К). Л. Н1ИХЛИ0ВИЧ
ВВЕДЕНИЕ
В СОВРЕМЕННУЮ
МАТЕМАТИКУ
НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ Р1-ДАК.ЦИЯ
ФМЗИКО-МЛ'П-ЛиТИЧЕ-СКОР! ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 !> (i 5

Г>17
III 65
УДК 510@22)
Юрий Александрович Шиханович
ВВЕДЕНИЕ В СОВРЕМЕННУЮ МАТЕМАТИКУ
(Начальные понятия)
М., 1065 г., 37П стр. с илл.
Редактор Г. В. Дорофеев
Техн. редакторе, ff. Шкляр Корректор Л. О. Сечепкп
Сдано и набор 19/VI 1965 г. Подписано к печати 28/IX l!)i;5 г.
Бумага М X I 08/gg. Физ. печ. л. 11,75. Услопн. печ. л. Г.),74.
Уч.-и.чд. л. 16,93. Тираж 16 000 экз. 'Г-10788. Цени 1 руб. Зньаз 1112.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математическоЯ литературы.
Москиа, В-71, Ленинский проспект, 13.
Московская типография № 16
Главпплигрпфпрома Госудмрнппенного комитета
Ошета Министрои СССР по печати.
Москва, Трехпруднып пер., 9.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие В. А. Успенского 5
Предисловие автора 25
А. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ
Г л а в а I. Введение в математический язык 29
§ 1. Логические союзы 29
§ 2. Переменная 37
§ 3. = 51
Г л а в а II. Множество 57
§ 1. Множество , 57
§ 2. Подмножество 63
§ 3. Операции над множествами 72
Г л а в а III. Кортеж 89
§ 1. Кортеж 89
§ 2. Прямое произведение 92
§ 3. Комбинаторика 96
§ 4. Проекция 113
§ 5. График 118
Г л а о а IV. Алгебра логики 129
§ 1. Высказывание 129
§ 2. Высказывательная форма 142
§ 3. Кванторы 146
Глава V. Соответствие 171
§ 1. Соответствие 171
§ 2. Основные свойства соответствий 182
§ 3. Взаимно-однозначные соответствия между беско-
бесконечными множествами 188
Г л а в а VI. Функция 202
§ 1. Функция 202
§ 2. Обратная функция 218
§ 3. s-местная функция .230
1*

4 ОГЛАВЛЕНИИ
Глава VII. Отношение 233
§ 1. Отношение 233
<j 2. Оснонные свойства отношений 244
§ 3. Разбиение 253
§ 4. Отношение эквивалентности 258
§ 5. Отношения порядка 205
Б. НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ
И ОБОЗНАЧЕНИЯ
§ 1. Числовые неравенства 298
§ 2. Абсолютная величина 302
§ 3. Корни. Показатели степени 304
§ 4. Уравнения 313
§ 5. Системы уравнений . 325
§ 6. Неравенства с переменными 332
§ 7 п\ 341
§ 8. Метод математической индукции 342
Приложения 348
1. Свойства операторов 2 и П 348
2. Доказательство формулы бинома Ньютона 349
3. Готический и греческий алфавиты 351
4. Программа 351
Примечания 359
Упомянутая литература 367
Указатель терминов "... 369

ПРЕДИСЛОВИЕ К КНИГЕ 10. А. ШИХАНОВИЧА
«ВВЕДЕНИЕ В СОВРЕМЕННУЮ МАТЕМАТИКУ»*)
I
Во взаимоотношениях математики с ее приложениями
сравнительно недавно наступил глубокий перелом. Раньше
можно было более или менее четко указать пограничные,
„прикладные" области математики и глубинные, „чисто
теоретические" ее недра. Эти недра не имели непосредствен-
непосредственного выхода на поверхность, в них осуществлялись свои
собственные процессы (конечно, не без влияния перифе-
периферии). Так, в античные времена математика сносилась
с практикой через элементарную геометрию и искусство
счета — в то время как „в глубине" создавались «Начала»
Евклида с их дедуктивной организацией геометрии, е гео-
геометрическими построениями, с основами теории чисел.
В новое время прикладное значение имело исчисление
бесконечно малых, для обоснования которого „в недрах"
развивалась общая теория множеств и функций, вызвавшая
в свою очередь к жизни математическую логику.
В XX веке положение начало меняться. Неевклидовы
геометрии, открытые в связи с казалось бы чисто умозри-
умозрительным вопросом о пятом постулате Евклида, оказались
теоретическим фундаментом теории относительности. Тео-
Теория групп стала применяться в физике. Абстрактная тео-
теория меры, возникшая из потребности логического уточнения
понятий длины, площади и объема, легла в основу теории
вероятностей, а через нее — и математической статистики,
*) Есть некоторая разница между введением в сонременную
математику и современным введением в математику. Последнее,
словосочетание больше отвечает содержанию книги; а ещё лучше
было бы озаглаиить ее просто «Введение в математику».

6 ПРЕДИСЛОВИЕ
Но подлинный переворот наступил в середине века, когда
математические методы стали активно вторгаться в самые
различные сферы науки и практики. Оказалось, что мате-
математическая логика, которая раньше заботила лишь лиц,
специально интересующихся проблемами обоснования, есть
не чисто теоретическая, но и прикладная наука, тесно свя-
связанная с вычислительной математикой и всей современной
кибернетикой. Оказалось, далее, что теоретико-множе-
теоретико-множественная концепция, возникшая первоначально для обосно-
обоснования исчисления бесконечно малых, располагает столь
мощным аппаратом понятий и методов, что может не только
служить фундаментом всей современной математики, но
и непосредственно употребляться для описания явлений
самых различных наук — от биологии до лингвистики.
Все чаще представители самых различных и прежде
далеких от математики областей знания обращаются к мате-
математикам с вопросом «Что почитать для начала?», имея
при этом в виду вовсе не втузовские учебники по дифферен-
дифференциальному и интегральному исчислению, а именно началь-
начальное пособие по теории множеств и языку математической
логики. Однако им почти нечего порекомендовать — во
всяком случае на русском языке. Нужные сведения не
собраны воедино, а разбросаны по разным книгам *).
Как правило, начальные сведения по теории множеств
составляют содержание первых, вспомогательных глав или
специальных приложений **) в руководствах по теории
функций, топологии, алгебре и т. п. Такое положение
едва ли можно признать нормальным и с точки зрения
самой математики, даже если не думать о запросах предста-
представителей других наук. Представляется целесообразным поэто-
поэтому собрать начальные сведения о базисных теоретико-мно-
теоретико-множественных понятиях и элементах математического языка
вместе и изложить их отдельно от их использования. Такая
задача ставится и выполняется в книге Ю. А. Шихановича.
*) Некоторое исключение, пожалуй, представляет переводная
книга Дж. К е м е н и, Дж. С н е л л а, и Дж. Томпсона
«Введение в конечную математику» (пер. с англ., М., ИЛ., 1963),
содержащая существенную часть таких сведений.
**) Лучшее из которых — приложение под названием «Про-
«Простейшие понятия теории множеств» в книге: П. С. Александ-
Александров, Введение в теорию групп, изд. 2-е, М., Учпедгиз, 1951,
стр. 109—122.

ПРЕДИСЛОВИЕ 7
II
В книге систематически излагаются такие фундамен-
фундаментальные понятия, как „множество", „кортеж", „соответ-
„соответствие", „функция", „отношение". Эти понятия, на базе
которых и осуществляется, собственно говоря, все теоре-
теоретико-множественное построение математики, с полным
прапом названы в книге „начальными понятиями матема-
математики" *). Наряду с ними в книге излагаются и элементы
математического языка: разбираются понятия переменной,
операции над высказываниями и т. д.
Подобная направленность книги делает ее весьма акту-
актуальной. Действительно, сейчас, как никогда, становится
ясным, что математика — это не только совокупность фак-
.тов, изложенных в виде теорем, но прежде всего — арсенал
методов, и даже еще прежде того — язык для описания
фактов и методов самых разных областей науки и практи-
практической деятельности. Именно этим обстоятельством и обус-
обусловливается универсальный характер применимости мате-
математики — причем применимости ее не только к техниче-
техническим, физическим и другим дисциплинам, требующим
часто значительного математического аппарата (и иногда
с трудом отделимым от пограничных прикладных областей
самой математики), а ко всем отраслям науки (если можно
так сказать, к Науке в Целом), да и не только науки **).
Лингвисту, например, или биологу, по моему убеждению,
лишь во вторую очередь нужны математические теоремы,
а в первую — математические методы исследований и язык
для описания исследуемых явлений.
*) Их можно было бы назвать также «предварительными
понятиями математики», поскольку математика не столько посвя-
посвящена изучению этих понятий, сколько строится на
их основе. Именно поэтому для данной книги уместно назиание
«Введение в математику»: ведь, как написано в одном старом учеб-
учебнике, «предметом для введения в науку обыкновенно назначают
предварительные о ней понятия, т. е. такие понятия, которые не
могут войти в состав науки, однакож существенно к ней относятся
и необходимо ею предполагаются».
**) Эта общекультурная роль математики при всей ее очевид-
очевидности подчеркивается недостаточно часто. Более того, нередко мож-
можно слышать и даже читать, например, что главная цель обучения
математике в средней школе — подготовка к дальнейшему обу-
обучению и вузах технического и сходного с ними профиля.

8 предисловие
Ксли попытаться сформулировать некоторые общие цели
обучения математике представителей других наук (общие
для самых разных наук), то можно выделить — с известной
долей условности, как всегда в подобных случаях — три
такие цели:
1. Овладение математическими методами исследования,
включающими прежде всего по цозможности четкое выде-
выделение основных абстракций, сознательную идеализацию,
разграничение между определяемым и неопределяемым
и между установленным и гипотетическим, дедуктивное
получение одних фактов из других и т. п.
2. Овладение „математическим языком"—языком основ-
основных математических понятий, столь общих, что сих помощью
могут быть выражены многие факты действительности;
примерами таких понятий служат понятия множества,
отображения (функции), упорядочения, изоморфизма, веро-
вероятности, энтропии, алгоритма, исчисления и т. п.; к этому
примыкает знакомство с основными понятиями логики,
уточняемыми посредством математической логики, и кибер-
кибернетики.
3. Овладение минимумом математических сведений, нуж-
нужных для того, чтобы
а) можно было самостоятельно применять математиче-
математические результаты к исследуемому кругу явлений;
б) можно было самостоятельно читать литературу по
приложениям математики к изучаемой области знания;
в) можно было самостоятельно заниматься повышением
своей математической квалификации.
Третья из этих целей не случайно поставлена на послед-
последнее место, ибо, как уже отмечалось, она — при всей своей
значительности — представляется менее важной, чем две
Другие.
Что же касается первых двух целей, то среди них труд-
трудно установить какой-нибудь приоритет. При всей
привлекательности того, чтобы считать первую цель (овла-
(овладение методом) более важной, она вряд ли достижима без
осуществления второй (овладения языком). Математические
методы исследования неизбежно начинаются с — явного
или неявного—уточнения языка. Причем главное в этом
языке —• ие системы дифференциальных уравнений (которые
суть уже „вторичные" образования, так сказать, высшие

ПРЕДИСЛОВИЕ 9
этажи), и прежде всего — фундамент, язык н а ч а л ь-
п ы х понятий. К их числу — во всяком случае при теоре-
теоретико-множественном изложении математики — и относятся
прежде всего уже упоминавшиеся понятия „множество",
„кортеж", „соответствие", „функция", „отношение". Их рас-
рассмотрению и посвящен основной раздел (раздел А) этой
книги.
Понятия множества, кортежа, соответствия, функции,
отношения — это не только начальные понятия математи-
математики; это (так же, как, например, понятие натурального
числа), по существу, начальные понятия любого научного
языка, начальные понятия науки вообще. В специальном
«Приложении» к настоящему предисловию дается беглый
обзор этих понятий. Этот обзор имеет своей целью
1) показать широкую применимость перечисленных
начальных понятий;
2) продемонстрировать известные трудности, возникаю-
возникающие при попытке дать им строгие определения;
3) оправдать те определения (или тот выбор неопреде-
неопределяемых понятий), которые избрал автор данной книги.
III
Комментарии, содержащиеся в приложении к предисло-
предисловию, представляются тем более уместными, что в книге
не излагаются никакие приложения рассматриваемых в ней
начальных понятий к каким-либо конкретным отраслям
математики или других наук, за исключением приложений
к комбинаторике *) (которую естественно считать просто
теорией конечных множеств) и одного приложения к линг-
лингвистике **). Это обстоятельство вряд ли может считаться
недостатком книги: ведь не требуют же от учебника како-
какого-либо языка, чтобы он содержал хотя бы основы излагае-
излагаемых с помощью этого языка научных теорий. Зато сам язык,
конечно, должен быть изложен с большим тщанием —
с каким и изложен в предлагаемой книге язык начальных
понятий математики. Уточнению языка придается в книге
большое значение (и это одна из ее наиболее характерных
•) В § 3 гл. III и отчасти в §5 гл. VII (см. теорему на стр. 271).
**) См. пример 40 в "§ 5 гл. VII.

Ю ПРЕДИСЛОВИЕ
черт): уже в первом параграфе уточняется смысл союзов
и составленных с их помощью сложных высказываний;
в следующем параграфе вводится понятие переменной;
еще в следующем — разъясняется смысл знака „ = ".
Этой же целью обусловлено и включение в книгу разде-
раздела Б, излагающего уточнения некоторых „школьных"
терминов и обозначений. Дело в том, что математический
язык неизбежно включает в себя ряд терминов и обозначе-
обозначений, формально долженствующих быть известными из сред-
средней школы. Многие из них на самом деле усваиваются
в школе очень плохо. Так, подавляющее большинство
школьников и учителей, с которыми приходилось иметь дело
автору этих строк, не знало правильного употребления знака
,, < " .Они считали, что „3 < 3" неверно и „3 < 5" тоже невер-
неверно; и вообще, если аи b — произвольные, но фиксированные
числа, высказывание „а< 6" не может быть верным; утвер-
утверждение же „sinjc^l", по их мнению, верно, но лишь
потому, что для некоторых значений х имеет место неравен-
неравенство sin#<; 1, а для некоторых — равенство sin л; = 1 *).
Далеко не все правильно понимают смысл выражения а" .
Приучить читателя к необходимости и важности уточне-
уточнения языка — это представляется мне одной из самостоя-
самостоятельных и существенных целей книги. Уточнение научного
(да и не только научного) языка является на самом деле
важной проблемой, не получившей еще, к сожалению, долж-
должного признания. Между тем эта проблема имеет не только
научное, но совершенно практическое значение: ясно, сколь
большую роль, например, играет точность языка в юриди-
юридических документах **); известно, что применение матема-
математических методов в экономике в значительной степени
затруднено именно недостаточной разработанностью языка
описания экономических явлений.
*) Таким обрачом, в обозначениях настоящей книги выраже-
выражение sin х .-sj 1 расшифровывается ими так:
(V*)[sin х < 1 V sin x= 1] <S C*)[sin х< 1] <S G*)[sin x= 1].
**) См., например, по этому поводу: А. С. П и г о л к и н,
Толкование нормативных актов в СССР, М., Госюриздат, 19G2,
гл. II, § 2 («Грамматическое толкование»).

ПРЕДИСЛОВИЕ И
С уточнением языка тесно связано повышение культуры
мышления, чего настоятельно требуют .интересы науки
и народного хозяйства. В объем понятия „высокая культу-
культура мышления" входит умение мыслить формально. Формаль-
Формальное мышление не следует смешивать с неумением мыслить
неформально, содержательно; формальное мышление —
не нехватка чего-то, а особое искусство. Предлагаемая
книга может служить пособием по обучению этому
важному искусству.
IV
Думается, что книга Ю. А. Шихановича, заполняющая
существенный пробел в нашей литературе, будет встречена
с интересом. Ведь подобное изложение предпринято в нашей
литературе впервые. Впервые воедино и обособленно собран
такой материал, впервые встречаются и многие детали
изложения (например, впервые приводится аккуратная
формулировка одной из „самых главных теорем" математи-
математики — теоремы о связи между отношениями эквивалентно-
эквивалентности и разбиениями *)). Можно рассчитывать, что книга
Ю. А. Шихановича окажется также полезным материалом
и одновременно „участником" того интенсивного обсужде-
обсуждения, которому подвергается сейчас все преподавание мате-
математики сверху донизу — от вуза до начальной школы.
Среди читателей-математиков немало, вероятно, найдет-
найдется тех, кто придет к заключению, что он изложил бы по-дру-
по-другому отдельные места этой книги или даже всю книгу в
целом. Автор этого предисловия, если бы он писал такую
книгу, также написал бы ее иначе. Ясно, что различие
вкусов и стилей проявляется тем сильнее, чем более перво-
первоначальных предметов касается изложение. Однако мне
представляется бесспорным, что реальный автор книги
имеет не меньшее право на проявление своего личного стиля
и вкуса, чем авторы потенциальные.
Таким образом, я считаю, что книга Ю. А. Шихановича
сможет быть полезной самым различным читателям —
как нематематикам, заинтересованным в овладении язы-
языком начальных математических понятий (понятий столь
*) В книге эта теорема разделена на три теоремы — теоре-
теоремы 1, 2 и 3 из § 4 гл. VII.

12 ПРЕДИСЛОВИЕ
универсальных, что на их базе могут описываться явления из
самых различных областей науки и жизни), так и матема-
математикам, заинтересованным в уточнении собственного языка
(хотя бы для того, чтобы нести свой уточненный язык
нематематикам). Математику нередко по разным поводам
сравнивают со спортом, и это сравнение верно по крайней
мере в одном: в математике бывают заметны иногда те
недостатки, которые проявляются (опять-таки иногда)
в спорте: выращивая рекорды, подчас забывают о буднич-
будничной гигиенической гимнастике, о массовой физической
культуре.
ПРИЛОЖЕНИЕ
О понятиях „множество", „кортеж", „соответствие",
„функция", „отношение"
Понятия множества и кортежа трактуются в данной
книге как первичные, неопределяемые понятия. Понятия
же соответствия, функции и отношения определяются
в ней через понятия множества и кортежа *).
Множество
Понятие множества является не только первым, по
и самым главным из перечисленных понятий. Заметим сра-
сразу же, что рассматриваемые в школьном курсе алгебры
сочетания суть не что иное, как конечные множества.
Вот что говорят о понятии множества и о самом термине
„множество" П. С. Александров и Н. Н, Лузин:
«На каждом шагу нам приходится сталкиваться с тем
трудно определимым понятием, которое выражается словом
совокупность. Например, можно говорить о совокупности
людей, присутствующих в данный момент в данной комнате,
о совокупности гусей, плавающих на пруду, страусов,
живущих в Сахаре, и т. п.
В каждом из этих случаев можно было бы вместо слова
совокупность употребить слово множество» **).
*) Возможны и другие решения вопроса о том, какие понятия
назначить исходными неопределяемыми, а какие определять через
первые.
**) П. С. Александрой, Введение в общую теорию мно-
множеств и функций, М.— Л., Гостехиздат, 1948, гл. 1, § I, стр. 13.

ПРИЛОЖЕНИЕ 13
«Что такое „множество"? Мы не станем доискиваться
огиста на этот вопрос, потому что понятие множества
является столь первоначальным, что затруднительно, по
крайней мере на сегодняшний день, определить его при
помощи более простых понятий.
Читателя это обстоятельство не должно удивлять. Дей-
Действительно, когда некоторое понятие Р определяется при
помощи более простого понятия D, то само это понятие D
также нуждается в определении посредством более простого
понятия С, а оно, в свою очередь, нуждается в определении
посредством еще более простого понятия В, и так далее.
Таким образом, в конце концов мы должны будем прийти
к столь первоначальному понятию А, которое не удается
определить с помощью более простых понятий; все, что
можно здесь сделать,— это только разъяснить на ряде
примеров смысл такого понятия А.
Итак, .мы не станем искать определения слова „множе-
„множество". Можно, разумеется, было бы сказать, что множе-
множество есть „собрание", „коллекция", „класс", „система",
„семейство", „комплекс", „ансамбль", и т. д. Но такая заме-
па одного слова другим никогда не может дать самую идею
множества тому, кто раньше не приобрел ее каким-нибудь
образом. Поэтому мы предпочитаем обратиться к примерам,
разъясняющим смысл слова множество. Понимая под этим
словом совокупность, составленную из каких-нибудь пред-
предметов, мы можем говорить о множестве всех букв на данной
странице, о множестве всех атомов серебра в данной монете,
о множестве всех корней данного уравнения, о множестве
всех положительных чисел, о мнегжеаппе всех многочленов,
о множестве всех непрерывных функций, о множестве всех
точек на данной окружности, о множестве всех углов,
имеющих иррациональное значение синуса, и так далее.
Предметы, составляющие данное множество, называют-
называются его элементами'» *).
И далее:
«Из приведенных примеров видно, что элементами мно-
множества могут быть самые разнообразные предметы: буквы,
атомы, числа, функции, точки, углы и так далее. Отсюда
*) Н. Н. Лузин, Теория функций действительного пере-
переменного, М., Учпедгиз, 1948, § 1, стр. 7.

14 ПРЕДИСЛОВИЕ
с самого начала ясна чрезвычайная широта теории мно-
жеств и ее приложимость к очень многим областям знания
(математике, механике, физике)» *).
Надо иметь в виду, что список областей знания, приве-
приведенный в скобках Н. Н. Лузиным, не является не только
исчерпывающим, но даже достаточно представительным;
этот список, по существу, мог бы состоять из п с е х
областей знания.
Кортеж
Понятие кортежа несколько менее популярно, чем
понятие множества, но почти столь же фундаментально.
Так же, как понятие множества, оно заимствуется непо-
непосредственно из опыта (хотя это понятие и можно формально
определить через понятие множества, но лишь весьма искус-
искусственно); сам термин „кортеж", как и термин „множество",
допускает ряд синонимов, ничего не разъясняющих по
существу, но служащих некоторым психологическим под-
подспорьем для понимания. Такими синонимами в данном
случае являются „упорядоченный набор", „конечная после-
последовательность", „вектор" **). Вот что пишет, например,
о понятии „вектор" У. Р. Эшби (у которого это понятие
полностью совпадает с нашим понятием „кортеж"):
«...Предположим, что радиопередача должна дать нам
отчет о „состоянии" (в определенный момент времени)
проходящего сейчас марафонского бега. Для этого она
должна сообщить положение каждого бегуна в данный
момент времени. Множество этих положений определит
„состояние" бега. Итак, состояние бега в целом задается
различными состояниями (положениями) различных бегу-
бегунов, взятыми одновременно....
Такое состояние есть вектор, т. е. составной объект,
имеющий определенное число компонентов, или составляю-
составляющих. Удобно записывать его в виде (аи аг, . . ., ап); это
означает, что первая составляющая имеет значение аи
вторая — значение а2 и т. д.
...„Положение" корабля в любой момент не может быть
описано одним числом; необходимы два числа: широта
*) Там же, стр. 8.
**) Термин „вектор" имеет и другое, чисто геометрическое зна-
значение: направленный отрезок.

ПРИЛОЖЕНИЕ 15
ii долгота. Таким образом, „положение" есть вектор с двумя
составляющими» *).
Существенно подчеркнуть, что
1) составляющие вектора стоят на определенных местах,
причем указано, какое место является первым, какое вто-
вторым и т. д. (бегунов нумеруют; договариваются, какую
кз координат — широту или долготу — указывать первой);
2) составляющие, стоящие в векторе на разных местах,
могут совпадать: два бегуна могут иметь одинаковое поло-
положение, широта и долгота корабля могут также оказаться
одинаковыми (если указывать широты и долготы просто
числами со знаком плюс или минус, не прибегая к таким
словам, как, скажем, „западная долгота").
Б книге Ю. А. Шихановича вместо термина „вектор"
употребляется термин „кортеж", вместо термина „компо-
„компонент"— термин „компонента", а записывается кортеж в уг-
угловых скобках:
{аи а2, ..., ап).
Вот еще примеры кортежей: можно говорить о кортеже
автомобилей в церемониальной процессии; о кортеже букв
в слове; о кортеже слов во фразе; о кортеже фраз в абзаце;
о кортеже абзацев в тексте; о кортеже азотистых (пури-
новых и пиримидиновых) оснований в каждой из двух
„нитей" молекулы дезоксирибонуклеиновой кислоты; зна-
знакомые, которые последовательно встретились Вам сегодня
на улице (при условии, что никакие двое знакомых не
появлялись одновременно), также образуют кортеж. Во всех
этих примерах, кроме первого, компоненты кортежа, стоя-
стоящие на разных местах, могут и совпадать. Кортежи с несов-
несовпадающими элементами суть не что иное, как рассматри-
рассматриваемые в школьном курсе алгебры размещения.
Соответствие
Чтобы подойти к определению математического понятия
соответствия,начнем с примеров употребления этого понятия.
Пример 1. Будем измерять рост людей в сантимет-
сантиметрах, а их вес — в килограммах. Каждому возможному для
*) У. Р. Э ш б и, Введение в кибернетику, пер. с англ. М.,
ИЛ, 1959, § 3/5, стр. 52.

16 ПРЕДИСЛОВИЕ
человека значению роста соответствуют некоторые зна-
значения веса — те значения, которые может иметь вес при
данном значении роста.
Пример 2. С другой стороны, каждому возможному
значению веса человеческого тела соответствуют определен-
определенные значения роста человека — те значения, которые рост
может иметь при данном весе.
Пример 3. Каждому человеку либо соответствует
некоторый цвет — цвет его волос, либо ничего не соответ-
соответствует, если он лыс.
Пример 4. Каждому цвету либо соответствуют люди
с этим цветом волос, либо (как, например, зеленому цвету)
никто не соответствует (если иметь в виду естественный
цвет волос).
Пример 5. Каждому русскому существительному
соответствуют окончания, возникающие при склонении это-
этого существительного (а несклоняемому существительному
ничего не соответствует, если только не считать отсутствие
окончания особым „нулевым" окончанием).
Пример 6. Каждому окончанию соответствуют неко-
некоторые существительные, а именно те, которые имеют хотя
бы одну форму с данным окончанием, или ничего не соот-
соответствует, если такое окончание невозможно для существи-
существительных.
Пример 7. Каждому слову одного языка, если оно
имеет слова-переводы в другом языке, соответствуют эти
переводы.
Во всех этих примерах мы имеем дело с соответствиями
(причем в примерах 2, 4, 6,— с соответствиями, обратными
для соответствий из примеров 1, 3, 5). Соответствие, таким
образом, предполагает наличие двух множеств (множества
ростов и множества весов в первом примере, множества
окончаний и множества существительных — в предпослед-
предпоследнем), причем для каждого элемента первого множества
либо не указано соответствующих ему элементов второго
множества (как для зеленого цвета в примере 4), либо такие
элементы второю множества указаны (как для черного
цвета в том же примере). Первое из этих множеств пазы- \
вается областью отправления, а второе — областью при- "
бытия соответствия. Областями отправления в приведенных
примерах служили, последовательно, множество возмож-

ПРИЛОЖЕНИЕ 17
пых ростов, множество возможных весов, множество всех
людей, множество всех цветов, множество всех существи-
существительных, множество всех окончаний, множество всех слов
некоторого языка. Областями прибытия: множество воз-
возможных весов, множество возможных ростов, множество
всех цветов, множество всех людей, множество всех окон-
окончаний, множество всех существительных, множество всех
слов некоторого языка *).
Чтобы задать соответствие, недостаточно, конечно, ука-
указать область отправления и область прибытия; надо еще
указать, какие элементы области прибытия каким элемен-
элементам области отправления соответствуют. Если взять наугад
какой-то элемент а из области отправления и какой-то
элемент Ь из области прибытия, то элемент Ь, конечно,
может и не соответствовать элементу а. Чтобы указать,
какие элементы каким соответствуют, надо, следовательно,
из всех пар (а, 6), где а — элемент области отправления,
¦л b — элемент области прибытия, выделить такие, в кото-
которых b соответствует а. Для этого достаточно, очевидно,
указать множество таких „хороших" пар. Заданием этого
множества (вместе с заданием областей отправления и при-
прибытия) соответствие полностью определяется. Поэтому
соответствие естественно определить (как это и делается
при уточнении этого понятия в математике) просто как
тройку множеств: область отправления, область прибытия
и некоторое множество пар элементов из этих областей
(первый член пары должен быть из области отправления,
а второй—из области прибытия). Такое определение
и принимается в данной книге (с той только разницей,
что в определении на стр. 171 множество пар — как „глав-
„главная компонента" — ставится в тройке на первое место).
Поскольку пары и тройки суть просто частного вида корте-
кортежи, понятие соответствия оказалось выраженным через
понятие множества и понятие кортежа.
*) Для простоты мы чуть-чуть огрубляем истинное положение
пещей. На самом деле области отправления и прибытия еще не
иытекпгат однозначно из формулировок наших примеров. Так,
|| примере 3 мы могли бы считать областью прибытия и множество
не псех, а лишь возможных цветов; областью отправления в приме-
примере 1 мы могли бы считать множество всех действительных чисел,
л но только тех, которые служат значениями человеческого роста.
2 Ю. А. Шиханович

18 ПРЕДИСЛОВИЕ
Функция
Само слово „функция" встречается уже в школьном кур-
курсе математики. Однако расшифровка этого слова оказывает-
оказывается не таким простым делом, поскольку, как можно заметить,
слово «функция» употребляется в несколько различающих-
различающихся смыслах.
В классической математике известны два основных
направления, по которым происходит осмысление понятия
функции *). Первое направление — исторически более ранее
и, пожалуй, даже сейчас более распространное — ориен-
ориентировано в основном на традиционно трактуемые техниче-
технические и естественнонаучные приложения математики и опи-
опирается на понятие переменной величины; второе — более
современное и более точное — не использует этого понятии
вовсе (в то же время второе направление способно обслу-
обслужить как все традиционные приложения математики,
так и еще много новых, возникших за последнее
время).
Первое направление. Именно первое направление отра-
отражено, например, во втором издании Большой советской
энциклопедии, статья «Функция» **) в которой начинается
со следующей дефиниции: «Функция — одно из основных
понятий математики, выражающее зависимость одних пере-
переменных величин от других».
В рамках данного направления в свою очередь можно
выделить два подхода, первый из которых (опять-таки более
ранний и, возможно, более распространенный) скорее
соответствует точке зрения физиков, второй — точке зре-
зрения математиков ***).
Первый подход состоит в истолковании функции как
переменной величины. Именно такое истолкование при-
принято в средней школе. «Та переменная величина, числовые
*) Мы не касаемся здесь осмысления этого понятия в конструк-
конструктивной математике.
**) И. П. Натансон, Функция, БСЭ2, т. 45 A956 г.).
стр. 657.
***) См. об этом в книге: Р. Курант, Г. Р о б б и н с,
Что такое математика, пер. с англ., М.— Л., Гостехиздат, 1947,
гл. VI, § 1, стр. 365—366.

ПРИЛОЖЕНИЕ 19
значения которой изменяются в зависимости от числовых
значений другой, называется зависимой переменной, или
функцией этой другой переменной величины» *). Подоб-
Подобное определение функции принято и в ряде авторитетных
вузовских учебников **) и в Большой советской энциклопе-
энциклопедии, где следующая за дефиницией фраза в только что
упоминавшейся статье «Функция» гласит: «Если величины х
и у связаны так, что каждому значению х соответствует
определенное значение у, то у называют (однозначной)
функцией аргумента *»; как видно из исторического
обзора в конце названной статьи, аналогичныеформулировки
встречались еще в прошлом веке и восходят к еще более
ранним представлениям.
Второй подход состоит в истолковании функции как
закона, но также связанного с понятием переменной вели-
величины (и с разделением переменных величин на „зависимые"
и „независимые"): «Закон (правило), по которому значе-
значениям независимых переменных отвечают (соответствуют)
значения рассматриваемой зависимой переменной, назы-
называется функцией» ***).
Приведенные формулировки нельзя, конечно, считать
отчетливыми. Для их уточнения требуется предварительное
создание достаточно нерасплывчатой системы представле-
представлений о переменных величинах. Создание такой системы если
и возможно, то, по-видимому, лишь на основе использо-
использования в качестве исходных таких понятий, как „величина"
*) А. П. Киселев, Алгебра, ч. II, изд. 41-е, М., Учпед-
Учпедгиз, 1964, § 25, стр. 25.
**) «Величина у называется функцией величины х, опре--
деленной на множестве оА1, если каждому значению величины х,
определенной на множестве гМ, соответствует единственное опре-
определенное значение величины у» (А. Я. X и н ч и н, Краткий курс
математического анализа, М., Гостехиздат, 1953, § 3, стр. 15;
ср. также § 2); «переменная у называется функцией от пере-
переменной х в области ее изменения ??, если по некоторому правилу
или закону каждому значению х из ^ ставится в соответствие одно
определенное значение у» (Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц, Основы мате-
математического анализа, т. 1, изд. 5-е, М., «Наука», 1964, § 17,
стр.40).
***) А. Д. М ы ш к и с, Лекции по высшей математике, М.,
«Наука», 1964, гл. II, § 1, п. 1, стр. 37.
2*

20 ПРЕДИСЛОВИЕ
и „изменение во времени" *), т. е. вне рамок теоретико-
множественной концепции "'*)•
Второе направление. Принципиально иной путь связан
с отказом от переменных величин. Он приводит к более
широкому понятию функции, поскольку разрешает рас-
рассматривать функции не только от „величин" (заметим
вскользь, что попытки уточнить, что такое „величина вооб-
вообще", приводят к значительным трудностям). Б рамках
этого второго направления можно опять-таки различить
несколько подходов, а именно по меньшей мере три. Пер-
Первый подход определяет не самое функцию, а лишь, так
сказать, «функциональную ситуацию», т. е. ситуацию, при
которой разрешено говорить, что имеет место функция;
второй подход трактует функцию как правило, или закон;
третий — как соответствие.
Первый подход характерен для руководств по общей
теории функций и теории функций действительного пере-
переменного. Вот, например, что говорит о функции П. С. Алек-
Александров в своей уже цитированной нами книге: «если каким-
нибудь образом каждому элементу х некоторого множе-
множества X поставлен в соответствие определенный элемент
у некоторого множества Y, то мы говорим, что имеется
отображение множества X во множество Y или функция f,
аргумент которой пробегает множество X, а значения
принадлежат множеству У»***).
А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин пишут:
«В анализе понятие функции вводится следующим обра-
образом. Пусть X — некоторое множество на числовой прямой.
Говорят, что на этом множестве определена функция /,
если каждому числу х ? X ****) поставлено в соответствие
определенное число у = f (х). При этом X называется
*) См. Л. Н. Колмогоров, Величина, БСЭ2 т. 7A951 г.);
см. также статью «Переменные и постоянные величины» в 32-м
томе A955 г.) этой же энциклопедии.
**) В книге 10. Л. Шихановича нет понятия переменной
величины. Переменная понимается в ней (как это принято в совре-
современной математической логике) просто как буква, сопряженная
с определенным способом се использования.
**•) П. С. Александре в, Введение в общую теорию мно-
множеств и функций, М.— Л., Гостехиздат, 1948, стр. 21.
****) Не знакомые со знаком „?" могут понимать его в данном
случае просто как синоним предлога „из"— В. У.

ПРИЛОЖЕНИЕ 21
областью определения данной функции, а У — совокуп-
совокупность всех значении, принимаемых этой функцией,— ее
областью изменения.
Если теперь вместо числовых множеств рассматривать
множества какой угодно природы, то мы придем к самому
общему понятию функции, а именно: пусть М и N — два
произвольных множества. Говорят, что на М определена
функция /, принимающая значения из N, если каждому
элементу х ? М поставлен в соответствие один и только
один элемент из N. В случае множеств произвольной при-
природы вместо термина „функция" часто пользуются термином
„отображение", говоря об отображении одного множества
в другое» *).
Как мы уже говорили, приведенные (и широко распро-
распространенные подобные им **) ) формулировки оставляют
само понятие функции неопределяемым. Здесь определяет-
определяется не что такое функция, а лишь некоторое правило употреб-
употребления этого термина. Что же такое функция и когда про
две функции можно говорить как об одной и той же функ-
функции— это остается неопределенным. Разумеется, такая
точка зрения вполне правомерна ***).
Однако правомерно и стремление определить самое
функцию (причем без понятия переменной величины).
Попытки определить функцию как правило, или закон****),
*) Л. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы
теории функций и функционального анализа, нып. 1, Метрические
и нормированные пространства, Изд-во МГУ, 1954, § 7, стр. 19—20.
**) См., например, И. П. Натансон, Теория функций
вещественной переменной, М.— Л., Гостехиздат, 1950, гл. IV,
§ 1, стр. 80.
***) Вот что сказано по этому поводу в двух сочинениях,
которые можно, пожалуй, назвать классическими: «Понятие функ-
функции такое же основное и первоначальное, как и понятие множества»
(Ф. Хаусдорф, Теория множеств, Пер. с нем., М.— Л., ОНТИ,
1937, § 2, стр. 12): «В конечном счете понятие функции — или
какое-либо сходное понятие, например понятие класса,— при-
приходится считать первоначальным, или неопределяемым» (А. Ч е р ч,
Введение в математическую логику, т. 1, пер. с англ., М., ИЛ, I960,
примечание 39, стр. 351).
****) Вот, например, как определяется функция в § 6 главы I
упоминавшейся уже книги «Введение в конечную математику»,
(стр. 95): «Пусть дано множество D, которое называется областью
определения функции, и правило /, которое каждому элементу
множества D ставит в соответствие некоторый объект... Тогда /

22 ПРЕДИСЛОВИЕ
посредством которого для каждого элемента одного мно-
множества указывается некоторый элемент второго, приводят
к потребности уточнить, что такое правило, или закон.
Такие уточнения приводили до сих пор к слишком узким
классам функций — как, например, классу вычислимых
функций, когда слово „закон" уточняется посредством
понятия алгоритма. Попытки же найти слову „закон"
максимально общее уточнение оказываются — и, по-ниди-
мому, неизбежно (во всяком случае при наших сегодняш-
сегодняшних представлениях) — связанными с необходимостью
максимально широко и одновременно совершенно отчетли-
отчетливо очертить язык (или языки) записи законов, что вряд ли
когда-нибудь удастся; считать же понятие „закон" первич-
первичным и неопределяемым вряд ли целесообразно.
Наиболее законченное представление о функции заклю-
заключается в рассмотрении ее как соответствия. «Функ-
«Функция.., определенная на множестве М, есть не что иное,
как просто соответствие f различным элементам множе-
множества М некоторых элементов (различных или тождествен-
тождественных) множества N» *). Или, более точно: «В самом общем
смысле (однозначная) функция... — это соответствие, в силу
которого каждому элементу х некоторого множества X
отвечает единственный элемент у некоторого множества
У» **). Если понимать соответствие так, как мы уже усло-
условились выше его понимать, и считать, что в приведенной
только что формулировке X и Y служат областью отправ-
отправления и областью прибытия соответствия, то станет оче-
очевидным, что эта формулировка выделяет функцию — среди
прочих соответствий — посредством следующего требова-
требования: каждому элементу области отправления должен соот-
соответствовать ровно один элемент области прибытия.
Именно такое определение функции — как соответствия
называется функцией, определенной на множестве D». Сравнение
с приведенной выше цитатой из А. Д. Мышкиса показывает, что
этот „второй подход второго направления" весьма, по существу,
близок ко „второму подходу первого направления", поскольку
в этом последнем обращение к понятию переменной величины
является на самом дели совершенно необязательным.
*) Н. Н. Л у з и и, Теория функций действительного пере-
переменного, М., Учпедгиз, 1948, § 36, стр. 126.
**) С. К. К л и н и, Введение в метаматематику, пер. с англ.,
М., ИЛ, 1957, § 10, стр. 36.

ПРИЛОЖЕНИЕ 23
(понимаемого как тройка множеств), при котором каждому
элементу области отправления соответствует ровно один
элемент области прибытия — принято в «Началах матема-
математики» Н. Бурбаки *). Можно теперь сделать шаг в сторо-
сторону обобщения, потребовав меньшего, а именно, потребовав,
чтобы в случае функции каждому элементу области отправ-
отправления соответствовало не более одного элемента
области прибытия. Так, если рассматривать функции дей-
действительного переменного, т. е. функции, у которых область
отправления и область прибытия совпадают каждая с мно-
множеством действительных чисел, то
1) функция у = х2 каждому действительному числу а
ставит в соответствие ровно одно действительное число — а2;
2) функция у = Ух каждому неотрицательному дей-
действительному числу а ставит в соответствие ровно одно
действительное число У~а, а любому отрицательному дей-
действительному числу — ничего не ставит в соответствие.
В приведенных выше примерах соответствий лишь при-
пример 3 дает функцию (если считать, что у каждого нелысого
человека — вполне определенный цвет волос).
Изложенное определение функции — как соответствия,
у которого каждому элементу области отправления соот-
нетствует не более одного элемента области прибытия —
и принято в настоящей книге.
Отношение
Последним из начальных понятий нашего списка являет-
является понятие отношения. Начнем с примеров. Говорят об
отношении родства среди людей; об отношении „меньше"
среди чисел; об отношении старшинства среди военно-
военнослужащих; об отношении синонимии среди слов языка;
об отношении паразитирования среди животных; об отно-
отношении совместимости среди групп крови; об отношении
подобия среди геометрических фигур; об отношении подчи-
подчинения среди слов в предложении. Мы видим, что каждый
из этих примеров устроен следующим образом: имеется
некоторое множество (людей, слов, фигур и т. д.), и для
*) См. Н. Бурбаки, Теория множеств, пер. с франц.,
М., «Мир», 1965, гл. II, § 3, п. 4, стр. 90.

24 ПРЕДИСЛОВИЕ
любой пары элементов из этого множества указано, нахо-
находится ли первый член этой пары в данном отношении ко
второму или нет (например, для каждой пары военнослужа-
военнослужащих указано, является ли первый из них старшим по отно-
отношению ко второму; для каждой пары чисел указано, явля-
является ли первое из них меньшим, чем второе), причем из
рассмотрения не исключаются пары, у которых мерный
и второй члены совпадают (так, для любой пары, составлен-
составленной из совпадающих чисел, указано, что первый член пары
не находится в отношении „меньше" ко второму; для любой
пары, составленной из совпадающих геометрических фигур,
указано, что первый член находится в отношении подобия
ко второму). Чтобы задать отношение, достаточно, следо-
следовательно, задать некоторое исходное множество — „область
задания отношения" и некоторое множество пар его эле-
элементов — „график отношения", состоящий из тех пар,
у которых первый член находится в рассматриваемом отно-
отношении ко второму. Естественно поэтому само отношение
отождествить с парой, составленной из его графи-
графика и его области задания. Такое отождествление и при-
принято в данной книге в качестве определения поли-1
тия „отношение"; отношение, следовательно, есть пара,
составленная из двух множеств, причем элементами перво- ]
го из этих множеств служат некоторые пары элементов
второго.
В. Успенский
17 апреля 1965 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Данная книга является сводным (и, по возможности,
строгим) изложением начальных математических понятий:
„множество", „кортеж", „соответствие" (вчастности —„функ-
—„функция"), „отношение". При помощи этих понятий по существу
строится или может быть построена любая математическая
дисциплина. Впрочем, упомянутые понятия являются,
по-видимому, удобными при построении любой.(не только
математической) научной дисциплины, достигшей доста-
достаточно высокого уровня зрелости.
Книга состоит из двух разделов: А и Б. Основной теме
книги — начальным математическим понятиям — посвящен
раздел А. Правда, при чтении § 2 гл. II раздела А и §3
гл. III раздела А предполагается знакомство с содержанием
§ 7 раздела Б, а при чтении гл. VII раздела А (особенно
§ 5) — с содержанием § 1 раздела Б.
Читателям, интересующимся уточнением некоторых
„школьных" терминов и обозначений (например, школь-
школьникам-выпускникам), адресованы гл. I раздела А и
§§ 1—7 раздела Б. Читателям этого вида полезны так-
также § 3 гл. III раздела А (однако он опирается на §§1,2
гл. II и §§ 1, 2 гл. III) и § 8 раздела Б (он опирается
на гл. IV раздела А).
Возможна, наконец, еще одна категория читателей.
В книге излагаются логико-математическая терминология
и символика, упрощающие и уточняющие изложение опять-
таки любой математической или математизированной дис-
дисциплины. Читателям, интересующимся только этим аспек-
аспектом книги, достаточно прочесть главы I и IV раздела А.
По первоначальному замыслу книга предназначалась
в качестве учебного пособия к курсу «Введение в матема-
математику» для студентов отделений структурной и прикладной

26 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
лингвистики *). Именно к этой группе читателей обращены
имеющиеся в книге советы типа „Это надо запомнить актив-
активно", „Это можно помнить только пассивно", „Это можно
не запоминать" и т. п. В первую очередь для читателей этой
категории предназначено приложение 4 — «Программа»,
являющееся программой курса «Введение ь математику».
Оно может оказаться им полезным при подготовке к экза-
экзамену. Однако для целей самопроверки это приложение,
являющееся фактически подробным оглавлением, подроб-
подробным указателем содержания, может быть полезным любо-
любому читателю.
В конце почти каждого параграфа раздела А и некото-
некоторых параграфов раздела Б имеются задачи. Все эти задачи,
кроме двух, более трудных, отмеченных звездочкой, являют-
являются неотъемлемой составной частью книги. На них, на ука-
указанные в них теоремы, часто опирается дальнейший текст
книги. Умение их решить является необходимым (и, возмож-
возможно, достаточным) признаком усвоения материала книги.
Для читателей указанной выше специальной категории
(т. е. для студентов) обязательным также является умение
доказать любое утверждение, сформулированное, но не
доказанное в книге — всевозможные „легко видеть", „лег-
„легко доказать", „очевидно" и т. п.
В книге имеются примечания двух видов —подстроч-
—подстрочные примечания, или сноски, и примечания в конце книги.
Сноски нумеруются звездочками, примечания, помещенные
в конце книги,— арабскими цифрами. Примечания, поме-
помещенные в конце книги, содержат менее обязательный мате-
материал; игнорирование их не помешает чтению дальнейшего
текста.
В книге принята следующая система нумерации и ссы-
ссылок. Рисунки нумеруются сплошь в пределах всей книги;
все остальное (кроме сносок) нумеруется в пределах каждо-
каждого параграфа. В частности, некоторые строчки нумеруются
числом в скобках на полях: A), B), C) и т. д. В ссылках
на примеры другого раздела обязательно указывается наи-
*) По учебному плану специальности «Структурная и при-
прикладная лингвистика» указанный курс читается и течение перного
семестра. На этот курс, содержание которого совпадает с содержа-
содержанием данной книги, у меня уходило приблизительно 70 двухчасо-
двухчасовых лекций.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА 27
менование (А или Б) этого другого раздела. В ссылках
на примеры того же раздела наименование раздела опу-
опускается. Аналогично, в ссылках на примеры другой главы
обязательно указывается номер этой главы; в ссылках
на примеры той же главы номер главы опускается; в ссыл-
ссылках на примеры другого параграфа обязательно указы-
указывается номер этого параграфа; в ссылках на примеры того
же параграфа номер параграфа опускается. Аналогичным
образом делаются ссылки на все остальное (кроме рисун-
рисунков и сносок).
Таким образом, если в § 5 гл. III раздела А написано:
„См. A3), F), (8) из § 3 и примеры 9, 7 из § 2 гл. II, 3 из
§ 3 раздела Б", то это означает: „См. A3) из § 5 гл. III
раздела А, F) из § 5 гл. III раздела А, (8) из § 3 гл. III
раздела А и пример 9 из § 5 гл. III раздела А, пример 7
из § 2 гл. II раздела А, пример 3 из § 3 раздела Б".
На содержание настоящей книги наибольшее влияние
оказали Владимир Андреевич Успенский, впервые прочи-
прочитавший в 1960/61 уч. году на Отделении теоретической
и прикладной лингвистики филологического факультета
Московского университета курс «Введение в математику»,
и N. Bourbaki, книга «Theorie des ensembles» которого
привела к довольно радикальной переработке первоначаль-
первоначального варианта курса. Названным лицам приношу свою
глубокую благодарность.
Ю. Шиханович
11 сентября 1963 года

А. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК
§ 1. Логические союзы
Введем термин „высказывание". Высказываниями мы
будем называть такие npe^nosceHHHj про которые разумно
говорить, разумно считать, что они являются истинными
или ложными. Разумеется, неуточненность понятий „истин-
нпёп,','ложн6еи делает понятие высказывания расплывча-
расплывчатым. Тем не менее очевидно, что фразы „Пойдешь ли ты
в кино?", „Да здравствуют музы!" (как и любое вопроси-
вопросительное или восклицательное предложение) не являются
высказываниями. Определение „Треугольник называется
равносторонним, если все его стороны равны между собой"
(как и любое другое определение) также не является выска-
высказыванием. Фраза „Если все стороны треугольника равны,
то этот треугольник является равносторонним" — высказы-
высказывание (а именно, истинное, в силу только что приведенно-
приведенного определения, высказывание). Фразы „2x2 = 4" и
„3 > 5" также являются высказываниями (первое — истин-
истинное, второе — ложное). Фраза „В повести «Капитанская
дочка» 200775 букв" является, очевидно, высказыванием,
хотя, вероятно, никому не известно, истинно оно или лож-
ложно. Фразы „Сегодня плохая погода" или „Эта книга —
хорошая" не следует, по-видимому, относить к высказыва-
высказываниям ввиду недостаточной уточненное™; чрезмерной субъ-
субъективности понятий „хорошая погода" или „хорошая книга".
Ограничимся приведенными примерами. Полезно заметить,
что слово „утверждение" фактически является синони-
синонимом термингГ__пвысказывание". Слово „теорема" почти
равнозначно в математике словам „утверждение", „выска-
„высказывание" и употребляется вместо них преимущественно

30 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК [Гл. I
в тех случаях, когда соответствующее предложение надо
доказать. Подчеркну еще раз, что высказывания бывают
истинные и ложные, причем каждое высказывание истинно
или ложно.
Условлмся составное высказывание вида „А или В", где
А и В — высказывания, считать ложным в тех случаях,.,
когда оба высказывания А и В ложны. Во всех остальных
случаях мы, следовательно, будем считать высказывание
„А или В" истинным. Таким образом, после этого соглаше-
соглашения высказывание „2 > 3 или 5 — четное число" следует
считать ложным, а высказывания „2 < 3 или 5 — четное
число", „2 <;3 или 4 — четное число" — истинными. На вся-
всякий случай хочу поспорить с предполагаемым читателем,
который придерется к словам „следует считать". «Как
это „после соглашения... следует считать"? А разве выска-
высказывание „2 <3 или 4 — четное число" само по себе, без
всяких соглашений не имеет какого-то смысла?» Такому ¦
читателю я возражу, что наши слова, слова нашего обычно-
обычного, повседневного языка вовсе не имеют какого-то внутрен-
внутреннего, изначального смысла. Смысл слов, а следовательно,
и смысл предложений, составленных из этих слов, либо
— в повседневном языке — создается стихийно, в практике
речевого общения и поэтому этот смысл расплывчат и неоп-
неопределенен, либо — в математическом языке — создается
специальными, явными соглашениями. Вполне возможно,
между прочим, что вытекающая из нашего соглашения
о смысле союза „или" истинность высказывания „2 <;3
или 4 — четное число" будет противоречить языковой интуи-
интуиции некоторых читателей. Им будет хотеться считать это
высказывание ложным. Таким читателям я дам два ответа.
Во-первых, таково наше соглашение — и точка. Всюду
дальше, где не оговорено противное, соединяя два высказы-
высказывания союзом „или", мы будем автоматически предполагать,
что этот союз употребляется в смысле нашего соглашения.
А во-вторых, то „или", к которому они тяготеют, это так
называемое „разделительное или" („или" в смысле „истинно
одно и только одно из двух утверждений"). Такое „или",
„или" в таком смысле тоже употребляется в языке. Но в язы-
языке употребляется также и „неразделительное или", „или"
в неразделительном смысле („истинно, по крайней мере,
одно из двух, а может быть, оба"). Наше „или" является

§ 1] ЛОГИЧЕСКИЕ СОЮЗЫ 31
уточнением именно этого, неразделительного „или". Если
нам в дальнейшем понадобится где-нибудь употребить „или"
в разделительном смысле, мы это будем оговаривать, под-
подчеркивать специально, укажем на этот „разделительный"
смысл какими-нибудь дополнительными словами. Сделаем
еще одно замечание о союзе „или" (оно, впрочем, в равной
степени относится и к союзу „и", к которому мы сейчас
перейдем). Рассмотрим предложение: „Корнем, или реше-
решением, уравнения называется такое число, подстановка
которого в уравнение вместо неизвестного превращает обе
части уравнения в одно и то же число". В каком смысле
употреблен в этом предложении союз „или"? В смысле
нашего соглашения? Ну, разумеется, нет. Наше соглаше-
соглашение относится к союзу „или", поставленному между двумя
высказываниями. А в рассматриваемом предложении „или"
стоит между двумя терминами и указывает, что они объяв-
объявляются синонимами.
Условимся составное высказывание вида „А и В", где
А и В — высказывания, считать истинным в тех слу-
случаях, когда оба высказывания А и В истинны. Во всех
остальных случаях мы, следовательно, будем считать
высказывание „А и В" ложным. Таким образом, высказы-
высказывание „2 < 3 и 4 — четное число" истинно, а высказы-
высказывания: „2<3 и 5—четное число", „2>3 и 5 — четное
число" — ложны.
Перейдем к наиболее важному из логических союзов,
употребляемых в математике, союзу „если.., то". Условимся
составное высказывание вида „Если А, то В", где А и В —
высказывания, считать ложным в тех случаях, когда
высказывание А истинно, а высказыванйе~Б ложно. Таким
образом, в частности, высказывание „Если А, то Б" с лож-
ложным А и любым В в силу нашего соглашения истинно.
Истинными являются, например, высказывания „Если
22 = 5, то З2 = 9", „Если 2- = 5, то З2 ==• 10". Эта часть
нашего соглашения, вероятно, опять-таки вызовет вну-
внутреннее противодействие у части читателей. «Почему
это вдруг высказывание „Если А, то В" с ложным А и, на-
например, истинным В истинно?» На это я, несколько повто-
повторяясь, отвечу следующим образом. Прежде всего, наше
соглашение или, лучше, обсуждаемая часть нашего согла-
соглашения ничему не противоречит. В повседневном языке

32 ВВЕДЕНИЕ В MATEMATHHFXKHfl ЯЗЫК ГГл. I
утверждения вида „Если А, то /J" с ложным Л не употреб-
употребляются *). Место для любого соглашения, так сказать,
„свободно". Сразу же может последовать вопрос-возра-
вопрос-возражение: а нельзя ли было согласиться при ложном Л счи-
считать высказывание „вели Л, то В" ложным? Можно было,
конечно. Но математическая практика показывает, что
принятое нами соглашение удобнее. Оно чрезвычайно
сильно сокращает речь. В дальнейшем мы увидим этому
многочисленные примеры, пока же приведем один пример
из школьной математики. Этот пример покажет, в частно-
частности, что даже в школьном курсе принятое нами только
что соглашение незримо присутствовало. Любой окончив-
окончивший школу знает, что при возведении обеих частей уравне-
уравнения в квадрат могут прибавиться лишние („посторонние")
корни. При этом обычно не говорится, но подразумевает-
подразумевается, что потеряться при возведении в квадрат корни не мо-
могут. Вы согласны с этим, читатель? Но что значит „не мо-
могут потеряться"? Это значит, что любой корень уравнения
f(x) = g(x) A)
является также корнем и для уравнения
f. B)
Это высказывание мы считаем верным, несмотря на то,
что уравнение A) может вовсе не иметь корней. Если выска-
высказывание „Любой корень уравнения A) является также
корнем и для уравнения B)" переписать в форме „Если
число с является корнем уравнения A), то а является
корнем уравнения B)", становится ясным, что наша уверен-
уверенность в истинности этого высказывания (независимо от
того, имеет ли уравнение A) корни) основана на бессозна-
бессознательном применении введенного выше соглашения. Если бы
мы хотели сформулировать утверждение об уравнениях
A), B) без учета этого соглашения, нам пришлось бы фор-
формулировать так: если уравнение A) имеет корни, то любой
корень уравнения A) является также корнем уравнения B).
*) Пример пню „Пели бы я был космонавтом, то я бы полетел
на Юпитер" не опровергает сказанного. Здесь мы имеем дело не
с союзом „Если..., то", а с союзом „Если бы..., то бы". А кроме
того, опровергать, считать ложным подобное утверждение пет
никакой нужды.

$ 1] ЛОГИЧЕСКИ); СОЮЗЫ 33
Как уже указывалось выше, принятое соглашение сокра-
сокращает речь.
В дальнейшем мы о высказываниях вида „Если А, то 5"
с ложным А часто будем говорить, что они истинны три-
тривиальным образом, т. е. истинны не в силу внутренней,
содержательной связи между высказываниями А и В,
а вследствие нашего понимания союза „если ..., то" *).
«Нередко применяемые в расчете на внешний эффект фор-
формулировки вроде „из лжи следует все, что угодно" или
„если 2 X 2 = 5, то существуют ведьмы" надлежит воспри-
воспринимать как тривиальные следствия из соглашений об упот-
употреблении слов „если.., то" и „следует", облеченные в наро-
нарочито парадоксальную форму» ([20] **), стр. 58) х).
Истинность высказывания „Если А, то В" выражают
также словами: из А следует В, А влечет В, из А выте-
вытекает В.
Возьмем два высказывания А и В и составим из них
теорему:
Если А, то В. C)
В теореме вида C) высказывание А называется усло-
условием, или посылкой, высказывание В — заключением. Обра-
Образуем теперь из высказываний А, В еще три теоремы:
Если В, то А, D)
Если не А, то не В, E)
Если не В, то не Л. F)
Теоремы C), D) (и, соответственно, теоремы E), F))
называются взаимно обратными теоремами: теорема D) —
это теорема, обратная теореме C), и наоборот, теорема
C) — теорема, обратная теореме D). Вопрос, который иногда
задают — какая из теорем C), D) „прямая", а какая
„обратная" — не имеет смысла: термина „обратная теоре-
теорема" нет; есть термин „теорема, обратная данной теореме",
и любая из теорем C), D) является (по определению)
обратной по отношению к другой теореме 2).
*) Слово „тривиально", которое часто будет встречаться в этой
книге, в математике обычно употребляется, по-видимому, в одном
п.ч следующих смыслов: „бессодержательно", „неглубоко", „оче-
НИДПО".
**) Число в квадратных скобках отсылает к списку «Упомяну-
«Упомянутая литература» в конце книги.
3 Ю. А. Шиханович

34 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК (Гл. 1
Теоремы C), E) (и, соответственно, теоремы D), F)) на-
называются взаимно противоположными теоремами: теорема
E) — теорема, противоположная теореме C), и наобо-
наоборот, теорема C) — теорема, противоположная теореме E).
Существует ли какая-нибудь зависимость между теоре-
теоремами C) — F)? Можно ли из истинности или ложности
какой-нибудь из этих теорем делать автоматический вывод
об истинности или ложности какой-нибудь другой из
этих теорем?
Взаимно обратные теоремы C), D) почти не зависят
друг от друга: истинность любой из них не влечет ни истин-
истинности, ни ложности другой теоремы; слово «почти» постав-
поставлено потому, что некоторая небольшая зависимость между
теоремами C), D) все-таки есть: они не могут быть одновре-
одновременно ложными. Взаимно противоположные теоремы C),
E) зависят друг от друга так же, как теоремы C), D):
истинность любой из них не влечет ни истинности, ни лож-
ложности другой теоремы, но ложными одновременно они быть
не могут *).
Однако теоремы C), F) (а также, разумеется, и теоремы
D), E)) тесно связаны между собой: истинность (а следова-
следовательно, и ложность) любой из них автоматически влечет
истинность (соответственно — ложность) другой теоремы.
Теоремы C), F) равносильны. Это утверждение:
Теорема „Если А, то В"
равносильна
теореме „Если не В, то не А"
называется законом контрапозиции. Докажем его.
Допустим, что теорема C) истинна. Докажем, что в этом
случае и теорема F) истинна. Предположим противное:
предположим, что теорема F) ложна. В силу нашего пони-
понимания, нашего уточнения смысла союза „если ..., то", это
означает, что ее условие „не В" истинно, а ее заключение
„не Л" ложно, т. е. что В ложно, а А истинно, но это про-
противоречит истинности теоремы C). Таким образом, допу-
допущение о ложности теоремы F) привело нас к противоречию.
Следовательно, теорема F) истинна.
*) К термину „взаимно обратные (взаимно противоположные)
теоремы" и к зависимости между взаимно обратными (пзпимно
противоположными) теоремами мы еще вернемся в § 3 гл. IV.

s l] ЛОГИЧЕСКИЕ СОЮЗЫ 35
Допустим теперь, что теорема F) истинна. Докажем,
что тогда и теорема C) истинна. Рассуждая опять от про-
тншюго, предположим, что теорема C) ложна, т. е. А истин-
истинно, а В ложно. Следовательно, „не Л" ложно, а „не В"
истинно, что противоречит истинности теоремы F). Закон
комтрапозиции доказан.
Очень часто встречается такая ситуация, когда обе
взаимно обратные теоремы C), D) истинны. Для сжатой
словесной передачи этого факта в математике употребляются
„парные" союзы: „необходимой достаточно" и „тогда и толь-
только тогда" *). Таким образом, каждое из высказываний
Для того, чтобы А, необходимо и достаточно, чтобы В G)
А тогда и только тогда, когда В (8)
означает: истинны обе взаимно обратные теоремы C) и D).
Предложения G) и (8) мы часто для краткости будем запи-
записывать в виде А ч± В. К знаку ч± мы еще вернемся в гл. IV.
Хотя и редко, но все же „половины" этих „парных"
союзов: „необходимо", „достаточно", „тогда", „только тог-
тогда" — иногда употребляются отдельно. Поэтому полезно
шать, какой именно из двух взаимно обратных теорем:
C) или D) — соответствует употребление каждого из этих
союзов.
А тогда, когда В (9)
Это — теорема D). Почему? Как доказать, что теорема
(!>) — это именно теорема D), а не C)? Я думаю, что теперь
уже читатель сразу понимает: доказать это невозможно.
Так уславливаются употреблять союз „тогда". С другой
стороны, стоит лишь теорему (9) высказать в виде: „Когда
/>', тогда Л", как это соглашение становится вполне есте-
естественным. Употребление союза „только тогда" означает
н'орему C).
Для того, чтобы А, достаточно, чтобы В.
Этой фразой подается теорема D), что довольно хорошо
соответствует языковой интуиции. Таким образом, на долю
союза „необходимо" остается теорема C).
•) В английском и французском языках в этом случае употреб-
употребляется союз „если и только если" (if and only if, si et seulement si),
и немецком — «тогда и только тогда» (dann und nur dann).
3*

36 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК [Гл. I
Для доказательства теоремы G) нужно, в силу выше-
вышесказанного, доказать теорему C) и теорему D). Поэтому
доказательство теоремы G) естественно распадается на две
части. Одну из этих частей называют „Необходимость",
другую — „Достаточность". В соответствии с указанным
выше смыслом союзов „необходимо" и „достаточно" „необ-
„необходимостью" называют ту половину доказательства теоре-
теоремы G), в которой доказывается теорема C), „достаточ-
„достаточностью" — теорема D). Заметим, что в то время как теоре-
теорема G) и теорема
Для того, чтобы В, необходимо и достаточно, чтобыА( 10)
очевидно, равносильны, „необходимостью" в доказатель-
доказательстве теоремы A0) является то, что в доказательстве теоре-
теоремы G) является „достаточностью". Соответственно, „доста-
„достаточность" в A0) совпадает с „необходимостью" в G).
Слова „необходимо" и „достаточно" входят также в тер-
термины „необходимое условие", „достаточное условие". Выска-
Высказывание А называют необходимым условием для В, если
истинна теорема D). Высказывание А называют достаточ-
достаточным условием для В, если истинна теорема C). Заметим,
что в то время как достаточное условие для В естественно
называть «условием», так как из него вытекает В, необхо-
необходимое условие для В приятнее было бы называть следстви-
следствием, так как не из него следует В, а оно следует из В. В силу
принятых выше соглашений произвольное ложное выска-
высказывание является достаточным условием для любого выска-
высказывания В, произвольное истинное высказывание является
необходимым условием для любого В.
Укажем на несколько специфический смысл союза „если",
стоящего в определении. Рассмотрим, например, определе-
определение четного числа: „целое число называется четным, если
оно делится на 2". Из этого определения (как, впрочем,
и из любого другого) [автоматически вытекают две взаимно
обратные теоремы: „если целое число — четное, то оно
делится на 2", „если целое число делится на 2, то оно чет-
четное", а следовательно, итеорема „целое число тогда и только
тогда является четным, когда оно делится на 2". Таким
образом, „если" в определении означает приблизительно
то же, что и „тогда и только тогда". Желая подчеркнуть
этот смысл слова „если", стоящего в определении, некото-

§ 2] ПЕРЕМЕННАЯ 37
рые авторы иногда определение формулируют так: „целое
число тогда и только тогда называется четным, когда оно
делится на 2"*).
Заметим в заключение, что теорема не обязана, разу-
разумеется, иметь вид C). Например: „существуют параллельные
прямые", „простых чисел бесконечно много", „целое число
тогда и только тогда делится на 6, когда оно делится на 2
и на 3". Термины: „условие" („посылка"), „заключение",
„обратная теорема", "противоположная теорема" были вве-
введены нами для теорем вида C) и только к ним применимы.
§ 2. Переменная
Рассмотрим некоторые вопросы, относящиеся к изуче-
изучению письменного математического языка.
Прежде всего введем в новом, отличном от традицион-
традиционного, обобщенном смысле термины „буква", „алфавит",
„слово". Эти термины в излагаемом аспекте взяты мною
у А. А. Маркова ([9], гл. I). Начнем с цитаты из указанной
монографии А. А. Маркова.
«.Буквами мы называем знаки, которые в данном их
применении рассматриваем только как целые.
При чтении книги нас не интересуют, например, части
знаков а, а лишь целые такие знаки. В этом смысле типо-
типографские знаки являются буквами.
Необходимо подчеркнуть условность этого понятия,
зависимость его объема от принятых соглашений. Напри-
Например, знак а' можно рассматривать и как букву и как знак,
состоящий.из двух частей: аи', смотря по принятым на
этот счет соглашениям» ([9], стр. 7).
Приведем несколько примеров знаков, которые при
обычном их применении рассматриваются как буквы,
т. е. как нерасчленяемые целые: ы, 2, ! , =, (. Буквами
можно также, разумеется, считать любые заранее огово-
оговоренные, имеющие достаточно ясную форму знаки. Напри-
Например, И, V, |1 и т. д.
Конечный набор букв мы будем называть алфавитом.
Желательно, чтобы буквы, входящие в алфавит, отчетливо
•) Аналогичное утверждение можно сделать о словах «в тех
случаях» на стр. 30,31 и вообще в любом определении.

38 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК [Гл. I
отличались по форме друг от друга. Неудобен, например,
в употреблении алфавит, содержащий как букву С, так
и букву С. Отсюда, в частности, следует, что практически
применяемый алфавит должен содержать не очень большое
число букв, так как «при естественной ограниченности раз-
размеров букв и большом числе их форм обязательно появля-
появляются различные, но трудно отличимые буквы — одинако-
одинаковость и различие букв теряют свою четкость» ([9], стр. 8).
Слово — это ряд написанных друг за другом букв.
Слово в данном алфавите — это слово, каждая буква кото-
которого принадлежит данному алфавиту *).
К написанию слов в данном алфавите мы предъявляем
ряд требований отчетливости.
Так как порядок следования букв, составляющих слово,
играет существенную роль, он должен быть ясным в том
смысле, что для любых двух таких букв должно быть ясно
видно, которая из них стоит левее (предшествует) и которая
правее (следует). Должны быть отчетливо указаны начало
и конец слова.
Очень важное дальнейшее требование состоит в един-
единственности разложения слова на буквы данного алфавита —
требование невозможности „разночтений".
Оно отнюдь не всегда соблюдается. Например, слово
а а в алфавите {а, а', 'а} можно рассматривать и как ряд
двух букв „а" и ,,'а" этого алфавита и как ряд двух букв
„а"' и „а".
Необходимо полностью исключить возможность таких
разночтений слов, что может быть достигнуто наложением
надлежащих ограничений на рассматриваемые алфавиты
и на способы написания слов в них.
Можно, например, выставить следующие два требования:
а) всякая буква алфавита должна быть связной, т. е.
должна быть изобразимой без отрыва карандаша от бумаги;
б) при писании слов следует оставлять промежуток
между всякими двумя соседними буквами.
Первое из этих требований налагает ограничение на рас-
рассматриваемые алфавиты, а второе — на способ написания
*) Следующие 10 абзацев представляют почти точную цитату
из монографии А. А. Маркова [9] (стр. 12—13). Поскольку, одна-
однако, я счел нужным внести в их текст легкие изменения, кавычки
мне пришлось опустить.

!> jJ ПЕРЕМЕННАЯ 39
слов. Ясно, что при соблюдении этих требований всякое
слово в рассматриваемом алфавите будет разлагаться на
буквы единственным образом.
Условия а) и б) являются достаточными, но отнюдь
не необходимыми для единственности чтения слова. На-
Например, несмотря на то, что русский печатный алфа-
алфавит из-за несвязной буквы „ы" не удовлетворяет условию
а), разложение слов в этом алфавите на буквы од-
однозначно. .
Из каких букв состоит алфавит математического языка?
Я не собираюсь перечислять сейчас весь алфавит, прини-
принимая тем самым обязательство не употреблять никаких
других букв, хотя, разумеется, в принципе мог бы это сде-
сделать. Тем не менее бросить хотя бы приблизительный взгляд
на этот алфавит полезно. В него входят, прежде всего,
псе буквы (в узком смысле слова) русского алфавита (про-
(прописные и строчные, печатные и рукописные): ведь доказа-
доказательства, их текст, как, впрочем, и формулировки, мы
пишем на русском языке. Для удобства обозначений вклю-
включим в рассматриваемый алфавит также буквы латинского,
готического и греческого алфавитов (см. приложение 3).
Латем в него, конечно, войдут цифры, знаки препинания
и собственно математические знаки (-f-, X, у, д, ||, .]_
и т. п.). На этом я закончу перечисление части математи-
математического алфавита. В дальнейшем нам не раз придется вво-
вводить новые, не указанные здесь буквы, присоединяя их к
математическому алфавиту *).
В математических текстах часто встречаются выраже-
выражения, написанные не в одну строчку, не линейно; эти выра-
выражения не являются, следовательно, словами. Например,
а\'Ь -.г
¦-,. Хотя все такие выражения, приняв дополнительные
соглашения, легко можно было бы „линеаризовать", вытя-
вытянуть в строчку, превратить в слова, мы, следуя обычной
математической практике, не будем этого делать. Ввиду
этого, во всем дальнейшем нам придется говорить не
о словах, а о выражениях более общего вида, которые
*) Любопытно заметить, что можно было бы, ничего не теряя
"о существу, ограничить математический алфавит всего двумя
Пукнами (о соответствующей идее можно прочесть в § 6 гл. I моно-
монографии. А. А. Маркова [9]).

40 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК ГГл 1
мы, не вводя никакого особого термина, так прямо и будем
называть выражениями. Мы не будем никак уточнять смысл
этого термина. Это потребует от нас, разумеется, некоторой
осторожности в обращении с ним. Мы не сможем, в част-
частности, доказывать никаких теорем о выражениях вообще *).
Заметим лишь, что выражение — это написания я в каком-
нибудь разумном, понятном порядке совокупность букв
математического алфавита. От частного случая выраже-
выражений — слов — выражения вообще отличаются возможной
нелинейностью записи.
Перейдем к центральному понятию параграфа — поня-
понятию переменной. Прежде всего, еще до объяснения этого
термина заметим, что слово „переменная" у нас будет само-
самостоятельным словом, существительным, а не прилагатель-
прилагательным, определением к какому-нибудь другому существи-
существительному. Никаких терминов вроде „переменная величина"
у нас не будет 1). Что же такое переменная? Поскольку
ответ на этот вопрос будет иметь несколько непривычный,
не стандартный характер (он не будет, в частности, иметь
вид обычного математического определения), мы будем
подходить к нему постепенно. Прежде всего, переменная —
это просто буква. Некоторые буквы в выражении называют-
называются переменными. Какие же буквы в выражении называются
переменными? Те, вместо которых можно что-нибудь
(например, числа, многочлены и т. д.) подставлять. Следую-
Следующий вопрос: что значит „можно"? Предварительный отпет
на этот вопрос такой: „можно" — это значит, что после
подстановки выражение должно иметь смысл **). Чуть ниже
на этот же вопрос будет дан другой, окончательный, едва
ли не противоположный ответ. (Точнее говоря, ниже этот
вопрос будет просто снят.) Рассмотрим, например, выраже-
*) В отличие от слов, линейность записи которых позволяет
строить некую теорию (см., например, гл. I монографии |9|).
**) У читателя, очень вероятно, возникнет вопрос: что такое
„смысл"? В общем виде на этот вопрос я отвечать не буду: не могу.
Для математики, строящейся в том плане, в котором она строится
в этой книге, это, пожалуй, невозможно 2). Однако для каждого
конкретного выражения я могу, конечно, указать, осмысленно
оно или нет. Например, выражение — осмысленно, если вместо х
подставить 3, и бессмысленно, если вместо х подставить 0 или
„стол".

2] ПЕРЕМЕННАЯ 41
иие: a -,u х. Это выражение представляет собой слово из
трех букв. Какие же буквы в этом выражении являются
переменными? По-видимому, читатель прежде всего назо-
назовет букву х. Ведь общеизвестно, что х это переменная.
Нсли вместо х подставлять числа, то выражение, получен-
полученное после подстановки, будет иметь смысл. Но если подстав-
подставлять числа вместо буквы а, то выражение, по-видимому,
тоже будет сохранять смысл? Значит, буква а тоже является
переменной? А если, наконец, вместо буквы + подставить
какой-нибудь из знаков —, X, :, выражение, очевидно,
гоже будет осмысленным. Значит, -J- тоже переменная?
Какие же все-таки буквы в выражении а + х являются
переменными?
После всего этого предварительного разговора перей-
перейдем к окончательному ответу на вопрос: что такое пере-
переменная? Впрочем,, он тоже не уложится в одну фразу.
Переменными в некотором данном выражении мы будем
называть те буквы, которые... специальным указанием
(высказанным в момент задания выражения) будут объяв-
объявлены таковыми. Таким образом, если это специально ие
указано, никакого ответа на вопрос „какие буквы являются
неременными в выражении а -{- х?" дать нельзя. Может
показаться, что при таком понимании термина „переменная"
(„Собственно, ведь нет никакого понимания. Какую букву
хотим, такую назовем переменной".) никакой пользы от
этого термина не будет. Это не так. Переменными мы будем
обычно называть, объявлять в некотором рассматриваемом
выражении такие буквы, вместо которых можно, вместо
которых мы собираемся подставлять те или иные числа,
выражения и т. п. Объявляя букву переменной, мы тем
самым привлекаем к ней внимание, предупреждаем, как
мы собираемся использовать эту букву при дальнейшем
обращении с рассматриваемым выражением, разрешаем
применять к этой букве (и ко всему выражению, содержа-
содержащему эту букву) весь комплекс терминов и обозначений,
который мы для понятия „переменная" введем. Объявляя
букву переменной, полагается одновременно задавать
область значений (область определения) этой переменной.
Опять-таки, содержательно под областью значений пере-
переменной понимается совокупность, из которой мы собираем-
собираемся черпать значения переменной для подстановки их на

42 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК [Гл. I
место переменной. Областью значений данной переменной
обычно объявляется такая совокупность, объекты которой
естественно подставлять в рассматриваемое выражение
вместо этой переменной. (Разумеется, слово «естественно»
употреблено в совершенно не формальном, интуитивном
смысле. Тем не менее понятно, что символы арифметических
действий подставлять в выражение а + х вместо буквы
4-естественно, а тригонометрические функции неестествен-
неестественно.) Однако формально областью значений данной перемен-
переменной может быть объявлена любая совокупность объектов.
Подчеркиваю, что переменная считается полностью заданЛ
ной (так сказать, конституированной в качестве перемен-:
ной) лишь тогда, когда ей приписана какая-нибудь область
значений. Переменную, в область значений которой входят
только числа, мы будем называть числовой переменной.
При написании выражений в качестве букв, которые мы
будем намереваться использовать как числовые переменные,
мы будем обычно использовать наиболее привычные для этой
цели последние буквы латинского алфавита3).
Выражение, содержащее переменные, мы будем назы-
называть формой; выражение не содержащее переменных —
константой. Из вышесказанного вытекает, что одно и то
же выражение в одном случае, при одном своем употребле-
употреблении может быть формой, в другом — константой. Форма
называется s-местной, если она содержит s переменных.
Формы могут быть одноместными, двухместными, трехме-
трехместными и т. д. Если в выражении (ах -f by) x объявить
переменными буквы х и у, такая форма будет, разумеется,
двухместной, а не трехместной. Допустимыми значениями
данной переменной относительно данной одноместной фор-
формы называются те ее значения (из области значений пере-
переменной), подстановка которых вместо переменной превра-
превращает форму в осмысленное выражение. Одноместная форма
называется всюду определенной, если любое значение ее
переменной является допустимым. Одноместная форма
называется нигде не определенной, если никакое значение
ее переменной не является допустимым.
Примеры: 1) Пусть в выражении — переменной
будет буква х с областью значений {>•", +, 3, 5, 0}. Допу-
Допустимыми значениями переменной х в этом случае являются

$ 21 Переменная 43
3 и 5. Форма не является ни всюду определенной, ни нигде
не определенной. Переменная х не является числовой.
2) Пусть в выражении — переменной будет буква х
с областью значений {3, 5, 0}. Допустимыми значениями
переменной х в этом случае опять являются 3 и 5. Форма
снова не является ни всюду определенной, ни нигде опре-
определенной. Зато переменная х на этот раз является числовой.
3) Пусть в выражении — переменной будет буква х
с областью значений {3, 5}. Форма является всюду опре-
определенной. Переменная является числовой.
4) Пусть в выражении -- переменной будет буква х
с областью значений, состоящей из одного числа 0. В этом
случае рассматриваемая форма будет нигде не определен-
определенной. Переменная снова будет числовой.
5) Рассмотрим, наконец, выражение — с переменной х,
область значения которой состоит из у' и +. Форма будет
нигде не определенной. Переменная не является числовой.
Разумеется, в практической работе нам не придется иметь
дело с примерами, в которых переменная имела бы такую
„дикую", такую неподходящую область значений.
s-местная форма называется всюду определенной, если
при любых значениях своих переменных (из соответствую-
соответствующих областей значения) она имеет смысл, s-местная фор-
форма называется нигде не определенной, если при любом набо-
наборе значений своих переменных она не имеет смысла.
Пусть 51 — форма *), х, у, z — переменные. Запись
51 (*, у, z) будет означать, что в форме 21 нет никаких
переменных, отличных от х, у, г. Мы не требуем при этом,
чтобы каждая из переменных х, у, z действительно присут-
присутствовала в 31 (хотя бы одна из этих переменных должна,
конечно, присутствовать, так как 51 — форма). Таким
образом, двухместную форму х (а + У) с переменными х
и у можно обозначать как просто §1, так и 51 (х, у),
S2( (л:, у, г), 51 (х, у, г, и), но не % (х). Разумеется, если
*) Я — прописная готическая буква „а" (см. приложение 3).
Формы мы будем в основном обозначать прописными готическими
ГЛ-кпами.

44 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК ЁГл. 1
сказано, что 91 (х, у, z) — трехместная форма, то каждая
из переменных х, у, z действительно присутствует п 21.
Иногда пместо того, чтобы говорить, что 2f — форма с пере-
переменными х, у, z, мы будем говорить, что 21 зависит от
х, у, г. Соответственно, „21 не зависит от я" означает, что
буква А" не является переменной в форме 21.
Пусть 21 (х, у, z) — форма, объекты а, Ь и с принадле-
принадлежат областям значений, соответственно, переменных х, у
и z. Результат подстановки в форму ЭД объектов a, b и с
вместо, соответственно, переменных х, у и г мы будем обо-
обозначать через 21 (а, Ъ, с). Разумеется, обозначение 21 (а, Ъ, с)
только тогда имеет однозначный смысл, когда сказано явно
или ясно из контекста, вместо какой из переменных х, у, z
какой из объектов а, Ь, с подставляется.
Пусть 21 (х, у, z) — форма, объекты а, Ь, с принадле-
принадлежат областям значений, соответственно, переменных х, у, г.
Выражение 21 (а, Ь, с) либо осмысленно, либо нет. Если
21 (а, Ъ, с) осмысленно, мы будем обозначать это так:
! 21 {а, Ь, с) и говорить в этом случае либо „21 (о, Ь, с)
определено", либо „форма 21 (х, у, г) определена при х==а,
у=Ь, Z = С".
Пусть 21 и S3—две формы (быть может, от одних
и тех же, быть может, от различных — полностью или
частично — переменных). Разумеется, если какая-то буква
входит в обе рассматриваемые формы, то мы будем считать,
что она обозначает в них одно и то же. В частности, если
какая-то буква входит в обе формы и является переменной,
то она имеет одинаковую (для обеих форм) область значе-
значений. При этом предположении назовем формы 21 и 95 рав-
равносильными, если при любом наборе значений всех перемен-
переменных, входящих в обе эти формы, либо они обе не определены,
либо обе определены и обозначают одно и то же (имеют
одинаковое значение). Обозначать равносильность форм 21
и Я5 мы будем символом „~" (новая буква математическо-
математического алфавита!): 21 ~ 55. Обозначать неравносильность мы
будем символом „ф" (еще одна новая буква): 21 ф %>•
При тех же предположениях форму 21 назовем равносиль-
равносильной константе А, если при любом наборе значений перемен-
переменных формы 21 она на этом наборе означает то же, что и кон-
константа А. В символах: 21 ~ А. Назовем, наконец, констан-
константы А и В равносильными, если они обозначают одно и то же.

5 21 ПЕРЕМЕННАЯ 45
В символах: А са В. Кроме общего для всех форм
(и констант) знака равносильности ~, для отдельных
классов форм (и констант) вводятся часто свои, спе-
специфические знаки. Чуть ниже мы рассмотрим два таких
класса.
Заметим, что для любых форм И, 95 и 6: 2f ~ 91; если
35 ~ 21, то SI ~ 95; если % ~ 95 и 95 ~ E, то И ~ (S.
Сама по себе верность этих трех утверждений, вероятно,
читателю очевидна. С другой стороны, столь же вероятно,
что на данном этапе чтения книги ему останется не ясным,
зачем нужны эти три утверждения, чем именно они инте-
интересны, почему из всевозможных очевидных утверждений
я фиксировал его внимание именно на этих трех утвержде-
утверждениях. Ответ на эти вопросы читатель получит лишь в § 4
гл. VII.
П р и м е р ы: 6) Формы (х + IJ и я2 + 2* -f 1 равно-
равносильны. Разумеется, полагалось бы сначала объявить,
что переменной в этих выражениях мы считаем букву х
(и только ее), и задать ее область значений. В большин-
большинстве случаев мы будем, как это и делается на практике,
своими обозначениями молчаливо объявлять те или иные
буквы переменными. Областью значений числовой перемен-
переменной мы будем, если противное не оговорено, считать сово-
совокупность всех действительных чисел. Итак, (л; + 1)а ~
~ хг +2х + 1.
7) (х + IJ + У — У ^ *" + 2* + 1 +z — z.
8) Но (jc+lJ-fl ф:л:2 + 2л; + 1+7", так как при* = 2,
у- = 0 форма (дс -Ь 1 )а - г-1 определена, а форма х"*-\-2х-{-
+ Ц-|—нет.
9) Пусть п — переменная с областью значений—нату-
значений—натуральными числами. (VX)UФ*> так как ПРИ п = 2, х— —\
форма {VXY He определена, а форма х определена.
У "х11 ф х, так как при п = 2, х — — 2, хотя обе формы опреде-
определены, они принимают разное значение: ]/( — 2)а = 2 Ф —2.
'( д:"ф|*1, так как при л = 3, х— — 2_ формы прини-
принимают _разное значение: У (~^2)~3~= — 2 ф \ — 21. х п\/ у ф
?Г-Ухпу и т. д. ~:--^! ";"'

46 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК [Гл. I
' ct^ Г :но ct«*f' так
sin x
как при х — ~ форма ctgx определена ( ctg -^- = О
1 X 1
а форма -г-— не определена. Более общо:--d^--, так как
eg х у • у
X
X 1
при х = О, у = 1 форма — определена, а форма нет.
л;
11) Форма sin2л:4 cos2а; равносильна константе 1.
sin2 л; 4-cos2 л: ~ i. tgx-ctgx ф 1, так как при х = 0 форма
tgAr-ctgA" не определена. —¦ ф 1 по той же причине.
12) Константы 3 4- 5 и 8 равносильны. 3 4-5^8.
Важнейшими классами форм являются класс числовых
форм и класс высказывательных форм. Форма называется
числовой, если при "любом наборе значений своих перемен-
переменных, на котором она определена, она обозначает число
(является числом). Все приведенные выше, в качестве
примеров, формы были числовыми формами. Если считать
(что довольно естественно, но не обязательно — см. ниже),
что выражения „1 -{-i >3", „+ >3", „! >3" не имеют
смысла, то форма ^>3с областью значений переменной
{1 -ft, 4-. !} также будет числовой, так при любом из
трех возможных значений переменной х она не определена.
Здесь, в этом примере, едва ли не впервые, работает наше
соглашение о «ложности посылки» (см. § 1). При любом
значении а переменной х посылка утверждения: „Если
форма х >3 определена при х = а, то она обозначает
число" ложна и, следовательно, само утверждение истин-
истинно. Так как при любом значении переменной х утверждение,
стоящее в кавычках, истинно, рассматриваемая форма
(с такой „дикой" областью значений переменной) является
числовой.
Не следует путать понятия числовой переменной и
числовой формы. Например, в только что приведенном
примере переменная не является числовой, форма же —
числовая. Если рассмотреть форму х >3 с естественной
областью значений переменной х (действительные числа),

§ 2] ПЕРЕМЕННАЯ 47
то, наоборот, переменная будет числовой, форма не будет
числовой. Еще пример. Форма «число букв слова „х"»
с областью значений переменной х, состоящей из русских
слов, является числовой; переменная в этом примере —
не числовая.
Для обозначения равносильности числовых форм и
числовых констант (чисел), помимо общего для всех форм
и констант знака ~, используется чаще свой, специфиче-
специфический знак „=".
Соответственно, неравносильность обозначается знаком „Фа.
Вторым важнейшим классом форм является класс
высказывательных форм. Форма называется высказыватель-
ной, если при любом наборе значений своих переменных,
на котором она определена, она обозначает высказывание
(является высказыванием).
Вместо того, чтобы говорить: „высказывание А истинно"
или „высказывание В ложно", удобно ввести для слов
„истина" „ложь" объединяющий термин „истинностное зна-
значение" и говорить длиннее, но единообразнее: «высказыва-
«высказывание А имеет (принимает) истинностное значение „истина"»,
«высказывание В имеет (принимает) истинностное значе-
значение „ложь"». Условимся значением высказывания считать
его истинностное значение (как бы отождествляя все
истинные высказывания и, отдельно, все ложные высказы-
высказывания). Тем самым мы делаем равносильными (в смысле
введенного выше термина „равносильные константы") все
истинные высказывания и, отдельно, все ложные выска-
высказывания. Приведем примеры высказывательных форм. Пре-
Прежде всего, форма х > 3, в которой переменная х имеет
естественную область значений, является высказыватель-
иой формой. Если в выражении 2 X 2 = х буква х — пере-
переменная, это выражение является высказывательной фор-
формой; если же в этом выражении буква х не является пере-
*) О разных смыслах буквы „=--" мы будем еще специально
говорить в § 3,

48 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК [Гл. I
менной (скажем, буквой х мы пожелали обозначить число 5),
то это выражение не является, разумеется, формой вообще
(мы имеем в виду, что остальные буквы, входящие в рас-
рассматриваемое выражение, имеют свой обычный смысл
и не являются, следовательно, переменными). Еще примеры
высказывательных форм: 2л:2 — 3* -[- 5 = 0, 2х — х'\
sin л: = 2, sin2 x +cosax = 1, «число букв в слове „хи
равно пяти» (в последнем примере областью значений
переменной х являются русские слова). Форма sin л; = 2
при любом значении переменной х (короче: при любом я)
превращается в ложное высказывание. Форма sin2л; +
-|- cos2* = 1 при любом х превращается в истинное выска-
высказывание.
Остановимся на одном деликатном вопросе. Все только
что приведенные высказывательные формы были всюду
определенными. Существуют ли высказывательные формы,
не являющиеся всюду определенными? Определена ли,
X
скажем, форма — = 1 при х = 0 или нет? Ответ на этот
х
вопрос зависит от соглашения. Мы не будем пока принимать
никакого соглашения по этому вопросу и вернемся к нему
в § 2 гл. IV и в § 1 гл. VI.
Для обозначения равносильности (или неравносильно-
неравносильности) высказывательных форм и высказывательных констант
(высказываний) мы, наряду с общим для всех форм и кон-
констант знаком ~ (соответственно, ф), будем также исполь-
использовать свой, специфический знак ,,=" („#"). Например,
]2х - 3 > Зх + 5] = [2х - Зх > 3 + 5],
[2х - 3* > 3 + 5]= [ -х > 8],
[--*>8] ?=[*<-8], [2x-3>3x + 5]=i\x<- 8}
(для удобства чтения мы заключили высказывательные
формы в квадратные скобки). Ввиду принятого выше согла-
соглашения о „значении" высказывания, [sin2* -|-cos2x = 1] =
-- U2 > 0], [sinл: = 2] = U2<0], [г8 > 0] = \f > 01,
[sin2* + cos2x =lls [2X2 = 41, [sin л; = 2] = [2 X
X2 = 51, [2 X 2 = 4] s [3 X 3 = 9], [2 X 2 = 5] ==
-[3X3= 10].
Ко всем^расплывчатым, полуинтуитивным терминам
этого параграфа добавим два еще более расплывчатых тер-

S 2] ПЕРЕМЕННАЯ 49
мина: „связанная переменная" и „свободная переменная".
Встречаются в математике такие выражения, в которых
некоторая буква не является переменной (точнее: некото-
некоторую букву неразумно считать переменной, так как подста-
подстановка вместо нее не имеет смысла или не интересна), но
на некотором этапе образования рассматриваемого выра-
выражения из более простых выражений она была переменной
(ее естественно было считать переменной). Такую букву
называют связанной переменной. Подчеркнем, что те буквы,
к которым мы будем иногда применять этот термин, мы
не будем считать переменными. Для нас (и это, конечно,
противоречит законам образования терминов в рус-
русском языке) связанная переменная не будет переменной.
Для того чтобы просто „переменную", переменную в пол-
полном смысле слова, противопоставить „связанной перемен-
переменной" (не являющейся, как указано выше, по предлагаемой
здесь терминологии переменной), мы, в тех случаях, когда
будем использовать термин „связанная переменная", про-
просто „переменную" будем называть также свободной перемен-
переменной. Таким образом, у нас связанная переменная — это
не переменная, а свободная переменная — то же самое,
что просто переменная 4).
Разумеется, для того чтобы понятие связанной пере-
переменной стало хоть немного ощутимым, надо привести
пример. В выражении „lim — = 0" (являющемся высказы-
п->+оо п
ванием) букву п неразумно считать переменной, так как
вместо нее. подставлять числа нельзя. „ lim -^ =•()" —
3-f+oo J
бессмыслица. Но в выражении-- , из которого —в интуи-
интуитивном смысле — образовано выражение „ lim — — О",
п-*+оо п
букву п естественно считать переменной. Поэтому в выра-
выражении „lim — = 0" буква п является связанной пере-
манной. В выражении „ lim — = х" буква п является
п-+4-оо п
связанной переменной, буква х — свободной переменной.
Чтобы привести еще один пример, определим „оператор
суммирования" 2- Пусть ?1 (?) — одноместная числовая
4 Ю. А. Шнхановнч

50 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК [Гл. I
форма, областью значений переменной / пусть будут целые
числа. Пусть а и b — два целых числа. Обозначим через
ь
2 И (/) число Я (a)-f-u (а+1) + Ща+2)+... + Я (Ь), если
i=a
Ь>а, число 21 (а), если 6 = а, и число 0, если b < а. Тогда
выражение 2 ^ @ является числом, от i оно уже не зависит,
вместо { подставлять числа бессмысленно (например,
h
2 ЗД C)) и поэтому / уже не является —в выражении
3=а
6
2 ЭД@~ переменной (/ неразумно считать переменной).
i=a
b
В выражении 2 $ @ буква / является связанной Пере-
Переса
Ь
менной. Буква i в выражении 2 ^ (') называется индек-
i=a
Ь
сом суммирования. Само выражение 2 ^ @ читается так:
4
„сумма 91 (t) по i от а до Ь". Например, ^ qT3~3TO
4
„сумма ц^ по / от 1 до 4". Очевидно, У} 7+3 = 4'2O^
Если a — натуральное число, а 6 — переменная с областью
ь
значений —целыми числами, то выражение 2 ^1@ яв~
i=a
ляется не числом, а одноместной числовой формой, завися-
зависящей от b (т. е. со свободной переменной Ь). Если и а и Ь —
ь
переменные стой же областью значений, то 2 $t(t) —
l=a
двухместная числовая форма со свободными перемен-
переменными а и Ь. Если ?I (i, /) —двухместная числовая форма,
ь
то в форме 2 ^ ('' /) свободной переменной является еще
И /. Индекс суммирования i во всех случаях является

i si - • 51
связанной переменной. Оператор *) суммирования 2
(превращающий одноместные числовые формы в числа)
широко используется в математике, однако в данной
книжке не будет серьезного повода для встречи с ним.
Подобно оператору суммирования 2 > определяется и
„оператор перемножения" [[.
..-И(&) Ь>а,
(а) Ь = а,
1=а [1 Ь<а.
ь
В выражении [[ 91 (г) индекс перемножения i является
связанной переменной **).
Для читателей, знакомых с понятием определенного
ь
интеграла, укажем, что в выражении \ f(x)dx буква х,
а
разумеется, является связанной переменной.
В § 3 гл. IV" мы столкнемся еще с двумя чрезвы-
чрезвычайно важными примерами операторов, связывающих
переменные (так называемые кванторы).
Читатель, желающий ознакомиться с более глубоким
освещением вопросов, затронутых в этом параграфе
(правда, иногда с несколько другой точки зрения),
может это сделать по Введению к книге А. Черча [21].
В связи с затронутыми здесь вопросами полезно также
прочитать . пп. 1 — 3 из § 3 книги В. А. Успен-
Успенского [20].
§3. =
Буква
читается „равно" или „равняется". В математике буква =
употребляется, к сожалению, во многих разных смыслах.
*) Слово „оператор" здесь и далее употребляется в совершенно
неопределенном смысле. Читатель вполне может игнорировать это
iviobo, не вдумываться в него. Ни в каких серьезных построениях,
пи в каких теоремах оно встречаться не будет.
**) Операторы 2 И Ц мы используем в § 3 гл. III. Важнейшие
свойства этих операторов указаны в приложении 1.
4*

52 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК [Гл. I
Укажем для примера несколько разных употреблений
буквы =.
1) Чаще всего буква = употребляется в смысле, кото-
который можно, пожалуй, описать такими словами: два имени
(обозначения, названия) одного и того же. Например,
выражение „2 X 6 = 3 X 4" означает, что 2 X 6 и 3 X 4 —
имена одного и того же числа (или, короче, одно и то же
число). Этот смысл буквы = мы будем считать ее главным,
ее, так сказать, законным смыслом. Ниже мы остановимся
чуть подробнее и на этом смысле буквы = и на понятии
имени.
2) В другом, очевидно, смысле буква = употребляется
в уравнениях *). Когда дается уравнение: Я (*) == $> (х),
то вовсе не утверждается, что 51 (х) и 95 (х) — два имени
одного и того же. Просто ставится задача: найти такие х,
что...
3) Как было указано в § 2, буква = часто употребляет-
употребляется для обозначения равносильности числовых (а ниже,
в § 3 гл. II, мы увидим, что не только числовых) форм.
Например, (х + IJ = хг + 2х + 1.
4) Иногда буква = употребляется просто для образо-
образования высказывательных форм специального вида: ?1 {х) --
= 95 (х). В этом случае буква = употребляется, так ска-
сказать, без всякого смысла. Ее использование ничего не
утверждает. При замене всех переменных их значениями
высказывательная форма превращается в высказывание
(истинное или ложное) и буква = приобретает первый
смысл („два имени одного и того же").
5) Рассмотрим выражение
п! = 1 -2-... /г. A)
В каком смысле здесь употреблена буква =? С одной сто-
стороны, она, конечно, утверждает, что слева и справа от нее
стоят два имени одного и того же числа. Но, с другой сто-
стороны, почему п\ и 1-2- . . .-п — два имени одного и того
же числа? Как доказать, что п! и 1-2- ... -п — два
имени одного и того же числа? Очевидно, все доказатель-
доказательство исчерпывается словами: „по определению". Ведь равен-
равенство A) просто является определением (для п>2) того
*) См. § 4 раздела Б.

»si - 53
выражения, которое стоит слева от буквы =. Еще, так
сказать, минуту назад, до того, как мы дали это определе-
определение, п\ и 1-2- ... -п не были именами одного и того
же (выражение п\ „минуту назад" не имело никакого смыс-
смысла). Но вот мы дали это определение, и выражения п!
и Ь2- ... -п превратились в имена одного и того же.
Легко видеть, что хотя в A) буква = и утверждает два
имени одного и того же, ее смысл здесь несколько отличен
от первого смысла буквы =. Такой же „несколько иной"
смысл буква = имеет в любом определении.
6) Функции вводят очень часто при помощи выражений вида:
у --= jca, у = sin х, у = 2х и т. п. (см. § 1 гл. VI). В этом случае
опять-таки буква = имеет особый, специфический смысл. Впрочем,
об этом употреблении буквы = больше, чем о каком-либо другом,
мне хочется сказать, что в нем нет никакого смысла. В этом случае
больше, чем в каком-нибудь другом, „ничто ничему не равно".
Недаром, Бурбаки в [3] предожил вводить функции выражениями
вида х —у х'1, х —>¦ sin x,x —*¦ 2х и т. п.*).
7) Выражение „/ (х) -— о (g (x)) (при х —>-«)", как известно,
означает, что 1 im -'_Л*'_т= 0.
*-»« g(x)
8) Выражение \ / (х) dx — g (x), как известно, означает, что
9) Наконец, часто буква = употребляется для указания
отождествления в силу изоморфного вложения. Например, 3 =
3 ¦ 1
= -г-; -г- = 0,C); 2,5 —2,5J-0/. Впрочем, при таком отождествлении 3 и
1 о
3 1
-.- , -=- и 0,C) и т. д. оказываются именами одного и того же [ср. 1)].
1 о
•) Бурбаки (N. Bourbaki) — псевдоним группы французских
математиков, поставившей себе целью с современной и единой, наи-
наиболее общей точки зрения изложить в одном трактате всю матема-
математику. Бурбаки, стараясь, с одной стороны, не изменять по возмож-
возможности существующую терминологию и символику, с другой сторо-
стороны, пытается избавить математику от всевозможных исторически
нозникших несообразностей.
Трактат Бурбаки продолжает писаться и выходить во Фран-
Франции и переводится постепенно на русский язык. О Бурбаки полезно
прочитать в [12]. Следует подчеркнуть, что концепция математики
у Бурбаки отлична от обычной для нашего читателя и принятой
в этой книге концепции (см. примечание а) к § 2).
Многое в терминологии и символике этой книги заимствовано
у Н. Бурбаки [3].

54 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК [Гл. I
Возможно, было бы лучше для каждого смысла
буквы —ввести свой особый знак. Мы не будем столь
радикально менять существующую символику, однако
один смысл буквы = (пятый из перечисленных выше) мы
все-таки выделим своим, особым знаком.
Введем в алфавит новую букву: „ = ". Выражение =
Df ]lf
мы рассматриваем именно как букву, т. е. как единый
нерасчленяемый символ (см. § 2) *). Букву = рекомен-
Df
дуется читать одним из следующих двух способов: „равно
по определению" („равняется по определению") или
„обозначим через". Из рекомендуемых „чтений" буквы =
ш
ясно ее предлагаемое использование. Букву = рекомен-
Df
дуется использовать вместо буквы =, во-первых, в опре-
определениях и, во-вторых, во всевозможных „временных
обозначениях" типа „обозначим число хоуо через ыо">
также являющихся по существу определениями, только —
временными определениями, „определениями на час",
определениями, вводимыми только на время того или
иного рассуждения или доказательства. Итак, для л>2
п! = 1-2-...-п.
Или ио--=хоуо.
Df
Введем в алфавит еще одну букву: „==". Рекомен-
Df
дуемые чтения: „равносильно по определению" или
„обозначим через". Буква = имеет смысл, аналогичный
Df
смыслу введенной только что буквы —, но ставится
Df
только между высказывательньши формами. Например,
Df
(определение смысла буквы <
х>у~
Df
*) „Df" —две буквы из слов „definition", „Definition", „defi-
„definition" („определение" —по-английски, немецки, французски).

§ з] • = 55
(определение смысла буквы >); если м-четное нату-
натуральное число, то
Ь = У~а = Ьп = а и b > О
ы
(определение смысла буквы У).
Если буква =- употребляется в своем главном, пер-
первом смысле, то, очевидно, справедливы три следующих
утверждения. Пусть а, 6, с —имена каких-то объектов.
Тогда
а = а. A)
Если а = Ь, то Ь-—а. B)
Если а = b и Ь — с, то а = с. ¦ C)
Для некоторых из указанных выше смыслов буквы = эти
„очевидные" утверждения не верны или бессмысленны
(например, для второго, четвертого, шестого, седьмого,
восьмого смыслов).
Поговорим немного о термине „имя". Смысл термина
„имя" делается более ясным после указания его синонимов:
„обозначение", „название". Теория понятия „имя", тео-
теория имён — это отнюдь не тривиальная теория. Желающие
могут ознакомиться с элементами этой теории по уже упо-
упоминавшемуся в § 2 Введению к книге А. Черча [21]. Здесь
мы ограничимся лишь тремя замечаниями. Во-первых,
следует отличать имя предмета от самого предмета. Это
предупреждение, разумеется, совершенно излишне в реаль-
реальной жизни (никто не спутает слово „торт" с весьма вкусным
предметом, обозначенным этим именем), но вовсе не беспо-
бесполезно в математике, среди предметов изучения которой
имеются также и выражения (т. е. нечто, написанное на
бумаге). У 2— это имя некоторого действительного числа,
но не само число *).
*) На естественно возникающий вопрос: «а что же такое „само"
Действительное число, обозначенное символом ]/?», можно дать
не один ответ — существует несколько определений понятия „дей-
„действительное число". Желающие могут ознакомиться с ними либр
по п. 1 § 12 книги [20], либо пр статьям в [11].

56 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК [Гл. 1
Во-вторых, в математике чаще всего (но не всегда!)
мы оперируем с именами предметов, а не с самими пред-
предметами.
И наконец, в-третьих, в математике иногда в качестве
имени предмета употребляется сам „именуемый" предмет.
Например, именем многочлена „2х -\- 3" (а многочлен —
это форма, т. е. нечто, написанное на бумаге — см. § 4
раздела Б) чаще всего служит само выражение 2х + 3.

ГЛАВА II
МНОЖЕСТВО
§ 1. Множество
Введем термин „множество". Понятие множества будет
у нас исходным, первоначальным, неопределяемым поня-
понятием. Дальнейший текст этого параграфа является не
определением понятия множества, а описанием того, как
мы будем с этим неопределяемым понятием обращаться,
приучением к употреблению этого неопределяемого поня-
понятия 1).
Начнем с примеров. Можно говорить о множестве
стульев в данной комнате; множестве людей, живущих
п настоящее время в Гренландии; множестве букв русского
алфавита; множестве натуральных чисел; множестве точек
плоскости, равноудаленных от двух данных точек.
Синонимами к термину „множество" являются употреб-
употребляемые в повседневной практике слова „совокупность",
„коллекция", „собрание". Мы употребляли уже в § 2 гл. I
некоторые из этих слов в указанном смысле. Известный
читателю из курса средней школы термин „геометрическое
место точек" также является синонимом термина „множе-
„множество" и употребляется в школе именно в этом смысле.
В математике употребляются также следующие синонимы
термина „множество": семейство, класс, система, область.
Например, в § 2 гл. I мы ввели и использовали термин
„область значений переменной".
Вместе с термином „множество" вводится (также неопре-
неопределяемый) термин „принадлежит" (синоним: „лежит п").
Например, число 3 принадлежит множеству натураль-
натуральных чисел. Буква Б принадлежит множеству букв русско-
русского алфавита. Середина отрезка, соединяющего две данные

58 множество . [гл. и
точки, лежит в множестве точек, равноудаленных от дан-
данных точек.
Вместо того, чтобы говорить „принадлежит", говорят
также „является элементом" (членом, точкой).
Множества мы чаще всего будем обозначать прописны-
прописными буквами латинского алфавита. Элементы множеств —
строчными буквами.
Если объект а принадлежит множеству А (объект а
является элементом множества А), то это записывается так:
аеА. A)
Если же а не является элементом множества А, мы запи-
записываем это так:
а$А . B)
F и $ — новые буквы математического алфавита). Если
А — имя некоторого множества, а а — имя объекта, то
A) и B) — высказывания. Если же Л — имя множества,
а а — переменная, то A) и B) — одноместные высказы-
вательные формы. Если, наконец, и а и Л — переменные,
то A) и B)—двухместные высказывательные формы.
Буква 6 называется знаком принадлежности.
Для наиболее важных числовых множеств фиксируем
постоянные обозначения. Множество натуральных чисел
обозначим буквой N, множество целых чисел — буквой С,
множество рациональных чисел — буквой R, множество
действительных чисел — буквой D и множество комплекс-
комплексных чисел — буквой К.
Тогда 3 6 N — истинное высказывание, 3 6 D — истинное
высказывание, |/*2 6 R — ложное высказывание, |/*2$R—
истинное высказывание, х ? N (с переменной х) — одно-
одноместная высказывательная форма.
Поскольку понятие множества является неопределяе-
неопределяемым, с ним надо обращаться осторожно. Рекомендуется
говорить лишь о таких множествах, возможные элементы
которых были бы достаточно четко очерченными, неизме-
неизменяемыми объектами, лишь о таких множествах, относи-
относительно которых можно быть уверенными, что любой доста-
достаточно „понятный" объект либо принадлежит, либо не при-
принадлежит рассматриваемому кандидату в „множества".
Например, вряд ли разумно рассматривать множество

§ 1] множество 59
добродетелей (самолюбие — добродетель или порок?), мно-
множество идей, множество капель воды в стакане и т. п. Так
как само понятие множества не является достаточно четким,
нельзя рассматривать также и множество всех множеств *).
Множества бывают конечные и бесконечные. Конечное
множество — это такое множество, число элементов кото-
которого конечно, т. е. такое множество, для которого суще-
существует натуральное число, являющееся числом его элемен-
элементов **). Множество называется бесконечным, если оно не
является конечным.
Как задаются множества? Существуют два главных
способа задания множеств: перечисление и описание. Мно-
Множество можно задать, перечислив все его элементы. А мож-
можно задать множество, описав его элементы при помощи
характеристического свойства, устанавливающего, какие
элементы принадлежат, какие — не принадлежат задавае-
задаваемому множеству. Опять-таки заметим, что характеристи-
характеристическое свойство, объединяющее объекты в множество,
должно быть достаточно четким, так, чтобы было ясно,
что любой достаточно определенный объект либо обладает,
либо не обладает указанным свойством. Примером свойства,
не удовлетворяющего этому условию, является свойство
„быть таким числом п, что n-й удар моего сердца происхо-
происходил еще в моем детстве". Поскольку понятие „детство"
является недостаточно точным понятием, не верно утверж-
утверждать, что „либо число 80 X 60 X 24 X 365 X 15 обладает
указанным свойством, либо не обладает". Разумеется, пере-
перечислением могут быть заданы только конечные множества
и в принципе2) любое конечное множество может быть
задано перечислением его элементов. Однако и конечное
множество часто бывает удобнее задать описанием, чем
перечислением. Трудновато, например, перечислить нату-
натуральные числа от 1 до 1 ООО ООО ООО, а описание соответ-
соответствующего множества уже содержится в предыдущих
*) Известно, что рассмотрение множеств, подобных „множе-
„множеству всех множеств", может быстро привести к противоречию (см.,
например, стр. 137—138 книги [8]).
**) Определяя понятие конечного множества, мы опираемся
на считающееся интуитивно ясным понятие „число элементов
множества". Однако это не обязательно (см., например, задачу 10
к § 3 гл. V).

60 МНОЖЕСТВО [Гл. II
словах. Бесконечные множества можно, разумеется, зада-
задавать лишь описанием.
Когда хотят указать, что множество состоит, скажем,
из элементов а, Ь и с, их объединяют в фигурные скобки.
Таким образом, выражение {а, Ь, с) обозначает трехэле-
трехэлементное множество, элементами которого являются а, Ь
и с. Это обозначение применяется, в основном, к конечным
множествам. Однако часто используют „картинки" вроде
{2, 4, б, 8, ...}, чтобы изобразить, обозначить бесконечное
множество. Разумеется, такой способ обозначения беско-
бесконечных множеств допустим лишь, если из нарисованной
части „картинки" ясен смысл скрывающегося под многото-
многоточием „и т. д.".
Введем еще один способ обозначения множеств, который
нам будет очень полезен в дальнейшем. Пусть М — множе-
множество, 91 (х) — одноместная высказывательная форма и об-
область значений переменной х — множество М. Тогда через
Ъ(х)} C)
мы обозначим множество, состоящее из всех тех и только
тех элементов а множества М, для которых Ш (а) истинно *).
Таким образом,
(а). D)
Например, % {х в N|a;>3} состоит из чисел 4, 5, 6, ...
Буква х в выражении C) является связанной переменной.
От х выражение C) не зависит.
Когда вводится какое-нибудь новое неопределяемое
понятие, нужно каждый раз специально подумать, соби-
собираемся ли мы отождествлять и различать два „представите-
„представителя этого понятия", а если собираемся, то в каких случаях:
в каком случае мы будем считать, что перед нами два экземп-
экземпляра одного и того же объекта или, короче, „один и тот же
объект", а в каком случае мы будем считать, что перед
нами экземпляры различных объектов или, короче, „раз-
„различные объекты". Подчеркнем, что излагаемое ниже согла-
соглашение является неотъемлемой частью все еще продолжаю-
продолжающегося описания неопределяемого понятия „множество".
*) % — это первая буква французского слопа ensemble (мно-
(множество). По-английски „множество" —set, по-немецки — dieMenge.

S il множество 61
Условимся говорить, что множества А и В равны,
и писать: А = В, если А и В состоят из одних и тех же
элементов. О равных множествах Л и В мы будем также
говорить, что А и В — одинаковые множества или что А
и В —одно и то же множество. Таким образом, множества А
и В считаются не равными (пишем: А Ф В), если либо
в множестве А есть элемент, не принадлежащий В, либо,
наоборот, в В есть элемент, не принадлежащий А.
Легко видеть, что .для любых множеств А, В, С
если А —В, то В = А;
если А = В и В = С, то А = С.
Из нашего понимания равенства множеств вытекает,
что порядок элементов в множестве несуществен, т. е.,
например, {3, 4, 5, 6} и {4, 5, б, 3} — одно и то же мно-
множество:
{3, 4, 5, 6} = {4, 5,6, 3}.
Мы считаем, что в множестве элементы расположены
„в беспорядке". Множество—это, так сказать, мешок
с элементами. Поэтому, в частности, говорить о первом,
втором, третьем, ... элементе данного множества можно
лишь тогда, когда предварительно элементы множества
как-нибудь перенумерованы*).
Для того чтобы понятие „число элементов множества"
было вполне определенным, нужно — при нашем понима-.
нии равенства множеств — очевидно, условиться, что в мно-
множестве не бывает одинаковых (неразличимых) элементов.
Запись {2, 2, 3, 5} мы будем считать не корректной и будем
заменять ее на {2, 3, 5}. Например, множество простых
делителей числа 60 равно {2, 3, 5}.
Условимся считать, что существует множество, не
имеющее элементов. Это множество мы будем называть
пустым множеством и будет обозначать его буквой 0
(еще одна новая букваK). Из нашего понимания равен-
равенства множеств вытекает, что существует только одно пустое
множество или (то же самое — по другому) что все пустые
множества равны. Мы будем, естественно, считать, что
•) Если это возможно (см. § 3 гл. V).

62 МНОЖЕСТВО [Гл. II
число элементов пустого множества равно нулю. Для
любого а высказывание а 6 0 ложно. Эта фраза, собствен-
собственно, полностью характеризует понятие пустого множества.
Несколько обобщая понятие конечного множества, пустое
множество мы также будем относить к конечным множе-
множествам. Необходимость введения понятия „пустое множество"
видна хотя бы из того, что, задавая множество описанием,
характеристическим свойством его элементов, мы можем
и не знать заранее, существует ли хотя бы один объект,
обладающий вышеупомянутым свойством. Иначе мы не
могли бы, скажем, говорить о множестве корней произволь-
произвольного уравнения, не убедившись предварительно, что данное
уравнение имеет хотя бы один корень. Мы увидим ниже,
что существование понятия „пустое множество" будет
сокращать и упрощать нам многие формулировки теорем,
будет облегчать нам введение новых понятий и т. д.
Следующим по количеству элементов за пустым множе-
множеством идет одноэлементное множество или, точнее, одно-
одноэлементные множества. Как явствует из названия, одноэле-
одноэлементное множество — это множество, число элементов
которого равно 1. Например, множество простых делителей
числа 64 — одноэлементное множество, единственным эле-
элементом которого является число 2. Следует различать
одноэлементное множество {а}, единственным элементом
которого является а, и сам объект а. На вопрос, который
иногда ставят: „а какая разница между а и {а}?", могу
ответить лишь, что „множество" —это некая новая катего-
категория, новая сущность, новое качество. {2} — это множе-
множество. О множестве {2} нельзя задавать вопрос, четное ли
оно. Множество не бывает четным или нечетным. Множе-
Множество бывает одноэлементным или двухэлементным (не
только), конечным или бесконечным, пустым или не пустым.
2 — это' число. Наоборот, о числе 2 нельзя спрашивать,
одноэлементное оно или двухэлементное. Число бывает
четным или нечетным, простым или составным (не только)
и т. д. 2 — четное простое число. {2} — одноэлементное
конечное множество. Очевидно, а ? {а}. Очевидно также, что
b?{a}**b — а.
Полезно отметить, что Щ {х ? М1 х = х) — М, Ш {х ?
6 М 1 х ф х} = 0 и, если а?М,% {хеМ\х = а} == {а}.

§ 2] ЬОДМНОЖЕСТВО 63
В заключение параграфа замечу, что изложенное здесь
понятие множества является одним из основных понятий
современной математики. На базе теории множеств построе-
построено большинство разделов современной математической
науки 4). Язык этой теории чрезвычайно удобен не только
для математики, но и для многих других наук.
§ 2. Подмножество
Множество А называется подмножеством множества 5,
если любой элемент множества А принадлежит множеству
В. Если множество А является подмножеством множества
В, то пишут: A s В (s — новая буква, называемая зна-
знаком включения). Если A s В, то говорят также, что мно-
множество В является надмножеством множества А. Если
не верно, что ДсВ, пишут: А ^ В (ф, — еще одна новая
буква). Стоит, пожалуй, подчеркнуть, что у нас нет поня-
понятия „подмножество", а есть понятие „подмножество данного
множества". Вопрос: „является ли множество А подмно-
подмножеством?"— бессмысленный. Разумный вопрос: „является
ли множество А подмножеством данного множества?"
Легко видеть, что для любого множества М
М<=М. A)
Чуть более трудно видеть, что для любого множества М
0 = М. B)
Утверждение B) вытекает тривиальным образом из нашего
соглашения; принятого в § 1 гл. I, о смысле союза
«если..., то...» и нашего понимания наших собственных
слов, стоящих в определении подмножества *). Слова
„любой элемент множества А принадлежит множеству В"
мы понимаем так: для любого объекта а верно утвержде-
утверждение „если а 6 А, то а ? В". Но в утверждении „если а 6 0,
то а 6 М" посылка — при любом а — ложна и, значит,
само утверждение „если а 6 0, то а ?М" верно для любо-
любого а. Вот еще один пример ситуации, в которой наше согла-
соглашение о „ложности посылки" сократило нам речь. Если бы
*) Я пишу здесь и дальше „в определении подмножества",
хотя точнее было бы (см. выше) говорить „в определении подмно-
подмножества данного множества".

64 МНОЖЕСТВО [Гл. И
мы не приняли соглашения о „ложности посылки", но все-
таки хотели бы, чтобы утверждение B) было верным, нам
пришлось бы определение подмножества формулировать
длиннее: „множество А называется подмножеством множе-
множества В, если либо А = 0, либо любой элемент множества
А принадлежит Б".
Таким образом, у любого множества М есть, по кранной
мере, два подмножества: само М и пустое множество 0.
Впрочем, у пустого множества М = 0 эти два подмпо-
Df
жества, очевидно, совпадают: М = 0. Подмножества М
и 0 множества М называются несобственными подмноже-
подмножествами множества М. Все остальные подмножества мно-
множества М, если такие есть, называются его собственными
подмножествами. Очевидно, у пустого множества и у (любо-
(любого) одноэлементного множества собственных подмножеств
нет. У одноэлементного множества М ~ {а} всего два
Df
подмножества: М и 0. У (любого) двухэлементного множе-
множества уже есть два собственных (одноэлементных) подмно-
подмножества.
Очевидно,
|И(*)} = М, C)
{а}с=Л1. D)
Фундам.енхальнуло__р_оль во_ всем дальнейшем будет играть
очевидное, непосредственно вытекающее из определений
подмножества и равенства множеств, утверждение
Л = Вч*Л = ВиВ = Л. E)
Отметим еще, что
если A s В и В <=. С, то A s С. F)
Множество А называется истинным подмножеством
множества В, если A s В и А ф В. Если множество Л
является истинным подмножеством множества В, мы
будем писать: AczB. В противном случае мы будем
писать: А ф В (CI и ф. — Две новые буквы; буква d назы-
называется знаком строгого включения). Таким образом,
АаВ == А<=ВъАфВ. G)
Df

§ 2] ПОДМНОЖЕСТВО 65
Из определения G), как обычно, вытекает теорема
А^ВкАфВ. (8)
Очевидно,
ЛеВ 5*ЛсВилиЛ = В. (9)
Из (8) или G) вытекает, что
если АаВ, то ЛеВ, A0)
если AаВ, то АфВ. A1)
Легко доказать, что
если АаВ и ВаС, то ЛсС. A2)
Примером «смешанного» свойства является утверждение
если ЛеВ и ВаС, то АаС A3)
Наряду с A3) справедливо, разумеется, и более слабое
утверждение:
если А^В н ВаС, то Л = С. A4)
Утверждение A4) легко следует из A3) и A0). Докажем
для примера утверждение A3).
Итак, пусть ЛеВ и ВаС. Докажем, что АаС.
Для того чтобы доказать АаС, надо, в силу опреде-
определения G), доказать ЛеС и АфС. Из ВсС по A0)
следует BsC. А из ЛеБиВ = СпоF) следует А^С.
В силу ВаС и A1) имеем В ФС. Из В<=С я В фС
вытекает, что существует такой элемент d в множе-
множестве С, который не принадлежит множеству В. Тогда
d\A, так как из d?A и Л s В следовало бы d?В. Итак,
d?C и d$A. Значит, АфС.
У пустого множества нет истинных подмножеств.
F-сли М — непустое множество, МФ0, то 0аМ.
Пустое множество является истинным подмножеством
любого непустого множества. У одноэлементного мно-
множества {а}, очевидно, других истинных подмножеств нет.
У двухэлементного множества {а, Ь) уже три истинных
подмножества: 0, {а} и {Ь}.
Ничто из сказанного выше не запрещает, чтобы эле-
элементами множества были множества. Например,
*) Ю. А. Шиханович

66 МНОЖЕСТВО [Гл. И
М ={{1> 2}, {3, 4, 5}} — двухэлементное множество,
Df
элементами которого являются, в свою очередь, два
множества. Множество К = {{1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7} —
Df
четырехэлементное множество, элементами которого яв-
являются два множества и два числа. Очевидно, М s К.
Приведем еще более „дикий" пример. Пусть L -¦¦
ш
=={1, 2, {1, 2}}. Тогда, очевидно, верны оба утвер-
ы
ждения:
{1, 2}?L,
{1, 2}si.
Если N = {{a}}, т. е. Л/— одноэлементное множество,
Df
единственным элементом которого является одноэле-
одноэлементное множество {а}, то {a}?N верно, a {a}^N
не__ветдно.
Нам часто придется рассматривать множества мно-
множеств, т. е. множества, каждый элемент которых снова
является множеством. Желая избежать неприятного
„масла масленного", мы будем, используя указанный
в § 1 синоним, вместо множества множеств предпо-
предпочитать говорить о системе множеств. Заметим, что по
нашему словопониманию пустое множество также
является системой множеств.
Пусть М — множество. Обозначим через ?$(М)
(читается: «„пэ" от ЛЬ) систему всех подмножеств мно-
множества М*). Таким образом, если М =¦¦ 0, то $(Л1) =
Df
=={0} = {М}. Если М = {а}, то ф(Л!) = {0, М). Если
Df
М = {а, Ь}, то $(М) = {0, {a}, {b}, {M}}. Очевидно,
Если М — бесконечное множество, то и ?$(М), очевидно,
бесконечное множество.
Для любых целых неотрицательных чисел п и k обо-
обозначим через Сп (читается: «„це" из п по Ь) число
*) ф —первая букпа французского слова „partie" (часть), сино-
синонима слова „sous-ensemble" (подмножество).

S 2] . ПОДМНОЖЕСТВО 67
/г-элементных подмножеств произвольного п-элементного
множества*)х).Таким образом, выражение Сп представляет
собой двухместную числовую форму, зависящую от п и k.
Область значений переменных п и k — целые неотрица-
неотрицательные числа (в том Числе и 0).
Научимся вычислять С*. Докажем, что
( 0 k>n,
Chn-{ n\ . . A5)
Впрочем, верхняя часть утверждения A5) очевидна. Оче-
нидно, что если k>n, то у n-элементного множества
нет ни одного fe-элементного подмножества. Докажем
теперь, что при /г<п
Докажем это утверждение, фиксировав произвольное п,
индукцией по k: Базис индукции: k — О. При k = 0 A6)
превращается в С°п = " , т. е. в С°п=1. Но это
VI {п — и^1 0 -" ^
очевидно. Очевидно, что 0-элементных, т. е. пустых под-
подмножеств у n-элементного множества одно, так как всего
существует одно пустое множество. Прежде чем проводить
индукционный шаг **), докажем лемму: при k < п
=-~Ckn A7)
*) Для простоты изложения я предполагаю в этой "книге, что
читатель совершенно не знаком со школьной комбинаторикой. Вся
школьная (а также некоторая другая) комбинаторика будет изложена
здесь —в несколько измененной и уточненной форме — заново. В част-
частности, никакого термина „сочетание" (и следовательно, „число
сочетаний") у нас не будет. Распространенный в школе термин
„сочетание" синонимичен фактически с нашим термином „подмно-
„подмножество" (точнее: „конечное подмножество").
**) Я предполагаю, что с методом математической индукции
и связанной с ним терминологией читатель знаком (в случае нужды
рекомендую брошюру [5]). Впрочем, в § 8 раздела Б мы рассмотрим
их снова.
Б*

68 МНОЖЕСТВО [Гл. II
(Это утверждение получилось (эвристически *)) следую-
следующим образом. Если A6) верно при любых k^n, то (при
Л1<)
?h+1 n—k
Разделив почленно A8) на A6), получаем "ft =-¦—--
или A7).) Лемму A7) мы докажем в виде
Допустим, у нас переписаны в столбик все ^-элементные
подмножества л-элементного множества М={аи а2, ..., ап)
Df
(см. табл. 1). Согласно нашим обозначениям, их С„. Следо-
Следовательно, в табл. 1 Сп строчек. Из каждого fe-элемент-
ного подмножества А множества М, добавляя к A n — k
недостающих в нем элементов, изготовим n — k (fe+1)-
элементных подмножеств множества М и расположим их
в строчку напротив множества Л. Получим таблицу
(см. табл. 2), в левой части которой расположены в столбик
Таблица 1 Таблица 2
1) { } ' 1)
2){ } ! ! 2)
> < } I
все Сп ^-элементных подмножеств множества М, в пра-
правой— {к 4- 1)-элементные подмножества (я пока не утверж-
утверждаю, что все) множества М. В левой части таблицы
Скп строк и один столбец. В правой части таблицы,
*) От греческого „эприка" („нашел"). Эвристика—это наука
(впрочем, лучше сказать „искусство") о „нахождении", методика
поиска доказательств и путей решения задачи. Эвристике посвящены
две великолепные книги Пойа [16] и [17]. Замечу, что рассуждая
эвристически, можно рассуждать не строго. Не на всякое „почему"
обязательно отвечать во время эвристического рассуждения;

§ 2~1 ПОДМНОЖЕСТВО 69
разумеется, также С* строк и я — k столбцов. Таким обра-
образом, с одной стороны, в правой части табл. 2 распо-
расположено (п — k)C* (k + 1)-элементных подмножеств мно-
множества М (ср. с A9)). Докажем, что в правой части
табл. 2 имеется каждое (k + 1)-элементное подмножество А
множества М, причем каждое {k-\- 1)-элементное подмно-
подмножество А множества М встречается в правой части табл. 2
ровно k-\-\ раз. Поскольку, согласно нашим обозначениям,
всего в множестве М имеется C?+1 (k + 1)-элементных
подмножеств, отсюда будет следовать, что, с.другой сто-
стороны, в правой части табл. 2 расположено (/г-И)С?+1
{k+ 1)-элементных подмножеств множества М, что
и дает A9). Рассмотрим произвольное (&+ 1)-элементное
подмножество А множества М. Упорядочим произвольным
образом элементы множества А:
Пусть B = {aiv аи, ..., а,.}. В — ^-элементное подмно-
Df я
жество множества М. Значит, оно расположено в какой-то
из строк левой части табл. 2. Но мы образовывали (k+ 1)-
элементные подмножества, добавляя к каждому fe-эле-
ментному подмножеству, в том числе—к В, все недостаю-
недостающие в нем элементы. а\ $В. Следовательно, образовы-
образовывая из B(k+ 1)-элементные подмножества, мы в какой-то
момент добавили к В и а, . Следовательно, множество А
rt + 1
имеется в правой части табл. 2 (причем в той строке,
в которой слева расположено множество В). Докажем
теперь, что множество А расположено в правой части
табл. 2 ровно /г-f 1 раз. Этим доказательство леммы будет
закончено. Обозначим через Cs ^-элементное подмножество
множества М, получающееся выбрасыванием из А эле-
элемента flie. (Таким образом, Ch+i — B.) Сц С2, ..., СА+1 —
это 1г+\ различных й-элементных подмножеств мно-
множества М. Следовательно, они занимают в левой части
табл. 2 ровно /г-f 1 строк. Назовем эти строчки хорошими.
Докажем, что в каждой плохой (т. е. не хорошей) строке
табл. 2 нет множества Л, а в каждой хорошей —есть
и по одному разу. Этим опять-таки лемма будет доказана.

70 МНОЖЕСТВО [Гл. II
Допустим, что А есть в плохой строчке. Значит, А полу-
получилось добавлением какого-то элемента d ? М к fe-элемент-
ному подмножеству D множества М, стоящему в левой
части рассматриваемой плохой строки. Но если А полу-
получается добавлением элемента d к множеству D, то,
очевидно, множество D получается выкидыванием из мно-
множества А элемента d. Но тогда D есть одно из Са. Про-
Противоречие с тем, что строчка плохая. Рассмотрим произ-
произвольную хорошую строчку. В ней слева стоит какое-то С,.
Тогда А, очевидно, расположено в правой части той же
строчки (at |С, и i получается добавлением а\а кС,),
причем расположено ровно один раз, так как все(&-}-1)-
элементные подмножества данной строчки отличаются
друг от друга только „последним" элементом, а в качестве
„последних" элементов мы добавляли каждый раз новый
элемент. Лемма доказана. Мы доказали A7) при k<n
(только при таких k оно нам понадобится). Мы исполь-
использовали в нашем доказательстве, что k<in (если бы было
k>n, нельзя было бы образовывать (k+ 1)-элементные
подмножества). Любопытно заметить, что A7)__,.вердо
и при к>„п.
" Закончим доказательство утверждения A6). Нам оста-
осталось проделать индукционный шаг. В качестве предпо-
предположения индукции допустим, что A6) верно для некото-
некоторого k такого, что 0^k<in. Докажем, что тогда A6)
верно и для k+\, т. е. что верно A8). Так как fe<n,
имеет место (по лемме) A7). Из A7) и выполняющегося
по предположению индукции A6) очевидным образом
следует A8). Итак, A5) доказано.
Из A5) вытекают, в частности, очевидные и непо-
непосредственно по смыслу выражения Сп утверждения
С» = 1, B0)
СЬ = л, B1)
С=1. B2)
Из формулы бинома Ньютона *)
п
(a-f&)" = S С\ап-1Ь1 B3)
1=0
*) Доказательство —в приложении 2.

вытекает {a = b
= 1),
ПОДМНОЖЕСТВО
что
п
2С*„ = 2П. B4)
С другой стороны, из смысла выражения С„ очевидно,
п
что 2 С\ есть число всех подмножеств п-элементного
1=0
множества М, т. е. число элементов множества ^(М).
Из B4) получаем, что число подмножеств п-элементного
множества равно
2". B5)
ЗАДАЧИ
1. Верно ли, что{1,2}Ги1.2, 3}, {1,3}, 1,2}? Верно ли,
что {1,2} = {{1,2,3}, {1,3}, 1,2}?^-
2. Привести пример таких множеств А, В и С, что
л ев, ве с и л <$с. .;> - f ^ , с =¦. $ j; a :-,/j
3. Привести пример такого одноэлементного мно-
множества 5, что для некоторого Л одновременно АСВ
hAsB. Ь'-Ш.
4. Привести пример таких множеств Л, В, С, D, Е,
что ЛсгВ, вес, CczD и D = eJ^,u} ,%-fat],-сг|ш]^
5. Доказать или опровергнуть каждое из следующих
утверждений: для любых множеств А, В. С
а) если А $В и В$С, то
b)
Г
е) если Лей и В 6 С, то Л $ С. ^<Г
6. Доказать, не используя B3), что число подмно-
подмножеств п-элементного множества равно 2". (Отсюда полу-
получается новое, не использующее формулы B3), доказа-
доказательство утверждения B4).)
7. Не используя A5), доказать, что

72
МНОЖЕСТВО
[Гл. П
§ 3. Операции над множествами
Соединением (объединением) множеств А и В называет-
называется множество, состоящее из всех тех и только тех эле-
элементов, которые принадлежат хотя бы одному из мно-
множеств А, В, т. е. принадлежат А или принадлежат В.
Соединение множеств Аи В обозначается через AIJB1).
Таким образом,
?В. A)
Примеры: 1) Если Л = {1, 2, 3, 4, 5}, а В-
Df 1>Г
= {2, 4, 6, 7}, то A{JB = {l, 2, 3, 4, 5, 6, 1).
Df
2) Если Л —множество точек левого, а В — множество
точек правого круга на рис. 1, то заштрихованная
фигура на рис. 2 есть A[jB.
Рис. 1.
Аналогично определяется соединение (объединение)
трех, четырех и вообще п множеств: Л4, Л2, ...,Лп.
п
Множество Ai 1J^2(J .. •'[] Ап или |J Лг —это множество,
состоящее из всех тех и только тех элементов, которые
принадлежат хотя бы одному из множеств Л4, Л2, ..., Ап:
Пример 3). Если Мг — множество нечетных целых
чисел, не делящихся на 3, М2 — множество четных целых
чисел и М3 — множество целых чисел, делящихся на 3, то
з

§ 3J ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 73
Пусть, наконец, ЯШ — произвольная (конечная или беско-
бесконечная) система множеств. Тогда соединением (объединени-
(объединением) множеств из Ш или соединением (объединением) систе-
системы множеств ffl называется и через (J X обозначается
множество, состоящее из всех тех и только тех элемен-
элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств
системы 9Л. Если множества системы Ш перенумерова-
перенумерованы всеми натуральными числами, то []Х обозначается
а еж
оо
также через [j Xt. В выражении (J X буква X является
связанной переменной, от X оно не зависит. Поэтому
[\ Х= [}А= [\ В и т. д. Аналогичное замечание
справедливо для буквы / и выражения [) Xt. Если 93? —
имя какой-то фиксированной системы множеств, то
U X — множество. Букву Ш можно считать и пере-
менной. Тогда (J X будет одноместной формой, завися-
щей от Ш (но не от X). Легко видеть, что если
Ж-{Л, В), то И Х = АПВ; если 9Л = {Л, В, С), то
(j X = A\JB{JC и т. д. Из нашего определения соеди-
vea»
пения системы множеств вытекает, что если Ш =0, то
Df
U Х=0.Итак,
U^ =0- B)
хер
Перейдем к следующей операции. Пересечением
множеств А и В называется множество, состоящее
из всех тех и только тех элементов, которые принад-
принадлежат каждому из множеств А, В, т. е. принадлежат А
и принадлежат В. Пересечение множеств А и В обозна-
обозначается через А[]В*)*). Таким образом,
х?АрВ*±хеА и х?В C)
*) Первая буква слова Union („объелинение") помогает вспомнить,
что из знаков (J, П объединение множеств обозначается знаком (J.

74 МНОЖЕСТВО [Гл. II
Если Л и В —множества из примера 1, то Af]B = {2> 4}.
Если А и В —множества из примера 2, то А[)В есть
заштрихованная фигура на рис. 3. Если АГ\В=0, то
говорят, что множества А и В не пересекаются или что
А и В — непересекающиеся множества. В противном случае,
т. е. если А<~\ВФ0, говорят, что множества А и В
пересекаются. Следует подчеркнуть, что пересечение
существует у любых двух множеств, в том числе —
у непересекающихся, только у непересекающихся мно-
множеств оно равно пустому мно-
множеству *).
Условимся говорить, что мно-
множества А и В находятся в общем
положении, если выполняются три
условия: 1) существует элемент
множества А, не принадлежа-
принадлежащий В; 2) существует элемент
множества В, не принадлежащий А;
3) существует элемент, принадле-
принадлежащий как А, так и В. Множества Л и В на рис. 1 на-
находятся в общем положении. Термин „в общем положе-
положении" понадобится нам лишь в следующей теореме:
Теорема о пяти возможностях. Для лю-
любых двух множеств Л, В
[А = В\ или [АаВ], или [ВсЛ], или [А[)В=0],
или [Л и В находятся в общем положении]. D)
Доказательство. Допустим, что АфВ, АфВ,
В ф А и Af]B Ф 0. Докажем, что тогда Л и В нахо-
находятся в общем положении. В самом деле, если бы не
существовало элемента множества Л, не принадлежа-
принадлежащего В, то всякий элемент множества Л принадлежал
бы В, и мы имели бы А с: В, что, в силу Л ф В и АфВ,
*) Слово „существует" в этой фразе да и вообще вся фраза
означают, конечно, не утверждение о реальной действительности,
которое можно проверить опытом, и даже не математическое пред-
предложение, которое можно получить логически, а соглашение о слово-
словоупотреблении. Между прочим, если бы мы не ввели выше пустое
множество, нам пришлось бы изменить словоупотребление: не у лю-
любых бы двух множеств существовало пересечение, что, конечно,
менее удобно.

§ 3] ОНЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 75
противоречило бы (9) из § 2. Аналогично, при помощи
Л Ф В и В ф. А доказывается условие 2. Если бы не су-
существовало элемента, принадлежащего как А, так и В,
мы бы имели противоречие с А[)В ф 0. Теорема доказана.
Полезно заметить, что если множества Л и В оба
не пусты, то „случаи", указанные в формулировке тео-
теоремы, попарно не совместны.
Подобно тому, как это делалось для соединения,
п
определяются пересечение п множеств П А--АГИг1П ...
сто
... [)Ап и пересечение системы множеств |~) X и Г) Х-,.
Если Ми М2, М3 — множества из примера 3, то
П УИ« = М1П/И2ПМ3-0.ЕслиТО = {Л, В}, П Х = Л()В;
i=i nr vegj?
если № = {А, В, С}, П Х==АГ]ВГ\С, и т. д.
Рассмотрим еще одну операцию над множествами.
В отличие от операций соединения и пересечения, эта
операция определяется только для двух множеств. Раз-
Разностью множества Л и Б называется множество, состоя-
состоящее из всех тех и только тех элементов, которые при-
принадлежат Л и не принадлежат В. Разность множеств Л
и В обозначается через А\ВЯ). Таким образом,
х?А\В*±х?А и х$В. E)
Если Л и В —множества из примера 1, то А\В —
= {1, 3, 5}, Б\Л = {6, 7}. Если Л и В — множества из
примера 2, то А\В — это заштрихованная фигура на
рис. 4, а В\А — заштрихованная фигура на рис. 5.
Если в некотором рассмотрении участвуют только под-
подмножества некоторого фиксированного, так сказать,
самого большого, универсального множества М, то раз-
разность М\А называется также дополнением множества А
(до множества М) и обозначается одним из способов:
СмА, СЛ, Л, Л'. Разумеется, если „универсум" М не
указан или не ясен из контекста, то три последних
обозначения недопустимы и термин „дополнение" (до чего?)
не понятен.

76
МНОЖЕСТВО
[Гл. It
Нужно научиться хорошо решать задачи на доказа-
доказательство „равенств. с множествами". Этот тип задач
является весьма важным, так как „равенства с мно-
множествами" встречаются в математике очень часто.
„Равенства с множествами" имеют либо вид
либо вид
91 (А, В, С, ...) = » (А В, С, ...),
, С, ...) = 0.
F)
G)
Универсальным методом доказательства равенств вида
F) является доказательство, основанное на теореме E)
Рис. 4.
из § 2. Чтобы доказать, что 91 = 55, достаточно—по E)
из § 2 — доказать, что Sic95 и что 95с91. Любое
равенство вида F) может быть в _принципе доказано
этим методом. Универсальным методом доказательства
равенств вида G) является приведение к противоречию
предположения, что 91 Ф 0, т. е. предположения о су-
существовании такого а, что а ?21. Любое равенство вида
G) может быть в принципе доказано этим методом.
Ввиду особой важности указанного типа задач разберем
подробно несколько примеров.
П р и м е р 4). Докажем, что для любых множеств А В, С
(А[}В)Г\С=(АГ\С)и(ВГ\С).
(8)
Пусть
= (A\jB)f\C, E--=(Af]C)\J(Br\C). Чтобы дока-
т Dt
зать (8) или D — E, нужно, в силу вышесказанного,
доказать два „включения": DczE и EaD. Докажем, что

S 3j ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 77
DC.E. Доказать „включение" DC.E — это значит из
предположения, что a^D, вывести, что а?Е. Допустим,
что a?D. D есть пересечение множеств A{JB и С. Сле-
Следовательно, по определению пересечения, a?A[JB и
а?С. Так как а 6 A 'J В, по определению соединения а ? А
или а?В. Рассмотрим два случая: 1) а?А и 2) а?Б.
Пусть а б Л. Выше мы получили, что а?С. Итак, мы
имеем а?А и а?С. До сих пор мы делали всевозмож-
всевозможные выводы из условия a?D, всячески элиминировали,
устраняли все знаки операций. Теперь мы дошли до
предельно простых заключений, уже не содержащих
знаков операций. Куда идти дальше? Какие теперь
делать выводы? Из того, что а6 А и а?С, можно делать
много разных выводов.
Займемся эвристикой. Посмотрим „направо", на то,
что нужно доказать. Что нужно доказать для того,
чтобы иметь право сделать вывод: а??? Для этого
нужно, очевидно, доказать, что а?А(\С или что а?В(~)С,
т. е. что а?А и а?С или что а?В и о?С. У нас
сейчас а ? А и а?С. Следовательно, дальнейшее доказа-
доказательство проходит так.
Так как а?А и а?С, по определению пересечения
а?АГ\С, а значит, по определению соединения, а б
€(Af}C){J(Bf)C), т.е. а?Е. Рассмотрим второй случай.
Пусть а?В. Тогда опять-таки сначала заключаем, что
а?В[)С, а затем, что а6(ЛПС)иEПс). т. е. а?Е.
Итак, D^E. Докажем теперь, что EciD. Допустим,
что а?Е. Е — это соединение. По определению соедине-
соединения, а?А[)С или a?Bf)C. Рассмотрим два случая:
1) а?А[}С и 2) а?ВР;С. Пусть а?А[\С. По определе-
определению пересечения а?А и а?С.
Опять займемся эвристикой. Нам нужно доказать, что
a?D, т. е. что a?AljB и а?С. Для a?A{JB надо до-
доказать, чтоабЛ или что а?В. Но у нас как раз а?А.
Итак, поскольку а ? Л, по определению соединения
a?A[JB. Из a^A[JB и а?С следует, по определению
пересечения, что a?(A{JB)[]C, т. е. a?D. Рассмотрим
второй случай: agSflC. Тогда ad В и а?С. Иза?В вы-
вытекает, что a?A\JB. И, наконец, из a?A\JB и а?С
получаем, что a?(A\JB)f]C, т. е. a?D. Итак, ErzD.
Равенство (8) доказано.

78 МНОЖЕСТВО [Гл. II
Пример 5). Пусть Л, В, С — подмножества мно-
множества М. Докажем, что
(9)
(Л, В и т. д. означает здесь дополнение до множества
/И). Пусть
D=[A\J(A[)B)]r\[B\J(AnB)\r)C,
Df
E~[(A(]C)\(Br\C)\\Jl(B[}Qr\(A\JB\JC)\.
Нам надо доказать, что D — E. Докажем, что DC.E.
Допустим, что а ? D. Тогда
A0)
и
аеС. A1)
Из A0) следует, что
аЦА^(А[]В)]П[Ви(АПВ)]. A2)
Из A2) и определения пересечения вытекает, что
а$А1)(А[)В) или a$B~U(Af}B).
Рассмотрим два случая. Пусть сначала
а<±А[](АГ\В). A3)
Из A3) и определения соединения вытекает, что а$Л
и а$АГ\В. Так как а$А, а?А. Так как а$А[}В, а$А
или а$В. Но а 6 Л. Следовательно, а $5. Итак, в рас-
рассматриваемом случае а?А, а$В и —см. A1) —а^С.
Чтобы знать, куда идти дальше, займемся эвристикой.
Нам надо доказать, что а?Е, т. е. что а ? (Л Г) С) \(Bf}C)
или что ae{Bf]C)Pi(A\JB\JC). Чтобы доказать а?
е(ЛПС)\(бГ)С), надо иметь аеА{~}С и а$В[)С. Для
а?ЛПС нужно а?А и а6С Для а$ВС]С нужно а$В
или а$С. Итак, для а?(Л[~]С)\ {В[~)С) нужно, с одной

§ 3] ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 79
стороны, а ? А и а?С, с другой, а$В или а $ С. Оба
эти условия могут выполняться только, когда а?А, а$В
и а?С. Мы уже пришли, занимаясь эвристикой, к тому,
до чего дошли в доказательстве. Следовательно, можно
возвращаться к доказательству и не анализировать, что
нужно для a?(Bf}C)f}(A[JB\JC). Однако, чтобы не воз-
возвращаться потом еще раз к эвристике, на всякий случай
сообразим, что нужно иметь для того, чтобы прийти
ко второму возможному предпоследнему шагу доказа-
доказательства^ Для а?(В[)С)Г\(А^ВуС) нужно а??Г)С
и a^A\JB{JC, т. е., с одной стороны, а?В и а?С
и, с другой стороны, а?А или а?В или а 6 С. Оба эти
условия могут выполняться только при а 6 Л, а?В и а?С
или при а$А, а?В и а?С. Эвристика закончена. Вер-
Вернемся к доказательству.
Из а?А и а?С вытекает a?Af]C. Так как а $ В,
а$В[]С. Следовательно, а?(А[]С) \(Bj~|Q> a значит,
aei{Ar\C)\(Br\C)\U\{Br\C)r\(A\jB\jC)\, т. е. а?Е.
Рассмотрим второй случай. Пусть
Тогда а$В я -а$А[]В. Из а^В следует, что а?В.
Поскольку а$А(~)В, а$А или а^В. Но а^В. Следова-
Следовательно, а$А. Итак, в рассматриваемом случае а$А,
а?В и а?С. Мы пришли к тому, до чего дошли в эври-
эвристической части. "Следовательно, доказательство дальше
идет „обратно по эвристике". Из а?В и а?С следует
а?В[]С. Из а$А вытекает а?Л, а значит, а?А[]ВЦС.
Иза^ВрСнае A{J В 'JC получаем а ? (В ПС) |~) (ЛЦВЦ! С),
а значит, и а? (ИГ|С)\ (flnQlUKflnQDHU^UQl,
т. е.а?Е. Докажем теперь, что ?c_D. Допустим, а?Е.
Тогда
аеИПС)\(ЯПС) A4)
или
a?(BnC)r)(A{JBUC)- A5)
Рассмотрим два случая. Если имеет место A4), то
A6)

80 МНОЖЕСТВО [Гл. И
а$В[)С. A7)
Из A6) следует, что а?А и а?С. Из A7) следует, что
а$В или а$С. Но а?С. Значит, а$В. Итак, в рассма-
рассматриваемом случае а?А, а$В и а^С.
Займемся опять эвристикой. Нам надо доказать а ? D,
т. е. ae[AU(Ar\B)]f][B[J(ADB)] и а?С. Для первого
заключения нужно _а$ [А[](АГ\,В)][][В[](АГ\В)], т. е.
¦а$А[ЛАГ\В)пша?В[](АГ\В). Дляа^А[}(АПВ) нужно
а^Л и а&АГ\В, т. е., с одной стороны, а?А и, с другой
стороны, а$А или а^В, что возможно только при а?А
и а?Я. Для a$BU(^flfl) нужно а$Б и а&А^В, т. е.,
с одной стороны, а?В и, с другой стороны, а?Л или
а $В, что возможно только при а(?Л и а 6 5. Вернемся
к доказательству.
Так как а?Л, а$Л. Так как а$В, а?АС\В. Из а$А
и а$ЛП^ вытекает а^ЛЩЛП^)» а следовательно,
Тогда
Но абС. Значит, аиИПГиИЯП
т. е. a?D. Рассмотрим второй случай. Пусть имеет место
A5). Тогда
A8)
A9)
Из A8) получаем, что а?В и а?С. Из A9) следует, что
а?А или a 6 В или а?С. Но a ? В и a 6 С. Следовательно,
a 6 Л, т. е. а$Л. Итак, в рассматриваемом случае а$А,
а?В и а?С. Предыдущая эвристика указывает путь
продолжения доказательства. Из а?В следует а$В.
Из а$А следует a$Af)B. Из й^В и а^Л(]В следует
a$Bl}(Af}B), а значит аЦАи(АГ\В)]{][Би(АПВ)].
Тогда ae[A\J(Af]B)]f][B[j(A[]B)}. Но, кроме того, а?С.

3] ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 81
Значит, аеИи(ЛПВ)][~ПЯиИПЯ)]ПС, т. е. a?D. Итак,
/: s D. Равенство (9) доказано. Ниже мы докажем (9)
еще раз, более изящным способом.
Пример 6). Приведем пример доказательства равен-
равенства вида G).
Докажем, что для любых множеств А, В
А\[(А[МЗI}(А\В)\ = 0. B0)
Допустим, что Д\[(ЛПЯ)и(Л\Я)]=? 0. т. е. что
существует такое а, что
а€Д\[(ДГ)В)и(Л\Я)|. B1)
Из B1) и определения разности вытекает, что
Из B3)
Из B4) вытекает, что а$А или а4В. В силу B2),
а$В. .B6)
Из B5) вытекает, что а$А или а?В. Первый случай
противоречит B2), второй —B6).
В дальнейшем доказательства „равенств с множе-
множествами" мы чаще всего будем предоставлять читателю.
Эти доказательства нужно научиться проводить, легко
и свободно.
При доказательстве „равенств с множествами" доказы-
доказывающий из a(zA\JB иногда делает вывод: либо а?А
и а $ В, либо'а 6 В и а <? А, либо а 6 А и а 6 В. Это, конечно,
верный вывод. Разумеется, наряду с A), верно и утвер-
утверждение
x?A\JB ** х?А\В или х?В\А или х?А[}В.
Однако эта замена двух „случаев": .1) а?А и.2)а6-б —
тремя взаимно исключающими „случаями" 1) аАВ
Q Ю. Д. Ших^нович
а?А.
a$(Ar)B){J(A\B).
a$Af\B
а$А\В. . ¦
B2)
B3)
B4)
¦ B5)

82 множество [гл. н
2) а?В\А и 3) а?А[]В — обычно нисколько не помо-
помогает в доказательстве и совершенно не нужна.
Приведем примеры наиболее важных „тождеств с мно-
множествами" (в них А, В, С —произвольные множества).
(I)
(И)
(III)
(IV)
(V)
A\JB =
(A{JB){JC =
A\J(B[]C) =
А[)(АПВ) =
A[jA =
Следующие пять тождеств получаются из (I) — (V) заме-
заменой (J на П и наоборот:
(Г)
(II')
(ИГ)
(IV)
(V)
Пусть ЗЛ — произвольная система множеств, Е — про-
произвольное множество. Тогда
(VI)
(VI')
В частности,
E\(.
E\U Х = ^П (E\X),
Е\хГ\ X = U (E\X).
A\JB) = (E\A)[)(E\B),
A[)B) = (E\A)\J(E\B).
B7)
B8)
Обычно свойства VI, VI' формулируют для того случая,
когда каждое из множестэ системы Ш есть подмножество

§ 3] ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 83
„универсума" Е. Тогда VI, VI' пишут в виде
B9)
C0)
и читают так: „дополнение к соединению есть пересече-
пересечение дополнений" и „дополнение к пересечению есть сое-
соединение дополнений". Тождества B7), B8) в аналогичном
случае принимают вид
C1)
C2)
Из VI, VI' можно вывести так называемый принцип
двойственности: если в некотором „тождестве с множе-
множествами", содержащем только символы |J, f), заменить
U на П и наоборот, то мы получим снова верное
утверждение. Если в „тождестве с множествами", отно-
относящемся к подмножествам некоторого „универсума"
М и содержащем символы \J, f~), 0, М, ~, заменить \J
на П, 0 на М и наоборот, то получится снова верное
утверждение. Я не буду доказывать здесь и использовать
дальше этот принцип и оставлю его лишь как эвристи-
эвристическое указание (ср. I —V и Г —V). Отметим еще, что
(VII) •
(VIII)
(IX) (А\В)Г\С=(АПС)\(В(}С).
Тождества (I — IX) выражают наиболее важные свойства
операций соединения, пересечения, разности. Любое
из этих тождеств может быть доказано тем же методом
„двух включений", т. е. использованием теоремы E)
из § 2. Запоминать активно эти „основные тождества"
не требуется, но знание их позволяет использовать
их при доказательстве других „равенств с множествами"
и доказывать эти „другие" равенства не прямо, в лоб,
двумя включениями, а более изящно.
6*

84 МНОЖЕСТВО [Гл. И
Пример 7) Докажем еще раз (9) (см. пример 5).
Сохраняя обозначения примера 5, преобразуем отдельно
D и Е
В этой выкладке, кроме указанных выше свойств,
мы использовали также, что
- М, C3)
-А . C4)
(Напомним, что в нашем примере Л ^ М.),
Л-Л. C5)
? = ГИПС)\(ВЛС)Ш[(ВЛС)ПЙивиСI. Преобразуем
отдельно (Л Л С) \ (В ПС) и {B[]C)[](A[jB[jC).

§ 3) ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 85
Мы использовали в преобразованиях, кроме вышеуказан-
вышеуказанных, тождества
C6)
0, C7)
0. C8)
AIJ0-A. C9)
Итак, Е = (АГ\В[)СI](А[)В[)С). Следовательно, ?> = ?.
(9) доказано. Это доказательствр_равенства (9), конечно,
изящнее, чем" „первое ^доказательство. Однако _вряд ли
верно^_утверждать, что__ оно короче, так как в пол-
полное доказательство следует, кроме проделанных пре-
преобразований, включить также доказательство всех
тождеств, которые мы использовали в выкладках.
Первое доказательство имеет то преимущество, что оно
проводится универсальным методом, не требующим
смекалки и памяти, в то время как второе существенно
использует нашу инициативу (выбор пути в выкладках)
и память. Я рекомендую читателю сравнить две
„скобки", к которым мы привели D и Е во втором
доказательстве, с двумя „случаями", к которым мы
приходили, доказывая каждое из „включений", в первом
доказательстве.

МНОЖЕСТВО [Гл. It
ЗАДАЧИ
Введем для сокращения следующие обозначения:
[a, b] = g
Df
(а, b) = $
Df
[а, &) = g
Df
(a, b\ = %
Df
1. HaPm\')A[jB^Af]B,U\B и«/В\Л, если
a) A = [3,5], B = [2, 4],
Df Df
b) Л = [3,5], В = B, 4),
Ш Df
c) Л = [3,5], В = [2, 4),
Dr Df
d) Л=[3, 5], В = B, 4],
Df Df
е)Л = C, 5), В = B, 4),
D/ Df
fL = C,5), В = [2, 4),
Df Df
gL = C,5), B=B, 4],
Df Dt
h) Л = [3, 5), В = [2, 4),
Df Df
i) Л = [3, 5), B=B, 4],
Df Df
JM=C, 5], В = B, 4].
Df Df
2. Найти 'IA U В, УЛ П В, ./Л \ В и'/В \ Л, если ,
a) Л = ?{*?С|* делится на 4},
Df
В = ${х?С\х делится на 5},
Df
b) А = {?{х?С\х делится на 4},
Df
В = Щ{х^0,\х делится на 6}.
Df

¦ 3] ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 87
оо оо
3. Найти U Хп и П -Хп. если
п—1 п=\
4. Найти U Хп и П Х„, если
г,=1 п=1
Df
™Dt v ' n -!
5. Найти IJX и П-^» если
a) Х„=ГО, i-1 ,
b) XB-@,-i),
c) Xn=f0,-i),
a) ЯП — множество всех треугольников, вписанных
в данный круг. (Каждый треугольник рассматривается
как множество точек, лежащих внутри треугольника
и на его контуре.)
b) Ж — множество правильных треугольников, впи-
вписанных в данный круг.
6. Доказать, что пересечение произвольной системы
выпуклых множеств на плоскости есть снова выпуклое
множество. (Множество точек на плоскости называется
выпуклым, если наряду с любыми двумя своими точками
оно содержит каждую точку соединяющего их отрезка.)
Верно ли аналогичное утверждение для соединения?

88 МНОЖЕСТВО [Гл. II
7. Доказать, что
a)
b)
с)
8. Пусть Л, В, С— подмножества множества М. Дока-
Доказать, что
а)
Ъ)
с)
9. Доказать, что
a) ЛЕ
b) Ле
с)
10. Найти необходимое и достаточное условие для
a) (А\В)[]В = А,
b) (Ли5)\5 = Л.
11. Доказать или опровергнуть, что
a) (A\B)[jC = (A[jC)\(B[jC),
b) (Л\В)\С»(Л\С)\В,
с) л\в=Сч*вис=л.
12. Чему равно Л \ (Л \ В)? ~ ЛР- -'

ГЛАВА III
КОРТЕЖ
§ 1. Кортеж
Введем термин „кортеж". Как и понятие множества,
понятие кортежа будет у нас исходным, неопределяемым
понятием. Половина дальнейшего текста этого параграфа
(до определения понятия „кортеж над данным множеством")
является описанием этого неопределяемого понятия.
Начнем с примеров. Можно'говорить о кортеже людей,
стоящих в очереди, о кортеже машин, о кортеже патро-
патронов в обойме, о кортеже букв в слове.
Вместо термина „кортеж" употребляют также, в каче-
качестве синонимов, термины „вектор", „набор".
Вместе с термином „кортеж" вводится (также неопре-
неопределяемый) термин „компонента" (синоним: „координата"),
точнее —первая, вторая и вообще i-я компонента. Число
компонент кортежа называется его длиной. Кортеж
длины s, первая компонента которого есть at, вторая —
а2, ..., s-я, последняя компонента — as, мы будем обо-
обозначать через
(аи а2, ..., а„)
« , ) —две новые буквы: левая и правая „угловые скобки").
Компонентами кортежей могут быть любые „понятные"
объекты, в том числе —множества и кортежи. Приведем
несколько примеров кортежей.
(8, 8, 8, 8, 8)
есть кортеж длины 5, каждая из пяти компонент кото-
которого есть число 8. Таким образом, в отличие от элементов

90 Кортеж ?гл. til
множества, компоненты кортежа могут — полностью или
частично — совпадать.
C, 0, 2*-5, {2, 1}, <3, 6»
есть также кортеж длины 5. Первая компонента этого
кортежа — число 3, вторая — пустое множество, третья —
многочлен 2х — 5, четвертая — двухэлементное множество
{2, 1}, пятая —кортеж длины 2 с компонентами 3,6.
Кортежи длины 2 мы будем называть парами (иногда
говорят — упорядоченными парами), кортежи длины 3 —
тройками, длины 4 — четверками и т. д. Наряду с кор-
кортежами длины 2,3, 4, ..., мы будем говорить также
о кортежах длины 1
(а)
и о пустом кортеже, кортеже длины 0. Пустой кортеж
мы будем обозначать буквой Л или просто
Таким образом, длиной кортежа может быть у нас любое
целое неотрицательное число (в том числе 0). Никаких
„кортежей бесконечной длины" у нас не будет.
Кортежи мы чаще всего будем обозначать строчными
греческими буквами, компоненты кортежей —строчными
латинскими буквами.
Условимся говорить, что кортежи аир равны, и писать:
а = р, если аир имеют одинаковую длину и каждая
компонента кортежа а совпадает (равна) с компонентой
кортежа р с тем же номером. О равных кортежах аир
мы будем также говорить, что а и р — одинаковые кор-
кортежи или что а и р — один и тот же кортеж. Если
кортежи а и р не равны (т. е. либо имеют разную длину,
либо какая-то компонента кортежа а отлична от соответ-
соответствующей компоненты кортежа р), мы будем писать:
а=?р.
Легко видеть, что для любых кортежей а, р, у
а = а,
если а = р, то р = а,
если а —р и p = Y> то а = -у-

§ 1] КОРТЕЖ 91
Из нашего понимания равенства кортежей вытекает,
что C,5) Ф <5,3); в отличие от множеств, порядок компо-
компонент в кортеже очень существен*). Очевидно,
C, 0, 2х-5, {2, 1), <3, 6» = <3, 0, 2х-5, A, 2}, C, 6»,
но
<3, 0, 2дс —5, {2, 1}, C,6)) ФC, 0, 2х-5, B, 1}, F,3)).
Разумеется, следует различать а, (а) и {а}; (а, 6) и {а, Ь}\
(а, Ь, с) и (а, Ь, с} и т. д. **). Заметим еще, что у нас,
конечно, (а, Ь, с) Ф (а, ф, с)), (а, Ь, с) Ф ({а, Ь), с),
(а, Ф, с)) Ф ((а, Ь), с), (а, Ь, с, d) Ф (а, ф, с, d)),
{а, Ь, с, d) Ф ({а, Ь, с), d) и т. д.2). При нашем пони-
понимании равенства кортежей
(а, 6) = (с, d) т а = с и b-^d, A)
(at, аг, а3) — {Ьх, Ьг, Ь3) зр* ах = bj и а2 = Ь2 и а3=Ь3. B)
Кортеж а называется кортежем над множеством М,
если каждая компонента кортежа а принадлежит М.
Согласно обычному нашему словопониманию, пустой
кортеж Л = ( ) есть кортеж над любым (в том числе
и пустым!) множеством.
Для любых целых неотрицательных п и k обозначим
через Шп (читается: «„а" из п по Ь>) число кортежей
длины k над произвольным л-элементным множеством.
Таким образом, выражение 2l? представляет собой двух-
двухместную числовую форму, зависящую от п и k. Область
значений переменных п и k — целые неотрицательные
числа, т. е. множество N[_J {0}.
Поскольку у нас существует всего один кортеж
длины 0, пустой кортеж Л, причем этот кортеж является
кортежем над любым множеством, при любом п
51° = 1. C)
*) Поэтому иногда кортежи называют „конечными упорядочен-
упорядоченными множествами", что не очень хорошо, так как компоненты
кортежа, в отличие от элементов множества, могут повторяться.
*¦) Если а и Ь— действительные числа, то все выражения (а, Ь),
\а, Ь), [а, Ь], (о, Ь), [а, Ь) и (а, Ь\ имеют различный смысл1).

92 кортеж [гл. in
Индукцией по k (при фиксированном п) легко доказать, что
если fe=?0, Я« = п\ D)
Базисом индукции является вытекающее непосредственно
E)
из смысла выражения 91* утверждение
Итак, окончательно,
Это же можно переписать и так:
Замечу в заключение, что понятие пары можно опре-
определить через понятие множества! Попробуйте придумать
такое определение так, чтобы при этом осталось верным
утверждение A)*).
Задача. Доказать, что произвольное множество
кортежей М является множеством кортежей над неко-
некоторым множеством L.
§ 2. Прямое произведение
Введем еще одну операцию над множествами. Эта
операция будет несколько другой природы, чем опера-
операции, введенные в § 3 гл. II. Она будет использовать,
в частности, понятие кортежа.
Прямым произведением множеств А и В называется
множество, состоящее из всех тех и только тех пар,
первая компонента которых принадлежит А, вторая при-
принадлежит В. Прямое произведение множеств А и В обо-
обозначается через Ах В (но не через А-В или АВI).
¦) Разумеется, и при этом уточнении постановки задачи задача
остается очень неопределенной (что значит „определить одно поня-
понятие через другое"?).

S2]
ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
93
Примеры: 1) Пусть А —{а, Ь}, В = {а, с, d}. Тогда
ш Dt
АхВ = {(а, а), {а, с), (a, d), (b, a), (b, с), (b, d)).
2) Как известно, пару чисел (а, Ь) условились изо-
изображать на координатной плоскости точкой, абсцисса
которой равна первой компоненте пары, а ордината —
I
i i
/ г з
А*В
Рис. 6.
У
»
г
i
1
1
1
1
/
щ
1
1
1
1
Рис. 7.
второй компоненте пары (можно было условиться наобо-
наоборот). Поэтому, если Л = [2, 3], а ? = [1,4], то АхВ
Df Df
на координатной плоскости изображается заштрихован-
заштрихованным прямоугольником на рис. 6, а В х А — заштрихован-
заштрихованным прямоугольником на рис. 7.
3) Если А = [2, 3], то Л х D на координатной пло-
1>Г
скости изображается заштрихованной „полосой" на рис. 8,
a D X Л — заштрихованной „полосой" на рис. 9.
Аналогично определяется прямое произведение трех,
четырех и т. д. множеств. Прямым произведением мно-
множеств Ai, Л2, ..., Лг называется и через Л4 х Л2 х ...
.. . х Лг обозначается множество, состоящее из всех тех
и только тех кортежей длины г, первая компонента
которых принадлежит Аи вторая принадлежит Л2,
третья—Л3, ..., r-я компонента принадлежит Аг.
Легко видеть, что
АхВ=0 з=!= Л--=0 или Б=0. A)
В частности, 0X0 = 0. Аналогичное утверждение
верно и для прямого произведения г множеств:

94
КОРТЕЖ
[Гл. Ill
Ai X Аг х ... х Ar= 0 тогда и только тогда, когда хотя
бы одно из множеств А^ А2, ..., Ат пусто.
Следует быть осторожным с интуицией, вызванной
словом „произведение" в термине „прямое произведение".
Большинство привычных нам из арифметики свойств
умножения чисел не верны для прямого произведе-
произведения множеств. Так, вообще говоря, Ах В Ф Вх А
и А х (В х С) Ф (А х В) х С ф А х В х С.
У
Рис. 8.
Рис. 9.
Используем операцию прямого произведения для опре-
определения степеней множества. Пусть М — произвольное
множество. Для s=-2, 3, 4, ... назовем s-й степенью
множества М и обозначим через ЛР прямое произведе-
произведение s одинаковых множеств, равных М.
М3 = М х М х ... ХМ.
8 сомножителей
B)
Специальными определениями положим
Df
Df
выражение
м,
{Л}
Ms
определено
У
C)
D)
нас для
Таким образом, р р у
любого целого неотрицательного s и любого множества М.

§ 2J Прямое Произведение §5
Из B) и C) вытекает, что
если s>0, 0s-=0. E)
Из D)
0° = {Л}. F)
При s > 2 М3 — множество всех кортежей длины s над М.
Значит, если М — /г-элементное множество и s>2, число
элементов множества Ms равно 21*, =/г8.
Пример. Если М = {а, Ь}, то М°=---{Л}, М1 = М =
= {а, Ь),
М* = {(а, a), (a, b), (b, a), (b, b)},
М3 = {{а, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (a, b; Ь),
(b, a, a), (b, a, b), (b, b, a), (b, b, b)}.
Заметим, что если МФ0, то М8 X М' # М8+|, Если
МФ0 и s=?t, то М" х Mi Ф М' х М". В частности,
М2 х М = (М х М) х М Ф М х (М х М) = М х М4.
Заметим еще, что если Л s М% BsJH1 и А Ф0, В Ф0,
то АхВ^М^1.
Для произвольного множества М введем еще следую-
следующее обозначение:
ЛГ= М Л13. G)
Df 8=0
Допуская некоторую вольность, можно сказать, что
М00 — множество всех кортежей над М. Вольность состоит
в том, что М1 = М не есть множество кортежей длины 1
над М.
Связь умножения чисел и прямого произведения мно-
множеств проявляется в следующем утверждении:
Пусть Аи А2, ..., АТ — конечные множества. Пусть
множество Ai содержит «4 элементов, множество Аг
содержит п2 элементов, ..., множество Ат содержит пт
элементов. Тогда прямое произведение Ai X Л2 X ... X Аг
множеств Аи А2, ..., Аг содержит
til-tig-...'!!, (8)
элементов.

96 КОРТЕЖ [Гл. Ш
Это утверждение легко доказывается индукцией по г.
Доказательство предоставляю читателю. Из B) и (8)
вытекает (для k>2) D) из § 1.
ЗАДАЧИ
1..Найти необходимое и достаточное условие для
a) АхВ = ВхА,
b) (АхВ)хС = Ах(ВхС),
c) (АхВ)хС = АхВхС,
d) Ах(ВкС) = АхВхС.
2. Доказать, что
a) (A{JB) х C = (AxC)\J{BxC),
Ъ)'(А[)В) х С = (ЛхС)П(ЙхС),
с) (А\В)ХС = (АхС)\(ВхС),
3. Доказать, что если А^М и ВдМ, то
АхВ = (АхМ)[)(МхВ).
Изобразить это равенство на координатной плоскости
для случая М = D.
§ 3. Комбинаторика
Введем еще два термина. Кортеж а называется раз-
размещением, если все его компоненты различны. Таким
образом, в частности, пустой кортеж и любой кортеж
длины 1 являются размещениями. Из предыдущих опре-
определений вытекает смысл словосочетания „размещение над
данным множеством". Размещение над данным множест-
множеством—это такой кортеж, который, во-первых, является
размещением и, во-вторых, является кортежем над дан-
данным множеством (см. § 1).
Пусть М —конечное множество. Кортеж а называется
перестановкой над множеством М, если он является раз-
размещением и его длина.равна числу элементов множе-
множества М. Таким образом, перестановка над /г-элементным
множеством М — это кортеж длины п над, множеством М,
все компоненты которого различны. Полезно отметить,

§ З] КОМБИНАТОРИКА 9?
что у нас есть термины „кортеж" и „кортеж над дан-
данным множеством", „размещение" и „размещение над
данным множеством", но у нас нет термина „переста-
„перестановка" и есть термин „перестановка над данным мно-
множеством", причем этот последний термин имеет у нас
смысл только в том случае, когда „данное множество"
конечно.
Для любых целых неотрицательных п и k обозначим
через Ап (читается: «„а" из п по &»*)) число размеще-
размещений длины k над произвольным л-элементным множест-
множеством. Очевидно, при любом п
А°п=\ A)
и
если k>n, Л? = 0. B)
Непосредственно из смысла выражения An вытекает, что
Ап = п. C)
Индукцией по k (при фиксированном п) легко доказы-
доказывается, что
если
л, Л?=П {n — i). D)
Базисом индукции является утверждение C). Итак, окон-
окончательно
1 k = 0.
П (n-i) 1<Л<л. E)
i=0
0 k>n.
Впрочем, при k — 0 выражение Ц (n — i) превращается
1=0
-1
в И (n — i), что по определению оператора [] (§ 2 гл. I)
1=0
*) Поскольку выражения Я„ и Л„ читаются одинаково, прихо-
приходится иногда читать их «„А готическое" из п по &» и «„А латин-
латинское" из п по k».
7 Ю. А. Шиханович

98 Кортеж tr-л. ill
как раз и равно 1; при k>n выражение [{(n — i) равно
как раз 0, так как среди множителей n — i будет
в этом случае п — п. Следовательно, E) можно перепи-
переписать в виде
Д
Для любого целого неотрицательного п обозначим
через Рп число перестановок над произвольным п-эле-
ментным множеством. Очевидно, Рп = Ап- Следовательно,
из F) получаем, что
Рп = п\. ¦ G)
Из F), G)~и~A5) из § 2 гл. II легко получить, что при
любых п и k
Ahn = Cl-Ph. (8)
Перейдем к комбинаторным задачам. В комбинаторной
задаче обычно требуется подсчитать, выразить формулойх)
число элементов некоторого конечного множества А.
[Выше мы это уже проделали для множества /г-элемент-
ных подмножеств, n-элементного множества (A5)
в § 2 гл. II), множества всех подмножеств «-элементного
множества (B5) в § 2 гл. II), множества кортежей
длины k над «-элементным множеством (F) в § 1), пря-
прямого произведения г конечных множеств ((8) в § 2),
множества размещений длины k над «-элементным мно-
множеством F) и множества перестановок над «-элементным
множеством G).] Главным методом решения такой задачи
является метод установления взаимно-однозначного соот-
соответствия между данным множеством А и некоторым
вспомогательным множеством В, число элементов которого
уже известно.
Что такое взаимно-однозначное соответствие? Вполне
строго это понятие будет определено в § 2 гл. V. Пока
же мы ограничимся только интуитивным описанием,
вполне достаточным для решения задач. Если каждому

$ 3] КОМБИНАТОРИКА 99
элементу множества А поставлен в соответствие, соот-
соотнесен один элемент множества В так, что при этом
1) разным элементам множества А поставлены в соот-
соответствие разные элементы множества В и
2) каждый элемент множества В поставлен в соот-
. ветствие хотя бы одному элементу множества Л,
то говорят, что между множествами А и В установ-
установлено взаимно-однозначное соответствие. Очевидно, что
если между двумя конечными множествами А и В уда-
удалось установить взаимно-однозначное соответствие, то
число элементов множества А равно числу элементов
множества В.
Таким образом, если мы сумеем установить взаимно-
взаимнооднозначное соответствие между данным множеством А,
число элементов которого ищется, и вспомогательным
множеством В, число элементов которого известно
(скажем, равно t), то мы решим поставленную зада-
задачу, найдем число элементов множества А: оно будет
тоже равно t.
Как уже было сказано выше, этот метод, метод
введения вспомогательного множества В и установления
взаимно-однозначного соответствия между данным мно-
множеством А и множеством В, является главным методом
решения комбинаторных задач.
Решим две задачи. Эти задачи имеют —для комбина-
комбинаторики— самостоятельный интерес.
Задача 1. Пусть имеется г (различных) объектов:
аи а2, . •-, ¦ аг и г (не обязательно различных) целых
неотрицательных чисел: щ, nz, ..., пг. Обозначим через
$„ь „2 „ число кортежей, имеющих, в качестве компо-
компонент, щ раз — элементat,п2раз — элементу ¦ ¦ -,пТраз —
элемент аг 2). Таким образом, каждый из1 кортежей,
г
число которых мы хотим сосчитать, имеет длину 2 "г-
{=1
Докажем, что
, П2 Пг г
U

100 КОРТЕЖ [Гл. Ill
Докажем сначала индукцией по г, что
ь», n={[Cnl , A0)
'=1 2 „,
1=1 '
а затем, что
П сЧ =——¦ О1)
Д I
II
При г=\ (базис индукции) правая часть формулы A0)
дает
11 1
i==jni г=1
-Сп\ -СП1
1 —<-> 1 W
но очевидно, что число %п кортежей, имеющих, в каче-
качестве компонент, rttpa3—элемент а1( равно 1 (такой кортеж
один; это либо пустой кортеж, если «i = 0, либо кортеж
(a^cti, ..., fl4». Таким образом, при г—1 утверждение A0)
щ раз
справедливо. Допустим (предположение индукции), что
утверждение A0) верно для некоторого г>\, и докажем,
что оно верно для г+1, т. е. что число ^pno,ni,n2 п
кортежей,имеющих,в качестве компонент, п0 раз—некото-
раз—некоторый элемент а0, nt раз—элемент а4, п2 раз—элемент а2, ...,
пг раз—элемент аг, может быть найдено по закону A0).
Итак, нам надо доказать, что
'г
?п„,„ьп2 пг=Ц С"! . A2)
-Г—— П V
Чтобы воспользоваться предположением индукции,
«отщепим» от правой части A2) первый множитель.

§ 3] КОМБИНАТОРИКА 101
Тогда равенство A2), которое нам надо доказать, пере-
перепишется в виде
$«o,«i,n2 пт = Сп% • Д Сп{. . A3)
2 „ ;=1 2„
{-о ' i=j 1
Но по предположению индукции верно A0). Следова-
Следовательно, A3) можно переписать в виде
^п0, пх, п2 пг= С ? 'SPni.tig, . .,vT- A4)
2 п,
1=0 *
Вот в виде-то A4) мы и будем доказывать равенство A2).
Если 2 «г = 0, т. е. п0 — щ = л2 = ... = пт = 0, утвержде-
1=0
г
ние A4) очевидно. Пусть 2лг>0. Обозначим через Л
1=0
множество кортежей, имеющих, в качестве компонент, п0
раз — элемент а0, п{ раз — элемент а1; п2 раз—элемент
«г» ¦ • • 1 пт раз — элемент аг. Таким образом, кортежи из А
г
имеют длину 2 "г- Согласно нашим обозначениям, число
1=0
элементов множества А равно $„0,П1, п2, ..., п • Пусть
В = {1, 2, 3, 4, ..., 2«;}- Множество 5 содержит
Df 1=0
г
2 "г элементов. Элементы множества В мы будем ниже
1=0
интерпретировать как номера компонент кортежей из А.
Обозначим через D множество «„-элементных подмно-
подмножеств множества В. Согласно нашим обозначениям, мно-
множество D имеет Сп°г элементов. Обозначим, далее,
2 ";
г=о
через ? множество кортежей, имеющих, в качестве ком-
компонент, пу раз—элемент аи п2 раз — элемент а2, ...,
пг раз — элемент аг. Таким образом, кортежи из Е имеют
длину 2 ni- Согласно нашим обозначениям, число

102 КОРТЕЖ [Гл. Ill
элементов множества Е равно $П1, „2 „. Положим,
наконец, F = DxE. В силу (8) из § 2, число эле-
DI
ментов множества F равно Сп° -$П1 „2 „ . Устано-
i=0
вим взаимно-однозначное соответствие между множе-
множествами А и F. Этим равенство A4) будет доказано.
Возьмем произвольный кортеж а из А. Поставим ему
в соответствие пару (К, Р), где К — множество номеров
тех компонент кортежа а, которые равны а0, а Р — кор-
кортеж, который получается из а выбрасыванием всех эле-
элементов а0 и стягиванием, с сохранением взаимного по-
порядка, остальных элементов. Если, например, г = 2,
по = 3, м4 = 2, гс2 = 4 и
а = (а0, а2, а2, аи а0, а2, а0, а2, а4),
I)!
то
К ={1, 5, 7}, р* = (а2, а2, Сц а2, а2, а4).
Очевидно, (/С, P)g/r. Итак, мы каждому элементу мно-
множества Л поставили в соответствие один элемент мно-
множества F. Докажем теперь, что разные элементы мно-
множества А соответствуют (при нашем соответствии) разным
элементам множества F. Пусть а4^Л, a2f Л и СЦ ф а2.
Пусть кортежу сц соответствует при нашем соответствии
пара a1 = (/C1, р\), кортежу а2 —пара сг2 = (/B, р2). Дока-
юг Df
жем, что Oj Ф сг2. Если Ki Ф /С2, то а4 Ф ст2. Пусть теперь
/Ci = /Сг- Докажем, что тогда р\ =? р2. Так как а! # а2
и кортежи оц, а2 имеют одинаковую длину, по крайней
мере одна из компонент кортежа сц отлична от компо-
компоненты кортежа а2 с тем же номером. Обозначим через s
любое такое число, что s-я компонента кортежа сц
отлична от s-й компоненты кортежа о2. Так как Ki = K2,
s-я компонента как кортежа сц, так и кортежа а2 отлична
от а0. Поскольку в кортежах ait a2 левее s-й компоненты
одинаковое число элементов а0, а на s-x местах стоят
разные элементы, отличные от а0, р4 Ф р2. Докажем,
наконец, что каждый элемент множества F поставлен
нами в соответствие хотя бы одному элементу множества А.
Пусть а = (/С,р>6^- Тогда кортежу а?Д у которого
ш

§ з! Комбинаторика 103
на местах с номерами из К стоит а0, а на местах с но-
номерами из В\К стоят в том же порядке компоненты
кортежа р\ соответствует, очевидно, по нашему закону
именно о. Равенство A4), а значит, и A0) доказано.
Докажем теперь A1). При доказательстве мы будем
опираться на свойства оператора П, указанные в при-
приложении 1.
j =П
Я
n,
1I(M)-Tl[( 2 «')'l-0' П^)-ГД[( S «,)!]
J-=l J=l 1=; + 1 3 = 1 3 = 1 1=3 fl
B »i)'-JI [(?»«)'] (|«')« B-')'
Пример. Пусть rii = 3, n2 = 2, n3 = 4. Тогда
l, nt, n3 = $8, 2, 4 = ЗудаГ = 1260.

104 КОРТЕЖ ' [Гл. Ill
Задача 2. Пусть имеется г ящиков и г (не обяза-
обязательно различных) целых неотрицательных чисел
г
rtj, п2, •-., пт- Пусть имеется также 2 ni (различных)
предметов. Пусть в первый ящик можно поместить nj
предметов, во второй — п2 предметов, .. ., в r-й ящик — пт
предметов. Найдем число распределений 2 /?; данных
предметов по г ящикам. При этом два распределения
считаются, естественно, различными, если хотя бы один
из данных предметов при одном из этих распределений
находится в одном ящике, а при другом из этих распре-
распределений—в каком-то другом ящике. Оказывается, искомое
число равно $щ,п2 пг-
Указанный мною ответ подсказывает путь доказа-
доказательства. Надо ввести какие-то объекты аи а2, ..., ат
и установить взаимно-однозначное соответствие между
г
множеством А распределений 2 ni предметов по г ящи-
г==1
кам вместимостью, соответственно, пи п2, ..., пг и мно-
множеством В кортежей, имеющих, в качестве компонент, rii
раз—элемент а1( п2 раз — элемент а2, ..., иГ раз — эле-
элемент аг. В качестве объектов аг, а2, ..., аг возьмем числа
1, 2, ..., г. Перенумеруем данные предметы (ящики усло-
условием задачи уже предполагаются перенумерованными).
Возьмем произвольное распределение а ? А. Поставим ему
г
в соответствие такой кортеж а длины 2 ni наД N, у ко-
г=1
торого t-я компонента равна / тогда и только тогда,
когда <-й предмет при распределении а находится в /-м
ящике. Очевидно, а?В. Очевидно также, что если 04 ф о2,
то для соответствующих кортежей с^ Ф а2. Легко видеть,
что произвольный кортеж а?В соответствует в нашем
соответствии такому распределению а?А, при котором
/-й предмет находится в /-м ящике тогда и только тогда,
когда t-я компонента кортежа а равна / (поскольку а ? В,
число, например, 1 имеется в а в качестве компоненты
ровно nt раз, и поэтому ровно я4 предметов попадут при
распределении а в первый ящик, и т. д.).

§ 3] КОМБИНАТОРИКА 105
Многие комбинаторные задачи укладываются в „схему"
двух только что разобранных задач.
Задача 3. Подсчитаем коэффициент при x"i-x\*-...
.. . -x^ft, получающийся после раскрытия скобок в выра-
выражении (ху -+- *2 + • • • -г x/i)n- Перемножим п множителей
XiJrX2-\- ... -\-Xk, выбирая всеми возможными способами
из первого множителя какое-нибудь xiv из второго мно-
множителя какое-нибудь xiv ..., из «-го множителя какое-
нибудь Хг и не переставляя пока неизвестные, взятые
из разных множителей. Выражение (xt + х2 + •.. + xh)n
представится тогда в виде суммы произведений вида
л:{1-х{2-...-л:» (в каждом произведении п множителей).
Искомый коэффициент равен, очевидно, числу тех произве-
произведений видаxiL-Xi2-... -Xi , в которых Sj раз имеется множи-
множитель хи s2 раз — множитель х2, ..., sk раз — множитель хк
k
( y\si=n). А это последнее число равно, очевидно, числу
кортежей, имеющих, в качестве компонент, st раз — символ
хи s2 раз —символ х2, ..., Sa раз —символ xh, т. е. равно
$8Ь 82, . . ., 8ft-
Задача 4. Число раздач 36-карточной колоды четы-
четырем игрокам по 6 карт равно, очевидно, числу распреде-
распределений 36 карт по 5 ящикам вместимостью, соответственно,
6, 6, 6, 6 и 12 (пятый ящик —оставшиеся карты), т. е.
равно 5J36, б, б, б, 12-
Подытожим еще раз наш комбинаторный арсенал.
В него входят:
1) формула для числа с\ fe-элементных подмножеств
«-элементного множества;
2) формула для числа всех подмножеств «-элемент-
«-элементного множества;
3) формула для числа Ъ.\ кортежей длины k над
n-элементным множеством;
4) формула для числа Л? размещений длины k над
n-элементным множеством;
5) формула для числа Рп перестановок над «-элемент-
«-элементным множеством;
6) формула для числа элементов прямого произведе-
произведения г конечных множеств;

106 КОРТЕЖ [Гл. Ill
7) формула для числа $„ь „2 „г кортежей, имею-
имеющих, в качестве компонент,«4 раз —элемент аи п2 раз —
элемент а2, ..., пт раз — элемент а/,
г
8) формула для числа распределений 2 ni предметов
по г ящикам вместимостью, соответственно, щ, п2, .. .,пг *).
Я ни в малейшей степени не утверждаю, конечно, что
этот арсенал достаточен для решения любой комбинатор-
комбинаторной задачи 3). Однако при его помощи можно решать
уже довольно много задач. Приведем несколько примеров.
Задача 5. Найти число размещений длины г над
р-элементным множеством Л, в каждом из которых, в ка-
качестве компонент, имеется каждый из q „выделенных"
элементов множества А (и, возможно, другие элементы
множества А).
Из условия задачи вытекает, что д<р и что при
г < q или г>¦ р искомое число равно 0. Задача представ-
представляет интерес при q^.r^.p. Дадим три изложения реше-
решения этой задачи.
Первое изложение. Из г мест q мест для выде-
выделенных элементов могут быть выбраны Сг способами.
Когда q мест для выделенных элементов выбраны, то q
выделенных элементов на эти q выбранных мест могут
быть поставлены Pq способами. И наконец, на остав-
оставшиеся г — q мест р — q невыделенных элементов могут
быть поставлены Аг^1\ способами. Поскольку эти три
„выбора": выбор мест для выделенных элементов, выбор
порядка, в котором выделенные элементы ставятся на
выбранные для них места, и выбор невыделенных эле-
элементов на оставшиеся места —могут быть проделаны
независимо друг от друга, ответ задачи получается пере-
перемножением указанных выше трех чисел. Итак, искомое
число размещений равно С?-Рд-Лр1'. Как и полагается,
найденная нами формула при r<.q я при г>р дает 0.
• *) Несмотря на то, что это число тоже равно фП1 n B ,
удобно отдельно осознать наличие в своем арсенале этой формулы,
так как многие задачи гораздо естественнее укладываются в „схему
распределений по ящикам", чем в „схему кортежей с повторяющи-
повторяющимися компонентами",

i 3] комБЙНАТОРИкА lO?
Равенство (8) позволяет записать ответ более компактно:
Ar-ArpZQq. Назовем первое изложение изложением „на пер-
первом уровне подробности".
Второе изложение. Пусть A — {av, a2, ..., ар},
Df
B = {ai, a2, ..., aq) — множество выделенных элементов,
С = А \ В — множество „невыделенных" D = {1,2, ..., г},
Df Df
. Е — множество ^-элементных подмножеств множест-
множества D, F — множество перестановок над множеством В,
G — множество размещений длины г — q над множест-
множеством С, Н = Е х F X G, / — множество размещений длины
Df
г над множеством А, в каждом из которых, в качестве
компонент, имеется каждый из элементов множества
В, т. е. множество, число элементов которого надо
сосчитать. Можно установить взаимно однозначное со-
соответствие между множествами / и Н, поэтому мно-
множество / имеет столько же элементов, сколько мно-
множество Н, т. е. Cr-Pg-Arpll элементов. Назовем второе
изложение изложением „на втором уровне подробности".
Третье изложение, или изложение „на третьем
уровне подробности'1, отличается от изложения „на втором
уровне подробности" тем, что декларированное во втором
изложении „можно установить" в третьем изложении
действительно осуществляется. Итак, установим взаимно-
взаимнооднозначное соответствие между lv.fi. Возьмем произ-
произвольное размещение сс?/. Поставим ему в соответствие
тройку ст = (/(, р, у), где К — множество номеров тех
Df
компонент кортежа а, которые являются элементами
множества В (т. е. выделенными элементами), р —пере-
—перестановка над В, которая получается из а выбрасыванием
всех элементов из С (т. е. невыделенных элементов) и стя-
стягиванием, с сохранением взаимного порядка, остальных
элементов, и Y — размещение над С, которое получается
из а выбрасыванием всех элементов из Б и стягиванием,
с сохранением взаимного порядка, остальных элементов.
Если, например, р = 5, q — 2, г = 4и а = (а5, а2, а3, а4),
то К = {2,4}, р = <а2, а,}, у ==¦ (а5, а3). Очевидно, erg Я.
Пусть теперь кортежу а4 ? / соответствует тройка

108 КОРТЕЖ [Гл. Ill
<т± = (/Ci-, Pi, Yi)> кортежу a2g/ соответствует тройка
Df
a2 = (/B, Р2, Y2> и «i =? a2. Докажем, что cjj ф о2. Если
Df
/Ct =? Кг, ai Ф а2- Если Pi # p2, ai ф а2. Допустим, что
К1 — К2 и Pi = P2- Докажем, что тогда ух Ф у2. Так как
а4 ф а2 и кортежи сц, а2 имеют одинаковую длину, по
крайней мере одна из компонент кортежа а4 отлична от
компоненты кортежа <х2 с тем же номером. Обозначим
через s любое такое число, что s-я компонента кортежа а4
отлична от s-й компоненты кортежа а2. Так как Ki = К2
и Pi = Р2, s-я компонента как кортежа сц, так и
кортежа сс2 принадлежит С. Поскольку в кортежах сц,
a2 левее s-й компоненты одинаковое число элементов
из В, а на s-x местах стоят разные элементы из С,
Yi Ф Тг- Возьмем, наконец, произвольную тройку ст —
Df
(К, Р, Y) из Н• Пусть a — такой кортеж над А длины г,
у которого на местах с номерами из К стоят — в том же
порядке, что и в Р — элементы из В, а на остальных г — q
местах стоят — в том же порядке, что by — те элементы
из С, которые являются компонентами размещения Y-
Очевидно, что a ? / и что в нашем соответствии кортежу a
соответствует как раз о. Доказательство закончено.
Сделаем два близких по содержанию принципиальных
замечания. Является ли изложение „на первом уровне
подробности" доказательством или оно является чем-то
вроде „идеи доказательства"? Во-первых, подобный же
вопрос можно поставить и по поводу второго и третьего
изложения. Во-вторых, ни на какой из этих вопросов
нельзя дать однозначного ответа, так как у нас нет строгого
понятия доказательства, нет определения термина «дока-
«доказательство». Современная математика умеет уточнять поня-
понятие доказательства, делать его более строгим. Однако
в нашем изложении мы останемся на том уровне употреб-
употребления этого понятия, на котором века стояло и чаще всего
и сейчас стоит большая часть математиков. Доказа-
Доказательство — это рассуждение, которое убеж-
убеждает. Этой не очень определенной концепции в боль-
большинстве случаев оказывается достаточно.
Второе замечание. Являются ли три наших изложения
тремя разными решениями'одной и той же задачи или тремя

§ 3] КОМБИНАТОРИКА ] 09
разными изложениями одного и того же решения? Оче-
Очевидно, до тех пор, пока у нас не уточнено понятие решения,
до тех пор, пока не определено, что такое „одинаковые"
и что такое „разные" решения, поставленный вопрос являет-
является схоластическим и никакого однозначного ответа не
допускает. Как ясно из написанного выше, в данном кон-
конкретном случае мне больше импонирует считать их тремя
разными изложениями одного решения. Это замечание сле-
следует иметь в виду и впредь, когда будет говориться о „раз-
„разных решениях" и „разных изложениях".
Ниже, после задачи 6, будет указано второе решение
задачи 5 (которое также можно изложить „на трех уровнях
подробности"). Любопытно, что если в условии задачи 5
слово „размещений" заменить на слово „кортежей", задача
сразу станет намного более трудной. Попробуйте решить!
Задача 6. Каким числом способов на собрании,
на котором присутствует п человек, может быть выбран
президиум, состоящий из председателя, секретаря и еще
k — 2 человек? Президиумы, состоящие из одних и тех же
k человек, но имеющие разных председателей или разных
секретарей, считаются, разумеется, разными президиумами.
Несмотря на то, что эта задача явно легче предыдущей,
ее трудно, по-видимому, решить по „схеме прямого произ-
произведения". Мы решим ее по „схеме разбиения на классы".
Дадим два изложения решения: на первом и на втором
уровне подробности.
Первое изложение. Из л человек президиум
в k человек можно выбрать С* способами. Из каждого
президиума председателя и секретаря можно выбрать А\
способами. Следовательно, искомое число президиумов
равно Chn-A\.
Второе изложение. Обозначим множество пре-
президиумов, число элементов которого надо сосчитать, через А.
Разобьем множество А на подмножества, или, как мы пред-
предпочтем в подобных случаях говорить, на классы, последую-
последующему принципу: два президиума мы отнесем в один класс,
если они состоят из одних и тех же k человек (и следователь-
следовательно, отличаются только председателем или секретарем).
Легко установить взаимно-однозначное соответствие между
множеством Ш классов и множеством fe-элементных подмно-
подмножеств «-элементного множества людей, присутствовавших

110 КОРТЕЖ [Гл. Ill
на собрании. Следовательно, в множество Ш входит
С* элементов-классов. Рассмотрим произвольный класс
из Ш. Президиумы этого класса состоят из одних и тех
же k человек и отличаются только председателем или
секретарем, причем все президиумы, состоящие из тех
же k человек, входят в рассматриваемый класс. Легко
установить взаимно-однозначное соответствие между рас-
рассматриваемым классом президиумов и множеством разме-
размещений длины 2 над множеством из тех k человек, из которых
состоят президиумы рассматриваемого класса. Следователь-
Следовательно, в рассматриваемый класс входит А\ президиумов. Но мы
рассматривали произвольный класс из Ж. Значит, в каждый
класс из 2К входит А\ президиумов. Итак, мы разделили
множество Ш на С„ (непересекающихся!) классов, в каж-
каждый из которых входит А\ президиумов. Следовательно,
всего в Ш входит С*-А\ президиумов.
Метод „разбиения на классы" является одним из глав-
главных методов решения комбинаторных задач. Например,
предыдущую задачу также можно было решать „разбиени-
„разбиением на классы", разбивая множество размещений / (я сохра-
сохраняю обозначения второго изложения) на классы таких
размещений, в которых элементы из В стоят на одинаковых
местах (всего будет С' классов), и разбивая затем каждый
класс на подклассы таких размещений, в которых элементы
из В на „местах своего класса" стоят в одинаковом порядке
(в каждом классе будет Pq подклассов, в каждом подклас-
подклассе ApZ' размещений). Можно также ухитриться решить
задачу 5 одним разбиением, обойдясь без подклассов (см.
более компактную форму ответа: Ai-AT^l3q в конце первого
изложения). Иногда, когда приходится при решении мно-
много раз разбивать на классы, подклассы и т. д., трудно
обойтись рафинированной математической терминологией
(классы, подклассы). В этих случаях приходится привле-
привлекать более вольную терминологию.
Задача 7. Найти число таких раздач 36-карточной
колоды четырем игрокам: А, В, С, D по 9 карт, при которых
у игрока А — а пик, у игрока В — b пик, у игрока С — с
пик и у игрока D — d пик. (Следовательно, а + b -\-с +
-\- d — 9.) Изложим решение этой задачи сразу на втором
уровне подробности.

§ 3] КОМБИНАТОРИКА 1 11
Обозначим множество раздач, число элементов кото-
которого надо сосчитать, через К. Разобьем множество К
на „улицы", относя две раздачи к одной „улице", если
при этих раздачах А имеет одни и те же а пик. „Улиц"
будет Cg. Фиксируем произвольную „улицу". Разобьем
ее на „кварталы", относя две раздачи рассматривае-
рассматриваемой „улицы" к одному „кварталу", если при этих раз-
раздачах А имеет одинаковые карты. Так как во всех раз-
раздачах рассматриваемой „улицы" у А а карт одни и те же
(пики), а остальные 9 —а карт — не пики, „кварталов"
в рассматриваемой „улице" будет С1б-о = С1т~а. Итак,
в каждой „улице" С\^а „кварталов". Следовательно,
всего С%-С1т~а „кварталов". Фиксируем произвольный
„квартал". Разобьем его на „дома", относя две раздачи
рассматриваемого „квартала" к одному „дому", если
при этих раздачах В имеет одни и те же Ь пик. Так как
во всех раздачах рассматриваемого „квартала" у А
а пик одни и те же (и даже все 9 карт одни и те же),
„домов" в рассматриваемом „квартале" будет С\-а- Итак,
в каждом „квартале" С\-а „домов". Следовательно, всего
С%-С\^а-С\-а „домов". Фиксируем произвольный „дом".
Разобьем его на „квартиры", относя две раздачи рас-
рассматриваемого „дома" к одной „квартире", если при этих
раздачах В имеет одинаковые карты. Так как во всех
раздачах рассматриваемого „дома" у А одни и те же
9 — а не пик (как, впрочем, и остальные а пик), а у В
одни и те же Ь пик, „квартир" в рассматриваемом „доме"
будет ClfJ?(9-n) = Ci8+o- Итак, в каждом „доме" \*
„квартир". Следовательно, всего С1-С\^а -Cg-a-+
„квартир". Фиксируем, наконец, произвольную „квар-
„квартиру" и разобьем ее на „комнаты", относя две раздачи
рассматриваемой „квартиры" к одной „комнате", если
при этих раздачах С имеет одни и те же с пик. Так
как во всех раздачах рассматриваемой „квартиры" А
имеет одни и те же а пик и В имеет одни и те же b пик
(впрочем, остальные 9 —а карт у Л и 9 — Ь карт у В
во всех раздачах рассматриваемой „квартиры" тоже одни
и те же), „комнат" в рассматриваемой „квартире" будет
С1-(а+ь) = Сд-а-ь- Итак, в каждой „квартире" С§_<,_,,

112 КОРТЕЖ [Гл. Ill
„комнат". Следовательно, всего Сд • С\^а ¦ Сд_а • С? Г+а • Су _«_ь
„комнат". Фиксируем произвольную „комнату". Во всех
раздачах рассматриваемой „комнаты" у Л и В —одни
и те же карты (в частности, одни и те же 9 — а и 9—b
не пик) и одни и те же с пик у С. Легко установить
взаимно-однозначное соответствие между рассматриваемой
„комнатой" раздач и множеством (9 —с)-элементных
подмножеств множества из 27 — [(9 — а) + (9 — Ь)\ — Э-^-а+б
не пик (тех не пик, которые входят в раздачи игроков С
и D в рассматриваемой „комнате"). Значит, в каждой
„комнате" Cg+a+ь раздач. Следовательно, всего раздач
во всех „комнатах", т. е. в множестве К
С а ^д—а /->!) /о9 —Ь /->с /°9—с
д-Ь27 -1->9-а-Ь18 |-а - ^fl-а-Ь - Ьд+а+Ь-
Впрочем, решая задачу по-другому, можно по „схеме
прямого произведения" сразу получить ответ
$а, Ь, с, d-^Э-а, 9-Ь, 9-с, 9-<1-
В двух предыдущих задачах при разбиении на классы
каждый класс состоял из одинакового количества под-
подклассов, каждый подкласс —из одинакового количества
подподклассов и т. д. Поэтому мы числа классов и под-
подклассов в классе перемножали. В противном случае умно-
умножение уступает место сложению.
Задача 8. Из коллектива, в который входит s
мальчиков и s девочек, надо выбрать делегацию из рав-
равного количества мальчиков и девочек (количество маль-
мальчиков и, равное ему, количество девочек в делегации
может быть любым —от 0 до s; крайние случаи: 0 и s —
также не исключаются). Каким числом способов это
можно сделать?
Разобьем множество А делегаций на классы, относя
две делегации к одному классу, если в них одинаковое
количество мальчиков (и, следовательно, одинаковое
количество девочек). Поскольку возможное число маль-
мальчиков в делегации равно, любому числу от 0 до s, клас-
классов будет s+1. Фиксируем произвольное i: 0<i<s
и рассмотрим класс, в который входят делегации с i
мальчиками и i девочками. Легко установить взаимно-
взаимнооднозначное соответствие между рассматриваемым клас-

§ 4] ПРОЕКЦИЯ 113
сом делегаций и прямым произведением В х С мно-
множества В /-элементных подмножеств s-элементного
множества мальчиков и множества С i-элементных
подмножеств s-элементного множества девочек. Сле-
Следовательно, в рассматриваемом классе (С1)г делегаций.
В классе, в который входят делегации с i мальчиками
(и i девочками), (С»J делегаций. Это верно для любого/
S
от 0 до s. Значит, всего в множестве А 2 (СеJ Деле-
гаций.
Решая задачу по другой логической схеме, можно
сразу получить ответ в другой форме: Cls-
Следовательно, для любого s имеет место такое „ком-
„комбинаторное равенство":
2(С*J = С328. A5)
i=0
Равенство A5) можно, конечно, доказать и по-дру-
по-другому. Путь доказательства „комбинаторных равенств"
при помощи двух решений какой-нибудь специально
подобранной комбинаторной задачи является чрезвы-
чрезвычайно плодотворным и очень изящным путем.
На этом я закончу рассмотрение отдельных комби-
комбинаторных задач. Рассматривая их, я ни в малейшей сте-
степени не ставил себе целью перечислить все типы ком-
комбинаторных задач или указать какой-нибудь универсаль-
универсальный метод решения любой комбинаторной задачи, что,
конечно, невозможно. Я хотел лишь указать некоторые
важные виды рассуждений и доказательств, полезные
в комбинаторике.
§ 4. Проекция
Введем еще одну операцию над множествами — опе-
операцию проектирования. В отличие от ранее введенных
операций, эта операция будет одноместной: она будет
применяться не к двум множествам, не к парам мно-
множеств, а к одному отдельно взятому множеству. Кроме
того, эта операция не всегда, не к любому множест-
множеству будет применима: она будет применима только к
8 ю. Д. Щиханович

114 КОРТЕЖ [Гл. Ill
множествам кортежей одинаковой длины. Проекция мно-
множества определяется через проекцию кортежа.
Определим понятие „проекция кортежа". Определение
будет многоступенчатым.
I. Пусть а = (йц а2, .. ¦, as)— кортеж длины s>0.
Df
1) Пусть l<i<;s. Проекцией кортежа а на i-ю ось
называется и через пр;а обозначается i-я компонента
кортежа а, т. е. аг. Таким образом,
a,. A)
2) Пусть 2<<7<s и I<<i<t2<...<te-i<te<s.
Проекцией кортежа а на оси с номерами it, i2, ¦ ¦., iq-u h
называется и через npjb i2 i а обозначается кортеж
<flii» ai2i • ¦ ¦, a^ >. Таким образом,
npii.i,. ...,iga = <aii. «Hi. ...,flfg>. B)
3) Проекцией кортежа a «a пустое множество осей
называется и через пр#а обозначается пустой кортеж Л.
Таким образом,
пр^а = Л. C)
Df
II. Проекцией пустого кортежа Л на пустое множе-
множество осей называется и через пр^Л обозначается пустой
кортеж Л. Таким образом,
пр^Л = Л. D)
Df
Определения 13 и II можно, конечно, объединить. Проек-
Проекцией произвольного кортежа а (пустого или нет) на пу-
пустое множество осей называется и через пр^а обозна-
обозначается пустой кортеж Л. Таким образом, для любого
кортежа а, в том числе и для пустого, имеет место C).
Если, например,
а = <1, 3, 2, 3, 5, 4),
Df
топр1а=1,пр2а=пр4а==3;пр1,за=A, 2), npi, 2a=npli4a=
= A,3), пр2)ва= C, 4); выражение првJа смысла
не имеет и ничего не обозначает! Выражения пр2,8, ea

I 4l ПРОЕКЦИЯ 115
или пр2) 7а также смысла не имеют. Отметим еще, что
"Pi, г, з, 4,5, ва = а- И вообще, если а — кортеж длины
s>0, то
npi, 2, з ва = а.
Определим теперь понятие „проекция множества".
Как уже было указано выше, это понятие нами будет
определено только для того случая, когда проектируемое
множество состоит из кортежей, причем все эти кортежи
имеют одинаковую длину. Хотя мы вынуждены опре-
определить понятие проекции множества по столь же много-
многоступенчатой схеме, как и понятие проекции кортежа,
суть его не формально можно выразить очень коротко:
проекция множества М — это множество проекций корте-
кортежей из М. Дадим теперь формальное определение.
I. Пусть М — множество кортежей длины s>0.
1) Пусть 1 < i < s. Проекцией множества М на i-ю ось
называется и через пр(/И обозначается множество проек-
проекций кортежей из М на i-ю ось.
2) Пусть 2<?<s и I<ti<t2< ... <t,-i<t,<s.
Проекцией множества М на оси с номерами t4, i2, ...
..., iq-i, iq называется и через пр!ь{г ^ М обозна-
обозначается множество проекций кортежей из М на оси с но-
номерами tj, 12, . . . , iq. ¦
3) Проекцией множества М на пустое множество
осей называется и через пр^М обозначается множество
проекций кортежей из М на пустое множество осей.
II. Пусть М — множество кортежей длины 0, т. е.
множество пустых кортежей (это не означает, что М = {Л}—
см. ниже). Проекцией множества М на пустое множе-
множество осей называется и через пр^М обозначается множе-
множество проекций кортежей из М на пустое множество осей.
Как и выше, определения 13 и II можно объединить.
Проекцией произвольного множества М кортежей длины s
(s > 0) на пустое множество осей называется и через пр^УИ
обозначается множество проекций кортежей из М на пу-
пустое множество осей.
Согласно нашему словопониманию, пустое множество 0
является множеством кортежей длины 0, множеством
кортежей длины 1, множеством кортежей длины 2 и т. д.
Поэтому для любого натурального числа i осмысленно
8*

Н6 КОРТЕЖ Сгл. Ill
выражение npj0; для любых q(q>2) натуральных чисел
hi hi ¦ • •» iq таких, что ii<i2< • • ¦ <iq, осмысленно
выражение пргь г2 ( 0; осмысленно также выраже-
выражение пр^0. Легко видеть, что, грубо говоря, пр0 — 0.
Точнее
0, E)
Прн,г2 гд0 = 0, F)
0. G)
Если в F) допускать q = 1, то E) будет частным слу-
случаем F). Рассмотрим второй крайний случай: проекцию
на пустое множество осей. Очевидно, если МФ0, то
пррМ = {Л}. В частности, когда М~не пустое множе-
множество кортежей длины 0, т. е. УИ = {Л}, также пр^М = {Л}
(см. D)). Если же М—0, то пр^М = 0 (см. G)). Итак,
DI
({Л}, МФ0,
i 0, м=0. (8)
В равенстве G) „скрещиваются" оба крайних случая.
Пусть для примера
= {{\, 2, 3, 4, 5), B, 1, 3, 5, 5), C, 3, 3, 3, 3),
Df
C,2, 3,4, 3), (а, Ь, а, 1, а)}.
Тогда пр2М = {2, 1, 3, Ь}\ пр2LМ-{B, 4), A, 5), C, 3),
ф, 1)}; выражение пр4, %М смысла не имеет и ничего
не обозначает! Не верно, в частности, что пр4, гМ = 0.
Выражения пр2,5, вМ и пр2) вМ также смысла не имеют.
Отметим еще, что nplt г, з, 4Г ъМ = М: И вообще, если
М — множество кортежей длины s>0, то
npi, 2,3 ,М — М.
Если М = {<1, 2, 3, 4, 5>, B,1,3,5,5), C,3,3,3)}, то
Df
выражения пр2М, пр2, Jti и т. д. смысла не имеют (!),
так как понятие проекции множества определялось у нас
только для того случая, когда проектируемое множество

4]
ГПЮЁКЦИЯ
состоит из кортежей одинаковой длины. Если а=B,1,3,5,5)
Df
иМ = {а}, то пр2,4а - <1. 5), np2j 4УИ — {A, 5)}. Разумеется,
не верно, что пр2,4а = пр2, ,М-
Отметим еще такое тривиальное утверждение:
<'€пРп, i2, • ¦.', г М тогда и только тогда, когда суще-
существует такое ?>?М, что а —
= пРн, t2, • • •, г Р; аналогично —
для проекций на одну ось.
Пусть М — произвольное
множество, s > 2. Тогда мно-
множество М* состоит из кортежей
длины s и, следовательно, его
можно проектировать. Легко
видеть, что для любого нату-
натурального числа i такого, что
ч - М;
(9)
Рис-
для любых q(q>2) натуральных чисел iui2,...,iq
таких, что 1 ^ij<c t'2< .. • <iq^s,
npllll2 i(M*=M>. A0)
В тех же обозначениях
если А^М3, то пргЛ^М, A1)
если ДеМ8, то пргь г2 i A^Mq.
Ma рис. 10 показано множество Л = О2и его проекции
па первую и вторую оси.
ЗАДАЧИ
1. Пусть А и В — множества кортежей длины s и
1 <i' ¦ • • < i'g^s. Доказать или опровергнуть, что
B,
В.
a) nplllla i,iH
Ь) ПРг,, it iq (A f\B) = ПРгь i2 i.
С) Пр;ь i2 iq (A\ В) = Пр;ь h iq

118 КОРТЕЖ tr-л. Ш
2. Пусть М— произвольное множество и s — целое
неотрицательное число. Найти необходимое и достаточное
условие для
3. Чему равно пр2,4 (Mt х М2 х М3 X М4 х М5)?
4. Доказать или опровергнуть, что
a) п$1(АхВ) = А,
b) пр2(АхВ) = В,
c) если С s Л х В, то npjC s Л,
d) если Cs Ax В, то пр2С s В.
5. Чему равно число всевозможных проекций (на лю-
любое число осей) кортежа длины s?
6. Чему равно число всевозможных проекций разме-
размещения длины s?
7. Чему равно число проекций конечного множества
кортежей длины s на заданные оси?
§ 5. График
Одним из важнейших понятий является понятие
графика. Оно будет очень интенсивно использоваться
в гл. V-VII.
График — это множество пар, т. е. множество, каждый
элемент которого является парой. Еще раз, по-другому:
множество Р называется графиком, если каждый его эле-
элемент есть пара.
Графиками, например, являются множества 0 (пустой
график), {(а, Ь}}, {(а, 1), @, Ь), B, Л), C, 3)}. Если
М — произвольное множество, то Мг и любое CsM2
являются графиками. В частности, графиком является
множество D2 и любое его подмножество. На рис. 11 — 16
изображены примеры графиков, являющихся подмноже-
подмножествами множества D2. Из этих рисунков видно, что наше
понятие графика является обобщением известного из школы
понятия графика функции*). Если А и В — произвольные
*) Еще более „видно" это станет в гл. V —VI.

$51
ГРАФИК
119
[Рис. 11.
h
X
Рис. 13.
У
"S Т
X
X
Рис. 15
Рис. 16.

120 КОРТЕЖ [Гл. Ill
множества, то А х В и любое С s Л х В являются графи-
графиками.
Областью определения графика Р называется множество
npt P. Областью значений графика Р называется множе-
множество пр2Р*). На рис. 10 изображены область определения
и область значений некоторого графика Л s D2. Областью
определения и областью значений трех приведенных выше
для примера графиков являются соответственно 0 и 0;
{а} и {Ь}; {а, 0, 2, 3} и {Ь, 1, Л, 3}. Легко видеть, что
если Р — график, то
Р^0 *ь пр1Р--0илипр2Р^0. A)
Впрочем, наряду с A), верно также, что
Р=0 =р* пР1Р=0ипр2Р=--0. B)
Введем две операции над графиками. Одна из этих
операций (инверсия графика) будет одноместной, другая
(композиция графиков) — двухместной.
Инверсия графика определяется через инверсию пары.
Пара (с, d) называется инверсией пары (а, Ь), если с=Ь,
d — a. Инверсия пары а обозначается через а (читается:
„а в минус первой"). Таким образом, если а-={а, Ь),
ш
то а~1 = {6, а). Очевидно,
(а-1)-1 = а. C)
Инверсией графика Р называется множество инверсий
пар из Р. По-другому: график Q называется инверсией
графика Р, если ct?Q тогда и только тогда, когда сг^Р.
Инверсия графика Р обозначается через Р. Таким
образом,
P- D)
Верно, конечно, также, что
аЕР^а^еР'1- E)
Полезно дать ещё такую тривиальную переформулировку:
agP тогда и только тогда, когда существует такое
*) Словосочетания „область определения", „область значений"
уже употреблялись нами в § 2 гл. I как часть других терминов,

§ 5] ГРАФИК 121
f}?P, что а = р~1. Из C) вытекает, что
(Р-Г' = Р. F)
Легко видеть, что
пр1(Р-1) = пр2Р, G)
np2(P-i)-nPlP, (8)
т. е. область определения инверсии графика Р равна
области значений графика Р и область значений инверсии
графика Р равна области определения графика Р.
График Р называется симметричным, если он наряду
с любой своей парой содержит ее инверсию, т. е. если
из а?Р всегда следует а?Р- Примерами симметричного
графика могут служить 0, {(а, а)}, {{а, b), (b, а)}. Легко
видеть, что, каково бы ни было множество М, /И2 является
симметричным графиком. Если Р — произвольный график,
то P\JP и Pf]/3 являются симметричными графиками.
Введем одно простое обозначение, которое нам часто
будет полезно в дальнейшем. Пусть М — произвольное
множество. Обозначим через Ам множество пар вида
(х, х), где х пробегает все множество М. Таким образом,
А0==0; если М = {а}, Ам = {(а, а}}; если М = {а, Ь),
Df Ш
Ам = {(а, а), {Ь, Ь)}. Очевидно, Ам s УИ2. Множество Дм
является графиком, причем симметричным графиком.
Множество ¦ Ам мы будем иногда называть диагональю
(множества М или множества УИ2 — на выбор читателя).
Слово „симметричный" в термине „симметричный
график" вызвано следующим. Легко доказать, что если
a?D2, то точки на координатной плоскости, изображаю-
изображающие пары а и а, симметричны относительно прямой у =-- х.
Отсюда вытекает, что график Р s D2 тогда и только
тогда является симметричным графиком, когда соответ-
соответствующее множество точек на координатной плоскости
симметрично относительно прямой и — х. Отсюда вытекает
также, что инверсия Р'1 графика Р s D2 получается
зеркальным отражением графика Р в прямой у — х.
Многие свойства произвольных симметричных графиков
легко усматриваются на координатной плоскости.

122 КОРТЕЖ [Гл. Ill
Легко видеть, что для графика Р
Р — симметричный =Ft P = P, (9)
Р — симметричный ч=ь Р — симметричный. A0)
Перейдем к операции композиции. График R называется
композицией графиков Р uQ, если {х, y)?R тогда и только
тогда, когда существует такое z, что (х, z)?P и (г, i/NQ.
Композицию графиков Р и Q мы будем обозначать через
PoQ (читается: «„пэ" кружочек „ку"» или, короче,
«пэ — ку») *). Переход от графиков Р, Q к их композиции
PoQ мы будем также называть компонированием графи-
графиков Р и Q. Если, например,
Р = {(а, а), (а, Ь), (а, с), ф, Ь), (с, Ь), (с, с)},
ы
Q = {(a, b), (а, с), (с, а), (с, с)},
то PoQ = {(a, b), (а, с), (а, а), (с, а), (с, с)}. Очевидно,
PoQ=0=ptnp2Pnnp1Q=0. A1)
Следовательно, для любого графика Р
Ро0 = 0°Р = 0. A2)
Если М — произвольное множество и Р^М2, то
РоАм = АмоР = Р. A3)
Если композицию графиков сопоставить с умножением
чисел, то роль нуля в этом „умножении" будет, в силу A2),
играть пустой график 0, роль, аналогичную роли еди-
единицы, в силу A3),—диагональ Ам- Сходство усиливается
свойством A4) —„умножение" графиков ассоциативно.
Легко доказать, что для любых трех графиков
(PoQ)o# = Po(Qofl). A4)
Определение композиции графиков давалось сначала для
двух графиков. Равенство A4) позволяет определить ком-
композицию РоQоR трех графиков, понимая под P°Q°R
результат любой расстановки скобок, приводящей к после-
последовательному попарному компонированию графиков. Таких

5] ГРАФИК 123
расстановок скобок в данном случае (когда компонируются
три графика) возможно только две. В силу A4) они при-
приводят к одинаковому результату. Оказывается, аналогич-
аналогичное утверждение верно и для любого (конечного) числа
графиков. Индукцией по л докажем, что при любом п>3
результаты двух произвольных расстановок скобок в выра-
выражении Pj о Р2 о ... о Р„, приводящих к последовательному
попарному компонированию графиков, дают один и тот же
график.
Базисом индукции (я = 3) является утверждение A4).
Допустим (предположение индукции), что для некоторого
/1>3и для всех k: 3<&<л наше утверждение верно*).
Докажем, что тогда оно верно и для п + 1. Для того чтобы
доказать, что результаты двух произвольных расстановок
скобок в выражении Pt о Рг о ... о Рп о Рп+1 **) дают один
и тот же график, введем вспомогательное понятие. Назо-
Назовем простейшей расстановкой следующую расстановку
скобок:
(...(((Р1оР2)оР3)оР4)о...)оРп.
Если мы докажем, что произвольная расстановка скобок
в выражении Р4 ° Р2 °... ° Рп ° Pn+i дает то же самое, что
и простейшая расстановка скобок, тем самым, очевидно,
все будет доказано. Итак, пусть в выражении Pi°P о...
... о Рп о Рп+1 произвольно расставлены скобки. Обозначим
выражение Рх°Р2° . •. °Рп°Pn+i с фиксированной нами
исходной произвольной расстановкой скобок через
Pi о Ра о . . . о Р„ о Р„+1.. A5)
<—. *
Очевидно, выражение A5), в зависимости от того, где
„в последний раз" расставлены скобки, имеет один из трех
нидов:
(P1o...oP;)°(Pm°...oPn+1), A6)
где 1 < / < п — 2,
(Р1о...оРп_1)о(Р„оРп+1) A7)
*) Это так называемая возвратная индукция (см. § 8 раздела Б).
**) Слова „приводящих к последовательному попарному компони-
компонированию графиков" здесь и далее будем подразумевать.

124 КОРТЕЖ [Гл. Ш
= п— 1) или
(Pt о ... о Рп) о Рпп • A8)
(/ = «). Рассмотрим отдельно эти случаи.
В случае A6) сначала, используя предположение ин-
индукции, заменим (Рг+1 ° ... ° Рп+1) на простейшую расста-
расстановку скобок: ((... (Pi+i о Pi+2) ° •..) ° Рп) ° Pn+i- Так как
в „правой скобке" выражения A6) меньше, чем п-\-\
графиков (/>1), предположение индукции применимо.
Таким образом, график A6) равен
(Р, о ... oPt) о [((... (Р/+, о Р1+2) о . . . ) о Р„) о Р„+1]. A9)
В силу A4), где P = (Pj о ... Op,),-Q== ((... (Pm°Pi+2)°.,.
Ш I 1 Dt
• ••H^™)» R = Pn+i, график A9) равен
[(Pt />,).((„. (Ржо Рг+2) о .. .)орп)] о р„+1. B0)
В левой квадратной скобке выражения B0) компонирует-
ся п графиков. Следовательно, по предположению индукции
результат их компонирования равен результату простей-
простейшей расстановки скобок: (... ((Р, °Р2) °Рз) ° ¦ ¦ ¦) °Рп-
Значит, график B0) равен
[(...((PioP2)oP3)o...)oPn]oPn+1. B1)
Но B1) есть простейшая расстановка скобок.
Случай A7) потребует на одно преобразование меньше.
В силу A4), где P = (P,.....Pn.1I Q^Pn, R = Pn+i,
Df i , Dl Pt
график A7) равен
[(Р1о...оР„-,).Р„]оР„+, B2)
Переход от B2) к B3) абсолютно аналогичен переходу
от B0) к B1). Используя предположение индукции,

§ 5] ГРАФИК 125
утверждаем, что график B2) равен
{(...((Р1°Р2)оР3)о...Hрп]оРпП. B3)
Но B3) есть простейшая расстановка скобок.
Случай A8) требует еще на одно преобразование мень-
меньше. Подобно переходам от B0) к B1) и от B2) к B3),
заменяем, используя предположение индукции, график A8)
на равный ему график
[(...((Р1оР2)оР8)о...)оР„]оРп+1. B4)
Но B4) есть простейшая расстановка скобок.
Наше утверждение полностью доказано. Заметим, что
„возвратность" индукции, верность предположения индук-
индукции не только для п графиков, но и для меньшего числа
графиков мы использовали только один раз, при переходе
от A6) к A9).
Доказанное утверждение позволяет определить компо-
композицию Р1оР2о...оР„ произвольного (конечного) числа
графиков как результат последовательного попарного
компонирования графиков Р1? Р2, ..., Рп при любой
(например, простейшей) расстановке скобок.
Операции композиции к инверсии связаны следующим
равенством:
(PoQ)-i = Q-iop-i. B5)
Отсюда и из только что доказанного утверждения о не-
независимости результата композиции от порядка расста-
расстановки скобок легко следует, что
(Pt о Р2 о . .. о р„)-1 =: р-1 о .. . с р-1 о Р-1. B6)
Рассмотрим два свойства графиков*). График Р назы-
называется функциональным, если в нем нет пар с одинаковыми
первыми и различными вторыми компонентами. График Р
*) Слово „свойство" используется в этой книге в двух смыслах:
как что-то присущее всем объектам данного рода [например, свой-
свойства неравенств (§ 1 раздела Б), абсолютной величины (§ 2 раздела Б),
степеней (§ 3 раздела Б), корней (§ 3 раздела Б)] и как что-то, чем
может обладать или не обладать каждый объект данного рода [напри-
[например, в этом параграфе (график может быть и не быть функциональ-
функциональным, быть и не быть инъективным, быть и не быть симметричным),
в § 2 гл. V, в § 2 гл. VII].

126 КОРТЕЖ [Гл. Ill
называется инъективным, если в нем нет пар с различными
первыми и одинаковыми вторыми компонентами *).
Пустой график 0 и любой одноэлементный график
тривиальным образом функциональны и инъективны. Если
множество М содержит больше одного элемента, то график
/И2 не функционален и не инъективен, график {а}хМ —
инъектйвен, но не функционален, а график М х {а} функ-
функционален, но не инъективен.
Заметим еще, что если график Р функционален и Q s P,
то и график Q функционален (раз в Р нет „запрещенных"
пар, то тем более их нет в Q). Аналогичное утверждение
(по той же причине) верно и для инъективности.
Чрезвычайно полезными будут нам в дальнейшем два
следующих простых утверждения: композиция функцио-
функциональных графиков есть снова функциональный график
(по-другому: композиция сохраняет функциональность),
композиция инъективных графиков инъективна.
Докажем, например, второе утверждение. Мы хотим
доказать теорему: если график Р инъективен и график Q
инъективен, то и график P°Q инъективен. Используем
закон контрапозиции (§ 1 гл. I). Докажем вместо сформу^-
лированной теоремы равносильное ей утверждение: если
график P°Q не инъективен, то не верно, что график Р
инъективен и график Q инъективен. Итак, пусть график
P°Q не инъективен. Тогда в нем есть пары с различными
первыми и одинаковыми вторыми компонентами. Пусть это
будут пары ф, а),(с, а). Имеем
(b,a)eP°Q, B7)
(c,a)ePoQ, B8)
b Ф с. B9)
*) Введенные термины удобно запомнить при помощи рисунков.
Функциональный график —это график, не содержащий пар вида ^
(функция не должна на одном элементе принимать более одного
значения—см. § 2 гл. V и § 1 гл. VI). Инъективный график — это
график, не содержащий пар вида

§ 6] График 12?
Из B7) и определения композиции следует, что существует
такое d, что
{ь, d)ep, (зо)
(d, a>6Q. C1)
Аналогично из B8) получаем, что существует такое е, что
(С е)?Р, C2)
(е, a)€Q- C3)
Если d — е, B9), C0) и C2) влекут, что график Р не инъек-
тивен. Если d Ф е, то C1) и C3) влекут, что график Q
не инъективен.
Композиция сохраняет , как функциональность, так
и инъективность. Инверсия переводит функциональный
график в инъективный и наоборот. Более того, график Р
функционален тогда и только тогда, когда график Я
инъективен. График Р инъективен тогда и только тогда,
когда график Р~х функционален. Оба эти утверждения
становятся очевидными, если вспомнить указанное в сноске
на стр. 126 „рисуночное определение" функциональности
и инъективности. Доказательство оставляем читателю.
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что для любых графиков Р, Q
а)
Ь)
c) (PXQr^P-^Q-1,
d) если Р s Q, то Р s Q.
2. Доказать, что для любых множеств А, В
(А х В)-1 = В х А.
3. Доказать или опровергнуть, что для любых графи-
графиков Р, Q, R
а)
b)
c) (\) ()\()
d) если PsQ, то PoR<=QoR.

128 кортеж I'Cn. iii
4. Доказать или опровергнуть, что для любых графи-
графиков Р и Q
5. Исследовать, как операция композиции влияет
на свойство симметричности графика (т. е., например,
доказать или опровергнуть, что композиция симметричных
графиков симметрична).
6. Верно ли утверждение, что любой график Р является
.подмножеством прямого произведения А х В двух каких-то
множеств А и В?
7. Что можно сказать о числе элементов композиции
двух конечных графиков?
8. Доказать, что для любого множества М

ГЛАВА IV
АЛГЕБРА ЛОГИКИ
§ 1. Высказывание
В главе I был введен и по мере сил разъяснен термин
„высказывание" и определен термин „высказывательная фор-
форма". Там же мы ввели объединяющий слова „истина" (сокра-
(сокращенно—„в"), „ложь" (сокращенно — „л") термин „истин-
„истинностное значение" и условились значением выска-
высказывания считать его истинностное значение. Тем самым
мы сделали равносильными все истинные высказывания
и, отдельно, все ложные высказывания.
Переменную, в область значений которой входят только
высказывания (впрочем, лучше сказать, не высказывания,
а истинностные значения:», л), мы будем называть выска-
зывательной переменной. Высказывания и высказыватель-
ные переменные мы будем в основном обозначать пропис-
прописными латинскими буквами, высказывательные формы —
прописными готическими буквами. Любая высказывательная
переменная А является, конечно, высказывательной формой.
Рассмотрим важнейшие операции над высказывания-
высказываниями х). Большую часть этих операций мы уже рассматривали
в § 1 гл. I, не вводя для них специального термина и обо-
обозначения.
Отрицание высказывания А обозначается ~\А и озна-
означает высказывание, имеющее истинностное значение, про-
противоположное к истинностному значению высказывания А
(см. табл. 1). Таким образом, пЛ истинно, если А ложно,
и нЛ ложно, если А истинно. Отрицание ~lA высказы-
высказывания А означает то же, что высказывания „не Л", „невер-
„неверно, что Л", „Л ложно". Операция отрицания соответствует
логическому союзу „не".
9 Ю. А. Шиханович

130
АЛГЕБРА ЛОГИКИ
[Гл. IV
Конъюнкция высказываний А к В обозначается А & В
и означает высказывание, истинное в том и только в том
случае, когда истинно каждое из высказываний А и В
Таблица 2
Таблица 1
А
и
Л
л
а
А
и
и
л
л
в
и
л
а
л
А&В
и
Л
л
л
A\JB
и
а
л
.А^В
а
л
и
0
А^В
и
л
л
и
(см. табл- 2). Конъюнкция А&В высказываний А и В
означает то же, что высказывания „Л и 5", „оба высказы-
высказывания А и В истинны". Операция конъюнкции соответству-
соответствует логическому союзу „и".
Дизъюнкция высказываний А я В обозначается А у В
и означает высказывание, истинное в том и только в том
случае, когда истинно хотя бы одно из высказываний.
А и В (см. табл. 2). Дизъюнкция A \J В высказываний А
и В означает то же, что высказывания „А или 5", „хотя
бы одно из высказываний А и В истинно". Операция дизъ-
дизъюнкции соответствует логическому союзу „или" *).
Импликация высказываний А и В обозначается А -*¦ В
и означает высказывание, ложное в том и только в том
случае, когда посылка А истинна и заключение В ложно
(см. табл. 2). Импликация А-*• В высказываний А и В
означает то же, что высказывания „если А, то В", „из. Л
следует Ви, „А влечет В". Высказывание А -*¦ В читают
также „А имплицирует В". Операция импликации соот-
соответствует логическому союзу „если..., то" *).
Эквиваленция высказываний А я В обозначается А =р*= В
и означает высказывание, истинное в том и только в том
случае, когда высказывания А и В имеют одинаковое
истинностное значение (см. табл. 2) **) 2). Эквиваленция
А *± В высказываний А я В означает то же, что высказы-
*) Употребляемому
ван в § I гл. I.
•) Знак
в том смысле, который был зафиксиро-'
" мы ввели еще в § I гл. I.

§ 1] ВЫСКАЗЫВАНИЕ 131
вания „Л тогда и только тогда, когда В", „Для того, чтобы
А, необходимо и достаточно, чтобы В".
Таблицы 1, 2 и им подобные называются истинностны-
истинностными таблицами.
Операция отрицания — одноместная, операции конъ-
конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции — двух-
двухместные. Впрочем, определения конъюнкции, дизъюнкции
и эквиваленции естественно обобщаются на любое (конеч-
(конечное) число высказываний. Конъюнкция высказываний
Ль Л2, ¦ • ., Ап обозначается Ai & Л2 & . . .&Л„ и озна-
означает высказывание, истинное в том и только в том
случае, когда истинно каждое из высказываний Аи А2, ...
. . ., Ап. Дизъюнкция высказываний А и -^2. • • •, Ап
обозначается At \J Л2 V - • • V An и означает высказы-
высказывание, истинное в том и только в том случае, когда истинно
хотя бы одно из высказываний Ль Л2, . . . , Ап. Эквива-
ленция высказываний Аи Л2, . . . , Ап обозначается
Ai =pt Л2 з± . . . *± Ап и означает высказывание, истинное
в том и только в том случае, когда высказывания А и А2, ...
. . ., Ап имеют одинаковое истинностное значение. ,
Если А а В —высказывания, то пЛ, А&В, А V В,
А ->В, Л?±В, очевидно, высказывания. Если же хотя бы
одна из букв А и В является высказывательной переменной,
то перечисленные выше выражения являются высказыва-
тельными формами. Рассмотрим теперь, например, выра-
выражение
П[(В& 1.4) V 1(СУ ~]А)]. A)
Выражение A) также является либо высказыванием, если
А, В, С — высказывания, либо высказывательной формой,
если хотя бы одна из букв А, В, С является высказыва-
высказывательной переменной. Предположим, что Л, В, С в A) явля-
являются высказывательными переменными и составим истин-
истинностную таблицу высказывательной формы A). При этом
удобно предварительно составить истинностные таблицы
всех высказывательных форм, из которых построена фор-
форма A). Удобно также все эти вычисления свести в одну
таблицу. Результатом является табл. 3. Если бы мы соста-
составили истинностную таблицу для высказывательной формы
(Л & С) V (С & 1 В) V ( Л & 1 В) B)
9*

132
АЛГЕБРА ЛОГИКИ
[Гл. IV
с высказывательными переменными А, В, С, мы бы увиде-
увидели, что высказывательные формы A), B) равносильны.
Метод истинностных таблиц является универсальным
Т а бл и u a 3
А
и
и
и
и
л
л
л
л
в
и
и
л
л
и
tt
л
л
с
и
л
и
л
и
л
tt
л
ч:
л
л
л
л
tt
tt
tt
а
(—
3
л
л
л
л
а
а
л
л
1—
и
и
л
tt
л
а
а
и
а
Г"
>
г
л
tt
л
и
л
л
л
л
о
1—
Г"
•в
аз
Л
и
л
а
и
и
л
л
г~
и
г
js
г
и
л
и
л
л
л
и
и
методом установления равносильности (или не равносиль-
равносильности) высказывательных форм с высказывательными пере-
переменными *).
Остановимся на одном деликатном и хитроумном вопро-
вопросе: Что такое „одинаковые" и что такое „различные" выска-
высказывания? Например, одинаковы или различны выска-
высказывания
2 + 2 = 4, C)
2x2 = 4, D)
22 = 4, E)
4 = 2x2, F)
„дважды два —четыре"? G)
*) Для высказывательных форм с невысказывательными пере-
переменными (см. §§ 2, 3) этот метод, вообще говоря, не годится. Для
таких форм „вычисления", подсчет истинностных значений усту-
уступают место „рассуждениям" (см. § 3).

1] ВЫСКАЗЫВАНИЕ 133
Поставим еще один близкий вопрос: сколько отрицаний
имеет данное высказывание А? Например, для высказы-
высказывания
2 —четное число, (8)
по-видимому, каждое из высказываний
2 не является четным числом, (9)
неверно, что 2 —четное число, A0)
ложно, что 2 —четное число, A1)
2 —не четное число, A2)
2 —нечетное число, A3)
12 — четное число] A4)
является отрицанием. Значит, у одного высказывания
может быть много отрицаний?
Мой ответ на эти вопросы такой. Мы не будем уславли-
уславливаться о том, какие высказывания мы будем считать одина-
одинаковыми, какие — различными. У нас не будет таких поня-
понятий: одинаковые высказывания, различные высказывания.
Отсюда вытекает, что у нас не будут иметь точного
смысла словосочетания вроде „различные высказывания",
„два высказывания", „три высказывания", „сколько отри-
отрицаний", „много отрицаний". Нельзя считать то, к чему
неприменимы понятия „одинаковости" или „различности".
(Сколько идей в данной книге? Сколько капель воды в ста-
стакане?)
В частности, не имеют у нас точного смысла всевозмож-
всевозможные „три теоремы" („теорема" и „высказывание" — почти
синонимы), „три формы одной теоремы", „шесть основных
свойств" (§ 1 раздела Б) и т. п.
Отсюда вытекает также, что, вообще говоря, без допол-
дополнительных соглашений нельзя говорить о множествах
высказываний (но можно, конечно,— о двухэлементном
множестве истинностных значений).
С другой стороны, у нас есть понятие — равносильные
высказывания (§ 2 гл. I). Высказывания C)—G) равносиль-
равносильны. Высказывание (8) истинно. Следовательно, любое ложное
высказывание, в частности (9)—A4), имеет право назы-
называться отрицанием высказывания (8)8).

134 АЛГЕБРА ЛОГИКИ [Гл. IV
Условимся, что знак 1 связывает теснее знаков &, V»
->, =**, =, знаки &, V связывают теснее знаков ->,-?*, ==,
а знаки ->, ч* связывают теснее знака ==. Таким образом,
выражение
~\А& 1В->С= -\(А V В)-*С
означает
Выражения A&B\JC или А-*В**С [в отличие от выра-
выражений (А& В) у С, А&(В\/ С), (А->В)**С, А->(В*±С)}
мы считаем непонятными и недопустимыми.
Приведем примеры наиболее важных „равносильностей"
высказывательных форм с высказывательными перемен-
переменными. Эти „равносильности" показывают, в частности,
важнейшие соотношения между введенными выше логиче-
логическими операциями. Для-удобства обозрения и запоминания
разобьем предлагаемые „равносильности" на четыре группы.
Первая группа
(I) A V В = В у А,
(Н) (А.у В) v с = л v¦ '(в v С) = л v 5 V с,
(III) А У(В&С)зе(А\/ В)&-{А \J С),
(IV) АУ (А&В) = А,
(V) АУА = А. •
Следующие пять равносильностей получаются из (I) —(V)
заменой. V на & и наоборот:
(Г) -A&BssB&A,
(II') (A&B)&C = A&{B&C) = A&B&Ct
(ИГ) А&(В УС) = (А&В) У(А&С),
(IV) А&(А У В) = А,
(V) . А&АшА. .
Сравните зти равносильности с тождествами (I) —(V),
(Г) — (V) из. § 3 гл. II. Мы оставим эту аналогию лишь
в качестве эвристического подспорья. Каждая из равно-
равносильностей (Г) —(V) называется двойственной к соответ-
соответствующей из равно,сильностей (I) —(V).

§ 1] ВЫСКАЗЫВАНИЕ 135
Вторая группа
(I) А&и^-А А&л^л,
(II) A\J и = и Л V л=вА,
(III) Л-*« = ю л—>Л==и.
К равносильностям (III) естественно примыкают равно-
равносильности
и—*А = А А-+л=2 ~]А.
Однако они менее интересны для дальнейшего,
Третьягруппа
(I)
(II)
(III)
(IV)
П
T
к
 1Л = Л,
(Л&В)= 1
[A —» В) = Л <
Л
Л
&
V
&
1
IB
IB,
в.
Равносильности (II), (III) называются заканами де Мор-
Моргана*). Сравните их с ¦ C1), C2) из § 3 гл. II. Равно-
Равносильность (I) словами часто передают так: „двойное
отрицание можно снять". К равносильностям третьей
группы естественно примыкают равносильности (9), A0)
из § 3.
В четвертую группу войдут три отдельные равносиль-
равносильности, не связанные, как равносильности каждой из трех
рассмотренных групп, внутренним единством.
Четвертая группа
Во-первых, у нас нет еще ни одной равносильности,
в которую входила бы эквиваленция. Достаточно ввести
одну такую равносильность.
(I) Л=»±Я = (Л-^.В)&(Я-»Л). -
Если в выражение входит знак эквиваленции, его всегда
можно элиминировать при помощи равносильности (I).
Если вспомнить, что эквиваленция означает „тогда
*) A. de Morgan—английский логик середины XIX века.

136 АЛГЕБРА ЛОГИКИ [Гл. IV
и только тогда", равносильность (I) становится очевид-
очевидной (см. § 1 гл. I).
(II) А->В чв ~}В-> -\А.
Равносильность (II), очевидно, выражает рассмотренный
и доказанный нами в § I гл. I закон контрапозиции.
(III) АУ Взз-[А-+В.
Назначение равносильности (III) мы рассмотрим чуть
позже.
Перечисленные равносильности выражают наиболее
важные (для практического применения в математике)
свойства операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции,
импликации и эквиваленции. Любая из этих равносиль-
ностей может быть доказана методом истинностных
таблиц*). Равносильности третьей и четвертой группы
следует очень хорошо запомнить. Равносильности второй
группы следует научиться в нужный момент мгновенно
„соображать". Помнить активно равносильности первой
группы нет нужды, однако знание их позволяет исполь-
использовать их при доказательстве других равносильностей
и доказывать эти „другие" равносильности не скучным
составлением истинностной таблицы, а более изящно —
„преобразованиями".
Например, равносильность форм A), B), которую мы
раньше установили методом истинностных таблиц, можно
установить так:
'-][{В&-\А)У 1(CV ~]А)] =
~1(В&-]А)& Ц(Су lA)s
= ABV -\~\A)&(Cy 1A)=
= (-}ВуА)&(СУ1А) =
= [( 1 В V А) &С\ V К 1 В V А) & 1 А] =
= [( 1 В&С) V (А&С)] V [( 1В&1А) V (А& 1 А)} =
¦) Не разъясняя этого подробно, замечу, что „равенства с мно-
множествами" (§ 3 гл. II) можно доказывать аналогичным, табличным
методом.

§ 1] ВЫСКАЗЫВАНИЕ 137
~ [(-] В &С) У (А&С)) у [(I В &П А) \/ л] =
= [(-]Б&С) \/(А&С)\у (-]В& -]А)з=
s ( 1 В&С)У (А&С) V( 1B&-]A) =
= (л & С) v A в & С) v A в & 1 л) =
¦=(А&С) У (С& 1В) У AА& 1 В).
В этом преобразовании мы воспользовались, в частности,
тем, что
А&~]А = л. A5)
Отметим заодно, что
AyiAsstt. ¦ A6)
Равносильность A6) называется законом исключенного
третьего.
Полезно отметить две вытекающие из табл. 2 тривиаль-
тривиальные равносильности:
А у В истинно ?= (А истинно) V (В истинно), A7)
(А-^В) истинно = (А ложно) V (В истинно). A8)
Рассмотрим теорему вида
А~>В. A9)
Чтобы доказать теорему A9), достаточно доказать, на-
например, что посылка А ложна. В этом случае (см. табл. 2)
теорема A9) будет истинна тривиальным образом (см. § 1
гл. I). Достаточно также доказать, что заключение В
истинно. В этом случае, в силу определения импликации,
теорема A9) также будет истинной. Однако случаи, когда
верность теоремы A9) удается доказать одним из двух
указанных путей, сравнительно редки. Главным, наиболее
часто встречающимся на практике, наиболее естественным
путем доказательства теоремы A9) является следующий
путь. Чтобы доказать, что теорема A9) истинна, докажем,
что она не ложна. Но импликация A9) ложна только в том
случае, когда одновременно посылка А истинна и заклю-
заключение В ложно. Давайте докажем, что этот единственный
возможный случай ложности импликации (см. табл. 2) не
имеет места. Давайте докажем, что если посылка А истин-
истинна, то заключение В не ложно, т. е. истинно. Итак, повто-
повторяю, наиболее естественный и часто встречающийся путь
доказательства теоремы вида A9) следующий: предполо-

138 . АЛГЕБРА ЛОГИКИ [Гл. IV
жим, что посылка А истинна, и попробуем вывести из этого
предположения, что заключение В тоже истинно. Если
нам это удастся, мы тем самым докажем, что не имеет места
единственный случай ложности импликации (А истинно
и В ложно) и что, следовательно, теорема A9) истинна.
Разумеется, если нам не удастся из предположения об истин-
истинности Л вывести истинность В, то отсюда еще не следует,
что теорема A9) ложна. Отсюда следует только одно из
двух: или теорема A9) ложна, или мы просто не сумели
доказать, что она истинна. Заметим, что когда мы, доказы-
доказывая теорему A9) по только что указанному пути, предпо-
предполагаем, что посылка А истинна, мы вовсе не утверждаем,
что она действительно истинна. Мы просто доказываем,
что если она истинна, то заключение В тоже истинно. При
этом на самом деле посылка А может быть ложной. Ну,
что ж! Если посылка А ложна, теорема A9) тем более истин-
истинна, истинна тривиальным образом. Заметим еще, что если
посылка А теоремы A9) ложна, то мы, доказывая теорему
A9), не обязаны это замечать. Если мы, доказывая теорему
A9) с ложной посылкой, выведем из предположения об
истинности А истинность В, мы, разумеется, тоже докажем
истинность теоремы A9), хотя, конечно, в рассматривае-
рассматриваемом случае (посылка А ложна) более простым, более естест-
естественным, более изящным путем доказательства было бы
доказательство ложности А. В заключение еще раз под-
подчеркну, что указанный путь доказательства теорем вида
A9) („предположим, что А истинно; докажем, что В истин-
истинно") является, с одной стороны, главным и наиболее часто
встречающимся, но, с другой стороны, не обязательным,
не единственным путем доказательства.
Пусть теперь условие теоремы A9) является конъюнк-
конъюнкцией, т. е. теорема имеет вид
C&D-+B. B0)
Предположение об истинности посылки С & D означает
в этом случае, что С и D истинны. Итак, чтобы доказать
теорему вида B0), нужно *) из посылок С и D вывести
заключение В.
*) Слово „нужно" здесь и дальше в этом параграфе означает,
во-первых, „достаточно" и, во-вторых, «рекомендуется". Из выше-
вышесказанного следует, что как „необходимо" его понимать здесь нельзя

§ 1] ВЫСКАЗЫВАНИЕ 139
Если условие теоремы A9) является дизъюнкцией, т. е.
теорема имеет вид
C\/D-+B, ¦ . B1)
то предположение об истинности посылки С \J D распа-
распадается на два *) случая: 1) С истинно; 2) D истинно [см.
A7)]. Нужно рассмотреть отдельно два этих случая и в каж-
каждом из них доказать, что В истинно 4).
Пусть теперь заключение теоремы A9) является конъюнк-
конъюнкцией, т. е. теорема имеет вид
A-^C&D. B2)
В этом случае из предположения об истинности А нужно
вывести истинность заключения С & D, т. е. истинность С
и истинность D в).
Пусть заключение теоремы A9) является дизъюнкцией,
т. е. теорема имеет вид
А-+С\/ D. B3)
Допустим, мы предположили, что А истинно, и хотим дока-
доказать истинность заключения С V D. Как доказать истин-
истинность дизъюнкции? Разумеется, можно прямо в лоб дока-
доказать истинность С или истинность D. Тем самым истин-
истинность дизъюнкции С У D будет, конечно, доказана. Но
этот путь.часто является трудно проходимым. В самом деле,
неизвестно, С или D истинно на самом деле. Поэтому неиз-
неизвестно, истинность С или истинность D надо пытаться дока-
доказывать. Будешь биться над доказательством истинности
С, а, может быть, на самом деле истинно не С, a D! Более
удобным, чаще всего встречающимся путем доказатель-
доказательства дизъюнкции является тот путь, который указывается
равносильностью (III) из четвертой группы. Дизъюнкция
С \J D равносильна импликации ~\С -»-D, а как надо
доказывать импликацию, мы уже знаем. Надо предполо-
предположить, что посылка 1С истинна, т. е. что С ложно, и выве-
вывести из этого предположения, что D истинно. Указанный
путь является обычно на практике самым удобным, самым
легким путем доказательства дизъюнкций **)в). Аналогично
*) Ср. со стр. 81—82,
•*) Именно для этого мы и включили в список важнейших
равносильностей (III) из четвертой группы.

140 АЛГЕБРА ЛОГИКИ [Гл. IV
доказываются „многочленные" дизъюнкции. Поскольку,
например,
A \J B\JC\J D~
s (A V В V С) V D =
еа~\(А\/ B\/C)->D =
= -\A& ~[B& -[C-+D,
для доказательства теоремы вида А\/ В V С V D нужно
из предположения о ложности А, В л С вывести истин-
истинность D*).
Очень часто заключение теоремы A9) является импли-
импликацией, т. е. сама теорема имеет вид „двухступенчатой"
импликации:
A-^(C-^D). B4)
Например, фраза „Пусть л — четное натуральное число;
тогда: если а<0, то у/а"= —а" означает, очевидно,
теорему „Если п — четное натуральное число, то из а < 0
следует yV*= — а" **), т. е. теорему вида B4). Для
того чтобы доказать теорему B4), нужно из предположе-
предположения об истинности А вывести истинность импликации
C—>D. Но для доказательства импликации С—>D нужно
из предположения об истинности С вывести истинность D.
Таким образом, для доказательства теоремы B4) нужно
из предположения об истинности Л и С получить истин-
истинность D. Предположение об истинности Л и С рав-
равносильно предположению об истинности А&.С. Мы полу-
получаем, следовательно, что для доказательства теоремы B4)
нужно, предположив истинность конъюнкции А &. С,
вывести D, т. е. нужно доказать импликацию А & С —> D.
Проведенное рассуждение приводит к гипотезе
+D. B5)
*) Ср. с доказательством теоремы о пяти возможностях (§ 3 гл. II).
**)_ Фраза „Если п — четное натуральное число, то если а<0,
то у^ап — — а" имеет тот же смысл, но стилистически совершенно
неприемлема.

S 1] ВЫСКАЗЫВАНИЕ 141
Легко проверить, что равносильность B5) действительно
верна. Она часто является полезной и заслуживает запо-
запоминания.
Полезно уяснить разницу между доказательством тео-
теоремы A9) по закону контрапозиции и доказательством
„от противного". Доказать теорему A9) по закону контра-
контрапозиции [(II) из четвертой группы] — это значит вместо
теоремы A9) доказать равносильную ей теорему
1В-> ТА,
т. е., предположив ложность В, доказать ложность А.
Схемой доказательства „от противного" является либо
равносильность
либо одна из равносильностей
А-.> В = Л &  В -> ~]А,
Доказать теорему A9) „от противного" — это значит вместо
теоремы A9) доказать либо равносильную ей теорему
А&. -]В-*С& 1С
[т. е., предположив истинность А и ложность В, полу-
получить какое-нибудь противоречие, два взаимно противопо-
противоположных утверждения: С и ~] С], либо равносильную ей
теорему
А& -]fl-> I A
[т. е., предположив истинность А и ложность В, вывести
из этих предположений, что А ложно*)], либо, наконец,
равносильную ей теорему
А& 1В-+В,
[т. е., предположив истинность А и ложность В, вывести
из этих предположений, что В истинно].
¦) Именно по этой схеме мы провели в § 1 гл. I доказательство
закона контрапозиции.

142 АЛГЕБРА ЛОГИКИ [Гл. IV
Задача. Найти какую-нибудь простую высказыва-
тельную форму с высказывательными переменными Аи В
и с логическими операторами ~|, &, у, равносильную форме
a) А-±В,
b) ЦА*ьВ).
§ 2. Высказывательная форма
Высказывательные формы, которые мы рассматривали
в § 1, зависели только от высказывательных переменных.
Высказывательные формы, встречающиеся не в специаль-
специальных логико-математических исследованиях, а в самой
математике, зависят обычно не от высказывательных,
а от всяких иных (например, числовых) переменных. В об-
. щем случае высказывательная форма может, конечно, зави-
зависеть от переменных любого вида. Например, выражение
А & (х > 3)
является (естественно считать) двухместной высказыва-
тельной формой с высказывательной переменной А и чис-
числовой переменной х.
Вернемся к вопросу, упомянутому в § 2 гл. I: сущест-
существуют ли не всюду определенные высказывательные формы?
Мой ответ на этот вопрос будет такой. Я не буду требовать
от понятия высказывательной формы, чтобы любая выска-
высказывательная форма была всюду определена, не буду, следо-
следовательно, утверждать, что не существует не всюду опреде-
определенных высказывательных форм, оставляя открытой воз-
возможность рассматривать не всюду определенные (точнее,
не обязательно всюду определенные) высказывательные
формы *).
Однако, во-первых, я собираюсь в этой книге иметь
дело только с всюду определенными высказывательными
формами и объявляю поэтому, что под высказывательной
формой, если противное не оговорено, понимается далее
всюду определенная высказывательная форма. Во-вторых,
те конкретные высказывательные формы, не содержащие
логических знаков (, &, V> -*"» =**> V, 3), которые нам
*) Эта возможность реализуется, например, в книге В. А. Ус-
Успенского [20].

§ 2] ВЫСКАЗЫВАТЕЛЬНАЯ ФОРМА 143
будут далее встречаться, я буду превращать во всюду
определенные высказывательные формы одним и тем же
приемом: если при некоторых значениях переменных какая-
то (разумная) часть рассматриваемой формы не определе-
определена, не имеет смысла, то всю высказывательную форму при
этих значениях переменных мы будем считать ложной. Это
не очень четко сформулированное правило доопределения
высказывательной формы до всюду определенной будет
понятным в каждом конкретном случае его применения.
Важный класс таких форм мы рассмотрим в § 1 гл. VI.
Приведем пока два примера. Форма \/~х > 3 истинна
при х> 9 и ложна при 0<*<9. Наше правило доопре-
доопределения означает, что при х < 0 мы эту форму также будем
считать ложной. Поэтому форма  [j/\*:>3] при л:<0
истинна. Форму ]Лс< 3 мы также автоматически доопре-
доопределяем до ложного высказывания при х <;0. Значит,
С другой стороны, легко видеть, что
Введенные нами в § 1 операции над высказываниями
являются, очевидно, также операциями над высказыва-
тельными формами. Для любых высказывательных форм Щ
и 93 без специальных пояснений ясен смысл форм Ш,
Я & 93, Я\/®. Я ->«, Я =с* 93 *).
Очевидно, кроме того, что рассмотренные в § 1 равно-
равносильности (и вообще любые равносильности высказыва-
высказывательных форм, зависящих только от высказывательных
переменных) остаются верными, если в них вместо высказы-
высказывательных переменных подставить произвольные высказы-
высказывательные формы.
Рассмотрим вопрос о соотношении между равносильно-
равносильностью двух высказывательных форм Я, 95 и их эквивален-
цией. Если сначала 21 и 95 — высказывания, то Я = S3
*) Здесь уже работает наше соглашение о том, что под выска-
высказывательной формой, если противное не оговорено, ¦ понимается
всюду определенная высказывательная форма. Если бы формы 81
и -"В были не обязательно всюду определенными, смысл выражений
Г] Ш, ЭД & 8Э и т. д. пришлось бы еще уточнять (см. п. 1 § 3 книги [20]).

144 АЛГЕБРА ЛОГИКИ [Гл. IV
и 21 ч=ь S3 — также высказывания, причем, как легко
видеть, равносильные высказывания. Если же 21 и 95 —
высказывательные формы, то 91 ч* 95 — тоже высказы-
вательная форма, но Я = 33 — высказывание. Легко ви-
видеть, что высказывание 21 = S3 истинно [т. е. высказыва-
высказывательные формы 91 и 95 равносильны) тогда и только тогда,
когда высказывательная форма 21 ч=ь 95 истинна при любых
значениях переменных [или, как иногда говорят, всегда
истинна (тождественно истинна)].
[21 = S3] ^[21 =^95 всегда истинна]. A)
Введем понятие, которое свяжет материал этой главы
с гл. II — III. Рассмотрим сначала простейший случай.
Областью истинности одноместной высказывательной
формы 21 (х) называется и через 21 (или 21 (л:)) обозначается
множество тех значений переменной х, при которых
форма 21 истинна. Таким образом, если М — область значе-
значений переменной х, то
! = 8{д;еМ|21(л:)}. B)
Df
Иногда удобнее написать длиннее:
W = ${x?M\'&(x) истинно}.
Df
Пусть теперь 21 (хи х2, . •¦, х8) — s-местная (s>2)
высказывательная форма, где хи х2, ...,х8 — переменные
формы 21, выписанные в каком-нибудь порядке. Пусть
областью определения переменной xt будет множество Ми
областью определения переменной хг будет множество М2
и т. д. Тогда областью истинности высказывательной
формы 21 называется и через 21 (или SS.(Xi,x2, .. -,xs)) обо-
обозначается множество тех кортежей (аи а2, ¦ ¦., as)^Mi x
X М2 X ... X Ms, для которых 21 (аи а2, ..., as) истинно.
Таким образом,
a = g{<jcj,*2, -..,х.>е
D1
eMi х М2 х ... х Ms | 21 (хи х2, ..., х.)}. C)

§ 2] ВЫСКАЗЫВАТЕЛЬНАЯ ФОРМА 145
Заметим, что по нашему определению область истин-
истинности s-местной высказывательной формы при s > 2 не
вполне определяется самой формой. Важен еще порядок
переменных, который можно фиксировать по произволу.
Так, если л —переменная с областью значений N, а х —
переменная с областью значений D, то областью истин-
истинности высказывательной формы 21 = [п\ ~>х] можно считать
по желанию как % {{п, х) ? N х D | п! > х), так и % {(х, п) ?
е D х N | п\ > *}. В первом случае C, 2) б 21, но B, 3) $ 21.
Во втором случае B,3N 21, но C,2) $21. Эту „много-
„многозначность" понятия области истинности s-местной выска-
высказывательной формы при s>2 надо иметь в виду. Впрочем,
условимся, что запись ЧЯ.(хих2, ...,ха) означает область
истинности формы 21 относительно указанного этой
записью порядка переменных. Так, для рассмотренного
выше примера
21 (я, х) = % {(п, х) 6 N х D
n)?DX N п\ >х).
Заметим еще, что предложения „{a, 6>g?I(x
и „21 (а, Ь) истинно" осмысленны, а предложения „(а,
(х, у)" и „21 (а, Ь) истинно" бессмысленны, не корректны.
С другой стороны (при соответствующем смысле
букв Mi, M2),
(а, Ь)еЪ(х,у)**[(а, Ь) е^ х М2] &2I (а, fe). D)
(мы написали 21 (а, Ь) вместо „21 (а, Ь) истинно").
Понятие области истинности позволяет связать опера-
операции над множествами с операциями над высказыватель-
ными формами. Так, легко видеть, что при s>l
21(д:1, ...,*.)&»(*!, ...,*.) =
1 х.) П ®(*i. .... х,), E)
21 (xi xs) V 93(*„ ...,х,) =
= «(*! х.) U »(*i, ...,л.) F)
10 Ю. А. Шиханович

146 АЛГЕБРА ЛОГИКИ [Гл. IV
и, еслиУИ17 iW2> • ¦ • ,М8 — области значений соответствующих
переменных,.
1 21 (*!, ..., ж.) = (Aft х ... X А«.) \ 21 (хи ..., хв). G)
В E), F) (и вообще в подобных случаях) подразумевается,
конечно, что каждая из букв хи х2, ¦ ¦. , х8 является в обеих
формах 21 (дгц ..., х8) и 85 (xt, ..., х8) одной и той же
переменной и имеет, в частности, одну и ту же область
значений.
Заметим в заключение, что выражение
может зависеть не только от. х и у, но и от И и 95.
Буквы 21 и 85 тоже могут быть переменными.
ЗАДАЧИ
1. Выразить область истинности высказывательной
формы 6 (Xi, ..., хв) через области истинности высказыва-
тельных форм 21 (хи ...., х8) и $5(jct, ..., л;в), если
а) @ (jcj, ..., х8) = 21 (xv ... ,хв) —> 35 (xi, ..., ха),
. Df
Dt ' ' '
2. Нарисовать на координатной плоскости область
истинности высказывательной формы © (х, у) с числовыми
переменными х, у,, если
а) 6 (я, у) = [у — х*\,
Df
Pf
DI
§ 3. Кванторы1)
Рассмотрим две операции, применимые только к вы-
сказывательным формам, но не к высказываниям. Эти
операции, так называемые операции навешивания кванто-
кванторов, будучи примененными к высказывательной форме,

§ 3] кванторы 147
приводят либо снова к высказывательной форме, либо
к высказыванию.
Начнем с простейшего случая. Пусть 91 (х) — одно-
одноместная высказывательная форма; область значений пе-
переменной х — множество М. Обозначим через
(Чхем)%(Х) A)
или, если область значений переменной х ясна из кон-
контекста, через
(Чх)Ъ(х) B)
следующее высказывание: „для любого значения перемен-
переменной х высказывание, получающееся подстановкой этого
значения в форму 91 вместо х, истинно". Разумеется,
высказывание, обозначенное выражениями A) или B),
может быть для одной формы 91 истинным, для другой —
ложным. Высказывание, обозначенное выражениями A),
B), часто читают короче: „для любого х0А 91 (х) истин-
истинно" или „для любого х 91 (я)". Букву V называют кван-
квантором общности, выражения (Чх?М) и (V}х) — квантором
общности по переменной х, переход от формы 91 к выска-
высказыванию A), B) — навешиванием на форму 91 квантора
общности по переменной **J).
Обозначим через
(х) C)
или через
О*)И(*) D)
следующее высказывание: „существует такое значение
переменной х, что высказывание, получающееся подста-
подстановкой этого значения в форму 91 вместо х, истинно".
Это же высказывание часто читают короче: „существует
такое х?М, что 91 (х) истинно" или „существует такое
х, что 91 (*)"• Буква 3 называется квантором сущест-
существования, выражения C*6 Л4) и (Зх) —квантором сущест-
существования по переменной х, переход от формы 91 к выска-
*) Буква V . является перевернутой первой буквой слов all
(англ.), alle (нем.). В некоторых французских книгах в аналогичной
роли используется буква Т (tous).
10*

148 АЛГЕБРА ЛОГИКИ [Гл. IV
зыванию C), D) — навешиванием на форму 31 квантора
существования по переменной х*K).
В выражениях A), B), C), D) буква х является свя-
связанной переменной: навешивание квантора связывает
переменную. От х эти выражения не зависят. В то же
время эти выражения могут зависеть от 31 и М. Если 31
и М не фиксированы, то A) — D) являются не высказы-
высказываниями, а высказывательными формами; если же 31 и М
фиксированы, обозначают какие-то конкретные высказы-
вательную форму и множество, то A) — D) — высказыва-
высказывания**).
Пример 1) Пусть область значений переменной х —
множество D. Тогда (Чх)[хг> 0] и (Эх) [|*|г^0] — истин-
истинные высказывания, (У/х) [хг > 0] и Cx) [**+ 1 =0] — лож-
ложные высказывания.
Оговорим специально тот крайний, вырожденный, не-
неинтересный случай, когда область значений переменной
х есть пустое множество. Положим в этом случае для
любой формы 31 (*)
(V*e0) и (*) = », E)
Df
(Зхе0)Ъ(х) = л. F)
Df
Определение F) безусловно покажется читателю естест-
естественным. Если же высказывание A) прочесть в виде „для
любого х: если х?М, то 31 (*)", то будет видно, что
определение E) хорошо соответствует нашему соглаше-
соглашению о „ложности посылки" (§ 1 гл. 1).
Если МФ0, то, очевидно, из истинности A) выте-
вытекает истинность C). При М=0 это, в силу E), F), не
верно.
Квантор общности является обобщением, аналогом
конъюнкции, а квантор существования — обобщением,
аналогом дизъюнкции на произвольное, не обязательно
конечное, множество. Это видно, например, из двух сле-
следующих утверждений.
*) Буква 3 является перевернутой первой буквой слов exist
(англ.), exister (франц.), existieren (нем.).
**) Ср. с последним абзацем § 2.

§ з] кванторы 149
Пусть М=--{аи а2, ..., ап\. Тогда для любой формы
Df
...&И(ап), G)
91 (ж) ^ 91 (а,)\/% (а2) V • • • V® Ы- (8)
Указанная аналогия подкрепляется следующими важ-
важными утверждениями, в которых область значений пере-
переменной М уже не обязательно конечна.
1(Чх)Ъ(х) = (Зх)-\Ъ(х), (9)
1(Эх)Ъ(х) = ()/хIЪ(х). A0)
Утверждения (9), A0) являются аналогами законов
де Моргана. Их естественно приписать к третьей группе
равносильностей из § 1.
Докажем (9). Фиксируем произвольную форму 91 (я).
Пусть высказывание ~] (Vx) 91 (х) истинно. Тогда, по оп-
определению отрицания, (Vx) 91 (x) ложно. Следовательно,
не для любого значения переменной х высказывание 91 (х)
истинно. Значит, существует такое значение переменной
.г, для которого §1 (ж) ложно. Обозначим одно из таких
значений через а*). Итак, а?М и 91 (а) ложно. Следова-
Следовательно, ~~| 91 (а) истинно. Значит, существует такое х,
что ~] 91 (х) истинно, т. е. (Зх) П 91 (х) истинно. Пусть
теперь высказывание (Зх) 91 (х) истинно. Тогда, по оп-
определению квантора существования, существует такое
значение переменной х, что 1 91 (х) истинно. Обозначим
одно из таких значений через а*). Итак, а?Мп ~] 91 (а)
истинно. Следовательно, 91 (а) ложно. Но тогда, по оп-
определению квантора общности, ложно и (Vx)9I(*), а зна-
значит, 1 (Vac) 91 (х) истинно. Равносильность (9) доказана.
A0) доказывается аналогично.
Прежде чем переходить к общему случаю, рассмотрим
еще один простой случай. Пусть 91 (х, у) — двухместная
высказывательная форма; область значений переменной
*) Полезно заметить, что употребление слова „это" вместо слов
„одно из таких" в этой фразе неуместно, так как значений пере-
переменной, о которых идет речь, может быть много. Мы берем любое
из них.

150 АЛГЕБРА ЛОГИКИ [Гл. IV
я —множество М, переменной у— множество L. В силу
введенных выше обозначений выражения
¦(х, у),. (VxJI(x, у), (И)
(л:, у), (VyJI(x, у), A2)
(х, у), (Зх)Я(х, у), A3)
(х, у), (Зу) 91 (*,. у) A4)
являются одноместными высказывательными формами,
зависящими, соответственно, от у, х, у и х. Поскольку
A1) —A4) являются одноместными высказывательными
формами, на каждую из них можно навесить каждый
из двух кванторов. При этом получится восемь высказы-
высказываний. Без указания областей значений переменных эти
восемь высказываний выглядят так:
(Чу)(ЩЪ(х,.у) A5)
(читается: „для любого у и для любого х Я (я, у)"),
(Vat) (Vy) 21 (х, у) A6)
(„для любого х и для любого у 21 (л;, у)"),
(Зу) (Зх) 21 (*, У) A7)
(„существует такое у и существует такое х, что 21 (х, у)"),
C*)C«/)Я(*, У) A8)
(„существует такое х и существует такое у, что 21 (я, у)"),
(\/у)Aх)Ъ(х, у) A9)
(„для любого у существует такое х, что 21 (я, у)"),
(Эд;) (Vt/) Ш (лг, у) B0)
(„существует такое х, что для любого у 21 (*, у)"),
(V*) C0) 21 (х, у) B1)
(„для любого х существует такое у, что 91 (х, у)"),
C«/)(Ух)Я(х, у) B2)
(„существует такое у, что для любого х 21 (х, у)").

§ 3] КВАНТОРЫ 151
Пример 2) Пусть область значений переменных х
и у—множество M = g{z(EDl z>0}. Тогда выражения
Df
(Vx)[x>y\ (Vy)[x>y\
(Зх)[х>у] (Зу)[х>у]
являются одноместными высказывательными формами.
Форма {Ух)[х>у] истинна при у —0, так как для любо-
любого а ? М имеем а>0. При любом у Ф 0 форма (Ух) [х>у]
ложна, так как если а?М и а Ф 0, то -^?М и ~^-<а.
Форма (Vy) [x > у] ложна при любом значении перемен-
переменной х, так как, если бы она была истинной при х = а?М,
это означало бы, что а — наибольшее действительное чис-
число. Форма C*) \х > у] истинна при любом у, хотя бы
в силу того, что для а?М имеем а>а. По аналогичной
причине истинна при всех х форма (Зу)[х>у\. Высказы-
Высказывание (Vy) (Vx) [x > у\ ложно, так как не при всех у
(см. выше) истинна форма (Ух)[х>у\. Высказывание
(У*) (Vy) [x > у] ложно по аналогичной причине. Выска-
Высказывание (Зу)(Вх)[х>у] истинно, так как при у =17
(а также при любом другом у) форма (Зд;) [х > у] истин-
истинна (см. выше). По аналогичной причине истинно выска-
высказывание (Зх)Cу)[х>у]. Высказывание (Зу) (ix)[x>y]
истинно (см. выше). Высказывание (V*) (Зу) [х > у] также
истинно, так как форма (Зу)[х>у\ истинна для любого
л; (см. выше). Высказывание (Vy) (Злг) [х>у] истинно по
аналогичной причине, но высказывание C*)(Vy) [x>y]
ложно, так как не существует такого х (см. выше), для
которого была бы истинна форма (Vy)[x>y].
Правила, аналогичные правилам (9), A0), верны так-
также для форм A1)—A4) и высказываний A5) —B2). На-
Например,
1(Чх)Ъ(х, у) = (За:) 1 Я (*, у), B3)
1Cу)?1(лг, у) = (Vy) 1 И (*, у), B4)
1 (Зх) (Vy) Я (х, у) = (Уде) (Эу) 1 21 (л:, у), B5)
1 (Vy) (За-) ?! (х, у) = (By) (Vx) ~] % (х, у). B6)
Словами правило, выражаемое равносильностями (9), A0),
B3) — B6) и всеми аналогичными им равносильностями,

152 АЛГЕБРА ЛОГИКИ [Гл. IV
можно сформулировать так: чтобы найти отрицание
выражения, начинающегося с кванторов, надо каждый
квантор заменить на двойственный (т. е. квантор общ-
общности на квантор существования и наоборот) и перенести
знак отрицания за кванторы.
Докажем равносильность B3). Фиксируем форму 91
и возьмем произвольное значение переменной у, скажем,
b^L. Нам надо доказать, что
1 (Vx) 91 (х, Ь) -= C*) 1 9Г (х, Ь). B7)
Рассмотрим выражение ~] (V*) 91 (х, Ь). Оно представляет
собой отрицание результата навешивания квантора
общности на одноместную форму 91 (х, Ь). Следователь-
Следовательно, B7) вытекает из (9). Но B7), вследствие произволь-
произвольности выбора значения переменной у, означает B3).
Докажем равносильность B5). Рассмотрим выражение
 (Эл:) (Vy) 91 (х, у). Оно представляет собой отрицание
результата навешивания квантора существования на одно-
одноместную форму A2). Следовательно, в силу A0),
 C*) (У/у) 91 (х, у) = (V*) И (V*/) 91 (х, у) B8)
В силу B3) или, точнее, аналога B3),
l(Vy)9I(*, у) = (By) 1 а (х, у). B9)
Заменяя в B8) левую часть равносильности B9) на пра-
правую, получаем B5).
Между высказываниями A5) — B2) имеются некоторые
связи. Легко видеть, что
(V*) (Vy) SI (jf, у) = (Vy) (V*) 91 (*, у), C0)
C*) (Зу) 91 (*, у) т= (Зу) (Зж) 91 (х, у). C1)
Словами: одноименные кванторы можно переставлять.
„Разноименные" кванторы можно переставлять только
„в одну сторону".
Если (Эх)(У$0И(*, </) = »> то (V0)Cx)B(x, «/)==«. C2)
Если (Зу)(Ух)Я(х, у)-и, то (Ух)(Эу)Я(х, у) = и. C3)
Одной из распространеннейших и грубейших ошибок сту-
студентов является применение правила перестановки „разно-
„разноименных" кванторов, выражаемого утверждениями C2),

§ 3] КВАНТОРЫ 153
C3), в обратную сторону. Между тем утверждение
если (>/у) (ix) Я (*, у) - и, то (lx) (Vy) Я (х, у) = и C4)
не верно. Например, (Vy) (Зле) \х>у] = и, однако
(J*)(Vy) [х>у]~л (см. пример 2L).
Утверждения C2), C3) почти очевидны. Докажем все-
таки утверждение C2). Пусть для некоторой формы 91
высказывание (Зл:) (Vt/) ?t (л:, у) истинно. Докажем, что
тогда истинно и высказывание (Vy)C.x) 91(я, у). Возьмем
произвольное значение переменной у, скажем, fr. Чтобы
доказать истинность высказывания (Vy) (Эл:) Ч (х, у), нуж-
нужно доказать истинность высказывания (Злг) 91 (лг, Ь). По
условию существует такое значение переменной х, при
котором форма (Vy) Ш (х, у) истинна. Обозначим одно из
таких значений через а. Итак, о^М и (Vy)9t(a, у) ис-
истинно. Именно это значение а мы и возьмем для дока-
доказательства истинности высказывания Aх)ЧЯ.(х, Ь). Дока-
Докажем, что St (a, b) истинно. Тем самым высказывание
(В*) % (х, Ь) будет доказано. Но 2t (a, b) истинно в силу
истинности высказывания (Vy) И (а, у) (см. выше) и опре-
определения квантора общности.
Пусть, наконец, % (лг4, ..., ха) — s-местная высказы-
вательная форма (s>2); область значений переменной хх —
множество Mi, область значений переменной хг — мно-
множество М2 и т. д. В силу введенных выше обозначений
для любого I, l<t<s, выражения
(V*, ? Mt) I (xit .... *.), (V*,) Я (*! xs), C5)
(Эдс, 6М|) Я (jct, ..., хв), (Ixt) Я (jft, ...,*.) C6)
являются (s— 1)-местными высказывательными формами,
зависящими от (свободных) переменных хи ..., xt_i,
Xi+i, ..., ха. Буква хг в выражениях C5), C6) является
связанной переменной. Навешивание квантора по пере-
переменной Xi связывает переменную xt.
По определению квантора общности высказывание
{ux, а2, ..., fli_u xt, at+i, ..., а8) C7)
истинно тогда и только тогда, когда для любого значения

154 АЛГЕБРА ЛОГИКИ [Гл. IV
щ g Mi переменной xi высказывание
21 (fli, ..., fl/_i, cit, fl(+i, ¦... йв) C8)
истинно.
По определению квантора существования высказывание
\{ах, ..., й(_ц хи щ+1, ..., as) C9)
истинно тогда и только тогда, когда существует такое
значение щ^Мц переменной *;, для которого высказыва-
высказывание C8) истинно.
Навешивая на каждую из (s — 1)-местных высказыва-
тельных форм C5), C6) любой из кванторов по любой
из свободных переменных, мы получим (при s>2)
9
(s — 2)-местные высказыватель-
ные формы или (при s = 2) вы-
высказывания, и т. д. После того
как навешено уже s кванторов,
получаются высказывания.
Подмеченные выше законо-
закономерности остаются верными и в
общем случае.
(I) Отрицание выражения, на-
начинающегося с кванторов, полу-
получается заменой каждого кван-
квантора на двойственный и пере-
Рис. 17. несением знака отрицания за
кванторы.
В общем виде это утверждение доказывается индук-
индукцией по числу кванторов. Базисом индукции являются
равносильности (9), A0) и
(*lf ...,*,)= .C*0  Я (*lf ..., *.), D0)
1 C*i) Я (*i *.) з (Vjf,) I 91 (*„ .... х.). D1)
Равносильности D0), D1) доказываются так же, как
B3), B4).
(II) Одноименные кванторы можно переставлять
(V*,) (V*,) И (хи ..-.,*.)== (V*,) (V*,) Я (*i х.), D2)
Я (*х х,) з Cjcj) (Bxt) Я (*„ -.., *.)

§ з] кванторы 155
(III) Разноименные кванторы можно переставлять толь-
только в одну сторону:
если (Э*;) (V*,-) Я (*i, ..., *„) = «,
то (Удо)(Элг,)И(*„ .... *.)з«. D4)
Обратное, вообще говоря, неверно.
Заметим, что утверждение D4) можно выразить еще
и так:
C*,) (УДС;) 1 (*, *.) -* (V*;) C*,) Я (*lf ...,*.) = И-
D5)
В § 2 мы видели (см. E) — G)), что операции конъюнк-
конъюнкции, дизъюнкции и отрицания очень просто влияют на
области истинности форм, к которым они применяются.
Операция навешивания квантора существования также
очень просто влияет на область истинности. А именно,
легко видеть, что при естественной нумерации перемен-
переменных в формах 21 (дсц ..., ха), C*/J1 (*!, ..., хв) (см. § 2),
т. е., если
21 (*!, . . . , X,)
имеем равенство
, xt
М
.)?
,х
= Л
^i X
X
•
Ммх
. . X Mi
Mt x
:-iX.
: Mi+l x .
.. x Ма,
.YMs,
, ..., л:в) = пр1 i-i,i+i Д(*1, ..-,xs). D6)
(Для s = 2, i = 2, Mi = D, M2 = D см. рис. 17.) Докажем
утверждение D6). Оно представляет собой равенство двух
множеств и доказывается, как обычно, двумя „включе-
„включениями". Положим
= (ixt)'u(xu ....
S = nPl i-1,1+1 .Я(*1 X8).
Докажем, что ЛеВ. Пусть (аи ..., щ_и ai+i, ...,а,NЛ.
По определению области истинности высказывание C9)
истинно. По определению квантора существования сущест-

156
АЛГЕБРА ЛОГИКИ
[Гл. IV
вует такое значение переменной xt, для которого форма
21 (аи ..., at_i, хь ai+l, ..., а8) D7)
истинна. Обозначим одно из таких значений через а,-.
Итак, ai^Mi и высказывание C8) истинно. Учитывая, что
X ... X AfM X Mt X
х Mt+1 x ... x Мв,
(аи . •., ai_i, а», щ+и ..., а.)
по определению области истинности
(aj, ..., ам, аь а4+1, ..., as)
D8)
и, следовательно, (аи
теперь, обратно, (а!, .
, аг_и ai+l, . .., as)?B. Пусть
aui, ai+1, ..., as)E.B. По опре-
определению проекции множества в 21 (хи ..., лг8) существует
такой кортеж, проекцией которого является (аи ..., аг_4,
Щ+и ..., а„), т. е., другими словами, в Mi существует
такое аи что выполняется D8). Из D8) следует истин-
истинность высказывания C8). Значит, существует такое зна-
значение переменной xt, для которого форма D7) истинна,
и, следовательно, истинно высказывание C9). Учитывая,
что
(fli,
a,_i, ai+i,
X ... X Mi_x X
X Mi+l X . • • X М„
получаем (аи ..., a(_i, af+1, ..., a8)?A.
Полезными в эвристическом плане могут оказаться
две вытекающие из предыдущих рассмотрений „таблицы
аналогий" (см. табл. 1, 2).
Таблица 1
&
V
V
3
*
п
V
и
Табл
1
\
ица 2
3
пр
Пусть 21 (л:) — одноместная высказывательная форма,
множество М — область значений переменной х и AciM.
Выражение
(УЛИ(*) D9)

§ з] кванторы 157
обозначает высказывание „для любого а?А высказывание
31 (а) истинно", а выражение
(ЗхбЛJГ(х) E0)
— высказывание „существует такое а 6 Л, что высказыва-
высказывание 21 (а) истинно". Кванторы (Ух?Л) и (Зх?Л) назы-
называются иногда ограниченными кванторами. Ограниченные
кванторы связаны с обычными, так сказать, „неограничен-
„неограниченными" кванторами двумя важными равносильностями:
C*6 А) 21 (х) = (Эх? УН) [х? Л d 21 (х)]. E2)
Доказательство равносильностей E1), E2) предоставляем
читателю. Заметим только, что при А = 0 эти равносиль-
равносильности верны в силу определений E), F).
Указанные выше свойства (I) —(III) операций навеши-
навешивания „неограниченных" кванторов сохраняются, разуме-
разумеется, и для ограниченных кванторов. Например,
1 (V*6 А) (Зу ? В) 21 (х, у, г) = C*6 Л) (Уу 6 5) 1 Я (*, у, г).
При использовании ограниченных кванторов часто упо-
употребляется более вольная система обозначений. Пусть,
например, И (х) — одноместная высказывательная форма,
область значений переменной л; —множество D и А =
Df
= %{х 6 D | х > 0}. Тогда вместо (V* 6 Л) % (х) и (Зх 6 Л) 1 (х)
Df
часто пишут, соответственно, (Ух > 0) 21 (х) и (Зх > 0) 21 (х).
Если п — переменная с областью значений N и k?N, то
выражения (У« > 3) 91 (я), (Уя : 1 < п < &) 21 (л) означают,
соответственно,
В § 1 мы рассматривали схемы доказательства теорем
различного логического строения. Продолжим эти рас-
рассмотрения. Если нужно доказать теорему вида
(V*6A*)«l(jf), E3)

158 АЛГЕБРА ЛОГИКИ [Гл. IV
то, как правило, нужно, не задумываясь, брать произ-
произвольный элемент множества М, брать его в виде: „пусть
а —произвольный элемент множества М", переходить от
теоремы E3) к высказыванию
Я(а) . E4)
и вместо E3), используя уже специфику данной конкрет-
конкретной теоремы, специфику высказывательной формы 21, дока-
доказывать E4). При переходе от E3) к E4) квантор элимини-
элиминируется и логическая структура теоремы, которую надо
доказать, упрощается.
Если же, наоборот, дано, находится в нашем распоря-
распоряжении, является условием высказывание вида E3), то,
хотя мы имеем право брать любой элемент а ? М и утвер-
утверждать, что истинно E4), лучше в этом случае не торопиться
с переходом от E3) к E4), потому что выбор того или иного
элемента а может существенно упростить, облегчить дока-
доказательство. В этом случае надо выбирать а 6 М в зависи-
зависимости от специфики той теоремы, которую надо доказать.
Для квантора существования — наоборот. Если дано,
является условием высказывание вида
(Э*еЛ«)И(х), E5)
то, как правило, можно, не задумываясь, обозначать как-
нибудь, скажем, а, один из таких элементов множества М,
подстановка которых в форму 51 вместо переменной х
превращает ее в истинное высказывание (такие элементы
существуют по определению квантора существования в си-
силу истинности высказывания E5)), переходить от условия
E5) к. высказыванию E4) и в дальнейшем доказательстве
опираться на E4), а не на E5). При переходе от E5) к E4)
квантор элиминируется, логическая структура условия
упрощается, оно становится более удобным для исполь-
использования.
Если же теорему вида E5) надо доказать, то надо, исхо-
исходя из специфики данной конкретной теоремы, быть может,
предварительно проведя какой-то анализ, эвристическую
часть, предъявить какого-то кандидата а 6 М и попробо-
попробовать доказать E4). Если E4) удастся доказать, тем самым
теорема E5) будет доказана. Если E4) не удастся дока-
доказать, то отсюда еще не следует, что теорема E5) не верна.

§ з] кванторы 159
Отсюда следует только, что одно из двух: либо теорема E5)
не верна, либо мы выбрали плохого кандидата и надо
искать какой-то другой элемент b 6 М, для которого выска-
высказывание 21 (Ь) будет истинным. Полезно заметить, что
эвристическая часть (поиски кандидата а) не является
частью доказательства. Формально говоря, она не обяза-
обязательна. (По существу, без нее, конечно, не найдешь чаще
всего нужного кандидата.) Можно взять „с потолка" эле-
элемент а 6 М и доказывать для этого а E4). Если это удастся,
теорема E5) доказана. Объяснение, почему выбран тот или
иной кандидат а 6 М, не является составной частью дока-
доказательства.
Вторым важнейшим (после „равенств с множествами" —
см. § 3 гл. II) типом задач являются задачи на доказатель-
доказательство равносильностей высказывательных форм и высказы-
высказываний. [Простейший случай, когда высказывательные фор-
формы зависят только от высказывательных переменных,
в счет не идет: равносильность двух таких форм всегда
может быть доказана или опровергнута методом истинност-
истинностных таблиц (см. § 1).] Выше мы доказали равносильности
(9), B3), B5). Докажем для примера еще одну, несколько
неожиданную равносильность
(Зх)[Я(х)->в(х)] = (У*).Я(дс)->(Здс)»(л). E6)
Выражения в E6), равносильность которых надо дока-
доказать, могут зависеть только от 21 и 95. От х они не за-
зависят. Буква х является связанной переменной. Если ?1
и 95 —имена высказывательных форм, то эти выражения —
высказывания. С другой стороны, каждую из этих букв
можно считать переменной. Тогда эти выражения — выска-
высказывательные формы. Фиксируем две произвольные одно-
одноместные высказывательные формы % (х), 95 (х); обозначим
область значений переменной х (в обеих формах она
предполагается, разумеется, одинаковой) через М. Пусть
высказывание
(Э*)[Я(дс) -^ »(*)] E7)
истинно. Докажем, что тогда истинно высказывание
¦<У*)Я(*)-> C*)95(*). E8)

160 АЛГЕБРА ЛОГИКИ ГГл. IV
Для доказательства истинности импликации E8) предпо-
предположим, что истинна посылка импликации
(Vjc) 21 (х). E9)
Докажем, что тогда истинно ее заключение
(Вх)Ъ(х). F0)
Вследствие истинности высказывания E7) существует
такой элемент множества М, подстановка которого вместо
переменной х в форму 21 (х) —> 95 (я) превращает ее в
истинное высказывание. Обозначим один из таких эле-
элементов через а. Итак, а?М и высказывание
21 (а) -> 95 (а) F1)
истинно. Докажем, что для этого а истинно
в (а). F2)
Тем самым высказывание F0) будет доказано. В силу
истинности высказывания E9) подстановка любого эле-
элемента множества М вместо переменной х в форму 21 (х)
превращает ее в истинное высказывание. В частности,
истинно высказывание
21 (а). F3)
Из истинности высказываний F1) и F3) вытекает истин-
истинность высказывания F2). Пусть теперь истинно высказы-
высказывание E8). Докажем, что тогда истинно высказывание
E7). Поскольку высказывание E8) истинно, ложно
(Ух)Ш(х) или истинно (Эл:)95(х) (см. A8) из § 1). Рас-
Рассмотрим два случая. Пусть сначала ложно (У*) 21 (я).
Тогда истинно n(VJcJI(;e) или, в силу (9), (Зх)~\%{х).
Истинность (За:)  21 (х) влечет существование такого эле-
элемента множества М, подстановка которого вместо перемен-
переменной х в форму  21 (я) превращает ее в истинное выска-
высказывание. Обозначим один из таких элементов через а.
Итак, а ? М и высказывание
Л 21 (а) F4)
истинно. Докажем, что для этого а истинно высказыва-
высказывание F1). Тем самым истинность высказывания E7) в этом
случае будет доказана. Поскольку высказывание F4)

§ 3] КВАНТОРЫ 161
истинно, высказывание F3) ложно, а тогда импликация F1)
истинна тривиальным образом. Рассмотрим второй случай.
Пусть истинно F0). Тогда существует такой элемент мно-
множества М, подстановка которого вместо переменной х в
форму Я5 (а:) превращает ее в истинное высказывание. Обо-
Обозначим один из таких элементов через а. Итак, а ? М и
истинно высказывание F2). Докажем, что для этого а
истинно F1). Тем самым истинность E7) во втором слу-
случае также будет доказана. Но истинность F1) вытекает
из истинности F2) прямо по определению импликации.
Равносильность E6), помимо того общего, универсаль-
универсального метода рассуждений, которым мы ее доказали, можно
доказать и „преобразованиями", если опираться на некото-
некоторые другие равносильности
(Зх) [21 (х) -* 95 (*I = (Эх) [ 1 21 (х) V »(*I =
В этой выкладке мы, кроме тех равносильностей, кото-
которые указаны выше, опирались также на
А -> В= 1А\/В, F5)
(Э*)[ВД\/ВД] = C*)St(*)V0*)»(*). F6)
В § 1 гл. I мы назвали взаимно обратными теоремами
теоремы вида А —> В, В —> А, взаимно противополож-
противоположными теоремами — теоремы вида А —> В, ~\А —¦* ~] В,
где А и В — высказывания. Введем еще одно употребле-
употребление этих терминов. Пусть 21 (х), 95 (х) — одноместные вы-
сказывательные формы. Образуем из них четыре теоремы:
(V*) [И (*)-»»(*)], F7)
(V*)l®(*) -* И(*)], F8)
(V*) П И (*)-> П »(*)], F9)
(V*)M»(*) ->~1И(дс)]. G0)
Теоремы F7), F8) также называются взаимно обратными
теоремами, теоремы F7), F9) — взаимно противополож-
противоположными теоремами. Взаимно обратные теоремы F7), F8)
11 Ю. А. Шиханович

162 АЛГЕБРА ЛОГИКИ [Гл. IV
(а также взаимно противоположные теоремы F7), F9)) не
зависят друг от друга: они могут быть одновременно ис-
истинными, одновременно ложными *) и, наконец, одна из
них может быть истинной, другая — ложной. Теоремы
F7), G0) равносильны
(V*) [21 (х) -> 35 (х)} == (V*) [ 1» (х) -* ПЯ (х)]. G1)
Равносильность G1) также называется законом конт-
рапозиции.
Кванторы
(V
немного похожи на оператор
И кванторы и этот оператор действуют на высказына-
тельные формы:
И кванторы и оператор Щ связывают переменную б). Раз-
Разница между кванторами V, 3 и оператором g состоит
в том, что результат навешивания кванторов на выска-
зывательную форму есть высказывание (или высказыватель-
ная форма), а результат применения оператора % к выс-
казывательной форме есть множество (или форма). В от-
отличие от кванторов V, 3 и оператора % операторы 2, П
(§ 2 гл. I) действуют на числовые формы. Результатом
применения операторов 2, П к числовой форме является
число (или числовая форма). Подобно кванторам и опе-
оператору g операторы S, II связывают переменную.
Сделаем два заключительных замечания. Одно заме-
замечание будет относиться к написанию математических вы-
выражений, к письменному математическому языку, дру-
другое—к произношению математических выражений, к уст-
устному математическому языку.
Примем одно соглашение, относящееся к написанию
математических утверждений. Прежде всего заметим,
что выражение, являющееся высказыванием, не может,
*) Ср. со стр. 34.

S 3] КВАНТОРЫ 163
не должно содержат!) свободных переменных. (Связан-
(Связанные переменные, разумеется, могут быть.) Очень часто
в математике приходится иметь дело с высказываниями,
имеющими вид высказывательной формы, на которую на-
навешены один или несколько кванторов общности.
Примеры: 3) Пусть х, у, г — переменные с областью
значений D. Тогда
{Vx)(Vy)(>/z)[x<y*bx + z<y + z]. G2)
Выражение G2) является теоремой, причем верной тео-
теоремой.
4) Пусть х, у, z — переменные с той же областью
значений. Множество М действительных чисел (т. е. под-
подмножество множества D) называется промежутком, если
(V*) (Vy) (Vz) 1хеМ&уеМ&х<г<у-*г?М]. G3)
Выражение G3) является высказыванием (началом фра-
фразы М как бы фиксируется), но не теоремой. Впрочем,
я не настаиваю на четкости этого различения.
Условимся разрешать при написании высказыва-
высказывания, имеющего вид высказывательной формы, на кото-
которую навешены кванторы общности, эти кванторы
общности (стоящие впереди) опускать. Так, теорему
G2) можно теперь написать короче
x<y**xJrz<. y-fz. G4)
Определение промежутка тоже можно написать короче.
Множество AfcD называется промежутком, если
х?М&у?М&х<г<у^>г?М. G5)
Подчеркнем, что форму G4) можно считать теоремой
(т. е. высказыванием) только потому, что под формой
G4) мы подразумеваем, на основании нашего соглаше-
соглашения, результат навешивания на нее кванторов общности
по всем ее свободным переменным (в силу свойства (II)
или D2) порядок навешивания кванторов общности без-
безразличен), т. е., например, высказывание G2).
Повторяю еще раз: когда в качестве высказывания
подается высказывательная форма, то подразумевается
11*

164 АЛГЕБРА ЛОГИКИ [Гл. IV
результат навешивания на эту форму кванторов общности
по всем ее свободным переменным *).
Между прочим, по существу введенным только что
соглашением читатель пользуется уже давно. Еще со
времен первого знакомства с теоремой
(х -и уу = хг + 2ху + уг G6)
он бессознательно понимал, что под „теоремой" G6)
и всеми подобными теоремами подразумеваются теорема
(V*) (Vy) [(* + yf = х* + 2ху + у2]
и аналогичные замыкания других „теорем".
Стоит еще раз предупредить, что принятое соглаше-
соглашение относится только к кванторам общности и вдобавок
только к кванторам общности, стоящим впереди выска-
высказывания. Так, теорему
(Чх)(Чу)(Зг)[х<у->х<г<у] G7)
можно, ввиду принятого соглашения, записать как
(Зг)[х<у-*х<г<у],
но нельзя, конечно, записать в виде
x<y-±x<z<y. G8)
Если форму G8) подать как теорему, то под ней надо
подразумевать не теорему G7), а теорему
(Vx)(Vy)(Vz)[x<y-*x<z<y]. G9)
Между прочим, если х, у, г —переменные с областью
значений D, то теорема G7) верна (см., например, зада-
задачу 7 к § 1 раздела Б), а теорема G9) не верна.
Приведем еще один пример. Теорему
(Vx)(lz)Dy)[x<y->x<z<y] (80)
можно, на основании принятого соглашения, записать
как
*) Высказывание, получающееся навешиванием на форму 81 кван-
кванторов общности по всем ее свободным переменным, называется
иногда замыканием формы Й.

§ 3] КВАНТОРЫ 165
но нельзя, разумеется, записать в виде
Cz)[x<y->x<z<y]. (81)
Если форма (81) подается как теорема, то она обозна-
обозначает не теорему (80), а теорему G7). Между прочим,
если х, у, z — переменные с областью значений D, то
теорема (80) не верна, а теорема G7) или, что все равно,
теорема (81), как уже указывалось выше, верна.
Принятое соглашение позволяет немного добавить
к рассмотренному в § 2 вопросу о соотношении меж-
между == и ч±. Утверждение
1\(х, у, zMs 35 (ж, у, г), (82)
в силу сказанного в § 2, равносильно теореме
Dx)Dy)Dz)№(x, у, *)**«(*, у, г)]. (83)
На основании принятого соглашения равносильные теоре-
теоремы (82), (83) можно записать также в виде
И(х, у, z)*±%{x, у, z).
Итак, например, выражения
s=x ~\-z<y-\-z,
г<у±г (84)
означают (если выражение (84) подается в качестве
теоремы) одно и то же.
Второе замечание относится к произношению матема-
математических утверждений, содержащих выражения вида
(V-v) 2Г (лг), Eх)ЧЯ.(х). Это замечание вызвано тем .печаль-
.печальным обстоятельством, что в устной речи знаки препина-
препинания не видны (или, если „видны", обозначаются интона-
интонацией, то это не очень отчетливо при общении); указан-
указанное обстоятельство может приводить и, как показывает
опыт, часто приводит к двусмысленности, или, хуже
того, к подмене одного смысла другим, к логическим
ошибкам.
Как было указано в начале параграфа, выражение
Dx)SS.(x) может читаться так: „для любого дг 21 (л:)".

166 АЛГЕБРА ЛОГИКИ |Тл. IV
Если произносящий говорит (фраза (85), так сказать,
относится к устной речи, поэтому мы опускаем в ней
все знаки препинания):
«Для любого х 21 (л:) истинно», (85)
то не ясно, хочет ли он сказать, что
«„Для любого х 21 (х)" истинно», (86)
т. е.
*(Чх)Ъ{х) истинно», (87)
или что
«SI (х) истинно для любого х». (88)
Правда, в данном случае оба смысла —(86) и (88) —фра-
—фразы (85) равноправны: утверждения (86), (88) равносильны.
Не так, однако, обстоит дело с фразой (во фразе (89)
мы опускаем все знаки препинания)
«Для любого х ?1 (л:) ложно». (89)
Если произносящий говорит фразу (89), то не ясно, хо-
хочет ли он сказать, что
«„Для любого х 21 (х)" ложно», (90)
т. е.
«(V*Jt(x) ложно», (91)
или что
«21 (х) ложно для любого х». (92)
Два возможных смысла — (90) и (92) — фразы (89) уже,
очевидно, не равносильны. (90) означает только, что
не верно, что 21 (л;) истинно для любого х, т. е. что
«Существует такое х, что 21 (я) ложно», (93)
— утверждение, вообще говоря, более слабое, чем (92).
Аналогично обстоит дело с выражением ('5х)'й(х),
одним из разрешенных чтений которого являются слова
„существует такое х, что 21 (*)". Фраза (в (94) опущены
знаки препинания)
«Существует такое х что 21 (х) истинно» (94)
может означать как
. .. «„Существует такое х, что. 21 (*)" истинно», (95)

S3] КВАНТОРЫ 167
т. е.
«(Эх)'й(х) истинно», (96)
так и
«Существует такое х, для которого 91 (х) истинно». (97)
Оба смысла — (95) и (97) — фразы (94) равносильны. Одна-
Однако, фраза (в (98) опущены знаки препинания)
«Существует такое х что 91 (х) ложно», (98)
которая может означать как
«„Существует такое х, что 91 (х)" ложно», (99)
т. е.
«(Зх) 91 (х) ложно», A00)
так и
«Существует такое х, для которого 91 (я) ложно», A01)
имеет два неравносильных смысла. .(99), очевидно, озна-
означает, что не существует такого х, для которого 91 (х)
истинно, т. е. что
«91 (х) ЛОЖНО ДЛЯ ЛЮбоГО XI), . A02)
— утверждение, вообще говоря, более сильное, чем второй
смысл фразы (98) — утверждение A01). ..
Ввиду вышесказанного, рекомендуется избегать дву-
двусмысленных — при устном произношении — фраз типа
(85), (89), (94), (98). Желая сказать (86) или (87), лучше,
чтобы не сбивать себя и собеседника, говорить (во фразе
A03) я опускаю знаки препинания):
«Истинно что для любого х 91 (л:)». (ЮЗ)
Желая сказать (90) или (91), лучше говорить (во фразе
A04) я опускаю знаки препинания):
«Ложно что для любого х 91 (х)». A04)
Желая сказать (95) или (96), лучше говорить (во фразе
A05) я опускаю знаки препинания):
«Истинно что существует такое х что 91 (л;)». A05)
И наконец, желая сказать (99) или A00), лучше говорить
(во фразе A06) опущены знаки препинания):
«Ложно что существует такое х что 91 (л:)». A06)

168
АЛГЕБРА ЛОГИКИ
[Гл. IV
ЗАДАЧИ
1. Выразить область истинности высказывательной фор-
формы (V.tj) ЧЛ (Art, . . . , х„) через область истинности выска-
высказывательной формы 21 (Xi, . . . , xs). Для s = 2, t = 2,
Mi = M2 = D описать словами изображение на коорди-
координатной плоскости полученного множества.
Таблица 3
>
и
а

а
и
(ЗУ)
гл
—'
а
и
гл

а
и
I
гл
и
а
гл
>
и
и
гл
и
и
гл
ч
и
л
2. Рассмотрим табл. 3, в верхней строке которой выпи-
выписаны все восемь возможных двухкванторных приставок
(см. A5)—B2)). Заполним строчки этой таблицы всеми
возможными способами буквами и и л. Очевидно, строк
(не считая „входной", верхней строчки) будет Щ\, т. е. 256.
Поставим себе задачу для каждой из 256 строк придумать
такую двухместную высказывательную форму 21 (х, у),
чтобы истинностные значения восьми высказываний A5)—
B2), полученных навешиванием на нашу форму восьми
возможных двухкванторных приставок, совпадали с соот-
соответствующими истинностными значениями рассматривае-
рассматриваемой строчки. Разумеется, эта задача невыполнима. Ввиду
свойства (II) (см. стр. 154) для каждой строки, в первом и во
втором (или третьем и четвертом) столбце которой стоят
разные истинностные значения, искомой формы не сущест-
существует. Заменим поэтому табл. 3 на табл. 4, в которой это
свойство операции навешивания кванторов учтено. Задача
состоит в том, чтобы для каждой из 2IJ = 64 строк табл. 4
либо придумать пример двухместной высказывательной
формы §1(лг, у), соответствуюшей в вышеописанном смысле
данной строчке, либо доказать, что такой формы не сущест-

3]
КВАНТОРЫ
169
вует. Условимся дополнительно, что обе переменных при-
придумываемой формы должны иметь областью значений С.
Соображения, подобные тем, которые позволили нам перей-
перейти от табл. 3 к табл. 4, помогут найти еще много „пустых"
Таблица 4
>>
>>
и
и
mm
mm
и
а
>
m
и
и
m
>
и
и
m
и
и
ГТ1
¦к,
>
и
л
строк (т. е. строк, для которых искомой формы не сущест-
существует). Для некоторого психологического облегчения поис-
поисков и размышлений укажу, что „не пустых" строк существу-
существует меньше двадцати.
3. Сколько различных &-кванторных приставок можно
навесить на данную s-местную высказывательную форму
A<&<s)? Равносильность многих возникающих при
навешивании форм (или высказываний при к --= s) в этой
задаче следует игнорировать.
4. Доказать или опровергнуть, что
a) (Vjc) [91 (х) & 35 (х)\ = (V*) Я {х) & (Vx) S5 (х),
b) (V*) W (х) V 8 (х)] = (Чх) 91 (х) V (V.v) Я (х),
c) C*) [91 (х) & 8(х)] == (Зх) 91 (*) & {Эх) Э5 (х),
d) (Зх) [91 (*) V ® W1 - Cjc) Я (х) V (Здс) Я5 (х),
e) (V*) [91 (х) ~> 95 (х)] = (Vx) 91 (х) -> (Vx) Я5 (х),
f) (Зх) [91 (х) -> 55 (ж)] = (Зх) 91 (х) —> (Зх) 95 (х).
5. Пусть 91 — высказывательная форма, не содержа-
содержащая свободной переменной х. Доказать или опровергнуть,

170 АЛГЕБРА ЛОГИКИ [Гл. IV
ЧТО
a) (Vx) [21 & 93 (х)] =¦= ?! Л (V*) 85 (х),
b) (Vx) [91V 35 (х)] =¦ Я V (Vx) 95 (х),
c) (Эх)[И&«(х)] s=a&Cx)f&(x),
d) (Зх)[Я\/»(*)] = « V (Эх) »(х),
e) (Vx) [И -> 95 (х)] .== Я -* (Vx) 95 (х),
?) (Эх)[Я-»Я&(х)]эЯ->(Эх)в(х),
g) (Vx) [в (х) -> 21] « (Vx) 95 (х) -> 21,
h) Cx)l»(x)—>Я] = (Эх)в(х)—>Я.
6. Выразить при помощи наших обозначений выска-
высказывание
a) „Существует ровно одно х ? М такое, что 21 (.v)".
[Это высказывание обозначают иногда через C!x) 21 (х)
или через (Эхх) 21 (х).]
b) „Существует бесконечно много таких х € М, что
21 (х)". [Это высказывание обозначают иногда через
C«х)Я(х).]

ГЛАВА V
СООТВЕТСТВИЕ
§ 1. Соответствие*)
Слово „соответствие" уже встречалось нам в словосоче-
словосочетании „взаимно-однозначное соответствие" (§ 3 гл. III).
Мы не дали пока строгого определения термина „взаимно-
„взаимнооднозначное соответствие" (такое определение будет дано
в § 2), ограничившись лишь интуитивным описанием ситуа-
ситуации, в которой говорят, что „между множествами X и Y
установлено взаимно-однозначное соответствие". На
упомянутое интуитивное описание можно взглянуть со сле-
следующей, несколько новой стороны: говорят, что между мно-
множествами X и Y установлено взаимно-однозначное соот-
соответствие, если указано такое подмножество G прямого
произведения X х Y, которое обладает некоторыми (фак-
(фактически перечисленными в § 3 гл. III, я не буду сейчас
напоминать или выделять их) свойствами. Таким образом,
чтобы между множествами X к Y установить взаимно-одно-
взаимно-однозначное соответствие, нужно выделить график G <= X >: Y
с определенными свойствами. Взаимно-однозначное соответ-
соответствие между множествами X и Y полностью характери-
характеризуется, во-первых, самими множествами X и Y и, во-вто-
во-вторых, графиком G s X х Y. Что же такое само взаимно-
взаимнооднозначное соответствие? Что такое „соответствие" вообще?
Соответствие — это тройка множеств **), первая ком-
компонента которой является подмножеством прямого произ-
произведения второй и третьей компонент. Еще раз, по-другому:
*) Перед началом чтения этого параграфа рекомендуется
внимательно перечитать § 5 гл. III.
**) Т. е. тройка, каждая компонента которой есть множество.

172 СООТВЕТСТВИЕ [Гл. V
тройка множеств (G, X, Y) называется соответствием,
если GgXxK.
Соответствия мы будем в основном обозначать пропис-
прописными греческими буквами.
Пусть
Г = <С X, Y) A)
ы
— произвольное соответствие. Из определения соответ-
соответствия следует, что его первая компонента G есть график.
График G, т. е. первая компонента соответствия Г, назы-
называется графиком соответствия. Множество X, т. е. вторая
компонента соответствия Г, называется областью отправ-
отправления соответствия. Множество Y, т. е. третья компо-
компонента соответствия Г, называется областью прибытия
соответствия. Соответствие Г с областью отправления X
и областью прибытия Y называется соответствием между
множествами X и Y. Кроме трех основных множеств:
графика, области отправления и области прибытия, еще
два важных множества неразрывно связаны с каждым
соответствием. Область определения графика G соответ-
соответствия Г, т. е. множество np4G, называется областью опре-
определения соответствия. Область значений графика G соот-
соответствия Г, т. е. множество np2G, называется областью
значений соответствия.
Если (а, Ь) ? G, то мы будем говорить, что элемент Ъ
соответствует элементу а в (или при) соответствии Г.
Если а 6 npjG, то мы будем говорить, что соответствие Г
определено на элементе а.
Понятие соответствия определено у нас через (неопре-
(неопределяемые) понятия множества и кортежа. Поскольку поня-
понятие соответствия является у нас определяемым понятием,
для него не нужно уславливаться особо, какие соответ-
соответствия мы считаем одинаковыми, а какие — различными.
Условие, о котором идет речь, вытекает автоматически
из описания понятий множества (§ 1 гл. II) и кортежа
(§ 1 гл. III). Два соответствия совпадают (равны) тогда
и только тогда, когда равны их графики, области отправ-
отправления и области прибытия.
Примеры: I) Соответствие
Г = ({(а, а), {а, р>, (Ь, а)}, {а, Ь, с}, {а, р\ у}) B)
Df

§ 1]
СООТВЕТСТВИЕ
173
о
г
Рис. 18.
Рис. 19.
очень удобно изобразить на рисунке (см. рис. 18). Мы часто
будем пользоваться подобными рисунками либо для зада-
задания конкретных соответствий, либо для иллюстрации и по-
пояснения (см. рис. 19; на нем изображено не какое-то
конкретное, а „произ-
„произвольное" соответствие).
В соответствии Г эле-
элемент а соответствует эле-
элементам а и Ъ и элемент
Р соответствует элемен-
элементу а, но (таков точный
смысл введенной нами
терминологии) сказать,
что в соответствии Г эле-
элемент а соответствует элементу а, не верно. Областью оп-
определения соответствия Г является множество {а, Ь},
областью значений — множество {а, §}. Соответствие Г
определено на а и на Ъ и не оп-
определено на с.
2) Соответствие А, заданное
рис. 20, является другим соответ-
соответствием между теми же множест-
множествами (а, Ь, с) и {а, р, у}-
3) Соответствие 2, заданное
рис. 21, разумеется, не равно Г
из примера 1. Всевозможные разго-
разговоры о том, что „по существу 2
совпадает с Г, так как элементы
с и y не участвуют в соответствии Г", являются, после
наших строгих определений, бессмысленными.
4) Для любых множеств X и Y тройки (XxY, X, Y)
и @, X, Y) являются соответствиями, причем соответ-
соответствиями именно между X к Y. Это, так сказать, „крайние"
соответствия между X и Y.
5) Тройка
@, 0, 0) C)
является соответствием между 0 и 0. Очевидно, это
— единственное соответствие между 0 и 0.
Очевидно (а кроме того, вытекает из задач 1 к § 5 гл. III
и 2 х § 5 гл. III), что если GsXx Y, то G s Y X X.
\

174 СООТВЕТСТВИЕ [Гл. V
Следовательно, если тройка (G, X, Y) является соответ-
соответствием, то тройка (G~\ Y, X) тоже является соответствием.
Это позволяет дать следующее определение. Соответствие А
называется инверсией соответствия Г, если график соот-
соответствия А является инверсией графика соответствия Г,
область отправления соответствия А равна области при-
прибытия соответствия Г и область прибытия соответствия А
совпадает с областью отправления соответ-
соответствия Г *). Инверсия соответствия Г обоз-
обозначается через Г. Таким образом, для
соответствия A) инверсией является, по
определению, соответствие
T'l = {G-\Y,X). D)
Df
Очевидно, область определения инверсии
соответствия Г равна ^области значений са-
самого соответствия Г,' а область значений
инверсии соответствия Г равна J области определения со-
соответствия Г (см. G) и (8) из § 5 гл. III). Очевидно так-
также, что элемент b тогда и только тогда соответствует
элементу а в соответствии Г-1, когда элемент а соответ-
соответствует элементу Ъ в соответствии Г. Инверсией инверсии
соответствия Г является снова соответствие Г (см. F)
из § 5 гл. III). В символах
(r-V = r E)
Г-1 —Г тогда и только тогда, когда график соответст-
соответствия Г симметричен, а область отправления соответст-
соответствия Г совпадает с его областью прибытия.
Примеры: 6) Если Г — соответствие из примера 1
(см. рис. 18), то соответствие Г-1 может быть задано
рис. 12 (рис. 22 получается из рис. 18 „переворачива-
„переворачиванием" стрелок.)
7) Если Г«<ХхУ, X, Y), то T-1 = (YxX, Y, X)
Df
(задача 2 к § 5 гл. III).
8) Если Г = <0, X, Y), то Г-1 = <0, У, X).
Df
0) <0, 0, 0>-1 = @, 0, 0).
Перейдем к операции композиции. Легко видеть, что
если 6'сХхУ, а Яс2хУ, то GoHqXxU. Следова-
Следовательно, если тройки (G, X, У) и (Я, Z, U) являются

§ I] СООТВЕТСТВИЕ 175
соответствиями, то тройка (G<>H, X, U) тоже является
соответствием. Это позволяет дать следующее определе-
определение. Соответствие 2 называется композицией соответст-
соответствий Г и Л, если график соответствия X является компо-
композицией графиков соответствий Г и Д, область отправле-
отправления соответствия ? равна области отправления соответ-
соответствия Г и область прибытия соответствия 2 совпадает
с областью прибытия соответствия А. Композицию соот-
соответствий Г и А мы будем обозначать через Г°А 2). Та-
Таким образом, композицией соответствий A) и
Д = <Я, Z, U) F)
DJ
является, по определению, соответствие
roA = (Gotf, X, U). G)
ш
Элемент Ъ тогда и только тогда соответствует элементу а
в соответствии Г°Д, когда существует такой „посредник" с,
который соответствует элементу а в соответствии Г и ко-
которому, в свою очередь, соответствует элемент Ь в соот-
соответствии А.
Из доказанного в § 5 гл. III вытекает, что для лю-
любых трех соответствий
(Г°Д)о2 = Го(АоЕ). (8)
Возьмем п произвольных соответствий (п > 3) rlt Г2, ...
..., Гп и в выражении Г4оГ2о ... оГ„ фиксируем произ-
произвольную расстановку скобок, приводящую к последоиа-
тельному попарному, компонироваиию соответствий. Не-
Нетрудно доказать, что графиком полученного в резуль-
результате соответствия А является композиция графиков соот-
соответствий Гц Г2, ...,Г„ (см. § 5 гл. III), область отправ-
отправления соответствия А равна области отправления соот-
соответствия Г! и область прибытия соответствия А совпадает
с областью прибытия соответствия Гп.
Из этих утверждений и доказанного в § 5 гл. III
вытекает, что при любом п > 3 результаты двух произ-
произвольных расстановок скобок в выражении
1>Г2= ... оГп (9)
дают одно и то же соответствие. Таким образом, как
и для графиков, можно определить композицию (9)

176 СООТВЕТСТВИЕ [Гл. V
произвольного (конечного) числа соответствий как резуль-
результат последовательного попарного компонирования соот-
соответствий Г1? Г2, ..., Г„ при любой расстановке скобок.
Из B5) из § 5 гл. III вытекает, что
(ГоЛ^Д-ЧГ-1. A0)
Из B6) из §5 гл. III и сформулированных выше утверж-
утверждений вытекает более общее утверждение:
(Г1ОГ2о ... о Г„)-! = Г^о ... оГ-^Гг1. (И)
До сих пор в этом параграфе мы по существу пожи-
пожинали плоды § 5 гл. III. Введем два новых понятия.
Пусть r = {G, X, У) —произвольное соответствие,
А — произвольное множество. Образом множества А при
соответствии (или относительно соответствия) Г назы-
называется и через Т(А) обозначается множество тех элемен-
элементов области прибытия соответствия Г, каждый из которых
соответствует в соответствии Г какому-нибудь элементу
множества А. Таким образом,
{y\()l y)tG\}. A2)
Df
В частности,
Г ({а}) = Ш{уеУ\(Зхе {а}) [(х, у) 6 G]},
что, конечно, можно написать проще:
r({a}) = g{y6F;(a, y)?G), A3)
т. е. Г ({а}) —это множество элементов, соответствующих
элементу а в соответствии Г, или, на „рисуночном" язы-
языке, множество концов стрелок, выходящих из a *). Легко
видеть, что 3)
Г(Л) = U Г«*}). A4)
х?А
На „рисуночном" языке Г (Л) —это множество кон-
концов стрелок, выходящих из элементов множества А.
Каждое из следующих утверждений очевидно (и легко
*) Для произвольного соответствия Г выражение Г (а), в отли-
отличие от Г ({а}), у нас не имеет смысла (ср. с § 1 гл. VI).

СООТВЕТСТВИЕ
177
доказывается):
Г(Л)Спр2(л
Г@) =
A5)
A6)
A7)
A8)
A9)
B0)
B1)
Примеры: 10) Если М--={а, Ь, с, d, e, g\, G =
Df Df
= {(a, e), (c, b), (d, d), (e, c>, (g, b), (a, d)}, T = (G, M, M)
Df Df
и Л = {а, b, d, g}, то Г(Л) = {е, d, b).
11) ЕелиС = §{<лг, yND2|i/-3x-L2 = 0}, T = {G, D, D)
Dt Df
и Л = [2, 3), то Г (Л) ==[4, 7) (см. рис. 23).
Пример 11 и рис. 23 подсказывают нам гипотезу, что
для любых соответствия
Г = (G, X, Y) и множества Л
Df
Г(Л) = пр2[(ЛхУ)ПС|.
B2)
Равенство B2) действи-
действительно верно и легко дока-
доказывается. Оно выражает об-
образ Г (Л) множества Л при
соответствии Г через график
соответствия Г. Равенство B2)
может облегчить (и без него
легкое) доказательство утвер-
утверждений A5) —B1).
Если Г, Л — произволь-
произвольные соответствия я А — произвольное множество, то
(ГоЛ)(Л) = Д(Г(Л)). B3)
Равенство B3) вскрывает самую суть понятия „компози-
„композиция соответствий". Оно показывает, что „применить"
12 ю. А. Шиханович
У,
7
1
¦ i
"'У
-
¦ /
Г
\
1
1
1
-1-1
\
/
/1
/1
Г 1
i
i
у
1
i ¦ i ¦ i i ъ
2 3 . ~ х
Рис. 23.

178 СООТВЕТСТВИЕ [Гл. V
к множеству А композицию соотнетствий Г и Л —это
значит последовательно (сначалаГ, потом А) „применить"
эти соответствия. Композиция соответствий — это последо-
последовательное „применение" соответствий.
Примеры: 12) Пусть
Г=({(а, а), (а, у), (Ь, а), {с, р»,
Df
{а, Ь, с, d), (а, р\ у}),
Д = <«р\ 2), <р, 3), (у, 2}},
{а, р, y},{1, 2, 3, 4}),
А~{а, Ь).
Тогда (см. рис. 24)
ГоД = ({(«, 2), (с, 2), (с, 3)},
{а, Ь, с, d}, {1, 2, 3, 4»,
Г (А) = {а, y}, Д (Г (А)) = (ГоД) (А) -, {2}.
13) Если Г — соответствие между D и D с графиком
а А — соответствие между D и D с графиком
${(х, y)eD*\y = \gx},
то композиция ГоД будет иметь графиком множество
П{(х, y)eD*ly=\gslnx}.
Утверждение B3) легко обобщается на любое число соот-
соответствий. Если Г4, Г2, ..., Г„ — произвольные соответствия
(п>3) и Л —произвольное множество, то
..). B4)
Пусть F = (G, X, У) —произвольное соответствие, А—
Df
произвольное множество. Полным прообразом множества
А при соответствии (или относительно соответствия)
Г называется и через Г-1 (Л) обозначается *) множество
тех элементов области отправления соответствия Г,
каждому из которых соответствует в соответствии Г
¦) Возникающая коллизия (столкновение) обозначений полного
прообраза множества Л при соответствии Г и образа множества А
при соответствии Г через несколько строчек будет разрешена.

S l] СООТВЕТСТВИЕ 179
какой-нибудь элемент множества Л. Таким образом,
Т-ЦЛ)--^{хеХ\AуеАI(х, у)(ЕС]}. B5)
Если Г = (<?, X, Y), то Г-1 = {G-\ У, X). По определе-
Df
нию образа образ множества А при соответствии Г-1 ра-
равен ${xeX\CyeA)\(y, xytG-1]} (см. A2)). Следова-
Следовательно, полный прообраз множества А при соответствии
Г совпадает с образом множества А при соответствии Г.
Это позволяет любое утверждение, относящееся к полно-
полному прообразу, свести к некоторому утверждению об
образе и наоборот. Таким образом получаем, в част-
частности, аналоги утверждений A3) —B4):
T-H{a}) = ${xeX\(x,a)eG}, B6)
Г-1(Л)=иГ-Ч{*}), B7)
Ас В -^Г (А) СГ1 (В), B8)
Г-1(Л) = Г(АПпр2С), B9)
Г (А) = 0 W1 Г) nP2G = 0, C0)
C1)
C2)
C3)
C4)
C5)
C6)
(IYIV... оГ„) (А) = ГГ1 (Г (• • ¦ (Г;1 (А))...)). C7)
Примеры: 14) Если Г и Л —те же, что в приме-
примере 10, то Г (А)-{с, g, d, a}.
15) Если Г и Л —те же, что в примере 11, то
Г"ЧЛ)= [у, |) (см. рис. 25; ср. с C5)).
Утверждения B6), B7) показывают, что Г ({с}) —
это множество элементов, которым соответствует в
соответствии Г элемент а, или, на „рисуночном" языке,
множество начал стрелок, входящих в а; Г" (Л) — это
множество начал стрелок, проведенных к элементам
множества Л.
12*

180
СООТВЕТСТВИЕ
[Гл. V
¦Г
Рис. 25.
Равенство C5) выражает полный прообраз Г (А)
множества А при соответствии Г через график соответ-
соответствия Г.
Введем еще два понятия. Пусть Г = (О, X, Y) —
Df
произвольное соответствие, Л —произвольное множество.
Сужением соответствия Г на множество А называется
и через Та обозначается со-
соответствие
(G[)(AxY), X, Y). C8)
Таким образом, элемент b
соответствует элементу а в
соответствии Гл тогда и
только тогда, когда а?А и
элемент Ь соответствует эле-
элементу а в соответствии Г.
График сужения соответствия
Г на множество А являет-
является, по определению, множест-
множеством тех пар из графика соот-
соответствия Г, первая компонен-
компонента которых принадлежит А. Область отправления и область
прибытия соответствия Гл совпадают, соответственно, с об-
областью отправления и областью прибытия соответствия Г *).
Примеры: 16) Если Г — соответствие, заданное
рис. 20, и А—{а, с}, то ГЛ задается рис. 26.
Df
17) Если Г — соответствие между D и D с графиком
${{х, y)eD*\y = x2} и А = [2, 3], то ГЛ задается рис. 27.
Df
Легко видеть, что область определения сужения
соответствия Г на множество А равна y4|~|npiG. Из B2)
вытекает, что область значений сужения соответствия Г
на множество А равна образу множества А при соответ-
соответствии Г. Если npjGc.4, то Га = Г.
Двойственным, в некотором смысле, к понятию суже-
сужения является понятие продолжения. Соответствие
А =--(//, Z, U) называется продолжением соответствия
ы
Г = (С, X, Y), если Gg.H, Z = X, U=Y5). Таким обра-
ш
зом, если соответствие Д является продолжением соот-

§ 1]
СООТВЕТСТВИЕ
181
ветствия Г и элемент b соответствует элементу а в соот-
соответствии Г, то элемент b соответствует элементу айв
соответствии Д.
Для любых соответствия Г и множества А соответ-
соответствие Г является продолжением сужения ГА. Однако не
Л;
12 3
х
Рис. 27.
верно утверждать, что произвольное соответствие
T — (G, X, Y) равно сужению на nptG любого своего
Df
продолжения.
ЗАДАЧИ
1. Чему равно число соответствий между /п-элемент-
ным множеством X и n-элементным множеством У? ¦
2. Доказать или опровергнуть, что для любого соот-
соответствия Г и любых множеств А и В:
a)
Ъ)
с)
d)
е)
f)
Г(А\В) = Г(А)\Т(В),

182 СООТВЕТСТВИЕ ГГл'.-V
3. Пусть Г — соответствие между D и D с графиком
#{<*. У)?О2\у = х2}. Найти Г (Л) и Г (Л), если
а)
b)
с)
Л =
Df
л =
Df
Df
[2,
B,
[ —
3]
31
%
»
21, .
е)
f)
g)
Л =
Df
A — (
Df
Df
[-2, 3],
[-2, 31,
[-2,3),
d) Л = (-2, 2], h) Л = (-2, -1).
Df Df
4. Найти Г (Л) и Г (Л), если М = {а, Ь, с, d, e),
Dt
G = {(a, b), (b, b), (a, c), (b, d), (a, e), (e, b)),
Df
T = (G, M, M), A = {a, c, e).
Df Df
5. Доказать, что для произвольного соответствия Г
и для любого множества А
ГА(Л)-Г(Л).
§ 2. Основные свойства соответствий
Соответствие Г = (С, X, У) называется функциональ-
т
ным соответствием, или функцией, если его график G
функционален *). Таким образом, соответствие Г функ-
функционально тогда и только тогда, когда (область значе-
значений переменных х, у, xv x2, yif y2 ясна из обозначений)
[(х1ч
хг&у1ФуД. A)
Преобразуя высказывание A) по правилам гл. IV (исполь-
*) Я надеюсь, что после прочтения гл. V, VI читателю станет
ясно: предлагаемое здесь определение функции является уточне-
уточнением (не единственно возможным —см. примечание х) к § 1 гл. VI)
или заменой того понятия функции, с которым он познакомился
в школе.

S 2] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СООТВЕТСТВИЙ 183
зуя, в частности, F5) из § 3), легко получить, что оно
равносильно высказыванию
(V*,) (Va-2) (VyO (V«/0 К*,, ух) б G & {хг, уг) 6 G &
&х1 = хг-*-у1 = у2\ B)
или (контрапозиция) высказыванию
/,> 6 g & (x2, y2) ea&
1фх2]. C)
Высказывания A) —C) можно заменить на равносильные,
но более простые высказывания
(Зх) (Э&) (Зуг) [(х, у!> б О & <*, г/2> 6 G & f/i ?= yd. D)
, у2)eG-*yt = y2\. E)
Соответствие F=(G, X, У) называется инъективным,
Df
если его график G инъективен. Таким образом, соответ-
соответствие Г инъективно тогда и только тогда, когда
И (Э*,) (Эх2) C0i) (Эу2) \(хиу,)еG&{x2, y2)?G&
уг] F)
Высказывание F) равносильно каждому из следующих
высказываний (ср. с A)—E)):
<jc2, y2) 6 G &
G)
& jJi=^^2—>yi Ф Уг], (8)
П C*0 (Э*2) (Э«/) [<jc,, г/)еС&(л:2, у)^&ххфх2\, (9)
>A;1=--Ar2]. A0)
Соответствие Г = (G, X, Y) называется всюду опреде-
nr
ленным, если его область определения совпадает с его
областью отправления, т. е. если
np1G=X. A1)
Легко, видеть, что соответствие Г всюду определено

184 СООТВЕТСТВИЕ [Гл. V
тогда и только тогда, когда
(Vx)Cy)[(x, y)eG]. A2)
Соответствие F = (G, X, У) называется сюръективным,
т
если его область значений совпадает с его областью
прибытия, т. е. если
K. A3)
Соответствие Г сюръективно тогда и только тогда, когда
(Vy) (Эдс) [<*, у) 60]. A4)
Соответствие. Г = @, X, У) называется биективным
ы
соответствием, или биещией или взаимно-однозначным
соответствием, если оно функционально, инъективно,
всюду определено и сюръективно*).
Если среди соответствий между множествами X и У
существует взаимно-однозначное соответствие, то гово-
говорят, что между множествами X и Y можно уста-
установить взаимно-однозначное соответствие.
Для того чтобы доказать, что между заданными
множествами X, Y можно установить взаимно-однознач-
взаимно-однозначное соответствие, нужно задать (или доказать, что суще-
существует) такой график СсХхУ, чтобы тройка {G, X, У)
была биекцией. Если мы каждому элементу множества X
поставим в соответствие один элемент множества У
(см. § 3 гл. III), мы получим некоторый график GC^XxY,
причем соответствие (G, X, У) будет уже всюду опреде-
определенным („каждому") и функциональным („один"). Если
нам удастся затем доказать, что в построенном нами
соответствии разным элементам множества X соответст-
соответствуют разные элементы множества У и каждый элемент
множества У соответствует хотя бы одному элементу
множества X, будет доказано, что наше соответствие
вдобавок инъективно („разным.. .разные") и сюръективно
(„каждый") и, следовательно, биективно. Таким образом,
во-первых, интуитивное описание, сделанное в § 3 гл. III,
*) Термины „сюръекция" и „инъекция" мы резервируем для
гл. VI, где они будут означать не то же самое, что „сюръиктивное
соответствие", „инъектиеное соответствие",

§ 2] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СООТВЕТСТВИЙ 185
находится в полном согласии со строгим определением
взаимно-однозначного соответствия, сформулированным
здесь, и, во-вторых, если соответствие между множества-
множествами X и У строится нами по плану, указанному в § 3
гл. III („каждому элементу множества X ставится в соответ-
соответствие один элемент множества У"), то при доказательст-
доказательстве биективности построенного соответствия два из четы-
четырех свойств: всюду определенность и функциональность —
можно уже' не проверять. Они обеспечиваются автомати-
автоматически, самим построением. Проверять надо только инъек-
тивность и сюръективность. Разумеется, если соответствие
не строится нами, а дается нам извне, в готовом виде,
то проверять надо все четыре свойства.
Введенные выше пять свойств мы будем называть
основными свойствами соответствий*).
Из доказанного в § 5 гл. III следует, что для любого
соответствия Г
Г — инъективное ч=*= Г —функция, A5)
Г • — функция ч=*= Г — инъективное. A6)
Очевидно также (см. § 1), что
Г — сюръективное set Г — всюду определенное, A7)
Г —всюду определенное ч* Г — сюръективное. A8)
Из A5) —A8) следует, что
Г —биекция ч* Г —биекция. A9)
Таким образом, если между множествами X и У можно
установить взаимно-однозначное соответствие, то между
множествами У и X тоже можно установить взаимно-
взаимнооднозначное соответствие.
Из доказанного в § 5 гл. III следует, что композиция
функций есть функция и композиция инъективных соот-
соответствий инъективна.
Аналогичные утверждения для произвольных всюду
определенных, сюръективных и биективных соответствий
не верны. Например, если не пустые множества У и Z
не пересекаются и Г = (У2, У, Y), A=(Z2, Z, Z), то Г и
Df ОГ
*) См. сноску на стр. 125.

186 СООТВЕТСТВИЕ Гл. V
А всюду определены и сюръективны, а ГоА = @,У,2>
не всюду определена и не сюръективно.
Если, однако, область прибытия соответствия Г совпа-
совпадает с областью отправления сооткетствия А (важнейший
для практики случай) и соответствия Г, Л всюду опреде-
определены, то и их композиция ГоА всюду определена. Анало-
Аналогичное утверждение верно (при указанном выше доста-
достаточном условии) также для сюръективных и, следова-
следовательно, биективных соответствий.
Таким образом, если между множествами X и У можно
установить взаимно-однозначное соответствие и между
множествами Y и Z можно установить взаимно-однознач-
взаимно-однозначное соответствие, то между множествами X и Z тоже
можно установить взаимно-однозначное соответствие.
Между множествами X и X, очевидно, всегда можно
установить взаимно-однозначное соответствие. Примером
такого соответствия является биекция (А*, X, X), и кото-
которой, каждому элементу а ?Х соответствует а и только а.
Если X и К —конечные множества, скажем, X — т-эле-
ментное,- а У— n-элементное множество, то между мно-
множествами X и К тогда и только тогда можно установить
взаимно-однозначное соответствие, когда т~п, причем
при этом условии различных взаимно-однозначных соот-
соответствий между X и У существует Рп = п\. Таким обра-
образом, вопрос о возможности установления взаимно-одно-
взаимно-однозначного соответствия между двумя конечными мно-
множествами (и даже вопрос о числе таких соответствий)
совершенно ясен. В следующем параграфе мы рассмотрим
аналогичный вопрос для бесконечных множеств.
ЗАДАЧИ
1. Чему равно число нижеуказанных соответствий
между m-элементным множеством X и «-элементным
множеством У:
a) функциональных?
b) инъективных?
c) всюду определенных?
. d) сюръективных?
2. Найти необходимое и достаточное условие, которо-
которому должно удовлетворять соответствие Г, чтобы для

§ 2] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СООТВЕТСТВИЙ 187
любых множеств А и В:
a) ГИПД)-Г(Л)Г)Г(В),
b) Г(Л\В) = Г(Л)\Г(Я),
c) г-млпв) = г-1(Л)ПГ-1(В),
d) Г (Л\?) = Г (Л)ЧГ-1 E).
3. Найти необходимое и достаточное условие, кото-
которому должно удовлетворять соответствие Г, чтобы для
любого подмножества Л области отправления соответст-
соответствия Г
a) ЛсГ-1(Г(Л)),
b) Г (Г (Л)) с Л.
4. Найти необходимое и достаточное условие, которо-
которому должно удовлетворять соответствие Г, чтобы для
любого подмножества Л области прибытия соответствия Г
a) Лег (Г (Л)),
b) Г (Г (Л)) с Л.
5. Найти необходимое и достаточное условие, которо-
которому должно удовлетворять функциональное соответствие 2
между данными множествами X и У, чтобы
а) для любого множества U и для любых соответствий
Г, А между множеством U и множеством X
Ь) для любого множества Z и для любых соответствий
Г, Д между множеством У и множеством Z
ЕоГ = 2оД —> Г = Д.
6. Найти по возможности более слабые достаточные
условия, которым должны удовлетворять соответствия Г
и Д, чтобы соответствие ГоД было
a) всюду определенным,
b) сюръективным,
c) биективным.
7. Доказать, что если композиция ГоД соответствий Г
и Д всюду определена, то и соответствие Г всюду опре-
определено. ..

188 СООТВЕТСТВИЕ [Гл. V
8. Доказать, что если композиция ГоД соответствий Г
и А сюръективна, то и соответствие Д сюръективно.
9. Доказать, что если композиция Г°Д функциональ-
функциональных соответствий Г и Д биективна, то соответствие Г
инъективно. Опровергнуть аналогичное утверждение для
произвольных соответствий Г, Д.
10. Что можно сказать о соответствиях Г и Д, если
их композиция ГоД инъективна?
11. Доказать или опровергнуть, что сужение ГА
функционального соответствия Г на произвольное мно-
множество А функционально. Аналогичная задача для
свойств инъективности, всюду определенности, сюръектив-
ности и биективности.
§ 3. Взаимно-однозначные соответствия
между бесконечными множествами
Начнем с примеров.
Примеры: 1) Установим взаимно-однозначное соот-
соответствие между множеством N и множеством А отрица-
отрицательных целых чисел. Поскольку область отправления (N)
и область прибытия (А) требуемого соответствия уже ука-
указаны, для построения искомого соответствия остается
задать его график G. Если в G включить пары (га, —-га)
(га= 1,2,3, ...), тройка {G, N, А) будет искомым соот-
соответствием.
2) При первом знакомстве возможность установления
взаимно-однозначного соответствия между множеством N
и множеством В положительных четных чисел, являю-
являющимся истинным подмножеством множества N, обычно
удивляет, кажется парадоксальной, противоречащей «изве-
«известной аксиоме» „целое больше своей части" и т. п. Однако
множество пар вида (га, 2п) является графиком требуе-
требуемого соответствия.
3) После предыдущего примера уже легко устанавли-
устанавливается взаимно-однозначное соответствие между множе-
множеством N и множеством С положительных целых чисел,
кратных некоторому фиксированному числу k((n, n-k)),
между множеством N и множеством квадратов натураль-
натуральных чисел ((/г, п2)) или, более общо, между множеством
N и множеством k-x степеней натуральных чисел ((га, /г'')).

§ 3] СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНЫМИ МНОЖЕСТ. 189
4) Множество D простых чисел бесконечно*). Обозна-
Обозначим я-е в порядке возрастания простое число через рп**).
Таким образом, р4 = 2, р2 = 3, р3 = 5, р4 = 7, р5=1\ и т. д.
Хотя у нас нет формулы, позволяющей по п вычислять рп,
или, по крайней мере, нет столь же простой, как в пре-
предыдущих примерах, формулы ***), мы, тем не менее, можем
i I | i
I К I A I 7 '
О 1 1-1
2 ! -2 ' 3 I -3
Рис. 28.
установить взаимно-однозначное соответствие между мно-
множествами N и D. Если числу я ? N поставить в соответ-
соответствие число рп, построенное соответствие будет взаимно-
взаимнооднозначным соответствием между N и D, причем всюду
определенность обсуждаемого соответствия вытекает из
указанной выше бесконечности множества D.
5) После предыдущего примера становится очевидным,
что, каково бы ни было бесконечное подмножество Е
множества N, между множествами N и ? можно уста-
установить взаимно-однозначное соответствие — факт, покры-
покрывающий примеры 2 — 4.
6) После установления нескольких взаимно-однознач-
взаимно-однозначных соответствий между некоторым множеством и его
истинным подмножеством взаимно-однозначное соответ-
соответствие между множеством и его надмножеством, разу-
разумеется, уже не удивляет. Между множеством N и мно-
множеством С можно установить взаимно-однозначное соот-
соответствие. Требуемый график может быть составлен
согласно рис. 28. Впрочем, в данном случае нетрудно
*) Докажите сами или прочтите на стр. 11 — 14 книги [18].
**) Если угодно, рп можно определить индуктивно: Pi = 2;
Pn+i~наименьшее простое число в множестве D \ {pi, Рг ,..., рп}-
(Об индуктивных определениях можно прочитать в § 3 книги [4].)
¦**) Такой формулы нет не только «у нас», она вообще не изве-
известна, не открыта.

190 СООТВЕТСТВИЕ [Гл. V
рисунок заменить „формулами": A,0), Bи, п), <2п -(--1, — п)
(п=1, 2, 3, ...)•
7) Несмотря на предыдущие примеры, тех читателей,
которым еще не показалось, что между любыми двумя
— L ZjL JL ~2 3 ill
1 1 1 1 ~Т~ 7 ~~Г ' ' '
L L nl 2-2 3—3
2 2 2 '2 2 2 2
0_ ]_ — / 2 —2 3 —3
3 3 3 3 3 3 3' ' ' '
¦ ° 1 ~~1 ? ~2 3 ~3
4 4 4 4 4 ~4 4 ' ' '
Рис. 29.
бесконечными множествами можно установить взаимно-
взаимнооднозначное соответствие, установление взаимно-
взаимнооднозначного соответствия между множествами N и R
должно удивить. Однако такое соответствие установить
0 1-12-23 действительно можно, и ввиду, во-
Т~*"Т 1 "Т Т"*Т первых, важности этого соответст-
/' /_./', /_*/ вия и> во-вторых, важности тех
J T "F &в методов, которыми мы это соот-
1 / / / / ветствие установим, мы установим
А' 1? zL' ?.' его несколькими способами.
3 / / / Рациональные числа —это числа
 т т вида " * где Р и Я~ целые числа,
I / У причем q =/= 0. Не уменьшая общно-
¦j -у сти, можно считать, что ^>0.
/ Рассмотрим „бесконечную таб-
' лицу с двумя входами", в первой
Рис. 30. строке которой расположены, на-
например, в порядке возрастания аб-
абсолютных величин числителей, все рациональные числа
со знаменателем q—\, во второй строке которой рас-
расположены в аналогичном порядке рациональные числа
со знаменателем q---2, и т. д. (см. рис. 29). „Заметем"
эту таблицу произвольным „зигзагом" (см. два примера

§ 3] СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНЫМИ МНОЖЕСТ. 191
таких „зигзагов" на рис. 30, 31; на рис. 30 зигзаг „по
диагоналям", на рис 31 зигзаг „по квадратам"*)). Пойдем
теперь по этому зигзагу и поставим в соответствие числу
1 ? N первое рациональное число, „заметенное" рассматри-
рассматриваемым зигзагом, числу 2 ? N — второе лежащее под зигзагом
L L гЛ L
1 ~* 1 1 ~* 1
1 t 1
0 1—12
2 *~ 2 2 2
v I I
0 1—12
3~*.~*' 3 3
0 1-12
4 "*"" 4 *~ 4 "*"" 4
Рис. 31.
рациональное число, если оно- не равно первому числу
зигзага, и т. д. Очевидно, полученное соответствие будет
искомым.
Назовем высотой рационального числа — число | р | +
-\-q. Очевидно, рациональных чисел данной высоты конеч-
конечное число. „Пересчитаем" сначала все рациональные числа
высоты 1 (чисел высоты 0 не существует); таких будет
одно: -г. Итак, числу 1 поставим в соответствие чис-
число -г . Следующим по порядку натуральным числам поста-
поставим в соответствие рациональные числа высоты 2 (таких,
как легко видеть, три числа), затем рациональные числа
высоты 3 и т. д. Поскольку рациональных чисел каждой
очередной высоты конечное число, мы будем последова-
последовательно заканчивать с каждой очередной высотой и пере-
*) Разумеется, зигзаг „сначала всю первую строчку, затем всю
вторую строчку и т. д." не годится, так как невозможно пройти всю
первую строчку, а затем перейти ко второй.

192 СООТВЕТСТВИЕ [Гл. V
ходить к следующей. Легко видеть, что описанное соот-
соответствие — искомое.
Возможность установления взаимно-однозначного соот-
соответствия между N и R будет вытекать также из задачи 6.
8) Из примера 7 следует, что между множеством N
и любым бесконечным подмножеством множества R тоже
можно установить взаимно-однозначное соответствие (ср.
пример 5).
9) Из теорем предыдущего параграфа следует, что не
только между множеством N и каждым из остальных
упомянутых в примерах 1—8 множеств можно устано-
установить взаимно-однозначное соответствие, но и между
любыми двумя из этих множеств тоже можно установить
такое соответствие.
10) В дополнение к введенным в задачах § 3 гл. II
обозначениям введем еще четыре обозначения:
[а,
(а,
(-
+ сс
+ ос
оо, с
00, С
Df
Df
Df
Df
Множества вида [а, Ь] мы будем называть сегментами,
множества вида (a, Ь) —интервалами, множества вида
[a, b), (a, b\ — полусегментами (или, естественно, полу-
полуинтервалами).
Между любыми двумя сегментами [а, Ь], [с, d] можно
установить взаимно-однозначное соответствие (см. рис. 32
или рис. 33; соответствие, показанное на рис. 33, не-
нетрудно задать формулой; для этого нужно написать
уравнение прямой, проходящей через точки (а, с), (b, d);
такой прямой будет прямая с уравнением jzrc = ]~1 5
следовательно, элемент у сегмента [с, d], соответствую-
соответствующий— при соответствии, показанном на рис. 33, — произ-
произвольному х?[а, Ь], равен ^-(d — c)-\-c).
О — и

§ 3] СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНЫМИ МНОЖЕСТ. 193
11) Разумеется, совершенно аналогично можно уста-
установить взаимно-однозначное соответствие между двумя
I--,--
Рис. 32.
произвольными интервалами (а, Ь), (с, d), между двумя
произвольными полусегментами вида [а, Ь), [с, d) или между
двумя произвольными по-
полусегментами вида (а, Ь],
(С d].
12) Нетрудно устано-
установить взаимно-однозначное
соответствие между двумя
произвольными „лучами"
В ..
а
41
b
Рис. 34. Рис. 35.
вида [а, +оо), [6, +оо) (см. рис. 34 или рис. 35), между
двумя произвольными лучами вида (а, + °о), (Ь, + °°).
между двумя произвольными лучами вида ( —оо, а],
(— оо, Ь\ и, наконец, между двумя произвольными лучами
вида (— оо, с), ( —оо Ь).
13) Легко сообразить, как из соответствий примера 11
получить взаимно-однозначное соответствие между двумя
13 Ю. А. Шиханопич

194
СООТВЕТСТВИЕ
[Гл. V-
произвольными полусегментами вида [а,т^Ь), (с, d]: надо
взять произвольное взаимно-однозначное соответствие
Рис. 36.
(G., (a, b), (с, d)) между интервалами (а, Ь), (с, d) и доба-
добавить к графику Gnapy (с, d); соответствие (G U {{a, d)},
[а, Ь), (с, d]) будет искомым.
14) Очередной неожиданностью, неожиданностью „еще
на один ранг выше" является возможность установ-
установления взаимно-однозначного соответствия между произ-
произвольным интервалом (а, Ь) и множест-
множеством D. Например, на рис. 36, на
котором интервал (а, Ь) „изогнут" на
три равные части, показан один из
вариантов установления указанного
соответствия. Взаимно-однозначное
соответствие между интервалом
( — -к, -к ) и D может быть установ-
установлено при помощи формулы у = tg х
(рис. 37). Поскольку между интерва-
интервалами С — — , у j и (а, Ь) тоже может
быть установлено взаимнр-однознач-
ное соответствие, это дает еще один
способ установления взаимно-одноз-
взаимно-однозначного соответствия, между (а, Ь) и D.
15) После примера 14 легко уста-
устанавливается взаимно-однозначное со-
соответствие между произвольным ин-
интервалом (а, Ь) и произвольным лучом вида (с, + оо)
или между произвольным интервалом (а, Ь) и произволь-
произвольным лучом вида (— оо, с).
Рис. 37.

§ 3] СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНЫМИ МНОЖЕСТ. 195
16) Несмотря на предыдущие чудеса, возможность
установления взаимно-однозначного соответствия между
интервалом (а, Ь) и сегментом [а, Ь] все-таки поражает.
Для простоты записи установим взаимно-однозначное
соответствие между @, 1) и [0, 1]. Из существования
такого соответствия, предыдущих примеров и теорем § 2
будет вытекать не только возможность установления
взаимно-однозначного соответствия между (а, Ь) и [а, Ь),
но и возможность установления взаимно-однозначного
соответствия между любым интервалом (а, Ь) и любым
сегментом [с, d].
Установим вышеуказанное соответствие двумя спосо-
способами. Пусть Л = @, l>n(D\R), Я = @, 1)DR. C =
Df Df IW
= [0, l](")(D\R),D = [0, l]DR- Очевидно, @,l) = A\JB
Df Ш
и ЛПЯ=0; [0, l] = C\JD и Cf~l?>=0- Очевидно также,
A = C. Следовательно, между Ли С можно установить
взаимно-однозначное соответствие. Пусть, например,
{G, А, С) — такое соответствие. Множество В является
бесконечным подмножеством множества R. Следовательно,
между N и Б можно установить взаимно-однозначное
соответствие (см. пример 8). По аналогичной причине
можно установить взаимно-однозначное соответствие между
N и D. Значит, можно установить взаимно-однозначное
соответствие между В и D. Пусть (Н, В, D) будет таким
соответствием. Тогда, очевидно, (G\JH, @, 1), [0, 1]> —
искомое соответствие.
Пусть Л={1, -J-,1, 1,1,.-.}, Я = @, 1)\Л,
С = Ли{0, 1}, т. е. С={0, 1,1, 1, 1, 1, !,••¦},
D = [0, 1]\С. Очевидно, @, \) = A\JB и АО,В=0;
ы
[0, \] = C[jD и CpiD=0. Очевидно также, B = D. Сле-
Следовательно, между В и D можно установить взаимно-
взаимнооднозначное соответствие. Пусть (G, В, D) — такое соот-
соответствие. Взаимно-однозначное соответствие между Л и С
можно установить либо на основании примера 8, либо,
проще, непосредственно по рис. 38. Пусть (Я, Л, С) —
такое соответствие. Тогда (G[jH, @, 1), [0, 1]) —искомое
соответствие.
13*

196
СООТВЕТСТВИЕ
[Гл. V
17) Теперь ясно, что между любыми двумя множе-
множествами, каждое из которых имеет один из видов [а, Ь],
(a, b), [a, b), (a, b], [a, -f-oo), (а, +оо), ( —оо, а],
( —оо, а) или равно D, можно установить взаимно-одно-
взаимно-однозначное соответствие.
Перейдем, наконец, от примеров к теоретическим рас-
рассмотрениям. Все вышеприведенные примеры распадаются
А
С
1
2
0
1
3
1
1
4
1
2
1
5
1
3
6
1
4
J
Рис. 38.
на две обособленные группы: с одной стороны, мы уста-
установили взаимно-однозначные соответствия между любыми
двумя множествами из примеров 1—9 (N, С, R и др.),
с другой стороны, мы установили взаимно-однозначные
соответствия между любыми двумя множествами из при-
примеров 10—17 (@, 1), [0, 1], D и др.). Ни одного взаим-
взаимно-однозначного соответствия между каким-нибудь мно-
множеством первой группы и каким-нибудь множеством вто-
второй группы мы не указали. (Впрочем, ясно, что если бы
нам удалось установить взаимно-однозначное соответствие
между хотя бы одним из множеств первой группы и хотя
бы одним из множеств второй группы, то такое же соот-
соответствие можно было установить между любым из мно-
множеств первой группы и любым из множеств второй группы.)
Случайно ли это? Между любыми ли двумя бесконечными
множествами можно установить взаимно-однозначное соот-
соответствие? Ответ на эти вопросы дает теорема Кантора*),
первая (и единственная) теорема этой книги, которая
заслуживает носить имя человека, доказавшего ее.
*) Г. К а н то р — немецкий математик конца XIX века, созда-
создатель теории множеств.

§ 3] СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНЫМИ МНОЖЕСТ. 197
Теорема Кантора. Между множествами N и [0, 1 ]
нельзя установить взаимно-однозначного соответствия.
Доказательство. Допустим противное. Допустим,
что между множествами N и [0, 1] можно установить
изаимно-однозначное соответствие. Обозначим число из
|0, 1], соответствующее в этом предполагаемом соответ-
соответствии числу n?N, через ап. Пусть десятичное разложение
числа а„ имеет вид
О, а("Ц">а<з">а("> ... A)
Некоторые действительные числа имеют по два десятич-
десятичных разложения @,3570000 ... =0,3569999 ...). Для каж-
каждого ап, которое имеет два десятичных разложения, кроме
1 ->-(!!=0, a\»a™apaiv ...
2-va2=0, o^a^a^ai2» ...
3->- а3=0, а^а^а^аDя) ...
4 -э-а4 = 0
Рис. 39.
числа 0, фиксируем в качестве разложения A) то разло-
разложение, которое оканчивается „девятками". В частности,
если an=l, то разложение A) имеет для него вид
0,99999..., т. е. для всех i a[v~> = 9. Для числа 0 в каче-
качестве разложения A) мы, естественно, фиксируем разло-
разложение 0,00000... При наших обозначениях предпола-
предполагаемое соответствие можно изобразить в виде рис. 39.
Пусть &! — произвольная цифра, отличная от ai1', 0и9
(остается, как минимум, еще семь возможностей; если
угодно, можно распорядиться более определенно, положив,
скажем, &t = 3, если а"' Ф 3, и 6t == 4, если а'1'-3), Ьг —
произвольная цифра, отличная от а"', 0 и 9, Ь3 —
произвольная цифра, отличная от а™, 0 и 9, и т. д. Обо-
Обозначим через В число с десятичным разложением
0, Ь.Ьфф,... B)
Поскольку разложение B) не заканчивается „нулями" и не
заканчивается „девятками" (более того, в разложении B)
нет ни одного „нуля" и ни одной „девятки", но это уж
нам не важно), число В имеет одно десятичное разложение,

198 СООТВЕТСТВИЕ [Гл.V
Поскольку E?[0, 1], оно должно совпадать с некоторым
ak. Но если р == ад и р (а следовательно, и ал) имеет одно
десятичное разложение, каждая. цифра (единственного)
десятичного разложения числа C должна совпадать с со-
соответствующей- цифрой (единственного) десятичного разло-
разложения числа аА. В частности, должно быть bk = ajt\ что
противоречит выбору цифры Ь^.
Метод, которым мы доказали теорему Кантора, получил
название канторовского диагонального метода. Диагональ-
Диагональный метод часто бывает полезен в доказательствах.
Множества А и В называются равномощными, если меж-
между ними можно установить взаимно-однозначное соответ-
соответствие. Равномощность множеств часто обозначается зна-
знаком ~ („тильда"). Для любых множеств А, В, С
А~А, C)
А~В->В~А, D)
Л~ В&В~С->А~С. E)
Два конечных множества равномощны тогда и только
тогда, когда они содержат одинаковое количество эле-
элементов.
Поэтому понятие равномощности является обобщением
на бесконечные (или на произвольные) множества понятия
равночисленное™ конечных множеств.
Множество А называется счетным, если Л и N равно-
мощны. Очевидно, любые два счетных множества равно-
мощны. Примеры 1—9 дают много примеров счетных мно-
множеств. Подчеркнем особо, что множества С и R счетны.
Это полезно запомнить.
Бесконечное подмножество счетного множества счетно
(см. пример 5). Легко видеть также, что в любом бесконечном
множестве имеется счетное подмножество. Это показывает,
что счетные множества являются, так сказать, „самыми ма-
маленькими по количеству" бесконечными множествами *).
Множество А называется не более чем счетным, если
А конечно (в частности, пусто) или счетно. Множество А
•) Можно строго определить понятие „мощность множества А
меньше мощности множества В" (см., например, § 5 гл. I книги
[15]), после чего указанное утверждение приобретет вполне точ-
точный смысл, без всяких „так сказать".

§ 3] СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНЫМИ МНОЖЕСТ. 199
называется несчетным, если оно бесконечно и не счетно.
Из теоремы Кантора следует, что сегмент [0, 1 ] несчетен.
Очевидно, любое множество либо не более чем счетно, либо
несчетно.
Деление множеств на не более чем счетные и несчет-
несчетные имеет едва ли не такое же значение, как деление мно-
множеств на конечные и бесконечные. Не более чем счетные
(или, точнее, счетные) множества во многих отношениях
играют ту же роль, что конечные множества. Например,
можно доказать, что если М — бесконечное, а А — не более
чем счетное множество, то
M[JA~M. F)
Отсюда следует, что если М — несчетное, а А — не более
чем счетное множество, то
М\А~ М. ' G)
Среди несчетных множеств важнейшее значение имеют
континуальные множества. Множество А называется кон-
континуальным, если А и [0, 1 ] равномощны. Любые два кон-
континуальных множества, очевидно, равномощны. Примеры
10—17 дают много примеров континуальных множеств.
Подчеркнем особо, что множество D континуально. Можно
(хотя и труднее) доказать, что множество К также конти-
континуально. Из теоремы Кантора легко следует, что любое
континуальное множество несчетно. Из несчетности мно-
множества D, счетности множества R и утверждения G) выте-
вытекает континуальность множества иррациональных чисел.
Используя двоичные разложения, нетрудно доказать, что
множество $ (N) континуально.
У читателя, естественно, возникнет вопрос: существу-
существуют ли несчетные множества, не являющиеся континуаль-
континуальными? Такие множества существуют. Примерами таких
множеств могут служить множество 9В (D) и, равномощное
ему, множество функций типа D -> D (см. § 1 гл. VI).
Для того чтобы сформулировать в обзорном порядке два утвер-
утверждения, позволим себе оперировать с не определенными в этой
книге понятиями „мощность множества" и „мощность множества
А меньше мощности множества В".

200 СООТВЕТСТВИЕ [Гл. V
Как доказал Кантор, мощность произвольного множества М мень-
меньше мощности множества ЩМ). Отсюда следует, что^различных
мощностей существует бесконечно много. Как было указано выше,
множества ^5(N) и [0,1] равномощны. Следовательно, мощность
множества N меньше мощности множества [0, 1]. До сих пор не
известно, существуют ли множества, промежуточные по мощности
между множеством N и множеством [0, 1] *).
Читатель, желающий шире ознакомиться с вопросами,
рассмотренными в этом параграфе, может прочитать о них
в книге И. П. Натансона [15], гл. 1 или в книге П. С. Алек-
Александрова [1], гл. 1.
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что если А ~ В, С ~ D, A f) С = 0
kB[)D=0,toA{JC~B[JD.
2. Доказать или опровергнуть, что если Л sS, CsD,
Л ~ С и В ~ D, то В\А ~D \C.
3. Доказать, что соединение счетного множества и ко-
конечного множества счетно.
4. Доказать, что соединение конечного числа счетных
множеств счетно.
5. Доказать, что соединение счетной системы конеч-
конечных множеств счетно.
6. Доказать, что соединение счетной системы счетных
множеств счетно.
7. Доказать, что прямое произведение не пустых не бо-
более чем счетных множеств, хотя бы одно из которых счет-
счетно, является счетным множеством.
8. Доказать, что если М — счетное множество и s ? N,
то Ms счетно.
9. Доказать, что если М — не пустое, не более чем
счетное множество, то Мт счетно.
10. Доказать, что множество М тогда и только тогда
бесконечно, когда оно имеет равномощное себе истинное
подмножество. Эта теорема позволяет дать (принадлежа-
(принадлежащее немецкому математику конца XIX века Р. Дедекинду)
положительное определение бесконечного множества (в от-
*) Предположение, что таких множеств не существует, назы-
называется „гипотезой континуума".

(, :i| СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНЫМИ МНОЖЕСТ. 201
личие от отрицательного определения: множество беско-
бесконечно, если оно не конечно).
11. Доказать, что система конечных подмножеств мно-
множества N счетна.
12. Доказать, что любое бесконечное множество попар-
попарно непересекающихся интервалов (a, b) cr D счетно.
13. Действительное число а называется алгебраиче-
алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена
с целыми коэффициентами. Действительное число а назы-
называется трансцендентным, если оно не является алгебраи-
алгебраическим. Доказать, что существуют трансцендентные числа.

ГЛАВА.VI
функция
§ 1. Функция
Функция — это функциональное соответствие, т. е. соот-
соответствие с функциональным графиком (§ 2 гл. V). Если
элиминировать еще термин „соответствие", можно сказать,
что функция — это такая тройка множеств, первая компо-
компонента которой является, во-первых, подмножеством прямо-
прямого произведения второй и третьей компонент и, во-вто-
во-вторых, функциональным графиком (§ 5 гл. III) 1)." Итак,
тройка множеств (F, X, Y) называется функцией, если
I) F ^ X х Y и 2) в F нет пар с одинаковыми первы-
первыми и различными вторыми компонентами.
Данный параграф по существу почти не будет содержать
нового материала. В основном он является повторением
§ 1 гл. V и § 2 гл. V для важнейшего класса соответствий —
функциональных соответствий (функций).
Функции мы будем в основном обозначать строчными
латинскими буквами.
Из § 1 гл. V автоматически вытекает смысл терминов
„график функции" (первая компонента функции), „область
отправления функции", „область] прибытия- функции",
„область определения функции", „область значений функ-
функции". Функция с областью отправления X и с областью
прибытия Y называется функцией типа X-+Y*). Тот
факт, что функция / имеет областью отправления X и обла-
областью прибытия Y, выражают также словами „Функция f
*) Здесь употреблена та же буква, которой мы обозначали
операцию импликации, но с операцией импликации обозначенное
здесь понятие не имеет ничего общего.

§ i] ¦ функция 203
определена в *) X и принимает свои значения в *) К" или
в символах: X —>Y, / :Х —>У.
Пусть
/ = CF,X, Г) A)
— произвольная функция. Если (а, 6N /\ элемент 6 на-
называется значением функции f на (или в) а; в этом случае
говорят также, что функция f переводит (преобразует,
отображает) элемент а в элемент Ь. Значение функции /
на элементе а мы будем обозначать через f (а) (очень часто
в этом случае используют и другие обозначения: а/, /а;
например, использованное в § 3 гл. V обозначение ап как
раз и является обозначением вида fa — так называемое
индексное обозначение). Если функция / определена на эле-
элементе а, т. е. а 6 nptF, то существует единственный (в силу
функциональности графика F) элемент Ь такой, что (а, Ь) 6
6 F. Именно этот элемент Ь и является, очевидно, значе-
значением f (а) функции f на а. Таким образом, выражение
/ (а) определено для тех и только тех а б X, на которых
определена функция /, т. е. для а ? npjF. Итак, еще раз:
если f — имя функции (F, X, Y), а х — переменная с обла-
областью значений X, то f (x) — форма, определенная для эле-
элементов облаепГопределения пр^ и только для них. Фор-
Форма / (х) является всюду определенной тогда и только тогда,
когда является всюду определенной функция f, т. е. когда
upt/7 = X. Однако, в согласии с нашими общими обозна-
обозначениями (§ 2 гл. I), выражение !/ (х) всегда (т. е. для любой
функции /) является всюду определенной высказывательной
формой, истинной для элементов множества upiF. и ложной
для элементов множества X\upiF. Таким образом,
!/(*)=* 6 nptf. B)
В соответствии со сказанным в § 2 гл. IV условимся
высказывательные формы, содержащие выражения вида
f(x) и не содержащие логических знаков (П, &, \/, —»,
=**» V> Э)> считать ложными при тех значениях перемен-
переменных, при которых хотя бы одно из выражений вида f(x),
входящее в рассматриваемую форму, не определено. Таким
*) Существенно, что здесь предлог „в", а не „на" (см. ниже).

204 функция [гл. vi
образом, в частности, если f (а) не определено и / (Ь) не
определено, форма
f(x) = f(y)
при х = а, у — Ь определена и ложна. Необходима одна
оговорка. Выражения вида 1{х)Фу, f(x)?=f(y) и т. п.
мы будем считать сокращением для, соответственно,
~\\f{x)=y], l\f(x)—f{y)] и т. п. Таким образом,
[f() f(y) C)
Df
и т. п. Если, например, !/(а) = л, \f (b) ~ л, форма
при х — а, у — Ь определена и истинна.
Приведем более специальный пример. Пусть / — функ-
функция типа D—^D. Тогда не верно, что
l\f(x)<1a] = f(x)>a D)
(ср. § 2 гл. IV). Вместо D) верно
llf(x)<:a]=l\f(x)\/[f(x)>a]. E)
Аналогично, не верно, что
-][/(*)> а] = /(
но верно
Однако верно, что
/(*)<а =[/(*)<а] VI/(*) = «]• F)
Разумеется, верно
"I If (х) < а] з  [/ (х)<а] & 1'Jf (x) = а], G)
но не
1 [f (х) < а] = [f (jc) > а] & [/ (х) Ф а]. (8)
Вместо (8) верно
-] [f (х) <а] = l\f (х) V {[/ (*) >а] & [/ (х) ф а]}.
Если х — переменная с областью значений X, то фор-
формы / ({л;}) и !/ (х) всюду определены, а форма / (х) не

§ 1] функция 205
обязательно всюду определена. Если а 6 npjF, то
/«а» = {/(«)}¦ (9)
Если же а ? X \ nptF, то выражение / (а) не определено,
не имеет смысла, ничего не обозначает, !/(а) —ложноь
высказывание и
/({а}) = 0. A0)
Для любого х ? X истинно высказывание
Если !/ (а), то (а, / (а)) ? F. Во многих доказательствах
полезно следующее тривиальное утверждение:
f{x) = y = (x,y)?F A2)
(х, у —переменные с областями значений X, Y). Наряду
с A2) верны также утверждения
(х, y)?F=\f{x)&f{x) = y, A3)
(х, y)eF = (x, y)eXxY&\f(x)&f(x) = y, A4)
поскольку из f{x)—y следует и \f(х) и (х, y)?XxY.
Легко видеть, что если / = (F, X, Y) — произвольная
Df
функция, то
F = %{(x, y)?XxY\f(x) = y}. A5)
В школьном изложении A5) является определением графи-
графика функции, у нас оно является тривиальной теоремой.
Легко видеть также, что
nPlf = g{*(EX| !/(*)}. A6)
Область определения функции f есть множество тех х? X,
на которых / определена. Наконец,
= y]}. A7)
Область значений функции / — это множество таких y^Y,
каждый из которых является значением функции f на
некотором х? X.
Наша терминология, начав с „другого конца", с со-
совершенно неожиданного, по сравнению со школьным,

206 функция [гл. vi
определения функции, пришла к привычным в обычном
изложении утверждениям.
Функция / = (F, X, У) называется нигде не определен-
Df
ной, если F=0. В частности, соответствие @, 0, 0)
является функцией, причем нигде не определенной функ-
функцией. Условимся говорить, что функция / = (F, X, У)
Df
определена на множестве А, если A s npjF, т. е. если
(Улг?Л)[! f (x)\. В частности, по нашей терминологии лю-
любая функция f определена на 0.
Функция f = (F, X, У) называется тождественной,
Df
если У = Х и F = Дх. Тождественную функцию (Дх, X, X)
мы часто будем обозначать через 1Х*)- Условимся гово-
говорить, что функция / = (F, X, У) тождественна на мно-
ы
жестве А, если AA^F, т. е. если (V*? Л) [/(*) = *].
Если функция / тождественна на А, то она, разумеется,
определена на А. Если Аф 0 иХПУ=0, то не суще-
существует функции типа X—>У, тождественной на А. Функ-
Функция 1Х тождественна на всей области отправления X.
Очевидно, по нашей терминологии любая функция f
тождественна на 0.
Функция f — (F, X, У) называется константной, если
DC
существует такой элемент b 6 У, что F — Xx{b}. Усло-
Условимся говорить, что функция f = (F, X, У) константна
Df
на множестве А, если (Э#бУ) [А х {у} s F], т. е. если
(Зу 6 У) (V* 6 А) [/ (х) = у]. Если функция / константна на А,
то она, очевидно, определена на А. По нашей термино-
терминологии любая функция f с непустой областью прибытия
константна на 0. С другой стороны, функция типа
X —> 0 не является константной ни на каком множе-
множестве А (см. F) из § 3 гл. IV).
Функция f={F, X, У) тогда и только тогда является
Df
всюду определенной, когда (Vjc?X) [! f (x)]. Согласно вве-
введенной выше терминологии, всюду определенная функция
*) / — первая буква слов „identity" (англ.), „identite" (франц.),
„Identitat" (нем.).

§ i] функция 207
f ~(F, X,Y) определена на X*). Всюду определенную
nr
функцию называют также отображением (очень важный,
очень широко распространенный термин!J), а всюду
определенную функцию типа X—>У— отображением мно-
множества X в**) множествоУ. Тождественная функция 1Х
является, очевидно, отображением. Отображение 1Х назы-
называют также тождественным отображением множества X
на себя. Константная функция также, очевидно, является
отображением (константное отображение). Если функ-
функция f является отображением, то значение f(a) функции f
на а называется также образом элемента а при отобра-
отображении f. Образ элемента а при отображении f не следует
путать с образом множества {а} при отображении f
(см. (9)).
Функция / = (F, X, Y) тогда и только тогда сюръек-
ы
тивна, когда (Чу?У)(Зх?Х) [f (x)-~у]. Сюръективную
функцию мы будем также называть сюръекцией***). Тер-
Термины „всюду определенная сюръекция" и „сюръективное
отображение" означают, очевидно, функцию, одновремен-
одновременно всюду определенную и сюръективную. Сюръективное
отображение типа X—>Y называют также отображением
множества X на У ****). Тождественное отображение 1Х
является сюръекцией.
Функция / = (F, X, Y) тогда и только тогда инъектив-
Df
на, когда
A8)
или, по контрапозиции,
=*a- A9)
*) См. сноску на стр. 203.
**) Существенно, что здесь предлог „в", а не „на" (см. ниже).
***) Ср. со сноской на стр. 184.
¦***) См. сноску**). Таким образом, в терминах „функция опреде-
определена в X", „функция определена на Xй, „отображение множества
X в У", „отображение множества X на У" предлоги „в" и „на"
играют самостоятельную роль, имеют терминологическое значение.
В аналогичных случаях в английском языке употребляют предлоги
„into" и „onto", во французском —„dans" и „sur", в немецком —
„in1* к „auf".

208 функция [гл. vi
(Кванторы общности, в соответствии с принятым в § 3
гл. IV соглашением, подразумеваются.) Инъективную
функцию мы будем также называть инъекцией*)9). Тер-
Термины „всюду определенная инъекция'1 и „инъективное ото-
отображение"' означают, очевидно, функцию, одновременно
всюду определенную и инъективную 4). Тождественное
отображение 1Х и любая нигде не определенная функция
являются инъекциями.
Функция f = (F, X, У) тогда и только тогда биективна,
Df
когда она всюду определена, сюръективна и инъективна.
В качестве синонима к термину „биекция типа X—>YU
употребляют также термин „взаимно-однозначное отобра-
отображение множества X на множество У". Таким образом,
термины „биективное соответствие между множествами X
и У", „взаимно-однозначное соответствие между множест-
множествами X и У", „биективная функция типа X—>У", „биек-
„биекция типа X—>У" и „взаимно-однозначное отображение
множества X на множество Y" означают у нас одно
и то же. Иногда, желая сказать, что / — биекция типа
X—>У, говорят „функция f устанавливает взаимно-
взаимнооднозначное соответствие между, множествами X и Y",
что при нашей терминологии несколько неприятно, по-
поскольку у нас биекция f сама является взаимно-однознач-
взаимно-однозначным соответствием. Тождественное отображение 1Х мно-
множества X на себя является биекцией.
Пусть f = (F, X, У) —произвольная функция. Инвер-
Df
сия /~1 = (F~1, У, X) соответствия f не обязана быть
функцией. В § 2 гл. V мы, в качестве тривиального след-
следствия одного из утверждений § 5 гл. III, получили, что
для произвольного соответствия Г
Г — функция =pfc Г — инъективное
(см. A6) из § 2 гл. V). Отсюда автоматически следует
простое, но важное Утверждение, которому мы ввиду его
важности дадим особое название.
Критерий функциональности инверсии.
Инверсия" f'1 функции f тогда и только тогда является
функцией, когда функция f инъективна.
*) Ср. со сноской на стр. 184.

« i] функция 209
Этот критерий понадобится нам в следующем пара-
параграфе.
Если f=(F, X, У) —произвольная функция, то для
и
любого множества А
f И) = g {«/е у', (а* е Л) [f (*)==</]}, B0)
ri(A) = g{xtX\CyeA)[f(x) = y)}. B1)
Вместо B1) можно написать проще:
B2)
Для произвольного соответствия Г у нас имеют смысл
обозначения Г (А)', Г ({а}), Г'1 (А) и Г ({а}), но не имеют,
вообще говоря, смысла обозначения Г (а), Г (а)- Для про-
произвольного функционального соответствия / у нас, помимо
выражений f (A), f ({a}), f (A), f'1 ({а}), может иметь также
смысл обозначение f(a), но не имеет, вообще говоря,
смысла обозначение f'1 (а). И наконец, для инъективного
функционального соответствия f может иметь смысл также
и обозначение f~* (а). А именно, если f — инъекция, то,
в силу критерия, f — функция, и следовательно, Г1 (а)
обозначает значение функции f на элементе а. Разуме-
Разумеется, /~х (а) может быть определено или не определено.
Если ! f'1 (а) = л, то f'1 (а) также не имеет смысла.
Пусть / = (F, X, Y) — произвольная функция и b?Y.
Df
Элемент а ?Х называется прообразом элемента Ь отно-
относительно (или при) функции f, если f (а) = Ь. Из B2)
следует, что
Г (W) = g{*ex !/(*) = &}• B3)
Полный прообраз множества {Ь} относительно функции f
есть множество прообразов элемента b относительно /.
Аналогичное утверждение верно и для произвольного
множества. В силу B1), полный прообраз /-1(Л) мно-
множества А относительно функции f есть множество про-
прообразов элементов множества А относительно f.
Перейдем к операции композиции. Из § 1 гл. V мы
знаем, что такое композиция двух, трех и вообще любого
(конечного) числа функций. Как мы уже отмечали в § 2
' гл. V, композиция функций есть функция.
14 Ю. А. Шиханович

210 функция [гл. vi
Из доказанного в § 2 гл. V следует, что композиция
инъекций есть инъекция и — при условии совпадения
области прибытия первой компонируемой функции и об-
области отправления второй компонируемой функции — ком-
композиция отображений есть отображение, композиция
сюръекций есть сюръекция и композиция биекций есть
биекция.
Пусть f — (F, X, Y) и g = {G, Z, ?/) —произвольные
Df Df
функции. Из B3) из § 1 гл. V следует, что для любого
элемента а?Х множества (f°g)({a}) и g(f({a})) равны.
Таким образом, если х — переменная с областью значе-
значений X, то равенство множеств
)) B4)
верно при любом значении переменной. Из B4), (9) и A0)
легко следует
Теорема о значении композиции. Для любых
функций fug
) B5)
(областью значений переменной х является область отправ-
отправления функции f).
Приведем для тренировки еще одно, непосредственное
(без B4))
Доказательство. Пусть f — (F, X, Y), g = (G,Z, U).
Df Df
Тогда fog = (FoG, X, U). Пусть а?Х и I (fog)(а). Поло-
Положим (f°g)(a) = b. По A2) {a,b)?FoG. Следовательно,
Df
существует такое с, что
(a,c)eF, B6)
{c,b)tG. B7)
Из B6) и A2) f(a) = c. Из B7) и A2) g{c) = b. Значит,
g(f{a)) = g(c) = b. Пусть, обратно, о^Х и \g(f(a)).
Положим g (f (a)) = b. Из ! g (f (а)) следует '-/(а). Поло-
Df
жим f(a)---c. Следовательно, g(c) = b. Отсюда и из A2)
Df
получаем B6) и B7). Из B6) и B7) (a, b)^FoG. По A2)
if)i) b

s i] функция 211
Теорема о значении композиции верна для любого
(конечного) числа функций:
(h°h° ¦ ¦ ¦ °fn) (x)~fn(... (f2 (/, (x))) ...). B8)
Для доказательства биективности соответствий часто
бывает полезной
Теорема о тождественных композициях.
Пусть f — функция типа X—>Y, g— функция типа
Y —>Х. Если обе композиции: fog и gof —являются тож-
тождественными функциями, то f — биекция, g — биещия
и g = f~\
Доказательство. Пусть f = {F,X, Y), g — (G, Y, X).
Тогда fog = {FoG, X, X), gof = (G<>F, Y, Y). По условию
f°8~lxi g°f~Iy- Следовательно,
foG = Ax, B9)
GoF = AY. C0)
Поскольку f°g — биекция, f — инъективное отображение
и g — сюръекция (задачи 7—9 к § 2 гл. V). По аналогич-
аналогичной причине g — инъективное отображение и / — сюръек-
сюръекция. Значит, f и g — биекции. Рассмотрим теперь f~1 =
= (/7, Y, X). Нам надо доказать, что g = f~1, т. е. что
G = /7. Пусть (a, b)?G. Поскольку b?X и f всюду опре-
определена, lf(b). Положим f(b) = c. По A2) {b,c)?F. Зна-
Df
чит, (a,c)?GoF. Из C0) с = а. Следовательно, (b,a)?F
и {a, b)?F~l. Пусть, обратно, (а, Ь)?р~1. Тогда (b, a)?F.
Поскольку a?Y и g всюду определена, }.g(a). Положим
g{a) = c. По A2) (a, cNG. Значит, (b,c)eF<>G. Из B9)
ш
с — Ь. Следовательно, {a,b)?G. Теорема доказана.
В силу E) из § 1 гл. V для произвольных функций
(и даже для произвольных соответствий) f, g
g = t1->g-1 = f. C1)
Поэтому, если fug удовлетворяют условиям теоремы
о тождественных композициях, то не только g = /~\ но
и f = Г1-
Для понятий сужения-продолжения (§ 1 гл. V)
нам остается добавить только, что сужение f\ любой
14*

212 функция [гл. vi
функции f на любое множество А есть функция; для любой
функции f = (F, X, Y) и для любого множества А
(V*(E X) [! fA (x)-^xe A&\ f (х) & U (х) = f (x)], C2)
DxeA)[\U{x)**\f{x)]. C3)
Если функция g является продолжением функции
/ = (F, X, Y), то
X C4)
Закончим параграф одним, более специальным вопро-
вопросом — функциями типа D —-> D.
Функции типа D —> D чаще всего задаются при помо-
помощи числовых форм. Пусть ЭД (х) — одноместная числовая
форма с числовой переменной х. Обозначим через
х-*Я{х) C5)
функцию типа D —»D с графиком g {(я, у) ? D2 [ у — %. (л:)}*).
В частности, если §1 (а) не определено, то функция C5)
не определена на а, так как для любого Ь 6 D высказыва-
высказывание Ъ — %{а) ложно (§ 2 гл. IV). Таким образом, область
определения функции C5) равна множеству допустимых
(относительно 2t (x)) значений переменной х. Если ! §[ (а),
то значение функции C5) на а равно 91 (а). Очевидно,
выражения C5) и
Я()
задают одну и ту же функцию:
*-*И(*) = 4Г->И@).
Впрочем, в нашей литературе вместо C5) чаще пишут
У = Ъ(х) C6)
или, вводя для функции C5) индивидуальное имя,
/(х) = !(*). C7)
В C7) и особенно в C6) буква = имеет специфический
*) Буква -*- употребляется в C5) еще в одном смысле (см. снос-
сноску на стр. 202).

si]- функция 213
смысл *). Часто вместо C5) пишут еще проще:
Я (х), C8)
чего следует по возможности избегать, так как обозна-
обозначение функции C5) выражением C8) находится в колли-
коллизии с обозначением значения функции C5) на х.
Буква х в равенстве C6) называется независимой
переменной или аргументом. Буква у в равенстве C6)
называется зависимой переменной. Разумеется, задавая
функцию C5) равенством вида C6), можно как независи-
независимую, так и зависимую переменную обозначать любой
буквой. Задаваемая функция от обозначения переменных,
конечно, не зависит. Таким образом, равенства
г = Ъ(х), C9)
г = Ъ(у), D0)
* = Я(«/) D1)
задают ту же функцию, что и C6). В равенстве D1)
независимой переменной является буква у, зависимой —
буква х. С другой стороны, наиболее привычно незави-
независимую переменную обозначать буквой х, зависимую пере-
переменную— буквой у.
Пусть Л —множество. Тогда через
х-+Ъ(х) (хеА) D2)
и, соответственно,
у=="й(х) (х?А), D3)
f (у\ _ ОТ (у\ IyCA\ (АА\
I \Л) — Л \л) \л С /V» \^^
Я (jc) (х 6 Л) D5)
обозначают сужение функции C5) на А.
Подобно заданию через числовые формы, можно зада-
задавать функции типа D—>D при помощи чисел. Если b?D,
то выражение
х-*Ь D6)
обозначает константную функцию (D x {b}, D, D). Ана-
Аналогично выражениям C6) —C8), функцию D6) задают
*) См. § 3 гл. I.

214 функция [гл. vi
также выражениями
У = Ь, D7)
f{x) = b, D8)
Ъ. D9)
Равенство D7) содержит зависимую переменную и не со-
содержит независимой переменной. Равенство D8) отличается
от равенства D7) тем, что, задавая функцию при помощи
D8), мы одновременно вводим для нее имя /. Сужения
функции D6) на А обозначаются, соответственно, через
х -н>6 (х 6 А), E0)
у=Ь(хеА), E1)
f{x) = b(xeA), E2)
Ь(х?А). E3)
Примеры: 1) Выражения
х->х2, E4)
у = х\ f(x) = x\ х2, у->у2, z = x\ z = j/«, х = у\
g(x) = x2, у2
задают одну и ту же функцию типа D—»D.
2) Выражения
х -> 3, E5)
#=3, f(x) = 3, 3, г/->3, z = 3, x = 3, g(x) = 3
задают одну и ту же функцию типа D—»D. Функция
у E5) константная. График этой
l функции изображен на рис. 40.
i 3) Выражения
I" х-+х*(х?[2, 3]), E6)
;f х-* д;2B<л:<3),
! / ' ' -? / (jc) == лс" (дс 6 [2, 3]),
Рис.40. у = л:2B<л:<3)
задают сужение функции E4)
на А = [2, 3]. График этой функции изображен на рис. 27.
4) Функция y — V — х2— 1 является нигде не опреде-
определенной функцией типа D —> D.

функция
215
5) Функция у=х—тождественная функция типа D —> D.
График этой функции изображен на рис. 41.
'f
х
Рис. 41.
Рис. 42.
6) Функция х—> 10lg* тождественна на @, + со),
но не является тождественной функцией*). График этой
функции изображен на рис. 42**).
* I X I
7) Функция / (я) = -—- константна на @, + со) и кон-
стантна на (—со, 0), но не является константной функ-
функцией. График функции / изобра- «
жен на рис. 43. , '
8) Если / — функция типа
D->D, то /(*), /Bjc), /(За;-5), ,. ,
/(sinх) — числовые формы. Поэто- /'м
му выражения LL *.
E7) aj *
y = f (sin x) ;
задают функции типа D —> D.
Значение функции E7) на а равно Рис. 43.
(при условии !/Bа)) /Bа). Со-
Соответственно g{b) = fCb — 5), если \fCb — 5), и^т. д.
Иногда функции типа D—>D на разных участках
области определения приходится задавать разными число-
числовыми формами.
*) Подразумевается, что обозначения типа C5) —C8), D2) —E3),
если не оговорено противное, задают функцию типа D —•*¦ D.
**) Стрелочка на рис. 42 обозначает, что ее „конец", т. е. точка
@, 0), не принадлежит графику.

216
функция
[Гл. VI
Пусть Аи ..., Ап — попарно не пересекающиеся под-
подмножества множества D и 5Ii (х), ..., 9ГП (х) — одномест-
одноместные числовые формы с числовой переменной х. Тогда
выражения
f(x)=
E8)
(х)
л
E9)
F0)
обозначают функцию типа D—>D с графиком [j Ft, где
&
Df
Задание функции по схемам E8) —F0) называется
кусочным заданием. Схемы D2) — D5) представляют собой
кусочное задание при п=\.
Пример 9) График функ-
функции
-2
*'
.-2А1
i
i
>|
i
i
W
i
i
i
i
¦ /
У! ?
—1 х
-г
f(x) =
х<-2
х>\
Рис. 44.
изображен на рис. 44. Фун-
Функция / на [ — 2, — 1] не опре-
определена.
Пусть / и g — функции типа
D—>D. Согласно теореме о зна-
значении композиции, композиция
fog функций / и g может
быть задана формой g(f(x)). Таким образом, выражения
x~>g(f(x)), ' F1)
y = g(f(x)), ¦ F2)
F3)

§ П функция 217
задают функцию f°g. Аналогично для большего коли-
количества функций. Например, выражения
F4)
F5)
F6)
задают функцию fogohoi.
Примеры: 10) Функция
у= lgsinx2
есть композиция f°g°h функций f(x) = x2, g(x) = sinx,
h (х) = \gx.
11) В тех же обозначениях функция
х—> lgsin2*
равна gofoh, а функция
i (х) = lg2 sin x
равна gohof.
Легко видеть, что указанный только что способ зада-
задания функций типа D—>D годится и для общего случая.
Пусть х — переменная с областью значений X, Sf (*)—одно-
(*)—одноместная форма, значениями которой являются элементы
множества Y. Тогда выражения л: —>?! (л;), у^'й(х),
1(х) = Ъ.{х) обозначают функцию типа X—>Y с графи-
графиком %{(х, ХУ\ Ъ()}
ЗАДАЧИ
1. Чему равно число нижеуказанных функций типа
X—>У, если X — m-элементное, a Y — я-элементное мно-
множество:
a) отображений?
b) инъекций?
с)* сюръекций?
2. Доказать или опровергнуть, что для любой функ-
функции / и для любых множеств А и В:
a) f(Ar\B) = f(A)[)f(B),
b) f(A\B) = f(A)\f(B),
c) Г1(ЛГ\В)=--Г1(А)ПГ1(В),
d) Г1(АВ)Г(А)\Г1В

218 функция [гл. vi
3. Доказать, что для любой функции / и для любых
множеств А и В
4. Какому достаточному условию должна удовлетво-
удовлетворять функция f, чтобы для любых множеств А и В
5. Каким необходимым условиям удовлетворяют функ-
функции fug, если композиция fog всюду определена?
6. Найти необходимое и достаточное условие, которому
должна удовлетворять функция /, чтобы инверсия f~l была:
a) сюръекцией, с) инъекцией,
b) отображением, d) биекцией.
7. Найти необходимое и достаточное условие, кото-
которому должна удовлетворять функция f, чтобы компози-
композиция /о/, была функцией.
8. Доказать, что для любой функции f композиция
f о / является функцией.
9. Доказать, что функция / тогда и только тогда
тождественна на А, когда график сужения fA равен АА.
10. Доказать, что функция f тогда и только тогда
константна на А, когда существует такое Ь, что график
сужения /л равен А X {Ь}.
11. Доказать, что если функция g является продол-
продолжением функции f = (F, X, Y), то f = gnpiF-
Df
12. Пусть /(*) = л:2, g{x) = s\nx, h (x) = sin хг, i{x) =
= sin2;t. Задать при помощи числовой формы (см. C7)
и F6)) функции /о/, fog, gof, goh, hog, hoi, ioh,
hoh, ioi, f о goh, go hoi, f о go hoi, /ofoftog, f of of of of,
i'o|o(o('o i.
§ 2. Обратная функция
Прежде чем приступать к основному предмету настоя-
настоящего параграфа —понятию обратной функции, рассмотрим
некоторые свойства инверсии f.
Пусть f = (F, X, Y} — произвольная инъекция. Тогда,
в силу критерия функциональности инверсии (§ 1),

2] ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 219
f~l = (F~1, Y, X) —функция. Отметим три свойства функ-
функции /-1.
Во-первых, из A5) из § 2 гл. V вытекает, что
/^ — инъекция. A)
Во-вторых, функция
fof'1 тождественна на пр^. B)
В-третьих, функция
/-1о/ тождественна на np2f. C)
Докажем B). Пусть agnpjF. Требуется доказать, что
(f ° Z) (°) — а или> в силу теоремы о значении композиции
(§ О. ГЧНа)) = а. Так как абпр^, If (а) (B) из § 1).
Положим f(a) = b. По A2) из § 1 (a,b)?F. Значит,
Df
(b, a)?F~1. Следовательно, снова по A2) из § 1, f~1(b) = a.
Итак, f-i(f(a)) = /-1(fe) = a.
C) можно доказать аналогично. Кроме того, посколь-
поскольку f'1 о / = /-1 о (f'1)'1 и n$2F = nplF~1, C) следует пря-
прямо из B).
Пусть f = {F, X, Y) — произвольная функция. Обяза-
Df
тельно ли существует такая функция g типа Y—.>Х, что
функция
fog тождественна на пр^. D)
Легко видеть, что требуемая функция g существует
тогда и только тогда, когда f —инъекция. В самом деле.
Если / — инъекция, то искомой функцией g может,
в силу B), служить функция Z. Обратно. Пусть функ-
функция g со свойством D) существует. Доказывая от про-
противного, предположим, что / — не инъекция. Тогда суще-
существуют такие а?Х и Ь^Х, что афЬ, но f(a) = f(b).
Поскольку If (а) и \f(b), a^upiF и b?npiF. В силу D)
должно быть (/ о g) (a) = g(f (a))=a и (fog) {b)=g (f (b)) = b.
Но / (a) = / (b) и а Ф b. Мы получили противоречие с функ-
функциональностью соответствия g.
Пусть снова f=(F, X, У) — произвольная функция.
Df
Обязательно ли существует такая функция g типа Y —> X,

220 функция [гл. vi
что функция
gof тождественна на np2F. E)
Оказывается, в отличие от задачи D), требуемая функ-
функция g существует всегда, для любой функции /. В самом
деле. По определению проекции множества (Vf/?np2.F)
(lx?X)[(x, y)(zF]. Выберем для каждого элемента
6?np2F произвольным образом какое-нибудь а?Х такое,
что (a, b)?F, и множество пар (Ь, а), составленных для
всех b?np2F, обозначим через G. Поскольку F ^X xY,
G s Y х X. Следовательно, g — (G, Y, X) — соответствие.
Df
Поскольку для каждого b g np2F мы брали только по
одному такому а ? X, что (a, b) ? F, G — функциональный
график и g — функция. Докажем, наконец, E). Пусть
b?np2F- Докажем, что (gof)(b) = f(g(b)) = b. Так как
bZnp2F, существует такое а?Х, что (а, b)?Fn (b, a)?G.
Из (b, a)?Gследует g(b) = а. Из (а, b)?F следует /(а) = b.
Значит, / (g (b)) — f (a) = b. E) доказано. Для дальнейшего
заметим, что область определения построенной нами функ-
функции g равна пра/ч
Пусть f — {F, X, Y) — произвольная функция. Какую
Df
функцию g типа У —-> X стоит называть обратной (для /)
функцией? Прежде всего функция g должна быть в каком-то
смысле обратной для f. В каком же именно смысле?
Есть две возможности: D) и E). Желательно, чтобы
обратная функция существовала для любой функции f.
Поскольку функция g со свойством D) существует только
тогда, когда f — инъекция, а функция g со свойством E)
существует для любой /, из свойств D), E) приходится
выбрать E). Желательно, кроме того, чтобы обратная
функция по возможности была единственной. Функция g
со свойством E) заведомо определена на np2F. Свойство E)
не накладывает никаких ограничений на значения функ-
функции g вне np2F. Чтобы уменьшить возможность существо-
существования различных- обратных функций, потребуем, чтобы
обратная функция была определена только Hanp2F, т. е.,
чтобы ее область определения равнялась пр2/\ После всех
этих мотивировочных рассмотрений дадим, наконец, окон-
окончательное определение.

§ 2] ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 221
Пусть / — произвольная функция типа X—>К. Функция g
типа У—>Х называется обратной для функции f, если,
во-первых, ее область определения равна области значений
функции / и, во-вторых, функция gof тождественна на
области значений функции /. Итак, функция g= (G, Y, X)
Df
является обратной для функции f = (F, X, Y), если выпол-
няются два условия:
npjG = пр2/\ F)
gof тождественна на пр2/\ G)
Прежде чем рассматривать вопросы о существовании
и единственности обратной функции, отметим некоторые
ее свойства.
Пусть функция g={G, Y, X) является обратной для
Df
функции f = (F,X,Y). Тогда
Df
G = F -1 (8)
и, следовательно,
np2G s npi/7, (9)
f°g тождественна на np2G, A0)
g — инъекция. A1)
Докажем (8). Пусть (a, b) ? G. Тогда а ? np4G и g (а) = Ь.
В силу F) а 6 np2f. По G) (g о f) (а) = а. Но (g о /) (а) =
— / (§ (а))= / Ф)- Значит, / (Ь) = а. Следовательно, (b, а) 6 F
и (а, 6N^.
Докажем A0). Пусть а 6 np2G. По определению проекции
множества существует такое Ь, что (b,a}?G. По (8)
{b,a)?F~1 и {a,b)?F. Из {a,b)?F следует f(a) = b.
Из (b, a)?G вытекает g(b) = а. Следовательно, (/оg)(a) =
(f()) {b)
gf()) g{)
Докажем A1). Доказывая от противного, допустим,
что g не инъекция. Поскольку, по условию, g — функция,
наше предположение означает, что график G функции g
не инъективен, т. е. что существуют такие a, b и с, для
которых афЬ, {a,c)?G и {b,c)?G. По (8) {a,c)^F~1
и (b,c)?F~1, т. е. (c,a)?F и {c,b)?F. [Мы получили
противоречие с функциональностью графика F.
В математической практике „обратность" обратной функ-
функции чаще всего используется в виде следующих простых

222 функция [гл. vi
свойств:
>f(x) = y, A2)
*Я(У) = х A3)
(область значений переменных хну ясна из обозначений).
Докажем A2). Пусть g(b) = a. Тогда (b,a)?G. По (8)
(Ь, а) ? У7", т. е. (а, b)?F. Следовательно,
Докажем A3). Пусть f (а) = 6 и а?пр2С По
A0) (f°g) (а) = а. С другой стороны, (/ о g) (a) =
= g{f (a)) = g(b)- Следовательно, g(b) — a.
Свойства A2), A3) являются фактически пере-
переформулировкой, соответственно, свойств G), A0).
Подчеркнем, что утверждение
Рис.45. f(x) = y-+g{y) = x A4)
в общем случае не верно.
Пример 1) Пусть X = {a, b}, Y — {а}. Пусть график
функции / типа X—->Y задается рис. 45, а график функции g
типа Y —»Х — рис. 46. Тогда функция g является обратной
для функции / и f(a) — a, но не верно, что
g(a) = a. a
Рассмотрим, наконец, вопросы существования
и единственности обратной функции. Выше,
доказывая, что для любой функции / существует
функция g со свойством E), мы доказали фак-
фактически, что для любой функции f существует
обратная функция, так как построенная там *
функция имела областью определения пр^, а Рис 46.
E) совпадает с G).
С единственностью дело обстоит хуже. Функция, обрат-
обратная для функции /, единственна тогда и только тогда,
когда f — инъекция. Докажем это. Пусть g1 = (G1, К, X),
Df
g2 = (G2, Y, X), gi=?g2 и функции gu g2 — обратные для
Df
f = {F, X, Y). Так как g^g2, G^G2. Следовательно,
Df
существует такая пара (а, Ь), что

2] ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 223
или
(a,
Рассмотрим первый случай. Пусть
(a,b)eGt, A5)
(a, b)$G2. A6)
Из A5) и (8) (b, a)?F. Следовательно, а?пр2/\ В силу F)
a?nptG2. Значит, существует такое с, что
(a, c)?Gz. A7)
Из A6) и A7) ЬФ с. Из A7) и (8) {c,a)^F. Значит,
/ — не инъекция. Второй случай рассматривается анало-
аналогично. Обратно. Пусть f = {F,X, У) —не инъекция. Тогда
Df
существуют такие а, Ь, с, что (b, a)?F, {с, a)?F и ЬФс.
Пусть g — (G, Y,X) — произвольная функция, обратная
Df
для функции / (мы уже доказали, что хотя бы одна обрат-
обратная функция существует всегда). Поскольку а ? np2f,
а ? npfi. По определению проекции множества существует
такое d, что (a, d)?.G. Рассмотрим два случая: d = b
v.dФb. Если d — b, (a, b)^G, причем других пар, первая
компонента которых равна а, в G нет. Положим
Df
Из b Ф с вытекает, что й,фС Положим gi = (GuY, X).
Df
Тогда gi~функция, обратная для /, и gi^g. Если
dф Ь, положим
G2 = [G\{(a,d))]\J{(a,b)}.
Из d ф b вытекает, что G2 ф G. Положим gz = (Gz, Y, X).
rf
Тогда g2 — функция, обратная для f, и gzФg¦
Если / — инъекция, то ее единственной обратной
функцией является функция /-1(G) из § 5 гл. III и C)).
Если функция / не инъективна, то у нее обязательно
существует больше одной обратной функции, причем раз-
различные ее обратные функции отличаются областью значе-
значений. Не может существовать двух различных функций,
обратных для /, с одной и той же областью значений.

224 функция [гл. vi
Докажем это. Докажем, что если две функции gi, g2
являются обратными для одной и той же функции f
и имеют одинаковую область значений, то они совпа-
совпадают. Итак, пусть функции gi = {Gl, Y, X) и gz =
Щ Df
= (G2, Y, X) являются обратными для функции / — {F, X, Y)
Ы Df
и np2G1 = np2G2. Докажем, 4T0g4 = g2. Для того чтобы
это доказать, надо доказать, что ()х = 02. Пусть (a, b)?Gt.
Тогда, с одной стороны, по (8) (b, а)?/\ с другой стороны,
b ? пр^. По условию np2Gj = np2G2. Следовательно,
ft?np2G2. Тогда существует такое с, что (с, b)?G2. По (8)
Ф, c)?F. В силу функциональности графика F, а —с.
Значит, (a, b)^G2. Ввиду полной симметрии условий тео-
теоремы второе включение G2 s Gt доказывается абсолютно
аналогично.
Таким образом, обратная функция полностью характе-
характеризуется своей областью значений..
Для того чтобы задать функцию g, обратную для функ-
функции f = (F, X, Y), достаточно задать такое подмножество А
Df
множества npjf (см. (9)), которое для каждого 6?np2F
содержит один и только один прообраз а ? nptF относи-
относительно /. Заданием такого множества А обратная функ-
функция g вполне определяется, т. е. существует единствен-
единственная функция g, обратная для f, с областью значений А.
В самом деле. Пусть А — подмножество множества nptF
с описанными свойствами. Обозначим через G множество
пар (Ь, а), составленных для всех b ? пр27\ Положим
g — (G, Y, X). Легко видеть, что функция g является
ш
обратной для функции f и np2G = ./l. Единственность
обратной функции с областью значений А следует
из доказанного выше.
Обычно, если / — не инъекция, функция g, обратная
для функции- /, задается, выбирается среди многих обрат-
обратных для f функций, индивидуализируется именно заданием
области значений A s пр^. Если же / — инъекция, то, как
указано выше, g = f~1-
Теорема о графике обратной функции.
Если функция g = (G, Y, X) является обратной для функ-
Df

§2]
ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
225
ции f~(F, X, Y), то 1) G^H'1, где Н —график сужения h
функции f на область значений np2G функции g,
и 2)в = Л.
Доказательство. Поскольку /г1 = (Я, Y, X), вто-
второе утверждение теоремы вытекает непосредственно из
' S
X
Рис. 47.
Рис. 48.
первого. Докажем первое утверждение. По определению
сужения
Я=^П(пр2ОхУ) A8)
(см. C8) из § 1 гл. V). Из A8)
tf-i = F-1na'xnp2G) A9)
(см. задачи 1, 2 к § 5 гл. III). Итак, в силу A9), нам
надо доказать,
B0)
Пусть (а, Ь) ? G. По (8) (а, b) ef1. Поскольку бдУхХ,
а ? У. Кроме того, b 6 np2G. Следовательно, (а, Ь)?Ух np2G
и (а, b) 6/7 П (У X np2G). Пусть, обратно, (а, ЬN^ П
П (У X np2G). Тогда (a, b)?F'1 и (a, ft) б Y x np2G. Следо-
Следовательно, (b,a)?F и 6?np2G. По определению проекции
множества существует такое с, что (с, Ь) 6 G. Из (8) ф, с) б Z7-
В силу функциональности графика .F, а = с. Значит,
{а, 6N0.
Примеры: 2) Рассмотрим функцию f (л;) = г* (рис. 47).
График инверсии f'1 изображен пунктирной линией на рис. 47.
15 Ю. А. Шнханович

226
ФУНКЦИЯ
[Гл. VI
Соответствие /-1 не является функцией. Область значений
функции f равна [0, + °°)- Для любого Ь>0 существует
два прообраза относительно /: УЪ и — УЪ. У числа О
один прообраз —0. Фиксируем обратную функцию gi
с областью значений [0, -г-со). График сужения ht функ-
функции f на [0, + оо) изображен сплошной линией на рис. 48.
По теореме о графике обратной функции график функ-
функции gi является инверсией графика функции Н{ (см. пунк-
пунктирную линию на рис. 48). Очевидно, gi(x) = Yx.
\
2
1
-2
-2
¦
к,
.12 4 х
Рис. 49.
Рис. 50.
3) Фиксируем в качестве области значений функции g2,
обратной для той [же функции f, множество (— со, 0].
График сужения h2 функции / на (— со, 0] изображен
сплошной линией на рис. 49. График функции g2 изображен
пунктирной линией на рис. 49. Очевидно, • gz (x) = — Ух.
4) Рассмотрим функцию g3, обратную для той же функ-
функции /, с областью значений А = [0, 2) (J ( — со, —2]. Гра-
ш
фик сужения л3 функции / на А изображен сплошной,
а график функции g3 пунктирной линией на рис. 50.
Очевидно,
f Yx 0<л:<4
\ ^
— у х х>4.
Функция g3 задается кусочно. Разумеется, в качестве
области значений А обратной функции g можно выбирать
не любое подмножество области определения функции /,

S2]
ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
227
а лишь такое подмножество, которое содержит один и
только один прообраз каждого у.
значения функции /.
5) Функция gi с областью
значений
[П{хеВ\х> 0} П R] U
U[8{*€D|*<0}n(D\R)]
также является обратной для
той же функции /. График ее
изобразить невозможно.
6) Функция /(я) = 2* яв-
является инъекцией. Поэтому
обратной для нее является
только функция f'1 (сплошная
и пунктирная линии на рис. 51). Очевидно, / 1(jf)= log2jc.
У
\F
X
Рис. 51.
Рис. 52.
7) Функция \{х) = %\ъх (рис. 52) не инъективна. Соот-
Соответствие f~x не является функцией (пунктирная линия
15*

228 функция [гл. vi
на рис. 52)*). Область значений функции / равна [ —1, 1].
Для любого б?[—-1, 1] полный прообраз f'1 ({&}) является
бесконечным множеством. ДляЬ?[—1, 1 ] обозначим через
arc sin b прообраз числа b относительно f, принадлежащий
!Ji сегменту | — ¦— ,-~ j . Поскольку
f
i
для любого b 6 [ — 1, 1 ] на сегменте
/^. I —о~ 1 "о" существует единст-
венный прообраз числа b относи-
-J—t—"? тельно f, функция g4 (л:) — arc sin x
г является функцией, обратной для f.
'~'л Область значений [функции gx
~2 равна [ — y , -^- | . График суже-
Рис. 53. ния hi функции / на [ --f, -J-]
изображен сплошной линией на
рис. 53. График функции gt изображен пунктирной линией
на рис. 53. По G)
(V г/ 6 [ — 1, 1]) [sin (arc sin y) = y\. B1)
По A0)
По A2)
arc sin у — x —> sin x -- y. B3)
По A3)
sin x = у & x ? Г — -у» y 1 —¦*arc sin У — x- B4)
Утверждение
sin x — у —> arc sin у = x,
разумеется, не верно.
8) Если в качестве области значений функции g2t обрат-
обратной для функции / из примера 7, выбрать сегмент
\ Y ' ~2 п I ' гРаФик сужения h-i функции /на Г -5-, •»¦ я
•) Это соответствие обозначают через Arc sin.

2]
ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
229
будет изображаться сплошной, а график функции g2 —
пунктирной линией на рис. 54. Разумеется, опять
(sin*) =
g2(y) = x
Легко видеть, что g2(x) = n — arcsinx.
9) Если, наконец, в качестве области значений функ-
функции g3, обратной для функции / из примера 7, выбрать
/f *
Рис. 54.
Рис. 55.
множество Л=[-я, —у-] U [-J-, я) , то график су-
сужения Л3 функции f на Л и график функции g3 будут
изображаться, соответственно, сплошной и пунктирной ли-
линией на рис. 55. Легко видеть, что
ga (x)
— я — arcsinx, — .
я — arc sin л;, (

230 функция [гл. vi
ЗАДАЧИ
1. Найти достаточное условие, которому должна удовле-
удовлетворять функция /, чтобы любая ее обратная функция была:
a) отображением,
b) сюръекцией,
c) биекцией.
2. Найти достаточное условие, которому должна удо-
удовлетворять функция /, чтобы среди ее обратных функций
существовала:
a) всюду определенная функция,
b) сюръекция,
c) биекция.
3. Какому необходимому условию удовлетворяет функ-
функция f, если любая ее обратная функция является:
a) отображением,
b) сюръекцией,
c) биекцией?
4. Какому необходимому условию удовлетворяет функ-
функция f, если среди ее обратных функций существует:
a) отображение,
b) сюръекция,
c) биекция?
§ 3. s-местная функция
Пусть s —целое число и s>2. Функция /называется
s-местной (в частности, двухместной, трехместной, четы-
четырехместной и т. д.), если ее область отправления состоит
из кортежей длины s. s-местную функцию называют
также функцией от s аргументов. Если /-—s-местная
функция, то вместо / ((а{, а2, ..., as)) пишут обыч-
обычно f (аи аг, ..., а,).
f(alt ..., а.)=/«а1, ..., а.». A)
Df
Для любого множества М произвольная функция типа
Ms —> Y является (при s>2) примером s-местной функ-
функции. Функции типа М* —> Y называют иногда s-местны-
ми функциями типа М —> Y. Употребляя этот термин,
следует помнить, что любая s-местная функция типа
М —> Y является (при s > 2) s-местной функцией, но не
является функцией типа М —> Y.

$ 3] S-МЕСТНАЯ ФУНКЦИЯ 231
Нульместная функция типа М —> Y имеет либо вид .
({(Л, Ь)}, {Л}, Y), где ЬеУ, либо вид @, {Л}, Y).
Как и функции типа D —»• D (§ 1), s-местные функ-
функции типа D —» D можно задавать при помощи числовых
форм или чисел. Пусть, например, % (хи ..., ха) — s-мест-
ная числовая форма с числовыми переменными хи ...,xs.
Тогда выражение
\Xit ..., Ха) —> О. [Хи ..., Xs) \?)
обозначает s-местную функцию типа D —*¦ D с графиком
Аналогичный смысл имеет выражение
Т\*и •••. xa)—ia\Xi, ..., xt). \o)
Задавая ту же функцию B), оно одновременно вводит
для нее имя /. Выражение
и — ЧКх. х) 14)
у — л \л\, . . ., ла) ^ i;
тоже задает s-местную функцию типа D —> D, однако
чтобы эта функция была вполне определена, нужно еще
фиксировать тем или иным способом (например, перену-
перенумеровав) порядок переменных в форме 91.
Пример 1) Выражения
(х, у, г) -> -2=Л E)
и
/(*, у, г) = ¦*=?- F)
задают трехместную функцию типа D —> D. Если в фор-
форме х~у порядком переменных считать алфавитный по-
порядок, то выражение
и=^- G)
задает ту же функцию E). Если же в этой форме поряд-
порядком переменных считать обратный порядок (г — у — х), то
значение функции G) на тройке B, 3, 5) будет уже рав-
5—3 , 2—3 1
но —=—=1, а не —=—= —-=- .

232 функция t^. vi
Пусть s —натуральное число. Отображение множества
М' в М называется s-местной (алгебраической) операцией
на М. s-местная операция на М — это все равно, что
всюду определенная s-местная функция типа М —> М.
Одноместную операцию на М называют также унарной
операцией, двухместную операцию — бинарной, трехмест-
трехместную — тернарнойх).
Примеры: 2) Сложение и умножение являются
двухместными операциями на каждом из множеств N, С,
R, D, К. Разумеется, сложение на N и сложение на С
являются разными операциями, так как сложение на N —
это тройка вида (G, N2, N), а сложение на С —это трой-
тройка вида (Я, Са, С). С другой стороны, GczH.
3) Вычитание является двухместной операцией на
каждом из множеств С, R, D, К, но не является опера-
операцией на N, так как при а<.Ь разность а — Ь в N не оп-
определена.
4) Деление не является операцией ни народном из
множеств R, D, К ввиду невозможности деления на О,
однако деление является двухместной операцией на каж-
каждом из множеств R\{0}, D\{0}, K\{0}.
5) Для любого множества М соединение, пересечение
и разность множеств можно считать двухместными опе-
операциями на %(М), а операцию дополнения — одноместной
операцией на 9$(М).
6) Для любого множества М композицию графиков
можно считать двухместной операцией на ф(М2), а ин-
инверсию графика —одноместной операцией на $(УИ2).
ЗАДАЧИ
1. Чему равно число s-местных функций типаМ—*Y,
если М — m-элементное, a Y — n-элементное множество?
2. Чему равно число s-местных операций на т-эле-
ментном множестве М?
3. Выписать все s-местные операции на /л-элементном
множестве М E=1, 2; ш = 0, 1, 2).

ГЛАВА VII
ОТНОШЕНИЕ
§ 1. Отношение
Слово „отношение" встречается в математике, например,
в контексте «отношение „меньше" для действительных чи-
чисел» (см. § 1 раздела Б). Подобно тому, как мы это сделали
в начале § 1 гл. V, на отношение „меньше" для действитель-
действительных чисел можно взглянуть со следующей, несколько новой
стороны: определить отношение „меньше" для действитель-
действительных чисел — это значит выделить некоторый график Ф =
s D2, в который войдут те и только те пары, компоненты
которых находятся между собой в нужном нам отношении.
Отношение „меньше" для действительных чисел полностью
характеризуется, во-первых, множеством D и, во-вторых,
графиком Ф s D2. Легко видеть, что аналогично можно
истолковать слово „отношение" для отношения подобия
треугольников, для отношения параллельности прямых
и т. п.*). Что же такое „отношение"? Что следует назвать
„отношением"?
Отношение — это пара множеств, первая компонента
которой является подмножеством квадрата второй ком-
компоненты 1). Еще раз, по-другому: пара множеств (Ф, М)
Называется отношением, если Ф s M2 **) 2).
Пусть
Ф = (Ф, М) A)
ш
*) Слово „отношение" в термине „отношение чисел" имеет,
разумеется, совсем другой смысл.
**) Буква Ф—это прописная греческая буква „фи" (см.
приложение 3).

234
ОТНОШЕНИЕ
[Гл. VII
Ф
Рис. 56.
— произвольное отношение. Из определения отношения
следует, что его первая компонента Ф есть график. График
Ф, т. е. первая компонента отношения ф, называется гра-
графиком отношения. Множество М, т. е. вторая компонента
отношения ф, называется областью
задания отношения. Отношение ф
с областью задания М называется
отношением на множестве М. Про
отношение ф на множестве М мы
будем говорить также, что отно-
х шение ф задано на М 3).
Если {а, Ь) ? Ф, то мы будем
писать
афЬ B)
и будем говорить: „элементы а
и b находятся в отношении ф",
или „элемент а находится в отношении ф к элементу 6",
или „пара (а, Ь) находится в отношении ф", или „пара
(а, Ь) удовлетворяет отноше-
отношению ф", или, наконец, „для
пары (а, Ь) выполнено (выпол- rrr
няется) отношение ф". ~|
Если а и b — элементы мно- zr=
жества М, aqb является (истин- =
ным или ложным) высказыва- пг
нием. Если а ""или b является ^
переменной с ^областью значе- z=z
ний М, ayb является (одномест- —
ной или двухместной) высказы- ~
вательной формой.
Отношения мы будем чаще
всего обозначать строчными
греческими буквами, графики отношений — прописными
греческими буквами.
Примеры: 1) Пусть Ф ? D2 (рис. 56). Тогда
(Ф, D) — отношение на D. Любое подмножество Ф мно-
множества D2 является графиком некоторого отношения на D.
2) Пусть Ф = % {{х, у) 6 D2! х< у}. Отношение ф=
Df Df
= (Ф, D) и есть отношение „меньше" на D, упомянутое
DJ
=*=-
X
Рис. 57.

ОТНОШЕНИЕ
235
в начале параграфа. График Ф этого отношения изображен
на рис. 57.
3) Пусть Ф = {A,1), B,1), A,3)}. Отношение
ф1~ (Ф. N)ecTb отношение на N. Для того же Ф отно-
Df
шение ф2= (Ф, {1, 2, 3}) есть отношение на {1, 2, 3}.
Df
Разумеется, ф4 Ф ф2. График Ф изображен на рис. 58.
Любое подмножество Ф множества N2 является графиком
некоторого отношения на N. Мы будем иногда задавать
отношения на N рисунками, изображая на координатной
1 ¦
1 г з
Рис. 58.
а>
х
Рис. 59.
Рис. 60.
плоскости, вернее — в координатном угле, график опре-
определяемого отношения (рис. 59). При этом следует иметь
в виду, что в задаваемый рисунком график отношения
на N входят только „узлы целочисленной решетки" (т. е.
точки, обе координаты которых — целые числа), а не
все точки плоскости, обведенные на рисунке линией.
Для иллюстрации вводимых понятий или с эвристиче-
эвристическими целями мы будем часто отношения (вернее, их гра-
графики) на произвольном множестве М также изображать
рисунками типа рис. 59 (см. рис. 60). При этом мы будем
как бы предполагать, что на обоих лучах расположены
элементы множества М, причем (слова, не имеющие ника-
никакого точного смысла) расположены они в одном и том же
порядке. Поэтому диагональ Ам мы будем изображать бис-
биссектрисой (пунктирная линия на рис. 60), пары (а, Ь)
и {Ь, а) будем изображать точками, симметричными отно-
относительно диагонали, и т. п. Повторяю: все эти рисунки
будут иметь лишь иллюстрирующее или эвристическое

236 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
значение, однако для этих целей они могут оказаться очень
полезными. Впрочем, для конечных множеств М эти рисун-
рисунки могут иметь и точный смысл.
Пример 4) Пусть М = {с, т, о, л}, график Ф
Df
задается рис. 61 и ср = <Ф, М). Тогда хщ истинно в том
Df
и только в том случае, когда в слове „стол" буква х стоит
левее, чем у.
Если Г = (G, М, М) — соответствие между множест-
Df
вами М и М, то, очевидно, ср= (G, М) — отношение
Df
на М. И обратно, если ф = (Ф, М)—
Df
Т • Eс^ отношение на/W, то Г = (Ф, М, М) —
С
соответствие между множествами
М и М. Тем не менее мы, помимо по-
_ нятия соответствия, ввели особо понятие
j[ rj с Т отношения и будем его отдельно изучать,
вводить специфическую терминологию,
Рис. 61. специальные обозначения и т. п. Такой
подход не является, конечно, обяза-
обязательным, но, как показывает математическая практика,
он удобен и полезен. На совершенно неформальном,
интуитивном языке разница между понятиями соответ-
соответствия и отношения следующая: соответствие имеет направ-
направление от области отправления к области прибытия; если
(а, 6N G, то первой компоненте пары а соответствует
вторая компонента пары Ь; элементы а и b (психологиче-
(психологически!) не равноправны (недаром на рисунках соответствия
мы изображаем стрелками); отношения же характеризуют
свойства пар из М2; если ayb, то элементы а и b при
этом более или менее (психологически!) равноправны,
просто пара (а, Ь) обладает свойством ф (недаром
на рисунках отношения мы изображаем множествами,
фигурами).
Важнейший способ задания отношений —задание при
помощи высказывательных форм. Пусть 31 — двухместная
высказывательная форма с переменными х и у, область
значений переменных хну (одна и та же) —мно-
—множество А и MsA Условимся считать тогда, что

§ il отношение 237
фраза:
Зададим на М отношение ф : хуу = 21 C)
Df
или, короче, выражение
хсру = <й (х, у?М) D)
Df
определяют отношение ш = (Ф, М) на множестве М с
Df
графиком Ф = ?1(я, у)Р|Л12. Очевидно, для так опреде-
Df
ленного отношения ф
херу ** SH(x, y)&xeM&yeM. E)
Если М = А, разрешим вместо D) писать
*фу = §1. F)
Df
Примеры: 5) Пусть
хщ = х<у. G)
Df
Отношение ф, определенное выражением G), есть отно-
отношение „меньше" на D, упомя- «.
нутое в начале параграфа (см.
также пример 2 и рис. 57).
6) Пусть
(8) ^
или, что все равно (§ 1 раз- —г
дела Б), F
Df
Тогда 5а|зЗ истинно, а 5фЗ Рис. 62.
(пример 5) ложно. График от-
отношения г|) изображен на рис. 62 (ср. .с рис. 57).
7) Пусть / — функция типа D —-> D и
Df
Тогда q —отношение на D. График отношения q совпа-
совпадает с графиком функции /.

238
ОТНОШЕНИЕ
[Гл. Vlt
Если порядок переменных в форме Ж фиксирован (на-
(например, алфавитный, или по первому вхождению, или
указан специально), то отношение C), D) можно задавать
и так:
зададим на М отношение
я (х, уем).
(9)
A0)
(При этом, правда, теряется имя ф задаваемого отноше-
отношения.) Условимся, если противное не оговорено, порядком
переменных считать алфавитный
порядок.
Примеры: 8) Отношение х < у
на D есть отношение ср из примера 5.
9) Отношение х>у на D есть
отношение \\> из примера 6.
10) График отношения х^у на
D получается соединением графика
отношения х<.у (см. рис. 57) и
диагонали AD-
Если 21 (х) — одноместная вы-
сказывательная форма, область значений переменной
х — множество Ли AfsA то под
Рис. 63.
херу = % (х)
A1)
понимается отношение на М с графиком B1 хЛ)(~)Л12.
Аналогично,
хуу 5=9I(j/) (л;, у?М) A2)
DX
означает отношение на М с графиком (Ах%)(~}М*.
Отношение ш = (Ф, М) называется полным, если
Dt
Ф = М2, т. а если С?хеМу(ЧуеМ)[хуу] (рис. 63). Оче-
Очевидно, отношение
есть полное отношение на М. Впрочем, отношение
х — х(х, у?М) также является полным отношением на М.

1]
ОТНОШЕНИЕ
239
Отношение ср = (Ф, М) называется пустым, если Ф = 0,
т. е. если ~\(ix?M) C</?М) [хц>у\. Очевидно, отношение
(др Ф х) V (У Ф У) (х,уеМ)
есть пустое отношение на М. Впрочем, отношение хфх
(х, у?М) также является пустым отношением на М.
Рис. 64.
Рис. 65.
Пустое отношение @, М) мы часто будем обозначать
через Ом.
Отношение <р = (Ф, М) называется отношением равен-
Df
ства, еслиФ = Ам, т. е. если(Чх?М) (Уу?М)\хуу-**х~у\
(рис. 64). Очевидно, отношение
х = У (х, у?М)
есть отношение равенства на М. Отношение равенства
(Лм, М) мы часто будем обозначать через Ем*).
Отношение ф = (Ф, М) называется отношением нера-
ы
венства, если Ф = Л1г\Лм, т. е. если
(рис. 65). Очевидно, отношение
хфу (х, у?М)
есть отношение неравенства на М.
Пример 11) Пусть Ф = {A, 1), B, 2), C, 3». Отно-
Df
шение ф! = (Ф, {1, 2, 3}) является отношением равенства.
¦) Е — первая буква слов «equal" (англ.), „egal" (франц.).

240 ОТНОШЕНИЕ • [Гл. VII
Отношение ф2=(Ф, N), разумеется, не является отно-
Df
шением равенства. Если М = {1, 2, 3}, тоф1 = ?'м.
Перейдем к операциям над отношениями. Во-первых,
на отношения естественно переносятся общие операции
над множествами (§ 3 гл. И).
Пусть <р=(Ф, Л1> и \1) = <XP", М) — произвольные отно-
Df Df
шения на (одном и том же) множестве М.
Соединением {объединением) отношений ср и г|) назы-
называется и через cpU^ обозначается отношение на множе-
множестве М, график которого равен соединению графиков
отношений ф и ф. Таким образом,
<Р11Ч> = <Ф№Л!>. A3)
Если известно, что <р и i|) — отношения на одном и том
же множестве, то определение A3) можно записать и так:
ФU ^ = «прхф) U (nPi^)i Гфгф}- A4)
Очевидно,
Пересечением отношений <р и г|? называется и черезсрП^
обозначается отношение на множестве М, график которого
равен пересечению графиков отношений ср и гр. Таким
образом,
ФГК = <ФПЧ',М>. A6)
пг
Очевидно,
х(чГ№)у**(хчу)&(х1?у). A7)
(Подобно тому, как это делалось в § 3 гл. II, для
отношений на одном и том же множестве естественным
п со п
образом можно определить М Фь U Ф< U Ф1 и П фь
1=1 ФШ 1=1 1=1
П Ф, П Фг-)
ФсЗЛ 1=1
Разностью отношений ф и ty называется и через ф\г|>
обозначается отношение на множестве М, график кото-

§ 1] ОТНОШЕНИЕ 241
рого равен разности графиков отношений ср и г|з. Таким
образом,
(DVF M). A8)
Очевидно,
A9)
Для отношений большое значение имеет частный слу-
случай операции разности —операция дополнения. Дополне-
Дополнением к отношению ф = (Ф, М) называется и через <р обо-
Df
значается отношение на множестве М, график которого
равен дополнению графика отношения ф до Мг. Таким
образом,
Ф = (М2\Ф, /И). B0)
ЮГ
Очевидно,
ХЦ>У 3F*: 1 (ХЩ). B1)
Если Од* — полное отношение на множестве М, то для
любого отношения ф на М
B2)
С другой стороны, очевидно
ф\\|} — ф (")¦»[). B3)
На отношения (на одном и том же множестве) авто-
автоматически переносятся все „тождества с множествами"
(§ 3 гл. II). Например,
B4)
B5)
B6)
B7)
Во-вторых, на отношения столь же естественно пере-
переносятся операции над графиками (§ 5 гл. III).
Инверсией отношения ф = (Ф, М) называется и через
14
Ф" обозначается отношение на множестве УИ, график
которого есть инверсия графика отношения ф. Таким
16 Ю. Д. ШиханоБИЧ

242 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
образом,
ф-1 = (ф-1, М). B8)
ш
Очевидно,
ху~*у =pfc уц>х. B9)
Например, отношение х>у на D является инверсией
отношения х<у на D (см. примеры 5, 6 и рис. 57, 62).
Композицией отношений го = (Ф, М) и \\> = Dя, М) назы-
вается и через ф<>г|) обозначается отношение на множе-
множестве М, график которого равен композиции графиков
отношений ф и гр. Таким образом,
фог|) = (ФоЧ',М). C0)
Очевидно,
C1)
На отношения (на одном и том же множестве) авто-
автоматически переносятся все „тождества с графиками"
(§ 5 гл. III). Например,
(ф-Т^ф, C2)
(фо^-^^оф-!, C3)
(фог|))оХ = фоA|5оХ). C4)
На основании § 5 гл. III операция композиции отноше-
отношений обобщается на любое (конечное) число отношений.
Под композицией Ф1 ° ф2 °. • • ° фп отношений ц>и ф2, ..., ф„
на (одном и том же) множестве М понимается результат
последовательного попарного компонирования отношений
фи фг> • • • > фл при любой расстановке скобок. Отношение
Ф! о ф2 о ... о фп есть снова отношение на том же множе-
множестве М.
Подчеркнем еще раз, что все наши операции над отно-
отношениями применяются к отношениям с одной и той же
областью задания и в результате применения операции
снова получается отношение с той же областью задания.
Отметим, что для любого отношения ф на множестве М
ф°Ом = Омоф = Ом, C5)
Ф о Ем = Ем о ф = ф C6)
(см. A2) из § 5 гл. III и A3) из § 5 гл. III).

§ l] ОТНОШЕНИЕ 243
Мы будем говорить, что отношение ф = (Ф, М) влечет
Df
(или имплицирует) отношение ib = Dr, M) и будем писать
Df
Ф s г|), если Ф =\Р". Термин „влечет" („имплицирует")
объясняется тем, что
Ф s г|> ^ (V* 6 Af) (V</ 6 Af) [лгФг/ -> дсОД. C7)
Очевидно,
Ф = \|) ^t (ф с= гр) & (л|з ^ ф). C8)
Введем, наконец, одну „операцию", меняющую область
задания отношений. Пусть ф = (Ф, М) — отношение на
Df
множестве М и A s M. Сужением отношения ф на мно-
множество А называется и через фд обозначается отношение
(ФПЛа, А). C9)
Таким образом,
ЩаУ "**¦ ЩУ &х?А&у? А D0)
(здесь по-прежнему х и у — переменные с областью зна-
значений М). Сужение фд отношения ф на множество А
является отношением на множестве А.
Пример 12) В обозначениях примера 11 Ф1 = (ф2)м-
ЗАДАЧИ
1. Чему равно число отношений на л-элементном
множестве?
2. Доказать или опровергнуть, что для любых отно-
отношений ф, я|) на множестве М:
а)
ь)
с)
d) (ф)-1
е) <рс\|)
16»

244 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
3. Доказать или опровергнуть, что для любых отно-
отношений ф, г|), % на множестве М:
a) faU4>)°X:=D>eX)UM>0X).
b) (ф П^) ° х = (ф ° х) П (^ ° х)^
c) (ФМ>)ОХ=(Ф°Х)\A1'ОХ).
d) Ф = 1|> -> (фоХ) = (я1)оХ).
4. Доказать или опровергнуть, что для любых отно-
отношений ф, -ф на множестве М и для любого подмноже-
подмножества А множества М:
Ь)
с)
е) (ф~1)а = (ФаГ1,
i) (Ф°^)а = Фа°^а-
5. Пусть хц>у = х< г/(л;, у ? N), яр = ?"м- Найти
а) ф о ij), Ь) г|з о ф, с) ф о т|), d) ф о ф, е) ф о ф, {) ф" о г|з.
§ 2. Основные свойства отношений
Отношение ф = (Ф, М) называется рефлексивным, если
Df
(Ух6Л«Iжфх]. A)
Очевидно, отношение (Ф, М) рефлексивно тогда и только
тогда, когда
Ам ?= Ф, B)
т. е. когда все точки диагонали принадлежат графику
отношения (рис. 66).
Отношениеф=(Ф, М) называется антирефлексивным1),
Df
если
(Чхем)-\[Хщ] C)
или
D)

2]
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОТНОШЕНИЙ
245
Очевидно, отношение (Ф, М) антирефлексивно тогда и
только тогда, когда
0. E)
т. е. когда ни одна точка диагонали не принадлежит
графику отношения (рис. 67).
Отношение ср= (Ф, М) называется симметричным, если
D{
херу -*¦ уух
F)
(область значений переменных здесь и дальше, если не
оговорено противное, — множество М; кванторы общности
Рис. 66.
Рис. 67.
Рис. 68.
опущены в соответствии с соглашением из § 3 гл. IV;
вместо A) и C) также можно было написать, соответст-
соответственно, хщ и 1 [л:фд;]). Очевидно, отношение (Ф, М) сим-
симметрично тогда и только тогда, когда его график Ф
симметричен '(рис. 68) или (см. (9) из § 5 гл. III)
Ф = Ф.
G)
Для дальнейшего заметим, что определение F) равно-
равносильно, как это ни странно на первый взгляд, определению
хф у -> (хщ -> ущ). (8)
Отношение <р называется антисимметричным, если
хуу & х Ф у -> н (j/(px), (9)
2) или
хуу & у<рх
= у.
A0)

246 ОТНОШЕНИЕ [Гл. Vlt
Докажем, что определения (9) и A0) равносильны.
х<ру&хф у —> ~\ (уцх) == хщ&-\ (х = у) -> ~| (t/фдс) ==
= ЩУ -» П (лг = {/)-> П (г/ф*)] s
(у<рх) -¦ ПП (х=уI =
~> х = у] =
= хуу & уцх —> х — у.
В этой выкладке, кроме закона контрапозиции и снятия
двойного отрицания, мы дважды использовали B5) из § 1
гл. IV. Из A0), очевидно, следует,
что отношение (Ф, М) антисимметрично
тогда и только тогда, когда (рис. 69)
^Ам- (И)
Используя B5) из § 1 гл. IV, легко
получить, что определение (9) равно-
_____ сильно также определению
Рис. 69. хф у-> [херу —> 1 (уух)] A2)
(сравните с (8)). Из A2) или контрапозицией к A0) полу-
получается еще одна форма определения
хФ у—>¦  [хуу &уц>х]. A3)
Отношение ф называется связанным, если
хфу->[хсру\/у(рх]. A4)
Легко видеть, что отношение (Ф, М) связанно тогда
и только тогда, когда
т. е. когда для любой пары а?М2 с разными компонен-
компонентами либо а?Ф, либо а~х^Ф (см. рис. 70). Из сравнения
определений (8) и A2), A3) и A4) вытекает, что свой-
свойства симметричности, антисимметричности и связанности —
это родственные свойства, свойства „на одну тему". Ниже
мы увидим подтверждения этому неформальному утвер-
утверждению.
Отношение ф называется транзитивным, если
хщ & ууг —> xq>z. A6)

§ 2] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОТНОШЕНИЙ 247
Легко доказать, что отношение (Ф, М) транзитивно тогда
и только тогда, когда
Ф.фдф. A7)
Все предыдущие свойства отношений мы иллюстрировали
на рисунках (рис. 66 — 70), дававших какой-то зритель-
зрительный образ определяемому свойству. Для свойства тран-
транзитивности я не знаю столь же наглядной иллюстрации.
Введенные выше шесть свойств мы
будем называть основными свойствами
отношений *).
Каждое из основных свойств отно-
отношений мы определяли на „логическом
языке" и на чистом теоретико-множест-
теоретико-множественном языке, через график. Характе-
Характеристика основных свойств отношений
через график [B), E), G), A1), A5),
A7)] очень часто помогает в доказа-
доказательствах, упрощает и сокращает их.
Примеры: 1) Полное отношение {Мг, М) на произ-
произвольном множестве М рефлексивно; не антирефлексивно,
если МФ0; симметрично; не антисимметрично, если М
содержит больше одного элемента; связанно; транзитивно.
2) Пустое отношение ОМ = {0,М) на произвольном
множестве М не рефлексивно, если МФ 0; антирефлек-
антирефлексивно; симметрично; антисимметрично; не связанно, если М
содержит больше одного элемента; транзитивно.
3) Отношение равенства ЕМ — (АМ,М) на произволь-
произвольном множестве М рефлексивно; не антирефлексивно, если
МФ0; симметрично; антисимметрично; не связанно,
если М содержит больше одного элемента; "транзитивно.
4) Отношение неравенства (М2\ДМ, М) на произ-
произвольном множестве М не рефлексивно, если М Ф 0;
антирефлексивно; симметрично; не антисимметрично, еслиМ
содержит больше одного элемента; связанно; не транзи-
транзитивно, если М содержит больше одного элемента.
5) Пусть Ф = {A, 1), A,), B,2)}. Тогда отношение
Df
Ф1 = (ф, {1,2}) рефлексивно, а отношение <рг = (Ф, {1, 2, 3})
Df Df
не рефлексивно.
•) См. сноску на стр. 125.

248 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
6) Если график отношения ср содержит одну пару,
то отношение ф транзитивно.
7) Отношение @,0) обладает каждым из шести
основных свойств, причем это отношение является един-
единственным отношением, обладающим всеми основными
свойствами, поскольку, как легко доказать,
отношение (Ф, М) тогда и только тогда одновременно
рефлексивно и антирефлексивно, когда Ф=0 иМ = 0.
Легко видеть также, что отношение (Ф, М) тогда
и только тогда одновременно симметрично и антисим-
антисимметрично, когда Ф ?=' Ам.
Из определений (8), A2) и A4) вытекает, что свой-
свойства симметричности, антисимметричности и связанности
не зависят от элементов диагонали. Точный смысл этого
утверждения состоит в следующих теоремках:
Если отношение (Ф, М) симметрично и /Is AM, то
отношения (Фи А М) и <Ф\Л, М) тоже симметричны.
Если отношение (Ф, М) не симметрично и Лд Ам, то
отношения {ФU А, М) и (Ф\А, М) тоже не симметричны.
Аналогичные теоремки — для свойств антисимметрич-
антисимметричности и связанности.
Свойства рефлексивности и антирефлексивности, оче-
очевидно, наоборот — весьма зависят от элементов диагонали.
Более того,
каково бы ни было отношение (Ф, М), отношение
(Ф\ЛМ, М) антирефлексивно;
каково бы ни было отношение (Ф, М), отношение
, М) рефлексивно.
ти два утверждения позволяют установить простое
и естественное взаимно-однозначное соответствие между
системой рефлексивных отношений на произвольном мно-
множестве М и системой антирефлексивных отношений
на том же множестве. Соответствие, соотносящее про-
произвольному рефлексивному отношению (Ф, М) на мно-
множестве М отношение (Ф\ЛМ, М) будет требуемой биек-
цией (график указанной биекции состоит из пар вида
«Ф, М), (Ф\ЛМ, /И»).
Перебирая' свойство за свойством, легко проверить,
что если отношение <р обладает каким-то из основных
свойств, то его инверсия ср также обладает этим
свойством.

$ 2] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОТНОШЕНИЙ 249
Докажем это, например, для свойства антирефлексив-
антирефлексивности. Пусть отношение ф = (Ф, М) антирефлексивно, т. е.
Df
0- A8)
Докажем, что отношение qr1 = (Ф, М) тоже антирефлек-
антирефлексивно, т. е. что
А
Из A8)
Но (АмПФГ^^мГПФ-^АмПФ (задача 1 из
§ 5 гл. III) и 0~1 = 0.
Дадим второе доказательство того же утверждения.
Отношение ф = (Ф, Л!) антирефлексивно. Значит,
Df
(VxeM) 1[х<рх]. A9)
Докажем, что отношение ф тоже антирефлексивно,
т. е. что
*]. B0)
Возьмем произвольный элемент а'?М и докажем
1 [<щг1а]. B1)
Тем самым утверждение B0) будет доказано. Допустим
противное, допустим, что B1) не верно, т. е. что верно
1 1[афа] = аф-1а. Тогда по определению инверсии отно-
отношения (см. B9) из § 1) сира, что противоречит A9).
Оба этих метода доказательства утверждений, свя-
связанных с основными свойствами отношений, следует
иметь в виду.
Опять-таки перебором свойств легко проверить, что
если отношение ф=(Ф, М) обладает каким-то изоснов-
Df
них свойств и А<=М, то и сужение фА отношения ф
на множество А также обладает этим свойством.
Докажем это, например, для свойства связанности
и снова двумя вышеуказанными методами. Сначала —на
„языке графиков". Пусть отношение ф = (Ф, М) — связан-
связанное, т. е. т
, B2)

250 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
Л = М. B3)
Докажем, что отношение <рА = (Ф[)А2, Л) — тоже связан-
связанное, т. е. что
Ла\АА s (Ф Г) Л1) U (Ф П Л2)- B4)
Преобразуем сначала правую часть включения B4)
= (Ф П &) U (Ф П А*) = (Ф и Ф) П А2.
Для последнего шага мы использовали свойство (ИГ)
из § 3 гл. II. Итак, нам из B2) и B3) надо вывести
^ЧДлеСФиФ-ЧГМ1. B5)
B5) очень легко доказать на „языке элементов", но
можно также, используя результат задачи 9Ь из § 3
гл. II, закончить доказательство более изящно. Из B2)
и упомянутой задачи
(Ма\Ам)П(ФиФ-1) = ^2\Лм. B6)
Из B3)
Лг\ААеМ2\Ам. B7)
Из B7) и упомянутой задачи
042\АА)П(М*\Дд,) = Л2\Ал. B8)
Поскольку Л2\АД = Ла,
(Л2\Дд)ГИ2 = Л2\ДА. B9)
И, наконец, еще раз используя упомянутую задачу,
докажем вместо включения B5) равенство
(Л2\ ДА) П [(Ф U Ф) П А'] = Л*\ АА. C0)
Из B6), B8) и B9) равенство C0) получается непосред-
непосредственно:
= [(Л2\АА) П (М2\ Ам)] П (Фи Ф'1) =
)П(ФиФ-1)] =
= Л2\АА. C1)

§ 2] . ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОТНОШЕНИЙ 251
Докажем теперь то же утверждение на „логическом
языке". Пусть снова отношение гр — (Ф, М) связанно, т. е.
(ЧхеМ)(Чу?М)[хФу-^х<ру\/у<рх}, C2)
А<=М. C3)
Докажем, что тогда и отношение <рА = {Ф{~}А2, А) тоже
связанно, т. е. что
(V* 6 А) (Чу 6 А) [х Ф у -* х<рАу V УФа*] • C4)
Возьмем в множестве А два произвольных элемента: а
и b — и докажем
аФ b—>a<pAb\JbrpAa. C5)
Этим утверждение C4) будет доказано. Допустим, что
аФЬ. C6)
Докажем, что тогда
aq>Ab\JbyAa. C7)
Тем самым импликация C5) будет доказана. В силу C3),
а?М и b?M. Значит, на основании C2),
а Ф b—>a(fb\/bcf>a. C8)
Ввиду C6),
ауЬуЬщ. C9)
Рассмотрим два случая: 1) аф; 2) Ьщ. Допустим сна-
сначала, что
афй. D0)
Поскольку а ? Л и Ь?А, из D0) вытекает a(pAb, а значит,
и C7). Второй случай рассматривается аналогично.
ЗАДАЧИ
1. Чему равно число нижеуказанных отношений
на n-элементном множестве:
a) рефлексивных?
b) антирефлексивных?
c) симметричных?
d) антисимметричных?
e) связанных?

252
ОТНОШЕНИЕ
[Гл. VII
Таблица 1
I ' i
„ . ' Анти- I Антисим- ! _
Рефлек- | рефлек- Симмет- метоич- Свяэан-
сивное , СИВНое i ричное ноке ное
+
Таблица 2
2. Рассмотрим таблицу (см. табл. 1), в верхней строке
которой выписаны пять основных свойств отношений
(кроме транзитивности). Заполним строчки этой таблицы
всеми возможными способами зна-
знаками + и —. Строк в таблице
(не считая „входной", верхней строч-
строчки) будет Ш j = 32. Требуется для
каждой строчки придумать отно-
отношение, „анкета" которого записана
в данной строчке (т. е. отношение,
обладающее или не обладающее тем
или иным из пяти написанных
сверху свойств в зависимости от
того знак -г или знак — стоит на
пересечении рассматриваемой строч-
строчки и соответствующего столбца),
или доказать, что такого отношения
Реф-
лек-
сив-
по с
Сим-
мет-
рич-
ное
Транзи-
Транзитивное
не существует. Для облегчения поисков укажу, что
строк с примерами будет больше двадцати и меньше
двадцати пяти.
3. Задача аналогична задаче 2, но решается примени-
применительно к табл. 2.
4. Пусть
я?у=з\х-у\>г {х, y?D).
Df
Составить „анкету" отношения ф (т. е. указать, обладает
или не обладает отношение <р каждым из шести основных
свойств).

§ 3] РАЗБИЕНИЕ 253
5. Составить анкету (см. задачу 4) отношения
Df
6. Составить анкету отношения (Ф, М), где
М = {а, Ь, с, d), Ф = {(а, а), (а, Ъ), (с, а), ф, d), (a, d), {b, с)}.
Df Df
7. Доказать, что если отношение <Ф, М) транзитивно
и рефлексивно, тоФоф = ф.
8. Доказать, что если отношение ф транзитивно и ан-
тирефлексивно, то оно антисимметрично.
9. Что можно сказать об отношении <р, если отноше-
отношение <р:
a) рефлексивно?
b) антирефлексивно?
c) симметрично?
d) антисимметрично?
e) связанно?
f) транзитивно?
10. Доказать или опровергнуть, что соединение (pU^I5
рефлексивных отношений ср и г|э рефлексивно. Аналогич-
Аналогичная задача —о каждом из пяти остальных основных
свойств.
11. Задача аналогична задаче 10, но решается для опе-
операции пересечения.
12. Доказать, что если композиция срог]з симметричных
отношений ф и гр симметрична, то фоя|} = г[>оф.
§ 3. Разбиение
Данный параграф по существу не относится к настоя-
настоящей главе. В нем ничего не будет говориться об отно-
отношениях. Его вполне уместно было бы сделать последним
параграфом главы II. Однако в следующем параграфе
будет установлена тесная связь между разбиениями
и некоторым специальным видом отношений.
С разбиениями мы фактически, не определяя точно
этого понятия, уже имели дело в § 3 гл. III. Сейчас мы
дадим понятию разбиения строгое определение.

254 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
Система ЯЛ множеств называется разбиением множе-
множества М, если она удовлетворяет четырем условиям:
1)
2)
3)
Очевидно, из 1) и 4) в определении разбиения *) вытекает
равенство
U Х = М.
хеал
Элементы произвольного разбиения ЯЛ мы будем назы-
называть классами разбиения.
Разбиение ЯЛ множества М называется поэлементным,
если каждый класс разбиения ЯЛ является одноэлемент-
одноэлементным множеством. Разбиение ЯЛ множества М называется
целым, если ЯЛ = {М}1). Целое разбиение множества М
и поэлементное разбиение множества М мы будем
называть тривиальными разбиениями множества М, осталь-
остальные разбиения, если они существуют, —нетривиальными
разбиениями.
Примеры: 1) Очевидно, пустое множество 0 имеет
единственное разбиение — пустую систему ЯЛ множеств
{см. B) из § 3 гл. И). Итак, система ЯЛ=0 и только
DJ
она является разбиением множества М—-0. Это разбиение
и
тривиальным образом (см. E) из § 3 гл. IV) является
поэлементным, целым оно не является **).
2) Одноэлементное множество М = {а} тоже имеет
единственное разбиение ЯЛ = {М} — {{а}}. Это разбиение
Df
является и целым и поэлементным.
*) Я пишу здесь и буду часто писать дальше „в определении
разбиения", хотя точнее было бы говорить „в определении раз-
разбиения данного множества", так как у пас нет термина „разбие-
„разбиение", а есть термин «разбиение данного множества" (ср. со сноской
на стр. 63). Впрочем, любая система Ш множеств, удовлетворяю
щая условиям.12 и 3, является разбиением некоторого множества.
**) Не следует путать множества {0} и 0. Множество {0},
ввиду условия 2, не является разбиением никакого множества.

§ 3.1
РАЗБИЕНИЕ
255
3) Двухэлементное множество М = {а, Ь) имеет два раз-
Df
биения: 5Ш!={М}—целое разбиение и <ш2 = {{а}, {Ь}} — поэле-
Df Df
ментное разбиение (рис. 71).
4) Трехэлементное множе-
множество М = {а, Ь, с} имеет уже
Df
пять разбиений: тривиальные
разбиения Wi = Ш},ЯЛ2={{°}>
Df Df
{b}, {с}}* и три нетривиаль-
нетривиальных разбиения: Ш$ = {{«}, {Ь,
т.
}}4{{}{}}B{{}
Df Df
{a, b}} (рис. 72).
5) Система курсов данного
факультета является разбие-
разбиением множества студентов
факультета, если, разумеется,
ни один студент не числится
на двух курсах одновременно.
6) Система групп данного
курса является разбиением
множества студентов курса.
7) Система групп данного факультета является разбие-
разбиением множества студентов факультета.
?8) Пусть Ао — множество четных натуральных чисел,
Ai — множество нечетных натуральных чисел. Тогда си-
система {Ао, At} является разбиением множества N.

256 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
9) Пусть Во — множество натуральных чисел, деля-
делящихся на 3, Bt — множество натуральных чисел, дающих
при делении на 3 остаток 1, и В2— множество натураль-
натуральных чисел, дающих при делении на 3 остаток 2. Тогда си-
система {Во, Ви В2} является разбиением множества N.
10) Пусть Сп — множество и-значных натуральных чи-
чисел (п — 1, 2, 3, . . .). Тогда система Ш = {Cit С2, С3,
ы
С4, . . .} является разбиением множества N.
11) Пусть f : X-+ Y — сюръективное отображение. Си-
Система Ш полных прообразов /({«/})> взятых для всех эле-
элементов множества К, является разбиением множества X.
Условие 1 следует из определения полного прообраза.
Условие 2 — из сюръективности функции /. Условие 3 оче-
очевидно (см. также задачу 3 к § 1 гл. VI). Условие 4 вытекает
из всюду определенности функции f. Это разбиение, раз-
разбиение на классы прообразов относительно /, имеет теоре-
теоретическое значение, оно часто используется в алгебре.
Пусть система ЯЛ является разбиением множества М.
В силу условия 3 соответствие п, соотносящее произволь-
произвольному элементу а множества М тот класс разбиения Ш,
которому этот элемент принадлежит, является функцией.
В силу условий 2 и 4 функция h является сюръективным
отображением. Отображение h множества М на Ш называет-
называется естественным отображением.
Легко видеть, что если h — естественное отображение
множества М наШ, то разбиение множества М на классы
прообразов относительно h (пример 11) совпадает с W.
Решая в § 3 гл. III комбинаторные задачи, мы часто
строили разбиение множества М, число элементов которого
надо было сосчитать, причем разбиение мы строили каж-
каждый раз фактически так: „Разобьем множество М на клас-
классы по следующему принципу: два элемента а и b множества
М мы отнесем в один класс, если пара {а, Ь) обладает
некоторым свойством, удовлетворяет некоторому отноше-
отношению на М". Но в каких случаях, для каких „принципов",
для каких свойств пар, для каких отношений на М мы
можем быть уверены, что у нас действительно получается
некоторое разбиение множества М? В § 3 гл. III мы не за-
задавались подобным вопросом, апеллируя к интуиции чита-
читателя. Однако всегда ли, любой ли „принцип разбиения",

§ 3] РАЗБИЕНИЕ 257
любое ли отношение на М приводят к некоторому разбие-
разбиению множества М? Покажем на примерах, что это не так.
Примеры: 12) Фраза „Разобьем множество D2 точек
координатной плоскости на классы по следующему прин-
принципу: две точки Р и Q мы отнесем в один класс, если рас-
расстояние между точками Р и Q меньше единицы" на самом
деле не определяет никакого разбиения множества D2, так
о
как расстояние между точками Р= @, 0) я Q = {-г-, 0)
ТЛ DI 4
меньше единицы и, следовательно, точки Р и Q полагается,
по нашему „принципу разбиения", поместить в один класс;
расстояние между точками Q и R = A-^, 0) тоже меньше
Df г
единицы и, следовательно, точки Q и R тоже полагается
поместить в один класс; но расстояние между точками
Р и R равно единице и, следовательно, им не полагается
быть в одном классе. Противоречие с условием 3.
13) Отношение
aqsb =? а старше, чем b
на множестве М людей Земли не определяет разбиения
множества М, так как я нахожусь к своей дочери в отно-
отношении ф и, следовательно, должен быть с ней в одном клас-
классе разбиения, но она не находится, конечно, ко мне в отно-
отношении ф и, следовательно, не должна быть со мной в одном
классе. Противоречие. Кроме того, я сам к себе не нахо-
нахожусь в отношении ф и не должен быть с собой в одном клас-
классе. Еще большая нелепость.
Какие же „свойства пар", какие отношения на множе-
множестве М приводят к разбиениям множества М? Уточнение
поставленного вопроса и ответ на него будут даны в следую-
следующем параграфе.
ЗАДАЧИ
1. Пусть Ши 5Шг — Два разбиения одного и того же
множества М. Доказать, что если SUli s Ш2, то S)?i = Ж2.
2. Доказать, что два разбиения SWi, Ж 2 множества М
тогда и только тогда различны (не равны), когда сущест-
существуют два таких элемента а и b множества М, которые при
одном из разбиений Ш1и Ш1г находятся в одном классе,
а при другом из этих разбиений — в разных классах.
17 10. А. Шиханоиич

258 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
§ 4. Отношение эквивалентности
В § 2 мы изучали отношения, обладающие порознь каж-
каждым из основных свойств. Особенно интересны, однако,
отношения, которые обладают теми или иными комбинация-
комбинациями основных свойств. В этом и в следующем параграфах
мы изучим важнейшие из таких комбинаций.
Отношение ф называется отношением эквивалентности,
если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Если
Ф — отношение эквивалентности, то вместо ayb пишут
также
а~Ь A)
или
а~Ь B)
и говорят: а и Ь эквивалентны (по отношению ф) или а
эквивалентно Ь (по отношению ф)х).
Из доказанного в § 2 вытекает, что инверсия ф отно-
отношения эквивалентности ф и сужение фА отношения экви-
эквивалентности ф = (Ф, М) на любое подмножество А мно-
Df
жества М также являются отношениями эквивалентности.
Примеры: 1) Полное отношение (М2, М) на произ-
произвольном множестве М является отношением эквивалент-
эквивалентности.
2) Пустое отношение Ом на множестве М является
отношением эквивалентности только при М = 0. Впрочем,
в этом случае оно является также и полным отношением.
3) Отношение равенства Ем на произвольном множе-
множестве М является отношением эквивалентности. Очевидно,
это „самое маленькое" из отношений эквивалентности
на множестве М в том смысле, что если ф является отноше-
отношением эквивалентности на множестве М, то Ем влечет ф:
?м?ф (см. § 1).
4) Отношение неравенства (М2\АМ, М) при непустом
М не является отношением эквивалентности.
5) Отношение „быть на одном курсе" на множестве
студентов факультета является отношением эквивалент-
эквивалентности*).
*) При выполнении оговорки, указанной в примере 5 из § 3.

§ 4] ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 259
6) Отношение „быть в одной группе" на множестве сту-
студентов курса является отношением эквивалентности.
7) Отношение „быть в одной группе" на множестве сту-
студентов факультета также является отношением эквива-
эквивалентности .
8) Отношение „иметь одинаковый остаток при делении
на 3" на N — отношение эквивалентности.
9) Отношение „иметь одинаковое количество цифр" на N
— отношение эквивалентности.
10) Пусть / : X -у Y — отображение. Отношение
Df
на X является отношением эквивалентности.
11) Отношение параллельности на множестве прямых
на плоскости является отношением эквивалентности. Отно-
Отношение перпендикулярности на том же множестве таковым
не является.
12) Отношение подобия на множестве треугольников —
отношение эквивалентности.
13) Отношение „иметь одинаковую фамилию" на мно-
множестве людей Земли — отношение эквивалентности.
Я мог бы привести еще сколько угодно примеров.
После того, как мы вскроем связь между отношениями
эквивалентности и разбиениями, читатель сам сможет лег-
легко придумывать пример за примером.
Условимся говорить, что отношение ф на множестве М
и разбиение Ш множества М сопряжены, если для любых
элементов х и у множества М хуу тогда и только тогда,
когда х и у принадлежат к одному и тому же классу раз-
разбиения WI, т. е. если
(ЧхеМ)(ЧуеМ){хчу*±(ЭАеЩ[хеА&у?А]}. D)
Когда ф и 5ДО сопряжены, мы будем говорить также: ф со-
сопряжено с Ш или Ш сопряжено с ф.
Примеры: 14) Единственное существующее на пу-
пустом множестве отношение, отношение @, 0), и един-
единственное существующее разбиение пустого множества (при-
(пример 1 из § 3), система 0, в силу E) из § 3 гл. IV, сопря-
сопряжены.
17*

260 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
15) Полное отношение {М2, М) на произвольном (не
пустом) множестве М и целое разбиение множества М со-
сопряжены.
16) Отношение равенства Ем на произвольном множе-
множестве М и поэлементное разбиение множества М сопря-
сопряжены.
17) Отношение „быть на одном курсе" на множестве сту-
студентов факультета (пример 5) и разбиение на курсы того же
множества (пример 5 из § 3) сопряжены.
18) Отношение „быть в одной группе" на множестве сту-
студентов курса (пример 6) и разбиение на группы того же
множества (пример 6 из § 3) сопряжены.
19) Отношение „быть в одной группе" на множестве
студентов факультета (пример 7) и разбиение на группы
того же множества (пример 7 из § 3) сопряжены.
20) Отношение „иметь одинаковый остаток при деле-
делении на 3" на множестве N (пример 8) и разбиение {Ва, Ви В2}
множества N из примера 9 из § 3 сопряжены.
21) Отношение „иметь одинаковое количество цифр"
на N (пример 9) и разбиение {С\, С2, С3, С4, . . .} множе-
множества N из примера 10 из § 3 сопряжены.
22) Пусть f : X -*¦ Y — сюръективное отображение.
Отношение „быть прообразами одного и того же элемента
из У" на множестве X (пример 10) и разбиение на классы
прообразов относительно / (пример 11 из § 3) сопряжены.
23) Отношение параллельности на множестве прямых
на плоскости (пример 11) и разбиение того же множества
на классы „прямых одинакового направления" сопряжены.
24) Отношение „иметь одинаковую фамилию" на мно-
множестве людей Земли (пример 13) и разбиение того же мно-
множества на классы однофамильцев сопряжены.
Естественно возникают вопросы: для любого ли отно-
отношения существует сопряженное с ним разбиение? может
ли существовать несколько разбиений, сопряженных с дан-
данным отношением? Ответ на второй вопрос, на вопрос о един-
единственности, дает
Теорема 1 (теорема о единственности разбиения,
сопряженного с данным отношением). Если два разбиения
Множества М сопряжены с одним и тем же отношением
на множестве М, то они совпадают. Другими словами:
разбиение, сопряженное с данным отношением, единственно.

§ 4] ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 261
Доказательство. Пусть разбиения ЗЯь 9Л2
множества М сопряжены с отношением ср на множестве М.
Докажем, что 5Ш4 = 5UJ2- 9Jli и Шг — разбиения, т. е. си-
системы множеств, множества множеств. Поэтому равенство
9fti = Шг можно доказать обычным, стандартным спосо-
способом— доказав два включения. Можно, однако, использо-
использовав задачу 2 к § 3, доказать требуемое равенство проще.
Допустим, что Ж4 Ф Ш2. Тогда, в силу упомянутой задачи,
существуют два таких элемента аи 6 множества М, которые
при одном из разбиений Жь 5Ш2 находятся в одном классе,
а при другом из этих разбиений — в разных классах.
Пусть а и b находятся в одном классе разбиения Ш\
и в разных классах разбиения Шг (второй случай рас-
рассматривается абсолютно аналогично). Поскольку а и b
находятся в одном классе разбиения 5011 и 9Jtj сопря-
сопряжено с ф, ayb. Поскольку ац>Ь и <р сопряжено с $Ш2, а и b
должны находиться в одном классе разбиения ЯЛ2, а они
находятся в разных классах разбиения 9Л2. Противоречие.
Ответим на второй из поставленных выше вопросов:
для любого ли отношения существует сопряженное с ним
разбиение? Ответ на этот вопрос, отрицательный ответ, дает
Теорема 2 (теорема об отношении, сопряженном
с некоторым разбиением). Если отношение ц> на множе-
множестве М сопряжено с каким-нибудь разбиением множе-
множества М, то ф — отношение эквивалентности.
Доказательство. Пусть отношение ф на мно-
множестве М сопряжено с разбиением Ш множества М.
Докажем, что ф — отношение эквивалентности. Пусть а?М.
Из D) (в качестве значения обеих переменных х и у
берем а) вытекает
аца*±(ЭАет)[аеА &а?А]. E)
В силу условия 4 из определения разбиения существует
такой класс разбиения Ш, которому принадлежит а. Сле-
Следовательно, высказывание
а значит, ввиду E), и высказывание
истинно, ф рефлексивно. Пусть теперь а?М,
и a<pb. Из D) (в качестве значения переменной х берем а,

262 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
в качестве значения переменной у—Ь)
F)
Из ayb и F)
(ЗАет)[аеА&Ь?А]. G)
Но a?A&beA*±b?A&aeA. Значит, из G)
[ЗАеШ)[ЬеА&а?А]. (8)
Из D) (в качестве значения х берем на этот раз b, a
в качестве значения у—а)
Ъуа*±(ЭАеЩ[ЬеА&аеА]. (9)
Из (8) и (9) вытекает Ьц>а. ц> симметрично. Пусть, наконец,
а?М, b?M, с?М, асрб и bye. Из D)
A0)
A1)
и
афСч*(ЭЛб8Л)[а€Л«&сбЛ]. A2)
Из а<р6 и A0)
лалл&бл A3)
В силу A3) существует такой класс разбиения Ш, кото-
которому принадлежат и а и 6. Обозначим один из таких классов
через К. Итак, /Се5Ш, ае# и Ь?К. Из Ц>с и A1)
В силу A4) существует такой класс разбиения -ЯЛ, кото-
которому принадлежат abac. Обозначим один из таких клас-
классов через L. Итак, L?W, b?L и c?L. Из b?K, b?L
и условия 3 определения разбиения вытекает, что K = L.
Следовательно, a?L. Но и с ?L. Значит,
&сеА]. A5)
Из A2) и A5) ац>с. (р транзитивно.
Итак, разбиение, сопряженное с отношением ср, сущест-
существует только в том случае, когда ф —отношение эквива-
эквивалентности- Но для любого ли отношения эквивалент-
эквивалентности существует сопряженное с ним разбиение? Ответ
на этот вопрос, утвердительный ответ, дает

$ 4] ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 2оЗ
Теорема 3 (теорема о существовании разбиения,
сопряженного с данным отношением эквивалентности).
Для любого отношения эквивалентности <р на множе-
множестве М существует сопряженное с ним разбиение мно-
множества М.
Доказательство. Пусть ф = (Ф, М) — отношение
Df
эквивалентности на множестве М. Докажем, что сущест-
существует разбиение множества М, сопряженное с ф. Если
М = 0, то ф = @, 0). Искомым разбиением является
в этом случае пустая система
множеств, Ш = 0 (см. пример 14).
Df
Предположим далее, чтоМ Ф 0 *). Т
ДлялюбогоабМ положим
{y?\W} A6)
(Легко видеть, что
<7(а) = пр2[({а}х/И)ПФ] а
(рис. 73). Мы, однако, не будем Рис. 73.
этим пользоваться.) Обозначим
через Ш систему множеств q{a) для всех а?М2). Дока-
Докажем, что Ш — искомое разбиение. Докажем сначала, что 931
— разбиение. Из A6) вытекает, что (VX ? Ш) [X я! М\.
Заметим, что для любого а ? М
aeq(a), A7)
так как, в силу рефлексивности отношения ф, ащ (см.
A6)). Следовательно, для любого а^УИ, q(a) ф 0. Значит,
(ЧХ?Ш)[Х-Ф0\- Пусть теперь В?Ш и С?Ш. Дока-
Докажем по контрапозиции, что из В\~\СФ0 следует В—С.
Пусть d?B[)C, т. е. d ?В к deC. Докажем, что 5sС.
Пусть е е В. Докажем, что ее С. Поскольку В g 9K, сущест-
существует такое 6?УИ, что B = q(b). Аналогично, существует
такое сеМ, что C = q(c). Из deС, C — q(c) и A6)
c(fd. A8)
Из deB, B = q(b) и A6)
txpd. A9)
*) На самом деле приведенное ниже построение искомого раз-
разбиения дает нужное разбиение и в случае М = 0, так что можно
было и не рассматривать отдельно этот случай.

264 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
Из е?В, B = q(b) и A6)
bye. B0)
Из A9) и симметричности отношения <р
dyb. B1)
Из A8), B1) и транзитивности отношения ф
сфб. B2)
Из B2), B0) и транзитивности отношения ф
с<ре.. B3)
Из B3), C = q{c) и A6)
вес
Второе включение С s В доказывается аналогично.
Выполнение условия 4 в определении разбиения следует
из A7). Итак, •№ —разбиение. Докажем, наконец, что ЗЛ
сопряжено с ф. Пусть b?M и с?М. Докажем
Ьус**(ВА€т)[ЪеА&сеА]. B4)
Этим D) будет доказано. Пусть сначала
Ьфс. B5)
Из B5) и A6) с е q (b). Из A7) Ь 6 <7 (*). Значит,
(эле2Л)[&€Л&сел]. B6)
Пусть, наоборот, истинно B6). Тогда существует такой
класс разбиения Ш, которому принадлежат и b не. Обозна-
Обозначим один из таких классов через К.[Итак, KjE. Ш, Ьк6 /С1 и с 6 К-
Но, в силу A7), b 6 7 (^)- Поскольку 5Jt — разбиение,
/С = q (b). Значит, с 6 <7 (&)¦ Из A6) получаем B5). B4)
доказано.
Итак, разбиение, сопряженное с данным отношением ф,
существует тогда (теорема 3) и только тогда (теорема 2),
когда ф — отношение эквивалентности, причем в этом:
случае сопряженное разбиение единственно (теорема 1).
Таким образом, мы получили ответ на поставленный
в конце § 3 вопрос. Поскольку нужда в построении некото-
некоторого разбиения возникает в^математике (да и не только
в математике: любая классификация есть попытка постро-
построить некоторое разбиение) довольно часто, построенная вы-
выше теория имеет большое значение.
Легко доказать, что для любого разбиения множества М
существует единственное сопряженное с ним отношение

§ 5] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА 265
на множестве М, причем, в силу теоремы 2, это отноше-
отношение является отношением эквивалентности.
Таким образом, соответствие, соотносящее произволь-
произвольному отношению эквивалентности на множестве М сопря-
сопряженное с ним разбиение множества М, является биекцией,
взаимно-однозначным соответствием между системой отно-
отношений эквивалентности на множестве М и системой раз-
разбиений множества М.
Разбиение множества М, сопряженное с отношением ф
на множестве М, называется также фактормножеством
множества М по отношению ц> и обозначается через М Др.
В силу вышесказанного, фактормножество М Ар множества
М по отношению ф существует в том и только в том случае,
когда ф — отношение эквивалентности на множестве М.
Если ф — отношение эквивалентности на множестве М, то
&у?А). B7)
ЗАДАЧИ
1. Пусть / — отображение множества М на множество
L. Доказать, что существует такое отношение эквивалент-
эквивалентности ф на множестве М, что мно- м ____[. _/
жество L и фактормножество М Лр ""
равномощны, причем биекцию g :
L-^M/ф можно выбрать так, что
f°8 — t> гДе ' — естественное отоб-
отображение (см. § 3) множества М на
фактормножествоМ /<р (рис. 74).
2. Доказать, что композиция ф°\р
отношений эквивалентности ф и гр на
множестве М тогда и только тогда
является отношением эквивалентности, когда ф°г[) = г|?оф.
§ 5. Отношения порядка
Отношение ф называется отношением нестрогого поряд-
порядка (или нестрогим порядком), если оно транзитивно, реф-
рефлексивно и антисимметрично. Отношение ф называется
отношением совершенного нестрогого порядка (или совер-
совершенным нестрогим порядком), если оно связанно и является

266
ОТНОШЕНИЕ
[Гл. VII
отношением нестрогого порядка. Отношение ср называется
отношением строгого порядка (или строгим порядком),
если оно транзитивно и антирефлексивно. В силу задачи 8
к § 2 любое отношение строгого порядка антисимметрично.
Отношение ср называется отношением совершенного строгого
порядка (или совершенным строгим порядком), если оно
связанно и является отношением строгого порядка. Таким
образом, прилагательное „совершенный" означает добав-
добавление свойства связанности. Переход от нестрогого (совер-
(совершенного нестрогого) порядка к строгому (совершенному
строгому) порядку означает, ввиду сделанного выше заме-
замечания, замену свойства рефлексивности свойством анти-
антирефлексивности. Определения всех четырех видов отно-
отношений порядка (я пишу „четырех", хотя любое отноше-
отношение совершенного нестрогого порядка является отноше-
отношением нестрогого порядка, а совершенный строгий поря-
порядок есть частный случай строгого порядка) сведены
в таблице.
Порядки
нестрогий
совершенный нестрогий
строгий
совершенный строгий
Тран-
зитив-
зитивное
+
Т
Рефлек-
Рефлексивное
+
+
Лнти- ; Анти-
рсфлек- , симмет-
сивное ричное
i _)_
+ (+)
+ . ( + )
Связан-
Связанное
+
Если ф — отношение нестрогого (в частности, совершен-
совершенного нестрогого) порядка, то вместо ац>Ь пишут также
а<6 A)
ф
или
а<6 B)
и говорят: а меньше или равно Ь, или а предшествует Ь,
или а содержится в Ь. Если ф — строгий (в частности,
совершенный строгий) порядок, то вместо ацЬ пишут
также
а<.Ь
ф
C)

§ 5J ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА 267
или
а < b D)
и говорят: а меньше Ь, или а строго предшествует Ь, или
а строго содержится в Ь. Мы, впрочем, не будем в этом
параграфе пользоваться обозначениями A) — D) для про-
произвольных отношений порядка; знаки <, <, >, > будут
в этом параграфе связывать только действительные числа
и будут иметь обычный смысл (§ 1 раздела Б или пример 5
из § 1 и пример 6 из § 1).
Из доказанного в § 2 вытекает, что инверсия qr1 отно-
отношения нестрогого порядка ф и сужение ц>л отношения
нестрогого порядка ср = (Ф, М) на любое подмножество А
ы
множества М также являются отношениями нестрогого
порядка. Аналогичные утверждения верны для совер-
совершенного нестрогого, строгого и совершенного строгого
порядков.
Примеры: 1) Прежде всего, отношение
щуу=?-х<у (х, y?D)
Df
есть совершенный строгий порядок (см. свойства 1—3
в § 1 раздела Б). Именно от этого конкретного отноше-
отношения и был взят знак, обозначающий произвольные строгие
порядки (см. C) или D)). Отношения
х<?гу^х<у (х, y6R).
Df
хщу = х < у {х, у 6 С),
Df
х(р<>у = х<у {х, ygN)
Df
также являются совершенными строгими порядками.
Очевидно,
Фг = (<Pi)r. Фз = Ыс = (ф2)с, ф4 = (фОх = (фгЫ = (фз)м.
2) Отношение
^гр4г/ = л;<у (х, ?/? D)
Df
есть совершенный нестрогий порядок (см. свойства Г — 3'
в § 1 раздела Б). Именно от этого конкретного отношения

268 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
и был взят знак, обозначающий произвольные нестрогие
порядки (см. A) или B)). Отношения
у (х, t/?R),
Df
х\р3у -^ х < у . (х, J/6 С),
Df
также являются нестрогими порядками.
3) Для любого множества М отношение
XiiY^X^Y (X, Ye$(M))
Df
является нестрогим порядком [см. в § 2 гл. 11F), A)
и E)], причем, если М содержит больше одного элемента,
этот нестрогий порядок не является совершенным (при
а ф Ь не верно как {a}s{6}, так и {6}s{a}).
4) Для любого множества М отношение
xvy = xczy (X, Ye%(M))
Df
является строгим порядком, причем, если М содержит
больше одного элемента, этот строгий порядок не является
совершенным.
5) На множестве соответствий между непустыми мно-
множествами X и Y отношение
ГьцА = А — продолжение Г
Df
является нестрогим порядком, причем, если X или Y
содержит больше одного элемента, этот нестрогий поря-
порядок не является совершенным.
6) На множестве отношений на множестве М отно-
отношение ф s 1)) является нестрогим порядком, причем,
если М содержит больше одного элемента, этот нестро-
нестрогий порядок не является совершенным.
7) На множестве разбиений множества М отношение
== (УЛ 6 Ш) (ЗВ 6 sJi) [Л ?= В]
Df

$ 5] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА 269
является нестрогим порядком, причем, если М содержит
больше двух элементов, этот нестрогий порядок не яв-
является совершенным.
8) На множестве всюду определенных функций типа
D —» D отношение
m
является нестрогим порядком, но не является совершен-
совершенным нестрогим порядком.
9) Отношение
fv3g ~ (V*е D) \f\x) ^g (х)) & (Зх е D) [/ (х) <g (х)]
на том же множестве (пример 8) является строгим поряд-
порядком, но не является совершенным строгим порядком.
10) Отношение
fvig~(VxeD)[f(x)<g(x)]
Df
на том же множестве (пример 8) является строгим (но
не совершенным строгим) порядком.
11) Отношение
х\хъу = у делится на х (х, у ? N)
является нестрогим (но не совершенным нестрогим) поряд-
порядком на N.
12) Отношение на множестве точек координатной пло-
плоскости
PveQ = Р ближе к началу координат, чем Q
Df
является строгим (но не совершенным строгим) порядком.
13) Отношение
Av1B га А старше, чем В
Df
на множестве людей Земли является строгим (но не совер-
совершенным строгим) порядком.
14) Отношение равенства Ем на произвольном множе-
множестве М является нестрогим порядком, причем, если М
содержит больше одного элемента, этот нестрогий порядок
не является совершенным. Очевидно, отношение равенства
Ем — „самый маленький" нестрогий порядок на множестве

270 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
М в том смысле, что если ср является нестрогим порядком
на М, то Ем влечет ср : Ем s Ф (ср. с примером 3 из § 4).
15) Пустое отношение Ом на произвольном множестве
М является строгим порядком, причем, если М содержит
больше одного элемента, этот строгий порядок не является
совершенным. Очевидно, пустое отношение Ом — „самый
маленький" строгий порядок на М. Отношение Ом влечет
любой другой строгий порядок на М.
Между отношениями нестрогого порядка на множестве
М и отношениями строгого порядка на том же множестве
существует очень простая зависимость. Легко доказать, что
если (Ф, М) — нестрогий порядок на М, то
(Ф\АМ, М) —строгий порядок на М;
если (Ф, М)—строгий порядок на М, то
(Ф U Дм, М) — нестрогий порядок на М.
Эти два утверждения позволяют установить простое
и естественное взаимно-однозначное соответствие между
системой нестрогих порядков на произвольном множестве
М и системой строгих порядков на том же множестве.
Соответствие, соотносящее произвольному нестрогому по-
порядку (Ф, М) на множестве М отношение <Ф\АМ, М),
будет требуемой биекцией. При изучении нестрогих и стро-
строгих порядков на множестве М указанной биекцией поль-
пользуются совершенно автоматически и свободно переходят
от произвольного нестрогого порядка на М к соответствую-
соответствующему, в силу указанной биекции, строгому порядку на М,
и обратно. Отношения гр4 и ф4, г|з2 и фг, г|з3 и ф3, 1K4 и ф4
(примеры 1, 2), |i и v (примеры 3, 4), [х3 и v3 (примеры 8, 9),
Ем и Ом (примеры 14, 15) как раз и являются соответ-
соответствующими друг другу нестрогим и строгим порядками.
Между отношениями совершенного нестрогого порядка
на множестве М и отношениями совершенного строгого
порядка на множестве М существует такая же простая
зависимость, как между нестрогими и строгими поряд-
порядками. Из предыдущих теорем вытекает, что
если (Ф, М > — совершенный нестрогий порядок на
М, то (Ф\АМ, М) — совершенный строгий порядок на М;
если (Ф, М)—совершенный строгий порядок на М,
то (Ф U Ам, М) — совершенный нестрогий порядок на М.
Отсюда нетрудно получить, что соответствие, соотно-
соотносящее произвольному совершенному нестрогому порядку

§ 5] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА 271
(Ф, М) на множествеМ отношение (Ф\ДМ, М), является
биекцией между системой совершенных нестрогих порядков
на Ж и системой совершенных строгих порядков на М.
Эта биекция также используется обычно автоматически,
без специальных оговорок; когда говорят о совершенном
строгом порядке на М, соответствующем совершенному
нестрогому порядку на М (или наоборот), подразумевают,
что речь идет об указанной биекции. Отношения г|?4 и фь ty2
и фг, 1|Эз и Фз. ^4 и ф4 (примеры 1, 2) как раз и являются
соответствующими друг другу совершенным нестрогим
и совершенным строгим порядками.
Попробуем поставить следующий вопрос: почему выде-
выделенные выше четыре вида отношений мы назвали отноше-
отношениями порядка} Ответить на этот вопрос трудно, так как
речь идет о соотношении между точным математическим
понятием и интуитивным понятием порядка. С точки зре-
зрения интуитивного понимания слова „порядок" каждая
перестановка над (конечным) множеством М задает на этом
множестве некоторый порядок. Поэтому некоторый ответ
на поставленный выше вопрос дает следующая
Теорема (о зависимости между отношениями совер-
совершенного строгого порядка на конечном множестве и пере-
перестановками над тем же множеством). Между множе-
множеством 9t отношений совершенного строгого порядка на
конечном множестве М и множеством ty перестановок
над множеством М можно установить такое взаимно-
взаимнооднозначное соответствие f = (F, 5R, 55), что
ш
[xq>y *±- в /(ф) у стоит правее, чем х]. E)
Докажем сначала лемму.
Лемма. Если гр — отношение совершенного строгого
порядка на непустом конечном множестве А, то суще-
существует единственный элемент q?A такой, что *)
F)
*) Элемент q, удовлетворяющий условию F), естественно на-
назвать наименьшим (по отношению г|>).

272 ОТНОШЕНИЕ ГГл. VII
Доказательство. Докажем сначала единствен-
единственность. Допустим, что искомых элементов существует
два: qi и цг. Итак,
G)
<7i Ф Яг- (9)
Из (9) и связанности отношения \р следует
V (WWi)-
Но g^fo противоречит (8), a qr2'l№i противоречит G).
Докажем теперь существование искомого элемента.
Докажем, например, индукцией по числу элементов мно-
множества А. Если А — одноэлементное множество, А = {а),
то ty—@, А), так как пустое отношение — единствен-
единственный совершенный строгий порядок на одноэлементном
множестве. Единственный элемент множества А в этом
случае, в силу антирефлексивности отношения хр, обла-
облагает свойством F) и, следовательно, является искомым.
Допустим теперь, что для любого n-элементного множе-
множества (п>1) элемент с требуемым свойством существует,
и предположим, что ty — совершенный строгий порядок
на (п + 1)-элементном множестве А. Возьмем произволь-
произвольный элемент в множестве А. Обозначим его через а.
Очевидно, либо ~\ Cx?A)[xtya], либо C *6 А) [дп|за]. Если
1 C х? А) [х\\>а], то а — искомый элемент. Допустим, что
C х? А) [х\$а]. Обозначим тогда какой-нибудь элемент мно-
множества А, который находится в отношении г|; к элементу а,
через Ь. Итак,
Ща. A0)
Пусть В = Л\{а} и ф = г|зв. Отношение ф, как сужение
Df . Df
совершенного строгого порядка, само является совершен-
совершенным строгим порядком. В — л-элементное множество,
п>\. Итак, ф — совершенный строгий порядок на непу-
непустом /г-элементном множестве В. По предположению
индукции существует такой элемент eg В, что
A1)

§ 5] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА 273
ВдЛ и с?В. Значит, с?А. Докажем, что с — искомый
элемент, т. е. что
Допустим противное. Допустим, что d?A и
dxpc. A2)
Либо d — а, либо dфa. Пусть сначала d = а. Тогда
из A2)
atyc. A3)
Из A0), A3) и транзитивности отношения я|>
Ь\рс. A4)
Из A0) и антирефлексивности отношения г|>
ЬФа.
Значит,
Ь?В. A5)
Кроме того,
с?В. A6)
Из A4), A5), A6) и определения сужения
bye. A7)
A5) и A7) противоречат A1). Если же d ф а, то
d?B. A8)
Из A2), A8), A6) и определения сужения
dye. A9)
A8) и A9) противоречат A1). Лемма полностью дока-
доказана.
Перейдем к доказательству теоремы.
Доказательство. Построим требуемую биекцию /.
ЕслиМ=0, тоЭ! = {<0, 0)}, $ = {Л}и/ = ({(@, 0),Л»,
{@, 0)}, {Л}) —искомая биекция. Пусть теперь Мф0.
Обозначим через п число элементов множества М. Возь-
Возьмем произвольный элемент ф?9*. Таким образом, ф —
совершенный строгий порядок на М. Построим кортеж
f(q>) над М. Поскольку ф — совершенный строгий порядок
18 Ю. А. Шиханович

274 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
на непустом конечном множестве М, по лемме суще-
существует единственный элемент в множестве М, обладаю-
обладающий свойством F). Обозначим этот элемент через at.
Итак,
а^М B0)
и
-\{1х?М)\хщх]. B1)
Этот элемент а4 мы сделаем первой компонентой кортежа
/(ф). Если п-~\, /(ф) = (й1) является перестановкой
над М. Пусть «> 1. Допустим (построение индуктивное!),
что мы уже выбрали k-ю компоненту ад кортежа /(ф):
(flt, й2, ..., ак B2)
причем 1 < k < п. Положим Bk — М \ {аи ..., а*}, фа = фв,.
Df Df *
Поскольку k<.n, Вь,ф 0. Отношение щ, как сужение
совершенного строгого порядка, само является совершен-
совершенным строгим порядком. Итак, фь — отношение совершен-
совершенного строгого порядка на непустом конечном множестве Bk-
По лемме существует единственный элемент в множе-
множестве Bh, обладающий свойством F). Обозначим этот эле-
элемент через аА+1. Итак,
ak+leBh B3)
и
Н(ЭдсеЯА)[*фАаЛ+1]. B4)
Этот элемент ад+i мы сделаем (k + \)-& компонентой кор-
кортежа /"(ф):
{аи а2, ..., ah, aft+1 B5)
Выбрав n-ю компоненту ап, закончим построение. Положим
f (ф) = <fllf аг ап). B6)
Df
/(ф) —кортеж длины п над М. Легко видеть, что все
компоненты кортежа / (ф) различны. В самом деле. Пусть
/ < т. По построению ат ? Bm-t (см. B3)) и Bm-i =
= M\{ai, ..., am_i}. Следовательно, am^{a!, ..., am-i}.
Поскольку /<m, ai^{au ..., am-i}. Значит, а1Фат.
Итак, f (ф) — перестановка над Л1, /(ф)^^. Исходя из
произвольного отношения совершенного строгого порядка

§ 5] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА 275
Ф ? ЧЯ на М, мы построили некоторую перестановку f (ф) ? ty
надМ Обозначим через F множество пар (ф, /(ф)) для
всех ф g 5R. Пусть
f=(F, 9t, f>. B7)
Df
Очевидно, f — функция. Докажем, что / — биекция. Для
доказательства воспользуемся теоремой о тождественных
композициях (§ 1 гл. VI). Построим вспомогательную
функцию g типа $ —>9t. Возьмем произвольную переста-
перестановку
a = (bu b2, ..., Ьп) B8)
Df
над М. Отношение g(a) на М определим так:
xg (а) у = в а у стоит правее, чем х. B9)
Df
Очевидно, g (а) — совершенный строгий порядок на М,
g (а) ? 5ft. Исходя из произвольной перестановки а ? $ над
М, мы построили некоторое отношение совершенного стро-
строгого порядка g (а) ? 9t на УИ. Обозначим через G множе-
множество пар (a, g(a)) для всех а?$. Пусть
g = <G, $, SR>. C0)
Df
Итак, f— функция типа 9? —>$, g— функция типа $ —>91.
Докажем, что / о g — тождественная функция, т. е. что
(Vq>e3i)[$(/(q>)) = q>]. C1)
Фиксируем произвольное отношение совершенного строгого
порядка ф^3ft- Пусть
/(Ф) = (й1 an) C2)
Df
и пусть
g(fto)) = v- C3)
Нам надо доказать, что -ф = ф. ty и ф — отношения на М.
Следовательно, для того чтобы доказать г|> — ф, доста-
достаточно доказать (см. C8) из § 1 и C7) из § 1)
C4)
18*

276 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
Возьмем два произвольных элемента cad множества М.
Докажем
ctydz=zcq>d. C5)
Пусть сначала
ctyd. C6)
Допустим, что
1 (cq>d). C7)
Из C6) и антирефлексивности отношения \р вытекает
с Ф d. C8)
Из связанности отношения <р, C8) и C7) следует
d(fc. C9)
Из C6), C3) и B9) вытекает, что
в f (cp) d стоит правее, чем с. D0)
Покажем, что C9) и D0) противоречат способу построе-
построения перестановки /(ср). Разберем два случая: с = ах
(см. C2)) и с = a*+i> где 1<&<л. Если с = аи C9)
противоречит B1). Пусть теперь с — оа+1 A < k < n). Из B3)
c??ft. D1)
Из D0) и определения множества Bk
d?Bh. D2)
Из C9), D2), D1) и определения сужения
dq>kC D3)
D2) и D3) противоречат B4). Пусть теперь
ccpd. D4)
Допустим, что
1 (ci|>d). D5)
Из D4) и антирефлексивности отношения ф
с Ф d. D6)
Из связанности отношения гр, D6) и D5)
dye. D7)

§ 5] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА 277
Из D7), C3) и B9) вытекает, что
в / (ф) с стоит правее, чем d. D8)
Из D4) и D8) абсолютно так же, как из C9) и D0),
получается противоречие. Равенство г|з = ф, а значит, и
C1) доказано.
Докажем, что g о / — тождественная функция, т. е. что
(Vae<P)[/te(a)) = a]. D9)
Фиксируем произвольную перестановку a?*J5. Пусть
a = (bt, b2, ..., bn),
ы
в(а) = Ф E0)
= (й1, а2, ..., ап).
Til
Докажем, что /(ф) = а. Допустим противное. Обозначим
через / наименьшее число такое, что
агфЬг. E1)
Пусть а.1 — с, bi = d. Из E1)
Df Df
сфй.
Поскольку (Vt < l)[ai = bi], а /(ф) —перестановка,
вас стоит правее, чем d. E2)
Из E2), B9) и E0)
dye. E3)
Поскольку (V/ > /) [щ = Ь{[, а a — перестановка,
в /(ф) d стоит правее, чем с. E4)
Из E3) и E4) абсолютно так же, как из C9) и D0),
получается противоречие. D9) доказано.
Итак, условия теоремы о тождественных композициях
выполнены. Следовательно, / — биекция, g — биекция и
g = f'1. Осталось доказать, что построенная нами биекция
/ удовлетворяет условию E). Пусть ф?5Н, а ? М и b ? М.

278 ofn6uiEHHE ir-л. vit
Докажем
aq>b*± в /(ф) Ь стоит правее, чем а. E5)
Пусть / (ф) = а. Тогда g (a) = g (/ (ф)) = ф. Следователь-
Df
но, E5) вытекает прямо из B9). Теорема полностью доказана.
Доказанная теорема показывает, что отношения совер-
совершенного строгого порядка на конечном множестве М — это,
так сказать, все равно, что перестановки над множеством
М; каждое отношение совершенного строгого порядка на М
задает некоторую перестановку над М, т. е. некоторый
порядок (в интуитивном смысле) на М; и обратно: каждая
перестановка над М, т. е. каждый порядок (в интуитив-
интуитивном смысле) на М, задает некоторое отношение совер-
совершенного строгого порядка на М, отношение, фиксирующее
порядок, заданный перестановкой (см. E)). Разумеется,
доказанная теорема переносится (с небольшим изменением
свойства E)) и на отношения совершенного нестрогого
порядка.
Отношения совершенного строгого (или нестрогого)
порядка на бесконечных множествах тоже задают, устанав-
устанавливают некоторые порядки (в интуитивном смысле) на сво-
своих областях задания, однако выразить этот факт с помощью
точного утверждения трудно, так как у нас нет аналога
понятия перестановки для бесконечных множеств. Огра-
Ограничимся примерами.
Примеры: 16) Отношение
xtpitf = х<у (х, уеD)
Df
есть отношение совершенного строгого порядка на D.
Отношение фг = Фх1 также является отношением совер-
Df
шенного строгого порядка на D. Очевидно,
Отношение ф4 изображается обычной числовой осью (рис. 75).
Отношение ф2 можно изобразить „перевернутой" числовой
осью (рис. 76). На рис. 76, как и на рис. 75, „меньше"
совпадает с „левее".
17) Не следует думать, что ф! и ф2 (пример 16) — един-
единственные отношения совершенного строгого порядка на D.

§ 5] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА 279
На D существует сколько угодно, бесконечное множество
отношений совершенного строгого порядка. Рассмотрим,
например, такой порядок (в интуитивном смысле) на D:
-2-101
Рис. 75.
отрицательные и положительные числа сравниваются обыч-
обычным образом (т. е. по отношению q>i), a 0 „выкалывается"
и помещается правее (т. е. делается „больше") всех осталь-
остальных чисел (рис. 77). Этому интуитивному описанию и рисун-
2 1 0-1-2
Ь
Рис. 76.
ку 77 соответствует следующее отношение совершенного
строгого порядка на D:
(у^у) \/ (хф0&у = 0).
18) Рассмотрим такой порядок на D: все числа, абсо-
абсолютная величина которых больше (в обычном смысле,
о
-2-1 12- О
¦ ь
Рис. 77.
т. е. в смысле отношения cpj из примера 16), чем 1, и число
1 сравниваются обычным образом (т. е. по отношению ф4);
числа же полусегмента [—1, 1) помещаются в обычном
порядке (т. е. по <f>j) правее (т. е. делаются „больше") всех
остальных чисел (рис. 78). Точный смысл этого интуитив-
интуитивного рписания и рисунка 78 в совершенном строгом

280 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
порядке ф4 на D:
($1, )у$[-1, \)&х<у)\/
V (*€[-!, 1)&0€[-1, 1)&х<у).
19) Рассмотрим такой порядок на D: все положительные
числа сравниваются между собой обычным образом (т. е.
-3 -г -1 12 3 -10 1
Ь
Рис. 78.
по ф1 из примера 16) и все неположительные числа срав-
сравниваются между собой обычным образом (по фО, но все
неположительные числа помещаются правее (т. е. делаются
„больше") всех положительных (рис. 79). Точный смысл
-2-1
Рис. 79.
сказанного и рисунка 79 в совершенном строгом порядке
ф5 на D:
дгф5г/ = (х > 0 & у > 0 & * < у) V
Df
20) Пусть, наконец, отношение совершенного строгого
порядка на D задается так:
(
Df
\J (x^0&y^0&x>y) V
Порядок (в интуитивном смысле), заданный на D отноше-
отношением ф6, изображен на рис. 80 (ср. с ф5 из примера 19 и ри-
рисунком 79).
Любому хорошему школьнику известно, что „комплек-
„комплексные числа нельзя сравнивать по величине". Однако,

§ 5] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА 281
что это значит? Почему комплексные числа „нельзя срав-
сравнивать по величине"? В чем точный смысл этого утвержде-
утверждения? Означает ли оно, что на множестве К не существует
отношений совершенного строгого порядка? Разумеется,
нет. На множестве К (как, впрочем, и на любом бесконеч-
бесконечном множестве) существует бесконечная система совершен-
совершенных строгих порядков.
Примеры: 21) Пусть*)
Легко видеть, что ipj — отношение совершенного строгого
порядка на К. На интуитивном языке порядок, заданный
о f г o-i-г
Рис. 80.
на К отношением г|эь может быть описан (с привлечением
геометрической интерпретации комплексных чисел) так:
чем „точка" правее, тем она „больше"; если же две точки
расположены на одной вертикали [Re(*) = Re (у) ], то
„больше" та, которая выше.
22) Пусть*)
(\\y\)f
\J (\х\ = \у\&хфО&ащх<атёу) (х, у?К.).
г|J — совершенный строгий порядок на К. Чем „точка"
дальше от „начала координат", тем она „больше"; из точек,
находящихся на одинаковом расстоянии от начала коор-
координат, „больше" та, чей „главный аргумент" больше.
В чем же точный смысл утверждения, что „комплексные
числа нельзя сравнивать по величине"? Он заключается
в следующем: не существует такого отношения совершен-
совершенного строгого порядка на К, которое бы обладало свой-
*) Re (а) —действительная часть комплексного числа a, Im (а) —
коэффициент при мнимой части, | a \ — модуль, arg a — „главный"
аргумент @<arga<2n).

282 ОТНОШЕНИЕ tDi. Vlt
ствами 4—б из § 1 раздела Б (свойствами 1—3 из § 1 раз-
раздела Б обладает, разумеется, любое отношение совершен-
совершенного строгого порядка). Более того, не существует такого
отношения совершенного строгого порядка на К, которое
бы обладало свойствами 4—5 из § 1 раздела Б.
Докажем это*).
Допустим, что ф — отношение совершенного строгого
порядка на К, причем
x<py->(x + z)<p(y + z), (I)
xcpy&Oq>z->(xz)y(yz). (II)
Прежде всего,
Офл;&Оср1/->Оф(л:+г/) (III)
(ср. со свойством 7 из § 1 раздела Б). В самом деле,
пусть
Офа & ОсрЬ.
Из (I) и Офа
@+b)q>(a + b). E6)
Но O + b — b. Следовательно, из E6)
Ьф(а+6). E7)
Из ОсрЬ и E7), в силу транзитивности отношения ф,
(III) доказано. Далее,
хуО->О(р(-х) (IV)
(ср. со свойством 8 из § 1 раздела Б). В самом деле,
пусть
афО. E8)
Из (I) и E8)
[а + (-аI<р[0 + (-аI. E9)
Но а + ( — а) = 0и0-|-( — а) = — а. Следовательно, из E9)
Оер(-а).
(IV) доказано. Докажем, наконец, что
) (V)
*) Излагаемое ниже доказательство было сообщено мне
Г. В. Дорофеевым.

§ 5] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА 283
(ср. со свойством 5а в задаче 2 к § 1 раздела Б). Пусть
Офа. F0)
Из F0) и (II)
(О-а)ф(а-а)
0ф(а2).
(V) доказано. Доказав вспомогательные утверждения
(III) —(V), перейдем к получению противоречия.
1Ф0.
В силу связанности отношения ф
Оф/УфО.
Пусть сначала
0ф1. F1)
Из F1) и (V)
0ф(/2),
0ф( —1). F2)
Из F2) и (V)
0ф[(-1JЬ
0ф1. F3)
Из F2), F3) и (III)
ОфО.
Противоречие с антирефлексивностью отношения ф. Пусть
теперь
/фО. F4)
Из F4) и (IV)
0ф(-0. F5)
Из F5) и (V)
0ф[(-02Ь
0ф (— 1) F6)
F6) совпадает с F2). Дальше доказательство повторяется.
Отношения строгого (или нестрогого) порядка, не являю-
являющиеся отношениями совершенного строгого (соответственно,

284 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
нестрогого) порядка, разумеется, гораздо меньше соот-
соответствуют нашему интуитивному представлению о порядке.
Например, к отношениям строгого порядка принадлежит
даже пустое отношение Ом (пример 15): никакие два
элемента не сравнимы по этому отношению, никакого
порядка (в интуитивном смысле) это отношение не уста-
устанавливает. Тем не менее отношения строгого (и нестро-
нестрогого) порядка, не являющиеся совершенными
строгими (соответственно, нестрогими) поряд-
порядками, все-таки задают, устанавливают неко-
некоторый порядок в обобщенном смысле *)
(в крайнем, вырожденном случае — „никакой",
„пустой" порядок) на своих областях зада-
задания. Добавим к примерам 3 — 15 еще не-
несколько.
Примеры: 23) Пусть М = {а, Ь, с, d},
Df
Ф4 = {(а, b), {a, d), (b, d), (а, с), (а, d), (с, d)}.
Df
Отношение ф1 = (Фц М) является отношением строгого
Df
порядка на М, но не является отношением совершенного
строгого порядка на М. Порядок (в интуитивном смысле),
заданный на М отношением ф1( изображен на рис. 81.
На рис. 81 „ниже" означает „меньше". Два элемента х
и у соединены черточкой на рис. 81 в том и только в том
случае, если (хфу&н Cz) \xq>z & zq>y\}\f {ущ&
& ~l Cz) 1уф2 & zq>x\}.
24) Пусть
Ф2 = {(а, 6), (а, с), <а, d)}.
ш
Отношение ф2 = (Ф2, М) на том же М (пример 23) является
Df
строгим (но не совершенным строгим) порядком на М.
Соответствующий порядок (в интуитивном смысле) изобра-
изображен на рис. 82.
25) Пусть ф3 = ({{#, b)}, {a, b, с, d}). Отношение ф3 —
Df
строгий (но не совершенный строгий) порядок на
¦) Этот порядок обычно называют „частичным порядком".

§ 5] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА 285
М = {а, Ь, с, d) (рис. 83). Если А = {а, Ь}, то (щ)а —
Df Df
совершенный строгий порядок на А (рис. 84). Отношение
(фз){а> = @1 {а}) является совершенным строгим поряд-
порядком на {а}.
26) Пусть, наконец, М — {а, Ь, с, d), Ф4=:{(а, с),
Df Df
(a, d), (b, с), (b, d)\ и Ф4 = (Ф4, М). Отношение ф4 является
Df
Ч/\
о о
с d
Г* f3
Рис. 82. Рис. 83. Рис. 84. Рис. 85.
строгим (но не совершенным строгим) порядком на М
(рис. 85).
Одним из важнейших способов образования отношений
порядка является создание их из отношений квази-
квазипорядка.
Отношение ф называется отношением квазипорядка
(или квазипорядком), если оно транзитивно и рефлек-
рефлексивно.
Из доказанного в § 2 вытекает, что инверсия ф-1 от-
отношения квазипорядка ф и сужение <рл отношения ква-
квазипорядка ф = (Ф, М) на любое подмножество А мно-
Df
жества М также являются отношениями квазипорядка.
Примеры: 27) Любое отношение эквивалентности
на произвольном множестве М (в частности, отношение
равенства Ем) является отношением квазипорядка.
28) Любое отношение нестрогого порядка на произ-
произвольном множестве М (в частности, отношение равенст-
равенства Ем) является отношением квазипорядка.
29) Отношение
д:ф,ы = у делится на х (х, у ? С)
Df

286 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
является квазипорядком на С *). В отличие от отноше-
отношения делимости на N (пример 11), оно не антисимметрично
[3<pt (— 3) &( — 3)9j3&3^= — 3] и поэтому не является
отношением нестрогого порядка.
30) Отношение на множестве точек координатной
плоскости
Pw2Q ~ P не дальше от начала координат, чем Q,
Df
является квазипорядком, но, в отличие от отношения из
примера 12, не антисимметрично.
31) Отношение
А®3В = А не старше, чем В
Df
на множестве людей Земли является квазипорядком, но,
в отличие от отношения из примера 13, не антисиммет-
антисимметрично.
32) Отношение
A(f>iB = А не старше курсом, чем В
Df
на множестве студентов факультета является квазипоряд-
квазипорядком, но не является ни отношением эквивалентности,
ни отношением нестрогого порядка.
Теорема (об отношении эквивалентности, индуциро-
индуцированном отношением квазипорядка). Если ф — отношение
квазипорядка на множестве М, то отношение ф*:
д:ф*у = хц>у & ущ F7)
Df
на множестве М является отношением эквивалентности,
причем
*) (V5 е м/у*) {о* е А) (Зу е в) \хц>у] «±
. F8)
*) Для целых чисел а и b
b делится на
Поэтому, в частности, 0 делится на 0,
b делится на а = (%t С С) [b=a-t]

§ 5] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА 287
Доказательство. Если М=0, то ф = ф* = 0B,
Л1/ф*=0, и теорема верна тривиальным образом
(см., в частности, E)» из § 3 гл. IV). Пусть М Ф 0.
Если а?М, то, в силу рефлексивности отношения ф,
ф*
рефлексивно.
Тогда из F7)
Ф*
Из
Из
симметрично.
а<р*Ь и F7)
Ьу*с и F7)
ащ
ащ & ащ
a(f*a
Пусть теперь а?М, Ь?М и
а<р*Ь.
a<pb & Ьц>а,
Ьц>а & афб,
Ьф*а.
Пусть, далее, а?М, b?M,
ay*b & bff"c.
ayb&bya.
Из аф& и Ьфс, в силу транзитивности отношения ф,
афС. F9)
Из сф& и Ь<ра, опять в силу транзитивности ф,
сщ. G0)
Из F9), G0) и F7)
Ф* транзитивно. Докажем F8). Пусть А 6 МЛр* и В ? М/ф*.
Нам надо доказать
]. G1)
Импликация
G2)

288 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
верна тривиальным образом, так как по определению
разбиения Аф 0 и В ф 0. Докажем „обратную импли-
импликацию" : •
G3)
Пусть
G4)
Обозначим какие-нибудь элементы из А и В, находящие-
находящиеся в отношении ср (такие элементы существуют по G4)),
через at и bt. Итак,
а,еА, G5)
Л(ЕЯ, G6)
«1Ф&1- G7)
Докажем
G8)
Тем самым G3) будет доказано. Возьмем два произволь-
произвольных элемента а2, Ьг соответственно, из А и В.
G9)
(80)
Докажем
я2ф62- (81)
Из G9) и G5)
a2<p*at. (82)
Из (82) и F7)
агщ^. . (83)
Из G6) и (80)
b&*b2. (84)
Из (84) и F7)
(85)
Из (83), G7) и (85), в силу транзитивности отношения ср,
вытекает (81). G8), а с ним и G3) доказано. Из G2)
и G3) следует G1). F8) доказано. Теорема полностью
доказана.

S 5] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА 289
Отношение ф*, определенное равносильностью F7) из
отношения квазипорядка ф, называется отношением экви-
эквивалентности, индуцированным квазипорядком ф.
Теорема (об отношении порядка, индуцированном
отношением квазипорядка). Если ф — отношение квазипо-
квазипорядка на множестве М, то отношение ц>**:
А<?**В = AхеА)(ЗуеВ)[х<ру] (86)
на фактормножестве МДр* является отношением нестро-
нестрогого порядка.
В силу F8) определение (86) равносильно определению
А<р"ВЕз(>/хеА)()/уеВIжру]. (87)
Доказательство. Если М=0, то ф = ф* = О^,
М/ф*= 0, ф** = О0 — теорема верна тривиальным образом.
Пусть Мф0. Фиксируем Л?МЛр*. По определению раз-
разбиения АФ0. Возьмем произвольный элемент
а 6 А. (88)
В силу рефлексивности отношения ф
ауа. (89)
Из (88), (89) и (86)
Лф*М.
Итак, ф** рефлексивно. Фиксируем теперь А?М/<р*,
В^М/ф*, Сб^1/ф* и пусть
Лф**5, (90)
Вф**С. (91)
Из (90) и (86)
(Злгел)(эг/еви*фу]. (92)
Обозначим какие-нибудь элементы из Аи В, находящиеся
в отношении ф (такие элементы существуют в силу (92)),
через а и Ь. Итак,
а?А, (93)
be В, (94)
ац>Ь. (95)
19 Ю.-А. Шиханович

290 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
По определению разбиения С Ф 0. Возьмем произволь-
произвольный элемент
с еС (96)
Из (94), (96), (91) и (87)
Ырс. (97)
Из (95) и (97), в силу транзитивности отношения ф,
аус. (98)
Из (93), (96), (98) и (86)
Лф**С.
Итак, ф** транзитивно. Пусть, наконец, ЛбМЛр*, В?Л4/ф*,
Ау**В (99)
и
?ф*М. A00)
Докажем, что А = В. По определению разбиения А Ф 0
и Вф 0. Возьмем произвольные элементы:
аеА, A01)
A02)
Из A01), A02), (99) и (87)
щЬ. A03)
Из A02), A01), A00) и (87)
Ьщ. A04)
Из A03), A04) и F7)
аФ*6. A05)
Из A01) и A05)
be А. A06)
Из A02) и A06)
А[)ВФ0.
Следовательно, по определению разбиения
А = В.
Ф** антисимметрично. Теорема доказана.

Sб] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА 291
Отношение <р**, определенное равносильностью (86)
(или (87)) из отношения квазипорядка ср, называется от-
отношением (нестрогого) порядка, индуцированным квазипо-
квазипорядком ф.
Замечание. Отношение порядка ф**, индуцирован-
индуцированное отношением квазипорядка ф на множестве М, тогда
и только тогда является связанным, когда связанно от-
отношение ср.
Пусть сначала ф связанно. Докажем, что тогда свя-
связанно и ф**. Пусть Л?МЛр*, ??МЛр* и
АФВ. A07)
По определению разбиения А ф 0 и ВФ0. Возьмем
произвольные элементы
а 6 Л, A08)
b?B. A09)
Из A07) и определения разбиения
Af]B=0. (ПО)
Из A08), A09) и (ПО)
афЬ. A11)
В силу связанности отношения ф, из A11)
Если аф, то из A08), A09) и (86) Лф**Б. Если Ц>а, то
из A09), A08) и (86) Вф*М.
Пусть теперь связанно ф**. Докажем, что тогда свя-
связанно и ф. Пусть а ? М, Ь ? М и
афЬ.
Обозначим класс фактормножества МАр*, которому при-
принадлежит а, через А, класс, которому принадлежит Ь,
через В. Итак,
а?А, A12)
Ь?В. A13)
Рассмотрим два случая: Л = В и АфВ. Если А — В, то
из A12) и (ИЗ)
. аф'/),. . . A14)
19*

292 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
а тогда из A14) и F7)
аф.
Пусть теперь
А ФВ. A15)
Из A15) и связанности отношения <р**
(Лф**5) V (?<Р*М).
Если Лф**В, то из A12), A13) и (87)
Если же 5ф*М, то из A13), A12) и (87)
Ь(ра.
Примеры: 33) Если ф — отношение эквивалентности
на М, то ф* = ф, М/ф* = М/ф и ф** — отношение равенст-
равенства на М/ф.
34) Если ф—отношение нестрогого порядка на М, то
<р* = Ем, М/ф* — поэлементное разбиение множества М и
35) Пусть ф! — квазипорядок на С из примера 29.
Тогда
Г = {{0>, {1, -1}, {2, -2}, {3, -3},...},
(Vx?N)(Vy?N)[{x, —x}(p**{y, — у}^у делится на х].
36) Пусть ф2 — квазипорядок на координатной плоско-
плоскости из примера 30. Тогда
Рф*C =f±: P и Q равноудалены от начала;
УИ/ф* — разбиение на концентрические окружности с цент-
центром в начале; ф** —порядок на М/ц>*, соответствующий
величине радиуса этих окружностей.
37) Пусть ф3 — квазипорядок на множестве людей Зем-
Земли из примера 31. Тогда
Лф?В *± А и В — одного возраста;

§ 5] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА 293
ф* — разбиение людей по возрастам; ср** — порядок на
М1щ, соответствующий „старости" возраста.
38) Пусть ф4 — квазипорядок на множестве студентов
факультета из примера 32. Тогда ф?—• отношение „быть
однокурсниками", MApJ — разбиение по курсам, yl* соот-
соответствует естественному порядку курсов.
39) Пусть М — произвольное множество, L —некоторое
множество кортежей над М. Определим на М отноше-
отношение ф следующим образом: положим лхрг/ в том и только
в том случае, когда замена в любом кортеже из L любой
компоненты, равной х, на у снова приводит к кортежу
из L. Если, например, L—-0, то ф —полное отношение
Df
(тривиальным образом). Если для некоторого s>2 L = MS,
то ф — снова полное отношение. Если L — {(a, b, c)i
Df
и Ф = (Ф, М), то Ф = A{a,b> о U f(M\{a, Ь, с})хМ].
Df
Легко видеть, что при любых М и L отношение ф являет-
является квазипорядком на М. Оно называется отношением
квазипорядка, индуцированным множеством кортеоюей L.
40) Применим конструкцию, указанную в предыду-
предыдущем примере, для одного специально лингвистического
построения*). Пусть М — множество слов русского язы-
языка**). Элементы множества М" мы, естественно, будем
называть фразами. Например, кортеж „эта юноша побе-
побежать" является фразой. Возьмем в качестве подмножест-
подмножества L множество грамматически правильных фраз (допу*
стим, что понятно, что это означает). Например, фразы
„Я вчера клевал салфеткой" и „Колеса светят широко"
принадлежат L, а фразы „Колеса светит широко" и „Эта
юноша молодая" не принадлежат L ***). Рассмотрим
*) Далее следует фактически изложение части статьи Р. Л. До-
брушина [6].
**) При практическом применении определение множества М
должно быть уточнено; не ясно, например, включать ли в М собст-
собственные имена, вульгаризмы, устаревшие слова и т. п., какие слова
считать устаревшими и т. д. Заметим лишь, что слова „маму",
„маме", „мамой" и т. д. мы считаем различными.
***) Разумеется, приведенные примеры еще не определяют мно-
множества L. Задача реального выделения множества L (т. е. задача
уточнения понятия „грамматической правильности") является самой
трудной частью практического применения развиваемой здесь теории.

294 ОТНОШЕНИЕ [Гл. VII
отношение квазипорядка ср, индуцированное на /И этим
множеством. Легко видеть, что
„папа" ф „конь", A16)
так как замена в любой грамматически правильной фра-
фразе слова „папа" на слово „конь" не меняет грамматичес-
грамматической правильности фразы. Аналогично, легко видеть, что
„конь" ф „папа", A17)
„папа" ф „стол",
„конь" ф „стол",
„папу" ф „коня",
„стола" ф „коня".
В то же время'
П [„стол" ф „конь"], A18)
так как если в грамматически правильной фразе „Я вижу
стол" слово „стол" заменить на слово „конь", получится
грамматически неправильная фраза „Я вижу конь". Ана-
Аналогично, легко видеть, что
П [„стол" ф „папа"], A19)
~1 [„коня" ф „папу"], A20)
П [„коня" ф „стола"]. A21)
Слова, находящиеся в отношении ф*, естественно назы-
называть грамматическими синонимами, так как замена в грам-
грамматически правильной фразе одного такого слова на
другое не влияет на грамматическую правильность (на,
так сказать, „грамматический смысл") фразы. Из A16)
и A17) следует
„папа" ф* „конь".
Из A18) —A21) следует
~1 [„СТОЛ" ф* „КОНЬ"],
п[„папа" ф* „стол"],
п [„папу" ф* „коня"],
~! [„стола" ф* „коня"].
Множество М конечно. Поэтому конечно и фактормног

4 5] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА 295
жество Л4/ф*. Представим себе фактормножество МЛр*
нарисованным на бумаге. Элементы фактормножества Л1/Ф*
мы будем представлять себе кружками, в которых напи-
написаны слова, входящие в изображаемый класс. Если
ЛбМ/ф*, B?M/q>* и АфВ, то
А<р**В*± (>/х 6 A) (Vt/6 В) [жру] & (Зле6 Л) Cу 6 В) 1 [уух].
Условимся изображать на бумаге класс А ниже класса В,
Рис. 86.
если Лф**Б (и А Ф В). Условимся соединять черточкой
такие два класса А и В, что
А Ф В & Лф**5 & и (ЭХ) [Х^=Л&Х^В& Лф**Х & Хф**В..
Полученный рисунок называется деревом грамматической
синонимии1). Кусочек дерева грамматической синонимии
изображен на рис. 86. Разумеется, „законность" проведен-
проведенных на рис. 86 черточек требует еще экспериментально-
лингвистического обоснования.
ЗАДАЧИ
1. Доказать или опровергнуть, что
a) если ф —нестрогий порядок, то ф —строгий по-
порядок;
b) если ф —строгий порядок, то ф —нестрогий по-
порядок;

296* ОТНОШЕНИЕ . [Гл. VU
c) если ф — совершенный нестрогий порядок, то ф—:
совершенный строгий порядок;
d) если ф — совершенный строгий порядок, то ф —со-
—совершенный нестрогий порядок.
2. Перечислить отношения строгого порядка на М =
Df
= {а, Ь, с).
Df
3. Придумать такое отношение совершенного стро-
строгого порядка ф на К, которое обладает следующими двумя
свойствами:
1) (V*6 D) <V^€ D) [дс < уч*лиру];
2) (V* € К) (Чу € К) (Vz 6 К) \щу -* (*+г) <р (у + г)].
4. Придумать такое отношение совершенного стро-
строгого порядка ф на К, которое обладает следующими двумя
свойствами:
) ()(уе)\ущу]
2) (V* в K)(Vy € К) Of г е К) [херу & 0Ф2 -* (хг) ц> (уг)\.
5. Доказать или опровергнуть, что если я)> — отношение
совершенного строгого порядка на непустом множестве А,
то существует такой элемент q?A, что
-1C*64I*4x71. . A22)
6. Доказать или опровергнуть, что если ip — отношение
совершенного строгого порядка на непустом множестве
А, то не может существовать двух различных элементов
множества А, обладающих свойством A22).
7. Доказать или опровергнуть, что если ty — отноше-
отношение строгого порядка на непустом конечном множестве А,
то существует такой элемент q?A, который обладает
свойством A22).
8. Доказать или опровергнуть, что если г]) —отношение
строгого порядка на непустом конечном множестве А, то
не может существовать двух различных элементов мно-
множества А, обладающих свойством A22).
9. Доказать, что если ф —отношение квазипорядка на
М, то отношение ф:
щу ~ щу & П (у<рх)
Df
на множестве М является отношением строгого порядка.

§ 5] ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА 297
10. Пусть $ — множество непустых конечных подмно-
подмножеств множества N. Определим на % отношение ср: А(рВ,
если сумма элементов множества А не превосходит суммы
элементов множества В.
a) Доказать, что ф — квазипорядок.
b) „Увидеть", описать, найти ср*, 87ф*> ср**.
c) Доказать, что элементы фактормножества 87<р*
являются конечными множествами.
d) Получить отсюда, что $ — счетное множество
(ср. с задачей 11 к §3 гл. V).
11. Пусть М — произвольное множество. Определим на
$ (М) отношение ср: ЛсрВ, если существует инъективное
отображение типа А-+В.
а) Доказать, что ср — квазипорядок.
Ь)* Доказать, что Л—B**:Aip*B {теорема Канто-
Кантора — Бернштейна).
12. Пусть
хту = sin х < sin у (х, f/?D).
a) Доказать, что ср — квазипорядок.
b) Найти ср*, М/ср*, ср**.
13. Пусть
)->(#>1) (x,yeD).
a) Доказать, что ф — квазипорядок.
b) Найти ф*, М/ф*, ф**.
14. Пусть / — отображение множества X в У, ц, —отно-
—отношение совершенного нестрогого порядка на множестве Y,
*1ф*2 = f (Xi) Ы (XZ) (*l, X? X).
Df
a) Составить анкету (задача 4 к §2) отношения ф.
b) Если ф —квазипорядок, найти ф*, М/ф*, ф**.
c) Что нового можно сказать об анкете отношения
Ф, если к / добавлять те или иные основные свойства?

Б. НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ
И ОБОЗНАЧЕНИЯ*)
§ 1. Числовые неравенства
Для действительных чисел каким-то образом опре-
определяется отношение „меньше": а <.Ь. Я не буду сейчас
напоминать или уточнять определение этого отношения,
тем более, что предварительно мне пришлось бы уточнить
определение действительного числа, чего я сейчас не хочу
делать. Что касается определения действительного числа,
то мне достаточно в этой книге того, быть может, несколько
расплывчатого представления об этом понятии, которое
читатель вынес из средней школы. Про отношение „меньше"
мне нужно, чтобы читатель знал следующее. Каким-то
образом дается определение, из которого для любых двух
действительных чисел а и Ь вытекает, находятся они или
не находятся в отношении, описанном в определении.
Если действительные числа а и Ь находятся в указанном
отношении, то мы будем говорить, что а меньше Ь, и писать:
а < й. Если а < Ь, то мы будем писать также Ь> а и гово-
говорить „Ь больше а". Из упомянутого (но не сформулиро-
сформулированного) определения вытекают шесть нижеуказанных
свойств, которые мы будем называть основными свойствами
числовых неравенств:
1) Для любого а не верно, что а <а.
2) Для любых а и Ь : если аф Ь, то а <.Ь или а > Ь.
3) Для любых а, Ь и с: если а < Ь и b < с, то а < с.
4) Для любых а, Ь и с: если а <.Ь, то а + с < 6 + с.
5) Для любых a, b и с: если а < b и с> 0, то ас < be.
6) Для любого а существует такое натуральное число п,
что п> а.
*) Раздел Б написан так, чтобы его можно было читать сразу
после гл. I раздела А. Поэтому в нем не используются, в частности,
понятия и обозначения гл. II—IV раздела А.

S 1] ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА 299
Как написано выше, эти шесть утверждений вытекают
из определения отношения „меньше" *), все они могут
быть доказаны. Мы, не желая в этой книжке давать опре-
определение понятия „меньше", примем эти свойства без доказа-
доказательства. Зато все остальные свойства числовых неравенств
могут быть выведены из этих шести основных свойств уже
без привлечения определения. Сейчас я приведу несколько
примеров доказательства производных свойств, а пока замечу
лишь, что всюду дальше доказать какое-нибудь свойство чи-
числовых неравенств **) означает вывести из основных свойств.
Прежде всего, a <b n a — b не совместимы, так как,
заменив в неравенстве а < b справа b на равное ему и,
получаем противоречие со свойством 1.
Аналогично при помощи свойств 3, 1 доказывается,
что не совместимы a < 6 и а> Ь.
Таким образом, мы получаем усиление свойства 2:
Для любых а и b имеет место одно и только одно из
трех: а < b или а = b или а > Ь.
Докажем теперь аналог свойства 4.
7) Если а <Ь и с < d, moa + c<b + d ***).
Пусть а < b и с < d. По свойству 4o + c<6-fc и
с+ b <d+ b. Но c+b=b + c,d+b=-b + d. Сле-
Следовательно, b + с < b + d. По свойству 3 а -\- с < b + d.
Докажем, что если а <Ь, то —а > —Ь. В самом
деле. Если —а = —Ь, то (умножаем равные числа, т. е.
одно и то же число, на —1) а— Ь, что не совместимо по дока-
доказанному с а < Ь. Если же — а < — Ь, то из а <.Ь и
—а < —b при помощи свойства 7 (производного) полу-
получаем 0 < 0. Противоречие со свойством 1.
Докажем аналог свойства 5.
8) Если а < b и с < 0, то аО be.
a <b. с <0, значит, — с> —0, но —0 = 0, так что
—с > 0. По свойству 5 —ас < — be, откуда, в силу только
что доказанного, ас > be.
*) Для доказательства свойств 4 и 5 нужно, разумеется,
привлечь также определения сложения и, соответственно, умноже-
умножения действительных чисел.
*•) Т. е. неравенств, связывающих числа. Неравенства,
содержащие переменные, будут изучаться ниже (§ 6).
•*•) Слова „для любых" здесь и в аналогичных случаях будем
чаще всего подразумевать.

300 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [fe
Аналогично могут быть доказаны (доказательства дол-
должен проделать читатель) и другие производные свойства:
9) Если а < 6 и с > d, то а — с < & — d.
10) Если а> Ь, 6 > 0 и с > d, d>0, то ас> bd.
11) Если а> b, b > 0 и п — любое натуральное число,
то ап > Ьп.
12) Если а> Ь, Ь>0, то ^ < -[ .
Разумеется, список производных свойств можно про-
продолжать неограниченно — ни о какой его полноте не может
быть и речи. Здесь выписаны лишь некоторые, наиболее
важные производные свойства. Если же читателю в даль-
дальнейшем понадобится еще какое-нибудь свойство числовых
неравенств, ему предоставляется полное право, доказав
это свойство, пользоваться им.
Условимся „составное" утверждение вида „а < b и Ь < с"
записывать более сжато: а < b <c. Разумеется, из только
что принятого соглашения никак не вытекает запись утвер-
утверждения ,д <Ь и b > с" в виде а <Ь> с.
Очень полезным является следующее отношение. Усло-
Условимся писать: а<& и говорить, что а меньше или равно Ь,
если a <cb или а = Ь. Таким образом, истинными являют-
являются утверждения: 3<3, 3<5, для любого х sin я<1,
для любого л; sin л;<2 и ложными — утверждения: 3<2
для любого х sin х <х/2- Легко видеть, что утверждение
а<6 равносильно утверждению: не верно, что а> Ь.
Поэтому утверждение а< b читается часто также: а не боль-
больше b или а не превосходит Ь. Эти синонимические чтения
тем более приятны, что более распространенное в матема-
математике чтение „меньше или равно" плохо совмещается с пра-
правилами русской грамматики. Это не заметно, когда знак<
стоит между словами, не имеющими падежных окончаний.
Например, а<6 без труда читается как «„Л" меньше
или равно „бэ"». Но, имея в виду, что 2 <3 читается как
«„два" меньше „трех"», а 2 = 3 читается как «„два" равно
„трем"», не ясно, как надо читать 2<3 : «„два" меньше
или равно „трем"» или «„два" меньше или равно „трех"».
Вышеуказанные (основные и производные) свойства
отношения < переносятся (с некоторыми изменениями)
как на неравенства, содержащие только знак <, так и на
неравенства, содержащие оба знака: < и <.

§ 1] ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА 301
Г) Для любого а: а*са.
2') Для любых а и b : а < b или а> Ь.
3') Для любых a, b и с : если а<й и b<с, то а^с.
4') Для любых a, b и с : если a Kb, то a Н- с< b -j- с.
5') Для любых a, b и с : если а< b и с > 0, то ас< be.
Свойство 6 разумного и полезного аналога, по-видимому,
не имеет. Аналоги остальных свойств пишутся естествен-
естественным образом. Напишем примеры „смешанных" свойств.
3") Если а < b и b < с, то а < с.
3'") Если а < 6 и b < с, то а < с.
Заметим, что наряду со свойством, например, 3" верно
также и более слабое свойство:
Если а < 6 и b ¦< с, то а < с.
Любое из этих свойств доказывается устранением, элими-
элиминацией, исходя из определения, символа <.
Докажем, например, свойство 5'. Пусть а<6 и с> 0.
По определению отношения <, а < ft или а = Ь. Если
а ¦< Ь, то по свойству 5 ас <с be и, следовательно, ас< 6с.
Если а = Ь, то ас = 6с и, значит, снова ас^Ьс.
Если а<6, то мы будем писать также 6>а и говорить:
6 больше или равно а. Утверждение вида „а<6 и 6<с"
мы будем также записывать короче: a*cbKc
ЗАДАЧИ
1. Сформулировать и доказать какое-нибудь свойство
о „делении числовых неравенств", аналогичное свойству 10.
2. Из свойства 5 очевидным образом вытекает свойство
5а) Если а > 0 и b > 0, то ab > 0.
Вывести свойство 5 из свойств 4 и 5а. Следовательно,
свойство 5а может заменить свойство 5 в списке основных
свойств.
3. Доказать, что 1 > 0. (При обычных определениях
понятия „меньше" неравенство 1 > 0 верно прямо по опре-
определению. Как указано в тексте параграфа, доказать неравен-
неравенство 1 > 0 — это значит вывести его из основных свойств.)
4. Доказать, что если а > 0, то — > 0.
5. Доказать, что имеет место свойство

302 НЕКОТОРЫЕ сШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Б
ба) Для любого а > 0 и для любого Ь существует
такое натуральное число п, что па> Ь.
6. Доказать,что из свойств 1—5 и 6а вытекает свойство б1).
7. Доказать, что если а <С.Ь, то а < ^-t— < Ь.
§ 2. Абсолютная величина
Абсолютной величиной числа*) а называется само чи-
число а, если а>0, и число —а, если а<0.
'°'ш1 -а а<0.
Укажем наиболее важные свойства абсолютной величины:
2)
3)
4)
5)
F.\
Любое из этих утверждений (как и вообще любое свой-
свойство абсолютной величины) может быть доказано „тупым"
перебором, получающимся элиминацией знака абсолютной
величины.
Докажем для примера, что |a + bK|a| + |6j. Очевид-
Очевидно, каковы бы ни были а и Ь, имеет место один (и толь-
1
2
3
• 4
а
>о
>0
>0
>о
b
>о
>о
<о
<о
a4'b ''
и
!1
>0 i 5
<0 ¦' 6
>0 ' 7
<0 1 8
а
<о
<о
<0
<о
ь
>о
>о
<о
<о
>о
<о
>о
<о
*) Всюду далее, где не оговорено противное, под „числом" подра-
подразумевается „действительное число".

§ 2] АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА 303
ко один) из восьми, указанных в таблице, случаев.
В первом случае \a + b\ = a-\-b, \a\=a, \b\ = b и, сле-
следовательно, , а 4- /; I ^ I a j +1 b'. Второй случай не возмо-
возможен, так как иза>0и6>0 следует а + Ь > 0. В третьем
случае \a + b\ = a-\-b, \а\ = а, \b\= —b. Но Ь<0 и, сле-
следовательно, — b>0. Отсюда 6 < — b и 0, + b^.a — b.
Это и есть нужное неравенство, так как а-*-Ь = \а + Ь\,
а — 6 = а + ( — b) = \a\ + \b\. В четвертом случае \а\ — а,
\Ь\= —Ь, |а + Ь] = — (а + fr). Нужное неравенство
— (а + 6)<а + (— Ь), или —a — b^.a — b, следует из того,
что при а>0 —ак^а. Остальные случаи рассматрива-
рассматриваются аналогично.
Сказанное выше отнюдь не означает, что как дока-
доказанное неравенство, так и любое другое свойство абсолют-
абсолютной величины может быть доказано только перебором.
Перебор хорош тем, что его можно включать всегда и сразу,
почти не задумываясь. Поэтому он и назван выше „тупым"
перебором. Но, разумеется, в каждом индивидуальном
случае может существовать доказательство, быстрее при-
приводящее к цели.
Например, гораздо более изящным доказательством не-
неравенства |а4-?>|^|а|4-|Ь1 является, очевидно, следую-
следующее доказательство. В силу свойства 2 абсолютной величины
а<|а| и Ь<]6]. Следовательно, а+ 6<|а| + К'|- В силу
того же свойства — | а! ^ а и — | ft ] ^ 6. Следовательно,
— a\-\b\^a + b. Но -\a\-\b\=-(\a\ + \b[). Итак,
— (| а | +1 i> [ X a -J- i»< | a J -|-1 ft f. В силу результата задачи
ЗЬ (см. ниже) *) отсюда вытекает нужное неравенство.
Заметим еще, что из свойства 1 следует, что
\a-b\-\b-~a\.
Из свойства 2 следует, что
а<|а| и — а<|а|. •
Правая часть свойства 3 индукцией легко обобщается на
любое число слагаемых
*) Доказательство в задаче 3, по-видимому, тоже потребует пе-
перебора, но в этом переборе будет лишь два случая.

304 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Б
Из свойства 4 \а\ — |6|<1а — Ь\ и — (\а\ — \Ь\) =
— I b | — | а I < | b — а | = ! а — b |. Но |] а \ — | b \\ равно либо
|а| —| Ь\, либо — (|а| —1&|). Следовательно,
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что число | а — b \ равно расстоянию между
точками с абсциссами а и b на числовой оси.
2. Доказать, что абсцисса середины отрезка числовой
оси, концы которого имеют абсциссы а п Ь, равна —^-.
(Указание. Воспользоваться понятиями и методами
этого параграфа.)
3. Доказать, что а) *а\ <6ч=ь —b<.a<.b,
b) | a I. < 6=s*-& <a<fe.
§3. Корни. Показатели степени
Понятие показателя степени, как известно, последова-
последовательно обобщается.
Сначала оно определяется для п = 2, 3, 4, ... А именно,
для любого действительного а и для п = 2, 3, 4,... по
определению
Затем специальным определением понятие показателя
вводится для п = 1. Для любого действительного а пола-
полагают
di
Таким образом, на этом этапе понятие показателя ока-
оказывается определенным для любого натурального п.
Еще одно определение вводится для п = 0. Для любого
а, отличного от 0, полагают
Равенство C) является определением и не нуждается ни

§ 3] КОРНИ. ПОКАЗАТЕЛИ СТЕПЕНИ 305
в каком доказательстве. Можно было, разумеется, принять
и любое другое определение, например, положить ао = 3.
Причины, по которым принято именно определение C),
достаточно хорошо известны. Они излагаются, например,
в школьном учебнике А. П. Киселева „Алгебра", ч. II.
Показатель степени п = 0 определен, таким образом, только
для чисел, отличных от 0. Выражению 0° никакого чис-
числового значения не придается — оно считается лишенным
смысла.
Следующий шаг — обобщение понятия показателя сте-
степени на отрицательные целые п. Для любого афО я для
любого отрицательного целого п положим
Так как п — отрицательное целое число, то — п — нату-
натуральное число, и выражение, стоящее в правой части ра-
равенства D), в силу предшествующих определений уже
имеет смысл.
На этом этапе понятие показателя степени оказывается
определенным для любого целого п. Для любых целых
показателей и для любых действительных чисел, отлич-
отличных от 0 (впрочем, очень часто, когда показатели степе-
степени отличны от 0, то в качестве а и b можно в нижеука-
нижеуказанных основных свойствах брать и 0), имеют место
следующие пять основных свойств степеней:
2) -?г = ят-п
3) (ат)п = атп,
4)
ап
Для того чтобы понятие показателя обобщить на ра-
рациональные (не целые) числа, нужно предварительно
ввести понятие корня. Введение понятия корня опирается
20 ю. д.

306 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Б
на следующую теорему, которую мы примем без доказа-
доказательства:
Теорема. Для любого натурального числа п и для
любого положительного а существует такое число Ь, что
Ьп = а.
При помощи этой теоремы легко доказываются следую-
следующие утверждения:
1) Для любого четного натурального числа п и для любого
положительного а существуют ровно два таких числа,
п-я степень которых равна а. Эти два числа равны
по абсолютной величине и противоположны по знаку.
Следовательно, одно из них положительно, другое
отрицательно.
2) Для любого нечетного натурального числа п и для
любого положительного а существует единственное *) число,
п-я степень которого равна а.
Это число, очевидно, положительно.
3) Для любого нечетного натурального числа п и для
любого отрицательного а существует единственное число,
п-я степень которого равна а.
Это число, очевидно, отрицательно.
4) Для любого четного натурального числа п и для любого
отрицательного а не существует такого (действительного!)
числа, п-я степень которого равна а.
5) Для любого натурального числа п существует един-
единственное число, п-я степень которого равна 0.
Таким числом является сам 0.
Введем теперь термин. Пусть п — натуральное число.
Назовем (действительное) число Ь корнем п-й степени из а,
если Ьп = а. Таким образом, из предыдущих теорем следует,
что для четного п и положительного а существуют два
таких числа, которые имеют право называться корнем
п-й степени из а. Эти два числа равны по абсолютной величи-
величине и противоположны по знаку. Одно из них положительно,
другое отрицательно. Например, корнями второй степени
из 4 являются 2 и —2. Подчеркиваем, что по нашему
определению число —2 тоже является корнем второй
•) Оборот „существует единственное" выражает, разумеется,
два утверждения: одно — о „существовании", другое — о „един-
„единственности".

$ 3] КОРНИ. ПОКАЗАТЕЛИ СТЕПЕНИ 307
степени из 4. Далее, из предыдущих теорем следует, что
не существует корня четной степени из отрицательного
числа („не существует корня" — это, конечно, сокращение
вместо „не существует числа, являющегося корнем").
Существует единственное число, являющееся корнем нечет-
нечетной степени из положительного числа. Это число положи-
положительно. Существует единственный (отрицательный) корень
нечетной степени из отрицательного числа. Например, —2
является корнем третьей степени из —8. И, наконец, сущест-
существует единственный корень n-й степени из 0, а именно сам 0.
Введем, наконец, символ. Через у^а мы обозначим:
1) для четного п и положительного а то положительное
число, которое в п-й степени равно а; 2) для нечетного п
и любого афО то единственное число, которое в п-й степени
равно а; 3) для любого натурального п и а — О также то
единственное число, /1-я степень которого равна а1). Таким
образом, |^0 = 0; ]/8 = 2; ^—"8=-2; |/4 = 2 (как
обычно, мы вместо ]fa пишем Ya)- По точному смыслу
введенной нами символики утверждение ]/= —2 являет-
является неверным, хотя, как указано выше, —2 (наряду с 2)
является (дальше идет термин, а не символ) корнем
квадратным (второй степени) из 4 *). Подчеркиваю, что
всюду дальше мы, естественно, будем (без всяких напо-
напоминаний и оговорок) употреблять символ У а именно
в том смысле, в котором мы его ввели. В частности, при
любом п и при любом неотрицательном а
причем |/а = 0 тогда и только тогда, когда а = 0.
Заметим еще, что при четном п и отрицательном а
выражение У~а у нас не имеет смысла.
Необходимо остановиться еще на одном не очень
приятном вопросе. Как называется символ Ya? Как его
читать? Было бы целесообразно называть его каким-то
словом, отличным от слова „корень" (например, словом
¦) Заметим, что мы не ввели и не собираемся вводить термина
„арифметический корень". Мне кажется, что понятие арифметиче-
арифметического корня по меньшей мере совершенно не нужно.
20*

ЗОЙ НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Б
„радикал"). К сожалению, символ "|/а часто также назы-
называют „корнем n-й степени из а". Однако тогда возникает
некоторая коллизия (столкновение) двух смыслов слова
„корень". Число —2 является корнем квадратным из 4.
Символ |/ является (называется) корнем квадратным
из 4. Однако утверждение ]/*4 = —2 не верно. В этом
случае только контекст позволяет различить, в каком из
двух смыслов употребляется слово „корень".
Перечислим основные свойства корней.
Прежде всего, почему верно это равенство? Ну, разу-
разумеется, просто по определению корня. Это равенство
(почти) является символической записью _ высказанного
ранее словесного определения символа [^а. Оно совер-
совершенно аналогично по смыслу равенствам alo*ab =
= Ь, sin (arc sin я) — х и т. п. Однако, для каких п и а
верно свойство 1? Не для всех, конечно. Во-первых, по-
показателем корня п у нас могут быть только натуральные
числа. Только для таких п мы определяли символ У а.
Но даже, если п — допустимое, все равно не при всех а
верно свойство 1. А именно, при четном п и отрицатель-
отрицательном а мы считаем равенство (\7га)п = а не верным, так как
при таких п и а часть выражения, стоящего слева (а
именно, символ У а), а следовательно, и все выражение не
имеет смысла *). Тот факт, что выражение У а не всегда
имеет смысл, будет постоянно ограничивать условия, при
которых верно то или иное свойство корней. Итак, свойство
1 имеет место, во-первых, при любом четном п и любом не-
неотрицательном а и, во-вторых, при любом нечетном п и лю-
любом а. Короче: свойство 1 имеет место при любых п и а, для
которых символ Уа имеет смысл.
_. f а п — нечетное,
2) V^= , ,
а п — четное.
*) В более общей ситуации этот вопрос рассматривается в § 2
гл. IV раздела А и в § 1 гл. VI раздела А.

$ зЭ корни, показатели степени 309
Это свойство имеет место при любых натуральных п и
любых а. В частности, \/"а? = [а\,
При некоторых условиях справедливы следующие
свойства:
3) у а-Ь — у а-у Ь.
4)
5)
6)
7)
8)
9) Если а<.Ь, то
Сформулировать условия, при которых верно то или
иное свойство корней, я предоставляю читателю. Легко
видеть, что для каждого из свойств 3 — 9 достаточно
потребовать, чтобы a a b были положительными, однако
это условие можно ослабить. Свойство 9 естественно
отнести к „производным" свойствам неравенств. Добав-
Добавлю еще одно свойство.
Если п — нечетное, то
10) V^l^-Va.
Все эти свойства корней доказываются аналогично:
обращением к определению. Разумеется, при доказатель-
доказательстве некоторого свойства можно также использовать
и уже доказанные свойства.
Докажем для примера, что если \/а и у^а имеют
смысл, то "у/a = n\fc^ (свойство 6). Итак, пусть ^"а
и \а имеют смысл. Докажем сначала, что число Уа
является корнем степени nk из числа ah. (Этим свойство 6
будет почти доказано.) По определению термина „корень"
для этого надо доказать, что (y/a)nh = ak. В силу

310 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [В
свойства 3 степеней {У а)пк — [(V а)п) \ Так как У а имеет
смысл, (Уа)" = а. Следовательно, (Уа)пк = ак. Для не-
нечетного nk (и любого ak) и для ah = 0 (и любого nk)
равенство (Уа)пк = ак, в силу определения символа
n^ah, равносильно свойству 6. Пусть теперь nk — четное,
а*>0. Тогда для окончания доказательства свойства 6
надо к равенству (Ya)nk = ah прибавить еще доказатель-
доказательство того, что Уа>0. Ведь в рассматриваемом случае
символ "у^а4 обозначает по определению то положительное
число (а не просто „то число"), (л&)-я степень которого
равна ак. Так как а'1>0, а Ф 0. Допустим, что а<0.
Так как У а имеет смысл, « — нечетное. Но nk — четное.
Следовательно, k — четное. Мы получили противоречие
с осмысленностью |/а. Значит, а>0. Но тогда Уа>0.
Разумеется, весь перечень условий, при которых верно
каждое из свойств, запоминать в готовом виде не стоит.
Нужно научиться вспоминать-соображать, когда потре-
потребуется то или иное из свойств, соответствующие условия.
Единственное, что полезно, пожалуй, запомнить: при
положительных подкоренных выражениях (достаточное,
но не необходимое условие!) все эти свойства верны.
Прежде чем переходить к определению рационального
показателя, напомним, что любое рациональное число
представимо (по определению) в виде — , где р и q —
целые числа и q Ф 0. Любое рациональное число беско-
бесконечно многими способами представимо в виде —, однако
для любого рационального числа среди всех его пред-
представлений вида — существует единственное представле-
представление (назовем его каноническим), в котором р и q взаимно
просты и <7>0.
Укажем для примера несколько рациональных чисел
и — в скобках — их каноническое представление:
2 -~ —2~" 4~ 4 - —

S3] КОРНИ. ПОКАЗАТЕЛИ СТЕПЕНИ 311
Пусть а — рациональное число, ¦——его каноническое
представление. Тогда для любого а, для которого \faV
имеет смысл, положим
ар- _ (Г^р. E)
Df
2_ 1 _ 2
Например, 24 ==22 = 1^2; ( — 2)* по нашему определению
не имеет смысла (!), так как каноническим представле-
нием числа -.- является у, а У—2 не имеет смысла;
2 1 2 1
4 2 __ _4 2
"в" = 2 = ^2= ^4; (-2)в =(-2)"-
(-2) е=(_2) з=(__2K = уг(-2)~1 =
0 5 по нашему определению не имеет смысла, так как
каноническим представлением числа —^ является -=- ,
а О не имеет смысла. Итак, у нас для любых чисел
р, q, r, s и для любого а
2. 1
если -- = — ,то а* ста*, F)
Я s
р. ¦ „._
если р и q >0 взаимно просты, то a* cs.yap, ¦ G)
но для произвольных целых чисел р и q нельзя утвер-
ждать, что для любого а а«~|/а^. Например, ( — 2)<" =
_ _ 2
= -j/2<0, а У{ - 2f=У± > 0. Еще пример: (-2)*
не имеет смысла, а ^(—2J= |/^4. Впрочем, легко видеть,
что для любых целых чисел р и q~>0
если
а>0, то aq с^. уар. (8)

312 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ 1Б
Легко доказать также, что для любого афО и для
любого (пока) рационального а
а-а ^, _L (Q\
Например, ( — 2)~«= -|/|и g = _J_ = — _ =
(-2)s
= ~ I/ т! (-2) 6 =(-2)«= — ^2 и г =
(-2)
6
i—==-^. С другой стороны, 0
-—
но 0 5, а следовательно, и —j- не имеют смысла.
о"
Для положительных а и Ь и, теперь уже, для любых
рациональных показателей остаются верными основные
свойства степеней 1) —5). Доказываются все они элими-
элиминацией „дробных" показателей, переходом к корням
и использованием указанных выше свойств корней. Для
произвольных (быть может, неположительных) а и b свой-
свойства степеней 1) —5), вообще говоря (без дополнительных
1 ±
оговорок), не верны. Например, ( — 2J-( — 2)^ не опреде-
определено, а ( —2J 6 = ( — 2K = ^4; ^~ \ не определено, а
(-2)?
( — 2J 6 = (— 2K = — /2; i—^j- не определено, а
5 _J_ 2 __ _2 _!_ 1 _
(_ 2)"в" в _ (_ 2) з~ = ^; ((— 2)~3L = (j^4) * = ^4, а
2 11 12 2
(_ 2) s"T = (_ 2) в" не определено; ((- 2)"K = (К11^I не
определено,а(_2)""'5' = ( —2)т= - ^2; [(_2)-( —З)]^ =

§43 УРАВНЕНИЯ 313
= 62 = 1^6, a (-2J.(-3J не определено; (^Jl =
= (-3-") = у ¦§¦ » a г не определено.
Остается последний (для нас) этап: определение сте-
степени с иррациональным показателем. Мы не будем давать
здесь этого определения *) и ограничимся тем представ-
представлением об этом понятии, которое читатель вынес из сред-
средней школы. Например, достаточно хорошее интуитивное
представление об этом понятии дает учебник А. П. Кисе-
Киселева „Алгебра", ч. II. Заметим лишь, что аа определяется,
во-первых, при положительном а и любом иррациональ-
иррациональном а и, во-вторых, при а = 0 и положительном ирра-
иррациональном а. Иррациональная степень отрицательного
числа считается у нас не имеющей смысла.
Теперь, когда мы считаем, что в нашем распоряжении
имеется понятие степени с произвольным действительным
показателем, отметим, что для произвольных положитель-
положительных а и Ь и для произвольных действительных показате-
показателей верны основные свойства степеней 1) —5) и (9).
Доказывать это утверждение, не дав определения ирра-
иррационального показателя, разумеется, нельзя.
§ 4. Уравнения
Выражение вида 21 = 95, где 21 и 95 —числовые формы
или числа, называется равенством**). Очевидно, каждое
равенство является высказывательной' формой или выска-
высказыванием. Если 21 и 33 — числа (а не формы), мы будем
равенство 81 = 93 называть числовым равенством.
Равенство 21 = 95 называется квазитождеством, если
при любом наборе значений переменных, на котором обе
*) Невозможно дать удовлетворительное определение этого
понятия без построения строгой теории действительного числа —
задача кропотливая и громоздкая.
**) Впрочем, термин „равенство" часто используют и в более
общем сгнысле, не требуя, чтобы 81 и 58 были именно числовыми
формами.

314 некоторыг «школьные» термины и обозначения ts
части равенства определены, формы 21 и 95 обозначают
одно и то же число. Равенство 21 = 35 называется тожде-
тождеством, если при любом наборе значений переменных
либо обе части равенства не определены, либо обе опре-
определены и обозначают одно и то же число. Очевидно,
любое тождество является квазитождеством. Примерами
квазитождеств, не являющихся тождествами, могут слу-
служить, с одной стороны, широко используемые в школь-
школьной практике равенства (хт)п = хтп, f-У = -г, (Уа)п =
\ У J У
= О, l0ga (Ьс) = l0ga Ь -f lOga C, ctg X = ~- , tgX-ctgX=\,
tgy ' ё 2 sin* ' snx
1—tgx-tgy ' ё 2 sin* 2Jx
,-tg 2
sin (arc sin я) = at или совсем простые равенства — = 1,
хг—а2
¦¦ -_-- =д;4-о, с другой стороны, — такие „дикие" равен-
равенства, как lg(*+ 1) = V — х2 (обе части равенства опреде-
определены только при x = 0, причем lg@+1)= ]/~ — (Р) или
\gx — \g(—x) (обе части равенства не определены одно-
одновременно ни при одном х; равенство является квазитож-
квазитождеством тривиальным образомI). Примерами тождеств
могут служить равенства (л: -(- уJ = х24- %ху + у2, \х — у\ —
НУ-*!, sin'x + coe-x-l, %
COS X
3x4 = 2x6, 5 = 5.
Равенство 91 = 21 является тождеством. Если равенство
21 = 85 является тождеством (квазитождеством; квази-
квазитождеством, но не тождеством); то и равенство 95 = 21
является тождеством (квазитождеством; квазитождеством,
но не тождеством). Если равенства 21 = 95 и 95 = @
являются тождествами, то равенство 21 = © тоже являет-
является тождеством. Но может случиться так, что равенства
21 = 95 и 95 = © являются квазитождествами, а ра-
равенство 21 = © не является квазитождеством. Напри-
sin (х + у) = sin х-cos y + cos x-sin у, tg у = -пгП*

§ 4] ' УРАВНЕНИЯ 315
мер, равенства lg(*4- 1) = V — *г и V — *а = 2* — 1 явля-
являются квазитождествами (но не тождествами), а равенство
lg(хН- 1) = 2С— 1 не является квазитождеством, так как,
например, при х=1 обе части этого равенства опреде-
определены, но не равны. Поэтому при тождественных преобра-
преобразованиях, а также при решении уравнений квазитождест-
квазитождества, не являющиеся тождествами, надо использовать
осторожно.
Легко видеть, что числовые формы И и 95 равносиль-
равносильны тогда и только тогда, когда равенство 91 = 25 являет-
является тождеством.
Перейдем к понятию уравнения. Начнем, для простоты,
со случая одной переменной. Равенство SSL(x) — %(x),
содержащее (хотя бы с одной стороны) х, мы бу-
будем называть уравнением (относительно х или с одним
неизвестным), если требуется найти такие значения пере-
переменной х, которые превращают данное равенство в вер-
верное числовое равенство*). Понимать это надо буквально
так, как написано: равенство 21 (я) = 95 (х) является или
не является уравнением в зависимости от того, требуется
или не требуется найти вышеуказанные значения пере-
переменной х. Если кто-нибудь (преподаватель, задачник, Вы
сами, читатель) поставил задачу „найти такие значения
переменной х, что ...", равенство 21 (*) = 95 (я) является
(пока Вы решаете поставленную задачу) уравнением,
в противном случае —не является. Уравнение —это, так
сказать, „вопросительное математическое предложение".
Сказанное в полной мере относится, в частности, и к таким
равенствам, как, например, sinaje + cos2;e= I, tgjc = ^^,
1 , , , ¦ х 1 — cos л; , х sin x
sin (arc sin*) =1, |=1, lg(Jt+l)=/-*Mgje=lg(-*).
sin x = 2, 0 ¦ Ig x = 0, x2 + 1 = 0. Когда ставится задача
„найти такие значения переменной х, что..." (короче:
„найти такие х, что..."), каждое из этих равенств
послушно становится уравнением. Искомые значения
•) То есть такое равенство, в котором обе части определены
(Имеют смысл) и обозначают одно и то же число. . ¦

316 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Б
переменной х называются корнями*), или решениями,
уравнения. Решением уравнения называют также процесс
нахождения корней (решений). Если равенство 91 (х) =
= 35 {х) является (объявлено) уравнением, переменную х
называют также неизвестным. Решим указанные выше
уравнения (эту фразу надо, разумеется, понимать как
„слиток" из двух фраз: объявим указанные выше равен-
равенства уравнениями; решим их).
Примеры: 1) sin2 х + cos2 х = 1. Как известно, кор-
корнем этого уравнения является любое (действительное)
число.
2) tg* = ;^^- Любое число, не представимое в виде
Y+ kn с целым k, является корнем. Числа y + foi не
являются корнями.
3) tg-|= ls^sx ¦ Если l+cosx0=?0, т. е. хофп +
+ 2kn, то х0 является решением уравнения, так как
2sin-^cos^- sin^L
2 2 - 2 -tg-?. При * =
1+COSXo 2cos*-f cos-f
левая и правая части теряют смысл. Три только
что рассмотренных, в качестве уравнений, равенства являют-
являются также тождествами.
4) ctgjc = 1—. Любое число, не представимое в виде
tg X
-^k с целым k, является корнем. При х, представимом
в виде у& с четным k, теряют смысл обе части уравне-
уравнения. При х, представимом в виде ^ k с нечетным k, пра-
правая часть теряет смысл, а левая определена.
5) tgA; -ctgjc = 1. Ответ тот же, что и в предыду-
предыдущем уравнении. При х — %- k левая часть теряет смысл.
*) Следует обратить внимание на возникающую омонимию.
Термин „корень" имеет также те значения, которые мы придали ему
в § 3.

§ 4] УРАВНЕНИЯ 317
6) tg~- = -^-—-. Ответ: х Ф kn. При x = kn с чет-
л Sin X
ным k теряет смысл правая часть, левая определена. При
л; = &я с нечетным k теряют смысл обе части.
7) sin (arc sinд;) = I. Ответ: — 1<л:<1. При других х
теряет смысл левая часть. Правая часть —всюду опреде-
определенная форма.
8) — =1. Ответ: любое число, кроме 0. При х = 0
теряет смысл левая часть.
9) lg(*-J-l) = /^Je*. Ответ: х = 0. Если х>-\
и х Ф 0, то левая часть определена, правая —не# опреде-
определена. Если *<— 1, не определены обе части уравнения.
10) lgх = Jg (—x). Уравнение решений не имеет. Равен-
Равенства, рассмотренные в примерах 4 — 10 в качестве урав-
уравнений, являются также квазитождествами, но не тожде-
тождествами.
11) sin л: = 2. Нет решений.
12) 0-lg^ = 0. Ответ: х>0. При х<0 левая часть
теряет смысл.
13) л:2 -L-1 = 0. Решений нет. Заметим, что если мы,
решая это уравнение, будем областью значений перемен-
переменной х считать комплексные, а не только действительные
числа, то уравнение х2+1=0 будет иметь два решения:
г и — t.
Все только что рассмотренные уравнения мы решили,
написав сразу ответ (и предоставив читателю, которому
это потребуется, доказать правильность этого ответа).
А как можно находить решения уравнения? Как можно
проверять правильность предлагаемого ответа без непо-
непосредственной подстановки в уравнение?
Пусть мы имеем два уравнения (относительно х)
«1 (*) = »!.(*), A)
%{х) = Ъг{х). B)
Уравнение B) называется равносильным уравнению A),
если каждый корень уравнения B) является корнем урав-
уравнения A)и, наоборот, каждый корень уравнения A) является
корнем уравнения B). Если уравнение B) равносильно
уравнению A), то, очевидно, уравнение A) равносильно

318 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Б
уравнению B); поэтому мы будем говорить просто о равно-
равносильных уравнениях. Каждое уравнение равносильно, оче-
очевидно, самому себе. Если уравнения B) и A) равносильны
и уравнения C)
Яз(*) = *з(*) C)
и B) равносильны, то уравнения C) и A) также равно-
равносильны.
Идеальным путем решения уравнений является следу-
следующий путь. Допустим, нам надо решить уравнение A).
Мы заменяем его на какое-нибудь равносильное ему,
но более простое уравнение B). Затем уравнение B) мы заме-
заменяем на* какое-нибудь равносильное ему (а значит, и урав-
уравнению A)), но более простое уравнение C). И так дей-
действуем до тех пор, пока не дойдем до какого-нибудь совсем
простого, равносильного предыдущим, уравнения, корни
которого очевидны. Этот идеальный план не всегда можно
или не всегда легко осуществить на практике. Введем
еще одно понятие, облегчающее решение уравнений.
Уравнение B) называется выводным из уравнения A),
если каждый корень уравнения A) является корнем урав-
уравнения B). Уравнение B) тогда и только тогда равносильно
уравнению A), когда как уравнение B) является выводным
из уравнения A), так и уравнение A) является выводным
из уравнения B). Каждое уравнение является выводным
из самого себя. Если уравнение B) является выводным из
уравнения A), а уравнение C) является выводным из ура-
уравнения B), то уравнение C) является выводным из урав-
уравнения A).
Примеры: 14) Уравнения (х—IJ = 0 и х —1=0
равносильны.
15) Уравнения sin2 х + cos2* = 1 и (х ~\- IJ = хг -|-
4- 2х + 1 равносильны.
16) Уравнения \gx = lg(— х) и хг + 1 =0 равносильны.
_ 17) Уравнение х — 1 = 0 является выводным из урав-
уравнения lg* = lg(—х).
18) Уравнение sin2x-+ cos2* = 1 является выводным
из уравнения х — 1 = 0, а следовательно, и из уравнения
lg* = lg(— х).
19) Уравнение sin2* + cos2* = 1 является выводным
„также и. из уравнения 16*" —13*6 -f 4** — Ю*3.-[- х" —

$ 4] УРАВНЕНИЯ -319
— 1 = 0, о корнях которого я ничего не знаю (возможно,
это последнее уравнение вовсе не имеет корней).
Вторым естественным путем решения уравнений являет-
является путь перехода к выводным уравнениям. Допустим,
нам надо решить уравнение A). Мы заменяем его на какое-
нибудь более простое уравнение B), являющееся вывод-
выводным из уравнения A). При этом мы можем приобрести
лишние, „посторонние" корни, но потерять ничего не можем.
Затем уравнение B) мы заменяем на какое-нибудь более
простое уравнение C), являющееся выводным из уравне-
уравнения B). При этом мы можем опять приобрести корни,
но потерять опять-таки ничего не можем. Таким образом
мы действуем до тех пор, пока не дойдем до какого-нибудь
совсем простого, выводного из предыдущих, уравнения,
корни которого очевидны. Затем надо, разумеется, все
корни этого последнего уравнения проверить, т. е. посмо-
посмотреть, удовлетворяют ли они уравнению A). При решении
уравнения этим путем надо, конечно, приобретать „не
слишком много" корней, иначе отделить проверкой ис-
искомые корни будет практически невозможно (см. выше
пример 19).
Для того чтобы на самом деле „пройти" по одному
из двух указанных здесь путей, надо уметь контролиро-
контролировать, как те или иные преобразования влияют на корни
уравнения: получаем ли мы равносильное уравнение,
получаем ли мы выводное уравнение, не теряем ли мы
корни. Рассмотрим некоторые простейшие, часто встре-
встречающиеся в школьной практике преобразования; иссле-
исследуем, что происходит с корнями уравнения при этих преоб-
преобразованиях.
Теорема 1. Если Щх) — всюду определенная число-
числовая форма, то уравнение
Я (х) + © (х) = 35 (х) -f- © (х) D)
равносильно уравнению
И (ж) = &(*). E)
Доказательство. Для того чтобы доказать,
что уравнения E) и D) равносильны, надо доказать, что
уравнение D) является выводным из уравнения E) и что

320 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [В
уравнение E) является выводным из уравнения D). Доказа-
Доказательство, естественно, распадается на две части. Докажем,
что уравнение D) является выводным из уравнения E).
Пусть число а является корнем уравнения E), т. е. справед-
справедливо числовое равенство
Ш (а) = 95 (а). F)
Так как <&(х) — всюду определенная числовая форма,
&(а) определено, является числом. Из F), очевидно,
следует, что
G)
Следовательно, а является корнем уравнения D). Мы дока-
доказали, что каждый корень уравнения E) является корнем
уравнения D). Значит, уравнение D) является выводным
из уравнения E).
Докажем теперь, что уравнение E) является выводным
из уравнения D). Пусть число а является корнем уравнения
D), т. е. справедливо числовое равенство G). ©(а) входит
в это равенство и, следовательно, определено. Вычтем
из обеих частей числового равенства G) число S (а). Полу-
Получим, что справедливо F). Следовательно, а является кор-
корнем уравнения E). Мы доказали, таким образом, что урав-
уравнение E) является выводным из уравнения D). Значит,
уравнения D) и E) равносильны.
Заметим, что всюду определенность формы © является
достаточным, но не необходимым условием для равносиль-
равносильности уравнений D) и E). Например, уравнения х — 3 = 5
и х — 3 + ——~ = 5 + ——к равносильны. В то же время
без этого условия теорема, конечно, не верна: уравнения
х — 3 = 5 и х — З-j я==5н g не равносильны.
Важным примером всюду определенной числовой формы
является многочлен. Числовая форма называется много-
многочленом, если она имеет вид аохп 4- а^" + ¦ • • + ап_1Х +
+ ап, где п — натуральное число, а0, ait . . ., ап_и ап —
действительные числа и а0 ф О'2). По нашему определению
формы (х + IJ, 2х + 1 + хг и Ох3 + х2 + 2х + 1 неявляют-
неявляются многочленами, хотя все они, конечно, равносильны
(как формы) многочлену хг -j- 2х + 1 (точнее: \хг + 2х -Ь 1).

S 4] - УРАВНЕНИЯ 321
Теорема 2. Если число с ф 0, то уравнение
с-ЪЦх) = с-%(х) (8)
равносильно уравнению E).
Доказательство. Докажем сначала, что урав-
уравнение (8) является выводным из уравнения E). Пусть
а является корнем уравнения E), т. е. справедливо F).
Из F) следует, что
. с-%(а) = с-Ъ{а). (9)
Следовательно, а является корнем уравнения (8). Итак,
уравнение (8) является выводным из уравнения E).
Докажем теперь, что E) является выводным из (8).
Пусть а является корнем уравнения (8), т. е. справедливо
(9). Так как сф0, из (9) следуетF). Следовательно, а являет-
является корнем уравнения E). Уравнение E) является вывод-
выводным из (8). Уравнения E) и (8) равносильны.
Теорема 3. Если (S (х) — всюду определенная число-
числовая форма, то уравнение
Ш(х).®(х) = %(х)-&{х) A0)
является выводным из уравнения E), причем прибавиться
[к уравнению A0) по сравнению с уравнением E)] могут
только корни уравнения
5W-0. A1)
Доказательство. A0) является выводным из
E). Это доказывается совершенно аналогично первой
половине доказательства теоремы 1. Доказывать, что E)
является выводным из A0), я не собираюсь. Этого фор-
формулировка теоремы не утверждает, да это в общем случае
и не верно. Докажем добавление „причем. . .". Оно, оче-
очевидно, утверждает, что если а является корнем уравнения
A0) и не является корнем уравнения E), то а является
корнем уравнения A1). Пусть а является корнем уравнения
A0), т. е. справедливо числовое равенство
Я (a).S (а) ==» (а)•(?(?!).. A2)
Пусть также а не является корнем уравнения E), т. е.
равенство F) не верно. Докажем, что а является корнем
уравнения A1). Допустим противное. В силу ли усло-
условия теоремы, в силу, ли верности равенства A2), й(а)
1/2 ^l Ю. А. Шиханович

322 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [В
определено. По предположению ©(а) ф 0. Тогда обе части
равенства A2) можно разделить на ©(а), и мы получаем,
что верно равенство F). Противоречие.
Доказанное только что добавление позволяет проверять
не все найденные корни, а только корни уравнения A1).
Теорема 4. Если п — нечетное натуральное число, то
уравнение
[Я (*))»= (»(*)]" A3)
равносильно уравнению E).
Доказательство. Пусть а является корнем урав-
уравнения E), т. е. выполняется числовое равенство F). Тогда
[И(а)]» = [»(а)]« A4)
и, следовательно, а является корнем уравнения A3).
Итак, уравнение A3) — выводное из E). При доказатель-
доказательстве „в эту сторону" мы не пользовались нечетностью
числа п. Докажем „в обратную сторону". Пусть а является
корнем уравнения A3), т. е. справедливо A4). Из A4)
следует, что
Так как п — нечетное, VWJaff1 = & (а) и V\%> (с)Г = Я5 (а)
(см. § 3). Значит, из A5) следует F). Итак, E) —вывод-
—выводное из A3). Уравнения E) и A3) равносильны.
Теорема 5. Если п — четное натуральное число, то
уравнение A3) является выводным из уравнения E), причем
прибавиться могут только корни уравнения
И (*)--»(*). A6)
Доказательство. То, что уравнение A3) является
выводным из E), мы фактически доказали при доказа-
доказательстве предыдущей теоремы. Докажем ддбавление.
Пусть а является корнем уравнения A3) и не является
корнем уравнения E). Докажем, что тогда а является
корнем уравнения A6). Поскольку а является корнем
уравнения A3), имеет место A4), а значит, и A5). Так
как п — четное, из A5) следует
. A7)

$ 4] УРАВНЕНИЯ 323
Из A7), очевидно, вытекает, что 21 (а) = 95 (а) или 91 (а) =
= —55 (а). Но равенство 21 (а) = 93 (а) противоречит пред-
предположению, что а не является корнем уравнения E).
Следовательно,
21 (а) = -95 (а). A8)
Из A8) вытекает, что а — корень уравнения A6).
Следствие. Если 21 (х) и 95(х) не принимают от-
отрицательных значений, то уравнение A3) равносильно
уравнению E).
Например, уравнение ]/г'й(х) — с равносильно, если
О 0, уравнению ЧИ(х) = с2.
Всевозможных преобразований, которые удобно проде-
проделывать при решении уравнений, существует, конечно,
очень много, и я вовсе не собираюсь исследовать — в виде
теорем — все эти преобразования. Одной из целей, которые
я преследовал, доказывая теоремы 1—5, было —научить
читателя методике подобных доказательств. В каждом
конкретном случае, проделывая то или иное преобразова-
преобразование, читатель параллельно должен проводить исследова-
исследование на „равносильность", не уставая переходить от урав-
уравнений к числовым равенствам (с которыми мы уже хорошо
умеем обращаться) и обратно. Разумеется, при желании
читатель может исследовать то или иное преобразование
в общем виде и оформить результат исследования в виде
теоремы. В качестве упражнения я предлагаю закончить
формулировку указанной ниже теоремы б и доказать ее.
Теорема 6. Уравнение E) является выводным из
уравнения
log.
причем прибавиться могут только...
Полезно заметить еще, что если равенство
И (*) = «(*) A9)
является тождеством, т. е. 21 (х) ~ ©(*), то уравнение E)
равносильно уравнению
©(*) = »(*). B0)
Если же равенство A9) является только квазитожде-
квазитождеством, то в общем случае нельзя утверждать ни что B0) —
выводное из E), ни что E) —выводное из B0).
21*

324 НЕКОТОРЫЕ сШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Б
Пример. Равенство \gx = \g( — x) является квази-
квазитождеством, но никакое из уравнений Jg л: = 3, lg(—х) — '6
не является выводным из другого.
Поэтому, применяя при решении уравнений квазитож-
квазитождества, не являющиеся тождествами, надо быть крайне
осторожным.
Введем еще один термин. Мы будем говорить, что
уравнение E) равносильно дизъюнкции уравнений
«1 (*) = »!(*). И2(*) = »2(*) И. (*) = *.(*). B1)
если, во-первых, каждый корень уравнения E) является
корнем одного из уравнений B1) и, во-вторых, каждый
корень каждого из уравнений B1) является, корнем урав-
уравнения E). В полной мере мы оценим полезность этого
(или, вернее, близкого) термина лишь в §§ 5, 6. Пока
приведу лишь один пример. Заметим сначала, что если
уравнение E) равносильно дизъюнкции уравнений B1),
то вместо того, чтобы решать уравнение E), можно решить
каждое из уравнений B1) и корни всех этих уравнений
объединить. Это „объединение" и будет, очевидно, соста-
составлять совокупность корней уравнения E).
Пример. Уравнение (х — а) (л; — Ь) = 0 равносильно
дизъюнкции уравнений х — а — 0 и х-Ь = 0. Однако
в общем случае уравнение
И (*);»(*) = 0 ' B2)
не равносильно дизъюнкции уравнений
«(*) = (), »¦(*) = О! B3)
Каждый из корней уравнения B2) является, конечно,
корнем одного из уравнений B3), но у уравнения, ска-
скажем, 91 (х) = 0 могут быть такие корни, при которых 93 (х)
не определено. Эти корни не являются, конечно, корнями
уравнения B2).
Нам осталось ввести аналогичную терминологию для
нескольких переменных. Равенство Щхи х2, . . ., хв) ==
= Щхи хг *«), содержащее хи х2 х„, мы будем
называть уравнением (относительно xit х2, • ¦ •, х„ или
с s неизвестными), если требуется найти такие наборы

§ 5] СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 325
значений переменных xit х2, • • ., xs, которые превращают
данное равенство в верное числовое равенство. Искомые
наборы значений переменных называются решениями урав-
уравнения (термин „корень" при s > 1 не употребляется).
Разумеется, набор значений х = 3, у = 2, г = 1, ы = 4
составляет одно решение уравнения х + у = z + и с
4 неизвестными, а не четыре решения. Переменные в уравне-
уравнении называют также неизвестными. Два уравнения (отно-
(относительно одинаковых неизвестных) называются равносиль-
равносильными, если они имеют одинаковые решения. Одно уравнение
называется выводным из другого уравнения, если каждое
решение второго уравнения является также решением
первого уравнения. Некоторое уравнение называется рав-
равносильным дизъюнкции некоторой совокупности других
уравнений, если каждое решение первого уравнения являет-
является решением одного из „других" уравнений и каждое
решение каждого из „других" уравнений является реше-
решением первого уравнения.
Уравнение с s неизвестными при s > 1, вообще говоря,
имеет бесконечно много решений; однако оно может иметь
также любое число решений (например, одно решение)
или вовсе не иметь решений. Например, уравнение х2 +
-f- у2 + 2г = 0 имеет ровно одно решение (х = 0, у = О,
г=0), а уравнение х2 + у2 + г2 + 1 = 0 не имеет решений.
В § 6 мы еще вернемся к уравнениям.
§ 5. Системы уравнений
Пусть мы имеем k равенств
(k > 1), причем каждая из переменных хи . . ., xs встре-
встречается хотя бы в одном из этих равенств и каждое из этих
равенств содержит хотя бы одну из этих переменных;
эти k равенств мы называем системой (k уравнений с s неиз-
неизвестными), если требуется найти такие наборы значений
22 Ю. А. Шиханович

326 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Ь
переменных xlt х2, • • ., ха, которые одновременно прев-
превращают все данные равенства в верные числовые равенства.
Искомые наборы значений переменных называются решени-
решениями системы (термин „корень" для систем не употребляется).
Переменные в системе уравнений называют также неиз-
неизвестными. Две системы (с одними и теми же неизвестными)
называются равносильными, если они имеют одинаковые
решения. Одна система называется выводной из другой
системы, если каждое решение второй системы является
также решением первой системы. Мы будем говорить,
что некоторая система равносильна дизъюнкции некоторой
совокупности других систем, если каждое решение первой
системы является решением одной из „других" систем
и каждое решение каждой из „других" систем является
решением первой системы. В знак того, что некоторая
совокупность равенств объявляется (является) системой
уравнений, равенства этой совокупности объединяют фигур-
фигурной скобкой.
Г *+у=3
Примеры: 1) Система \ 2х — у =5 трех уравне-
[2х-у=5
\
\
ний с двумя неизвестными равносильна системе \ 0
I zx — у — о
двух уравнений с двумя неизвестными.
fх + у = 3
2) Система \ о двух уравнений с двумя не-
I х-\-у = д •
известными имеет бесконечно много решений; на коорди-
координатной плоскости точки, соответствующие ее" решениям,
образуют прямую. Хотя мы и не ввели соответствующего
термина, понятно утверждение: рассматриваемая система
равносильна уравнению х -f- у — 3: - Термин этот легко,
конечно, определить. :
(х+у3
3) Система { _ не имеет решений.
' \ х+у=5 v
4) Система | _ является системой двух урав-
[ z -\- и = о
-нений с четырьмя неизвестными. Она равносильна, оче-
очевидно, дизъюнкции уравнений х + у — 3 и г + ы = 5 (опять

§ 5] ' СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 327
термин, формально не введенный).
[ ( 2C 0
[ (лг + 2)(*3) 0
5) Система J ^ + 2) (* + 4) = О ДВух УРавнений с од"
ним неизвестным имеет одно решение: х= — 2.
Решение систем также требует умения контролировать
влияние преобразований на решения. Для систем мы
сформулируем только три теоремы. Доказывать мы эти
теоремы не будем, так как доказываются они абсолютно
тем же методом (переходом от систем уравнений к чис-
числовым равенствам и обратно), но требуют (если доказы-
доказывать для общего случая k систем с s неизвестными) гро-
громоздкой записи.
Теорема 1. Если одно из уравнений системы заме-
заменить на равносильное ему уравнение, то полученная
система будет равносильна исходной системе.
Теорема 2 (о методе подстановки). Система
Xl = © (Х2, . . ., ДГ.)
Щ(хи х2, ...., ха) == 952(*!', х2, ..., ха)
а'(*1. х2, ..., xs) = 95А(хи х2, ..., ха)
равносильна системе
ATt = © (JC2, ..., Xa)
, ...,д:в), х2, ..., ха) = %2(&(х2, ..., л:,), х2, ..., х,)
, ...,*.), х2, ..., ха) = Я5А (S {х2, ..., xa),x2,...,xt).
Теорема 3 (о методе алгебраического сложения).
Если каждое из уравнений некоторой системы является
линейной комбинацией уравнений другой системы (т. е.
получается сложением результатов умножения уравнений
этой „другой" системы на целые числа), то первая система
является выводной из этой „другой" системы.
Пример 6) Каждое из уравнений системы
5х+ 5г/ = 4
12 {1)
22*

328 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Б
является линейной комбинацией уравнений системы
(А именно, первое уравнение системы A) получается сло-
сложением результатов умножения уравнений системы B)
на 2 и 1, второе — соответственно, на 6 и 3.) Однако
7 3
система B) имеет одно решение: х = -^, у— — -^ ,
а система A) —бесконечно много С в том числе и * = -г»
)
Решим теперь для примера полностью одну „настоя-
„настоящую" систему.
Пример 7) Решим систему
х + у = 3z
х* + у2 = 5г C)
х3 + у3 = 9z.
По дважды примененной теореме 1 система C) равносильна
системе
х + у = Зг
— 2xy = 5z D)
По теоремам 1 и 2 система D) равносильна системе
или_системе
j g^2 2xu = bz (o)
\ 2>zz — xyz — z.
Решим вспомогательную систему

§ 5] СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 329
Система F) получается из второго и третьего уравнений
системы E), если в них ху заменить на и. Обычно эта
замена подается в виде: „обозначим ху через и". Систе-
Система F) по теореме 1 равносильна системе
f _ 9 г 5
\ U-2Z--2Z G)
I 3z3 — uz = z.
Система G) по теореме 2 равносильна системе
(8)
По теореме 1 система (8) равносильна системе
(9)
9 ,2 1
3zs-( 4z2--^.
9 „ 5
Решим отдельно второе уравнение системы (9). Оно, оче-
видно, имеет 3 корня: 2^ = 0, г2 = 1, z3 = -3 • Следователь-
Следовательно, система (9) равносильна дизъюнкции трех систем:
I z = 0
v °
Таким образом, система (9) имеет три решения: «! = 0,
1 2
z, = 0; u2 = 2, 22=1; «3==-^-) z» = -s-. Равносильная ей
система F) имеет те же решения. Легко видеть, что тогда
система E) равносильна дизъюнкции трех систем:
~т~ у ~ oz | х -f~ у = ^^
i z=o i 2=1
1
z " з •
(Ю)
Докажем это. Допустим, числа х0, у0, г0 образуют реше-
решение системы E). Тогда справедливы три следующих

330 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Ь
числовых равенства:
3
3z0, A1)
9zl-2x0y0 = 5z0, A2)
Зг* — xoyozQ = z0. A3)
Обозначим через и0 число хоуо. Тогда A2) и A3) можно
переписать в виде
9zl-2uo = 5z0, A4)
z0. A5)
Из A4) и A5) следует, что числа и0, z0 составляют реше-
решение системы F). Но система F) нами решена. Она имеет
три вышеуказанных решения. Следовательно, либо ио = О,
1 2
го = О, либо «о = 2, го=1, либо ио = -^-, г0 = -~-, т. е. либо
О о
i = 0 и го = О, либо х0у0 — 2, а го=1, либо, наконец,
1 2
) = -„-, го = ¦¦„-. Учитывая A1), заключаем, что в пер-
О О
вом случае х0, у0, z0 являются решением первой из
систем A0), во втором —второй из систем A0), в третьем —
третьей из систем A0). Обратно. Пусть х0, yQ, z0 являются
решением первой из систем A0). Тогда
хо,Уо — эго, (Ю)
О/ < т^
„„„ I {*¦')
го = О. A8)
Обозначим хоуо через «0. Тогда из A7) и A8) ио = О,
го = О. Но числа 0, 0 являются решением системы F).
Следовательно, верны A4) и A5). Но ио — хоуо. Значит,
верны A2) и A3). Из A6), A2) и A3) следует, что х0,
у0, г0 являются решением системы E). Абсолютно анало-
аналогично рассматриваются случаи, когда х0, у0, г0 являются
решением второй или третьей из систем A0).
Итак, нам остается решить каждую из систем A0)
и объединить полученные решения. Решим первую из
систем A0)
( х + у = Ъг
ху = 0 A9)
2 = 0.

б] СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
По
или
теореме 2
системе
система A9'
) равносильна системе
{-у = 3-0
г = 0.
Гх+у=0
ху = 0
Очевидно, вспомогательная система
ху = 0
равносильна дизъюнкции систем
х+у=О
у = 0.
Следовательно, система B1) имеет одно решение: х
у = 0. А тогда и система B0) имеет одно решение: х^
«/1 = 0, 21 = 0.
Решим вторую из систем A0)
y=3z
ху = 2
По теоремам 2 и 1 система B2) равносильна
стеме
Решим вспомогательную систему

332 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Б
Система B4) по теоремам 1 и 2 равносильна системам
х = 3-#
C-у)у = 2
#2-3# + 2 = 0. B5)
Вспомогательное уравнение #2 —Зу + 2=-0 имеет два
корня: 1 и 2. Поэтому система B5) равносильна дизъ-
дизъюнкции двух систем
х = 3-у Г * = 3-y
#=1 1 # = 2.
Значит, система B5) и равносильная ей система B4)
имеют два решения: xz = 2, yz=l hjcs=1, уг — 2. Оче-
Очевидно, система B3) имеет в этом случае также два реше-
решения: х2 = 2, #2=1, г2 = 1 и х3 = 1, #з = 2, г3 = 1.
Аналогично может быть решена третья из систем A0).
Она также имеет два решения: лг4 = 1 -f- -^g— , #4 = 1 —^-,
2 1 Yb , Yb 2
Zi = "о" И ЛГ5 — 1 „¦— , #5 — 1 H о— 5 ^5 — "о" •
о о о о
Итак, окончательно система C) имеет пять решений:
*i = и, #1 — и, Zi — и, л;2 = ^, #2==1, г2—1, *з=1, #з=_^,
/у - 1 ^В , - 2 и ^ - 1 ^ё
п
у5 = 1 + -J— , г5 = -д-. Никакой проверки делать не надо,
так как мы каждый раз переходили к равносильным
системам.
§ 6. Неравенства с переменными
Выражения вида 9l<95, ?[<95, 9t>95, И > 95, где
St и 95 — числовые формы или числа, мы естественно бу-
будем называть неравенствами. Очевидно, каждое нера-
неравенство является высказывательнои формой или высказы-

$ 6] НЕРАВЕНСТВА С ПЕРЕМЕННЫМИ 333
ванием. Неравенство, в котором Ш и 95 —числа (а не
формы), мы будем называть числовым неравенством.
В то время как в „теории равенств" есть три разных
термина: равенство, тождество, уравнение (и даже есть
еще „квазитождество"), в „теории неравенств" этим трем
терминам соответствует один и тот же термин: нера-
неравенство.
Просто выражение вида 31 < 95, независимо от того,
что о нем утверждается, зачем оно рассматривается,
называется неравенством. Для неравенств 91 (х) < 95 (х),
верных „для всех х", обычно никакой специальный термин
(аналог термина „тождество") не вводится. Говорят либо
„имеет место (справедливо) неравенство 91 (х) <35(л:)",
либо, короче, „для всех х 2{(д:)<;95(х)", либо еще „нера-
„неравенство ЭД (х) <С 55 (л:) выполняется тождественно".
Для неравенств, которые надо решить (т. е. найти
значения переменных — неизвестных, — превращающие рас-
рассматриваемое неравенство в верное числовое неравенство),
опять-таки никакого специального термина (аналога тер-
термина „уравнение") не существует. Говорят просто: решить
неравенство 91 (х) < 95 (х). Это и означает, что данное
неравенство рассматривается как, так сказать, уравнение.
Когда ставится задача решить неравенство, искомые
значения неизвестных (или искомые наборы значений
неизвестных, если число неизвестных больше одного) назы-
называются решениями неравенства (термин „корень" примени-
применительно к неравенствам не употребляется). Два неравен-
неравенства называются равносильными, если они имеют одина-
одинаковые решения. Поскольку неравенства имеют обычно
бесконечно много решений, термин „выводное неравенство"
не вводится: если при решении какого-нибудь неравенства
перейти к неравенству, имеющему посторонние решения,
то проверкой выделить эти решения среди бесконечного
числа решений, как правило, невозможно. При решении
неравенства разумно проделывать лишь такие преобра-
преобразования, которые приводят к равносильным неравенствам.
При решении неравенств полезны следующие теоремы:
Теорема 1. Если S (х) — всюду определенная число-
числовая форма, то неравенство
©(*)

334 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Ь
равносильно неравенству
«(*)<»(*). A)
Теорема 2. Если число с>0, то неравенство
равносильно неравенству A).
Теорема 3. Если число е<0, то неравенство
равносильно неравенству A).
Подчеркну, что никакой теоремы об умножении обеих
частей неравенства на числовую форму (а не на число)
среди теорем 1—3 нет. Доказательство теорем 1—3 про-
проводится совершенно аналогично доказательству теорем из
§ 4 и опирается, разумеется, на свойства числовых нера-
неравенств (§ 1). Я предоставляю его читателю.
Естественным образом могут быть определены понятия
системы неравенств, решения системы неравенств, равно-
равносильных систем неравенств, неравенства, равносильного
дизъюнкции данных неравенств или систем неравенств,
и т. п. Остается, разумеется, верным аналог теоремы 1
предыдущего параграфа.
Приведем два примера решения неравенств.
Примеры: 1) Решим неравенство
|*-5|>3.
Это неравенство, очевидно, равносильно дизъюнкции двух
систем:
|х-5|>3 f |x-5|>3
х — 5>0 I * — 5<0.
Первая из этих систем равносильна системе
*-5>3
х-5>0
и системе
х>8
х > 5.

5 6] НЕРАВЕНСТВА С ПЕРЕМЕННЫМИ 335
Следовательно, ее решениями являются числа д;>8.
Вторая система равносильна системе
-(*-5)>3
• к—5<0
и системе
х<2
Следовательно, ее решениями являются числа х < 2.
Итак, окончательно \х — 5|>3 тогда и только тогда,
когда х<.2 или *>8*).
2) Решим неравенство
V(jcH-2) (дс —5) > 8 —jc. ' B)
Мне хочется возвести обе части неравенства B) в квад-
квадрат. Но соответствующее свойство числовых неравенств
(см. § 1) справедливо для положительных (точнее, неот-
неотрицательных) чисел. Поэтому я разбиваю решение на две
части, на два „случая": 8 — *>() и 8 — х<0. Это „раз-
„разбиение на два случая" оформляется следующим образом.
Неравенство B) равносильно, очевидно, дизъюнкции систем
У(х + 2)(х-5)>8-х
8 — х>0 1 8 —лг<0.
C)
Решим первую из систем C)
-5)>8~х
Система D) равносильна системе
(* + 2)(*-5)>(8-*)«
Докажем это. Пусть сначала а является решением систе-
системы D), т. е.
У(а + 2)(а-5)>8-а, F)
8-а>0. G)
,*) Неравенство \х—5|>3 можно проще и изящнее решить при
помощи утверждения, сформулированного в задаче 1 к § 2.

336 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Б
Из F) и G) следует (см. § 1), что
(а-5)J>(8-аJ. (8)
Поскольку выражение уг(а + 2)(а — 5) определено (из F)
или (8)), [У(а+ 2) (а— 5)J = (а+ 2) (а —5). Следователь-
Следовательно, из (8) получаем, что
(а + 2)(а-5)>(8~аJ. (9)
(9) и G) показывают, что а является решением системы
E). Пусть теперь а является решением системы E), т. е.
имеют место (9) и G). (8 — аJ>0. Из (9) следует, что
(а+ 2) (а — 5)>0. [Это не описка. Из (9) следует, конеч-
конечно, и более сильное неравенство (а + 2) (а — 5)>0, но
тем не менее сделанное утверждение тоже верно.] По свой-
свойствам корней (см. § 3) из (9) получаем, что
W- (Щ
Из G) вытекает, что ]/"(8 — аJ = 8 — а. Следовательно,
A0) влечет F)-, но F) и G) означают, что а является
решением системы D).
Неравенство (х + 2) (х — 5) > (8 — х)г равносильно (по
g
теоремам 1, 2) неравенству х > 5 т^. Неравенство
8 — х>0 равносильно неравенству *<8. Следовательно,
система E) равносильна системе
о
Итак, решениями системы D) являются числа 5yg<jc<8.
Решим вторую из систем C)
5)>8-*
8-*<0.
Система A1) равносильна системе
(* + 2)(*-5)>0
8-*<0.

$ 6] НЕРАВЕНСТВА С ПЕРЕМЕННЫМИ 337
Докажем это. Пусть а является решением системы A1), т. е.
/(а + 2)(а-5)>8-а, A3)
8-а<0. A4)
Поскольку неравенство A3) верно, выражение
|/"(а -f 2) (а — 5) определено. Следовательно,
(а + 2)(а —5)>0. A5)
A5) и A4) означают, что а является решением системы
A2). Пусть теперь а является решением системы A2),
т. е. имеют место A5) и A4). В силу A5) У (а + 2) (а — 5)
определено. Но тогда по определению корня (§ 3)
У(а + 2)(а-5)>0. A6)
Из A6) и A4) вытекает A3). A3) и A4) означают, что а
является решением системы A1).
Неравенство (х — 2) (х — 5) > 0 равносильно дизъюнк-
дизъюнкции двух неравенств: #< — 2 и л;>5. Поэтому система A2)
равносильна дизъюнкции систем
л;<-2 Г x>5
8-л;<0 (
или систем
х>8 { х>8. A7)
Первая из систем A7) не имеет решений. Решениями
второй из систем A7) являются числа я>8. Итак, реше-
решениями системы A1) являются числа д:>8.
Объединяя решения систем D) и A1), окончательно
получаем, что решениями неравенства B) являются числа
Очень полезным инструментом при решении уравнений
и систем уравнений является введенный в практику
П. С. Моденовым и С. И. Новоселовым аппарат смешан-
смешанных систем, т. е. систем, содержащих одновременно
уравнения и неравенства. Ясно, разумеется, что надо
понимать под решениями смешанной системы, равносиль-
равносильными смешанными системами и т. д.

338 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Ь
Приведем два простых примера.
Примеры: 3) Решим уравнение
— х2-х + 4 = \х+1 |. A8)
Для того чтобы избавиться от знака абсолютной вели-
величины, „рассмотрим два случая": *+1>0 и #-|-1<;0.
Формально: уравнение A8) равносильно дизъюнкции двух
смешанных систем .
+1 >0 1 лг+КО.
Решим первую из систем A9)
+\
" <20)
Система B0) равносильна системе
В самом деле. Если — а2 — а + 4 = \а+11 и а+1>0,
то \а+1\ = а-\-1 и — а2 — а + 4 = а +1. Если же, наобо-
наоборот, — а2 — а + 4=;а+1 и а+1>0; то, опять-таки,
1 |1| 2 4 '1 I
Система B1) равносильна системе
B2)
Уравнение х2 + 2х — 3 = 0 имеет два корня: —3 и 1.
Поэтому система B2) равносильна дизъюнкции систем
х = - 3 ' * 1
Первая из систем B3) не имеет решений, вторая имеет
одно решение: х = 1. Итак, система B0) имеет одно реше-
решение: х = 1.
Аналогично, решая вторую из систем A9), получаем,
что она тоже имеет одно решение: х= —Yb.
Окончательно, уравнение A8) имеет два решения: х= 1,
х = - уъ.

§ 6) НЕРАВЕНСТВА С ПЕРЕМЕННЫМИ 339
4) Решим уравнение
2 Y(x + 5) B* + 8) = 36 - Зх. B4)
.Хочется" возвести обе части уравнения B4) в квадрат:
B/( + 5)B + 8)J C6-Зл:J B5)
и получить при этом равносильное уравнение. Но мы
знаем, что, вообще говоря, при возведении обеих частей
уравнения в квадрат получается лишь выводное урав-
уравнение. Мы знаем также, что уравнение B5) обязательно
является выводным из уравнения B4), а уравнение B4)
не обязано быть выводным из уравнения B5). Нельзя ли
наложить какие-нибудь дополнительные условия на урав-
уравнение B4) так, чтобы оно тоже оказалось выводным
из уравнения B5)? Для того чтобы найти эти „дополни-
„дополнительные условия", попробуем доказать неверное, быть
может, утверждение. Попробуем доказать, что уравне-
уравнение B4) является выводным из уравнения B5). Пусть а
является корнем уравнения B5), т. е.
B У (а + 5) Bа + 8)J = C6 - ЗаJ. B6)
Нам надо доказать, что а является корнем уравнения B4),
т. е. что
2 у (а + 5) Bа + 8) = 36 - За. B7)
Из B6) вытекает, что
УB Via + б) Bа + 8)J = |/"C6 - ЗаJ
или что
12 V(a + 5)Ba + 8)| = |36-3a|. B8)
Так как 2 У (а ->- 5) Ba -f- 8) > 0, B8) влечет
6 —3a|.
Чтобы доказать B7), нам надо иметь право |36 —За!
заменить на 36 — За, а это можно, когда 36 — За>0.

340 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Б
Вот мы и нашли искомое „дополнительное условие":
36 —За:>0. Следовательно, решение уравнения B4) опять
надо разбить на „два случая": 36—За;>0 и 36 —За;<0.
Мы уже знаем, как может быть оформлено это „разбие-
„разбиение на два случая".
Уравнение B4) равносильно дизъюнкции двух сме-
смешанных систем:
2 У(х~-5)Bх + 8) = 36 - За:
36 — За; > 0
B9)
2 V(
36-3*<0.
Заметим сразу, что вторая из систем B9) не имеет реше-
решений, так как из 2 |Л(а + 5) Bа + 8) = 36 — За и определения
корня (§ 3) вытекает, что 36 —За>0. Следовательно,
уравнение B4) равносильно системе
2 |^(* + 5)B* + 8) = 36 - За;
36-3*>0. C0)
Ввиду проведенного выше предварительного исследования
очевидно, что система C0) равносильна системе
B К(* + 5)B* + 8)J = C6-3*J
36-За;>0.
Легко видеть, что система C1) равносильна системе
4 (* + 5) Bх + 8) = C6-За;J
36-За;>0.
Уравнение 4 (х + 5) Bа; + 8) = C6 — За;J имеет два корня:
х = 4 и л; = 284. Неравенство 36 —За;>0 равносильно
неравенству а:< 12. Следовательно, решением системы C2)
является число 4. Итак, окончательно, уравнение B4)
имеет один корень: х = 4.
Разумеется, можно было не гнаться за равносиль-
равносильностью и без всяких смешанных систем перейти от урав-

S 7]. л! 341
нения B4) к выводному уравнению B5), а затем сделать
проверку. Однако иногда идти по „дорожке равносиль-
ностей" гораздо удобнее. Использование смешанных систем
всегда дает возможность добиться этого.
§ 7. п\
Пусть п — целое число и л>2. Обозначим через п\
(читается: «„эн" факториал») произведение всех целых
чисел от 1 до п. Таким образом, для п > 2
nl = l-2....-n. (I)
Df
Очевидно, для п>2
). B)
Определим выражение п\ для п — 1. Желая выбрать такое
определение, при котором бы и для п = 1 сохранило
верность основное свойство факториала B), подставим
формально в B) п— 1. Получим 2! = 1!-2. Таким образом,
чтобы B) осталось верным и для п=\, надо положить
2! 1 -2
1! = -х- = -jj- = 1 • Итак, специальным определением положим
11 = 1. C)
Df
Аналогичная проверка показывает, что выражение п\
можно определить еще и для п = 0 так, что B) останется
верным и для п = 0 (для п = — 1 этого уже сделать
нельзя).
Еще одним специальным определением положим
01 = 1. D)
Df
После определений A), C), D) выражение я! оказы-
оказывается определенным для всех целых неотрицательных п.
Для всех таких п имеет место равенство B).
Любопытно заметить, что п\ можно было определить
(индуктивно*)) и „с другого конца", взяв в качестве
определения D) и B). После этого из D) и B) полу-
получается C) и методом математической индукции доказы-
доказывается A).
*) Об индуктивных определениях можно прочитать в§ 3 книги [4].

342 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ> ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Б-
§ 8. Метод математической индукции
Методом математической индукции доказываются
утверждения вида
(rt), A)
Пусть п — переменная с областью значений N. Чтобы,
доказать утверждение A), достаточно доказать два
утверждения:
ЯA), " D)
Утверждение D) называется базисом индукции. Утверж-
Утверждение E) — индукционным шагом. Для доказательства
утверждения E), в соответствии с изложенным в § J
гл. IV раздела А, берут произвольное натуральное число,
обозначают его какой-нибудь буквой, скажем, k, и дока-
доказывают импликацию
F)
Как следует из определения квантора общности, доказав
F), мы получаем E). Для доказательства импликации F),
в соответствии со сказанным в § 1 гл. IV раздела А,.
предполагают, что истинна посылка
Я(k) G)
импликации F), и выводят из этого предположения, что
истинно ее заключение 91(&+1). Утверждение G) назы-
называется предположением индукции.
Очевидно, что из утверждений D) и E) следует
утверждение A). В самом деле. Пусть / — произвольное
натуральное число. Докажем, что истинно 21(/). Тем са-
самым A) будет доказано. Если / = 1, то 91 (/) совпадает
с D). Пусть теперь / > 1. Применяя / — 1 раз утверждение
E) для п — 1, 2, ..., / — 1 получим, что верны импликации
ЯA)-»ЯB), (8)
ЯB)-»-ЯC), (9)
Я(/-1)^*Я(/). (Ю)

•$ В] МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 343
Из D) и (8) следует истинность 21B). Из 21B) и (9)—
истинность 21 C) и т. д. Через / — 1 шагов рассуждения
мы из 21 (/ —1) и A0) получим истинность 21(/).
Проведенное рассуждение апеллирует к нашему инту-
интуитивному представлению о натуральном ряде и никакой
¦аксиомы математической индукции (или принципа мате-
математической индукции) не требует. Нужда в какой-то
особой аксиоме математической индукции возникает лишь
при исследованиях, относящихся к основаниям арифме-
арифметики, или при построении арифметики в виде формальной
системы *).
При доказательстве утверждения B) базисом индукции
является утверждение
21 (а), A1)
¦индукционным шагом — утверждение
(Уп>а)[Я(я)->Я(л+1)], A2)
предположением индукции — утверждение
%(k), A3)
где k — произвольное натуральное число > а.
При доказательстве утверждения C) базисом индукции
является утверждение
Я (а), A4)
индукционным шагом — утверждение
(Vn:a</t<6)[2I(rt)->2I(n+l)], A5)
предположением индукции — утверждение
Я(й), A6)
где k — произвольное натуральное число такое, что
a^k<.b. Только что описанная индукция называется
иногда индукцией по интервалу. Именно индукцией по
интервалу мы доказывали утверждение A6) из § 2 гл. II
раздела А. Иногда утверждение C) доказывается так
называемой индукцией спуска. Индукцией спуска назы-
называется индукция, базисом которой является утверждение
Я F) A7)
*) См. примечания 2) и 3) к § 2 гл. I раздела А.

344 НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Б
и индукционным шагом — утверждение
(Уя:а<л<6)[И(я+1)-»-И(я)]. A8)
Предположением индукции в этой форме индукции
является утверждение
Я(*+1), A9)
где k — произвольное натуральное число такое, что
<&6
Иногда утверждение A) удобно доказывать возврат-
возвратной индукцией. Возвратная индукция — это индукция
с тем же базисом D), но с индукционным шагом
(Vn) [(Vm < я) И (m) -* И (я + 1)]. B0)
Предположением индукции является в этой форме индук-
индукции утверждение
(У<Л)Я(), B1)
где k — произвольное натуральное число. Легко видеть,
что из утверждений D), B0) утверждение A) следует
так же легко.
Возвратная индукция, с соответственно измененным
базисом и индукционным шагом, применяется и при дока-
доказательстве утверждений B), C). В § 5 гл. III раздела А
мы для доказательства утверждения вида (Vn > 3) SS. (п)
использовали возвратную индукцию.
Для доказательства утверждения A) часто бывает
необходимой индукция с двойным базисом, т. е. индукция
с базисом
ЯA)&Я"B) B2)
и индукционным шагом
(УлIЯ(я)«&Я(л+1)-»'Я(я + 2I. B3)
Иногда приходится применять индукцию с тройным ба-
базисом, индукцию с четырехкратным базисом и т. д. Разу-
Разумеется, аналогичные формы индукции могут быть приме-
применены и. для доказательства утверждений B), C).
Перечисленными не исчерпываются все применяемые
формы доказательства по индукции. Например, для дока-
доказательства утверждений вида
(Vm) (Уя) И (т, п). B4)

S 8] МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 345
применяется иногда так называемая индукция по двум
переменным.
Впрочем, довольно часто утверждение вида B4) удается
доказать без индукции по двум переменным, довольно
часто удается свести доказательство утверждения B4)
к индукции по одной переменной. Делается это так.
Фиксируем в качестве значения переменной т произволь-
произвольное натуральное число, обозначим его какой-нибудь бук-
буквой, скажем, а, и докажем утверждение
(Уп)Я(а, л). B5)
Из B5), очевидно, следует B4). Но B5) имеет вид A),
его можно уже доказывать обычной индукцией по одной
переменной. При такой схеме доказательства переменная п
называется индукционной переменной. Говорят также,
что B4) доказывалось индукцией по п при фиксирован-
фиксированном т. Иногда удобно, переставив одноименные кванторы,
доказывать вместо B4)
(Vft) (Vm) Я (т, п) B6)
и, фиксировав п, проводить индукцию по т. .Впрочем,
обычно утверждения B4), B6) пишутся (см. наше согла-
соглашение в § 3 гл. IV раздела А) в виде
Ш(т,п). B7)
Указанная только что схема доказательства утверж-
утверждений вида B4) (индукция по одной переменной при
фиксированном значении другой переменной) несколько
раз уже использовалась (точнее: читателю предлагалось
ее применить) в книге: A6) из § 2 гл. II раздела А,
D) из § 1 гл. III раздела А, D) из § 3 гл. III раздела А.
Любопытно сравнить два доказательства каждого из пе-
перечисленных только что утверждений: рекомендованное
в книге доказательство индукцией по k при фиксирован-
фиксированном п и доказательство индукцией по п при фиксиро-
фиксированном k.
На всякий случай замечу, что не всегда принципиально
возможная схема доказательства осуществима на практике.
23 Ю. А. Шиханович

346 НЕКОТОРЫЕ сШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ [Б
ЗАДАЧИ
1. Сейчас я „докажу", что все натуральные числа
равны. Требуется найти ошибку в доказательстве.
Пусть Л —переменная с областью значений $(N),
п — переменная с областью значений N. Обозначим через
21 (А, п) следующую двухместную высказывательную фор-
форму: „Если множество А содержит п элементов, то в Л
нет двух неравных натуральных чисел". Очевидно, утверж-
утверждение
(Уп)(УЛ)Я(Д,п) B8)
равносильно указанному в начале утверждению.
Докажем утверждение B8) индукцией по п, причем
индукцию мы будем применять в ее простейшей, наиболее
привычной форме. Базисом индукции является утверждение
(УЛ)Я(Л, 1). B9)
Докажем B9). Возьмем произвольное MsN и докажем
И(М,1)- C0)
Тем самым утверждение B9) будет доказано. Но, на осно-
основании определения формы §1, C0) утверждает: „Если мно-
множество М содержит 1 элемент, то в М нет двух неравных
натуральных чисел", что очевидно. Предположим теперь,
в качестве предположения индукции, что (V/4) 21 (А, п)
верно для некоторого натурального k, т. е. что верно
ОМ)И(ДЙ), C1)
и докажем, что верно
ОМ) И (Д, Л-И). C2)
Тем самым утверждение B8) будет доказано. Для дока-
доказательства C2) возьмем произвольное MsN и докажем
%{M,k+l). C3)
Тем самым C2) будет доказано. На основании определе-
определения формы 21, C3) есть утверждение: „Если множество М
содержит k-\-\ элементов, то в М нет двух неравных
натуральных чисел". Чтобы доказать эту импликацию,
предположим, что ее посылка истинна, т. е. что мно-
множество М содержит k -f 1 элементов. Перенумеруем как-

§ 8] МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 347
нибудь элементы множества М. Пусть, скажем,
М = {аи ...,aA_i, а», аА+1}.
Докажем, что в множестве М нет двух неравных нату-
натуральных чисел. Тем самым доказательство будет закон-
закончено. . Рассмотрим два вспомогательных множества:
/С = {аи ..., ah-u a*}, L = {аи ..., аА_4, аА+1}.
Df Df
Каждое из них получается выбрасыванием из множества М
одного элемента и, следовательно, содержит k элементов.
В силу предположения индукции C1)
ЩК, к),
т. е. „если множество К содержит k элементов, то в К
нет двух неравных натуральных чисел". Но множество К
содержит как раз k элементов. Следовательно, в /С нет
двух неравных натуральных чисел. Итак,
а1= ... =аА_! = аА. C4)
Используем еще раз предположение индукции C1). Возь-
Возьмем теперь в качестве значения переменной А множество L.
Тогда из C1)
Я (Z-,*),
т. е. „если множество L содержит k элементов, то в L
нет двух неравных натуральных чисел". Но множество L
содержит как раз k элементов. Следовательно, в L нет
двух неравных натуральных чисел. В частности,
ал_1 = аА+1- C5)
Из C4) и C5) следует, что в М нет двух неравных нату-
натуральных чисел. „Доказательство" закончено.
2. Сформулировать базис индукции и [индукционный
шаг для доказательства утверждения B4) индукцией по
двум переменным. Критерием правильности решения может
служить, например, возможность доказать, что из Вашего
базиса индукции и индукционного шага вытекает B4).
Замечу, что у поставленной задачи существуют различные
решения.
23*

ПРИЛОЖЕНИЯ
b
1=0
:«
b
Ь-1
г=а
b
Л1
:(<)+я
,.«@1
b
{b) = %(a)-
ь
1)
b
f 2
0.
1. СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 2 И П
Перечислим важнейшие свойства оператора 2:
2)
з) 2ад«+ 2 ew= 2i*
i=o l=a i=a
Эти три свойства очевидны. Они являются, по существу, свой-
свойствами операции сложения (а не оператора 2)> записанными
при помощи оператора 2' Зато следующие два свойства являются
именно свойствами оператора ^- ^ез оператора 2> на языке
„многоточий ¦ их нельзя даже записать.
4) 2Я@=2Я(/).
5) 2slw= 2 я(i-D= 2 «('+1)-
i=a i=a+l i=a-l
Следующие два свойства относятся к так называемым „двой-
„двойным суммам". Если 91 (/,/) — двухместная числовая форма, то
ь
2 Я (*> /)—еще не число, а одноместная числовая форма, завися-
щая от i. Поэтому ее можно еще „просуммировать по /".
А ь d ь
2 ( 2 И('"> '')) — Уже число- Обычно вместо 2BЩ(г>/)) пи"
i=c j=a i=c j=a
d b
шут 2 29l (''¦ /)¦
i=c j'=a

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ БИНОМА НЬЮТОНА 349
6) 2 2 *('•/)= 2 2 ® ('¦•/)•
7) ^ S i93 w•й ('• лi=S t58 w• 2 я ('¦ л]•
Из свойств 6, 7 следует
d ь ь d
2 I93 «-2 is(л-я(/./)]}= 2 {«(/)¦ 2 [»(«¦)¦«('./)]}•
i=c j=a j=a i=c
Свойства оператора Д почти аналогичны свойствам оператора 2:
Ь Ь-1 b
1) П я (о = П si (о • а F)=я (а) • [I а (о.
i=a i=a i=a+l
Буквальный аналог свойства 2, конечно, не верен.
ь ъ ь
3) Ц Я(
t=a
4)
5)
ь
i d
Обозначим Ц
6)
b
Д,1@
И в @
г=а
П «(o==XIs
Ь+1
г=а-(-1
3=а
¦-!) =
через
d b b
ГТ ГТ ж/,л=П
«@
Ь-1
= IT ?l (« + 1)
tie1-!
II Д «<'¦ Л-
i=c з=а
d
2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ БИНОМА НЬЮТОНА
Индукцией по п докажем, что при всех натуральных п и при
всех действительных (или даже комплексных) а и 6, отличных от О,
=2 С*„о«-Ч>'. A)

350 приложения
При п=1 A) превращается в
Но
i
1
i-0
2
i=-0
Допустим, что при некотором натуральном п > 1 верно
Докажем, что тогда верно
п+1
2 C*+1a«+i-W.
1=0
n
= (a+6)- 2 С*о"-;6' =
i=0
-2 Cie»-W+ft- 2 c?d»-W =
i=0 1=0 .
2 2
1=0 i=0
n n+l
2 i 2
2 2
i=0 1=1
П 71
2 С^о"+1-*6{+ 2 C*-1an
i=l 1=1
2 fC*+C},-1]an+1
1=1
2
1=1
n+1
1=0
Ha втором шаге мы использовали предположение индукции
На предпоследнем шаге мы использовали результат задачи 7 к
гл. И раздела А,

ПРОГРАММА 351
3. ГОТИЧЕСКИЙ И ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТЫ
Приведем некоторые прописные готические буквы:
И —а Я —ка
23 —бэ W1 — эм
К —цэ 9J — эн
Ф — дэ 45—пэ
е-э зг-эр
g —эф 6 —эс
© —гэ (же) ?—тэ
ф — ха (аш)
Приведем некоторые (прописные и строчные) греческие буквы:
а —альфа \i — мю
Р — бета v — ню
Г, у-—гамма 8, | — кси
А, б—дельта П, я —пи
е — эпсилон q — ро
$ —дзета 2,а —сигма
ц—эта т—тау
6—тэта Ф, Ф —фи
I —йота % —хи :
у, — каппа ?, i|> — пси
Л, Я, — лямбда Q, (о — омега
i
4. ПРОГРАММА
А. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ
Гл. 1. Введение в математический язык
§ 1. Логические союзы
Высказывание.
Логические союзы: „или", „и", „если-то", „необходимо и доста-
достаточно", „тогда и только тогда", „необходимо", „достаточно",
„тогда", „только тогда", „если" (в определениях).
Термины: . „условие" („посылка"), „заключение", „взаимно
обратные теоремы", „взаимно противоположные теоремы", „необхо-
„необходимое условие", „достаточное условие".
Закон контрапознции.

352 приложения
§ 2. Переменная
Буква,алфавит,слово.Алфавит математического языка. Выражение.
Переменная. Область значений (область определения) перемен-
переменной. Числовая переменная.
Форма, константа, s-местная форма. Допустимые значения пере-
переменной (относительно данной формы). Всюду определенная форма,
нигде не определенная форма.
Обозначения: 81 (хг, хг, .... хв), 81 (at, а2 а8), !8l (aita2 as).
Термины: форма 81 зависит (не зависит) от буквы х, форма 9J
определена при данных значениях переменных.
Равносильные формы и константы. Обозначения: 81=* S3, 81 ф 33.
Числовая форма. Обозначения: 2С = 93, 3( Ф 93.
Истинностное значение. Равносильные высказывания. Высказыва-
тельная форма. Обозначения: 81 == 33, 81 $ S3.
Связанная и свободная переменная.
§ 3.=
Различные смыслы буквы ,> = ". =. =. Термин „имя".
Df Df
Гл. II. Множество
§ 1. Множество
Термины: „множество" („система", „класс", „область", „семей-
„семейство"), „принадлежит" („является элементом"). Обозначения: g, ?•
Конечные и бесконечные множества. Способы задания множеств.
Обозначение: % {х 6 М \ 81 (х)}. Равные множества. Пустое множе-
множество. Одноэлементное множество.
§ 2. Подмножество
Подмножество (надмножество) данного множества. Обозначения:
?=> ф . Несобственные (собственные) подмножества данного мно-
множества. Истинное подмножество данного множества. Обозначения:
С, ф.
Система множеств. Система $ (М) подмножеств множества М.
Число С* й-элементных подмножеств /г-элементного множества.
Число всех подмножеств «-элементного множества.
§ 3. Операции над множествами
Соединение (объединение), пересечение двух, конечного числа,
системы множеств. Термины: „не пересекаются" („пересекаются"),
„в общем положении". Теорема о пяти возможностях.
Разность двух множеств. Дополнение.
Доказательство „равенств с множествами". Основные „тожде-
„тождества с множествами".

ПРОГРАММА 353
Гл. III. Кортеж
§ 1. Кортеж
Термины: „кортеж", „компонента" („координата"). Длина кор-
кортежа. Пара, тройка, четверка и т. д. Кортеж длины 1. Пустой кор-
кортеж. Равные кортежи.
Кортеж над данным множеством.
Число ?1„ кортежей длины k над п-элсментным множеством.
§ 2. Прямое произведение
Прямое произведение множеств, s-я степень Ms множества М. М°°.
Число элементов прямого произведения конечных множеств.
§ 3. Комбинаторика
Размещение. Перестановка над данным (конечным) множеством.
Число Л* размещений длины k над /г-элементным множеством.
Число Рп перестановок над и-элементным множеством.
Число $Пь nji . . „ кортежей, имеющих, в качестве компо-
компонент, rtj раз —элемент аь пг раз— элемент а2, . . ., пг раз — эле-
г
мент аг. Число распределений ^ п1 предметов по г ящикам вме-
стимостью, соответственно, /г4, п2, . . ., пг.
Решение комбинаторных задач.
§ 4. Проекция
Проекция кортежа. Проекция множества.
§ 5. График
График. Область определения графика. Область значений
графика.
Инверсия пары. Инверсия графика. Симметричный график.
Композиция двух графиков. Композиция произвольного (конеч-
(конечного) числа графиков.
Функциональный график. Инъективный график. Влияние опе-
операций инверсии и композиции на свойства функциональности и
инъективности.

354 приложения
Гл. IV. Алгебра логики
§ 1. Высказывание
Высказывательная переменная.
Операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция,
дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Истинностные таблицы.
Метод истинностных таблиц.
Одинаковые высказывания и равносильные высказывания.
Основные „равносильности с высказываниями". Законы де
Моргана. Закон контрапозиции. Закон исключенного третьего.
Доказательство теорем различного логического строения. Дока-
Доказательство „по контрапозиции" и доказательство «от противного".
§ 2. Высказывательная форма
Всюду определенные и не всюду определенные высказыватель-
ные формы. Доопределение высказывательной формы до всюду опре-
определенной.
Операции над высказывательными формами: отрицание, конъ-
конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Сохранение
«равносильностей с высказываниями". Равносильность и эквивален-
эквиваленция высказывательных форм.
Область истинности высказывательной формы. Зависимость
области истинности от порядка переменных. Влияние логических
операций на область истинности.
§ 3. Кванторы
Квантор общности. Квантор существования.
Свойства операций навешивания кванторов. Влияние операций
навешивания кванторов на область истинности.
Ограниченные кванторы. Связь между ограниченными и „не-
„неограниченными" кванторами. Сохранение свойств_для ограниченных
кванторов.
Доказательство теорем различного логического строения.
Доказательство логических равносильностей.
Термин: „взаимно обратные" („взаимно противоположные")
теоремы. Закон контрапозиции.
Опускание кванторов общности.
Чтение кванторных выражений.
Гл. V. Соответствие
§ 1. Соответствие
Соответствие. График соответствия. Область отправления соот-
соответствия. Область прибытия соответствия. Область определения
соответствия. Область значений соответствия. Соответствие между
множествами X и Y.

ПРОГРАММА 355
Термины, „элемент b соответствует элементу а в (при) соот-
соответствии Г", „соответствие Г определено на в".
Инверсия соответствия.
Композиция двух соответствий. Композиция произвольного
(конечного) числа соответствий.
Образ множества при данном соответствии (относительно дан-
данного соответствия). Полный прообраз множества при данном соот-
соответствии (относительно данного соответствия). Выражение образа
и полного прообраза через график. Образ множества при компози-
композиции соответствий.
Сужение соответствия на данное множество. Продолжение
соответствия.
§ 2. Основные свойства соответствий
Функциональное соответствие (функция). Инъективное соот-
соответствие. Всюду определенное соответствие. Сюръективное соответ-
соответствие. Биективное, или взаимно-однозначное, соответствие (биекция).
Влияние операций инверсии и композиции на основные свой-
свойства соответствий.
Число взаимно-однозначных соответствий между конечными
множествами.
§ 3. Взаимно-однозначные соответствия между бесконечными
множествами
Установление взаимно-однозначных соответствий между беско-
бесконечными множествами (в частности, между множеством N нату-
натуральных чисел и множеством R рациональных чисел; между
интервалом @,1) и сегментом [0,1]).
Георема Кантора о несчетности сегмента [0,1].
Равномощные множества.
Счетное множество. Не более чем счетное множество. Несчетное
множество. Континуальное множество.
Операции над не более чем счетными множествами.
Гл. VI. Функция
§ 1. Функция
Функция типа X -*¦ У.
Термин: „значениефункции/ нав*. Обозначение: f (a) [а/, /„].
Доопределение высказывательных форм, содержащих выражение
/ (*)"•
Нигде не определенная функция. Тождественная функция. Кон-
Константная функция.
Термины: „функция / определена на Л", „функция /тождест-
/тождественна на А", „функция / константна на Л".
Отображение. Сюръекция. Инъекция. Взаимно-однозначное
отображение множества X на множество У.
Тождественное отображение jx множества X на себя.

356 приложения
Критерий функциональности инверсии.
Прообраз элемента относительно (при) данной функции.
Композиция функций. Теорема о значении композиции. Тео-
Теорема о тождественных композициях.
Задание функций формами или константами. Кусочное зада-
задание функций. Независимая переменная (аргумент), зависимая
переменная.
Число отображений множества из т элементов в множество
¦из п элементов.
§ 2. Обратная функция
Свойства функции f~l.
Функция, обратная для данной функции. Свойства обратной
функции. Существование и единственность обратной функции.
Теорема о графике обратной функции.
§ 3. s-местная функция
s-местная функция (функция от s аргументов), «-местная
функция типа М —>- Y.
s-местная (алгебраическая) операция на данном множестве.
Унарная, бинарная, тернарная операция.
Гл. VII. Отношение
§ 1. Отношение
Отношение. График отношения. Область задания отношения.
Отношение на множестве М.
Термины: „элементы а и Ь находятся в отношении ср", „элемент
а находится в отношении ф к элементу 6", „пара (а, Ь) находится
в отношении ф", „пара (а, 6> удовлетворяет отношению ф",
„для пары (а, Ь) выполнено (выполняется) отношение ф". Обо-
Обозначение: снрЬ.
Задание отношений высказывательными формами.
Полное отношение. Пустое отношение. Отношение равенства.
Отношение неравенства.
Операции над отношениями: соединение (объединение), пере-
пересечение, разность, дополнение, инверсия, композиция. Термин:
„отношение ф влечет (имплицирует) отношение ij>".
Сужение отношения на данное множество.
§ 2. Основные свойства отношений
Рефлексивное отношение. Антирефлексивное отношение. Сим-
Симметричное отношение. Антисимметричное отношение. Связанное
отношение. Транзитивное отношение.
Характеристика основных свойств отношений через график.
Зависимость между основными свойствами. Влияние операций
над отношениями на основные свойства. Перенос основных свойств
на инверсию и на сужение.

ПРОГРАММА 357
§ 3. Разбиение
Разбиение данного множества. Классы разбиения.
Поэлементное разбиение. Целое разбиение. Тривиальные
(нетривиальные) разбиения.
Разбиение на классы прообразов относительно данного сюръек-
тивного отображения.
Естественное отображение множества на его разбиение.
§ 4. Отношение эквивалентности
Отношение эквивалентности.
Термин: „а и Ь эквивалентны (по данному отношению)". Обо-
Обозначения: а ~ Ь, а ~ Ь.
ч>
Сопряженные отношение и разбиение.
Теорема: о единственности разбиения, сопряженного с данным
отношением. Теорема об отношении, сопряженном с некоторым
разбиением. Теорема о существовании разбиения, сопряженного
с данным отношением эквивалентности.
Фактормножество М/ц> множества М по отношению эквива-
эквивалентности ф.
§ 5. Отношения порядка
Отношения порядка (нестрогого, совершенного нестрогого,
строгого, совершенного строгого).
Зависимость между отношениями нестрогого (совершенного
нестрогого) и строгого (совершенного строгого) порядка на данном
множестве.
Инверсия отношения порядка. Сужение отношения порядка
на данное подмножество области задания.
Теорема о зависимости между отношениями совершенного стро-
строгого порядка на конечном множестве и перестановками над тем же
множеством.
Несуществование на множестве К комплексных чисел отно-
отношения совершенного строгого порядка с заданными дополнитель-
дополнительными свойствами.
Изображение отношений порядка на конечных множествах диа-
диаграммами.
Отношение квазипорядка. Теорема об отношении эквивалент-
эквивалентности, индуцированном отношением квазипорядка. Теорема об отно-
отношении порядка, индуцированном отношением квазипорядка.
Отношение квазипор^дка, индуцированное данным множеством
кортежей. Дерево грамматической синонимии.
Б. НЕКОТОРЫЕ «ШКОЛЬНЫЕ» ТЕРМИНЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
§ 1. Числовые неравенства
< и <. Основные и производные свойства числовых неравенств.

358 приложения
§ 2. Абсолютная величина
а | . Свойства абсолютной величины.
§ 3. Корни. Показатели степени
¦уГа. Свойства корней. Различные виды показателей степени.
Свойства степеней.
§ 4. Уравнения
Равенство. Числовое равенство. Квазитождество, тождество.
Уравнение. Решение (корень) уравнения. Равносильные урав-
уравнения. Выводное уравнение. Уравнение, равносильное дизъюнкции
уравнений.
Влияние простейших преобразований на решения уравнения.
§ 5. Системы уравнений
Система уравнений. Решение системы. Равносильные системы.
Выводная система. Система, равносильная дизъюнкции систем.
Влияние простейших преобразований на решения системы.
§ 6. Неравенства с переменными
Три смысла термина „неравенство". Числовое неравенство.
Система неравенств. Смешанная система.
Решение неравенства, системы неравенств, смешанной системы.
Равносильные неравенства, системы неравенств, смешанные систе-
системы. Неравенство, система неравенств, смешанная система, равно-
равносильные дизъюнкции неравенств, систем неравенств, смешанных
систем.
Влияние простейших преобразований на решения неравенства,
системы неравенств, смешанной системы.
§ 7. п\
§ 8. Метод математической индукции
Метод математической индукции. Базис индукции. Индукцион-
Индукционный шаг. Предположение индукции. Индукционная переменная.
Различные формы метода математической индукции: индукция
по интервалу, индукция спуска, возвратная индукция, индукция
с 6-кратным базисом, индукция по нескольким переменным.

ПРИМЕЧАНИЯ
§ 1 гл. I раздела А
г) Условная, несколько парадоксальная сущность соглашения
об истинности утверждения „Если А, то В" с ложной посылкой А
хорошо подчеркивается также четверостишием, предложенным
(в 1961 году) студентом 1 курса Отделения теоретической и при-
прикладной лингвистики филологического факультета МГУ В. В. Ра-
скиным:
Если мы возьмем носилки
И на них положим дом,
Мы его перевернем,
В силу ложности, посылки,
Тривиальным,
тривиальным,
тривиальным образом.
2) В отличие от терминов „теорема, обратная к данной теореме"
и „теорема, противоположная к данной теореме", термин „прямая
теорема" кажется мне бессодержательным и не нужным.
§ 2 гл. I раздела А
*) Пользуюсь случаем заметить, что термин „переменная вели-
величина" и вообще термин „величина" в математике как таковой, в науке
„математика", в теоретической математике (в отличие от прило-
приложений математики, от прикладной математики, о которых разговор
особый) представляется мне не удобным и совершенно не нужным.
2) Существуют и другие пути построения математики, например,
конструктивистский (некоторое представление о нем можно полу-
получить из статьи А. А. Маркова [10] или введения к статье Н. А. Ша-
Шанина [221) или формалистский (см. введение к книге Н. Бурбаки
[3] или статью Н. Бурбаки [2]), на которых это, вероятно, возможно.
8) Иногда, при формалистском построении математики (см.
предыдущее примечание) или, уже, при изучении отдельных мате-
математических теорий в виде формальных систем (невозможно бегло,
в несколько слов, объяснить, что такое формальная система; желаю-
желающие могут попробовать познакомиться с этим понятием по введению
к книге А. Черча [21], где оно называется „логистическая система")
понятие переменной можно определить заранее, „раз навсегда",
независимо от конкретных рассматриваемых выражений.

360 ПРИМЕЧАНИЯ
4) В тех случаях, которые указаны в предыдущем примечании,
терминология здесь другая. В этих случаях связанная переменная
также является переменной, а свободная переменная означает
уже не то же, что просто переменная.
§ 1 гл. II раздела А
*) Излагаемая здесь теория получила в математике название
„наивной" теории множеств. По-иному понятие множества трак-
трактуется при конструктивистском (там оно является определяемым
понятием) и формалистском построении математики (см. примеча-
примечание2) к § 2 гл. I).
*) В этом утверждении используется, в частности, так назы-
называемая абстракция потенциальной осуществимости (см. стр. 15
монографии А. А. Маркова [9]).
3) Пустое множество обозначают также символами Л и 0.
4) В известном смысле через понятие множества можно опре-
определить предполагающееся здесь известным понятие натурального
числа, а затем уж и все остальные главные числовые системы.
§ 2 гл. II раздела Л
1) В иностранной литературе вместо С* чаще пишут (?).
§ 3 гл. II раздела А
*) Соединение множеств А и В называется также суммой
множеств Л и В и обозначается иногда через А + В.
2) Пересечение множеств А и В называется также произведением
множеств Л и В и обозначается также через А-В или АВ.
3) Разность множеств А и В обозначается также через А —В.
§ 1 гл. III раздела А
г) Кроме того, в теории чисел через (а, Ь) часто обозначают
наибольший общий делитель целых чисел а и 6, а через [а, Ь] —
их наименьшее общее кратное.
2) Иногда в качестве неопределяемого берут только понятие
пары, а тройку (а, Ь, с) определяют как пару (а, (Ь, с)) (или
пару <<а, Ь), с)), четверку определяют через уже определенную
тройку и т. д.
§ 2 гл. III раздела А
х) Прямое произведение множеств А и В называется также
декартовым произведением. В книге В. А. Успенского [20] прямое
произведение множеств А и В называется внешним произведением
и обозначается через [А, В).

ПРИМЕЧАНИЯ 361
§ 3 гл. Ill раздела А
*) Разумеется, обе эти формулировки: „подсчитать", „выразить
формулой" являются не очень корректными. Что значит „подсчи-
„подсчитать"? „Указать число"? Но ведь чаще всего в подобной задаче
даны не конкретные числа, а буквенные обозначения. пк — не
совсем число. Это все-таки формула. Значит, „выразить формулой"?
Но что такое „формула"? Почему пк — формула, а 21* —не формула?
Или 8l? — тоже формула? Разумеется, на этот вопрос, не определив
термина „формула", ответить нельзя. И это определение и уточне-
уточнение постановки комбинаторных задач вполне могут быть даны
(причем не одним способом). Я не буду, однако, здесь этого де-
делать, апеллируя к интуитивному пониманию, что значит „решить
задачу", в каждом конкретном случае.
2) Такие кортежи называют иногда „перестановками с повто-
повторениями".
3) В него не входит, например, формула для так называемых
„сочетаний с повторениями".
§ 5 гл. III раздела А
s) Очень часто обозначают наоборот: Q о Р.
§ 1 гл. IV раздела А
J) Эти операции часто называют операциями алгебры логики.
операциями алгебры высказываний или операциями исчисления выска-
высказываний.
2) Введенные операции часто обозначают по-другому. Напри-
Например, отрицание высказывания А часто обозначается А, для обозна-
обозначения операции конъюнкции часто используют знак Д, для импли-
импликации— знак 3, для эквиваленции — знаки ч—»., <-> , = (знак ^
у нас занят и имеет другой смысл).
3) Я считаю принципиальным, что по вопросу об „одинаковых
высказываниях", „различных высказываниях" вовсе не обязательно
становиться на такую точку зрения, из которой для любых двух
высказываний А и В будет вытекать, одинаковы они или различны.
Более того, вовсе не обязательно по обсуждаемому вопросу становить-
становиться на какую-либо точку зрения. Я считаю принципиально возможным
снять обсуждаемый вопрос так, как это сделано,в книге. Я не
согласен, в частности, что по обсуждаемому вопросу „возможны две
точки зрения" ([20], стр. 54).
4) Это рассуждение показывает, что для доказательства теоремы
B1) нужно, во-первых, из предложения об истинности С вывести
истинность й, т. е. доказать, что импликация С —v В истинна,
и, во-вторых, из предположения об истинности D вывести истин-
истинность В, т. е. доказать, что импликация D —*¦ В истинна. Таким
образом, для доказательства теоремы B1) нужно доказать две
импликации: С —>- В и D —*- В или, что все равно, доказать
24 Ю. А. Шиханович

362 примечания
(С —>¦ В) & (D ->- В). Наше рассуждение приводит к гипотезе об
истинности равносильности
С V D -»- В = (С -->- В) & (D -» 5).
Как легко проверить обычным табличным методом, наша гипотеза
действительно верна: указанная равносильность истинна.
8) Это рассуждение показывает, что для доказательства теоремы
B2) нужно, во-первых, из предположения об истинности А вывести
истинность С, т. е. доказать импликацию А —*- С, и, во-вторых,
из предположения об истинности А вывести истинность D, т. е.
доказать импликацию А —>• D. Таким образом, для доказательства
теоремы B2) нужно доказать две импликации: Л —*- С и А ->¦ D
или, что все равно, доказать (А —*¦ С) & (А —>- D). Наше рассужде-
рассуждение приводит к гипотезе об истинности равносильности
Методом истинностных таблиц гипотеза легко подтверждается.
в) Проведенное рассуждение показывает, что
Легко видеть также, что
А -> С V D = (А -*- С) V (А -+ D).
§ 3 гл. IV раздела А
') Обычно содержание этого параграфа не относят к алгебре
логики, однако в нем, как и в §§ 1, 2, даются некоторые рецепты для
„механического" доказательства, доказательства „не думая", дока-
доказательства „вычислениями".
а) Очень часто вместо B) пишут (х) Я (х).
8) Часто вместо D) пишут (Ex) й (х).
4) Правило перестановки „разноименных" кванторов, верное
в одну и не верное в другую сторону, хорошо воплощено в двух
стихотворениях, предложенных (в 1961 году) студенткой 2 курса
Отделения теоретической и прикладной лингвистики филологиче-
филологического факультета МГУ А. А. Раскиной.
С одной стороны,
Если что-то существует.
Справедливое для всех,
То любой студент почует,
Коли в знаньях нет прорех,
Что для всех,
для всех,
для всех
Что-то явно существует.

ПРИМЕЧАНИЯ 363
С другой стороны,
— Для всех из нас, любой поймет,
Есть год, в который мы родились.
Так значит, существует год,
Когда мы все на свет явились.
Так значит, папа, ты и я
Друг другу сверстниками стали.
—Не лги, мой сын, менять нельзя
Свободно кванторы местами.
6) Иногда вместо % {х ? М | Я (х)} пишут AЛ1 х 6 М) Я (ж), чем
сходство с кванторами еще больше подчеркивается (W —переверну-
—перевернутая первая буква слова „множество").
§ 1 гл. V раздела А
.х) Иногда вместо термина „инверсия соответствия Г" говорят
„соответствие, обратное к соответствию Г", однако этот термин
неудобен ввиду термина „обратная функция" (см. § 2 гл. VI).
2) Если композицию графиков G и Н обозначают через Н ° G
(см. примечание ') к § 5 гл. III), то композицию соответствий Г
и Д обозначают через Д о г.
s) В A4) (и ниже в B7)) мы используем обозначение, более
общее, чем то, которое было определено в § 3 гл. II. Пусть ЭЛ —
система множеств, А — множество, х — переменная с областью зна-
значений А, И (л:) —форма, принимающая свои значения в ОТ, (/ — пере-
переменная с областью значений (J X. Тогда
U И
se A
) = (Э*€Л) [0€И(*I. П И (*) = (**€ Л) [^«Wi-
[^«WiDf x?A Df
4) С нашим определением конкурируют иногда более удобные
определения сужения, как соответствия (Gf]{AxY), A, Y) (это
определение по существу совпадает с определением Бурбаки [3])
или как соответствия (G(](AxY), А, Г(Л)>.
5) Конкурирующее определение: „если Gc.fi, XCZ, Y<^UU
(так у Бурбаки [3]).
§ 1 гл. VI раздела А
!) Иногда функцией называют просто функциональный график
(см., например, [14] или [19]).
*) В книге [20] предложено функции (не обязательно всюду
определенные) называть частичными отображениями, что не очень
удобно, поскольку по законам русского словоупотребления жела-
желательно, чтобы всякое частичное отображение было отображением,
а не наоборот.
3) Употребляемые синонимы: разнозначная функция, однолист-
однолистная функция.
*) В качестве синонима к этим терминам употребляют также
термин „взаимно-однозначное отображение".
24*

364 ПРИМЕЧАНИЯ
§ 3 гл. VI раздела Л
*) Иногда определяют также нульместную (нульарную) опера-
операцию на М, понимая под ней не отображение множества М° в М,
а просто элемент множества М.
§ 1 гл. VII раздела А
J) Итак, из „начальных понятий", перечисленных в предисло-
предисловии, понятия множества и кортежа являются у нас неопределяе-
неопределяемыми, понятия соответствия, функции и отношения — определяе-
определяемыми. Заметим, что выделение из начальных понятий неопределяе-
неопределяемых понятий является в некоторой степени произвольным. Напри-
Например, как указано в § 1 гл. III, понятие кортежа можно определить
через понятие множества.
*) Иногда вводят более общее понятие отношения, называя
пару множеств <Ф, М) отношением, если существует такое s,
что ФсМ!. Отношение (Ф, М) называют тогда к-местным
отношением, если Ф с Мк. В этой терминологии определен-
определенное нами отношение является двухместным (или бинарным) от-
отношением.
я) Как и везде в этой книге, определяя термин „отношение",
мы стоим на подчеркнуто объемной (экстенсиональной) точке зре-
зрения, характерной для современной теоретико-множественной мате-
математики; мы считаем, что отношение полностью задается своей
областью задания и своим графиком (более того, у нас отношение
и есть пара из графика и области задания). Иногда, однако, про-
пробуют стоять на „содержательной" (интенсиональной) точке зрения,
считая разными, например, отношения „иметь один и тот же остаток
при делении на 2" и „давать при сложении четное число".
§ 2 гл. VII раздела А
г) Иногда говорят также „иррефлексивным"
2) Не следует путать свойства антисимметричности и асиммет-
асимметричности. Отношение ф = (Ф, М) называется асимметричным,
Df
если
(ср. с (9)), т. е. если
ф Г) Ф~1=0
(ср. с A1)).
§ 3 гл. VII раздела А
х) Термины „поэлементное разбиение", „целое разбиение"
предложены мне студентами. Они мне кажутся более удобными, чем
употребляющиеся иногда термины „максимальное разбиение"
и „минимальное разбиение" или „единичное разбиение" и „нуле-

ПРИМЕЧАНИЯ 365
вое разбиение" и т. п., так как и целое разбиение и поэлементное
разбиение — оба вправе называться как максимальным разбиением,
так и минимальным разбиением; как единичным разбиением, так
и нулевым разбиением и т. п., и поэтому трудно сообразить, трудно
вспомнить, которое из двух „крайних" разбиений мы назвали мак-
максимальным, которое — минимальным; которое — единичным, кото-
которое — нулевым и т. п. Предложенные в книге термины, очевидно,
свободны от этого недостатка.
§ 4 гл. VII раздела А
1) Иногда вместо A), B) пишут
а == b (mod cp)
(читается: а эквивалентно Ь по модулю ф) или
У нас, однако, знак = уже занят для обозначения равносильности
высказывательных форм.
2) Точнее,
9Л = ? {X € 45 (М) | (За б М) [X=q (a)]}.
§ 5 гл. VII раздела А
1) В статье [6] это дерево называется деревом грамматической
омонимии.
§ 1 раздела Б
*) Свойство 6 (или равносильное ему, при наличии свойств 1—5,
свойство 6а) при аксиоматическом построении теории действительных
чисел (см., например, статью [7]) называется аксиомой Архимеда.
§ 3 раздела Б
J) Все вышесказанное, начиная от теоремы, на которой основано
понятие корня, без всяких изменений остается верным не только
для натуральных п, но и для любого целого п, отличного от 0.
Поэтому, ничего не меняя, понятие корня и символ у^а мы могли бы
определить для всех целых пфО, а не только для натуральных п,
как мы, следуя традиции, сделали. Впрочем, в определении понятия
корня и символа 'yfa для других п нет особой нужды. Определение
степени с рациональным показателем, которое мы дадим ниже, этого
не требует.

366 примечания
§ 4 раздела Б
*) По обычной школьной терминологии то, что мы назвали
квазитождеством, называется тождеством. По этой терминологии
даже равенство lg х = lg (—х) является тождеством, что, конечно,
неприятно. Даже по терминологии П. С. Моденова и С. И. Ново-
Новоселова ([13], стр. 29—30) равенство lg а:= lg (—х), „удовлетворяется
тождественно". Поскольку каждое тождество является квазито-
квазитождеством, возможно, лучше было бы то, что мы назвали квазито-
квазитождествами, назвать тождествами в широком смысле, а квазито-
квазитождествами называть тождества в широком смысле, не являющиеся
тождествами.
2) К многочленам в математике обычно относят также и числа.

УПОМЯНУТАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.-Александров П. С, Введение в общую теорию множеств
и функций, М.—Л., Гостехиздат, 1948.
2. Бурбаки Н., Очерки по истории математики, стр. 245—259,
М., ИЛ, 1963.
3. Б у р б а к и Н., Теория множеств, М., «Мир», 1965.
4. Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, ч. I,
М.—Л., Гостехиздат, 1947.
5. Д е п м а н И. Я., Метод математической индукции, Л., Уч-
Учпедгиз, 1957.
6. Добрушин Р. Л., Опыт определения понятия элементарной
грамматической категории, Математическое просвещение,
вып. 6, стр. 52—60, М., Физматгиз, 1961.
7. Дубовицкий А. Я., Аксиоматическое построение дей-
действительных чисел (преподавание в педагогическом институте),
. Математическое просвещение, вып. 2, стр. 157—168, М., Гостех-
, издат, 1957.
8. Курант Р. иРоббинс Г., Что такое математика (эле-
(элементарный очерк идей и методов), М.—Л., Гостехиздат, 1947.
9. М а р к о в А. А., Теория алгорифмов, Тр. матем. ин-та им.
В. А. Стеклова, XLII, М.— Л., АН СССР, 1954.
10. М а р к о в А. А., О конструктивной математике, Тр. матем.
ин-та им. В. А. Стеклова, LXVII, стр. 8—14, М.—Л., АН СССР,
1962.
11. Математическое просвещение, вып. 2, стр. 131—171, М., Гостех-
Гостехиздат, 1957.
12. Математическое просвещение, вып. 5, стр. 99—116, 229—240;
М., Физматгиз, 1960.
13. Моденов П. С. иНовоселов С. И., Пособие по мате-
математике для поступающих в вузы, МГУ, 1963.
14. М о n j а 1 1 о n A., Introduction aux Mathematiques Modernes,
Paris, librairie Vuibert, 1960.
15. Натансон И. П., Теория функций вещественной перемен-
переменной, М., Гостехиздат, 1957.
16. П о й а Д., Математика и Правдоподобные рассуждения, М.,
ИЛ, 1957.
17. Пой а Д., Как решать задачу, М., Учпедгиз, 1959.
18. Радемахер Г. иТеплиц О., Числа и фигуры. Опыты
математического мышления, М., Физматгиз, 1962.

368 УПОМЯНУТАЯ ЛИТЕРАТУРА
19. S t о 1 1 R. R., Sets, Logic, and Axiomatic Theories, San Francis-
Francisco and London, W. H. Freeman and Company, 1961.
20. У с п е н с к и й В. А., Лекции о вычислимых функциях, М.,
Физматгиз, 1960.
21. Ч е р ч А., Введение в математическую логику, т. I, M., ИЛ,
1960.
22. Шанин Н. А., Конструктивные вещественные числа и кон-
конструктивные функциональные пространства, Тр. матем. ин-та
им. В. А. Стеклова, LXVII, стр. 15—294; М. —Л., АН СССР,
1962.

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Абсолютная величина 302
Абстракция потенциальной осу-
осуществимости 360
Аксиома Архимеда 365
— математической индукции 343
Алгебраическое число 201
Алфавит 37
Анкета 252
Антирефлексивное отношение
244
Антисимметричноеотношение245
Аргумент 213
Архимеда аксиома 365
Асимметричное отношение 364
Базис индукции 342
Бесконечное множество 59, 200
Биективное соответствие 184
Биекция 184
Бинарный: б. операция 232;
б. отношение 364
Бином Ньютона 70, 349
Больше 298
Больше или равно 301
Буква 37
В 203, 207
Вектор 89
Взаимно обратные теоремы 33,
161
Взаимно-однозначное отобра-
отображение 363
— — одного множества на дру-
другое 208
Взаимно-однозначное соответ-
соответствие 98, 184
— — установлено 99
Взаимно противоположные тео-
теоремы 34, 161
Включения знак 63
—строгого знак 64
Влечет 33, 243
Внешнее произведение 360
В общем положении 74
Возвратная индукция 344
Всюду определенный: в. о.
инъекция 208; в. о. соответ-
соответствие 183; в. о. сюръекция207;
в. о. форма 42, 43
Второй уровень подробности 107
Выводной: в. система уравнений
326; в. уравнение 318, 325
Выпуклое множество 87
Выражение 40
Высказывание 29
Высказывания равносильные 47
Высказывательная: в. пере-
переменная 129; в. форма 47, 142
Высота рационального числа 191
Вытекает 33
Геометрическое место точек 57
Гипотеза континуума 200
Грамматические синонимы 294
График 118
— инъективный 126
— отношения 234
— пустой 118
— симметричный 121
— соответствия 172
— функции 202, 205
—функциональный 125
Двойственности принцип 83
Двойственный: д. квантор 152;
д. равносильность 134
Декартово произведение 360

370
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Делится 286
Дерево грамматической омони-
омонимии 365
— — синонимии 295
Диагональ 121
Диагональный метод 198
Дизъюнкция 130, 131
Длина кортежа 89
Доказательство 108
— неравенств 299
— от противного 141
— по контрапозиции 141
Доопределение высказыватель-
ной формы 142, 203
Дополнение к отношению 241
— множества 75
Допустимое значение перемен-
переменной 42
Достаточно 35
Достаточное условие 36
Достаточность 36
Единичное разбиение 364
Если 36
Если..., то... 31
Естественное отображение 256
Зависимая переменная 213
Зависит 44
Задание кусочное 216
Задано 234
Заключение 33
Закон де Моргана 135
— исключенного третьего 137
— контрапозиции 34, 136, 162
Замыкание высказывательной
формы 164
Знак включения 63
— принадлежности 58
— строгого включения 64
Значение высказывания 47
— истинностное 47
— переменной 41
— функции 203
И 31
Изложение на втором уровне
подробности 107
Изложение на первом уровне
подробности 107
Изложение на третьем уровне
подробности 107
Или 30
Импликация 130
Имплицирует 130, 243
Имя 52, 55
Инверсия графика 120
— отношения 241
— пары 120
— соответствия 174
Индекс перемножения 51
— суммирования 50
Индексное обозначение 203
Индукции базис 342
— предположение 342
Индукционный: и. переменная
345; и. шаг 342
Индукция возвратная 344
— по интервалу 343
— по нескольким переменным 345
— по одной переменной при
фиксированном значении дру-
другой переменной 345
— с ft-кратным базисом 344
— спуска 343
Индуцированное отношение
порядка 291
— — эквивалентности 289
Интервал 192
Инъективный: и. график 126;
и. отображение 208; и. соот-
соответствие 183 .
Инъекция 208
— всюду определенная 208
Иррефлексивное отношение 364
Истинное подмножество 64
Истинностный: и. значение 47;
и. таблица 131
Каноническое представление ра-
рационального числа 310
Кантора — Бернштейна теорема
297
Кантора теорема 197
Канторовский диагональный ме-
метод 198
Квазипорядок 285
Квазитождество 313 . .
Квантор двойственный 152
— общности 147

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
371
Квантор ограниченный 157
— существования 147
Класс 57, 109
— .разбиения 109, 254
Коллекция 57
Коллизия 178, 308
Композиция графиков 122
— отношений 242
— соответствий 175
Компонента кортежа 89
Компонирование 122
Конечное множество 59
Константа 42
—, равносильная форме 44
Константна 206
Константный: к. отображение
207; к. функция 206
Константы равносильные 44
Континуальное множество 199
Континуума гипотеза 200
Контрапозиции закон 34, 136,
162
Конъюнкция 130, 131
Координата кортежа 89
Корень из числа 306, 308
— уравнения 316
Кортеж 14, 89
— длины 1 90
— над данным множеством 91
— пустой 90
Кортежа длина 89
— компонента 89
— координата 89
Критерий функциональности
инверсии 208
Кусочное задание 216
Лежит в 57
Логистическая система 359
Луч 193
Максимальное разбиение 364
Математической индукции ак-
аксиома 343
Меньше 267, 298
Меньше или равно 266, 300
Метод истинностных таблиц 132
— канторовский диагональный
198
— математической индукции
67, 342
Минимальное разбиение 364
Многочлен 320, 366
Множеств внешнее произведение
360
— декартово произведение 360
—объединение 72, 73
— пересечение 73, 75
— произведение 360
— прямое произведение 92, 93
— разность 75
— соединение 72, 73
— сумма 360
Множества дополнение 75
— истинное подмножество 64
— надмножество 63
— несобственное подмножество
64
— подмножество 63
— равномощные 198
— собственное подмножество
64
— степень 94
— число элементов 59
— элемент 58
Множество 12, 57
— бесконечное 59, 200
— выпуклое 87
— конечное 59
— континуальное 199
— множеств 66
— не более чем счетное 199
— несчетное 199
— одноэлементное 62
— пустое 61
— счетное 198
Можно установить взаимно-од-
взаимно-однозначное соответствие 184
Моргана де закон 135
На 207
Набор 89
Навешивание кванторов 146,
147, 148
Надмножество 63
Наивная теория множеств 360
Не более чем счетное множе-
множество 199
Не больше 300
Независимая переменная 213
Не зависит 44
Неизвестное 316, 325, 326, 333

372
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Необходимо 35
Необходимо и достаточно 35
Необходимое условие 36
Необходимость 36
Неограниченный квантор 157
Не пересекаются 74
Не пересекающиеся множества
74
Не превосходит 300
Неравенство 332, 333
— числовое 299, 333
Несобственное подмножество 64
Нестрогий порядок 265
Несчетное множество 199
Нетривиальное разбиение 254
Нигде не определенная: н. н. о.
форма 42, 43; н. н. о. функ-
функция 206
Нужно 138
Нулевое разбиение 364
Нульарная операция 364
Нульместная операция 364
Ньютона бином 70, 349.
Область 57
— задания отношения 234
— значений графика 120
— — переменной 41
— — соответствия 172
функции 202, 205
— истинности высказыватель-
ной формы 144
— определения графика 120
— — переменной 41
— — соответствия 172
функции 202, 205
— отправления соответствия
172
— — функции 202
— прибытия соответствия 172
— — функции 202
Обозначим через 54
Образ множества 176
— элемента 207
Обратная: о. теорема 33; о.
функция 221
Объединение конечного числа
множеств 72
— отношений 240
— системы множеств 73
Ограниченный квантор 157
Одинаковые: о. высказывания
132; о. кортежи 90; о. мно-
множества 61
Однолистная функция 363
Одноэлементное множество 62
Оператор перемножения 51
— суммирования 49
Операции алгебры высказыва-
высказываний 361
— — логики 361
— исчисления высказываний
361
Операция алгебраическая 232
— бинарная 232
— нульарная 364
— нульместная 364
— s-местная 232
— тернарная 232
— унарная 232
Описание 59
Определена 44, 206
Определено 172
Основное свойство факториала
341
Основные „равносильности с
высказываниями" 134
— свойства отношений 247
— — соответствий 185
— — числовых неравенств 298
— тождества с множествами
82
Отношение 23, 233, 364
— антирефлексивное 244
— антисимметричное 245
— асимметричное 364
— бинарное 364
— влечет другое отношение 243
— задано на множестве 234
— имплицирует другое отноше-
отношение 243
— иррефлексивное 364
— квазипорядка 285
— —, индуцированное мно-
множеством кортежей 293
— ft-местное 364
— на данном множестве 234
— неравенства 239
— нестрогого порядка 265
— полное 238
— порядка, индуцированное
квазипорядком 291

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
373
Отношение пустое 239
— равенства 239
— рефлексивное 244
— связанное 246
— симметричное 245
— совершенного нестрогого по-
порядка 265
— — строгого порядка 266
—, сопряженное с разбиением
259
— строгого порядка 266
— транзитивное 246
— эквивалентности 258
— —, индуцированное квази-
квазипорядком 289
Отношения график 234
— область задания. 234
Отображает 203
Отображение 207
— в 207
— взаимно-однозначное 363
— естественное 256
— инъективное 208
— константное 207
— на 207
— сюръективное 207
— тождественное 207
— частичное 363
Отрицание 129
Пара 90
— упорядоченная 90
Первый уровень подробности 107
Переводит 203
Переменная 40
— зависимая 213
— индукционная 345
— независимая 213
— свободная 49
— связанная 49
— числовая 42, 45
Пересекаются 74
Пересечение конечного числа
множеств 73
— отношений 240
— системы множеств 75
Перестановка над данным мно-
множеством 96
— с повторениями 361
Перечисление 59
Подмножество 63
Подмножество истинное 64
— несобственное 64
— собственное 64
Полный: п. отношение 238; и.
прообраз 178
Полуинтервал 192
Полусегмент 192
Порядок нестрогий 265
— совершенный нестрогий 265
— — строгий 266
— строгий 266
Посылка 33
Поэлементное разбиение 254
Предположение индукции 342
Предшествует 266
Преобразует 203
Принадлежит 57
Принадлежности знак 58
Принцип двойственности 83
— математической индукции 343
Продолжение соответствия 180
Проекция кортежа 114
— множества 115
Произведение 360
— внешнее 360
— Декартово 360
— прямое 92, 93
Производные свойства числовых
неравенств 299
Промежуток 163
Прообраз 209
Простейшая расстановка ско-
скобок 123
Противоположная теорема 34
Прямое произведение 92, 93
Пустой: п. график 118; п. кор-
кортеж 90; п. множество 61;
п. отношение 239
Равенство 313
— числовое 313
Равно 51
Равно по определению 54
Равномощные множества 198
Равносильно дизъюнкции 324,
325, 326, 334
— по определению 54
Равносильные высказывания 47
— константы 44
— неравенства 333
— системы неравенств 334

374
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Равносильные системы уравне-
уравнений 326
— смешанные системы 337
— уравнения 317, 325
— форма и константа 44
— формы 44
Равные кортежи 90
— множества 61
Равняется 51
— по определению 54
Разбиение 254
— единичное 364
— максимальное 364
— минимальное 364
— на классы прообразов 256
— нетривиальное 254
— нулевое 364
— поэлементное 254
—, сопряженное с отношением
259
— тривиальное 254
— целое 254
Различные высказывания 132
Размещение 96
Разнозначная функция 363
Разность множеств 75
— отношений 240
Расстановка простейшая ско-
скобок 123
Рефлексивное отношение 244
Решение неравенства 333
— системы неравенств 334
— — уравнений 326
— смешанной системы 337
— уравнения 316, 325
Свободная переменная 49
Свойства абсолютной величины
302
— корней 308
— степеней 305
Свойство 125
Связанный: с. отношение 246;
с. переменная 49
Сегмент 192
Семейство 57
Симметричный: с. график 121;
с. отношение 245
Система 57
— логистическая 359
— множеств 66
Система неравенств 334
— смешанная .437
— уравнений 325
— формальная 359
Системы множеств объединение
73
— — пересечение 75
— — соединение 73
Следует 33
Слово 38
Смешанная система 337
Собрание 57
Собственное подмножество 64
Совершенный нестрогий поря-
порядок 266
— строгий порядок 266
Совокупность 57
Содержится в 265
Соединение конечного числа
множеств 72
— отношений 240
— системы множеств 73
Соответствие 15, 171
— биективное 184
— взаимно-однозначное 98, 184
— всюду определенное 183
— инъективное 183
— между данными множества-
множествами 172
—, обратное к данному соответ-
соответствию 363
— определено на данном эле-
элементе 172
— сюръективное 184
— функциональное 182
Соответствия график 172
— инверсия 174
— область значений 172
— — определения 172
— — отправления 172
— — прибытия 172
Соответствует 172
Сопряженные отношение и раз-
разбиение 259
Сочетание 67
Степень множества 94
Строгий порядок 266
Строго предшествует 267
— содержится в 267
Строгого включения знак 64
Сужение отношения 243

У КАНАТ КЛЬ ТЕРМИНОВ
375
Сужение соответствия 180
Сумма множеств 360
Схема кортежей с повторяю-
повторяющимися компонентами 106
— прямого произнсдсиия 109
— разбиения па классы 109
— распределений по ящикам 106
Счетное множество 198
Сюр-ьективное: с. отображение
207; с. соответствие 184
Сюръекция 207
— всюду определенная 207
Теорема 29
— Кантора 197
— Кантора — Бернштейна 297
— об отношении порядка, инду-
индуцированном отношением ква-
квазипорядка 289
— об отношении, сопряженном
с некоторым разбиением 261
— об отношении эквивалент-
эквивалентности, индуцированном отно-
отношением кванинорядка 286
— о графике обратной функции
224
— о единственности разбиения,
сопряженного с данным отно-
отношением 260
— о зависимости между отноше-
отношениями совершенного строгого
порядка на конечном множе-
множестве и перестановками над
тем же множеством 271
— о значении композиции 210
— о методе алгебраического
сложения 327
— о методе подстановки 327
— о пяти возможностях 74
— о существовании разбиения,
сопряженного с данным от-
отношением эквивалентности
263
— о тождественных компози-
композициях 211
Тернарная операция 232
Типа 202
Тогда 35
Тогда и только тогда 35
Тождества с множествами 82
Тождественна 206
Тождественный: т. отображение
207; т. функция 206
Тождество 314
— в широком смысле 366
Только тогда 35
Точка 58
Транзитивное отношение 246
Трансцендентное число 201
Третий уровень подробности
107
Тривиально 33
Тривиальное разбиение 254
Тривиальным образом 33
Тройка 90
— множеств 171
Унарная операция 232
Упорядоченная пара 90
Уравнение 315, 324
Уровень подробности второй 107
— — первый 107
— — третий 107
Условие 33
— достаточное 36
— необходимое 36
Устанавливает взаимно-одно-
взаимно-однозначное соответствие 208
Установлено взаимно-однознач-
взаимно-однозначное соответствие 99
Утверждение 29
Факториал 341
Фактормножество 265
Форма 42
— всюду определенная 42, 4.4
— высказывательная 47, 142
— зависит от данной буквы 44
— не зависит от данной буквы
44
— нигде не определенная 42, 4.4
— определена при данных зна-
значениях переменных 44
—, равносильная константе 4 1
— s-местная 42
— числовая 46
Формальная система 359
Формула бинома Ньютона 70,
349
Формы равносильные 44
Фраза 293

376
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Функциональный:ф.график 125;
ф. соответствие 182
Функция 18, 182, 202, 363
— константна на данном мно-
множестве 206
— константная 206
— нигде не определенная 206
— обратная 221
— однолистная 363
— определена в X и принимает
свои значения в Y 202
— — на данном множестве
206
— отображает один элемент в
другой 203
— от s аргументов 230
— переводит один элемент в
другой 203
— преобразует один элемент в
другой 203
— разнозначная 363
— «-местная 230
— типа X -* Y 202
— тождественна на данном мно-
множестве 206
— тождественная 206
— устанавливает взаимно-од-
взаимно-однозначное соответствие между
данными множествами 208
Целое разбиение 254
Частичное отображение 363
Четверка 90
Число 302
— алгебраическое 201
— сочетаний 67
— трансцендентное 201
— элементов множества 59
Числовой: ч. неравенство 299,
333; ч. переменная 42, <15;
ч. равенство 313; ч. форма 46
Член 58
Эвристика 68
Эквивалентности отношение 258
Эквивалентны по модулю ф 365
— по отношению ф 258
Эквиваленция 130, 131
Элемент множества 58
Элиминация 77, 301
Является точкой 58
— членом 58
— элементом 58
ft-местное отношение 364
п факториал 341
s-я степень множества 94
s-местная операция 232
— форма 42
— функция 230
типа М -> Y 230