат, жестко связанной с самолетом (см.
рис. 1.2), будет иметь вид для безразмерного потенциала ф, вве-
денного равенством (2.21),
2D ap Ap
2 д2
(<M) SE + GE + SE OM EM GE 0. 039


$ 3. Граничные условия на поверхности
летательного аппарата
Во всех рассматриваемых в данной работе краевых задачах
будет изучаться плавное обтекание. Введем связанную с аппара-
том прямоугольную систему координат (рис. 1.1). Пусть nv —
внешняя нормаль к поверхности тела (индексы «1» опускаем):
n=tcos(n, х) + jcos(n, y) + Е соз (п, г). (2.34)
Переносная скорость точек поверхности аппарата будет
Ws=W + Ws, (2.35)
где W* — переносная скорость рассматриваемой точки в подвиж-
ных осях, W, — скорость деформации.
Граничным условием на поверхности тела является требование
равенства нулю нормальной составляющей относительной ско-
рости
(У. — Ws)-n =0

54 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (Ca. п
ИЛИ
№... п = М.П. (2.36)
С учетом (2.35) его можно записать следующим образом, оставив
в левой части нормальные составляющие возмущенной скорости:
*
W
Vn ny Won (2.37)
Up Us Uy”
В линейной теории возмущенные скорости принимаются Ma-
лыми, поэтому



ое < |1. (2.38)
Для этого согласно (2.37) необходимо, чтобы и скорости дефор-
маций были малы:




| те 2 | <1, (2.39)
Переносная скорость W* не является малой величиной. Так как
и _ Ws Vs у
U, ~ U, 50° (п, х) + U, © (п, у U, © (п, 2), (2.40)
то условие линеаризации (2.38) в общем виде можно записать
«1,
и,
0, с0$ (п, и)
%
We
5, с0$ (п, x) |




Kl,
\
\
%
W
7-608 (м, 2)| «1. (2.41)
0
Наиболее важным случаем, который и рассматривается далее
является следующий:
Гол, KL [IKE 1 <Ь 04
Здесь в качестве базовых элементов, на которых распределяются
аэродинамические особенности и выполняются граничные усло:
вия, как будет показано далее, можно взять части плоскостей,
параллельных оси Ox, где cos (п, x) = 0 (рис. 1.2).
Уравнение базового элемента & в безразмерных координатах
(1.24) имеет вид
аг + 1с0$ (п, yo + 6с0$(п, 2) =0. (2.43)
Если m& — единичный вектор нормали к нему, TO
0
\


*
2
[Uo



*
2
Uo

Noe = Jcos(n, y)o + Ёсоз (п, 25, (2.44)
причем условимся нормаль направлять от стороны элемента «})
к стороне «—» (рис. 2.1). Уравнение соответствующей части по

§ 3] ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ АППАРАТА 55
верхности аппарата будем представлять следующим образом:
Аи? Ай _ |
=f 1, 6 т), — = 169. (2.45)
Здесь nfs, Ano_— приращения вдоль нормали к базовому эле-
менту, первое — для поверхности «+», второе — для поверх-
ности «—». Положительные значения согласованы с внешними
нормалями к поверхности
аппарата. п. и ne (рис. ЙА па п разойля nnocnocms €
9.1). аким образом, -
An®. > 0, когда перемеще-
ние происходит вдоль по- |





> + —>
ложительной нормали иг, | |
а Anos > 0, наоборот, при f
перемещении в отрица- Puc. 2.1. К граничным условиям на поверх-
тельном направлении 15. ности летательного аппарата.
Когда изучается влияние
только толщины и аппарат не деформируется, то правые части
(2.45) от времени не зависят.
Удобно разделить в (2.45) зависимости от времени и координат.
Для этого аппроксимируем правые части кусочно-непрерывными
функциями [61+ и введем параметры, характеризующие масштабы
толщины и деформаций 87, вообще говоря, зависящие от времени:
п п D= LO; (fore № 9.
Таким образом, от (2.45) перейдем к следующим представлениям:
Ans
p= = 6} (9) fis w 9. (2.46)
Уравнения «нижней» (+) и «верхней» (—) поверхностей ле-
тательного аппарата запишем в виде
Fy, = а. + 1с0$ (п, и) + 60$ (п, 8 — У 1+ = 0. (2.47)

Косинусы нормалей к ней ni и n= определяются равенствами







| ОР. 2 | OF 94
cos (n, х)+ —— =, COs (И, у) = — =,
Dt 95 рЕ on
e | OF 94.
cos (n, are ‚ (2.48)
[7 =) +(% =) 4 ОР. \?
a GP |

56 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ [Гл. II
При рассмотрении линейных задач в выражении для COS (п, х)+
нужно удерживать малые первого порядка, а в остальных —
только конечные величины, поэтому


соз (п, x) =— 5% ОР |
7 | | (2.49)
cos(n, и)* = = cos(n, y)o, cos(n, z)4 = = cos(n, 2). .
Рассмотрим подробнее граничное условие (2.37). Вводя без-
размерные кинематические параметры движения (1.41) для пере-
носной скорости недеформирующегося аппарата, будем иметь
выражения (2.17). Чтобы получить скорость деформаций поверх-
ности аппарата, нужно продифференцировать по времени выра-
жение (2.46)
we An
wis _ 4 | ме) УБЕ mo. 250
Так как эта скорость направлена вдоль вектора 1, TO при пра:
виле знаков, принятом в (2.46),

би
Uy

we
= iia | cos (n5, из.) |.
-
С принятой точностью и учетом (2.46) и (2.49)
05 (пб, n.) =с0$(п, y)ocos(n, y)% +
+cos(n, z)ocos(n, 2)4 = +1,
поэтому на основании (2.50)
wé .
GA = LS Mis т 9. (2.51)
Принимая во внимание (2.2), (2.17) и (2.51), граничное усло
вие (2.37) запишем в виде

Й
с0$ (п, y)4¢-+ 0$ (п, 2)4 =

W ya
0. = cos(n, х)+ +

— — (1 - ко © с0$ В + Cow, — а cos (п, х)+ —
— [(1 + и) чп а cosB + Eom, + Cow] с0$ (п, и) +
+ [(1 + u)sin B + nowy + Eoo,] cos(n, 2) + У К. (2.5
]
Как уже отмечалось, в линейной теории безразмерные возм):
щенные скорости, вызываемые обтеканием тела и стоящие в левой
части равенства (2.52), должны быть малы. Для этого необходимо

6 4] УСЛОВИЯ HA ВИХРЕВОЙ MEJIEHE 57
чтобы и правая часть (2.52) была малой не ниже первого порядка
при всех т. Дальнейшие рассуждения ведем при условиях
<, [al<, [BI< I,
lowed <1, 11K, [8] «1.
На основании (2.49) и (2.53) граничное условие с линейной точ-
ностью будет
(2.53)
У W
Е cos(n, y)o + —= cos(n, 2)8 =
0 0

= F (—a —£ow,— fow,) cos(n, y)o +
де.
= (B + nox + Eow,) cos (п, 2) + 2. 6} Sei + > От[бл+* (2.54)
$ 4. Условия на вихревой пелене и вне ее
При решении задачи обтекания летательного аппарата при-
ходится использовать условие на вихревой пелене, образующейся
за его базовыми элементами. Это условие нужно для того, чтобы
определить закон изменения чисто нестационарных (поперечных)
вихрей. Обычно его формулируют как требование о равенстве
возмущенных давлений на нижней и верхней сторонах пелены
свободных вихрей. Оно означает, что на пелене не создается пере-
пада давлений. У вихревого следа и базовых элементов схемати-
зированного летательного аппарата следует различать предельные
значения давлений при подходе к ним снизу (индекс «--») и сверху
(«—э). На основании (2.20) это требование можно записать так:
0Ф_ ОФ_ OD дФф
Расчет обтекания летательного аппарата будем производить
с помощью газодинамических особенностей (вихрей, источников),
располагая их на базовых поверхностях =. Поэтому удобнее иско-
мое условие на вихревой пелене использовать в ином виде. Для
этого воспользуемся теоремой Томсона о постоянстве во времени
циркуляции по любому замкнутому жидкому контуру видеальной
баротропной среде, когда массовые силы отсутствуют или потен-
циальны [1.10]. Поэтому изменение циркуляции присоединенных
вихрей может происходить только за счет схода свободных по-
перечных вихрей.
Определим вначале циркуляцию свободных поперечных вихрей
на пелене. Рассмотрим произвольное сечение летательного аппа-
рата плоскостью 2 = const (рис. 2.2). Проведем произвольный
замкнутый контур L* в момент времени # такой, чтобы он пере-

58 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (fa. И
секал свободную вихревую поверхность непосредственно у задней
кромки элемента з в точке N* (x*, у, г) (рис. 2.2). В линейной
задаче можно считать, что указанная поверхность лежит в базо-
вой плоскости &, а скорость сноса свободных вихрей равна Ц..
Циркуляцию скорости по контуру L* в момент Ё обозначим
Г* (x*, у, 2, #). В произвольный момент времени ¢ > Ё кон-
тур L* займет положение L (см. рис. 2.2) и будет пересекать вихре-
вой след в точке М (x, у, 2). Заметим, что замкнутый жидкий
контур, охватывающий крыло, не может быть «разрезан» крылом,
yh



Рис. 2.2. К определению условий на вихревой пелене.
т. е. он будет охватывать крыло при любом 1. Скорость сноса
свободных нестационарных вихрей в линейной схеме равна U,,
поэтому _
ММ =x—x* =U, (#—Й).
Обозначив циркуляцию по замкнутому контуру Г, в момент |
через Г (x, у, 2, 1), запишем связь между указанными циркуля:-
циями и значениями потенциала возмущенных скоростей:
D(x", у, г, 2) =Ф. (х", у, 2, Г) —Ф, (x*, y, 2, Г),
Г(х, y, 2, ) = O_ (x, и, 2, t)—D, (x, у, z, 2). | 259
Согласно теореме Томсона
Г* (x*, y, 2, ®) = Г, у, 2, 2), (2.57)
а из условий симметрии
Ф, (x*, у, г, #) = —@_(x*, у, г, “a
Ф, (x, и, 2, И = —@_(x, y, z, 2).
На основании (2.57) и (2.58) находим искомое условие для
потенциала скоростей вблизи вихревой поверхности (индексы
«+» и «—» опускаем)
(2.58)
D(x, у, 2, = Ox*, у, z, Й), ми, (2.59

р

$5] ГИПОТЕЗА ЧАПЛЫГИНА—ЖУКОВСКОГО 59
Покажем, что рассмотренное условие о постоянстве циркуля-
ции обеспечивает выполнение требований (2.55) об отсутствии
перепада давлений на вихревой пелене. Действительно, представив
(2.55) в виде
д (Ф_—Ф.) д(Ф_— ®,) __
ot = + Us Ox = 0,
согласно (2.56) находим
ОГ (x, y, 20 ОГ (x, y, z, t)
9; + U, Ay — 0. (2.60)
С другой стороны, для любого сечения 2 = const условие о по-
стоянстве циркуляции имеет вид
ar or or
= Oo + Uy = = 0,




что совпадает с (2.60).
На бесконечности вдали от крыла и вихревой пелены считаем,
что все возмущения, вызванные движением самолета, затухают
и среда не возмущена. Отсюда заключаем, что на бесконечности
как производные потенциала, так и сам потенциал следует счи-
тать равными нулю:
$5. Гипотеза Чаплыгина —Жуковского
Для постановки задачи о расчете обтекания схематизированного
самолета-крыла необходимы некоторые исходные гипотезы, кото-
рые прямо или косвенно базируются на данных опыта. Одним из
таких постулатов, очень простых, но глубоких, является гипо-
теза Чаплыгина_—Жуковского . [1.1], [1.3], [1.4].
В общем случае силовое воздействие потока на несущую по-
верхность может быть сведено к двум системам нагрузок — нор-
мальным давлениям и касательным напряжениям. Появление
вторых вызвано вязкостью среды. Во многих случаях удается
с достаточной для ‘практических приложений точностью опреде-
лять давления и касательные напряжения раздельно. Это позво-
ляет при нахождении давлений и соответствующих аэродинами-
ческих характеристик пренебрегать вязкостью среды и считать
газ идеальным. Однако есть одна важная особенность обтекания
крыла, связанная с характером течения вблизи задних кромок,
которая может оказать влияние на все характеристики и косвенно
связана с влиянием сил вязкости.
Рассмотрим картину дозвукового обтекания какого-либо сече-
ния крыла плоскостью 2 = const. Можно представить себе три
типа течений, отличающихся характером обтекания задней кромки

60 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ [Гл. И
(рис. 2.3). Как показывает опыт, течения а) и 6), когда задняя
критическая точка сдвинута относительно кормовой, обычно не
реализуются. Они могут наблюдаться лишь в первый ‘момент
после импульсного изменения параметров движения или де-
формаций, когда циркуляция еще не сформировалась (сво-
бодные нестационарные вихри еще не отделились от присоеди-
ненных, начальный вихрь
р еще не отошел от задней
кромки крыла). Этому мо-
—_—_ менту соответствует бесцир-
куляционное течение. Здесь
a) гипотеза Uanwpiruna—)Ky-
KOBCKOrO не используется,
Решая подобные задачи в не-
сжимаемой среде, мы будем
использовать иное условие —
к о равенстве нулю циркуля-
й) ций в любых  сечениях
крыла. При этом, очевидно,
за крылом не будет появ:-
— ЧИ ляться свободных вихрей,
SCC При  плавном  обтекании




—_— —_— крыла в остальных случаях
— имеют место течения, кото-
6) рые ближе всего соответ.
Рис. 2.3. К гипотезе Чаплыгина-—Жу-  ствуют случаю в), когда по:
ковСкого. ток He огибает заднюю
кромку, а сходит с нее.
В теоретических исследованиях мы будем заниматься расчетом
обтекания бесконечно тонкого схематизированного летательного
аппарата. Тогда огибание потоком острых кромок сопровож:
дается появлением скоростей, теоретически равных бесконечности.
Поэтому в указанных случаях гипотезу Чаплыгина—Жуковского
можно трактовать как условие о конечности скоростей на задних
острых кромках несущих поверхностей. При этом аэродинами:
ческие нагрузки на задних кромках должны обращаться в нуль
[Ap (81) = 0].
$ 6. Постановка задачи
Рассмотрим неустановившееся движение летательного alia
рата, сопровождаемое нестационарными деформациями его по
верхности. Будем считать, что основным является поступательно
перемещение с постоянной скоростью И ,. Тогда движение аппарат
будет определяться кинематическими параметрами 4;, подробно
рассмотренными в главе I,

§ 6 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 6]
Изучаются только прямые задачи аэродинамики, в которых
известными являются форма летательного аппарата и кинемати-
ческие параметры как функции времени, а также зависимость
деформаций и толщины аппарата от координат. Будем полагать,
что законы изменения кинематических параметров во времени
заданы и определяются гармоническими зависимостями.
В задачах аэроавтоупругости, строго говоря, нельзя выделить
этап расчета аэродинамических характеристик в самостоятельный,
изолированный от определения кинематических параметров, за-
конов деформаций и частот колебаний. Оба этапа исследований
взаимосвязаны. Однако линейная постановка’аэродинамических
задач позволяет сделать такое разделение [1.39].
Вне летательного аппарата должен выполняться закон сохра-
нения массы для газа, иначе говоря, здесь справедливо уравнение
неразрывности. Предполагая, что все безразмерные кинематиче-
ские параметры малы по сравнению с единицей, можно считать,
что существует потенциал скоростей, возмущенных летательным
аппаратом, причем
Этот потенциал возмущенных скоростей при неустановившемся
движении должен удовлетворять линеаризованному уравнению
неразрывности, которое в подвижных осях имеет вид (2.33).
На вихревой пелене, образующейся за элементами летатель-
ного аппарата, потенциал скоростей должен обеспечивать выпол-
нение условий (2.59) или эквивалентных им (2.60). Они получены
из требования об отсутствии перепада давлений на пелене свобод-
ных вихрей, или на основании известной теоремы о сохранении
циркуляции скорости по жидкому замкнутому контуру. Эти
условия позволяют определить интенсивность нестационарного
вихревого слоя. В несжимаемой среде изучается и бесциркуля-
ционное обтекание. Здесь вихревой след за телом отсутствует и
указанные условия отпадают.
На бесконечности вдали от тела и следа за ним возмущения
затухают и потенциал возмущенных скоростей удовлетворяет
условиям (2.61).
Задачи о циркуляционном обтекании имеют неединственное
решение при дозвуковых скоростях, если не выставить дополни-
тельного условия для определения циркуляций в соответству-
ющих сечениях. Этим условием является гипотеза Чаплыгина—
уковского о конечности скоростей на задних кромках. На
дозвуковых скоростях она, как можно показать [1.14], эквива-
лентна требованию об’обращении в нуль интенсивности присоеди-
ченного вихревого слоя на задних кромках крыла
V+(%, и, 2, Ира, =0, (2,62)

62 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (Ta. 1
В бесциркуляционных задачах используется требование о ра-
венстве нулю циркуляции по любому замкнутому контуру, охва-
тывающему любое сечение летательного аппарата
Jule, и, 2, fdx=0. (2.63)
Xo
Выполнение условия Чаплыгина Жуковского (2.62) или усло-
вия бесциркуляционного обтекания (2.63) в каждом сечении 2 =
= const делает решение задачи однозначным. Ниже будут рас-
сматриваться и такие течения, при которых обеспечивается без-
ударный вход потока на передних кромках. Это эквивалентно
выполнению гипотезы Чаплыгина—Жуковского (2.62) и на перед.
них кромках. Для этого должен специально подбираться в каж-
дом сечении 2 = const один независимый параметр, например
угол отклонения носка 6 (2).
Далее делается предположение о плавном обтекании всех
элементов летательного аппарата и малых значениях безразмер-
ных кинематических параметров. С линейной точностью граничное
условие на поверхности аппарата имеет вид (2.54).
Ввиду линейности всех условий задачи потенциал скоростей
можно представить в виде
P=Po+P, Ф= 0, (2.64)
причем Py соответствует той части граничного условия (2.54),
правая часть которого не содержит параметров толщины. Гранич-
ные условия на поверхности летательного аппарата (2.54) для
потенциалов скоростей Po и ф, будут иметь вид
(3), cate, 8+ (34), оне, 36
= (—a — EqW, — CoW x) COs (п, n)o +
+ (B - тю; + 0) cos (п, 00,
=x (5*), с0$ (п, n)o + (Fe) соз (п, 60 =
— 50 fois бете,
— i дЕ +r В+.
i j
Таким образом, на поверхности аппарата имеет место граничное
условие (2.65) для нормальных производных от Q.
Следовательно, расчет‘ обтекания летательного аппарата сво
дится к определению функции ф, удовлетворяющей всем пер’
численным условиям,
‚ (2.5


$ 71 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 63
B изучаемых задачах основной интерес представляет вычисле-
ние возмущенных давлений р’, вызванных телом. Параметры
газа в невозмущенном аппаратом потоке р», Pwo, а также CKO-
рость Ч, должны быть заданы. Тогда на основе найденного потен-
Hala. скоростей ф можно с линейной точностью найти по (2.20)
распределенные, а по ним и суммарные аэродинамические харак-
теристики летательного аппарата, совершающего заданное движе-
ние или деформирующегося известным образом.
$ 7. Некоторые общие свойства решений линейных задач
Рассмотрим гармонические законы изменения кинематических
параметров во времени
gi ==9:60$ (pit + 0;), gi = —Gipi sin (pit + 60;). (2.66)
Из постановки линейной задачи, как и для крыла [1.14], выте-
кает, что потенциал скоростей можно выразить через аэродина-
мические производные, не зависящие от времени
бо =У [96 nb pale) +
+o" (& n & Pi) 4 (x) |. (2.67)
Граничные условия (2.65) должны удовлетворяться Ha поверх-
ности аппарата. Пусть точки базовой плоскости (&, y, 6) и поверх-
ности (E9, No, бо) Лежат на одной нормали п?. Заменим летатель-
ный аппарат газодинамическими особенностями (вихрями, источ-
никами), распределенными на базовых плоскостях. Тогда между
ними и близкими к ним поверхностями аппарата возмущенные
ими скорости будут непрерывны. На основании теоремы о конеч-
ных приращениях имеем
дф дф 0 /09
ane = Эла + ae (a8 (& —&) +
0 Eo, Що, Co 0 Е, nS 0


д [0 д [д
+ 5 (an (No —) + (ane) &%—0. (2.68)
Значения производных в (2.68) берутся в точках, лежащих между
1:0) и (Ех, No, So). Так как согласно (2.47)
Ey — Е == ’
mo— n= + > 671, + с0з (п, no,
j
w
(2,69)

Co—C= + 21 8 fbi cos(n, 6), ;
4

64 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (fn. И
то с линейной точностью относительно 4; граничные условия
(2.65) можно сносить на соответствующие базовые плоскости. Для
особенностей типа источников, когда нормальные производные
от ф на базовых плоскостях терпят разрыв, граничные условия
удовлетворяются в точках (& = 0, n+ 0, C= 0).
Таким образом, как видно из граничного условия (2.65) и
других условий: задачи, потенциал скоростей ф, не зависит от
толщины аппарата.
Остановимся подробнее на задачах, связанных с деформациями
поверхности аппарата и его толщиной. Введем функции тол-
#8 =
щины fs; и кривизны [5;. При выбранном в (2.45) правиле знаков
толщина характеризуется суммой

а кривизна полуразностью
| Ang _ Anos.

2 b b
В соответствии с этим положим
fs; = foj-+ fsa, = — В, (2.70)
откуда
I 1 =*
в =, Вн=-В +. (2.71)
Подставив выражения (2.71) в (2.65), получим для верхней и них.
ней поверхностей
(Fe) cos(n, n)o + (BP) cos(n, t)o =
— \ 8 ый | и г 1 «xe
= Lod i +> +218 (8) +4 5 js)
j
(2), cos(n, nb + (Be) cos (a, 98 =
_ --2 у (- 4 4 ter) У у (— 5 + Phi)
J

(2.79

Представим ф в виде суммы двух функций
Po = Pig + P29 (2.73)

6 7] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 65
и потребуем, чтобы Py, удовлетворяла граничному условию (2.72)
с непрерывной нормальной производной, а Pog — с разрывной:
(25°) с0$ (п, no + ($8 716 aan cos(n, 66 =
суки
7
(288) cos(n, mii + (74°), cos(n, 98 =
`
| (9.74)


Как видно из (2.74) и других условий задачи, функция фз Может
быть найдена с помощью газодинамических особенностей типа
вихревых, дающих непрерывные значения нормальных скоростей
на базовых поверхностях. Покажем, что потенциал скоростей Poe
можно построить с помощью особенностей типа источников. Если
на базовой плоскости & распределить источники безразмерной ин-
тенсивности 0;, то нормальные скорости на разных сторонах ее,
соответствующие нормали пе, будут
У Ито | 9 У _ И 9% (2.75)
Uo 0) 2’ Ш Us 2°


Здесь Иж — нормальные составляющие скорости в точке, при-
надлежащей базовой плоскости #. В рассматриваемых задачах
они могут возникнуть только от источников, распределенных на
других базовых плоскостях. Так как в дальнейшем будем схема-
тизировать самолет элементами, лежащими в одной плоскости,
то в этом случае скорости Who будут равны нулю.
Подберем интенсивность источников, с помощью которых опре-
деляются Mo, из условия, что они компенсируют разрывную часть
граничного условия (2.74). Так как в этом случае
we
Ge = (Fe), cos(n, 18 + (282) cos (и, 9%
то на основании (2.74) и (2.75) будем иметь
; мы
j

66 НОСТАНОВКА ЗАДАЧИ tin. tt
Отсюда находим безразмерную интенсивность источников
j= Ув 5; Sy -- 2 ео. (2.77)
]
При гармонических законах имеем
9087 cos (т),
85 (т) = — 67" pF sin (pi*t + 64), | (2.78).
67 = — pj 6; (1). }

На основании (2.78) можем интенсивности источников записать
в виде
6& бе.
0; = » Е (1) + о; '6; |, (2.79)
где аэродинамические производные от времени не зависят. Про-
изводные потенциала возмущенных скоростей, соответствующие
2 ..2 = 8
6 6 8;
аэродинамическим производным о; и с}, обозначим G26 и Фу,
тогда |
= ХУ [очен] (2.89
Функция P15 В данном случае также выражается через аэродина.
мические производные
Pig = >, » [7 18; (t) + @ 188 9]. (2.81
5
Каждую из частных задач по определению функций ф/ 6 (1) +
. .
о” 67 (t), когда правая часть граничного условия согласно
(2.74) содержит два члена
5 te + в»
можно разбить на две, решаемые формально независимо друг
друга. В этом случае
[2 2 2 ‚2 8 $8 |
р ре фи, 28)

$ 7] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 67
причем на базовых плоскостях имеют место граничные условия



6° e
op) _ Ору, ag, ! —_
an’ 5 ° 0 '
se . (2.83)
0%' = 062
ang ди

В аналогичном виде можно записать и граничные условия (2.65)
для Фо. С учетом (2.66) и (2.67) при гармонических законах изме-
нения кинематических параметров из (2.65) получаем



ap” e apt |
“ane — Фа, (о, Nos (о), ane =U,
фа = — ©0$ (м, Hoo Hp =cos(n, 0, (2.84)
Po, == No COS (п, 5)6 — fo COS (п, )б, |
Po, = §oC0S (и, 66, Po, = — 0$ (и, )б-
Получим уравнения, которым должны удовлетворять функции
фи $. Для этого подставим (2.67) в уравнение неразрывности
(2.33). Соберем все члены при множителях COS pit usin p;t,
поскольку получающееся равенство должно удовлетворяться при
всех т, каждое из выражений должно обращаться в нуль. Кроме
того, получившиеся уравнения справедливы при любых ` доста-
точно малых g;. Поэтому приходим к следующим системам урав-
нений, которые при каждом i должны решаться независимо:
`
2 4 oot a9
(1— М 29 oT On? _ + _ OC2 +
+ 2M?p?? 2 о" + Mp7" =0,
( (2.85)
2 9, 2 а 2 а,
2» Og! дф' дф'
(1 —M’) ОЕ + ane + 3 —

q; .
2 Оф". 2.42 g.
— 2M SP М; ф =0.
0g }
Получим соотношения, связывающие значения коэффициентов
аэродинамических производных безразмерного потенциала на
вихревой пелене за крылом со значениями его на задней кромке


68 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (Ta. п
крыла. При гармонических зависимостях от времени имеем точ-
ные выражения для потенциала возмущенных скоростей через
его коэффициенты аэродинамических производных (2.67), спра-
ведливые при любых числах Маха и Струхаля, которые для сокра-
щения записи опускаем, рассматривая как параметры. Кинемати-
ческие параметры 4; и 4; зависят только от времени.
Представим левую и правую части условия (2.59) в виде (2.67).
Воспользуемся равенствами
Cos p;t = cos рит с0$ р; (Е — Е") + sinp;tsinp (Е — Е”),
sin pit = sin рит cos р; (E —E )—cosp;tsinp; (Е — Е”).
В результате получаем условия Ha вихревой пелене для коэффи-
циентов аэродинамических производных потенциала:
(Е О =Ф (8, 0, 5) cos pi(—E—E) + |
+ op (Е", n, opi sinp; (Е — Е’),
ФЕ O=o'(E, a, 9 созр; (Е— Е) — ‚ (287
о),
i
(2.86)


9 ees J
где €, п, ¢ — координаты любой точки на вихревой пелене, a &*,
n, $ — координаты задней кромки в соответствующем сечении базо-
, *
вой плоскости. При весьма малых числах Струхаля (р; — 0)
получаем из (2.87)



gti (5, ", С) — pri (Е, 1 С),
En О, 9—9, 90 6—Е), | 098
1=1, 2,...
В случае р; — 0 уравнения (2.85) принимают вид
Зо“ 54° 020%
(1M) “ger + ан + ag =O (2.89
Ari д? 4 д? CF Opti
(1 — М) + ant -- г — 2M’ = 9.

Проведенный анализ условий задачи показывает, что представ
ление аэродинамических характеристик через коэффициенты аэро’
динамических производных при гармонических зависимостях 0
времени параметров 4; является точным в рамках линейной поста
новки задачи, Этот вывод относится к любым числам Маха и Crp)"

$7] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 69
халя и справедлив для произвольного летательного аппарата рас-
сматриваемого вида.
Ввиду того, что искомые функции $: и ф и их производные
входят во все условия задачи линейно, для всех коэффициентов
аэродинамических производных первого порядка применим метод
суперпозиций (наложений). Отсюда, в частности, вытекает, что
задача обтекания тела при- каждом значении 4, решается неза-
висимо от других. Линейная теория позволяет определять и не-
которые величины, являющиеся малыми второго порядка (индук-
тивное сопротивление, подсасывающая сила и т. д.). В последних
случаях метод суперпозиций в чистом виде неприменим.
При числах Струхаля, отличных от нуля, определение функ-
ций ФТи Фф” при каждом i производится совместно. Эта связь
при М == 0 получается через уравнения неразрывности (2.85) и
через условия на пелене (2.87). В несжимаемой среде (М = 0)
первая связь согласно (2.85) исчезает, но вторая остается. Если
р* — 0, то задача упрощается, так как в этом случае, как видно
из (2.88), (2.89), задача для функции ф” оказывается не связан-
ной с ф". Это позволяет раздельно находить ф”, а затем o%,
Рассмотрим задачу обтекания летательного аппарата заданной
формы при фиксированном числе М. Пусть функции, которыми
определяются деформации его поверхности, представляются в виде
линейной комбинации
ВЕ = Lah & 9,
8 (1) = DOP (9. |
Vv
| (2.90)

4
Здесь al?) (8) — постоянные. Тогда и решения, соответству-
ющие функциям fs, 5, будут представлять собой линейную комби-
нацию из частных решений, найденных для iS, 6, отдельно.
Кроме того, применение суперпозиций позволяет перейти в гра-
ничных условиях от рассмотрения зависимостей типа F (Е, n, 6, т)
к более частным, вида (2.90).
Выше общая нестационарная задача сведена к ряду частных,
каждая из которых решается независимо. В число кинематических
параметров включим все характерные для этих основных задач.
Таким образом, эта совокупность будет теперь состоять из пара-
метров (1.41) д; и из 87 (<), 6; (<).
Решение общей задачи теперь будем записывать в виде суммы
решений основных частных задач. Для безразмерных аэродина-
мических нагрузок (разностей давлений между нижней и верхней
поверхностями, отнесенных к скоростному напору) при гармони-
ческих законах имеем соотношение (1.48),

70 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ [Гл.. И
Аэродинамические давления и нагрузки, возникающие при
обтекании летательного аппарата, можно разбить на две группы:
вызванные газодинамическими особенностями вихревого типа и
источниками. Возмущенные давления, связанные с вихрями, на
базовых поверхностях терпят разрыв. При стремлении точки
к каждой из них с разных сторон они терпят разрыв первого рода
(отличаются знаком). Вторые, вызванные источниками в точках,
лежащих вблизи базовой плоскости по разные стороны от нее,
одинаковы. Как было показано выше, источники моделируют
часть течения, вызванную толщиной аппарата. Их интенсивность
согласно формуле -(2.77) определяется производными функции
ев: по координате € и по времени т. Возмущения от источников
не приводят к аэродинамическим нагрузкам. Следовательно,
в этом случае аэродинамические нагрузки и все несущие свойства
аппарата, описываемые коэффициентами первого порядка малости,
от. толщины его поверхности не зависят.
С принятой в линейной теории точностью давления, нагрузки
аэродинамические коэффициенты Cy, Cy, Cz, Mx, т, т. OT пере-
менной части и скорости подвижного начала не зависят. Это
объясняется тем, что хотя в переносную скорость величина ци
входит, Но нормальная составляющая ее на поверхности тела
оказывается малой второго порядка.
Из граничного условия (2.65) вытекает, что аэродинамические
нагрузки и суммарные коэффициенты первого порядка, связанные
с движением летательного аппарата как твердого тела, от формы
поверхности аппарата (толщины, кривизны) не зависят. От кри-
ВИЗНЫ Зависят Cy, Mz. Таким образом, @, В, ®., ®,, ®.-задачи
можно решать для схематизированного летательного аппарата,
у которого истинная форма заменена совокупностью базовых по-
верхностей (рис. 1.2), а для крыльев — одной плоскостью. В слу-
чае симметричных движений летательного аппарата, когда В =
= ®, = ®, = 0, летательный аппарат будем схематизировать
так же, как и крыло, одной базовой плоскостью (рис. 1.2). Форму
поверхности аппарата (ее толщину и кривизну) нужно учитывать
при решении 6, и 6; задач, причем от толщины будут зависеть
только давления и коэффициенты сопротивления с».
$ 8. Схематизация управляющих органов
и граничные условия на них
Современные летательные аппараты имеют специальные по-
верхности, с помощью которых изменяют свойства летательного
аппарата. Для краткости все эти поверхности будем называть
управляющими органами. Требования, предъявляемые к управ:
ляющим органам; зависят от их назначения и весьма разнео*

§ 8] 'СХЕМАТИЗАЦИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ОРГАНОВ 71
разны. Поэтому, как правило, летательный аппарат имеет не-
сколько управляющих органов, используемых вместе или порознь
в зависимости от целей и режима полета.
Управление траекторией полета летательного аппарата, ее
сохранение или изменение, осуществляется рулевыми поверх-
ностями — рулями высоты, направле-
ния, элеронами, элевонами и т. п.
Для увеличения подъемной силы при. a
взлете и посадке используются закрыл-
ки, щитки, предкрылки.
Активное противодействие аэроупру-
гой неустойчивости конструкции лета-
тельного аппарата типа флаттера и
дивергенции, управление полетом в не-
спокойной атмосфере.требуют создания
нестационарных нагрузок определен-
ной величины и в заданные моменты
WU,
времени. Для этой цели могут исполь-
зоваться как имеющиеся, так и спе- ==
циальные управляющие органы (спой- РЕ
леры). в)
При проектировании. управляющих
органов необходимо определять аэро- Рис. 2.4. Рули: а) закрылки,
динамические характеристики всего ле- РУЛИ, элероны, 0) концевой
тательного аппарата и нагрузки, дей- руль (элерон);
ствующие на сам орган.
Рассмотрим обтекание некоторых управляющих органов и
укажем их расчетные схемы с точки зрения линейной теории.
Углы отклонения управляющих органов будем обозначать
через 6.
Часто управляющие органы (руль, элерон, закрылок) пред-
ставляют собой отклоняемую часть крыла или хвостового опере-
ния (рис. 2.4, а, 6). Между неподвижной (крыло) и отклоняемой
(руль) частями может быть щель. В том случае, когда ее относи-
тельные размеры малы, влиянием щели на аэродинамические
Ч
NN
Рис. 2.5. Разрезной закрылок.







характеристики можно пренебречь [2.13] и полагать, что крыло
и руль обтекаются как одно целое. Если размеры щели велики
разрезной закрылок, рис. 2. 5), крыло и руль обтекаются как
системы несущих поверхностей тандем. Заменяя крыло и руль
Срединными поверхностями, как указывалось в § 6 настоящей

79 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (fa. 1
главы, будем иметь их схемы, показанные на рисунках толстыми
линиями. На рис. 2.6 показана схематизация щитков.
Отклонение управляющих органов можно рассматривать как
частный случай деформации летательного аппарата. Покажем,
как при этом определяются функция fy (Е, 0) и производная Of,/OE,
входящие в граничные условия (2.65).
Пусть на крыле произвольной формы в плане имеются управ-
ляющие органы (рули, элероны, закрылки ит. п.). Будем считать,
что они имеют любую форму в
плане и произвольным образом
расположены у задней, передней /
или боковой кромок крыла. Рулем
|

6
LLL EDT
| 0
a) р
6)




Г’








—— 6 №
BTL LL 7777 Я77.72422772> , |
ett ayy tir riarsiees
В)
Рис. 2.6. Спойлеры, щитки: a), 6) воз- Рис. 2.7. К определению функ-
можные схемы обтекания, в) расчетная ции df/d& и ее производной для
схема. управляющих органов.


я
будем называть управляющие органы, углы отклонения 6, кото-
рых одинаковы на левой и правой половинах летательного аппа-
рата симметричной формы в плане. У элеронов углы отклонения 6,
равнопротивоположны. Примем, что 6, > 0, когда рули откло-
нены вниз, иб. > 0, если правый элерон опущен, а левый поднят
(рис. 1.1). Элевон может рассматриваться как комбинация руля
и элерона.
Рассмотрим правую половину аппарата симметричной формы
в плане. Пусть руль или элерон поворачиваются вокруг произ-
вольной прямой О’О”, составляющей угол 0 с осью Oz и отсека:
ющей отрезок Cy на оси Ох (рис. 2.7). Уравнение этой прямой
имеет вид ночи ted.
Уравнением перпендикуляра к ней, проходящего через точку

$ 8] СХЕМАТИЗАЦИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ОРГАНОВ 73
(x, 2), будет
x’ —x = —(2’ — 2) ctg 0.
На руле и элероне имеем с линейной точностью
Y,=15p, ИУ ==7б,, (2.91)
причем
r = (хо — x)/cos 0. (2.92)
Координату х, точки, лежащей на пересечении указанных пря-
мых, находим из совместного решения их уравнений
Хо = 510? 0 + zsin 0с0$ 9 + с, cos? 0. (2.93)
Подставив это выражение в (2.92), получим
р =£Ecos6+ зщ 0 — с,с0$0, p=r/b, Cy=C/b. (2.94)
Из (2.91), (2.92), представляя безразмерную деформацию поверх-
ности в виде
Пр = I sp (Е, 6) бр (5), Y= Iss (Е, С) 5. (2.95)
находим, учитывая, что \› = —pd,, 1, = —06, (в дальнейшем
индексы «р» и «э» опускаем):
— Ес0$ 0 — бзш 0 + с, с0$0 |
ls (Е, С) — на правом руле (элероне), |
(2.96)
О на крыле вне руля (элерона).
На основании (2.96) можем написать
д Г на правом руле (элероне), | о 97
0 — Q на крыле вне руля (элерона). (2.
Летательный аппарат, как уже отмечалось, имеет несколько
управляющих органов; пусть их | = 1, 2,..., т, а углы отклоне-
ния 0, (=). При гармонических зависимостях от времени имеем
6; (г) = 860$ (рус + =/),
6, (т) = — 6)p; sin (ри + =), | (2.98)
5 (t) = — p; 8; (<).
)

Граничные условия (2.65), в соответствии с (2.96), (2.97) для
каждого | руля будут
fol = —cos 0,6, — $, (056, | Esin0;—%,cos8,). (2.99)

ГЛАВА 111
ОСНОВНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СИСТЕМЫ.
ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО
$ 1. Общие положения численных методов
на дозвуковых скоростях
В главе П была дана общая постановка линейной нестационар-
ной задачи. Там же было показано, что для определения аэроди-
намических характеристик летательного аппарата достаточно
найти потенциал возмущенных скоростей, удовлетворяющий урав-
нению неразрывности (2.33), граничным условиям (2.54) о плавном
обтекании поверхности аппарата, условиям (2.59) на вихревой
пелене и (2.61) на бесконечности от нее и аппарата. Кроме того,
для циркуляционных задач должна выполняться гипотеза Ча-
плыгина—Жуковского, а при бесциркуляционном обтекании —
условие об отсутствии свободных вихрей вне аппарата или крыла.
При решении задач в несжимаемой среде и при‘дозвуковых ско-
ростях полета (0 = М <!) наиболее целесообразно не искать
непосредственно потенциал возмущенных скоростей, а заменить
Летательный аппарат и след за ним газодинамическими особен-
ностями типа вихрей и источников.
Как было показано выше (см. $ 7 гл. II), аэродинамические
нагрузки в принятой схеме не зависят от толщины аппарата.
Поэтому для расчета их достаточно заменить летательный аппарат
и след за ним вихревыми поверхностями, расположенными в ба-
зовых плоскостях, и находить напряженность циркуляции. Как
известно, уравнение неразрывности (2.33) и условия на бесконеч-
ности будут удовлетворены при любых зависимостях циркуляции
вихревой поверхности от координат и времени. Для определения
напряженности циркуляции вихревого слоя потребуем, чтобы
она удовлетворяла граничные условия (2.54) на базовых плоско-
стях, а в области пелены свободных вихрей определим ее согласно
условию (2.60). Аэродинамические характеристики летательного
аппарата находятся, как будет показано ниже в параграфах 6 и 7,
непосредственно через найденное распределение напряженности
вихревого слоя на базовой плоскости по теореме Н. Е. Жуков-
ского. |
Далее, для нахождения распределения напряженности цирку-
ляции вихревой поверхности непрерывное изменение циркуляции
вдоль размаха базовой плоскости приближенно заменяется сту-
пенчатым, а вихревой слой на ней считается состоящим из дис:

$ 11 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЧИСЛЕЁННЫХ МЕТОДОВ 75
кретных присоединенных вихрей и отходящей от каждого из них
непрерывной пелены свободных вихрей. Таким образом, вихре-
вая поверхность, моделирующая, например, прямоугольное крыло,
будет состоять из прямых присоединенных вихрей с отходящей
от них пеленой свободных вихрей, а для крыльев сложной формы
в плане и схематизированного летательного аппарата — из соот-
ветствующей системы присоединенных косых подковообразных
вихрей. Увеличивая число дискретных вихрей в системе, можно
с любой требуемой точностью воспроизвести непрерывный вихре-
вой слой. Напряженность пелены свободных вихрей представ-
ляется через циркуляцию присоединенных вихрей в каждый мо-
мент времени с учетом условия (2.60) на вихревой пелене. Таким
образом, это условие также будет выполняться автоматически.
Для определения циркуляции присоединенных вихрей необхо-
димо удовлетворить граничным условиям (2.54) о непротекании
базовой плоскости в расположенных на ней контрольных точках.
Следует иметь в виду, что суммы, которыми заменяются ин-
тегралы при переходе от непрерывного вихревого слоя к дискрет-
ным вихрям, поскольку эти интегралы несобственные, должны
соответствовать их главным значениям в смысле Коши. Это до-
полнительное условие выполняется, если при неограниченном воз-
растании числа вихрей контрольные точки оказываются посере-
дине между соседними присоединенными и свободными вихрями.
В местах излома кромок базовой плоскости, а также если не-
сущие поверхности имеют отклоняемые части (например, руль или
элерон), в сечениях, где имеет место излом, напряженность цир-
куляции распределенного вихревого слоя может иметь особен-
ности. Для учета этих особенностей при переходе к системе дис-
кретных вихрей необходимо, чтобы присоединенные дискретные
вихри не пересекали сечений с изломами, а следовательно, сече-
ния, в которых имеются изломы кромок базовой плоскости или
изломы поверхности летательного аппарата или крыла, всегда
следует брать границами полос, на которые разбивается базовая
плоскость по размаху. Число и размер полос при этом могут быть
произвольными. Несущие поверхности с криволинейными кром-
ками приближенно заменяются при расчете базовыми плоскостями
< ломаными кромками, при этом сделанные выше замечания должны
быть учтены в вихревой схеме.
Так как контрольные точки лежат между присоединенными
вихрями, то количество их в каждом сечении оказывается на одну
меньше, чем число присоединенных вихрей в нем. Это делает за-
дачу неопределенной. Требования выполнения гипотезы Чаплы-
гина Жуковского (2.62) для циркуляционного обтекания, или
отсутствия вихревой пелены вне базовой плоскости (2.63) при
бесциркуляционном обтекании, замыкают задачу и делают ее
однозначной.

76 ОСНОВНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СИСТЕМЫ (fa. 1
Как следует из сказанного выше, основная особенность, кото-
рая будет положена в основу численных методов расчета аэроди-
намических характеристик летательных аппаратов и крыльев как
при установившемся обтекании, так и при гармонических законах
изменения во времени кинематических параметров движения при
дозвуковых скоростях, является косым нестационарным вихрем.
Будем изучать аэродинамические характеристики летательных
аппаратов, считая, что базовая плоскость будет одна и та же для
всех его частей. Поэтому в последующих параграфах будет рас-
смотрено поле скоростей косого подковообразного вихря только
в его плоскости.
$ 2. Косой подковообразный вихрь
при установившемся движении
Рассмотрим вихревую систему, состоящую из присоединенного
вихря с постоянной интенсивностью вдоль размаха Г., ось кото-
рого составляет некоторый угол Хх с перпендикуляром к скорости
набегающего потока Ц, и
UJ двух отходящих OT этого
ln, 0 вихря свободных вихревых
Вх, 0-97) шнуров, оси которых парал-
° of Ko z —-MeAIBHEI U, (рис. 3.1).

В случае установившегося
А? д И движения, когда Г, = const,
интенсивность свободных вих-
рей 1 u 2 будет такая же, как
и у присоединенного вихря:
= РГ =Г...

Эта вихревая система весьма



| Ly удобна при расчете аэроди-
-=— ss ——>
7 2 намических характеристик
a 7 крыльев сложной формы в
плане.
Diy Lf.
> Введем систему коорди-
zy нат, начало которой поме-
Рис. 3.1. К вычислению скоростей ста. СТИМ В середине присоединен-
ционарного косого вихря. ного вихря, ось Ох направим
по скорости U,, а ось 02
перпендикулярна к ней и лежит в плоскости, проходящей через
вихрь и ось Ох (см. рис. 3.1).
Найдем поле скоростей, вызванных указанной вихревой си-
стемой в некоторой точке (Xo, 0, Zo), лежащей в той же плоскости,
что и рассматриваемая система. Представим интенсивность

$ 2] ВИХРЬ ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ 77
присоединенного вихря в виде
Г, = 0. 6Г, (3.1)
где Г — безразмерная интенсивность вихря, b — характерный
линейный размер. Скорость от присоединенного вихря обозна-
чим U, от свободных V,. Согласно закону Био—Савара величина
возмущенной скорости
W = 4 (COS a + с05а,,). (3.2)
Здесь г — расстояние от рассматриваемой точки до вихревого
отрезка, @, и @, — углы между ним и прямыми, соединяющими
рассматриваемую точку с его концами.
Найдем скорости от присоединенного вихря и свободных
вихревых шнуров, для чего по рис. 3.1 определим входящие
в формулу (3.2) геометрические величины. Расстояние МА обозна-
чим через а, МВ — через с, величину перпендикуляра, опущен-
ного из М на AB,— через h, размах вихря вдоль оси Oz — че-
рез Jy. По теореме косинусов имеем
р | В









0
a2 — 72 2
ar cos? y or cos? °
cosa, = ‚ Cosa, = ,
2a — 9 о
cos ¥ cos ¥
кроме того, .
l l 2
а io we) +e ,
[
x 2
lo lo
Хо — -9 ВХ | _ %ot op 8%
cos В; = , cosp, = ;
a С
После преобразований находим
Lo 1
| 55 cosy — & sin Х — fp cos x
COs Oy = ~ 9
У (& — tg x) + (s¢ —&)
+ sin y + £, cos x
Vers tg x) + (>. +6) |


(3.3)
COS Q, =




78 ОСНОВНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СИСТЕМЫ



cos В» =

V (c+ stax)’ + (
h = 6 (Е cos ¥— 6) sin x).
Скорости от присоединенного вихря U,
согласно (3.2) найдутся по формулам
U, =
Vy
Г
— р (COS a, + COS @,),
1 -+ cos В: 4 1 + cos By

—
——_
|
Эти скорости можно представить в виде
бог.
у, = Ar
Г
U, = и, В, bo):
и свободного
|

причем при помощи (3.3) и (3.4) нетрудно получить
1.
сх
о
= в + &> sin % + 6 cos x
_ V (+= ay ex) + (+2 +t)
x.

и, = —

--

x


) |
Uy (Е, Co, X)>
[Гл, 1Н
(3.3)

Vy
(3.5)















$ 3] ВИХРЬ ПРИ НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ 79
Суммарную скорость обозначим через W,, тогда
ae Г
У, — Fa би (©, Cos Х), (3.7)
Wy (Eo, Coy x) — Uy ‘fon Co» x) + Uy (Eo, Coy Х).
$ 3. Косой подковообразный вихрь
при неустановившемся движении
При решении задачи о неустановившемся движении летатель-
ного аппарата используются присоединенные вихри, напряжен-
ность которых зависит от времени:
Г, = Г, (№). (3.8)
Согласно закону о постоянстве циркуляции изменение напряжен-
ности присоединенного вихря сопровождается сходом свободных
вихрей, уносимых потоком
вниз по течению. При реше-
нии задачи в линейной по-
становке будем считать, что
все свободные вихри нахо-
ATCA в плоскости Охг, а ско-
рость их сноса равна по-
стоянной скорости набегаю-
mero потока Ц. (рис. 3.2).
Оси сходящих с базовой
плоскости свободных вихрей.
параллельны осям присоеди- |
ненных вихрей; напряжен- Рис. 3.2. К вычислению скоростей не-
ность каждого из свободных стационарного косого вихря.
вихревых шнуров | и 2 B Mo-
мент схода должна быть равна напряженности присоединенного
вихря в этот момент времени [1.22].
Рассмотрим элементарную вихревую полоску, параллельную
присоединенному вихрю и отстоящую от него на расстоянии х
вниз по течению. Найдем погонную интенсивность \%, (х, fo)
вихревого слоя в момент fy), а также определим в сечении х =
= const напряженности свободных вихревых шнуров Г_, (x, &)
и Г. (х, t)). Согласно (2.60) имеем






| ar, (2
Ys (x, 1) = UH Е ,
хх (3.9)
Pia, 5) = Г, о — Uy ,


80 ОСНОВНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СИСТЕМЫ [Гл. WI

ана |
Г._, (х, to) = Г. ty — Us ’
x .
(3.9)

Скорость от присоединенного вихря в точке М (Xo, 0, 2.) будет
(см. рис. 3.1), очевидно, равна
Uy = и, oy bor 0), (3.10)
а скорость от свободных вихрей в той же точке

Г, (1 Г
Уре” 04 (Fos bor 0: (3.11)
Выражения для и, (Eo. Cor X) и Vy (Eo, So, Х) даются формулами
(3.6), а для суммарной скорости (3.7
Пусть dV, — скорость, вызванная элементом вихревого слоя,
ширина которого вдоль оси х равна dx, ось параллельна оси при-
соединенного вихря, а интенсивность равна y, (х, fo) ах. Эта ско-
рость может быть найдена на основании выражений (3.5) и (3.6)
для присоединенного вихря, в которых следует заменить Ub.
на y dx, а & на (Е, — &).
Интегрируя полученный результат по € от 0 до со, будем иметь
и’ = J I 1 (х, to)
i (бо — 5) cos В. sin x
(Eo — 5) sin xy + 4 cos Х + wer
* V (e-8+ ster) + (+0)
. V (x, fo)
+ | & ing Х





dE +

— §) tee sin ¥

— (Ep — &) sin y — & cos х
* V (ь- — sy ex) +(%-%)
Скорости dV; и АУ, вызванные элементами вихревых шну-
ров | и 2, могут быть определены по формуле Био—Савара (3.2).


dé}. (3.12).


$ 4] ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ВРЕМЕНИ 8]
l l |
После интегрирования по х от => tex И —> tg х до бесконеч-
ности будем иметь



> ]
Г1(® 4)(s¢—&
ИР aa [5 + (sb) °
в 10
lo
3, 18%
7 | ‚ (3.13
у Г_2(х, to) (5+4 dt (9.18)
у? — Па ‚
4mb [6—8 + ( и 1b yy"
— st tex
У, =Van + Ур,
Полная скорость скоса W, получается сложением всех рассмотрен-
ных скоростей
Wy =U, + Vy + Vy. (3.14)
$ 4. Случай гармонической зависимости напряженности
присоединенного вихря от времени
Пусть Г, (№) изменяется по гармоническому закону
Г, (fo) =U, oF sin ply, (3.15)
где Г — безразмерная постоянная, р — круговая частота. Из (3.9)
получаем
у: (х, 5) = — Цор*Г (cos pt, cos p*— + sin pt, sin р*Е), \
P_s (x, fo) = (И, бГ | sin pt) Cos р* ( — = tg x) —
— cos pty sin p* (= _% tex)
‚ (3.16
Ps (x, to) = UpbT | sin pty cos p* (E+ 3 tg *)— (0.10)
— cos pl, sin p* (E+5 4 0 5 tg x) |,



82
ОСНОВНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СИСТЕМЫ
[Гл. Ш
Нетрудно убедиться, что в данном случае скорость может быть
представле в виде
=
Wy = 0 (Eo, Co, Х» р’) sin plo + wi) (Eo, Co, Х, p ) COS ри,
wy) = у (Бо, Co, xX) + pry (Eo, fo, % P) + Y%y1 (Eo, № % P)s
Wy (Eo, Co, X Р - to),
wy = p'ya(Eo, bo, % р’) %2(Eo, bo, р).
+ (3.17)

На основании формул (3.9), (3.13) и (3. 16) можно получить
выражения для безразмерных скоростей,
Для скоростей Ол И 9,2 имеем


spate zy + (Go — 5) sin x + bo cos x ’
(E> — §) cos KAS sin X
sin p*t dé
У (5-х) +(#4+6)
| т В sin x — Lo c08 x

+


26 cos x
(Бо — 5) cos x — Oo sin x

x



, \= сот + (№ — §) sin x + {cosy
9,2 =




(Eo — &) cos x—%p sin x x
cos p*E d&
° Lo 2 lo a
V (8 ++ Bp ex) -- (>. +6)
4 2b = хо (Eo — 5) sin x — Cy cos x
. (Ey — Е) cos x — fy sin x x
x cos p*§ 4



И (ь-+- чз) +(e) |
входящих в (3.17).
(3.18)

$ 51 ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ СТРУХАЛЯ 83
Формулы для возмущенных скоростей vy, и Uy, записываются
в виде



v2 = (> + *) | (e sare Io te)?
—§ +o Hex) + (+8
by _+\ sin p*é df |
+(35 ы) | (6-Е sh tex) + (3 -6) |"
0
Если напряженность присоединенного вихря изменяется со
временем не по закону синуса, а по закону косинуса, т. е.
Г, (49) = U, oT cos pty, (3.20)
то, учитывая принятые обозначения, будем иметь
Wy = wy (Eo, fo, Х, р") созрь — wo!” (Eo, Go, % p)Sinpto. (3.21)


§ 5. Поле скоростей при малых значениях
числа Струхаля
Найдем выражения для ши ди /др’ при p — 0, которые
будут нужны в дальнейшем. На основании (3.17) и (3.18) получим
wi) (Eo, Lo, У, 0) = Wy (Eo, bo, Х),
dw'2) , | 0,
у и
~ др* [р*>0 = бу? (50, So, x 0) + бр*
Выражение для vy при р* — 0 примет вид
Ye (Eo, бо, Xo, 0). =
(3.22)


р*->0 у
| а
= Ig x : : —
V (-ь- их) + (+6)



. lo
рб Eo— 25 tgX%

84 ОСНОВНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СИСТЕМЫ [Гл. Itt










— ds _
2 2
V (g-t +2 tex) + (35 —to)
bot oh tex |
fof С
—_ “2b ' 0 dé | —__
cos? ¥ (Е —&) +f tg x) x
i [ 2
ах XV (8-8 — tex) + (+5)
] fee)
ть 4 (3.23)
cos? x (§ — ths tg x) X ‘ |
— 5
tot sh шх Х x V (= bo + 9p tex) + (3—5)
A049 6
длЯ Ze |„„о OYACM иметь
902

р*->0 = (> 2b + bo) x
др*


1 E dé
+(s—%) aoe: (3-24
| (ЕР oe tex) +(%-5) |
Lo . |
Sot oP ‘EX “
Если в (3.23) и (3.24) получатся несобственные интегралы, будем
брать их главные значения B смысле Коши. Принимая во внимание
это замечание, а также формулы

п“ т 5
== =In|x+Vai+ x*|,
| dx | In a2 —bx+ Va + 0 Иа —
b+y)Ve+e YVa+e b+ x




$51 ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ CTPYXAJA 85
получаем для косого подковообразного вихря
(2)
Oey
Op*

p*->0



в V (w-# tex) + (3-6) —(t— 32 tex) ,
V (tot sh tex) + (+6) (6+1 =
)
ме) т
cos xX

— sign (32 + f)sinx]|& + tex! x
x | +6
spr 1 (9% 6)
Е,
по [1 + sign (3 — &) sin x |] Bo — & хх


COS ¥, -+ sign (5% + b | (& + +5 tg x) sin x ++


x | |
2b



|cos y— sign (>. — bo | ( — =) tg x) sin ¥ +
+ Vesey ET I+



V (+3) + (35 +6)
oh
|| = -+


У (&- ghtex) + (5-5)
bot 5 tg x
1+ —— +
o +b, | у ig a) (>. +t) |







86 ОСНОВНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СИСТЕМЫ (fa. 111
$ 6. Теорема Н. Е. Жуковского «в малом»
для циркуляционного обтекания
По определенным циркуляциям присоединенных вихрей вихре-
вой модели летательного аппарата необходимо найти аэродинами-
ческие нагрузки, действующие на него. Ниже будут выведены фор-
мулы для вычисления аэродинамических нагрузок на любой
тонкой несущей поверхности, совершающей произвольное неустано-
вившееся движение в баротропном газе при циркуляционном обте-
кании. Впервые разъяснение механизма образования подъемной
силы при обтекании тел дал в 1905 г. Н. Е. Жуковский. Он пока-
зал, что подъемная сила на цилиндрическом теле при плоско-
параллельном течении возникает благодаря появлению циркуля-
ции скорости по замкнутому контуру, охватывающему сечение
тела. В 1906 г. он опубликовал теорему, связывающую подъемную
силу и циркуляцию [1.2]. Оказывается, что при циркуляционном
обтекании тонкой несущей поверхности самого общего вида
справедлива формула, аналогичная стационарному случаю, если
рассматривать элемент поверхности, а в качестве скорости набе-
гающего потока брать относительную скорость газа в данный
момент времени в данной точке несущей поверхности. Этот резуль-
тат можно рассматривать как теорему Н. Е. Жуковского «в малом»,
поскольку он относится к элементу несущей поверхности.
Дадим доказательство теоремы Н. Е. Жуковского «в малом»
для произвольного пространственного неустановившегося дви-
жения в баротропном газе [1.30]. Заменим бесконечно тонкую He-
сущую поверхность У вихревым слоем с напряженностью уф,
непрерывно распределенным по этой поверхности. Будем пред-
полагать, что среда идеальная и баротропная, а поверхность У
достаточно гладкая и незамкнутая, так что жидкость омывает
ее с обеих сторон. Обтекание несущей поверхности считаем плав-
ным и, в соответствии с теоремой гидродинамики о постоянстве
циркуляции, примем, что изменение интенсивности присоединен:
ных вихрей во времени может происходить только за счет образо-
вания ‘и отхода свободных вихрей. Скорость сноса свободных
вихрей в каждой точке будет равна по величине и направлению
скорости жидкости в этой точке для данного момента времени.
Вблизи поверхности У» вне вихревого следа абсолютное те:
чение жидкости будет потенциальным, причем абсолютная ско:
рость
W, = grad Ф.
Функция давления Р в любой точке может быть определена при
помощи интеграла Коши— Лагранжа (2.9). При переходе точкь
в которой вычисляется относительная скорость W, через несущую
поверхность У, эта скорость изменяется скачком. Следует разл!

$ 6] ТЕОРЕМА - ЖУКОВСКОГО — ЦИРКУЛЯЦИОННОЕ ТЕЧЕНИЕ 87
чать три значения относительной скорости: предельное значение
сверху, которое получается при подходе точки к верхней стороне
поверхности (W,_), предельное значение снизу (W,,) и значение
скорости в самой точке So, принадлежащей поверхности (И.о).
Разность функций давления на нижней и верхней поверхностях
согласно (2.10) будет

о— Voy
AP = P_—P, oa (3.26)
При этом Ф,, Ф_, P,, Р_ — предельные значения потенциала
возмущенных скоростей и функции давления при подходе к произ-
вольной точке So несущей поверхности снизу и сверху.
Проведем замкнутый контур
L,, пересекающий поверхность У
в единственной точке $, (рис. 3.3).
Циркуляция Г, возмущенной ско-
рости по контуру L, равна


Г. =ф\, 4 =
Ly
fo,
= 5, ds = 9_— D,,
откуда
a@.—®,) д
—®9 = 91. (3.27)
Рис. 3.3. Связь между циркуляцией
скорости и разностью потенциалов
Чтобы найти производную ОГ ,/0%, скоростей.
рассмотрим изменение циркуля-
ции Г, по контуру L, при фиксированной точке $, за время At.
Изменение циркуляции Г, на величину АГ, может быть вызвано
ТОлько CXOJOM свободных. вихрей, часть из которых, охватывав-
шаяся ранее контуром L,, уносится за пределы этого контура.
Оси этих свободных вихрей нестационарной природы будут па-
раллельны осям тех присоединенных вихрей, от которых они
отходят. При установившемся движении эти вихри отсут-
ствуют.
Пусть У, — относительная скорость потока в точке So,
направленная, в соответствии с предположением о плавном обте-
кании несущей поверхности, по касательной к У. Скорость сноса
свободных вихрей в каждой точке несущей поверхности будет
равна У... Суммарная интенсивность свободных вихрей, унесен-
ных в течение времени АЁ за пределы контура L,, будет равна
У „А ., где Yn+ — проекция интенсивности свободных вихрей
на направление единичного вектора й,, перпендикулярного к Wop

88 ОСНОВНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СИСТЕМЫ [Гл. 11
(рис. 3.4). Таким образом, оси свободных вихрей Y,, перпендику-
лярны к скорости Wop.
В рассматриваемой точке $, введем прямоугольную систему
координат Otl, лежащую в касательной плоскости к поверх-
ности У. В качестве оси / выберем направление, совпадающее
с направлением оси присоединен-
50 as — > ного вихря в точке Sy. Положи-


T тельные направления ит. ука-
ip заны Ha рис. 3.3.
и Общая интенсивность вихре-
| вого слоя поверхности »; будет
/ Weg складываться из интенсивностей
by присоединенных вихрей yy, и CBO-
Vi бодных y_, причем
Рис. 3.4. Определение циркуля- __ __
ции, унесенной свободными вих- Я = Vu + Vi» Ve = Ve-- (3.28)
рями. Если & — единичный вектор
направления W,», то, обозначая
через Woo. H Woo, проекции вектора W,,) Hal ит, можем написать
iy =i, Не +i . =o ,
Woo
roe йи i, — единичные векторы направлений [и т.
Единичный вектор J,, перпендикулярный к Uy и соответств:
ющий положительному направлению Г, (см. рис. 3.3), буд
равен (см. рис. 3.4)

| = Woot __f Wool
ne Woo + Woo ©
Следовательно,
W
Woo __ о ol
Van = Vi- TW Woo Vr Woo
И
Й отл — VW, oT 7,-W, ol
Изменение циркуляции за время At равно
AT, — — (VW, oT 7,-W, 01) At,
откуда получаем
or
> — — (VW, oT \*-Мо 01): (
Для определения величины (№2 — о-) в формуле |
воспользуемся соотношениями [1.12]
ИН И + Wor

§ 6] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО — ЦИРКУЛЯЦИОННОЕ ТЕЧЕНИЕ 89
Применительно к данному случаю (см. рис. 3.3)



Й -— W ots — Vu Ут + W ons =— Vn
тЫ Way ETE — Wo oy
Отсюда
о — 7 ol 7,-WV, 0т — V 14 WV, Or: (3.30)
На основании (3.25)—(3.28), (3.30) получаем в общем случае
для баротропной среды
АР = —¥is оон. (3.31)
Следовательно, разность функций давления, возникающая на
элементе вихревой поверхности, определяется величиной погон-
ной интенсивности только присоединенных вихрей. Отсюда,
в частности, следует, что на вихревых поверхностях, состоящих
из свободных вихрей, которые образуются за телом конечного раз-
маха как при установившемся, так и неустановившемся движении,
перепадов давления не возникает.
Формула (3.31) представляет собой обобщение теоремы
Н. Е. Жуковского «в малом» на случай произвольного неустано-
вившегося движения. Она применима для любой изолированной
тонкой несущей поверхности, для системы поверхностей, комби-
нации поверхности и корпуса и т. д. Между прочим, (3.31) пока-
зывает, что при помощи вихревого слоя можно воспроизвести
любой закон распределения нагрузок.
Для изэнтропического течения имеем согласно (2.12)

х pP\__ PN — Р+ _ Po
ar A(4) = мы. (7) = 2. (3.32)
В несжимаемой среде вместо (3.31) имеем
Ap = р, — р- = — рн. W oor: (3.33)
Получим теперь линеаризованное выражение теоремы
Н.Е. Жуковского «в малом» для изэнтропического течения и для
несжимаемой среды. Принимая во внимание (2.20) и учитывая, что
с линейной точностью Я... = —Uo, вместо (3.33) находим
Ap = ры И (3.34)
Для гармонических зависимостей от времени введем анало-
гично (2.24) коэффициенты аэродинамических производных цир-
куляции присоединенного вихревого слоя
= 002 (Wg + vig) (3.35)

90 ОСНОВНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СИСТЕМЫ (fa. Ш
Тогда коэффициенты аэродинамических производных нагрузки Ар
будут связаны с y’é и y*i, в соответствии с (1.23), (1.48), (3.34)
и (3.35), следующим образом:
ре = 9", pi = Qi, i=1,2,... (3.36)
$ 7. Теорема H. Е. Жуковского «в малом»
при бесциркуляционном обтекании
Как и для циркуляционного обтекания, рассмотрим простран-
ственное неустановившееся движение бесконечно тонкой вихре-
вой поверхности. Среду считаем идеальной и несжимаемой, по-
верхность — достаточно гладкой и незамкнутой, так что жид-
кость плавно обтекает ее с обеих сторон. Однако, в отличие от
$ 6, здесь изучается случай бесциркуляционного обтекания не-
сущей поверхности. При таком
Го обтекании вихревой след за те-
лом не образуется, а теорема
гидродинамики о постоянстве
циркуляции по замкнутому
жидкому контуру выполняется
в силу того, что по любому
контуру, охватывающему несу-
щую поверхность, циркуляция
rs я будет равна нулю. Поэтому
ревой слой, заменяющий не-
Рис. 3.5. К выводу теоремы Н.Е. Жу- СУЩУЮю поверхность, в данном
ковского при бесциркуляционном об- СЛучае можно представить как
текании. некоторую вихревую систему,
образованную комбинацией
замкнутых вихревых шнуров (элементарных полосок) постоянной
интенсивности вдоль длины шнура. Вся эта вихревая система
жестко связана с поверхностью, и ее следует рассматривать
как систему присоединенных вихрей. Таким образом, можно ска-
зать, что при бесциркуляционном обтекании несущей поверхности
не образуется свободных вихрей ни на поверхности, ни за ней.
Найдем разность функций давления в произвольной точке
несущей поверхности (рис. 3.5). Как и ранее, для предельных зна-
чений относительной скорости возьмем обозначения: W,, — на
нижней стороне поверхности, Й._ — на верхней, Йо — значение
относительной скорости в точке So. Из точки 5$, проведем произ-
вольные оси Sot и Sol прямоугольной системы координат, лежащие
в касательной плоскости. Разность функций давления на нижней
и верхней сторонах поверхности, в соответствии с интегралом
Коши —Лагранжа (2.10), будет определяться формулой (3.26).


$ 7] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО — БЕСЦИРКУЛЯЦИОННОЕ ТЕЧЕНИЕ 91
Выразим производную д (Ф_ — Ф,)/0{ через напряжение вихрей,
которые определяются при решении изучаемой задачи. Удобно
рассмотреть контур L, показанный на рис. 3.5; тогда DO, — Ф_ =
= —Г, где Г — циркуляция по контуру Г, пересекающему несу-
щую поверхность в точке Sp. Циркуляция может быть найдена,
например, как сумма напряжений вихрей, лежащих на участке
от передней кромки поверхности до точки Sy. Итак,
д(Ф-—Ф,) _ дГ


5 =>: (3.37)
Кроме того, согласно (3.30) имеем
У — We,
9 — 7 ol —— УТ Ov"
Подставив в (3.26) это выражение и используя (3.36), получим
_ ar
АР = и— WW on + 9 ° (3.38)
Эта формула дает наиболее общее выражение теоремы Н. Е. Жу-
ковского «в малом» для бесциркуляционного течения баротроп-
ного идеального газа вблизи тонкой несущей поверхности. В отли-
чие от случая циркуляционного обтекания, сопровождаемого
сносом свободных вихрей (3.31), здесь появляется член ОГ/ОЁ.
Для несжимаемой среды получаем выражение для разности
давлений
or
Ap = p+ — р = Pu (тт, o— Тост р) . (3.39)
У тонкой несущей поверхности произвольной формы в плане
возмущенные скорости Уши Wyo в точках, принадлежащих не-
посредственно поверхности, равны нулю. Кроме того, в любой
точке несущей поверхности согласно граничному условию о не-
протекании №. о, = 0. Поэтому для произвольных малых дефор-
маций и рассматриваемого неустановившегося движения (при
В =0, &, = 0) переносная скорость в указанных точках будет
равна
Wio=WU,+7U,—U,x— U,z2),
И: = О», U, = —avu y, U, = Q,, U, = Q,;
отсюда
где
Woo = Wa— Wo = Л = Wo. (3.40)
Ha базовой плоскости в качестве оси [ удобнее всего взять
направление линии Oz, а в качестве оси т — направление Ox.
Тогда теорему Жуковского (3.38) можно записать в виде
‘Ps —DP- or
Pe о — о o2zVx + У. oxVz + O¢
во

92 ОСНОВНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СИСТЕМЫ (Ta. Ш
или, учитывая (3.40),
— ar
to = Uo ‘ор. (3.41)

Вводя соотношениями (1.23), (1.41) коэффициент нагрузки и без-
размерное время, а также безразмерные циркуляции
Ya = Uoy,, Г, = UOT, (3.42)
из (3.41) получим
Ap = 2, +25. (3.43)
Это и есть наиболее удобная форма теоремы H. Е. Жуковского
для бесциркуляционного обтекания.

ГЛАВА IV
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА
ОБТЕКАНИЯ СХЕМАТИЗИРОВАННОГО
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ
$ 1. Вихревая модель схематизированного
летательного аппарата
В соответствии со сказанным в начале предыдущей главы
задачу о неустановившемся движении летательного аппарата или
крыла произвольных симметричных форм в плане будем решать на
основе схемы, когда летательный аппарат или крыло заменяется
одной базовой плоскостью, а последняя заменяется несущей
вихревой поверхностью. Эта вихревая поверхность в дальнейшем
представляется приближенной системой дискретных нестационар-
ных вихрей.
Рассмотрим более подробно получающуюся вихревую модель
плоского схематизированного летательного аппарата. Введем
связанную с базовой плоскостью систему координат Охуг (рис. 4.1),
поместив начало координат в носу схематизированного лета-
тельного аппарата. Ось Ох направим по оси симметрии вниз по
течению, ось Oz — вправо по размаху, ось Оу — перпендику-
лярно базовой плоскости. Форму базовой плоскости считаем
заданной. Если базовая плоскость имеет криволинейный контур,
при расчете заменяем его приближенно контуром с ломаными
кромками, составленными из отрезков прямых. Таким образом,
в общем случае базовая плоскость имеет изломы контура. Обозна-
чим размах базовой плоскости через J, размеры участков вдоль
оси Oz между соседними сечениями, в которых имеются изломы,
пусть будут ‹, а общее число изломов на полуразмахе, не лежащих
B одном и том же сечении, считая, что в корневом сечении всегда
есть излом, принимаем равным т. Тогда
1 т
я = 2%. (4.1)
За характерный размер примем длину летательного аппарата,
‘0бозначая ее в дальнейшем через 6, т.е. как корневую хорду
‘несущей поверхности сложной формы в плане (рис. 4.1).
Разделим всю базовую плоскость, в соответствии с § 3 главы I,
Ha зоны, проводя через изломы контуры сечения, параллельные
оси Ох (рис. 4.1). Далее, разделим каждый участок № между
изломами контура на N, полос. Границы полос пронумеруем
справа налево (р = 0 совпадает с торцом крыла, р = М — с осью

94 МЕТОД РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ [Гл. 1V
симметрии). Эти линии разделят также каждую из зон, через кото-
рые они проходят, на соответствующие полосы. Деление зон базо-
вой плоскости на ‘полосы производится на основе опыта, накоп-
ленного при расчетах, и связано прежде всего с формой лета-
тельного аппарата в плане.
1/2 ~ Обычно они выбираются Ta-
ким образом, чтобы ширина
tO 2 полос [›1 отличалась мало
друг от друга. Однако сле-
дует подчеркнуть, что ши-
рина полос не только разных
зон, но и в пределах одной
зоны может быть разной.
_ Разделим теперь каждую
| из зон © на панели. Для
этого делим в определен-
№ ном заданном отношении их


> А
=

4
3
ti
1S
MS SR А

¢ OR
т
к ож
№
`
я хорды bo, и проводим через
| - ess них прямые (тонкие линии
мы на рис. 4.1). Законы деле-
He males ния хорд на отрезки будут
и мым рассмотрены ниже в главе X,
an sas ice set Границы полученных Ta-
ким образом панелей будем
Ге»

‚характеризовать номером у,
Ги] отсчитывая их от носка и

















А включая в эту систему перед-
и mish ние и задние кромки. Общее
vyen-l НЕ - число панелей, считая от но-
LAN eliotn ска летательного аппарата,
у ARSE

| обозначим п. Если в сече-
т Г нии р панель у попадет на
Рис. 4.1. Вихревая модель плоского схе- `'Переднюю кромку, будем
матизированного летательного аппарата. снабжать ее индексом «0
Бесциркуляционное обтекание у Г = 0, (Vo), если на заднюю — отме-
mn чать звездочкой «*» внизу
циркуляционное — Г, = 0, циркуля- (у,). Координаты точек перед:
ционное с безударным входом — Г, = ней кромки в сечении ри
=0, Ty =0. величину хорды в этом сече-
нии бо, считаем известными.
Как видно из рис. 4.1, пересечение линий V и р разделит 6a30-
вую плоскость на ряд элементарных ячеек — трапеций.
Соберем присоединенный вихревой слой на каждой из таких
ячеек в дискретный вихрь и поместим его на некоторой линии
внутри ячейки. Как выбирается эта линия, будет рассмотрено
также в главе Х. В результате образуются вихревые шнуры с Ne


$ 1] ВИХРЕВАЯ МОДЕЛЬ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА 45
ременной вдоль оси OZ от сечения к сечению циркуляцией (на
рис. 4.1 они показаны волнистыми линиями). Присоединенные
вихревые ‘шнуры будут, очевидно, состоять из примыкающих
друг к другу косых подковообразных вихрей, а общее число
последних будет совпадать с количеством ячеек, на которые раз-
бита базовая Плоскость.
Присоединенные вихревые шнуры будем характеризовать но-
мером и, отсчитывая их от носка. Введем для сечений, которыми
делилась базовая плоскость по размаху, наряду с нумерацией р
нумерацию К, производя ее от торца, где полагаем Е = 0. Таким
образом, 0 = Е <= М. Координаты точек, находящихся на пере-
сечении линий ц и К, будем отмечать индексами и и К. Координаты
точек передней кромки в сечении К и величину хорды в этом сече-
нии bg, каждой зоны в считаем известными. Тогда нетрудно найти
и координаты точек пересечения линий пи Rk — Ep, би».
Безразмерные координаты середин косых присоединенных
вихрей, соединяющих точки и, Ёиц, Rk — 1, обозначим Е 1
и 1. Для них имеем соотношения
et = > (Ens + Ene—1)s aan = + (Cur — Cur—1): (4.2)
Размах дискретного вихря между сечениями Е и Е — 1 (on
не зависит от и) будет равен
l
lepa = ба Cun R= 1, 2,..., М. (4.3)
Угол стреловидности данного вихря определится из соотно-
шения |
to yey а 1 2 п, R= 1,2,..., NM. (4.4)
Cur-1 — Suk

Вихрь, расположенный на левой половине базовой плоскости
и симметричный относительно плоскости Оху рассмотренному,
будет иметь следующие координаты:
k k |. k
Оби = ЕШЬ octet = —Cuk—b 45
1, = |; yuk — wk (4.5)
Olpe—1 == lkp—1» ОАцЕф = —Xpk-1-
Для крыла с прямолинейными кромками угол стреловидности
каждого присоединенного вихревого шнура x, будет постоянен.
Если базовая плоскость имеет изломы контура, в этих же сечениях
будут иметь изломы и вихревые шнуры. Очевидно, у прямоуголь-
ных крыльев различных удлинений косые вихри вырождаются
в обычные подковообразные.

96 МЕТОД РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ [Гл. IV
Напомним, что у косых и обычных подковообразных вихрей
циркуляция по размаху постоянна, а с концов присоединенных
вихрей сходят свободные, параллельные оси Ох. Последние
вихри идут вниз по потоку при бесциркуляционном обтекании до
последнего присоединенного вихря в данном сечении, а при цир-
куляционном уходят в бесконечность. На рис. 4.1 они условно
оборваны. Кроме того, при изменении циркуляции присоединен-
ных вихрей во времени с них будут сходить свободные вихри,
оси которых параллельны тем присоединенным вихрям, с которых
они сошли. Эти свободные вихри, которые образуются только
при циркуляционном течении, располагаются как на базовой
поверхности, так и распространяются вниз по потоку до бесконеч-
ности. Таким образом, и базовая плоскость, а при циркуляцион-
ном обтекании, и часть плоскости, лежащая за ней до бесконеч-
ности, будут заполнены вихревым слоем из указанных вихрей.
На рис. 4.1 этот вихревой слой не показан.
На рис. 4.1 изображена вихревая модель плоского схематизи-
рованного летательного аппарата. Имеется в виду, что на левой
половине базовой плоскости симметричной формы в плане симме-
трично расположено такое же количество присоединенных вихрей,
как и на правой.
Данная вихревая модель весьма удобна для расчета на элек-
тронных цифровых машинах. Это объясняется, с одной стороны,
тем, что в основе ее лежат достаточно простые особенности, набо-
ром которых описывается искомое течение. С другой стороны,
весьма существенно, что системы алгебраических уравнений,
к которым сводится решение задачи, обладают рядом важных
свойств. Диагональные члены в матрице коэффициентов играют
доминирующую роль, поэтому детерминанты системы существенно
отличны от нуля, решения обладают большой устойчивостью по
отношению к исходным данным и т.д. Использование косых
подковообразных вихрей вместо обычных приводит к значитель-
ному упрощению и уточнению расчетов.
Выбор положения на базовой плоскости летательного аппарата
или крыла точек, в которых удовлетворяются граничные условия
(2.84) о плавном обтекании (в дальнейшем для краткости будем
называть их контрольными точками), производим согласно сооб-
ражениям, приведенным в $1 главы ПГ. Контрольные точки
должны располагаться посередине между свободными вихрями,
параллельными оси Ох, т.е. должны лежать на средней хорде
1 = р каждой полосы между сечениями р—Тир. Конт:
рольные точки между соседними присоединенными вихрями сле
дует брать так, чтобы при увеличении числа вихрей они оказыва-
лись бы посередине между ними. Этому условию должны отвечать
линии Vv. Положение контрольных точек будем определять, как

$2]. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННОСТИ ПРИСОЕДИНЕННЫХ ВИХРЕЙ 97
пересечения хорд 05_1 с линиями V (они указаны на рис. 4.1 Kpe-
стиками). Координаты их будем отмечать индексами у ир: ть
51. Вопрос о конкретном выборе положений присоединенных
вихрей (линий и) и линий у, при котором обеспечивается доста-
точно быстрая сходимость численных расчетов, рассматривается
ниже в главе Х.
$ 2. Расчет напряженности присоединенных вихрей
при бесциркуляционном обтекании
Исходя из описанной выше вихревой модели летательного
аппарата, составим системы уравнений для определения напря-
женности дискретных вихрей. При расчетах будем отдельно рас-
сматривать симметричное и антисимметричное распределение
циркуляции по размаху. В том и другом случаях граничные усло-
вия будем удовлетворять
на правой половине базо-
вой плоскости с учетом 0
влияния левой, тогда Ha
левой половине они удо-
влетворятся  автоматиче-
ски. В рассматриваемых
задачах выполнение гра-
ничных условий на несу-
щей поверхности и допол-
нительных условий приво-
дит к системам линейных
алгебраических уравнений
для определения циркуля-.
ций Ppp. присоединенных
вихрей. Рассматривая бес-
циркуляционное обтека-
ние, циркуляцию и все дру-.
гие характеристики будем Рис. 4.2. Вихревая модель крыла при бес-
записывать с индексом A циркуляционном обтекании.
перед ними, например AT. |
. Движение аппарата как твердого тела будем определять кине-
матическими параметрами g;, введенными соотношениями (1.41).
Задачу о деформации, в соответствии с видом граничных усло-
вий (2.54), разобьем на две формально независимые задачи: 461,
соответствующую члену Fe 8 (0) в граничных условиях, и 62,
соответствующую [+6 (т).
При бесциркуляционном обтекании, естественно, не будет
елены свободных вихрей внеб азовой плоскости. В каждом сечении
ha
i —






98 МЕТОД РАСЧЕТА В НЁЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЁ (fa. 1V
несущей поверхности суммарная циркуляция всех присоеди-
ненных вихрей должна быть равна нулю. Следовательно, вихре-
вая система будет замкнутой на базовой плоскости, как это пока-
зано на рис. 4.2 для крыла.
При подсчете скоростей в контрольных точках базовой пло-
скости используем результаты $ 2 главы ПТ, полученные для ста-
ционарного косого вихря со свободными полубесконечными вих-
рями. Заметим, что сложную систему из замкнутых вихрей можно
представить в виде замкнутых вихревых нитей, как это показано






6) 8)
Рис. 4.3. К определению скоростей от присоединенных вихрей.
на рис. 4.3, а, 6. Каждую замкнутую вихревую нить рассматриваем
как сумму двух подковообразных вихрей с равнопротивополож-
ными циркуляциями (рис. 4.3, в). Если через одни и те же точки
вихревой модели проходят два присоединенных вихря, объеди-
няем их в один (рис. 4.3, г) с циркуляцией, равной сумме цирку-
ляций объединяемых вихрей.
Представим циркуляцию вихрей в виде
АГ- epi = = Uob ps АГ” wRk—19i (t)= Uob [АГ en 1% (t)-++
+ АГ ь пох (t) + АГ п, (t) + ATS ee—18 (1) + ATS oe 16 | ;
(4.6)
где ЛГ, _1 — безразмерные функции, не зависящие OT времени,
от которого зависят только параметры Ч. Возмущенная скорость,
индуцированная в контрольной точке #1, бу 1 с учетом чет:
ности функций АГ по с для 4; =a, ®, иб, 6 при симметрит

$2] РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННОСТИ ПРИСОЕДИНЕННЫХ ВИХРЕЙ 99
ной деформации и нечетности — для 4, = ®, иб, 6 при антисим-
метричной деформации, запишется в виде
WV _ ВЕ—1 kk—1 q;
Aeros т У (wine че о) AD tee sg (4-7)
Здесь знак «-» берется для симметричных относительно пло-
скости ОЁ движений и деформаций, знак «—» — при антисимме-
kk—1 1
тричных. Безразмерные скорости why, 1, OWS вычисляются
по формулам (3.6), (3.7) для следующих аргументов:
ЦЕЕ—1 wkRk—l ЦЕ = ЦЕ
Фуурр—1 = = Wy (я ’ Cvpp—l , [вр 1), (4 8)
ЦЕР—1. wkk—l greet _ wR °
OW yvpp—1 = Wy (р » OCvpp—1» Le, pty — Хи) .
Входящие в эти зависимости безразмерные геометрические ве-
личины равны
kk—l wk в \
0 = рр 1 = Evp—1— geet CoS ON О
| Ша __ 7
> = т — Ipp i = Cuk—1— Curr (4.9)



tgy = tg Ke = = Sues — Suk » Oo= ор = бура + Иа.
C pk-1 Cuk
Удовлетворяя граничное условие (2.54) о непротекании базо-
вой плоскости во всех контрольных точках, получим пять неза-
висимых систем из (п — 1) М линейных алгебраических уравне-
ний с nN неизвестными циркуляциями каждая. Недостающие №
уравнений для каждой системы получаем из условия
= И»
УГ =0, &=1,2,...,N; (4.10)
L==L
здесь fy — номер вихря, ближайшего к передней кромке, и, —
к задней.
Итак, получаем следующие системы алгебраических уравне-
ний для определения циркуляций:
N п
|
= b=
p=1,2,....M; v=1,2,...,n—l, f (4-11)
=,
У АГ 1 =0, R=1,2,,,..,N3 91 =, Ox, Oz, 6, 8.
И=Ио



100 МЕТОД РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ (Ta. 1V
Входящие в системы (4.11) параметры НЯ определяются равен-
ствами
о
HO, ,=—1, HG? О HYP = — Ee,
6 д 6
Н%рр—1= 8 ур? Нурр--1 = fe (Evp—1» Gvp—1)> | (4.12)
$ = бур—1
$ = | }

$ 3. Расчет аэродинамических нагрузок, —
сил и моментов при бесциркуляционном обтекании
На основе циркуляций, полученных из решения систем урав-
нений (4.11), найдем аэродинамические нагрузки на летательном
аппарате, т. е. разности давлений между его нижней и верхней
поверхностями. Для этого вос-
0 2 пользуемся теоремой Жуков:
ского «в малом» (3.43) при бес-
T(Z) циркуляционном обтекании
Ap = 2(Av, + “= ), (4.13)

[. (2,2)
я причем АГ; (рис. 4.4), в соот-
Ff Yr ветствии с $ 7 главы ПТ, опре-
(2,2) деляется соотношением
Vs
Е |
| = ATs, )=| Ау. 604. (4.14)
| ry Pr бо
| Здесь Е, — безразмерная коор-
Рис. 4.4. К определению функции. Г. дината передней кромки базо-
вой плоскости, & — координата
точки, в которой определяется искомая нагрузка.
`Аналогично (4.6) представим Ay, и АГ; в виде
Ay, = > AVG) AT, = > АГ79, 9, =0,0„,®, 6, 5. (4.15)


Теперь выражение (4. 13) для коэффициента нагрузки можно за-
писать в следующей форме:
— Ч ‚ .’ dq,
Ap = 2 2 (Ayiig, + TY¥4)) 9 = GE
(4.16)
_ Будем считать, что в сечении kk — 1 на. отрезках Дёльл,
лежащих между контрольными точками, т. е. при
АЕ = бур 1 — EVP u=v, k=p, (4.17)

:$ 3] РАСЧЕТ НАГРУЗОК ПРИ БЕСЦИРКУЛЯЦИОННОМ ОБТЕКАНИИ 10]
напряженность циркуляции Ду, постоянна. Тогда
Ау”: (и, 1) = ут АГ т, )
| (4.18)

AT? (sae 1» Cue) = = У AD ee 1°
/
Для разности давлений в точке с координатами #1, т В
получим
Арк 1 — > (Ар, ар; + Apt, 19)»
)
} (4.19)

AT eet
Ари = 2 SE yak | Ари =? х AT eet
U=Uo _- .

Нагрузки в других точках летательного аппарата получаются
путем интерполяции.
Если форма летательного аппарата симметрична относительно
плоскости Оху, то, очевидно, картина обтекания при движении
с кинематическими параметрами &, ®, и симметричных деформа-
циях будет также симметричной, а поэтому’
Ду, (5, — 6) = Av? & 9, АГ; G —9 =ATY& 5, | (4.20)
qi = &, Wz, 0, 0.
При движении с параметром 4; = ®, и антисимметричных де-
формациях картина будет антисимметричной, следовательно,
Ч: (= —f) —= — Ay’ (8 Ч: (8 — — — Al: (§
Ay & —O=—AV"GO, АГ, —O=—ATYE 0, | 21
qi = Wx, 5, 6.
Аэродинамические нагрузки будут обладать такими же свойствами.
Представим аэродинамическую нагрузку, силы и моменты при
бесциркуляционном обтекании через коэффициенты аэродинами-
‘ческих производных (1.48): |
Дс (7) — у (Acq, + дей}, qj = a, Ox, W,, 5, 6,
Ас = Ap, Ac, Ат. Ат» Ас, ^т, Am,
(4.22)
Тогда. для коэффициентов аэродинамических производных на-
грузки из (4.19) будем иметь

Ар" (И, thea) = = ver AT Ne. |
(4.23)

Ap" (ЕВЕ Che—1) = 2 у AT ent.
И=Ио с |

102 МЕТОД РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ (fn. IV
Силы и моменты, действующие в сечениях летательного аппа-
рата, получим, интегрируя по сечению аэродинамические на-
грузки и соответствующие моменты, по формулам (1.28). Заметим,
что при бесциркуляционном обтекании в любом сечении & = const
выполняется условие
5,
J yz! dé = 0, (4.24)
поэтому
Ас" = 0, Ami” =0. (4.25)
Для остальных коэффициентов переход от интегралов к суммам
дает



9 q . ‚9 ‚9
Ac, ' = 2 Ree—-1, Am,‘ = —Acy ‘Cee-i, |
и=И,
Ат; = — 2g — 2. AT wee—18ue—1, | (4,26)
9 268 .
Am, ‘= — Г, 9; = 9%, ®., ®,, 5, 6.
th 1

Величины Юр и Гьь введены формулами
Ria = YW Ate ХУ Г ь |
и—В =u
iu, | (4.27)
ние k 9;
У ЕЕ ЕЕ у Peet.
U=Lo U=Ho |
Напомним, что здесь, как и ранее, через п, обозначен номер вихря,
ближайшего в данном сечении к передней кромке, и через p, —
к задней.
Суммарные аэродинамические характеристики летательного
аппарата при бесциркуляционном обтекании получим, интегри-
руя нагрузки по всей базовой. плоскости. В результате будем
иметь при симметричных движениях и деформациях

. . "М )
р 4; q . 2 =
Ac,’ = Am,’ = Am, =0, Ac; = 4 <= У а ,
k=l
м |
Ams! =—4 = Ds lent у. AT pee. the (4.28)
U=LHo
Am; = — 4 x И =, 0, 6, 6.


$4] РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННОСТИ ПРИСОЕДИНЕННЫХ ВИХРЕЙ 103
При антисимметричных движении и деформациях получим
9; 4} 9; qj qj
Ac,’ = Am, =Am,'=0, Ac,’ = Ат, = 0,
. м
Ат = — 4 = py У аи (4.29)
9; = Wy, 5, 6.

/
Используя полученные коэффициенты аэродинамических про-
изводных, в случае необходимости легко по формулам (1.65)
перейти к коэффициентам присоединенных масс.
Как легко заметить из (1.65), присоединенные массы Roo и Rog
могут быть определены через разные коэффициенты аэродинамиче-
ских производных. Таким образом, последние связаны между
собой равенствами
Act, = Am?
у 29
| 5 (4.30)
— Amz = Ac,?= Am, 7.
Эти равенства могут быть использованы для взаимной проверки
результатов расчетов.
$ 4. Расчет напряженности присоединенных вихрей
при циркуляционном обтекании
Рассмотрим теперь неустановившееся движение и деформации
плоского летательного аппарата при циркуляционном обтекании.
В этом случае, как указывалось, на всех его задних кромках
должна выполняться гипотеза Чаплыгина Жуковского (2.62).
При расчетах будем рассматривать симметричное и антисимметрич-
ное распределение циркуляции по размаху. Заметим, что в по-
следнем случае для реального летательного аппарата не будут
определяться нагрузки, возникающие при угловой скорости a,
на его вертикальных элементах, и не полностью будет учитываться
влияние фюзеляжа. Для изолированных монопланных крыльев
все нагрузки при антисимметричных движении и деформациях
будут определяться полностью.
Итак, заменим плоский летательный аппарат нестационарным
вихревым слоем, расположенным на базовой плоскости, а его,
в свою очередь, системой косых подковообразных вихрей
(рис. 4.1) с переменной во времени циркуляцией. Координаты
середин дискретных вихрей и их геометрические параметры
(размах [, 1, угол стреловидности хи# 1) определяются форму-
Лами (4.9). Безразмерную циркуляцию Г)„„_: представим через

194 МЕТОД РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ (fa. IV
коэффициенты аэродинамических производных согласно соотно-
шениям (1.48)
Pure (©) = py Pace. -19i (т) + ге шее —191 (®)].
д; = %, W,, ®., 6, 6.
(4.31)
Подставляя (4.31) в соотношения, определяющие индуцирован-
ные скорости в контрольной точке Ёу_1, Gy>—1 базовой плоскости,
нолучим выражение ‘их через коэффициенты аэродинамических
производных циркуляции. Потребуем, чтобы сумма их, т. е. ско-
рость, индуцированная в контрольной точке всей вихревой си-
стемой, удовлетворяла в ней граничным условиям (2.54). Выпол-
няя граничные условия во всех контрольных точках базовой пло-
скости, получим системы линейных алгебраических уравнений
относительно искомых аэродинамических производных циркуля-
ции. Однако эти системы -`уравнений будут незамкнутыми, так как
количество неизвестных в них будет больше числа контрольных
точек. Чтобы замкнуть системы, потребуем, чтобы на задних
кромках каждого сечения` kk — | ВЫПОЛНЯлОСЬ условие Чаплы-
гина—Жуковского . (2.62). Для выполнения этого условия тре-
буем, чтобы напряженность присоединенного вихря, ближайшего
к задней кроме в данном сечении, была бы равна нулю. В резуль-
тате получаем следующие системы уравнений:
° )
№ aA
| (1) wke—l (1) pke—l
“An ХУ (wyppat = owyop—t) Ги —
и—
м м) kk вк —1) т (72)
и wkk— i
—= № ря (w Wyvpp—1 = OWyvpp-1 ) Tye eh—-1== Нурр—1,
(2) wkk—-l (2) wkk—1
(oi) wee о рр ) Г +
N п |
р ря | | (4.32)
у
(1) wkk—1 (1) wke—1 7
(wort + = OWyvpp-1_ ) г в—1 == 0,

an =0, Гуль | u=p, = 0, q; =@, Wy, Wz, 0, 0. |
‚ Величины НЧ определяются формулами (4.12). Знак «+>
берется при симметричных движениях и деформациях, знак «—» —

$ 4] РАСЧЕТ . НАПРЯЖЕННОСТИ. ПРИСОЕДИНЕННЫХ ВИХРЕЙ 195
при антисимметричных. Коэффициенты уравнений определяются
в случае р; + 0. из следующих соотношений:

1) wee—l 1) /ewkk—l орде
wr bet = wt (ER epi» cue len 1, te 1, р;), |
(2) pke—l 2) (ЕВЕ сд
ле = wt (Eros рр lek—1 (es pi), (4 33)
Пр-т (1 kk—1 kk—l k “|
от w' wi (Ee ь д Cvpp—1> 1 — Yur—p Pi)»
2) wkk—l kk—1 ВЕЛ 3 b .
ow oon = wl”) (рр ль ббурр а» вил» — Хиль Pi)s
2
где скорости w!, wl? определяются по (3.17)—(3.21). Входящие
в эти формулы безразмерные геометрические величины находятся
по формулам (4.9).
Таким образом, при числе Струхаля, не равном нулю, задача
о неустановившемся движении. и деформациях летательного аппа-
рата сводится к раздельному решению пяти линейных алгебраи-
ческих уравнений (4.32).
Одними из важных задач являются задачи о гармонических
колебаниях и деформациях летательного аппарата с числами
Струхаля, стремящимися к нулю (p; — 0). Имея это в виду, полу-
чим системы уравнений относительно Ш, 1 при р; — 0.
*
Из (3.22) следует, что при р; — 0 безразмерные скорости равны

—1 2) wkk—l w{*) bee t
(1) wkk—l WRR (2) в 7 Cwpp— .
Wyvpp—1 Е yvpp—1»  Yyvpp—1 о =p; - Op’ . (4.34)
i
Подставляя эти выражения в (4.32), получим
ley kk—l (9;)
7 > > (рр 1 = OW pp) Ги wee—1 = Нурю—1,
Piet pon, = 9s k= 1,2,..., N,
№ тп
у У @ НЕ + = ор) Г 1 = (4.35)
yvpp—1
wRk—1:s
*


N —-
. [т вв о дш(?) ek le
р = 1,2,.., М; у=1, 2,..., n—1,
И И ик = 0, =, Е. М№. ]


106 МЕТОД РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ (Гл. IV
Как видим, каждая из систем уравнений (4.32) относительно
искомых производных циркуляции Г“, Ги в случае р; -»+0
разделилась на две системы (4.35). Первая из них относительно Г%
не содержит Г: и решается независимо от второй системы. Опре-
делив из ее решения значения Г%, можем вычислить правые
части второй системы (4.35), и решив ee, найти Г“.
%
Таким образом, при р; — 0 полная задача о гармонических
движениях и деформациях плоского летательного аппарата сво-
дится к раздельному решению десяти (вместо пяти) систем линей-
ных алгебраических уравнений, но более простых, чем для слу-
*
чая р; + 0. Коэффициенты уравнений (4.35) определяются соот-
ношениями


\
pwkk—l pkke— wkk—l
Wyvpp—1 = Wy (р Cvpp—1 ’ lees nit)
ukk—1 wkk—l kk—
OWyvpp—1 = Wy (EN ep 1» 0 Terr lee — yi 1),
Be) wh 1 a
vpp—1 kk—1
“y op — — (Мирт, CS т, рт, Хе 1 хи), (4.36)
1
ди?) wkk—l dy?
yvpp—l| т kk—1 pkk—l
ap. = (ann Обр 1, Ш в у.
i

Безразмерные скорости (4.36) вычисляются по (3.22), (3.6), (3.25),
причем входящие в них геометрические величины находятся по
формулам (4.9).
$ 5. Расчет коэффициентов аэродинамических производных
распределенных и суммарных нагрузок
Зная аэродинамические производные циркуляции 1,
1, можно найти как распределенные, так и суммарные аэро-
динамические характеристики летательного аппарата.
Определим вначале коэффициент аэродинамической на-
грузки Др, т. е. разность коэффициентов давлений (1.23) в точках
нижней и верхней, поверхностей летательного аппарата с коор-
динатами и, ave 1. Как и ранее, примем, что в сечении aa
на промежутке A§,,,_) напряженность присоединенного вихре-
вого слоя постоянна. Размеры этого промежутка. определяются
формулой (4.17). Отсюда получаем, что безразмерная напряжен-
ность присоединенного вихревого слоя будет (безразмерные
циркуляции вводятся формулами (3.42))
г (a 1, hh 1) 4.37
Ag ukk- 1 ' (4.

| (Ene chet) =

$ 5] РАСЧЕТ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ 107
Представляя циркуляцию распределенного вихревого слоя и дис-
кретных вихрей через коэффициенты аэродинамических произ-
водных (1.48) в виде
(Ель 1) = > (ув 19 + Yulek—191)> |



1 (4.38)
Г (hea би) = > (г, 4419: + Гы 14),
получим из (4.3°) следующие соотношения:
Г 4 ri _
и = Tea ‚ Yulee 1 = —HeRRt (4.39)
Аир
Напряженность циркуляции присоединенного вихревого слоя
в промежуточных точках при малом количестве дискретных вихрей
в сечении может быть получена интерполяцией, как это сделано,
например, в работе [1.24].
Выражая аэродинамическую нагрузку ‚через коэффициенты
аэродинамических производных (1.48) и используя теорему Жу-
ковского «в малом» для циркуляционного обтекания (3.34), будем
иметь
р = и, pl = 9%, (4.40)
где у’ и p’é определяются формулами (4.39).
Найдем подъемную силу и моменты сечения летательного
аппарата, введя их формулами (1.27). Представим характеристики
сечений через соответствующие коэффициенты аэродинамических
производных (1.48). Подставляя (4.40) в (1.26) и переходя от ин-
тегралов к суммам, получим


НИИ Г
= k—I
Cykk—1 a 1 & wkk—Iy
Cykr—-1 = 2 —— Piet
ykk = St, ц 9
‚ 9: ‚Чт wk
Makk—1 = — Cykk—1Cuk—ly
. 4.4]
т = — Cath Hot
Тавьы-— = —2 (=— Deka ; ) oy Mee ЕЦ
- U=[e
, ИИ, °
‚91 2 q wR
Mopk—1 == — 2 (-— 5 ) у Гели.
кк -1 И==Цо |

108 МЕТОД РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ` СРЕДЁ (fn. IV:
Здесь и далее Wy и р,, обозначают номера присоединенных вихрей,
ближайших соответственно к передней и задней кромкам сечения.
Коэффициенты аэродинамических производных летательного
аппарата или крыла в целом получаем, используя формулы (1.25).
Переходя в них от интегралов к суммам, будем иметь при симме-
тричных движениях и деформациях

+2 lep—1 у Г 1,
и=Ио e
и-В. .
cy! ву фт у 1,
BeBe. __
4.42
тай = 42 > lena У т, | 442)
U==Ue
а, b2 м 4,
т, = —4 хи БУ ri, Е, ти =m, =0,
k=l ие Le
i=l, 3, 4, 5. J
Для антисимметричного движения и деформации получаем
}
и=и»
ти = — 4 У а У Г Е
= Ив ,
my, =— 4 у leet У Ис 1s (4.43)
U=[Ue
9; 9, 9; qi
Cy == Cy =m, = т, = 0,
=, 4,5. |

Входящие в (4.42), (4.43) геометрические величины определяются`
из (4.2), (4.3), $ — характерная площадь.
_ Общие аэродинамические силы и моменты летательного аппа-
рата как суммарные, так и распределенные определяются через
коэффициенты аэродинамических производных согласно соотно-
шениям (1.48).
$ 6. Расчет безударного обтекания
Отметим одну важную особенность, имеющую место в линейной
теории тонкой несущей поверхности. Если изучаются режимы
обтекания, при котором поток огибает острые ‘кромки, то здесь
теоретически имеются особенности течения в виде бесконечных
возмущенных скоростей. В случае бесциркуляционного обтека-
ния, изученного в § 2 настоящей главы, отмеченная особенность

56] РАСЧЕТ БЕЗУДАРНОГО ОБТЕКАНИЯ 109
имела место на всех кромках тонкой несущей поверхности. Для
циркуляционного обтекания (см. § 4) выполнение условия Ua-
плыгина— Жуковского делает скорости конечными на задних
кромках, но на передних кромках они по-прежнему оставались
бесконечными. Бесконечные скорости и вызванные ими бесконеч-
ные разрежения в реальной среде невозможны, и на передней
кромке появляется местный отрыв, что ведет к увеличению со-
противления. Устранить это можно скруглением носка и хорошей
профилировкой несущей поверхности, что и применяется широко
на практике. Однако крылья современных самолетов сравнительно
тонкие и обычно имеют весьма незначительный радиус закругле-
ния носка. Для плавного обтекания в этом случае нужно, чтобы
поток не огибал кромку, т. е. чтобы местные относительные ско-
рости были бы перед крылом параллельны поверхности крыла.
Такое обтекание тонкого крыла или самолета, когда скорости ме-
няются непрерывно у его передних кромок, будем называть без-
ударным.
У тонкой поверхности передняя кромка будет обтекаться без-
ударно, если скорости на ней будут конечны. Таким образом,
условием безударного обтекания является выполнение условия
Чаплыгина— Жуковского (2.62) и на передней кромке
114, (х, 2) =0. (4.44)
х-> Хо
Прежде чем переходить к изложению метода расчета безудар-
ного обтекания, следует сказать, что с практической точки зрения
осуществление его наиболее важно при. установившемся обтека-
нии. Поэтому будем рассматривать только стационарные (не за-
висящие от времени) движения. Отметим также, что безударное
обтекание можно осуществлять и не на всем летательном аппа-
рате, а только на отдельных его элементах, например крыле. или
части его.
Как будет видно ниже, осуществить безударное обтекание
тонкой несущей поверхности в общем случае возможно только
путем дополнительной деформации ее. Эту дополнительную де-
формацию будем называть сопряженной и параметры ее определять
‘в процессе расчета.
Отметим прежде всего, что сопряженная деформация опреде-
ляется неоднозначно. Поэтому при ее выборе могут быть исполь-
зованы дополнительные требования к суммарным или распреде-
ленным характеристикам или соображения, например, конструк-
тивного или технологического порядка. В некоторых случаях вы-
бор исходной и сопряженной деформаций удобно производить
одновременно. Примером может служить подбор деформаций,
обеспечивающих заданные ‘характеристики крыла (например,
получение необходимой величины коэффициента момента т.

110 МЕТОД РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ (Гл. IV
при заданном значении коэффициента с,). В других случаях исход-
ная деформация является заданной или вынужденной (отклонение
рулей или элеронов; изменение формы крыла в полете из-за упру-
гости конструкции). Кроме того, условимся рассматривать как
сопряженную ту деформацию, которую необходимо’ придать
плоскому крылу, установленному под некоторым углом атаки &
для обеспечения безударного входа потока. Обозначим ее о fy (Е, 5).
В последних случаях для определения некоторых параметров
сопряженной деформации приходится решать специальные задачи.
Остановимся на определении сопряженных деформаций, обес-
печивающих безударный вход при всех небольших углах атаки a
и небольших основных деформациях (пока верна линейная тео-
рия, на которой базируется расчет). Формой сопряженных дефор-
маций, обеспечивающих решение задачи, задаемся, отыскивая
затем масштабы деформаций в различных сечениях, где обеспе-
чивается безударный вход. В качестве сопряженной деформации
можно применять отгиб переднего носка крыла на различные углы
в разных сечениях & = const. Можно искать местные хорды носка,
отгибаемого на постоянный по размаху ‘угол, и т. д.
Сопряженную деформацию n; будем представлять в виде
y= pe fice; + pe foi; (4.45)
где первый член дает сопряженную деформацию в O-3aaye, BTO-
e * *
рой — в б-задаче, функции fy;, fs; считаем заданными. Граничное
условие (2.84) при установившемся движении летательного аппа-
рата примет вид
у д Оо of
wnat Bor SY ray i+ D3 Ty gs, (4.46)
В соответствии с численным методом (см. $ 1 настоящей
главы) разобьем базовую плоскость линиями V и р на ячейки
и моделируем ее сеткой косых подковообразных вихрей. Циркуля-
цию дискретных вихрей согласно (1.48) запишем в виде
Г +kk-1 = Совы,
. в  « } (4,47)
Pure = Viter1% + Ther + У rh sat + > Гы ь 107.
]
Здесь а’, 6, — параметры (масштабы) сопряженной деформации
в сечении рр — 1, р =]. |
Определим скорости, индуцированные в контрольных точках
базовой плоскости всей вихревой системой, и потребуем удовлетво.

$ 6] РАСЧЕТ БЕЗУДАРНОГО ОБТЕКАНИЯ 111
рения в них граничного условия (4.46). В результате получим
систему уравнений
хм kk—l kk—1
wkk— ЦЕ
у (Wivpp—t + OW np —1) x
U=Ho
(r
| ou * 8; *
x | Гивь-19 + в 19 + pa Ги 101 + > Pike 18} =
J
4n bol
ana 0%| ыы + onl), 6
= УР
vp—l
рф
р =1,2,..., М; v=1,2,...,n—1.
Здесь и. означает номер линии и, ближайшей в сечении к перед-
* *
a. 6,
ней кромке, а и, — к задней. Функции не) И нор равны






Of |
. FE сю ПРИ ГР,
<) | ~eyp—l
Нур’ = УР
| 0 при j + р,
‘af (4.49)
6j __
* Е. Е=ЕУР при I= ’
yi) _ | Ур
ур = = рф
| 0 при f + р. |

Требуем также выполнения условия Чаплыгина—Жуковского
(2.62), которое для дискретных вихрей принимает вид
* *
Гри = Papert = Гуриев = pd ee_1 == 0,
F k=1, 2,..., М. (4.50)
Кроме того, требуем удовлетворения условия Чаплыгина —
Жуковского (4.44) и на передней кромке для суммарной цирку-
ЛЯЦИи: | |
*
a a, a; 8,
Piet + » Pyjer-1— = 0, Tiger + » Peet = =0,
]
k=l, 2,...) М. (4.51)

112 МЕТОД РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ (Гл. -IV
Совокупность систем. (4.48), (4.50), (4.51) образует единую
систему уравнений, в которую в качестве неизвестных входят на-
ряду с циркуляциями Га, 76, Г”) ‚Г также параметры деформа-
ций бу, ©’.
Решение этой единой системы может проводиться двумя ny-
TAMH, которые укажем ниже. Вначале заметим, что ввиду линей-
ности рассматриваемой задачи она распадается на ряд частных,
ив первую очередь выделяются обычные циркуляционные о-задача
7a zy >» (Wyo ош) Vew—1 = 1, |
p=1, 2,..., М v=1,2..,n—1, | (52)
‘Я p1=0, k=l, 2,..., М,

И 6-3anaua
Us |
kk—1 kk—l Of s
my Wop + Wyo t) Гавь1 = OE ,
ast c= 1 |
‘5-1 1 (4.53)
p=1, 2,..., М; =, 2,...,n—1,
ГО вв 1=0, k=l, 2,..., М.
ines
1”
Чл,

Далее выделяются и решаются 2N сопряженных задач
Тм & са wkk—l (9)
4л № (р + OW yypp—-1) Pea 1= Hyp’,
p=1, 2,..., №; val, 2,..., n—l, | (4.54)
9
Ги 1=0, k=l, 2,..., М,

j=l, 2,... № 9 =» 6).
Как видим, в данном случае определение циркуляций для сопря-
женных задач не зависит от решения основных задач и опреде-
ляется только заданием функций Foci Б.. Правые части систем
(4.54) определяются соотношениями (4.49). Решение всех этих
задач изучено в $ 4. По найденным значениям циркуляций Гр 1,
* *
0, б,. , .
Thee—t, ива, Vyke-1 составляют системы уравнений (4. 51),
| a, 46
из решения которых находим искомые параметры a — ‘Co-
пряженных деформаций.

$6 .. РАСЧЕТ БЕЗУДАРНОГО ОБТЕКАНИЯ 113
При другом пути также сперва решаются a- и б-задачи, а за-
тем, используя условия (4.51), составляются и решаются следу-
ющие системы уравнений. Для. а-задачи
7 N Ux .. > а,
4л ух > (рр + ОШучрр—1) у Гр =
k=l p=pot+l j
* №
a ACH) 1 kk—1 kk—1
j j и и
Нур — th у 1 + ОШуурр- 1) Ги ШоЁЁ— 15
=I

` (4.55)
р=1, 2,..., М; v=1, 2,..., ИЕ,
У
Pulee-l gq = Q, k=l, 2, cee N.
Для 6-задачи будем иметь
| “ . \
1 XN vs kk—l kk—l 6; oF
Ta у, > ны + Wyvpp—t) у Pek —
k=1 p=potl j
61 5 (61) 1 у piokk—l по —1\ pd |:
65 Нур — “dn 2 ( 2 уурр--1 -- 1) Гр —1ь (4 56)
p=1, 2,..., М у=1, 2,...,n—1,
|
К
=
6, 5*
x Pyke = 0, А

В данном случае из решений уравнений (4.55), (4.56) одновременно
"Oy Qa;
определяются как. суммарные. циркуляции у Puke—t =;
* j
5,
у Che 178 ‚ вызванные сопряженной деформацией, таки пара-
i
-
aj 9
метры последней а? >"
Входящие .в системы уравнений в виде коэффициентов безраз-
kk—-1 1
мерные скорости шир и ору, определяются по формулам
(3.6), (3. 7) согласно соотношениям (4.8).
По найденным параметрам сопряженной деформации и соответ-
ствующим ей циркуляциям дискретных вихрей нетрудно, исполь-
Зуя приведенные в 6 5 соотношения, найти как распределенные,

114 МЕТОД РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ [Гл. IV
так и суммарные аэродинамические характеристики летательного
аппарата при безударном обтекании. Для нагрузки в точках
gue 1, С: будем иметь
_ р ae a,
Ap (ENE 41, 1) = Е | pkk—1 + у Peel Ч a --
]
у 5,
+ [Than + у А $ | . (4.57)
Для подъемной силы и продольного момента сечения ВЕ — |
получим
о a, |
x
(Hise + у Гри ah +
i
А
‚ b
Сук = 2—— у
Phe L=H
5 6} 5)
+ Pure—1 + у Гри -5- б ’
|
1 .
0
(4.58)
и»
Тик = —2 ( = ) у | wkk—1 + 2 riba a +
=o
6;
+1 О а + 2. rhe 1 +] is 1.
Суммарные характеристики всего летательного аппарата опреде-
ляются по формулам
М * *
су = 4-5 yl k—l у № wkk—l + у Го "| a +
k=l j
U=lLo
8, 5,
+ [Me + 2 Thee 3) | ,


é
(4.59)
+.
6;
Галка + 2 Cha | | ae
4


= —

$7! РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ДЕФОРМИРУЮЩЕГОСЯ АППАРАТА [15
$ 7. Расчет аэродинамических характеристик
деформирующегося летательного аппарата
(метод заданных форм)
Как уже указывалось, в настоящей книге рассматриваются
прямые задачи аэродинамики, определение аэродинамических
характеристик летательного аппарата, когда его движение и де-
формации поверхности заданы.
Деформации летательного аппарата в общем виде описываются
функцией т (Е, 6, т), представляющей прогибы его срединной по-
верхности относительно плоскости ОЁС.
При решении задачи о флаттере широко используется метод
собственных форм (метод Бубнова—Галеркина; метод, использу-
ющий уравнения Лагранжа). В этом методе, теоретические основы
которого изложены в [1.16], [1.18], определяется вид функции
fs; (5, ©) (собственная форма), отвечающей некоторому естествен-
ному типу колебаний упругой конструкции летательного аппа-
рата в пустоте, и соответствующее ей значение частоты колеба-
ний р, (собственная частота). Вообще говоря, для упругой кон-
струкции существует бесконечное число собственных форм и соб-
ственных частот колебаний, но на практике берется только огра-
ниченное их количество, так как в большинстве случаев для описа-
ния деформации конструкции бывает достаточно относительно
небольшого числа низких форм собственных колебаний.
Довольно широкое применение нашел и вариационный метод
Рэлея—Ритца [1.9], приближенно представляющий деформации
конструкции в виде, определяемом разложением по заданным
координатным функциям смещения срединной поверхности. В ка-
честве функций fy (Е, 5) в данном случае могут выбираться раз-
личные полиномы: степенные функции, тригонометрические функ-
ции, полиномы Лежандра и т. п. | |
Таким образом, при решении прямых задач аэродинамики счи-
TaeM, что деформация срединной поверхности летательного аппа-
рата определяется заданными формами fs, и безразмерными часто-
тами колебаний pj, т.е.
; и & 6 1) = di foi (, 98, (2),
6; = 8;cos (ри + 6,), |
j= l, 2, vee
(4.60)

Для каждой из заданных форм f, (Е, 8) задача решается незави-
‘имо. Из решения систем (4.32) при р; + 0 u (4.35) при р’ — 0
| в,
находятся аэродинамические производные циркуляций Ty eet,

116 МЕТОД. РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ [Гл. 1%
Thee ty Doh ae, Poylee—t и по ним согласно формулам (4.57)—
(4.59) определяются коэффициенты аэродинамических производ-
ных нагрузки, подъемной силы, продольного и поперечного
моментов. После этого по принципу наложений (суперпозиций)
легко определяются аэродинамические характеристики при сум-
марной деформации:
сд > (ве
|
6, 6; x? 6, 5 6, 6, 1
c! =! — р, с ', с '= а" - с ', (4.61)
с=р (5, 0), Cys ть, т» с, ту ть,
j=l, 2,...

$ 8. Расчет функций аэродинамического влияния
Несколько иной подход к решению задач аэроупругости
(флаттер, реверс, дивергенция), также часто употребляемый,
используется в методе сосредоточенных параметров [1.9], иначе
называемый матричным методом.
Согласно этому методу вся конструкция летательного аппарата
представляется конечным числом жестких элементов, каждому
из которых придается своя площадь и масса. Инерционные,
упругие и аэродинамические силы, действующие на рассматривае-
мую конструкцию, заменяются системами соответствующих сосре-
доточенных сил, приложенных в некоторых точках этих элементов.
Деформация непрерывной конструкции приближенно пред-
ставляется конечным числом дискретных обобщенных переме-
щений элементов, на которые она разбита. Обобщенные перемеще-
ния представляют собой величины независимых смещений системы
элементов, которые не нарушают геометрических связей, на-
ложенных на конструкцию.
Вследствие движения какого-либо из элементов аэродинами-
ческие нагрузки возникают не только на нем, но и на всех осталь-
ных элементах. Эти нагрузки называют функциями аэродинами-
ческого влияния. Рассматривая последовательно независимые
смещения всех элементов, получим систему функций — матрицу
функций аэродинамического влияния.
Вообще говоря, деление конструкции летательного аппарата
на элементы при расчете функций аэродинамического влияния
не обязательно делать таким же, как при расчете упруго-массовых
характеристик.
Пусть базовая поверхность летательного аппарата линиями V
и р разбита на ряд элементов-ячеек (рис. 4.1). Ячейки будем

$.8] РАСЧЕТ ФУНКЦИЙ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО ВЛИЯНИЯ 117
характеризовать индексами и и ЕЕ — 1, представляющими точки
пересечений соответствующих линий. Тогда площадь ячейки
будет Sure 1, ее средняя хорда — 6,1, а координаты центра —
и 1, cue 1. Очевидно, что
bupp_ Supe = 3
Buna = MH = Aa, Мы. (4.62)


Величины Аа, т, и, ae определяются формулами
(4.2), (4.3), (4.17). _ |
Далее считаем, что произвольная деформирующаяся непрерыв-
ная срединная поверхность конструкции представлена обобщен-











ными координатами -B уз- By,
aX, являющихся пересе- y-/ dv
чением средних хорд Opyy и ея
с линиями V (рис. 4.1), т. е. x уф к
в точках с координатами ‘Pps у а
ve 1, СР: В соответет- В х
вии с видом граничных
условий (2.84) в качестве | |
обобщенных координат вы-
бираем линейные смеще- = Dy y-1 ~
ния и скорости смещений рис. 4.5. К введению обобщенной коорди-
в указанных точках. Та- наты 61.
ким образом, деформация
приближенно представляется столбцевыми матрицами координат
следующего вида:
У (Е, С, т) — Ша (x)], a = y (Е, С, т) — [met (x)|,
(4.63)
рт == М (а, бл).
Рассмотрим какое-либо КЕ — 1 сечение (рис. 4.5). Тогда
движение wkk — | элемента деформирующейся поверхности может
быть выражено через скорость линейного движения его задней
кромки и угла поворота относительно нее. Поэтому в качестве
обобщенных координат, определяющих движение элемента по-
верхности, вместо (4.63) принимаем

\—1р - -\ ;
= 1—1 — 11 ба = Пур (4.64)
In Owkk-1
jovepul, 2,... п; г=р=Е=|1, 2,..., М.
Для расчета функций аэродинамического влияния используем
вихревую модель, подробно описанную в § |. Будем считать, что
симметричные элементы правой и левой половин летательного

118 МЕТОД РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ (fa. IV
аппарата отклоняются одновременно симметрично (--) или анти-
симметрично (—). При гармонических законах изменения обоб-
щенных координат во времени представим любую аэродинамиче-
скую характеристику, в частности циркуляции присоединенных
вихрей, через коэффициенты аэродинамических производных
(1.48) в виде
Pyke = d > (Pie ab1ye + Рай) +
61 8 , &
+ >, > (Гы бор + Tee Sur), (4.65)
Г г
j=l, 2,..., 4; r=1,2,..., М.
Найдем в контрольных точках #1, Cyb-1 скорости, индуциро-
ванные всей вихревой системой при изменении только 01, или Soy
обобщенных координат, и потребуем, чтобы в них выполнялись
граничные условия (2.84). Проделаем это поочередно, изменяя
параметры 01, и Og. В результате получим следующие nN -cu-
стемы алгебраических уравнений относительно искомых коэффи-
*
циентов аэродинамических производных циркуляции При р: =f 0:
N n
\


| (1) pkk—l (1) kR—1) пб,
= у у (рр = О уурр—1 )Г tht —
В =1 p=!
р кл инь 2) pkk—1y pb
LRR— (2) WRR— Г
— 4 У, у, (Мур == Ор )Г у = Нур,
k=l p=1
ме 1) pkk—1 1) wkk—1y\ poy,
(1) pkRe— (1) це^— r
у У (Wpp—1 = OWyvpp—1 )r dha +
k=1 p=1
"IX (2) ЦЕЕ—1 2) wkk—1\ гб
URR— (2) wkR— ifr о —
+ р: у (Wivpp— + OWyvypp—1 )T bet = 0,
k=1 p=!
сна | + (4.66)
(1) wke—l (1) wkR—1\ пбом
“th у у (рр == OW yy рр—1 )Г Не —
Е =1 p=1
рр мк (2) wkk—I 2) pkk—1\ гб
t WRR— (2) wRR— r
—-жш» > (ор = OWyvpp—l )r we = Hyp,
k=l p=!
ме 1) wek—l 1) pkk—1\ гб
(1) pRR— (1) wRR— r
у у (Wivpp—l = OWyvpp—1 )T web 1 +
k=l p=l
мк 2) wkk—l 2) иеё—1\ гб
nh (2) wRR— ( —
+P > У ФАН = ов) ГО,
Е —=1 ц=1

$ 8} РАСЧЕТ ФУНКЦИЙ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО ВЛИЯНИЯ 119



6. 6;
Dee = ee = De, (=P, 1 =0,
k=l, 2,..., М;
у › b 9 q 4.66
v=1, 2,...,.n—Il; p=l, 2,..., М; (4.99)
j=l, 2,..., mn; r=I1, 2,..., М.
Величины Ни, и Ho,, в системах (4.66) равны
1 при v=j; p=r,,
О при v=j, p#r, |
Наур = Нур = v + j; p=r,{ (4.67)
\ v=]; per.,
Как видно из (4.66) и (4.67), системы для Th, Ге и Pe, Гё, полу-
чаются одними и теми же. Отсюда заключаем, что
b,j é в,
а Ре ГГ, (4.68)
Поэтому для определения функций влияния достаточно совместно
решить первые две системы (4.66).
Для практических приложений интересен случай малых зна-
чений числа Струхаля, т. е. р* — 0. Тогда системы уравнений для
каждого из значений fr разделяются и принимают вид


№ п \
1 kk—1 RkR—1 \ пб
i у У, | Му рр—1 = OWiyvpp—1) i ae = [Miyp,
k=1 p=1
ме ВЕ—1 kR 6.
у у, (р + ош) 1 =
k=1 p=1
N n
(2)ukk—1 (2) ЦЕЕ—1
— OW yvpp—1 4. OW wv pp—1 ro r > (4.69)
— д 0 др* wkk—ls
k=! u=1 р .
v=1, 2,..., 1; p=Il, 2,..., N;
j=l, fee п, r=, 2,..., М,
6,
wee 1= 8 М 1=0, k=l, 2,..., М.

Коэффициенты аэродинамических производных функций влияния
циркуляций, полученные при симметричной деформации, будем
отмечать дополнительным индексом (-+) вверху и (—) — при
антисимметричной деформации. Тогда циркуляции симметричных

120 МЕТОД РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ [Гл.. ТУ
относительно плоскости ОЁ] присоединенных вихрей связаны
очевидными равенствами:
при симметричной деформации
rte (eee ба) =TTO (Ene а, — а), (4.70)
при антисимметричной деформации
Г (Ерль бе) = -—Г (аль — бы). = (4.71)
Общую, несимметричную деформацию можно представить как ли-
нейную комбинацию симметричной и антисимметричной дефор-
маций.
Используя полученные коэффициенты аэродинамических про-
изводных циркуляции, определяем по формулам (4.40) функции
аэродинамического влияния РУ р которые
имеют вполне определенный физический смысл. Они определяют
величину аэродинамической нагрузки Ap, действующей на
ukk — | элемент (ячейку) схематизированного летательного аппа-
рата при деформации его поверхности в jr (у, рр — 1) точке.
Аналогично рассчитываются функции аэродинамического влия-
ния и при бесциркуляционном обтекании.
$ 9. Связь функций аэродинамического влияния
с коэффициентами аэродинамических производных
С ПОМОЩЬЮ матриц функций аэродинамического влияния
5,
ри -1, ра, рый. -1, pith | можно определить аэродинамиче-
ские характеристики летательного аппарата при произвольных
деформациях его поверхности и произвольном движении всего
аппарата, в том числе и при установившемся. Для примера рас-
смотрим несколько движений всего аппарата.
Пусть аппарат совершает поступательные колебания вдоль
оси On. В этом случае смещения, скорости и ускорения смещений
всех точек поверхности будут одинаковыми, поэтому
® dy b \
64;, = 5,;, = 9, Sf == ap д = Ыб
| (4.72)

. .. dy .
бл = = г == — 9.
В соответствии с (4.40) для нагрузки в точке и, ave получим
Pure = — d > Pel, Phi 1 = — > 2 pert. (4.73)

$59] - СВЯЗЬ ФУНКЦИЙ ВЛИЯНИЯ C ПРОИЗВОДНЫМИ 19]
Для коэффициентов аэродинамических производных подъемной
силы аппарата будем иметь
бу = — = у > Sure—t > у, Duets,
Bh J r
&=— sd > Suee—1 р Хр р,
и для продольного момента
тг = У > У у > Part!’
7
вузах Хи, | ars
и
j=l, 2,..., п, r=l, 2,..., М;
u=1, 2... д; k=1,2,..., М,
| (4.74)


Рассмотрим теперь вращательные колебания аппарата относи-
тельно оси OC. Как нетрудно видеть, смещения и скорости смеще-
ний точек поверхности через угол поворота @ (угол предполагается
малым) выражаются соотношениями
Пур—1 == — Чу ПУ = — yo. (4.76)
Таким обр азом, согласно (4.64) будем. иметь
Sijr = — a, 6.1, = — Ot, S sir — — а Soi = — ор. (4.77)
Отсюда.для коэффициентов аэродинамических производных на-
грузки, замечая, что & = ®,, & = ®,, и учитывая (4.68), получим
)
| +5
Purk—1 =. > py Pure = = — х > purkitr,
Dude 1 =. — ps > оО = — х ps рев" “ty
Piek1 = — х xy ЕР, ^ (4.78)
а — — > > pial ЕР,
j=v=1, 2,..., a f=p=l, 2 prey М.


122 МЕТОД РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ (Гл. 1V
Теперь, используя (1.49), будем иметь
® = — 5 ps ps ОЕ х a pat
Г
= =
= x.
[9%
=
a
a
L
~M _
MM _
S
e+
et
ae
Г
<2
7
С, = ; ; Suee—l 5 > piety,
и
Cy? = У Sukk—1 > x ры Ур,
oa
Surr— ee 3 > РНЕ р—1,
22 Suse. ЕВА УХА ВВ,
mz? = > у Убив 2 » > peer eX?
и
[= ==1,2,..., И; я р 2,..., М;
hy, k=l, 2,..., №.
Пусть теперь аппарат совершает угловые колебания относительно
оси ОЕ. В этом случае смещения и скорости смещения контрольных
точек выражаются через угол поворота ‘у следующим образом:
>
и
2 Suse ee 1d У park 1, | (4.79)
»
Г
3
||
bo
= =М =М sds als

°9
Пур--1 = — Vovp—1 1 = У. (4.80)
Отсюда согласно (4.64) и замечая, что р = (,, имеем
ба, — 81 jr — 0, 02 — — хбр 1 6, — — бу. (4.81)
Так как в данном случае деформация антисимметричная, то по-
лучим © 5.
x — ofr Vp
Puke—1 >= — > p> Purk—1Svp—1,
Puke = = — > > РЖ Урф1,
mat = = х > Зри х ps purty, | (4.82)
= "= > ps Suee—1Che—t ь > parse бур
j=v=1, 2, fh, r=p=l, 2,..., М:
u= Il, 2,..., ny; Е = |, 2,.,.) М, ]


$ 10] РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК УПРАВЛЯЮЩИХ ОРГАНОВ 123
$ 10. Расчет аэродинамических характеристик
управляющих органов
Пусть на летательном аппарате или крыле симметричной формы
в плане, на каждой из половин расположено | = 1, 2, ... управ-
ляющих органов. Как уже указывалось в $ 8 главы I], отклонения
их следует рассматривать как деформацию соответствующей части
поверхности летательного аппарата. Поэтому для расчета характе-
ристик управляющих органов используется такая же вихревая
















Рис. 4.6. Вихревая модель при расчете рулевых поверхностей.
модель, как и во всех рассмотренных ранее случаях (рис. 4.6).
Небольшие изменения вихревой модели, употребляемые для повы-
шения точности расчета некоторых характеристик, укажем ниже.
Рассмотрим ‘только циркуляционное обтекание летательного
аппарата с управляющими органами при числе Струхаля, стремя-
щемся к нулю (р; — 0). Исходя из вида граничных условий (2.96),
(2.97), разобъем общую 0,;-задачу (т.е. для ]-го управляющего
органа) на ряд нормированных частных. Для этого представим
безразмерную циркуляцию
ГР = Г соз6, + Го cos 0, ++ ГЛ cos 6; + ry sin 0;,
\
Г = 14/5, г 6, Th = Гб, + ri 8; (4.83)
Г — Г, + Г, rp =r, + Ги. |


124 МЕТОД РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ
(Гл. IV
Вычислив в контрольных точках базовой плоскости скорости, ин-
дуцированные всей вихревой системой, заменяющей летательный
аппарат и управляющий орган, и потребовав удовлетворения в них
граничных условий (2.96), (2.97), получим вместо системы алгеб-
раических уравнений (4.35) следующие системы:
1 ¥ kk—l kk—1 \ pd
wke— ЦЕЬ—
th py (wyvpp—t + 0W Wwop-1) ты = Нурр—1ь
Ws _ g
DY DY (ohh + ow te) Piles =


k=1 =e
№ И» 2 в 2) wke—l
ди?) и ди (2) и
у —1
— — у р 7 ee 4 0 eee Pi eet,
k=1 p=u Op;
р=1, 2,..., М; v=l, 2...
8) bj
Pin, ee—1 = Pip Еф = 0, k=l, 2,..., М;
И ®
1 ШЕЕ—1 ШЕЕ—1 6
“Gn, у У (whvpp—-1 + Ow bwpp—-1) Г НЕ =H gvpp—l,
= [1
wkk—l ukk—1 \ тб
у у (рр + OW ppt) ГЕ =
k=1 Ио
№ We (2) wRR-I (2) wRR—I .
-— У (= У с 90 $
* —
др; др;


Teh eet = Deh eet = Q, Е — I, 2, @oey N;
g=2, 28, 9.
Thee, |
+ (4.84)

Здесь знак «--» берется для рулей, знак «—» для элеронов. Вели-
чины Н:и Н, равны
y | на правом j-M руле (элероне), |
1урр —1 =
УРР О на крыле вне руля (элерона),
y - на правом j-M руле (элероне), |
9 _1 =
vpp—l О на крыле вне руля (элерона), |
(4.85)
(4.86)

$ 10] РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК УПРАВЛЯЮЩИХ ОРГАНОВ 125
vp . |
— Svp—1 на правом ]|-м руле (элероне
Нд =| SY? равом j-m руле (элероне), | (4.87)
на крыле вне руля (элерона),
vp ;
— Gvp—1 на правом j-m руле (элероне),
Нкурр—1 -| Ni равом J-m руле (элероне) |. (4.88)
на крыле ‘вне руля (элерона).
Отсюда следует, что при любых М и р* для произвольных крыльев
имеем
ГИ = Г2/, Ty = Го. (4.89)
Когда для каждого руля решены все четыре (практически их
три, так как 6, 1-задача идентична 0;2-задаче) базовые задачи, имеем
на основании (4.83) с учетом (2.99) и (4.89)
\
Г — pig, 4 7's,
ro) — reicosd, — р’? [Pa с080, +P cosh, + ГИ sind,|, } (4-90)

6 5, 6,— $ $ |
Г7 = [17 0$ 9, + Ги со; cos 0; + Ped cos 9, + Tod sin 0.
Соотношения, совершенно аналогичные (4.83),. справедливы и
для любой аэродинамической характеристики, которые запишем
так: |
и 5 8,. |
с —¢ 18; +.¢ 18 ,,
6; 6 *‹ б,- 6 5,
c! = c;'cos 0,—p; (с. co; COS 0, + Co! COS 0; + сх sin @,), | (4.91)
6, 6; 6;- 6, _ 6,
с’ = 1! cos 9; + c1'co; cos 9; + cog cos 9; + сх sin 6,,
с =P, Cy, Mz, ть.

4
Коэффициенты аэродинамических производных соответствующих
характеристик вычисляются по найденным из решения указанных
базовых 6б-задач аэродинамическим производным циркуляций
согласно формулам (4.40)—(4.43). Когда отклоняются все рули, то
общая величина аэродинамического коэффициента будет
c=) (<r 8; + сё, С=р, Cy Mz, My. (4.92)
|
Из (4.91), (4.92) видно, что коэффициенты аэродинамических
производных сил и момёнтов, действующих на весь’ летательный
аппарат, просто вычисляются через Te, которые определены для

126 МЕТОД РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ [Гл. 1
базовых задач. Поэтому формулы (4.91) можно использовать как
формулы пересчета соответствующих коэффициентов на другое
положение оси вращения управляющих органов.
Несколько сложнее обстоит дело с шарнирной силой и шарнир-
ным моментом. Пусть летательный аппарат симметричен относи-
тельно Oxy, будем рассматривать силы и моменты на руле х, pac-
положенном на правой его половине. Они будут вызываться на-
грузками, вызванными движением всего летательного аппарата
(p%, pt; g, =, Wx, w,), атакже нагрузками, которые соответствуют
отклонениям рулей. Коэффициенты введем формулами (1.30),
(1.50). Тогда для руля х можем написать
)
Cyr (0) = У} Lefont (6) + све 9] +
+ Bethe 8; (0) + сё, (0)]
; (4.93)
tan (9 = [еб (9) бы (9)] +

4 у ria, 8 (9 + mal 8, (0)] .
y
Коэффициенты аэродинамических производных силы и шарнир-
ного момента связаны с соответствующими производными нагрузки
соотношениями (1.51). На основании (1.51) и (4.91) для подъемной
силы руля находим
6 6 * 6 - |
+ (ble) ee cos 0; + (Plea sin 6, |

. (4.94)
Cota = (9), cos 0; + (ны) Со cos 0, +
+ (Phan) ag cos 0; + (Plane) at sin 0; . |
Здесь
(= < [| pidtdt, (см), = $ | Je | de dt,
g=l, 2, 2¢, (4.95)

(etn) = [ре iat, = 28, 2
x

$ 101 РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК УПРАВЛЯЮЩИХ ОРГАНОВ
127
Сложнее обстоит дело с шарнирным моментом, так как в фор-
мулы (1.51) входят произведения типа pio, и p*io,. На основании
(2.94) и (4.91) имеем
. 6 6 * $.— |
рУры = [ pi! cos 0, — р”? (ри’бь, со; + px cos 0, +
+ pod sin 0 ‚| (Com cos 0, -+- & cos 0, + &sin 8,),
6 б 6— |
р 'ох = ( pe! cos ; + piico; cos 0, +
+ pol cos 0; 4- pol sin в, (Cox COS 0» + Ecos 0 Е зщ 6,). |



Обозначим
(м, = “ie de db,
Хх
(nities = — seam [ 544 |
x
q= 5) 6» 83 g=1, 2%, 2. |
Тогда из (4.96), (4.97), а также (1.51) и (4.95) следует
6 b 6 - 8
тик = — te CylunCon COS Oy -- (ты cos 8; cos 8,—
—p;’ cos 0, (те), Coj Cos 8; +E (rr hea cos 0, +
+ (т) sin 0 A + (ыы), cos 8 Co, COs 9, —
—p; sin, [а Coj COS 0, +- (ren og cos 0; --
+ (ren) sin о,
b & -
Тшк = — bn СупиСох cos 0, +
--.cos 6, (re dene) cos 0; -+ (rn le, Co; cos 8; +
+ (atk. ox cos 9; +- ты) sin 6, +
-|- sin 0, | (alse) cos 6; + (тб), Co; cos 8, ++
“+ ты) cos 0; + (rate) sin 0,| |

| (4.96)

(4.97)
(4.98)

128 МЕТОД РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ [Гл. IV
Аэродинамические производные силы и шарнирного момента
при движении всего летательного аппарата будут
9; b q - q; gq
Muy = — Cy СушиСох cos 0, ++ Miler cos 0, + Тиби sin 9, |
Ч b 4; - qi 9 \ .
qj =a, Oy, <. J}

q q . 9;..
Здесь сушх, Суш» определяются формулами (1.51), a шеи ,...
...) ти введены формулами, аналогичными (4.97), а именно
9 63 а |
т || p™ bab dt,
хх Sy

% 6 4;
Mink — Зиби | р Е dé АС,
| 63
то | fp“ tabat, | (4.100)
. Зуб» $,
7 рз т
musky = _ Syby, | | р” C dé 46,


9
qi =a, Oy, WO,
Суммарные аэродинамические коэффициенты определяются
согласно (4.93)..
Формулы (4.94), (4.98), (4.99) могут быть использованы для
пересчета коэффициентов аэродинамических производных подъем-
ной силы руля и шарнирного момента при изменении оси шарни-
ров руля.
В заключение заметим, что все интегралы в соотношениях
(1.51), (4.95), (4.97), (4.100) заменяются при расчетах соответству-
ющими суммами по ячейкам вихревой модели, которые попадают
на управляющий орган, аналогично тому, как-это сделано в $5
настоящей главы. Естественно, что при малых размерах управ-
ляющих органов, по сравнению с размерами самого крыла или опе-
рения, количество ячеек на нем будет невелико и точность-расчета
силы и шарнирного момента может оказаться недостаточной.
Повышать точность ‘расчета путем разбиения всего `схематизи-
рованного аппарата на существенно более мелкие ячейки нерацио-
нально, так как Точность определения ‘эффективности управляю-
щих органов повышается при этом мало, а трудоемкость расчетов
увеличивается весьма значительно. Поэтому при расчетах шарнир-

$ 10] РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК УПРАВЛЯЮЩИХ ОРГАНОВ 129
ных характеристик рациональнее несколько изменить вихревую
модель, а именно: на всей базовой поверхности использовать
разбиение на более крупные ячейки, а на части ее, соответствующей
управляющему органу, на гораздо меньшие, как это показано на
рис. 4.6.
Аналогично могут быть определены характеристики управляю-
щих органов и при бесциркуляционном обтекании. Представим
циркуляцию присоединенных вихрей аналогично (4.6) в виде
АГ нев 1 = Uob JAPA нь 16; cos 0; + AT Si —16 50 cos 0; ++
§ ‚ 6 .
+. AT oy 4416 ; COS 0; +- AT ot uke oF sin в, |. (4. 101)
Для определения циркуляций присоединенных вихрей имеем
системы уравнений
N )
Ly 6
1 ЕЕ—1 ЕЕ—1 ]
я У у (Wop + OW ypp—1) AT iper—t = Hyp ’
k=1 p=
ph
YAP ike =0, k=1, 2, ..., М,
=o
1 (4.102)
“45 у у (ое + ow ppt) AT Shee = Нур» |

k=1 и=Ио
У АГ 1—0, k=1, 2, ..., №;
И— №
р=1, 2, ‹.., №; vel, 2, ..., n=l.
Величины Hy, Нор определяются соотношениями (4.85)—(4.88).
Представим аэродинамические характеристики при колебаниях
рулей по гармоническим законам в виде (4.91), отмечая их при
бесциркуляционном обтекании индексом А перед коэффициентом.
В частности, для коэффициентов нагрузки будем иметь
)
Ap? = Ap 6, + Ap’ 16,
Ap! = Api! cos 0, + р"? [ Ape! do, cos 0; +
+. Др COs 0; + Apor! sin 6, , (4,103)
Ap”! — рт" cos 0; + Api!co; COs 0; +

| 8,
+ Ар» cos 0; + Ape? sin 0; . |

130 МЕТОД РАСЧЕТА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ (fa. IV
Коэффициенты аэродинамических производных нагрузки при
бесциркуляционном обтекании получаем, используя теорему Жу-
ковского «в Малом» для этого случая (см. § 3) и полученные при
решении систем (4.102) безразмерные циркуляции вихрей. В ре-
зультате имеем следующие формулы, аналогичные (4.23):


)
9 .
A pi! (hea Chet = ЛЕ Е АГ 1,
6 (ый _._ 7 5,
Ap, (Ene, an 11 = Гу AV giure—i,
A ps (ene 1, Chte-1) = 2 у Ага, (4.104)
И—=Ио
р A pe
Ap? (ЕЕ би) =2 у AL gh re—1s
И=Ио
g = 2, ЗЕ, 25,

где Afy,,1 определяется по (4.17).
Суммарные аэродинамические характеристики всего летатель-
ного аппарата, а также подъемная сила и шарнирный момент рулей
определяются формулами (4.91)—(4.100), в которых все коэффи-
циенты с%, ct, ci, ci заменяются на соответствующие коэффи-
б у
циенты Act, Дей, Ас”, Act,

ГЛАВА У
РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ
АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ (0<M<1)
И МАЛЫХ ЧИСЛАХ СТРУХАЛЯ (p* — 0)
$ 1. Основное преобразование
Если скорость полета И, мала по сравнению со скоростью
звука, то среду, в которой движется тело, можно считать несжи-
маемой при р* — 0. Это вытекает из того, что сжимаемость среды
практически не будет проявляться, если возмущенные давления
р’, вызванные движением тела, весьма малы по сравнению с давле-
нием в невозмущенной среде Po, т. е. [р’/р»| < 1. Отмечая плот-
ность невозмущенного потока индексом со, можем написать

следовательно,
р х — :
где р = 2p'/p.Us — коэффициент давления. Этот коэффициент
зависит в основном от координаты точки, в которой он опреде-
ляется, формы тела и его положения в потоке. С увеличением тол-
щины тела и его угла атаки при фиксированных М максимальное
значение абсолютной величины р будет возрастать, значение
|p’/Poo|max — увеличивается, влияние сжимаемости, среды будет
проявляться при меньших числах. М. Таким образом, влияние
сжимаемости среды сказывается тем сильнее, чем больше число
М набегающего потока и чем сильнее возмущения, создаваемые
телом при малых числах М.
В рамках линейной теории учет влияния сжимаемости среды
можно производить, сводя задачу к обтеканию несжимаемой жилд-
костью некоторой несущей поверхности. В случае движения тон-
кого летательного аппарата как жесткого тела и деформациях его
поверхности по гармоническим во времени законам с числами
Струхаля, стремящемся к нулю, можно подобрать такую несущую
поверхность и такие граничные условия в несжимаемой жидкости,
что решение задачи для нее будет удовлетворять всем условиям
задачи для исходного летательного аппарата, движущегося в газе.
Рассмотрим тонкий летательный аппарат и схематизируем его,
как указано в главе II, деформированной несущей поверхностью,
движущейся поступательно со средней скоростью Ц и совершаю-

132 РАСЧЕТ ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ [Гл. У
щей при этом малые гармонические поступательные и вращатель-
ные колебания. Введем связанную прямоугольную систему коорди-
нат (рис. 1.1). Ее начало поместим в носке летательного аппарата,
плоскость Ох2 совместим с плоскостью несущей поверхности, ось Ox
направим назад, ось Oz — вправо по размаху, ось Оу — вверх.
Вместо движения и деформаций этой несущей поверхности в физи-
ческом пространстве сжимаемого газа рассмотрим движение и де-
формации некоторой другой преобразованной несущей поверхно-
сти в фиктивном (вспомогательном) пространстве, заполненном
несжимаемой жидкостью. Координаты фиктивного пространства
хм, Им, 2м связаны с координатами физического пространства фор-
мулами
x=kxXy, Y=Yy, 2=2y,
Введем безразмерные координаты
=, А=УТ— Ма. (6.2)

_ x _ sy _ 2 -__ ЯМ _ Ум |
=), FT 6=-, м = Fy? Им = 3, ,
+ (5,3)
С — 7M
м дм’ ]
которые согласно (5.2) связаны очевидными соотношениями
6м = Им=А\ Sy = RE (5.4)
Изменим форму в плане (базовую плоскость) исходной несущей
поверхности согласно (5.4). Тогда получим, что форма в плане со-
ответствующей преобразованной несущей поверхности будет опре-
деляться зависимостями
Eom (bm) =o ko (Os iy (Ly) =Р ©,
- ' о ы b
by —_м, —— by Е °
M 5’
| (5.5)

J
Здесь & — координата передней кромки, 6b’ — текущая хорда.
На рис. 5.1 в виде примера показаны базовая плоскость летатель-
ного аппарата (рис. 5.1, а) и плоскость соответствующей преобра-
зованной несущей поверхности (рис. 5.1, 6). На рис. 5.2 приведены
аналогичные базовые плоскости для монопланного крыла сложной
формы в плане. Деформации исходной и преобразованной несущей
поверхности согласно (5.4) будут иметь вид
п (Е, п, = @ 96(),
4
tw Ew Sa 7) =Fo(Ew, th) by (0)
где f; — заданная нормированная функция, a связь между by ид
будет установлена далее.
(5.6)

§ 1) ОСНОВНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИВ 133
Для крыльев с прямыми кромками форма в плане обычно
задается безразмерными параметрами: удлинением A, обратным
сужением 1 и углом стреловидности передней кромки 5.
0 2 ( 2м


ft)

/
Iyy\
Рис. 5.1. Базовые плоскости: а) исходного летательного аппарата, 6) преоб-
разованной несущей поверхности.
0. 2 D+ By
>- _ 3 =


b é
i > р | ‘м
| и | | |
TY <_< ——— Lng | >
Ty








Puc. 5.2. Исходное и преобразованное монопланные крылья.
Соответствующие безразмерные геометрические параметры пре-
образованного крыла будут связаны с параметрами исходного
крыла следующим образом:

134 РАСЧЕТ ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ [Гл. У
$ 2. Соотношения между кинематическими параметрами
Будем изучать движение и деформации исходного летательного
аппарата, кинематические параметры движения которого (1.41),
(1.42) без ограничения общности могут быть заданы в виде
\
g, =@ (т) = a* cos p*t,



42 = ©,(T) = те =, COS рт,
дз = 0; (т) = ve = W; COs pt,
0
а = 5 (т) = 5* cos p*t, (5.8)
4 = (т) = — p*6* sin p*t,
. dq; ,
“=a i=l, 2, 2429 5,
re P= OF
Среднюю поступательную скорость преобразованной несущей
поверхности обозначим Uom, угол атаки и угловые скорости —
через Om, хм, 822m, параметр деформации — Oy.
Для того чтобы от расчета рассматриваемого летательного
аппарата в сжимаемой среде можно было перейти к расчету преоб-
разов нной несущей поверхности в несжимаемой жидкости, при-
мем, что последняя движется в возмущенной среде, вертикальные
скорости которой равны на 2:
9 ,
У, = м М > EM im Jim: (5.9)
Величины В;м имеют следующий смысл:
| Biv — —&, )
C
Bon = > ’
Взм = — "м, (5.10)
Or.
By = Ey’
Рьм == 15 (м, Su):

Предположим, что параметры g;m изменяются со временем по
гармоническим законам. Движение преобразованной несущей по-
верхности будем определять с помощью следующих безразмерных

§ 3] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 135
кинематических параметров:
* *
91м = “м = @м COS Рмтм,
b
M * *
Gam = ®хм (тм) = Quek Tom = Oxm COS PmTu>
b * у *
9am = Om (тм) = Qe To = (2m COS Омтм» | 6.0
gam = Sy (тм) = дм COS рмтм,


gam = 5m (тм) = — рмбм Sin рмтм,
gim = dm , = |, 2, 3, 4, 5, ТМ Ou ’ м — Tom

}
Найдем вид дифференциальных уравнений для потенциала ско-
ростей в преобразованном пространстве. Установим также, какие
граничные условия должны быть на преобразованной несущей по-
верхности, чтобы для схематизированного плоского летательного
аппарата в потоке газа удовлетворялись граничные условия (2.54)
и другие условия краевой задачи.
$ 3. Преобразование дифференциальных уравнений
и граничных ` условий
Как показано в главе II, потенциал абсолютных возмущенных
скоростей плоского схематизированного летательного аппарата
должен удовлетворять уравнению неразрывности (2.33), гранич-
ным условиям (2.54) на базовой плоскости, условиям (2.61) на
бесконечности, (2.55) на вихревой пелене и условию Чаплыгина—
Жуковского (2.62) на задних кромках.
Выразим потенциал скоростей в виде (1.48) через коэффициенты
аэродинамических производных, а именно
O& ОО {6,9439 6 О-о", On Cll,
| (5.12)
где 0, — безразмерные кинематические параметры. Для нахожде-
ния потенциала скоростей, следуя работе [1.32], введем функции
|", pa, связанные с коэффициентами аэродинамических произ-
водных потенциала скоростей (5.12) следующими равенствами:
* GQ.
фо = Уд, фи 0506 — Fp" sin of,
p=" cos ФЕ + —p" sin wf, о a № р* | (5.13)

=1, 2, ..., 5.

136 РАСЧЕТ ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ (fa. У
При выбранном представлении потенциала (5.12) и (5.13) диф-
ференциальное уравнение (2.33) распадается на следующие:
дубе Обь ‚ Ompge |
k? ——
052 aye 08 —

97 9; - деф д? wii о М»
OF on? ag РР в (5.14)
apt д? М:
Re Га + 0 + ey + pv = pt =0,
k=1, 2, 3, 4; i=l, 2, wes 5. J



Обозначим через Х базовую плоскость летательного аппарата,
а через D, — плоскость вихревой пелены. Найдем граничные ус-
ловия для функций py! u pi, Переходя в (2.84) с помощью (5.13)
к функциям ф” и ai, получаем условия, которым они должны
удовлетворять на плоскости %


9
| 28 cosa — 2" AEE “ sin © |_= Вь
> (5.15)
1 dp’ 1 ap’ —_
|. an cosw§ + -+ оп Sin ab}, = 9,

i=1, 2,.,., 5, k=l, 2, 3, 4
Правые части уравнений (5.15) равны
В,=—, B=—-& BH—-& B=, Вь=р 0). 6.16)
Условия (2.55) на вихревой пелене Х; после подстановки (5. 13)
принимают следующий вид:
ave | да |
"| =0 epi | =0
д ’ д k4 ?
В У, | Е У! > (5.17)




$ 4] СВЯЗЬ МЕЖДУ АЭРОДИНАМИЧЕСКИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 137
Условия на бесконечности вдали от базовой плоскости и вихревой
пелены будут следующими: °
t= Ope ОЕ — Ase
4 Ope _ 0 ap _
У = = = =O
д op oh apt _
y= OE = 275 =O
Таким образом, определение потенциала скоростей ф сводится
® Tp 4, q;
к отысканию функций фо’, ф*", "4, удовлетворяющих дифферен-
циальным уравнениям (5.14), граничным условиям (5.15), (5.17),
(5.18) и условию Чаплыгина Жуковского.
Одним из основных является случай обтекания при малых чис-
лах Струхаля (p*—0). Полагая в соотношениях (5.14), (5.15) и
(5.17) р*—0, получаем условия, которым должны удовлетворять
функции wp, p в этом случае. Во всей области вне (2 + 2,)
они являются решениями дифференциальных уравнений


| (5.18)





в ое ОЕ о. 0
ОЕ? On? 02
arp | apt дут 5,19
Е ов ав Ра 0, | on
A a a 0% |
в Гот Ра =”

На базовой плоскости Х должны удовлетворяться граничные ус-
ловия
wt] a, (hen, [22]
ove ; = Вь, бт. ya Bu “On „= — М’Вь. (5.20)
На‘вихревой пелене 2, должны выполняться условия
ac __ Es | _ | apt “| __
Ee =o [SL =o [+e], =0. 6.25
Вдали от летательного аппарата и вихревой пелены имеют место
равенства (5.18).
$ 4. Связь между коэффициентами аэродинамических
производных потенциала в сжимаемой и несжимаемой средах
Перейдем к новым переменным &м, 1м, Gm, связанным с &, n, 6
соотношениями (5.4), произведем преобразование условий (5.19)—
(5.21). Всюду вне летательного аппарата и вихревой пелены

138 РАСЧЕТ ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ (Гл. У
ДОЛЖНЫ удовлетворяться уравнения
ample ое о
ъм м 0
2,9: 2,9; 2..9;
ap ary Py _ 9









5.22
age, ‘ та 98 (5.22)
2.9; 2,9, 21.9;
ov oY oy —0.
Ем Ом дом
На Ум имеют место условия
PH] tay, [29°] = Sa,
тм м “Гб [м #’
о | (5.23)
op ——¢ Mp
| м Sy — ~~ SM pb iM»


где Ум — область, в которую переходит плоскость » в результате
преобразований (5.2)—(5.4). Величины B,y определяются равен-
ствами (5.10).
На Ум-области, в которую преобразовывается область №1, за-
нятая вихревой пеленой, при переходе к переменным Em, "м, SM
должны выполняться условия
at ду". ap ag
_ = 0, — = 0, — t — 0, 5.24
Ё Z1M OEM | | Ем у ZIM |
Из соотношений (5.18) получаем
Opge ОЕ ОЕ



QR me м =
фо OEM Эм ar 0,
a; Ope _ 0 ap и |
ф — Ом — ОМ — а = 0, (5.25)
pe Oe _ owl _ apt
OEM Ом Эм
Рассмотрим теперь движение преобразованной несущей по-
верхности в несжимаемой среде. Потенциал абсолютных возму-
щенных скоростей © с точностью до величин второго порядка ма:
лости выражается формулой
O = kb Vom % + (cay +O” Oia )] (6.26
р



$ 4] СВЯЗЬ МЕЖДУ АЭРОДИНАМИЧЕСКИМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 139
Всюду вне несущей поверхности и вихревой пелены потенциал
должен удовлетворять уравнению неразрывности.
029 020 029
2 2 + - = 0. (5.27)
Подставляя (5.26) в (5.27), получим уравнения, которым должны
удовлетворять коэффициенты аэродинамических производных
безразмерного потенциала преобразованной поверхности в несжи-
маемой среде:





2 2
0204 0205 | 28 — 0,
Ом Ом Эм
926 iM 920 iM 920 iM __
и м | (2.28
м ом gt
и м бы =
Рассмотрим теперь граничное условие на преобразованной не-
сущей поверхности. Его можно записать следующим образом:
1 00
г x
ИАС ом фо, —M 4
Yom 99m
MO °°xM Von 2M (ом
Ofo 7
т Oey Soy +. бм + № (Em, у
—=—a

(5.29)

Это равенство справедливо Ha плоскости Хм. Подставляя в него
(5.9)—(5.11), (5.26) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
кинематических параметрах, получаем условия, которые должны
выполняться на OM
4, | 4,
00 М | Bim a0 "| _ М?
| Ом |. - в’ | Ом cy ме Эм. (5.30)
Заметим, что все условия и уравнение для функций wo* up при
p*— 0 полностью совпадают, поэтому здесь и далее Woe не рассма-
тривается. В области вихревой пелены Ум должны выполняться
соотношения (5.17), которые при pm — 0 примут вид
ЧМ | 9 М
| Эм 1 =1м OEM 21M




140 РАСЧЕТ ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ (Ta. У
Наконец, вдали от преобразованной несущей поверхности и вихре-
вой пелены будем иметь
am 00М 00мм _ |


9’! = — 0 =0,
om ^ OM м
; ; : | (5.32)
о':м __ 00 iM _ 00 iM 7 90 iM —
Ом Ом дм

2
Сравнивая (5.22)—(5.25) с (5.28), (5.30)—(5.32), находим, что
функции wi, р", определяющие аэродинамические производные
потенциала скоростей при движении плоского схематизированного
летательного аппарата в сжимаемой среде и аэродинамические
производные 0”"М, 9” потенциала скоростей соответствующей пре-
образованной несущей поверхности в несжимаемой среде удов-
летворяют одним и тем же дифференциальным уравнениям и гра-
ничным условиям. Поэтому значения этих функций в точках, свя-
занных условиями (5.4), будут равны, т. е.
9 Tm Sm ЧЕМ
У, №, AL) =e" Gs ны,
ve (ey, ПМ, Ms АМ (лы).

Таким образом, задача о движении и деформациях плоского
летательного аппарата с гармоническими законами изменения
кинематических параметров во времени в сжимаемой среде при
р*—0 эквивалентна в смысле равенств (5.33). задаче о движении
соответствующей преобразованной несущей поверхности в несжи-
маемой среде, но с измененными согласно (5.29) граничными усло-
ВИЯМИ.
$ 5. Коэффициенты аэродинамических производных нагрузки
в сжимаемой и несжимаемой средах
‚ При решении задачи для несущей поверхности в несжимаемой
среде потенциал скоростей © обычно не находят (см. гл. IV), вы-
числяя только циркуляции, нагрузки и аэродинамические коэф-
фициенты. Поэтому целесообразно получить формулы, позволяю-
щие совершать непосредственный переход от этих данных к COOT-
ветствующим характеристикам летательного аппарата в газовом
потоке. Запишем согласно (1.48) коэффициент нагрузки Apu =
= 2Apm/p.Uim на преобразованной несущей поверхности в про-
странстве несжимаемой среды и такой же коэффициент Ap =

§ 5] АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НАГРУЗКИ 141
= 2Ар/о» 0 на исходном летательном аппарате в потоке газа через
коэффициенты аэродинамических производных:
Ap = У} (рб, р.)
i
)
A Dy = Say Jim Г Bim am) ; | (5.34)
1

При помощи интеграла Коши—Лагранжа были получены вы-
ражения (2.25) для аэродинамических производных нагрузки че-
рез производные потенциала. Подставляя в (2.25) значения ф%*
и Ф” из (5.13), находим
, 9; +2 7.
р" = a{| — а ¥ | cos 08 —



| (5.35)





При p* — 0 (w—0) аэродинамические производные р*, р" равны
. 9 7. д 91
pt = 4 OE? pti = = (20 ф + им + —— > “pM, (5.36)
Аналогично из (2.25) находим, что при рм —>0 аэродинамические
производные нагрузки на преобразованной несущей поверхности,
движущейся в несжимаемой среде, будут
рым — Ap


a0” M (= iM ).
74, — ЧМ
iM = 4k — 0 5.37
Сравнивая (5.36) с (5.37) и учитывая связь (5.33) между потенциа-
лами, легко установить, что в соответствующих точках сжимаемой
и несжимаемой сред, связанных равенством (5.4), между аэроди-
намическими производными нагрузок имеется следующая зави-
CHMOCTB:
м
k=VI—M. (5.38)



152 РАСЧЕТ ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ (Гл. У
©.
Правые части систем относительно ГМ: равны



д,
— при р=),
HY —_| 5M =EMvp—1 | (5 67)
ПИ м = МУр-—1 й
*
. a “7M
Найдя из (5.66) циркуляции МАЕ —1, CMure-1, определяем
параметры сопряженной деформации, для чего решаем систему
уравнений
Мб + 2 reg 1
ok
“IM

= (0)
k=1,2, ..., № j=1,2, ..., М. (5.68)
Как указывалось в $ 6 главы [V, можно параметры сопряжен-
ной деформации и соответствующие циркуляции определять сов-
местно. Для этого находим сперва из решения первой системы
ам |
(5.66) величины циркуляции Гмиек1, а затем решаем систему
\
А»
N
| kk—l kk—1 iy
ay у (рр + OWyypp—- 1) 2 (= i rem kk— .) =
=o +1
Г “М

=
|
—
N
— pi) ] нов — Шо —1
= Найм + a > (р-р owyter—1) Гмиьеь—1, (5,69)


=1,2,..., М v=1,2, ,., n—l.
Определение параметров деформации, сопряженной основной’
деформации летательного аппарата, полностью совпадает с выше-
приведенным. В этом случае в системах (5.66) —(5. 69) следует
только параметры и индексы ам, о/м заменить Ha 6м и Sim.
Параметры сопряженных деформаций и аэродинамические
характеристики летательного аппарата в сжимаемой среде со-
гласно (5.8), (5.11) будут равны
а, ам 6,
5.
_^ 1 _ М.
G Ч’ 8 бы’ (5.70)



$ 8] РАСЧЕТ ББЗУДАРНОГО ОБТЕКАНИЯ 153
k Е
нагрузки в точках с координатами Ej, 1, бик_1 определяются из
соотношения
‘R Ap (Ene 1, ara) = + +
2 0 a г
Амр (rite " С = ies at
6 6 8;
+. [Tbe + у = гы в . (5.71)
- |
Характеристики сечений находим по формулам

И»
, b
ke, = 2 м у И 2 i pe а | ®--

+ (Titles + es LiMn



(5.72)
; b 2 Us
km, = —2 м у М 1 2 Si TM 1 | @--
И an
“+ Pith ee | х4 6 | ЕМрь-1.
Суммарная подъемная сила и продольный момент всего аппарата
равны |
4 bi N _ и, OM
= У [МЕ у Гмаее—1 +
М k=l Во
“+ De Pith se (Fite act у Tiles) |,
N и»
4 А - a
т; = а у Mkk—l у (ihe + + (5.73)
M k=1 =o
+ yt Spe slat
i
8 д, 5,
+ te + > = ri») не.
1


154 РАСЧЕТ ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ [Гл. V
$ 9. Расчет функций аэродинамического влияния
_ При движении летательного аппарата в несжимаемой среде
функции аэродинамического влияния определяются по методу,
изложенному в § 8 главы IV. В сжимаемой среде, согласно изло-
женному в данной главе, летательный аппарат заменяется преоб-
разованной несущей поверхностью. Безразмерные циркуляции
дискретных вихрей, моделирующих преобразованную несущую
поверхность, представляем в виде
UMpee—t = 2 > [в —18ap +t (г ГМА + М’ ATH ‚) 3, | +
+ 2 > обор HAP (rez Muke—t +M PATS 1) bo | (5.74)
j=l, 2, THe, п, r=, 2, be у М,
Системы уравнений для определения искомых циркуляций Pur,
Tour, АГ" оказываются, как и в случае несжимаемой среды,
такими же, как и для бл, Гб", АГ". Для числа Струхаля
р* — Оони имеют вид (индексы «1» и «2» — опускаем)
N
1 х ukk—l pret
4л (w Wyvpp—1 = + OW yVpp ay) irre 1 — Hyp,
N n |
pke—l pkk—l 8, _ ур
У, у, (wh np _1 + OW vpp в AVM eet — М1 Мур»
J
4л
N n
у, у, (р. 41+ Ow op :) на =
sor et (5,75)
N n
(2) wkRR—I (2) wRR—1
_ V у [ивр чо OW урр-1 Гор
esd | др* = др* Mukk —1;


oF 6;,
Pin ee --1 = ГМи ее -1 = AP Maer -1 = 0,
k=1,2, ..., М; v=l,2, ..., 2n—1;
p=1,2, ‚,., N; j= 1, 2, coey MM, r=l, 2, oe ee М.

2
Величины Нмур определяются зависимостью (4.67). Когда в скоб-
ках систем уравнений (5.75) коэффициенты складываются, полу-
чаем циркуляции при симметричной деформации, вычитаются —

$ 101 ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРАВЛЯЮЩИХ ОРГАНОВ 155
при антисимметричной. Для асимметричной деформации циркуля-
ции находим суперпозицией циркуляций двух предыдущих задач.
Используя полученные коэффициенты аэродинамических про-
изводных циркуляций, определяем согласно (5.51)—(5.53) функции
аэродинамического влияния в сжимаемой среде. Они будут равны
}
2



6; 6: ,
Py k—1 = Риф — РАМЫ —1 PMuee—t j
8,1, 6,7, 2 OF
Pui k-1 = Ри — PREM be Piven + | (5.76)
2 é r Wk 6), }}
+ MPAADMiee—1 + мые ГМ] |.
$ 10. Определение аэродинамических характеристик
управляющих органов в сжимаемой среде
Рассмотрим расчет в сжимаемой среде характеристик управля-
ющих органов летательного аппарата. Заметим, что для преобра-
зованной несущей поверхности, движущейся в несжимаемой среде,
0 7 0. 2м
—. ЧИ
_


Ly |
р





д!
Рис. 5.3. Рули на исходном в преобразованном крыльях.
угол наклона оси вращения рулей изменяется (рис. 5. 3) и будет
равен
tg @y = > tg 9, (5.77)
Согласно (2.94) имеем
om = (Em — Com) соз@м - Cusin @м. (5.78)

156 РАСЧЕТ ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ (fa. У
Отсюда получаем
fo (Ем, Sm) = — Ем — Com) COS Om + Em sin Om, я = —с0$0м. (5.79)
Исходя из вида функций fs (Em, Sm), Ofs/OEM и учитывая соотноше-
ния (5.45 , (5.48), представим безразмерную циркуляцию в виде
(Sem — угол отклонения руля в плоскости, перпендикулярной
оси вращения)
Гм = Оомём (сем Sem -+> (гм + М" aria м) дем cos Om ++
+ [Gow + (rai + МР ara) Bou] Zon co8 Ou +
++ fest бем + (Гаем om + М” АГ 2ЕМ м Son cos8y -+
+ [Го om + (ГМ + М? АГ) Son] sin Cw}. 6.80)
Удовлетворив в контрольных точках плоскости преобразованной
поверхности граничные условия, вместо первых трех систем (5.49)
получим системы уравнений относительно искомых циркуляций
присоединенных вихрей




№ вц, )
1 wkk—l ше SEM
=» У (wi rp —1 = OW yvpp a, Ми — 1 = Hinyp,
k=1 =o
1 1 a kk—l kk—-1
Ц и, vp
=» (р 1 = OW wop— 1) АГМ = — Мур mvp,
k=l w=po
че - wkk—l ukk—l bon
— — 6M
у (> —1 = OW р —1 a =
k=1 И=Ио |
И (5.81)
(meat, Oa ,
— ты
— 2 Py +0 др М1 ’
Sem Som
Dimi eet = AT imuee—1 = Vimy, Ел = 9,
k= 1, 2, OO oy М: р= 1,2, eed, М: v= 1, 2, be vy n—l,
| м = pkk—l pwkk—l 6
— — 0м
= У, рр -1 —= ОФучурр “1) PgmMper—1 = НаМур,
=] И—=Ие .

$ 10] ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРАВЛЯЮЩИХ ОРГАНОВ 157


N Ue ..
] ukk—l ukk—l 60M vp
ay (wi vpp—t + oWyvpp-) AT ohh eet = — ЕМур—1Н mvp,
k=l и=Ис
N Ws ..
wkk—l ukk—1 Som
>) (Wi vp —1 + OWyvpp -1) PgMukk—l =
k=1 p=po
N и + a (2) Ве (2)pkk-1\ ;
_ у OW yypp—1 +o ди рр. poem (5.81)
k=1 w=
SoM 60M Som
DgMu,ke— = AT sMu,.ke—1 = Г oMy.ke—l = 0,
k=1, 2, etsy N; р==1, 2, easy N;

v= I, 2, ee ty n—I; g = 2, 28, 26.
Напомним, что знак «--» берется для рулей, знак «—» для элеро-
нов. Величины Нм и Ном соответственно равны

y —|] на правом руле (элероне),
1Мур — 0 Ha крыле вне руля (элерона),
—1 на правом руле (элероне),
Homvp =| 0 на крыле вне руля (элерона),
y _ [ib на правом руле (элероне), | (5.82)
28Мур = 0 — на крыле вне руля (элерона),
{ti на правом руле (элероне),
„Ижмур = 0 на крыле вне руля (элерона). |
Представим любую аэродинамическую характеристику (на-
грузку, суммарные и распределенные силы и моменты) для преоб-
разованной несущей поверхности в виде, аналогичном (4.91):
. \
5 6 2 | 86м-
eu = c16™ cos 0m — p* lone Com COS Gy --
+ Cog COS Oy ++ с sin oul,
6 6 6 — »
cy = со" cos Ou + con com cos Gy -- (5,83)
6 6
+. СЕМ cos дм + CHM sin @y,

C= fp, Су, Cy) My, My, Mz, Mz, Cums Ти.
Тогда, замечая, что
Secos@ =6, Seycosly = dy, (5,84)

158 РАСЧЕТ ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ
[Гл. У
и используя соотношения (5.51) для коэффициентов аэродинамичес-
ких производных нагрузок летательного аппарата в сжимаемой
среде, введенных соотношениями 491), будем иметь
5 6 59
kp,° = PIMs kp? = putt + М’ poi ’
$ $ _ в 8
р == pom; k'po _ pum + М’ pa ’

by Bg в Som 2 SoM
р» — Poem s Кроль = P12—M + M р22ЕМ’
9 60 60 89 Som 250M
Кр’ = poem, рб = ридм + M Po: |
(5.85)
Коэффициенты аэродинамических производных нагрузки преобра-`
зованной несущей поверхности определяются по найденным из
решения систем (5.81) циркуляциям и равны
2 ЧМ.



М Wk
рем (Ме, Миа) — AEM ure 1 DP oMyre—1
dim (ue 2 ЧМ
PigM (ene a, CMuk—1 = AEM hl DP oMpee—t,
| —
2
pai” И cht pi) = АЕм 1 (ari 1+
и —
wk ЧМ
+ EMue—il ¢Mnee—t)s

Фм = Sem, Som; 9 —= 1, 2, 28, 26.
+ (5.86)
Коэффициенты в соотношениях (5.83) для суммарных аэроди:-
намических характеристик летательного аппарата определяются
равенствами, которые для подъемной силы имеют вид
69 60м 60 Sem
key = keys = Сим, RCy2 = Cy2EM;
о 9 бом 3 _ 59 3 80 dem 2 50M
k ue = Cy2tM ‚ Rey =R cy = бсуим + М Сим,
3 Som 2 Som 4 80 SoM 2 om
Е cyte = сум + Mcyoem, В суж = сихм + M Cy22m.
Для продольного момента имеем
Sam 9 Som
вт; 1 = вто = там ’ km, 2Е = ve
2 9 Som 3 89 ,3 49
k°mz2, =т.дм, Ета =k тг — т. М + М" тем,
з 60 Sem 2 dom 4 89 Som 2 Som |
Кот. = mz12¢M + М тем, КТ. = там + М т.м. |


(6.87)
(6.88)


$ 10)
ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРАВЛЯЮЩИХ OPrAHOB 159
Для поперечного момента ‹ получаем
2 60 SoM |
Rm, 1 =k mie = Mx 1M,
Som
Kemet, = ТЕМ,
3 69 Sem
R xB — Mx 20M,
50 bo (5,89)
4 M
Km’? —=Ат,2 = = mM, + Мм» in,
4 59 Som 2 Som
k Mx %= Mm, im + М my, 22m,
5 Sem 2 SoM
бт» Эк = Mx oem + М т» 22cM-

Входящие в (5. 87)—(5.89) коэффициенты преобразованного крыла
в несжимаемой среде определяются по формулам (9. 55)—(5.56) при
подстановке в них соответствующих циркуляций.
Обратимся теперь к вычислению подъемной силы и шарнир-
ного момента рулей. Введем для руля на преобразованной несу-
щей поверхности в несжимаемой среде аналогично (4.95), (4.97)
следующие
коэффициенты. При гармонических колебаниях
u деформациях всего летательного аппарата


| by, ¢
q M q
cium == | | th м м,
р SoM
j em р
Cin IM = | | pim 4Ём dem,
SPM Soi
q q
сбшам =< | | мм dom,
pM SoM |
by 5.90
9 ®
(mum) = — —— | | ont гм dem ato, ©
Som? pm SoM
. b? .
4, >
(там) м — — ии | | ГМ м Ям,
“pM PM $
pM
. b°
q
(rita) m= — s—"— | [ оаим ам db,
р PMS
pM
г=Е 0; 9g, =a, w,, w,, 5, 6
При колебаниях руля с амплитудой 0, коэффициенты для руля на

160 РАСЧЕТ ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ
[Гл. У
преобразованной несущей поверхности определяем формулами
52
96M M 76M ;
Сушём = < — | | рем 4m dem,
pM SoM
e Ь: .
70M M 90M
Суш 1еМ = = | | PigM м dtm,
РМ Som
e b2 ы
90м М 90M
Мм = М | | peel Ем абы,
M SoM



be
(mies) = —5 т к | | pam гм dy dtm,
РМ "pM 5
РМ
JOM | bm ГГ dom
MyigM/rM = $ we M O1gM ГМ м м,
pM’ pM 5
pM
( Jom | OM 40M
Тим )rM == $ yo M P2eM ГМ dey dtm,
p P
SpM
Г = &, С; g = 1, 2, 2, 25; ‚дем — Som, бом. |

(5.91)
Выражаем коэффициенты подъемной силы и шарнирного момента
зависимостями (4.94)—(4.97). Заметим, что
Р5рм = р, Ёбм==6, |
У 1 — М2 cos? 0
Ё


ом = 0, |


V 1 — М* cos? 96рм = by.
$
иметь
(5.99)
Тогда, учитывая соотношения (5.51) для нагрузок, из (5.90) будем
q; д, 2 O, ©
3 (7 9, 2 4 4 @ 6 2 0
R’Cym = Cymim + М Сушэм, Асия = суам + M Cytron,
k (mil), = (тим),м, [а (тих) == (maka),
|-> (mit), = (mit im) + М" (mi мм,
| (m°s), = (msm м + М" (my Jean,
4: == ©, w,, 6, 5; rook С.
)

(5.93)



$ 10] ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРАВЛЯЮЩИХ ОРГАНОВ
Аналогично из (5.85), (5.91) получим
90 JeM 26
Kame = — CyingM, Кс уш 25 — сем 2 М,
43,10 2 90M ke, 60 66M
Суша — суб IgM -+ M Cyin2gM> ш 25 — Cyen 126M + М’ сем 2%М,
90 70M 2{ 59 ( bom |
Е (mut r= (тшем om, R (n°), = \MMn2¢M/rMy
3( 46 70M eM
R (пе), = (тем им + М 2 (gM м,
4( 8 Sem ,) 2( Som |
R (ma х), — (me 125м/им -Е М” \tty 22m) mM,
де = 5o, бе; g=1, 2, 2§; r=§, C.
161
(5.94)

4
Переходом в формулах (5.90), (5.91) от интегралов к суммам
получаем для расчета указанных коэффициентов формулы,
анало-
гичные (5.55), с тем отличием, что суммирование при определении
шарнирных характеристик производится только по p и Rk вихрей,
лежащих на руле.
Заметим, что ‘в данном параграфе принята ось вращения, сов-
падающая с передней кромкой руля. Пересчет полученных коэффи-
циентов на другое положение оси вращения руля производится по
формулам (4.94), (4.98), (4.99).

| ГЛАВА VI
TEOPEMA ОБРАТИМОСТИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
$ 1. Теорема обратимости
Эта теорема устанавливает интегральную связь между гранич-
ными условиями и соответствующими им аэродинамическими на-
грузками на прямой и обратной несущей поверхностях. При этом
обратная несущая поверхность получается обращением движения
прямой относительно основной поступательной скорости Ц.
Применение этой теоремы при установившемся и неустановившемся
движениях значительно упрощает определение суммарных аэро-
динамических характеристик деформирующегося летательного
аппарата. Следствия, вытекающие из нее, могут быть использо-
ваны для контроля результатов расчета [1.11], [1.12], [1.25],
[1.371, [2.51, (2.81.
Рассмотрим установившееся движение схематизированного
плоского летательного аппарата в сжимаемой невязкой среде с по-
стоянной скоростью U,, Пусть на основное прямолинейное поступа-
тельное движение наложены малые добавочные неустановившиеся
движения. Введем связанную с летательным аппаратом систему
координат Oxyz (рис. 6.1). Считая движение газа вне тела и его
следа (если он есть) безвихревым и происходящим при отсутствии
внешних сил, а также ограничиваясь рассмотрением гармонических
зависимостей кинематических параметров от времени, потенциал
скорости абсолютного движения газа представим в виде
У (x, у, 2, t) = Dy (x, у, 2) +O (x, y, де", (6.1)
где Ф. (x, у, 2) соответствует основному установившемуся дви-
жению, р — круговая частота, i = У —1.
Не меняя системы координат и угловых скоростей ®,, ®,,
изменим поступательное движение летательного аппарата на обрат-
ное (поменяем направление Uy, на Uy_). Первое движение, соот-
ветствующее U 9, будем называть прямым, второе, соответствующее
—U,, обратным. Все функции, относящиеся к первому случаю,
будем отмечать индексом «--», ко второму — индексом «—>».
Для потенциалов возмущенных скоростей прямой и обратной
несущей поверхности Ф, (x, у, г) и Ф_ (x, у, 2) можем написать

$. 11 ТЕОРЕМА ОБРАТИМОСТИ 163
согласно (2.33) и (6.1)
eo,


д2Ф OM ‚ Mp oO р? т
2 + + + — ——+ — =
(1 Щ— М ое + aya + gat — а ae Fae Pr = 9,
\ Г 6.2)
д02Ф_ O20 _ 020 _ . Mp o0_ р? (
2) __- _—> —> — — + -—_ =
(1 — М) yar + oy? + да + 24 a, ox | ar Ф-
Соответствующие возмущенные давления, определяемые линеари-
зованным интегралом Коши—-Лагранжа (2.20), будут
рр = — Poo (Ur Zt + ip®,), = ь (— 5 + ipO_).
(6.3)
Заметим, что р, и P_ удовлетворяют таким же уравнениям (6.2),
какиФ, иФ_, в чем легко убедиться подстановкой.
ыы



Рис. 6.1. Прямое (U9) и обратное (—И,) движения летательного аппарата.
,
Получим основное соотношение теоремы обратимости, когда
несущая поверхность движется в безграничном пространстве,
заполненном идеальным газом. Для этого рассмотрим интеграл по
объему от следующей функции, который согласно (6.2) будет равен
нулю:
= ИИ (29-4 29 + BB we Oe
_ р? Op, др. 0°р.,
о Ра Ф_) —Ф- (<P + apr + aa —

pg, Mp № opt,
— Ma — i St ру |v =0. (6.4)
Здесь интегрирование ведется по области, внешней относительно
несущей поверхности. Следует отметить, что потенциалы Ф, и Ф_

164 ТЕОРЕМА ОБРАТИМОСТИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ [Гл. VI
удовлетворяют уравнениям (6.2) везде вне несущей поверхности
и вихревого следа за ней. При этом потенциалу DM, соответствует
вихревой след, лежащий за прямой несущей поверхностью, а Ф_—
за. обратной, и эти потенциалы удовлетворяют условиям (2.59) об
отсутствии перепада давлений на вихревом следе. Возмущенное
давление р, обращается в нуль при X — — со, ар’ — прих — со.
Сделаем разрез по плоскости у = 0 и применим формулу Грина
к интегралу J. Предварительно этот интеграл запишем в виде
(= др (Pi Sz) +50 (2 р; =) +e ( p, = )&—
=) Ф- Se) + 59-3, )+ = (-5=)]&—
-м} 5 ( (2: =) = ( _ 0 —
. М д ‚
—2^ ||| Zz (р.Ф) dv,
Применяя формулу Грина, получаем
; Ф
пои
—Ф. a, +} cos (n, s)ds— 217 | | pO cos (п, x)ds=0. (6.5)





В соотношении (6.5) интегрирование ведется по двум сторонам раз-
реза вблизи плоскости у = 0: по верхней, где у = 0 + ь, и по
нижней, roe y = 0 — s. Через пв (6.5) обозначена нормаль, внеш-
няя относительно объема, по которому берутся интегралы (6.4).
На ‘указанных разрезах cos (п, x) = 0, поэтому из (6.5) следует
| \ (р. of ie ds =0. (6.6)
Для дальнейших преобразований воспользуемся свойством сим-
метрии потенциала возмущенных скоростей. Потенциал возмущен-
ных скоростей Ф терпит разрыв на несущей поверхности и вихре-
вой пелене за ней, а следовательно, на них расположены поверх-
ностные вихри. Так как все вихри располагаются в плоскости Oxz,
то в симметричных относительно нее точках производные 0Ф/дх и
0Ф/дг имеют противоположные, a ОФ/ду одинаковые знаки. Отсюда
следует, что потенциал является нечетной функцией координаты и:
Ф, (х, Y, 2, t) = —_ Ф, (х, — Y, 2, t),
Ф_ (х, у, 2, )=— O_(%, —y, z, 1.


(6.7)

$ 1] ТЕОРЕМА ОБРАТИМОСТИ _165
Для возмущенных скоростей имеют место равенства
У. (х, у, 2, t) — —Й, (х, — Y, 2, t),
Wy (x, Ys 2 t) = Wy (%, — У, 2, 0, (6.8)
W.(x, y, 2, ) = —W, (x, — y, zZ, t).
Отсутствие индексов «-+» и «—» ‘означает, что эти равенства спра-
ведливы и для прямой и для обратной несущей поверхности.
Так как на нижней и верхней поверхностях разреза внешние
нормали направлены противоположно и параллельны Oy, то с уче-
том (6.8)
( ao, _ ( aw, ( дФ_ __ ( aD _
on ) aoe — on ) ое? on ) ое _ On ль
| (6.9)


Из (6.3) и (6.7) можно получить соотношения для возмущенных
‘давлений на разных сторонах разреза:
(P,)y0+e = — (P,) ов, (р.) у=0--в = — (P_)y—0—e (6.10)
Учитывая (6.9) и (6. 10) и аналогичные равенства для Ф_ и
Op+ /On, можно в (6.6) перейти к интегрированию только по верх-
ней стороне разреза:
op
(form, ds—({o ое ds (6.11)
Преобразуем правую часть (6.11) к виду, аналогичному левой.
Для этого воспользуемся формулой (6.3) и условием отсутствия
вихрей, согласно которому






OWx, Wy, .
Oy ox ’
тогда
Op‘ aw т,
р. = — Pa (Us at) = — pa (Uo et р, ).
ду +
`Имеёем для правой части (6.11)
др’ | С
\ jo. Pe ds = — ры | jo. LU ds— ipap | | ФИ, ds.
Интегрируя по частям, находим


Jos бе. ‚ах dz = — [н- Fe ах de,

166 ТЕОРЕМА ORPATHMOCTH И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ [Гл. VI
так как при x = + co Ф_ = 0, а прих = — со W,, = 0. Поэтому
др’ дФ_ .
||. 3 ds = \ | Wes. (Us = — ip_) ds = | [р ds,
вследствие чего (6.11) принимает вид
J J pW, ds= | | ow, ds. (6.12)

Нетрудно видеть, что интегрирование здесь ведется только по не-
сущей поверхности, так как вне ее в плоскости у = 0 все возмущен-
ные давления обращаются в нуль.
Итак, теорема обратимости дает интегральную связь между воз-
мущенными давлениями р, и р. на верхних частях несущих по-
верхностей в прямом и обращенном потоках, а также между ско-
сами потока W,, и W,_ на них. Последние могут быть, конечно,
заменены их значениями, определенными из граничных условий
(2.84). Возмущенные давления снизу и сверху несущей поверхно-
сти отличаются только знаком, поэтому р, и р’ могут быть заме-
нены разностями давлений (нагрузками) в соответствующих точ-
ках несущей поверхности. Вводя формулой (1.23) коэффициент
нагрузки Ap и относя возмущенные скорости к Ц., вместо (6.12)
запишем теорему обратимости в виде
| J Ap. +@у- ds = JJ Ap_W,, ds, (6.13)
у .
где W, = ue? $ — площадь несущей поверхности.
$ 2. Связь между аэродинамическими производными
прямого и обратного летательных аппаратов
Установим связь между коэффициентами аэродинамических
производных прямого и обратного летательного аппарата. Легко
заметить из рис. 6.1, что обратный летательный аппарат можно по-
лучить поворотом прямого на 180° вокруг оси Оу, причем система
осей и скорость потока И. при этом повороте остаются неизмен-
ными (рис. 6.2). Геометрические параметры и координаты соответ-
ственных точек прямого (-) и обратного (—) летательных аппара-
тов будут связаны следующими очевидными равенствами:
Xe KL, У =, 2 = — 2, |
В системе координат, изображенной на рис. 6.2, начало координат
взято не на передней по потоку кромке несущей поверхности, т. е.
центровка (1.33) не равна нулю (о «центровках» см. $ 4 главы I).
(6.14)

$ 5] ПРОИЗВОДНЫЕ ПРЯМОГО И ОБРАТНОГО АППАРАТОВ 167
Центровки прямого и обратного летательного аппарата связаны
соотношением


= — м. (6.15)
Рассмотрим различные частные случаи движений и, используя
принцип независимости и теорему обратимости (6.13), установим
связь между коэффициентами аэродинамических производных пря-
мого и обратного летательных аппаратов.


Ae m,>0 [/ AY, т,->0
z+ n Z-
| | WY w,>





Лу>0 2.
@т>й
6)
Puc. 6.2. Прямой (a) и обратный (6) летательные аппараты.
Пусть у прямого летательного аппарата безразмерные скосы
и нагрузки равны
== —ae'”, Др, ae” (ра + ip'p®),
а у обратного
и = — ое, Др. = ae?! (рт + 1р'р").
Используя (6.13) и приравнивая члены при действительных и мни-
мых частях, получим
| |] р” 4$ = |] p~ ds, |] pt ds = |] pt ds,
Имея в виду, что
получим

168 ТЕОРЕМА ОБРАТИМОСТИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ (fn. Vt
Взяв для прямого летательного аппарата
* ipt ep tpt (м - * o
Wy, = “ее s,s Ap, =ae (py + ip р»)
и для обратного
* int — и ipt @ . я о)
wy, =”, Др. = ве" (р? + ip p *),
учитывая равенства (1.49), получаем на основании (6.13), (6.14)
o у wo
Me, == Cy2, Та, = Cy”. (6.18)
Напомним, что центровки при этом связаны соотношением (6.15).
Пусть теперь у прямого летательного аппарата
_. * ipt = __ * tot ( ©, .* о,
Му. — 0. .е ’ Ap, = Wz р. + гр р.
и у обратного
| * tpt — * tot © .* o
и =ofe", Ap =a” (p° + ip p_ г).
Учитывая (1.49), на основании (6.13) и (6.15) находим
® ® @ o
Me, = mM,” ’ Me, = m,”. (6.19)
Наконец, рассмотрим случай, когда скосы. и нагрузки у пря-
мого аппарата равны
Wy. = o,t,e"', Ap, =: ое" (р + "р. *)
а у обратного ,
w, =arte™, Ap. ore!” (p* + ip’p”).
Тогда на основании (6.13), (6.15) и равенств (1.49) будем иметь:
mi = тай, my =m,” (6.20)
. Таким образом, для летательного аппарата любой формы в пла-`
не при произвольных числах Маха и Струхаля аэродинамические
производные прямого летательного аппарата выражаются через
производные обратного.
$ 3. Вычисление аэродинамических производных
при деформациях летательного аппарата
`.. Теорема обратимости (6.13) позволяет существенно упростить
вычисление суммарных аэродинамических характеристик лета-
тельного аппарата при его деформациях. Чтобы получить необхо-`
димые формулы, в (6.13) следует рассмотреть некоторые комбина-

$ 3] АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПРИ ДЕЗОРМАЦИЯХ 169
ции скосов и нагрузок для деформирующегося и жесткого аппара-
тов. Заметим, что при деформациях безразмерный скос согласно
(2.65) будет
= 6-Е, 956).
Как и ранее, разделим граничное условие и всю задачу на две,
решаемые формально независимо
Wy —= Wy ++ W ya Vy = 3 8 (т), Ша =f, (&, © С) 6 (т). (6.21)
Замечая, что
бобр = —р 5,
имеем для аэродинамических характеристик соотношения
с = 085 + cb 8, = b +8 8,
C=C, + с, c= 0% + 0° 5, |
ри | (6.22)
co = cf — pce, oo = с +, |
с= Ар, Cy, My, Т,.

Изучим с помощью общего выражения теоремы обратимости (6.13)
задачи 61 ua, т. е. положим
0 "г — * р .*б
Oy. = (Fe) бе", Ap, =бе”' (pty. + Ip pis),
w, =—ae'?!, Ap =ae'?! (pt + ip'p®).
Учитывая соотношения
| 1 у
с = a JJ pids, cy = + |] py ds,
находим
5 __ 1 a Ofs 6 __ Ofs
CA, — — $ JJ P_ (23 ). ds, Су. = 5 | jet (Ss 2). ds.
(6.23)
Подобным же образом, взяв за основу задачи 62 na, получим
. | | .. | .
= | | P% fo, ds, Ci. = ——> | | Г, 4s, (6.24)
$ $
причем . . a
ср => | | 284, c= | |p: ds.
$ 9

170 ТЕОРЕМА ОБРАТИМОСТИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ (Гл. VI
Путем сопоставления задач 61 и ®, выводятся формулы
mi, = —— { fo" pee (3), ds, my, = —— Г] p% (2), ds.
(6.25)
Из задач 62 и ®, находим.
| | .. | .
та, = — || phos, та, = — чу | |254. 49. (6.26)
$ 5
Далее, по задачам 61 и ®, устанавливаем
6 Ofs 6 1 o, (fs
Myx1, =m oy {fe (55 me). ds, mine = — x | Je (5 )_ ds.
(6.27)
И, наконец, комбинация задач 62 и ®, дает
, ee i ,
т, =—= | | р. fs, 4$, myo, =- > | [рее 45. (6.28)
5 $
Все полученные формулы справедливы для летательного аппа-
рата произвольной формы в плане при любых числах р* и М. Они
позволяют значительно сократить расчеты, если нужно определять
только суммарные характеристики. Как видно из равенств (6.24)—
(6.28), для этого достаточно решить три основные задачи (%, wo,
и ©®,) для обратного жесткого летательного аппарата и определить
для него аэродинамические производные нагрузок. Вычисление
аэродинамических производных подъемной силы, продольного и
поперечного моментов при любых законах деформации fs (E, 6)
сводится к вычислению интегралов. По сравнению с прямым реше-
нием соответствующих задач для деформирующихся летательных
аппаратов основной выигрыш получается за счет того, что здесь
нет необходимости заново решать краевые задачи при каждом но-
вом законе fs (&, 0). Зато прямой метод позволяет находить и рас-
пределенные характеристики (нагрузки, коэффициенты сечений).
Существуют также соотношения между суммарными характери-
стиками деформирующихся прямого и обратного аппаратов. Они
в известном смысле аналогичны рассмотренным в предыдущем
параграфе.
При рассмотрении одних и тех же задач 61 для прямого и об-
ратного аппаратов получим
Ди. (Ди, (№) a
[Job (Be), om [fot (a
| (6.29)


$ 4] АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ РУЛЕЁЙ И ЭЛЕРОНОВ 171
Пусть изучаются задачи 62 у прямого и обратного аппаратов,
тогда ; ,
Пр, в = | | 2-4
. ° : (6.30)

/
Ff of iyas= | [rte as
$ 5
Если для прямого аппарата взять задачу 61, а для обратного —
задачу 62, то найдем
J Je (52). ds = |] pi feds,
] (of (2). ds = J | ph fs. ds.
Соотношения 6. 29)—(6.31) могут быть полезны при контроле
результатов расчетов, получаемых прямым решением задач для
деформирующегося аппарата.
(6.31)

(
$ 4. Аэродинамические производные летательного аппарата,
связанные с отклонением рулей и элеронов
Отклонение рулей, закрылков, элеронов можно рассматривать
как частный случай деформации летательного аппарата. Hanom-
ним, что у аппарата симметричной формы в плане для дополни-
тельных значений коэффициентов подъемной силы и моментов, вы-
званных отклонением рулей (закрылков, предкрылков) и элеронов
при гармонических зависимостях от времени, имеют место выраже-
ния (4.91). Покажем, как по теореме обратимости найти входящие
в них коэффициенты суммарных характеристик.
Условимся считать прямым аппаратом («-++») TOT, для которого
изучается работа механизации. Для него функция деформации при
отклонении рулей определяется формулами (2.96), (2.97). В соотно-
шениях предыдущего параграфа, учитывая условия симметрии,
перейдем к интегрированию по правой половине летательного ап-
парата, удвоив получающиеся выражения. Подставляя в (6.23)
(2.97), ав (6.24) (2.96) и учитывая выражения (4.91), получим
cP, == | | tds a = 2 51] ds,
5 2 8. р. :
Cyk, = > | | ot 45, Cy, = = J ‘Peas, (6.32)


172 ТЕОРЕМА ОБРАТИМОСТИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ Гл. Vi
Соотношения (6.25), (6.26) дают
map, = 2-| | pds, т, => JJ pds, | (6.33)
р

6 2 ® 8, 2 o
т.р. —= | | р_“5 ds, т.д, — s | Jo 5 45.
Sp Sp
Аналогично находим выражения для расчета аэродинамических
производных поперечного момента, для чего используем соотно-
шения (6.27), (6.28)
б 8 2 @ 8 6 2 С)
ma, = me == | J pds, ma = тыр, = 2 | | pods, |
5
3
3
|
maz, = = JJ p_*t ds, mek, = = JJ р“ "Е ds, + (6.34)
6 9 @ 6. 2 @
Myr, — Ss | [2% ds, M yor = ИС | | р_ ых ds.
S, S,

#
Следует подчеркнуть, что во всех формулах интегрирование
ведется по площади, занятой рулем или элероном на правой поло-
вине исходного (прямого) летательного аппарата.
Полученные соотношения, как и в случае общих деформаций,
значительно сокращают объем расчетов. Они особенно удобны при
систематических исследованиях серии рулевых поверхностей.
Решив три основные краевые задачи для жесткого недеформиро-
ванного обратного летательного аппарата, мы получаем исходный
материал для. простых расчетов, сводящихся к вычислению опре-
деленных интегралов по различным областям. Однако такие ха-
рактеристики, как подъемная сила руля и шарнирный момент, не
могут быть определены по теореме обратимости.
$ 5. К выбору управляющих органов с заданными свойствами
Соотношения, приведенные в предыдущем параграфе, дают на-
глядное представление о влиянии отклонений управляющих орга-
нов на суммарные аэродинамические характеристики летательного
аппарата. Зная характер изменения на обратном аппарате коэффи-
. a а 0, ©, , 0,
циентов нагрузки p_, p_, P—, p—, P—, P—, нетрудно установить,
где нужно давать деформации и какого знака, чтобы должным
образом. повлиять на аэродинамические характеристики прямого

$ 5] К ВЫБОРУ УПРАВЛЯЮЩИХ ОРГАНОВ 173
аппарата. Например, при дозвуковых скоростях полета отклоне-
ние носка крыла мало влияет на подъемную силу, так как носок
прямого крыла соответствует области вблизи задней кромки
обратного крыла, где нагрузки р” близки к нулю.
Задачу выбора управляющих органов с заданными свойствами
сформулируем следующим образом: по известным функциям на-
грузки р (Е, 0), р“ (Е, С), где g; =%, ®,, ю®, обратного аппа-
рата, необходимо подобрать такие законы деформации + (Е, 0,
а следовательно, и Of,,/OE исследуемого прямого аппарата, чтобы
получить для него нужные значения коэффициентов аэродинами-
ческих производных с8, co, По виду выражений (6.22) (6.28)
можно заключить, что для увеличения co следует выбрать функцию
Of,,/0& такой, чтобы наибольшие ее значения были тем же, где и
наибольшие значения функции р ie причем знаки обеих величин
должны совпадать (рис. 6.3). в случае стационарных отклоне-
ний управляющих органов можно ограничиться этими соображе-
НИЯМИ.
Если органы управления колеблются, аэродинамическое воз-
действие их будет определяться не только амплитудой аэродинами-
ческой характеристики, но и ее фазой по отношению к отклонению
управляющего органа. Из (6.22) нетрудно получить, что величина
сдвига по фазе Py определится отношением
* 6
фь = arctg Е 3 р (6.35)

где ch и сб определяются согласно равенствам (6.22).
Отсюда следует, что если нас интересует, например, получение
большего сдвига по фазе Qs, TO деформировать несущую поверх-
ность надо таким образом, чтобы получить большие значения коэф-
фициентов cd, ch. Из анализа соотношений (6.23)—(6.28) можно
установить, какого вида должны быть эти деформации. Так, для
получения максимальной величины коэффициентов сб вид дефор-
мации должен быть такой же, как при отклонении обычного руля
(см. рис. 6.3, 6.4). Для получения максимальной величины коэф-
фициентов 66, сб более выгодной будет деформация, показанная
на рис. 6.0 и 6.6, т. е. типа мембранных управляющих' органов.
Все рассуждения по выбору характера деформации вдоль
хорды крыла легко распространяются и на обоснование характера
деформации по его размаху.
Заметим, что исходным материалом при выборе нужного вида
функции Of,/OE и места деформации является характер распреде-
ления нагрузки на обратном летательном аппарате. Легко пока-
зать, что при одном и том же законе Of,/OE, но разном характере

ТЕОРЕМА ОБРАТИМОСТИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ (fa. Vi
pi)
y о]
174




























WN
0 1 &
ORs |
0 ТЕ
y “
| 1 & | ГЕ
Рис. 6.3. К вычислению коэффи- Рис. 6.4. К вычислению коэф-
циентов cf, (Е = E,). фициентов сб, (§ =6,).
pit
—>—
phy, " 78
(He A
OE,
| т & ~~ .
0 NF
is,
1, А
0 | 1s р é
Рис. 6.5. К вычислению коэффициен- Рис. 6.6. К вычислению коэффи-
тов 66, ( = E,). циентов 65, (Е = &,),

6 3] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ОБРАТИМОСТИ 175
распределения нагрузки (см. рис. 6.3 и 6.4) величина коэффи-
циента сб будет существенно разной. С другой стороны, две функ-
ции f, и Of,/O& характеризуют один и тот же управляющий орган,
что не позволяет получить одновременно оптимальные значения
коэффициентов co и с. ,
При гармонических колеба- р®А
ниях управляющих органов иног-
да бывает удобно рассматривать
амплитуду и фазу коэффициента


1251=8* И (CoP + (реб,


>
—
Kee}

#8
фу = arctg © = . (6.36)
С
Рассмотрим случай, когда | 7 Ч _
число Струхаля невелико. Из 9 7 &
(6.36) получим


6
lel S*ch, gy р". (6.37) a) \
: т: \
Как видим, в этом случае сдвиг
фаз Ф, прямо пропорционален
числу Струхаля. Изменяя поло- 1 Е
жение управляющего органа на f
|




крыле, например, перемещая ero
от задней кромки (положение | | —
рис. 6.7) к передней (положение I] 0 1 I &
рис. 6.7), можно изменить не
только величину, но и сдвиг
фазы между отклонением органа
и создаваемой им аэродинамиче- wo, (Е =Ё,).
ской характеристикой. Видно так-
же, что амплитуда определяется при малом числе Струхаля только
величиной отклонения управляющего органа, т. е. производной
Of /O&, а деформация f, влияет на сдвиг фазы.






Рис. 6.7. К влиянию положения
деформации на коэффициенты °°
$ 6. Экспериментальная проверка некоторых следствий
теоремы обратимости
Теорема обратимости и все следствия из нее являются точными
в рамках линейной теории при всех числах Маха М и Струхаля р*.
Вообще говоря, они должны выполняться и для эксперимен-
тально полученных характеристик, если условия эксперимента
соответствовали положениям линейной теории. Поэтому выявление

176 ‚ТЕОРЕМА ОБРАТИМОСТИ И. ЕЕ`СЛЕДСТВИЯ [Гл. VI
факторов, которые приводят к нарушению этих следствий в опы-
тах, позволяют уточнить границы применимости линейной
теории.
На дозвуковых скоростях одним из основных условий линей-
ной теории является требование о плавном (безотрывном) обтека-
нии летательного аппарата. Всякое нарушение его плавного обте-
кания приводит к отклонениям. от теоретических данных.



























a
by
4
у 7.
A о
2
2
7
| о
( 2 4 oft | © [8
x 09
— C= pane : р
— = имлиое р 2 * by-
Рис. 6.8. Сравнение характе- Рис. 6.9. Стреловидное крыло
ристик прямого и обратного Хо = 45°, n= 1, c= 6%.
крыльев с профилированными
передними кромками.
На рис. 6.8 приведены результаты экспериментального опреде-
ления коэффициента аэродинамической производной су прямых и
обратных крыльев различной формы в плане. Геометрические па-
раметры их удовлетворяли условиям (6.14), но в обоих случаях
профили имели закругленные носики и острые хвостики. Резуль-
таты экспериментов представлены таким образом, что прямая,
наклоненная под углом 45° к осям координат; дает точное соотно-
шение теоремы обратимости. Как видно из рис. 6.8, когда у пря-
мых и обратных крыльев плавное обтекание обеспечивается, соот-
ношение (6.17) хорошо подтверждается опытом. Для тонких
крыльев с заостренными носиками и. хвостиками, когда производ-
ные. при эксперименте определяются вблизи Ay = 0, также полу-
чается удовлетворительное соответствие опытных данных для
прямого и обратного крыльев. Некоторые из них для стреловидного
крыла с %› = 45°, 1 = |, с = 6% при разных числах М приведены
на. рис. 6.9,

$61 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ОБРАТИМОСТИ 177
На рис. 6.10 даны результаты проведенных В. Г. Табачниковым
измерений на малых скоростях коэффициентов подъемной силы
плоских моделей, которые отражали компоновку фюзеляжа, крыла
и горизонтального оперения самолета, в прямом (--) и обратном
(—) потоках. Модель 1 имела прямое крыло большого удлинения
tz]






































































Тру»
т
Gy, Т
J
Wy “08
ng Ia Li 2
Sf i
и
и -04
К
104 so WA 1g
у и
[4 РЯ
79 Я |. 0 -04 -08 mie!
7
Г) 7 ра 6 la? Рис. 6.11. Сравнение демпфиро-
7 вания крена плоских моделей
самолетов в прямом и обратном
потоках.
| 0 Ol 02 Q5 04 р»
° [0 4
и ee д
РЯ > Ч | -07
и |. Фо ео % 60° Ф
р |. — 0 4 8 af’ mez!
o— | “г расчет


о Лрямае Kpblno
© ПАНОЕ Kpbiao
Puc. 6.10. Сравнение подъемной силы Рис. 6.12. Треугольное крыло Yo =
плоских моделей самолетов в прямом — 60° c=3% а = 0°
(черные точки) и обратном (светлые , m0 .
точки) потоках, прямые — расчет.
| три
с нестреловидным горизонтальным оперением, у модели 2 было
стреловидное крыло большого удлинения и стреловидное оперение,
модель 3 представляла собой бесхвостку с треугольным крылом
малого удлинения. Сопоставление коэффициентов демпфирования
© °
крена m,i' указанных моделей дано на рис. 6.11.
Подобные результаты получены и для коэффициента демпфиро-
вания крена крыла. На рис. 6.12 приведены экспериментальные

178 ТЕОРЕМА ОБРАТИМОСТИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ [Гл. VI
данные для тонкого треугольного крыла с Xo = 60°, с = 3% при
М = 0,15, угле атаки %, = 0 и разных числах Струхаля р*.
Из приведенных материалов видно, что следствия теоремы
обратимости (6.17), (6.20) экспериментально выполняются доста-
точно удовлетворительно.
Следует отметить, что появление срывов, возникновение мест-
ных скачков уплотнения на больших дозвуковых скоростях ска-
зываются на сходимости опытных и расчетных данных и следствия
теоремы обратимости, естественно, при этом выполняются плохо.
У стреловидных крыльев и крыльев малого удлинения указанные
явления сглажены и опытные результаты могут соответствовать
линейной теории даже вблизи М = |,

ГЛАВА Vil
ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
$ 1. О подсасывающей силе
Рассматриваемая линейная теория и основанные на ней числен-
ные методы позволяют определить часть сопротивления, вызван-
ную нормальными нагрузками на летательном аппарате. При до-
звуковых скоростях эта часть сопротивления может быть связана
со скосом потока, который вызывается пеленой свободных вихрей
за летательным аппаратом, поэтому будем называть его индук-
тивным сопротивлением.
Прежде чем приступить к изложению методов расчета индук-
тивного сопротивления, обратимся к реально наблюдаемому яв-
лению, имеющему место при обтекании летательных аппаратов.
Когда сечения летательного аппарата хорошо профилированы,
в частности, имеют достаточно большое и правильное закругление
передней части, при огибании потоком передних кромок давление
здесь понижается и поток как бы подсасывает летательный аппа-
рат вперед, уменьшая сопротивление. Если же передние кромки
заострены, обтекание их на дозвуковых скоростях, как правило,
сопровождается местным отрывом потока, который заметно изменяет
нормальные нагрузки лишь вблизи носков, что существенно сказы-
вается на величине сопротивления. Из-за указанного местного
отрыва подсасывание уменьшается, а сопротивление летательного
аппарата увеличивается.
Хорошо известны [1.7], [1.10] методы расчета давления на
профиле (крыле бесконечного удлинения) конечной толщины при
установившемся движении. Интегрируя по контуру профиля про-
изведение давления на местный угол наклона контура профиля,
нетрудно определить продольную силу. В случае профиля конеч-
ной толщины с непрерывной криволинейной поверхностью подса-
сывающую силу на передней кромке нельзя, конечно, точно отде-
лить от силы, развивающейся на других его частях. Но расчеты
этого простейшего случая показывают, что если профиль делать
тоньше, то подсасывание, развивающееся около передней кромки,
возрастает, тогда как площадь лобовой проекции, на которую это
подсасывание может воздействовать, становится меньше. Два этих
фактора меняются таким образом, что их произведение остается
почти постоянным и конечным вплоть’до предельной нулевой тол-
щины. Поэтому можно предполагать, что теоретические значения

.]180` ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА [Гл. УП
подсасывающей силы, полученные для бесконечно тонкой несущей
поверхности, могут быть использованы практически при любых
применяемых в авиации толщинах.
Появление конечной подсасывающей силы в предельном слу-
чае нулевой толщины объясняется тем, что когда несущая поверх-
ность становится бесконечно тонкой, огибание потоком ее передней
кромки вызывает в окрестности последней разрежения, стремя-
щиеся к бесконечности. —
При реальном обтекании крыла с весьма тонкой передней
кромкой бесконечных разрежений, конечно, не возникает.
На малых углах атаки у передних кромок просто образуется мест-
ный отрыв потока. Из-за указанного местного отрыва величина раз-
режения уменьшается, подсасывающая сила практически не возни-
кает и сопротивление крыла увеличивается.
Линейная теория позволяет найти два предельных значения со-
противления летательного аппарата — с учетом и без учета подса-
сывающей силы. В зависимости от способа профилирования и OT-
гибгния передних кромок летательного аппарата соответствующие
опытные данные, находясь между предельными теоретическими
значениями, будут приближаться к одному из них.
Введем формулами (1.19) аэродинамические коэффициенты при
отсутствии подсасывающей силы, отмечая их чертой сверху.
Например, коэффициент сопротивления без подсасывающей силы
будет |
- ХХ
“Pes
Соответствующие коэффициенты с учетом подсасывающей ‘силы
записываем без черты сверху.
Подсасывающая сила может только уменьшить сопротивление
летательного аппарата. Поэтому коэффициент сопротивления
с учетом подсасывающей силы с, не больше коэффициента сопро-
тивления без учета подсасывающей силы с, той же несущей поверх-
ности при том же числе М:

(7.1)
=. (7.2)
Подсасывающая сила будет величиной малой второго порядка
относительно ‘кинематических параметров движения и деформаций
Vp 0. Следовательно, с точностью, принятой в линейной теории,
она не оказывает влияния на значения рассмотренных ранее коэф-
фициентов подъемной силы и моментов и соответствующих аэроди-
намических производных. Итак, имеем | |
q 7 : 4 р (7.3)
-4} i Ч; i — Ч i
Cy = Cy, Су’ = Су’, My =тх,

82] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНДУКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 181
e e e ‘о |
тт“ mi =m" mei =m!
x x) 2 29 2 — hz» (7.3)
Ч; =, Oy, <», 6.
Представим коэффициент ‘сопротивления без подсасывающей
силы (7.1) в виде
Cy — Cro + Ас... (7 .4)
Здесь с» — часть коэффициента сопротивления, вызванная силами
трения, а также вызванная давлением, но связанная с толщиной,
Ас, соответствует одним нормальным нагрузкам.
Аналогично можно записать и коэффициент сопротивления
с подсасывающей силой
с. =C, + Ac,, (7.5)
HO в этом случае в Ac, входит также и подсасывающая сила.
У летательного аппарата с острыми передними кромками де-
формацией его можно уменьшить величину Ac,. Для этого при каж-
дом угле атаки нужно так выбрать деформацию, чтобы во всех
сечениях летательного аппарата осуществлялся безударный вход
потока. Естественно, что в этом случае не будет возникать мест-
ного отрыва. потока, увеличивающего сопротивления. При этом
поток не будет огибать передние кромки, скорости вблизи них
будут конечны и подсасывающая сила не образуется. Однако, как
показывают расчеты, некоторые из которых приведены в главе XI,
безударный вход обеспечивает уменьшение сопротивления на ве-
личину, практически ‘равную` величине подсасывающей силы на
недеформированном летательном аппарате, когда местных отрывов
не возникает. Это объясняется тем, что отклонение носков слабо
изменяет циркуляцию. Поэтому выбор деформаций вблизи носка,
обеспечивающих безударный вход, обычно можно трактовать как
направленный на практическую реализацию подсасывающей силы.
$ 2. Представление индуктивного сопротивления
через коэффициенты аэродинамических производных
Из постановки задачи об обтекании летательного аппарата
нетрудно установить структуру коэффициентов индуктивного со-
противления. Заметим, что при вычислении сопротивления важно и
в рамках линейной теории различать, на какую ось проектируется
аэродинамическая сила. Когда рассматривается установившееся
движение летательного аппарата, аэродинамическую силу удобнее
проектировать на направление полной скорости Uy начала коор-
динат (рис. 7.1), т. е. иметь дело с коэффициентами сопротивления

189 ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА [fa. УП
При неустановившемся движении для практики более рацио-
нально рассматривать составляющую аэродинамической силы на
связанную ось, т. е. коэффициенты продольной силы с, и с,. Пере-
ход к скоростной системе координат производится формулами (1.4).
Подсасывающая сила @ направлена по касательной к несущей
поверхности в передней кромке. Так как рассматриваются малые
углы атаки и малые деформации, то для проекций подсасывающей
силы на связанную и ско-



A ростные оси с линейной
точностью будем иметь
Lg G, Q, = ©; = 0,
бах ihe ИЕ _ Cox == Со, == Cg. (7.6)
Ug M, т Поэтому в дальнейшем для
коэффициента подсасываю-
{ щей силы в обеих систе-
Рис. 7.1. Схема сил, действующих на несу- мах координат различия
щую поверхность. не делается и он обозна-
‚чается Co.
Пусть летательный аппарат совершает неустановившееся дви-
жение и деформируется ‘по гармоническим законам с кинематиче-
скими параметрами (1.41), (1.42). Тогда коэффициенты продольной
силы с, или сопротивления с, можно представить в виде (1.47).
Как коэффициент продольной силы, так и коэффициент сопротив-
ления летательного аппарата являются малыми величинами вто-
рого порядка, и с этой точностью из (1.47) для них будем иметь
cre) = Cro Dy № 449,9 +
\
+E чи Ха и
Сх (Tt) = Схо-- > 2 cx !qi (t) qj (t) + - (7
+d 2. чи + У 2 М (0) 9 (0)
9; =“, Wy, 0, 6b, 6,,,
qj =, W,, O,, 6,, 0.

9
919; 944!
Здесь коэффициенты аэродинамических производных с my, og?
q 769) 099 4:4]
Cx ) Cx
dj
СТИ сх от времени не зависят.

$21 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНДУКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 183
Структура зависимостей для коэффициентов продольной силы и
сопротивления без подсасывающей силы будет такой же. В этом
случае в равенствах (7.7) коэффициенты аэродинамических произ-
водных нужно снабдить чертой сверху, например с», с." ИТ. П.
Остановимся подробнее на практически наиболее важном слу-
чае: установившемся поступательном движении летательного аппа-
рата с углом атаки & и постоянной во времени деформацией по-
верхности. При простой деформации вида st 40) будем иметь
Acy = Cy” a” + c% wo + 0%
Ac, = Cea" + 6986 -- 666
Если деформации сложные и определяются зависимостями вида
(4.60), то
Ac = cal а у, os с. 16) +> уе oY 66
AC, той +a Ус, У У 258,
р jv )
Неравенство (7.2) справедливо при любых ©, 6, 6, 6,, причем
коэффициенты с” с” от деформации не зависят.
Приняв в (7.8) все масштабы деформации равными нулю, за-
ключаем
(7.8)
(7.5)

с — Om,
Положим в (7.8) и = 0, тогда неравенство (7.2) даст
Cr Ce.
При сложной деформации, принявв (7.9) a = 0, 6, = 0, 6; + 0,
у == j, получим
сх Г сх". (7.10)
Из физических соображений ясно, что часть -сопротивления,
зависящая от нормальных сил, не может быть отрицательна в рас-
сматриваемом случае
Ас, — 0, Ас, —0. (7.11)
При простой деформации условия (7.2) и (7.11) приводят к следую-
щим соотношениям:
Со? 4 ood + oo > 0,
сб? + с wae > 0,
Acta” + Ack as + Ace’? = 0,
Acs” = са — cH", Ac? = cy — 3, Ac} = — oo.
. (7.12)


184 ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА [Гл. УП
Неравенства (7.12) имеют место при любых a и 6. Поэтому для
дискриминантов квадратных уравнений относительно © имеют
место неравенства, приводящие к следующим:
(226)? — 4629555, (626)? =< _ 467% сб,
(cf? — cP)" <4 (co — cf") (4—5).
Перейдем к сложным деформациям, используя формулы (7. 9);
можем написать
(7.13)
a +a Scr + У, У af 86,50, |
] г
car а Dy es oy 16; + 2 > ox” 616» > 0,
дата? +a 5, Ace 16, + 2 > Acti” 6 8y = 0, f (7.14)
Асс — 50° — ch™, Ace! = — oi i,
АС = ev СР

4
Рассмотрим, например, второе из неравенств (7.14). Для дискрими-
нанта квадратного уравнения относительно & имеем
(2 ги!) =e > do: С» Pv § jOv-
j
Отсюда можно получить неравенства, в которые не войдут Mac-
штабы деформаций. Так как (7.15) справедливо при любых 6,, 6,,
то, полагая все эти параметры, кроме 6,,, равными нулю, Получим
6, 6.6
(cy — < 4c%%c,% и.
(7.15)
(7.16)
Аналогично находим
(ce) < 40%, (Ace) <
Пусть далее р и ^ — два любых положительных числа. Поло-
жим все параметры деформации, кроме 6, и 6,, равными нулю,
тогда (7.14) даст
a6 a6 2
(с бр ++ Cx #8,
Это`неравенство запишем в виде
би + бибьВ + 6&С =
<4 Act Ac," (7.17)
<4c% (cat + cs) 884 + ct Oy, + cx AOE].
0.

$31 `° ТЕОРЕМА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. 186
Тогда соответствующее условие для дискриминанта квадратного
уравнения относительно 5, даст
к и. ки» 2
R x x
—— <=
+e, oa) <
a6, \2 a6. \2
66 (сб) 6,6 (c%°e) ,
Te) __ i ВИИИ k Е _ x
<|c, ee сх ааа | (7.18)
Аналогичные соотношения справедливы и для других коэффи-
циентов, соответствующих первому и третьему. неравенствам
(7.14). |
У летательного аппарата с деформацией, обеспечивающей без-
ударное обтекание передней кромки, (7.2) превращается в равен-
ство. Отсюда получаем, что на режиме безударного входа имеют
место соотношения
“a0 ~ad ad 788 66 —%5, a6; -6 (6 6,0
Cx — 29° ’ Cx = Cy 9 Cx = Cy ;» Cx l= Cc, Г, cy) = с, у, (7.19)
$ 3. Теорема количества движения
в случае установившегося поступательного движения
Рассмотрим сопротивление летательного аппарата, движуще-
гося в идеальной сжимаемой среде с постоянной по величине
и направлению поступательной ско-.
ростью Uy. При дозвуковых скоро-
стях, когда еще не возникают скачки
уплотнения у поверхности аппарата,
появление сопротивления связано
с наличием пелены свободных вих-
рей, которая тянется за ним вплоть
до бесконечности. Появление скачков
уплотнения может привести к изме-
нению интенсивности присоединен-
ных и свободных вихрей, что ска-
жется на величине индуктивного
сопротивления. Приводимые ниже
формулы позволяют учесть это из-
менение, если будет известна интен-
сивность вихрей. Кроме того, в скач-. Рис. 7.2. К теореме ` количества
ках имеют место необратимые потери, движения.
из-за ‘чего возникает дополнитель-
ное сопротивление. Расчет этого сопротивления представляет
собой специальную задачу. |
_ Обр aTHM движение; скорость потока, набегающего на летатель-
ный аппарат, пусть будет Us. Проведем произвольную замкнутую




186 ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА [Гл Vit
поверхность У, охватывающую летательный аппарат. Введем
в рассмотрение систему координат Охуг, у которой ось Ох на-
правлена по скорости Ц. (рис. 7.2). В соответствии со схемой ли-
нейной теории будем считать, что свободные вихри параллельны
скорости невозмущенного течения Uy. Индукхивное сопротивле-
ние летательного аппарата обозначим Х; пусть п — внешняя нор-
маль к У (относительно внутренней области, ограниченной этой
поверхностью). К массе газа, находящегося внутри У, применим
теорему количества движения:
—х— JJ рсоз (п, x) do = JJ pW onWox do, (7.20)
Если Ф — потенциал возмущенных скоростей, TO для проекции
относительных скоростей можем написать
0Ф \
om OW
Их == О +, = -—-, Woz = 55?
oy
(7,21)

om
Won = Uy cos (п, x) + a
Для изэнтропического течения сжимаемого газа уравнение Бер-
нулли имеет вид |
2 2 2
x _Р. a То» Woy + Woe _ Хх Ро + == U8
*—I1 0 2 Е py


oD. OD OD
Будем считать возмущенные скорости Ox? Oy? 5: малыми пер-
вого порядка, тогда главный член в выражении (7.20) для индук-
тивного сопротивления будет малой величиной второго порядка.
На основе решения линейной задачи определяется этот главный
член. Поэтому во всех последующих формулах будем удерживать
только малые первого и второго порядков, отбрасывая малые более
высоких порядков.
Для рассматриваемого установившегося течения из (2.19)
с точностью до малых второго порядка включительно получаем
давление в осях рис. 7.2
Pm Pao =F | в + [1— №) (%) + (в) + (Fe) |. 128

§ 3] ТЕОРЕМА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 187
На основании соотношений (7.21) и (7.22) имеем для (7.20)
= — | | pcos x) do — {| ом, do-—
; z
= fe | | cos (п, x) (1 — m | (5) + (5) + (=) do—
х
— Us| | @—pa)e0s (и 2) Pado—| | оао, (7.23)
х 2
так как || оТ.„ do = 0, || cos (п, x) do = 0.
х z
Выразим разность р — о» через возмущенные скорости. По-
скольку в формуле (7.23) фигурирует произведение (ф — Po) ,
величину (0 — Po.) достаточно определить с линейной точностью.
Согласно уравнению изэнтропы (2.11) имеем
бы Нр—в»\* _ 0 — Pa \*
pom (tat) (Lee)


или, удерживая только малые первого порядка,
P— ре = а (© — ро). (7.24)
Принимая во внимание уравнение (7.22) и удерживая в нем малые
первого порядка, из линеаризованного уравнения адиабаты на-
ХОДИМ
Poo 7, ОФ
P— Po = — or Uo x
Теперь выражение для индуктивного сопротивления летатель-
ного аппарата с учетом подсасывающей силы принимает вид
— “2 | J cos (и, x) |(1 — М") (5, ) + (5) + (2)") do +-
У
+ М? | | cos (п, x) (=) do— | [oa soo do. (7.20)
= >>
Возьмем в качестве контрольной поверхности У полусферу
с центром в точке с координатами х = х1, и = 0, 2 = 0и соответ-
ствующую часть плоскости x, = const (рис. 7.2). Станем без-
гранично увеличивать радиус полусферы при фиксированном
значении X,. Можно доказать (см. гл. П работы [1.12]), что

188 ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА [Гл. УП
интегралы в формуле (7.25), взятые на полусфере, обратятся
в нуль. Интегрирование нужно будет вести по всей плоскости
х1 = const, причем эти интегралы будут иметь смысл (см. тео-
ремы 4 и 6 главы II работы [1.12]).
Ho на плоскости x, = const
cos (п, x)= 1 0Ф _ 00
, On Ox’
поэтому вместо (7.25) будем иметь
х- [м (y+ (2+ (BY ]
— (1 — М?) о. | | (Se) do,
где интегрирование ведется по плоскости x, = const.
Безгранично увеличивая xX, (отодвигая плоскость x, = const
в бесконечность), получим
к?) + (оз
| om
так как при этом => стремится к нулю как Re (cm. [1.12]).
Можно утверждать [1.12], что интеграл равенства (7.26), взятый
по всей плоскости Хх: = const, расположенной Ha бесконечно боль-
шом расстоянии позади летательного аппарата, имеет смысл.
$ 4. Общие соотношения при произвольных
зависимостях от времени
Рассмотрим неустановившееся движение тонкой деформиру-
ющейся поверхности в идеальном газе. Будем пользоваться по-
движной системой координат, связанной с поверхностью (рис. 1.3).
Движение летательного аппарата и, следовательно, системы коор-
динат характеризуем векторами Uy u ®, выражения которых через
проекции на подвижные оси определяются формулой (1.1).
Полное сопротивление (за вычетом сопротивления трения)
несущей поверхности найдем как проекцию на ось Ох действую-
щих на нее нормальных сил |
АХ = | p_cos(n_, x)ds + JJ py.cos(n,, x)ds, (7.27)
где р., р, — возмущенные давления соответственно сверху и
снизу несущей поверхности $, n_ и п, — внешние нормали (на
рис. 7.3 показано сечение поверхности "5 плоскостью 2 = const).
Известно [1.10], что возмущенное давление р’ при подходе
к передней кромке несущей. поверхности стремится_к бесконеч-

$4] ОБЩИЕ. СООТНОШЕНИЯ: ПРИ. ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЯХ: 189
ности. Поэтому выделим из. о часть ее S,, отстоящую на расстоя-
нии = от. передней кромки, т. е. ту часть, на которой образуется
подсасывающая сила. На оставшейся части подынтегральная
функция особенностей не имеет-и интегрирование по ней дает
сопротивление без подсасывающей силы АХ:
АХ = | | | p_cos(n_, x)ds+ [| p+ 0$ (и+, x) ds.
S—S,
S—S, |
Для бесконечно тонкой несущей поверхности имеем (см. рис. 7.3)
cos(n_, x) = —cos(n,, X).
Считая деформации поверхности малыми, заключаем, что Cos_(n, x)
будет малой величиной первого порядка всюду, кроме области У,

нони и
ad


Рис. 7.3. К вычислению подсасывающей` силы.
(рис. 7.3). Так как сопротивление является величиной второго
порядка малости, то для определения АХ с этой точностью до-
статочно определить возмущенное давление с линейной точностью.
Тогда из (2.20) имеем p_ = —р-+. Устремляя ¢ — 0, получим
АХ = || Арсоз (п, х) 4з, Ар = р — р. (7.28)
$
где п — внешняя нормаль к верхней стороне. поверхности.
Интеграл по оставшейся части несущей поверхности, где подын-
тегральная функция имеет особенность, дает подсасывающую
силу Q на передней кромке. Напомним, что с линейной точностью
сила Q не отличается от ее проекции на ось Ox:
Q = lim | | р’ с0$ (п, x) do, (7.29)
=>0 х, 7
где je — поверхность, окружающая переднюю кромку’` при
стремлении радиуса # к нулю.
Чтобы вычислить по (7.29) подсасывающую силу, нужно вы-
делить особенности, которые имеет подынтегральная функция,
а следовательно и потенциал скоростей, на передней кромке.
Поскольку сопротивление является величиной второго порядка

190: ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА [Гл. УИ
малости, возмущенное давление берем с точностью до членов BTO+
рого порядка малости по формуле (2.18). Итак, имеем
om om
a= line | J —uU 2 Ox SSO FO (uy 29, — 9.) +
+= о Uae м9 z+ 20 2,)—2 Ub + 4.2 x + %Q,) +
м 0 0 OM \2
+ ge ae ЭР + (ar) } 808, 9 do—
— tim (J [(— № (%) + (3) + (=) Joos, 94.
(7.30)
Покажем, что первый интеграл обращается в нуль.
Проанализируем порядок величин, входящих в (7.30), при под-
ходе к передней кромке. Элемент поверхности do = з 40 dL
(см. рис. 7.3) стремится к нулю Kak . Потенциал Ф, а, следова-
тельно, и ОФ/0Ё величины ограниченные. Для возмущенных CKO-
ростей имеем [1.10]
a =0(7), |
7 = (=), (7.31)

Используя эти оценки и замечая, что
lim \\7 = 0,
e>0 Ve
Хе
получаем для подсасывающей силы при неустановившемся дви-
жении
-- 1] [(— № (5 =) + +(3) + (3) | cos, x) do.
(7.32)
В полученном выражении (7.32) время в явном виде не входит,
Однако ( будет зависеть от времени, так как возмущенные ско-
рости являются функциями координат и времени.

$ 5] O ТЕЧЕНИИ ГАЗА ВВЛИЗИ ПЕРЕДНЕЙ КРОМКИ 191
$ 5. О течении газа вблизи передней кромки
Подсасывающая сила, действующая на тонкую несущую по-
верхность, определяется, как следует из (7.32), возмущенными
скоростями вблизи ее передней кромки. Рассмотрим подробнее
течение идеального газа в этой области. Пусть L — проекция
передней кромки несущей поверхности на плоскость Охг. Обозна-
чим вектор, касательный к L, через т, а нормальный к ней — че-
рез г. В плоскости II, определенной парой векторов {tr} = II,
Zh


Рис. 7.4. К течению газа вблизи передней кромки.
рассмотрим замкнутый контур D (рис. 7.4) такой, что его часть AB
идет вдоль передней кромки параллельно L, участки AA’ и BB’
направлены по г и соединены дугой A’DB’, проходящей достаточно
далеко от несущей поверхности, где параметры газа непрерывны.
Так как течение газа везде вне несущей поверхности и вихревой
пелены за ней потенциально, то
W, 41 =0, (7.33)
ABDA |
rie М, — вектор возмущенной скорости газа, 4 — элемент
контура ABDA. Интеграл (7.33) можно записать в виде
ф Wid= | Widl+ | и.м=Л-Л,=0, (7.34)
ABDA A’ ABB’ B°DA
Так как вне несущей поверхности и вихревой пелены скорость И,
регуляторна, то второй интеграл в (7.34) ограничен:
[|< С,

192 ИНДУКТИВНОЕ: СОПРОТИВЛЕНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АНПАРАТА [Гл. УП
а, следовательно, из (7.34) вытекает, что и
1/11< С. (7.35)
Возьмем теперь за АВ малый конечный отрезок Al и будем прибли-
жать А’и B’ к передней кромке L, где скорость стремится к беско-
нечности
|W] =0 (=), О<а< 1,
| 7.36)
а = Wa + War о.
Тогда можно записать
|1 [= Al] W,|cos(W,, 1< С. (7.37)
Так как Al — малая конечная величина, а скорость W, при при-
ближении к передней кромкё неограниченно возрастает, то не-
равенство (7.37) будет ‘выполнено, если
cos (W,, l) = 0 (e*).
Отсюда следует, что при приближении к передней кромке вектор
скорости газа W, поворачивается к вектору г. Тогда вместо (7.37)
можно написать
[Ji] = Al] Wal < С. (7.38)
Из (7. 38) вытекает, что составляющая скорости на касательную
к передней кромке ограничена. Но при стремлении АВ к Г. имеем
(7.36), а следовательно, на АВ
СИИ, 00, ПИ, |=0(е-9),
`` Итак, при приближении к передней кромке составляющая ,,
вектора скорости газа неограниченно возрастает, а составля-
ющая W,, остается ограниченной. Поскольку кромка L считается
достаточно гладкой, то в плоскостях, нормальных к ней, течение
вблизи передней кромки будет плоскопараллельным.
. Разложим. возмущенную скорость W,, на составляющие:
№... — компланарную плоскости $ и W,,, — нормальную к ней
(рис. 7.4). Над плоскостью S составляющая W,,, ограничена
условиями непротекания несущей поверхности. Отсюда следует;
что подсасывающая сила будет определяться только . ско-
ростью W,,, вблизи передней кромки. Способы определения
ее и подсасывающей силы будут рассмотрены ниже, в 6 8.

$6] ПРОИЗВОДНЫЕ БЕЗ ПОДСАСЫВАЮЩЕЙ СИЛЫ 193
$ 6. Вычисление коэффициентов аэродинамических производных
индуктивного сопротивления без подсасывающей силы
Индуктивное сопротивление без подсасывающей силы опреде-
ляется соотношением (7.28). Вводя формулами (1.19) и (1.23)
коэффициенты Ac, и Ар,. перейдем к безразмерным координатам
(1.24). Тогда будем иметь
р 126 Е,
де, = 2 | | Apcos(n, 446. (7.39)
0 5
Представим коэффициенты нагрузки Ap и сопротивления Ac,
через коэффициенты аэродинамических производных зависимо-
стями соответственно (1.48) и (7.7). Заметим, что
cos (п, Иа 505.
Тогда, сравнивая правую и левую части, получим при симметрич-
ных движениях и деформациях
1/26 Е,

23 | | pM data
0 ©
25 | | ри ней,
0 65
oi = 2 =f pi г dt dt, + (7.40)
sso || | Е dt,
Ji =, Wi, 6; Cy = gee = one = ee = 0, .
5. b2 8 |
С = 2— | |p SP ae dt, (7.41)
-69 1 —64
gi = 6, Wy; Cx =C,*=(, qi =a, (Wz.

3

194 ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА [Гл. УП
Остальные аэродинамические производные сопротивления без
подсасывающей силы в обоих случаях равны нулю:
-0,0, _ -®.© © -0 Vf -0.9;  -9;9;
СЯ = 7 = С, 7=0, Cy. = сие = Cl —
"+ (7.42)
9: =%, ©», @,, 6, qj =%, ®,, ®,, 6.
Индуктивное сопротивление без подсасывающей силы сечений
с = const несущей поверхности определяется также, а именно
=, 441 ‚ 91 —’ ogy — qi
Cy =Cy » Cy =Cy ,
| 69; Ei ~; 59; Es °
— _. 6 9; Ofs С yb 9; Ofs 7.43;
Cx — Fy |p дЕ dé, ed =;-|p oe 46, ( у )
0 Eo
g,=%, ®,, ®,, 6. |

Вычисления по формулам (7.40), (7.41) производятся переходом
от нагрузок к циркуляциям присоединенных вихрей и от интегра-
лов к суммам аналогично тому, как это описано в главе ТУ.
Расчет аэродинамических характеристик летательного аппа-
рата при движении в сжимаемой среде производится на основе
характеристик преобразованной несущей поверхности в несжимае-
мой среде (см. главу У). Используя соотношения (5.51) между
коэффициентами аэродинамических производных нагрузок в сжи-
маемой и несжимаемой средах и подставляя их в формулы (7.40),
получим

ох си, Rte” = сим + Мм, |
"Мм fim
—69; —_ м qj; Of
ом
, 1м/22м Ям
3~ 69 __ ou q Ofs 46 ,
Rei = 2a J Pt Ем Fem Mm + (7.44)
| OM
Мм TY
9
+ м" pis т и аи |,
ОМ

$ 7] СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРИ УСТАНОВИВЩЕМСЯ ДВИЖЕНИИ 195
При антисимметричных деформациях будем иметь
5 be eM eM 9
2-00, oO,
kc, * = Su | | М se м Um,
м
. > Им/22м fim
4-50, _ bi, M O, О
Cy * = ae | | рам эм Вы dia + | (7.45)
М
мм Ям | af
«fs
+ M’ | | pani ra dE dy.
‘м

Формулы для определения коэффициентов аэродинамических
производных сопротивления в сечениях, а также для сложных
деформаций получаются аналогично.
$ 7. Вычисление индуктивного сопротивления
при установившемся движении
Вернемся к вычислению индуктивного сопротивления с под-
сасывающей силой при установившемся движении летательного
аппарата. Линеаризованное уравнение для потенциала возму-
щенных скоростей имеет вид (2.33). При x, — со производная
дФ/дх стремится к нулю, поэтому в бесконечно удаленной пло-
скости имеем ,
CD , eo
т.е. потенциал скорости будет здесь функцией гармонической.
Пересечение вихревого следа летательного аппарата с пло-
скостью x; = const происходит по отрезку оси Oz [—//2, 1/2],
где / — размах крыла. Пользуясь формулой Грина и принимая
во внимание, что Ф — функция гармоническая, получаем
IJ [Cary + (+) 9 #- fos
Положительное направление п для замкнутого контура / показано
на рис. 7.5. При переходе через вихревую поверхность [—//2,
1/2] нормальная составляющая возмущенной скорости W,,, из-
меняется непрерывно, а нормали и, и и_ имеют на контуре разные
знаки, поэтому
Way = Wan = — Wan
amet. «ть

.]196 ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА [Гл. УП
Теперь можем написать
1/2
[OZ d= [| ФФ, + Фи) =
(1) —1/2
1/2 1/2 |
=— | @.—0)W,,dz=— [T,@W.,@az,
—1/2 —1/2
причем положительное направление Г. (2) в сечении г указано на
рис. 7.5.
С учетом сказанного формула (7.26) принимает вид
0 1/2
X=—2 | Py) W,, (2) ae. (7.47)
—1/2
Напряжение свободных вихрей Г,(2) в любом сечении 2
равно напряжению всех присоединенных вихрей' Г.;„ в этом се-
чении. Что касается ско-
YA рости W,,(z), то она
должна вычисляться от
свободных вихрей в бес-
А конечно удаленной за ле-
—^\/2 тательным аппаратом пло-
_/ 2 скости Оуг, т.е. от плоской
вихревой полосы [— 19,
1/2] бесконечной длины.
— Рассмотрим в сечении 2,
Рис. 7.5. Преобразование двойного инте- полоску вихревой пелены
грала в линейный для плоского летатель- шириной 42,. Циркуляция
ного аппарата. 0








ee будет —**" 42. Поль-
Zo
зуясь формулами (3.6), определим в точке Z индуцированную ее
скорость dW,,. Интегрируя по размаху, найдем скорость, ин-
дуцированную в этой точке всей вихревой пеленой
и dl
1 9
W,, (2) == = | зи zo (7.48)
27 4204 Z2—2Z
—1/2

Перейдем к вычислению коэффициентов аэродинамических
производных индуктивного сопротивления с подсасывающей силой
при поступательном движении летательного аппарата без враще-
ния. Введем формулами (1.24) безразмерную координату 2, а цир-
куляцию представим согласно (4.31) через коэффициенты аэроди-
намических производных. В рассматриваемом случае она будет
Daisy == (06 [Tye + Гб]. (7,49)

§ 7] СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ 197
Коэффициент индуктивного сопротивления представим согласно
(7.5), (7.8). В результате из (7.47) с учетом (7.48), (7.49) получим



й 20 2 —20
1 1
о 7.50)
- аГ“ d _ (
Го 2H 0 | az
+ Зи | , 0 2—5 ’

—1 —
Ac, = ce % Oo? + Cx Ho § + 6006

Внутренние интегралы, входящие в формулы (7.50), являются
несобственными типа Коши. Вычислить их можно, либо аппрокси-
мируя зависимость ry, (z) кусочно-линейной функцией [1.45],
либо разложив ее в ряд Фурье [1.5]. После этого нетрудно. ВЫл
Числить и внешние интегралы. о
Рассмотрим ` теперь определение. коэффициентов аэродинами-
ческих ‘производных индуктивного сопротивления с- подсасыва-
ющей силой при движении летательного аппарата в сжимаемой
среде. Из (5.51), (5.52) нетрудно установить, что циркуляции
присоединенных вихрей будут связаны с циркуляциями присоеди-
ненных вихрей преобразованной несущей поверхности. -COOTHO+
шениями
Ти, 9; =a, 6. ost
Для геометрических параметров из (5.2) имеем.
b=kby, SHhSy, =, (=, (7.52)
Учитывая соотношения (7.51), (7.52), из формул (7.50) устана-
вливаем =
1.08 5
y= СМ, key = CM) ke? = com (7.53)

198 ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА [Га. VI!
где
1 1
р
м | pa у Гм om
J, dzom 2m — 20м
dy,

2. б >
at = On <= ЗАМ =t = = d2y, +
л 5м 420м 2м — 20м
—1
| (7.54)
. aT% dz _
в. УХиМ ом


om 2м — 20m
1
2 6
ММ | ps ам ом @..
xM "On 5, ZuM dz, м.
М Zom 2M — 20м.


4
Аналогичный вид имеют формулы при сложных деформациях.
§ 8. Вычисление коэффициентов аэродинамических производных
подсасывающей силы
В $5 настоящей главы было показано, что течение вблизи
передней кромки несущей поверхности является двумерным и все
составляющие возмущенной скорости вблизи передней кромки
конечны, кроме составляющей У,„, нормальной к ней и лежащей
в плоскости`$. Поэтому при вычислении подсасывающей силы
скоростями вдоль кромок можно пренебречь.
Для плоскопараллельного течения известно [1. 7], что если
скорость W,,, определяется зависимостью

(7.55)
где х, — расстояние от передней кромки по нормали к ней, TO
подсасывающая сила dQ на единицу длины кромки dL также
нормальна к ней и равна
dQ = — po tA’, dL. (7.56)
Здесь А„ — некоторая постоянная, пока неизвестная размерная
величина.
Пусть известна напряженность циркуляции Y,, присоединен-
ного ‘вихревого слоя, моделирующего несущую поверхность. Со-
ставляющая возмущенной скорости W,, тогда будет известна,
так как связана -c циркуляцией зависимостью [1.12]
Woe = №, (7,57)


$8 АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ НОДСАСЫВАЮЩЕЙ СИЛЫ 199
Если стреловидность передней кромки в сечении 2, = const
есть Хок, ТО из условия | ,,. | »| \. | (см. § 5) следует
и
= а (7.58)
ars COS Xok — 260$ Yon ©


Учитывая отмеченный характер течения вблизи передней кромки,
примем, что циркуляция вблизи’ нее будет изменяться по тому же
закону, что и в плоском случае:
—, __4r
Ya = Vo V x’/b’ °

(7.59)
Поскольку
7
Аг; == COS Kor (x —2’ {6 Хок),
где х’и 2’ — расстояния от рассматриваемой точки передней
кромки, то из (7.55), (7.58) и (7.59) имеем
Ars Ap
= — . 7.60
И cos Yor Ух’ —2’ tS Yor 2 V x’ COS Yor (
Так как зависимость (7.60) справедлива в любом сечении крыла, TO
Ap




A, = ——={_ ; ;
S 2Усоз Yor (7.61)
и вместо (7.56) получим
л A,
dQ = — T Ро 205 yon AL: (7.62)
Проектируя подсасывающую силу в каждом сечении на ось Ох
и замечая, что dL cos Xo, = dz, будем для всего летательного
аппарата иметь |
1/2
Q= | dQ C08 xo, dL = ——F Po | cosy, 4: (7.63)
L —1/2
Выразим напряженность циркуляции присоединенного вихре-
вого слоя зависимостями (3.35) через коэффициенты аэродинами-
ческих производных. Тогда, имея в виду (7.59), получим для A;:
A, = ШУБУ, (ata, + ata) (7.64)
Представим подсасывающую силу через коэффициенты аэродина-
мических производных аналогично (7.1), (7.7)
| 49 14 49, °3 eee
со = у, » (4 19,9, + Og 19,9, + of! 94, (7,65)
1 Г
9: =%, ®. O32, 0; Gj =, Wx, Wz, 5;

200 ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА [Гл. УП
тогда из (7.63) с учетом (7.64) будем иметь






lf q @) iF
9,9 лы ap (2 -
“fia F | “COS Yor dz,
—
. | qj
с" — — ol - па (2) 2
Q 4 © COS Xk ’
—1
9.9 л bl а, (2) a,j (2) —
'=—= 5 cos т dz,
J. 0 (7.66)
° I 9, ре qj _
с ПЕ Ol ак (2) ар (2)
Q 25 COS Хок ‘
—1
ee 1 9 - qj ри
i --7$ | ap’ (2) ар (2)
9 25 COS Yor ?
—1
9; =“, W,, ®,, 5; qj =, Wy, 2, 5. ]

Для коэффициентов аэродинамических производных подсасы-
вающей силы: сечений
,
алые SD lea + чи, + со 14,41) (7.61
получим




2 .. i)
gti =F Lai] iim » Lae]
= 4 b, COS Ход? QU 4 b, COS Xok
q . 91.4
в бе м
Q 2b, ск’ = 2 в, COS дж’ г (7.68)
. 4, 9 |
oti ba
о - 2 В, COS Xor’”

qi = da, Wry W., 6; qj =, Oxy °„, 6. }
Из вышеизложенного следует, что для расчета коэффициентов
подсасывающей силы достаточно найти аэродинамические про-
9; 9;
изводные az, Ak’.

$ 81] АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПОДСАСЫВАЮЩЕЙ СИЛЫ 20]
В численном методе, описанном в главе IV, в результате расче-
тов определяются коэффициенты аэродинамических производных
циркуляций дискретных вихрей Thiet, А _1. Потребуем,
чтобы в каждом сечении 2,4_, = const циркуляция распределен-
ного вихревого слоя на первой от передней кромки панели была
равна циркуляции ближайшего к ней присоединенного вихря
Xk y=]
| V24. (%) dx = Pl ЕЕ—1.
Xo °
Выражая циркуляции через коэффициенты аэродинамических
производных и используя (7.59), (7.64), найдем
9
° q;
ai _ ГИ kk—l Ч, Pui tlee—t
k
— 9 a, —
2V bv=1pp—1 — Sopp—1 2V bv=1pp—1 — Sopp—1




. (0.69)
Считая, что на участке размаха между сечениями 2,_1 И 2,
ч 9
значения а», ак постоянны, и переходя в (7.66) от интегралов
к суммам, получим, например, для симметричного в плане лета-
тельного аппарата |






N ь
q,\2
С — m 62 \ | ap
25 femme RF Ok
k=l COS Хок —1
N .
9,9 л 62 (aie)
[4 7 k
COS re ИИ ,
k=l COS 0—1
N
Ч 9;
Ca =— 1 $ kk—1 Ok ’ > (7.70)
k=l COs Xok—1
N
9,4, b2 _ аа
С = — I - [1 oR?
— COS Xop_4
N e e
. © 4; д;
с! a \‘ 7 ар ав
= —Л= kk—1 ,
у . foo COS 40 —1

Ч: =, Wy, Wz, 5; qj — %, Oxy WO >, 6 J

902 ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА [Гл. УП
Для подсасывающей силы сечения Cp, из (7.68) имеем





‚
‘de (of)
° 4 бык сх’ 9 4. Opp_1 cos 0 |
9. 9, e q; д;
СТ — д `6 а» a,! | СЕ! __ Tt b ve Ce
——-—5 ’ — —— ’
° 2 Pep _1 cos yok 4 ы 2 бы 1084 1’ (7.71)
.о о g qj
‚9.9, д b agi ap
CQ '=— 3G з Ji =A, Wy, W2, 5;
kk—1 COS YOR,
qj =, Wy, O,, 6.

— Ok
Величины Jy, 1, COS Yorx-1 определяются по формулам (4.3),
a а", a, находятся согласно (7.69).
В тех случаях, когда число присоединенных вихрей в сечении
невелико и первый вихрь расположен сравнительно далеко от
передней кромки, для более точного определения коэффициен-
9; 9; e |
тов ав, ак используется не только первый, но и последующие
вихри, В частности, все вихри, лежащие в данном сечении. Тогда,
аппроксимируя %,., мапример. зависимостью
7. > = — = т С, ) x— Xo И (7.72)


по способу наименьших квадратов ищем A, и С, из условий ДлЯ
сечения 2,:

x4 n
| 7.4 (x) dx у, Г 81,
x n
; (7.73)
| 7.4 ®х9х— у Г.Х» = bas
Xo p=! |
51 —- 68 = min.
Переходя в зависимостях (7.72), (7.73) к безразмерным координа-
там и коэффициентам ‚аэродинамических производных, находим
выражения для dy’, а» соответственно через ri, Tai.
Отметим одну интересную деталь. Пусть плоское (недеформи-
рованное} крыло движется со средним углом атаки &, = O H co-
вершает поступательные. вертикальные колебания или вращается
относительно оси Ох. В этих случаях, как следует из (7.40),
(7.41), сопротивление без подсасывающей силы будет равно нулю,

$ 8} АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПОДСАСЫВАЮЩЕЙ СИЛЫ 903
В то же время циркуляция ближайшего к передней кромке при-
соединенного вихря для рассматриваемых движений будет от-
лична от нуля, и согласно (7.66)—(7.69) на ней будет образовы-
ваться подсасывающая сила. Таким образом, поступательные коле-
бания и вращение относительно оси Ох создают на плоском крыле
тягу. Она образуется за счет энергии, которая тратится на враще-
ние крыла или его колебания.
Расчет аэродинамических характеристик летательного аппа-
рата в сжимаемой среде производится по соответствующим ха-
рактеристикам геометрически преобразованной несущей поверх-
ности в несжимаемой среде (см. гл. У). Однако при определении
подсасывающей силы нецелесообразно находить ее для преобра-
зованной поверхности, так как пересчет их на сжимаемую среду
получается достаточно сложным. В данном случае проще опреде-
лить сперва циркуляции присоединенных вихрей в сжимаемом
потоке и непосредственно по ним найти коэффициенты ам», ам
для сжимаемой среды. Учитываем, что
Ai = ri. RT == rn + MTS, gq, =%, ®„ 4, 17.74)
2 ® @ 4 @ @ ® y |
RT х= Гия, &T = Г + МТ»,

а также соотношение
Ame =U, V om у | aft, gi + (alias + Maze) a1 | (7.75)
t
(здесь и ниже индексом «М» отмечены характеристики преобра-
зованной поверхности). Тогда вместо (7.69) будем иметь
4 9; 15/29 4; 24 |
И Рай = ane, Ras! = аи» + M Goer, 9:=4а, Wz, 6, (7.76)
3/2 @ © 72 © ©, 9 -@
" ap* = ам, Е" ay* = ainte + M ome,






причем
VY )
ane __ PMire—1
— 9
2 У мир — EMOpp—1
e 4,
а = PiMize—1 | (7 77)
= , .
2 V BM lpp—1 EMOpp—l
с
9: PoMike—1
Q2Mre =

2У Emtpp—1 — EMopp—1 |
Далее расчет ведется по формулам (7.70), (7.71).
Для сложных деформаций аналогичные соотношения читатель
может записать самостоятельно.

ГЛАВА VIII
К ОПТИМИЗАЦИИ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ
И КАЧЕСТВА ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
$ 1. Общие положения
Рассмотрим стационарную задачу о расчете обтекания тонкой
несущей поверхности, моделирующей летательный аппарат по
схеме, указанной на рис. 1.2. Будем изучать только продольное
движение летательного аппарата и симметричные деформации
в системе координат рис. 1.1. Введем также безразмерные коор-
динаты (1.24).
В рамках линейной теории, когда изучаются малые деформации,
можно считать их происходящими по нормали к базовой поверх-
ности, т. е. вдоль оси Оу. Основной интерес для задач оптимиза-
ции будут представлять деформации, линейно меняющиеся по
углу атаки &. Общую деформацию (1) будем представлять в виде
суммы частных 1;. Наряду с основными деформациями \, будем
рассматривать и сопряженные Ni, которые вместе с основными
обеспечивают при всех a безударный вход потока. Индексом «У»
отмечаем деформации, полученные сложением тех и других.
Каждую из частных деформаций удобно представлять в виде
0 of
и’, О РС, 0 sa. (8.1)
50 a
Функции координат {и р’ характеризуют формы деформаций,
а множители 5° и 6; масштабы их, причем последний определяет
интенсивность роста деформаций по углу атаки.
Сопряженную деформацию 1 можно записать следующим
образом:
i= Уи; + Dike ob ii “6a, 8.2)
причем последний член дает сопряженные деформации в &-задаче.
Итак, имеем следующую сводку обозначений для основной и сум-
марной деформаций:
1= YF t+ yi fe,
80 6 ‘
ne У + Ура + а,
é é
5
(8.3)


§ 1] ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 905

| 60* 60"
пп
И — р + Duh bi 60 ‚9
да" 6%
в =f" + у [г г (8.3)
]
, 6"
fe = Mihi! 87.
i a
Пусть и — нормаль к тонкой несущей поверхности, модели-
рующей летательный аппарат, направленная от нижней ее стороны
к верхней. Если имеет место только основная деформация, то с ли-
нейной точностью
60
д t
cos (п, j= Dita | aif бо, cos(n, И) =1. (8.4)
Когда наряду с основными деформациями применены и сопряжен-
ные, то
д д
с0$ (и, x): = — >= i si — >= is бра,  cos(n, = 1.
(8.5)
Структурные формы решений получаются из граничного ус-
ловия (2.84) линейной задачи обтекания летательного ап-
парата.
Подставив (8.4) или (8.5) в граничное условие (2.84) и учитывая
свойства линейных задач (см. гл. IJ), заключаем, что общая
задача разбивается на ряд частных, каждая из них решается
формально независимо, а решение общей получается сложением
частных решений.
Итак, для безразмерной интенсивности y (Е, 6) [см. (3.35) ]
присоединенного вихревого слоя, заменяющего тонкую несущую
поверхность, можем написать
y=Pat wat ys 1х == a+ peso + vex |
5:
-Х и, wa Dw, | (8.6)

6% ey
vox = > |155, Yor = > 1126,
t 1

906 ОПТИМИЗАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ (Гл. УП
Для безразмерной аэродинамической нагрузки Ap, введенной
(1.23), будем иметь
Др = p*a + pga + ps, Aps =p%a + роза + pos, |
бе 60
% t 6%, 0 — i 5%,
рб > р: 0; Ps > Pi | (8.7)

6% 60
pis = > р:20, раз = > pizdi.
4
Производные нагрузки (8.7) связаны с аэродинамическими про-
изводными циркуляции (8.6) соотношениями (3.36).
Далее нам понадобится величина суммарной циркуляции при-
соединенного вихревого слоя в сечениях г = const. Обозначим
ее Г, (2) и введем формулой (4.6) безраз-
мерную циркуляцию, тогда
га = J v &, 2) dk, (8.8)
где 6,4 6, — координаты передней и задней
кромок сечения 2 = сопз{. На основании
(8.6) и (8.8) можем написать

= Me + Гб + Г,
Г; = > У Гб = > г,


oF ot ‚ (8.9)
Vé Г” = | ya, Г =] 7, Е,
Рис. 8.1. К оптими-

зации характеристик 80 - 50
управляющими орга- Г =| y dé.
нами. ы i
Аналогичные соотношения верны и при безударном входе, здесь
надо только поставить индексы «>».
Введем формулами (1.17), (1.19) аэродинамические коэффи-
циенты сопротивления, подъемной силы и продольного момента.
На рис. 1.1 показаны направления этих величин, принятые за
положительные.
Для получения необходимых аэродинамических характери-
стик удобно применять частный вид деформации — отклонение
частей крыла # или ] (рис. 8.1). Изменение коэффициентов Cy ит,

$ 2] УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ПОДСАСЫВАЮЩЕЙ СИЛЫ: 907
эффективно производится секциями закрылков, а обеспечение
безударного входа — отклонением носков. Пусть в этом слу-
чае 6, — угол отклонения поверхности 7 относительно оси О’О",
составляющей угол 0, с осью Об (см. рис. 2.7). Тогда
80
6; = 6; + ба, = fi! (6; + 6°а), (8.10)
0
6,
где функция f; определяется согласно выражению (2.96).
Если этот вид деформаций выбран в качестве сопряженных,
то аналогично на руле ]
. у Bry 0* ‚о ка ot
i= I ji (би + d%a + 6 a). (8.11)
$ 2. O06 учете влияния подсасывающей силы
Как отмечалось в предыдущей главе, линейная теория позво-
ляет определить подсасывающую силу. Последняя направлена по
касательной к несущей поверхности и нормальна к передней
кромке. Эта сила является малой величиной второго порядка
относительно % и 67. Она отсутствует при безударном обтекании,
т. е. когда местные относительные скорости перед крылом парал-
лельны его поверхности.
Для сопротивления, которое является малой второго поряд-
Ka, учет или неучет подсасывающей силы дает существенную
разницу.
На практике подсасывающей силы не возникает при заострен-
ных передних кромках, так как на них образуется местный отрыв.
При хорошей профилировке поверхности удается иногда получить
полное значение подсасывающей силы. Возможны и промежуточ-
ные варианты, когда возникает только часть указанной силы.
Ответить на вопрос, какова эта часть, на основе методов, из-
ложенных в главе VII, нельзя. Для этого нужно рассмотреть ре-
альную форму самолета и учитывать вязкость среды. Можно
ввести и эмпирический коэффициент реализации подсасывающей
силы на основе сравнения опытных и расчетных данных по со-
противлению. |
Обеспечить снижение сопротивления возможно двумя путями.
1. Профилированием каждого сечения 2 = const, особенно части,
прилегающей к HOCKY, с целью реализации подсасывающей силы.
2. Отгибанием (поворотом) носовой части крыла таким образом,
чтобы обеспечить безударный или почти безударный вход струй
по передним кромкам на каждом угле атаки, т. е. предотвратить
местный отрыв.

208 ОПТИМИЗАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ (Ta. УП
Наиболее эффективным является комбинация того и другого
путей. Отметим, что иногда можно без специальных исследований
найти ту часть летательного аппарата, на которой образуется
полная подсасывающая сила. Например, на носовой части фюзе-
ляжа, если она не испорчена в аэродинамическом отношении
и хорошо профилирована.
$ 3. Аэродинамические производные подъемной силы
и продольного момента
Коэффициенты подъемной силы и продольного момента свя-
заны с безразмерной аэродинамической нагрузкой соотноше-
ниями (1.25) как при безударном обтекании, так и без него. Исполь-
зуя теорему Н. Е. Жуковского «в малом» (3.34), перепишем (1.25)
следующим образом:
2 2
а | [154 3. oz | | vd, |
z х
2 2
та = — 5 | | У, т, = —-5 | | 4.
“y х
На основании (8.8) выражения для коэффициента подъемной силы
преобразуем к виду
(8.12)

1
Cys =e | [y(dz, c,= | ГО.
—1
Отсюда и из структурных формул для y (8.6) и Др (8.7) не-
трудно заключить, что аэродинамические коэффициенты подъем-
ной силы и продольного момента имеют следующий вид:
Oo a 0 [о [о 0
Сух == бух“ -- Субх + Субх» Cy = С,“ -+- Cy 6% + Суб»
0
0% od 0 9 a (8.13)
Max = Mey + Тв; + Megy, Mz, = MzA + Таба + Тебе
Суммарные аэродинамические производные можно выразить: через
производные частных задач. Далее дадим соотношения только
для случая безударного входа, который обеспечивается сопря-
женной деформацией. Когда эти деформации отсутствуют, нужно
во всех формулах опустить индекс «>». Указанная связь имеет вид
6“ 50
Субх = > CyixOi Су — > Cyix8;,
6% 60 |
mon = Dy meis6F, moon 2 mais.
)
(8,14)


$ 3] ПРОИЗВОДНЫЕ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ И МОМЕНТА 909
Наряду с формой (8.13) принята и иная:
Субх = (cos + cys) (a— cox) M53 = N63 + XFExCygx-
(8.15)
Сравнивая два эквивалентных представления — (8.13) и (8.14)
с (8.15), находим


0 \
Cc
yb= 0 a or >
xr = — дэ 208; = M263 — (cis + Сиб) XF6X»
бух + Субх
+ (8.16)
oF a
See + Magy
F6= a a °
бух + Субх ]

Аэродинамические производные подъемной силы и продоль-
ного момента (8.14) нетрудно выразить через соответствующие
производные аэродинамических нагрузок и циркуляций. Под-
ставим (8.7) в (1.25) и сравним полученные равенства с (8.14),
в результате будем иметь
et | ot 80 6
gz =| | раду, cy = | | pid 5.
7: > (8.17)

г ot of ЕС &
mats = | | РБА, mis =—z | | pixtdy.
>> =
С помощью (8.12) и (8.9) найдем связь между аэродинами-
ческими производными подъемной силы и суммарной циркуляции
сечений
1
164
си = — т (г) dz, ott, => a | rf ris (г) dz.
Аэродинамические коэффициенты подъемной силы и продоль-
ного момента, рассмотренные в настоящем параграфе, Являются
малыми первого порядка относительно % и Oy. Подсасывающая
сила имеет второй порядок малости. Поэтому указанные коэффи-
циенты и все их аэродинамические производные не зависят OT на-
личия или отсутствия подсасывающей силы для данного крыла
с одинаковыми деформациями. Однако следует различать аэроди-

910 ОПТИМИЗАЦИЯ : АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ [Гл. VII
намические производные при наличии и отсутствии сопряженных
деформаций, так как
` (8-18)

$ 4. Сопротивление без подсасывающей силы
Если подсасывающая сила отсутствует или не учитывается,
то для определения сопротивления достаточно проинтегрировать
составляющие аэродинамических нагрузок на направление ско-
рости По. Пусть Ас, — тангенциальная составляющая аэродинами-
ческой силы (ее проекция на ось OX), тогда с принятой точностью
имеем
Ne, = Ag, су Ав, =~ № Арсоз (п, 4х. = (8.19)
} |
На основании структурных соотношений (8.7) для Ap, а также
(8.13) и (8.15) для с, заключаем, что коэффициент сопротивления
без подсасывающей силы. можно записать в виде
Ac, = (с3° + CFB) г -L сова ++ Cros
ctf = yar r+ > Dace
a6?
Sig? вт и ао | (8.20)
с% dcx + 2 yan +) Yes ij i
a= Wy et 8
Подставим в (8.19) выражения (8.7) для нагрузок, (8.4) для cos(n, x)
и (8.13) для с,. Обозначим

4
& 82 0 62
os — у О са Fe _ \ fo; 50
0& Е 1’ OG Е (8.21)

$ 4] СОПРОТИВЛЕНИЕ БЕЗ ПОДСАСЫВАЮЩЕЙ СИЛЫ
211
тогда, сравнивая получившееся в результате подстановки равен-
ство с первым соотношением (8.20), найдем
= Cy
an 88 а» —
‚ (8.22)

Нетрудно найти выражения и для аэродинамических произ-
водных сопротивления, соответствующих частным Q-,
0
07-, д;-за-
дачам и их комбинациям. С этой целью в формулу (8.19) подставим
выражения (8.7) для Ари (8.4) для cos (п, 'x), а также восполь-
зуемся равенствами (8.13) и (8.14). Сравнивая полученный ре-
зультат с (8.20), находим искомые выражения


о a бр
—a6 6 1 i
Сы Cys —-5 || р“ ОЕ dX,
z
aig a aff
—6:6 | 5 Of
Cif’ = — > || 3E dx,
> 0
0 у
—ab 6 | Of,
Ск. = Су — 51 р“ ОЕ dd,
D>
0,0 0 |
—6,6 1 6, Of
Са | = — > \ {oi ОЕ dd,
У
0 0
6% 1 6% Of
t
Ск — — 5 iG ar 4%,
D>
0.0 0 354
6% 6, Of
i |
Cxij = — $ || pi; ОЕ ЗУ.
2 1
(8.23)

212 ОПТИМИЗАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ [Гл. УП
Остановимся еще на частном случае деформаций — отклонении
секций закрылков или носков, когда справедливы равенства
(8.10) и (8.11). Переходя в (8.23) к интегрированию по одной
(правой) половине летательного аппарата и удваивая получа-
ющийся результат, будем иметь (S,/2 — площадь правого руля #)
od 8 — coc g,
git i 4 208 0) || раз,
S ,/2
diet aon, (Cyt
$172
0
—06; 6 2 cos 0;
Cx, = yi t S | peas,
$112
-5;6 2 cos 0 6
Ск! — S 1 $ у dd,
$,/2
0
—6;:5 2 cos 0; б,
Ск Г = < [раз
$118
-6:6; _ 20030, [| 8
Cxij — $ t dx
$112

Нетрудно видеть, что интегралы в (8.24) дают выражения для
различных производных от аэродинамических сил, действующих
на секции руля Г или ], т. е. подъемной силы руля. Введем коэф-
фициенты указанной подъемной силы по формулам (1.20). Тогда
аналогично (8.13) и (8.14) запишем
0
Суш i = (Chu i —- Com 6) a -- Суш 6)
6% 6° (8.25)
0 0
Суш bi =) Cyin ij} Cyn 6i = У Су 9}:
Г ]

50
Здесь Cymij, Суши; — производные OT силы на руле i, возникающей
при отклонении руля j. Тогда равенства (8.24) можно записать

$ 5] СОПРОТИВЛЕНИЕ С ПОДСАСЫВАЮЩЕЙ СИЛОЙ 913
следующим образом:
—5 9 bY <, ~6%6* $ 6%
Cot = Cyt + > cosOichmi, Cxij’ = > COS 8 Cyn j2, |
abe 60 0, 76; $) 6
Cx" = Cyi 4. Si < cos Суш ly Cxi;! = $ COs O;Cym ts (8.26)
606 5, 6% 18 5) by
Cyij = COs 9; Суш №» Cxij ‘== cos 0; ty nit

Подставив (8.26) в (8.20), можно найти и суммарные аэроди-
намические производные сопротивления. Отметим, что все произ-
водные можно получить и прямо, проектируя нормальные силы,
действующие на летательный аппарат и рули, на направление U,.
Все приведенные в настоящем параграфе соотношения спра-
ведливы и при безударном входе (в этом случае подсасывающая
сила отсутствует).
$ 5. Сопротивление с подсасывающей силой
Коэффициент сопротивления с подсасывающей силой при уста-
новившемся движении вычисляется по теореме количества дви-
жения, которая приводит к соотношениям (7.47), (7.48). Перепи-
шем их еще в таком виде:
Ac, =a = | Г (Zp) —=—— 42. (8.27)
—1 —
Отсюда и из равенств (8.9) видно, что и здесь получаются
формулы, в структурном отношении аналогичные (8.20):
са
— (с + 028) a? a + CMB Ol + Стб»
с - cat" OF + di dicts ost! 88,
oO д cate + Ld et 6967 + Wd альт, (8.28)
в — ХУ cit 19960 )
|


914 ОПТИМИЗАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ (fa. У
Подставим в (8.27) выражения для циркуляций (8.9), сравнивая
получившееся соотношение с первым из (8.28), найдем



| aT? dz _ + (8.29)
dz


dz 2—2
—1 т
0
00 1 2 0 avy dz -
Bag el ry | dz z—% dy

Перейдем к выводу формул для аэродинамических производ-
ных сопротивления, которые соответствуют частным @-, 6г-,
б!-задачам и ‘их комбинациям. С этой целью в формулу (8.27)
подставим выражения (8.9) и полученный ‘результат сравним
с (8.28):

6%
abe 2 Г“ ar! = -
Cri = = a | | и _ 42_ 42 -
5 й dz 2—2
+| ry" |= |1 | (8.30)
7
|




6%
er te | et | ee ae -
м “On 5 у . dz 2—2 azo,

215
СОПРОТИВЛЕНИЕ С ПОДСАСЫВАЮЩЕЙ СИЛОЙ




1 1
0 6?
a6; 1 62 a aT.' - _
Cn — On 5 № | г рн
42 2 — 20
1 —1
| 1
of Г“ 4 -
+ \T; — ——— | dz,|”
42 2—2
—1 —1
1 1
0
а 6; _
ти | \ a | ee)
1 1
a
ав | Е |
“tj Эд 5 у, 1 У @ "2-2 о,
1
0


1
5.
ar,’ ` _
Коэффициент сопротивления с подсасывающей силой иногда
бывает удобнее записать в ином виде. Если коэффициент подъем-




ной силы с, отличен от нуля, то можем написать
Вс? [2
Ac, = = ‚ А — 5; (8.31)
где В — некоторый множитель [1.12]. Принимая во внимание
авенство
P B = nh A
С
у
и формулы (8.18) и (8.27), получаем
i т
аг az -
"| ) @ zz |™
Baw La (8.32)
1 2
—1
Из выражения (8.9) для циркуляции Г заключаем, что в данном
случае В зависит от угла атаки.
Когда коэффициенты
a {2 0
Cy + Суб == 0, Cys # 0,

216 ОПТИМИЗАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ [Гл. VIII
можно ввести аналогичным образом несколько множителей, ко-
торые от & уже зависеть не будут [1.36]:





B_. (c® +.6%,) а? Bad (c® + ¢%.) ac? Bow (Co x)"
Ac, = ско, ( т 76) + (су = 45) wey so (Cy) , (8.33)
Путем сопоставления (8.28) и (8.33) получаем
С ote ct nay обл
Вов = — —5 ЛА, Ваз = = -— , Ba = -^.\ (8.34
we (of + es)” “ о cy (60 ee)
Указанные множители уже не зависят от угла атаки, а с помощью
равенств (8.29) и (8.33) имеем выражения для них
1 1
ег п |.
| e413) |“ +79) 4 di
—1 —1
\

dz Z— 20
aq чета]
1
a( for+mpa)( fr «
1
0 `- .
x |+ r2) | 6 |щ+ | (8.35)
1

Bow
Виз = x



1 1
a(r® + го 5
+| м | ( ии в) |1,
dz 2—2

—! —



1 2 | °
(J ra
—1
Отметим, что все приведенные здесь формулы. справедливы
и для случая, когда с помощью сопряженных деформаций обеспе-
чивается безударный вход. Так как подсасывающая сила здесь
отсутствует, это должно приводить к одинаковым результатам
с расчетами по методике предыдущего параграфа. Обычно исполь-
зование формул настоящего параграфа оказывается более эффек-
ТИВНЫМ, |

$6] СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ СОПРОТИВЛЕНИЯ 917
$ 6. Некоторые свойства коэффициентов сопротивления
Для последующего анализа изучим свойства коэффициентов
сопротивления с подсасывающей силой и без нее, их аэродинами-
ческих производных и множителей В, Во, Вози Bgg. Заметим, что
множитель В согласно (8.31) характеризует величину сопротивле-
ния с подсасывающей силой при заданном значении коэффициента
подъемной силы с,. То же самое относится к Bag (при с = 0)
ик Ву (когда @ = 0). Как видно’ из формул (8.32) и (8.35), все
множители В, Вас, Bas, В зависят только от закона распределе-
ния по размаху несущей поверхности тех циркуляций, через кото-
рые они выражаются. При этом три коэффициента: В, Bog, Ву
связаны с соответствующими циркуляциями одинаково, а потому
обладают сходными свойствами.




Положим | |
2= — COS, 2 = — COSY,
2 = у i 0, — < о.
Г (2) x4 О» sin mp, Гб (2) x Den Sit np, | (8.36)
Г“ (2) +T§ (2) = У Deon sin mp.
n=l
Учитывая известное соотношение [1.5]
Г cos nip ___ sin np __
J COS Po — COS p dip = 1 sin yy’ n=0, 1, 2...)
находим, например,
1 1 _ со \
at dz ~ ла р?
|| == a= У nl
—1 —1 n=1
1 1 л
aT 5 -
| (Г + Г) | 6 _ 42_ dz, —
4 4 dz z—2
, (8.37)
1 1
co
а (T* + r3) р - 2
_ 0 6) dz _ он.
— | | = == dz) = 5 DeaanD enn,
—1 —1 n=l


1
[Taz D,
—}

518 ОПТИМИЗАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ (fa. Vill
Поэтому выражения (8.32) и (8.35) принимают вид





со о со )
у 3 Dh
A= i=
B — D2 9 Baw р] 3
i Daa 1
и ы | 639
У, (Don) п x D eon? бий
Ву = 7= В = 2 = al
0 \2 a6 0 y
(D 51) D ao? 61
причем отсюда вытекают неравенства
В = I, Вас = 1, Ву > 1. (8.39)
Свои наименьшие значения
Вт =1, Baa min — 1, В min = ! (8.40)
эти величины принимают тогда, когда в разложениях (8.36) все
коэффициенты, кроме первых, обращаются в нуль. При этом цир-
куляции по размаху меняются по эллиптическому закону.
Из формулы (8.38) видно, что множитель Воз в зависимости от
значений коэффициентов разложений Ооо, и Оз может быть
как положительным, так и отрицательным. Ограничения, накла-
дываемые на абсолютную величину Во, устанавливаются на OCHO-
вании того, что при установившемся поступательном движении
индуктивное сопротивление не может быть отрицательным:
Ac, => 0.
Отсюда и из (8.33) получаем неравенство
60, oo. \2
Boo? + Ba “—a-+B (= u -| > 0
6 a a 66 = Vs
Cy + Sy [м 7 + ys
из которого заключаем, что дискриминант этого квадратного
уравнения не положителен и
Ваз < 4Вао, Bos. (8.41)
Из (8.38), (8.40) и (8.41) вытекает, что своего наименьшего по
абсолютной величине значения
Bas min = 2 (8.42)
этот коэффициент достигает, когда циркуляции rm и Си Г
меняются по эллиптическому закону. |
Аналогичные соотношения справедливы и для аэродинамиче-
ских производных коэффициентов сопротивления. С помощью
(8.34) и (8.39) находим
Gs + у и). _¢ cya)
Cx Cre = A os = дл 9 (8.43)




$7] АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ КАЧЕСТВО 919
а из (8.34) и (8.41) получаем
a0\ 2 0% aa „00
(с = 4 (cf + 6+5) Cx6° (3.44)
Подсасывающая сила всегда направлена на передних кромках
вперед по движению, поэтому она может только уменьшать со-
противление, следовательно,
Ac, > Ас,. (8.45)
С учетом (8.20) и (8.28) неравенство (8.45) можно записать
= = 2
(2-0 — 69° oO) ой +
a 0
+ (5 —5%) a -- (Суб — cr >0, (8,46)
а так как это неравенство справедливо и при a = 0, то
0
Crs — Cro. (8.47)
Из (8.46) вытекает, что дискриминант квадратного уравнения
для % будет отрицателен или равен нулю, откуда
Ce te Cre = С +h (8.48)
На основании изложенного приходим к следующему важному
положению, базирующемуся на теоремах Мунка [2.1]. Пусть
поверхность летательного аппарата деформируется так, что
масштабы деформаций линейно меняются по углу атаки. Тогда
при заданном значении коэффициента подъемной силы с, наи-
меньшее индуктивное сопротивление у него получается в том слу-
чае, если на передних кромках реализуется полная подсасывающая
сила, а суммарная циркуляция ` присоединенных вихрей изме-
няется вдоль размаха по эллиптическому закону, причем .
Де, = —. (8.49)
Для дальнейшего удобно ввести коэффициент Во» не только
при реализации подсасывающей силы, но и при ее отсутствии:
_ cum ote _
Вод, = Gi Te са, Th, Bag = Baa (8.50)

$ 7..Аэродинамическое качество
Аэродинамическое качество К заданного летательного аппа-
рата при фиксированном числе М зависит от угла атаки % вида
деформаций, определяемых функциями fie ‚ а также масштабов
деформаций §,. Задачей развиваемых методов является изучение
влияния их на величину аэродинамического качества К.

920 ОПТИМИЗАПИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ [Гл. VIII
Полезно иметь соотношения, которые позволяют рассчитывать
аэродинамическое качество К как функцию с, или максимальное
значение аэродинамического качества Kya. "Кроме того, жела-
тельно уметь оценивать, что могут дать те или иные резервы
увеличения Kya, или К при данном с,. Подобными резервами
являются: реализация подсасывающей силы; снижение индук-
тивного сопротивления за счет получения закона распределения
циркуляции, приближающегося к эллиптическому; уменьшение
сопротивления трения Cyo.
Вначале получим формулы для К и Kmax в общем случае,
когда имеют место общие деформации и подсасывающая сила pea-
лизуется полностью. Для случая, когда подсасывающей силы нет,
в нижеприводимых формулах над всеми величинами (кроме со)
следует ставить черточку.
Изучая аэродинамическое качество, удобнее рассматривать за-
висимость его от Cy, а не от &, поэтому коэффициент сопротивле-
ния запишем в виде
Cy == Co + с1су + сосу. (8.51)
Смысл коэффициентов Co, Cy и Co таков:
Со = Cx |cy—0 = Cx [аи ,



с. — 96 о 4 |
1— dey \cy=0 6% cy + Сб da la=a”’ | (8:52)
__ dc, l | сх
—ыю

э =

4 (G+ ea) 9
Из (8.28) и (8.52) получаем


00 0 )
Co = Схо Cup + CX Oto | (6%% + 02%) о,
00 aa 00%
__ 66 +2 (64° + 648) во _ oe 96 _ _ Bua (8.53)
a= ес » = (c% с)? = Taf
у ¥6 y + y6 :
Cy = Со + Ас», |

причем выражение для аэродинамического качества имеет вид

К = <4 , (8.54)
2
Cy + CC, —- Сс,
Коэффициенты со, Cy, с. могут быть выражены через введен-
ные выше величины В. Учитывая равенства (8.33) и (8.52), можем
написать
В 2 2 В 2 2 B 2 2°
С0 == Схо + ACh + CFs) и— a (ch ++ cfs)" ap + —98 a (Ch - 2%) °о,

$7 АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ КАЧЕСТВО 99]
откуда ,
— ско -- as cfs)
Из (8.33) и в 52) имеем
oh (Bac — Bas + Bog). (8.55)




2B B uty 8
С1 — a (с + с%) ao + —— = ив Суб = пб 2 о (2Boa — Bas),
а также
С __ | 1 с, Baa
2—9. 2 da2 т,
2 (си) 98 м
итак,
ct 8 a, B
Из формул (8.55), 8.66 следует, что если подсасывающая сила
на передних кромках летательного аппарата реализуется пол-
ностью, а распределение суммарной циркуляции изменяется вдоль
размаха по эллиптическому закону, то
Со = Схо, Ci = 0, Со — — . (8.57)
Найдем экстремум функции (8.54) по с,, он достигается при
с, = с,„, Когда
CoC, = Co. (8.58)
Таким образом, при максимальном и минимальном значениях
качества квадратичный по с, член в сопротивлении равен части
сопротивления, не зависящей от с,. Очевидно, Ких Достигается,
когда Cy, >0, Киш — при Cy, <0. Подставив (8.58) в (8.54),
находим.


K max Е (8.59)
26% + С1Су+ Cy + 26:бу» ’
ИЛИ

— l
K max с, 4.9 V cote ’ -)4- Bas — mh. (8 )
Рассмотрим ту же несущую поверхность (схематизированный
Летательный аппарат), но которая с точки зрения аэродинамиче-
ского качества является оптимальной. В соответствии со сказан-
ным выше здесь при любом с, должна быть полная подсасывающая
сила и эллиптический закон распределения циркуляции. Тогда
для того же коэффициента сопротивления трения будем иметь
Кор = ——* =. (8.61)
Схо + =

Максимального значения эта функция достигает при Cy = Cyy opty

2992 ОПТИМИЗАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ (Ta. VIII
когда
с?
у» ОР __ б
th 0,
следовательно, в данном случае
| А,
К max opt “> | 2. Суж opt = THC x9 (8.62)
Схо
Приведенные соотношения дают возможность исследовать
влияние различных факторов на Ки Кн„х. Например, чтобы ре-
шить, стоит ли добиваться полной оптимизации аэродинамического
качества, целесообразно обратиться к функции
2
y
K Схо + tA
К — о] 9 (8,63)
opt Co + CyCy + C2,
которую можно записать и в следующем виде:



о)
A 0 aa _\Суж (8,64)
Kopt Ну (52) + (2)
При анализе максимального аэродинамического качества по-
лезны следующие данные. Во-первых, отношение указанных вели-
чин при полностью реализованной подсасывающей силе и без
нее

K max _ 4 +2 Coe, 8.65
Keax Cy +2V coc, ( | }
Во- -вторых, отношение оптимальных (наибольших из возможных)
значений максимального качества с подсасывающей силой и при
ее отсутствии
РА 1 - TA
A max opt — mad Baw +. =. C1 —— (8.66)
K max Схо Cyo
Чтобы получить представления о конкретных цифрах, рассмо-
трим некоторые формулы для плоской (недеформированной)
тонкой несущей поверхности. После небольших преобразований
‘из (8.65) получим |
Kimax = ah 8 67
K max И ae \ | )
Прямоугольные крылья весьма малого удлинения (A — 0)
имеют следующие характеристики (см. гл. IX):
дл
Су =, Boa = 1,



$ 71 АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ КАЧЕСТВО 293
и равенство’ (8.67) дает
Kmax — 1/9, (8.68)
К шах
У крыльев большого удлинения схема несущей линии приводит
к равенству при М = 0:

где Xo — угол стреловидности по передней кромке, поэтому
Kmax _ И =—( ^^ \
Киах _ Baa Г + 2 COS Хо ). (8.69)
На рис. 8.2 приведены зависимости Киах/Ктах OT удлинений A
при числе Маха М = 0 (несжимаемая среда) для прямоуголь-
_ ‚ных (1) и треугольных (2) крыльев.
Итоз [Mma Здесь же пунктиром нанесены кри-
| | вые, полученные из (8.67) при Вов=1.
Они показывают те возможности,
которые связаны с реализацией на
этих крыльях эллиптического зако-
на распределения циркуляции.






Мор / Anos Opt




a ~~


















e
м
0 5 А [ Ba 40 ho byl Cyx opt



Рис. 8.2. Отношение максималь- Puc. 8.3. Универсальный закон изменения
ного качества с подсасывающей качества для оптимальной ‘несущей поверх-
силой к максимальному качеству ности.
без нее (1 — прямоугольные,
2 — треугольные крылья).
Может оказаться, что использовать наивыгоднейший режим,
соответствующий с, = с,„, когда К == Киа», невозможно. Имея
зависимости К от с, или KR. Как функции ¢,/c,,, легко найти
потери в качестве, связанные с этим, Для оптимального летатель-


994 ОПТИМИЗАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ (fa. VII
ного аппарата простыми преобразованиями (8.61) и (8.62) полу-
чаем универсальную зависимость




K a
opt _ Cy» opt
K max opt 1 4 Cy ) 2) (8.70)
Cys opt
которая изображена на рис. 8.3.
$ 8. Оптимизация подъемной силы и продольного момента
летательного аппарата
Остановимся на задаче оптимизации аэродинамических произ-
водных подъемной силы и продольного момента, а также прираще-
ний их, не зависящих от ©. Она может решаться различными спо-
собами: или обеспечением характеристик, оптимальность которых
установлена другим путем, или выбором наилучших из тех, кото-
рые удается получить. Наиболее целесообразен комбинированный
путь, когда вначале делается попытка добиться оптимальных дан-
ных, а затем принимаются компромиссные решения.
Коэффициенты подъемной силы и продольного момента запи-
шем в виде
суб = (ch + cfs) (& — о), тв == Mg + Хрвбув, (8.71)
Задача сводится к обеспечению заданных значений следующих
характеристик:
1) c¥+0%, 2) хьь или т + та, 3) ao, 4) mos. (8.79)
На основании (8.14)—(8.16) можем написать
% + ©“ a + © %
Суб — ды би, Тб = ыы та О, |
t t


80
Ув
= mi tt г“ ‚ (8.79)
26 ата ата
Cy був Cy + бб

0
0 a, а\- 0 6: 00
1206 = гв — (су + суз) АЕ Nay — у, mziS;.
t
Изменение аэродинамических характеристик может произ-
водиться путем выбора типов и форм управляющих деформаций
0
с последующим подбором 6; и б;, которые характеризуют масштабы

$8] ОПТИМИЗАЦИЯ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ И ПРОДОЛЬНОГО МОМЕНТА 995
деформаций. Получим уравнения для нахождения указанных
величин, считая желательные значения аэродинамических харак-
теристик (8.72) известными. Первая система уравнений для 8%
связана с аэродинамическими производными по углу атаки:
di cis di mi
а
Суёб 7 ==", mi 6° =m,
i
с — (c% 4.0%) —c%, т” = хрь (CF + 6%) — те.
(8.74)
Вторая система уравнений для 6? позволяет получить необ-
ходимые приращения с, и т‚, не зависящие от угла атаки:
0 0
Ур =’, У mis? pom,
с? == — о (6% + 6%), т’ == mag + (CF + с%) Xero
У изучаемого летательного аппарата исходные аэродинамиче-
ские производные (при отсутствии деформаций) су и тг известны.
Для выбранных органов управления (форм деформаций) аэроди-
2 5 6
намические производные Су! су, Mp, та также определяются
независимо от значений 8%, 8). Правые части систем (8.74), (8.75)
представляют собой комбинации из тех характеристик, которые
мы хотим иметь. Подлежат определению в (8.74) производные
углов отклонения рулевых секций (амплитуд деформаций) по
углу атаки 67, которые представляют собой интенсивность откло-
нения руля по углу атаки @. Неизвестными в (8.75) являются по-
стоянные (не зависящие от &) углы отклонения указанных руле-
вых секций (амплитудные значения деформаций) 6%.
Пусть формы деформаций, примененных в 6;- и 5:-задачах,
одинаковы (например, там и там управление производится одними
и теми же рулями). Тогда граничные условия в этих задачах
будут одними и теми же и, следовательно,
(8.75)
Cyi = Cyi, т. = Mz, (8.76)
системы (8.74) и (8.75) будут иметь одинаковые основные матрицы,
но разные правые части.
Специфика решения этих задач при практических приложениях
заключается в следующем. Во-первых, способы управления (виды
применяемых рулей; их геометрические параметры, положения;
ормы деформаций в более общем случае) не являются строго
иксированными — они тоже выбираются. Во-вторых, желатель-
ные значения характеристик не всегда являются строго фиксиро-

“996 ОПТИМИЗАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ (Гл УШ
ванными. Кроме того, иногда OHH могут задаваться.и не в виде
чисел (например, при посадке самолета стараются получить BO3-
можно большее приращение подъемной силы при минимальном
‘изменении продольного момента). В-третьих, задачи решаются
при целом ряде дополнительных условий и ограничений (углы
отклонения рулей не должны быть слишком велики, число секций
желательно иметь сравнительно небольшим и т. п.).
Отметим, что все сказанное здесь относится и к случаю, когда
наряду с основными применяются и сопряженные деформации,
обеспечивающие безударный вход.
Решения рассмотренных задач, как правило, целесообразно
получать не в виде однозначных решений, а анализом целого ряда
вариантов их, дающих близкие результаты. При этом аэродинами-
© 5% .
ческие производные Cy; , си, Moi, тг для различных форм рулей
и деформаций удобно находить с помощью теоремы обратимости
(см. гл. УГ). Затем произвести предварительный отбор тех из
них, которые кажутся наиболее подходящими. И затем уже про-
водить расчеты, основанные на системах (8.74) и (8.75). Например,
для обеспечения Ac, = const при Ат, = 0 целесообразно ис-
пользовать такие способы управления, при которых для всех
0 0 0
| 6; 6; 8,
рулей си > 0, a ти > 0` при одних [и т» <0 при других.
Заметим еще, что в число основных деформаций могут входить
и не управляющие, а вынужденные, например, вызванные упру-
гостью конструкции. Их зависимость от угла атаки также линейна,
но формы и амплитуды для них не выбираются, а устанавливаются
расчетом. Сопряженные им деформации ‘рассчитываются обыч-
ным путем. В системах (8.74) и (8.75) соответствующие члены
следует перенести в правые части.
$ 9. Оптимизация аэродинамического качества
Обратимся к задаче оптимизации всей зависимости аэродина-
мического качества К от коэффициента подъемной силы с,’ BO
всем диапазоне углов атаки, пока сохраняется линейная зави-
симость с, от %. Необходимо выбрать такие формы основных и
сопряженных деформаций и амплитудные значения их 6:4 и 5:
которые при всех указанных значениях с, обеспечивают сле-
дующие эффекты. |
1. Безударный вход потока на передних кромках несущей
поверхности (летательного аппарата).
2. Эллиптический закон распределения суммарной циркуля-
ции по размаху.
В этом случае функция К (с,) будет совпадать с оптимальной
зависимостью Кори (Су).

$ 9] ОПТИМИЗАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО КАЧЕСТВА 297
Выбор форм управляющих деформаций производится так, как
об этом говорилось выше. В данном случае они должны обеспе-
чивать второй эффект, поэтому целесообразно применять, на-
пример, отклонения секций закрылков. Формы сопряженных де-
формаций также считаем известными, они вместе с основными обес-
печивают безударный вход потока. ЭЗдесь должны рассматриваться
только суммарные деформации (основные плюс сопряженные)
и соответствующие им аэродинамические характеристики (смотри
об этом подробнее в $ 2). Остается, таким образом, выбрать пара-
метры основных деформаций 6; и 5, чтобы добиться распределе-
ния суммарной циркуляции по размаху, близкого к эллипти-
ческому.
На основании (8.9), (8.13), (8.14) и (8.16) можем написать
Г; (2) = Is (2) + T% (2)| a + Tes (),
PSs (2) = » ri (z) 8%, Tez (2) = » г. (2) 5,
\
04
0 5; 8.77
Су = (бух + Cox) &+ Cys, Субх = » Cysx5; , | 877)
t .
0
Субх


6;
0 i 0.
Субх — У. Субхбу, ox — — a я e
$ Cys + >
Условие эллиптичности закона Г; (2) при всех © имеет вид
Vs (2) = [(Г% + Го) &@ + Г] V1 — 2”, (8.78)
0
где Гу, Féz0, Гзхо — значения соответствующих безразмерных
циркуляций при г = 0. На основании (8.77) и (8.78) условие 2
имеет вид
_ 6% _ 60 -
rs (z) + » lis (2) a + » Г;х (2) 6; =
= [(P% + Гао) © + Го] V 1—z’. (8.79)
Значения циркуляций при z= 0 согласно (8.12) и (8.77)
следующим образом связаны с аэродинамическими производными
подъемной СИЛЫ.
{#2 25 (oA OL 2S oA 2S
= —— = —— C = 0 . ,
20 = ar Су» [620 = Sa Субх» Гбхо = ar був» (8.80)
Tak как условие (8.79) имеет место при всех %, то с учетом (8.80)
‘получаем две независимые системы уравнений. Одна — для

298 ОПТИМИЗАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ (Ta. VIII
определения производных 62:
8% _ 2$ —=5
» Lyx (2) 67 = Tol (суз + Субх) V1 — 2 — Г (2), (8.81)
Lt
и вторая, где неизвестными являются 46:
У, г Ге (2) 8: = 7 Cy У! —2. (8.82)
Отсюда видно, что в задаче имеется Возможность ‚ПОЛУЧИТЬ И нуж-
ные значения производной cys + сих и Сов (они считаются
известными). Решение систем сводится к аппроксимации извест-
a
6. —
ных правых частей с помощью ряда функций Tis (2) в уравне-
0
6: —
нии (8.81) и Tis (2) в (8.82). Эти функции находятся независимо,
путем решения аэродинамических задач главы ТУ. В результате
аппроксимации правых частей определяются 6; и 5. После этого
по формулам (8.1) — (8. 3) нетрудно вычислить деформации, затем
из (8.53) и (8.54) найти аэродинамическое качество и T. д.
Пусть для оптимизации в 6:- и б:-задачах были выбраны
одинаковыми и основные, и сопряженные деформации, т. е.
а ем a
fi =fi, Не =F и», i=l, 2,..., п; j=l, Dye ey N.
(8.83)
Сравнивая граничные условия соответствующих аэродинамиче-
ских задач (см. гл. IV), замечаем, что они будут совпадать, а сле-
довательне,
a 0
. 6.
Pe = Ги. (8.84)
Таким образом, здесь системы (8.81) и (8.82) будут отличаться
только правыми частями.
$ 10. Оптимизация максимального значения
аэродинамического качества
Иногда не требуется оптимизировать всю зависимость, а до-
статочно получить высокое значение аэродинамического качества
на одном режиме. Тем более, что это достигается более простыми
средствами. Укажем два способа решения этой задачи.
I. Полная оптимизация Kaa.
Здесь решается задача, аналогичная рассмотренной в § 9,
HO для одного режима (при одном заданном значении Cys = Сух).

$ 10] ОПТИМИЗАЦИЯ МАКСИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ КАЧЕСТВА 999
Выигрыш в максимальном значении качества достигается Kak
из-за реализации подсасывающей силы, так и за счет ‘снижения
индуктивного сопротивления благодаря эллиптическому закону
распределения циркуляции по размаху. Применяются с указан-
ными целями только фиксированные деформации, не меняющиеся
по углу атаки &.
Чтобы воспользоваться готовым математическим аппаратом,
возьмем за основу решение, полученное в предыдущем параграфе.
Определим угол атаки @, при котором Cys == бух:
oh a B08 (8.85)
a 0
бух T Субх

Затем деформацию, которая там обеспечивала безударный' вход
и эллиптический закон Г; (2) при всех a, сделаем фиксированной
Ps = (Г;— Г) а + Ma + Pose’ + Voz. (8.86)
Теперь наш летательный аппарат будет иметь такие же произ-
водные по @, как плоский, a его деформации соответствуют цир-
куляции
(Г$— Г*) a + Го ++ Гб» су= c% (а — @оз), |
[о a\ ~* Го’ * 0
(су; —— су) % + Субх“ + Субх

0х — — om ’
| (8.87)
т: = mz + [(m%s— m) о a + 1550 + 1255] ›
- то -
2
АЕёХ = —y — ЛЕ
Cy

Аэродинамическое качество на расчетном режиме определяется
по формуле
К = 3 7 (8.88)
Схо + are


На других режимах, когда He syner подсасывающей силы и 3a-
кон Г; (2) отличен от эллиптического, следует использовать со-
отношения (8.53)—(8.56), сделав в них преобразования типа (8.86)
и (8.87).
Il. Частичная оптимизация Koay.
Можно попытаться увеличить максимальное значение аэроди-
намического качества только за счет рулевых поверхностей, не
используя безударного входа. Эта или близкая к ней ситуация
приводит к изучаемым здесь подходам. В конечном итоге и в них

930 ОПТИМИЗАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ [Гл. УП!
аэродинамическое качество увеличивается за счет полного или
частичного использования тех же эффектов, которые рассматри-
вались выше. Однако полная реализация их обычно бывает не-
возможна или затруднена, поэтому задача решается иначе. Целе-
сообразно определять оптимальные значения параметров би’,
рассматривая Kmax как функцию этих параметров, и находить
значения их, обеспечивающие наибольшие значения этой функции.
Основой для анализа служат соотношения (8.53)—(8.60).
Функция Kmax имеет вид
— 1 . _ =
K max = ==) Cyp=|/ 2 (8.89)
C,+ 2V CoCo Со ,
где Cy, — значение коэффициента подъемной силы, при котором
К = Кинах. Коэффициенты, входящие в формулы (8.89), имеют
следующий вид:



- —00 , 0 = - р
Co == Схо ++ C8 + Сябаю + (CZ + 058) ов,
_ on | 2 (co + c% x) ae
Os — Qa >]
ch -- cf (8.90)
с — oe + tS — Baw cu = Су.
(ео mh?

| 0
Связь их с параметрами 6; и 6; устанавливается через аэродина-
мические производные подъемной силы
| Ом Dost Vict
— у a __ Lo
00 — сб а ? Св = — сиб: Cys — . ; Сиб (8,91)
и производные сопротивления
ce = » att ge + >. >, atti бабе |
15 — У + >. det РГ: OF + » >. сео (8.92)
C8 = >, у С 15080,
Все аэродинамические производные в формулах (8. 90)— (8.92)
определяются независимым аэродинамическим расчетом. При’ вы-
бранных формах деформаций (секциях рулей) ux можно считать
известными. Необходимо найти значения 6% n 6, i = 1, 2, n,
оптимизирующие в том или ином смысле Kmax (например, обеспе-
чивающие наибольшее значение этой величины),



$11] О МОЩНОСТИ, ЗАТРАЧИВАЕМОЙ НА ДВИЖЕНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ 93}
Приведем некоторые соотношения, относящиеся к наиболее
важным частным случаям.
Пусть формы основных деформаций в 6^- и д:-задачах совпа-
дают:
6%
fi’ =f . (8.93)
Приняв во внимание, что сопряженных деформаций нет, Ha осно-
вании граничных условий заключаем
г б 6 65 08 208 600% 6008 28067  —6067
Г; —=Г;, Cyi = Cyi, Cri = Ci. , Cxi;! = Си! = С = Cxij .
Если  ассматриваются лишь деформации, амплитуды которых
изменяются пропорционально a, то (8.89)—(8.92) приводят к сле-
дующим равенствам:
5—0, i=l, 0.0,
0 —00 -00 - -
Сиб — 0, 00. — 0, Cx6 = 0, Cx§6 — 0, Co — Со». с1 =0,
— | дл - ЛАС
К = — —— Ci. = —— о.
“™ 2 CroBaa ‘ у Baa
Формулы для Cys, Схб и с. при этом остаются неизменными.
Когда изучаются только фиксированные деформации, не за-
висящие от угла атаки &, то имеем вместо (8.89)—(8.92) следующие
основные соотношения:
67 =0, 1=1,2,... п



0
С > | 06?
[о 0% 0, i
Суб = 0, Схб — 0, Qo — р ей — Cri Si,
oe?
. =a.0 (od
- с, +2 а - 1
x y 0 __
Со = Сл + Cx5 + Cz Oo + CHO, C= ao 6 Sy
Cc Cc
у у
e __ 1 ~ =a
К шах = =, Cyn = У coc.
- Co
C, +2 7
Здесь не меняются соотношения для Cos И 6%.
§ 11. О мощности, затрачиваемой на движение
и деформации
При неустановившихся во времени деформациях летательного
аппарата, в частности колебаниях управляющих органов, пред-
ставляет интерес мощность, затрачиваемая на деформации.

932 ОПТИМИЗАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ (fa. Viti
Переносная скорость деформирующейся поверхности плоского
летательного аппарата согласно (2.2) будет
И’ = № хе, г= би. (8.94)
Вводя безразмерные кинематические параметры (1.37)—(1.42)
и координаты (1.24), с линейной точностью имеем вместо (8.94)
*
uf = — 4— OF — Of + fo (5, 5) 6. (8.95)
Для изучаемых гармонических по времени законов движения и
деформаций безразмерная аэродинамическая нагрузка выражается
зависимостью (1.48).
Мощность, затрачиваемую на движение и деформации летатель-
ного аппарата, представим в виде





P=P,+ Py. (8.96)
Введем аналогично (1.21) безразмерные коэффициенты мощности
Р Р
Ср; = - г > Ce, = г > Ср= Ср; -Н Crp. (8.97)
PV PU
5 S 9 S
Здесь индексом «Б обозначено, что величина вызвана продоль-
ными составляющими нагрузок, а «и» — нормальными.
Мощность, затрачиваемая на продольное перемещение лета-
тельного аппарата, который движется со средней скоростью (Ц,
меняющейся на ЛИ (т), будет равна
А
Ру = (сло + Ас) р ЕАМ. $ (Uy + AU),

откуда
Ср; = (су, + Ас,) (1 из, и = (8.98)
или, считая сх, и Ас, малыми второго порядка и пренебрегая
малыми более высоких порядков, имеем на основании (8.98)
Ср; = Со + ACy. (8.99)
При гармонических законах движения Ac, выражается формулами
. 9:4
(7.7), через коэффициенты аэродинамических производных Cy! /,
94} 9:9;
с’ !, сх !, причем последние не зависят от времени т.
Вычислим мощность, которая тратится на преодоление нор-
мальных составляющих нагрузок (на все движения, кроме про-
дольного, и на деформации, происходящие вдоль оси Oy).

$ 111 О МОЩНОСТИ; ЗАТРАЧИВАЕМОЙ НА ДВИЖЕНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ 233
Можем написать
dP,=—W,ApdS, P,=— | | W, Apds, (8.100)
5
причем знак минус поставлен потому, что если Ари И, совпадают
по направлению, то АР, <0 (мощность не расходуется, а чер-
пается из потока).
На основании (8.95) и (1.48) можем написать
Cp — 5 | f (—a—0,8 — o,f + 6) (09% + ра + p20, +
К
+ рог, ++ p®x@, + Px, +- p%§ + pe 5) 45. (8.101)
Замечая, что коэффициенты аэродинамических производных
подъемной силы и моментов определяются через аэродинамиче-
ские нагрузки формулами (1.49), выражение для коэффициента
мощности запишем в виде (все ср”... не зависят от времени)
Сри(Т) = (ence + ccc + cpn%0i0, -+ con “aud, + Cn "Cd +
+ Con “Ox + Contd + саб) + (cpa. 20% -+- Cp. (20 -- Cpe om +
- cp 0 Az ++ ce. "ох -+ Cpe OR Oe + Сре “0,6 -- ср? 58) +
+ (сре oxo + cet oye + cp 70x02 + oot 200 gi + cps Wy +
++ coh “x + ore ++ се») + (cm da + on ба, +
+ Cp 260, + on "бо, + Cpr ох + рп бы + of 56 -- of 5).
(8.102)
Заметим, что у летательного аппарата симметричной формы в плане
ре, — О =", ©, р, —О= р" (Е, 9, Ча, 0,6.
(8.103)
где 6, — симметричная деформация. Кроме того, для указанного
аппарата имеем (6_ — антисимметричная деформация)
PE О-В 9, PM E—D=—P HED = On 8.
(8.104)

934 ОПТИМИЗАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ (Гл. VIII
На основании (8.101), (1.49), (8.102)—(8.104) можем написать


. . к С
cM = ot, Сб, Con? = — Cy, Con = — Cy,
ois 0, ох — 0, c=, cH =0, + (8.105)
ct — = сё, cH —
Кроме того, находим
с та, che = me, ce = mee, cet — me"
О, ct» 0, сть 0-0, | 8.106)
с = та, cee =0


a O,0 ©. |
Cpr =U, СР» =v, СР” ° =), СРИ ‘= Js
0.0 o 0.0 ГС) 0.8
Ср = — my, Ср х тя", cph*=0, | (8.107)
@,.0 _ 6 @,0- 6
С п = 0, СР = — My, CPn = — My,
. 5 ..
с — — = Го ds сео < | [р AH) ds |
5 $
$ 6
Сри? — — — p fh) ds, Ср. 2 — _ = || р г) ds
5/2 3/2 | (8.108)
бо 9 _ Q, 2 _ |
Cpr = — > [р ) ds, Cp,i= — = [foie a Md
5/ 5/2
. о e 9 .
сб = == pfs ds, chr = —— || pfs ds
5/2 5/2 |

Симметричная деформация здесь обозначена К"), антисимметрич-
ная — В, интегрирование ведется по одной половине несущей
поверхности. Отсутствие знаков означает, что формулы верны
в том и другом случаях.
Остановимся на одном важном частном случае деформации —
отклонении рулевых поверхностей. Для летательного аппарата
симметричной формы в плане можно считать, что интегрирование

$ 12] К ЧИСЛЕННОМУ ОПРЕДЕЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛОВ 935
в формулах (8.108) ведется по правой половине. Воспользуемся
обозначениями рис. 2.7. Функции деформации как для руля, так
и элерона определяются в этом случае равенствами (2.96), (2.97).
Подставляя их в (8.108) и учитывая (4.98), (4.100), находим

,
e S ee бо 5
6a Poa ба р {© р ®
Pa = $ Тир,» Cpr — — ис Тир, Ср — — S Muips
ь Sp 6, 60 S, 0, 6 S, 6
Cen? = — Sta, Cpa” = — 98 mk, con® = — “2 mus, | (8-109)
85 S 6 S5 6 88 S б 55 |
СР = — —5_ Тир — $ Тшь, Pa = — 55 Тир “Ze Ише.
Индекс «р» показывает, что величина относится к рулю (симметрич-
ные деформации), а «э» — к элерону (антисимметричные).
$ 12. К численному определению некоторых интегралов
Определение суммарного индуктивного сопротивления с подса-
сывающей силой при установившемся движении сводится (см.
гл. УП) к вычислению интегралов типа (7.47) или (7.50). В ре-
зультате расчетов, изложенными в главах IV, У методами, значе-
ния суммарной циркуляции Г’ получаются в дискретных сече-
ниях 21 = —^ был. Поэтому указанные выше интегралы
определяются также численно. Приведем расчетные формулы для
индуктивного сопротивления двумя способами. В первом из них
используется разложение суммарной. безразмерной циркуляции
в ряде Фурье, во втором — кусочно-линейная интерполяция
циркуляций и индуцированных скоростей.
Заменим в формуле (7.50) переменные на. следующие:
z=cos0, 2==50$9. (8.110)
Безразмерную циркуляцию Г“ (г), учитывая ее симметрию отно-
сительно оси Ох (рассматривается только движение с постоянным
углом атаки ® и симметричные деформации), представим сле-
дующим рядом Фурье:
Г4 (9) = У си sinnd, (8.111)
где n= 1, 3, ..., (27 — -нечетные целые числа. Тогда
47 (6)
BH = dune, cos nO 49 (8.112)

236 ОПТИМИЗАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ (Гл. УШ
к 7
г р k-1 т pease
и
и









т,
| 1/2 9

Рис. 8.4. К вычислению интеграла.
Gf,
Г NA ke]
lk -
[%-+4~- 4 | k=


















La
na
aa Dame
pp В ppt pl







i wal pa
и,

Рис. 8.5. К вычислению сопротивления.

$ 12] К ЧИСЛЕННОМУ ОПРЕДЕЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛОВ 937
и, следовательно [1.5],
1 л
ar’ (20) 42 _ | cos 10
| dz, Z—Z — Mn 050 — cos $ dt =
“1 О бе
п .
cos no? sin nO
= yn, | ett 49 =n У т (8.113)
п 0
п




Подставляя (8.111) и (8.113) в (7.50), получим
д
( Г“ (2) j at” (@) 4% \> ca sinmd У} лис, sin nd dd =
0 п п

dz, 2 — %
at
= 1 у Aenea | sin 79 sin пб 40 = г. nn. (8.114)
n 0 n
Таким образом, вычисление интегралов (7.50) свелось к определе-
нию коэффициентов с„ разложения (8.111).
Значения коэффициентов ряда (8.111) определялись по формуле
л/2
4
с, = — | P% (6) sin nO dd. (8.115)
При вычислении с, применялась кусочно-линейная аппроксима-
ция функции Г“ (0), причем между А = № — Ти Ё = М сече-
ниями использовалась аппроксимация по соседнему участку (см.
рис. 8.4). Тогда при
| 2
От <= 9 = Оль, бы: = APCCOS = бы,
(8.116)
Г —Г
r” (0) = Tea ri — San = (8 — Og4-1)-
Подставляя (8.116) в (8.115) и проводя интегрирование по всем
участкам, получим расчетную формулу



)
N
4 q
си = —— [Г COS 19% x—-1 — Гл-нак COS бё-ь —
пл b=0
Гане — ГР ис —_ 8.117
обиды (sin 70,1, — sin пн) | , ( )

2b 2b
Opp = arccos —- Cert» Oeste = arccos —- Chath:

Значения 6,1, бы», Определяются согласно формулам (4.2).
При втором способе за основу берется формула (7.47). Вводя

938 ОПТИМИЗАЦИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ (Гл УШ
коэффициенты аэродинамических производных циркуляции (4.6),
безразмерные скорости (3.7) и относительные координаты (1.24),
получим для коэффициентов аэродинамических производных
сопротивления формулу
9,4; b2 1/26 q;
of! = — > | Г’ (Ош, © ab. (8.118)
0
Вычислим значения возмущенных скоростей Wy; в дискретном
числе точек, лежащих в сечениях 6,,. бесконечно удаленной
от несущей поверхности плоскости. При этом считаем, что на
участке между Е и К — | сечениями интенсивность суммарной
циркуляции Г“ постоянна (пунктирная линия на рис. 8.5). Тогда
из формул (3.6), (3.7) после упрощения и приведения подобных
членов с учетом левой половины несущей поверхности будем иметь


y |
(pp _ 1 Goo py | °
Wyqj (6—1) = 27 & (Petts — Tet) ls — бр ~ ba =)
(8.119)
Знак «--» здесь берется при симметричных движениях и деформа-
циях, «—» — при антисимметричных.
Далее для функций Г” (65) и и, (0) применяем кусочно-
линейную аппроксимацию по участкам (см. рис. 8.5). Итак, берем
)

pi (Е) — 17 + Pete __ Viet (c—¢ )
kk—l Ce+ik — Skk-1 Ак
при 6,1. SOS бур, (8.120)
Wyqj (9) = Wyqj (6рр-1) + me oe = peat Apes (5 — брр-1)
при 6 нар <C< С pp-1 ]



Подставляя (8.119), (8.120) в (8.118) и интегрируя по участкам,
получаем расчетную формулу
IN , ae
cf! = — = У, (бин — би-1) > [Tek —1yqj (5-41) +
k=0
| Ауд! (-") | —+ — (Г et — 1) [уч (241) — Wyqj (ey ’
(8.121)

. РЛАВА IX
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕЩЕНИЯ
$ 1. Деформирующееся крыло бесконечного удлинения
_ Решение задачи о гармонических колебаниях крыла-пластинки
бесконечного удлинения (4 = со) дано в работах [1.7], [2.2].
Представляется, однако, целесообразным привести подробный
вывод основных соотношений для деформирующегося крыла
A’ = со с позиций метода, основанного на замене несущей поверх-
ности присоединенным вихревым слоем.
Поместим крыло в плоскости Охг прямоугольной системы коор-
динат, начало которой возьмем в середине хорды крыла (рис. 9.1).
Считаем, что кинематические
параметры движения и де. и
формаций крыла изменяются ___ .
во времени по гармоническим | |











законам. Введем безразмер-
ные координаты (1.24), время
(1.39) и число Струхаля 0 _
(1.45). Крыло заменим при 0 | A
соединенным вихревым слоем, т ae ee A
интенсивность которого прелд- ЗК 5
ставим в виде р Ат
у, & 9 = Uw & 9.0.1 7
Определим скорость, ин- Puc. 9.1. К определению скорости от вих-
дуцируемую вихревым слоем ревого слоя.
в произвольной точке крыла
Р (&о). Элементарная полоска вихревого слоя АА индуцирует
в точке Р (&,) скорость
т) dé
dU, =— WEDS | 9.2
= OnE — 8) (9.2)
С этой полоски вихревого присоединенного слоя из-за его неста-
ционарности стекает уносимая потоком вихревая пелена, погон-
ная интенсивность которой на расстоянии Ё, (отсчитываемом OT
этой полоски) в момент т равна
ть) = — Ge + Gey 4 (9.3)

re т; = t — §j.

240 ‚ НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ [Гл. IX
Элементарная полоска свободной вихревой пелены ББ в точке
Р (&) индуцирует скорость

Ш (Ei, Ty) 4,
WVy= — 55 GEE) (9.4)
Пусть
7+, (Е, т) = Uoy (Е) sin р*т. (9.5)
Тогда суммарная скорость, индуцируемая присоединенным вихре-
вым слоем и слоем отходящих от него свободных вихрей, будет
W 1 (Пи (2) *
1 2 .
Безразмерные скорости wy, и) с учетом соотношений (9.2)—
(9.5) будут равны
где

(9.7)

__ | * sin р*Е,
t= | 90) dbo | ee


—1/2
Если интенсивность присоединенного вихревого слоя изменяется
во времени по закону
7+ (5, т) = Uoy (©) cos р*т, (9.8)
то суммарная скорость выразится формулой
W 1 * a
7 = — (у) cos p't— Ш) sin p’t). (9.9)
Пусть кинематические параметры движения и деформаций
изменяются во времени по гармоническому закону, тогда
Ч = 49: с05рт, 9; = —р'9: прут. (9.10)
Представим безразмерную интенсивность присоединенного вихре-
вого слоя через коэффициенты аэродинамических производных
в виде (3.35). Вычисляя суммарную скорость в произвольной
точке P (E,) от компонентов 7 и \% по формулам (9.6) и (9.8)
и приравнивая ее граничным условиям (2.74), получим системы

$ 11 ДЕФОРМИРУЮЩЕЕСЯ КРЫЛО БЕСКОНЕЧНОГО УДЛИНЕНИЯ 241
сингулярных интегральных уравнений относительно циркуля-
ций 1%, у":
1/2 :

1/2 со q
9; x . cos p*Ey Уж у
Jn ap [5-4 р I BE St
2 ae
+ р" | у" dg p* = 3 ы Е dé, = 0,
—1/2 0’
1/2 а. 1/2 ~ .
т — 9; * sin p*§,
J, Bae |1 р [вов ‚ (9.11)



1/2 со
+ p* | у’ dEp* | ЕВ et Е а =2лН,,
—1/2 0

$= 4=%®; 9:=0; 04=щ8,
д
H,=1, Н, =, н,= BO , Hy = fs (6).


/
При числе Струхаля р* 0 первая система уравнений (9.11)
обращается в тождество, а вторая принимает вид
dE = 2QnH,. (9.12)

—1/2
Таким образом, при р* — 0 задача сводится к решению сингуляр-
ных интегральных уравнений типа Коши.
Рассмотрим деформирующееся крыло бесконечного удлине-
ния. Сингулярное интегральное уравнение в этом случае имеет
точное решение, если функции fy (5) и Of,/0§ удовлетворяют на
отрезке [—1/2, 1/2] условию Гельдера. Так, если потребовать
выполнения условия Чаплыгина—Жуковского на задней кромке
крыла, т. е. ограниченности 1 (Е) в точке § = 1/,, то решением
будет [1.47]
_ 21/125 ИЕ 6
7? (&) т V ieee | V its 6 — §o a,
—17 ‚ (9.13)
1/2
bey 21/18 ПРЕ (©)
я Ире || Vist Е 1







242 НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ (Гл. IX
Рассмотрим теперь безударное обтекание крыла. В этом случае
согласно (4.44) необходимо потребовать ограниченности функции
yo (&) не только при &, = 1/9, т.е. на задней кромке крыла, но
и на передней при &, = —.. Тогда правая часть сингулярного
интегрального уравнения 9. 12) должна содержать некоторую
постоянную, заранее не заданную [1.47]:
1/2
| ЩЕ а — on 09 +В, (9.14)
“ip
В этом случае решением будет [1.47]
6 {в (Е)
9 6
; 2 V 1 — | Е
—— d
(§—&)Vl—&


(9.15)



Пусть теперь крыло во время движения обтекается бесцирку-
ляционно, т. е. на циркуляции Ay> (=) и Ay’ (Е) накладываются
условия
1/2 2
| Ве =о, | Av§@ dt =0. (9.16)
-1/2 —1/2
При этом решения уравнений (9.12) имеют вид [1.47]
ote (8) ey |
А — —
и (55) ув (ee Yd,
a (9.17)
/2
. 9 Л 5
| -% 5—6
- 1/2 |





Из (9.13) легко находим решения для движения крыла с углом
атаки % и угловой скоростью w,. Так, полагая f, (8) = —1,

$1 ДЕФОРМИРУЮЩЕЕСЯ КРЫЛО БЕСКОНЁЧНОГО УДЛИНЕНИЯ 243
6 (t) =a (<), получим
а 112—Е.
Я ios.
Если положить К () =Е& 6 = o,, то
© =2 Утв.
Функции у” ит”: при р* —0 будут равны минус бесконечности.
На основе полученных значений напряженности циркуляций,
используя теорему Жуковского «в малом» (3.36), легко находим
аэродинамическую нагрузку. При начале координат, расположен-
ном ‘на передней кромке крыла, будем иметь
го-4УИЕЪ, в =2+0 УЕ. 0.18)

Подставляя (9.18) в (1.49) и проводя интегрирование, получаем
— a — Tt |
са = 21, me = — >


Коэффициенты аэродинамических производных для шарнирной
подъемной силы и шарнирного момента получим, подставляя
(9.18) в формулы (1.51). Интегрирование дает
с = г (9— зщ 0), |
yu
m= 5 [($— - 26, 5)6— (3—5) sin] ,
C2, = р [30 — (3 — 25) sin 6] , | (9.20)

mez = ae =x | (2 — 36,)8—(2— 35, + 265) sin 6 — 9” 4 ;
26),

09 = агссоз (1 — 20,), b,= >. |
В работе [1.7] дано точное решение обтекания установив-
шимся течением несжимаемой среды профиля с рулем при наличии
щели между ними. Из этого решения предельным переходом к ве-
личине щели, равной нулю, получаем следующее выражение для

944 НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ [Гл. 1Х
распределенной нагрузки (начало координат на передней кромке):
р8(Е) => = 2arctg и bp 4




(9.21)




: -
Уна '-И 5 Е
Подставляя (9.21) в (1.49) и (1.51), интегрированием находим
= 2 (0-16), m= —>[0+(3—2%,)sino], |
= [(3 — 46) 6*— (20 + sin 0) sin 6]. (9.22)
р
5 1
в — 02, my=—
y TD p 2b


4
Найдем теперь коэффициенты аэродинамических производных
сопротивления. Сопротивление с подсасывающей силой крыла
бесконечного удлинения с ру-
лем и без него равно нулю,
поэтому равны нулю и соот-
ветствующие коэффициенты.
Для сопротивления без под-
сасывающей силы согласно
(8.20) будем иметь выраже-
ние
- 2 7 65 <2
Ney = Ct” + Oe ad + 68,


(9.23)
Puc. 9.2. К безударному входу на крыле. | _ _ _
бесконечного удлинения. где величины с“, cS c%
| определяются формулами
(8.26). Подставляя в них (9.19), (9.20) и (9.22), определяем
C= On, 20—40, Со,
| " (9.24)
0 = агссоз (1 — 26,).
Используем полученные выше решения для определения Xa-
рактеристик обтекания крыла бесконечного удлинения при без-
ударном входе потока. Рассмотрим пластину под углом атаки @^,
носовая часть которой В, отклонена на угол 6,. Заметим (см.
рис. 9.2), что
бр=—6, %=5,+a*, 6, =1—6,. (9.25)

$1 — ДЕФОРМИРУЮЩЕЕСЯ КРЫЛО БЕСКОНЕЧНОГО УДЛИНЕНИЯ 5945
Потребуем, чтобы угол отклонения носка был таков, чтобы обес-
печивался безударный вход. Для этого, как показано в главе IV,
необходимо выполнение условия Чаплыгина—Жуковского (4.44)
и на передней кромке, а именно
lim [p% (* +- 6,) — p°6,] = 0.
§>0
Отсюда находим зависимость между углами атаки и отклонения
носка при безударном входе:
|
|
a p 2 и 1—5
1 — — | — -^ arct a TH
© arctg =
Ро |\e=0 TU by
Заметим, что
6,=1—b,, @==агссо$(1— 26,), и! = bu — tg 3 . (9.27)




Перепишем формулу (9.26) в виде
Sy __ д
ая = — (9.28)
л—0°

Найдем коэффициент подъемной силы при безударном входе.
Учтем соотношения (9.25), тогда можем написать
| дн
с, = co (a* -+- 0) — 086, = [с + (< — С°) а о",
Подставляя сюда значения су, [9 из (9.19), (9.22) и соотношение
(9.28), после сокращений получим
су (a*) =a* 2. sind, © == агссоз (1 — 2,), 5, =1—$,. (9.29)

Аналогично, для продольного момента имеем
( 6) 6
Отсюда после подстановки значений (9.19), (9.22), (9.28) и сокра-
щений находим


т. (a*) = —a* 5 = 5) (3 — 25.) sin 0, (9,30)
Координата центра давления будет
— 2 (a* l bn
fy gy = р. (9.31)
Определим величину сопротивления, связанного с нормаль-
ными нагрузками, при безударном входе. Для него можем

246 НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ [Гл.. 1X
написать, учитывая (9.23) и (9.25),
Acy (a ) = c%* (a + 6,)? —c% (a" + 6,) 8, + 58062 =
*2 [- —56 6 2
=a" [or (1 +=) — ce (1 + ot) e+e (=) ].
Подставим сюда значения ce”, c%, 6% согласно формулам (9.24)
и соотношение (9.28). Тогда получим
Ac, (a*) = 0. (9.32)
Таким образом, при безударном` входе сопротивление Ac, (a*)
равно нулю так же, как сопротивление с учетом подсасывающей
Силы.
$ 2. Крыло бесконечного удлинения с рулем.
Коэффициенты аэродинамических производных
Для крыла бесконечного удлинения (профиля) с рулем Теодор-
сеном [2.2] и Кюсснером [2.4] были получены точные решения
для случая несжимаемой среды (М = 0) и произвольного числа
Струхаля. Приведем их ниже в принятых нами обозначениях.
Центр ‘приведения сил и моментов, действующих на все крыло,
берется в носике профиля (x, = 0), начало координат также рас-
полагается в носике профиля. Центром приведения сил и момен-
тов, Действующих на руль, естественно, является ось шарнира.
Тогда при гармонических колебаниях крыла вместе с рулем для
‘коэффициентов подъемной силы руля и шарнирного момента будем
иметь )
суш(р*) = >. Фа: F(p*),
о (р*) = = [© + 403; se) ,
р
* | Pa
ти (р) = ae Der (р),
р
sy [Ps + 2627 |,
ть, (р’) a
сиё (р) = On —O + ЗФ F (p’)],
" G(p*)
В st Ф, + 6Ф., я |,
mu? (p') = — gir Ds + 3O5F (p*)],
| (9.33)



G (p*)]
то: (p*) = — [o, 4.0, + 12, =].
326°


$ 2] КРЫЛО БЕСКОНЕЧНОГО УДЛИНЕНИЯ С РУЛЕМ.
Коэффициенты аэродинамических производных крыла в
будут
)
с) = 2aF (р), of (o') = А + 2n 90.
те (р) =— +F(p), ти,
@,; * 3 *
ee )azak(r’) YP)= +2 oe,



3 я
т» (р) = — 3 +8 Р(р’),
9 — 3% GO")
т, (р) = —=л 8 ря e
247
целом
(9.34)
При гармонических колебаниях руля относительно оси шарнира
для аэродинамических производных подъемной силы и продоль-
ного момента крыла получим
к ] Ц *\ |
си (р’) = 2ФР(р’), си(р*) = = | ®, + 40, | , |
: * ] *
суз(р ) = > DF (p),
Bs ГЕ. G(p*

| (9.35)

mx (o') =— 5-[@ + OF (р),
ты (р) = — [Ф + Os + 40, 7% Ste <I,
m(p"} = — + O2F (p’),
map’) = — [Or + -- Oi +O, 2),
Для подъемной силы руля имеем
ии (р) = ay (8 + IDOE (2

Зы + 40,03; — т a),

a [= Фа + 20, >| .
бо ж
Cym2 =
ym (р ) 47tbp

J
(9.36)

248 НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ (Гл. IX
Коэффициенты аэродинамических производных шарнирного мо-
мента определяются выражениями


* 1 * \
тб (р’) = ip [Фи + DiDgF (p')],
р
a | Gip*
та (р ) =— = [Фи + 20,03 |, .
| | (9.37)
тб (p) = === |= Фи — Фу +- Ф-ФьЕ (р NE
ло, L
6 /_* | 1 С (р*
тие (р ) = — Bide Es Dio + ФФ oe .
)
Напомним, что при гармонических колебаниях рулей, коэффи-
циенты аэродинамических производных определяются боотноше-
ниями (4.91), которые в данном случае запишутся в виде
c= 0°6 + 6 6, o=a— pcs, o = с + of } (9.38)
В формулах (9.33)—(9.37) через F (р*) и G (р*) обозначены
некоторые величины, зависящие только от числа Струхаля р*
и образующие функцию Теодорсена [1.6]. Функции ' Ф опреде-
ляются относительной величиной хорды ‘руля by и не зависят
от р*. Формулы для их вычисления и численные величины при-
водятся в работах [1.6], [2.4].
Коэффициенты аэродинамических производных подъемной
силы крыла А = со во всем диапазоне чисел Струхаля р* приве-
дены для центровки x, = 0,25 в таблице 9.1. Эта центровка вы-
брана потому, что для нее коэффициенты аэродинамических про-
изводных продольного момента не зависят от числа Струхаля
и равны
)
|
a a п Л
m, = 0, т. 8, Mm, * 8
| (9.39)

Величины коэффициентов аэродинамических производных
подъемной силы руля и шарнирного момента, а также подъемной

$ 21 КРЫЛО БЕСКОНЕЧНОГО УДЛИНЕНИЯ С РУЛЕМ 249
Таблица 9.1




р* у р у с. 2 C2 p* су су | Cy? c 2
0 20 —со л —со 0,76 | 3,969 | 0,1828 | 1,985 | —0,3013
0,04 | 6,055 | —10,232 | 3,028 | —5,514 | 0,80 | 3,927 | 0,2749 | 1,964 | —0,2553
0,08 | 5,823 | —7,540 | 2,911 | —4,163 | 0,84 | 3,887 | 0,3583 | 1,944 | —0,2136
0,12 | 5,593 | —5,896 | 2,797 | —3,341 0,88 | 3,852 | 0,4341 | 1,926 | —0,1756
0,16 | 5,406 | —4,728 | 2,703 | —2,757 | 0,92 | 3,818 | 0,5033 | 1,909 | —0,1410
0,20 | 5,228 | —3,842 | 2,614 | —2,314 | 0,96 | 3,786 | 0,5661 | 1,893 | —0,1096
0,24 | 5,066 | —3,144 | 2,533 | —1,965 1,00 | 3,757 | 0,6239 | 1,878 | —0,0807
0,28 | 4,922 | —2,578 | 2,461 | —1,682 1,20 | 3,637} 0,8493 | 1,818 | +0,0319
0,32 | 4,793 | —2,111 | 2,396 | —1,448 1,40 [13,549 | 1,004 | 1,774 0,1091
0,36 | 4,676 | —1,723 | 2,338 | —1,254 1,60 | 3,482 | 1,113 | 1,741 0,1639
0,40 4.572 —1,392 | 2,286 | —1,089 1,80 | 3,480] 1,195 | 1,715 0,2046
0,44 | 4,477 | —1,110 | 2,238 | —0,9475} 2,0 3,389 | 1,256 | 1,695 0,2352
0,48 | 4,391 | —0,8666 | 2,196 | —0,8260 | 3,0 3,274 | 1,417 | 1,637 0,3156
0,52 | 4,313 | —0,6549 | 2,157 | —0,7202 || 4,0 |3,2231 1,480 | 1,612 0,3474
0,56 | 4,242 | —0,4701 | 2,121 | —0,6278 | 5,0 | 3,196] 1,511 | 1,598 0,3650
0,60 | 4,178 | —0,3068 | 2,089 | —0,5461 |10 3,1571 1, ‚555 1,578 0,3850
0,64 | 4,119 | —0,1630 | 2,060 | —0,4742 | ce |л/2 л/2 1/8
0,68 4, 065 | —0,0351 | 2,039 | —0,4103
0,72 |.4,015 | +0, 0794 2,008 | —0,3530










силы и продольного момента при колебаниях рулей с относитель-
ными хордами b, = 0,1; 0,2 и 0,3 даны соответственно в табли-
цах 9.2—9.4. В данном случае центром приведения сил для всего
крыла являлась передняя кромка (x, = 0). Она же выбиралась
за начало координат при вращении крыла с угловой ско-
ростью Q,.
При установившемся движении профиля с рулем с дозвуковыми
скоростями в сжимаемой среде коэффициенты аэродинамических
производных без точек можно получить, применяя преобра-
зование Прандтля—Глауэрта. В результате будем иметь при
р* — 0
с’ 2
— M2’

с" (М) =

C= Cy, My Суш My =A, W,, 6. | (9.40)
Коэффициенты аэродинамических производных при колеба-
ниях профиля (пластины) с рулем в сжимаемой среде и конечных
числах Струхаля были получены при использовании в уравнении
неразрывности и других условиях эллиптических координат.
Решение после этого получалось в виде рядов функций Матье
[1.21], [2.7], [2.9]. Величины коэффициентов при колебаниях
руля приведены в работе [2.7].

AX
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ (Гл.
250
| sor |
120°0 | sr6‘o— | $09°0— | 089°1| 69I‘O— | &1“0— | 180$ 20° | GEs‘O— | 93z‘0— | Z2zZS‘0 | ozgo|
880‘0 | 596“0— | 199‘0— | PS9'T | E9I‘O— | PIv‘O—.| 8E6'E EO | 155'0— | 685'0— | 1990  |szs‘0 |
0Т‘0 | 096°0— | 95/‘0— | 649°Т| 991‘0— | 8Iv‘O— | 894“ 070°Г | 815'0— | 885‘0— | 989°0 | /89'0
ето | 96'°0— | 662'0— | 4051 | вг'о— | Izp‘o— | 949“ spol | 905'0— | 185'0— | 60890 |] 469°0|
ГО | 56°0— | $988°0— | 86/1 | 0тГо— | 989'0— | 996“ 960°т | 961'0— | 196'0— | 0870 ]809°0:
891‘0 | 586°0— | 6/8‘0— | 5//°1| 081“0— | 867'0— | РОГ 90° | $81°0— | 975'0— | 90 10890]
96Т‘0 | 566'0— | 960°I— | 608°1| 81'0— | 587‘0—.| 118°5 9/0°Т | S9T‘O— | 195‘0— | 207'0 § | €€9°0)
865‘0 | $00°1— | 555'1— | 198°Г| 901‘0— | 987“0—`| 897°5 980'T | 671'0— | [95'0— | 196“0 | 429`0
4950 | vIO'I— | 918'1— | 4681 | 680°0— | 197'0— | 7905 860°т | 861°0— | $95°0— | 808°9 | £99°0|
61‘о | 50°1— | 099°1— | 876°1 | 0/0‘0— | orr‘o— | 649°1 ИГТ | 001°0— | 0/5°0— | $750 | 189°0.
6989 | 1701— | 78/1— |900“ | 9>0‘0— | 597“°0— | 166°0 gzi‘t | 1/0°0— | 8/8°0— | 599 | 10/0
sero | /601— | 190°°— | 890°<| /10°0— | 697'0— | 995°0— | рт | eeo‘o— | /85°0— | 8900 | 95/01
9590 | 3/01— | 17°5— | 0715 | 610°° | 997'0— | 739°0— | т9Гт | 910°0 | /65'0— | 790°0— | 87/'0.
179‘0 | $601— | 8/8'5— | 7155 | Z90°0 |.747“0—| 998'1— | Т8Гт | 0800 | /06°0— | 918°9— | $110
708‘ | 9II‘I— | 759°8— | goes] 9810 | esr‘o— | 7/98— | 90541 | OZI‘O | 056'0— | HrF‘0— | 908°0
1Z0'T | 6el'I— | 769%— | 688 | 950 | 86'0— | 6/8°9— | 6857 | 180 | Zee‘o— | 818'0— | 888'0]

— | 59| — [19751] — | 6090-| — 55° — |90-| - | 0/8°0.
ом Fw 9 мо Ром zu ie ee ом ти | то mA ,













56 епикое 1

251
КРЫЛО БЕСКОНЕЧНОГО УДЛИНЕНИЯ С РУЛЕМ
$ 2]


198“0—
198‘0—
698'0—
$98*0—
998“0—
998“0—
698“0—
798‘0—
698‘0—
$18*0—
318‘0—
6/8*0—
788“0—
168‘0—
006‘0—
$16‘0—
816‘0—
1Z6‘0—
396‘0—
866‘0—
_ ee6‘0—
186'0—

680°0
``080`0
$10‘0
620‘0
390°0
890°0
970‘0
1Z0‘0
6000
760‘0—
$70‘0—
290°0—
660‘0—
Gr ‘O—
705‘0—
965‘0—
ore‘o—
89¢‘0—.
868'0—
157 0—
897 0—
809°0—

УЧ
Grol
6751
EGS'T
695'1
3961
916'1
9651
Sie‘!
8ZE'l
ТЕТ
gge'l
8481
3071
61
[УТ
т19"т
7591
6831
798'1
1491
689'1

075'0—
075'0—
075'0—
685'0—
685'0—
885'0—
185'0—
785‘ 0—
185 0—
623°0—
L660 .
966'0—
666 0—
 LIG‘O—
16 0—
105'0—
961‘0—
r61‘O—
061°0—
L81‘0—
$81‘0—
6L1°0—

6/8^0—
718'0—
7/8‘0—
6/8‘0—
918'0—
— LLE‘O—
_ BLe'0—
1g¢‘0—
688'0—
$85'0—
388'0—
188'0—
068‘0—
_ £6e°0—
968“0—
868‘0—
007‘0—
107‘ 0—
$07‘0—
307‘ 0—
107'0—
607'0—

[88'9
$88'9
128°S
$989
778'3
968"
_ €6L°S
83'S
679°
° GT9°S
o9g"¢
L6G
GINS
663°S |
SEI‘s
706'У
_ 82/9
10/ "$
629'F
CPSP
УР
_ 68°

966‘0
156`0
8660
656‘0
° 056'0
586‘0
386°0
076`0
976`0
876'0
696`0
996‘0
196°0
8960
846'0
066°0
966°0
000°1
$00°1
800°1
ТОТ
L10°I

oge‘o—
oes‘0o—
668‘0—
65$'0—
868'0—
168'0—
368'0—
068'0—
L1g‘0—
918'0—
$15'0—
| 608“0—
308'0—
665‘0—
062°0—
— 8L6°0—
116'0—
196'0—
$96'0—
_ 696‘0—
195'0—
‚ 876'0—

6LE‘O—
€ZT‘O—
€Z1‘O—
bLlO—
pL1‘0—
GLI“O—
LLU O—
ost ‘O—
Esl ‘O—
ysl ‘O—
_ 9gt‘o—
- 881“0—
_т6т“о—
961‘0—
661‘0—
905'0—
606'0—
_И6'0—
$15'0—
915'0—
115'0—
| 065'0—

L13‘0
L18°0
180
718'0
$18`0
608°0
308°0
96/'0
| 98/0
08Z‘0
74/'0
39/0
°73/*0
68/"0
—LIL‘0
_ 989'0
029°0
099°0
039°0
889'0
369°0
119`0

987‘0
987'0
187‘0
857'0
077‘0
6У7'0
977'0
$37‘0
197'0
397‘0
69$‘0
9/'0
$87'0
160
$09`0
058°0
8250
$59'0
859‘0
773'0
673`0
988‘0


IX
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ [Гл.
252


$00°0— | 100‘0— | SszI‘o— | 188°0 | Z8I‘o— | 988“0— | т9го 3185 | $00°0 160°“0— | 6$0‘0— |801‘ | 89`0
$00“0— | 100‘0— | 381“0— | 988°0 | 781“0— | 288“0— | FST‘O 119*< | 7000 150“0— | 870‘0— | 6010 | #9‘0
$00*0— | 100‘0— | srI‘o— | 169‘0| 181“0— | 888‘0— | 9FI‘O 158*< | 900°0 150“0— | 970°0— | ИГ'О| 09‘0
$00*0— | Z00‘O— | I9T‘O— | 968°0 | /41“0— | 688“0— | 28Г'0 7695 | 900`0 8z0‘0O— | 130“0— | $11‘0| 98‘0
$00°0— | 500‘0— | 2/1“0— 1509“0 | $/1“0— | 198“0— | ZzI°O 8635 | 800°0 850‘0— | 9S0°0— | SII‘O| 58‘0
Z00‘0O— | 500`0— | 961“0— | 609°0 | 69I‘O— | $78‘0— | 911‘0 5885 | 600°0 6z0‘0— | 190“0— | ZIT‘O| 87‘0
ZOO‘O— | 500°0— | 915“0— | 9190 | E9T*O— | 978*°0— | 5010 075“ | I10°O 650‘0— | 890°0— | 611°0| $0
100*0— | 500°0— | 685'0— | 759°0 | 491“0— | 298“0— | 980°0 6795 | 510`0 ogo‘o— | $/0“0— | IZI‘O} 07‘0
100°0— | 500“0— | zZ9z°0— | $$9°0 | OST‘O— | 678*0— | 890°0 8795 | $10'0 1g0‘O— | 780“0— | 75Г‘0| 98‘0
000‘0— | 500°0— | 00$“0— | $79‘0| $71‘0— | 598°0— | /90`0 pgs‘ | 110°0 1g0‘0o— | 760‘0— | Z2I'0| 558‘0
000°0 £00°0— | ore‘o— | 7390 | 18Т“0О— | 998'0— | 150`0 598*< | 050`0 650°0— | /01“0— | 1510! 85‘0
100*0 200°0— | 888‘0— | 999°0| 6IT‘O— | 898‘0— | 010°0— | 69S°% | 750`0 ZE0'O— | 551“0— | 75Г'0| #75‘0
Z00°0 $00“0— | /77‘0— | 629‘0} HOT‘O— | 198*0— | 870°0— | 82S°% | 650°0 720°0— | OFI‘O— | 6810 | 05‘0
$00°0 500“0— | 558“0— | S69°0| 980°0— | $98“0— | 960°0— | 8885 | 980`0 seo‘o— | 791‘0— | 77Г’О| 9Г“‘О
$00°0 €00‘0— | 059`°0— | 01/*0 | 6S0‘0— | 698°0— | 991“0— | 8685 | 570'0 180‘0— | 961“0— | 67Г'0 | ZI‘O
800°0 700“0— | 6SZ‘0— | 08/*°0| 750°0— | HZ8°0— | 095“0— | 119°5 | $90°0 850‘0— | 6$5‘0— | 9810 | 80°0
310°0 700“0— | 886‘0— | 6rZ‘0} SE0‘0 6/8‘0— | s6e‘o— | €29°% | 120°0 070°0— | 01$“0— | 1910} 70‘0
— G00‘0— — 6920 — 788‘0— — 969° — 170*0— — 1910 | 00°0
Ст и gM, emf, om, ИП, IM, [aA , уп“, Pay Cay of 5 ef 2 .а


$











5°6 ‘гов: эинэжиого4]]

КРЫЛО БЕСКОНЕЧНОГО УДЛИНЕНИЯ С РУЛЕМ 253
§ 2]

S00°0—
$00‘0—
900“0—
800“0—
900‘0—
900“0—
900°0—
900‘0—
900“0—
S00‘0—
300“0—
900`0—_
G00°0—
¢00°0—
700`0—
700‘0—
700`0—
400°0—
700‘0—
700`0—
$00“0—
$00‘0—

000°0
000°0
000`0
‚ 000‘0
000°0
0000
000°0
000°0
_ 000°0
0000
-000°0
000°0—
000°0—
100°0—
100°0—
100°0—
100°0—
100°0—
100‘0—
100°0—
100°0—
| 100°0—

110°0
110°0
010°0
600°0
200‘0
900°0
€00°0
600°0—
L00°0—
110°0—
910‘0—
1Z0°0—
820°0—
L€0°0—
090‘0—
690°0—
6L0°0—
S80°0—
160°0—
860°0—
901 ‘0—
| 911*0—
£03‘0
€09‘0
709`0
309‘0
909‘0
809°0
019‘0
613‘0
168*0
759'0
6$8*0
859`0
378'0
gcc‘
098°0
$98°0
998°0
0/8*0
$/8*0

| 118‘0
PISO |
8560.

5550—
6550—
155*0—
1650—
1650—
0550—
055“0—
815*0—
LIZ‘0—
91Z‘0—
gIZ‘0—
150—
116‘0—
6050—
905*0—
106‘0—
861“0—
161‘0—
61 ‘O—
е6т“о—
т61‘0—
| 681°0—

918:0—
918'0—
918‘0—
918‘0—
LIg‘0—
L18‘0—
813‘0—
618‘0—
068“0—
1Z8‘0—
1Z8‘0—
658‘0—
$58‘0—
358“0—
168‘0—
658“0—
158“0—
1€3‘0—
668 ‘0—
688“0—
788‘0—
| 388"0
6750
| 875°0
1950
942'0
9750
775*0
0750
985*0
785‘0
655°0
3550
755`0
8150
6050
1610
06Т*0
981‘0
5810
8/10
6/10

| Z91‘0
675'0 `

se) a
b9n‘S
Gon‘
GOP‘
99%
49$‘
8975
1/96
bLyG
9LbS
LLv‘@
0875
$875
9876
67°
16°
103*5
603°6
708“$
Log‘
603°
118*5

400°0—
£00°0—
400°0—
400°0—
L00°0—
200°0—
400°0—
900°0—
900°0— |
go00‘o—
s00‘0—
£00‘0—
700“0—
$00“0—
600‘0—
100‘0—
000°0
000‘0
100‘0
100‘0
Z00‘0
€00‘0

150‘0—
160‘0—
150‘0—
150‘0—
160‘0—
150‘0—
150*0—
560‘0—
560`0—
560‘0—
550*0—
5600—
560`0—
$500—
750‘0—
3500—
950‘0—
3500—
350‘0—
950‘0—
950‘0—
950“0— .

€00‘0
€00‘0
€00‘0
€00‘0
6000
6000
100‘0
100‘0
€00‘0—
700‘0—
300“0—
200‘0—
600‘0—
610°0—
910‘0—
660°0—
950‘0—
150‘0—
650‘0—
1g0‘0—
$80*0—
980*0—

€80°0
780`0
780°0
7800 |
780`0
980"0
980°0
280°0
$80°0
680`0
060°0
160°0
6600
760`0
260`0
00т“0
того
40)
$01“0
тоТ"0
30т‘0
LO1‘O


[Гл 1Х
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ
254














650`‘0— | 969°0— | 699°0— | 985'5| /55‘0— | 068°0— | 5$9°5 LIv‘l | 858'0— | $68‘0— | $6/‘0 вхо 89°0
<10‘0— | 969°0— | 65/‘0— | $96‘ | GIZ‘o— | &68‘0— | 929“ 9бт‘Т | 816'0— | 458'0— | 19/°0 | 7$8‘0| +29'0
s00‘0 469‘0— | 808‘0— | 165‘5| 115'0— | 168°0— | 9Er‘'s cert | 2os‘o— | Zee‘o— | sez‘o | 0F8‘0| 09°0
220'0 g69‘0— | 868'0— | 5$8'5| 105‘0— | 009‘0— | 51$“ yer‘ | 765‘0— | zec‘o— | 70/09 | 698'0| 96‘0
$90'0 669'0— | 000°I— | 148‘5 | 061‘0— | 909°0— | 14176 cor‘l | 6/5‘0— | $78'0— | 19909 | ¥z8‘0| 58‘0
680‘0 00/°0— | OIT‘I— |117*6 | //1“0— | 809°0— | 0106 ‚497“Т | 595'0— | 678'0— | 759‘0 | 688°0| FO
SII‘0 i0Z‘0O— | oSz'I— | I9r‘S| E9I‘o— | SI9‘O— | 9681 Osr'l | 8750— | 998'0— | SzS‘O0 | 206°0| $70
PS1‘0 €0Z‘0O— | Sor‘I— | SIS‘S] 9FI‘O— | 169‘0— | 119*1 v6r'l | 066'0— | $98'0— | SIS‘O | 926'0] 07‘'0
661‘0 70/‘0— | L8S‘I— | 1/9*< | 951“0— | 2z9‘0— | O9E'T OIS‘T | 76Т'0— | 1/8‘0— | 197‘0 | 176'0| 95‘0
$95‘0 90/‘0— | 008‘1— | 989*6 | $01“0— | 7$9‘0— | S90°T 859°Т | $91'0— | 188'0— | 548‘0 | 146°0| 58‘0
118*0 LoLz‘o— | /30°5— | 90/°5| 9/0‘0— | 579°0— | OIZ‘O SPST | 951'0— | 168'0— | 846‘0 | 466'0| 85'0
365‘0 60/‘0— | 898“5— | 9846 | 170‘0— | IS9‘0— | 085‘0 0/9°Т | 180‘0— | 507'0— | $90 | 920'T| #20
16у`0 511*0— | agz'z— | ¥z8'%! 000°9 199`0— | 035'0— | FEST | 960'0— | 917'0— | 1560°0 | 6S0°T| 02°0
€19‘0 71/‘0— | 6E‘E— | 646°< | €90‘0 619°0— | $66'0— | IZ9‘I | 770`0 657‘0— | 881'0— | 9601 | эт“о
8/10 LIL‘O— | 188*8— | 9/0`8| 5&61'0 $89‘0— | 018'1— | 099°Г | 181'0 УР“ | vee‘o— |зетт| 510
666‘0 OZL°O— | 984“7— | 10Z°E | 056'0 g69'0— | 690'8— | 989‘Т | 8950 $97‘0— | 15/*0— | 6LZI‘T| 80‘0
Ooze‘! 66/‘0— | 1/5'9— | 658*8 | 188‘0 $11‘0— | 511'9— | 054“1 $87‘'0 | 187'0— | 945'1— | 1551] $0‘0
— 709*1— — gcr‘e — 96/'0— — GGZ‘T — 667 0— — 6/51 | 00‘0
о u ru 4 2 2 Zn zn 2; 7 том и то? mi xd
5'0=99 ‘oo=y ‘O=W
6 enuroey

255
7%
$2

КРЫЛО БЕСКОНЕЧНОГО УДЛИНЕНИЯ С БУЛЕМ ~
$95'0—
635‘0—
1SZ‘0—
0S2‘0—
L¥3‘0—
075‘0—
075‘0—
655'0—
165*0—
915‘0—
01Z‘0—
105‘0—
061‘0—
cL‘O—
Е
31 ‘O—
901‘0—
460°0—
980‘0—-
Gi0‘0—
590°0—
870`0—

_ 289‘0—
€39°0—
$89‘0—
$89‘0—
789*0—
789'0—
789*0—
989*0—
989‘0—
989‘0—
989‘0—
489°0—
889‘0—
689‘0—
069‘0—
169‘0—
669‘0—
€69‘0—
€69‘0—
769‘0—
769‘0—
| G69°0—

655°0
155°0
GIZ‘0
01Z‘0
005*0
161‘0
7/Т*0
6ет‘о
460°0
ZL0‘0
0S0‘0
L10‘0
8Z0'0—
880‘0—
— SLT'O—
166‘0—
$98‘0—
10%‘0—
err ‘0—
887‘0—
689‘0—
| 969*0—

LOLI
66L'I
Gel'l
07/1
6rL'I
LSL‘I
OLLI
008°1
188 “1
3781
$98*1
988 °1
716*1
196°1
666“1
0905
660%
LIS
LEZ
6S1‘%
81$
05°

8680—
668‘ 0—
658'0—
168‘0—
058‘0—
618'0—
LIg‘O—
€1g*O—
60¢°0—
208‘0—
708‘0—
008‘0—
965'0—
6850—
085‘0—
995‘0—
695‘0—
995°0—
095‘0—
975‘0—
075'0—
| ves 0—

$89'0—
$89'0—
789*0—
989'0—
988*0—
958‘0—
ges‘o—
17S‘0—
17S‘0—
979‘0—
879'0—
199‘0—
799‘0—
899‘0—
96‘0—
118*0—.
9/9'0—
1/9*0—
6/3*0—
18¢‘0—
7860—
| 19g'0—
298°E
_ 698“
098$
$8
_ 088“
-LI8‘€
_ 96/*8
91$
889
699“
ore'e
119“
319“
_ 18
Ут“
ст“
1S0°€
866°5
196“
808°6

| 65/5
_848“5

5“
8261
6/5°1
188‘
585“
985“
0651
1651
908“
От“
Чт“
158“
656“
6е°1
5981
1/8“
08“1
9851
тб“
1681
071
ОТУ"Т

‚ 997'0—
_997‘0—
797‘0—
737"0—
637‘ 0—
osr‘o—
6rr‘0—
ehr‘0—
Ler‘o—
vEr'0—
1eh0—
_957‘0—
617‘0—
117‘ 0—
866'0—
gle0—
116°0—
g9e‘0—
` 688'0—
$95'0—
978'0—
‚ 850—

675‘ 0—
0S3°0—
196'0—
195'0—
€9°0—
795‘0—
995'0—
095‘0—
795'0—
_L96°0—
695“0—
$150—
115°0—
585*0—
685*0—
365*0—
$05'0—
908“0—
60¢‘0—
Z1e‘0—
cIg‘0—
,618°0—

SIT
LIVI
GIT
ИТ
Olt
901 ‘T
отт
1801
$10*1
7901
730*1
РОТ
GZ0'T
€00°!
6/60
9260
206°0
888°0
8/80
3980
188‘0
‚ 918°0
|
he



(fa. 1Х
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ
256
——
~~



сти,










€°6 ‘ORL эинэжиопо 4]



257
КРЫЛО БЕСКОНЕЧНОГО УДЛИНЕНИЯ С РУЛЕМ.
§ 2]

660'0—
660 0—
550°0—
660°'0—
1Z0°0—
1Z0°0—
1Z0°0—
020°0—
0¢0°0—
020°0—
020°0—
610‘0—
610°0—
810°0—
L10°0—
910°0—
s10‘0—
S10‘0—
G10°0—
v100—
€10°0—
€10°0—

100°0—
-—100°0—
100°0—
100°0—
100°0—
100°0—
100°0—
600°0—
600°0—
600°0—
_ 600°9—
600°0—
€00°0—
€00°0—
- 700°0—
700°0—
900‘0—
900“0—
S00°0—
S00°0—
900°0—
| 900‘0—

1970°0
‚ 170°0
6€0°0
_860‘0
9€0°0
vE0'0
1€0°0
$60‘0
710‘0
_ 0то‘0
700°0
$00‘0—
€10°0—
920°0—
770'0—
1Z0°0—
980‘0—
€60°0—
601 ‘O—
611‘O—
ES1'0—
| sel‘o—
I18°0
€138'0
718‘
918°0
8130
‚ 158‘0
758‘0
Z€8‘0
178°0
9780
648°0
098°0
028‘0
788‘0
668‘0
9680
006‘0
706‘0
606‘0

S180
_$18°0 |
158°0 |

eer 0—
eer 0—
$87‘0—
Cer 0—
_<Е“0—
087‘0—
657‘0—
Lov‘0—
S3r‘0—
Cor .0—
0¢r‘0—
LI¥‘0—
e1h‘0—
607‘0—
507‘0—
668'0—
188'0—
788'0—
088‘0—
LLE‘O—
8/8'0—
| 898'0—

G8Z‘0—
9820
98/‘0—
‚ 98L‘0—
 18L°0—
‚ 982‘0—
_ 68/‘0—
_ 16/*0—
76/*0—
96/‘0—
96/*0—
86/‘0—
008*0—
€08‘0—
408°0—
18‘0—
918‘0—
918*0—
818*0—
058*0—
558‘0—
758‘0—

87'0
_ 9870
_587°0
°587‘0
080
170
GL¥r‘0
| 897°
‚ 637'0
| 947'0
087'0
$77‘0
787‘0
GOP 0
sor‘0
616°
998‘0
896°0
ose‘o
1780
oee‘0
6180
с 198%
198%
68$*°5
0685
168*5
68'S
968°
CO's
07'S
lps
vps
61n'S
GoP‘S
ZENS
Ghhs
gcr‘z
59у*5
9972
OLr'S
АС
6/95
LG


8E0°0—
_ 880‘0—
180'0—
_ LE0‘0—
Z€0°0—
180`0—
| 9£0'0—
Se0‘0O—
€£0'0—
€£0'0—
_ e0'0—
1€0°0—
660°0—
160°0—
760‘0—
020°0—
810°0—
L10‘0—
910‘0—
710'0—
610‘0—
010°0—

gs0‘0—
` 890'0—
_ 990'0—
- 690*0—
‚ 690*0—
6S0°0—
_ 090*0—
| 190*0—
| 290°0—
690°0—
€90°0—
790°0—-
S90°0—
990°0—
490°0—
020°0— |
1Z0°0—
1Z0°0—
6L0°0—
€L0°0—
7L0°0—
¥L0‘0—

810`0
 g10‘0
_ 110°0
910°0
_710‘0
_110°0
100°0
Г00‘0
100'0—
900°0—
o10‘0—
g10‘0—
#60‘0—
980°0—
590`0—
190°0—
990‘0—
L0°0—
8/09—
¢80‘0—
560°0—
|
|] 985°0

06*о |
:185°0 |
5850 |
:388“0|
‚585°0 |
85° |
.985°0 |
one |
7930 |
| 975°0.
`675°0 |
595°0.
395°0
092‘0
195'0'
9160 |
085°0
585‘0
8830
163°0

G6Z‘0 |

1X
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ (Гл.
258
O9T*O— | EIEI— | F99°O— | 989°C | HSZ‘O— | 569'0— | 1881 COLI Gse‘O— | 907'0— | 8060 Lb0'T| 99°0
681‘0— | 558'1— | 67/‘0— |5664'6 | 9у5'0— | 969°0— | 86/1 GILT 648'0— 17‘0— | SZ8°O | 190°T] $9°0
GIT‘O— | 158'1— | 778'0— | 19/5 | 786‘0— | 00/“0— | 90/1 О! L£se‘O— | (17'0— | 1680 19201] 09°0
880°0— | GbE*I— | 696'0— | €08°S | 5666'0— | 90/4'0— | 009°T вт 178‘0— | 757‘'0— | 96/‘0 19860°Т| 99°0
830‘0— | 798'1-— | 7/0'1— | 098'6 | 806'0— | TIL‘O— | 5871 09/“1 €ZeO— | 18Р'0— | 87/‘0 ЕТ} 569'0
$50‘0— | 498“1— | 715'1— | 106*б | 561“0— | ZIZ‘O— | 9781 9/“1 105“0— | 887‘0— | е69°09 |] тЕегт| 870
Z10°0 185 1— | 7/8'Т— | 8S6°S |} PLI‘O— | 85/'0— | 6811 1821 | 115°0— | /97'0— | 1690 15971] +O
790°0 L6E°I— | I9S*I— | 1Z0°€ | EST‘O— | 08/‘0— | ZO0'T 00st | 6Z‘o— 997'0— | 8990 =| ZZZ‘T| 070
“о | Ут | 6441 | 060“ | 861‘0— | 86/“0— | 76/0 | 0681 | 916°0— | 19'0— | 8/0 | HOST] 96'0
6810 | 661 | ge0'%— | 4918 | 660‘0— | zez‘o— | узо | 81 | zzt‘o— | 84°0— | 6480 | sect] 26°
095°0 | 9gp‘I— | 99Е'5— | 595°6 | 090°0— | 9/°0— | $50 | 2987 | 161°0— | 167'0— | 2960 |895°1| 85°
ese'0 | вит | 61/8— |498 | 180'0— | zoz‘o— | 1z1‘o— | 9681 | 9200 | 909°0— { 400 | soe't| 95°
sor'0 | sos'I— | 0818— | sare] 1200 | 6zz‘o— | 6rr‘o— | 956 | +000 | 559°0— | /0°0— | 95| 08°

199 | ves‘I— | goz‘e— | zzs‘e| 60° | eez‘o— | ттГт- | 196 | 980°° | 079°0— | 10в'о— |561 | отг‘о
80809 | 999'1— | /59%— | 969°®| set‘o | /08‘0— | $681— | 1661 | 0050 | 899'0— | 209°9— |1тРт| 2t‘o
6401 | 5091— | ezo‘s— | 498°8 | goe‘o | 558'0— | 596%°— | 1705 | 960 | 189°9— | чвоч-— | 0091 | 800
9691 | 591— | 607'/— |100%| 0190 | 198°0— | 569%— | 9805 | 569% | ч09'0— | 164-— |099 | +0°9
— |699 | — [19| — | 0980-| — | oes | — | 495-| -— |в99| 00













76 епикое [

259
6 2]

КРЫЛО БЕСКОНЕЧНОГО УДЛИНЕНИЯ С РУЛЕМ
967‘0—
967‘0—
a
167‘ 0—
6197‘0—
917‘ 0—
ПУ 0—
007‘0—
888'0—
188'0—
$28‘0—
$98 0—
098‘0—
688 0—
90¢°0—
695'0—
675'0—
855'0—
966'0—
115'0—
961°O—
6L1'0—
091“ I—
191“I—
€91“I—
pol I—
LOL I—
691°T—
bLEI—
68 I—
661‘ I—
961“ I—
106° I—
806° 1—
LIS‘ I—
866° 1—
675'1—
195'1—
6/5'1—
816'1—
786 1—
065'1—
166° 1—

| coe’ I—

_968“0
765‘0
988‘0
085‘0
895*0
/98‘0
9€¢'0
962‘0
75‘0
‚ 066'0
8810
8710
760°0
650‘0
080‘0—
665‘0—
60¢‘0—
gge‘o—
vor‘0—
697‘0—
1Zg‘0—
688‘0—
940*5
80'S
980°5
160*5
5015
116
0615
6915
0055
815*5
65°5
9955
005*5
CPEs
€07'S
5875
5565
PSS
g9G°Z
G6S‘S
5595

| $99°5
728‘ 0—
728 0—
$/8‘0—
$/8“0—
118‘0—
018‘0—
8980—
595'0—
1380—
738'0—
198'0—
978'0—
075'0—
058“0—
08“0—
665‘0—
685‘0—
786‘0—
115*0—
0L2'0—

| $95'0—
588‘0—
€69‘0—
759*0—
¥29'0—
Gz9‘0—
9¢9'0—
159*0—
6z9‘0—
.589‘0—
189‘0—
679`0—
3790—
679“0—
799"0—
099°0—
699°0—
729*0—
919°0—
6L9°0—
689°0—
Gs9"0—

| 689°0—
6£9°0—
G16‘Z
$165
706°5
868‘5
188‘
118“
9985
18‘5
LOLS
ShL‘S
ZIL‘S
€19°S
09'S
0g¢‘Z
LISS
308*5
8965'S
$815
Pel ‘Z
10'S

| 386`1
080°C:

£6"
yO‘
953*1
858*1
1€9‘T
yes‘
66S"
673*1
099'T
G9‘
129‘
6/8*1
683°1
609°1
619'T
679“1
739*1
099*1
199°1
919°1
589°1
569°1

779 0—
779'0—
$78'0—
$79"0—
179*0—
6589'0—
988*0—
689“0—
659“0—
819*0—
$19'0—
108*0—
667‘0—
887 0—
6/7‘ 0—
097'0—
887 0—
187 0—
757‘ 0—
917‘ 0—
907‘0—
966°0—

_ Plg‘o—
718 0—
9180—
918‘0—
818'0—
618‘0—
66$'0—
158‘0—
Gee 0—
988'0—
888'0—
GbE 0—
878‘ 0—
798'0—
$98'0—
918‘0—
188'0—
788'0—
888 0—
668‘0—
968°0—
10r‘O—

138‘!
О5Е*1
1181
cle‘l
ore‘!
90€'T
966'I
185*1
95*1
SSSI
OF'T
755“1
05°1
GLUT
CeI‘T
110°1
940'I
8Z0'I
600‘T
£86°0
796‘0
186`0
|

608°0
01380
€18°0
cIg°0
618‘0
$68‘0
058‘0
678‘0
868‘0
798‘0
$/8“0
$88“0
/68‘0
716‘
156°0
896°0
€86'0
666°0
100°I
пот
650°1
veo"


Ira. IX
B
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ




450°0— | 910‘0— | Sel‘o— | ZZI‘I | 658'0— | 618'0— 1 859‘0 bLy'S | 7Р0'0— | ZET‘O— | 891'0— | 679‘0| 89'0
50‘0— | 910'0— | est‘o— | 6/1'т| 089“0— | ezs‘o— | zor‘o $875 | 6E0‘O— | 6EI‘O— | 98Г“0— | ZSS‘0} 79'0
$60“0— | ZIO‘O— | У21“0— |88Г'Т| 119'0— | 9%8°0— | 88$8‘0 7бУ‘< | 750‘0— | 1РГ0— | 905'0— | $99‘0| 09'0
150*0— | 810°0— | /61‘0— | 005°т | oos‘o— | 158‘0— | sse‘o 7095 | 650`0— | eFI‘O— | 465'0— | $/9'0| 98'0
810*0— | 810'0— | 756'0— | 205`Г| 887‘0— | 9$8'0— | 7580 LIS‘ | 860'0— | 971'0— | 595'0— | Z8S‘0| 59'0
SIO‘O— | 050°0— | 895‘0— | 3Т5°Т| HZr‘O— | 178‘0— | 682‘0 0895 | 910'0— | ЗРГ'0— | 085'0— | $69°0| 870
$10‘0— | 160‘0— | 685‘0— | 0$5‘Т | 887‘0— | 978'0— | 8$5‘0 bess | 200‘0— | IST‘O— | $18'0— | 909°0| 77‘0
g00‘0— | 550`0— | 058‘0— | 575`Т| 687‘0— |: 698‘0— | 102‘0 099*“< | 500'0 79Т‘0— | 198‘0— | 819`0| 07'0
700`0— | $50`0— | 28‘0— | 895‘Т| /17“0— | 698‘0— | SPrI‘O 8/9°< | S10‘0 scI‘o— | 968‘0— | 159`0 | 98°0
100‘0 360‘0— | eer‘O— |7/5'1| Z6E‘0— |: Z98‘°0O— | 0800 €6S°S | 920‘0 691‘0— | 877‘0— | 879`0| 58'0
800°0 150°0— | 00S‘0— | $65°Т | 198‘0— | 9/8‘0— | 100‘0 059°5 | 5700 991‘0— | 513'0— | $99°0| 85'0
S10‘0 6Z0‘0O— |`189'0— | ТГ | #68‘0— | Ses‘o— | $60°0— | 3795 | 190‘0 IZT‘O— | 888'0— | 989°0 | 9750
GZ0‘0 680°0— | 189°0— | 968*1 |. //5‘0— | 106‘o— | 015°0— | 549% | 380°0 9/1*0— | 589°0— | #0/*0| 05'0
180°0 $50‘0— | 808“0— | 198°Г| 615‘0— | 206“0— | 698‘0— | 50/5 | ИГО $810— | 508‘0— | 18/^0 | ЭГО
6900 980‘0— | SZ6‘O— |881 | ZrI‘O— | 096‘0— | 999°0— | 78/5 | FST‘O 681“0— | 096°0— | 98/°0| &Го
$20‘0 6$0‘0— | 115'1— | O@r‘T | 780“0— | SEe6‘o— | TEs‘O— | ELZ‘% | OIZ‘O Z61‘0— | 28t‘I— | Z8Z‘0| 800
ро $70‘0— | 009'1— | eSr‘I | $Г“О 096°0— | 785‘1— | -e18°s | 108‘0 705‘0— | /978'Т— |818‘0 | 70'0
— 370*0— — 98711 — S96‘0— — 638“5 — ©15‘0— — 678‘0|. 00'0
om, wou amo? ome My eae ити, Cay Cu 0 we „а












У’6 ‘гоет эиножиокод 0

261
КРЫЛО БЕСКОНЕЧНОГО УДЛИНЕНИЯ С РУЛЕМ.
$2].

870*0—
870°0—
870‘0—
870`0—
870°0—
L¥0‘0—
L¥0'0—
970‘0—
670‘0—
670‘0—
¥0'0—
€40‘0—
570‘0—
[70°0—
- 980°0—
SE0'0—
b£0'0—
€€0°0—
6E0'O— .
1€0°0—
620°0—
820'0—

€00'0—:
£00‘0—
€00'0—
€00‘0—
£00‘0—
€00‘0—
700'0—
300`0—
900°0—
900°0—
900°0—
£00°0—
100'0—
800*0—
600°0—
110°O—
110°0—
$10'0—
$10'0—`
€10°0—
‚710'0—
910'0—

€01°0
_960‘0
€60‘0
Z60'0
_680°0
280`0
680°0
€20°0
_ 5900
180`0
090‘0
170°0
0500
УТО`0
800“0—
070*0—
890'0—
890‘0—
8Z0°0—
160'0—
yOl‘o—
slo
1v0'I
$70°1
8701
УРО“Т.
1¥0'I
640'I
€S0'T
090‘T
890°1
1Z0'T
9/0°1
580°1
680°1
660*1
TT
IZU‘T
EIT
Е
ЭТ“
CSI ‘I
зат

| чт

389'0—
789*0—
7890—
€E9'0—.
GE9'0—
1¢9°0—
669'0—
-¥29'0—
619°0—
b19°0—
_ 0т9*0—
709`0—
L6S°0—
189'0—
_649*0—
‚ #99*0—
093‘0—
gcc‘o—
6rS‘0—
$73`0—
| 988‘0—

8gZ‘0—
8SZ‘0O—
6S2‘0—
092‘0—
19Z‘0—
ZOL‘O—
€9L‘0O—
LOL‘O— -
0//“0—
6LL‘0—
_bLZL°0—
LLL‘O— -
osz‘o—
g97‘0—
162‘0—
66/‘0—
€08‘0—
sos‘o—
108°0—
o1s‘o—
18‘0— |.
918‘0—

869‘0
L69°0
G69°0
769`0
169°0
889°0
689'0
6/9°0
6S9°0
€S59°0
Gr9‘0
ge9‘0
169‘0
609‘0
LLS‘0
6$8‘0
‘615‘0
109`0
767`0
087'0
397`0
Lbv'0

LIES
SIE
158*5
168'5
HES
98'S
1€¢°S
0786
675"
5955
6S6'S |
99¢°S
GLE
988*6
GOb'S
66'S
6576 .
8575
ФРУ‘ С.
1975
18996
997*5

860°0—
860°0—
460°0—
460°0—
960°0—
960‘0—
360‘0—
€60‘0—
060‘0—
680‘0—
180‘0—
380*0—
580‘0—
6/0*0—
7/0*0— |
990‘0—
590‘0—
_ 090°0—
180`0—
730‘0—
1S0‘0—
870‘0—

901 ‘O—
901 '0—
LOL‘O—
LOv‘O—
LOT‘O—
801‘0O—
601°0—
ито
$11‘0—
sIt‘o—
PIl‘O—
SI TO—
SIlo—
061 ‘0—
EST O—
161‘0—
_65т“о—
oe ‘o—
1e1‘o—
eel‘o—
rel ‘O—
9g ‘0—

670`0
870'0
L¥0°0
970'0
$70°0.
170°0
Z€0°0
860`0
810°0
€10°0
`900°0
Z00‘0—
€10°0—
£60°0—
870'0—
6/0‘0—
G60°0—
bOI ‘O—
.STT‘O—
931 ‘0—
Sel'0—
$31‘0—

УрО
57‘0
Lev‘0
Lzv'0
657‘0
ZEr‘0
9е$‘0
570
057‘0
У3У‘0
| 9GP‘0
£94'0
0/9‘0
6L¥'0
167'0
80°0
918‘0
058‘0
358°0
1830
989‘0
63°0 |


262 НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ [Гл. 1X
$ 3. Крыло бесконечного удлинения с рулем.
Коэффициенты аэродинамических производных
при бесциркуляционном обтекании
Для тонкого крыла бесконечного удлинения (пластины) с ру-
лем, совершающим колебания в несжимаемой среде и бесциркуля-
ционном обтекании, точные решения могут быть получены из ре-
шений, приведенных в предыдущем параграфе. При бесциркуля-
ционном обтекании вихревой след за крылом будет отсутствовать
и, следовательно, функции F (p*) u G (р*) будут тождественно равны
нулю. В результате из формул (9.34) для всего крыла будем иметь
\
© © у
Асу = Amz = Ac,? = 0; Am,? = ——, Acy =>,
on » . | (9.41)
— 2 __ Zz
Ат, =— >: Ас, =T: Ат. = — Fr Jt. |

Коэффициенты подъемной силы руля и шарнирного момента при
движении крыла будут





Achim = Amy, = 0, Асуш = Os , Amn = — a ,
©, _ D3. — Dz о, __1 (+
Acyin — 25, ’ Acyin — 85 9 Dg ++ ®s ) ’ (9.42)
о, £O—, в, %+%,

При колебаниях руля для коэффициентов сил и моментов, дей-
ствующих на все крыло, получим

Ac’ 1 = Ac} » = Ami» = 0, Ae? =, Ach, = St, |
Am? = — Ч, Ата: = — ae, + (9.43)
у
Am =— = (Ф +7). |

Наконец, коэффициенты подъемной силы руля и его шарнирного
момента будут равны







Ф 6 Ф )
Acjm1 = —38, Adjm1 = —*
gut bp ’ gut 2000p ?
Ф.. —Ф 8 Ф
Ach, 5 — Pas Фи ae
yw ЛЬ ’ уша bp )
Am. | = — _Фю т — — Ox (9.44)
и Qnbp ” и bp”
é 1 Ф 5 | Ф.. -
Атыз = — чат (42 —Фы), Amie =ыь.
ш 4nbe ) 37 | 9 mw 2 32mb2 |

6 4) ЦИРКУЛЯЦИИ КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ 963
Таблица 9.5

b 0,1 0,2 0,3 | b 0.1 0,2 0,3

р р
ac, | 0,817 | 1,118] 1,321 | Ac®& | 0,003 | 0,018 | 0,049
Am™ | 0 0 0 An, | 0 0 0
Ас, | 0,600 | 0,800 | 0,917 | AcS, | 2,292 | 2,037 | 1,783
Ace | 5,887 | 3,862 | 2,915} 48 | 0,249 | 0,485 | 0,698
Ато? | —0,244 | —0,331 | —0,388 | Am, | —0,748 | —0,648 | —0,551
Атёг | —0,240 —0,323 | —0,374 | Am’, | —0,222 | —0,433 | —0,635
Ac’, | 0 0 0 Ас, | 0,238 | 0,440 | 0,606
ach, | —0,082 | 0,223 | 0,396 | №8» | 0,011 | 0,041 | 0,103
Am, | —0,540 | —0,640 | —0,642 | Am® 0,004 | 0,018 | 0,040







Am, | —0,097 | —0,253 | —0,425 | Am’, | —0,005 | —0,022 | —0,048

Величины коэффициентов аэродинамических производных при
бесциркуляционном обтекании крыла бесконечного удлинения
с колеблющимся рулем приведены в таблице 9.5 для относитель-
ных хорд’ руля bo = 0,1; 0,2; 0,3.
$ 4. Деформирующееся прямоугольное крыло
весьма малого удлинения. Коэффициенты аэродинамических
производных циркуляций
Задача определения сил и моментов на прямоугольном крыле
весьма малого удлинения (A — 0) при деформациях его по гармо-
ническим от времени законам может быть решена точно для
произвольного числа Струхаля р* и несжимаемой среды. Здесь
наряду с непрерывно распределенным вихревым слоем следует
ввести и дискретные присоединенные вихревые шнуры. -
Рассмотрим отрезок прямого вихревого шнура (—И2, 1/2),
напряженность которого. переменна по размаху и времени и равна
Г, (2, ¢a). Начало координат расположим на середине размаха

964 НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ [Гл. 1Х
вихря, тогда индуцированная этим вихрем скорость по формуле
Био—Савара будет равна в осях рис. 3.1:

Г ‚ ty) dz ,
U, (Xo, 2, 1) = — | aie ae . (9.45)
С основного вихревого шнура из-за изменения его напряженности
будет отходить пелена свободных вихрей с осями, параллельными
осям Oz и Ох. Скорость от поперечных свободных вихрей будет
1/2 ©
Г — Е. У (Х, 2, №) (Хо — x)
“ J, 0 [(хо — x)? + (% — z)2)°/? dx de, (9.48)

а от продольных свободных вихрей
1/2 ©
У, = aa | | Vx (2, fo) (№ — 2) а, (9.47)
9

[(хо — x)? + (2 — 28
* de
Суммарная индуцированная скорость будет равна
W, =U, НУ, У.
В случае гармонической зависимости от времени
Г. (2, fo) = Г, (2) sin peo (9.48)
для поперечного свободного вихря можно написать
| 1
Ver (ts 2, b) А _
—p—t “50 (cos pty COs a ++ sin pt, sin <) ‚ (9.49)
так как

1 | aT, (г, ty)
V+ (x, 2, to) = Uy dt, | ®
Для продольного свободного вихря: имеем-
ar, 7
Ves (x, 2, 4) = — [ее sin p (t —=-) =
aly . .. _.
= ae (sin plo с05-17- — cos plo sin-T~ ) , ‚ (9.50)
так. как
аГ. (2, #
Vrs (x, 2, to) — — [ | + 1 ни.


$ 4] ЦИРКУЛЯЦИИ КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ 265
Подставляя выражения (9.48)—(9.50) соответственно в (9.45)—
(9.47) и имея в виду, что суммарная скорость
W,, = W, С sin ply + Lan COS plo,



получим
1/2 °- ,
им Г, (2) de
We =~ ae | Мы"
—[/2
1/2 ©
| | Г, (2) (tp — 2) пр 0.
+ 0; | еее Oe
—1[/20
112 © аг,


(и — 2) сорт
dz 0, | | 9.51
|| [(%o — x)? + (@% — 2)” dxdz=h+h+l, {9.51
1/2 с
Г, (2) (%) — x) cos p——
у) — _Р | * Uo
a e [(xo — x)* + (29 — г dx de +
1/2 ©
; | os (2 — 2) sin p a
+ 4 [(xo — x)? + (2 — 2) dx dz= 14 Is.
—1]2 0 ]





Если. Г, (2, fo) = Г. (2) cos pty, то
W,, = WS cos рю — VW sin ры.
Введем безразмерные величины
|
N !
E=—, & = 5? ’ 20 — 7: r,=U, +P. (9.52)
| |
Учитывая, что у прямоугольных крыльев A = —-, Можно показать,
что при A —» 0 интегралы -/1, / 2s I, стремятся к нулю, а интегралы
[зи Г, равны
Uy cos р*Ё я de
2
1—9 | S— при &>0, } (9,53)




966 НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ (Гл. 1X

саг -
U, sin p*E> Ee”
= Эл ое ПРИ %>0, | (9.53)
—I
0 при & <0




Итак, формулы (9.51) для скоростей при А — 0 примут вид


1 )
Wi. | и i 4Г/42_ yy при & > 0.
= Tt 20 —2
. У ®
| 0 при & < 0,

, (9.54)
и
we) _ [meh [4286 apn ь>о

-l
| 0 mpu&<0. |


Рассмотрим теперь непрерывно распределенный вихревой слой
на поверхности крыла. Интенсивность этого слоя
Vor (X, 2, fo) = Uoy (x, 2) sin plo, (9.55)
причем y,, (x, г) -›0 при A— 0.
Чтобы найти: скорости от непрерывно распределенных вихрей,
рассмотрим в сечении х = const вихревую полоску dx с циркуля:
цией y, (x, г) dx и соответствующие свободные вихри. Скорости
от такой вихревой системы в точке &, 2, будут определяться фор-
мулами (9.54), в которых нужно &, заменить на &, — &, итак,
1


aw) * 5 lf
р cos p* (Ep —8) (’ 41/6 |
Uy = ол | =p |,
—1
dw?) sin p* (Е =) ь dy/dz | (9.56)
y — 0 — ре
-] .

Чтобы найти скорости от всего вихревого слоя, нужно проинтегри-
ровать выражения (9.56) по всей поверхности крыла. Так как при
1 2
E,—& < 0, т.е. при & <— а’ = dW} =0, то при A— 0
интегрирование нужно производить от передней кромки крыла
до &,. Помещая начало координат посередине корневой хорды

6 4] ЦИРКУЛЯЦИИ КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ 967
крыла, для скоростей от распределенного вихревого слоя будем
иметь


Eo 1 )
(1) Was
о | сори | _&@ at
Ue Qn rie!) | oa
5 —
—1/2 —1
=. (9.57)
wi?) 1 т: Е AL dz
— —— sin — 2
Uo 2m р 0 ) Е dg.
—1/2 —1 |

В этих формулах использованы обозначения (9.52).
Рассмотрим деформирующееся прямоугольное крыло весьма
малого удлинения A— 0. Граничным условием для него будет
(см. гл. IV)

Ve = TE? 61 + fy 6,2 800, (9.58)
где У, — суммарная индуцированная скорость.
3amenum крыло системой дискретных вихревых шнуров с коор-
динатами Eu и непрерывно распределенным присоединенным
вихревым слоем. Напряженность циркуляций прямого вихревого
шнура Г и присоединенного вихревого слоя 7 представим в виде
Py = 0- (ris + rf d+ 6+4, 9.59
NY | Г. с. |
+= Ur (y's +726 + y2 6+ y2 6 }.
Величины с индексом «1» соответствуют решению задачи с первым
членом в правой части граничного условия (9.58), с индексом «2» —
со вторым.
Будем рассматривать сперва гладкую деформацию, когда сама
функция [5 (Е, 2) и ее первая производная не имеют разрывов.
В этом случае дискретный вихрь не может находиться нигде,
кроме передней кромки крыла. Если бы он располагался где-то
на крыле между передней и задней кромками, то индуктивные
скорости в этом месте имели бы разрыв, что противоречило бы
граничному условию (9.58). Найдем суммарную индуцированную
скорость от присоединенного вихря и вихревого слоя в произволь-
ной точке поверхности крыла &o, Zo. Учтем, что дискретный вихрь
располагается на передней кромке, а циркуляции его и слоя
представляются зависимостями (9.59). Потребовав удовлетворе-
ния граничных условий (9.58), получим следующие две системы
интегральных уравнений.

268 НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ
Для 61-задачи имеем
1
— cos p* (6+ ie ri ae dz—





J, 2—2
Be 1
dz
— | вы | wile oe
— 1/2 —1 20 —?
1
dVo /@& -
= fon (f+ )| 3 a dz +
Z—2
bo 1
££ dz - -
+ sin р* ь—э| ayy /de да hs ee 20) |
Zy—2 0
--1/2 —1
1 Ey
av$/dz -
sin p* (& ++): aide р sin p* (= —&) х
2 20 — 2
“1 1/2


г
1 0

—1/2
Для 62-задачи системы имеют вид
1


В —
— Cos p* (+ 4) (24 @-
—1
Bo
— | cos pt &— = | angle = dade —
1/2
Гб faz
и (+4) (ae de +
3 о,
+ | sin p* &— 9 | ue dial = Co, 2)
“1 0 .
—1/2

1 Г
6/35
x | avilde ee a nis 6 dz +
be
+ | cos p* (Ep ie a} о "|
\
[Гл. 1Х
‚ (9.60)


(9.61)

$ 4] ЦИРКУЛЯЦИИ КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ

sin р* (B+ )( aT} [a dz +




—1/2 —1 0? |
1
аГь /42 -
нина ( wt a
Eo 1
4 | ры | aa [a2 а —
—1/2 —1
Найдем решения интегральных уравнений (9.60) при
Струхаля, стремящемся к нулю (p* — 0). Тогда вместо
будем иметь.
1 Eo 1 |
Гб > _ 8 / 2 —
1 1






‚269
(9.61)
числе
(9.60)
9.62)

] dT? /dz - dy; /dz -
(+) | 24 dz + A 424 —
2 Z р 20 — 2
1 —& 1
-| aT} [42 =_ | dy? /dz dz dt <0
2—2 0—2 ot
—1 —1/2 —
Систему (9.62) можно переписать в форме
Fi (20) — | РЕ» 20) Е = — 2л 6 бе 20) Gee 20)
4/2 о
(+1) Мб+ [GVA a |
—1/2

в.
— Ра — | Fico, 2) = 0,
—1/
(9.63)

270 НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ [Гл. 1X
Уравнения (9.63) суть система уравнений Вольтера, поэтому,

полагая & = —1/2, получим из (9.62)
1 1.
aT /dz - Ofg | —-5-,2 dV /dz _
| Mle род (3 ‘) | até goo (9.64)
Zy—2 Eo 2—2
-1 —l
Уравнения (9.64) есть обычные сингулярные интегральные урав-
нения, подробно исследованн`ле в монографии [1.47]. Используя
приведенные в ней общие формулы, запишем решения сингуляр-
ных интегральных уравнений м 64)
Ofs (— 172,
mG [= fo ( oe 29) _
iN dz
dz 7-Е




—2
и, интегрируя, получим
20
ve Ofs (—1/2, 20)
ге @ = — 2 dt 0 dz
° wy VI-® | —2 *, 1 (9.65)
Г =0, =. |




Продифференцируем теперь уравнения (9.62) по Ё,, учиты-
вая формулы (9.64). В результате получим: два независимых
сингулярных интегральных уравнения






1
| 41/4 = од д (Eo 20)
| 20 —2 О
Го (9.66)
dyp [dz - __ д 915 ь, 20)
{24 de _ 0Eo
—
Решениями этих уравнений будут [1.47] |
_ = 20)
dvi (Bor 20) _ 2 as | (9,67)




dz nV i—% | 2—2
—1

$ 4] ЦИРКУЛЯЦИИ КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ

= Ofs (2, 20)





dys (Eo: 20) — о) VID i aE, ir
dz л у! —2 20 —2
—1
Отсюда интегрированием находим
2 Vi-z > 9215 (Eo, Zo)
Е) 2 v8 ( OES —
V1 (5 о) - nz P г dz,
Vics 52 Of ЕЕ. 20)
ve (Eo, 20) = — > Я — а. 2 dz.






271
+ (9.67)

(9.68)

J
Подставляя (9.65) и (9.68) в (9.60), нетрудно убедиться, что
они являются решениями и последних уравнений. Таким образом,
при A — 0 и произвольных числах Струхаля р* имеем для 61-за-
дачи решения
Zo
Vice = Ofs(—1/2, 2)
Го =, | Se. Е %e dz,
ré —0,
Ру, 9
7 _
vt (Eo; 2y) = = я ach dz,
1 _
Vi-zw 2s = 2)









` (9.69)

г м 2 0 ри
72 (&, 2) = — be 4 г? dz.
}
Обратимся теперь к решению 62-3aqauu. Сравнивая (9.61)
с (9.60), заметим, что они отличаются только правыми частями.
Поэтому. на основе полученных выше решений (9.69) можем сразу

272 НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ [Гл. 1Х
написать решения для 62-задачи при произвольном числе Стру-
халя р*, а именно








ré -—2 (os а [ева 22),
Г =0,
1
Vicw %fso 2) ` (9.70
% Go ==. Vi—e@ Ш? *
—1 —1
vs (5%, г) —— “(re утв ( у! 2 = 2h Ge 2) dz.
J
Tipu получении формул (9.69), (9.70) предполагалась гладкость
функции [5 (Е, 2). Однако, если учесть, что сингулярные инте-
гралы, входящие в эти формулы, непрерывно зависят от пара-
метра [1.47] (в нашем случае от &,), то решения для гладких
функций fy (5, 2) можно с помощью предельного перехода про-
должить на кусочно-гладкие функции fy (, 2).
Пусть, например, крыло имеет руль по всему размаху хор-
ДОЙ bp. ‚ Функция деформации в этом случае будет




—_ Го при <<,
is (E>, Zo) = 4 . + + |
—(&— 5) при BSG <p>
|
Го ГЕ жж [Г (9.71)
0. — = = =, :
Ofs (Е, 20) при 2 ° :
0 | 1 при <<,
Е" = 1/2— В
Тогда [1.46]
0? fe Eon 20) _ 6% —&*). (9.72)
ag?
Здесь 6 (Е, — 5*) — дельта-функция Дирака,

$ 4] ЦИРКУЛЯЦИИ КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ 273
Подставим величины (9. 71), (9.72) в формулы (9.69) и (9. 70).
Сразу видно, что |
| | ..
при — 5 <<
rrp =r} =rf =0, | (9.73)

= = = yw =0.
Следовательно, на крыле весьма малого удлинения на части
его, расположенной перед рулем, если она неподвижна и не имеет
угла атаки (© = 0), аэродинамические нагрузки при отклонении
уля не возникают.
Из (9.69) и (9.72) получаем
2 x a dt dt Vi-z _
~ —1 -1
—



Последнее означает, что на линии Ey = &* = const на крыле рас-
положен отрезок дискретного вихря. Величина его безразмерной
циркуляции Го, равна
1/2
6 —\. 2 a %
Гр (Ep, 20) = > | 0(Е— &*)
— 1/2


О с—2
2 5 [и dz. (9.74)
—1 .
Подставим (9.71) в остальные формулы (9.69) и (9.70). Учтем, что
> 1.
| 4 1—2 „-_ 7. 32
| Vi-e | = =" 1—2, (9.75)
2p 1
dt и xl _
ЗУГ-Е ] ala







C—2
тогда из них и (9.74) определяем, что при Е < & = >
Г = У! — y= 21 — 24,
ГР = ГО =0, оу $$} (9.76)
2-1 |



274 НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ (Гл. IX
Предположим теперь, что функция Ь Е, 2) имеет вид
i, 2) =f &) ++ zfh (©. (9.77)
Функция АО (Е) представляет симметричную, а zfs? (Е) — анти-
симметричную по размаху крыла деформации.  Подставив (9.77)
в соотношения (9.69), (9.70) и пользуясь некоторыми формулами
[1.48] при интегрировании, найдем
ге) = -|Vi-2 С,
АИТ
ваз УТЕРИ VT
tous Не
ив а=-— Vi —2 и, ® +42V1—
гг @=— [И 1—2 (— 1/2) +
+42И 1—2 (— 1/2],
ve э=- [Ут @+4 Ре,
УЕ, = -|yi-? 2% + а2У1— 758 J
2 \>? .
}
Из найденных выше решений для деформирующегося крыла
предельно малого удлинения нетрудно получить решения при дви-
жении крыла как твердого тела. Пусть, например, fy (Eo, Zo.) = 1.
Легко установить, что при такой деформации крыло перемещается
как твердое тело вдоль оси Oy, причем 6 = 46/4 = —a, § = —a.
Тогда из формул (9.78) найдем с учетом (9.75)
r* = 2//1— 4, T*=0, 0, y* =2V1—z%. (9.79)
Рассмотрим теперь деформацию
fs (Ею, 20) = &o. (9.80)
В этом случае крыло поворачивается вокруг оси Oz как твер-
noe тело, 6 = 45/4 = —o,, 6 = —o,, и из формул (9.78)
\




>
af?) = 1/2)




)
32 (Е) |




fs a ©) | 9.78)





$ 5] СИЛЫ И МОМЕНТЫ КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ 275
получаем решение ®,-задачи:
Г. = —1]/ 1—2 , T2=0,
И, y= 2%, / 1—2. (9.81)
Изучим теперь деформацию вдоль размаха. Пусть
fs (Е, 20) = 20, (9.82)
тогда аналогично вышеприведенным примерам устанавливаем
эквивалентность

9 .:
6 = —— Oy, б = — — Oy, (9.83)
и из (9.78) с учетом (9.75) находим решение в,-задачи:
pox — 1 — 20, rs = 0, pox — 0, бя = > 20 V1 — 22 .
(9.84)
Из формул (9.75), (9.76) и (9.78) видно, что на прямоугольном
крыле весьма малого удлинения при симметричных движениях
и деформациях циркуляция вдоль размаха изменяется по эллип-
тическому закону. При антисимметричном движении изменение
циркуляции по размаху следует закону zV 1 — 22.
$ 5. Прямоугольное крыло весьма малого удлинения.
Коэффициенты аэродинамических производных
подъемной силы и моментов
Воспользовавшись определенными значениями циркуляций,
найдем подъемную силу и моменты, действующие на крыло. Так
как на поверхности крыла кроме непрерывного вихревого слоя
имеется дискретный вихрь, то
12 6/2 1/2
Y= | | Ap dx dz + poU, | Г, (г) dz,
—i/2 —b/2 ~i/2
1/2 b/2 1/2
М.= — | | Арх dx 42 —роЦо | Г. (2) x, dz,
—i/2 —b/2 —i/2
1/2 6/2 1/2
M,=— | | Арг dx 4 — ро | Г. (2) 2аг.
—1/2 —b/2 —1/2
Представляя силы и моменты формулами (1.48) через коэффи-
циенты аэродинамических производных циркуляции в виде (9.59)

НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ [Гл. IX
276
и пользуясь теоремой Н. Е. Жуковского «в малом» (3.36), получим
1 12.
— || | Ч а+ free,
су =
—1 —1/2
| 1 12
9; 9; =» 9; —
ти = — > vr Е аа + Е аа |.
LIT 17| оля
r 1 1/2 1
m4] [| иза+ five,
L—1 —1/2 —1


г=1, 2; g,=6, 6, 8. |
Здесь функции Г», \ определяются формулами (9. 69), (9.70).
При функции деформации, заданной зависимостью (9.77),
из формул (9.85) с учетом равенств
} 1
[Vi-#a—=5, [2Vi-—ea=0, [РУ1-2@=4
—1


2
будем иметь
\
(1) и
у 2% an) +e | ®@a

—1/2
ab = — A [28 (1/2)— 78 (—112)},
1/2
af (1/2)
тд 7 “> 2 (© dé —
—1/2
4 [fs (1/2) — НИ (— и, ‚ (9.86)
e
тб = aA of (1/2) + f° (—12)—4 | № oar].
1/2
rere),
т an — p” | fs? wat
“12

| тб — ^^^ = № > | 2) (112) — — fi?) (— 1/2)| .

$5] ° СИЛЫ И МОМЕНТЫ КРЫЛА МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ 974
Найдем коэффициенты аэродинамических производных при
движениях крыла. Подставим в формулы (9.85) производные
циркуляций для @-задачи (9.79), ®,-задачи — (9.81) и wo, — (9.84).
Учтем, что координата дискретного вихря в этих случаях равна
Е = —1/2. В. результате для коэффициентов аэродинамических
производных, определенных относительно оси вращения, прохо-
дящей через середину хорды крыла (x, = 0,5), будем иметь

mA mA
бу =o» бу =’
сие, Су: = 0,
mA 5 9.87
т. = >» тг =0, ( 87)
®2 мА. o, mA
n= — 8? Mz =— oF?
© ЛА, © л
ms =— За’ Mel = — TE
Получим теперь коэффициенты аэродинамических производ-
ных при отклонении руля. Для этого подставим в (9.85) величины
(9.73), (9.76), учтя, что, = —- — by. Тогда коэффициенты аэро-
динамических производных всего крыла будут
) Ao ae ]
Het, hab, =,
$ mh | Nfl г
ср в, та =- (5-5), ‚ (9.88)
та = то = — И, (1 — 5p), mi, = — 5* 63 (3—26,),

Для коэффициентов: подъемной силы руля и шарнирного момента;
относя их к площади и хорде руля, а момент определяя относи-
тельно оси шарнира, т. е. относительно &,, будем ‘иметь
ЛА, § mA $ д =
Суш1 == =, jut ша = es суша = > Ops |
5 é NA = 6 ЛА. 12
Тш1 == 0, Mus = Muz=— = 4), Тшз == — 6%.


978 НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ [Гл. 1x
$ 6. Коэффициенты сопротивления прямоугольного крыла
весьма малого удлинения
Определим сопротивление крыла весьма малого удлинения,
вызванное нормальными нагрузками. Имея в виду, что в данном
случае на крыле располагается дискретный вихрь, можем на-
писать
2 b/2 1/2
AX= | | Apcos(n, x)\dxdz+ poy | T,(2)cos(n, х) аг. (9.90)
1/2 —b/2 1/2
Заметим, что
с0$ (п, х) =a + “fe 6. (9.91)
Тогда, переходя от нагрузок к циркуляциям по теореме Жуков-
ского «в малом» (3.34), представляя коэффициент сопротивления
и циркуляции через соответствующие коэффициенты аэродинами-
ческих производных формулами (77), (9.59), находим без учета
подсасывающей силы
1 1/2 1 -
aad || | yt dé dz + [r%az ;
—1—1/2 —1 .
ff vagaz + [ria],
—1—1/2 -

. 1 172
СН А, |
(9.92)

у“ о dé dz+ Of ae г) je él,

yt 2s Ofs dt dz+ Of ae 2) fri |

g,; =a, ®,, ®., 6, 5,
Все остальные коэффициенты равны нулю (см. (7. 42)). Функции
Г, Г“ и“, pli определяются формулами (9.69), (9. 70). Подстав-
ляя в (9.92) значения циркуляций (9.79), (9.81), (9.84), находим

* 0.0 mA “aa . ЛА ~Aa0, лА, |
сх = 9? x = о СХ = TT ’
| (9.93)
- -a0 —0:6)
иг = 0, Cx *==0, Cx *=0, у

67] ПРОИЗВОДНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КРЫЛЬЕВ ПРИ М -Ти p* +0 979
Найдем сопротивление при установившемся движении с углом
атаки %. Используя теорему количества движения (8.27) и под-
ставляя в нее значения Г“ из (9.78), получим
со — TA (9.94)
Сопоставляя последнее выражение с (9.93), видим, что на крыле
весьма малого удлинения подсасывающая сила вдвое уменьшает
сопротивление, вызванное нормальными силами.
В случае неустановившегося движения можно определить
подсасывающую силу, действующую на передней кромке крыла;
как показано в главе VII. Отметим, что эта сила возникает только
тогда, когда на передней кромке располагается особенность, в на-
шем случае — дискретный вихрь. Из соотношений (7.66) следует,
9.
ИИ
что коэффициенты Cy, Cr”, сх би т. п. для крыла весьма малого
удлинения будут отсутствовать.
$ 7. Коэффициенты аэродинамических производных
прямоугольных крыльев при М — Ти р* — 0
Как следует из главы У, задача об определении коэффициентов
аэродинамических производных характеристик несущей поверх-
ности в сжимаемой среде при р* — 0 сводится к соответствующей
задаче для преобразованного крыла в несжимаемой среде.
Если основное поступательное движение крыла происходит
с числом М —1, удлинение преобразованного крыла Ам =
= V1 — М? стремится к нулю. В этом случае, как показано выше,
задача в рамках линейной теории может быть решена точно. (Во-
прос о применимости линейной теории при числах М, близких
к единице, здесь не рассматривается.)
Заменим преобразованное деформирующееся крыло с Ам — 0
непрерывно распределенным вихревым слоем ¥ (х, 2) и присоеди-
ненным дискретным вихрем Г, (2). Напряженность дискрет-
ного вихря и вихревого слоя представим согласно (5.48), (9.59)
в виде.
Py = ам [Pind + (Гм + МАГ) 6+ |
+- Гб + (Гм + МАГУ | 6 |
ИР 655
Ум = Мом 5 fers + GH +M Avi) о
мб + (vot + МА) 6 |.
Следуя методу § 4, получим при p* — 0 систему уравнений для


280 НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ [Гл. 1Х
определения неизвестных аэродинамических производных цир-
куляций. Для всех искомых значений ГИ, YM, «++, Ум, кроме
АГЗм, AT shy, Ayu: И АУМ, получим уравнения, ‘совпадающие
соответственно с системой (9.62) и (9.63). Для определения по-
следних циркуляций будем иметь аналогичные системы уравнений,
но с правыми частями, определяемыми соотношениями (5.29).
Итак, будем иметь






1 12 1
bof $ Ja
dATS,/dz — dAy®,/dz —
| Pid? dz +. \ СИМ С Ем =
20 —2 20 —&
— —172 —
Ofs (Eom > 20)
= 2m OM Eg? | (0.96)
; |
dA ald > АИ |
| 2 — 2 - || =? dz diu =
—1 — 1/2 -
== Элёом/ь (Eom, 2).

Решения этих дополнительных систем уравнений находятся так же,
как ив $4, и равны
se 0 (—1/2, 2)
| И!—2 — 2 м _ бы i





dz,

АУМ (Zo) =
АГ (2) = te Fi
921 (Eom > 2
| ye = а
рута
—2

‚ (9.97)


И Vine ip.
АГ2м nat | | 4 [ ae /2, 2). a
—z






$7] ПРОИЗВОДНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КРЫЛЬЕВ ПРИ М + Тир
*>0 28]
Аналогично тому, как это было сделано в $ 5, из (9.97) нетрудно
получить решения для циркуляций при движении крыла как
твердого тела, а именно
aré =/V1—2, ду = —2/1—2,
Ам 1 И a po
Aree = MGV тЫ, Ayes — MGV 1 —2,
Ares = — SV 1—2, Aye = 48, V1 —2.
‚ (9.98)

/
Вводя коэффициенты аэродинамических производных по формулам
(5.54), получим




ao лАм -& _ МАМ в Ам
СУМ — 5, CyIM = 59°, бум = — 9’,
Oo, ЛАМ @ o
Сум => Сум ==СуЗм = 9,
дл :
oA M a a
тгм = 4? MziM = Ш22М = 0,
© TAK 6 Tha @ ЛАМ
тгМ = — 8, mim = — 54, т.Зм = 54
2 ® 2 e 2
©, _ ЛАМ oe | __ ЛАМ Е _ ЛАМ
Mm = — бд $ МЛ = — “Eg > \ПЫМР = EG
Если начало координат расположить на передней

1
} (9,99)

кромке
крыла, а поперечный момент и угловую скорость 92, отнести со-
ответственно к размаху / u 1/2, то, используя формулы пересчета
(1.69), (1.82), будем иметь






| (9.100)

22
Сум =p» CyIM =p» Сум = — 5,
©, __ ЛАМ oO, TAN ©, _ ЛАМ
Сум =~ Сим = до, бум = —-ч
тгм = 0, Mim = — 4 › Mmz2M = 4,
(п TAK ® NA @ ЗАМ
т.м == — 4, mim = — 6”? mM = 6”?
@ TAM ( o IU (, @ ] л
mim — — 30 › mim 1 — — 16? fn. tM 2 — 16°
Формулы (9.99), (9.100) получены при условии Ам =
ki — 0.
В случае, когда М < 1, они являются точными для прямоугольных

589 НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ И ИЗВЕСТНЫЕ РЕШЕНИЯ (Гл. 1X
крыльев предельно малого удлинения (^ — 0). Подставляя
в (5.54) значения (9.100), получим для прямоугольного крыла
любого удлинения А при M— |

o tA a TA
wT a i
© A @ TA
си = Cy =
a дл
т = 0, тг = — >, (9.101)
o, лА O, tA
Nm =, =,
о tho =.
т» = — 35, ТГ = — TE"

ГЛАВАХ
ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА ЭВМ
$ 1. К выбору положения вихрей
и контрольных точек
В первом параграфе главы ГУ была описана вихревая модель
схематизированного летательного аппарата. Однако там не были
даны конкретные положения присоединенных вихрей и контроль-
ных точек. Укажем способы
выбора этих положений.
Рассмотрим на вихревой модели летательного аппарата
(рис. 4.1) в какой-либо зоне = полосу, лежащую между рир — |
сечениями. Безразмерную
координату передней кромки
в сечении р обозначим §op,
задней — &,,. Относительная
хорда сечения, очевидно,
будет
cb
bp = = = Exp— bop (10.1)
Разделим полосу на п ячеек.
Для этого каждую хорду
полосы делим на п частей
точками (рис. 10.1, а) е коор-
динатами
р — Sop +
Boa = ра + (0.2)

у =0, 1, 2 hess fl. |




Hp
vir
"Л у






а)

Рис. 10.1. К выбору расположения вих-
рей и контрольных точек: а) неравномер-
ная, 6) равномерная схемы.
Соединяя точки с одинаковыми значениями у, получим линии,
на середине которых, кроме передней и задней кромок, распола-
гаем контрольные точки (кружочки на рис. 10.1, а).

984 ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА ЭВМ (Гл. Х
Таким образом, координаты контрольных точек определяются
соотношениями
Ш => > (Eye + урл) = > (Cop + Eop-t) +
+ + 6, + 6 ps1) (1 — cos =) ’ |
\
(10.3)
р -1 =F bot toh
=: 1, 2... .й—1; p=1, 2,...,N.

J
Определим теперь’ положение дискретных. присоединенных
вихрей. Для этого разделим хорды сечений (, и б,_; точками
с координатами
Бы (1—cos Г я), a
=~ (1 —cos B= 1 п), | (10.4)
ul, 2 yeast
)

Suki =

Точки с одинаковыми п выбираем за концы дискретных вихрей;
В результате для безразмерных координат середины присоединен-
ных вихрей, соединяющих точки p, Ки p, А — 1, их размаха |
и углов стреловидности tg хи_1, будем иметь
| l |
ea x (Eur + Eue—1) => (Bor + Eor—1) +
los > 2и — 1
я (Е + о — cos п),
Che = 5 (Cue + быв), |
_ ) | (10,5)
lee = > = ue — Sues -

te ye i= pee, и =1,2,..., п;
k=l, 2,..., М.

].
При. данной вихревой ‘модели. вихри и контрольные точки рас-
полагаются в полосе неравномерно (см. рис. 10.1, а), сгущаясь
к передней и задней кромкам полосы. Такая неравномерная
схема расположения вихрей и. контрольных точек, как будет пока-
зано. в - -$ 2. ‚обеспечивает при. заданном п наибольшую. точность
расчета при. наличии - особенности.на передней границе. панели:

6 1) К ВЫБОРУ ПОЛОЖЕНИЯ ВИХРЕЙ И КОНТРОЛЬНЫХ ТОЧЕК 285
В практику расчетов была внедрена более простая, равномерная
схема расположения вихрей и контрольных точек [1.12], [1.14].
При этом способе хорды 6, иб,, полосы делятся на п равных ча-
стей (рис. 10.1, 6). Каждый из полученных отрезков в свою оче-
редь делится на четыре равные части. Точки, лежащие на 1/4
длины каждого отрезка, считая от его верхней границы, принимаем
за концы дискретных присоединенных вихрей. Контрольные точки
располагаем посередине линий, соединяющих точки, лежащие на
3/4 длины отрезков от.его верхней границы.
Итак, при равномерной схеме координаты контрольных точек
будут
|
1
Ут

Бур—1 = — > (bop + Eop—1) + + 6, + 6—1),
, | (10.6)
vp—l =~? ~ (Cup — Cvp—1),

в p=1,2,..,,N. | ..
Положение середины присоединенного вихря, его размах и угол
стреловидности при равномерной схеме определяются формулами


»—+
gee 1 = > (tos +- Eox.-1) + —s— * (5, + be_1),
Che == (Cur + Cur —1), has = Cur-1— Cue,
| (10.7)
ь (Еок-1 — бое) ПЕ = Gans — bp)
Г
tg Хр = Cuk-1 — a ’
ul, 2,.5., +1; k=l, 2,..., №.

При равномерной схеме вихри и контрольные точки в каждой
полосе расположены на одинаковых расстояниях друг от друга
(см. рис. 10.1, 6). При этом последний (п + 1) вихрь лежит за
задней кромкой, но его интенсивность принимается равной нулю
(см. $ 4 гл. IV).
При равномерной схеме суммарные коэффициенты подъемной
силы и моментов определяются практически с той же точностью,
что и в неравномерной. Интересно отметить, что в случае стацио-
нарного обтекания ‘пластины бесконечного удлинения равномерная
схема дает точные значения подъемной силы и продольного. мо-
мента при любом числе вихрей п [1.38]. Однако при равномерной
схеме снижается точность определения нагрузки вблизи передней
кромки несущей поверхности и, следовательно, подсасывающей
силы.

286 ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА ЭВМ Гл. Х
$ 2. О сходимости решения в методе
дискретных вихрей
~
В § 1 главы [X было показано, что задача определения обте-
кания крыла-пластины бесконечного удлинения сводится к реше-
нию сингулярного интегрального уравнения (9.12). Решение его
численным методом «дискретных вихрей» в настоящее время ис-
следовано для функций, ограниченных на одном конце отрезка
интегрирования и неограниченных на другом, неограниченных на
обоих концах, ограниченных на обоих концах. Объем и математи-
ческая специфичность этих исследований вынуждает в качестве
примера ограничиться изложением результатов, относящихся
к первому из трех перечисленных случаев.
Следуя И. К. Лифанову, Я. Е. Полонскому и И: Я. Тимофееву,
рассмотрим действительное сингулярное интегральное уравне-
ние первого рода
b
[ vO) F (x, x) dx =F (x), (10.8)
в котором ядро F (хо, x) обращается при х = Xo в бесконечность
первого порядка. Представим (10.8) в виде

b
по dx = Но) (10.9)
где
К (д = — %) F (%, *). (10.10)
Сделаем следующие допущения.
1) (хо) на отрезке [а, 6] удовлетворяет условию Гельдера
Н (©) с показателем @, т. е. для любых X, и х., принадлежащих
[а, 6], выполняется неравенство
|1 (%2) —F(x)|<A|x.—x|%, А=соп > 0, 0<a <1. (10.11)
2) К (хо, x) удовлетворяет условию H (a) по х, их в области
% Хо, Х <b.
3) y (х) — искомая функция, которая отыскивается в классе
функций, ограниченных при x = b и неограниченных при x= а.
Эта функция в окрестности x = а - 0 представима в виде

v@) = Ee, O<x<I, (10.12)
где (x) удовлетворяет условию H (a) на [a, 6].

$2] О СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЯ В МЕТОДЕ ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ 087
Представим уравнение (10.9) в виде


b b
бах ГЕ X) y (x) dx = @ (Xp), (10.13)
где
Вх x) = AG Е. (10.14)
Будем считать, что К (хо, x) # 0 при а < х < В (уравнение нор-
мального типа), и применим метод р егуляризации [1.47]. Уравне-
ние (10.13), имеющее при условиях 1—3 нулевой индекс класса,
эквивалентно, в смысле разыскания решений, уравнению типа
Фредгольма второго рода
; |
$ (Xo) — = | М x) p(x) ах =
а


= х—а Q(x) | :
= ПЕТЬ (10.15)
Vx t—a R(t, x)
№» x)= Vstve SOS at,
При хо = 6 из (10.15) находим
М (х, x)=0, y(b)=0. (10.16)



Следовательно, решение сингулярного интегрального уравнения
(10.9), ограниченное при х = 6, с необходимостью обращается
в нуль при x = 6. В задачах аэродинамики, которые математи-
чески описываются уравнением (10.9) и условиями 1—3, соотно-
шение (10.16) означает, что в получаемом решении автоматически
обеспечивается выполнение постулата Чаплыгина Жуковского.
Если в уравнении (10.9) ядро К (хо, x) = 1, то получаем син-
гулярное интегральное уравнение Коши
pat VO) хх), (10,17)
Хх —№
В этом случае из (10.14) и (10.15) находим
R(X, x) =0, М (хо, x) =0,

288 ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА ЭВМ (fa. Х
и единственным решением уравнения (10.17) будет
V= —a f(x)
$ (%) = — = х И Ve dx. (10.18)
Вернемся к уравнению (10.15). Заменяя в нем функцию y (x)
функцией Yo (x) по формуле
y (x) = a ae (10,19)
—a’



получим

Yo (Xo) — = | п (хо, x) т = dx =
a



b
| —a $(х)
уе 22 dx, (10.20)
rye -

п (жи, x) = ия | VS so dt, (10,21)
Делая еще одну замену переменной ` |
T=1(x) =2V x—a,
перепишем (10.20) в ‘виде
2 Ура | —
Yo (то) — = | п (T, 1) о (т) dt = (т), (10,22)
0
где.

—a R(t, x) x)
fh (о, т) = УЕ - Fax, as
words) | пы
1 x—4 P(X) |
Ф (%) = УЕ а,
%=2Уж— а.







$2] O СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЯ В МЕТОДЕ ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ 989
Интегральное уравнение (10.22) есть уравнение Фредгольма вто-
рого рода, в котором ядро и правая часть — ограниченные функ-
ции. Следовательно, решение этого уравнения существует и яв-
ляется единственным. Поэтому уравнение (10.15) и эквивалентное
ему, в смысле отыскания решений, уравнение (10.9) имеет решение
и при этом единственное.
'Аппроксимируем интеграл Коши (10.17) квадратурной формулой
прямоугольников. Разделим отрезок [а, 6] на части точками
Xq = <... < <I, !
[Хил — Xp | == | Хил — Хи | = A, и =0, 1,...,n—2Q,
b—x, <A, и точка х = С делит пополам отрезок [x,, xy],
на котором она лежит, 0 «уп + 1.
Рассматривая интеграл Коши
b
7 (x)
ив ax, (10.24)
a .
в котором функция ¥ (x) удовлетворяет условию Гельдера Н (<),
0<а< 1, для хЕ la, 6], и соответствующую квадратурную
формулу прямоугольников
У (Xp) h
Xy—C
можно получить оценку
b n
еее Nac } ‚| caer Е +=0-—5 +
эт Ah 41y(C)|Jo—a
+IneVY2n+1 |+ са Чье! (10.25)





Рассматривая интеграл Коши (10.24), в котором функция
} (x) удовлетворяет условию (10.12), и учитывая (10.25), можно
получить оценку
b n
Ф (x) Ф (ху)
Ах — У й| =
J (x.— a)” (x —C) > (x, — а)” (xy — С)
в в Аа [oe 1 -+=а= a} +
тети" + | Аа) НЙ (10,26)
| Xp — C |! а| [6







где
М = тах |ф (х)| для хЕ а, 5],

590 ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА HA ЭВМ [Гл. Х
А(ь—) — константа условия H (a) на отрезке [4, 5], x = 4 при-
надлежит [а, С] и обладает свойством, что на [а, 4] функция
ф (х)/(х — a)* (x — С) будет монотонной.
Рассматривая, наконец, интеграл Коши (10.24), когда y (x)
удовлетворяет условию (10.12) и разбиение отрезка [а, 5] есть
равномерная расчетная схема (см. $ 1) численного метода «ди-
скретных вихрей», можно, учитывая (10.26), получить оценку
b n
vO) ge Ут
fx Xov Хр — Xoy
Га и=1
М 2—х 1-х
h
~~ [Xp —Xoy| 1—x +
[12] =




+ 4Ao-ah" [5 [1 + == + ше Уи 1} +
А х —
| | (6—4) -- ae а | |. (10.27)



Xn — Xoy [1 Хоу — а [6-1 — Хоу |
Заметим, что если рассматривать только те точки х„„ которые
лежат на отрезке [а + в, 6], где = — некоторое фиксированное
положительное число, то
|v (xov) | = Be, Аба SAe, |м— Xpy | Se
и оценка (10.27) будет
М 2—% 1.
[179 = тн АИ" [5 [1 +—— |+
a (&— 1)


+IneV2nF1}+ [A,+ №. (10.28)
&
Следовательно, для точек хо, Е [а +8, 6] имеем
17| <0 (A) + 0 (и* IneVn +1). (10.29)
Из оценки (10.28) или (10.29) следует, что квадратурная формула
прямоугольников |
(хи)
a Хи — Xov
при. неограниченном увеличении п равномерно сходится к сингу-
лярному интегралу |

b
| 7 (x) dx
x — Хоу
а
для всех точек ху Е [а - в, 6].
Рассмотрим решение сингулярного интегрального уравнения
(10.17) при условиях 1—3 численным методом «дискретных

6 2) О СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЯ В МЕТОДЕ. ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ 291
вихрей». Придавая в этом уравнении параметру Xo значения хе,
v=l1, 2,..., п, будем иметь
b
[A ax = Иж, Vol, 2,...,П, (10.30)
и заменяя интеграл квадратурной формулой прямоугольников
Fain = И) Ver], 2,..,,П,
и=
и разделив обе части Ha A, получим

и = oe, у=1,2,..., п, (10.31)
pol '
Таким образом, получим систему из п линейных уравнений
(10.31) относительно п значений искомой функции y (x), причем
значения xX, и хо, берутся в соответствии с равномерной расчет-
ной схемой метода «дискретных вихрей» по формулам (10.6) и
(10.7).
По правилу Крамера находим
Y (1a (xoy)
A =
vty) =e = = ; (10.32)

где A‘) — определитель системы (10.31), а определитель AY)
получается из A‘) вычеркиванием в нем и-го столбца и \-й строки.
Определитель A вычисляется по известной формуле
П @т— хр) (жр— хот)
AM) — 575 р&и (10,33)
п
Il (%.— Xop)
Mm, p=!

Отсюда следует, что
П (%m— xp) П (—xom ++ xop)

rem <pen lem<p<n
п тп, D#V ’ Vv
Ayn = Teh ery meee » (10,34)
I] (Xm — Хор)
т, р==1 . .. .

292 ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА ЭВМ [Гл. Х
Из (10.32) с учетом (10.33), (10.34) и замечая, что хи = Жи —
h m= 1, 2, ..., п, получаем




—>
p—l г
V(ty) = — 5 Г] [1 ea [] [1 + on х
p=1 p=p+l
п wv—l
x У [| [1 + oe *
v=l1 p=
x [] [1 _ У — h. (10.35)
p=v-+1
` Рассматривая теперь вложенный в [a, 6] отрезок [a + в,
b — 6], ге з иб — фиксированные положительные числа, можно
показать, что на этом отрезке произведение
и—1 п
Пр 5 =a | || я (10.36)
p=1 p=p-+l1


равномерно приближает функцию
2 a een b— xy (10.37)

а вне указанного отрезка ошибка является величиной ограничен-
ной. Далее доказываем, что для x, С [а + в, 6 — 6] при n— oo
величина ¥ (и)



п v—l
h
= У, | [1 т И *
v=1 p=
Г h Ё (хоч)
x [| | о-в Хоу = tn fh (10.98)
p=v-+1

b
|2 toma 9) ayy. (10.39)
а
qt b— Xp № — Хи

$ 2]. О СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЯ В МЕТОДЕ ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ 293
Итак, значение y (х„), найденное из решения системы линей-
ных уравнений (10.31), сколь угодно мало отличается от
| 6 — хи Хоу —@ ff (Xqy)
м ра ХИ я — ty и (10.49)
для всех точек x, Е [а +в, 6 — 8], а эта сумма (10.40) равно-
мерно сходится к значению
Щи БИ [УЕ г) gy
b— Xo № — Хи


которое является, как это следует из (10.18), точным и единствен-
ным решением сингулярного интегрального уравнения Коши
(10.17). Из (10. 40) также следует, что при x, — 6 соответствующее
значение искомой функции y (х„) будет стремиться к нулю, т. е.
это численное решение обеспечивает‘ выполнение условия Чап-
лыгина-— Жуковского.
Перейдем теперь к рассмотрению сингулярного интегрального
уравнения (10.9) при условиях 1—3 и равномерной расчетной схеме
дискретных вихрей. Представляя уравнение (10.9) в виде (10.12),
имеем, что это уравнение эквивалентно в смысле разыскания реше-
ний в классе функций, обращающихся в нуль при х = фбив бес-
конечность прих = а, уравнению типа Фредгольма второго
рода (10.15).
Для каждой точки ху, v= 1, 2, ..., ий, уравнение (10.13)
будет
b
b
| V (x) -dx + | & (ov, x) y (x) dx =Ф (хо), Vol, 2,...,2. (10.41)
Xx — Xoy
Заменяя в системе сингулярных интегральных уравнений (10.41)
интегралы квадратурными формулами прямоугольников, получим

a =_= A+ У R(Xoys Xu) 9 (хи) = Ф (Xoy)- = (10.42)
p= и=1
Разделим все члены (10.42) на h и изменим во второй сумме индекс
суммирования ци на т:
п

¥ (xp) = 2G) — Уре, Xin)? (im) v== 1, 2,...,7. (10.43)
Ли — Xo
и=1 и v m=1
Разрешим систему (10.43) относительно неизвестных y (X,), стоя-.
щих в Левой части. Для этого можно воспользоваться формулой:

994 ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА ЭВМ (Ta. Х
(10.35), заменив в ней ] (Xo,) на ф (хо) — Xe (Хи, Xm) AY (Хм).
В результате получим









и—1 п о
ты == | | = a | = х
=! p=p-+l
п v—l n
. У, пы + к | | 2 1 Cn i
v=1 p=l р=\-Ы
p—l п
[я] ПП +] *
=1 р=и-1
п \— к
x VIII [1 te] Г] яз *
v=1 р=1 p=V+1
| у Ё (Хо» Xm) hY(Xm)
x m= Toy = h, (10.44)
u=1,2,..., п.
Из предыдущего следует, что (10.44) можно переписать в виде
| b— xy = —а A ow Xm)
Vw) — a у =p) nar: v— Я at Un) =
m1
_ _ b—x Xoy— A P(Xoy) у
— V = у Ve oy = Mi A+B (tu, п),
о... (10.45)




где В (x,, n)— 0 равномерно для всех х,Е la +e, 6 — 6]
при p — oo HW (п — |) > ©.
Следовательно, при x, С [а +e, 6—6] уравнение (10.45)
при И — со равномерно стремится к уравнению (10.15), дающему
точное решение сингулярного интегрального уравнения (10.9)
на отрезке [а + ¢, 6 — 6]. Уравнение (10.15) является ния eipane
ным уравнением типа Фредгольма, для которого известно, что ре-
шение системы (10.45) дает приближение с любой точностью к истин-
ному решению уравнения (10.15).
Таким образом, доказано, что численный метод дискретных
вихрей при равномерной схеме расположения вихрей и контроль-
ных точек (см. $ 1) при числе вихрей п — со дает точное решение

$2] 0 СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЯ В МЕТОДЕ ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ 995
сингулярного интегрального уравнения (10.17) на всем отрезке
интегрирования, кроме его концов. Отсюда следует, что с увели-
чением числа вихрей точность определения их напряженности
увеличивается, кроме вихря, ближайшего к передней кромке.
Аналогично рассмат-
риваются уравнения и yd
при других граничных
условиях на концах от-
резка [а, 6]. |
Можно показать, что
при неравномерном со-
гласно формулам (10.3), a
(10.4) — расположении 4 А
вихрей и контрольных е 2
точек решение числен- о
ным методом при п — со \
равномерно стремится \
к точному решению zy
уравнения (10.17) на
всем отрезке интегриро-
вания, включая и его
концы. Таким образом,
при неравномерной рас- ›„
четной схеме точность “
определения напряжен-
ности первого от перед- oN
ней кромки вихря уве- “К.
личивается. | o_o
Ниже приводится № =
сравнение точных реше- a
ний вблизи передней
кромки интегрального
сингулярного  уравне-
ния для циркуляцион-
ного (рис. 10.2), бе- @ Ole G04 GUE
ударного (рис. 10.3) Puc. 10.2
и бесциркуляционного цей’ к ть иена
(рис. 10.4) обтекания Кривая — точное решение, треугольники —
крыла А, = со С COOT- неравномерная сетка, точки — равномерная.
ветствующими числен-
ными расчетами, полученными как при равномерном, так и
неравномерном разбиении хорды крыла на панели. Видно, что
неравномерный согласно формулам (10.5) и (10.3) выбор точек &,,
определяющих положение вихрей, и &,, определяющих контроль:
ные точки, позволяет несколько точнее определять значения рас-
пределенной циркуляции y (x) вблизи передней кромки, когда

>


















о

om




























296 ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА ЭВМ [Гл. X






























yey”
10 =
==”
08 На 1-й
ra a QS 20
06 7” e 20
Wo o 0
04 4 о Я
д
‘ath
a
6 002 Wh 006 Е
Рис. 10.3. Вихревая плотность вблизи передней кромки при безударном входе,
Кривая — точное решение, треугольники — неравномерная сетка, точки — рав-
































номерная.
Ay@
д n=l
А a 20
e 2
| е 9
20| a
\
A
10 ov
: ats.
| ТЗ
“3 =r on
0 002 004. 0% 2¢€=€€
Рис. 10.4. Вихревая плотность вблизи передней кромки при бесциркуляцион-
ном обтекании. Кривая — точное решение, треугольники — неравномерная
`. сетка; точки — равномерная. .

$3] ОБОСНОВАНИЕ ПЛОСКОЙ СХЕМЫ ЧИСЛЕННЫМ ЭКСПЕРИМЕНТОМ: 997
на ней циркуляция обращается в бесконечность. Различия в ре-
зультатах расчетов суммарных коэффициентов подъемной силы
и продольного момента по обоим методам незначительны и ими
можно пренебречь.
В том случае, когда особенности на передней кромке отсут-
ствуют, например при безударном входе, точность определения Ha-
грузок вблизи передней кромки одинакова для равномерной и не-
равномерной расчетных схем. Опыт применения обеих схем
показал, что неравномерную схему целесообразно применять при
расчете обтекания рулевых поверхностей.
В заключение следует сказать, что сходимость метода дискрет-
ных вихрей к точному решению интегрального уравнения Коши
строго математически доказана пока для плоского течения.
Большой интерес представляет аналогичное доказательство для
пространственного случая.
$ 3. Обоснование плоской схемы численным экспериментом
Одним из недостатков расчетной схемы, в которой летательный
аппарат схематизируется плоскими элементами, является не-
точность моделирования течения вблизи стыков крыла с фюзеля-
жем. Здесь граничные условия сносятся с фюзеляжа на плоскость
симметрии Охг. Погрешность будет тем больше, чем больше от-
ношение диаметра фюзеляжа D к размаху крыла [ и чем ближе
сечения крыла z = const к месту стыка. Чтобы выявить указан-
ную погрешность, изучим обтекание крыла, когда оно находится
вблизи бесконечного кругового цилиндра. Граничные. условия
на нем удовлетворялись приближенно, с помощью зеркально
отображенных вихревых систем.
Аэродинамические характеристики крыла в присутствии кор-
пуса изучены при разных отношениях 0/1. Рассмотрен диапазон
изменения указанной величины от О/[ = 0 (изолированное крыло)
до D/t = 0,5 (размах выступающей части полукрыла 1/4 равен
радиусу цилиндра). Производные суммарного коэффициента подъ-
емной силы крыла су отнесены к площади крыла с подфюзеляжной
частью, а сечений крыла с” — к местной хорде его. Координаты
центра давления xX, д Иего сечений X,, д даются в осях координат,
указанных на рисунках.
Суммарные характеристики во всех рассмотренных случаях по
плоской схеме получаются довольно хорошо. Распределенные опре-
деляются хуже, особенно вблизи корневого сечения и при D/l =
= 0,5. Здесь следует точнее моделировать корпус, однако это вы-
ходит за рамки изучаемой простейшей схемы. На рис. 10.5 при-
водится сопоставление результатов расчета коэффициента подъем-
ной силы сечения прямоугольного крыла A = 2,5 с цилиндричес-










































208 ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА ЭВМ (Tn. Х
© : e |
\ се ° ~ = § 00
РУ ee ee ee 2
YS Ч
ых
1 БК
2 Ji 2 SAN
| RNY
< ++ [= \
Яд
к
a 6 а a
` “=,
0,1 ыы
И U2 04 OO 189 2=2/
Рис. 10.5. Подъемная сила сечений прямоугольного крыла A == 2,5 с корпусом
различного диаметра. Линии — расчеты с бесконечным цилиндром, точки — с
соответствующей плоской пластиной (с хордой, большей 20 хорд крыла).
















































® РТ
a “| 27800 |
4
10 1 >} D =
\ —_ 47,
8 iN 068 | к= 7 | Z
ma
\
4 AK a
RAL [lz
р N06 | ol
an? eee ——— pm
] 0,2 04 0,6 08 5 (x-a,//h’
Рис. 10.6. Нагрузка в различных сечениях прямоугольного крыла A = 2,5
с цилиндром Р// = 0,25. Линии — расчет с бесконечным цилиндром, точки —
с пластиной.

$3} ОБОСНОВАНИЕ ПЛОСКОЙ СХЕМЫ ЧИСЛЕННЫМ ЭКСПЕРИМЕНТОМ 999
ким корпусом различного диаметра по двум схемам: бесконечного
кругового цилиндра и соответствующей пластины. На рис. 10.6
даны результаты расчетов нагрузки в сечениях прямоугольного
крыла A = 2,5 при отношении О/{ = 0,25, а на рис. 10.7 зависи-
мость коэффициента подъемной силы и центра давления крыла
от отношения D/l. Аналогичные материалы для треугольного
крыла A = 2,31 приводятся на рис. 10.8—10.10, а для стреловид-
Horo cA = 3, х, = 60°, yn = 2,5














даны на рис. 10.11—10.13. На oy | | D =
рис. 10.14 приведено расчетное ~N | И 4
распределение по размаху коэф- 297
фициента подъемной силы сечений SS
изолированного крыла, крыла Ha 24 Pot | RLS
бесконечном цилиндрическом кор- N 7 ae
пусе и Ha плоской схеме. 20
Другим важным фактом яв-
ляется то, что в линейной теории 16 <
не учитывается сворачивание вих- No

ревой пелены. Присоединенные 17},
и свободные вихри при принятой
схематизации летательного аппа- рр
рата лежат в плоскости Oxz.
Нелинейная теория крыла [1.34], pul,
[1.44] позволяет учесть влияние "| '
сворачивания вихревой. пелены |
и другие нелинейные эффекты 0 01 02 Os 04 Dil
на аэродинамические характери-
стики. На рис. 10.15—10.16 wane. и; 107. Коэффициент подъемной
сены зависимости от угла атаки ного крыла A = 2,5 с цилиндриче-
коэффициента нормальной силы ским корпусом различного диа-
С продольного момента т, и метра. Сплошные кривые — расчет
и = с бесконечным цилиндром, TOUKH—
координаты центра давления xX, д с пластиной.
относительно носка крыла тон-
ких прямоугольных крыльев малого удлинения (A = 1,5
и 0,5), полученные расчетом по линейной и нелинейной тео-
риям (без носовой вихревой пелены). Как видно, при a = 0
значения си, тг HX, д В том и другом случаях совпадают. Диапа-
зон углов атаки, в которых данные линейной и нелинейной теорий
близки друг к другу, тем больше, чем больше удлинение крыла.
Эффект сворачивания вихревой пелены может сказаться осо-
бенно сильно у летательного аппарата нормальной схемы на ра-
боте горизонтального оперения. На рис. 10.17 приведены резуль-
таты расчетов подъемной силы и продольного момента схематизи-
рованного летательного аппарата по линейной и нелинейной тео-
риям. Из них видно, что в достаточно широком диапазоне углов




































































by Dh
Pa + —— fas
7 “A --- 08
| > J 05
| Пе 0%
я о 07
НЕД
"М
, LF im
. |
ру
80 а т
| © > Spor 4 oe
| Loe To | ; |e Le
2 a rT ЕР | |
| ее” «РТ
Hab 5 Te] eo
04 4 Г TS °
0 02 04 дб 08 2
Рис. 10.8. Подъемная сила сечений треугольного крыла A = 2,31 с цилиндри-
ческим корпусом различного диаметра. Линии — расчеты с бесконечным ци-
линдром,
точки — с плоской пластиной.










































Рис. 10.9. Нагрузка в сечениях треугольного крыла A= 2,31 с цилиндри-
ческим корпусом D// = 0,25, Линии — расчет с цилиндром, точки — с пластиной.
pe
0 т Z
14 <i
| \ м
27056
a | |2
- 104 .
< ~ Hh 1
8K aS
6 ™
| \ |068 | tN
СХ ew
2 = a oN
о ЕЕ IN
№ 2 Е =
0 02 04 06 09 5 =(L-Dy)/ bY



$ 3] ОБОСНОВАНИЕ ПЛОСКОЙ СХЕМЫ ЧИСЛЕННЫМ ЭКСПЕРИМЕНТОМ ‘301
атаки сворачивание вихревой пелены мало сказывается на харак-
теристики аппарата.
С точки зрения обоснования предложенной схематизации лета-
тельного аппарата представляют интерес материалы, опублико-
ванные в статье [1.29]. В них сравниваются аэродинамические
производные круговых конусов, полученные экспериментально и
расчетом по линейной теории для соответствующих треугольных






























































yD | .
art ох 2 Cy \B’ ®| ©
Cy Ly, A 7 \ > fl 4.4 : ° e .
| | м
a 22-1. №
$ wen
2 10 W о ~< и = . © |
NA a" D/1
---- 047 ° 087 | \
| № ——U27 © 128 o \
т” — 90 +05)
Я С - ] or
Ws _ 55. |=
aT № о ра
Tit
0 Of O2 Os OF Bh O 2 04 46 18 21
Рис. 10.10. Коэффициенты подъ- Puc. 10.11. Подъемная сила сечений стре-
емной силы и центр давления  ловидного крыла А = 3, Yo = 60°, 1 = 2,5
треугольного крыла A= 2,31 с цилиндрическим корпусом различного диа-
с цилиндрическим корпусом раз- метра. Кривые — расчеты с цилиндром,
личного диаметра. Кривые — точки — с пластиной.
расчеты с цилиндром, точки —
с пластиной.
крыльев при малых дозвуковых скоростях. Указанные материалы
приведены на рис. 10.18—10.22, где через x, обозначена центровка
(положение начала О относительно носка конуса в долях его длины).
Как видно, соответствие результатов расчета с экспериментом
вполне удовлетворительное. ~
В заключение на рис. 10.23 приведем данные по расчету и экс-
периментальному определению подъемной силы и продольного мо-
мента летательного аппарата нормальной схемы. Эксперимент
проводился как с телесной, так и «сплющенной» моделями. Не-
трудно заметить, что экспериментальные характеристики обеих
моделей близки друг к другу, а расчетные данные хорошо соответ-
ствуют экспериментальным.

$ 3] ОБОСНОВАНИЕ ПЛОСКОЙ СХЕМЫ ЧИСЛЕННЫМ ЭКСПЕРИМЕНТОМ 303
Рис. 10.14. Подъемная сила сечений
трапециевидного крыла: J) изоли-
рованного, 2) с бесконечным ци- 1) J) J:
линдрическим корпусом, 38) на |
плоском самолете.













































































Z
1a _^
4 WA CS
| , Е
р РИ IN
a ‘4 -
_— a0 SN 5.
je ose
a4
Lae *
2 ий Ф
0 7.4
02 04 06 00 2=—=
L/é
Cn Р.Д
2-Я.
Г a
04 - и Рис. 10.15. Коэффициенты
| Ll Ly 7 ®
stot Hf нормальной силы, про-
22 +--+ ——г- дольного момента и центр
[.РТ давления прямоугольного
= ‘крыла A= 1,5 в зависи-
= ‚ мости от угла атаки @.
и чи 0 Iq \a@ Сплошные кривые — ли-
и ИИ | нейная теория, пунктир-
“Gl Soest ные — нелинейная.
—
a a
MN, —
Mz
т». 2
| | de
5 77
ts ket ИИ
hee a a ae 7
Рис. 10.16. Коэффициенты (2-Е ЯРАНЯ a =
нормальной силы, про- == = |
дольного момента и центр ЕЯ д № |a
давления прямоугольного НЕЕ х |
крыла A= 0,5 в зависи- =F Ww
мости от угла атаки 9. “01 Piatt
Сплошные кривые — ли. ~s
нейная теория, пунктир-
















ные — нелинейная. Mm,

[Гл. Х
ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА ЭВМ
304
тнэмидэпояе — ихвог “эиэхо иохэоги оп
Lohoed — эччиФУ `о ихеле eri лю шоомиэиа
-в5 Я ЯОЭАНОЯ хчЯолА4я eLHAaWOW олончикопо4и
и чиио иончиви4дон чтнэипиффеоЯ ‘`81°от “oud

Zu
Lo-








































\ II























„= 2 #2
вениэнигэн — эчн4илянАи ‘вкидоэт вен
-WOHHI — эчаидя эчншоиио ‘о ихяеле ви4Д.
LO MLOOWHOMEes Я eLedeuue олончкотгетэх
OJOHHESOdHENLEWOXD BLHAWOW олончгого4и и
MH) иониэчтоп mLHounUdpeoy ‘*/1`01 “oud










































2.
ч В
~
~ Г
“J
POTN. 7.
Is
ra
TSR [-
of Of Г: aM |.
РГ.
eo
: yy 717 [
МА
Ae A
ain
„“
ria
fig
я 0

$ 3] ОБОСНОВАНИЕ ПЛОСКОЙ СХЕМЫ ЧИСЛЕННЫМ ЭКСПЕРИМЕНТОМ 305
тнэмидэпояе—ияво1 ‘эмэхо HOD
-оги оп Lonoed — эчаи4У -яоэдн
-оя хччолАД 20 -- "9 aOLHOM
-иффеоя вохэгпиоя *х uwaod.
-нэп LO члоомизияее ‘*15"0т “Hd

£90 90 40 29 0




































NY 70
№
$ 90
Pt
Gl-PL NL
| м
м
пи п 0
| |
#0
ai
PJ ‘
19
.4/-Р7 —
|
р Bh
20207
*LHOWHCanONE
—HMhOL ‘эмэхо иохэоги оп Lonoed
— эччидУ ‘чоэАнох хчаолАВя го
— 2щ чознэипиффеоя вохэгииоя Ly ИЯ
-€0dLHON LO GLOOWHOMEPES *05’01 ‘эиа










































o 4 ®
f=") о
ton 2 pill
ZA
este 0-
2?
20-
2 рим
q GPE и
и [| i
‘2 90 #7 ТЯ
20) wlll gl
— Г)
ТР 20
Lr
= И)
Bp Fe [| PY
a 9
“2 $0 $0 £0
‘LHOWHdaLOME — HMhOL ‘9W3Xd HOD
Ol оп Lohoed — эчаи4У ‘ияяо4тнатр
10 яоэАноя хччолАДхя ITH) HOHWOLYOL
WOHYOdeHOdL WOMDehHWeHHYodee AOL.
-нэипиффеоя члоомиэичее ‘61°0Т “Hd,




































“2 90 90 40 29 0
20
#0
90
- |
.9-ФР р
OL
9 6 4
| ] |
Е | |
и
“2 90 90 490 oy 0
20
GB? и
‹ 190
| |e
||













[Гл. х
ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА HA ЭВМ -
306
*«HOHHOMOIIoo»
вит (2) ‘ииэпом ионоэиэь вии (Г) слнэпидэпояе
— MMOL ‘эмэхо HOMDOIU Ou Lohoed — weandy ‘вед
-епие олончиогелег етнэмом OJOHIIrovodl и чии>
HOHWedYou ихете ви1А LO чоопизияее *€Z'O] ‘эиа








Zu
D4 ~ у
У
aw _ т
2 ьа
ZO <.
и Ю у №
(2) “ и 0
TA
я











(р (7) WOON 9 я
(1) WEQON © ©
“LHOWHdeloNe — ихьол, ‘ewexd иоя
“DOU ОП 195984 — omandy ‘чоэАноя xe
2. 2
-O1AdM „м + zou чолнэипиффеоя вохэгииох
ly MMGOGLHOM LO члоомизичее ‘55’01 ‘эиа











































ofl" ®
of = 99. о
РТ
>$у1)-
7 7
| A £9-
pa
x 67
po i 21.
Ш .
„47-7 иг
Г
“L G9 #1 Г)
Шао!
РЯ
| le и”
a 77
ии 7
$ of =P tO
L mn
‘2 $9 £0 £9

$ 4) ИССЛЕДОВАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЯ 307
$ 4. Исследование практической сходимости решения
Одним из способов контроля численных расчетов является
исследование практической сходимости решения при изменении
числа присоединенных вихрей п по хорде и N на полуразмахе.
В виде примера приведем данные по сходимости решений для пря-
моугольного крыла A = 1, крыла с двойной стреловидностью при
двух положениях консоли и для схематизированного самолета





7
Г a)
|
|
a)
8)
г]
Рис. 10.24. Форма в плане исследуемых несущих поверхностей.
Ил-18 (рис. 10.24). Начало координат бралось на середине корне-
вой хорды (x, = 0,5), вихри и контрольные точки располагались
по равномерной схеме (рис. 10.1, 6).
Анализ сходимости численного решения проводится с помощью
кривых зависимостей характеристик с, mt: ит, д, отпи М, На
рис. 10.25—10.27 показано изменение величин с“, m2 и т.’ при
увеличении числа вихревых шнуров п в полосе при постоянном
числе полос М. На рис. 10.28—10.31 аналогичные материалы даны
для случая, когда количество вихревых шнуров п в полосе оста-
валось постоянным, а изменялось число полос М на полуразмахе.
Индексация кривых на рис. 10.25—10.31 соответствует индекса-
ции исследуемых объектов рис. 10.24. Следует отметить, что п
uN — целые числа, поэтому приведенные на указанных рисунках
кривые носят условный характер. Аналогичный характер имеют
и зависимости коэффициентов аэродинамических производных
с точками с” при изменении п и №.
Как показывают приведенные материалы, а также данные работ
1.12], [1.14], для определения суммарных величин коэффициентов
аэродинамических производных всего летательного аппарата

tia.
ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ. РАСЧЕТА НА ЭВМ.
308
"(35009 = №) z ош
oiAHYogenodu ен и чодАнш х1чаэ4
-XH@ егоив эинвиия ‘*/5‘0Т “Hd
2.
gall

| N
(700)
(2)


ны














"(sod = М) Zu оАн
-YoasHodu ен и aodAum xiaaod
-хия егоиь эинвига ‘95“01 “Od
- *(ysuod = №) по АН
-YoasHodu ен и godAum  xiaaod
-хия екоив эинвигЯ ‘с5*0т ‘эиа






















0
/[
















Us

309
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЯ
6 4] we
*(ysu0o = и) yw
oidHYodsHodn eH М SOIrou
еиоив эинвикЯ “[E°O[ “Hd
170)
|

2 | aA















‘(45002 =) 27m "(15109 =) 29
oiAHYogenodnw ен AY эоикоп
егоив эинвииЯ *85°01 “Hd
"(35409 = и) 2ш
оАнИоя5ио4и вн М эоионп
вгоиь эинвииЯ *65*01 ‘эиа
оАнНПоя5ИО4и ен М эоконп
егэиь эинвииЯ °08*01 ‘Od
ID),








И



(2)




































7
]/










310 ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА ЭВМ [Гл. Х
обычно бывает достаточной вихревая модель с числом вихрей п =
= 8--10 в полосе и N = 12-15 на полуразмахе. Из рис. 10.31
можно сделать заключение, что при больших удлинениях крыла
особенно велико значение разбиения летательного аппарата на
полосы М при вычислении т„^, В этих случаях число М жела-
тельно увеличивать до N = 15-20.
Наиболее неблагоприятный случай, когда необходимо брать
большое число вихрей и по хорде и по размаху, имеет место при
oft



om
>

—
Bo



=
—














06
© ДрямПИРОЛЬНЫе КЛМЛЬЯ
| А ПДВУРАЛЬНЫЕ
в e cmpenobubnte

[To meopeme поличества ВВИНЕНИЯ
ied :
<

>
So



















OD 02 04 06 08 0 1 Meg
Го первому бихрю
Рис. 10.32. Коэффициенты аэродинамической производной подсасывающей
силы CO” крыльев.
расчете коэффициента т. стреловидного крыла большого удли-
нения (рис. 10.30). Это обстоятельство следует учитывать при рас-
чете характеристик летательных аппаратов с такими крыльями,
Вихревая модель летательного аппарата (т. е. число вихрей nN),
используемая для расчета коэффициентов подъемной силы и
моментов, оказывается обычно достаточной и для определения
коэффициента сопротивления Ac,, вызванного нормальными Ha:
грузками. Это справедливо также и при расчете индуктивного со:
противления с подсасывающей силой Ас, при установившемся
движении, если он производится по теореме количества движения
(см. $ 7 гл. УП).
В тех случаях, когда определяется коэффициент подсасывающей
силы со по формулам (7.70), неравномерное расположение вихрей
(см. рис. 10,1, а) дает более точный результат, На рис. 10.32 даны

312 ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА ЭВМ Гл. X
коэффициенты аэродинамической производной подсасывающей
силы со прямоугольных, треугольных и стреловидных крыльев
разного удлинения. Абсциссы точек рис. 10.32 равны величине
co’, полученной расчетом по циркуляции ближайшего к перед-
ней кромке присоединенного вихря, при неравномерной вихревой
схеме; ординаты равны соответствующей величине, определенной
по теореме количества движения и равномерной вихревой схеме;
прямая соответствует полному совпадению обеих величин. Как
видно, все точки лежат очень близко к прямой. Следовательно,
при неравномерной вихревой схеме подсасывающая сила по пер-
вому вихрю определяется с достаточной точностью.
Форма в плане летательных аппаратов имеет обычно изломы
по передней и задней кромкам. Закон распределения аэродинами-
ческих нагрузок или циркуляций по размаху таких несущих
поверхностей может иметь ряд особенностей. Изложенный числен-
ный метод расчета позволяет учитывать эти особенности, не зада-
ваясь заранее их видом. При этом нужно только так располагать
вихри, чтобы сечения 2= const, в которых имеют место изломы кро-
MOK, являлись границами дискретных вихрей. На рис. 10.33—
10.35 приведены результаты численных расчетов циркуляций Г“,
Г”: и Г“ для крыла переменной по размаху стреловидности
с удлинением A = 6,43 и углами стреловидности по передней
кромке 51) = 72°, y@) = 30° (рис. 10.24, 6).
Из представленных материалов следует, что в сечениях, соот-
ветствующих излому кромок крыла, наблюдается разрыв циркуля-
ций вихревых шнуров, однако суммарная циркуляция по размаху
крыла меняется непрерывно. Из общих теорем гидромеханики
следует, что с крыла не могут сходить бесконечно тонкие вихре-
вые шнуры конечной интенсивности, так как они создавали бы
бесконечные по величине скосы потока. Это привело бы к беско-
нечному сопротивлению крыла, что физически невозможно.
$ 5. Сравнение численных расчетов
с точными решениями
При отработке рациональной методики численных расчетов
большую роль играет сравнение последних с имеющимися точ-
ными решениями для крыльев бесконечного и весьма малого удли-
нения. Рассмотрим вначале крыло бесконечного удлинения. На
рис. 10.36—10.38 приведено сравнение численных расчетов рас-
пределенной по хорде аэродинамической нагрузки с точными
решениями для различных случаев обтекания крыла — пластины
с механизацией. На рис. 10.39 сопоставляются коэффициенты
аэродинамических производных, полученные точно и численным
расчетом при бесциркуляционном обтекании этого крыла без

551 СРАВНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ С ТОЧНЫМИ РЕШЕНИЯМИ 313
















pe eee
р \
5 \
р ® /7=0
[ 00-120
4 va
¥ \.
А. а
ЕЕ aN
у КТ
/e | А,
\























0 Ol 02 OF OF D5 C6 07 06 OI &
Рис. 10.36. Распределение нагрузки Ap по хорде крыла A = со (by = 0,5) при
безударном обтекании. Кривая — точное решение, точки — численный расчет.



















0 02 04 06 08 в,
-] C3
~2 а
[||
-J :








|
[
aj/a











‘Puc, 10.37. Углы отклонения носика крыла Х = со при безударном входе.
Кривая — точное решение, точки — численный расчет. |

314 ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА ЭВМ (Гл. Х


















0 02 04 OG 06 é
Рис. 10.38. Сравнение точных и численных расчетов пластинки бесконеч-
ного размаха с рулем (bp = 0,25). Кривая — точное решение, точки — чи-
сленный расчет, п = 60 (пал = 31, пр = 29).












































Age 0. 4 668 М Bn
46% — Мы “QO
РО О tao -002
\
04 “004+ ~~
« ——
Ame | ИВ ||



0 4 6 te GH a
Рис. 10.39. Расчеты коэффициентов аэродинамических производных Mfa-
стины A = < (x; =,0,5) при бесциркуляционном. обтекании. Сплошные кри-
вые — численные расчеты, пунктир — точное решение. ~
da











у 4 6 1 тп
Рис. 10.40. Коэффициент подсасывающей. силы co крыла А, == со. Сплошная
кривая — численный расчет, пунктир — точное решение.

65] СРАВНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ @ ТОЧНЫМИ РЕШЕНИЯМИ 315

by Va






=

mw







Pd

















G / 4 9 4 AR
Рис. 10.41. Коэффициент су
прямоугольных крыльев.
Сплошная кривая — числен-
ный расчет, пунктир — точ-
ное предельное решение.










> i] - ] 2 д 4 ` A
-0 4 .
А
м
06
ANY
“06
BS
me №












Рис. 10.42. Производная m%
прямоугольных крыльев. Сплош-
ная кривая — численный рас-
чет, пунктир — точное предель-
ное решение (x,=-0).
























oy q
и
и
i
2 ]
Г
ГУ
iL
of
A
Ту
j
1
| .
/ / 2 d 4 A



®
Рис. 10.43 Коэффициент Су?
прямоугольных крыльев при
хх =0 Сплошная кривая —
численный расчет, пунктир —
точное предельное решение.























\
. iN
ad \ \
YIN
Lt 6 w
чи
“40 Pe
my?

Рис. 10.44. Коэффициент m,?
при x,;=0 = прямоугольных
крыльев. Сплошная кривая —
численный расчет, пунктир —
точное предельное решение.

316
ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА ЭВМ






















Рис. 10.45. Коэффициент то
прямоугольных крыльев. Сплош-
ная кривая — численный рас-
чет, пунктир — точное предель-
ное решение.


)
7



S>
Gy
=
Рея




i)
Ss)
a a

_)
— cme
a
















Рис. 10.46. Коэффициент ott
прямоугольных крыльев. Сплош-
ная. кривая — численный расчет,
пунктир — точное — предельное
решение.








7 х
027 X
N43 NS Л
“02 \














@
Рис. 10.47. Коэффициент с?
при х = О прямоугольных
крыльев. Сплошная кривая —
численный расчет, пунктир —
точное предельное решение.





















Og р
\ | VA
_ L
a4 чм:
А О В В +

Рис. 10.48. Производная m%
прямоугольных крыльев. Сплош-
ная кривая — численный расчет,
пунктир — точное предельное
‘решение (x; = 0).
[Гл. Х

$6] КОНТРОЛЬ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ 317
механизации. Сопоставление численных расчетов коэффициента
подсасывающей силы со’ с точной его величиной дано на рис. 10.40.
В последнем случае вихри по хорде располагались неравномерно
(сплошная кривая) и равномерно (штрихпунктирная) согласно
схеме рис. 10.1. Как видно, во всех случаях результаты числен-
ных расчетов как распределенных, так и суммарных характе-
9 WO ристик хорошо согласуются с точ






















































] ными решениями для крыла беско-
нечного удлинения.
Г. Для прямоугольных крыльев
] конечного удлинения численные
/ 1 _/ 2 9 4 д
Ll : ,
ZL
| A VA
/ A
| и AL
Д
U2 A] /
| Д
и и
\ д ра
“7 e wa
l w.
© @
Рис. 10.49. Производная m,? Рис. 10.50. Производная т,“
прямоугольных крыльев. Сплош- прямоугольных крыльев. Сплош-
ная кривая — численный рас- ная кривая — численный рас-
чет, пунктир — точное предель- чет, пунктир — точное предель-
ное решение (x; = 0). ное решение.
расчеты сравниваются на рис. 10.41—10.50 с соответствующими
величинами, полученными применением формул (9.87), являющихся
точными при весьма малом удлинении. Выполненное` сравнение
показывает вполне удовлетворительное соответствие коэффициен-
тов аэродинамических производных, полученных численными рас-
четами при небольших удлинениях крыла, с точными решениями
и в этом предельном случае.
$6. Контроль численных расчетов
с помощью теоремы обратимости
Теорема обратимости и все следствия, вытекающие из нее
(cM. гл. УГ), являющиеся точными в рамках линейной теории,
дают хорошие способы контроля за точностью численных расчетов.
спользование их в анализе систематических расчетных данных







318 ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА ЭВМ (Гл Х
Таблица 10.1
Модель _
1 9 3 5
Koobbe- с ; = с с
Е: a a Fs a [: % Е a
= a = w = o = r =
|||
Я 3. Е 6 = 5 Е 6 = 8
о 6,05} 6,06] 5,15| 5,20] 2,02 | 1,99 | 4,68 | 4,72 | 1,97 (,97
у —0,55| —0,52| 1,3 1,32]—0,62 |—0,58 |—0,68 |—0,66 | 0,231 0,26
@
cy? 7,09] —0,92| 6,89] —1,54| 0,95} 0,00] 2,42 |—1,46] 1,43 |—0,86
ey? —1,65| —7,69| —1,59] —5,03| 0,00 |—0,06 |—0,46 | 0,22] 0,05 |—0,05
mo — 0,97 7,09} —1,54| 6,76] 0,00] 0,89 |—1,45 | 2,45 |—0,85 | 1,44
то —7,65| —1,62| —5,39| —1,56]—0,06 | 0,00 | 0,22 |—0,46 |—0,04 | 0,07
@
m,? ~ 16,50|— 16,35] — 13,90] —13,90]|—0,28 |—0,28 |—0,88 |—0,88 |— 0,89 |— 0,91
©
m,? —10,60|—11,00] —4,67| —4,87/—0,09 |—0,09 |—0,13 |—0,13 |—0,04 |—0,05
o |
тур —0,54| —0,54| —0,42| —0,44/—0,15 |—0,15 |—0,45 |—0,45 |—0,17 |—0,17
oO.
mi) 0,00] 0,00] —0,01| —0,01|—0,07 |—0,07 | 0,00 | 0,00 |—0,05 | 0,05











позволяет определить погрешности в расчетах и судить о доста.
точности выбранных чисел п и М в вихревой схеме. Выше в та:
блице 10.1 в виде примера дано сопоставление результатов pac:
чета коэффициентов аэродинамических производных моделей са:
молетов трех типов и двух крыльев двойной стреловидности
в прямом и обращенном движении. Модель 1 имела прямое крыло
большого удлинения с нестреловидным горизонтальным опере
нием, модель 2 имела стреловидное крыло большого удлинения
и стреловидное оперение, модель 3 представляла собой бесхвостку
с треугольным крылом малого удлинения. Модель 4 крыла двой:
ной стреловидности имела угол стреловидности консоли 5) =
= 16°; а модель 5—72° (см. рис. 1.8). Заметим, что все приведен:
ные коэффициенты аэродинамических производных рассчитаны при
начале координат на середине корневой хорды и характерном pas
махе, равном этой. хорде. Из таблицы видно хорошее соответствие
коэффициентов для прямого и обратного полета. На этом основа:
нии можно говорить о’достаточной точности расчетов.


















с
2 7
VA
A
и
/
A of ==
„а“
| а
р -











0 102 04 O06 148 |
Рис. 10.51. Сравнение прямого расчета (сплошные кривые) с расчетом по
теореме обратимости (пунктир) прямоугольного крыла A= 2,5 с рулем




































































by = 0,5.
0 02 04 06 Bt
i | \
пр ЕЕ \
02 ЕТ G2
Bee \
“a №
[ 7 “04 \ \
02104 | 46| 48 [2 LEAL 3
N IN Пу
Х | №
\ DE \ Ne
al \ bY Е
9 EN \
К \
\
` 06 a
NY ne NL
$ ir]
D3 xX WY
Mg NN VIS
LLNS 10
Рис. 10.52. Сравнение прямого Рис. 10.53. Сравнение прямого
расчета (сплошные кривые) расчета (сплошные кривые)
с расчетом по теореме обрати- с расчетом по теореме обрати-
мости (пунктир) прямоуголь- мости (пунктир) прямоуголь-
ного крыла A = 2,5, (x, = 0,5) ного крыла A= 2,5 с элеро-
с рулем bp = 0,5. ном 6. = 0,5,

350 ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА НА ЭВМ [Гл. Х
Использование теоремы обратимости позволяет (см. гл. VI)
определить суммарные характеристики при деформациях летатель-
ного аппарата в прямом полете по результатам расчета аэродинами-
ческой нагрузки на соответствующем недеформированном аппа-
рате при обратном полете. В качестве примера на рис. 10.51—
б 6
6, 6
10.53 приведены зависимости производных су’, су’, тг’, т»,
6 6 - |
Mxi, та при М = 0 от относительного размаха руля [, = 21/1
и элерона [, = 21/1, полученные прямым численным расчетом
и по теореме обратимости. Соответствие результатов расчетов
обоими способами оказалось вполне удовлетворительным.

| ГЛАВА Х!
НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ
Исследователь в своей работе опирается не только на методы
расчета, но и на готовые систематические данные. Этих данных
должно быть достаточно для того, чтобы можно было проанализи-
ровать влияние на аэродинамические характеристики геометри-
ческих параметров, чисел М и т. п. Естественно, невозможно
привести систематические материалы для летательных аппаратов
в целом, так как материал в этом случае становится громоздким
и труднообозримым. Однако основные закономерности в изменении
аэродинамических характеристик могут быть установлены из
анализа данных для изолированных крыльев. Поэтому в настоя-
щей главе приведены результаты систематических расчетов для
крыльев конечного размаха с постоянной стреловидностью по пе-
редней и задней кромкам. —
Форма в плане такого крыла определяется тремя безразмер-
ными параметрами: удлинением A, сужением 1 и углом стреловид-
ности по передней кромке Yo. Коэффициенты аэродинамических
производных, кроме того, будут зависеть от чисел М ир*. Для рас-
сматриваемого в данной книге числа Струхаля р* — 0 количество
аргументов может быть сокращено на один введением парамет-
ров подобия (см. [1.14]). В качестве таковых взяты
= УТ— М, Ate x, 1.
Характеристики крыла с механизацией рассматриваются на
примере прямоугольных крыльев. Изучение влияния числа М
и геометрических параметров в большинстве случаев дано для
крыльев трех форм в плане: прямоугольного, треугольного
и стреловидного одного удлинения (A = 2,5).
$ 1. Коэффициенты аэродинамических производных крыльев
с прямыми кромками при бесциркуляционном обтекании
Схема бесциркуляционного обтекания позволяет определять
нагрузки на летательном аппарате, когда средняя скорость дви-
жения его Uy близка к нулю, а скорость поперечных колебаний и
угловые скорости врашения конечны. В таблице 11.1 приведены
коэффициенты аэродинамических производных крыльев с прямыми
кромками для следующего диапазона изменения геометрических
параметров: удлинение A = 0,25--10, угол стреловидности по

899 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ [Гл. Х1
Таблица 11.1












Xo п А dc Am. 2 Am, 22 Am
0,25 0,3210 —0,1606 0,0984 0,1568
0,5 0,5594 —0,2798 0, 1664 0,1504
1,0, 0,8566 —0,4284 0,2472 0, 1352
0 1 1,5 1,0196 —0,5098 0,2904 0,1216
2,5 1,1810 —0,5906 0,3326 0,0982
5,0 1,3150 —0,6576 0,3672 0,0638
10 1,3786 —0,6894 0,3834 0,0366
0,25 0,2924 —0,0972 0,0514 0,1394
0,5 0,5256 —0,1816 0,0936 0,1327
1,0 0,8422 —0,3032 0,1528 0,1161
0 2 1,5 1,0314 —0,3788 0,1890 0,1040
2,5 1,2234 —0,4590 0,2272 0,0839
5,0 1,3888 —0,5250 0,2586 0,0538
10 1,4556 —0,5528 0,2726 0,0299
0,25 0,2346 —0,0500 0,0284 0,1212
0,5 0,4280 —0,0984 0,0530 0,1047
1,0 0,7142 —0,1826 0,0940 0,0946
0 5 1,5 0,9072 —0,2461 0,1246 0,0827
2,5 1,1392 —0,3306 0,1654 0,0676
5,0 1,3644 —0,4206 0,2108 0,0430
10 1,4728 —0,4680 0,2360 0,0246
0,25 0,1784 —0,0294 0,0198 0,1024
0,5 0,3312 —0,0608 0,0373 0.0832
1,0 0,5722 —0,1200 0,0672 0,0757
0 со 1,5 0,7514 —0,1718 0,0930 0,0663
2,5 0,9932 —0,2514 0,1316 0,0520
5,0 1,2756 —0,3578 0,1824 0,0345
10 1,4404 —0,4272 0,2208 0,0208
0,25 0,3186 —0, 1570 0,0946 0,1568
0,5 0,5492 —0,2672 0,1544 0,1488
1,0 0,8218 —0,3898 0,2132 0,1320
30 | 1,5 0,9582 —0,4444 0,2374 0,1168
2,5 1,0802 —0,4822 0,2594 0,0925
5,0 1,1702 —0,4838 0,3360 0,0581
10 1,2080 ° —0,4252 0,7392 0,0325
0,25 0,2990 —0,1016 0,0532 0,1394
0,5 0,5438 —0,1968 0,1012 0,1327
1,0 0,8768 —0,3370 0,1676 0,1195
30 2 1,5 1,0612 —0,4202 0,2054 0,1056
2,5 1,2206 —0,4968 0,2422 0,0826
5,0 1,3036 —0,5510 0,3250 0,0503
10 1,3132 —0,5978 0,7082 0,0272 _



61] ПРОИЗВОДНЫЕ КРЫЛЬЕВ ПРИ БЕСЦИРКУЛЯЦИОННОМ ОБТЕКАНИИ 393
Продолжение табл. 11.1













Хо Ac a Am, Am, 24 Ат
0,2412 —0,0532 0,0290 0,1212
0,4482 —0, 1104 0,0572 0,1084
0,7638 —0,2200 0,1056 0,0974
30 0,9764 —0,3086 0, 1436 0,0869
1,2048 —0,4210 0, 1930 0,0694
1,3528 —0,5228 0,2618 0,0424
1,3734 —0,5910 0,4914 0,0228
0,1846 —0,0312 0,0192 0,1067
0,3476 —0,0672 0,0384 0,0896
0,6140 —0,1442 0,0724 0,0747
30 0,8156 —0,2174 0,1042 0,0668
1,0782 —0,3326 0, 1522 0,0550
1,3200 —0,4722 0,2190 0,0354
1,3878. —0,5558 0,3382 0,0196
0,3142 —0, 1532 0,0912 0, 1568
0,5312 —0,2532 0,1426 0, 1456
0,7624 —0,3476 0, 1852 0,1272
45 0,8594 —0,1776 0,2008 0,1099
0,9336 —0,3828 0,2358 0,0835
0,9808 —0,3472 0,4676 0,0502
0,9966 —0,2488 1,5880 0,0274
0,3022 —0,1112 0,0604 0,1394
0,5506 —0,2072 0,1066 0,1327
0,8686 —0,3512 - 0,1766 0,1186
45 1,0138 —0,4210 0,2108 0,1023
1,1010 —0,4682 0,2558 0,0763
1,1118 —0,4970 0,4738 0,0438
1,0908 —0,5464 1,5076 0,0231
0,25 0,2452 —0,0554 0,0296 0,1212
0,5 0,4582 —0,1202 0,0598 0,1120
1,0 0,7818 —0,2490 0,1176 0,0983
45 1,5 0,9850 —0,3492 0,1640 0,0869
2,5 1,1540 —0,4492 0,2232 0,0665
5,0 1,1932 —0,5152 0,3608 . 0,0376
a _ 10 1,1574 —0,5742 1,0074 0,0195
`0,25 0,1880 —0,0324 0,0206 0,1067
0,5 0,3566 —0,0734 0,0392 0,0896
1,0 0,6336 —0,1656 0,0794 0,0768
45 1,5 0,8394 —0,2540 0,1176 0,0683
2,5 1,0796 —0,3842 0, 1794 0,0542
5,0 1,2126 —0,4952 0,2750 0,0322
10 1,1924 —0,5490 0,6006 0,0171














394 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ (Ta. XI
Продолжение табл. 11.1
Хо n A Ac 2 Ams? Am? a Amie
0,25 0,3028 —0, 1452 0,0842 0,1536
0,5 0,4892 —0,2248 0,1220 0, 1408
1,0 0,6330 —0,2694 0, 1448 0,1152
60 | 1,5 0,6734 —0,2682 0,1658 0,0944
2,5. 0,6974 —0,2478 0,2648 0,0675
5 0,7090 —0,1880 0,8534 0,0382
10 0,7090 —0,0600 3,3862 0,0204
0,25 0,3050 —0, 1042 - 0,0588 0,1394
0,5 0,5500 —0,2222 0,1154 0,1327
1,0 0,7918 —0,3404 0,1768 0,1112
60 2 1,5 0,8440 —0,3672 0,2040 0,0901
| 2,5 0, 8378 —0,3720 0,2918 0,0614
5,0 0,7838 —0,4138 0,5754 0,0327
10 0,7444 —0,5448 3,9082 0,0172
0,25 0,2496 —0,0604 0,0316 0,1212
0,5 0,4676 —0, 1388 0,0668 0,1120
1,0 0,7804 —0,2926 0, 1428 0,0974
60 5 1,5 0,9150 —0,3792 0,1944 0,0833
2,5 0,9378 —0,3844 0,2572 0,0547
5,0 0,8764 —0,4216 0,5796 0,0283
10 0,9240 —0,4868 2,0976 0,0148
0,25 0,1922 —0,0350 0,0200 0,1109
0,5 0,3660 —0,0852 0,0428 0,0896
1,0 0,6482 —0,2030 0,0944 0,0768
60 со 1,5 0,8370 —0,3096 0, 1496 0,0675
2,5 0,9632 —0,3600 0,2052 0,0478
5,0 0,9250 —0,4250 0,3750 0,0249
10 0,8582 —0,4604 1,1694 0,0131
86° 25' 0,25 0, 1784 —0,0894 0,0662 0, 1024
82° 52’ 0,5 0,3312 —0, 1598 0,0930 0,0875
75° 57' 1,0 0,5722 —0,2612 0,1448 0,0757
69° 28’ | oo 1,5 0,7514 —0.3288 0,1772 0,0633
58° 00’ 2,5 0,9932 —0,4104 0,2142 0,0520
38° 40’ 5,0 1,2754 —0,4926 0,2478 0,0345
21° 48" 10 1,4402 —0,5328 0,2624 0,0205


$ 1) ПРОИЗВОДНЫЕ КРЫЛЬЕВ ПРИ БЕСЦИРКУЛЯЦИОННОМ ОБТЕКАНИИ 395
передней кромке Хх. = 0+60°, сужение = 1-- со. При этом вы-
делены данные, относящиеся к треугольным крыльям. Численные
значения коэффициентов даны при положении оси Oz (центровке)
на носке средней аэродинамической хорды 6, (cm. § 5 гл. I).
Коэффициенты аэродинамических производных при бесцирку-
ляционном обтекании введены формулами (1.63). Они связаны
с коэффициентами присоединенных масс зависимостями
dé, __ | a, = ба —
Ас, = 2 (Rao) „› Ат, Aci 2 (5), > (1 | 1)


Ami = 2 (hes), Amen =— 2 МТ (р),
Индексы «а» при коэффициентах и кинематических параметрах
здесь означают, что за характерный размер принята величина сред-
ней аэродинамической хорды 6., а продольный момент и вращение
с угловой скоростью 2, определяются относительно OCH, прохо-
дящей через ее переднюю кромку.
Аэродинамические коэффициенты при бесциркуляционном обте-
кании крыла и деформациях могут быть представлены в виде,
аналогичном (6.2.2):

Ac = Ас +. Ac’é + Ac’S, |
Aci= Ack, Acd=Ad+ Ad, АНА (12.
с= Ap, Acy, ... т» Ати,
Это представление справедливо при любых зависимостях 0 (т).
Силы и моменты, действующие на крыло при бесциркуляцион-
ном обтекании, определяются через коэффициенты аэродинами:
ческих производных формулами (1.17), (1.18), (1.48), а через коэф-
фициенты присоединенных масс — формулами (1.56), (1.62)..
° Коэффициенты аэродинамических производных, соответствую-
щие бесциркуляционному обтеканию прямоугольных крыльев
разного удлинения при отклонении руля с разной относительной
хордой b, и размахом, равным размаху крыла, даны в таблице 11.2.
Наконец, в таблице 11.3 для ‘прямоугольного крыла A = 2,5
приведены коэффициенты аэродинамических производных как
для подъемной силы и продольного момента всего крыла, так и для
подъемной силы и шарнирного момента на f-H секции руля хордой
6, = 0,25 при отклонении 1-й. Число одинаковых секций на
полуразмахе равно 4, порядок их нумерации — как на рис. 11.1.
Как уже было отмечено, схема бесциркуляционного обтека-
ния соответствует явлениям, которые имеют место при скорости Uy,
близкой к нулю. Таким образом, приведенные в этом_ параграфе






















326 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ (гл. XI
Таблица 11.2
А. b acd acd Am? amo Ат am®
р yl y2 2 2 22 22
0,1 | 0,0551 | 0,0027 | —0,0551 | --0,0512 | —0,0027 | —0,0025
0.95 0,2 | 0,0893 | 0,0087 | —0,0893 | —0,0772 | —0,0087 | —0,0077
2 03 | 0,1100 | 0,0160 | —0,1100 | —0,0881 | —0,0160 | —0,0139
0,4 | 0,1234 | 0,0238. | —0,1234 | —0,0908 | —0,0238 | —0,0184
0,1 | 0,0667 | 0,0033 -| —0,0667 | —0,0613 | —0,0083 | —0,0030
08 0,2 | 0,1234 | 0,0119 | —0,1234 | —0,1046 | —0,0119 | —0,0103
0,3 | 0,1673 | 0,0240 | —0,1673 | —0,1302 | —0,0240 | —0,0192
0,4 | 0,2016 | 0,0382 | —0,2016 | —0,1429 | —0,0382 | —0,0282
0,1 | 0,0764 | 0,0037 | —0,0764 | —0,0690 | —0,0037 | —0,0034
Lo 0,2 | 0,1554 | 0,0149 | —0,1554 | —0,1281 | —0,0149 | —0,0124
0,3 | 0,2272 | 0,0322 | —0,2272 | —0,1704 | 0.0322 | —0,0247
0,4 | 0,2912 | 0,0544 | —0,2912 | —0,1975 | —0,0544 | —0,0383
0,1 | 0,0808 | 0,0039 | —0,0808 | —0,0723 | —0,0039 | —0,0035
is 0,2 | 0,1710 | 0,0163 | —0,1710 | —0,1388 | —0,0163 | —0,0134
0,3 | 0,2578 | 0,0368 | —0,2578 | —0,1900 | —0,0363 | —0,0274
0,4 | 0,3387 | 0,0629 | —0,3387 | —0,2246 | —0,0629 | —0,0433
0,1 | 0,0834 | 0,0041 | —0,0834 | —0,0741 | —0,0041 | —0,0036
20 0,2 | 0,1800 | 0,0171 | —0,1800 | —0,1449 | —0,0171 | —0,0140
0,3 | 0,2757 | 0,0388 | —0,2757 | —0,2009 | —0,0388 | —0,0289
0,4 | 0,3669 | 0,0680 | —0,3669 | —0,2404 | —0,0680 | —0,0461
.0,1 | 0,0884 | 0,0043 | —0,0884 | —0,0776 | —0,0043 | —0,0038
5.0 0,2 | 0,1980 | 0,0188 | —0,1980 | —0,1566 | —0,0188 | —0,0151
0,3 | 0,3118 | 0,0436 | —0,3118| —0,2225 | —0,0436 | —0,0319
0,4 | 0,4241 | 0,0782 | —0,4241 | —0,2718 | —0,0782 | —0,0518
01 | 0,0901 | 0,0044 | —0,0901 | —0,0787 | —0,0044 | —0,0038
10.0 0,2 | 0,2039 | 0,0193 | —0,2039 | —0,1603 | —0,0193 | —0,0154
0,3 | 0,3169 | 0,0475 | —0,3169 | —0,2250 | —0,0475 | —0,0381
0,4 | 0,4434 | 0,0817 | —0,4434 | —0,2821 | —0,0817 | —0,0537
Таблица 11.3
t 1 3 4
Аи 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
acti 0,0494 0,0601 0,0632 0,0642
Acid 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000






Продолжение табл. 11.3
$1] ПРОИЗВОДНЫЕ КРЫЛЬЕВ ПРИ ВЕСЦИРКУЛЯЦИОННОМ ОБТЕКАНИИ 397


0,0059
—0,0494
—0,0385
—0,0059
—0,0047
—0,4406
0,1049
—0,0435
0,0168
0,2784
0,0451
0,0339
0,0046
—0,1777
—0,0380
—0,0194
—0,0038
0,0404
0,0099
0,0047
0,0011
—0,0571
—0,0145
0,0071
—0,0601
—0,0458
—0,0071
—0,0055
—0, 1767
—0,0215
—0,0193
—0,0021
0,0403
0,0053
0,0047
0,0006
—0,5027
0,0888
—0,0503
0,0151
0,2895
0,0478
0,0351
0,0049
—0,2033
—0,0444

0,0074
—0,0632
~—0,0477
—0,0074
—0,0057
—0,0563
—0,0105
—0,0063
—0,0012
0,0097
0,0016
0,0011
0,0002
—0,2031
—0,0285
—0,0299
—0,0029
0,0445
0,0062
0,0052
0,0007
—0,5268
0,0833

0,0075
—0,0642
—0,0483
—0,0075
—0,0058
—0,0307
—0,0062
—0,0035
—0,0007
0,0051
0,0001
0,0006
0,0001
—0,0828
—0,0167
—0,0093
—0,0019
0,0140
0,0024
0,0016
0,0003
—0,2533
—0,0385


wa


398 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ [Гл. Xt
Продолжение табл. 11.3





















t 1 2 3 4
8.
Ac ios —0,0065 —0,0219 —0,0531 —0,0279
5,
Ас — 0,0016 —0,0044 --0,0144 —0,0040
Ат, 0,0098 0,0445 0,2934 0,0531
Атий } 0,0023 0,0108 0,0486 (| 0,0077
Ато 0,0011 0,0051 0,0356 0,0062
Ато 0,0003 0,0012 0,0050 0,0009
А 4 —0,0314 —0,0829 —0,2533 —0,6971
Ау —0,0078 — 0,0204 — 0,0543 0,0616
Ac jhuos —0,0036 —0,0093 —0,0279 —0,0716
Ac vio, —0,0009 —0,0022 —0,0056 0,0124
Ат 0,0051 0,0139 0,0531 0,3325
Ато 0,0011 0,0031 0,0123 0,0539
8,
Ami, 0,0006 0,0016 0,0062 0,0402
Ames, 0,0001 0,0004 0,0014 0,0056
0 2
0
г oro lis lie ler
ур 1=д |724 | fed | fre | fol -
ry

Рис. 11.1. К определению коэффициентов аэродинамических производных
при отклонении секций руля. ~

$ 2] АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ КРЫЛЬЕВ 329
данные позволяют подсчитать воздействие несжимаемой среды на
монопланные крылья при колебаниях их на месте, при колебаниях
рулевых поверхностей и т. п. Кроме того, они необходимы для пе-
рехода при М= 0 от переходных функций к коэффициентам аэро-
динамических производных с помощью интегральных соотноше-
НИЙ 14].
$ 2. Коэффициенты аэродинамических производных крыльев
с прямыми кромками
Ниже приводятся систематические данные по коэффициентам
аэродинамических производных при движении крыльев с прямыми
кромками как твердого тела.
В таблице 11.4 даны следующие коэффициенты:
key, КСуа, Riza, Riza, КТТ, Е Сул, К Суаз, К Cyai,
3 © за за 13 @ зо 2 @ 2 ©
Beats, Emi, Brits, mia, eos, (Ртв)ь (mets.
Коэффициенты аэродинамических производных определяются
соотношениями
1 (А) 1 o )
cys (key), су == (key 2"),
| © © ©
a a
ten = > (та),  tza* == (emi), mf =
‚ (11.3)

За характерный размер для кинематических параметров Chas
®2,, ©, И коэффициента момента т,, взята средняя аэродинами-
ческая хорда крыла b,, что делает зависимость коэффициентов
аэродинамических производных от геометрических параметров
крыла более стабильной и сближает ее с соответствующими зави-
симостями для прямоугольных крыльев. При расчете коэффициента

НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ (Гл. Х1
330










7390‘0 0260‘0 Z0€I‘O LEST ‘0 CE9I‘O 6E8I‘0 9681 ‘0 “(я ш) а
908*0 SLbb‘0 60LE‘0 3/08°0 9995°0 08/1*0 150Т'0 шея
9002‘0 16€9'0 6599°0 98/7'0 1907'0 16/5°0 1S91‘0 Ged
9658'1— 796‘ 1— 7780‘1— 518/'0— 6786“0— 6085“0— pLL1‘0— Ge Oeil
1089*— УТ — g2€9'I— 8293‘ I— S166°0— 6609‘0— Gére'0— wall
L100°0— 3890'0— 6L11‘0— €0S1‘0— LL91°0— gesl‘O— 9681'0— | Цыш) ap
9//19‘0 12£0'0 0€23‘0— 6115‘0— 5595'0— OLLT‘O— vrol‘o— ШС
95970 8231 ‘0— perr'o— bESh‘O— erer‘O— 1665°0— 1891‘0— тес.
9158*— 6080'I— 30/0°0 $948°0 3607‘0 5865°0 65/1*0 а
6785 — 1806‘0— 6819*0 9698°0 8578'0 6068°0 707*0 eet
6219'0— LOGb‘0— 6875‘0— L991‘0— gs01‘O— 1690‘0— 3950‘0— 1
L180‘ I— 6660'I— 0698*0— 99¢9'0— 61190— 0608“0— 7410— ez Wy
601" I— 1£96‘0— 9249'0— 091*0— 11950— €260°0— 9580‘0— pla
O1bL‘e 1860'E 6785*5 8/49°1 CESS €20L‘0 15/8`0 e204
6196'F 8190'F 3586*5 8660°5 61° 9708‘0 8Z0r‘0 27
0°01 0's vs oT 0'T ‘0 95`0 v4
УП euuroey o=%Sy T=b

331
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ! ПРОИЗВОДНЫЕ КРЫЛЬЕВ
2]
Ar











7590°0 9160‘0 O811‘0 GZEI ‘0 00F1 ‘0 `$97Г“0 УЗУГ'0 “(4 ш) 24
958‘0 ZEIF‘O 6808‘0 99550 06910 97600 9670'0 В
1918‘0 69570 9198‘0 +0620 6126 '0 LEEI‘O F1L0°0 Pau,
ehrLI— 8189*1— 8198‘0— 7399*0— 7888‘0— 9961‘0— 5860*0— а
1819 8— 7886‘1— 7698 ‘1— 6696'0— 9€0L'0— 0088‘0— 8961‘0— НИ
Z100‘0— $790'0— er0l‘O— 9151*0— 58е1‘0— 59>1‘0— 87Т‘0— Цыш) 4
9661°0 1651‘0— 6755‘0— 41050— 8091“0— 9£60°0— 9670‘0— uy
[8850 РТ 0— 6818‘0— 8165‘0— 9985‘0— 1881‘0— 1820*0— ош
CELE — 989/‘0— 1990°0 L1¥6'0 $675'0 3191*0 0680°0 2
1585*®— 9868‘0— 66780 89/3‘0 ZEES‘O 61780 19810 Я
¥909‘0— 119“ 0— 0575°0— 1891‘0— 101 ‘O— L290'0— 7950°0— и
$448 1— 9190°I— 86$/0— 1859‘0— 9/88‘0— 1815*0— 6011‘0— og WY
7970*1— 594/0— 8967‘0— 0058‘0— 1585‘0— OFZ1‘0— 1790‘0— ply
179$ QFIL‘Z G98'T 6665°1 6966‘0 07080 8695‘0 e204
€€8e'h 1206*8 16045 $1681 $598“ УЖ 08/8‘0 net
0°OT o's GZ “т OT s‘0 S2°0 v4
Py Il ‘roel эинэжго!о4]] Z=%XSLY ‘|=

Хх!
[Гл.
НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ
332


18S0°0 0820‘0 0260‘0 5/60‘0 7660'0 6001 ‘0 тот‘ “(и ш) ot
10840 6SSS'0 8Z96'0 0975'0 05/10 2680'0 7370‘0 Su
9/91 ‘0 €901°0 E101‘0 b280°0 18900 1650`0 80500 шея
9699-1— e601 ‘I— 008s‘0— abe 0505°0— | '2260'0— д0‘о— Beet
5801*2— 08971— 1598‘0— 0989*0— pose’o— ogzt‘o— 6980‘0— ги oe
€000'0 6770‘0— +820°0— €160°0— $960°0— 1001 ‘0— Z1OL‘O— Чы *ui) 33
$730‘0— 0088‘0— Z806‘0— 9155‘0— 9991‘0— 8880'0— ¥S40'0— ug
L61€°0 9810°0 1760‘0— 5660‘0— 19/0‘0— 9870'0— 6220'0— eu
G9g9'I— Z6ZE'0— L98T'O 0691 ‘0 Lgel‘o 0620‘0 01700 ии. elt
0990*— 8858'0— 9610 98/5°0 5950 1810 880°0 18%, wal
5883‘0— 3988‘0— 71550— 6ge1‘0— $760*0— 1170°0— 6£20'0— uy
0010's— 6888*1— 7378'0— goss‘o— 6185‘0— 9961 ‘0— £660°0— ez, ly
0986 ‘0— 9899‘0— [91 0— 6915*0— 1861*0— этот‘0— 1190*0— ша
УР" 99518 68951 65080 1769'0 94280 92810 02524
5789$ 5509 08155 Зо“ 6700°1 5916°0 £092'0 Me
“ОТ a's GZ oT o'r s‘0 95*0 ‘4








VIL ‘Woe. эинэжиопо4] |
у = 9% 81

333
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ КРЫЛЬЕВ
$ 2)

7/90'0









G0S0‘0 +1900 1990°0 2190°0 190°0 £1900 “(я ш) а
6865°1 €506‘0 7968°0 1898'0 69750 5951“0 0890°0 Ш.
885°0— $975*0— 5151“0— 50/0‘0— 9770*0— 6150°0— 3010“0— Slee
obb9'I— 0226‘0— 7990— 5095“0— ч891‘0— 960‘0— 5180'0— а
9689'1— 0676'0— $07Р'0— 0775°0— osst‘o— 1¥20°0— S980‘0— eel
$5000 L280'0— L¥S0°0— 6190°0— 790‘0— €990°0— 9990°0— "(yr u) са
6918‘0— 0s19‘0— Le8b‘0— gZee‘o— $755'0— 0551*0— 8190°0— ez, We
98230 9022'0 0901 ‘0 01S0‘0 1650`0 1810‘0 5900°0 шея
1888“0— 88110 0850 79810 15810 88900 8780°0 Я
5858°— 679/*0— 9800 ‘O— 1860°0 5160°0 590°0 00€0‘0 eR
3199°0— 1898‘0— У96Т‘0— 905т“0— $180°0— 6070“0— 3050°0— ы ef
Z1Z1‘e— 2966'I— 7 Oo 680L‘0— Gost ‘0— 1€b3‘0— 0221 ‘0— ez, uly
€828°0— 8819°0— 9/18“0— 775‘0— 1891‘0— 1980°0— vEr0'0— “py
8099*5 8098°1 6/18°0 5887°0 0655*0 5091*0 6620‘0 ez IY
9006‘ PSh0'e 871" ИТ 999/^0 185°0 LI6I‘0 nA
0*от ag GG чт от 90 $5°0 Ya
$ ‘Woel эинэжиоптод | | 9 = °% 83% ‘1=4

Bre
НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ [Гл.
334

6170‘0
6970`0









8970°0 6970°0 0970°0 8970°0 8370°0 (ш) а.
9190°% 6807“1 8/18'0 1513*0. ILPE‘O 53/10 8280°0 Go ut at
LOvL‘0— 1898'0— $718‘0— ¥261‘O— 0621‘0— 8790*0— +280'0— Ged
9269'I— 18S6‘0— bb9r'0— G0LZ‘0— 9LL1°0— £180°0— 1870°0— о
8955'1— 1819*0— 6981 ‘0— 0560°0— 7990‘0— 7950°0— €Z10'°0— ee
47000 6550‘0— 3950°0— 9070‘0— 0570°0— 6570°0— 1870*0— цы ш) 4
1559°0— 9916‘0— 6L69°0— 1597‘0— 9058“0— SP9T‘0— 0880‘0— dz, Mee
0688'0 8659'0 $1150 pO9T ‘0 6S0I‘O GZS0‘0 1950°0 шей
9700‘0 066 ‘0 029€°0 8/50 E291 ‘O 65800 $1700 ея
€G09'S— seeZio— 8021 ‘0— 6910°0— ££00°0 51000 7Р00‘0 Teo a
1059“0— 5058‘0— 6141*0— osor‘o— ¥0L0°0— 7980*0— LL10°0— ro any
Cr19'b— 9508*— 769*1— 0986‘0— 2629'0— r9ie'o— 9891*0— ez ty
z998‘0— 6963“0— 3598'0— 0855*0— LISI ‘0— 0L20°0— 1880‘0— “put
GE80°% OSTI‘T r6ES'0 osTe'o 51050 Усот 0 01300 ez 4
16L0°F 1889*5 043У“1 4168°0 8509°0 1505°0 IZS1‘0 07а
0°От 0's 96 g‘T OT 9°0 G30 va
УИ ‘Woe, эинэжиого4]] 8 = 9% 81% =

335
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ КРЫЛЬЕВ
6 2]



0т80°0 $/10'0 1901*0 0S21‘0 0/81*0 009т*0 17ST 0 (ig) oi
6899‘0 568‘0 3968‘0 05Т8*0 0875‘0 от9т*0 8€80°0 Bu,
395/°0 1899‘0 4799‘0 3/9‘0 1988‘0 0775‘0 6861‘0 мА
7976*1— 69/9'1— (ell I— 994/0— 8699‘0— 6665‘0— 5910— а
1189*— PILL sero I— CHES I— 9676‘0— 6699‘0— 308‘0— И
78000 9850‘0— 0160‘0— b0Z1‘0— 9ge1‘o— 6641‘0— lpS1‘O— Цыш) а
1Z8h‘0 1900‘0— 15950— 3785‘0— 88750— 5991‘0— 0980‘0— de Ul a
IL2¢‘0 g1S1‘0— LELb‘O— $087*0— 6617‘0— 6995*0— ТУТ 0— To, Ut 2
ZE88's— s086‘0— CPEI‘O 1S68°0 r107‘0 G0L8‘0 g0SI ‘0 IP ont
1978*8— 7998*0— 999‘0 1598‘0 4808°0 50У3°0 3908‘0 а
1999‘0— 8007‘0— 1675‘0— 1SS1‘0— 69010— 1690‘0— 9950‘0— ya
8196*1— 99911— 04/8‘0— 6779‘0— 0987‘0— $145‘0— 1971*0— 7, Wy
€6S2'I— £000‘ I— 6999*0— 8707‘0— 80950— 0860‘0— 7580‘0— ош
7978‘ 9141“ 10085 0659*1 5008°1 5599‘0 66EE‘0 e274
¥80'S 0091 ‘F 0696*5 3060" 0/09°1 3008*0 5407‘0 4
0°01 0°S 95 1 0°Т 3'0 GZ‘0 vy







УП ‘WoeL эинэжио!о4] 1
0= °Х 31% <=

[Гл. Х!
НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ
336
”







€0S0°0 9S20°0 LIOI‘O $811°0 08510 91510 "ИГО | (аш) a4
€6S7'0 690%‘0 g0re'0 $0850 9160 $510 1620°0 Bug
0r9S‘0 8759'0 50/7°0 7807°0 PSEE‘0 LE13°0 G0ZI ‘0 Gel
L118‘I— Cort I— 1€00°I— 050/“0— 8309‘0— 99/5*0— 8571 ‘O— Я
1689*5— 5860*5— o6es‘I— Orel ‘I— 1678‘0— 7587‘ 0— 6995‘0— ee
9800°0 €2£0°0— 6980‘0— 5811‘0— £931 ‘O— ЕТ 0— ТТ“ 0— Цыш) a
$/9‘0 5900 8281 ‘0— 6123 '0— 3805“0— 001‘0— €620°0— то
у86У‘0 1730*0— 798'0— 9988“0— 9688‘0— 615‘0— 755 1“0— ше
8808*5— 1100‘I— 1970°0 1018‘0 5588‘0 6/85‘0 СУЕТ‘0 Е
$958'8— 97/8‘0— 93/7°0 186/°0 6/89‘0 703$‘0 9850 и
5598‘0— 9268°0— 9075“0— 8891‘0— Sr01‘0O— 0890‘0— 3950‘0— wa usaf
8/91 CPI ‘I— 8916‘0— 610L‘0— 7879'0— 9618‘0— 8221 ‘0— ez, Wy
91751— 9866‘0— 8769‘0— 5987°0— 368“0— 6981 ‘0— 7960‘0— “py
e18Z'e 8160°¢ 6885“5 5619*1 5661 “1 €699‘0 E1960 ez OY
1940'S Z860'F 6E88°2 81202 Og9r'T 678/`0 12040 27а
0‘OT 0's G3 чт OT 3'0 65°0 Vy





РИ ‘roe. эинэжго!о4] |
<= 9% 31\ ‘=u

337
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ КРЫЛЬЕВ
$ 2]


$9700 8790°0 16200 $9800 9680‘0 05600 8560‘0 “(ша
[758*0 60190 19650 69050 68710 00800 500‘0 Buy
19020 S061 ‘0 ZO6T ‘0 Z9ST ‘0 GIZ1‘0 1020‘0 5980'0 Sao
¥999'I— £081 ‘I— 1729°0— 9607“0— 6195*0— 1951*0— 590‘0— я
£96 '3— 58891— 8090'I— 1669‘0— e18h0— Ehbo‘0— FEST ‘O— их
$6000 8620'0— L¥90‘0— 96/0‘0— 1980°0— 6060°°— €260'0— Цыш) 2%
УТУ‘ 0 0050°0 10ST ‘O— 8zS1‘O— 1951*0— LbL0°0— $680‘0— de Uy
9IIZ‘0 55150 9510‘0— L611‘0— 6801 ‘0— 0690°0— 0/80‘0— Tl ott
0987‘2— 68L2‘0— 8100°0— 9610 6591‘0 38600 07300 я
r16l‘e— 988‘0— 36850 08680 9678‘0 81150 SEIT‘O Tea
5879‘0— 19/8‘0— $7155‘0— 8071 ‘0— 5960*0— 06$0‘0— 9750‘0— 4, Wet
6696‘ I— 1Z0g‘I— 6910°I— G169‘0— 967‘0— 5895‘0— 8881‘0— ez, Met
G09‘ I— sS10'I— 610L‘0— 6987‘0— gLreo— 6S81‘O— 6760‘0— pele
8999$ 06695 1591 9281 ‘I 1628‘0 1087‘0 $8150 ea 4
oses'r 987/18 O6hr‘S E8e9'l САР 69630 6508‘0 ot
0°01 0's GZ ST oT s‘0 35'0 va








PIL “roe. эинэжио!о4] |
$ = °X S1y ‘sg=—b

НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ [Гл. XI
338

9750`0

6650‘0 6670`0 ggco‘0 2SS0‘0 99500 3980‘0 (ты) 24
¥06L‘0 9479*0 8955‘0 9915°0 9L¢1‘0 37/0‘0 €2£0'0 Brug
9992 ‘0— 19750— 6851'0— $140*0— 6770°0— 5150‘0— +010°0— oF
5803°1— 1506‘0— 5307‘0— 6502‘0— SIZ1‘0— 6z20'0— 6750‘0— Bo
3168‘ 1— 6091 ‘I— 6669‘0— 9478‘0— 6955'0— 6601‘0— 7790‘0— ie
+010'0 £020'0— 1570*0— 9670°0— 690°0— 0730°0— 3730°0— (Ры) а
3798‘0 8021 ‘0— ELIZ‘O— e9L1'0— vel ‘O— 11Z0°0— 39800— Bug
9690*1 6473‘0 L861‘0 3980‘0 6S40'0 €810‘0 €800'0 ий
96581— 3977'0— 6920'0 36/0‘0 4690°0 3070°0 [150°0 Я.
146*ё— LELL‘0— 8190'0 PS91‘0 191‘0 5060‘0 8240'0 Tet
pEsS‘O— LIvE‘0— 6261 ‘0O— 6611‘0— 0180‘0— 8070‘0— 7050°0— in Wea
06562— 0910*— 0905*1— 469/*0— 7959‘0— 68950— 6rE1‘0— ez, WY
8008*1— 6810'I— $999°0— 8187‘0— 9665'0— ЧТ‘ 0— 6L10°0— “py
0561* 87/1" 6995°1 Z6LL‘0 7359‘ _8795'0 65ет‘о 2229
119“ 1985*8 10/6°1 0195*1 1698*0 ceer‘o 6/15°0 wa
0*от 0'9 95 oT aT '0 920 Va








И ‘говь эинэжиого4]]

339
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ КРЫЛЬЕВ
6 2]


¥2£0'0 7380'0 €S€0'0 6r£0'0 1780°0 3750°0 3750°0 (zim) 24
68S0'T 9078°0 LL8¥‘0 5308*0 9020 1¥01‘0 [590°0 аш
1598‘0— 9549`0— 6568“0— bbb 0— 67910— 1€80°0— 9170°0— шо
8068°1— 955/*0— 0962‘0— €@S1‘0— 6560°0— 5670°0— 0150°0— о
5487 1— 8969‘0— Г685*0— sect ‘o— 0960'0— 3370°0— 7550‘0— и
6110°0 <110°0— 1350‘0— 0650°0— 9080°0— 9180°0— 810‘0— Цыш) of
5/05*0 8498‘0— $898`0— 1695‘0— Orel ‘O— 1960°0— L840°0— Bz, ge
LOL¥‘I 0228'0 8/1*0 5685'0 9991°0 19/0°0 82£0'0 Me, Ul af
19911— 6951*0— 9060‘0 3580°0 71900 1560°0 9910°0 о
1654*— 998/*0— 5140‘0— 7850°0_ 9850°0 9950°0 7710'0 1289 a
og6r‘0— 7905'0— 3991 ‘0— €201‘O— 1890°0— 3750°0— €210°0— ма
6185— 1189*2— Leer I 9756"0— 5659°0— gele‘o— ZLSI‘0— ez Wy
LLee'I— 9866'0— s009‘0— 0z8e'0— £096'0— 56Е1“0— 7990°0— “pura
6PLL‘S 7689°1 9688°0 3959°0 7998°0 LLLI‘0 8880°0 ez, 74
1985$ $198*5 9009°1 6266'0 6699°0 1188°0 5691°0 229.
0OT 0°g 5 CT OT '0 ‘ао va










у. т “ORL SHHORLoVvod] j
8 = UXUSY <=.

XI
(Гл.
НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ
340










7680`0 9/80`0 £8Z0°0 7560`0 0660°0 9601 ‘0 Shilo | (Fu) zt
SE09‘0 58/90 55950 61950 94610 60IT‘O 5890°0. Sug
vIZL‘0 4609°0 9560 01880 06620 19/10 1960`0 аш
Ур 1— 9887'1— 85960— 1159°0— 577‘0—. 9755‘0— т о— Же:
9/95*2— 8946°1— 5957 1— 6080*1— L6LL‘O— 5077‘0— 9985°0— ee)
+210°0 80Z0'0— 1290°0— 0480°0— 1960*0— Z601‘O— 5 “0— Цыхш) д
60180 ит“о— 6/45°0— 9475°0— 9861*0— vel l‘O— €6S0°0— Pru
30780 6755‘0— 888Р'0— 0668“0— 8918‘0— <У8Т“0— 1860‘0— Ш Я
882‘ S— Z0E9‘0— 61050 67У8*0 8756°0 €£02°0 Z80I‘O ee
695/*2— $959°0— SETS‘0 $169‘0 9679'0 661h‘0 1€€3'0 al
20S ‘0— 579'0— $655“0— L0S1‘0— ZE01‘O— 8590‘0— 9950°0— x, Wat
OLEI— ¥920'I— SBSL‘O— 8459°0— 5818*0— 18610— L201 ‘0— ez wy
73951— ZL16‘0— 1889°0— 198'0— 00150— 0780‘0— 0580“0— ‘ош
1859*$ 0868*5 6600°2 Z28E'T 1686'0 57560 9495°0 02,4
16% 590% 7598*5 99005 8991 598/°0 150>°0 pM
0°OT o's gz ST oT $0 65°0 v4
VIL “roe. эинэжиопо4]] o=—% 81% ‘G=l

341

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ КРЫЛЬЕВ
$880°0
6SSr‘0
IZ19°0
GZ6L‘I—
el6r's—
810°0
6ZS¢‘0
96S7'0
8P6S'S—
‘9ec8'°3—
bS6r‘0—
996¢I—
6055'1—
6518“
9670'S
0690°0
605$°0
18S‘0
595$‘ 1—
1090*2—
/180*0—
9090°0—
1180‘0—
08b8‘0—
$879‘0—
$7/98'0—
7115 1—
0L60°I—
О7Т"8
96СГ`У

1180°0
€Zg¢'0
GZ1S°0
9066'0—
¢90s‘I—
L¢90°0—
G06 1 ‘O—
€SZe‘0—
6601 ‘0
8178°0
7585‘ 0—
99S6‘0—
L88L'0—
6S66
9666
6960°0
1965*0
0387°0
0869°0—
вит
8680'0—
1855°0—
5807‘0—
УбУ8“0
06S2‘0
9IS1‘0—
+6EL‘0—
5499°0—
6899'T
9990°%
730Т`0
76Уб`0
$196'0
7909`0—
6858‘0—
1501“0—
1556'0—
$695'0—
8598`0
3869‘0
<т0Г‘0—
1818*0—
100%‘0—
E8ES'I
968h'T
13110
69910
9EES‘0
46/5'0—
6587‘0—
GSTI‘O—
9eST‘0—
8886'0—
0675'0
0/37‘0
0590`0—
6888'0—
8605'0—
0269°0
796/`0
6051*0
5680'0
geet ‘0
18hl‘0—
6S '0—
E021 ‘O—
1680°0—
ZSel‘O—
IZP1‘O
0765°0
3950‘0—
Lest‘o—
6т0т*0—
6795*0
1907‘0

0*0т

ae
G7

ст

ОТ

$`0

350

V4

yl ‘ioeL эинэжиконо4 | |
5 = 9X 8% ‘g=l

НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ [Гл. Х1
342


2S€0°0 81S0°0 79900 57/0*0 €820‘0 2180°0 8580°0 (им) of
6565'0 90S¢"0 GL86'0 98550 LOLI‘O 9960‘0 90300 Eu,a
$098'0 1978‘0 [558*0 1695°0 FEIZ‘0 5951‘0 9990‘0 и Я
1889*1— 0055*1— [L9L‘0— 66h '0O— 6678‘0— 8$/1*0— 9/80‘0— Я
BEES €082‘I— post ‘I— $118‘0— 5419*0— 8308“0— Z9ST‘O— ae
0€10°0 SL10°0— 10S0°0— 7990`0— 17/0*0— ‚6080*0— 1Z80°0— "(2 u) а
879°0 $8050 1990*0— 0621‘0— 951‘0— 9980‘0— LL¥0'0— ee
$99/*0 18150‘ L8Z1‘0— +961 ‘0— Szgl‘o— 061 1‘0— 7990‘0— Tel
196*2— 1698*0— 6100‘0— 9881‘0 6505'0 9681‘0 9410°0 Е
50//*2— 0829'0— 5898°0 9660 LOvr‘O 8122'0 19bI‘0 их:
1787*0— 6878'0— 6915‘0— OOrI ‘O— £960°0— L6%0'0— 1SZ0'0— wy
SL18‘I— 1683*1— Leg1‘I— pess'0— L9€9°0— 1798*0— 5981“0— ez, 4
09st" I— C66‘ I— 8&26'0— €1Z9‘0— sc6r‘0— 18/5*0— 02h ‘O— Dey
1781“ 3650“ 10112 928F'I 8220'I 682S°0 5865°0 0,74
6/56 6998“ 9£09°2 908Z'T 19921 2029°0 S2FE'0 24
0°OI 0's os т O'r ‘0 95‘0 V4








vil ‘woe, onnaxirovod]]
у = °% 814 ‘c=

343
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ КРЫЛЬЕВ
$2]





60€0‘0 16£0'0 9770‘0 0970‘0 $970'0 3970'0 9970°0 (idem) 27
6707‘0 0565‘0 /98Т"0 96110 1180°0 9070°0 Z0Z0‘0 ous af
1890°0— 97700— 0200‘0 6810‘0 LL10°0 6010‘0 8900°0 шей
oleh I— 2906‘0— @obh‘0— 8575'0— 5091‘0— 2690°0— 760‘0— о
9210°G— 9688'1— LOSL‘0— Szor‘0— o01s‘0— 1991'0— 3440'0— а
rE10'0 0110‘°0— $150‘0— 5650‘0— 6570°0— РРО‘0— 0370°0— Цыш) за
6/8/*0 £692'0 7000‘0— 8190*0— 7590'0— 820‘0— Z810'0— op Ub gy
Leer 9098‘0 037Т'0 90€0'0 6000‘0 58000— 89000— м
1955*°— 730/0— 5990‘0— +2900 05/0'0 7870'0 6950‘0 о
109*2— 68890— 7881'0 695'0 6у55'0 sIel‘o 2690°0 Tea
3597‘0— 5918‘0— УТ‘ 0— 1911 *0— 88/0'0— 66£0'0— 0050‘0— и
9889*2— ОтУ6*1— 61951— 698*0— 81890— 100€°0— SIST‘O— ez la
LOLS‘ I— S1Ie'I— 10680— 066S‘0— 06170— 1L1Z‘0— 8601‘0— pla
€689'E 1b9'S 8079'T S190'I 0622'0 65/8'0 54810 ez JY
1069‘ тест“ 59115 69“ 69€6°0 S840 80760 29
0'OI o's ‘Zz oT OT s‘0 55°0 v4







PIL “roe. эинэжионод | |
9= °Х BY «=

НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ (Гл. X]
344















6750‘0 $/50‘0 0/50‘0 $950‘0 5950*0 6350“0 6350°0 (т ш) oa
rels‘o 9908“0 5091 "0 9760‘0 0590‘0 7050'0 09т0‘0 ши
0789‘0— 6515“0— 9815'0— 75/1“0— 9S11‘0— 62S0‘0— 6820‘0— Su
59151— 6619°0— $185‘0— SOI ‘O— 98S0‘0— 5750*0— 110‘0— С
9619'1— 6068‘0— 9757'0— 65750— 8231 ‘0O— 5410*0— 5880‘0— их
0710'0 9700*0— 6910‘0— 6020‘0— 2550‘0— 5850‘0— 750‘0— и ш) a
1778‘0 10550 6710*0— 970*0— €660'0— 9€20'0— ¥310'0— ue, ga
1899°1 85980 ZILE‘O 2961 ‘0 6IZI‘0 6/30°0 0850°0 Ш
-66181— 7$19*0— Z890‘0— 7500°0— 6510‘0 7010°0 8300°0 а
$/68*— 1739'0— 08$0°0 ¥ZI1‘0 1660°0 6890°0 01€0'0 ee
9rEr‘0O— £086 ‘0— 9csT‘O— 0960‘0— 9790‘0— 9550*0— 6910*0— tz, se
1L8h‘e— 0L6e‘S— 6668‘1— 8088‘0— 6/63“0— 1508“0— 6191‘0— ez Uy
18991— 9465'1— 9808“0— 9059“0— 9998‘0— 8181“0— 7160*0— “pity
$85“ 08815 EES‘ 759/°0 7718‘ 0665*0 8661 ‘0 e204
ESE 'b 8616'S PILI 86/0°1 995/°0 7498°0 €rsI ‘0 Е
0°01 0's 95 чт ОТ 3*0 35'0 Ах
{И ‘Woe, эинэжгото@ 1] 8 = 0X 3} Y <=

345
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ КРЫЛЬЕВ
6 21











0/50°0 6070‘0 7900 0190‘0 3990‘0 80/00 66200 “(и ш) а
098*0 Z6Er‘0 6008°0 7305'0 ¥OST‘O 0180'0 8170°0 ша
95/9‘0 9138‘0 8807°0 1Z0€‘0 $165°0 L8Z1‘0 2890‘0 Ш
LLLL'I— 096% I— g9sz‘o— 8947*0— 6556‘0— 9191‘0— 9080*0— а
665*&— 08141— 644 1“1— 6058“0— 966S‘0— 5568‘0— 6941*0— Se
3900°0 9610°0— 9880°0— 5590‘0— 6090°0— 1690°0— 4540'0— (ig) A
7590°0 3075‘0— 1995*0— 9905‘0— 8591“0— 1280'0— 9670°0— ge WY
€190'0 967'0— 56680— 3918‘0— 7685'0— ogel‘o— 2690°0— eld A
ILS‘I— I€Z1‘0— 8985'0 8908°0 3895°0 987Т"О 7820°0 И:
9тот“&— 6191‘0— 5958‘0 Z6L9'0 96660 1518°0 8541*0 их
9998‘0— 6985‘0— 2681 ‘O— 6621 ‘0— Z160°0— 0670°0— 7950°0— Ш
LES‘ I— 986 ‘0— 1665‘0— 9968“0— 085*0— ОбРТ0— L120°0— ez, Wy
seolI— 6rLL‘0— L8bbr‘0— $195*0— rrS1‘O— 7090°0— 1750‘0— ply
7165" 6264'S 1929'I LLLO'T OFS2‘0 1568‘0 6661‘0 e704
У906° ZIZL‘E 2969'S 1808'I Sorel 875°0 cege'o 229
0*от | 0's SZ oT o'r #0 55'0 “4
yl -коех эмножионо 411 =X By ‘о

(Гл. X{
НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ
346



3860‘0 5ЕР0°0 3850‘0 7290*0 5510°0 GZ20°0 9620‘0 Seu) га
86/7°0 0957‘0 9418‘0 7975'0 9961 ‘0 SOIT‘O т630‘0 ешь
9179°0 8569‘0 8897‘0 €69€‘0 $/65‘0 85/1‘0 1860°0 Шу
£089'I— 6/651— 1958°0— 8699*0— 7107*0— 8905*0— УтОт“0— Я
9058— 0228°I— 7965'1— 0186‘0— 8569‘0— 7/18‘0— 7/6Т‘0— а
€200‘0 IS10‘0— 1870°0— 1690°0— ¢890‘0— 1920°0— 96/0‘0— (ыш) 24
6585‘0 9680‘0— 8705‘0— 6902‘0— ZEST ‘O— 8801 ‘O— 5690‘0— ge WY
9181‘0 7585‘0— $998‘0— 0978‘0— 8765'0— 7/1‘0— 7760‘0— Ш:
887/'1— 8607‘0— /105°0 €Z1€‘0 6962‘0 9781 ‘0 L001 ‘0 о
ose6‘I— 1981 ‘0— 1899°0 8999°0 0088°0 osse‘0 L261‘0 о
1818'0— 165‘0— €261‘0— 6981‘0— 6960‘0— $190‘0— $950‘0— wa Use
6166 I— 3051*1— 1818‘0— 9809‘0— 997‘0— 9/950— 9981“0— ez Wy
16751 8950*1— e91L‘0— 5603‘0— 11Z8‘0— L861‘0— 6501“0— ош
1598$ 8506°5 1510°5 00771 0790°Т 1929°0 1662 ‘0 oY
7018“? 9/68“ 587/°5 0596“ SESH PELL‘0 7007‘0 28
‘Or O's id "т 0°Т 3'0 35'0 v4








УИ ‘Woe эинэжигото 9 |
Z = 9% 31% ‘со —= lt

347
`АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ КРЫЛЬЕВ
g 2]













€2Z0'0 66£0‘0 1290'0 7690°0 6£90'0 6890°0 €120'0 (idem) o¥
9768'0 89950 8108*0 $1420 0Z61‘0 8031 ‘0 6290°0 Ш
S640 86/9"0 571'0 69680 31450 9991*0 8660‘0 те
A g/8I‘I— 769/0— 9688‘0— 3948‘0— 6105'0— 6801‘0— Boy
9975*2— S66L‘I— ZOLI‘I— 5558‘0— 0209‘0— eree‘0— SOL‘O— ie
72000 9810'0— 64£0'0— 81900— 9690‘0— €290'0— 90/0'0— | "(ыш) a»
659'0 6460°0 S111‘O— 8291 ‘0— 6ssI‘o— S01 1‘O— 1990‘0— еше
19660 8200‘0— 81950— 7695'0— 1575*0— 309т‘0— L160'0— ye te af
LL98'I— 1158°9— с6т1‘0 3895°0 8795°0 OLLI‘O 6001 ‘0 Я
€66'I— Z161‘0— gc0s‘0 89/9°0 98870 99050 38910 их.
8118‘0— $6/5‘0— 1581“0— 8651‘0— 0880‘0— [120*0— 6750‘0— ии
LILS‘I— 11g6‘I— 0660‘I— 6378“0— 9599‘0— 6468‘0— 961Z‘0— ez, Ute
1567 1— 8855'1— 0$76*0— S10L‘0— 6673‘0— 19180— OZL1‘0— “py
8899's 9896*5 5711"5 8073*1 VSP‘ 6099°0 3878‘0 ef OY
873/ G0bL'e 3899°5 06L'T 51651 00т/°0 6118*0 oe
0*от o's sz "т OT с" 550 ыы
yw -кова зинэхагоноал1 y=% By 5—4

НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ (Гл. x!
348


$760`0 $550°0 6/50`0 Г070`0 01700 91700 3170‘0’ “(ити ) 27
6756`0 38/5°0 58050 SOFT‘ Z101‘0 ZES00 1220°0 sae
ELES‘0 695°0 7515°0 OI9I‘0 61ZI‘0 6/90°0 6F£0'0 Su,
5019'1— 976*0— 8959‘0— 6555'0— 6Е15'0— 6301*0— 1ZS0'0— НЯ
9gc0's— 8551— 6998‘0— egss‘o— yree'0— L161‘0— 1660‘0— о
9400°0 £010°0— 89Z0°0— [750*0— g2£0'0— 96£0'0— 5070°9— | "(ыш) а
0779°0 5785°0 5610*0— 1990‘0— 0290°0— 9770‘0— ¥b20'0— ee, UY
367/^0 1975°0 6590“0— 9801°0— 5460*0— 2290‘0— 9820‘0— ша
1978 1— 106S‘0— ggc0‘0 ZOEI‘O 00st ‘o 8580‘0 3770°0 д.
50Е8‘1— S661 ‘0 — 999¢'0 0928°0 S080 73/10 8160°0 ee
yoce‘o— 1695*0— и 7360*0— 6/90*0— 580*0— ZL10°0— ue ша
1200°%— 9199'I— eset‘ I— 6758‘0— 206S‘0— 6518*0— 6691“0— ec uly
1899 I— esee'I— 6676 ‘0— ggco‘o— 0z9¢‘0— 8375'0— 19510— ша
1909* O8SL‘Z 5808°1 Тб“ +158°0 vebr'0 8755°0 ez OY
1019 6985 8ТУГ $ 5801 89160 1509°0 $95°0 22а
0°OT 03 9% ст OT 30 350 _ ga








УП ‘roel эинэжиоподИ
9= °Х 314 ‘со =

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ КРЫЛЬЕВ 349
$ 2]

7060'0

8750`0








9850°0 #750°0 3750°0. $420'0 6750°0 (iit) 29
17/5°0 PILT‘0 0860°0 9990°0 8980°0 9410°0 9800°0 ша
6L01‘0— 9€20°0— L€0'0— 1200°0— 6100‘0— Z000°0— 1000°0— и
2061 ‘I— 8719'0— 0808*0— 6091'0— 9860°0— 19%0'0— 1650°0— а
965/'1— 2990'I— L0L8‘0— r9rE‘0— 1065°0— 1911‘0— 7850'0— Co Ona
`6/00‘0 1900°0— €910°0— 6610°0— Z1Z0'0— 1560°0— 5580°0— ый ш) ся
08//*0 0/65°0 8090°0 $500‘0— 5810‘0— 0110‘0— 5900‘0— ce UY
3590°1 v18r‘0 Scel‘o 1870‘0 6910°0 8600°0 1000°0 Te, Ue gat
0699'I— 1697‘0— ¥20'0 5770`0 1970`0 60800 9910‘0 eet
€Z0L'I— 09050— 5755°0 7е55'0 87/1*0 5860°0 [190°0 ee
ggee‘o— 0855°0— G91 ‘O— 9820°0— 060°0— 1950‘0— 7610°0— iy Ue
7992— 1606‘I— 0061 ‘I— L69L‘0— 6859‘0— 8693 ‘0— 9981‘0— ez, ly
01491— eres 1— 3998"0— 8899°0— 5988“0— 6961 ‘0— 0660'0— pa
LO0b‘e 0107°5 &15У“1 5306°0 8919°0 0818*0 7A ea
6865$ 79/6*5 182" сот“ 90S2'0 608E'0 rI61‘0 ot
0°01 ne GZ ST at <0 95'0 v4
PUL ‘Woe. эиножигоно611 8 = °Х By ‘comb

(Гл. Xp
НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ
350






с50‘0 | GS0‘O | 060‘0 OF ‘O Ost ‘o | Sr0‘O | 290‘0 001‘O OSI‘O 961‘O “(там 4)
05*0 1“ 11*0 98*0 £8‘0 e‘0 GZ‘0 т“ 13‘0 53°0 v4 rg
sI‘o—| $0‘°9—| 9I'o 750 Z9‘0 510—| $0'0—| 60°0 0“0 1/*0 ta/ Sag
10‘09—| 60°9—| $550—| 69°9—| 419°0—| /10—| #“0—| zi‘o—|} 070—| 22'0— ол
0‘0—| 05°0—| osto—| ori—| е1—| 500—| 7‘0—| 9690—| 18°9—| 199— Изя
850‘0— | 990‘0— | 060‘0—| 071'0—| 091“°0—| 970°0—| 290°0—| 001°0— | 091'0— | э6т‘0— (lug) ,
oc‘o—| 91“°0—| 11°0—| 98'0—| 18°0—| 98°0—| 350—| 810—| 15'0—| 59°9— valde
G10 0°0—| 91°0—| #S'0-| 59°0—| ZI‘O +0'0 60°0— | 08'0—| 22°0— Ема
10*0 60°0 75*0 69°0 19*0 L1'0 r1‘0 L1'0 0r‘0 LL‘0 м,
soo | 050 | 05° | ot | get | 500 | мо | seo | 180 | 99 “ие
0/0`0—| 580‘0— | 660‘0—| 901“°0—| 901‘0—| 0/0°0— | 580°0— | 960‘0— | 860“0— | 860“0— ли
69°0—| gs‘o—| 9°0—| 9/“°0—| 59°0—| $9°0—| 670—| 170—| 9“'0—| 14°0— +) м
15°0—| 18'°0—| 65°0—| 68‘0— 0 gi‘o—| gsi‘o—|] 150—| 45'0— 0 va | uy
cs‘0 73‘0 680 ДТ ТУТ 05°0 15*0 9'0 | 207 £S‘T Va [29
19°0 18‘0 15*1 29° 131 09‘0 920 ror | ¥S'T 1S‘ Wa / 29
8 | 9 | р 5 0 8 9 у $ 0 ох, 81 ¥








u

GIL. emurgey

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ КРЫЛЬЕВ 351
$2]








660‘ | 190°9 | 1/0'0 | 080°9% | 8/00 | 900°9. | 4700 | 580% | ото | #II‘0 Чаша)
50‘0 п‘ | ogo 980 810 | 90°0 80°0 150 | 070 | 550 Va/ teed
00‘0 SI‘0 5‘0 0r‘0 82'0 110—| 30° 65*0 09°0 5у°0 Va “oie
80°0—| oco—| 170—| ero—| 55'0—| soo—} $10—| se‘o—]| 599—| sr‘o— за
559—| 00—| $/0—| eso—| 9/0—| 90—| 08'0—| 999—| ич--| 209— м,
50“0— | 1#0‘0—| 1/0°0—| 080°0—| $/0‘0—| 950‘0— |. /90°9—| 580°0—| 051‘0—| эт“о— ша)
50‘0—| 1'0—| 080—| 950—| 810—| 90%0—| 80°9—| 150—| 070—| #5'0— vale oe
00‘0 sI‘o—| 570—| 070—| 850—| II‘o 0‘0—| 65°0—| o9'0—| 570— \а/ 1
soo | 050 | 1/0 | ero | 5690 50° | 510 | geo | 5990 | 90 va/d: 2,
250 070 7/0 €8°0 3/0 +10 08*0 79‘0 II‘ Z0'T wea
790“0— | 0Z0°0—| 660'0—| col‘o—]| 101‘0—| 990°9—| 080'0—| 101‘0—]| ч01°0—| 901‘o— Vata.
rs'0—| 99'0—-]| se‘o—| gs‘o—| 08'°0—| 19%0—| 59%0—| zz‘o—| 6/0—| 20— Na/ez uy
Iv0—| 19'°0—| 8/0—| 50— 0 Le0—| 90—| 639'0—| 50— 0 Чаша
€9'0 16‘0 6У*1 GS‘ 58‘0 Z3‘0 92‘0 €‘T eS‘ 80*1 Ча / ег 24
LL'0 Z0'I 1g‘T 1g‘I 1g‘t rL'0 16°0 ВЕТ 131 151 4/274
8 | 9 | у | 5 | 0 8 9 у $ 0 °Х 33%





Ц

GI ‘roe. эинэжкопо911

352 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ [Гл. XI
момента крена т,1 за характерный линейный размер взят размах
крыла J, а для кинематических параметров O,, и Wy, — полураз-
мах [/2.
Начало координат было расположено на оси симметрии, при-
чем так, что ось Oz проходила через носок САХ (x, = 0). Пере.
счет на другой характерный размер, например корневую хорду
крыла 6, и другую центровку x, осуществляется по формулам
(1.69), (1.82). С помощью приведенных в таблице 11.4 данных
можно определить. коэффициенты аэродинамических производных
крыльев’для всего диапазона дозвуковых скоростей (0 = М < 1).
При малых скоростях, когда М = 0 u & = 1, их можно исполь.
зовать непосредственно при анализе влияния геометрических
параметров крыла на величину аэродинамических производных
в несжимаемой среде.
При числах М, близких к единице, величины RA становятся
малыми и пользоваться данными таблицы 11.4 становится затруд:
нительным. В то же время, как легко установить из анализа при-
веденных в ней материалов, коэффициенты kc, ©3671, Rec%t изме.
няются по RA линейно при малых RA. Поэтому в таблице 11.5
приведены полученные по численным расчетам приближенные
величины производных с /ЁХ, kecli/kA, ЕЗСИЕА.
Использование этих величин позволяет несколько увеличить
точность определения коэффициентов аэродинамических произ.
водных вблизи М == 1.
$ 3. Индуктивное сопротивление крыльев
с прямыми кромками
Систематические данные по коэффициентам индуктивного со-
противления с подсасывающей силой и без нее приведем для слу.
чая установившегося движения недеформированного плоского кры:
ла с углом атаки %. Напомним, что в соответствии с $5 главы УШ
коэффициенты индуктивного сопротивления с подсасывающей
силой Си без нее сх”, а также коэффициент подсасывающей
силы Co’ могут быть представлены в виде

| (11.4

Здесь Ва, Ва и Ра — некоторые множители, которые зависят 01
формы крыла в плане и числа М.
На рис. 11.2—11.5 изображены зависимости фактора индуг
тивного сопротивления с подсасывающей силой By, от параметре

$ 3] ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕН. КРЫЛЬЕВ С ПРЯМЫМИ КРОМКАМИ 353





































Boy а | |
13 NY Atg X78 =
Ee eee
a en eel
a
09
08
0 of 29 4 § 6 GF 8 Ika
Рис. 11.2. Зависимость фактора Во, от параметров подобия, 1 = 1.

at TLL | ]







И






$ [So FS ©

























0901129406070 9 F ka
Рис. 11.3. Зависимость фактора By, от параметров подобия, 1 == 2.
















By |
w= ГЕНЕРАЛ /
' AtgX 70 2 4 610
09
08





















012940 6 08 F KA
Рис. 11.4. Зависимость фактора Во от параметров подобия, 1 = 8.

354 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ (Гл. XI





































В.Г |
7=00 ne ee
10 Ae
’ MtgX,-8 6 4 Z
49
а 129406 Г 8 ЭМ
Рис. 11.5. Зависимость фактора Во от параметров подо-
OHA, \ = ©.









































by
|
7 T act
p= —
Al it mapa ies
5 —T 14 a
—T |4 2a
р = НАТ.
р
РИ Lae |
Pa aA
РИ
2
ql .
| и пои: ИИ ИО п G7 8 SD TA
Рис. 11.6. Зависимость фактора Во от параметров подо-
бия, | = 1.

§ 3] ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕН. КРЫЛЬЕВ С ПРЯМЫМИ КРОМКАМИ 355
















Bog |
Ty
7 S ——
6 НЫЕ м
- — = и
5 АЖ. —T 2a
a6
ЕЕ
г
3 ЧИ
BBE ЧС
й |)
a
]
























0 ] 4 9 4 56. 66 7 86 FG KA
Рис. 11.7. Зависимость фактора Во от параметров подо-


































бия, = 2.
By .
м
7 ik РР
р = ape
Agi = eT Le GA
5 / — #2
О И И Peer
, GL-T LA
, eT а” a
—— 2
9 РРР
2
7
0 / 2 д 4 o 6G 7 8 9 kx





Рис. 11.8. Зависимость фактора Во от параметров подо-
бия, 1 = 5.

356 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ [Гл. XI
подобия RA, A’ tgx%o, n. Рис. 11.6—11.9 содержат аналогичные
зависимости для фактора индуктивного сопротивления без под-
сасывающей силы — By.















By
|
= 00
yas
6 a ra 2
| —T р.
5 AgX,=8 Ра |.
| — [= Г.
М
LT
Z
/
























0 tf 2 38 4 &§ 6 7 8 8 KA
Рис. 11.9. Зависимость фактора Ва от параметров подобия, 1 = oo.
$ 4. Тяга при поступательных колебаниях крыла
В качестве примера расчета сопротивления при неустановив-
шемся движении рассмотрим поступательные вертикальные коле-
бания по гармоническому закону плоских крыльев (рис. 11.10).
4
A a or

Рис. 11.10. К изучению поступательных колебаний крыльев.
Пусть
и, =0, y(t) =—y*sinp*t, т= 0, (11.5)
где y* — амплитуда. Тогда
dy/dt р ik * XK *
a(t) = — ——_ = cos = a" COS p*T,
(¢) |. = YP" Cos рт p (11.6)
& (т) = — a*p* sin p*t, ой = Zp", y* = чб.

4] ТЯГА ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ КРЫЛА 357.
Для продольной силы имеем согласно (7.7) с учетом подсасывающей
СИЛЫ
2 e e о о .
с == сю + С - cf an + cf" a? (11.7)
и без нее |
- 7 “aa.2 | “aH. ° , “aa?
СЕ = сю +e: a +c; aato¢ a. (11.8)
Для крыла-пластины любой формы в плане имеем (вязкостью
среды пренебрегаем)
сю == сю =0, 61° =0, GX =0, ср“ =0, (11.9)
так как нормальные силы не дают проекций на Ох (рис. 11.10).
Таким образом,
С = 00”, С = 00”, бр“ == 00%. ` (11.10)
Коэффициенты аэродинамических производных подсасывающей
силы Co’, Co. и со’ приведены соответственно на рис. 11.11-—11.13
для прямоугольных, стреловидных (y = 2, Хх, = 60°) и треуголь-
ных крыльев разного удлинения. | |
Найдем коэффициент средней (за период Т) тяги
T
1 ,
0
Заметим, что
p*t, = Qn, =. (11.12)
Подставляя в (11.11) выражение (11.7) и учитывая соотношения
(11.6), (11.10) и (11.12), получим, что коэффициент средней (за
период Т) тяги будет
(=) = of + phi (11.13)
2
При колебаниях с числом Струхаля р* — 0 средняя тяги равна

сер = 0%. (11.14)
Мощность, затрачиваемую на создание рассматриваемых коле-
баний, найдем, используя зависимость (8.102). Учитывая соотно-
шения (8.105), коэффициент мощности Cp (см. (1.21)) будет
Ср (©) = coe? +- ch one, (11.15)

358
‚НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ














4"
А=со, Хр”
6 чи
д
4 al
aw |
3 | 14|.
~ Be =m 2.
ra
2 Zr
/
An

"Я






















/ 2 J 4 od «66 Г 8 Gg A
Рис. 11.11. Зависимость коэффициента подсасывающей
силы co OT ‘удлинения: @— прямоугольные крылья,
б — стреловидные 1 = 2, Хх = 60°, в — треугольные.







































gd
15 - T TP Ha
1 | | и
0---- | | и
Х р
| by
МГ
Vy, ЕЁ
05 VA | |
. A_| | LA
ДТ
9291
Aa
0 Г 2 @ 4 А
Рис. 11.12. Зависимость коэффициента подсасывающей
силы CO” от удлинения: а — прямоугольные крылья, 6 —
стреловидные 1 = 2, Xo = 60°, в — треугольные.
[Рл. Xt

6 4] ТЯГА ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ КРЫЛА 359
Работа, затрачиваемая за период tr Ha создание колебаний,
равна |
2л/р*
_ pU5 U2
A, == 5 op(t)dr= cr so
*2
9 Ty e

Отсюда и' из (11.14) нетрудно определить коэффициент полезного
Ya
4
08




06 a



04 AC | ae
apa
| =<
0 1 8 9 4 A


























Рис. 11.13. Зависимость коэффициента подсасывающей силы co. OT удлинения:
а— прямоугольные крылья, O— стреловидные \ = 2, Xo = 60°, в — треугольные.








Tat | oe
08 Г. = р —
06} p< 4 |
04
42 |














и 2 4 6 вл
Рис. 11.14. Коэффициент полезного действия при поступательных колебаниях:
а— прямоугольных крыльев, 6 — треугольных.
действия при поступательных колебаниях крыльев


2
с Ро бит ся | 2 ce
_ кр 2 797 69 ТР 60 (11.16)
Na — A; — с ° °
. у
На рис. 11.14 приведены значения Yq при р* — 0 прямоугольных
и треугольных крыльев в зависимости от удлинения. Для стрело-
видных крыльев \ = 2, Xo = 60° кривая лежит между приведен-

360 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ (Гл. XI
ными, Как видно, к. п. д. с увеличением удлинения растет от 0,5
до 1,0 при A = со. При малых удлинениях треугольные крылья
имеют несколько больший коэффициент полезного действия,
чем прямоугольные, при больших — наоборот.
$ 5. Механизация прямоугольных крыльев
Отклонение рулей и элеронов вызывает на крыле дополни-
тельную подъемную силу и дополнительные продольный и попе-
речный моменты. Соответствующие коэффициенты введем форму-
лами (1.17) и (1.18) и представим их через коэффициенты аэроди-
намических производных (1.48).
0 ,
| -#











Рис. 11.15. К эффективности рулей.
Рассмотрим прямоугольное крыло любого удлинения с меха-
низацией также прямоугольной формы в плане, которая начинается
от корневой хорды (рис. 11.15). Безразмерными геометрическими
параметрами для указанной механизации являются относитель-
ная хорда ‘by = 65/6 и относительный размах [, [/Г руля или
элерона. Указанные параметры, очевидно, могут 1 меняться в пре-
делах от 0 до 1.
8
На рис. 11.16—11.39 построены значения коэффициентов Cys
me, me И 8, т, тб, характеризующих эффективность механиза-
ции прямоугольных крыльев различных удлинений A. Эти коэффи-
циенты представлены в виде функций относительного размаха
руля или элерона при различных значениях b, или 6..
Используя материалы рис. 11.16—11.39, нетрудно получить
значения соответствующих коэффициентов для руля (элерона),
расположенного в произвольном месте размаха крыла. Пусть
‚руль с относительной хордой bp расположен по размаху между 21
и. 2з сечениями крыла (рис. 11.15). Считаем, что на левой половине






































§ 5] МЕХАНИЗАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КРЫЛЬЕВ
by
C,,'
у | _
7-04
12 p =e
KIT. 2
a aA
08 пая Г
я =
06 A
La
04 И |
| АР a
LT
02 APA
27
0 12 4 46 9 С Ь
Рис. 11.16. Влияние относительных размеров механизации
6 __ В
коЭ иент C°p прямоугольного крыла A= |.
на коэффиц ур прямоу р |



































6
бу”
bn=0,4
2 pa 09
ИТ _
ВР Ри
РРР —
НИ | т
РРСРР
А
| >
о 0 04 16 9 i
Рис. 11.17. Влияние относительных размеров механизации
на коэффициент oop прямоугольного крыла A = 2,5.
361

362 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ (Гл. XI






































(bp
3 yoy
Рой
РЯ La
и рем БР ний
2 4 OA | L402
LA Z
РЯ РЯ р Ра
> Pa | . Pat
1 ALG =
и 54 7
ра
KAS
a
G 02 04 06 00 Ly
Рис. 11.18. Влияние относительных размеров механиза-
ции на коэффициент cp прямоугольного крыла A = 5.









































ст
и. _
by 04)
A
ad
8 4
V4 р. A
и LA BAT
OA
2 И >
ИДИ a
и! Г
wa
VA ea
1 1734 Pa
AA
WA р
VIA
ra
г
0_ 02 04 06 08 р
Рис. 11.19. Влияние относительных размеров механиза-
ции на коэффициент cP прямоугольного крыла А. = 10.

$5] МЕХАНИЗАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КРЫЛЬЕВ





































0 02 04 06 08 р,
ANN
2 Na
ьч
SS №“
К мы
-04 NY NL 6-01
‘N “AL
р аи 9
' к.
‚п?
Рис. 11.20. Влияние относительных размеров механизации
на коэффициент тбр прямоугольного крыла A= 1.


































р 42 ny 46 ag i,
sl | |
a
New
| PN | TN
ia SS [~
Sst || era
M02
10 GFT
, Wt
Рис. 11.21. Влияние относительных размеров механизации
на коэффициент mp прямоугольного крыла A = 2,5.
363

864 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ Ita. &1




































0 02 04 06 08 р
оч
| вы
-05 SS Pe
кач Ч
AN
`` 0-07
сч SY
{0 ANG а
SPREE
АЯ
J
[04
a |
Рис. 11.22. Влияние относительных размеров механизации
на коэффициент тр прямоугольного крыла А = 5.
ad ‹





































0 42 04 ag 8 р
S .
WSS
‘QS ха,
Bar SNS
..-Ё IS = _
SK AL By=0,1
SAIN. a
40 SS aN №
ne
IS
N Gd Pe
<
ee QAINSS
ne
‘Puc. 11.23. Влияние` относительных размеров механизации
- . , „6 , а —_
на -коэффициент Mp прямоугольного крыла А = 10

МЕХАНИЗАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КРЫЛЬЕВ


















0 02 04 06 18 L,
| aw
| К =
-п N ww
ad NNaN
NWI
\ N
NWN
NUR
~L10 | NS hl
м,
/ AA
A Niaz
cas
“115 м
ING
net : nN






















Рис. 11.24. Влияние относительных размеров механизации
на коэффициент mes прямоугольного крыла A = 1.
x










































0 0,2 04 46 _ 08 Г,
ВЦ
™,
wan
. NAY ~
aI NAKA OK
кая |
№ |207
NONE
02 NaN
| \\ №42 №
aN
NaN
NIN
Nae
ad INE WO
ay
Рис. 11.25. Влияние относительных размеров механизации
на коэффициент m3 прямоугольного крыла ^ = 9,5.
365

366 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ (Ta. X]



































0 02 04 46 08 L,
~~
1 ча
у BSNS SC
2 Ne |
| Ммм 65-81
“OJ “ LN №
, ANAS a7
a “RS
maf
Рис. 11.26. Влияние относительных размеров механизации
на коэффициент тез прямоугольного крыла A = 5.







































| 02 ay 46 04 L,
Nese
Ae NAS
nen Gn
Os ANaN ь ЧИ
ах Nigar
“14 NOK
\\ —
“5 res NY
\ oN ьч
-06 09
4 х
-47 :
maf
Рис. 11.27. Влияние относительных размеров механизации
на коэффициент туз прямоугольного крыла А = 10.

МЕХАНИЗАЦИЯ ПРЯМОУЁОЛЬНЫ Х КРЫЛЬЁВ




































6 “a
Cy
—
05 ет
65 м
| 7 ^ из
04 WA р.
Pa
09 4 al
A | | fe
—— 12
02 Я |. [о a
Я -^
a4 —— {ttt ton
YL oz a a
tt
0 02 04 06 49 lh
Рис. 11.28. Влияние относительных размеров механизации
на коэффициент cP ‘прямоугольного крыла A == 1.
















he
бу
04 a
7
09
р. (а
2 > —
0 [. a [. РЕ
01 ри
РР [АТ 71
= ee 04 O6 G8 р
BI 2 01

























Рис. 11.29. Влияние относительных размеров механизации
на коэффициент eu прямоугольного крыла A == 2,5.
367

368 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ (Гл. &!









































































0. 02 bY 06 08 р
“OI Ww
cS
0.2 `
43 NNER
RN nw 5-04
a И a
-04
к
a5 оч
| | ка ~~
AG Na NG
у NY PG
< i
47 —
—02
é
Рис. 11.30. Влияние относительных размеров механизации
на коэффициент op прямоугольного крыла A = 5.
0 42 04 06 48 р
RIX
NO
-f | ча <
TN £287
wa =e
B47 | 42 | [~~~
Od =
‚ |. >
2 |
op.
oy р
Рис. 11.31. Влияние относительных размеров механизации
на коэффициент cpp прямоугольного крыла A = 10.




































a mee
“Of NS ке | -
mS ~ ee by=0,]
OZ | mM м ee
SNL TAR 02
a 03
-04 MN
~ м
пр
Рис. 11.32. Влияние относительных размеров механизации
6 —
на коэффициент т.Р прямоугольного крыла A= 1.





































0 02 by 06 le OBC
-]] ma Г И ЧИ by= 0.)
" NY мы | |
> —_— at BZ
“2 . >
9 ™~ а
Ad aw a ~
д Е | РЕ
OA aa |
“5 и
т
Рис. 11.33. Влияние относительных размеров механизации
на коэффициент my прямоугольного крыла A == 2,5.







































01 = А
= г | 7 _
0 = ee и
| O24 04 06 08 р
— a О
0] | = ~~ —
. 09
02 TT
3}: Ff TORN
mo
Рис. 11.34. Влияние относительных размеров механизации
на коэффициент mP прямоугольного крыла A = 5.

370 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ (Гл. XI
крыла имеется симметрично расположенный руль. Воспользовав-
щись следствием (6.23) теоремы обратимости, можем написать
5: 5
Cyt (bp, 2, 22) = a Г [ р°аЕаг = —— Г Ге dt dz —
о. 0
2
b,
—| | p* ЧЕ dz = Cy4 (Bp, 0, Ze) — с (6 0, 21), (11.17)
ос
=
N







































п
РР я
03 =
| BA
0202 A
VA
VA Z|
a TA 7s
Wg a
vA
LY,
| 0.4
Bi 7274 =” г ``
YY ma
| Ye
ГИ
‚>
|/ | 02 04 O6 08 И
Рис. 11.35. Влияние относительных размеров механизации
6 —
на коэффициент т.Р прямоугольного крыла A = 10.
так как функция p~ не зависит от формы и размеров нуля. Вос-
пользовавшись следствиями (6.25) и (6.27), получим для фикси-
ованного 6
P P c,P у? (21, 2) =c,P (0, 22) — су? (0, 21), |
тер (21, 2а) = ть? (0, 28) — то? (0, 2), } (11.18)
6 - = д - 6 -
myi(Z1, 22) = та (0, 22) — та (0, 21).

Аналогичные соотношения имеют место и для коэффициентов с точ-
ками.Приведенные данные позволяют выявить многие качественные
и количественные особенности в работе механизации крыла,
Например, из рис. 11.16—11.19 и 11.24—11.27 видно, что увели:
чение относительной хорды при фиксированном относительном













$ 5] МЕХАНИЗАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ. КРЫЛЬЕВ
0 02 04 06 08 р
Ее i
— Pl Ён нь lt
>a rm —
SK] ONL ~~
“O05 ae ь а O27
| К
> a
ГГ
2-54
INQ
6
Пу]






















Рис. 11.36. Влияние относительных размеров механизации
3 пряь V=1
на коэффициент /71,7 прямоугольного крыла ^\ = 1.


































0 12 04 06 Г. a?
— О 0,=07
Bee чм To 4
м м 182"
im
“01 ae
| 5 5
—
< .
Nit
04
ле
Рис. 11.37. Влияние относительных размеров механизации
5. Р
3 —
на коэффициент т x, прямоугольного крыла А, == 2,5.


































|/ ‚_ 02 04 _06 060 by
a И паи = —т
в. р,=01 их
bw ms | A
a = 09
“OI = > we
Na
. N\
6

Рис. 11.38. Влияние относительных размеров механизации
на коэффициент ту} прямоугольного крыла А = 5,
371

372 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ









































6: -
ту} by=O1 =
pA O2\|—
A
Od
0,05 A) —
2 a 2
Lea
рой
0 a MNS =
02 04 06 08 р
04
005 \.
Рис. 11.39. Влияние относительных размеров механизации
на коэффициент ms прямоугольного крыла A = 10.








































a
Co
||
bp =Q5
4 a=
tobe
aA
10 Prat pean
| и q = (ai
08 РР 2 М | eet
A wa a
ри
“Oe
04 |} Y AA
ИХ
1/7
G2 V4
[/] / 2 9 4 5 6 7 6 Gg A
Рис. 11.40. Зависимость коэффициента
0%
Com
моугольных крыльев (/p = 1, М= Q).
OT удлинения пря-
(Гл. XI




































26 9 4
№ a
i} + NAH
aN a
“0, 2 OATS _t
No Pe и=0/
a» ee
LG NL | |
й _ —
Od) |
пу
Рис. 11.41. Зависимость коэффициента то от удлинения пря-
моугольных крыльев (lp = 1, M= 0).

co
pet




Va














0 2
6
Puc. 11.42. Зависимость коэффициента Cf,

4
6
9
A
от удлинения
прямоугольных крыльев (1 р =1, М= 0).
0 2
4
6
8B A




ch
pe
Moo
AA


WN
N

|







2,0, 7 1
02]






















. 6
Рис. 11.43. Зависимость коэффициента m,P от удлинения
прямоугольных крыльев (fp = 1, М = 0).

374 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ (Гл. XI
размахе механизации не сопровождается пропорциональным
увеличением несущих свойств и кренящего момента. Это объя-
сняется тем, что надозвуковых скоростях отклонение механизации
вызывает возмущения на всем крыле. Поэтому само крыло игра-
ет весьма существенную роль в создании дополнительной подъ-
емной силы и дополнительных моментов. Увеличение относи-
тельной площади руля или элерона приводит к одновременному
уменьшению площади крыла и снижению отмеченного полезного
эффекта.
Данные по шарнирным характеристикам рулей для прямо-
угольных крыльев разного удлинения приведены на рис. 11.40—
11.43. Считалось, что размах руля равен размаху крыла. На




























































eX?
14 №
15 [ va т \
ALL PN E5284 60
Г ~ "ПГ
ams NS. ag tA IS
HL | ЧИ | С-Ь-М
< S IN
10 05-4 4— ~
| NAN
——
HA (62 04H 3
Ч ipP=a
| as Il NN g2
05
|| д ГР
G г и
| 9
| | |
0 2 4 6 G д |/ 2 4 G 8g A
Рис. 11.44. Коэффициент аэро- Рис. 11.45. Коэффициент аэро-
динамической производной со-.
противления с подсасывающей
2 ad
CHJIOH Cy прямоугольных
крыльев (i, =1, М= 0).
динамической производной со-
противления с подсасывающей
| 66
силой С, прямоугольных
крыльев (1. =1, M= 0).
рис. 11.40 приведены коэффициенты подъемной силы руля, a на
рис. 11.41 — коэффициенты шарнирного момента, действующего
на неотклоненный руль при установившемся движении крыла
с углом атаки “. На рис. 11.42—11,43 даны коэффициенты аэро:

$ 5] МЕХАНИЗАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КРЫЛЬЕВ 875
динамических производных подъемной силы руля cok, и шарнир-
ного момента тор при отклонении руля. .
На рис. 11.44, 11.45 даны коэффициенты аэродинамических
производных сопротивления с подсасывающей силы. с°°, 60° для
прямоугольных крыльев различного удлинения при откло-
нении рулей разной относительной хордой b, и размахом, рав-
ным размаху крыла. Аналогичные данные для коэффициен-
~ тов сопротивления без подсасы-























































70 вающей силы c%° и с’ приве-
д > дены на рис. 11.46—11.47.
| 7 -
A hs
У
/
9 у _ Ob
[— le =
/ Lo (a2 by=04
[ / Z| a 12 rT,
| / ,
| A
‘4 - LO и Cen
[| aso 01 08 / A
д. i,
/ Ра -—— 027 |
Xt ad
7 Vi | al oil
/ | ОГ ae
7 42
0 2 4 6 6 Л 0 2 4. ф 9 д







Рис. 11.46. Коэффициент аэро-
динамической производной со-
противления без подсасываю-
щей силы 6% прямоугольных
крыльев (1, = 1, М = 0).
Рис. 11.47. Коэффициент аэро-
динамической производной со-
противления без подсасываю-
щей силы с, прямоугольных
крыльев (1 = 1, М = 0).
В заключение приведем коэффициенты. аэродинамических
производных для прямоугольного крыла A = 1,5, имеющего
секционированный руль (см. рис. 11.1) с относительной хор-
hoi 6, = 0,3.
В таблице 11.6 даны величины коэффициентов аэродина-

376. НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И UX АНАЛИЗ [Гл. Xt
мических производных подъемной силы руля и шарнирного
момента отдельных секций неотклоненного руля при гармони-
ческих колебаниях всего крыла.
В таблице 11.7 даются коэффициенты аэродинамических про-
изводных подъемной силы и продольного момента всего крыла, а
также коэффициенты подъемной силы и шарнирного момента на
секциях руля при отклонении одной из них (подразумевается,
что на левой половине крыла соответствующая секция отклоне-
на также).
Таблица 11.6
Прямоугольное крыло A = 1,5; bp = 0,3, М =0


j 1 2 3 4 5
0,2274 0,3470 0,4309 0,4858 { — 0,5131
0m 0,7538 0,9798 1,0860 1,1388 1,1161
me —0,0757 | —0,1144 | —0,1416 | —0,1595 | —0,1684
mi "0,2824 | —0,3620 | —0,3989 | —0,4174 | —0,4253
СР 0,8507 1,1288 1,2719 1,3497 1,3847
oe р 0,5346 0,6772 0,7383 0,7670 0,7787
maz, —0,3149 | —0,4114 | —0,4605 | —0,4871 | —0,4990
то —0,2111 | —0,2630 | —0,2848 | —0,2950 | —0,2991
coe 0,0309 0,0383 0,0379 0,0359 0,0327
oe 0,4069 0,5161 0,4933 0,4614 0,4255
тя —0,0097 | —0,0127 | —0,0122 | —0,0086 | —0,0031
тоя —0,1542 | —0,1566 | —0,1251 | —0,0793 | —0,0271






В таблице 11.8 аналогичные данные приведены для случая,
когда секции руля работают как элероны, т. е. на Левой поло-
вине крыла соответствующая секция отклонена на равнопротиво-
положный угол. |
Все материалы таблиц даны для несжимаемой среды (М = 0),
коэффициенты подъемной силы руля и шарнирного момента от-
несены к площади соответствующей секции.

$5 МЕХАНИЗАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КРЫЛЬЕВ 377
Таблица 11.7
Прямоугольное крыло A =1,5, бр = 0,3, M= 0






—_ i 1 2 3 4 5
oi! 0,2192 0,2984 0,3407 0,3641 0,3747
сё 0,0639 0,0818 0,0897 0,0936 0,0951
m,! —0,1281 | —0,1697 | —0,1899 | —0,2004 | —0,2050
mo —0,0549 | —0,0696 | —0,0760 | —0,0791 | —0,0804
с 1,2891 0,3152 0,1470 0,0906 0,0711
р 0,6741 0,1476 0,0594 0,0319 0,0228
mei, —0,2343 | —0,1009 | —0,0917 | —0,0324 | —0,0254
mot —0,2976 | —0,0591 | —0,0226 | —0,0119 | —0,0085
ein 0,3147 1,3857 0,3697 0,1906 | 0,1379
of 0,1474 0,7120 0,1662 0,0732 0,0476
mi, —0,1006 | —0,2678 | —0,1200 | —0,0670 | —0,0490
mot —0,0589 | —0,3117 | —0,0658 | —0,0276 | —0,0175
oft 0,1466 0,3697 1,4261 0,4135 0,2540
oft 0,0589 | 0,1658 | 0,7247 | 0,1809 | 0,0972
my, —0,0514 | —0,1199 | —0,2820 | —0,1354 | —0,0804
moi, —0,0223 | ~0,0657 | —0,3163 | —0,0711 | —0,0364
ot, 0,0904 0,1907 0,4136 1,4889 0,5287
о 0,083 | 0.077 | 01807 | 0.7487 | 0,2305
moi, —0,0321 | —0,0669 | —0,1354 | —0,3042 | —0,1756
тб —0,0116 | —0,0274 | —0,0711 | —0,3252 | —0,0900
ot 0,0710 0,1381 0,2542 | 0,5288 1,7638
5 | 0,0220 0,0469 0,0968 0.2303 0,8820
mi, —0,0252 | —0,0490 | —0,0804 | —0,1756 | —0,3903
mes —0,0091 | —0,0173 | —0,0363 | —0,0899 | —0,3788





378 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ (fn. XI
Таблица 11.8
Прямоугольное крыло 4 =1,5, 6. = 0,3, M= 0
i 1 2 3 4 5
mei —0,0630 | —0,0686 | —0,0562 | —0,0361 | —0,0124
mi —0,0282 | —0,0292 | —0,0235 | —0,0150 | —0,0051
с 1,2779 0,2965 0,1199 0,0520 0,0149
с 0,6727 0,1446 0,0539 0,0294 0,0063
met, —0,2303 | —0,0943 | —0,0421 | —0,0186 | —0,0054
mei —0,2970 | —0,0579 | —0,0205 | —0,0083 | —0,0023
coxa 0,2961 1,3541 0,3228 1217 | 0,0831
oft 0,1446 | 0,7062 0,1556 0,0546 0,0144
mei, —0,0940 | —0,2567 | —0,1034 | —0,0496 | —0,0118
тб —0,0579 | —0,3097 | —0,0619 | —0,0207 | —0,0054
с 0,1195 0,3227 1,3540 0,3025 0,0732
oft 0,0539 0, 1556 0,7060 0,1471 0,0337
mi, —0,0418 | —0,1034 | —0,2566 | —0,0961 | —0,0253
т —0,0205 —0,0619 —0,3095 —0,0587 —0,0130
с 0,0518 0,1216 0,3025 1,3054 0,1961
с 0,0224 0,0546 0,1471 0,6848 0,0989
ma, —0,0185 | —0,0425 | —0,0961 | —0,2322 | —0,0590
mit —0,9083 | —0,0207 | —0,0587 | —0,3018 | —0,0404
о 0,0148 0,0331 0,0732 0,1961 1,0360
oft 0,0063 0,0144 0,0337 0,0989 0,5525
mi, —0,0053 | —0,0118 | —0,0253 | —0,0590 | —0,1548
тб —0,0024 —0,0054 | —0,0130 | —0,0402 | —0,2483







$66] ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НА ПРОИЗВОДНЫЕ 379
$ 6. Влияние геометрических параметров
и числа М на аэродинамические производные
Анализ влияния формы в плане, удлинения и числа М прове-
дем на примере прямоугольного, треугольного и стреловидного
крыльев при положении оси OZ на носке средней аэродинамической
хорды 6... |
Из таблицы 11.4 видно, что увеличение удлинения приводит
к возрастанию несущих свойств (коэффициента cy). Несущие свой-
ства увеличиваются также и с ростом числа М. Аналогично су












































a
у?
и. т
Z Я
я
J —T | Я р
—= —17|..---Т 2
ыы ahem я Tt 5
2 — 2 ===
Е MPAMOYCONGHOE НДС
tk —-—mpeyeanonoe sou | ——APAMOYZONbHOE ирыло
- ——— budnoe Кро 60, n=2) RESET Иры
PEE EAGT ———cmpenobudioe npouno(Xg 60,92)
[ 04 OG М [ 04 08 М
Рис. 11.48. Влияние числа М Рис. 11.49. Влияние числа М
на производную су (A = 2,5). на производную za (A = 2,5).
изменяются и другие аэродинамические коэффициенты без точек
(,7, т, т.2, mi"). Коэффициенты аэродинамических произ-
водных с точками также сильно зависят от удлинения. Наиболее
сильное влияние числа М на эти коэффициенты имеет место вблизи
М = 1. Это проявляется в интенсивном росте (гораздо большем,
чем для коэффициентов без точек) абсолютных значений коэффи-
циентов с точками. Рост угла стреловидности крыла приводит
к заметному снижению производной с, крыла большого удли-
нения. Качественно, а при весьма больших удлинениях и коли-
чественно, это описывается схемой скользящего‘ крыла. При не-
больших удлинениях крыла A влияние угла Yo практически отсут-
ствует. Это можно объяснить тем, что при малых A даже значитель-
‘HOG изменение угла Yo не влияет существенно на форму крыла
в плане.
Изменение сужения крыла \ при постоянных значениях A
И {о слабо влияет на несущие свойства крыла, особенно при ма-

380
НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ
(Гл. XI
лых A. Этот результат нетрудно понять, если учесть, что основная
часть подъемной силы при дозвуковых скоростях полета сосредо-
точена вблизи передних кромок крыла, особенно при малых удли-




















нениях.
р 04 09 М
y
Д
-/ St ~
— IPAMOYCONGHOE KPbL/10 \

L—-—MPEYBO0NHOE ирыло .
----- спрелоибние рыло yb = 7. =)
У О ОИ


Рис. 11.50. Влияние числа М
на производную my, (A = 2,5).
‚0 04 08 М.
-U q | 1 q | т | | т


NDAMOYCONOHOE KpbiNo
—-—MPEYCULIOE ирыло
Г — ——ampenobudnoe рыло (X60, 472)







NS
ia
















Wy]
Mei
Puc. 11.52. Влияние ‚числа М
на производную m,¥ 1 (A= 2,5).
ZrL—: — MPEYCONbHOE Kpblno
|/ 04 19_М










_—_ _,
ee
—
mend
a
—— №
.

и










-— ЛДЯМОИСОЛЬНОЕ Kpbino \

== —- Арелобийнае нриле (А; ий 4
ries


Рис. 11.51. Влияние числа М
на производную т, га (A = 2,5).










qf"
= ——— PAMOYZONHOE ПНА
J —-—MMPEYCONDHOE крыло
- — — ompenobudnoe Moora Ar,
2] 1-2)
|
Гр
7 if
> | L | — =
7 04 08” |M










Рис. 11:53. Влияние числа М.
на производную с? (A = 2,5).
Отметим также, что при установившемся движении фокус
крыла хр смещается назад тем заметнее, чем больше ху.

$ 6] ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НА ПРОИЗВОДНЫЕ 381
На рис. 11.48—11.57. дано влияние числа М на производные
крыльев А = 2,5 разной формы в плане: прямоугольного, тре-
угольного и стреловидного (у, = 60°, 1 = 2). Следует обратить
внимание на то, что влияние формы крыла в плане обычно прояв-
ляется сильнее всего при больших дозвуковых скоростях (вблизи
=
































































































| |
jae 48 [М 9 14 8_М
— aes ~~
-02 У Tims
\ ato \
\ WN
-04 AY | Х \
и \ -] \
~O6 “rh | —= /PAMOYICONGHOE Kpbino
- NPAMOYCONGHOE npouno \ \ ps MEY EONOHOE Ари
“08+ —-— MDeyennonoe Kpoino, \\ r= —cimpenobuduoe нрыло (60, 4 =2)
-— — — опреловииое рыло (К 60972) Е
Пи CECE et
бр“ moa
Рис. 11.54. Влияние числа М Рис. 11.55. Влияние числа М
на производную cz (A = 2,5). Ha производную m,8 (A == 2,5).
OT 04 _ 49_М
ЕЕ-ЕН-ЕГГ ГУ | ny М
| {th
nN | | me
05 . м ЕЕ] \
С N
| Al
| |
Ч
{0 |-- —— лрямлугольное крыло
= ——- — PEL CONGHOE Hpbi = ——— /IPAMOYZONbADE КРЫЛО
= ———cmpenobudsoe spon (X-60-972) UZ Mey CONbHOE Kpbino
| | | | Е | + 1 | = —— рейде pou Ag y3)
. | О О О О О О ООО tt
my te | mega!
Puc. 11.56. Влияние числа М Рис. 11.57. Влияние числа М
на производную m,22 (A = 2,5). Ha производную ти (A='2,5).
М = 1), особенно для коэффициентов аэродинамических про-
‚изводных с точками.

382 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ [Гл. XI
$ 7. Влияние центровки на коэффициенты
аэродинамических производных
Приведенные в параграфах 1 и 2 данной главы систематические
данные по коэффициентам аэродинамических производных отно-
сятся к определенной центровке. Расчеты также проводятся при
одном положении осей координат. Пересчет аэродинамических






















































ола
Ya. me
М 20
к ГГ,
Ам “18 ши.)
NUK ] Le
\ \ WA
aN
у
, \ \ A
0 WA -
ИД 45 г.
м -
М. ,
м! |.
7 До Pr A
I\
Рис. 11.58. Влияние центровки Рис. 11.59. Влияние центровки
на производную са, Треуголь- на производную my,. Треуголь-
ное крыло A = 2,5. ное крыло 4, == 2,5.
производных на другое положение осей координат (центровку)
производится по формулам (1.82).
Проиллюстрируем влияние центровки на коэффициенты аэро-
динамических производных на примере треугольного крыла A =
= 2,5. На рис. 11.58—11.64 показано изменение коэффициентов
в зависимости от положения X, = xX,/b (x, — расстояние от носка
р. до нового начала координат). Точка x, является центром при:
ведения сил и определяет положение OCH OZ, относительно которой
происходит вращение с угловой скоростью &.. Примеры приведены
как для несжимаемой среды (М = 0), так и больших дозвуковых
скоростей (М = 0,8).
a
Производные су и c,y* He зависят OT центровки. Коэффициенты
<,
аэродинамических производных сиа’, . Mz. зависят от центровки

6 7] ВЛИЯНИЕ ЦЕНТРОВКИ НА ПРОИЗВОДНЫЕ 383

































































] 00 рр
ГК У
M- ` ТУ
-05 AL \ \ [| 48 Ty
и \ -01 \
/ / Siro
O8 -12 |
Hy вх
[0 Dd N
Г —— BN
i “4 вы. ЗИ
[ | has
-09 hn
mg bya"
Рис. 11.60. Влияние: центровки Рис. 11.61. Влияние центровки
на производную m, 24, Tpe- на производную oy 28, Треуголь-
угольное крыло A == 2,5. ное крыло А == 2,5.
а
Meg |
42 и
Qs A
0 Al =
“0 A , La
и РГ.
Ч we =
DI












Puc, 11.62. Влияние центровки на производную. т... Треугольное крыло
А, = 2,5.

384 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ (Гл. XI
ь » oo -
линейно, причем углы наклона зависимостей су и та OT xX,
определяются величиной су. Эти углы противоположны по знаку
для указанных характеристик. Вследствие линейной зависимости
от X, всегда можно найти такие центровки, при которых либо
@
су = 0, либо Mz, = 0. Аналогичные зависимости имеют место
























































p 45 7.
0 05 x, ) —— М=й -
aN Ht 4 ue
SAN _ , /
Д NM 00 AV
и N \ 7 /
\ ДА
\ \ / |
\\ 10
49 |\ "
4
Nat
w :
Mm, <4 за. a
2a Meg * Mog”
Рис. 11.63. Влияние центровки Рис. 11.64. Влияние центровки
на производную т, 28, Треуголь- на комбинацию m, га + m, 2
ное крыло /, = 2,5. Треугольное крыло A = 2,5.
о a
и для коэффициентов с,а” и т.а, только здесь наклон прямых
ъ » &, . Г
определяется величиной, производной су’. Зависимости Maz,
©
и m,Z* от центровки квадратичны. Чем больше несущие свой:
04 .
ства, т.е. коэффициенты су и соответственно C,*, тем больше кри:
визна парабол (см. рис. 11.60, 11.63). Интересна зависимость ком.
@ 9% . eo [2
бинации т. + m,*, характеризующей демпфирующий момент
при угловых продольных колебаниях. Видно (рис. 11.64), что
демпфирующий момент с изменением центровки также изменяется
. © %
по квадратичной зависимости и всегда т.г“ + та < 0.

$8} ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НА СОПРОТИВЛЕНИЕ 385
$ 8. Влияние геометрических параметров
и. числа М на индуктивное сопротивление
Используя приведенные на рис. 11.2—11.9 систематические
данные по факторам индуктивного сопротивления Во и By, не-
трудно проанализировать
влияние геометрических па-
раметров крыла на индуктив-
ное сопротивление.
Остановимся на одном
интересном факте. При A — 0
фактор индуктивного сопро-
тивления с подсасывающей
силой Во стремится к еди-
нице, а без подсасывающей
силы Во — к двум. Это 3Ha-
чит, что у крыла весьма ма-
лого удлинения индуктивное
сопротивление из-за подсасы-
ваюшей силы — снижается
вдвое.
Типичные зависимости
факторов Ва и Во от угла
стреловидности приведены на
рис. 11:65—11.66, от суже-
ния — на рис. 11.67— 11.68.
Видно, что увеличение угла
стреловидности ведет к росту
индуктивного сопротивления.
Однако с уменьшением удли-
нения влияния стреловидно-
сти начинает сказываться при
больших значениях этого
угла. Сужение крыла влияет
сравнительно мало.
Рис. 11.69—11.72 иллю-
@трируют влияние числа М”
на индуктивное сопротивле-
ние с подсасывающей силой





























Bey
a
И А
РВ,
—— Е я
|
05 |
0 0 2 0 40 60 60 xe
Puc. 11.65. Влияние угла стреловидности
на фактор Ва (= 2).















bey
4=2 Sf
р и |
= | И
ВР.
4 TH
_— и
j oF
i
2
1


















0 0 20 0 WW 50
Puc.
il x;
11.66: Влияние угла стреловидно-
сти на фактор Ва (= 2).
и без нее. Фактор индуктивного. сопротивления с подсасываю-
щей силой B, слабо зависит от М. Это вытекает и из формул
(8.32). Дело в том, что величина B, зависит от закона изменения
циркуляции по размаху, которую можно записать в виде
Г* (а =Г" (0) (2),

386 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ (Гл. XI
и от производной су. Анализируя указанные формулы, нетрудно
заключить, что множители У 1 — М? в них сокращаются. По-
этому остается только зависимость, связанная с некоторым изме-
нением функции } (2) при изменении по М геометрических пара-
метров Am, Хом, mM геометрически преобразованной’ несущей
поверхности. |














































































































|| 4-5
р X;=00° —| &,
LT. 5 — г А=
—T
~ 1,5
10 Ив Г.
12
ГТГ | , м!
14 Xd" A=5 | 3/45)
>” т” р
Jee j
_ 14
a | | 2 Ху”
a м
1,1 Г
кал ВВ
7aNe — Г А “3
9 Е.
he
09+ 2 5
| Ayo
08 | | |
р 15 Vy 0 05 И
Рис. 11.67. Влияние сужения на фак- Рис. 11.68. Влияние сужения на фак
тор Bg. тор Ва.
Из формулы (8.50) вытекает, что закон изменения фактора ин.
дуктивного сопротивления без подсасывающей СИЛЫ Ва по М
определяется изменением по М коэффициента су. Таким образом,
как это и видно из рис. 11.69—11.72, для крыльев малых удлине
ний эта зависимость несущественна, а при больших A фактор By
убывает с ростом М, стремясь к величине, равной 2 при М 1

$ 8] ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ НА СОПРОТИВЛЕНИЕ 387
























5, By —_
1=/, y=
р |
4—5
j el
lz | >
—
2 11,5 |
heck ee at Lt J |
L8
р G2 O4 O6 Of М

hy ly

















Рис. 11.69. Влияние числа М на
факторы индуктивного сопротивления,
= l, Xo — 0.
By bey
7 _ Az5
4 №
7-1, At” №!
J Ч
INI
2 15
ЕЕ
A=5 AS











———4,
Рис. 11.71. Влияние числа М на
факторы индуктивного сопротивления,
= 1, Xo = 45°.














Bi, By
9700, X50
р — -
PAE
j ims
ne ON
р Я
i WF | Ne











7 02 04 6 08 М

hi, ~—— fy













Puc. 11.70. Влияние числа М на
факторы индуктивного сопротивления,
NH — ©, Xo = 0
|] 9-00, 154"
ee
me
4 <
A=5
9 — 7
Ё Ш
Ч
2 ыы
Р-Я МУ













By — —=— By
Рис. 11.72. Влияние числа М на
факторы индуктивного сопротивления
Y= ©, Xo= 45°,

388 НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ (Ta. Xt
$ 9. Влияние отклонения закрылков
и носков на аэродинамическое качество
Проанализируем вначале на примере прямоугольных крыльев
влияние отклонения закрылков на величину аэродинамического ка-
чества при установившемся движении. Для расчета воспользуемся
формулами (8.53), (8.54). Входящие в них коэффициенты аэродина-
мических производных сопротивления приведены на рис. 11.2, 11.6
и 11.44—11.47, величину Cy) примем равной Cy) = 0,0075 для всех
удлинений. Результаты pacueTOB максимального аэродинамичес-
кого качества для крыла A = 1,5 имеющего закрылок с OTHOCH-
тельной хордой b, = 0,2, даны Ha рис. 11.73. Видно, что Киа»
с подсасывающей силой практически не изменяется при отклоне-
нии закрылка (сплошная линия на рис. 11.73). В то же время мак-
симальное аэродинамическое качество без подсасывающей силы
K max? т. е. крыльев с острой передней кромкой, заметно зависит от
угла отклонения закрылка (пунктирная кривая рис. 11.73). Ма-
ксимальная величина Кк„х имеет место при отклонении закрылков
на небольшой угол 6, = 4°+6°. Ha этом же рисунке приведены
коэффициенты подъемной силы Cy, И с,„, Которые соответствуют
максимальной величине качества.
Результаты расчетов` максимального аэродинамического ка-
чества прямоугольных крыльев различного удлинения без за-
крылков (5, = 0) и при закрылке 6, = 0,2, отклоненной на угол
5, = 5°, с учетом (Kay) и без учета (Renan) подсасывающей силы,
даны на рис. 11.74. Аналогичные зависимости имеют место и при
других размерах закрылков и крыльях иной формы в плане.
Из рис. 11.74 следует, что в тех случаях, когда подсасывающая
сила не реализуется, отклонение закрылков на небольшой угол
позволяет заметно повысить аэродинамическое качество.
Как уже указывалось ранее, другим и более эффективным сред:
ством повышения аэродинамического качества при отсутствии под:
сасывающей силы является деформация, обеспечивающая без-
ударное обтекание передней кромки крыла. Для крыльев разной
формы в плане: прямоугольного A = 2,5 (рис. 11.75, a), тре:
угольного A = 1,5 (рис. 11.75, 6), стреловидного A = 2,5, у, =
= 45°, у = 2 (рис. 11.75,8в) и двойной стреловидности (рис. 11.75, г),
были рассчитаны углы отклонения носков, обеспечивающие без-
ударный вход. Относительные хорды носков во всех сечениях при-
нимались равными b, = 0,26’ (граница отклоняемой части крыла
показана пунктиром на рис. 11.75).
Результаты расчетов аэродинамического качества с подсасы-
вающей силой К и без нее К при неотклоненном носке, и качества К*
при деформации, обеспечивающей безударный вход, приведены на
рис. 11.76—11.79 в функции коэффициента подъемной силы.


$91 ВЛИЯНИЕ МЕХАНИЗАЦИИ НА КАЧЕСТВО








































Anan Ито
Anas
10 a Sa bee: 7
eT т. | Anas
i Th
an
lye
b — рр oe
02 ==” бу —-+—
2-го
Bi
- o
0 5 70 5
Рис. 11.73. Зависимость максимального аэро-
динамического качества от угла отклонения
закрылка. Прямоугольное крыло A= 1,5,
bp = 0,2, bb = 1.
Kans Hf.











































mar’? mar
|. [-
0-02 pa
Knog O=0) LT
т р”
24 Paes
Г
20
va ро
16 ЗИ —
rT | |
р и №60)
РИ
MA
ий
0 ] 2 J 4 b 6 7 8 I A

Рис. 11.74. Зависимость максимального аэродинамиче-
ского качества от удлинения прямоугольных крыльев,
bp = 0,2, b= 1.
389

390
НЕКОТОРЫЕ РАСЧЕТНЫЕ







ДАННЫЕ И ИХ АНАЛИЗ




Рис. 11.75. Форма в плане исследуемых крыльев. Пунктир —
граница отклоняемого носка.

10
0





У
VA
р
И





[
|
[













Gl 02 09 04 &
Рис. 11.76. — Зависимость
аэродинамического качества
от коэффициента подъемной
силы. Прямоугольное крылоа
[Гл.


ЕАК“

А
10





5 si



|
|
[
Г













0 Of a2 Os BF vy
Рис. 11.77. Зависимость
аэродинамического качества
от коэффициента подъемной
силы. Треугольное крыло 6
XI

69] ВЛИЯНИЕ МЕХАНИЗАЦИИ НА КАЧЕСТВО 391
Видно, что при расчетной величине угла отгиба носков для всех
крыльев кривые К и К* практически совпадают. Следовательно,
деформацию, обеспечиваю-



































































щую безударный вход, &A p=,
МОЖНО рассматривать как VA A
меру, направленную на | | V4 K* “N
практическую реализацию =
подсасывающей СИЛЫ для /
крыльев TOHKHX И C OCTPOH 7
/
К Ш Ки" hy 7
ГГ [
Z ч [
ГГ ]
i / 10
т ых
Г 7. ть | а -
/ № NS
РТ
5 5
|
0 Gl 02 Gs 04 by ] Gi 02. 09 104 05 06 by
Рис. 11.78. — Зависимость Рис. 11.79. Зависимость аэродинамиче-
аэродинамического качества ского качества от коэффициента подъем-
от коэффициента подъемной ной силы. Крыло двойной стреловид-
силы. Стреловидное крыло в HOCTH г,
= 2,5, Хо = 45°, = 2.
передней кромкой. Аэродинамическое качество повышается при
этом весьма значительно и тем больше, чем больше удлинение
крыла (рис. 11.76—11.79).

ГЛАВА XII
СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ И ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
$ 1. Бесциркуляционное обтекание крыльев
Различные способы экспериментального определения аэроди-
намических коэффициентов (или присоединенных масс) связаны
с исследованием колебания тел на месте в сплошной среде (воде,
воздухе ит. д.) и в вакууме. Описание этих методов имеется в ра-
ботах [1.14], [1.20]. Результаты таких исследований имеются
для тел простейшей формы и многих крыльев, главным образом,
с прямыми кромками.
В настоящем параграфе производится сравнение некоторых
расчетных данных, приведенных в $ | предыдущей главы, с ре-
зультатами опытов, проведенными разными авторами в период
а
Aus






















0 2 4 6 6 A
Рис. 12.1. Сравнение расчетных (кривая) и экспе-
риментальных (точки) данных для коэффициента
Асу прямоугольных крыльев.
с 1930 по 1950 г. и собранными в указанных выше работах. При:
веденные в работах [1.14], [1.20] опытные данные пересчитаны на
коэффициенты, используемые в настоящей работе.
На рис. 12.1 проводится сравнение расчетных и эксперимеи-.
]
тальных величин коэффициента Асу прямоугольных крыльев раз. |

§ 11 БЕСЦИРКУЛЯЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ КРЫЛЬЕВ 393
личного удлинения, характеризующих подъемную силу при по-
ступательных вертикальных колебаниях. Опытные и расчетные
, © <.
величины коэффициентов Ат,’ и Ат,’ для этих крыльев при
QO. of 2 § 4% F 6 F 8 JA





°h

°)

о

и
























Obey
Ат)
Рис. 12.2. Сравнение расчетных (кривая) и эксперименталь-
A Ox, .
ных данных (точки) для коэффициента Ат, прямоуголь
ных крыльев



























a at
0 1 2 5 Ga д Hoag tO _
Pp
. _ РАЗА <
nol 08 | <
002 \ D6
<
609 -—8 04
ooN\ ’
и
“O04 02
A=00 |
Amy | 0 20 40 Xj
Рис. 12.3. Сравнение расчетных Рис. 12.4. Влияние угла стреловид-
(кривая) и экспериментальных
4
фф В
(точки) данных для коэффи- ности на коэффициент Ac, крылье
0. A=1, y= 1. Кривая — расчет, точ-
циента Am,* прямоугольных ки — эксперимент.
крыльев (x, = 0,5).
угловых колебаниях относительно осей соответственно Ох и 02,
проходящих по осям симметрии крыльев, даны на рис. 12.2 и
12.3. Для стреловидных крыльев без сужения (п = 1) ис удлине-
нием A == | сопоставление ведется на рис. 12.4 для отношения

394 СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ И ОПЫТНЫХ ДАННЫХ [Гл. ХИ
Ас, (Хо)/Асу (0) в зависимости от угла стреловидности Yo. Как
видно из приведенных материалов, несмотря на довольно сложное
явление, которое бывает в действительности, соответствие между
опытными и расчетными данными в целом удовлетворительное.
$ 2. Установившееся движение жесткого
летательного аппарата и крыла
Сопоставление расчетных и экспериментальных данных по
коэффициенту аэродинамической производной су делается Ha
рис. 12.5, по безразмерной координате фокуса x — на рис. 12.6.
Производная су находилась графически из опытной зависимости


























а
%y ;
, р
J $ Ge о
° °
| fe) о (®]
> о
&
93
22 ~ 09
& ° 2 P Ф
SS
оо & о
°
Oo @ 9
02-——=
С оо
JHCNEDUMEAM KCNEPUMEHM
Рис. 12.5. Сравнение расчетных и Рис. 12.6. Сравнение расчетных и
экспериментальных данных для фо-
экспериментальных данных по cy раз-
куса х„ различных крыльев, Xo = 0.
личных крыльев, Wp = 0.
с, (&) при малых углах атаки (вблизи и = 0). Аналогично опре-
делялся коэффициент mz, а затем вычислялась величина хр M0
формуле (1.87). Каждая точка на указанных графиках соответ-
ствует своему крылу. Таким образом, на каждом из них сравнение
производится по нескольким десяткам крыльев самой разнообраз-
ной формы в плане. Прямые, проведенные под углом 45° к коорди-
натным осям, дают геометрическое место точек, где расчеты иде-
ально совпадают с экспериментом. Чем дальше лежат точки от
этой прямой, тем хуже расчет соответствует опыту.
Можно отметить, что в целом расчетные и опытные данные на:
ходятся в удовлетворительном соответствии. Лучше всего обстоит
дело в отношении несущих свойств крыла — здесь разброс точек

$ 2] УСТАНОВИВШЕЕСЯ` ДВИЖЕНИЕ ЖЕСТКОГО АППАРАТА 395
у J
самый малый (рис. 12.5). Больший разброс наблюдается в опре-
делении координаты фокуса (рис. 12.6). В значительной НИ
это связано с тем, что указанная характеристика является более
тонкой. Кроме того, и точность определения ее, а следовательно
и достоверность опытных данных по этой характерист |
На рис. 12.7—12.10 ee ne ниже.
р рассмотрены ‚распределенные характери-
стики монопланных крыльев различной формы в плане. Три первые
ИЗ этих рисун ков содержат зависимости OT г отношений производ-
ных су сечений к производной су стрело- оба
видных крыльев. На четвертом рисунке %' 4
изображены коэффициенты подъемной
силы сечений прямоугольного крыла ^, = | Е т” |
при нескольких углах атаки. У двух ’ |”
крыльев с углом стреловидности по перед-
ней кромке Хх, = 45° и при А = 5,0, и
при A = 2,5 опытные данные хорошо соот-
ветствуют расчетным. 00
Расхождение между результатами ли:
нейной теории и экспериментом вблизи
концов крыла малого удлинения наблю-
дается в двух крайних случаях — при -
весьма большом сужении \ и при суже- @ 05 2
нии |, близком к единице. Если весьма Рис. 12.7. ’Характери-
велико, то на концах крыла начинается Horo крыла Ав,
срыв потока, и опытные значения Cy y, = 45°. Кривая — рас-
(или с,) оказываются меньшими, чем рас- чет, точки — эчсперимент.
четные. Как видно из рис. 12.9, у стре-
ловидного крыла A= 1,5, имеющего сужение N= 5, уже наблю-
дается подобная тенденция в сечении z = 0,9.
Иной характер и иная причина расхождения опытных и рас-
четных данных имеют место у крыла малого удлинения при H =
= 1 или близком к 1. В качестве примера рассмотрим крыло
с удлинением A = | и относительной толщиной с= 18% (рис. 12.10).
Здесь опытные значения с, на концах крыла превосходят расчет-
ные, причем с ростом углов атаки эта разница увеличивается.
Отмеченное обстоятельство объясняется влиянием сворачи-
вания вихревой пелены и образования концевых вихревых шну-
ров, что линейной теорией не учитывается. При увеличении удли-
нения или при увеличении сужения удельный вес этих шнуров
падает, и сходимость данных линейной теории и опытных улуч-
шается, пока увеличение т не приведет к отрыву. Интересно отме-
тить, что увеличение относительной толщины крыла с снижает
данный эффект [1.12].
На рис. 12.11 приведены расчетные и экспериментальные [1.35]
зависимости коэффициента подъемной силы с, от угла атаки при








































































396 СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ И ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
ale |
о у —_— о <
10 Ds 41 о
a=35°
| 0 -
| 2
Ut) : |
19 Е <’ 4
fl 05 2
Рис. 12.8. Характеристики 02 al=1° `
сечений стреловидного крыла
A= 2,5, N= 2, р = 45°. 1,1
Кривая — расчет, точки —
эксперимент.
и Z
yt] ol
44
Yy
Wa T 05 5-4-0 2 +0 —
7 q
40 an 04 С
ра 6 at15° м |
ro Od \
15 02 \
01
0 05 2 0 Ge 04 C6 018 8
Рис. 12.9. Характеристики
сечений стреловидного крыла
А = 1,5, n= 5, УХ = 60°.
Кривая — расчет, точки —
эксперимент.
Рис. 12.10. Коэффициенты подъ-
емной силы сечений прямоуголь-
ного крыла А == 1. Кривые —
расчет, точки -— эксперимент.
[Гл. ХЦ

§ 2) . УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЖЕСТКОГО АППАРАТА 397

ens?
D>

e A о
® А
° К 7 4 x
45 7
© Wa
и
a= 15° Ky’ =40° X50" ya xy =70°
wh
csi
р 0 Г i 0 a?
Рис. 12.11. Зависимости коэффициента подъемной силы крыла изменяе-
мой геометрии от угла атаки при разных углах стреловидности кон-
соли, М = 0,8. Кривые — расчет, точки — эксперимент.































































ры WA
Y (2) „со e
К =13 7)
4 —— — а WA
° dp? о
fe)
| 20°
2 ^ 9
A А — ,
70° NK
1 и
08 A
и
i] 02 U4 16 U6 М y 9
wf LZ
De о, ° — iF
04 ——b
4 90° о и Г,
ХА а 4 . 8 a?
70° ——
0,5 Hh] 5
ae
J oN
0, 2 M, >
0 02 04 № SM °
Рис. 12.12. Зависимости коэффициента Рис. 12.13. Подъемная сила и
eee | момен .
буи фокуса Хр OT числа М крыла из- Прямые — расчет, точки — экс-
меняемой гсометрии. Кривые — рас- перимент.
чет, точки — эксперимент.

398 СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ И ОПЫТНЫХ ДАННЫХ (Гл. ХПИ
М = 0,8 для крыла изменяемой геометрии (см. рис. 1.8) с разными
углами стреловидности консоли. Влияние числа М на коэффициент
аэродинамической производной су и положение фокуса хр для
этого крыла показаны на рис.












































































by 12.12.
д Сопоставление результатов рас-
08 7 чета коэффициентов подъемной
TA силы и продольного момента само-
7 летов трех типов с эксперимен-
и тальными данными, полученны-
04 ми для соответствующих плоских
C, _
| y TL}
02 - _
7 4 д a? р
ay | 4 9 |а°
OI а - 0 Г :
м ? 6
G2 <
а -0/
M, Mz
Рис. 12.14. Подъемная сила и Рис. 12.15. Подъемная сила и продоль-
продольный момент модели 2. ный момент модели 3. Прямые — расчет,
Прямые — расчет, точки — экс- точки — эксперимент.
перимент.
Ap| ,
08 ([)о 2=00%
м (Ze 0255
А (Jo 09
р N
№, <
ol —
о in pee — =
a aa
0 42 04 06 9 2
Рис. 12.16. Распределение нагрузки в сечениях крыла самолета F-111 при
М = 0,23. Кривые — расчет, точки — эксперимент.
моделей, даны на рис. 12.13—12.15. Плоские модели отражали
компоновку самолетов при виде сверху, причем модель | име-
ла прямое крыло большого удлинения и нестреловидное горизон-
тальное оперение, у модели 2 были стреловидное крыло большого

$ 22 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ЖЕСТКОГО АППАРАТА 399

Ч
08 2






06 Ts





04
J
02 Z













0 2 4 6 Ad?
Рис. 12.17. Зависимость коэффициента с, OT
угла Aa самолета F-111, М == 0,7. Прямая —
расчет точки — эксперимент.
by р |
08 oft







04 | . —



iy 8 Ad’
р чи 2
Ree
















P о
M, ; 7
0 02 04 06 18 М
Рис. 12.18. Зависимости коэф- Рис. 12.19. Зависимость производной cy
фициентов подъемной силы Cy и от числа М самолета Ту-104. Кривая —
продольного момента т, само- расчет, точки — эксперимент.
лета Ил-18 от угла атаки (x; =
—0,365.). Прямые — расчет,
точки— эксперимент.

400 СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ И ОНПЫТНЫХ ДАННЫХ [Гл. ХН
‹
удлинения и стреловидное оперение, модель 3 представляла собой
бесхвостку с треугольным крылом малого удлинения. Как видно,
и в этом случае расчетные и экспериментальные результаты хо-
рошо соответствуют друг другу.
Графики рис. 12.16 содержат результаты расчетов и сравнение
их с экспериментом по безразмерным нагрузкам на модели крыла
самолета Е-111 12.14]. Расчетная и экспериментальные зави-
симости коэффициента подъемной силы от угла Аа полной модели
этого самолета показаны на рис. 12.17 для числа М = 0,7. Там
же приведена форма этого самолета при виде сверху. Отметим, что
здесь через Ао обозначается угол, отсчитываемый от угла нулевой
подъемной силы (для коэффициента с,) и угла нулевого момента
(для коэффициента т,).
На рис. 12.18 даны расчетные и экспериментальные [1.41]
зависимости коэффициентов подъемной силы и продольного мо-
мента самолета Ил: 18 при малых числах М. На рис. 12.19 сравни-
ваются расчетные и опытные величины производной су при раз-
ных числах М самолета Ту-104 [1.33].
Как видно, во всех случаях линейная теория позволяет пра-
вильно определять производные аэродинамических характеристик
вблизи Ло = 0. Диапазон значений углов атаки, в котором теоре-
тические и опытные данные близки друг к другу, зависит от того,
как долго сохраняются в эксперименте линейные зависимости.
$ 3. Характеристики крыльев
при неустановившемся движении
Методика экспериментального определения коэффициентов
аэродинамических производных при неустановившемся движении
описана в работах [1.14], [1.27]. Заметим, что экспериментальное
‘определение аэродинамических производных является непростой
‘технической задачей. Эти трудности особенно серьезны на транс-
звуковых скоростях. Поэтому надежных опытных данных по неста-
‘ционарным характеристикам летательных аппаратов сравнительно
‘мало, и ниже сравнения проводятся для изолированных крыльев.
На рис. 12.20, 12.21 проводятся сравнения расчетных и экс-
‘периментальных данных по коэффициенту т, 1 il a комплексу m2
-+ т. многих крыльев различной формы в плане при малых
‘числах М. Здесь, как и на рис. 12.5, 12.6, прямые, идущие. из
начала координат под углом.45”, соответствуют идеальному совпа-
дению расчета с экспериментом.
На рис. 12.22 сопоставляются расчетные и экспериментальные
величины коэффициента демпфирования крена прямоугольных
и треугольных крыльев. При этом рассмотрены крылья различ-
ного удлинения в параметрах подобия kA. Опытные и расчетные

$ 3} — ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ 401
данные по комбинации коэффициентов т; + me, определяющей
продольное демпфирование крыльев различной формы в плане, при
разных центровках и числах М приведены на рис. 12.23—19 95
а для плоской модели 3 даны на рис. 12.26. ’
Заметим, что эксперименты, zl |
результаты которых даны Ha = 7 р
указанных рисунках, проводи- °
лись при малых средних углах
атаки %, = 0. Все приведенные 14 о
материалы свидетельствуют о ^ о
достаточно удовлетворительном ых
соответствии в этом случае тео-
рии с экспериментом. Наиболь- д
шее расхождение опытных и рас- GZ 9
четных данных при малых углах ро
атаки и амплитудах колебаний Я —
наблюдается при числах |
М > 0,85—0,95. Это расхожде- р Fa Fi т
ние может быть в первую оче- " Аислеримент al
редь связано с появлением Ha
крыле при больших доввуковых р ani sa as
скоростях областей со сверхзву- Р личных крыльев, 0 = 0. р
ковыми зонами и образованием |
местных скачков уплотнения.



оо





Расчет
о















































ет
2 lA] 0 2 №
° \
NSS,
| <9
of Re
Е = Be SSOP Se
| $
-04 A < м
0 -0,4 -08 тети king7”
дислеримент Рис. 12.22. Сравнение расчета (кривые)
Рис. 12.21. Сравнение расчетных и с экспериментом (точки) для прямо-
экспериментальных данных для раз- угольных (сплошная кривая) и тре-
личных крыльев Ao = 0. угольных (пунктир) крыльев.
Увеличение среднего угла атаки %, и относительной толщины
крыла с может, как это видно на рис. 12.27, 12.28, привести. к рас-
хождению расчетных данных.с опытными, о

402 СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ И ОПЫТНЫХ ДАННЫХ [Гл. XII
























0 24 М
05 TNL
ы Ре | © \
т” ``. \
Ё—>. PN ay
и 5 оч <
NS Ww
No |\
\ \
02-0 \ \
-2,4 А 05 - \ ty
о 10 . q
Рис. 12.23. Сравнение расчета (кривые) с экспериментом (точки) для пря-
моугольного крыла А == 2,5.















fe 04 06 09 М
a4 +.
м о
о p—~ 2
че
Me Weg
Рис. 12.24. Сравнение расчета кривая) с экспериментом (точки) для треуголь-
ного крыла 4 = 4 (т = 0,43).



























0 02 04 QE 08 М
A О И
— oN
050 О te ne ПО №
-04 ‘ — = \=.
® 2-22 ``
о (М .
^ [77
QE :
LUZ м.
т; Vea
Рис. 12.95. Сравнение расчета (кривые) с экспериментом (точки) для треу-
гольного крыла he = 2,31.

$ 3] ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ 403
При гармонических колебаниях относительно продольной оси
(рис. 12.27) наилучшее совпадение опытных и расчетных данных
получается для тонких крыльев при малых средних углах атаки Gy.
С увеличением толщины профиля крыла и среднего угла атаки a,
экспериментальные данные все больше расходятся с линейной

1 ы т T
x] И 9 (471
















= Wz a >
Mz *Те







Рис. 12.26. Демпфирующий продольный момент модели 3 Прямая — расчет
точки — эксперимент.
0 01 42 a





























1 9 И
+
|






о а)=0°
e 865°
Wy] | =
Пу

















Рис. 12.27. Сравнение расчетных (прямые) и экспериментальных (точки)
данных для прямоугольных A= 1,0 (верхний график) и треугольных А =
= 2,31 (нижний график) крыльев.
теорией из-за перераспределения нагрузок в концевых сечениях
крыла. У треугольных крыльев имеют место срывы и падение не-
сущих свойств концевых сечений, а у прямоугольных крыльев
малых удлинений — увеличение нагрузки на концах по сравнению
с расчетами по линейной теории. Лучшее совпадение расчета с экс-
периментом наблюдается у треугольных крыльев. Это объясняется
тем, что дополнительные силы, возникающие на концах треуголь-
ного крыла, из-за малой величины концевых хорд играют меньшую
роль, чем у прямоугольного крыла (рис. 12.27). У крыльев весьма

(Гл. XU
СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ И ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
404
тнэиидэпэяе
— ИВО! ‘Ltohoed — Bea
-ndy `8‘0 =,d ‘eirmady
Axeweed ol eLHON
-OW OJOHALOrodu еи4А
0409058ф и втнэипиф
-феох ч!Атиииие эинэг
-syedused ‘1ест ‘эиа
ЧнэмидэнэхеЕ
— ИБО ‘Lohoed — веяидУ
‘99 = „@ ‘ermdu Axew
-eed ou чкиэ иониэятон
eriA oJogoced и eLHOMN
-иффеоя 19!Атиииие эин
-эиэпэЧиэе ‘051 ‘ud
0 = «А udu
Lonoed — дитянАи ‘лнэм
-идэпояе — ихьоз ‘8‘0=
= „А lanoed — вечиФх вен
-moruy ‘евия4я иинэБээ
WoHarrediHen я иязАд4тен
952ф и ЧиАтигиие OHH
-эиээ4иэе‹ ‘65’ст ‘эиа




















































. 305 р a
1 = + 09- a
09- Oh- AL 0
4 0. р Ob.
oe ТИТ ТТ | р 2.
20 9 WW | yp (Е 2 |,
=
| 90 moat /
\ \ мм
co 2 1
\ IN \
ey MS 9 Np
iN ° St i \
‘1 "2
м о 7 ” | TI И \
чаи о 7
‚2 \
ty -\ [ИЯ

O°. = ¥ яэчиадх
ханаиолАоиваи вии ханне! (ия
-hOL) хчнчивунэйидэпояе и (эччидя)
XIGHLohoed эинэняе4 ‘89551 ‘oud
plu + р Ш

20°

20 *
02°
8
= 9-



qo







о
















6 4] МЕХАНИЗАЦИЯ КРЫЛА 405
малых удлинений при сужениях, близких к единице, на углах
атаки Qo, существенно отличных от нуля, концевые сечения крыла
нагружены в действительности больше, чем дает линейная теория,
@
и экспериментальные значения т; больше теоретических.
@
Приведенные Ha рис. 12.28 данные для комбинации т,” +
-- mz свидетельствуют о хорошем соответствии теории с опытом
для крыльев средней толщины в значительном диапазоне Gp,
а также для тонких крыльев при малых углах атаки (Gy == 0).
В этих случаях крылья обтекаются плавно на всех режимах коле-
баний. Наибольшее расхождение расчетных и экспериментальных
данных наблюдается для тонких крыльев при больших значениях
среднего угла атаки (%, = 15°); на задних центровках у этих
крыльев имеют место даже режимы автоколебаний. Это связано.
с тем, что в передней части тонкого крыла появляется довольно
значительный срыв потока [1.28].
Итак, для сравнительно тонких и слабо изогнутых несущих
поверхностей главными условиями, при выполнении которых
имеется удовлетворительное соответствие экспериментов с расче-
тами по линейной теории, являются плавное обтекание (отсутст-
вие значительных срывов потока) и отсутствие развившегося
волнового кризиса (появления интенсивных местных скачков).
В заключение этого параграфа приведем сопоставление рас-
четных и экспериментальных [2.10] распределенных характеристик
при поступательных вертикальных колебаниях (см. § 4 гл. XI)
прямоугольного крыла A = 1, а число Струхаля р* = 0,8. На
рис. 12.29 дано распределение амплитуды нагрузки и ее фазы по
хорде центрального сечения крыла. Фазовый угол измерялся от-
носительно смещения крыла от среднего положения. Амплитуды
коэффициентов подъемной силы и продольного момента сечений
крыла и их фазовые углы приведены на рис. 12.30, 12.31. Ампли-
туды и фазовые углы вычислялись по соотношениям
=V EFC, y= —aresin 2 __, |
И (ey | (12-1)





С
a*
C=), Cy, Mz.

2
Как видно, и в данном случае соответствие расчета и эксперимента
хорошее. Здесь же для сравнения приведены пунктирными кри-
выми нагрузка и фазовые углы, вызванные изменением только
угла атаки ©.
$ 4. Механизация крыла
Возникает естественный вопрос о возможности использования
результатов расчета, основанного на линейной теории, при изу-
чении рулевых поверхностей, которые расположены обычно в кор-

406 СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ И ОПЫТНЫХ ДАННЫХ [Гл. ХИ
невой части крыла с развившимся пограничным слоем. Особенно
интересно рассмотреть такие тонкие характеристики, как коэф-
фициенты шарнирного момента и шарнирной подъемной силы,
а также распределенные характеристики. Данный параграф
посвящен сопоставлению расчетных и экспериментальных харак-
теристик механизации некоторых крыльев. Экспериментальные
данные в большинстве своем относятся к малым скоростям полета
(М < 0,3).


































































Ly °
7.
Va
Zo
12 a i |
р’. о
"4 0 ra 6 ‹
7 08 >
A Pa i
L ~~ a
NA XH. ra » 4am
Ow (р р ra oO
r 7 7 , a “4
L VA 04 >= рр
Ра р. ia a ara
wa aff
® и 04 04 a=f $ a Pa =
’ р
<
V4 XY -£ A = 6:
VA Я о 0 у |
р. 74
7 7 ри
Z + : > Fa |
7 0 10 6
Рис. 12.32. Зависимость коэффи- Рис. 12.33. Зависимость коэффициента
циента подъемной силы прямо- подъемной силы прямоугольного крыла
угольного крыла от угла отклоне- от угла отклонения закрылка, A = 5,
ния закрылка, A= 6, bp = 0,2. фр = 0,3. Прямые — расчет, точки —
Прямые — расчет, точки — экспе- эксперимент.
римент.
Рис. 12.32—12.34 содержат зависимости коэффициентов подъем-
ной силы прямоугольных крыльев сравнительно большего удли-
нения (A = 5—6) от угла отклонения закрылков с разной относи-
тельной хордой 6, при фиксированных углах атаки 9. Экспери-
ментальные данные заимствованы из работ [1.15], [1.17], [1.43].
Сравнение расчетных и экспериментальных величин поперечного
момента трапециевидного крыла с тонким цилиндрическим кор-
пусом при отклонении спойлера дано на рис. 12.35. Спойлер имел
относительную хорду 6, ~ 0,05, располагался вблизи задней
кромки крыла; углы отклонения спойлера на разных половинах
были равнопротивоположными.
Обратимся к рассмотрению более тонких характеристик —
подъемной силы и шарнирного момента. На рис. 12.36 показаны
расчетные и экспериментальные зависимости Суш (%), Mu (a)












































by
prt
pr
a
Ny
ды aA LT
Pa [.]
ra 7 0 10 20 do 6
Lo” LT ©
р р
Lat lay вся ra ss ca =[°
PA a4 wt Ф 5°
г т O02 . 4
a == р
ra > | к.
ря Va . <
“f ii р дб а |
004 ь
ГР N
Пу








Рис. 12.34. Зависимость коэффициента Рис. 12.35. Сравнение расчетных (пря-
подъемной силы прямоугольного крыла мая) и опытных (точки) данных для
от угла отклонения закрылка, A= 5, трапециевидного крыла со спойлером









































































bp = 0,4. Прямые — расчет, точки — на обеих половинах.
эксперимент.
5 aD
R/8 TT
SS VA ю
Ae
fo aa i] 5 о
5/0 ти %
и „ТГ Cy Ol) 7
ит ча
Г , rw © =
[a Pw
Яо 004 d as
р Я жа
< 10 a Ee
к г Г
Ao} ы $
| < .
Up ts 7 р a
AcaeenNece eto
, naz oN ^ _ © = (°
000 ч 002 SSS —
fh
‚и
My(Op) № и Г 8° =)
| My, |
Рис. 12.36. Сравнение расчет- Рис. 12.37. Сравнение расчет-
ных (прямые) и опытных (точки) ных (прямые) и опытных (Точ-
данных для прямоугольного ки) данных для прямоугольного
крыла A= 1,5, бр = 0,25. крыла A= 1с рулем bp = 0,3,
[р = 1.

408
СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ И ОПЫТНЫХ ДАННЫХ

















a ‘a р: 27
Г ee”
a 29° HALES EA м
1 MEE i 16 5
Ls NL BL ‘
. РИ | -05


Рис. 12.38. Зависимости коэффициента подъ-
емной силы руля bp = 0,25, fp = 1 тре-
угольного крыла A = 1,5 от угла отклонения
руля.
Прямые — расчет,
° мент.
точки —экспери-















‘alo 07
NNW
INN uN 10 5
KAA oS A |
К.
raf AY N =
2 № AA \\
а ММК



Рис. 12:39. Зависимости коэффициента шарнир-
ного момента руля bp = 0,25, lp = 1 треуголь-
ного крыла ^, = 1,5 от угла отклонения руля.
Прямые — расчет, точки — эксперимент.
Гл. XI

$4] МЕХАНИЗАЦИЯ КРЫЛА 409
при 6, =Ои Cy, (6), ть (65) при o@ = 0 для прямоугольного
крыла A = 1,5 с bp = 0,25. На рис. 12.37 сравнение расчета и
эксперимента проведено для прямоугольного крыла А = Ти OT-
носительной хордой руля b, =






























= 0,3. у ” Zax
Руль имел аэродинамиче- 4 | y,
скую компенсацию, составляю- и
щую по площади примерно py /
0 od 7
15% от площади руля. Это об- /
стоятельство было учтено в Г
O06
; , | |_|
p” 270 | 0% . И 4 —
9 : — | =
Я 72 / \ a Г]
2 [о 0 04 48 2
nt A Рис. 12.41. Сравнение расчетных
7] 4 (кривая) И ОПЫТНЫХ (точки) ПОДЪ-


емных сил сечений крыла при от-
клонении элеронов.




2 04 GG т 8 Ri
р
} 2-7 |
2 ©)





И ны

























1 04 49 = by Vv
р — Pa
7 70% | 7 ;$° 46 5
2 ®
д: я
e fr
/ “~Y
i
D 04 048. 5
Рис. 12.40. Сравнение расчетных Рис. 12.42. Сравнение расчета
(кривые) и экспериментальных (точ- (кривые) с экспериментом (точ-
ки) нагрузок для прямоугольного ки) для нагрузок крыла А, = со,
крыла А, = 1 с рулем bp = 0,25. bp = 0,25, ly = 0,5, р* = 0,96.
расчетах. Наконец, рис. 12.38, 12.39 содержат аналогичные сопо-
ставления для треугольного крыла A = 1,5 с рулем 6, = 0,25.
В этом случае между крылом и рулем имелась щель, относитель-
ные размеры которой были by = 0,025 6,

410 СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ И ОПЫТНЫХ ДАННЫХ [Гл ХПИ
Распределение нагрузки в разных сечениях прямоугольного
крыла 4 = | при отклонении руля с хордой b, = 0,25 дано Ha
рис. 12.40. На рис. 12.41 сопоставляются расчетные и опытные
величины коэффициентов подъемной силы сечений трапециевид-
ного крыла при отклонении элеронов. Форма крыла в плане и рас-
положение элеронов показаны на рисунке.
На рис. 12.42 представлены законы изменения аэродинамичес-
ких производных нагрузки рр и рр по хорде крыла A = со для
числа Струхаля р* = 0,96. Опытные данные, заимствованные из
работы [2.12], получены замером мгновенных давлений при коле-
баниях руля относительно оси, проходящей черезего носок. Ампли-
туды колебаний при эксперименте были небольшими 0. = 1,71°,
Приведенные материалы свидетельствуют, что и такие тонкие
характеристики, как шарнирные характеристики рулей, могут
оцениваться с неплохой точностью расчетами по изложенным вы-
ше методам.
$ 5. Индуктивное сопротивление и аэродинамическое качество
‘Рассмотрим расчетные и опытные данные по индуктивному
сопротивлению крыльев. Как уже было отмечено раньше, большое
влияние на величину сопротивления оказывает форма передней

















































by a
id wa 4 Де; yf о p=
“1. peat VAT: 7 ey
06 Fa т» 46 , о _2
/’ „® | /
и Rt
12-5 АС И
ant о о-й-21% "ря ° ©-6-25%, Строй
© ef =7/7%,, ИЛИ HOCOK
0 0! 02 5-6 = GI 12 6-60
Рис. 12.43. Влияние формы передней Рис. 12.44. Влияние формы передней
кромки Ha подсасывающую силу крыла кромки и относительной толщины на
А = 1,5, n=1, %=0, с= 21%.  подсасывающую силу крыла А, = 3,0,
Кривые — расчет, точки — экспери- |= 5, хо = 60°.
мент.
кромки крыла. Если передняя кромка обтекается плавно, без от-
рывов, на ней реализуется подсасывающая сила и индуктивное
сопротивление существенно убывает.
Из рис. 12.43, 12.44 видно, что если заострить переднюю кромку
как на крыле значительной толщины (с = 21%), так и на тонком


: 65]

‘Ac,


AG,


_\
















01 by Cog
Рис. 12.45. Сравнение расчет-
ных (кривые) и опытных (точ-
ки) данных для стреловидного
И
Рис. 12.46. Влияние пространственности те-
чения на подсасывающую силу крыла A=
ИНДУКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И АЭРОДИНАМИЧ. КАЧЕСТВО 41]




































крыла A= 4,5, N= 2, у =
== 38°, c= 2,3%.
| Ate | /7 Aé
1 CLT ин
РА И Ир ИИ ый
9 Я о e a
7 © Te
DI Ид Кб
>.
4о|/
/\ ©
ha sor o-G,=var
о °-б,-0













0
Рис. 12.47.
расчет, точки — эксперимент
(черные — неотклоненный но-
сок, светлые — отклоненный).
Влияние отклоне-
ния острого носка (by = 0,25)
на сопротивление прямоуголь-
ного ‘крыла A= 1,5. Кривые—
Де, |->”
Lo
р
pa Ley | +
eT [То
“| _—
NS aA
na
01 02 5-6
= 0,75, n= 1, Yo = 54°, c= 2,3%.
B02 00 48 008 с






























K |
LIN LAr
° ео \
10 [ -
р Q
e ° °
® : ®
5 ©.
| 0-9-0
o- §-var
0 Uf 02 Us Ма
Рис. 12.48. Сравнение расчета
(кривая) и эксперимента (точки).
для аэродинамического качества
прямоугольного крыла A= 1,5.
Черные точки — профилирован-
НЫЙ неотклоненный носок,
светлые — острый отклоненный,
—
by = 0,25.



419 СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ И ОНЫТНЫХ ДАННЫХ [Гл. ХИ
крыле (с = 2,5%), то подсасывающая сила из-за этого ликвиди-
руется и экспериментальные величины сопротивления близки
к данным расчета, при котором подсасывающая сила не учитыва-
лась. На крыле значительной толщины подсасывающая сила реа-
лизуется практически полностью (см. об этом также в работе
[2.3 ]). В этом случае эксперимент близок к расчету, в котором
подсасывающая сила учтена.
Относительная толщина не единственный фактор, влияющий
на величину. подсасывающей силы. Из сопоставления рис. 12.45
и 12.46 видно, что и при малой относительной толщине (с = 2,3%),
когда у крыла большого удлинения (A = 4,5) подсасывающей
силы нет, на крыле малого ‘удлинения (A = 0,75) и значительной
стреловидности подсасывающая сила полностью реализуется.
Видимо, решающую роль здесь играет существенная простран-
ственность течения, ликвидирующая местные отрывы у перед-
них кромок.
В $ Эглавы XI расчетом была показана возможность существен-
ного уменьшения сопротивления на крыльях с острыми передними
кромками путем отклонения их на углы, обеспечивающие безудар-
ный вход. Рис. 12.47 содержит коэффициенты индуктивного сопро-
тивления тонкого прямоугольного крыла A = 1,5 с острой перед-
ней кромкой. С целью уменьшения сопротивления на крыле приме-
нялось переменное по размаху отклонение секций носка на углы,
найденные расчетом (см. § 6 гл. IV). Углы отклонений носка из-
менялись при изменении углов атаки. Как видно, в этом случае
получилось сопротивление более близкое к расчетному с подсасы-
вающей силой. Если же острый носок не отклонен, то получаются
величины, близкие к тем, когда подсасывающей силы нет.
На рис. 12.48 дается сравнение аэродинамического качества
указанного крыла, имеющего острый отклоненный носок и неоткло-
ненный профилированный носок, на котором подсасывающая сила
в значительной степени реализуется. Максимальные величины
качества в обоих случаях практически совпадают, а при боль-
ших значениях подъемной силы у крыла с острым отклоненным
носком качество выше, чем при профилированном, но неотк-
лоненном.
При анализе материалов рис. 12.47, 12.48 следует иметь в виду,
что испытанное ‘крыло имело малое удлинение (A = 1,5). Кроме
того, при отклонении секций носка крыла между ними образовы-
вались уступы, что увеличивало сопротивление в эксперименталь-
ных исследованиях.
Итак, приведенные материалы свидетельствуют, что результаты
расчета индуктивного сопротивления численным методом в целом
удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.

ЛИТЕРАТУРА
1. Литература на русском языке
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
Жуковский Н. E., Теоретические основы воздухоплавания. Собра-
ние сочинений, т. V, Г остехиздат, Москва, 1950.
Жуковский Н. E., О присоединенных вихрях. Собрание сочинений,
т. IV, Гостехиздат, Москва, 1949.
Чаплыгин С. А., Результаты теоретических исследований о движе-
нии аэропланов. Собрание сочинений, т. II, Гостехиздат, Москва, 1948.
Чаплыгин С. А., О давлении плоскопараллельного потока на пре-
граждающие тела (к теории аэроплана). Собрание сочинений, т. II, Гостех-
издат, Москва, 1948.
Юрьев Б. H., Экспериментальная аэродинамика, 4. II, Издательство
наркомата оборонной промышленности, 1938.
Некрасов А. И., Теория крыла в нестационарном потоке, Издатель-
ство АН СССР, Москва, 1947.
Седов Л. И.. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, Гостех-
издат, 1950.
Седов Л. И., Методы подобия и размерностей в механике, Гостехиздат,
Москва, 1954. ©
Бисплингхофф Р. Л., Эшли Х., Халфмэн P. Л., Agpo-
упругость, перев. с англ., ИЛ, Москва, 1958.
. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидро-
механика, ч. I, Ш, Физматгиз, Москва, 1963.
. Майлс Дж. У., Потенциальная теория неустановившихся сверхзву-
ковых течений, перев. с англ., Физматгиз, Москва, 1963.
. Белоцерковский С. М., Тонкая несущая поверхность в дозву-
KOBOM потоке газа, «Наука», Москва, 1965.
.Бюшгенс Г. С., Студнев Р. B., Динамика пространственного
движения самолета, «Машиностроение», Москва, 1965.
. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачни-
ков В. Г., Крыло в нестационарном потоке газа, «Наука», Москва,
1971.
.Красильщиков П. П., Влияние длины закрылка и предкрылка
на работу разрезного крыла, Труды ЦАГИ, вып. 133,
Гроссман Е. П., Кричевский CC, Борин A.A, К воп-
росу о потере устойчивости крыла в полете, Труды ЦАГИ, вып. 202, 1935.
. Полядский В. С., Аэродинамические характеристики крыла с эле-
ронами, Труды ЦАГИ, ‘вып. 412, 1935.
. Келдыш М. В., Вибрации в воздушном потоке крыла с подкосами,
Труды ЦАГИ, вып. 357, 1938.
Седов Л. i, О неустановившемся движении внутри жидкости тела
вращения, Труды ЦАГИ, вып. 515, 1940.
.Риман И. С., Крепс Р. Л., Присоединенные массы тел различной
формы в плане, Труды ЦАГИ, BEIM. 635, 1947.
. Хаскинд М. Д., Колебания крыла в дозвуковом потоке газа, ПММ 11
(1947), вып. 1.
. Белоцерковский С. М., Подковообразный вихрь при неустано-
вившемся движении, ПММ 19 (1955), вып. 2.

414
1.23
1.24.
1.25.
1.26.
1.27.
1.28.
1.29.
1.30.
1.31.
1.32.
1.33.
1.34.
1.35.
1.36.
1.37.
1.38.
1.39.
1.40.
1.41.
1.42.
ЛИТЕРАТУРА
Белоцерковский С. М., Представление нестационарных аэро-
динамических моментов и сил при помощи коэффициентов вращательных
производных, Известия АН СССР. ОТН (1956), № 7.
Колесников Г. А., Метод расчета распределения циркуляции
крыльев малого удлинения. Сборник «Теоретические работы по аэроди-
намике», Оборонгиз, Москва, 1957.
Ульянов Б. И., Некоторые обобщения и следствия теоремы обрати-
мости для неустановившихся движений, Известия АН СССР, МИМ (1961),
№ 1. -
Белоцерковский С. М., Метод расчета коэффициентов враща-
тельных производных и присоединенных масс тонкого крыла произволь-
ной формы в плане. Сборник статей по аэродинамике, Труды ЦАГИ, вып.
940, 1964. |
Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачни-
ков В. Г., К определению коэффициентов вращательных производных
в аэродинамических трубах, Известия АН СССР, МИМ (1964), № 3.
Белоцерковский С. М., Кудрявцева Н. А., Табач-
ников В. Г., Экспериментальная проверка некоторых положений
нестационарной теории для крыльев конечного размаха, Известия АН
СССР, МИМ (1964), № 4.
Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачни-
ков В. Г., К определению нестационарных аэродинамических характери-
стик конусов, Известия АН СССР, МИМ (1964), № 5.
Белоцерковский С. М., Роль работы Н. Е. Жуковского «О при-
соединенных вихрях» в развитии теории крыла, Издание БНИ—ЦАГИ,
Москва, 1966.
Белоцерковский С. М., Особенности расчета обтекания крыльев
сложной формы в плане при дозвуковых скоростях, МЖГ (1966), № 6.
Колесников Г. А., Метод расчета нестационарных аэродинамиче-
ских характеристик несущей поверхности, движущейся с большой до-
звуковой скоростью, МЖГ (1967), № 6.
Бехтир П. Т., Аэродинамика самолета Ту-104, «Транспорт», Москва,
1967.
Белоцерковский С. М., Расчет обтекания крыльев произвольной
формы в плане в широком диапазоне углов атаки, МЖГ (1968), № 4.
Белоцерковский С. М., Штейнберг Р. И., Вопросы аэро-
динамики крыльев сложной формы в плане. Третий Всесоюзный съезд
по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов, Изда-
тельство АН СССР, 1968.
Сборник работ. Некоторые вопросы аэродинамики деформированного
крыла произвольной формы в плане, под ред. С. М. Белоцерковского,
Труды ЦАГИ, вып. 1286, 1970.
Микеладзе В. Г., Исследование аэродинамических характеристик
элевонов на крыльях малого удлинения, Ученые записки ЦАГИ Т (1970),
№ 2.
Горелов Д. Н., Куляев Р. Л., Нелинейная задача о нестацио-
нарном обтекании тонкого профиля несжимаемой жидкостью, МЖГ (1971),
№ 6.
Белоцерковский С. M., Математическая модель нестационарной
линейной аэроавтоупругости, Доклады AH CCCP 207 (1972), № 3.
Белоцерковский С. М., Ништ М. И., К расчету срывного
нестационарного обтекания тонкого профиля, МЖГ (1972), № 3.
Бехтир II. Т., Бехтир В. Т., Практическая аэродинамика само-
лета Ил-18, «Транспорт», Москва, 1972.
Белоцерковский С. М., Ништ М. И., Исследование особен-
ностей обтекания пластинки при больших углах атаки, МЖГ (1973),
№ 5.

1.43.
1.44.
1.45.
1.46.
1.47
1.48.
ЛИТЕРАТУРА 415
Зыкова Г. Г., Калинин А. И., Микеладзе В. Г., Рек-
стин А. Ж., Сравнение расчетных и экспериментальных значений эф-
фективности и шарнирных моментов элевонов на тонких изолированных
крыльях малого удлинения, Ученые записки ЦАГИ 5 (1974), № 1.
Белоцерковский С. М., Ништ М. И., Нестационарная нели-
нейная теория тонкого крыла произвольной формы в плане, МЖГ (1974),
№ 4.
Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального
исчисления, т. I], Физматгиз, Москва, 1959.
Владимиров В. С., Уравнения математической физики, «Наука»,
Москва, 1968.
М усхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения,
«Наука», Москва, 1968.
Рыжик И. М., Градштейн И. С., Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений, «Наука», Москва, 1968.
2. Литература на иностранных языках
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14. |
ate 1991 M., The minimum induced drag in aerofoils, NACA Report
Theodorsen T., General theory of aerodynamic instability and the
mechanism of flutter, NACA Report Ne 496, 1935.
Hansen М., Messungen an Kraistragfachen, Luftfahrtforschung, 1939.
Киззпег H.G, Schwarz L., Der schwingende fliigel mit aerody-
namich ausgeglichenem ruder, Luftfahrt—Forschung, Bd. 17 (1940), Lig 11/12.
Flax A. H., Reverse flow an variotional theorems for lifting surfaces in
nonstationary flow, JAS 20 (1953), № 2.
Falkner У. М., The solution of lifting-plane problems by vortex-lattice
theory, ARC Report and Memoranda, Ne 2591, 1953.
Van de Vooren A. I., Aerodynamic coefficients of an oscillating aero-
foil with coritrol surface in two-dimensional subsonic flow, JAS 20 (1953),
о 3.
Heaslet М. А., Spreiter 1. R., Reciprocity relations in aerody-
namica, NACA Report, Ne 1119, 1953.
Timman R., van de Vooren А. [., Greidanus J. H,,
Aerodynamic coefficients of an oscillating aerofoil in two-dimensional sub-
sonic flow, JAS 21 (1954), Ne 4.
Laidlaw. W. R. and Halfman R.L., Experimental pressure distri-
butions on oscillating low aspect ratio wings, JAS Preprint, Ne 499, 1955.
Russner F. К., Kritische bemerkunsen zur dreidimensionalen trag-
flachen theorie in unterschallgebiet, z. f. Flugwiss., 4 (1956), Ne 1—2.
Tijdeman H. and Bergh Н., Analysis of pressure distributions
measured on a wing with oscillating control surface in twodimensional high
subsonic and transonic flow, Report National Luchtvaart laboratorium
Technika Rabiport F-253, 1967.
White К. В. and Landahl М. T., Effect of gaps on the loading
distribution of planar lifting surfaces, AIAA Journal 6 (1968), Ne 4.
Bradley R.G, Miller В. D., Lifting surface theory-advances and
applications. The Fort Worth division of General Dynamics Fort Worth.
AIAA Paper (1970), Ne 70-192.

СПИСОК СОКРАЩЕННЫХ НАИМЕНОВАНИЙ
В ЛИТЕРАТУРЕ
ЦАГИ — Центральный аэрогидродинамический институт.
Изд-во АН СССР — Издательство Академии наук СССР.
Оборонгиз — Государственное издательство оборонной промышленности.
Гостехиздат — Государственное издательство технико-теоретической литера-
туры.
ИЛ — Издательство иностранной литературы.
Физматгиз — Издательство физико-математической литературы.
ПММ — Прикладная математика и механика.
ОТН — Известия Академии наук СССР, Отделение технических наук.
МИМ — Известия Академии наук СССР, Механика и машиностроение.
МЖГ — Механика жидкости и газа.
БНИ — Бюро научной информации ЦАГИ.
ZAMM — Zeitschrift fir angewandte Mathematik und Mechanik.
NACA — National Advisory Commitee for Aeronautics
JAS — Journal of Aeronautical Sciences.
ARC — Aeronautical Research Council.
AIAA — American Institute of Aeronautics and Astronautics,

ОСНОВНЫЕ СБОЗНАЧЕНИЯ
1. Геометрические параметры
[ — длина летательного аппарата,
b — характерный линейный размер (корневая хорда крыла или длина ле-
тательного аппарата),
by — концевая хорда крыла,
b’ — хорда сечения, параллельная оси симметрии летательного аппарата,
р. — средняя аэродинамическая хорда крыла,
[ — размах крыла,
X,Y, 2 — текущие координаты в связанной с летательным аппаратом CH-
стеме оординат,
x
=- & N= > C= = — безразмерные координаты при характерном
размере В,
хх — - 22
x= у = a, г= —- — безразмерные координаты, когда для ё в ка-
честве характерного размера взят полуразмах крыла,
| = 30 — сужение крыла, |
К
бк
= р. — обратное сужение крыла,
{о — Угол стреловидности по передней кромке,
%1 — угол стреловидности по задней кромке,
с — толщина крыла,
- [+
с = — — относительная толщина крыла,
$ — характерная площадь (площадь крыла),
2
= —< — Удлинение крыла,
хт — расстояние от начала координат О до носка летательного апйарата
хт = —- — центровка,
bp, by — наибольшая хорда руля (элерона),
lp, Ь — размер руля (элерона) в направлении оси Oz,
bp = > ‘bs = — — относительная хорда нуля (элерона),
lp = a, [5 = 2 — относительный поперечный размер руля (элёрона),
Sp $» — площадь руля (элерона).
Tl, Кинематические параметры
Uy = Wox + Moy + RUo2 — вектор абсолютной скорости ` подвижного на-
чала О, р |
о = iQ, + /Ю,- Ё@.— вектор абсолютной угловой скорости крыла,

418 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Wy, Wy, И, — проекции абсолютной возмущенной скорости,
о и 2, — проекции абсолютной угловой скорости,
У at Г.
ФА, Ш, =-“, w,=—* — проекции безразмерной (возмущенной)
Uo Uo Uy
скорости среды,
W*, Wo— векторы переносной и относительной скорости,
а — скорость звука,
М = — — число Маха невозмущенного потока,
CO
¢ — время,
_ Uot 6
T= -,_ — безразмерное время,
Т — период колебаний,
л .
р = > — круговая частота колебаний,
р* = oe — число Струхаля,
0
qi — безразмерный кинематический параметр, характеризующий движение
летательного аппарата и. его ` деформацию,
о 0. = % — угол атаки (угол между корневой хордой и проекцией скорости U,
на плоскость симметрии летательного аппарата Oxy),
да = Oy, = <i — безразмерная угловая скорость крена при харак-
0
терном линейном размере b,

Jo = ® = aU, — безразмерная угловая скорость крена при характер-
ном линейном размере //2,
дз = 0, = ПА — безразмерная угловая скорость тангажа при харак-
терном линейном размере 6,
‚ @з = Oza = + — безразмерная угловая скорость тангажа при харак-
0
терном линейном размере Da,
4. = 6 — параметр деформации при гармонических колебаниях,
= = a безразмерная производная от угла атаки по времени,
0
. dQ, 62 ,
42 = Oy = = TH безразмерная производная от угловой скорости ®;
по времени при характерном линейном размере 5,
до = Ox, = a Wr — безразмерная производная от угловой CKO-
рости &, по времени при характерном линейном размере //2,
2
дз = 02 = Tr tT - безразмерная производная от угловой скорости 2,
по времени при характерном линейном размере Ь,
e ° dQ, ; 5
93 = аа = о о — безразмерная производная от угловой CKO-
0
рости ®, по времени при характерном линейном размере ba,
Ча = © = ih т — безразмерная производная от параметра дефор-
(I
мации по времени,
№
9; — амплитудные значения кинематического параметра при гармонических
зависимостях от времени,

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ` 419
Ф (х, у, 2, 0 — Ub У [с* (Е, ЦВ 5) qi + ф” (§, Y, С) A — Потенциал BO3-
|
мущенных скоростей крыла при заданном числе М,
pf _E, n, 0), pit (Е, n, С) — аэродинамические производные потенциала
скоростей при гармонических зависимостях от времени, зависят от р*,
V2, (x, у, 2, # = Ц (,1, 6, Й — интенсивность присоединенного вихре-
вого слоя,
У (5, п, 6, д = > [7 (Е, м, 5, )9: Е % Е, т, 9 921,
vii (1, 5, у 91 (Е, n, 6) — аэродинамические производные интенсивности
присоединенного  ннхревого слоя при гармонических зависимостях от времени,
зависят от р*,
Гудив-1 = Uobl yer-1 — циркуляция присоединенного вихря,
р 4, .
Г пе -1 — > Gi + 4,
Е
вы ukk—1 i, p_1 аэродинамические производные циркуляции присоеди-
ненного вихря | на и-м шнуре между Ки ^—1 сечениями при i-M виде движения,
Г; (0) = by ry (С) — суммарная циркуляция присоединенных вихрей,
ki, A tg vie 7 — параметры подобия.
Ш. Динамические характеристики
О ›— Массовая Плотность невозмущенной среды,


р
0. as — скоростной напор невозмущенного потока,
Ар = -P# TF = > (ра; + рр;) — безразмерный коэффициент аэроди.
Pao
намической нагрузки,
У — подъемная сила,
су = 205 = 2 \% 9; + €,'9;} — коэффициент подъемной силы,
1
М. — продольный момент (тангажа),
2M, q; q; )
m =) m,' mig, |) — коэффициент продольного момента,
2 0. URS — 9, + ™,9; ффиц род
Мх — момент крена,
т = АМ У (ме mii i) — коэффициент момента крена
x =o 02$ = х ЧР Тх9;) — коэффиц рена,
Въ 0 1
_ x
хр = -,- — безразмерная координата фокуса крыла относительно носка
’ 2dY у (cr Fi 9; i} wo
c= = Cy t — коэффициент подъемной силы
| y 0,,U gb’ dz . 9; + у 9 фф Ц д
сечения крыла,


420 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Х — сила сопротивления с подсасывающей силой,
Х — сила сопротивления без подсасывающей силы,
О — подсасывающая сила,
- 2X “08 —66<2
с, = 5055 = сло fora? + cad + с066° — коэффициент сопротивления
без подсасывающей силы,
Xx 2
с, = 505 = Со Са" + cas 4. 6065? — коэффициент сопротивления
с подсасывающей силой,
24 “
C9 = TRS - коэффициент подсасывающей силы,
Po |
T— продольная сила,
=> 5 = Ci + > 2 ( qj 14, + ц, G+ fig g , — коэффици-
ент продольной силы,
Схо› Cxor Cto» Cto — коэффициенты сопротивления и продольной силы, вы-
званные трением среды и толщиной тела,
Уш — подъемная сила на руле,
С

Tie (я + Side) |
Cm = р-088- = д 119: cf yndi — коэффициент подъемной силы руля,
t
My — шарнирный момент руля,
2M 9;
m= 25 -5- = т 149; та 29; — коэффициент шарнирного момен-
PoY9 i
та руля,
[ .
К = — — аэродинамическое качество с учетом подсасывающей силы,
Cx
— C ®
= —^ — аэродинамическое качество без подсасывающей силы,
Cx
К* — аэродинамическое качество при безударном входе,
Р — мощность, затрачиваемая на движение и деформации летательного
аппарата, | |
Ср = 2P коэффициент мощности
— = тюе —^ . >
PQ UGS
А А r А,
bo. == —22 b., = —28_ р. = —-44_ bo, = —*&— — коз ИЦИ-
22 0,,S ; 26 0,982’ 44 0,583 ’ 66 рб bd
енты присоединенных масс,
22» Мэв» Ааа» Абв — присоединенные массы,
Ар", Acti, Ат, A Apt, Act, Am, Ni |
р‘, Ac)’, Am,’, mit, p', Ac m m,'— аэродинамические
производные нагрузок, подъемной силы “" моментов при бесциркуляционном
обтекании.

УКАЗАТЕЛИ
1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ОБТЕКАНИЯ
Несжимаемая среда (М=0)
Точные решения для крыла бесконечного удлинения (A = со)
Аэродинамические производные нагрузки, подъемной силы и продольного
момента 241—243
Индуктивное сопротивление и подсасывающая сила 244
Крыло с рулем. Характеристики рулей 243, 244, 246—248
Безударное обтекание 245, 246
Крыло с рулем. Бесциркуляционное обтекание 242, 262—963
Точные решения для прямоугольного крыла весьма малого удлинения (A -> 0)
Аэродинамические производные нагрузки, подъемной силы и моментов
263—275, 279—282
Индуктивное сопротивление и подсасывающая сила 263—275, 278
Крыло с рулем. Характеристики рулей 263—275, 277
Численные методы для летательного аппарата
Аэродинамические производные нагрузки, подъемной силы и моментов
103—108
Аэродинамические характеристики при ‘деформациях. Функции влияния
115—120
Безударное обтекание 108—114
Аэродинамические характеристики управляющих органов 123—130
Индуктивное сопротивление без подсасывающей силы 193—195, 210—213
Индуктивное сопротивление с подсасывающей силой 195—198, 213—916
Подсасывающая сила 198—203
Аэродинамическое качество 219—224, 228—931
Мощность, затрачиваемая на движение и деформации. 231—235
Определение коэффициентов подъемной силы и моментов при деформациях
по теореме обратимости 168—171
Определение эффективности управляющих органов по теореме обратимости
171—175
Аэродинамические нагрузки, силы и моменты при .бесциркуляционном
обтекании 97—103
Дозвуковые скорости (0 < М < 1)
Точные решения для прямоугольного крыла весьма малого удлинения ( \ -> 0)
Аэродинамические производные подъемной силы и моментов 279—282
Численные методы для летательного аппарата
Аэродинамические производные нагрузки, подъемной силы и моментов
143—151 7

422
УКАЗАТЕЛИ
Аэродинамические характеристики при деформациях. Функции влияния
143—151, 154, 155
Безударное обтекание 151—153
Аэродинамические характеристики управляющих органов 155—161
Индуктивное сопротивление без подсасывающей силы 193—195, 210—213
Индуктивное сопротивление с подсасывающей силой 195—198 213—216
Подсасывающая сила 198—203
Аэродинамическое качество 219—224, 228—231
Мощность, затрачиваемая на движение и деформации 231—235
Определение коэффициентов подъемной силы и моментов при деформациях
по теореме обратимости 168—171
Определение эффективности управляющих органов по теореме обратимости
171—175
|. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ
Аэродинамические производные
(включая стационарные характеристики)



Вид несущей поверхности Таблицы
и аэродинамические Формулы (страницы) Рисунки
характеристики
Крыло бесконечных иудлине- |
ний (A = со) с рулем
Нагрузка, подъемная сила | (9.18), (9.19), | 9.1 (249) 10.38
и продольный момент крыла | (9.34), (9.40).
Эффективность рулей (9.35), (9.40) | 9.2 (250—253),
9.3 (254—257),
9.4 (258—261)
Подъемная сила и шарнир- | (9.20), (9.33), | 9.2 (250—253),
ный момент руля (9.36), (9.37), | 9.3 (254—257),
9.40) | 9.4 (258—261)
Безударное обтекание (9.26)—(9.32) 10.36, 10.37
Индуктивное сопротивление (9.24)
Подсасывающая сила 10.40, 11.11
Характеристики при бесцир- | (9.41)—(9.44) 9.5 (263) 10.39
куляционном обтекании
Крылья произвольной
формы в плане
с прямыми кромками
Подъемная сила и моменты 11.4 (330—349),| 11.48—11.57
крыла 11.5 (350—351) | 12.7—12.9
Безударное обтекание 11.76-11.79
Сопротивление без подсасы- (11.4) 11.6—11.9,
вающей силы 11.66,
11.68—11.72,
12.44—12.46
Сопротивление (11.4) 11.2—11.5,
с подсасывающей силой 11.65, 11.67,
11.69—11.72,
12.44—12.46,
Подсасывающая сила



11.11—11.13

42.3


УКАЗАТЕЛИ
Продолжение табл.
Вид несущей поверхности Таблицы
и аэродинамические Формулы (страницы) Рисунки
характеристики
Аэродинамическое качество 8.2, 11.74,
11.76—11.79
Характеристики при бесцир- 11.1 12.1—12.4
куляционном обтекании (321—324)
Прямоугольные крылья
Подъемная сила 11.4 (330), 10.15, 10.16,
и моменты крыла 11.5 (350) 10.41—10.50,
11.48—11.57,
12.10, 12.22,
12.23,
. 12.27—12.31
Эффективность рулей 11.7 (377), 10.51—10.53,
11.8 (378) 11.16—11.39,
12.32—12.35
Подъемная сила , 11.6 (374), 11.40—11.43,
и шарнирный момент рулеи 11.7 (377), 12.26, 12.37
11.8 (378)
Безударное обтекание 11.76, 12.47,
12.48
Сопротивление | (11.4) 11.6, 11.46,
без подсасывающей силы 11.47, 11.69,
12.43, 12.48
Сопротивление | , (11.4) 11.2, 11.44,
с подсасывающей силой 11.45, 11.69,
12.43
Подсасывающая сила 11.11—11.13
Аэродинамическое качество 11.73, 11.74,
11.76, 12.48
Характеристики крыла
при бесциркуляционном 11.1 (322) 12.1—12.3
обтекании
Характеристики рулей 11.2 (326)
при бесциркуляционном 11.3 (326)
обтекании
Греугольные крылья
Подъемная сила и моменты 11.4 (347), 11.48—11.57,
11.5 (350) 11.58—11.64,
12—22, 12.24,
12.25, 12.27
Характеристики рулей 12.38
Безударное ‘обтекание 11.77
Сопротивление
без подсасывающей силы (11.4) 11.9
Сопротивление
с подсасывающей силой (11.4) 11.5
Подсасывающая сила AL JI—11.13
Аэродинамическое качество 11.77
Характеристики при бесцир- 11.1 (324)
куляционном обтекании |





у eo
424 `` УКАЗАТЕЛИ
Продолжение табл.
Вид несущей поверхности Ф Таблицы
и аэродинамические ормулы Рисунки
характеристики (страницы) у

Прямоугольное крыло
весьма малого
удлинения (A — 0)
Подъемная сила и моменты | (9.87), (9.99), 11.5 (350) 10.41—10.50
крыла (9.100)
Крыло с рулем. Характери- | (9.88), (9.89)
стики рулей
Сопротивление без подсасы- (9.93)
вающей силы |
Сопротивление с подсасы- (9.94)
вающей силой
Аэродинамическое качество (8.68)
Летательные аппараты
Подъемная сила и моменты 10.1 (318) 10.17, 10.23,
12.13—12.15,
12.17—12.19,
12.26