Author: Рыбников К.А.
Tags: фундаментальные и общие проблемы математики математика история математики учебник для вузов эволюция математической науки учебник для математиков
ISBN: 5-211-02068-5
Year: 1994
Text
Рыбников К. А.
История математики
Рекомендовано Государственным комитетом Российской
Федерации по высшему образованию в качестве
учебника для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению «Математика»
Издательство Московского университета
1994
ББК 22.1 г
Р 93
УДК 510(091) (071.1)
Федеральная целевая программа
книгоиздания России
scan AAW
Рецензенты:
кафедра математики Николаевского педагогического института,
академик РАН В. А. Ильин
Рыбников К. А.
Р 93 История математики: Учебник. — М.: Изд-во МГУ, 1994. —
496 с.
ISBN 5-211-02068-5.
В учебнике даны очерки развития математических дисциплин,
преподавание которых предусматривается учебными планами вузов:
геометрии, алгебры и теории чисел, математического анализа, математики
случайных событий, ситуаций и процессов, дискретной математики.
Для студентов математических специальностей, научных
сотрудников и преподавателей, желающих повысить свою квалификацию.
1601000000 (4309000000) -096
077(02)—94
Учебное издание
21—93 ББК 22.1г
Рыбников Константин Алексеевич
ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
Зав. редакцией Л. А. Николова
Редактор Е. Д. Мартынова
Художественный редактор Л. В. Мухина
Технический редактор Н. Я. Смирнова
Корректоры Н. В. Иванова, М. А. Мерецкова
ИБ № 6204
ЛР № 040414 от 27.03.92
Сдано в набор 05.04.93 Подписано в печать 19.01.94 Формат 60у90/1б.
Бумага тип. N° 2 Гарнитура литературная. Высокая печать-
Усл печ. л. 31,0 Уч-изд. Л. 35,27 Тираж 3000 экз. Заказ 1236. Изд. № 2302.
Ордена «Знак Почета» Издательство Московского университета.
103009, Москва, ул. Герцена, 5/7.
Серпуховская типография Упрполиграфиздата Мособлисполкома
г. Серпухов, пр. Мишина, д. 2/7.
ISBN 5-211-02068-5 © Рыбников К. А., 1994
© Издательство Московского
государственного университета, 1994
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие „ 5
Глава 1. Возникновение и накопление математических знании
§ 1.1. Как складывались начальные элементы математических
знаний ф 7
§ 1.2. Математика стран древних цивилизаций 11
Глава 2. Формирование математической науки
§ 2.1. Первые математические теории 33
§ 2.2. Аксиоматические построения и системы аксиом 45
§ 2.3. Инфинитезимальные методы в математике древних 52
§ 2.4. Математические теории и методы поздней античности ...... 63
Глава 3. О путях исторического развития математики
§ 3.1. О судьбе древнегреческой математики „ 75
§ 3.2. Математика народов Средней Азии и Ближнего Востока 76
§ 3.3. Накопление математических знаний в странах Европы 85
§ 3.4. Начало формирования алгебры 94
§ 3.5. Прогресс вычислительных методов и средств _ 103
Глава 4. Как сложилась структура геометрии?
§ 4.1. Существует ли единая геометрия? 115
§ 4.2. Геометрия, выросшая из измерительной и конструирующей
практики 117
§ 4.3. Геометрия в комплексных математических исследованиях 120
§ 4.4. Аксиоматические системы геометрии 143
Глава 5. Формирование классических основ алгебры и теории чисел
§ 5.1. Что называют алгеброй? 161
§ 5.2. С чего алгебра начиналась? 162
§ 5.3. Алгебра — наука о решении уравнений 165
§ 5.4. Новые идеи алгебры (К. Ф. Гаусс, Н. Г. Абель, Э. Галуа) 175
§ 5.5. Начала теории групп 185
§ 5.6. О других направлениях в истории алгебры 188
§ 5.7. Очерк истории теории чисел 189
Глава 6, Математический анализ: начало пути
§ 6.1. Накопление идей анализа бесконечно малых 199
§ 6.2. Исчисление бесконечно малых: «эмбриональный» период 200
§ 6.3. Интеграционные методы 202
§ 6.4. Дифференциальные методы 212
§ 6.5. Открытие взаимосвязанности обеих групп методов 216
§ 6.6. Теория флюксий 218
§ 6.7. Исчисление дифференциалов 226
Глава 7. Математический анализ: первое столетие
§ 7.1. Обстановка и стимулы развития 237
§ 7.2. Анализ функций 238
3
§ 7.3. Проблема обоснования анализа 251
§ 7.4. Усовершенствование аппарата 261
§ 7.5. Построение вариационного исчисления 287
Глава 8. Математический анализ: на пороге современности
§ 8.1. Усиление .роли теории переделов 300
§ 8.2. Усовершенствование основ теории функций 307
§ 8.3. Аппарат и приложения математического анализа в XIX
веке 316
§ 8.4. Начала теории дифференциальных уравнений 327
§ 8.5. Формирование теории функций комплексного переменного 336
Глава 9. Из истории математики случайных
событий, ситуаций и процессов
§ 9.1. Задачи о случайных событиях и их вероятностях 363
§ 9.2. Построение исчисления вероятностей 368
§ 9.3. Случайные величины 379
§ 9.4. Случайные процессы 393
§ 9.5. Из истории математической статистики 396
Глава 10. Из истории дискретной математики
§ 10.1. Постановка проблемы 399
§ 10.2. Период накопления конкретных комбинаторных результатов 400
§ 10.3. Первые теоретические построения 402
§ 10.4. Идеи общей комбинаторной теории 404
§ 10.5. Комбинаторика в научном наследии Л. Эйлера 407
§ 10.6. Комбинаторный анализ К.-Ф. Гинденбурга 414
§ 10.7. Дискретные методы математического исследования в
XIX веке 417
§ 10.8. Построение в XX в. общих комбинаторных теорий 438
Глава 11. Математика в России
§ 11.1. Постановка проблемы 456
§ 11.2. Математика на Руси 456
§ 11.3. Л. Эйлер и Петербургская Академия наук 458
§ 11.4. Математическая жизнь в Петербурге XIX в. 459
§ 11.5. Математика в Московском университете 475
§ 11.6. Математическое творчество С. В. Ковалевской 485
§ 11.7. Как начиналась советская математика 488
Заключение 489
Литература
,. 490
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга написана д^я того, чтобы служить
учебником для студентов математических специальностей университетов
и других высших учебных заведений. Она предназначена также
для содействия в повышении квалификации широких кругов
специалистов, применяющих в своей работе методы математического
исследования.
В большинстве глав книги, с 4-й по 10-ю включительно,
описано, как сложились состав и структура тех математических
дисциплин, которые преподают в высшей школе в настоящее
время и которые тем самым являются основой высшей
математической подготовки. Соответственно математический и исторический
материал, рассматриваемый в этих главах, относится в основном
к последним трем-четырем столетиям. Такое построение книги и
лекционного курса теснее связывает их с другими
математическими дисциплинами, яснее показывая их место в системе высшего
математического образования.
Что касается развития математической науки в течение
многих предшествовавших веков, то оно отражено в сжатом очерке
(главы 1—3). В нем освещены лишь принципиально важные
особенности историко-научного процесса. Столь значительное
сокращение материала — дело вынужденное. Оно, впрочем, может
быть компенсировано привлечением дополнительной литературы.
Последняя не столь уж и бедна и вполне доступна различным
массовым категориям читателей. Столь же многочисленна и
доступна литература о развитии математики в России. Это позволит
в случае необходимости сгладить вынужденную неполноту текста
гл. 11. Что же касается начальных знаний в области
методологии математики, читатель может почерпнуть их из книг К. А.
Рыбникова «Введение в методологию математики» (изд-во Моск.
ун-та, 1979) и «Очерки методологии математики» (М., Знание,
1982).
Автор испытывает чувство признательности к своим
многочисленным коллегам, в общении с которыми вызревал замысел книги
и происходили последующие усовершенствования. Особую
благодарность он обращает к тем, кто в наибольшей степени
способствовал осуществлению настоящего издания. Это академик В. А.
Ильин, доктор физ.-мат. наук С. С. Демидов, кандидаты физ-мат.
наук Г. С. Смирнова и Ю. А. Белый, а также сотрудники
издательства.
5
ГЛАВА 1
ВОЗНИКНОВЕНИЕ И НАКОПЛЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ
Для математиков любой специальности и уровня
профессиональных занятий вопросы о том, как складывались первичные
математические представления, какой вид они принимали, как
проходили первые этапы их совершенствования, никогда не теряли
своей актуальности. Не потеряют они ее и в будущем.
Правильное освещение этцх вопросов необходимо при анализе логических
основ и состава математики. Не менее необходимо такое знание
для преподавания этой науки.
Процесс формирования начальных математических понятий и
регулярных приемов решения элементарных задач охватывает
огромный по своей длительности промежуток времени. Его начало
относится к тому далекому времени, когда человек перешел к
использованию орудий для добывания средств существования, а
затем и к обмену продуктов труда. Завершается этот период с
появлением качественно новых форм математического мышления, т. е.
тогда, когда совокупность этих понятий и методов и их
содержание делаются достаточно богатыми, чтобы образовывать связные
логически последовательные системы — начальные формы
математических теорий. Последние появляются около VI—V вв. до н.э.
Своеобразие проблемы состоит в том, что поиски начал
математических знаний людей уводят в еще дописьменную древность.
По мере продвижения в глубь истории резко убывает
фактическая основа, на которую можно опираться в своих суждениях.
Время и обстоятельства неумолимо уносят в небытие (или
препятствуют извлечению из небытия) материальные свидетельства
развития интеллектуальной жизни древних народов. Особенно большой
вред нанесли (и продолжают наносить) различные завоеватели и
колонизаторы.
Давно уже нет на земле племен или иных устойчивых
общностей людей, которые являлись бы живыми носителями отзвуков
далекого прошлого. Очень мало осталось памятников культуры и
других материальных источников информации о знаниях людей в
ранние периоды их истории. Все, что известно, подвергалось и
подвергается изучению археологами, этнографами, специалистами
по сравнительному языкознанию, историками науки. Их усилия по
восстановлению, описанию и сохранению этого незаменимого и
невосполнимого материала, будучи объединенными, приносят,
разумеется, свои плоды. Однако точно установленных фактов все-таки
не очень много, и мало надежды на существенное обогащение
фактической основы подобных исследований в будущем.
6
В настоящей главе мы предлагаем читателю сжатый обзор
того, что оказалось возможным извлечь из имеющихся в наличии
фактов, относящихся к ранним периодам развития математических
знаний людей. Естественно, что прежде всего речь пойдет о
процессах формирования начальных математических абстракций
(числа, фигуры).
§ 1.1. КАК СКЛАДЫВАЛИСЬ НАЧАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИИ
Начнем с описания того, как складывалось понятие о числе
(на первых порах о числе натуральном, т. е. целом
положительном). Представляется очевидным, что это понятие возникло и
сформировалось в результате многократно применяемой в силу
практической необходимости операции счета, перечисления
предметов. Однако, несмотря на кажущуюся естественность, простоту,
так сказать «изначальность», операция счета не является на
самом деле первичной, простейшей. Она возникает и применяется на
сравнительно уже высоком уровне развития математических
элементов мышления. Ей предшествовало, как выяснилось, несколько
ступеней усовершенствования логических суждений.
Проблема воссоздания исторических ситуаций, приведших к
появлению абстракции натурального числа, совсем не проста.
Затрудняет, конечно, недостаточность и разрозненность имеющихся
в наличии фактов. Кроме того, пути интеллектуального развития
зесьма разнообразны, хотя мотивы, главным образом
практические, в основном сходны.
Все-таки, как бы ни была пестра и фрагментарна картина
возникновения и начальных этапов математических знаний в ранние
периоды истории человеческой цивилизации, в ней возможно
проследить главные этапы интересующего нас процесса. На них мы
и хотим сосредоточить внимание читателя.
1. История человечества со всей очевидностью показывает, что
даже самые, казалось бы, изначальные понятия людей не
являются врожденными (и уж тем более не ниспосланы «свыше»). Они
суть отражения свойств и отношений реальных предметов
объективно существующего мира. Приобретаются они в ходе активной
деятельности людей. Именно благодаря труду и
сопровождающей его членораздельной речи органы чувств и мозга человека
достигли необходимого совершенства. В результате длительной
эволюции в мозгу выработалась, среди прочих, способность
создавать абстракции, необходимые для счета и измерения.
2. Начальная ступень соответствующих представлений
состояла, по всей вероятности, в восприятии человеком свойства
численности, количественности, конкретных наборов предметов. Вначале
это множество предметов характеризуется с позиций его
целостности, наличия всех элементов, его составляющих. Такой счет
принято называть чувственным. Им для множеств, состоящих из
небольшого числа элементов, владеют даже животные. Процесс
7
выделения свойства количественности из совокупности свойств
конкретных множеств, осознания его особенностей и
функциональной роли занял, по всей видимости, весьма длинный
исторический период.
3. По мере перехода людей на более высокий уровень
интеллектуального развития чувственный счет оказывался
недостаточным. Появлялась необходимость сравнивать множества,
сопоставляя, например, их численность поэлементно. Проявлялась эта
необходимость преимущественно в процессе общения людей и
выполнения ими операций обмена. Неравночисленность множеств
предметов вынуждает к выработке понятий: больше, меньше и
равно.
4. Числовая характеристика множеств выделяется и
преобразуется в объект самостоятельного рассмотрения, что находит свое
выражение в поисках множеств, играющих роль эталона при
сопоставлениях. Это пальцы рук и ног, наборы камешков, раковин,
палочек и других предметов. Кстати заметим, что латинское слово
calculus в буквальном переводе означает: счет камешками.
5. Вводятся названия чисел, поначалу небольших. Постепенно
число названий растет. Начинает складываться общее
представление о числе, пока натуральном.
6. Натуральные числа сравниваются по величине, постепенно
абстрагируясь при этом от других свойств. Формируется
начальный отрезок ряда натуральных чисел, вначале короткий, но
постепенно удлиняющийся.
7. Появляются записи, где фигурируют символические
обозначения чисел и действий над ними, развивается символический
аппарат. В последующем он совершенствуется в соответствии с
основным требованием: быть удобным для записи и для
производства вычислительных операций.
8. Складываются разнообразные системы счисления, для
применения которых производится унификация символики. Для
ранних периодов истории нашей науки характерно существование
разнообразных числовых систем. Применяемой ныне повсюду
десятичной позиционной системе нумерации предшествовали:
а) Различные иероглифические непозиционные системы. В
каждой из них строится система так называемых узловых чисел.
Каждое такое число имеет индивидуальный символ — иероглиф.
Остальные числа (их называют алгоритмическими) образуются
приписыванием с той или другой стороны узлового числа других
узловых чисел и их повторениями. Примерами таких систем
являются: египетская, финикийская, пальмирская, критская,
сирийская, аттическая (или Геродианова), старокитайская,
староиндусская (карошти), ацтекская, римская. Последняя имеет систему
узловых чисел I, V, X, L, С, D, М, построенную по десятичному
признаку с заметным влиянием пятиричной системы.
б) Алфавитные системы счисления. В этих системах буквы
алфавита, взятые по 9, используются соответственно для
обозначения единиц, десятков, сотен. Каждой букве придается отличи-
8
тельный знак, указывающий, что она используется как число. В
случае, если букв алфавита оказывалось недостаточно,
привлекались дополнительные буквы и знаки. Типичный пример
алфавитной системы — греческая ионическая (древнейшая
сохранившаяся запись, сделанная по этой системе, относится к V веку дон. э.)г
(дигамма)
123456789
txX|AvEo7T^ (коппа)
10 20 30 40 50 60 70 80 90
р в id ф^фшЭ (сампи)
100 200 300 400 500 600 700 800 900
Запись чисел по этой системе ясна из примера: /fr|i6=444„
Чтобы записывать числа, равные или большие тысячи,
необходимо усложнять знаки, например: а=1000; р=2000 и т. д.
Алфавитные системы удобны из-за краткости записи, однако
они малопригодны для оперирования с большими числами и
требуют больших усилий для запоминания. Примеры алфавитной
системы, кроме уже описанной: древнеславянская (кирилица и
глаголица), еврейская, арабская, грузинская, армянская.
в) Позиционные недесятичные, а затем и десятичная системы..
Примеры позиционных недесятичных систем: вавилонская,
индейская племени майя (на полуострове Юкатан), индийская,
современная двоичная. Древнейшая известная запись в позиционной
десятичной системе с нулем обнаружена в Индии. Она датируется
около 500 г. н. э. (см.: И. Г. Баш маков а, А. П. Юшкевич:
Происхождение систем счисления. Энциклопедия элементарной
математики. М., 1951. Т. I. С. 11—76).
Более общие классы чисел сложились, естественно, позднее.
Их историю уже можно целиком проследить по письменным
источникам. Об этом будет идти речь в последующих главах.
Перейдем к вопросу о том, какими путями формировались
начальные геометрические представления. Этот процесс имел,
разумеется, свои особенности. Однако этапы развития, отмеченные
выше, в основном имели место и в этом случае. Из оперирований
индивидуально воспринимаемыми пространственными телами
вырастали геометрические абстракции тела и фигуры, позволяющие
идентифицировать их по сходству геометрических характеристик.
Следующим этапом были сравнения множеств тел, а затем
выделение абстрагированного эталона — идеального тела. На таком
пути формировались геометрические понятия со своими
специфическими (графическими, наглядными) изображениями. Последние
и являлись символами, отображающими геометрическую
определенность объекта, его пространственную особенность,
абстрагируемую для изучения от всех других свойств материальных тел.
9
В самом деле, данные истории материальной культуры
убедительно доказывают, что еще в эпоху, когда люди пользовались
кремневыми орудиями для труда и охоты, они придавали им
преднамеренно геометризированную форму: треугольников,
ромбов, трапеций. Конечно, эти формы образовывались постепенно и
не вследствие стремлений к «геометризации», а потому, что они
оказывались наиболее приспособленными к определенному виду
труда, к тому, чтобы рубить, скрести, резать и т. п.
Дальнейший толчок развитию геометрических представлений
дали ремесла: гончарное, строительное и др. Особенно сильное
влияние оказало земледелие, когда задачи проведения границ
участков, определения длин, площадей и т. п. сделались
жизненно насущными. Появление орнаментов на изделиях
знаменовало уже закрепление представлений о равенстве, подобии и
симметрии.
Минул огромный по длительности период человеческой
истории, прежде чем смутные представления людей о количественно-
сти и о формах, присущих конкретным вещам, преобразовались в
понятия числа, геометрической фигуры и т. п. И когда это
произошло, появился новый вид знания — математическое. Счет и
измерение сделались важными средствами развития
математических знаний и вычислительно-измерительной практики людей.
«Число» и «фигура», исторически первые понятия математики,
в наше время лежат в основе всех математических знаний.
Сходство логического строя оснований математики и исторического
процесса становления ее начальных понятий сделалось особенно
наглядным в последнее столетие. За это время работа в области
оснований математики в силу известных исторических причин и в
условиях возрастающих требований к логической
(математической) строгости была особенно активной. Она привела к тому, что
в основания математики вслед за теориями действительного
числа вошли теория множеств и сопредельные с нею логические
средства доказательств. И вот тогда упомянутое сходство
проявилось отчетливо. Оказалось, что привлечение самых тонких и
глубоких логических суждений означало, по сути, апелляцию к
первым движениям пробуждающегося научного сознания.
Подобное соотношение между логической структурой основа-
бий математики и историческим процессом формирования
первичных математических понятий отнюдь не случайно. Оно является
примером проявления на математическом материале
общефилософской закономерности, известной под названием принципа
единства исторического и логического.
Существо этой закономерности, кратко говоря, состоит в
следующем: логическое и историческое — это философские понятия,
связанные с двумя способами рассмотрения исторически
протекающего процесса. При историческом способе факты и события
рассматривают и объясняют с учетом различных случайностей, сквозь
которые прокладывают себе дорогу объективные закономерности.
При логическом же способе исторические факты излагают в необ-
10
ходимой закономерной последовательности и с описанием связей,
т. е. за исключением всего несущественного, случайного,
нетипичного. В основном, в главном логическое совпадает с историческим.
Ф- Энгельс доказывал, что логический способ рассмотрения, в
сущности, является «тем же историческим методом, только
освобожденным от исторической формы и от мешающих случайностей.
С чего начинает история, с того же должен начинаться и ход
мыслей, а его дальнейшее движение будет представлять собой не что
иное, как отражение исторического процесса в абстрактной и
теоретически последовательной форме; отражение исправленное, но
исправленное соответственно законам, которые дает сам
действительный исторический процесс, причем каждый момент может
рассматриваться в той точке его развития, где процесс достигает
полной зрелости, своей классической формы (Маркс К-,
Энгельс Ф. Соч., 2-е изд. Т. 13. С. 497).
§ 1.2. МАТЕМАТИКА СТРАН ДРЕВНИХ ЦИВИЛИЗАЦИЙ
Перейдем теперь к описанию математики тех времен, от
которых дошли до нас первые письменные свидетельства или
достаточна достоверные сведения о них. Это позволяет вести изложение
несколько более конкретно, чем мы могли себе позволить до сих
пор.
На обширных пространствах, где в наше время располагаются
Китай, Индия, страны Среднего и Ближнего Востока, а также
прибрежные государства средиземноморского бассейна, т- е. в
полосе, где природные условия особо благоприятны для жизни
людей, издавна существовали государственные формирования
человеческих обществ. Уровень их экономического развития и
административного устройства повышался раньше и быстрее, нежели у
других народов, живших в более суровых условиях. Развитие
экономики сопровождалось относительно более быстрым ростом
культуры и образованности. Об этом можно судить не только по
дошедшим до нас прекрасным архитектурным памятникам и
произведениям искусства, но и по письменным источникам. Среди
последних сохранились (чаще всего в пересказах) такие, которые
были посвящены целиком или в значительной степени трактовке
математических задач или даже теоретических проблем
математики. Далеки они, как правило, друг от друга по времени
написания, по целям и обстоятельствам, разобщены территориально.
Однако только из них можно почерпнуть информацию историко-на-
учного значения.
Ниже мы дадим краткий обзор содержания наиболее
значительных источников и сформулируем те выводы и заключения,
которые этим материалом могут быть обоснованы. Количество
фактов можно было бы пополнить, взяв их из научных исследований,
но, насколько оказалось возможным судить, такое добавление
придавало бы выводам, быть может, несколько большую
убедительность, но не заставляло бы их изменять.
11
Математика Древнего Египта. Наши познания о
древнеегипетской математике основаны главным образом на двух больших
папирусах математического характера и на нескольких небольших
отрывках. Один из больших папирусов носит имя Райнда (Henry
Rhind), приобретшего этот папирус в 1858 г. Его размеры:
525 смХЗЗ см. Он хранится ныне частично в Британском музее в
Лондоне, частично — в Нью Иорке. Другой папирус, несколько
более длинный, но гораздо более узкий (544 смХ8 см),
приобретенный в конце прошлого века русским востоковедом В. С. Голени-
щевым, принадлежит московскому Музею изобразительных
искусств им. А. С. Пушкина. Содержащиеся в них математические
сведения относятся примерно к 2000 г. до н. э., к эпохе Среднего
царства.
Папирус Райнда представляет собою собрание 84 задач
прикладного характера. При их решении производятся действия с
дробями, вычисляются площади прямоугольников, треугольников,
(О \ 2
— d 1 , что
соответствует я^3,1605.... Вычисляются также объемы параллелепипеда,
цилиндра, пирамиды. Имеются задачи на пропорциональное
деление; при решении одной из задач отыскивается сумма
геометрической прогрессии.
В московском папирусе собраны решения 25 задач.
Большинство их такого же типа, как и в папирусе Райнда. Кроме того, в
одной из задач (№ 14) правильно вычислен объем усеченной
пирамиды с квадратным основанием. В другой задаче (№ 10)
содержится самый ранний в математике пример определения
площади кривой поверхности. Вычислена боковая поверхность
«корзины», т. е. полуцилиндра, высота которого равна диаметру
основания. Ниже дадим оценку уровня математических знаний,
проявленных авторами папирусов — писцами.
Ко времени написания папирусов уже сложилась система
счисления: десятичная иероглифическая. Для узловых чисел вида
Ю* (&=0, 1, 2, ..., 7) установлены индивидуальные иероглифы.
Алгоритмические числа записывались как комбинации узловых. С
помощью этой системы египтяне справлялись со всеми
вычислениями, в которых фигурируют целые числа. Что -касается дробей,.
то были в употреблении лишь дроби вида — (аликвотные) и неко-
п
2 з
торые индивидуальные, как, например, — и — . Все результаты,
3 4
которые следовало бы записать в виде дроби —, выражались
п
суммой аликвотных дробей. Для облегчения таких записей были
составлены специальные таблицы, например таблица для чисел
2 ^11
вида — (я=3,..., 101). «Тривиальное» представление — = 1—
п п п п
в таблицах не встречается (вероятно, в силу очевидности). Под-
12
бор слагаемых также неоднозначен; по-видимому, таблицы
складывались постепенно, в течение долгого времени и в дошедшем до
нас виде являются просто сводкой достигнутых результатов.
Общей особенностью всей техники вычислений является ее
аддитивная устремленность; все вычислительные операции по
возможности сводятся к сложению. При умножении, например,
используется преимущественно способ постепенного удвоения
одного из сомножителей и складывания получающихся подходящих
частных произведений (их мы отметили звездочками):
12X12
1
2
*4
*8
Вместе
12
24
48
96
144
— J_ —
3 5 30
Х10
1
*2
4
*8
1
3
7
2
8-
3
2
3
2
.
3
I
2
I
5
!
5
1 1
~5~
1
-.1. ..
10
1
10
1
!о
1
30
1
•
30
1
-или 9
Вместе
При делении используется как процедура удвоения, так и
последовательного деления пополам. Естественно, что деление было
самой трудной операцией. Поэтому, видимо, имеется большое
разнообразие вычислительных приемов. Так, иногда в качестве
промежуточного действия применялось нахождение или двух
третей, или одной десятой доли числа. Например,
19:8
Т. €
1
*2
1
т
.1
4
1
*
8
s. 19:8 =
1 8
16
4
2
J
2±±
4 8
1 16:3
т.
1 М
2
¦4
2
3
• I
3
е. 16:3 =
3
6
12
2
1
= 51
3
| 4 : 15
т.
1
1
10
1
*
5
1
* —
15
е. 4:15 =
15
1
1 —
г
3
1
1JL
5 15
Приведем пример еще одной задачи: «Сало. Годовой сбор 10 бе-
ша. Каков ежедневный сбор? Обрати 10 беша в ро. Это будет
3200. Обрати год в дни. Это будет 365. Раздели 3200 на 365. Это
Q 2 1 1 I 2 1 | . 0 2 1 1
8 "Т т 7T7Z - Обрати. Это беша и 8 ро.
3 Ю 2190 ^ 10 3 2190 64 3 10 2190 У
13
Делай как делается».
1
2
4
8
365
730
1460
2920
2
3
1
10
1
2190
1
243-
3
»{
1
6
1
Вместе 8- ± ^
Здесь в левом столбце постепенно подбирается частное. Пер*
вый результат: 8 дает разницу между частичным и истинным
делимым 3200-2920=280. Сомножитель — дает: 365- ~ =243 —. Еще
3 зз
2 1 1
до 280 недостает 36 —. Выбирая — f получим уже разницу в —,
2 1 1
так как 36 36— =*—. Остается только подобрать число, ко-
3 2 6
1 1
торое, будучи умножено на 365, дало бы —. Это: —-. Таким
6 2190
образом, частное подыскивается постепенным подбором.
Единого метода еще нет.
Часто встречается операция хау, т. е. куча. Она соответствует
решению линейного уравнения вида
ax+bx-\ \-cx=d.
При сложении дробей, имеющих разные знаменатели,
египтяне применяли умножения их на вспомогательные числа. Способы
подбора этих вспомогательных чисел не дают, однако, оснований
судить о подобных приемах как о единообразном процессе,
адекватном способу приведения дробей к общему знаменателе
Исторические реконструкции во многом еще спорны и не
подтверждены достаточным количеством фактов.
Материалы, содержащиеся в папирусах, позволяют
утверждать, что за 20 веков до нашей эры в Египте начали
складываться элементы математики как науки. Эти элементы только
начинают выделяться из практических задач, целиком подчинены их
содержанию. Техника вычислений еще примитивна, методы
решения задач не единообразны. Математикой занимались специально
подготовленные люди, писцы, считавшиеся весьма образованными.
Однако материалов, которые позволили бы судить о развитии
математических знаний в Древнем Египте, недостаточно. На их
пополнение, надежды практически нет. Все описанное выше пред-
14
ставляет собой лишь один из примеров того, где, в какое время и
в какой форме существовали математические знания.
Математика Древнего Вавилона. Древний Вавилон — понятие
собирательное.
Оно обычно распространяется на государственные образования,
располагавшиеся на Среднем Востоке, в междуречье Тигра и
Евфрата, существовавшие в период примерно от 2000 до 200 гг. до
н. э. Источниками сведений об этих государствах являются
небольшие плоские таблички из глины. На них палочками с
концами специальной формы выдавлены тексты. Таблички обожжены,
что придало им высокую прочность. До нашего времени
сохранилось около 100000 таких табличек. Однако табличек с текстами
математического содержания известно только около 50; зато
математических числовых таблиц без текста гораздо больше — около
200.
Вавилонская система математических символов имеет всего
два основных элемента: «клин» V, числовое значение которого —
единица, и «крючок» > с числовым значением 10. Комбинациями
из этих знаков записывают числа от 1 до 59. Запись чисел —¦
слева направо поразрядно, начиная с единиц, по следующей схеме:
^=а0600+а1601 + а2602+....
Система записи чисел оказалась позиционной 60-ричной. Она
не имеет нуля, один и тот же знак V (клин) может обозначать
не только единицу, но и любое другое число вида 60±А: (где k —
натуральное число). Различать числа, написанные по такой
системе (ее называют неабсолютной), можно только исходя из кон-^
текста, из условий задачи.
Содержание табличек показывает, что в вавилонской
математике существовали многие регулярно применяемые
единообразные правила арифметических действий как с целыми числами,
так и с дробями. Для облегчения этих действий существовали
таблицы умножения от 1x1 до 60x60. Если требовалось
перемножать большие числа, то с помощью таблиц умножения
отыскивали частичные произведения, которые затем суммировали.
Деление сводилось к умножению с помощью таблиц обратных
значений (так как Ь:а — Ь- — ).
а
Кроме таблиц умножения существуют таблицы квадратов
целых чисел, кубов, обращенные, т. е. таблицы квадратных корней,
таблицы чисел вида д3+/г2 и т. д.
Виды задач разнообразны. Имеются исчисления процентов за
долги, пропорциональное деление; в ряде текстов решаются
задачи, сводящиеся, с нашей точки зрения, к решению уравнений
первых трех степеней. Б. Л. ван дер Варден в своей книге
«Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и
Греции» (М., Физматгиз, 1959) классифицировал все приемы
решения задач, записанных в вавилонских табличках. Он пришел к.
выводу, что эти приемы эквивалентны приемам решения
уравнений и их систем:
15
а) уравнения с одним неизвестным: ах — b; х2 = а; х3=а;
^2(х+1)=а;
б) системы уравнений с двумя неизвестными: х±у = а, ху=Ь;
х±у=а, х2 + у2=Ь.
Кроме того, вавилонянам были известны суммирование
арифметических прогрессий, а также суммирования вида
п п п
^2^2Ч(2п-1); 2** = ({ + 7") 2*'
Наконец, упомянем еще об одной интересной табличке,
хранящейся в библиотеке Колумбийского университета (США). В
1945 г. Нейгебауер и Сакс сообщили в печати, что в ней оказался
перечень прямоугольных треугольников с целыми сторонами х, у,
z, т. е. набор троек пифагоровых чисел: x2 + y2=z2. Реконструкция
метода их подбора приводит к формулам
x=p2—q2; y=2pq; z=p2+q2,
известным в теории чисел как диофзнтовы.
Геометрические познания вавилонян, по-видимому, превышали
египетские. В их текстах тоже вычисляются площади и объемы
простейших фигур и тел. Площадь круга вычислялась по
формуле SKp=c2/12 (где с — длина окружности), откуда получается
еще плохое приближенное значение числа я. Но встречаются и
соотношения, напоминающие тригонометрические. Следует
отметить, наконец, попытки вычисления сложных объемов, например,
неравностороннего земляного вала (см.
рис. 1). Применено, правда, весьма
несовершенное усреднение
v д ! /д + b | gl+&i \ h+hl
в2^2 2 j 2 '
но сама попытка заслуживает внимания.
Внимание ряда исследователей
привлекает высокий (относительно)
уровень и удельный вес вычислительных
приемов и алгоритмических элементов в
математических текстах древнего
Вавилона. Это дало повод к высказыванию
предположений, что в те времена у
вавилонян уже культивировались общие методы, отвлеченные от
конкретных задач и являющиеся своеобразной алгеброй (Нейгебауер,
Фогель). Однако существуют и более осторожные оценки их
математических достижений.
Вавилонские математические традиции распространились на
сопредельные государства Ближнего Востока; они могут быть
прослежены вплоть до эпохи эллинизма (ок. 330 — ок. 30 гг. до н. э.).
Примеры древнеегипетского и древневавилонского
происхождения показывают конкретно, как происходил процесс накопления
16
математических знаний. Исходными пунктами являлись
практические потребности. Они вызывали разработку правил
арифметических действий, способов вычисления площадей и объемов
несложных объектов, методоц решения отдельных классов задач,
составление вспомогательные вычислительных таблиц, вычерчивание
геометрических изображений и т. д.
Математика древнего Китая. Научные знания у народов
Китая имеют многовековую богатую историю. Столь же раннее
происхождение и оригинальные пути своего развития имеет и
китайская математика. Однако до сих пор не преодолена скудость и
разрозненность достоверной научной информации о
математических познаниях китайцев и тех путях, по которым проходило их
пополнение.
По утверждению китайского историка математики Ли Яня,
^математические познания китайцев восходят к XIV в. до н. э. В
истории этой науки имеются сведения о десятичной системе счета,
иероглифической символике чисел, об оперировании с очень
большими числами, наличии вспомогательных счетных устройств
(узелки, счетная доска), о применении циркуля, линейки и
угольника и др.
Самым ранним математическим сочинением, если не считать
трактата о чжоу-би (солнечных часах), является «Математика в
9 книгах» (главак, разделах). Это сочинение появилось как
своеобразный итог математических достижений в Китае к началу
нашей эры. Есть сведения, что оно было составлено выдающимся
государственным деятелем и ученым Чжан Цаном (152 г. до н. э.),
собравшим и систематизировавшим все известные к его времени
математические знания. «Математику в 9 книгах» неоднократно
перерабатывали и дополняли: в I в. до н. э. (Гэн Чоу-чан), в
III в. н. э. (Лю Хуэй), в VI в. н. э. (Чжень Луань), в VIIв.н.э.
(Ли Чунь-фэнь) и в иные времена.
В результате этих переработок «Математика в 9 книгах»
приобрела вид своеобразной математической энциклопедии со срав-
лительно неоднородным содержанием. В VII—X вв. н. э. она
сделалась основным учебником для поступающих на
государственную службу и классическим сочинением, от которого
отправлялись ученые математики в своих исследованиях» Текст его стал
известен у нас совсем недавно. В 1957 г. он появился в сборнике
«Историко-математические исследования» (т. 10, с. 425—586) в
переводе и с комментариями Э. И. Березкиной. Позднее, в 1980 г.,
б издательстве «Наука» вышла книга того же автора
«Математика древнего Китая».
Части, составляющие «Математику в 9 книгах», имели вид
отдельных свитков. Их содержание определялось их
предназначением для чиновников различных ведомств: землемеров,
строителей, сборщиков налогов и др. Позднейшие дополнения вносились в
них не по признаку математической общности, а по единству темы.
Изложение — догматическое: формулируются условия (всего
246 задач) и даются к ним ответы. После группы однотипных
17
задач формируется алгоритм их решения. Этот алгоритм состоит
или из общей формулировки правила, или из указаний
последовательности операций над конкретными числами. Выводов
правил, разъяснений, определений, доказательств нет.
Книга 1 называется «Измерение полей». Единицей измерения
служит прямоугольник со сторонами 15 и 16 бу (т.е. шагов,
длиной примерно 133 см). Площади прямоугольных фигур
вычисляются правильно. Из вычислений площадей круга, сектора и
кольца видно, что принято я=3. Площадь сегмента вычисляется как
ллощадь трапеции, большее основание которой совпадает с
основанием сегмента, а меньшее основание и высота — каждое
равно высоте сегмента.
Система счисления десятичная, иероглифическая. Числа
делятся на классы по 4 разряда в каждом. Особого знака для нуля
при такой системе, очевидно, не требуется. В самом деле, знак
нуля появился только в XII в. н. э. Он был заимствован, как мы
думаем, из индийских источников. Чтобы придать побольше
общности постановке задачи об измерении площадей, в этой же,
первой, книге введены простые дроби и арифметические операции над
ними. Правила действий обычные; особенностью является только
то, что при делении дробей предварительно приводят их к
общему знаменателю.
Значение я = 3, употребляемое в первой книге, похоже, просто
сохранилось в силу давней традиции. Китайские математики тех
далеких времен умели и более точно вычислять значение я.
Например, в I в. до н. э. у Лю Синя встречается я=3,1547, во II в.
н. э. у Чжан Хэна я = У10- Это потому, что Чжан Хэн считал, что
квадрат длины окружности относится к квадрату периметра
описанного квадрата как 5:8. В III в. н. э. при вычислении длин
сторон вписанных многоугольников Лю Хуэй считал, что я=3,14.
Он исходил из предположения, что площадь круга
аппроксимируется снизу площадями вписанных многоугольников. Для
аппроксимации сверху площади этих многоугольников увеличиваются на
сумму площадей прямоугольников, описанных вокруг остаточных
сегментов. Отсюда 52n<Sp<5n+ 2(S2n—Sn).
Дойдя до 192 угольника, Лю Хуэй получил при R = 10.
596 == 313 — и 5Д92 = 314 — , откуда и заключил, что я =
G25 " 625
= 3,14. В литературе встречается утверждение, что ЛюХуэй
продолжил вычисления вплоть до 3072-угольника и получил я=
= 3,14159. В V в. н. э. Цзу Чун-чжи (430—501), по свидетельству
Вей Ши (643 г.) дал для я два подходящих значения дробей;
22 385
— и — , а также оценку значения я до седьмого знака:
7 113
3,141926<я<3,1415927.
Книга 2 «Соотношение между различными видами зерновых
культур» отражает идущию исстари практику взимания налогов
18
зерном, измеряемым в объемных мерах, и расчетов при
переработке этого зерна. Математические задачи, возникающие при
этом, — это задачи на тройное правило и на пропорциональное
деление. Ко второй книге была позднее добавлена группа задач на
определение стоимости предметов, число которых может быть
дробным.
Задачи на пропорциональное деление, деление
пропорционально обратным значениям чисел, а также простое и сложное
тройное правило составляют содержание и следующей, 3-й, книги
«Деление по ступеням». Правил суммирования арифметических
прогрессий здесь еще нет. Впервые они появились в VI в. у Чжан
Цяю Цзяня.
В 4-й книге «Шао гуан» (адекватный перевод названия автору
настоящей книги неизвестен) вначале речь идет об определении
стороны прямоугольника по данным величинам площади и другой
стороны. Затем следуют правила извлечения квадратных и
кубических корней, отыскания радиуса круга по известной его
площади. Правила сформулированы специально для счетной доски:
подкоренное число разбивается на разряды соответственно по 2 и 3
знака, затем последовательно подбираются промежуточные
значения для корня и дается правило перестройки палочек на
счетной доске. При решении задач, связанных с вычислением
элементов круга или сферы, принимается я = 3. Только в последней
задаче, где УШара= 1644866437500 чи и требуется найти диаметр по
3 / 27
формуле ^ = 1/ — V принято ^ = — (d = 143000 чи).
В книге 5 «Оценки работ» собраны задачи, связанные с
расчетами при строительстве крепостных стен, валов, плотин, башен,
ям, рвов и других сооружений. При этом вычисляются как
объемы, так и потребности в рабочей силе, материале, транспортных
средствах при различных условиях.
Книга 6 «Пропорциональное деление» начинается группой
задач о справедливом (пропорциональном) распределении налогов.
Математические методы здесь те же, что в книге 3, где речь шла
о распределении доходов между чиновниками разных рангов:
пропорциональное деление, простое и сложное тройное правило.
Кроме того, в 6-ю книгу входит серия задач на суммирование
отдельных арифметических прогрессий и задач о совместных работах
лиц с разной производительностью труда.
«Избыток — недостаток» — так называется 7-я книга. В ней
подобраны задачи, приводившие к линейным уравнениям и их
системам, и разработан способ их решения — метод двух ложных
положений. И в этом случае задачи расположены по
возрастающей степени трудности. Метод еще не сформулирован четко,
рассредоточен по задачам конкретного типа. Приведем примеры.
В задаче № 18 утверждается, что 9 слитков золота весят
столько же, сколько 11 слитков серебра. Если же переложить по
одному слитку, то вес золота и вес серебра будет различаться
19
на 13 ланов (16 ланов=1 цзинь). Задача определения весов
слитков сводится к системе уравнений
9х=11у; 8х + у+13=10у + х9
которая решается по правилу двух ложных положений. Именно по-
5 7
лежим х\ = 3 цзиня, х2 = 2 цзиня. Тогда У^Я— цзиня, у2=.1 —
И 11
цзиня. Подстановка этих значений во второе уравнение (в
котором все члены перенесены в одну сторону, пусть в левую) дает
соответственно: z\ = —49/(11-16) цзиня (недостаток) и г2=
= + 15/(11-16) цзиня (избыток).
Действительное значение х находится по правилу
.*№—X2Z1
Z2—21
15 9 53
и равно 2 — цзиня. Соответственно у = — х~\— цзиня.
64 11 64
В задаче № 16 говорится, что из яшмы (удельный вес,
скажем, =а) и камня (удельный вес Ь = а—1) составлен куб, общий
вес которого (Ро) и объем (Vo) известны. Веса Pi и Р2 и объемы
Vi и V2 яшмы и камня соответственно находят из системы
Vl + V2=V0i
aV{ + bV2=PQ,
которая решается подстановками: Vi = V0 и V2 = Vq.
Усовершенствование складывающихся в 7-й книге правил
решения систем линейных уравнений и распространение их на
системы с большим числом неизвестных изложены в правиле «Фан-
чэн», которому посвящена вся 8-я книга. В задачах этой книги
фигурируют системы до 5 линейных уравнений с
положительными корнями. Для всех систем установлен единый алгоритм
вычисления корней — фан-чэн. Состоит он в следующем: пусть дана
система линейных уравнений
й\\Х\ + #12#2+--. + #ln*n = &b
#21*1 +#22*2+ •••• + #271*71 = ^2>
#nl*l + #n2*2 + --- + annXn =&п.
В соответствии с китайским способом письма (справа налево,
по столбцам — сверху вниз) составляется расширенная матрица
системы
ат ¦
#п2 •
«ЯП • •
и» ..
. . аи
• • я22
• Я2г»
• ь,
<hx
аы
ат
h 1
20
Эту матрицу преобразовывают так, чтобы все числа левее и
выше главной диагонали стали нулями:
ГО ... О ап I
О ... a,, alt\
\К . . . »; 6х_|
Преобразование проводят обычным для теории матриц путем,
но при этом оперируют только со столбцами; столбцы и строки
матрицы здесь еще неравноправны. Преобразованная матрица
соответствует ступенчатой системе уравнений:
anXi + a{2X2 + .-. + annxn = bu
а'ъХ%+...+а2пхп==Ь2У
откуда последовательно определяются корни уравнений.
В процессе преобразования матрицы появились отрицательные
числа. Для их сложения и вычитания было введено особое
правило «чжэн-фу», которое можно перевести как правило «плюс-
минус». Так как все вычисления, в том числе и преобразования
матрицы, производились на счетной доске, то для обозначения
отрицательных чисел применялись счетные палочки иного цвета
или формы, а в случае записи — иероглифы разных цветов.
Практическую основу последней, 9-й, книги составляют
задачи определения недоступных расстояний и высот с помощью
теоремы Пифагора и свойств подобных треугольников.
Математически эта часть особенно интересна общей, почти алгебраической,
формулировкой правил. Помимо элементарных приемов
применения теоремы Пифагора в ней имеется метод нахождения
пифагорейских троек, т. е. целочисленных решений уравнений x2-\-y2=z2:
х=а% i/ = (a2-p2)/r, г=(а2+р*)/г.
Некоторые задачи сводятся к полным квадратным уравнениям,
а правила их решения эквивалентны общеупотребительным в
наше время формулам. Например, задача № 11 о размерах двери с
известными диагональю и разностью между длиной и шириной
сводится к двум уравнениям: х2+у2=с2; у—x=k или к полному
квадратному уравнению: 2x2 + 2kx-\-k2—с2=0- Сформулированное
в тексте правило, если переписать символически, будет
V 2 *~ 2
21
Выводов и доказательств, как и в других сочинениях, нет.
Существует гипотеза (Э. И. Березкиной), что правило было получено
из следующих соображений: x\,2=z±-kl2t
xl + xl = 2z* + 2(k/2)* = c\
откуда
z = -,/c»--2(fe/2)a
Мы остановились подробно на обзоре содержания
«Математики в 9 книгах», так как это сочинение является самым
значительным, и, пожалуй, единственным крупным памятником древней
китайской математики, имеющим к тому же энциклопедический
характер. Оно показывает, что в течение многих веков математика
Китая развивалась преимущественно в
вычислительно-алгоритмическом духе, создав существенные элементы алгебраического
подхода к решению задач.
Причины того, что математика Китая (ниже мы узнаем, что и
математика Индии) приобрела такие особенности, коренятся в
общественно-экономических условиях жизни общества.
Последние были таковы, что эти государства в качестве одной из
основных функций вынуждены были принять на себя организацию
общественных работ в области ирригации, транспорта и
оборонительных сооружений. Постоянные заботы о календаре и об
общности и строгости религиозных установлений усугубляли эту
направленность научных занятий. Феодальный уклад жизни и
давление религии определяли медленный, застойный характер
развития всех наук, в том числе и математики.
Вычислительно-алгоритмическую направленность китайская
математика сохранила и в последующие времена, вплоть до XIV
века. Наибольшие успехи были достигнуты снова в области
арифметики, методов вычислений и алгебры. В VII в. у Ван Сяо Туна
появились задачи, сводящиеся к кубическому уравнению. Речь
идет о следующем: в прямоугольном треугольнике известны про-
изведение катетов: ху = Р = 706 — и разность между гипотенузой
9
и одним из катетов: |/*2+-*/а— *=Q=36~ .Требуется найти
стороны треугольника.
О Р2
Ван Сяо Тун для решения уравнения х3 + — х2
=0ссылается, как на общеизвестный, на метод, который используется и
для извлечения корня. Ссылки на этот метод имеются и в
«Математике в 9 книгах», и в позднейших работах. Но подробное
разъяснение метода нашлось только в работе математика XIII
века Цинь Цзю Шао «Девять разделов математики».
Сущность этого метода, получившего название метода
«небесного элемента» (так называлась неизвестная величина х), тако-
22
ва: дано уравнение в общем виде Рт(х)=0. Для определенности
пусть Рт(х)=аАх4 + агХъ + С12Х2+а1х+ао. Первую цифру р корня
отыскивают подбором. Делают подстановку х=у+р. Получается
вспомогательное выражение
q>(y)=Aiy*+A3yZ+A2y2+Aly+Ao.
Последовательность операций по нахождению коэффициентов
выразим схемой
+
«4
1
1
+
+
G3
а*Р
а3
*\Р
а3
ЧР
#2
агр
Яг,
а"зР
а2
а3р
=л3
а-т.
a'lP
a'i
HP
a\
= л2
a'\P
a'o
•=Ai
Путем подбора снова находят первую цифру корня
вспомогательного уравнения у(у)—0, или, что то же самое, вторую
цифру корня уравнения Рп(х)=0. Пусть это будет q. Подстановка
y—z+q приводит к уравнению ij)(z)=0, коэффициенты которого
находят вновь по приведенной схеме и т. д.
Цинь Цзю Шао демонстрирует этот метод на примере:
—х4 + 763200*2—40642560000=0, корень которого х=840.
Этот же метод без изменений применялся к извлечению корней
любой степени. При этом решается уравнение хп—а=0. Таким
способом найдены, например, ]/l75576, У 1336336 и др.
Метод небесного элемента был крупным достижением,
завершившим развитие алгебраических элементов самобытной
математики Китая в средние века. Китайские математики применяли его
охотно и искусно. Например, Чжу Ши-цзе (ок. 1300 г.) находил
этим методом не только целые, но и рациональные корни.
Например, в уравнении
576*4—2640*3 +1729х2 + 3960с— 1695252 = 0
он подбирает целую часть корня, равную 8, проделывает
подстановку х=у+8 и получает
576*/4 + 15792*/3 + 159533*/2+704392//—545300=0.
23
Затем, чтобы привести уравнение к виду, в котором коэффициент
при высшей степени неизвестности равнялся бы единице, он
делает подстановку у ¦
576
и, определив из нового уравнения, что
ооА 384 2 0 2
z=384, заключает последовательно, что и~ — =-,ах = 8-.
576 3 3
Метод небесного элемента по своей математической сущности
эквивалентен методу Руффини — Горнера, открытому в Европе к
началу XIX в.
В средние века в математике Китая все больше выявлялись и
формировались алгебраические элементы как в части создания
общих алгебраических методов, так и в усовершенствовании
символики. В «Драгоценном зеркале четырех элементов» (1303 г.;
четыре элемента — это неизвестные, образно названные: небеса,
земли, мужчины, вещи) Чжу Ши-цзе решал задачи, приводящиеся
к системам 4 уравнений с 4 неизвестными. Обращает на себя
внимание аригинальная символика. Например, формула ах + Ьу+\
+ cz + du у него записывается в виде
о 1
Рис. 2
Рис. з
а полином x2 + 2xy + y2+2yz + z2 + 2zu+u2 + 2ux —фигурой (рис.З),
Свободный член, если он есть, размещают в центре этой схемы.
Другим крупным достижением математиков средневекового
Китая было регулярно применяемое суммирование прогрессий
? =
п(п + 1)
*==!
У к2= п(п+\)(2п + 1) ^
известное из сочинений Шэнь Ко (XI в.) и Ян Хуэя (XIII в.).
Своеобразные приемы вычисления таких сумм покажем на
примере вычисления числа ядер, сложенных в пирамиду с
квадратным основанием. Пусть для определенности в пирамиде
насчитывается 5 слоев. Тогда количество ядер 5 = 12+22-Ь32+42+52. Из
соотношений: 12=1; 22=1 + 3; 32=1+3 + 5; 42=1 + 3+5+7;
52=1 + 3+5 + 7 + 9 следует, что S = 5-l+4-3 + 3-5 + 2-7+l-9, или в
общем виде:
S=n-l + {n—1)-3 + {/г—2)-5+... +1-(2/г—1),
24
чему на таблице соответствует часть, помеченная крестиками.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+
+
+
+
0
0
0
0
0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-ь
+
+
+
+
+
+
+
+
0
0
0
0
0
+
+
+
+
+
+
+
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+
+
+
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
О 0 + -b + + 4- + -f 00
o + + + -f + + + -f + o
Прибавив еще
2S = 2n2+2(n—1)2+2(п—2)2+ ... +2-12,
повторяя таблицу с обеих ее сторон, получим
35= (2п+ l)nf (2п+1) (п—1) + ... + (2п+,1) 1 =
= (2п+1)п(п+1)/2,
откуда, наконец,
5 = п(л+1)(2л+1)/6.
Наряду с этими результатами в сочинениях китайских
математиков можно найти элементы комбинаторики, в том числе
треугольник биномиальных коэффициентов, известный нам под
названием «арифметический треугольник Паскаля».
Существуют примеры исследований теоретико-числового
характера. Например, Сунь Цзы (III в. н. э.) решал задачу
нахождения числа, которое при делении на 3, 5, 7 давало бы
соответственно остатки 2, 3, 2. Это задача на решение линейной системы
сравнений с попарно взаимно простыми модулями:
'Srf^ U=3. *=5, ,3=7 I"
х = r3(mod <73)
Сунь Цзы находит вспомогательные числа Nu N2, #з> для
которых
Niq2qs^l (mod?i), 35N^l (mod3), 2Л^1 (mod3),
^2?i?3=l(mod^2), т. e. 21A^l(mod5), или N2=l(mod5),
N$qiq2-1 (mod^3), 15#3= 1 (mod7), #3=1 (mod7).
Тогда
#i = 2, ЛГ2=1, #3 = 1, #i<72?3 = 70, #2^1^3 = 21, JV3<yi<72=15,
25
x=(Niq2qb+N2qiqz + Nzqiq2) {modqiq2qz),
*= (140 + 63+30) (modl05)^233(modl05), x=233—105/.
При t=2 наименьшее значение x равно 23.
Аналогичные задачи решались и в более поздние времена.
Так, Цин Цзю Шао (XIII в.) решал задачу, сводящуюся к
следующей системе сравнений:
x^32(mod83),
#^70(modll0),
jc^32(modl35).
Практический подход к задачам геометрии, который
преобладает в «Математике в 9 книгах», сохранялся в китайской
математике на протяжении всего рассматриваемого исторического
периода. В геометрическом наследии древнего и средневекового Китая
видное место занимает сочинение Лю Хуэя (III в. н. э.)
«Математика морского острова», имевшее вначале характер комментария
и добавления к последней части «Математики в 9 книгах». В
окончательном виде в «Математику морского острова» входят
задачи на определение размеров недоступных предметов и
расстояний до них. Решаются они, как было уже упомянуто,
применением теоремы Пифагора или подобия треугольников. Попыток
систематического дедуктивного построения математических теорий в
научном наследии Китая не обнаружено.
Все известные нам источники утверждают, что с XIV в. в
науке Китая начинается длительный период застоя. Добытые ранее
знания не развиваются и даже забываются. Математика
«прирастает» преимущественно за счет усвоения иностранных источников.
В 1583 г. в Китай проник иезуит-миссионер М. Риччи, вслед за
которым Китай наводнила целая армия священнослужителей и
монахов. Видимо, не без их содействия в 1606 г. там впервые
появились «Начала» Евклида, а в 1650 г. — таблицы логарифмов
Влакка (Флакка). Оригинальное же развитие китайской
математики под давлением интервентов, колонизаторов и
законсервировавшихся феодально-монархических форм государственного
правления практически прекратилось.
Математика древней Индии. В математике древней и
средневековой Индии много сходного с математикой Китая. Индийская
математика тоже является наукой древней, издавна
составляющей часть культуры. В ней также преобладали вычислительно-
алгоритмические методы и отсутствовали попытки построения
дедуктивных систем; геометрия индийцев также практическая.
Эта общность (или сходство) характера математических
знаний и путей их совершенствования не случайна. Она отражает
сходность путей исторического развития обеих великих стран и
давние всесторонние связи между ними. В Индии к началу
нашей эры уже сложилась развитая феодальная система
организации общества. Длительная консервация феодальных отношений
26
усугублялась кастовым расслоением социальных групп населения,
что определило, несмотря на бурное временами течение
политических событий, весьма медленный темп развития производства и
науки.
Самыми ранними памятниками математической культуры
индийцев являются религиозные книги: сутры и веды. Их
происхождение относят к VIII—VII вв. до н. э. Написаны они на давно
уже умершем языке — санскритском. В них мы находим
геометрические построения, составлявшие важную часть ритуалов при
постройке и использовании культовых сооружений: храмов,
алтарей и др. В них можно найти первичные подходы к квадрирова-
нию круга, применение теоремы Пифагора. Встретилась и
арифметическая задача о нахождении пифагорейских троек
натуральных чисел.
Числовая система с давних времен определилась как
десятичная. Столь же рано определилась склонность к оперированию
большими числами, что нашло свое отражение в легендах.
Будда, например, отличался феноменальным умением считать. Он
строил числовые десятичные системы до 1054, давая наименования
каждому промежуточному результату. Женихи прекрасной
богини Земли, добиваясь ее руки, должны были соревноваться в
письме, арифметике, борьбе и стрельбе из лука. Победитель
соревнования Сарватасидда придумал, в частности, шкалу чисел,
возрастающих в геометрической прогрессии со знаменателем 100, до
107+9"46, т. е. до числа с 421 нулем. Пристрастие к громадным
числам было своеобразной математической традицией в
индийской науке.
Наиболее яркий период, оставивший самые значительные
образцы математических достижений, — это V—XII века нашей эры. В
эти времена жили и трудились выдающиеся ученые —
математики и астрономы: Ариабхатта (конец V в.), Брахмагупта (род. в
598 г.), Магавира (IX в.), Бхаскара Акарья (род. в 1114 г.,) и
другие.
От Ариабхатты, например, дошло до нас сочинение в
стихотворной форме по астрономии и математике. В нем
сформулированы правила арифметики, геометрии и тригонометрии.
Брахмагупта, также стихами, написал огромное сочинение в 20 книгах
«Усовершенствованная наука Брахмы», в котором 12-я книга была
посвящена арифметике и геометрии, а 18-я — алгебре и
неопределенным уравнениям. Значительное математическое содержание
имеют две книги Бхаскары «Лилавати» и «Виджаганита».
Первую из них Бхаскара посвятил своей дочери. В поэтической
манере в 13 отделах книги он описывает: искусство измерений;
арифметические действия над целыми числами и дробями, включая
извлечение корней; способ обращения, способ ложного положения и
другие специальные приемы решения задач; задачи о бассейнах
и смесях; суммирование рядов; планиметрию; вычисления
различных объемов; задачи неопределенного анализа; задачи
комбинаторики.
27
Другое сочинение Бхаскары — «Виджаганита» — состоит из 8
отделов: арифметические действия над положительными и
отрицательными числами; неопределенные уравнения 1-й и 2-й
степеней; линейные алгебраические уравнения; квадратные уравнения;
системы линейных уравнений; неопределенные уравнения 2-й
степени.
Главной особенностью индийской математики является
преобладание вычислительных приемов, преподносимых учащимся или
читателям в догматической форме. Среди арифметического
материала обращает на себя внимание широкое распространение
правила обращения: задумывается число, но противнику или
ученику сообщают лишь последовательность операций над ним и
конечный результат. Решение задачи состоит в последовательном
проведении всех операций в обратном порядке. Например, в
сочинении Бхаскары «Лилавати» перед некоей красавицей (Лилава-
ти означает: прекрасная) ставится задача: назвать число, которое,,
будучи умножено на три, увеличено затем на три четверти
произведения, разделено на 7, уменьшено на — частного, умножено
о
само на себя и уменьшено на 52, после извлечения квадратного
корня, прибавления 8 и деления на 10 дает 2.
Среди других правил вычислительной практики индийских
математиков есть также правила извлечения квадратных корней и
действий с иррациональностями.
Оперирование с большими числами (в качестве еще одного
примера приведем задачу нахождения числа членов
геометрической прогрессии из условий а{—3, q = 5, S=22888183593), помимо
отработки единой числовой десятичной системы с нулем и
числовой символики, привело к введению в математику представлений
о бесконечно больших числах. Бхаскара вводил это
представление, рассматривая выражения вида — и поясняя, что это есть
тоже число, но не претерпевающее изменений (приращения или
убывания), какое бы большое число мы к нему ни прибавляли
или от него ни отнимали. Его, по выражению Бхаскары, можно
уподобить вечному времени бесконечной цепи существований.
Индийские математики ввели и правильно разъясняли поцятие
отрицательного числа. Так, Брахмагупта разъясняет, что числа
могут трактоваться либо как имущество, либо как долг. Правила
операций с числами тогда таковы: сумма двух имуществ есть
имущество, двух долгов — долг, имущества и долга — их
разность, а если они равны — нуль. Сумма нуля и долга есть долг,
имущества и нуля — имущество. Произведение двух имуществ
или двух неимуществ есть имущество; результат произведения
имущества на долг представляет собою убыток. То же правило
соблюдается при делении. Квадрат имущества или долга есть
имущество; имущество имеет 2 корня; один составляет прибыл ь^
другой — долг. Корня убытка не существует, ибо таковой не
может быть квадратом. Однако, вводя отрицательные числа, индий-
28
ские математики не использовали их как равноправные элементы
математики, считая их только чем-то вроде логических
возможностей, потому что, как пишет Бхаскара, люди с ними не согласны.
Кроме правил и задач арифметики в индийскую математику
входили также решения многих задач алгебры, неопределенного
анализа, комбинаторики. Алгебраические элементы — это прежде
всего правила решения линейных уравнений, их систем и
квадратных уравнений. Например, Ариабхатта формулирует задачу:
капитал (обозначим его р) отдан в рост. Прирост за месяц, х,
отдан снова в рост на t месяцев. Общий прирост равен q. Каков
прирост за месяц?
Соответствующей формулы tx2-{-px=pq Ариабхатта,
разумеется, не пишет, но правило, сообщаемое им, есть общее для
квадратного уравнения. В самом деле оно выглядит так: умножь
сумму прироста и прироста на время и капитал, прибавь квадрат
половины капитала, извлеки квадратный корень, затем вычти
половину капитала и раздели остаток на время. Соответствующая
формула, очевидно, будет
х = Vqpt+pV*-p/2 ^
t
Изобретение методов решения задач неопределенного, или дио-
фантова, анализа является одним из высших достижений
индийской математики. Появление подобных задач и поиски методов их
решения — общая тенденция во всех древних математических
культурах. Причина этого лежит, вероятно, в необходимости
изучения периодически повторяющихся явлений, например, в
астрономии.
В самом деле, вопрос о периоде времени, состоящем
одновременно из целого числа дней (х) и целого числа лет (у), приводит
к неопределенному уравнению: Ю960у=30х. Другие вопросы,
например о периодах повторения иных явлений, приводят к полным
неопределенным уравнениям. Индийские ученые умели отыскивать
целочисленные решения ряда видов таких уравнений 1-й и 2-й
степеней.
Мы уже обращали внимание читателей, что, как правило, в
индийских источниках не воспроизводятся ни ход рассуждений, ни
доказательства. Впрочем, то немногое, что известно, показывает
наличие ряда теоретико-числовых методов. Например, известно,
что корни неопределенного уравнения 1-й степени ах—Ьу=с
получаются умножением на с корней уравнения ах—Ьу=1.
rx i 2х 1
Пусть a>b\ a=bq-\-r\ qx-\ */= — ; y—qx-] ~qx+r.
b b b
Чтобы решение у было целым, необходимо, чтобы z было
целым, т. е. задача сводится к решению уравнения rx—bz=l,
коэффициенты которого меньше коэффициентов заданного уравнения
(г<&, b<.a)t а вид уравнения не изменяется. Продолжая эту
операцию, мы за конечное число шагов дойдем до уравнения
29
a—rnv—l. Возвращаясь к исходному уравнению, выразим х и у
через^ v. Возможно, этот метод был получен по аналогии с
процедурой нахождения общего наибольшего делителя или с
алгоритмом непрерывных дробей.
^Приведем еще один пример решения неопределенных уравне-
?Г*м/ра1ТНИе *У=ах+Ьу+с преобразовывалось к виду
{X—0)(y—a)=c + ab с помощью следующей геометрической
интерпретации:
Площадь всего «ачерченного на
рис. 4 прямоугольника S=x-y.
Площадь гномона: ax + by—ab. Не-
заштрихованная часть: Si =
— (x—b) X {у—а). В то же время
Sx = xy—ax—by + ab = c + ab по
условию. После этого правую часть
представляют в виде произведения
двух целых сомножителей.
Рассмотрим, наконец, циклический метод Бхаскары для
решения уравнений вида у*=х2+1. Вначале пробами подбирают
числа Хи у и Ъи так, чтобы они удовлетворяли уравнению ах\+Ьг =
=У1, и при этом ху и Ьх были взаимно просты, а Ьх — возможно
меньше. Это можно сделать, хотя бы положив ух/хх**1/а. Теперь
составляют соотношение (xxz+yx)/bx=x2f т. е. xxz+yx = bxx2. Из
него получают целочисленные значения х2 и zh выбирая их так
чтобы z—а было как можно меньше. Тогда (z2—a)/bx = b2 —
целое, a xxz+b2 равно квадрату, т. е. yl, откуда ах\+Ь2=у1.
Повторениями получают убывающую последовательность целых чисел
Ь\, Ь2, ..., 1 и, наконец, ax\+\=y2k.
Доказательства, как всегда, нет. Впервые его опубликовал
лишь Лагранж. Что касается имени Пелля, то нам неизвестно,
почему оно было присвоено уравнению. Но традиция и историческая
достоверность не всегда совпадают.
Рациональные решения индийские математики получали
следующим образом: для произвольных хх, Ух и хъ у2 и
соответственных ох и Ъ2 составляли уравнения
я*1-0?-*1, ^(хУа-у^хУа+у^,
a*2—yh=b2t Ь2=(х2Уа-у2)(хУа+уг),
b\b2=(axxx2±yxy2)2—a(xxy2±x2yx).
Полагая, что известен корень х0, у0: ах20—уЪ=Ь, из выражения
для bxb2 получали: х=2х0у0; y=axl+yl или
а(2*оУо)2 + Ь*=(ах1+у1)\ или a (?*j^Y + i = 1^А\\
К области алгебры и теории чисел в индийской математике
отнесем, наконец, элементарные сведения из комбинаторики, треу-
30
п п
гольник Паскаля, умение вычислять V. k и V k2 и другие
сведения.
Индийская геометрия несет в себе все черты прикладной
науки. Есть чертежи, есть правила, иногда даже правил нет, под
чертежом написано только: «смотри!». Некоторый интерес
представляют тригонометрические таблицы, в которых хорды заменены
полухордами. Тем самым вводятся в рассмотрение
тригонометрические по существу функции: синусы, косинусы и синусы-версу-
сы (sinvers а=1—cos а).
В истории Индии имеется достаточно фактов,
свидетельствующих о наличии экономических и политических связей с
греческими, египетскими, арабскими государствами и с Китаем. Считается
в математике бесспорным индийское происхождение десятичной
системы счисления с нулем и правил счета в этой системе.
Можно проследить заимствование индийцами ряда геометрических
сведений у греков. Но для суждений о связях и взаимных влияниях
математики Индии и других стран еще мало материала.
Наконец, выскажем общие суждения, характеризующие тот
период истории математики, когда появлялись и накапливались
математические знания. То, что было описано выше, дает нам
основания утверждать, что в различных странах, обладающих
древними цивилизациями, происходили сходные процессы накопления
математических фактов: освоение вычислительных приемов и
алгоритмов, способов определения размеров геометрических фигур и
тел, отработка удобной символики. Процесс этот очевидным
образом подчинялся внематематическим определяющим мотивам,
непосредственным образом служил целям, вызываемым нуждами
экономики и общественного устройства.
Малочисленность источников, временная и территориальная
разобщенность сведений о государствах древнего мира делают
затруднительным, а то и невозможным детальное воссоздание
путей последовательного совершенствования математических
знаний в те далекие времена. Не последней причиной было то, что в
более поздние периоды истории, в эпоху колонизации, т. е.
грабежей и порабощения, были уничтожены почти все памятники
культурной жизни коренных обитателей многих стран и даже
континентов.
История учит, что развитие всех форм деятельности
человеческого общества происходит под воздействием единых мотивов
экономического свойства. В области математических знаний это
определяющее воздействие стимулирует множественность очагов их
возникновения. Математика возникала и получала развитие во
многих странах, нередко весьма удаленных друг от друга и
между собою, казалось бы, не связанных. При этом всегда
действовали и проявлялись общие закономерности: происхождение
математики из практической деятельности людей, выделение числовых и
геометрических абстракций в качестве отдельной области челове-
32
ческих знаний, образование логически последовательных систем
абстракций, применение последних к решению практических задач
и так далее. Однако конкретные формы и способы осуществления
и проявления общих закономерностей, характер математической
науки в рассматриваемый период времени, соотношения и роль ее
частей имели всегда (и имеют сейчас) много различий и
особенностей. Все это необходимо принимать во внимание, чтобы получить
адекватное понимание путей развития математики и
обоснованное представление о перспективах.
Следующий уровень развития математики будет
характеризоваться тем, что из накопленных совокупностей математических
знаний будут появляться математические теории. Для того чтобы
это стало возможным, в рассмотренном здесь длительном периоде
накопления математических знаний складывались следующие
предпосылки:
а) возможность предварять непосредственное оперирование с
вещами оперированием с их упрощенными, схематическими
изображениями и наименованиями (символами). На последующих
ступенях исторического развития это привело к формированию
числовых систем и геометрических построений. Открылись
возможности построения систем абстракций, характерных для
теоретической части математики;
б) умение заменять конкретную задачу канонической задачей в
достаточно общей постановке, решаемой по достаточно
определенным правилам, охватывающим достаточно большую совокупность
частных случаев. Термин «достаточно» рассматривается,
понимается и определяется исторически в контексте складывающихся
ситуаций. На этом пути появляются все усложняющиеся формы
алгоритмов, а затем вырастающих из них математических
исчислений — все то, что характерно для оперативной, прикладной, части
-математики.
Когда упомянутые предпосылки начинали действовать в
заметных масштабах, а в обществе образовывались прослойки
людей, умеющих пользоваться определенной совокупностью
математических оперативных приемов и суждений, тогда появлялись
основания говорить о начале существования математики как науки,
как специальной области научных исследований.
ГЛАВА 2
ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКИ
Математические знания практического характера, как было
показано, имеют древнее происхождение, множественность
источников возникновения, тесные связи с практикой и зависимость от
всех ее видов.
Теоретическая же часть математики имеет истоки в научных и
философских школах древней Греции. Вклад этих школ в развитие
математики, более того, всей системы наук, настолько значителен,
что «теоретическое естествознание, если оно хочет проследить
историю возникновения и развития своих теперешних общих
положений, вынуждено возвратиться к грекам» (Ф. Энгельс.
Анти-Дюринг. М.: Политиздат, 1970. С. 340—341).
В период VI—IV вв. до н. э., к которым относится материал,
необходимый нам здесь для анализа, Греция представляла собой
совокупность рабовладельческих государств — полисов (городов),
ведущих оживленную торговлю как между собою, так и с
другими государствами Средиземноморья: Египтом, Финикией, Персией
и т. д. В полисах античной Греции техника, архитектура, наука и
культура достигли высокого уровня, что с большой
убедительностью демонстрируют сохранившиеся прекрасные исторические
памятники и свидетельства. Дошедшие до нас труды античных
ученых и сведения о них показали, что в древней Греции сложились
основные типы мировоззрений, действовали многочисленные
естественнонаучные школы. Ведущими среди этих
натурфилософских школ последовательно являлись: ионийская (VII—VI вв. до
н. э.); пифагорейская (VI—V вв. до н. э.) и афинская (со второй
половины V в. до н. э.). В этих школах с большой широтой и
обстоятельностью разрабатывались и математические проблемы.
§ 2.1. ПЕРВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
В математике древней Греции практические вычисления и
задачи, связанные с необходимостью арифметических выкладок и
геометрических измерений и построений, продолжали играть
большую роль. Новое, однако, проявлялось в том, что эти задачи
постепенно сделались частью знаний подневольных и наемных
людей. Произошло фактическое, а затем общепринятое выделение
их в отдельную область знаний, получившую наименование
«логистика». К логистике были отнесены: операции с целыми числами,
численное извлечение корней, счет с помощью вспомогательных
устройств, например абака и счетов, вычисления с дробями, чис-
33
ленное решение задач, сводящихся к уравнениям линейным и
квадратным, вычислительные задачи архитектуры, землемерия
и др.
В то же время набирал силу процесс накопления абстрактных
математических фактов и соединения их в логически
последовательные теоретические системы. Это формировалась подлинная
[ха^щхатш)} (от греч. слова ^освчща — знание, наука). Особо
заметным сделался этот процесс в школе Пифагора. Там
происходило выделение из совокупности вычислительных знаний, из
арифметики, тех фактов, которые относятся к общим свойствам
операций с натуральными числами и к характеристикам самих
чисел.
Рассматривались вопросы о четности чисел, о делимости, вве-
1 п
дены различные средние: арифметическое — У! аь> геометричес-
*— 1
п f~~n п
кое — 1 / f] ак и гармоническое — Л i • Рассматривались
k=l ак
пропорции: арифметическая, геометрическая и гармоническая
/ 1 1 1 1 ч
(имеющая вид — ), получившая название из тога
abed
факта математической теории деления звучащих интервалов, что
интервалы между тонами обратно пропорциональны высоте тона.
Стали в этот период известными способы суммирования неслож-
п
ных прогрессий и суммы вида ^ (2k—\)—n2.
Что касается теоремы Пифагора, то наряду с геометрическим
доказательством был найден способ подбора неограниченной
последовательности троек пифагоровых чисел, т. е. троек
натуральных чисел а, Ь, с, удовлетворяющих соотношению а2+Ь2=с2. Они
имели вид: п, (п2—1)/2, (/z2+l)/2, где п — нечетное. Другое пра-
: п, (—У — 1, /— Y + 1 мы находим у Платона (429—348 г.
до н. э.), т. е. в более позднее, но достаточно близкое время.
Результаты, полученные в школе Пифагора, относятся
главным образом к теории чисел, или, как было принято до недавнего
времени говорить, к теоретической арифметике. Обстановка, в
которой эти результаты были получены, характеризовалась тем, что
отдельным числам и числовым соотношениям приписывались
таинственные, магические свойства, а само занятие
теоретико-числовыми проблемами рассматривалось как удел «избранных» и
«посвященных».
В том же историческом периоде происходили абстрагирование
геометрических сведений, их накопление и систематизация.
Появились специальные сочинения, в которых излагалась
сложившаяся к тому времени система геометрических знаний. Таковы,
навило
34
пример, «Начала» Гиппократа Хиосского. В геометрических
работах вводились и совершенствовались приемы геометрического
доказательства. В том числе рассматривались теорема Пифагора,
задачи о квадратуре круга, трисекции угла, удвоении куба, квад-
рйровании несложных площадей, в частности ограниченных
кривыми линиями.
Одной из первых причин создания математических теорий
явилось открытие иррациональностеи, вначале в виде установления
геометрического факта несоизмеримости двух отрезков прямой.
Значение этого открытия трудно переоценить. В математику было
включено такое понятие, которое представляет собой
геометрическую абстракцию, не имеющую достаточно прочной опоры в
донаучном общечеловеческом опыте.
_Едва ли не первой обнаруженной иррациональностью явился
У2. Можно предположить, что исходным пунктом этого открытия
были попытки найти общую меру с помощью алгоритма
попеременного вычитания, известного сейчас как алгоритм Евклида.
Возможно, что некоторую роль сыграла задача математической
теории музыки: деление октавы, приводящей к пропорции 1:/г=
=/г:2. Не последней, по-видимому, причиной явился характерный
для пифагорейцев общий интерес к проблемам теории чисел.
Логически строгое доказательство иррациональности V2 путем
приведения ^проблемы к противоречию было найдено очень
давно. Пусть У2=т/п, где тип — взаимно простые числа. Тогда
т2=2п2. Отсюда следует, что т2 четное. Следовательно, т четное.
Тогда п должно быть нечетным. Однако если т четное, то т2
делится на 4 и, следовательно, п2 четное. Четно, значит, и п.
Получающееся формальное противоречие (число п не может быть
одновременно, и четным и нечетным) указывает на неверность
исходной посылки о рациональности У2.
Исследования вновь открываемых квадратичных
иррациональностеи сразу же вызвали необходимость разработать теорию
делимости. В самом деле, пусть У/г=р/^, где р и q — взаимно
просты, а п есть произведение только первых степеней сомножителей.
Отсюда p2=nq2. Если t — простой делитель п, то р2 (а значит, и
р) делится на t. Следовательно, р2 делится на t2. Но в числе п
содержится только первая степень t. Значит, q2 (равно как и q)
делится на t. Но этот результат формально противоречит условию,
что р и q взаимно просты. __
Вслед за иррациональностью У2 были открыты многие другие
иррациональности. Так, Архит (конец V в. до н. э.) доказал
иррациональность чисел вида 1/п(п+1). Теодор из Кирены
установил иррациональность квадратного корня из конкретных
неквадратных чисел в отрезке [3, 17]. Теэтет (начало IV в. до н. э.) дал
одну из первых классификаций иррациональностеи.
С появлением иррациональных объектов в неокрепшей
греческой математике возникли серьезные трудности как в теоретико-
числовом, так и в геометрическом аспектах. Была фактически по-
35
ставлена под удар вся теория ^ZTucTelTcymnolrl оТк'рыГо
звала дальнейшее развитие геометрических^«юрии.
re:==^^
Ж?ГЖ?^^ -дано и полу-
РезкиРпРямой. С ними были опреде^^^^^^зков вь1
?ия. Сложение интерпретировало"-W™™*™»"* ^
читание - отбрасыванием от °;Р^п\^С™п0Рстроению двумерно-
отрезку. Умножение отрезков ПРИВ°А™? * n?"Sпрямоугольник
roPo6PL; "Р-3^— к по-
со сторонами а я b. 1JP™ Bef ™ р /е большего числа со-
строению параллелепипеда, а "Р^вреДнееН^0ГЛ°0 рассматриваться,
множителей в геометрической алгеб^/* ^™о Рас Р
Деление оказывалосьвозможным лишь при Условии, ^^
ность делимого не больше Ра3"Дрн°„™жения ПЛОщадей: прило-
ровалось эквивалентной задачей прможения щ ре
жить к отрезку-^^^^^^^^ ДрУ к другу
шение задачи (см. ?нс-*>™™™ ? нового прямоугольника,
прямоугольников ab и be и в построении но у уг0ЛЬНИКа 6с,
Гние »S^^W?. означав приложе-
""ТгГмСесую алгебрувходила . с™7^™^1
XJ *
аб
ab
Рис. 5
Рис. 6
36
Метод приложения площадей был распространен и на задачи,
сводящиеся к квадратным уравнениям. Примерами таких задач
являются: определение сторон правильных вписанных
многоугольников; так называемое «золотое» сечение отрезка прямой, т. е.
деление отрезка а на 2 части х и а—х, удовлетворяющие
соотношению а:х=х(а—х); выражение длин ребер правильных
многогранников через диаметр описанного шара и др. Решение этого
класса задач проводилось единым каноническим методом,
имеющим следующие 3 разновидности в зависимости от вида
квадратного уравнения:
а) построить квадрат, равновеликий заданному прямоугольнику
ab. Существо метода заключается в замене прямоугольника
разностью квадратов
ADDG = rmMOuyCLGDlBlB = CB2—LG2.
ab= (a-±HY - 1а-
Если упростить обозначения, получим
и в последующем — теорему Пифагора (см. рис. 7 и 8). Такое же
построение было применено, когда искали среднее геометрическое:
а:х=х:Ь.
А С j
1
и в
6
Рис. 7
Рис. 8
б) Приложить к данному отрезку АВ=а прямоугольник AG,
равный заданной площади S — b2, так, чтобы часть площади,
недостающей до полного прямоугольника АК, была квадратом
DK=x2 (рис. 9).
По условию задачи Ь2 = (а—х)х, но (а—х)х = гномону
CLD.B.B^ (а/2)2—(а/2—х)2.
С помощью теоремы Пифагора отыскивается отрезок а/2—х,
а затем —х. Этот тип приложения площадей называется эллип-
L\ /\G
С, D,
Рис. 9
37
тическим (от греческого слова eMenJjig —¦ недостаток).
в) Приложить к данному отрезку А В=а (рис. 10)
прямоугольник АК, равный площади 5 = 62, так, чтобы избыток над
прямоугольником AG был квадратом ВК=х2.
Ь2=(а + х)х, но (а-Ьлг)л:=гномону CLGBiD{D =
= (а/2+х)2-(а/2)2.
Следовательно, b2 = (a/2 + x)2—(а/2)2, откуда с помощью теоремы
Пифагора находится построением отрезок а/2+х, а затем — х.
Этот тип приложения площадей называется гиперболическим (от
греческого слова ФяерРоЛг) — превышение, избыток).
Очевидно, что подобный метод давал только один
положительный корень квадратного уравнения. Древние математики
понимали необходимость так формулировать условия задач
геометрической алгебры, чтобы они заведомо имели положительное
решение. Поэтому на условия задачи они в необходимых случаях
накладывали ограничения (6iopic|Lioc; —диоризмы).
Это обстоятельство сужало области применения методов
геометрической алгебры. Возможности такого исчисления
ограничивались еще больше из-за того, что ее объектами были образы
размерности не выше второй. Средствами построения были только
циркуль и линейка. Можно было представить себе в рамках
геометрической алгебры операции с трехмерными образами. Этого,
однако, не делалось, потому что даже такая, казалось бы, простая
задача, как построение куба, объемом вдвое больше данного, не
поддавалась решению циркулем и линейкой. Задачи же,
приводящиеся к уравнениям степени выше третьей, как было сказано, в
геометрической алгебре древних были просто невозможными.
Недостаточность геометрической алгебры как общей
математической теории была особенно подчеркнута выделением класса
задач, не поддающихся решению с помощью циркуля и линейки.
Среди таких задач наибол-ее известны удвоение куба, трисекция
угла и квадратура круга.
Задача об удвоении куба, т. е. о построении куба с неизвестным
ребром х, имеющего объем вдвое больше заданного, сводится к
решению кубического уравнения: х3 = 2а3. Равносильной задачей
является задача построения отрезка прямой длины у 2. Задача
была популярной, о чем говорит дошедшая до нас издревле
легенда о требовании оракула на острове Делос увеличить вдвое
объем стоящего перед ним кубического жертвенника как условия для
прекращения возникшей эпидемии. Многочисленные попытки
решить эту задачу с помощью вычислений в поле рациональных
чисел или же методами геометрической алгебры оказались,
разумеется, неудачными.
Первого успеха в решении этой задачи добился Гиппократ
Хиосский (середина V в. до н. э.). Он свел ее (точнее говоря, не эту,
а несколько более общую задачу преобразования параллелепипе-
38
да в куб) к задаче о нахождении двух средних
пропорциональных. В самом деле, пусть параллелепипед V=abc преобразован в
другой того же объема, но с квадратным основанием V=a2b, что
осуществимо средствами геометрической алгебры. Его надо
преобразовать в куб без изменения объема: хг—а2Ь. Ребро х искомого
куба определяется, по Гиппократу, из пропорции а:х=х:у=у:Ь.
Вероятно, проблема удвоения куба воспринималась в этом случае
как пространственный аналог задачи квадрирования плоских
фигур. Постановка задачи по Гиппократу является обобщением
соответствующей плоской задачи о вставке одной средней
пропорциональной: а:х—х:Ь.
Для решения задачи Гиппократа о вставке двух средних
пропорциональных были разработаны различные новые для того
времени методы. В большинстве они сводились к изучению
геометрических мест: х2=ау; xy=ab; у2=Ьх. Две средние
пропорциональные между а и Ь определялись как координаты точки пересечения
двух из этих геометрических мест. Последние в свою очередь
получили стереометрическую интерпретацию как сечения конусов
вращения.
История задачи об удвоении куба является одним из примеров
того, как протекал в древности процесс обогащения
математических методов. Именно таким образом конические сечения
появились в математике и стали средством решения проблем, которые
невозможно решить с помощью циркуля и линейки. Впрочем, для
удвоения куба применялись и другие способы. Эратосфен,
например, построил прибор (мезолабий), удобный для приближенного
решения. Однако ни один из методов не повлиял так сильно на
развитие античной математики, как метод конических сечений.
Дальнейшая судьба рассматриваемой задачи связана с
решением проблемы: возможно ли вообще решить ее построениями,
выполняемыми только циркулем и линейкой. Вместе с развитием
алгебры в последующие века задача приобрела алгебраическую
форму: может ли операция извлечения кубического корня из
рационального числа быть сведена к конечному числу извлечений
квадратного корня? Сомнение в возможности такого решения
высказал впервые Декарт в 1637 г. Но только лишь еще через 200
лет задача удвоения куба получила окончательное разрешение. В
1837 г. Ванцель доказал, что кубические иррациональности не
входят ни в поле рациональных чисел, ни в те его расширения, что
образуются посредством присоединения квадратичных иррацио-
нальностей.
Другой знаменитой задачей античности, не поддававшейся
решению средствами геометрической алгебры, была задача о
трисекции угла, т. е. о разделении произвольно задаваемого угла на
3 равных части. Эта задача, как и предыдущая, сводится к
решению кубического уравнения, что делается очевидным из
тригонометрического соотношения cos<p=4cos3((p/3)—3cos(<p/3) или (в
алгебраической форме) а=4л;3—Зх. Многочисленные попытки
произвести точную трисекцию угла с помощью только циркуля и ли-
39
нейки не были (и не могли быть) успеш-
j с ными и приводили в лучшем случае к:
«— \ 1 осознанию необходимости искать другие,
^р\ * принципиально иные, новые методы.
А Уже в V в. до н. э. Гиппий из Элиды
\/\ \ применил для решения задачи о трисек-
Us \ _| ции угла трансцендентную кривую —
AG D квадратрису, определяемую следующим
Рис И образом.
Пусть в прямоугольнике ABCD (рис.
11) сторона ВС равномерно смещается
параллельно самой себе до совпадения со стороной AD. За это
же время и также равномерно сторона АВ вращается вокруг
А по часовой стрелке до совпадения с AD. Геометрическое
место пересечений движущихся сторон образует кривую —
квадратрису, наличие которой позволяет свести задачу деления
угла не только на 3, но и на любое число равных частей к задаче
деления отрезка АВ (или CD) на равные части. Точка G (AG =
= 2r/jt) пересечения квадратрисы со стороной AD доопределялась
по непрерывности умозаключениями, которые могут служить
примером одной из первоначальных форм метода пределов.
Другим примером решения задачи о трисекции угла был метод
вставок. Под вставкой понимается построение отрезка прямой,,
концы которого находятся на заданных линиях и который (или
его продолжение) проходит через заданную точку. Примеры
вставок, применявшихся для трисекции угла (ZABC) см. на рис. 12 и
13. Вставками являются:
на рис. 12 DE = 2AB(DF=FE=AB; ZABF=ZAFB =
= 2ZAEF=2ZCBD, ZCBD = l/3ZABC);
на рис. 13 FE=AB(ZDEF=42ZBFC = 42ZFCB = 43ZABC).
Осуществлялись вставки механически с помощью скользящей
линейки, на которую заранее нанесен размер вставки. Линейку
вращали вокруг неподвижной точки, заботясь, чтобы одна метка
двигалась по одной из заданных линий до тех пор, пока другая
метка не попадала на другую линию. Задача о трисекции угла
имеет столь же долгую историю, как и задача об удвоении куба,
Рис. 12
40
Рис. 13
Сведение ее к кубическому уравнению отмечено в истории
впервые в X в. Строгое же доказательство невозможности точной
трисекции угла циркулем и линейкой есть простое следствие
упомянутого результата Ванцеля.
Третьей знаменитой задачей древности является квадратура
круга, т. е. задача об отыскании квадрата, равновеликого
заданному кругу. Эту задачу в античной Греции рассматривали в
обоих аспектах: точном и приближенном. Последний подход привел
к введению метода исчерпывания площади круга вписанными или
описанными правильными многоугольниками и далее к
приближенным вычислениям числа я. Огромное же количество попыток
точно квадрировать круг не приводило к успеху и не могло
привести вследствие трансцендентной природы задачи.
В самом деле, пусть отрезок г0 — радиус данного круга.
Тогда сторона равновеликого квадрата г = г0Ул. Задача сведена к
численному, а в условиях древнегреческой математики к
графическому умножению отрезков длины г0 и Уя соответственно. Такое
умножение можно выполнить лишь, если второе из чисел будет
корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами,
разрешимого в квадратичных радикалах. Следовательно, строгую
и полную трактовку проблемы квадратуры круга можно получить
только после выяснения арифметической природы числа я.
Решение же этой проблемы растянулось на много веков.
Только в конце XVIII в. И. Ламберт и А. Лежандр сумели
доказать, что я не является рациональным числом.
Трансцендентность же этого числа, т. е. тот факт, что оно не может быть
корнем никакого алгебраического уравнения с целыми
коэффициентами, была доказана в 1882 г. Линдеманом. Упомянем, к слову,
что в геометрии Лобачевского для некоторых значений радиуса
кривизны пространства квадратура круга допускает разрешимость
в квадратичных иррациональностях.
Античные математики, стремившиеся теоретически полно и
точно разрешить проблему квадратуры круга, этого, разумеется,
не знали. Но их усилия принесли математической науке большую
пользу, обогатив ее новыми методами и фактами. Так, был
разработан метод исчерпывания, являющийся ранним
предшественником метода пределов. Были введены в математику различные
трансцендентные кривые, в первую очередь* квадратриса.
Наконец, впервые в истории математики были найдены квадрируемые
фигуры, ограниченные кривыми линиями. Мы имеем здесь в виду
луночки (мениски) Гиппократа Хиосского, образованные дугами
окружностей.
Исследования Гиппократа о луночках опираются на теорему,
что площади подобных сегментов кругов пропорциональны
квадратам диаметров. Первая из_ квадрируемых луночек вырезана иа
полукруга дугой радиуса гУ2, опирающейся на диаметр. Луночка
оказывается равной площади равнобедренного треугольника АСВ,
гипотенузой которого служит диаметр круга (рис. 14).
Разновидностью этого результата является теорема, что если на сторонах
41
0 fc25>
Рис. 14 Рис. 15
прямоугольного треугольника как на диаметрах построить
окружности, то сумма площадей луночек, опирающихся на катеты,
будет равна площади треугольника, т. е. квадрируема (рис. 15).
Другой вид луночек появляется, когда вокруг трапеции _ео
сторонами 1, 1, 1, УЗ описывают окружность, а на стороне УЗ
строят сегмент, подобный сегментам, отсекаемым остальными
хордами. Площадь полученной луночки равна площади исходной
трапеции. Наконец, в третьем типе луночки (см. о них: Б. Л. ван дер
Варден. Пробуждающаяся наука. М., Физматгиз. 1959. С. 183—
190; Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние
века. М.; Л., ГТТИ, 1938. С. 60—61) внешняя дуга меньше
полуокружности.
Обнаружение квадрируемых луночек вызвало к жизни
проблему: насколько велик класс квадрируемых луночек и каков его
состав? Все ли их виды найдены? Существуют ли другие типы
луночек, площади которых тоже выражаются посредством
квадратичных иррациональностей, составленных из входящих в их
построение линейных элементов? Ответ на эти вопросы был дан лишь
спустя много веков. Только в 1840 г. немецкий математик Клаузен
нашел еще 2 квадрируемые луночки. Полностью вопросы о них
были решены тогда, когда в 30—40-х гг. советские математики
Н. Г. Чеботарев и А. В. Дороднов, пользуясь методами теории
Галуа, показали, что если угловые меры внешней и внутренней
дуг соизмеримы, то других квадрируемых луночек, кроме пяти уже
найденных, не существует. Отношения числовых мер этих луно-
2 3 3 5 5
чек: —, —, —, —, — .
1 ' 1 ' 2 1 3
Открытие явления несоизмеримости, как выше было указано,
поставило перед трудными задачами всю метрическую часть
геометрии, теорию подобия и те разделы математики, где
приходится пользоваться начальными формами понятий непрерывности,
предельного перехода и т. п. Теория рациональных чисел и их
геометрических аналогов уже не могла служить основой этих
разделов математики. В силу такой ситуации, появление
иррациональностей обусловило необходимость создания общей теории,
способной выработать понятия, сформулировать определения и
42
ввести операции, применимые как для рациональных, так и для
иррациональных величин. Этой теорией была общая теория
отношений величин.
Самой, вероятно, ранней формой этой теории античности
являлся алгоритм попеременного вычитания, часто именуемый
алгоритмом Евклида. Пусть даны 2 отношения а:Ь и c:d. Поиск общей
меры величин, участвующих в отношениях, приводит к
следующим цепочкам соотношений:
а\Ь c\d
а—п0Ь = Ь\у с—m0d=du
b—nibi = b2y d—midi = d2i
bx—n2b2 = bZy di—m2d2 = dz.
В случае если члены отношения соизмеримы, эта цепочка
конечна; несоизмеримость делает процесс бесконечным.
Эквивалентом алгоритму попеременного вычитания является
представление отношений посредством непрерывных дробей.
Например:
а . Ь\ ,1 , 1
Ь 1
г т+ ~т—
01 7*2+ . . .
Сравнение последовательностей п0, пь п2у ... и т0, ть m2j ...
позволяет устанавливать между отношениями понятия равенства
и неравенства, сравнивать их по величине Пусть k—1 элементов
обеих последовательностей совпадают. Тогда: а) если tik>mkf то
a:b<c:d, если k нечетно, и a:b>c\dt если k — четно; б) если же
пк<тк, то a:b<c:d в случае четности k и a:b>c\d в случае его
нечетности.
Однако попытка ввести операции над отношениями,
определенными таким образом, сразу же наталкивается на серьезные
математические трудности. Например, чтобы ввести умножение
отношений, требуется найти способ определения неполных
частных непрерывной дроби-произведения через неполные частные
непрерывных дробей-сомножителей. Для этого и в наше время не
существует никакой сколько-нибудь приемлемой формулы. Тем
более не было ничего, что могло бы помочь развить общую идею
в те далекие времена. Наконец, не было выработано четких
представлений об общем понятии величины. Можно быть уверенным,
что именно в силу таких или подобных обстоятельств алгоритм
попеременного вычитания не сделался основой общей теории
отношений.
Другая концепция античной общей теории отношений связана
исторически с именем Евдокса Книдского (ок. 408 — ок. 355 гг. до
н. э.). Ему же приписывают построение развитой математической
теории пропорций. Что же касается общей теории отношений, то:
а) в ней сформулировано описание общего понятия величины
посредством 5 аксиом. 1. Если а = 6 и с='Ь, то а —с. 2. Если
43
а=с, то a+b=c + b. 3. Если a = ct то а—Ь=с—Ь. 4.
Совмещающиеся (при наложении) равны. 5. Целое больше части;
б) введена аксиома однородности: а и Ъ могут находиться
между собою в отношении, если они, взятые кратно, могут
превзойти друг друга. Это означает: для любых конечных а и b
существуют целые тип, такие что па>Ь и mb>a. Эта аксиома
имеет целью не допускать в общую теорию отношений так
называемые неархимедовы величины, примером которых в те времена
были роговидные углы (углы между кривыми и их касательными).
Отйошения в теории Евдокса введены через определение их
равенства. Именно: равенство двух отношений a:b = c:d считается
установленным, если из трех возможных условий таШпЬ
соответственно вытекают три следствия mcMnd для любой пары
натуральных чисел т и п. Существует предположение, что подобное
определение возникло как абстракция процедуры измерения и
сравнения отрезков посредством их рациональных приближений.
Эта гипотеза находит подтверждение, когда в теории Евдокса
речь заходит об отношениях порядка. Именно a;b>c\d, если
существует пара натуральных чисел тип такая, что ma>nb и
mc^sid. Отсюда следует, что c:d^m/n<.a:b, т. е. между двумя
неравными отношениями существует (его можно вставить)
рациональное число. Можно полагать, что современная идея
рациональных приближений действительных чисел имеет в своих
истоках теорию отношений Евдокса.
Что касается алгебраической части теории, то в ней введена
только одна операция составления отношений, являющаяся
предтечей операции умножения действительных чисел. Если
существуют 2 отношения а.Ь и b:ct то из них можно составить отношение
а\с. Это отношение называли двойным. Возможно составление и
более сложного отношения, например тройного. В случае, если
надо составить отношения а:Ь и c\d, необходимо преобразовать
одно из них (например, второе), предварительно отыскав четвертую
пропорциональную: c:d=b:x. Введение только одной операции
объясняется тем, что теория Евдокса применялась лишь в учении
о подобии, где служила основой теории пропорций, а также при
определении площадей и объемов.
Мы уже упоминали о некоторых аналогиях и
преемственности между античной теорией отношений и современными
теориями действительного числа. Наибольшее основание для подобных
сравнительных суждений дает теория сечений, построенная Р. Де-
декиндом. В самом деле, каждая пара архимедовых величин а и
Ь, участвующих в отношении а:Ь, по теории Евдокса, производит
разбиение пар целых чисел на классы. Те пары, для которых
справедливо ma>nb, могут быть включены в один класс, те же, для
которых справедливо обратное соотношение та<пЬ — в другой
класс. Пару т0, п0, осуществляющую равенство тф—пф, можно
отнести в -один из двух предыдущих классов. Сам Дедекинд не
отрицал возможности подобной аналогии, указывая лишь на то,
что в теории Евдокса не учтен фактор непрерывности.
44
Однако различия между теорией отношений Евдокса и
теорией сечений Дедекинда этим замечанием не исчерпываются. Дело в
том, что первая из них осуществляет разбиение пар целых чисел
на классы, но не доказывает обратного. Именно не доказывается,
что любому такому разбиению соответствует некоторая пара
архимедовых величин, определяющих это разбиение. Кроме того, не
определяются условия, которым должны удовлетворять
множества пар целых чисел, чтобы быть классами разбиения, т. е. не быть
пустыми, не пересекаться и обладать свойством односторонности
любого элемента одного множества по отношению к любому
элементу другого множества.
Наконец, у Дедекинда предварительно определены все четыре
действия арифметики, тогда как у Евдокса введена только одна
операция, а множество пар целых чисел осталось
неупорядоченным. Иначе говоря, вещественные числа Дедекинда образуют
поле, тогда как отношения Евдокса образуют группу.
Дальнейшее историческое развитие античной теории отношений
пошло по пути трактования отношений как обобщенных чисел и
отождествления их с дробями. Так поступали Архит, Архимед,
Герои и многие другие математики. В этом сказалось воздействие
практики, требовавшей усовершенствования
вычислительно-алгоритмических методов решения задач и распространения этих
методов на все более широкие классы чисел.
Мы так подробно обсудили этот пример для того, чтобы
показать, что математические теории античности имеют зачастую
много общего с современными математическими теориями. Однако
надо всегда уметь выделять специфику этапов их исторического
развития, чтобы не впадать в какую-либо из двух нередко
встречающихся ошибок: отождествления прошлого с настоящим или
нигилистического отрыва настоящего от прошлого, того отрыва,
который делает исследователя слепым перед будущим.
§ 2.2. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ И СИСТЕМЫ
АКСИОМ
Первые математические теории, абстрагированные из
совокупности конкретных задач и из методов их решения, создали
необходимые и достаточные предпосылки для осознания
самостоятельности и своеобразия математики. Это в свою очередь
возбудило у древнегреческих математиков стремление
систематизировать факты математики и логически последовательно построить
ее основы. Подобная работа — необходимый закономерный акт
любой науки, служащий отправным пунктом ее дальнейшего
развития. В античной математике процесс систематизации и
обобщений дал значительные результаты к IV в. до н. э. Этот процесс
являлся частью аналогичного процесса, происходившего во всей
системе естественнонаучных знаний и нашедшего яркое
выражение в философских воззрениях Аристотеля. Огромное влияние на
математику тех времен оказали и успехи логики. Сложившиеся
45
основные формы мышления уже были систематизированы и
изучены, были выдвинуты принципы построения дедуктивной науки.
Последняя стала принимать формы логически последовательных,
усложняющихся систем высказываний, покоящихся на некоторых
исходных началах. Нигде и никогда в истории человеческого
знания в сравнимые эпохи аналогичный процесс, насколько
известно, не происходил.
Абстрактность предмета математики и установившиеся приемы
математических доказательств были главными причинами того, что
математика ранее других наук стала излагаться как
дедуктивная наука, принявшая вид логической последовательности теорем
и задач на построение, заботящаяся о том, чтобы число исходных
положений было минимальным. Геометрическая форма общих
идей греческой математики, как мы уже указывали, ведет свое
происхождение от осознания факта большей полноты множества
отрезков прямых по сравнению с множеством рациональных
положительных чисел. Те сочинения, в которых описывались первые
системы математики, назывались «Началами».
Исторически самые ранние «Начала», о которых дошли до нас
сведения, были написаны Гиппократом Хиосским. Встречаются
упоминания о «Началах», принадлежащих и другим авторам. Но
все эти сочинения были оставлены, забыты и утеряны
практически с того времени, когда в III в. до н. э. появились «Начала»
Евклида. Последние получили всеобщее признание как система
математических фактов, строгая логическая последовательность
которой оставалась непревзойденной свыше 20 веков. Все это время
люди изучали геометрию по Евклиду. До сих пор его «Начала»
лежат в основе всех систематических школьных курсов геометрии.
Научные математические исследования в очень большой степени
опираются на систему Евклида, нередко подражая даже форме
его суждений.
О самом Евклиде мало что известно. Жил он около 300 г. до
н. э. в городе Александрии, входившей, как и сейчас, в состав
египетского государства. Последнее образовалось в результате
распада мировой державы Александра Македонского. Выгодное
положение Александрии как центра торговли и технических
усовершенствований побудило правителей Египта Птолемеев к
организации научно-учебного центра — Музейона (что означает:
прибежище муз). С течением времени в Музейоне было собрано свыше
500 тысяч сочинений, в большинстве научных. Работу в этом
раннем прообразе современных академий на условиях
государственного обеспечения постоянно или временно вели почти все
крупнейшие ученые эллинистического мира, в том числе Евклид, Архимед,
Аполлоний, Эратосфен и многие другие. Благоприятное влияние
Музейона на развитие науки длилось около 7 веков. В начале
нашей эры оно начало падать в результате разрушительных
завоевательных войн римлян. Позднее Музейон был разорен и
уничтожен под влиянием реакционного христианства, а «языческие»
ученые разогнаны или убиты.
46
Когда Евклид готовил свои «Начала», он, по всей видимости,,
не ставил перед собой цель составить энциклопедию
математических знаний своего времени. Он, вероятно, стремился изложить
только основы математики в виде единой логически совершенной
математической теории, основанной на минимальном числе
исходных положений. В этом смысле «Начала» являются ранними
предшественниками современного способа аксиоматического
построения математических теорий.
«Начала» состоят из 13 книг, каждая из которых
представляет последовательность теорем. Иногда к этим книгам
присоединяют — 14-ю и 15-ю, но считается установленным, что они
написаны позднее и другими авторами, хотя по содержанию близки к
последним из книг Евклида.
Первая книга начинается с определений, аксиом и постулатов.
Определения также введены в книгах 2—7, 10, 11. Аксиом и
постулатов нигде, кроме первой книги, нет.
Определения — это предложения, с помощью которых автор
вводит математические понятия, поясняя их. Например, «точка
есть то, что не имеет частей», «куб есть телесная фигура,
заключающаяся между шестью равными квадратами» и т. п. Эти
определения в ходе истории много раз подвергались критике за их
неполноту и недостаточную логическую определенность. Однако
более совершенной или хотя бы равноценной системы определений
так и не появилось. Дело свелось к тому, что в наше время при
аксиоматическом построении математической теории
единственным способом описания объектов этой теории и их свойств
является сама система аксиом, а объекты вводятся как первичные не-
разъясняемые сущности.
Что же касается определений Евклида, то их следует
рассматривать как исторически сложившиеся к его времени абстракции
реальных вещей, введение которых в математику освящено
традицией. Это — не столь уж редкий, если не сказать наиболее
часто в истории науки встречающийся, способ введения
математических определений.
Аксиомы, или общие понятия, у Евклида — это предложения»
вводящие отношение равенства или неравенства величин.
Аксиом — пять.
1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. Если к равным прибавляются равные, то и целые будут
равны.
3. Если от равных отнять равные, то и остатки будут равны.
4. Совмещающиеся (друг с другом) равны.
5. Целое больше части.
В число исходных положений «Начал» входят постулаты, т. е.
утверждения о возможных (или допускаемых) в данной
теоретической системе геометрических построениях. С их помощью
Евклид обосновывает все алгоритмические операции и построения.
Постулатов тоже пять.
1. Через 2 точки можно провести прямую.
47
2. Отрезок прямой можно продолжать неограниченно.
3. Из всякого центра любым расстоянием можно описать
окружность.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если 2 прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены
третьей, и если сумма внутренних односторонних углов меньше
двух прямых, то прямые пересекутся с той стороны, где это имеет
место.
В различных изданиях «Начал», а ранее того переписчиками и
комментаторами система аксиом и постулатов Евклида
видоизменялась и дополнялась. Почти всегда это было неудачно и
отвергалось. За многие века, конечно, по мере усовершенствования
средств логического анализа и критериев строгости, постепенно
вскрывались действительные недостатки системы исходных
высказываний «Начал». Это логическая перегруженность определений,
необеспеченность возможности наложения фигур, отсутствие
критериев для пересечения окружностей и прямых (теорем
существования) и другие более мелкие недостатки.
Первые реальные успехи в создании систем аксиом геометрии,
удовлетворяющих требованиям строгости, близким и
современным, были достигнуты лишь к концу XIX в. в работах Паппа
(1882), Пеано (1889) и Пиери (1899). Первая редакция наиболее
распространенной в настоящее время и общепризнанной системы
аксиом геометрии появилась в «Основаниях геометрии» Д.
Гильберта (1899). Позднее Гильберт сам внес в свою систему
необходимые усовершенствования. Сейчас она состоит из следующих
пяти групп аксиом:
а) 8 аксиом соединения или принадлежности;
б) 4 аксиомы порядка;
в) 5 аксиом конгруэнтности или движения;
г) 1 аксиома параллельности;
д) 2 аксиомы непрерывности: Архимеда и линейной полноты.
Эти 5 групп аксиом вводят основные объекты геометрии:
точку, прямую, плоскость и отношения между ними, выражаемые
словами: принадлежит, лежит между, конгруэнтен. Определений
и постулатов современная аксиоматическая система геометрии не
имеет.
Широко пользуясь идеей изоморфизма, аксиоматическая
геометрия отвлекается от качественных особенностей изучаемых
объектов и исследует лишь все возможные виды логических связей
между ними. При этом словами точка, прямая, плоскость могут
быть названы объекты, не только непохожие на то, что они
обозначали в течение многих веков своей истории, но и совсем
негеометрической, казалось бы, природы. «Начала» Евклида далеки от
подобных постановок задач геометрии. В них рассматриваются
более низкие, первые, ступени абстракции пространственных
свойств предметов материального мира.
Укажем теперь на некоторые характерные особенности
методов математических суждений и форм изложения «Начал»:
48
а) метод рассуждений Евклида — всегда синтетический. Для
доказательства теоремы он исходит из заведомо справедливого
утверждения, которое в конечном счете опирается на систему
исходных высказываний. Из него он развивает последовательность
следствий, приводящих к искомому утверждению. Обратный путь
рассуждений: приняв искомую теорему за доказанную, вывести из
нее последовательность следствий, вплоть до того, как будет
получено заведомо верное утверждение: в «Началах» в качестве
доказательства не употребляется. В противоположность синтезу
древние называли этот метод анализом;
б) доказательства теорем строятся по единой схеме, состоящей
из следующих частей: формулировка задачи или теоремы
(jiporaaig — предложение); введение чертежа для наглядного
разъяснения постановки задачи или теоремы (ехФеаьс; —
изложение); формулировка по чертежу искомого (бюрю[ход —
определение); проведение вспомогательных линий (xaxaoxevr] —
построение); доказательство в собственном смысле (ano6ei^ig —
доказательство); объявление того, что доказано и что доказанное
решает задачу или же адекватно поставленной теореме
г
{aojLutepaaiLia — заключение). В несколько иной форме эта схема
стала традиционной и дошла до наших дней как классический
образец математического рассуждения, в известной степени
обязательный в математике;
в) средства геометрического построения — циркуль и
линейка — принципиально не употребляются как средства измерения.
Линейка не имеет мерных делений. Поэтому в «Началах» речь не
идет об измерении длин отрезков, площадей фигур, объемов тел,
а об их отношениях. Впрочем, достаточно ввести единичный
объект, чтобы вопрос об измеримости не возникал.
Первые 6 книг «Начал» — планиметрические; из них книги
1—4 содержат ту часть планиметрии, где для доказательства
теорем не требуется соображений из теории пропорций. Первая
книга вводит основные построения, действия над отрезками и
углами, свойства треугольников, прямоугольников и
параллелограммов, сравнение площадей этих фигур. Завершают эту книгу
теорема Пифагора и обратная ей.
Во второй книге рассматриваются соотношения между
площадями прямоугольников и квадратов, подобранные таким образом,
что они составляют геометрический аппарат для интерпретации
алгебраических тождеств и для решения задач, сводящихся к
квадратным уравнениям. Это называют теперь геометрической
алгеброй.
Третья книга составлена из теорем о свойствах круга и
окружности, хорд и касательных, центральных и вписанных углов.
Четвертая книга посвящена теоремам о свойствах правильных
многоугольников, вписанных и описанных, а также построениям
правильных 3-, 4-, 5-, 6- и 15-угольников.
49
В пятой книге развита общая теория отношений величин,
являющаяся прообразом теории действительного числа в форме,
соответствующей методу дедекиндовых сечений. Геометрические
теории, в которых необходимо использовать теорию отношений,
сосредоточены в 6-й книге. В ней, например, доказаны теоремы об
отношениях площадей прямоугольников и параллелограммов,,
имеющих общую высоту, о пропорциональности отрезков,
отсекаемых на сторонах угла парой параллельных прямых, о подобия
фигур и об отношении площадей подобных фигур. Здесь же
помещена группа теорем об эллиптическом и гиперболическом
приложениях площадей (производимых в книге 2 на прямоугольниках)
на параллелограммах. Она дает метод геометрического решения
задач, которые интерпретируются алгебраическими уравнениями
вида ax±bx2/c = S (где а, Ь, с — данные отрезки, 5 — заданная
площадь, х — неизвестный отрезок), и представляет собой по
сути, обобщение результатов геометрической алгебры.
Следующие три книги (7—9-я) часто называют
арифметическими, несмотря на их геометрическую форму. Первая из них —
седьмая — начинается с изложения алгоритма попеременного
вычитания. Такой алгоритм в школе применяется при отыскании
общего наибольшего делителя. В научном отношении такой
алгоритм применяется как один из способов построения теории
действительного числа. Затем следуют несколько теорем о делимости.
Наконец, излагаются факты теории пропорций, которые
получают продолжение в последующих книгах. В этой теории, по
существу, вводятся целочисленные геометрические прогрессии,
показывается, что отношения членов непрерывной пропорции являются
формой степени чисел, вводится понятие среднего
пропорционального, дан способ отыскания суммы членов геометрической
прогрессии.
Значительную часть 9-й книги составляет учение о простых
числах. Доказывается, что простых чисел может быть
неограниченно много. В ряде теорем рассматриваются свойства четности и
нечетности. Книга завершается замечательной теоремой: если
число 5 видач] 2А является простым, то число S\=S-2n
совершенно
ное, т. е. равное сумме своих делителей, включая единицу и
исключая самого себя. Вопрос о том, исчерпывают ли числа данного
вида все множество совершенных чисел, остается нерешенным к
сейчас.
Десятая книга содержит громоздкую и сложную
классификацию всех 25 видов биквадратичных иррациональностей (т. е.
выражений вида Vya ± ]/fc > гДе а и b —соизмеримые отрезки). Они
понадобятся автору «Начал» позже, при исследовании
правильных многогранников, отношения ребер которых к диаметру
описанного шара именно так и выражаются. Кроме этого в 10-й
книге имеются и другие важные предложения: а) основная лемма
метода исчерпывания (если от заданной величины отнять часть„
50
большую ее половины, с остатком повторить то же и т. д., то
можно получить сколь угодно малую величину); б) способ
нахождения неограниченного числа пифагоровых троек, т. е. чисел
х> у, г, удовлетворяющих условию x2-\-y2=z2\ в) отыскание общей
наибольшей меры 2 и 3 рациональных чисел (соизмеримых
величин) и др.
Последние три книги (11 —13) «Начал» стереометрические.
Первая из них открывается большим числом определений, что
естественно, так как в предыдущих книгах стереометрические
объекты не рассматривались. Затем следует ряд теорем о взаимных
расположениях прямых и плоскостей в пространстве и теоремы о
многогранных углах. В конце книги рассматриваются отношения
объемов параллелепипедов и призм.
Исследование объемов других тел (пирамид, цилиндров,
конусов и шаров) требует обязательного выполнения предельного по
своей сущности перехода. В 12-й книге отношения объемов этих
тел найдены с помощью метода исчерпывания (такое название
этого метода существует с XVII в.). Идея этого метода,
являющегося, по существу, ранней формой метода пределов, состоит в
следующем: устанавливается, что подобные правильные
многоугольники, вписанные в круги, относятся как квадраты диаметров.
Затем круги «исчерпываются» последовательностями правильных
вписанных 2п-угольников (м = 2, 3, 4, ...). Отношения последних
при увеличении числа сторон остаются неизменными. После
неявного перехода к пределу доказывается методом от противного, что
и площади кругов относятся как квадраты их диаметров.
Последняя, 13-я, книга содержит построения 5 правильных
многогранников: тетраэдра (4-гранника), гексаэдра (6-гранни-
ка), октаэдра (8-гранника), додекаэдра (12-гранника), икосаэдра
(20-гранника). Там же находятся отношения объемов шаров как
кубов их радиусов. И наконец доказывается, что других
правильных многогранников не существует.
Внимательный обзор содержания «Начал» может раскрыть
многое, что необходимо знать образованному математику. Язык
«Начал» геометрический. Но в этом сочинении обнаруживаются
элементарная геометрия, основы теории рациональных чисел,
общая теория отношений величин, опирающиеся на нее теория
пропорций, теория квадратичных и биквадратичных иррационально-
стей, элементы алгебры, метод исчерпывания. Мы здесь
стремились показать, что в «Началах» дана система, позволяющая
видеть в них античного предшественника современного аксиометри-
ческого построения математических теорий. В то же время для
историко-научных изысканий важно, что «Начала», их логическая
структура, отражают исторический путь формирования
математических теорий от простейших, типа геометрической алгебры, до
более сложных: теории отношений, метода исчерпывания,
классификации иррациональностей. В то же время хотя изложение
«Начал» геометрическое, но в них нет известного в те времена
материала, например: теории конических сечений, алгебраических и
51
трансцендентных кривых. Наконец, в них совершенно
отсутствуют вычислительные методы.
Мы еще не раз будем обращаться к этому сочинению. Оно
замечательно и многогранно. Уже более двух тысяч лет из него
черпается материал для школьных учебников по геометрии. В
дискуссиях, которые ведут в педагогическом мире о преподавании
геометрии, часто обращаются к «Началам». К сожалению, слишком
часто различные стороны этого многопланового сочинения
смешиваются или нечетко выделяются. Это ведет к путанице,
порождаемой незнанием истории и логики развития математики.
§ 2.3. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В МАТЕМАТИКЕ
ДРЕВНИХ
При построении математических теорий в древней Греции рано
выделился особый вид задач и теоретических проблем, для
решения которых оказывалось необходимым исследовать и применять
бесконечные процессы и предельные переходы, используя при
этом особые понятия: например, непрерывность, бесконечность и
др. Уже одно из первых (а возможно и первое) открытий
теоретического характера — обнаружение несоизмеримости величин —
поставило задачу рационального объяснения подобных проблем и
способов их решения. В упомянутом случае речь идет: а) о
неограниченной продолжаемости процесса нахождения общей меры;
б) о бесконечной малости последней; в) о том, что общая мера
должна содержаться бесконечное множество раз в сравниваемых
величинах. С этой группой проблем вскоре были сближены
проблемы геометрические, решение которых приводило к аналогичным
затруднениям (определение большинства площадей и объемов).
Некоторые из ученых древней Греции искали выход из этих
затруднений в том, чтобы применить в математике атомистические
философские воззрения. Наиболее ярким примером подобного
подхода является натурфилософское учение Демокрита.
Последний считал, что все тела состоят из малых атомов — первовели-
чин. Тела различаются между собой по форме, положению и
способу соединения составляющих их атомов. В математическом
плане он вводил рассуждения о бесконечно малых и о
применении этого понятия к вычислению площадей фигур и объемов тел.
Однако слишком мало известно о математической трактовке
подобных идей. Гораздо больше известно о возражениях их
противников. Мы имеем здесь в виду апории Зенона Элейского, т. е.
логические парадоксы, к которым приводят попытки получать не-*
прерывные величины из бесконечного множества бесконечно
малых частиц.
Среди апорий наиболее известны: 1) дихотомия, т. е.
невозможность осуществить движение, так как путь делим пополам,
еще раз пополам и так далее до бесконечности; поэтому
отправляющийся в путь обязан последовательно преодолевать
бесконечно много участков пути (математически это сводится к отрица-
52
нию факта, что J " ^'ll 2) Ахиллес, который не может дог-
нать черепаху, так как ему надо последовательно достигать тех
мест, где только что она находилась, т. е. исчерпывать
бесконечную последовательность отрезков пути (математически это
оказалось возражением против уже известного в то время факта, что
оо
2 1 п
= ; , 3) полет стрелы делается невозможным, если
время считать суммой дискретных мгновений, а пространство —
суммой дискретных точек.
Апории Зенона убедительно показали, что если искать точные
доказательства и логически исчерпывающие решения задач,
нельзя пользоваться понятием «бесконечность», опираясь на наивные
атомистические соображения. Для подобных целей необходимо
разрабатывать и привлекать методы, содержащие наряду с
суждениями о бесконечно больших и бесконечно малых величинах
соображения о предельных переходах.
Одним из самых ранних методов такого рода является метод
исчерпывания. Изобретение его приписывают Евдоксу. Примеры
его употребления приведены в 12-й книге «Начал» Евклида и в
ряде сочинений Архимеда. Метод применялся при вычислении
площадей фигур, объемов тел, длин кривых, нахождении подка-
сательных к кривым и т. п. Математическая сущность метода
(разумеется, в виде, несколько отличном от формы излржения
древних греков) состоит в проведении следующей
последовательности операций:
а) если необходимо, например, квадрировать фигуру В
(рис. 16), то в качестве первого шага в нее вписывают
последовательность других фигур А\, Л2, ..., Ап, ..., площади которых
монотонно возрастают и для каждой фигуры в этой
последовательности могут быть определены;
б) фигуры Ak (?=1, 2, ...) выбираются таким образом, чтобы
положительная разность В—Аи могла быть сделана сколь угодно
малой;
в) из факта существования и способа построения вписанных
фигур делается вывод об ограниченности сверху значений этой
последовательности и о том, что они исчерпывают искомую
площадь;
Affl
Рис. 16 Рис. 17
53
г) неявно, обычно с помощью иных, привлеченных к этому
соображений, отыскивается или просто указывается А — предел
последовательности площадей вписанных фигур;
д) доказывается (для всякой задачи наново), что В=А.
Доказательство ведется, как правило, от противного. Пусть ВфА.
Тогда либо В>А, либо В<А> Допустим, В>А. Выберем такой
элемент Ап последовательности, чтобы В—Ап<сВ—А. Это
возможно для любой фиксированной разности В—А. Но тогда
должно следовать, что Ап>А, а это невозможно. Противоположное
допущение: В<А тоже приводит к противоречию, потому что
можно подобрать такое Ап, чтобы А—Ап<.А—В. Но в таком
случае должно получиться, что Ап>Ву а это также невозможно.
Методом исчерпывания доказывается, таким образом,
единственность предела. В сочетании с другими методами и
соображениями он полезен для его нахождения. Однако решения вопроса о
существовании предела и алгоритма его определения метод
исчерпывания дать не может.
В качестве примера применения метода исчерпывания
приведем нахождение квадратуры параболы в сочинениях Архимеда.
Пусть требуется найти площадь S косого параболического
сегмента ABC, отсекаемого хордой АС. Касательная к параболе в
точке В диаметра ВО, сопряженного с данной хордой,
параллельна последней: MBN\\AC (рис. 17).
Первой фигурой Ai последовательности исчерпывающих
фигур является ААВС. Вторая фигура А2 получается добавлением
к ААВС двух треугольников: ADB и ВСЕ. Для их построения
делят АС на 4 равные части и проводят FD\\OB и GE\\OB.
Аналогично далее будем строить А$, Л4, .... Из свойств параболы
получается: AABC=4(/AADB + ABCE). В самом деле, примем ОВ и
MN соответственно за оси х, у косоугольной системы координат.
Координаты точки Е (|, у/2) удовлетворяют условию: (*//2)2 =
= т\, откуда 1=у2/4т
GE=x-t = y--Jt==±«L = !x=:±OB.
т Am 4 т 4 4
Так как GK=l/20Bf то КЕ = 1/АОВ и GK = 2KE. Теперь уже
можно сравнивать площади треугольников.
ACKG = 2AKCE = ABCE, OBC=4AGKC=4ABCE.
Аналогичные рассуждения приведут к соотношению ААОВ =
—4AABD и упомянутое свойство параболы окажется доказанным.
Итак, если Л1 = Д, то
4 4 42 4 4
Теперь потребуется доказать, что указанная последовательность
фигур действительно исчерпывает параболический сегмент, т. е.
5—Лп<е, где п = п(г).
54
Для этого описывается параллелограмм AMNC, где А/И||МС|{
\\ВО\ Ai = 1/2Samnc, но S<SAmnc, значит, Ax>l/2S и S—A{<:l/2S.
Фигура А\ исчерпала больше половины площади S, а
последующие фигуры будут исчерпывать больше половин
соответствующих остатков площади S. Удовлетворена основная лемма: если от
данной величины отнять часть, большую, чем ее половина, затем
таким же образом повторять вычитание, то остаток может быть
сделан сколь угодно малым.
Следующим шагом должно быть нахождение предела
последовательности вписываемых фигур. В сочинениях древних авторов
обычно этот шаг не разъясняется. Однако данный случай
является исключением. Архимед доказывает, что
Ы* 3 3 4"-»'
а поскольку вычитаемое может быть сделано сколь угодно малым,
то утверждается, что S = 4/3A. При этом он опирается на
следующую любопытную теорему.
Пусть S=A + B + C + D+E; причем A:B = B:C = C:D=D:E =
= 4:1. Тогда S=A/^A—l/3E. В самом деле:
*/3S=43(A+B+C+D+E)=43A+4,(A+B+C+D+E)^
-45E=ysA+43S-43Et
или S — 4/3Л — Х13Е, что можно распространить на любое число
слагаемых.
Решение завершается традиционным доказательством от
противного единственности результата.
Математическая строгость метода исчерпывания оставалась
непревзойденной в течение многих веков. По существу, только в
XIX в. были поставлены и начали получать разрешение проблемы,
непосредственно вытекающие из его сущности. Однако при
большой глубине и значимости метода, форма его и употребление
долгое время были весьма несовершенными. Метод развивался
только в связи с конкретными задачами, на их материале. Он не
стал общим абстрактным методом с развитой системой исходных
понятий и с единообразными алгоритмами. Единственность
предела доказывалась всякий раз заново. Этот недостаток не был
случайным, частным. Дело в том, что всякая попытка ввести этот
способ доказательства раз навсегда для определенного
достаточно широкого класса задач неизбежно влекла за собой
необходимость разъяснения ряда понятий инфинитезимальной природы.
Потребовалось бы дать рациональное объяснение понятия
бесконечно близкого приближения, бесконечно малой величины и
других, не менее сложных, понятий. Связанных с этим трудностей
математики еще долго не могли преодолеть. Предельные же
переходы, совершавшиеся фактически в силу интуитивных,
эмпирических или каких-либо иных соображений, получали в методе исчер-
55
пывания первые теоретические оформления, — исторически
ранние, первичные формы позднейшей теории пределов.
Как мы уже упоминали, метод исчерпывания был в античной
математике общеупотребительным. Он лежал в основе многих ин-
финитезимальных суждений и выдающихся конкретных
достижений. Особенно богатый материал, позволяющий судить об инфи-
нитезимальных методах в древней Греции содержится в
сочинениях Архимеда, которому принадлежит приведенный здесь
пример квадрирования параболического сегмента.
Архимед (287—212 гг. до н. э.) был уроженцем города
Сиракузы (в южной части острова Сицилия). Его отцом был местный
астроном и математик Фидий. Для усовершенствования своих
знаний Архимед некоторое время работал в Александрии, в Му-
зейоне в сотрудничестве с другими учеными. Возвратившись в
Сиракузы, он продолжал интенсивные научные занятия. В конце
жизни участвовал в защите родного города от римских
завоевателей, руководя постройкой оборонительных сооружений и
изобретая губительные для врага орудия. Во время взятия Сиракуз
Архимед был убит, а его библиотека и инструменты разграблены.
Из научного наследия Архимеда история сохранила 10
сравнительно крупных и несколько более мелких сочинений
математического содержания. Из них видно, что главной особенностью
творчества Архимеда является сохранение тесной связи
математических методов с задачами механики и вообще физики. Ниже
мы расскажем об этом подробнее. Кроме того, будут освещены
инфинитезимальные методы Архимеда: метод интегральных сумм
и дифференциальные методы.
Многочисленные изобретения и открытия Архимеда широко
известны. Ему принадлежат архимедов винт, система рычагов,
блоков и винтов для поднятия и передвижения больших тяжестей,
определение состава сплавов с помощью взвешивания их в воде^
планетарий, метательные орудия и многое другое. Известны и
теоретические работы Архимеда: «О равновесии плоских фигур»^
где, в частности, введены законы рычага, «О плавающих телах»,
«Книга опор» и др.
Связи математики и механики в творчестве Архимеда с
особенной силой проявились в его сочинении «Послание к Эрастофе-
ну (Эфод)», найденном в 1908 г. Это была работа о механическом
методе решения геометрических задач.
Пусть, например, необходимо вычислить объем шара.
Одновременно с шаром строят конус и цилиндр, радиус основания и
высота которых равны диаметру шара. Через все эти тела
проводят сечение, параллельное основаниям, на некотором
произвольном фиксированном расстоянии от них (вертикальный разрез
см. рис. 18) AK2=OK2+OA2=OK2+OL2. В то же время АК2=
=АВОА. Следовательно, OK2+OL2=AB-OA. Таково же
соотношение между величинами, пропорциональными слагаемым
nABWA=nOK2AB + nOL2AB.
56
м
к fv
J/l
т
А
о\\
. с \\ 1
Рис. 18
Рис. 19
^°пЛГ1Л,И соотношение между горизонтальными сечениями шара,
цилиндра и конуса. v *
п»^Ыу соотношению Архимед дает механическую
интерпретацию, основанную на правиле рычага, или, что то же самое дву-
плечных весов. Именно, если принять точку А за точку опоры
рычага, то элемент цилиндра, закрепленный в О, уравновесит
элементы шара и конуса, закрепленные в Т (АТ=АВ) Переходя к
объемам тел как к суммам всех произвольных сечений
параллельных друг другу, он получает Р
1/цплЛС= (Vm+VK0B)A Т= <ТШ+ VKOil)2AC,
отсюда
Но так как
VMH=4aV
Vm=V2VW-VK0H.
ЦНЛ)
то Vm=*LVt
/б"цил или ^ш = 1/6тг(2г)2-2=4/зтс''*.
Тот же способ механический аналогии Архимед применил в
сочинении «О квадратуре параболы». Параболическая пластинка
представляется подвешенной к одному плечу неравноплечного
рычага и разделенной на элементы, каждый из которых
уравновешен соответствующей нагрузкой на другом плече
В соответствии с научной традицией своего времени Архимед
переводил доказательства, полученные методом механической
аналогии, на общепринятый язык метода исчерпывания с
обязательным завершением последнего в каждом отдельном случае
доказательством от противного.
Механические и физические аналогии и в последующие века
часто применялись, притом с успехом, для решения трудных
математических и нематематических задач.
Перейдем к описанию того инфинитезимального метода
который можно охарактеризовать как метод интегральных сумм
Наиболее яркие примеры применения этого метода можно найти в
сочинениях Архимеда: «О шаре и цилиндре», «О спиралях» «О
коноидах и сфероидах». Существо этого метода в применении
например, к вычислению объемов тел вращения состоит в
следующем: тело вращения разбивается на части. Каждая часть
аппроксимируется описанным и вписанным телами, объемы которых
можно вычислить. Сумма объемов описанных тел будет больше а
57
сумма объемов вписанных тел — меньше объема тела вращения.
Теперь остается выбрать аппроксимирующие сверху и снизу тела
таким образом, чтобы разность сумм их объемов могла бьпъ
сделана сколь угодно малой. Это достигается выбором в качестве
указанных тел цилиндров, расположенных подходящим образом
(рис. 19).
В качестве примера приведем решение задачи вычисления
объема эллипсоида вращения в сочинении «О коноидах и
сфероидах». Так называют тела, образованные вращением конических
сечений вокруг большой оси. Коноидами называют параболоиды и
гиперболоиды вращения, сфероидами — эллипсоиды вращения.
Смысловой оттенок в названиях обусловлен наличием или
отсутствием безгранично удаляющихся ветвей. Конкретному решению
задачи предпослана лемма: если дан сегмент коноида, отсеченный
плоскостью, перпендикулярной оси, или сегмент сфероида,
отсеченный тем же способом, то можно вписать в него и описать
вокруг него фигуры, сложенные из цилиндров равной высоты таким
образом, чтобы описанная фигура превосходила вписанную
меньше чем на любую телесную (объемную) величину.
Доказательство очевидно. Дано тело вращения ABC и
телесная величина е>0. Архимед делит ВО на п равных частей и
строит вписанные и описанные цилиндры, сумму объемов которых
соответственно обозначают VQ п И V вп> Их разность равна объему
цилиндра АА\, т. е. тса2Ь/п, который подбором достаточно большого
числа п может быть сделан сколь угодно малым.
Теперь можно предположить, что на данном рисунке
изображен сегмент эллипсоида вращения и поставлена задача
вычислить его объем. В таком случае
п-1
Von=Kha*+nhxl+*hxZ+ ... +Khx?_l=«h J *2» (*•=*).
ft—о
где xi — радиус основания соответствующего цилиндра. Задача,
таким образом, сведена к суммированию квадратов натурального
ряда чисел. Далее Архимед производит геометрические
преобразования, эквивалентные следующим аналитическим
преобразованиям: из h -^— = 1, имеем x2=a2(b2—y2)fb2 и для каждого се-
а2 Ь2
чения
х\ =?<*8-*2). 4=^2-№),.... *S-i=? (ба-[(п-1)Л]2),
откуда
fe»0 I v—i
где v —• последовательные натуральные числа. Для нахождения
58
сумм их квадратов Архимед применил геометрические оценки
вида
л-1
3
V—1
2 ^ (/г+1)3*2
<
данные им в сочинении «О спиралях». Фактически он производит
оценку вида
п3Л3
=f<2]w*<
(/г-Н)3Л3
v=l
откуда (так как /гЛ = 6)
-<»*<- + - + -+-,
что, до известной степени, эквивалентно оценке для cx*dx. Из
1;
zn тта26
С-т)
тса2Ь.
этих оценок Архимед получает
Аналогично Увп<2яа2Ь/3.
Но так как согласно лемме Von—VBn<e, то искомый объем
сегмента У==2яя2й/3, т. е. равен удвоенному объему конуса с
теми же основанием и высотой, что и сегмент. Единственность
предела Архимед доказывает, как и во всех других случаях,
приведением к противоречию.
Приведенный пример показывает, что в античной математике
вложились элементы определенного интегрирования, в первую
очередь построение верхних и нижних интегральных сумм, по
своей сущности эквивалентных суммам Дарбу.
Другим примером метода интегральных сумм может служить
определение площади первого винка архимедовой спирали,
имеющей в полярных координатах уравнение р—ф. Спираль вводится
кинематически как траектория точки, подвергнутой двум
равномерным движениям: вращению луча вокруг точки и движению
точки вдоль луча от центра (рис. 20).
Для определения площади первого
витка окружность (г=а) делится на п
частей. Вслед за тем строятся две
последовательности вписанных и
описанных круговых секторов, радиусы
которых:
2а За
па
= а. Их пло-
Рис. 20
59
щади: S =— (6=1» 2,... tri). Эти последовательности, взятые в
п.
двух совокупностях, образуют фигуры, площади которых
соответственно больше или меньше площади витка спирали:
На основании оценок, приведенных в предыдущем примере,.
7ВП< =—, а также Усп>—.
л3 з з з
Но разность между аппроксимирующими суммами может быть
сделана сколь угодно малой. Следовательно, площадь первого
витка спирали о — — .
Казалось бы, сходство метода интегральных сумм древних и
определенного интегрирования, в особенности сумм Дарбу,
полное. Такое впечатление усиливается в силу того, что мы
модернизировали форму изложения. Поэтому, необходимо рассказать и
об их различии. Дело в том, что метод интегральных сумм
древних опирается на интуитивное, строго не определенное, понятие
площади и не использует арифметико-алгебраический аппарат. В
нем не введены и не определены необходимые общие понятия:
предела, интеграла, бесконечной суммы и т. п. и не изучены
условия применимости высказываемых теорем. Метод применяется для
каждой конкретной задачи без выделений и оформления его
общетеоретических основ.
Наряду с методом интегральных сумм в античной математике
были разработаны методы, которые ретроспективно могут быть
оценены как дифференциальные. Примером подобных методов
может служить метод нахождения касательной к спирали в
сочинении Архимеда «О спиралях».
Задача построения касательной к любой точке Р спирали
решается обычным для того времени способом определения
величины соответствующей подкасательной ОТ (рис. 21).
Предварительно доказывается лемма, что угол ZOPT<Cn/2
(ZPOT—я/2 по построению). Затем рассматривается
дифференциальный треугольник AFPR, образованный радиусом-вектором
OQ, близким к данному (ОР), дугой PR окружности радиуса ОР
и продолжением касательной FP. Этот треугольник
прямоугольный (ZPRF=kI2) и приблизительно подобен АОРТ, ибо
ZPTO=ZFPR.
Отсюда — = — или, если перейти на более привычную
60
Рис. 21
нам символику (ОР=р, PR=pAw, FR=Ao). —L = -2- откуда
рДф Or
€>Г<
Дф
Ар
Это общее соотношение в случае архимедовой
спирали р=ф примет вид: ОТ2=р2 или ОГ=рф.
Таким образом, дифференциальный метод Архимеда
заключается во введении достаточно малого треугольника, образованного
приращением полярного радиуса-вектора касательной FR,
соответствующей малой дугой окружности PR и отрезком касательной
PF. Он играет роль дифференциального треугольника, что дает
основание причислить метод к разряду инфинитезимальных.
Наряду с другими задачами и методами древнегреческой
математики дифференциальный треугольник Архимеда явился
объектом настойчивого исследования ряда выдающихся математиков
XVI—XVII вв. Паскаль и Барроу ввели его в математику явно:
первый — в составе своих интеграционных методов, второй — при
нахождении касательных к кривым и при доказательстве
взаимной обратности задач вычисления квадратур и проведения
касательных. Лейбниц использовал этот треугольник как один из
отправных пунктов при создании исчисления дифференциалов.
К инфинитезимальным методам относятся и другие,
сравнительно многочисленные приемы древних. Отметим сочинение Ди-
нострата (IV в. до н. э.), который, отыскивая точку, в которой
квадратриса встречается с осью абсцисс, нашел, по существу,
значения пределов
lim
ф—о
sin ф .
ф ~
lim^P
*>->0 ф
1.
Ординаты точек квадратрисы, как известно, пропорциональны
значениям соответствующих углов. Исходя из этого и обозначив
ОА=г, получим для некоторой произвольной точки Н (HL=y)
— = —, откуда ~ = — (см. рис. 22). Учитывая, что у является
у <р те ф
61
линией синусов для круга радиуса ОН и линией тангенсов для
круга радиуса OL, получим
г. ф ф
При ф-^-0 будет ОН-+ОК и OL-+OK. Следовательно,
Ф—0 " s in ф Ф-*о n tg ф
Тот факт, что 0/C=2r/jt, Динострат доказывает от противного,,
опираясь на непрерывность квадратрисы и неравенство sir^<
<ф<*ёф, доказывая тем самым оба замечательных предела.
Пусть ОК<.2г/к. На квадратрисе тогда найдется точка Я, для
которой ОН=2г/п для соответствующего угла ф. Тогда ордината
2г гф
этой точки # = — совф и одновременно у—-1- из свойства
квадратрисы. Отсюда должно следовать, что sir^=*p, а это
невозможно. Предположение, что ОК>2г/п, таким же образом
приводит к невозможному заключению: ф=1§ф.
Инфинитезимальные методы были разработаны и для решения
экстремальных задач. В сочинении Архимеда «О шаре и
цилиндре» (кн. 2, предл. 4) поставлена задача разбиения шара радиуса
а на 2 сегмента, объемы которых находились бы в заданном
отношении т/п. Показано, что высота большего сегмента
удовлетворяет пропорции 4а2: х2 =(3а—х): . Показано также, что
771+Я
эта задача может быть обобщена: разделить отрезок а на 2 части
х и a—х так, чтобы S:x2=(a—х):с, где 5 — заданная площадь,
с — заданный отрезок. Чтобы эта последняя задача не имела
отрицательных решений, надо на область значений Sue
накладывать ограничения. Из более поздней рукописи стало известно, что
Архимед, отыскивая (в геометрическом виде) решение уравнения
x2(a—x)=Scf правильно находил, что максимум его левой части
в области 0O<a достигается при х = 2а/3. Тем самым он решил
экстремальную задачу.
Наконец, упомянем, что в математике древней Греции
рассматривались и задачи вариационного характера. У Архимеда
подобная задача встретилась только один раз — в заключительном
предложении сочинения «О шаре и цилиндре». Здесь
рассматриваются изоповерхностные сегменты различных шаров и
доказывается, что сегмент, имеющий форму полушара, имеет
наибольший объем. Немного позднее появилось сочинение Зенодора, в
котором теория изопериметрических фигур была строго и полно
развита для многоугольников, круга и в некоторой степени для
многогранников, простейших тел вращения и для сферы.
Предложения экстремального характера были широко известны в те
времена, появляясь не только в математической, но и в механической и
даже общей натурфилософской трактовке.
62
Инфинитезимальные методы математиков древней Греции по*
служили отправным пунктом многих исследований ученых XVI и
XVII вв. Особенно часто изучали методы Архимеда. Один из
основателей математического анализа Лейбниц по этому поводу
писал, что, изучая труды Архимеда, перестаешь удивляться успехам
современных математиков.
Инфинитезимальные методы образуют ту часть античной
математики, которая формировалась под непосредственным
влиянием практических запросов. Эти методы выходили за рамки
существовавших в те времена замкнутых математических систем,
базирующихся на минимальном числе аксиом. В них складывались
понятийные и алгоритмические основы будущего
дифференциального и интегрального исчисления. Противоречия между
подобными методами и аксиоматическими системами являются
историческими примерами противоречий, являющихся движущими силами
развития математической науки.
§ 2.4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ И МЕТОДЫ ПОЗДНЕЙ
АНТИЧНОСТИ
В сложном и многообразном наследии ученых древней Греции
мы выделяем преимущественно те стороны, которые привели к
созданию математических теорий, поскольку это является
наиболее яркой, характерной чертой математического творчества в
эпоху греческой античности. В то же время именно математические
теории, о которых идет речь, составили классическую основу
многих частей позднейшей математики, вплоть до современной, чта
придает им не только историческое значение.
Со времен Евклида и Архимеда античная математика
начинает сильно изменяться как по форме, так и по содержанию. В
силу причин, которые будут описаны ниже, процесс
формирования математических теорий замедляется, и, наконец,
прекращается. Время угасания было длительным, обозначилось не сразу.
Младшие современники Архимеда и ученые более позднего
времени оставили в своих работах блестящие примеры теоретических
исследований и даже высоко развитых математических теорий.
Первое место среди них по уровню теоретического развития и
полноте рассматриваемых фактов занимает теория конических
сечений.
Ранее мы упоминали, что конические сечения вошли в
античную математику как средство решения задач, не поддающихся
решению методами геометрической алгебры. Для их получения
пользовались геометрическими местами точек пересечения
поверхности конуса (соответственно, остро-, тупо- или прямоугольного)
плоскостью, перпендикулярной одной из его образующих. При
помощи этих кривых (эллипса, гиперболы и параболы) Менехм
(IV в. до н. э.) дал решение задачи об удвоении куба.
Не сохранилось сведений о том, как впервые были найдены
свойства конических сечений, являющиеся геометрическими экви-
63
валентами их алгебраических уравнений.
Однако задача обнаружения этих свойств
разрешима элементарными средствами, в
чем убеждают имеющиеся реконструкции.
Пусть, например, дан прямоугольный
конус с вершиной в точке Т (рис. 23). Его
сечение вдоль оси — КТС, след кругового
сечения, параллельного основанию, — GH,
след сечения, перпендикулярного
образующей, — АР. Перпендикуляр к сечению
Рис. 23
Рис. 24
КТС в точке Р до пересечения с поверхностью конуса обозначим
у. Тогда y2=PG.PH=V2~AP-AB=2APAL. Если обозначить АР=
=ху AL=p, то получим уравнение параболы у2—2рх.
В случае, если конус не прямоугольный, то в чертеж
добавляют только точку А{ пересечения со второй образующей или с ее
продолжением. Обозначая в этом случае АР=х, А\Р=хи отрезок
до оси AL=p (полупараметр), АА{==2аи получим
?/3 -—
2AL
AAi
АР* АгР или у
2 р
2 = —XXv
Эта реконструкция убедительно демонстрирует возможность
вывода свойств конических сечений элементарными
геометрическими рассуждениями. При этом получается уравнение, отнесенное
к осям, причем параметр 2р получает удобную геометрическую
интерпретацию (полупараметр р равен отрезку AL от конической
поверхности до оси).
Интерес к коническим сечениям возрастал по мере того, как
увеличивалось количество решаемых с их помощью задач.
Свойства конических сечений сделались предметом теоретического
исследования. Им посвящали сочинения. Однако все эти сочинения
были забыты, когда появился трактат Аполлония, не имеющий
себе равных по полноте, общности и систематичности изложения
теории конических сечений.
Аполлоний (ок. 260—170 гг. до н. э.) — младший современник
и научный соперник Архимеда. Продолжительное время он
провел в Музейоне в Александрии. Затем возвратился на родину в
г. Перг (в Малой Азии), где сделался активным главой научной
школы. Из многочисленных математических сочинений Аполлония
«64
до нас дошли в основном только 7 из 8 книг (частей, глав)
трактата «Конические сечения». Текст первых четырех книг — на
греческом, на языке оригинала. Книги 5—7 сохранились в переводе
на арабский язык. Книга 8 утрачена; предполагаемое содержание
ее восстановил английский астроном и физик Э. Галлей (1656—
1742), исходя из содержания первых семи книг и сведений,
сообщенных комментаторами Аполлония.
Теорию Аполлоний развивает на основе достаточно общих
исходных посылок. Он сразу вводит обе полости произвольного
конуса с круговым основанием и рассматривает произвольные
плоские его сечения (рис. 24). Каждую из получающихся при этом
кривых он рассматривает по отношению к некоторому диаметру и
семейству хорд, с ним сопряженных. Из образующегося класса
кривых выделяет канонические формы, в которых диаметры
перпендикулярны к сопряженным с ними хордам. Аполлоний тут же
указывает, что эти канонические формы есть сечения конусов
вращения.
При таком способе рассмотрения обеспечивается единообразие
подхода ко всем видам конических сечений. При этом в
рассмотрение включаются сразу обе ветви гиперболы. Отнесение к
диаметрам и сопряженным с ними хордам содержит в себе идею
координатного метода, хотя и в несовершенной форме.
Свойство кривых, являющееся геометрическим эквивалентом
их алгебраического уравнения, формулируется с применением
средств геометрической алгебры. Пусть даны конические сечения:
эллипс и гипербола (рис. 25 и 26). Диаметр у обоих обозначим
АВ. Если из точек А и С оси провести перпендикуляры к ней
АЕ—2р и CF, то квадрат, построенный на CD, будет равен
прямоугольнику AF: CD2=CF-AC. Но CF = ±-СВ Iиз ^ =
CF
2?
2а )
И
поэтому CD2=AC'CB'Pla.
Положив АС=х, СВ=2а—х, в случае эллипса и СВ — 2а+х
для гиперболы получим соответственно уравнения
у2=(2а—х)хр/а, у2=(2а+х)хр/а.
А
2р
( х
Ь? 1
2а~х J
С У1
**
Рис. 25
Рис. 26
65
В первом случае прямоугольник CF используется с
недостатком, во втором — с избытком. Если нет ни недостатка, ни
избытка, то мы имеем параболу, т. е. простое равенство квадрата
прямоугольнику.
Геометрическая алгебра играет при этом примерно такую же
роль, какую играет алгебра в аналитической геометрии.
Разумеется при подобных заключениях об использовании
алгебры и координатного метода в теории конических сечений
Аполлония не следует забывать, что, во-первых, системы координат у
Аполлония еще неотделимы от своих индивидуальных кривых;
во-вторых, не введены еще координаты для всех точек плоскости,
как принадлежащих данной кривой, так и не принадлежащих;
в-третьих, здесь нет еще и речи о сведении задачи соотнесения
точек осям координат к вычислениям, так как нет вообще
стремления сводить геометрические задачи к алгебраическим.
В качестве примера стиля рассуждений в трактате Аполлония
приведем определение параболы (у2=2рх): «Если конус пересечен
плоскостью по оси и пересечен также другой плоскостью, которая
пересекает основание конуса по прямой, перпендикулярной к
основанию треугольника по оси, и если, кроме того, диаметр сечения
параллелен той или другой из двух сторон треугольника по оси,
то всякая прямая, которая проводится от сечения конуса
параллельно общему сечению текущей плоскости и основанию конуса
до диаметра, взятая в квадрате, будет равна прямоугольнику,
заключенному прямо из диаметра, отрезанного от нее до вершины
сечения и некоторой другой прямой, которая имеет к прямой,
взятой между углом конуса и вершиной сечения, такое отношение^
какое квадрат основания треугольника по оси к прямоугольнику,,
заключенному между остальными двумя сторонами треугольника.
Такое сечение называется параболой» (книга 1, предложение 11).
Вслед за этим впечатляющим примером дадим краткий обзор
содержания трактата. Состоит он, как было сказано, из 8 книг.
Первая книга, помимо основных определений и описаний,
включает в себя теоремы о проведении касательных. Речь идет о
проведении в каждом случае опорной прямой, т. е. прямой, проходящей
через точку (х0, уо) конического сечения у2=2рх±х2 таким
образом, чтобы для всех других точек (х, у) прямой удовлетворялось
неравенство
Р _ Р 9
2рх н= — х3 2рх0+ — *о
а а
Во второй книге содержится теория главных осей, асимптот и
сопряженных диаметров. Доказывается, что у эллипса,
гиперболы или параболы имеется только одна пара взаимно
перпендикулярных осей, что если соединить прямой точку пересечения двух
касательных с серединой хорды, соединяющей точки касания, та
эта прямая будет диаметром и др. Наконец, описываются способы
построения центров и осей данного конического сечения.
66
Третья книга начинается группой теорем о площадях фигур,
образуемых секущими, асимптотами и касательными. Среди них
имеется, например, такая широко ныне известная теорема: «Если
из точки проведем две касательные к коническому сечению и
проведем параллельно им две секущие до их пересечения, то
отношение квадратов, построенных на касательных, будет равно
отношению прямоугольников, построенных на секущих и их внешних
отрезках». В этой же книге находятся теоремы о полярах и полюсах
и о получении конических сечений с помощью двух проективных
или томографических пучков. Наконец, с использованием свойств
соответствующих площадей рассматриваются специальные
способы проведения касательных, а также теория фокусов эллипса и
гиперболы.
Следующая, четвертая, книга начинается группой
предложений, относящихся к гармоническому делению отрезков. Затем
подробно рассматривается вопрос о наибольшем числе точек
пересечения и соприкосновения двух конических сечений.
Группу, состоящую из первых четырех книг трактата
Аполлония, исследователи характеризуют как посвященную основным
свойствам конических сечений. Следующие же книги считают
относящимися к специальным проблемам этой теории.
В пятой книге решаются экстремальные задачи, вроде задачи
о кратчайшем расстоянии от данной точки до конического сечения.
Здесь появляются элементы позднейшей теории разверток в виде
определения геометрического места центров кривизны.
Шестая книга содержит разбор проблемы подобия конических
сечений и обобщения задачи о построении семейства конусов,
проходящих через данное коническое сечение. В последней из
сохранившихся, седьмой, книге исследуются вопросы, связанные с
функциями длин сопряженных диаметров и других параметров.
Например, доказывается, что для эллипса (соответственно гиперболы)
сумма (соответственно разность) квадратов сопряженных
диаметров равна сумме (соответственно разности) квадратов осей.
Другой пример: площадь треугольника, образованного двумя
сопряженными диаметрами и хордой, соединяющей их концы,
постоянна. Разработка диоризмов (ограничений, налагаемых на условия
задач) в конце 7-й книги указывает, что 8-я книга, возможно,
содержит задачи, примыкающие к теоретическому материалу 7-й
книги. Так и трактовал 8-ю книгу Э. Галлей, когда работал над
воссозданием ее утерянного текста.
Мы уделили здесь сравнительно много места аннотации
содержания трактата Аполлония о конических сечениях, чтобы
продемонстрировать с уважением и восхищением, сколь высокого
уровня достигла эта часть математики в античности. Естественно, что
те, кто создавал в позднейшем аналитическую и другие геометрии,
отправлялись во многом от идей и результатов Аполлония.
Математические теории, которые до сих пор мы описывали,
имели своим предметом геометрические объекты. Геометричность
формы с течением времени сделалась непременным атрибутом ма-
67
тематических теорий. При этом геометричность как бы негласно
идентифицировалась с общезначимостью математической теории,
ибо представлялось, что геометрические величины имеют
преимущество наибольшей общности в мире математических величин.
Разумеется, нет оснований утверждать, что геометрические
формы исчерпывали когда-либо всю совокупность видов
математической деятельности. Древнегреческие математики применяли
большой комплекс арифметических вычислительных методов,
особенно при решении практических задач. Эти методы входили и в
теоретические работы, дополняя математическую теорию ариф-
метико-алгебраическими и теоретико-числавыми элементами.
Серьезным препятствием для вычислительной практики
являлись неудобство алфавитной системы счисления и
неразработанность символики. В течение определенного времени требования
практики также не были достаточными, чтобы стимулировать
широкий размах вычислительных операций с большими числами.
Вслед за сравнительно ограниченным набором чисел,
получающих названия, наступал «психологический барьер», после
которого множества представлялись неисчислимыми, а числа — невыде-
ляемыми для использования.
Чтобы устранить подобное несовершенство и показать
неограниченную продолжаемость натурального ряда чисел, Архимед
написал специальное сочинение, которое назвал «Псаммит»
(исчисление песка). В нем он построил систему чисел и показал, что она
может быть продолжена сколь угодно далеко для пересчета
любого конечного множества предметов.
Числовая система Архимеда построена по десятичному
принципу: единицы (монады), десятки (декады), сотни (гекады),
тысячи (хилиады), десятки тысяч (мириады) и т. д. Мириада
рассматривается как основа дальнейшего счета вплоть до числа
мириады мириад (108). Числа от 1 до 108 образуют первую октаду
(от слова окто — восемь), а числа, в нее входящие, названы
первыми. Далее следуют вторая октада (108—108-2), третья (108-2'—
108'3) и т. д. до октады чисел октадных (103108 ), замыкающей
первый период. Она является исходной единицей второго периода.
Октада единиц этого периода (Ю8108-Ь8) будет единицей
вторых чисел второго периода и т. д. Далее следуют единицы чисел
третьего периода (102'8108), четвертого (10з81°8) и т. д., до
октады чисел октадных октадного периода (1010а'81°8).
Получающиеся огромные числа воспринимались как
своеобразные трансфиниты древности, шкала роста которых могла быть
неограниченно продолжаема. Их с избытком хватило даже для
такой задачи, как определение порядка числа песчинок, которые
могут заполнить всю вселенную.
Чтобы сделать задачу более определенной, Архимед, исходя из
гелиоцентр истских воззрений Аристарха Самосского, определяет
вселенную как шар, в центре которого находится Солнце. Радиус
шара простирается от Солнца до неподвижных звезд. В целях
68
дальнейшего уточнения задачи принимается, что диаметр
вселенной во столько же раз больше диаметра Солнечной системы, во
сколько раз этот последний больше диаметра Земли. Архимед
использует экспериментальные данные астрономов, округляя их в
сторону увеличения.
Единица измерения вселенной — песчинка — принята за 0,0001
зернышка мака, которых требуется 40 штук, чтобы сравниться с
шириной человеческого пальца. Подсчеты Архимеда показали, что
искомое число песчинок будет не превышать 1063 штук, или
тысячи (103) мириад (104) чисел восьмых (1087) первого периода.
Архимеду приписывают и другую задачу, в которой требуется
оперировать с чрезвычайно большими числами, — так
называемую задачу о быках Гелиоса (бога Солнца). Обозначим для
сокращения буквами б, ч, р, п — число быков соответственно
белой, черной, рыжей и пестрой масти, а буквами б'', ч!, р', п! —
число коров соответственно тех же мастей. В стихотворной форме
ставится задача определения численности стада, исходя из
условий:
1) 6=(4t+4j*+p, 4) б'-{Ч9+ЧА)(ч+ъ')9
2) ^=(1/4+1/5)п+я, 5) *,=(1/4+1/5)(/i + n/)>
3) п=(Ч,+Ч7)б+р, 6) п'=(Чъ+Чв)(р+р'),
8) б+ч=П (точный квадрат),
9) л+р=Д (треугольное число),
10) б+ч+п + р — А (также треугольное число).
Первые 7 условий составляют систему из 7 уравнений и с 8
неизвестными. Наименьшее числовое решение:
все поголовье = 50389073 головы.
Три последних условия подобраны так, что они сводят задачу к
нахождению наименьшего целочисленного решения
неопределенного уравнения х2—4729494г/2=1, которое выражается только
206545-значным числом.
Вычисление значений чисел иррациональных или
трансцендентных вызвало к жизни идею приближения их рациональными
числами. Например, в сочинении Архимеда «Измерение круга»
число я вычисляется с помощью последовательностей правильных
вписанных и описанных многоугольников и дает приближения
3 — < тс < 3 —. Оценки сверху и снизу вводятся также для вычис-
ч/О- 1351 /I/O ^265
ления УЗ, именно: —<]/3<— и значении других квадра-
780 133
тичных иррациональностей. В основном существуют лишь
исторические реконструкции способов нахождения этих оценок; в
античных источниках сведения об этом совершенно недостаточны.
69
Уровень вычислительно-практических приложений развитых в
те времена математических теорий, насколько можно видеть из
имеющихся источников, оставался постоянно сравнительно низким.
Это объясняется: а) оторванностью от практики, являющейся
делом подневольных людей; б) обязательностью геометрической
формы; в) ограниченностью применяемых методов; г) слабым еще
развитием астрономических наблюдений, стимулировавших позже
развитие тригонометрии.
Вслед за временем жизни Евклида, Архимеда и Аполлония
наступила эра поздней греческой античности. Для математических
теорий и вообще для математических знаний это было время
коренного изменения как в содержании, так и в форме за
относительно короткий исторический срок. Сочинения ученых этого
периода отражают процесс замедления, а затем и прекращения
образования новых, и усовершенствования существующих
математических теорий. Результаты, подчас очень важные по
содержанию и красивые по форме, делаются все более частными, а затем
и редкими. Такова, на наш взгляд, тенденция развития. Чтобы
это утверждение не было воспринято упрощенно, приведем
разнообразные примеры. Прежде всего следует упомянуть конхоиду
Никомеда, циссоиду Диоклеса и другие специальные кривые.
В математике времен поздней античности и последующего
владычества Рима все большее место занимают практические
задачи: методы их решения имеют по большей части вычислительный
характер. Ярким примером работ подобного направления
являются математические сочинения Герона из Александрии (ок. 60 г.
н. э.), в особенности «Метрика». Стиль этой работы — рецептур-
но-справочный; для решения определенных классов задач
формулируются правила. Справедливость рецептов подкрепляется
примерами. В «Метрике» содержатся правила для точного или
приближенного вычисления площадей геометрических фигур и
объемов тел, правила численного решения квадратных уравнений и
извлечения квадратных и кубических корней (естественно,
приближенного). В частности, в этом сочинении находится известная
формула Герона для вычисления площади треугольника по трем его
сторонам:
SA == Vp(P—a)(p—b(p—c) ( а, b, с — стороны, р= ^±±tc\
Наконец, значительную часть содержания «Метрики»
занимает описание приемов землемерия и геодезических инструментов.
В других сочинениях Герона: «Механика», «Пневматика»,
«Диоптрика» — систематически излагаются главные достижения
ученых античности в области прикладной механики. «Метрика» в этом
ряду сочинений играет вспомогательную роль математической
энциклопедии.
Значение прикладной вычислительной математики еще более
возрастает вследствие той большой работы, которую математики
вынуждены были исполнять в связи с составлением астрономичес-
70
ких таблиц. Среди последних одно из главных мест занимают
таблицы значений хорд (эквивалентные таблице синусов)
Птолемея Клавдия (ум. ок. 170 г. н. э.). В ней данные приведены для
углов от 0° до 180° с частотой 30".
На основе преимущественного роста вычислительной части
математики, а возможно и вследствие иных дополнительных
влияний, в математике поздней античности стали складываться
алгебраические элементы суждений и начальные формы
алгебраической символики. Это обстоятельство наиболее явно отражается в
математическом научном творчестве Диофанта.
Из математических сочинений Диофанта, жившего и
работавшего в Александрии (вероятнее всего, в III в. н. э.), сохранилось
только 6 книг «Арифметики» (хотя во введении говорится о 13
книгах) и отрывки из книги о многоугольных числах. Понятие
многоугольного числа возникло в научной школе Пифагора как
следствие интерпретации геометрическими образами теоретико-
числовых соотношений.
Если обозначать единицы, составляющие натуральные числа,
точками и располагать их на плоскости, то частичные суммы
арифметических прогрессий (вида #i = l, d=n—2) могут быть
изображены в виде семейства подобных многоугольников
(рис. 27), а соответствующие
числа точек называются
многоугольными. Ко времени * *иш.д* • * *
жизни Диофанта эта идея бы-
ла распространена и на трех- *• • • • • • • •
мерные образы. При этом по- п~^ л"4
ручались пространственные Рис
числа, изображаемые
семейством подобных
параллелепипедов (кубов), пирамидальные числа (частичные суммы
последовательностей многоугольных чисел) и т. д.
В первой книге «Арифметики» Диофанта введены основные
понятия и действия арифметики, правило знаков при умножении,
правила действий с многочленами, решения линейных уравнений.
В последующих 5 книгах рассматриваются главным образом
неопределенные уравнения и их системы (это означает, что число
неизвестных превышает число уравнений). Такие системы и сейчас
называют диофантовыми. Они допускают по большей части
бесконечно большое число решений.
Символика Диофанта основана на сокращениях слов. В
истории алгебраической символики она отражает переход от
словесных выражений алгебраических зависимостей («риторическая»
алгебра) к ступеням сокращений («синкопическая» алгебра).
Следующей ступенью уже будет символическая алгебра.
Неизвестная величина х в уравнениях Диофанта представлена
специальным символом д. Форма этого символа у различных
переписчиков разная, что принципиально существа дела не меняет.
Неизвестное, которое Диофант обозначает g, входит в уравнение
71
с коэффициентом, то оно обозначается gg, что соответствует
множественному числу. Для степеней х применяли специальные
символы (синкопы): для х2—Д* (от слова 6dvafiig — степень), для
х3—К* (от слова: %Ф(5од), хА—ДД*, х5—ДКЛ Знак сложения
отсутствует, для вычитания введен специальный знак, похожий на
перевернутую букву «пси» ¦— ф. Равенство записывается словом
taog — равный, часто буквами ш. Свободные члены уравнения
имеют сопровождающую букву \i° (от слова juto'vag — единица).
Система записи чисел алфавитная. Символика, впрочем, не строго
однообразная, имеет модификации. Приведем примеры:
. О ' г
а) Киа^7]фДу8М'саска, что означает: хъ+8х—(5х2+1)=х;
»/ о
б) KvaiaM'P<ka, что означает: хъ=2—х.
Посредством такой символики в книгах 2—6 «Арифметики»
записаны решения около 130 задач, приводящихся в большинстве
к неопределенным уравнениям 2-й степени и принадлежащих (по
современной классификации) более чем к 50 различным типам. В.
каждом отдельном случае находится только один набор
рациональных корней. Общих методов решения неопределенных
уравнений или их классификации у Диофанта нет. Нет также
доказательств. Справедливость полученного результата подтверждается
только подстановкой в условие задачи.
Общая теория диофантовых уравнений 1-й степени: ах + Ьу=1у
где а и Ь — взаимно простые целые числа, была построена б
XVII в. французским математиком Баше де Мезириаком. Он же
издал в 1621 г. сочинения Диофанта на греческом и латинском
языках со своими комментариями. Над созданием общей теории
диофантовых уравнений 2-й степени трудились многие
выдающиеся ученые: П. Ферма, Дж. Валлис, Л. Эйлер, Ж. Лагранж и
К- Гаусс. Их усилиями к началу XIX в. было в основном
исследовано общее неоднородное уравнение 2-й степени с 2 неизвестными
и с целыми коэффициентами:
ax2+bxy + cy2+dx + ey + f=0.
Диофантовы уравнения до сих пор являются предметом
исследования. Их так же, как и ранее, определяют как неопределенные
алгебраические уравнения или их системы с целыми чаще всего
коэффициентами, для которых разыскивают целые или
рациональные решения. Более общая точка зрения на эти уравнения
состоит в том, что их решения разыскивают в алгебраических числах.
Фундаментальные исследования по теории диофантовых
уравнений провели советские ученые: А. О. Гельфонд, Б. Н. Делоне,.
Д. К. Фаддеев, В. А. Тартаковский.
Имя Диофанта прочно закрепилось и в той части теории
чисел, которая изучает приближения действительных чисел
числами рациональными. Эти приближения называют диофантовыми. К
теории диофантовых приближений относят также вопросы, отш>
72
сящиеся к решению в целых числах неравенств (или их систем)
с действительными коэффициентами, и вопросы теории
трансцендентных чисел. Центральное место в теории диофантовых
приближений занимают методы академика И. М. Виноградова и
полученные им результаты.
Таким образом, сочинения Диофанта послужили по существу
отправной точкой многих теоретико-числовых и алгебраических
исследований. По отношению же к античной математике они
означали усиление алгебраических тенденций.
К характерным чертам математики поздней античности
относится также появление сочинений, являющихся просто пересказом
и комментариями классических работ. Преобладание
комментариев, несомненно, является признаком упадка научного
творчества. Однако сочинения комментаторов принесли большую пользу
истории математики, сохранив в отрывках или в пересказе,
сведения о многих классических и важных сочинениях. Иногда
комментарии оказываются единственным источником сведений об
утерянных сочинениях или о забытых достижениях античных
математиков.
Одним из ранних комментаторов явился Гемин Родосский (ок.
100 г. до н. э.). По свидетельству Прокла (V в. н. э.), Гемин
обстоятельно излагал историю так называемых высших кривых:
спиралей, конхоид, циссоид и др. Ему принадлежит также одно
из исторически первых делений наук на теоретические (геометрия
и арифметика) и практические (астрономия, механика, оптика,
геодезия, методы вычислений).
Другой крупный комментатор Теон из Александрии (IV в.
н. э.) составил комментарии к «Началам» Евклида и к
астрономическому трактату «Альмагест» Птолемея. Его дочь Гипатия
(370—418) тоже с успехом комментировала сочинения Архимеда,
Аполлония и Диофанта.
Особое место в ряду комментаторов занимает Папп из
Александрии. Случай помог нам узнать время его жизни. Оказалось,
что 18 октября 320 г. н. э. он наблюдал солнечное затмение, о
чем сообщил в своем комментарии. Кроме комментариев к
сочинениям Евклида и Птолемея он написал большое сочинение
«Математическое собрание», в котором подробно и со знанием дела
рассказал со своими замечаниями о многих замечательных
открытиях предшественников. Из 8 книг «Математического
собрания» до нас дошли только 6 (книги 3—8). Пропавшие книги, по-
видимому, содержали обзор греческой арифметики, на что
указывают сохранившиеся отрывки.
Третья книга посвящена истории решения задач удвоения
куба и трисекции угла. Папп дает при этом и свое решение первой
из них, сводящееся к построению двух средних пропорциональных
величин. Задачи, относящиеся к построению кривых двоякой
кривизны и поверхностей, составили четвертую книгу. Описание
учения Зенодора об изопериметрических свойствах плоских фигур и
поверхностей занимает первую половину 5-й книги. Во вторую ее
7 о
половину вошло учение о правильных числах. Астрономии Папп
посвятил 6-ю книгу. В ней содержатся комментарии к «Оптике» и
«Феноменам» Евклида, к сочинению Аристарха «О величинах и о
расстояниях», к «Сферике» Феодосия и др.
Седьмая книга — самая большая и самая разнообразная по
содержанию. Вначале идет разъяснение методов анализа и
синтеза у древних, приводятся примеры. Затем следует знаменитая
задача Паппа: пусть на плоскости произвольным образом
расположены п прямых. Найти геометрическое место точек, для
которых произведение отрезков, проведенных от них под одними и
теми же углами к /г/2 прямых, имело бы данное отношение к
произведению отрезков, проведенных тем же способом к другой
половине прямых. Для большого класса случаев Папп доказал, что
искомым геометрическим местом являются конические сечения.
Гораздо позднее, в XVII в., Декарт при построении своей
аналитической геометрии решил эту задачу.
Вслед за задачей Паппа в 7-й книге приведена теорема,
известная теперь как теорема Гюльдена: объемы тел, образованных
вращением линии или поверхности, относятся как произведения
площадей образующих фигур на длину окружности, описываемой
их центрами тяжести. Остальное место в 7-й книге занимают
комментарии к трудам Аполлония о трансверсалях и
ангармонических отношениях.
Последняя, 8-я, книга посвящена практической механике и
связанным с ней геометрическим задачам и теоремам. Среди
последних имеется, например, следующая теорема: если 3
материальные точки, находящиеся в вершинах треугольника, двигаются
по его периметру одновременно в одном направлении со
скоростями, пропорциональными длинам сторон, то положение центра
тяжести не меняется.
Наш обзор истории создания и расцвета теоретической части
математики является, разумеется, неполным. Он и не может
быть иным. Слишком велик объем дошедших до нас фактов,
разнородны и многочисленны направления. Однако уже можно, по
нашему мнению, делать обоснованные выводы.
Математика Древней Греции является началом становления
математической науки и образования в ней всех ее основных
частей. Главными особенностями этого исторического периода
являются формирование немалого числа математических теорий, их
бурный рост и затем приостановка на длительный срок.
В рамках математических теорий греческой античности
возникли и получили развитие элементы более поздних математических
наук: алгебры, аналитической геометрии, анализа бесконечно
малых, теоретической механики. В ее составе сложились основы
аксиоматического метода и математической логики. Однако
оторванность математических теорий от практики, узость их
геометрической формы, особенности господствующей идеологии
предопределили ограниченность области и времени их развития.
ГЛАВА 3
О ПУТЯХ ИСТОРИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ
МАТЕМАТИКИ
По установившейся в истории математики периодизации
время, протекшее от начала формирования математической науки
{VI—V вв. до н. э.) до появления анализа бесконечно малых
(XVII в.), относят к единому периоду математики постоянных
величин. Это огромный промежуток времени: более двух тысяч лет.
Выделение исторических периодов столь значительной
длительности становится оправданным, если удается найти какую-либо
общность в математических знаниях. Эту общность отражают в
названии периода, что практически никогда не снимает условность,
неточность названия. В данном случае название периода нельзя
считать удачным.
Этот временной промежуток нередко называют также
периодом элементарной математики. Так делают потому, что в наши дни
большинство научных достижений тех времен отражено в
программах по математике для общеобразовательных средних школ.
Однако при этом не учитывают многие замечательные
достижения, остающиеся «за бортом» подобного определения. Кроме того,
даже попытка, определить, что следовало бы отнести к
элементарной математике, встречается с трудностями совсем не
элементарными. Более того, однозначно и логически строго определить
понятие элементарности невозможно. Оно, это понятие, относительно,
субъективно. В разное время и в различных обстоятельствах, в
него вкладывают различное содержание. Общепринято считать,
что если какое-либо математическое суждение называют
элементарным, то это означает, что понять его и разумно воспроизвести
под силу ученику общеобразовательной средней школы.
§ 3.1. О СУДЬБЕ ДРЕВНЕГРЕЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ
Как было ранее описано, около 3 тысяч лет тому назад, из
совокупности вычислительных и измерительных знаний людей,
начала формироваться и приобретать самостоятельность
математическая наука. Это происходило на берегах и островах
Средиземного моря. Главными творцами математической науки были гре-
коязычные ученые. Уровень теоретических изысканий достиг
такого совершенства, что и сейчас математика в своих основах
сохраняет очевидные связи с идеями и методами античной науки.
Прошло около тысячи лет, и первые столетия нашей эры стали
свидетелями упадка, а затем и полного прекращения научной, в
том числе математической, деятельности на цветущих берегах
Средиземноморья. Только через тысячу примерно лет разрознен-
75
ные остатки науки и культуры древних греков вновь привлекли
внимание и вызвали восхищение в человеческом обществе.
История науки показала, что развитие математики не происходило
«гладко», логически последовательным путем.
Ход исторического развития математики в основном был
обусловлен происходившими грандиозными переменами в
экономической, общественной и культурной жизни народов этого региона.
Самое непосредственное и разрушительное воздействие
оказывали бесчисленные войны. В IV в. до н. э. Филипп Македонский
(ок. 382—336) завоевал материковую Грецию, а в 332—323 гг. до
н. э. его сын Александр (356—323) осуществил завоевательный
поход, покорил Египет, страны Ближнего Востока и достиг
Индии. Громадная империя Александра после его смерти распалась.
Новыми государствами — их назвали эллинистическими (от
эллин, т. е. грек) — управляли полководцы Александра. В одном
из них, в столице Египта Александрии, в 331 г. был основан Му~
зейон (прибежище муз). Правители Египта Птолемеи пригласили
в Музейон самых крупных ученых, основали библиотеку (к I в.
н. э. в ней было до 700 000 рукописей). Музейон на несколько
столетий сделался научным центром всего известного грекам мира.
Но уже в конце III века до н. э. началась новая серия
завоеваний, сопровождающих на этот раз создание Римской империи. В
212 г. до н. э. римляне штурмом взяли Сиракузы и убили
Архимеда. К 146 г. до н. э. они завоевали всю материковую Грецию, а
также Карфаген. В 31 г. до н. э. войска Цезаря вступили в
Александрию и сожгли часть библиотеки Музейона.
Вслед за римлянами сокрушительные удары «языческой»
науке нанесли христиане. Лозунгом религии были слова Тертуллиа-
на (II в. н. э.): «Нам после Христа не нужна никакая
любознательность; после Евангелия не нужно никакого исследования».
Под давлением христианских церковников закрывались школы и
храмы. В 391 г. сожжена значительная часть библиотеки.
Последние группы ученых Александрии были разогнаны. В 418 г. первую
женщину-математика Гипатию растерзала толпа религиозных
фанатиков. Библиотека была практически уничтожена. Оставшиеся
в живых ученые собрались в Афинах, но в 529 г. их деятельность
была запрещена официальным указом римского императора
Юстиниана.
Греческая наука прекратила существование.
§ 3.2. МАТЕМАТИКА НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ И
БЛИЖНЕГО ВОСТОКА
На обширных территориях, от северо-запада Индийского
полуострова до северного побережья Африки и юга Испании, с давних
времен существовали многочисленные, порою мощные,
государственные образования. Созданные главным образом путем
завоеваний, огромные, но не связаные в единый хозяйственный организм,,
они не обладали государственной устойчивостью и имели
сложную, полную превратностей судьбу. Научные и культурные тради-
76
дии населяющих их народов развивались в таких условиях
сравнительно медленно.
Начиная с VII в. по всем этим землям прокатилась волна
завоевательных войн, начатых под давлением острого хозяйственного
кризиса племенами, населявшими Аравийский полуостров. Эти
войны приняли форму борьбы за господство новой религии —
ислама (или, как ее иначе называют по имени основателя,
магометанства). В течение пары веков образовалась колоссальная
область торгового обмена и экономических связей. Возникли новые
и укрепили свои позиции старые города, ставшие центрами тор-
ховли, ремесел и административного управления. Господствующее
положение и объединяющая роль стали принадлежать исламу.
Арабский язык сделался языком официальных документов,
религиозных сочинений, научных и учебных трактатов, художественных
и поэтических произведений.
Сложившиеся условия хозяйственной и политической жизни
благоприятствовали развитию математики. Математические
знания потребовались для нужд административного управления,
ирригации, строительства и ремесел. Торговые связи между народами,
осуществляемые посредством длительных путешествий по морям,
горам и неизведанным местностям, также способствовали
развитию географии, астрономии и математики.
По этим причинам многие восточные правители и целые
династии проводили политику государственного покровительства
наукам. Строили обсерватории, собирали библиотеки древних
сочинений, которые разыскивали всюду и переводили на арабский язык.
В аппарате государственного управления появились специально
оплачиваемые ученые.
В результате сложилась своеобразная система математических
знаний. Преобладающее место в ней заняло создание
разнообразных вычислительных методов и измерительных средств для нужд
торговли, административного управления, землемерных работ,
картографии, астрономии, для составления календаря и т. п. В
эту систему влились также данные античной греческой науки,
классические трактаты Евклида, Архимеда, Аполлония и иных. В
ней вместе с тем получили место и развитие сведения из
математики народов Индии и Китая, а также коренного населения стран
Ближнего и Среднего Востока. Освоение и переработка
многочисленных источников и подготовка квалифицированных
математиков потребовали, разумеется, немалого времени. Для арабской
математики (как мы будем иногда ее называть для краткости,
несмотря на необоснованность этого термина) характерна
своеобразная многоплановость, пестрота в постановках задач, в методах
их решения и даже в символике.
Складывающаяся под столь многообразными влияниями
математическая наука приобрела так много оригинальных черт, что
сделалась качественно отличной от своих источников.
Рассмотрим по возможности конкретно вопрос о характерных
особенностях математики средневекового Востока и о достигну-
77
том там уровне развития математических наук. Вопрос о
дифференциации материала по отдельным странам и о возможных
взаимных влияниях ввиду его специфичности и неразработанности
затрагивать здесь не будем.
В вычислительной практике арабоязычных народов
равноправно действовали обе системы счисления: десятичная и 60-ричная.
Первая была заимствована из Индии не позднее VII в. и быстро
получила широкое распространение. Из арифметического
трактата Хорезми (IX в.) «Об индийских числах», переведенного в XII в.
на латинский язык, десятичная система сделалась известной в
Европе. Параллельно сохранялась и применялась (в работах по
астрономии и тригонометрии) 60-ричная система, унаследованная от
вавилонян. В духе математиков древнего Вавилона составлялись
и использовались при вычислениях вспомогательные таблицы,,
например таблица умножения чисел от 1X1 до 59X59. Даже в
сравнительно позднее время (ок. 1427 г.) в обсерватории
узбекского хана астронома Улугбека под г. Самаркандом были в
употреблении обе системы счисления. Для удобства вычислений были
разработаны правила перевода чисел из одной системы в другую.
Регулярные правила существовали для вычислений с дробями:
простыми и десятичными. К слову заметим, что в Европе
десятичные дроби впервые появились лишь около 1585 г. в сочинениях
фламандского инженера и математика С. Стевина,
В арсенале арабских математиков накопилось много
вычислительных приемов и алгоритмов. Приведем некоторые из них,
чтобы продемонстрировать уровень вычислительной техники.
1. Получение 17 верных знаков числа л с помощью
вписывания в окружность и описывания около нее правильных
многоугольников. Вычисления были проведены в первой половине XV в. аль-
Каши и были доведены до определения длин сторон правильного
3-228-угольника. Только более чем через 150 лет, в 1593 г., в
Европе Ф. Виет нашел лишь 9 правильных десятичных знаков я с
помощью правильных 3-217-угольников. Результат аль-Каши был
повторен в 1597 г. ван-Роуменом, а позднее превзойден.
2. Вычисление корней из чисел методом, известным ныне как
метод Руффини — Горнера. Есть основания предполагать, что
этот метод был воспринят в итоге тесных научных связей с
китайскими математиками. В трактовке метода было отмечено, что
ПОЭТ, f—
следов ательное вычисление знаков корня у q = a, be... связано с
отысканием последовательных разностей
q—ап\ q— (а-\ } ; q— [а-\ г —\ ; - • . •
4 j [ 10 j ч ( 10 100 j
При этом обнаружен и сформулирован ряд биномиальных
разложений вида
(а+1)и-ап=С1па"-*+С1а«-*+ . . . +С;->а+1,
(а+Ь)п—an=>Clnan-lb+C2nan-2b2+ . . . +С»-*аЬп~х+Ья9
78
высказано правило образования биномиальных коэффициентов
В Европе таблица биномиальных коэффициентов для п^.17
была опубликована лишь в 1544 г. (Штифель), а упомянутый
метод переоткрыт Руффини (1804) и Горнером (1819).
3. Приближенное извлечение корней. Известный еще в
древности прием Yq=zVT*+r~T + -~ я где Т — целое, был
распространен к XV в. (аль-Каши) на случай любого натурального
показателя корня. Основой этого приема было линейное
интерполирование, т. е. рассуждения типа:
положим
Тогда
n/~ ( xx=Tnt ух-=Т \
ц—\/х\ при Xх *г \х = х1 + г.
У*—Vi
y = y1+UZE (*-*i) = Г+-
По-видимому, от индийцев было воспринято правило у Я —
= уqzn /г, примененное как в десятичной (z=lOk), так и в 60-
ричной (z=60k) системах счисления.
Распространение подобных приемов приближенного
извлечения корней отмечено в Европе лишь с середины XII в.
4. Суммирование арифметических и геометрических
прогрессий, включая нахождение сумм вида v ак (?=1, 2, 3, 4). Напри-
а=1
мер:
Преобладающая роль вычислительной части математики
оказала влияние на трактовку многих теоретических вопросов.
Особенно интересен вопрос о понимании алгебраических иррациональ-
ностей. Стремление к производству операций над ними
характерно для всей арабской математики. Например, в сочинениях Хорез-
ми (IX в.) уже встречаются действия над квадратичными ирраци-
ональностями. Аль-Кархи (XI в.) ввел многие преобразования
иррациональных выражений, в том числе
Аль-Баки (ок. 1100 г.), как и аль-Кархи, комментировал 10-ю
книгу «Начал» Евклида, поясняя ее теоремы числовыми
примерами.
В силу частого применения вычислений и действий с
выражениями, содержащими иррациональности, различие между ними и
79
рациональными числами начинает стираться. Представления о
числе как о собрании единиц были дополнены представлениями о
нем как об- отношениях непрерывных величин. Была осознана
адекватность геометрических несоизмеримостей с
арифметическими иррациональностями. Последние вошли в класс чисел на
основе разработанных для них правил выполнения операций. Вместо
двух обособленных понятий — числа и отношения — возникла
новая, более широкая концепция действительного положительного
числа. Уже в XIII в. (Насирэддин, 1201 —1274) этот факт был
засвидетельствован с большой определенностью: «Каждое из
отношений может быть названо числом, измеряемым единицей, так же
как предшествующий член отношения измеряется последующим
членом» (Мухаммед Насирэддин Туей. «Трактат о полном
четырехстороннике». Баку. Изд-во АН АзССР, 1952. С. 22).
Идея создания единой концепции действительного числа путем
объединения понятий рационального числа и отношения,
появившаяся у математиков поздней греческой античности, получила на
Ближнем Востоке некоторое завершение.
В Европе подобная идея не появлялась довольно долго.
Только с XVI в., в связи с бурным развитием вычислительных средств
(в первую очередь логарифмы, логарифмическая линейка),
математики начали ее осознавать. Однако высказана она была лишь
И. Ньютоном в 70-х гг. XVII в., а опубликована была еще позднее
(1707 г.) в его «Всеобщей арифметике»: «Под числом мы
понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение
какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой
нами за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и
иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей;
дробное — кратной долей единицы; иррациональное число
несоизмеримо с единицей» (И. Ньютон. Всеобщая арифметика. М.,
Изд-во АН СССР, 1948. С. 8).
Влияние алгоритмически-вычислительной направленности
арабской математики отразилось и на ее структуре. В ней
сравнительно быстро впервые в истории выделилась в качестве
самостоятельной части математики алгебра. В этом факте нашло свое
выражение слияние элементов алгебраического характера
математики различных народов. Именно: геометрическая алгебра
древних греков, группы однотипных задач в древнем Вавилоне и
попытки выработать для каждой из них единый алгоритм,
вычислительные задачи индийцев, приводившие к уравнениям 1-й и 2-й
степени и (вероятно) другие.
В сочинениях математиков средневекового Востока эти
алгебраические элементы были впервые выделены и собраны в
новый специальный отдел математики, был сформулирован тезис о
предмете этой новой части математической науки и даже
построена систематическая теория. В качестве примера такого подхода
приведем высказывание среднеазиатского (термин условный)
математика Омара Хайяма (ок. 1040 — ок. 1123 гг.):
80
«Алгебра есть научное искусство. Ее предмет — это
абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но
отнесенные к какой-либо известной вещи так, что их можно
определить; эта известная вещь есть количество индивидуально-
определенное отношение, и к этой известной вещи приходят,
анализируя условия задачи; в этом искусстве ищут соотношения,
связывающие данные в задачах величины с неизвестной, которая
вышеуказанным образом составляет предмет алгебры.
Совершенство этого искусства состоит в знании математических
методов, с помощью которых можно осуществить упомянутое
определение как числовых, так и геометрических неизвестных...
Алгебраические решения, как это хорошо известно, производятся лишь с
помощью уравнения, т. е. приравниванием одних степеней
другим» (см. сб.: «Историко-математические исследования». М., Физ-
матгиз, 1953. Вып. 6. С. 15—172).
Европейские ученые начали ознакомление с алгеброй в начале
XII в. Источником (вероятно, самым ранним) их сведений об
алгебре явилось сочинение «Китаб аль-Джебр валь-Мукабала»
Мухаммеда бен-Муса аль-Хорезми (далее сокращенно: Хорезми),
жившего в первой половине IX в. (по другим сведениям: 787 — ок.
?50). Название книги в переводе означает, что это книга о
(математических) операциях джебр (восстановления) и кабала
(приведения). Первая из этих операций, название которой послужило
впоследствии названием алгебры вообще, состоит в переносе
членов уравнения на другую сторону от знака равенства с
изменением знака. Вторая операция состоит в приведении подобных членов
уравнения. Решение алгебраических уравнений трактуется как
самостоятельная наука.
В книге содержатся систематически изложенные решения
уравнений первых двух степеней:
ax=b, х2+Ьх=а,
ах2=Ь, х2+а=Ьх,
ах2=Ьх, Ьх+а—х2.
Хорезми находит и описывает решения этих уравнений как в
числовой, так и в геометрической форме. Метод нахождения
геометрических решений состоит в приравнивании площадей,
специально подобранных для геометрической интерпретации уравнения.
Например, пусть дано уравнение: х2+ах=Ь. .
Производим разбиения площади S квадрата .—. г^Ц
(см. рис. 28). Запишем эти разбиения анали- II \Ф
тически:
S-*+4(i)f+4±,= [J 'Ч
V4/ 4 Рис.28
81
В то же время
* = (* + *)'¦ (* + 7p+'f
x^—al2+ l/ b+ j.
Книга Хорезми приобрела широкую известность. Термин
«алгебра» укоренился в математике. Осталось в математике и имя
самого аль-Хорезми в латинизированной форме: алгоритм.
Вначале это слово обозначало имя ученого, затем — нумерацию по
позиционной системе, а в наши дни —¦ всякую систему вычислений,,
производимых по строго определенным правилам и заведомо
приводящих к решению поставленной задачи. В ходе исторического
развития науки изменялось содержание понятий, вложенное в эти
термины, но сами термины сохранились. Кстати добавим, что сам
Хорезми не претендовал на приоритет. Видимо, оба приема —
джебр и кабала — были уже известными в его время.
Алгебраические арабские трактаты IX—XV вв. содержали
рассмотрение и кубических уравнений. К последним приводили
разнообразные задачи: а) рассечение шара плоскостью; б) трисекция
угла; в) отыскание стороны правильного 9-угольника; г)
отыскание стороны правильного 7-угольника и др. Одна из задач
оптики: найти на заданной окружности такую точку, чтобы луч,
падающий из данной точки А, отразился в другую заданную точку
В, —¦ приводила к уравнению 4-й степени.
В методах решения этих уравнений отразилось многообразие
средств, вообще присущее математике арабских ученых. Ряд
трактатов содержит попытки численного решения; в других видно
влияние греческой античности. Решения в последних находятся с
помощью пересечения конических сечений. Численные методы
решения уравнений варьировались от способа проб (Бируни, 972—
1048) до изящного итерационного быстро сходящегося метода
аль-Каши (ок. 1420). Расскажем о нем подробнее.
В самаркандской обсерватории Улугбека, хорошо для того
времени оснащенной, среди других исследований составлялись
таблицы синусов с частотой Г и с точностью до 9-го знака.
Решающую роль в этой работе играли, как известно, точность
вычисления синусов малых дуг, скажем, sin Г. Исходя из измеренных
значений sin72° и sin60°, Каши нашел sin3°. Для нахождения затем
4 4
sinl0 он получил, исходя из соотношения cos <р = 4 cos 3cos —
кубическое уравнение: л;3+0,7850393433644006 = 45л:.
Поясним метод Каши на уравнении, записываемом в общем
виде:
x* + Q^Px или * = ?±2-.
Первое приближение в силу малости х (а тем более л^)
берется в виде: xi^Qfp=a. Результат вычисляется приближенный, та-
62
кой, чтобы остаток от деления R был того же порядка малости,
что и я3.
Второй шаг: положим
*-« + * « + yeJ«±?+*. у = Щ±«^
Величина R имеет порядок а3. Она велика по сравнению с аъу.
Новое приближение получается, если пренебречь в числителе
членами, содержащими у.
Третий этап: y—b + z\ операции повторяются в том же поряд
ке, как и на втором этапе. По этому способу получаются
следующие последовательные приближения:
о
Процесс сходится при Зл:2<г<1, что в данном случае имеет
место ввиду малости х.
Этим методом было найдено 17 верных знаков для sinl0 в
десятичной системе. Результат же аль-Каши был получен в 60-рич-
ной системе. Такая степень точности позволила составить
таблицы тригонометрических функций с точностью до 9-го знака.
Сравнимый уровень техники и точности приближенных вычислений
в Европе был достигнут лишь к концу XVI в.
Другое направление в решении кубических уравнений
основывалось на получении геометрического образа положительного
корня путем пересечения подходящим образом подобранных
конических сечений. В сочинениях подобного типа авторы также
отчетливо выделяли алгебру как особую математическую дисциплину,
систематизировали все виды алгебраических уравнений первых
трех степеней по расположению членов относительно знака
равенства, находили условия существования положительных корней
уравнения, — словом, создавали элементы общей теории
алгебраических уравнений. Большим недостатком алгебры оставалось
отсутствие развитой символики, словесное описание действий. Это
задерживало дальнейшее ее развитие.
83
Помимо выделения алгебры в самостоятельный раздел
важнейшей характерной чертой арабской математики было
формирование тригонометрии. И в этой области происходил синтез
разнообразных элементов тригонометрической природы, таких как:
исчисление хорд и таблицы их значений у древних, в особенности
результаты Птолемея и Менелая; операции с линиями синуса и
косинуса у древних индийцев; накопленный опыт и проблемы
астрономических наблюдений и измерений.
На основе этого разнородного материала математики стран
Ближнего Востока и Средней Азии ввели все тригонометрические
линии. В связи с задачами наблюдательной астрономии они
составили таблицы тригонометрических функций с высокой точностью
и необходимой частотой. Данных накопилось при этом так много,
что сделалось возможным изучать свойства как плоских, так и
сферических треугольников, накопить способы их решения.
Получилась стройная, богатая фактами система тригонометрии, как
плоской, так и сферической. Примером такой системы является,
например, сочинение Насирэддина (1201—1274) «Трактат о полном
четырехстороннике». В нем: 1) развита теория отношений
величин; 2) изложена достаточно общая теория фигур, составленных
из четырех попарно пересекающихся прямых; 3) собраны методы
решения плоских треугольников; 4) решена задача об
определении сторон и углов сферического треугольника.
По мере того как выяснялось практическое значение
тригонометрии, последняя тоже изменялась. В ней стал преобладать
материал об алгебраических зависимостях тригонометрических
функций, о вычислительных методах и о возможностях тригонометрии.
Из-за отсутствия удобной символики еще задерживалось чисто
аналитическое построение тригонометрии.
Итак, тригонометрия в математике средневекового Востока
сделалась относительно самостоятельной частью. Из совокупности
вспомогательных средств астрономии она преобразовалась в
науку о тригонометрических функциях плоских и сферических
треугольников и о способах решения этих треугольников.
Алгоритмические вычислительные средства стали играть в ней преобладающую
роль. Оставался один только шаг: введение специальной
символики, чтобы тригонометрия приобрела привычный для нас
аналитический облик. Но для того чтобы этот шаг был сделан,
понадобилось еще много времени и изменение обстоятельств, в которых
существовали тригонометрические знания. Они сделались вновь
благоприятными, начиная с XVI в. в Европе, в первую очередь под
влиянием запросов мореплавания. В конце XVI в. начало входить
в употребление принятое теперь название — тригонометрия.
В нашем описании арабской математики относительно мало
уделено внимания геометрии. Это объяснимо: не геометрические
интересы были, по нашему мнению, главными, определяющими в
общем потоке математических достижений. Но дошедшие до нас
математические сочинения среднеазиатских и ближневосточных
математиков той поры неопровержимо свидетельствуют о высоком
84
уровне их геометрических знаний. Математическая арабская
литература была богата переводами сочинений Евклида, Архимеда,
Аполлония и других авторов античной Греции и комментариями к
этим сочинениям. Арабские рукописи сохранили многие научные
достижения древних. Нередко именно они оказываются
единственным источником немаловажных сведений о предшествующих им
временах развития математики, а также научной основой
математического творчества европейских ученых эпохи Возрождения.
В ряду геометрических сочинений обращают на себя внимание
глубокие исследования по основаниям геометрии. В сочинениях
О. Хайяма (XI в.) и Насирэддина (XIII в.) имеются попытки
доказательства постулата о параллельных, основанные на введении
допущений, эквивалентных этому постулату. Имена обоих ученых
с полным правом могут быть включены в длинный ряд
предшественников неевклидовой геометрии, подвергавших строгому
логическому анализу системы исходных высказываний геометрии
Евклида.
Примерно с середины XV в. развитие математики в
описываемых нами здесь районах замедлилось и вскоре практически
прекратилось. Причины этого заключаются в наступившем
экономическом и вообще всестороннем разобщении обширных территорий,
о которых шла в этой главе речь.
Народы Средней Азии, Ближнего Востока и Северной
Африки в силу исторически сложившихся условий оказались
задержанными на феодальной стадии общественного развития, жили в
обстановке войн и политических неурядиц, подвергались растущему
колониальному нажиму сильных капиталистических стран.
Прогресс науки, в том числе математики, оказался остановленным на
долгое время.
§ 3.3. НАКОПЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ В
СТРАНАХ ЕВРОПЫ
На европейском континенте математика не имеет столь
раннего начала, как во многих странах Востока. Мы не будем
описывать здесь математику римлян из-за относительно низкого
уровня научно-теоретического развития и слабого влияния на
последующее развитие науки. Не без сожаления мы оставим в стороне
науку Византии (IV—XV вв.), трудная историческая судьба
которой воспрепятствовала развитию древнегреческого научного
наследия. Начнем наш обзор с того времени, когда успехи
математического образования и науки в Западной Европе сделались
заметными. Это соответствует эпохе развитого средневековья и в
особенности эпохе Возрождения.
Начало эры средних веков, или эпохи феодализма, в Европе
относят к V в., к тому времени, когда перестала существовать
западная Римская империя. В течение V—X вв. протекал
длительный процесс становления феодальных отношений. Европа была
раздроблена на великое множество мелких владений. Экономика
85
имела натуральный характер, торговый обмен был слаб и
нерегулярен. На XI—XIV вв. приходится пора расцвета феодализма. За
это время происходит разделение труда между городом и
деревней, ремеслом и земледелием. Растут города и укрепляются
товарно-денежные отношения. В XII—XV вв. в обстановке войн и
территориальных захватов складываются более крупные
государства и нации. В XIV в. феодальный мир потрясают крестьянские
войны, в которых за религиозными мотивами явно проглядывает
их антифеодальная сущность. В XV—XVII вв. происходит
созревание в недрах феодализма капиталистических отношений и
разложение феодального уклада. Начало этого последнего периода,
т. е. XV и XVI вв., в культурном и идеологическом развитии ряда
стран Западной и Центральной Европы известно под названием
Возрождение.
Техника средневековой Европы, вначале примитивная,
приобретает к концу этого периода массовое распространение, и уровень
технических достижений быстро растет. Например, добыча руд и
металлургия, начатая в VIII в., набирала силу в течение четырех
веков и в XII в. превратилась в заметную область европейской
промышленности. В том же веке были открыты свойства
магнитной стрелки. Около 1000 г. появилось стекло, а шлифовка и
амальгамирование стекла для изготовления очков, зеркал,
подзорных труб были введены в XIV в. Около 1100 г. изобретены часы с
колесным, позднее — с колесно-пружинным механизмом, а через
100 лет — часы с боем. Бумага стала входить в обиход в Европе
с XII в., а книгопечатание было изобретено в середине XV в. В
период XIII—XIV вв. все шире стал применяться порох.
Эти примеры показывают, что технические достижения
европейских народов вначале слабые и редкие, накапливаются и
создают условия для ускорения технического прогресса и для смены
всей системы экономических, политических, научных и
культурных отношений и воззрений.
Аналогичную картину вначале замедленного, затем все более
ускоряющегося развития и, наконец, коренного, революционного
преобразования представляют естествознание и математика
средневековой Европы. В V—XI вв. уровень математических знаний
в Европе был очень низким. Сколько-нибудь крупных
математических открытий или сочинений не обнаружено. Даже
образованные люди были редки. По всей вероятности, единственными
обладателями математических знаний, превышающих обычные запросы,
были немногочисленные ученые — монахи, хранившие, изучавшие
и переписывавшие естественно-научные и математические
сочинения древних. Церковь накладывала сильнейший отпечаток
схоластики и на эти островки знания.
Основной предпосылкой развития математических знаний в
Европе была организация учебных заведений. Одну из первых школ
организовал в г. Реймсе (Франция) Герберт (940—1003),
сделавшийся позднее римским папой под именем Сильвестра II.
86
В школе Герберта, помимо прочих наук, учили счету с
применением счетной доски-абака, усовершенствованного заменой
камешков или пластинок, каждый из которых имел значение
единицы, на жетоны с написанными на них цифрами. В то время
существовало много способов счета. Среди приверженцев
сложившихся разнообразных счетных вычислительных традиций основными
были абакисты (абацисты) и алгоритмики. Первые в основном
отличались требованием обязательного применения абака и 12-
ричной римской нумерации. Алгоритмики предпочитали индийские
цифры, некоторые из них вводили знак нуля, счет вели на бумаге,
применяли и 60-ричные дроби. В спорах формировались системы
счисления и приемы вычислений, все более близкие к привычным
нам.
Через 100 лет, в XII—XIII вв., появились в Европе первые
университеты. Самыми ранними из них были итальянские
университеты в Болонье и Салерно. Вслед за ними были основаны
университеты в Оксфорде и Париже (1167), Кембридже (1209),
Неаполе (1224), Праге (1347), Вене (1367) и др. Это были учебные
заведения, безраздельно подчиненные церкви. Во главе их стояли
отцы-настоятели (ректоры), во главе подразделений
(факультетов) — деканы. Студенты начинали обучение на
подготовительном «факультете искусств», затем продолжали его на одном из
основных факультетов: богословском, юридическом или же
медицинском.
Математика входила составной частью в 7 свободных искусств,
изучавшихся на факультете искусств. Весь цикл этих искусств
состоял из двух концентров: тривиум и квадривиум. Первый
составляли: грамматика, т. е. искусство писать без ошибок с целью,
адекватного выражения своих мыслей; риторика, т. е. искусство
устного выражения мыслей; диалектика, т. е. умение вести
дискуссию, обоснованно отстаивая свою точку зрения.
Квадривиум включал в себя: арифметику, геометрию,
астрономию и музыку, т. е. теорию гармонических интервалов.
Уровень математической подготовки выпускников
университетов был крайне низок. Доходило до того, что в ряде
университетов вплоть до XVI в. от лиц, претендовавших на звание магистра,
по математике требовалось только... дать клятву, что он знает
содержание первых 6 книг евклидовых «Начал». Так как
университеты были подчинены церкви, то школьная наука (схоластика)
вырождалась в бесплодные умствования и споры, все больше
оправдывая тот смысл, который мы часто сейчас вкладываем в
слово «схоластика». Вообще, система средневекового образования в
течение нескольких веков была сложившейся, но все более
недостаточной предпосылкой дальнейшего развития математической
науки.
При таком положении дел естественно, что математические
знания людей наращивались и совершенствовались не в
европейских учебных заведениях. Они, в большинстве, привносились
извне. Это были сохраненные остатки математики римлян и гречес-
87
ко-византийской науки. Но в большей части математические и
вообще научные знания пополнялись из переводов арабских рукописей
на латинский язык —универсальный язык всех научных сочинений
тех времен (в настоящее время сохранившийся только в
медицине, фармацевтике и частично в биологии). Таким путем
европейцы узнавали «Начала» Евклида, «Альмагест» Птолемея, другие
труды математиков Древней Греции, сочинения математиков
Ближнего Востока. Деятельность переводчиков научной
литературы бывала очень активной. Например, Жерар (1114—1187) из
Кремоны перевел с арабского более 80 сочинений. Однако
поскольку научные трактаты существовали в рукописном виде, в
единицах экземпляров, а число людей, подготовленных для их
понимания, было незначительным, то переоценивать значение этой
работы не следует.
Некоторое оживление в математике наступило в XIII в.
Вызвано оно было в основном двумя обстоятельствами: борьбой
против схоластики и богословия, начатой Роджером Бэконом (1214—
1294), и математическими трудами Леонардо Пизанского (ок.
1200 г.), чаще известного математикам как Фибоначчи (что
означает: сын Боначчио). Первый из них в резко критической форме
противопоставлял догматам, основанным на вере, опыт как
единственный источник научного познания. По Р. Бэкону, в центре всей
опытной науки находятся знания природы. Вообще все науки
основаны или должны быть основаны на математике и их истины
имеют ценность лишь постольку, поскольку они выражены числом
и мерой, т. е. имеют математизированную форму. В философских
воззрениях Бэкона математике отведена роль азбуки всей
натуральной философии, т. е. всего естествознания. Роль математики
повышалась вместе с ростом прогрессивных сил в философии и в
обществе вообще.
Заслуги Леонардо перед математикой и ее историей были
совсем другого рода. Он получил хорошее математическое
образование в Алжире, где жил его отец — один из торговых
представителей богатого и сильного итальянского города Пиза. По торговым
делам Леонардо объездил Сирию, Северную Африку, Испанию,
Сицилию, пополняя при первой же возможности свои знания.
Около 1202 г. он сам написал «Книгу об абаке». Эта книга была
подлинной энциклопедией математических знаний народов,
живших в то время на берегах Средиземного моря. Более 200 лет она
была непревзойденным для европейцев образцом математических
сочинений. Новые успехи в математике в эпоху Возрождения
существенно опирались на информацию, собранную Леонардо.
В «Книге об абаке» 15 разделов. В первых семи отделах
описана арифметика целых чисел и обыкновенных дробей (т. е.
арифметика рациональных чисел). Система счисления —
десятичная позиционная. Разделы 8—И описывают приложения
арифметики к коммерческим расчетам: простое и сложное тройное
правило, пропорциональное деление, задачи, где фигурируют
монетные пробы. Разделы 12 и 13 состоят из наборов разнообразных
88
задач, решаемых с помощью простого и двойного ложных
положений, суммирования арифметических прогрессий и квадратов
натуральных чисел. Здесь же помещены задачи нахождения
целочисленных решений неоднородных линейных уравнений.
Предпоследний, 14-й, раздел посвящен вычислениям квадратных и кубических
корней и операциям с «биномиями», т. е. с выражениями вида
#±V6. Завершается «Книга об абаке» 15-м разделом, в котором
кратко изложена «алгебра и аль-мукабала», в виде, близком к
алгебре Хорезми. Там же помещены задачи на непрерывные
числовые пропорции и геометрические задачи, сводящиеся к теореме
Пифагора.
Другое сочинение Леонардо, «Практическая геометрия»,
написанное около 1220 г., посвящено измерениям площадей фигур и
объемов тел вплоть до площади круга и объема шара.
Доказательства соответствующих теорем воспроизведены из работ
Евклида и Архимеда. Встречаются задачи, свидетельствующие, чта
начала тригонометрии были известны Леонардо. Известно еще
одно сочинение Леонардо, где рассматриваются свойства чисел.,
отыскиваются суммы вида
2*. S*1. S(2*+i).
b=zi ft«l k=Q
а также рациональные решения системы неопределенных
уравнений у2—х2-\-а\ z2=x2—а. Наконец, сохранились сведения об
участии Леонардо в публичных состязаниях по математике и о
решении им трудных задач. Его имя и доныне звучит в математике
как название для возвратных последовательностей (см. например:
А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности. М., ГТТИ,
1950).
Время, начавшееся после Леонардо и длившееся вплоть до
эпохи Возрождения (т.е. XIII—XV вв.), в математику не внесло
как будто ярких идей, больших открытий, коренных
преобразований, историки науки мало о нем пишут. Однако в эти
«вспомогательные» столетия в математике происходил интересный, но мало
изученный процесс накапливания предпосылок. Математические
знания распространялись среди все более многочисленных кругов
образованных людей. Идеи и результаты, собранные в сочинениях
Леонардо и других математиков, содержание переводимых
сочинений античных авторов, наличие большого числа поставленных и
осознанных, но еще не решенных теоретических и практических
задач — все это вело к новому подъему науки. Но государи и
князья, светские и церковные, задерживали стремление к
прогрессу науки и общества всеми средствами: угрозами, церковными
проклятиями и даже физическим уничтожением своих идейных
противников.
В этих нелегких условиях в математике наметились дза
главных направления, в которых были достигнуты наибольшие успехи.
89
Это были значительное усовершенствование символики и
формирование тригонометрии как самостоятельной части математики.
Еще современник Леонардо, генерал доминиканского
монашеского ордена Иордан Неморарий (род. 1237 г.), изображал буквами
произвольные ч}исла. Впрочем, буквенного исчисления из этого не
получилось, так как результат любой операции над двумя
буквами пока еще во всех случаях обозначался третьей буквой {а-\-Ь=с,
ab=d и т. п.).
Профессор Парижского университета Николай Орезм (или
Орем, 1328—1382) обобщил понятие степени, ввел дробные
показатели степени, распространил на них правила производства
операций и применил специальную символику. В его работах уже
проглянула идея логарифма. Например:
Ljl
2-27
1
. з3 =
Ьр
3-3
2
83 =
»
2-р
3-8
{р от слова potence=CTeneHb).
Кстати заметим, что в одном из своих сочинений Орем ввел в
прямоугольнике долготу и широту и использовал введенные таким
образом рудименты прямоугольных координат для графического
изображения интенсивности физических процессов в зависимости
от времени. При этом он отмечал, что изменение в области
экстремальных состояний самое медленное.
В конце XV в. бакалавр Парижского университета Н. Шюке
помимо дробного показателя степени ввел также отрицательные и
нулевые показатели, отрицательные числа вообще, а также внес
усовершенствования в алгебраическую символику. В этой
символике нет еще специального символа для неизвестной величины,
большинство символов образовано сокращением названий
(синкопическая алгебраическая символика). Например: 53т обозначает
Ьх~г (т — сокращение слова minus); вообще akm обозначает аугк.
Знаком радикала служит Rx (от слова га(Нх=корень), знаком ело-
жения — р (от слова plus). Так что выражение у 24 -j- |/*37— 20л:-2
взятое н:ами наугад, в символике Шюке имело бы вид: Rl24pR2x
37m2Wm.
Большой вклад в формально-символическое
усовершенствование алгебры внесли в XV—XVI вв. коосисты. Так называли
математиков южной части Западной Европы. Название происходит от
латинского слова cosa, т. е. вещь. Этим словом в Италии
обозначали неизвестную величину в уравнениях. Коссисты разработали
несколько систем символов, удобных для записи математических
действий. Некоторые из них высказали в своих сочинениях идеи,
близкие к идее логарифмирования.
Какое бы, однако, большое значение ни имела сложившаяся в
средние века тенденция совершенствования формы, решающей
роли в дальнейшем развитии алгебры и вообще математики она
90
иметь не могла. Новый шаг был связан с успехами в
алгоритмической, оперативной части, т. е. с решением нового класса
алгебраических уравнений. Об этом речь будет идти далее. А теперь
продолжим обзор средневековой европейской математики.
Успехи тригонометрии в эти времена, о чем мы выше
упоминали, явились практически следствием успехов астрономии. По
существу, тригонометрия еще не отделилась от астрономии. А эту
науку культивировали и почитали, в том числе и ее
астрологическое ответвление. Факты тригонометрического характера сталп
известными в Европе из источников главным образом арабских.
В XV в., когда дальние плавания стали осуществляться, когда
стало расширяться представление о мире и знаний о нем
прибавлялось, резко возрос интерес к занятиям астрономией. Это была
пора, непосредственно предшествующая открытию Америки (1492),
первому плаванию вокруг Африки (1498), первому кругосветному
плаванию (1519), появлению гелиоцентрической теории
Коперника (1473—1543). Для тригонометрии наступили счастливые
времена. Ее формирование практически завершилось, когда в 1461 г.
вышло в свет сочинение «Пять книг о треугольниках всякого рода»,
в котором впервые тригонометрия была рассмотрена отдельно от
астрономии, как самостоятельная часть математики. Написал его
немецкий математик Иоганн Мюллер (1436—1476), более
известный в истории науки как Региомонтан (латинизированное
производное слово от названия города Кенигсберг (ныне в Германии),
где он родился).
В этой книге систематически рассмотрены все задачи решения
треугольников, плоских и сферических, по заданным элементам.
При этом Региомонтан расширил понятие числа, включив в него
иррациональности, возникающие как следствие геометрических
несоизмеримостей, и приложил трактовки алгебры к решению
геометрических задач. Тем самым была существенно нарушена
античная традиция и открыто новое понимание предмета
тригонометрии и ее задач.
Региомонтан продолжил работу по составлению таблиц
тригонометрических функций. Его таблица синусов была составлена с
точностью до седьмого знака и имела частоту одна минута. Так
как десятичные дроби еще не были введены в математику,
Региомонтан выбрал величину радиуса образующей окружности очень
большую: 107. Он же ввел в практику тригонометрические
функции, получившие в XVII в. названия тангенс и котангенс, и
составил таблицу их значений.
Своеобразная линия развития научных знаний сложилась на
территории Восточной Европы, в славянских землях, на Руси.
Своеобразие прежде всего состояло в том, что накопление знаний,
в том числе математических, происходило с привлечением науки
Византии. Кстати заметим, что этот путь развития математики в
сочинениях по истории науки освещен еще слабо.
Термином «Русь средневековая», мы здесь будем называть весь
комплекс русских княжеств, ведущее место в котором последова-
91
тельно занимали: Киевская Русь (X—XII вв.), Владимиро-Суз-
дальское объединение (XII—XIII вв.), Новгород (XIII—XV вв.).
Тяжелая историческая судьба русского народа привела к тому,,
что непосредственных свидетельств состояния наук на Руси
средневековой осталось очень мало. Обработка данных, добытых
археологами, этнографами, историками, дает скупые результаты.
Наличные материалы позволяют дать лишь следующую общую»
характеристику начальных этапов развития математики на нашей
Родине.
Уже в начале Хв. на Руси существовала письменность. Тесные
связи с Византией способствовали ускорению в приобретении
знаний. Математическое, в частности, образование находилось на уров»
не европейского. При дворе киевского князя Владимира Свято-
слашча (ум. 1015 г.) было налажено обязательное книжное
учение. При Ярославе Мудром (978—1054) тоже действовала школа.
От тех времен до нас дошли замечательные письменные источники:
«Русская Правда», «Повесть временных лет», «Слово о полку
Игореве», разнообразные сочинения летописцев. Архитектурные
памятники и археологические раскопки дают новые подтверждения
относительно высокого уровня техники и культуры русских людей.
Практические (хозяйственные, торговые, календарные и проч.)
сведения математического характера и расчеты записывались
посредством десятичной алфавитной системы нумерации, сходной с
греческой алфавитной системой. К слову заметим, что эта старо*
славянская нумерация используется и в наше время в церковных
книгах. Эта система практически не ограничивала величины чисел;
Встречаются иногда и очень большие числа. Для них
придумывались индивидуальные названия. Например, в обычном, «малом»,
счете 104 называлось неведием, позднее — тьмой, 105 — легионом,
10Б — леодром. По другой системе, «великого» счета, тьма — 106$
легион — 1012, леодр — 1024, ворон — 1048, колода — 1096 (или
1049), после чего простодушный летописец заявлял: «Сего же
числа несть больше».
Помимо вычислений практического характера очень рано
начинают встречаться теоретические вопросы и задачи, составленные
числолюбцами. Древнейшей сохранившейся специально
математической рукописью являются записи Кирика, новгородского
дьякона, датируемые точно 1131 г. (по старому церковному
летоисчислению 6642г. от сотв. мира). Примерами таких задач, собранных
из разных рукописей, являются:
вычисление, сколько месяцев, недель, дней и даже часов
протекло от сотворения мира;
задачи на вычисление сумм прогрессий, образуемых с помощью
предположений о прогрессирующем приплоде стад;
вычисление размеров Земли, Солнца и Луны по данным
измерений Эратосфена (Зв. до н. э.) и связанное с этим вычисление
приближенного значения числа я;
трудная задача о вычислении дат религиозного праздника
Пасхи. Последний наступает в первое воскресенье после весеннего
92
полнолуния. Весенним считается полнолуние, наступающее между
2\ марта и 18 апреля. Задача состоит в сравнениях периодических
шкал солнечных лет, лунных месяцев с учетом Метонова цикла
(19 солнечных лет, равны по продолжительности 235 лунным
месяцам), семидневных недельных периодов, периодов обращения
Луны вокруг Земли и Земли вокруг Солнца. Получается громоздкая
периодичность дат Пасхи и связанных с этим праздником постов с
общим циклом длительностью 532 года (великий индиктион).
Общий со всеми европейскими государствами ход развития
науки и культуры на Руси был насильственно прерван в первой
половине XIII в. вследствие нашествия татаро-монгольских орд
(Батый, 1240) и крестоносцев (1242г., битва на Чудском озере).
Русский народ истекал кровью, но отстоял свою национальную и
государственную самостоятельность. Битва на Куликовом поле в
1380 г. была началом конца иностранного ига. Окончательно оно
было свергнуто к 1480 г. Однако нападения иностранных
интервентов, болезненный процесс ломки феодального уклада и
становление единого многонационального государства заняли еще
пару столетий, с XVI до XVIII в. Эти обстоятельства сильно
задерживали рост хозяйства, культуры и науки. Определилось
длительное и сильное отставание России от европейских стран во всех
областях, в том числе и в науке. Попытаемся подвести краткие
итоги. В течение V—X вв. в Европе постепенно сложилась система
образования, пополнявшая слои относительно образованных
людей. Ученые, занимавшиеся математикой, и (в меньшем объеме)
студенты университетов имели возможность усваивать достижения
античной Греции, Византии, арабоязычных народов Ближнего
Востока и Средней Азии. Была широко распространена практика
перевода арабских рукописей научного содержания на латинский
язык — универсальный язык средневековой науки. Математика
развивалась под влиянием практических запросов техники и
мореплавания. Поэтому вначале медленный темп научной жизни
заметно ускорился. Стимулирующее воздействие на развитие
математики оказали прогрессивные течения средневековой философии,
идеологическая борьба против засилья церкви и феодалов, против
застывших схоластических догм.
Определение места математики как азбуки (основы)
натуральной философии (т.е. естествознания) укрепило ее положение и
ускорило процесс создания в математике фундамента основных
знаний, накопления предпосылок для новых успехов. Наибольшие
успехи определились в формально-символической части алгебры и
в тригонометрии. Был также высказан и введен в научный обиход,
особенно в XV—XVI вв., ряд мыслей, имеющих большое значение
для последующего: обобщение понятия числа, обобщение понятия
степени, начальные идеи теории логарифмов. Необходим был
практический успех, хотя бы небольшой, чтобы вся масса
накопленных предпосылок пришла в движение.
В конце средневековья (XV—XVI вв.) в странах Западной
Европы как математика, так и естествознание вообще развивались в
93
обстановке бурных изменений, связанных в своей экономической
основе с начавшимся разложением феодального общества и
установлением буржуазно-капиталистических отношений. Изменения
происходили в промышленности, где возникали мануфактуры с
характерным для них разделением труда и введением машин.
Невиданное ранее развитие стали получать торговые связи и
мореплавание, сопровождаемые колониальным грабежом. В
государственном отношении основные изменения состояли в том, что мощь
и влияние феодалов были сломлены и заменены при поддержке
горожан королевским правлением. Образованы крупные государ»
ства, консолидировались нации.
Расцвет культуры и искусства в Италии, Франции и других
странах, изобретение книгопечатания (в середине XV в.) стали
определять совершенно новый уровень умственных запросов и
занятий все расширяющегося круга людей. «Исследование
природы совершалось тогда в обстановке всеобщей революции, будучи
само насквозь революционно: ведь оно должно было еще завоевать
себе право на существование», — писал об этом Энгельс (К. Маркс,
Ф. Энгельс. Соч., 2-е изд. Т. 20. С. 347). Определились новые
крупные успехи в технике и во всех частях естествознания. В
математике новая ступень развития прежде всего ознаменовалась
достижениями в вычислительной практике и в решении
алгебраических уравнений.
§ 3.4. НАЧАЛО ФОРМИРОВАНИЯ АЛГЕБРЫ
Формирование алгебры началось с решения в радикалах
уравнений 3-й и 4-й степеней. Ход этих событий известен, но по-
прежнему освещается во многих статьях и книгах. В основном он
был таков. Сципион дель Ферро (1465—1526) работал (с 1496 г,
по 1526г.) профессором университета в г. Болонье (Италия).
Однажды он нашел формулу, выражающую в радикалах
положительные корни уравнений вида: хъ-\-рх=ц (р, <7>0). Свою находку
он держал втайне, приберегая ее как оружие в научных диспутах.
К концу жизни он сообщил ее своему родственнику и преемнику
по должности Аннибалу делла Наве и своему ученику Фиоре. В
начале 1535 г. должен был состояться научный поединок Фиоре с
Николо Тарталья (1500—1557). Последний был выходцем из
бедной семьи; он зарабатывал себе на жизнь преподаванием
математики и механики в городах Северной Италии. Узнав, что Фиоре
владеет формулой Ферро и готовит своему противнику задачи»
сводящиеся к решению кубических уравнений, Тарталья сумел
заново найти эту формулу, что обеспечило ему победу в диспуте,
состоявшемся 12 февраля 1535 г.
Метод Тартальи, как (по-видимому) и метод Ферро, состоял в
подборе подходящего вида алгебраической иррациональности для
выражения корня уравнения xz-\-px=q (р, q>0). Предположив,,
94
Н. Тарталья (ок. 1499—1557)
Чт0 ХГ--и~ *Vy п°Аставив это выражение в уравнение и положив
р=3у uv, он получил систему:
u—v=q,
Ш)=*ръ№.
н!шелПРеТИРУЯ " И V КЭК К°РНИ квадРатного Уравнения, Тарталья
Вскоре Тарталья смог решитьуравнения вида x3=px+q (pt
<?>0) подстановкой хш /u + */Z. Наконец, он заявил, что ура*
95
внения вида хъ-\-ц = рх сводятся к предыдущему виду, но способа
сведения не обнародовал. Тарталья долго не публиковал свои
результаты по двум причинам: во-первых, по той же, что
останавливала и Ферро; во-вторых, из-за неспособности справиться с
неприводимым случаем. Этот последний состоит в том, что существуют
уравнения вида x3 = px-\-qy которые имеют действительный
положительный корень независимо от того, имеет место неравенство
i ) ^ I ~) или же нет* ФоРмУла Тартальи не давала
решения во втором случае, так как не существовало возможности
рационально объяснить сущность получающихся при этом мнимых
чисел. Неприводимый случай получался у Тартальи и в
уравнениях вида x* + q=px.
Однако труд Тартальи даром не пропал. Сработал тот эффект
в развитии науки, когда объективно накапливаются необходимые
и достаточные условия для значительных результатов, их
предвкушение начинает каким-то образом «носиться в воздухе»,
привлекая усилия многих ученых. И вот с 1539 г. решением
кубических уравнений начал заниматься Джироламо Кардано (1501—
1576). Человек необычной и бурной судьбы, наполненной
противоречивыми и нередко трудно объяснимыми поступками, богатый,
образованный и талантливый, он страстно любил научные
занятия. Философия и математика, медицина и астрология — все
являлось объектом увлечений Кардано. Услышав об открытии,
сделанном Тартальей, Кардано приложил много усилий, чтобы
выманить сведения у осторожного и недоверчивого ученого. Наконец,
желаемое осуществилось и Кардано украсил этим результатом
широко задуманную книгу «Великое искусство (Ars magna) или о
¦правилах алгебры», самостоятельно разработав неполную
информацию Тартальи.
Книга Кардано — очень большое сочинение; в нем 40 глав. Она
содержит не только правила алгебраических операций и методы
решения уравнений первых трех степеней, но и элементы общей
теории алгебраических уравнений. Так, Кардано ввел регулярный
способ сведения полного кубического уравнения ахъ-\-Ьх2+сх-\-
+d=0 с помощью подстановки x=X\ + h к ввду, в котором
отсутствует член е квадратом неизвестного, и распространил этот
способ на уравнения 4-й степени. В «Ars magna» (т. е. «Великое
искусство») содержатся много теорем о взаимозависимости корней
и коэффициентов уравнений: о числе положительных и
отрицательных (у Кардано: «фиктивных») корней, об их сумме и другие.
Например, если в уравнении все члены, стоящие в его левой части,
имеют степени большие, нежели степени членов правой части» то
уравнение имеет один и только один положительный корень.
Наконец, у Кардано показана делимость алгебраического полинома
Рп(х) на х—хи где Х\ — корень уравнения Рп(х)=0.
Кардано включил в свою книгу и метод решения уравнений
4-й степени путем сведения его к кубической резольвенте. Метод
96
был найден Л. Феррари (1522—1565), учеником Кардано.
Поясним его на примере задачи, которую решал сам Феррари. Она
•была задана Кардано итальянским математиком Д. Колла. В
задаче требовалось разделить число 10 на 3 части так, чтобы они
составили геометрическую прогрессию, а произведение первых
двух частей равнялось 6.
6 X3 6 V3
По условию: — : х—х : ~-; \-x-\-'-- = 10, откуда получаем
1 6 л: 6
х4 + 6х2+36=60л:. Дополним обе части, добиваясь, чтобы левая
часть сделалась полным квадратом: (л;2+6)2=60х+6л;2. Добавим
к обеим частям по 2(jc2 + 6)/+^2, где t еще предстоит определить.
Получим
(x2+6+t)2=60x + 6x2 + 2(x2+6)t + t2
или
{x2+6+t)2=(2t + 6)x2+m+(t2+\2t).
Условием того, что правая сторона является полным квадратом,
является, как известно, равенство нулю дискриминанта. Это
условие Феррари записал в виде 302=(2?+6) (?2+Ш), сведя задачу
к решению кубической резольвенты. Очевидно, что метод Феррари
является общим для уравнений 4-й степени. Кардано приводил к
этому виду уравнение, не содержащее неизвестное в 1-й степени,
подстановкой x=k/y.
Мы не будем останавливаться на тягостном споре Тартальи и
Кардано о приоритете. Спор этот породил огромную литературу.
До наших дней к нему возвращаются, вновь и вновь выдвигают
всякие оценки Тартальи, Кардано, обстоятельств, связей с другими
историческими событиями. Историю науки эти писания чаще всего
не обогащают.
Важным оказывается то, что столь быстрые и поразительные
успехи в решении уравнений 3-й и 4-й степеней тотчас вызвали
постановку проблемы решения алгебраических уравнений любых
степеней. Огромное число попыток, усилия ученых не приводили к
успеху. С течением времени постановка задачи видоизменялась.
В основном она стала трактоваться как проблема возможности
или невозможности решения алгебраических уравнений степени
п>5 в радикалах.
В поисках решения этой проблемы протекло около 300 лет.
Только в начале XIX в. норвежский математик Нильс-Генрих
Абель (1802—1829) доказал, что алгебраические уравнения
степени выше 4-й, вообще говоря, в радикалах не решаются.
Практически почти одновременно французский математик Э. Галуа
(1811—1832) связал с каждым алгебраическим уравнением
специальную группу подстановок его корней — группу Галуа — и свел
проблему разрешимости алгебраического уравнения к
исследованию структуры этой группы. В последующем мы осветим этот
вопрос подробнее, равно как и более общую проблему: выразить
97
рационально корни заданного уравнения через корни другого, бо
лее простого, уравнения.
Современникам Кардано, чтобы продвинуться по пути
создания общей теории алгебраических уравнений, необходимо было
преодолевать два препятствия: громоздкость получающихся
формул и неразъясненность неприводимого случая. Первое из них —•
чисто практическое. Кардано даже предлагал отказаться от
сложных формул и находить корни уравнений приближенно с помощью
правила двух ложных положений, известного еще египтянам и, по
существу, всегда применяемого в виде линейной интерполяции.
Второе имеет более глубокие корни, а попытки его преодоления
повели к весьма важным следствиям.
Уже Кардано упоминал о мнимых корнях, называя их
«софистическими»; на примере х+у=10; ху=40 он показал, что эти
корни встречаются попарно, т. е. .ri,2=5±Y—15, но считал, что такие
уравнения решать невозможно.
Смелая попытка справиться с неприводимым случаем
принадлежит итальянскому математику и инженеру Р. Бомбелли из
Болоньи. В сочинении «Алгебра» (1572) он формально ввел
правила действий над мнимыми комплексными числами на основе
тождеств: (dzi)-(±i)= — 1; (±i) -(+0 = 1. Затем он установил,
что все выражения, содержащие «софистические минусы»
Кардано, преобразуются к виду a+bi. На примере д:3=15д:+4 Бомбелли
показал, что в неприводимом случае вещественный корень получа*
стся как сумма двух комплексных чисел а + Ы и а—Ы. Метод
Бомбелли состоит в следующем: пусть дано уравнение хъ=ах+Ь
и имеет место (--) — (-—\ < 0. Следовательно, формула
-Кт+YW^+W /(IFW »"-
менима. Бомбелли исходит из того, что выражения вида
V & ± КР* входящие в эту формулу, тоже могут быть
преобразованы к виду p±Yq- Положив V a ±Y$ssP±VrQ > он для
определения р и q получил два уравнения:
р3 + Spq — а, р2 — q2 =» j/a2—р =» у.
Для определения р из этой системы получается уравнение 4р3=
= 3?р+а. В частности, если положить a~b/2, (J = (Ь/2)2 — (а/3)3*
то f = #/3 и х~ р +Vq +р — Vq^ 2р-
Конечно, эти рассуждения Бомбелли — всего только
объяснение. Оно не облегчает решения неприводимого случая, ибо
уравнение 4р3=3'ур+а того же типа, что и исходное. Но введение для
конкретных задач общим образом определенных операций с
комплексными числами выдвигает Бомбелли в число ближайших
предшественников Гаусса в этой области.
98
Рост содержания математических знаний всегда тесно связан
с совершенствованием символики. Последняя, когда она
достаточно хорошо отражает реальную сущность математических
операций, активно воздействует на успехи математики и сама
приобретает оперативные свойства. В истории математики символы
можно уподобить орудиям труда, по которым многое можно
восстановить и понять.
В рассматриваемое нами время происходил активный переход
от словесной (риторической) алгебры к алгебре символической
путем сокращения (синкопирования) слов, а затем — введения
системы символов. Уже у Кардано этот переход очень заметен. На-
пример, корень уравнения «cubus р 6 rebus aequalis 20», т. е.
jc3 + 6*=20, находится по формуле: Rx иси 7?* l08plO\mRxcuRx
108m 10, т. е.
VVl08 + 10- Vym - ю.
Читатель уже успел, возможно, понять значение символов.
Все-таки поясним, что Rx — знак корня (radix), R^ucti — это radix
universalis cubica, т. е. общий кубический корень из всего
выражения, доходящего до вертикальной черты или до конца записи.
Символы в специальной литературе тех времен еще не
устоялись, не всегда составляли единую систему даже в пределах одной
книги. Но потребности науки заставляли настойчиво искать новых
усовершенствований. Бомбелли, например, для последовательных
степеней неизвестной величины х употреблял уже символы 1, 2,
3, ... Симон Стевин (1548—1620), фламандский математик и
инженер, известный, в частности, тем, что ввел в европейскую
математику аппарат десятичных дробей, тоже внес свой вклад. Степени
неизвестных (первой, второй, третьей...) обозначал
(Г) , (2), (3). . . . , х, х\ х\ ...,
sec (Г), sec (2), sec (3) т. е. 0. у\ У3, «.,
ter (Г). ter (2), ter (3), . . . х z, z\ z\ ....
Единую систему алгебраических символов, последовательно
используемую, первым ввел, по всей вероятности, Франсуа Виета
(1540—1603) — французский математик, юрист по образованию.
Во время уроков, которые он давал в одной влиятельной семье, у
него возник план новой астрономической системы,
долженствующей заменить неточную, по его мнению, систему Коперника. Но
жизнь повела его по иному пути. Блестяще образованный, Виета
быстро продвигался по служебной лестнице и наконец сделался
близким советником королей Генрихов III и IV, которые ценили
его, в частности, за умение прочитывать шифрованную переписку
их политических противников. В период 1584—1589 гг. он был
отстранен от придворных дел вследствие интриг своих недругов.
Досуг свой он употребил на написание главного своего математичес-
99
кого сочинения «Введение в искусство анализа». Это очень
обстоятельно написанное сочинение по новой алгебре. Оно осталось
незаконченным, но выходило в свет с 1591 г. отдельными частями,
даже после смерти Виеты.
Замысел этого универсального сочинения был таков: успехи
итальянских хматематиков в решении уравнений 3-й и 4-й степеней
опирались на высокую эффективность алгебраических методов. Но
число отдельных видов таких уравнений угрожающе быстро росло,
достигая, например у Кардано, 66. Каждый из этих видов
требовал для своего решения особых приемов. Необходимо было
отыскать общие методы решения алгебраических уравнений.
Последние в свою очередь должны быть записаны в общем виде с
буквенными коэффициентами. Наконец, необходимо было сочетать
эффективность алгебраических методов со строгостью античных
геометрических построений, хорошо знакомых Виете и
представлявшихся, по его мнению, образцами подлинно научного анализа.
Исчислению Виеты предшествует арифметика, оперирующая с
числами: logistica numeralis. Исчисление с буквами получило
название logistica speciosa — от слова species, т.е. члены
математического выражения. Исчисление состоит из зететики — искусства
решения уравнений; пористики — искусства доказательства
правильности полученных решений; экзегетики — общей теории
уравнений. Все величины обозначены буквами: неизвестные —
гласными, известные — согласными. Числа — безразмерны,
положительны, рациональны (в случаях, когда речь заходит об
иррациональности, Виета переходит на язык геометрии); величины
же размерность имеют. Это геометрическое влияние на концепцию
величины усиливается специальной терминологией: первая степень
называется latis (сторона), вторая — planum (площадь), третья —
solidum (тело). Далее в этой градации фигурируют
плоско-плоские, плоско-объемные, объемно-объемные и т. п. величины.
Сложение и вычитание производятся над одноразмерными величинами.
Последние, впрочем, разрешается подравнивать в смысле
размерности посредством умножения на единицу необходимой
размерности. Умножение и деление вызывают изменение размерности.
Эти идеи Виеты отражали наличие непреодоленного еще в его
время разрыва между числами и величинами. Этот недостаток,
впрочем, принес и пользу. Труды Виета послужили предтечей
ряда позднейших математических исчислений: векторного,
тензорного, грассмановых алгебр.
Символика Виеты также еще отягощена грузом геометрических
привнесений; она тяжела, с трудом понимается, перемежается
сокращенными и даже несокращенными словами. Например:
A cubus + B planum in A aequatur D solido, т. е.
Д3+ВЛ=Д или*3+Ял;=Я,
В parabola in A gradum — A potestate aequatuz Z homogenae,
т. е. BAn—Am+n=Z.
WO
Тем не менее благодаря даже такой несовершенной символике
стало впервые возможным выражение уравнений и их свойств
общими формулами. Объектами математических операций
сделались не числовые задачи, а сами алгебраические выражения.
Именно этот смысл вкладывал Виета в характеристику своего
исчисления как «искусства, позволяющего хорошо делать математические
открытия». Кстати, символы Виета были вскоре
усовершенствованы без особых трудностей его младшими современниками, в
особенности Гэрриотом (1560—1621).
В сочинениях Виеты подводится своеобразный итог математике
эпохи Возрождения. С особенной отчетливостью это проявляется
в его алгебраических сочинениях. В них подробно, с большой
полнотой собраны сведения об уравнениях 1—4-й степеней. Общий
характер изложения таков, что оно не является сводкой частных
методов, а выглядит как общая теория уравнений. Для этого он
использовал богатый уже арсенал алгебраических преобразований.
Последние во многом опираются на подстановки: x=y + k (чтобы
исключить член, содержащий неизвестное во второй степени);
x=y/k (для исключения члена, содержащего х в первой степени);
x = ky (с целью устранения дробных коэффициентов); х = уа/Ь
(чтобы придать коэффициенту при хп-1 заданное значение) и др. От
радикалов он освобождался с помощью отъединения одного члена
и возведения в степень обеих сторон уравнения.
Например, всякое кубическое уравнение он преобразовывал к
виду хг + Зах=Ь и применял затем подстановку a^P+tx, чтобы
прийти к уравнению
x* + 3tx2+3t2x=b.
Из последних двух равенств, преобразованных к виду
(x+t)*—t*=b, t*(t+x)z=a3y
он получил квадратное, относительно tz уравнение: (t3)2+bt3=a3.
Можно непосредственно подставить х—(а—t2)/t в исходное
уравнение, чтобы получить тот же результат.
Неприводимый случай кубических уравнений Виета свел к
задаче о трисекции угла. Он показал, что всякое неприводимое
уравнение может быть преобразовано к виду хг—Зл:=а. Сопоставляя
его с тригонометрическим соотношением (2cos ф)3—3(2 cos <р) =
= 2 cos Зф, Виета демонстрирует такое сведение. А задачу о
трисекции угла он решает известным ему из античных источников
методом вставок.
При решении уравнений Виета разыскивает положительные
корни. С помощью преобразования *=—у он подходит к проблеме
нахождения отрицательных корней. Развивая результаты Карда-
но, Виета высказывает ряд теорем о взаимной зависимости корней
и коэффициентов уравнений, включая частные случаи теоремы,
известной ныне под его именем. В связи с этим он представляет
п
уравнения как произведения биномов: Рп(х) = Л (х — хк) (но еще
101
п<Ъ). Полностью предложение о зависимости коэффициентов и
корней уравнений было сформулировано Т. Гэрриотом и А.
Жираром и опубликовано последним в 1629 г.
Алгебру Виеты вскоре вытеснила алгебра Декарта. Об этом
речь будет идти ниже. Однако известно, что Ферма, например,
изучив алгебру Виеты, придерживался ее формы, когда строил
аналитическую геометрию. К тому же мы думаем, что параллельное
рассмотрение алгебраических операций и геометрических
построений, регулярно проводимое Виетой, сыграло свою роль в
выработке идей аналитической геометрии столетием позже. То, что
представляло геометрический рудимент в алгебре Виеты и других
математиков XVI в., послужило исходным пунктом развития
новой науки — аналитической геометрии — в трудах ученых XVII в.
Сопоставление алгебраической и тригонометрической задач
при решении кубических уравнений, которое было нами отмечено,
не было для Виеты ни случайной находкой, ни второстепенным
эпизодом. Виета проявил интерес к алгебре именно в силу ее
применимости и даже необходимости для задач астрономии и,
следовательно, тригонометрии. И в дальнейшем у него
тригонометрические и алгебраические результаты следовали одновременно, то и
дело переплетаясь. Например, Виета не ограничился
определением всех элементов плоского или сферического треугольника по трем
заданным элементам. Ему принадлежат разложения
тригонометрических функций кратных углов (дуг) посредством
последовательного применения формул для синуса и косинуса суммы двух
углов:
cos та = cosm а — т т~~ cosm~2 а sin2 а -f- . . . ,
sln/яа = m cos*-"1 а sin а - - ~ cosm-Jccsm3a-K.. .
l-2-з
Уже после смерти Виеты стали известны многие найденные им
рекуррентные соотношения, например:
cos ma=2 cos a cos (m—l)a—cos (tn—2)a,
sin m a=2cos a sin (m—1) a—sin (m—2) a,
sin ma=2 sinacos (m— 1) a + sin (m—2)a,
cosma=—2 sinasin (m— 1) a + cos (m—2)a.
Кажется удивительным, что такие крупные результаты
гониометрии были получены при недостаточно общем определении
тригонометрических функций, без всякого намека на введение
производящей окружности. Впрочем, так бывает в истории науки
нередко. Результаты сначала появляются, существуют, а потом
осмысливаются и получают удовлетворительную общую трактовку.
Замечательным достижением Виеты является введение в
математику задачи о нахождении бесконечного произведения. Если
около правильного ^-угольника площади Sn описать круг радиуса г
102
и вписать в него круг радиуса рп, то после удвоения числа сторон
n-угольника будет получаться: Sn:S2n = pn:r=cos nfn.
Последовательно полагая п=4> 8Г 16, ..., будем получать
S€: S8 = cos тс/4,
S8 • S16 =* cos тс/8,
Затем Виета «переходит к пределу», утверждая, что для п=с°
получается круг, площадь которого Soo = nr2. Перемножив всю
цепочку равенств, он получает
2/тс = cos (9072) cos (9074) cos (90°/8) . . .
или
1=/|/{('-ь/!)-/?(1+^(1+]/1))--
Конечно, Виета не доказывает сходимости полученного
бесконечного произведения, будучи интуитивно убежденным в
справедливости своего «предельного» утверждения.
На примере работ Виеты видно, что в европейской математике
к концу XVI в. сформировалась алгебра как наука о решении
уравнений. Эта наука содержала полную информацию о методах
решения уравнений первых четырех степеней. Алгебраисты
завершили в принципе символическое оформление своей науки и начали
попытки ставить и решать проблемы общей теории алгебраических
уравнений.
§ 3.5. ПРОГРЕСС ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ И СРЕДСТВ
К концу эпохи Возрождения математики испытывали огромные
трудности с вычислениями. Прежде всего, эти трудности
концентрировались вокруг задачи вычисления таблиц: сложных
процентов, значений тригонометрических функций. С последними
связана задача определения значения числа тс. Другой задачей
являлась разработка алгоритмов, позволяющих надежно и удобно
отыскивать значения корней уравнений с численными
коэффициентами. Однако арифметика располагала пока еще только
операциями над целыми числами и простыми дробями. Десятичные
дроби были внове; их только-только вводили в практику. Впервые в
Европе они появились в 1585 г. у С. Стевина в сочинении «La Dis-
ше» («одна десятая»). Вычисления делались только вручную.
Составление таблиц тригонометрических функций отнимало
много времени и сил. К началу XVII в. уже существовало
несколько таблиц. Их составляли, например, Коперник (1473—1543),
Кеплер (1571—1630) с учениками и сотрудниками. Через 20 лет
после смерти Ретикуса (1514—1576), ученика Коперника, появились
законченные уже третьим поколением вычислителей большие
таблицы «Opus Palatinum», где величины всех шести
тригонометрических функций были вычислены с частотой 10". Обширные
таблицы оставил Виета в огромном сочинении «Canonus mathe-
103
maticus». Бюрги, сотрудник Кеплера, много лет потратил на
составление таблицы синусов с частотой 2"'. Количество примеров
можно было бы умножить. Мореплаватели и астрономы,
строители и конструкторы, преподаватели математики всех стран остро
нуждались в таких таблицах, и они появлялись в разных местах
и видах.
Общей особенностью таблиц была громадная величина
избранного для отсчета радиуса производящей окружности.
Объясняется это отсутствием аппарата десятичных дробей. Результаты
приходилось получать в целых числах и обеспечивать при этом
высокую точность вычислений. Главные заботы вызывала
необходимость вычислять с особенно высокой точностью значения синусов
(или хорд) малых дуг, чтобы на вычислениях не сказывалось
накопление ошибок. Для этого использовали унаследованный от
древних математиков прием последовательного удвоения сторон
правильных вписанных и описанных многоугольников.
Виета, например для определения sin Г (одна минута=1/6©
градуса) довел вычисления до отыскания сторон правильного
вписанного многоугольника с 3-211 сторонами, а описанного — сЗ-212
сторонами. При этом в качестве соответствующего результата
находились с высокой точностью приближенные значения числа л,
Так, голландский математик и военный инженер Лудольф ван
Цейлен (1539—1610) вычислил сначала 20, а затем 35
десятичных знаков этого числа, первым превзойдя результаты
средневекового азиатского математика и астронома аль-Каши. К слову,,
дальнейшие уточнения этого числа, вплоть до вычислений У. Шен-
кса (1812— 1882), не пожалевшего труда для вычисления 707
десятичных знаков я (1874) и допустившего ошибку в 520-м знаке
(что обнаружено лишь в 1945 г.), практическими потребностями не
вызывались. Побудительной причиной для такого труда было,
вероятно, или тщеславное стремление продемонстрировать свое
вычислительное мастерство, или же наивная попытка «взять в лоб»
непосредственными подсчетами проблему определения
арифметической природы числа я.
По вопросу об арифметической природе числа п упомянем, что
в 1767 г. Ламберт доказал его иррациональность, а в 1882 г.
Ф. Линдеман (1852—1939)—трансцендентность. Когда
появились ЭВМ, то одной из первых была составлена программа,
позволившая получить 100625 десятичных знаков для значения числа
п (1961). Этот результат играет теперь роль контрольного при
проверке вычислительных машин и при обучении программистов.
Однако возвратимся к математикам XVI в., к их вычислительным
трудностям и достижениям.
Для облегчения вычислений таблиц математики придумывали
частные приемы, в которых главную роль играли специально
подобранные тригонометрические соотношения, а также разности
различных порядков. Их основной целью было сведение
вычислений к наиболее простым, по возможности, операциям, а именно к
сложению и вычитанию. Та же цель преследовалась и при вычис-
304
лениях с тригонометрическими функциями с использованием
таблиц. Вычислители, естественно, стремились избежать
непосредственного умножения и деления многозначных чисел, сводя их к:
сложению и вычитанию приемами, вроде таких:
sin х sin у = - [cos (х—у) — cos {х+у)]9
cos х cos у = — [cos (х-—у) +cos(x+y)].
Подобные методы столь часто и регулярно применялись, что
получили специальное название «простаферетические» от
соединения двух греческих слов: простезис — прибавление, афайрезис —
вычитание. Ими пользовались математики Ближнего Востока; в
математике европейского Возрождения — Виета, Тихо-Браге, Вит-
тих, Бюрги и многие другие. Простаферетические методы
находили применение некоторое время даже после того, как были
изобретены логарифмы и открылся иной, противоположный, путь —
приведения к виду, удобному для логарифмирования.
Логарифмы были изобретены в начале XVII в. Вообще-то
говоря, их теоретические основы начали формироваться с давних
пор. Мы имеем в виду идею сравнения двух прогрессий
—геометрической и арифметической, а также обобщение понятия степени
числа. Еще у Архимеда в «Псаммите» встречается запись
последовательных степеней одного и того же основания: а0, а1, а2, а3, ..., по
поводу чего высказано утверждение, эквивалентное следующему:
ат-ап = ат+п. Аналогичные мысли высказывал Диофант. Орезм
исходил из идеи сравнения геометрической прогрессии и
арифметической, когда вставлял в последней дробные числа между
натуральными и обобщил тем самым понятие показателя степени на
дробные величины. Штифель систематически сравнивал действия
над членами обоих сопоставляемых прогрессий и ввел дробные и
отрицательные показатели степени.
Чтобы воспользоваться этими мыслями для регулярного
сведения арифметических операций к самым несложным, нужно было
всего лишь составить таблицы, в которых сопоставлялась бы
последовательность степеней чисел с последовательностью их
показателей. Чтобы таблицы были достаточно частыми, их единое
основание следует выбирать как можно более близким к единице.
Но такие таблицы уже существовали. В начале XVII в. их
составлял С. Стевин. Это были таблицы сложных процентов, т. е.
значений чисел (1+г)п при различных процентных таксах: г=0.05;
0.04; и т. д. Чем меньше г, тем меньше разрыв между
получаемыми значениями. Аналогичная таблица была положена в основу
одной из первых таблиц логарифмов, составленной И. Бюрги.
И. Бюрш (1552—1632) был родом из Швейцарии, работал
мастером по ремонту часов и астрономических инструментов.
Долгое время находился в Праге в астрономической обсерватории при
Кеплере, помогал ему в наблюдениях и в вычислениях. Там для
облегчения вычислений в течение 8 лет (1603 — 1611) он составил-
свою таблицу логарифмов.
105
За основу Бюрги взял таблицы типа стевиновых: а(1 + г)п.
Чтобы получить в таблице достаточно малый шаг, он положил г= 10~4.
Стремление возможно долее не встречаться с дробями и не
получать тем самым дополнительных вычислительных трудностей
заставило его ввести значительный по величине дополнительный
множитель а=108. Значениям членов получаемой геометрической
прогрессии gfc=108(l + 10-4)fe, ? = 0,1,2,3,... Бюрги ставил в
соответствие члены арифметической прогрессии: 0, 10, 20, 30,...
Получились два ряда значений:
108; 108(1 + 10-4); 108(1 + Ю-4)2; 108(1 +Ю"4)3;...
0; 10; 20; 30; ... .
Числа нижнего ряда были напечатаны красной краской и
назывались красными; числа верхнего ряда — черной краской и
назывались черными. Таким образом, в таблице Бюрги красные
числа являются логарифмами черных, разделенных на 108, при
основании у1.0001. Так как Бюрги ориентирует свою таблицу на
красные числа, то она, по существу, является таблицей
антилогарифмов, что принципиально существа дела не меняет. Вычисления
черных чисел вследствие наличия множителя 108 доводились до
9-го знака. Они были доведены до так называемого полного
черного числа, равного 109. Соответствующее ему полное красное число
было найдено с применением интерполяции и оказалось равным
230270022, т. е. 1,000123027О02М08= 109. Из этого видно, какое
громадное количество повторяющихся последовательных вычислений
пришлось проделать прц составлении своей таблицы Бюрги,
потратившему на нее, как мы сказали выше, около 8 лет.
Бюрги долго не решался публиковать таблицы, несмотря на
очевцдную их полезность при вычислениях. Только в 1620 г. он
издал книгу «Таблицы арифметической и геометрической прогрессии
с обстоятельным наставлением, как ими пользоваться при всякого
рода вычислениях». Оригинал этих таблиц вместе с другими
материалами архива Кеплера хранится в нашей стране в Пулковской
обсерватории. Что же касается «обстоятельного наставления», то
оно не было опубликовано вместе с таблицами, найдено позднее и
увидело свет в 1856 г.
Из-за своей медлительности Бюрги утерял приоритет. В 1614 г.,
на 6 лет ранее, чем вышла в свет его «Таблица...», в Англии,
появилось «Описание удивительных таблиц логарифмов» («Canonis
mirifici logarithmorum descriptio»). Автором этого сочинения был
Джон Непер (1550— 1617), шотландский барон, серьезно
занимавшийся различными науками, в особенности астрономией и
математикой. Упомянутые таблицы были 8-значными таблицами
логарифмов тригонометрических функций для значений аргументов от 0°
до 90° с частотой Г.
Принцип составления этих таблиц, которым Непер владел, по-
видимому (как это можно заключить из его переписки), с 1594 г.,
был для своего времени новым. Метод сравнения прогрессий, как
показано, дает последовательность дискретных значений. Их мож-
106
но, не испытав принципиальных 4 ^
трудностей, сгустить, но дискрет- * н +—¦+— ~^
ный характер последовательности Мв ;1' *'< ^
не изменится. Неотъемлемой частью Aj , , , »
этого метода является интерполя- т* щ nh тз
ция. Непер, напротив, исходил из р 2д
функциональной зависимости,
выразив ее в виде двух непрерывных
шкал (рис. 29,).
Пусть из точек А и А{ одновременно в направлении, указанном
стрелками, начинают двигаться две точки: Мит, проходя
соответственно положения М0, Ми М2у Ма, ... и т0, mif т2у т3, ....
Начальная скорость обеих точек одинакова (для упрощения пока
будем считать Vq^I). Затем точка т движется с постоянной
скоростью ym=const, а движение точки М замедляется. Ее скорость
будет пропорциональной остающемуся расстоянию до точки В
(также для простоты изложения будем считать ЛВ=1). Такое
определение (если обозначить АхГПъ^х, MkB=y) в переводе на
более понятный нам язык эквивалентно дифференциальному
уравнению ~ = — У> откуда х=—In у, или x=logi/5 у. Неперова
система логарифмов оказалась системой с основанием 1/е.
Введение логарифмической функции объективно хранило в
себе большие возможности для способствования развитию идей
анализа бесконечно малых. Но в 1614 г. Непер не владел
подобными идеями. Ему были нужны таблицы, облегчающие
вычисления. Поэтому он разделил АВ на 107 этапов прохождения
соответственно за 107 временных интервалов (моментов). В первый
момент v0—l, а в последующие
ВМХ=\— — , MtM2=: — (\——\t
1 * 2 Ю7 у I07j
!07
W Т 7Т
и 1. Д.
Образуются две последовательности значений:
* ю7 у 10" J \ 107j
1 * Ю7 io7 io7
~~107
Непер избегал операций с дробями и принял поэтому ЛВ=107,
а не ЛВ=1, как это сделали мы выше. Не меняло существа дела
тт то, что начальная скорость была иной: v0?=l.
Нижние числа таблицы Непер назвал логарифмами верхних.
Этот термин означает в буквальном переводе «числа отношения»
107
(от соединения двух греческих слов: Яо-уод— отношение,.
ар1#|лос; — число). Название это он выбрал, чтобы подчеркнуть,,
что логарифмы являются вспомогательными числами,
измеряющими отношения соответственных чисел. Логарифмы Непера*
несмотря на перспективную общую идею движения по
непрерывной числовой шкале, все еще были таблицами сравнения
элементов дискретных последовательностей.
Как мы уже упоминали, таблицы Непера были таблицами
логарифмов значений тригонометрических функций. Рассмотрим»
какова была их структура. Прежде всего, отдельную колонку
составляли логарифмы синусов углов первой четверти,
выбранных с интервалом Г. Они, таким образом,, давали и значения
логарифмов косинусов (как синусов дополнительных углов). Во
избежание вычислений с дробями принято, что sin 90° соответствует
величина 108. В специальной колонке под названием «разности»
(differentiae) помещены разности логарифмов оинусов
дополнительных углов, т. е. логарифмы тангенсов. Неперу было известно^
что логарифмы обратных тригонометрических функций
получаются простым изменением знака.
Мы опускаем разные технические подробности арифметических
подсчетов при составлении таблиц. Правила логарифмирования*
по Неперу отличаются еще от принятых позднее. Они более
громоздки, так как в них присутствует log 1=^0 (ибо было принято,,
что sin 90° сопоставлено число 108). Например, рассмотрим
правило логарифмирования произведения y=ab. Перепишем его в
виде: — == —. Равенство отношений влечет равенство разностей
а 1
«чисел отношений», т. е. логарифмов:
log у—log a=log b—log 1, log #=log a+log b—log 1.
Помимо того что во всех правилах Непера присутствует log 1=х^
определяемый из равенства l = v0 (1—1М))*> существенное
осложнение при вычислениях вносит тот факт, что log 10=^=1. Поэтому
приходилось всякий раз заново вычислять и мантиссу, и
характеристику логарифмов чисел, отличающихся друг от друга только
множителями вида 10±fe (k — натуральное число). Эти
затруднения побудили Непера ввести идею десятичных логарифмов, т. е. к
тому, чтобы с самого начала рассуждений вводить условия log 1=0,
log 10= 1010.
Аналогичная идея десятичной системы логарифмов возникла
после ознакомления с таблицами Непера у преподавателя одного
из лондонских колледжей Генри Бриггса (Н. Briggs, 1561—1631),
с 1619 г. являвшегося профессором математики в Оксфорде, а
затем в Лондоне. Он дважды ездил к Неперу в Шотландию,
сдружился с ним. В совместных занятиях они разработали новую,
практически более удобную, десятичную систему логарифмов, ос»
нованную на сравнении прогрессий:
...0,01 0,1 1 10 100...
...—2 —1 0 1 2...
108
Бриггс взялся за разработку большой таблицы десятичных
логарифмов. Уже в 1617 г. од опубликовал 8-значные таблицы
логарифмов чисел от 1 до 103. Через 7 лет, в 1624 г., Бриггс сумел
издать «Логарифмическую арифметику», содержащую 14-значные
таблицы логарифмов для чисел 1—20000 и 90000—100000. Для
пропаганды нового вычислительного средства он опубликовал
несколько статей, разъясняющих методы вычисления таблиц и
применение логарифмов в вычислительной практике. Один из
методов Бриггса, как мы считаем, особенно интересен, и мы
воспроизведем его.
Бриггс исходил из того, что если из любого числа, например
из 10, последовательно извлекать квадратные корни, то после
достаточно большого числа извлечений (т = 2п) получится
результат, сколь угодно близкий к единице. В таком случае результат
еще одного, следующего, извлечения квадратного корня можно
2п+{г—
будет записать так: |/ 10 = 1 +а, где а мало. Возведем обе
2Л/~
части равенства в квадрат: у 10=l+2a-fa2. Для п достаточно
большого а? делается настолько малым, что его можно отбросить
и это не скажется на принятой точности вычислений:
2n7T5-i«(^-i)y2.
Умножив на 2n+1 обе части этого приближенного равенства,
получим
2»W7ro-i)«2»(27ro-i),
т. е. выражение, практически не меняющееся при дальнейшем
возрастании /г. Если обозначить уЮ — х9 то log10 х=\12п и
2"(2^10-l) = (*-l)/log10* (А).
Такое же значение х можно получить, если подставлять вместо 10
любое другое число: yaz&x. Тогда \og10xtt 2m .
Подстановка в (А) даст
откуда
log,0a«2"(27a-l) /(2"(2j/l0-l)).
Вычисление десятичного логарифма любого числа оказалось
сведенным к последовательным извлечениям квадратного корня
из этого числа. Зцачения степеней числа 2 и последовательных
109
извлечений квадратного корня из числа 10 вычисляются
предварительно. Чтобы избежать заметного накопления ошибок, Бриггс
заготовил 54-кратное извлечение квадратного корня с точностью
до 32 десятичных знаков:
"'/То « 1,000 000 000 000 000 127 819 149 320 032 35.
Работами Непера и Бриггса вычислительные трудности, о
которых мы здесь смогли дать лишь неполное представление, были
преодолены. Логарифмы вошли в вычислительную практику и
быстро распространились по всему миру.
В 1628 г. голландец А. Влакк, книготорговец по основному
виду занятий, закончил труд Бриггса, составив и издав 10-значные
таблицы десятичных логарифмов для чисел от 1 до 105. Он же
довел до конца работу по составлению 10-значных таблиц
десятичных логарифмов тригонометрических функций с частотой череа
каждые 10". Английский ученый Джон Спейдель к 1620 г.
составил таблицы натуральных логарифмов, сразу же завоевавшие
громадную популярность. В то же время (1620 г.) Эдмунд
Понтер, профессор математики в Лондоне, разработал первый
вариант логарифмической линейки. Он же принимал участие в
составлении таблиц логарифмов, как десятичных, так и
натуральных, и в применениях этих таблиц к астрономическим
вычислениям.
Очень быстро, меньше чем за столетие, таблицы логарифмов
сделались незаменимым вспомогательным вычислительным
средством повсюду. В 1650 г. иезуиты-миссионеры завезли их в Китай.
В России регулярные издания таблиц логарифмов берут свое
начало с 1703 г.; первыми переиздали таблицы Влакка.
Логарифмическая шкала была описана в русской научно-учебной
литературе впервые в 1730 г. под названием гунтерской (по имени
упомянутого выше Э. Гюнтера).
Мы уже имели возможность отметить, что в процессе решения
чисто вычислительной задачи составления таблиц проявились эле>-
менты грядущего анализа бесконечно малых. Это были идея
логарифмической функции, выраженная Непером, а также
отбрасывание несущественно малых величин, производившееся Бриггсом,
Можно предположить, что такие идеи и приемы были характерны
и для Кеплера, когда он смело оперировал с актуальными
бесконечно малыми.
В свою очередь применение элементов анализа бесконечно
малых дало новый, более удобный способ вычисления логарифмов.
Его разработал к 1667 г. член Лондонского королевского общества
голштинец Кауфман (1620—1687), известный более под именем
Н. Меркатора. Он исходил из замечательного соотношения,
доказанного в 1647 г. Сен-Винсентом: если абсциссы точек Л и В на
гиперболе у=1/х (рис. 30) соответственно пропорциональны
абсциссам точек At и В{ на той же кривой, то площади
криволинейных четырехугольников, расположенных под отрезками АВ и АХВ^
310
(заштрихованные) равны.
Эквивалентным этому является предложение:
площадь 5 под гиперболой */=1/хнад
отрезком [1, х] оси абсцисс равна
In * в системе, основанием которой
является число е такое, 4toS(1, e) = L
Н. Меркатор перенес в
рассуждениях Сен-Винсента ось ординат
вправо на единицу. Уравнение гиперболы
в новой системе координат стало
У=1/{1+х). Площадь: S(0, х) =
= 1п(1+л;). Разложив у=1/{1+х) в
ряд, он получил у=1—х-\-хг—хг+....
Остаток при |#|<С1 может быть
сделан при достаточном продолжении ряда как угодно малым.
Далее Н. Меркатор использовал методы квадрирования площадей,
ограниченных кривой у = хп, абсциссой и двумя ординатами. Эти
ранние методы определенного интегрирования были к тому вре^
мени уже хорошо разработаны Ферма, Кавальери, Паскалем и др.
Меркатор получает
Рис. 30
S(0,x)=x-*T + ^-
4
+
т. е. формулу для вычисления значения функции ln(l+#) при
помощи степенного ряда.
Определенное завершение теория логарифмических функций
получила в сочинениях Л. Эйлера. Ему принадлежит общее
определение логарифмической и показательной функций как взаимно-
обратных, распространение понятия логарифма на случай
комплексного аргумента, введение символа е для обозначения
основания натуральных логарифмов и многое другое, что существенно
сблизило оформление теории с привычной нам формой (см.:
Л.Эйлер. Введение в анализ бесконечных. М., Физматгиз, 1961*
Гл. 6—8).
Математики XVII в. искали также и другие пути преодоления
вычислительных трудностей. В разных городах Европы стали
появляться механические устройства — первые вычислительные
машины. Вероятно, самой ранней была машина немецкого
профессора Вильгельма Шиккарда (1623), преподававшего в г.
Тюбингене математику и астрономию. Схема этой машины и объяснения
к ней обнаружены в архиве Кеплера, а затем — в фондах
библиотеки г. Штудгарта. В печати эти материалы были опубликованы
в 1958 г.
Машина Шиккарда (рис. 31) состояла из трех частей:
суммирующего устройства, множительного устройства и механизма
памяти, т. е. записи промежуточных результатов вычислений.
Первое из них представляло собой раннюю разновидность
арифмометра, построенного на принципе использования зубчатых передач.
На параллельных осях (указано было на чертежах 6 осей) на-
111
Рис. 31 Рис. 32
саживались по одной десятизубая и однозубая шестерни.
Последняя служила для того, чтобы передать шестерне следующего
разряда толчок, проворачивающий ее на 0,1 оборота после того, как
предыдущая шестерня сделает полный оборот. Техническое
оформление машины позволяло видеть в окошках, какое число
набрано в качестве первого слагаемого (или уменьшаемого) и
последующие результаты, вплоть до итогового. Для деления
применялось повторное вычитание делителя из делимого.
Оригинально разрешена в машине Шиккарда задача
умножения чисел. На параллельных осях (их тоже было 6)
насаживались цилиндры, на каждый из которых была навернута таблица
умножения. На рис. 32 показана эта таблица в развернутом виде.
Перед цилиндрами имелась панель с 9 рядами окошек по 6 штук
в каждом ряду (по числу цилиндров). Окошки каждого ряда
открываются и закрываются специальной фигурной задвижкой.
Пусть необходимо перемножить 387 на 27. Все цилиндры
устанавливаются вращением в такое положение, чтобы в верхнем ряду
окошек появилось множимое: 000387. Частичное произведение
387-7 получается простым открыванием окошек 7-го ряда; в них
появится 0002/1 5/6 4/9, что означает после несложного подсчета
в уме: 2709. Второе частичное произведение 387-20 получается
открыванием второго ряда окошек, что дает 0006 1/6 1/4, или 774,
к которому справа надо приписать нуль. Оба частичных
произведения: 2709 и 7740 — складываются на суммирующем
устройстве. Последнее в своих окошках покажет сумму 10449.
Третья часть машины состояла из 6 барабанчиков с
нанесенными на них цифрами: 1, 2, ..., 9, 0 и соответственно из панели с
окошками. Поворотами барабанчиков в окошках фиксировали
'число, которое надо было запомнить. Конструкция машины выгля-
312
дела на схеме так (рис. 31) : 1 —множительное устройство, 2 —
суммирующее, 3 — записывающее устройство для запоминания.
Машина Шиккарда была построена в 1623 г. По всей
вероятности, о ней никто не знал, кроме Кеплера и узкого круга друзей
изобретателя. Поэтому до недавнего времени считалось, что
первый арифмометр изобрел в 1642 г. Блез Паскаль (1623—1662).
Арифмометр Паскаля, построенный на принципе десятизубых
шестереночных передач, позднее (1673 или 1674) был
усовершенствован Лейбницем. Долгое время счетные устройства были
несовершенными и не могли найти широкого применения. Положение
стало улучшаться с 1874 г., когда петербургский инженер Однер
изобрел специальное устройство — колесо с убирающимися
зубцами. В простейших вычислительных устройствах (например,
кассовые аппараты) устройство типа Однера применяется и теперь.
Многие вычислительные методы были разработаны в связи с
численным решением алгебраических уравнений. С особенной
силой эта связь проявлялась в сочинениях И. Ньютона и его
предшественников и современников. Еще в молодости (ок. 1676 г.)
Ньютон разработал способ приближенного нахождения корней
уравнений, актуальный и в наше время. Совсем недавно интерес
к многоугольнику Ньютона, изобретенному для разложения в ряд
по дробным степеням аргумента х решения уравнения f(x, у)=0,
вспыхнул в очередной раз. Именно в связи с проблемами
вычислительного характера Ньютон вывел свою формулу степени
бинома и распространил ее на случай дробного и отрицательного
показателей.
В 1673—1683 гг. Ньютон читал в Кембриджском университете
лекции по алгебре. Его преемник по кафедре издал в 1707 г. эти
лекции под названием «Универсальная арифметика». Они
замечательны как своеобразный итог развития алгебры XVII в., как
пример неразрывности арифметики и алгебры в те времена, как
показатель ведущей роли вычислительных проблем и методов в
развитии алгебры. «Все действия арифметики столь необходимы
в алгебре, что они лишь совместно образуют полную науку
вычислений, и поэтому я буду излагать их обе вместе», — писал
Ньютон (И. Ньютон. Всеобщая арифметика. М.; Л., Изд-во АН
СССР, 1948. С. 7).
Подготовительный аппарат алгебры — основные понятия и
правила действий содержат разделы, посвященные операциям
над арифметическими дробями. Геометрические интерпретации
построения корней уравнений трактуются как вспомогательные
для приближенной оценки величины корней. Материал общей
теории уравнений также подчинен проблеме численного решения
задач, приводимых к решению алгебраических уравнений.
Практические цели, стоявшие перед математиками XVII в.,
привели к расширению арсенала вычислительных средств и
приемов численного решения задач. Главными достижениями в этом
плане являлись изобретения логарифмов и методов точного или
113
приближенного (если точное оказывается невозможным)
вычисления корней алгебраических уравнений.
Все эти нововведения обогатили элементарную математику. В
то же время каждое из открытий несло в себе элементы,
получившие развитие в неэлементарных ее частях: в математическом
анализе и в высшей алгебре. В этом проявилась неразделимость
развития всего состава математики и относительность,
искусственность ее деления на элементарную и высшую, на различные
дисциплины и т. д.
Мы заканчиваем очерк путей развития математики за
огромный исторический период: от первых веков нашей эры до XVII
века. Это был период, условно называемый периодом математики
постоянных величин, или, иначе, периодом элементарной
математики. Часть современного математического образования, тесно
связанная с рассмотренным материалом, относится к средней об-*
преобразовательной школе.
Последующие столетия были свидетелями формирования таких
частей математики, которые легли в основу современного высшего
математического образования. Для их описания мы применим
иной порядок — тематический.
ГЛАВА 4
КАК СЛОЖИЛАСЬ СТРУКТУРА ГЕОМЕТРИИ?
Едва ли минуло 100 лет с того времени, когда всех тех, кто
занимался математикой профессионально или просто имел
солидные математические знания, начали называть математиками. До
этого их всех называли одинаково: геометры. Это обстоятельство
во всяком случае свидетельствует о том большом значении,
которое придавали геометрии в течение многих веков.
В научном «багаже» математиков, в том числе современных,
находится в самом деле великое множество сведений, которые
принято относить к геометрическим. Среди них, однако, есть
немало таких, которые никак не могут быть согласованы с
общечеловеческим интуитивным, но общепринятым представлением о
геометричности. Более того, геометрические части математического
мышления и действий разнородны уже до такой степени, что,
естественно, все чаще и даже неминуемо возрастает сомнение в их
научном единстве.
§ 4.1. СУЩЕСТВУЕТ ЛИ ЕДИНАЯ ГЕОМЕТРИЯ?
Жизненный опыт каждого человека обязательно включает в
себя геометрию. В счастливые дошкольные годы он постепенно
знакомится с практической стороной геометрии, приобретает
навыки измерений и построений. В школе он изучает иную
геометрию, усваивает ее абстрактное содержание и не всегда остается
убежденным в ее необходимости. Вокруг школьного курса
геометрии неизменно кипят страсти. В диспутах подчас весьма
причудливо сплетаются (и нередко запутываются) проблемы и суждения
как относящиеся к содержанию этой учебной дисциплины, так и
к ее роли, как средства воспитания логической строгости
мышления и высказываний людей.
В студенческие годы молодой человек сталкивается со
многими геометриями. Почти всегда, в силу многолетней традиции, ему
приходится начинать с изучения аналитической геометрии. Но за
ней и одновременно с нею возникают векторы, геометрии
дифференциальная, начертательная, проективная, аффинная и др. Их
дополняют геометрические части алгебры, теории чисел,
дифференциальных уравнений, теории функций как действительного,
так и комплексного переменного и др. С возрастающей остротой
вновь и вновь встает вопрос: да существует ли вообще единая
наука — геометрия и если — да, то какая?
115
Как можно ответить на такой вопрос? Можно задаться целью
расширить геометрическую эрудицию читателя, перечислить
известные в научной литературе геометрии и классифицировать их
по какому-либо общему признаку, например:
а) по типу исследуемых пространств (сюда войдут: евклидоаа
геометрия, геометрия Лобачевского, Римана и другие);
б) по выбору изучаемых объектов (геометрии выпуклых тел,
многогранников, поверхностей);
в) по изучаемым свойствам (например изгибания поверхностей,
их кривизны, свойства дискретности и непрерывности);
г) по типам задач и методам их решения (например,
геометрии элементарная, аналитическая, дифференциальная и др.).
Если не забыть упомянуть о геометрии в целом, геометрии в
малом, геометрии положения, дискретной, конечной,
комбинаторной геометриях и т. д., то попытки подобной классификации
убеждают только в том, что к нашему времени сложилась огромная,
чрезвычайно разветвленная система геометрических теорий и
геометрических частей других разделов математики. Эта разветвлен-
ность достигла такой степени, что трудно (если вообще возможно)
увидеть в этом наборе общее, основное.
Помимо трудностей математических нарастают трудности более
общие — методологические. Они группируются вокруг вопросов:
что же такое геометрия, как ее определить, а также справедливо
ли восходящее к Ф. Энгельсу понимание, что геометрию следует
рассматривать как науку о пространственных формах предметов
действительного мира.
Чтобы ответ на эти вопросы был содержательным, не надо
спешить с формулировками общего характера вроде: геометрия есть
совокупность математических теорий об однородных объектах;
геометрия есть наука об отражениях различных аспектов
пространственных представлений о реальных объектах; геометрия есть
наука об абстракциях пространственных форм (протяженности,
удаленности, взаимного расположения) и т. п.
В отрыве от конкретного математического содержания
подобные формулировки обречены на бесплодие. Ведут же они либо к
бессодержательным манипуляциям словами (т. е. к
философствованию в худшем смысле этого слова), либо к нарочитой
обедненное™ суждений (т. е. к формализациям весьма невысокого
значения).
В настоящей главе мы будем рассматривать вопрос о том, что
следует называть геометрией в современной системе
математических наук. Рассмотрение начнем с разъяснения путей, следуя
которым геометрические знания людей достигли современного
высокого теоретического уровня при столь большом разнообразии
форм.
Геометрические знания людей стали формироваться на весьма
ранних этапах развития их мыслительной деятельности. Они
накапливались под прямым воздействием практической необходи-
U6
мости и трудовой деятельности и представляли собой абстракции
форм предметов, с которыми приходилось иметь дело.
Дальнейшее развитие геометрических знаний, а затем
геометрической науки происходило в основном по следующим главным
направлениям:
— измерительная и конструктивная практика;
— участие геометрии в комплексных исследованиях явлений и
процессов материального мира разнообразными математическими
средствами;
— теоретические обобщения и построения геометрических
систем.
Эти направления трудно отделить друг от друга формально,
абсолютно, взаимно исключающим образом. Этого и не нужно
делать. Они поддаются выделению и рассмотрению таким же
образом, как это делают при исследованиях функций, процессов и
характеристик единого развивающегося организма.
§ 4.2. ГЕОМЕТРИЯ, ВЫРОСШАЯ ИЗ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ И
КОНСТРУИРУЮЩЕЙ ПРАКТИКИ
Первое из упомянутых направлений — исторически самое
раннее — определилось в процессе решения геометрическими
средствами практически необходимых задач. Оно проявлялось в течение
всей истории математики. В рамках этого направления были
порождены как практические, так и теоретически важные результаты
и даже целые области математики.
Приведем три примера: из практики измерения углов выросла
тригонометрия, как плоская, так и сферическая; конструкторская
и строительная деятельность людей породила начертательную
геометрию; приемы технического и художественного
проектирования получили теоретическое развитие в виде проективной
геометрии.
Что касается тригонометрии, то отдельного очерка о ней в
настоящей книге нет. Сведения об ее истории приведены в
предыдущей главе. Читатель, кроме того, может ознакомиться с ней;
например, по главе 6 «Многоликая тригонометрия» в книге:
Рыбников К. А. «Возникновение и развитие математической науки»
(М., Просвещение, 1987). Книга предназначена для учителей и
содержит очерки истории всех математических дисциплин,
изучаемых в настоящее время в школе.
Методы начертательной геометрии формировались главным
образом в сфере технических приложений математики. Факты
учения о перспективе накапливались с давних времен. Особенно
сильно они были развиты художниками и архитекторами Древней
Греции, а затем — эпохи европейского Ренессанса. Эти факты
составили необходимую основу для создания тех разделов
теоретической геометрии, в которых пространственные образы изучаются
посредством комплекса отображений на плоскостях. Метод коор-
117
динат для построения перспективы и соответствующие начала
аксонометрического проектирования впервые ввел Дезарг (1591—
1661) в 1636 году.
С тех пор прошло более 250 лет, прежде чем произошло
выделение начертательной геометрии в обособленную часть
математики. Завершился этот процесс в работах Г. Монжа (1746—1818).
В бурную эпоху Великой французской буржуазной революции в
Политехнической школе для будущих военных и гражданских
инженеров Монж читал лекции об ортогональных проектированиях
на плоскости, т. е. начертательную геометрию. Это было
проделано впервые, сильно подымало уровень мастерства инженеров
революционной Франции и в течение нескольких лет даже считалось
делом секретным.
В 1798—1799 гг. Монж опубликовал полный курс
начертательной геометрии («Geometrie descriptive»). В нем он
систематически описал метод отображения пространственных образов с
помощью двух ортогональных проекций на две взаимно
перпендикулярные координатные плоскости. Этот метод он дополнил
развертыванием проекционных плоскостей около оси проекций в
одну плоскость и сведением пространственных построений и
перемещений к соответствующим преобразованиям проекций.
Учебник начертательной геометрии Монжа состоит из 5 глав.
В первой главе разъяснены цель и метод начертательной
геометрии, а также решения сравнительно элементарных задач
относительно прямых и плоскостей. Затем, во 2-й главе, описаны
построения касательных плоскостей и нормалей к поверхностям.
Пересечения поверхностей рассмотрены в 3-й главе. Соответствующие
этому задачи вынесены в 4-ю главу. Пятая глава посвящена
исследованию кривизны линий и поверхностей.
Книга Монжа не является элементарной и сейчас. Задачи,
рассматриваемые в ней, зачастую совсем непросты. Так, он
исследовал поверхности с ребром возврата, геодезические
поверхности и линии наибольшего ската на них, поверхности одинакового
ската и т. п., явно навеянные его
дифференциально-геометрическими исследованиями.
Влияние работ Монжа и близких к ним по содержанию
учебников Лакруа было сильным и длительным. Их сочинения в XIX
веке переиздавались много раз. Усовершенствования частного
характера и разработка различных способов проектирования
составили основное содержание работ по начертательной геометрии в
дальнейшем. Эта разновидность геометрии со времен Монжа
прочно вошла в перечень математических дисциплин, входящих в
систему технического образования.
Приведем теперь краткие сведения об истории проективной
геометрии. Теоретический аспект технической перспективы и более
общее понимание последней как одного из видов проективных
преобразований были разработаны еще Дезаргом. Идея изучения
проективных свойств геометрических объектов возникла в
качестве нового подхода к трудовой античной теории конических сечений
118
с целью упростить и обобщить ее. Сочинение Дезарга «Черновой
набросок подхода к явлениям, происходящим при встрече конуса
с плоскостью» (1639) и Б. Паскаля «Опыт о конических сечениях»
(1640) содержат решение этой проблемы и служат основой новой
для того времени науки — проективной геометрии.
Центральная проекция в ней обогатилась бесконечно
удаленными элементами, связав тем самым воедино пучки сходящихся и
параллельных прямых, равно как и плоскостей. Весьма
плодотворным оказалось и понятие инволюции. Проективные и инво-
люторные свойства конических сечений составили целую теорию,
среди многочисленных теорем которой выделяются теоремы,
названные именами их авторов —¦ Дезарга и Паскаля. Кроме того,
Дезарг открыл много теорем о полюсах и полярах конических
сечений.
Вначале лишь немногие ученые восприняли идеи Дезарга и
Паскаля. Даже их сочинения оказались утерянными. Лишь в
1845 г. М. Шаль (1793—1880) нашел копию сочинения Дезарга.
От работ Паскаля по проективной геометрии сохранился лишь
набросок. В последующем, в течение более чем столетия,
оказалось возможным отметить лишь эпизодические применения
проективных преобразований. В такой обстановке строгое и
систематическое построение начертательной геометрии, проделанное Мон-
жем к концу XVIII в., сыграло роль необходимой предпосылки для
построения проективной геометрии.
Сочинения Л. Карно «О корреляции фигур в геометрии» (1801)
и «.Геометрия положения» (1803) вновь привлекли внимание
ученых к полузабытой науке. Довершил (1822 г.) теоретическое
построение и оформление проективной геометрии офицер
наполеоновской армии Ж--Б. Понселе (1788—1867), который имел для
этого достаточно времени в русском плену в Саратове. Выделив
класс проективных преобразований фигур, Понселе уделил
основное внимание соотношению между проективными и метрическими
свойствами фигур.
Дальнейшее развитие проективной геометрии проходило под
знаком поиска решений этой проблемы. В XIX в., соответственно,
образовались два направления. Приверженцы одного из них (в
особенности Штаудт) стремились освободить проективную
геометрию от всякого обращения к метрике. Другие (например, Мёбиус)
всячески развивали аналитические методы.
Противоречие это сгладилось в результате установившихся
связей проективной геометрии с геометрией неевклидовой, с теорией
функций комплексного переменного, когда раскрылись
возможности проективной геометрии и ее подлинное место в системе
математических наук. Общность, которой обладают проективные
свойства, была использована А. Кэли и Ф. Клейном при рассмотрении
различных геометрических систем с единой точки зрения с целью
их классификации. Синтетико-геометрические устремления Шта-
удта и других послужили основой аксиоматического построения
проективной геометрии в начале XX века.
119
Эти примеры дополняют геометрический материал
предыдущих глав. Они показывают, что даже в составе современной
геометрии существуют ряд разделов, в которых практическое
происхождение этой науки отчетливо проявляется.
§ 4.3. ГЕОМЕТРИЯ В КОМПЛЕКСНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ИССЛЕДОВАНИЯХ
Типичным примером второго из упомянутых выше
направлений исторического развития геометрии является геометрия
аналитическая. С ее изучения обычно начинают высшее математическое
образование. В ней слитно действуют методы геометрии и
алгебры. Свойства геометрических объектов выражаются в данном
случае через посредство алгебраических выражений. Наоборот,
алгебраические объекты интерпретируются геометрическими
образами. Впрочем, с учетом высказанных ранее общих соображений
операция измерения может рассматриваться как слитное
функционирование методов геометрии и арифметики.
Приоритет в создании аналитической геометрии принадлежит
двум французским ученым: Р. Декарту (1596—1650) и П. Ферма
(1601—1665). Сочинение первого из них «Рассуждение о методе»,
одна из частей которого названа «Геометрия», посвященное
рассматриваемому нами вопросу, вышло в свет в 1637 г. Небольшая
рукопись второго из них «Введение в теорию плоских и
пространственных мест» была известна современникам с 1636 г.,
напечатана же лишь в 1679 г.
Когда в математике, как и вообще в науке, наступает момент
совершения значительного открытия, то оказывается, что все
главные его элементы уже существуют. Создание аналитической
геометрии исключением не является. Декарту, Ферма и их
современникам уже были известны многочисленные описания
конкретных кривых уравнениями. Известны были и рудиментарные
способы введения координат. Но обстоятельства открытия, исходные
идеи и формы открытия бывают различными, оригинальными и
поучительными.
Целью естественно-научных занятий Декарта было построение
общего, универсального, метода для изучения всех проблем
естествознания и для совершения открытий. В соответствии с общими
особенностями мировоззрения Декарта метод должен быть
строгим, суждения — четко дедуктивными, основывающимися на
законах и правилах математики. Математика же сама должна быть
такой, чтобы она соответствовала сущности природных явлений и
процессов.
Декарт утверждает, что природой материи является ее
трехмерная объемность, а важнейшими свойствами — делимость и
подвижность. Математика как средство изучения природы должна
отображать именно эти свойства. Ее нельзя строить как только
численную или как геометрическую. Она должна быть наукой
универсальной, охватывающей все, что относится к порядку и ме-
120
Р. Декарт (1596—1650)
ре. Все содержание математики должно рассматриваться с
единых позиций и изучаться единым методом. Само ее название
должно отражать эту всеобщность. Декарт предложил назвать ее
универсальной математикой (Mathesis universalis).
Именно такие общие установки получили конкретное
выражение в ставшем знаменитым сочинении «Рассуждение о методе»
(1637 г.). В нем даны общее описание метода и приложения его
к диоптрике, метеоритике (учению о климате) и математике. Эта
последняя часть, названная в трактате «Геометрия», является тем
сочинением, где Декарт построил свою аналитическую геометрию.
Для универсальной математики Декарта должна быть
характерной взаимная интерпретируемость буквенной алгебры и
геометрии кривых. Такая связь должна опираться на установление
изоморфизма поля действительных чисел и поля отрезков
прямых. Декарту для этого понадобилось только определить операции
121
над отрезками так, чтобы они в самом деле образовали поле.
Суммы и разности отрезков для Декарта затруднений не
представили. Определения умножения и деления отрезков, как известно,
приводили ранее к изменениям размерности и к построению
Ф. Виетой видовой алгебры. Декарт применил для преодоления
этого затруднения прием построения четвертого
пропорционального (см. рис. 33).
Геометрическими интерпретациями алгебраических корней
являлись построения 1, 2, ... средних пропорциональных. Все эти
идеи еще более четко и последовательно были изложены в
небольшом сочинении «Исчисление господина Декарта».
В основу построения своей геометрии Декарт положил еще две
идеи: введение переменной величины и использование
прямолинейных (их так и называют: декартовы) координат. В
соответствии с его унифицирующей тенденцией переменная величина
фигурирует в двуединой форме: в виде текущей координаты точки,
движущейся по кривой, и в виде переменного элемента множества
чисел, соответствующих точкам данного координатного отрезка.
«Геометрия» состоит из трех частей, названных «книгами».
Первая из них, «О задачах, которые можно построить, пользуясь
только кругами и прямыми линиями», начинается с кратких
разъяснений только что изложенных общих принципов. Затем следуют
правила составления уравнений геометрических кривых.
Чтобы решить какую-либо задачу, нужно считать сначала ее
как бы решенной и обозначить буквами как все данные, так и
искомые линии. Затем, не делая никакого различия между данными
и искомыми линиями, заметить между ними зависимость так,
чтобы получить два выражения для одной и той же величины. Это и
приводит к уравнению, служащему для решения задачи, ибо
можно приравнять эти оба выражения. Далее доказывается, что все
задачи геометрии, решаемые посредством циркуля и линейки,
сводятся к решению уравнений не выше 2-й степени.
Правила своей аналитической геометрии Декарт не
формулирует в общем виде, а показывает их силу на решении трудных
задач. В качестве такой задачи он выбрал задачу Паппа: на
плоскости произвольным образом расположено несколько (скажем, п)
прямых, например: MN, NK, ML, DA (рис. 34). Требуется найти
геометрическое место точек, для которых произведение отрезков,
Рис. 33 Ряс. 34
122
проведенных из них под одинаковыми углами к п/2 прямых,
находилось бы в заданном отношении к произведению отрезков,
проведенных тем же способом к другим п/2 прямым. Например:
CBCD __ 1
CFCH ~ 2 *
Одна из заданных линий (ML) и одна из искомых (ВС)
принимаются за главные. Обозначим АВ=х и ВС=у. Так как углы
треугольника ABR известны, то известно и отношение сторон:
х п п
Рассуждая таким же образом относительно треугольника DRC
и считая, что CR:CD = n:c, получим
п п па
Выразим аналогично через хну длину отрезков CF, СН,
подставим в условие CF-CH=2BCCD и получим уравнение искомого
геометрического места.
Декарт скупо разъясняет, что геометрическое место в случае
задачи о 3 или 4 прямых представляет собой коническое сечение.
В случае, когда число прямых больше четырех, Декарт установил,
что для 2п или 2/г—1 прямых уравнение геометрического места
имеет степень п относительно двух переменных хну. Задача Пап-
па для 5 прямых (так как число прямых нечетное, то одно из
расстояний возводится в квадрат) оказывается разрешимой с
помощью циркуля и линейки, или, по терминологии Декарта,
является плоской задачей. Такой же оказывается задача и для 6
прямых, но Декарт этого не упомянул.
Вторая книга «Геометрии» названа «О природе кривых линий».
Она посвящена более общему рассмотрению кривых, их
классификации и выявлению их свойств. В свою систему Декарт счел
возможным допустить лишь такие кривые, которые описываются
циркулем и линейкой или несколькими последовательными
движениями такого вида. Остальные кривые получили название
механических (позднее у Лейбница: трансцендентных) и не были
включены в класс допустимых кривых. Их свойства, считал Декарт, не
могут быть найдены регулярными приемами.
Все допустимые кривые, таким образом, могут быть построены
с помощью некоторого шарнирного механизма, длина звеньев
которого может изменяться. Относительно этого класса кривых
Декарт высказал утверждение, что они описываются
алгебраическими уравнениями, но никакого доказательства не привел. Тем
самым Декарт предвосхитил одну из главных теорем кинематики
механизмов (которую доказал впервые в 1876 году А. Кемпе),
гласящую, что с помощью плоских шарнирных механизмов, в
которых движение первых звеньев полностью определяет движение
123
остальных, можно описывать дуги любых алгебраических кривых
и нельзя описать ни одной трансцендентной.
Декарт, как бы мимоходом, высказывает замечание, что
степень уравнения кривой инвариантна относительно выбора системы
прямолинейных координат. Но гипноз принципа построения
кривых лишь с помощью упомянутого механического приема
сказывается еще слишком сильно. Поэтому, в основу классификации
кривых Декарт кладет не степень уравнения, а число звеньев
шарнирного механизма. Кривые оказываются разделенными по родам
(genre) так, что к п-иу роду относятся кривые, выражаемые
алгебраическими уравнениями степени 2п—1 и 2п. Этот неудобный
принцип был заменен Ньютоном.
Во второй половине 60-х гг. XVII в. И. Ньютон в ряде работ
присоединил к аналитической геометрии конических сечений
обширную область кривых 3-го порядка. Они, по Ньютону, могут
быть приведены к 4 основным типам, которые подразделяются на
72 вида. Следствием было чрезвычайное обогащение теории
алгебраических кривых такими методами, к которым восходит
современная алгебраическая геометрия.
Но возвратимся к Декарту. Он еще не может построить
общую теорию кривых рода /г>2. Но для демонстрации силы и
универсальности своего метода он вгновь обращается к задаче Паппа,
исследуя разные ее постановки. Например, пусть задача
поставлена для 5 прямых (рис. 35). Четыре
из них: FG, DE, ВА, HI —
параллельны, эквидистантны, а пятая,
GA, перпендикулярна к ним.
Найти точку С такую, что
CFCDCH=CBCMAJ.
Положим СМ=х, СВ = у, AE=EG=~
=AJ=:a. Тогда CF=2>a—y, CD=~
^а—у, СМ=а + у. Уравнение
искомого геометрического места
имеет вид
(2а—у)(а—у)(а + у)=аху, или yz—2ay2—a2y+2a*=axy.
Для построения данной кривой Декарт использует специальный
прием, рассматривая точки пересечения движущейся параболы и
прямой (см. напр.: Цейтен Г. Г. История математики в XVI и
XVII веках. М., — Л.: ГТТИ, 1936. С. 206).
Значительную часть второй книги составляют теоремы о
проведении касательных и нормалей к алгебраическим кривым. Свой
«метод нормалей» Декарт распространил на конические сечения
и на так ныне называемые Декартовы овалы. Приложения этой
группы теорем он видел в оптике. Мы не будем на этих вопросах
останавливаться, так как они выходят за пределы собственна
аналитической геометрии и относятся к геометрии
дифференциальной.
г
G
о \с
i У
Е \м
8
А
Н
J
Рис. 35
124
Книгу завершает предложение о возможности распространения
геометрии Декарта на трехмерный случай. При этом
высказывается идея представления пространственной кривой с помощью
проектирования ее на две взаимно перпендикулярные плоскости,
общая прямая которых является одной из осей координат. Однако
эта идея оказалась в сочинении Декарта единичной, неразвитой;
к тому же в рассуждения Декарта вкралась ошибка. Он в этом
единственном предложении аналитической геометрии в
пространстве утверждал, что проекции нормали к пространственной
кривой являются нормалями к проекции кривой. Это неверно даже
для плоской кривой, не говоря уже о наличии в общем случае
нормальной плоскости. Нет у Декарта речи о трех координатах
точки в пространстве и об уравнениях поверхностей.
Задача третьей книги «О построении телесных, или
превосходящих телесные, задач» — построение общей теории
алгебраических уравнений и связанных с этой проблемой геометрических
интерпретаций. Алгебраическая символика Декарта уже
несущественно отличается от современной. Всякое уравнение мыслится
приведенным к виду Рп(х)=0, где Рп(х) —¦ полином с целыми
коэффициентами, расположенный по убывающим степеням неизвестно-
Р (х)
го х. Из размышлений над проблемой делимости —-—=Р'~ Л*),
х—а 1
тле а — корень уравнения, Декарт извлек вывод, что число
корней уравнения равно числу единиц в наивысшем показателе
степени х. При этом он принял во внимание все виды корней:
действительные (положительные), ложные (отрицательные) и
воображаемые (комплексные.). Доказать такой вывод он еще не мог, так
же как и другие математики в течение долгих последующих лет.
Только в 1797 г. это сделал К.-Ф. Гаусс.
Декарт показал, что уравнение имеет столько положительных
корней, сколько имеется знакоперемен в последовательности
коэффициентов, и столько отрицательных корней, сколько имеется
повторений знака. Замечательной по глубине замысла является
постановка проблемы приводимости, т. е. представления целой
рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде
произведения таких же функций. Декарт показал, что уравнение 3-й
степени решается в квадратных радикалах (с помощью циркуля и
линейки) лишь, если оно приводимо. Вопрос о приводимости
уравнения 4-й степени он свел к вопросу о приводимости его
кубической резольвенты.
Если речь идет об уравнении xA-\-px2+qx+r=Qy то его можно
переписать в виде
\ * ^ 2 2 2у)\ ^У 2^2 ?у)
где вспомогательная величина у определяется из уравнения
у*+2ру*+ (p2—4r)y*—q2=0,
кубического относительно у2.
125
Этому утверждению в сочинении Декарта тоже нет
доказательства. Из комментариев к «Геометрии», автором которых был
профессор математики в Лейденском университете Ф. Скоутен
(1615—1660), страстный приверженец Декарта, можно сделать
вывод, что при этом был применен метод неопределенных
коэффициентов. Сам Скоутен рассматривает уравнение х4—рх2—qx-{-
-|-г=0 и переписывает его в виде
(х2+ух+г) (х2—ух + v) = 0.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, он для
определения yf z, v получает уравнения
z—y2+v——р, —zy+vy—y, vz=r,
ye-2py*+(p2-4r)y2~q2 = 0.
Решение уравнений 3-й и 4-й степеней геометрическими
средствами у Декарта сводится к задачам о построении (вставке) двух
средних пропорциональных и о трисекции угла. Решает он эти
уравнения с помощью пересечения двух подходящих конических
сечений. Затем он распространил этот метод на уравнения 3-го
рода (5-я и 6-я степени), подбирая специальные кривые,
пересечения которых с окружностью при их движении дадут решения.
Впрочем, замечания Декарта, касающиеся этого круга задач, не
оказались достаточно ясными и определенными.
Аналитическая геометрия Декарта имела еще много
недостатков. Область ее развития была чрезмерно сужена априорными
требованиями, вытекающими из общих идей Декарта. Неудачной
оказалась классификация алгебраических кривых по жанрам
(родам), а не по степеням уравнений, их выражающих. Декарт не
довершил проникновения в геометрию алгебраического аппарата, не
распространил свой метод на изучение свойств кривых, исходя из
свойств соответствующих уравнений. Система координат задана
осью абсцисс, из которой по мере необходимости выставляются
ординаты. Поведение кривой прослеживается только в первом
квадранте. Однако по сравнению с уровнем математической науки
того времени появление «Геометрии» Декарта означало
продвижение принципиального значения, что и сделало это сочинение
классическим.
Создание аналитической геометрии было в математике
явлением революционным. Оно привело к взаимному проникновению
методов алгебры и геометрии. Подобные научные открытия никогда
не делались одним человеком. Декарт также не являлся
единоличным открывателем аналитической геометрии. Говоря так, мы
имеем в виду то, что одновременно с Декартом аналогичную
систему взглядов и с не меньшим успехом развил в специальном
сочинении французский математик П. Ферма (1601—1665).
Идеи аналитической геометрии, т. е. введение прямолинейных
координат и приложение к геометрии алгебраических методов,
сосредоточены в небольшом сочинении Ферма «Введение в теорию
плоских и пространственных мест», ставшем известным в научной
126
П. Ферма (1601—1665)
переписке с 1636 г., но напечатанном впервые вместе с другими
сочинениями Ферма лишь в 1679 г. Исходными пунктами этой
работы явились изучаемые Ферма сочинения древних, в особенности
Аполлония. Те геометрические места, которые представлялись
прямыми или окружностями, назывались плоскими местами, а
другие конические сечения (эллипс, гипербола и парабола) —
пространственными.
Метод координат введен так же, как у Декарта: задается одна
ось — ось абсцисс. На ней выбрана начальная точка и
откладываются отрезки, соответствующие значениям одной из переменных.
Значения другой переменной, также изображаемые отрезками
(ординатами), восстанавливаются из конца первого отрезка под
выбранным для данной задачи углом (чаще всего прямым).
Затем Ферма выводит уравнения прямой, окружности и всех
конических сечений. Вначале он доказывает, что уравнение
прямой, проходящей через начало координат, имеет вид ах=Ьу.
Затем последовательно выведены: уравнение окружности с центром
в начале координат; гиперболы, отнесенной к асимптотам;
параболы, отнесенной к диаметру и касательной в его конце; эллипса;
127
гиперболы в случае, когда осями являются сопряженные
диаметры.
Замечательно, что Ферма подошел к рассматриваемым
вопросам и с другой стороны. Он начал с общих выражений уравнений
1-й и 2-й степеней. Преобразованиями координат (переносы
начала и повороты осей) он приводит их к каноническим формам,
которым дает геометрическую интерпретацию. Например, пусть
дано уравнение 2х2-\-2ху + у2=а2. Перепишем его в виде (x+y)2jr
+х2=а2. Выберем новые оси х+у=0; х—0. Новыми
координатами будут Х\=х12\ У\=х + у. Новый вид уравнения (2а2—х\)/уг =
— 2. По Аполлонию, замечает Ферма, это эллипс, отнесенный к
сопряженным диаметрам.
Ферма, наконец, делает попытку распространить свои методы
на 3-мерный случай. Он пробует рассматривать пересечения
поверхностей плоскостями. Однако в рукописи у Ферма еще нет
пространственных координат. Замысел остался неосуществленным.
Сравнение рассмотренных выше работ Декарта и Ферма и их
последействия показывает, что во «Введении» аналитическая
геометрия вводится, пожалуй, последовательнее. Однако оно было
поздно опубликовано, написано на тяжеловесном алгебраическом
языке с применением несовершенной символики Виеты. Геометрия
Декарта, напротив, написана ясно, читается легко даже сейчас,
через много лет, без предварительной историко-научной
подготовки.
Ферма сам видел, что он находится только в самом начале
нового раздела математики, но добавлял: «И все же мы не
раскаиваемся в написании этого преждевременного и не вполне зрелого
сочинения. Действительно, для науки представляет некоторый
интерес не утаивать от последующих поколений еще
неоформившиеся плоды разума; и благодаря новым открытиям науки
первоначально грубые и простые идеи как укрепляются, так и
множатся. И в интересах самих изучающих составить себе полное
представление как о сокровенных путях разума, так и о
самопроизвольно развивающемся искусстве» (П. Ферма. Введение в
изучение плоских и телесных мест/ Р. Декарт. Геометрия. М.; Л.,
ОНТИ; ГТТИ, 1938. Приложение. С. 147).
Дальнейшая история аналитической геометрии показала, что
идея Декарта о едином методе, объединяющем геометрию и
алгебру, осуществилась, но не так, как это ему представлялось.
Аналитическая геометрия вошла в систему геометрических знаний, не
поглотив ни алгебру, ни геометрию. В течение первых 50—70 лет
она переживала период утверждения и признания в обстановке
дискуссий (порой, горячих) о правомерности, удобстве и
возможностях ее методов. Вначале факты этой науки накапливались
медленно. К 1658 г. завершилось обсуждение вопросов, связанных с
исследованием полукубической параболы. В нем, кроме Ферма,
принимали участие В. Нейль (1637—1670) и Г. ван Гейрат (род.
1633 г.). К 1679 г. Ф. Лагир (1640—1718) впервые опубликовал
метод составления уравнений поверхностей. Однако только к
128
1700 г. вывели уравнение сферической поверхности и касательной
плоскости к ней.
Новый вклад в развитие аналитической геометрии был сделан
в 1704 г., когда вышло в свет уже упоминавшееся нами сочинение
И. Ньютона «Перечисление кривых третьего порядка». В нем
последовательно проведена идея классификации кривых по
степеням их уравнений. Она лучше соответствует потребностям
аналитического аппарата. Геометрическая же трактовка состоит в
определении возможного числа точек пересечения кривой с заданной
прямой.
Ньютон перенес на кривые 3-порядка ряд понятий и теорем,
уже доказанных для конических сечений, соответственно
видоизменив их. Так, например, он ввел диаметры кривых как
геометрические места точек ряда параллельных прямых, алгебраическая
сумма расстояний которых от точек их пересечения с кривой
равна нулю. В случае перпендикулярности диаметра к сопряженным
хордам вводится ось кривой. Если все диаметры пересекаются в
одной точке, то эта точка им называется общим центром.
Виды кривых определены Ньютоном с учетом конечных ветвей
кривых, наличия или отсутствия диаметров, наличия и свойств
бесконечных ветвей. Всего оказалось 72 вида кривых 3-го порядка,
и каждому виду Ньютон дал название. Эти виды кривых
записываются уравнениями четырех типов. Если обозначить
ax*+bx2+cx+d=Ay
то эти четыре типа уравнений будут такими:
ху2+еу=А, ху=А, у*=А, у=А.
Ввиду возрастающей громоздкости классификации Ньютон
сосредоточился на особенностях кривых: узлах, точках заострения
и др. Для облегчения этой задачи он использовал третье из
указанных типов уравнений — уравнение полукубической параболы
y2=axz + bx2+cx+d
и показал, что каждая кривая 3-го порядка получается из нее
посредством подходящего центрального проектирования. Такая
проективная классификация, или, по выражению Ньютона, такое
«органическое описание», выявляет все проективно различные кривые
3-го порядка, исходя из свойств корней уравнения
ax3 + bx2+cxJrd=0.
Именно если трд корня действительны и различны, то кривая
состоит из двух различных ветвей; равенство всех трех корней
свидетельствует о наличии точки возврата. Равенство двух корней
указывает либо на двойную, либо на изолированную точку.
Кривые, имеющие только одну ветвь, соответствуют наличию двух
мнимых корней.
Можно более не вдаваться в детали. Ясно, что принципы
классификации кривых: 3-го порядка не оказались ни простыми, ни
129
универсальными. Но в этом сочинении примечательно усовершен*
ствование системы координат. Введены равноправные оси,
определены знаки функций во всех четырех квадрантах. Появились
новые возможности и их подхватил и развил Стирлинг в книге
«Ньютоновы кривые 3-го порядка» (1717).
Стирлинг снабдил теоремы Ньютона доказательствами, а
также существенно их пополнил. Ему, в частности, принадлежит
вывод канонической формы уравнений кривых 3-го порядка путем
выбора направления оси параллельно асимптоте. Общими
свойствами алгебраических кривых успешно занимался Маклорен
(1720), который развил ньютонов способ образования кривых.
Специальные сочинения на эту тему издавали Ф. Николь (1731)»
Мопертюи (1731), Брекенридж (1733) и другие. Впоследствии
кривым 3-го порядка посвящали свои работы Штейнер, Сальмон*
Сильвестр, Шаль, Клебш и др.
Что касается систематического использования в аналитической
геометрии пространственных координат, то существенное
продвижение было достигнуто в книге А. Клеро (1713—1765)
«Исследования кривых двоякой кривизны» (1731). Так назывались
пространственные кривые. Каждую их точку Клеро проектировал ор«
тогонально на 2 взаимно перпендикулярные координатные плос-
кости. Пространственная кривая оказывалась заданной
аналитически системой двух уравнений, а геометрически — как место
пересечения двух цилиндрических поверхностей. Если задано
единственное уравнение, то Клеро интерпретировал его как
уравнение поверхности. Примерами у него в книге были в
большинстве поверхности вращения:
x2+y2+z2^a\ yjf+&=!lx9 y2+z2=ax, х4=а2(*/2+*2)
и т. п.
Приведение аналитической геометрии к виду, привычному в
наше время, осуществил Л. Эйлер. В серии монографий, где он
систематически строил математический анализ, аналитической
геометрии посвящен целый том: «Введение в анализ бесконечных»,
т. 2, 1748.
В основной части этого тома, состоящей из 22 глав, излагается
аналитическая геометрия на плоскости. В 1-й главе введены
прямолинейные координаты, как прямоугольные, так и косоугольные^
разъяснен способ составления уравнений кривых. Далее дано
непривычное для нас определение понятия непрерывности кривых
как свойства быть выраженной единым аналитическим
выражением. Применяемое ныне определение непрерывности функций
Эйлер называет связностью. Такое положение сложилось потому, что
в предыдущем, первом, томе «Введения в анализ бесконечных:»
(1748) функция определена как аналитическое выражение. Во
второй главе излагаются преобразования систем координат,
повороты осей и переносы начала. Здесь же содержится анализ
уравнения прямой, проходящей через начало координат: ах+$у=0.
130
Следующие две главы посвящены классификации кривых по
степеням их уравнений и выявлению свойств кривых. Еще две
главы отведены специально исследованию свойств кривых 2-го
порядка. При этом в гл. 5 речь идет о тех свойствах конических
сечений, которые выявляются из общего вида уравнения 2-й степени,
а в гл. 6 исследуются лишь канонические формы этих уравнений.
Бесконечные ветви кривых и асимптоты рассмотрены в главах 7 и
8.
Далее следует классификация кривых 3-го порядка (гл. 9 и
10). В соответствии с характером бесконечных ветвей эти кривые
разделены на 16 видов. Эйлер сравнил свою классификацию с той,
которую давал Ньютон, и показал большую полноту своей
классификации. Классификация кривых 4-го порядка, проделанная в
гл. 11, выявила уже 146 видов. Не продолжая этой
бесперспективной работы, Эйлер вновь обратился к разработке общих
методов исследования кривых по их уравнениям в гл., 12.
Касательные (гл. 13) рассмотрены как к простым, так и к
кратным точкам кривых. Интересна гл. 14 о кривизне кривых. В
ней с самого начала вводится парабола, аппроксимирующая
кривую в окрестности заданной точки; затем для этой параболы
отыскивается круг кривизны. Длина радиуса кривизны кривой
0=At+Bu+Ct2+Dtu+Eu2+Ft*+Gt2u+Htu2+...
в начале координат находится по формуле
(а*+в*)Уа*+в*
2(А2Е—2В+В*С)
В этой же главе Эйлер показывает, как находят точки перегиба
первого и более высоких порядков, точки заострения. Чтобы
добиться большей общности, он заменял аппроксимирующую
параболу более общими классами кривых, например arm=sn.
Глава 15 отведена для исследования свойств диаметров
кривых и симметрии последних, а две следующие, 16-я и 17-я,
посвящены исследованиям кривых по их свойствам. Речь идет о таких,
например, задачах: исследовать кривую
y2-P(x)y + Q(x)=0,
если известно, что для данного значения аргумента х кривая
имеет две ординаты tji и у2, связанные условием
Другим условием является, например, то, что кривая имеет с
данным лучом у=ах заданное число точек пересечения.
Интересно, что Эйлер ввел здесь полярные координаты.
*=rcos(p, i/=rsinq>.
В главе 18 Эйлер собрал и систематизировал сведения о
подобии и об аффинных свойствах кривых. По Эйлеру, кривые назы-
131
ваются аффинными, если их координаты связаны соотношениями
X У
х — — , у =з — .
т п
Это понятие удержалось в математике до наших дней.
Наконец, в четырех завершающих главах (19—22)
рассматриваются пересечения кривых (гл. 19), уравнения сложных кривых
(гл. 20), трансцендентные кривые (гл. 21) и геометрическое
решение тригонометрических уравнений (гл. 22). Для исследований
применяются как декартовы, так и полярные координаты.
Вряд ли нужны еще какие-либо доказательства, чтобы
обосновать тот тезис, что аналитическая геометрия плоских кривых в
руках Эйлера превратилась в науку, предмет и методы которой уже
определились в смысле и объеме, весьма близком к современному.
Однако Эйлер не удовлетворился двумерными задачами.
Подобную работу он проделал и для аналитической геометрии в
пространстве, опубликовав результаты в специальном «Приложении о
поверхностях» к той же книге.
Здесь Эйлер, со ссылкой на Клеро, ввел пространственные
прямоугольные декартовы координаты. После выяснения
вопросов о знаках координат, замечаний о возможности замены осей
он приступил к исследованию поверхностей посредством сечений
их плоскостями. Вначале он показал, что уравнение относительно
двух переменных соответствует цилиндрической или
призматической поверхности, а однородное уравнение — поверхности конуса
или пирамиды. Затем он перешел к более общим классам
поверхностей:
а) выраженных уравнением F(x, у, Z(x))=0, однородным
относительно своих аргументов (конусы, цилиндры, поверхности
вращения);
б) имеющих треугольные сечения, перпендикулярные к осям;
в) имеющих аффинные соотношения между параллельными
сечениями.
Отправляясь от этих классов задач, Эйлер ввел метод сечений
поверхностей произвольными плоскостями. Весь этот материал
занял первые 3 главы «Приложения...».
В главе 4 выведены формулы преобразования прямоугольных
пространственных координат:
х=р (cosgcosB—sin|cosr)sin9) + ^(cosgsin0-f-
+ s,ingcosT]COs9) —rsingsiirn+f9
y=—p (singcosO + cosgcosTisinG) —
—4<7(sin?sin0—cos|cosr)COs8)—rcosgsinii +q>
z=—psinrjsinO + tfsinTjcosG + rcosri + К
Углы |, tj, 0 и поныне называют углами Эйлера (рис. 36). Они
определяют повороты осей. Угол прецессии 0 есть угол вращения
вокруг оси Or, при котором ось Ор переходит в линию On —
линию узлов, определяющую пересечение координатных плоскостей
132
pOq и хОу. Угол нутации ц является
углом вращения вокруг прямой On, при
котором ось Or переходит в ось Oz. На- \.
конец, угол собственного вращения \ с
вокруг оси Oz переводит On в Ох. *>
В этой же главе Эйлер ввел понятие
порядка поверхности, доказал, что
порядок кривой в сечении плоскостью не
превышает порядка поверхности и
рассмотрел случай распадения линий
сечения.
Исследование общего уравнения 2-й
степени относительно 3 координат и
приведение к каноническому виду, из- Рис- 36
ложенное Эйлером в гл. 5, дало впервые
уравнения всех видов невырожденных поверхностей второго
порядка:
Ap2 + Bq2+Cr2=a2 (эллипсоид);
Ap2+Bq2—Сг2—а2 (однополостный гиперболоид);
Ар2—Bq2—Сг2—а2 (двуполостный гиперболоид);
Ap2 + Bq2=ar (эллиптический параболоид);
Ар2—Bq2—ar (гиперболический параболоид).
В конце книги Эйлер рассмотрел представление
пространственных кривых как пересечений двух поверхностей и разработал
аналитический аппарат для их исследований.
Напомним, что книга, обзор которой мы только что
предприняли, вышла в свет в 1748 г. Вторая половина XVIII века
привнесла в аналитическую геометрию лишь частичные
усовершенствования. В основном эта часть математики уже сложилась.
Упомянем лишь о наиболее значительных результатах.
Г. Монж в 1771 г. (опубликовано в 1785 г.)в связи со своими
занятиями проблемой развертывания поверхностей нашел условие
перпендикулярности прямой
ax + by + cz + d=0,
aix+biy + c{z + di=0
к плоскости, проходящей через точку (х\, у и Z\)\
A(x—xl) + B(y—yl) + C(z—zl) =0.
Затем Монж определил длину перпендикуляра, опускаемого из
заданной точки пространства на заданную прямую. Наконец, ему
удалось определить нормальную плоскость в любой точке
кривой двоякой кривизны: у=у(х), z=ty(x).
Лагранж в 1773 г. (опубликовано в 1775 г.) исследовал ряд
задач, относящихся к трехгранной пирамиде, даже не прибегая к
133
чертежу. Вопрос о преобразовании пространственных координат
привел Менье (1785) к известным под его именем формулам:
z'—Z=/C0SCD + WSinG),
х'—a:=[ucosco—^sincojsinn + wcos^t,
yr—r/=[^coso)—feincojcosn—wsinn,
где и, v, t — координаты прежние, х', у', zr — новые, х, у, z —
новые координаты прежнего начала координат. Угол координатной
плоскости uOv с новой обозначен здесь буквой я, а угол линии
пересечения обеих плоскостей с новой осью у есть со.
Содержание, методы и роль аналитической геометрии, как
было уже сказано, определились полностью. Ее начали постепенно
вводить в программы по математике для высших учебных
заведений. Среди учебников выделялся своей систематичностью и
ясностью учебник французского академика С. Лакруа (1764—1848),
появившийся в 1798—1799 гг. Его переиздавали многократно; 25-е
издание с добавлениями Ш. Эрмита (1822—1901) вышло в свет в
1897 г. Кстати, именно в учебниках Лакруа было введено
название «аналитическая геометрия».
Позднее аналитическая геометрия только видоизменяла свой
облик. Это происходило главным образом под влиянием
обобщений и видоизменений системы координат. Барицентрические
координаты, которые в 1827 г. ввел А. Мёбиус (1790—1868), позволили
привлечь к рассмотрению и бесконечно удаленные элементы. Из
проективной геометрии были привнесены однородные координаты,
а затем и проективные, как их линейные комбинации. Позднее
Г. Дарбу ввел тетрациклические, а затем пентасферические
координаты. На рубеже XX в. из механики в аналитическую
геометрию были привнесены векторы. Аналитическая геометрия,
завершив цикл своего научного развития, сделалась составной частью
высшего математического образования.
Дифференциальная геометрия. Эта математическая
дисциплина также изучает геометрические объекты: кривые, поверхности
и др. Ее своеобразие состоит в том, что она широко использует
методы математического анализа, в особенности
дифференциального исчисления. Отправными пунктами в ней являются тематика
и результаты аналитической геометрии. Начала она свое
существование одновременно с анализом бесконечно малых. В
некотором смысле дифференциальную геометрию можно даже считать
одной из его предшественниц, если включить в рассмотрение
инфинитезимальные задачи относительно геометрических
объектов.
К началу XVIII века методами анализа бесконечно малых
были установлены многие факты теории плоских кривых. Однако это
не означало, что началось относительно самостоятельное
существование дифференциальной геометрии. Все результаты еще
входили в математический анализ, пополняя совокупность его
приложений к геометрии. В основном рассматривались лишь функции от
134
одного переменного. Соответственно речь шла только о плоских
кривых.
Следующий этап истории дифференциальной геометрии
ознаменован введением методов изучения пространственных кривых и
поверхностей. Необходимой предпосылкой для этого является,
очевидно, распространение средств аналитической геометрии на
трехмерные задачи. Как было сказано выше, это было впервые
осуществлено в 1731 г. в книге А. Клеро «Исследования кривых
двоякой кривизны». В основном эта книга посвящена трехмерной
аналитической геометрии, но ряд задач решен в ней методами
дифференциального и интегрального исчисления. При этом
Клеро рассматривал касательные и нормали к пространственным
кривым, а также подкасательные и поднормали, ввел касательную
плоскость к поверхности, содержащей данную кривую. Нормаль,
согласно Клеро, является нормалью к касательной плоскости.
Рассмотрены также геометрические места точек пересечения
касательных и нормалей с координатными плоскостями.
Пространственная кривая определена как пересечение двух
цилиндрических поверхностей, характеризующихся проекциями на
две координатные плоскости. Клеро развернул кривую на эти
цилиндрические поверхности, решил ряд задач о спрямлении
кривых, определил площади частей цилиндрических поверхностей,
отграниченных заданными кривыми, нашел ряд кубатур. В этом
круге вопросов он, разумеется, применял методы математического
-анализа.
Перенесение методов двумерной дифференциальной геометрии
на трехмерный случай, осуществленное Клеро, в течение почти 50
лет не было превзойдено никем. Тем временем под воздействием
задач геодезии и картографии, а также механики появлялись и
множились публикации, содержащие решение задач
дифференциально-геометрического характера. Сам Клеро также обнаружил
новые факты в этой области. Побывав вместе с Мопертюи в
геодезической экспедиции в Лапландии, он в 1733 г. опубликовал
доказательство того, что вдоль геодезической линии на поверхности
вращения произведение радиуса параллели (т. е. круга,
перпендикулярного оси вращения) на синус ее угла с меридианом
постоянно.
Однако и в этой области, как и во многих других в то время,
доминировали работы Эйлера. Серию своих исследований Эйлер
начал (1728—1732) с изучения геодезических линий на
поверхностях. Он вывел дифференциальное уравнение геодезической линии
на поверхности, заданной уравнением
Pdx=Qdy+Rdz,
в виде
Qd2x+Pd*y _dxd2x-\-dyd*y
Qdx+Pdy ~ dt*+dz*+dy*
и рассмотрел ряд частных случаев, относящихся к геодезическим
линиям на поверхностях вращения. В 1736 г. Эйлер доказал, что
1Э5
точка, движущаяся по поверхности при отсутствии возмущающих
сил, движется по геодезической. В том же году в статье о
трактрисе он ввел натуральное уравнение плоской кривой и связал его
с уравнением в декартовых координатах. Впоследствии после ряда
частных результатов Эйлер пришел к двум достижениям:
во-первых, к созданию вариационного исчисления (начиная с 1744 г.),
так как задачи о геодезических — вариационные; во-вторых, к
исследованиям по общей теории кривых и поверхностей.
Классическая основа современной общей теории поверхностей,,
однако, начала складываться далеко не сразу. Первые
фундаментальные результаты в этой области, равно как и во всей
трехмерной дифференциальной геометрии, оказалось возможным получить
не ранее 1760 г. В статье Эйлера «Исследования кривизны
поверхностей» (опубликована в 1767 г.) найдено выражение для радиуса
кривизны следующим образом.
Исследуемая поверхность z = z(x, у) рассекается произвольной
плоскостью z=ax—Pf/+if- В сечении получается плоская кривая,
радиус кривизны которой выражен довольно сложно:
[аг+^+2ад+2$рМ*Р+?д)2+Р2+д2]У2
Н>2 Ш+^+^2 Ш+*¦-*»+*> О] ^
1+аЧ-Р*
где
d% _ dz /dp\ д2г /dq\ d2z /dp\ d2z
\dxjdx** [dyj ду*% [dy
dx dy \4xJ dx* ^dyj <V \dyj дхду
Затем через нормаль к поверхности проводится секущая
плоскость. Выражение для радиуса кривизны этого произвольного
нормального сечения получается еще более сложным вследствие
того, что параметры аир являются независимыми. Они
выражаются через параметр, определяющий сечение, т. е. через угол
между горизонтальным следом нормальной плоскости и осью абсцисс.
Из нормальных сечений выбираются два: главное,
перпендикулярное координатной плоскости хОу, и перпендикулярное к
главному. Для этих сечений выражение кривизны упрощается. Затем
вводится угол ф между плоскостями нормального и главного
сечений и вновь выводится общее выражение для радиуса кривизны:
— (р2~\- g2)( l-hP*+<72)3/2 sec2 ф
Ш {Р~Я *б Ф")2+ (!/?) {q+P <g фи)2+2 (jf) (p~q tg <PUX$+P tg cpn)
Это громоздкое выражение Эйлер расписал для частных
случаев: цилиндра z=Va2—у2; конуса z=l/n2x2—у2 и эллипсоида
z2=a2—тх2—пу2, а затем преобразовал его к виду
i
L-\-M соз2ф+# sin29
136
где
t—lI— — — — —
\дхУ ду дх% ' дхду* ду2)'
равно как М, N.
Отсюда следует, что равенство кривизн в локальной области
поверхности определяется равенством величин L, Мг N. Когда
tgq>=-F,
соответствующий радиус кривизны достигает экстремума.
Сечения, дающие для радиуса кривизны максимум f и минимум g,
взаимно перпендикулярны.
Эйлер делает еще одно, последнее, упрощение: пусть при
достижении максимума / ф = 0. Тогда Af=0 и радиус кривизны
будет
1
L+M cos 2ф
Минимум g радиуса кривизны достигается в этом случае при
Ф = я/2. Выразив L и М через fug, Эйлер, наконец, получил
/+*-cos2(p(/-?) "
Употребляемая в настоящее время формула для кривизны
нормального сечения была получена Дюпеном из данного
выражения только через 50 лет.
В ходе построения общей теории поверхностей
математический аппарат, как видим, необычайно усложнился. Преодолевать
возрастающие в связи с этим трудности удавалось лишь
немногим, а возможности приложений уменьшались. Но под
непосредственным давлением картографической и геодезической практики
работа продолжалась.
В 70-х гг. XVIII столетия одной из главных проблем в этой
области сделалось развертывание поверхностей. Понятие
развертывающейся поверхности ввел Эйлер. В одной из работ 1771 г. о
телах, поверхности которых можно наложить на плоскость, он
исходил из соответствия между координатами (х, у, г) — точки
развертывающейся поверхности и (t, и) —точки плоскости, с
которой совместится указанная точка поверхности после
развертывания. На плоскости берется элементарный прямоугольный
треугольник с вершинами
(t, и), (t+dt, и), (t, u + du).
Ему соответствует элементарный треугольник на поверхности с
вершинами
(х, у, z), (x + tdt, y+mdt, z+ndt),
(x+Xdu, y + \xdu, z+vdu),
137
конгруэнтный с ним (/, т, п, I, ц, v — соответствующие частные
производные: — =/, — = X и т. д.). Условия конгруэнтности, а
dt ди
также равенства соответствующих отрезков привели к следующим
условиям развертывания:
dx2+dy2+dz2=dt2+du2,
P+m2+n2=l, X2 + |x2+v2=l, ll + m\i+nv=0.
Решение Эйлера содержало общую идею трактовки изгибания
поверхностей. Оно повлекло ряд значительных результатов. Так,
Эйлер доказал, что касательные произвольной пространственной
кривой образуют развертывающуюся поверхность. Тенсо (1780)
ввел точки перегиба и дал их классификацию. Точки плоского
перегиба у него были поставлены в соответствие случаю, когда
кручение равно нулю. Их можно было обнаружить по точкам
перегиба Плоской кривой, по которой развертывающаяся поверхность,
соответствующая пространственной кривой, пересекла
координатную плоскость хОу. Другой тип — точки линейного перегиба,
соответствующие случаю, когда кривизна равна нулю. Эти точки
являются точками перегиба для всех проекций пространственной
кривой. В них соприкасающаяся плоскость перпендикулярна
плоскости проекций. Аналогичную классификацию точек перегиба ввел
Монж (1771 г.; опубликовано в 1775 г.). Он же исследовал
развертывание поверхностей.
Попытки построения общей теории поверхностей и
пространственных кривых методами, заимствованными из аналитической
геометрии и дифференциального исчисления, продолжались и
позже. Новые идеи ввел Эйлер (с 1782). Он рассматривал
пространственные координаты х, у, z кривой как функции длины дуги 5 и
направляющих коэффициентов осей подвижного триедра с
помощью сферического отображения.
Тем временем число людей, занимавшихся рассматриваемой
здесь проблемой, быстро уменьшалось. Утяжеление
математического аппарата не соответствовало раскрываемым возможностям.
Это тревожило математиков и заставляло пессимистически
оценивать перспективы развития общей теории поверхностей и
пространственных кривых.
А тем временем новые пути дальнейшего продвижения уже
намечались. Это были: а) большее привлечение геометрических
соображений, временно отодвинутых на второй план усилиями по
созданию аналитического аппарата; б) расширение последнего за
счет привлечения теории дифференциальных уравнений; в)
перевод геометрических фактов на язык дифференциальных уравнений
и геометрические интерпретации последних. Наибольшие успехи в
этих направлениях были достигнуты в работах Монжа, его
учеников и сотрудников.
В течение короткого времени появились две значительные
работы Монжа: «Мемуар о развертках, радиусах кривизны и раз-
138
Г. Монж (1746—1818)
личных видах перегибов кривых двоякой кривизны» (1771 г.;
опубликовано в 1785 г.) и «О свойствах многих видов кривых
поверхностей» (1775 г.; опубликовано в 1780 г.). В них дано полное
исследование свойств пространственных кривых и поверхностей,
введено развертывание поверхностей, исследованы эволюты,
эвольвенты, огибающие и т. п.
В частности, в первой из работ показано, что
пространственные кривые могут иметь неограниченно много эволют, что они все
лежат на развертывающейся поверхности (имеется в виду
развертка нормалей) и являются геодезическими линиями этой
поверхности. Монж ввел также спрямляющую развертывающуюся
поверхность и показал, что исходная кривая является ее
геодезической. В этой же работе введены упомянутые выше два типа
точек перегиба и много терминов, сохранившихся до нашего вре-
139
мени: ребро возврата, развертывающаяся поверхность,
геометрическое место центров кривизны и др.
Вторая работа в основном посвящена теории
развертывающихся поверхностей. В ней, в частности, выяснено отличие
линейчатых и развертывающихся поверхностей, найдена известная
формула:
rt—s2=0.
Установлено, кроме того, что развертывающиеся поверхности
могут трактоваться как геометрические места касательных к
пространственным кривым, а также что они суть огибающие некоега
двупараметрического семейства плоскостей.
Однако классификация кривых и поверхностей по виду и по
степеням их алгебраических уравнений и связанный с этим
громоздкий аппарат не удовлетворяли Монжа. Новую классификацию
поверхностей Монж ввел в своих лекциях для Политехнической
школы, выходивших отдельными выпусками, а в 1801 г. изданных
отдельной книгой. Главная идея книги состоит в том, что свойства
и структура поверхностей проявляются яснее, если кроме
уравнений задать способ их построения путем перемещения в
пространстве заданной линии. При этом в качестве объекта изучения
выступают не алгебраические уравнения, а дифференциальные
уравнения в частных производных.
Оказалось, что дифференциальным уравнениям с частными
производными первого порядка соответствует большое семейство
поверхностей. В него входят поверхности цилиндрические,
конические, вращения и каналов. Последние образуются движением
окружности постоянного диаметра, плоскость круга которой
неизменно перпендикулярна заданной кривой, а центр передвигается
по ней. Кроме того, к этому классу относятся поверхности
склонов насыпей, т. е. такие, у которых линиями наибольшего спуска
являются прямые постоянного наклона, а также винтовые,
Рассматривая поверхности с разных позиций, Монж получал
одновременно и дифференциальное уравнение поверхности и
конечное уравнение как его интеграл. Например, рассматривая
цилиндрические поверхности как такие, касательные плоскости
которых параллельны образующей
x=<*z, y=bz,
он получил их уравнения
Но в то же время из условия, что образующая
цилиндрической поверхности параллельна задаваемой прямой, получается
конечное уравнение этой поверхности
у—bz=y(x—az)y
где ф — произвольная функция. Последнее уравнение дает
решение дифференциального уравнения цилиндрической поверхности.
140
Соответствующие результаты для конических поверхностей:
(х — а) — +(у—Ь)— = z — c и у— =ф ( ];
ах ay z—с ( z—с J
для поверхности склона насыпей:
В этой работе введена геометрическая интерпретация
характеристик как линий пересечения двух бесконечно близких
поверхностей и выведено их дифференциальное уравнение.
Дифференциальные уравнения 2-го порядка определяют
семейства развертывающихся поверхностей, а также те линейчатые
поверхности, которые описаны прямой, перемещающейся по двум
пространственным кривым параллельно заданной плоскости, и
классы поверхностей, кривизны которых удовлетворяют
специальным условиям (резные, трубчатые, минимальные). Общие
линейчатые поверхности определяются дифференциальными
уравнениями 3-го порядка, равно как и более сложные поверхности, вроде
поверхности, огибающей сферу переменного радиуса, центр
которой движется по заданной кривой.
Перевод фактов теории поверхностей на язык
дифференциальных уравнений в частных производных Монж сопровождал
разработкой геометрической теории этих уравнений. В частности, он
дал геометрическую трактовку общей теории дифференциальных
уравнений с частными производными 1-го порядка. Полный
интеграл таких уравнений f(x, у, г, а, Ь)=0 геометрически
интерпретируется двупараметрическими семействами поверхностей. Если
заменить b=q>(a), где ср — символ произвольной функции, то
уравнению
f(x, у, z, а, у(а))=0
соответствует однопараметрическое семейство поверхностей. Монж
назвал их огибаемыми. Уравнение огибающей их поверхности
получается исключением параметра а из уравнений
/=-0, и f=0.
да
Отсюда при фиксированных значениях а получаются уравнения
характеристик (образующих огибающих поверхностей,
являющихся геометрическими образами общего интеграла). Все
характеристики огибаются кривой, которую Монж назвал ребром возврата.
Подобные соображения, отнесенные к уравнению
f(x, у, z, р, q)=0
и к его полному дифференциалу
Xdx + Ydy+Zdz+Pdp + Qdq=О,
141
привели Монжа к системе уравнений
dx dy dz dp dq
P "~ Q ~~ Pp + Qq ~~ ~~~~ X+pZ ~~ ~ Y+qZ
Интегрируя их, Монж получал уравнения характеристик.
Геометрические методы внесли также ясность в трактовку
уравнения, названного впоследствии уравнением Пфаффа:
Pdx+Qdy+Rdz=0.
Если условие интегрируемости выполняется, то его решение
геометрически представляется семейством поверхностей
Кх» У> г) = С,
на которых любые кривые ортогональны кривым
dx dy dz
р"~о"~1>'
Если же это условие не выполняется, то, как показал Монж, при
задании дополнительной зависимости <р(х, у, z)—Q уравнение
Пфаффа определяет на поверхности ц(х, у, z)—Q однопараметри-
ческое семейство кривых, ортогональных к тем же кривым
dx dy dz
p"~"q _/F'
Теория характеристик Монжа, сведение задачи решения
дифференциальных уравнений с частными производными к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений, геометрическая
интерпретация решений, тесная связь и взаимодействие
геометрических и механических методов — вся совокупность достижений
Монжа вывела дифференциальную геометрию на новый этап. Он
характеризуется введением в геометрию аппарата
дифференциальных уравнений и дальнейшим расширением ее теоретических
достижений и практических возможностей.
В конце XVIII века исследование одной инженерной проблемы
дополнило дифференциальную геометрию основами теории
линейных конгруэнции, стоявшей некоторое время особняком. Речь идет
о задаче, рассмотренной Монжем в 1781 г. в «Мемуаре о теории
выемок и насыпей», опубликованном в 1784 г. (см. рис. 37).
Постановка задачи такова: даны два равных объема,
ограниченных неравными замкнутыми поверхностями. Элементы,
заполняющие один объем, необходимо перенести в другой с
соблюдением принципа наименьшей работы, и
следовательно, стоимости труда. Траектории
/? переносимых частиц образуют двупара-
D /^^-v метрическое семейство прямых, удовлет-
"'"V . -л%7^77мн^ воряющее условиям: а) через каждую
>////^^ точку области D проходит одна и
только одна прямая семейства; б) на каждой
Рис. 37 прямой семейства находятся элементы
142
объема R (точка, отрезок); в) линейчатая поверхность,
образованная прямыми семействами, высекает в D и в R равные объемы;
г) )Jj rdV = min (dV — элемент объема D, г — расстояние меж-
ду соответствующими точками объемов D и R).
В плоском случае семейство прямых у=ах + Ь — однопарамет-
рическое. Монж составил дифференциальное уравнение,
приравняв элементарные площадки в фигурках D и R. Наличие общей
касательной к D и R позволяет определить значение аддитивной:
постоянной уравнения.
Прямолинейные конгруэнции возникают в трехмерном случае.
Монж доказал, что среди всех линейчатых поверхностей,
образованных при этом, существует только 2 семейства
развертывающихся поверхностей. Если поверхности нормальны друг к другу»
то конгруэнция ортогональна к поверхности. На последней
образуется ортогональная сеть линий кривизны. Нормали к
поверхностям образуют вдоль этих линий развертывающуюся поверхность.
Длина отрезка нормали от поверхности до пересечения с одной из
двух бесконечно близких нормалей совпадает с длиной радиуса
кривизны плоского сечения поверхности по линии кривизны.
Монж, наконец, утверждал, что условию минимальности
работы по перенесению грунта удовлетворяют именно нормальные
конгруэнции. Доказательство этого факта появилось, однако, лишь
через 100 лет (1886, Сен-Жермен и Аппель).
В первой половине следующего, XIX, века продолжалось
пополнение классического состава дифференциальной геометрии.
Ученики и французские коллеги Монжа (Карно, Фурье, Ампер,
Пуассон и др.) по существу привели эту науку в ее классической
части к современному состоянию. В подтверждение отметим
индикатрису и циклиду Дюпена (1813 и 1822 гг.), бинормаль Сен-Ве-
нана (1845), направляющие косинусы Френе (1847) и Серре
(1851).
Новый этап дифференциальной геометрии ознаменован
исследованиями Гаусса (1828) внутренней геометрии поверхностей, т. е.
таких их свойств, которые инвариантны относительно изгибаний.
Идеи Гаусса, а также работы о свойствах поверхностей
постоянной гауссовой кривизны (Миндинг, 1839; Лиувилль, 1850) создали
область соприкосновения дифференциальной и неевклидовой
геометрий, о чем речь пойдет ниже.
Связи разных областей и слитное действие их методов —
характерная особенность науки, не только математической.
Примеры аналитической и дифференциальной геометрии, которые мы со
значительной подробностью здесь рассмотрели, имели целью
показать читателю, как необходимо сочетать общее понимание
проблемы с конкретной доказательностью суждений о ней.
§ 4.4. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ГЕОМЕТРИИ
Третье направление, в котором шло и идет развитие геометрии»,
состоит в построении специфических абстрактных систем. Объек-
143
хами этих систем являются геометрические абстракции: точки,
прямые и их отрезки, геометрические тела и др. Суждения об этих
объектах обладают высокой степенью дедуктивности и
основываются на задаваемой совокупности исходных высказываний —
аксиом.
Обозначилось это направление давно. Первые математические
теории, абстрагированные из конкретных задач, а затем из
совокупностей однотипных задач, создали необходимые и достаточные
предпосылки для осознания самостоятельности и своеобразия
математики.
Абстрактность предметов математического исследования и
установившиеся логические приемы математических доказательств
были основными причинами того, что математика приобрела
черты абстрактной, аксиоматической, дедуктивной науки,
включающей в себя логически последовательную совокупность теорем и
задач на построение, использующую возможный минимум
исходных положений.
Напомним, что геометрическая форма таких систем
теоретической математики установилась в Древней Греции (подробно об
этом см. гл. 2). Исходными идеями этого процесса явились
стремление к достижению наивозможно высшей общности результатов,
установление факта, что среди математических объектов
множество отрезков прямых обладает большей полнотой, нежели
множество рациональных чисел. Сочинения, в которых строились
первые общие системы математики, назывались «Началами». Одно
из таких сочинений, — «Начала» Евклида, — получило всеобщее
признание, а ее логическая строгость оставалась непревзойденной
в течение свыше 20 веков. И все это время люди изучали
геометрию по Евклиду. Его «Начала» до сих пор лежат в основе
учебного курса геометрии.
В научном плане для таких геометрических систем характерны
следующие проблемы: обоснованность выбора понятий,
логический анализ систем аксиом и обеспечение сложившегося уровня
логической строгости математических суждений. В течение многих
веков отправным пунктом в этих исследованиях была евклидова
система основ геометрии, а их содержанием — ее критический
анализ и попытка усовершенствования. В силу этих обстоятельств
историю третьего направления развития геометрии принято
начинать с описания евклидовой системы (см. гл. 3).
Математиков, как ученых, так и учителей, тяжеловесная
система Евклида не удовлетворяла практически никогда. Поэтому
главным содержанием научных исследований по геометрии был
критический анализ «Начал». Критика была пестрой,
противоречивой, но в подавляющем большинстве случаев безуспешной. По
справедливому замечанию Даламбера, нельзя было указать
такого автора сочинения по основаниям геометрии, который не
осуждал бы своих предшественников и современников в более или
менее энергичных выражениях и не превозносил бы свои
соображения или систему.
144
Положение начало серьезно изменяться в XVIII веке.
Пригодность трактата Евклида для того, чтобы быть учебником
геометрии, была поставлена под сомнение. Вопрос этот явился
предметом широких дискуссий. В Англии и в ряде немецких государств
результатом явились только методические усовершенствования.
Структура же и стиль были сохранены.
Во Франции же исходные установки создания школьного
курса геометрии и в конечном счете всей системы основ геометрии
определялись общими воззрениями французских энциклопедистов, в
особенности Даламбера и Дидро. Появилось большое число
школьных учебников, написанных французскими математиками.
Авторы их Даламбер, Безу, Лежандр, Лакруа с разной степенью
решимости отрывали преподавание геометрии от евклидовой
схемы.
Что же конкретно было сделано? Во-первых, в основы
геометрии были введены метрика и движение, которых столь тщательно
избегал Евклид. Во-вторых, была произведена широкая арифмети-
зация, втом числе арифметизация теории отношений и пропорций.
В результате этого отпала необходимость в пятой книге «Начал».
Введение алгебраической символики и вообще алгебраических
элементов сняло необходимость во второй книге. Употребление
радикалов, в частности, упразднило в курсе геометрии сложную
классификацию геометрических пропорциональностей, развитую в
10-й книге «Начал».
Таким образом, евклидов трактат был переработан в курс
элементарной геометрии, более живое изложение которого сделало
его доступнее для учащихся.
Влияние этих книг было велико. В них, по существу, был
создан современный нам тип школьного учебника геометрии. То, что
кажется нам теперь очевидным и изначально присущим
последнему, было достигнуто лишь к концу XVIII в. усилиями главным
образом французских математиков.
В научном плане центром критического анализа в это время
сделалась система исходных высказываний, особенно 5-й постулат
о параллельных. Придирчивый анализ привел математиков к
убеждению в неудовлетворительности всех «доказательств» этого
постулата. А некоторые математики исходя из стремления
доказать его путем приведения к противоречию получили необычные и
нелепые результаты, являвшиеся на самом деле теоремами
неевклидовой геометрии.
At Ci Bj Так, итальянский ученый монах И. Сак-
j [ I керри (1667—1733) рассматривал проблему
следующим образом: из концов отрезка АВ
восстановим перпендикуляры АА\ и ВВХ рав-
I ной длины (рис. 38). Точки А\ и Ви а затем
и середины С и С\ оснований получившегося
I 1 1 прямоугольника соединим прямыми. Опреде-
А С В ъ
Рис. 38 лим величины углов Zi4=ZB=-~ по пост-
145
роению. Перегнем чертеж по СС{: СС^АВ, CCi±AiBl} ZA{ =
= ZB{.
Последующие предположения о величине этих равных углов
получили у Саккери название гипотез прямого, тупого и острого
углов. Гипотеза тупого угла быстро привела его к противоречию.
По замыслу Саккери, таков же должен быть исход гипотезы
острого угла, что дало бы доказательство постулата о параллельных.
Однако случилось непредвиденное. Гипотеза острого угла при
логически строгом ее развитии давала странные результаты, но к
противоречию не приводила. Выводы Саккери, как выяснилось
впоследствии, совпадали с первыми теоремами геометрии
Лобачевского: сумма углов треугольника оказалась меньше 2d;
площадь треугольника при увеличении его сторон не могла
увеличиваться неограниченно; появилась необходимость в существовании
некоторой абсолютной единицы длины и др.
Примерно через 30 лет, в 1763 г., Г. Клюгель (1739—1812)
произвел обзор многих попыток доказательства 5-го постулата и
пришел к выводу, что Евклид правильно сделал, что поместил его
в систему исходных высказываний.
Около 1766 г. берлинский академик, швейцарец по
происхождению Ж. Ламберт (1728—1777) опубликовал «Теорию
параллельных линий», навеянную идеями Саккери и Клюгеля. Лам-
берт модифицировал четырехугольник Саккери: он построил
перпендикуляры AAi±AB, BBi±AB, A\B\l.AAi и свел тем самым
задачу к определению величины угла В{. Гипотеза прямого угла
привела к евклидовой геометрии, гипотеза тупого угла привела к
противоречию. А гипотеза острого угла снова дала странные
результаты, но ни к каким противоречиям не привела.
Создание новых принципов преподавания геометрии и
углубленное исследование системы исходных положений Евклида в
ряде работ (в том числе тех, которые мы не упомянули) создали
предпосылки для появления неевклидовых геометрий. Это событие
произошло в следующем, XIX, веке, благодаря научному подвигу
Н. И. Лобачевского и Я. Больяи. Для путей развития геометрии в
части построения геометрических абстрактных систем оно, это
событие, имело принципиальное значение. На смену представлениям
о единственности такой системы пришла возможность построения
новых систем. Предмет и состав теоретической геометрии
получили неограниченно расширяемое поле развития.
Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) родился в
Нижнем Новгороде в семье небогатого чиновника. Он окончил
Казанский университет (1811) и работал в нем много лет. Вскоре (с
1816 г.) он уже был профессором, а еще через несколько лет —
ректором (с 1827 по 1846 г.) того же университета. Благодаря во
многом его усилиям Казанский университет превратился в
первоклассное учебное заведение. Много сил Н. И. Лобачевский
потратил на улучшение деятельности школ.
Мировоззрение Лобачевского было материалистическим. При
обсуждении основных понятий математики, в частности геометрии»
146
Н. И. Лобачевский (1792—1856)
он подчеркивал их материальное происхождение, рассматривая их
как отражения отношений вещей действительного мира.
Математические абстракции не могут быть измышлены, они появляются
как результат взаимоотношений человека с материальным миром.
Научное познание имеет единственную цель: изучение реального
мира. Критерием истинности научного знания является, по
Лобачевскому, практика, опыт.
Лобачевский не был узким специалистом в математике. Его
научное наследие включает в себя работы по алгебре (например
«Алгебра или вычисление конечных», 1834) и математическому
анализу («Об исчезновении тригонометрических строк», 1834; «О
147
сходимости бесконечных рядов», 1841; «О значении некоторых
определенных интегралов», 1852 и др.)- Он первым ввел различие
между непрерывностью и дифференцируемостью функций, нашел
метод численного решения алгебраических уравнений, известный
под его именем. Однако наивысшую, можно сказать бессмертную
славу Лобачевский заслужил своими работами по геометрии.
Днем рождения неевклидовой геометрии принято считать 11
(по новому стилю 23) февраля 1826 г., когда на заседании
отделения физико-математических наук Казанского университета
Лобачевский доложил свое сочинение «Сжатое изложение основ
геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных».
Текст сочинения не сохранился. Через 3 года, в 1829 г.,
Лобачевский издал большую работу «О началах геометрии». В
последующем Лобачевский развивал свою новую геометрию в ряде работ:
«Воображаемая геометрия» (1835), «Применение воображаемой
геометрии к некоторым интегралам» (1836), «Новые начала
геометрии с полной теорией параллельных» (1834—1838),
«Геометрические исследования» (1840, на немецком языке), «Пангеомет-
рия» (1855).
Отправным пунктом геометрических открытий Лобачевского
был 5-й постулат Евклида о параллельных. Геометрия, в
зависимости от того, используется ли в рассуждениях обращение к
этому постулату или нет, разделяется на две части. Ту часть, в
которой таких обращений не содержится, принято называть
абсолютной геометрией. Лобачевский уже на ранней стадии своих
размышлений обнаружил возможность такого расчленения геометрии и
осуществил его.
Вслед за этим он заменил 5-й постулат его отрицанием:
предположил, что через точку О, не лежащую на заданной прямой
ААи может проходить более чем одна прямая, лежащая в одной
плоскости с заданной и не пересекающаяся с ней при
продолжении. При этом обнаружилось, что формального противоречия не
получается. Последовательность теорем складывается в новую ге-
метрию, отличную от евклидовой, но столь же логически строгую
и последовательную, несмотря на непривычность ее утверждений.
В абсолютной части геометрия Лобачевского по существу не
отличается от евклидовой. В той же части, где используется 5-й
постулат, дело обстоит иначе. К ней относят следующие группы
теорем: а) о расположении параллельных прямых; б) о сумме
углов в треугольниках и многоугольниках; в) о площадях; г) о
вписанных в окружность и описанных около нее многоугольниках;
д) о подобии и конгруэнтности фигур; е) всю тригонометрию;
ж) теорему Пифагора; з) измерение круга и его частей. В этих
пунктах двумерная геометрия Лобачевского отличается от
геометрии Евклида. Рассмотрим эти различия по возможности
конкретно.
Допущение, что через точку О вне прямой можно провести
более одной прямой, не встречающейся с данной, приводит к
выводу, что таких прямых бесконечно много. Они образуют пучок. В
И8
Рис. 39 Рис. 40
пучке есть две крайние прямые: ОВ и ОВ\ (рис. 39). Они и
считаются параллельными данной прямой. У параллельности
оказывается необходимым ввести направленность (см. стрелки на рис.
39). В направлении параллельности прямые сближаются, в
противоположном — удаляются. Угол параллельности а зависит от
расстояния х следующим образом:
где k — постоянная, зависящая от выбора единицы длины. Если
л'-^0, то л(х)-+п12\ если же х->оо, то п(х)-+0. Наконец, прямые,
имеющие общий перпендикуляр, расходятся в обе стороны.
Вслед за тем оказалось, что сумма углов треугольника
меньше 2d. При увеличении длин сторон треугольника эта сумма
уменьшается. Аналогичные явления имеют место и для
многоугольников. Из-за этого появился еще один признак равенства
треугольников по трем попарным равенствам их углов.
Площади всех треугольников образуют множество значений с
верхней гранью ся, где с — постоянная, зависящая от выбора
единицы измерения площадей, равная отношению площади
треугольника к его дефекту (разности суммы внешних углов
треугольника и Ad). В геометрии Лобачевского, таким образом, не
существует подобных треугольников и многоугольников.
Допущение подобия эквивалентно постулату о параллельных. Длина
окружности / растет быстрее радиуса г и равна
k v '
Дальнейшее развитие геометрии Лобачевского связано с
введением пучков прямых: сходящихся, расходящихся и параллельных
(рис. 40). Относительно пучков прямых вводятся циклы (иначе
называемые основными или с-линиями). Это геометрические места
точек, являющиеся ортогональными траекториями пучка. Их
положение определяется начальной точкой, выбранной на одной из
прямых пучка. Эти циклы соответственно будут: окружности, эк-
видистанты (или гиперциклы) и орициклы (образы предельной
окружности при г->оо). Соответствующие пространственные
образы, образованные вращением циклов вокруг избранной прямой,
будут соответственно сферы, гиперсферы и орисферы. Здесь
мелькнул первый проблеск связей между геометриями Евклида и Лоба-
149
Рис. 41 Рис 42
чевского. Оказалось, что на орисфере, если прямыми считать
орициклы, осуществляются евклидовы планиметрия и
тригонометрия.
Во все соотношения геометрии Лобачевского входит единица
длины (масштаб), а углы и длины взаимозависимы. Единицей
длины является OR — длина абсолютной дуги орицикла (рис. 41).
Это дуга, отсчитываемая от избранной точки О на одной из
параллельных прямых пучка до точки R — пересечения орицикла с
прямой пучка, параллельной касательной к орициклу в точке О. В
настоящее время отрезок, равный по длине абсолютной дуге,
называют также радиусом кривизны пространства Лобачевского.
Вычислительный аппарат в геометрии Лобачевского
основывается на оперировании с гиперболическими функциями. Например,
теорема, аналогичная теореме синусов для треугольника в
геометрии Лобачевского приобрела вид
Sin а SinP Sin 7
sh ka sh kb sh kc
Вся тригонометрия оказалась тригонометрией гиперболических
функций. Совокупность ее формул оказалась подобной
совокупности формул сферической тригонометрии в системе Евклида, но
для сферы мнимого радиуса Ri. Вслед за тригонометрией
Лобачевский разработал для своей системы аналитическую и
дифференциальную геометрии.
В итоге, в сочинениях Лобачевского была построена
геометрическая система, не страдающая логическими погрешностями и
столь же богатая фактами, как и геометрия Евклида. Тем самым
показано, что мыслима не одна только система геометрии и что
другие системы можно получать путем видоизменений и
обобщений основных высказываний в геометрических разделах
математики начиная с геометрии Евклида.
Событие в жизни математики случилось грандиозное. Однако
прием, оказанный геометрии Лобачевского, был более чем
обескураживающим. На его сочинения ведущие ученые либо не
обращали внимания, либо отзывались неодобрительно. В печати
появлялись пасквили. Требовались незаурядное мужество и вера в
научную значимость и достоверность полученных результатов, чтобы
противостоять таким обстоятельствам. Лобачевский проявил
необходимые качества, боролся настойчиво. Но когда он умер в
150
3856 г., то, как выяснилось, кроме безвестного Я. Больяи (1802—
I860), построившего независимо свою систему неевклидовой
геометрии, да авторитетного, но хранящего упорное на этот счет
молчание К.-Ф. Гаусса (1777—1855), никто его при жизни не
понимал. Каковы же тому были причины?
Задача, которую не смог решить Лобачевский, — это задача
обоснования построенной им геометрии. Можно сколь угодно
далеко идти: по пути накопления ее фактов, но не получить
абсолютной уверенности в строгости ее логической основы, значимости
для практических приложений и не определить ее место в науке.
Но поводы для убежденности были. Во-первых, слияние новой
геометрии с евклидовой для бесконечно малых размеров. Во-вторых,
широкое сходство тригонометрических формул в обеих геометриях.
Лобачевский это видел, отмечал и надеялся на скорое открытие
более широких связей новой геометрии с геометрией, уже
существующей.
Путь Лобачевского в поисках решения проблемы обоснования
состоял в попытках отыскания материальных объектов, для
которых осуществлялась бы его геометрия. Вспомогательный путь
приложения геометрических фактов и соображений к
математическому анализу, в частности к вычислению трудных интегралов, был
также использован Лобачевским.
Сосредоточимся на главных попытках. Требуется, скажем,
измеряя углы треугольников, обнаружить, отличается ли их сумма
от 2d, т. е. обнаружить дефект 6 = 2d—а. Лобачевский доказал,
что этот дефект должен быть прямо пропорционален площади S
треугольника и обратно пропорционален квадрату радиуса
кривизны пространства, т. е.
8 =k — .
г2
Чтобы дефект был заметен, надо выбирать треугольники самых
больших размеров. Поэтому Лобачевский испробовал
непосредственные измерения углов треугольников в космическом
пространстве (рис. 42).
С положения 3{ Земли на орбите с помощью зенитного
телескопа фиксируется звезда А, выбранная так, чтобы
ZC3{A = n/2,
тде С —¦ положение Солнца. Если фиксировать положение той же
звезды А из противоположной точки 32 орбиты, то ZC32A=d—2fi.
Величина {} есть параллакс звезды, измеряемый обычно с большой
точностью. Если в космическом пространстве действует геометрия
Лобачевского, то можно определить угол параллельности со.
Однако все измеренные отклонения неизменно оказывались в
пределах допусков точности инструментальных измерений. Эксперимент
искомых результатов не дал. Лобачевский писал о возможной
геометрии, действующей «в глубинах вещества», но проверить это в
его время никто не мог.
151
Теперь неудача космического эксперимента представляется
вполне объяснимой. В 1931 г. астроном Шиллинг доказал, что
современные средства астрономической
наблюдательно-измерительной техники не помогут ни оправдать, ни опровергнуть
предположение Лобачевского о геометрии космического пространства, если
допустить, что радиус кривизны пространства превышает 60
световых лет. Неутешительные данные наблюдательной астрономии
дополняет общая теория относительности, которая для изотропного
мира дает значение радиуса кривизны 1,8-109 световых лет. Если
же учесть, что геометрия космического пространства должна
учитывать распределение движущихся масс, заполняющих это
пространство и обладающих свойствами притяжения, то эта
геометрия примет весьма сложную форму.
Тем не менее, несмотря на неудачи с экспериментами, Лоба*
чевский находился на верном пути. Его идеи — это идеи
интерпретации. Данные всякой теории должны проверяться опытом.
Геометрия Евклида возникла как обобщение многовекового опыта
людей и подтверждена практикой. Возможная конструкция,
созданная Лобачевским, должна опереться на систему реально
существующих объектов, чтобы быть признанной непротиворечивой.
Как это всегда, или почти всегда, бывает в истории науки,
разгадка и здесь находилась рядом. В математике уже имелось все
необходимое, чтобы решить проблему интерпретации геометрии
Лобачевского. Необходимо было лишь привлечь данные теории
поверхностей.
Дифференциальная геометрия, о которой мы рассказывали
выше, в начале XIX века получила новую область распространения в
теории поверхностей. В трудах Гаусса, в особенности в его «Об*
щих исследованиях о кривых поверхностях» (1828), была
построена внутренняя геометрия поверхностей. Для этого Гаусс ввел
криволинейные координаты и и v на поверхностях. Линейный
элемент (дифференциал дуги), задаваемый формулой
ds2=Edu2+2Fdudv + Gdv2,
и гауссова кривизна а = дали возможность находить все
элементы поверхности. Факты внутренней геометрии оказались
инвариантными относительно изгибания поверхностей, т. е. таких
деформаций последних, для которых линейный элемент остается
инвариантным. С тех пор и до наших дней проблемы изгибания
во внутренней геометрии поверхностей являются важнейшими
проблемами общей дифференциальной геометрии.
Около 1840 г. Ф. Миндинг (1806—1885), профессор
университета в Дерпте (ныне Тарту, Эстония), изучал поверхности
постоянной гауссовой кривизны. Среди поверхностей постоянной
отрицательной кривизны он, в частности, рассмотрел поверхность
вращения трактрисы, т. е. кривой, у которой длина отрезка а каса-
152
Рис. 43 Рис. 44
тельной от точки касания до базовой прямой OY постоянна
(рис. 43)
Кривизна этой поверхности
поэтому такая поверхность названа псевдосферой.
Миндинг показал, что для любого треугольника, сторонами
которого будут геодезические линии на поверхности постоянной
кривизны К, имеет место соотношение
ctgЛsinC + cosCcosl/ЛrЬ=ctgУ7ГasinУK"&.
В случае ТОО это одна из формул сферической
тригонометрии. Если же /С<0, то после подстановки VK*=*-- вследствие
ri
того что
sina' = ishXy cosix=chx,
формула приобретает вид
ctg A sinC-f cosCch — = cth —sh —.
г г г
Отсюда можно вывести все формулы гиперболической
тригонометрии. Тригонометрия геодезических треугольников на поверхности
постоянной отрицательной кривизны оказалась гиперболической
тригонометрией.
За 5 лет до выхода этой работы Миндинга, в 1835 г.,
Лобачевский в «Воображаемой геометрии» показал, что требование
аксиомы параллельности (т. е. 5-го постулата) можно свести к
вопросу о справедливости соотношений гиперболической
тригонометрии. Результат Миндинга означал по существу, что внут-
15а
ренняя геометрия псевдосферы изоморфна планиметрия
Лобачевского. Однако ни Миндинг, ни Лобачевский этого не заметили.
Обнаружил этот факт впервые итальянский картограф и
геометр Е. Бельтрами, внимательно изучавший сочинения
Лобачевского. Однажды он увидел, что результаты одного из его
исследований по дифференциальной геометрии содержат
интерпретацию геометрии Лобачевского.
Речь идет об исследованиях Бельтрами по картографии,
вызванных необходимостью отображать поверхности на плоскости
таким образом, чтобы все геодезические линии на поверхностях
изображались прямыми на плоскости. Он нашел, что такого рода
отображения возможно установить для сфер и для поверхностей
постоянной отрицательной кривизны. Среди последних он
выделил псевдосферу и увидел, что линейные элементы (основные
метрические формы) плоскости Лобачевского и поверхности
псевдосферы оказались выраженными одной и той же формулой. Это
означало изоморфность их внутренних геометрий. Образом
прямых Лобачевского явились геодезические на поверхности, а
движения интерпретировались изгибаниями поверхности на себя.
Бельтрами опубликовал свои результаты в 1868 г. в статье
«Опыт истолкования неевклидовой геометрии». Это была первая
интерпретация геометрии Лобачевского. Она произвела большое
впечатление. После нее положение этой части геометрии
изменилось. Сомнения в ее непротиворечивости отпали, так как
плоскость Лобачевского интерпретировалась на поверхности
евклидовою пространства.
Однако интерпретация была неполной, так как поверхность
псевдосферы отображает лишь часть плоскости Лобачевского
(см. рис. 44). Никакие комбинации бельтрамиевых поверхностей
неполноту не устраняли.
Вопрос об интерпретации всей плоскости Лобачевского
оставался открытым еще довольно долго. Только в 1901 г. Д.
Гильберт доказал, что в трехмерном пространстве не существует
аналитической поверхности постоянной отрицательной кривизны, не
имеющей нигде особенностей и всюду регулярной. Из этого
следовало, что осуществить интерпретацию типа Бельтрами всей
плоскости Лобачевского невозможно.
Следующая по времени интерпретация была проведена в
1871 г. Ф. Клейном в работе «О так называемой неевклидовой
геометрии». Она основывалась на введенном А. Кэли
проективном мероопределении на плоскости. Кэли ввел это понятие в
1859 г. в «Шестом мемуаре о формах». Формы — это однородные
многочлены. Для геометрического истолкования теории форм
Кэли привлек аналитическую геометрию проективного
пространства, построенную Плюкером. С бинарной формой он связал
систему точек прямой, однородные координаты которых обращают
эту форму в нуль. Аналогично тернарная форма представляется
кривой проективной плоскости. Если эта форма квадратичная,
соответствующая кривая будет коническим сечением. Затем Кэли
154
Ф. Клейн (1849-1925)
фиксирует одну из бинарных квадратичных форм и пару точек,
соответствующую ей на прямой, и вводит абсолют как образ,
относительно которого рассматриваются автоморфизмы. Для
определения расстояния между двумя точками Кэли строит
ангармоническое отношение этих двух точек и точек абсолюта.
Логарифм ангармонического отношения и есть, по Кэли, расстояние.
На плоскости абсолютом является кривая второго порядка; ее
пересечение с любой прямой плоскости определит на последней
проективную метрику.
Клейн в упомянутой работе доказал, что проективная метрика
Кэли, определяемая действительной кривой 2-го порядка,
совпадает с метрикой пространства постоянной отрицательной
кривизны. Теперь Клейн может (именно это он делает) отобразить
плоскость Лобачевского на внутренность точки абсолюта, например
внутрь круга. Точки плоскости отображаются на внутренние точки
абсолюта, прямые переходят в хорды без конечных точек,
параллельные прямые — в хорды с общим концом. Движением является
155
проективное преобразование, переводящее круг сам в себя, а
хорды — в хорды. Расстояние, как у Кэли,
[AM BN J
В случае пространства (3-мерного) производится проективное
отображение на внутренность сферы.
Геометрия Лобачевского интерпретируется посредством
абсолюта Клейна (рис. 45). Например, из точки О оказывается
возможным провести 2 прямые ОМ и ON, не пересекающиеся с
данной прямой MN и тем самым параллельные ей в смысле
Лобачевского.
С этих позиций геометрия Лобачевского оказывается
относящейся к той подгруппе группы проективных преобразований, в
которой абсолют отображается сам в себя. Модель Клейна явилась
долгожданным полным доказательством непротиворечивости
геометрии Лобачевского.
После этой работы Клейна появились и продолжают
появляться новые интерпретации. В них обнаруживаются новые связи
геометрии Лобачевского с другими областями математики. Приведем
для примера модель А. Пуанкаре, предложенную им в 1882 г. в
ходе работы над задачами геометрической теории функций
комплексного переменного (рис. 46). Здесь плоскость Лобачевского
отображается то^е на внутренность круга, прямые — на дуги
окружностей, перпендикулярных заданной окружности, и на
диаметры. Движения интерпретируются комбинациями инверсий. Мы
имеем в виду здесь гиперболические инверсии, т. е. такие
преобразования точек плоскости относительно окружности с центром О
и радиусом г, когда каждой точке М на луче ОМ ставится в
соответствие точка М' такая, что ОМ>ОМг=г2.
Отыскание интерпретаций означало доказательство
непротиворечивости геометрии Лобачевского. Если сказать более точно,
этим была доказана возможность сведения указанной проблемы к
вопросу о непротиворечивости геометрии Евклида, а через нее —
к данным человеческого опыта.
Рис. 45 Рис. 46
156
В свою очередь, определившаяся равноправность по крайней
мере двух геометрий евклидовой и Лобачевского — повела к
появлению других различных геометрических систем, к
необходимости выработать единые принципы классификации этих систем, к
разработке аксиоматического метода и укреплению его положения
как важнейшего метода всей геометрии и вообще всей
современной математики.
Феликс Клейн внес в классификацию геометрических систем
идеи теории групп. Он отметил, что все движения,
рассматриваемые в геометрии, образуют группу: результирующая двух
движений есть движение, каждое движение можно сопоставить с
обратным ему. Геометрии Евклида и Лобачевского имеют разные
группы движений.
В более общей постановке вопроса оказывается, что геометрия
пространства вообще характеризуется группами движений этого
пространства. Именно движение есть такое преобразование,
которое позволяет сравнивать фигуры с одинаковыми свойствами.
Таким образом, выделяется совокупность свойств пространственных
объектов, инвариантных относительно задаваемого движения.
Наука об этих свойствах и является геометрией.
Эти воззрения были развиты Клейном и сообщены в речи,
произнесенной им в 1872 г. при вступлении на кафедру в немецком
городе Эрлангене. Название лекции было «Сравнительное
обозрение новейших геометрических исследований». В дальнейшем она
получила среди математиков известность как «Эрлангенская
программа Клейна».
По Ф. Клейну, для построения геометрии необходимо задать:
я) многообразие элементов; б) группу преобразований, дающую
возможность отображать элементы заданного многообразия друг
на друга. Геометрия будет изучать те отношения элементов,
которые окажутся инвариантными при всех преобразованиях данной
труппы.
С этих позиций возможны, например, следующие геометрии:
а) геометрия Евклида, изучающая инварианты группы
перемещений; б) аффинная геометрия, объектами изучения которой
являются инварианты так называемых аффинных преобразований
x'=diX+biy-\-Cu
y'=a2X+b2y+C2
при условии
*i
Ъ2
В частном случае, когда рассматриваются ортогональные
преобразования, будет иметь место: det=±l;
в) проективная геометрия — наука об инвариантах
дробно-линейных преобразований
, _aix+biy+cx
а^х+ЬзУ+Сз
det=
ФО.
157
У
det=
OiX+ЬгУ+Сз
ФО.
Ьг
ь3
При такой постановке проблемы классификации геометрия
Лобачевского рассматривается как частный вид проективной
геометрии, где изучаются инварианты подгруппы проективных
преобразований, переводящих в себя точки некоторого круга.
Помимо уже указанных, в классификацию Клейна входят
многие другие геометрии. Например, конформная геометрия
охватывает группу таких преобразований, которые переводят круги в
круги, а также сохраняют значения углов. Другим примером
может послужить топология — геометрия групп непрерывных
преобразований, т. е. таких, что сохраняют бесконечную близость
точек, непрерывность объектов.
Уже более столетия идея Клейна о том, что геометрию можно
строить для любого многообразия, в котором установлена группа
преобразований, является руководящей не только при
классификациях, но и при построении новых геометрий. Однако она не
являлась и не является единственной.
В середине XIX века появился другой общий принцип.
Впервые он был сообщен в 1854 г. Риманом в ставшей впоследствии
знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях
геометрии» (опубликовано в 1867 г.). Принято называть этот принцип
метрическим.
Согласно этому принципу для построения геометрии
необходимо задать: а) многообразие элементов; б) координаты этих
элементов (в общем случае п координат); в) закон определения
расстояния между бесконечно близкими элементами
многообразий. Этот закон задается исходя из предпосылки, что
геометрическое пространство в бесконечно малых частях — евклидово»
Это означает, что в самом общем виде задан линейный элемент
дуги, определяемый дифференциальной квадратичной формой
i, k
Здесь
gik=gik(xu ..., xn), gik=gkt, ds2^*0.
Указанная форма очевидно, появилась как обобщение гауссовой
квадратичной формы во внутренней геометрии поверхностей:
ds2=Edu2+2Fdudv + Gdv2.
Движения определены как преобразования, относительно
которых линейный элемент ds инвариантен. Отсюда
2 gtkdXidxkz= 2 glk^dx^.
i, k i. k
158
Вслед за ds остаются инвариантными длина кривой и другие
соотношения, относящиеся к метрике пространства. Само понятие
пространства приобретает весьма общие трактовки (например,
фазовое пространство, пространство цветов и др.)- Это понятие
быстро эволюционировало вплоть до современных представлений
о римановых пространствах как общих
дифференциально-геометрических многообразиях с необходимыми всякий раз уточнениями.
Теорию римановых пространств в настоящее время называют ри-
мановой геометрией (или римановыми геометриями).
Б. Риман не построил аналитического аппарата, адекватного
столь широко задуманной системе геометрий, базирующейся на
метрических принципах. Только в начале XX века, когда в трудах
итальянских математиков Р. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита
оформилось тензорное исчисление, как синтез теории
алгебраических форм и теории квадратичных
дифференциально-геометрических форм, оказалось, что оно является наиболее подходящим
аппаратом для решения проблем римановой геометрии.
Широкие обобщения понятия расстояния между элементами и
соответственно всех суждений метрического характера привели к
введению понятия метрического пространства.
Следует добавить, чтобы читатель избежал недоразумений,,
что геометрия пространств постоянной положительной кривизны
получила название геометрии Римана (или эллиптической).
Идея Лобачевского о том, что мыслима логически не одна
только геометрия Евклида, получила во второй половине XIX вв
подтверждение. Возникли многочисленные геометрии.
Воплотилась в жизнь в виде разнообразных интерпретаций, а затем к
приложений и другая его идея: что истийность геометрии
проверяется лишь опытом и что расширяющийся опыт требует
введения не только евклидовой геометрии.
Третья идея Лобачевского, как было рассказано выше,
состояла в том, что новые геометрии могут быть построены путем
видоизменений систем понятий и исходных высказываний евклидовой
геометрии. Эта идея получила развитие в большом числе
исследований по основаниям геометрии. Еще в 1866 г. Г. Гельмгольц
ввел движение в качестве основного понятия геометрии. Г.
Кантор (1871) и Р. Дедекинд (1872) исследовали понятие
непрерывности и исходные высказывания о ней. Паш (1882), добиваясь
решения проблемы включения метрической геометрии в
проективную, исследовал две группы аксиом: порядка и принадлежности
(так они названы в позднейшей классификации аксиом,
осуществленной Д. Гильбертом). Вслед за Пашем эти группы аксиом
исследовали Д. Пеано (1889) и Пиери (1899). Наконец, в 1899 г.
появилось первое издание «Оснований геометрии» Д. Гильберта,
в которых впервые была построена система аксиом, полная и
достигающая уровня строгости, принятого в наши дни.
К концу XIX в. в геометрии укоренился аксиоматический
метод. Тогда же этот метод был распространен и на другие области
математики. Но геометрические теории оказались, пожалуй, са-
159
мыми удобными для становления аксиоматической структуры.
Вместо громоздкой системы определений, аксиом и постулатов,
предлагаемых системой Евклида, сделалось возможным ввести
лишь совокупность аксиом,, которая и будет служить описанием
основных понятий и свойств, выделенных для исследования.
В геометрии же сложились главные требования логической
строгости, которым системы аксиом должны удовлетворять:
требования полноты и совместности. Совместность есть комплексное
требование: оно состоит из требований независимости и
непротиворечивости. Последнее удовлетворяется построением
интерпретаций и по существу этому построению эквивалентно.
Независимость какой-либо аксиомы от остальных устанавливается заменой
ее на отрицающее высказывание с последующим отысканием
интерпретаций с целью установить непротиворечивость новой
системы. Имеет смысл строить только совместные системы.
Полноту системы аксиом стали понимать как свойство
определять систему объектов с точностью до изоморфизма. Это
требование не всегда удовлетворяется в современной математике.
Аксиоматика теории групп, например, не может быть полной, так как
существуют группы с неизоморфной структурой.
Аксиомы геометрии, как и вообще математические аксиомы,
не являются априорными и вечными истинами. Критерий их
истинности лежит в практике. На каждом этапе исторического развития
математики выявляется их относительность. Большая роль,
которую сейчас играет аксиоматический метод в математике, отнюдь
не означает ни его извечности, ни всемогущества. А что касается
математического аппарата, то, по выражению Ф. Энгельса,
«... выведение математических величин друг из друга, кажущееся
априорным, доказывает не их априорное происхождение, а
только их рациональную взаимную связь» (К. Маркс и Ф. Энгельс.
Соч., 2-е изд. Т. 20. С. 37).
Как и в любой области науки, знание исторического пути и
происшедших в ходе истории преобразований геометрии
необходимо для понимания ее сущности, стоящих перед ней задач и
перспектив. Геометрия возникла как та часть математики, которая
преимущественно занимается изучением пространственных форм
реально существующих предметов. Таковой она остается и
сейчас, что находит свое отражение в ряде геометрических
дисциплин. Участие геометрии совместно с другими частями математики
в комплексных исследованиях раскрывает ее связи и обогащает
методы и возможности. Высокая степень достигнутых в геометрии
•абстрагирований и построение абстрактных геометрических
систем находится в русле развития всей математики и не отменяет
возможностей как теоретического развития, так и приложений.
ГЛАВА 5
ФОРМИРОВАНИЕ КЛАССИЧЕСКИХ ОСНОВ
АЛГЕБРЫ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
§ 5.1. ЧТО НАЗЫВАЮТ АЛГЕБРОЙ?
Ответ на очевидный и обязательный вопрос: что называют
алгеброй? — не может быть однозначным. Алгебра, которой
обучают в школе и которой пользуется большинство, составлена из
разнородного математического материала. Она несет на себе следы
происхождения из вычислительной практики. В ней
присутствуют вычислительная арифметическая часть, элементы
комбинаторики, методы решения уравнений невысоких, как правило,
степеней, изучение простейших классов функций, а также элементы
теории чисел. Такой вид алгебра сохраняла до XVIII в., хотя
термин «алгебра» для обозначения той части математики, в
которой решают алгебраические уравнения, существовал уже в IX в.
В сознании математиков все упомянутые части алгебры до такой
степени прочно соединялись в единую науку, что для нее
существовало специальное название: универсальная или всеобщая
арифметика (см., например, кн.: Рыбников К. А. Возникновение
и развитие математической науки. М., Просвещение, 1987. Гл. 4:
Как алгебра начинала свой исторический путь. С. 66—87).
Современное понимание алгебраической науки разительно
отличается от упомянутой только что «элементарной» алгебры.
Притом термин «алгебра» имеет тоже неоднозначную трактовку:
а) алгеброй называют ту часть математики, в которой
изучают алгебраические операции над элементами множеств. Природа
множеств при таком изучении к рассмотрению не привлекается.
Поэтому стало рутинным рассматривать алгебру как учение об
алгебраических операциях. Алгебраические операции трактуются
как отображения во множестве элементов. Они бывают унарными,
бинарными и вообще гс-арными; на множестве А последняя
записывается Ап-+А. В случае п=0 соответствующая 0-арная
алгебраическая операция трактуется как фиксация элементов
множества А. Множества, для элементов которых определена система
алгебраических операций, образуют универсальную алгебру;
б) существует много видов алгебр, определяемых как выбором
системы объектов, так и учетом их свойств: линейная,
полилинейная, коммутативная, топологическая, гомологическая, булева и
другие алгебры;
в) алгебрами называют частные случаи операторных колец:
алгебра над полем (линейная, векторная), над телом, коммута-
161
тивным кольцом, ассоциативная, неассоциативная,
альтернативная и др. алгебры.
Алгебраические теории современности многочисленны,
разнородны и с трудом поддаются классификации. Попробуем,
например, дать их классификацию, исходя из характера операций.
Пусть задана только одна операция, бинарная, ассоциативная, с
единицей, с обратным элементом. Основным понятием в этой
постановке будет группа, а производными: полугруппа,
квазигруппа, лупа. Если задать 2 операции (обычно называемые: сложение
и умножение), то придем к кольцам, решеткам, полям. Операции
над кольцами подчиняют условиям: при сложении должны
удовлетворяться аксиомы абелевости, а умножение дистрибутивно
относительно сложения. Сами кольца могут быть или не быть
ассоциативными.
В ассоциативных алгебрах рассматривают тела, если все
ненулевые элементы образуют группу относительно умножения, а
также поля, если умножение коммутативно. Тела и поля порождают
коммутативную алгебру, а последняя — алгебраическую
геометрию, где изучают геометрические объекты, связанные с
коммутативными кольцами.
Выделение алгебраических понятий и теорий отнюдь не
хаотично, подчиняется строгой логике суждений, активно
развивается. Так структура совокупности современных алгебраических
теорий, на которую мы здесь бросили лишь беглый взгляд,
сложилась в первые 2—3 десятилетия нашего века. Принято датировать
ее начало 1930 годом, когда появилась знаменитая монография
ван дер Вардена «Современная алгебра».
§ 5.2. С ЧЕГО АЛГЕБРА НАЧИНАЛАСЬ?
Нет сомнений, что исходной была тематика элементарной
алгебры. Выяснить и объяснить, как из нее вырос сложный
комплекс алгебраических теорий, — в этом состоит задача настоящей
главы.
Напомним, что с давних пор в математической,
преимущественно вычислительной, практике людей проявились тенденции к
алгебраизации. Это выражалось в поисках общих суждений и
правил оперирования с классами величин, а не с конкретными
числами. Такие тенденции сопровождались введением символики
начиная с обозначения величин буквами, а связей между
величинами— формулами. Потребности решения задач выдвинули на
первый план уравнения, их решение сделалось главной
алгебраической задачей математики.
Осознание своеобразия алгебраических тенденций и выделение
в составе математики самостоятельной части — алгебры
произошло ранее всего в средние века в математике стран Ближнего
Востока и Средней Азии (см. гл. 3). Успехи в решении уравнений
3-й и 4-й степеней в радикалах были достигнуты в XVI в. в стра-
162
нах Западной Европы. Почти одновременно происходило
усовершенствование алгебраической символики.
Начало XVII века ознаменовано мощным усилием Декарта,
связавшего в единой науке — аналитической геометрии — методы
алгебры с геометрическими и как бы поглотившего в
универсальной математике (Matfaesfe universalis) эти обе части (см. гл. 4).
Однако упразднения алгебры не произошло. Она развивалась в
дальнейшем самостоятельно; ее научной проблематикой сделалась
по преимуществу теория алгебраических уравнений. Последняя
включала в себя как формирование общей теории уравнений, так
и накопление способов их решения, как численного, так и
графического. Научная разработка этих проблем приводила к
перестройке основ алгебры, связанной с расширением содержания
понятия числа и к усовершенствованию алгебраического буквенно-
символического аппарата.
Предмет алгебры определился уже к началу XVIII в. В 1707 г.
вышла в свет «Всеобщая арифметика» И. Ньютона. В ней
алгебра была изложена в тесной связи с развитием методов
вычислений, как высшая стадия арифметики. Геометрические вопросы
были отнесены в область приложений. С самого начала Ньютон
вводит операции как над числами (целыми дробными), так и
над буквенно-символическими выражениями. Объяснив читателю
технику тождественных алгебраических преобразований, Ньютон
знакомит его затем с методами решения алгебраических
уравнений. На большом числе примеров, взятых из геометрии, механики
и других наук, он показывает, как задачи сводятся к
составлению алгебраических уравнений, корни которых являются
решениями задачи. Замыкают книгу сведения из общей теории
уравнений, а также графические решения последних посредством
геометрических построений.
«Всеобщая арифметика» является краткой записью лекций по
алгебре, которые Ньютон читал в Кембриджском университете в
1673—1683 гг. В ней нет доказательств. Она не представляет
собрания всех алгебраических достижений Ньютона. В других его
работах также содержится немало открытий в области алгебры.
Среди них: обобщение формулы для степени бинома на случай
дробно-рациональных показателей, сообщенное в одном из писем
Ньютона Ольденбургу в 1676 г.; способ численного решения
уравнений, известный под названием параллелограмма Ньютона, т. е.
метод разложения у, заданного уравнением Рп(х, у)—0 (где
Рп — полином), в ряд по дробным степеням х и др.
Алгебраическая тематика «Всеобщей арифметики» была в
центре внимания многих видных математиков XVIII в. Способы
численного решения уравнений (как точного, так и
приближенного) разрабатывали Галлей, Лагранж, Мурайль, Фурье и др.
Многочисленные попытки дать строгое доказательство формулы
бинома в ее наиболее общей форме прекратились лишь тогда, когда
Гаусс в работе о гипергеометрическом ряде (1811) решил эту
проблему. Параллелограмм Ньютона получил в работах Стерлинга,
163
де Гюа, Крамера и других многообразные приложения к теориям
алгебраических кривых, аналитических функций и др.1
Вслед за «Всеобщей арифметикой» Ньютона появился ряд
монографий, содержащих систематическое построение алгебры.
«Трактат об алгебре» Маклорена (1748) явился еще лишь
комментарием к книге Ньютона, которая, как было сказано, не
содержала доказательств. В последующих же сочинениях, в
особенности в знаменитой «Универсальной арифметике» Л. Эйлера,
самостоятельность алгебраической науки выявилась еще более
отчетливо.
Продиктованная слепнущим Эйлером около 1767 г.
«Универсальная арифметика» появилась в 1768—1769 гг. на русском
языке. Помимо многочисленных переизданий, она была переведена
на латинский, английский, французский и голландский языки. Ее
влияние на построение курса алгебры в университетах и на
определение алгебраической научной проблематики было очень
заметным. Монографический характер этой книги и цели, которые
ставил перед подобными сочинениями их автор, позволяют судить
о состоянии алгебры во второй половине XVIII века.
«Универсальная арифметика» состоит из двух частей. В трех
отделах первой части Эйлер уделил основное внимание
обобщенным формулировкам правил решения арифметических задач и
усовершенствованию буквенно-символического аппарата алгебры.
Так, в первом отделе разъяснены правила операций над числами
и одночленами, над радикальными выражениями, комплексными
числами. Здесь же введены логарифмы.
Второй отдел посвящен операциям над многочленами. Кроме
того, в нем приведены правила извлечения корней из чисел и из
алгебраических полиномов. Наконец, вводятся ряды как средство
представления дробно-рациональных функций и биномов с
дробными и отрицательными показателями степени.
Третий отдел — самый разнохарактерный по своему
содержанию. В нем введено понятие действительного числа посредством
алгоритма попеременного вычитания, фигурные (многоугольные)
числа, пропорции и прогрессии (как арифметические, так и
геометрические), периодические десятичные дроби и задачи на про-
денты.
Методам решения алгебраических уравнений и их общей
теории посвящен первый отдел второй части. Здесь собраны
описания методов решения алгебраических уравнений первых четырех
степеней, а также систем линейных уравнений. Кроме того,
описаны методы приближенного вычисления корней алгебраических
уравнений.
Последний отдел (второй отдел второй части) «Универсальной
арифметики» содержит преимущественно описание методов
нахождения целочисленных решений неопределенных уравнений. К
1 См., напр., Чеботарев Н. Г. Многоугольник Ньютона и его роль в
развитии математики//Ч е б о т а р е в Н. Г. Собр. соч. Т. 3. М.; Л.: Изд-во
АН СССР, 1950. С. 47—80.
164
ним присоединены решения других задач теоретико-числового
характера. Так, здесь обсуждена великая теорема Ферма и даны
ее доказательства для п равного 3 и 4. Введены подстановки,
обращающие квадратный трехчлен в точный квадрат
(подстановки Эйлера).
§ 5.3. АЛГЕБРА — НАУКА О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ
Таким образом, предмет алгебры и содержание в XVIII в.
определились. Она превратилась в науку об алгебраических
уравнениях. В нее также входила разработка буквенно-символического
аппарата, необходимого для решения уравнений. Алгебра тесно
взаимодействовала с арифметикой, сохраняя в своем составе
численные методы. С другой стороны, происходило столь же
тесное взаимопроникновение методов и задач алгебры и теории
чисел, преимущественно в области неопределенного (диофантова)
анализа. Современная элементарная алгебра в значительной
мере сохранила в своей структуре эти особенности.
Сравнение «Всеобщей арифметики» Ньютона и
«Универсальной арифметики» Эйлера позволяет нам отметить начало и (в
значительной степени) итог формирования алгебры в XVIII в.
Теперь рассмотрим кратко эволюцию научного содержания этой
обширной и важной части математики и процесс вызревания
предпосылок нового, современного, этапа ее истории.
В основе алгебраических исследований лежит понятие о числе
(количестве, величине). Общность и поле приложений буквенно-
алгебраических методов определяются степенью обобщенности
понятия числа. В течение XVIII в. это понятие переживало период
медленного развития. Оно постепенно осмысливалось,
обогащалось, отставая, однако, от вычислительной практики и от
требований задач, в особенности задач математического анализа.
Понятие действительного числа включало в себя натуральные
числа, положительные дроби, иррациональности. Последние имели
дошедшее до нас со времен античной Греции общее определение
через понятие отношения с привлечением геометрических
интерпретаций. Именно число есть то, что относится к единице, как
один отрезок прямой к другому, принятому за единицу. Однако
общая концепция иррационального числа завоевала признание
лишь к концу XVIII века.
Большие споры еще кипели вокруг понятия отрицательного
числа. В разноречивом хоре суждений преобладали
противопоставления отрицательных и положительных чисел. Находились
даже такие математики (Мазер, 1758; Френд, 1796), которые не
признавали ни отрицательных чисел, ни мнимых. Правила
действий с отрицательными числами еще не получали убедительных
доказательств- Лишь в следующем, XIX в., удалось представить
отрицательные числа включенными в единую числовую систему и
дать этому представлению строгое и общепризнанное
доказательство.
1вб
Мнимые числа появляются в алгебре в качестве корней
уравнения. Их изучение, однако, продвинулось не по мотивам
алгебраической необходимости, а под влиянием настоятельной
потребности математического анализа. Именно в рамках анализа
постепенно открывались и внедрялись правила операций с мнимыми и
комплексными числами — придумывались, проверялись,
формализовались. В 40-х гг. XVIII в. Даламбер и Эйлер доказали
утверждение Бомбелли, что всякое выражение, содержащее мнимые
величины, приводится к виду а + (И, где а и р — действительные.
Очевидная полезность комплексных чисел вызывала усиление
внимания к вопросу об их сущности. Однако проблема эта решению
никак не поддавалась. Первым, кто разработал (в интересах
геодезической и картографической практики) способ геометрической
интерпретации комплексных чисел точками на плоскости, был
датчанин К. Вессель (1797, опубликовано в 1799), землемер по
профессии. Впрочем, его работа осталась незамеченной, равно
как и сходная интерпретация Ж. Аргана (1806). Только в 20-х гг.
XIX в., когда Гаусс и Коши ввели и обосновали операции над
числами вида oc±fU\ ввели термин «комплексное число», нашли
«модуль» (Коши, 1821), а иначе «норму» (Гаусс, 1828)
комплексных чисел, определили понятие сопряженности комплексных
чисел, положение последних в математике упрочилось.
Комплексные числа вошли и в алгебру.
Кстати, упомянем еще об одной арифметико-алгебраической
трудности, преодоленной лишь к концу XVIII в. Речь идет о
введении аппарата десятичных дробей. Еще в 1585 г. голландский
инженер и математик Стевин ввел их и доказал их полезность.
Но в течение более 200 последующих лет десятичные дроби
употреблялись преимущественно в астрономической вычислительной
практике. Понадобились усилия многих крупнейших математиков
(Лагранж, Лаплас, Монж и др.), разработавших в период 1790—
1799 гг. единую десятичную метрическую систему мер (введена во
Франции декретом от 24 апреля 1799 г.), чтобы аппарат счета с
десятичными дробями приобрел актуальность и распространение.
В XIX столетии, когда многие государства перешли на
десятичную систему счисления, ее стали вводить и в школах.
Та часть алгебры, что сосредоточивалась вокруг проблемы
решения алгебраических уравнений, составляла ее главное
содержание. Этой проблеме было посвящено огромное число работ. В
безбрежном море книг и статей — печатных свидетельств
колоссальных усилий многих людей, направленных на ее решение, —
можно, пожалуй, выделить некоторые направления.
Первое из них составляют попытки отыскания регулярного
элементарного алгебраического алгоритма (вроде метода Тар-
тальи для кубического уравнения или метода Феррари для
уравнений четвертой степени), пригодного для решения уравнений
степени выше четвертой. Авторами этих попыток руководила
интуитивная убежденность, что такие корни существуют, что их
ровно столько, сколько единиц в наивысшем показателе степени и
166
что алгоритм для отыскания корней, хотя бы действительных,
существует, не может не существовать. Из большого числа работ
этого направления выберем в качестве примера работы Э. В. фон
Чирнгаузена (1651—1708) и Эйлера.
Метод Чирнгаузена, опубликованный в 1683 г., состоял в
следующем: пусть дано уравнение
хп + а{хп~1 + ... +an-ix + an=0.
Введем вспомогательное уравнение
у=ЬхХп-2+Ь2хп-*+ ... +&„-!
с неопределенными пока коэффициентами. Если из обоих
уравнений удастся исключить х (а это возможно), то получим
уп + схуп-1+ ... +сп=0.
Коэффициенты сь съ ..., сп — суть функции коэффициентов Ьи
Ъ2, ..., Ьп и аи аъ...,ап. Теперь подберем значения для Ьь Ь2,..:,Ьп
таким образом, чтобы получить с\=с2—... =сп_1=0. Тогда
yz=z у—сП9 и мы получим возможность заменить данное
уравнение другим, степень которого будет ниже, т. е. п—2. Чирнгау-
зен опубликовал этот метод, привел пример для /г=3 и этим
ограничился. Позднее Эйлер проделал все необходимые выкладки
для м=4. Для п^Ъ это оказалось, разумеется, невозможным.
Попытки подбора значений Ьи Ь2, ..., Ьп приводили к уравнениям,
степень которых была больше 5.
Эйлер не раз пытался, используя приемы, восходящие к Тар-
талье, подобрать для корней уравнений подходящие виды ирра-
циональностей. В случае х*=ах+Ь соответствующее
«радикальное» выражение известно. Это x—j/a-f-yp- Для уравнения
х4=ах2+Ьх+с Эйлер получил кубическую резольвенту
подстановками
х = У"а •+• |^Р + Vy или х = yb + у г + у <р.
Однако распространить (экстраполировать) этот или какой-либо
аналогичный прием, как надеялся Эйлер, вообще на уравнения
вида
хп=а1хп"2+а2хп^ + ...+ап_ь п>4,
подстановкой вида
* = S У**
не удалось. Около 1764 г. Эйлер обобщил эту подстановку,
положив
х = а0 + 2 Р* "Д.
167
Аналогичную форму подстановки одновременно применил Варинг
(1734—1798). Однако и эта весьма общая подстановка, позднее
использованная Абелем при доказательстве невозможности
решения в радикалах общего уравнения пятой степени, не дали
нужного результата.
Число попыток отыскать решение уравнений степени /г^5
элементарно-алгебраическими средствами, напоминаем, было
очень велико. По существу, это был единственный путь решения
проблемы, доступный в те времена математикам. Он был
равнозначен становлению позднейшей алгебраической теории
резольвент. Кстати упомянем, что в ходе этих попыток сложился и
распространился сам термин «резольвента». Он произошел из
латинского aequatio resolvens, что означает: разрешающее уравнение.
В современной математике употребление этого термина
неоднозначно. Мы имеем здесь в виду алгебраический аспект:
резольвента алгебраического уравнения Рп(х)=0 суть тоже алгебраическое
уравнение g(x)=0, такое, что: а) его коэффициенты являются
рациональными функциями коэффициентов уравнения Рп(х)=0;
б) знание его корней позволяет найти значения корней уравнения
Рп(х)=0, причем для этого не придется решать уравнения
степени ^п. По-видимому, первый, кто ввел термин «резольвента», был
Эйлер (ок. 1732 г.).
Неудачи в поисках упомянутых алгебраических алгоритмов
были, как мы думаем, одной из причин появления большого числа
работ, посвященных приближенным методам нахождения корней
уравнений. Методы эти были как численными, так и
геометрическими. Последнюю разновидность алгебраисты, по существу,
заимствовали из аналитической геометрии. Выбор кривых для
геометрического решения уравнений определялся либо
соображениями легкости их построения, либо минимальностью степени
алгебраических уравнений соответствующих этим кривым. Например,
многие математики (Лопиталь, Стирлинг, Бернулли, Ньютон,
Крамер) пришли независимо к мысли находить корни уравнения
a0xn + axxn-l+ ... +ап^х + ап=0
как точки пересечения кривой
y=aoxn + aixn~l+ ... + ап-Хх
с прямой у=—ап. Более поздние построения опирались на
графическое суммирование кривых: у=а0хп; у=аххп~1; ..„; */ =
= ап^{х+ап, для чего был даже придуман специальный прибор.
Из численных приближенных методов упомянем метод
Ньютона, который он продемонстрировал на примере уъ—2у—5=0.
Обозначим целочисленную часть корня, с которой начинает
Ньютон, буквой е для общности. Положив у=г+р, подставив это
выражение в уравнение и отбрасывая в силу малости р все его
степени выше первой, найдем приближение р в первом
десятичном знаке. Затем, положив p—pi + q, повторяем всю операцию
168
сначала. При повторениях получаются последовательные
приближения корня.
Уточнение этого метода, произведенное Галлеем, состоит в том„
что берется первое приближение s корня уравнения Рп(х)=0.
Затем величина е+р подставляется в уравнение, члены которого
располагаются по степеням р:
Рп{г + р)=Рп(г)+Ар + Вр2+ ...=0.
Затем р определяется из квадратного уравнения
Вр*+Ар + Рп(г)=0.
Ньютон применял аналогичный метод к решению буквенных
уравнений с двумя неизвестными f(x, у)=0, или, что то же самое,.
к приближенному вычислению значения неявных функций.
Связанное с этим разрешение уравнения относительно одного из
неизвестных, т. е. представление f(x, у)—О в виде y=fi(x), где
fi(x) есть степенной ряд, вообще бесконечный, Ньютон производил
с помощью специального приема, получившего название
параллелограмма его имени. Разновидности этого метода известны под
названиями прямоугольника, треугольника, многоугольника,
диаграммы, но эти названия неизменно связаны с именем автора
метода.
Численные методы решения алгебраических уравнений, как к
всякие другие методы математики, должны иметь обоснование. В
данном случае речь идет о следующих вопросах: определение
числа корней (положительных, отрицательных, комплексных);
отделение корней; определение границ областей, между которыми
корни располагаются. Еще в XVII в. было рассмотрено решение
этих вопросов на большом числе частных видов уравнений.
Например, М. Ролль (1652—1719) в конце века показал, что между
двумя корнями уравнения f'(x)=0 может находиться не более
одного корня уравнения f(x)=0. Верхняя граница значений
действительных корней уравнения
xn + aixn~l + ... +ап=0,
по Роллю, равна 1^1 + 1, где ak — наибольший по модулю
отрицательный коэффициент уравнения.
Пожалуй, в книге такого типа, как наша, нет необходимости
перечислять частные результаты, доказывая утверждение, что
для рассматриваемого здесь круга вопросов уже в XVIII в. был
достигнут уровень, совпадающий с современным. Укажем лишь на
еще один, редко применяемый, метод, принадлежащий Лагранжу.
Пусть известно первое приближенное значение р корня х
уравнения такое, что р<х<Ср+1. Подставим в уравнение х = р-\—.
Новое уравнение будет иметь действительный корень у>1, так
как 1 > — > 0. Тогда
у
169
e(y) = g, т. e. y=*q + — .
Повторяя этот прием, получим
<г+ — . . .
Z
Если цепная дробь обрывается, то корень рационален. Если же он
иррационален, то цепная дробь позволит оценить, с какой
погрешностью осуществляется любое из последовательных
приближений.
Методы решения алгебраических уравнений, накапливаясь,
практически открывали перспективы для нового развития
теоретических частей алгебры. Будущее этой науки постепенно
раскрывалось в исследованиях разнообразных, но группирующихся в
основном вокруг двух проблем: разрешимости алгебраических
уравнений в радикалах (о чем шла речь только что) и
доказательства основной теоремы алгебры.
То, что алгебраическое уравнение может иметь столько
корней, сколько имеет единиц его наивысшая степень, первыми
установили Жирар (1629) и Декар (1637). Вскоре же постановка
проблемы о числе корней уравнения естественным образом
преобразовалась. Требовалось уже доказать, что всякое алгебраическое
уравнение степени п имеет именно п корней. В качестве
эквивалентного утверждения предлагалось доказать разложимость левой
части уравнения в произведение линейных и квадратных
сомножителей с действительными коэффициентами. Над решением этой
и других связанных с нею проблем трудились многие математики:
Даламбер, Эйлер, Лагранж, Гаусс и прочие.
Первое по времени доказательство предложил Даламбер
(1746). Фактически оно состояло в установлении того
обстоятельства, ЧТО ГШП1-Г71 (х) 1=0. Однако доводы Даламбера были
нестрогими, содержали в явном виде апелляцию к средствам
математического анализа и не облегчали преодоление трудностей, с
которыми здесь математики встретились.
Полученное почти одновременно доказательство Эйлера
(опубликовано в 1751 г.) опиралось на рассмотрение графиков кривых
у=Рп(х), соответственно при четном п и при нечетном. При этом
доказывалось, что уравнение Рп(х)=0 при n-нечетном имеет
один вещественный корень или нечетное их число; при п-четном
существует четное число корней или же их вообще нет. Если
свободный член уравнения четной степени отрицателен, то
уравнение имеет во всяком случае два вещественных корня разных
знаков. Трудность тем самым была сведена к доказательству
теоремы для уравнений четной степени: п=2т. Так как 2n_1<2m<
<2П, то, домножая уравнение на 2п—2т линейных множителей
вида х—а, видим, что доказательство достаточно провести для
уравнений, степени которых имеют вид 2п.
170
Относительно уравнений последнего типа Эйлер высказал
следующую теорему: левая часть алгебраического уравнения
степени 2п (л>1, целое) разлагается на два множителя степени 2п~1
и наметил ход ее доказательства 1.
При этом он нашел два важных свойства: а) рациональная
функция корней уравнения, которая принимает при всех
возможных подстановках корней k различных значений, удовлетворяет
алгебраическому уравнению степени k, коэффициенты которого
суть рациональные функции коэффициентов данного уравнения;
б) рациональная функция корней уравнения, инвариантная
относительно перестановок корней, есть рациональная функция
коэффициентов исходного уравнения.
Уточняя доказательство Эйлера, Лагранж ввел и разработал
теорию подобных функций, т. е. функций, инвариантных при
подстановках одной и той же группы и только при них. У Лагранжа
речь идет о подобии симметрических функций корней уравнения в
случае, если все 2k значений, которые они способны принимать
при всех перестановках корней, различаются между собою.
Относительно подобных функций Лагранж доказал, что они
рационально выражаются друг через друга и через коэффициенты
данного уравнения.
Смысл доказательств Эйлера и Лагранжа с современной точки
зрения таков. Пусть дано уравнение Рп(х)—0, Его
коэффициенты — элементы поля D действительных чисел. К — поле Галуа
данного уравнения. Степень К над D: n = 2r-k (k нечетное). По
теореме Силова, существует подгруппа Н порядка 2Т группы
Галуа G этого уравнения. Образуем q — поле элементов,
инвариантных относительно подстановок из Н: DaqczK.
Степень К над q есть 2Г; степень q над D — нечетное к. Поле
q образуется присоединением к D корня v неприводимого над D
многочлена Pi(x) степени k. Но k нечетно. Следовательно, q=Dz,
так как единственными неприводимыми уравнениями нечетной
степени над полем действительных чисел являются линейные
уравнения.
Рассмотрим К над D. Его степень 2г. Если /С=Д то т] —
корень уравнения Р2(х)—0 Степени 21* с действительными
коэффициентами, как в уравнениях, рассматривавшихся Эйлером.
Известно, что группы порядка рг, где р — простые, г —
натуральные числа, разрешимы; их нормальные делители имеют
простые порядки р. Здесь же р=2. Значит,
DcKi<=:...czKr=K9
где каждое из промежуточных нормальных полей является
квадратичным по отношению к предыдущему. Соответствующие
квадратные уравнения, которые нужно решать над предыдущим полем,
чтобы получить последующее, имеют либо действительные, либо
1 Об этом см.: БашмаковаИ. Г. О доказательстве основной теоремы
алгебры // Историко-математическне исследования. М.: ГТТИ, 1957. Вып. 10.
С. 257—304.
171
комплексные корни. Пусть Ki — первое поле, совпадающее с
полем комплексных чисел; последующие поля будут также
совпадать с этим же полем. В противном случае все поля совпадут с
полем D.
Обратно, если исходить из К=КТ, то для отыскания корня
уравнения Р2(х)—0 степени 2? надо решить над D одно
уравнение степени 2Г~1. Его корни породят поле Kv-u а над ним — одно
квадратное уравнение. Возможно повторение такого рассуждения
для степени на единицу ниже и т. д. Элементы этих идей новой"
алгебры явственно проглядывают в доказательствах Эйлера и
Лагранжа.
Другая группа элементов теории Галуа была накоплена в
работах, где исследуется проблема приводимости уравнений.
Ньютон первым вышел за пределы вопроса о приводимости
уравнений над полем рациональных чисел. Он предложил алгоритм для
решения вопроса о том, может ли уравнение «быть приведено при
помощи кйкого-либо иррационального делителя, или, что то же
самое... нельзя ли так разделить уравнение на две равные части,
чтобы из каждой вы могли извлечь корень» (И. Ньютон.
Всеобщая арифметика. М., Изд-во АН СССР, 1948. С. 270).
Помимо постановки вопроса о возможности приведения
уравнений над различными полями это рассуждение содержит
некоторую идею грядущей теории Галуа. В самом деле, Ньютон ставит,
по существу, вопрос о присоединении к полю рациональных чисел
иррациональностей вида Ik и приводимости уравнения над этим
расширенным полем. Иначе говоря, речь идет об отыскании
квадратичных подполей поля разложения полиномов.
Алгоритмы Ньютона, а вслед за ним и Варинга, для решения
вопроса о том, распадается ли заданное уравнение на множители,
если область рациональных чисел расширить присоединением
квадратичной, биквадратичной или кубической иррациональности,
просты, но громоздки. Ньютон и Варинг представляли полином
всякий раз в виде произведения полиномиальных выражений с
неопределенными коэффициентами, зависящими от
иррациональностей исследуемого вида. Затем следовали попытки такого
подбора неопределенных коэффициентов, чтобы требуемое разложение
осуществилось.
Подобные методы новых перспектив не открывали и совсем
нередко из-за своей громоздкости приводили к ошибкам. Тем не
менее они были полезны. В них фактически рассматривались поля
алгебраических чисел, определялся общий вид элементов этих
полей.
Накопление предпосылок нового этапа развития алгебры в
XVIII в. достигло кульминации в исследованиях Лагранжа,
нашедших отражение в его «Размышлениях об алгебраическом
решении уравнений» (1771—1772). В этом сочинении Лагранж
критически пересмотрел все накопившиеся к его времени методы и
попытки общего решения алгебраических уравнений. К открытым
172
уже резольвентам он добавил еще одну, но весьма общего
характера.
Он рассмотрел алгебраическое уравнение вида
xn + bixn~l + b2xn-2+,...= О
и в соответствии с методом Чирнгаузена вспомогательное
уравнение
У = — (xn-l + fxn-2+gxn-z+'... +k)
с неопределенными коэффициентами f, g, ..., k. Из обоих
уравнений Лагранж исключил х:
yn+Ayn-i + Byn-2+ _ +Ру+Т=0
и подобрал коэффициенты f, g, ... так, чтобы
А = В=...=Р=0.
Тогда решение заданного уравнения свелось к решению
системы п уравнений уп=—Т и п—1 уравнений, в которые входят
неопределенные коэффициенты f, g, .... Корни первого из уравнений
Уг = V—Т, У&, yta2, . . . , ухап-{,
где а, а2,..., ап_1—первообразные корни из единицы (корни
уравнения уп—1=0). Подставив эти значения в выражение дляд;
х=а0 + а1у + а2у2+ ...+ап-Хуп-\
он получил систему п уравнений:
xi=a0+a1y1+a2y2i+ . . . +ап^у^;
X2==ao+aiyia+a2yla2+ . . . +ал_1у1л~1аа-1;
xn=a0+aly1a*-i+aa2pn-i + . . . +an-ty?-1 >
Вследствие того что
1+а+а2+... =0,
1+а2+а4+ ... =0
он получил
na0=xi+x2 + Xz+ ...,
naiyi =x{+an-lx2+a2^n^xz+\...,
na2yl=xi+an'2x2 + a2^-^xz + ...
n
Затем Лагранж упростил систему, учитывая, что ^ х^пл ~m>
откуда а0 = . Положив
п
С\ с' с{п~~1,
п п п
173
он получил линейную функцию корней уравнения
названную позднее резольвентой Лагранжа.
Функция G = tn при всех перестановках корней уравнения
Рп(х)=0
I *1э Х%1 • • • » хп \
\ Xif ХН* • • * 9 Хгп )
принимает k^nl значений. Коэффициенты уравнения
в*+ ^6*-!+ ... + Ьк = {] (в—9,) = О
г—1
суть симметрические функции от 9; (t=<l, 2, ..., k). Последние в
свою очередь являются симметрическими функциями корней xi
(i=U 2, ..., /г). Следовательно, п корней хь можно определить
через к^мХ корней 8*.
Однако все известные для уравнений степени /г^4 способы
отыскания резольвент приводят при п>5 к резольвентам степени
6>/г. Это заставляло Лагранжа сомневаться в том, что
рассматриваемые им методы могут дать решения уравнений степени
п^5. Все-таки он не оставлял мысли о том, что рассматриваемые
им группы подстановок таят в себе решение проблемы. Они, как
он писал, являются «дорогой к решению». К тому же на этом пути
он нашел решения целого класса так называемых циклических
уравнений, т. е. уравнений с циклической группой подстановок.
В своих трудах Лагранж достиг весьма большой общности. Он
рассматривал уравнения с произвольными буквенными
коэффициентами. Относительно них он исследовал поля рациональных
функций корней. Он ввел группу подстановок корней уравнений
(симметрическую группу) и изучил соответствие между ее
подгруппами и подполями поля рациональных функций,
инвариантных относительно подстановок этих подгрупп. Наконец, Лагранж
доказал и первые теоремы теории групп, например теорему, что
порядок подгруппы является делителем порядка группы.
Одновременно с Лагранжем подстановки корней уравнений с
той же целью изучал Руффини (1765—1822). Он опубликовал в
1799 г. «Общую теорию уравнений, в которой доказывается
невозможность алгебраического решения общих уравнений выше
четвертой степени». Однако доказательство оказалось
некорректным, так как Руффини исходил из посылки, что корни
резольвент рационально выражаются через корни исходного уравнения.
В последующих работах, вышедших в свет в 1801, 1802, 1806 и
1813 гг., он пытался эту посылку доказать, но полного
обоснования так и не смог добиться. Все же к числу заслуг Руффини
следует отнести систематическое исследование конечных
перестановок и доказательство ряда важных теорем. Он же впервые ввел в
своих работах термин «группа». В 1814 г. Руффини нашел и сфор-
174
мулировал правило приближенного вычисления корней уравнений,,
переоткрытое в 1819 г. Горнером (ныне правило Руффинн — Гор-
нера).
В течение XVIII века алгебра, таким образом, развивалась как
наука о решении алгебраических уравнений. В ней получили
известное завершение проблемы, связанные с
элементарно-математическими методами. Были разработаны основные предпосылки
для получения общих результатов Абеля, создания теории Галуа
и начала теории групп. На рубеже XIX в. алгебра оказалась в
преддверии коренной реорганизации, сделавшей ее ассоциацией,
немалого числа алгебраических наук. Предметом изучения при
этом сделались объекты гораздо более сложной и абстрактной
природы: группы, поля, кольца и т. п.
История алгебры за рассмотренный период времени еще раз
демонстрирует общую закономерность развития математической
науки. Новые области математики рождаются в недрах старых,
существующих, сформировавшихся областей. Их методы и понятия
проходят период «эмбрионального» развития. Процесс выделения
новой области, ее «порождения» характеризуется переворотом в
методе и сопровождается формированием специфического набора
понятий и символического аппарата. Последний играет
двойственную роль: отражения сущности протекаемых процессов и
оперативную.
§ 5.4. НОВЫЕ ИДЕИ АЛГЕБРЫ (К. Ф. ГАУСС, Н. Г. АБЕЛЬ,
Э. ГАЛУА)
На рубеже XVIII и XIX вв. в алгебраической части
математики были сделаны открытия необычайной важности. Мы имеем в
виду результаты, появившиеся в работах К- Ф. Гаусса, Н. Г.
Абеля и Э. Галуа.
Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) добился своих первых
успехов в алгебре, будучи еще совсем молодым человеком, во время
обучения в Геттингенском университете (1795—1798). В марте
1796 г., раздумывая над задачей отыскания корней двучленного
уравнения х11—1=0, он обнаружил связи между этой задачей и
задачей о делении окружности на равные части. При этом он
доказал, что правильный 17-угольник может быть вписан в
окружность с помощью только циркуля и линейки. Соответствующий
алгебраический факт, что уравнение х17—1=0 разрешимо в
квадратных радикалах, Гаусс вскоре обобщил, найдя критерий такой
разрешимости (уравнение разрешимо в квадратичных радикалах
для простого п вида /г=22* +1) и дав его геометрическую
интерпретацию.
При доказательстве этой группы предложений Гаусс
разработал методы, послужившие одним из отправных пунктов в
построении теории Галуа, по собственному признанию ее автора. Так»
Гаусс явно высказал идею о том, что целью исследований полино-
175
К. Ф. Гаусс (1777—1855)
мов путем последовательного разложения на множители, вплоть
до линейных, например:
х—\
является выяснение их структуры.
Гаусс установил, что уравнение Х—0 степени т=п—1, где п
простое, неприводимо в поле рациональных чисел и нормально
над ним, т. е. все его корни рационально выражаются через один
из них. Оказалось, что эти корни имеют вид: а, ар, (ар)*\ ..., т. е.
что группа автоморфизмов этого уравнения — циклическая.
Оставался лишь один шаг, один логический ход, чтобы обнаружить,
что любая подгруппа циклической группы является ее
нормальным делителем. Этот шаг сделал Галуа, учитывавший также
убежденность Лагранжа, что анализ подстановок корней
алгебраических уравнений укажет путь к построению новой, более общей
теории.
176
Через три года, в 1799 г., Гаусс получил в Гельмстедте степень
доктора за диссертацию, посвященную доказательству основной
теоремы алгебры. Спустя много лет он вернулся к этой проблеме
и дал еще три новых доказательства главной теоремы (в 1815,
1816 и 1849 гг.).
Первоначальная формулировка этой теоремы, данная
Жираром и Декартом, содержала, как было выше упомянуто,
утверждение, что уравнение Рп(х)=0 может иметь столько корней,
сколько единиц содержит его степень. В связи с последующим
введением комплексных чисел а + Ы это понимание возможности
переросло в уверенность, что корней уравнения Рп(х)=0 будет
именно п, действительных и комплексных вместе. Что же касается
доказательств, то вслед за неудачной попыткой Даламбера (1746)
появились и другие. При этом предполагалось, что всякий
полином может быть разложен на линейные множители
п
Оставалось доказать, что все корни xi (t=l, 2, ..., п) имеют вид
a + bi (где а и Ъ действительные). Проблема состояла теперь в
установлении разложимости всякого алгебраического уравнения с
действительными коэффициентами в произведение вещественных
множителей первой или второй степени.
Здесь не место для рассмотрения тех доказательств, в которых
содержатся явные апелляции к средствам математического
анализа. Вообще говоря, полностью обойтись без использования
соображений, связанных с понятием непрерывности, при
доказательстве основной теоремы алгебры невозможно. Однако вопрос о
чисто алгебраическом доказательстве основной теоремы алгебры был
в то время весьма актуальным. Такое алгебраическое
доказательство искал и Гаусс.
В упомянутой нами докторской диссертации он критически
пересмотрел все доказательства и обнаружил их общий недостаток:
априорное предположение, что корни уравнений существуют. В
действительности же существование корней нужно доказывать,
иначе в рассуждениях нельзя будет избежать порочных кругов.
Проблему существования Гаусс ставил для области комплексных
чисел {a + bi}, так как, по его заявлению, это самый общий вид
величин, который он смог себе представить. При этом он
добавлял, что если бы были определены другие, еще неизвестные,
числовые области, то проблему доказательства существования корней
надо ставить и для них.
Алгебраическое доказательство Гаусс начал с предпосылки о
заданности области К комплексных чисел. Доказательство же
состояло в установлении того факта, что каждое уравнение с
вещественными коэффициентами имеет корень в области /С В иной,
эквивалентнай, постановке требуется доказывать разложимость
любого полинома, коэффициентами которого являются действи-
177
тельные числа, на вещественные множители первой или второй
степени.
Отказ Гаусса от предположения о существовании корней
уравнения, а также его решение не привлекать к доказательству
средств математического анализа сильно затруднили решение
задачи. Гауссу пришлось, по существу, строить поля многочленов.
Доказательство получилось громоздким и заняло специальный
мемуар (1815). Оно потребовало введения ряда специальных
понятий, многих лемм. Гаусс вынужден был заново строить теорию
симметрических функций и доказывать их алгебраическую
независимость. Это дало ему возможность ввести новый способ
доказательства, получивший впоследствии (в работах Кронекера, Кёни-
га и др.) название принципа Гаусса.
Соотношение между элементарными симметрическими
функциями
Ф(А,ь Л2, ta ..)=0
может быть лишь тождественным. Пусть, например, дан полином,,
разлагающийся на линейные множители
п
л»(*) = П (*-*«).
г—I
и между его коэффициентами установлено какое-либо
соотношение. В силу принципа Гаусса это соотношение останется
справедливым при подстановках коэффициентов любого другого
полинома Qn(y)=0. Таким образом, все соотношения между
коэффициентами разложимых многочленов верны для коэффициентов
любых многочленов. Вслед за этим вводится понятие дискриминанта
п
и доказывается ряд лемм, которые в силу недостатка места и их
частного характера приводить мы здесь не будем.
Дальнейшее доказательство опирается на лемму: если
Ци, х) « n^i+iAiMtVi*), /—1, 2, .... л,
г
и w — неопределенная величина, то
dlu+w — , х—w — \
[ дх* ду )
делится на Q(x, и). Применяя эту лемму к многочленам, Гаусс
получил широко ныне известное тождество:
Q (u+w— , x — w—\ =6(и, x)Q(u%x9 w, аг,а2,..., ап),
где 01 — целая функция, рациональная относительно своих
аргументов.
178
С помощью этого тождества Гаусс построил затем поле, в
котором вспомогательный многочлен Q(u, х) имеет линейный
множитель, а заданный многочлен — множитель второй степени.
Примерно через 50—60 лет Кронекер сумел использовать метод
построения полей, данный Гауссом, и построить конструкцию поля
разложения для любого полинома (1882; L. Kronecker. Werke.
Bd III. S. 341—360; Bd II. S. 247—300). Оказалось, что если
задан Рп(х) — многочлен с коэффициентами из поля k, над
которым уравнение Рп(х)—0 неприводимо, то можно (не
предполагая существования KzDk) построить поле разложения, т. е. ми*
нимальное поле, в котором
4=1
Основная теорема алгебры после этого приняла следующую
формулировку: поле любого полинома с вещественными или
комплексными коэффициентами является подполем поля комплексных
чисел или изоморфно этому подполю.
Другим из замечательных алгебраических открытий начала
XIX века было доказательство неразрешимости в радикалах
уравнения пятой степени. Выше мы сообщали, что поиски подходящей
формы иррациональности для решения отдельных классов
алгебраических уравнений постепенно сменились уверенностью, что,
по всей вероятности, это невозможно. Постановка задачи
обернулась: оказалось необходимым исследовать наиболее общие
выражения, в состав которых входят радикалы, с тем, чтобы выяснить,
могут ли они являться выражениями корней алгебраических
уравнений пятой степени. По этому пути пошел П. Руффини и его
современники в самом конце XVIII в.
Первое реальное продвижение удалось осуществить
скромному молодому норвежскому математику Нильсу Генрику Абелю
(1802—1829). За свою короткую жизнь он успел сделать так
много открытий в математике, что по праву может считаться одним
из наиболее выдающихся математиков. Начав с доказательства
невозможности решения в радикалах уравнений пятой степени,
Абель затем исследовал ряд классов специальных функций, в
первую очередь эллиптических и гиперэллиптических. Ему
принадлежат основополагающие результаты в общей теории
аналитических функций.
Еще в раннем возрасте (около 1820 г.) Абель
заинтересовался проблемой разрешимости алгебраических уравнений в
радикалах. Одно время ему казалось, что он нашел позитивное
доказательство этой проблемы. Вскоре выяснилось, что
доказательство ошибочно. Но именно оно сослужило юноше хорошую службу.
Абель получил правительственную степендию и возможность
выехать в Европу для усовершенствования в математических
науках.
Исправленное доказательство появилось в 1824 г. в «Мемуаре
об алгебраических уравнениях, где доказывается невозможность
179
Н. Г. Абель (1802—1829)
разрешимости общего уравнения пятой степени». В нем Абель,
независимо от Руффини, шел тем же путем. Он стремился
доказать, что наиболее общие выражения, содержащие радикалы, не
могут быть корнями общего алгебраического уравнения пятой
степени. Интересно, что это доказательство Абеля страдало тем
же недостатком, что и доказательство Руффини. Оно опиралось
на посылку, что корни резольвенты должны рационально
выражаться через корни данного уравнения.
180
Наконец, в 1826 г. в работе Абеля «Доказательство
невозможности алгебраической разрешимости уравнений, степень которых
превышает четвертую» многовековая проблема получила
удовлетворительное решение. В ней Абель исследовал уравнения пятой
степени с переменными коэффициентами. Решения он трактовал
как выражения корней через алгебраические функции
коэффициентов. Этот вид функций, как уточнял Абель, образуется из
аргумента посредством конечного числа четырех арифметических
действий и операции извлечения корня, показатель которого является
простым числом.
Доказательство Абеля (описанное подробно, например, в кн.:
Н. Г. Чеботарев. Теория Галуа. М.; Л., ГТТИ, 193/6. Т. 1)
начинается с построения наиболее общего вида алгебраических
функций:
v = q0+qiPl/n+ ... + <7n-iP(n-1)/n,
где п — простое число, qt — алгебраические функции того же
порядка, что v, но степени не выше, чем п—1; р — алгебраическая
функция порядка на единицу ниже, чем v, построенная так, что
она не выражается рационально через #o, ..., qn-\- Затем во втором
параграфе рассмотрены свойства алгебраических функций,
удовлетворяющих данному уравнению, и доказано, что если уравнение
алгебраически разрешимо, то его корню всегда можно придать
такой вид, что все алгебраические функции, из которых он
составлен, выражаются через рациональные функции корней данного
уравнения.
Следующий параграф посвящен вопросу о подстановках и о
числе различных значений, которые при этом могут принимать
функции нескольких переменных. Здесь доказана теорема,
позднее ставшая известной как теорема Коши: если число различных
значений v меньше р — наибольшего простого числа, не
превосходящего п, то оно не превышает 2. Отсюда получается, что не
существует функций от 5 величин, имеющих 3 или 4 различных
значения. Наконец, в четвертом параграфе показано, что никакое
самое общее радикальное выражение не может быть
универсальной формулой для корней уравнений степени >4.
Доказательства Руффини и Абеля не дают возможности
выделять классы уравнений, разрешимых в радикалах. Они не
исключают также возможности такой разрешимости в конкретных
случаях для уравнений с числовыми коэффициентами путем подбора
подходящих иррациональностей. Исследования надо было
продолжать. Перед Абелем, как и в свое время перед Лагранжем,
встала общая проблема разрешимости. И она решалась.
Лагранж нашел частный класс уравнений, разрешимых в
радикалах— циклические уравнения. Абель в «Мемуаре об одном
особом классе алгебраически разрешимых уравнений» (1829)
вновь рассмотрел класс циклических уравнений и отыскал для
них явные выражения корней через коэффициенты. Кроме того, он
рассмотрел еще один класс разрешимых уравнений, которые, по
181
Э. Галуа (1811—1832)
существу, являются нормальными уравнениями с коммутативной
(абелевой) группой Галуа.
Как в этой, так и в другой работе Абеля «Об алгебраической
разрешимости уравнений» (оставшейся незаконченной и
опубликованной лишь в 1839 г.), доказан ряд теорем, относящихся к
теории Галуа. Например, Абельдоказал теорему: чтобы неприводимое
уравнение было разрешимо в радикалах, необходимо и
достаточно, чтобы все корни были рациональными функциями двух
известных корней. В других теоремах он выявлял свойства нескольких
классов разрешимых групп. Фактически Абель исследовал
структуру коммутативных групп и доказал, что они являются
произведениями циклических. Однако само понятие группы и связанные
с ним термины у Абеля отсутствуют.
182
Итак, Абелю не удалось еще найти общий критерий
разрешимости уравнений с числовыми коэффициентами в радикалах. Но
решение и этого вопроса не заставило себя долго ждать. Его
нашел Эварист Галуа (1811—1832), французский математик,
проживший, как и Абель, очень короткую жизнь.
Э. Галуа успел написать мало работ. В русском издании все
его сочинения и черновые записи заняли лишь 120 страниц в
книге небольшого формата (Э. Галуа. Сочинения. М.; Л., ОНТИ,
1936). Но значение их огромно. Поэтому опишем его результаты
л замыслы подробнее.
Рассматривается уравнение
Рп(х)=хп+а1хп-1+ ... +an-ix + an = 0.
Определим для него область рациональности — совокупность
рациональных функций от коэффициентов уравнения
R(a>\, аъ ..-, ап).
Область R является полем, т. е. множеством, замкнутым по
отношению к четырем арифметическим действиям. Если аь а2, ..., ап
рациональны, то поле R является полем рациональных чисел;
если же коэффициенты произвольны, то R есть поле элементов вида
—*1' *2' ' ' *' а* , где числитель и знаменатель суть полиномы.
Q («1, а* ап)
Область рациональности можно расширить, присоединяя к ней
элементы, например корни уравнения. Если к области R
присоединить все корни уравнения, то вопрос о разрешимости уравнения
становится тривиальным. Задача разрешимости уравнений в
радикалах может ставиться только по отношению к определенной
области рациональности.
Галуа доказал, что для всякого уравнения Рп(х)=0 можно в
той же области рациональности найти некоторое уравнение
Qn(x)=0, называемое нормальным. Корни данного уравнения
Рп(х)=0 и соответствующего нормального уравнения Q(x)—0
выражаются друг через друга рационально. Нормальное
уравнение — это уравнение, обладающее тем свойством, что все его
корни рационально выражаются через один из них и элементы поля
коэффициентов. Примером нормального уравнения является
уравнение хп—1=0. Его корни:
Нормальным также является, например, квадратное уравнение.
Все подстановки корней нормального уравнения образуют
группу G. Это и есть группа Галуа уравнения Q(x)=0, или, что
то же самое, уравнения Рп(х)=0. Она обладает, как выяснил
Галуа, замечательным свойством: любое рациональное соотношение
между корнями и элементами поля R инвариантно относительно
подстановок группы G. Таким образом, Галуа связал с каждым
уравнением группу подстановок его корней. Он же ввел (1830)
183
термин «группа» и дал ему адекватное современному, хотя и не
столь формализованное, определение.
Структура группы Галуа оказалась связанной с задачей
разрешимости уравнений в радикалах. Чтобы разрешимость имела
место, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая группа
Галуа была разрешима. Это значит, что в данной группе
существует цепочка
нормальных делителей с простыми индексами рь Ръ •••> Рь..
Напомним, кстати, что нормальные делители, или, что то же самоеу
инвариантные подгруппы Я/, — это такие подгруппы группы G,
для которых справедливо gHi = Hig, где g — элемент группы G.
Общие алгебраические уравнения Рп(х)—0 при п^5, вообще
говоря, такой цепочки не имеют, так как группы подстановок
имеют только один нормальный делитель индекса 2 — подгруппу
всех четных подстановок. Поэтому эти уравнения в радикалах,,
вообще говоря, неразрешимы.
Аппарат, введенный Галуа для установления разрешимости
алгебраических уравнений в радикалах, имел значение,
выходящее за рамки указанной задачи. Его идея изучения структуры
алгебраических полей и сопоставления с ними структуры групп
конечного числа подстановок была плодотворной основой
современной алгебры. Однако она не сразу получила признание.
Перед роковой дуэлью, оборвавшей его жизнь, Галуа в течение
одной ночи сформулировал свои важнейшие открытия и переслал
их другу О. Шевалье для публикации в случае трагического
исхода. Это письмо было опубликовано вскоре после смерти Галуа,
однако идеи, содержащиеся в нем, не нашли отклика. Только
через 14 лет, в 1846 г., Лиувилль разобрал и опубликовал все
математические работы Галуа. В середине XIX в. в двухтомной
монографии Серре, а также в работе Э. Бетти (1852) впервые
появились связные изложения теории Галуа. И только с 70-х годов
прошлого века идеи Галуа начали получать дальнейшее
развитие в разных направлениях.
В области, наиболее близкой собственным идеям Галуа, новые
задачи группировались вокруг проблемы классификации
алгебраических иррациональностей и установления их арифметической
природы. Сюда, например, относится теорема Кронекера — Вебе-
ра, что корни абелевых уравнений (т. е. уравнений с
коммутативной группой) с рациональными коэффициентами рационально
выражаются через корни из единицы. Дальнейшие обобщения этой
теоремы привели к общей теории полей классов, где речь идет о
классификации всех абелевых расширений данного поля
алгебраических чисел. Последнее является конечным алгебраическим
расширением поля рациональных чисел. Современная теория
алгебраических чисел сложилась как соединение теории этих чисел с
теорией идеалов и теорией Галуа.
Постановка новых, более общих задач способствовала
быстрому усложнению теории Галуа и росту общности ее результатов,
184
Среди этих задач упомянем, например, проблему разыскания всех
уравнений, которые для заданной области рациональности
обладают определенной, наперед заданной группой. Проблемы такого
рода привели к 'изучению полей общих рациональных функций
(проблема Люрот — Штейница), а обобщения задачи о
разрешимости уравнений в радикалах — к проблеме общего характера о
возможности сводить уравнение к цепочке вспомогательных
уравнений с меньшим числом параметров. Первые общие результаты
здесь были получены лишь советским математиком Н. Г.
Чеботаревым в его теории резольвент. Другой советский математик
И. Р. Шафаревич в 1954 г. решил так называемую обратную
задачу теории Галуа: доказать, что для любой разрешимой группы
любого порядка, если расширяемое поле k0 алгебраических чисел
содержит корень /г-й степени из единицы, всегда существует
сколько угодно его расширений К, имеющих над k0 любую наперед
заданную разрешимую группу /г-го порядка.
Современная теория Галуа превратилась в сложную
разветвленную математическую дисциплину, включающую в себя
обширный материал о связях между свойствами уравнений,
алгебраических чисел и групп К
§ 5.5. НАЧАЛА ТЕОРИИ ГРУПП
Аппарат, введенный Галуа, в значительной степени опирается-
на понятие группы. Галуа же, по-видимому, независимо от Руф-
фини ввел соответствующий термин. Плодотворность этого
понятия и необходимость его введения были очевидны для многих
математиков. Группы подстановок фактически рассматривал еще
Лагранж. С 1815 г. Коши провел серию исследований по теории
конечных групп, доказав, в частности, теорему о том, что каждая
группа, порядок которой делится на простое число р} содержит по
крайней мере одну подгруппу порядка р.
В первой половине XIX в. факты теории групп играли еще
вспомогательную роль, главным образом в теории
алгебраических уравнений. Складывающаяся теория групп была еще
преимущественно теорией конечных групп — групп подстановок. К
середине века выяснилось, что понятие группы имеет более широкое
применение. В связи с этим в 50-х годах в работах Кэли и др.
начало появляться более общее, абстрактное определение группы.
Выяснилось, что наиболее важные свойства группы зависят не от
характера элементов подстановки, а от групповой операции.
Процесс перехода к абстрактной теории групп ускорился с 1870 г.,
после появления работы К. Жордана «Traite des substitutions et des
equations algebriques» («Трактат о подстановках и
алгебраических уравнениях»), где были подытожены результаты теории ко-
1 См.: Чеботарев Н. Г. Проблемы современной теории Галуа // Г а-
луа Э. Соч. М.; Л.: ОНТИ, 1936. С. 183—241; Чеботарев Н. Г. Собр. соч.
Т. III. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1950. С. 5—43; Чеботарев Н. Г. Основы
теории Галуа. М.: Гостехиздат, 1934—1937. Т. 1—2.
185
печных групп в применении к теории чисел, теории функций и
алгебраической геометрии.
К концу XIX в. теория конечных групп оформилась и достигла
высокого уровня. Появился ряд сводных трактатов, содержащих
^ее систематическую разработку. В это же время появились
первые приложения теории групп. В 1890—1891 гг. русский
кристаллограф и геометр Е. С. Федоров и немецкий математик А. Шен-
флис независимо друг от друга решили методами теории групп
задачу классификации всех кристаллических пространственных
решеток. Они установили наличие 230 пространственных групп
симметрии, состоящих из совокупности самосовмещений
кристаллических структур. Точки, получаемые друг из друга
преобразованием данной группы, называются гомологичными по отношению
к этой группе и образуют так называемую правильную систему. В
настоящее время исследование структуры кристаллических
веществ включает в себя определение их федоровских групп.
Дискретные конечные группы, к которым принадлежат
федоровские группы, получили распространение в теории многомерных
пространств в связи с теорией правильных многогранников в них.
В основе этих рассмотрений лежит теорема Жордана: число
конечных линейных групп заданного измерения конечно. Та же
теорема получила приложение на рубеже XIX—XX вв. в теории
алгебраических интегралов линейных дифференциальных уравнений,
римановых поверхностей и др. Например, Жордан указал на связь
между линейными дифференциальными уравнениями, имеющими
алгебраические интегралы, и конечными группами. Оказалось, что
необходимым и достаточным условием существования
алгебраических интегралов у линейного дифференциального уравнения
фуксова типа является условие конечности группы линейных
преобразований, претерпеваемых его интегралами при обходе
независимой переменной вокруг каждой из критических точек.
К концу XIX в. теория конечных групп сформировалась
настолько, что для нее приобрела актуальность проблема
классификации. Однако в общем виде эта проблема не решена до сих пор.
Чрезвычайные трдности возникают и при исследовании ее
частных аспектов.
При таком положении вещей в теории групп, когда выделено
общее, абстрактное понятие группы, естественно, возникал вопрос
об исследовании бесконечных групп, как непрерывных, так и
дискретных, а также о создании вычислительного аппарата,
приспособленного для нужд теории групп. Эти три типа вопросов были
поставлены и получили развитие в конце XIX — начале XX в.
Главные достижения здесь принадлежат ученикам К.
Жордана — Ф. Клейну и С. Ли, которые предприняли систематическое
изучение теории групп и ее возможных обобщений и приложений.
Норвежский математик Софус Ли распространил методы
теории групп на проблему интегрирования дифференциальных
уравнений. Он ввел около 1873 г. новый вид группы, названный им
«непрерывные группы преобразований». С каждым дифференци-
186
альным уравнением он связал такую группу преобразований,
которая оставляет его неизменным. Группы Ли состояли из
преобразований вида
x-+f(x, oti, а2, ..., ап)у
определяемых параметрами. Например, для вращения плоскости
параметрами являются углы поворота, для пространства — так
называемые эйлеровы углы. Перемножение двух преобразований,
являющихся элементами группы, дает преобразование, тоже
являющееся элементом группы. Параметры последнего связаны с
параметрами сомножителей непрерывными функциями
Fi—Fifau <X2i ..., an; (ii, P2, •••> Pn).
Группы, определенные таким образом, получили название
групп Ли. Структура групп Ли оказалась связанной с вопросом об
интегрируемости дифференциальных уравнений в квадратурах.
Соответствующие структурные свойства групп Ли по аналогии с
теорией Галуа были интерпретированы как свойства
разрешимости. Ли классифицировал всевозможные группы преобразований
на плоскости и построил таблицу нормальных типов
дифференциальных уравнений с указанием, решаются ли они в квадратурах.
Вопрос, вытекает ли из непрерывности функций Ft существование
таких параметров в группе, для которых функции Ft аналитичны,
был включен Д. Гильбертом в число его знаменитых проблем и в
настоящее время решен положительно 1.
Другое важное приложение теории непрерывных групп было
осуществлено около 1872 г. Ф. Клейном. Мы имеем в виду
концепцию Клейна, что любая из геометрий (евклидова, аффинная,
проективная и т. д.) имеет в своей основе некоторую
непрерывную группу преобразований и представляет собой, по существу,
учение об инвариантах этой группы.
Открытие столь многообразных приложений теории
непрерывных грулп было причиной введения еще более общего,
абстрактного определения непрерывной группы. В него входит требование
задания предельного перехода, согласованного с группой
операций. Вскоре Ван Данцигу удалось показать, что это определение
более общее, нежели введенное Ли, и что существуют
непрерывные группы, не являющиеся группами Ли. Так как при этом
определении отвлекаются от того, что элементы группы являются
преобразованиями, то приходят по существу к топологической группе
и к топологическому пространству. В связи с этим создалась
настоятельная необходимость объединить отдельные топологические
факты в единую теорию. Это было сделано А. Пуанкаре в его
знаменитом мемуаре «Analysis situs» («Анализ положения»)
(1895) и в пяти прибавлениях к нему (1899—1911).
На рубеже XIX и XX вв. теория групп стала необычайно
разветвленной, образовав ядро современной алгебры. Ее составляет
1 См., например: Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М.; ГТТИ,
Д954.
187
ряд высокоразвитых теорий: конечных групп, бесконечных
дискретных групп, непрерывных групп, в том числе групп Ли.
Теоретико-групповые методы проникли в ряд математических
дисциплин и их приложений. Открытия де Бройля, Шредингера, Дирака
и др. в квантовой механике и в теории структуры материи
показали, что современная физика должна опираться на теорию
непрерывных групп, в особенности на теорию представлений групп
линейными операторами, теорию характеров и т. д., разработанные
Картаном, Г. Вейлем и другими учеными.
Прошло около половины столетия после работ Гаусса, Абеля и
Галуа и центр тяжести в алгебраических исследованиях
переместился в теорию групп, подгрупп, колец, структур. В алгебре
вступил в свои права период современной математики.
§ 5.6. О ДРУГИХ НАПРАВЛЕНИЯХ В ИСТОРИИ АЛГЕБРЫ
Из богатой и разнообразной истории алгебры XIX в. мы
выделили сравнительно небольшую область формирования некоторых
основных понятий. Это сделано потому, что в выделении
немногих алгебраических объектов — группы, поля, а позже кольца и
структуры — ив создании соответствующих теорий отражаются
главные изменения, происшедшие в алгебре в течение XIX —
начала XX в. Эти изменения предопределили основные направления
развития алгебры в первой половине XX в.
Более обстоятельное исследование истории создания
современной алгебры связано с решением нескольких историко-матема-
тических задач.
Во-первых, необходимо проследить обогащение теории групп,
а также теории других основных алгебраических понятий
фактическим материалом, позволяющим полнее раскрывать их свойства.
Так, наряду с историей конечных и непрерывных бесконечных
групп большой интерес в силу их важности для приложений
вызывают бесконечные дискретные группы.
Во-вторых, перед исследователями встает задача раскрытия
связей теории групп (а также теории полей, колец и структур)
с другими математическими дисциплинами. Например,
наметившееся внедрение теоретико-групповых рассмотрений в область
топологических свойств привело к тому, что теперь каждый
топологический образ характеризуется в известной мере своей
фундаментальной группой, в общем случае бесконечной. Особенно
велика, по-видимому, роль теории групп в теории узлов, частным
случаем которых являются косы. Среди многих задач, которые
здесь предстоит решить, можно назвать, например, задачу
подробного выяснения того обстоятельства, что в топологических
образах фундаментальные группы несут, по-видимому, функции,
сходные с функциями групп Галуа в алгебраических полях.
История алгебры XIX в. будет неполной, если исследователь
не обратит внимания, в-третьих, на формирование линейной
алгебры, выраставшей из теории систем линейных уравнений и свя-
188
занной с ней теории определителей и матриц. Во второй
половине XIX в. велись активные исследования теории инвариантов
уравнений, т. е. выявления функций их коэффициентов,
сохраняющих свои значения при том или ином заданном классе
преобразований. На этом пути развития выросла более общая теория
форм, нашедшая применение не только в алгебре, но и в других
областях математики: теории чисел, дифференциальной геометрии,
алгебраической геометрии, механике и др., а также в их
приложениях.
Мы не смогли, наконец, выделить место для освещения
истории гиперкомплексных числовых систем Гамильтона и Грассма-
на, созданных в 1830—1840 гг., и для богатой совокупности
средств изучения векторных пространств, играющих ныне столь
важную роль в исследовании различных, казалось бы,
математических теорий с единых, весьма общих позиций.
§ 5.7. ОЧЕРК ИСТОРИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
В тексте настоящей книги мы время от времени приводили
разрозненные факты, относящиеся к свойствам целых,
рациональных, алгебраических чисел, а также любых других чисел,
вытекающие из приближений их рациональными числами. Связный
очерк истории подобных проблем мы помещаем в настоящей главе
на том основании, что они к XVIII в. еще были тесно связаны с
алгебраической проблематикой. В то же самое время начинался
процесс выделения теории чисел в отдельную область
математики.
Еще в Древней Греции, как мы упоминали, были выделены по
принципу общности свойств различные подмножества целых
чисел: простые, квадратные, совершенные, полигональные,
составляющие пифагорейские тройки, и др. Там же была разработана
стройная теория делимости, доказана бесконечность числа
простых чисел в натуральном ряде, изобретен алгоритм Евклида.
Сочинения Диофанта представили много примеров раннего и
высокого развития неопределенного анализа. История математики в
Китае и Индии свидетельствует о раннем появлении ряда теорем
теории сравнений и других фактов теории чисел.
Однако развитие теории чисел происходило весьма медленно.
Между новыми открытиями проходили десятилетия, а иногда и
века. Теоретико-числовые результаты достигались в большинстве
выдающимися учеными и оставались изолированными.
Возможными причинами этого были: специфичность предмета теории
чисел, возрастающая абстрактность в постановке задач этой теории,
необычайная трудность их решения, требующая высокого
развития математики и незаурядных личных качеств ученого. В силу
этих причин существенное обогащение теории чисел и ее
формирование и обособление имели место лишь в XVII—XVIII вв. В
этот период ее проблемами занимались несколько крупных
ученых: Ферма, Декарт, Б. Паскаль, Валлис, Лейбниц, Эйлер и др.
189
В течение XVII в. наибольших результатов добился П. Ферма.
В его переписке и на полях принадлежавшей ему книги сочинений
Диофанта содержится большое число теоретико-числовых
результатов. В частности, Ферма записал там свою знаменитую
«великую» теорему: уравнение хп + уп = zn для целых показателей при
/г>2 неразрешимо в целых числах. Приписка Ферма гласила,
что он владеет поистине чудесным доказательством, но на полях
недостаточно места, чтобы его записать. Однако общее
доказательство этой теоремы не найдено до настоящего времени, хотя ею
занимались многие величайшие математики и бесчисленное
множество любителей. Теорема приобрела популярность в начале
XX в., когда за решение этой задачи некий Вольфскель установил
премию в 100 тысяч марок (лремия была отменена в конце первой
мировой войны).
Своей постановкой великая теорема, по-видимому, была
обязана стремлению Ферма обобщить теорему о составлении
пифагорейских троек целых чисел. Тот же источник можно с большой
уверенностью назвать и для малой теоремы Ферма, в связи с
которой он исследовал делимость чисел и проблему нахождения
всех делителей заданного числа. К этому же кругу вопросов
относятся работы Ферма о совершенных и других числах специальной
структуры.
Большое место в исследованиях Ферма, разумеется, занял
неопределенный анализ Диофанта, т. е. целочисленные решения
неопределенных уравнений и их систем. Особое внимание он уделил
уравнениям вида ах2-\-1=у2> где а не есть точный квадрат.
Относительно этого уравнения, за которым впоследствии из-за
случайной обмолвки Эйлера утвердилось название уравнения Пелля,,
Ферма умел: а) находить его наименьшее решение; б) получать,
зная наименьшее, все остальные решения.
К XVIII в. в математике накопилось много теоретико-числовых
фактов, порой весьма важных и сослуживших в дальнейшем
полезную службу при появлении новых областей математики.
Однако эти факты не были систематизированы, связи между ними не
раскрыты, возможности применяемых методов не изучены. К
тому же после работ Ферма, Паскаля и др. в теории чисел
наступило полувековое затишье, вплоть до того времени, когда теорией
чисел занялся Эйлер. С его именем связано становление теории
чисел как науки. Проблемы этой области математики находились
в поле зрения Эйлера в течение всей его жизни. Им он посвятил,
как подсчитано, огромное число работ: около 150.
По-видимому, первым стимулом к занятиям Эйлера теорией
чисел была переписка с Гольдбахом. Последний в письме от 1
декабря 1729 г. спрашивал: «Известно ли тебе замечание Ферма о
том, что все числа вида 22*~1 +1, именно 3, 5, 17 и т. д., суть
простые, причем сам он, по его признанию, не смог этого доказать
и, насколько я знаю, после него никто не доказал»1.
1 Correspondance mathematigue et physique de quelques celebres geomtres du
XVIII siecle.St. Pet., 1843. T. I. S 10.
190
Вскоре (1732—1733) Эйлер доказал, что теорема Ферма
неверна уже для л:—6, ибо число 225 +|1= 4294967297 делится на 64L
Кроме того, он доказал ряд теорем, относящихся к проблеме
делимости, в том числе малую теорему Ферма.
Нахождение доказательств, обобщений или опровержений
теорем Ферма было только первым этапом теоретико-числовых
исследований Эйлера. В последующем он охватил и развил все
основные разделы теории чисел, как алгебраической, так и
аналитической, определив ее состав и методы на много лет вперед. В
алгебраической теории чисел, т. е. той ее части, в которой
используются по преимуществу методы арифметики и алгебры и не при-*
влекается по возможности аппарат теории функций и анализа
бесконечно малых, ему прежде всего принадлежат работы по тео-
рии делимости, выросшей к нашему времени в теорию сравнений.
Помимо доказательства малой теоремы Ферма Эйлер ввел
функцию у(т), значение которой равно числу чисел, меньших т и
взаимно простых с ним. Относительно этой функции он доказал,
что если а и Ь взаимно просты, то <p(ab) =ср(а)<р(&) и что ср{ра) =
—ра—ра~\ если р простое и а целое. Затем он нашел выражение
ср(т) для произвольного т, если известно представление т в
виде произведения простых чисел, и доказал, что а4*™)—1 делится на
//г, если а и т взаимно просты.
Эйлер ввел понятие первообразного корня по модулю т:
число g называется первообразным корнем по модулю га, если gk—1
делится на т тогда и только тогда, когда k кратно <р(т). Им
введено также понятие индекса числа N по модулю т при основании
g, т. е. показателя степени k числа gf такого что разность gh—N
делится на га. Он нашел ряд свойств индексов, доказал
существование первообразного корня по любому простому р и теорему
Вильсона: (га—1)! + 1 делится на га, если га — простое число.
Эйлер ввел понятие степенных вычетов и создал их теорию.
Число а он назвал вычетом степени п по модулю р, если
существует такое целое число х, что хп—а делится на р. Он показал, что
свойства степенных вычетов важны не только для решения
двучленных сравнений
xn—a=0 (modp),
но и для других задач, например для задачи представления
чисел квадратичными формами. Занимаясь свойствами квадратичных
вычетов, он открыл (1722) знаменитый и теперь закон
взаимности: даны два простых числа р и q\ если хотя бы одно из них
имеет вид 4я+1, то сравнения
A:2=p(mod q),
x2=q(modp)
являются одновременно разрешимыми. Если же и р и q имеют
вид An + 3, то из разрешимости одного из уравнений следует
неразрешимость другого.
После Эйлера квадратичный закон взаимности доказал Ле-
жандр (однако его доказательство было неполным), Гаусс до
191
1801 г. дал восемь доказательств этого закона. Наконец, Лежандр
к 1808 г. нашел удобную форму записи квадратичного закона
взаимности:
Р-Л ?-1
введя символ
/ р \ _ / если Р есть квадратичный вычет по mod g,
\я J \ если р есть квадратичный невычет по mod q-
Не менее велик вклад Эйлера в развитие диофантова анализа
(решения неопределенных уравнений в целых и рациональных
числах), для нужд которого он разработал и строго обосновал
теорию непрерывных дрюбей. Здесь прежде всего заслуживает
упоминания доказательство великой теоремы Ферма при п=3 и
а=4. Для этого Эйлер использовал и развил метод спуска,
изобретенный Ферма и состоящий в следующем. Пусть существует
нетривиальное решение (xq, уо, z0) уравнения Ферма,
удовлетворяющее условию х0у02ОФ0. Тогда оказывается возможным найти
другое нетривиальное решение (х\, уь Z\)y элементы которого
также натуральны и соответственно меньше по величине, чем
(х0, уо, z0). Продолжая, мы придем к неограниченной
последовательности убывающих троек натуральных чисел, т. е. к
противоречию. Эйлер доказал множество теорем, примыкающих к
указанной теореме Ферма, более подробное рассмотрение и перечисление
которых представляло бы интерес лишь для специалистов.
Из других задач диофантова анализа Эйлер уделил большое
внимание задаче отыскания целочисленных решений уравнения
второго порядка с двумя неизвестными и целыми коэффициентами
ax2+pxg+cy2+dx+ey+f=0.
Вопрос о получении бесконечного числа решений, если известно
одно решение (х0, у0), Эйлер свел к решению уравнения Пелля
x2—Dy2= 1
(D — натуральное неквадратное число).
В широкую и разветвленную алгебраическую теорию чисел,
создаваемую Эйлером, входят работы о представлении чисел
квадратичными формами ах2-\-Ьу2. Еще Валлис (1685) утверждал,
что всякое число можно разложить на простые множители
единственным образом. Ему принадлежит теорема, что число простых
делителей числа m=px-q»-rv (р, q, г, ... — простые) равно
(k+l) (fj,+|l).(v+l), ..., а их сумма равна
pM-i-t (^+1-1 rv+1-l
р— 1 д— 1 г—1
192
Для нахождения простых делителей больших чисел Эйлер
построил метод, основанный на представлении этих делителей в виде
квадратичных форм. Последние должны обладать тем свойством,
что простые числа представляются, если возможно, единственным
образом, а сложные — неединственным или не представляются
вообще. Оказалось, что подобное свойство зависит от произведения
n=ab. Те числа п, которые порождают формы такого вида, Эй*
лер назвал удобными и нашел критерий удобности числа: число
п является удобным, если для каждого целого х<УЗп, взаимно
простого с я, сумма п-\-х2 будет или простое, или удвоенное
простое, или квадрат простого, или степень числа два. Удобных чисел
Эйлер нашел 65, наибольшее из них — 1848. Предположение
Эйлера, что 1848 — последнее удобное число, до сих пор не
доказано.
В трудах Эйлера содержались все предпосылки для создания
системы алгебраических методов теории чисел. Они послужили
источником для позднейших исследований. Например,
исследования Эйлера о представлении чисел значениями квадратичных
форм и о виде простых делителей легли в основу созданной
Гауссом общей теории квадратичных форм. Попытка Куммера
(1847) продолжить работу Эйлера по решению великой теоремы
Ферма помимо доказательства ее для я<Л00 привела к открытию
отсутствия единственности разложения на простые множители в
алгебраических полях и к созданию теории идеалов. Работы по
теории сравнений и открытия квадратичного закона взаимности
повлекли обобщения Э. Куммера, Д. Гильберта и др.,
завершенные наиболее общей формой этого закона, найденной и
доказанной И. Р. Шафаревичем.
Особо важным этапом развития теории чисел являлось
применение к решению ее задач методов математического анализа. Эта
часть теории чисел — аналитическая — берет свое начало также
в XVIII в. в трудах Эйлера. Последний разработал аналитические
методы для решения проблемы распределения простых чисел в
ряду натуральных чисел, а также для ряда аддитивных проблем.
Эти методы раскрывают связи между свойствами целых чисел и
свойствами аналитических функций.
Первая из указанных проблем была решена на основании
применения так называемой дзета-функции, введенной Эйлером:
и тождества Эйлера
y_L = n_L_
а=1 р 1—
Р*
(п — натуральные, р — простые). Рассматривая значения обеих
частей этого тождества при s>l и сколь угодно близких к
единице, Эйлер смог дать аналитическое доказательство известного со
193
времен Евклида факта бесконечности числа простых чисел в
натуральном ряду. Кроме того, он высказал утверждение (не дав
ему строгого доказательства):
Настойчивые поиски аналитически выраженного закона
распределения простых чисел, как известно, не привели к успеху до
сих пор. Некоторые подходы к решению, впервые после Евклида,
появились у Эйлера, высказавшего предположение, что
неограниченная арифметическая прогрессия, а0 и d которой — простые,
содержит неограниченно много простых чисел. Лежандр,
разделявший с Эйлером эту уверенность, тоже не дал доказательства.
Доказать гипотезу Эйлера удалось только в 18S7 г. Дирихле.
Лишь в 1798 г. Лежандр отыскал эмпирическую формулу для
функции п(х), значения которой равны числу простых чисел
р^х:
к(х) =
lnx — 1,08366
Позднее Чебышев (1848) установил, что п(х) при возрастании
х колеблется около отрезков ряда, асимптотически
приближающего
Li<*)-f-?,
J Inx
2
и дал близкие оценки амплитуды этих колебаний.
Для комплексной плоскости Риман заметил, что порядок
разности п(х)—1л(Х) зависит от расположения так называемых
нетривиальных нулей функции t,(x), действительные части которых
лежат между нулем и единицей. Он высказал также гипотезу, что
все действительные части при этом лежат на прямой х — —.
Строгая оценка значения к(х) в предельном случае
lim-^-=l
Х-оо U{X)
появилась лишь в 1896 г. Относительно же гипотезы Римана
авторы настоящего доказательства Адамар и Валле-Пуссен смогли
найти только, что на прямой
х=1, s=x-\-iy
нет нулей t>(s)-
Весьма значительным является вклад математиков XVIII в„
(по преимуществу Эйлера) в аддитивную теорию чисел, где
изучаются разложения больших и целых чисел N на слагаемые
194
N = aiit + a2i2 + . . . + a>is.
взятые из некоторых числовых последовательностей {cijk}.
Задачи аддитивной теории чисел (или, как ее тогда называли,
partitio numerorum) ведут свое происхождение, по-видимому,
от задачи Фибоначчи о гирях: как подобрать числа (веса гирь)
о>\, аъ аз, ..., чтобы всякое число могло быть представлено как их
сумма. Лейбниц (1674) в связи с этой задачей отметил, что число
3 допускает три разбиения, 4 — пять разбиений, 5 — семь, 6 —
одиннадцать^ а 7 — пятнадцать разбиений.
Эйлер занимался проблемами partitio numerorum с 1741 г. Он
исходил из двух бесконечных произведений
оо о»
no+<v» и ПО-М-1.
i i
которые раскладывал в ряд по степени г. Коэффициент при гп
первого степенного ряда есть сумма всех произведений,
содержащих п чисел из ак без повторений. Во втором ряду будут те же
суммы, но с произвольными повторениями ак.
Для решения задачи о числе представлений целого числа N
суммами k натуральных чисел, одинаковых или различных, Эйлер
рассматривал два произведения
/1(*)=П(» + ***)=2л»(ф*.
1 о
где
k+t к=1
Здесь йпк — число представлений числа k в виде суммы п
различных положительных слагаемых, а bnk — число представлений
k в виде суммы п произвольных положительных слагаемых без
учета порядка сложения. Далее Эйлер находил функциональные
уравнения для f\(z) и f2(z) и с их помощью определял функции
Ап(х) и Вп(х):
Ап(х) = , Вп(х) = .
пч 7 (1-х) . . . (1-хп) ч ; (1— х) . . . (\-хп)
Разлагая в степенной ряд функцию
оо
..(1-х") =JU°nkXk'
(1-х)... (1-х") _^о
195
Эйлер свел свою задачу к задаче отыскания числа решений
уравнения в целых неотрицательных числах хъ ..., хп, которое равно
Cun- Он построил для этого таблицу чисел CnN.
Далее, определяя числа сп из
или, что то же, число решений уравнения
в целых неотрицательных хь ..., хп, он эмпирически нашел, что
•• со / Зл2—п Зпг+п\
П (1-х") = 2+ 2J(-I)"^~2- +x~J.
1 1
Опираясь на соотношения между произведениями и степенными
рядами, Эйлер доказал много предложений о числе
разнообразных представлений целых чисел. Отметим здесь два из них:
во-первых, тождество для суммы делителей числа п (/ — знак
суммы)
f (п) - j (п-1)+ J (л-2)- J (/2-5)- J (Л-7) +
"+l-,',[J("-iTi)+J(,,-!!r!)}
во-вторых, теорему, что всякое целое число может быть
единственным образом представлено суммой степеней числа 2, что
вытекает из
П(1+*«*) = 2*п.
о о
Метод Эйлера, по существу, явился методом производящих
функций. После примерно столетнего перерыва, с конца XIX в.,
этот метод стали широко применять как в теории чисел, так и в
других математических дисциплинах: комбинаторном анализе,
теории вероятностей и др. В теории чисел он был существенно
усовершенствован И. М. Виноградовым, а также Г. Харди и
Дж. Литвудом.
К аддитивным задачам теории чисел, поставленным в XVIII в.,
относится и задача Варинга (1770): всякое натуральное число
>2 представимо суммой п-х степеней натуральных чисел, причем
число членов г суммы зависит только от п. Варинг не дал ее
доказательства. Позже Лагранж доказал ее для /г=2, г=4. Затем
было установлено, что для /г=3, г^.7 и что г>п. Лишь в 1909 г.
Гильберт дал первое общее доказательство. Он установил
конечность для всех п, но не смог дать для г достаточно хорошую оцен-
196
ку. В 1919 г. Харди и Литлвуд нашли, что г^л-2п-!, а позднее, что
г<(п—2)27г~1 + 5. В 1934 г. И. М. Виноградов при помощи
созданного им нового метода тригонометрических сумм существенно
продвинулся в решении задачи Варинга, дав почти
исчерпывающую оценку r^3tt(lim+ll) для больших п. Этим же методом он
доказал одну из проблем Гольдбаха, что всякое достаточно
большое нечетное число является суммой трех простых чисел. Две
другие проблемы Гольдбаха: всякое четное число есть сумма двух
простых и всякое нечетное число есть сумма простого и двух
квадратов — остаются нерешенными до настоящего времени.
В завершение нашего обзора аналитических методов теории
чисел XVIII в. упомянем исследования арифметической природы
чисел. Применение аппарата цепных дробей, разработанного
главным образом Эйлером, позволило Ламберту в 1767 г.
доказать иррациональность числа я1, а также ет для т —
рационального. Трансцендентность этих чисел была установлена лишь в
конце XIX в.: доказательство трансцендентности числа е дано в
1873 г. Ш. Эрмитом, а числа я — в 1882 г. Ф. Линдеманом.
Постановка проблемы об арифметической природе чисел типа а^п —
= Ь принадлежит Эйлеру, который во «Введении в анализ
бесконечных» (1748; § 105) указывал, что логарифм рационального
числа при рациональном основании, не являющийся целым,
должен быть трансцендентным. В частности, он утверждал, что в
выражении а^л=Ь, где п не есть квадратное число, а и Ъ не могут
быть одновременно рациональными. В более общем виде эту
проблему сформулировал Д. Гильберт как проблему об
арифметической природе чисел аъ ддя а и b алгебраических. В 1929—
1934 гг. А. О. Гельфонд полностью решил эту задачу, доказав, что
число вида аъ, где а — алгебраическое, отличное от нуля и
единицы, а & — алгебраическая иррациональность, является
трансцендентным.
Теория чисел в XVIII в., по существу, переросла в отдельную
область математики. В ней определились практически все главные
проблемы и направления. В сочинениях Эйлера, Лагранжа, Ле-
жандра, Ламберта и других математиков были выработаны
многочисленные методы теории чисел, как
элементарно-алгебраические, так и аналитические. Все эти исследования, естественно,
нуждались в систематизации и приведении к логически стройной
структуре с единых позиций. Эта работа в конце XVIII в. была
начата Лежандром, который опубликовал в 1797—1798 гг. «Опыт
теории чисел», имея целью построить систему сведений о
свойствах целых чисел. В дальнейших переизданиях он дополнял ее
результатами Гаусса, Абеля и других математиков XIX в. В двух
томах этой книги содержится огромный материал, накопленный в
1 См.: Ламберт И. Г. Предварительные сведения для ищущих
квадратуру и спрямление круга //«О квадратуре круга». М.; Л.; ГТТИ, 1934. С. 105—
166.
197
теории чисел, что придает ей помимо исторического практическое
значение как весьма полезного справочника.
Характер и направление исследований по теории чисел в
течение почти всего XIX в. были по существу определены работами
Гаусса. Свое основное сочинение в этой области «Арифметические
исследования» Гаусс начал в 1797 г., и к 1801 г., когда его
автору было всего 24 года, оно вышло в свет. Последующие
теоретико-числовые работы Гаусса появились в 1811 г. и в период 1828—
1832 гг.
Заслуги Гаусса в развитии теории чисел огромны. Мы имеем
возможность отослать заинтересованного читателя к прекрасной
статье Б. Н. Делоне «Работы Гаусса по теории чисел»1,
ограничившись здесь краткими оценками.
Уже упоминалось, что Гаусс много сил отдал изучению
квадратичного закона взаимности, дав ему восемь строгих
доказательств. Изучая квадратичные формы, он, по существу, сделал
арифметику исходным пунктом и образцом для последующей
разработки арифметики алгебраических расширений, вплоть до
работ Д. Гильберта по теории полей классов.
Гаусс открыл и доказал биквадратичный закон взаимности и
построил арифметику целых комплексных чисел. Аппарат теории
сравнений, столь употребительный в наши дни, обязан своим
возникновением Гауссу. Для построения в XIX в. теории
алгебраических чисел эта группа открытий послужила отправным пунктом
и образцом.
В своих исследованиях Гаусс ввел и изучил целый ряд групп:
группу классов форм одного дискриминанта, группу родов и др.
На конкретных примерах он первый изучил структуру абелевых
групп. В частности, он показал, что абелева группа является
прямым произведением групп циклических, доказав тем самым
основную теорему теории абелевых групп.
Считается общепризнанным, что со времен работ Гаусса
теория чисел развивается уже как стройная теория2, задачи которой
побуждают к развитию новых и тонких методов анализа (в
особенности теории функций комплексного переменного), алгебры и
даже геометрии. Определялись и основные направления теории
чисел: а) разработка специальных методов теории чисел, носящих
иногда название элементарных; б) аналитические методы,
применяемые по премуществу к задачам распределения; в) диофантовш
уравнения и диофантовы приближения.
Далее мы будем возвращаться к вопросам развития теории
чисел (например, в связи с рассмотрением фундаментальных
исследований П. Л. Чебышева). При этом, однако, характер и
размеры настоящей книги не позволяют дать общий, более или менее
детальный, обзор теории чисел и ее взаимосвязей с другими
математическими науками.
1 В сб.: «Карл Фридрих Гаусс». М.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 11—12.
2 См. Г е л ь ф о н д А. О., Л и н н и к Ю. В. Чисел теория. БСЭ, 2-е изд.
1957. Т. 47. С. 386.
198
ГЛАВА 6
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: НАЧАЛО ПУТИ
Настоящую главу и две последующие мы посвятим истории
математического анализа. Этим термином обозначают
совокупность математических дисциплин, в которых основными
объектами исследования являются функции. Для оперативной стороны
математического анализа характерно введение, кроме
общепринятых, двух специальных операций: дифференцирования и
интегрирования функций. Значение математического анализа
определяется тем, что его средствами исследуют движения, непрерывно
изменяющиеся состояния, процессы. В состав математического
анализа входят многочисленные теории, в которых исследуются:
а) свойства классов функций; б) способы представления
функций; в) дифференциальное и интегральное исчисление; г)
дифференциальные уравнения и многие другие вопросы. Область
приложений математического анализа практически необъятна.
Поэтому его включают в учебные планы подавляющего большинства
специальностей, даже не математических.
§ 6.1. НАКОПЛЕНИЕ ИДЕЙ АНАЛИЗА БЕСКОНЕЧНО
МАЛЫХ
Отправной точкой развития анализа бесконечно малых было
появление во второй половине XVII в. практически одновременно
и независимо друг от друга дифференциального и интегрального
исчислений. Оно было создано в двух формах. И. Ньютон создал
теорию флюксий, Г. В. Лейбниц — исчисление дифференциалов.
Почти тотчас после установления их эквивалентности новому
исчислению было дано общее имя: анализ бесконечно малых.
Первой публикацией стала статья Г. В. Лейбница «Новый
метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого
не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные
величины, и особый для этого род исчисления». Она появилась в 1684 г.
в октябрьском номере журнала «Acta Eruditorum» («Деяния
ученых»). Речь в ней идет, как на это указывает заголовок, о
дифференциальном исчислении. На русском языке это сочинение
впервые было напечатано в 1948 г. в журнале «Успехи
математических наук» (Т. 3. Вып. 1 (23). С. 165—204). В состав
преподаваемых математических наук сведения из анализа бесконечно малых
начали входить с 1696 г., когда вышел в свет первый учебник,
который написал Г. Ф. Лопиталь (1661—1704).
Анализ бесконечно малых является исчислением. Построить
математическое исчисление означает: выделить класс задач, по-
199
стацовки которых и имеют явные общие черты; выработать
вычислительные приемы, алгоритмы, единообразно применяемые при
решении выбранного класса задач; составить единую систему
отправных понятий, на которую выделенный класс алгоритмов мог
бы опираться; разработать единую символику, которая позволяет
единообразно, даже формально, почти автоматически производить
и записывать операции избранного класса и результаты.
Чтобы математическое исчисление построить, субъективных
устремлений и личных способностей математиков всегда
недостаточно. Необходимо наличие и воздействие более значимых
объективных факторов. Главнейшие из них: достаточно сильная
потребность, практическая или теоретическая, в решении определенного
класса задач или теоретических проблем, общность которых в
достаточной степени осознается; наличие конкретных результатов, в
основном достаточных, чтобы стало возможным строить
исчисление. Поэтому в истории каждому математическому исчислению
предшествует период накопления предпосылок, своего рода
«эмбриональный» период.
§ 6.2. ИСЧИСЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ:
«ЭМБРИОНАЛЬНЫЙ» ПЕРИОД
Попытки применить в математических исследованиях
бесконечно малые известны издавна. В гл. 2 настоящей книги было
показано, что такие попытки берут свое начало со времен
формирования первых математических теорий, математической науки
вообще. Дошедшее до нас математическое наследие древних
содержит, в частности, методы анализа бесконечно малых величин
(иначе, инфинитезимальные методы от латинского: infinitesimal
т. е. бесконечно малые). Мы имеем в виду:
а) метод исчерпывания, в котором бесконечно малые
элементы привлекались для доказательства равенства рассматриваемых
величин или их отношения;
б) методы суммирования бесконечно малых величин, в которых
искомые величины были получены как пределы сумм
неограниченно большого числа бесконечно малых величин и которые
справедливо считаются предтечами определенного интегрирования;
в) методы, с помощью которых рассматривались пределы
отношений бесконечно малых величин, что позволяет рассматривать
их как ранние формы дифференциального исчисления.
Процесс накопления предпосылок, достаточных для
возникновения анализа бесконечно малых, оказался длительным, более
2000 лет, вплоть до XVII века. Именно тогда этот процесс
приобрел такое ускорение, которое быстро (менее чем за половину
столетия.) привело к появлению и самостоятельному существованию1
исчисления бесконечно малых.
Это явление ускорения происходило в Европе в обстановке
важных изменений, сопровождающих установление нового
общественного и экономического строя — капиталистического. Основой
200
социального переустройства и важнейшей его составной частью
было преобразование производства на базе изобретенных паровых
машин, т. е. то, что называют часто технической революцией.
Революциям, социальной и технической, сопутствовала
революция научная. Она, как и другие виды революций того времени,
совершалась не сразу, а в течение сравнительно длинного периода
времени. Перестройка естественнонаучных и математических
знаний началась в XV—XVI вв., в эпоху великих географических
открытий (и начала эпохи колониального грабежа). Постепенно, но
достаточно быстро преобразования охватили географию,
астрономию, оптику, а затем и другие области знания. Также
постепенно и в разных формах вызревала научная концепция единства
мира и взаимосвязанности явлений, в нем происходящих.
Следствием развития такой основной идеи были поиски единой научной
системы, которая объясняла бы с единых позиций все
естественнонаучные факты, всю «натуральную философию» (общую науку
о природе) и давала бы аппарат для ее изучения.
По этому поводу Ф. Энгельс писал: «При таком положении
вещей было неизбежным, что первое место заняло элементарнейшее
естествознание — механика земных и небесных тел, а наряду с
ней, на службе у нее, открытие и усовершенствование
математических методов. Здесь были совершены великие дела»1.
Необходимость в совершении упомянутых Ф. Энгельсом
великих дел осознавалась быстро возрастающим числом
ученых-естествоиспытателей. Процесс сосредоточения интересов на указанной
тематике ускорялся под воздействием весьма побудительных
мотивов.
Самые мощные стимулы исходили, естественно, из практики,
из необходимости срочно решать насущные проблемы техники и
вообще практической деятельности людей. Приведем, для приме**
ра, некоторые из таких проблем: а) задачи гидротехники
(усовершенствование насосов, течение водных потоков, расчеты шлюзов и
плотин); б) задачи, вытекающие из практики кораблестроения и
мореплавания (движение твердых тел в жидкости и отыскание
таких их форм, которые вызывали бы наименьшее сопротивление;
определение положения корабля в открытом море, изготовление
географических карт; расчеты устойчивости плавающих тел);
в) задачи, связанные с применением огнестрельного оружия
(траектории движения бросаемых тел в пустоте и в среде,
оказывающей сопротивление). Можно упомянуть и другие проблемы. Для
решения каждой из них требовалось математическое описание и
исследование функций, а также выражение результатов в числах.
В науке тех времен это выразилось прежде всего в попытках
построения универсальных по возможности методов механики —
универсальной динамики. На этом пути появились, например,
гелиоцентрическая система движения планет Н. Коперника;
математические законы движения планет по эллиптическим орбитам
И. Кеплера; система динамики Г. Галилея, в которой многое
1 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т. 20. С. 347.
2Н
основывалось на принципе инерции и где была решена задача о
траектории бросаемых тел, обладающих тяжестью (хотя и без
учета сопротивления среды). Эта линия развития науки была в
известном смысле завершена, когда И. Ньютон, написал
«Математические принципы натуральной философии» (1687).
Решение упомянутых проблем приводило в математике к
усилению роли инфинитезимальных задач, т. е. таких, где в
рассмотрение вводились бесконечно малые элементы, например задачи о
квадратурах сложных профилей, кубатурах, об определении
центров тяжести, о проведении касательных, экстремалей и т. п.
В процессе решения инфинитезимальных задач накапливались
и получали общетеоретическое истолкование элементы
дифференциального и интегрального исчисления и теории рядов. Это было
результатом труда большого числа ученых: Кеплера, Кавальери,
Галилея, Торричелли, Паскаля, Валлиса, Роберваля, Ферма,
Декарта, Барроу и многих других.
Чтобы легче было разбираться в столь сложном процессе,
историки математики делят методы решения задач, о которых здесь
идет речь, на две группы. Те из них, в которых проявляются
крупицы позднейшего интегрального исчисления, называют
интеграционными. К другой группе методов, дифференциальных, относят
те, которыми решались задачи, требующие по существу
дифференцирования функций.
Открытие связей и взаимообратности интеграционных и
дифференциальных методов оказалось тем решающим моментом,
когда все основные составные части исчисления (дифференциального
и интегрального) были осознаны в определенном единстве. Тем
самым полностью определились все возможности создания
исчисления, и оно было, как мы рассказывали выше, построено в виде
теории флюксий и исчисления дифференциалов. Рассмотрим этот
вопрос подробнее.
§ 6.3. ИНТЕГРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Вначале интеграционные методы вырабатывались,
накапливались и выделялись в ходе решения задач на вычисление объемов,
площадей, центров тяжестей и т. п. Задачи Архимеда
пересматривались вновь и вновь, изучались его инфинитезимальные методы,
выяснялись их математические возможности. Интеграционные
методы слагались сначала как методы определенного
интегрирования, процесс их формирования и внедрения в математику был
очень бурным и быстрым; уже через 50—60 лет со времени
появления первой работы привел к образованию интегрального
исчисления.
Самым ранним по времени опубликования методом этого типа
был метод непосредственного оперирования с актуальными
бесконечно малыми величинами. Появился он в 1615 г. в сочинениях
Кеплера.
Иоганн Кеплер, уроженец Вюртемберга, одного из
многочисленных в ту пору немецких государств, — выдающийся астроном
202
Рис. 49
и математик, посвятивший практически всю свою жизнь изучению,
развитию и пропаганде гелиоцентрической системы Коперника.
Анализируя огромный материал астрономических наблюдений, он
в 1609—1619 гг. открыл законы движения планет, носящие его
имя.
1. Планеты движутся по эллипсам, Солнце находится в одном
из его фокусов.
2. Радиусы-векторы планет «заметают» за равные промежутки
времени равные секториальные площади (см. рис. 47).
3. Квадраты времен обращения планет вокруг Солнца
относятся как кубы их средних расстояний до Солнца.
Формулировки этих законов показывают, что для
математического доказательства их справедливости недостаточно владения
известной в то время вычислительной техникой, знания конических
сечений и алгебраических средств. Задача вычисления сектори-
альных площадей требовала умения пользоваться бесконечно
малыми величинами. Этого же умения требовали и другие задачи
практического характера, по поводу одной из которых Кеплер
изложил свой метод использования бесконечно малых величин.
Речь идет об отыскании наиболее целесообразной формы
бочек и о способах измерения их вместимости. Сочинение,
посвященное этой проблеме, так и называется: «Новая стереометрия
винных бочек, преимущественно австрийских, как имеющих самую
выгодную форму и исключительно удобное употребление для них
кубической линейки с присоединением дополнения к архимедовой
стереометрии» (Линц, 1615). Состоит оно, не считая
предварительных замечаний, из трех частей: теоретической части,
специальной «стереометрии австрийской бочки», правил для измерения
их вместимости. Для нас наибольший интерес представляет
теоретическая часть. Начинается она со «Стереометрии правильных
Рис. 47
Рис. 48
203
кривых тел», открывающейся сочинением Архимеда «О шаре и
цилиндре». Кеплер принимает античный метод исчерпывания,
которым пользовался Архимед, но отбрасывает заключительный
этап приведения к противоречию. Он хочет разгадать замысел
Архимеда, приведший того к получению столь замечательных
результатов, освободить его от наслоений, вызванных формальными
требованиями строгости. Этот замысел, по мнению Кеплера, в
tqm, что любая фигура или тело представляется в виде суммы
множества бесконечно малых частей. Круг, например, состоит из
бесконечно большого числа бесконечно узких секторов, каждый
из которых может рассматриваться как равнобедренный
треугольник. Все треугольники имеют одинаковую высоту (радиус
круга), а сумма их оснований равна длине окружности. Таким же
образом шар оказывается составленным из бесконечного
множества конусов, вершины которых сходятся в центре шара, а
основания образуют поверхность шара.
Метод суммирования актуально бесконечно малых Кеплер
распространяет и на другие несложные геометрические фигуры и тела
(конусы и цилиндры) и их части, рассмотренные Архимедом. В
некоторых случаях он отходит от строгости изложения, вводя
интуитивные соображения. Например, доказано, что боковая
поверхность вписанного конуса относится к площади основания
(большого круга шара) как У2:1; эта поверхность вдвое меньше
боковой поверхности описанного конуса. И Кеплер пишет: «Весьма
правдоподобно, что поверхность полусферы есть среднее
пропорциональное между поверхностями обоих конусов»1.
Справедливости ради, заметим, что в большинстве высказываний об
интуитивной правдоподобности результата или других рассуждений
Кеплер отсылает к Архимеду, который «это доказывает со всей
строгостью».
От правильных кривых тел Архимеда Кеплер переходит к изу~
чению тел, образованных вращением круга около прямой, не
проходящей через его центр, а также вращением других конических
сечений (рис. 48). Всего он рассмотрел 92 вида тел вращения,
называя их по внешнему виду лимонами, яблоками, вишнями,
турецкими чалмами и т. п.
Метод вычисления объемов тел вращения и их частей был у
Кеплера единым. Во-первых, изучаемое тело делилось на
бесконечное число единиц, «ломтей», занимающих равноправные
положения в теле. Эти части перегруппировались, образуя другое
тело, объем которого можно вычислить. Если оказывалось
невозможным провести непосредственное суммирование, то они
предварительно заменялись другими частями, эквивалентными
данным. Разъясним этот метод на двух примерах.
В теореме 18 Кеплер доказал, что всякий тор кругового или
эллиптического сечения равновелик цилиндру, высота которого
1 Кеплер И. Стереометрия винных бочек. М.: ОНТИ—ГТТИ, 1935*.
С. 123.
204
равна длине окружности, описываемой центром сечения, а
основание — сечению кольца. Метод доказательства: тор рассекается
на доли плоскостями, проходящими через его центр
перпендикулярно поверхности. Каждый разновысокий ломтик заменяется
цилиндриком с тем же основанием и с высотой, равной среднему
арифметическому наибольшей и наименьшей высоты. Столбик из
этих цилиндриков дает наглядное доказательство теоремы.
Далее Кеплер обсуждает возможные обобщения, связанные с формой
сечения тора, приходя к выводу, что теорема верна для всех
сечений, симметричных относительно вертикали, проведенной через
центр сечения.
Второй пример более сложен. В нем речь идет об определении
объема яблока, т. е. тела, образованного вращением вокруг хорды
сегмента, большего, нежели полукруг, а также объема частей
яблока.
Кеплер представляет яблоко, состоящим из долек,
образованных меридиональными сечениями и имеющих общий отрезок MN
(рис. 49).
Развернув экватор яблока в прямую DS, Кеплер
перераспределяет ломтики, деформируя их без изменения объема. Образуется
тело MMSD, которое можно представить отсеченным от цилиндра,
основанием которого является круг, образующий яблоко, а
высота равна длине окружности радиуса AD. Объем этого тела равен
объему яблока.
Тот же результат получается, если яблоко представляется
разделенным не на элементарные меридиональные дольки, а на
концентрические цилиндрические слои, имеющие осью MN —
своеобразные «стружки».
Развернув каждую стружку перпендикулярно плоскости DMN,
Кеплер получил совокупность бесконечно тонких
прямоугольников, составляющих упомянутое цилиндрическое тело (например,
прямоугольник IKad).
Теперь можно перейти к определению объема пояса яблока—¦
той его части, которая остается после извлечения из него
сердцевины, т. е. части цилиндра, имеющей MN своей осью. Если пояс
образован, например, сегментом IKD, то он равновелик части
LSDO цилиндрического тела. Эта часть в свою очередь состоит
из двух частей: цилиндрического сегмента VTDO и тела VLST.
Последнее Кеплер рассматривает как разность двух тел GLST и
GLV.
Так как точка G является центром круга, тело GLST
оказывается равновеликим шару того же радиуса, что и заданный.
Поэтому тело VLST трактуется как шаровой пояс, образованный тем
же сегментом IKD.
Эти соображения и лежат в основе теоремы 20: «Пояс яблока
составляется из пояса сферы и прямой части цилиндра,
основанием которого служит сегмент, недостающий (до полного круга) на
вращающейся фигуре, образующей яблоко, а высота — длина
окружности, описанной центром большого сегмента».
205
В конце доказательства Кеплер поместил в качестве
добавлений правило для вычисления объема яблока и его сферического
пояса. Методы Кеплера в определении объемов тел вращения,
разумеется, были нестрогими. Это было ясно и ему самому, и его
современникам.
Вокруг кеплеровских суммирований актуально бесконечно
малых разгорались горячие споры. Как и во все эпохи, не было
недостатка в придирчивых критиках. Ученик Виета, шотландец,
А. Андерсон выпустил даже специальное сочинение «В защиту
Архимеда» (через год после выхода в свет рассматриваемого
сочинения Кеплера), где обвинил Кеплера в оскорблении памяти
Архимеда.
Тем не менее плодотворность суммирования элементов,
вычитанная Кеплером у Архимеда, была очевидной. Первая же
попытка создать регулярный алгоритм оперирования с бесконечно
малыми стала весьма популярной. Многие ученые посвятили свои
работы усовершенствованию оперативной стороны этого метода и
рациональному разъяснению возникающих при этом понятий.
Наибольшую известность приобрела геометрия неделимых,
изобретенная Кавальери.
Бонавентура Кавальери (1598—1647), ученик Г. Галилея,
происходил из знатного рода. Монашеская карьера сочеталась в его
жизни с научной и преподавательской деятельностью математика.
С 1629 г. по рекомендации Галилея он занял кафедру математики
в Болонье, будучи одновременно настоятелем католического
монастыря ордена иеронимитов. Прекрасный знаток античных
авторов, он в то же время глубоко изучал высказанные Галилеем и
Кеплером идеи создания исчисления неделимых.
Кавальери написал ряд сочинений по астрономии, технике
вычислений, коническим сечениям, тригонометрии. В 1632 г. он
опубликовал 11-значные таблицы логарифмов тригонометрических
функций. Но делом его жизни, имевшим наибольшее значение для
развития математики, был метод неделимых, задуманный как
универсальный метод геометрии.
Идея общего метода неделимых была впервые высказана
Б. Кавальери в 1621 г. В рукописи, представленной им при
занятии профессорской должности в 1629 г., уже имеет место
систематическое применение неделимых. Итогом многолетнего
усовершенствования этого метода явилась книга «Геометрия, изложенная
новым способом при помощи неделимых непрерывного» (1635).
Тому же предмету была посвящена книга Кавальери «Шесть
геометрических опытов» (1647).
Метод неделимых был изобретен для определения размеров
плоских фигур и тел. Как фигуры, так и тела представляются
составленными из элементов, имеющих размерность на единицу
меньше. Так, фигуры состоят из отрезков прямых, называемых
регулами. Этих воображаемых отрезков бесконечно много. Они
заключены между двумя касательными, имеющими название пар-
206
ных. Касательные параллельны регуле; за регулу может быть
принята одна из них.
В геометрических телах неделимыми являются плоскости,
параллельные некоторой плоскости избранной в качестве регулы.
Их тоже бесконечно много; и они ограничены двумя парными
касательными параллельными плоскостям, одна из которых часто
избирается регулой.
Идею своего метода Кавальери образно выражал, предлагая
читателям представить паука, непрерывно ткущего геометрию из
неделимых. Нам бы сейчас пришло на ум более доходчивое
сравнение с лучом, бегущим по экрану телевизора, образующим
двумерные картины из строк линейной развертки.
Совокупность всех неделимых, вводимая Кавальери, по
существу соответствует понятию определенного интеграла. Однако
логические трудности, связанные с пониманием неделимого,
составления площадей из линий, не имеющих ширины, и тел из
бесконечно тонких плоскостей и т. п., не дают еще возможности судить о
совокупностях всех неделимых. Поэтому Кавальери вынужден
рассматривать отношения объемов тел и площадей фигур,
ограничиваясь случаями, когда отношения неделимых постоянны.
Таким образом, сущность геометрии неделимых Кавальери
можно сформулировать так: площади плоских фигур и объемы
тел относятся друг к другу, как все их неделимые, взятые вместе;
если неделимые находятся в одном и том же отношении друг к
другу, то отношение площадей соответствующих фигур (или
объемов тел) равно этому отношению.
Эти утверждения практически эквивалентны современным
умозаключениям типа: даны две фигуры, ограниченные на чертеже
(рис. 50) осью х, прямыми х=а и х = Ъ и соответственно
кривыми y\=f\(x) и y2=f2(x). Отношение площадей
сю Ь
2 Уik ] hMdx
Si __ k=*i a
2*2* ]h(x)dx
k=2 a
Если -^ «= a = const для любого ^ то и Ъ. = а.
у*ь s2
Кавальери рассматривал и отношения степеней неделимых.
Например, он ввел совокупность квадратов неделимых и доказал
теорему: «Сумма квадратов неделимых параллелограмма втрое
больше суммы квадратов неделимых треугольника,
образованного в результате проведения диагонали». Введем для краткости
обозначения AC—a, RT=x, TV=y, RS=~ = b, ST—z. Тогда
x=b + z, y=b—z и сумма квадратов частей неделимых х2+у2 =
= 2fe2 + 2z2. Суммируем все неделимые, обозначив сумму
квадратов неделимых символом { ] (рис. 51), получим:
[АЕС] + [CGE]=2[ABfE] +2[BCM]+2[FEM].
207
Заметим, что
[АЕС] = [CGE]; \ABFE] = -[ACGE\;
\ВСМ] — [FEM] = -[АСЕ].
Это нетрудно понять, вообразив над каждым линейным
элементом квадрат и рассматривая их совокупности. Следовательно,
[ACE\-±[ACGE]+±[ACE\+±[ACE\;
[ACE]=^-[ACGE].
О
В переводе на язык интегрального исчисления Кавальери
доказал, что
а
^хЧх = -^аЧх;
или, иначе,
(^'(14-24-
lim -—
=lim
п—>оо П*
Эту теорему Кавальери сумел обобщить на случай
суммирования более высоких степеней неделимых, вплоть до 9-й, решив
таким образом группу задач, эквивалентных вычислению определен-
а
ных интегралов вида \xndx для я=1, 2, ..., 9. То, что у Ка-
о
вальери рассматриваются не выражения, эквивалентные
интегралам, а их отношения, дела принципиально не меняет. Достаточно
выбрать в качестве единого знаменателя интеграл,
соответствующий сумме неделимых.
208
Другим обобщением метода являлось введение криволинейных
неделимых. Метод неделимых позволил решить множество
трудных задач, ранее не поддававшихся решению. Появились горячие
приверженцы этого метода. Один из них, Е. Торричелли, писал, что
новая геометрия неделимых переходит из рук одних ученых к
другим как чудо науки; она, по мнению Торричелли, убедила мир,
что века Архимеда и Евклида были годами детства ныне
взрослой геометрической науки. Торричелли, активно работавший
методами Кавальери, первым сумел определить объем тела,
образованного вращением ветви гиперболы вокруг одной из своих осей.
Однако у этого метода были свои недостатки. Во-первых, он
был непригоден для измерения длин кривых, так как
соответствующие неделимые (точки) оказывались безразмерными. Во-вторых,
невыясненность понятия неделимого, невозможность его
рационального объяснения делали всю теорию необоснованной.
В-третьих, развитие метода сильно задерживалось из-за того, что
Кавальери в соответствии со сложившимися в его время
представлениями о научной строгости избегал применять символику и
приемы алгебры.
Тем не менее определенное интегрирование в форме
геометрических квадратур в первой половине XVII в. уже
зарекомендовало себя. Все усилия отныне были направлены на уточнение его и
на достижение возможно более общих результатов.
Паскаль (1628—1662), например, рассматривал квадратуры в
форме, близкой той, которая употребляется Кавальери. Попытка
уточнения состоит в том, что сумму всех неделимых он понимал
как сумму элементарных площадок, образуемых бесконечно
близкими, одинаково отстоящими друг от друга ординатами,
неограниченными отрезком оси абсцисс и кривой (т. е. сумму вида
IZydx). В ряде задач он вводил сумму всех синусов, определяя ее
как сумму произведений ординат на элементы дуги l>yds, которая
в случае окружности единичного радиуса оправдывает свое
название Ssincpdcp. При помощи этого геометрического эквивалента
определенного интегрирования Паскаль сумел решить много задач на
определение площадей, объемов, статистических моментов и т. д.
В случае, когда речь идет о сумме синусов, Паскаль высказал
мысль, сыгравшую впоследствии большую роль в истории
математики. Он ввел вспомогательный АЕКЕ', подобный ДЛЯ) (рис. 52),
и сохранил его в своих рассуждениях
даже тогда, когда расстояние между дву- |
мя соседними ординатами бесконечно В
мало:
ЬЕКЕ' со AAID; ?±. = lfl
ЕЕ'
КЕ*
АР
DI
D1-EE' = AD-KE',
или в более привычных нам
обозначениях: yds=rdx. Последующая теорема
^^ч\
к
Е'
S^
[
НЧ R С
Ри
с.
52
209
Паскаля: «Сумма синусов какой-нибудь дуги четверти круга
равна отрезку основания между крайними синусами, умноженному
на радиус» — легко переводится на язык интегрального
исчисления. В самом деле,
X
'yds
j
г Ых.
о 6
Из равенств y=rcos<pt x=rsirup, s — rcp следует, что
Г г cos d(r<p) = г f d(r sin ф),
или
fcos<pAp:= f d(sinq>)=: sinf.
По признанию Лейбница, треугольник Паскаля послужил ему
прообразом дифференциального треугольника, составленного из
дифференциалов dxf dy, ds.
Важное усовершенствование геометрических квадратур было
проделано Ферма, который ввел деления квадрируемой площади
ординатами, отстоящими друг от друга на неравных расстояниях.
Это дало ему возможность распространить способы вычисления
а
выражений, эквивалентных §xndx, на случай, когда п дробное и
о
отрицательное.
X
Пусть, например, речь идет о вычислении интеграла ^x^dx%
о
где р>0, q>0. В формулировке Ферма речь идет о квадрирова-
нии площади, образованной отрезком [0; х] оси абсцисс, двумя
крайними ординатами и кривой хР=уч. Промежуток
интегрирования делится на отрезки точками с координатами х, ах, а2х, ..., где
а<1. Последующие операции состоят в вычислении
последовательно Ах, у, уАх, 1>уАх и переходе к случаю, когда ширина
полосок бесконечно уменьшается. Приведем эти выкладки в виде:
Ах
уАх
(1—а)*
р_
Q
Ц-а)х
P+Q
Q
а(1—а)я
а" х"
р+д р+я
(l-a)a я х Q
о2 (1—а)х
а " X
(I-a)a
р+д р+я
Суммирование, как видим, свелось к отысканию суммы
геометрической прогрессии
210
р±з
2уДх = — х .
!— '
р±я
Чтобы избежать того, что коэффициент при х 9 становится
неопределенным, когда полоски уменьшаются, Ферма делает
подстановку а=$ч. Тогда
1 - а ^ 1 - № ^ ( 1-Р)(1+Р+Ра+ - « ¦ +Р*~1)
В предельном случае а=1, следовательно, fi = l и
2#Д*«
p + g
Аналогичные вычисления позволяют получлть J jc-ndx. Фер-
х
ма делит интервал интегрирования точками с абсциссами х, ах,
а2х, ..., где а>1. Последовательно вычисляя по образцу,
данному выше, величины Ах, у, уАх, 2>уАх и переходя к предельному
случаю, когда а=1, он получает результат
У уАх=* .
По-видимому, Ферма изобрел этот метод под влиянием сочинений
Кеплера, потому что он сам назвал его логарифмическим.
Математики первой половины XVII в. убеждались, какое
большое количество, казалось бы, разнородных задач геометрии и
механики приводилось к квадратурам. С каждым годом, с каждым
новым результатом все более выявлялась общность операций,
которые приходилось применять при решении этих задач.
Геометрический эквивалент определенного интегрирования, возникший как
специфический метод геометрии, частично воспринятый от
Архимеда, постепенно приобретал черты общего метода математики. В
нем все больший удельный вес приобретали численные аспекты и
элементы грядущего анализа бесконечно малых.
В этом отношении характерным примером являлись работы
Дж. Валлиса (1616—1703), английского математика, профессора
Оксфордского университета (с 1649 г.), одного из основателей
(1663 г.) Лондонского королевского общества. В 1655 г. им была
издана «Арифметика бесконечного». Используя метод Кавальери,
он перевел на арифметический язык отношения сумм неделимых.
Так, отношение степеней неделимых, которые мы интерпретирова-
211
ли как интегрирование степенной функции х7\ он представил как
отношение сумм чисел. Отношение суммы неделимых треугольника
к сумме неделимых параллелограмма с тем же основанием и вы-
•о O+l+2-f- . . .-Hi
сотой сведено Валлисом к отношению ! —, которое
rc-f-tt+rc-f- . . . +п
при безгранично возрастающем п равно 1/3. Отношение сумм 2,
3, ..., т степеней неделимых истолковано как
0»+1*+2*+ . . . 4-я*
(&=2, 3, ..., т) для п неограниченно возрастающего. Значения
этих отношений до k=9 получены Кавальери; они равны — .
Валлис, пользуясь неполной математической индукцией,
распространил этот результат на случай любого целого к. Так, им
получена была формула, эквивалентная следующей:
1
1
i
xmdx =
771+ 1
Валлис знал из сочинений Архимеда, что площадь
параболического сегмента равна 2/3 площади описанного
параллелограмма. Он и это перевел на язык отношений указанных выше сумм:
отношение
/0 + /Т+/2 + . . .+/п
/л + /п + /п + . . . + /7г
при неограниченно возрастающем и равно 2/3. Та же неполная
индукция привела Валлиса к обобщению этого результата на все
дробные, а затем и на отрицательные показатели степени.
Идеи, включающие элементы определенного интегрирования,
широко распространились среди математиков западноевропейских
стран. Методы интегрирования охватывали к 60-м гг. XVII в.
обширные классы алгебраических и тригонометрических функций.
Было решено огромное число задач, осветить которые в
настоящей книге невозможно. Нужен был только один толчок —
рассмотрение всей совокупности методов с единой точки зрения,
чтобы создать интегральное исчисление.
§ 6.4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
К дифференциальным методам мы отнесем по образцу
определения интеграционных методов те, в которых содержатся элементы
будущего дифференциального исчисления. Вырабатывались эти
элементы при решении задач, которые в настоящее время
решаются с помощью дифференцирования. Такие задачи были в то время
трех видов: определение касательных к кривым, нахождение
максимумов и минимумов функций и отыскание условий существова-
212
ния кратных корней алгебраических уравнений. К этой группе
тесно примыкают запросы механики, вытекающие из
необходимости определять скорость в любой точке траектории в случае
неравномерных движений, не говоря о более сложных задачах.
Научное наследие древних и средневековых авторов в этой
области не было столь определенным и значительным, как в случае
интегральных методов. Задачи о касательной рассматривались не
систематически, единообразных приемов выработано не было.
Общим, по-видимому, было стремление понимать касательную как
прямую, имеющую с кривой одну общую точку и
обладающую свойствами локальной односторонности. В области
экстремальных задач, помимо фактов элементарной изопериметрии,
существовали лишь диоризмы, т. е. ограничения, накладываемые на
условия задачи, чтобы она имела решение в области
рациональных и действительных чисел или геометрических отрезков.
Диоризмы часто содержат указания на экстремальные значения.
Например, когда алгебраическое уравнение имеет кратные корни,
кривые, пересечением которых решается уравнение, не
пересекаются, а касаются друг друга. Таким образом, некоторая
взаимосвязанность дифференциальных задач к XVII в. уже была
отмечена.
В течение XVII в. дифференциальные задачи решались еще
самыми различными методами. Как и всегда в науке, наряду с
новым существует старое. Так происходило и в рассматриваемой
нами области. Геометрические построения в духе античных
математиков, механические соображения, исследования в духе новой
тогда аналитической геометрии Декарта, инфинитезимальные
соображения — в их тесном сплетении вызревало
дифференциальное исчисление. Приведем несколько примеров, характеризующих
этот процесс.
Уже в школе Галилея для нахождения касательных и
нормалей к кривым систематически применялись кинематические
методы. При этом касательная появляется как диагональ
параллелограмма, сторонами которого являются горизонтальная и
вертикальная составляющие скорости. Например, пусть тяжелая
материальная точка брошена с некоторой горизонтальной начальной
скоростью (рис. 53). Перемещения точки по оси х будут
пропорциональны отрезкам времени, т. е. x=nt; по оси у
(вертикальной) — квадратам этих отрезков у=~ t*.
Траектория движения точки — парабола, параметр которой
Галилей определял как учетверенную высоту падения, которая
была бы нужна, чтобы сообщить точке вертикальную скорость,
равную начальной горизонтальной скорости у «= — • — х2. Обозна-
2 и1
чив параметр — через 2р, Торричелли нашел, что отношение
g
вертикальной компоненты скорости gt к горизонтальной и равно
213
Рис. 53
2у
— или
X
— . Отсюда Торричелли заключил, что касательная пе-
р
ресекает ось параболы в точке, лежащей на отрезок 2у выше
данной точки или на у выше вершины параболы.
Этот кинематический метод дал начало рассмотрению
различных бросаний и сложных движений и определению касательных
в любой точке траектории. Систематическое изложение метода и
его главнейших применений дал в 1640 г. Роберваль (1612—1675).
Несмотря на важность, кинематический метод был очень
неудобен, так как исходил из индивидуальных особенностей кривых и
поэтому был недостаточно алгоритмичен. Больше перспектив для
определения касательных и нормалей в то время представлял
метод нормалей Декарта, содержащийся во второй книге его
«Геометрии».
Пусть необходимо провести нормаль к алгебраической кривой
в точке (а; Ь) и пусть это осуществлено. Нормаль пересечет ось
абсцисс в точке (с; 0). Семейство концентрических окружностей
с центром в точке (с; 0) содержит одну окружность радиуса
# — У(а—с)2-\-Ь2, которая имеет с кривой две общие точки,
слившиеся в одну, а именно в точку (а; Ь). Одно из двух
неизвестных, например у, может быть исключено из уравнений данной
кривой и окружности. Так как х==а — двойной корень, то при
этом должно получиться уравнение вида (х—а)2Р(х)=0. Это
дает возможность определить величину с с помощью метода
неопределенных коэффициентов. Для этого Декарт приравнивает левую
часть полученного уравнения к произведению выражения (х—а)2
на многочлен степени, на две единицы меньшей, и с
неопределенными коэффициентами. Сравнение коэффициентов при членах
одинаковой степени дает уравнения, которыми определяется с.
Связанная с методом Декарта проблема отыскания кратных
корней алгебраических уравнений получила развитие у
голландского математика и инженера И. Гудде (1628—1704). Правило
Гудде, коротко говоря, состоит в отыскании общего наибольшего
делителя уравнений f(x)=0 и f'(x)=Q; последнее уравнение
получено умножением коэффициентов данного уравнения f(x)=0na.
члены произвольной арифметической прогрессии. Применяемый в
наши дни способ, связанный с алгебраическим способом образова-
214
ния последовательных производных левой части алгебраического
уравнения, появился, по-видимому, впервые у Ролля (1652—1719)
в конце XVII в. Однако возвратимся к дифференциальным
методам.
Накопление методов дифференциального исчисления приняло
наиболее явную форму у Ферма. В 1638 г. он сообщил в письме
Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений
л. г/ ч ^ f(x+h)—f(x) л
функции i(x). Ферма составлял уравнение ——- = 0 и
h
после преобразований в левой части полагал h = 0. Вопреки
мнению позднейших исследователей, которые видели в этом идеи
исчисления бесконечно малых, в действительности Ферма нашел это
условие и аналогичное ' =0 при у=х еще
алгебраическими путями.
Рассуждения при нахождении экстремума функции f(x),
следующие. Пусть для некоторого х функция достигает максимума.
Тогда f(x±h)<f(x); f(x)±Ph + Qh2± ... <f(x). Вычитаем из
обеих частей f(x) и делим на h, откуда ±P+Qh± ... <0. Так как
h можно выбрать любой малости, член Р будет по модулю
больше суммы всех остальных членов. Неравенство поэтому возможно
лишь при условии Р=0, что и дает условие Ферма. В случае
минимума рассуждения аналогичные. Ферма знал также, что знак
Q определяет характер экстремума.
Столь же близок к дифференциальному исчислению метод
Ферма отыскания касательных к алгебраическим кривым. На
малой дуге MN алгебраической кривой f(x)=0 (рис. 54) путем
проведения секущей SMN строится характеристический треугольник
MNP. AMNPcoASMR. Отсюда SR= MR'MP или в более при-
NP
вычных нам символах, SR= ±Ш . Затем Ферма перехо-
f(x+h)-Hx)
дит.от секущей к касательной, полагая Л=0, получая тем самым
St=yly'.
Позднее он распространил этот метод определения касательных
на случай неявной функции f(x, у)—0. Полученное им равенство
легко переводится в привычное нам
дх ду
Все функции Ферма — алгебраические полиномиальные. В
случаях, когда в исследуемых функциях попадались
иррациональности, он освобождался от них возведением обеих частей
уравнения в степень. Впрочем, в этом сравнительно узком классе
функций метод Ферма определения касательных и экстремальных
значений общий, символика единообразная. К сожалению, Ферма не
стремился публиковать свои работы, кроме того, пользовался
215
труднодоступными для усвоения алгебраическими средствами
Виета с его громоздкой символикой. Видимо, поэтому он не
сделал последнего, уже небольшого, шага на пути к созданию
дифференциального исчисления.
К середине XVII в. накопился достаточно большой запас
средств решения задач, ныне решаемых с помощью
дифференцирования. Однако не было еще выделено особой операции
дифференцирования и понятий, равнозначных понятиям производной и
дифференциала. Не была ясна связь дифференциальных и
интегральных методов. Математический анализ формировался в
рамках и в терминах алгебры, геометрии, механики, сложившихся уже
к тому времени наук. Так, всякое новое математическое
исчисление всегда проходит период формирования в пределах уже
существующей системы математических наук, используя их средства.
§ 6.5. ОТКРЫТИЕ ВЗАИМОСВЯЗАННОСТИ ОБЕИХ ГРУПП
МЕТОДОВ
Последним этапом «эмбрионального» периода анализа
бесконечно малых явилось установление связи и взаимообратности
дифференциальных и интеграционных исследований.
Побудительных причин для этого было много. Одними из важнейших были
так называемые обратные задачи на касательные. Задачи этого
типа состоят в определении кривых, исходя из заданного общего
свойства всех касательных к ним. Речь идет не о нахождении
огибающих семейств прямых, а о таких свойствах касательных,
которые зависят от положения точки касания. В общей постановке
задачи этого типа можно сформулировать так: «Найти y=f(x) из;
условия f\(x, у, у/)=0». Таким образом, речь идет о
необходимости решить дифференциальное уравнение первого порядка с двумя
переменными.
Обратные задачи на касательные возникли в результате
запросов практики. Например, мореплаватели еще в эпоху великих
географических открытий обратили внимание на кривую постоянного
истинного курса корабля — локсодромию. Это кривая,
касательные к которой пересекают мериадины, проведенные в точках
касания, под постоянным углом. Различные обратные задачи на
касательные были поставлены также в геометрический оптике и в
кинематике.
Приближенные графические методы не могли считаться
удовлетворительным средством решения этих задач. Попытку дать
общий метод первым предпринял Декарт. Он предложил
классифицировать все алгебраические кривые по степеням
(неалгебраических кривых он, как было сказано, не рассматривал), отыскивать
их касательные и проверять, обладают ли они заданным
свойством. Разумеется, первая же попытка использовать этот метод
проб, предпринятая Декартом при решении задачи Дебона,
показала практическую его непригодность.
216
Задача Дебона заключалась в требовании квадрировать
кривую, обладающую свойством — =* ^—^, где St — подкасательная.
St а
Декарт, по его словам, испробовал кривые вида
у* = ах2+Ьх+с, м = 1, 2, ..., 1000,
но безуспешно. Тогда он избрал другой путь: заменил систему
координат на косоугольную, выбрав вместо оси х прямую у=х—а.
В этой системе подкасательная оказалась постоянной: St=al2.
В самом деле, уравнение — = —- подстановкой У\=у+а—х
преобразуется в уравнение — = и после
dx а
подстановки х\ —
=хУ2 получается уравнение — =
dyi у_
То, что кривая Дебо-
dxi а-уГ^
на является неалгебраической, Декарт доказал кинематически,
показав, что она образована двумя независимыми движениями:
равномерным движением прямой х=0 и движением прямой у\=&
или у=х—а со скоростью, пропорциональной пройденному
расстоянию. Кривая представляет собой геометрическое место точек
пересечения этих двух движущихся прямых. Как было сказано,
Декарт относил такие кривые к разряду механических и из своей
системы математики исключал.
Задача Дебона, как и другие обратные задачи на касательные,
указывала на взаимную обратность задач о проведении
касательных и других, по существу состоявших, говоря современным
языком, в решении дифференциальных уравнений. Особенно хорошо
удавались задачи, которые можно было свести к интегрированию
— = fix). Отдельных результатов здесь добились шотландец
dx
Д. Грегори (1638—1675) и англичанин Дж. Валлис. Не замедлил
появиться и общий, хотя и сформулированный в терминах
геометрии, результат о взаимно обратной зависимости задач на
квадратуры и на проведение
касательной. Принадлежит он И. Барроу
(1630—1677), профессору
Кембриджского университета, ученику Валлиса
и другу И. Ньютона. Опубликован
этот результат в 1669 г. в «Лекциях
по геометрии и оптике». Состоит он в
следующем.
Заданы две кривые OF и ОЕ
(рис. 55). Точки F и Е имеют общую
абсциссу. Кривые связаны условием
DF-R=S0de, или, в наших символах,
Тогда подкасательная
о
R
у = ] vdx.
217
DT=R—, или Д. — =D?, т.е. R=d-^=zv. Этой теореме
DE DT dx r
Барроу дал два доказательства-
Первое доказательство кинематическое. Пусть кривая OF
является траекторией движущейся точки F. Закон движения:
проекция скорости точки F на ось х постоянна, т. е. точка D движется
с постоянной скоростью R, скорость возрастания ординаты DF
геометрически изображается отрезком DE или v. Следовательно,
— =/? — = 0. Касательная есть диагональ прямоугольника, состав-
•dt dt
о пг о dy v
ленного из этих скоростей. Тогда для подкасательнои — =»¦—, или
dx R
v=R • — . По Галилею, путь, пройденный точкой F при равномер-
dx
но ускоренном движении, равен
х
Г vdx = i? • у.
о
Второе доказательство, более строгое, дано методом древних.
DF
Проведена прямая FT, определяемая условием DT—R- — . Нуж-
DE
но доказать, что это касательная, т. е. опорная прямая, точки
которой в локальной области лежат по одну сторону от кривой.
Проведем в точках / и Г кривой прямые LIK и I'K'U,
параллельные оси Ох. По свойству кривых площадь SPDEg=R-LF. Из
IК DT R
чертежа —¦= — =—, откуда LK-DE=R-LF—SPDeg.
LF и г DE
Но в силу монотонности кривой ОЕ очевидно, что SPDeg
больше (или соответственно меньше) IL-DE в зависимости от того,
находится точка / правее или левее точки F. Отсюда
соответственно LK больше (или меньше) IL, что и доказывает
расположение прямой по одну сторону от кривой, т. е. что она касательная.
Опираясь на этот результат, Барроу решил большое число
обратных задач на касательные. С его сочинениями знакомились
многие ученые, в том числе Ньютон и Лейбниц.
Итак, к середине XVII в. математика находилась на грани
открытия дифференциального и интегрального исчисления.
§ 6.6. ТЕОРИЯ ФЛЮКСИЙ
Наиболее ранней формой анализа бесконечно малых является
теория флюксий, авторство которой принадлежит И. Ньютону.
Исаак Ньютон (1642—1727) родился в семье фермера в
маленьком населенном пункте Вулсторп близ г. Кембриджа, старинного
университетского центра Великобритании. Здесь Ньютон в 1665 г.
окончил университет. Учителем его был И. Барроу. В 1668 г. Нью-
218
И. Ньютон (1643—1727)
тон получил ученую степень магистра, а через год, в 1669 г.,
Барроу, уходя на высокую должность в англиканской церкви,
передал ему свою кафедру. Профессором в Кембридже Ньютон
работал до 1701 г. С 1672 г. он состоял членом Лондонского
королевского научного общества, в 1703 г. был избран его
президентом. Наиболее значительные работы по математике Ньютон
выполнил во время пребывания в Кембридже.
Основными направлениями научной деятельности Ньютона
были физика, механика, астрономия и математика. Ему
принадлежат в этих областях науки первоклассные достижения, в том чис-
219
ле: вывод и формулировка основных законов классической
механики, открытие закона всемирного тяготения, законов
спектрального разложения света, разработка дифференциального и
интегрального исчисления в форме метода флюксий.
Математика в системе научных воззрений Ньютона была
частью общей науки о природе — натуральной философии — и
орудием физических исследований. Для изучения движения тел и
определения их скоростей и ускорений Ньютон разработал метод,
называвшийся им методом, или теорией, флюксий.
В методе флюксий изучаются переменные величины, вводимые
как абстракции различных видов непрерывного механического
движения. Называются они флюентами, т. е. текущими, от
латинского слова fluere — течь. Все флюенты являются зависимыми
переменными; они имеют общий аргумент — время. Точнее, речь
идет о математическом абстрагированном аналоге времени —
некоей воображаемой абстрактной равномерно текущей
независимой величины, к которой отнесены все флюенты. Это, разумеется,
не осложняет задачи Ньютона, так как не стесняет при
соотнесении переменных в задачах.
Далее вводятся скорости течения флюент, т. е. производные
по времени. Названы они флюксиями. Так как флюксия
представляет собой переменную, то можно находить флюксию от флюксии
и т. д. Символы первой, второй и т. д. флюксий, если флюенту
обозначить у, будут: у, у, у и т. д. Для вычисления мгновенных
скоростей — флюксий потребовались бесконечно малые изменения
флюент, названные Ньютоном моментами. Символ момента
времени 0; момент флюенты у, следовательно, запишется: Оу, т. е.
произведение мгновенной скорости на момент времени. По существу,
момент флюенты — это ее дифференциал. Иногда, когда исходят
из заданной флюксии, обозначенной, допустим, у, вводятся
специальные символы флюент: 'у, или Пу (символ, указывающий на
квадратуру). Символы Ньютона не так удобны, как символы
дифференциалов, ведущие свое происхождение от Лейбница и
распространенные в наше время. Некоторые из них еще сохранились,
например, в механике.
В теории флюксий решаются две главные задачи,
сформулированные как в механических, так и в математических терминах:
1) определение скорости движения в данный момент времени по
заданному пути. Иначе: определение соотношения между
флюксиями из заданного соотношения между флюентами;
2) по заданной скорости движения определить пройденный за
данное время путь. В математических терминах: определить
соотношение между флюентами по заданному соотношению между
флюксиями.
Первая задача, так называемая прямая задача теории
флюксий, представляет задачу дифференцирования неявной, в общей
постановке, функции и получения дифференциального уравнения,
выражающего элементарные закономерности природы. Вторая —
обратная задача теории флюксий — есть задача интегрирования
220
дифференциальных уравнений, поставленная в самом общем
виде. В частном виде в этой задаче речь идет о нахождении
первообразных функций. Таким образом, интегрирование в теории
флюксий вводится вначале в виде неопределенного
интегрирования.
Для прямой задачи Ньютон ввел единообразное правило —
алгоритм дифференцирования функций. Поясним его, вслед за
Ньютоном, на примере. Дано соотношение между флюентами:
хъ—ах2+аху—г/3=0. Образуем то же соотношение для флюент,
испытавших мгновенные изменения, т. е. когда к каждой
флюенте добавлен ее момент:
(х+хО)*-а(х+хО)*+а(х+хО)(у+у())-(у+уОУ'-
В развернутом по формуле бинома виде имеем
¦0.
jc3+3x2 *0+3*. *x00+-*;303—
— ах2 — 2ах - лО — а*200 +
+аху+аху0 + аухО + ахО • уО —
— У3 - Зу3уО — 3у200у - у303
1 = 0.
Первый столбец равен нулю по условию; остальные члены
разделим на 0 и отбросим как бесконечно малые те, в которых
сохранится бесконечно малый момент времени — 0. Получим
соотношение между флюксиями
Зх2х — 2ах х+ау- х+аху—Зу2 • (/ = 0.
Этот метод Ньютон формулирует в виде правила:
1) расположи по степеням переменных;
2) умножь на члены арифметической прогрессии и на
X
— или
X
У^
У
соответственно;
3) сумма произведений дает отношение между флюксиями:
2.
3.
ах2 + аух — у3
ЗХ q X X
, / — , —
X XX
—У3+0 - аху— ах2 + х3
3i,o,i,o
У У
ох2х — 2ахх + аху — Зу2у + аху
Члены арифметической прогрессии можно заменить членами
другой прогрессии вида 3 + m, 2+т, \ + т для целочисленных т.
Дальнейшие усовершенствования дифференциального
исчисления: дифференцирование неполиномиальных функций,
отыскание экстремумов функций, геометрические и механические
приложения — принципиальных трудностей для Ньютона не представи-
221
ли. Флюксии от иррациональных функций получаются по правилу
дифференцирования сложной функции: например, если
z = У ах —у2, то z2 = ах — у1, 2zz =» ах — 2уу\
• ах — 2уу ах — 2уу
2z 2V^x^
В более сложных случаях Ньютон прибегал к представлению
функций степенными рядами и к оперированию с этими рядами.
Класс функций, которым располагал Ньютон, был еще
сравнительно ограниченным и внутри него подобное представление не
вызывало сомнений. Тем не менее соображение о сходимости ряда
и о правомерности представимости той или иной функции рядом
постоянно были в его поле зрения.
Обратная задача теории флюксий: нахождение соотношения
между флюентами по известному соотношению между
флюксиями — по своей постановке чрезвычайно обща. Она, как мы
указывали, эквивалентна общей задаче интегрирования любых
дифференциальных уравнений. Подходы Ньютона к решению столь
общей проблемы и приемы решения складывались постепенно.
Прежде всего простое обращение результатов нахождения
флюксий дало ему огромное количество квадратур. Со временем
он обнаружил необходимость дописывать при этом обращении
аддитивную постоянную. Затем оказалось, что операция обращения
даже сравнительно простых уравнений видах Mx+Ny=0,
получающихся при вычислении флюксий, не всегда возможна и не дает
исходную функцию. Ньютон обнаружил это, рассматривая те
случаи, где М=М(х, у) и N—N(x, у) целые рациональные.
Когда непосредственное обращение прямого метода не
приносило успеха, Ньютон прибегал к разложению функций в
степенные ряды как к универсальному средству теории флюксий. Данное
уравнение он разрешал, например, относительно -т- или (полагая
X
х=1) относительно у и разлагал функцию, стоящую в правой
части, в степенной ряд, а затем этот ряд почленно интегрировал.
Для разложения функций в степенные ряды Ньютон
использовал результаты своих предшественников и накопил большой
арсенал приемов. Среди них наиболее часто применялись:
а) обобщение (индуктивное) теоремы о степени бинома
(а + Ь)11 на случай дробного и отрицательного показателя степени;
б) деление (непосредственное) числителя дробно-рациональной
функции на знаменатель;
в) метод неопределенных коэффициентов в различных
модификациях. Например, в уравнении у==\—Ъх + у+х2+ху надо
отыскать разложение у в ряд по степеням х, подставить этот ряд в
правую часть вместо у и затем решать уравнение почленным
интегрированием. Члены разложения будем отыскивать
последовательно: у = х+... .Подставим в правую часть и получим у==1—2х+ ...,
222
откуда: у—х—х2+.... Подставим снова уже два члена
разложения у в правую часть уравнения:
у-1—2х + х*+ . . .,
откуда
y = x—x* + Y+ . • . •
Вычисление по методу неопределенных коэффициентов
Ньютон располагал в таблице
У
У
ХУ
Сумма
У
i—3x + y + x> + xg
I — За; + jc8
3 6 30
х* — х' + -х* — -Xs 4-. • •
3 6
1_2х + **_|*» + 1х«_±х5-К . .
X — Х> + - Xs - - X* + -X5 — -х6+ . . .
3 в 30 45
замена системы координат, а также замена переменных, в силу
чего в ряд раскладывается не функция у, а удачно подобранная
функция от у;
д) обращение рядов, которое лучше, по-видимому, пояснить на
примере. Вычисляя длину пути по окружности {R = l, центр в
начале координат), Ньютон получил элемент дуги, в переводе на
привычную нам символику, ds = - (s = arcsinx), или, ис-
Vi-x
пользуя биноминальную теорему / = (1 — х2)'1*2 \
12 8 ^16 ^ J
в
виде ряда
ds= dx
Интегрируем почленно:
X
S={-^ =
arcsin х ¦
х+±хз + 1хь+ т
6 40
Задача состоит в отыскании ряда для обратной функции, т. е.
sin ху которое Ньютон проводит следующими этапами. Обрывает
ряд:
1
X + — X3 +
2-3 1.2.4-5
i^-**
1-3.5 7 .
^ х7+
1.2-46.7
0)
223
Полагает x=s-\-p. Отсюда
0 = p + ±(s>+3**p+...)+±(s*+. • .)• (2)
Пробует: p=Af As, As2. Очевидно, Л=0 в этих случаях. Наконец,
попытка p = Bs3 дает
^6 6
Значит,
x = s — 1«».
6
Следующий шаг: /7 = — -~s*-i-q. Подстановка в (2) дает
б
[ 12 40 /
откуда
а = / \S° = S5.
* I .« /Л I 120
Значит,
1 з • 1 5
X =8 53Ч S5
б 120
и т. д. Закон образования коэффициентов подмечается легко:
sin л; = д: 1 . • . .
31 51
Из обращенного ряда получается ряд для cos х (cos я=У1—sin2;;)
cosх«1 . . . .
21 4!
Аппарат представления функций степенными рядами, в
который включаются кроме упомянутых много других частных
приемов, является оперативной основой ньютоновой теории флюксий.
Он позволяет проводить дифференцирование и интегрирование
широкого класса аналитических функций, вычислять экстремумы
функций, широко применять методы теории флюксий к геометрии,
механике и другим наукам. Насколько далеко продвинулся
Ньютон в труднейших вопросах теории флюксий, показывает одно его
письмо 1676 г., в котором он сообщает об условиях
интегрируемости биномиального дифференциала y=az*(e+fz)r]y. Послед-
нии интегрируется, если — или — + * — целое положи-
•п ч
тельное число.
224
Ньютон получил большинство результатов теории флюксий в
течение 60—70-х годов XVII в. Однако он не спешил с публикацией
написанных им на эту тему работ. Он неохотно давал согласие
на публикацию даже тогда, когда вспыхнул спор о приоритете
открытия дифференциального и интегрального исчисления между
ним и Лейбницем. Более того, его знаменитые «Математические
начала натуральной философии», появившиеся в 1686—1687 гг.,
оказались написанными без применения методов теории флюксий,
хотя многие из приведенных в этой книге результатов
первоначально были получены средствами этой теории.
Причиной такого положения дел была, помимо
несовершенства методов решения обратных задач, недостаточная логическая
обоснованность теории флюксий. Введение в математику
переменных величин, оперирование с бесконечно малыми приводит к
необходимости рационального объяснения большого числа
связанных между собой основных понятий и проблем. Ньютон это
хорошо понимал, но справиться с подобными затруднениями не мог.
Взгляды Ньютона на обоснование теории флюксий менялись.
Выше мы указывали, что исходные позиции теории флюксий
лежат в механике. Это позволяет перенести в механику
противоречия, возникающие при толковании основных понятий этой теории.
Однако оперативная сторона дела предполагает отбрасывание
бесконечно малых. Доказать законность такой операции, выявить
таинственную сущность этих величин, не являющихся ни нулями,
ни конечными величинами, — эта задача не решалась
имевшимися в распоряжении Ньютона средствами.
В поисках выхода Ньютон создал метод первых и последних
отношений — раннюю форму теории пределов. Он изложил его в
«Математических началах натуральной философии», первый отдел
первой книги которых так и называется: «О методе первых и
последних отношений, при помощи которого последующее
доказывается».
Метод состоит в рассмотрении предельных отношений «едва-
едва зарождающихся» (первые отношения) или «только-только
исчезающих» (последнее отношение) величин. Несмотря на
неудачную терминологию, Ньютон сумел изложить основные теоремы
о пределах и бесконечно малых, лежащие в основании курсов
математического анализа. Так, им доказаны теоремы о пределах
отношений длины дуги непрерывной гладкой кривой к хорде и к
касательной.
Понятие предела, в каком бы оно виде не появлялось, есть
понятие неалгоритмическое. С ним невозможно связать
последовательность операций, эффективно приводящих к его нахождению.
От условно-оценочной трактовки предела (пусть задано е>0,
найдем такое б>0, что и т. д.) Ньютон тоже был далек; она
получила распространение лишь в самом конце XIX в. Разрыв
между оперативно-алгоритмической стороной теории флюксий и ее
логическими основами остался неустраненным. Теория флюксий
знаменовала тот этап развития анализа бесконечно малых, когда
225
он, по выражению К. Маркса, «существует, а затем разъясняется»^
но в своих основах остается таинственным, «мистическим».
Дальнейшая судьба теории флюксий связана с острой борьбой,
вспыхнувшей сразу же после появления этой теории именно вокруг ее
основ.
§ 6.7. ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
Как было сказано выше, анализ бесконечно малых возник
почти одновременно в двух разных, независимых друг от друга
формах. Первой по времени изобретения была ньютонова теория
флюксий. Однако первые публикации по математическому анализу
были посвящены другому виду исчисления — исчислению
дифференциалов.
Автор нового исчисления Г. В. Лейбниц (1646—1716) родился
в Лейпциге в семье профессора местного университета по кафедре
философии и морали. Образование получил в университетах
Лейпцига и Йены. Всю жизнь состоял на службе у германских
государей: майнцского курфюрста, а затем ганноверского герцога.
Выполняя дипломатические поручения, Лейбниц посетил Париж и
Лондон, где вступил в научное общение с виднейшими учеными.
За научные заслуги он был избран членом Лондонского
королевского общества (1673) и Парижской академии наук (1700). Лейб-
ниц основал Берлинскую академию, а также оказал
положительное влияние на развитие науки в России: он был знаком с
Петром I, переписывался и беседовал с ним, обсуждая проекты
организации Академии #аук в Петербурге, развертывания научных
исследований в России.
Деятельность Лейбница весьма многообразна: он был видным
дипломатом, политиком и ученым. Так же разнообразны его
научные интересы: проблемы естественных наук, физики,
философии, права, литературы и языкознания, математики были
объектами его исследований, нередко весьма замечательных и
предвосхитивших многие последующие открытия.
Математические работы Лейбница, которые нас интересуют в
первую очередь, тесно связаны с его философскими воззрениями..
Мы не имеем возможности подробно описывать философские
позиции Лейбница и их эволюцию от сочувствия механическому
материализму до своеобразной разновидности метафизического
объективного идеализма. Отметим лишь, что во всех различных по
содержанию математических занятиях он руководствовался одной
целью. Цель эта философская: создание универсального метода
научного познания, по терминологии Лейбница — всеобщей
характеристики.
Всеобщая характеристика должна заменить все логические
суждения исчислением, производимым над словами и другими
символами, однозначно отражающими понятия. Она, таким
образом, мыслится как некоторый общий логико-математический
аппарат суждений. Математика при этом приобретает расширенное
226
Г. В. Лейбниц (1646—1716)
толкование как наука об отражении всевозможных видов связей и
зависимостей простейших элементов. Современная Лейбницу
математика должна была, по его замыслу, войти в будущую общую
математику. Он видел идеал, по его словам, в «подчинении
алгебры комбинаторному искусству, или буквенной алгебры общей
буквенной науке, или науке о формулах, выражающих вообще
порядок, подобие, отношение и т. п., или общей науки о количестве —
общей науке о качестве, так что наша буквенная математика
становится только замечательным образчиком комбинаторного
искусства или общей буквенной науки».
227
Установление всеобщей характеристики и открытие
закономерностей новой математики, по мнению Лейбница, решит проблему
научного доказательства и устранит разногласия, так как вместо
споров понадобится лишь произвести вычисления.
Зерна новой математики хранятся в старой. Последнюю нужно
изучить, выбрать и поставить проблемы, относящиеся к разработке
бесконечных процессов, с которыми не может справиться алгебра,
создать новые алгоритмы. Этим алгоритмам необходимо придать
по возможности совершенную символику, отражающую сущность
понятий или операций. Выбору символики Лейбниц придавал
огромное значение. Он указывал, что необходимо выбирать
обозначения, удобные для открытий, т. е. необходимо, чтобы
обозначения коротко выражали сущность вещей. Тогда сокращается
работа мысли. Оперативное значение новых алгоритмов возрастает,
если они будут механизированы.
Таковы в основном были исходные установки Лейбница. Они
определили направление и характер его математических занятий,
которые привели к открытию дифференциального и интегрального
исчисления.
До 1673 г., до поездки в Париж, Лейбниц много занимался
комбинаторными задачами, видя в них математическую основу
логики. В Париже он встречался с Гюйгенсом и тот ввел его в курс
инфинитезимальных проблем математики. Гюйгенс же поставил
перед Лейбницем ряд задач, связывающих эти проблемы с
комбинаторикой. Решив одну из задач Гюйгенса о нахождении сумм
чисел вида , Лейбниц нашел также суммы некоторых ря-
дов. При этом широко использовал паскалев арифметический
треугольник и конечные разности высших порядков. В этот
подготовительный период им были основательно проштудированы
сочинения Декарта, Кавальери, Валлиса, Паскаля, Гюйгенса и др.
Примерно с этого времени в бумагах Лейбница все чаще
встречается применение характеристического треугольника Паскаля
для решения задачи о проведении касательной к кривой. При этом
он постепенно приходит к мысли о возможности суммирования
разностей (dx и dy), образующих стороны характеристического
треугольника. К суммам этих малых разностей приводят и задачи
о квадратурах. Лейбниц, усмотрев это обстоятельство, высказал
предположение, что решение обратных задач на касательные
полностью или в большей части можно свести к квадратурам. Таким
путем, не зная работ Барроу и Ньютона, но, как и они, исходя из
обратных задач на касательные, Лейбниц открыл
взаимно-обратную связь между методами проведения касательных (в
последующем — операции дифференцирования) и квадратурами
(позднее — интегрирование). Тогда же он высказал мысль, что сводка
результатов дифференцирования путем простого оборачивания
может быть полезна при интегрировании функций
(эквивалентными соображениями пользовался и Ньютон).
228
В чисто математическом плане лейбницево исчисление
складывалось в общих чертах из следующих посылок:
а) задачи суммирования рядов (с 1673 г.) и привлечение
систем конечных разностей;
б) решение задач о касательных, характеристический
треугольник Паскаля и постепенный перенос соотношений между
конечными элементами на произвольно, а затем бесконечно малые;
в) обратные задачи на касательные, суммирование бесконечно
малых разностей, открытие взаимообратности дифференциальных
и интеграционных задач (примерно к 1676 г.).
Все эти годы Лейбниц предпринимал многочисленные попытки
создать удобную символику. Он приходит к мысли о символе d
(сокращение слова differentia — разность) для обозначения
бесконечно малой разности. Вслед за Кавальери и Паскалем он
представлял интеграл как сумму «всех» ординат, которых бесконечно
много, и записал его символом omny или чаще omnl. Позднее он
заменил ornn на J*, исходя из начальной буквы слова Summa.
Взаимообратность задач он тоже старался отражать в символах:
если Sl=ax, то/=—. Вскоре он пришел к мысли, что лучше пи-
d
сать d(ax); ведь «dx» — это то же, что —, т. е. разность между
d
ближайшими х. Но из Цах)=1 получается, что дифференциал
d(ax) будто бы равен конечной величине /. Так постепенно
выяснилась необходимость усовершенствовать символ интеграла,
включив в него символ дифференциала аргумента: Sydx.
При помощи Ольденбурга (1615—1677), секретаря
Лондонского королевского общества, Лейбниц завязал (1676—1677)
переписку с Ньютоном. В письмах он сообщал свои результаты и
стремился узнать больше о методах и результатах Ньютона. В
основном речь шла о способах разложения функций в ряды и о
решении обратных задач на касательные. Корреспонденты хорошо
понимали друг друга, осознавали близость своих целей и выводов.
Без большого труда они разгадывали сущность методов,
применяемых соперником. К сожалению, вскоре переписка прекратилась,
так как Ньютон перестал отвечать на письма.
Казалось бы, эта переписка должна была ускорить
публикацию нового исчисления. Однако Лейбниц, как и Ньютон, не
спешил с этим. Он работал над усовершенствованием методов
исчисления и над обоснованием, стремясь оправдать его появление или
логически строгой дедукцией, или достаточно большим
количеством новых результатов и практических достижений. Только в
1684 г. в лейпцигском журнале «Acta Eruditorum» Лейбниц
опубликовал первый мемуар об анализе бесконечно малых «Новый
метод максимумов, минимумов, а также касательных, для которого
не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные
величины и особый для этого род исчисления».
Мемуар этот невелик, менее 10 страниц. В нем нет
доказательств. Но в нем впервые на страницах научного журнала появ-
229
ляется дифференциальное исчисление как объект математического
исследования в виде, во многом напоминающем современную его
структуру.
Дифференциал аргумента dx принят за совершенно
произвольную величину. Дифференциал функций dy определен равенством
dy =5 — ,где St — подкасательная к кривой в точке (х, у). Введе-
st
ны символы: dx и dy. Сформулированы правила
дифференцирования постоянной величины, суммы функций, разности,
произведения, частного, степени, корня. Отмечена независимость вида
первого дифференциала от выбора аргумента. Дифференциалы
понимаются вначале как величины, пропорциональные мгновенным
приращениям величин. Правда, позднее дифференциалы вновь
определяются как бесконечно малые разности.
Мемуар 1684 г. был трактатом о дифференциальном
исчислении. Через два года, в 1686 г., вышло в свет другое сочинение
Лейбница «О глубокой геометрии», в котором сосредоточены правила
интегрирования многих элементарных функций. Для обозначения
операции интегрирования введен символ /, истолковываемый как
сумма дифференциалов, а также подчеркнута ее взаимообрат-
ность с операцией дифференцирования. В том же году Лейбниц
разрабатывает основы теории соприкосновения кривых, вводит
соприкасающийся круг и применяет его к измерению кривизны.
При этом он допустил ошибку, полагая, что в общем случае этот
круг и кривая имеют четыре совпадающие точки. Ошибку эту
исправил в 1692 г. его последователь Яков Бернулли, показав, что в
общем случае таких точек только три.
Анализ бесконечно малых вышел, таким образом, из стадии
формирования и заявил о себе как о новой математической
науке, сразу же продемонстрировав необычную плодотворность.
Активная пропаганда нового исчисления Лейбницем и его учениками
и последователями, среди которых сразу же выделились братья
Бернулли: Яков (1654—1705) и Иоганн (1667—1748), также
способствовала его бурному распространению. А поток новых
открытий Лейбница не иссякал.
В 1693 г. он распространил новое исчисление на
трансцендентные функции путем разложения их в ряды с помощью метода
неопределенных коэффициентов. Эту группу результатов он
изложил в статье с характерным для публикаций XVII и XVIII вв.
длинным заголовком: «Дополнение практической геометрии,
распространяющееся на трансцендентные проблемы с помощью
нового наиболее общего метода бесконечных рядов».
В последующих работах Лейбница охвачены, по существу, все
начальные отделы дифференциального и интегрального
исчисления. Так, в 1695 г. он опубликовал правило дифференцирования
общей показательной функции и формулу многократного
дифференцирования произведения:
dm(xy) =dmx-d<>yl- -d*-1 x-dy + m{m~l) d"-*x-d*y + ....
230
Тогда же ему удалось обобщить понятие дифференциала на
случаи отрицательного и дробного показателя. В течение 1702—
1703 гг. были разработаны приемы интегрирования
рациональных дробей.
С помощью нового исчисления математикам конца XVII —
начала XVIII в. удалось решить большое число трудных и
практически важных задач. Лейбниц и в этом роде деятельности
проложил дорогу. В 1691 г., например, он установил форму, которую
принимает подвешенная за концы тяжелая гибкая однородная
нить, и вывел уравнение цепной линии. С 1696 г. его занимают
новые задачи — вариационные. Он решил задачу о
брахистохроне— кривой кратчайшего спуска, нашел метод решения задач о
геодезических линиях.
Символика и термины Лейбница оказались очень хорошо
продуманными: они были несложными и отражали существо дела,
помогали пониманию и позволяли оперировать с ними по
сравнительно простым правилам. Многие из них дошли до наших дней.
Лейбниц ввел термины: дифференциал, дифференциальное
исчисление, функция, координаты, дифференциальное уравнение,
алгоритм (в смысле, аналогичном современному пониманию) и многие
другие, а также большую часть символов. Практические успехи и
разработанность исчисления достигли такого уровня, что в конце
века (1696) появился первый учебник дифференциального
исчисления и его приложений к геометрии: «Анализ бесконечно малых»
Г. Ф. Лопиталя.
Практическая ценность исчисления Лейбница, оперативная
простота привлекали к нему внимание ученых. Оно быстро
делалось центром всей математики, основным орудием исследования.
Но в этом исчислении было слабое место: оставалось неясным,
какое рациональное объяснение можно дать основным понятиям,
опирающимся на бесконечную близость, бесконечную малость или
бесконечную протяженность процесса. В рукописях и статьях
Лейбниц постоянно возвращается к нерешенной проблеме
обоснования анализа бесконечно малых. Попыток он предпринял много,
с самых разных исходных позиций. У него можно найти:
трактовку бесконечно малых как неархимедовых величин; привлечение
интуитивно воспринимаемой потенциальной бесконечной малости;
ссылки на античный метод исчерпывания и сведение всех
трудностей к нему; постулирование возможности замены отношения
бесконечно малых отношением конечных величин; неразвитые
представления о пределе, стремление к нему; введение в рассуждения
в качестве опоры непрерывности, будто бы присущей природы
всех вещей.
Однако проблема обоснования анализа бесконечно малых
оказалась не под силу Лейбницу, так же как и Ньютону. Основы этой
важнейшей части математики, в которой следовали один за
другим замечательные достижения, оставались невыясненными.
Большое место в сочинениях по истории математики этого
времени занимает спор между последователями И. Ньютона и
231
Г. В. Лейбница о приоритете открытия дифференциального и
интегрального исчисления. В свое время так оно и было; спор
приобретал напряженный характер, разрастался до размеров
национального соперничества и ссоры, вовлекал огромное количество
ученых и даже политических деятелей. Но не все, даже самые
громкие споры, самые модные теории, защищаемые самыми
фанатичными адептами, в истории долго существуют и имеют
непреходящее значение. Законы истории неумолимо отражают именно
содержательную сторону науки, ее соответствие экономическому
строю человеческого общества. Поэтому мы вправе уделить
упомянутому спору о приоритете лишь несколько фраз.
По-видимому, Ньютон и Лейбниц открыли свои формы
исчисления независимо друг от друга. Оба опирались на опыт
многочисленных предшественников, в котором накопилось достаточно
предпосылок для их открытий. Оба отразили, исходя из разных
посылок, общую потребность науки в анализе бесконечно малых.
Ньютон, видимо, добился успеха раньше, Лейбниц — несколько
позже. Однако приоритет в публикации, заслуги в активной
пропаганде нового исчисления и в создании удобных алгоритмов и
символов принадлежат Лейбницу.
Совсем мало лет прошло со времени изобретения анализа
бесконечно малых, а его положение в математике определилось и
стало прочным. Его осознавали как исчисление, объектами которого-
были все известные в то время классы функций. Над этими
функциями в исчислении производили по единообразным правилам
операцию дифференцирования. Сделалось несомненно ясным,,
какие классы задач (преимущественно из геометрии и механики)
требовали для своего решения операции дифференцирования.
Решение обратных задач составляло и пополняло интегральное
исчисление, хотя состав последнего был гораздо более сложным из-
за входящих в него дифференциальных уравнений, отсутствия
общих методов интегрирования. Символика сделалась более
систематичной и достаточно развитой, чтобы содействовать
оперативным успехам исчисления. Пониманию широкими кругами
математиков сущности анализа ничуть не мешало то, что в странах
континентальной Европы использовалась символика, разработанная
Лейбницем, а в островном английском государстве ревниво
оберегали символику теории флюксий.
Быстрыми были первые шаги нового дифференциального
исчисления. В оперативной части все возможное и практически
важное было освоено в считанные годы, и дифференциальное
исчисление заняло свое место в классических основах математического
анализа и соответственно в математическом образовании.
Гораздо медленнее и труднее шли дела при накоплении
способов интегрирования функций. Геометрические методы,
состоящие в изучении площадей фигур, ограниченных плотным
множеством ординат кривой, заданной на отрезке, оказывались
недостаточными. Их пришлось дополнять методами представления
функций в виде, удобном для интегрирования. В основном речь шла о
232
представлении функций степенными рядами и другими
подходящими формулами. Класс функций, интегрируемых в явном виде,
пополнялся медленно.
К успехам в части дифференцирования и интегрирования
функций почти тотчас, даже одновременно и неразрывно с ними,
добавились первые решения дифференциальных уравнений, начиная с
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Их решения пробовали отыскивать в виде алгебраических или
элементарных трансцендентных функций.
Постепенно были найдены элементарные приемы решения
дифференциальных уравнений: разделение переменных, частные виды
интегрирующего множителя, решение однородных уравнений
первого порядка подстановкой y=x-t. И. Бернулли сумел
проинтегрировать уравнение
dy + Р (х) -у -dx=Q (х) • уп -dx
i
с помощью подстановки у = ul~nt преобразовав его тем самым в
линейное дифференциальное уравнение первого порядка. И
поныне это уравнение носит его имя. Тот же И. Бернулли, нашел
решение линейного однородного дифференциального уравнения
n-го порядка
Qxn€! + . т т +Вх**а + Axd-z + у = о.
dxn^ dx* d**
Добился он этого с помощью интегрирующего множителя вида
хр, отчего порядок уравнения понижался. Очень скоро, впрочем,
стало очевидным, что на этом пути нельзя рассчитывать на
решение сколько-нибудь широкого класса уравнений. Пришлось
видоизменить саму постановку задачи и считать решением
дифференциального уравнения сведение к квадратурам.
Таковы были первые успехи нового исчисления. Они могут
показаться довольно скромными. Но это были лишь первые капли
начавшегося тогда же могучего ливня результатов, в основном
практических. Работа велась энергично, увлеченно. В нее
вовлекалось возрастающее число ученых. Быстро росло количество
решенных задач. Крепла уверенность, что дифференциальные
уравнения описывают если не все, то во всяком случае главнейшие
закономерности природы. Надо только научиться их решать.
Необозримые возможности открывались перед новым исчислением.
Уместно обратить внимание читателя на то, что на изучаемом
материале проявляется еще одна общая историко-научная
закономерность: развитие математических исчислений есть процесс,
имеющий диалектический характер. Охарактеризовать эту
особенность развития можно примерно так: в рамках уже
существующего известного материала происходит накопление предпосылок,
элементов и даже составных частей нового исчисления. Затем
наступает упоминавшийся нами ранее переворот в методе. Он проявля-
233
ется явственно тогда, когда начинают возникать математические
работы, в которых накопленные до них факты рассматриваются с
новой, единой, точки зрения. Центр внимания и усилий
перемещается с попыток решения отдельных задач на разработку самого
метода или группы методов, которые при этом явно
формулируются, совершенствуются и применяются для решения задач.
Область же применения сложившегося таким путем исчисления, как
правило, оказывается более широкой, нежели область, его
породившая. Изменяется при этом и само исчисление.
В дальнейшей истории математического анализа это
демонстрируется явно. В самом деле, вместе с первыми значительными
успехами начали изменяться состав и характер математического
анализа. В нем стали возникать новые и новые ответвления:
дифференциальные уравнения (которые в свою очередь разветвились
на уравнения обыкновенные и в частных производных) и их
приложения, вариационное исчисление, специальные функции,
элементы теории функций комплексного переменного, теория рядов
и последовательностей, функции многих переменных и т. д. По
мере накопления материала эти ответвления приобретали возраст
тающую самостоятельность и отпочковывались. Вокруг
дифференциального и интегрального исчисления разрастался мощный и
разнообразный математический анализ.
Однако математический анализ, теоретически богатый и
практически значительный, нес в самих своих основах неразрешенное
противоречие между растущими практическими успехами и
логической необоснованностью, неразъясненностью его понятий и
операций. Эти противоречия сказывались, и чем далее, тем в более
резкой форме. Столь парадоксальной ситуации в дальнейшей
истории математического анализа нельзя не посвятить несколько
слов, хотя это и выходит за рамки настоящей главы.
Не было тогда (как, впрочем, и позже) в математическом
анализе практически ни одной стороны, которая ни вызывала бы
протестов, недоумения и не столь уж несправедливой критики.
Очевидные успехи математического анализа на первых порах
были причудливо и плотно переплетены с неясными и даже
нелепыми высказываниями и заблуждениями. Главными причинами
такого положения были следующие.
1. Для дифференцирования функций не существовало еще
рационального объяснения употребляемых понятий (в особенности
тех, где происходит отбрасывание бесконечно малых величин).
2. Когда речь заходила о неопределенном интегрировании, то
отыскание первообразных не опиралось на какой-либо
регулярный метод или хотя бы на таблицу полученных достаточно
многочисленных результатов. Определенное же интегрирование
наталкивалось также на невыясненность использующихся понятий
бесконечно малых и бесконечно больших величин. Острой была
необходимость уточнения понятия функции и создания аппарата
преобразования функций к виду, когда интегрирование
оказывается возможным.
234
3. Дифференциальные уравнения не позволяли медлить или
долго и упорядоченно их обдумывать. Они возникали как
описания многих явлений в большом числе и великом разнообразии.
Однако ни проблема классификации уравнений, ни вопрос о том,
что же является решением уравнения (не считая многих
примыкающих проблем), не находили рационального объяснения.
Если к сказанному еще добавить трудности, возникающие в
случае, когда приходится иметь дело с функциями комплексного
аргумента или принимающими комплексные значения, то
становится ясным, что успехи математического анализа произрастали
на весьма зыбкой почве. Это сильнейшим образом
препятствовало получению новых результатов и оправданию истинности
результатов, уже полученных. Именно поэтому математики XVIII и
последующих столетий прилагали столь большие усилия для
усовершенствования основ этой области.
В заключение сделаем несколько замечаний, о той обстановке
в математике, в которой анализ бесконечно малых делал свои
первые шаги.
Появление аналитической геометрии и анализа бесконечно
малых создало к концу XVII в. новое положение в математике. Эти
области привлекли самый большой интерес, и именно в них были
быстро достигнуты очень важные результаты. Роль этих областей,
в особенности анализа бесконечно малых, сделалась настолько
значительной, что можно назвать математику этого периода
математикой переменных величин.
Однако всегда следует помнить, что рассмотрение главного,
определяющего, не исчерпывает всего содержания науки; в нем
еще много сторон, много линий развития, не являвшихся в то
время главными, но впоследствии оказавшихся весьма важными.
Алгебра в этом веке все более освобождалась от
геометрических элементов. В ней окреп символический буквенный аппарат.
Определилась основная научная проблематика — общая теория
уравнений. В этой области можно отметить:
а) постановку и некоторое продвижение проблемы
приводимости алгебраических уравнений, т. е. представления целых
рациональных функций с рациональными коэффициентами в виде
произведения двух или большего числа аналогичных функций (см.,
например: И. Ньютон. «Всеобщая арифметика»);
б) введение Лейбницем в 1693 г. начал теории определителей
и правила, известного теперь как «правило Крамера». Заметим,
что термин «детерминант» появляется только в 1815 г. у Коши, а
символ детерминанта — в 1841 г. у Кэли;
в) непрекращающиеся (но, разумеется, безуспешные) попытки
найти решение в радикалах уравнений степени выше четвертой;
г) попытки доказать основную теорему алгебры о числе
корней алгебраического уравнения.
Геометрия существенно расширила свой состав. В нее вошла,
как было показано выше, новая аналитическая геометрия,
связавшая ее с алгеброй. Геометрические приложения анализа посте-
235
пенно формируются в будущую самостоятельную математическую»
дисциплину — дифференциальную геометрию. Наконец, в XVII в.
закладываются основы проективной геометрии. В 1636 г. Ж. Де-
зарг (1593—1662), французский инженер и архитектор,
разрабатывая теорию перспективы, развил целую систему проективно-
геометрических представлений: бесконечно удаленных предметов,,
инволюции и т. д. Проективные представления внесли в теорию
конических сечений кроме Дезарга Б. Паскаль (1640) и Ф. Лагир
(1685).
Теория чисел обогатилась замечательными исследованиями
Ферма, определившими дальнейшее ее развитие. В частности, ему
принадлежат сформулированные без доказательства две теоремы»
а) Великая теорема Ферма: диофантово уравнение хп + уп =
=zn, где /г>2 целое, не имеет решения в натуральных числах0
До сих пор она доказана только для небольших /г; общего
доказательства еще нет.
б) Малая теорема Ферма: если р простое, а целое, не
делящееся на р, то а^_1 = 1 (mod р), т. е. аР~х—1 делится на р. Первым
дал доказательство этой теоремы, лежащей в основе теории
сравнений, Л. Эйлер.
В 1665 г. Б. Паскаль впервые сформулировал принцип
математической индукции. Он же, а также П. Ферма и Г. В. Лейбниц, о
чем упоминалось выше, в ряде статей разработали основные
понятия комбинаторики.
Теория вероятностей, в связи с задачами которой
предпринимались комбинаторные исследования, в середине XVII в. вступила
в стадию формирования как науки. Вероятностные соображения,
в которых интуитивные представления о степени логической
возможности дополнялись подсчетами теоретически возможных
исходов, начали появляться в XVI веке. Понятие математического
ожидания начало входить в математический обиход гораздо
позднее, в сочинениях Паскаля, Ферма, Гюйгенса, в связи с задачей о
разделении ставки. По-видимому, в самом конце XVII века
Я. Бернулли нашел закон больших чисел (опубликован в 1713 г.),
завершив тем самым первый, по классификации А. Н. Колмагоро-
ва, этап истории теории вероятностей.
В такой обстановке и таким образом на рубеже XVII—
XVIII вв. начал свое формирование математический анализ,
составляющий в наши дни классическую основу современного
высшего математического образования.
ГЛАВА 7
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ПЕРВОЕ
СТОЛЕТИЕ
§ 7.1. ОБСТАНОВКА И СТИМУЛЫ РАЗВИТИЯ
Научная деятельность в области математики и прогресс в
части математического образования почти целиком сосредоточились
в странах Европы. Экономика на этом континенте в XVIII веке в
основном уже приняла формы, типичные для промышленного
капитализма. Развитие экономической и общественной жизни
людей, определяемое становлением новой экономической формации,
начало к этому времени оказывать воздействие и на
интеллектуальную область.
Темпы развития науки в это время быстро нарастают.
Промышленная революция, образование мирового рынка, связанные с
этим нужды мореплавания, кораблестроения, военной техники,
теплотехники, гидроэнергетики и другие ставят перед наукой
быстро усложняющиеся задачи. Вслед за задачами механики и
астрономии возникли проблемы построения математического
аппарата для исследования электромагнетизма и теплоты.
Решение научно-технических и даже теоретических задач
становится делом государственной важности. Таблицы положений
Луны, Солнца, звезд, проблема изобретения хронометра высокой
точности, показания которого не зависели бы от качки корабля,
нахождение методов отображения сферы на плоскость как
важнейшая часть картографии и многие другие задачи приобретают
необычайную актуальность и срочность. В то же время овладение
методами нового анализа бесконечно малых делало решения
подобных задач доступными усилиям ученых.
Для научных исследований в Петербурге, Берлине и других
городах Европы создаются академии наук и другие учреждения,
субсидируемые государством. Постепенно возрастает число и роль
высших учебных заведений, ставшая особенно заметной к концу
XVIII в., в эпоху Великой французской буржуазной революции. В
обществе складывается заметная прослойка
ученых-профессионалов, в том числе математиков, главным делом жизни которых
являются научные исследования и преподавание. В связи с этим
происходит заметная демократизация состава ученых. Л. Эйлер
был сыном пастора, Ж. Л. Лагранж — офицера, П. С. Лаплас и
М. В. Ломоносов — крестьянского происхождения, Ж. Даламбер
даже не имел родной семьи. Число подобных примеров нетрудно
увеличить.
Объем математических сведений, которыми должен был
владеть квалифицированный математик того времени, был уже
довольно велик. Видимо, именно в силу этого обстоятельства еще до
237
наступления XVIII века начали появляться сочинения, имеющие
целью охватить всю математику, изложить ее систематически.
Например, в 1661 г. в Вюрцбурге вышел в свет однотомный
«Курс математики, или Полная энциклопедия всех математических
дисциплин» («Cursus mathematicus sive absoluta omnium mathe-
maticarum disciplinarum Encyclopaedia») К. Шотта. Через 13 лет,
в 1674 г., «Курс, или Мир математика» («Cursus sen mundus
mathematicus») лионца Дешаля состоял уже из трех томов. А еще
через 20 лет, в 1693 г., «Курс математики» («Cours des mathema-
tiques») Озанама появился в 5 томах.
Заметим, кстати, что тенденция к построению единой системы
математики периодически проявлялась и в последующие
времена, являясь, как бы, непременным спутником дальнейшего роста
математики. В наши дни выразителем подобных устремлений
является, например, многотомное (но еще не завершенное)
сочинение «Элементы математики», коллективным автором которого
является группа математиков, преимущественно французских,
выступающая под общим псевдонимом: Николя Бурбаки.
Что касается математического анализа, или точнее анализа
бесконечно малых, то число задач, решаемых с помощью его
методов, быстро росло. Крепла и распространялась уверенность, что
эта часть математики, в особенности дифференциальные
уравнения, всемогущи. Они описывают если не все, то уж во всяком
случае главнейшие закономерности природы. Многим
математикам (а в особенности нематематикам) решение
дифференциальных уравнений представлялось универсальным средством
научного исследования.
Однако этот в самом деле могучий и быстро пополняющийся
арсенал приемов нес в своих основах неразрешенное противоречие
между растущими практическими достижениями и логической
несообразностью, необоснованностью способов оперирования с
бесконечно малыми. Это противоречие давало себя знать все сильнее
как в теоретической части, так даже и в приложениях.
История анализа бесконечно малых XVIII века характерна
обилием и разнообразием фактов, тенденций, направлений.
Задачей настоящей главы является выделение главнейших, основных,
по нашему мнению, линий развития. Нижеследующие параграфы
будут касаться как развития оперативной стороны, так и
логической, понятийной. Самым значимым в этом контексте является
понятие функции. С него и начнем.
§ 7.2. АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ
Еще при жизни И. Ньютона и Г. В. Лейбница стало
очевидным, что недавно построенные исчисления флюксий и
дифференциалов явились лишь преддверием новой области математики, ее
элементарной частью. Содержание анализа бесконечно малых
(так стали называть эту область математики) быстро
пополнялось новыми фактами. Операции дифференцирования и интегри-
238
рования оказывались применимыми ко все более широкому
классу функций. Соответственно расширились возможности
приложений анализа бесконечно малых. В свою очередь практические
потребности вынуждали распространять операции анализа на
всевозрастающий класс функций. В сущности, самой главной
трудностью в развитии анализа бесконечно малых была необходимость
такого представления функциональных зависимостей, которое
позволяло бы применять к ним операции нового исчисления.
Поэтому оказывалось все более необходимым исследовать смысл
понятия функции, дать классификацию всех известных функций и
найти способы оперирования с ними. Задача создания теории
функций сделалась первой, преимущественной задачей анализа
бесконечно малых. Эйлер писал, что весь анализ бесконечно
малых вращается вокруг переменных и их функций.
Монографии XVIII в., посвященные систематическому
изложению математического анализа, ярко отразили эту особенность его
развития. В них, как правило, дифференциальному и
интегральному исчислению были предпосланы специальные введения или даже
книги, содержащие анашиз функций. Типичным и самым
совершенным образцом, которому следовали математики XVIII в.,
явилась серия монографий Л. Эйлера.
Старая идея цельного и систематического изложения всей
современной математики, которое позволило бы осмыслить ее как:
единую науку, нашла в Л. Эйлере своего последователя. Он
понимал, что гигантский объем математических знаний уже не
позволит осуществить эту идею в одном сочинении. Поэтому Л.
Эйлер написал серию монографий, освещающих современное ему
состояние отдельных частей математики. Анализу бесконечно малых,
он посвятил следующие книги:
1. «Введение в анализ бесконечных»: В 2-х т., изд. 1748 г.;
2. «Дифференциальное исчисление»: В 2-х т., изд. 1755 г.;
3. «Интегральное исчисление»: В 3-х т., изд. 1767—1770 гг.
Четвертый том, изданный в 1794 г., уже после смерти Л. Эйлера,
был сборником, составленным из рядов его работ.
Эти классические, без преувеличения, сочинения отразили
содержание анализа XVIII века и послужили образцом для
последующих трудов той же направленности вплоть до работ О. Коши
в XIX в. Первый том «Введения в анализ бесконечных» Эйлер
посвятил учению о функциях, об их свойствах, классификации,
способах разложения функций в бесконечные ряды, бесконечные
произведения, в непрерывные дроби и в суммы простых дробей.
Понятие функции имеет двоякий аспект: функции как
соответствия (зависимости) и как аналитического (символического)
выражения. Интуитивное восприятие функциональной зависимости"
как проявления причинной связи явлений в различных
модификациях свойственно людям с давних времен. Большую историю
имеют также попытки выражения функциональных зависимостей
математическими средствами. Одними из первых попыток былиг
многочисленные таблицы. Позже — учение древних математиков
239
о геометрических местах. В последующем совокупность средств
математического выражения функциональных зависимостей
обогащалась. В нее входили: символический аппарат, записи решений
отдельных типов задач, выделение классов функций, начиная с
элементарных, накопление конкретных сведений о тех или иных
функциях и классах функций.
Общая идея трактовки функции как соответствия возможно
более общей природы была особенно ясно высказана Декартом.
Однако возможность оперирования с функциями неизбежно зависела
от их конкретных выражений либо средствами геометрии, либо
аналитическими символическими выражениями. Ньютон добавил
в своей теории флюксий механическую трактовку понятия
функции. Оперативная часть этой теории основывалась, как известно,
на разложениях функций в степенные ряды. В свою очередь
Лейбниц выразил общую идею функциональной зависимости, введя
термин «функция» и соответствующий символ для обозначения
совокупности отрезков., связанных с кривой и таких, что их длина
зависит от положения точки на кривой, т. е. ординат, отрезков
касательных, подкасательных, нормалей, поднормалей.
Практические успехи анализа бесконечно малых побуждали
математиков обращать больше внимания на такую трактовку
понятия функции, которая способствовала бы оперированию с
конкретными функциями. Эту тенденцию весьма отчетливо выразил в
1718 г. И. Бернулли, когда предложил считать, что функция есть
не что иное, как аналитическое выражение. На ту же, вообще в то
время распространенную, точку зрения встал и Эйлер, дав
следующее определение понятию функции: «Функция переменного
количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо
образом из этого переменного количества и чисел, или постоянных
количеств»1.
Чтобы придать этому определению наибольшую возможную
общность, Эйлер допускал как действительные, так и мнимые
значения аргумента. Функция, понимаемая просто как аналитическое
выражение, образуется у Эйлера с помощью класса допустимых
операций, в который входят арифметические действия, степени,
корни, решения алгебраических уравнений. К ним Эйлер
присоединил тригонометрические функции и элементарные
трансцендентные: ez, lnz. Наконец, в класс допустимых операций было
включено интегрирование.
Классификация функций производится в соответствии с
определением этого понятия в основном по виду их символических
выражений (см. рис. 56). Эйлер дополнил этот принцип
классификацией функций по их свойствам. Так, он ввел однозначные и
многозначные, четные и нечетные функции, показал, каковы
символические признаки наличия или отсутствия того или иного
свойства, сформулировал признаки определения того, какие из
1 Эйлер Л. Введение в анализ бесконечно малых. М: Физматгиз, 1961.
Т. 1. С. 5.
240
Функции
Алгебраические
Трансцендентные
Иррациональные
Рацио -
нальные
Тригонометрические
Логарифми -
ческие
Целые
Дробные
Рис. 56
свойств функции сохраняются при производстве той или иной
операции, а какие — не сохраняются. Классификация функций
Эйлера означала новый этап восприятия этого понятия,
отличающийся сравнительно большой общностью. Однако отодвигание на
второй план общего понятия функции как соответствия, опора
только на аналитико-оперативную практику определили
ограниченность понимания функции даже Эйлером.
Все функции мыслятся у него представимыми степенным
рядом
f(z)~aQ+aiz+a2z2+ ...
(где z, вообще говоря, комплексное). Следовательно,
представление о функциях было по существу еще ограничено классом
аналитических функций. Такое заблуждение вполне объяснимо.
Значительно позднее выяснилось, что поскольку к аргументу
применяются только операции указанного выше класса, то и в
результате будут получаться только функции аналитические всюду,
кроме, может быть, изолированных особых точек, причем
аналитичность сохранится и в сколько угодно малой окрестности этих
точек, где функция допускает разложения в обобщенный степенной
ряд. Поведение функции в малом участке определяет, по Эйлеру,
поведение ее в целом, что свидетельствует о существовании у него
в то время идеи аналитического продолжения.
Из того же определения функции как аналитического
выражения выросло своеобразное определение непрерывности. Функция
считалась непрерывной, если она задана на всей области
существования единым аналитическим выражением. Так, непрерывными
оказались функции р = —, y = tgx и т. п. Свойство
непрерывного
сти функции в смысле, привычном для нас, называлось
связностью функции.
Разумеется, наряду с описанной концепцией понятия функции
как аналитического выражения в работах Л. Эйлера, Ж. Далам-
бера и других математиков XVIII в. можно найти и иные
определения. Возможны и другие трактовки этого понятия, отражающие
ту мысль, что соответствие является его основным признаком.
Однако представление о функции как аналитическом выражении
было доминирующим.
Основным средством, позволяющим приводить функции к видуз.
удобному для оперирования с ними, было разложение их в
степенные ряды. Опыт подсказывал математикам, что в ряды
разложимы все известные им функции. Исключения из этого общего
правила появились в основном позднее; в то время они были
слишком немногочисленны, чтобы изменить сложившиеся
представления и существенно повлиять на структуру теории функций.
Поэтому после классификации функций и введения основных понятий в
теории функций XVIII в. непосредственно следуют разделы
оперативного характера, куда входят методы разложения функций в
ряды и свойства последних.
В своем «Введении в анализ» Эйлер разработал
многообразный аппарат изучения функций с помощью степенных рядов. Он
изучил последовательно классы функций: рациональных, дробно-
рациональных иррациональных, где особенно интересна система
остроумных подстановок, устраняющих иррациональность. Затем
следуют методы разложения в ряд показательных и
логарифмических функций. Здесь впервые вводится и полностью
разъясняется определение логарифма положительного числа как показателя
степени, при возведении в которую выбранное основание дает
заданное число: если ax=N, то x=\ogaN. Затем выведена формула
- = (,+т)'
которая в более поздней символике записывается так:
е* = lim (l +-Y.
П— оо I П J
(Здесь у Эйлера i — бесконечно большое число. Символ i —
начальная буква слова infinite.)
Тригонометрические функции также вводятся аналитически.
Их определения уже не связываются столь тесно с геометрическим
образом круга. В результате исследования их свойств выводится
формула Эйлера
e±vi=cos v±isin v,
где i — мнимая единица. Формула выведена в характерной для
того времени манере: вначале приводится формула Муавра:
(cos z±t sin z)n=cos nz±i sin nz%
242
Л. Эйлер (1707—1783)
а затем
— (cos z -f i sin z)n 4- (cos г — i sin z)n
с. к) 5 //<c *-—» —————^——————————^—^———~—
2
(cos z + f sin г)" —. (cos z — / sin z)n
oiil 71Z 3=a ————————————————_——«_ e
2/
Принимая z за бесконечное малое, /г — за бесконечно большое,
причем отношение между z и п таково, что их произведение
конечно: nz-+v, а также, что при этом
cos г-И, sin 2~>г=у//г,
243
Эйлер находит
cosy = —~ ,
2
sint; = .
2»
Отсюда уже следует искомая формула:
eiv=cosy + i sin v.
Кроме разложения функций в ряды Эйлер разработал метод
представления функций бесконечными произведениями, как,
например,
""-«('-7)(«-?0(<-?)--"
I те2 11 9ic*ll 25ti2)
Эти разложения были применены для упрощения вычисления
логарифмов тригонометрических функций.
Для нужд интегрального исчисления в теории функций были
собраны методы представления функций в виде суммы
элементарных дробей. Наконец, для изучения свойств функций Эйлер
применил аппарат непрерывных дробей. Было открыто также много
фактов, полезных для будущей теории функций комплексного
переменного. Например, Даламбер и Эйлер в работах по
гидродинамике показали, что эти функции имеют вид w=u+iv и что
действительная и мнимая части таких функций удовлетворяют
условиям
ди ди ди ди
дх ду' ду дх
Даламбер в 1752 г., а Эйлер в 1755 г. показали, что эти условия
достаточны для аналитичности функции w. Позднее (в 1777 г.)
Эйлер доказал и необходимость этих условий, ныне в некоторых
книгах ошибочно носящих название условий Коши — Римана.
В течение 30—40-х годов XVIII в. главным образом
благодаря Эйлеру была разработана и систематизирована теория
элементарных аналитических функций. Она тотчас же повлекла поток
открытий, сопровождающихся большими и страстными спорами.
Особенно много споров вызывала трактовка функций
комплексного аргумента.
Большое значение имел в этом плане спор о природе
логарифмов комплексных чисел, начатый еще Лейбницем и И. Бернулли.
Первый утверждал, что эти числа мнимые, тогда как И.
Бернулли отстаивал утверждение, что эти числа действительные. В 1749 г.
Эйлер правильно решил этот вопрос. Он заметил, что значение
у=1п х определяется из равенства
244
х = еУ = (\ + ILY i = оо.
Отсюда
*!/< = 1 +|, y = i{xW-i),
или в современных обозначениях
у = \п х — lim п(х^п — 1).
П-*оо
Так как х1/п, т. е. «корень с бесконечно большим показателем i»f
продолжает Эйлер, имеет бесконечно много разных значений,
вообще говоря мнимых, то и логарифм имеет бесконечно много
значений, вообще говоря мнимых. Однако споры не утихали, так как
не была выяснена их основа: сущность понятия комплексного
числа. Мы вернемся к этому вопросу еще раз при изложении
истории теории функций комплексного переменного.
Неясность существовала и в вопросе о соотношении объемов
классов аналитических и аналитически выразимых функций.
Эйлер, как было сказано выше, считал их равносильными; всякое
аналитическое выражение представимо рядом. Это убеждение
разделяло подавляющее большинство математиков XVIII в. Даже
в 1797 г. Лагранж пытался построить теорию аналитических
функций, опирающуюся на утверждение, что любая такая функция
всюду, за исключением, быть может, отдельных значений
аргумента, представима рядом Тейлора.
Накопившийся запас представлений о способах выражения
функциональных зависимостей начал приходить, однако, в
противоречие с этой концепцией. Эйлеру пришлось рассматривать и
более общие классы функций, как было сказано выше. Так, ему
принадлежит идея рассмотрения функций, геометрически
выраженных линиями, начерченными свободным движением руки. При
этом неизбежно встала задача о соотношении объема данного
класса и класса непрерывных (в смысле Эйлера) функций. Эйлер
считал, что последний класс, по-видимому, беднее, потому что
существование аналитической формулы определило бы
однозначное аналитическое продолжение. Функции же, образованные
свободным движением руки, не имеют такого ограничивающего
условия.
Толчком к рассмотрению указанных проблем послужили
задачи математической физики, в особенности задача о колебании
струны. Этой принципиально важной задаче уделяли большое
внимание еще в XVIII в. многие ученые: Галилей, Мерсенн,
Декарт, Гюйгенс и др.
В 1715 г. Тейлор вывел уравнения колебания струны из
условия, что ускорение точки струны, т. е. d2y/dt2, обратно
пропорционально радиусу кривизны
e [\+(dyldxY]W
9 д*у/дх*
245
Для малых колебаний это дает
Тейлор наложил на задачу еще одно условие, что все точки
колеблющейся струны одновременно возвращаются на ось
абсцисс. Это дало ему возможность утверждать, что р—Ь2/у.
Тогда
дх* dt* v ' J
Принимая далее ось абсцисс за начальное положение струны,
концы которой закреплены, Тейлор нашел решение уравнения в виде
у=А sin bx sin abt.
В 1747 г. Даламбер нашел общий интеграл этого уравнения.
Пусть дано уравнение
dt* дх*'
После замены at=x оно примет вид
дх* ~~ дх* '
или
т. е.
дх ( dt J дх [дху
dJ>dx + d±dx = du
дх дх
является полным дифференциалом.
Обозначим
Тогда
откуда
И следовательно,
дУ _ п дУ _ п
т р> Г q'
дх дх
du=qdx+pdx,
dy=pdx+qdx,
d(y+u) = (p + q)d(x+x),
d(y—u) = (p-q)d(x-x).
y + u=2q>(at+x),
y—u=2^(af—x),
y=q>(at+x) + ty(at—x).
246
Здесь ф и ij) — произвольные функции, определяемые только
начальными условиями.
Из условий закрепленности концов ^ х=0== Даламбер вы-
I х=1
вел
y=y(at+x) —ф (at—х),
4(z+2l)=<f(z).
При этом он считал само собой разумеющимся, что функция
непрерывна в смысле XVIII в., т. е. аналитическая и,
следовательно, дифференцируемая.
Через год после работы Даламбера (опубликована в 1750 г.)
Эйлер ввел соображение о том, что положение конечной
колеблющейся струны в любой момент времени t0 определено, если
задано ее начальное положение y\t==o=f(x) и начальное распреде-
= ?(*)• Тогда функция у(х), введенная в
решение, данное Даламбером, выражается через функции f(x) и
g(x). Именно
<р(х)— ф(—x)=f(x),
ление скоростей —|
vj*
(чтобы получить это выражение, в условии
$!L = a<p'(at+x) — aq>'(at—x) = g(x)
dt
положим /=0 и проинтегрируем обе части равенства).
Но, как замечает Эйлер, функции f(x) и g(x) вообще не
непрерывные, а связные. Это обусловлено требованием
сплошности струны. Следовательно, произвольная функция у—<р(х),
введенная Даламбером, не является, вообще говоря, непрерывной.
Вокруг проблемы определения природы функции ф(х)
разгорелся спор, длившийся около 50 лет. В него были вовлечены
многие крупные ученые XVIII в. Спор, как это часто бывает, перерос
свои границы. Он превратился в спор о природе функций,
входящих в состав интегралов уравнений с частными производными, а
затем — вообще о соотношении между внутренними свойствами
функций и характером выражающего их аналитического
аппарата. Среди множества возникших в связи с этим проблем
оставалась долгое время нерешенной старая проблема: являются ли
связные линии, вычерченные свободным движением руки,
непрерывными, точнее аналитически выразимыми.
Решать эту проблему оказалось возможным, лишь обогатив
средства аналитической выразимости функций. Эти пути в XVIII в.
уже наметились в результате введения в математику аппарата
тригонометрических рядов. В одной из своих 15 статей,
посвященных задаче о колебании струны, Эйлер дал решение одного из ча-
247
стных случаев в виде тригонометрического ряда. Через пять лет, в
1753 г., Д. Бернулли предложил общее решение в аналогичной
форме, исходя из физического соображения, что звук,
издаваемый колеблющейся струной, слагается из основного тона и
бесконечного множества обертонов. Именно
(I — длина струны, a=a(t), $=$(t), Ч = Ч(0> •••)•
Однако Эйлер выступил против такой трактовки общего
решения, так как, по его мнению, функция, предложенная Д.
Бернулли, являлась недосхаточно общей. В самом деле, она
непрерывная, нечетная, периодическая. Поэтому, по Эйлеру, она могла
выражать лишь частное решение, в крайнем случае — класс
частных решений. Возникший спор привел к задаче: выяснить объем
класса функций, представимых тригонометрическими рядами.
Дальнейшее развитие понятия функции, состава теории
функций и ее места в системе математического анализа выходит за
рамки XVIII в. Однако, чтобы не возвращаться далее к этому
вопросу, изложим в основных чертах его дальнейшую историю.
В 1807 г. (опубликовано в 1822 г.) Фурье в работах по
аналитической теории тепла доказал, что связные линии, заданные на
конечных участках различными уравнениями, представимы на
любом таком участке рядом
оо
f (х) ~ — + Л, (ап cos пх + bn sin пх),
где коэффициентами являются выражения, получившие
впоследствии название коэффициентов Фурье:
^п*-
f(x) cos nxdx,
+*
bn = — i f(x) sin nxdx.
Все эйлеровские связные кривые, начерченные свободным
движением руки, оказались охваченными аналитическим аппаратом
тригонометрических рядов. Несоответствие общих представлений
о функциональной зависимости и ограниченных аналитических
средств их выражения оказалось сглаженным. Создались условия
для трактовки функций как соответствий весьма общего вида.
Вскоре такие трактовки стали преобладающими. Так, в 1810 г. Ла~
248
круа писал: «Всякое количество, значение которого зависит от
одного или нескольких других количеств, называется функцией
этих последних, независимо от того, знаем мы или не знаем,
через какие операции нужно пройти, чтобы перейти от этих
последних к первой»1. Аналогичное определение дано в «Аналитической
теории тепла» Фурье: «Функция fx обозначает функцию
совершенно произвольную, т. е. последовательность данных значений,
подчиненных общему закону или нет и соответствующих всем
значениям х, содержащимся между нулем и какой-либо величиной
х»2, Лобачевский в 1834 г. утверждал: «Общее понятие требует,
чтобы функцией от х назвать число, которое дается для каждого
х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может
быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое
подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них,
или, наконец, зависимость может существовать и оставаться
неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование
зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в
связи понимать как бы данными вместе»3. Аналогичную
трактовку понятия функции дали в 1837 г. Дирихле и другие ученые, и
она стала общепринятой.
Однако вскоре обнаружилось, что и ряды Фурье не являются
универсальным аппаратом представления функций. Во всех
случаях сходимости рядов Фурье, отнсящихся к непрерывным
функциям, кроме непрерывности требовалось выполнение
дополнительных условий: конечность производной, ограниченность
изменения функции, кусочная монотонность, существование
некоторого интеграла, выполнение неравенства и т. п. П. Дюбуа-Реймон в
1876 г. показал, что нельзя освободиться от дополнительных
условий и ограничиться только свойством непрерывности функции. Or
построил пример непрерывной функции, ряд Фурье которой
расходится в некоторых точках4.
При построении этого примера Дюбуа-Реймон использовал
прием накопления особенностей при построении функции —
прием, идущий от Больцано. Регулярное применение этого приема
показало, что удается построить непрерывную функцию Ф(х),
периодическую на сегменте [0, 2я], с накоплением особенностей в
любой точке. Соответственно ряд Фурье будет расходиться в
любой точке указанного сегмента, Вновь образовался разрыв между
арсеналом средств аналитической выразимости функций и общей
1 Lacroix S. F. Traits du calcul differentielle et du calcul integral. Paris,
1810, T. 1. P. 1.
J Fourier J. B. Theorie analytigue de chaleur. Paris, 1835. P. 5.
3Лобачевский H. И. Об исчезновении тригонометрических строк.
Собр. соч. М.; Л.: Гостехиздат, 1951. С. 43.
4 См., например: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и
интегрального исчисления. М.: Гостехиздат, 1949. Т. 3. С. 598—605.
249
трактовкой понятия функции1. Грубо говоря, кривых снова
оказалось больше, чем формул.
Еще более осложнилось дело к концу XIX в., когда понятие
кривой приобрело большую абстрактность и общность, чем ранее.
В 70-х годах XIX в. Г. Кантор построил общее понятие кривой
средствами теории множеств2. Плоская кривая была определена
у Кантора как множество точек на плоскости, связное, т. е. без
изолированных точек, совершенное, т. е. замкнутое (содержащее
все свои предельные точки), и всюду плотное на себе (любая его
точка — предельная). Однако это было такое множество, которое
нигде не плотно на плоскости (не имеет внутренних точек).
Построение Кантора, естественно, было воспринято некоторыми
математиками критически, как уводящее в сторону от возможности
использовать сложившийся аналитический аппарат.
Этот недостаток, будто бы устранялся в определении кривой
К. Жордана, данном им в 1882 г.: плоская кривая есть
совокупность точек плоскости с координатами, заданными уравнениями
x=x(t), y—y(t), правые части которых — непрерывные функции
от параметра t на некотором отрезке [t0, Т]. Кривые Жордана
оказались разнородными и зачастую весьма сложными.
Применение вычислительных алгоритмов к кривым этого класса еще более
затруднилось, когда в 1890 г. Пеано открыл, что существуют
кривые Жордана, которые могут заполнять целиком все внутренние
точки некоторого квадрата. Только частные классы этих кривых
имеют сравнительно простую структуру. Например, когда
существуют непрерывные производные х' (t) и у' (t), то кривая есть
линия, имеющая длину
ь
а
Тем не менее возможности для алгоритмического
оперирования с функциями даже столь общей природы, как оказалось,
сохранились. Только теперь они опирались на общую идею
аппроксимирования функций, приближенного их воспроизведения.
Способы аппроксимации, как известно, различны. Решающую роль в
осуществлении этой идеи сыграли результаты Вейерштрасса. Он
доказал в 1885 г., что любая функция f(x), непрерывная в [а, Ь\
1 Теория рядов Фурье и вообще тригонометрических рядов в свою
очередь получила мощные стимулы развития, которые привели ее к современному
состоянию. В нее вошли общие признаки сходимости (начиная с работ
Дирихле, 1837), понятия теоретико-множественного характера (работы Г. Кантора с
1872 г.), меры и интеграла (Риман и в особенности Лебег, 1902—1906). В
первой четверти XX в. появились крупные результаты Данжуа, Лузина, Меньшова,
Бари и др. История этой математической дисциплины весьма богата фактами,
но содержит еще много нерешенных проблем.
а К построению теории множеств Кантор пришел исходя именно из
исследований изображения функций тригонометрическими рядами.
250
аналитически выразима на нем как сумма равномерного сходя-
оо
щегося ряда алгебраических полиномов: 2 Л|М-
Математический анализ XVIII в., в особенности та его часть,
которую мы назвали анализом функций, послужил источником
многих идей современной теории функций. В нем были созданы
начала теории функций комплексного переменного. Как мы
увидим далее, класс вариационных задач привел к созданию
вариационного исчисления и возникновению ряда элементов
современного функционального анализа. Выяснение широкого смысла
понятия функции как соответствия общей природы развилось
впоследствии в теоретико-множественную концепцию этого
понятия. Анализ всех возможных классов функций и их свойств
оказался необходимым условием для появления современной
конструктивной теории функций.
Изложенная выше история развития понятия функции в XVIII в.
и позднее была бы неполна, если бы мы не отметили, что в этот
период вместе с обогащением анализа функций изменилась его
роль. Из введения в анализ он превратился в одну из его высших
областей — теорию функций. Свойства же элементарных
функций вошли составной частью в опративные исчисления —
дифференциальное и интегральное. Место введения в анализ заняли
теория действительного числа и теория пределов.
§ 7.3. ПРОБЛЕМА ОБОСНОВАНИЯ АНАЛИЗА
Работы по вопросам обоснования анализа, появлявшиеся в
течение XVIII в., настолько многочисленны, что составляют
большую самостоятельную отрасль математической литературы.
Одной из самых характерных черт анализа бесконечно малых
в XVIII в. была невыясненность его исходных понятий,
невозможность объяснить рационально правомерность введенных операций.
Взгляды создателей анализа на этот предмет не отличались ни
постоянством, ни определенностью. Как Ньютон, так и Лейбниц
предприняли множество попыток объяснения своих исчислений, не
достигнув успеха. Их ближайшие последователи только усугубили
путаницу. Практические успехи анализа бесконечно малых
приходили во все увеличивающееся противоречие с его неясными,
зыбкими основами.
Уязвимость такого положения вскоре дала себя знать. У
анализа бесконечно малых появились противники, ставящие под
сомнение или отвергающие его методы, результаты и в
особенности трактовку основных понятий. Приверженцы же могли
противопоставить этим возражениям лишь накопление практически
важных результатов. К. Маркс по этому поводу писал: «Итак,
сами верили в таинственный характер новооткрытого исчисления,
которое давало правильные (и притом в геометрическом
применении прямо поразительные) результаты математически
положительно неправильным путем. Таким образом, сами себя
мистифицировали и тем более ценили новое открытие, тем более бесили
251
толпу старых ортодоксальных математиков и вызывали с их
стороны враждебные вопли, будившие отклик даже в мире
неспециалистов и необходимые для прокладывания пути новому» К
Видная роль в выступлениях против анализа бесконечно малых
принадлежала ирландскому епискому, видному
философу-идеалисту Дж. Беркли, который был озабочен укреплением позиций
религии, расшатываемых под влиянием грандиозных успехов
естественных наук. Наряду с другими сочинениями философского
характера, где он отстаивал позиции субъективного идеализма,
Беркли издал в 1734 г. трактат «Аналист, или Рассуждение,
обращенное к одному неверующему математику», в котором он
стремился доказать, что анализ (как и все области науки) имеет
отнюдь не большую обоснованность, чем догматы богословия.
Критические аргументы Беркли были характерны для
субъективного идеалиста. Они состояли из утверждений о
чувственно-интуитивной несообразности, невоспринимаемости понятия флюксий
и способа их последовательного образования, а также о
логических противоречиях в высказываниях Ньютона относительно
оснований анализа.
Возникла оживленная полемика, способствующая в конечном
счете выяснению спорных вопросов. Она не входила в расчеты
Беркли, и он вскоре отошел от этой специальной темы, отнюдь не
изменив своих общих воззрений. Однако критический пересмотр
проблемы обоснования анализа бесконечно малых продолжался в
среде математиков с большой интенсивностью.
Самой первой реакцией английских математиков (Джарин„
Робине, Пимбертон, Маклорен и др.) была защита теории
флюксий и авторитета Ньютона. Они комментировали его труды и
внесли в них частичные усовершенствования. При этом было
высказано немало полезных мыслей. Так, например, привлечено внимание
к правильному толкованию понятия предела переменной
величины. Однако этот путь оказался бесплодным.
Виднейшие математики, занимавшиеся в середине XVIII в.
проблемой обоснования анализа бесконечно малых, видели свою
задачу пока еще только в рационализации его основ, в
устранении пробелов, неясностей. Среди многих попыток этого периода,
который К. Маркс называл рациональным, особенно выделяются
теории Эйлера и Даламбера.
Для Эйлера и его последователей (Торелли и др.)
дифференциальное исчисление Лейбница не должно было трактоваться как
исчисление дифференциалов, сопровождающееся отбрасыванием
бесконечно малых. По Эйлеру, дифференциальное исчисление
есть метод определения отношения исчезающих приращений,
получаемых функциями, когда их аргументам даются исчезающие
приращения. Основным понятием здесь является не дифференциал,
а производная. Что же касается бесконечно малых, или
дифференциалов, то они есть просто точные нули. Производные, следо-
1 Маркс К- Математические рукописи. М.: Наука, 1968. С. 169.
252
вательно, имеют вид — ; требуется лишь выбирать то значение,
к которому стремится (приближается) отношение конечных
разностей Ау—ух—у и Ах=Х{—х, уменьшающихся каждое до нуля.
Теория нулей Эйлера не могла быть признана
удовлетворительной. Она лишь маскировала реальные предельные переходы,
которые практически совершались при дифференцировании
функций. К тому же дифференциалы, объявленные нулями, вскоре
появляются у самого Эйлера в виде главных линейных частей
приращения функций. Без них оказалось невозможно обойтись.
Теория Даламбера также возникла на почве критического
пересмотра наследия Ньютона и Лейбница для выявления их
рациональной сущности. Даламбер отдал предпочтение методу
первых и последних отношений Ньютона. Этот метод Даламбер
развил, придав ему форму метода пределов. Он считал, что одна
величина является пределом другой величины, если вторая может
стать к первой ближе, чем на любую данную величину, как бы ни
была мала эта последняя, причем приближающаяся величина
никогда не сможет превзойти величину, к которой она
приближается.
Отсюда видно, что переменные, по Даламберу, монотонны,
предел односторонний. Кроме того, чтобы избежать оперирования с
нулями, Даламбер ввел требование, чтобы предел не совпадал ни
с каким значением переменной.
Вычисление производных, по Даламберу, состоит из
следующих операций: переменному аргументу х дается конечное
приращение Ajc; функция y=f(x) получает вследствие этого конечное
же приращение Ау\ составляется отношение — и упрощается;
Ах
наконец, полагается Дл;=0. Подобный метод фактически
основывается на предположении, что разложение y+ky=f(x+Ax) в ряд
по степеням Ах уже известно, что по существу эквивалентно
утверждению, что найдена и сама производная.
Теория пределов имела многих последователей. В 1786 г.
швейцарец Люилье победил на конкурсе, объявленном Берлинской
академией наук (президентом которой был Лагранж) на тему о
ясной и точной теории математических бесконечно больших и
бесконечно малых величин. Его сочинение «Элементарное изложение
начал высших исчислений» было построено на базе теории
пределов. В нем производная — была введена как символ выражения
Urn ——. Страстными приверженцами и пропагандистами ме-
Дх-0 Ах
тода пределов были петербургский академик С. Е. Гурьев и его
последователи П. А. Рахманов и академик В. И. Висковатов.
Однако теория пределов XVIII в. не получила признания у
большинства современников. Главной причиной этого, была
присущая понятию предела неалгоритмичность. «Методу пределов, —
253
писал в 1797 г. Л. Карно, — свойственно одно серьезное
затруднение, не имеющее места в анализе бесконечно малых: именно в
нем нельзя, как в этом последнем, отделять бесконечно малые
количества друг от друга, и так как количества в нем всегда
связаны друг с другом, то невозможно ни использовать при
вычислениях свойства, принадлежащие каждому из них в отдельности, ни
подвергать уравнения, в которых они встречаются,
преобразованиям, способствующим их исключению» 1. Определение предела как
одностороннего недостижимого предела монотонной
последовательности было недостаточным, неразвитым. Оно еще должно было
развиться в понятие предела функции, освободившись от
подобных ограничений. Наконец, теория пределов еще не включала в
себя понятие сходимости последовательностей и, что еще более
важно, критерия этой сходимости, введенного лишь в первой
половине XIX в. Коши и Больцано. Словом, эта теория, чтобы стать
общепризнанной и общеупотребительной, должна была, помимо
строгости в выяснении смысла основных понятий анализа,
приобрести алгоритмический аппарат.
Поэтому неудивительно, что ко второй половине XVIII в.
выявилась еще одна концепция обоснования анализа, названная
К. Марксом алгебраической. Ее сущность состояла в том, чтобы
положить в основу анализа понятие производной, определение
которой включало бы эффективный способ ее отыскания, не
опирающийся на туманные понятия бесконечно малой, предела и т. п.
Операцию дифференцирования, согласно этой концепции,
следовало бы заменить алгебраическим приемом или каким-либо другим
специальным алгоритмом.
По-видимому, первые работы в области алгебраического
дифференциального исчисления появились в Англии. В 1748 г.
вышло «Учение об ультиматорах» Джона Киркби, неудачное и
тотчас же забытое. Через несколько лет в двух работах (1758—1764)
Джон Ланден развил «анализ вычетов». В последнем рассматри-
вались выражения вида ——— . Значение такого выражения
Xi— х
при Х\=х Ланден назвал «специальным значением», или
«отношением вычетов», и ввел для него символ [х±у]. Разыскание
«специального значения» для элементарных алгебраических
функций в «анализе вычетов» опиралось на теорему.
X — v ( и \т/п , и \Чт/п ( v \(п-\)т/п
1+Ь) +(т) +---+ы
1 Карно Л. Размышления о физике бесконечно малых. М.: ГТТИ, 1933.
С. 199.
254
при v=x получается значение производной для у=хт/п:
у' = 4Lxmln-i ^
п
Рассуждения Ландена, как и других приверженцев
алгебраического обоснования анализа, по существу опирались на
возможность разложения функций в ряд. Их алгебраические приемы
были пригодны фактически лишь для полиномиальных функций.
Распространение этих приемов даже на класс аналитических
функций связано с трудностями, с которыми их авторы не умели
справиться (распространение на бесконечные ряды свойств конечных
сумм, представимость функций степенным рядом и т. п.).
Самой серьезной работой, выяснившей полностью возможности
алгебраического дифференциального исчисления и определившей
его судьбу, была большая работа Лагранжа «Теория
аналитических функций, содержащая принципы дифференциального ис-
Ж. Лагранж (1736-1813)
255
числения, освобожденные от всякого рассмотрения бесконечно
малых или исчезающих пределов и флюксий, сведенные к
алгебраическому анализу бесконечных количеств» (1797). Ее исходным и
центральным пунктом было стремление доказать теорему, что
всякая функция y=f(x + h) почти всюду (быть может, за
исключением отдельных значений аргумента) разложима в степенной
f(x+h)=f(x)+ftfi + qh2+rh*+ ....
Доказательство Лагранж строил таким образом, что исключал
Бее особенные случаи (возможность появления членов разложения
с отрицательными или дробными степенями h и т. п.). Тем самым
он выделил для исследования класс аналитических функций,
отнеся остальные функции к разряду исключений. Это было
отмечено позднее Вейерштрассом, по инициативе которого за функциями,
представимыми степенными рядами, было сохранено название
аналитические. Степенные ряды Лагранж использовал для
приближения функций полиномами, опираясь на то, что для всех
достаточно малых h каждый член разложения будет больше суммы
следующих за ним членов. При этом для конкретных функций он
вывел формулу остаточного члена и ввел в употребление
теорему о среднем.
Последовательные производные определены Лагранжем как
коэффициенты при последовательных степенях h с точностью до
соответствующих числовых коэффициентов. Дальнейшее
изложение дифференциального исчисления было проведено Лагранжем в
этом же сочинении.
Таким образом, дифференциальное исчисление, по мысли Лаг-
ранжа, должно было представлять часть алгебры, отличающуюся
лишь специфическими алгоритмами. «Алгебра есть не что иное,
как теория функций. В алгебре искомые количества должны быть
функциями данных количеств, т. е. выражениями,
представляющими различные операции, которые нужно произвести над этими
количествами, чтобы получить значения искомых. В алгебре, в
собственном смысле слова, рассматривают только первоначальные
•функции, происходящие из обычных алгебраических операций; это
первая ветвь теории функций. Во второй ветви рассматривают
производные функции, и это та ветвь, которую мы называем
просто «Теорией аналитических функций» 1 — так пояснил эту мысль
Лагранж.
Однако вскоре выяснилось (и Коши сыграл в этом главную
роль), что теория Лагранжа некорректна. Основная теорема о
разложении функций в ряд по существу опиралась на неявное
предположение, что всякая функция разложима в ряд Тейлора.
Этот прочный круг оказался неустранимым. Кроме того, Лагранж
не смог избежать неявных апелляций к бесконечно малым и к
предельным переходам. Операции с рядами тоже оказались не-
1 Lagrange J. L. Theorie des fonctions analytiques... Oeuvres de
Lagrange, Paris, 1881. T, IX. P. 16.
256
обоснованными, так как они производились без исследования
сходимости ряда.
В обстановке острой борьбы обнаруживалась
несостоятельность одного за другим почти всех способов обоснования
математического анализа. Только по отношению к понятию предела
критика вела не к отказу от концепций, основывающихся на нем, а
к их уточнению. Но это понятие трудно и долго входило в анализ,
так как всякий раз возникали трудности, связанные с вопросом
о существовании предела и о способах эффективного его
нахождения. Подобные трудности существовали долго, до конца XIX в.,
когда был создан «е, б-аппарат» теории пределов.
В изложении проблемы обоснования анализа бесконечно малых
в XVIII в. мы неоднократно ссылались на ряд идей К. Маркса,
содержащихся в его математических рукописях. В предыдущем
параграфе мы целиком исходили из этих идей. Дадим здесь их
краткий обзор, отнюдь не претендуя на полноту анализа содержания
всех математических рукописей Маркса.
Математикой Маркс начал заниматься в конце 50-х годов
прошлого века в связи с работой над «Капиталом» и не прекращал
этих занятий до последних дней своей жизни. Работая
самостоятельно, он, помимо применений математики к исследованию
экономических проблем, перешел к систематическим занятиям
математическим анализом. Здесь он поставил перед собой задачу —
«сорвать покров тайны», окружавшей основные понятия и методы
дифференциального исчисления со времен Ньютона и Лейбница.
Труднейшая задача обоснования анализа, бесконечно малых
сделалась для Маркса пробным камнем применения метода
материалистической диалектики в математике. При решении этой задачи
Маркс проделал большую предварительную работу. Он изучил и
критически сравнил многочисленные учебники математического
анализа для высших школ Англии и Франции и познакомился с
некоторыми классическими произведениями Ньютона, Эйлера,
Маклорена и др.
В ходе этой работы К. Маркс убедился в
неудовлетворительности почти всех попыток обоснования анализа, кроме теории
пределов, важнейшим представителем которой являлся Коши. В
конце 70-х годов Маркс приступил к изучению теории пределов и
к обработке и систематическому изложению складывающейся у
него собственной точки зрения. Смерть (14 марта 1883 г.)
прервала занятия. Исследования остались неоконченными.
Математические рукописи К. Маркса в той части, которая относится к
математическому анализу, отражают эту большую работу.
Для К. Маркса анализ бесконечно малых не является
изолированной, обособленной областью математики. Он представляет
собой закономерно возникший новый этап ее исторического
развития. Поэтому задача выявления логической структуры анализа в
подавляющей части сводится к анализу его истории. Эта история
начинается с накопления неразвитых форм, прообразов, понятий и
операций анализа, ведущих к переходу от алгебры конечного к
257
алгебре бесконечного, включающей в себя бесконечные ряды,
интеграционные и дифференциальные методы. Появление
собственно дифференциального и интегрального исчисления связано уже с
изобретением специфических алгоритмов.
Работая над выяснением диалектического перехода от алгебры
к анализу бесконечно малых, К. Маркс обращал внимание на то,
что основатели дифференциального и интегрального исчисления.,
равно как и ученые более позднего времени, с самого начала
действовали на почве самого исчисления и не искали его
алгебраических истоков.
Ньютон «был еще слишком поглощен разработкой самих
дифференциальных операций, которые у Тейлора и Маклорена
предполагаются уже имеющимися и известными. К тому же, как
свидетельствуют его первые элементарные формулы исчисления,
Ньютон явно пришел к ним первоначально, отправляясь от
механических, а не принадлежащих чистому анализу исходных пунктов. С
другой стороны, что касается Тейлора и Маклорена, то они с
самого начала в своей работе оперируют на почве самого
дифференциального исчисления, и ничто их не побуждало поэтому
доискиваться наивозможно более простых алгебраических исходных
пунктов этого исчисления, тем более что спор между
последователями Ньютона и Лейбница вращался вокруг определенных, уже
готовых форм исчисления, как только что открытой, совершенна
особой математической дисциплины, до которой обычной
алгебре, как до звезды небесной, далеко... Подлинные и в силу этого
простейшие взаимосвязи нового со старым открываются всегда
лишь после того, как это новое само приобретет уже завершенную
форму...» К
В истории обоснования дифференциального исчисления в
XVIII в. К. Маркс различал следующие периоды:
1. Мистическое дифференциальное исчисление. В силу того что
основоположниками анализа бесконечно малых, в первую очередь
Ньютон и Лейбниц, с самого начала отождествляли приращение с
дифференциалом, они могли получать правильные результаты,
лишь отбрасывая бесконечно малые более высоких порядков. Эта
с неизбежностью приводило к тому, что дифференциалу
приписывались какие-то особые, таинственные свойства, что бесконечно
малые рассматривались как некие мистические величины: и нули
и не нули одновременно. К. Маркс не видел в этом решительно
никакой диалектики и считал такую трактовку неправильной. В
то же время он высоко оценивал открытие дифференциального и
интегрального исчисления и подчеркивал то обстоятельство, что
борьба мнений, развернувшаяся вокруг этого открытия, была
необходимой, чтобы проложить путь новому.
2. Рациональное дифференциальное исчисление исправляет
методы Ньютона и Лейбница. Его виднейшими представителями
были Эйлер и Даламбер. Как мы разъясняли выше, определение
1 Маркс К. Математические рукописи. М.: Наука, 1968. С. 199.
258
производной, по Даламберу, проведено более строго, но реальный
эффективный способ нахождения производной при этом не
выявляется. Большое того, составление отношения — и последующие
Аде
операции с ним основываются на предположении, что разложение
f (х-{-Ах) в ряд по степеням Ах уже найдено, что эквивалентно
нахождению искомой производной, которую остается только
«высвободить из ее окружения».
3. Алгебраическое дифференциальное исчисление. Лагранж,
главный представитель этого течения, уже явно исходит из
разложимости функции f(x + h) в ряд по степеням h и определяет
первую производную как коэффициент того члена ряда, который
содержит приращение h в первой степени. Вопрос об алгоритмах
нахождения производной для тех или иных классов функций
остается, таким образом, открытым. Больше того, Лагранж так и не
доходит до собственно дифференциального исчисления.
Дифференциальные символы у него представляют собой просто «дело
номенклатуры, которая одна только и остается от собственно
дифференциального исчисления»1. К. Маркс также отметил, что в
приложениях своей аналитической теории функций Лагранж сам
постоянно использует то или другое из отвергаемых им «метафизических»
представлений: ньютоновы флюксии, лейбницевы бесконечно
малые, даламберовские предельные значения отношений исчезающих
величин, а также специфическую для дифференциального
исчисления символику.
Остановимся еще на некоторых других идеях К. Маркса в
области основ математического анализа. Задача, которую он ставил
перед собой, состояла для начала в выяснении сущности
дифференциального нечисления как такового, т. е. как особого
математического исчисления, оперирующего характерными для него
символами. В соответствии с этим К. Маркс прежде всего выявлял
реальную сущность процесса дифференцирования.
По К. Марксу, производная У(х) от функции y=f(x)
получается следующим образом: образуется (если это возможно)
«предварительная» производная, т. е. функция
м \ fix,)—f{x)
Xi —X
Значение этой функции для Х\—х (если оно существует) и есть
производная от данной функции. К. Маркс искал алгоритмы,
позволяющие (в простейших случаях) непосредственно находить по
выражению функции ее производную. Так, в случае степенной
функции у=хп
хп—хп
Ф(аг, хх) = — =x*-i+xx"-*+x*x"-3+...+x*-2x1+xn-i9
1 Маркс К. Математические рукописи. М.: Наука, 1968. С. 177.
259
что при Х\=х дает
f'(x)=nxn-{.
Такого рода способы непосредственного нахождения
производной К. Маркс называл алгебраическим дифференцированием.
Термин «алгебраическое» употреблялся им в том же смысле, как
и у многих математиков XIX в.: как не требующее использования
понятия бесконечно малой величины.
Алгебраическое дифференцирование К. Маркса допускает
символическое выражение в общепринятом в то время виде.
Обозначая
хх—х=Ах, у{—у = Ау,
причем кхфО, К. Маркс получал для предварительной
производной символическое выражение —. Соответственно обозначение
производной f'(x) будет ~. Этот символ, который К- Маркс в
соответствии с употреблявшейся в его время терминологией называл
«символическим дифференциальным коэффициентом»,
непосредственно имеет смысл только в целом. Однако в силу способа
образования производной можно рассматривать выражения
f'(x)dx=dy.
Эта формула верна и для дифференцирования сложной функции.
В этом случае она используется как оперативная формула,
позволяющая в довольно широких предположениях свести
нахождение производной от функции
к отысканию производных f'(x) и <р'(Х)- Для этого достаточно в
формулу для дифференциала подставить
x—q)(t)f dx—y'(t)dt.
Но таким образом происходит оборачивание метода. Мы
следуем не от реального математического процесса образования
производной к ее символическому выражению, а, наоборот, опираясь
на символическую формулу, находим выражение для производной.
Первым нетривиальным примером такого оборачивания метода
является дифференцирование произведения y=uz. Обращаясь к
выводу формулы
dx dx dx
К. Маркс указывал, что «символический дифференциальный
коэффициент становится, таким образом, самостоятельным исходным
пунктом, реальный эквивалент которого лишь должен быть
найден... Но тем самым и дифференциальное исчисление выступает
как некое специфическое исчисление, которое оперирует уже са-
260
мостоятельно, на собственной почве, ибо исходные пункты его
da dz
— , — суть лишь ему принадлежащие и его характеризующие
dx dx
математические величины. И это оборачивание метода получилось
здесь как результат алгебраического дифференцирования иг.
Алгебраический метод, таким образом, сам собой превращается в
противоположный ему дифференциальный метод... Но тем самым
символические дифференциальные коэффициенты —, — тотчас
dx dx
же превращаются в оперативные символы, в символы процессов,
которые должны быть выполнены... Первоначально возникающий
как символическое выражение «производной», т. е. уже
выполненных операций дифференцирования, символический
дифференциальный коэффициент теперь играет роль символа тех операций
дифференцирования, которые только предстоит еще произвести»1.
К. Маркс не ограничивался понятием дифференциала как
оперативного символа. В применении к вопросу о приближенном
выражении приращения функции он использовал понятие
дифференциала как главной линейной части приращения. Понятие
дифференциала как оперативного символа, впервые открытое К.
Марксом, и различие обоих понятий дифференциала приобретают, как
это было показано советским математиком В. И. Гливенко,
особенно важное значение в современных обобщениях понятия
дифференциала на функциональный анализ.
К. Маркс интересовался широким кругом математических
вопросов. Среди них: применение математики в экономических
исследованиях, математические способы отображения движения и
многие другие. Несмотря на незавершенность, математические
рукописи К. Маркса имеют большое научное значение.
§ 7.4. УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ АППАРАТА
Дифференциальное исчисление. Перестройка основ
математического анализа происходила в обстановке, когда последний
быстро и успешно развивался.
Оперативная часть анализа была также преобразована самым
радикальным образом. Был выработан удобный, действенный,
развитый аппарат исчислений. В начале XVIII в. анализ
подразделялся еще только на две части: дифференциальное и
интегральное исчисление. Первое включало в себя, в частности, всю теорию
рядов. Во втором же были сосредоточены методы решения всех так
называемых обратных задач анализа бесконечно малых. Таким
образом, в интегральное исчисление помимо методов
интегрирования функций включалась вся теория дифференциальных
уравнений, как обыкновенных, так и с -частными производными, а также
вариационное исчисление. Ярким примером такой нерасчлененно-
1 Маркс К. Математические рукописи. М.: Наука, 1968. С. 55—57.
261
сти структуры математического анализа является рассмотренная
выше серия монографий Эйлера.
Укажем некоторые наиболее характерные особенности
развития дифференциального и интегрального исчисления и теории
дифференциальных уравнений. Вскоре после появления первых
работ Г. В. Лейбница выяснилось, что его исчисление
дифференциалов и символика имеют большие преимущества перед
исчислением флюксий и соответствующей системой символов. Они лучше
отображали сущность операций анализа, и последний,
естественно, принял форму, в основном предсказанную Лейбницем. Однако
в качестве основного понятия математики XVIII в., в отличие от
Лейбница, приняли не дифференциал, а производную, как менее
уязвимую логически. Постановка задач дифференциального
исчисления изменилась. Вслед за Эйлером оно стало трактоваться
большинством математиков как метод определения отношения
исчезающих приращений, получаемых функциями, когда
переменному количеству, функциями которого они являются, дается
исчезающее приращение.
В течение длительного времени дифференциальное исчисление
сохраняло связи с исчислением конечных разностей. Эта связь
была в рассматриваемое нами время настолько тесной, что оба
исчисления фактически объединялись в единое исчисление для
функций как непрерывного, так и дискретного аргумента. Такое
положение объяснялось, по-видимому, большим прикладным
значением исчисления конечных разностей для методов интерполяции,
численного дифференцирования и интегрирования,
приближенного решения дифференциальных уравнений. Не последнюю роль
играли при этом соображения, связанные с доказательствами по
аналогии. Совместное рассмотрение обоих исчислений создавало
большие возможности для подобных аналогий.
Математики XVII и XVIII вв. много внимания уделяли
развитию исчисления конечных разностей. В работах П. Ферма, И.
Барроу, Г. Лейбница, Дж. Валлиса, И. Ньютона и др. сформировалась
эта область математики. Изобретатели анализа бесконечно малых
ввели многочисленные аналогии между конечными разностями и
дифференциалами, используя их для дальнейшего развития
дифференциального исчисления. Вот один из примеров.
В 1711 г. Ньютон вывел известную интерполяционную
формулу1:
f(a + лДх) = /(а) + nAf(a) + ^f~^ кЩа) +
+ *<*-]?-*> Vf{a) + . . . + дт
1 Ньютон И. Конечные разности//Ньютон И. Математические работы.
М.: ОНТИ, 1937. С. 210—217.
262
где п — целое положительное число,
Af(a), tff(a), tff(a), ...
последовательные конечные разности функции f(x) при х—а
bf(x)=f(x+bx)—f(x),
A2f(x)=Af(x + Ax)~Af(x),
A3f(x)=A2f(x + Ax)—A2f(x),
Эту формулу Ньютона Тейлор распространил на случай
бесконечно большого числа членов, где Ал; стремится к нулю, но,
однако, так, чтобы nAx=h было конечным. Тогда
«а + /0 = /<«)+Л^
i\ -г / iv / Ах ь2 Ахг
h(h—&x)(k—2&x) №f(a) .
+ 1.2-3 д*з + * * '
превратилось у него в
,v Т ' /v ' rf* 2 to2 3! dx*
Подобное использование аналогий и параллельное развитие
дифференциального исчисления и исчисления конечных разностей
было характерно для анализа XVIII в. Особенное распространение
эта черта получила к середине века, что ярко продемонстрировал,
например, Эйлер в своем «Дифференциальном исчислении»
(1755). Он посвятил, в частности, первые две главы
систематическому изложению теории конечных разностей в объеме,
превышающем дальнейшее ее применение в упомянутом сочинении к
интерполированию рядов,, преобразованию их для улучшения
сходимости и подобным вопросам.
Основным аппаратом дифференциального исчисления явилось
разложение функций в степенные ряды. Сравнительно богатый
арсенал средств, накопленный предшественниками, в самом
начале века обогатился теоремой Тейлора. Последний установил ее,
как мы показали выше, использовав аналогию с исчислением
конечных разностей, экстраполируя на исчисление дифференциалов
интерполяционную формулу Ньютона. В 1712 г. Тейлор уже
сообщил свою теорему в одном письме, а в 1715 г. «Methodus incre-
mentorum directa et inversa» дополнил ее выводом для частного
случая, называемого рядом Маклорена. Последний дал новый
вывод этой теореме в 1742 г.
Регулярное применение рядов Тейлора и Маклорена стало
характерной особенностью дифференциального исчисления. Их роль
оказалась настолько большой, что присвоение в 1784 г. Кондорсе
этим рядам имен открывателей было воспринято как само собой
263
разумеющийся факт. Задача разложить в ряд элементарными
путями все известные функции и тем обеспечить
эффективность операций дифференциального исчисления сделалась не
только актуальной, но и, казалось, разрешимой. В этом
направлении были достигнуты крупные успехи. Все известные математикам
XVIII в. (и, по-видимому, все возможные) функции обнаружива
ли свойство разложимости в степенные ряды, бесконечные
произведения и т. п., и с ними оказывалось возможным оперировать.
Огромное увеличение фактов дифференциального исчисления,
кажущееся пренебрежение к необходимости более глубокого изуче*
ния свойств рядов создали прецеденты для неправильных оценок
творчества математиков XVIII в. в области математического
анализа. С разной степенью определенности различные авторы
писали о формализме и беспечности в упомянутых вопросах.
Однако это не соответствует действительности. Первой
трудностью, которую пришлось преодолеть, было доказательство
сходимости рядов. Уже в 1715 г. П. Вариньон сформулировал
относительно биномиальных разложений требования, сущность которых
сводилась к тому, чтобы члены разложения неограниченно
уменьшались, равно как и остаток ряда. Усилия, направленные на
замену смутных метафизических рассуждений точным определением
сходимости, продолжались в течение всего столетия. При этом
основные заслуги математиков XVIII в. можно сформулировать
так: вывод и исследование различных форм остаточного члена
ряда; преобразование рядов с целью получить ряд, заведомо
сходящийся; осмысление оперирования с расходящимися рядами.
В 1754 г. Даламбер при выводе ряда Тейлора высказал
соображения, сводящиеся к представлению остаточного члена п-крат-
ным интегралом. Эйлер стремился отыскать иные критерии
сходимости, рассматривая модули разностей сумм конечного числа
членов ряда. В 60-х годах идея различения сходящихся и
расходящихся рядов проникла в учебники, например в учебники Кестне-
ра (1760 и 1761 гг.). В 1768 г. Ламберту удалось строго доказать
ряд теорем относительно сходимости разложения числа я в
цепную (непрерывную) дробь. В конце века, в 1797 г., Лагранж
представил остаточный член ряда Тейлора сначала в интегральном
виде, а затем в виде, известном сейчас под его именем. Усилия
математиков XVIII в., направленные на исследования проблемы
сходимости (равно как и их ошибки), создали к началу XIX в.
условия для строгого подхода к ее решению. Новый этап теории рядов,
характеризующийся регулярными строгими оценками остаточных
членов и характера сходимости, начинается в первые
десятилетия XIX в. и связан в первую очередь с работами Коши.
О большом внимании к проблеме сходимости свидетельствуют
работы по улучшению сходимости рядов. Многие преобразования
рядов в сходящиеся принадлежат Эйлеру. Вот пример: дан ряд
S = ax—Ьх2+схъ—dx*+ ....
264
Производится замена переменных
х = —у—=у + у2+ . . .,
1—у
S = a(y + y2+...)-(y+y2+...)2 + c(y + y2+...y-...,
S=ay+(a—b)y*+(a-2b+c)yz+ ... =
=ау + Аа-у2+А2а-у* + ....
Затем новая замена переменных у = приводит к
S' = a — + Aa(—Y+A2a(—X+. . . .
1+* ^i+*j ^ [i+xj ^
Если ряд S сходится, то ряд S' сходится к этой же сумме. Но
существуют такие значения х, для которых S' сходится, a S —
расходится.
Оперирование с рядами вне области их сходимости приводило
к парадоксальным результатам. Однако Эйлер нашел способы
получать важные результаты анализа именно с помощью
расходящихся рядов. Он вообще нередко оперировал с расходящимися
рядами, видя для этого основания в индуктивном распространении
на бесконечные ряды операций, применимых к полиномиальным
функциям. Оправданием оперирования с расходящимися рядами
для Эйлера было получение правильных результатов. Чтобы
избежать несообразностей, следует, говорит он, правильно определить
понятие суммы расходящегося ряда. При этом надо отказаться
от обычных представлений, связанных со словом «сумма», и
считать, что суммой ряда является конечное выражение, из
разложения которого этот ряд возникает. Например, суммой ряда
1+х+х2+х*+\...
будет — , потому что данный ряд получается из разложения
последнего выражения. Такое определение оказывается более
общим и предвосхищает многие важные идеи последующих времен,
например идею аналитического продолжения, не говоря уже о
возможности использования важного аппарата расходящихся
рядов.
Наряду со стеценными рядами в математический анализ вошли
новые типы разложений функций. Д. И. Стирлинг (1730) и Эйлер
(1732) применили, например, разложения в асимптотические
ряды. В 1748 г. Эйлер ввел тригонометрические ряды для решения
задач математической физики. Это средство получило применение
и в сочинениях других математиков: Д. Бернулли (1753) по
уравнениям математической физики (например, решение уравнения
колебания струны), Даламбера (1754) и одновременно Клеро по
небесной механике. К концу XVIII в. Лаплас (1782 г.,
опубликовано в 1785 г.) и Лежандр (1783, опубликовано в 1786 г.) решили
26S
задачу о притяжении эллипсоидального тела, введя разложения в
ряды по сферическим функциям.
Математический анализ в XVIII в. обогатился мощным и
разнообразным аппаратом разложения функций в ряды различных
видов. Этот аппарат был создан под непосредственным влиянием
задач математической физики. В ходе его разработки постепенно
были подняты проблемы изучения общих свойств рядов, главным
образом их сходимости. Без этого систематическое использование
созданного аппарата было затруднительно. Построение
достаточно общей и строгой теории рядов сделалось к концу века
первоочередной проблемой, от решения которой зависели практические
успехи математического анализа.
Правила дифференцирования в подавляющем большинстве
были разработаны еще в трудах Лейбница и братьев Бернулли.
Расширение этих правил в связи с расширением класса
исследуемых функций не представляло принципиальных трудностей. Так,
вслед за аналитическим выражением тригонометрических,
показательных и других классов функций были немедленно получены
аналитические выражения их производных.
Накопление фактов дифференциального исчисления
происходило быстро. В «Дифференциальном исчислении» (1755) Эйлера это
исчисление появляется уже в весьма полном виде. Например, он
дал доказательство теоремы, известной еще в начале века о
независимости значения частных производных от порядка
дифференцирования, и распространения его на частные производные
высших порядков. В теории полного дифференциала Эйлер показал,
что выражение
df(*> y)=Pdx+\Qdy
является полным дифференциалом тогда и только тогда, когда
частные производные удовлетворяют условию
ду дх *
Символы —, — , однако, были введены позднее, около 1786 г.,
дх ду
Лежандром. Эйлер же, рассматривал функции трех переменных
f(xf у, z) и их полные дифференциалы вида Pdx+Qdy+Rdz и ввел
условия
ду дх дг дх дг ду
Именем Эйлера названы также и формулы дифференцирования
сложных функций, теорема об однородных функциях и многие
другие факты.
Правила определения экстремумов функций одной переменной
y=f(x) были даны Маклореном. Эйлер разработал этот вопрос
для функций двух переменных. Лагранж показал (1789), как от-
266
личать вид условного экстремума для функций многих
переменных, а затем (1797) применил для их исследования метод
неопределенных множителей, носящих его имя. Упомянем, наконец,
вопрос об исследовании неопределенностей вида — , 0-оо, оо—оо,
со
которое провел Эйлер.
Дифференциальное исчисление в течение XVIII в. накопило
почти все факты, характеризующие его современную структуру.
Был разработан аппарат представления функций рядами. Он
приобрел достаточно развитую аналитическую форму. Помимо общих
проблем рационального истолкования его основных понятий,
связанных с невыясненностью понятия бесконечно малого
количества и рассмотренных нами в предыдущей главе, перед ним
встали новые проблемы обоснования, относящиеся к суммируемости
рядов, разложимости функций в ряды различных типов,
определению условий существования интегралов от заданных полных
дифференциалов и т. п.
Интегральное исчисление. Создатели анализа бесконечно
малых ввели интегральное исчисление, рассматривая обратные
задачи своих исчислений. В теории флюксий Ньютона взаимная обрат-
ность задачи вычисления флюксий и флюент проступила особенно
явно. У Лейбница вопрос был сложнее: интеграл появился как
определенный, как сумма бесконечно большого числа бесконечно
малых дифференциалов. Однако интегрирование практически
сводилось к отысканию первообразных функций, и идея
неопределенного интегрирования была доминирующей.
Обратные задачи были поставлены в самом общем виде.
Интегральное исчисление включало помимо интегрирования функций
задачи и теорию дифференциальных уравнений, вариационное
исчисление, теорию специальных функций и т. п. Эти области
математического анализа лишь постепенно отделились от
интегрального исчисления в течение XVIII в. Эйлеру понадобилось в 1768—
1770 гг. три больших тома, чтобы дать систематическое
изложение интегрального исчисления в общей постановке. Первый том
этого колоссального труда включал в себя в первой части
собственно интегрирование функций; обыкновенные дифференциальные
уравнения заняли вторую часть первого тома и весь второй том;
третий том был отведен дифференциальным уравнениям с
частными производными и вариационному исчислению. Однако весь этот
материал понимался еще все-таки как единое интегральное
исчисление.
По Эйлеру, который выражал общепринятую точку зрения,
интегральное исчисление являлось методом нахождения по данному
соотношению между дифференциалами соотношения между
самими количествами. Действие, которым это достигалось, называлось
интегрированием. Исходным понятием такого исчисления,
разумеется, был неопределенный интеграл. Само исчисление имело
целью выработку методов отыскания первообразных для функций
возможно более широкого класса.
267
Задача построения исчисления в основном была решена в
терпение первой половины XVIII в. Главные достижения в этом деле
вначале принадлежали И. Бернулли, написавшему первый
систематический курс интегрального исчисления (1742), затем —
Эйлеру. Вклад последнего в интегральное исчисление необычайно
велик. По справедливому замечанию Н. И. Лузина об Эйлере,
доведенные им до конца интеграции и найденные им квадратуры еще
до сих пор образуют рамки всех современных курсов и трактатов
по интегральному исчислению; математика в течение 150 лет
после смерти Эйлера не могла пробить бреши в том кольце
интеграции, которое было выковано Эйлером, и таким образом добавить
новые квадратуры. В отношении интегрального исчисления
современные учебники являются лишь переделками трактата Эйлера,
только подновлением этого труда в отношении языка.
Аналогичную оценку давал академик А. Н. Крылов.
Несмотря на кажущуюся чрезмерной категоричность этих
суждений, они подтверждаются при конкретном рассмотрении
знаменитого «Интегрального исчисления» Эйлера и сравнении его с
современными учебниками. Методы неопределенного интегрирования
достигли практически современного уровня во второй половине
XVIII в.
Формирование совокупности методов нахождения
первообразных функций сопровождалось выработкой общих понятий
исчисления и соответствующей удобной символики. Эйлер, исходя из.
понятия неопределенного интеграла как основного, ввел целую
систему определений. Интеграл вместе с произвольной аддитивной
постоянной интегрирования он называл полным. Фиксирование
произвольной постоянной приводило к частному интегралу.
Значение последнего при некотором определенном значении аргумента
давало эквивалент определенного интеграла.
Эту стройную последовательность оказалось невозможным
выдержать в прикладных вопросах (в случае, когда
первообразная не является элементарной функцией), и в соответствующих
приближенных вычислениях определенное интегрирование
вводилось как суммирование в смысле, аналогичном современному.
Необходимое видоизменение символа Лейбница
If(x)dx
для случая определенного интегрирования было тоже найдено не
сразу. Символ Эйлера
U(x)dx\abx==a]
J [_ adx = b j
(где вместо f(x) еще стояло р) получил с 1779 г., по предложению
Лапласа, термин «определенный интеграл». Привычный нам
(кажущийся таким естественным) символ
$f(x)dx
а
был введен Фурье только в 1819—1822 гг.
268
Параллельно с развитием интегрального исчисления возникали
обобщения операции интегрирования. В 1743 г. в книге «Теория
фигуры земли, основанная на началах гидростатики» Клеро ввел
криволинейные интегралы
SPdx+Qdy,
взятые вдоль кривой (русский перевод вышел в 1947 г.). В 1770г.
Эйлер в связи с практическими задачами разработал и ввел
двойное интегрирование. Через два года (в 1772 г.) Лагранж,
рассматривая задачу о притяжении эллипсоида вращения (опубликована
в 1775 г.), ввел в математику тройные интегралы.
В ходе развития интегрального исчисления появился ряд
задач специального характера. Попытки их решения повели к
разработке новых областей математического анализа. Последние
рано или поздно отделились от своего первоначального источника —
интегрального исчисления XVIII в.
Прежде всего следует упомянуть о теории дифференциальных
Зфавнений и вариационном исчислении. Мы рассмотрим их далее
специально в соответствии с тем значением, которое эти отделы
имели для развития математики.
Вычисление интегралов специальных видов уже в начале века
привело к открытию ряда фактов теории специальных функций.
Одним из первых было открытие эйлеровых интегралов первого и
второго рода, т. е. соответственно бета-функции
1
В(а, Ь) « If x*-4l—xy-*dx
6
< 1730—1731) и гамма-функции
оо
Г(а) = \е~*ха-хйх
о
(1729—1730).
Интегрирование по частям, примененное к гамма-функции, дает
Г{а+1)=аГ(а), а>0.
Если а — натуральное, то
Г(а+1)ваГ(а) = ...=а!,Г(1) = 1.
Это позволило Эйлеру дать обобщенное определение
факториала
со
п\ в {exxn-idx.
о
В случае бета-функции при натуральных а и b
1
В{ау Ь) =
ьса~{
269
подобные соображения позволяют обобщить (как и понятие
факториала) понятие биномиального коэффициента на случай
непрерывно изменяющихся аргументов. Доказательства абсолютной
сходимости для а>0, &>0, разумеется, еще не было, как и
рассмотрения этих функций для комплексных значений аргумента.
Из числа многих специальных интегралов можно отметить
«интегральный логарифм»:
х In я
П(дс)= f-*L = ( e<dt
t
который приобрел вместе с функцией t,(x) большое значение в
аналитической теории чисел, например при исследовании
проблемы распределения простых чисел в натуральном ряду.
Эйлер разложил интегральный логарифм \\(е~~х) в ряд:
Н(е-*) = с + 1пл:-- —+ — —+. . .,
v ' Ы! п 2-2! 3-3!
где с — постоянная Эйлера:
?=0,577215...,
арифметическая природа которой не выяснена до настоящего
времени.
Класс специальных, или трансцендентных, функций включал в
себя также эллиптические функции, возникающие при обращении
эллиптических интегралов, т. е. интегралов вида
j R{x, VWJ) dx
(где R — знак рациональной функции, /г=3 или /г=4, а полином
Рп(х) не имеет кратных корней). Свое название эти интегралы
получили за то, что через один из них
f ]Л — ft2sinaccda
6
(интеграл второго рода в нормальной форме Лежандра)
выражается длина дуги эллипса
tt = asina, v = bcosa, (a<b),
ф ф
L ж( у ^j + {?Jda - |>а2 cos* a + ft* sin* a da =
0 0
Ф
= a \Vl— fe2 sin2a da.
о
Интегралы этого вида были применены многими математиками
XVIII в. для вычисления длин дуг различных кривых. В 1761 г.
270
Эйлер открыл теорему сложения эллиптических интегралов, а
идея их обращения была впервые высказана в конце XVIII в.
Гауссом. Теория эллиптических функций в основном была построена
в XIX в. в трудах Абеля, Лиувилля и других математиков.
Как уже было сказано, указанные функции являются одним из
видов специальных функций — трансцендентными. Они имеют
общий источник — интегралы, не выражающиеся через
элементарные функции. Другой основной класс специальных функций
появляется, как известно, при решении линейных
дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами
(функции Бесселя, Ламе, цилиндрические и т. д.).
При вычислении ряда трудных интегралов был применен
также метод комплексных подстановок, связавший впоследствии
интегральное исчисление с теорией функций комплексного
переменного. Например, еще Даламбер и Эйлер утверждали, что
cp(x + iy)—M + iN
и одновременно
<р(х—iy) =М—Ш.
Тогда
P+iQ = f(M + iN)(dx+tdy),
P—iQ=/ (М—Ш) (dx—idy),
откуда
P=!Mdx—Ndy, Q = SNdx+Mdy.
Из того, что выражения под интегралами являются полными
дифференциалами функций Р и Q, следуют известные условия Далам-
бера — Эйлера
дМ _ __dN <W _дМ
ду дх * ду дх
Например, для гамма-функции
Г(п) = f е-**»-1**.
6
Эйлер (1781 г., опубликовано в 1794 г.) производит замену х=
—ky. Тогда
r(n)=k\e~**y*-ldy.
о
Полагая затем
b—pdziq^ficosadzisina),
он нашел
оо
Г ™, п t j Г(п)с0ШПа
\ e~pv уп~{ cos qy dy = v fn
о
271
e-PVy*-i sin qf|/ d?/= —^
I
0
откуда в качестве частного результата (при n=l/2, р=0, q—l)
получил интегралы, известные теперь как интегралы Френеля:
во во
Г cos ф dq> -j Г п Г sin ф d<p -| / к_
J~7? V т' J ~р; V2
о о
(Эйлер учитывал, что
Г(1/2)-1ЛГ).
Другой частный результат Эйлер получил, положив во втором
интеграле n-*oot откуда
/
е рх sin qx dx . fa
1 = a = arctg—,
о
а затем (p=0, q=\)
CO
I
sin x dx *
x = 2
Целью подобных подстановок является стремление получать
интегралы функций от одной переменной. При этом иногда в
качестве исходного берется интеграл, значение которого уже
известно, чтобы получить новые, более сложные интегралы. Так,
Эйлер в одной из работ применил подобный метод к интегралу
dz
/¦
= arcsin z
еграла
_ pcos(H-e>)*fo Q p*
и получил два новых интеграла
р —. rcos(b+a>)dv т Q_ Г sin (*+iu)dv
~ Vs
где
tg2co
Ф=const,
v* sin 2Ь
1—yacos2& '
s = y\— 2v*cos2b+v*.
Лаплас рассматривал интегралы с мнимыми пределами. Эта
область интегрального исчисления играла важную роль в созда-
272
нии теории функций комплексного переменного как один из ее
источников.
Итак, в течение XVIII в. в интегральном исчислении
сформировалась совокупность методов, близкая к его нынешнему составу
и уровню. Это исчисление дало начало новым отделам
математического анализа, например теории специальных функций. От него
отделились и превратились в самостоятельные области
математики: теория дифференциальных уравнений и вариационное
исчисление. Интегральное исчисление послужило, наконец, одним из
источников теории аналитических функций.
Дифференциальные уравнения. Перед создателями анализа
задача интегрирования дифференциальных уравнений вначале
выступила как часть более общей задачи: обратной задачи анализа
бесконечно малых. Естественно, внимание вначале
сосредоточилось на различных уравнениях первого порядка. Их решения
разыскивались в виде алгебраических или элементарных
трансцендентных функций с помощью более или менее удачно
подобранных приемов. Для того чтобы свести эту задачу к операции
нахождения первообразных функций, создатели анализа и их
ученики стремились в каждом дифференциальном уравнении разделить
переменные. Этот прием, которым теперь начинаются
систематические учебные курсы теории дифференциальных уравнений,
оказался, по-видимому, и исторически первым.
Около 1692 г. И. Бернулли нашел другой прием, использовав
в ряде задач умножение на интегрирующий множитель. Этот же
прием успешно применял в 1720 г. его сын Николай. Постепенно
выяснилось, что метод интегрирующего множителя, по-видимому,
можно рассматривать как общий метод интегрирования уравнений
вида
М(х, y)dx+N(x, y)dy=0,
трудно, однако, осуществимый из-за сложности подбора этого
множителя.
Арсенал приемов решения дифференциальных уравнений
включал также замену переменных. Лейбниц (1693), а затем И.
Бернулли с помощью подстановки y—xt решали однородные
уравнения первого порядка. Уравнение И. Бернулли
ady=ypdx-\-bynqdx,
(a=const, &=const, р=р(х), q = q(x))
было с помощью подстановки yl~n=v преобразовано
(Лейбницем в 1693 г., И. Бернулли в 1697 г.) в линейное
дифференциальное уравнение первого порядка. В ходе решения этого уравнения
И. Бернулли предвосхитил метод вариации постоянных,
введенный в 1775 г. Лагранжем. Наконец к 1700 г. И. Бернулли сумел
решить линейное дифференциальное уравнение /г-го порядка
273
введя интегрирующий множитель вида х? и последовательно
понижая с его помощью порядок уравнения.
Однако эти, а также некоторые другие приемы были
разрознены, а количество задач, сведенных к дифференциальным
уравнениям, все возрастало. По существу, все прикладные задачи
анализа, известные в то время, требовали решения многочисленных и
разнообразных дифференциальных уравнений. Каждое из этих
уравнений было продиктовано конкретной задачей
математического естествознания, а его решение сулило открытие важной тайны
природы или техническое усовершенствование.
Вопросы общей теории дифференциальных уравнений в начале
XVIII в., разумеется, не могли быть поставлены. Слишком был
слаб аппарат, пригодный для их решения, не выделены отдельные
классы дифференциальных уравнений, не изучены их
особенности. Оставался единственный путь — путь упорной, методической
работы над решением возможно более широких классов
уравнений. На этот путь встали все крупные математики того времени.
Количество сочинений и конкретных результатов, полученных ими,
огромно. Мы можем здесь лишь указать на наиболее важные из
них и наметить некоторые тенденции развития.
Заметные результаты этой работы стали обнаруживаться уже в
20-х годах XVIII в. В 1724 г. итальянский математик Я. Риккати
опубликовал разностороннее исследование уравнения, названного
по предложению Даламбера (1769) уравнением Риккати. Речь
шла об интегрируемости в элементарных функциях нелинейного
дифференциального уравнения
& + ау* « Ьх«,
dx
(a, a, b — постоянные). Риккати рассматривал первоначально это
уравнение в более сложном виде
dx dx q
где у и q — любые функции от х. Однако ему пришлось упростить
задачу, положив q=xn.
Исследованием уравнения Риккати занимались многие
математики: Г. Лейбниц, X. Гольдбах, Я. Бернулли, Н. Бернулли»
Д. Бернулли и др. Д. Бернулли установил (1724), что это
уравнение интегрируется в элементарных функциях, если
а шш — 2 или а =
2k-\
(k — целое число). В 1738 г. Эйлер применил к решению этого
уравнения теорию рядов. В то же время он начинает
рассматривать общее уравнение Риккати
274
{P(x)> Q(x)> R(x) — непрерывные функции), частными видами
которого являются не только специальное уравнение Риккати, но
и уравнение Бернулли (при R(x)=0) и линейное
дифференциальное уравнение (при Р(х)=0). Эйлер же в 60-х годах XVIII в.
обнаружил, что при наличии двух частных решений интегрирование
уравнения Риккати сводится к квадратурам. Если же известен
один частный интеграл v, то оно может быть преобразовано в
линейное дифференциальное уравнение подстановкой
z
Еще к концу 30-х годов XVIII в. Эйлер разработал алгоритм
решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами, основанный на понижении порядка некоторых
однородных уравнений с помощью показательной функции. В
1743 г. в одной из работ Эйлера был опубликован метод решения
линейного однородного дифференциального уравнения любого
порядка с постоянными коэффициентами при помощи подстановки
у=екх,
а в случае кратных действительных корней характеристических
уравнений — подстановки
y=uekx.
В случае наличия пары комплексных корней a±$i подстановка
того же типа
у=иеах
сводит задачу к уравнению
dx* r
тригонометрический вид решения которого был известен Эйлеру
еще с 1740 г.
Через несколько лет (в 1753 г.) для понижения порядка
уравнения
dx dx*
Эйлер применил множитель етх. Затем он предположил, что
решение нового уравнения имеет вид
А1У + в/А=?Хе<»Чх,
dx
где А\ и By — неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты,
а также т он нашел дифференцированием обеих частей этого
уравнения и почленным сравнением.
275
Даламбер (в 1766 г.) нашел, что общее решение
неоднородного линейного уравнения равно сумме некоторого частного
решения и общего соответствующего однородного уравнения.
Многие ученые (в особенности Клеро и Эйлер) интенсивно
разрабатывали метод интегрирующего множителя. Помимо
отыскивания специальных видов интегрирующего множителя для
отдельных классов уравнений были поставлены более общие
задачи. Так, в 1768—1769 гг. Эйлер исследовал классы
дифференциальных уравнений первого порядка, обладающих интегрирующим
множителем данного типа, и делал попытки распространить эти
исследования на уравнения высших порядков.
По инициативе Эйлера в 30-х годах сложилось и окрепло
убеждение, что для интегрирования дифференциальных уравнений
даже простых, казалось бы, классов множества элементарных
функций и простейших трансцендентностей недостаточно. Внутри
теории дифференциальных уравнений приходилось ограничиваться
тем, чтобы выразить решения в квадратурах; методы же
вычисления интегралов, получающихся при этом, были вынесены в
собственно интегральное исчисление.
Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями
были найдены решения отдельных уравнений с частными
производными. Уже около 1735 г. Эйлер, занимаясь различными
задачами о траекториях, пришел к «модулярным», или
«параметрическим», уравнениям
дх
а также
J" = F(*> У> *).
дх
называемым так потому, что речь идет о семействе кривых, в
уравнения которых входит переменный параметр, или, по
терминологии того времени, модуль. Применение интегрирующего
множителя R ко второму уравнению дало Эйлеру условие
интегрируемости в виде
dR _pdR RdF
дх dz dz
откуда он нашел выражение для интегрирующего множителя
\ дг
Несколько дифференциальных уравнений с частными
производными решил Даламбер, в том числе уравнение колеблющейся
струны, о котором речь шла выше.
Таким образом, в области решения дифференциальных
уравнений в первой половине XVIII в. работа состояла в решении от-
276
дельных специфических уравнений. В этот период были
выработаны предпосылки для создания первых форм общей теории, в том
числе ряд основных понятий.
В 1743 г. появились понятия частного и общего интегралов,
введенные Эйлером еще в 1739 г. Они были опубликованы в мему-
аре, где речь идет об едином алгоритме решения линейного
дифференциального уравнения п-то порядка с постоянными
коэффициентами. В работах этих лет Эйлер рассмотрел и особые
решения ряда дифференциальных уравнений, которые были известны
еще из «Methodus incrementorum etc» Тейлора (1715).
Тейлор обнаружил особое решение, рассматривая уравнение
4*з - 4*а * (1 + 2я)2/ — V. (1)
Подстановками
х = — , и = 1 + Z2
У2
он преобразовал (1) в уравнение
f — 2zyy' + vy'x = 1.
Продифференцировав
2y"(vy'—zy)=0,
а затем приравняв
vy'—zy=0
и подставив в уравнение (2)
U
Тейлор получил выражение
y2=v, х=1,
которое назвал «некоторым особым решением задачи».
Неразъясненность этого вида решения, не содержащегося в
общем решении, побудившая Тейлора назвать его «особым»,
сохранилась в сочинениях Клеро, рассматривавшего в (1736 г.) особое
решение уравнения
Эйлер, однако, уже в 1736 г. обнаружил, что если найден
интегрирующий множитель \i(x, у) дифференциального уравнения, то
l/jx=0 может дать особое решение. Например,
xdx + ydy = Vx*+ у%— г2 dy
277
имеет интегрирующий множитель
1
а особое решение будет
х2+у2—г2 = 0.
Лишь в 1774—1776 гг. Лагранж сумел детально выяснить, как
получать особые решения: либо непосредственно из
дифференциального уравнения, либо из общего решения дифференцированием
по постоянной. Он же дал геометрическую интерпретацию особого
решения как огибающей семейства интегральных кривых.
Систематическое и единое изложение всех сведений об особых
решениях обыкновенных дифференциальных уравнений Лагранж дал
в 1801 г. в «Лекциях об исчислении функций».
Мы можем заметить, что практические успехи, достигнутые
крупнейшими учеными XVIII в. в решении дифференциальных
уравнений, оказались в 60-х годах настолько значительными, что
создалась объективная возможность для построения общей теории
дифференциальных уравнений.
Эта общая теория была изложена впервые Эйлером в его
знаменитом сочинении «Интегральное исчисление». Оно, как мы уже
указывали, состоит из трех томов, вышедших в свет
последовательно в 1768, 1769 и 1770 гг., и завершает серию книг Эйлера,
посвященных систематическому построению современного ему
анализа и его приложений. Теория дифференциальных уравнений —
обыкновенных и с частными производными — составляет
основное содержание этого труда. Ему предшествует лишь
интегрирование функций, занявшее первую половину первого тома. За ним
следует только вариационное исчисление, составляющее
приложение к третьему тому.
Дифференциальные уравнения в эти годы находились в стадии
самой энергичной разработки и поисков методов решения новых
и новых типов уравнений. Эйлер впервые в «Интегральном
исчислении» дал строгую и четкую классификацию всех известных
уравнений и систематически изложил способы их решения вплоть до
самых современных, «не так давно найденных», по его
выражению, результатов. Огромное их количество получено самим
Эйлером. Таким образом, теория строилась как совокупность методов
решения уравнений, а эти последние рассматривались в связи с
физической задачей, породившей их. При таком состоянии теории
дифференциальных уравнений еще не появилась потребность в
постановке задач о теоремах существования и единственности, столь
характерных для более позднего периода.
По-видимому, нецелесообразно описывать содержание этого
огромного труда Эйлера, насыщенного множеством конкретных
методов и результатов. Кроме того, это сочинение издано полностью
в переводе на русский язык. Поэтому перейдем к характеристике
278
основных направлений в теории дифференциальных уравнений,
сложившихся во второй половине XVIII в.
Более отчетливо эти основные направления проявились в
области обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти
направления формировались, как правило, в результате потребностей
решения прикладных задач. Вокруг них концентрировалось
наибольшее количество работ.
Первое из направлений состояло в развитии теории линейных
дифференциальных уравнений, главным образом второго порядка,
и их систем как с постоянными, так и с переменными
коэффициентами. К такого рода уравнениям приводили задачи о малых
колебаниях материальных точек и их систем с конечным числом
степеней свободы. Примером подобных задач являются задачи,
связанные с конструированием маятниковых часов и применением
маятниковых аппаратов для гравиметрических исследований. К
этому классу относятся и задачи о колебательных движениях
часовых пружин, появившиеся после того, как была выяснена
ограниченность применения маятниковых часов. Переход от колебаний
точки к колебаниям систем точек повлек за собою расширение
постановки задачи на случай бесконечного числа степеней свободы:
колебаний столба воздуха, струны и т. п.
Проблемы аналитической динамики точки и системы точек
выдвинули в качестве другого главного направления теории
дифференциальных уравнений развитие методов решения нелинейных
уравнений первого и второго порядка и их систем. Движение
твердого тела вокруг неподвижной точки выражается нелинейной
системой трех уравнений второго порядка относительно y(t), ty(t),
Q(t) — так называемых углов Эйлера, являющихся функциями
времени. Движение центра тяжести планеты в Солнечной системе
выражается решением квазилинейной системы
d^L+R%-!l ==0, f-1,2,3, k = const.
dt" (2*!)3/2
Квазилинейными в общем случае оказываются и уравнения
Эйлера, появляющиеся в вариационном исчислении при решении
задачи об экстремуме функционала
ъ
а
Нелинейное уравнение второго порядка получается, в частности, в
задаче о нахождении геодезических на поверхностях. К
уравнениям того же вида приводились решения уравнений движения
точки в сопротивляющейся среде.
Сложность проблемы решения уравнений и невозможность
интегрировать их в конечном виде послужили основной причиной
возникновения третьего большого направления. Речь идет о
разработке приближенных методов решения дифференциальных урав-
279
нений. Классический метод ломаных, ныне широко
применяющийся в теоремах о существовании и единственности решения
уравнения
с начальными условиями х=х0, у=уо, был найден и опубликован
в 1768 г. Эйлером. Задачи небесной механики, в постановке
которых учтены возмущающие силы, явились первым объектом
применения методов приближенного интегрирования. С учетом
сравнительной малости эксцентриситетов орбит планет и
возмущающих сил решение остается в первом приближении в виде круговой
орбиты, которая затем исправляется.
Геометрические приложения теории обыкновенных
дифференциальных уравнений, выделившиеся в особую область
математики — дифференциальную геометрию, оставили след и в теории
самих уравнений. Теория особых решений составила заметное
направление в общей теории дифференциальных уравнений.
Изучение семейств интегральных кривых и решение задач о нахождении
огибающих и изогональных траекторий, перенесение результатов
на семейства поверхностей — таков путь исследований в
четвертом направлении. Его значение возросло, когда первоочередными
стали проблемы существования и единственности решения
дифференциальных уравнений.
Исследования в области создания теории дифференциальных
уравнений в частных производных, несмотря на свою
многочисленность, не давали еще возможности четко выделить основные
направления. Задача была слишком сложной. И хотя к
дифференциальным уравнениям в частных производных было сведено
большое число задач физики, механики и теории поверхностей,,
решение их продвигалось медленно.
Систематическая работа в этом направлении начала
развертываться лишь в 60-х годах. Эйлеру принадлежит первая
монография, где сделана попытка построения теории дифференциальных
уравнений с частными производными. Речь идет о том же третьем
томе «Интегрального исчисления», вышедшем в 1770 г. Наряду с
Эйлером теорию уравнений с частными производными
разрабатывали Даламбер, Лагранж, Лаплас, Монж и многие другие
ученые.
Одной из главных идей, сравнительно быстро утвердившихся в
теории уравнений первого порядка, была идея сведения их
интегрирования к интегрированию обыкновенных уравнений или их
систем. Ее использовал Даламбер (1768) при решении линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Аналогичные методы развивал Эйлер. Метод сведения общего
линейного дифференциального уравнения
280
к интегрированию системы
dx dy dz
Р ~~Q ^Т '
разработанный в 1776 г. Лапласом и Лагранжем, входит и в
современные учебники. Когда несколько позднее (в 1781, 1878 гг.)
Лагранж распространил этот метод на линейные уравнения с
любым числом переменных, он открыто высказал, что решение
уравнений с частными производными зависит от искусства сведения
их к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
В решении нелинейных уравнений первого порядка Эйлер
(1770) показал, что дифференциальное уравнение с тремя
переменными всегда можно привести к линейному уравнению с
четырьмя переменными. Этот результат был развит в работах Лаг-
ранжа (1774), Монжа (1787), Шарпи (1784). Последний довел до
конца решение нелинейного уравнения первого порядка с двумя
независимыми переменными. Идея метода состояла в том, что к
уравнению
F(x, у, z, р, q) = 0
подбирают другое уравнение
и(х, у, z, р, q)=a}
так, чтобы эта система из двух уравнений была вполне
интегрируема. Определяемые из системы уравнений функции
р=р(х, у, z, a), q=q(x, у, г, а)
приводят, как мы теперь знаем, к уравнению Пфаффа
dz=p(x, у, z, a)dx + q(x, у, z, a)dy.
Интеграл этого уравнения
Ф(х, у, z, а, &)=0,
где а и Ь — произвольные постоянные, будет полным интегралом
уравнения
F(x, у, z, р, q)=0.
Об этом методе стало известно, однако, лишь в 1814 г. О нем
сообщил французский академик Лакруа, так как Шарпи вскоре
после представления своего мемуара в Парижскую академию
скончался. Шарпи не мог распространить свой метод на уравнения с
большим числом переменных. Эта трудность была преодолена в
XIX в. в трудах К. Якоби и Пфаффа.
В ходе разработки методов решения дифференциальных
уравнений первого порядка выяснились виды их решений,
взаимоотношения между ними и введена терминология, сохранившаяся до
настоящего времени. Итоги этого процесса подвел Лагранж в
работах 1774 и 1776 гг. Так, решение, зависящее от двух произволь-
281
ных постоянных, получило название полного. Если в полном
решении
г=у(х, у, а, Ь)
положить
где ty(a) — произвольная функция, а из уравнений
z = ф(лг, у, а, ф(а)) и -^ = О
исключить а, то получится решение, названное общим. Наконец,
исключение а и b из уравнений
да до
давало решение, получившее название специального, а затем
особого. Так как решение дифференциальных уравнений не всегда
сводится к квадратурам, Лагранж ввел разные термины: решение
уравнения и его интеграл.
Наряду с аналитически-вычислительными методами решения
уравнений развивалась и геометрическая теория их решений.
Вообще, теория дифференциальных уравнений с частными
производными оказалась тесно связанной с задачами и понятиями
геометрии (теории поверхностей и пространственных кривых). Это
направление было развито в серии великолепных работ Г. Монжа.
Дифференциальные уравнения с частными производными
второго порядка возникали преимущественно в ходе решения
физических задач. Из них прежде всего следует назвать задачу о
колебании струны, приведенную к уравнению
dt* дх* '
Около 1760 г. Эйлер, разрабатывая проблемы гидродинамики,
вывел уравнение объемного расширения жидкости
дР~д& ду* dz2 '
Для этого уравнения Эйлер нашел частное решение, а в одном
случае (когда движение совершается по направлению к
неподвижному центру, а скорости на поверхностях соответствующих
сфер одинаковы) — общий интеграл. Задачу о колебании мембран
Эйлер в 60-х годах XVIII в. свел к уравнению
?!? — !*!? 4- —
dt* ~~ дх* ду"'
Его решение он нашел в виде ряда для трансцендентной
функции, которую мы теперь называем цилиндрической, или (что
282
совсем не обосновано) бесселевой, по фамилии немецкого
астронома Ф. В. Бесселя.
Задачи о колебании газа в трубах различных профилей,
теории потенциала и другие приводили также к уравнениям второго
порядка. Что касается уравнений более высокого порядка, то они
исследовались лишь эпизодически.
Исследования уравнений второго порядка были
многочисленными, но создание общей теории сталкивалось с непреодолимыми
в то время трудностями. Первые успехи наметились к 1770 г.,
когда Эйлер применил преобразования линейных дифференциальных
уравнений второго порядка к каноническим формам. Например,
уравнение
подстановками
t=x+ay, и=х—ау
приводится к виду
-?¦-0.
dudt
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
z=f(t)+<p(u)=f(x+ay)+<p(x—ay).
Таким путем было начато выделение канонических типов
дифференциальных уравнений с частными производными второго
порядка.
Общее линейное дифференциальное уравнение с частными
производными
dx* дхду r dy2 ' дх ду
где коэффициенты и свободный член являются некоторыми
функциями от х и у, рассматривал Лаплас (1777), создавший для его
решения единый метод, получивший название метода каскадов.
Сущность этого метода, как и для общего линейного
дифференциального уравнения с частными производными первого
порядка
?- + ?(*, у)д^ + №> У> 2) = 0>
которое решал Лаплас, состоит в замене переменных. Введя две
новые переменные s и sb Лаплас приходит к уравнению,
носящему ныне его имя
dsdsi ds dsi
или, кратко, D(u)=0.
283
Если y(s) и ty(s\) — две произвольные функции и если
составить
q>i(s) = Sy(s)dsJ q>2(s) = Sq>i(s)ds, ...,
b(s0 = S^(si)dsi, $2(si) = Sipi(si)dsi, ...,
то решение можно записать в виде ряда
u=A0yi(s) +AX(p2(s) +A2y3(s) + ...
... +Boyi(si)+Bity(si)+B2fy(si)+\.. .
Подстановка этого выражения в уравнение D(u)—0 даст для
определения коэффициентов А0, Аь ..., В0, В\, ... дифференциальные
уравнения
<7Sl OS
Ё&+mAl+D(At) = 0, d-^+nB1+D(Be) = 0,
OSi OS
P*+mAt+D(AJ=Q% ^? + n5, + Z)(51) = 0
osi ds
Если ряд для и обрывается, т. е. для некоторого k будет иметь
место Ak=0, Bk—О, то общий интеграл выражается в конечном
виде. Когда же это не имеет места, Лаплас представляет решение
не рядом, а с помощью определенных интегралов. Он показал, что
в этом случае
</=j>q?(z)dz + JA4>(0rfz,
о о
где р и Pi — частные интегралы D(u)=0,
s s,
р = j Г(5 — z)q>(z)dzr рх «=» J П(5 — z)ty(z)dzt
о о
а в этих интегралах
оо
(5-z)*-l
Г^—г) = 7j Лл-1
(k—\)\ '
оо
ri(*-z) = 2j 5*-i
(*-«)'
А-1
<*-*»
284
Лаплас показал, что его метод является более общим, чем все
другие. В случае, например, когда I, т, п — постоянные, в
уравнении D(u)=0:
Т = 0, m = -L, «--?-. '--г".
получается частный случай интегрирования обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка. Дальнейшие
усовершенствования, внесенные в метод каскадов Лагранжем и Лапласом,
привели этот метод к современному виду.
Подведем итоги. За первое столетие своего существования
математический анализ необычайно быстро развил свою
оперативную часть, которая достигла объема и оформления, близких к
современным. Теории дифференцирования, а также интегрирования в
элементарных функциях по существу были завершены. Важнейшей
частью математического анализа в его
оперативно-алгоритмической трактовке сделались дифференциальные уравнения, как
обыкновенные, так и в частных производных. Вместе с разработкой
методов решения отдельных классов уравнений формировались
элементы общей теории.
В области обыкновенных дифференциальных уравнений были
выявлены основные типы тех, что поддавались решению в
квадратурах, найдены приемы приближенного решения.
Сформулированы и сделались общепринятыми понятия общего и особого
решения. В части, относящейся к дифференциальным уравнениям в
частных производных, проведены частичная классификация и
выделение канонических типов, а также накоплено множество
частных приемов решения.
Однако теория дифференциальных уравнений не могла долго
развиваться как совокупность частных приемов, пригодных для
решения немногочисленных классов уравнений. Накопление этих
приемов необходимо, но для построения общей теории
недостаточно. Все более остро вставала проблема существования решений и
определения их характера. Решения, как оказалось, образовывали
класс, неизмеримо более широкий, чем класс первообразных от
элементарных функций. Практические успехи применения
дифференциальных уравнений и многообразные связи с теорией функций
комплексного переменного, специальными функциями,
вариационным исчислением и в особенности с задачами математической
физики делали проблему построения общей теории особенно
настоятельной.
В заключение приведем схему, отражающую структуру
интегрального исчисления в XVIII веке (рис. 57), его возрастающую
сложность и процесс отпочкования от него ряда математических
дисциплин. Классификация дифференциальных уравнений с
частными производными находится в соответствии с той, что находится
в т. 3 «Интегрального исчисления» Эйлера. В схему в виде части
общего интегрального исчисления включено также исчисление
вариационное. Его истории посвящен следующий раздел.
285
Интегральное
исчисление
Интегрирование
функций
Обыкновенные
дифференциальные
уравнения
Методы
неопределенного
интегрирования
с: «§
Л"
Методы опре -
{деленного ин-
шегрирс
<и
1вания
о -^
5: <*
*: ^
<1э СЭ
°S «5*.
^ «чэ
?> S?
'^ «5
•5» ^
50 а
^
Специальные
функции
II
^ 1
t <t 1
**?
! II
^
„ CJ
Qj
^ =3
3:
| '^1 й:
*? =3
$ *
г^ ^
Ч 1:
2?
Проблемы
существования
решений
Качественная
теория
Комплексные
подстановки
Теория функций
комплексного
переменного
Рис. 67
Дифференц иаль ные
уравнения с
частными производными
Вариационные
задачи
Уравнения
с 2 перемен -
ными
Уравнения
с 3 перемен
ными
Прямые
методы
Исчисление
вариаций
Общая теория
функционалов
§ 7.5. ПОСТРОЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
В наше время вариационное исчисление входит в состав
функционального анализа. Главной задачей, решаемой средствами
этого исчисления, является отыскание экстремумов функционалов.
Вариационные методы находят применение в различных областях
математики, в механике, физике, технике.
Возникло исчисление вариаций в XVIII в. В трудах Эйлера и
Лагранжа оно приобрело вид логически стройной математической
теории. Последняя тотчас доказала свою полезность. Ее
методами было решено много задач экстремального характера, за
которыми установилось и закрепилось название: вариационные. Они
привлекали внимание, так как средствами вновь созданного
анализа бесконечно малых решению не поддавались.
Вариационные задачи. Первой из таких задач была задача,
поставленная и решенная Ньютоном в «Математических началах
натуральной философии» (1687). В ней требовалось найти кривую,
проходящую через 2 заданные точки и притом такую, чтобы она
при вращении вокруг заданной оси образовывала тело вращения,
испытывающее наименьшее сопротивление среды при движении
вдоль этой оси. Другими задачами такого типа оказались задача
о брахистохроне (1696); изопериметрическая (1697); задача о
геодезических линиях на поверхностях (1697). Поставлены эти
задачи, как правило, были давно и даже очень давно, как, например,
изопериметрическая, которую изучали еще древнегреческие
математики (Зенодор).
Решение своей задачи Ньютон нашел в виде геометрической
пропорции, являющейся на самом деле эквивалентом
дифференциального уравнения. Задачу о брахистохроне решил И. Бернул-
ли, а затем Ньютон, Лейбниц и Я. Бернулли. Изопериметрическая
задача и задача о геодезических были решены также
практически одновременно несколькими математиками. Методы решения
были еще недостаточно общими, но в них постепенно и все более
проявлялись общие черты. Создавались условия для построения
общего метода.
Первый общий метод решения вариационных задач был
выработан Эйлером в серии работ 1726—1744 гг. Вначале Эйлер,
рассмотрев известные ему способы решения задачи о брахистохроне,
поставил (1726) и решил эту же задачу о нахождении кривой
скорейшего спуска при условии сопротивления, оказываемого
средой. Затем (1728) он вывел дифференциальное уравнение
геодезической линии на поверхности. Малая общность и
недостаточность приемов, применяемых при решении задач уже
осознанного в своем своеобразии класса, не удовлетворяли Эйлера. Он стал
искать общий метод и к 1732 г. нашел его. В работе Эйлера
«Общее решение изопериметрической задачи, поставленной в самом
широком смысле», излагается первое общее решение одномерной
вариационной задачи.
Эта работа Эйлера интересна в особенности тем, что в ней
отражено начало характерного для математических исчислений ди-
287
алектического переворота, когда решения отдельных задач
начинают рассматриваться как частные случаи общего метода.
Последний же, т. е. метод, делается предметом исчисления.
Эйлер классифицировал задачи, в которых разыскиваются (по
его выражению) кривые, обладающие экстремальным свойством.
В качестве экстремального выбрано свойство интегралов частного
вида, взятых вдоль кривой, принимать экстремальные
(максимальные или минимальные) значения. Классификация Эйлера
такова: 1) из всех вообще кривых определить ту, которая обладает
экстремальным значением свойства Л; 2) из совокупности
кривых, обладающих общим для них свойством А, выбрать
экстремаль относительно свойства В\ 3) из совокупности кривых,
обладающих двумя свойствами А я В, выделить экстремаль
относительно свойства С и т. д.
Свойствами, или как мы теперь говорим, функционалами, у
Эйлера являются интегралы. Почти все они имеют вид
Sf{x, У> yf)dx.
Метод опирается на: а) идею сохранения экстремального
значения свойства, когда элемент экстремали заменен элементом
другой близкой кривой; б) принцип Лейбнида — Я. Бернулли, что
экстремаль является таковой в любой своей части. Состоит метод
в варьировании одной, двух и более (в зависимости от условия
задачи) ординат и в приравнивании значений свойств
соответствующего элемента экстремали до и после варьирования.
Через четыре года (в 1736 г., опубликовано в 1741 г.) Эйлер
обобщил этот метод на интегралы вида
ь х
\Q{x* У, *,У'.1/')Лхл где s = jVl+y"dx.
а а
Наконец, к 1744 г. метод Эйлера приобрел столь большую
общность, что перерос в специальное исчисление, систематически
изложенное им в книге «Метод нахождения кривых линий,
обладающих свойствами максимума либо минимума, или решение изо-
периметрической задачи, взятой в самом широком смысле»
—первой в истории книги по вариационному исчислению.
Вместо решения еще одной более трудной вариационной задачи
или целого их класса, Эйлер ввел общий метод, который можно
применять к решению различных видов таких задач. Цель этого
метода, названного Эйлером «методом максимумов и минимумов в
применении к кривым линиям», самая общая — отыскание кривых
в семействе, для которых некоторая заданная величина достигает
одного из своих экстремальных значений. Разъясним метод более
конкретно.
Постановка задачи нуждается в уточнении. Эйлер вводит
следующие условия определенности: а) задача ставится и решается
для одного и того же отрезка оси абсцисс; б) различаются два
вида экстремумов: абсолютный и относительный ; в) задается ма-
288
тематическая форма функционала как «неопределенной
интегральной величины»
х
W яг J Z(x% у, у', у\ . . . )dx.
Пусть речь идет об абсолютном экстремуме. Это значит, что
среди всех возможных кривых над отрезком [x0j х] необходимо
выбрать такую f(x, у)=0, чтобы интеграл
х
w = Г Zdx
=1
принимал экстремальное значение. Всякую кривую у=у(х),
определенную в некоторой области значений Хо<х^хи Эйлер заменяет
полигоном, абсциссы вершин которого выбираются на оси Ох на
равных расстояниях друг от друга. Это, по мысли Эйлера, дает
возможность с любой степенью точности аппроксимировать
кривую.
х
Интегральную формулу I=fZ(x, у, yr, yfrt ...)dx он заменяет
суммой вида:
п-1
?п « у Z(xtr ул, у\, . . . )dx, где dx= ^^ , Xi = Xi-i+dx,
*-* п
a yi — ординаты фиксированных точек xi кривой. Кроме того,
заменяя производные отношениями конечных разностей
у =х rtr=z f у g(vn* «t — , . . . ,
dx г dx dx2
Эйлер добивается возможности рассматривать значение формулы
максимума или минимума для данной кривой как функции
ординат:
I=F(y0, уь уъ -., Уп)-
Затем он решает обычную экстремальную задачу: варьируется
некоторая произвольная ордината yv> разность значений /,
соответствующих неизменной и варьированной кривой, приравнивается
нулю. Тем самым получается дифференциальное уравнение
экстремали.
Таким образом, Эйлер сводил решение вариационной задачи
к решению другой — об экстремуме функции многих переменных
(ординат). Этот метод стал универсальным для любого типа
вариационных задач и является основным для вариационного
исчисления в созданной первоначально Эйлером форме.
Пусть для простоты z—z(x, у, уг). Тогда
SZfa У> y')dx
289
Рис. 58
заменяется на
л-1
2-
t—О
2 (хи уи
dx
dx.
Ордината yv испытывает приращение на величину nv (рис. 58),
Тогда в указанной сумме изменятся только члены, содержащие
уч. Это
Z U-u 0,-4, ^~^ \dx и Z U, *л, Ь±ПЬ. \ dx.
Чтобы вычислить их приращения, Эйлер дифференцировал Z по
х, у, р и заменял дифференциалы dxlt dy-u dpi приращениями
соответствующих величин xi, yi, pi\
dZ(Xv-u Уу-ь pv-i)=Mdxx-l+Ndyv-i + Pdpr-U
dZ(xv, yVJ pv)=Mrdxv+N/dyy,+P/dpyl.
Так как приращение получает лишь yv> то
dXv-\=dxv=dyv_i=0, dyv = + /2v,
аЛ-1 = + — . dp,*-*— —-.
Следовательно, величина приращения
будет
Pnv + N'nvdx—P'nv.
Ho Pr—P=dP, а вместо Nr можно писать N. Тогда
Pnv+Nnvdx—P'nv=0
или
—dP+Ndx=09
т. е.
лг-'Л-о.
290
что в привычных нам символах означает
dy dx \dy' J
т. е. дифференциальное уравнение Эйлера.
Распространив этот метод на случаи, в которых
подынтегральное выражение зависит от производных более высокого
порядка, Эйлер приходит к уравнению вида
*_<? + *?_<!*+...в0.
dx dx* dx3
При этом он не останавливается перед возможностью
неограниченного продолжения этого ряда. Он лишь отмечает, что
дифференциальное уравнение кривой всегда будет иметь порядок в два
раза больший, чем порядок производной в выражении
функционала. Из этого замечания естественно вытекает условие,
обеспечивающее определенность задачи: среди всех кривых, проходящих
через 2п заданных точек, определить ту, для которой SZdx, где
Z=Z(x, у, у', ..., */(»)),
был бы максимумом или минимумом (рис. 59).
Изложение метода, данное Эйлером, очевидно, не
удовлетворяет требованиям современной научной строгости. В нем не
обоснованы, в частности, вопросы законности перехода к пределу и
перестановки предельных переходов. Не доказано также, дает ли
предел экстремумов аппроксимирующих функций экстремум
функционала. Однако необходимо помнить, что Эйлер не мог и
поставить требования научной строгости в смысле, принятом в XX в.
Кроме того, исследование указанных вопросов повело бы не
только к отысканию дифференциального уравнения экстремали, но и к
аппроксимации решения этого уравнения решением системы
обыкновенных уравнений, что выходило за пределы поставленной
Эйлером задачи.
Метод Эйлера решения задач на относительный экстремум
имеет целью отыскание экстремали не среди всех кривых,
определяемых на данном участке оси абсцисс, но среди некоторого их
семейства, каждая из кривых которого обладает одним или
несколькими свойствами. Если дополнительное условие состоит в
сохранении постоянного значения другого (или нескольких.)
функционала — интеграла, то получается обобщенная изопериметрическая
задача. Эйлер приводит ее к задаче на вычисление абсолютного
экстремума следующим образом.
Чтобы удовлетворить сразу двум условиям (если речь идет о
кривых, обладающих одним общим свойством) — неизменности
значения общего свойства В и формуле максимума или минимума
А, — необходимо дать приращения не одной, а двум соседним
ординатам. «Дифференциальные значения» обоих свойств будут
291
иметь в силу изменения двух ординат yv и #v+1 (см. рис. 58, 59) на
riv или оо) соответственно следующий вид:
dAvnv-rdAv+iO(i),
dBvtiv + dBv+iO(d.
Из заданных условий (экстремальности А и постоянства В)
следует, что оба эти выражения должны быть приравнены нулю:
dAvnv + dAv+iO(u=0,
dBy,nv+dBv+iO(d=0.
После исключения nv и осо из этой системы двух уравнений
Эйлер получил уравнение искомой кривой
(a=const, p = const). То же уравнение получается, если искать
кривую, для которой выражение аА + $В достигает абсолютного
экстремума.
Указанный метод Эйлер распространил и на еще более
сложные случаи: а) подынтегральная функция Z в выражении
функционала сама представляет собой функционал; б) эта
подынтегральная функция задана посредством дифференциального уравнения,
способ решения которого неизвестен. Такой, например, являлась
у Эйлера задача о брахистохроне в сопротивляющейся среде. Как
заметил Эйлер, здесь идет речь о нахождении максимума
выражения
i
J /5
о
при условии
dv = gdx — hvndx |/"1+/>3.
При этом он правильно решил вопрос о границах применимости
так называемого принципа Лейбница — Бернулли о наличии
экстремального свойства в каждой точке экстремали.
В книге Эйлера приведено большое число примеров (свыше
60), иллюстрирующих широту возможностей нового метода. В них
была продемонстрирована практическая ценность исчисления и
установлены его тесные связи с механикой и физикой. Помимо тех
недостатков, которые в XVIII в. заметить было еще невозможно, у
метода Эйлера существовал еще один: громоздкость. В течение
нескольких последующих лет Эйлер упорно работал над
отысканием удобного алгоритма.
Переход от прямых методов к исчислению вариаций.
Положение начало изменяться с 1755 г., когда совсем еще юный
преподаватель математики артиллерийской школы в г. Турине Лагранж
сообщил Эйлеру об изобретенном им общем аналитическом
методе вычисления вариации интеграла посредством интегрирования
292
по частям. Этот метод основывался на введении вариации
функции и на распространении на вариации правил
дифференциального исчисления. Поясним эту мысль подробнее.
Чтобы сравнить значение интеграла 1(C) вдоль кривой С с его
значениями вдоль соседних кривых, Лагранж изменял функции
у=у(х), z=z(x),
определяющие кривую С, прибавляя к ним величины &у(х),
6z(x) — их вариации. Если вариации в крайних точках сегмента
[хь х2], на котором рассматривается задача, обращаются в нуль,
то образуются две кривые сравнения С и С+бС с общими
концами. Последняя из этих кривых задана функциями
у(х) + 8у(х), г(х) + 6г(х).
Из всех возможных кривых сравнения теперь следует выбрать
такую, чтобы для любых вариаций 8у(х), bz(x)
M=I(C + 6C—I(C)>0.
Между вариациями 8у(х), 8z(x) и приращением функционала
в вариационном исчислении, с одной стороны, и дифференциалом
независимой переменной dx и дифференциалом функции y=f(x)
в дифференциальном исчислении, с другой стороны, существует
аналогия. Эту аналогию и обнаружил Лагранж. Она позволила
ему применить в вариационном исчислении алгоритмы,
аналогичные алгоритмам дифференциального исчисления и доказать
перестановочность символов d и б, а также / и б.
Эйлер, который был буквально на пороге подобного открытия,
с энтузиазмом встретил сообщение молодого математика. Он
поделился с ним своими идеями, а чтобы дать возможность Лагранжу
первому опубликовать свои результаты (что произошло в 1762 г.),
приостановил печатание своих статей на подобные темы. После
1762 г. Эйлер дал в ряде работ подробное, усовершенствованное и
снабженное примерами изложение вариационного исчисления. Он
же придумал название новому исчислению: вариационное. В одной
из работ (1771) Эйлер дал вариационному исчислению новое
истолкование. Оно теперь могло быть понято как метод выбора из
однопараметрического семейства кривых такой кривой, которая
реализует некоторое экстремальное свойство. Это толкование
существенно сближает вариационное исчисление с
дифференциальным исчислением. Однако оно еще не сделалось достаточно
общим, так как в нем не рассматривались указанные Д. Бернулли
случаи, когда бесконечно малые перемещения вдоль кривой
сопровождаются конечными отклонениями касательных («сильные
вариации»).
Конец XVIII в. ознаменовался серией исследований Эйлера,
Лагранжа и других ученых. Вариационное исчисление при этом
сравнительно быстро приняло завершенную форму в его наиболее
элементарной части, относящейся к теории первой вариации. Рас-
293
сматривался еще лишь слабый экстремум и соответственно лишь
сравнительно гладкие кривые.
Главной задачей вариационного исчисления теперь как будто
бы оказывалась проблема отыскания экстремумов функционалов
возможно более широкого класса. Длинный ряд работ в XIX в.
был посвящен именно этой теме. Однако наряду с этим кругом
проблем оставалась нерешенной еще одна задача: как различить
вид достигаемого экстремума. Относительно этой задачи еще Лаг-
ранж, опираясь, по-видимому, на аналогии с дифференциальным
исчислением, указанные выше, отметил возможность применения
второй вариации для решения этого вопроса.
В самом деле, пусть, например, задан функционал
' = J^. у> y')dx-
Если
6/=0, 6ЧФ0,
то знак А/ совпадает со знаком б2/ (при достаточно малых
вариациях функций и их производных). В 1786 г. Лагранж
(опубликовано в 1788 г.) смог привести вторую вариацию к виду, из которо-
го явствовало, что ее знак зависит от знака — . Это привело
ду*
его к так называемому условию Лежандра: чтобы на экстремали
осуществлялся максимум (соответственно минимум), необходимо,
d*F d2F
чтобы вдоль нее — <^0 (соответственно —^ ^0). Это условие
ду * ду'г
оказалось и достаточным для слабого экстремума, что было
показано К. Якоби в 1837 г., при условии, что экстремаль может быть
включена в поле экстремалей — в однопараметрическое
семейство кривых, не пересекающихся между собой и заполняющих
некоторую односвязную область.
Понятие поля экстремалей, введенное К. Якоби, оказалось
необходимым для отыскания сильного экстремума функционала, что
подтвердилось в работах К. Вейерштрасса, который к 1879 г.
разработал методы решения этой проблемы. Идея Вейерштрасса (с
учетом последующих усовершенствований ее Д. Гильбертом)
состояла в следующем: пусть дано поле экстремалей у=у(х, а). В
него включена и искомая экстремаль. Введем функцию,
выражающую зависимость углового коэффициента касательной к
экстремали от координат точки касания и(х, у), которую назовем
наклоном поля. Приращение функционала имеет вид
Д/ =
J | F(x, У, У') — F(x, У>и)-д? W - ") | dx.
м L J
Подынтегральная функция широко известна в настоящее
время как функция Вейерштрасса и имеет специальное обозначение
294
Е(х, у, и, у'). Знак этой функции указывает на вид экстремума:
?>0 в случае минимума и E-^SS в случае максимума. Если это
условие рассматривается относительно слабого экстремума, то
достаточно, чтобы указанное условие соблюдалось в точках поля,
близких к экстремали, и для достаточно малой разности \уг—и\.
В случае сильного экстремума условие Вейерштрасса должно
выполняться, очевидно, для любых у\ а не только для у', достаточно
мало отличающихся от и.
Таким образом, в течение XIX столетия были найдены условия
правомерности операций вариационного исчисления. Эти условия
были распространены на широкие классы функционалов и
снабжены строгими доказательствами. Выяснение достаточных условий
для обеих разновидностей экстремумов, основанных на теории
экстремалей, логически завершило целый этап развития
вариационного исчисления. Последнее формировалось как исчисление
вариаций. Прямой метод Эйлера был, казалось бы, окончательно
забыт.
О дальнейшем развитии вариационного исчисления. Однако на
рубеже XIX и XX вв. возродились прямые методы в вариационном
исчислении. Еще М. В. Остроградский в 1834 г. показал, что
задача вариационного исчисления об экстремуме кратных интегралов
эквивалентна задаче решения некоторого дифференциального
уравнения математической физики. В самом деле, если
1 = Я^(*» У' z> р> 4)dxdy>
где
z~=z(xt у), Р = —ь ?== —»
дх ду
ТО
Д/ e Я [Л** У> * + 8z> Р+8Р> Q+bq)—F(x9 yt z, рг q)]dxdy =
G
Необходимое условие экстремума
Преобразуя по формуле Остроградского двойной интеграл в
криволинейный, можно получить
Jj[\l^~7x\^)~^j['d^)\ *хуж* '
295
откуда в предположении непрерывности подынтегральной функции
вытекает
дх дх\др J ду I dq )
Вариационная задача об экстремуме двойного интеграла ока-*
зывалась, таким образом, эквивалентной краевой задаче для диф*
ференциального уравнения с частными производными второго
порядка.
Например, гармоническая функция, являющаяся решением
задачи о потенциале (задачи Дирихле)
дх* ду2
одновременно дает экстремум двойного интеграла
/ =
да,+№*
На это обстоятельство обращали внимание Гаусс (1840), Томсон
(1847) и, наконец, Дирихле. Возможности, открывающиеся в
связи с нахождением вышеотмеченной эквивалентности, были высоко
оценены. Физический смысл этого явления в пространственном
случае устанавливается легко: если и — потенциал скоростей в
установившемся течении однородной несжимаемой жидкости, то
соответствующее уравнение будет
Аи = = 0.
дх* ду2 дг*
Искомое решение и0 (среди всех функций, принимающих на гра-*
нице области заданные значения) обращает в минимум
что соответствует минимуму кинетической энергии.
Риман, узнавший этот факт из лекций Дирихле, назвал его
принципом Дирихле. Выводы он распространил на введенные им
так называемые римановы поверхности. Для Римана являлось
очевидным (по-видимому, из физических соображений), что для
любой гармонической функции достаточно задать ее значение на
границе области, чтобы иметь ее однозначную определенность вну-*
три области.
Рассмотрим простейший случай краевой задачи Дирихле для
однолистного круга. Пусть задана функция распределения
краевых значений и($) — непрерывная функция угла. Задача
сводится к установлению теоремы существования: внутри круга
существует одна и только одна непрерывная функция и, непрерывно при-
296
ближающаяся к заданным краевым значениям и
удовлетворяющая уравнению Аи=0. Введем
ЯР)
¦+ъ
dxdy,
определенный на площади круга и имеющий смысл в любой его
точке. Все значения этого интеграла конечны и, очевидно,
неотрицательны. Тогда существует неотрицательная нижняя грань его
значений для всех возможных и. Эта грань достигается при
некотором и, т. е.
дх] [ду
Тогда уравнение
Я[(
dxdy = 0.
А д2и , д2и г,
Да =» 1 =» 0
дх2 ду2
есть необходимое и достаточное условие обращения в нуль первой
вариации.
Это рассуждение, которое привело к формированию в трудах.
Римана геометрической теории функций комплексного
переменного, оказалось уязвимым в исходном пункте. Оказалось, что
невозможно прийти к выводу о существовании гармонической функции,,
опираясь на вариационную задачу, так как существуют примеры
таких задач, которые не допускают никакого решения. Вейерштрасе
еще при жизни Римана доказал, что из существования нижней
грани указанного выше интеграла не следует, что эта грань
достигается в классе допустимых функций. Знаменитый пример Вейер-
штрасса о том, что ломаная, соединяющая точки плоскости,
короче любой кривой, проходящей через эти
точки (рис. 60), хотя к семейству этих
кривых не принадлежит, опубликован
только в 1869 г., но был известен Рима-
ну. Последний не смог дать
убедительного доказательства своих результатов,
основанных на применении принципа Рис. 60
Дирихле. Это удалось сделать его
ученику Нейману (1884) и ученику Вейерштрасса Шварцу, которые
в своих доказательствах не прибегали к вариационным методам.
Таким образом, выявилась разница между экстремальной
проблемой в конечнохмерном точечном пространстве и в пространстве
функциональном. В первом последовательность точек непременно
допускает предельные точки. Во втором из последовательности
функций не всегда удается выделить подпоследовательность,
сходящуюся к некоторой предельной функции. Для преодоления
подобных трудностей в вариационном исчислении понадобилось
вновь разрабатывать прямые методы.
Ведущая идея прямых методов современного вариационного
исчисления восходит к Эйлеру. Она состоит в том, что вариацион-
297
ная задача рассматривается как предельная для соответствующей
задачи на экстремум функции конечного числа переменных.
Последний разыскивается обычными методами, а затем предельный
переход дает решение вариационной задачи. Непосредственно к
Эйлеру восходит и конечно-разностный метод, который отличается
от других прямых методов тем, что, например, функционал
ь
и = f F(xt у, y')dx
j
а
рассматривается не на произвольных кривых (из числа
допустимых в данной задаче), а на ломаных, составленных из заданного
числа прямолинейных отрезков с заданными абсциссами вершин:
а, а + Ах, а + 2Ах, ..., а+(п—1)&х, Ь,
где
п
Первых успехов в возрождении прямых методов достиг
Гильберт, который в 1904 г., возвратившись к вопросу о принципе
Дирихле, доказал существование экстремума двойного интеграла,
построив последовательность функций, эффективно достигающую
искомой функции. Затем вскоре Ритц (1908) разработал еще один
широко известный теперь метод.
Идея Ритца заключается в том, что функционал V изучается
л
на линейных комбинациях 2а*ы* с постоянными коэффициентами.
/«1
При этом функционал превращается в функцию коэффициентов
v=f(au 0&2, ..., ап).
Решая систему уравнений
-—ш 0, / = 1, 2, . . . , п,
получаем точки экстремума этой функции, а затем, переходя к
пределу при п-+оо, — решение вариационной задачи. Разумеется,
при этом необходимо, чтобы были выполнены условия
относительно свойств функционала и полноты системы функций ии и2, ..., ип.
В общей разработке прямых методов помимо работ Г. Вейля.
А. Лебега и Р. Куранта большое значение имели исследования
советских ученых. Л. А. Люстерник, И. Г. Петровский, М. А.
Лаврентьев, Н. И. Боголюбов, Н. М. Крылов и другие обогатили
вариационное исчисление высокоэффективными прямыми методами.
Огромен вклад советских математиков в изучение качественных
методов вариационного исчисления, получивших за последние 30—
40 лет особое развитие. Это вполне закономерно, так как
дифференциальные уравнения, к которым сводятся задачи
вариационного исчисления, в конечном виде в большинстве случаев не реша-
298
ются. Качественные же методы позволяют решать вопросы о
существовании решений, об их числе, давать характеристику
семейств экстремалей и т. п.
Вариационное исчисление в XX в. стало составной частью
функционального анализа, той частью, в которой изучаются
экстремумы функционалов. Кроме того, вариационные методы и
принципы составляют важнейшую часть теоретической механики.
С успехом применяются они в решении многочисленных задач
прикладного характера.
Более чем двухсотлетняя история вариационного исчисления
дает богатый материал для исследования общих закономерностей
развития математических исчислений: их формирования,
связанного с оборачиванием метода; трансформирования содержания,
отражающего диалектичность развития; вхождения в более общие
части математики; взаимосвязи с практикой и т. д.
ГЛАВА 8
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: НА ПОРОГЕ
СОВРЕМЕННОСТИ
Понятие современности, фигурирующее в названии главы,
является понятием относительным и, до известной степени,
неопределенным. Оно и не может существовать иначе, кроме как в
соотнесении с определенным моментом времени. Развитие науки
постоянно заставляет менять представления о современности ее
идей и достижений.
Поэтому принятое лет 40—50 назад в периодизации истории
математики понятие современной математики (см.: А. Н.
Колмогоров. Математика. БСЭ. 2-е изд. Т. 26, 1954. С. 464—483) уже
трудно сохранить. Вероятно, лучше последовать примеру историков
и назвать относящийся к этому период как период новой
математики. Применяя здесь все-таки термин «современность», мы хотим
подчеркнуть, что ниже речь пойдет преимущественно о тех
понятиях и результатах математического анализа, которые сохраняют
свой смысл и применимость как в системе высшего
математического образования, так и в научных исследованиях, сейчас, в 90-е гг.
XX в.
§ 8.1. УСИЛЕНИЕ РОЛИ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ
В современной структуре математического анализа одно изг
центральных мест принадлежит понятию предела переменной
величины. На это понятие опирается практически весь аппарат ин-
финитеземальных доказательств, характеризующийся гипотетико-
дедуктивными суждениями и применением специфических
неравенств, который мы условно, но привычно называем «е, 6-аппа-
рат». Такое положение в основах математического анализа
понятие предела и связанная с ним теория пределов заняли
сравнительно недавно — в течение XIX века.
Вообще-то в математике идея некоего предельного состояния
(его значения), к которому приближаются величины переменные,
существует с давних пор. Первоначальная теоретическая форма
таких «предельных» высказываний имелась еще у древних греков
в виде метода исчерпываний. Нельзя найти в этом методе ни
самого понятия предела, ни единой, отражающей сущность этого
понятия, символики. Однако единообразное применение метода с
обязательным, хотя и неявно осуществляемым, предельным переходом
дает возможность увидеть в нем прототип, неразвитую форму
позднейшего метода пределов.
300
Много столетий протекло в истории математики прежде чем
начали формироваться элементы анализа бесконечно малых. И за
это время можно отметить наличие лишь отдельных фактически
производимых предельных переходов. Только Ньютон совершил
первую попытку развить теорию пределов как логическую основу
создаваемого им исчисления бесконечно малых. Он же ввел
специальный термин limes (предел), не давая ему еще формального
определения. Соответствующая часть теории Ньютона содержится
в сочинении «Математические начала натуральной философии».
Здесь она имела название «метода первых и последних
отношений». Относительно этого метода утверждалось, что с его помощью
«все последующее доказывается». Однако метод, как было выше
показано, не содержал оперативных средств для практического
пользования бесконечно малыми величинами. Разъяснение
Ньютона, что эти величины суть исчезающие или зарождающиеся,
помочь, естественно, не могло.
Математики XVIII в. испробовали много способов обоснования
анализа бесконечно малых. Неудовлетворительность почти всех
этих подходов довольно быстро обнаруживалась. Только по
отношению к тем методам, которые основывались на понятии
предельного перехода, критики не обнаруживали существенных
логических пробелов или несообразностей. Поборники метода пределов
Даламбер, Люилье, Гурьев и другие с большой настойчивостью
пропагандировали его, разъясняли роль и смысл понятия предела.
Так, Даламбер писал по этому поводу, что Ньютон видел в
дифференциальном исчислении только метод определения пределов
отношений, что он никогда не дифференцировал величины, а
только уравнения. Всякое уравнение заключает в себе отношения
между переменными. Решение же дифференциальных уравнений
состоит только в определении пределов отношений между
конечными разностями содержащихся в уравнении переменных.
Однако это были только разъяснения. Даламбер не смог
предложить для операции дифференцирования какой-либо
рациональный метод, основанный на предельных суждениях и могущий
отменить идущее от Лейбница отбрасывание бесконечно малых.
Рекомендованное им правило можно записать формулой
,/_f(*+*)-f(*)|
В нем явно предполагается разложимость функции в ряд по
степеням h. Наконец, в нем просто по существу еще нет операций с
пределами.
Подобные привнесения в основы анализа бесконечно малых
понятия предела и связанных с ним других понятий «не работали».
Их воспринимали как объяснения, истолкования, оправдания,
наконец, результатов, полученных иными способами, вплоть до
интуитивных догадок. Но для включения подобных рассмотрений
в состав анализа от них требовалось большее: чтобы они служили
301
орудием разработки стоящих перед этой наукой проблем, вошли в
него как часть оперативной практики.
На этом пути сторонникам метода пределов предстояло
преодолеть большие трудности, связанные с необходимостью
определять существование пределов; отсутствием алгоритмических
способов вычисления значения пределов; отсутствием адекватной
символики, которая позволяла бы оперировать с ними.
Все это было совсем не просто. Даже первая из указанных
трудностей (не говоря уже об остальных) отнюдь не имела
абсолютного и формального характера, как это могло бы показаться.
В математике накопилось большое число проблем, решение
которых сводилось к решению проблем типа существования или
несуществования объектов. Таковы, например, вопросы о
существовании корней алгебраических уравнений, сумм элементов
неограниченно продолженных числовых последовательностей, сумм
бесконечных функциональных рядов, интегралов функций как
действительных, так и комплексных переменных. Для решения всех этих
проблем совокупность известных предельных переходов, ранее
определенных, была совершенно недостаточна.
В конце XVIII в. — начале XIX в. многие сочинения большого
числа математиков уже отражали, с различной степенью
последовательности объективную необходимость построения теории
пределов как основы математического анализа и коренного
изменения его структуры. Наибольшие успехи в осуществлении этого
замысла достигнуты французским математиком О. Коши.
Деятельность О. Коши в области обоснования математического
анализа. Огюстен-Луи Коши (1789—1857) окончил в 1807 г.
Политехническую школу в Париже. Это учебное заведение, основанное
в 1794 г., во времена Великой французской буржуазной
революции, для подготовки военных инженеров, сделалось впоследствии
основным источником пополнения руководящих инженерных
кадров страны. В течение двух лет студенты получали в нем основа-
тельнукх подготовку по математике, механике и черчению. Затем
они направлялись для приобретения специальных инженерных
знаний на 2 года в одно из следующих учебных заведений:
институт путей сообщения, горный институт, инженерное военное
училище, артиллерийское военное училище. Лучшие из выпускников
Политехнической школы имели право выбора. Как правило, они
шли в первый из упомянутых институтов, пользовавшийся
наиболее высокой репутацией. Дальнейшее распределение по учебным
заведениям происходило также в соответствии с учебными
успехами. Коши окончил институт путей сообщения, а затем работал
инженером.
В 1816 г. король назначил Коши членом академии (на место
уволенного республиканца Л. Карно)и профессором
Политехнической школы. С 1830 по 1838 г. Коши находился в эмиграции
при дворе свергнутого короля. Его религиозные и монархические
убеждения, а также оппозиция республиканскому строю в течение
всей жизни не менялись. По возвращении во Францию он препо-
302
О. Коши (1789-1857)
давал в иезуитском колледже. Лишь в 1848 г. он стал
профессором Парижского университета.
Научная продуктивность О. Коши была исключительной.
Биографы насчитывают 789 опубликованных им работ. Большинство
этих работ относятся к различным областям математического
анализа и его приложений. Широко известны выдающиеся
результаты Коши по дифференциальным уравнениям: задача Коши,
основные теоремы о существовании решений, метод мажорант,
метод характеристических полос для интегрирования уравнений с
частными производными и многое другое. Выдающиеся работы по
теории функций комплексного переменного, геометрии, теории
чисел, алгебре, теории упругости, оптике — так широк диапазон
интенсивного творчества Коши, имевшего громадный научный
авторитет. Его идеи, методы, результаты во многом актуальны и сей-
303
час. Здесь же мы рассмотрим вклад Коши в основы
математического анализа.
В Политехнической школе Коши читал лекции по
математическому анализу. Весь курс лекций был опубликован в трех
книгах: «Алгебраический анализ» (1821), «Резюме лекций о
дифференциальном и интегральном исчислении» (1823) и «Лекции о
приложениях анализа к геометрии» (2 тома, 1826, 1828). Эти
книги имеют особое значение потому, что в них впервые
математический анализ последовательно строится на основе теории пределов,
в них заложено начало структуры математического анализа,
близкой к современной.
«Алгебраический анализ» Коши посвящен изучению
элементарных функций как вещественного, так и комплексного
переменного аргумента и включает также учение о бесконечных
рядах. В этом отношении Коши следовал установившимся в XVIII в.
благодаря инициативе Эйлера традициям: предпослать собственно
исчислению, дифференциальному и интегральному, описание
функций.
Значение такого подхода в системе математического анализа
очевидно. Классификация функций, разложение их в степенные
ряды, в бесконечные произведения, приемы преобразования
функций необходимы для успешного применения к ним операций
дифференцирования и интегрирования. Последние две операции для
анализа бесконечно малых считаются особыми, присущими только
ему. Все другие операции преобразования функций, совершаемые
как над конечным, так и бесконечным числом объектов, получили
специфическое смешанное название «алгебраический анализ».
Алгебраический анализ Коши уже многими своими чертами
напоминает современное изложение основ математического анализа.
В нем впервые вводится бесконечно малая величина как
переменная, предел которой равен нулю. Непрерывность функции
рассматривается как наличие соответствия бесконечно малого
приращения функции бесконечно малому приращению аргумента. С
большой тщательностью изложен вопрос о сходимости
бесконечных рядов. Наличие сходимости обусловливается наличием
предела последовательности сумм конечного числа членов
(частичных сумм) с обязательной строгой оценкой остаточных членов.
Чтобы распространить понятие сходимости на возможно более
широкие классы рядов, Коши связал сходимость
знакопеременных рядов со сходимостью рядов, составленных из модулей их
членов. Относительно абсолютной сходимости, введенной таким
образом, он доказал значительное число теорем, например теорему
о том, что сумма ряда, являющегося произведением двух
абсолютно сходящихся рядов, равна произведению их сумм.
Коши поставил на достаточно прочную основу исследование
признаков сходимости рядов. Этому предшествовали лишь
немногие открытия: интегральный признак (Маклорен, 1742), и
недостаточно строго сформулированный признак Даламбера (1768). В
304
лекциях Коши приведено несколько достаточных признаков
сходимости.
За этими результатами Коши последовал длинный ряд работ, в
которых ставились цели выработки наиболее общих, простых и
чувствительных в то же время признаков сходимости рядов.
Полное исследование условий сходимости степенного ряда на
комплексной плоскости дал в 1826 г. Абель. Новые достаточные
признаки сходимости, входящие и ныне в учебники, нашли й. Раабе
{1832), Н. И. Лобачевский (1834), Э. Куммер (1835), Бонне
(1842), Бертран (1842), В. П. Ермаков (1870) и другие.
Определенный итог всем частичным попыткам отыскания признаков
сходимости подвел Н. В. Бугаев (1863 и 1888), который разработал
теорию сопряженных рядов, позволившую охватить с единых
позиций множество признаков.
Теория рядов обогатилась в лекциях Коши введением области
сходимости степенных рядов
a0 + a{z+a2z2 + ...
как для действительных, так и для комплексных значений
аргумента. Для последних введен (в 1844 г.) круг сходимости и
выведена теорема, известная ныне как теорема Коши — Адамара, ряд
сходится (соответственно, расходится), если
IZ|:SP = = у
lim У \ап\
П-+оо
Доказано, что если А,=0, то ряд сходится на всей плоскости; если
А=оо, то область сходимости является единственной точкой;
наконец, условие 0<СЯ<[оо означает, что ряд сходится внутри круга
радиуса \z—201<1Д и расходится вне его.
К сожалению, у Коши нет еще представления о равномерной
сходимости ряда в интервале. Из-за этого в его курсе лекций
оказалась неправильная теорема: сходящийся ряд непрерывных
функций в области сходимости представляет сам непрерывную
функцию. Вскоре (1826) эту ошибку заметил и исправил Абель.
Понятие равномерной сходимости ввели в 1848 г. Дж. Стоке и Л. Зей-
дель.
То же стремление перестроить весь анализ бесконечно малых
на основе теории пределов выражено во второй книге Коши:
«Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» (1823) (О.-L. Са-
исЬу. Resume des lecoens donnes ... sur le calcul infinitesimal.
Oeuvres, ser 2, vol 4. Paris, 1829). В ней изложено
дифференциальное и интегральное исчисление функций действительного
переменного. Об особенностях структуры этой книги, вытекающих из
поставленной цели, в книге говорится: «Моей главной целью
было согласовать строгость, которую я вменял себе в обязанность в
изложении моего курса анализа (имеется в виду алгебраический
анализ. — К. Р.)» с простотой, вытекающей из непосредственного
305
рассмотрения бесконечно малых количеств. По этой причине я
считал своим долгом отвергать разложения функций в
бесконечные ряды во всех случаях, когда полученные ряды не сходятся, и
я был вынужден отнести к интегральному исчислению формулу
Тейлора, так как эту формулу можно считать общей лишь тогдаг
когда содержащийся в ней ряд сведен к конечному числу членов и
дополнен определенным интегралом (речь идет об интегральной
форме остаточного члена. — К. Р).
Я знаю, что знаменитый автор аналитической механики (Лаг-
ранж. — К. Р.) взял формулу, о которой идет речь, в качестве
основы своей теории производных функций. Но, несмотря на все
почтение, внушаемое столь большим авторитетом, большая часть
геометров (так в то время называли всех математиков. — К Р.)
согласно признает теперь недостоверность результатов, к которым:
можно прийти, употребляя расходящиеся ряды. Мы прибавим, что
во многих случаях теорема Тейлора как бы дает разложение
функции в степенной ряд, хотя сумма этого ряда существенно
отличается от предложенной функции. Впрочем, я надеюсь, что
читатели моего сочинения убедятся в том, что принципы
дифференциального исчисления и его важнейших приложений могут быть
легко изложены без помощи рядов» (Ibid., s. 263).
Лекции Коши по дифференциальному исчислению имеют уже
весьма сходное с привычным для нас изложение. Это впечатление
усиливается, когда мы встречаемся с критерием сходимости
последовательностей (критерий Больцано — Коши): члены сходящейся
последовательности с достаточно большими индексами должны
сколь угодно мало отличаться друг от друга. Здесь еще нет е, б-ап-
парата (для любого е>0 существует число N такое, что \ап—
—#?nl<e для всех п, m>N), но существо дела уже выражено.
Для того, как излагает Коши свой курс дифференциального
исчисления, характерно также систематическое применение теоремы
о среднем значении:
K*+*W(*) = f,(x + щ9 о<»<1.
h
Эпизодические высказывания подобного рода были ранее
известны. Впервые ее применял Лагранж (с 1804) для получения
ряда с приближенным выражением остаточного члена.
Пересказывать подробно эту часть курса лекций Коши мы здесь не
будем.
В части интегрального исчисления курс лекций Коши
коренным образом отличается от курса Эйлера и других своих
предшественников. Своеобразие прежде всего проявилось в выборе
основного понятия. Это было понятие определенного интеграла.
Новым было также появление в начале лекций аналитического
доказательства существования определенного интеграла от
непрерывной функции. Это доказательство имеет все черты позднейших
доказательств теорем существования. Ход мыслей здесь таков:
306
задается функция f (х), непрерывная на отрезке [х0, X]. Этот
отрезок делится йа /г частей точками х{, х2, ..., хп- Составляется сумма
Относительно нее доказывается, что S-+A при п-+оо и Длг^О.
Величина интеграла А рассматривается как функция от крайних
значений отрезка интеграции и функции f(x).
Заметную часть лекций по интегральному исчислению заняли
разложения функций в ряды Тейлора и Маклорена. Точной оценке
остаточного члена и выводу для него различных аналитических
форм Коши уделил много места и в других своих сочинениях.
Особенно интересно появление в лекциях Коши широко до сих пор
известного примера функции
/(*) = *-¦/*, хФО; /W = 0, х = 09
соответствующий ряд для которой в точке х=0 сходится, но не
к данной функции. Тем самым он провел отчетливое различие
между вопросами о сходимости рядов Тейлора вообще и о
сходимости к данной функции.
Лекции Коши (третья их часть посвящена геометрическим
приложениям математического анализа) имели очень широкое
последействие. Теория пределов стала превращаться в основу
всего анализа.
§ 8.2. УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ОСНОВ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
Более глубокое исследование основ математического анализа
требует, как теперь известно, привлечения теории множеств и
теории функций действительного переменного. В основном такая
работа была проделана в первой половине XIX в., одновременно
с появлением лекций Коши. Главные заслуги в этой области (об
этом стало известно значительно позднее) принадлежат Бернарду
Больцано (1781—1848), выдающемуся чешскому ученому. С 1805
по 1820 г. он преподавал богословские дисциплины в Пражском
университете. За выступления в защиту национальной
самостоятельности чешского народа и против владычества австрийской
монархии был отстранен от преподавания. Ему было запрещено
поступать на государственную службу, выступать как в печати,
так и устно. Оставшись без средств к существованию, Больцано
прожил остаток жизни у друзей, в их деревенском поместье,
продолжая любимые им с юношеских лет занятия математикой и
философией.
Философские и математические исследования Больцано всегда
были тесно связаны. Он видел в выработке математического
мышления необходимую предпосылку для более, как правило, сложных
философских суждений. В pa-боте «К более обоснованному
изложению математики» он так сформулировал цели своих
математических занятий: «В течение примерно пятнадцати лет эта наука
307
Б. Больцано (1781—1848)
всегда была одним из моих излюбленных занятий; однако
преимущественно лишь в ее спекулятивной части, как ветви философии,
и как средства упражнения в правильном мышлении. Сразу же,
при первом ознакомлении с ней, что произошло по превосходному
учебнику Кестнера, мне стали заметны один-два недостатка,
устранением которых я стал заниматься в свои свободные часы,
уверяю, не из тщеславия, а из-за внутреннего интереса, который я
находил в таких спекуляциях. При более продолжительном
размышлении число недостатков, которые я, как мне казалось,
обнаружил, еще увеличилось» (Э. Кольман. Бернард Больцано. М.,
Изд-во АН СССР, 1955. С. 35).
Более или менее полная характеристика всего математического
творчества Больцано выходит за пределы поставленных перед
настоящей главой задач. Обратим внимание лишь на логический
308
анализ содержания основных понятий и методов доказательств,
далеко продвинутую формализацию суждений, которые
позволили Больцано в математическом анализе сделать ряд открытий,
опередив современные ему воззрения. Исключительно
неблагоприятные условия, в которых жил и работал Больцано, были причиной
того, что почти все его работы увидели свет лишь после его смерти.
Основные результаты стали известны в 70-х гг., а признание
начали получать с 80-х гг. Рукопись его важнейшего сочинения
«Учение о функциях» была обнаружена в 1920 г., а опубликована
с примечаниями К. Рыхлика лишь в 1930-е г., т. е. ровно через сто
лет со времени написания. Об этом обстоятельстве можно
пожалеть. Ведь Больцано в части обоснования анализа сделал многое
раньше Коши и тем более Вейерштрасса. Будь его работы
опубликованы своевременно, ход событий был бы, мы уверены,
ускорен.
В самом деле, еще в 1817 г. Больцано сформулировал и
доказал теорему, что если множество вещественных чисел ограничено
сверху (или соответственно снизу), то оно имеет точную верхнюю
(соответственно нижнюю) грань. Тем самым он опередил
Вейерштрасса, сформулировавшего эту теорему после 1860 г. Тогда же,
за несколько лет до Коши, Больцано вывел критерий сходимости
последовательностей и дал строгое определение непрерывности
функций. Он глубоко изучил свойства непрерывных функций и
доказал относительно них ряд замечательных теорем, в
частности, следующую: непрерывная функция принимает все
промежуточные значения, лежащие между двумя ее различными
значениями. Ему же принадлежит введение понятия односторонней
непрерывности.
Больцано опроверг общепринятое мнение, высказанное в 1806 г.
Ампером, что непрерывные функции имеют лишь, быть может,
изолированные особенности. В геометрическом плане это означает,
что всякая непрерывная кривая должна иметь касательное всюду,
за исключением, быть может, отдельных точек. Больцано
расширил класс непрерывных кривых, применив метод накопления
особенностей, и получил на этом пути много своеобразных функций, в
том числе, функцию не имеющую производной (соответственно
касательной) ни в одной точке. Она теперь называется функцией
Больцано.
В применении к построению функции Больцано В(х) метод
накопления особенностей выглядит так: строится Bq(x) — отрезок
прямой между двумя точками, например Л(0, 0) и В(а, h) (см.
рис. 61). Затем строится В{(х) — ломаная ACDEB, где
c{i--j} °{т-°} *(?-т)-
В2(х) получится повторением предыдущей операции на каждом
из указанных четырех отрезков, /г-кратное повторение этой
операции дает ломаную Вп(х). Функция Больцано В(х) в точках вида
309
x==^(0<ft<4n, fc-целое, n=
4Л
= 0, 1, 2, 3, . . . ) определяется
как совпадающая с Вп(х). На
множестве точек {*}, отличных от
* = ?. B(x)=\lmB(t).
4" f—*
Функция Больцано
непрерывна, но не имеет конечной
производной ни в одной точке. В
самом деле, колебание Вп(х) на
tka (k+])a\ .
отрезках ( —, ln I будет соп =
(ка (к+\)а\ h ~
[—, v——- = —. Однако коле-
бание Вп(х) для любого отрезка
Рис. 61
4"
СО
(*• *+^)>^(л)'так как
внутрь этого отрезка попадет
хотя бы один промежуток из
числа полученных при делении промежутка (0, а) на 4n+1
равных частей. Поэтому всегда можно выбрать такое Дл;>0,
чтобы одновременно
Д*<
4я
\В(х + Ьх) — В(х)\>
2n+i
Действительно, пусть на сегменте \х, х+^\ наибольшее и
наименьшее значения В(х) будут Л/ и т. В соответствии с (А):
М — т ;> —. Поэтому будет иметь место хотя бы одно из
неравенств:
М — Я(х)>1. А Или Я(*) —ш>-• А.
4 ' ^ 2 2П 2 2"
Пусть, например, М — В(х)^> ~ • ~. Тогда на отрезке
2"
л-, *-f ~ найдется х' такое, что В(х') = М. Поэтому В(х')
— В(х)> -г • гг и одновременно kx — x' — *< — .
2 2п 4я
В таком случае
В(х+Ьх)—В(х)
Ах
- . 2я-*
и S(Y) на отрезке [0, а] не имеет конечной производной (см., напр.:
B. Ф. Бржечка. О функции Больцано // УМН 1949. Т. 4, № 2 (30).
C. 15—21).
310
Кривую В(х) Больцано нашел во всяком случае до 1830 г.
Однако долгое время считалось, что первые примеры
непрерывной недифференцируемой функции дали в 1875 г.:
со
а) Вейерштрасс: /(*)= ^ ^Acos(6^x) (0<а<1, Ь — це-
3
лое нечетное, аЬ^>1-\ я);
б) Дарбу: /(*)= 2 ^sin[(fe + l)M.
В «Учении о функциях» Больцано построил и исследовал и
другие сложные функции. Такими, в частности, являются
непрерывные функции, имеющие бесконечное множество экстремумов,
например ломаная с угловыми точками в (0, 0), (—, — J, /—, О)
(ЫН» (^¦i)-(^L-0)--- -"¦
рывная в [0, 1] и имеющая в х = I разрыв; функция f(x) =
— sin log (х — 1) на [0, 1| и другие.
Больцано исследовал и разрывные функции. Так, он построил
функцию, которая на [—1, +1J принимает все значения от —1 до
+ 1 и имеет разрыв в каждой точке этого сегмента: Ф(х)=х для
л= т+ Ф(0)=—1; Ф(—1)=0; ф(х)=— х для остальных х.
Другим примером может служить монотонная функция,
имеющая бесконечное множество разрывов. Она задана
последовательностью отрезков, попарно соединяющих точки:
<»•*>¦ (миримым)'
1 12 \ /1_ 1Л\ /!*? 1?\
8 ' 8)' [S ш 8)' (l6f 1б]
В сочинениях Больцано и в особенности в его «Учении о
функциях» содержится большое число результатов, позднее вошедших
в состав теории функций действительного переменного. Более
того, в сочинении «Парадоксы бесконечного», написанном Больцано
в последние годы жизни и увидевшем свет в 1851 г., мы встречаем
существенные суждения, характерные для более поздней теории
множеств. Так, в нем дано обычно приписываемое Дедекинду
определение бесконечного множества как такого, которое равномощ-
но своей правильной части. Высказан принцип, что всякое
бесконечное множество точек на сегменте имеет по меньшей мере одну
предельную точку. В позднейшее время математическое наследие
Больцано стало доступным математикам, и его имя занимает
достойное место в истории науки.
311
Построение теории действительного числа и теории множеств.
К середине XIX в., как описано выше, была разработана теория
пределов, построены существенные части позднейшей теории
функций и теории множеств. Однако эти нововведения, и в первую»
очередь теория пределов, получили признание отнюдь не сразу.
Крупнейшие математики Европы не использовали этот метод в
своих работах (например, Пуассон), предпочитая лейбницевское
исчисление бесконечно малых. Большинство английских
математиков долго не воспринимали идей Коши, равно как и
общепринятой теперь символики анализа бесконечно малых, введенной
Лейбницем, видя в этом чуть ли не оскорбление памяти великого
Ньютона. Не было недостатка и в критиках теории пределов по
существу.
Во-первых, было обращено внимание на то, что с понятием
предела нельзя связать никакого алгоритма его нахождения. Многие
понятия не могли быть признаны математиками из-за их опжа-
тельности, отсутствия количественных оценок. Таковы, например,
«приближаться неограниченно», «сколь угодно малое»,
«последнее отношение бесконечно малых приращений» и т. п. Основное
для теории пределов понятие устремления апеллирует к
интуитивному представлению о движении. В силу этих особенностей
(трактуемых как недостатки) применение теории пределов, особенно в
задачах практического характера, было в глазах многих
современников Коши необычайно и неоправдано затруднительным.
Во-вторых, в теории пределов были обнаружены логические
пробелы, устранить? которые ее приверженцам не удавалось.
Примером такого пробела может служить определение вещественного
числа. Последнее определялось как предел последовательности
рациональных чисел. Например, У2 определяли как предел
последовательности его неполных извлечений: 1; 1,4; 1,41; 1,414;
Но для того чтобы таким образом определять это число, надо
предположить заранее его существование, т. е. совершить
порочный логический круг в своих суждениях. Неясным оставалось
также понятие бесконечной совокупности элементов, к которому
приходилось прибегать. Наконец, неразработанность теории
функций, которую преодолевал безвестный в то время Больцано,
приводила математиков к ошибкам, вроде тех, что непрерывности
функции достаточно для ее геометрической представимости и для
существования производной почти всюду или что сходящийся ряд
непрерывных функций представляет сам непрерывную
функцию.
Таким образом, проблемы обоснования анализа бесконечно
малых выражались теперь (во второй половине XIX в.) в острой
необходимости: а) построения строгой теории действительного
числа; б) разъяснение смысла понятия бесконечного множества и
приведения его к форме, пригодной для включения в математику;
в) выявления полного объема класса непрерывных функций и
включения в общую классификацию возможно более широкого
класса разрывных функций. От преодоления этих трудностей за-
312
висели дальнейшие успехи математического анализа. И штурм
начался.
В 70-е гг. XIX в., в течение нескольких лет, появилось сразу
довольно много работ. В журнале «Mathematische Annalen» в
1872 г. была опубликована первая из работ Г. Кантора об
основаниях арифметики. Вышло в свет сочинение Р. Дедекинда
«Непрерывность и иррациональные числа» (1872). Появились работы
Е. Гейне (Е. Heine. Die Elementen der Functionlehre. Journal fur
die reine und angewandte Mathematik, 1872) и Ш. Мерэ
(H. С. R. Мегау. Noveau precis d'analyse infinitesimal. Paris,
ed. Savy, 1872). Все эти сочинения преследовали единую цель:
дать логически строгую теорию действительного числа. Тот же
вопрос в течение ряда лет разрабатывал Вейерштрасс в ставших
знаменитыми лекциях об аналитических функциях.
В указанных многочисленных исследованиях появились
разновидности теории вещественного числа, удовлетворяющие высоким
требованиям строгости. Дедекинд определял действительные числа
как сечения во множестве рациональных чисел, дав совокупности
всех действительных чисел (линейному континууму)
геометрическую интерпретацию в виде прямой линии. Свойство непрерывности
прямой, по Дедекинду, состоит в том, что при сечениях будет
находиться либо самая правая точка одного класса, либо самая
левая точка другого класса. Совокупность всех рациональных чисел
свойством непрерывности не обладает. Тогда вводится
иррациональное число (точка), как такое сечение множества
рациональных чисел, в классах которого нет ни самого правого, ни самого
левого числа (точки). Таким образом Р. Дедекинд вводил
совокупность всех действительных чисел, уже обладающую свойством
непрерывности.
Канторово определение действительного числа идентифицирует
последнее со сходящейся последовательностью рациональных
чисел (см.: И. В. Арнольд. Теоретическая арифметика. М.:
Учпедгиз, 1938. С. 286). Это определение, как и предыдущее, опирается
на абстракцию актуальной бесконечности и основывается на
анализе понятия непрерывности. Подход к определению понятия
непрерывности был различен. Дедекиндово определение базируется
на упорядоченности множества рациональных чисел. Определение
же Кантора включает рассмотрение разностей, расстояний
между элементами, что более соответствует природе понятия
сходимости. Однако оба подхода к определению непрерывности
эквивалентны, поскольку вещественные числа строятся на основе
системы рациональных чисел.
Воззрения берлинского профессора К. Вейерштрасса на
природу действительного числа составляли часть его общего плана
построения математического анализа, понимаемого в широком
смысле, на возможно более строгих основах. Вейерштрасс ввел в
математический анализ много важнейших результатов:
систематическое использование понятий верхней и нижней грани
числовых множеств; учение о предельных точках; обоснование свой-
313
К. Вейерштрасс (1815—1897)
ства функции, непрерывной на отрезке, достигать своей верхней и
нижней грани; построение функции, не имеющей производной ни
в одной точке; доказательство возможности разложения
непрерывной на отрезке функции в равномерно сходящийся ряд
многочленов и др. В этой стройной и строгой системе математического
анализа примерно к 1880 г. был выработан современный вид
определений, аппарат доказательств, опирающийся на
условно-дедуктивные суждения («пусть задано е>0, тогда можно выбрать такое
<6>0, что...») и соответствующий символизм. Теория
действительного числа служит Вейерштрассу (как и другим ученым)
основой для всего здания математического анализа.
Вейерштрасс исходит при этом из множества положительных
рациональных чисел {av}, которое он называет агрегатом. Агрегат
обладает тем свойством, что сколько бы и какие бы элементы
агрегата ни суммировались (речь всегда идет о конечном, хотя и
сколь угодно большом, числе элементов), их сумма не превышает
314
заданных границ. Примером агрегата может служить любая
десятичная дробь. Пусть заданы два агрегата {av} и {av'}}
идентифицируемые с числами b и Ь'. Берем аликвотные части единицы
\\п (п = 1, 2, 3, 4, ... или =1, 10, 100, ... все равно!) Может
осуществиться один из трех случаев: а) перебирая элементы
агрегатов, мы найдем, что l/п повторяется одинаково часто; б) и в) для
некоторого п величина l/п чаще повторяется в первом
(соответственно втором) агрегате. Эти три случая соответственно означают
b = br, b>b', b<b''. Объединение агрегатов дает сумму
соответствующих чисел. Составление агрегата {ava/}, элементами
которого являются все возможные произведения элементов вида
iava/}, служит для определения умножения.
Все виды теории действительного числа опирались на
рассмотрение множеств рациональных чисел. Этим самым трудности,
связанные с обоснованием анализа, переместились в область
логического анализа ряда натуральных чисел и вообще множеств с
бесконечным числом элементов. В самом же анализе к концу XIX в.
-установился в основном современный стандарт логической
строгости в определениях и доказательствах.
Заслуга создания теории бесконечных множеств и
трансфинитных чисел принадлежит Г. Кантору, профессору университета в
Галле. Серия его работ на эту тему последовала вслед за
работами по теории действительного числа. Он доказал (1874)
неэквивалентность множеств рациональных и действительных чисел.
Через несколько лет (1878) в его трудах было введено общее
понятие мощности множества, разработаны основы отображения и
сравнения множеств и доказана равномощность множества точек
линейного континуума и точек ft-мерного многообразия.
Систематическая разработка теории множеств была завершена Кантором в
последующие пять лет (1879—1884). При этом он ввел понятие
предельной точки, производного множества, пример совершенного
множества, получившего его имя (1883), высказал континуум-ги-
лотезу и т. п.
Развитие теории функций Вейерштрасса, теории множеств
Кантора протекало в последние годы XIX столетия в обстановке
критики и борьбы. Особенно острыми были выступления
берлинского профессора Л. Кронекера, ученика Куммера. В вопросах
оснований математики Кронекер, основные работы которого
относились к алгебре и теории групп, был приверженцем арифметизации.
Это означало стремление свести все трудности, связанные с
обоснованием любой области математики, к натуральному ряду.
Такая позиция Кронекера нашла яркое выражение в утверждении,
которое он неоднократно повторял, что целые числа создал
господь бог, а все остальное есть дело рук человеческих.
Разумеется, апелляция к верховному существу не означает
ничего иного, как проявление идеализма, метафизической
ограниченности и других несовершенств в философских воззрениях
Кронекера. Кстати заметим, что эта узость и ограниченность воззрений
{а Кронекер с большой страстностью отстаивал их) наносила
315
большой ущерб научному творчеству самого Кронекера. Пуанта-
ре правильно указывал на это обстоятельство, шутливо добавляя,,
что Кронекер добился выдающихся результатов в математике
только потому, что он нередко забывал о своих философских
убеждениях.
Построенная Кантором общая теория мощностей множеств,
отображений, операций над множествами, свойств упорядоченных
множеств Составила впоследствии основное содержание
абстрактной теории множеств. Понятие предельной точки и связанное с
ним понятие замкнутости множества после введения в 1902 г.
А. Лебегом понятия меры множеств и исследований Э. Бореля
привели к созданию метрической теории множеств. Последняя
послужила основой общей теории интегрирования и
тригонометрических рядов. Позднее она привела к построению в работах
А. Лебега, К. Каратеодори, Ф. Хаусдорфа и др. общей теории
меры.
М. Фреше (1906) и Ф. Хаусдорф (1914), исследуя введенное
Кантором понятие связности и другие примыкающие к нему,
развили топологическую теорию множеств как теорию множеств,
расположенных в общих метрических и топологических
пространствах. Наконец, дескриптивная теория точечных множеств и
связанная с ней весьма общая классификация разрывных функций
(классификация Бэра) ведут свое начало примерно с 1900 г., от
работ Р. Бэра и А. Лебега.
Теория множеств оказала огромное воздействие на развитие
математики. Она явилась основой современной теории функций
действительного переменного, топологии, алгебры и теории
групп, функционального анализа и др. Методы теории множеств
широко используются в большинстве математических наук
современности. Это, однако, не означает сводимости всей математики
к теории множеств. В самой этой теории еще при жизни Кантора
обнаружились парадоксы, как, например, парадокс относительно
существования множества всех множеств и др.
Вопросы обоснования теории множеств, исследования пределов
ее применимости привели к появлению в XX в. специальной
науки — математической логики, составляющей важную часть
оснований современной математики. Эта часть математики
(основания), включающая в себя совокупность философских,
исторических и логических воззрений относительно содержания, формы и
связей, в том числе внутренних взаимосвязей математики,
развивается в XX в. весьма бурно. Ее выводы получают практические
приложения, отражая рост научной и технической практики
человечества.
§ 8 3. АППАРАТ И ПРИЛОЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА В XIX ВЕКЕ
Дифференциальные уравнения — основное оперативное
средство анализа. Аппарат математического анализа в XIX в.
представлял собой быстро разрастающуюся совокупность приемов и
316
методов решения весьма уже многочисленных задач. Все эти
методы можно еще было разделить на три большие группы,
объединяемые в дифференциальном исчислении, интегральном
исчислении и в быстро обособляющейся от последнего теории
дифференциальных уравнений. Контуры формирующейся теории функций
комплексного переменного, теории специальных функций и т. п.
вырисовывались еще слабо.
Из многообразных приложений математического анализа мы
выделим те, которые связаны с решением дифференциальных
уравнений. Тем самым оставим в стороне сравнительно
элементарные приложения, сводящиеся к дифференцированию или
интегрированию функций, требуемому условиями задачи. Эти операции
уже вошли в широкую, сравнительно доступную область
практики. Однако возросшая сложность приложений нуждалась в более
общих и мощных средствах. Таким средством явилась
совокупность методов решения дифференциальных уравнений, как
обыкновенных, так и с частными производными. Решение
дифференциальных уравнений являлось главным оперативным средством
анализа, щ проблемы, связанные с этим решением, — основными
научно-практическими проблемами.
В выделенной нами области математического анализа ярко
проявляется определяющее влияние задач математического
естествознания, в первую очередь механики и математической физики,
и тесное взаимодействие теоретических и практических
исследований. Вокруг решения проблем математической физики
группируются сравнительно большие коллективы ученых, образуя
научные школы. Крупнейшее из таких объединений сформировалось в
Париже в Политехнической школе. Задачами математической
физики здесь успешно занимались Пуассон, Фурье, Коши и др.
В Париже получили научную подготовку русские математики
В. Я. Буняковский, М. В. Остроградский. Возвратившись в
Россию, они основали Петербургскую математическую школу, одним
из главных направлений которой была разработка методов
решения задач математической физики.
Несколько значительных центров научного исследования в
области прикладных методов анализа сформировалось в
государствах Германского союза. В Берлине таким центром сделалась
Берлинская политехническая школа, ведущая роль в которой
принадлежала Л. Дирихле. С 20-х годов заметное место начал занимать
Кенигсбергский университет в связи с работами Ф. Неймана и его
учеников по математической физике. Наконец, в Геттингене над
созданием математического аппарата электромагнитных явлений
много трудился К. Ф. Гаусс в сотрудничестве с Вебером.
Большая группа исследователей математических методов
физики и механики имелась в Англии: Грин, Стоке, Томсон,
Гамильтон, Максвелл и др. Усилиями столь большого количества ученых
было достигнуто быстрое и значительное расширение области
приложений математического анализа. Рассмотрим некоторые
стороны этого процесса.
317
Исследование электромагнитных явлений. Одной из первых
успешно разрешенных задач была задача построения
математической теории электромагнитных явлений. К XIX в. учение об
электричестве и магнетизме выделилось в физике в
самостоятельную область. В 1820 г. стало известным открытие Эрстедтом
действия тока на магнитную стрелку, установившее общность
разнородных, казалось бы, явлений. В тому же времени Био, Савар,
Лаплас, Араго, Ампер, Кулон и др. ввели необходимые основные
понятия: заряда, количества электричества, плотности
электричества, законы взаимодействия неподвижных зарядов и т. д.
Задачи электромагнетизма повлекли в математическом плане
множество работ по исследованию притяжений точек по закону
Ньютона и электростатических полей.
Методы решения задач небесной механики, в частности задач
о притяжении небесных тел по закону Ньютона, получили новую
область применения. Переход в исследованиях от точечных
центров притяжения к непрерывному распределению материи привел
от рассмотрения потенциалов дискретного точечного поля к
силовым полям, образованным телами или непрерывно распределенной
материей. Было введено понятие потенциала поля и определено
его выражение для простейшего поля, образованного заряженной
точкой А (а, Ъ, с) массы т:
Vp = V(x, у,г) = ^-
(где г = |/(л:—- of + (y—b)2 + (z—с)3, у — постоянная
притяжения, р(х, у, г) — притягиваемая точка). Вскоре же были найдены
выражения потенциала для системы притягивающих точек, а затем
для поля с непрерывным распределением притягивающих масс в
объеме о:
Vp(x, у, г) - 7 )) J г
*(о>)
(р(а, Ь, с) — плотность распределения).
В 1787 г. Лаплас показал, что в пространстве вне тела
потенциальная функция удовлетворяет уравнению
дх2 ду2 dz2
Впрочем, это уравнение встречалось еще у Эйлера, а понятие о
силовой функции, дифференцирование которой по направлению
давало бы ньютоновские силы притяжения, ввел в 1773 г. Лаг-
ранж, оформив тем самым идею силовой функции, которую
высказывали еще Д. Бернулли, Эйлер и Клеро.
Математическая теория электрического потенциала
сформировалась сравнительно быстро. Ряд задач о распределении
электричества на поверхности проводников решил Пуассон, вообще
основательно разработавший многие отделы современной ему матема-
318
тической физики: капиллярность, изгибание пластинок, электро- и
магнитостатику, теплопроводность. Около 1813 г. он
распространил уравнение Лапласа на пространство, заключенное внутри
притягивающего тела, и вывел широко известное теперь уравнение
дх* ду* + дг* *9'
Пуассон решил много задач магнитостатики. При этом он
фактически опирался на понятие потенциала, однако введено это
важное понятие не им. Общая постановка теории потенциала
появилась в трудах Грина и Гаусса.
Грин изложил свою теорию в сочинении «Исследование по
математической теории электричества и магнетизма» (1828). Здесь
он исследовал центральную проблему электростатики того
времени: задачу о распределении электричества на поверхности
проводника, которое индуцируется воздействием внешних электрических
сил. В основе рассуждений Грина лежало соображение, что
электрические и магнитные силы могут быть определены через
функцию координат, такую что составляющие этих сил по осям суть ее
частные соответствующие производные, взятые с обратным
знаком. Потенциальная (как ее здесь впервые назвал Грин) функция
определяется распределением зарядов. Грин вывел далее
интегральную теорему, известную ныне как формула Грина, показал^
что значение потенциала внутри или вне любой поверхности
выражается через значение потенциальной функции и ее
нормальной производной на этой поверхности.
Выражение поверхностной плотности р, по Грину,
1 Г d'v , дЪ 1
4тс I осо do J
где в скобках помещены нормальные производные потенциала на
противоположных сторонах поверхности. Если речь идет о
проводнике, поле внутри которого, а следовательно и нормальная
производная, отсутствует, то
1_д»_
4я дсо
(теперь пишут: ?=4яр, где Е — напряженность поля). Наконец,
Грин ввел так называемую функцию Грина, интерпретирующуюся
как потенциал внутри замкнутой заземленной проводящей
поверхности, если туда помещен единичный заряд.
В несколько более общей форме и, по-видимому, независимо от
Грина построил общую теорию потенциала Гаусс. Он сделал эта
в работе «Общие теоремы относительно сил притяжения и
отталкивания... действующих обратно пропорционально квадрату
расстояния» (1840). Функцию
mm т
319
где т могут представлять как обычные массы, так и
электрические или магнитные заряды, Гаусс назвал потенциалом. Он
систематически исследовал свойства потенциальной функции и ее
применение к физическим явлениям. Небезынтересно отметить
появление в этой работе теоремы
= §§(Xdydz + Ydzdx + Zdxdy).
Эту теорему М. В. Остроградский доказал еще в 1828 г. и
истолковал ее как формулу гидродинамического баланса,
устанавливающую равносильность учета протекающей жидкости в единицу
времени: а) исходя из учета источников внутри объема; б)
исходя из скоростей протекания через его поверхность.
Через одиннадцать лет Гаусс использовал эту формулу для
того, чтобы связать величину потока напряженности сил заданного
потенциального поля с общей массой или зарядом, помещенным
внутри поверхности. В наше время эту формулу называют
формулой Гаусса — Остроградского (что, очевидным образом,
несправедливо).
В истории физики 1 отмечается, что понятию потенциала
физики долго не придавали принципиального значения, рассматривая
потенциал, или потенциальную функцию, лишь как удобное
математическое понятие. Его физический смысл был раскрыт позже,
после установления понятий работы, энергии и закона сохранения
энергии.
Иным было положение этого важного понятия в математике.
Его введение облегчило расширение области приложений
математического анализа. Помимо оптики и колебаний теперь возникала
математическая теория электромагнитных явлений. Постановка
задачи о потенциале побуждала к расширению понятия
интеграла, к распространению интегрирования на сложные объекты. В
анализе была начата разработка гармонических функций как
решений дифференциального уравнения Лапласа Av=0.
Оказалось, что гармонические функции могут служить для
описания многих физических проблем, отличительной особенностью
которых является исследование состояний, зависящих от положения
элементов, а не от времени. Так, например, гармоническими
функциями оказались помимо потенциалов в полях притяжения и в
электрических полях потенциал скоростей установившегося
безвихревого движения несжимаемой жидкости, температура тел при
установившемся распределении тепла, величина прогиба
мембраны, натянутой на произвольный неплоский контур, и др.
Математический аппарат исследования гармонических функций, возник-
1 См. Спасский Б. И. История физики. Изд-во Моск. ун-та, 1956. Ч. 1.
С. 352-353.
4320
ший при решении одной задачи или одного класса задач, получал
постепенно новые приложения.
Гармонические функции получили применение в широком
классе краевых задач. Такова задача Дирихле об отыскании значедий
гармонической функции в области по ее значениям на границе
(например, определение температуры внутри тела по
температуре на его поверхности, определение формы мембраны по виду
контура). К этого рода задачам относится также задача Неймана, в
которой гармоническая функция должна быть разыскана по
величине нормальной производной на границе области (нахождение
температуры внутри тела по заданному на поверхности
температурному градиенту, определение потенциала движения
обтекающей твердое тело несжимаемой жидкости из условия, что
нормальные составляющие скоростей частиц, прилегающих к
поверхности тела, совпадают с заданными нормальными составляющими
скоростей точек на поверхности тела).
Для решения краевых задач теории гармонических функций
были разработаны методы, имеющие как практическое, так и
большое теоретическое значение. Например, для решения задачи
Дирихле Г. А. Шварц и К. Нейман изобрели около 1870 г.
альтернирующий метод, Пуанкаре — метод выметаний (около 1880 г.),
Фредгольм — метод фундаментальных решений, связанный с
интегральными уравнениями, Перрон — метод верхних и нижних
функций. Следует еще упомянуть метод сеток как основной метод
при приближенном решении краевых задач. Эти методы давали
возможность освободиться от того или другого ограничения,
которое приходилось налагать на границу области. Но при сколько-
нибудь общей постановке краевой задачи возникали проблемы
условий существования решений и их устойчивости.
Большое значение в истории теории потенциала имеют
исследования русского академика А. М. Ляпунова, выполненные в конце
XIX — начале XX в.1. В них изучены: зависимость свойств
потенциалов от равномерно распределенных по поверхности зарядов и
диполей, потенциал двойного слоя в случае диполей, поведение
производных решения задачи Дирихле при приближении к
поверхности, на которой задано граничное условие. Решение задачи
Дирихле Ляпунов выразил в виде интеграла по поверхности от
произведения функции, входящей в граничное условие, на
нормальную производную функции Грина.
Как и его предшественники, Ляпунов был вынужден
использовать ряд ограничительных требований. Среди этих требований
основным является выполнимость принципа Неймана. Ограничение
выделяет также класс поверхностей, относительно которых
рассмотрены указанные выше вопросы; за этими поверхностями
сохранилось название поверхностей Ляпунова.
Проблемы математической физики, выросшие из первых работ
по теории потенциала, приобрели, как мы видим, к концу XIX в.
1 См.: Ляпунов А. М. Работы по теории потенциала. М.: ГТТИ, 1949.
321
большую общность. Решение столь общих теоретических проблем,
а затем бурное развитие методов численного решения краевых
задач (ставшее возможным в связи с появлением вычислительных
электронных устройств) целиком относятся к следующему, XX,
веку. Равным образом к этому более позднему времени относится
эффективная разработка важной и трудной обратной задачи
теории потенциала: по распределению значений потенциала в
силовом поле определить форму и плотность притягивающих масс —
задача, актуальность которой (например, для электротехники и
геофизики) очевидна.
Математическая теория теплопроводности. Наряду с
приложениями математического анализа к электромагнитным явлениям
получила развитие другая область приложений этой науки. Речь
идет о создании математической теории теплопроводности,
позднее развившейся в термодинамику — общую науку о закомернос-
тях теплового движения. Побудительной причиной этого процесса
было изобретение паровых машин, сделавшихся вскоре
энергетической основой машинного производства. Теоретически
исследовать работу паровых машин, найти способы повышения
коэффициента их полезного действия — такова была одна из главных
задач науки.
Требования, предъявляемые в связи с этим к математике,
нашли свое выражение в условиях конкурса, объявленного в 1811 г.
Парижской академией наук: дать математическую теорию законов
распределения тепла и сравнить результаты этой теории с
данными опытов. Победителем конкурса оказался парижский академик
(с 1817 г.) Ж. Б. Фурье (1768—1830). Подобно многим ученым —
его современникам, Фурье был выходцем из небогатой семьи
(портного), окончил военную школу, преподавал в ней. Вскоре
после организации Политехнической школы он стал одним из ее
профессоров (1796—1798). Однако в 1798 г. был включен в
число участников экспедиции Наполеона в Египет, а затем занялся
организационно-административной деятельностью в качестве
префекта департамента Изеры (главный город Гренобль). Лишь в
1817 г. Фурье смог переехать в Париж и целиком посвятить себя
научной деятельности.
Основные научные заслуги Фурье связаны с решением задачи
распределения тепла. Еще в 1807 г. он представил Академии ме-
муар, посвященный теории распространения тепла в твердом
теле. В 1811 г. последовал второй мемуар на эту тему. Через 11 лет,,
в 1822 г., Фурье опубликовал «Аналитическую теорию тепла»,
оказавшую огромное влияние на развитие математики.
Фурье разделял убеждение о всеобщей значимости и
всемогуществе анализа бесконечно малых. В его представлении анализ
столь же обширен, как сама природа; он отражает ее главные
законы, выделяясь ясностью и определенностью, а главное,
возможностью доведения до численных приложений. Анализ физического
явления по существу заканчивался, как только удавалось
выразить его основные черты дифференциальным уравнением. Что же
322
касается принципов построения математической теории, то по
указанию Фурье они, подобно принципам механики, выводятся из
небольшого числа фактов, о происхождении которых математика не
спрашивает, рассматривая их как результаты наблюдений,
подтверждаемых данными опыта.
Распространение тепла, как и света, Фурье представлял в
виде потока элементарных частиц, свободно проникающих через
среду. Элементарное количество тепла dQ, протекающее через
пластинку Sdx за время dt с температурным
перепадом dv, удовлетворяет эмпирически
подобранному соотношению
dQ
-kS^-dt
dx
(k — коэффициент теплопроводности, зависящий
от материала пластинки) (рис. 62).
Исходя из этого выражения плотности
теплового потока, подсчитывается баланс тепла (в
основном это делается так же, как и в наше
время)1 и выводится уравнение
dt
Рис. 62
где А — оператор Лапласа.
Это уравнение Фурье интегрирует при заданных различных
краевых условиях. Задается либо распределение температуры v
dv
^ о dv 1
на границе, либо тепловой поток —, либо их отношение: —
dn v
йпт
Для решения уравнения теплопроводности при этих граничных
условиях Фурье разработал метод разделения переменных,
известный теперь как метод Фурье. Ему удалось решить задачи
распространения тепла для частных случаев шара, кольца, куба
цилиндра. Характерной чертой метода Фурье является, как
известно, разложение функций по найденным собственным
функциям. Фурье систематически применял разложение функций в
тригонометрические ряды вида
ос
1(х) ~ 2 (ап cos пх + bn sin пх).
о
Хотя ряды такого вида были известны и ранее, но после
появления «Аналитической теории тепла» они получили название рядов
Фурье, сохранив его до сих пор. Фурье применяет
тригонометрические ряды не только при п целом, но и в более сложных
случаях, вплоть до таких, когда п определяется трансцендентным соот-
1 См, например: Тихонов А. Нм Самарский А. А. Уравнение
математической физики. М.: ГТТИ, 1951. С. 172 и далее.
323
ношением tgnn — an (a=const>0). В работах Фурье встречаются
Даже разложения по бесселевым функциям.
Аппарат тригонометрических рядов дал возможность Фурье
выразить с его помощью функции весьма общей природы. Фурье
практически мог разложить в ряд любую из функций, которые
ему могли в то время предложить. Поэтому он счел себя вправе
утверждать, что с помощью указанного аппарата можно дать
выражение «абсолютно произвольных» функций, понимая под
этим функции, состоящие из произвольных частей известных
анализу функций. Строгого доказательства он дать, разумеется, не
смог. Метод Фурье был усовершенствован Пуассоном, Дирихле и
особенно Остроградским. Последний в ряде мемуаров 1828—1836
гг. сформулировал этот метод в общем ввде — достаточно общем,
чтобы решать задачу для любого твердого тела, ограниченного
поверхностью без особенностей. В этих мемуарах им была впервые
выведена (1828) упомянутая выше формула Остроградского —
Гаусса, дано ее истолкование и обобщение (1834) на /г-мерную
область
,Л ; 'Vg(?)
Он же решил задачу о распространении тепла в жидкости и
высказал в 1831 г.,. задолго до Римана, принцип локализации:
сходимость ряда Фурье абсолютно интегрируемой функции в точке
зависит лишь от значения ее в сколь угодно малой окрестности
этой точки. Впрочем, внимательное исследование показывает, что
принцип локализации рядов Фурье в не сформулированном явно
виде употребляется в ряде работ современников М. В.
Остроградского. Этот принцип молено обнаружить в сочинениях самого
Фурье, а также у Дирихле (1829) и Лобачевского (1834).
Отнесение в историко-математических работах формулировки
и доказательства принципа Фурье к числу заслуг Римана
основано на работе последнего «О возможности представления функции
посредством тригонометрического ряда». Она была представлена
Риманом в 1853 г. Геттингенскому университету, но стала
известной в 1867 г., после ее опубликования. Работа содержит
интересный очерк истории вопроса, и мы поэтому отсылаем к ней
читателя К
Математические исследования теплопроводности предварили
создание более общей науки о теплоте ¦— термодинамики. В
дальнейшем для ее формирования потребовалось соединение
математических методов, ведущих свое начало от Фурье, с
соображениями С. Карно об идеальном цикле (1824) и с законом сохранения
1 См. Риман Б. Соч. М., ГТТИ, 1948. С. 225-261.
324
энергии, открытым в 40-х годах XIX в. Р. Майером, Г. Гельмголь*
цем и Дж. Джоулем. Это соединение произошло в середине
столетия, когда Р. Клаузиус (1850) и У. Томсон-Кельвин (1851) дали
формулировку второго начала термодинамики и ввели понятие
энтропии. Дальнейшее усовершенствование математического
аппарата термодинамики связано с выходом за пределы математик
ческого анализа и введением теоретико-вероятностных суждений
в кинетическую теорию газов Дж. Максвелла (1860) и
статистических представлений в теорию тепловых процессов Л. Больцма-
на (1871).
В результате исследований ряда ученых швейцарский физик
Фик к 1885 г. смог развить количественную теорию диффузии. При
этом выяснилось, что его первый закон о количестве
диффундирующего вещества аналогичен закономерности, обнаруженной
Фурье для теплоты. Именно масса вещества dm,
диффундирующего за время dt через площадку 5 (см. рис. 62),
перпендикулярную оси Ох, выражается формулой
dm, = — D.S-—dt,
dx
dc
где — —градиент концентрации, a D — коэффициент диффу-
dx
зии, зависящий от природы частиц и состояния растворителя и
диффундирующего вещества. Если коэффициент диффузии
постоянен, получается второй закон Фика
т. е. уравнение, эквивалентное уравнению теплопроводности.
В плане математического анализа «Аналитическая теория
тепла» послужила после работ Эйлера и его современников началом
новой разработки теории тригонометрических рядов. Попытка
Фурье доказать, что любую функцию можно разложить в
тригонометрический ряд, привела к появлению исследования проблемы
представимости функций тригонометрическими рядами в работах
Дирихле, Лобачевского, Римана и др. В этих исследованиях
сложилась одна из предпосылок создания к концу XIX в. канторовой
теории множеств, и более широко, теории функций
действительного переменного.
О математическом аппарате механики. Мы привели примеры
применений математического анализа в области электрических и
магнитных явлений, а также теории теплоты. Этими примерами
проблема, разумеется, не исчерпывается. Аналитические методы
проникали во многие области естествознания, приобретая в них
значение решающих оперативных средств. Едва ли не в первую
очередь механика приобретала свой классический облик именно
как учение о дифференциальных уравнениях, выражающих
свойства траекторий любых механических систем. Исследование
свойств этих уравнений и их интерпретации для частных случаев
325
приобрели значение главной задачи аналитической механики.
Решающую же роль в построении системы этой науки стали играть
общие положения, или, как их принято называть, принципы, или
законы, механики.
Пусть дана система, положение которой для каждого
заданного момента времени t определено значениями п независимых
параметров Ц\, q2, ..., qn, т. е. система с п степенями свободы. Для
описания ее движения вводятся два понятия: живая сила, или
кинетическая энергия Т и силовая функция, или потенциальная энергия
U. Чаще всего рассматривается функция Лагранжа (ранее
известная под именем кинематического потенциала)
L=T(qip qd—U(qi), i=l, 2, ..., п.
Уравнения движения механической системы суть
дифференциальные уравнения Лагранжа, введенные им в конце XVIII в.:
d дЬ дЬ л 0
— — = — • 1 = 1, *,. . ..п.
dt dqi dqt
В качестве интеграла уравнения получается закон сохранения
энергии, сформулированный в середине XIX в.
T+U=const
В случае возмущенных движений вследствие применения внешних
сил Р справа добавляется соответствующий интеграл:
T+U=const+SPdt.
Решение и исследование дифференциальных уравнений
Лагранжа было одним из основных направлений аналитической
механики XIX в.
Другой подход к формулированию основных принципов
механики состоял в том, что исходили не из дифференциальных
уравнений, а из некоторых интегралов, относительно которых решалась
вариационная задача отыскания минимума. На этом пути
получаются вариационные принципы механики; основным аппаратом при
этом является аппарат вариационного исчисления. Первым
вариационным принципом был принцип наименьшего действия. Его
высказал впервые в 1744 г. Мопертюи. Математически строгая
формулировка принципа принадлежала Эйлеру, последующие
обобщения — Лагранжу, Якоби и Жуковскому. Позднее появились и
другие вариационные принципы, например принцип Гамильтона —
Остроградского, или, иначе, принцип стационарного действия1.
Общие методы интегрирования дифференциальных уравнений
динамики, развитие которых началось в середине XIX в.,
составляют отдельную область приложений математического анализа. В
этой области рассматривается сравнительно неширокий класс
дифференциальных уравнений, который, однако, подвергается по
1 Богатый материал по истории вариационных принципов содержится в сб.
«Вариационные принципы механики» (М.: Физматгиз, 1959).
326
возможности глубокому исследованию. Математические
результаты здесь особенно тесно сплетены с прикладными
интерпретациями их, образуя теоретическую основу всех механических
дисциплин.
В этой обширной области приложений мы сможем упомянуть
лишь о некоторых достижениях прикладной математики2. Так,
например, задача приведения дифференциальных уравнений
механики к канонической системе уравнений первого порядка в
случае стационарных связей была существенно продвинута уже в
начале века (1809) Пуассоном и вскоре (1834) решена
Гамильтоном. Остроградский обобщил эти уравнения на случай
нестационарных связей. Он же свел интегрирование канонической
системы к интегрированию одного нелинейного уравнения с частными
производными. То же проделал и Гамильтон для частного случая
стационарных связей, использовав оптико-механическую
аналогию.
По установившейся традиции математический аппарат
механики, связанный с рассмотрением основных принципов этой науки,
целиком включается в последнюю. Ведущими в решении
крупнейших проблем механики: движения тяжелого твердого тела, теории
устойчивости равновесия и движения, колебания материальных
систем и т. п. — были и остаются методы математического
анализа.
§ 8.4. НАЧАЛА ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Приложения методов математического анализа образовывали
важные части смежных научных дисциплин, раскрывая передними
и перед всем математическим естествознанием новые
перспективы развития и изменяя их состав и структуру. Особенно это было
заметно в развитии математических методов механики и физики.
В свою очередь процесс широкого развертывания прикладных
частей оказывал влияние на структуру самого математического
анализа.
Что касается классической основы математического анализа,
т. е. дифференциального и интегрального исчисления и
элементарной теории функций, то, как было показано в предыдущей главе,
она подверглась коренной перестройке. В ней были строго
сформулированы в терминах арифметики основные понятия:
бесконечно малой, непрерывности, предела, дифференциала и др.
Понятие функции приобрело современный, весьма общий, характер.
Теоремы получили уточненные формулировки с обязательным
указанием ограничительных условий: уточнение области значений
аргумента, вида функций и т. п., при соблюдении которых они
являются справедливыми. Оперативные возможности этой части
анализа в результате перестройки значительно расширились, а
выводы приобрели большую степень достоверности.
3 В XIX в. еще было принято делить математику на чистую и
прикладную.
327
В теории дифференциальных уравнений усиление их
прикладной роли оказалось также связанным с постановкой более
широких проблем и выработкой более общих понятий. Так, уже в
первой половине XIX в. в теории обыкновенных дифференциальных
уравнений практически прекратились попытки отыскания
конкретных приемов интегрирования в квадратурах. Выяснилось, что
отыскание таких приемов —¦ явление редкое, а возможности —
незначительные. Были добавлены лишь немногие факты, в
частности, относительно уравнения Якоби (1842):
(Ax+By+C)dx+(AiX+Biy+C{)dy+
+ (А 2х+В2у+С2) (xdy—ydx) = 0.
Среди многочисленных исследований в этой области заметное
место занимают те, где изучаются возможности получения
решения уравнения, если отправляться от известных (в некотором
числе) его частных интегралов. Например, в 1878 г. Дарбу доказал,
что уравнение
Ldx+Mdy+jM (xdy—ydx) = О,
где L, М, N — целые многочлены, высшая степень которых т,
может быть решено без применения квадратур, если известно не
менее m^m +2 его частных алгебраических интегралов.
Значительный вклад в разработку этого направления внесли, в
частности, математики России: Ф. Г. Миндинг, А. Н. Коркин, В. П.
Ермаков и др.
Видное место заняли также проблемы вывода условий
интегрируемости и выделения классов уравнений, интегрируемых в
квадратурах. Укажем в качестве примера вывод Лиувиллем
условия интегрируемости специального уравнения Риккати.
Характерными в этом плане являются и выведенные Чебышевым (1853)
условия интегрируемости биномиального дифференциала.
Постановка и решение более общих проблем приводят, как
правило, к расширению круга понятий. Примером может служить
теория линейных дифференциальных уравнений. Частные виды
этих уравнений с переменными коэффициентами: уравнение
Бесселя (известное, впрочем, еще Даламберу и Эйлеру),
гипергеометрическое уравнение
х(1—х)у"+[с—{а+Ь+1)х]уг—abx=0
(служившее, в частности, предметом исследований Эйлера в 1778 г,
и Гаусса в 1812 г.), уравнения Лежандра, Ламе и др. —
приводили к возникновению теории специальных функций:
цилиндрических, шаровых и т. п. Работы Штурма и Лиувилля по решению
уравнения
У"(х) +Р(х)у'(х) +Ьу(х) =0
при заданных значениях некоторой линейной функции от у и у' в
двух точках оси х положили начало изучению краевой задачи, на-
328
званной по имени ее исследователей. Оказалось, что решение этой
задачи приводит к необходимости развить теорию интегральных
уравнений и теорию разложения функции по фундаментальным
функциям.
Дифференциальные уравнения с частными производными
всегда были тесно связаны с задачами физики и техники. Как было
показано выше, наибольшее прикладное значение имели
уравнения второго порядка. Поэтому и в теоретическом плане они
привлекали наибольшее внимание. Для них в первую очередь были
выделены канонические типы уравнений: гиперболические,
параболические и эллиптические. Накапливавшиеся методы решения,
отдельных типов уравнений подвергались систематизации и
посильному обобщению. Эти методы в огромной степени вбирали в
себя факты вариационного исчисления, теории функций
комплексного переменного, тригонометрических рядов и других высших
разделов анализа. Именно в силу их практической значимости
эти уравнения оказывались центрами, где сосредоточивались
результаты из различных областей математики. Тем самым, в
частности, создавались предпосылки для широких аналогий,
характерных для современного функционального анализа и общих
теорий в области дифференциальных уравнений.
Необходимо также упомянуть, что в то же время выявилось
практическое значение уравнений вида
п
2 Хг(хи х2%. . ., xn)dXi = 0.
Эти уравнения привлекли внимание Эйлера. Ими же занимался
Монж. В начале XIX в. их исследовал И. Ф. Пфафф. В 1814—
1815 гг. он сумел показать, что решение этого уравнения
(получившего с тех пор его имя) определяется из соотношений
®i(xit х2, ..., хп)=0 и d<$}i(xu хъ .... Хп)=0,
1=1, 2, ,.., п.
Возникшая отсюда проблема Пфаффа интегрирования этого
уравнения при минимально возможном чнсле соотношений между ар*
гументами xi (i=l, 2, ..., п) вызвала и вызывает широкое
обсуждение. Помимо огромной роли проблемы в создании
геометрической теории дифференциальных уравнений и приложений
последних к геометрии она получила большое значение для механики.
Оказалось, что при неголономных связях виртуальные
перемещения удовлетворяют уравнениям Пфаффа. Уравнения Пфаффа
нашли приложение и в термодинамике.
Якоби (он назвал эти проблемы именем Пфаффа) получил
многочисленные важные результаты о характере интегральных
многообразий этого уравнения. Коши (1819) разработал метод
характеристик, вслед за чем появился ряд сочинений по теории
характеристик для разных видов уравнений различных порядков.
329
В обстановке быстрого пополнения фактического состава и
приложений теории дифференциальных уравнений решающее
значение приобрела выработка общих идей, объединяющих и
организующих по возможности большее число фактов. Формирование
подобных общих идей вообще составляло характерную черту
математического анализа XIX в. Особенно важное значение эта
черта приобрела,в теории дифференциальных уравнений. Здесь уже
нельзя было исходить из интуитивной убежденности в
существовании общих решений, которые остается только найти по
возможности наиболее удачным способом. Надо было доказать
существование решений. Уже в начале века появились первые
доказательства столь характерных для современного анализа теорем
существования. Они принадлежали Коши. Эти теоремы были доказаны
для дифференциальных уравнений с учетом условий начального
состояния, т. е. для задач, известных ныне как задачи Коши.
В лекциях по анализу, которые Коши читал в Политехнической
школе, он дал решение этой задачи в простейшей постановке.
Дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:
y'==f(x, у). Доказать существование и единственность его
решения при заданных начальных условиях: х=Хо, у=Уо. Коши
доказал это в области, где f(x, у) и — f(x, у) непрерывны. При этом
ду
он отправлялся от эйлеровского способа приближенного
интегрирования: на отрезке оси абсцисс (xq, X) наметил точки с
абсциссами xq, хь ..., хп-и Хп=Х. Из этих точек восстановил ординаты:
У\=Уо+!(х0, Уо)(хх—Хо);
У2==У\+!(хь yi)(x2—xi);
Уп=Уо + !(х0, Уо)(х{—х0)+ ... +f(xn-i, Уп-l) (Хп—Хп-г).
Вершины ординат определяют многоугольник, аппроксимирующий
искомую интегральную кривую. Остается доказать существование
предельной функции y=limyn, удовлетворяющей условиям зада-
чи Коши.
Это доказательство Коши усовершенствовал в 1844 г. его
ученик Ф. Муаньо. Употребляемое ныне условие Липшица было
введено последним в 1876 г. Вскоре Дж. Пеано доказал теорему
существования хотя бы одного решения упомянутой задачи Коши в
области, где f(x, у) непрерывна.
Коши смог распространить свой метод доказательства теорем
существования на случай уравнения
y(»)=f(x, у, у', ..., у<»~1))
при заданных x=xQi у=у0 и соответственно у& (t=l, 2, ..., п—1)
путем сведения его к системе уравнений первого порядка. К 1842 г.
Коши доказал теорему существования для линейной системы
330
уравнений с частными производными, указав способ приведения к
этому виду нелинейной системы. Окончательную, по выражению
Пуанкаре, форму теоремам существования придала С. В.
Ковалевская (1874), которая доказала теорему существования и
единственности решений системы дифференциальных уравнений
-— = W* *!,..., Хп, Ul9 . . . , Um), *=1, 2, . . . , /71,
at
где
Ui=Ui(t, хь хъ .-, Хп), i=l, 2, ..., т,
при заданных начальных значениях
t=t0, Ui=q>i(xb х% ..., Хп), *=1, 2, ..., т,
в случае голоморфности функций // и ср,-. При этих условиях
Ковалевская доказала, что система имеет для достаточно малых
t—U голоморфное решение, однозначно определенное начальными
условиями.
Наконец, Пикар в 1890 г. развил идею Коши и создал другой
метод доказательства теорем существования и единственности,
основанный на доказательстве сходимости последовательных
приближений
я,
Ух = У о + j Я*, Уо№\
Уп = Уо + f fl*> V*-t)dx-
Теоремы существования имели в истории дифференциальных
уравнений принципиальное значение, так как решали вопрос о
строгости, законности их применения. В то же время методы
последовательных приближений, применяемые при доказательстве
соответствующих теорем, создавали основу для разработки
методов численного интегрирования дифференциальных уравнений.
В XX в. доказательства теорем существования сделались
неотъемлемой частью многих теоретических исследований, вошли в
норму математической строгости. В теории дифференциальных
уравнений много работ было посвящено различным обобщениям
теоремы Ковалевской: для случая неаналитических функций,
неаналитических решений, проблеме единственности во всей области
существования решения, а не только локальной, и т. п.
Проникновение в теорию дифференциальных уравнений
методов из других частей математики. Начиная с 70-х годов прошлого
века теория дифференциальных уравнений пополнилась двумя
направлениями, не потерявшими своей актуальности и в наше вре-
331
мя. Мы имеем в виду внедрение в эту область математики
теоретико-групповых представлений и создание качественных методов.
Мы уже упоминали, что Ф. Клейн и С. Ли после обучения в
Париже у Жордана задались целью распространить данные
теории групп на возможно большее число областей математики»
Клейн рассматривал непрерывные группы геометрических
преобразований и исследуя свойства этих групп, в особенности их
инварианты, создал классификацию геометрических наук.
Ли в свою очередь связал (начиная с 1873 г.) теорию групп с
исследованием дифференциальных уравнений.
Каждому дифференциальному уравнению Ли считал
возможным соотнести непрерывную группу преобразований,
относительно которой уравнение является инвариантом. Группы,
рассматриваемые при этом, содержат преобразования, определяемые
числовыми параметрами
x-+f(x, ai, ..., ап).
Такого рода взаимно-однозначное соотнесение преобразований и
систем параметров справедливо лишь для малых преобразований,
В зависимости от соответствующих бесконечно малых
преобразований Ли получил возможность составить классификацию
дифференциальных уравнений. При этом он выделил группу
преобразований, представляющих класс дифференциальных уравнений,
интегрируемых в квадратурах.
Теоретико-групповая точка зрения, введенная Ли, выявила
узость класса дифференциальных уравнений, решаемых в
квадратурах, и бесперспективность попыток построения общей теории
дифференциальных уравнений в этом направлении. Поэтому
впредь до обнаружения возможных приложений исследования
непрерывных групп проводились в плане построения их общей
теории. Из последней выделилась теория групп Ли как таких групп,
в которых произведение двух преобразований имеет своими
параметрами непрерывные функции параметров
преобразований-сомножителей
ti=Fi(au .••> an/ Рь ..., М-
Точнее говоря, теория непрерывных групп преобразований
появилась именно как теория групп Ли и приобрела близкий к
современному уровень общности лишь позже.
Прикладное значение теоретико-групповых концепций аля
дифференциальных уравнений проявилось в математической
физике. Уравнения классической механики, как известно, инвариантны
относительно преобразований Галилея. Противоречия,
обнаружившиеся в электродинамике движущихся тел, с результатами
классической механики разъяснились после введения лоренцевых
преобразований. Эти преобразования
*' = -7^г. </' = [/. *' = *, <'——=. Р = -.
332
нашел в 1887 г. В. Фохт. Он же доказал инвариантность
относительно этих преобразований волнового уравнения
== с*ли
(Д — оператор Лапласа).
Лоренц (1904) открыл, что если преобразования Галилея, т. е.
повороты, переносы начала и преобразования вида
x'=x—vt, yf=y, z'=z, t'=t,
где использована идея мгновенной передачи взаимодействия тел,
заменить преобразованиями Лоренца, то указанные противоречия
могут быть устранены. Пуанкаре в свою очередь показал, что
преобразования Лоренца образуют группу. Идея рассмотрения
классов дифференциальных уравнений с различными группами
преобразований получила тем самым практическое воплощение.
Под давлением прикладных задач, в частности задач небесной
механики, возникла и развивалась качественная теория
дифференциальных уравнений. Как ни велики были успехи в решении
различных классов дифференциальных уравнений, ни один из
методов не мог помочь в решении старых задач о движении трех тел,
подчиненных законам ыьютонианской механики. Работы Ли
подтвердили невозможность решения соответствующих
дифференциальных уравнений в квадратурах. Методы приближенного
решения давали лишь частное решение заданной задачи,
соответствующее заданным начальным условиям на конечном интервале.
Поведение интегральных кривых во всей области существования, как
того требовали проблемы небесной механики, не помогал выяснить
ни один из методов.
Пуанкаре в серии мемуаров, начатых в 1878 г. и известных
под общим названием «О кривых, определяемых
дифференциальными уравнениями», исследовал проблему, можно ли и как
охарактеризовать поведение семейства интегральных кривых
уравнений y,=f(xJ у) или системы
~7 = <Pi(*, !/), ~7=ф2(^ У)
at at
на всей плоскости, исходя из свойств функций f, или cpi и ф2.
Вообще многие из работ А. Пуанкаре посвящены
дифференциальным уравнениям. Помимо проблем небесной механики он
исследовал задачу о колебании трехмерных континуумов, изучил
ряд задач теплопроводности, теории потенциала,
электромагнетизма и т. д. В ходе этих исследований Пуанкаре существенно
обогатил совокупность оперативных средств теории
дифференциальных уравнений. Он изучил разложения решений
дифференциальных уравнений по малому параметру, доказал асимптотичность
некоторых рядов, выражающих решения дифференциальных
уравнений с частными производными, исследовав особые точки. По-
видимому, практические задачи послужили для него толчком и к
разработке качественных методов.
333
В математике качественными называют методы, дающие
возможность выявить существование, количество решений задачи и
их особенности, не проводя ее численного решения.
Методы Пуанкаре были в основном геометрическими, точнее
топологическими. Рассматривая семейство интегральных кривых,
Пуанкаре выделил особые точки, дал их классификацию и
специально исследовал характер поведения интегральных кривых в
окрестности этих точек. Для особого вида интегральной кривой —
замкнутой, к которой приближаются по спиралям близкие кривые
семейства, Пуанкаре ввел название предельного цикла. Одной из
задач, решенных им качественными методами, было исследование
интегральных кривых, заданных на торе. Пуанкаре дал первые
приложения качественных методов к задаче трех тел. Позднее его
исследования о предельных циклах получили применение в
радиотехнике (работы А. А. Андронова).
Успех топологических методов Пуанкаре был облегчен
наличием предпосылок в виде развитых геометрических идей в теории
функций комплексного переменного и в дифференциальной
геометрии, а также идей теории множеств Г. Кантора. Своеобразие
примененных Пуанкаре методов состояло в том, что они
соединили теорию дифференциальных уравнений с топологией. Это вело в
свою очередь к формированию топологии как особой отрасли
математики, в первую очередь в упомянутых нами выше работах
Пуанкаре. Внутри же теории дифференциальных уравнений за
качественными методами укоренилось название топологических.
Почти одновременно с Пуанкаре качественные методы были
введены в работах А. М. Ляпунова (1857—1918). Воспитанник
Петербургского университета и ученик П. Л. Чебышева, он
приступил в 1882 г. по совету своего учителя к решению конкретной,,
но трудной задачи: исследовать возможность существования
фигур равновесия вращающей жидкой массы, отличных от
эллипсоидной. Вскоре круг его исследований расширился, охватив
проблему устойчивости равновесия и движения механических систем,
определяемых конечным числом параметров, теорию потенциала
и др.
Общую проблему устойчивости, о которой мы только что
упомянули, Ляпунов свел к исследованию качественными методами
поведения решений системы обыкновенных дифференциальных
уравнений
-1 — F{ixA *!....,**.*). / - !, 2, . . . , л-
at
где Ft — при малых xi разложимы в сходящиеся ряды по целым
степеням xk и Л(0, 0, ..., 0)=0.
Ляпунов отказался от введения линеаризации уравнений путем
отбрасывания всех нелинейных членов для выяснения вопроса об
устойчивости движения. Устойчивость, по Ляпунову, связывалась
с поведением по отношению к возмущениям начальных данных. В
334
докторской диссертации 1892 г. «Общая задача об устойчивости
движения» Ляпунов строго определил основные понятия теории
устойчивости, выделил случаи, когда линеаризация дает решение
вопроса об устойчивости, исследовал ряд случаев, где
линеаризация была недостаточной. В связи с этим Ляпунов решил многие
вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений: о
существовании и эффективном построении периодических решений
одного класса нелинейных дифференциальных уравнений, о
поведении интегральных кривых уравнений в окрестности положения
равновесия и др.
В ряде работ (1903—1918) Ляпунов дал решение задачи,
указанной ему Чебышевым, о форме фигур равновесия равномерно
вращающейся жидкости в условиях ньютонианского тяготения. Он
установил существование близких к эллипсоидным фигур
равновесия однородной и слабонеоднородной жидкости. Оказалось, что
невозможно отделить неэллипсоидальные фигуры равновесия от
эллипсоидальных. Ляпунов доказал неустойчивость принятых в
астрономической теории грушевидных фигур равновесия. Не
перечисляя всех результатов, укажем лишь, что работы Ляпунова по
устойчивости до сих пор содержат большую часть полученных в
этой области фактов. Они продолжают быть основополагающими
в развитии теории дифференциальных уравнений и приложений ее
к исследованию колебаний физических и механических систем.
В современной математике любая физическая система,
поведение которой вблизи каждого состояния описывается системой
дифференциальных уравнений вида
-7 = FAxt» ле> • • i v*). «= I. 2, .... л, t — время,
носит название динамической системы. Общая теория
динамических систем изучает совокупность всех их движений,
соответствующих всевозможным начальным состояниям. Теория
дифференциальных уравнений ко времени работ Ляпунова и Биркгофа
(последний начал разрабатывать общую теорию динамических
систем в 1912 г.) оказалась не в состоянии изучать ни решения
задачи о движении динамических систем во всей области
распределения, ни поведение решений вблизи особых точек. Поэтому в общей
теории динамических систем большое значение приобретают
качественные методы.
Применение качественных методов при этом облегчается
геометрическими представлениями динамических систем.
Совокупность возможных состояний последних трактуется как /г-мерное
многообразие, называемое фазовым пространством системы.
Точками этого пространства служат отдельные состояния Р
динамической системы. Совокупность всех движений динамической
системы представляется как непрерывная группа преобразований
фазового пространства. Отдельное движение характеризуется
движением точки Р по ее траектории. Роль теории групп для теории
динамических систем настолько велика, что в настоящее время
335
динамическую систему часто задают именно как группу
преобразований.
Общая теория диамических систем — актуальная область
математики, выросшая из практических приложений теории
дифференциальных уравнений.
История теории математического анализа в XIX в. и его
приложений еще слабо разработана. Известно много фактов этой
истории, правда весьма разнородных. Общетеоретические
закономерности прослеживаются еще с трудом. Настоящая глава
представляет одну из немногих попыток выяснения исходных
пунктов и главных закономерностей развития этой области
математики. В ней: а) показано возрастающее воздействие быстро
усложняющихся задач практики на математический анализ в его
классической постановке; б) указаны пути преобразования аппарата
математического анализа, в особенности теории
дифференциальных уравнений, и расширения области его приложений; в)
выяснены некоторые черты процесса появления и развития элементов
общей теории дифференциальных уравнений (теоремы
существования, качественные методы, теоретико-групповые идеи); г)
отмечено налаживание связей теории дифференциальных уравнений с
другими областями математики (топологией, теорией групп,
геометрией, теорией функций), появление общих элементов и
взаимопроникновение методов.
§ 8.6. ФОРМИРОВАНИЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
Современная теория функций комплексного переменного
охватывает чрезвычайно обширную область математики. Этим именем
называют большую и разветвленную совокупность
математических дисциплин — теоретических и прикладных. Перечислить все
эти дисциплины, тем более охарактеризовать их, — дело трудное
и громоздкое, даже если ограничиться одними аналитическими
функциями. Привлечение к исследованию функций
неаналитических, но обладающих некоторыми свойствами аналитических
функций (мы имеем в виду теории функций квазианалитических и
моногенных, отображений внутренних и квазиконформных и т. п.),
весьма расширяет область рассматриваемой нами здесь теории и
усиливает трудности анализа путей ее формирования.
Для рассмотрения в настоящей главе мы выберем вопросы
связанные с вхождением в математику мнимых и комплексных
объектов, обращая меньше внимания на свойство аналитичности
функции, т. е. представимости ее степенным рядом
f(x) = a0+al(x—х0) + а2(х—х0)2+ ... +ап(х—х0)п+ ....
Мы считаем себя вправе поступить так потому, что об истории
класса аналитических функций и связанного с ним аппарата
степенных рядов мы уже приводили некоторые сведения.
Рассмотрим вначале вопрос о предпосылках создания теории
функций комплексного переменного, накопившихся к XIX в.
336
Понятие мнимого, а затем комплексного числа известно в
математике и используется с давних времен. История его появления
отражает ту общую черту развития математических исчислений,
что введение и использование обратных операций ведет, как
правило, к необходимости расширения числовой области. Так,
введение вычитания вынудило в конце концов дополнить натуральный
ряд отрицательными числами, деление привело к расширению
целочисленной последовательности до множества рациональных
чисел. В свою очередь операция извлечения корня явилась
оперативной причиной введения общего понятия действительного
числа. Частный случай, когда речь шла об извлечении корня
четной степени из отрицательного числа, требовал введения мнимых
чисел.
Только в XVI в. в связи с алгебраическим решением
кубических уравнений Р. Бомбелли (1572) отошел от трактовки мнимых
чисел как таинственных или нелепых и выработал правила
арифметических операций с мнимыми числами. Однако еще в течение
очень долгого времени, несмотря на некоторые удачные мысли
(например, Валлиса) относительно интерепретации мнимых и
комплексных чисел, их природа не была разгадана и к ним
относились как к некоторому сверхъестественному явлению в
математике. Еще в 1702 г. Г. В. Лейбниц писал, что мнимые числа — это
прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что
амфибия бытия с небытием. Не было в истории недостатка в
подобных утверждениях о мистических свойствах мнимых и со
стороны других ученых.
Неразъясненность понятия комплексного числа не могла
заслонить их полезности в решении конкретных задач. Большое
количество накопленных фактов дало повод математикам XVIII в.
перенести понятие мнимости и в область переменных величин.
Поскольку этот процесс осуществлялся для конкретных случаев,
то в зависимости от характера задачи мнимые величины
представали перед исследователями в разном «обличье»: физическом,
геометрическом или же в аналитическом. Задача научной
интерпретации комплексных чисел решалась сразу в разных планах,
вместе с общим развитием математического анализа.
По-видимому, наиболее ранними в этом столетии были
попытки Лейбница и И. Бернулли ввести операции с комплексными
числами с целью достичь возможно более общих результатов в
интегрировании. Используя в этих целях разложение
подынтегральных функций на элементарные дроби, они широко
пользовались аналогиями. Например, в 1704 г. И. Бернулли утверждал,
что, поскольку применение к дифференциалу
adz
Ь2 — 22
подстановки
г = Ъ
337
преобразует его в так называемый логарифмический
дифференциал
adt
гы '
то применение к
мнимой подстановки
adz
b2-\-z2
даст «дифференциал мнимого логарифма»
adt
2/"—[ ы *
Еще одна мнимая подстановка
го связи
и помимо установленной только что связи между arctg -- и
о
И. Бернулли находит еще одно соотношение:
d (arcsin b У7) » /-J—ЬпЛ.
Подобные методы способствовали накоплению фактов о мнимых
количествах, но не проясняли их природы. Поэтому понятно, что
каждая из попыток ввести комплексные числа формально
оперативным путем приводила к спорам, порой весьма ожесточенным.
В качестве примера упомянем спор о природе логарифмов
отрицательных и мнимых величин, который начался в 1712 г. между
Лейбницем, считавшим логарифмы отрицательных чисел
мнимыми, и И. Бернулли, настаивавшим на том, что они действительны.
При этом И. Бернулли опирался на «доказанный» им факт, что
1пу=\п(—у).
В спор включились ряд ученых, в том числе Даламбер и Эйлер.
Однако он не утих даже после того, как в 1749 г. Эйлер открыл
многозначность логарифма и предложил убедительное для того
времени доказательство.
338
Эйлер исходил из уравнения
т. е. в современной форме записи
х= e»=»lim[l+-^V.
П—оо \ П J
Здесь, как мы уже упоминали, i — «бесконечно большое» число.
Решая это уравнение относительно у, Эйлер получил
у=\пх=1(х1'1— 1),
т. е.
у = In х — lim n(xll* — 1).
Здесь xl/i — корень с бесконечно большим показателем. Онбес-
конечнозначен. Все его значения различны; вообще говоря, они
мнимые. Следовательно, логарифм тоже имеет бесконечное
множество различных значений, которые отличаются на числа,
кратные 2пУ—1. В самом деле,
х = а 4- Ъ Y— 1 = Р (cos ф + Y—I sin ф) =
= е€ (cos ф + V—i sin ф)-
Отсюда
^ = 1пд: = с+(ф± 2Хтг|^=Т), Х = 0, 1, 2, 3. . . . .
Одно из значений логарифма действительного положительного
числа будет действительно, остальные — мнимые. Значения
логарифмов отрицательных и мнимых чисел — все мнимые.
Решающий толчок введению мнимых чисел в математический
анализ был дан тогда, когда выяснилась их полезность в решении
дифференциальных уравнений математической физики. Это
проявилось в сочинениях Даламбера (1752) и Эйлера (1755) по
гидродинамике. В этих работах были использованы результаты
Эйлера (1734) и Клеро (1739), эквивалентные утверждению, что
выражение
Pdx+Qdy
является полным дифференциалом некоторой функции ц(х, у),
если
dJL =,dJL
ду дх
Даламбер решал задачу обтекания твердого тела жидкостью
(однородной и без учета веса). Обозначив р я q — составляющие
339
по осям скоростей частиц, протекающих через точку М(х, у), он
нашел из сравнения их полных дифференциалов уравнения
dp , Ё?~о д± ^ = 0
дх ду ' ду дх
которые интерпретируются как условия того, что
pdx-\-qdy и pdy—qdx
суть полные дифференциалы. Эти уравнения были получены
также Эйлером.
Теперь уже нетрудно определить пару сопряженных
гармонических функций, являющихся решениями системы уравнений
Даламбера—Эйлера. Следовало лишь применить метод,
предложенный Даламбером в случае уравнения колебания струны.
Пусть
pdx+qdy—du, pdy—qdx=dv.
Тогда
d{u + }ttv) = [p+V^q)d[x+V=iy)9
d[u-V=\v)==(p-V'iriq)d{x-V::iiy).
Отсюда
d(x+V-ly)
d(x-V-ly)
Сопряженные гармонические функции, как нетрудно теперь
увидеть, представляют действительную и мнимую части функции
комплексного переменного.
Эйлер, получив аналогичный результат и не имея возможности
дать ему подходящую интерпретацию, выразил сопряженные
гармонические функции в виде рядов по однородным гармоническим
полиномам, представляя при этом комплексные числа как в
алгебраической, так и в тригонометрической форме.
К середине XVIII в. в математическую практику вошли
различные аспекты понимания комплексного числа, как переменного, так
и постоянного. Наибольшие заслуги в этом принадлежат Эйлеру.
Он же в серии монографий, посвященных общему построению
анализа («Введение в анализ бесконечно малых», т. 1—2;
«Дифференциальное исчисление»; «Интегральное исчисление», т. 1—3),
счел возможным включить в общую систему и аналитические
функции комплексного переменного. Во «Введении в анализ
бесконечно малых» (1748) Эйлер ввел комплексную переменную в
качестве наиболее общего понятия переменной величины,
использовав комплексные числа при разложении функций на линейные со-
340
множители. Он ввел впервые формулы (приведем их в привычной
нам символике):
e* = llm (\+— Y9 In* « Птп(гУ — \),
(cosz ± i sin z)n — cos nz ± sin nz,
a также формулы связи между тригонометрическими и
показательными функциями
e+iv+e~iv . *+«_*-'»
cos у — , sin V = 9
2 2/
eiw = cosi; + /sin у.
Если рассмотреть всю совокупность фактов, установленных
Эйлером и его современниками, то можно прийти к выводу, что
основные факты теории элементарных функций комплексного
переменного были в большей части уже выявлены.
Что касается дифференцирования и интегрирования функций
комплексного переменного, то Эйлер, полагая
/(х+iy) = и (х, у) + iv (х, у),
действовал с ними, как с парами функций вещественного
переменного. Кроме того, в серии работ (1776—1783) он использовал
комплексные числа при вычислении интегралов. Не формулируя явно,
он выделил класс аналитических функций комплексного
переменного, высказав относительно них принцип симметрии, состоящий в
том, что всякая функция Z(z), где z=x + iy, имеет вид
Z(x + iy)=M+iN,
а при z=x—iy
Z(x—iy) —M—Ш.
Если теперь рассмотреть интеграл
SZdz=V,
где
z=x±iy, V=P + iQ,
то
P+iQ = S(M + iN)(dx+idy),
P—tQ = J (M—iN) (dx—idy),
откуда
P=SMdx—Ndy, Q = JNdx+Mdy.
Как указывалось выше, условие, что подынтегральные выражения
есть полные дифференциалы, ведет к известным условиям Далам-
бера — Эйлера
ду дх ду дх
341
В других случаях Эйлер использует
z=v (cosqp+fsinq)).
Полагая здесь cp=const, он таким образом интегрирует вдоль
луча, выходящего из начала координат.
Работа Эйлера «О представлении сферической поверхности на
плоскости» (1777) не только содержит идею, но и практически
вводит конформное отображение областей сферы на плоскость.
Эйлер называл эти отображения «подобными в малом». Термин
«конформный» был впервые употреблен, по-видимому,
петербургским академиком Ф. Шубертом в 1789 г. Рассматривая долготу
t и широту и сферической поверхности, соответствующие
декартовым координатам, х и у точек плоскости, Эйлер вывел общие
условия конформного отображения в виде
dx=pdu-\-rdtcosu,
dy=rdu—pdtcosu,
откуда
dx-\-idy— (p + ir) (du—idtcosu).
С помощью подстановки
s=ztg (т + т)' zz=zlns—u
полученное выражение преобразуется в
dx+idy = (р+ir) cosudz.
Геометрически это соответствует стереографической проекции
сферы на плоскость
tt=s(cost+isint),
преобразованию плоскости ? посредством логарифма
e=ln?=lns-HY,
зеркальному отражению относительно действительной оси. Такое
конформное отображение сферы (без полюсов) на плоскость
z = lns — й — lntg (-+-) — #
называется проекцией Меркатора в картографии К
Итак,
x+iy=2r(z)=2T(lns—tt)t x—iy=2r{\ns + it),
1 См.: Маркушевич А. И. Очерк по истории теории аналитических
функций. М.: Гостехиздат, 1951. С. 33.
342
Г(г) — аналитическая функция с действительными значениями
при г действительном, откуда
л:=Г(1п5—tf)+r(lns+tf),
iy=T(lns—it)—r(\ns + it).
Таким образом, еще Эйлер сумел практически решить общую
задачу о конформном отображении областей сферы на плоскость.
Математическая литература XVIII в. в интересующем нас здесь
плане представляет пестрое переплетение важных результатов,
проливающих свет на природу комплексных величин, не менее
важных приложений последних к гидродинамике, картографии и
другим наукам, и обильных ошибок и неясностей в пользовании
мнимыми объектами. Различные интерпретации комплексных
чисел еще не сформировались в единую концепцию, тем более это
относится к комплексным переменным. Однако все необходимые
элементы общей теории, охватывающей свойства функций
комплексного переменного, в основном сложились, наступила пора
создания этой теории. Эта пора совпала с наступлением XIX в.
Введение основных понятий теории функций комплексного
переменного. Очередной этап истории теории функций комплексного
переменного был характерен введением уточненных определений
основных понятий. Прежде всего речь идет о появлении
геометрических интерпретаций понятия комплексного числа. Эти
интерпретации были первыми выделены в явном виде из массы
накопленных фактов в качестве предмета специального систематического
изучения. В 1799 г. и в последующие годы появилась серия работ,
в которых были даны более или менее удобные интерпретации
комплексного числа и определены правила действий. Общим во
всех работах было введение плоскости, на которой комплексные
числа изображены либо в виде точки, либо в виде направленного
отрезка.
Геометрическим представлением мнимых чисел и операций над
ними владели К. Вессель (в 1799 г.), Бюе и Арган (в 1806 i\),
Гаусс, а вскоре и многие другие ученые. Однако они сочетали этот
вопрос с конкретными задачами в других областях математики.
Достаточно же общая теоретическая трактовка вопроса появилась
вначале у Гаусса, а затем в работах Коши.
Землемер по специальности, К. Вессель в работе «Об
аналитическом представлении направления» (1799) поставил задачу
отыскать аналитическое выражение длины и направления отрезка на
плоскости. Для этого он использовал комплексные числа
г = х + К~ У = f (cosq> + V"—1 8in<p),
попутно выяснив их сущность и отношение к действительным
числам, для изображения которых достаточно одной прямой. На осях
координат он ввел единичные отрезки
+ 1, -1 +в(=К=Т). -г,
343
обобщив затем этот прием добавлением третьей
пространственной единичной координаты ±rj. Числа изображены были
векторами из начала координат, над ними определены операции и решен
ряд задач, вплоть до аналитического выражения вращения.
Написанная на датском языке, работа Весселя оставалась
долгое время незамеченной. Более широкую известность, впрочем
тоже не сразу, получили вышедшие в 1806 г. работы Аргана и:
Бюе. В них была реализована та же идея изображения мнимого
числа путем откладывания отрезка, перпендикулярного
действительной оси. Идеей изображения комплексного числа как элемента
двухмерного пространства полностью владел Гаусс, в течение
длительного времени не посвящая ее изложению специальной
работы, так как, по его мнению, необходимо было считаться с
убеждениями современников. Лишь в 1831 г. он опубликовал работу
по теории биквадратичных вычетов, где изложил теоретическое
обоснование и геометрическую интерепретацию комплексных
чисел, дав им впервые это сохранившееся до наших дней название.
Чтобы лучше понять, сколь глубоко Гаусс проник в теорию
комплексных чисел, достаточно привести отрывок из письма Гаусса
астроному и математику Бесселю (1811 г.; опубликовано лишь в
1880 г.). В этом письме по поводу вводимого им интегрального
логарифма П(дг)== Г ?[?. Гаусс писал: «Что нужно понимать
J \nz
под Scpx-dx для x^a + bi? Очевидно, если хотят исходить из
ясных понятий, нужно принять, что х, отправляясь от значения, для
которого интеграл должен равняться нулю, посредством
бесконечно малых приращений (каждое вида а + Ы) переходит к х=а+Ы9
и тогда сложить все щ-dx.
Итак, смысл (интеграла) вполне установлен, Но переход
можно осуществить бесконечно многими способами: так же как
совокупность всех действительных величин можно мыслить в виде
бесконечной прямой линии, так и совокупность всех величин,
действительных и мнимых, можно осмыслить посредством
бесконечной плоскости, каждая точка которой с абсциссой а и
ординатой Ь будет представлять величину а + Ы. Непрерывный переход от
одного значения х к другому а-\-Ы представляется тогда
посредством линии и возможен бесконечным множеством способов. Я
утверждаю теперь, что интеграл Sqx-dx при двух различных
переходах всегда сохраняет одно и то же значение, если внутри части"
плоскости, заключенной между двумя линиями, представляющими
переход, фх нигде не обращается в бесконечность. Это
прекраснейшая теорема, нетрудное доказательство которой я дам при
удобном случае. Она связана с другими прекрасными истинами,
относящимися к разложению в ряды».
В этом отрывке содержится многое: отчетливая интерпретация
мнимых чисел, определение интеграла в комплексной плоскости,
интегральная теорема (известная теперь как теорема Коши),
разложимость аналитической функции в степенной ряд. В этом же
344
письме Гаусс рассмотрел Г— и его значение в точке х=0. При
обходах вокруг этой точки к первообразной y=\ogx будут
добавляться постоянные слагаемые ±2ni.
Выяснение смысла интегрирования на комплексной плоскости
имело особенно большое значение потому, что использование
комплексных переменных при вычислении трудных определенных
интегралов оказывало, по-видимому, наибольшее в то время влияние
на развитие теории функций комплексного переменного. Лаплас
(1749—1827) в серии работ 1782—1812 гг. неоднократно прибегал
к помощи мнимых при интегрировании функций. Он развивал
метод решения линейных уравнений, разностных и
дифференциальных, известный под названием преобразования Лапласа:
неизвестная функция y(s) заменяется интегралом вида !<р(х)х8(1х, или
S(p(x)e~sxdx, где <р(Х) •— новая неизвестная функция. Это
преобразование переводит, как мы теперь говорим, функцию-оригинал
f(t), 0<^<оо, в функцию
F(P)-]№)e-*dt
комплексного переменного р=а+#. Необходимые
преобразования (замена переменной при интегрировании, интегрирование по
направлениям, отличным от действительной оси) Лаплас еще
рассматривает как «орудия открытия», удобный метод, подобный
своеобразной индукции. Его действительное значение, конечна,
больше: с помощью преобразования Лапласа и аналогичных
методов эффективно решаются многие задачи электротехники,
гидродинамики, механики, теплопроводности, так как при этом в
соответствующих линейных дифференциальных уравнениях с
частными производными число переменных сокращается. Особенно
широко оно применяется в операционном исчислении.
Результаты Лапласа и других ученых, занимавшихся
аналогичными проблемами, получаются, таким образом, при изучении
свойств степенных рядов с помощью перехода от вещественных
членов ряда к комплексным. Интегрирования в комплексной
области, пожалуй, еще нет; интегрируются мнимые функции по
вещественному аргументу. Новая идея в этом направлении была
высказана Пуассоном (около 1820 г.): выбирать пути изменения
переменной между вещественными пределами по последовательности
комплексных значений. Делалось это с целью преодоления
затруднений, связанных с несобственностью интегралов из-за
обращения подынтегральной функции в бесконечность. По выражению
Пуассона,
-Hi
U *
345
«не является суммой дифференциалов», так как
X
= оо.
Х-0
Но если ввести подстановку
х=—ei2= — (cosz-f-fcinz)
и интегрировать по г от 0 до (2/г+1)я, то интеграл окажется
равным — (2/г+1)ш. Таким же способом
•и
— =(—^ [cos (т — 1)(2л + 1)« - 1].
я1* /я —1 J
Под давлением практических задач затруднения, связанные с
применением комплексных переменных, были в основном
преодолены рядом ученых. Назрела необходимость в систематической
разработке теории функций комплексного переменного и ее
связей с остальными частями анализа бесконечных малых.
Выполнение этой задачи выпало в значительной части на долю Коши.
В «Алгебраическом анализе» и «Резюме лекций по
дифференциальному и интегральному исчислению» Коши, как известно,
стремился построить цельную и строгую систему анализа
бесконечно малых. В этой его системе нашли отражение усилия по
систематизации фактов, относящихся к использованию в анализе
комплексных чисел и переменных количеств. Принципиально нового
по сравнению с работами предшественников и современников
лекции Коши в этой области не содержат. Комплексное переменное
здесь в основном еще только вспомогательное средство для
решения трудных задач интегрального исчисления; при введении
операций велик элемент аналогии.
Однако сама попытка построения системы анализа,
естественно, вынудила Коши к разъяснению смысла основных понятий и
операций с мнимыми. Первые существенные результаты Коши
опубликовал в 1825 г. в двух работах: «Мемуар о теории
определенных интегралов» и «Мемуар об определенных интегралах,
взятых между мнимыми пределами». Первый из них был написан
еще в 1814 г. В нем и цель еще осталась прежняя: применить
мнимые величины к вычислению определенных интегралов. Исходный
пункт Коши — соотношение
]$f(*.y)dydx = tff(x, y)dxdy9
*о Ув У о х»
известное еще от Эйлера (1769). Затем Коши выбирает две
функции 5 и V, удовлетворяющие уравнениям Даламбера — Эйлера:
ду дх * ду дх
346
Этому требованию удовлетворяет, как известно, действительная и
мнимая часть аналитического выражения
F(x+iy)=S + iV.
Подставив в правую и левую части исходного соотношения вместо
f(x> У) соответственно правые и левые части уравнения Даламбе-
ра — Эйлера, Коши получил:
XY Y X
^Tydydx==WTxdxdy'
*• г/о v% «о
X Y Y X
*оУо У *%
откуда
X
$[V{x, Y)-V(x, y0)]dx=<j[S(X, y)~S(x0. y)]dy,
§{S(x, Y)-S(xa y0)\dx= ]v(X, y)-V(x„ y))dy.
Лишь незадолго до опубликования Коши догадался свести эти две
формулы в одну, чтобы получить соотношение относительно
функции комплексного переменного. Первое из соотношений он
умножил на i и сложил со вторым соотношением. Получилось:
X X
J F(x+iV)dx -$F(x + iy0) dx =
Y Y
= J F(X + iy)idy - J F(x0 + iy)tdy,
Уо
или
j F(x0 + iy)idy + J F(x + IY) dx =
l/o
X
= J F(x + Ы dx + J F(* + if/)/ dy,
что является интегральной теоремой Коши для интегрирования по
прямоугольному контуру:
f F(z)dz = J f(z)dz.
ADC ABC
При этом Коши, независимо от Гаусса, указал на необходимость
требования, чтобы f(x, у)фоо на сторонах прямоугольника и
внутри его.
347
У'
Y
ч*
0
D (
A
X
В
fe X x
Во втором из упомянутых выше
мемуаров Коши выясняет смысл интегра-
ла f f(z)dz (рис. 63). Чтобы соб-
люсти аналогию с интегралами от
функции действительного переменного и иметь
возможность трактовать заданный
интеграл как предел интегральной суммы,
Коши указал, что следует установить для
р 6 z=x+iy соотношения:
x=x(t), y=y(t).
Эти функции должны быть монотонны и непрерывны в области
to^t^T и удовлетворять условиям:
x(t0)=Xo, y(to)=yo, x(T)=X, yXT) = Y.
Иначе говоря, исследуемый интеграл Коши заменил
интегралом вдоль некоторой кривой, соединяющей на комплексной
плоскости точки (хо, у о) и (X, Y). С учетом уравнений кривой
x=x(t), y=y(t) придем к интегралу
т
§(x' + iy')f(x + iy)dt.
и
После этого следует формулировка интегральной теоремы: если
f(x+iy) конечна и непрерывна в прямоугольнике х0<сх^Х и
Уо^У<У, то значение интеграла не зависит от пути
интегрирования. Для ее доказательства Коши привлек методы вариационного
исчисления. Именно он заменил x(t) и y(t) на близкие значения
x(t)+eti(t), y(t) + ev(t), вычислил вариацию интеграла и
установил, что она равна нулю. Современный вид доказательство
интегральной теоремы получило в 1883 г. у Фалька и в 1884 г. у
Гурса. Совершенно естественный переход к анализу случаев,
когда f(z) обращается в бесконечность внутри или на границе
прямоугольника, привел Коши к необходимости ввести понятие вычета.
Еще в мемуаре 1814 г. он пришел к нему, отыскивая разность
между двумя интегралами с общими пределами, но взятыми по
разным путям, между которыми оказываются полюсы функции. В
1826 г. появляется и самый термин: вычет, который Коши вводит
следующим образом: «Если, после того как найдены значения х,
обращающие f(x) в бесконечность, прибавить к одному из этих
значений, обозначаемому через хи бесконечно малое количество
е и далее разложить f{x\ + e) по возрастающим степеням того же
количества, то первые члены разложения будут содержать
отрицательные степени е и один из них будет произведением — на ко-
?
нечный коэффициент, который мы назовем вычетом функции f(x)»
относящимся к частному значению х\ переменной х». Сумма таких
вычетов называлась у Коши интегральным вычетом.
348
В большом числе (16) работ Коши создал теорию вычетов. В
основном эта теория оформилась в 1826—1829 гг., но Коши
продолжал ее развивать и в последующие годы, отыскивая новые и
новые приложения этой теории к решению различных задач
интегрального исчисления (преимущественно к вычислению
определенных интегралов), алгебраических, трансцендентных и
дифференциальных (речь идет о системах линейных уравнений с
постоянными коэффициентами) уравнений, теории разложения функций в
ряды и математической физики. Интересно, что при этом Коши
настойчиво подчеркивал наличие идеи о вычетах у Эйлера и не
отстаивал свой приоритет.
В работах Коши впервые появилась интегральная формула —
весьма важная для последующего развития теории функций
комплексного переменного и ее приложений. Она была введена в
серии работ Коши, посвященных разложению аналитических
функций в ряды, а в наиболее явной форме впервые появилась в мему-
аре «О небесной механике и о новом исчислении, называемом
исчислением пределов» (1831).
Вначале интегральная формула Коши была получена как
условие разложения функции в ряд. Отметив, что
f enPldp= f е-«Р% dp,
— ТС —ГС
а при п = 0
+*
J dp = 2*f
—тс
Коши рассмотрел сначала полином
f(x)=a0 + aix + a2x2+... +апхп,
где х—хе^, и получил
+ ГС -fTC
^ f{x)dp= J/[l^p = 2ita0 = 2*/(0).
—тс -я ^/
Эта формула верна и для любой (по словам Коши) функции f(x),
конечной и непрерывной, при удовлетворении условия
*t д 1 df(x)
dx ix dp
Если /(0)=0, то очевидно
ff{x)dp = 0.
—я
349
Подставив в эту формулу вместо f(x) выражение
где |х|<|*|, Коши получил
Г xf(x)dp
-л Х — Х
= f(x) J(l + 4 + ^+... )dp = 2*f(x).
Следовательно,
^ _„ * — x
Если использовать имеющееся у Коши соотношение
- d х
dp=~,
ix
то можно получить интегральную формулу в современной форме
'«-?/?*
Но упомянутое выражение для dp имеет место лишь, если модуль
х постоянен. Таким образом, контур интеграции здесь окружность.
Результат получился у Коши еще недостаточно общий. В
настоящее время известно, что теорема справедлива для любой взятой
в качестве контура замкнутой спрямляемой жордановой кривой.
В других мемуарах Коши рассматривал применение этой
теоремы к теории сходимости рядов, для вывода остаточного члена
ряда Тейлора и оперирования с рядами. Вслед за Коши многие
математики XIX и XX вв. посвящали свои работы его
интегральной теореме. Последняя
2т J С —z
как известно, дает выражение f(z) для z любого, находящегося в
области аналитичности функции, через ее значение на контуре С.
Широкая применимость интеграла Коши в теории специальных
функций, аналитической теории дифференциальных уравнений,
аналитической теории чисел, теоретической физике, различных
областях механики определила в последующем его актуальность,
сохранившуюся до наших дней.
350
J V V
. X — X
Наряду с мемуарами Коши и вслед за ними появилось много
работ по теории функций комплексного переменного. Их трудно
перечислить, тем более охарактеризовать. Здесь мы упомянем
прежде всего работу Абеля «Исследования ряда
1 + i х+j»te=!i ^ +. . .,
I 1 •*
где тих — любые комплексные числа», содержащую вывод двух
замечательных теорем. Первая теорема: если ряд f(a) = Vo-\-
+ Via-\-v2a2+... сходится для некоторого а==осо, то он сходится для
а, меньшего ао по модулю (понятие модуля у Абеля еще
отсутствует, что утяжеляет язык изложения). Вторая теорема: f(a—{&)->•
-+/(а), если р->0, а^осо, т. е. сумма сходящегося степенного ряда
есть непрерывная функция аргумента. Здесь же Абель отметия
ошибку Коши, утверждавшего, что сумма сходящегося ряда
непрерывных функций непрерывна. Общий вклад Абеля в теорию
функций, в которой он заложил основы теории алгебраических
функций и (одновременно с Якоби) теории эллиптических
функций, настолько значителен, что заслуживает специального иссле-
довалия.
40-е годы XIX в. отмечены в истории теории функций
комплексного переменного крупнейшими открытиями, по существу
завершившими период ее формирования. В 1843 г. Лоран нашел
ряд
2 *»(* —*о>п.
носящий ныне его имя. В эти же годы Лиувилль применил теорию
Коши к теории эллиптических функций. Среди доказанных им
теорем имеется, например, такая: если аналитическая функция f(x)
на всей комплексной плоскости ограничена по модулю, то f(x) =
— const. Пюизе разработал теорию алгебраических функций и
осуществил разложение многозначных алгебраических функций
по дробным степеням. Характер новых открытий и их уровень
делались уже весьма близкими к современным.
Одним из признаков того, что теория уже сформировалась,
является появление монографий, содержащих ее систематическое
изложение в стиле, близком к аксиоматическому, и имеющих
также учебные цели. В теории функций комплексного переменного
этот момент наступал в середине XIX в. Профессор
Петербургского университета И. И. Сомов в 1850 г. опубликовал «Основания
теории эллиптических функций». Через шесть лет, в 1856 г., Врио
и Буке издали небольшой мемуар «Исследование функций
мнимого переменного», являющийся по существу первым учебным
пособием. С 1861 г. в Берлинском университете начались курсы лекций
Вейерштрасса по теории аналитических функций.
Создание геометрической теории функций комплексного
переменного. В 40-х годах прошлого века, одновременно с завершени-
351
Б. Риман (1826—1866)
ем формирования основ теории аналитических функций, в эту
теорию были внесены новые идеи, существенно изменяющие ее
состав, характер и цели. Большая группа идей высказана в работах
Б. Римана (1826—1866).
Исследования Римана в области теории функций комплексного
переменного характерны наличием широких аналогий, связавших
эту теорию со многими другими областями математики. Тем
самым была в значительной мере преодолена изолированность
представлений о функциях комплексных переменных. Одновременно в
рамках самой этой теории сформировались новые отделы, тесно
связанные с другими дисциплинами. Основные результаты
Римана содержатся в его диссертации «Основы общей теории функций
комплексного переменного» (1851) ив «Теории абелевых
функций» (1857). Известно, что аналитическая функция w = u + iv от
352
комплексного аргумента z=x-\-iy удовлетворяет (помимо ставших
само собой разумеющимися требований дифференцируемое™ по
совокупности действительных переменных и непрерывных)
уравнениям Даламбера — Эйлера:
ди ди ди ди
дх ду ду дх
Отсюда, очевидно, следуют условия
Ди = 0, Ди = 0, /д^-^-f—V
[ дх*^ду*]
Во времена Римана появилось много интерпретаций этого
замечательного факта. Гельмгольц трактовал и как потенциал
скорости движения несжимаемой жидкости в плоскости (х, у); при
этом v была функцией тока. В электротехнике для стационарного
течения тока Кирхгоф ввел функцию и и назвал ее
электростатическим потенциалом. Он определял ее как напряжение, а Фурье
интерпретировал и как температуру в решении задачи о
стационарном движении тепла. Наконец, у Гаусса отмеченный факт
трактовался как условие, что значение
dw d(u -\- iv)
dz d(x + iy)
зависит лишь от точки x+iy, а не от направления dx-\-idy, т. е.
отображение плоскости (х, у) на плоскость (и, v) есть конформное
отображение.
Риман также исходил из того, что действительная и мнимая
части функции удовлетворяют уравнениям Лапласа:
Ды=0, Ди=0,
т. е. являются гармоническими. Если известна функция и, то
сопряженная функция v определяется с точностью до аддитивного
постоянного:
V = l{-Tydx + Txdy)
Риман решил, что тем самым создаются условия для переноса
идей математической физики в теорию функций. К тому же
методы решения уравнения Лапласа были к тому времени достаточно
хорошо разработаны. Соответствующая краевая задача,
называемая проблемой Дирихле, формулируется так: найти значения
функции в точках области по ее значениям и на границе области.
Решения задачи Дирихле для ряда специальных случаев были
разработаны Гауссом (1813 и 1840 гг.), Грином (1828),
Кирхгофом, Дирихле и др. В этих исследованиях позднее
выкристаллизовывалась теорема существования: если на границе односвязной
области G задана непрерывная функция и(х, у), то существует
353
аналитическая внутри области G функция f=u+ivy
действительная часть которой непрерывно приближается к заданным гранича
ным значениям.
Риман в этом круге задач исследовал проблему: в какой мере
аналитические функции определяются по краевым условиям.
Быстро выяснилось в то время, что в случае конечной области,
ограниченной единственной замкнутой кривой, для определения
функции w = u-{-iv от z=x+iy достаточно задать граничное
распределение значений и и значение v в одной точке области.
Можно, наоборот, задать граничное распределение v и значение и в
точке; можно, наконец, задать в каждой точке контура
соотношение у(и, v) или для каждой пары граничных точек два
соотношения, связывающие значения и и v в этих точках.
Во всех рассуждениях Риман опирался на так называемый
принцип Дирихле: среди всех возможных функций, имеющих
одинаковые граничные распределения в области G, та функция,
которая доставляет
min / = min
ЯЦ(?),+(5),+(?)']***-
будет гармонической в заданной области. Это утверждение Риман
узнал, по-видимому, из лекций Дирихле. Однако оно было
известно также Гауссу, Томсону, Кирхгофу в связи с решением задач
математической физики (теория потенциала). Ему был придан
вполне определенный физический смысл: интеграл / выражает
кинетическую энергию установившегося течения однородной
несжимаемой жидкости, где и — потенциал скоростей.
Пусть, например, задан двумерный случай: интеграл
«+(
— \ \dx dy
определен на площади круга, причем задано непрерывное
граничное распределение и. Этот интеграл неотрицателен. Тогда
существует, по мнению Римана, неотрицательная нижняя грань значений
интеграла, которая достигается. Тем самым утверждается
существование функции и с заданным граничным распределением,
сообщающей минимум данному интегралу. Для этой функции
ЯР)
dy
dxdy « О,
откуда как необходимое условие вытекает
А д2и , д2и Л
дх* ду2
Однако Риман не смог дать доказательства существования
функции и, обращающей интеграл / в минимум. Более того, Вей-
354
ерштрасс, узнав о вышеуказанных рассуждениях Римана, привел
пример множества допустимых (непрерывных,
дифференцируемых, принимающих на границе заданные значения) функций, не
включающего в себя функцию, соответствующую нижней грани.
Таково, например, множество всех кривых с непрерывной
кривизной, соединящих точки А, С, В. Кратчайшей линией является
ломаная ABC, не входящая в рассматриваемое множество, так как
непрерывность кривизны нарушается в точке С (см. рис. 60).
Римановы теоремы существования, возникшие из физических
аналогий, сделавшись объектом споров, надолго повисли в
воздухе. Они были доказаны Шварцем (1870) и Нейманом (1884)
иными путями, а обоснованность суждений Римана удалось доказать
лишь Д. Гильберту (1901—1909), применившему для этой цели
прямые методы вариационного исчисления. В более общей форме
этот вопрос был исследован Р. Курантом и Г. Вейлем.
Другая группа аналогий, введенных Риманом, имеет своим
исходным пунктом геометрическую интерпретацию комплексных
чисел и функций комплексного переменного. К тому времени уже
было известно, что аналитические функции, комплексного
переменного определяют конформное отображение одной плоскости на
другую, причем не обязательно взаимно однозначное. С этим
пересекается представление об аналитической функции, цолучающейся
из начального элемента непрерывными продолжениями,
определяемыми уравнениями Даламбера—Эйлера. Возможное
разнообразие продолжений, а также стремление преодолеть
неоднозначность конформных отображений, по-видимому, привели Римана к
идее специальных поверхностей, в необходимых случаях много-
листных; за этими поверхностями укрепилось и до сих пор
существует название римановых.
Факты теории функций комплексного переменного, будучи
распространены на римановы поверхности, приобретают большую
общность. Кроме того, Риман установил связь между обоими
типами аналогий, использовав физическую интерпретацию для
получения теорем существования для функций на замкнутых много-
листных римановых поверхностях. Эти поверхности
рассматриваются как однородные проводники. При подключении к ним
батареи возникает поле, потенциал которого и однозначен, непрерывен
и удовлетворяет уравнению Д«=0 на всей поверхности. Точки
подсоединения батареи являются точками разрыва функции и,
которая ведет себя в этих точках как 1пг{ и \пг2 соответственно. Так
получается теорема существования: на всякой замкнутой римано-
вой поверхности существует потенциальная функция и, всюду
непрерывная, кроме двух заранее выбранных точек, где и делается
логарифмически бесконечной. Мнимая часть v на данной римано-
вой поверхности находится после соответствующих разрезов,
обеспечивающих однозначность ветвей функции u + iv, что приводит к
необходимости подсчета модулей периодичности.
Тот цикл работ Римана, который мы здесь рассматриваем,
положил начало большой и важной области современной теории
355
функций, известной ныне под объединяющим названием —
геометрической. В этих работах содержится глубоко разработанная
геометрия конформных отображений, в том числе основная теорема о
существовании и единственности (при подходящих условиях)
конформного отображения на круг произвольной односвязной
области (граница которой содержит более одной точки).
В этих работах содержится ряд топологических по существу
результатов, вроде теоремы, что число разрезов поверхности,
необходимых для превращения ее в односвязную, не зависит от
выбора системы разрезов. Через несколько десятков лет, на рубеже
XIX и XX вв., топологические идеи Римана, не получившие у
своего автора достаточно строгого оформления, влились в
формирующуюся топологию.
Риману принадлежит и другая замечательная идея. Речь идет
о применении функции комплексного переменного
(широко теперь известной как дзета-функция Римана) к
определению количества простых чисел на заданном отрезке
натурального ряда. Вместе с исследованиями Чебышева результаты,
полученные здесь Риманом, положили начало аналитической теории
чисел. Гипотезы Римана о свойствах дзета-функции, в особенности
гипотеза, что все ее нетривиальные нули лежат на прямой х=
= + 1/2, несмотря на огромные усилия, остались до сих пор
недоказанными.
Наконец* мы не можем не обратить внимание читателей еще на
один цикл работ Римана, идейно близких к его геометрической
теории функций комплексного переменного. Речь идет об
исследованиях различных классов функций, удовлетворяющих
линейным дифференциальным уравнениям с алгебраическими
коэффициентами. Рассматривается семейство функций
п
i—1
Функции tji (f=l, 2, ..., п) аналитические во всей комплексной
плоскости, за исключением конечного числа точек Я/ (/=
= 1, 2, ..., k). При обходе около этих точек заданные функции
подвергаются линейному преобразованию, тоже определенному
для каждой точки. Затем рассматривается совокупность
всевозможных замкнутых путей, не проходящих через точки я/. Ей
соответствует множество линейных преобразований заданного
семейства функций — его группа монодромии. Задача состоит в том,
чтобы построить дифференциальное уравнение, решениями
которого были бы все функции заданного семейства.
Эти исследования Римана, хотя также незавершенные (их
сумел завершить лишь в XX в. Д. Гильберт), дают основание счи-
356
тать его одним из основателей аналитической теории
дифференциальных уравнений. Других идей и работ Римана мы здесь не
сможем коснуться, чтобы не отойти слишком далеко от основного
замысла настоящей главы.
Геометрическая теория функций комплексного переменного
получила быстрое развитие вскоре после безвременной смерти
Римана. Уже к концу 60-х годов прошлого века появилось большое
количество работ, авторы которых разрабатывали отдельные
аспекты теории функций комплексного переменного, отправляясь от
идей Римана. В связи с этим возникла необходимость возможно
более полного изучения научного наследия Римана и издания его
сочинений. Так, в 1876 г. Г. Вебер и Р. Дедекинд издали собрание
его сочинений. В 1902 г. появились важные добавления к этому
собранию сочинений, подготовленные В. Виртингером и М. Нете-
ром. На русском языке том сочинений Римана вышел в свет в
1948 г. Он был подготовлен В. Л. Гончаровым. К его
содержательному обзору научных работ Римана и комментариям мы
отсылаем читателя.
Аналитическое направление. Другое направление развития
теории функций комплексного переменного в XIX в., за которым
закрепилось в истории название «аналитическое», сформировалось
в работах К. Вейерштрасса (1815—1897). В сферу научных
интересов последнего входили преимущественно проблемы
математического анализа: его классических основ, теории функций
комплексного переменного, вариационного исчисления,
дифференциальной геометрии. Для этой широкой области К. Вейерштрасс
всю жизнь разрабатывал систему логического обоснования,
опирающуюся на строгую теорию действительного числа как среды,
в которой функционируют все основные понятия и методы. Именно
в его лекциях были созданы в основном современный стандарт
строгости в математическом анализе и ставшая традиционной
структура.
Те же цели строгого и систематического построения
преследовал К. Вейерштрасс, создавая последовательно и настойчиво
теорию функций. Уже в 1841 г. он сумел обобщить теорему Коши о
разложении в степенной ряд функции комплексного переменного,
непрерывной и дифференцируемой в кольце, образованном двумя
концентрическими окружностями. Искомый ряд содержал члены
с положительными и отрицательными степенями и был по
существу рядом Лорана. Последний, как было отмечено выше, отыскал
этот ряд в 1843 г., и историческая традиция сохранила за этим
рядом его имя. Результаты же К- Вейерштрасса, долго не
попадавшие в печать, были известны меньше. Они распространялись
преимущественно слушателями его лекций. Около 1842 г. К.
Вейерштрасс овладел идеей аналитического продолжения.
Однако в эти годы главные интересы К. Вейерштрасса
сосредоточивались на изучении конкретных классов функций:
эллиптических, гиперэллиптических и абелевых, и сопредельных с ними
вопросов. Общие концепции в теории функции комплексного пе-
357
ременного начали вырабатываться в лекциях, которые К. Вейер-
штрасс в течение долгих лет читал в Берлинском университете.
Помимо лекций об эллипитических функциях, их приложениях к
геометрическим и механическим задачам об абелевых функциях и
вариационном исчислении начинают появляться его курсы но
теории аналитических функций. С 1856 г. К. Вейерштрасс читал
лекции о представлении функций сходящимися рядами, а с 1861г.—
об общей теории функций. Наконец, появились специальные
сочинения К. Вейерштрасса: «К теории однозначных аналитических
функций» (1876) и «К учению о функциях» (1880), в которых его
теория аналитических функций приобрела известную
завершенность.
В основе теории К. Вейерштрасса лежит понятие степенного
ряда. Для него определяется круг сходимости и вводится
определение равномерной сходимости. Далее рассматриваются лишь
равномерно сходящиеся ряды. Относительно них последовательно
доказан ряд теорем; в частности, доказывается, что если ряд
сходится равномерно в окрестности каждой точки, лежащей внутри или
на границе данной области, то он сходится равномерно во всей
области.
Вейерштрасс вводит понятие элемента функции
F[x) =% fh(x).
Для этого в области сходимости ряда он выбирает точку а0. В ее
окрестности как функции fk(x)y так и F,(x) выражаются
степенным рядом
оо
2 (x-a0)k=Pa(x-a),
который и получил у Вейерштрасса название элемента функции
F(x).
Пусть затем точка а,\ лежит в окрестности uq и Р\(х—а{) —
соответствующий элемент функции F(x). Для тех х, которые
лежат как в окрестности а0, так и в окрестности аь имеет место
во
*i(*-«i) =Я,(*-а0) = ^Р^(а, - а0) (-*^iH ,
где
ть-ъ)-[^^1
Если а — произвольная точка в области сходимости, то между а0
и а можно вставить последовательность точек: а{ из окрестности
а0, а2 из окрестности ах и т. д. вплоть до ап, попадающей уже в
358
окрестность а. Для соответствующих элементов функции F(x)
имеют место выражения
Pt(x-at) = \\ pm(ai-a1)i^^-,
Таков же алгоритм образования по произвольному элементу в
области сходимости всякого другого элемента F(x) в той же
области.
Может случиться, что область сходимости ряда Р(х—а) будет
выходить из первоначальной. Тогда из Ро(х—а0), применяя
указанный алгоритм, можно образовать множество рядов, область
сходимости которых выходит за пределы первоначальной. Так
строится полная аналитическая функция F(x) как совокупность
всех продолжений какого-либо элемента. Затем проводятся
исследования: особых точек на границах круга сходимости,
однозначности и многозначности функций, поведения целой функции в
бесконечности, разложения функции в произведение и других
конкретных вопросов теории. Аппарат отличается единообразием;
это — степенные ряды, операции с ними, оценки, зачастую весьма
тонкие.
Вслед за работами К. Вейерштрасса в течение последней
четверти XIX в. появилось большое количество работ по
аналитической теории функций комплексного переменного. Среди них видное
место занимают работы учеников Вейерштрасса — С. В.
Ковалевской и Миттаг-Леффлера, а также Ш. Эрмита, Э. Пикара,
Э. Лагерра, А. Пуанкаре и др. Лекции Вейерштрасса послужили
на много лет прообразом учебников по теории функций
комплексного переменного, которые начали появляться с тех пор довольно
часто.
Превращение теории функций комплексного переменного в
комплекс аналитических дисциплин. В конце XIX в. теория
функций комплексного переменного чрезвычайно разветвилась,
превратившись в обширный комплекс дисциплин. В нее вошли
геометрическая теория функций, основанная на теории конформных
отображений и римановых поверхностей. Получили цельную форму
теории различных видов функций: целых и мероморфных,
эллиптических и модулярных, автоморфных, гармонических,
алгебраических. В тесной связи с последним классом функций развилась
359
теория абелевых интегралов. К этому комплексу примыкала
создающаяся аналитическая теория дифференциальных уравнений и
аналитическая теория чисел. Теория аналитических функций уста-*
новила и укрепила связи с другими тематическими дисциплинами*
Изменился за это время и характер научных исследований в
области теории функций комплексного переменного. Вначале, как
было показано выше, большинство этих исследований проводилось
в плане развития одного из трех направлений: теории моногенных
или дифференцируемых функций Коши, геометрических и
физических идей Римана, аналитического направления Вейерштрасса,
Лишь постепенно различия и связанные с ними споры
преодолевались. На рубеже XX в. появляется и быстро растет число работ,
в которых осуществляется синтез, казалось бы разнородных, идей
и методов. Создается единая, общая концепция теории функций
комплексного переменного, находящая свое выражение в
структуре монографий, учебников и в характере методов исследования.
Одним из основных понятий, на котором явно обнаружились связь
и соответствие геометрических представлений и аппарата
степенных рядов, было понятие аналитического продолжения. Из много-»
численных примеров, которые можно было бы привести в
подтверждение этого тезиса, наиболее ярким является работа Адамара
«Ряд Тейлора и его аналитическое продолжение» (1901). В ряде
работ Пуанкаре, Клейна и Кёбе была показана связь геометрии
Лобачевского с римановыми поверхностями, значение
неевклидовой геометрии в изучении этих поверхностей и свойств связанных
с ними аналитических функций.
Ф. Клейн развил физические интерпретации функций
комплексного переменного в работе «О римановой теории алгебраических
функций и их интегралах» (1881). Огромную роль в истории
аналитических функций сыграли труды Н. Е. Жуковского и С.
А.Чаплыгина, открывшие необозримую область ее приложений в аэро- и
гидродинамике. Аналитическая теория дифференциальных
уравнений явилась своеобразным поставщиком различных специальных
функций, разрабатываемых средствами теории аналитических
функций: модулярные функции Эрмита, автоморфные — Клейна и
Пуанкаре, функции Шварца и др. При построении
аналитической теории дифференциальных уравнений широко использовались
материалы из разных областей теории аналитических функций.
Так поступал, например, Фукс — ученик Вейерштрасса.
В теорию аналитических функций в качестве элементов единой
научной основы был внесен ряд понятий из теории множеств
Кантора, из теории функций действительного переменного (К. Жор-
дан, Э. Борель, Т. Стильтьес, Р. Бэр), теории групп и топологии.
Совокупность основных понятий, таких, как область, ее граница,
предел, связность, сходимость, аналитичность, непрерывность
и др., подвергалась глубокому логическому анализу и уточнению,
что укрепляло единство воззрений на все вопросы теории.
Общая теория функций комплексного переменного проникла и
в педагогическую практику, породив два типа учебников: а) кни-
360
ги, специально посвященные этому предмету; б) общие курсы
математического анализа, куда эта теория входит как составная
часть. Учебники второго типа к началу XX в., по-видимому,
преобладали. Примерами могут служить курсы Бертрана, Пикара и
наконец, Гурса, который включил теорию аналитических функций в
свой «Курс математического анализа» (1902; второй том, первая
часть).
Позднее, с расширением учебных программ в части,
относящейся к рассматриваемой теории, оба типа учебной литературы
получили развитие и применяются в зависимости от общих и
главных задач данного учебного заведения.
ГЛАВА 9
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ СЛУЧАЙНЫХ
СОБЫТИИ, СИТУАЦИЙ И ПРОЦЕССОВ
Для того чтобы обеспечивать исследование явлений случайного
характера в природе, технике, обществе, современная
математика располагает внушительным количеством теорий и средств их
применения. В этом ансамбле объединяющую и ведущую роль
играют математическая статистика и теория вероятностей.
В математической статистике сосредоточены методы
систематизации, обработки и использования статистических данных для
научных и прикладных целей. Теория вероятностей, т. е.
численных характеристик степени возможности появления какого-либо
определенного события в тех или иных определенных условиях,
могущих повторяться неограниченное число раз, является
исчислением. Методами теории вероятностей находят вероятности
одних случайных событий по вероятностям других случайных
событий, связанных с первыми каким-либо математически
определимым образом. Результаты теории вероятностей основаны в
принципе на допущении, что наступление события зависит от
большого числа случайных, слабо между собою связанных, факторов.
Поэтому, принято говорить также, что теория вероятностей есть
математическая наука, изучающая закономерности,
возникающие при взаимодействиях большого числа случайных факторов.
Вопрос о том, как находят численные значения исходных
вероятностей при решении конкретных задач, в теорию вероятностей как
в математическую дисциплину, не включают.
Вероятностные выводы (закономерности) в силу
справедливости закона больших чисел получают статистическую
интерпретацию, а именно вероятности приближенно трактуются в виде
частот, а математические ожидания — в виде средних. Вообще же
связи математической статистики с теорией вероятностей
многочисленны и разнообразны.
Когда в математической статистике иследуются явления,
допустимые в теории вероятностей (вероятностно-случайные с
определяемыми распределениями вероятностей), то в ней могут быть
применены вероятностные проверки статистических гипотез и
статистические оценки распределения вероятностей и входящих в них
параметров. Если же изучаемые явления имеют иную природу, то
сотрудничество этих двух наук осуществляется через посредство
выборочного метода и теории ошибок.
362
§ 9.1. ЗАДАЧИ О СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЯХ И ИХ
ВЕРОЯТНОСТЯХ
Желание изучить математическими средствами случайные
явления проявилось так давно, что невозможно установить, кто
первым поверил в возможность этого. Усилия же издавна
сосредоточились на ситуациях, в которых имеет место минимум возможных
проявлений случайных факторов. Поэтому первыми объектами
математического изучения сделались игральные кости. Со временем
нарастало убеждение, что теорию таких игр можно построить.
На первых этапах внимание оказалось сосредоточенным на
следующих трех типах задач: а) подсчеты числа различных
возможных исходов при бросании нескольких костей; б) раздел ставки
между игроками при досрочном прекращении состязания; в)
определение числа метаний нескольких костей, при котором число
случаев, благоприятствующих выпадению на всех костях
одинаковых граней, хотя бы при одном бросании было большим, чем
число случаев, когда это событие не появится ни разу.
Из сравнительно большого числа сочинений на такие темы
выделяется материал, помещенный в книге Луки Паччиоли (ок.
1445 — ок. 1514): «Сумма знаний по арифметике, геометрии,
отношениям и пропорциональности» (1487; опубликовано в Венеции
в 1494). Это были две «необычные» задачи:
а) Компания играет в мяч до 60 очков и делает ставку 22
дуката. Игра прекратилась. В это момент у одной стороны было 50
очков, у другой — 30. Как разделить между ними ставку?
б) Трое стрелков из арбалета соревнуются до 6 попаданий.
Ставка 10 дукатов. Соревнование прервано в тот момент, когда
числа попаданий соответственно были: 4, 3 и 2. Как разделить
ставку?
Паччиоли предложил делить деньги пропорционально числу
достижений, что вызвало возражения и осуждения, а также
интерес к подобным задачам.
Следующее продвижение в решении рассматриваемого здесь
класса задач осуществил Дж. Кардано (1501—1575). Этому он
посвятил целую «Книгу об игре в кости» (1526, издана в 1563 г.),
где сообщил правильные способы подсчета числа различных
случаев, которые могут получиться при бросании нескольких костей
одновременно. Новым в его подходе является то, что в некоторых
конкретных задачах он не ограничивается подсчетами числа
благоприятствующих шансов и общего числа всех возможных
случаев, но рассматривает их отношения. Это дает нам основание
оценивать такое обстоятельство, как приближение к классическому
понятию вероятности. Не избежал Кардано и туманных
объяснений, и прямых ошибок. Так, критикуя решение Паччиоли задачи
о разделе ставки, в своей книге «Практика общей арифметики»
(1539) он дает правило, могущее быть записанным так: если 5 —
число партий, которое следует выиграть для победы, а р и q —
числа уже выигранных партий первым и вторым игроками соот-
363
ветственно, то ставку надо делить в отношении 2 *" S ^* что
в общем случае неверно.
Современник Кардано, Николо Тарталья (ок. 1439—1557), в
своей книге «Общий трактат о мере и числе» (1556) тоже
критиковал решение Луки Паччиоли (§ 20: «Ошибка брата Луки из
Борго»): «Это его правило мне не кажется ни красивым, ни
хорошим, потому что если бы одна из этих сторон имела 10, а другая
вообще не имела никакого очка, то, действуя по такому правилу,
получилось бы, что одна сторона, имеющая указанные 10 очков,
должна была бы взять все, а другая не получила бы ничего, что
было бы совершенно лишено смысла».
Решение, которое предложил Тарталья, тоже оказалось
ошибочным, что было отмечено сразу же. Впрочем, он и сам отмечал
неустойчивость суждений о таких задачх: «Разрешение такого
вопроса является скорее делом юриспруденции, чем разума, так
что при любом способе решения этой задачи найдутся поводы для
споров...».
В многочисленных попытках решать задачи о случайных
событиях, в пробах и ошибках, проходило XVI столетие. Обогащалась
совокупность комбинаторных знаний, нащупывались элементы
классического определения математической вероятности и
смежных суждений.
В следующем, XVII веке произошло настолько зцачительное
продвижение, что стало обычным относить начало существования
теории вероятностей именно к этому столетию. Такое суждение
основывают на материалах научной переписки Б, Паскаля и
П. Ферма (3 письма Паскаля и 4 письма Ферма, все
датированные 1654 г.), а также сочинениях X. Гюйгенса, относящихся к
1655 г. и других его работах. Принимается во внимание и работа
Г. Галилея «О выходе (выпадении) очков при игре в кости», хотя
она увидела свет только в 1718 г., т. е. уже в XVIII в.
Вот как об этом говорится в уцелевшем фрагменте лекций
М. В. Остроградского по теории вероятностей, прочитанных им в
1858 г. в Михайловском артиллерийском училище: «Теорию
вероятностей должно отнести к наукам нового времени, ибо
настоящее ее начало не восходит дальше половины XVII столетия.
Правда, некоторые предметы, относящиеся к этой науке, были известны
во времена весьма отдаленные и постоянно делались расчеты,
основанные на средней продолжительности жизни, известны были
морские страхования, знали число случайностей в азартных
играх, но только в самых простых, найдены были величины ставок
или закладов, безобидных для игроков, но подобные выводы не
были подчинены никаким правилам. Однако же теорию
вероятностей считают наукой нового времени и ее начало относят к
первой половине XVII столетия, ибо прежде этой эпохи вопросы
о вероятностях не были подчинены и не имелось никаких точных
общих правил для решения их.
364
Паскаль, а за ним Ферма, геометры XVII столетия, по
справедливости считаются основателями науки о вероятностях. Первый
вопрос, относящийся к этой науке, и довольно сложный, решен
Паскалем. Вопрос, о котором говорим, был предложен Паскалю
кавалером де Мере и состоял в следующем: два игрока начали
игру, состоящую из данного числа партий, положим 30, розыгрыш
каждой партии непременно выигрывается одним из игроков, и тот,
кто выиграл бы прежде другого тридцать партий, считался
окончательно выигравшим и взял бы обе ставки, внесенные в начале
игры. Но игроки согласились прекратить игру, не окончив ее, т. е.
одному не хватило до выигрыша тридцати партий некоторого
числа, например, трех партий, а другому, положим, пятнадцати
партий. Внесенные ставки для безобидности, конечно, должны быть
разделены между игроками так, чтобы тот, кому недостает до
выигрыша большего числа партий, получил бы меньшую сумму, а
противник его — большую, именно безобидный раздел требует,
чтобы каждый игрок получил часть внесенной суммы,
пропорциональную вероятности своего выигрыша. Итак, нужно найти
вероятность. Паскаль нашел ее, а потом вопрос де Мере предложил
Ферма. Последний немедленно нашел решение и даже для
случая, более сложного, когда игра происходит не между двумя
только, а между произвольным числом игроков».
До сих пор не найдены записи лекций Остроградского.
Впрочем, известно, что было их 20 и что 3 из них были напечатаны.
Приведенный здесь фрагмент обнаружил в 1951 г. академик АН
УССР Б. В. Гнеденко. Кстати, последнему принадлежит «Очерк
истории теории вероятностей», являющийся дополнением к книге:
Б. В. Гнеденко «Курс теории вероятностей» (М.: Наука, 1988).
Очерк обладает высокими историко-научными достоинствами, и с
доброго согласия его автора содержащийся в нем материал был
использован при написании настоящей главы учебника.
Рассмотрим, по возможности конкретно, вопрос об истории
теории вероятностей в течение XVII столетия. Думаем, что интерес
Паскаля к вероятностным задачам пробудило общение с шевалье
де Мере. Последний предложил Паскалю следующие задачи:
а) Сколько раз надо подбрасывать пару игральных костей,
чтобы число случаев, благоприятствующих выпадению хотя бы один
раз пары шестерок, было больше, чем число бросаний, в которых
ни разу не появляется пара шестерок?
б) Как нужно делить ставки между игроками, если они
прекратили игру досрочно?
Сам де Мере считал, что первую задачу он решил, но был
неправ. Существо суждений, приведших к ошибке, просматривается
в одном из его писем Паскалю. Де Мере пишет: «Если в одном
случае есть один шанс из N0 в единственной попытке и в другом
случае один шанс из Nu то отношение соответствующих чисел
есть N0:Ni. Таким образом, n0:N0—ni:N\». Это общее заявление
сделано им исходя из конкретной задачи: при бросании одной
кости имеется 6 (=Nq) различных исходов, и выпадению грани
365
с шестеркой благоприятствует лишь один случай. Если бросать
пару костей, то выпадение двух шестерок благоприятствует лишь
один из 36 (=</Vi) возможных исходов. Если бросать одну кость
4 (—по) раза, то число благоприятствующих выпадению
шестерки случаев превзойдет число случаев, когда она не выпадает.
Число бросаний (=пг) пары костей, при котором число случаев,
благоприятствующих появлению пары шестерок, превзойдет число
случаев, когда они ни разу не появятся, определялось по правилу
де Мере. Из него получается, что уже при 24 бросаниях пары
костей искомое событие наступит.
На самом деле вероятность того, что при четырех метаниях
одной игральной кости ни разу шестерка не появится, равна [ — ] =*
625 f 625 671 „ пл ^
— — а искомая — I — — = — . Но при 24 бросаниях па-
1296 1296 1296 F ^
ры костей вероятность ни разу не получить пары шестерок равна
(Я5\24
— ) зс= 0,509, а вероятность хоть раз их получить: 1—0,509—
=0,491. Нужно по меньшей мере 25 бросаний пары костей,
чтобы вероятность получения пары шестерок превзошла 0,5, правда,
еще незначительно.
В упоминавшейся выше переписке Паскаля и Ферма
(сохранились 3 письма Паскаля и 4 письма Ферма, все датированы
осенью 1654 г.) главное внимание уделено задаче о разделе став*
ки. Паскаль решил ее так: «Вот, примерно, что я делаю для
определения стоимости каждой партии, когда два игрока играют, на-
пример, по три партии и каждым вложено по 32 пистоля.
Предположим, что один выиграл две партии, а другой — одну-
Они играют еще одну партию, и если выиграет первый, то он
получит всю сумму в 64 пистоля, вложенную в игру; если же эту
партию выиграет второй, то каждый игрок будет иметь по 2
выигранных партии, и, следовательно, если они намерены произвести
раздел, каждый должен получить обратно свой вклад в 32
пистоля.
Примите же во внимание, сеньор, что если первый выиграет,
то ему причитается 64; если он проиграет, то ему причитается 32„
Если же игроки не намерены рисковать на эту партию и
произвести раздел, то первый должен сказать: «Я имею 32 пистоля
верных, ибо в случае проигрыша я их также получил бы, но
остальные 32 пистоля могут быть получены либо мной, либо Вами,
случайности равны. Разделим же эти 32 пистоля пополам, и дайте
мне, кроме того, бесспорную сумму в 32 пистоля».
Подобные рассуждения Паскаль проводит и для случаев,
когда один игрок выигрывает соответственно 2-ю и 1-ю партию, а
второй — ни одной.
Рассуждения Ферма таковы: пусть игроку А до выигрыша не
хватает двух партий, а игроку В — трех. Тогда для завершения
игры понадобятся максимум четыре партии. Их возможные
исходы:
366
AAAA ABAA ABBA BBBA
AAAB BAAB BABA BBAB
AABA ВАЛА BBAA BABB
А А В В А В А В А В В В
В В В В
Итак, возможно 16 результатов. В 11 из них выигрывает игрок А,
в 5 — игрок В. Ставку следует делить в отношении 11:5.
Аналогичные рассуждения Ферма провел для случая 3
игроков.
Таким образом, в переписке Паскаля и Ферма еще нет
понятия вероятности или эквивалентного ему. Оба корреспондента
ограничиваются подсчетами числа шансов. Решения задачи
раздела ставки они оба проводили, исходя из ожидаемого
окончательного выигрыша. В этом проявляется рудимент понятия
математического ожидания. Если к. этому добавить, что Паскаль в это же
время написал «Трактат об арифметическом треугольнике», чем
существенно продвинул развитие комбинаторного аппарата в
интересах зарождающейся теории вероятностей, то перечень его
достижений будет полным.
Из других достижений в части формирования в XVII в.
предпосылок для появления теории вероятностей достаточно,, на наш
взгляд, отметить работу «О расчетах в азартных играх» X.
Гюйгенса. Появилась она в 1657 г. в виде приложения к книге
«Математические этюды» его учителя Ф. ван Схоутена. По словам
Гюйгенса, его заинтересовали результаты и, по-видимому, идеи
Паскаля и Ферма и он решил самостоятельно в них разобраться.
Эта работа Гюйгенса состоит из небольшого введения и 14
предложений. Во введении, обращаясь к Схоутену, Гюйгенс
пишет: «Во всяком случае, я полагаю, что при внимательном
изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с
игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и
глубокой теории». Первые 3 предложения описывают принципы, на
которых Гюйгенс основывал решения задач. Предложения 4—9
посвящены решению задач о справедливом разделении ставки»
Последующие предложения 10—14 касаются различных задач о
бросаниях игральных костей. В конце работы сформулированы 5
задач, предложенных читателям для самостоятельного решения.
Через несколько лет, в 1665 г., Гюйгенс опубликовал их решения.
Содержание исследований, рассмотренных здесь нами,
определяет уровень знаний и характер решаемых задач. Число примеров
можно было бы умножить, но общую оценку это не изменило бы,
Теории вероятностей в XVII в. еще не было. Только завершался
длительный период накопления начальных сведений о случайных
событиях, уточнений в постановках задач, вырабатывались
методы их решения. В сочинениях Ферма, Паскаля, Гюйгенса и Дру~
гих фактически использовалось понятие математического
ожидания. Оставался один только шаг: переход от прямого подсчета
шансов к отношению их числа к общему числу всех возможных
36?
исходов. Но век XVII ушел в историю, а никто из математиков,
даже самых выдающихся, этого шага не сделал.
§ 9.2. ПОСТРОЕНИЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Прошло совсем немного лет, и классическое понятие
вероятности стало общеупотребительным и даже обыденным. Трудно
увидеть в научной литературе тех лет, как произошел переход от
подсчета шансов к отношению и к истолкованию отношения как
вероятности. Самым правильным и убедительным, представляется
разъяснение (Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей. М.:
Наука, 1988. С. 402—403), что происходило массовое и
непрерывное усовершенствование формулировок, получение общих выводов
из массы частных задач. Побудительным обстоятельством для
этого процесса являлись статистические, в частности, домографи-
ческие работы (об этом см. ниже в разделе «Из истории
математической статистики»). Именно понятие частоты, т. е. отношения
числа наблюдений, при которых появляется определенное
свойство, к числу всех наблюдений, позволяло получить практические
результаты. Рассмотрение же только подсчетов, численностей не
позволяет судить об устойчивости событий, их вероятностей.
Классические определения вероятностей, хотя и в
несовершенной форме, даны и целеустремленно применяются в трактате
Я. Бернулли «Искусство предположений» (Ars conjectandi, 1713).
Там же впервые в истории науки приводится закон больших
чисел. Определение вероятности появилось в первой главе 4-й части
этого объемистого и незаконченного трактата: «Вероятность есть
степень достоверности и отличается от нее как часть от целого».
Тут же следует разъяснение: «Именно: если полная и безусловная
достоверность, обозначаемая нами буквой а или единицей 1, будет,
для примера, предположим, состоящей из 5 вероятностей, как бы
частей, из которых 3 благоприятствуют существованию или
осуществлению какого-либо события, остальные же не благоприят-
3 3
ствуют, то будет сказано, что это событие имеет — а или — дос-
О и
товерности».
При формулировке главного предложения в 5-й главе 4-й
части Я. Бернулли вновь писал об отношении числа
благоприятствующих к числу всех возможных случаев, не упоминая специально,
что случаи должны быть равновероятными, а предполагая, это
очевидным. Наряду с этим отношением Я- Бернулли предлагал
и другое отношение: числа благоприятствующих случаев к числу
неблагоприятствующих. В науке это не привилось по очевидным
причинам: величина таких отношений изменяется от 0 до оо; к
тому же множество этих отношений свойством аддитивности не
обладает, что препятствует их применению в построении
исчисления.
В 4-й главе 4-й части «Искусства предположений»
рассматривается вопрос: как определить вероятность случайного события,
если нет возможности подсчитать числа всех возможных и всех
368
Я. Бернулли (1654—1705)
благоприятствующих шансов? Ответ был знаменателен: «Но здесь
нам открывается другая дорога для достижения искомого. И то,
что не дано вывести a priori, то по крайней мере можно
получить a posteriori, т. е. из многократного наблюдения результатов
в подобных примерах.... Ибо, если, например, при наблюдениях,
сделанных некогда над тремя сотнями людей того же возраста и
сложения, в каких находится теперь Тит, было замечено, что из
них двести до истечения 10 лет умерли, а остальные остались в
живых и дальше, то можно заключить с достаточным основанием,
что имеется вдвое больше случаев Титу умереть в течение
ближайшего десятилетия, чем остаться в живых по истечении этого
срока... Этот опытный способ определения числа случаев по
наблюдениям не нов и не необычен». Нет нужды далее особо
доказывать наличие у Я. Бернулли идеи о статистическом определении
36§
вероятности и влияние демографических исследований (тогда
было принято говорить: политической арифметики).
Итак, в упомянутом сочинении Я. Бернулли рассмотрены обе
концепции понятия вероятности: классическая и статистическая.
Они нуждаются в уточнениях, но они уже существуют и
действуют. Принципиально важно, что: а) введено понятие вероятности
случайного события как числа из отрезка [0, 1]; б) оно
охватывает все степени вероятности, от достоверности ( = 1) до
невозможности (=0); в) это число может быть определено двумя
способами: путем подсчета отношения числа благоприятствующих
случаев к числу всех возможных или же путем проведения большого
числа независимых испытаний и вычисления частоты события. На
этих основаниях можно утверждать, что теория вероятностей
появилась и начала свою историю.
Я. Бернулли обдумывал- свою работу долго, по его словам, не
меньше 20 лет. Хотя она была опубликована в 1713 г., через 8 лет
после смерти автора, рукопись была издавна знакома многим. В
книге П. Монмора «Обзор анализа азартных игр» (1-е изд. 1706;
2-е изд. 1713) об этом говорится прямо со ссылками на ряд
публикаций. Так что «Искусство предположений» оказывало влияние
гораздо раньше, чем было напечатано.
Монмор в своей книге применил понятие вероятности к
решению ряда задач. В частности, он решил такую задачу: дано п
предметов. Занумеруем их числами от 1 до п, поместим в вазу и
перемешаем. Чему равна вероятность того, что при
последовательном вынимании этих предметов (без возвращения) хотя бы
один предмет будет вынут так, что номер вынимания будет равен
присвоенному ему номеру. Ответом была широко и ныне извест-
ная формула: 1 1 ... + -—' , получившая ряд
2! 3! п\
интерпретаций.
А. Муавр в работе «Доктрина шансов» (Doctrine of Chances,
1718, 1738, 1756) воспроизвел определение вероятности по Бер-*
нулли и его пример. Так же, как и Я. Бернулли, он не
формулировал явно условие равновероятности шансов. Это требование
впервые появилось у Лапласа в «Аналитической теории
вероятностей». Лагранж же следовал тексту Муавра.
Понятие математической вероятности помимо классической и
экспериментальной вскоре обогатилось еще одной трактовкой.
Ее называют геометрической вероятностью. В 1733 г. появилась
первая из работ Бюффона, где он поставил ставшую знаменитой
задачу о бросании иглы и предложил ее решение. Он назвал эту
публикацию «Мемуар об игре франк-карро» (прямо в клетку).
Цель Бюффона — показать, что «геометрия может быть
использована в качестве аналитического инструмента в области
теории вероятностей». До сих пор, пишет он, в этой области
применяли только арифметику.
Игра франк-карро состоит в следующем: пол разграфлен на
равные фигуры. На пол бросают монету. Ее диаметр 2г таков,
370
что монета целиком помещается внутри фигуры. Чему равна
вероятность того, что монета, брошенная наудачу, пересечет сторону
или стороны фигуры? Для определенности прямоугольный
участок плоскости делят на прямоугольники со сторонами а и Ь.
Площадь полосы между основным прямоугольником и
прямоугольником со сторонами, параллельными сторонам основного на
расстоянии г от каждой из его сторон и целиком расположенного
внутри основного, равна 2r(a + b—2г). Центр монеты, попав
внутрь малого прямоугольника, не только не пересечет, но даже
не коснется сторон основного. Следовательно, вероятность того,
что монета пересечет по меньшей мере одну из сторон основного
прямоугольника, равна 2г .
аЪ
Вторая задача Бюффона состоит в следующем: плоскость
разграфлена равноотстоящими параллельными прямыми. На
плоскость случайным образом роняют иглу. Один из игроков
утверждает, что игла пересечет одну из параллельных линий, другой —
что нет. Определить вероятности выигрыша каждого из них.
Менее известна задача Бюффона о бросании иглы на плоскость,
разграфленную не на полосы, а на квадраты. В ней Бюффон
допустил ошибку. Он подсчитал, что искомая вероятность равна
2г -И- . Лаплас, показав, что она равна 4г —^- , ошибку испра-
ВИЛ.
В постановке подобных задач Бюффона опередили. В 1692 г.,
в Лондоне на английском языке была опубликована работа
X. Гюйгенса «О расчетах в азартных играх». Переводчик этой
книги Д. Арбутнот к ней прибавил несколько задач, среди
которых была такая: на плоскость случайным образом бросают
прямоугольный параллелепипед, ребра которого суть a, b и с.
Вопрос состоит в том: как часто параллелепипед будет падать
гранью ab?
Однако решение этой задачи появилось только в 1740 г. в
книге Т. Симпсона «Природа и законы случая» (задача № 27).
Идея решения: опишем около параллелепипеда сферу и
спроектируем из центра на нее все его ребра и грани. Поверхность
разобьется на 6 непересекающихся областей, соответствующих
граням. Далее Симпсон написал: «Нетрудно заметить, что
определенная часть сферической поверхности, ограниченная траекторией,
описанной таким образом радиусом, будет находиться в таком же
отношении к общей площади поверхности, как вероятность
появления некоторой грани к единице». В общем виде, таким образом,
принципы отыскания геометрических вероятностей состоят в том,
чтобы ввести полную меру множества всех возможных случаев (в
данном случае: поверхность шара), меру множества случаев,
благоприятствующих событию, и найти их отношение. А в частном
случае: R?=a2 + b2+c2; PAb, Рьс, Рас — вероятности выпадения
грани ab, be, ас соответственно. Значения вероятностей следует
увеличить вдвое. Получим
371
П. Лаплас (1749—1827)
Pab- - arctg ?-, Pbc = 1 arctg ^1, Pcfl = - arctg —•.
x сЯ тс аЯ тс fe/?
После работ Бюффона и Симпсона задачи о геометрических
вероятностях стали систематически включать в научные сочинения
и учебники. Так, Лаплас в свою «Аналитическую теорию
вероятностей» включил и подробно описал все задачи Бюффона, однако
не упомянул ни его имени, ни источника, откуда он эти задачи
позаимствовал.
В учебнике В. Я. Буняковского «Основания математической
теории вероятностей» (1846) имеется сравнительно большой
раздел, в который включена задача Бюффона о бросании иглы и
частный вид игры франк-карро, в котором плоскость разграфлена
на равнобедренные треугольники. Позднее, во второй половине
372
XIX в., уже многие математики — Ламе, Барбье, Д. Сильвестр,
М. Крофтон — продолжали разработку этой тематики. На основе
их работ выросла впоследствии новая ветвь геометрии —
интегральная.
В 1860 г. Ламе прочитал курс лекций в парижской Ecole
Normal. Он рассмотрел задачу о бросании иглы при условии, когда
середину иглы бросают наудачу в центр эллипса или правильного
многоугольника. Его слушатель Барбье обобщил рассуждения
Ламе на случай любого выпуклого контура. Сильвестр расширил
тематику, предложив задачу о четырех точках: пусть эти 4 точки
взяты случайно внутри выпуклой области. Какова вероятность
того, что на них можно построить выпуклый четырехугольник?
Решение Сильвестра состоит в следующем: площадь выпуклой
области обозначим А. Бросим в эту область сперва 3 точки и
построим на них треугольник. Пусть его средняя площадь
равна М. Бросим теперь 4-ю точку. Если она попадет внутрь
треугольника, то по этим четырем точкам четырехугольник построить
нельзя. Но четвертую точку можно выбирать четырьмя
различными способами. Следовательно, при бросании четырех точек
вероятность получить невыпуклый 4-угольник равна Р=4 —.
Отсюда вероятность получения при этом выпуклого 4-угольника
равна 1—4 — . Среднее значение М зависит от области, в которую
бросают точки. Для некоторых выпуклых фигур значение М
вычислено (см. напр. ст.: М. Крофтон. «Вероятность». Британская
энциклопедия. 9-е изд. Эдинбург, 1885. Т. 19. С. 786).
Процесс формирования понятия вероятности был длительным.
Столь же длительным было отыскание точной формулировки
главных теорем теории вероятностей: сложения, умножения, полной
вероятности, предельных теорем, составляющих основу
оперативных функций этой теории.
Можно, конечно, в сочинениях Кардано и Тартальи, Паскаля и
Ферма, Я. Бернулли отметить ту или иную степень учета
совместимости случайных событий. У Я. Бернулли налицо даже
фактическое использование правил сложения и умножения
вероятностей. Но никто из них правил этих не формулировал и не
рассматривал их как часть математической теории.
Первая отчетливая формулировка теоремы о сложении
вероятностей находится в работе Т. Байеса «Опыт решения задач по
теории вероятностей покойного достопочтенного мистера Байеса,
члена Королевского общества. Сообщено мистером Прайсом в
письме Джону Кентону, магистру искусств, члену королевского
общества». Эта работа была зачитана на заседании общества
27 декабря 1763 г., через 2 года после смерти автора.
В первом же определении дано описание несовместимых
событий, которые называются «неплотными» (inconsistent). Согласно
Байесу, «несколько событий являются неплотными, если наступ-
373
ление одного из них исключает наступление других».
Формулировка же самой теоремы сложения дается в предложении: «Если
несколько событий являются неплотными, то вероятность того, что
наступит какое-то из них, равна сумме вероятностей каждого из
них». Вполне четкое определение и звучит современно!
Появлению теоремы умножения вероятностей также
предшествовал длительный период рассмотрения частных примеров, в
которые преимущественно подсчитывались шансы,
благоприятствующие наступлению двух или нескольких событий. Четкую
формулировку теоремы дал Муавр. Во введении уже к первому
изданию «Доктрины шансов», т. е. в 1718 г., он ввел важное
понятие независимости случайных событий: «...два события
независимы, когда каждое из них не имеет никакого отношения к
другому, а появление одного из них не оказывает никакого влияния
на появление другого». Еще более определенно он ввел понятие
зависимости событий: «Два события зависимы, когда они
связаны друг с другом и когда вероятность появления одного из них
изменяется при появлении другого». Отсюда следуют вполне
обоснованные суждения о вероятностях: «...вероятность появления
двух зависимых событий равна произведению вероятности
появления одного из них на вероятность того, что другое должно
появиться, если первое из них уже появилось. Это правило может
быть обобщено на случай нескольких событий».
Муавр пишет ясно и убедительно. Поэтому вместо
комментариев приведем еще одну цитату. По поводу вероятности
совместного наступления нескольких событий у Муавра сказано: «...надо
обозначить одно из них как первое, другое как второе и т. д.
Тогда первое событие должно рассматриваться как независимое от
остальных; второе — в предположении, что первое произошло,
третье — в предположении наступления первого и второго и т. д.
Следовательно, вероятность наступления всех событий равна
произведению всех только что указанных вероятностей». Далее
Муавр заметил, что разыскание условных вероятностей, как
правило, очень сложно.
Общие высказывания Муавр сопровождает примерами, как
простыми, так и более сложными. Например: пусть события Л,
В, С независимы в совокупности, а х, у, z означают вероятности
их наступления. Тогда x-y-z есть вероятность наступления всех
трех событий, а [1—(1—х) (1—у){\—z)] — вероятность
наступления хотя бы одного из событий А, В, С.
В связи с отмеченными фактами, сделаем одно замечание. Во
все учебные курсы теории вероятностей ныне включают формулы
Байеса. Эти формулы получаются из теоремы об умножении
вероятностей при условии использования понятия полной
вероятности. В действительности таких формул у Байеса нет. Его
формулировка теоремы умножения воспроизводит формулировку
Муавра, появившуюся в печати гораздо ранее, в 1718 г. Кроме того,
у Байеса нет формулы полной вероятности. Результат,
приписываемый исторической традицией Байесу, по-видимому, впервые
374
получил привычную нам формулировку в «Опыте философии
теории вероятностей» Лапласа. В главе «Общие принципы теории
вероятностей» сформулирован принцип 6, который относится к
вероятностям гипотез, или вероятностям причин. Пусть некоторое
событие А может происходить с одним из п несовместимых
событий Ви В2, ..., Вп и только с ними. Эти события названы
причинами. Если известно, что событие А наступило, чему равна
вероятность того, что осуществилась в то же время причина В,?
Лаплас дал такой ответ: «Вероятность существования какой-либо из
этих причин равна... дроби, числитель которой есть вероятность
события, вытекающего из этой причины, а знаменатель есть
сумма подобных вероятностей, отнесенных ко всем причинам; если
эти различные причины, рассматриваемые a priori, не одинаково
вероятны, то вместо вероятности события, вытекающего из
каждой причины, следует взять произведение этой вероятности на
вероятность самой причины». Как видно, это и есть известное
нам «правило Байеса»:
Р{В%\А) = Р{В,}Р{А\В{)/(^ P{Bt}P{Am
Кроме того, этот принцип Лапласа содержит и формулу полной
вероятности.
На последующее развитие теории вероятностей огромное
воздействие оказывали так называемые предельные теоремы. Идею,
исходную для их разработки, первым высказал Я. Бернулли. Он
счел необходимым рассматривать не только точные решения
вероятностных задач, но и их асимптотические постановки при
неограниченном увеличении параметров. В первую очередь в этом
направлении начались исследования вокруг закона больших
чисел.
Формулировка, данная Я. Бернулли этому закону, отличается
терминами. Испытания, при которых рассматриваемое сообытие
происходит, он обозначает словами: плодовитый, фертильный, а
для отрицательных исходов — стерильный. И теорема выглядит
так: «Пусть число фертильных случаев к числу стерильных
случаев относится точно или приближенно как r:s, или же это число
относится к числу всех случаев как — или же как — . Пос-
г— 1 г-Н
леднее отношение находится, следовательно, между — и .
Нужно доказать, что можно произвести столь большое число
опытов, что число появившихся фертильных наблюдений к числу всех
опытов будет больше, чем -^- и меньше, чем ». Отличие
только в терминах, по существу — нет.
Уже в 1709 г. Н. Бернулли, племянник Я. Бернулли,
тщательно изучивший «Искусство предположений», использовал эту ра-
375
боту и привел в своей диссертации предельные теоремы.
Диссертация называлась «О применении искусства предположений в
вопросах права». Теоремы относились к проблеме установления
вероятности продолжительности человеческой жизни.
Статистический материал взят из многолетней регистрации рождений.
Формулы и тем более приведшие к ним вычисления громоздки.
Их воспроизвел П. Лаплас в своем курсе «Аналитической теории
вероятностей» (1812 г). Результаты состоят в определении
вероятностей того, что случайная величина (фактическое число
рождений мальчиков) окажется в интервале значений.
В двух последних изданиях книги Муавра «Доктрина
шансов» помещен перевод его статьи «Approximation ad summum
terminorum Binomii (a + b)n in serien expansis». О ней Муавр в
издании 1756 г. писал: «Я помещаю здесь перевод моей работы,,
написанной 12 ноября 1733 г. и сообщенной некоторым друзьям,,
но никогда не публиковавшейся». Прежде всего он отметил, что
для решения ряда задач теории вероятностей необходимо подсчи-
тывать суммы 2 Pn{tn) членов биномиального распределения и
что вычисления становятся громоздкими при больших значениях
числа испытаний п. Муавр стал поэтому отыскивать
асимптотическую формулу и нашел ее. Главная трудность, которая при этом
возникла, состояла в оценке величины т\ при больших
значениях т. Муавр нашел ^асимптотическое равенство
т\~В1т е~ш тт, где В — постоянное,
установил, что In 5= 1 1 1 ..., а также что
J 12 360 1260 1680
В «2,5074; однако он хотел улучшить результат и попросил
Д. Стирлинга ему помочь. Тот, в частности, показал, что fi«
~У2я^ 2,506628... Если еще учесть, что Муавр впервые составил*
и опубликовал таблицу значений функции In п\ от 10 до 900, то
можно с полным правом сказать, что известная ныне формула
Стирлинга приближенного вычисления факториала для больших
чисел с тем же основанием является формулой Муавра.
Использовав найденную формулу, Муавр сперва, выяснил, что
в случае p = q=0,5 средний член бинома (0,5+0,5)п асимптоти-
1
чески равен —zzzzzr > а затем доказал так называемую локаль-
|^2 п npq
ную теорему Муавра. То, что он именно с этого начал,
естественно, так как именно этот случай играет важную роль в
демографических исследованиях. Затем Муавр вывел локальную теорему^
для /7^=0,5.
От локальной теоремы Муавр перешел к формулированию
интегральной теоремы. Для выражения У npq он применил название
«модуль». Для р=<7=0,5 он вычислил вероятность
Р(~-|^<><~+ К* 1« 0,95428 (сейчас верно: 0,95450).
376
Так же он подсчитал вероятность
P№-jVn<V<<j + jVn\ = 0,99874 (верно: 0,99731).
Муавр заметил, что интегральную теорему можно использовать
и для оценки неизвестной вероятности Р, т. е. для решения
обратной задачи, относящейся к математической статистике.
Чтобы лучше отразить основные направления развития теории
вероятностей, рассмотрим, как формировались и некоторые
другие основные понятия.
Понятие математического ожидания было введено одним из
первых: оно появилось, насколько удается установить, в переписке
Паскаля и Ферма, а в более явной форме — у Гюйгенса. Первые
же три предложения в сочинении последнего являются по
существу определением математического ожидания для случайных
величин, могущих принимать 2 или 3 значения. Сам термин был
предложен Схоутеном, учителем Гюйгенса. В ту пору этому термину
придавали смысл ожидания той средней цены, которую можно
дать за приобретение случайной величины, имеющей стоимость х
с вероятностью р\, стоимость х2 с вероятностью р2, ..., стоимость
хп с вероятностью рп.
Эта мысль отчетливо выражена в книге Н. Бернулли «О
применении искусства предположений в вопросах права» (1709). Он
писал там, что «правило это (вычисления ожиданий. — И. Р.)
тождественно с тем, с помощью которого обыкновенно
отыскиваются средние арифметические нескольких данных величин, а
также и с тем правилом смещения, на которые счел уместным
сослаться мой дядя» (Я. Беррнулли. — К. Р.). Далее он рассмотрел
пример, заимствованный из рукописи книги Я. Бернулли
«Искусство предположений», опубликованной четырьмя годами позднее,
в 1713 г.: «Если 3 кружки пива ценой по 13 смешиваются с 2
кружками ценой по 8, то после перемножения 3 на 13 и 2 на 8
получится общая цена всех кружек — 55, что дает путем деления
на число всех кружек, т. е. на 5, среднюю цену одной кружки
смеси, равную 11. Такова же должна быть, согласно правилу, и
оценка величины ожидания чего-либо, что будет иметь 3 случая
по 13 и 2 случая по 8». Заметим, что сказанное является ничем
иным, как повторением правила Гюйгенса. Заслуживает внимания
не только то, что Н. Бернулли рассмотрел ожидание для
случайных величин, принимающих большее, чем 2 или 3, число значений,
но и нечто совсем новое, а именно сравнение формулы для
вычисления математического ожидания с правилом вычисления
координат центра тяжести системы материальных точек. Вот
подлинные слова Н. Бернулли:
«Еще более заслуживает быть отмеченным особое и
исключительное совпадение, наблюдающееся между этим правилом и
тем, которое рекомендуется для нахождения центра тяжести
нескольких грузов; действительно, ведь сумма моментов, т. е. сумма
произведений весов на соответствующие расстояния от какой-либо
377
данной точки, деленная на сумму весов, показывает расстояние
от центра тяжести, т. е. той точки, по отношению к которой
подвешенные грузы находятся в равновесии, точно так же и та
средняя, которая получается согласно настоящему правилу, является,
так сказать, центром тяжести всех вероятностей, который их так
уравновешивает, что ни та, ни другая из них, отклоняясь в ту или
другую сторону от средней, не превышают друг друга. В целях
соблюдения такого же равновесия в сомнительных и темных
делах наши юристы придерживаются обычно -середины».
Для XVIII века обращение к математическому ожиданию не
было характерным. Все внимание привлекало понятие
вероятности случайного события. В книге Лапласа «Аналитическая теория
вероятностей» нет определения математического ожидания и тем
более правил действий над ним. Возможно, что это связано с тем,
что Лаплас не рассматривал и понятия случайной величины.
Вместо этого он изучал ошибки наблюдений, плотности их
распределений и даже вывел и использовал формулу для плотности
суммы двух независимых ошибок. Он не оговаривал специально
их независимость, поскольку иные условия и не изучались.
Казалось бы, что построение теории ошибок наблюдений
должно было стимулировать развитие числовых характеристик
случайных величин. Однако этого не произошло. Впрочем, для
нормального распределения были введены понятия истинного
значения и точности наблюдений; было известно, как их вычислять по
плотности распределения. Таким образом, для этого частного
случая уже была известна формула для вычисления
математического ожидания и дисперсии.
В начале XIX в. нормальное распределение затмило собой все
остальные. Оно появилось в теории ошибок наблюдений. С ним
же пришлось иметь дело в теории стрельбы. Работы Гаусса и
Лежандра доказывали, что распределение ошибок наблюдения и
должно быть нормальным. Бельгийский биолог Кетле показал,
что и в биологии нормальное распределение играет центральную
роль. Остальные виды распределений не представляли интереса,
о них попросту не думали. Не надо было доказывать никаких
теорем о математических ожиданиях и дисперсиях, поскольку для
нормального распределения все уже было известно. В книге Че-
бышева «Опыт элементарного анализа теории вероятностей»
(1845) понятия случайной величины, математического ожидания,
дисперсии даже не упоминаются. В учебнике австрийского
математика Чубера (1908) и Пуанкаре (1912) эти понятия также
отсутствуют.
В то же время в лекциях Чебышева, которые он с 1868 г.
регулярно читал в Петербургском университете, все эти понятия
вводятся, формулируются, доказываются теоремы о
математическом ожидании и дисперсии суммы случайных величин.
Началом регулярного включения в курсы теории вероятностей теорем
о математических ожиданиях, по-видимому, следует считать
второе десятилетие XX в.
378
Вообще проблема соотношения понятий исчисления и его ал-
горитмики не столь элементарна. Решать ее надо для разных
областей математики отдельно. В исчислении вероятностей,
например, понятие математического ожидания возникло
одновременно с понятием вероятности, всегда считалось важным и
нужным, а выделение и изучение его свойств произошло очень позд^
но, в течение конца прошлого — начала нашего веков.
В этой части главы речь шла преимущественно о том, как
складывалось исчисление вероятностей; как сформировались
понятие вероятности, операции, связанные с этим понятием и
другими, к нему примыкающими. Но общий исторический процесс
формирования теории вероятностей был гораздо более богатым и
разнообразным. Перейдем к рассмотрению другой линии
развития, где приоритет в исследованиях имели понятия случайной
величины и случайного процесса.
§ 9.3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Логически понятие случайной величины, которым пользуются в
теории вероятностей, проходит следующие этапы: а) на примерах
человек убеждается в наличии случайных событий (это могут
быть космические частицы, выпадающие на свинцовую
пластинку, вызовы телефонных абонентов, рассеянное падение
артиллерийских снарядов при прицельном ведении огня, броуновское
движение молекул в жидкости и проч.); б) во всех случайных
явлениях может быть выделена количественная характеристика;
в) можно (или еще только следует) определить область значений
для этих характеристик; г) поиск частоты принятия значений,
т. е. их вероятностей.
Разнообразие случайных величин весьма велико. Число
принимаемых ими значений может быть конечным, счетным, или
несчетным. Значения могут быть расположены дискретно,
заполнять интервалы сплошь или даже располагаться всюду плотно.
Для того чтобы все-таки задавать вероятности значений
случайных величин, столь различных по своей природе, и при том
задавать их единообразным способом, в теории вероятностей вводят
функции распределения случайной величины.
Пусть ? — случайная величина, ах — произвольное
действительное число. Вероятность того, что ? примет значение,
меньшее, чем х, называется функцией распределения вероятностей
случайной величины %:F(x) =Р{1<х}. Итак, случайной величиной
называется величина, значения которой зависят от случая и для
которой определена функция распределения вероятностей.
По-видимому, впервые понятие случайной величины появилось
в мемуаре Пуассона 1832 г. «О вероятности средних результатов
наблюдений». Самого термина там еще нет, рассматривается
«некоторая вещь», которая способна принимать значения аи а2у
..., ах соответственно с вероятностями р\, р2, ..., Рк- Он рассмот-
379
рел также непрерывные случайные величины и плотности
распределения их вероятностей.
Почву для введения понятия случайной величины подготовили
многочисленные исследования математиков, в том числе весьма
авторитетных. Путь формирования этого понятия был долгим.
Начнем с того, что в XVIII в. в работах Korea, Симпсона, Д.
Бернулли и других начала развиваться теория ошибок наблюдений.
Возникла же она под влиянием астрономии. Ошибка измерения
в зависимости от обстоятельств может принимать различные
значения. Это было подмечено и высказано еще Галилеем. Он же
ввел термин: «случайная» и «систематическая» ошибки
измерения. Вторая из них тесно связана с качеством изготовления
прибора, мастерством наблюдателя, условиями наблюдения. Первая
же зависит от многочисленных причин, влияние которых
невозможно учесть и которые постоянно изменяются. Это первая
ступень осознания того, что ошибка измерения является случайной
величиной с неизвестным пока еще распределением
вероятностей.
С понятием случайной величины встречались и Я. Бернулли,.
Н. Бернулли, Монмор, Муавр. Я. Бернулли рассматривал число*
появлений интересующего его события А в п независимых
испытаниях, что по своей сущности допускает интерпретацию как
случайной величины, способной принимать значения 1, 2, ..., п с
вероятностями, задаваемыми формулами Бернулли. Н. Бернулли,.
Монмор и Муавр, исследуя задачу о разорении игрока, также
имели дело со случайными величинами — числами партий,
необходимыми для разорения. Однако первый из них рассматривая
лишь схемы последовательностей случайных событий, другие в
ходе решения задач ими и ограничивались. Даже Муавр,
который ввел нормальное распределение вероятностей, рассматривал
его лишь как аппроксимирующую функцию, дающую хорошее
приближение к точному значению искомых вероятностей. Общих
высказываний о понятии случайной величины у них не было.
Что касается теоретических исследований в части ошибок
измерений, то поначалу считалось, что они составляют
арифметическую прогрессию с неопределенной, но очень малой разностью.
Затем постепенно от этого предположения отказались и стали
считать, что возможные значения, принимаемые ошибками
наблюдений, заполняют целый отрезок, а вероятности возможных
значений определялись посредством плотности распределения.
Такое понимание можно уже увидеть в работах Лапласа, Гаусса,
Лежандра. Распределение выражалось неотрицательной
функцией, интеграл от которой по всей прямой равен единице, а
вероятность попадания в тот или иной отрезок равнялась интегралу
от плотности, взятому по этому отрезку. Лапласу уже была
известна формула нахождения плотности распределения суммы по
плотностям распределения слагаемых. В своей «Аналитической
теории вероятностей» он оперирует с плотностями распределения,
но нигде не вводит понятия случайной величины, используя либо
380
язык теории ошибок измерений, либо средства математического
анализа.
Первая половина XIX в. поставила новые задачи, для
решения которых потребовалось понятие случайной величины. Прежде
всего — это исследования бельгийского естествоиспытателя
А. Кетле, в которых он отметил, что размеры органов животных
определенного возраста подчиняются нормальному
распределению. Уклонение (разброс) артиллерийских снарядов от цели,
которым занимались многие, тоже явилось случайной величиной с
нормальным распределением. С середины XIX в. работы
Максвелла и других о математической теории молекулярной физики
газов также приводили к нормальным распределениям.
Упомянем еще об одной задаче. О ней Гаусс 30 января 1812 г.
в письме Лапласу писал: «... я вспоминаю любопытную задачу,
которой я занимался уже 12 лет назад, но для которой я не
нашел тогда удовлетворяющего меня решения... Пусть М —
неизвестная величина, заключенная между пределами 0 и 1, для
которой все значения или одинаково вероятны, или же более или
менее следуют данному закону: предположено, что она
разложена в непрерывную дробь М = 1 + .... Чему равна веро-
а(,) а(2)
ятиость того, что, отбросив в разложении конечное число членов
до ctin\ следующая дробь 1 + ... будет заключена в
пределах от 0 до я? Я обозначаю ее через Р(п, х) и предполагаю,
что для М все значения одинаково вероятны: Р(0, х)=х».
Эта задача в самом деле записана в дневнике Гаусса под
№113 и датирована 25 октября 1800 г. Она относится к тому
разделу математики, который начал развиваться лишь в XX в.
под названием метрической теории чисел. Ее
теоретико-вероятностный аспект относится к изучению равномерно
распределенных случайных величин. Гаусс выдвинул гипотезу, что
Итя(л^)е=ИЦ1±?),
Л-»оо In 2
но она его не удовлетворяла, так как в том же письме он писал:
«...усилия, которые я предпринимал... оказались бесплодными».
Решение этой задачи появилось только в 1928 г.; его дал Р. О.
Кузьмин. Через год П. Леви дал этой задаче вероятностную
форму решения. Позднее было доказано, что результат верен для
любой случайной величины М, для которой Р(0, х) имеет
ограниченную производную, что разъясняет предвидение Гаусса, что
для величины М «все значения или одинаково вероятны, или же
более или менее следуют данному закону». Для нашего
контекста нелишне будет упомянуть, что Р(09 х), так же как и Р(п, х),
лредставляет собой функцию распределения.
Вернемся к Пуассону, который ввел понятие случайной
величины. Его термин: «вещь» не удержался, в работах Чебышева и
381
Ляпунова уже фигурировали: «величина» и «случайная
величина». Однако в самых авторитетных трактатах по теории
вероятностей Пуанкаре, Бертрана, Чубера и др., изданных до 1912 г.,
понятие функции распределения не вводилось. Только в конце
20-х гг. нашего века понятию случайной величины было дано
строгое формализованное определение. Это сделал А. Н.
Колмогоров в ходе разработки аксиоматических основ теории
вероятностей, ставших в наше время общепринятыми.
Рассмотрим конкретно важнейшие теоремы, в которых
используется понятие случайной величины. Начнем с закона
больших чисел. В 1887 г. в работе Пуассона «Исследование о
вероятностях в решении судебных дел уголовных и гражданских» он
появился впервые. Речь Шла об обобщении теоремы Я. Бернулли
о сближении при увеличении числа наблюдений вероятности
события А с частотой его появления.
Пуассон рассмотрел последовательность п независимых
испытаний, в каждом из которых может появиться событие А, но с
вероятностью Pky зависящей от номера испытания. Если через [iu
обозначить число появлений события А в п последовательных
испытаниях, то при любом е>0 имеет место соотношение
<е -0.
П-*оо [I П П
По поводу этой теоремы Пуассона писал в одной из заметок
в 1843 г. Чебышев: «... как ни остроумен способ, употребленный
знаменитым геометром, он не доставляет предела погрешности^
которую допускает этот приближенный анализ, и вследствие
такой неизвестности величины погрешности доказательство не
имеет надлежащей строгости» (Чебышев П. Л., Собр. соч. Изд-во
АН СССР, 1947. Т. 2. С. 14). Он же указал в этой заметке
оценку числа /г, для которого при заданных е и ц имеет место
неравенство
2 л
п
<* >1 -ч-
Новый шаг на этом пути сделал также Чебышев в работе «О
средних величинах» (1867). Здесь он перенес центр тяжести в
исследованиях по теории вероятностей от рассмотрения
случайных событий и их вероятностей на изучение случайных величин.
Теорема Чебышева и теперь занимает центральное место во всех
учебниках. Скажем несколько слов о дальнейших
усовершенствованиях.
Усиленный закон больших чисел Р | lim — =р\ = 1 был
П-*оо Л |
введен Э. Борелем (1909) и распространен Кантелли на
произвольное р в 1917 г. Широкое обобщение усиленного закона
больших чисел дал А. Н. Колмогоров в работе 1930 г., а также в его
382
монографии «Основные понятия теории вероятностей». В 1935 гл
А. Я. Хинчин ввел новое понятие относительной устойчивости
сумм с целью получить максимально общую форму закона
больших чисел для положительных случайных величин. Пусть задана
последовательность |ь §2, ••• неотрицательных случайных величин»
п
Суммы Sn — ^ Ik относительно устойчивы, если можно выбрать
такие положительные константы АПу что при любом е>0 и
я-^оо выполняется соотношение
Для одинаково распределенных величин | Хинчин нашел
необходимое и достаточное условие относительной устойчивости сумм
Вплоть до 1939 г. закон больших чисел рассматривался как
особая предельная теорема обособленно от остальных теорем
этого типа для сумм независимых случайных величин. Б. В. Гне-
денко включил этот закон в общую теорию предельных теорем,
когда предельное распределение имеет единственную точку роста
в нуле. Точно так же теоремы об относительной устойчивости,
сумм являются предельными для случая, когда предельное
распределение имеет единственную точку роста при х=1.
Необходимые и достаточные условия для усиленного закона
больших чисел нашел в 1958—1959 гг. Ю. В. Прохоров («Об
усиленном законе больших чисел». Изв. АН СССР. Сер. мат. 1958,
14, 6; «Несколько замечаний об усиленном законе больших
чисел». Теория вероятностей и ее применения. 1959. Т. IV, вып. 2„
С. 215—220).
Работы, тематика которых связана с центральной предельной.
теоремой, имели своим исходным пунктом также теорию ошибок
измерений. В них поначалу, вплоть до работ Чебышева,
говорилось не о сложении абстрактных случайных величин, а о
сложении ошибок. Образцом для последующих обобщений долгое
время служила теорема Муавра о сходимости распределений
центрированного и нормированного числа появлений события А в п
независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может
наступить с одной и той же вероятностью р, к нормальному
распределению. Первое же обобщение, принадлежащее Лапласу,
формулируется как предельная теорема для сумм независимых
случайных величин g*, каждая из которых равномерно
распределена на отрезке (—Л, + h). Лаплас в работе «Memoire stir les
approximation des formules qui sont fonctions de tres grand
nombres et sur leur application an probability», 1809)
рассматривал дискретные случайные величины с увеличивающимся
числом возможных значений. Этим самым производилась аппрокси-
382
мация непрерывного распределения дискретным. Лаплас доказал,
что для каждого 5 име-ет место
lim Р _s<.±L-<s
П—оо
где
У'п
$п—2 -**
й=1
\ = —^- \ е ах>
2 h*
а2 = —
з
При доказательстве Лаплас использовал идеи, на которых
позднее базировался метод характеристических функций.
Существенное продвижение исследований, относящихся к
предельным теоремам, достигнуто Пуассоном. В мемуаре 1837 г.,
упомянутом несколько выше, он рассмотрел схему
последовательности независимых испытаний с разными вероятностями
появления события А в каждом из испытаний. Обозначим эти
вероятности pk для &-го испытания. Теорема Пуассона локальна: если
оо
ряд У\ pk(l—ph) расходится, то вероятность /тг-кратного появле-
ния события в п испытаниях равна
р [т = пр — 9с Уп) я —*—е~*г —(3+2Q*)e~*\
с У%п 2с*пУъ
где
'=т2р» <«~2 2Л(1-Рл),
?-1
4
Л=й2(2р*-"1)',*(1""Л)-
*=1
Интерес к нормальному распределению в начале XIX в.
возрос в связи с появлением исследований Лежандра и Гаусса по
обоснованию и научному оформлению метода наименьших
квадратов. Ф. В. Бессель еще в 1818 г. заметил, что наблюдения
гринвичского астронома Брэдли наглядно соответствуют
нормальному распределению. Этому он дал объяснение, что резуль-
тирющая большого числа случайных воздействий, каждое из
которых мало по отношению к сумме всех воздействий,
подчиняется общему закону, и этот закон — нормальный. Такое
утверждение совпадает с идеями Лапласа и не исключает других
распределений, отличных от нормального.
Та же концепция обоснования нормального закона как закона
распределения ошибок эксперимента встречается у Пуанкаре в
«Calcul des probabilites (Paris, 1912). В § 140 он писал:
«Ошибка, связанная с инструментом, есть результирующая очень боль-
384
шого числа независимых одна от другой ошибок, таких, что
каждая из них привносит лишь слабую долю в результат;
результирующая ошибка следует закону Гаусса». Затем, еще раз, в § 144,
он подвел итог: «Резюмируя, предположим, что окончательная
ошибка будет результирующей очень большого числа частных
погрешностей, независимых друг от друга, и что нет ошибок
систематических; предположим также, что эти ошибки будут
иметь приблизительно один и тот же порядок величины, внося
каждая в общий результат лишь незначительную долю. В этом
случае результирующая ошибка следует приблизительно закону
Гаусса.
Таков, мне кажется, лучший довод, который можно привести в
пользу закона Гаусса».
Пока, впрочем, эти идеи носили лишь качественный характер
и нуждались в математической формализации и строгих
доказательствах теорем.
В середине XIX в. статистическая физика, едва оформившись,
стала испытывать необходимость в вероятностных методах. Это
благотворно сказалось на теории вероятностей. В 1887 г. в работе
Чебышева «О двух теоремах относительно вероятностей» был
получен следующий общий результат: если математические
ожидания величин щ, и2, ... равны 0, а математические ожидания
всех их степеней имеют числовую величину ниже какого-либо
предела, то вероятность того, что сумма Ui + u2 + ... +ип,
деленная на квадратный корень из удвоенной суммы математических
ожиданий их квадратов, заключается между двумя
какими-нибудь пределами / и t\ с возрастанием п до оо имеет пределом
интеграл
г'
Для доказательства этого предложения Чебышев разработал
метод, известный ныне как метод моментов. Улучшал
формулировку и доказательство теоремы А. А. Марков, ученик Чебышева.
В исправленном виде к 1898 г. теорема выглядела так:
если Sn — последовательность сумм и\ + и2 + ... +ип и Ф„(л:) —
их функции распределения, то из предположения, что при
любом положительном k имеют место соотношения
-f-oo -|-ао
Г хч е1Фп(х) -^—^r ( x*e-'*/*dx
следует, что при любых а и b имеет место равенство
J ^D5„^
/2л
/Чх.
385
В 1900 и 1901 гг. появились работы Ляпунова, в которых
было доказано, что окончательный результат получается в случае
выполнения только одного очень простого условия, которое,
вдобавок, проясняло смысл тех предположений, которые должны
были приводить к сходимости распределений нормированных и
центрированных сумм к нормальному распределению.
Сначала Ляпунов показал, что если величины имеют конечные
п п
третьи моменты ck=M\th-ah\*; Сн- 2 <Y. ь1= 2 D^
и если соотношение Сп1В\ при п-^оо стремится к нулю, то имеет
место сходимость функций распределения сумм Sn к
нормальному распределению.
Несколько позднее он же обнаружил, что для окончательного
результата не обязательно требовать существования третьих
моментов слагаемых. Достаточно будет, если существуют моменты
порядка 2 + 6, где б>0. Ляпунов установил, что для сходимости
нормированных корней из дисперсии сумм независимых
слагаемых к нормальному распределению достаточно условия: пусть
Сь=М\%к—ah\2+6, Cn=2 ch\ отношение Сп/В2+6 должно с ростом
п стремиться к 0. Более того, Ляпунов оценил скорость
сходимости к предельному распределению функций распределения сумм.
Порядок оценки оказался равным п~[/2 In п. Кстати, в
упомянутой выше работе Чебышева, помимо предложения о сходимости
к нормальному распределению, дано асимптотическое
разложение по степеням п~1/2.
Общность результатов Ляпунова произвела огромное
впечатление на его современников. По всем данным, именно в ту пору
появился термин «центральная предельная теорема» для
обозначения условий сходимости функций распределения
нормированных и центрированных математическими ожиданиями сумм к
нормальному распределению.
Интересна реакция А. А. Маркова на это событие: «Общность
выводов в последней работе Ляпунова далеко превзошла ту,
которая была достигнута методом математических ожиданий»
(теперь он называется методом моментов). «Достигнуть столь
общих выводов методом математических ожиданий казалось даже
невозможным, ибо он основан на рассмотрении таких
математических ожиданий в неограниченном числе, существование
которых в случаях Ляпунова не предполагается.
Для восстановления поколебленного таким образом значения
метода математических ожиданий необходимо было выяснить,
что вышеупомянутыми работами он не исчерпан до конца».
Марков в 1908 г. доказал центральную предельную теорему в
условиях Ляпунова методом моментов, для чего изобрел способ
урезания случайных величин. Эта идея Маркова до сих пор
актуальна в теории вероятностей.
386
Добавим в интересах заинтересованных читателей краткие
сведения о позднейшей судьбе центральной предельной теоремы.
В 1922 г. финскому математику Линдебергу удалось снять
требование существования любых моментов, кроме вторых. Условие
Линдеберга, которое являлось достаточным, оказалось и
необходимым (Феллер, 1934). В 1927 г. Бернштейн рассмотрел более
общую задачу: дана последовательность независимых случайных
величин §ь §2, ..., sn, ..., относительно которых не предполагается
существование ни дисперсий, ни математических ожиданий. При
каких условиях можно найти такие постоянные Ап и 5П>0, что
? д
функция распределения сумм ~—- сходится к нормальному
Вп
распределению? Достаточные условия получены в этой же
работе. Феллер (1935) показал, что эти условия также необходимы
в предположении, что слагаемые равномерно малы в теоретико-
вероятностном смысле.
В том же 1935 г. А. Я. Хинчин и П. Леви в постановке Берн-
штейна независимо нашли необходимое и достаточное условие
сходимости к нормальному распределению функций
распределения сумм независимых, одинаково распределенных случайных
величин.
Проблему связей между законом больших чисел и
центральной предельной теоремой поставил в 1926 г. А. Я. Хинчин. Ответ
нашли А. А. Бобров и Д. А. Райков: чтобы функции распределе-
2 ь-ап
ния сумм J^l при надлежащем выборе действительных
вп
постоянных Ап и Вп>0 сходились к нормальному распределению,
п
необходимо и достаточно, чтобы суммы S(|t—я»)2 были относи-
4=1
тельно устойчивы, an=S xdEn(x)> е>0 —¦ произвольно.
— 8
В наши дни продолжаются исследования вопросов
сходимости функций распределения к нормальному закону. Тематика,
естественно, изменилась. «На повестке дня» стоят вопросы:
быстрота сходимости к предельному распределению; сходимость
случайного числа случайных слагаемых; суммирование неравномерно
малых случайных величин и др.
Естественно после обзора довольно обширного материала о
нормальных распределениях, поставить вопрос: какие
распределения вообще возможны для сумм независимых случайных
величин? Такой вопрос сделался предметом исследования в 20-е гг.
XX в. Чтобы не столкнуться с непомерной общностью, налагается
условие, что случайные величины примерно одинаковы по
величине.
До этого времени поставленный нами вопрос рассматривался
эпизодически. В мемуаре Пуассона «О вероятностях средних
результатов наблюдений» (1832) выведено распределение суммы
387
большого числа независимых ошибок наблюдений и рассмотрено
такое распределение, которое впоследствии стало называться
распределением Коши. Для этого распределения найдена
плотность f(*)-= и доказано, что оно обладает следующими
свойствами:
1) среднее арифметическое ошибок наблюдений имеет то же
распределение, что и каждое слагаемое;
2) точность не повышается от того, что берется среднее
арифметическое результатов нескольких наблюдений.
Только через 30 лет, в 1853 г., О. Коши в мемуаре «О средних
результатах наблюдений той же природы и о результатах
наиболее вероятных» нашел характеристическую функцию для всех тех
распределений, для которых функция распределения суммы
отличается от распределения отдельных слагаемых только
множителем при аргументе (коэффициент растяжения). Коши установил,
что все такие функции имеют вид /(„г)=ехр (—Xй-), где \i —
положительное число. Позднее выяснилось, что f(x) является
характеристической функцией тогда и только тогда, когда 0<|х^2.
Регулярные иссдедования по рассматриваемой здесь тематике
ведут свое начало от книги П. Леви «Calcul des probabilites»
(1925). В ней, в гл. 6 «Экспоненциальные распределения»
продолжены исследования Коши. Пусть F{t) — функция
распределения, f(t) — ее характеристическая функция. Распределение
F(t) называется устойчивым, если при любых положительных
постоянных а{ и а2 найдется такое положительное постоянное а,
что выполняется равенство f(ctit)-f(a2t)=f(at).
В терминах случайных величин этот класс распределений
обладает следующим характеристическим свойством: если ?i и
g2 — независимые случайные величины с одним и тем же
распределением вероятностей, ах и а2 — произвольные положительные
числа, то для каждой пары ах и а2 найдется такое положительное
число а, что сумма a\li + a2^2 имеет такое же распределение,
что и а\\.
П. Леви доказал, что для устойчивых распределений функция
/(/) имеет вид exp ~?j ! + *?—] |*|8{, где 0<а<2. Он ввел
также понятие области напряжения устойчивого закона:
множество всех тех распределений F(x)} для которых функции
распределения независимых случайных величин при соответствующем
нормировании сходятся к данному устойчивому распределению.
В 1935 г. Хинчин предложил называть устойчивыми те
распределения, для которых линейная форма aigi + fl^ при
произвольных положительных постоянных а{ и а2 имеет такое же
распределение, как а\х + Ь, где а — некоторое положительное, aft —
вещественное постоянное число. Этот класс распределений
оказался шире класса Леви.
388
Основной результат, принадлежащий П. Леви и А. Я. Хинчи-
ну, можно сформулировать так: если ?ь |г, ... —
последовательность одинаково распределенных независимых случайных вели-
чин, то суммы Sn ='— при надлежащем выборе постоян-
ных В?г>0 и вещественных Ап могут сходиться только к
устойчивым законам распределения. Каждый устойчивый закон
является предельным для функций распределения сумм этого вида.
В 1936 г. П. Леви и А. Я. Хинчин дали окончательное
представление устойчивых распределений через логарифмы
характеристической функции. Чтобы функция cp(f) была
характеристической функцией устойчивого распределения, необходимо и
достаточно следующее ее представление:
Inф(0 - ht _ ф|" J1 + /р ± «>0, а)1,
где а, Р; у, с — вещественные постоянные (—1^(5<:1, с>0,
0<а^2) и
Ц/, а)
tg —а, если аф 1,
2.1п|*|, если а = 1.
Этот результат завершил исследования, начатые Пуассоном и
Коши.
Каков будет класс предельных распределений для сумм 5П==
п
— ^—» в том случае, если слагаемые могут быть распреде-
лены не одинаковым образом? Этот вопрос поставил Хинчин в
письме Леви. Тот решил задачу, определил искомый класс. По
предложению Хинчина, в честь заслуг Леви класс был обозначен
буквой L. На слагаемые — суммы естественно наложить усло-
вие, чтобы они оказывали на сумму лишь незначительное
влияние. Условие таково: величины — предельно постоянны, т. е.
Вп
для них можно найти такую последовательность постоянных тПк,
что равномерно относительно &(1^?<п) и для любого е>0
выполняется
— т
nh
J> е 1 —> 0 при п—>оо.
Характеристическое свойство законов класса L состоит в
следующем: чтобы ф(/) была характеристической функцией, необхо-
389
димо и достаточно, чтобы для каждого а(0<а<1) имело место
ф(/)=ф(а?) МО» где МО — некоторая характеристическая
функция.
Следующая проблема была поставлена Б. В. Гнеденко:
каковы классы возможных предельных распределений, если
случайные величины 6ь Ъу — могут быть распределены по /г(1<&<оо)
различным законам распределения F\\x), ^2(я), •••? Она была
решена в 1971 г. А. А. Зингером.
Из мощного уже потока исследований проблем теории
случайных величин выделим под конец группу работ, где изучали
безгранично делимые распределения. Исходным является вопрос:
какие предельные распределения будут получаться, если суммы
Sn одинаково распределенных независимых слагаемых
рассматривать не по всем значениям я, а по некоторым
подпоследовательностям значений? Этот вопрос поставил Хинчин, и он же на
него ответил. Искомым оказался уже известный, введенный в
1930 г. класс безгранично делимых распределений. Свойство
безграничной делимости в применении к случайной величине
состоит в том, что для любого целого числа п ее можно представить
в виде суммы п независимых одинаково распределенных
слагаемых. Ввел безгранично делимые распределения итальянский
математик Бруно де Финетти; подробное исследование провели
А. Н. Колмогоров, П. Леви и А. Я. Хинчин.
В 1933 г. А. Н. Колмогоров высказал гипотезу, что если
суммируют примерно равноправные независимые случайные
величины, то при увеличении числа слагаемых их распределения будут
приближаться к безгранично делимым. Следовательно, если
распределения сумм будут приближаться к предельному, то этот
предельный закон обязательно должен быть безгранично
делимым. Эту гипотезу доказал в 1934 г. Г. М. Бавли, ученик А. Н.
Колмогорова, при условии, что слагаемые имеют конечные
дисперсии, а дисперсии последовательных сумм ограничены. В
полном объеме гипотезу доказал А. Я. Хинчин в 1937 г. Отправляясь
от этой работы Б. В. Гнеденко построил теорию суммирования
независимых случайных величин. Она основана на таком
соображении: если суммируют предельно постоянные независимые
слагаемые, а функции распределения соответствующих центрируемых
сумм сходятся к какому-то предельному, то можно построить
последовательность безгранично делимых случайных величин,
функции распределения которых сближаются с функциями
распределения сумм. Эти безгранично делимые величины получили
название сопровождающих. Результаты Бавли и Хинчина с этих
позиций оказывались частными случаями.
Такой подход давал, кроме того, возможность отыскать
условия существования предельных распределений и условия
сходимости функций распределения сумм к любому возможному
предельному распределению. В частности, были найдены
необходимые и достаточные условия для закона больших чисел, для
сходимости к нормальному распределению, распределению Пуассона,
390
А. Н. Колмогоров (1903—1987)
к устойчивым распределениям. Все эти вопросы нашли
отражение в монографии Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова
«Предельные распределения для сумм независимых случайных величин»
(1949).
В последующие годы на видное место выдвинулись проблемы
предельного поведения сумм независимых случайных величин,
взятых в случайном числе. Первоначально усилия
сосредоточивались на условиях сходимости к нормальному распределению и
выполнимости закона больших чисел. Позднее были поставлены
вопросы о классе предельных распределений и об условиях
существования предельного распределения. Эту задачу удалось
решить в условиях одинаковой распределенности и независимости
слагаемых, а также независимости индекса суммирования от
слагаемых. Основная теорема, появившаяся в разработке этой
проблематики, получила название теоремы переноса.
391
От закона больших чисел взяла свое начало новая предельная
закономерность, названная законом повторного логарифма. В
ней не ставится задача отыскания предельных распределений, а
изучается поведение всех сумм, взятых вместе.
Обозначим \кп число появлений события А в п независимых
испытаниях и рассмотрим разности 5n = jLin—пр. Для закона
больших чисел в 1909 г. Э. Борель дал обобщенную формулировку и
показал, что справедливо и более общее утверждение: Р \-л —>
\п
-*0! = 1. Через 4 года Ф. Хаусдорф доказал более сильное
утверждение: для любого ?>0 Р | ~ >01 = 1 Еще год спустя
Г. Харди и Дж. Литлвуд обнаружили еще более сильный факт,,
согласно которому отношение \Sn\/Vn in п вообще не меняется.
В 1922 г. А. Я- Хинчин для роста сумм Sn дал оценку 5* =
=0 (Y/zlnlmz). Через 2 года А. Я. Хинчин нашел окончательный
результат:
p/lim SUp »S"I «11== 1.
Ylnp q In In n
Еще через 2 года А. Я. Хинчин распространил этот результат
на схему Пуассона, т. е. на случай последовательных испытаний
с переменной вероятностью появления события А.
А. Н. Колмогоров к 1929 г. получил результаты, значительно
превосходящие все предшествующие в этой проблеме. Пусть
задана последовательность §ь ?2> ... взаимно независимых
случайных величин. Их математические ожидания ак=М^у дисперсии
Ъи = Dtb\ Вп *= ^ &А' ^я— 2 ^A~-a*)• Если последовательность
%k удовлетворяет еще двум условиям: при л-*-оо
1) Вп->оо; 2) \1п\<тп=о ( V intn # / то она УДОвл^в^ряет
закону повторного логарифма, т. е. для нее выполняется
соотношение
^ =11=1.
pi iim SUp \sn\ = 4J:
[ n-oo /2 Вп In In В j
Иными словами, в установленных предположениях для любых
б>0 и 6>0 можно указать настолько большое целое число N,
что:
1) вероятность того, что хотя бы при одном n>N выполнится
неравенство |5п1<(1+б) У2Вп1п\пВП9 будет <е;
2) вероятность того, что хотя бы для одного n>N будет
выполнено неравенство |SJ>(1—6) У2В^\п1пВ^ будет больше,,
чем 1—е.
392
Позднее уже многие математики занимались подобными
вопросами. Получено много прекрасных результатов,
систематический историко-научный обзор которых помог бы дальнейшему
прогрессу теории вероятностей. Для примера упомянем два
результата: а) если случайные величины ?& одинаково
распределены и имеют конечную дисперсию (разумеется, ненулевую), то
это условие достаточно для выполнения закона повторного
логарифма. Этот результат может быть обратим (см.: Маттикай-
нен. Обращение закона повторного логарифма для случайного
блуждания//Теория вероятностей и ее применения. 1980. Т. 25,
вып. 2. С. 364—366); б) Б. В. Гнеденко доказал, что для любой
неубывающей функции и(п) и для любого устойчивого закона с
показателем а(0<а<2) с вероятностью единица отношение
lim sup—2- равно нулю или бесконечности.
п-+оо и(п)
§ 9.4. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Начался XX век и математикам пришлось все более активно
разрабатывать аппарат для исследования случайных процессов.
Это было вынужденно.
В исследованиях датского ученого А. К. Эрланга (1878—
1929), работавшего по заданию шведской телефонной компании
с 1908 по 1922 г., была начата разработка математической теории
загрузки информационных сетей. Число абонентов,
включающихся в сеть, случайно, длительность каждого включения тоже. В
условиях двойной случайности шел поиск методов расчета
пропускной способности телефонных сетей, коммутационных
устройств и систем, управляющих связью.
Динамика развития биологических популяций получила
первоначальную разработку в работах итальянского математика Вито
Вольтерра. Его математическая модель была построена на базе
не вероятностных, а детерминистских соображений. Позднее
математическая биология развивалась уже на основе стохастических
представлений. Схемы, применяемые при этом, получили
название процессов гибели и размножения именно вследствие
биологической трактовки задач.
Молекулярные процессы, характерные для многих физических
явлений, для своего исследования требуют умения вычислять
вероятности того, что определенная доля молекул успеет за
заданный промежуток времени перейти из одной области пространства
в другую. Например, пусть происходит диффузия. Как быстро
происходит этот процесс, по каким законам, когда
диффундирующая смесь становится практически однородной? На подобные
вопросы дает ответ статистическая теория диффузии,
основывающаяся на теории случайных процессов. Аналогичные модели
характерны дли изучения хода химических реакций. Первые попытки
изучать средствами теории вероятностей физические явления
диффузии были предприняты в 1914 г. двумя известными
физиками: Максом Планком и Фоккером.
393
Теорию броуновского движения на основе
теоретико-вероятностных предпосылок начали с 1905 г. разрабатывать также
физики: М. Смолуховский и А. Эйнштейн. Высказанные ими идеи
позднее широко применялись в самых различных постановках и
интерпретациях. Именно с их работ, а также с работ Эрлаига
развился широкий интерес к пуассоновским распределениям и
процессам. Сам Пуассон ввел в научное рассмотрение только
свой тип распределений. Закрепление его имени и для
процессов —¦ это просто дань уважения к научным заслугам Пуассона.
Аналогичная ситуация имеет место и яля гауссовских случайных
процессов.
В этом случае даже исходное распределение было получено
Муавром и другими еще до того, как Гаусс родился. В теории же
ошибок измерений, в которую Гаусс внес конкретный вклад, он
получил свой тип распределений одновременно с Лежандром.
Математическая модель радиоактивного распада должна
отражать среди прочих то обстоятельство, что атомы
радиоактивного вещества, распадаясь, превращаются в атомы другого
элемента. Распад каждого атома происходит мгновенно, с
выделением некоторого количества энергии, подобно взрыву.
Наблюдения показывают, что распад отдельных атомов происходит в
случайные моменты времени, в случайном расположении и, если речь
не идет о количестве вещества, не превышающем обычные
критерии, то независимо. Математическое исследование состоит в
оценке вероятностей распада определенного числа атомов за
определенные промежутки времени. Сходные типы моделей
используются также для других случайных процессов: обрывы нитей в
прядильной машине, число частиц, оказавшихся в результате
броуновских движений в определенной части пространства, число
вызовов абонентов, поступающих на телефонную станцию и др.
Эти задачи привели к созданию моделей случайных процессов
и общей для них теории. В середине 20-х гг. при изучении
броуновского движения Н. Винер рассмотрел модели процессов,
удовлетворяющих следующим условиям:
1) функция распределения разности К^о+0—К'о) не зависит
от начального момента (однородность во времени);
2) приращения в процессе КО за непересекающиеся
промежутки времени (si, ti) в конечном числе независимы
(независимость приращений);
3) величины |(^о + 0—КМ нормально распределены со
средним значением 0 и дисперсией оЧ.
Среди накопленных результатов, составляющих предпосылки
для построения общей теории случайных процессов, выделяются
работа А. А. Маркова по изучению цепных зависимостей и работы
Е. Е. Слуцкого по теории случайных функций.
Началом построения общей теории случайный процессов
принято считать публикацию в 1931 г. большой статьи А. Н.
Колмогорова «Об аналитических методах в теории вероятностей» и в
1934 г. работы А. Я. Хинчина «Теория корреляции стационарных
394
стохастических процессов». В первой из этих работ были
заложены основы теории марковских процессов, во второй — основы
стационарных процессов. Они сделались источником огромного
числа исследований. Среди них следует выделить в первую
очередь статью В. Феллера «К теории стохастических процессов»
(1936), где выделены интегродифференциальные уравнения для
скачкообразных марковских процессов.
Исходные идеи построения общей теории случайных
процессов лучше всего демонстрирует следующее разъяснение А. Н.
Колмогорова в упомянутой статье: «Желая подвергнуть
математической обработке явления природы или социальной жизни,
необходимо предварительно эти явления схематизировать; дело в
том, что к исследованию процесса изменения некоторой системы
математический анализ применим лишь в том случае, если
предположить, что каждое возможное состояние этой системы может
быть вполне определено с помощью известного математического
аппарата, например при помощи значений, принимаемых
известным числом параметров; такая математически определимая
система есть не сама действительность, но лишь схема, пригодная
для описания действительности.
Классическая механика пользуется лишь такими схемами, при
которых состояние у системы для момента времени t
однозначным образом определяется ее состоянием х в любой
предшествующий момент /0; математически это выражается формулой: у=
=/(*, *о, t).
Если такая однозначная функция существует, как это всегда
предполагается в классической механике, то мы говорим, что
наша схема есть схема вполне детерминированного процесса. К
числу вполне детерминированных процессов можно было отнести и
те, в которых состояние у не вполне определяется заданием
состояния х для единственного момента времени t, существенным
образом зависит еще от характера изменения этого состояния
перед моментом t. Однако обычно предпочитают избегать такой
зависимости от предшествующего поведения системы, для чего
расширяют само понятие состояния системы в момент времени t
и соответственно этому вводят новые параметры. Хорошо
известный пример применения этого метода мы имеем при описании
состояния некоторой механической системы не только
координатами ее точек, но также и компонентами их скоростей.
Вне области классической механики наряду со схемами вполне
детерминированных процессов часто рассматриваются и такие
схемы, где состояние х системы в некоторый момент времени t0
обусловливает лишь известную вероятность для наступления
возможного состояния у в некоторый последующий момент t>t0.
Если для любых заданных t0l t>t0 и х существует определенная
функция распределения вероятностей для состояния г/, мы
говорим, что наша схема есть схема стохастически определенного
процесса. В общем случае эта функция распределения
представляется в виде P(t0y х, t, А), причем А обозначает некоторое мно-
395
жество состояний, а Р есть вероятность того, что в момент t>t&
окажется реализованным одно из состояний Л, принадлежащих
этому множеству».
В этой работе А. Н. Колмогорова заложены основы теории
случайных процессов без последействия, получены
дифференциальные уравнения, управляющие вероятностями перехода. В
этой же работе был дан набросок теории скачкообразных
процессов без последействия. Теория марковских процессов
превратилась в большую и разветвленную область математики,
получившую огромное число приложений в физике, технике,
геофизике, химии и других науках.
В упомянутой работе А. Я. Хинчина были построены основы
другого класса случайных процессов. Введено понятие
стационарного процесса в широком и в узком смысле и получена
формула коэффициента автокорреляций. В этом направлении
последовала также длинная серия работ, развивающих идеи А. Я.
Хинчина.
Отметим, наконец, важное и интересное для истории науки
обстоятельство. Понятия случая, случайной величины и другие,,
столь монолитные в своей непознанности, по мере накопления
знаний и проникновения в их сущность начинают дробиться и
конкретизироваться. То же происходило и в теории случайных
процессов. Если случайная величина l(t) или вектор [|i(0> —>
^n(t)] со значениями, равными действительным числам, зависит
только от одного вещественного же параметра t, то принято
говорить о случайном процессе ?(/)• Параметр / почти всегда
трактуется как время. Если берется дискретная последовательность
значений tu h, ...» то говорят уже о случайной
последовательности. Если же случайная величина \ (или вектор) зависит больше
чем от одного параметра, то ее называют случайным полем.
Число примеров случайных полей и продолжающейся
дифференциации понятий можно приводить неограниченно.
§ 9.5. ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Как было описано до сих пор, мы видим, что в исчислении
вероятностей выводят законы и правила, которые позволили бы по
вероятностям одних случайных событий вычислять вероятности
других. В ином аспекте, речь идет о том, чтобы научиться по
числовым характеристикам и функциям распределения одних
случайных величин определять функции распределения других.
Наконец, установленные характеристики случайных состояний
распространяют на процессы.
Естественно поставить вопрос: как находят исходные
вероятности, функции распределения и другие начальные
количественные характеристики. Эти вопросы составляют предмет
исследования другой науки о массовых случайных явлениях, которую
называют математической статистикой. Вместе с теорией
вероятностей эта наука начала формироваться в XVIII веке и
сложилась к началу XX века.
396
Вообще статистические занятия людей делятся на 3
следующих вида: а) сбор статистических сведений; б) статистическое
исследование собранных данных, состоящее в выяснении тех
закономерностей, которые могут быть установлены из массы этих
данных; в) разработка методов получения и анализа
статистических данных. Последний раздел и составляет научное содержание
математической статистики.
Исходным материалом для статистического исследования
реального явления служит набор численных результатов
наблюдений или специально поставленных экспериментов. На этом
материале ставят и решают множество задач, например, следующие:
1. Статистическая характеристика значения неизвестной
вероятности случайного события.
2. Определение неизвестной функции распределения;
3 Определение неизвестных параметров распределения.
4. Проверка статистических гипотез путем проверки их
соответствия данным наблюдений.
5. Оценки зависимостей наблюдений над различными
случайными величинами, иначе называемых функциональными или
корреляционными связями.
6. Управление процессами.
7. Планирование статистических испытаний.
Так же, как и в теории вероятностей, в течение долгого
исторического периода статистические исследования были
эпизодическими и результаты — разрозненными. Заметным явлением
была книга Д. Граунта «Природные и политические наблюдения,
перечисленные в прилагаемом оглавлении и сделанные над
бюллетенями смертности. По отношению к управлению, религии,
торговле, росту, воздуху, болезням и разным изменениям
означенного города» (1662). Речь идет о Лондоне, о демографии, или, как
в те времена говорили, о политической арифметике.
Цель исследований состояла в отыскании метода, который
позволял бы определить с достаточной точностью состав
населения Лондона в результате наблюдений за составом умерших.
Были проанализированы 229250 записей за 20 лет. Было отмечено
71124 смерти детей до 6 лет. Перечислены причины смертей.
Специально отмечено, что отношение этих чисел примерно равно -I.
о
В дальнейших рассуждениях, которые мы воспроизводить не
будем, проявляется идея статистической устойчивости средних,
частоты событий, зависимости точности выводов от массовости
наблюдений.
В 1682 г. вышла в свет аналогичная книга В. Петти «Два
очерка о политической арифметике, относящейся к людям,
зданиям, больницам в Лондоне и Париже». Эти и последующие работы
(а число их быстро возрастало) имели не только научное
значение. Преобладали задачи применения демографических
исследований к практике решения экономических и государственных
задач, а также к страховому делу.
397
Последующее развитие математической статистики мы не
имеем возможности описать здесь подробно. В нем выделяются
следующие основные пути и тенденции.
1. Возрастание значения статистических исследований вплоть
до образования государственных органов, ведающих статистикой.
2. Внедрение статистических методов в другие науки и все
более широкое их использование вплоть до образования таких наук,
как биометрика и эконометрика.
3. Сохранение тесных связей с теорией вероятностей,
сущность и виды которых охарактеризованы в первых же строках
этой главы.
4. К 20-м гг. нашего века накопление статистических методов
(теория малых выборок, методы статистических оценок и
проверки гипотез, последовательный анализ, таблицы значений
наиболее часто применяемых функций и др.) достигло уровня,
обеспечивающего самостоятельное положение математической
статистики в системе математических наук.
ГЛАВА 10
ИЗ ИСТОРИИ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
§ 10.1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ
В течение последних 40—50 лет в приложениях математики
стремительно возрастает роль тех разделов, где требуется изучать
разнообразные дискретные системы: автоматы и автоматические
линии, схемы оптимальной организации производственных
процессов, электронные платы, транспортные потоки, системы связи и
управления, коды и другие средства защиты информации,
статистические таблицы и многие другие.
В составе самой математики столь же стремительно
производится разработка математических моделей, с помощью которых,
соответствующие задачи решаются. Это графы, матрицы, блок-
схемы, производящие функции, дискретно-геометрические
построения, специальные схемы логических высказываний и многое
другое. Совершенствуются соответствующие вычислительные методы.
Высокий темп этих процессов стимулируется использованием ЭВМ,
преимущественно цифровых, действующих на принципах
дискретного счета.
Упомянутые модели имеют то общее, что в них
рассматриваются множества, состоящие из дискретно расположенных элементов.
Различие же состоит в выборе интерпретаций и в том, как
ставятся задачи перечислительного или структурного характера. За
совокупностью математических средств, которыми указанные типы
моделей изучаются, установилось общее название: дискретная ма-
техматика.
Вообще-то дискретные модели в математике существовали
всегда. С них математика начиналась. И в настоящее время они
занимают большую часть ее состава. В традиционных частях
математики (арифметика, алгебра, геометрия) без труда можно
выделить их дискретную составляющую.
Задача настоящей главы — выделить и рассмотреть тот
исторический процесс, который привел к формированию из
разрозненных и обособленных сведений о дискретных расположениях, общей
дискретной математики в указанном выше смысле.
Исходным материалом, из которого она вырастала, являлись
элементарные комбинаторные знания. Ведущей идеей —
стремление построить общую математическую теорию столь, казалось бы,
разнородных, но все больше осознаваемых в своей общности и
взаимных связях математических объектов. Комбинаторный характер
Соавтором этой главы является А. Е. Малых.
399
и в наши дни присущ теоретическим основам дискретной
математики.
§ 10.2 ПЕРИОД НАКОПЛЕНИЯ КОНКРЕТНЫХ
КОМБИНАТОРНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Математические операции, характерные для так называемой
элементарной комбинаторики, существуют в математике
практически изначально. В подавляющем большинстве они имеют
отчетливо прослеживаемое практическое происхождение. В
математическом наследии древних цивилизаций — Китая, Индии, Греции
и других стран — а затем мусульманского мира и средневековой
Европы, неизменно наличествуют элементы комбинаторного
характера. В течение многих веков эти элементы накапливались,
являясь преимущественно неотделимой частью вычислительной
практики. Заманчивая простота в постановках задач и в
исполнении комбинаторных операций способствовала частому их
повторению, что и отражено в дошедших до нас письменных источниках.
Практически все накопленные факты до XVI в. заключительно
можно сгруппировать в следующие разделы: 1) фигурные числа;
2) числовые (по преимуществу магические) квадраты; 3)
определение числа операций комбинаторного характера; 4)
биномиальные теоремы; 5) арифметический треугольник.
Фигурные числа — это последовательности целых
положительных чисел, которые, если их представить точечными множествами,
могут быть изображены в виде семейства подобных
геометрических конфигураций (треугольных и вообще многоугольных,
пирамидальных). Большое число примеров фигурных чисел было
построено еще в пифагорейской научной школе Древней Греции.
К началу нашей эры уже были достигнуты результаты
теоретического значения. Так, у Гипсикла Александрийского (II в. до
н. э.) уже имеется общее определение многоугольных чисел. Если
перевести его на привычный нам язык, то оно будет читаться так:
ть-м га-угольным числом Рат называют сумму членов
арифметической прогрессии, у которой ai —1; d=m—2, а его значение
__(та-2)п»-(т--4)г1
Диофанту Александрийскому (III в.) принадлежит правило,
которое можно выразить формулой: 8(т—2)Р^+(т—4)2=
= [/71—2) (2га—1)+2]2. Оно позволяет преобразовать любое
многоугольное число в квадратное.
Практически все (или во всяком случае многие) авторы
математических сочинений последующих столетий включали в них
рассмотрение фигурных чисел. Даже в XVI—XVII вв. это делали
Ферма, Декарт, Валлис и другие. В дальнейшем фигурные числа
заняли свое место в высшей арифметике (позднее теория чисел).
Для рассматриваемого нами здесь круга идей, фигурные числа
представляют пример соединения наглядных и численных харак-
400
теристик специфических классов конечных дискретных множеств.
В предшествующем нам XIX столетии они возродились под
названием «графы», придуманном Сильвестром.
Числовые квадраты издавна привлекали внимание людей
пытливого ума. Ими занимались даже в те далекие времена, когда
теоретические построения математики не были освобождены от
числовых суеверий и предсказаний. Разумеется, речь шла не о
статистических констатациях, имеющих вид таблиц, а о квадратах со
специальными свойствами: магических и латинских.
Напомним, что магический числовой квадрат — это таблица
\\ац\\ целых чисел от 1 до /г2, размера пхп, удовлетворяющая
следующим условиям:
п п п п
i=t /=I /=I i=l
где S=— . Рассматриваются в математике и квад-
раты, в которых снято условие относительно элементов на
диагоналях (латинские), а также более общие магические квадраты, в
которых не требуется, чтобы l^a/j^n2, или такие, которые
наделяют дополнительными свойствами симметрии.
Существует большое количество сочинений,
свидетельствующих, что интерес к числовым квадратам никогда не угасал. Уже
к средневековью был найден ряд алгоритмов построения
магических квадратов нечетного порядка п. К нашему времени число
алгоритмов увеличилось. Однако никакой общей теории для
магических квадратов еще нет [1]. Полная информация о латинских
квадратах содержится в монографии [2].
Числовые квадраты относят также к теории чисел. В
дискретную математику они вошли в качестве ранних предшественников
таблично-схемного аппарата, привносящего в нее идеи
инцидентности, матричных построений.
Столь же массовый и постепенный характер имело накопление
знаний относительно: а) отыскания числа перестановок, сочетаний
и размещений с повторениями элементов и без них; б) нахождение
коэффициентов разложения целочисленной степени бинома; запись
этих коэффициентов в таблицу.
Учитывая уровень математической подготовки читателей
настоящей книги — студентов математических специальностей и
специалистов, уже получивших высшее математическое образование,
не будем множить число элементарных примеров, а сформулируем
выводы. Весь упоминавшийся выше историко-научный материал,
обильный, но математически несложный, показывает, что:
1) единого источника комбинаторных знаний не существовало:
в каждой из древних и более поздних математических культур
имелись элементы комбинаторики и свои достижения;
401
2) комбинаторные задачи и методы их решения долгое время
оставались невыделенной частью общей области вычислительной
практики;
3) элементы комбинаторного знания, хотя и появлялись в
сравнительно большом разнообразии интерпретаций, легко допускали
выделение математической модели — конечного множества
дискретных элементов и операций над ним;
4) научным итогом этого длительного периода было
построение математического аппарата решения ряда задач дискретного
характера.
§ 10.3. ПЕРВЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
В XVII в. положение в дискретной части математики стало
изменяться. На первый план в качестве предмета исследования
выступили сами комбинаторные объекты, сформировавшиеся в ходе
многолетней практики решения задач. Информация об их
свойствах собиралась, систематизировалась, рассматривалась с общих
позиций. Словом, последовательно и целеустремленно
вырабатывались общетеоретические элементы комбинаторной математики.
Этот процесс наиболее отчетливо проявился в «Трактате об
арифметическом треугольнике» Б. Паскаля [3]. Он был отпечатан
в 1665 г.; однако о его существовании было известно еще в 1653 г.
Что касается предмета исследования, то арифметический
треугольник в то время новостью не являлся. Сходная таблица имеется в
сочинениях Штифеля и Тартальи. Встречаются аналогичные
таблицы и в более ранних сочинениях. Но посмотрим, все-таки, как
свой треугольник строил и рассматривал Паскаль (рис. 64).
Во-первых, он систематически и детально рассмотрел свойства
фигурных чисел (расположены по строкам,). Дал закону
образования чисел в треугольнике, а через него и соотношениям
различных разностных рядов общее доказательство. Оно состоит в
последовательном применении принципа так называемой
математической или полной индукции.
Паскаль доказывает, с однойг
стороны, что предложение
справедливо для некоторого
значения числа п и для всех
меньших значений, а с другой
стороны, если предложение
справедливо для п, то оно
верно и для /1+1. Отсюда
делается вывод, что
предложение верно для всех п>г.
Во-вторых, в сочинении
сформулированы и доказаны
в общей форме многие
свойства последовательностей
биномиальных коэффициентов,,
Рис. 64
402
чисел сочетаний. Наглядность, в-третьих, является важным
достоинством треугольника. Достаточно в самом деле взять число,
стоящее в (т+1)-и строке и (аЦ-1)-м столбце, как станет ясно,
что мы имеем дело с (mi~} )-
Среди задач, стимулирующих новый общий подход к
комбинаторике, ведущую роль играли также задачи вероятностные. Ими
занимались многие ученые и притом активно. Ферма, Паскаль,
Гюйгенс владели всеми знаниями, из которых развилась
позднейшая теория вероятностей (см. гл. 9).
Что же касается содержания и уровня собственно
комбинаторных знаний того времени, получивших вероятностную трактовку,
то с наибольшей полнотой и обстоятельностью они описаны в
сочинении Я. Бернулли «Искусство предположений» [4]. Это
огромное сочинение, посвященное главным образом теории
вероятностей. Оно было издано в 1713 г., после смерти автора (1705),
который так и не успел его закончить. Состоит это сочинение из
четырех частей.
Комбинаторика сосредоточена во второй части. В этом
сочинении она играет роль математического аппарата,
приспособленного для вычисления вероятностей. Во введении к ней Я.
Бернулли в числе своих предшественников и современников почему-то не
упомянул Паскаля. Это обстоятельство повело, в частности, к
ошибке; в течение долгого времени приоритет в части
использования метода полной математической индукции приписывали самому
Я. Бернулли.
Комбинаторная часть сочинения состоит из 9 глав. В первой
описаны перестановки без повторений (их число Рп=п\=пРп-х)
и с повторениями (соответственно формула: Рп(ос, р, ..., ^) = :—,
где a+p+... + Y=*, а сами а, р, ..., -у — количества
повторяющихся элементов). В следующей главе эти результаты применены к
подсчету числа анаграмм и протеевых стихов.
Следующие 3 главы (3—5) посвящены сочетаниям, глава 6—
сочетаниям с ограничениями на повторения элементов. В 7-й
главе Я. Бернулли рассматривает «сочетания вместе с их
перестановками», т. е. размещения. Вывод формулы для числа
размещений опирается на формулу о числе сочетаний без повторений.
Вводится «классовое число» Ссп — число комбинаций п различных
элементов с другими без учета порядка расположения элементов
и формулируется правило: «...нужно записать убывающую
арифметическую прогрессию с разностью, равной 1, первый член
которой равен числу элементов и которая имеет столько членов
сколько единиц имеет классовое число. Произведение членов этой
прогрессии даст искомое число». Это правило Я. Бернулли
демонстрирует на примере подсчета А\0 и на примерах: если с=п,
то А*-Ря] п+Л1-#; 4;=^.
403
Далее описывается число размещений без повторений по всем
классам вместе.
Восьмая глава посвящена размещениям с неограниченными
повторениями, когда «вещь может повторяться, и притом
произвольное число раз и в любой комбинации». Формулы пояснены на
примерах. Наконец, в последней, 9-й, главе изучаются размещения
с ограниченными повторениями. Все рассуждения проведены на
примерах с применением специально составляемых во многих
случаях таблиц.
Я. Бернулли построил комбинаторную теорию, которая
превзошла все другие работы того времени своей систематичностью,
широтой постановки задач, строгой обоснованностью, простотой
методов. Комбинаторная часть «Искусства предположений»
поэтому долгое время (практически в течение всего XVIII в.) являлась
не только научным трактатом, но и учебно-справочным изданием.
Было бы и сейчас целесообразно в интересах преподавания
математики в школе и воспитания у молодых людей вкуса к
дискретному математическому мышлению написать о всем сказанном
выше более подробно. К сожалению, для этого понадобилось бы
слишком много места. Для освещения исторического опыта
математического исследования дискретных систем — теоретического и
практического, — следует издать отдельную книгу.
§ 10.4. ИДЕИ ОБЩЕЙ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ
Сделалось привычным связывать достижения математики
XVII в. лишь с введением в науку методов анализа бесконечно
малых. Столь же привычно стало связывать это великое
открытие с именами Г. В. Лейбница и И. Ньютона.
На самом деле математические методы исследования
дискретных систем не теряли своего значения. Накапливающиеся факты
комбинаторного характера стали рассматриваться с теоретических
позиций под влиянием преимущественно алгебраических и
вероятностных задач. Не замедлила с появлением и первая попытка
построения общей комбинаторной теории. Она принадлежала
Г. В. Лейбницу, который строил ее как математический аппарат,
посредством которого он надеялся осуществить свою идею
всеобщей характеристики.
В 1666 г. Лейбниц представил Лейпцигскому университету
сочинение на эту тему и в том же году опубликовал его. Это было
«Рассуждение об искусстве комбинаторики» [5]. Ввиду
принципиальной важности для истории дискретной математики опишем его
содержание, опуская рассуждения философского и
нематематического характера.
Состоит сочинение в соответствии с принятой в те времена
манерой из определений и задач. Основному тексту предшествуют
три определения, один постулат, четыре аксиомы и одно
наблюдение. Затем следует текст, в котором вводятся понятия и термины.
Пусть имеется множество элементов (tota). Оно допускает
разбиения на подмножества (minora tota). Количество элементов
404
в подмножестве называется показателем. В зависимости от
показателя Лейбниц ввел термины: ком 2 нации (комбинации), ком 3
нации (комтернации), ком 4 нации (комкватернации) и т. д. Для
обозначения действий с подмножествами («комплексами».)
вводятся знаки: +, — (Лейбниц упоминает, что заимствовал их у
Декарта), а также П (умножение), (J (деление), / (разность; от
facit — дает), = (равенство). О второй группе знаков Лейбниц
пишет, что они взяты из сочинений Барроу.
В работе рассмотрено 12 задач. На общий приоритет в их
постановке и методах решения Лейбниц не претендовал, знанием
многих сочинений (например, трактата Паскаля о треугольнике)
к моменту написания своей работы, по-видимому, не обладал. По
всей вероятности, основной фактический материал был вообще
широко известен. Лейбниц лишь извлек из него систему
общетеоретического рассмотрения — впервые в истории этой науки.
Лейбниц начинал с того, что нашел число всех сочетаний
элементов заданного множества п при показателе k. Короче говоря,
он вывел формулу: C^C^-f-C^l- Чтобы ею пользоваться,
составил таблицу до /г=&=12. Рассмотрел и разъяснил частные
случаи:
С*=0 при k>n\ С»=1, С;;-1—л, С2 = С«-*.
i — \\ п
Затем следуют результаты: С*=——'; 2С* = 2п,а после
этого — обстоятельное рассуждение о приложениях
комбинаторных результатов к логике, арифметике, описание задачи о
звуковых гаммах и песенных мотивах в органе, о фигурных числах.
Комплексы сочетаний группируются в классы. Относительно
них рассматриваются сочетания классов, т. е. такие сочетания,
показатель которых равен числу классов, причем в каждом
сочетании находится по одному предмету из каждого класса.
Проще говоря, речь идет о следующем: пусть дано п множеств М\,
Щ, ..., МПу число сочетаний в которых ти т2, ..., т^. Общее чис-
п
ло сочетаний равно f] rnt . К этому примыкает задача о
родословном дереве, на котором подсчитывают ветви родства.
Задачи о разбиениях целых чисел рассмотрены для двух
слагаемых. Впрочем, из замечаний, сопровождающих
соответствующий текст, видно, что автор готов рассматривать разбиения и для
большего числа слагаемых.
Перестановки заняли значительное место в рассматриваемом
сочинении Лейбница. Их числа Рп подсчитаны до /г=24. Для
соотношения Рп=пРп-1 составлена таблица, разъясняющая суть
вопроса. Сформулировано 7 теорем о свойствах перестановок.
Среди них (в привычной нам записи):
2Рп—{П—1)Рп-1 = Рп-1 + Рп,
(Pn)2:pn = pn+1_pn.
405
Рассматриваются не только элементарные задачи о
перестановках, но и более сложные. Например, задача об упомянутых
несколько выше протеевых стихотворениях. Это стихотворения,
допускающие перестановки слов без изменения размера и
искажения смысла (Протей — персонаж греческой мифологии,
морское божество, способное принимать различные? образы и
потому неуловимое). К ним же отнесены анаграммы, т. е допустимые
или допускаемые перестановки букв в высказываниях. Хотя
требование сохранения смысла без необходимой формализации еще
математического смысла не имеет, но сама идея перестановок
или путей с запрещенными ситуациями налицо.
Кроме того, Лейбниц изучал циклические перестановки,
правильно находил их число. Перестановки с повторениями
появились в задаче об образованиях мелодий из пяти тонов: ut, re, mi,
fa, sol. Задача была известной, ее умели решать. К сожалению,
Лейбниц в ее решении допустил ошибку, так и оставшуюся неис-
яравленной.
Все эти и другие результаты располагаются в той части
сочинения, где речь идет о первых шести задачах. Другие 6 задач уже
не столь математичны. Но и в них Лейбниц рассматривает ряд
интересных и важных комбинаторных вопросов.
Юному Лейбницу (ему во время написания диссертации было
меньше 20 лет), как он сам об этом пишет, досталась трудная
задача, потребовавшая от него много времени и труда. Ему
ничего не оставалось иного, как перебирать один за другим все
возможные варианты, что он и сделал.
«Рассуждение о комбинаторном искусстве» заканчивается
словами: «Если все-таки кто-либо осудит нашу многословность,
то опасаюсь, как бы он не посетовал на краткость, когда в
результате поворота фортуны он подойдет к практическим
приложениям».
Впоследствии Лейбниц многократно обращался к
комбинаторике. В Париже, где он служил в 1672—1676 гг., он
познакомился с Гюйгенсом, а по его совету — с математическими
рукописями Паскаля. Однако сочинений, подобных по замыслу и
структуре «Рассуждению о комбинаторном искусстве», Лейбниц
больше не писал. Как видно из огромного количества
математических рукописей, оставшихся неопубликованными, Лейбниц в
этой области интересовался по преимуществу задачей поизволь-
ного бросания многогранных игральных костей и другими
задачами теоретико-вероятностного характера.
Первая попытка построения общей комбинаторной теории,
предпринятая Лейбницем, показала: средства теоретического
построения еще ограничены; задачи анализа дискретных систем
еще сложны. Но пути, способы, которыми Лейбниц пользовался,
теоретико-множественные модели, которые он строил, оказались
единственно возможными. Они нашли свое развитие в
последующем.
406
Таким образом, к началу XVIII в. комбинаторная часть
математики приобрела логически стройную систему основных понятий,
сложившийся аппарат для производства комбинаторных
операций, устойчивые связи с теорией вероятностей, теорией чисел и
алгеброй, самостоятельное положение в математике,
расширяющуюся область приложений. В ней проявились первые попытки
общетеоретических трактовок.
§ 10.5. КОМБИНАТОРИКА В НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ
Л. ЭЙЛЕРА
К комбинаторной тематике Эйлер обращался много раз и
сохранял к ней активный интерес в течение всей жизни. Ей
посвящено свыше 10 специально написанных им сочинений, не
считая отдельных глав, мемуаров, многочисленных писем и
неопубликованных рукописей. Среди последних особо интересны
записные книжки — 12 переплетенных тетрадей общим объемом около
4000 страниц. Они являлись научным дневником Эйлера и
отражали его научное творчество на протяжении примерно 50 лет
жизни. Хранятся они в архиве АН СССР [6].
Всякий раз исходным пунктом комбинаторных исследований
Эйлера являлась сравнительно конкретно поставленная задача.
Решение же нередко (почти всегда) приводило к широким
теоретическим обобщениям. Приведем примеры.
Задачи о разбиениях чисел. Под разбиением числа (partitio
numerorum) понимают набор натуральных чисел, сумма которых
задана. Если порядок слагаемых несуществен, то такие наборы
называли сочетаниями с определенной суммой, или денумеран-
том. Термин ввел Дж. Сильвестр; ему же принадлежит
соответствующий символ CW [J/2; 1, 2, ..., т\\ число таких наборов по k
обозначали С<А> (//г; 1, 2, ..., т). Для случаев, где допускаются
повторения элементов, символами соответственно были: Г^[/п;
1, 2, ..., т] и IW (In; 1, 2, ..., т). Для них начиная со второй
половины XVIII в. установился термин «композиция».
Интерес Эйлера к этим задачам пробудило письмо, полученное
им от Ноде [7[, в котором были поставлены 2 задачи.
1. Найти, сколькими различными способами данное число
может быть получено путем сложения между собой нескольких
неравных целых чисел, число которых дано.
2. Найти, сколькими различными способами данное число т
может быть разбито на [i частей как равных, так и неравных,
или найти, сколькими различными способами может быть
получено данное число т путем сложения между собой \л целых,
равных или неравных друг другу чисел.
Решения этих задач Эйлер рассмотрел в нескольких статьях.
Их содержание составило затем гл. 16 упомянутого «Введения в
анализ бесконечных». Метод решения — это метод
производящих функций. Как известно, сущность этого метода состоит в том,
что комбинаторные объекты определяются как коэффициенты
407
разложения некоторых функций (производящих) в степенные
ряды.
Для первой задачи Ноде Эйлер рассмотрел неограниченное
произведение частного вида и сопоставил его со степенным
рядом:
где Ak{x)=ak,o+Ok,\ x+ak}2 х2+... . Коэффициенты а^,п при
степенях xnzk показывают число различных способов
представления числа п в виде суммы k натуральных чисел без учета их
порядка при сложении: anfe=CW (Sn; 1, 2, 3, ...). Функция F(z)
является производящей функцией для чисел сочетаний по k
элементов, взятых без повторений из натурального ряда, но с
заданной суммой. Слегка видоизменяя производящую функцию и
полагая затем z=l, Эйлер получил решения первой задачи для
различных частных случаев.
Для решения второй задачи Эйлер применял другую
производящую функцию:
G(x) «. П (1 - А)-« - J Bk{x)z\
где
ад - s b*xi-
И в этом случае последовательно и тщательно проведены
несложные, хотя и громоздкие рассуждения о
связях—рекуррентных соотношениях — между различными видами сочетаний с
заданной суммой. Задачу же вывода формул для
непосредственного подсчета числа комбинаторных объектов Эйлер, вероятно, и не
ставил.
Основные результаты в решениях задач о разбиениях чисел
Эйлер получил в период 1740—1750 гг. Примененный им метод
производящих функций ему был уже известен. Самое раннее
появление этого метода отмечается около 1676 г. в сочинениях
Лейбница, где было замечено, что коэффициенты разложения
степени совпадают с числами сочетаний с повторениями.
Аналогичное утверждение находится во втором издании книги Монмора
«Обзор анализа азартных игр» (1713).
В 1730 г. Муавр применил метод производящих функций к
выводу формулы числа появлений р очков при бросании d
игранных костей. В 1740 г. Симпсон в теории ошибок наблюдений
также использовал этот метод. Но столь детального
рассмотрения вопроса и такой теоретической широты до Эйлера никто не
достигал.
408
Задачи о паросочетаниях впервые появляются в записных
книжках (5 и 6) Эйлера в период 1749—1751 гг. В этих задачах,
как известно, рассматриваются перестановки элементов всюду
упорядоченных множеств с соблюдением условий о сохранении
или несохранении занимаемых элементами мест. Задачи
допускают разнообразные постановки, интерпретации и даже
названия.
В упомянутых записях речь идет о расположениях элементов
по ячейкам единичной вместимости. Эйлер рассмотрел и описал
ряд частных случаев для малого числа элементов и составил
таблицы результатов. В 1753 г. он представил Берлинской
академии наук мемуар «Исчисление вероятностей в игре о встречен
Задача ставится так: «Игра о встрече является азартной игрой,,
в которой 2 игрока, имеющие по полной (перетасованной) колоде
карт, извлекают одновременно по одной карте. В случае
совпадения карт выигрывает один игрок. Если же такого совпадения
не произойдет вовсе, выигрывает другой. Отыскать вероятности
выигрыша для каждого из игроков».
Снова Эйлер начинает рассматривать простейший случай:
колоду из небольшого числа карт. Для них ведет подсчеты,
составляет таблицы; затем показывает, как проводится переход от
т к m+l. Именно в этом мемуаре [9] появляется вывод: «Если
бы число карт было бесконечным, то надежда А выразилась бы
следующим бесконечным рядом: 1 1 1- К..,
а надежда В — рядом 1— 1 Н \- • ....
F 2 6 24 120 720
Мы знаем, что этот последний ряд выражается через —. Зна-
е
чит, для сумм п-+оо надежда А будет равна 1 , а надежда
е
В= —.... И это отношение будет более точным, как только число
е
карт будет больше 20; вследствие этого оно будет очень точным
для этой игры, в которую играют, обычно употребляя полную
колоду в 52 карты».
В 1776 г. Эйлер дважды обращался к задачам о
паросочетаниях. При этом появилась новая интерпретация. В мемуаре
«Исследование магического квадрата нового типа» [10] при
рассмотрении вопроса о числе латинских квадратов данного порядка в
качестве исходной ставится задача: «Сколькими способами при
заданной первой строке можно видоизменять вторую при
заданном я?». Иными словами, ставится задача об отыскании числа N
всех нормализованных латинских 2Хп=прямоугольников.
Начинает Эйлер, как всегда, с частных случаев, для /z=l, 2, ..., 10.
Самостоятельной, единой, формулы у него и здесь нет, только
рекуррентности.
409
Еще через полгода Эйлер представил доклад «Решение
любопытного вопроса из учения о сочетаниях» [11]. В нем паросочета-
ния получают алгебраическую трактовку: «...дана
последовательность букв а, Ь, с, d, ..., п. Найти, сколькими способами можно
изменить их порядок, чтобы ни одна не оказалась на том же
месте, которое она занимала вначале».
Отыскав число искомых способов N для п=1, 2, ..., 5, Эйлер
перешел к поиску общего решения. Он ввел символ п\п для
обозначения числа перестановок из п букв, удовлетворяющих условию
задачи, и вывел рекуррентную зависимость
п:п=(п—1) [я: (/г—2)+я: (/г— 1)].
Затем из этой формулы последовательно он нашел значения я:п
для /г=1, 2, 3, ..., 10, записал их в таблицу, отметил попутно, что
л:п=пл/(п—1)±1 и рассмотрел ряд примеров.
Еще раз паросочетания появляются в записях Эйлера, но в
терминах расстановок на шахматной доске: найти число способов
расстановки п ладей на пХп доске так, чтобы они не могли быть
под ударом и не располагались на главной диагонали.
В самой ранней из записных книжек Эйлера (1725—1727 гг.)
проявился интерес к числовым квадратам: магическим и
латинским. Речь шла о том, что из членов арифметической прогрессии
можно составить магический квадрат, и притом совершенный.
Доказано также, что если из последовательности первых 9 чисел
образовать магический квадрат, то четные числа должны
расположиться по его углам. Спустя полвека, в 1776 г., в мемуаре «О
магических квадратах» [12] достигнуты результаты более высокой
общности: а) вместо членов арифметических прогрессий
магический квадрат строится из буквенных сражений; б) указан метод
построения такого квадрата для /г=3,6; в) рассмотрен вопрос о
числе латинских и магических квадратов.
Другие элементы общетеоретического характера получили
развитие через три года в мемуаре «Исследование магического
квадрата нового типа» [13]. Это большое сочинение начинается
словами: «Весьма любопытный вопрос, который привлекал в
течение некоторого времени внимание лучших умов мира, заставил
меня выполнить исследования, которые, как кажется, открыли
новое направление в анализе и, в частности, в комбинаторике. Этот
вопрос относится к команде из 36 офицеров шести разных званий,
взятых из 6 различных полков, которых нужно построить в каре
(квадрат) таким образом, чтобы в каждом ряду как по
горизонтали, так и по вертикали находились 6 офицеров различных
званий и из разных полков. Однако после всех трудов, затраченных
на решение этой задачи, я был вынужден признать, что такое
расположение абсолютно невозможно, хотя и не удалось дать
этому строгого доказательства» [14].
Это задача об ортогональных латинских квадратах. Как
известно, она очень трудна. Эйлер предпринял подлинный штурм
410
проблемы, посвятил ей все 153 параграфа мемуара, добился
многих результатов и... не избежал ошибок.
1. Проблему он рассматривал в общей постановке,
относительно /г Xtt== таблиц. Для них ставятся задачи эффективного
построения, существования или возможности и количества решений. Для
гг-четных и «четно-четных», т. е. делящихся на 4, задачи
поддавались решению, для «нечетно-четных» — нет. Это привело
Эйлера к гипотезе: ни для какого нечетно-четного числа п не
существует полного яХ/г=квадрата. Несмотря на многочисленные
усилия в последующем, гипотезу не удавалось ни доказать, ни
опровергнуть вплоть до 1959 г., когда было доказано, что она неверна
для я=4?-Ь2, ?>1, k^N [15].
2. В каждой из глав подход однотипен: рассматриваются
конкретные значения n=mq (q=ly 2, 3, 4) и исследуются латинские
квадраты из п2 клеток. Наряду с этим доказываются теоремы,
иллюстрируемые большим числом примеров. Часть вычислений
из-за громоздкости опущена, приведен лишь конечный результат.
В конце каждой главы Эйлер обращается к задаче о 36
офицерах и убеждается в невозможности ее решения. Кстати, только в
начале XX в. французский математик Тарри построил все 6x6-
квадраты и подтвердил тем самым, что задача о 36 офицерах
решена быть не может [16].
3. Эйлер ввел трансверсали, разработал методы их построения
для составления квадратов. Кроме того, он исследовал структуру
греко-латинских квадратов, методы их перечисления,
отождествления и многое другое.
Богатство теоретических фактов в этом мемуаре настолько
велико, что, по существу, в нем созданы основы современной
теории латинских квадратов. Например, Эйлер в поисках решения
задачи о 36 офицерах ввел понятие общего преобразования,
эквивалентное понятию группы подстановок для латинских
квадратов. Частным случаем общего преобразования является
композиция 3 подстановок: элементов, строк, столбцов. К ним Эйлер
добавляет транспозицию греческого и латинского квадратов.
Каждая клетка квадрата содержит латинскую и греческую
буквы, ее положение определяется по горизонтали и по вертикали.
Такая четверка данных, по сути, является комбинаторным
инвариантом. Если же учесть, что Эйлер принимал во внимание
свойство переместительности данных, то можно сказать, что он
фактически вводил разбиения множества полных квадратов на классы
сетевого изоморфизма.
Циклические расстановки с выбыванием. Постановка задач
этого типа состоит в следующем: конечное число (скажем, п) лиц
(или других объектов) располагается на замкнутом контуре
(скажем, на окружности). Одно из них выбирается за начало
«считалочки», т. е. поэлементного наложения отрезка
натурального ряда 1, 2, ..., k на заданное /г-множество. Лицо, на котором
счет останавливается, выбывает. Счет продолжается от (&+1)-й
позиции с тем же результатом. Требуется определить либо по-
411
средний невыбывший элемент, либо описать подмножество
уцелевших после заданного числа операций с выбыванием. Для
небольших п и k решение задачи состоит в непосредственном
осуществлении счета. Общее правило отсутствовало.
Эйлер посвятил задачам этого типа специальный мемуар-
«Наблюдения над новым особым видом прогрессий» [17]. Он
описал уже известные задачи, мнемонические правила,
придуманные в случае наибольших значений п и &, заметил, что «хотя этот
вопрос не составляет никакого труда, однако... если задача
ставится в общем виде..., то очень нелегко определить порядок
последовательного выбрасывания. И тем более не существует
никакого метода, чтобы проделать это в общем случае, хотя в каждой
конкретной постановке, когда счет необходимо производить
фактически, решение может быть получено очень легко».
Вновь Эйлер начинает с самых элементарных постановок,
выписывает последовательности номеров выбрасываемых элементов,
обнаруживает, какие закономерности при этом проявляются, но
не может выразить нх общей формулой. В контексте главы мы не
сможем дать общую характеристику рассуждений и выводов
Эйлера: слишком это громоздко. К тому же теоретико-числовой
подход к изучению последовательностей данного типа проявился
гораздо позже, более чем через 100 лет (Шуберт [18],
Буше [19] и др.).
Для большей полноты информации о
дискретно-математических исследованиях в научном наследии Эйлера, а также, чтобы
эта информация не превзошла допустимых размеров, дополним
эту часть некоторыми сжато изложенными фактами.
1. В 1758 г. Эйлер представил Берлинской академии наук;
большое сочинение «Решение одного любопытного вопроса,
который не поддается никакому анализу» [20].
В нем была изучена проблема обхода всех клеток пХп
шахматной доски ходом шахматного коня. По его словам, эта задача
заняла около 2 лет работы. Ей сопутствовала научная переписка
Эйлера с Гольдбахом и Бертраном, оказавшаяся весьма
полезной.
2. Эйлер уделял значительное внимание и другим задачам
относительно расположений на шахматной доске, в частности о
числе расположений 8 ферзей на взаимно неатакующих позициях.
3. В письме Эйлера к Христиану Гольдбаху от 4 сентября
1751 г. была рассмотрена задача о числе разбиений
многоугольника диагоналями. Об этом он писал так: «Недавно мне попался
новый вопрос, который был довольно странным. Этот вопрос
касался того, сколькими многообразными способами может быть
разделен данный многоугольник диагоналями на треугольники.
Итак, четырехугольник abed может быть разделен на 2
треугольника или диагональю ас, или диагональю bd и, следовательно,
двумя способами. Пятиугольник abede двумя диагоналями
разделяется на 3 треугольника, и это может получиться 5 различными
412
способами, а именно диагоналями: ас и bd; bd и be; са и се;
db и da; ее и eb.
Далее шестиугольник разлагается тремя диагоналями на
четыре треугольника, и это может быть произведено 14
различными способами. Теперь возникает общий вопрос: поскольку
многоугольник с п сторонами разлагается на п—2 треугольника п—3
диагоналями, то сколькими различными способами это может
быть выполнено? Если я число различных способов положу
равным х, то получаю по индукции
/z=3 4 5 6 7 8 9 10
х=1 2 5 14 42 132 429 1430 .
Отсюда я сделал вывод, что в общем случае
2>5> 1Q.1418-22 . . . (4/1-10)
~~ 2-3-4-5-6 . . . (п—!)
или
1=1; 2=1-1; 5 = 2^; 14 = 5^; 42-14^; 132=42??;...,
2 3 4 5' 6 7 '
стало быть, из каждого числа легко найти следующее за ним.
Но индукция, которой я пользовался, была довольно
трудоемкой. Однако я не сомневаюсь в том, что этот процесс не может
и дальше быть развитым в более легком виде» [21].
Метод и результаты Эйлера этот отрывок разъясняет
полностью. Как и другие части научного наследия великого ученого,
они имеют интересную последующую историю.
4. Наконец, в обзоре, предпринятом здесь нами, нельзя не
упомянуть задачу о мостах в г. Кенигсберге. Ее решение Эйлер
нашел в 1736 г. В истории науки она оценивается как первая
работа, в которой были в качестве средств математического
исследования введены графы.
Приведенные факты дают возможность высказать о
дискретно-математической части научного наследия Эйлера следующее.
1. Эта часть в универсальной научной деятельности Эйлера
занимала место, не уступающее его занятиям в других областях
математики и ее приложений.
В В
Рис. 65
413
2. Практически все многообразные задачи дискретного
(комбинаторного) характера, которые решал Эйлер, были к его
времени известны и являлись объектами, над которыми трудилось
немалое число ученых.
3. Типичным для работ Эйлера является то, что начиная с
постановки задач в конкретной, иногда узкой, форме он выходит
на теоретические проблемы, не теряя при этом детальности в
трактовке задач, доказательствах и результатах.
4. В решении проблем он осуществил многочисленные
продвижения, не утерявшие значения и в современной общей
комбинаторной теории, например: а) в исследованиях partitio numexo-
rum развил метод производящих функций; б) в задачах о паро-
сочетаниях он ввел принцип включений и исключений; в)
построил основы теории латинских и магических квадратов; г)
исследовал задачи о циклических расстановках с выбываниями;
д) рассмотрел широкий класс задач о перестановках с
ограничениями в интерпретациях движений шахматных фигур на доске;
е) решил задачу о числе разбиений многоугольников
диагоналями; ж) положил начало комбинаторно-топологическим методам и
графовым трактовкам.
5. В совокупности в дискретно-математических исследованиях
Эйлера созданы условия для формирования общетеоретических
рассмотрений, близких к современным нам. Реализация
открывающихся при этом возможностей произошла в течение XIX века,
§ 10.6. КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ К.-Ф. ГИНДЕНБУРГА
Выше была описана первая попытка построения общей
математической теории дискретных множеств, принадлежащая Г. В.
Лейбницу. В конце XVIII в., еще при жизни Эйлера, такая
попытка повторилась. Начало ей было положено трактатом
«Новая система перестановок, комбинаций и вариации...» [22].
Автор этого сочинения, Карл Фридрих Гинденбург (1741 —
1808), был уроженцем г. Дрездена. Гимназию он окончил в
г. Фрейберге, в 1757 г. поступил в Лейпцигский университет,
окончил его, а впоследствии работал в нем профессором. Его
научные интересы, вначале относившиеся к философии, затем к
физике, постепенно сосредоточились на математических
вопросах.
За упомянутым трактатом последовали многие работы. Идеи
Гиндербурга разделяли и с ним активно сотрудничали
профессора германских университетов: Г. X. Эшенбах (1765—1797)>
Г. А. Тепфер (1758—1833), Г. А. Роте (1773—1842), Г. С. Клю-
гель (1739—1812) и др. С их участием Гинденбург издавал
тематические сборники работ в 1796 и в 1800 г., а в период 1794—
1797 гг. специальный журнал «Archiv der reinen und angewandten
Mathematik» (Лейпциг).
Все они были воодушевлены возможностью построения единой
теории, настолько общей, что допускала бы распространение не
414
только на дискретные области математики, но и на аппарат
математического анализа. Основой последнего, как считал Гинден-
бург (и многие другие) в то время, была теория аналитических
функций Лагранжа.
Соединения и комплексы соединений — таковы главные
понятия теории Гинденбурга. Первое из них — весьма общее,
включающее в себя все виды понятий комбинаторики. Комплексы же —
множества конкретных соединений. На комплексах определяют
операции. Распространение формул на бесконечные ряды и на
дробно-рациональные показатели степеней выполнялось без
учета условий сходимости рядов и иных, обязательных в
математическом анализе требований.
В своих работах по исследованию комплексов Гинденбург мог
располагать значительным опытом предшественников. Общий
прием вычисления коэффициентов при разложении функций в
степенные ряды нашел еще Лейбниц в 70-е гг. XVII в.
Рекуррентное правило образования коэффициентов при разложении в
бесконечный ряд выражения (az+bz2+czz + ...)n нашел А. де
Муавр в 1697 г. После Муавра над разложениями в ряд степени
многочлена работали, используя средства алгебры или анализа
Маклорен (1742), Эйлер (1748, 1756) и др. По-видимому, первым,
кто нашел формулу, позволяющую в явном виде записать
коэффициенты в разложении, был Р. И, Бошкович Giornale de Lette-
rari d'ltalia, (1747). Подобную информацию можно пополнить.
Сделаем краткий обзор содержания теории Гинденбурга.
Гинденбург стремился выработать правила, позволяющие определить
всевозможные комплексы исходных соединений. Такие правила
он составил для всех типов комбинаторных объектов. Типичным
примером может служить один из приемов представления
сочетаний с повторениями элементов а, Ь, с... Он производится в 4
этапа:
а) первый элемент рассматривается как комплекс 1-го
класса;
б) перед всеми комплексами выписывается элемент а —
первый низший элемент. Затем в полученных комплексах, в которых,
не встречаются 2 одинаковых элемента, начальный элемент
заменяется следующим — элементом Ь. Во вновь получаемых
комплексах, в которых нет двух одинаковых начальных элементов,
первый элемент заменяется элементом с. Процесс продолжается
до последнего элемента. Результатом являются всевозможные
сочетания с повторениями 2-го класса;
в) перед всеми комплексами 2-го класса записывают первый
элемент а. В получаемых комплексах с двумя различными
начальными элементами первый элемент заменяется на следующий,
т. е. на Ъ. Процесс продолжается до последнего элемента.
Получаются искомые сочетания 3-го класса.
Аналогично строят сочетания 4-го, 5-го и других классов.
Для обстоятельного изложения Гинденбург разработал
громоздкую систему символов. Символами А'\ В\ С", ... 'А9 'Ву
415
'С, ..., М, пВ, пС, ... обозначены соответственно совокупности
сочетаний 1, 2, 3, ... классов без повторений, с повторениями, с
заданной суммой п. При этом, если не было специально оговорено,
допускались повторения. Были использованы и различные
начертания и наклоны букв. Биномиальные коэффициенты
обозначались заглавными печатными буквами готического алфавита с
отметкой показателя степени бинома сверху слева, а
полиномиальные — строчными готическими буквами.
Пользуясь таким алгоритмическим и символическим
аппаратом, Гинденбург и его коллеги вывели большое количество
формул умножения рядов, деления, возведения в степень, извлечения
из них корней, обращения рядов, подстановки, разложений
трансцендентных функций и др. В качестве характерного примера
приведем проблему обращения рядов: пусть дан ряд
z=aQx*+aix?^ + a2xr+2u + a9xa-t*6+...==<i.
Требуется представить *т в виде ряда по степеням г.
X. Эшенбах [23] в 1789 г. в работе «Рассуждение об
обращении рядов в аналитико-комбинаторном представлении» получил
одну из формул обращения рядов. Его результаты в 1793 г.
улучшили Гинденбург и Г. Роте [24]. В этих работах были
выведены формулы, связывающие обращения рядов с
полиномиальной теоремой (формула Эшенбаха — Роте). Вслед за ними
Гинденбург решил задачу обращения рядов в следующей постановке:
дано
a0x(l + aiXa*6+a2Xa+26 + ... = b0z^+blz^+b2z^2il+...,
представить х* рядом по степеням z.
Выкладки и результаты в работах рассматриваемой здесь
научной школы, как правило, весьма громоздки. Воспроизводить их
или подробно описывать нет возможности. К тому же
интересующиеся могут ознакомиться с двухтомной монографией Вейн-
гартнера [26]. Г. С. Клюгель в своем известном
«Математическом словаре» [27] посвящал этому научному направлению
обстоятельно написанные статьи. Столь же подробно описывали
его Д. Т. Шталь [28] и Е. Т. Кётберг [29]. В те же первые годы
XIX столетия были опубликованы книги X. Крампа [30], Л.
Фишера и К. Краузе [31], Ф. Кёхера [32].
Однако комбинаторный анализ уже заметно увядал. Дело в
том, что определилась роль теории аналитических функций Лаг-
ранжа в основаниях анализа бесконечно малых. Устоялся
аппарат допустимых операций со степенными рядами. Выяснились
разумные, соответствующие требованиям научной строгости,
пределы допустимых обобщений. Проблематика задач оказалась
исчерпанной. Уже в первой четверти XIX века комбинаторная
школа Гинденбурга распалась.
Для истории дискретной математики труды Гинденбурга и его
единомышленников имели следующее значение:
416
— в них во второй раз (вслед за Лейбницем) объективно
проявилась попытка построения общей комбинаторной теории;
— построены многочисленные алгоритмы подсчета числа
комбинаторных комплексов, а также выявлены их свойства и
отношения;
— создана система специальной комбинаторной символики,
хотя и слишком громоздкая;
— комбинаторные методы нашли применение в теории рядов и
последовательностей, в вычислениях с непрерывными дробями и
др.
Таким образом, к началу XIX в. в дискретной части
математики, помимо результатов Эйлера, образовалась большая
совокупность комбинаторных методов. Осознано своеобразие и право
на самостоятельное существование этой части математики.
Сделаны уже 2 попытки построения общей комбинаторной теории на
единых теоретических основах.
§ 10.7. ДИСКРЕТНЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ИССЛЕДОВАНИЯ В XIX В.
В течение следующего, XIX, века в части математики,
изучающей системы дискретно расположенных элементов, протекал
процесс создания предпосылок для новой, третьей по счету, в
истории математики попытки построения общей комбинаторной
теории. Этот процесс, несмотря на чрезвычайно большое
разнообразие конкретных постановок и интерпретаций, состоял в
следующем:
а) методы исследования дискретных систем переставали быть
воспринимаемыми только как часть алгебраических, теоретико-
числовых, геометрических или иных методов;
б) они сами превращались в предмет специальных
исследований, что приводило к появлению новых частей математики;
в) в ходе исследований со все большей очевидностью
проявлялась общность их математической основы;
г) укреплялось понимание возможности их взаимной
интерпретации и, как следствие, осознание их единства.
Тем самым создавались и постепенно реализовывались
возможности комплексного понимания разнообразных аспектов
единого дискретно-математического знания.
Характерные черты и конкретные аспекты этого процесса
отчетливо проявляются даже в столь могучем и широком потоке
разнообразных и значительных достижений, каким являлась
математика предшествующего XIX века.
Перечислительные методы. Прежде всего, обращает на себя
внимание неиссякающии интерес математиков, в том числе самых
известных, к задачам, rjxe требуется подсчитывать числа способов
преобразований дискретных (в большинстве конечных) множеств,
т. е. к задачам, считавшимся весьма несложными. В них речь шла
об изменениях в расположениях элементов (простейший случай —
417
перестановки элементов линейно упорядоченных множеств) и
взятии выборок подмножеств (сочетаний) при различных
обстоятельствах и условиях. Вновь и вновь математики обращались к
таким задачам, не останавливаясь перед тем, что получаются
эквивалентные или даже совпадающие формулы. Столь же
настойчиво они накапливали запас соотношений между комбинаторными
объектами (комбинаторные тождества). Приведем примеры.
1. Издавна известна задача о встречах, где требуется найти
число перестановок, при которых один или несколько элементов
удерживаются (в иной постановке не удерживаются) на
исходных позициях. Многие занимались задачами о встречах, в том
числе Эйлер. И после него во многих работах эта задача
рассматривалась, но решения ее по-прежнему выражались
рекуррентными формулами. Так, к середине XIX в. М. Кантор [33] нашел
формулу
где P(J— число перестановок п элементов, при которых ни один
из элементов не сохраняет своего положения.
В 1872 г. И. Вейраух [34] вывел формулу
«л|(1-± + .» . +t^\e|llyt=!Ii
I 1! Л П\ J Jmt г\
\ ' г=2
где Dn — то же, что и Р®К Символ Dn происходит от термина
displacement (смещение), равно как и иные: Dn,k, Dn(t) и др.
Тема статьи Вейрауха — исследования в теории детерминантов;
метод, который был применен, — метод включений и исключений.
Лет через 10, а именно в 1883 г., С. Кантор [35] вывел эту
же формулу, добавив ряд тождеств. А в 1890 г. этот же
результат получил А. Кэли [36], когда вычислял число латинских 2Хя-
прямоугольников. Уитворт [37] повторил вывод и назвал
символы Dn субфакториалами ввиду очевидных аналогий их с
обычными факториалами. Например, существует аналогия между /г! —
= (л—1) [(л—1)!+(л—2)1] и формулой Dn=*{n—1) {Dn-x + Dn-2)*
Впрочем, эту аналогию отметил еще Эйлер.
2. Не менее настойчивому и всестороннему анализу
подвергалась задача о гостях (о супружеских парах, prebleme des тёпа-
ges). Люка в 1891 г. в своей книге [38] ставил ее так: за круглым
столом размещают п супружеских пар. Мужчины чередуются с
женщинами, и ни один муж не имеет права сидеть рядом со
своей супругой. Ставится задача о числе способов осуществить
необходимые рассаживания. За 13 лет до выхода этой книги П. Тэйт
[39] в своей теории узлов и переплетений решал по существу ту
же задачу; решение было сведено к рекуррентности. В 1877 г.
Мьюир [40] ставил эту задачу в терминах теории определителей:
418
сколько членов будет содержаться в разложении определителя,
все элементы которого, расположенные на главной диагонали и
на соседней справа, нули. Нулевым в задаче является и первый
элемент нижней строки.
Примерно в это же время (1877) А. Кэли [41], решая эту же
задачу, тоже получил рекуррентное выражение, а затем построил
производящую функцию.
Гораздо позднее Риордан [42] показал, что существует связь
между множеством /С(3, п) трехстрочных нормализованных
латинских квадратов и числом решений ип задачи о супружеских
парах:
m
Решение задачи Тэйта получено лишь в 1956 г. Е.
Гильбертом [43].
3. Выше было отмечено, что Эйлер изучал сочетания с
заданной суммой и получил важные соотношения, проложив тем самым
пути к позднейшей теории разбиений. Этот круг вопросов в XIX в.
также подвергался многостороннему анализу. В 1828 г. Г. Ф.
Шерк, профессор университета в Галле, связал задачу о числе
размещений с повторениями, имеющими заданную сумму, с
задачей о числе обычных сочетаний. Многие математики работали
над проблемами теории разбиений. Почти четверть века, в 1852—
1882 гг., Дж. Сильвестр изучал и публиковал свои результаты по
этой тематике [44[. Интересно, что при этом во многом он исходил
из «точечной диаграммы», которую сам же и назвал «граф» [45].
Франклин (1881) при доказательстве известной формулы Эйлера
оо Зк*±Ь
< 1 —дг): 1—jcax 1 —jc3) ... = 2 (—о** 2 >
играющей важную роль не только в теории разбиений, но и в
теории эллиптических функций и в других разделах математики,
также использовал точечные графы [46].
Число примеров можно увеличивать. Все дискретные задачи
перечислительного характера проходили одинаковый путь
многосторонних интерпретаций и разнообразных подходов к их
решению. Поступая таким образом, математики XIX века выясняли
теоретические основы дискретных задач, все более убеждались в
их общности.
Известно, что для решения перечислительных задач
существует метод производящих функций. Его изобретение восходит к
идеям и результатам Лейбница и Монмора. Регулярное
применение метода к задачам вероятностного характера начал в 1730 г.
А. де Муавр [47]. Он использовал полиномиальную производящую
функцию, состоящую из ряда с конечным числом членов. Вслед
за Муавром метод производящих функций применял с 1790 г. в
419
теории ошибок наблюдений Т. Симпсон. Выше мы отмечали
также применение Эйлером в 1740 г. метода производящих функций
в теории разбиений. Лагранж продолжил работу Симпсона по
применению производящих функций в теории ошибок наблюдений,
опубликовав в 1777 г. специальную работу.
Сам термин «производящая функция» и систематическое
построение исчисления впервые появились в работах Лапласа в
1779 г. [48]. Все исследования Лапласа в теории производящих
функций собраны в его «Аналитической теории вероятностей»
1812 г. и в последующих работах.
Производящие функции были введены в дискретную
математику с целью придать большую общность решению перечисленных
комбинаторных задач. Они оказались очень громоздким
средством построения классов комбинаторных объектов. Но другого
равноценного метода не было (как нет и до сих пор).
Дальнейшая история метода производящих функций состояла
преимущественно в расширении области их применения.
Математический анализ, теория чисел, перечисление дискретных систем,
наконец, теория инвариантов были теми областями, где^в XIX в.
применяли метод производящих функций, разработанный А. Кэли
и Дж. Сильвестром.
Графические средства. В начале 20-х гг. XIX в. появились
попытки геометрических интерпретаций понятий и операций
комбинаторики с естественной целью сделать их более наглядными.
Например, в книге Дистервега Ф. А. [49], вышедшей в 1820 г., для
этого использованы отрезки прямых. Сочетания из п элементов
по 2 получили такие интерпретации: система прямых,
проходящих через п точек, причем на каждой из прямых учитывают не
более двух точек (рис. 66); число отдельных и соединенных
частей отрезка, разделенного /г точками (рис. 67).
Для математической теории дискретных систем подобные
интерпретации либо являются предварительной конструкцией, либо
педагогическим разъяснительным приемом. В
научно-теоретическом же аспекте это графы. Одной из первых собственно
теоретико-графовых работ была описанная выше работа Эйлера о мостах
в г. Кенигсберге. В ней, в
ставшей на долгие годы
популярной постановке, речь шла
о нахождении признаков (или
условий), по которым можно 3
было бы судить о наличии в
графе (или отсутствии) эйле- г
ровых обходов. В 1849 г.
Рис. 66
420
Рис. 67
Пуансо [50] доказал, что для полных графов такой обход
невозможен, если число вершин четное, и предложил способ
построения такого обхода, если это число нечетное. В качестве
комментария к правилу Пуансо появилась любопытная интерпретация
задачи об эйлеровых обходах, где О. Терквем [51] воспроизвел ее
в терминах игры в домино. Из набора косточек удаляют все
дубли; остальные 21 косточку располагают в цепочки с
соблюдением свойства эйлеровых обходов, т. е. строят Д"г=граф. Эта
задача получила решение только в 1871 г. (Reiss) [52].
Другой интерпретацией задач об эйлеровых обходах на
графах являлись лабиринты. Обходы проводились от центра к
выходу, пересечения возможных путей трактовались как вершины
графа. Если требовалось получить замкнутый обход с возвращением
к исходной точке, то ребра графа надо было проходить два раза.
Общий метод подсчета числа различных эйлеровых обходов на
графах в терминах лабиринтов был найден Г. Тарри в 1886 г.
[53].
В организационно-структурном отношении в математике XIX в,
задачи об эйлеровых обходах входили в состав геометрии
положения, иначе, топологии. Впервые с другими топологическими
характеристиками (гамильтоновы обходы, свойства полиэдров и
др.) они способствовали формированию общих топологических
идей. Говоря о первых работах общетопологического характера,
мы имеем в виду серию работ И. Б. Листинга, прежде всего его
книгу: «Введение в топологию» [54].
Иоганн Бенедикт Листинг, ученик Гаусса, с 1839 г. профессор
университета в Геттингене, был оригинальным и разносторонним
ученым. Он первым придумал и ввел в употребление термин
«топология», составив его из двух греческих слов: tokos — место,
положение, ^oyos — учение. Он поступил так, чтобы не
пользоваться восходящими к Лейбницу терминами: латинским:
«geometrie situs» и французским: «geometrie des positions». Первый из
них ему не понравился, так как он не освобождает от
необходимости вносить измерительную составляющую в соответствующую
методику, а второй уже утвердился в качестве названия для
проективной геометрии.
Тем временем задача о мостах вновь и вновь привлекала
внимание математиков. Даже через 137 лет после смерти Эйлера
появилась заметка [55] с доказательством его утверждений. Автор
заметки К. Гиргольцер (1840—1871) в течение своей короткой
жизни работал над задачами алгебраической геометрии. Он успел
написать только три работы, одна из которых (та, о которой мы
здесь упомянули) появилась уже после его смерти.
В заметке рассматривается произвольная совокупность прямых
на плоскости. Точки их пересечения названы узлами. Из узлов
таким образом выходят лучи; их число определяет кратность
узла. Получается граф. Доказываются теоремы:
— если граф может быть пройден эйлеровым путем, то число
нечетных узлов будет равно нулю или двум;
421
обратная: если граф имеет 0 или 2 нечетных узла, то на нем
существует эйлеров обход;
— всякий граф имеет четное число нечетных узлов.
Никаких ссылок, даже на Эйлера, в заметке нет.
Гамильтоновы пути, или обходы на графах, ввел сам У. Р.
Гамильтон (1805—1865). Сделал он это следующим образом:
когда он строил примеры некоммутативных алгебр (а построил
он их много), то заметил, что для п=20 алгебра
интерпретируется в виде путей по вершинам графа правильного додекаэдра. Для
него он построил двадцатичное исчисление (Icosian calculus), а в
1856 г. объявил об изобретении им «игры в двадцатку» (Icosian
game). Игра состояла в отыскании маршрутов по вершинам
додекаэдра при заданных условиях. Одним из условий было
отыскание полного гамильтонова цикла. Популярность Гамильтона,
броское рекламное оформление игры в двадцатку способствовали
введению самого термина: гамильтонов цикл, или путь.
Тем временем не менее значительное открытие, сделанное Т. П.
Киркманом (1806—1895), было оттеснено на второй план. Кирк-
ман свел весьма популярные и распространенные задачи о
путешествиях шахматного коня к маршрутам на 64-вершинных
графах и связал задачи отыскания гамильтоновых путей на графах и
на вершинах полиэдров. Соответствующая задача Киркмана
была поставлена так: если задан граф многогранника, то как
можно определить, имеется ли в нем гамильтонов цикл? После ряда
попыток он нашел класс графов, на которых искомый цикл не
существует. Это графы, соответствующие полиэдрам с нечетным
числом вершин и четным числом ребер на каждой грани. Кирк-
ман открыл также свойство двудольности полиэдральных графов:
если двудольный граф имеет нечетное число вершин, то на нем
нет гамильтонова цикла. В частности, шахматный конь, двигаясь
по клеткам доски, с каждым скачком меняет цвет поля своей
остановки. Если число полей нечетно (скажем, л=5), то маршрут
коня единым циклом представлен быть не может.
Упомянем, кстати, что Киркман всю жизнь был скромным
сельским священником. Математике (преимущественно
комбинаторике) он посвящал лишь свободное от служебных обязанностей
время. В 1857 г. за свои научные достижения он был избран
членом Лондонского королевского математического общества,
что никак не изменило его положения и образа жизни.
Определенную роль в истории теории графов играл большой
цикл работ, отправляющихся от формулы Эйлера о свойствах
полиэдров:
Nv—Ni+Nf=2,
где NVf Ni, Nf — соответственно числа вершин, ребер и граней
полиэдра.
Более общую трактовку придал этой формуле О. Коши [56].
Если внутрь графа полиэдра помещать новые вершины и если в
результате станет возможным распадение полиэдра на Р других,
422
то получится иная формула: Л^—Л^+#/==Р+1, по отношению к
которой формула Эйлера будет частным случаем.
Этот и дальнейшие результаты Коши появились в следующей
цепи обстоятельств: с самых древних времен вплоть до Эйлера
имелись в виду лишь 5 правильных полиэдров. В начале XIX в.
к ним были добавлены еще 4, но уже невыпуклые. Все 9
правильных многогранников имели 4, 6, 8, 12 или 20 граней. Пуан-
со [56] поставил вопрос: все ли возможные правильные
многогранники уже найдены? Коши вскоре доказал, что это так [56].
Главной идеей в этой работе было центральное проектирование
полиэдров, получение графа и установление его планарности.
Разновидностью в этом ходе мыслей являлась интерпретация
получаемых графов как карт типа географических.
Другим приемом Коши явилось разворачивание поверхности
многогранника на одну из плоскостей, в которой лежит какая-
либо грань. Показано, что это может быть рассматриваемо как
случай, когда в формуле Эйлера Р=0 и, следовательно,
Nv—Nl + Nf=l.
Такое доказательство по своей сущности является графическим с
использованием триангуляции.
Следующим принципиальным шагом в формировании теории
графов явилось выделение отдельных классов графов в целях их
математического исследования. Самыми ранними в этом ходе
событий были деревья — связные графы, не имеющие циклов.
Само название «деревья» впервые появилось в работах А. Кэли [57].
По существу же, выделение и изучение древовидных графов
производилось и несколько раньше фон Штаудтом [58],
Кирхгофом [59].
Когда класс деревьев оказался выделенным и осознанным в
своем своеобразии, встали задачи их классификации и
перечисления. Этим занялся Кэли. В [57] он нашел число Ап
укорененных деревьев с п ветвями, построил производящую функцию. В
следующей работе [60] он перечислил класс корневых деревьев, в
которых каждая из свободных ветвей находится на одинаковом
расстоянии от корня. Несколько позже К. Жордан [61] ввел
изоморфизм графов; центр и бицентр; центроид и бицентроид. Вслед
за этим Кэли, Сильвестр, а затем и другие математики стали
активно публиковать решения перечислительных задач для
отдельных классов графов в специальной колонке журнала «Educational
Times».
К концу XIX в. Кэли сумел получить еще 2 крупных
результата: решил задачу о перечислении неукорененных [62] и тдкую
же задачу для помеченных графов [63].
Последняя из упомянутых задач поставлена так: заданы п
вершин. Сколькими tn путями их можно соединять, чтобы
получалось дерево? Ответ был: tn = nn-2. Например, если /2=4, то
/n=16. Для рассуждений Кэли характерно, что, показав
правильность результата для я^5, он объявил его очевидно верным для
423
j—. . ..—. .—. ^ . .. . ._. любого числа вершин. Другим
j ш J J е | J J (\ ]/. \j /\ любопытным обстоятельством
оказалось то, что сходные или
^Г* ]Л *~~7 KJ К/ *\? \А N/ эквивалентные суждения и бы-
*-^ У * *^-+ * ^ ^ •^ *^* *"*• кладки существовали как до
Рис ба Кэли, так и после него,
оставаясь в глазах математиков
новыми, оригинальными вплоть до
20-х гг. нашего века [64]. Столь замедленное установление
эквивалентности суждений — явление в истории науки нередкое. Оно
свидетельствует о сложности процесса раскрытия связей между
различными частями математики, а также между математикой и
другими науками.
В 1845 г. Г. Р. Кирхгоф (1824—1887), будучи еще студентом
университета в Кенигсберге, опубликовал правила, которым
следует течение электрического тока в сети [65]. К 1847 г. они были
уточнены, обоснованы и с тех пор сделались одними из основных
законов электротехники. Речь в них идет о течении тока по
циклам, которые могут быть соединены друг с другом. Введено
понятие суммы циклов. Сумма в этом случае состоит из всех тех
ребер графа сети, которые не являются общими. Множество
циклов называется независимым, если ни один из них не является
суммой других. Максимальное множество независимых циклов
образует фундаментальное множество. Если применить язык
теории графов, то в работах Кирхгофа показано, как строится
фундаментальное множество Циклов, и доказано, что всякий
связный граф, построенный на т вершинах и на п ребрах, имеет
фундаментальное множество, состоящее из п—т+\ циклов.
Значительно обогатилась теория графов от применения ее
методов к проблеме анализа структуры химических соединений.
Существующая в химии методика графического изображения
структур молекул сложилась в 60-е гг. прошлого столетия. Особо
интересовали ученых проблемы изомерии, т. е. объяснения
ситуаций, когда молекулы веществ имеют одинаковый состав, но
различные свойства вследствие различия структуры.
Особо активно математические исследования химических
графов вели А. Кэли и Дж. Сильвестр. Среди прочих вопросов Кэли
выделял такие структурные формы химических соединений^
которые напоминают деревья. В 1874 г. он опубликовал небольшую
заметку «О математической теории изомеров» [66], где
разъяснял, как можно применять графы-деревья к подсчету числа
возможных изомеров. Общего решения, однако, он здесь не
добивается, потому что «...в этом было бы мало толку ...исключительная
сложность вопроса воспрепятствовала бы достижению общего
решения, даже если бы это было возможно».
Тем не менее Кэли вновь и вновь возвращается к «химическим
деревьям». К 1875 г. он нашел метод систематического пересчета
изомеров класса углеродных соединений «древесного» типа [67].
Помимо Кэли применением теории графов к химии занимались
424
А. Кэли (1821 — 1895)
Сильвестр, Клиффорд и другие. В одной из работ Сильвестра
1878 г. [68] впервые появляется термин «граф», понимаемый в
том же смысле и применяемый в таких же контекстах, что и в
наше время. Кстати, заметим, что в 1885 г. [69] Сильвестр при
решении задач о разбиениях применил точечные графы, называя
их так же: графы. Название привилось; этому помимо
Сильвестра способствовали работы Эйлера [70], статьи Ферре [71] и
Дарфи [72].
В последующем многие химики и математики занимались
приложениями теории графов к структурным проблемам химии.
Примером может служить работа Ленца [73]. Однако
принципиально новые, более сильные результаты появились лишь в
30-е гг. нашего столетия в работах Д. Пойа и Редфилда.
Большой интерес к теории графов вызвала задача о 4
красках. Сущность задачи — предполагается и требуется доказать,
что любую географическую карту на плоскости (вариант: на
сфере) можно раскрасить только четырьмя красками так, чтобы
никакие 2 соседние страны не были выкрашены в одинаковую
425
кра-ску. Каждая страна представлена односвязиой областью, а
соседними (смежными) считаются страны, имеющие не точечное
соприкосновение, а сколько-нибудь протяженную границу.
Самым ранним документом, в котором эта задача была
поставлена, было письмо от 23 октября 1852 г. лондонского
профессора де Моргана в Дублин У. Р. Гамильтону, в котором он
описал задачу, сообщил, что ее предложил студент, и просил
совета. Письмо хранится в коллекции рукописей в Trinity College
(г. Дублин). Распространенное в литературе по теории графов
утверждение, что задачей о 4 красках занимался еще в 1840 г.
Мебиус [74], неверно.
На самом деле Мебиус в 40-х гг. прошлого века в своих
лекциях упоминал другую задачу. В ней речь шла о короле,
который завещал своим 5 сыновьям разделить между собой его
владения таким образом, чтобы каждая из частей имела общие
границы с остальными. Почему же в истории науки случилась такая
ошибка?
По всей вероятности, произошло это следующим образом: в
1885 г. в печати появилась небольшая статья [75]. Ее автор
Бальтцер сообщал, что профессор Вейске, по специальности
филолог, друг Мебиуса, предложил тому упомянутую задачу о
короле и его 5 сыновьях. Кроме того, он утверждал, что ему якобы
указали на сходство этой задачи и задачи о 4 красках. Через
10 лет молодая научная сотрудница Мэдисон [76] напечатала
заметку, где по поводу гипотезы о 4 красках заметила: «Мебиус
рассматривал этот вопрос в несколько иной постановке в своих
лекциях в 1840 г.». Это утверждение в дальнейшем не
проверяли, перепечатывали, и оно сделалось «математическим
фольклором». В 1959 г. Кокстер [77] разъяснил, в чем состояла ошибка.
Но инерция проявляется и в наши дни.
Возвратимся, однако, к письму де Моргана. Гамильтон на
него ответил: «Вряд ли я займусь Вашими «цветными
кватернионами» в ближайшее время». Де Морган же попыток решения
задачи не оставлял. Ему удалось изучить несколько частных видов
конфигураций, общее решение, однако, получить не удалось.
Тогда в одном из научных обзоров [78] он обнародовал задачу.
Вскоре американский логик и философ Е. Пирс сообщил, что он
будто бы решил задачу, и свое решение представил Гарвардскому
университету [79]. Заинтересовался ею и Кэли.
13 июня 1878 г. Кэли сделал официальный запрос на
заседании Лондонского математического общества, решена ли эта
задача. Через год он опубликовал короткую статью [80], где
разъяснил сущность проблемы, связанные с нею трудности и признал,
что решить ее в общем виде он не может. В том же году было
объявлено [81], что 11 июля 1879 г. представлено для
опубликования доказательство гипотезы о 4 красках. Его заявил А. В. Кем-
пе (1849—1922), адвокат по роду занятий, изучавший
математику в университете в Кембридже под руководством А. Кэли. Вско-
426
ре появилось и доказательство
[82]. Почти одновременно оно было
опубликовано в США, в журнале,
основанном Сильвестром [83].
Энтузиазм был велик. О
доказательстве Кемпе сообщали в
разных изданиях, его обсуждали на
заседаниях научных объединений.
По предложению Кэли и других
ученых Лондонское математическое
общество избрало Кемпе своим Рис. 69
членом. П. Тэйт (P. Tait, 1831—
—1900) опубликовал пару статей об окрашивании графов,
отправляясь от доказательства Кемпе. Отозвался и тот студент,
который некогда попросил де Моргана решить задачу о 4
красках. Им оказался Ф. Гасри (F. Guthry, 1831—1899),тогда уже
профессор университета в Кейптауне (Южная Африка,).
Метод Кемпе строился на таких соображениях: пусть дана
карта, на которой все страны, кроме одной, уже раскрашены
четырьмя красками. Пусть случится худшее; для областей, смежных с
неокрашенной, уже использованы все 4 краски: А, В, С, D. Тогда
для двух из рассматриваемых областей А и С возможны 2
ситуации: или они соединены цепочкой, состоящей из областей,
попеременно окрашенных в цвета А и С, или нет. В последнем
случае можно поменять окраску Л на С (или наоборот) в областях,
связанных с А, но не связанных с С. Получится, что в
окрестности неокрашенной области вместо окраски А появится окраска С.
Тогда неокрашенную область можно будет окрасить в цвет А.
Если же цепочка существует, то рассуждения повторяются, но
уже относительно областей В и D. А так как не может
существовать двух двуцветных цепочек с переменой цветов одновременно,
то задача решена.
Но вот в 1890 г. обнаружилось, что Кемпе ошибся и что
свыше 10 лет никто этого не замечал. Ошибку раскрыл П. Хивуд [84],
скромный преподаватель университета в Дергеме (Durham),
Англия. Оказалось, что если на карте неокрашенная часть
окружена пятью окрашенными областями, то метод Кемпе решения не
дает. Зато, как показал Хивуд, возможно раскрасить карту
5 красками.
Кемпе ошибку признал, сам сообщил об этом, добавив, что он
не з состоянии ее исправить. Примечательно, что в научных
кругах Англии и США это событие никакого энтузиазма не вызвало.
Сложился «заговор молчания»; само имя Хивуда долгое время
даже не упоминалось. Еще в 1894 г. выходили работы, в которых
утверждалось, что именно Кемпе решил задачу о четырех
красках [85]. А в 1896 г., когда Ш.-Ж. де ля Балле Пуссен в одной из
рецензий [86] упомянул, что решение Кемпе неверно, то о Хивуде
он даже не упомянул. Последний же жил долго (1861—-1955),
занимался главным образом проблемами окрашивания графов,
427
опубликовал значительное число сочинений (в 1898, 1932, 1936 гг.
и позже). Последняя статья вышла в свет, когда ее автору было
около 90 лет. Значительных успехов в этих работах мы не
обнаружили.
На рубеже XIX и XX вв. в этой части математики проявились
два новых направления. Первому из них положил начало датский
математик Ю. X. Петерсен (Petersen Julius Peter Christian,
1839—1910). Научные интересы его были разнообразны. В его
работах можно найти немалый вклад в алгебру, теорию чисел,
математический анализ, механику и геометрию. Для
рассматриваемой нами здесь тематики существенно важны его
общетеоретические исследования графов, в частности по проблеме
факторизации графов. Они были начаты в 1891 г. работой «Теория
регулярных графов» [87].
Граф у Петерсена считается регулярным, если каждая его
вершина инцидентна одному и тому же числу ребер. Число
вершин графа называется порядком, число ребер, инцидентное
вершине, — степенью. Задача факторизации решает вопрос о
разбиении графа на совокупности графов того же порядка, но
меньшей степени. Неразложимый граф называется примитивным.
Задача сводится к нахождению всех примитивных графов.
Постановки теоретико-графической задачи Петерсен связан с
алгебраической теорией инвариантов бинарных форм. В 1889 г.
Д. Гильберт [88] доказал, что число этих инвариантов конечно.
Из этого доказательства в качестве следствия получается, что
для заданного п можно построить конечное число произведений
вида
(xi— х2)а {Хх—ХъУ (х2—ХъУ ...(Хп-х—Хп)*,
таких, что все другие произведения того же типа могут быть
построены как их произведения.
Для произведений такого типа Петерсен построил
графическую интерпретацию: Хи х2у ..., хп —суть вершины плоского
графа, их разности — ребра, соединяющие соответствующие
вершины. Например, произведение
(*i—х2)2 (*з—хА)2 (х{—хг) (х2—хА) (*i—лг4) (х2—xz)
выражается графом, изображенным на рис. 70.
Относительно графов четной степени Петерсен доказал
теорему, что любой из них может быть разложен на множители второй
степени, а также большое число других частных теорем. Что же
касается графов нечетной степени, то ему удилось доказать
только, что регулярный граф 3-й степени (иначе, трехвалентный граф)
всегда имеет 1-фактор при условии, что он обладает не более чем
двумя лепестками, т. е. такими его частями, которые отделяются
от графа, если убрать только одно ребро.
Одна из последующих работ Петерсена, опубликованная в
1898 г. [89], примечательна тем, что в ней построен
трехвалентный граф, не имеющий лепестков и не могущий быть расщеплен-
428
х1 *J
Рис. 70 Рис. 71
ным на 3 разобщенных 1-фактора — граф, известный по имени
Петерсена (рис. 71). А в работе 1899 г. [90] он отметил наличие
связей между задачей о 4 красках и задачей факторизации
трехвалентного плоского графа.
Этот цикл работ Петерсена положил начало
общетеоретическим рассмотрениям графов и постановкам задач, достаточно
специализированных по тематике, но в то же время достаточно
общих по постановке. От них прослеживается преемственная связь
с серией работ Д. Кёнига, вплоть до его монографии «Теория
конечных и бесконечных графов», появившейся в 1936 г. [91],
которая имеет заслуженную репутацию самой ранней по времени
монографии по теории графов, созвучной современному ее
состоянию.
Другой существенный вклад в построение теории графов был
внесен в то время А. Пуанкаре. В период 1895—1904 гг. он
опубликовал серию работ, в которых развивал идеи, составившие
основу современной алгебраической топологии. В одной из
работ [92] он изложил свой метод построения общих
геометрических объектов, которые называл, следуя Листингу, комплексами.
Элементы, из которых комплексы строятся, были названы
клетками (cells). Простейшими клетками у него были: 0-клетки
(точки) н 1-клетки (ребра). Получаются графы. Чтобы описать
способ построения комплекса (графа), он применил матрицы, которые
мы теперь называем матрицами инцидентности. Сделал он это,
отправляясь, по его собственному свидетельству, от работ
Кирхгофа, заменив лишь системы линейных уравнений матрицами из
их коэффициентов.
Эта информация сразу попала на страницы «Энциклопедии
математических наук», солидного многотомного издания,
публиковавшегося в 1898—1935 гг., в главу о топологии [93]. Там
теория графов получила название «системы линий» (Liniensys-
tem), результаты систематически описаны, приведена обширная
библиография.
С тех пор связи теории графов с топологией сделались
настолько прочными, что стало привычным в течение 30—40 лет
весь фактический материал, относящийся к графам, считать
частью топологии. Видимо поэтому, когда в 1901 г. появилась
429
первая книга по общей комбинаторной теории, написанная Е.
Нетто [94], то теории графов в ней еще не было. Но уже ко второму
изданию этой книги (1927) Т. Сколем написал дополнительную,
15-ю, главу. В этой главе была описана теория графов в
комбинаторной интерпретации как система пар дискретных объектов
(Paarsystem). Правда, в подстрочной ссылке Т. Сколем
написал: «Теория графов есть часть Analysis situs» (т. е. топологии),
сославшись на упомянутую выше «Энциклопедию». Однако в
тексте своей главы он следует идеям Петерсена и Д. Кёнига.
Характерно, что работа Кёнига даже начинается так: «В настоящей
статье рассматриваются задачи из Analysis situs, теории
детерминантов и теории множеств. Центральным понятием,
посредством которого все эти проблемы соотносятся между собою, есть
понятие графа. Метод графов раскрывает в силу большой
ясности своих геометрических интерпретаций эквивалентность
исследований, кажущихся не относящимися друг к другу, что ведет к
решению многих недавно поставленных задач».
Вот таким образом, к началу XX века были математиками
осознаны: теоретическая целостность сведений о графах; роль
графических интерпретаций; сущность теории графов как
своеобразной части математики, где изучают системы дискретно
расположенных объектов, методы которой имеют достоинство
наглядности. Теория графов тем самым начала самостоятельную
жизнь.
Ход исторического развития той части математики, которая
привела к формированию теории графов как части общей
комбинаторной теории, исследующей системы дискретно располагаемых
объектов, состоит из следующих этапов:
— графы вначале существуют лишь как вспомогательные
приемы, илюстрирующие конкретные, не только математические
ситуации;
— решение задач начинает сводиться к изучению
интерпретирующих их графов;
— при изучении графов постепенно проявляются и изучаются
характеризующие их понятия: эйлеровы и гамильтоновы обходы,
понятие дуги, цикла и др.;
— выделяются доступные для изучения или нуждающиеся в
нем отдельные типы графов, в первую очередь деревья;
— поднимается проблема изоморфизма графов и способов его
определения;
— складываются характерные для графов задачи, из которых
и начинает формироваться теория. Это задачи перечисления для
классов графов, выделяемых по признаку наличия (или
отсутствия) изучаемого свойства; существование или несуществования
графов, обладающих задаваемым свойством; выбора графов,
обладающих изучаемым свойством в максимальной или
минимальной степени;
— накапливаются алгоритмы построения графов и операции
над ними, например при их окрашиваниях;
430
— привлекаются для решения графических задач методы
алгебры, топологии и других математических наук, увеличивается
число взаимных интерпретаций.
Таков путь, который привел теорию графов к современному
состоянию.
Таблично-матричный и схемный аппарат. Общие теории
математики вырастают на почзе многих, как правило, частных
результатов, нередко выглядящих весьма далекими по своей сущности
друг от друга, но затем сливающихся в единое целое. Теория,
охватывающая математические методы исследования дискретных
систем, исключения не составляет. В математике XIX в. главные
составляющие, формирующие эту теорию, проявились отчетливо
и достигли необходимого урозня.
Как было показано, перечислительные методы, примененные
к характеристикам дискретных систем, дали много частных
результатов. Сложился и метод общего характера. Это метод
производящих функций. К XIX веку полностью определились его
возможности, достоинства и недостатки.
Естественное стремление придать наглядность анализу
структуры дискретных систем переросло в практику геометрических
интерпретаций и в теорию графов. То же стремление расширить
класс возможных интерпретаций повело к созданию табличного
аппарата. Схема описания структуры дискретных систем
посредством таблиц такова: пусть имеется /г-множество Nn = {tii} и k era
подмножеств: ти т2, ..., mk. Построим (nXk) — таблицу,
состоящую из п строк и k столбцов (или наоборот). Линии одного из
этих видов соотнесены с множеством элементов, другого — с
семейством подмножеств. На их пересечениях помещаем знаки,
обозначающие наличие (или отсутствие) отношения
инцидентности (например, принадлежности элемента подмножеству).
Существует много разновидностей таблиц. Те из них,
элементами которых являются числа, называют матрицами. Таблицы
убедительно отражают структуру систем (конструкций,
конфигураций), их применение облегчает решение поставленных задач.
Составление и анализ таблиц встречаются в науке издавна.
Статистические таблицы, например, сопутствуют практической
деятельности людей. В ходе длительной практики решения
алгебраических уравнений и их систем сформировался другой тип таблиц:
определители и матрицы. Третий тип таблиц — это таблицы с
предписанными свойствами, например числовые квадраты:
латинские и магические. К таблицам естественно примыкают наборы
чисел: тройки Штейнера, системы троек Киркмана, а в более
общих случаях — блок-схемы.
Определители и матрицы прочно связаны своим
происхождением и дальнейшим развитием с алгеброй. По времени появления
(конец XVIII в.) они восходят к Лейбницу. Утверждение, что
теорию определителей создал Г. Крамер (1704—1754), неверно.
Его сочинение «Введение в анализ кривых линий», где имеются
сведения об определителях, появилось в 1750 г. [95]. Есть, прав-
431
да, упоминание самого Крамера о более ранней рукописи,
представленной Парижской академии наук, но она никогда не была
опубликована. Технику оперирования с определителями
разрабатывали многие математики XVIII в.: Маклорен (1748), Безу,
Лаплас (1772), Вандермонд (1776), Лагранж и др. В
«Арифметических исследованиях» Гаусса (1801) впервые встречается
термин «determinans», принятый и другими математиками.
Систематические изложения теории определителей характерны для XIX в,,
начиная с работ Коши [96], К. Г. Якоби [97] и др. Применяемая
в наше время для обозначения определителя квадратная таблица,
окаймленная вертикальными отрезками прямых, впервые была
введена Кэли. По существу, в работах Кэли, Сильвестра и их
современников в 70-е гг. XIX в. теория определителей приобрела
необходимое фактическое наполнение. С тех пор центр тяжести
был перенесен на приложения определителей. Подробную
информацию об этом можно получить из пятитомной монографии
Мьюира [98].
В XIX веке исследования определителей все чаще стали
расширяться, пополняясь сведениями о матрицах. Уже Бине и Коши
распространили на матрицы теорему об умножении
определителей. Якоби доказал, что если число строк в матрицах будет
больше числа столбцов, то произведение двух таких матриц по
строкам равно нулю. Введение Фробениусом понятия ранга матрицы
позволило ему в 1879 г. и Капелли в 1892 г. сформулировать
необходимое и достаточное условие совместимости систем
неоднородных уравнений в том виде, в каком оно существует и
сейчас.
Основополагающую роль в формировании матричного
исчисления сыграли работы Кэли [41]. В них введены: действия над
матрицами, единичная и нулевая матрицы и все другие основные
понятия, на которых это исчисление строится.
Три типа числовых таблиц с заданными свойствами —
латинские квадраты и прямоугольники, а также магические
квадраты— продолжали и продолжают сейчас привлекать усилия
математиков. Напомним их определения.
1. Квадратная /гХя-матрица, каждая строка и каждый
столбец которой являются перестановками без повторений числового
множества Sny называют латинским квадратом, построенным на
Sn.
2. Латинский прямоугольник тХп (т<п) отличается тем,
что по строкам расположены перестановки элементов
множества 5П, а по столбцам соблюдается условие неповторяемости
элементов.
3. Магический квадрат — это яХя-матрица из 5П={1, 2, ...,
П П П П / 2 \4\
я2}, для которых 2 a'i e S *** ^ 2 а" в 2 *'• n+w — jj— '
/=! /=1 i-=! :=1
Из многих работ особого внимания читателей заслуживает
небольшая работа А. Кэли «О латинских квадратах» [36], появив-
4а2
шаяся в 1890 г. В ней содержится краткий обзор работ и
проблем. Последних — три: подсчет числа латинских квадратов для
различных значений п; установление изоморфизма и
классификация латинских квадратов; ортогональность. Мы не приводим
здесь из-за недостатка места описаний конкретных результатов.
Полная и конкретная информация о латинских квадратах и их
приложениях собрана в монографии [2]. Для магических
квадратов сколько-нибудь общей теории еще не построено.
Другая интерпретация латинских квадратов, восходящая к
Кэли [99], состоит в установлении того факта, что
мультипликативная таблица группы (группа Коши) фактически является
специальным видом латинского квадрата. Уточнение такой
интерпретации произошло в 30-е гг. XX в. Латинские квадраты
получили интерпретацию мультипликативных таблиц алгебраических
групп.
Наконец, упомянем об интерпретации латинских квадратов
множеством из п2 упорядоченных троек чисел (i, /, k): на
пересечении /-й строки и /-го столбца находится элемент k (f, /, ?=1, 2,
..., я). Условие, что совокупность таких троек образует латинский
квадрат, состоит в том, что любая пара элементов, составляющих
тройки, должна встречаться один и только один раз.
Не только латинские квадраты, но и всякая матрица допускает
интерпретацию в виде системы троек чисел. Эта исходная идея
породила целое направление в дискретной математике:
комбинаторные наборы. Первым заметным событием, привлекшим
внимание к этим комбинаторным наборам, были исследования
систем числовых троек Я. Штейнером и Т. Киркманом. В 1853 г. в
небольшой заметке [100] Я. Штейнер рассмотрел задачу: пусть
дано п чисел или занумерованных предметов. Их требуется
разделить на неповторяющиеся тройки таким образом, чтобы любая
пара из них встречалась в одной и только одной тройке. Какими
свойствами должны обладать числа п, чтобы это стало возможно,
и сколько может получиться расположений существенно
различных, т. е. таких, которые не могут быть получены одно из другого
простой перенумерацией элементов?
Ставя эту задачу, Штейнер упомянул, что она у него возникла
примерно 6 годами ранее, когда он изучал двойные касательные
к кривым 4-го порядка. В результате какого хода мыслей так
получилось, Штейнер не разъяснил. Не можем разъяснить этого
и мы. Однако, зная, насколько прихотливы и неожиданны пути
математического творчества у отдельных личностей, нельзя
исключить общую мысль об осознании связей таблично-матричного
-аппарата и их интерпретаций в терминах комбинаторных
наборов.
Задачу заметили. Появились ее аналоги и обобщения.
Например, требовалось разбить я-множество элементов на четверки
так, чтобы всякие 3 свободных элемента, т. е. такие, что не были
включены в тройки, всегда попадали в одну и только одну
четверку и чтобы никакие 3 элемента этих четверок не принадлежали
433
прежним тройкам. Неизменно во всех случаях ставились
вопросы: каким условиям должно удовлетворять число п\ каков класс
этих чисел; сколько требуемых наборов можно получить.
Подобные задачи были поставлены и для наборов пятерок, шестерок
и т, д. Решения, однако, удавалось получать только для троек.
Остальные задачи оказывались слишком трудными.
Нерешенными остаются они и в наше время [101].
Несколько позднее оказалось, что приоритет в постановке и
решении задач о наборах принадлежит не Я. Штейнеру. Самую
раннюю постановку задачи опубликовал в 1844 г. Вулхауз в.
«Ladies and Gentlemen Diary» как конкурсную для любителей
математики. Долго оставалась незамеченной и работа Т. Кирк-
мана [102], где эта проблема была не только поставлена, но и
решена: системе 5(2, 3, я), т.е. тройкам, получившим имя Штей-
нера, удовлетворяют числа вида /г=1,3 (mod 6). Киркман
построил и конкретный пример.
Решение задачи Штейнера было нетрудным. Поскольку
каждый элемент входит в тройку с двумя другими, то п—1 должно
быть четным, а п — нечетным, т.е. п=\ (mod 2). В каждой
тройке находятся 3 пары. Каждая пара появляется один раз.
Всего пар nin~~ ' т Это число должно быть кратным трем.
Следовательно, Аг==1,3 (mod 6), т.е. лг==3, 7, 9, 13, 15, 19, ....
Полученные условия являются необходимыми. Штейнер
поставил вопрос: являются ли они также достаточными? В 1859 г.
М. Раисе доказал, что это так [103]. Он нашел алгоритм,
позволяющий из чисел вида я=1,3 (mod 6) составлять тройки
Штейнера. Другой метод построения таких систем, но при более общих
предположениях появился более, чем через 30 лет [104]. К тому
времени метод Райсса был уже забыт или вообще неизвестен.
Его обнаружили вновь, когда на рубеже XIX и XX вв. появилось
довольно много работ по исследованию систем штейнеровых
троек с привнесением дополнительных видоизменений.
Спустя 3 года Т. Киркман опубликовал еще одну задачу того
же рода [105]. Учительница ежедневно выводит на прогулку класс,
состоящий из 15 девочек. Всякий раз она выстраивает их в 5
рядов по 3 человека в каждом. Задача состоит в том, чтобы в
течение 7 дней подбирать тройки так, чтобы каждая школьница
встречалась с любой другой лишь однажды.
Задача Кирмана повлекла многочисленные исследования
других математиков. Почти сразу ее ставили в общем виде:
сколькими способами может быть построена группа из п девочек (/г-не-
четное, кратное 3, /г=6/?г + 3) в тройки для прогулок в течение
у дней (у= -— = w~t~°~~ =3m+l) так, чтобы ни одна из них
не смогла попасть со своими подругами в любую тройку более
одного раза. При т = 2 задача сводится к предыдущей. Каждое
такое множество принято называть системой Киркмана, а полный
434
набор из З/n-j-l множеств — расположением Киркмана (Kirkman
parade). Решение задачи для отдельных значений п или
несложно, или достижимо. Однако в общем случае решение оказалось
делом сложным.
Было бы чрезвычайно полезным проследить подробно за
многочисленными попытками решения задачи Киркмана в общем
виде. Это могло бы придать технике решения задач дискретной
математики дополнительные возможности. К сожалению, в
настоящей главе для этого нет места. Что же касается решения
проблемы Киркмана, то для /г= 15 конструктивное решение
впервые было корректно выполнено в 1917 г. в диссертации Моульде-
ра «Системы Киркмана» [106] и в работах Коула [107]. В общей
же постановке эта проблема получила решение лишь в 1979 г.
[108], но и оно еще не может считаться полным. Многое осталось
неразработанным.
Что касается дальнейшего развития математической теории
наборов в конце XIX — первой половине XX вв., то было бы
логично ожидать, что она пойдет следующими путями:
— разработка общих методов эффективного построения
различных наборов троек;
— распространение известных результатов о тройках на
системы 4-, 5-, 6- и т. д. элементных наборов при различных
условиях.
Однако ничего подобного не произошло и не происходит.
Задачи оказались слишком трудными, слишком громоздкими.
Результаты получались редко, имели недостаточно общий
характер, достигались ценой неоправданно больших усилий. В
тематике произошел логический скачок, что само по себе в математике
не является столь уж редким явлением. Продвижения стали
добиваться на путях исследования более общих дискретных
систем — систем инцидентности. Из последних активной разработке
подвергаются прежде других блок-схемы.
В упрощенном виде происхождение блок-схем может быть
описано следующим образом: численные результаты повторно
производимого в различных условиях эксперимента записывают
столбиком. Его называют блоком. Повторные серии испытаний в
измененных условиях дают новые блоки. Совокупность блоков,
сведенную в двумерную таблицу, называют блок-схемой (Ыок-
design).
Из статистической обработки результатов экспериментальных
данных вырастает один из подходов к решению проблемы
планирования эксперимента, т. е. составления для него схемы (плана)
с целью получения оптимального результата. Основы этого
раздела дискретной математики были заложены в 30-х гг. нашего
столетия. Инициатива исходила от индийских по преимуществу
математиков и статистиков.
Из широкого круга проблем, порождаемых при введении и
применении блок-схем, наибольший интерес для математиков,
изучающих дискретные системы, приобретают задачи классифи-
435
кации, существования или несуществования задаваемых типов
блок-схем, изучение их свойств, способов построения, взаимных
связей. К этому приходится привлекать данные из теории
конечных групп, конечных геометрий и других смежных
математических дисциплин.
Посредством аппарата, выработанного для блок-схем, в
1979 г. были [108] получены общие решения и для проблемы
Киркмана. Однако проблематика, вырастающая из простенькой
задачи о 15 школьницах, выходящих на прогулку, продолжает
расширяться [109].
Конечно-геометрические идеи. В математике существуют
специальные системы дискретных объектов, описываемые с помощью
аксиом типа геометрических. Их называют дискретными, а если
число объектов конечно, то и конечными геометриями. Эти
системы являются частными видами систем инцидентности. В них
заданы 2 вида неопределяемых элементов, названные точками и
прямыми. Отношения инцидентности, связывающие их,
обладают свойством симметрии, что записывают так: точка Р лежит
(находится) на прямой L; и обратно: прямая L содержит
(проходит через) точку Р.
Дискретные геометрии, в том числе конечные, сложились в
системе геометрических наук во второй половине XIX века.
Исходными пунктами были реальные события, подтвердившие
правильность идей творцов неевклидовой геометрии, в первую
очередь Н. И. Лобачевского. Во-первых, получила подтверждение
идея, что логически мыслима не одна геометрия Евклида.
Появились новые геометрии. Учение о проективных свойствах фигур
переросло в проективную геометрию, учение об аффинных
свойствах фигур — в аффинную геометрию. Появились и оформились
конформная и другие геометрии. Была воплощена в жизнь вторая
идея, что истинность геометрии может быть доказана только
опытом и что последний для своего развития потребует введения
иных геометрий. Наряду с неевклидовой геометрией
Лобачевского стали существовать геометрии эллиптические (римановы),
теометрия Римана, многомерные геометрии. Третья идея
Лобачевского, что новые геометрии могут быть построены на путях
видоизменений систем аксиом и вообще исходных понятий
геометрии Евклида, породила к концу XIX в. серию исследований
по основаниям геометрии.
В результате в математике укоренился аксиоматический
метод. Геометрические теории оказались самой удобной для этого
почвой. Именно в геометрии сложились первые требования
логической строгости, предъявляемые к аксиомам: взаимная
независимость, непротиворечивость и полнота. Работа Д. Гильберта
(1889) «Основания геометрии» до сих пор наиболее ярко
выражает аксиоматические основы геометрии.
В части, относящейся к формированию дискретной геометрии,
исходной идеей явилась идея построения геометрий, в которых не
выполнялись бы те или иные аксиомы, в особенности аксиома о
436
непрерывности. Начальным событием был результат Карла
Георга фон Штаудта (1798—1867), доказавшего независимость
проективной геометрии от евклидовой [58].
Исследования Д. Гильберта продолжила школа математиков
в Чикаго, возглавляемая Э. Г. Муром. Еще в 1894—1895 гг. он
изучал групповые свойства геометрий. В начале 1902 г. Мур
опубликовал большую статью «Об аксиомах проективной
геометрии» [ПО]. Глава 5 этой работы была целиком посвящена
теореме Дезарга. Мур доказывал, что эта теорема не согласуется с
рядом плоских систем Гильберта (li-2, II, III, IVi_s) • Ученик
Мура О. Веблен исследовал связи между проективными
пространствами, удовлетворяющими определенным аксиомам
инцидентности (без аксиом порядка), и числовыми полями. В 1904 г.
он опубликовал работу «Система аксиом для геометрии» [111],
в которой построил геометрию на 12 аксиомах.
Эти аксиомы Веблен сформулировал в терминах класса
элементов, названных «точками», и связи между точками,
называемой «порядком». Все остальные понятия: прямая, плоскость,
пространство, движение и др. — определялись через эти два
термина. Важно то, что независимость первых 8 аксиом автор
доказал, используя так называемые «конечные системы». Если
использовать метод моделей Гильберта, то удается в общем
случае вопросы проверки независимости, непротиворечивости и
полноты систем геометрических аксиом свести к аналогичным
вопросам аксиом арифметических. Однако отыскался класс моделей,
для которого эти вопросы могут быть решены в абсолютном
смысле. Это конечные проективные пространства. Штаудт
рассмотрел их в работе [58] и подсчитал число точек и прямых.
Оказалось, что на каждой прямой лежит р+1 точек; в силу принципа
двойственности через каждую точку проходит р-\-\ прямых;
общее число как точек, так и прямых — р2+р-{-1.
Интерес к конечным проективным пространствам и вообще к
идее Штаудта об освобождении проективной геометрии от
метрики возродился в самом конце XIX в. Джино Фано, ученик К. Сег-
ре, опубликовал в 1892 г. работу «О фундаментальных
постулатах проективной геометрии в линейном пространстве
произвольного числа измерений» [112]. В ней он дал синтетическое
определение проективной плоскости. В качестве примера проективной
геометрии, в которой не выполняется аксиома непрерывности,
привел геометрию /г-мерного пространства над полем вычетов по
модулю р, а также примеры конечных проективных плоскостей с
7 и 13 точками. В 1902—1903 гг. Гессенберг в двух работах [113]
построил геометрию над широким классом полей. У него же
впервые появился термин «конечная геометрия». В 1906 г.
Освальд Веблен и Уильям Генри Басси в работе «Конечные
проективные геометрии» [114] указали общий метод построения
конечных проективных геометрий размерности п и всех двумерных
конечных геометрий над полями Галуа, тем самым обобщив гео-
437
метрию Фано на случай произвольного конечного поля Галуа
GF(q), где q = pr (р — простое, г — натуральное).
Последующее развитие конечных геометрий было бурным.
Сейчас они составляют разветвленную совокупность
аксиоматических теорий относительно дискретных систем. Они имеют
установленные связи с теорией конечных групп, комбинаторными
наборами и другими дисциплинами, составляющими дискретную
математику.
§ 10.8. ПОСТРОЕНИЕ В XX в. ОБЩИХ КОМБИНАТОРНЫХ
ТЕОРИЙ
К началу XX века вновь стали складываться условия,
необходимые и достаточные, для формирования общей теории в части
математического исследования дискретных систем. Постановка
комбинаторных задач, рассматриваемых прежде обособленно,
постепенно приобретала определенное единообразие и общность.
Создались основы для их классификации. Установились единые
или сходные методы решения определенных классов задач
комбинаторного характера. Практически сложилось достаточно общее
представление о смысле и содержании комбинаторных объектов
и о наличии для них различных интерпретаций (числовых,
алгебраических, графических, табличных, геометрических).
Стабилизировалась терминология и (в меньшей степени) специфическая
символика. Укоренился, наконец, общий термин для этой области
математической науки: комбинаторный анализ (или
комбинаторика).
Как показал ход исторических событий, накопленных
предпосылок оказалось достаточно, чтобы начавшийся процесс
формирования общей комбинаторной теории вступил в фазу активных
действий. Начало XX в. совпало с появлением двух капитальных
и по-своему успешных попыток построения такой теории. Одна
из них [94} принадлежит профессору Гессенского университета в
Германии Е. Нетто (1848—1919). Автором другой [115] оказался
английский профессор Мак Магон П. А. (1854—1929).
Система комбинаторики у Е. Нетто. Первая из упомянутых
попыток построения общей комбинаторной теории в полном и
систематическом виде изложена в книге «Lehrbuch der Combina-
torik» von Dr. Eugen Netto, 1901 (2-te Auflage, 1927). Она
появилась ровно через 100 лет после книги Вейнгартнера (Weingartner
J. Ch) с тем же названием (Leipzig, 1800—1801, th. 1, 2),
написанной в духе школы К.-Ф. Гинденбурга и практически
подводящей итог ее исследованиям.
Е. Нетто заинтересовался математикой еще в гимназии, в
Берлине, где ее преподавал известный в те времена учитель
К. Г. Шеллбах, В 1866—1870 гг. Нетто учился в Берлинском
университете. Там он был усердным слушателем лекций Кронекера,
Куммера и Вейерштрасса. Последний выступал также
оппонентом на защите Нетто магистерской диссертации: «О преобразо-
438
ваниях уравнения yn===:R(x), где R(x) — есть целая
рациональная функция, являющаяся решением уравнения r]2=/?i(|)» («De
transformazione aequationis yn=R(x), designante R(x) functionen
integram rationalem variales x, in aequationem rj2=/?i (§)»)
После нескольких лет работы учителем в гимназии Нетто в
1879 г. стал доцентом университета в Страсбурге. По
рекомендации Вейерштрасса затем был назначен доцентом университета
в Берлине. А через 6 лет, в 1888 г., Нетто занял должность
лрофессора Гессенского университета (г. Дармштадт), на
которой оставался вплоть до выхода в отставку в 1913 г.
Научные интересы Нетто сначала были сосредоточены на
теоретико-групповой тематике. Постепенно они сместились в
сторону проблем комбинаторного характера. Впервые и
достаточно определенно это проявилось в его сочинении «Substitutio-
nen-theorie und ihre Anwendung auf die Algebra», Leipzig, 1882.
Комбинаторика, по-видимому, завладела умом Нетто. Через 16
лет он опубликовал в Математической энциклопедии (Encyclopa-
die der mathematischen Wissenschaften. Leipzig, 1898, Bd. 1.
S. 26—46) обстоятельный обзор состояния комбинаторики к
концу XIX в. Вскоре, через 3 года, вышла в свет и упомянутая
выше книга. В ней с большой полнотой были собраны,
систематизированы и описаны практически все достижения (в особенности в
ее перечислительной части), которые в то время составляли
комбинаторику как научную дисциплину.
Охарактеризуем содержание этой уникальной книги. Уже
первая глава: «Простейшие комбинаторные операции» дает
представление о том, как Е. Нетто трактует само понятие
комбинаторики и цели, которые он в книге себе поставил. Оказывается,
что он решил возможно полнее воспроизвести результаты
комбинаторного характера и изложить их систематически. Это делает
книгу полезным для истории математики справочником.
Начало существования комбинаторики как самостоятельной
области математики в книге отнесено к работам Б. Паскаля,
Г. В. Лейбница, Дж. Валлиса, т. е. к математике XVII в.
Отмечено большое воздействие на развитие комбинаторики результатов
А. де Муавра и Я. Бернулли. Смысл вводимых комбинаторных
понятий разъяснен обстоятельно. Задачи, в большинстве
перечислительные, выводимые при этом формулы (по преимуществу
комбинаторные тождества) снабжены в большинстве ссылками на
тех авторов, которые их впервые опубликовали. Особенно
многочисленны эти ссылки на тех математиков, которые
сотрудничали с К.-Ф. Гинденбургом.
Та же задача введения читателя в основы комбинаторики, в
том же стиле, с многочисленными историческими справками,
решается во 2-й главе: «Биномиальная и полиномиальная
теоремы».
Затем следует группа из 6 глав, в которых обстоятельно
описываются подстановки и решения различных комбинаторных
перечислительных задач: с ограничениями на расположения (гл. 3);
439
инверсии и последовательности (гл. 4); таких, где сумма чисел
элементов остается неизменной (гл. 5); задачи о разбиениях
чисел (гл. 6 и 7); задачи, сводящиеся к разбиению целых чисел на
сомножители (гл. 8).
В последующих трех главах (9—11) рассматриваются задачи,,
в которых комбинаторные суждения сочетаются с другими,
привносимыми из различных иных частей математики. Речь в этих
главах идет о тройках Штейнера, о системах троек Киркмана, с
задачах Шредера из алгебры логики, о разбиениях
многоугольников на треугольники и др.
Предпоследняя глава книги Нетто (гл. 12) содержит обзор
приложений, т. е. случаев использования комбинаторных методов
и формул в других областях математики. Здесь рассмотрены
вероятностные задачи дискретного характера (как теперь говорят:
задачи на дискретных пространствах элементарных событий) 9
обращение степенных рядов, вычисление детерминантов,
исследование целых многозначных функций. Последняя же глава (гл. 13)
называется просто: «Формулы». В нее включены по преимуществу
комбинаторные тождества, а также другие формулы, в которые
входят биномиальные коэффициенты.
Такая система сосредоточения накопленных комбинаторных
знаний в едином сочинении имела (и имеет) свои достоинства.
Читателя в книге Нетто привлекают полнота рассматриваемых
фактов; систематичность изложения; большое число ссылок на
первоисточники. Однако вскоре делается все более заметным,
что недостатков в. книге больше, чем достоинств. Вся
совокупность сообщаемых фактов и суждений о них оказалась
обращенной полностью «назад», к прошедшим временам. Комбинаторика
же все больше интересовала математиков, находилась в быстром
и разностороннем развитии. Теоретические построения и вся
система Нетто, едва сложившись, начали быстро стареть.
Поэтому, когда через четверть века, в 1927 г., вышло в свет
второе издание книги Нетто, оно оказалось обросшим большим
количеством дополнений и примечаний. Их составили норвежские
математики Вигго Брун (1885—1978) и Туральд Теодор Альберт
Сколем (1887—1963). Это были авторитетные ученые. В. Бруну
принадлежит, например, названный его именем метод решета
(отыскания простых чисел в последовательности чисел
натуральных), аналогичный двойному решету Эратосфена. Известна
также функция Бруна—Титчмарша к(х; q, /), значения которой суть
количества простых чисел, не превосходящих х и сравнимых с /
по модулю q. Что же касается Т. Сколема, то, помимо его
исследований в теории чисел, широко известны его работы по
математической логике и по философским вопросам математики.
Укажем, для примера, теорему Сколема—Левенгейма о том, что
любая аксиоматическая теория, имеющая бесконечную модель,,
имеет и счетную модель. Из этой теоремы следует возможность
построения так называемых нестандартных моделей аксиомати-
440
Дж. Сильвестр (1814—1897)
ческих теорий, а также относительность таких понятий, как
счетность множества, его мощность и др.
Дополнительная глава 14 «Функция разбиения», которую
написал В. Брун, пополняет материал глав 6—8, В первой из них
Нетто описывал результаты Эйлера о разбиениях чисел и
последующие результаты, полученные главным образом Сильвестром.
Во второй — описаны точечные графы, введенные, по-видимому,.
Дарфи. В нее включена краткая информация о результатах
Франклина, Сильвестра и о ранних результатах Мак Магона.
Наконец, как было упомянуто выше, в гл. 8 рассматривается
проблема разбиения натуральных чисел на сомножители.
Что же касается функции разбиений В. Бруна, то ее
значениями являются числа распределений для множества, элементы
которого образуют подмножества с различными признаками, по
441
ячейкам различной вместимости. Эту общую постановку В. Брун
разъясняет на частных, более простых, примерах. При этом он
формулирует принцип двойственности, состоящий, например, в
том, что число распределений 3 черных и 2 белых шаров по
ячейкам вместимостью в 4 и 1 шар равно числу распределений 1
черного и 4 белых шаров по ячейкам вместимостью 2 и 3 шара. В
приложениях к теории чисел речь идет о задачах такого типа:
пусть дано целое число X. Его разложение по степеням простых
множителей ри р2, ..., Рп имеет вид: Х=р\* pf/ ... р*п .
Спрашивается, сколькими способами можно представить X в виде
произведения q сомножителей, где q^>\. При этом Брун ссылается
на свои работы 1924 года, на результаты Сколема и на известную
двухтомную монографию Мак Магона (1915; 1916), о которой
лойдет речь ниже.
Т. Сколем также добавил к книге Нетто свою главу (гл. 15),
где рассматривает комбинаторные наборы типа троек Штейне-
ра, метод включений и исключений и сведения о теории графов
в терминах теории пар. При этом способе линии в графе
обозначают парой букв или иных символов, которыми обозначены
вершины графа. Кроме того, Сколем добавил 21 примечание; из них
некоторые — очень пространны и являются скорее добавлениями,
имеющими целью пополнить содержание книги и
модернизировать устаревшее изложение.
Комбинаторный анализ Мак Магона. К началу XX в. начала
формироваться другая общая комбинаторная теория, совсем не
сходная с системой комбинаторики Нетто. Ее строил по существу
один человек — английский математик Мак Магон.
Мак Магон Перси Александер (1854—1929) родился на
острове Мальта в семье бригадного генерала английской армии.
Следуя семейным традициям, в 1871 г. он поступил в военную
академию в г. Вулвич. На военной службе находился до 1898 г.
Большую часть этого времени (начиная с 1882 г.) занимался
преподаванием математики, физики и приложениями этих наук
к артиллерии в военно-учебных заведениях.
В 1890 г. его избрали членом Лондонского математического
общества. Работал он там активно. В воспоминаниях о нем
есть упоминание, что на заседаниях общества он всегда был
готов выступить с научным сообщением. Делал он это даже
экспромтом, когда надо было заменить отсутствующего докладчика.
На один трехлетний срок, 1894—1896 гг., он был избран
президентом общества. Позднее, в 1917 г., его избрали президентом
Королевского астрономического общества.
Научный авторитет Мак Магона был высок. В признание его
научных заслуг ему были присуждены ученые степени доктора
наук в Дублине (1897), Кембридже (1904), Абердине (1911). Он
был почетным членом ряда научных обществ и учреждений, имел
награды. Биографические сведения о нем см.: Dictionary of
scientific Biographies, ed Gillispie C. C, 1973, v. 8; а более под-
-442
робно в некрологе в Journal of the London Mathematical Society,
1930, October, vol. 5, part 4, № 20, pp. 307—318.
Начиная с 1881 г. и до конца жизни Мак Магон опубликовал
свыше 120 работ. В подавляющем числе его сочинений
преследуется единая цель: построение общей комбинаторной теории.
Систематическому и обстоятельному изложению этой теории Мак
Магон посвятил большую двухтомную монографию Combinatory
Analysis, vol. 1—2, 1915—1916. Cambridge University Press.
Когда эта книга появилась, возраст ее автора перевалил за 60 лет.
Он опубликовал уже около 90 работ. Позднее ему удалось
напечатать еще около 30 работ. Но они не внесли изменений ни в
замысел автора, ни в сложившуюся структуру его теории. В них
содержались доработки, обобщения, решения сопредельных задач
из алгебры (например, из теории детерминантов) и др.
«Комбинаторный анализ» Мак Магона — впечатляющее
сочинение. В двух томах, по объему приблизительно равных,
содержится 40 страниц вводных текстов, 613 страниц основного
текста и 29 страниц, заполненных только таблицами. Весь текст
распределен по 52 главам, сгруппированным в 11 секций.
Уникальность книги проявляется не только в ее замысле, структуре
или в педантичной обстоятельности, объяснимой личными
качествами автора. Мы имеем в виду то, что теория, развиваемая
Мак Магоном, была достаточно обособленным и в то же время
значительным явлением в научной математической жизни. О
работах Мак Магона знали многие, он был активен и влиятелен.
Однако в истории не видно никого, кто сотрудничал бы или
соперничал с ним в разработке данной или подобной системы.
Интерес к последней проявился лишь в конце 50-х гг. нашего века.
Исходным пунктом для построения комбинаторного анализа
Мак Магон избрал своеобразную трактовку теории производящих
функций, появившуюся, как известно, в начале XIX в. в работах
(главным образом) Лапласа. Трактовка производилась в
терминах симметрических функций. Мак Магон обратил внимание на
то, что хотя Лаплас имел в виду задачи вероятностного
характера, его теория производящих функций имеет комбинаторную
сущность. Дальнейший ход его мысли таков: Лаплас для последова-
п
тельности чисел F(x) строит производящую функцию ^ F(x)tx
и нередко имеет возможность записать ее в суммированном,
«свернутом», виде. Значения производящей функции для всех
целых х, выступают как коэффициенты при t*1 (i=l, 2, ..., п) в
разложении некой функции.
Речь, следовательно, идет о функции F(x{, х2> ..., хп),
значения которой зависят от упорядоченной последовательности
входящих в нее переменных хи *2, ..., хп\
2 . . . %f{xv xtt . . . , xn)t*t** . . . <**.
443
Каждая величина xi суммируется в пределах от 0 до оо, так
что когда ряды поддаются суммированию, то число F(xu х2, ...,
хп) выступает как коэффициент при /** ...t*nn в разложении
функции от tu h, -.., tn, в которую величины х\, х2, ..., хп явно не
входят.
Главная, по выражению Мак Магона, производящая функция
получается из функции Лапласа подстановкой вместо
произведения txxx tx2% ...txnn симметрической функции
Ее Мак Магон записывает для краткости в виде {хи х2у ..., хп)-
Большое преимущество такого подхода, по мнению Мак
Магона, состоит в том, что происходит освобождение от
необходимости рассматривать громоздкие выражения с tit2...tn- Внимание
может быть сосредоточено на последовательностях х\, х2, ..., хп.
По существу, получается, что и просуммированная
компактная форма производящей функции оказывается также
симметрической. Производящие функции интерпретируются и
исследуются в терминах и средствах теории симметрических функций.
В этом и состояла главная идея Мак Магона: построить
общую теорию комбинаторной математики как теорию
симметрических функций. При этом он всегда настойчиво подчеркивал
новизну, самостоятельность и общность развиваемой им теории.
В персональном плане эти утверждения Мак Магона,
возможно, справедливы. Но объективное рассмотрение, проводимое с
учетом более широкой перспективы научной жизни, их не
подтверждает. Например, надо иметь в виду, что перечислительные
задачи комбинаторики, в частности подсчеты разбиений чисел,
столь широко изучаемые Мак Магоном, в те времена входили в-
более широкий круг научных интересов, к теории инвариантов
алгебраических форм. Последнюю строили многие математики, в
первую очередь А. Кэли (1821—1895) и Дж. Сильвестр (1814—
1897). Признаки воздействия этой и иной, алгебраической по
преимуществу, тематики легко обнаруживаются в работах Мак
Магона. Впрочем, в истории математической науки несовпадение
объективного течения событий с личными устремлениями и
мнениями тех, кто в них участвует, — явление не столь уж редкое.
Обратимся, однако, к описанию самой теории —
комбинаторного анализа Мак Магона. Первые 2 из 11 секций монографии,
состоящие из 5 глав каждая, имеют соответственно названия:
«Симметрические функции» и «Обобщения теории, изложенной в
секции 1».
Напомним, что симметрические функции — это те функции^
значения которых не изменяются при любых перестановках их
аргументов. К симметрическим функциям, например, относятся:
п п п
2 *<; П *i"> 2 XiX>* max<*i' *2» • • • > *n); 2 xt(modn);
/=1 i=l i^i</^n i=l
444
а также константы, функции одной переменной, функция
«голосования», т. е. такая функция, аргументами которой являются О
и 1, а значения — тоже 0 и 1 в зависимости от большинства.
Введение понятия симметрической функции требует точного
указания всех ее аргументов и проверки на симметричность.
Помимо уже упомянутых, существуют многие другие, например
симметрические полиномы. Всякая рациональная симметрическая
функция над полем характеристики нуль, является отношением
двух полиномов. Любая булева симметрическая функция на
наборах значений аргументов, содержащих одинаковые числа
единиц, принимает одинаковые значения. Эти и другие свойства
симметрических функций делают их важной частью
математического аппарата, прилагаемого в наши дни к конструированию
вычислительных устройств и автоматов вообще.
В первых двух секциях своей монографии Мак Магон
установил, что общая теория разбиений, которую он начал строить,
может быть интерпретирована средствами теории мономиальных
симметрических функций, а также то, что справедливо и
обратное утверждение. Для облегчения интерпретации он использовал
операторное исчисление Хаммонда. Это — символическое
исчисление дифференциальных операторов, действующих на
симметрических функциях. Появилось оно в 1882 г. (Hammond J. On the
calculation of symmetric functions. Proceed. London Math. Soc,
1882, v. 13, p. 79).
Вводятся эти операторы следующим образом: рассмотрим
выражение
л л
связывающее величины а< с элементарной симметрической
функцией а. Введем новую величину ц, умножая обе стороны этого
равенства на (х—\х):
п
(х-!*)П (*-а,)=х"+'-(я,+(ф:п + (а^ца,)*»-1 -
— (а3 + ра2)ха-2 + . . . .
Это введение изменит структуру симметрической функции: если,
положим, для нее имело место
WW • • • ) = 4>(«i, «t. «* • • • ) = Ф
то после введения ц:
fpfPfP? • • • )+Н-р,(рГ_1Р2'Рз* • ¦ • )+V-p'(Pi%t~l931)+
+ V-Hp?????'1 ...)+••• =Ф(<»1+Р» Д«+!«*1. а»+рл» •••)==
446
- Ф 4 Р*Ф +?<*?)Ф + ?<<*?)» +
где d1 = — + ai^ +6^^+ . - '
oai aai aa,
a (d*) обозначает символическое умножение dxdxdx..., как в
разложении по формуле Тейлора. Таким образом, (df) есть
оператор порядка s. Последовательное же применение s раз
линейного оператора d{ Мак Магон обозначает (di)s.
Сравнивая далее коэффициенты при одинаковых степенях \jl
и обозначая — (dJ):=Z),, будем получать
A»(p?W • • ¦) - (рГ'р2*2Р2' • • •);
^(р?1?;^- • • • ) = о.
если 5 не входит ни в одну из частей pi, рг, рз, ...;
D8(s) = l.
Применение оператора Ds к любой симметричной функции
приводит к разбиению, в котором будет отсутствовать часть 5.
Поэтому обычно оператор Ds называют исключающим.
Операторы D подчиняются закону коммутативности, а действия с ними
производятся по общим правилам алгебры.
Другой оператор Хаммонда, вводимый и применяемый
аналогично, имеет вид
rfx ——+aj- \-a2- h • • • •
dax rfax+l dax+2
Операторную технику Хаммонда Мак Магон применил в 7 из
11 секций своей монографии.
Итак, в секции 1 содержится описание симметрических
функций и их интерпретаций в комбинаторике. Ставится задача о
разбиениях в возможно более общем виде. Вводятся операторы
Хаммонда. Обобщения, составившие содержание секции 2,
состоят во введении разделений разбиения (separations of a
partition), в которых исходным пунктом являются сами разбиения.
Это ведет к построению групп разбиений, а затем — групп
разделений. Подробно рассказано об алгебре операторов, выведена
формула, аналогичная формуле Варинга. Биномиальные
коэффициенты, в интересах единства изложения, представлены как
симметрические функции разбиений, но на нуль частей. Для них
составлены таблицы симметрических интерпретаций.
Секция 3, состоящая из 6 глав, посвящена теории
перестановок, также излагаемой в терминах симметрических функций. В
ней центральное место занимает «Master theorem». Так ее назвал
446
Мак Магон, под этим же названием она появляется в
последующих публикациях. Впервые в окончательной форме с большим
числом пояснений и примеров эта теорема появилась в 1894 г.
(Mac. Mahon P. A. A. certain class of generating functions in the
theory of numbers. Phil. Transact., 1894, v. 185, p. 111—160).
Сущность этой теоремы такова: пусть рассматривается
произведение п линейных алгебраических форм
{aiiXi-\-al2X2+... + a\nXn)... (aniXi + an2X2 + ... +йппХп),
которое Мак Магон записывает в матричной символической
форме:
(Xv Х19 ...» Хп)
1*1» *2» * • • * ^п)»
так что Xs=*aslxl+astxt+ . . . +asnxn=: ^ asixit
1=1
Если X = 2 хи т0 число перестановок сомножителей в произ-
ведении х\1 л|г ... х\п равно коэффициенту соответствующего
п
vi=l
члена в л
Теперь будем рассматривать в общем виде разложение функ-
п
ции П*?*- Теорема состоит в том, что коэффициенты этого
разложения будут соответственно равны коэффициентам той
части разложения
I
(1-Si*i)(l~s2.*a). . .(\-snxn)'
которая является функцией произведений
S\X{, S2X2, ..., SnXn
и которая, если положить s;=l (1=1, 2, ..., /г), будет иметь вид
1/Vn, где
Ян
^ = (-1)%*». • .*«
П1
Xl
°п
а<п\
аы
Хг
апг
• • • #1п
. . . а2п
1 1
апп— Хп
447
Значение Master theorem, в которой, как сказано,
доказывается равенство коэффициентов соответствующих членов
разложений (в символике Мак Магона):
i
а) произведений линейных форм ["] <*f*» гДе ^< = У, xv
l
б) дробей вида (l-a^xi-^i. . . (i-««*w)
состоит в том, что оно эквивалентно введению в общем виде
производящей функции для разбиений. Это обеспечивает весьма
широкую область ее применения при решении задач комбинаторного
характера.
В трактате Мак Магона приведено много примеров,
иллюстрирующих это. В частности, в главе 3 этой секции показано, как
легко с ее помощью решается обобщенная задача о встречах (о
ларосочетаниях); производится также суммирование степеней
биномиальных коэффициентов.
В главе 5 третьей секции вводятся решетки перестановок, т. е.
частный вид перестановок (pqr...) чисел p + q-\-r+...=n при
соблюдении условия p>q>r^... . Для их интерпретации
используется точечный граф (граф Ферре).
в 0 . (п) Появление в этой секции подобного
# /) материала диктуется, в частности, тем
"..*.." ... обстоятельством, что позже, во 2-м
'9 /ji томе, в секциях 9 и 10, с помощью
таких графов будут получаться решения
Рис. 72 задач о числе расположений в двух-
и трехмерных областях. Числа при
этом будут размещаться в узловых точках решеток размерности
2 и 3. Этим же объясняется, почему принято название: решетка
перестановок.
Секция 4, состоящая из 5 глав, целиком посвящена
композициям чисел. Так были названы те разбиения, в которых
необходимо учитывать порядок частей разбиения. К ним относится класс
соответствующих симметрических функций. В 4-й главе этой
секции описана ныне широко известная задача Симона Ньюкомба
(об этой задаче см. напр. в книге: Риордан. Введение в
комбинаторный анализ. М.: ИЛ., 1963. С. 254—258).
В секции 5 (3 главы) рассматриваются расположения фигур
на шахматной доске. В качестве введения фигурирует глава о
совершенных разбиениях. Показаны связи этой части теории с
магическими и латинскими квадратами. Введена операторная
техника для исчисления конечных разностей.
Завершается первый том секцией 6 (2 главы), в которой
теория разбиений непосредственно прилагается к задаче составления
перечней разбиений составных (multipartite) чисел. В секции
собраны многочисленные таблицы.
Второй том монографии Мак Магона состоит из секций 7—11
(всего 26 глав). Он начинается (секция 7, 6 глав.) с детального
448
описания того, что известно об алгебраической теории разбиения
чисел (partitio numerorum), начиная с работ Эйлера. В этот
обзор не включены, однако, результаты Кэли и Сильвестра на том
основании, что они якобы недостаточно алгебраические.
Важнейшими достижениями в этом круге проблем, по мнению Мак
Магона, являются: применение точечных графов; тождества,
выведенные Рамануджаном при исследовании проблемы разбиений
чисел. Затем он рассказывает о различных специальных
преобразованиях производящих функций, выполняемых в терминах
симметрических функций. Наконец, рассказывается о связях
теории разбиений с теорией графов.
Секция 8 (7 глав) содержит подход к теории разбиений. Он
состоит во введении диофантовых неравенств. С этим названием
Мак Магон связывает включение в свою теорию следующей идеи:
7.
разбиение натурального числа на натуральные слагаемые /г=2а&
можно рассматривать как последовательность натуральных
чисел аь <%2, ..., ап, сумма которых равна п. Упорядочим элементы
последовательности по величине. Пусть ai>a2^...>an. Такие
соотношения упорядоченности Мак Магон называет диофантовы-
ми неравенствами, или отношениями.
Это понятие применяется, например, в следующем контексте:
в комбинаторном анализе нередко приходится рассматривать
суммы вида 2х* . В то же время рассматриваются
алгебраические дроби вида
•'-wR'J-O-^i')
Чтобы установить между этими выражениями соответствие, надо
в разложении дроби по степеням X отбросить члены, содержащие
отрицательные степени Я, и положить Я,= 1 (?=1, 2, 3, ...). На
языке Мак Магона это называется: применить операцию Q. При
помощи таких рассуждений находится, например, формула
2*
"(1-*)(1-*а). • .(!-*')'
т. е. производящая функция Эйлера, появившаяся в работах
последнего по теории разбиения чисел.
С целью дальнейших обобщений Мак Магон использует
восходящую к Д. Гильберту (1897) теорию сизигий, т. е.
алгебраических выражений, составленных из величин, не независимых
линейно, но связанных линейными отношениями. Термин «сизигия»
заимствован из астрономии, где он означает расположение трех
небесных тел на одной прямой. Он удержался и в современной
алгебре (МЭ, т. 4, с. 1129, а также т. 1, с. 973).
Секции 9 и 10, по 4 главы в каждой, содержат обобщения
результатов, рассмотренных в первом томе, на задачи о разбиениях
элементов, размещенных в пространствах 2 и 3 измерений.
449
Последняя, 11-я, секция (5 глав) называется:
«Симметрические функции некоторых систем величин с приложениями к теории
разбиений». Она состоит из обобщений постановок и решений
задач, уже известных из текста книги. К ним приложены
таблицы симметрических функций двух систем величин и перечисления
трехмерных графов.
Таким образом, комбинаторный анализ Мак Магона оказался
в основном общей теорией разбиений, построенной в терминах
теории симметрических функций и направленной преимущественно
на решение перечислительных задач. Современное состояние как
комбинаторного, так и теоретико-числового аспектов теории
разбиений с большой полнотой освещено в монографии Г. Эндрю-
са [116].
В этой связи нам представляются особенно значительными и
интересными, заслуживающими детальной историко-научной
проработки, следующие идеи Дж.-К. Рота, которые он высказал в
предисловии к полному собранию сочинений Мак Магона (Мае
Mahon P. A. Collected papers, ed. MIT Press, p. XIII, 1978):
«...каждое поколение переоткрывает их (симметрические
функции. — К. Р.) и представляет на современном ему жаргоне в виде
последнего крика моды. Сегодня — это /(-теория, вчера это были
категории и функторы, а позавчера — представления групп. За
этими и некоторыми другими привлекательными теориями, стоит
один неизменный источник: простое и обычное, грубое
определение симметрических функций и тождеств, которым они
удовлетворяют».
Мы уже упоминали, что формирование комбинаторного
анализа Мак Магона и последующее развитие идейно связано с
математической теорией инвариантов. Термином «инвариантностью
обычно пользуются, когда речь идет о свойстве
рассматриваемого математического объекта не изменяться при задаваемом виде
преобразований. Постепенное расширение класса объектов и
видов преобразований повело к образованию обширной и
многосторонней теории математических инвариантов.
Понятие инварианта, по-видимому, первым применил в 1844 г.
немецкий математик О. Гессе. Регулярное развитие идеи
инвариантности в областях, наиболее близких к комбинаторному
анализу, началось тоже в 40-х гг. XIX в. в работах А. Кэли и Дж.
Сильвестра. В их работах были введены основы теории
инвариантов алгебраических форм. В математике 2-й половины XIX в.
и в последующие времена теория инвариантов являлась одним из
наиболее активно разрабатываемых направлений. Кстати,
актуальность подобной тематики в наше время имеет отнюдь не
только историко-научное значение.
Комбинаторный анализ в том виде, в каком его строил Мак
Магон, занимал в системе математических наук место между
алгеброй и теорией чисел. Последнюю в те времена еще называли
высшей арифметикой. Так это место определил сам Мак Магон,
такого же мнения придерживались математики и в последующем.
450
В международной информационно-реферативной классификации
это место сохранилось даже сейчас, когда комбинаторный анализ
приобрел высокую степень общности и теоретико-множественную
методологическую основу (см. напр. структуру международного
реферативного математического журнала Mathematics Reviews),
В реферативном же журнале «Математика», издающемся у нас
в стране, раздел «Комбинаторный анализ» вместе с теорией
графов помещен между теорией вероятностей и вычислительной
математикой, что разумному объяснению не поддается.
Графовые интерпретации общей комбинаторной теории. В
течение XIX в. и более ранних времен в математике происходило
накопление задач, в решении которых применялись графы, а
вместе с тем методов графического характера и соответствующих
элементов теоретического рассмотрения. С наступлением XX в.
графические средства стали все чаще появляться в химии,
электротехнике, биологии, социологии и других науках. Это
способствовало применению графов в самой математике: алгебре,
топологии, комбинаторике, математической логике. Графы появлялись
и применялись до недавнего времени под различными
названиями: схема, лабиринт, карта, сеть, диаграмма, комплекс, система
пар. Восходящий к Сильвестру термин «граф» (1878) сделался
общепринятым только в 20—30-е гг. нашего столетия. Важную
роль в этом сыграли работы Д. Кёнига (1884—1944).
Денеш Кёниг — венгерский математик. Учился он в
университетах Будапешта и Геттингена. Его отец Юлиус Кёниг
(ум. 1913) тоже был математиком. Научные интересы Ю. Кёнига
были разнообразными; больше других проблем он интересовался
основаниями математики. Самой крупной его работой была
книга «Neuen Grundlagen der Logik, Arithmetik und Mengenlehre»,
которую после смерти автора издал в 1914 г. его сын.
Что касается самого Д. Кёнига, то его научная и
педагогическая деятельность проходила в Будапештском университете,
где с течением времени он стал профессором. Во времена
гитлеровского фашизма Д. Кёниг подвергался преследованиям и 19
октября 1944 г. покончил жизнь самоубийством. Большинство его
работ относится к комбинаторике и теории множеств.
Изучением графов Д. Кёниг занялся около 1910 г.
Побуждением общего характера было желание наглядного построения
структуры дискретных множеств, между элементами которых
могут наличествовать связи. Можно, впрочем, отметить и
собственно графовые проблемы, над которыми он размышлял в начале
своих занятий в этой области. Это были задачи факторизации
графов.
7 апреля 1914 г. Д. Кёниг выступил в Париже на конгрессе по
математической философии с докладом. Он сообщил, не приводя
доказательства, что всякий двудольный граф имеет 1-фактор и, в
качестве следствия, что такой граф может быть разложен на k
разобщенных 1-факторов. Доказательство было опубликовано
почти через 10 лет (Konig D. Sur une probleme de la theorie
451
generate des ensembles et la theorie der graphes. Rev. Metaphys.
Morale, 1923, v. 30, p. 443—449). Еще через год с небольшим он
опубликовал на венгерском и на немецком языках работу
принципиального значения [117] о графах и их приложениях к теории
детерминантов и к теории множеств.
Из этой работы уже видно, что воззрения Д. Кёнига на теорию
графов как на самостоятельную важную часть математики к тому
времени уже сложились. Он писал об этом так: «В настоящей
статье мы имеем дело с задачами из топологии (analysis situs),
теории детерминантов и теории множеств. Центральным
понятием, через посредство которого эти задачи соотносятся между
собой, является понятие графа. Графовые методы раскрывают
благодаря своей высокой геометрической наглядности (которая и
на самом деле уже повела к решению многих лишь недавно
решенных задач) эквивалентность весьма далеких друг от друга
исследований».
Вышедшая позднее, в 1936 г., монография [91] написана с тех
же принципиальных позиций, но с несравненно большим объемом
конкретного материала и широкой проблематикой. Через год в
1937 г. появилась знаменательная работа Д. Пойа
«Комбинаторные вычисления для групп, графов и химических соединений»
[118]. С этого времени (30-е гг. XX в.) теория графов приобрела
привычные нам роль, структуру и форму рассуждений.
Связи комбинаторных и топологических идей продолжали в
XIX в. оставаться прочными. Отправным пунктом, где были
выявлены такие связи, явились работы Листинга [54]. В 1895—
1904 гг. была опубликована серия работ А. Пуанкаре. В них, как
принято считать, были заложены основы алгебраической
топологий. В частности, в одной из этих работ [92] был развит уже
упоминавшийся выше метод построения геометрических
объектов, названных (следуя Листингу) комплексами. Эти комплексы
строятся из элементов, ячеек. Простейшими являются 0-ячейки
(точки) и 1-ячейки (отрезки линий). Для описания структуры
комплексов Пуанкаре применил матрицы. Этот прием восходит
к Кирхгофу и представляет собой, по существу, описание графов
матрицами инцидентности.
Идеи Пуанкаре были восприняты как естественные, и в 1907 г.
в математической энциклопедии в статье о топологии появился
специальный раздел: «Системы линий» (Liniensystemes),
содержащий первое систематическое изложение теории графов с
подробной библиографией.
Новые подходы проявились в 1922 г. в книге Веблена
Освальда (1880—1960) «Analysis situs» (N. Y.) [119]. В развитие
методов Кирхгофа и Пуанкаре здесь было введено понятие числа
циклов фундаментального множества, что соответствует циклома-
тическому числу Листинга, или степени непрерывности по Жор-
дану. Алгебраические трактовки получили форму проблемы о
числе корней матрицы инцидентности, сводя тем самым вопрос к
452
суждениям о ранге матрицы. Веблен ввел также понятие остова
графа. При этом он показал, что всякий связный граф содержит
дерево, включающее все вершины графа. Наконец, он нашел
метод построения из остова фундаментального множества циклов.
Чтобы сделать тезис о быстром и многостороннем развитии
теории графов в начале XX столетия более убедительным и не
перегружать в то же время текст деталями, упомянем ниже лишь
следующие значительные достижения: а) доказательство условия
планарности графов [120] (в книге Ф. Харари «Теория графов»
[74, с. 126] сообщается, что Л. С. Понтрягин доказал критерий
планарности графов еще в 1927 г., но не публиковал его); б)
введение понятия двойственности графов в работах Уитни [121].
Мы не включаем в настоящий текст дополнительных сведений
о проблеме 4 красок. Об этом существует обширная и доступная
литература [122]. После Хивуда, показавшего в 1890 г.
ошибочность доказательства Кемпе, существенные продвижения
заставили долго себя ждать — до 60-х гг. нашего столетия.
Чтобы лучше связать настоящий исторический очерк с
современным состоянием общей комбинаторной теории, упомянем еще
об одном научном направлении большого значения. Оно началось
в 1935 г. с работы Уитни [123]. Главная начальная идея этого
направления состоит в последовательно проводимой аналогии
между графами и структурами векторного пространства по такой
примерно схеме:
Количество ребер графа — подпространства векторного
пространства
Остов — базис
Цикл — минимальное зависимое
множество
Ранг — гиперплоскость
Были аксиоматизированы свойства ранговой функции.
Получилась структура (система независимости,
комбинаторная геометрия), за которой постепенно закрепилось название
«матроид». Общность этой структуры оказалась настолько
значительной, что она практически вышла за пределы понятия
графа. В современной общей комбинаторной теории эта структура
сделалась одной из основных, получающих все более широкое
развитие и применение.
В 40-е гг. нашего века дискретная математика получила
мощный стимул для дальнейшего усовершенствования. Он состоял во
вхождении в математику быстродействующих вычислительных
устройств. В 1946 г., сразу после мировой войнц, стало известно,
что в США, в Пенсильванском университете, действует громадная
электронная вычислительная машина «ENIAC», построенная для
баллистических расчетов. Через 2 года в строй действующих
вошла новая быстродействующая вычислительная машина
IBM-603. Примерно в то же время, в 1950 г., в СССР в Ака-
453
демии наук УССР была построена первая отечественная машина
МЭСМ. Еще через 2 года, в 1952 г., в Академии наук СССР
была завершена работа над первой из семейства цифровых
вычислительных машин БЭСМ, могущей участвовать в решении
сложных задач науки и техники.
Последовал стремительный рост, качественный и
количественный, быстродействующих вычислительных средств. Они
буквально преобразили труд математиков и внесли коренные изменения
в структуру математической науки и ее приложений. Дискретные
методы математического исследования выступили на первый
план.
Дело в том, что электронные вычислительные устройства по
способам обработки поступающей информации бывают либо
цифровыми (ЭЦВМ), обрабатывающими данные, представленные в
цифровой (дискретной) форме, либо аналоговыми, оперирующими
с информацией, поступающей непрерывным способом.
Существуют и гибридные вычислительные устройства, в которых оба
способа применяют в различных комбинациях. Сравнительно быстро
оказалось, что для вычислительной практики цифровые машины
предпочтительнее. Их усовершенствование пошло быстрее,
возросла их численность и к настоящему времени они составляют
большинство.
Для дискретных (комбинаторных) методов математики это
обстоятельство дало много: а) облегчение переборов ситуаций и
подсчет вариантов решений — дела необходимого, порой
неизбежного, но весьма трудоемкого, а нередко и невыполнимого;
б) появление реальных возможностей решать комбинаторные
задачи экстремального типа; в) возможности изучения сложных
систем; г) открытие нового необъятного поля для теоретических
достижений и постановки новых перспективных проблем. Таковы
были появившиеся возможности.
Не заставили себя ждать и результаты. В научной
математической литературе 50-х гг. XX в. произошел «комбинаторный
взрыв». Резко возросло число работ, в которых ставились и
решались теоретические и прикладные задачи комбинаторного
характера. А в конце этого десятилетия появилась серия
монографий, в которых с различных позиций решалась общая задача:
построение общей комбинаторной теории. Важнейшими из них,
по нашему мнению, были (приводятся две даты: первого издания,
русского издания): Дж. Риордан. Введение в комбинаторный
анализ (1958; ИЛ, 1963); К. Берж. Теория графов и ее применения
(1958; ИЛ, 1962); М. Холл. Комбинаторный анализ (1958; ИЛ,
1963); Г. Дж. Райзер. Комбинаторная математика (1963; Мир,
1966); М. Холл. Комбинаторика (Combinatorial Theory, 1967;
Мир, 1970). С 1966 г. начал выходить специализированный
«Journal of Combinatorial Theory». Математики США повели эту
работу энергично и довольно согласованно, не скрывая наличия
весьма практических побуждающих стимулов.
454
В СССР первыми работами, посвященными построению общей
комбинаторной теории, явились: а) монография: К. А. Рыбников.
Введение в комбинаторный анализ (1972; 2-е изд. 1985); б)
«Комбинаторный анализ: задачи и упражнения» (1982); в) три книги
В. Н. Сачкова: «Комбинаторные методы дискретной математики»
(1977); «Вероятностные методы в комбинаторном анализе» (1978);
«Введение в комбинаторные методы дискретной математики»
(1982). С 1989 г. начал выходить журнал «Дискретная
математика». В Московском университете были проведены 8 Всесоюзных
семинаров по комбинаторному анализу с изданием трудов.
Не менее энергично трудились в рассматриваемой здесь
области математики и в других странах; особенно примечательны
успехи венгерских математиков. Умножилось число
специализированных журналов, сборников, монографий, научных статей.
Можно считать установленным, что формирование
современного облика комбинаторного анализа, начавшееся в конце 50-х гг.,
привело к устойчивой и общепризнанной структуре в начале
70-х гг. Однако комбинаторный анализ не является единственным
представителем, который мог бы претендовать на монопольное
положение в математических исследованиях дискретных систем,
объединяемых общим названием «дискретная математика».
В математике ее дискретная часть существовала всегда.
Частично она воплощалась в рамках традиционных, издавна
сложившихся математических наук: теории чисел, алгебры,
математической логики, комбинаторики. Начиная же с XX в., в
особенности с его середины, в значительной мере вследствие появления
и внедрения цифровых ЭВМ, в дискретной математике
сформировался ряд новых разделов. Мы имеем здесь в виду:
математическую теорию кодирования, теорию сетей, целочисленное
программирование, теорию автоматов и многое другое. Эти новые
разделы в совокупности также бывает принято трактовать как
современную дискретную математику (в специализированном
смысле).
Объединение достижений всех дисциплин, составляющих
дискретную математику, явится залогом будущих успехов
математики в построении и исследовании дискретных математических
моделей, вырастающих из общенаучной и прикладной,
технической, практики.
Для истории науки в качестве самых актуальных возникла
проблема исследования разнообразных путей формирования
всего состава современной дискретной математики, начало чему и
положено настоящей главой. К этой главе составлен отдельный
список л-итературы (123 названия) с тем, чтобы облегчить
дальнейшую работу математиков по решению этой проблемы.
ГЛАВА 11
МАТЕМАТИКА В РОССИИ
ь
§ 11.1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ
В предыдущих главах можно найти сравнительно много
сведений о наиболее важных вкладах, внесенных в науку
математиками России. Эти данные: а) свидетельствуют о наращивании
объема научных исследований и о повышении авторитета наших
отечественных математиков; б) могут помочь составить
некоторое представление об уровне и характере развития
математической науки в России.
Однако упомянутые сведения неизбежно были отрывочными и
неполными. Их подбор был подчинен основной тематике
соответствующих глав. Здесь же мы дополним их по необходимости
кратким и по возможности связным очерком развития
математики в России. Это поможет раскрыть историческую
преемственность научных математических достижений более поздних
времен. Неизбежные повторения постараемся свести к минимуму.
§ 11.2. МАТЕМАТИКА НА РУСИ
Процесс накопления математических знаний привел к
заметным результатам еще в средневековых государственных
образованиях: Киевской Руси (X—XII вв.), Владимиро-Суздальском
княжестве (XII—ХШ вв.), в Новгороде (XIII—XV вв.).
Своеобразие этого процесса состояло в том, что математическое
образование и первые научные сведения развивались главным образом
на базе влияния Византии. У народов Кавказа и Средней Азии
пути были иными.
Тяжелые события российской истории решающим обраэюм
обусловили острую недостаточность сведений о математическом:
образовании, практике решения задач и вообще о
математической культуре первых государственных образований славян.
Наличные материалы позволяют дать лишь следующую общую
характеристику первых этапов развития математики на нашей
Родине,
Уже в начале X в. на Руси существовала письменность.
Тесные связи с Византией способствовали ускоренному приобретению
знаний. Математическое образование было на уровне
европейского. При дворе киевского князя Владимира Святославовича
(год рожд. неизвестен — ум. 1015 г.) было налажено
обязательное книжное учение для приближенных. При Ярославе Мудром
(978—1054) действовала школа. С тех времен до нас дошли
замечательные литературные и общекультурные памятники: «Рус-
456
екая правда», «Повесть временных лет», «Слово о полку Игореве»,
разнообразные летописи. Архитектурные памятники и
археологические раскопки доставляют новые подтверждения высокого
уровня хозяйствования и культуры в средневековых русских
княжествах.
Практические хозяйственно-технические сведения и
математические расчеты записывались с помощью десятичной
алфавитной системы нумерации, сходной с древнегреческой алфавитной
системой. К слову заметим, что это та самая нумерация, что
уцелела до наших дней в церковных книгах. В первоисточниках
встречаются иногда и очень большие числа. Для них обычно
дают особые названия. В обычном, «малом», счете 104 имело
название: неведие, позднее — тьма, 105 — легион, 106 — леодр. По
другой системе, «великого» счета, тьмой называли число 106,
легионом — 1012, леодром — 1024, вороном —¦ 1048, колодой — Ю96'
(возможно, что и 1049). После этого простодушный летописец
заявил: сего же числа несть больше.
Помимо задач и счета, стимулируемых практическими
соображениями, очень рано начинают ставиться вопросы и предлагаться
задачи, составлявшиеся «числолюбцами». Древнейшими из
сохранившихся математических рукописей такого типа являются
записки Кирика, новгородского дьякона, датируемые точно 1134 г.,
В них собраны такие задачи:
а) вычисление, сколько месяцев, недель, дней и часов
протекло от сотворения мира (по православным верованиям, к 1134
году уже истекло 6642 года);
б) задачи на суммирование прогрессий, образуемых с
помощью соображений о прогрессирующем приплоде стад;
в) вычисление размеров Земли, Солнца и Луны по данным,
совпадающим с измерениями Эратосфена (IIIв. до н. э.), и
связанное с этим приближенное вычисление числа л (здесь
я=3,125);
г) сложная теоретико-числовая задача вычисления дат
религиозного праздника Пасхи. Этот праздник наступает в первое
воскресенье после первого весеннего полнолуния. Первым
весенним считается полнолуние, наступающее между 21 марта и
18 апреля. Задача состоит в сравнении периодических шкал
солнечных лет, лунных месяцев, с учетом Метонова цикла (19
солнечных лет равны 235 лунным месяцам), семидневных периодов
недели, периодов обращения Земли и Луны вокруг Солнца.
Получается сложная периодичность дат праздника и связанных с
ним религиозных постов длительностью 532 года (великий индик-
тион). Интересующиеся могут обратиться к сочинениям по
истории русской хронологии, например «Русская хронология» Л. В.
Черепнина (М., Изд-во Историко-архивного института, 1944).
Ход развития науки и культуры на Руси был насильственно
прерван в первой половине XIII века из-за нашествий монголов
(с 1240 г. — Батыя) и крестоносцев (1242 г. — битва на Чудском
озере). Русский народ истекал кровью, но свою государственную
457
и национальную самостоятельность все-таки отстоял. Битва на
Куликовом поле в 1380 г. была началом конца
татаро-монгольского ига. Окончательно оно было свергнуто к 1480 г. Однако
продолжающиеся нападения иностранных интервентов и
болезненный процесс ломки феодального уклада и становление единого
многонационального государства в период XVI—XVIII вв., т.е.
до времени реформ царя Петра, еще сильно задерживали рост
хозяйства, культуры, науки. Определился период длительного
отставания России от европейских стран как в области
математической науки, история которой рассматривается в настоящей
книге, гак и в части математического образования.
§ П.З. Л. ЭЙЛЕР И ПЕТЕРБУРГСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
В течение всего XVIII в. в России было учреждено только
два научно-учебных центрл. Первым из них была Петербургская
Академия наук. При ее основании было решено (1725 г.), что она
будет состоять из научных отделов, университета и гимназии.
Так и сделали. Смысл затеянного был очевиден. Академия
должна была не только организовать научные исследования, но и
готовить образованных людей российского происхождения. Эту
задачу Академия не выполнила, иностранные профессора,
приглашенные за большие деньги, обучать российскую молодежь не
стали. Гимназия и университет зачахли. Петру пришлось для нужд
обороны, мореплавания и техники организовывать специальные
учебные заведения.
В Москве в 1755 г. начал функционировать первый в России
университет. Он. сделался центром воспитания отечественной
интеллигенции. Но в интересующей нас здесь части в XVIII в. он
еще себя не проявил, так как в первые 50 лет своего
существования смог осуществлять только учебные функции.
Научная деятельность в области математики в России
практически полностью состояла из блестящих исследований Эйлера и
его немногочисленных сотрудников и учеников (чьи результаты
даже не приближались еще к уровню их учителя). Гигантские,
по их количеству и важности, научные достижения Эйлера
показали необычность этой личности. Где бы ни заходила речь об
истории математики XVIII и последующих веков, имя Эйлера
обоснованно упоминается. Однако в России, где Эйлер пользовался
громадным уважением, его влияние стало ощущаться гораздо
позже. При жизни он и его научная деятельность оставались
блестящим, но изолированным явлением. Также не нашли
непосредственного развития многие замечательные мысли М. В.
Ломоносова о математике, ее значении и характере ее методов.
Такое положение дел начало изменяться в первой половине
XIX в, когда под натиском нового, капиталистического,
производства, несмотря на нежелание и даже явное сопротивление
правящих кругов, в России были произведены реформы. Возрастающая
при этом роль образования и науки нашла свое выражение, в
458
частности, в основании университетов. В первой половине XIX в.
¦были открыты следующие 6 университетов: Тартуский, 1802;
Вильнюсский, 1803; Казанский, 1804; Харьковский, 1805;
Петербургский, 1819; Киевский, 1834. Во второй половине XIX в.
начали функционировать еще 3 университета: Одесский, 1865;
Варшавский, 1869; Томский, 1888. К 1917 г. в России насчитывалось
11 университетов (так как в 1909 г. был открыт еще Саратовский
университет).
В каждом из университетов с момента его организации
учреждались физико-математические факультеты и кафедры
математического профиля. Исключением явился Саратовский университет,
где это произошло лишь в 1918 г.
Университеты в те времена обязаны были руководить всеми
видами учебных заведений в своем учебном округе. От них, в
частности, зависел уровень преподавания математики, издание
математической литературы, как учебной, так и научной, все виды
образовательной внешкольной работы по математике, вплоть до
организации научных объединений.
К середине XIX в. в университетах начала складываться и
развиваться серьезная научная деятельность. Этому
сопутствовало объединение в университетах ряда городов
ученых-математиков на основе общих интересов, что приводило к формированию
научных школ. Термин «научная школа» мы применяем к
сравнительно многочисленным группам ученых, объединяемых
общностью научных интересов и устремлений, поддерживающих
регулярные научные связи. Школы характеризуются либо классом
решаемых теоретических проблем или задач, либо своеобразием
применяемых методов научного исследования.
Таким образом, первым по времени научным центром в
области математически^ исследований являлась Петербургская
Академия наук. Вслед за тем вокруг университетов стали
складываться другие научные центры и научные школы: в Москве, Казани,
Киеве, Харькове и т. д. Нет возможности в одной книге описать
многоплановую картину творческого труда математиков России.
Поэтому в дальнейшем мы уделим основное внимание только
описанию Петербургской и Московской математических научных
школ как самых сильных и определяющие течение главных
событий в научной математической жизни России. К счастью,
существуют книги, в которых этот период истории отечественной
математики освещен полно (например, большая книга: А. П. Юшке-
рич. История математики в России. М.: Наука, 1968).
§ 11.4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЖИЗНЬ В ПЕТЕРБУРГЕ XIX В.
После смерти Эйлера (1783) уровень математических
исследований в Петербурге сильно снизился. Новый подъем обозначился
лишь в 20-е годы XIX века. Он определялся активной научной и
организаторской деятельностью М. В. Остроградского (1801—
1861) и В. Я. Буняковского (1804—1889), а позднее П. Л. Чебы-
шева (1821—1894). Первые два из них получили серьезную науч-
459
М. В. Остроградский (1801—1862)
ную подготовку в Париже — самом в то время значительном
центре математической науки. В их исследованиях отразились
идейное родство и связи с ведущими идеями современных им
лучших математиков. Эти особенности были восприняты, сохранены
и развиты в трудах позднейших петербургских (и не только
петербургских) ученых.
Михаил Васильевич Остроградский окончил Харьковский
университет в 1820 г. Его учителем был профессор Осиповский Т. Ф.,
ректор университета, человек прогрессивных убеждений. Борьба
профессора Осиповского с реакционным большинством
профессоров завершилась изгнанием его из университета. Это отразилось
и на судьбе Остроградского, который не получил диплома. Свою
математическую подготовку Остроградский продолжал в
Париже (1822—1828), там же опубликовал свои первые научные
работы и возвратился на родину уже ученым с высокой научной
репутацией. Он обосновался в Петербурге, где в 1828 г. был
избран адъюнктом, а затем в 1830 г. — действительным членом Ака-
460
демии наук. Кроме того, Остроградский читал лекции в военных
и технических высших учебных заведениях Петербурга.
Научные интересы Остроградского развивались в тесной связи
с актуальными для парижских ученых проблемами. Он даже
большинство своих работ писал и публиковал на французском
языке. Как и его французские коллеги (Фурье, Лаплас, Коши,
Пуассон и другие), Остроградский основные усилия направлял на
решение прикладных задач. Большинство его работ относилось
к областям математической физики, механики и связанных с ними
проблем математического анализа. Кроме того, он оставил
первоклассные исследования по алгебре, теории чисел и теории
вероятностей. Собрание сочинений М. В. Остроградского на
русском языке издано в трех томах в 1959—1961 гг. Академией
наук УССР.
Математическая физика занимала центральное место в
научной деятельности Остроградского. Когда он еще учился в
Париже, построение математических теорий различных явлений
природы было лейтмотивом всей научной жизни. В 1822 г. вышла в
свет «Аналитическая теория тепла» Фурье. В 1825 г. завершилась
публикация «Небесной механики» Лапласа. В 1826 г. была
издана «Теория электромагнитных явлений» Ампера. В том же году
•была написана первая работа Остроградского (опубликована в
1832 г.). Она была посвящена задаче о распространении волн на
поверхности жидкости в цилиндрическом бассейне. Несколько
позже (в 1829 г.) Остроградский решил ту же задачу для
бассейна, поверхность жидкости в котором имеет форму кругового
сектора.
Возвратившись в Петербург, Остроградский тртчас
опубликовал «Заметку об интеграле, встречающемся в теории
притяжения», где он дал оригинальный вывод уравнения Пуассона,
найденный им и сообщенный Коши еще в 1826 г. Вслед за тем
несколько мемуаров он посвятил математической теории тепла.
Здесь он развил метод Фурье для твердых тел и сделал это в
общем виде. Тут же он поместил впервые полученное строгое
решение задачи о распространении тепла в жидкости. Его заметка «О
теории теплоты» (1828; опубликована в 1831 г.) содержит
обобщение метода Фурье. Это обобщение состоит в основном: а) в
определении характеристических чисел краевой задачи и
соответствующих им фундаментальных функций (вообще говоря, не
тригонометрических); б) в исследовании разложимости функций
в ряд по фундаментальным функциям. При этом Остроградский
открыл свойство попарной ортогональности фундаментальных
функций, а также нашел формулу разложения по
фундаментальным функциям
НХ, У, 2)= \ —+—; •
Лтт \ ииг о
Здесь у Остроградского интегралы, разумеется, тройные по
области, о) — дифференциал (элемент) объема, и — фундаменталь-
461
ная функция, соответствующая данному слагаемому суммы, а
отношения интегралов — обобщенные коэффициенты Фурье.
Особенностью этой работы Остроградского является также то,
что он опирается на принцип локализации (см. «Локализации
принцип», в Математической энциклопедии, т. 3, 1982, с. 420).
Доказательство общего разложения по фундаментальным
функциям не проведено строго. Впрочем, последующие обобщения
метода Фурье, производившиеся в работах Ламе и Дюгамеля,
обладали еще меньшей общностью и доказательностью, чем это
достигнуто в работах Остроградского.
Во многих других сочинениях Остроградского решаются такие
задачи математической физики: о намагничивании разобщенных
брусков, о притяжении сфер и сфероидов, об интегрировании
уравнений малых колебаний упругих сред и др.
С исследованиями по математической физике связана значи*
тельная группа работ Остроградского по механике. Н. Е.
Жуковский делит эти исследования Остроградского на три части:
относящиеся к анализу принципа виртуальных перемещений и
вариационных принципов механики; посвященные методам решения
дифференциальных уравнений механики; те, где рассматриваются
частные задачи. В частности, среди обобщений принципа Лагран-
жа: его распространение на системы с освобождающимися
связями; общий метод нахождения скоростей упругих точек при
ударе о жесткую связь и др. Имеются и работы чисто
прикладного характера по баллистике и артиллерийской технике.
В области математического анализа Остроградскому
принадлежат большие открытия. По большей части они связаны с его
прикладными работами и возникали как усовершенствования,,
необходимые для достаточно общей постановки задачи. Так,
например, широко известная, классическая, формула
Остроградского
^^ (~Г + т: + ТГ ) dv - f f (Pdydz+Qdzdy+Rdxdy)
дх ду dz J
была впервые получена в 1828 г. и трактовалась как уравнение
гидродинамического баланса. Ее обобщение для я-кратных
интегралов было в 1834 г. найдено Остроградским для определения
вариации кратных интегралов. В статьях по вариационному
исчислению появилась также важная формула дифференцирования
кратного интеграла по параметру
~ Г Udxdydz... == Г ~ dxdydz...— Г U
dL ds
да
vm+$i
где параметр входит как в подынтегральную функцию U, так и в
уравнения, определяющие границу 5 области интегрирования L.
Ряд работ Остроградского посвящен теории интегрирования
алгебраических функций. В них, например, доказано, что алге-
462
браический интеграл от рациональной функции может быть
только рациональной функцией. Это является следствием (при /г=== 1)
более общего результата, принадлежащего также
Остроградскому: пусть дана рациональная функция R(xf у), где:
у=2 ЛЙ(*){Л; Аа-1.
Если при этом fR(x, y)dx есть алгебраическая функция, то он
является целой рациональной функцией от у степени п—1,
коэффициенты которой — рациональные функции от х. Доказано
также, что интеграл от алгебраической функции не может быть ни
показательной, ни тригонометрической функцией. Найден способ
отделения алгебраической части интеграла от рациональной
дроби, называемый теперь в учебниках без достаточных оснований
«правилом Эрмита». Наконец, в статье «О преобразовании
переменных в кратных интегралах» (1836; опубликована в 1838 г.)
дан метод, употребляющийся и в наше время.
Эти и многие другие результаты Остроградского в области
теории интегрирования помимо их связей с прикладными
задачами отразили новый этап развития интегрального исчисления. Еще
во времена Эйлера, в значительной части благодаря его усилиям
и успехам, было в основном завершено выделение класса
функций, интегрируемых в элементарных функциях. Новая
проблематика составилась из более общих вопросов относительно природы
классов функций, получающихся при интегрировании того или
иного класса функций: рациональных, алгебраических,
элементарных, трансцендентных. Помимо Остроградского, над этой
проблематикой работали Абель, Лиувилль и другие. Их результаты
временами оказывались близкими или даже перекрывающими
друг друга. В последующем общая теория интегрирования
функций была успешно продвинута П. Л. Чебышевым.
В ходе обзора работ Остроградского по математическому
анализу отметим еще некоторые из его результатов в теории
дифференциальных уравнений. В 1838 г. он опубликовал «Заметку о
линейных дифференциальных уравнениях», в которой для
уравнения вида
вывел определитель, называемый теперь детерминантом
Вронского. В работах Г. Вронского (1775—1853) этот детерминант
появился в 1812 г. Вид детерминанта у Остроградского:
W(x)
У\ Уг • • • Уп
y'i У2 • • • V*
yin-t) y(n-i) т e и yin-l)
(Уи У2, ..•> Уп) — частные интегралы уравнения.
46$
Ранее (1835) Остроградский внес улучшения в метод Ньютона
приближенного решения системы дифференциальных уравнений.
В связи с задачей интегрирования рациональных дробей
Остроградский нашел новый способ выделения кратных корней
многочленов. Его «Лекции по алгебраическому и трансцендентному
анализу» (1837) сыграли большую роль в развитии
математического образования в России.
В круг научных интересов Остроградского входила и теория
вероятностей. Ей он посвятил 6 статей в разное время {от 1834 до
1859 г.). В них рассмотрены задачи теории страхования,
азартных игр, статистического контроля качества продукции,
производящие функции и другие актуальные в его время проблемы
теории вероятностей. К ним он обращался, исходя
преимущественно из практических постановок конкретных задач. Не избежал
он в одной из своих работ и характерных для многих
математиков своего времени (например, для Лапласа) заблуждений,
состоящих в необоснованном приложении теоретико-вероятностных
суждений к решению вопросов судебной практики и другим
нематематическим ситуациям. Другой его ошибкой было не только
непонимание, но и почти пренебрежительное отношение к работам
Н. И. Лобачевского. Эта ошибка выдающегося математика учит
тому, насколько недопустимы в науке проявления теоретического
самоограничения, невнимательности или самомнения, как вредят
они развитию науки. Их нельзя оправдать никакими личными
заслугами или положением. Впрочем, Остроградский в этом
плане не является самым ярким примером. Читатель без труда
подберет примеры, более выразительные.
Виктор Яковлевич Буняковский также получил высшее
математическое образование в Париже. В 1825 г. там же ему была
присуждена ученая степень доктора математики. Возвратился он
в Россию в 1827 г. Долгие годы являлся профессором разных
высших учебных заведений Петербурга. Вскоре после приезда был
избран адъюнктом (1828), а затем (1830) — действительным
членом Петербургской Академии наук. С 1864 г. и почти до
конца жизни являлся вице-президентом этой академии.
В большом и разнообразном научном наследии Буняковского
(оно насчитывает около 130 работ) имеются значительные
научные результаты. В работах по теории чисел (их более 40) мы
можем встретить доказательство квадратичного закона взаимности,
решения задач диофантова анализа, исследования о простых
числах и многое другое. Более 20 работ Буняковский посвятил
теории вероятностей и ее приложениям. Он решал много задач,
возникавших при организации страхового дела, ссудных касс, в
демографическом анализе (таблицы смертности и эмпирическая
функция для них, подсчеты призывных контингентов и проч.),
промышленности. В качестве государственного эксперта по
статистике и страхованию (с 1858 г.) Буняковский оказал большое
содействие проникновению математических методов исследования
в административную и хозяйственную деятельность. Написанная
464
В. Я. Буняковский (1804—1889)
им книга «Основания теории вероятностей» (1846) охватила все
разделы этой науки и ее приложения. Она явилась первым в
России большим учебным руководством.
В работах Буняковского по анализу решено много
конкретных задач теории интегрирования, сходимости рядов и др. Ему,
в частности, принадлежит честь открытия (в 1859 г.), известного
и ныне неравенства
Гf /(*)<р(л-)dx\ < J f\x)dx f tf{x)dx,
L« J a a
которое иногда называют неравенством Шварца, хотя последний
нашел и опубликовал его 16 годами позднее Буняковского.
Геометрические исследования Буняковского в основном
посвящены проблемам оснований геометрии. Он тщательно исследовал
историю доказательств постулата Евклида о параллельных,
обнаружил несовершенства всех этих доказательств. Однако к ра-
465
ботам Лобачевского Буняковскии не смог отнестись сочувственно
и продолжал искать логически строгое доказательство постулата.
Неевклидова геометрия представлялась ему логически
немыслимой.
Работы Буняковского (как, впрочем, большинства
математиков XIX в.) оказались забытыми, влившись и
трансформировавшись в некоторый обобщенный опыт науки. Освоение и
обобщение этого опыта для современных математиков является еще
далеко не полностью решенной задачей. Но тогда (к середине
XIX в.) деятельность Остроградского и Буняковского, их
учеников, многие из которых стали крупными специалистами в
различных областях математики, техники, администрации, определила
новый подъем математики в России, особенно в Петербурге.
Начал складываться коллектив творчески работающих математиков,
ведущее место в котором к концу жизни Остроградского занял
приехавший из Москвы П. Л. Чебышов (его фамилию, вопреки
его личному письменному настоянию, чаще произносят и пишут:
Чёбышев).
Пафнутий Львович Чебышев окончил в 1841 г. Московский
университет. На конкурсе студенческих работ за сочинение на
тему «Вычисление корней уравнений» он был награжден
серебряной медалью. Будучи оставлен при университете, защитил в
1846 г. магистерскую диссертацию «Опыт элементарного анализа
теории вероятностей». В следующем году Чебышев переехал в
Петербург и начал работать в университете. Здесь в 1849 г. он
защитил докторскую диссертацию: «Теория сравнений» и
работал профессором ъ течение многих лет, до 1882 г. В
Петербургской академии наук деятельность Чебышева началась в 1853 г.,
когда его избрали адъюнктом. Рост научного авторитета
Чебышева в дальнейшем отмечен избранием в число академиков (1856).
В научном наследии Чебышева насчитывается более 80 работ.
Оно оказало огромное влияние на развитие математики, в
особенности на формирование Петербургской математической
школы. Для работ Чебышева характерны тесная связь с практикой,
широкий охват научных проблем, строгость изложения,
экономность математических средств в достижении крупных
результатов. Его труды доступны для ознакомления и изучения
(Чебышев П. Л. Полное собрание сочинений. Т. 1—5, М.; Л. Изд-во
АН СССР, 1944—1951). Кроме того, в 1945 г. был издан сборник
«Научное наследие П. Л. Чебышева» (Изд-во АН СССР) в двух
томах. Сборник составлен из обзорных статей, в которых дана
характеристика трудов Чебышева по математике (1-й том) и
кинематике механизмов (2-й том).
Математические достижения Чебышева в основном получены
в следующих областях: теория чисел, теория вероятностей,
проблема наилучшего приближения функций и общая теория
полиномов, теория интегрирования функций.
В теории чисел Чебышев начал работать в 40-х годах
прошлого века. Началось с того, что академик Буняковскии привлек его
466
П. Л. Чебышев (1821—1894)
к комментированию и изданию сочинений Эйлера по теории
чисел. Одновременно Чебышев готовил монографию по теории
сравнений и ее приложениям, чтобы представить ее в качестве
докторской диссертации. К 1849 г. обе эти задачи были выполнены
и соответствующие работы опубликованы. В качестве
приложения к своей «Теории сравнений» Чебышев опубликовал мемуар
«Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной
величины». Затем появилось еще несколько статей на близкие
темы.
Проблема распределения простых чисел в последовательности
чисел натуральных — одна из самых старых в теории чисел. Она
известна со времен древнегреческой математики. Первый шаг к
ее решению сделал Евклид, доказав теорему, что в натуральном
ряду имеется неограниченно много простых чисел. До тех пор,
пока Эйлер не привлек средства математического анализа, ее ре-
467
шение практически не продвигалось. Новое доказательство, по
существу, не давало нового результата, но включало новые
методы. Эйлер исходил из определения дзета-функции
оа оо
1
('-?)
(п — натуральные числа, р — простые) и соображений, что
сумма 2~ПРИ 5>* и s~*l неограниченно возрастает. Следова-
тельно, произведение ["] И" "М имеет неограниченно большое
число сомножителей. Лишь в 1837 г. Дирихле обобщил теорему
Евклида, доказав, что в любой арифметической прогрессии
{a+nb}, где а и Ь взаимно просты, содержится неограниченно
много простых чисел. В период 1798—1808 гг. Лежандр, изучив
таблицы простых чисел до 106, вывел эмпирически, что число
простых чисел в отрезке [2, х] выражается формулой:
*(*)
1пх— 1,08366
Чебышев доказал, что формула Лежандра неточна,
исследовал свойства функции л(х) и показал, что истинный порядок рос-
та этой функции тот же, что и функции , Более того, им
были найдены уточнения:
0,92129 <^< 1,10555.
х
\пх
Это открытие Чебышева произвело очень большое
впечатление. Многие математики работали над улучшением его
результатов. Сильвестр в своих статьях 1881 и 1892 гг. сузил границы
неравенства:
0,96695 <^< 1,04423.
х
1а х
Дальнейших сужений добились Шур (1929) и Брейш (1932).
Чебышев нашел также интегральные оценки для значений
п{х). Ему удалось доказать, что с ростом х значение функции
л;(х) колеблется около значения Г —, удовлетворяя бесконеч-
.' in 2
г1*г
но много раз неравенствам:
468
fr—T^-^^K (,*+,-—. «>0. n>l.
J Ins \nnx J lnz 1плх
Только в 1896 г. Адамар и Валле-Пуссен доказали следующую
предельную теорему:
lim v ; = 1.
J lnz
Уже в близкое нам время (1949) Сельберг нашел другое
доказательство этой асимптотической закономерности. В 1955 г. А. Г.
Постников и Н. П. Романов упростили громоздкие рассуждения
Сельберга.
Исследования о расположении простых чисел в натуральном
ряду привели также к появлению работ Чебышева по теории
квадратичных форм. В 1866 г. вышла его статья «Об одном
арифметическом вопросе», посвященная диофантовым приближениям, т. е.
целочисленным решениям диофантовых уравнений посредством
аппарата непрерывных дробей.
Идеи Чебышева в области теории чисел продолжали
разрабатывать его ученики: А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев, А. А.
Марков, Г. Ф. Вороной и другие (см.: Б. Н. Делоне. Петербургская
школа теории чисел. М.; Изд-во АН СССР, 1947). Дальнейшее
развитие они получили в многочисленной и авторитетной
советской научной школе теории чисел, охватывающей своими
исследованиями всю проблематику этой области математики (см.
например статью «Чисел теория» в Математической энциклопедии,
т. 5Х 1985, 868—870).
К теории вероятностей Чебышев обратился еще в молодые
годы, посвятив ей магистерскую диссертацию. В те времена в теории
вероятностей имел место своеобразный кризис. Дело в том, что
основные закономерности этой науки были в основном найдены
еще в XVIII в. Говоря так, мы имеем в виду закон больших
чисел; предельную теорему Муавра—Лапласа
х—а
\ • / /5 J
— предельный закон вероятностей отклонения числа х
появлений случайного события от математического ожидания а этого
числа х при п опытах с постоянной вероятностью р; введение
понятия дисперсии G2=np (1—р). Осознание широкой
приложимости этих закономерностей привело к попыткам применить их
даже к социальной практике людей, т. е. за пределами
обоснованной области допустимых приложений. Это вызвало большое
469
число путаных, необоснованных и ошибочных выводов, что
отразилось на научной репутации самой теории вероятностей. Без
солидного обоснования понятий и результатов дальнейшее
развитие этой науки сделалось невозможным.
Чебышев написал по теории вероятностей всего 4 работы (в
1845, 1846, 1867 и 1887 гг.), но, по всеобщему признанию, именно
эти работы вывели теорию вероятностей снова в ранг
математических наук, послужили основой для создания новой научной
математической школы.
Исходные позиции Чебышева проявились уже в его
магистерской Диссертации. Он ставил перед собою цель дать такое
построение теории вероятностей, которое в наименьшей степени
привлекало бы аппарат математического анализа. Этого он достигал,
отказываясь от предельных переходов и заменяя их системами
неравенств, в которых заключены все соотношения. Числовые
оценки отклонений и погрешностей остались характерными
особенностями и последующих работ Чебышева по теории
вероятностей.
Разумеется, в дальнейшем Чебышев расширил свой аппарат
исследований в области теории вероятностей. Для этого он
привлек алгебраические непрерывные дроби, свойства которых
изучал в связи с задачами об интегрировании алгебраических
функций. На базе алгоритма непрерывных дробей он построил общую
теорию разложения произвольной функции в ряд по
ортогональным полиномам. Дополнив такой аппарат строгими
формулировками свойств математических ожиданий и других определений и
выводов, Чебышев к 1866 г. смог доказать закон больших чисел
в самой в то время общей, ставшей классической, постановке:
если математические ожидания величин х9 у, 2, ..., х2, у2, г2,
...будут соответствовать а, Ь, с, ..., аи Ьи си ..., то вероятность того,
что среднее арифметическое N величин х, у, z, ... будет разниться
от среднего арифметического математических ожиданий этих
величин не более, как на
JL л[ fl*+fe*-*-ci+ • * - д?+Ь2+с2+ . . .
t X N N
при всяком t, будет превосходить 1 .
Однако достаточно общее и строгое доказательство
центральной предельной теоремы Чебышеву удалось найти только к
1887 г. Для доказательства того, что «если математические
ожидания величин щ9 и2, «з,... равны нулю, а математические
ожидания всех их степеней имеют числовую величину ниже какого-либо
конечного предела, вероятность того, что сумма п величин и{ +
+«2+...+Нп, деленная на квадратный корень из удвоенной
суммы математических ожиданий их квадратов, заключается между
двумя какими-нибудь величинами tut', с возрастанием числа п
до со имеет пределом величину интеграла
470
-LlV-Лс»
У * t
Чебышеву пришлось найти метод, известный в современной
литературе как метод моментов.
JB доказательстве последней теоремы Чебышев допустил
логический пробел. Оказалось, что помимо условия независимости
случайных величин нужно обусловить, что среднее
арифметическое дисперсий при /г-^со стремится к некоторому положительному
пределу. Этот недостаток устранил А. А. Марков (1856—1922),
ученик Чебышева.
Марков и другой ученик Чебышева, А. М. Ляпунов (1857—
1918), своими работами настолько далеко развили идеи учителя,
А. А. Марков (1856—1922J
47*
что, по словам А. Н. Колмогорова, теперь их работы всюду
воспринимаются как исходный пункт всего дальнейшего развития
теории вероятностей, не исключая современного. В их трудах
получили развитие метод моментов (Марков) и метод
характеристических функций (Ляпунов). Особенно заслуживает того,
чтобы быть отмеченной, теория марковских цепей. Вообще работы
Чебышева, Маркова и Ляпунова составляют, по классификации
А. Н. Колмогорова, особый этап в историческом развитии теории
вероятностей. Этот этап занимает вторую половину XIX века, в
течение которой теория вероятностей в странах Западной Евро»
пы столь активной разработке не подвергалась.
Значительное место в трудах Чебышева занимает теория
приближения функций. Эта группа работ примечательна большим
теоретическим последствием, которое привело к возникновению
современной конструктивной теории функций. Последняя изучает,
как известно, зависимости между свойствами различных классов
функций и характером их приближения другими, более простыми
функциями в конечной или неограниченной области.
Во время заграничной научной командировки 1852 г. Чебышев
заинтересовался различными видами шарнирных механизмов, с
помощью которых осуществляется преобразование
прямолинейного поступательного движения поршня паровой машины в круговое
движение маховика (или наоборот). Одной из разновидностей
подобных механизмов является широко известный
параллелограмм Уатта.
Чебышев построил за свою жизнь много механизмов и
исследовал их кинематику. Здесь мы выберем механизм, служащий
примером для математической теории приближения функций
(см. рис. 73). Вокруг точек О и Ох могут вращаться О А и
соответственно 0\АХ. Движение узла
М, передающего толчки поршня
на вращающиеся части, не
прямолинейное. Оно имеет характер
биений. Задача расчета механизма с
1 тем, чтобы отклонения точки М от
вертикали были минимальными,
приводит к математической
задаче: описать движение точки М
Рис. 73 функцией, значения которой
наименее отклоняются от нуля на
данном промежутке.
Наиболее удобной для оперирования в математике функцией
является, как известно, полином. Отсюда вытекают задачи
определения полиномов, наименее уклоняющихся от нуля, а также
аппроксимирования функций полиномами. Последняя задача, по
Чебышеву, ставится так: на отрезке [а, Ь] задана непрерывная
функция f{x). Для этого же отрезка рассматривается множество
всех полиномов Рп(х) степени не выше N. Рассматриваются
max \f(x)—Pn(x)\
472
для всех заданных полиномов, и из них выбирается тот, который
дает наименьшее значение данного выражения.
Чебышев нашел вид класса специальных полиномов, носящих
его имя и в наши дни. Полиномы Чебышева, Чебышева—Лагерра,
Чебышева—Эрмита и их разновидности играют большую роль в
математике и в разнообразных ее приложениях. Чебышевская
теория наилучшего приближения функций полиномами
прилагается к геодезическим и картографическим задачам,
приближенным квадратурам, интерполяциям, решению алгебраических
уравнений, не говоря уже о кинематике механизмов, послужившей ее
исходным пунктом.
В рассматриваемой теории Чебышева содержатся идеи общей
теории ортогональных многочленов, теории моментов и методов
квадратур. Ортогональные многочлены с весами получаются у
него при разложении интеграла
ь
f^-W Р(х)>0
а
в ряд вида
So , о1 . S2 .
а затем в соответствующую этому ряду непрерывную дробь
Ьо #
, *i "
2— ах + -
2— <*а + + ¦ • •
z — аг
Если составить последовательность подходящих дробей
<Ш
то знаменатели образуют систему многочленов, ортогональных на
[а, Ь] с весом р(х)^0.
Ортогональные многочлены Чебышев связал с методами
наименьших квадратов. Он нашел, что многочлен Рп(х),
обращающий в минимум
ь
может быть представлен в виде суммы
47$
указанные выше ортогональные многочлены, а коэффи-
ъ
f f(x)Pk(x)p(x)dx
ь
lP\(x)p(x)dx
a
Ряд статей Чебышева посвящен общей теории интегрирования
функций. В них речь идет об интегрировании алгебраических ир-
рациональностей и о методах приближенного вычисления
определенных интегралов. Здесь ему принадлежит окончательное
решение вопроса об условиях интегрируемости
дифференциального бинома
Sx™(a+bxn)P dx
(т, п, р—рациональные числа) в элементарных функциях.
Именно он установил, что найденные еще в XVIII в. условия интегри-
руемости: р — целое число; или |-д — целые числа,
п п
являются единственно возможными. И в этой области, как и во
всех других, идеи Чебышева разрабатывали его ученики и
коллеги: Е. И. Золотарев, И. Л. Пташицкий, И. И. Сомов, Д. О. Граве,
И. П. Долбня.
Научной деятельности Чебышева мы уделили сравнительно
много места потому, что она является основой, началом быстрого
развития математики во второй половине XIX в. в Петербурге.
Чебышев и его ученики образовали ядро научного коллектива
математиков, за которым закрепилось название Петербургской
математической школы. Этот коллектив в 1890 г. создал
Петербургское математическое общество, которое существовало до 1905 г.
Петербургские математики оказали большое влияние на
формирование научных коллективов в других университетских
центрах России. Так, А. М. Ляпунов, работавший в Харькове
довольно долго (1885—1902), во многом способствовал объединению
математиков и подъему уровня научной жизни. Уезжая в
Петербург, он оставил своего ученика В. А. Стеклова на посту
председателя Харьковского математического общества. Д. А. Граве,
переехав в 1902 г. из Петербурга в Киев, создал там через
несколько лет научную алгебраическую школу, в которой выросли
О. Ю. Шмидт, Н. Г. Чеботарев и другие.
Разумеется, научные интересы петербургских математиков, да
и самого Чебышева, были гораздо шире. Из неупомянутых здесь
областей математики наиболее интенсивно велись работы над
проблемами теории дифференциальных уравнений (Ляпунов, Им-
шенецкий, Сонин и др.) и теории функций комплексного
переменного (в особенности Сохоцкий).
Петербургская математика к началу нашего века и позже
являлась широкой ассоциацией многих научных направлений. Они
где Pk —
диенты
474
А. М. Ляпунов (1857—1919)
оказывали (и оказывают ныне) значительное воздействие на
развитие математической науки и образования в нашей стране.
Связи с другими научными объединениями, в особенности в
последнее время настолько закрепились, а йаучные интересы настолько
переплелись, что термин «Петербургская математическая школа»
потерял свой обособляющий смысл.
§ 11.5. МАТЕМАТИКА В МОСКОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
В отличие от Петербурга, где средоточием математической
науки была Академия наук, математики Москвы группировались
вокруг своего университета. Историю математики в Москве
следует начинать с 1804 г., с того времени, когда в Московском
университете появился физико-математический факультет, а в нем
среди других две кафедры математики: чистой и прикладной.
475
Первая половина века характеризуется в основном постепенным
повышением уровня преподавания, ростом квалификации
профессоров и преподавателей. В трудных условиях самодержавного
гнета, хоть и медленно, но значение университета возрастало. За
11 лет (1825—1836 гг.) физико-математический факультет
окончило 119 человек, т. е. в среднем около 11 человек каждый год.
За следующие 18 лет, 1837—1854 гг., его окончило уже 453
человека, что составляет около 25 человек в год. Возможностей
применения научных талантов в нашей стране было еще очень мало,
В массе своей выпускники Московского университета — матема*
тики, физики, химики, биологи — становились преподавателями
гимназий. Тем не менее среди этих же выпускников за
полстолетия оказалось немало выдающихся для своего времени ученых:
П. Л. Чебышев, И. И. Сомов, Ф. А. Бредихин, В. Я. Цингер,
А. Ю. Давидов, М. Ф. Хандриков и др.
В 1811 г. в Москве была предпринята попытка создать первое
в России математическое общество. Инициатором выступил
офицер Генерального штаба Н. Н. Муравьев. Целью общества было,
как записано в уставе, распространение математических наук.
Впрочем, практически дело свелось к преподаванию прикладных
военных наук. Лет через пять, в 1816 г., на базе общества было
учреждено военно-учебное заведение для подготовки офицеров
генерального штаба. В 1826 г. оно было переведено в Петербург.
Лишь в 60-е гг. XIX в. в университете начался переход к
творческой научной деятельности. Он был определен фактом
организации Московского математического общества. Такие научные
объединения, как общества, являются формой коллективного
труда работников науки. Важнейшей частью деятельности научных
обществ является взаимная научная информация и обсуждения.
Появление научных обществ знаменует новый, более высокий,
уровень научных исследований. В наши дни, помимо обществ,
существует много форм коллективного труда ученых
(лаборатории, семинары, симпозиумы, коллоквиуАмы, институты,
координационные центры и т. п.), но роль научных обществ не снижается.
Можно предполагать, что в не столь отдаленном будущем
общественные формы научных объединений будут играть еще
большую роль.
Московское математическое общество начало свою деятельность
в 1864 г. Вначале это была небольшая группа
ученых-математиков, в большинстве работающих в университете. Они собирались
на квартире у всеми уважаемого профессора, учителя многих из
них, Николая Дмитриевича Брашмана (1796—1866).
На первом заседании, 15 сентября 1864 г., Н. Д. Брашман был
избран президентом общества, А. Ю. Давидов —
вице-президентом. Было решено, что целью нового общества будет взаимное
содействие в занятиях математическими науками. Для этого все
13 членов — основателей общества поделили между собою
отрасли науки на части, соответствующие их интересам и
компетентности, чтобы следить за их успехами и сообщать о них на заседа-
476
ниях. По математике эти реферативные задания были
распределены следующим образом (формулировки мы здесь сохраняем):
А. Ю. Давидов — интегрирование уравнений с частными
дифференциалами; А. В. Летников — дифференциальные уравнения;
Н, Н. Алексеев — интегрирование иррациональных функций и
эллиптические функции; К. М. Петерсон — аналитическая
геометрия; С. С. Урусов — теория конечных разностей; Ф. А. Слуд-
ский, а с 1865 г. Н. В. Бугаев — теория чисел. Другие члены
общества взяли на себя рефераты по механике, астрономии и
физике.
Через год, в октябре 1865 г., члены общества — математики
возбудили ходатайство об официальном статусе для своего
общества. Еще до этого, в апреле 1865 г., они решили издавать
«Математический сборник». Первый выпуск сборника появился в
октябре 1866 г. Вскоре, 28 января 1867 г., произошло официальное
оформление. Дело пошло, хотя трудности, финансовые и
организационные, оказались значительными. К 1901 г. в обществе
состоял 101 член, а к 1913 г. — 112. С перебоями, но выходил и
«Математический сборник» — старейшее русское специальное
периодическое математическое издание. Этот журнал, как и общество,
существует и в наши дни. Наладился с 1873 г. обмен изданиями
с заграничными научными организациями. Научный авторитет
общества и связи его членов крепли. Большую помощь обществу
оказывал его влиятельный член П. Л. Чебышев.
Постепенно произошла дифференциация, которая привела к
преобразованию математики и механики (носившей в то время
название прикладной математики) и практически к их
самостоятельному существованию. До 1917 г. из 971 научного сообщения,
которые были сделаны на заседаниях общества, 640 (т. е. около
двух третей) пришлось на математику, 217 (т. е. 22%) — на
механику и 114 (12%) — на астрономию и физику.
Научные интересы московских математиков охватывали
разнообразные области науки. Однако вскоре выкристаллизовались
наиболее продуктивные направления, складывающиеся в научные
школы. Во второй половине XIX в. таких направлений было три:
прикладной математики (механики), дифференциальной
геометрии и (не столь активное) дифференциальных уравнений.
Механика и отчасти геометрия превалировали в области
научных интересов первого президента общества. Н. Д. Брашман в
Вене окончил университет и политехнический институт. После
работы в Петербурге и в Казани (1825—1834) он прибыл в
Московский университет в качестве профессора прикладной
математики. За 30 лет работы в университете он заложил научные
основы преподавания теоретической механики и механических
экспериментов. Его собственные научные интересы сосредоточивались
на исследованиях, относящихся к принципу наименьшего действия
и к гидромеханике. Читал он лекции и по дисциплинам чистой
математики. Его учениками были П. Л. Чебышев, И. И. Сомов,
А. С. Ершов, А. Ю. Давидов, Ф. А. Слудский и др.
477
Преемник Брашмана по преподаванию механики в
университете и на посту президента Московского математического
общества А. Ю. Давидов (1823—1885) был человеком с широкими
научными интересами. Он удачно совмещал теоретические и
прикладные занятия. Его работы по механике в основном были
посвящены двум проблемам: теории равновесия тел, погруженных в
жидкость, и капиллярным явлениям. Ему принадлежит метод
нахождения положений равновесия плавающих тел через
посредство поверхности центров (поверхности, на которой расположены
все центры тяжести для различных сечений тела постояннога
отсеченного объема). Теорию капиллярных явлений Давидов
стремился связать с общей теорией равновесия жидкостей и
изучать ее средствами аналитической механики с помощью принципа
виртуальных перемещений, но с учетом изменения плотности на
границах. Математические же исследования Давидова относятся
к применениям теории вероятностей, дифференциальным
уравнениям с частными производными, теории интегрирования.
В конце XIX в. в Москве, в университете и в Высшем
техническом училище (основано в 1832 г.), работало сравнительна
много математиков прикладных направлений, в том числе Ф. А,
Слудский, Д. Н. Лебедев, Ф. Е. Орлов, В. Л. Циигер.
Общепризнанным главой с течением времени стал Николай Егорович
Жуковский (1847—1921). Он окончил университет в 1868 г. по
прикладной математике. Многие годы Жуковский преподавал в
университете и в Высшем техническом училище. Вступив в
математическое общество (1876), он сделался одним из самых активных, а
затем и авторитетных членов. Его избрали вице-президентом
(1903—1905), а затем президентом (1905—1921) общества.
В научных сочинениях и во всей деятельности Жуковского
нашло яркое выражение сочетание ученого-теоретика и
инженера-практика. В математике его научные усилия
сосредоточиваются вокруг проблем уравнений математической физики, причем
большое внимание уделяется приближенным методам решения
Много работал он и над проблемами теории фунций
комплексного переменного, где открыл применения этой теории к решению
трудных задач гидро- и аэромеханики.
Среди примерно 80 работ Н. Е. Жуковского, написанных до
1900 г., преобладают работы по гидродинамике. В них
исследуются проблемы качки судов, реактивные водометные двигатели,,
трение жидкости в полости тела и др. В ходе научного
консультирования сотрудников московского водопровода Жуковский
открыл явление гидродинамического удара и разработал его теорию.
Ему вообще принадлежит большое количество исследований по
механике: теории движения твердого тела вокруг неподвижной
точки, устойчивости движения и многое другое.
К концу XIX в. Жуковский все больше сосредоточивался на
проблемах аэромеханики и авиации. С 1889 г. появляются его
работы по теории воздухоплавания. Вскоре он перешел к
экспериментам, построив в университете (1902) первую аэродинамичес-
478
кую трубу. Через 2 года, в 1904 г., он открыл метод
присоединенных вихрей и сделал его основой аэродинамических расчетов.
За этим последовали разработка теории подъемной силы крыла и
вихревой теории винта. Одновременно расширялись и
эксперименты. Вместе с учениками и сотрудниками (число которых
быстро росло) Жуковский в 1904 г. принял участие в проектировании
и строительстве первого в России аэродинамического института в
Кучино под Москвой. В 1910 г. в Высшем техническом училище
он организовал аэродинамическую лабораторию.
Научно-теоретические и экспериментальные заслуги Жуковского в этой области
дали основание В. И. Ленину назвать его «отцом русской
авиации».
Жуковский подготовил большое количество
ученых-теоретиков, экспериментаторов, инженеров, офицеров-летчиков. Он был
окружен вниманием и заботой в последние годы его жизни.
После его смерти в 1921 г., исследования продолжали его ученики, в
особенности С. А. Чаплыгин. Таково было начало пути, следуя
которому из прикладной математики развились в МГУ и не
только в МГУ многочисленные и разнообразные отрасли механики —
науки своеобразной, тесно сочетающей математические методы
теоретического исследования с экспериментом и потому особенно
важной для современных отраслей техники.
Другое научное направление, о котором мы выше упоминали,
ведет свое начало от работ К. М. Петерсона по классическое
дифференциальной геометрии. Карл Михайлович Петерсон
(1828—1881) окончил в 1852 г. университет в г. Тарту. Его
учителями были Зенф и Миндинг, которые передали ему свою
увлеченность дифференциальной геометрией. В кандидатской
диссертации «Об изгибании поверхностей» (1853) и в последующих
работах Петерсон фактически определил пути дальнейшего
развития теории поверхностей на долгие годы. Он исследовал
изгибания поверхностей, ввел изгибание на главном основании, решал
связанную с изгибаниями задачу определения поверхностей по
заданным квадратичным формам, выведя аналитические условия,
определяющие поверхность per se (как таковую) с точностью до
положения ее в пространстве. Эти условия известны как
формулы Майнарди—Кодацци, хотя последние получили свои
результаты соответственно на 4 и 15 лет позже Петерсона. Кроме
того, он нашел изгибания минимальных поверхностей, открыл новые
классы поверхностей. Отметим, что Петерсон всю свою трудовую
жизнь работал учителем в средней школе, а степень доктора
получил в Одесском университете в 1879 г. не за свои главные
работы, а за работы хорошие, но не столь значительные, по теории
дифференциальных уравнений.
Теория поверхностей и их изгибаний надолго сделалась
объектом исследований московских геометров. Вслед за Петерсоном
этими проблемами занялся Б. К. Млодзиевский, посвятивший им
свою магистерскую диссертацию. В ней он вывел общее
уравнение для изгибаний (дифференциальное уравнение в частных про-
479
Д. Ф. Егоров (1869—1931)
изводных второго порядка, выражающее координаты точек
поверхности с данным квадратом линейного элемента ds2 в виде
функций гауссовых координат U, V). Ему удалось получить ряд
результатов в теории дифференциальных инвариантов
поверхностей и многомерных многообразий, а также — при изучении
отдельных классов поверхностей. Д. Ф. Егоров (1869—1931)
исследовал трижды ортогональные системы и ввел так называемые
потенциальные поверхности (вошедшие в мировую литературу по
инициативе Дарбу как поверхности Е). Эти работы впоследствии
продолжили его ученики Л. Н. Сретенский и С. П. Фиников.
После Егорова московская школа дифференциальной геометрии
долго и активно работала; в ней объединяли научные усилия и
достижения многие ученые: С. П. Фиников (1882—1964), С. С. Бюш-
генс (1882—1963), П. К. Рашевский (1907—1986), А. М.
Васильев (1923—1987) и многие другие.
480
Жуковский, Егоров, Млодзиевский в наиболее яркой форме
отразили и в значительной степени определили стиль работы
математиков Москвы конца XIX — начала XX вв. Конечно, нельзя
умалить заслуги и оригинальность научного вклада профессоров
Н. В. Бугаева (1837—1903), К. А. Андреева (1848—1921), В. Я.
Цингера (1836—1907), А. К. Власов (1868—1922) и других.
Математической наукой занимались в Москве многочисленные
работники и их достижения относились к многим ее разделам.
Говоря об общих чертах в стиле их работы, мы имеем в виду
широту научных интересов, отсутствие узкой специализации,
стремление к исследованию общих идей.
Процесс роста новых молодых ученых ускоряло то, что
Жуковский, а затем Егоров, Млодзиевский и другие вводили в практику
преподавания научные семинары, обзорные и проблемные лекции.
На семинарах университета сформировались как ученые Н. Н.
Лузин (1883—1952), В. В. Голубев (1884—1954), И. И.
Привалов (1891—1941), В. В. Степанов (1889—1950), а затем П. С.
Александров (1896—1983), А. Н. Колмогоров (1903—1987), Д. Е.
Меньшов (1892—1989), Л. Н. Сретенский (1902—1973), А. Я.
Хинчин (1894—1959) и другие, составившие основу советской
московской математической школы и завоевавшие ей своими
работами ведущее положение в науке.
В начале XX в. произошло объединение научных интересов
значительной части московских математиков вокруг проблем
теории функций действительных переменных и теории множеств.
Внимание было обращено на исследования основных понятий
анализа (функции, ее производной, интеграла и проч.) и
операций (например, представления функций рядами заданного вида)
с более общих точек зрения. При этом наметилось много общих
черт с научным творчеством ряда французских математиков (Бо-
рель, Лебег, Бер и др.), с которыми Егоров и Млодзеевский
познакомились во время научных командировок во Францию.
Начало бурному развитию этого нового направления в
Москве положили диссертация И. И. Жегалкина (1869—1947) о
трансфинитных числах и работа Д. Ф. Егорова «О последовательностях
измеримых функций» (1911). Основным результатом последней
явилась теорема: всякая сходящаяся почти всюду
последовательность измеримых функций сходится равномерно на замкнутом
множестве, дополнение к которому имеет сколь угодно малую
меру. Теорема эта сразу же подчеркнула значение исследований по
теории функций для всего математического анализа, позволяя
глубже исследовать те вопросы, где трудность состоит в познании
характера непрерывности и сходимости.
Через год, в 1912 г., ученик Егорова Николай Николаевич
Лузин (1883—1950) установил еще более тесные связи структурных
свойств измеримых функций с более узким классом непрерывных
функций. Он открыл замечательное С-свойство: всякую
измеримую функцию, конечную почти всюду на некотором отрезке,
можно изменить на множестве сколь угодно малой меры так, чтобы
481
Н. Н. Лузин (1883—1950)
она стала непрерывной на всем отрезке. Название этого свойства
выбрано по начальной букве французского слова continuite, что
означает непрерывность.
Открытие С-свойства создало сразу же широкие возможности
разносторонних исследований. Эти возможности были раскрыты
и в значительной степени реализованы в книге Лузина «Интеграл
и тригонометрический ряд» (1915), представленной в Московский
университет в качестве магистрской диссертации. Значение этой
книги, определившей на многие годы направления развития
метрической теории функций (той части теории функций, где
основным понятием является мера множества), было оценено тотчас
же. Ее автору присудили сразу ученую степень доктора наук.
Главной целью книги было выяснение взаимосвязей нового
направления теории функций с классическим математическим
анализом. Более конкретная постановка задачи состоит в сов-
482
местном изучении структурных свойств определенных классов
функций и аналитического аппарата, изображающего этот класс
функций и операции с ними. При этом возможны две взаимно
обратные постановки задачи: а) исходя из структурных свойств
функций определять аналитический аппарат, ее изображающий;
б) исходя из класса аналитических выражений отыскивать
структурные свойства соответствующих функций.
В первой из шести глав книги Лузина дан общий обзор свойств
измеримых множеств и измеримых функций и вывод С-свойства.
Вторая глава посвящена проблеме отыскания примитивных
функций. Примитивная функция, по Лузину, — это непрерывная
функция, имеющая данную функцию своей производной почти всюду.
Это последнее условие вызвано необходимостью охватить в
едином понятии те обобщения понятия интеграла, что были введены
Лебегом и Данжуа.
Оказалось, что всякая измеримая функция, конечная почти
всюду, имеет примитивную. Лузин тут же привел примеры
применения теорем,ы о примитивности. Для этого он рассмотрел
задачу Дирихле на круге. Для произвольной измеримой функции,
конечной почти всюду на окружности, он доказал существование
гармонической функции, голоморфной внутри круга и
принимающей значения этой функции почти всюду на окружности. Это
обстоятельство открыло новые возможности для исследований
граничных свойств аналитических функций.
Следующие две главы — третья и четвертая, — в которых
рассматриваются характеристические свойства первообразных
функций, приводят к выделению из множества первообразных
данной функции интеграла (в общем смысле, включающем
интегралы Римана, Лебега и Данжуа) с переменным верхним
пределом.
Класс аналитических выражений, изучаемых Лузиным, есть
класс тригонометрических рядов, прежде всего рядов Фурье.
Изучению их свойств посвящена пятая глава. Еще в 1912 г. Лузин
опубликовал пример тригонометрического ряда
оо
2 Ап cos пх + Вп sin пх
/1=0
(Ап и Вп стремятся к нулю при п-+°э) и доказал, что указанные
условия не обеспечивают его сходимости почти всюду. Более
того, он почти всюду расходится. В дальнейшем Лузин вывел
необходимые и достаточные условия сходимости почти всюду ряда
Фурье для функции с интегрируемым квадратом. Это означает,
что существует интеграл Лебега от ее квадрата на отрезке [0,
2я]. Введенный в связи с этим особый интеграл
2*
1 • Г #(*+а) — g(* —а) ^
hm \ sv ^ ;—~ '-cosnada,
i—0 J «
е
483
где функция g(x) интегрируема с квадратом, сделался сильным
средством исследования. С его помощью Лузин, например, открыл
свойство почти симметричности измеримых функций.
Шестая глава посвящена определению условий
представимости функций тригонометрическими рядами. В ней исследованы
различные методы суммирования тригонометрических рядов,
неоднозначность (и даже бесконечнозначность) изображения функций
посредством тригонометрических рядов. Выделение единственного
способа разложения функции в тригонометрический ряд Лузин
связал с обобщением понятия интеграла. Он считал, что
неопределенным интегралом от f(x) следует назвать функцию Ф(х),
являющуюся суммой ряда, который получится при интегрировании
ряда, изображающего f{x).
Богатство идей, содержащихся в диссертации Лузина,
поразительно. Мы смогли дать здесь о ней лишь первоначальное
представление. Все основные понятия анализа: функция, производная,
интеграл, ряды — подвергались в ней глубокому изучению с точки
зрения меры соответствующих множеств. Метрическая теория
множеств и функций в России, а затем и в СССР имеет в лице
Лузина своего основателя.
Начиная с 1915 г. Лузин и его ученики, в первую очередь
П. С. Александров и М. Я. Суслин, занялись дескриптивной
теорией функций, — тем направлением общей теории, в котором,
отправляясь от класса непрерывных функций, с помощью
предельных переходов, строят все более широкие классы функций и
изучают их.
На историческом рубеже, в преддверии Великой Октябрьской
социалистической революции, московская школа теории функций
представляла собою объединение ученых, главным образом
молодых, — немногочисленное, но весьма активно работающее. Это
были: А. Я. Хинчин, В. В. Голубев, П. С. Александров, М. Я.
Суслин и др. Они, а затем их младшие коллеги и ученики
обеспечили в дальнейшем внедрение теоретико-функциональных идей в
топологию, теорию чисел, теорию вероятностей, качественную
теорию дифференциальных уравнений, теорию аналитических
функций и в другие области математики.
Три научные школы: механики, дифференциальной геометрии
и теории функций — вписали в историю московской математики
до 1917 года наиболее яркие страницы. Разумеется,
математическая жизнь в университете, в обществе, в Москве была более
богатой, разносторонней. Хотя и существуют обстоятельные книги и
статьи, в которых можно найти дополнительные сведения
(например: Юшкевич А. П. История математики в России до 1917 г. М.:
Наука, 1968), но для более полного освещения реальной истории
математической науки в Москве предстоит еще поработать и, по
всей видимости, немало.
484
§ 11.6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО
С В. КОВАЛЕВСКОЙ
В этом разделе главы мы расскажем о жизни и научной
деятельности необычной незаурядной личности
женщины-математика, способствовавшей славе отечественной науки, но оставшейся
трагически одинокой.
Софья Васильевна Ковалевская (1850—1891), до замужества
Корвин-Круковская, выросла в семье генерала, ставшего после
отставки помещиком. Образование она получила домашнее, но ее
учили хорошие педагоги. Интерес к занятиям математикой
обозначился у нее рано. Так как доступ в университеты России для
женщин был закрыт, она последовала примеру передовых
женщин того времени и уехала для получения высшего образования
за границу. Чтобы обойти запрещение выезжать за рубеж
незамужним молодым женщинам, она оформила фиктивный брак с
В. О. Ковалевским, также уезжающим для обучения в одном из
университетов Германии. Впоследствии он получил научную
известность своими работами по палеонтологии. Любовь к науке,
очевидные математические способности С. В. Ковалевской,
прогрессивный образ мыслей, созвучный убеждениям прогрессивной
интеллигенции, — все это помогло ей преодолеть предубеждения
родных.
С. В. Ковалевская уехала в ГерАманию в 1869 г. После кратко*
временного пребывания в Гейдельберге (там работали в то время
Дюбуа-Реймон, Кенигсбергер, Кирхгоф, Гельмгольц) она прибыла
в Берлин, где предубеждения против женщин-студентов были не
столь сильны, и убедила К. Вейерштрасса руководить ее научными
занятиями. Талант Софьи Васильевны под умелым руководством
быстро принес плоды. Уже в 1874 г. ее учитель направил в Гет-
тингенский университет три работы. Этих работ оказалось
больше чем достаточно, и С. В. Ковалевской присудили ученую
степень доктора философии без защиты диссертации.
В первом из трех сочинений, «К теории уравнений в частных
произведениях», доказано существование единственного
аналитического решения задачи Коши для дифференциального
уравнения с частными производными вида
• • • J -*7Z> • • • ) i
дх*дх? . . . дх*г)
г
при условиях: а) аналитичности функции f в окрестности (хо,
аь ..., ат) и функций, входящих в начальные условия; б) уравне-
r
ние имеет нормальную форму, т. е. а+ 2 а* <^п + ^#
485
Здесь же она нашла независимо от Коши линейное
преобразование аргументов, приводящее уравнение к нормальной форме.
Значительным открытием Ковалевской в этой области явилось
решение уравнения типа уравнения теплопроводности
д<р __ д*ф
дл ~~ ду*
с начальными условиями: х=а% Ф»Ф0( —), где символом в
скобках обозначено свойство аналитичности функции в окрестности
у=Ь. Для этого уравнения задача Коши вообще не имеет
голоморфного решения, так как степенной ряд
уЫт) (.-*
J-U луч, и
формально удовлетворяющий условию задачи, сходится лишь при
весьма специальных условиях относительно ф0(-М- Эти
результаты Ковалевская распространила на нормальные системы
дифференциальных уравнений с частными производными, придав им
вид, близкий к современному.
Во второй работе, «О форме колец Сатурна», Ковалевская
нашла более высокую степень приближения по сравнению с
решением Лапласа, что позволило ей утверждать, что кольца
Сатурна в сечении имеют не эллиптическую (по Лапласу), а
яйцевидную форму. Впоследствии была установлена несплошность
структуры этих колец.
Наконец, в третьей работе, «О приведении одного класса абе-
левых интегралов третьего ранга к интегралам эллиптическим»,
проявилось уже зрелое мастерство и тонкое понимание, хотя и
частного, но не легкого, вопроса. Здесь ею были найдены,
например, условия приведения ультраэллиптического интеграла,
содержащего полином восьмой степени, к эллиптическому интегралу
первого рода. Ученая степень была присуждена по заслугам.
В том же 1874 г. Ковалевская вернулась в Россию. Она здесь
выступила с научными докладами, познакомилась с Чебышевым,
Марковым, Жуковским, Бугаевым, многими другими
математиками, выступила и с литературными своими работами. Однако,
несмотря на уже значительный научный авторитет и содействие
ученых, для Ковалевской оказалось невозможным ни получить
работу в университете, ни даже сдать магистерский экзамен
(степени, полученные за рубежом, в России не признавались). Ни под
каким видом нельзя было женщине войти в высшую школу и
науку.
Наконец, в 1883 г., после смерти В. Д. Ковалевского, она
получила приглашение занять должность доцента во вновь откры-
486
тый университет в Стокгольме и переехала в Швецию. Здесь
перед ней открылись возможности для научной и педагогической
работы. Уже через год, в 1884 г., она стала профессором. Год за
годом она увлеченно читала курсы лекций. Их высокий научный
уровень и педагогическое мастерство очаровательного профессора
вызывали благожелательные отклики и способствовали росту
популярности. Известно, что Ковалевская прочитала следующие
курсы лекций: теория дифференциальных уравнений с частными
производными (1884, 1890); вейерштрассова теория
алгебраических (1885), абелевых (1885—1887), эллиптических (1888) и тета-
функций (1888), теория потенциала (1886), теория движений
твердого тела (1886—1887), качественная теория
дифференциальных уравнений по работам Пуанкаре (1887—1888),
аналитические методы теории чисел (1890) и, может быть, другие.
Энергичная научная деятельность Ковалевской принесла тем
временем свои плоды. В 1888 г. она получила премию Парижской
Академии наук за лучшее в объявленном конкурсе решение
задачи о движениях твердого тела вокруг неподвижной точки. Она
рассмотрела и изучила случай нагруженного (не вполне
симметричного) гироскопа. За другую работу по такой же теме ей
присудила премию Шведская Академия наук.
Существо задачи здесь состоит в том, что уравнения движения
тяжелого твердого тела около неподвижной точки в общем
случае не имеют однозначных решений с 5 произвольными
постоянными и на всей комплексной плоскости в качестве особых точек
имеют только полюса. Установив эти факты, Ковалевская нашла
затем, что в некоторых случаях все элементы движения могут
'быть выражены через эллиптические функции от времени /,
которые на комплексной плоскости имеют в качестве особых точек
только полюса и, следовательно, однозначны.
Первый из таких случаев, когда центр движения находится в
неподвижной точке, был изучен Эйлером и Пуансо. Они
доказали, что здесь, для того чтобы полностью определить движение,
достаточно знания интегралов живых сил и площадей.
Второй случай разрешил Лагранж. Это — случай, когда
эллипсоид инерции относительно неподвижной точки является
эллипсоидом вращения, а неподвижная точка находится на оси
вращения этого эллипсоида. Лагранж прибавил к интегралу живых
сил и интегралу площадей относительно вертикали, проходящей
через точку опоры, третий
интеграл, выражающий
постоянство скорости
относительно оси вращения
эллипсоида инерции. Это
дало ему возможность
выразить все элементы движения
через посредство
эллиптических трансцендентнос-
тей. Рис. 74
487
Третий случай решила Ковалевская. В рассматриваемой ек>
ситуации центр тяжести тела лежит на плоскости экватора
эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки, служащего
эллипсоидом вращения и удовлетворяющего условию А=В = 2С,
где А, В, С — главные моменты инерции.
Все эти три случая наглядно интерпретировал Н. Е.
Жуковский (см. рис. 74). Через три года после смерти С. В.
Ковалевской, в 1894 г., А. М. Ляпунов придал этим результатам весьма
общую форму. Однако в общей постановке эта проблема еще не
разрешена. Общих методов решения соответствующих уравнений
для любых заданий параметров и начальных данных нет.
Крупнейшие русские математики — академики Чебышев, Бу-
няковский и Имшенецкий — добились в 1889 г. избрания С. В.
Ковалевской членом-корреспондентом Петербургской академии
наук. Однако даже тогда правительство не дало ей разрешения
работать на родине: ни в академии, ни в университете.
Женщинам это было запрещено. Умерла Софья Васильевна Ковалевская
в 1891 г. и похоронена в Стокгольме на Северном кладбище.
§ 11.7. КАК НАЧИНАЛАСЬ СОВЕТСКАЯ МАТЕМАТИКА
В настоящей главе читателю сообщаются сведения о том, как.
развивалась математическая наука в России. Основное внимание
было уделено периоду, охватывающему математику XIX и
начала XX в. Это соответствует реально происходившему процессу
развития науки. Внутри этого периода описана главным образом
деятельность двух научных центров: в Петербурге и в Москве.
В других университетах и институтах математическая наука, ра~
зухмеется, также развивалась, например в Казани, Харькове,
Киеве. Но для них период мощного многостороннего развития
наступил позднее, значительно позже даже 1917 года. Тем не менее
за 70 лет своего развития математическая наука на нашей
Родине превратилась в науку всестороннюю по содержанию,
структуре и областям приложения. Раскрытию этого процесса посвящено
много исследований, преимущественно коллективных. Это
«Математика в СССР за 15 лет (1933), «Математика в СССР за
30 лет» (1948), «Математика в СССР за 40 лет» (1959),
«Математика в СССР, 1958—1967» (1970),, а также многочисленные
статьи и книги о развитии отдельных частей математики.
Особо можно рекомендовать читателю коллективный труд
«Очерки развития математики в СССР» (Киев: Наукова думка,
1983. 764 с). В ней рассмотрены основные направления развития
теоретических и прикладных исследований в советской
математике. Она составлена из обзоров: общего и таких, где собраны
важнейшие результаты, полученные советскими математиками в
математической логике, алгебре, теории чисел, геометрии,
топологии, теории функций действительного переменного, теории
приближения и представления аналитических функций,
обыкновенных дифференциальных уравнений с частными производными,
функциональном анализе, спектральной теории дифференциаль-
488
ных операторов, теории интегральных уравнений, операционном
исчислении, методе сеток, теории вероятностей, математической
статистике, историко-математических исследованиях,
Рассматриваются также исследования в области применения
математических методов к кибернетике, различным направлениям общей и
прикладной механики, наукам о земле и космосе, химии.
Сказанное выше показывает, в частности, как велико
разнообразие направлений развития математики в нашей странен насколько
еще далеко до возможности давать общие характеристики,
опуская частности как несущественные для них. Известно, что
увеличение общности влечет за собою обеднение конкретности. История
науки постоянно выплавляет из кипящего потока конкретных
достижений, фактов, значительных и не столь заметных, логически
стройные характеристики развития. Для математики нашей
Родины в бурный и короткий период ее истории с 1917 такая
выплавка оказывается возможной, хотя и очень еще трудной.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Настоящая книга является учебником. Она предназначена главным образом
для студентов математических специальностей высших учебных заведений.
Автор при ее написании стремился помочь тем, кто будет ее внимательно читать,
достичь следующих результатов:
накопить первоначальный запас фактических знаний и аформировать у
себя содержательное, научно обоснованное представление об истории
математики, ее научных задачах и об особенностях методов исследования;
понять, в чем состоит научный, марксистский подход к анализу и решению
проблем математики, связанных а задачей выявления закономерностей ее
развития;
приобрести вкус и необходимые навыки для дальнейшей работы над
историческими и методологическими проблемами математики и для более полного
овладения методами их исследования.
Изложение ограничивается фактами, имевшими место до первой половины
нашего столетия. Позднейшее развитие математики в настоящей книге осветить
оказалось невозможным по следующим причинам:
1) научный материал, который следовало бы анализировать или даже
упоминать в качестве примеров, необычайно велик по объему, содержание работ
весьма разветвлено и во многих случаях узко специфично. Для его
рассмотрения понадобилось бы сочинение гораздо большего объема, нежели настоящая
книга, или даже несколько таких сочинений;
2) выявление закономерностей развития науки требует не только изучения
большого фактического материала. Чтобы эти законы можно было выявить,
необходим известный промежуток времени, иногда довольно значительный. При
несоблюдении этого условия резко снижаются возможности для объективного
анализа и обоснованных выводов и для отсеивания временного, случайного,
наносного, навеянного обстоятельствами кратковременного значения.
Поспешность в заключениях и оценках в большинстве случаев приводит к ошибкам и
заблуждениям. История математики может представить примеры подобных
заблуждений, к сожалению, многочисленные.
Среди читателей книги найдутся те, кто захочет продолжать работу над
историческими и методологическими проблемами математики. В их интересах
в список литературы включено большое число изданий первоисточников,
справочных изданий, монографий (в том числе, многотомных) и сборников научных
статей. Знакомство с ними может явиться следующим шагом в историко-науч-
ном образовании читателя, вплотную подводящим его к возможности
самостоятельных научных исследований. Очень важно в этом случае не терять из виду
общие цели и методологические основы исследования.
48$
ЛИТЕРАТУРА
Сочинения классиков марксизма-ленинизма
Маркс К. Математические рукописи. М.: Наука, 1968.
Энгельс Ф. Диалектика природы // М а р к с К., Энгельс Ф. Собр. соч.
Т. 20.
Энгельс Ф. Анти-Дюринг//Маркс К., Энгельс Ф. Собр. соч. Т. 20.
Ленин В. И. Материализм и эмпириокритицизм//Поли. собр. соч. Т. 18.
Ленин В. И. Философские тетради // Поли. собр. соч. Т. 29.
Издания первоисточников
Хрестоматия по истории математики. М.: Просвещение. 1976, 1977. Т. 1—2.
Архимед. Сочинения. М.: Наука, 1962.
Ев кл ид. Начала В. 3 т. М.; Л.: ГТТИ, 1948—1950.
Четыре сочинения о квадратуре круга: Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр.
М.; Л.: ГТТИ, 1936.
Мухаммед Насирэддин Туей. Трактат о полном
четырехстороннике. Баку: Изд-во АН АзССР, 1952.
Аль—Хорезм и Мухаммед. Математические трактаты. Ташкент, 1964.
Хайям О. Трактаты. М.: Изд-во АН СССР, 1961.
Аль-Каши Д. Г. Математические трактаты. М.: ГТТИ, 1956.
Леонардо да Винчи. Избранные естественно-научные произведения,
М.: Изд-во АН СССР, 1955.
Бернулли Я. О законе больших чисел. М.: Наука, 1986.
Кавальери Б. Геометрия неделимых. М.; Л.: ГТТИ, 1940.
Кантор Г. Труды по теории множеств. М.: Наука, 1985.
Кеплер И. Новая стереометрия винных бочек. М.; Л.: ГТТИ, 1935.
Декарт Р. Геометрия. М.; Л.: ГОНТИ, 1938.
Декарт Р. Рассуждение о методе. М.: Изд-во АН СССР, 1953.
Гюйгенс X. Три мемуара по механике. М.: Изд-во АН СССР, 1951.
Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений//Успехи
матем. наук. 1948. Т. 3, вып. 1(23). С. 165—204.
Ньютон И. Математические работы. М.; Л.: ОНТИ, 1937.
Ньютон И. Всеобщая арифметика. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1948.
Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Т, 1—2. СПБ,
1915.
Л опита ль Г. Ф. Анализ бесконечно малых. М.; Л : ГТТИ, 1935.
Б о л ь а и Я. Аппендикс. Приложение, содержащее науку о пространстве,
абсолютно истинную... М.: Гостехиздат, 1950.
Больцано Б. Парадоксы бесконечного. Одесса, 1914.
Галуа Э. Сочинения. М.; Л.: ОНТИ, 1936.
Гильберт Д. Основания геометрии. М.: ГТТИ, 1948.
Дедкинд Р. Непрерывность и иррациональные числа. Одесса, 1914.
Дирихле Л. Р. Лекции по теории чисел. М.; Л.: ГТТИ, 1936.
К а р н о Л. Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых. М.;
Л.: ГТТИ, 1930.
Ковалевская СВ. Научные работы. М.: Изд-во АН СССР, 1948.
Кош и О. Алгебраический анализ. М., 1864.
К о ш и О. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном
исчислении. СпБ, 1831.
Лаплас П. Опыт философии теории вероятностей. М., 1908.
490
Лобачевский Н. И. Собрание сочинений: В. 5 т. М.: ГТТИ, 1946—1951.
Лузин Н. Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М.: Изд-во АН СССР.
1951.
Лузин Н. Н. Лекции об аналитических множествах. М.: ГТТИ, 1953.
Ляпунов А. М. Избранные труды. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1948.
Марков А. А. Избранные труды. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1951.
Монж Г. Приложения анализа к геометрии. М.: ГТТИ, 1936.
Мои ж Г. Начертательная геометрия. Л.: Гостехиздат, 1947.
Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии
Лобачевского и развитию ее идей. М.: Гостехиздат, 1956.
Остроградский М. В. Полное собрание трудов: В Зт. Киев: Изд-во АН
УССР, 1959—1961.
Остроградский М. В. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1948.
П е т е р с о н К. М. Об изгибании поверхностей // ИМИ. 1952. Вып. 5.
Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.:
ГТТИ, 1947.
Пуанкаре А. О науке. М,: Наука, 1983.
Р и м а н Б. Сочинения. М.: Гостехиздат, 1948.
Чебышев П. Л. Полное собрание сочинений: В 5 т. М.; Л.: Изд-во АН СССР,
1944—1951.
Чебышев П. Л. Избранные труды. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1955.
Эйлер Л. Универсальная арифметика: В 2 т. СпБ, 1768—1769.
Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами либо
максимума, либо минимума. М.; Л.: ГТТИ, 1934.
Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. М.: Гостехиздат, 1949.
Эйлер Л. Интегральное исчисление: В Зт. М.: Гостехиздат, 1956—1958.
Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных: В 2т. М.: Физматгиз, 1961.
Периодические издания
Историко-математичеокие исследования (сокращ. ИМИ). Выл. 1—34. М.:
ГТТИ; Наука (выходит с 1948 г.). Вып. 34, 1993.
Мстория и методология естественных наук. Изд-во МГУ, выходит с 1980 г. По
истории математики и механики см. тома: 5, 1966; 9, 1970; 11, 1971;
14, 1973; 16, 1974; 20, 1978; 25, 1980; 29, 1982; 31, 1985; 32, 1986, 36, 1989.
Вопросы истории естествознания и техники. М.: Изд. ИИЕиТ АЦ СССР,
Выходят с 1956 г.
Издания общего характера
Бур баки Н. Очерки по истории математики. М.: ИЛ, 1963.
История математики с древнейших времен до XVIII в: В 3 т. Изд. ИИЕиТ АН
СССР, Наука, 1970—1972 (сборник).
Математика XIX в. М.: Наука, 1978, 1981, 1987 (сборники).
Колмогоров А. Н. Математика//БСЭ. 2-е изд. Т. 26, 464—483.
Рыбников К. А. Введение в методологию математики. М.: Изд-во МГУ,
1979.
Рыбников К- А. Очерки методологии математики. М.: Знание, 1982.
Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики. М.: Просвещение. 1976.
Вып. 1, 1977, Вып. 2.
Стройк Д. Краткий очерк истории математики. М.; Л.: Наука, 1990.
История математики в России и в СССР
Математика в СССР за 15 лет. М.: ГТТИ, 1938.
Математика в СССР за 30 лет. М.: ГТТИ, 1948.
Математика в СССР за 40 лет. 1917—1957: В 2 т. М.: Физматгиз, 1959.
Математика в СССР, 1958-1967. М.: Наука, Т. 1, 1966; Т. 2, 1970.
История отечественной математики: В 4 т. Изд-во АН УССР, 1966—1979.
Очерки развития математики в СССР. Киев: Наукова думка, 1983.
Юшкевич А. П. История математики в России до 1917г. М.: Наука, 1968.
491
Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России. М.; Л.: Гостех-
издат, 1946.
Делоне Б. Н. Петербургская школа теории чисел. М.; Л.: Изд-во АН СССР,
1947.
История естествознания в России. М.: Изд-во АН СССР. Т. 1. 1957; Т. 2Э.
1960.
Книги по истории математики и смежных наук
Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. М.: Физматгиз, 1959.
Выгодский М. Я- Арифметика и алгебра в древнем мире. М.: Наука, 1967^
Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (догре-
ческая математика). Т. 1, М.: ОНТИ, 1937.
Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968.
Юшкевич А. П. История математики в средние века. М.: Физматгиз, 196L
Ц е й т е н Г. Г. История математики в древности и в средние века. М.: ГТТИ»
1938.
Цейтен Г. Г. История математики в XVI—XVII вв. М.; Л.: ГТТИ, 1938.
В и л е й т н е р Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия,.
М.: Физматгиз, 1960.
Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. 4.1. М: ОНТИ„.
1937; Наука, 1989.
Медведев Ф. А. Развитие теории множеств в XIX в. М.: Наука, 1965.
Березкина Э. И. Математика древнего Китая. М.: Наука, 1980.
Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики^
М.: Наука, 1977.
Маркушевич А. Н. Очерки по истории теории аналитических функций. М.;
Л.: ГТТИ, 1951.
Проблемы Гильберта. М., Наука, 1969.
Моисеев Н. Д. Очерки но истории механики. Изд-во Моск. ун-та. 1961.
Тюлина И. А. История и методология механики. М.: Изд-во Моск. ун-та^
1986.
Кудрявцев П. С. История физики: В 2 т. М.: ГТТИ, 1956.
Спасский Б. И. История физики. Изд-во Моск. ун-та, 1963, Т. 1; 1964;».
Т. 2.
Берри А. Краткая история астрономии. М.: ГТТИ, 1946.
В о р о н ц о в-В ельяминов Б. А. Очерки истории астрономии в России. М.:
Гостехиздат, 1956.
Е р е м е е ва А. И., Ц и ц и н А. Ф. История астрономии. М.: Изд-во Моек*
ун-та, 1989.
Литература к гл. 10.
1. Постников М. М. Магические квадраты. М.: Наука, 1964.
2. Denes J., Keedwell A.D.Latin squares and their applications.
Budapest: Akademiai Kiado, 1974.
3„Paskal B. Traite du triangle arithmetique, 1654.
4. Bernoulli J. Ars conjectandi ... Basileae, 1713.
5. Leibniz G. W. Dissertatio de arte combinatoria. Die philosophishe Srif-
ten, Berlin, 1880. Bd. 4, S. 27—102.
6. Историко-математические исследования. 1983. Т. 27.
7. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных. М. Физматгиз. 1961. с. 310.
8. К nobfосh Е. Die mathematischen Studien von G. W. Leibniz zur kom-
binatorik. Wiesbaden, 1973.
9. E u 1 e г L- Calcul de la probabilite dans le jeu rencontre. Opera omnia,,
1923. V. 1—7. P. 11-25.
10. Там же (Opera omnia), p. 291—392.
11. Там же. P. 435—440.
12. Там же. P. 441—457.
13. Там же. P. 291—392.
14. Там же. Р. 291.
15. Там же. Р. 357.
492
16. Tarry G. La probleme des 36 officiers // C-R. Assoc. France Acad. Sci.t
1900. V. 29. N 2. P. 170—203.
17. E u 1 e г L- Observationes circa novum et singulare progressionum genus.
Novi Comm. Acad. Sci Petropolitane. 1775. V. 20. P. 123—139: 1776. V. 20.
P. 246—264.
18. Шуберт Г. Математические развлечения и игры. Одесса, 1911.
19. В use he Е. Math. Ann. 1896. Bd. 47. P. 105— 111.
20. E u 1 e г L. Solution d'une question curiese qui ne paroit soumis a aucune
analyse. Verh. Zeenwach. Genootsch. Veissengen, 1783. V. 1—7. P. 85—117.
21. Эйлер Л. Письма к ученым. М.; Л. Изд-во АН СССР, 1963. С. 551 —
552.
22. Hindendurg C.-F. Novi systematis Permutationum, Combinationum ас
Varhtionum primae lineae ... Leipzig, 1781.
23. Eschenbach Chr. Dissertatio de serierum reversione formal is analytico-
combinatoribus exhidita. Lipsiae, 1789.
24. Hindenburg C.-F. Problema solutum maxima universale ad serierum recurs io-
num formulis et combinatoria-analyticis absolvendum paralipomenon. Lipsiae,
Г973.
25. R о t h e H. A. Formulae de serierum reversione demonstratio universalis
exhibita. Lipsiae, 1793.
26. Weingartner J. M. Lehrbuch der combinatorischen Analysis. Th. 1,
1800; Th. 2, 1801.
27. К lug el G. S. Mathematisches Worterbuch. Bd. I. 1803; Abth. 1, Th. 3,
1808.
28. Stahl K- D. Grundriss der Combinationslehre nebst Anwendung derselben
auf die Analysis, 1800; а также: Einleitung in das Studium der Combnationsleh-
re nebst einem Anhange uber die continuirlichen Bruche. Leipzig, 1801.
29- К 611 b e г g E. F. Die Gesetzte der nach ihrer Grosse geordneten Bruche,
mittels der combinatorischen Analysis aufgesucht. Hannover, 1801.
30. К ramp Chr. Elements d'arithmetique. Koln, 1812.
31. Fischer L. J., Krause K. Ch. Lehrbuch der Combinationslehre und
Arithmetik. Dresden, 1812.
32. Kocker F. A. Die Combinationslehre und ihre Anwendung auf die
Analysis. Leipzig, 1822.
33. Cantor M. Uber Normalstellen. Z. f. Phys. 1857. Bd. 2, S. 410-412.
34. Weyrauch J. J. Sur Theorie des Determinanten // J. reine u. angew.
Math. 1872. Bd. 74. S. 273—276.
35. Kan tor S. Permutationen mit beschrankter Stellenbesetzung // Z. f. Math.
u. Phys. 1883. Bd. 28. S. 379—388.
36. Cay ley A. On latin squares // Messenger of Math. 1890. Vol. 19. P. 135—
137.
37. Withwoth W. A. Choise and chance. Cambridge, 1901, 5-th. ed.
38. Lucas E. Theorie des nombres. Paris, 1891. P. 4S1—495.
39. Та it P. G. Scientific Papers. Cambridge, 1898. Vol. 1. P. 287.
40 Muir Th. On professor Tait's problem of arrangement // Proc. Roy. Soc.
Edinburg, 1878. Vol. 4. P. 382-387.
41. Cay ley A. The collected mathematical papers. Cambridge, 1889—1897.
Vol. 10. P. 249—251.
42. Ri or dan J. 1. Three line latin rectangles// Proceed. Amer. Math. Soc.
1949. Vol. 53. P. 18—20; 2. Triangular permutation numbers // Ibid., 1951. Vol. 2.
P. 434—407.
43- Gilbert E. Knots and klasses of menage permutations // Scripta Math.
1956. Vol. 22. P. 228—233.
44. Sylvester J. J. The collected mathematical papers. Cambridge, 1904—
1912. 4 vols.
45. Sylvester J. J. On a discovery in the partition of numbers // Quart. J.
Math. 1857. Vol. 1. P. 81—84.
46. Franklin J. Sur le development du produit infini (1—x)(2 — x2)(l-~x3)...
Comptes Rendues. Paris, 1881. P. 448—450.
47. Moivre A. de. Miscellanea analytica...London, 1730.
48. Laplace P. S. Oeuvres complete. Paris, 1886. Vol. 7, ch. 10.
493
49. Diest erweg Т. A. W. Geometrische Combinationslehre. Eberfeld, 1820.
50. Poinsot L. Sur les polygones et les polyedres // J. Ec. Polytechn. 1810.
Vol. 4, cah. 10. P. 16—48.
51. Ter quern O. Sur les polygones et les polyedres etoiles, polygones funicu-
laires // Nouv. Ann. Math. 1849. T. 8. P. 68—74.
52. Reiss M. Evaluation du nombre des combinaisons.., // Ann. Math, pure
appliq. 1871—1873. Vol. 2, N 5. P. 63-120.
53. Tarry G. Nombre de manieres distinct... // C.-R. Assoc. Franc. Adv. Sci.
1886. Vol. 15, part 2. P. 49—53.
54. Listing I. V. Vorstudien zur Topologie // Gottingen Studien. 1847.
Abth. 1, Bd. 1. S. 811-875.
55. Hierholzer C. Uber die Moglichkeit, einen Ljnienzug ohne Wiederholung
und ohne Unterbrechnung zu umfahren // Math. Ann. 1873. Bd. 6. S. 30—32.
56. Cauchy A.-Z. Recherches sur les polyedres, 1-re memoire // J. Ec. Poly-
tech. 1813. T. 9, cah. 16. P 68—86.
57. Cay ley A. On the theory of analytical forms called trees // Philos. Mag.
1857. Vol. 4, N 13. P. 172—176.
58. Staudt J. К. С von. Geometrie der Lage. Nur.nberg, 1847.
59. Kirchhoff G. R. Uber die Auflossung der Gleichungen... Annales Phys.
Chem. 1847. Bd. 72. P. 497-508.
60. Cay ley A. On the theory of analytical forms called trees // Phil. Mag.
1859. Vol. 4, N 18. P. 374-378.
61. Jordan C. Sur les assemblages de lines // J. reine u. angew. Math. 1869»
Vol. 70. P. 185—190.
62. Cay ley A. On the analytical forms called trees // Amer. J. Math. 1881.
Vol. 4. P. 266—268.
63. С а у I e у A. A theorem on trees // Quart. J. Pure and Appl. Math. 1889.
Vol. 23. P. 376—378.
64. S у 1 v e s t e r J. J. On the change of systems of independent variables '/'
Quart. J. Pure Appl. Math., 1857. Vol. 1. P. 42—56 126-ld4; Bourcherdt
С W. Uber eine der Interpolation entsprechende Darstellung der Elimination —
Resultante // J. reine angew. Math. 1860. Bd. 5V. p. 111-121; Prufer H. Ne-
uer Beweis einer Satzes uber permutationen // Arch. Phys., 1918. Vol. 27^ cah. 3.
P. 142—144.
65. Kirchhoff G. R. Uber den Durchgang einer electrischen Stromes durcb
eine Ebene unsbesondere durch eine Kreisformige // Ann. Phis. Chem. 1&45. Bd»
64. S. 497—514.
66. Cay ley A. On the mathematical theory of isomers // Phil. Mag., 1874.
Vol. 4, N 47. P 444-446.
67. Cay ley A. On the analytical forms called trees, with application to the
theory of chemical combinations // Rep. Brit. Assoc. Adv. Sci.j 1875. Vol. 45.
P. 257—305.
68. Sylvester J. J. Chemistry and algebra // Nature. 1877—1878. Vol. 17.
P. 284.
69. Sylvester J. J. Amer. J. Math. 1885. N 2. P. 251.
70. Cm. [7], гл. 16, с 314.
71. Fer r es N. M. London and Edindurg Phil. Mag. 1853. Vol. 4, N 5. P. 20b
72. Durfy C.-R. 1881. Vol. 92. P. 448.
73. Henze H. R., Blair С. M. The number of isometric hvdrocarbons of the me-
tane series // J. Amer. Chem. Soc. 1931. Vol. 53. P. 3077—3085.
74. X a p p a p и Ф. Теория графов. M.: Мир, 1973.
75. Baltser R. Eine Erinnerung on Mobius und seinen Frennd Wieske. Ber„
K- Sachs. Ges. Wiss., Leipzig, Math-Phys. Classe, 1885. Vol. 37. S. 1—6.
76. Madison J. Note on the history of map-colouring problem // Bull. Amer.
Math. Soc. J896—1897. Vol. 3. P. 257.
77. Coxeter H. S. M. The four colour map problem // Mathem. Teacher.
1959. Vol. 52. P. 283-289.
78. Athenaeum. 1860. T. 16. N 4. P. 501-503.
79. Ei sele С The new elements of mathematics by Charles Pierce // Mots-
ton, Den Haag. 1976. Vol. 3/1. P. 476-477.
494
80. Cay ley A. On the colouring of maps // Proc. Roy. Geogr. Soc. (New
Series), 1879. Vol. 1. P. 259—261.
8*. Nature. 1879. Vol. 20. P. 275.
82. KemPS A- B. How to colour a map with four colours // Nature. 1879—
1880. Vol. 21. P. 399—400.
83. Kempe A. On the geographycal problem of the four colours // Amer. J.
Math. 1879. Vol. 2. P. 193—200.
84. Heawood P. J. Map-colour theorem // Auart. J. Pure appl. Math. 1890.
Vol. 24. P. 332-338.
85. Lukas E. Recreation mathematiques. Paris, 1882—1894. 4 vols; а также
Delannoy H., Ramsey A. S. Response a question 51 // lntermed. Math.
1894. Vol. 1. P. 192.
86. Valle Poussin Ch. J. de la. Probleme de quatre couleurs. 2-me repon-
se // lntermed. Math., 4896. Vol. 3. P. 179—180.
87. Petersen J. Die Theorie der regularen Graphen // Acta Math. 1891. Bd*
15. С [93-220.
88. Hilbert D. Uber die Endlichkeit des Invariantensystems fur binare Grund-
formen // Math. Ann. 1889. Bd. 33. S. 223—236.
89. Petersen J. Sur le theoreme de Tait // lntermed. Math. 1898. Bd. 5„
P. 225—227.
90. Cm. [18].
91. Ronig D. Theorie der endlichen und unendlichen Graphen // Acad. Ver-
lag. Leipzig, 1936.
92. Poincare H. Second complement a 1'Analysis situs // Proceed. London.
Math. Soc. 1900. Vol. 32. P. 277—308.
93. Dehn M. Heegaard P. Analysis situs // Enc. Math. Wiss. 1907, III
AB. P. 153—220.
94. Net to E. Lehrbuch der Combinatorik. Giessen, 1901; 2-te Aufl. 1927.
95. Cramer G- Introduction a Tanalyse de lignes courbes. Geneva, 1750.
96. Cauchy A.-L. Sur les fonctions, qui ne peuvent obtenir que deux valeur&
egales et de signes contraires par suite des transpositions operees entre les
variables qu'elies renferment. J. Ec. Polytechn. 1815. Vol. 10, can. 17.
97. Cm. 3 статья К. Якоби в J. reine u. angew. Math., 1841, Bd. 22.
98. M u i r Th. The theory of determinants in the historical order of its
development. London. Vol. 1. 1906. Vol. 2, 1912.
99. Cay ley A. On the theory of groups // Proc. London Math, Soc. 1877—
1878. Vol. 9. P. 126—133.
100. Steiner J. Combinatorische Aufgabe // J. reine u. angew. Math. 1853. Bd~
45. S. 181 — 182.
101. Lindner Ch. C, Rosa A. Steiner quadruple systems // Discrete
Mathematics. 1978. Vol. 22, N 2. P. 147—181.
102. Kikman T. P. On a problem in combinations // Cambridge and Dublin,
Math. J. 1847. Vol. 2. P. 191—204.
103- R e iss M. Uber eine Steinersche combinatorische Aufgabe welche in 45-stee
Bande dieses Journal, seite 181, gestellt worden. ist // J. reine u. angew. Math.
1859. Bd 56. S. 326-344.
104. Moore E. H. Concerning triple systems // Math. Ann., 1893. Vol. 43.
P. 271-285.
105. Kirkman T. P. Note on a unanswered prize question // Cambridge anc
Dublin Math. J. 1850. Vol. 5. P. 255-262.
106. Mulder P. Kirkman Systemen. Diss., Leiden, 1917.
107. Cole F. N. Kirkman Parades // J. Amer. Math. Soc. 1922. Vol. 28. P.
435—437.
108. R a y-Chay dhury D- K., Wilson R. M. On the existence of resolvable
balanced incomplete block-designs // Proceed. Colloq. Calgary, 1969. В сб.
Combinatorial structures and their applications. N. Y. 1970. P. 331—341.
109. Холл M. Комбинаторика. M.> Мир, 1970. Гл. 15.
110. Moore E. H. On axioms of projective geometry // J. Amer. Math. Soc.
1902. Vol. 3, ser. 1. P. 142—158.
111. Veblen O. A system of axioms for geometry // Transact. Amer. Math-
Soc. 1904. Vol. 5. P. 343—384.
495>
112. Fa no G. Sui postulati della geometria proiettiva in uno spazio Hneare a
un numero quelunque di dimenaioni // Giorn. Mat. Napolb 1892. T. 30. P. ДО6—
131.
113- Hessenberg G. Oder die projective Geometrie//Sitzungsberichte der
Berliner mathematischen Gessellschaft. 1902—1903. P. 36—40; также Uber einen
geometrischen Cacul // Acta Math. 1903. Bd 29. S. 1—28.
114. Veblen O., Busseys W. W. Finite projective geometries // Transact.
Amer. Math. Soc. 1906. Vol. 7. P. 241—259.
J15. Mac Mahon P. A. Combinatory Analysis. Cambridge University press,
1915, 1916. V. v. 1—2.
116. Эндрюс Г. Теория разбиения. М.: Наука. 1982.
117. Konig D. Uber Graphen und ihre Anwendung auf Determinantentheorie
und Mengenlehre // Math. Ann. 1916. Bd 77. S. 453-465.
118. РуОский текст см. в сб. переводов «Перечислительные задачи комбинаторного
анализа». М.: Мир, 1979. С. 36—138. Изложение этой теории см. в сб.:
«Прикладная комбинаторная математика» под ред. Э. Беккенбаха. М.:
Мир. 1968. С. 61—106.
1|9. Veblen О. Analysis situs. N. Y-» 1922. Основу книги составили
доклады и лекции автора, прочитанные им еще в 1916 г. и тогда же
опубликованные в серии Amer. Math. Soc. Lectures, 1916.
120. Kuratowski К- Sur le probleme des courbes gauches en topologie // Fun-
dam. Math., 1930. Vol. 15. P. 271-283.
121. Whitney H. Non-separarble and planar graphs // Proceed. Nation. Acad.
Sci. USA. 1931. Vol. 17. P. 125—127; Planar graphs // Fundam. Math. 1933. Vol.
2\. P. 73—84.
122. См. книгу: Г. Рингель. Теорема о раскраске карт. М.: Мир, 1974; 2-е изд.
1977.
123. Whitney Н. On the abstract properties of linear dependence // Amer. J.
.Math. 1935. Vol. 57. P. 509—533.