Author: Рыбников К.А.
Tags: фундаментальные и общие проблемы математики математика история
Year: 1974
Text
.А. РЫБНИКОВ
ИСТОРИЯ
МАТЕМАТИКИ
К.А. РЫБ НИКОВ
ИСТОРИЯ
МАТЕМАТИКИ
ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов математических специальностей
университетов и педагогических институтов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1974
УДК 510(091) (071.1)
Первое издание настоящей книги осуществлено Издательством
МГУ в двух томах: т. 1, 1960; т. 2, 1963. В настоящем издании пре-
следуются те же цели, что и в первом: помочь студентам универ-
ситетов и педагогических институтов, а также широким кругам ма-
тематиков-специалистов (как преподавателям, так и исследователям),
испытывающим необходимость осмыслить с позиций марксизма-ле-
нинизма исторический опыт развития своей науки, тенденции и пути
формирования современной математики.
Общий объем книги не увеличен. В ней тщательно отобран и
подвергнут анализу тот материал, на котором наиболее наглядно
проявляются закономерности развития математики. Структура книги
унифицирована, текст переработан в ряде мест с учетом современ-
ных научных достижений в истории науки. Подвергся изменениям
и список рекомендованной литературы.
Книга рассчитана на студентов университетов и институтов,
аспирантов и преподавателей математических специальностей, а
также на широкий круг лиц, интересующихся историей науки.
Рецензенты:
проф. Б. Л. ЛАПТЕВ, проф. А. Б. ШИДЛОВСКИЙ, проф. И. Г. БАШМАКОВА
(6) Издательство Московского университета, 1974 г.
Р ..20201-039 131_74
077(02)—74
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .......................................................... 5
Глава 1
Предмет и метод истории математики
1.1. Предмет истории математики....................................... 6
1.2. О материалистическом понимании предмета математики............... 8
1.3. Роль практики в развитии математики.............................. 9
1.4. Связь математики с другими науками................................Ю
1.5. О диалектическом характере законов развития математики .... 12
1.6. О воздействии социально-экономического строя общества на развитие
математики............................................................13
1.7. Главнейшие периоды в истории математики..........................14
1.8. Роль истории математики в системе подготовки математиков-специа-
листов ...............................................................16
Глава 2
Процесс формирования математических представлений
2.1. Возникновение первых математических понятий( и методов ... 18
2.2. Математика древнего Египта ......................................21
2.3. Математика древнего Вавилона .................................. 25
2.4. Математика древнего Китая........................................28
2.5. Математика древней Индии.........................................40
Глава 3
Формирование первых математических теорий
3.1. Первые математические теории в древней Греции ...... 46
3.2. Аксиоматическое построение математики в эпоху эллинизма ... 59
3.3. Инфинитезимальные методы в древней Греции •......................67
3.4. Математические теории и методы поздней античности .... 80
Г л а в а 4
Развитие элементарной математики
4.1. Общие замечания о периоде элементарной математики .... 96
4.2. О математике народов Средней Азии и Ближнего Востока .... 97
4.3. Математика в Европе в средние века и в эпоху Возрождения . . 106
4.4. Дальнейшее развитие элементарной математики.....................125
Глава 5
Процесс создания математики переменных величин
5.1. Начало периода математики переменных величин....................138
5.2. Возникновение аналитической геометрии...........................140
5.3. Накопление интеграционных и дифференциальных методов . . . 151
5.4. Появление анализа бесконечно малых..............................171
Глава 6
Развитие основных частей математики в XVIII веке
6.1. Об условиях и особенностях развития математики в XVIII в. . . 187
6.2. Преобразование основ анализа бесконечно малых...................198
6.3. Развитие аппарата математического анализа........................221
6.4. Создание вариационного исчисления................................247
6.5. Развитие геометрии...............................................261
6.6. Создание предпосылок современной алгебры и теории чисел . . 283
6.7. Развитие теории вероятностей и комбинаторного анализа .... 306
Г л а в а 7
Начало периода современной математики
7.1. О характере развития математики в XIX в........................309
7.2. Возникновение основных понятий современной алгебры . . . . 311
7.3. Перестройка основ математического анализа......................327
7.4. Развитие аппарата и приложений математического анализа . . . 344
7.5. Создание теории функций комплексного переменного...............367
7.6. Преобразование геометрии.......................................393
Глава 8
Математика в России ..........................410
Заключение.......................................................... 444
Список литературы . •.................................................446
Именной указатель.....................................................450
ПРЕДИСЛОВИЕ
Изучение истории науки, ее методологических основ составляет
важную часть подготовки специалистов в высших учебных заведе-
ниях. Общепризнано, что незнание опыта развития науки, неуме-
ние его анализировать делают исследователя беспомощным перед
задачами будущего. Эти соображения определяют задачу настоящей
книги: помочь студентам математических.специальностей универси-
тетов и педагогических институтов, а также широким кругам мате-
матиков-специалистов, осмыслить с марксистско-ленинских позиций
исторический опыт своей науки, движущие силы и пути ее развития.
Первое издание книги опубликовано в Издательстве МГУ в двух
томах. При подготовке к настоящему изданию оба тома сведены
в один, а структура и изложение унифицированы. В книге тщатель-
но отобран и кратко проанализирован тот материал, на примере
которого наиболее наглядно проявляются закономерности развития
математики. Необходимые изменения внесены в текст и список ре-
комендованной литературы. Автор надеется, что указанные усовер-
шенствования сделали книгу еще более полезной делу идейного
воспитания математиков-специалистов и повышению уровня их науч-
ной подготовки.
Профессор Казанского государственного университета Б. Л. Лап-
тев прочитал рукопись этого издания и своими замечаниями ока-
зал автору неоценимую услугу. Дружеское участие коллег,
работающих вместе с автором в научно-исследовательском семи-
наре МГУ по истории математики и механики, принесло несом-
ненную пользу при подготовке книги к печати. Автор благодарен
3. А. Кузичевой за активное участие и большую помощь в издании
книги.
Глава 1
ПРЕДМЕТ И МЕТОД ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Настоящая глава'— вводная. Ее цель — разъяснить ряд ис-
ходных положений, необходимых для лучшего понимания научных
проблем истории математики. Опыт показывает, что когда изложе-
ние начинается с четкой постановки вопросов принципиального
характера, легче составить целостное представление о математику,
ее современном состоянии, путях развития и о месте математики
в системе научного знания человечества. Разумеется, подлинное
понимание предмета истории математики, равно как и предмета
другой науки, не исчерпывается знанием соответствующих опреде-
лений. Оно пополняется и совершенствуется по мере обогащения
фактического состава знания.
Из-за ограниченности объема книги мы рассматриваем срав-
нительно неширокий круг вопросов, а связанные с. этим разъясне-
ния делаем по возможности краткими. Формулируемые при этом
утверждения не претендуют на полноту аргументации.
1.1. ПРЕДМЕТ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Все отрасли математики, какими бы разными они ни каза-
лись, объединены общностью предмета. Этим предметом являются,
по определению Ф. Энгельса, количественные отношения и прост-
ранственные формы действительного мира. Различные математи-
ческие науки имеют дело с частными, отдельными видами этих
6
количественных отношений и пространственных форм или же вы-
деляются своеобразием своих методов.
Состав математики, как и всякой другой науки, следующий:
а) факты, накопленные в ходе ее развития; .
б) гипотезы, т. е. основанные на фактах научные предпо-
ложения, подвергающиеся в дальнейшем проверке опытом;
в) результаты обобщения фактического материала, выражен-.
ные в математических, в данном случае, теориях и законах;
г) методология математики, т. е. общетеоретические
истолкования математических законов и теорий, характеризующие
общий подход к изучению предмета математики.
Все эти элементы взаимосвязаны и постоянно находятся в раз-
витии. Выяснение того, как происходит это развитие в изучаемый
исторический период и куда оно ведет, и является предметом
истории математики, одной из математических дисциплин.
История математики есть наука об объективных законах развития
математики.
В соответствии с этим на историю математики возлагается
решение большого круга задач. Нет возможности и необходимости
их перечислять. Целесообразнее здесь дать лишь суммарные ха-
рактеристики направлений историко-математических исследований.
Во-первых, в работах историко-математического характера
воссоздается богатство фактического содержания исторического
развития математики. В них освещается, как возникли математи-
ческие методы, понятия и идеи, как исторически складывались
отдельные математические теории. Выясняются характер и особен-
ности развития математики у отдельных народов в определенные
исторические периоды, вклад, внесенный в математику великими
учеными прошлого, и в первую очередь отечественными учеными.
Во-вторых, историко-математические работы раскрывают мно-
гообразные связи математики. Среди них: связи математики с
практическими потребностями и деятельностью людей, с развитием
других наук, влияние экономической и социальной структуры об-
щества и классовой борьбы (особенно в области идеологии) на
содержание и характер развития математики, роль народа, лич-
ности ученых и коллективов ученых и т. п.
В-третьих, историко-математические исследования вскрывают
историческую обусловленность логической структуры современной
математики, диалектику ее развития, помогают правильно понять
соотношение частей математики и до известной степени ее перс-
пективы.
Разумеется, изучение истории математики может быть плодо-
творным, только если исследования проводятся на основе марк-
систско-ленинской науки методом диалектического материализма,
с полным знанием специального содержания изучаемых вопросов.
История математики, как это следует из данного выше опре-
деления ее предмета, имеет дело со всем составом данной науки,
7
со всеми областями математики и с большим количеством других
наук. Это обстоятельство подчеркивает трудность задач истории
математики и своеобразие методов историко-научного исследо-
вания.
1.2. О МАТЕРИАЛИСТИЧЕСКОМ ПОНИМАНИИ ПРЕДМЕТА
МАТЕМАТИКИ
Как мы указали выше, объектами математического исследова1
ния являются количественные отношения и пространственные фор-
мы действительного мира. Эти объекты математики не представ-
ляют непосредственно данной реальности. Они являются плодом •
абстракции. Чтобы исследовать средствами математики какой-
либо предмет или явление, необходимо отвлечься от всех качест-
венных особенностей его, кроме тех, которые непосредственно
характеризуют количество или форму.
В ходе развития математики рассматриваются все более абст-
рактные объекты, входящие в класс количественных отношении и
пространственных форм. В современных математических теориях
эти формы и отношения часто предстают в весьма рафинирован-
ном, отвлеченном виде. В них говорится о множествах элементов,
свойства которых и правила оперирования с которыми задаются
с помощью системы аксиом.
Абстрактность предмета математики иногда воспринимается
как исходный, самодовлеющий элемент в ее содержании. В таких
случаях элементы исследуемых множеств представляются прин-
ципиально отделенными от вещей действительного мира, а си-
стемы аксиом, определений и операций оказываются вводимыми
по произволу. Это ведет к различным разновидностям идеали-
стических заблуждений, отрицательно влияющих на развитие
математики.
Необходимо научиться избегать подобных заблуждений.
«Честно-наивного», основанного на интуиции, причисления себя
к материалистам недостаточно. В. И. Ленин писал, что «...без
солидного философского обоснования никакие естественные науки,
никакой материализм не может выдержать борьбы против натиска
буржуазных идей и восстановления буржуазного миросозер-
цания» Ч
Знание истории науки способствует выработке материалисти-
ческого мировоззрения ученых. История показывает, что главным,
определяющим в развитии даже такой абстрактной науки, как ма-
тематика, являются запросы материальной действительности. '
Абстрактность предмета математики лишь затушевывает проис-
хождение (зачастую сложное, многоступенчатое, опосредованное)
всех понятий математики из материальной действительности, не
ни в коем случае не отменяет его. История показывает, что запас
1 В. И. Л е н и н. Поли. собр. соч., т. 45, стр. 29—30.
8
количественных отношений и пространственных форм, изучаемых
математикой, постоянно расширяется в неразрывной связи с за-
просами техники и естествознания, наполняя все более богатым
содержанием общее определение математики.
Правильное материалистическое понимание предмета матема-
тики и знание ее истории — необходимое условие глубокого пони-
мания подлинного места этой науки в трудовой и общественной
деятельности людей, залог умения находить свое место в общей
работе, понимать связь содержания своей работы с общими зада-
чами, мировоззрением Коммунистической партии Советского Сою-
за и борьбой за построение коммунизма.
1.3. РОЛЬ ПРАКТИКИ В РАЗВИТИИ МАТЕМАТИКИ
Математика — одна из самых древних наук. Математические *
познания приобретались людьми уже на самой ранней стадии раз-
вития под влиянием даже самой несовершенной трудовой дея-
тельности. По мере усложнения этой деятельности изменялась и
разрасталась совокупность факторов, влияющих на развитие ма-
тематики.
Со времени возникновения математики, как особой науки со
своим собственным предметом наибольшее влияние на формиро-
вание новых понятий и методов математики оказывало математи-
ческое естествознание. Под математическим естествознанием мы
понимаем комплекс наук о природе, для которых на данной сту-
пени развития оказывается возможным приложение математиче-
ских методов. На прогресс математики ранее других наук оказали
влияние астрономия, механика, физика.
Непосредственное воздействие задач математического естест-
вознания на развитие математики можно проследить на протяже-
нии всей ее истории. Так, например, дифференциальное и интег-
ральное исчисление в его наиболее ранней форме исчисления
флюксий возникло как наиболее общий в то время метод решения
задач механики, в том числе и небесной механики. Теория полино-
мов, наименее уклоняющихся от нуля, была разработана русским
академиком П. Л. Чебышевым в связи с исследованием паровой
машины. Метод наименьших квадратов возник в связи с большими
геодезическими работами, проводившимися под руководством
К. Ф. Гаусса. В настоящее время под непосредственньпм влияни-
ем запросов новых областей техники получают бурное развитие
многие области математики: комбинаторный анализ, методы при-
ближенного решения дифференциальных и интегральных урав-
нений, теория конечных групп и т. д.
Примеры подобного рода можно продолжать неограниченно
в отношении любой области математики. Все они показывают, что
математика возникла из трудовой деятельности людей и форму-
лировала новые понятия и методы в основном под влиянием мате-
матического естествознания.
9
Выход математики в естествознание происходит в результате
приложения существующих математических теорий к практиче-
ским проблемам и разработки новых методов их решения. Вопрос
о приложимости к практике той или иной математической теории
не всегда получает сразу удовлетворительное разрешение. До его
решения проходят зачастую годы и десятилетия. В качестве при-
мера возьмем теорию групп.
Теория групп ведет свое начало от рассмотрения Лагранжем
групп подстановок корней алгебраических уравнений в связи с
проблемой разрешимости их в радикалах. Э. Галуа при помощи
теории групп подстановок дал ответ на вопрос об условиях раз-
решимости в радикалах алгебраического уравнения любой степени.
В дальнейшем, в середине XIX в., в трудах А. Кэли сформирова-
лось общее абстрактное определение группы. Позднее С. Ли раз-
работал теорию непрерывных групп. Однако практическое приме-
нение теория групп начала получать только с конца XIX в.
В 1890 г. русский ученый Е. С. Федоров приложил теорию групп
к кристаллографии: он решил с помощью этой теории задачу
классификации всевозможных кристаллических пространственных
решеток. Позднее теория групп стала мощным средством исследо-
вания в квантовой физике.
В свою очередь практика, и в частности техника, входит в
математику как незаменимое вспомогательное средство научного
исследования, во многом меняющее лицо математики. Электрон-
ные вычислительные устройства открыли неограниченные возмож-
ности для расширения класса задач, решаемых средствами мате-
матики, и изменили соотношение между методами нахождения
точного и приближенного решения их. Однако, как велика ни была
бы роль вычислительной техники, неизменным остается ее вспо-
могательный характер. Никакая, даже самая совершенная вычис-
лительная электронная машина не может приобрести всех свойств
мыслящей материи — человеческого мозга, и существенно заме-
нить его. Утверждения, в изобилии встречающиеся в иностранной
литературе определенного профиля, об изобретении различных
«электронных мозгов», способных якобы полностью заменить труд
так называемых «интеллигентных рабочих», используются для
устрашения трудящихся и эксплуатируемых людей и еще большего
подчинения их.
1.4. СВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ С ДРУГИМИ НАУКАМИ
Область приложений математики постоянно расширяется. Это- *
му расширению невозможно установить предел. Рост приложений
есть одно из свидетельств наличия и укрепления связей матема-
тики с другими науками.
Математика не только развивается под воздействием других
наук. Она в свою очередь внедряет в другие науки математические
методы исследования. Это обстоятельство дало повод некоторым
10
иностранным ученым называть математику «королевой и служан-
кой всех наук», оттеняя тем самым своеобразное положение ма-
тематики среди других наук.
Применение математических методов в естествознании имеет
две стороны:
а) выделение математической задачи, приближенно соответ-
ствующей явлению или процессу, т. е. модели, и нахождение мето-
да ее решения;
б) разработку новых математических форм, так как неизбеж-
но выявляется несовершенство, приблизительность построенной
математической модели.
_ История математики изобилует примерами поисков универ-
сальных математических методов, дающих возможность решать
все или большинство поставленных задач. Едва ли не каждый
крупный успех математики порождал подобные стремления. Фак-
ты истории убеждают в отсутствии такого универсального метода
и учат правильному применению математических методов в соот-
ветствии с качественным своеобразием изучаемых явлений и про-
цессов.
Наиболее полно математические методы применяются в меха-
нике и в небесной механике — науках, предмет которых в высокой
степени абстрагирован от совокупности факторов, определяющих
изучаемое явление. Широкие применения находят математические
методы в физике, где нередко наибольшие трудности представля-
ют правильная постановка задачи и интерпретация полученных
результатов. Биологические науки еще существенно ограничивают
возможности приложения математических методов из-за большого
качественного своеобразия и невыясненности объектов изучения.
Наименьшую приложимость методы математики имеют сейчас в
общественных науках, где в основном кроме элементарных упот-
ребляются вероятностно-статистические методы.
За последние годы достигнуты значительные успехи в разви-
тии кибернетики, вычислительной техники и в служащей для них
теоретической основой дискретной математике. Вследствие этого
возросла роль математики в экономике, системах управления, пси-
хологии и во многих других областях науки, традиционно считав-
шихся далеко отстоявшими от математики.
С каждым годом расширяется область применения математи-
ческих методов в науке и практической деятельности людей.
Однако неравномерный характер проникновения математики в
различные области науки и в практику остается неизменным. Как
и во все времена, прогресс в этом зависит от возможностей абст-
рагирования объекта изучения, от выделения логической схемы
абстрактных понятий, более или менее точно отражающих реаль-
ное содержание рассматриваемых процессов и явлений.
Следует отметить, что в США и других капиталистических
странах нередки случаи псевдонаучного использования математи-
ки в целях «доказательства» незыблемости буржуазно-капитали-
11
стических порядков, правомерности и извечности системы угнете-
ния трудящихся.
1.5. О ДИАЛЕКТИЧЕСКОМ ХАРАКТЕРЕ ЗАКОНОВ
РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ
Студенты высших учебных заведений нашей страны изучают
диалектический материализм — философское учение марксизма-
ленинизма, дающее метод- наиболее правильного и полного пони-
мания законов действительности. История науки обнаруживает на
конкретном материале данной науки проявления общих законов
развития и их Диалектический характер. При условии тесного со-
трудничества и координации деятельности в коллективе высшего
учебного заведения создаются благоприятные условия для одно-
временной работы в двух направлениях:
а) в ходе занятий математикой и ее историей прослеживать
законы диалектического развития этой науки;
б) при изучении диалектического материализма находить
своеобразные конкретные формы общих законов, давать интерпре-
тации, приводить примеры и упражнения математического харак-
тера.
Математика как наука является одной из форм общественного
сознания людей. Поэтому, несмотря на известное качественное
своеобразие, законы, управляющие ее развитием, в основном —
общие для всех форм общественного сознания.
Представляется неуместным пытаться охватить в настоящей
главе все или большую часть проблем, которые ставит диалекти-
ческий материализм. Ограничимся лишь тем, что приведем неко-
торые соображения в поддержку тезиса о диалектическом харак-
тере развития нашей науки. Развитие математики не есть плавный
процесс постепенного и непрерывного развития математических
истин; развитие в действительности происходит в ожесточенной
борьбе нового со старым. История математики изобилует приме-
рами, когда эта борьба проявляется особенно сильно, когда новое
неодолимо побеждает, несмотря на неудачи и даже гибель творцов
науки.
Приведем несколько примеров. Наука о природе, в том числе
математика, всегда испытывала противодействие религиозно на-
строенных кругов. Это противодействие было иногда настолько
сильным, что значительно затрудняло и задерживало рост науки.
Наука многим обязана героизму известных и безвестных ученых
времен Римской империи и средних веков, продвигавших науку *
вперед ценой собственной жизни.
В XVII в. анализ бесконечно малых, едва появившись в тру-
дах Лейбница и Ньютона и их последователей, подвергся ожесто-
ченной критике, тон которой задал известный епископ Беркли.
Борьба вокруг основных понятий математического анализа, в част-
ности вокруг понятия предела, происходила в течение всей истории
12
этой научной дисциплины. Эта борьба не утихла, как принято ду-
мать, с появлением работ Коши в первой трети, XIX в., а разгоре-
лась с новой силой. Построение основ анализа на базе теории
пределов получило всеобщее признание только к самому концу
прошлого века.
Основы неевклидовой геометрии стали известны с 1826 г. бла-
годаря трудам гениального русского ученого Н. И. Лобачевского.
Однако признание и дальнейшее развитие эта наука получила
лишь к концу XIX в. после длительной борьбы. По существу соз-
данные неевклидовы геометрии смогли развиваться лишь тогда,
когда после возникновения теории относительности они сделались
частью математической основы физических исследований о реаль-
ной природе пространственно-временного континуума. Геометриче-
ские методы исследования абстрактных многомерных и бесконеч-
номерных пространств, использующие выражения процессов в
фазовых пространствах, стали необходимыми в физике.
И в наше время во всех областях математики происходит
борьба передовых и реакционных тенденций. В условиях социали-
стического общества математика развивается в атмосфере борьбы
мнений, научной критики, которые всемерно поощряются.
1.6. О ВОЗДЕЙСТВИИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО СТРОЯ
ОБЩЕСТВА НА РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ
Математика как система знаний о количественных отношени-
ях и пространственных формах действительного мира склады-
вается на основе общественной практики людей. В числе проблем,
изучаемых историей математики, видное место занимают пробле-
мы воздействия социального строя общества на развитие матема-
тики, отношения к ней различных классов и т. п.
В истории математики эти вопросы рассматриваются примени-
тельно к различным общественным формациям. Здесь же мы
остановимся на характеристике своеобразия развития математики,
обусловливаемого особенностями социальной структуры современ-
ного общества.
Мы живем в эпоху, когда социализм, ставший мировой систе-
мой самого прогрессивного и справедливого способа производства
и общественных отношений, продолжает свое победоносное раз-
витие. Ему противостоит лагерь стран, где интересы производства
и общества подчинены интересам групп собственников-капи-
талистов.
Научно-исследовательские учреждения и лаборатории капита-
листических стран в массе своей представляют типичные капита-
листические предприятия, целиком стоящие под контролем моно-
полий. Над этими учреждениями властвуют интересы получения
собственниками наибольшей прибыли, требования агрессивных
кругов разрабатывать средства борьбы против сил мира и социа-
лизма. Это предопределяет односторонний, уродливый характер
13
развития наук, в том числе и математики. Последней в таком слу-
чае навязывается роль служанки капитала, орудия капиталисти-
ческой эксплуатации, орудия агрессии.
Научная мысль при этом периодически испытывает кризисы,
проистекающие из несоответствия между объективными законо-
мерностями науки и идеалистическими предпосылками мышления.
В числе математических работ, зачастую весьма ценных и значи-
тельных по содержанию, встречается и большое число таких, ко-
торые имеют своей целью апологетику капиталистических отно-
шений и идеализма. Математика капиталистического мира как бы
обволакивается слоем идеалистических измышлений, складываю-
щихся в многочисленные направления и школы (конвенционализм,
номинализм и т. д.), имеющих целью доказать, что законы разви-
тия математики не имеют объективного характера.
В Советском Союзе и в других странах социалистического
лагеря математика, как и все другие науки, развивается на нача-
лах плановости, в соответствии с развитием производительных
сил общества. Социалистические производственные отношения
обеспечивают возможность всенародного доступа к математическо-
му образованию и научным исследованиям. Исследования прово-
дятся на базе идей марксизма-ленинизма под руководством Ком-
мунистической партии Советского Союза. Все это создает исклю-
чительно благоприятные условия для быстрого и гармоничного
роста математики в СССР. В короткий срок советские математики
внесли большой и оригинальный вклад во все отделы математики,
добились ведущей роли советской математики во многих основ-
ных разделах. Достижения математики в СССР, имеющие прак-
тическое применение, используются на благо народа.
1.7. ГЛАВНЕЙШИЕ ПЕРИОДЫ В ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
В истории математики можно различить отдельные периоды,
отличающиеся друг от друга рядом характерных особенностей.
Периодизация необходима, чтобы легче было разобраться во всем
богатстве фактов исторического развития математики. Существу-
ет много попыток периодизации истории математики. Периодиза-
ция проводится по странам, по социально-экономическим форма-
циям, по выдающимся открытиям, определившим на известное
время характер развития математики, и т. п. Споры о периодиза-
ции нескончаемы. Однако, по нашему мнению, роль периодизации
чисто вспомогательная и определяется нуждами основной цели:
раскрытия законов объективного развития математики.
В настоящей книге мы придерживаемся периодизации, уста-
новленной А. Н. Колмогоровым4. Эта периодизация представляет-
ся нам наиболее точной потому, что в ее основу положена оценка
содержания математики: ее важнейших методов, идей и резуль-
1 См. А. Н. Колмогоров. Математика. БСЭ, т. 26.
14
татов. В истории математики А. Н. Колмогоров различает следую-
щие периоды:
а) Зарождение математики. Этот период продолжает-
ся до VI—V вв. до н. э., т. е. до того времени, когда математика
становится самостоятельной наукой, имеющей собственный пред-
мет и методы. Начало периода теряется в глубине истории перво-
бытного человечества. Характерным для этого периода является
накопление фактического материала математики в рамках общей
неразделенной науки.
б) Период элементарной математики продол-
жается от VI—V вв. до н. э. до XVI в. н. э. включительно. В этот
период были достигнуты успехи в изучении постоянных величин.
Некоторое представление об этих достижениях может дать мате-
матика, изучаемая ныне в средней школе. Период заканчивается,
когда главным объектом задач математики делаются процессы,
движения и начинают развиваться аналитическая геометрия и
анализ бесконечно малых. Понятие элементарной математики
спорно, и в настоящее время не существует его общепризнанного
определения, однако выделение во времени такого периода пред-
ставляется вполне оправданным.
в) Период создания математики переменных
величин. Начало этого периода знаменуется введением пере-
менных величин в аналитической геометрии Декарта и созданием
дифференциального и интегрального исчисления в трудах И. Нью-
тона и Г. В. Лейбница. Конец периода относится к середине
XIX в., когда в математике произошли те изменения, которые
привели к современному ее состоянию. В течение этого бурного и
богатого событиями периода сложились почти все научные дис-
циплины, известные сейчас как классические основы современной
математики. _
г) Период современной м а т е м а тй к и. Понятие со-
временности в математике, очевидно, постоянно смещается. Веро-
ятно, между периодом создания математики переменных величин
и современностью уже .можно выделить новый период (или
периоды). В историко-математическйх работах это еще не сделано,
хотя необходимость в этом, по нашему мнению, уже стала настоя-
тельной. В XIX и XX вв. объем пространственных форм и количе-
ственных отношений, охватываемых методами математики, чрез-
вычайно расширился. Появилось много новых математических
теорий, невиданно расширились приложения математики. Содер-
жание предмета математики настолько обогатилось, что это при-
вело к перестройке и замене совокупности ее важнейших проблем.
Наряду с другими первостепенными проблемами необычайное
значение приобрели проблемы оснований математики. Под осно-
ваниями математики понимается система исторических, логиче-
ских и философских проблем и теорий математики. В частности,
речь идет о критическом пересмотре системы аксиом математики
и совокупности логических приемов математических доказательств.
15
Критический пересмотр имеет целью построение строгой системы
оснований математики, соответствующей накопленному передово-
му опыту человеческой мысли. С последним, т. е. с накопленным
опытом человеческой математической мысли, и знакомит история
математики.
1.8. РОЛЬ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В СИСТЕМЕ ПОДГОТОВКИ
МАТЕМАТИКОВ-СПЕЦИАЛИСТОВ
Марксизм-ленинизм учит нас, что весь логический строй лю-
бой науки, ее структура, взаимосвязь и даже существование от-
дельных областей науки не представляют собой чего-то неизмен-
ного. Они являются плодом исторического развития. Больше того,
сам логический ход мыслей о науке представляет собой не что
иное, как отражение исторического процесса в абстрактной и тео-
ретически последовательной форме.
Наличие этой особенности развития науки классики марксиз-
ма-ленинизма продемонстрировали на конкретных примерах ряда
общественных и ёстественных наук, в том числе математики.
К. Маркс, например, в своих рукописях по математике близко по-
дошел к решению задачи обоснования дифференциального исчис-
ления, выявив элементарно-математические корни этого исчисле-
ния, прообразы его.понятий и неразвитые формы его зарождаю-
щихся методов.
Одним из элементов, характеризующих начало научной зре-
лости, является стремление охватить изучаемую науку в целом,
понять логическую структуру и взаимосвязанность отдельных ма-
тематических дисциплин — стремление дополнить знание усвоен-
ных научных фактов-знанием законов развития науки и, насколько
возможно, ее перспектив.
Осознание нер азделимости логического и исторического в ма-
тематике вызывает потребность в знании основных фактов исто-
рии математики и классических работ, в понимании законов раз-
вития математических наук, и исторически сложившегося соответ-
ствия отдельных математических дисциплин. Эту потребность
возбуждает и поддерживает также пример ведущих ученых мате-
матиков. Их деятельность в конкретных областях математики, как
правило, сочетается с исследованиями исторических проблем^ .
В качестве примера можно указать статью А. Н. Колмогорова
«Математика» в 26-м томе Большой Советской Энциклопедии, где
самый предмет математики рассматривается в историческом пла-
не. Ценные исследования по истории математики опубликовали ’
многие советские; ученые: П. С. Александров, А. Д. Александров,
Б. В. Гнеденко, В. В. Голубев, А. И. Маркушевич и др. По суще-
ству, нет ни одного творчески работающего ученого, который не
занимался бы историей своей науки.
Большое внимание уделяется истории математики за рубежом.
Ей посвящено множество книг и статей. Не все в них, разумеется,
16
верно. Нередко авторы сочинений по истории науки'"подчиняют
свою работу целям, далеким от объективности и научности, и вы-
полняют определенные идеологические заказы правящих кругов
буржуазного общества.
Необходимо уметь отличать такие сочинения, в которых исто-
рия науки преподносится в искаженном виде, и судить о них пра-
вильно. Необходимо уметь различать, например, в разнообразных
формах отрицания объективных закономерностей развития науки
вообще, в том числе математики, их идеалистическую и реакци-
онную направленность, разгадывать методы дискредитации про-
грессивных научных направлений и деятельности прогрессивных
ученых. Необходимо научиться бороться со всеми такими явле-
ниями.
Борьба передовых и реакционных сил в математической науке,
являющаяся одной из форм классовой борьбы, наиболее ярко про-
является в исторических и философских вопросах математики.
Здесь проходит передовая линия одного из участков борьбы за
прогресс, за науку, необходимую коммунистическому обществу.
Таким образом, изучение истории математики представляется
нам важнейшей частью . подготовки математиков-специалистов,
необходимой для правильного понимания сущности данной науки
и для верного выбора направления и форм своей личной деятель-
ности. '
Опыт, в частности опыт Московского университета, показыва-
ет, что преподавание истории науки, ее методологических основ,
не может быть пущено на самотек. Оно должно быть хорошо орга-
низовано как часть идейного воспитания студенчества и научных
работников.
Глава 2
ПРОЦЕСС ФОРМИРОВАНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
2.1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПЕРВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ
И МЕТОДОВ
Процесс формирования математических понятий и регулярных
приемов решения определенных классов элементарных задач охва-
тывает огромный промежуток времени. Его начало, по всей вероят-
ности, относится к далекому времени, когда человек перешел к
использованию орудий для добывания средств существования,
а затем и к обмену продуктов труда. Завершается этот' период
с появлением качественно новых форм математического мышления,
т. е. тогда, когда совокупность этих понятий и методов и их содер-
жание делаются достаточно богатыми, чтобы образовать логически
связанные системы — начальные формы математических теорий.
Последние возникают в математике около VI—V вв. до н. э.
Материальные свидетельства, по которым можно изучать этот
самый ранний период в истории математики, немногочисленны и
неполны. Исследователю приходится привлекать факты общей ис-
тории культуры человечества, по преимуществу археологические
материалы и историю языка. История математики периода ее за-
рождения практически неотделима от общей истории челове-
чества.
18
Формы и пути развития математических знаний у различных
народов весьма разнообразны. Однако при всем своеобразии путей
развития общим для всех народов является то, что все основные
понятия математики: понятие числа, фигуры, площади, бесконечно
продолжающегося натурального ряда и т. д. — возникли из прак-
тики и прошли длинный путь совершенствования.
Например, понятие числа возникло вследствие практической
необходимости пересчета предметов. Вначале считали с помощью
подручных средств: пальцев, камней, еловых шишек и т. д. Следы
этого сохранились в названии математических исчислений: напри-
мер, calculus в переводе с латинского означает счет камешками.
Запас чисел на ранних ступенях весьма ограничен. Ряд известных
и используемых натуральных чисел был конечен и удлинялся лишь
постепенно. Сознание неограниченной продолжимости натурально-
го ряда является признаком высокого уровня знаний и культуры.
Наряду с употреблением все больших и больших чисел возни-
кали и развивались их символы, а сами числа образовывали систе-
мы. Для ранних периодов истории материальной культуры харак-
терно разнообразие числовых систем. Постепенно совершенствова-
лись и унифицировались системы счисления. Употребляемая ныне
во всех странах десятичная* позиционная система нумерации —
итог длительного исторического развития. Ей предшествовали:
1. Различные иероглифические непозиционные системы. В каж-
дой из них строится система так называемых узловых чисел (чаще
всего 1, 10, 100, 1000,...). Каждое такое число имеет индивидуаль-
ный символ — иероглиф. Остальные числа (их называют алгорит-
мическими) образуются приписыванием с той или другой стороны,
узлового числа других узловых чисел и повторением их. Примера-
ми таких систем являются египетская, финикийская, пальмирская,
критская, сирийская, аттическая (или Геродианова), старокитай-
ская, староиндусская (карошти), ацтекская, римская. Последняя
имеет систему узловых чисел: I, V, X, L, С, D, М, построенную по
десятичному признаку с заметным влиянием пятиричной системы.
2. Алфавитные системы счисления. В этих системах буквы ал-
фавита, взятые по 9, используются соответственно для обозначения
единиц, десятков, сотен. Каждой букве при этом дается отличи-
тельный знак, указывающий, что она используется как число.
В случае, если букв алфавита недостаточно, привлекаются допол-
нительные буквы и знаки. Типичный пример алфавитной систе-
мы — греческая ионическая (древнейшая сохранившаяся запись,
сделанная по этой системе, относится к V в. до н. э.):
а р Y $ 8 g £т]9
(дигамма)
1 2 3 4 5 6
i х X р, v ?
10 20 30 40 50 60
7 8 9
о л q (коппа)
70 80 90
19
роттэфХ i|> <в Э (сампи)
НЮ 200 300 400 500 600 700 800 900
Запись чисел по этой системе ясна из примера: и|лб = 444. Что-
бы записать числа, большие тысячи, необходимо усложнять знаки,
например: ,0=1000, ,0=2000 и т. д.
Алфавитные системы удобнее из-за краткости записи, однако
они малопригодны для оперирования с большими числами и тре-
буют больших усилий для запоминания. Примерами алфавитной
системы кроме приведенной являются древнеславянская (кирил-
лица и глаголица), еврейская; арабская, грузинская,. армянская
и др.
3. Позиционные недесятичные, а затем десятичная система.
К позиционным недесятичным системам относятся вавилонская,
индейская (племени майя на полуострове Юкатан), индийская,
современная двоичная.
Записи в позиционной десятичной системе с нулем впервые
появились около 500 г. до н. э. в Индии.
В результате длительного исторического развития из повсе-
дневной практической деятельности людей сформировались другие
математические понятия: площади, объемы и другие абстракции
пространственных свойств предметов.
Накопление знаний как численно-арифметического, так и гео-
метрического характера создало следующие предпосылки для
формирования математических теорий:
а) возможность предварять непосредственное оперирование с
вещами оперированием с их упрощенными, схематическими изобра-
жениями и наименованиями (символами). На более поздней сту-
пени это привело к развитию числовых систем и геометрических
построений;
б) умение заменять конкретную задачу канонической задачей
более общего вида, решаемой по определенным правилам, охва-
тывающим целую совокупность частных случаев. Речь идет о пер-
вичных формах создания общих алгоритмов и связанных с ними
математических исчислений.
Когда указанные предпосылки оказываются действующими
в заметных масштабах, а в обществе образуется прослойка людей,
умеющих пользоваться определенной совокупностью математиче-
ских приемов, тогда появляются основания говорить о начале су-
ществования математики как науки, о наличии ее элементов.
Рассмотрим конкретно ранние стадии формирования матема-
тики на примере сохранившихся памятников математической куль-
туры древних египтян, вавилонян, китайцев и индийцев.
20
2.2. МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО ЕГИПТА
Наши познания о древнеегипетской математике основаны
.главным образом на двух больших папирусах математического
характера и на нескольких небольших отрывках. Один из больших
папирусов называется математическим папирусом Ринда (по име-
ни обнаружившего его ученого) и находится в Лондоне. Он при-
близительно 5,5 м длины и 0,32 м ширины. Другой большой папи-
рус, почти такой же длины и 8 см ширины, находится в Москве.
Содержащиеся в них математические сведения относятся примерг
но к 2000 г. до н. э.
Папирус Ринда представляет собой собрание 84 задач
прикладного характера. При решении этих задач производятся
действия с дробями, вычисляются площади прямоугольника, тре-
/ ( 8 Л2
угольника, трапеции и круга (последняя равна 1 — a j • что с00т‘
ветствует грубому приближению л=3,1605...), объемы параллеле-
пипеда; цилиндра, размеры пирамид. Имеются также задачи на
пропорциональное деление, а при решении одной задачи находит-
ся сумма геометрической прогрессии.
В московском папирусе собраны решения 25 задач. Большин-
ство их такого же типа, как и в папирусе Ринда. Кроме того, в
одной из задач (№ 14) правильно вычисляется объем усеченной
пирамиды с квадратным основанием. В другой задаче (№ 10) со-
держится самый ранний в математике пример определения площа-
ди кривой поверхности: вычисляется боковая поверхность корзины,
т. е. полуцилиндра, высота которого равна диаметру основания.
При изучении содержания математических папирусов обнару-
живается следующий уровень математических знаний древних
египтян.
Ко времени написания этих документов уже сложилась опре-
деленная система счисления: десятичная иероглифическая. Для
узловых чисел вида 10fe (6=0, 1, 2, ..., 7) установлены индивиду-
альные иероглифы. Алгоритмические числа записывались комби-
нациями узловых чисел. С помощью этой системы египтяне справ-
лялись со всеми вычислениями, в которых употребляются целые
числа. Что касается дробей, то египтяне создали специальный
аппарат, опиравшийся на понимание дроби только как доли еди-
ницы. В силу этого представления употреблялись лишь дроби
аликвотные Гвида —и некоторые индивидуальные, как, напри-
\ nJ
2 3
мер, — и —. Все результаты, которые должны были выражать-
ся дробями вида выражались суммой аликвотных дробей.
Для облегчения этих операций были составлены специальные таб-
лицы, например таблица чисел вида — (п = 3, ... , 101). Инте-
п
21
Папирус Ринда (Британский музей: факсимиле листов X, XI, XIII, XIV, XV)
ресно отметить, что в этой таблице подбор слагаемых неоднозна-
чен. Таблицы, по-видимому, составлялись в течение долгого
времени, складывались постепенно и в дошедшем до нас виде
представляют просто сводку достигнутых результатов. Кстати,
2 1 ‘ 1
«тривиальное» разложение — =-------1--никогда не встречается,
п п п
вероятно, из-за своей очевидности или устойчивой традиции.
Сложились также определенные приемы производства мате-
матических операций с целыми числами и дробями. Общей для
всей вычислительной техники египтян является ее аддитивный
характер, при котором все процедуры по возможности сводятся
к сложению. Совместно с примитивным пониманием дроби только
как части единицы эта особенность обусловила своеобразный
характер вычислений.
При умножении, например, преимущественно используется
способ постепенного удвоения одного из сомножителей и склады-
вания подходящих частных произведений (отмечены звездочкой)
(12-12) 1 12
2 24
*4 48
*8 96
' Вместе 144
A_L_L.i(A
. 3 5 30 /
1 JL_L
з 5 зо
*2 1 А 1 1
3 10 30
4 3 А —
2 10
*8 7 А
____________5
о о 2 1 1 1_п
Вместе 8--------------или 9.
з 5 ю зо
При делении также используется процедура удвоения и после-
довательного деления пополам. Деление, по-видимому, было самой
трудной математической операцией для египтян. Здесь наблю-
дается самое большое разнообразие приемов. Так, иногда в каче-
стве промежуточного действия применялось нахождение двух
третей или одной десятой доли числа и т. п.:
23
(19:8) 1 8 (16:3) *1 3 (4:15) 1 15
*2 16 2 6 1 1 1
1
1 10 2
4 *4 12
2 * —L 3
*_L 2 — 2 5
4 3 * L 1
1 1 15
* _ 1 * 1
8 3
т. е. 19:8 = 2 1 1 т. е. 16:3 = 5 — т. е. 4:15 = 1 1
4 8 ’ 3 5 15 *
Кроме этих примеров приведем еще пример одной из задач:
«Сало. Годовой сбор 10 беша. Какой ежегодный сбор? Обрати
10 беша в ро. Это будет 3200. Обрати год в дни. Это будет 365.
Раздели 3200 на 365. Это 8 —5--------------—. Обрати. Это
3 10 2190 F
1 2 1 1 л — беша и 81± 1 — ро. Делай, как делается»:
10 3 2190 64 3 10 2190
1 365 2 243 —
3 3
2 730 1 36 —
10 2
4 1460 1 1
2190 6
8 2920
1
2190'
9 1
Вместе 8---------
3 ю
постепенно подбирается частное. Первый
В левом столбце
результат: 8 дает разницу между истинным и частичным делимым:
3200—2920 = 280. Сомножитель — дает: 365--|-= 243Еще
3 3 3
2 1
до 280 не хватает 36 — . Очередной подбор — дает уже разницу
о 10
1 / 2 1 1 \
в — ( так как 36 — — 36— = — ). Остается только подобрать
6 \ 3 2 6/
число, которое, будучи умножено на 365, дало бы —. Это .
Таким образом, частное отыскивается постепенным подбором,
для которого еще нет единого метода.
Часто встречается операция, называемая хау («куча»), соот-
ветствующая решению линейного уравнения вида
ах + Ьх + ... + сх = а.
24
При сложении дробей, имеющих разные знаменатели, египтя-
не использовали умножение их на вспомогательные числа. Спосо-
бы подбора этих вспомогательных чисел не дают, однако, права
судить об этом приеме как о единообразном процессе, адекватном
способу приведения дробей к общему знаменателю. Исторические
реконструкции во многом еще спорны и не подтверждены доста-
точным количеством фактов.
Материалы, содержащиеся в папирусах, позволяют утверж-
дать, что за 20 веков до нашей эры в Египте начали складываться
элементы математики как науки. Эти элементы еще только начи-
нают выделяться из практических задач, целиком подчинены их
содержанию. Техника вычислений еще примитивна, методы реше-
ния задач не единообразны. Однако материалов, которые позво-
ляли бы вообще судить о развитии математики в Египте, еще не-
достаточно. Мы использовали их поэтому лишь как один из при-
меров того, в какое время и в какой форме начинает складывать-
ся математическая наука.
2.3. МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО ВАВИЛОНА
Другим примером того же рода может служить математиче-
ское наследие древнего Вавилона. Это название обычно распрост-
раняется на совокупность государств, располагавшихся в между-
речье Тигра и Евфрата и существовавших в период от 2000 до
200 г. до н. э. До нас дошло около ста тысяч глиняных табличек
с клинописными записями. Однако табличек с текстами математи-
ческого содержания известно только около 50, а математических
таблиц без текста — около 200.
Вавилонская система математических символов имеет два
основных элемента: клин V с числовым значением 1 и крючок <]
с числовым значением 10. Повторением этих знаков можно запи-
сать числа от 1 до 59. Любое число записывается слева направо
по принципу W—ao6Oo+ai6O1+a26O2+.... Таким образом система
счисления оказывается позиционной 60-ричной. Однако эта систе-
ма не имеет нуля, а один и тот же знак «клина» может обозначать
не только единицу, но любое число вида 60±ft (k — натуральное
число). Различать числа, написанные в такой системе (она назы-
вается неабсолютной), можно лишь исходя из условий задачи.
Содержание табличек показывает, что на основе этой системы
были созданы многие единообразные правила арифметичееких
действий как с целыми числами, так и с дробями. Для облегче-
ния действий существовали таблицы умножения (от Ы до 60-60).
При перемножении больших чисел с помощью таблицы умножения
находились частичные произведения, которые затем складывались.
Деление производилось с помощью таблиц обратных значений
(так как b: а = b • —.
\ а )
25
Древневавилонский клинописный текст ВМ 85194. Изобра-
женная сторона таблицы содержит 16 задач с решениями.
Задачи относятся к плотинам, валам, колодцам, водяным
часам и земельным работам. Четвертая задача, снабженная
чертежом, относится к круговому валу. 14-я задача рас-
сматривает усеченный конус. Объем его определяется ум-
ножением высоты на полусумму площадей верхнего и ниж-
него оснований
Кроме указанных таблиц вавилоняне использовали таблицу
квадратов целых чисел, их кубов, обращенные таблицы (таблицы
квадратных корней), таблицы чисел вида п3+п2 и т. д.
В ряде вавилонских текстов содержится исчисление процентов
за долги, пропорциональное деление. Имеется также ряд текстов,
посвященных решению задач, которые с со-
временной точки зрения сводятся к уравне- ,
ниям 1-й, и 2-й и даже 3-й степени. ---%—
Б. Л. ван дер Варден в своей книге / /X
«Пробуждающаяся наука» классифициро- / Г
вал все приемы решения задач в вавилон- / ь / /
ских табличках. Он пришел к выводу, что / г—i------\ /
эти приемы эквивалентны приемам решения // А \ /
следующих десяти видов уравнений и их у । \/
систем: а '
а) уравнения с одним неизвестным:
ах=&, х2 = а; х2±ах=Ь\ х3=а; х2(х+ Рис- 1
+1) = d;
б) системы уравнений с двумя неизвестными: х±у = а, ху = Ь\
х±у = а, х2+у2 = Ь.
Кроме того, вавилонянам были известны: суммирование ариф-
метических прогрессий; суммы вида
Наконец, в 1945 г. Нейгебауер и Сакс опубликовали расшифровку
чрезвычайно интересной таблички, хранящейся в библиотеке Ко-
лумбийского университета (США). В ней оказался перечень пря-
моугольных треугольников с рациональными сторонами, т. е.
троек пифагоровых чисел x2 + y2 = z2. Реконструкция метода их под-
бора приводит, по-видимому, к формулам: х=р2—q2\ y = 2p'q\
z = p2+q2, известным в теории чисел как диофантовы.
Геометрические знания вавилонян, по-видимому, превышали
египетские, так как в текстах помимо общих типов задач встреча-
ются начатки измерения углов и тригонометрических соотношений.
В основном, впрочем, они тоже состояли из вычислений площадей
и объемов прямолинейных фигур, обычных для элементарной гео-
метрии. Площадь круга вычислялась по формуле S = —- (с —
длина окружности), откуда получалось плохое еще приближение:
л = 3. Имелись также и способы приблизительного вычисления
объемов, основанные на своеобразном усреднении размеров
27
(см. рис. 1). Например, объем неравностороннего вала вычис-
ляется по формуле
у = — ( Д~Ь । giЧ~\ e /j-fr-fei
2 \ 2 ' 2 J’ 2
Внимание ряда исследователей привлекает высокая алгорит-
мичность, проявлявшаяся в математических текстах древнего Ва-
вилона. Это дало повод к высказыванию предположений, что в те
времена культивировались общие методы, отвлеченные от конкрет-
ных задач и представляющие своеобразную алгебру (Нейгебауер,
Фогель). Однако существуют и более осторожные оценки матема-
тических достижений вавилонян.
Вавилонские математические традиции распространились на
сопредельные государства Ближнего Востока и могут быть про-
слежены в них вплоть до эпохи эллинизма (ок. 330 г. — ок. 30 г.
до н. э.).
Итак, к середине первого тысячелетия до н. э. в ряде стран
Средиземноморского бассейна сложились такие условия, что мате-
матика могла быть осмыслена как самостоятельная наука, были
выделены как самостоятельный объект человеческой мысли ее
основные понятия и предложения, и форма этого выделения оказа-
лась достаточно общей и абстрактной для введения логических
доказательств. Эта следующая фаза развития математики с наи-
большей- силой определилась в античной Греции к VI—V вв.
до н. э.
Приведенные примеры показывают, как в разных странах
происходил процесс накопления большого конкретного математи-
ческого материала в виде приемов арифметических действий, спо-
собов определения площадей и объемов, методы решения некото-
~рых классов задач, вспомогательных таблиц и т. п. Примерно
такой же процесс накопления математических знаний происходил
в Китае и в Индии.
2.4. МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО КИТАЯ
Развитие научных знаний в Китае имеет многовековую бога-
тую историю; установлено также и раннее оригинальное развитие
китайской математики. Однако до сих пор не преодолена разроз-
ненность и скудность достоверной научной информации о матема-
тических познаниях китайцев в древности.
По утверждению китайского историка математика Ли Яня,
математические познания китайцев восходят к XIV в. до н. э.
В истории математики древнего Китая имеются сведения о деся-
тичной системе счета, специальной иероглифической символике
чисел, об оперировании большими числами, наличии вспомогатель-
ных счетных устройств (узелки, счетная доска), об оперировании
циркулем, линейкой и угольником и т. д.
28
Самым ранним математическим сочинением, если не считать
трактата о чжоу-би (солнечных часах), является «Математика в
девяти книгах», иногда называемая «Математикой в девяти гла-
вах», или разделах. Это сочинение появилось как своеобразный
итог математических достижений Китая к началу нашей эры. Есть
сведения, что оно было составлено выдающимся государственным
деятелем и ученым Чжан Цаном (152 г. до н. э.), собравшим и си-
стематизировавшим все известные к его времени математические
знания. «Математика в девяти книгах» неоднократно подвергалась
переработкам и дополнениям: в I в. до н. э. (Гэн Чоу-чан),
в III в. н. э. (Лю Хуэй), в VI в. (Чжень Луань), в VII в. (Ли
Чунь-фен) и др.
В результате этих переработок «Математика в девяти книгах»
приобрела вид своеобразной математической энциклопедии. со
сравнительно неоднородным содержанием. В VII—X вв. н. э. она
сделалась основным учебником для поступающих на государствен-
ную службу и классическим сочинением, от которого отправлялись
ученые-математики в своих исследованиях. Текст его стал известен
в СССР сравнительно недавно; в 1957 г. Э. И. Березкина сделала
первый перевод «Математики в девяти книгах» на русский язык
с обстоятельными комментариями.
Книги, составляющие это сочинение, имеют вид отдельных
свитков. Они посвящены различным темам, преимущественно прак-
тического характера. Различие обусловлено, по-видимому, тем, что
различные книги предназначались для чиновников различных
ведомств: землемеров, инженеров, астрономов, сборщиков налогов
и т. п. Позднейшие дополнения вносились в книги по признаку не
математической общности, а единства темы.
Изложение — догматическое: формулируются условия задач
(всего 246 задач) и даются ответы к ним. После группы однотип-
ных задач формулируется алгоритм их решения. Этот алгоритм
состоит или из общей формулировки правила или из указаний
последовательных операций над конкретными числами. Выводов
этих правил, объяснений, определений, доказательств нет.
Книга I называется «Измерение полей». Единицей измерения
служит прямоугольник со сторонами 15 и 16 бу (т. е. шагов, при-
близительно равных 133 см). Площади прямолинейных фигур вы-
числяются верно. При вычислении площадей круга, сектора и
кольца принимается, что л = 3. Площадь сегмента вычисляется как
площадь трапеции, большее основание которой совпадает с осно-
ванием сегмента, а меньшее основание и высота — каждое равно
высоте сегмента. -
Используемая при этом система счисления — десятичная
иероглифическая. Числа делятся на классы по четыре разряда
в каждом. Особого знака, нуля при такой системе записи, очевид-
но, не требуется. Нуль, действительно, появился значительно позд-
нее, только в XII в., и был, видимо, заимствован из математики
Индии. Чтобы придать большую общность постановке основной
29
задачи об измерении площадей, в первой книге введены простые
дроби и арифметические действия над ними. Правила действий —
обычные: особенностью является только то, что при делении
дробей требуется предварительное приведение их к общему зна-
менателю.
Употребляемое в первой книге значение л = 3, видимо, сохра-
нилось с очень давнего'времени. Китайские математики того вре-
мени умели и более точно вычислять значение л. Например, в I в.
до н. э. у Лю Синя мы встречаем л —3,1547, во II в. н. э. у Чжан
Хэна л = 1/Ю. (Чжан Хэн считал, что квадрат длины окружности
относится к квадрату периметра описанного квадрата как 5:8).
В III в. н. э. при вычислении сторон вписанных многоугольников
Лю Хуэй нашел, что л = 3,14. Он исходил из предложения, что
площадь круга аппроксимируется снизу площадями вписанных
многоугольников. Для аппроксимации свёрху площади этих мно-
гоугольников увеличиваются на сумму площадей прямоугольников,
описанных вокруг остаточных сегментов. Отсюда: S2n<Sp‘<Sn +
+ 2(S2n—Sn). Дойдя до 192-угольника, Лю Хуэй получил (при
/?= 10): S96 = 313 и S192 = 314 откуда заключил, что
л = 3,14. Некоторые авторы утверждают, что Лю Хуэй продолжил
вычисления далее до 3072-угольника и получил л = 3,14159. В V -в.
н. э. Цзу Чун-чжи (430—501), как явствует из Вей Ши (643 г.),
' „ 22 385
дал для л два значения подходящих дробей: -у- и -уу, и оценку
значения л до седьмого знака: 3,1415926<л<3,1415927.
Книга 2 «Соотношение между различными видами зерновых
культур» отражает старинную практику взимания налогов зерном,
измеряемых в объемных мерах, и расчетов при переработке этого
зерна. Математические задачи, возникающие при этом, — это за-
дачи на тройное правило и пропорциональное деление. Ко второй
книге была позднее добавлена группа задач на определение стои-
мости предметов, число которых может быть как целым, так и
дробным.
Задачи на пропорциональное деление, деление пропорциональ-
но обратным значениям чисел, а также простое и сложное тройное
правило составляют содержание и следующей, третьей, книги
«Деление по ступеням». Правил суммирования арифметических
прогрессий здесь еще нет; они встречаются, по-видимому, впервые
в математическом трактате Чжан Цяю-цзяня (VI в.).
В четвертой книге «Шао-гуан»1 вначале речь идет об опреде-
лении стороны прямоугольника по данным значениям площади и ♦
другой стороны. Затем излагаются правила извлечения квадрат-
ных и кубических корней, нахождения радиуса круга по его пло-
щади. Правила сформулированы специально для счетной доски;
подкоренное число делится на разряды соответственно по 2 или 3
1 Адекватного перевода на русский язык не существует.
30
знака, затем последовательно подбирается очередное значение
корня и дается правило перестройки палочек на счетной доске. При
решении задач, связанных с вычислением элементов круга или
сферы, принимается л = 3. Только в последней задаче, где Ушара =
= 1644 866 437 500 чи и требуется найти диаметр по формуле
d = -у- V , принято л «= -у- (d = 143000 чи).
В книге 5 «Оценка работ» собраны задачи, связанные с рас-
четами при строительстве крепостных стен, валов, плотин, башен,
ям, рвов и других сооружений. При этом вычисляются как объемы
различных тел, так и потребности в рабочей силе, материале,
транспортных средствах при различных условиях.
Книга 6 «Пропорциональное распределение» начинается груп-
пой задач о справедливом (пропорциональном) распределении на-
логов. Математические методы здесь те же, что в книге 3, где
речь шла о распределении доходов между чиновниками различных
классов, —пропорциональное деление, простое и сложное тройное
правило. Кроме того, в шестую книгу входит серия задач на сум-
мирование отдельных арифметических прогрессий и задач на сов-
местную работу с разной производительностью.
«Избыток-недостаток» — так называется седьмая книга.
В ней подобраны задачи, приводившиеся к линейным уравнениям
и их системам, и разработан способ их решения, совпадающий с
методом двух ложных положений. Задачи и в этом случае накап-
ливались в возрастающей степени трудности. Метод тоже еще не
сформулирован четко и имеет много разновидностей частного ха-
рактера. Приведем примеры.
В задаче № 18 утверждается, что 9 слитков золота весят
столько же, сколько И слитков серебра. Если же поменять места-
ми по одному слитку, то вес золота и серебра будет различаться
на 13 ланов (16 ланов равны 1 цзиню). Задача определения весов
слитка сводится к решению системы уравнений:
9х = 11#; 8х + у 4~ 13 = \9у + х,
которая решается с помощью правила двух ложных
Именно, принимается: Xi=3 цзиня, х2 = 2 цзиня. Тогда
7
цзиня, у2 = 1 -ур цзиня. Подстановка этих значений
положении.
у Г = 2 —
н
во второе
уравнение (в котором все члены перенесены в одну сторону, до-
пустим в левую) дает соответственно недостаток: =----------- цзи-
11 • 16
, I 15
ня и избыток Z. = Н---------
2 11.16
цзиня.
Действительное значение х находится по правилу
31
X =
*1*2 — *2*1
и равно 2 цзиня. Соответственно у = х = 1 цзиня.
64 w 11 64
В задаче № 16 указывается, что из яшмы (удельный вес=а)
и камня (удельный вес Ь=а—1) составлен куб, общий вес которо-
го Pq и объем Vo известны. Веса Р\ и Р2 и объемы Vi и V2 соот-
ветственно яшмы и камня находятся из системы:
Vr + V^V.,
aVx + bVt = P9,
которая решается подстановкой двух значений: Vi = Vo и У2 = ¥о.
Усовершенствование складывающихся в седьмой, книге правил
решения систем линейных уравнений, и распространение их на си-
стемы с большим числом неизвестных изложены в правиле «фан-
чэн», которому'посвящена вся восьмая книга. Задачи этой книги
приводят к системам до пяти линейных уравнений с положитель-
ными корнями. Для всех систем установлен единый алгоритм
вычисления корней — упомянутый «фан-чэн», состоящий в сле-
дующем.
Пусть дана система линейных уравнений:
а11Х1 + а12х2 + • • • + а1пХп = ^1’
o2i*i + o22x2 + ••• +о2л*п = 62,
ani*i + o„2x2+ ••• +апп*„ = &„.
В соответствии с китайским способом письма (справа налево по
столбцам сверху вниз) составляется расширенная матрица си-
стемы:
(о,д..........о21 ап \
оЛ2..........о22 О12 I
Одл О2л О1„ ]
Ьп .........."2 Ьх /
. Эту матрицу преобразовывают так, чтобы все_ числа левее и
выше главной диагонали коэффициентов были нулями:
гО ......... О ап 1
о ..............022 Oja
Одл.............О2д О2л
Ьп .............bi bx j
32
Преобразование проводят обычным для теории детерминантов
путем, но при этом оперируют только со столбцами; столбцы и
строки матрицы здесь еще неравноправны. Преобразованная
матрица с нулями соответствует ступенчатой системе уравнений:
а11Х1 + + . •. + ^1пХп =
022 *2+ ••• + a2nxn = b2
..................................0ДЛ Хп = Ьп ,
откуда последовательно определяются корни системы уравнений.
В процессе преобразований матрицы системы китайские уче-
ные ввели отрицательные числа. Для их сложения и вычитания
было введено специальное правило «чжэн-фу», которое можно пе-
ревести как правило «плюс-минус». Так как все вычисления, в том
числе и преобразования матрицы, проводились на счетной доске,
то для обозначения отрицательных чисел применялись счетные
палочки другого цвета или формы, а в случае записи применялись
иероглифы разных цветов.
Расширение понятия числа, которое мы отметили выше, яв-
ляется характерной особенностью развития математики. Те же
стремления обеспечить общность решения в радикалах уравнений
2—4-й степеней в XVI в. в Италии привели к введению мнимых
чисел. Что же касается приоритета китайских математиков отно-
сительно правила «фан-чэн», то он бесспорен. Достаточно указать,
что в Европе идея создания подобного детерминанта впервые была
высказана только Лейбницем в конце XVII в. Отрицательные
числа в явном виде появились несколько раньше — в конце XV в.
в сочинениях Н. Шюке.
Практическую основу последней книги «Математики в девяти
книгах» составляют задачи определения недоступных расстояний
и высот с помощью теоремы Пифагора и свойств подобных тре-
угольников. Математически эта книга особенно интересна общей,
алгебраической формулировкой правил. Помимо элементарных
способов применения теоремы Пифагора в ней имеется способ на-
хождения пифагорейских троек, т. е. целочисленных решений
уравнения x2+y2 = z2:
а2 —~ а2 + Р2
х = оф, у =---2 = --------2~
Некоторые задачи приводят к полным квадратным уравнени-
ям, а правила их решения эквивалентны общеупотребительным и
сейчас формулам.
Например, задача № 11 о размерах двери с известными диа-
гональю и разностью между длиной и шириной сводится к двум
уравнениям: х2+у2 = с2; у—x = k или к полному квадратному урав-
нению 2x2+2kx + k2—с2 = 0. Сформулированное в тексте правило,
если переписать символически, будет
2
К. А. Рыбников
33
2
*1,2 =
Выводов и доказательств, как уже было упомянуто, в рассматри-
ваемом трактате нет. Э. И. Березкина1, по-видимому, правильно
предполагает, что правило получено следующим элементарным
способом: пусть
*1,2 = 2 ± —,
тогда
Х1 + X2 = 2z2 + 2(-|-)2 = c2’
откуда
Мы остановились подробно на обзоре содержания «Мате-
матики в девяти книгах», так как это сочинение является самым
значительным и, пожалуй, единственным крупным ‘ памятником
древней китайской математики, имеющим к тому же энциклопеди-
ческий характер. Оно показывает, что в течение многих веков
математика Китая развивалась по преимуществу в вычислительно-
алгоритмическом направлении и создала существенные элементы
алгебраического подхода к решению задач.
Причины того, что математика Китая (а как мы увидим ниже,
и Индии) приобрела такие особенности, коренятся в общественно-
экономических условиях жизни общества. Последние были таковы,
что эти государства в качестве одной из основных функций вы-
нуждены были принять на себя организацию общественных работ
в области ирригации, транспорта и оборонительных сооружений.
Постоянные заботы о календаре и об общности и строгости рели-
гиозных установлений усугубляли эту направленность научных
занятий. Феодальный гнет и давление религии определили мед-
ленный, застойный характер развития всех наук, в том числе и
математики.
Вычислительно-алгоритмическую направленность китайская
математика сохранила и в последующий период, вплоть до середи-
ны XIV в. Наибольшие успехи были опять достигнуты ц области
алгебры и арифметико-вычислительных методов. Вслед за реше-
нием квадратных уравнений мы встречаем у Ван Сяо-туна в VII в.
сведение задачи к кубическому уравнению. В прямоугольном тре-
1 См. статью Э. И. Березкиной в сб.: «Историко-математические исследо-
вания», вып,- 10. М.; Гостехиздат, 1957, стр. 425—586.
34
угольнике даны: произведение катетов ху — Р =706 —— и раз-
____________________________________________________50
ность между гипотенузой и одним из катетов У*2 + у3 — х = Q =
g
= 36-^-.Требуется найти стороны треугольника. Ван Сяо-тун для
Q Р2
решения уравнения х3 Н—х3--------— = 0 ссылается (как на об-
щеизвестный) на метод, который используется и для извлечения
корня. Ссылки на этот метод имеются и в «Математике в девяти
книгах», и в позднейших математических книгах. Но подробное
разъяснение метода встречается только в рукописи математика
XIII в. Цинь Цзю-шао, известной под ставшим традиционным за-
главием: «Девять отделов математики».
Существо этого метода, получившего в китайской математике
название метода «небесного элемента» (так называлось неизвест-
ное), состоит в следующем. Нужно решить уравнение Рп(х)=0;
для определенности принять Рп(х) =aixi+a3)fi+a2x2+alx+ao.
Первую цифру р корня отыскивают подбором. Производят под-
становку: х — у+р. Получается вспомогательное уравнение
Ф (У) = А<У* + &зУ* + Агу3 + Агу + Ло.
Последовательность операций нахождения коэффициентов
этого вспомогательного уравнения может быть выражена схемой:
+ а4 а3 \а3 ах а0
азр ацр dip
а4 а'з 02 at во = Ао
' н п
а±р азр Огр
। а4 аз аз а\ — Лх
а4р азр
а4 аз 02 = Л2
ajp
а3 = Л4 аз = А3
Путем подбора опять находят первую цифру корня вспомога-
тельного уравнения ф(у) =0;или, что то же самое, вторую цифру
корня уравнения Рп(х)=0. Пусть это будет q. Подстановка
y=z+q приводит к уравнению ф(з)=0, коэффициенты которого
находят вновь по вышеуказанной схеме, и т. д.
Цинь Цзю-шао демонстрирует этот метод на примере уравне-
ния —х4+763200х2—40642560000=0, корень которого х=840.
Этот же метод без изменений применяется к извлечению корней
2*
35
любой степени. При этом решается уравнение хп—а = 0. Таким
способом, например, находятся у 17576 , 1336336 и т. д.
Метод небесного элемента был крупным достижением, завер-
шившим развитие алгебры в Китае в средние века. Китайские ма-
тематики использовали его с большим искусством. Например,
около 1300 г. Чжу Ши-цзе находил этим методом не только целые,
но и рациональные корни. Например, в уравнении 576х4—2640х3+.
+ 1729х2+3960х—1695 252=0 он подбирает целую часть корня,
равную 8, проделывает подстановку х=у+8 и получает 576у4+
+15792у3+159 553г/2 +704 392г/—545300=0.-Затем, чтобы привести
коэффициент при высшей степени неизвестного к единице, он де-
z
576
лает подстановку
z = 384, заключает, что
и, определив в новом уравнении, что
384 2 о 2
у = , а, следовательно, х=8 —.
Метод небесного элемента по своей математической сущности
эквивалентен методу Руффини—Горнера, открытому в Европе на
рубеже XIX в.
В средние века в математике Китая все больше выявлялись и
формировались алгебраические элементы как в области создания
общих алгебраических методов, так и в формировании и усовер-
шенствовании символики. В «Драгоценном зеркале четырех эле-
ментов» (1303 г.; четыре элемента — это четыре неизвестных,
образно называемые: небеса, земли, мужчины, вещи) Чжу Ши-цзе
решал задачи, приводящиеся к системам четырех уравнений с че-
тырьмя неизвестными путем последовательного исключения неиз-
вестных. Обращает на себя внимание оригинальная символика
этого автора. Так, например, у него ax+by+cz+du обозначается
а полином
х2 + 2ху + у2 + 2yz + z2 + 2zu + и2 + 2их
2 0 2
Свободный член размещается в центре этой фигуры.
36
Другим крупным достижением математиков средневекового
Китая было регулярно применяемое суммирование прогрессий
п а
k = n(»+>) k2 = n(n+D(2n+l)
fe=l k=\ 6
известное из сочинений Шэнь Ко (XI в.) и Ян Хуэя (XIII в.).
Своеобразие приемов вычисления сумм прогрессий данного вида
можно проиллюстрировать на задаче вычисления числа ядер, сло-
женных в пирамиду с квадратным основанием. Пусть для опреде-
ленности в пирамиде насчитывается 5 слоев:
ооооо + ооооо
00000 + 00000
00000 + 00000
ооооо + ооооо
ооооо + ооооо
0000 + + + 000 0
0000 + + + 0000
оооо+++0000
0000 + + + 0000
000 + + + + + 000
ооо + + + + + 000
о о о + + + + + о о о
о.о + + + + + + + о о
о о + + + + + + + о о
о + + + + + + + + + о
Тогда количество ядер: 5= 12+22+32+42+52.
Из соотношений:
12= 1
22 = 1 + 3
З2 = 1 + 3 + 5
42=1+3 + 5 + 7
52=1+3 + 5 + 7 + 9
следует, что S=5-1+4-3 + 3-5+2-7+1-9, или в общем виде
S=n-l + (n— 1)-3+(п—2)-5+... + 1-(2n— 1), что иллюстрируется
частью фигуры, отмеченной крестиками.
Прибавив еще
23 = 2п2 + 2(п—1)2 + 2(п —2)2+ ... + 2-13,
получим
37
3S'= (2n + 1) n + (2n + 1) (n— 1) + . • • + (2n + i)-l =
= (2n + l)-—
Наконец
S=4«(« + 1)(2n+l).
Наряду с арифметико-алгебраическими задачами в Китае раз-
вивались элементы комбинаторики; был найден треугольник бино-
миальных коэффициентов, известный теперь под названием тре-
угольника Паскаля. По-видимому, как одно из обобщений задач
арифметики появились теоретико-числовые задачи. Типичные при-
меры таких задач приведены у Сунь-цзы (III в. н. э.), решавшего
задачу нахождения числа, которое при делении на 3, 5, 7 дает
соответственно остатки 2, 3, 2. Это задача на решение линейной
системы сравнений с попарно взаимно-простыми модулями^
х гз Г], (mod
x—r2 (mod q2), (r± = 2; r2 = 3; r, 2; ft = 3; ft = 5; ft = 7)
x = r3(mod?8),
Сунь-цзы находит вспомогательные числа Nit N2, N3, для ко-
торых:
A\ftft = 1 (m°d ft)> 35 sb 1 (mod 3), 2NX ал 1 (mod 3),
= 1 (m°d т- е- 21 Na = 1 (mod 5), или Аа в 1 (mod 5),
N^hq2 = 1 (mod ft), 15 N3 = 1 (mod 7), N3 = 1 (mod 7).
Тогда:
Alt = 2; N2 = 1; Na = 1; A\ftft = 70; A2ftft = 21; N^qa = 15;
x s (Niq^i + ATaftft + N^qJ (mod ftftf);
x e= (140 + 63 + 30) (mod 105); x = 233 (mod 105); x = 233 — 105 t.
При t = 2 наименьшее значение x будет 23.
Аналогичные задачи решались и в более поздние времена. Так,
Цинь Цзю-шао (XIII в.) решал задачу, сводящуюся к следующей
системе сравнений:
х = 32 (mod 83),
х = 70 (mod НО),
xs32(mod 135).
Практический подход к задачам геометрии, наблюдавшийся
в «Математике в девяти книгах», сохранялся в китайской матема-
тике на протяжении всего рассматриваемого периода времени.
38
В геометрическом наследии древнего и средневекового Китая вид-
ное место занимает сочинение Лю Хуэя (III в. н. э.) «Математика
морского острова», имевшее вначале характер комментария и до-
бавления к последней части «Математики в девяти книгах».
В окончательном виде в «Математику морского острова» входят
задачи на определение размеров недоступных предметов и рас-
стояний до них. Решаются они по преимуществу применением тео-
ремы Пифагора или подобия треугольников. Попыток системати-
ческого дедуктивного построения математики в Китае не отмечено.
Все известные нам источники утверждают, что с XIV в. в Ки-
тае начинается длительный период застоя в развитии наук. Добы-
тые ранее знания не развиваются и даже забываются; математика
развивается преимущественно за счет усвоения иностранных зна-
ний. В 1583 г. в Китай проник иезуит-миссионер М. Риччи, вслед
за которым Китай наводнила целая армия священнослужителей и
монахов. Видимо, не без их содействия в 1606 г. в Китае впервые
появились издания «Начал» Евклида, в 1650 г. — таблицы лога-
рифмов Влакка. Оригинальное же развитие китайской науки под
давлением колонизаторов и законсервировавшихся феодальных
форм правления прекратилось. Китайские математики-специалисты
подготавливались к научной деятельности за границей, в большин-
стве там же и работали.
Математика в Китае получила новый стимул к развитию толь-
ко в XX в. под влиянием народно-освободительного движения, а
затем народной революции и руководства Коммунистической пар-
тии Китая. В 1928 г. в Нанкине была образована центральная
научно-исследовательская академия, среди 13 институтов которой
был и институт математики. Собравшиеся в этом институте уче-
ные вели работу по многим направлениям одновременно. Они по-
лучили результаты в области рядов Фурье, аналитической теории
чисел, топологии, дифференциальной геометрии, теории вероятнос-
тей и математической статистики, алгебры, теории конечных групп.
После 1949 г. в Китае началось быстрое развитие математики
в тесном содружестве с математиками СССР. Особенно тесно уче-
ные сотрудничали в области аналитической теории чисел, где Хуа
Ло-кэн и другие вели работы методом тригонометрических сумм,
изобретенным академиком И. М. Виноградовым. К работам
Д. Е. Меньшова об ортогональных рядах примыкают работы Чень
Цзян-гуана и Ван Фу-чуна. Исследования Су Бо-цина и других
связаны с работами советских математиков школы С. П. Финикова
по линейным комплексам. Даже в теории вероятностей, где осо-
бенно сильное влияние оказывали английские и американские ма-
тематики, сказалось сближение с советскими специалистами шко-
лы А. Н. Колмогорова. Сотрудничество китайских математиков с
советскими коллегами всегда было плодотворным, обогащало
их в научном отношении и способствовало развитию прогрессив-
ного мировоззрения и практических успехов в приложениях мате-
матики.
39
2.5. МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕЙ ИНДИИ
В древней и средневековой математике народов Индии много
общего с китайской математикой. В Индии математика тоже яв-
ляется очень древней наукой, издавна составляющей часть куль-
туры. В ней тоже преобладали вычислительно-алгоритмические
методы и отсутствовали попытки построения дедуктивных систем;
геометрия индийцев — также практическая.
Эта общность характера науки и путей ее развития не случай-
на и отражает сходность путей исторического развития обеих вели-
ких стран и давние экономические и культурные связи между
ними. В Индии к началу нашей эры уже сложилась развитая фео-
дальная система организации общества. Длительная консервация
феодальных отношений усугублялась кастовым расслоением со-
циальных групп населения, что определило, несмотря на бурное
временами течение политических событий, весьма медленный темп
развития производства и науки.
Английские, французские, португальские колонизаторы в тече-
ние нескольких столетий насильственно задерживали естественное
развитие производства, науки и культуры индийского народа.
Только в наше время происходит процесс национального освобож-
дения и подъема производительных сил Индии.
Самыми ранними памятниками математической культуры ин-
дийцев являются религиозные книги: сутры и веды. Их происхож-
дение относят к VIII—VII вв. до н. э. Написаны они на давно уже
умершем языке — санскритском. В них мы находим геометриче-
ские построения, составляющие важную часть ритуалов при
постройке культовых сооружений: храмов, алтарей и т. д. В них
можно найти первые способы квадрирования кругов, применение
теоремы Пифагора. Видимо, вследствие требований архитектуры
решалась и арифметическая задача о нахождении пифагоровых
троек натуральных чисел.
Числовая система с древних времен определилась как деся-
тичная. Столь же рано определилась склонность к оперированию
большими числами, нашедшая отражение в легендах. Будда, на-
пример, отличался феноменальным умением считать; он строил
числовые десятичные системы до 1054, давая наименования каждо-
му разряду. Женихи прекрасной богини Земли, добиваясь ее руки,
обязаны были соревноваться в письме, арифметике, борьбе и
стрельбе из лука. Победитель соревнования Сарватасидда приду-
мал, в частности, шкалу чисел, идущих в геометрической прогрес-
сии со знаменателем 100, до 107+'9'46, т. е. до числа с 421 нулем.
Пристрастие к операциям с большими числами сохранялось в
течение всей истории математики в Индии.
Наиболее яркий период развития, оставивший самые значи-
тельные образцы математической литературы, — это V—XII вв.
н. э. В это время трудились выдающиеся индийские ученые — ма-
тематики и астрономы: Ариабхатта (конец V в.), Брахмагупта
40
(род. 598 г.), Магавира (IX в.), Бхаскара Акарья (род. 1114 г.).
От Ариабхатты, жившего в северо-восточной Индии, осталось
сочинение в стихах астрономического и математического содер-
жания. В нем сформулированы правила элементарной математи-
ки: арифметики, геометрии и тригонометрии. Брахмагупта также
в стихотворной форме написал огромное сочинение в 20 книгах
«Усовершенствованная наука Брамы», в котором 12-я книга посвя-
щена арифметике и геометрии, а 18-я — алгебре и неопределен-
ным уравнениям. Значительное математическое содержание имеют
две книги Бхаскары: «Лилавати» и «Виджаганита». «Лилавати»
(что значит «прекрасная») Бхаскара посвятил своей дочери.
В поэтической манере в 13 отделах книги излагаются: 1) метроло-
гия; 2) действия над целыми числами и дробями и извлечение
корней; 3) способ обращения, способ ложного положения и другие
частные приемы решения задач; 4) задачи на бассейны и смеси;
5) суммирование рядов; 6) планиметрия; 7—11) вычисление раз-
личных объемов; 12) задачи неопределенного анализа; 13) задачи
комбинаторики.
Другое сочинение Бхаскары — «Виджаганита» — состоит из
восьми отделов: 1) действия над положительными и отрицатель-
ными числами; 2—3) неопределенные уравнения 1-й и 2-й степени;
4) линейные алгебраические уравнения; 5) квадратные уравнения;
6) системы линейных уравнений; 7—8) неопределенные уравнения
2-й степени.
Мы не ставим себе здесь целью описание всех источников,
заслуг и роли отдельных лиц. Нашей целью является оценка уров-
ня достижений математиков Индии, особенностей форм и методов
математического исследования и путей развития индийской мате-
матики. Поэтому здесь мы дадим лишь общие характеристики.
Как было уже сказано, главной особенностью индийской мате-
матики является преобладание вычислительных приемов, препод-
носимых учащимся или читателям в догматической форме. Среди
арифметических правил обращает на себя внимание широкое рас-
пространение правила обращения, которое состоит в следующем:
задумывается число, но учащемуся или противнику сообщаются
лишь последовательность операций с задуманным числом и конеч-
ный результат. Решение задачи состоит в последовательном про-
ведении всех операций в обратном порядке. Например, в сочине-
нии Бхаскары «Лилавати» перед неизвестной красавицей ста-
вится задача: назвать число, которое, будучи умножено на три,
увеличено затем на три четверти произведения, разделено на 7,
уменьшено на — частного, умножено само на себя и уменьшено
з
на 52, после извлечения квадратного корня, прибавления 8 и деле-
ния на 10, даст 2. Среди других правил вычислительной техники
индийцев есть правило извлечения корней и действий с иррацио-
нальностями.
Оперирование большими числами (в качестве еще одного при-
41
мера приведем задачу определения числа членов геометрической
прогрессии, если tfi = 3, <? = 5, 5 = 22 888 183593), помимо отработки
единой числовой десятичной системы с нулем и числовой симво-
лики, привело к введению в математику представлений о беско-
нечно больших числах. Бхаскара вводил это представление, рас-
а
сматривая выражения вида — и поясняя, что это есть тоже число,
но не претерпевающее изменений, приращения или ущерба, какое
бы большое число мы к нему ни прибавляли или от него ни отни-
мали; его, по выражению Бхаскары, можно уподобить вечному
времени бесконечной цепи существований.
Индийские математики ввели и правильно трактовали и по-
нятие отрицательного числа. Так, Брахмагупта разъясняет, что
числа могут трактоваться либо как имущество, либо как долг.
Правила операций с числами тогда таковы: сумма двух имуществ
есть имущество, двух долгов — долг, имущества и долга — их
разность, а если они равны — нуль. Сумма нуля и долга есть долг,
имущества и нуля — имущество. Произведение двух имуществ или
двух неимуществ есть имущество; результат произведения иму-
щества на долг представляет убыток/ То же правило справедливо
и при делении. Квадрат имущества, или долга, есть имущество;
имущество имеет два корня: один составляет прибыль, другой —
долг. Корня убытка не существует, ибо таковой не может быть
квадратом. Однако, вводя отрицательные числа, индийские мате-
матики не использовали их как равноправные элементы матема-
тики, считая их только чем-то вроде логических возможностей,
потому что, по выражению Бхаскары, люди с ними не согласны.
Кроме правил и задач арифметики в индийскую математику
входили также решения ряда задач алгебры, неопределенного
анализа, комбинаторных задач. К алгебре относятся в первую
очередь правила решения линейных уравнений, их систем и квад-
ратных уравнений. Например, Ариабхатта формулирует задачу:
капитал 100 (мы обозначим его р) отдан в рост. Прирост за месяц
( = х) отдан снова в рост на 6 (=/) месяцев. Общий прирост 16
( = q). Каков прирост за месяц?
Соответствующего уравнения: tx2+px=qp Ариабхатта, разу-
меется, не пишет, но правило, даваемое им для решения этой за-
дачи, есть не что иное, как общее правило для квадратного урав-
нения. В самом деле, он дает предписание: умножь сумму прирос-
та и прироста прироста (т. е. q) на время (/) и капитал (р), при-
f Р2 \ •
бавь квадрат половины -капитала ( — ), извлеки квадратный
\ 4 J
корень, затем вычти половину капитала и раздели остаток на вре-
мя. Соответствующая формула, очевидно, будет
t
42
Развитие методов решения задач неопределенного, или диофанто-
ва, анализа представляет одно из высших достижений индийской
математики. Появление подобных методов—общее явление для всех
древних математических культур. Причина того, что математики
Индии, Греции, Китая и других стран интересовались решением
подобных задач, лежит, по-видимому, в необходимости изучения
периодически повторяющихся явлений, например в астрономии.
В самом деле, вопрос о периоде времени, состоящем одновре-
менно из целого числа дней (х) и целого числа лет (у), приводит
к неопределенному уравнению: 10960 у=30х. Другие вопросы,
например о периоде повторения некоторых явлений, приводят к
полным неопределенным уравнениям. Индийские ученые умели на-
ходить целочисленные решения различных видов неопределенных
уравнений 1-й и 2-й степени.
Мы уже упоминали о характерной форме изложения, при ко-
торой не воспроизводится ни ход рассуждений, ни доказательство,
что не дает возможности судить о теоретико-числовых методах
индийских математиков. Однако то немногое, что известно, пока-
зывает наличие ряда теоретико-числовых методов. Например, из-
вестно, что корни неопределенного уравнения 1-й степени ах—by—
= с получаются умножением на с корней уравнения ах—Ьу—1.
Пусть
а > 6; а — bq + г; qx + — х — у = —;
b ь
2х__1
У = qx Н--------= qx + z.
О
Чтобы решение у было целым, необходимо, чтобы z было це-
лым, т. е. задача сводится к решению уравнения гх—bz—\, коэф-
фициенты которого меньше коэффициентов заданного уравнения
(г<Ь, Ь<а), а вид уравнения не изменяется. Продолжая эту опе-
рацию, мы в конечное число шагов дойдем до уравнения
и—rnv = l. Возвращаясь к исходному уравнению, х и у выражаем
через V. Метод этот, возможно, был найден по аналогии с проце-
дурой нахождения общего наибольшего делителя или с алгорит-
мом непрерывных дробей.
Приведем еще один пример решения неопределенных уравне-
ний. Уравнение ху = ах+Ьу+с преобразовывалось к виду
(х—Ь) (у—a)=c+ab с помощью следующей геометрической интер-
претации. Площадь всего начерченного здесь прямоугольника
S=xy. Площадь гномона равна ах+Ьу—ab. Оставшаяся неза-
штрихованной часть прямоугольника Si=(x—6) (у—а) (рис. 2) и
в то же время S\=xy—ах—by+ab = c+ab (по условию),
(х—Ь) (у—a)=c+ab. После этого правую часть представляют в
виде произведения двух целых сомножителей.
В качестве еще одного примера рассмотрим циклический ме-
тод Бхаскары решения уравнений вида у2 = ах2+1. Вначале проба-
43
ми подбирают числа Xi, yi, Ьь чтобы они удовлетворяли уравнению
ах* + и при этом Xi и bi были взаимно-просты, a bi — воз-
можно меньше. Это можно сделать, хотя бы положив === У а .
Теперь составляют Х12~'У1 = х2, т. е. x\z+yi = biX2. Из него по-
bi
а
~У
Рис. 2
лучают целочисленные значения Хг и z, выбирая их так, чтобы
z2—а было как можно меньше. Тогда----------------= Ь2— целое, а
X1Z+&2 равно квадратному числу у% т. е. ах&-\- Ь2 = уЧ. Повто-
рением получают убывающую последовательность целых чисел:
61, 62, ...» 1 и, наконец, aXfe + 1 == гД. Разумеется, доказательства
не было дано; впервые доказательство нашел Лагранж. Имя Пел-
ля было присвоено последнему уравнению в XVIII в. просто по
недоразумению.
Рациональные решения уравнения Пелля индийские ученые
получали следующим образом: для произвольных у\ и %2, Уч и
соответственных Ьх и 62 составляли уравнения:
ах\ —у1 = Ь1, bj. = (хх У а — yt) (хх У а + t/J;
ох* — yl = Ь2, Ь2 = (х2 У а —z/2) (х2 У а + у2);
= (аххх2 ± г/х1/2)2 — а (хгу2 ± х2ух).
Полагая, что известен корень х0, у0: охо — уо = Ь, из выражения
для^ Ь2 получали: х — 2хоув; у — ах* + yl, или
(2 । 2\ 2
а*°, °) •
о /
К области алгебры и теории чисел в индийской математике
отнесем, наконец, элементарные комбинаторные сведения, знание
Jn п
сумм k2, треугольник Паскаля и другие сведения.
fe=l к=1
44
Индийская геометрия носит все черты прикладной науки. Есть
чертежи, есть правила, иногда даже правил нет, под чертежом
написано только: «смотри!». Некоторый интерес представляют
тригонометрические таблицы, в которых хорды заменены полухор-
дами. При этом вводятся в рассмотрение по существу тригономет-
рические функции: синусы, косинусы и синусы-версусы (sinvers а=
= 1—cosa).
В истории Индии имеется достаточно фактов, свидетельствую-
щих о наличии экономических и политических связей с греческими,
египетскими, арабскими государствами и с Китаем. В математике
считается бесспорным индийское происхождение десятичной систе-
мы счисления с нулем и правил счета. Можно проследить заимст-
вование индусами у греков некоторых геометрических сведений
и т. д. Но количество этих фактов невелико. Вопрос о связях и
взаимных влияниях математики Индии, Греции, Китая и арабских
стран еще остается недостаточно выясненным.
В заключение еще раз отметим, что относительно математики
в Китае и в Индии мы располагаем очень ограниченным запасом
сведений. Либо исчезли, либо еще не найдены многие ма-
териальные свидетельства возникновения и накопления математи-
ческих знаний как части древних культур. Помимо разрушитель-
ного влияния времени, в этом виноваты колонизаторы, которые
уничтожили целые народы. Где последнее оказалось невозможным,
как это было в Китае и в Индии, были приложены все усилия для
фальсификации истории, для превознесения заслуг капиталистиче-
ских «цивилизаторов» и «просветителей», несущих якобы свет
«темным» народам. В более завуалированной форме эти тенденции
выражены в теориях о едином научном источнике, о распростра-
нений по всему миру знаний одного избранного народа и т. п.
История учит, что развитие всех форм деятельности человече-
ского общества происходит под влиянием единых мотивов эконо-
мического развития. Это влияние сказывается, в частности, в об-
ласти математики во множественности источников ее возникнове-
ния. Математика возникла и формировалась как наука во многих
местах, нередко весьма удаленных друг от друга и между собой,
казалось бы, не связанных.
При этом всегда действовали и проявлялись общие законо-
мерности: происхождение математики из практической деятель-
ности людей, выделение числовых и геометрических абстракций в
качестве отдельной области человеческих знаний, образование
логически последовательной системы этих абстракций, применение
последних к практическим задачам и т. п. Однако форма осу-
ществления общих закономерностей, характер математической
науки, соотношение ее элементов имели много различий и особен-
ностей, которые необходимо принимать во внимание, чтобы соста-
вить правильное представление о путях и перспективах развития
математических наук.
Глава 3
ФОРМИРОВАНИЕ ПЕРВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ
3.1. ПЕРВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ
Теоретическая часть математики имеет истоки в научных и
философских школах древней Греции. Вклад этих школ в развитие
науки настолько значителен, что даже в наше время «теоретиче-
ское естествознание, если оно хочет проследить историю возник-
новения и развития своих теперешних общих положений, вынуж-
дено возвращаться к грекам»1.
В период VI—IV вв. до н. э., который мы здесь рассматриваем,
Греция представляла собой совокупность рабовладельческих госу-
дарств-полисов (городов), ведущих оживленную торговлю как
между собой, так и с другими государствами Средиземноморского
бассейна; Египтом, Финикией, Персией и т. д. В государствах ан-
тичной Греции техника, наука и культура достигли высокого
уровня, о чем свидетельствуют с большой убедительностью сохра-
нившиеся прекрасные исторические памятники. Дошедшие до нас
естественнонаучные и философские труды античных ученых и све-
дения о них показали, что в древней Греции сложились основные
типы мировоззрений, действовали различные естественнонаучные
школы. Ведущее место среди греческих натурфилософских школ
последовательно занимали: ионийская (VII—VI вв. до н. э.), пи-
фагорейская (VI—V вв. до н. э.) и афинская (со второй половины
1 Ф. Энгельс. Анти-Дюринг. М., Политиздат, 1970, стр. 340—341.
46
V в. до н. э.). В этих школах с большой полнотой и обстоятель-
ностью разрабатывались и математические вопросы.
В математике этого времени практические задачи, связанные
с необходимостью арифметических вычислений и геометрических
измерений и построений, продолжали играть большую роль. Одна-
ко новым было то, что эти задачи постепенно выделились в отдель-
ную область математики, получившую наименование логистики.
К логистике были отнесены: операции с целыми числами, числен-
ное извлечение корней, счет с помощью вспомогательных уст-
ройств, вроде абака, вычисления с дробями, численное решение
задач, сводящихся к уравнениям 1-й и 2-й степени, практические
вычислительные и конструктивные задачи архитектуры, землеме-
рия и т. д.
В то же время уже в школе Пифагора заметен процесс на-
копления абстрактных математических фактов и соединения их
в теоретические системы. Так, например, из арифметики была
выделена в отдельную область теория чисел, т. е. совокупность
математических знаний, относящихся к общим свойствам операций
с натуральными числами. В это время уже стали известными спо-
собы суммирования простейших арифметических прогрессий и ре-
п
зультатов вроде £ (2k— 1) = п2. Рассматривались вопросы де-
*=i
лимости чисел, введены арифметическая, геометрическая и гармо-
ническая пропорции1 и различные средние:
л
2 ak
арифметическое------------, геометрическое — у аг ... ап и гармо-
ническое------------. Наряду с геометрическим доказательст-
вом теоремы Пифагора был найден способ отыскания не-
ограниченного ряда троек «пифагоровых» чисел, т. е. троек чи-
сел, удовлетворяющих соотношению а2+Ь2=с2 и. имеющих вид
п,-у(п2 — 1), где п —нечетное. Другое правило:
/ п \2 - / П \2 , -
и, 1 — 1 —1, I — I +1, где п — четное, находим у Платона, т. е.
в более позднее время. Было открыто много математических зако-
1 Последняя имела вид-— =---—, а название получила от
abed
того факта математической теории музыки, что интервалы между полными то-
нами обратно пропорциональны высоте тона.
47
номерностей теории музыки. Особенностью школы Пифагора яв-
ляется то, что отдельным числам и числовым соотношениям при-
писывались таинственные, магические свойства, а само занятие
теорией чисел рассматривалось как удел «избранных» и «посвя-
щенных». Числовой мистицизм пифагорейцев, разумеется,
имел не естественнонаучное, а социально-политическое происхож-
дение.
В тот же период происходили абстрагирование и систематиза-
ция геометрических сведений. Были написаны специальные книги,
в которых излагалась сложившаяся к тому времени система гео-
метрии. Таковы, например, «Начала» Гиппократа Хиосского.
В геометрических работах вводились и совершенствовались прие-
мы геометрического доказательства. Рассматривались, в частности,
теорема Пифагора, задачи о квадратуре круга, трисекции угла,
удвоение куба, квадрирование ряда площадей, в том числе огра-
ниченных кривыми линиями.
Одной из причин создания математических теорий явилось
открытие иррациональности, вначале в виде установления геомет-
рического факта несоизмеримости двух отрезков. Значение этого
шага в развитии математики трудно переоценить. В математику
вошло такое понятие, которое представляет собой по существу
сложную математическую абстракцию, не имеющую достаточно
прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте. ___
Едва ли не первой открытой иррациональностью явился У2.
Можно предполагать, что исходным пунктом этого открытия были
попытки найти общую меру с помощью алгоритма последователь-
ного вычитания, известного сейчас как алгоритм Евклида. Воз-
можно, что некоторую роль сыграла задача математической тео-
рии музыки: деление октавы, приводящей к решению пропорции
1:п = п:2. Не последнюю роль, по-видимому, сыграл и характер-
ный для пифагорейской школы общий интерес к проблемам теории
чисел.
Древним грекам стало известно очень рано логически строгое
доказательство иррациональности У2 путем сведения к противо-
речию. Пусть У2 = где т и п — взаимно-простые числа.
п
Тогда гаг2=2п2, откуда следует, что /га2 — четное, следовательно,
т — четное. Тогда п является нечетным. Однако если т — четное,
то т2 делится на 4 и, следовательно, га2 — четное. Четно, следо-
вательно, и п. Получающееся формальное противоречие (га не мо-
жет быть одновременно и четным и нечетным) указывает на невер-
ность посылки о рациональности J/2.
Для исследования вновь открываемых квадратичных иррацио-
нальностей сразу же оказалось необходимым разработать теорию
делимости. В самом деле, пусть ~\^п — —, где р и q — взаимно-
Я
просты, а га есть произведение только первых степеней сомножи-
48
телей. Отсюда p2=nq2. Если t — простой делитель п, то р2 (а, зна-
чит, и р) делится на t. Следовательно, р2 делится на /2. Но в п
содержится только первая степень А Значит, q2 (равно как и ty)
делится на t. Но этот результат формально противоречит предпо-
ложению, что р и q взаимно-просты.
Вслед за иррациональностью 1/2 были открыты многие дру-
гие иррациональности. Так, Архит (конец V в. до н. э.) доказал
иррациональность чисел вида У п (и + 1). Теодор из Кирены уста-
новил иррациональность квадратного корня из чисел 3, 5, 6, ..., 17.
Теэтет (начало IV в. до н. э.) дал одну из первых классификаций
иррациональностей.
С появлением иррациональностей в неокрепшей греческой
математике возникли серьезные трудности как в теоретико-число-
вом, так и в геометрическом плане. Была фактически поставлена
под удар вся- теория метрической геометрии и теория подобия.
Необходимость научного осмысления сущности открытого явления
и его сочетания со сложившимися представлениями вызвала
дальнейшее развитие математических теорий.
Этот следующий этап ознаменован попыткой создать для
нужд научного исследования общую математическую теорию, при-
годную как для рациональных чисел, так и для иррациональных
величин. Коль скоро после открытия иррациональности оказалось,
что совокупность геометрических величин (например, отрезков)
более полна, чем множество рациональных чисел, то представи-
лось целесообразным это более общее исчисление строить в гео-
метрической форме. Это исчисление было создано. Оно получило
название геометрической алгебры.
Первичными элементами геометрической алгебры являлись
отрезки прямой. С ними были определены все операции исчисле-
ния. Сложение интерпретировалось приставлением отрезков, вычи-
тание — отбрасыванием от отрезка части, равной вычитаемому
отрезку. Умножение отрезков приводило к построению двумерного
образа; произведением отрезков а и Ь считался прямоугольник
со сторонами а и Ъ. Произведение трех отрезков давало паралле-
лепипед, а произведение большего,числа сомножителей в геомет-
рической алгебре не могло рассматриваться. Деление оказывалось
возможным лишь при условии, что размерность делимого больше
размерности делителя. Оно интерпретировалось эквивалентной
задачей приложения площадей:
Приложить к отрезку с прямоугольник, равновеликий дан-
ному (ab). Решение задачи, как видно из рис. 3, состоит в прикла-
дывании друг к другу прямоугольников ab и Ьс и в построении
нового прямоугольника, диагональю которого является диагональ
прямоугольника Ьс, продолженная до пересечения с продолже-
нием стороны Ь. Тогда прямоугольники ab = cx оказываются рав-
новеликими, и задача решена.
Метод приложения площадей, описанный здесь, позволял
решать задачи, сводящиеся к линейным уравнениям, и носил назва-
49
ние параболического (ларароХт/ и означает по-гречески прило-
жение площадей).
В геометрическую алгебру входила и совокупность геометри-
ческих предложений, интерпретирующих алгебраические тождест-
Рис. 3
Рис. 4
©а. Например, рис. 4 дает геометрическую интерпретацию
тождества (а+&)2=а2+2а&+62.
Метод приложения площадей был распространен и на случаи
решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Примерами
Рис. 6
таких задач являются: определение сторон правильных вписан-
ных многоугольников; так называемое «золотое сечение» отрезка,
т. е. деление отрезка а на две части: х и а—х, удовлетворяющие
хоотношению — = ——выражение ребер правильных много-
гранников через диаметр описанного шара и т. д. Решение этого
класса задач проводилось с помощью единообразного канониче-
ского метода, имеющего следующие разновидности в зависимости
от вида квадратного уравнения.
а) Построить квадрат, равновеликий заданному прямоуголь-
нику ab. Существо метода заключается в замене прямоугольника
< ,/а4-Ь\2/а — b V
разностью квадратов ab = (—±—\ —I—-—\ и в последую-
щем применении теоремы Пифагора (рис. 5):
50
AD ‘DG =гномону CLGD1B1B = CB?— LG2,
' или
ab
\2___fa — b \2
2 ) ~ К 2 J ’
Построение искомого отрезка x ясно из рис. 6. Это построение
также было положено в основу построения среднего геометриче-
ского: а : х=х: Ь.
б) Приложить к данному отрезку (ЛВ=а) прямоугольник
(AG), равный заданной площади (S=b2), так, чтобы часть площа-
ди, недостающей до полного прямоугольника (ЛК), была квадра-
том (DK=x2) (рис. 7).
По условию задачи Ь2= (а—х) -х, но
(а—х)х — гномону CLGDJ31B = ( — (-2— xj.
С помощью теоремы Пифагора отыскивается отрезок --------х, а
затем х. Этот случай приложения площадей называется эллипти-
ческим (от греческого eXXeupig — недостаток).
в) Приложить к данному отрезку (ЛВ<=а) (рис. 8) прямо-
угольник (ЛК), равный заданной площади (S=Z>2), так, чтобы
избыток над прямоугольником (Лб) был квадратом (ВК=х2). Ь2=
= (а+х) х; но (а+х) -х=гномону CLGB^D = (-2- 4-х) —I—-) ;
(л \ 2 ‘ Z d \ 2
---Н х \ — ( — ) , откуда с помощью теоре-
2 J \. 2 J
а ।
мы Пифагора находится построением отрезок — + х, а затем и х.
Этот тип приложения площадей называется гиперболическим (от
греческого олерроМ — превышение, избыток).
51
Очевидно, что подобный метод давал только один положитель-
ный, корень квадратного уравнения. Древние математики понима-
ли необходимость так формулировать условия задач геометриче-
ской алгебры, чтобы они заведомо имели положительное решение.
Поэтому на условия задачи они в необходимых случаях наклады-
вали ограничения (диоризмы, бюрктцбд).
Это обстоятельство выявляло ограниченность области приме-
нения методов геометрической алгебры. Еще больше возможности
геометрической алгебры ограничивались из-за того, что ее объек-
тами были образы размерности не выше второй. Средствами
построения были только циркуль и линейка. Можно было предста-
вить себе в рамках геометрической алгебры операции с трехмер-
ными образами. Этого, однако, не делалось, потому что даже та-
кая простая, казалось бы, задача, как построение куба, имеющего
объем вдвое больше данного, не поддавалась решению с помощью
циркуля и линейки. Задачи же, приводящиеся к уравнениям сте-
пени выше третьей, как было указано, были в геометрической
алгебре древних просто невозможными.
Недостаточность геометрической алгебры как общей матема-
тической теории была особенно подчеркнута выделением класса
задач, не поддающихся решению с помощью циркуля и линейки.
Среди этих задач наиболее известны: проблема удвоения куба,
трисекции угла и квадратуры круга.
Задача об удвоении куба, т. е. о построении куба с неизвест-
ным ребром х, но имеющего объем вдвое больше заданного, сво-
дится к решению кубического уравнения: х3=2а3. Равносильной
задачей является задача построения отрезка у^2. Задача была
чрезвычайно популярной, о чем говорит дошедшая до нас легенда
о требовании оракула на острове Делос увеличить вдвое объем
стоящего перед ним кубического жертвенника. Многочисленные
попытки решить эту задачу с помощью вычислений в поле рацио-
нальных чисел или средствами геометрической алгебры оказались,
разумеется, неудачными.
Первого успеха в решении этой задачи добился Гиппократ
Хиосский (середина V в. до н. э.). Он свел ее (точнее говоря, не-
сколько более общую задачу преобразования параллелепипеда в
куб). к задаче о нахождении двух средних пропорциональных.
В самом деле, пусть параллелепипед V=aibiCi преобразован в
другой с квадратным основанием V=azb, что осуществимо средст-
вами геометрической алгебры. Его нужно преобразовать в куб:
х3=а2Ь. Ребро искомого куба определяется, по Гиппократу, из
пропорций: а: х=х: у=у: Ь. Возможно, что проблема удвоения
куба воспринималась как пространственный аналог задачи квадри-
рования плоских фигур. В таком случае постановка задачи Гиппо-
кратом является обобщением соответствующей плоской задачи о
вставке одной средней пропорциональной: а : х=х: Ь.
Для решения задачи Гиппократа о вставке двух средних про-
порциональных были разработаны новые методы. В большинстве
52
они сводились к исследованию геометрических мест: х2=ау, ху= .
=ab, у2=Ьх. Две средние пропорциональные между а и b опреде-
лялись как координаты точки пересечения двух из этих геометри-
ческих мест. Последние в свою очередь получили стереометриче-
скую интерпретацию как сечения конусов вращения.
История задачи об удвоении куба является одним из примёров
того, как происходит обогащение математических методов. Воздей-
ствие этой задачи было одной из при-
чин того, что конические сечения во-
шли в математику, что они стали в ан-
тичной математике средством решения ----------------------.С
таких задач, которые невозможно ре-
шить с помощью циркуля и линейки. —\----------------------
Впрочем, для решения задачи удвое- /\
ния куба применялись и другие спо- _ / \__________________
собы. Эратосфен, например, построил / /\
прибор (мезолабий),удобный для при- |___________'ш -
ближенного удвоения куба. Однако ни /7 G- U
один из методов не влиял так сильно
на развитие античной математики, как ₽ис- 9
метод конических сечений.
Дальнейшая судьба рассматриваемой задачи связана с проб-
лемой: возможно ли принципиально решить ее построениями с
помощью циркуля и линейки. Вместе с развитием алгебры поста-
новка задачи приобрела алгебраическую форму: может ли опера-
ция извлечения кубического корня из рационального числа быть
сведена к конечному числу извлечений квадратного корня? Сом-
нение в возможности такого решения задачи высказал впервые
в 1637 г. Декарт. Но только еще через 200 лет задача удвоения
куба получила окончательное разрешение. В 1837 г. Ванцель дока-
зал, что кубические иррациональности не принадлежат ни полю
рациональных чисел, ни его расширению посредством присоеди-
нения квадратичных иррациональностей.
Второй знаменитой задачей античной древности, не поддавав-
шейся решению средствами геометрической алгебры, была задача
о трисекции угла, т. е. о разделении произвольного угла на три
равные части. Эта задача, как и предыдущая, сводится к решению
кубического уравнения, что очевидно из следующего тригономет-
рического соотношения: сое<р = 4 cos3-у-— 3cos-^-, или а=4х3—Зх.
Мы понимаем, что многочисленные попытки произвести трисекцию
угла с помощью только циркуля и линейки не могли быть успеш-
ными и приводили в лучшем случае к сознанию необходимости
введения новых методов.
Уже в V в. до н. э. Гиппий из Элиды применил для решения
задачи о трисекции угла трансцендентную кривую — квадратрису,
определенную следующим образом. Пусть в прямоугольнике
ABCD (см. рис. 9) сторона ВС равномерно смещается параллель-
53
но самой себе до совладения с AD. За это же время сторона АВ
вращается вокруг А по часовой стрелке до совпадения с AD. Гео-
метрическое место пересечений этих двух сторон образует кри-
вую — квадратрису, наличие которой позволяет свести задачу
деления угла на любое число равных частей к задаче деления
(2г \
Лб ------] пере-
ведения квадратрисы со стороной AD доопределялась по непре-
рывности умозаключениями, которые могут быть примером одной
из первоначальных форм метода пределов. Другим методом реше-
ния задачи о трисекции угла был метод вставок. Под вставкой
понимается построение отрезка прямой, концы которого находятся
на заданных линиях и который (или его продолжение) проходит
через'данную точку. Примеры вставок, применявшихся для три-
секции угла (Z.ABC) (рис. 10, 11):
Вставка: DE = 2АВ Вставка: FE = АВ
(DF = FE = АВ-, ^DEF = -^^BFC =
^ABF= ^AFB=2 AEF= 2 CBD; = — FCB = — ЛВС\
.2 3 }
^CBD=—^ABC\
3 J
Вставки осуществлялись механически с помощью скользящей
линейки, на которой заранее намечен размер вставки. Линейку
вращали вокруг неподвижной точки, заботясь, чтобы одна метка
двигалась по одной из заданных линий до тех пор, пока другая
метка попадала на другую линию.
Трисекция угла имеет столь же долгую историю, как и удвое-
ние куба. Сведение ее к кубическому уравнению было осознано
только к IX—X вв. н. э. Строгое же доказательство невозможности
точной трисекции угла циркулем и линейкой есть простое следствие
из упомянутого выше результата Ванцеля.
54
Третьей знаменитой задачей древности является квадратура
круга, т. е. задача об отыскании квадрата, равновеликого данному
кругу. Эту задачу в античной Греции рассматривали в обоих ас-
пектах: точном и приближенном. Последний подход к'задаче при-
вел к введению приближения площади круга вписанными, или
описанными многоугольниками и к приближенным вычислениям
числа л. Огромное же количество попыток точно квадрировать
круг не могло привести к успеху вследствие трансцендентной при-
роды этой задачи.
В самом деле, пусть отрезок г0 — радиус данного круга; тогда
сторона равновеликого квадрата х = г0 Ул. Задача сведена к гра-
фическому -умножению отрезка Го на число У л. Это умножение
можно выполнить лишь если это число будет корнем алгебраиче-
ского уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в квад-
ратных радикалах. Следовательно, строгую и полную трактовку
задача квадратуры круга может получить только в результате
выяснения арифметической природы числа л. Решение же этой
проблемы растянулось на много веков.
Только в конце XVIII в. И. Ламберт и А. Лежандр сумели
доказать, что л не является рациональным числом. Трансцендент-
ность же этого числа, т. е. тот факт, что оно не может быть корнем
никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами,
была доказана в 1882 г. Линдеманом. Кстати, в геометрии Лоба-
чевского для некоторых значений радиуса кривизны пространства
квадратура круга разрешима в квадратичных иррациональностях.
Античные математики, стремившиеся теоретически точно ре-
шить задачу о квадратуре круга, этого, разумеется, не знали. Но
их усилия принесли развитию математики большую пользу, обога-
тив ее новыми фактами и методами. Так, был разработан метод
исчерпывания, являющийся предшественником метода пределов.
Были введены различные трансцендентные кривые, в первую оче-
редь квадратриса. Наконец, впервые в истории математики были
найдены квадрируемые фигуры, ограниченные кривыми линиями.
Мы имеем здесь в виду луночки (мениски) Гиппократа Хиосского,
образованные дугами окружностей.
Исследования Гиппократа опираются на теорему, что в кругах
площади подобных сегментов пропорциональны квадратам диа-
метров.
Первая из квадрируемых луночек вырезана из полукруга —
дугой радиуса г 1/2, опирающейся-на диаметр. Луночка оказы-
вается равной площади равнобедренного прямоугольного тре-
угольника АС В, гипотенузой которого служит диаметр круга
(рис. 12). Разновидностью этого результата является теорема о
том, что если на сторонах прямоугольного треугольника как на
диаметрах построить окружности, то сумма площадей луночек,
опирающихся на катеты, будет равна площади треугольника, т. е.
квадрируема (рис. 13).
55
Другой вид луночек получается, когда вокруг трапеции со
сторонами 1, 1, 1/3 описывают окружность, а на хорде /3
строят сегмент, подобный сегментам, отсекаемым остальными
хордами. Площадь полученной луночки равна площади исходной
трапеции. Наконец, внешняя дуга третьей луночки1 меньше полу-
окружности.
Появление квадрируемых луночек вызвало естественные воп-
росы: как велик класс квадрируемых луночек? Все ли их виды
найдены? Существуют ли другие луночки, площади которых тоже
выражаются с помощью квадратичных иррациональностей через
входящие в их построение линейные элементы? Однако ответ на
эти вопросы тоже был получен спустя много веков. Только в
1840 г. немецкий математик Клаузен нашел еще две квадрируе-
мые луночки. Вопрос о луночках был полностью исследован толь-
ко в XX в., когда советские математики Н. Г. Чеботарев и
А. В. Дороднов, пользуясь методами теории Галуа, показали, что
если угловые меры внешней и внутренней дуг луночек соизмеримы,
то других квадрируемых луночек, кроме найденных, не существует.
К слову сказать, отношения угловых мер найденных упомянутых
. 2 3 3 5 5
выше луночек: —, —, —, —, —.
J 1 1 2 1 3
Открытие несоизмеримостей, как мы уже указывали, постави-
ло в тяжелое положение всю метрическую часть геометрии, теорию
подобия и те разделы математики, где приходилось пользоваться
начальными формами понятий непрерывности, предельного пере-
хода и т. п. Теория рациональных чисел уже не могла служить
основой этих разделов математики. Так, появление иррациональ-
ностей обусловило необходимость создания общей теории отноше-
ний, способной дать определения и ввести операции, применимые
как для рациональных, так и для иррациональных величин.
1 О ней см. Г. Г. Цейтен. История математики в древности и в средние
века. М,—Л., ГТТИ, 1938, стр. 60—61.
56
Первоначальной основой теории отношений античной древнос-
ти являлся алгоритм попеременного вычитания, известный под
названием алгоритма Евклида. Пусть даны два отношения: а: b и
с: d. Поиски общей меры величин, участвующих в отношениях,
приводят к следующей цепочке соотношений:
а: Ь ' с: d
а— nQb = b± с — mod = dr
b — — b2 d — = d2
П2^2 == ^3 ПХ2б/2 == d3
В случае, если члены отношения соизмеримы, эта цепочка
обрывается; несоизмеримость не дает конечного алгоритма.
Алгоритм попеременного вычитания эквивалентен представ-
лениям с помощью непрерывных дробей. Например:
а , Ьл । 1 , 1
— =я0+-г=«о + -г=«о +----------------:---•
О о о ,1
--- 4----:---
Ьг «2 + • • •
Сравнение последовательностей n0, пь Пг, ... и /п0, /пь /п2, ...
позволяет установить между отношениями понятия равенства и
неравенства, а также сравнивать их по величине. Пусть k—1 эле-
ментов обеих последовательностей совпадают. Тогда, если nk>mk,
то a:b<c:d, если k — нечетно, и a:fe>c:d, если k — четно; если
же то а: b<c: d в случае четности k и a\b>c\d в случае
его нечетности.
Однако попытка ввести операции над отношениями, опреде-
ленными таким образом, сразу натолкнулась на серьезные матема-
тические трудности. Например, чтобы ввести умножение отноше-
ний, надо было найти способ определения неполных частных
непрерывной дроби — произведения через неполные частные
непрерывных дробей-сомножителей. Для этого и в наше время не
существует никакой сколько-нибудь элементарной формулы. На-
конец, в то время не существовало еще общего понятия величины.
В силу этих обстоятельств алгоритм Евклида не сделался основой
теории отношений.
Следующая концепция античной общей теории отношений
связана с именем Евдокса (ок. 408 г. — ок. 355 г. до н. э.). Ему
же приписывается создание теории пропорций. В теории отноше-
ний Евдокса:
а) произведено обобщение понятия величины посредством
подчинения его системе пяти аксиом: 1. Если а = Ь и с = Ь, то а = с;
а если а = с, то 2. a+b = c + b. 3. а—Ь = с—Ь. 4. Совмещающиеся
равны. 5. Целое больше части;
б) введена аксиома однородности: а и b могут иметь отноше-
ние, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга, т. е. для
любых конечных а и b существуют /пип такие, что па>Ь и
mb>a. Эта аксиома была введена для того, чтобы исключить так
называемые неархимедсвы величины, например роговидные углы.
57
Отношения введены в теорию Евдокса через определение их
равенства. Именно, равенство двух отношений a:b = c:d счи-
тается установленным, если из трех условии ma^nb соответствен-
но вытекают три следствия mc^nd для любой пары натуральных
чисел тип. Существует предположение, что подобное определе-
ние возникло как абстракция процедуры измерения и сравнения
отрезков посредством их рациональных приближений. Это под-
тверждается в отношениях порядка между отношениями в теории
Евдокса. Именно a:b>c:d, если существует пара натуральных
чисел тип такая, что ma>nb и mc^nd. Отсюда следует, что
с: d < — < а: т. е. что между двумя неравными отношениями
п
можно вставить рациональное число. Можно полагать, что совре-
менная идея рациональных Приближений действительных чисел
произошла из теории отношений Евдокса.
В этой теории введена только одна операция составления от-
ношений, соответствующая опе'рации умножения действительных
чисел. Если существуют два отношения а: b и b : с, то из них мож-
но составить отношение а: с. Это отношение называется двойным.
Возможно составление и более сложных отношений, например
тройного. В случае, если надо составить отношения а: b и с id,
необходимо преобразовать одно из них, например второе, предва-
рительно отыскав четвертую пропорциональную: c:d=&:x.
Введение только одной операции объясняется тем, что теория
Евдокса применялась лишь в учении о подобии, где служила ос-
новой теории пропорций, и при определении площадей и объемов.
Мы уже упоминали о некоторых аналогиях между античной
теорией отношений и современными теориями действительного
числа. Наибольшее основание для подобных аналогий дает теория
сечений Дедекинда. В самом деле, каждая пара архимедовых ве-
личин а и &, участвующих в отношении а: Ь, по теории Евдокса,,
производит разбиение пар целых чисел т, п на классы. Те пары,
для которых справедливо ma>nb, могут быть включены в один
класс, те же, для которых справедливо обратное: ma<nbr — в
другой класс. Пару /и, п, осуществляющую тоа = ПоЬ9 можно от-
нести в один из предыдущих классов. Сам Дедекинд не отрицал
возможности подобной аналогии, указывая лишь на то, что в тео-.,
рии Евдокса не учтен фактор непрерывности.
Однако различия между теорией отношений Евдокса и тео-
рией сечений Дедекинда этим замечанием не исчерпываются. Дело
в том, что первая из них осуществляет разбиение пар целых чисел
на классы, но не доказывает обратного. Именно, не доказывается,
что любому такому разбиению соответствует некоторая пара архи-
медовых величин, определяющих это разбиение. Кроме того, не
определяются условия, которым должны удовлетворять множест-
ва пар целых чисел, чтобы быть классами разбиения, т. е. не быть
58
пустыми, не пересекаться и обладать свойством односторонности
любого элемента одного множества по отношению к любому эле-
менту другого множества.
Наконец, у Дедекинда предварительно определены все четыре
действия арифметики, тогда как у Евдокса введена только одна
операция, а множество пар целых чисел осталось неупорядочен-
ным. Иначе говоря, вещественные числа Дедекинда образуют поле,
тогда как отношения Евдокса образуют группу.
Дальнейшее развитие античной теории отношений пошло по
пути трактования отношений как обобщенных чисел и отождеств-
ления их с дробями. Так поступали Архит, Архимед, Герои и мно-
гие другие ученые. В этом сказалось влияние практики, требовав-
шей развития вычислительно-алгоритмических методов и распрост-
ранения их на все более широкие классы чисел.
Мы остановились на этом примере для того, чтобы показать,
что математические теории античности имеют зачастую много об-
щего с современными математическими теориями. Однако надо
всегда уметь выделять* специфику их исторического развития, что-
бы не впадать в одну из двух ошибок: отождествления прошлого
с настоящим или нигилистического отрыва настоящего от прошло-
го, того отрыва, который делает исследователя слепым перед бу-
дущим.
3.2. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИКИ В ЭПОХУ
ЭЛЛИНИЗМА
Первые математические теории, абстрагированные из конкрет-
ных задач или из совокупностей однотипных задач, создали необ-
ходимые и достаточные предпосылки для осознания самостоятель-
ности и своеобразия математики. Это в свою очередь возбудило
у античных математиков стремление систематизировать факты
математики и логически последовательно изложить ее основы. По-
добная работа — необходимый закономерный акт любой науки,
служащий отправным пунктом для ее дальнейшего развития.
В античной математике процесс систематизации и обобщения дал
значительные результаты к IV в. до н. э. Этот процесс по существу
являлся частью аналогичного процесса, происходившего во всей
системе естественнонаучных знаний и нашедшего яркое выражение
в философских взглядах Аристотеля (384—322 гг. до н. э.). Огром-
ное влияние на математику того времени оказали и успехи логи-
ки. Сложившиеся основные формы мышления уже были система-
тизированы и исследованы, были выдвинуты принципы построения
дедуктивной науки. Последняя стала рассматриваться как логи-
ческая усложняющаяся система, покоящаяся на первых началах—
аксиомах.
Абстрактность предмета математики и установившиеся прие-
мы математического доказательства были основными причинами
того, что математика стала излагаться как дедуктивная наука»
59
представляющая логическую последовательность теорем и задач
на построение и использующая минимум исходных положений.
Геометрическая форма системы математики в античной Греции,
как мы уже указывали, ведет свое происхождение в основном от
установления факта большей полноты множества отрезков по
сравнению с множеством рациональных чисел. Сочинения, в кото-
рых в то время излагались первые системы математики, называ-
лись «Началами».
Первые «Начала», о которых дошли до нас сведения, были
написаны Гиппократом Хиосским. Встречаются упоминания и
о «Началах», принадлежащих другим авторам. Однако все эти
сочинения забыты и утеряны практически с тех пор, как появились
«Начала» Евклида. Последние получили всеобщее признание как
система математических знаний, логическая строгость которой
оставалась непревзойденной в течение свыше двадцати веков. Все
это время люди изучали геометрию по Евклиду. Его «Начала» до
сих пор лежат в основе всех систематических школьных курсов
геометрии. Научные исследования по математике, в особенности
элементарной, в очень большой степени опираются на систему
Евклида, иногда подражая даже форме его изложения.
Об авторе «Начал» Евклиде сохранилось очень мало сведе-
ний. Известно, что он жил около 300 г. до н. э. в Александрии,
входившей в то время в состав египетского царства. Последнее
образовалось в результате распада мировой державы Александра
Македонского. Выгодное положение Александрии как торгового
центра и центра технических усовершенствований побудило прави-
телей Египта Птоломеев к организации научно-учебного центра —
Музейона (что означает прибежище муз). В Музейоне было собра-
но свыше 500 тысяч рукописей научного характера. Научную
работу в Музейоне на условиях государственного обеспечения
постоянно или временно вели почти все крупнейшие ученые элли-
нистической эпохи, в том числе Евклид, Архимед, Аполлоний,
Эратосфен и др. Благоприятное влияние Музейона на развитие
науки сохранялось около 700 лет; оно стало падать в начале на-
шей эры в результате завоевательных войн римлян, а затем пре-
кратилось, когда под влиянием реакционного христианства
«языческие» ученые были изгнаны или убиты, а сам Музейон
разорен.
При написании «Начал» Евклид, по-видимому, не руководст-
вовался целью составить энциклопедию математических знаний
своего времени. Он, вероятно, стремился изложить только основы
математики в виде логически совершенной математической теории,
исходящей из минимума исходных положений. В этом смысле
«Начала» являются ранним предшественником современного спо-
соба аксиоматического построения математических наук.
«Начала» состоят из тринадцати книг, каждая из которых
состоит из последовательности теорем. Иногда к этим книгам
добавляют книги 14 и 15, принадлежащие другим авторам и близ-
60
кие по содержанию к последним книгам Евклида. Первой книге
предпосланы определения, аксиомы и постулаты. Определения
имеются и в некоторых других книгах (2—7, 10, 11). Аксиом и
постулатов в других книгах «Начал» нет.
Определения — это предложения, с помощью которых автор
вводит математические понятия, поясняя их. Например, «точка
есть то, что не имеет частей», «куб есть телесная фигура, заклю-
чающаяся между шестью равными, квадратами», и т. п. Эти пред-
ложения Евклида в ходе истории много раз подвергались критике
с точки зрения их полноты и логической определенности. Однако
равноценной или более совершенной системы определений предло-
жено не было. Дело свелось к тому, что в наше время при аксио-
матическом построении математической теории единственным
способом описания объектов этой теории и их свойств является
сама система аксиом, а объекты вводятся как первичные неразъ-
ясняемые сущности. Что же касается определений Евклида, то их
следует рассматривать как исторически сложившиеся к его време-
ни абстракции реальных вещей, введение которых в математику
освящено традицией. Это — не такой уж редкий, если не сказать
наиболее часто встречающийся в истории, способ введения мате-
матических определений.
Аксиомы, или общие понятия, у Евклида — это предложения,
вводящие отношения равенства или неравенства величин. Аксиом
в «Началах» пять:
1. Равные одному и тому же, равны и между собой;
2. Если к равным прибавляются равные, то и целые будут
равны;
3. Если от равных отнять равные, то и остатки будут равны;
4. Совмещающиеся друг с другом равны между собой;
5. Целое больше части.
В число исходных положений «Начал» входят постулаты, т. е.
утверждения о возможности геометрических построений. С их по-
мощью Евклид обосновывает все геометрические построения и
алгоритмические операции. Постулатов тоже пять:
1. Через две точки можно провести прямую;
2. Отрезок прямой можно продолжить неограниченно;
3. Из всякого центра любым расстоянием можно описать
окружность;
4. Все прямые углы равны между собой;
5. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены
третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше
двух прямых, то прямые пересекутся с той стороны, где это имеет
место.
В различных изданиях «Начал», а ранее того переписчиками и
комментаторами, система аксиом и постулатов Евклида видоизме-
нялась и дополнялась, причем чаще всего неудачно. Разумеется,
критика постепенно вскрывала логические пробелы системы исход-
ных положений Евклида: логическую перегруженность определе-
61
ний, необеспеченность возможности наложения фигур, отсутствие
критериев пересечений окружностей и прямых (теорем существо-
вания) и другие более мелкие недостатки. *
Однако первые реальные успехи в создании системы аксиом
геометрии, более соответствующей возрастающим требованиям
математической строгости, были достигнуты только к концу XIX в.
в работах Паша (1882), Пеано (1889) и Пиери (1899). Наиболее
распространенная в настоящее время и общепризнанная система
аксиом Д. Гильберта в первой редакции появилась в 1899 г. в со-
чинении «Основания геометрии». Позднее Гильберт внес в свою
систему немало дополнений и усовершенствований. В наше время
юна состоит из следующих пяти групп аксиом:
а) восемь аксиом соединения или принадлежности;
б) четыре аксиомы порядка;
в) пять аксиом конгруэнтности или движения;
г) аксиома параллельности;
д) две аксиомы непрерывности: Архимеда и линейной пол-
ноты.
Эти пять групп аксиом вводят основные объекты геометрии:
точку, прямую и плоскость, и отношения между объектами, выра-
жаемыми словами: принадлежит, между и конгруэнтен. Определе-
ний и постулатов система современных основных положений не
имеет.
Широко пользуясь идеей изоморфизма, аксиоматическая гео-
метрия отвлекается от качественных особенностей изучаемых
объектов и исследует лишь возможные виды логических связей
между ними. При этом словами точка, прямая, плоскость могут
быть названы объекты, не только непохожие на то, что они обо-
значали в течение всей истории, но и объекты совсем негеометри-
ческой, казалось бы, природы. «Начала» Евклида далеки от такой
постановки задач геометрии. В них рассматриваются более низ-
кие, первые, ступени абстракции пространственных и количествен-
ных свойств предметов материального мира.
Перейдем к обзору содержания евклидовых «Начал». Первые
шесть книг — планиметрические, из них книги 1—4 содержат ту
часть планиметрии, которая не требует применения теории про-
порций. Первая книга вводит основные построения, действия над
отрезками и углами, свойства треугольников, прямоугольников и
параллелограммов, сравнение площадей этих фигур. Завершают
первую книгу теорема Пифагора и обратная ей теорема.
Некоторые характерные особенности метода математического
суждения и формы изложения Евклида видны уже из первой книги:
а) Метод рассуждений Евклида всегда синтетический. Для
доказательства какой-либо теоремы он исходит из заведомо спра-
ведливого утверждения, в конечном счете опирающегося на систе-
му основных положений. Из этого последнего он развивает после-
довательность следствий, приводящих к искомому утверждению.
Обратный путь рассуждений: приняв искомую теорему за доказан-
62
ную, вывести из нее последовательность следствий, вплоть до того,,
как будет получено заведомо верное утверждение — в «Началах»
в качестве доказательств не употребляется. В противоположность
синтезу древние называли этот метод анализом.
б) Доказательства строятся по единой схеме, состоящей ив
следующих частей: формулировка задачи, или теоремы (лрбта-
01$ — предложение); введение чертежа для формулировки данных
задачи (ex'&eoig — изложение); формулировка по чертежу иско-
мого (бюрцгцбд — определение); введение вспомогательных линий
(хатаохеу^ — построение); доказательство в собственном смысле.
(djt66etgtg — доказательство); объявление того, что доказано и
что доказанное решает задачу или адекватно поставленной теоре-
ме (avpirepaopa — заключение). В несколько упрощенной форме
эта схема стала традиционной и дошла до наших дней как класси-
ческий образец математического рассуждения, в известном смысле
обязательный для математиков.
в) Средства. геометрического построения — циркуль и линей-
ка — принципиально не употребляются как средства измерения.
Линейка не имеет мерных делений. Поэтому в «Началах» не идет
речь об измерении длин отрезков, площадей фигур и объемов тел,,
а лишь об их отношениях.
Во второй книге рассматриваются соотношения между площа-
дями прямоугольников и квадратов, подобранные таким образом,,
что они образуют геометрический аппарат для интерпретации ал-
гебраических тождеств и для решения задал, сводящихся к квад-
ратным уравнениям, т. е. геометрическая алгебра. Третья книга
трактует свойства круга и окружности, хорд и касательных, цент-
ральных и вписанных углов. Четвертая книга посвящена свойствам
правильных многоугольников: вписанных и описанных, а также
построению правильных 3-, 4-, 5-, 6- и 15-угольников.
В пятой книге «Начал» развивается общая теория отношений
величин, являющаяся прообразом теории действительного числа в
форме, соответствующей дедекиндовым сечениям. Мы уже упоми-
нали об этой теории как о теории Евдокса, введенной в античную-
математику в качестве общей теории, равно пригодной как для
чисел, так и для отрезков прямой. В пятой книге «Начал» после
введения отношений, их равенств и неравенств доказываются Дру-
» а с а а+с
гие элементарные свойства, вроде: если — , то ~у" =
та тс
а также ---= и т. д. В последующих предложениях разви-
nb nd
вается теория пропорций, в том числе производных (т. е. образо-
ванных допустимыми перестановками и другими преобразования-
ми членов пропорции) и сложных (т. е. образованных иэ
«, a d Ь
нескольких данных пропорции, например: если — = — и — —
b е с
е ad Д
-----, ТО -= — И Т. П. ).
i с i /
63
Геометрические приложения теории отношений включены в
шестую книгу. В ней, например, доказаны теоремы об отношении
площадей прямоугольников и параллелограммов, имеющих общую
высоту, о пропорциональности отрезков, отсекаемых на сторонах
угла парой параллельных прямых, о подобии фигур и отношении
площадей подобных фигур и т. п. Здесь же находится группа тео-
рем об эллиптическом и гиперболическом приложении площадей,
обобщенном на параллелограммы. Она дает метод геометрическо-
го решения задач, которые можно привести к уравнениям вида
ях ± — х2 = S (где а, Ь, с — данные отрезки, S — данная пло-
с
щадь, х — неизвестный отрезок), и представляет собой известное
обобщение результатов геометрической алгебры.
Следующая группа книг (книги 7—9) содержит некоторый
эквивалент теории рациональных чисел. Казалось бы, в этих кни-
гах следовало излагать систему пространственных представле-
ний — стереометрию. Однако непоследовательность только кажу-
щаяся. Дело в том, что в конце «Начал» Евклид исследует
правильные многогранники и определяет отношения их ребер к
диаметру описанного шара. Эти отношения выражаются, как из-
вестно, квадратичными и биквадратичными иррациональностями.
Поэтому Евклиду пришлось предварительно рассмотреть построе-
ние и классификацию подобных иррациональностей. Чтобы выпол-
нить эту задачу, он опирался на ряд предложений из теории ра-
циональных чисел (соизмеримых отрезков). Рациональные числа
в свою очередь, Евклид представляет как отношения целых чисел;
последние он понимает *как собрание единиц. Поэтому так назы-
ваемые арифметические книги «Начал» (книга 7—9) содержат
учение о целых числах и их отношениях, взятое в основном из пи-
фагорейской математики. Сохранение принципиально различного
смысла понятий числа и общей величины послужило причиной
повторения в арифметических книгах многих фактов теории чисел,
уже полученных в пятой книге «Начал».
Первая из арифметических книг — седьмая — начинается с
изложения алгоритма попеременного вычитания. Затем следует
ряд предложений теории делимости. Наконец, книга содержит тео-
рию пропорций для рациональных чисел. Последняя продолжает-
ся в восьмой книге, где рассматриваются непрерывные числовые
/ а0 аг ап—2 ап—\ X
пропорции (т. е. пропорции вида — = — -----=------),
а2 ап_{ ап /
и заканчивается в девятой книге. В этой теории по существу вво-
дятся геометрические целочисленные прогрессии, показывается,
что отношение членов непрерывной пропорции является древней
формой степеней чисел, находится среднее пропорциональное,
дается способ отыскания суммы геометрической прогрессии.
Значительную часть девятой книги составляет учение о прос-
тых числах, причем доказывается, что простых чисел бесконечно
64
много. Доказательство проводится тем же способом, что и сейчас:
предположение конечности числа простых чисел опровергается
построением еще одного числа, на единицу превышающего произ-
ведение всех простых чисел. В ряде теорем рассматриваются
свойства четности и нечетности чисел. Книга заканчивается заме-
п
нательной теоремой, что если число S вида JP 2k является прос-
в=о
тым, то число Si=S-2n — совершенное (совершенным называется
число, равное сумме своих делителей, включая единицу и исклю-
чая самого себя). Вопрос о том, исчерпывают ли числа данного
вида все множество совершенных чисел, остается нерешенным и
в нашещремя.
Десятая книга «Начал» интересна в первую очередь громозд-
кой и сложной классификацией всех 25 возможных видов биквад-
ратичных иррациональностей (т. е. выражений вида ±VЬ.
где а и b — соизмеримые отрезки), воспроизводить которую здесь
мы не считаем целесообразным. В десятой книге в качестве лемм
выведены различные, сами по себе важные, предложения. Прежде
всего, это основная лемма метода исчерпывания о том, что если
от данной величины отнять часть, большую ее половины, с остат-
ком повторить то же и т. д., то при достаточно большом числе
шагов можно получить величину, меньшую любой заданной. Кроме
того, в десятой книге даны: способ нахождения неограниченного
числа «пифагоровых троек» целых чисел, критерий соизмеримости
двух величин, основанный на алгоритме попеременного вычитания,
отыскание общей наибольшей меры двух и трех рациональных
чисел (соизмеримых величин) и др.
Последние три книги (11—13) «Начал» — стереометрические.
Первая из них открывается большим числом определений, что
вполне естественно, так как в предыдущих книгах вопросы стерео-
метрии не рассматривались. Затем следует ряд теорем о взаимных
расположениях прямых и плоскостей в пространстве и теоремы о
многогранных углах. Последнюю треть книги составляет рассмот-
рение отношений объемов параллелепипедов и призм.
Исследование объемов других элементарных тел (пирамид,
цилиндров, конусов и шаров) требует обязательного выполнения
предельного по существу перехода. В двенадцатой книге «Начал»
отношения объемов всех этих тел найдены с помощью метода, по-
лучившего впоследствии (в XVII в.) название метода исчерпыва-
ния. Идея этого метода, представляющего своеобразную античную
форму метода пределов, состоит в следующем: Евклид устанавли-
вает, что подобные правильные многоугольники, вписанные в кру-
ги, относятся как квадраты диаметров. Затем круги «исчерпыва-
ются» последовательностями правильных вписанных 2п-угольников
(п = 2, 3, 4, ...). Отношения последних при увеличении числа сторон
остаются неизменными. После неявного перехода к пределу дока-
3 К. А. Рыбников 65
зывается методом от противного, что и площади кругов относятся
как квадраты их диаметров. Аналогичные суждения предельного
характера проводятся во всех случаях отыскания отношений упо-
мянутых выше тел. Более подробно этот метод будет охарактери-
зован ниже.
Последняя, тринадцатая книга «Начал» содержит построение
пяти правильных многогранников: тетраэдра (4-гранника), гекса-
эдра (6-гранника), октаэдра (8-гранника), додекаэдра (12-гран-
ника), икосаэдра (20-гранника); там же находятся отношения
объемов шаров. В заключение доказывается, что других правиль-
ных многогранников не существует.
Обзор содержания «Начал» показывает, что это сочинение
представляет собой систему основ античной математики. В нее
входят: элементарная геометрия, основы теории рациональных
чисел, общая теория отношений величин и опирающиеся на нее
теория пропорций и теория квадратичных и биквадратичных ирра-
циональностей, элементы алгебры в геометрической форме и метод
исчерпывания. Самое характерное в «Началах» то, что дана систе-
ма, позволяющая видеть в них античного предшественника совре-
менного аксиоматического построения математических теорий.
В то же время логическая структура «Начал» отражает истори-
ческий путь формирования математических теорий от простейших,
типа геометрической алгебры, до более Сложных: теории отноше-
ний, метода исчерпывания, классификации 'иррациональностей.
Мы уже упоминали, что «Начала» Евклида оставили неизгла-
димый след в истории математики и в течение многих веков слу-
жили классическим образцом математической строгости и последо-
вательности. Однако некоторые особенности «Начал» отражают
ряд неблагоприятных для дальнейшего развития математики усло-
вий, сложившихся ко времени их написания. Изложение — гео-
метрическое, даже числа представлены как отрезки. Средства
геометрического построения по существу ограничены только цир-
кулем и линейкой. Поэтому в «Началах» нет теории конических
сечений, алгебраических и трансцендентных кривых. Наконец, в
«Началах» совершенно отсутствуют вычислительные методы.
Все эти недостатки «Начал» можно было бы до известной сте-
пени оправдать специфическими целями составителя. Однако
в условиях античности этот первый опыт аксиоматического изло-
жения математики мог иметь столь резко выраженные ограничи-
тельные тенденции только под влиянием общих ограничительных
тенденций идеалистической философии. Поэтому можно сказать,
что «Начала» Евклида отражают как высокий уровень теоретиче-
ского развития математики, так и неблагоприятную для ее даль-
нейшего развития общественно-экономическую и идеологическую
обстановку конца греческой античности.
В течение всей многовековой истории математики «Начала»
являются фундаментом всех геометрических изысканий. Даже ре-
шающее изменение всей системы геометрии, вызванное введением
66
в начале XIX в. в работах Н. И. Лобачевского неевклидовой гео-
метрии, в значительной степени связано с попытками усовершен-
ствования «Начал».
«Начала» Евклида до нашего времени составляют основу
школьных учебников геометрии, число их изданий огромно. Неод-
нократно они были изданы в России и в СССР. Первое издание
«Начал» на русском языкё появилось в 1739 г. Последнее издание
вышло в трех томах в течение 1948—1950 гг. Оно обстоятельно
комментировано. Знакомство с «Началами» Евклида полезно вся-
кому математику и в наши дни.
3.3. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ
При построении математических теорий в античной Греции
рано выделился специфический класс проблем, для решения
которых оказалось необходимым исследовать предельные пере-
ходы, бесконечные процессы, непрерывность и т. п. Уже одно из
первых открытий теоретического характера — обнаружение несо-
измеримости величин — поставило задачу рационального объяс-
нения подобных проблем. В данном случае они связаны: а) с не-
ограниченной продолжимостью процесса нахождения общей меры;
б) с бесконечной малостью последней и в) с тем, что она должна
содержаться бесконечное множество раз в сравниваемых величи-
нах. С этой группой проблем вскоре были сближены геометриче-
ские, решение которых приводило к аналогичным затруднениям
(определение большинства длин, площадей и объемов).
Некоторые группы античных ученых искали выход из этих
затруднений в применении к математике атомистических философ-
ских воззрений. Примером наиболее яркого выражения подобного
подхода является натурфилософская школа Демокрита (ок. 460—
370 гг. до н. э.). Демокрит считал, что все тела состоят из
малых атомов — первовеличин. Тела различаются • между собой
по форме, положению и способу соединения составляющих их ато-
мов. Некоторые его высказывания о математических бесконечно
малых и о применении их к определению некоторых геометриче-
ских величин отражают его атомистические взгляды.
Однако о математической стороне подобных высказываний и
исследований известно слишком мало. Гораздо больше известно
о возражениях их научных противников. Мы имеем здесь в виду
апории Зенона (род. ок. 500 г. до н. э.), т. е. логические парадок-
сы, к которым приводят попытки получать непрерывные величины
из бесконечного множества бесконечно малых частиц.
Среди апорий наиболее известны: а) дихотомия, т. е. невоз-
можность осуществить движение, так как путь может быть делим
до бесконечности (пополам, еще раз пополам и т. д.) и поэтому
надо последовательно преодолевать бесконечное множество участ-
ков пути (математически это сводится к отрицанию факта, что
3*
67
оо
= б) Ахиллес, который не может догнать черепаху,
k—\
так как ему надо последовательно достигать тех мест, где только
что находилась черепаха, т. е. исчерпывать бесконечную по-
следовательность отрезков пути (математически это оказа-
лось возражением против уже известного тогда факта что
V 1 « \ ч
// ), в) полет стрелы делается невозможным, если
fe=0
время считать суммой дискретных мгновений, а пространство —
суммой дискретных точек.
Апории Зенона убедительно показали, что если искать
точные доказательства и логически исчерпывающие решения за-
дач, нельзя пользоваться бесконечностью, опираясь на наивные
атомистические соображения. Для подобных целей необходимо
разрабатывать и привлекать методы, содержащие наряду с разно-
видностями суждений о бесконечно малых элементы предельного
перехода.
Одним из самых ранних методов такого рода является метод
исчерпывания. Изобретение его приписывают Евдоксу. Примеры
его употребления приведены в двенадцатой книге «Начал» Евкли-
да и в ряде сочинений Архимеда.- Метод исчерпывания применял-
ся при вычислении площадей фигур, объемов тел, длин кривых
линий, нахождении подкасательных к кривым и т. п. Математи-
ческая сущность метода (разумеется, в форме, несколько отлич-
ной от формы изложения древних греков), состоит в последова-
тельности следующих операций:
а) если необходимо, например, квадрировать фигуру В
(рис. 14), то в качестве первого шага в эту фигуру вписывается
последовательность других фигур Ль Л2, Л3,..., Лп,..., площади
которых монотонно возрастают и для каждой фигуры из этой
последовательности они могут быть определены;
68
б) фигуры Ah(k=\, 2, 3,...) выбираются таким образом, чтобы
положительная разность В—могла быть сделана сколь угодно
малой;
в) из факта существования и построения описанных фигур
делается вывод об ограниченности сверху последовательности
«исчерпывающих» вписанных фигур;
г) неявно, обычно с помощью других теоретических и практи-
ческих соображений, отыскивается А — предел последовательности
вписанных фигур;
д) доказывается, для всякой задачи отдельно, что А=В, т. е.
что предел последовательности вписанных фигур равен площа-
ди В. Доказательство ведется, как правило, от противного. Пусть
А=^В. Тогда В>А или В<А. Допустив, что В>А, выберем такой
элемент последовательности Ап, чтобы В—Ап<В—А. Это возмож-
но для любой фиксированной разности В—А. Но тогда должно
быть Ап>А, что невозможно ввиду того, что в действительности
А>Ап для любого конечного п. Противоположное допущение
(В<А) тоже приводит к противоречию, потому что можно подо-
брать такое Лп, чтобы А—Ап<А—В, Но тогда должно получить-
ся, что ЛП>В, что невозможно.
Методом исчерпывания доказывается, таким образом, единст-
венность предела. В сочетании с другими методами он полезен
для нахождения предела. Однако решения вопроса о существова-
нии предела этот метод не может дать.
В качестве примера метода исчерпывания приведем нахожде-
ние квадратуры параболы у Архимеда. Требуется найти площадь
косого параболического сегмента ЛВС, отсекаемого хордой АС.
Касательная к точке В диаметра ВО, сопряженного с данной
хордой, параллельна последней: АТВА^НЛС (рис. 15).
Первой фигурой последовательности «исчерпывающих» фигур
Л1 является ДЛВС. Вторая фигура Л2 получается добавлением
к ДЛВС двух треугольников: ДЛОВ и &ВСЕ. Для
построения последних делят Л С на 4 равные части и проводят
FD\\OB й.СЕ||ОВ. Аналогично строятся фигуры Л3, Л4,..., Ап. Из
свойств параболы получается: ДЛВС = 4(ДЛ£>В + ДВЕС). В са-
мом деле, примем ОВ и MN соответственно за оси х и у косо-
угольной системы координат1. Координаты точки Е^у X)
удовлетворяют условию Y = откуда g =
К 2 J 4т
т 4т 4 т 4 4
Так как GK = -^-ОВ, то КВ = ОВ и GK = 2КВ. Теперь уже
можно' сравнивать площади треугольников:
1 Мы применили здесь координаты, чтобы сделать изложение метода ком-
пактным. ’
69
A CKG = 2 Д КСЕ = ДВСЕ; &ОВС = 4 Д GKC = 4 А ВСЕ.
Аналогичные рассуждения приводят к соотношению АЛОВ = 4ДАВ£>,
и упомянутое свойство параболы доказано.
Итак, если Д = Д, то Л2 = Д + — ; А3 = Д + ;
4 4 42
Ап = Д + — + ••• + • Теперь требуется доказать, что указан-
ная последовательность фигур действительно «исчерпывает» парабо-
лический сегмент, т. е. что S — Ап<е, где /г = п(е).
Для этого описывается параллелограмм AMNC, у которого
АА4||М2||ВО. Лх = -^-Samnc, но S<ZSamnc; значит, Лх> —5и
2 2
S — Лх<—S. Фигура А «исчерпала» больше половины площади
S, а последующие фигуры будут исчерпывать больше половины
соответствующих остатков площади S. Удовлетворена основная
лемма метода исчерпывания: если от данной величины отнять часть,
большую ее половины, затем отнимать снова и снова, то остаток
может быть сделан сколь угодно малым.
Следующим шагом должно быть нахождение предела последо-
вательности вписываемых фигур. В сочинениях древних авторов
обычно этот шаг не разъясняется. Однако данный случай составля-
п—1
ет исключение. Архимед доказывает, что Ап
/г=0
4 1 Д
= —Д-----— . — ---— ; а раз ^вычитаемое может быть сделано сколь
угодно малым, то он утверждает, что S = — Д. При этом Архимед
опирается на следующую любопытную теорему: Пусть S = А +
-[-B + C + D + E, причем А: В = В:С = С: D = D: Е = 4:1. Тогда
5 = — А-----—Е. В самом деле, образуем:
3 3
Л5 = А(Л + в + с + о + Е) = АЛ + 2_(Л + В +
+ c+d + £)-4-£;
— S = — А + — S— E,
3 3 3 3
или S = -у- A--~E. Теорему можно распространить на любое
число слагаемых.
Решение задачи завершается доказательством от противного
О 4 А
единственности результата о = — А.
з
70
Метод исчерпывания был одним из распространенных мето-
дов античной математики. Им широко пользовался Архимед.
Ранее этот метод включил в «Начала» Евклид, сделав его основой
двенадцатой книги. Предельные переходы, совершавшиеся ранее
часто в силу интуитивных или эмпирических соображений, полу-
чили в методе исчерпывания первое теоретическое оформление,
исторически первую форму метода пределов.
Логическая строгость метода исчерпывания оставалась не-
превзойденной в течение многих веков. По существу только в
XIX в. были поставлены и начали получать разрешение проблемы,
непосредственно вытекающие из логической сущности античного
метода исчерпывания. Однако форма последнего была еще весьма
несовершенной. Метод развивался только в связи с конкретными
задачами: он не стал абстрактным методом с развитой системой
исходных понятий и с единообразными алгоритмами. Единствен-
ность предела доказывалась для всякой задачи заново. Этот не-
достаток не был случайным, частном. Дело в том, что всякая
попытка ввести это доказательство раз навсегда для определен-
ного достаточно широкого класса задач неизбежно влекла за
собой необходимость объяснить ряд понятий инфинитезимальной
природы. Потребовалось бы дать рациональное объяснение поня-
тия бесконечно близкого приближения, бесконечно малой величи-
ны и т. п. Трудностей, связанных с этим, древние математики не
могли преодолеть.
Тем не менее метод исчерпывания лежал в основе многих
инфинитезимальных методов и выдающихся конкретных дости-
жений античных математиков, в первую очередь Архимеда
(ок. 287—212 гг. до н. э.), которому принадлежит приведенный
выше пример квадрирования параболического сегмента. Этот за-
мечательный ученый был уроженцем Сиракуз (южная часть Си-
цилии), сыном астронома и математика Фидия. Для усовершенст-
вования своих знаний он некоторое время работал в Александрии
в сотрудничестве с другими крупнейшими математиками. Возвра-
тившись в Сиракузы, Архимед продолжал усиленные научные
занятия. В последний период жизни он участвовал в обороне род-
ного города от римских завоевателей, руководя постройкой слож-
ных технических сооружений и изобретая военные орудия. Во
время штурма и взятия Сиракуз Архимед был убит, а его биб-
лиотека и инструменты разграблены.
Сочинения Архимеда написаны преимущественно в виде
писем. До нас дошли десять крупных и несколько более мелких
сочинений математического характера. Основной особенностью
математических сочинений Архимеда является применение строгих
математических методов в механике и физике.
Такая особенность делает труды Архимеда едва ли не наи-
более ярким образцом развития прикладных математических зна-
ний, техники вычислений и новых математических методов, в осо-
бенности инфинитезимальных, в эпоху поздней античности.
71
Мы не ставим задачу дать полную характеристику сочинений
Архимеда. Здесь мы рассмотрим вопросы о взаимопроникновении
методов математики и механики в трудах Архимеда, о разработке
им метода интегральных сумм и о его так называемых дифферен-
циальных методах.
Многочисленные механические изобретения и открытия Архи-
принадлежат: архимедов винт, систе-
мы рычагов, блоков и винтов для
поднятия и передвижения больших
тяжестей, определение состава спла-
вов взвешиванием их в воде, плане-
тарий, метательные машины и т. д.
Известны и теоретические работы
Архимеда по механике «О равнове-
сии плоских фигур», где изложен
закон рычага, «О плавающих те-
лах», «Книга опор» и т. д.
В творчестве Архимеда работы
по механике занимали настолько
большое место, что механические
приемы и аналогии проникли даже
в математические методы. До недав-
него времени о таком проникнове-
нии нельзя было судить достоверно. Вопрос окончательно прояс-
нился после того, как в 1906 г. было найдено сочинение Архимеда
«Послание к Эратосфену (Эфод)» о механическом методе решения
геометрических задач. Метод состоял в следующем.
Пусть необходимо, например, вычислить объем шара. Одно-
временно с шаром строятся конус и цилиндр, радиус основания и
высота которых равны диаметру шара. Затем через все эти тела
проводится сечение, параллельное основаниям, на некотором
произвольном фиксированном расстоянии от них (рис. 16)
AK2=OK2+OA2 = OK2 + OL2; в то же время АК2=АВ-ОА.
Следовательно, OK2 + OL2=AB-OA. Такое же соотношение между
величинами, пропорциональными слагаемым: (лАВ2) -ОА =
= (лОК2)АВ+ (n-OL2) -АВ, представляет собой соотношение
между горизонтальными сечениями шара, цилиндра и конуса.
Архимед дает этому соотношению механическую интерпрета-
цию, основанную на правиле рычага, или, что то же самое, дву-
плечных весов. Именно, если принять точку А за точку опоры
рычага, то элемент цилиндра, закрепленный в О, уравновесит эле-
менты шара и конуса, закрепленные в Т (АТ=АВ). Переходя
к объемам тел, как к суммам всех произвольных сечений, парал-
лельных друг другу, он получает:
Уиил-ЛС = (Vmap + VKOH)-АТ = (Ушар + КОН)-2ДС;
отсюда
72
V =—V —V
v шар g v ЦИл У кон*
Но так как
Vkoh “ ~ Уцил> ТО Ущар = “7“ ^цил> И,ЛИ
о О
Ишар = -^л(2гГ.2 = Алг3.
Тот же способ механической аналогии Архимед применил в
сочинении- «О квадратуре параболы». Параболическая пластинка
представляется подвешенной к одному плечу неравноплечного
рычага и разделенной на элементы, каждый из которых уравнове-
шен соответственной нагрузкой на другом плече.
В соответствии с научной традицией своего времени Архимед
переводил доказательства, полученные методом механической
аналогии, на общепринятый язык метода исчерпывания с обяза-
тельным завершением последнего в каждом отдельном случае
доказательством от противного.
Механические и физические аналогии и в последующие века
часто с успехом применялись для решения трудных математиче-
ских задач. Например, в середине XVIII в. петербургский акаде-
мик Д. Бернулли из физических соображений нашел общее реше-
ние уравнения колебания струны
°°
д2у » д2у VI . kitx
в виде .
1
Д. Бернулли исходил из того, что звук, издаваемый колеблю-
щейся струной длины I с закрепленными концами, равен
сумме основного тона и обертонов. Отклонение (ордината) стру-
ны в каждой точке в любой момент равно алгебраической сумме
ординат, соответствующих основному тону и обертонам для дан-
ного момента времени. Можно также указать в качестве примера
на Б. Римана, который в середине XIX в. доказал, исходя из пред-
ставления о данной поверхности как об однородном заряженном
проводнике электричества и рассматривая потенциальное поле, что
на каждой замкнутой римановой поверхности существует алгеб-
раическая функция, отличная от постоянной.
Следующей разновидностью инфинитезимальных методов
античной древности является метод, который можно охарактери-
зовать как метод интегральных сумм. Наиболее яркие примеры
применения этого метода находятся в сочинениях Архимеда
«О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сфероидах».
Существо этого метода в применении, например, к вычислению
объемов тел вращения состоит в следующем: тело вращения
разбивается на части, и каждая часть аппроксимируется описан-
ным и вписанным телами, объемы которых можно вычислить.
73
Сумма объемов описанных тел будет больше, а сумма вписан-
ных тел — меньше объема тела вращения. Теперь остается
выбрать аппроксимирующие сверху и снизу тела таким образом,
чтобы разность' их объемов могла быть сделана сколь угодно
малой. Это достигается выбором в качестве указанных тел соот-
ветствующих цилиндриков (рис. 17).
В виде примера метода интегральных сумм приведем решение
Архимеда задачи вычисления объема эллипсоида вращения в со-
чинениях «О коноидах и сферои-
j дах». Так он называет тела, образо-
F ванные вращением конических сече-
I ний вокруг большой оси: коноиды—
пг---------b=nh это параболоиды и гиперболоиды
Г вращения, сфероиды — эллипсоиды
/--------------1 вращения. Конкретному решению
L.-------------1 задачи предпослана лемма: если
.---------------1 дан сегмент коноида, отсеченный
--------L плоскостью, перпендикулярной оси,
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Li или сегмент сфероида, отсеченный
-----------------------------------------------------------~2а J тем же способом, то можно вписать
‘ ’-в него и описать около него фигу-
рис 17 ры, состоящие из цилиндров равной
высоты, таким образом, чтобы опи-
санная фигура превосходила впи-
санную меньше, чем на любую телесную (объемную) величину.
Итак, дано тело вращения АВС и телесная (объемная) вели-
чина е>0. Архимед делит ВО на п равных частей и строит опи-
санные и вписанные цилиндры, суммы объемов которых соответ-
ственно обозначает VOn и VBn- Их разность равна объему цилинд-
рика ААЪ т. е. ла2- — , который подбором достаточно большо-
го п может быть сделан сколь угодно малым.
Теперь можно предположить, что на данном чертеже изобра-
жен сегмент эллипсоида вращения и поставлена задача вычис-
лить его объем. В таком случае
п—1 '
Ven = nha.2 4- nhxj + nhxl + ... +ithxn-i = nh^xl (x0 = a).
fe=0
Задача сведена к суммированию квадратов чисел. Далее Архимед
производит геометрические преобразования, эквивалентные сле-
дующим аналитическим преобразованиям:
так жак----р — = 1, то х2 — — (Ь2 — у2) и для каждого се-
* а2 Ь2 ь2
чения
*1 = -£(62-^),
74
'X2 = -S(62-W)’
ь2
откуда
П—1 Я—1
v.„= лЛ4 = ^Г^г-Л*£^],
fe=0 v=l
где v — последовательные натуральные числа. Для нахождения
сумм квадратов последних Архимед применил геометрические
оценки вида
п—1
— с V(vW<
з 7 з
v=l
данные им в сочинении «О спиралях». Фактически он производит
геометрическую оценку вида
п
v=l
откуда (так как nh = b)
ь3 VI г t.x, I. ь3 . Ьа . Ь3
— < у (v/i)2 h<.---------—- Н-----—,
3 ZJ v 3 п п3 Зп3
v=l
b
что до известной степени эквивалентно оценке для J x2dx.
Из этих оценок он получает Уоп>я h =
/ 1 \ 2 2
= л агЬ ( 1---) = — па2Ь. Аналогично Ув„< — ла2Ь. Но так как,
X з J з вп з
согласно лемме, Von — Увп <е, то искомый объем сегмента
2
V = — ла2Ь, т. е. равен удвоенному объему конуса с тем же ос-
нованием и высотой, что и сегмент. Единственность предела Архи-
мед доказывает, как и во всех других случаях, приведением к про-
тиворечию.
Приведенный пример показывает, что в античной математике
сложился ряд элементов определенного интегрирования, в пер-
вую очередь построение верхних и нижних интегральных сумм,
аналогичных до известной степени суммам Дарбу.
Другим примером метода интегральных сумм может служить
определение площади первого витка архимедовой спирали: р = ср.
Спираль вводится кинематически как траектория точки, подверг-
75
нутой двум равномерным движениям: вращению луча вокруг точ-
ки и движению точки по лучу от центра (рис. 18). Для определе-
ния площади первого витка окружность (г = а) делится на п час-
тей. Вслед за тем строятся две последовательности вписанных и
- а 2а. За
описанных круговых секторов, радиусы которых —,--------, , ... ,
п п п
лг2
---= а. Их площади: Sk = —— , k = 1,2, ... , п.
п---п
Последовательности эти образуют вписанную и описанную фигу-
ры, площади которых соответственно больше и меньше площади
витка спирали:
На основании оценок, приведенных в предыдущем примере,
17 яа2 д3
’ ~3~
ла2
3
Т7 ЛЛ2
а также Von>—^—.
76
Но разность между аппроксимирующими суммами может быть
сколь угодно малой. Следовательно, S= ——.
Казалось бы, сходство метода интегральных сумм древних
и определенного интегрирования полное. Такое впечатление усили-
вается и тем, что мы модернизировали форму изложения. Поэтому
необходимо отметить и их различие. Дело в том, что метод интег-
ральных сумм древних опи-
рается на интуитивное, строго
не определенное понятие пло-
щади и не использует арифме-
тико-алгебраический аппарат.
В нем не введены и не опреде-
лены необходимые общие поня-
тия: предела, интеграла, беско-
нечной суммы и т. д, и не
изучены условия применимости
высказываемых теорем. Метод
применяется для каждой кон-
кретной задачи без выделения
и оформления его общетеоре-
тических основ.
Наряду с методом инте-
гральных сумм в античной математике были разработаны методы,
которые ретроспективно могут быть оценены как дифференциаль-
ные. Примером подобных методов может служить метод нахожде-
ния касательной к спирали в сочинении Архимеда «О спиралях».
Задача найти касательную к любой точке Р спирали решается
обычным способом определения величины, соответствующей под-
касательной ОТ (рис. 19). Предварительно доказывается лемма,
ОРТ <—( ^РОТ = —,
2 \ 2
что
по построению). Затем рассмат-
ривается дифференциальный треугольник AFPR, по существу обра-
зованный радиусом-вектором, близким к данному, дугой PR
окружности радиуса ОР и продолжением касательной FP. Этот
треугольник прямоугольный ^iPRF = -^-^ и приблизительно
подобен треугольнику ОРТ, ибо ЛРТО= Z.FPR.
Отсюда -----= ----, или, если перевести на более удобную для
нас символику (0Р = р, PR = рДф, FR = Др), - = -2—, откуда
рАф ОТ
ОТ = р2 . Это общее соотношение в случае архимедовой спирали
р = (р примет вид: ОТ = р2, или ОТ = рф.
Таким образом, метод Архимеда заключается во введении
практически достаточно малого треугольника, образованного при-
ращением полярного радиуса-вектора касательной, соответ-
77
ствующей малой дугой окружности и отрезком касательной. Он
играет роль дифференциального треугольника, что дает основание
лричислить метод к разряду инфинитезимальных.
Наряду с другими задачами и методами древности дифферен-
циальный треугольник Архимеда явился предметом настойчивого
исследования ряда выдающихся математиков XVI—XVII вв. Па-
скаль и Барроу явно ввели его в мате-
матику: первый — в составе своих инте-
грационных методов, второй — при про-
ведении касательных и при доказатель-
стве взаимно-обратной зависимости меж-
ду квадратурами и касательными. Лейб-
ниц использовал этот треугольник как
один из отправных пунктов при создании
своего исчисления дифференциалов.
К инфинитезимальным методам
можно отнести и ряд других приемов и
методов древних. Прежде всего отметим
прием Динострата (IV в. до н. э.), кото-
рый, отыскивая точку пересечения квад-
нашел по существу значения пределов
с осью абсцисс,
= 1, lim = 1.
ф—>0 ф
ратрисы
lim^L
ф->0 ф
Ординаты точек квадратрисы, как известно, пропорциональны
соответствующим углам. Отсюда,
обозначив ОА=г, получим
л
H(HL = yy. — =—> откуда
У ф
у является линией синуса для
для некоторой произвольной точки
= — (рис. 20). Учитывая, что
л ф
круга радиуса ОН и линией тангенса для круга радиуса OL, полу-
чим
= ОН . sin(P
Л ф
= OL-^*
Ф
При
и OL-+OK.
1. 2г ф
= 11Ш---- . —
Ф-^О л tgф
ср->0 ОН-* ОК
Следовательно, ОК — . ——
Ф->о л sin ф
2/*
Тот факт, что ОК =-------, Динострат доказывает от противно-
л
го, опираясь на непрерывность квадратрисы и неравенство
sin <р < <р < tg ф, доказывая тем самым оба замечательных предела.
2г
Пусть ОК <------. На квадратрисе найдется точка Н, для
л
2/*
которой ОН =-------- для соответствующего угла ф. Тогда ордината
л
78
этой точки у= <р и одновременно у = из свойства квад-
л л/2
ратрисы. Из этого должно вытекать, что sin <р = <р, что невозможно.
Предположение, что ОК> таким же образом приводит к
невозможному заключению: <р= tg<p.
Инфинитезимальные методы разрабатывались и для решения
класса экстремальных задач. В сочинении Архимеда «О шаре и
цилиндре» (кн. 2, пр. 4) поставлена задача разбиения шара
(радиуса а) на два сегмента, объемы которых находились бы
в заданном отношении т : п. Показано, что высота большего
сегмента х удовлетворяет пропорции 4а2:х2 = (3а— х):—— а.
т-\-п
Показано также, что эта задача может быть обобщена: разде-
лить отрезок а на две части х и а—х так, чтобы S : х2= (а—х) : с,
где S — заданная площадь, ас — заданный отрезок. Чтобы эта
последняя задача имела неотрицательные решения, надо нало-
жить ограничения на область значений 5 и с.
Из более поздней рукописи известно, что Архимед, отыски-
вая геометрическое решение уравнения х2(а—x)=Sc, правильно
находил, что максимум его левой части в области 0<х<а дости-
2
гается при х=~ а> тем самым он решал экстремальную
задачу.
Наконец, в античной математике рассматривались и так на-
зываемые вариационные задачи. У Архимеда подобная задача
встречается только один раз — в заключительном предложении
сочинения «О шаре и цилиндре». Здесь рассматриваются изопо-
верхностные сегменты различных шаров и доказывается, что сег-
мент, имеющий форму полушара, имеет наибольший объем. Нем-
ного позднее вышло сочинение Зенодора, в котором теория изо-
периметрических фигур была строго и полно развита для мно-
гоугольников, кругов и в некоторой степени для многогранников,
простейших тел вращения и для сферы. Предложения экстре-
мального характера были широко распространены в то время, под-
час нося не чисто математический, а механический или даже на-
турфилософский характер.
Инфинитезимальные методы древней Греции послужили
исходным пунктом многих исследований ученых-математиков XVI
и XVII вв. Особенно часто изучались методы Архимеда. Лейбниц,
один из основателей математического анализа, по этому поводу
писал о том, что, изучая труды Архимеда, перестаешь удивляться
успехам современных математиков.
Инфинитезимальные методы образуют ту часть античной ма-
тематики, которая формировалась под непосредственным давле-
нием научно-практических запросов. Они выходили за рамки обра-
зуемых в то время замкнутых математических систем, построен-
ных на основе минимального числа основных положений. В ин-
79
финитезимальных методах получили первое выражение элементы
новых математических средств, которые привели к созданию ана-
лиза бесконечно малых. Отношения противоречия между совокуп-
ностью подобных методов и замкнутыми логико-математическими
системами в древней Греции представляют один из исторических
примеров противоречий, являющихся движущей силой развития
математических наук.
3.4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ И МЕТОДЫ ПОЗДНЕЙ АНТИЧНОСТИ
В сложном и многообразном научном наследии ученых древ-
ности мы выделяем в качестве объекта изучения преимущественно
те его стороны, которые ведут к созданию математических теорий.
Последнее является наиболее характерной чертой математическо-
го творчества в эпоху грече-
ской античности. В то же вре-
Г мя математические теории
древних греков составляют
х? классическую основу многих
/ £> важных проблем, относящихся
/ \ \ к основаниям современной ма-
G /__________\Р х/у тематики, делая их особенно
У х. ценны ми.
--—J------X----Со (времени Евклида и
Архимеда античная математи-
Рис. 21 ка сильно изменяется как по
форме, так и по содержанию.
В силу причин, которые мы
охарактеризуем ниже, процесс формирования математических тео-
рий замедляется и наконец прекращается. Однако этот процесс
был длительным и обозначился не сразу. Младшие современники
Архимеда и ученые более поздней, античности оставили в своих
сочинениях примеры теоретических исследований и даже развитых
математических теорий. Среди них первое место по уровню теоре-
тического развития и полноте рассматриваемых фактов занимает
теория конических сечений.
Ранее мы указывали, что конические сечения вошли в антич-
ную математику как средство решения задач, не поддающихся ре-
шению средствами геометрической алгебры, т. е. построениям с
помощью циркуля и линейки. Для их получения пользовались
геометрическими местами точек пересечения поверхности конуса
(соответственно остро-, тупо- или прямоугольного) плоскостью,
перпендикулярной одной из образующих конуса. При помощи этих
кривых Менехм (IV в. до н. э.) дал решение задачи об удвоении
куба.
Не сохранилось сведений о том, как были впервые найдены
свойства конических сечений, представляющие геометрический
эквивалент их алгебраических уравнений. Однако задача обнару-
80
жения этих свойств разрешима элементарными средствами, в чем
убеждают имеющиеся исторические реконструкции.
Пусть, например, дан прямоугольный конус с вершиной в Т
(рис. 21). Сечение его вдоль оси — КТ С, след кругового сечения,
параллельного основанию — GH, след сечения, перпендикулярного
образующей—АР. Перпендикуляр к сечению КТ С в точке Р
пересечения с поверхность^ конуса обозначим у.
Тогда y2 = PG-PH = V2 AP-AB = 2AP-AL. Если обозначить
АР = х, AL = p, то получим уравнение параболы: у2 = 2рх.
В случае, если конус не прямоугольный, то в чертеже добав-
ляется только точка Ai пересечения со второй образующей или
с ее продолжением. Обозначая в этом случае АР = х, А\Р = Х\,
отрезок до оси AL = p (полупараметр), ЛЛ1 = 2аь получим
у2 = 'АР-А^, или у2 = — хх±.
ААХ а
Эта реконструкция принадлежит Г. Цейтену. Она убедитель-
но демонстрирует возможность вывода свойств конических сечений
методами элементарной геометрии. При этом получается уравне-
ние, отнесенное к осям, причем параметр 2р получает удобную
геометрическую интерпретацию (полупараметр р равен отрезку AL
от конической поверхности до оси).
Интерес к коническим сечениям возрастал по мере того, как
увеличивалось количество решаемых с их помощью задач. Свойст-
ва конических сечений стали предметом специального теоретиче-
ского исследования. Коническим сечениям был посвящен ряд сочи-
нений. Однако, подобно тому как это имело место после появления
«Начал» Евклида, все эти сочинения были забыты, когда появился
труд Аполлония о конических сечениях. Он не имеет себе равных
по полноте, общности и систематичности изложения теории кони-
ческих сечений.
Аполлоний (около 200 г. до н. э.) — младший современник и
научный соперник Архимеда. Продолжительное время он жил и
работал в Александрии. Затем возвратился на родину в г. Пергам
(в Малой Азии), где был главой математической школы. Из
многочисленных математических сочинений Аполлония до нас
дошли в основном только 7 из 8 книг «Конических сечений». Пер-
вые четыре книги дошли до нас на греческом языке — на языке
оригинала, книги 5—7 сохранились только в переводе на арабский
язык; предполагаемое содержание восьмой книги восстановил
английский астроном и физик Э. Галлей (1656—1742) исходя из
содержания первых семи книг и сведений, сообщенных коммента-
торами Аполлония.
Теория конических сечений развивается Аполлонием на основе
достаточно общих исходных посылок. Он сразу вводит обе полости
произвольного. конуса с круговым основанием и рассматривает
произвольные плоские его сечения (рис. 22). Каждую из получаю-
81
щихся при этом кривых он рассматривает по отношению к некото-
рому диаметру и семейству сопряженных с ним хорд. Из образую-
щегося класса кривых выделяет канонические формы, в которых
диаметры перпендикулярны к сопряженным с ними хордам.
Аполлоний указывает, что эти канонические формы есть сечения
конусов вращения.
При таком способе рассмотрения обеспечивается единообра-
зие подхода ко всем видам конических сечений. При этом в рас-
смотрение включаются сразу обе
ветви гиперболы. Отнесение к
диаметрам и сопряженным с ни-
ми хордам содержит в себе
идею метода координат, хотя и в
несовершенной форме.
Свойство кривых, являющее-
ся геометрическим эквивалентом
их уравнения, формулируется с
применением средств геометриче-
ской алгебры. Пусть даны конические сечения: эллипс и гипербола
(рис. 23 и 24). Диаметр у обоих обозначим АВ, Если из конца А
оси опустить перпендикуляры АЕ = 2р и CF, то квадрат, построен-
ный на CD, будет равен прямоугольнику AF:
CD2 = CF*AC.
Но CF = — Св( из и поэтому
а \ 2р 2а J
CD2 =—АС-СВ.
а
Положив АС=х, СВ=2а—х, получим соответственно урав-
нения:
у2 = — (2а — х) х и у2 = — (2а + х) х.
а а
82
В первом случае прямоугольник CF используется с недо-
статком, во втором — с избытком. Если нет ни недостатка, ни
избытка, то имеет место парабола — простое равенство квадрата
прямоугольнику со стороной 2р.
Геометрическая алгебра, в терминах которой выражен гео-
метрический эквивалент уравнений конических сечений, играет
здесь примерно такую же роль, какую играет алгебра в аналити-
ческой геометрии. Разумеется, при таких заключениях об исполь-
зовании алгебры и координатного метода в теории конических
сечений Аполлония не следует забывать, что, во-первых, системы
координат Аполлония неотделимы от своих индивидуальных кри-
вых; во-вторых, не введены еще координаты для всех точек плос-
кости, как принадлежащих, так и не принадлежащих данной кри-
вой; в-третьих, здесь нет еще и речи о сведении задачи соотне-
сения точек осям координат к вычислениям, так как нет вообще
стремления сводить геометрические задачи к алгебраическим.
В качестве примера стиля рассуждений Аполлония приведем
его определение параболы у2 = 2рх: «Если конус пересечен
8.3
плоскостью по оси и пересечен также другой плоскостью, которая
пересекает основание конуса по прямой, перпендикулярной к
основанию треугольника по оси, и если, кроме того, диаметр сече-
ния параллелен той или другой из двух сторон треугольника по
оси, то всякая прямая, которая проводится от сечения конуса па-
раллельно общему сечению текущей плоскости и основанию кону-
са до диаметра, взятая в квадрате, будет равна прямоугольнику,
заключенному прямо из диаметра, отрезанного от нее до вершины
сечения и некоторой другой прямой, которая имеет к прямой,
взятой между углом конуса и вершиной сечения, такое отношение,
какое квадрат основания треугольника по оси к прямоугольнику,
заключенному остальными двумя сторонами треугольника. Такое
сечение называется «параболой» L
Первая книга «Конических сечений», помимо указанных выше
основ теории, включает в себя теоремы о проведении касатель-
ных. Речь идет о проведении опорной прямой, т. е. прямой через
точку (хо#о), конического сечения у1 2 = 2рх±х2 таким образом,
чтобы для всех других точек (ху) прямой удовлетворялось нера-
венство
у2 > Уо
2рх Т — х2 2рх0 Т — xi
а а и
Во второй книге содержится теория главных осей, асимптот
и сопряженных диаметров. Доказывается, в частности, что у эл-
липса, гиперболы или параболы имеется только одна пара взаим-
но перпендикулярных осей, что если соединить прямой точку пе-
ресечения двух касательных с серединой хорды, соединяющей
точки касания, то эта прямая будет диаметром и т. п. Наконец,
сообщаются способы построения центров и осей данного кони-
ческого сечения и др.
Третья книга начинается группой теорем о площадях фигур,
образуемых секущими, асимптотами и касательными. Среди них
такая, например, широко известная теорема: Если из точки про-
ведем две касательные к коническому сечению и проведем парал-
лельно им две секущие до их пересечения, то отношение квадра-
тов, построенных на касательных, будет равно отношению прямо-
угольников, построенных на секущих и их внешних отрезках.
В этой же книге находятся теоремы о полюсах и полярах и о по-
лучении конических сечений с помощью двух проективных или
томографических пучков. Наконец, через свойства соответствую-
щих площадей рассматриваются простейшие случаи проведения
касательных, без использования точек касания, а также теория
фокусов эллипса и гиперболы.
1 «Конические сечения», кн. 1, предл. 11; см. «Изв. Сев.-Кавк. гос. ун-та»,
1928, т. 3 (15), стр. 141.
84
Первая группа предложений четвертой книги относится к гар-
моническому делению прямых. Затем подробно разбирается воп-
рос о наибольшем числе точек пересечения и соприкосновения
двух конических сечений. ,
Книги 1—4 часто характеризуют как содержащие изложение
основных свойств конических сечений. Следующие же книги счи-
тают относящимися к специальным вопросам теории конических
сечений.
В пятой книге впервые решаются экстремальные задачи вроде
задачи о кратчайшем расстоянии от данной точки до конического
сечения. Здесь появляются элементы теории разверток в виде
определения геометрического места центров кривизны.
Шестая книга содержит разбор проблемы подобия конических
сечений и обобщения задачи о построении семейства конусов, про-
ходящих через данное коническое сечение. В последней из извест-
ных, седьмой, книге исследуются вопросы, связанные с функциями
длин сопряженных диаметров, параметров и т. п. Например, дока-
зывается, что для эллипса (соответственно гиперболы) сумма
(соответственно разность) квадратов сопряженных диаметров
равна сумме (соответственно разности) квадратов осей. Или дру-
гой пример: площадь треугольника, образованного двумя сопря-
женными диаметрами и хордой, соединяющей их концы, — по-
стоянна. Разработка диоризмов (ограничений, налагаемых на
условия задач) в конце седьмой книги указывает, что восьмая
книга, возможно, содержит задачи, примыкающие к теоретическо-
му материалу седьмой книги. Так и трактовал восьмую книгу
Э. Галлей, работая над воссозданием ее утерянного текста.
Мы уделили сравнительно много места этой аннотации от-
дельных книг «Конических сечений» Аполлония, чтобы показать,
какого высокого уровня достигла теория конических сечений ан-
тичной древности. Результатами этойг теории позднее воспользо-
вались математики при создании аналитической геометрии.
Из изложенного здесь и ранее видно, что большинство матема-
тических теорий имело своим предметом геометрические объекты.
Геометричность формы математической теории стала с течением
времени ее непременным атрибутом. При этом геометричность
идентифицировалась с общезначимостью математической теории,,
ибо представлялось, что геометрические величины имеют преиму-
щество наибольшей общности в классе математических величин.
Нет, разумеется, оснований утверждать, что геометрические
формы исчерпывали всю совокупность форм математической дея-
тельности. Древние греки в практической области применяли
большой комплекс арифметико-вычислительных методов. Эти
методы проникали и в теоретические работы, дополняя теорию
арифметико-алгебраическими и теоретико-числовыми элементами.
Неудобства алфавитной системы счисления и неразработан-
ность символов являлись серьезным препятствием для вычисли-
тельных операций. В течение некоторого времени и требования
85
практики в этом отношении не были достаточными, чтобы стиму-
лировать операции с большими числами. Вслед за сравнительно
ограниченным набором чисел, имеющих названия, наступал порог,
после которого число элементов представлялось неисчислимым.
Чтобы устранить подобное несовершенство и показать неогра-
ниченную продолжаемость натурального ряда чисел, Архимед
написал специальное сочинение под названием «Псаммит» (исчис-
ление песка). В нем строится система чисел, показывается, что она
может быть продолжена сколь угодно далеко и служить для пере-
счета любого конечного множества предметов.
Система чисел Архимеда построена по десятичному принципу:
единицы (монады), десятки (декады), сотни (гекады), тысячи (хилиа-
ды), десятки тысяч (мириады) и т. д. Мириада затем рассматривается
как основа счета до числа мириады мириад (108). Числа от 1 до 108
образуют первую октаду (от слова окто—восемь), а числа, в нее вхо-
дящие, называются первыми. Далее следуют: вторая октада
{108— 108 2), третья (108*2— 108’3) и т. д. до октады чисел октад-
ных (1081°8), замыкающей первый период. Она является исходной
единицей второго периода. Октада единиц этого периода (1081°8+8)
будет единицей вторых чисел второго периода и т. д. Далее сле-
дуют единицы чисел третьего периода (102 8108), четвертого (Ю3 8108)
и т. д. до октады чисел октадных октадного периода (10l02*8 l°8).
Получающиеся огромные числа воспринимались как своеоб-
разные трансфиниты древности, шкала роста которых могла быть
неограниченно продолжаема. Их с избытком хватало даже для
такой задачи, как определение порядка числа песчинок, которые
могут заполнить полностью всю вселенную.
Чтобы сделать задачу возможно более определенной, Архимед,
исходя из гелиоцентрических воззрений Аристарха Самосского,
представляет вселенную как шар, в центре которого находится
Солнце. Радиус шара Считается от Солнца до неподвижных звезд.
Для дальнейшего уточнения задачи принимается, что диаметр
вселенной во столько же раз больше диаметра солнечной системы,
во сколько раз этот последний больше диаметра Земли. Архимед
использует экспериментальные данные астрономов, округляя их
в сторону увеличения.
Единица измерения вселенной — песчинка принята за 0,0001
зернышка мака, которых требуется 40 штук, чтобы сравняться
с шириной человеческого пальца. Подсчеты Архимеда показали,
что искомое число песчинок будет не больше чем 1063, или тысячи
(103) мириад (104) чисел восьмых (1078) первого периода.
Архимеду приписывают и другую задачу, в которой требуется
оперировать с чрезвычайно большими числами, — так называемую
задачу о быках Гелиоса (бога Солнца). Для сокращения обозна-
чим буквами б, ч, р, п — число быков соответственно белой, чер-
ной, рыжей и пестрой масти, а буквами б', ч', р', п'— число коров
тех же соответственно мастей. В стихотворной форме, ставится за-
86
дача определения численности стада, исходя из следующих ус-
ловий:
I. б = (4’ + _г')ч + р: 4. б< = (Ц- + т)‘ (ч + ч');
2. Ч =(-1-_|__0Л + р; 5. Ч> = (-L + _L) . (п + п'У,
3- п = (б 4- р; 6. п' — (— + —'j • (р 4- р');
7. P'=f4+vY <б+б');
\ 6 7 J
8. б-\-ч— есть точный квадрат;
9. п+ р— есть треугольное число;
10. б + ч + п+ р — есть тоже треугольное число.
Первые 7 условий составляют систему семи уравнений-с во-
семью неизвестными. Наименьшие численные решения дают об-
щую численность стада 50 389 073 головы. Условия же 8, 9, 10
приводят, по позднейшим вычислениям, к нахождению наимень-
шего, целочисленного решения неопределенного уравнения
х2—4 729494z/2= 1, которое выражается только 206545-значным
числом.
Вычисление значений чисел, иррациональных или трансцен-
дентных, вызвало к жизни идею приближения их рациональными
числами. Например, в работе Архимеда «Измерение круга» число-
л вычисляется с помощью вписанных и описанных многоугольни-
ков и дает приближения 3< л<3—--. Оценки сверху и
снизу вводятся также и для вычисления
780
и других квадратичных иррациональностей. В большинстве лишь
существуют исторические реконструкции способов нахождения
этих оценок; в античных источниках сведения об этом совершенно-
недостаточны.
Однако уровень вычислительно-практических приложений
многих развитых математических теорий оставался все же сравни-
тельно низким. Это объясняется преимущественно характером со-
держания и формы‘Этих теорий: оторванностью от практики, при-
нудительностью геометрической формы, ограничением совокуп-
ности применяемых методов, отсутствием тригонометрии. Требо-
вания астрономии к математике с достаточной силой сказались
позже.
Вслед за временем жизни и деятельности Евклида, Архимеда
и Аполлония наступило время быстрого и коренного изменения
античной математики как по содержанию, так и по форме. Эти
87
изменения в основном были обусловлены происходящими в то
время грандиозными переменами в экономической, общественно-
политической и культурной жизни народов.
Главным процессом экономического характера был распад
рабовладельческого способа производства, который привел к
громадным революционным преобразованиям и к установлению
феодального строя. Ф. Энгельс так характеризовал этот процесс
в применении к Римской империи:
«Античное рабство пережило себя. Ни в крупном сельском
хозяйстве, ни в городских мануфактурах оно уже не приносило
дохода, оправдывавшего затраченный труд, — рынок для его про-
дуктов исчез. А в мелком земледелии и в мелком ремесле, до раз-
меров которых сркратилось огромное производство времен рас-
цвета империи, не могло найти применение большое число рабов.
Только для рабов, обслуживавших домашнее хозяйство и роскош-
ную жизнь богачей, оставалось еще место в обществе. Но отми-
рающее рабство все еще было в состоянии поддерживать пред-
ставление о всяком производительном труде, как о рабском деле,
недостойном свободных римлян, а таковыми теперь были все
граждане. Результатом было, с одной стороны, — увеличение
числа отпускаемых на волю рабов, излишних и ставших обузой,
а с другой стороны, — увеличение числа колонов и обнищавших
свободных... Рабство перестало окупать себя и потому отмерло.
Но умирающее рабство оставило свое ядовитое жало в виде пре-
зрения свободных к производительному труду. То был безвыход-
ный тупик, в который попал римский мир: рабство сделалось не-
возможным экономически, труд свободных считался презренным
с точки зрения морали. Первое уже не могло, второй еще не мог
быть основной формой общественного производства. Вывести из
этого состояния могла только коренная революция» L
Коренные изменения экономической структуры общества
сопровождались большими политическими событиями. Этй собы-
тия, как правило, происходили в обстановке разрушительных
войн, губительно влиявших на науку и культуру. Мировая импе-
рия римлян в ходе завоевательных войн разрушила все научные
центры и не создала условий для их восстановления и развития.
Последующее крушение Рима тоже протекало в обстановке войн
и разрушений. Феодальные государства Европы,-появившиеся в
результате всех этих событий, были вначале, как правило, мелки-
ми, хозяйство их — натуральным, образование и просвещение, а
также научный и культурный обмен — ничтожными.
Значение Александрии как основного научного центра в это
время падает. Некоторое время там еще ведутся научные исследо-
вания. Однако ряд неблагоприятных событий сводит эту работу
на нет. Пожары Музейона нанесли непоправимый ущерб библио-
теке. В начале нашей эры ученые были лишены государственной
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Собр. соч., т. 21, стр. 148—149.
88
материальной поддержки. Под давлением реакционного духо-
венства закрывались нехристианские храмы и находящиеся при
них школы. В 412 г. последняя группа александрийских ученых
была разогнана, их руководитель, первая известная в истории
женщина-математик Гипатия, растерзана по наущению христиан-
ских священников, библиотека уничтожена. Оставшиеся в живых
Рис. 26
ученые собрались в Афинах, где работали до 529 г., когда их дея-
тельность была запрещена официальным указом.
О тех изменениях, которые произошли в математике за этот
период времени, мы можем судить по дошедшим до нас матема-
тическим сочинениям. Последние прежде всего - показывают, что
резко замедлился, а затем совсем прекратился процесс образова-
ния математических теорий. Результаты, подчас очень важные по
существу и красивые по выполнению, делаются все более част-
ными, специальными. Приведем два примера. Так, Никомед
(II в. до н. э.) исследовал частный вид конхоиды — плоской кри-
вой, получающейся при увеличении или уменьшении радиусов-век-
торов данной прямой (общий случай — данной кривой) на одну и
ту же величину (рис. 25). Кривую эту Никомед получил, исследуя
проблему образования вставок для решения задач о трисекции
89
угла и удвоения куба. К исследованиям подобного рода относится
изучение циссоиды Диоклесом как геометрического места точек
пучка прямых с центром в А, таких, что AM = PQ (см. рис. 26).
Эти и другие исследования, отдельные результаты (вроде изопери-
метрических проблем Зенодора) надолго вошли в математику.
Однако они представляли собой только отдельные, размельченные
результаты, уже не ведущие к созданию новых классических на-
правлений, новых классических теорий.
В математике поздней античности и эпохи владычества Рима
все большее место занимают практические вычислительные
методы и задачи. Образцом работ подобного направления
являются математические работы Герора из Александрии
(I—II вв. н. э.), в особенности его «Метрика». Стиль последней —
рецептурный: для определенных классов задач формулируются
правила, справедливость которых подкрепляется примерами.
В «Метрике» содержатся: правила для точного и приближенного
определения площадей геометрических фигур и объемов тел, пра-
вила численного решения квадратных уравнений и извлечения
(преимущественно приближенного) квадратных и кубических
корней. В частности, в ней приводится известная формула Герона
для вычисления площади треугольника по трем его сторонам
«$д = Vр (р — а)(р — Ь) (р— с) (а, &, с — стороны, р =
Наконец, значительную часть содержания «Метрики» состав-
ляет описание приемов землемерия и геодезических инструментов.
В других сочинениях Герона: «Механика», «Пневматика»,
«Диоптрика» — систематически излагаются основные достижения
античных ученых в области прикладной механики. «Метрика»
в этом ряду сочинений играет вспомогательную роль математиче-
ской (в прикладном смысле) энциклопедии.
Значение прикладной вычислительной математики еще более
подчеркивается той большой работой, которую математики вы-
нуждены были вести в связи с составлением астрономических
таблиц. Среди последних значительное место занимают таблицы
хорд (что эквивалентно таблице синусов) Птолемея (II в. н. э.),
где данные приведены через каждые 30' от 0 до 180°.
На основе преимущественного роста вычислительной стороны
математики, а возможно и под другими дополнительными влия-
ниями, в математике поздней античности зародились элементы
алгебры и начальные формы алгебраической символики. На это
обстоятельство указывают методы и результаты Диофанта.
Из математических сочинений Диофанта, жившего и работав-
шего в Александрии (вероятно, в III в. н. э.), сохранилось 6 книг
«Арифметики» и отрывки книги о многоугольных числах. Понятие
многоугольных чисел возникло в пифагорейской математике как
следствие геометрической интерпретации теоретико-числовых соот-
ношений. Если обозначать числа точками и располагать их в виде
каких-либо фигур, то частные суммы арифметических прогрессий
90
(вида ai = l, d=^n—2) могут быть изображены в виде семейства
подобных многоугольников (см. рис. 27 для гъ=3, 4, 5), а соответ-
ствующие числовые значения могут называться (и называются)
многоугольными. Ко времени Диофанта эту идею распространяли
также на пространство. При этом получались пространственные
числа, изображаемые семейством подобных параллелепипедов,
(в частном случае—кубов), пирамидальные числа (частные сум-
мы последовательностей многоугольных чисел) и т. д.
Операции с числами, точ-
нее говоря, с рациональными
числами, исследуются в «Ариф-
метике» Диофанта. В первой
книге он вводит основные
арифметические понятия, пра-
вило знаков при умножении,
правила оперирования с много-
членами, решает линейные уравнения. В последующих книгах со-
держатся многочисленные задачи, приводящиеся к уравнениям с
рациональными коэффициентами, имеющими рациональные корни.
Диофант во всех задачах пользуется специальными число-
выми значениями и производит только операции с числами, нигде
не приводя общих теорем. Для обозначения неизвестного коли-
чества в уравнении и для записи функций от него он был вынуж-
ден разработать систему символов.
Символика Диофанта основана на сокращении слов. В исто-
рии развития алгебраической символики она знаменует переход
от словесных выражений алгебраических зависимостей («ритори-
ческая» алгебра) к сокращениям этих выражений («синкопиче-
ская» алгебра). Следующей ступенью развития уже является
чисто символическая алгебра.
Неизвестная величина х в уравнениях Диофанта представлена
специальным символом. Переписчики, впрочем, пользовались раз-
ными символами, что не изменяет принципиально существа дела.
Если неизвестное, которое мы обозначим |, входит в уравнение
с коэффициентом, то оно обозначается что соответствует
множественному числу. Для степеней х применяются символы: для
х2—Sr (от слова S6(vapig — степень), х3—xv (от xofJoc;), х4—SS\
х5—6xv и т. д. Знак сложения не употребляется, для вычитания
введен специальный знак—Равенство записывается словом
Lcrog (равный), реже — буквой С Свободные члены уравнения
имеют специальное обозначение ц° (от p.6va$ — единица). Систе-
ма счисления — алфавитная. Символика, впрочем, не строго
единообразная, имеет модификации. Об употреблении символики
Диофанта лучше всего могут дать представление примеры:
а) E|ioai|a означает х3 + 8х—(5х24-1) =х;
б) i|apaip02iiooieio,tvii°Zs ta povaoi is означает 10x4-30=11x4-15.
91
С помощью подобной символики в книгах 2—6 «Арифметики»
Диофант решает (т. е. находит одно из их рациональных реше-
ний) многочисленные задачи, приводящиеся в большинстве к не-
определенным уравнениям второй степени. Он нашел рациональ-
ные решения около 130 неопределенных уравнений, принадлежа-
щих более'чем к 50 различным классам. В каждом случае Дио-
фант ограничивается нахождением одного корня. Общих методов
решения неопределенных уравнений или классификации последних
у Диофанта нет. Нет также доказательств; справедливость полу-
ченного результата подтверждается только тем, что он при под-
становке удовлетворяет условиям задачи.
Общая теория диофантовых уравнений первой степени:
ах + Ьу=1, где а и b — взаимно-простые целые числа, была
построена в XVII в. французским математиком Баше де Мезириа-
ком (1587—1638). Он также издал в 1621 г. сочинения Диофанта
на греческом и латинском языках со своими комментариями. Над
созданием общей теории диофантовых уравнений 2-й степени
трудились многие выдающиеся ученые: П. Ферма, Дж. Валлис,
Л. Эйлер, Ж. Лагранж и К. Гаусс. В результате их усилий к на-
чалу XIX в. было в основном исследовано общее неоднородное
уравнение 2-й степени с двумя неизвестными и с целыми коэф-
фициентами:
ах2 + Ьху + су2 + dx + еу + f = 0^
Диофантовы уравнения являются предметом исследования и
в современной математике. Так называются неопределенные алге-
браические уравнения, или их системы, с целыми коэффициен-
тами, у которых разыскиваются целые или рациональные реше-
ния. Более широкая точка зрения на диофантовы уравнения
состоит в том, что решения- этих уравнений разыскиваются в ал-
гебраических числах. Фундаментальные исследования по теории
диофантовых уравнений проведены советскими учеными
А. О. Гельфондом, Б. Н. Делоне, Д. К. Фаддеевым и В. А. Тар-
таковским.
Имя Диофанта прочно закрепилось и в той части теории чи-
сел, которая изучает приближения действительных чисел рацио-
нальными числами. Эти приближения называются диофантовыми.
К теории диофантовых приближений относят также вопросы,
относящиеся к решению в целых числах неравенств .(или их
систем) с действительными коэффициентами, и вопросы теории
трансцендентных чисел. Центральное место в теории диофантовых
приближений занимают методы и результаты академика
И. М. Виноградова.
Таким образом, сочинения Диофанта послужили по существу
отправной точкой многих теоретико-числовых и алгебраических
исследований. По отношению же к античной математике они ха-
рактеризовали усиление алгебраических тенденций, расцвету ко-
торых помешали (как и развитию всех отраслей математики)
92
упомянутые выше неблагоприятные общественно-экономические
условия.
К основным характерным чертам математики поздней антич-
ности относится также большое распространение сочинений,
являющихся комментариями классических сочинений. Преобла-
дание комментариев является, несомненно, признаком упадка
математического творчества. Однако сочинения комментаторов
принесли большую пользу истории математики, сохранив в от-
рывках или в пересказе многие классические и важные сочинения.
Иногда комментарии являются единственным источником сведе-
ний об утерянных сочинениях или забытых достижениях античных
математиков.
Одним из ранних комментаторов является t Гемин Родосский
(около 100 г. до н. э.). По свидетельству. Прокла (V в. н. э.),
Гемин излагал историю высших кривых: спирали, конхоиды,
циссоиды и др. Ему принадлежит также одно из первых делений
наук на теоретические (геометрия и арифметика) и практические
(астрономия, механика, оптика, геодезия, правила счета).
Другой крупный комментатор Теон из Александрии (IV в.)
составил комментарии к «Началам» Евклида и к астрономическо-
му трактату «Альмагест» Птолемея. Его дочь Гипатия коммен-
тировала произведения Архимеда, Аполлония и Диофанта.
Особое место в ряду комментаторов занимает Папп из Алек-
сандрии (IV в. н. э.). Кроме комментариев .к сочинениям Евклида
и Птолемея он написал большое сочинение «Математические кол-
лекции», в котором подробно и со знанием дела изложил, со
своими замечаниями, многие замечательные открытия своих пред-
шественников. Из восьми книг «Математической коллекции» до
нас дошли только шесть (книги 3—8). Пропавшие книги, по-ви-
димому, содержали обзор греческой арифметики, на что указы-
вают сохранившиеся отрывки.
Третья книга посвящена истории решения задач удвоения
куба и трисекции угла. Папп дает и свое решение первой из них,
сводящееся к построению двух средних пропорциональных. Зада-
чи, относящиеся к построению кривых двоякой кривизны и по-
верхностей, составили четвертую книгу. Описание учения Зенодора
об изопериметрических свойствах плоских фигур и поверхностей
занимает первую половину пятой книги; учение о правильных
телах вошло во вторую ее половину. Астрономии Папп посвятил
шестую книгу. В ней содержатся комментарии к «Оптике» и
«Феноменам» Евклида, к «О величинах и расстояниях» Аристарха,
ж «Сферике» Феодосия и др.
Седьмая книга — самая большая и разнохарактерная.
Вначале в ней разъясняются методы анализа и синтеза древних
и приводятся примеры. Затем следует знаменитая задача Паппа:
пусть на плоскости задано п прямых. Найти геометрическое место
точек, для которых произведение отрезков, проведенных из иско-
мых точек под одинаковыми углами к п/2 данных прямых, имело
93
бы данное отношение к произведению отрезков, проведенных
таким же образом к оставшимся прямым. Для значительного
класса случаев Папп доказал, что искомым геометрическим мес-
том являются конические сечения. Декарт в XVII в. решил зада-
чу Паппа средствами своей аналитической геометрии.
Вслед за задачей Паппа в седьмой книге разбирается теоре-
ма, известная ныне как теорема Гюльдена: объемы тел, образо-
ванных вращением линии или поверхности, относятся как произ-
ведения площадей образующих фигур на длину окружности,
описываемой их центрами тяжести. Остальное место в седьмой
книге занимают комментарии к трудам Аполлония о трансверса-
лях и ангармоническом отношении.
Последняя, восьмая, книга посвящена практической механике
и связанным с ней геометрическим задачам и теоремам. Среди
последних имеется, например, следующая теорема: если три мате-
риальные точки, находящиеся в вершинах треугольника, двигают-
ся одновременно в одном направлении по периметру со скоростя-
ми, пропорциональными длинам сторон, то положение центра
тяжести не меняется.
Последние из наиболее значительных комментаторов — Прокл
(V в.) и Евтокий (VI в.)—принадлежат к афинской школе,
существовавшей некоторое время после разгрома научного центра
в Александрии. Прокл интересен тем, что в, сочинениях нематема-
тического (комментарии к сочинениям Платона) и математическо-
го (комментарии к «Началам» Евклида) характера воспроизвел
много фактов из истории античной математики. Евтокий написал
обстоятельные комментарии к сочинениям Архимеда и Аполлония.
Он в большем объеме, нежели Прокл, приводил отрывки из сочи-
нений предшественников. Особенно много отрывков он подобрал
к знаменитым задачам древности. В частности, он воспроизвел
11 решений задач об удвоении куба, принадлежащих разным уче-
ным от Архимеда до Паппа.
Деятельность комментаторов прекратилась в VI в., после
закрытия афинской школы. В бассейне Средиземноморья в разви-
тии математики наступил длительный перерыв.
Наш обзор античйой математики является, естественно, не-
полным. Трудно в данной книге уделить ему больше места.
Однако, по нашему мнению, приведенных материалов достаточно»
чтобы сделать выводы о характере развития математики в рас-
сматриваемый период.
Математика древней Греции представляет собой один из
самых ранних примеров становления математики как науки и
образования в ней всех ее составных частей. Главными особен-
ностями античной математики являются возникновение, бурный
рост и приостановка развития ряда математических теорий.
В рамках математических теорий античной древности воз-
никали и развивались элементы более поздних математических
наук: алгебры, анализа бесконечно малых, аналитической геомет-
94
рии, теоретической механики, аксиоматического метода в матема-
тике. Однако оторванность результатов математических теорий от
практики, узость их геометрической формы предопределили огра-
ниченность области и времени их развития. Ограничительные тен-
денции в выборе объектов и методов математического исследова-
ния, привнесенные в математику под давлением господствующей
идеалистической философии, только усугубляли эти трудности раз-
вития теории.
Внутренние противоречия развития математики в период их
усиления совпали с неблагоприятными общественно-политически-
ми условиями эпохи распада рабовладельческого строя, сложив-
шимися в силу изменения способа производства. Так, экономиче-
ские факторы конца рабовладельческой экономической формации
оказались в конечном счете определяющей причиной временной
приостановки теоретического и практического развития матема-
тики.
Для нового подъема математической науки был нужен новый
подъем производительных сил человеческого общества. В Европе
и в районе Средиземноморского бассейна этот принципиально
новый подъем наступил только спустя много веков — начиная с
эпохи так называемого Возрождения, эпохи конца феодализма и
начала развития капиталистического способа производства. При
этом одним из главных источников новых математических идей
было освоение классического наследия математиков античной
Греции — Евклида, Архимеда и др.
Глава 4
РАЗВИТИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
4.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПЕРИОДЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
По установившейся периодизации истории математических
наук к периоду элементарной математики относят, как было
упомянуто в первой главе, огромный промежуток времени — около
1000 лет (от VI—V вв. до н. э. и до XVI в.).
Столь длительные периоды не редкость в истории науки. Они,
как правило, относятся к ранним этапам ее развития. Это объяс-
няется либо тем, что удалось найти некоторое единство в разви-
тии науки в рассматриваемый период, либо неполнотой наших
знаний о нем.
Что касается названия рассматриваемого периода, то следует
сказать, что попытка определить содержание понятия элементар-
ности является совсем не элементарной задачей. Более того, само
это понятие не может быть определено логически строго раз и
навсегда. В разные исторические периоды его наполняли и на-
полняют различным содержанием. В наши дни, когда называют
какое-либо математическое суждение элементарным, с этим связы-
вают в большинстве случаев представление о чем-то укладываю-
щемся в рамки программы по математике общеобразовательной
средней школы.
Рассмотрим конкретно содержание и пути основных потоков
развития математики в этот период. Это в основном математика
постоянных величин, уровень ее в самом деле мало в чем превос-
96
ходит уровень знаний, определенных программой средней школы,
и по существу имеет с ней много общего. В этом проявляется еще
раз связь между историческим и логическим в развитии матема-
тики, связь, подтверждающая известный марксистский тезис,
что логическое в науке есть историческое, но лишь переосмыслен-
ное и приведенное в некоторый порядок.
4.2. О МАТЕМАТИКЕ НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ
И БЛИЖНЕГО ВОСТОКА
На обширных территориях, от северо-запада. Индийского по-
луострова до северного побережья Африки и юга Испании, с
давних времен существовали многочисленные восточные империи.
Созданные нередко путем завоеваний, огромные, но не связанные
в единый хозяйственный организм, они не обладали политической
устойчивостью и имели сложную, полную превратностей судьбу.
Научные и культурные традиции населяющих их народов развива-
лись в таких условиях сравнительно медленно.
Начиная с VII в. по всем этим землям прокатилась волна
завоевательных войн, начатых племенами, населявшими Аравий-
ский полуостров, под давлением острого хозяйственного кризиса.
Эти войны приняли форму борьбы за господство новой религии —
ислама (или, как ее иначе называют, магометанства). В течение
ряда веков образовалась колоссальная область торгового обмена
и экономических связей. Возникли большие города — центры тор-
говли, ремесел и административного управления. Господствующее
положение заняла магометанская религия, а арабский язык стал
языком официальных документов, религиозных книг, научных
трактатов и художественно-поэтических сочинений.
Сложившиеся условия хозяйственной и политической жизни
благоприятствовали развитию математики. Знания математики
требовали нужды государственного управления, ирригации, строи-
тельства, торговли и ремесел. Международные связи, осущест-
вляемые с помощью длительных путешествий по морям, горам
и неизведанным местностям, способствовали развитию матема-
тики, географии и астрономии.'
Поэтому многие восточные правители и целые .династии про-
водили политику государственного покровительства наукам. В ап-
парате государственного управления появились специально опла-
чиваемые ученые. Для них строили обсерватории, собирали
библиотеки из древних сочинений, которые разыскивали всюду
и переводили на арабский язык.
В результате сложилась своеобразная система математиче-
ских знаний. Преобладающее место в ней заняло создание разно-
образных вычислительных методов и измерительных средств для
нужд торговли, административного управления, землемерных
работ, картографии, астрономии, для составления календаря и т. д.
В эту систему влились в то же время данные античной греческой
4 К- А. Рыбников 97
науки, классические трактаты Евклида, Архимеда, Аполлония и
др. В ней вместе с тем получили развитие сведения из матема-
тики народов Индии и Китая, а также коренного населения
стран Ближнего и Среднего Востока. Освоение и переработка
многочисленных источников и подготовка квалифицированных ма-
тематиков потребовали, разумеется, немало времени. Поэтому для
арабской математики (как мы будем ее иногда называть для
краткости, несмотря на необоснованность этого термина) харак-
терна некоторая многоплановость, пестрота в постановке задач, в
методах их решения и даже в символике. Складывающаяся под
столь многообразными влияниями система математики получила
так много оригинальных черт, что сделалась качественно отлич-
ной от своих источников. Рассмотрим подробнее вопросы о ха-
рактерных особенностях математики средневекового Востока и
о достигнутом уровне развития математических наук. Вопрос о
дифференциации математики по отдельным странам и о взаимных
влияниях ввиду его специфичности и неразработанности затраги-
вать здесь не будем.
В вычислительной практике арабоязычных народов равно-
правно действовали обе системы счисления: десятичная абсолют-
ная и 60-ричная. Первая была заимствована из Индии не позднее
VII в. н. э. и быстро получила широкое распространение. Из ариф-
метического трактата Хорезми (IX в.) «Об индийских числах»,
переведенного в XII в. на латинский язык, десятичная система
стала известна в Европе. Параллельно с десятичной сохранялась
и регулярно употреблялась в астрономических обсерваториях
унаследованная от вавилонян 60-ричная система счисления. В духе
математиков древнего Вавилона составлялись и использовались
вспомогательные таблицы наподобие таблицы умножения (от 1-1
до 59-59). Даже в сравнительно позднее время (ок. 1427 г.) в об-
серватории узбекского хана астронома Улуг-бека под г. Самар-
кандом находились в употреблении как десятичная, так и 60-рич-
ная системы. Для удобства вычислений были разработаны прави-
ла перевода из одной системы в другую. Регулярные правила
существовали для вычислений с дробями: простыми и десятич-
ными. (В Западной Европе десятичные дроби были введены
только около 1585 г. фламандским математиком и инженером
С. Стевином).
В арсенале арабских математиков накопилось много вычис-
лительных приемов и специальных алгоритмов. Приведем неко-
торые из них, чтобы продемонстрировать уровень вычислитель-
ной техники.
а) Получение до 17 верных знаков числа л с помощью впи- *
санных в окружность и описанных правильных многоугольни-
ков. Вычисления были проведены в первой половине XV в. Каши
и были доведены до определения сторон правильного 3 ^^-уголь-
ника. Более чем через 150 лет, в 1593 г., в Европе Ф. Виет
нашел лишь 9 правильных десятичных знаков л с помощью
98
3-217-угольников. Только на рубеже XVI и XVII вв. (ван Роу-
мен, 1597) результат Каши был повторен, а затем превзойден.
б) Вычисление корней способом, известным ныне как метод
Руффини — Горнера. Можно предположить, что этот метод вос-
принят в результате тесных связей с китайскими математиками.
В развитии метода было учтено, что последовательное вычисление
знаков корня у q = а, Ьс ... связано с отысканием последова-
тельных разностей
q — an, q — (a+ —Y, q— (a + — H-------------— Y, ...
v V io J 4 V io loo J
При этом обнаружен и сформулирован ряд биномиальных разло-
жений вида:
(а + 1)" — ап = С1пап~1 + С2пап~2 + ... + С%~'а + 1;
(а + Ь)п — ап = Cxnan~xb + С2пап~2Ь2 + ... + + 6";
высказано правило образования биномиальных коэффициентов
Ст _________________________' f>m । 1
п з—Л» л—1 ~г '-'П—-1 •
В Европе таблица биномиальных коэффициентов (для п^17)
опубликована лишь в 1544 г. (Штифель), а описанный метод
перекрыт Руффини (1804) и Горнером (1819).
в) Приближенное извлечение корней. Известный в древности
прием Vq = VT* + r^T + *гДе ? — целое, был распро-
странен к XV в. (Каши) на случай любого натурального показа-
теля корня. Основой этого приема было линейное интерполиро-
вание, т. е. рассуждения типа: \
положим
rt<- (х1 = Тп; У1 = Т )
у = у х; при ( 1 х = х, 4- г.
(х2 = (7 + 1)"; у2 = Т + 1)
Тогда
у = у! + ~^~У1 (х — хх) = Т Н-------------.
воспринято
в десятичной
ха —
от индийцев было
применявшееся как
(z=60ft) системах.
По-видимому,
П г— 1 П
V q = — у qzn,
z
так и в 60-ричной
Распространение подобных приемов
ния корней отмечено в Европе лишь с середины XVI в.
г) Суммирование арифметических и геометрических
£ ak(k = 1,2,3, 4).
приближенного
правило
(z=10ft),
извлече-
г) Суммирование арифметических
сий, включая нахождение сумм вида
прогрес-
На-
пример:
99
Г п "1
п _ п П 2 а — 1
а=1 а=1 La=l J
Преобладающее влияние вычислительной части математики
оказало влияние на трактовку многих теоретических вопросов.
Особенно интересен вопрос о понимании алгебраических ирра-
циональностей. Стремление к производству операций над ними
характерно для всей арабской ^математики. Например, в со-
чинениях Хорезми (IX в.) уже встречаются операции над квад-
ратичными иррациональностями. Аль-Кархи (XI в.) ввел многие
преобразования иррациональностей, в том числе
YVa±Vb = 1 / а + Уа^-Ь^ ± а — Уаг—&
f 2 f 2
Аль-Баки (ок. 1100 г.), как и Аль-Кархи, комментировал де-
сятую книгу «Начал» Евклида, поясняя ее теоремы числовыми
примерами.
В силу такого подхода и частого применения вычислений
иррациональностей грань между рациональными числами и ир-
рациональностями начинает стираться. К представлению о числе
как о собрании единиц прибавились представления об отноше-
ниях непрерывных величин. Была установлена адекватность
геометрической несоизмеримости с арифметической иррациональ-
ностью. Последние вошли в класс чисел на основе разработан-
ных для них правил оперирования. В математике вместо двух
обособленных понятий — числа и отношения — возникла новая,
более широкая концепция действительного положительного числа.
Уже в XIII в. (Насирэддин, 1201—1274) этот факт был констати-
рован с полной определенностью: «Каждое из отношений может
быть названо числом, измеряемым единицей, так же, как пред-
шествующий член отношения измеряется последующим членом» *.
Идея создания единой концепции действительного числа пу-
тем объединения рациональных чисел и отношений, появившаяся
у математиков поздней античности, получила на Ближнем Востоке
некоторое завершение.
В Европе подобная идея не появлялась довольно долго.
Только с XVI в. в связи с бурным развитием вычислительных
средств ученые начали ее сознавать. Однако с равносильной сте-
пенью общности она была высказана лишь И. Ньютоном в 70-х го-
дах XVII в., а опубликована еще позднее (1707) в его «Всеобщей
арифметике»: «Под числом мы понимаем не столько множество
единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к
другой величине того же рода, принятой нами за единицу. Число
* Мухаммед Насирэддин Туси. Трактат о полном четырехстороннике. Баку,
Изд-во АН Азерб. ССР, 1952, стр. 22.
100
бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число
есть то, что измеряется единицей; дробное—кратной долей еди-
ницы; иррациональное число несоизмеримо с единицей» Ч
Влияние алгоритмически-вычислительной направленности
арабской математики отразилось й на ее структуре. В ней срав-
нительно быстро, впервые в истории, выделилась в качестве само-
стоятельной математической науки алгебра. В этом факте нашло
свое выражение слияние элементов алгебраического характера
математики различных народов, например: геометрическая алгеб-
ра древних греков, группировка однотипных задач и попытка вы-
работать для каждой группы единый алгоритм в древнем Вавило-
не, вычислительные задачи индийцев, приводившие к уравнениям
1-й и 2-й степени, и т. д.
В трудах математиков средневекового Востока эти алгебраи-
ческие элементы были впервые выделены и собраны в новый спе-
циальный отдел математики, был сформулирован предмет этого
нового отдела науки и построена систематическая теория. В ка-
честве примера такого подхода приведем высказывание средне-
азиатского математика О. Хайяма (ок. 1040 — ок. 1123 гг.):
«Алгебра есть научное искусство. Ее предмет — это абсолют-
ное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но
отнесенные к какой-либо известной вещи так, что их можно опре-
делить; эта известная вещь есть количество или индивидуально
определенное отношение, и к этой известной вещи приходят, ана-
лизируя условия задачи; в этом искусстве ищут соотношения, свя-
зывающие данные в задачах величины с неизвестной, которая
вышеуказанным образом составляет предмет алгебры. Совершен-
ство этого искусства состоит в знании математических методов,
с помощью которых можно осуществить упомянутое определение
как числовых, так и геометрических неизвестных... Алгебраиче-
ские решения, как это хорошо известно, производятся лишь с по-
мощью уравнения, т. е. приравниванием одних степеней другим»1 2.
Европейские ученые начали знакомиться с алгеброй в начале
XII в. Источником их сведений об алгебре явилось сочинение
«Китаб аль-Джебр валь-Мукабала» Мухаммеда бен-Муса аль-Хо-
резми (далее сокращенно Хорезми), жившего в первой половине
IX в. Название в переводе означает: книга об операциях джебр
(восстановления) и кабала (приведения). Первая из операций,
имя которой послужило названием для алгебры и служит до
настоящего времени, состоит в переносе членов уравнения из
одной стороны в другую. Вторая — операция приведения подоб-
ных членов уравнения. Решение уравнений рассматривается как
1 И. Ньютон. Всеобщая арифметика. М., Изд-во АН СССР, 1948, стр^ 8.
2 F. Woepcke. L’algebre d’Omar Alkhayamae. Paris, 1851, p. 5.
Математические трактаты О. Хайяма впервые были опубликованы на
русском яз. в 1953 г. в сб.: («Историко-математические исследования», вып. 6. М.,
Физматгиз, 1953, стр. 15—172, с примечаниями А. П. Юшкевича и Б. А. Ро-
зенфельда.
101
самостоятельная наука. В книге содержатся систематические
решения уравнений 1-й и 2-й степени вида
ах = Ь; х2 + Ьх = а;
ах2 = 6; х2 + а = Ьх\
ах2 = Ьх\ Ьх-\- а = х2.
Хорезми приводит как арифметические, так и геометрические ре-
шения приведенных уравнений. Метод нахождения геометриче-
ских решений состоит в приравнивании площадей, специально
подобранных для геометрической интерпретации уравнения. На-
пример, дано уравнение х2+ах=Ь. На рис. 28 площадь
S = x2 + 4(^Y + 4.^x = (^ + ax) + 4/-^Y==6+4.
\ 4 J 4 \ 4 J 4
В то же время
2
а2
4 ’
откуда
а2
4 ’
Хорезми пользовалась большой известностью. Термин
укоренился
х =
Книга
«алгебра»
в математике. Осталось в этой науке и
имя автора (аль-Хорезми) в латинизиро-
ванном виде: алгоритм. Вначале это слово
обозначало фамилию, затем нумерацию по
позиционной системе, а теперь — всякую
систему вычислений, производимых по стро-
го определенным правилам и заведомо при-
водящих к решению поставленной задачи.
В ходе развития науки изменялось содержа-
ние понятий, вложенных в эти термины, но
термины сохранились. Хорезми не высказы-
вал мысли о своем приоритете в алгебре.
Видимо, оба приема — джебр и кабала —
были уже широко распространены в его
время.
Алгебраические арабские трактаты IX—XV вв. помимо реше-
уравнений 1-й и 2-й степени включали в себя и кубические
ния
уравнения. К последним приводили разнообразные задачи: а) рас-
сечение шара плоскостью; б) трисекция угла; в) отыскание сторо-
ны правильного 9-угольника; г) отыскание стороны правильного
7-угольника и др. Одна из задач оптики: найти на данной окруж-
ности такую точку, чтобы луч, падающий из данной точки А, от-
разился в другую заданную точку В, — приводила к уравнению
4-й степени.
102
В методах решения кубических уравнений отразилось много-
образие средств, присущее математике арабских ученых. Ряд
трактатов содержит попытки численного решения этих уравнений;
другие трактаты отражают античное влияние. В них строится
теория решения кубических уравнений с помощью пересечения
конических сечений.
Численные решения этих уравнений развивались начиная от
способа проб (Бируни, 972—1048) до изящного итерационного
быстро сходящегося, метода Каши (ок. 1420 г.). Рассмотрим
последний метод подробнее. В самаркандской обсерватории Улуг-
бека, оснащенной совершенными инструментами, составлялись,
как мы упоминали выше, таблицы синусов с частотой через Гис
точностью до девятого знака. Решающую роль в этой работе
играла, как известно, точность вычисления синусов малых дуг,
скажем sin Г. Исходя из sin 72° и sin 60°, Каши нашел sin 3°.
Для нахождения отсюда sin 1° он получил (созср = 4 cos8 --------
— 3 cos кубическое уравнение х3+0,785 039 343 364 4006=45 х.
Возьмем для удобства пояснения метода уравнение в общем
виде:
q I г-, п "4“ Q
х3 + D — Рх, или х = —
Первое приближение, в силу малости х, а следовательно и х3,
принимается xt — = а. Результат вычисляется приближен-
ный, с условием, чтобы остаток от деления R был такого же по-
рядка малости, что и а3.
Второй этап: положим
х = а + у, а + у = у= .
Г г
R имеет порядок а3; он велик по сравнению с а3у. Новое прибли-
жение получается, если пренебречь в числителе членами, содер-
жащими у:
У
Р Р
Третий этап: y=b+z, и операции повторяются в том же порядке,
как во втором этапе. По этому способу получаются следующие
последовательные приближения:.
Q
х, — а — —
1 Р
, aS-bQ
х2 = а 4- b = —
103
Xs = a + 6 + c = (£±^±£;
Процесс сходится при Зх2<г<1, что в данном случае ввиду
малости х име,ет место.
• Этим способом было найдено 17 верных знаков sin 1° в де-
сятичной системе (результат вначале был получен в 60-ричной
системе). ‘ Такая степень точности позволила вычислять таблицы
тригонометрических функций с точностью до девятого знака.
Такой уровень техники приближенных вычислений в Европе
был достигнут лишь к концу XVI в.
Другое направление в решении кубических уравнений осно-
вывалось на получении геометрического образа "положительного
корня путем пересечения подходящим образом подобранных
конических сечений. В сочинениях подобного типа авторы отчет-
ливо выделяли алгебру как особую математическую дисциплину,
систематизировали все виды уравнений первых трех степеней по
расположению членов по обе стороны знака равенства, находили
условия существования положительных корней уравнений — сло-
вом, создавали элементы общей теории уравнений. Большим не-
достатком алгебры в это время было отсутствие символики, сло-
весное описание операций. Это задерживало развитие алгебры.
Помимо выделения алгебры, важнейшей характерной чертой
арабской математики было формирование тригонометрии. И в этой
области происходил синтез разнообразных тригонометрических
элементов: исчисление хорд и соответственные таблицы древних, в
особенности результаты Птолемея и Менелая, операции с линия-
ми синуса и косинуса у древних индийцев, накопленный опыт
астрономических измерений.
На основе этого разнородного материала математики стран
Ближнего Востока и Средней Азии ввели все основные тригоно-
метрические линии. В связи с задачами астрономии они составили
таблицы тригонометрических функций с большой частотой и вы-
сокой точностью. Данных накопилось при этом так много, что
стало возможным изучать свойства плоских и сферических тре-
угольников, способы их решений. Получилась богатая фактами
стройная система тригонометрии как плоской, так и сферической.
Такую систему представляет, например, сочинение Насирэддина
(1201—1274) «Трактат о полном четырехстороннике», где: I) раз-
вита теория отношений; 2) изложена теория фигур, состоящих из
четырех попарно пересекающихся прямых; 3) собраны способы
решения плоских и сферических треугольников; 4) решена задача
об определении сторон сферического треугольника по трем углам.
Вместе с выяснением практического значения тригонометрии
104
последняя изменила свой облик. В ней стал преобладать материал
об алгебраических зависимостях тригонометрических функций и
о вычислительных средствах и возможностях тригонометрии. Из-за
отсутствия удобной символики еще задерживалось чисто анали-
тическое построение тригонометрии.
Итак, тригонометрия в математике средневекового Востока
стала отдельной математической наукой. Из совокупности вспомо-
гательных средств астрономии она преобразовалась в науку о
тригонометрических функциях в плоских и сферических треуголь-
никах и о способах решения этих треугольников. Алгоритмически-
вычислительные средства стали играть в ней преобладающую
роль. Оставался один только шаг: введение специфической симво-
лики, чтобы тригонометрия приобрела привычный нам аналити-
ческий облик. Однако для этого шага понадобилось еще много
времени. В дальнейшем тригонометрия стала развиваться со вто-
рой половины XVI в. в Европе, в первую очередь под влиянием
запросов мореплавания и астрономии. В конце XVI в. начало
входить в употребление и название науки — «тригонометрия».
В настоящей главе мы уделили мало внимания геометрии.
Это понятно: не геометрические интересы были главными, опре-
деляющими в общем потоке математических достижений. Но до-
шедшие до нас математические сочинения среднеазиатских и
ближневосточных математиков неоспоримо свидетельствуют о вы-
соком уровне геометрических знаний. Математическая литература
того времени богата переводами сочинений Евклида, Архимеда,
Аполлония и других авторов античной Греции и комментариями
этих сочинений. В арабских рукописях сохранились многие дости-
жения древности. Нередко эти рукописи являются единственным
источником многих немаловажных сведений о предшествующем
развитии математики и научной основой математического творче-
ства европейских ученых Возрождения.
В ряду геометрических сочинений обращают на себя внима-
ние глубокие исследования по основаниям геометрии. В сочине-
ниях Хайяма (XI в.) й Насирэддина (XIII в.) мы находим попыт-
ки доказательства постулата о параллельных, основанные на
введении эквивалентных этому постулату допущений. Имена этих
математиков с полным правом могут быть поставлены в длинном
ряду предшественников неевклидовой геометрии, подвергавших
логическому анализу систему аксиом и постулатов геометрии
Евклида.
Примерно в середине XV в. развитие математических наук
в описываемых нами здесь районах замедляется и прекращается.
Причины этого явления коренятся в наступившем экономическом
разобщении обширных территорий, о которых шла речь выше.
Народы Средней Азии, Ближнего Востока и Северной Африки
в силу исторически сложившихся условий оказались задержанны-
ми на феодальной стадии развития, жили в обстановке войн и
политических неурядиц, подвергались возраставшему колониаль-
105
ному нажиму сильных капиталистических стран. Прогресс науки,
в том числе и математики, оказался приостановленным на не-
сколько столетий.
4.3. МАТЕМАТИКА В ЕВРОПЕ В СРЕДНИЕ ВЕКА
И В ЭПОХУ ВОЗРОЖДЕНИЯ
На европейском континенте математика имеет не столь древ-
нее происхождение, как во многих странах Ближнего и Дальнего
Востока. Если не считать математики римлян (о которых мы не
будем специально говорить из-за недостатка места, а также
из-за слабого уровня научно-теоретического развития и влияния
на последующее развитие математики), то заметных успехов в
Европе математика достигла только в эпоху развитого средне-
вековья и особенно Возрождения. Наступление эпохи средних
веков в Европе, или эпохи феодализма, относят к V в. н. э., к
тому времени, когда пала западная Римская империя. В течение
V—X вв. происходит длительный процесс становления феодаль-
ных отношений в Европе, раздробленной на множество владений.
Экономика этих владений имеет натуральный характер, обмен
весьма слаб. На XI—XIV вв. падает пора расцвета феодализма.
В это время происходит разделение труда между городом и де-
ревней, ремеслом и земледелием. Растут города и развиваются
товарно-денежные отношения. В XII—XV вв. в борьбе и войнах
складываются национальные государства. В XIV в. феодальный
мир потрясают крестьянские войны, в которых за религиозной
окраской нетрудно разглядеть их антифеодальную сущность.
В XV—XVIII вв. происходит созревание в недрах феодализма
капиталистических отношений и разложение феодального уклада.
Начало этого последнего периода, т. е. XV и XVI вв., в культур-
ном и идеологическом развитии ряда стран Западной и Централь-
ной Европы известно под именем Возрождения.
Техника средневековой Европы, вначале примитивная и
разобщенная, приобретает к концу этого периода массовый ха-
рактер, а уровень технических достижений быстро повышается.
Вот несколько примеров. Добыча руд и металлургия, начатая в
VIII в., набирала силу в течение четырех веков и в XII в. превра-
тилась в заметную область европейской промышленности. В том
же веке были открыты свойства магнитной стрелки. Около 1000 г.
появилось стекло, но шлифовка и амальгамирование стекла для
изготовления очков, зеркал, подзорных труб были введены лишь
в XIV в. Около. 1100 г. изобретены часы с колесным, позднее с
колесно-пружинным механизмом, а через 100 лет — часы с боем.
Бумага стала входить в обиход в Европе с XII в., а книгопечата-
ние было изобретено лишь в середине XV в. В период XIII—
XIV вв. все шире стал применяться порох- Эти примеры показы-
вают, что технические достижения европейских народов, вначале
слабые и редкие, накапливаются и создают условия для ускоре-
106
ния технического прогресса и для смены всей системы экономиче-
ских, политических, научных и культурных отношений и воз-
зрений.
Аналогичную картину вначале очень замедленного, затем
все более ускоряющегося развития и, наконец, коренного, рево-
люционного преобразования представляют естествознание и мате-
матика в средневековой Европе.
Действительно, в V—XI вв. уровень математических знаний
в Европе был весьма низким. Сколько-нибудь крупных матема-
тических открытий или сочинений не обнаружено. Даже образо-
ванные люди редки. По-видимому, единственными хранителями
математических знаний, превышавших обычные бытовые запросы,
были немногочисленные ученые-монахи, хранившие, изучавшие и
переписывавшие естественнонаучные и математические сочинения
древних. Церковь накладывала сильнейший отпечаток схоластики
и на эти островки знания.
Основной организационной предпосылкой развития матема-
тики в Европе было открытие учебных заведений. Одно из пер-
вых подобных заведений организовал в г. Реймсе (Франция) Гер-
берт (940—1003), позднее ставший римским папой под именем
Сильвестра II.
В школе Герберта кроме прочих наук учили счету с приме-
нением счетной доски — абака, усовершенствованного путем заме-
ны пустых жетонов, каждый из которых имел значение единицы,
на жетоны с написанными на них цифрами. В то время существо-
вало много способов счета. Среди приверженцев сложившихся
разнообразных традиций счета основное место занимали две
враждующие партии: абакистов и алгоритмиков. Первые в
основном отличались требованием обязательного использования
абака й 12-ричной римской нумерации. Алгоритмики пользова-
лись письменным обозначением индусских цифр, некоторые
из них вводили знак нуля, счет вели на бумаге, применяли 60-рич-
ные дроби. В спорах формировались системы счисления и приемы
арифметического счета, все более близкие к привычным нам сис-
темам и приемам.
Через столетие, в XII—XIII вв., появились в Европе первые
университеты. Самыми первыми университетами были итальянские
в Болонье, Салерно и других городах. Вслед за ними были от-
крыты университеты в Оксфорде и Париже (1167), Кембридже
(1209), Неаполе (1224), Праге (1347), Вене (1367) и т. д. Это
были учебные заведения, безраздельно подчиненные церкви. Во
главе университетов стояли отцы-настоятели (ректоры),' во главе
факультетов — деканы. Студенты сначала обучались на подгото-
вительном факультете искусств (артистическом), затем переходи-
ли на один из основных факультетов: богословский, юридический
или медицинский.
Математика входила составной частью в семь свободных
искусств (artis liberalis), изучавшихся на факультете искусств.
107
Весь цикл этих искусств распадался на два концентра. Первый
составлял тривиум: грамматика, риторика, т. е. искусство устно
выражать мысли, и диалектика, или умение вести спор. Второй
концентр — квадривиум включал в себя арифметику, геометрию,
астрономию и музыку, т. е. теорию гармонических интервалов.
Уровень математических познаний выпускников университетов был
низок; во многих европейских университетах вплоть до XVI в. от
лиц, претендовавших на звание магистра, по математике требова-
лась только... клятва, что он знает шесть книг евклидовых «На-
чал». Так как университеты были подчинены реакционным устрем-
лениям церкви, то школьная наука (схоластика) вырождалась в
бесплодные умствования и споры, оправдывая тот смысл, который
вкладывается сейчас в слово «схоластика». Система средневеко-
вого образования в течение нескольких веков была необходимой,
но недостаточной предпосылкой развития математической науки.
При таком положении дел, естественно, математические зна-
ния не совершенствовались в европейских учебных заведениях.
Они привносились извне. Это были сохраненные остатки матема-
тики римлян или греческо-византийских государств. В большей
же части научные знания приобретались путем перевода сочине-
ний с арабского языка на латинский. Таким путем европейцы
познакомились с «Началами» Евклида, «Альмагестом» Птолемея
и другими трудами античных математиков, с рядом сочинений
математиков Средней Азии и Ближнего Востока. Деятельность
переводчиков иногда бывала очень активной. Так, Жерар (1114—
1187) из Кремоны перевел с арабского более 80 сочинений. Одна-
ко, поскольку книги существовали только в рукописном виде в
ограниченном числе экземпляров, а число достаточно подготовлен-
ных для их понимания людей было незначительным, то переоцени-
вать значение этой работы не приходится.
Некоторое оживление в математике наступило в XIII в. в •
связи с двумя факторами: борьбой против схоластики и богосло-
вия, начатой Роджером Бэконом (1214—1294), и математическими
трудами Леонардо Пизанского (ок. 1200 г.). Первый из них в своей
резкой критике противопоставлял догматам, основанным на вере,
опыт как единственный источник научного познания. В центре
всей опытной науки находятся, по Бэкону, физико-математические
Знания. Вообще все науки основаны на математике и их истины
имеют ценность лишь постольку, поскольку они выражены числом
и мерой, т. е. в математической форме. Математика в философ-
ских воззрениях Бэкона является азбукой всей натуральной фи-
лософии, т. е. всего естествознания. Роль математики повышалась
в связи с ростом прогрессивных сил в философии.
Заслуги Леонардо в математике были совсем другого рода.
Он получил хорошее математическое образование в Алжире, где
жил его отец — один из торговых представителей богатого и
, сильного итальянского города Пизы. По торговым делам Леонар-
до объездил Сирию, Северную Африку, Испанию, Сицилию, по-
108
полняя свои знания при любой возможности. Около 1202 г. он
написал «Книгу об абаке». Эта книга является подлинной энцик-
лопедией математических знаний народов, живших на берегах
Средиземного моря. Более 200 лет она была непревзойденным
образцом математических сочинений для европейцёв и подготови-
ла новые успехи математики в эпоху Возрождения.
В «Книге об абаке» 15 отделов. В первых семи изложены
исчисление целых чисел по позиционной десятичной системе и
операции с обыкновенными дробями. Отделы 8—11 содержат при-
ложения к коммерческим расчетам: простое и сложное тройное
правило, пропорциональное деление, задачи на определение мо-
нетных проб. Разнообразный набор задач, решаемых с помощью
простого и двойного ложных положений, суммированием ариф-
метических прогрессий и квадратов натуральных чисел, нахожде-
нием целочисленных решений неопределенных уравнений первой
степени, составляет отделы 12 и 13. Предпоследний, 14-й отдел
посвящен вычислению квадратных и кубических корней и опе-
рациям с «биномиями», т. е. с выражениями вида а±]/Ь. Завер-
шается «Книга об абаке» 15-м отделом, содержащим краткое из-
ложение алгебры и альмукабалы, близкое к алгебре Хорезми, а
также задачи на непрерывные числовые пропорции и геометри-
ческие задачи, сводящиеся к приложению теоремы Пифагора.
Другое сочинение Леонардо «Практическая геометрия»,
написанное около 1220 г., посвящено измерению площадей много-
угольников и объемов тел вплоть до объема шара. Доказатель-
ства теорем взяты йз работ Евклида и Архимеда; встречаются за-
дачи, свидетельствующие о знании Леонардо начал тригономет-
рии. Известно еще одно сочинение Леонардо — по теории чисел.
В нем идет речь о свойствах чисел, суммах вида
п п п
£(2*+1),
fe=l fe=l fe=0
а также об отыскании рациональных решений уравнений
у2=х2+а; z2=x2—а. Наконец, сохранились сведения об участии
Леонардо в публичных состязаниях по математике и о решении им
трудных задач. В наши дни его имя носят возвратные последова-
тельности 1.
Время, протекшее после работ Леонардо вплоть до эпохи
Возрождения (XV—XVI вв.), в историю математики не внесло
как будто ярких идей, больших открытий, коренных преобразова-
ний. Их не любят математики, мало на них останавливаются.
Однако в эти «вспомогательные» столетия в математике происхо-
дил интересный и малоизученный процесс накапливания предпо-
сылок. Математические знания распространялись среди все более
1 См. А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности. М., Гостех-
издат, 1950.
109
широких кругов ученых. Идеи и результаты, накопленные в сочи-
нениях Леонардо и других математиков, содержание переводимых
книг античных авторов, наличие большого числа поставленных и
осознанных, но еще не решенных теоретических и практических
задач — все это вело к новому научному подъему. Духовный
гнет — естественное следствие гнета экономического и политиче-
ского. Государи и князья, светские и церковные, задерживали
прогрессивные стремления всеми средствами: угрозами, преда-
нием анафеме и физическим уничтожением своих идейных про-
тивников.
В этих условиях наметились два главных направления разви-
тия математики, в которых последняя достигла наибольших успе-
хов. Это были: серьезное усовершенствование алгебраической сим-
волики и формирование тригонометрии как особой науки.
Еще современник Леонардо генерал доминиканского монаше-
ского ордена Иордан Неморарий i( род. 1237 г.) изображал с по-
мощью букв произвольные числа. Впрочем, буквенного исчисления
из этого не получилось, так как результат любой операции над
двумя буквами обязательно обозначался третьей буквой (а+Ь = с,
a-b=d и т. д.).
Профессор Парижского университета Николай Орезм (1328—
1382) обобщил понятие степени, введя дробные показатели степе-
ни, правила производства операций над ними, и специальную сим-
волику, предваряя фактически идею логарифма. Например:
1 • Р
2 • 27
1
= 27 2
2- Р
3-8
2
= 8 3 и т. д.
Кстати заметим, что в одном из своих сочинений Орезм вводит
долготу и широту в плоском прямоугольнике и использует введен-
ные таким образом ранние формы прямоугольных координат для
графического изображения интенсивности физических явлений в
зависимости от времени. При этом он отмечал, что изменение по-
близости от экстремумов самое медленное.
В конце XV в. бакалавр Парижского университета Н. Шюке
помимо дробного показателя степени ввел также отрицательные и
нулевые показатели, отрицательные числа, а также внес усовер-
шенствования в алгебраическую символику. В этой символике нет
еще специального символа для неизвестного, а большинство сим-
волов образовано путем сокращения _слов (синкопическая_алгеб-
раическая символика). Например: 53 т_обозначает 5 х~3 (т — со-
кращение слова minus), а вообще akm обозначает ax~h. Знаком
корня служит Rx (от слова radix — корень), знаком сложения —
р. Так что выражение у/~24 + 1^37— 20х~2, взятое нами-наугад,
в символике Шюке имело бы вид Rx 24р Rx 37 т 202 т.
Большой вклад в формально-символическое усовершенствова-
ние алгебры внесли в XV и XVI вв. коссисты — математики Юж-
110
ной Германии, воспринявшие эти идеи из Италии. Название кос-
систов происходит от итальянского слова cosa, т. е. вещь, как
обозначалось неизвестное в уравнениях. Они разработали несколь-
ко систем символов, удобных для записи математических действий,
а некоторые из них высказали в своих сочинениях идеи, близкие
к понятию логарифма.
Какое бы, однако, большое значение ни имела сложившаяся
в средние века тенденция совершенствования формы, решающей
роли в дальнейшем развитии алгебры и вообще математики она
иметь не могла. Новый шаг был связан с успехами в алгоритми-
чески-оперативной части, связанной с решением нового класса ал-
гебраических уравнений — кубического, о чем речь будет идти
ниже.
Успехи тригонометрии, о которых мы выше упоминали, яви-
лись следствием развития астрономии. Тригонометрия по суще-
ству почти все средние века являлась частью астрономии, куль-
тивировавшейся не столько в силу своего естественнонаучного
значения, сколько в силу необходимости составления астрологи-
ческих гороскопов. Факты тригонометрии были восприняты, как
и другие факты математики, в большинстве при переводе научных
трактатов с арабского языка. При этом в поле зрения европей-
ских математиков оказывались достижения астрономов и матема-
тиков как античной Греции, так и более поздней арабской науки.
В XV в., когда дальние плавания стали возможны, когда изу-
ченный мир стал расширяться и знания о нем быстро изменялись,
ломая застывшие схоластические представления, резко возрос ин-
терес к астрономии. Это была пора, непосредственно предшествую-
щая открытию Америки (1492), первому плаванию вокруг Афри-
ки ((1498), первому кругосветному плаванию (1519), открытию и
доказательству гелиоцентрической теории Коперника (1473—
11543). Для тригонометрии наступили счастливые времена, И вот,
наконец, в 1461 г. появилось сочинение «Пять книг о треугольни-
ках всякого рода», в котором впервые тригонометрия была отде-
лена от астрономии и трактована как самостоятельная часть ма-
тематики. Написал его немецкий математик Иоганн Мюллер
(1436—1476), более известный под именем Региомонтан (латини-
зированная производная от названия города Кенигсберга, где
он родился).
В этой книге систематически рассмотрены все задачи на оп-
ределение треугольников, плоских и сферических, по заданным эле-
ментам. При этом Региомонтан расширил понятие числа, включив
в него иррациональность, возникающую в случае геометрических
несоизмеримостей, и приложил алгебру к решению геометричес-
ких задач. Тем самым была существенно нарушена античная тра-
диция и открыто новое понимание предмета тригонометрии и ее
задач.
Региомонтан продолжил ранее начатую другими учеными ра-
боту по составлению таблиц тригонометрических функций. Его таб-
111
лица синусов имела частоту через каждую минуту и точность до
седьмого знака. Для этого величину радиуса образующей окруж-
ности он брал равной 107, так как десятичные дроби еще не были
известны. Он ввел в практику тригонометрические функции, по-
лучившие в XVII в. названия тангенса и котангенса, составив
таблицу их значений.
Подведем итоги, не увеличивая количества примеров. В тече-
ние V—XV вв. в Европе постепенно сложилась система обучения,
включавшая в себя математику, — система, через которую регу-
лярно пополнялся слой образованных людей. Ученые, интересо-
вавшиеся математикой, и студенты университетов усваивали до-
стижения античной Греции, Византии, арабоязычных народов
Ближнего Востока и Средней Азии. Была широко распростране-
на практика перевода арабских рукописей научного содержания
на латинский язык — универсальный язык науки средневековья.
Математика развивалась в связи с практическими запросами тех-
ники и мореплавания, поэтому вначале медленный темп научной
жизни к концу рассматриваемого периода заметно ускорился.
Большое стимулирующее воздействие на развитие математики
оказали прогрессивные течения средневековой философии, идео-
логическая борьба против засилья церкви, феодалов, против за-
стывших схоластических догм, освящаемых авторитетами и поли-
тикой светских и духовных репрессий. Определение места мате-
матики в системе наук как азбуки естествознания, или, как послед-
нее иначе называли, натуральной философии, стабилизировало ее
положение и ускорило процесс создания в математике фундамен-
та основных знаний, накопления предпосылок для новых успехов.
Совокупность воздействующих на математику факторов оказалась
такой, что в ней определились наибольшие успехи в создании фор-
мально-символической стороны алгебры и в тригонометрии. Был
также высказан и пущен в научный обиход, особенно в XV—
XVI вв., ряд мыслей, имеющих большое значение для последую-
щего: обобщение понятия числа, обобщение понятия степени, пред-
вестники систем логарифмов. Необходим был практический успех,
хотя бы небольшой, чтобы вся масса накопленных предпосылок
пришла в движение.
Своеобразная линия развития научных знаний сложилась на
территории Восточной Европы, особенно в средневековой Руси.
Своеобразие это состояло в том, что научное наследие усваи-
валось на основе византийской науки. Кстати, в сочинениях по
истории науки эта линия развития математики осрещена весьма
недостаточно.
Термином средневековая Русь мы здесь будем обозначать
весь комплекс русских княжеств, ведущую роль в котором иг-
рали: Киевская Русь (X—XII вв.), Владимиро-Суздальское кня-
жество (XII—XIII вв.), Новгород ।(XIII—XV вв.). Тяжелая исто-
рическая судьба русского народа привела к тому, что число не-
посредственных свидетельств состояния наук в эти времена на Ру-
112
си резко уменьшилось. Задача пополнения источников исследова-
ния и детального изучения уже добытых археологами, этнографа-
ми и историками данных является актуальной и еще не решенной.
Наличные материалы позволяют дать следующую общую харак-
теристику первых этапов развития математики у нас на Родине.
Уже в начале X в. на Руси существовала письменность. Тес-
ные связи с Византией способствовали ускоренному приобретению
знаний. Математическое, в частности, образование было на уровне
европейского. При дворе киевского князя Владимира Святослави-
ча (род. 1015) было налажено обязательное книжное учение еп>
приближенных. При Ярославе Мудром (978—1054) действовала
школа. От того времени до нас дошли замечательные литератур-
ные и общекультурные памятники: «Русская правда», «Повесть
временных лет», '«Слово о полку Игореве», разнообразные лето-
писи. Архитектурные памятники и археологические раскопки да-
ют все новые подтверждения высокого уровня техники и культуры
в русских княжествах.
Практические хозяйственно-технические математические све-
дения и расчеты записывались с помощью десятичной алфавитной
системы нумерации, сходной с греческой алфавитной системой.
К слову заметим, что эта старославянская нумерация использует-
ся и в наши дни в церковных книгах. Эта система практически не
ограничивала величины чисел. В документах встречаются иногда
и очень большие числа, для которых существуют особые названия.
В обычном, «малом», счете 104 называлось неведием, позднее —
тьмой, 105 — легионом, 106 — леодром. По другой системе, «вели-
кого» счета, тьмой называли 106, легион — 1012, леодр — 1024, во-
рон — 1048, колода — 1096 или 1049, после чего простодушный ле-
тописец заявлял: «Сего же числа несть больше».
Помимо вычислений практического характера очень рано на-
чинают встречаться теоретические вопросы и задачи, составленное
числолюбцами. Древнейшей сохранившейся специально математи-
ческой рукописью являются записи Кирика, новгородского дьяко-
на, датируемые точно 1134 г. Примерами таких задач, собранных
из разных рукописей, являются:
а) вычисление, сколько месяцев, недель, дней и часов про-
текло от сотворения мира (по православным верованиям, к 1134 г.
истекло 6642 года);
б) задачи на вычисление прогрессий, образуемых с помощью
соображений о прогрессирующем приплоде стад;
в) вычисление размеров Земли, Солнца и Луны по данным
измерений Эратосфена (III в. до н. э.) и связанное с этим при-
ближенное вычисление числа л="3,125;
г) трудная теоретико-числовая задача о вычислении дат ре-
лигиозного праздника пасхи. Последний наступает, как известно,
в первое воскресенье после весеннего полнолуния. Весенним счи-
тается полнолуние между 21 марта и 18 апреля. Задача состоит
в сравнении периодических шкал солнечных лет, лунных месяцев,
113
с учетом Метонова цикла (19 солнечных лет=235 лунным меся-
цам), семидневных периодов недели, периодов обращения Земли
и.Луны вокруг Солнца. Получается сложная периодичность дат
праздника и связанных с ним постов длительностью в 532 года
(великий индиктион). Мы ее здесь освещать не будем; отошлем
интересующихся к обстоятельному сочинению Л. В. Черепнина
«Русская хронология» (М., изд. Историко-архивного института,
1944).
Общий со всеми государствами ход развития науки и культу-
ры на Руси был насильственно прерван в первой половине XIII в.
из-за нашествия монголов (Батый —1240) и крестоносцев (1242—
битва на Чудском озере). Русский народ истекал кровью, но от-
стоял свою государственную и национальную самостоятельность.
Битва на Куликовом поле в 1380 г. была началом конца татаро-
монгольского ига; оно окончательно было свергнуто к 1480 г. Од-
нако нападения иностранных интервентов и болезненный процесс
ломки феодального уклада и становления многонационального
государства в период с XVI до XVIII в., т. е. до времени царст-
вования Петра I, еще сильно задерживали рост хозяйства, куль-
туры и науки. Определилось длительное отставание России от ев-
ропейских стран и в области математики.
В конце средних веков (XV—XVI вв.) в странах Западной
Европы математика и естествознание вообще развивались в об-
становке бурных изменений, связанных в своей экономической ос-
нове с начавшимся разложением феодального общества и уста-
новлением буржуазно-капиталистических отношений. Изменения
происходили в промышленности, где возникали мануфактуры с
характерным для них разделением труда и введением машин и
технических усовершенствований. Невиданное ранее развитие ста-
ли получать торговые связи и мореплавание, сопровождаемые ве-
ликими географическими открытиями. В политическом отношении
основные изменения состояли в том, что мощь и влияние феодаль-
ного дворянства были сломлены под напором королевской власти
при поддержке горожан и образованы крупные, по существу на-
циональные, монархии. Наконец, расцвет культуры и искусства в
Италии, Франции и других странах, изобретение книгопечатания
(середина XV в.) определили совершенно новый уровень умствен-
ных запросов и занятий все распространяющегося круга людей.
«И исследование природы совершалось тогда в обстановке
всеобщей революции, будучи само насквозь революционно: ведь
оно должно было еще завоевать себе право на существование»,—
замечал Ф. Энгельс *. В это же время определились серьезные ус-
пехи в математике и астрономии, позднее в механике.
Как мы показали выше, важнейшие достижения математи-
ков средневековой Европы относились к области алгебры, к усо-
вершенствованию ее аппарата и символики. Региомонтан обога-
* К. Маркс и Ф. Энгельс. Собр. соч., т. 20, стр. 347.
114
тил при этом понятие числа, введя радикалы и операции над ни-
ми. Это позволяло ставить - проблему решения возможно более
широкого класса уравнений в радикалах. И в этой именно обла-
сти были достигнуты первые успехи — решены в радикалах урав-
нения 3-й и 4-й степени.
Ход событий, связанных с этим открытием, освещается в ли-
тературе разноречиво. В основном он был таков: профессор
(с 1496 по 1526 г.) университета в Болонье ।(Италия) Сципион
дель Ферро нашел формулу для нахождения положительного
корня конкретных уравнений вида х3+рх=д (р>0, <?>0). Он
держал ее втайне, приберегая как оружие против своих противни-
ков в научных диспутах. К концу своих дней он сообщил эту тайну
своему родственнику и преемнику по должности Аннибалу делла
Наве и своему ученику Фиоре.
В начале 1535 г. должен был состояться научный поединок
Фиоре с Николо Тарталья (1500—1557). Последний был талант-
ливым ученым, выходцем из бедной семьи, зарабатывавшим себе
на жизнь преподаванием математики и механики в городах Се-
верной Италии. Узнав, что Фиоре владеет формулой Ферро и го-
товит своему противнику задачи на решение кубических уравне-
ний, Тарталья сумел заново открыть эту формулу, что обеспечило
ему победу в диспуте, состоявшемся 12 февраля 1535 г.
Метод Тартальи, как, по-вцдимому, и метод Ферро, состоял в
подборе подходящей формы алгебраической иррациональности для
выражения корня уравнений указанного выше вида: x?-\-px=q
(р>, ?>0). Предположив, что х = и —у/v, подставив это вы-
ражение в уравнение и положив р = 3 y^uv, он получил системуз
и — v = q;
Интерпретируя и и v как корни квадратного уравнения, Тар-
талья нашел
Вскоре Тарталья смог решать уравнения вида х3=рх+<7 (р>0,
<7>0) подстановкой х — иJ-|- f/v. Наконец, он сообщил, что
уравнения вида x3-f-g=px сводятся к предыдущему виду, но не
дал способа сведения. Тарталья долго не публиковал своего ре-
зультата по двум причинам: во-первых, та же причина, которая
останавливала и Ферро; во-вторых, невозможность справиться с
неприводимым случаем. Последний состоит в том, что есть урав-
115
нения х3=рх+<7, которые имеют действительный положительный
корень независимо от того, имеет место неравенство
или нет. Однако формула Тартальи не давала решения во втором
случае, так как не было возможности правильно трактовать мни-
мые числа, получающиеся при этом. Неприводимый случай появ-
лялся у Тартальи и в уравнениях вида x3-\-q=px.
Однако труд Тартальи не пропал даром. Значительные резуль-
таты математики, когда созревают необходимые и достаточные
условия для их появления, начинают буквально «носиться в воз-
духе» й" служить предметом занятий многих ученых. С 1539 г.
кубическими уравнениями начинает заниматься Кардано (1501—
1576). Человек странной и бурной судьбы, наполненной противо-
речивыми и нередко трудно объяснимыми поступками, богатый,
образованный и талантливый, он страстно любил научные заня-
тия. Философия и математика, медицина и астрология являлись
предметом необузданных увлечений Кардано. Услышав об от-
крытии Тартальи, он приложил много усилий, чтобы выманить
тайну у осторожного и недоверчивого Тартальи и украсить этим
результатом задуманную книгу i«Ars magna...», т. е. «Великое ис-
кусство, или о правилах алгебры». В конце концов это удалось;
затем Кардано собственными усилиями устранил неполноту сооб-
щенных сведений, и книга появилась в 1545 г.
Это большое сочинение (40 глав) содержит не только пра-
вила алгебраических операций и приемы нахождения уравнений
первых трех степеней, но и элементы общей теории алгебраичес-
ких уравнений. Так, Кардано ввел регулярный способ сведения
полного кубического уравнения ax3+6x2+cx-}-d=0 к виду, в ко-
тором отсутствует член с квадратом неизвестного, с помощью под-
становки x=xi-|-/i и распространил его на уравнения 4-й степе- ,
ни. В «Ars magna...» высказано много теорем о взаимозависимости
корней и коэффициентов: о положительных и отрицательных
(«фиктивных») корнях, об их сумме и другие теоремы, например:
если в уравнении все члены, стоящие в левой части, имеют степень
большую, чем степени членов правой части, то уравнение имеет
один и только один положительный корень. Наконец, Кардано
показал делимость алгебраического полинома Рп (х) на х—Xi, где
Xi — корень уравнения Рп (х) =0.
Кардано включил в свою книгу и метод решения уравнений -
4-й степени путем сведения задачи к кубической резольвенте, от-
крытый его учеником Л. Феррари <(1522—1565). Поясним этот ме-
тод на примере задачи, которую решал Феррари. Она была зада-
на Кардано итальянским математиком Д. Колла. Задача гласила:
«Разделить число 10 на три части так, чтобы они составляли гео-
метрическую прогрессию и произведение первых двух частей рав-
с гт 6 Xs 6 . . X3 . п
нялось 6». По условию: —:х = х: —,------рхН-----= 10, откуда
х 6 х 6
получаем уравнение х4+6х2+36=60х. Дополним обе части, доби-
116
ваясь, чтобы левая часть стала полным квадратом: (х24-6)2=
=60х-|-6х2. Добавим к обеим частям по 2(х24-6)/4-/2, где t еще
предстоит определить. Получим
(х2 + 6 + /)2 ^бОх + бх2 + 2(х® 4-6)/ И-/2,
или
(X2 4- 6 4- /)2 = (2/ 4- 6) X2 4- 60х 4- (/2 + 12/).
Условием того, что правая сторона является полным квадратом,
является, как известно, равенство нулю дискриминанта. Это Фер-
рари записывает так: 302=i(2/4-6) (/24-12/), сводя задачу к реше-
нию кубической резольвенты. Прием, очевидно, является общим
для уравнений 4-й степени. Кардано приводил к этому виду урав-
нение, не содержащее члена с неизвестным в 1-й степени, подста-
k
НОВКОЙ X = ---.
У
Мы не будем останавливаться на тягостном споре Тартальи
и Кардано о приоритете открытия. Спор этот породил огромную
литературу. Многие авторы до наших дней возвращаются к нему,
вновь и вновь выдвигаются оценки Тартальи, Кардано, обстоя-
тельств открытия и их связей с широким кругом современных им
исторических событий. К этой литературе и относится целиком
замечание, сделанное выше, о разноречивости изложений этого
вопроса.
Столь быстрые и поразительные успехи в нахождении формулы
решения уравнений 3-й и 4-й степени поставили перед матема-
тиками проблему отыскания решений уравнений любых степе-
ней. Огромное число попыток, усилия виднейших ученых не при-
носили успеха. Задача с течением времени преобразовывалась и
стала трактоваться как задача о возможности или невозможности
решения алгебраических уравнений степени n^s5 в радикалах.
В поисках решения этой проблемы протекло около 300 лет. Толь-
ко в XIX в. Н.-Г. Абель доказал, что уравнения степени п>4, во-
обще говоря, в радикалах не решаются. Галуа связал с каждым
уравнением специальную группу подстановок его корней — группу
Галуа и свел проблему к исследованию структуры этой группы,
ее разрешимости. В дальнейшем мы остановимся подробнее на
этом вопросе, так же как и на более общей постановке задач тео-
рии Галуа: выразить рационально корни заданного уравнения че-
рез корни другого, более простого уравнения.
На пути создания общей теории алгебраических уравнений и
способов их решения стояли еще два препятствия: сложность, не-
удобство получаемых формул и неразъясненность неприводимого
случая. Первое составляло чисто практическое неудобство. Кар-
дано устраняет его, предлагая находить корни уравнений прибли-
женно с помощью правила двух ложных положений, известного
еще от египтян и по существу применяемого и в наши дни в виде
простой, или линейной, интерполяции. Второе препятствие имеет
117
более глубокие корни, а попытки его преодоления повели к весьма
важным следствиям.
Уже Кардано упоминает о мнимых корнях, именуя их софи-
стическими; показывает на примере х+у=10, ху=40, что эти
корни встречаются попарно, т. е. xi,2=5±]/—15, но решить та-
кого рода уравнения считает невозможным.
Плодотворная и смелая попытка справиться с неприводимым
случаем принадлежит итальянскому математику и инженеру
Р. Бомбелли из Болоньи. В сочинении «Алгебра» (1572) он ввел
формально правила действий над мнимыми и комплексными чис-
лами, опирающиеся на правила: ±i-±i=—1, ±i-=Fi=l, уста-
новил, что все выражения, содержащие „софистические минусы**
Кардано, преобразуются к виду a-j-fti. На конкретном примере
х3=15х-|-4 Бомбелли показал, что в неприводимом случае ве-
щественный корень получается как сумма двух комплексных чи-
сел вида а-\-Ы и а—Ы. Метод Бомбелли состоит в следующем:
пусть дано уравнение x3=ax-f-fe и имеет место (-7Л —(~г ) <0»
следовательно формула
неприменима. Бомбелли исходит из того, что выражения вида
•j/ а±]/р, входящие в эту формулу, тоже могут быть преобразова-
ны к виду р + Vq. Положив у а ± 1/р = р ± он для опреде-
ления р и q получил два уравнения:
р3 + Spq == а; р2 — <7 = j/a2 — 0 = у.
Для определения р из этой системы получается уравнение 4р3 =
= Зур + а. В частности, если положить а =
P = f-yY_6т)3’ то Y = v и x = p + Vq+ р — Vq = 2p.
Однако это объяснение Бомбелли — всего только объясне-
ние, оно не облегчает решения неприводимого случая, ибо урав-
нение 4 р3=3ур+а то же, что уравнение искомое. Но введение
для частных целей общих операций с комплексными числами вы-
двигает «Алгебру» Бомбелли в число ближайших предшественни-
ков работ Гаусса пр этому вопросу.
Рост содержания математических знаний всегда тесно связан
с развитием математической символики. Последняя, когда она до-
статочно хорошо отражает реальную сущность математических
операций, активно воздействует на математику и сама приобре-
тает оперативные свойства. В истории математики историю сим-
118
волов можно уподобить истории орудий труда, по которым можно
многое восстановить и понять.
В рассматриваемое нами время происходил быстрый переход
от словесной (риторической) алгебры к алгебре символической
путем сокращения (синкопирования) слов, а затем введения сим-
волов. Уже у Кардано переход этот очень заметен. Например, ко-
рень уравнения «cubus р 6 rebus aequalis 20» (х3+6х=20) нахо-
дится по формуле
Rxu cuRx\Q8plQ\tnRx и cuRx108ml0
(у^ /108+16 — /108—ю) •
Читатель уже успел, наверное, понять значение символов,
остается добавить, что Rx — знак корня, Rx и си — это radix uni-
versalis cubica, т. е. общий кубический корень из всего выражения,
расположенного до вертикальной черты или до конца выражения.
Символы пока еще очень разнообразны, не всегда составляют
стройную систему даже внутри одной книги. Но потребности мате-
матики заставляли искать все более совершенную систему симво-
лов. Бомбелли, например, для последовательных степеней неиз-
вестногах употреблял символы: 1, 2, 3 .... С. Стевин (1548—1620),
фламандский математик и инженер, известный, в частности, вве-
дением в европейскую математику аппарата десятичных дробей,
в тех же целях, что и Бомбелли, использовал соответственно зна-
ки (1), (2), (3), ..., а в случае второго и третьего неизвестного:
sec(l), sec(2), sec(3), ...
ter(l), ter (2), ter (3)...
Единую систему алгебраических символов, последовательно
проведенную, первым дал, по-видимому, Виета.
Появление буквенного алгебраического исчисления являлось
одной из сторон более общего и глубокого явления в истории ма-
тематики — возникновения алгебры как общей науки об алгебраи-
ческих уравнениях. Сочинения и взгляды Виеты хорошо передают
этот переломный момент.
Франсуа Виета (1540—1603) — французский математик,
юрист по образованию и роду деятельности. Во время педагоги-
ческих занятий в одной влиятельной семье у него возник план
новой астрономической системы, долженствующей заменить не-
точную, по его мнению, систему Коперника. В связи с этим замыс-
лом Виета положил много сил на усовершенствование тригономет-
рии и достиг замечательных успехов. Блестяще образованный,
Виета быстро продвигался по служебной лестнице-и наконец сде-
лался близким советником и придворным ученым французских
короле# Генрихов III и IV. Будучи с 1584 по 1589 г. отстраненным
от придворных дел вследствие происков политических противни-
119
Ф. Виета (1540—1603)
ков, он употребил свой досуг на написание главного труда своей
жизни «Введение в искусство анализа» — огромного и чрезвычай-
но обстоятельно написанного сочинения по новой алгебре. Труд
этот выходил с 1591 г. частями, в значительной части после смер-
ти автора и не был полностью завершен.
Замысел Виеты определялся следующими соображениями:
крупные успехи итальянских математиков в решении уравнений
3-й и 4-й степени опирались на высокую эффективность алгебраи-
120
ческих приемов. Но число отдельных видов алгебраических урав-
нений угрожающе быстро росло, достигая, например, у Кардано
66; каждый из этих видов требовал' особых приемов. Необходимо
было найти общие методы подхода к решению алгебраических
уравнений; последние тоже должны рассматриваться в возможно
более общем виде с буквенными коэффициентами. Кроме того,
необходимо было сочетать эффективность алгебраических прие-
мов со строгостью античных геометрических построений, хорошо
знакомых Виете и представлявших, по его мнению, образцы под-
линно научного анализа.
Исчислению Виеты предшествует арифметика, оперирующая
с числами: logistica numeralis. Исчисление букв получает на-
звание logistica speciosa от слова species — член математического
выражения. Исчисление распадается на зететику — искусство
решения уравнений; пористику — искусство доказательства пра-
вильности полученных решений; экзегетику — общую теорию
уравнений. Все величины обозначены буквами: неизвестные —
гласными, известные — согласными. Числа — безразмерны, по-
ложительны, рациональны i(b случаях иррациональностей Виета
переходит на язык геометрии), величины же имеют размерность.
Это геометрическое влияние на концепцию величины усиливает-
ся специальной терминологией: первая степень величины назы-
вается latis (сторона), вторая — planum (площадь), третья — so-
lidum (тело). Далее следуют Плоско-плоские, плоско-объемные,
объемно-объемные и т. д. величины. Сложение и вычитание
производятся над одноразмерными величинами. Последние,
впрочем, допускается подравнивать в размерности путем умно-
жения на единицу длины. Умножение и деление вызывают изме-
нение размерности. Эти идеи Виеты в его время отражали нали-
чие непреодоленного еще разрыва между числами и величинами.
Позднее выяснилось, что они явились предтечей ряда математи-
ческих исчислений: векторного, тензорного, грассмановой ал-
гебры.
Символика Виеты также отягощена еще грузом геометриче-
ских привнесений; она тяжела, не всегда понятна, перемежается
сокращенными и даже несокращенными словами. Вот примеры:
a) A cubus + В planum in A3aequaturDsolido (А3 + ЗВ А = D, или
х* + ЗВх = D).
б) В parabola in Agradutn — A potestate aequatur Z homogenae
(BAn — A?+n = Z).
Тем не менее благодаря этой символике стало впервые возмож-
ным выражение уравнений, их свойств > общими формулами. Объ-
ектами математических операций стали не числовые задачи, а сами
алгебраические выражения. Именно этот смысл вкладывал Виета
в характеристику своего исчисления как «искусства, позволяю-
121
щего хорошо делать математические открытия». Кстати, символы
Виеты были вскоре усовершенствованы его младшими современ-
никами, особенно Гэрриотом((1560—1621).
В сочинениях Виеты подводится своеобразный итог матема-
тики эпохи Возрождения. Особенно отчетливо эта особенность
проявляется в его алгебраических трудах. В них подробно и об-
стоятельно изложены сведения об уравнениях 1—4-й степеней.
Общий характер записи позволяет Виете строить все изложение
не как собрание рецептов, а как общую теорию уравнений. Для
этого он использует богатый арсенал алгебраических преобразо-
ваний, опирающийся на подстановки: x=y-\-k (чтобы исключить
член, имеющий неизвестное во второй по величине степени), х
(для исключения члена, содержащего х), x—ky (с целью устране-
ния дробных коэффициентов), х = -2-у (чтобы придать коэффи-
ь
циенту при хп-1 данное значение) и др. От радикалов он освобож-
дался путем отъединения одного члена и возведения обеих сторон
уравнения в степень.
Например, всякое кубическое уравнение он преобразует к
виду х3+Зах=Ь и применяет затем подстановку a—t2-\-tx, чтобы
прийти к уравнению
Xs + 3/х2 + 3/2х = Ь.
Из последних двух уравнений, преобразованных к виду:
(х + /)з_/з = 6>
t9 (t x)s == а3,
в»
он получает квадратное относительно t3 уравнение: (t3)2-^bt3=a3.
м a—t2
Можно и непосредственно подставить х = —-— в уравнение,
чтобы получить тот же результат.
Неприводимый случай кубического уравнения Виета свел к
задаче о трисекции угла. Он показал, что всякое неприводимое
уравнение может быть преобразовано к виду х3—Зх=а. Сопостав-
ляя его с тригонометрическим соотношением (2cos<p)3—3(2cosq>) =
=2cos3<p, Виета демонстрирует такое сведение. Задачу о трисек-
ции угла он решает известным ему из античных источников ме-
тодом вставок.
При решении уравнений Виета разыскивает положительные
корни. С помощью преобразования х=—у он подходит к проб-
леме нахождения отрицательных корней. Развивая результаты
Кардано, Виета высказывает ряд теорем о взаимозависимости
корней уравнений и их коэффициентов, включающих частные
случаи теоремы, известной ныне под его именем. В связи с этим
он рассматривает, в указанных выше границах, образование урав-
122
п
нений произведением биномов: Рп (х) = (* — хк)(п <5, xfc<0).
fe=i
Полностью предложение о зависимости коэффициентов и корней
уравнений было сформулировано Гэрриотом и А. Жираром и
опубликовано последним в 1629 г.
Алгебра Виеты была еще несовершенной и имела крупные
недостатки. Ее очень утяжеляла видовая трактовка величин, об-
ладающих размерностью. В ней нет общей трактовки степеней, все
степени натуральные. Принципиальное разделение чисел и алгеб-
раических величин не позволяло ему употреблять радикалы для
величин, а лишь для чисел и т. п. Ее скоро вытеснила алгебра
Декарта, о которой речь будет идти ниже. Однако известно, чдо
Ферма, например, изучив алгебру Виеты, придерживался ее фор-
мы, когда строил аналитическую геометрию. К тому же нам пред-
ставляется оправданным предположение, что параллелизм между
свойствами уравнений и геометрическими построениями, регулярно
проводимый Виетой, сыграл свою роль в формировании идей ана-
литической геометрии в XVII в. То, что представляло геометриче-
ский рудимент в формирующейся алгебре Виеты и других мате-
матиков XVI в., послужило исходные пунктом развития новой
науки — аналитической геометрии — в руках ученых XVII в.
Сопоставление алгебраической и тригонометрической задачи,
отмеченное при решении кубического уравнения, не было для
Виеты случайной находкой, эпизодом. Виета, как было уже ска-
зано, проявил интерес к алгебре именно в силу ее пригодности и
даже необходимости для задач тригонометрии и астрономии.
В дальнейшем тригонометрические и алгебраические труды и ре-
зультаты следуют одновременно, нередко переплетаясь. Виета не
ограничился определением всех элементов плоского или сфери-
ческого треугольника по трем данным элементам. Ему принадле-
жат разложения тригонометрических функций кратных дуг посред-
ством последовательного применения формул для синуса и коси-
нуса суммы двух углов.
cos та = cos'" а — cos'"-2 a- sin2 а + ...
1-2
sin та = /«cos'"-1 а-sin а-)S4Lzr.?L cos'"-3а• sin8 а + ...
1-2-3
После смерти Виеты стали известны многие его рекуррентные
формулы
cos та = 2cosa.cos(m—1)а — cos (т— 2) а,
sin та = 2 cos а. sin (га— 1)а—sin (т — 2) а,
sin та = 2 sin a-cos (га— 1) а + sin (т — 2) а,
cos та = — 2 sin a-sin (га— 1) а cos (га— 2) а.
123
Несколько странное впечатление оставляет то, что подобные круп-
ные .результаты гониометрии достигнуты при недостаточно общем,
определении тригонометрических функций как отношений сторон
прямоугольного треугольника без намека на введение производя-
щей окружности.. Однако так часто бывает в истории; результаты
сначала появляются, а потом осмысливаются и получают удовлет-
ворительную общую трактовку.
Значительным достижением Виеты является введение им впер-
вые в математику задачи о нахождении бесконечного произведе-
ния. Если около правильного n-угольника площади Sn описать
круг радиуса г и вписать в него круг радиуса рп, то после удвое-
ния сторон n-угольника получим Sn :S2„ = ря: г = cos —. Начнемг
п
с вписанного квадрата: n=4, S4=2r2. Последовательно полагая
п=4, 8, 16, ..., получим:
S \S8= COS—,
4 8 4
* sle = cos —,
Теперь Виета «переходит к пределу». Он говорит, что для»
п=оо получится круг, площадь которого Soa—2nr2. Перемножив-,
всю цепочку равенств, он находит:
или
Разумеется, Виета не доказывает сходимости полученного беско-
нечного произведения, будучи интуитивно уверенным в справедли-
вости своего предельного утверждения.
На примере работ Виеты мы показали, что в европейской
математике к концу XVI в. сформировалась алгебра как наука
о решении уравнений. Последняя содержала полный запас мето-
дов решения уравнений первых четырех степеней. Алгебраисты,
завершили символическое оформление своей науки и пробовали
формулировать и решать проблемы общей теории алгебраических
уравнений. Тригонометрия отделилась от астрономии, ее резуль-
124
тэты получили достаточную степень общности. Полностью ос-
воено учеными геометрическое наследие древних. Математика по-
стоянных' величин к концу XVI в. завершала цикл своего форми-
рования.
4.4. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
Математика развивается широким фронтом. При этом подвер-
гаются изменению все элементы её структуры: развиваются новые
теории, выдвигаются и проверяются новые гипотезы, накаплива-
ются факты, пополняющие состав уже сформировавшихся матема-
тических наук, расширяется сфера применения математических ме-
тодов, меняются общие взгляды на природу математики и ее воз-
можности. Процесс изменения охватывает не только те части ма-
тематики, которые в данный исторический период представляют
вершину ее творческих достижений. Развивается и видоизменяет-
ся также та ее область, которую принято называть элементарной
математикой, — термином, который еще не нашел однозначного
определения и истолкования, — и которая играет такую большую
роль в системе образования и массовой практической деятельно-
сти людей. Разделение математики на высшую и элементарную,
употребляемое в наше время, носит условный, исторически огра-
ниченный характер и не может претендовать на научность. Между
элементарной и высшей математикой нет определенного разгра-
ничения: элементарно-математические идеи перерастают в выс-
шие области математики; в свою очередь элементарная математи-
ка пополняется новыми фактами и идеями из так называемой выс-
шей математики.
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих эти особен-
ности исторического развития математики. Математики XVI и на-
чала XVII в. испытывали огромные трудности вычислительно-
практического характера. Прежде всего эти трудности концентри-
ровались вокруг задачи составления таблиц тригонометрических
функций и связанной с этим задачи определений значения л. Дру-
гой задачей являлось отыскание простых и надежных алгоритмов
численного определения корней уравнений с данными числовыми
коэффициентами. Арифметические средства вычислений ограничи-
вались операциями с целыми числами и простыми дробями; де-
сятичные дроби только пробивали себе дорогу. Впервые в Европе
они были введены в 1.585 г. С. Стевином в сочинении «La Disme»
(«Десятая»), Вычисления делались только вручную.
Составление тригонометрических таблиц играло в то время
большую роль. Поэтому в конце XVI и в начале XVII в. героиче-
скими усилиями ученых было составлено и издано несколько та-
ких таблиц. Над вычислением таблиц работали, например, Копер-
ник (1473—1543), Кеплер (1571—1630) и их ученики и сотрудни-
ки. Через 20 лет после смерти Ретикуса (1514"—1576), ученика Ко-
перника, появились законченные уже третьим поколением вычис-
125
лителей большие таблицы «Opus Palatinum», где величины всех
шести тригонометрических функций были вычислены с частотой
Ю" для производящей окружности радиусом г=1010. Обширные
таблицы оставил в огромном сочинении «Canonus mathematicus»
Виета. Бюрги, сотрудник Кеплера, много лет потратил на состав-
ление таблицы синусов дуг через каждые 2". Количество примеров
можно было бы умножить. Мореплаватели и астрономы, строите-
ли и конструкторы всех стран остро нуждались в этих таблицах, и
они появлялись в разных странах и в разных вариантах.
Особенностью таблиц была громадная величина избранного
для отсчета радиуса производящей окружности. Объяснялось это
отсутствием десятичных дробей, в силу чего результаты приходи-
лось получать в целых числах, и необходимостью обеспечить до-
статочно высокую точность вычислений. Главные заботы вызывало
определение с особенно высокой точностью синусов (или хорд)
малых дуг, чтобы на вычислениях не сказалось накопление оши-
бок. Для этого использовали унаследованный от древних прием
последовательного удвоения сторон правильного вписанного мно-
гоугольника. Виета, например, для определения sin Г довел вы-
числения до отыскания сторон правильного вписанного многоуголь-
ника с 3-211 сторонами, а описанного — с 3-212 сторонами. При
этом в качестве сопутствующего результата отыскивались прибли-
женные значения числа я с большой точностью. Так, в это время
голландский математик и фортификатор Лудольф ван Цейлен
(1539—1610) определил сначала 20, а затем 35 десятичных знаков
числа я, первым превзойдя результаты среднеазиатского матема-
тика Каши. К слову сказать, дальнейшие уточнения этого числа,
вплоть до вычислений Шенкса, отыскавшего свыше 700 десятич-
ных знаков я, практическими потребностями не вызывались. По-
будительной причиной их было, по-видимому, или тщеславное
стремление продемонстрировать свое вычислительное мастерство,
или же наивная попытка «взять в лоб» непосредственными под-
счетами проблему определения арифметической природы числа я.
Для облегчения вычислений таблиц математики придумывали
частные приемы, в которых главную роль играли отдельные три-
гонометрические соотношения, а также разности различных поряд-
ков. Их основной целью было сведение, по возможности, вычисле-
ний к наиболее простым операциям: сложению и вычитанию. Та
же цель преследовалась и при вычислениях с тригонометрически-
ми функциями с использованием таблиц. Вычислители, естествен-
но, стремились избежать-непосредственного умножения и деления
многозначных чисел, сводя их к сложению и вычитанию приема-
ми, вроде
sin х • sin у = fcos (x — у) — cos (x !/)[,
COS X • cos у — [cos (x — y) + cos (x + y)].
126
Подобные методы столь часто применялись, что получили специ-
альное название «простаферетических» i (от соединения двух гре-
ческих слов: простезис — прибавление, афайрезис — вычисление).
Ими пользовались математики Ближнего Востока, Виета, Тихо-
Браге, Виттих, Бюрги и многие другие. Эти методы находили при-
менение некоторое время и после того, как были изобретены ло-
гарифмы и вошел в употребление обратный им путь приведения
тригонометрических выражений к виду, удобному для логариф-
мирования.
Логарифмы были изобретены в начале XVII в. Их теоретиче-
ские основы стали формироваться очень давно. Речь идет об идее
сравнения двух прогрессий — геометрической и арифметической,
и о достаточном обобщении понятия степени. Еще у Архимеда в
«Псаммите» встречается запись последовательных степеней одно-
го основания: а°, а1, а2, а3...,по поводу чего высказано утвержде-
ние, эквивалентное: ат-ап=ат+п. Аналогичные мысли высказывал
Диофант. Орезм исходил из идеи сравнения геометрической про-
грессии и арифметической, когда вставлял в последней дробные
числа между натуральными и обобщил тем самым понятие пока-
зателя степени на дробные величины. Штифель систематически
сравнил действия над членами обеих сопоставленных Прогрессий
и ввел дробные и отрицательные показатели степени.
Чтобы воспользоваться этиьш идеями для целей сведения опе-
раций к более простым, нужно было только составить таблицы,
где сопоставляется последовательность степеней чисел с последо-
вательностью их показателей. Чтобы таблицы были достаточно-
густыми, их единое основание следует выбирать близким к едини-
це. Подобные таблицы в начале XVII в. уже существовали. Их
составил Стевин.
Это были таблицы сложных процентов, т. е. значений чисел
(1+г)” при различной процентной таксе г: г=0,05, г=0,04 и т. д.
Чем меньше г, тем меньше разрыв между получаемыми значе-
ниями. Аналогичная таблица была положена в основу одной из-
первых таблиц логарифмов, составленной И. Бюрги.
И. Бюрги (1552—1632) родился в Швейцарии. Он был ма-
стером по ремонту часов и астрономических инструментов; вначале
работал в Касселе, а затем в Праге на астрономической обсерва-
тории вместе с И. Кеплером и помогал ему в наблюдениях и вычис-
лениях. Здесь для облегчения вычислений в течение восьми лет
(1603—1611) он составил свою таблицу логарифмов на основании
таблиц типа Стевина: а(1 +r)п.
Чтобы получить достаточно малый шаг в таблице, Бюрги при-
1 1
нял Г = СтРемление возможно дольше не встречаться с
дробями заставило его ввести дополнительный множитель а=108.
Значениям получаемой геометрической прогрессии gk = Ю8 (1 4-
127
"^"То4/ (^ОЛДЗ,...) Бюрги ставил в соответствие члены ариф-
метической прогрессии: 0, 10, 20, 30, ... Получилось два ряда зна-
чений:
108, 108 (1 + 10-4), 108 (1 + 10-4)2, 108 (1 + 10-4)3 ...
0, 10, 20, 30
Числа нижнего ряда были напечатаны красной краской и на-
зывались красными; числа верхнего ряда — черной краской и
назывались черными. Таким образом, в таблице Бюрги красные
числа представляют собой логарифмы черных, разделенных на 108
при основании |Л1,0001. Так как Бюрги ориентирует свою таб-
лицу на красные числа, то она является по существу таблицей
антилогарифмов, что принципиально существа дела не меняет.
Вычисления (благодаря наличию множителя 108) черных чисел
доводились до девятого знака. Они были доведены до так назы-
ваемого полного черного числа, равного 109. Соответствующее ему
полное красное число было найдено с применением интерполяции
и оказалось равным 230 270 022, т. е. 1,000 1 230 270 022 • 108 = 109. Из
этого видно, какое громадное количество последовательных вычис-
лений пришлось проделать Бюрги при составлении своей таблицы,
потратившему на эту работу, как было сказано выше, около вось-
ми лет.
Бюрги долго не решался публиковать таблицы, несмотря на
•очевидную их полезность при вычислениях. Только в 1620 г., по
настоянию Кеплера, он издал книгу «Таблица арифметической и
геометрической прогрессии с обстоятельным наставлением, как
пользоваться ими при всякого рода вычислениях». Оригинал этих
таблиц, вместе с другими материалами архива Кеплера, хранится
в СССР в Пулковской обсерватории. «Обстоятельное наставление»,
не опубликованное в свое время вместе с таблицами, было обна-
ружено позднее и увидело свет в 1856 г.
Медлительность Бюрги стоила ему приоритета. В 1614 г., на
6 лет ранее его книги, в Англии появилось «Описание удивитель-
ных таблиц логарифмов» («Canonis mirifici logarithmorum descrip-
tio»). Автором этого сочинения был Джон Непер (1550—1617),
шотландский барон, занимавшийся различными науками, в осо-
бенности астрономией и математикой, а таблицы были 8-значны-
ми таблицами логарифмов тригонометрических функций для зна-
чений аргументов от 0 до 90° через 1'.
Принцип составления этих таблиц, которым Непер владел, по-
видимому (как это можно заключить из его переписки), с 1594 г.,
был для своего времени новым. Метод сравнения прогрессий, как
было показано, дает последовательность дискретных значений. Их
Можно, не испытывая принципиальных трудностей, сгустить, но
их дискретный характер не изменится. Неотъемлемой частью этого
128
Дж. Непер (1550—1617)
метода является интерполяция. Непер, напротив, исходил из ло-
гарифмической функциональной зависимости, выразив ее в виде
двух непрерывных шкал. Его идея состояла в следующем.
Пусть из точек А и Д1 (рис. 29) одновременно в направлении,
указанном стрелками, начинают двигаться две точки Мит, про-
ходя последовательно положения соответственно Мо, Mi9 М2,
М3, ... и /По, /Hi, /и2, /и3, .... Начальная скорость обеих точек оди-
накова (для простоты положим и0=1). Точка т движется с по-
стоянной скоростью uw=const, а точка М движется замедленно;
ее скорость пропорциональна оставшемуся расстоянию до точки В
(для простоты положим ДВ=1). Такое определение (если обоз-
5 К. А. Рыбников
129
начить Aitnk=x, М&В=у) в переводе на современный язык экви-
валентно дифференциальному уравнению — —у, откуда х =
dx
= —In у, или х—log 1 у. Неперова система логарифмов оказалась
е
системой с основанием —. Введение логарифмической функции
объективно хранило в себе большие возможности для применения
в будущем в системе математического анализа. Но Непер еще не
владел в 1614 г. идеей лога-
___________!___t t В рифмической функции. Ему
Мо Mt Mz М3 - были нужны таблицы. Поэтому
он делил АВ на 107 этапов ее
, ।________——_ прохождения, проходимых за
то т, тг т3......... 107 моментов времени. Тогда в
первый момент времени ско-
Рис. 29 рость=1, и последовательно:
BMi = 1——; = —— (1 —J-Y м2в = мгв—=
10’ 1 а 10’ \ 10’ / 2 1 2
Л 1 \ 1 Л 1 \ Л 1 \2
= ( 1----)-----( 1----) = ( 1----1 ; ... и т. д.
\ 107 / io7 \ ю7 J \ ю7 J
Образуются две последовательности значений:
М kB 1 1---------—
k 107
1 * ю7
Непер легко избегал операций с дробями, принимая ДВ=107,
а не ЛВ=1, как это сделали мы здесь; не меняло существа дела
и то, что начальная скорость и0¥=1. Нижние числа в таблице Не-
пер назвал логарифмами верхних, что означало буквально «числа
отношения» i(ot соединения греческих слов: Хоуод — отношение,
арс'О’цо^ — число). Название это он выбрал, чтобы подчеркнуть,
что логарифмы являются вспомогательными числами, измеряю-
щими отношения соответственных чисел. Логарифмы Непера, не-
смотря на плодотворную общую идею непрерывной числовой шка-
лы, все еще были таблицами сравнения значений двух прогрес-
сий: арифметической и геометрической.
Как уже было указано, таблицу Непера составляли логариф-
мы тригонометрических функций. Прежде всего отдельную колон-
ку составляли логарифмы синусов углов первой четверти, выбран-
ных с интервалом V. Они, таким образом, давали и значения ло-
гарифмов косинусов (как синусов дополнительных углов). Во из-
бежание дробей принято, что sin 90°= 108. В специальной колон-
130
ке под названием «разности» (differentiae) приведены разности
логарифмов синусов дополнительных углов, т. е. логарифмы тан-
генсов. Неперу было известно, что логарифмы обратных тригоно-
метрических функций получаются просто изменением знака. Мы
опускаем технические подробности арифметического подсчета этих
таблиц. Правила логарифмирования по Неперу отличаются от
обычных. Они более громоздки, так как в них присутствует
log 1=0=0 (было принято, что log 108= 1). Например, рассмотрим
правило логарифмирования произведения y=ab. Перепишем его
в виде — = -у-. Равенство отношений влечет равенство разностей
«чисел отношений» (логарифмов):
log г/— log а = logfe — log 1; log у = loga + logfe — log 1.
Кроме того, что во всех правилах Непера присутствует log 1=х,
v 1 А 1 \х
определяемый из равенства 1 = v0 ( 1-----, существенное ос-
\ J
ложнение при вычислениях вносит тот (факт, что log 10=# 1. Поэто-
му приходилось заново вычислять и мантиссу и характеристику
логарифмов чисел, отличающихся друг от друга только множите-
лем 10±ft (k — натуральное число). Эти затруднения привели Не-
пера к идее десятичных логарифмов, т. е. к тому, чтобы первона-
чально полагать log 1=0, log 10= 1010.
Та же идея десятичной системы возникла после ознакомления
с таблицами Непера у профессора лондонского колледжа Генри
Бригга (1561—1630), с 1619 г. профессора математики в Оксфор-
де, а затем в Лондоне. Он дважды ездил к Неперу в Шотландию,
сдружился с ним и в совместных занятиях они разработали но-
вую, практически более удобную десятичную систему, основанную
на сравнейии прогрессий:
...0,01 0,1 1 10 100...
... —2—10 1 2
Бригг взялся за разработку большой таблицы десятичных лога-
рифмов. Уже в 1617 г. он опубликовал 8-значные таблицы лога-
рифмов чисел от 1 до 103. Через 7 лет, в 1624 г., Бригг сумел из-
дать «Логарифмическую арифметику», содержащую 14-значные
таблицы логарифмов для чисел 1—20000 и 90000—100 000. Для
пропаганды нового вычислительного средства он выпустил не-
сколько статей, разъясняющих методы вычисления таблиц и упот-
ребления логарифмов. Один из методов Бригга представляет осо-
бенно большой интерес.
Бригг исходит из того, что если из любого числа, например из
10. последовательно извлекать квадратный корень, то после доста-
точно большого числа извлечений (т = 2") получится результат,
достаточно близкий к единице. В таком случае результат следую-
131
9n+l
щего извлечения квадратного корня можно записать: у 10 = 1 + а,
. 2П _
где а — мало. Возведем обе части равенства в квадрат: -^10 = 1 +
+ 2а + а2. Для п достаточно большого а2 таково, что его можно
отбросить и это не скажется на принятой точности вычислений.
2п,-
2ГЖ 1/10-1
/10-1= ——
Умножим обе части на 2Л+1:
т. е. выражение, практически не меняющееся при дальнейшем воз-
растании п. Если обозначить
/То = х, то „ 2. ( /ТО - 1) = (И).
То же значение х можно получить, подставляя вместо 10 любое
2^___________________________ 1
другое конечное число: у а ^х. Тогда log10х Подста-
новка в (Д) даст:
откуда
/ 2т г— \
2'М у а — 1
logio а -----Н-----------
Вычисление десятичного логарифма любого числа сведено та-
ким образом к последовательному извлечению квадратного корня
из этого числа. Значения степеней 2 и последовательного извлече-
ния квадратных корней из 10 вычисляются предварительно. Чтобы
избежать накопления ошибок, Бригг произвел 54-кратное извле-
чение квадратного корня с точностью до 32 десятичных знаков:
2^ЛТ0 = 1,000 000000000 000 127 819 149 320 032 35.
Работами Непера и Бригга вычислительные трудности, о ко-
торых мы здесь смогли дать лишь неполное представление из-за
132
их громоздкости, были преодолены. Логарифмы вошли в вычисли-
тельную практику и быстро распространились по всему миру.
В 1628 г. голландец А. Влакк, книготорговец по роду занятий,
закончил труд Бригга, составил и издал 10-значные таблицы де-
сятичных логарифмов чисел 1—105. Он же довел до конца состав-
ление 10-значных таблиц десятичных логарифмов тригонометри-
ческих функций с частотой через каждые 10". Лед был сломан.
Английский преподаватель математики Джон Спейдель вычислил
к 1620 г. таблицы натуральных логарифмов, сразу завоевавшие
громадную популярность. В то же время (1620) лондонский про-
фессор Эдмунд Гюнтер разработал логарифмическую шкалу,
явившуюся первым вариантом широко ныне распространенной ло-
гарифмической линейки. Он же, а кроме него Кеплер и другие
ученые, составлял таблицы логарифмов чисел и тригонометри-
ческих функций, как десятичные, так и натуральные, и широко
использовал их в астрономии.
Таблицы логарифмов быстро, в течение менее чем столетия,
распространились по всему миру и сделались незаменимым вспо-
могательным орудием при вычислениях. В 1650 г. они были заве-
зены иезуитами-миссионерами в Китай. В России регулярные из-
дания таблиц логарифмов датируют с 1703 г., когда появились
таблицы Влакка. Логарифмическая шкала была описана в рус-
ской научной и учебной литературе впервые в 1730 г. под назва-
нием гунтерской (по имени уже упомянутого выше проф. Э. Гюн-
тера).
Мы уже отмечали, что в процессе решения чисто вычислитель-
ной задачи составления таблиц возникли элементы анализа пере-
менных величин. Это были: идея логарифмической функции, выс-
казанная Непером, и отбрасывание несущественно малых вели-
чин, например у Бригга. Можно предположить, что последний
прием послужил одной из причин того, что Кеплер стал занимать-
ся исчислением актуальных бесконечно малых величин.
В свою очередь применение элементов анализа бесконечно
малых дало новый более удобный способ вычисления логарифмов.
Его разработал в 1667 г. член Лондонского королевского общест-
ва голштинец Кауфман (1620—1687), известный под именем
Н. Меркатора. Последний исходил из замечательного соотноше-
ния, доказанного в 1647 г. Сен-Винсентом: если абсциссы точек
Л и В на гиперболе у = — (рис. 30) соответственно пропорцио-
нальны абсциссам точек Ai и Bi на той же кривой, то площади
криволинейных четырехугольников, расположенных под отрезками
АВ и AiBi, равны.
Эквивалентным ему является предложение: площадь S под
гиперболой У = ~ наД отрезком (1, х) оси абсцисс равна Inx
в системе, основанием которой является число е такое, что
S (1, е) = 1.
133
Меркатор перенес ось ординат вправо на единицу. Уравне-
ние гиперболы стало у — . Заштрихованная площадь
S(0, х) = 1п(14-х). Разложив у — в ряд, он получил у=
= 1—х+х2—х3-!-... Остаток при |х|<1 может быть сделан при
достаточном продолжении ряда как угодно малым.
Далее Меркатор использует методы квадрирования площадей,
ограниченных кривой вида у=хп, абсциссой и двумя ординатами.
Эти ранние методы интегрирования были к тому времени уже
хорошо разработаны Кавальери, Ферма, Паскалем и др. Интег-
рирование дает:
о /л \ . х* х* , , Хп
S(0,x) = x-—+ ±—.
т. е. возможность вычислять значения функции In(l-f-x) с по-
мощью степенного ряда. Теория логарифмических функций полу-
134
чила завершение в трудах Л. Эйлера. Ему принадлежит общее
определение логарифмической и показательной функций как вза-
имно-обратных, распространение понятия логарифма на случай
комплексного аргумента, введение символа е для основания нату-
ральных логарифмов и т. д. (см. его «Введение в анализ беско-
нечно малых», т. I).
Ученые-математики XVII в. искали также и другие пути пре-
разных городах Европы
одоления вычислительных трудностей. В
стали возникать счетные машины. По-
видимому, самой ранней машиной бы-
ла машина немецкого профессора
Вильгельма Шиккарда (1623), препо-
дававшего в г. Тюбингене математику
и астрономию. Сведения об этой маши-
не появились только в 1958 г. Ее схе-
ма и объяснения к этой схеме были
обнаружены в архиве Кеплера, а за-
тем в архивных фондах библиотеки
Штутгарта.
Машина В, Шиккарда состояла из
трех частей: суммирующее устройство,
множительное устройство и механизм
для записывания промежуточных ре-
зультатов. Первое из них представляло
арифмометра, построенного на принципе
/ 1 3 4 5 6 1 8 9 0
2 4 6 8 72 /2 V. У У 0
3 6 9 /2 7 у 22 0
ц 8 72 X Л X % 3/ Ув 0
5 '/о X 22 Я S’ 7о У 0
6 У 72 й 52 % ч/в % 0
7 % Я у Я ^2 ^2 У 7 0
в у % $2 % Уб У 7/г 0
9 /2 7? % X 7 бУ 7Л 7 0
Рис. 31
раннюю разновидность
использования зубчатых
передач. На параллельных осях (их было шесть) насаживалось
по одной десятизубой и однозубой шестерне. Последняя служила
для того, чтобы передать шестерне следующего разряда толчок,
поворачивающий ее на 0,1 оборота, после того как предыдущая
шестерня сделает полный оборот. Техническое оформление маши-
ны позволяло видеть в окошках, какое число набрано в качестве
первого слагаемого (или уменьшаемого) и последующие результа-
ты, вплоть до итогового. Вычисление не представляло при этом
затруднений. Для деления рекомендовалось повторное вычитание
делителя из делимого.
Оригинально разрешена в машине Шиккарда задача умноже-
ния чисел. На параллельных осях (их тоже было 6) насажива-
лись цилиндры, на каждый из которых была навернута таблица
умножения. На рис. 31 показана эта таблица в развернутом виде.
Перед цилиндрами устроена панель с девятью рядами окошек (по
6 штук в каждом ряду, по числу цилиндров); каждый ряд откры-
вается и закрывается специальной фигурной задвижкой. Пусть
необходимо сосчитать, чему равно произведение 387-27. Все ци-
линдры устанавливаются вращением в такое положение, чтобы
в верхнем ряду окошек появилось множимое: 000387. Частич-
ное произведение 387-7 получается простым открыванием окошек
седьмого ряда; в них появится 0002/15/64/9, что означает после
несложного подсчета в уме: 2709 (0 0 0 215649). Второе частичное
135"
произведение (387-20) получается открыванием второго ряда око-
шек, что дает 000 61/6 1/4, или 774, к которому справа приписы-
вается нуль. Оба частичных произведения 2709 и 7740 складыва-
ются на суммирующем устройстве. Последнее в своих окошках
покажет сумму 10449.
Третья часть машины состояла из шести барабанчиков с на-
несенными на них цифрами: 1, 2, ..., 9, 0 и соответственно из па-
нели с шестью окошками. Поворотом барабанов в окошках фик-
сировалось число, которое вычислите-
лю надо запомнить. Конструктивное
решение машины Шиккарда изображе-
но на рис. 32 (1 — множительное
устройство, 2 — суммирующее, 3 —
записывающее устройство для памя-
ти).
Машина Шиккарда была изобре-
тена и построена в 1623 г. О ней ниче-
г© не было известно, по-видимому, ни-
кому, кроме Кеплера и узкого круга
друзей изобретателя. Поэтому до по-
следнего времени считалось, что пер-
вый арифмометр изобрел в 1642 г.
Блез Паскаль (1623—1662). Арифмо-
метр Паскаля, построенный на принци-
пе десятичных зубчатых передач, позд-
нее (1673—1674) был усовершенство-
ван Лейбницем. Счетные устройства
были еще долгое время несовершенны-
ми и не имели широкого распростра-
нения и практического применения
вплоть до 1874 г., когда инженер Однер (Петербург) изобрел спе-
циальное установочное устройство — колесо Однера, употребляю-
щееся в простейших вычислительных машинах и в наше время.
Многие вычислительные методы были разработаны в связи с
численным решением алгебраических уравнений, переплетены с
ним. С особенной силой эта связь проявилась в сочинениях
И. Ньютона и его предшественников и современников. Еще в
молодости (ок. 1676 г.) Ньютон разработал способ приближенно-
го нахождения корней уравнений, применяемый до сих пор. В на-
ши дни продолжается исследование многоугольника Ньютона,
изобретенного им для разложения в ряд по дробным степеням ар-
гумента х решения у уравнения f(x, у)=0. В связи с задачами
вычислительного характера Ньютон вывел формулу бинома и
распространил ее на случаи дробного и отрицательного показате-
ля степени бинома.
В 1673—1683 гг. Ньютон читал в Кембриджском универси-
тете лекции по алгебре. Его преемник по кафедре издал в 1707 г.
эти лекции под названием «Универсальная арифметика». Они
136
замечательны как своеобразный итог развития алгебры XVII в.,
как пример неразрывности арифметики и алгебры в то время и
ведущей роли в алгебре вычислительных методов: «Все действия
арифметики столь необходимы в алгебре, что они лишь совместно
образуют полную науку вычислений, и поэтому я буду излагать
их обе вместе», — писал Ньютон 1.
Подготовительный аппарат алгебры — основные понятия и
правила действий — содержит разделы, посвященные операциям
над арифметическими дробями. Геометрические способы построе-
ния корней уравнений трактуются как вспомогательные для при-
ближенной оценки величины корней. Материал* общей теории
уравнений также подчинен задаче численного решения задач, при-
водящихся к алгебраическим уравнениям.
Практические цели, стоящие перед математиками XVII в.,
привели к расширению арсенала вычислительных средств и прие-
мов численного решения задач. Главными достижениями в этом
плане являлись: изобретение логарифмов и методов точного или
приближенного (если точное оказывается невозможным) вычис-
ления корней алгебраических уравнений. Все эти нововведения
обогатили элементарную математику. В то же время каждое из
этих открытий несло в себе элементы, получившие развитие в не-
элементарных ее частях: в математическом анализе и в высшей
алгебре. В этом проявилась особенность неразделяемого массово-
го развития всего состава математики и относительность, искус-
ственность ее деления на элементарную и высшую, на различные
дисциплины и т. д. Не надо никогда забывать, что выделение од-
ной из сторон, ветвей математики хотя и облегчает ее изучение,
но обедняет, огрубляет общую картину развития всей совокупности
математических знаний. Вопрос о связях и взаимодействиях как
внутри, так и вне математики остается коренным вопросом всей
математики, особенно в случаях, когда речь идет о ее логической
структуре или об ее истории.
1 И. Ньютон. Всеобщая арифметика. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1948,
стр. 7.
Глава 5
ПРОЦЕСС СОЗДАНИЯ МАТЕМАТИКИ
ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН
5.1. НАЧАЛО ПЕРИОДА МАТЕМАТИКИ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН
В истории науки математика XVII в. занимает особое, весьма
значительное место. XVII в. открывает новый период — период
математики переменных величин.
К концу предыдущего, XVI, столетия алгебра, тригонометрия,
геометрия, а также приемы вычислений накопили достаточно мно-
го фактов и достигли такого состояния, что стали существенной
частью технического и общенаучного прогресса. В течение XVII в.
математические методы продолжали весьма энергично внедряться
в естествознание, прежде всего в механику. Так, в 1632 и 1638 гг.
Галилей дал математическое выражение законов падения тел,
несколько ранее (1609—1619) Кеплер открыл и математически
сформулировал свои знаменитые законы движения планет.
К 1686 г. Ньютон смог сформулировать и убедительно продемон-
стрировать закон всемирного тяготения: законы движения планет
объясняются притяжением их к Солнцу с силой, обратно пропор-
циональной квадрату расстояния и прямо пропорциональной их
массам. Законы притяжения оказались универсальными для лю-
бых тел, массу которых можно представить сосредоточенной в
центре. Большинство ученых работали во многих областях науки,
они пытливо изучали природу, отыскивали ее законы и не особен-
но заботились о разграничении наук.
138
Успехи в выявлении и математическом оформлении столь
многих естественнонаучных закономерностей привели к созданию
системы наук о природе — математического естествознания. По-
следнее представлялось в виде общей науки, которая объясняла
отдельные явления действием общих, математически сформулиро-
ванных законов природы. Философская идея универсальности "ма-
тематического метода, отражающая быстрое развитие техники и
математики, довлела над умами крупнейших ученых и философов
XVII в. (Декарт, Спиноза, Лейбниц, Ньютон).
Каждый новый успех математического естествознания вызы-
вал резкое повышение спроса на приложения математической тео-
рии. Математика во все времена развивалась под определяющим
влиянием практики и в конечном счете технического, материаль-
ного прогресса. В XVII в. математическое творчество ученых про-
текало в атмосфере высокого давления практических обстоя-
тельств.
В течение этого столетия изменились формы существования
математики. На смену энтузиастам-одиночкам пришли научные
организации. С 1662 г. начало свою деятельность Лондонское ко-
ролевское общество, играющее и ныне роль национальной Акаде-
мии наук. В 1666 г. организована Парижская академия. Тем было
положено начало эпохе организации научных учреждений и об-
ществ, ставших плодотворной формой коллективного труда ученых
при государственном покровительстве наукам.
Переписка ученых и появлявшиеся изредка книги не удовлет-
воряли требованиям научного общения. В XVII в. было положено
начало периодике. С 1665 г. в Лондоне выходят «Philosophical
Transactions»; одновременно в Париже появился «Journal des S?a-
vans» (существовал до 1792 г.); в 1682 г. в Лейпциге был основан
Лейбницем журнал «Acta Eruditorum» (существовал до 1731 г.).
Изменение практического положения, идейных основ и орга-
низационной структуры и роли математики происходило наряду
с глубокими качественными изменениями в ее содержании. Изу-
чение’ чисел, постоянных величин, фигур дополняется изучением
движений и преобразований, функциональных зависимостей. Ме-
няется внутреннее содержание математики, все более приобретаю-
щей облик математики переменных величин.
Об этом перевороте в математике Ф. Энгельс говорил: ^Пово-
ротным пунктом в математике была Декартова переменная вели-
чина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем са-
мым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необхо-
димым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тот-
час и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не
изобретено, Ньютоном и Лейбницем»1.
В XVII в. берут начало все, или почти все, математические
дисциплины, входящие ныне в классический фонд современного
высшего математического образования. В трудах Декарта и Фер-
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Собр. соч., т. 20, стр. 573.
139
ма начала формироваться аналитическая геометрия как метод вы-
ражения числовыми соотношениями размеров, форм и свойств гео-
метрических объектов, существенно использующих метод коорди-
нат. В разнообразных формах стал возникать математический ана-
лиз. Вначале это было дифференциальное и интегральное исчисле-
ние, принявшее в 1665—1666 гг. в сочинениях И. Ньютона (опуб-
ликованных, однако, лишь в XVIII в.) вид теории флюксий, а в
сочинениях Лейбница (опубликованных в 1682—1686 гг. и позд-
нее) вид исчисления дифференциалов. Тотчас после возникнове-
ния математического анализа механические и физические задачи
стали записываться в виде дифференциальных уравнений, реше-
ние которых стало с тех пор едва ли не самой главной задачей
всей математики. Почти в то же самое время в математическом
анализе появились первые задачи, вводящие в его высшие обла-
сти. В частности, речь идет о вариационных задачах, попытки ре-
шения которых привели впоследствии к появлению вариационно-
го исчисления — самой ранней части функционального анализа.
В неразрывной связи с анализом формировались в отдельную
область математики его геометрические приложения. Еще в на-
чале столетия, в 1604 г., Кеплер вывел формулу радиуса кривиз-
ны. Позднее, в 1673 г., Гюйгенс дал математическое выражение
эволют и эвольвент. Многие дифференциально-геометрические
факты, открытые и доказанные в XVII в., послужили надежной
основой для выделения и обоснования новой области матема-
тики — дифференциальной геометрии.
В XVII в. было положено начало учению о перспективе и про-
ективной геометрии в сочинениях Ж. Дезарга (1593—1662) и
Б. Паскаля (1623—1662). Первую научную форму приобрела тео-
рия вероятностей, особенно благодаря открытию Я. Бернулли
(1654—1705) простейшей формы закона больших чисел.
Наконец, элементарная математика приобрела завершенную
форму благодаря замене риторической алгебры символической,
а также изобретению логарифмов.
Столетие в жизни науки — большой срок, в течение которого
происходит множество событий. Как и всюду в настоящей книге,
мы постараемся выделить главные линии развития и отметить за-
кономерности. Именно, мы постараемся показать, как в XVII в.
математика преобразовывалась, превращаясь преимущественно в
математику переменных величин, как происходило расширение
предмета математики за счет включения в него движения и выра-
ботки новых средств его математического отображения.
5.2. ВОЗНИКНОВЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Мы отметили глубокую мысль Ф. Энгельса о том, что пово-
ротным пунктом в математике XVII в. была декартова перемен-
ная величина. Рассмотрим эту мысль подробнее. Рене Декарт
140
Р. Декарт (1596—1650)
(1596—1650) был выдающимся французским ученым: философом,
физиком, математиком, физиологом. Образование он получил в
иезуитском колледже, славившемся постановкой обучения. Всю
жизнь Декарт продолжал совершенствоваться в науках. Целью
естественнонаучных занятий Декарта была разработка общего де-
141
дуктивно-математического метода изучения всех вопросов есте*
ствознания. При этом, по справедливому замечанию К. Маркса,
Декарт совершенно отделил этот род своих занятий от метафизи-
ческих рассуждений идеалистического характера. В границах фи-
зики Декарта единственную субстанцию, единственное основание
бытия и познания представляет материя.
Рационализм идей Декарта, признающего прежде всего ра-
зум, строгую дедукцию, был направлен против церковной схолас-
тики. Напряженные отношения с католической церковью заста-
вили его в 1629 г. переехать в Нидерланды. Враждебное отно-
шение протестантских богословов побудило Декарта в 1649 г.
предпринять новый переезд в Швецию, где через год он скон-
чался.
В нашу задачу не входит анализ философских воззрений Де-
карта. Мы будем их привлекать к рассмотрению лишь в той мере,
в какой это может помочь понять его математические идеи и ре-
зультаты. Речь пойдет прежде всего о месте математики в его
естественнонаучных занятиях.
Природой материи, утверждал Декарт, является ее трехмер-
ная объемность; важнейшими свойствами ее — делимость и под-
вижность. Эти же свойства материи должна отображать мате-
матика. Последняя не может быть либо численной, либо геометри-
ческой. Она должна быть универсальной наукой, в которую входит
все, относящееся к порядку и мере. Все содержание матема-
тики должно рассматриваться с единых позиций, изучаться еди-
ным методом; само название науки должно отражать эту ее все-
общность. Декарт предложил назвать ее универсальной матема-
тикой (Mathesis universalis).
Эти общие идеи получили конкретное преломление к 1637 г.,
когда вышло в свет знаменитое декартово «Рассуждение о мето-
де». В этом сочинении помимо общей характеристики метода ес-
тественнонаучных исследований выделены в отдельные части при-
ложения этого метода к диоптрике, метеорам и к математике. По-
следняя часть, которую Декарт назвал «Геометрия», представляет
для нас наибольший интерес.
Связь буквенной алгебры с геометрией кривых, необходимая
для универсальной математики Декарта, обнаружилась тотчас,
как был установлен изоморфизм поля вещественных чисел и поля
отрезков прямых. Потребовалось только определить операции над
отрезками так, чтобы отрезки действительно образовали поле.
Суммы и разности отрезков, очевидно, — отрезки, т. е. элементы
поля отрезков. Затруднения с умножением и делением отрезков,
заставившие Виета ввести видовую алгебру, были преодолены
Декартом введением единичного отрезка и. построением четверто-
го пропорционального отрезка. Последнее он осуществлял так же,
как это делают ныне соответствующим откладыванием отрезков
на сторонах произвольного угла (см. рис. 33) и проведением па-
раллельных сечений.
142
'Геометрическими образами алгебраических корней являются
построения 1, 2 ... средних пропорциональных. Еще последователь-
нее, чем в «Геометрии», эта идея проведена в маленьком сочине-
нии «Исчисление господина Декарта».
В основу всей «Геометрии» Декарта положены две идеи: вве-
дение переменной величины и использование прямолинейных (де-
картовых) координат. В согласии с его унифицирующей тенден-
цией переменная величина вводится в двоякой форме: в виде те-
кущей координаты точки, движущейся по кривой, и в виде пере-
менного элемента множества чисел, соответствующих точкам дан-
ного координатного отрезка.
«Геометрия» состоит из трех книг. Первая книга «О задачах,
которые можно построить, пользуясь только кругами и прямыми
линиями» начинается с кратких разъяснений только что изложен-
ных общих принципов. Затем следуют правила составления урав-
нений геометрических кривых.
Чтобы решить какую-либо задачу, нужно сначала считать ее
как бы решенной, и обозначить буквами все как данные, так и
искомые линии. Затем, не делая никакого различия между дан-
ными и искомыми линиями, Заметить зависимость между ними
так, чтобы получить два выражения для одной и той же величины;
это и приводит к уравнению, служащему для решения задачи, ибо
можно приравнять одно выражение другому. Доказывается, что
все геометрические задачи, решаемые с помощью циркуля и ли-
нейки, сводятся к решению уравнений не выше 2-й степени. Об-
щие правила своей аналитической геометрии Декарт не излагает
подробно в общем виде, а демонстрирует их при решении трудных
задач. В качестве такой задачи он выбрал задачу Паппа: на плос-
кости даны несколько (п) прямых, например: MN, NK, ML, DA
(рис. 34). Найти геометрическое место точек, для которых произ-
ведение отрезков, проведенных из них под одинаковыми углами
143
к прямых, находились бы в данном отношении к произведе-
нию отрезков, проведенных тем же способом к другой половине
и СВ-CD 1
прямых. Например, -------= —.
CF-CH 2
Одна из данных линий (ML) и одна из искомых (ВС) при-
нимаются за главные. Обозначим АВ=х и ВС=у. Так как углы
&.ABR известны, то известно и отношение сторон: = — и
х п
Ьх
CR = У + ----• Рассуждая так же относительно Д DRC и считая
п
CR:CD = n:ct получим CD = CR- — = ——|—Таким же
лил2
образом выразим через х и у линии СТ7, СН, подставим в условие
CF-CH=2BC-CD и получим уравнение искомого геометрическо-
го места F(x, z/)=0.
Декарт скупо поясняет, что геометрическое место в случае
трех и четырех прямых представляет собой коническое сечение.
В случае, когда число прямых п>4, Декарт устанавливает, что
для 2п или 2п—1 прямых уравнение геометрического места имеет
степень=п относительно двух переменных х и у. Задача Паппа
относительно пяти прямых оказывается разрешимой циркулем и
линейкой, или, по терминологии Декарта, плоской задачей. Такой
же задача оказывается и для шести прямых, но Декарт этого не
отметил L
Вторая книга «Геометрии» названа: «О природе кривых ли-
ний». Она посвящена более подробному рассмотрению кривых
1 См. Г. Г. Цейтен. История математики в XVI и XVII веках. М.,
ГТТИ, 1933, стр. 204.
144
различных порядков, их классификации и выявлению их свойств.
Все кривые Декарт делит на два класса в зависимости от того,
возможно ли провести их исследование средствами, которыми рас-
полагал Декарт. В соответствии с этим в математику оказалось
возможным допускать лишь такие кривые, которые описываются
непрерывным движением (циркулем или линейкой) или же не-
сколькими такими последовательными движениями, из которых
последующие вполне определяются им предшествующими. Осталь-
ныё кривые получили название меха-
нических (позднее у Лейбница транс-
цендентных) -и были исключены из (
класса допустимых кривых. Их свой- i
ства могут быть открыты лишь слу- F д 'с В Н
чайно благодаря специфическим прие- fy--------
мам, не носящим систематического ха- ।
рактера. I
Все допустимые кривые, таким х I
образом, могут быть построены с по- I
мощью некоторого шарнирного меха- 1
низма. Относительно них без доказа- [
тельства высказано утверждение, что £ Е И Д и
они выразимы алгебраическими урав-
нениями. Тем самым Декарт предвос- Рис- 35
хитил одну из главных теорем кинема-
тики механизмов (доказанную в 1876 г. Кемпе), гласящую, что с
помощью плоских шарнирных механизмов, в которых движение
первых звеньев полностью определяет движение остальных, можно
описывать дуги любых алгебраических кривых и нельзя описать
ни одной трансцендентной.
Декарт мимоходом бросает замечание, что степень уравнения
кривой инвариантна относительно выбора системы прямолиней-
ных координат. Но гипноз принципа построения кривых только
с помощью шарнирных механизмов слишком владеет Декартом.
Поэтому в основу классификации кривых он кладет не порядок
уравнения, а число звеньев шарнирного механизма. В силу этого
принципа кривые оказываются разделенными по родам (genre),
причем к n-му роду относятся кривые порядка 2п—1 и 2п. Этот
неудобный принцип был заменен только Ньютоном, который ввел
классификацию кривых по степеням уравнений.
Декарт еще не в силах построить общую теорию кривых рода
п^2. Но для демонстрации силы и универсальности своего мето-
да он вновь возвращается к задаче Паппа, исследуя частные ее
случаи. Например, пусть задача Паппа поставлена для пяти пря-
мых (см. рис. 35): четыре — параллельны и эквидистантны (FG,
DE, В A, HJ), пятая перпендикулярна к ним (GA). Найти С такую,
что CF-CD- СН= СВ • CM-AL
Положим: СМ = х; тогда CF = 2а — у,
145
СВ = у\ CD = а — у,
АЕ = EG = AJ = а\ СН = а + у.
Уравнение искомого геометрического места
(2а — у) (а — у) (а + у) = аху, или у3 — 2ау1 2 — а2у + 2а3 = аху.,
Для фактического построения данной кривой Декарт приме-
няет специальный прием, рассматривая точки пересечения движу-
щихся параболы и прямой L
Значительную часть второй книги составляют теоремы о про-
ведении нормалей и касательных к алгебраическим кривым. Свой
метод («метод нормалей») Декарт распространил на конические
сечения и на так называемые декартовы овалы. Он подчеркивал
значение высказанных теорем для оптики. Мы рассмотрим этот
«метод нормалей» ниже.
Книгу замыкает предложение о возможности распростране-
ния метода Декарта на трехмерный случай. Высказывается при
этом идея представления пространственной кривой с помощью
проектирования ее на две взаимно перпендикулярные плоскости,
общая прямая которых является одной из осей координат. Однако
эта идея оказалась у Декарта одиночной, неразвитой; к тому же
в его рассуждения вкралась ошибка. Он, в этом единственном
предложении аналитической геометрии в пространстве, утвержда-
ет, что проекции нормали к пространственной кривой являются
нормалями к проекции кривой, что неверно даже для плоской
кривой, не говоря уже о наличии в общем случае целой нормаль-
ной плоскости. Нет у Декарта и речи о трех координатах точки
в пространстве и об уравнениях поверхностей.
Задача третьей книги: «О построении телесных, или превос-
ходящих телесные, задач» — построение общей теории решения
уравнений и использование для этого наряду с алгебраическими
средствами геометрических мест. Алгебраическая символика Де-
карта уже несущественно отличается от современной. Всякое
уравнение мыслится приведенным к виду Рп(х)=0, где Рп(х) —
полином с целыми коэффициентами, расположенный по убываю-
щим степеням неизвестного х. Из рассмотрения проблемы делимо-
сти Рп(х) на х—а, где а — корень уравнения, Декарт делает глу-
бокий вывод, что число корней уравнения равно числу единиц в
'наивысшем показателе степени х2. Он при этом учитывает корни
действительные (положительные), ложные (отрицательные) и те,'
которые можно вообразить (мнимые и комплексные). Доказа-
тельства этого вывода он дать еще не может. Еще много лет не
могли дать доказательства и другие ученые. Только в 1797 г. это
смог сделать Гаусс.
1 См. Г. Г. Ц е й т е н. Ук. соч., стр. 206.
2 Аналогичные идеи несколько раньше Декарта высказал А. Жирар в со
сочинении «Invention nouvelle en 1’Algebre». Amsterdam, 1629.
146
Декарт' показал, что уравнение имеет столько положительных
корней, сколько знакоперемен в ряду коэффициентов, и столько
отрицательных — сколько повторений знака. Он ввел также прие-
мы преобразования коэффициентов уравнения, чтобы добиться
необходимого изменения его корней: увеличения, уменьшения или
изменения знака.
Замечательной по глубине замысла является постановка проб-
лемы приводимости, т. е. представления целой рациональной функ-
ции с рациональными-коэффициентами в виде произведения та-
ких же функций. Декарт показал, что уравнение 3-й степени ре-
шается в квадратных радикалах (с помощью циркуля и линейки),
лишь если оно приводимо. Вопрос о приводимости уравнения 4-й
степени он свел к вопросу о приводимости его кубической резоль-
венты. Если дано уравнение х4+рх2+<7х+г=0, то его можно за-
писать в виде
(^-»* + Ty’ + T', + ir)x
где вспомогательное у определяется из уравнения у?-}-2ру*-\-
+ (р2—4г) у2—<?2=0, кубического относительно у2.
Декарт не дает этому утверждению доказательства. Из ком-
ментариев к «Геометрии», составленных Ф. Скоутеном '(1615—
1660), профессором математики в Лейдене, горячим привержен-
цем Декарта, можно сделать вывод, что при этом применялся
метод неопределенных коэффициентов. Скоутен рассматривает
уравнение х4—рх2—qx-\-r=Q и записывает его в виде (x2+yx-j-
+z) (х2—yx-f-v) =0. Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степёнях х, он< для определения у, z, v, получает уравнения
z — y2 + v = — р;
— zy + vy = —q;
vz = r,
ув — 2ру* + (р2 — 4г) y2 — q2 = 0.
Решение уравнений 3-й и 4-й степени геометрическими средст-
вами у Декарта сводится к задачам о построении (вставке) двух
средних пропорциональных и о трисекции угла. Подобно арабским
математикам, но, по-видимому, совершенно самостоятельно, Де-
карт практически решает эти уравнения с помощью пересечения
двух конических сечений. Затем он распространил этот метод на
уравнения третьего рода (5-й и 6-й степени), подбирая пересече-
ния окружности и движущейся специальным образом подобранной
147
П. Ферма (1601—1665)
кривой. Замечания Декарта о решении подобным методом уравне-
ний степени п>6 не оказались достаточно ясными, чтобы о них
говорить определенно.
Таково содержание «Геометрии» Декарта — первого сочине-
ния по аналитической геометрии, сыгравшего огромную роль в
дальнейшем развитии математики XVII в. Аналитическая геомет-
рия Декарта имела еще много недостатков. Прежде всего, область
этой науки была еще чрезмерно сужена априорными требования-
ми, проистекающими скорее из философских источников, чем из
потребностей метода, ограничена только алгебраическими кривы-
ми. Неудачной оказалась классификация алгебраических кривых
по жанрам (родам), а не по степеням уравнений, их выражающих.
148
Декарт не довершил проникновения в геометрию алгебраического
аппарата, не распространил свой метод на изучение свойств кри-
вых по свойствам соответствующих уравнений. Координатные оси
в «Геометрии» еще неравноправны; проводится только одна ось,
а другая координата восстанавливается по мере необходимости.
Поведение кривой изучается только в первом квадранте, осталь-
ные квадранты не учитываются. Однако («Геометрия» Декарта оз-
начала шаг принципиального значения в перестройке математи-
ки, что сделало это сочинение классическим.
Переворот во взаимоотношении алгебры и геометрии и взаим-
ное проникновение их методов с помощью метода координат пред-
ставляли в математике явление революционное. Подобные пере-
вороты никогда в истории не делаются одним человеком. Так и
появление аналитической геометрии не было заслугой одного Де-
карта. При этом речь идет не только о тех современниках, в ра-
ботах которых в неразвитом виде содержались те или иные идеи,
подхваченные и переработанные Декартом. Таких современников
было много. Мы имеем в виду то, что одновременно с Декартом
аналогичную систему взглядов развил в специальном сочинении
французский математик П. Ферма (1601—1665).
Ферма происходил из семьи торговца, проживавшей на юге
Франции. Окончил университет в г. Тулузе по юридическому фа-
культету. С 1631 г. до конца жизни занимался в Тулузе юри-
дической деятельностью, будучи советником местных органов уп-
равления. Математикой занимался в свободное время. Был зна-
током современной математики и классических сочинений древних.
Получил выдающиеся результаты в теории чисел, геометрии, ме-
тодах оперирования с бесконечно малыми, оптике. Ферма не лю-
бил печатать свои сочинения, а сообщал о своих достижениях в
научной переписке и при личном общении и дискуссиях со мно-
гими выдающимися учеными. Поэтому подавляющее число работ
Ферма было опубликовано лишь после его смерти, в 1679 г., и
позднее.
Идеи аналитической геометрии, т. е. введение прямолинейных
координат и приложение к геометрии алгебраических методов, со-
средоточены в небольшом сочинении Ферма «Введение в теорию
плоских и пространственных мест», ставшем известным с 1636 г.,
но напечатанном вместе с другими сочинениями в 1679 г. Исход-
ными пунктами этой работы явились сочинения древних, особенно
Аполлония, по изучению геометрических мест. Те геометрические
места, которые представлялись прямыми или окружностями, на-
зывались плоскими, а представляемые коническими сечениями —
пространственными. Задачей Ферма было показать, что уравнени-
ям 1-й степени соответствуют прямые, а коническим сечениям —
уравнения 2-й степени.
Метод координат вводится так же, как у Декарта: задается
одна ось — ось абсцисс, на ней откладываются от выбранного
149
начала отрезки, соответствующие значениям одной переменной.
Значения другой переменной, также изображаемые отрезками,
восстанавливаются из конца первого отрезка под выбранным для
данной задачи углом (чаще всего прямым). Затем Ферма выводит
уравнения прямой, окружности и всех конических сечений.
Вначале он доказывает, что уравнение прямой, проходящей
через начало координат, будет иметь вид ах=Ьу. Затем последо-
вательно выводятся: уравнение окружности в прямоугольных ко-
ординатах с центром в начале координат; гиперболы, отнесен-
ной к асимптотам; параболы, отнесенной к диаметру и касатель-
ной в конце его; эллипса (гиперболы) в случае, когда осями будут
сопряженные диаметры.
Замечательно, что Ферма рассматривает задачу и с другой
стороны. Он исследует общие виды уравнений 1-й и 2-й степени,
преобразованием координат (перенос начала и поворот оси) при-
водит их к каноническим формам, облегчая тем самым их геомет-
рическое толкование. Например, пусть дано уравнение 2х24-2хг/+
+у2=а2. Перепишем его в виде (х+у)2+*2=а2. Выберем_новые
оси: х+у=0, х=0. Новые координаты будут: хх = х]/2 ; у\ —
2а2 —х2
=х+у. Новое уравнение----------= 2. По Аполлонию, замечает
01
Ферма, эта кривая — эллипс, отнесенный к сопряженным диа-
метрам.
Распространение аналитической геометрии на изучение про-
странственных геометрических мест Ферма проводит путем изуче-
ния пересечений поверхностей плоскостями. Однако пространст-
венные координаты и у него еще отсутствуют, а аналитическая
геометрия в пространстве остается незавершенной.
«Введение» Ферма показывает, что он, по-видимому, после-
довательнее Декарта внедрял координатный метод, особенно при-
емы преобразования координат, и не был стеснен априорными
соображениями, ограничивающими возможности его методов. Од-
нако это сочинение не оказало на математику столь значительного
влияния, как декартова «Геометрия». Причин этому было две. Во-
первых, «Введение» было напечатано очень поздно, а до этого
времени было известно лишь узкому кругу корреспондентов Фер-
ма. Во-вторых, оно было изложено тяжеловесным, затруднитель-
ным для понимания языком алгебры Виета.
Ферма понимал, что он находится только в самом начале ис-
следований новой математической дисциплины. Но он добавлял:
«И все же мы не раскаиваемся в написании этого преждевремен-
ного и не вполне зрелого сочинения. Действительно, для науки
представляет некоторый интерес не утаивать от последующих по-
колений еще неоформившиеся плоды разума; и благодаря новым
открытиям науки первоначально грубые и простые идеи как укреп-
ляются, так и множатся. И в интересах самих изучающих соста-
150
вить себе полное представление как о сокращенных путях разума,
так и о самопроизвольно развивающемся искусстве» Ч
Дальнейшее развитие аналитической геометрии показало, что
идея Декарта о едином методе, в котором соединятся методы
алгебры и геометрии, осуществилась не так, как это ему представ-
лялось. Аналитическая геометрия вошла в систему математиче-
ских дисциплин, не поглотив алгебру. Последняя продолжала са-
мостоятельное развитие, превращаясь в общую теорию уравне-
ний. Что же касается аналитической геометрии, то в первые 50—
70 лет после появления она только переживала период утверж-
дения и признания в обстановке горячих споров о правомерности,
удобствах ,и возможностях ее методов. Факты этой науки накап-
ливались вначале медленно. К 1658 г. был решен вопрос о полуку-
бической параболе, в чем приняли участие В. Нейль (1637—1670),
Г. ван Гейрат (род. 1633 г.) и Ферма. В 1679 г. Ф. Лагир <(1640—
1718) впервые нашел способ писать уравнения поверхностей. Тем
не менее только к 1700 г. А. Паран (1666—1716) смог вывести
уравнение сферической поверхности и касательной плоскости к
ней. В систематической форме использовал и несколько развил
аналитическую геометрию И. Ньютон в сочинении ^Перечисление
кривых 3-го порядка» (1704).
Облик, близкий современному, придал аналитической геомет-
рии Л. Эйлер, посвятив этому второй том «Введения в анализ»
(1748). Ему предшествовал только Клеро (1713—1765), распро-
странивший аналитическую геометрию на трехмерное прострайст-
во с помощью введения трехосной прямолинейной системы коор-
динат. Название — аналитическая геометрия — впервые ввел
французский математик академик С. Ф. Лакруа (1764—1848) в
конце XVIII в.
Появление в математике аналитической геометрии существен-
но облегчило формирование анализа бесконечно малых. С другой
стороны, она стала необходимым средством построения механики
у Ньютона, Лагранжа и Эйлера, весьма эффективным при реше-
нии многих задач математического естествознания. В математике
XVII в. возникновение аналитической геометрии знаменовало по-
явление возможностей для создания анализа переменных величин.
Эти возможности вскоре были реализованы, так как наиболее
важные задачи были (как мы увидим ниже) таковы, что вызывали
острую необходимость срочного перехода к открытию методов и
общих теорий математического анализа.
5.3. НАКОПЛЕНИЕ ИНТЕГРАЦИОННЫХ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МЕТОДОВ
Появление анализа бесконечно малых было завершением дли-
тельного процесса, внутриматематическая сущность которого со-
1 П. Ферма. Введение в изучение плоских и телесных мест. В кн.:
Р. Декарт. Геометрия. М.—Л., ОНТИ—ГТТИ, 1938, Приложение, стр. 147.
151
j
стояла в накоплении и теоретическом осмысливании элементов
дифференциального и интегрального исчисления и теории рядов.
Для развития этого процесса к XVII в. сложились существенные
предпосылки: наличие сложившейся алгебры и вычислительной
техники; введение в математику переменной величины и коорди-
натного метода; усвоение инфинитезимальных идей древних, осо-
бенно Архимеда; накопление методов решения задач на вычисле-
ние квадратур, кубатур, определения центров тяжести, нахожде-
ние касательных, экстремалей и т. д.
Побудительными причинами этого процесса были в первую
очередь запросы механики, астрономии, физики. Эти науки не
только предъявляли к математике требования решения того или
иного класса задач. Они обогатили ее представления о непрерыв-
ных величинах и непрерывных движениях, о существе и видах
функциональных зависимостей. В тесном взаимодействии матема-
тики и смежных наук вырабатывались инфинитезимальные ме-
тоды — основа математики переменных величин.
В решении задач такого рода, в поисках общих методов их
решения, а следовательно и в создании анализа бесконечно малых,
принимали участие многие ученые: Кеплер, Галилей, Кавальери,
Торричелли, Паскаль, Валлис, Роберваль, Ферма, Декарт, Барроу
и многие другие. Создание элементов математического анализа
представляло собой многосторонний творческий труд большого
числа ученых.
Для удобства изучения этого сложного процесса разделим
методы, содержащие крупицы анализа бесконечно малых, на две
группы: сначала рассмотрим те из них, в которых проявляются
элементы позднейшего интегрального исчисления; их мы назовем
интеграционными. Затем речь пойдет о дифференциальных мето-
дах, т. е. методах решения задач на определение касательных и
т. п., — тех, что решались позднее средствами дифференциаль-
ного исчисления. Открытие связей интеграционных и дифферен-
циальных методов оказалось тем решающим этапом, после которо-
го сразу началось формирование математического анализа.
Интеграционные методы. Вначале эти методы вырабатыва-
лись, накапливались и выделялись в ходе решения задач на вы-
числение объемов, площадей,, центров тяжестей и т. п. Задачи Ар-
химеда пересматривались вновь и вновь, изучались его инфините-
зимальные методы, выяснялись их математические возможности.
Интеграционные методы слагались в то время как методы опреде-
ленного интегрирования. Процесс формирования и внедрения в-
математику этих методов был очень бурным и быстрым; уже череэ
50—60 лет со времени появления первой работы он привел к об-
разованию интегрального исчисления.
Самым ранним по времени опубликования методом этого ти-
па был метод непосредственного оперирования с актуальными бес-
конечно малыми величинами. Появился он в 1615 г. в сочинениях
Кеплера.
152
И. Кеплер (1571—1630)
Иоганн Кеплер (1571—1630), уроженец Вюртемберга — одно-
го из многочисленных в ту пору немецких государств, — выдаю-
щийся астроном и математик. Он посвятил практически всю свою
жизнь изучению, развитию и пропаганде гелиоцентрической си-
стемы Коперника. Анализируя огромный материал астрономичес-
ких наблюдений, он в 1609—1619 гг. открыл законы движения пла-
нет, носящие его имя: 1) планеты движутся по эллипсам; Солнце
находится в одном из его фокусов; 2) радиусы-векторы планет
«заметают» за равные промежутки времени равные секториальные
площади (см. рис. 36); 3) квадраты времен обращения планет
153
вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний до
Солнца.
Формулировка этих законов показывает, что для математиче-
ского доказательства их справедливости недостаточно владения
известной в то время вычислительной техникой, знания коничес-
ких сечений и алгебраиче-
ских средств. Задача вычис-
ления секториальных площа-
дей требовала умения поль-
зоваться бесконечно малыми
величинами. Этого умения
требовали и другие задачи
пр актического хар актер а.
И вот по поводу одной из
таких практических задач
Кеплер изложил свой метод
использования бесконечно
малых величин.
Речь идет об отыскании наиболее целесообразной формы бо-
чек и о способах измерения их вместимости. Сочинение, посвящен-
ное этой проблеме, так и называется: «Новая стереометрия вин-
ных бочек, преимущественно австрийских, как имеющих самую вы-
годную форму и исключительно удобное употребление для них ку-
бической линейки с присоединением дополнения к архимедовой
стереометрии» (Линц, 1615). Состоит оно, не считая предваритель-
ных замечаний, из трех частей: часть теоретическая, специальная
стереометрия австрийской бочки, правила для измерения вмести-
мости бочек.-Для нас наибольший интерес представляет теоретиче-
ская часть. Начинается она со «Стереометрии правильных кривых
тел». Это — просто пересказ сочинения Архимеда «О шаре и ци-
линдре». Кеплер принимает античный метод исчерпывания, ко-
торым пользовался Архимед, называет его глубоким, но отбрасыва-
ет заключительный этап приведения к противоречию. Он хочет
разгадать замысел Архимеда, который привел того к получению
столь замечательных результатов, освободить его от наслоений, вы-
званных формальными требованиями строгости. Этот замысел, по
мнению Кеплера, состоит в том, что любая фигура или тело пред-
ставляется в виде суммы множества бесконечно малых частей.
Круг, например, состоит из бесконечно большого числа бесконечно
узких секторов, каждый из которых может рассматриваться как
равнобедренный треугольник. Все треугольники имеют одинако-
вую высоту (радиус круга), а сумма их оснований равна длине
окружности. Таким же образом шар оказывается составленным
из бесконечного множества конусов, вершины которых сходятся
в центре шара, а основания образуют поверхность шара.
Метод суммирования актуально бесконечно малых Кеплер рас-
пространяет и на другие несложные геометрические фигуры и те-
ла (конусы и цилиндры) и их части, рассмотренные Архимедом.
154
В некоторых случаях он еще дальше отходит от строгости изло-
жения, вводя интуитивные соображения. Например, доказано, что
боковая поверхность вписанного конуса_ относится к площади ос-
нования (большому кругу шара) как V2 : 1; эта поверхность вдвое
меньше боковой поверхности описанного конуса. И вдруг Кеплер
пишет: «Весьма правдоподобно, что поверхность полусферы есть
среднее пропорциональное между поверхностями (боковыми. —
К. Р.) обоих конусов»1. Справедливости ради заметим, что в боль-
шинстве высказываний об интуитивной прав-
доподобности результата или других рассуж-
дений Кеплер отсылает к Архимеду, который
«это доказывает со всей строгостью».
От правильных кривых тел Архимеда Кеп-
лер переходит к изучению тел, образованных
вращением круга около прямой, не проходя-
щей через его центр, а также вращением дру-
гих конических сечений (рис. 37). Всего он
рассмотрел 92 вида тел вращения, называя их
по внешнему виду лимонами, яблоками, виш-
нями, турецкими чалмами и т. п. и даже во-
обще желваками.
Метод вычисления объемов тел вращения
Рис. 38
Рис. 37
и их частей был у Кеплера единым. Во-первых, изучаемое тело де-
лилось на бесконечное число единиц, «ломтей», занимающих рав-
ноправные положения в теле. Эти части перегруппировывались,
образуя другое тело, объем которого можно вычислить. Если ока-
зывалось невозможным провести непосредственное суммирование,
то они предварительно заменялись другими частями, эквивалент-
ными данным. Разъясним этот метод на двух примерах.
В теореме 18 Кеплер доказал, что всякое кольцо кругового
или эллиптического сечения равновелико цилиндру, высота кото-
рого равна длине окружности, описываемой центром сечения, а
1 И. Кеплер. Стереометрия винных бочек. М., ОНТИ—ГТТИ, 1935.
стр. 123.
155
основание — сечению кольца. Метод доказательства: кольцо (тор)
рассекается на доли плоскостями, проходящими через центр тора
перпендикулярно поверхности. Каждый разновысокий ломтик за-
меняется цилиндриком с тем же основанием и с высотой, равной
среднему арифметическому наибольшей и наименьшей высоты.
Столбик из этих цилиндриков дает наглядное доказательство тео-
ремы. Далее Кеплер обсуждает возможные обобщения, связанные
с формой сечения кольца, приходя к выводу, что теорема верна для
всех сечений, симметричных относительно вертикали, проведенной
через центр сечения.
Второй пример более сложен. В нем речь идет об определе-
нии объема яблока, т. е. тела, образованного вращением вокруг
хорды сегмента, большего, нежели полукруг, а также частей яб-
лока.
Кеплер представляет яблоко состоящим из долек, образован-
ных меридиональными сечениями и имеющих общий отрезок
MN /(рис. 38). Развернув экватор яблока в прямую DS, Кеплер
перераспределяет ломтики, деформируя их без изменения объема.
Образуется цилиндрическое тело MNSD, которое можно предста-
вить отсеченным от цилиндра, основанием которого является круг,
образующий яблоко, а высота равна длине окружности радиуса
AD. Объем этого тела равен объему яблока.
Тот же результат получается, если яблоко представляется раз-
деленным не на элементарные меридиональные дольки, а на кон-
центрические цилиндрические слои, имеющие осью MN — своеоб-
разные ^«стружки». Развернув каждую стружку перпендикулярно
плоскости DMN, Кеплер получил совокупность бесконечно тонких
прямоугольников, составляющих упомянутое цилиндрическое тело
(например, прямоугольник JKad).
Теперь можно перейти к определению объема пояса яблока —
той его части, которая остается после извлечения из него сердце-
вины, т. е. цилиндрической части, имёющей MN своей осью. Если
пояс образован, например, сегментом JKD, то он равновелик ча-
сти LSDO цилиндрического тела. Эта часть в свою очередь состо-
ит из двух частей: цилиндрического сегмента VTDO и тела VLST.
Последнее Кеплер рассматривает как разность двух тел: VLST=
= GLST—GLV.
Так как точка G является центром круга, тело GLST оказы-
вается равновеликим шару того же радиуса, что и заданный.* По-
этому тело VLST трактуется как шаровой пояс, образованный тем
же сегментом JKD.
Эти соображения и лежат в основе теоремы 20: 1«Пояс яблока
составляется из пояса сферы и прямой части цилиндра, основани-
ем которой служит сегмент, недостающий (до полного круга) на
вращающейся фигуре, образующей яблоко, а высотой — длина
окружности, описанной центром большого сегмента».
В конце доказательства Кеплер поместил в качестве добавле-
ния правило для вычисления объема яблока и его сферического
156
пояса. Методы Кеплера в определении объемов тел вращения, ра-
зумеется, были нестрогими. Это было ясно и ему самому и его
современникам. Вокруг кеплеровских суммирований актуально
бесконечно малых разгорались споры. Как и во все эпохи, не бы-
ло недостатка в придирчивых критиках. Ученик Виеты шотландец
А. Андерсон выпустил даже специальное сочинение «В защиту
Архимеда» (1616, через год после выхода в свет рассматриваемо-
го сочинения Кеплера), где обвинял Кеплера в оскорблении памя-
ти Архимеда.
Тем не менее плодотворность суммирования элементов, вычи-
танная у Архимеда Кеплером, была очевидной. Первая же попыт-
ка создать регулярный алгоритм оперирования с бесконечно ма-
лыми стала весьма популярной. Многие ученые посвятили свои
работы усовершенствованию оперативной стороны этого предприя-
тия и рациональному разъяснению возникающих при этом поня-
тий. Наибольшую известность приобрела геометрия неделимых,
изобретенная Кавальери.
Бонавентура Кавальери (1598—1647), ученик Г. Галилея, про-
исходил из знатного рода. Монашеская карьера сочеталась в его
Жизни с научной и преподавательской деятельностью по матема-
тике. С 1629 г., по рекомендации Галилея, он занял кафедру мате-
матики в Болонье, будучи одновременно настоятелем католиче-
ского монастыря ордена иеронимитов. Прекрасный знаток античных
авторов, он в то же время глубоко изучал высказанные Галилеем
и Кеплером идеи создания исчисления неделимых. Кавальери
написал ряд сочинений по астрономии, технике вычислений, кони-
ческим сечениям, тригонометрии. В 1632 г. он опубликовал 11-знач-
ные таблицы логарифмов тригонометрических функций. Но делом
его жизни, имевшим наибольшее значение для развития математи-
ки, был метод неделимых, задуманный как универсальный метод
геометрии.
Идея общего метода неделимых была впервые высказана
Б. Кавальери в 1621 г. В рукописи, представленной им при заня-
тии профессорской должности в 1629 г., уже имеет место система-
тическое применение неделимых.
Итогом многолетнего усовершенствования метода неделимых
явилась книга «Геометрия, изложенная новым способом при по-
мощи неделимых непрерывного» (1635, 2 изд., 1653). Этому же
предмету была посвящена книга Кавальери «Шесть геометриче-
ских опытов» (1647).
Метод неделимых был изобретен для определения размеров
плоских фигур и тел. Как фигуры, так и тела представляются со-
ставленными из элементов, имеющих размерность на единицу
меньше. Так, фигуры состоят из отрезков прямых, проведенных
параллельно некоей направляющей прямой, называемой регула.
Этих воображаемых отрезков бесконечно много. Они заключены
между двумя касательными, имеющими название парных. Каса-
157
Б. Кавальери (1598—1647)
Памятник Кавальери, поставленный в Ми-
лане в 1844 г. в память двухсотлетия вы-
хода в свет его «Геометрии»
тельные параллельны регуле; за регулу может быть принята одна
из них.
В геометрических телах неделимыми являются плоскости, па-
раллельные некоторой плоскости, избранной в качестве регулы.
158
Их тоже бесконечно много; границами их совокупности служат две
парные касательные плоскости, параллельные регуле. Часто одна
из них избирается в качестве регулы.
Идею своего метода Кавальери образно выражал, предлагая
читателям представить паука, непрерывно ткущего геометрию из
неделимых.
Совокупность всех неделимых, вводимая Кавальери, по суще-
ству вводит понятие определенного интеграла. Однако логические
трудности, связанные с пониманием неделимого, составления пло-
щадей из линий, не имеющих ширины, и тел из бесконечно тонких
плоскостей и т. п. не дают еще возможности судить о совокупно-
стях всех неделимых. Поэтому Кавальери вынужден рассматри-
вать отношения тел и фигур, ограничиваясь случаями, когда отно-
шения неделимых постоянны. Таким образом, сущность геометрии
неделимых Кавальери можно сформулировать так: плоские фигуры
и тела относятся друг к другу, как все их неделимые, взятые вме-
сте; если неделимые находятся в одном и том же отношении друг
к другу, то отношение площадей соответствующих фигур (или
объемов тел) равно этому отношению.
Эти утверждения практически эквивалентны современным умо-
заключениям типа: даны две фигуры, ограниченные на нашем чер-
теже (рис. 39) осью х, прямыми х = а и х=Ь и соответственно
#i=A(x )и У2=?2(х). Отношение площадей
S У Ik f fl (х) dx
а
S2 ~ ~ = ~Ь •
2 S'»* f /а W dx
fc=l а
Если — а = const для любого k, то и = k.
159
Кавальери рассматривал и отношения степеней неделимых.
Например, он ввел совокупность квадратов неделимых и доказал
теорему: сумма квадратов неделимых параллелограмма втрое
больше суммы квадратов неделимых треугольника, образованно-
го в результате проведения диагонали. Введем для краткости обо-
значения: АС=а, RT=x, TV=y, RS = -^- = b, ST=z. Тогда
x=b+z, y=b—z и сумма квадратов частей неделимых х2 + у2 =
=2b2+2z2. Суммируем все неделимые, обозначив сумму квадратов
неделимых символом [ ] (рис. 40):
[ЛЕС] + [CGEJ = 2 [ЛВЕЕ] + 2 [ВСМ] + 2 [ЕЕМ].
Заметим, что
[ЛЕС] = [CGE] [ЛВЕЕ] = -i- [ЛСОЕ];
[BCM J = [ЕЕМ] = — [ЛСЕ],
8
что нетрудно понять, вообразив над каждым линейным элементом
квадрат и рассматривая их совокупности. Следовательно,
[ЛСЕ] = -L [ЛСОЕ] + -^-[ЛСЕ] + [ЛСЕ];
[ЛСЕ] = у[ЛСОЕ].
В переводе на язык интегрального исчисления Кавальери до-
казал, что
а а
§ х2 dx = -i- J a2 dx
о о
или иначе:
f—Y(l2 + 22+---+«2) S*2 .
lim -------------------------= lim -£=!-----= —.
И—>o® ПС1% fi—>qo 3
Эту теорему Кавальери сумел, обобщить на случай суммирования
более высоких степеней неделимых, вплоть до 9-й, решив таким
образом группу задач, эквивалентных вычислению определенных
а
интегралов вида J xndx для п = 1, 2, ... ,9. То, что у Кавальери
о
рассматриваются не выражения, эквивалентные интегралам, а их
отношения, дела принципиально не меняет. Достаточно выбрать
160
в качестве единого знаменателя интеграл, соответствующий сумме
неделимых.
Другим обобщением метода являлось введение криволинейных
• неделимых.
Метод неделимых позволил решить множество трудных задач,
ранее не поддававшихся решению. У него появились горячие при-
верженцы. Один из них, Е. Торричелли, писал, что новая геомет-
рия неделимых переходит из рук одних учёных к другим, как чудо
науки; она, по мнению Торричелли, убедила
мир, что века Архимеда и Евклида были
годами детства ныне взрослой геометриче-
ской науки. Торричелли, активно работав-
ший методами Кавальери, первый сумел
определить объем тела, образованного вра-
щением ветви гиперболы вокруг одной из
своих осей.
Однако у этого метода были свои недо-
статки. Во-первых, он был непригоден для
измерения длин кривых, так как соответ-
ствующие неделимые (точки) оказывались
безразмерными. Во-вторых, невыясненность
понятия неделимого, невозможность его рационального объяснения
создавала для всей теории атмосферу необоснованности. В-третьих,
развитие метода сильно задерживалось из-за того, что Кавальери,
в соответствии со сложившимися в его время представлениями о
научной строгости, избегал применять символику и приемы
алгебры.
Тем не менее определенное интегрирование в форме геометри-
ческих квадратур в первой половине XVII в. уже зарекомендовало
себя. Все усилия отныне были направлены на уточнение его и на
достижение возможно более общих результатов.
Паскаль (1623—1662), например, рассматривал квадратуры
в форме, близкой той, которая употребляется Кавальери. Попытка
уточнения состоит в том, что сумму всех неделимых он понимал
как сумму элементарных площадок, образуемых бесконечно близ-
кими одинаково отстоящими друг от друга ординатами, ограничен-
ными отрезком оси абсцисс и кривой (т. е. сумму вида 2 ydx).
В ряде задач он вводил сумму всех синусов, определяя ее как сум-
му произведений ординат на элементы дуги (2yds), которая в слу-
чае окружности единичного радиуса оправдывает свое название
(2sin<pd<p). При помощи этого геометрического эквивалента опре-
деленного интегрирования Паскаль сумел решить много задач на
определение площадей, объемов, статических моментов и т. д.
В случае, когда речь идет о сумме синусов, Паскаль высказал
мысль, сыгравшую впоследствии большую роль в истории матема-
тики. Он ввел вспомогательный треугольник ЕКЕ, подобный £±ADI
(рис. 41), и сохранил его в своих рассуждениях даже тогда, когда
расстояние между двумя соседними ординатами бесконечно мало:
в к. А. Рыбников
161
&EKE-&ADI-,
ЕЕ
KE
AD .
ID ’
DhEE — AD-KE,
или в более привычных нам обозначениях: yds—rdx. Последующая
теорема Паскаля: сумма синусов какой-нибудь дуги четверти круга
равна отрезку основания между крайними синусами, умноженному
на радиус, легко переводится на язык интегрального исчисления.
S X
В самом деле: J yds =r^dx. Так как y=r coscp, x=rsin<p, $=Гф,
о о
то
ф ф
J г cos (р d (г <р) = г J d (г sin ф),
о о
или
J cos ф йф = yd (sin ф) = sin ф.
о о
По признанию Лейбница, треугольник Паскаля послужил ему
прообразом дифференциального треугольника, составленного из
дифференциалов dx, dy9 ds.
Важное усовершенствование геометрических квадратур было
проделано Ферма, который ввел деления квадрируемой площади
ординатами, отстоящими друг от друга на неравных расстояниях.
Это дало ему возможность распространить способы вычисления
а
выражений, эквивалентных ^xndx, на случай, когда п — дробное
6
и отрицательное.
с —
Пусть, например, речь идет о вычислении интеграла I х я dx,
о
где р>0, q>0. В формулировке Ферма речь идет о квадрировании
площади, образованной отрезком оси абсцисс [0, х], двумя крайни-
ми ординатами и кривой, уравнение которой хя=уя. Интервал
интегрирования делится на отрезки точками с координатами:
х, ах а2х, ..., где а<1. Последующие операции состоят в вычис-
лении последовательно: Дх, у, у Ах, Ъу&х и переходе к случаю,
когда ширина полосок бесконечно уменьшается. Приведем эти вы-
кладки в виде таблицы:
Дх (1 —а)х,
р
У хя ,
р+ч
у Ах (1 —а)х я t
а(1 —а)х,
р р
а я х я ,
р+ч р+ч
(1 —а) а я х я t
а2(1 —а)х, ...
2р Р
а q х я , .
„р+ч р+ч
(1 — а) а я х я ( ...
162
Суммирование, как видим, свелось к суммированию геометрической
прогрессии, сумма которой
р+я
'-£-x ’
1—а ’
рЧ" д
Чтобы избежать того, что коэффициент при делается
неопределенным, когда полоски уменьшаются, Ферма делает под-
становку а = Рд. Тогда
1-а = 1-Р* = (l-P)(l+P + Pa+-->+P^i)
р+д 1—p^+tf (1 — р) (1 + Р4-р2 + ... 4-p^-i\ ‘
1 — а q
В предельном случае а = 1, следовательно р = 1 и
^Дх =
р+я
X Я •
___я
р + я
СО
Аналогичные вычисления позволяют получить J dx. Ферма
х
делит интервал интеграции точками с абсциссами х, ах, а2х,
где а>1. Последовательно вычисляя, по образцу, данному выше,
Дх, у, у Ах, ZyAx, и переходя к предельному случаю, когда а=1,
Ферма получает результат:
уАх =
(0=1)
1
(и — 1) Х71”1 •
По-видимому, Ферма изобрел этот метод под влиянием сочинений
Непера, потому что он сам назвал его логарифмическим.
Математики первой половины XVII в. с большим удивлением
и энтузиазмом убеждались, какое большое количество, казалось
бы, разнородных задач геометрии и механики приводилось к квад-
ратурам. С каждым годом, с каждым новым результатом все более
выявлялась общность операций, которые приходилось применять
при решении этих задач. Геометрический эквивалент определенного
интегрирования, возникший как специфический метод геометрии,
частично воспринятый от Архимеда, постепенно приобретал черты
общего метода математики. В нем все больший удельный вес при-
обретали численные методы и-элементы грядущего анализа беско-
нечно малых.
В этом отношении характерным примером являлись работы
Дж. Валлиса (1616—1703), английского математика, профессора
Оксфордского университета (с 1649 г.), одного из основателей
(с 1663 г.) Лондонского королевского общества. В 1655 г. им была
6*
163
издана «Арифметика бесконечного». Используя метод Кавальери,
он перевел на арифметический язык отношения сумм неделимых.
Так, отношение степеней неделимых, которые мы интерпретировали
как интегрирование степенной функции fxndx, он представил как
отношение сумм чисел. Отношение суммы неделимых треуголь-
ника к сумме неделимых параллелограмма с тем же основанием и
~ 0 + 1 +2+ ... +п
высотой сводится Валлисом к отношению - ~ ~--!---!--, КОТО-
n+n+«+ . . . +п
рое при безгранично возрастающем п равно Отношение сумм
2, 3,..., т степеней неделимых истолковано как
0* +1 + ... + rd*
nk + nk + nk + . . . + nk
(k = 2, 3,..., tri) для n неограниченно возрастающего. Значения
этих отношений до k=9 получены Кавальери; они равны —-—.
k +1
Валлис, пользуясь неполной математической индукцией, рас-
пространяет этот результат на случай любого целого k. Так, им
получена была формула, эквивалентная
1
{ xmdx =----—.
J m+1
о
Валлис- знал из сочинений Архимеда, что площадь параболи-
2
ческого сегмента равна — площади описанного параллелограм-
з
ма. Он и его перевел на язык отношений указанных выше сумм;
отношение
/г + /Г+/г + ... + /Г
/г + yv + ут + ... + Уп~
при неограниченно возрастающем п равно —. Та же неполная
индукция приводит Валлиса к обобщению этого результата на все
дробные, а затем и на отрицательные показатели степени.
Идеи, включающие элементы определенного интегрирования,
широко распространились среди математиков западноевропейских
стран. Методы интегрирования охватывали к 60-м годам XVII в.
обширные классы алгебраических и тригонометрических функций.
Было решено огромное число задач, осветить которые в настоящей
книге невозможно. Нужен был только один толчок — рассмотре-
ние всей совокупности методов с единой точки зрения, чтобы пере-
вернуть всю интеграционную проблематику и создать интегральное
исчисление.
Дифференциальные методы. В математике XVII в. наряду с
интеграционными методами складывались и методы дифференци-
164
альные. К дифференциальным методам мы отнесем, по образцу
определения интегральных методов, те, в которых содержатся эле-
менты будущего дифференциального исчисления. Вырабатывались
эти элементы при решении задач, которые в настоящее время ре-
шаются с помощью дифференцирования. Такие задачи были в то
время трех видов: определение касательных к кривым, нахождение
максимумов и минимумов функций и отыскание условий сущест-
вования кратных корней алгебраических уравнений. К этой группе
тесно примыкают запросы механики, вытекающие из необходимо-
сти определять скорость в любой точке траектории в случае нерав-
номерных движений, не говоря о более сложных задачах.
Научное наследие древних и средневековых авторов в этой
области не было столь определенным и значительным, как в случае
интегральных методов. Задачи о касательной рассматривались не
систематически, единообразных приемов t выработано не было.
Общим, по-видимому, было стремление понимать касательную как
прямую, имеющую с кривой одну общую точку и обладающую
свойствами локальной односторонности. В области экстремальных
задач помимо фактов элементарной изопериметрии существовали
лишь диоризмы, т. е. ограничения, накладываемые на условия за-
дачи, чтобы она имела решение в области рациональных и дей-
ствительных чисел или геометрических отрезков. Диоризмы часто
содержат указания на экстремальные значения. Например, когда
алгебраическое уравнение имеет кратные корни, кривые, пересе-
чением которых уравнение решается, не пересекаются, а касаются
друг друга. Таким образом, некоторая взаимосвязанность диффе-
ренциальных задач к XVII в. уже была отмечена.
В течение XVII в. дифференциальные задачи решались еще
самыми различными методами. Как и всегда в науке, наряду с
новым существует старое. Так происходило и в рассматриваемой
нами области. Геометрические построения в духе античных мате-
матиков, механические соображения, исследования в духе новой
тогда аналитической геометрии Декарта, инфинитезимальные сооб-
ражения — в их тесном сплетении вызревало дифференциальное
исчисление. Приведем несколько примеров, характеризующих этот
процесс.
Уже в школе Галилея для нахождения касательных и норма-
лей к кривым систематически применялись кинематические ме-
тоды. При этом касательная появляется как диагональ параллело-
грамма, сторонами которого являются горизонтальная и верти-
кальная составляющие скорости. Например, пусть тяжелая
материальная точка брошена с некоторой горизонтальной началь-
ной скоростью (рио. 42). Перемещения точки по оси х будут про-
порциональны отрезкам времени x=nt, по оси у (вертикальной) —
квадратам этих отрезков у = f2. Траектория — парабола, пара-
метр которой Галилей определял как учетверенную высоту паде-
ния, которая была бы нужна, чтобы сообщить точке скорость, рав-
165
ную начальной горизонтальной скорости У == ~^Гх2' Обозначив
2иъ
параметр через 2р, Торричелли нашел, что отношение вер-
тикальной компоненты скорости gt к горизонтальной и равно
или Отсюда Торричелли заключил, что касательная пере-
секает ось параболы в точке, лежащей на отрезок 2у выше данной
точки или на у выше вершины параболы.
Этот кинематический метод
дал начало рассмотрению различ-
ных бросаний и сложных движе-
ний и определению касательных в
любой точке траектории. Систе-
матическое изложение метода и
его. главнейших применений дал
в 1640 г. Роберваль. Несмотря на
важность кинематического мето-
да, он был очень неудобен, так
как исходил из индивидуальных
особенностей кривых и поэтому
был недостаточно алгоритмичен.
Поэтому больше перспектив для
определения касательных и нор-
малей в то время представлял
метод нормалей Декарта, содер-
жащийся во второй книге его «Геометрии».
Пусть необходимо провести нормаль к алгебраической кривой
в точке (а, Ь) и пусть это осуществлено. Нормаль пересечет ось
абсцисс в точке, координаты которой (с, О). Семейство концентри-
ческих окружностей с центром в (с, О) содержит одну окружность
радиуса = — с)2 + Ь2 , которая имеет с кривой две общие
точки, слившиеся в одну, именно точку (а, Ь), Одно из двух неиз-
вестных, например у, может быть исключено из уравнений данной
кривой и окружности. Так как х = а — двойной корень, то при этом
должно получиться уравнение вида (х—а)2 Р(х)=0. Это дает воз-
можность определить величину с с помощью метода неопределен-
ных коэффициентов. Для этого Декарт приравнивает левую часть
полученного уравнения произведению (х—а)2 на многочлен степени
на две единицы меньше и с неопределенными коэффициентами.
Сравнение коэффициентов при членах одинаковой степени дает
уравнения, которыми определяется с.
Связанная с методом Декарта проблема отыскания кратных
корней алгебраических уравнений получила развитие у голланд-
ского математика и инженера И. Гудде (1628—1704). Правило
последнего, коротко говоря, состоит в отыскании общего наиболь-
шего делителя уравнений f(x)=O и /'(х)=0; последнее уравнение
получено умножением коэффициентов данного уравнения f(x)=O
166
У — х
на члены произвольной арифметической прогрессии. Применяемый
в наши дни способ, связанный с алгебраическим способом обра-
зования последовательных производных левой части алгебраиче-
ского уравнения, появился, по-видимому, впервые у Ролля в конце
XVII в. Однако возвратимся к дифференциальным методам.
Накопление методов дифференциального исчисления приняло
наиболее явную форму у Ферма. В 1638 г. он сообщил в письме
Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений
, t/ X ж — /(х) Л
функции 'f(x). Ферма составлял уравнение — -1— ------= и и
п
после преобразований в левой части полагал h = 0. Вопреки мне-
нию позднейших исследователей, которые видели в этом идеи
исчисления бесконечно малых, в действительности Ферма нашел
это условие и аналогичное-^-—= 0 еще алгебраически-
ми путями.
Рассуждения тут примерно такие: if(x)=O; найти экстремум.
Пусть для некоторого х функция достигает максимума. Тогда
f (x±h) <f(x), f(x)±Ph+Qh?±.. Вычитаем из обеих ча-
стей по f(x) и делим на Л: ±P±Qh±.. .<0. Так как h можно
выбрать любой малости, член Р будет больше по модулю суммы
всех остальных членов. Неравенство поэтому возможно лишь при
условии Р=0, что и дает условие Ферма. В случае минимума рас-
суждения аналогичные. Ферма знал также, что знак Q определяет
характер экстремума.
Так же близок к дифференциальному исчислению метод Ферма
отыскания касательных к алгебраическим кривым.
На малой дуге MN алгебраической кривой f(x)=O (рис. 43)
путем проведения секущей SMN строится характеристический тре-
угольник MNP. AMNP~AMRS. Отсюда SR = MR MP..........., или B
PN
более привычных нам символах ST? =-----. Затем Фер-
+ — f(x)
ма переходит от секущей к касательной, полагая Л=0, получая
о У
тем самым о* = —
у
Позднее он распространил этот метод определения касатель-
ных на случай неявной функции f(x, z/)=0. Полученное им выра-
жение легко переводится в привычное нам
i+,.A=o.
дх ду
Все функций Ферма — алгебраические полиномиальные. В случа-
ях, когда в исследуемых функциях попадались иррациональности,
он освобождался от них возведением обеих частей уравнения в
степень. Впрочем, в этом узком сравнительно классе функций ме-
тод Ферма определения касательных и экстремальных значений
общий, символика — единообразная. К сожалению, Ферма не стре-
167
милея публиковать свои работы, притом он пользовался трудно-
доступными для понимания алгебраическими средствами Виеты с
его громоздкой символикой. Видимо, поэтому он не сделал послед-
него, уже небольшого, шага на пути к созданию дифференциаль-
ного исчисления.
К середине XVII в. накопился достаточно большой запас
средств решения задач, ныне решаемых с помощью дифференциро-
вания. Однако не было еще выделено особой операции дифференци-
рования, понятии, равнознач-
ных понятиям производной и
дифференциала. Не была ясна
связь дифференциальных и инте-
грационных методов. Математи-
ческий анализ формировался в
рамках й в терминах алгебры,
геометрии, механики — сложив-
шихся уже к тому времени наук.
Так всякое новое математическое
исчисление всегда проходит пери-
од формирования в пределах уже
существующей системы матема-
тических наук, используя их сред-
ства.
О связи дифференциальных и интеграционных методов.
Последним этапом эмбрионального периода анализа бесконечно
малых явилось установление связи и взаимообратности дифферен-
циальных и интеграционных исследований. Побудительных причин
для этого было много. Одними из важнейших были так называе-
мые обратные задачи на касательные. Задачи этого типа состоят
в определении кривых исходя из заданного общего свойства всех
касательных к ним. Речь идет не о нахождении огибающих семей-
ства прямых, а о таких свойствах касательных,, которые зависят
от положения точки касания. В общей постановке задачи этого
типа можно сформулировать так: найти y=f(x) из условия
Л(х, У, У')=®- Таким образом, речь идет о необходимости решить
дифференциальное уравнение первого порядка с двумя перемен-
ными.
Обратные задачи на касательные возникли в результате запро-
сов практики. Например, мореплаватели еще в эпоху великих гео-
графических открытий обратили внимание на кривую постоянного
истинного курса корабля — локсодромию. Это кривая, касатель-
ные к которой пересекают меридианы, проведенные в точках ка-
сания, под постоянным углом. Различные обратные задачи на ка-
сательные были поставлены также в геометрической оптике и в
кинематике.
Приближенные графические методы не могли считаться удов-
летворительным средством решения этих задач. Попытку дать
168
общий метод первым предпринял Декарт. Он предложил класси-
фицировать-все алгебраические кривые (неалгебраических кривых
он, как было сказано, не рассматривал), расположить их в ряд,
отыскивать их касательные и проверять, обладают ли они задан-
ным свойством. Разумеется, первая же попытка использовать этот
метод проб, предпринятая Декартом при решении задачи де Бона,
показала практическую его непригодность.
Задача де Бона заключалась в требовании квадрировать кри-
« У х — У с
вую, обладающую свойством —— =------------где — подкаса-
Sf а
тельная. Декарт испробовал кривые вида уп=ах2 + Ьх+с
(п=1, 2,..., 1000), но безуспешно. Тогда он избрал другой путь:
заменил систему координат на косоугольную, выбрав вместо оси х
прямую у=х—а. В этой системе подкасательная оказалась посто-
янной (=аУ 2).
dy х — у
В самом деле, уравнение —— =---------------— подстановкой
dx а
, < dy. у
у\=у+а—х преобразуется в ~-------------~ и после подстановки
Xi=x]/<2 получается уравнение = -
ах±
Бона оказалась неалгебраической. Декарт
почти очевидный, факт ки-
нематически. Именно он
показал, что эта кривая
образована двумя незави-
симыми движениями: рав-
номерным движением
прямой х=0 и движением
прямой #1 = 0 или у = х—а
со скоростью, пропорцио-
нальной пройденному рас-
стоянию. Кривая пред-
ставляет геометрическое
место точек пересечения
этих двух движущихся
прямых. Как было сказа-
но, Декарт относил такие
кривые к разряду механи-
ческих и из своей системы
математики исключал.
Задача де Бона, как и
другие обратные задачи
на касательные, указыва-
----Кривая де
а У 2
доказал этот, для нас
ла на взаимную обрат-
ность задач о проведении касательных и других. Сущность этих
других задач состояла в решении, говоря современными терминами,
дифференциальных уравнений. Особенно хорошо удавались задачи,
169
которые можно было свести к интегрированию (~^~=
Отдельных результатов здесь добились шотландец Д. Грегори
(1638—1675) и англичанин Дж. Валлис (1616—1703). Не замедлил
появиться и общий, хотя и сформулированный в терминах геомет-
рии, результат о взаимно-обратной зависимости задач на квадра-
туры и на проведение касательной. Принадлежит он И. Барроу
(1630—1677), профессору Кембриджского университета, ученику
Валлиса и другу И. Ньютона. Опубликован этот результат в 1669 г.
в «Лекциях по геометрии и оптике». Состоит он в следующем.
Заданы две кривые OF и ОЕ (рис. 44). Точки F и Е имеют об-
щую абсциссу. Кривые связаны условием: DF-R = Sqde , или в на-
X
ших символах: R-y — ^vdx. Тогда подкасательная
О
пт, D DF П DF ъг, п dy
DT = R------, или R-----= DE\ т. е. R = v.
DE DT . dx
Этой теореме Барроу дал два доказательства.
а) Кинематическое. Кривая OF пусть будет траекторией движу-
щейся точки F. Закон движения: проекция F на ось х постоянна,
т. е. точка D движется с постоянной скоростью R, скорость возра-
стания ординаты DF геометрически изображается отрезком DE, или
v. Короче: = /?• = о. Касательная есть диагональ прямо-
dt di
угольника, составленного из этих скоростей. Тогда подкасательная
= —, или То = R По Галилею, путь, пройденный точкой F
dxt R dx
X
при равномерно ускоренном движении, равен ^vdx = R-y.
О
б) Более строгое, по методу древних. Проведена прямая FT,
определяемая условием DT = R Нужно доказать, что это —
DE
касательная, т. е. опорная прямая, точки которой в локальной об-
ласти лежат по одну сторону от кривой.
Проведем в точке / кривой прямые LIK. и IK.L, параллельные
оси Ох. По свойству кривых площадь Spd]eg = R-LF. Из чертежа
-A*. = = Л_ откуда LK.-DE = R-LF = Spdeg.
LF DF DE
Но в силу монотонности кривой ОЕ
Spdeg 2= IL*DE
в зависимости от того, находится точка I правее или левее точки F.
Отсюда соответственно LK^IL, что и доказывает расположение
прямой по одну сторону от кривой, т. е. что она касательная.
170
Опираясь на этот результат, Барроу решил большое число
обратных задач на касательные. С его сочинениями знакомились
многие ученые, в том числе Ньютон и Лейбниц.
Итак, к середине XVII в. математика находилась на грани
открытия дифференциального и интегрального исчисления. Точнее
сказать, это открытие совершалось.
5.4. ПОЯВЛЕНИЕ АНАЛИЗА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
Первым этапом существования анализа было формирование
дифференциального и интегрального исчисления. Последнее возник-
ло как самостоятельный отдел математики почти одновременно в
двух разновидностях: в виде теории флюксий в трудах И. Ньютона
и его английских последователей и в виде исчисления дифферен-
циалов Г. В. Лейбница, получившего распространение прежде всего
на европейском континенте.
Развитие математических исчислений носит отчетливо выра-
женный диалектический характер. В рамках уже существующих
исчислений происходит процесс накопления предпосылок, элемен-
тов и составных частей нового исчисления. Затем наступает мо-
мент, когда происходит переворот в методе. Появляются матема-
тические работы, в которых^накопившиеся в данной области факты
пересматриваются с новой, единой точки зрения. Центр внимания
перемещается с попыток решения отдельных задач на сам метод
или группу методов, которые явно формулируются, совершенству-
ются и применяются. Область применения появившегося таким
путем исчисления, как правило, оказывается более широкой, не-
жели область его возникновения. Работы И. Ньютона и Г. В. Лейб-
ница по анализу бесконечно малых отражают именно такой по-
воротный пункт в истории математического анализа.
. Теория флюксий. Наиболее ранней формой анализа является
теория флюксий, открытие которой принадлежит И. Ньютону.
Исаак Ньютон (1642—1727) родился в семье фермера в мес-
течке Вулсторп близ г. Кембриджа (Англия). В 1655 г. он окончил
Кембриджский университет со степенью бакалавра. Учителем его
был И. Барроу. В 1668 г. И. Ньютон получил степень магистра,
а через год, в 1669 г., Барроу, будучи в расцвете сил, уступил
Ньютону свою кафедру в знак уважения к талантам и научным
достижениям своего ученика. Профессором в Кембридже Ньютон
был до 1701 г. В 1672 г. он был избран членом, а с 1703 г. — пре-
зидентом Лондонского королевского общества. Наиболее значи-
тельные работы по математике Ньютон написал во время пребы-
вания в Кембридже.
Основными направлениями научной деятельности Ньютона
были физика, механика, астрономия и математика. Ему принадле-
жат в этих областях науки первоклассные достижения, в том чис-
ле: вывод и формулировка основных законов классической меха-
ники, открытие закона всемирного тяготения, законов спектраль-
171
И. Ньютон (1642—1727)
ного разложения света, разработка дифференциального и инте-
грального исчисления в форме метода флюксий.
Математика в системе научных воззрений Ньютона была
частью общей науки о природе — натуральной философии — и
орудием физических исследований. В качестве математического ап-
парата механики, который учитывал бы движение и охватывал
связанные с ним понятия скорости и ускорения, Ньютон разрабо-
тал метод, названный им методом, или теорией, флюксий.
172
В методе флюксий изучаются переменные величины, вводимые
как абстракции различных видов непрерывного механического
движения. Называются они флюентами, т. е. текущими, от латин-
ского слова fluere — течь. Все флюенты являются зависимыми
переменными; они имеют общий аргумент — время. Точнее, речь
идет о математическом абстрагированном аналоге времени —
некоей воображаемой абстрактной равномерно текущей незави-
симой величины, к которой отнесены все флюенты. Это, разумеется,
не осложняет задачи Ньютона, так как не стесняет при соотнесе-
нии переменных в задачах.
Далее вводятся скорости течения флюент, т. е. производные по
времени. Названы они флюксиями. Так как флюксия представляет
собой, переменную, то можно находить флюксию от флюксии и
т. д. Символы первой, второй и т. д. флюксий, если флюенту обо-
значить у, будут: у, у, у и. т д. Для вычисления мгновенных ско-
ростей — флюксий потребовались бесконечно малые изменения
флюент, названные Ньютоном моментами. Символ момента вре-
мени 0; момент флюенты у, следовательно, запишется: Оу, т. е. про-
изведение мгновенной скорости на момент времени. По существу
момент флюенты — это ее дифференциал. Иногда, когда рассуж-
дения исходят из заданной флюксии, обозначенной, допустим, у,
вводятся специальные символы флюент: 'у, или □«/ (символ, ука-
зывающий на квадратуру). Символы Ньютона не так^добны, как
символы дифференциалов, ведущие свое происхождение от Лейб-
ница и распространенные в наше время. Однако они еще сохрани-
лись, например, в механике.
В теории флюксий решаются две главные задачи, сформули-
рованные как в механических, так и в математических терминах:
1) определение скорости движения в данный момент времени
по заданному пути. Иначе: определение соотношения между флюк-
сиями из заданного соотношения между флюентами;
2) по заданной скорости движения определить пройденный
за данное время путь. В математических терминах: определить
соотношение между флюентами по заданному соотношению между
флюксиями.
Первая задача, так называемая прямая задача теории флюк-
сий, представляет задачу дифференцирования неявной, в общей
постановке, функции и получения дифференциального уравнения,
выражающего элементарные закономерности природы. Вторая —
обратная задача теории флюксий — есть задача интегрирования
дифференциальных уравнений, поставленная в самом общем виде.
В частном виде в этой задаче речь идет о нахождении первообраз-
ных функций. Таким образом, интегрирование в теории флюксий
вводится вначале в виде неопределенного интегрирования.
Для прямой задачи Ньютон ввел единообразное правило —
алгоритм дифференцирования функций. Поясним его, вслед за
Ньютоном, на примере. Дано соотношение между флюентами:
173
х3—ах1 2+аху—у^=0. Образуем то же соотношение для флюент,
испытавших мгновенные изменения, т. е. когда к каждой флюенте
добавлен ее момент:
(х + хО)3 — а (х + х0)2+ а (х + хО) (у + i/О) — (у + i/О)3 = 0.
В развернутом по формуле бинома виде:
х3 +Зх2-хО +Зх-хх00 Н-хЮ3 —
— ах2— 2ах-х0 —ахЮО +
аху + ахуО + аух.0 +ах0'у0 —
— У3 — Зу2у0 — ЗуЮОу — y3Q3
Первый столбец равен нулю по условию; остальные члены разделим
на 0 и отбросим как бесконечно малые все те члены, в которых
после этого сохранится бесконечно малый момент времени — 0.
Получим соотношение между флюксиями:
Зх2х— 2ах-х + ау-х + аху— Зу2-у = 0.
Этот метод Ньютон формулирует в виде правила:
1) расположи по степеням переменных;
2) умножь на члены арифметической прогрессии и на -у
и
или — соответственно;
У -
3) сумма произведений дает отношение между флюксиями
1. х3 — ах2 4- аух — у3
2. з 2L 2—, —, 0
XXX
— У3 + 0 + аху — ах2 + х3
•з-£., о, , о
У У
3. Зх2х — 2ахх + аху — Зу2у + аху
Члены арифметической прогрессии можно заменить членами
другой прогрессии вида 3+т, 2+тп, 1+т для целочисленных т.
Дальнейшие усовершенствования дифференциального исчис-
ления: дифференцирование неполиномиальных функций, отыскание
экстремумов функций, геометрические и механические приложе-
ния — принципиальных трудностей для Ньютона не представили.
Флюксии от иррациональных функций получаются по правилу
дифференцирования сложной функции: например, если
z = Vox — у2, то г2 = ах — у2, 2zz = ax— 2уу-,
z = а* ~~ 2уу = а* ~ 2уу
2z ах—у2
174
В более сложных случаях Ньютон прибегал- к представлению
функций степенными рядами и к оперированию с этими рядами.
Класс функций, которым располагал Ньютон, был еще сравнитель-
но' ограниченным; внутри него подобное представление функций
не вызывало сомнений. Тем не менее соображения о сходимости
ряда и о правомерности представимости той или иной функции
рядом постоянно были в поле зрения Ньютона.
Обратная задача теории флюксий: нахождение соотношения
между флюентами по известному соотношению между флюкси-
ями— по своей постановке чрезвычайно обща. Она, как мы ука-
зывали, эквивалентна общей задаче об интегрировании любых
дифференциальных уравнений. Подходы,Ньютона к решению столь
общей проблемы и приемы решения складывались постепенно.
Прежде всего простое обращение результатов нахождения
флюксий дало ему огромное количество квадратур. Со временем
он обнаружил необходимость дописывать при этом обращении
аддитивную постоянную. Затем оказалось, что операция обраще-
ния даже сравнительно простых уравнений вида Mx+Ny=0,
получающихся при вычислении флюксий, не всегда возможна и не
дает исходную функцию. Ньютон обнаружил это, рассматривая те
случаи, где М=М(х, у) и N=N(x, у\ целые рациональные.
Когда непосредственное обращение прямого метода не прино-
сит успеха, Ньютон прибегает к разложению функций в степенные
ряды как к универсальному средству теории флюксий. Данное
уравнение он разрешает, например, относительно -Л- или (полагая
х=1) относительно у и разлагает функцию, стоящую в правой
части, в степенной ряд, а затем этот ряд почленно интегрирует.
Для разложения функций в степенные ряды Ньютон исполь-
зовал все результаты своих предшественников и накопил большой
арсенал приемов. Среди них наиболее часто применялись:
а) обобщение (индуктивное) теоремы о степени бинома
(а + Ь)п на случай дробного и отрицательного показателя степени;
б) деление (непосредственное) числителя дробно-рациональ-
ной функции на знаменатель;
в) метод неопределенных коэффициентов в различных моди-
фикациях. Например, в уравнении у=1—Зх+у+х2+ху надо оты-
скать разложение у в ряд по степеням х, подставить этот ряд
в правую часть вместо у и затем решать уравнение почленным
интегрированием. Члены разложения будем отыскивать последова-
тельно: у—х+... Подставим вправую часть и получиму = 1—2х+...,
откуда: у=х—х2+... Подставим снова уже два члена разложения
у в правую часть уравнения:
г/ = 1 — 2х + х2 + ... ,
откуда
# = х-ха + 4 + •••
О
175
Вычисления по методу неопределенных коэффициентов Ньютон
располагал в таблице
У 1 — Зх + у + х2 + ху 1 — Зх + х2
У X— X2 +'— X3 — X4 — Xе + ... 3 6 30
ху X2 — X3 + — X4 —X5 + ... 3 6
Сумма 1 — 2х + х2 — х3 + — х4 — х6 + • • • 3 6 30
У х — х2 + — х3 — х4 4—— х5’ — х6 + ... 3 6 30 * 45
г) замена переменных, в силу чего в ряд раскладывается не
функция у, а удачно подобранная функция от у, а также замена
системы координат;
д) обращение рядов, которое лучше, по-видимому, пояснить
на примере. Вычисляя длину пути окружности (/?=1, центр в на-
чале координат), Ньютон получил элемент дуги, в переводе на
привычную нам. символику, ds = ; (s = arcsinx), или, ис-
[1 2 ”1
, = (1 — х2) , в виде
у 1 — ха J
ряда:
ds — dx
Интегрируем почленно:
dx
Y1 — &
1 3
= arcsin х = х Н-------х3 Н------хъ + ...
6 40
Задача состоит в отыскании ряда для обратной функции, т. е.
sin х.
Оборачивание Ньютон проводит следующими этапами.
Обрывает ряд:
S = x + —х3Н-------х’Гн---------—х74-...]. (1)
2-3 1-2-4.5 L 1-2.4-6-7 J
Полагает x;=s+p. Отсюда
О = р + 4 (s3 + 3s2p +•••) + (S® +•• •). (2)
О 4U
Пробует: р=А, As2. Очевидно, Л=0 в этих случаях.
176
• Наконец, попытка p=Bs3 дает
В + — -- 0, ~ В =------
6 6
Значит,
1 3
X = S------S3.
6
Следующий шаг: р =---------- s3 4- q. Подстановка в (2) дает
6
откуда
Значит,
и т. д. Закон образования коэффициентов подмечается легко:
, X3 , х«
sin х = х-----И — — • • • •
31 5!
Из обращенного ряда получается ряд для cosх(cosх = V1 — sin2x)
. X3 . X4
COSX =1--------------------------------...
2! 4!
Аппарат представления функций степенными рядами, в кото*
.рый включаются кроме упомянутых много других частных приемов,
является оперативной основой ньютоновой теории флюксий. Он
позволяет проводить дифференцирование и интегрирование широ-
кого класса аналитических функций, вычислять экстремумы функ-
ций, получить много примеров приложения методов теории флюк-
сий к геометрии, механике и другим наукам. Насколько далеко
продвинулся Ньютон в труднейших вопросах теории флюксий, по-
казывает одно его письмо 1676 г., в котором он сообщает об усло-
виях интегрируемости биномиального дифференциала. Последний:
y=az1i (e+fz’l)v интегрируется, если - или ^ + 1 —целое
т] я
положительное число.
Ньютон получил большинство результатов теории флюксий в
течение 60—70-х годов XVII в. Однако он не спешил с публика-
цией написанных им на эту тему работ. Он неохотно давал согла-
сие на публикацию даже тогда, когда вспыхнул спор о приоритете
открытия дифференциального и интегрального исчисления между
177
ним и Лейбницем. Более того, его знаменитые «Математические
начала натуральной философии», появившиеся в 1686—1687 гг.,
оказались написанными без применения методов теории флюксий,
хотя многие из приведенных в этой книге результатов первона-
чально были получены средствами этой теории.
Причиной такого положения дел была помимо несовершен-
ства методов решения обратных задач недостаточная логическая
обоснованность теории флюксий. Введение в математику перемен-
ных величин, оперирование с бесконечно малыми приводит к не-
обходимости рационального объяснения большого числа связанных
между собой основных понятий и проблем. Ньютон это хорошо
понимал, но справиться с подобными затруднениями не мог.
Взгляды Ньютона на обоснование теории флюксий менялись.
Выше мы указывали, что исходные позиции теории флюксий ле-
жат в механике. Это позволяет перенести в механику противоре-
чия, возникающие при толковании основных понятий этой теории.
Однако оперативная сторона дела предполагает отбрасывание бес-
конечно малых. Доказать законность такой операции, выявить
таинственную сущность этих величин, не являющихся ни нулями,
ни конечными величинами, — эта задача не решалась имевшимися
в распоряжении Ньютона средствами.
В поисках выхода Ньютон создал метод первых и последних
отношений — раннюю форму теории пределов. Он изложил его
в «Математических началах натуральной философии», первый от-
дел.первой книги которых так и называется: «О методе первых
и последних отношений, при помощи которого последующее дока-
зывается».
Метод состоит в рассмотрении предельных отношений «едва-
едва зарождающихся» (первые отношения) или «только-только
исчезающих» (последнее отношение) величин. Несмотря на не-
удачную терминологию, Ньютон сумел изложить основные теоремы
о пределах и бесконечно малых, лежащие в основании курсов ма-
тематического анализа. Так, им доказаны теоремы о пределах
отношений длины дуги непрерывной гладкой кривой к хорде и к
касательной.
Понятие предела, в каком бы оно виде ни появлялось, есть
понятие неалгоритмическое. С ним невозможно связать последо-
вательность операций, эффективно приводящих к его нахождению.
От условно-оценочной трактовки предела (пусть задано е>0. Тогда
найдем такое 6>0, что и т. д.) Ньютон тоже был далек; она при-
обрела права гражданства лишь в самом конце XIX в. Разрыв
между оперативно-алгоритмической стороной теории флюксий и ее
логическими основами остался неустраненным. Теория флюксий
знаменовала тот этап развития анализа бесконечно малых, когда
он, по выражению К. Маркса, «существует, а затем разъясняется»,
а в своих основах является таинственным «мистическим». Дальней-
шая судьба теории флюксий связана с острой борьбой, вспыхнув-
шей сразу же после появления этой теории, именно вокруг ее основ.
178
Г. В. Лейбниц (1646—1716)
Исчисление дифференциалов. Как было сказано выше, ана-
лиз бесконечно малых возник почти одновременно в двух разных,
независимых друг от друга формах. Первой по времени изобрете-
ния была ньютонова теория флюксий. Однако первые публикации
по математическому аналиу были посвящены другому виду исчис-
ления — исчислению дифференциалов.
Автор нового исчисления Г. В. Лейбниц (1646—1716) родился
в Лейпциге в семье профессора местного университета по кафедре
179
философии и морали. Образование получил в университетах
Лейпцига и Иены. Всю жизнь состоял на службе у германских
государей: майнцского курфюрста, а затем ганноверского герцога.
Выполняя дипломатические поручения, Лейбниц посетил Париж и
Лондон, где вступил в научное общение с виднейшими учеными.
За научные заслуги он был избран членом Лондонского королев-
ского общества (1673) и Парижской академии наук (1700). Лейб-
ниц основал Берлинскую академию, а также оказал положитель-
ное влияние на развитие науки в России: он был знаком с Пет-
ром I, переписывался и беседовал с ним, обсуждал проекты орга-
низации Академии наук в Петербурге, развертывания научных
исследований в России.
Деятельность Лейбница весьма многообразна: он был видным
дипломатом, политиком и ученым. Так же разнообразны его науч-
ные интересы: естественные науки, физика, философия, право, ли-
тература и языкознание, математика были объектами его исследо-
ваний, нередко весьма замечательных и предвосхитивших многие
последующие открытия.
Математические работы Лейбница, которые нас интересуют в
первую очередь, тесно связаны с его философскими воззрениями.
Мы не имеем возможности подробно описывать философские по-
зиции Лейбница и их эволюцию от сочувствия механическому
материализму до своеобразной разновидности метафизического
объективного идеализма. - Отметим лишь, что во всех различных
по содержанию математических занятиях он руководствовался
одной целью. Цель эта философская: создание универсального
метода научного познания, по терминологии Лейбница — всеоб-
щей характеристики.
Всеобщая характеристика должна заменить все логические
суждения исчислением, производимым над словами и другими сим-
волами, однозначно отражающими понятия. Она, таким образом,
мыслится как некоторый общий логико-математический аппарат
суждений. Математика при этом приобретает расширенное толко-
вание как наука об отражении всевозможных видов связей и зави-
симостей простейших элементов. Современная Лейбницу матема-
тика должна была, по его замыслу, войти в будущую общую мате-
матику. Он видел идеал, по его словам, в «подчинении алгебры
комбинаторному искусству, или буквенной алгебры общей буквен-
ной науке, или науке о формулах, выражающих вообще порядок,
подобие, отношение и т. п., или общей науки о количестве —
общей науке о качестве, так что наша буквенная математика ста-
новится только замечательным образчиком комбинаторного искус-
ства или общей буквенной науки».
Установление всеобщей характеристики й открытие закономер-
ностей новой математики решит проблему научного доказатель-
ства и устранит разногласия, так как вместо споров понадобится
лишь произвести вычисления.
180
Зерна новой математики хранятся в старой. Последнюю нуж-
но изучить, выбрать и поставить проблемы, относящиеся к раз-
работке бесконечных процессов, с которыми не может справиться
алгебра, создать новые алгоритмы. Этим алгоритмам необходимо
придать по возможности совершенную символику, отражающую
сущность понятий или операций. Выбору символики Лейбниц при-
давал огромное значение. Он указывал, что необходимо выбирать
обозначения, удобные для открытий, т. е. необходимо, чтобы обо-
значения коротко выражали сущность вещей. Тогда сокращается
работа мысли. Оперативное значение новых алгоритмов возрастает,
если они будут механизированы. д
Таковы в основном были исходные установки Лейбница. Они
определили направление и характер его математических занятий,
которые привели к открытию дифференциального и интегрального
исчисления.
До 1673 г., до поездки в Париж, Лейбниц много занимался
комбинаторными задачами, видя в них математическую основу ло-
гикй. В Париже он встречался с Гюйгенсом и тот ввел его в курс
инфинитезимальных проблем математики. Гюйгенс же поставил
перед Лейбницем ряд задач, связывающих эти проблемы с ком-
бинаторикой. Решив одну из задач Гюйгенса о нахождении сумм
чисел вида —- , Лейбниц нашел также суммы некоторых ря-
Л (« -j- 1)
дов. При этом широко использовал паскалев арифметический тре-
угольник и конечные разности высших порядков. В этот подгото-
вительный период им были основательно проштудированы сочине-
ния Декарта, Кавальери, Валлиса, Паскаля, Гюйгенса и др.
Примерно с этого времени в бумагах Лейбница все чаще
встречается применение характеристического треугольника Паска-
ля для решения задачи о проведении касательной к кривой. При
этом он постепенно приходит к мысли о возможности суммирова-
ния разностей (dx и dy), образующих стороны характеристического
треугольника. К суммам этих малых разностей приводят и задачи
о квадратурах. Лейбниц, усмотрев это обстоятельство, высказал
предположение, что решение обратных задач на касательные пол-
ностью или в большей части можно свести к квадратурам. Таким
путем, не зная работ Барроу и Ньютона, нО, как и они, исходя из
обратных задач на касательные, Лейбниц открыл взаимо-обратную
связь между методами проведения касательных (в последующем
операции дифференцирования) и квадратурами (позднее интегри-
рование). Тогда же он высказал мысль, что сводка результатов
дифференцирования путем простого оборачивания может быть
полезна при интегрировании функций (эквивалентными соображе-
ниями пользовался и Ньютон).
Так, в чисто математическом плане лейбницево исчисление
складывалось в общих чертах из следующих посылок:
а) задачи суммирования рядов (с 1673 г.) и привлечение си-
стем конечных разностей;
181
б) решение задач о касательных, характеристический тре-
угольник Паскаля и постепенный перенос соотношений между ко-
нечными элементами на произвольно, а затем бесконечно малые;
в) обратные задачи на касательные, суммирование бесконеч-
но малых разностей, открытие взаимообратности дифференциаль-
ных и интеграционных задач (примерно к 1676 г.).
Все эти годы Лейбниц предпринимал многочисленные попытки
создать удобную символику. Он приходит к мысли о символе d
(сокращение слова differentia — разность) для обозначения беско-
нечно малой разности. Вслед за Кавальери и Паскалем он пред-
ставлял интеграл как сумму «всех» ординат, которых бесконечно
много, и записал его символом отпу или чаще omni. Позднее
он заменил отп на J, исходя из начальной, буквы слова
Summa. Взаимообратность задач он тоже старался отражать в сим-
волах: если fl.=ax, то 1 = —у-. Вскоре он пришел к мысли, что
х
d ’
лучше
писать d(ax); ведь «dx» это то же, что
т. е. разность
между ближайшими х. Но из f(ax)=l получается, что дифферен-
циал d(ax) будто бы равен конечной величине I. Так постепенно
выяснилась необходимость усовершенствовать символ интегра-
ла, включив в него символ дифференциала аргумента: fydx.
При помощи Ольденбурга (1615—1677), секретаря Лондон-
ского королевского общества, Лейбниц завязал (1676—1677) пере-
писку с Ньютоном. В письмах он сообщал свои результаты и стре-
мился узнать больше о методах и результатах Ньютона. В основ-
ном речь шла о способах разложения функций в ряды и о решении
обратных задач на касательные. Корреспонденты хорошо понимали
друг друга, осознавали близость своих целей и выводов. Без боль-
шого труда они разгадывали сущность методов, применяемых со-
перником. К сожалению, вскоре переписка прекратилась, так как
Ньютон перестал отвечать на письма.
Казалось бы, эта переписка должна была ускорить публика-.
цию нового исчисления. Однако Лейбниц, как и Ньютон, не спешил
с этим. Он работал над усовершенствованием методов исчисления
и над обоснованием, стремясь оправдать его появление или логи-
чески строгой дедукцией, или достаточно большим количеством
новых результатов и практических достижений. Только в 1684 г.
в лейпцигском журнале «Acta Eruditorum» Лейбниц опубликовал
первый мемуар об анализе бесконечно малых «Новый метод мак-
симумов, минимумов, а также касательных, для которого не слу-
жат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины и осо-
бый для этого род исчисления».
Мемуар этот невелик, менее 10 страниц. В нем нет доказа-
тельств. Но в нем впервые на страницах научного журнала появ-
ляется дифференциальное исчисление как объект математического
исследования в виде, во многом напоминающем современную его
структуру.
182
Дифференциал аргумента dx принят за совершенно произволь-
ную величину. Дифференциал функций dy определен равенством
dy где st — подкасательная к кривой в точке (х, у). Введены
символы: dx и dy. Сформулированы правила дифференцирования
постоянной величины, суммы функций, разности, произведения,
частного, степени, корня. Отмечена инвариантность вида первого
дифференциала от выбора аргумента. Дифференциалы понимаются
вначале как величины, пропорциональные мгновенным прираще-
ниям величин. Правда, позднее дифференциалы вновь определя-
ются как бесконечно малые разности.
Мемуар *1684 г. был трактатом о дифференциальном исчисле-
нии. Через два года, в 1686 г., вышло в свет другое сочинение Лейб-
ница «О глубокой геометрии», в котором сосредоточены правила
интегрирования многих элементарных функций. Для обозначения
операции интегрирования введен символ /, истолковываемый как
сумма дифференциалов, а также подчеркнута его взаимообрат-
ность с операцией дифференцирования. В том же году Лейбниц
разрабатывает основы теории соприкосновения кривых, вводит
соприкасающийся круг и применяет его к измерению кривизны. При
этом он допустил ошибку, полагая, что в общем случае этот круг
и кривая имеют четыре совпадающих точки. Ошибку эту исправил
в 1692 г. его последователь Яков Бернулли, показав, что в общем
случае таких точек только три.
Анализ бесконечно малых вышел, таким образом, из стадии
формирования и заявил о себе как о новой математической науке,
сразу же продемонстрировав необычайную плодотворность. Актив-
ная пропаганда нового исчисления Лейбницем и его учениками
и последователями, среди которых сразу же выделились братья
Бернулли: Яков (1654—1705) и Иоганн (1667—1748), способство-
вала также его бурному распространению. А поток новых откры-
тий Лейбница не иссякал.
В 1693 г. он распространил новое исчисление на трансцен-
дентные функции путем разложения их в ряды с помощью метода
неопределенных коэффициентов. Эту группу результатов он изло-
жил в статье с характерным для публикаций XVII и XVIII вв.
длинным заголовком: «Дополнение практической геометрии, рас-
пространяющееся на трансцендентные проблемы с помощью нового
наиболее общего метода бесконечных рядов».
В последующих работах Лейбница охвачены по существу все
начальные отделы дифференциального и интегрального исчисления.
Так, в 1695 г. он опубликовал правило дифференцирования общей
показательной функции и формулу многократного дифференциро-
вания произведения
dm (ху) = dmx-d°y + -у- dm~1 x*dy 4—1) 2X.^ 4- ...
183
Тогда же ему удалось обобщить понятие дифференциала на случаи
отрицательного и дробного показателя. В течение 1702—1703 гг.
были разработаны приемы интегрирования рациональных дробей.
С помощью нового исчисления математикам конца XVII —
начала XVIII в. удавалось решать быстро возрастающее число
трудных и практически важных задач. Лейбниц и в этом роде дея-
тельности проложил дорогу. В 1691 г., например, он установил
форму, которую принимает подвешенная за концы тяжелая гиб-
кая однородная нить, и вывел уравнение цепной линии. С 1696 г.
его занимают новые задачи — вариационные. Он решил задачу о
брахистохроне — кривой кратчайшего спуска, нашел метод реше-
ния задач о геодезических линиях.
Символика и термины Лейбница оказались очень хорошо про-
думанными; они были несложными и отражали существо дела,
помогали пониманию и позволяли оперировать с ними по сравни-
тельно простым правилам. Многие из них дошли до наших дней.
Лейбниц ввел термины: дифференциал, дифференциальное исчис-
ление, функция, координаты, дифференциальное уравнение, алго-
ритм (в смысле, аналогичном современному пониманию) и многие
другие, а также большую часть символов. Практические успехи
и разработанность исчисления достигли такого уровня, что в конце
века (1696) появился первый учебник дифференциального исчис-
ления и его приложений к геометрии: «Анализ бесконечно малых»
Г. Ф. Лопиталя.
Практическая ценность исчисления Лейбница, оперативная
простота привлекали к нему внимание ученых. Оно быстро дела-
лось центром всей математики, основным орудием исследования
в руках ученых. Но в этом исчислении было слабое место: оста-
валось неясным, какое рациональное объяснение можно дать
основным понятиям, опирающимся на бесконечную близости, бес-
конечную малость или бесконечную протяженность процесса.
В рукописях и в статьях Лейбниц постоянно возвращается к нере-
шенной проблеме обоснования анализа бесконечно малых. Попы-
ток он предпринял много, с самых разных исходных позиций.
У него можно найти: трактовку бесконечно малых как неархиме-
довых величин; привлечение интуитивно воспринимаемой потенци-
альной бесконечной малости; ссылки на античный метод исчерпы-
вания и сведение всех трудностей к нему; постулирование воз-
можности замены отношения бесконечно малых отношением конеч-
ных величин; неразвитые представления о пределе, стремлении к
нему; введение в рассуждения в качестве опоры непрерывности,
будто бы присущей природе всех вещей.
Однако проблема обоснования анализа бесконечно малых
оказалась не под силу Лейбницу, так же как и Ньютону. Основы
этой важнейшей части математики, в которой следовали один за
другим замечательные достижения, оставались невыясненными,
таинственными. В области обоснования новый анализ в течение
184
XVII в. и значительной части XVIII в. пережил «мистический», по
меткому выражению К. Маркса, период.
Большое место в сочинениях по истории математики этого вре-
мени занимает спор между последователями И. Ньютона и
Г. В. Лейбница о приоритете открытия дифференциального и инте-
грального исчисления. В свое время так оно и было; спор приобре-
тал напряженный характер, разрастался до размеров националь-
ного соперничества и ссоры, вовлекал огромное количество ученых
и даже политических деятелей. Но не все, даже самые громкие
споры, самые модные теории, защищаемые самыми фанатичными
адептами, в истории долго существуют и имеют непреходящее зна-
чение. Законы истории неумолимо отражают именно содержатель-
ную сторону науки, ее соответствие экономическому строю челове-
ческого общества, существенные связи. Поэтому мы вправе уде-
лить упомянутому спору о приоритете лишь несколько фраз.
По-видимому, Ньютон и Лейбниц открыли свои формы исчис-
ления независимо друг от друга. Оба опирались на опыт многочис-
ленных предшественников, в котором накопилось достаточно пред-
посылок для их открытий. Оба отразили, исходя из разных
посылок, общую потребность науки в анализе бесконечно малых.
Ньютон, видимо, добился успеха раньше, Лейбниц — несколько
позже. Однако приоритет в публикации, преимущества в удобстве
алгоритмов и символов, заслуги в активной пропаганде нового
исчисления принадлежат Лейбницу.
Появление аналитической геометрии и анализа бесконечно
малых создало к концу XVII в. новое положение в математике. Эти
новые области привлекли самый большой интерес и именно в них
были быстро достигнуты очень важные результаты. Роль этих
областей, в особенности анализа бесконечно малых, сделалась на-
столько значительной, что можно назвать математику этого перио-
да математикой переменных величин.
Однако всегда следует помнить, что рассмотрение главного,
определяющего, не ’ исчерпывает всего содержания науки; в нем
еще много сторон, много линий развития, не являвшихся в то вре-
мя главными, но впоследствии оказавшихся весьма важным. По-
этому представляется необходимым сделать несколько замечаний
о математике XVII столетия.
Алгебра в этом веке все более освобождалась от геометриче-
ских элементов. В ней окреп символический буквенный аппарат.
Определилась основная научная проблематика; общая теория урав-
нений. В этой области можно отметить:
а) Постановку и некоторое продвижение проблемы приводи-
мости алгебраических уравнений/т. е. представления целых рацио-
нальных функций с рациональными коэффициентами в виде про-
изведения двух или большего числа аналогичных функции (см.,
например, И. Ньютон. «Всеобщая арифметика»).
б) Введение Лейбницем в 1693 г. начал теории определителей
и правила, известного теперь как «правило Крамера». Заметим, что
185
термин «детерминант» прослеживается только с 1815 г. (у Коши), а
символ детерминанта — с 1841 г. (у Кэли).
в) Непрекращающиеся (но, разумеется, безуспешные) попыт-
ки найти решение в радикалах уравнений степени выше четвертой.
г) Попытки доказать основную теорему алгебры о числе кор-
ней алгебраического уравнения.
Геометрия существенно расширила свой состав. В нее вошла,
как было показано выше, новая аналитическая геометрия, связав-
шая ее с алгеброй. Геометрические приложения анализа постепен-
но формируются в будущую самостоятельную математическую дис-
циплину — дифференциальную геометрию. Наконец, в XVII в. за-
кладываются основы проективной геометрии. В 1636 г. Ж. Дезарг
(1593—1662), французский инженер и архитектор, разрабатывая
теорию перспективы, развил целую систему проективно-геометри-
ческих представлений: бесконечно удаленных предметов, инволю-
ции и т. д. Проективные представления внесли в теорию кониче-
ских сечений кроме Дезарга Б. Паскаль (1640), Ф. Лагир (1685).
Теория чисел обогатилась замечательными исследованиями
Ферма, определившими, дальнейшее ее развитие. В частности, ему
принадлежат сформулированные без доказательства две теоремы:
а) Великая теорема Ферма: диофантово уравнение xn+yn=zn,
п>2, целое, не имеет решения в натуральных числах. До сих пор
она доказана только для небольших п; общего доказательства еще
нет.
б) Малая теорема Ферма: если р — простое, а — целое, не
делящееся на р, то = l (modp), т. е. а?~1— 1 делится на р.
Первым дал доказательство этой теоремы, лежащей в основе тео-
рии сравнений, Л. Эйлер.
В 1665 г. Б. Паскаль впервые сформулировал принцип мате-
матической индукции. Он же, а также П. Ферма и Г. В. Лейбниц,
о чем упоминалось выше, в ряде статей разработали основные
понятия комбинаторики..
Теория вероятностей, в связи с задачами которой предприни-
мались комбинаторные исследования, в середине XVII в. вступила
в стадию формирования как науки. Вероятностные соображения,
в которых интуитивные представления о степени логической воз-
можности дополнялись подсчетами теоретических частот, начали
появляться в XVLb., но только в сочинениях Паскаля, Ферма и
Гюйгенса стало входить в обиход, в связи с задачей разделения
ставки, понятие математического ожидания. По-видимому, в самом
конце XVII в. Я. Бернулли открыл простейшую форму закона
общих чисел (опубликовано в 1713 г.), завершив первый, по клас-
сификации А. Н. Колмогорова, этап истории теории вероятностей.
Из материала настоящей главы можно сделать общий вывод,
что математические дисциплины, составляющие в наши дни клас-
сическую основу высшего образования, начали формироваться
именно на рубеже XVII и XVIII вв.
Глава 6
РАЗВИТИЕ ОСНОВНЫХ ЧАСТЕЙ МАТЕМАТИКИ
В XVIII ВЕКЕ
6.1. ОБ УСЛОВИЯХ И ОСОБЕННОСТЯХ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ
В XVIII в.
Процесс развития математики в ходе ее истории становится
все более и более сложным. К периоду, рассматриваемому в на-
стоящей главе, эта сложность и многосторонность достигла высо-
кой степени.
Научная разработка математических проблем почти целиком
сосредоточилась в странах Европы. В экономическом плане исто-
рия Европы XVIII в. характеризуется решающей победой капита-
листического способа производства. Вторая половина XVIII в. в
странах Европы в основном уже может быть отнесена к эпохе
промышленного капитализма. Развитие экономической и общест-
венной жизни людей, связанное со становлением новой, капитали-
стической формации, стало приводить к этому времени к пере-
стройке социальных, научных, культурных и других идеологиче-
ских концепций.
Темпы развития науки в это время быстро нарастают. Про-
мышленная революция, образование мирового рынка, связанные с
этим нужды мореплавания, кораблестроения, военной техники,
теплотехники, гидроэнергетики и т. п., практические нужды обще-
ства ставят перед наукой быстро усложняющиеся задачи. Помимо
задач механики и астрономии перед физико-математическим комп-
187
лексом наук встали проблемы создания математического аппарата
исследования электромагнитных явлений и теплоты.
Решение научно-технических и даже просто научных задач ста-
новится делом государственной важности. Таблицы положений
Луны, Солнца, звезд, проблема изобретения хронометра высокой
точности, показания которого не зависели бы от качки корабля,
нахождение методов отображения сферы на плоскость как важ-
нейшая часть картографии и др. приобретают необычайную акту-
альность, срочность. В то же время владение средствами нового
анализа создает обстановку возможности решения подобных задач,
их доступности усилиям ученых.
Для научных исследований в крупнейших городах Европы
создаются специальные учреждения — академии наук, субсиди-
руемые государством. Постепенно возрастает роль высших учебных
заведений, ставшая особенно заметной к концу XVIII в., в эпоху
Великой французской буржуазной революции. В обществе появ-
ляется заметная прослойка ученых-профессионалов, в том числе
профессионалов-математиков, главным делом жизни которых явля-
ются научные исследования и преподавание. В связи с этим проис-
ходит заметная демократизация состава ученых. В самом деле,
например, величайший математик XVIII в. Л. Эйлер был сыном
сельского пастора, Ж. Л. Лагранж происходил из семьи офицера,
П. С. Лаплас и М. В. Ломоносов — крестьянского происхождения,
Ж. Даламбер не имел родной сем^ьи. Число подобных примеров
можно значительно увеличить.
В начале века математики в своих исследованиях могли исхо-
дить уже из весьма значительного конкретного материала. Его
основу и наиболее актуальную часть составлял анализ бесконеч-
но малых, возникающий в Англии в виде ньютоновского исчисле-
ния флюксий, а на% континенте Европы — в виде лейбницевского
исчисления дифференциалов. Их общность, а во многих частях и
совпадение, были уже осознаны. Совокупность методов решения
прямых задач этих исчислений, составляющих ныне основную
часть дифференциального исчисления, была в основном создана.
Дифференциальное исчисление заняло место одной из частей клас-
сической основы математического анализа. Появились первые учеб-
ники, систематически излагающие его методы и результаты Ч
В области обратных задач, т. е. интегрального исчисления,
время подведения итогов еще не наступило, так как было сделано
еще не так много. В области неопределенного интегрирования
продолжалась разработка приемов интегрирования в элементар-
ных функциях. Так, например, идея интегрирования дробно-рацио-
нальных функций при помощи разложения их на простейшие дро-
би была высказана Лейбницем лишь в начале XVIII в. (1702—
1703). О перестройке интегрального исчисления на базе понятия
определенного интеграла еще не могло быть и речи.
1 См., например, Г. Ф. Л о п и т а л ь. Анализ бесконечно малых. М.—Л.,
Гостехиздат, 19351 Впервые опубликована в 1696 г.
188
По мере накопления приемов интегрирования усиливалась по-
требность в исследовании простейших трасцендентных функций и
в обогащении их класса. Геометрические методы исследования,
основанные на изучении площадей и абсцисс, зависящих друг от
друга определенным образом, оказывались недостаточными, негиб-
кими. Их дополняли методы представления функций степенными
рядами и усовершенствования символической формы их выраже-
ния.
Наряду с формированием основы математического анализа —
дифференциального и интегрального исчисления — к началу века
появились результаты и в его высших областях: теории дифферен-
циальных уравнений, вариационном исчислении. Интегрирование
первых обыкновенных дифференциальных уравнений первого по-
рядка, к которым приводили задачи математического естествозна-
ния, пробовали осуществлять с помощью лишь алгебраических и
элементарных трансцендентных функций. Отдельные результаты
были достигнуты. Однако вскоре математики убедились, что на
таком пути решить сколько-нибудь широкий круг уравнений не
удается. Задача была трансформирована, и решение дифференци-
альных уравнений стали отыскивать в квадратурах.
Арсенал приемов интегрирования дифференциальных .уравне-
ний был еще невелик. В него входили: разделение переменных,
отдельные случаи нахождения интегрирующего множителя, реше-
ние однородного уравнения первого порядка подстановкой y=xt.
И. Бернулли в 1697 г. проинтегрировал уравнение, носящее теперь
его имя,
dy + Р (х) ydx = Q (х) yndx,
преобразовав его в линейное дифференциальное уравнение перво-
го порядка с помощью подстановки у = о1-". Этот способ был,
впрочем, известен также Лейбницу и Я. Бернулли. На рубеже ве-
ков И. Бернулли сумел дать решение линейного однородного диф-
ференциального уравнения n-го порядка
Qx«^-+ ...+Вх2^- +Ах-^-+г/ = °,
dxn dx2 dx
понижая его порядок с помощью интегрирующего множителя вида
хр. Сколько-нибудь систематической разработки теории дифферен-
циальных уравнений еще не было, но задача эта стояла как перво-
очередная.
В области вариационного исчисления математики сумели нако-
пить некоторый запас задач особого рода — вариационных, —
осознать их своеобразие, найти решения ряда элементарных задач.
Задача создания общего метода выдвинулась на первый план и
в этой части математического анализа.
189
В ходе энергичной работы в различных областях математиче-
ского естествознания быстро росло число задач, решаемых с по-
мощью методов еще нового тогда анализа бесконечно ^алых.
Крепла уверенность, что дифференциальные уравнения отражают
если не все, то во всяком случае главнейшие закономерности при-
роды. Решение дифференциальных уравнений представлялось мно-
гим ученым универсальным средством познания. Однако этот могу-
чий арсенал приемов нес в своих основах неразрешенное противо-
речие между растущими практическими успехами и логической
несообразностью, необоснованностью приемов оперирования с бес-
конечно малыми величинами и особенно необоснованностью отбра-
сывания их. Этому противоречию суждено было в скором будущем
проявиться, и притом в резкой форме.
Алгебра, на которую опирался новый анализ, к концу XVII в.
приобрела достаточно усовершенствованный буквенно-символиче-
ский аппарат. Ее практические возможности кроме решения в ра-
дикалах уравнений первых четырех степеней и некоторых прибли-
женных методов существенно расширились за счет установления
многих фактов общей теории алгебраических уравнений и элемен-
тов теории определителей. Центральной проблемой алгебры сде-
лалась проблема отыскания общего метода решения алгебраиче-
ских уравнений любой степени. Понятие решения таких уравнений
в значительной степени еще сливалось с задачей представления
корней уравнений посредством той или иной комбинации ради-
калов.
Арифметические вычислительные методы к этому времени обо-
гатились за счет использования логарифмов и соответствующих
многочисленных таблиц. Начали появляться вспомогательные
вычислительные устройства, среди которых наиболее совершенны-
ными были арифмометры Шиккарда, Паскаля, Лейбница и др.
и логарифмические шкалы. Пестрота и разнообразие, неравномер-
ность развития, всегда присущие науке в любой момент времени,
в арифметике проявились в отставании понятия отрицательного
числа и даже в неравноправном положении десятичных дробей
сравнительно с обыкновенными.
В составе геометрии помимо элементарных частей и тригоно-
метрии ученые XVIII в. могли использовать аналитическую гео-
метрию, не очень еще совершенную, созданную в 30-е годы XVII в.
Декартом и Ферма. К ней примыкала совокупность геометрических
приложений дифференциального исчисления, впоследствии выде-
лившаяся в особый вид геометрии — дифференциальную геомет-
рию.
К началу XVIII в. накопился 'значительный запас сравнитель-
но еще элементарных представлений теоретико-вероятностного
характера. Начальные соображения ряда ученых, например Кар-
дано и Тартальи о числе способов получения желаемого количе-
ства очков при игре в кости, Луки Пачиоли относительно задачи
разделения ставки, позволяли предвидеть возможность математи-
190
ческого изучения случайных явлений. В последующем Паскаль,
Ферма, Я. Бернулли и др. нащупали в хаосе случайных событий
определенные количественные закономерности, из которых самой
важной была простейшая форма 'закона больших чисел. Вынуж-
денная узость конкретного материала (азартные игры, отдельные
таблицы с результатами наблюдений) и элементарность методов
(арифметико-комбинаторных) воспринимались как временное и
преодолимое препятствие.
Объем математических сведений, которыми должен был рас-
полагать квалифицированный математик конца XVII — начала
XVIII в., был, таким образом, довольно велик. Видимо, в силу
именно этого обстоятельства начиная со второй половины XVII в.
начали появляться многотомные сочинения, имеющие целью охва-
тить всю математику, изложить ее в целом, систематически. На-
пример, в 1661 г. в Вюрцбурге вышел в свет однотомный «Курс
математики или полная энциклопедия всех математических дис-
циплин» («Cursus mathematicus sive absolute omnium mathema-
ticarum disciplinarum Encyclopaedia») К. Шотта. Через 13 лет,
в 1674 г., «Курс или мир математики» («Cursus seu mundus mat-
hematicus») лионца Дешаля потребовал уже трех томов. Через
20 лет, в 1693 г., «Курс математики» («Cours des mathematiques»,
Paris) Озанама появился в пяти томах.
Тенденция к созданию единой системы математики не ослабе-
вала и в последующие века, являясь непременным спутником даль-
нейшего роста математики. В наши дни выразителем подобных
устремлений является, например, многотомное (еще не завершен-
ное) сочинение «Элементы математики», коллективный автор кото-
рого (группа математиков, преимущественно французских) высту-
пает под общим псевдонимом Никола Бурбаки.
В течение XVIII в. существенно изменилась структура мате-
матики, ее состав.
Самые большие, коренные изменения произошли в математи-
ческом анализе. Во много раз увеличилось количество входящих в
него фактов. По своему содержанию анализ трансформировался.
Из метода, придуманного для решения определенного класса за-
дач, он преобразовался в анализ функций, приобрел структуру,
близкую к современной. В течение XVIII в. от классического ана-
лиза постепенно отпочковался ряд дисциплин, получивших само-
стоятельное развитие. В первую очередь приобрела самостоятель-
ность теория дифференциальных уравнений, наиболее интенсивно
разрабатываемая в силу ее практической ценности. Теория обыкно-
венных дифференциальных уравнений получила систематическое
развитие, начиная с работ И. Бернулли и особенно Я. Риккати.
В то же время ряд практических задач выдвинул проблему реше-
ния уравнений с частными производными. Первые успехи были
достигнуты в решении задач о колебаниях струны, мембраны,
столба воздуха в трубе и т. п. Поэтому наиболее ранние теоретик
191
ческие успехи относятся к методам интегрирования уравнений ги-
перболического типа.
На базе расширения понятия функции ца область комплекс-
ного аргумента, широкого применения разложения функций в ря-
ды начала создаваться теория функций комплексного переменного.
В ней был открыт ряд фактов, в том числе формулы Муавра и
Эйлера, Открытие и применение конформного отображения суще-
ственно продвинуло эту область анализа и еще больше подчерк-
нуло ее своеобразие.
Геометрические приложения анализа также выделились в са-
мостоятельную дисциплину — дифференциальную геометрию.
Крупнейшие ученые эпохи — Эйлер, Клеро, Монж, Менье и др.—
работали в этой области, стремясь создать общую дифференциаль-
но-геометрическую теорию, способную исследовать пространствен-
ные объекты: пространственные кривые и поверхности.
Из совокупности методов решения класса вариационных за-
дач сложилось особое исчисление — вариационное. Вначале его
составляли только так называемые прямые методы, созданные
Эйлером. Во второй половине века было открыто исчисление,
основанное на введении нового понятия — вариации.
Кроме этих больших направлений в анализе получили серь-
езное продвижение: теория рядов, исчисление конечных разностей,
теория специальных функций и др.
Структура математики, разумеется, не исчерпывалась в то
время анализом бесконечно малых со всеми erQ ответвлениями.
Настойчивые попытки исследования общей теории алгебраических
уравнений привели к разработке теории детерминантов, теории
делимости многочленов, линейной алгебры и др. В самом конце
столетия, в 1799 г., появилась замечательная книга Руффини
«Общая теория уравнений, в которой доказывается невозможность
алгебраического решения общих уравнений выше четвертой сте-
пени». Доказательство было не совсем строгим, но в нем были
новые идеи, вводящие в современную нам алгебру. Руффини, в
частности, ввел понятие группы операций и фактически связал не-
которые свойства группы с проблемой разрешимости уравнений
в радикалах.
Весьма существенно пополнилась совокупность геометрических
дисциплин. В нее уже входила аналитическая геометрия, приняв-
шая к середине века облик, весьма близкий к современному как по
символике, так и по объему. Вместе с учением о перспективе сло-
жилась к концу века начертательная геометрия, ставшая тотчас
же важнейшей частью высшего технического и математического
образования. Привлекали интерес ряда ученых проективно-геоме-
трические идеи Дезарга, что подготовило почву для исследований
Понселе, который в начале XIX в. создал стройное здание проек-
тивной геометрии. Весьма интересные исследования проводились в
области тригонометрии и элементарной, или, точнее говоря, синте-
тической геометрии.
192
В настоящем перечне составных частей комплекса математи-
ческих наук XVIII столетия нельзя обойти молчанием теорию чи-
сел. Несколько обособленное положение этой дисциплины не меша-
ло тому, что она постоянно находилась в центре внимания крупней-
ших ученых, прилагавших огромные усилия для решения ее труд-
ных, но заманчиво просто сформулированных задач. Как мы пока-
жем далее, XVIII в. многое дал теории чисел: найдено общее
решение неопределенных уравнений второй степени, сформулиро-
ван закон взаимности для квадратичных вычетов, доказана ирра-
циональность л и е и т. д. Наконец, в XVIII в. было положено
начало научной разработке теоретико-вероятностных проблем, тес-
но сплетенных с задачами элементарного комбинаторного анализа.
Из европейских государств наибольшую активность в матема-
тике мы наблюдаем во Франции, где работали Даламбер, Лагранж,
Лаплас, Монж, Лежандр и многие другие выдающиеся матема-
тики. Мы будем также часто обращаться к работам английских
математиков — Тейлора, Маклорена, Стирлинга, немецких — Лам-
берта, Гаусса и др. Ведущее место в математике XVIII в. занима-
ла и Россия благодаря деятельности Л. Эйлера, Д. Бернулли и
других петербургских академиков.
Для нашей Родины начало XVIII в. было временем энергич-
ного преодоления исторически обусловленной многовековой отста-
лости. Реформы Петра I были направлены на реорганизацию ар-
мии и флота, создание промышленности, переделку государствен-
ного аппарата, налаживание системы подготовки необходимых спе-
циалистов. Эти реформы быстро и энергично проводились в жизнь.
Так, например в 1701 г. была открыта навигацкая школа
(морское училище), в 1711—1712 гг. — артиллерийская школа.
С 1714 г. во многих крупных городах России были организованы
так называемые цифирные школы, имеющие целью привить уча-
щимся элементарную математическую грамотность. В следующем,
1715 г., начала работать Морская академия.
Первое научное учреждение России — Петербургская акаде-
мия наук — было создано в 1725 г. Как составная часть Академии
существовали гимназия и университет, готовившие кадры, в кото-
рых остро нуждалась страна. Для ведения научной работы и под-
готовки отечественных специалистов были приглашены из других
стран молодые талантливые профессора. В Петербург приехали и
математики: сыновья И. Бернулли — Даниил и Николай (послед-
ний вскоре, в 1726 г., скончался), ученик Я. Бернулли — Я. Гер-
ман, бывший ранее профессором в Падуе, а затем во" Франкфурте-
на-Одере. Немного времени спустя приехал совсем юный уроженец
Швейцарии Л. Эйлер, нашедший в России вторую родину.
Молодая Академия быстро завоевала международную извест-
ность. В первом же выпуске научного журнала «Комментарии
Петербургской академии наук» (за 1726 г.; опубликовано в 1728 г.)
содержались важные статьи об интегрировании дифференциальных
уравнений. Со второго тома в «Комментариях» начал публиковать
7 К. А. Рыбников
193
Л. Эйлер (1707—1783)
свои работы Эйлер. В третьем томе был помещен важный мемуар
Д. Бернулли о колебании струны, в котором решение было дано в
виде тригонометрического ряда.
В 15 томах этого научного журнала Академии наук, вышед-
ших в период 1728—1802 гг., и в других ее изданиях этого же пе-
риода было опубликовано более 700 научных статей и книг по
теоретическим и прикладным вопросам математики. Многие из
этих работ оказали большое влияние на развитие науки. «Не мо-
гу Вам довольно объяснить, с какой жадностью повсюду спра-
шивают о петербургских мемуарах», — писал Эйлеру в 1734 г.
Д. Бернулли, который к тому времени уже возвратился на ро-
дину.
194
Однако своеволие временщиков и царей, интриги и взаимная
вражда царедворцев тяжело сказались на Академии. Внутри нее
велась тяжелая неравная борьба за воспитание национальных
научных кадров, проводимая М. В. Ломоносовым (1711 —1765).
Были закрыты гимназия и университет при Академии. Большие
трудности переживал и Московский университет, основанный в
1755 г. по инициативе Ломоносова.
Славой и гордостью нашей отечественной науки в области
математики являлся в то время Л. Эйлер. Он напечатал огром-
ное число книг и статей, воспитал большое число учеников, став-
ших позднее академиками. Его значение в истории математики
исключительно велико.
Леонард Эйлер (1707—1783) — уроженец г. Базеля (Швей-
цария). Его отец, Пауль Эйлер, был небогатым пастором. В моло-
дые годы он увлекся математикой, изучал ее под руководством
Я. Бернулли. Своему сыну он прочил тоже духовную карьеру.
Однако в Базельском университете Леонард увлекся математи-
кой, слушал лекции И. Бернулли и регулярно занимался с ним.
Он блестяще окончил университет, получил ученую степень ма-
гистра, но работы найти не мог.
Его друзья, сыновья И. Бернулли — Даниил и Николай,
уехали в 1725 г. в Петербург. По их рекомендации получил при-
глашение работать в Петербургской академии наук и Л. Эйлер.
Вакантным, правда, было место на кафедре физиологии, но это
не смущало молодого ученого. Все-таки работа! В мае 1727 г. он
приехал в Россию и прожил здесь 14 лет (до 1741 г.).
Физиологией заниматься не пришлось. Эйлеру представили
возможность вести исследования в области физико-математиче-
ских наук. Он с огромным рвением принялся за научную и педа-
гогическую работу. За это время он опубликовал свыше 50 и под-
готовил к печати 80 научных работ по анализу, теории чисел, диф-
ференциальным уравнениям, астрономии. В том числе появилась
в 1736 г. двухтомная «Механика», включающая механику точки.
Эйлер выполнял многочисленные государственные задания.
В 1738 г., во время напряженной работы над составлением геогра-
фических карт •России, он частично потерял зрение. Но научная
деятельность его разрасталась. У него появились талантливые уче-
ники: Котельников, Румовский, Фусс, Головин, Сафронов и др.
Авторитет Эйлера быстро рос, рос авторитет и Петербургской ака-
демии.
Однако в Петербурге работать было неспокойно. Тревожная
политическая обстановка, о которой мы упоминали выше, пугала
Эйлера. В 1741 г. он принял предложение переехать в Берлин во
вновь организуемую Академию наук. В Берлине он проработал до
1766 г. в должности вице-президента и директора математического
отделения. За это время он написал около 300 научных работ, книг
и статей. Примерно половину их он отправлял для публикования
в Петербург, где по-прежнему числился почетным академиком и
7*
195
откуда получал деньги. Эйлера тянуло обратно в Петербург. Он
вел оживленную переписку с Россией, поддерживал Ломоносова,
принимал у себя в доме и учил молодых ученых, приезжавших
из Петербурга, закупал научные инструменты, давал отзывы.
Наряду с огромным количеством статей Л. Эйлер в берлин-
ский период жизни написал ряд монографий, в которых в систе-
матическом виде излагал современное состояние математических
наук. В 1744 г. он написал трактат о вариационном исчислении,
новой, открытой им области математики. В 1748 г. вышло в свет
«Введение в анализ бесконечно малых», а в 1755 г. — «Дифферен-
циальное исчисление». Так было положено начало громадной ра-
боте Эйлера по приведению в систему необычайно разросшегося
математического анализа. Как продолжение написанной в Петер-
бурге «Механики» в 1765 г. выходит «Механика», посвященная
движению твердого тела.
Наконец, Эйлер преодолел сопротивление прусского короля,
преодолел сопротивление Шумахера — всемогущего в то время
секретаря Петербургской академии — и стоящей за ним группы
и в 1766 г. со всей семьей переехал в Петербург. Здесь он был
окружен почетом и мог, казалось бы, спокойно жить, умеренно ра-
ботая. К тому же преклонный возраст и почти полная потеря зре-
ния вынуждали знаменитого математика к покою.
Но необычайная научная активность Эйлера продолжалась.
Во второй петербургский период он представил в Академию еще
416 книг и статей, диктуя их своим ученикам. Академия не успе-
вала публиковать труды Эйлера. Они печатались в изданиях Ака-
демии в течение 80 лет после его смерти (до 1862 г.). Среди работ
этого периода особенно много больших монографий, в которых
приводятся в систему различные области математики и смежных
дисциплин. В течение 1768—1770 гг. вышли в свет три тома «Инте-
грального исчисления», включающие в себя кроме, методов инте-
грирования функций теорию дифференциальных уравнений обык-
новенных и в частных производных, а также вариационное исчис-
ление. В те же годы появились: двухтомный трактат об алгебре,
трехтомное сочинение натурфилософского характера, написанное
в форме «Писем о разных физических и филозофических материях,
писанных к некоторой немецкой принцессе». Второй петербургский
период жизни Эйлера дал науке и другие большие сочинения:
диоптрику в трех томах, новую теорию исчисления лунной орбиты
(1772), теорию кораблестроения и навигации (1778) и др.
Научное наследие Эйлера огромно. Им написано свыше
850 сочинений, среди которых свыше 40 больших, нередко много-
томных, монографий. На родине Эйлера, в Швейцарии, было пред-
принято в 1909 г. издание полного собрания его сочинений. Было
рассчитано, что оно должно составить 72 огромных тома большого
формата. Однако в течение 50 лет вышло 42 тома, а материал,
предназначенный для опубликования, убавился едва на половину.
Кроме того, в Ленинграде, Берлине и в других городах хранится
196
свыше трех тысяч писем из научной переписки Эйлера; многие
письма по существу являются научными работами. Опубликована
же лишь небольшая часть этой переписки.
Научные работы Эйлера охватывают практически всю совре-
менную ему математику. Во всех областях математики он сделал
выдающиеся открытия, ставившие его на первое место в.мире. Ему
было доступно понимание математики как единого, хотя и огром-
ного, целого. В нем он привел в систему главнейшие отрасли, и
прежде всего анализ со всеми его ответвлениями. Лаплас указы-
вал, что Эйлер был общим учителем для всех математиков второй
половины XVIII в.
Научная деятельность Эйлера в основном имела алгоритмиче-
скую направленность. К построению общей теории он приходил,
отправляясь от конкретных задач, имеющих практическое значение.
В его научном наследии исключительно велик удельный вес прак-
тики. Примерно 40% его работ посвящено прикладной матема-
тике, физике, механике, в том числе небесной механике, гидроме-
ханике, теории упругости, баллистике, кораблестроению, теории
машин, оптике и др. Черты алгоритмичности присущи и его чисто,
казалось бы, теоретическим работам. Особенно это заметно в тру-
дах по анализу бесконечно малых, который по существу строился
им как математический аппарат классической механики и физики.
Нет возможности перечислить хотя бы главные открытия и
научные достижения Эйлера. Их слишком много. Характеризовать
их означало бы практически характеризовать всю математику
XVIII в. В трудах Эйлера содержится ряд глубоких идей, получив-
ших дальнейшее развитие лишь через несколько десятков лет.
Например, он частично предварил исследования К. Ф. Гаусса во
внутренней геометрии поверхностей. В 1758 г. он доказал теорему
о топологической (эйлеровой) характеристике многогранников,
положив начало накоплению фактов топологии. Ему принадлежит
первое использование методов анализа в решении теоретико-чис-
ловых задач и создание аналитической теории чисел. Теоремы и
формулы, методы и символы, носящие имя Эйлера, часто встре-
чаются в математике и в наши дни, занимая в ней важное место.
Многие «открытия Эйлера переоткрывались после его смерти
другими учеными. Особенно много таких переоткрытий встречается
в теории дифференциальных уравнений. Например, задачу о коле-
баниях круглой мембраны Эйлер свел еще в 1766 г. к линейному
дифференциальному уравнению второго порядка с переменными
коэффициентами. Теперь это уравнение носит имя Бесселя, немец-
кого математика и астронома XIX в. К слову, решение, данное
Эйлером этому уравнению, представляет собой бесконечный ряд,
выражающий цилиндрические функции первого рода и любого по-
рядка (цилиндрические функции нулевого порядка появились в ме-
муаре Д. Бернулли о колебаниях гибкой нити, подвешенной за
один конец). Примеров подобного рода переоткрытий можно при-
вести очень много.
197
Научные заслуги Эйлера и его учеников выдвинули Петер-
бургскую академию наук на одно из первых мест в мире. Россия
сделалась одним из центров математических исследований. Педа-
гогическая деятельность Эйлера, его учеников, подготовка новых
кадров в университетах: Петербургском академическом (сущест-
вовал до 1783 г.) и особенно в Московском (организован в
1755 г.) — создали условия для широкого развертывания сети выс-
ших учебных заведений России и роста математически образован-
ных кадров в следующем, XIX столетии.
Перейдем к характеристике развития отдельных математиче-
ских наук.
6.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВ АНАЛИЗА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
Еще при жизни И. Ньютона и Г. В. Лейбница стало очевид-
ным, что недавно открытые исчисления флюксий и дифференциа-
лов явились лишь преддверием новой области математики, ее эле-
ментарной частью. Содержание анализа бесконечно малых (как
стали называть эту область математики) фантастически быстро
пополнялось новыми фактами. Операции дифференцирования и
интегрирования оказывались применимыми ко все более широкому
классу функций. Соответственно расширились возможности прило-
жения анализа бесконечно малых. В свою очередь практические
потребности вынуждали распространять операции анализа на
быстро возрастающий класс функций. В сущности самой главной
трудностью в развитии анализа бесконечно малых была необходи-
мость такого представления функциональных зависимостей, ко-
торое позволяло бы применять к ним операции нового исчисления.
Поэтому оказывалось все более необходимым исследовать смысл
понятия функции, дать классификацию всех известных функций и
найти способы оперирования с ними. Задача создания теории
функций сделалась первой, предварительной задачей анализа бес-
конечно малых. Эйлер писал, что весь анализ бесконечно малых
вращается вокруг переменных величин и их функций.
Монографии XVIII в., посвященные систематическому изло-
жению анализа, ярко отразили эту особенность его развития.
В них, как правило, дифференциальному и интегральному исчис-
лению были предпосланы специальные введения или даже книги,
содержащие анализ функций. Типичным и наиболее совершенным
образцом, которому следовали математики XVIII в., является серия
книг Л. Эйлера.
Старая идея систематического изложения всей современной
математики, позволяющего осмыслить ее как единую науку, на-
шла в Л. Эйлере своего последователя. Он понимал, что гигант-
ский рост математики уже не позволит осуществить эту идею в
одном сочинении. Поэтому Л. Эйлер написал серии монографий,
освещающих современное состояние отдельных частей математики.
Анализу бесконечно малых он посвятил следующие книгиз
198
а) «Введение в анализ бесконечно малых» — 2 тома, изд. 1748 г.
б) «Дифференциальное исчисление» — 2 тома, изд. 1755 г. в) «Ин-
тегральное исчисление» — 3 тома, изд. 1767—1770 гг. (4-й том,
вышедший в 1794 г., после смерти Л. Эйлера, был составлен из
ряда его работ).
Эти классические, без всякого преувеличения, сочинения отра-
зили состояние анализа в XVIII в. и послужили образцом для по-
следующих аналогичных трудов на несколько десятилетий, прак-
тически до начала следующего, XIX, столетия. Первый том «Вве-
дения в анализ...» Эйлера был посвящен учению о функциях, об
их классификации, свойствах, способах разложения функций в бес-
конечные ряды и произведения, в непрерывные дроби и в суммы
простых дробей.
Анализ функций. Понятие функции имеет два аспекта:
функции как соответствия и как аналитического выражения. Ин-
туитивное восприятие функциональной зависимости как проявле-
ния причинной связи явлений в различных модификациях свой-
ственно человечеству с давних времен. Большую историю имеют
также попытки выражения этих зависимостей средствами матема-
тики. Одними из первых попыток являлись учение античных
математиков о геометрических местах и составление многочислен-
ных таблиц. В дальнейшем совокупность средств математического
выражения функций обогащалась. В нее входили символический
аппарат диофантова анализа, алгебраические и тригонометриче-
ские функции, логарифмы и другие конкретные данные о тех или
других функциях или классах функций.
Общая идея функции как соответствия сравнительно общей
природы была подчеркнута Декартом. Однако возможность опери-
рования с функциями неизбежно связывалась с их конкретными
выражениями: средствами геометрии или аналитическими симво-
лическими выражениями. И. Ньютон к этому добавил механиче-
скую трактовку функции в своей теории флюксий. Оперативная
часть этой теории основывалась, как известно, на разложениях
функций в степенные ряды. В свою очередь Лейбниц выразил
общую цдею функциональной зависимости, введя термин «функ-
ция» и соответствующий символ для всех отрезков, связанных с
кривой, и таких, что длина их зависит от положения точки на кри-
вой (ординаты, отрезки касательных, подкасательных, нормалей,
поднормалей).
Практические успехи анализа бесконечно малых побуждали
ученых обращать большее внимание на такую трактовку понятия
функции, которая способствовала бы оперированию с конкретными
функциями. Эту тенденцию весьма отчетливо выразил в ,1718 г,
И. Бернулли, предложивший считать, что функция есть просто ана-
литичёское выражение. На ту же господствующую в то время пози-
цию встал и Эйлер, дав следующее определение функции: «Функ-
ция переменного количества есть аналитическое выражение, состав-
199
ленное каким-либо образом из этого переменного количества и чи-
сел,"или ПдёТОЯНИЫХ количеств»^
* Чтобы придать этому определению наибольшую возможную
общность, Эйлер допускал как действительные, так и мнимые зна-
чения аргумента. Функция, понимаемая просто как аналитическое
выражение, образуется у Эйлера с помощью класса допустимых
операций, в который входят арифметические действия, степени,
корни, решения алгебраических уравнений. К ним Эйлер присое-
Рис. 45
динил элементарные трансцендентные функции: ez, Inz и тригоно-
метрические функции. Наконец, в класс допустимых операций было
включено интегрирование.
Классификация функций производится в соответствии с опре-
делением этого понятия в основном по виду их символических вы-
ражений (см. рис. 45). Эйлер дополнил этот принцип классифика-
цией функций по их свойствам. Так, он ввел однозначные и много-
значные, четные и нечетные функции, показал, каковы символи-
ческие признаки наличия или отсутствия того или иного свойства,
сформулировал признаки определения того, какие из свойств функ-
ции сохраняются при производстве той или иной операции, а ка-
кие — не сохраняются. Классификация функций Эйлера означала
новый этап восприятия этого понятия, отличающийся сравнительно
большой общностью. Однако отодвигание на второй план общего
понятия функции как соответствия, опора только на аналитико-
оперативную практику определили ограниченность понимания
функции даже Эйлером.
Все функции мыслятся у него представимыми степенным
рядом
/(z)~a0 + a1z + a2z2+ ...
1 Л. Эйлер. Введение в анализ бесконечно малых, т. 1. М., Физматгиз,
1961, стр. 5.
200
(где z, вообще говоря, комплексное). Следовательно, представление
о всех функциях было по существу еще ограничено классом анали-
тических функций. Такое заблуждение вполне объяснимо. Значи-
тельно позднее выяснилось, что поскольку к аргументу применяют-
ся только операции указанного выше класса, то и в результате
будут получаться только функции аналитические всюду, кроме,
может быть, изолированных особых точек, причем аналитичность
сохранится и в сколько угодно малой окрестности этих точек, где
функция допускает разложения в обобщенный степенной ряд. По-
ведение функции в малом участке определяет, по Эйлеру, поведе-
ние ее в целом, что свидетельствует о существовании у него в то
время идеи аналитического продолжения.
Из того же определения функции как аналитического выра-
жения выросло своеобразное определение непрерывности. Функция
считалась непрерывной, если она задана на всей области существо-
вания единым аналитическим выражением. Так, непрерывными
оказывались функции у = , у = tgx и т. п. Свойство непре-
рывности функции в смысле, привычном для нас, называлось связ-
ностью функции.
Разумеется, наряду с описанной концепцией понятия функции
как аналитического выражения в работах Л. Эйлера, Ж. Далам-
бера и других математиков XVIII в. можно найти и другие опре-
деления. Возможны и другие трактовки этого понятия, отражаю-
щие ту мысль, что соответствие является его основным признаком.
Однако представление функции как аналитического выражения
было доминирующим.
Основным средством, позволяющим приводить функции к виду,
удобному для оперирования с ними, было разложение их в степен-
ные ряды. Опыт подсказывал математикам, что в ряды разложимы
все известные им функции. Исключения из этого общего правила
появились в основном позднее; в то время они были слишком не-
многочисленны, чтобы изменить сложившиеся представления и
существенно повлиять на структуру теории функций. Поэтому пос-
ле классификации функций и введения основных понятий в теории
функций XVIII в. непосредственно следуют разделы оперативного
характера, куда входят методы разложения функций в ряды и
свойства последних.
В своем «Введении в анализ» Эйлер разработал многообраз-
ный аппарат изучения функций с помощью степенных рядов. Он
изучил последовательно классы функций: рациональных, дробно-
рациональных, иррациональных, где особенно интересна система
остроумных подстановок, устраняющих иррациональность. Затем
следуют методы разложения в ряд показательных и логарифмиче-
ских функций. Здесь впервые вводится и полностью разъясняется
определение логарифма положительного числа как показателя сте-
пени, при возведении в которую выбранное основание дает задан-
ное число: если ax=N, то x=logaV. Затем выведена формула:
201
-=(‘ + т)'
которая в более поздней символике записывается так:
ez = limf 1 4- — Y
П-»оо \ П /
(здесь у Эйлера i — бесконечно большое число. Символ, i — на-
чальная буква слова infinite).
Тригонометрические функции также вводятся аналитически.
Их определения уже не связываются столь тесно с геометриче-
ским образом круга. В результате исследования их свойств выво-
дится формула Эйлера
= cos v ± i sin v,
где i — мнимая единица. Формула выведена в характерной для
того времени манере: вначале приводится формула Муавра:
(cos г ± i sin z)n = cos nz ± i sin nz,
а затем ’
_ (cos z 4- i sin z)n 4- (cos z— i sin z)n
cos nz — ------!------——----------— ,
2
— (cos z 4" ‘sin z)" — (cos z —»'sin z)n
SIH /ZZ — ,
2i
Принимая z за бесконечно малое, n — за бесконечно большое, при-
чем отношения между z и п таковы, что их произведение конечно:-
nz-^v, а также, что при этом
1 , о
cosz->l, sinz-»z = —,
n
Эйлер находит
COSO
sin V =
2i
Отсюда уже следует искомая формула:
eiv = cos v 4- i sin v.
Кроме разложения функций в ряды Эйлер разработал метод
представления функций бесконечными произведениями, как, на-
пример:
/ \ /
sin Z = Z ( 1------------) . ( 1
\. ла J \
202
Эти разложения были применены для упрощения вычисления ло-
гарифмов тригонометрических функций.
Для нужд интегрального исчисления в теории функций были
собраны методы представления функций в виде суммы элемен-
тарных дробей. Наконец, для изучения свойств функций Эйлер
применил аппарат непрерывных дробей. Было открыто также мно-
го фактов, полезных для будущей теории функций комплексного
переменного. Например, Даламбер и Эйлер в работах по гидро-
динамике показали, что эти функции имеют вид w = u + iv и что
действительная и мнимая части таких функций удовлетворяют
условиям
ди dtf . 0w dv
дх ду ’ ду дх '
Даламбер в 1752 г., а Эйлер в 1755 г. показали, что эти условия
достаточны для аналитичности функции w. Позднее (в 1777 г.)
Эйлер доказал и необходимость этих условий, ныне в некоторых
книгах ошибочно носящих название условий Коши — Римана.
В течение 30—40-х годов XVIII в. главным образом благодаря
Эйлеру была разработана и систематизирована теория элементар-
ных аналитических функций. Она тотчас же повлекла поток откры-
тий, сопровождавшихся большими и страстными спорами. Особен-
но много споров вызывала трактовка функций комплексного аргу-
мента.
Большое значение имел в этом плане спор о природе лога-
рифмов комплексных чисел, начатый еще Лейбницем и И. Бернул-
ли. Первый утверждал, что эти числа — мнимые, тогда как
И. Бернулли отстаивал утверждение, что эти числа действитель-
ные. В 1749 г. Эйлер правильно решил этот вопрос. Он заметил,
что значение г/=1пх определяется из равенства
х = еУ = (1 + , i = oo.
Отсюда
1 1
=1-|---; у=Цх1 —1),
что соответствует в современных обозначениях:
1
у = 1пх = Ишп(хл — 1).
П-*оо
1
Так как хп, т. е. «корень с бесконечно большим показателем Ь,
продолжает Эйлер, имеет бесконечно много разных значений, во-
203
обще говоря мнимых, то и логарифм имеет бесконечно много зна-
чений, вообще говоря мнимых. Однако споры не утихали, так как
не была выяснена их основа: сущность понятия комплексного чис-
ла. Мы вернемся к этому вопросу еще раз при изложении истории
теории функций комплексного переменного. ,
Неясность существовала и в вопросе о соотношении объемов
классов аналитических и аналитически выразрмых функций.
Эйлер, как было сказано выше, считал их равносильными; всякое
аналитическое выражение представимо рядом. Это убеждение раз-
деляло подавляющее большинство математиков XVIII в. Даже в
1797 г. Лагранж пытался построить теорию аналитических функ-
ций, опирающуюся на утверждение, что всякая функция всюду,
за исключением, быть может, отдельных значений аргумента, пред-
ставима рядом Тейлора.
Накопившийся запас представлений о способах выражения
функциональных зависимостей начал приходить, однако, в проти-
воречие с этой концепцией. Эйлеру пришлось рассматривать и
более общие классы функций, как было указано выше. Так, ему
^принадлежит идея рассмотрения функций, геометрически выра-
женных линиями, начерченными свободным движением руки. 11ри
этом неизбежно встала задача о соотношении объема данного
класса и класса непрерывных (в смысле Эйлера) функций. Эйлер
считал, что последний класс, по-видимому, беднее, потому что су-
ществование аналитической формулы определило бы однозначное
аналитическое продолжение. .Функции же, образованные свобод-
ном движением руки, не имеют такого ограничивающего условия.
1олчком к рассмотрению указанных проблем послузййЛй “за-
дачи математической физики, в особенности задача о колебании
струны. Этой принципиально важной задаче уделяли большое
внимание еще в XVII в. многие ученые: Галилей, Мерсенн, Декарт,
Гюйгенс и др.
В 1715 г. Тейлор вывел уравнения колебания струны из ус-
ловия, что ускорение точки струны, т. е. " , обратно пропор-
ционально радиусу кривизны
„ Mir
д*у
. дх*
Для малых колебаний это дает
&У = & д*у
di2 дх* '
Тейлор наложил на задачу еще одно условие, что все точки ко-
леблющейся струны одновременно возвращаются на ось абсцисс.
~ Ь8
Это дало ему возможность утверждать, что р = —.
у
204
Тогда
= — b2y\ = — (ab)2 у.
дх2 * dt2 .
Принимая далее ось абсцисс за начальное положение струны,
концы которой закреплены, Тейлор нашел решение уравнения в
виде
у = A sin 6x-sin abt.
В 1747 г. Даламбер нашел общий интеграл этого уравнения.
Пусть дано уравнение:
dt2 дх2 *
После замены at=x оно примет вид
д2у = д2у
дх2 dx2 ’
или
д / ду \ д S ду \
дх \ дх J дх \ дх J*
т. е.
dx + dx = du
дх дх
является полным дифференциалом.
Обозначим
дх к дх 4
Тогда
du = qdx + pdx,
dy = pdx + qdx,
откуда
d (y + w) = (p + q) d (x -}- x),
d(y — u) = (p — q)d(x — x).
И следовательно,
у + и = 2(р (at 4* х),
у — и = 2i|) (at — х),
у = <р (at 4- х) 4- 41 (а^ — •*)•
Здесь ф и — произвольные функции, определяемые только на-
чальными условиями.
205
Из условий закрепленности концов у L=o = 0 Даламбер
вывел:
у = q(at + х) — <p(at— х);
<p(z + 2/) = <р(г).
При этом он считал само собой разумеющимся, что функция не-
прерывна в смысле XVIII в., т. е. аналитическая и, следовательно,
дифференцируемая.
Через год после работы Даламбера (опубликована в 1750 г.)
Эйлер ввел соображение о том, что положение конечной колеблю-
щейся струны в любой момент времени to определено, если задано
ее начальное положение y]t=0=f(x) и начальное распределение
скоростей -^-1 = g(x). Тогда функция <р (х), введенная в ре-
dt |<=о
шение, данное Даламбером, выражается через функции f(x) и
g’(x). Именно
<р(х) —<р(—х) = f(x),
<р(х) + <р(— х) = — fg(x)dx
a J
(чтобы получить это выражение, в условии
= а<р' (at -|- х) — а<р' (at — х) = g (х)
dt
положим t=0 и проинтегрируем обе части равенства).
Но, как замечает Эйлер, функции f(x) и g(x) вообще не
непрерывные, а связные. Это обусловлено требованием сплошно-
сти струны. Следовательно, произвольная функция £/=<р(х), вве-
денная Даламбером, не является, вообще говоря, непрерывной.
Вокруг проблемы определения природы функции <р(х) раз-
горелся Ullup, длиИШйися около ЙО лет. ь него были вовлечены
многие крупные ученые XVIII в. Спор, как это часто бывает, пере-
рос свои границы. Он превратился в спор <-» природе Функций.
входящих в состав интегралов уравнений с частными производ-
ными, а затем — вообще о соотношении между внутренними свой-
ствами функций и характером выражающего их аналитического
аппарата. Среди множества возникших в связи с этим проблем
оставалась долгое время нерешенной старая проблема: являются
ли связные линии, вычерченные свободным движением руки, не-
прерывными, точнее аналитически выразимыми.
Решить эту проблему оказалось возможным, лишь обогатив
средства аналитической выразимости функций. Эти пути в XVIII в.
уже наметились в результате введения в математику аппарата
тригонометрических рядов. В одной из своих 15 статей, посвящен-
ных задаче о колебании струны, Эйлер дал решение одного из
206
частных случаев в виде тригонометрического ряда. Через пять лет,
в 1753 г., Д. Бернулли предложил общее решение в аналогичной
форме, исходя из физического соображения, что звук, издавае-
мый колеблющейся струной, слагается из основного тона и бес-
конечного множества обертонов. Именно:
, лх . о , 2лх . . Зях ,
у = a sin-------Н 0 sin-------1- у sin-------1-
I I /
{I— длина струны, a=a(t), 0=0(7), 7=7(0, —)•
Однако Эйлер выступил против такой трактовки общего ре-
шения, так как, по его мнению, функция, предложенная Д. Бер-
нулли, являлась недостаточно общей. В самом деле, она непрерыв-
ная, нечетная, периодическая. Поэтому, по Эйлеру, она могла вы-
ражать лишь частное решение, в крайнем случае — класс частных
решений. Возникший спор привел к задаче: выяснить объем класса
функций, представимых тригонометрическими рядами.
Дальнейшее развитие понятия функции, состава теории функ-
ций и ее места в системе математического анализа выходит за
рамки XVIII в. Однако, чтобы не возвращаться далее к этому
вопросу, изложим в основных чертах его дальнейшую историю.
В 1807 г. (опубликовано в 1822 г.) Фурье в работах по анали-
тической теории тепла доказал, что связные линии, заданные на
конечных участках различными уравнениями, представимы на лю-
бом таком участке рядом
оо
/W~y- + У (ап cos пх + bn sin пх),
П=1
где коэффициентами являются выражения, получившие впослед-
ствии название коэффициентов Фурье:
+«
ап = — I /(x)cosnxdx,
я J
—я
+я
Ьп = — С / (х) sin пх dx.
Л J
—л
Все эйлеровские связные кривые, начерченные свободным дви-
жением руки, оказались охваченными аналитическим аппаратом
тригонометрических рядов. Несоответствие общих представлений
о функциональной зависимости и ограниченных аналитических
средств их выражения оказалось сглаженным. Создались условия
для трактовки функций как соответствий весьма общего вида.
Вскоре такие трактовки стали преобладающими. Так, в 1810 г.
Лакруа писал: «Всякое количество, значение которого зависит
207
от одного или нескольких других количеств^ называется функцией
них независимо от того, знаем мы или не знаем^через
Едкие операции нужно пройти, чтобы перейти от эдиу последних
к первой» Аналогичное определение дано в «Аналитической тео-
рии тепла» Фурье: «Функция fx обозначает функцию совершенно
произвольную, т. е. последовательность данных значений, подчи-
ненных общему закону или нет, и соответствующих всем значени-
ям х, содержащимся между нулем и какой-либо величиной х»2.
Лобачевский в 1834 г. утверждал: «Общее понятие требует..чтобы
функцией от х назвать число, которое дается для каждого х и
вМесте с х постепенно изменяется. Значение функции может быть
дано или аналитическим выражением, или условием, которое по-
дает средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или,
наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвест-
ной... Обширный взгляд теории допускает существование зависи-
мости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи
понимать как бы данными вместе»3. Аналогичную трактовку по-
нятия функции дали в 1837 г. Дирихле и другие ученые, и она
стала общепринятой.
Однако вскоре обнаружилось, что и ряды Фурье не являются
универсальным аппаратом представления функций. Во всех слу-
чаях сходимости рядов Фурье, относящихся* к непрерывным функ-
циям, кроме непрерывности требовалось выполнение дополнитель-
ных условий: конечность производной, ограниченность изменения
функции, кусочная монотонность, существование некоторого инте-
грала, выполнение неравенства и т. п. П. Дюбуа-Реймон в 1876 г.
показал, что нельзя освободиться от дополнительных условий и
ограничиться только свойством непрерывности функции. Он по-
строил пример ^непрерывной функции, ряд Фурье которой расхо-
дится в некоторых точках4.
При построении этого примера Дюбуа-Реймон использовал
прием накопления особенностей при построении функции — при-
ем, идущий от Больцано. Регулярное применение этого приема по-
казало, что удается построить непрерывную функцию Ф(х), перио-
дическую на сегменте [0, 2л], с накоплением особенностей в лю-
бой точке. Соответственно ряд Фурье будет расходиться в любой
точке указанного сегмента. Вновь образовался разрыв между ар-
сеналом средств аналитической выразимости функций и общей
трактовкой понятия функции5. Грубо говоря, кривых снова ока-
залось больше, чем формул.
1 S. F. Lacroix. Traite du calcul differentielle et du calcul integral, t. I.
Paris, 1810, p. 1.
2 J. B. Fourier. Theorie analytique de chaleur. Paris, 1835, p. 5.
3H. И. Лобачевский. Об исчезновении тригонометрических строк.
Собр. соч., М.—Л., Гостехиздат, 1951, стр. 43.
4 См., например, Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и ин-
тегрального исчисления, т. 3. М., Гостехиздат, 1949, стр. 598—605.
5 Теория рядов Фурье и вообще тригонометрических рядов в свою оче-
редь получила мощные стимулы развития, которые привели ее к современному
208
Еще более осложнилось дело к концу XIX в., когда понятие
кривой приобрело большую абстрактность и общность, чем ра-
нее. В 70-х годах XIX в. Г. Кантор построил общее понятие кривой
средствами теории множеств Ч Плоская кривая была определена
у Кантора как множество точек на плоскости, связное, т. е. без
изолированных точек, совершенное, т. е. замкнутое (содержащее
все свои предельные точки), и всюду плотное на себе (любая его
точка — предельная). Однако это было такое множество, которое
нигде не плотно на плоскости (не имеет внутренних точек).- По-
строение Кантора, естественно, было воспринято некоторыми мате-
матиками критически, как уводящее в сторону от возможности
использовать сложившийся аналитический аппарат.
Этот недостаток будто бы устранялся в определении кривой
К. Жордана, данном им в 1882 г.: плоская кривая есть совокуп-
ность точек плоскости, координаты которых заданы уравнениями
х=х(/), у=у(О» правые части которых — непрерывные функции
от параметра t на некотором отрезке [/0, Г]. Кривые Жордана
оказались весьма разнородными и зачастую весьма сложными.
Применение вычислительных алгоритмов к кривым этого класса
еще более затруднилось, когда в 1890 г. Пеано открыл, что суще-
ствуют кривые Жордана, которые могут заполнять целиком все
внутренние точки некоторого квадрата. Только частные классы
этих кривых имеют сравнительно простую структуру. Например»
когда существуют непрерывные производные х'(t) и то кри-
-вая есть линия, имеющая длину
ь _______________
1 = J X'2 (t) + у'2 (0 dt.
а
Тем не менее возможности для алгоритмического оперирова-
ния с функциями даже столь общей природы, как оказалось, со-
хранились. Только теперь они опирались на общую идею аппрок-
симирования функций, приближенного их воспроизведения. Спосо-
бы аппроксимации, как известно, различны. Решающую роль в
осуществлении этой идеи сыграли результаты Вейерштрасса. Он
доказал в 1885 г., что любая функция f(x), непрерывная в [а, 6]»
•аналитически выразима на нем как сумма равномерно сходяще-
оо
гося ряда целых алгебраических полиномов: РЛх).
П=1
состоянию. В нее вошли общие признаки сходимости (начиная с работ Дирихле»
1837), понятия теоретико-множественного характера (Г. Кантор с 1872 г.), меры
и интеграла (Риман и в особенности Лебег, 1902—1906). В первой четверти
XX в. в нее вошли крупные результаты Данжуа, Лузина, Меньшова, Бари и др.
История этой математической дисциплины весьма богата фактами, но содержит
еще много нерешенных проблем.
1 К построению теории множеств Кантор пришел исходя именно из иссле-
дований относительно изображения функций тригонометрическими рядами.
209
Математический анализ XVIII в., в особенности та его часть,
которую мы назвали анализом функций, послужил источником
многих идей современной теории функций. В нем были созданы
начала теории функций комплексного переменного. Как мы уви-
дим далее, класс вариационных задач привел к созданию вариа-
ционного исчисления и возникновению ряда элементов современ-
ного функционального анализа. Выяснение широкого смысла по-
нятия функции как причинного соответствия общей природы раз-
вилось впоследствии в теоретико-множественную концепцию этого
понятия. Анализ всех возможных классов функций и их свойств
оказался необходимым условием для появления современной кон-
структивной теории функций.
Изложенная выше история развития понятия функции в
XVIII в. и позднее была бы неполна, если бы мы не отметили, что
в этот период вместе с обогащением анализа функций измени-
лась его служебная роль. Из введения в анализ он превратился
в одну из его высших областей — теорию функций. Свойства же
элементарных функций вошли составной частью в оперативные
исчисления — дифференциальное и интегральное. Место введения
в анализ заняли теория действительного числа и теория пределов.
Проблема обоснования анализа бесконечно малых. Работы
по вопросам обоснования анализа, появлявшиеся в течение
XVIII в., настолько многочисленны, что составляют большую са-
мостоятельную отрасль математической литературы вообще.
Одной из самых характерных черт анализа бесконечно малых
в XVIII в. была невыясненность его исходных понятий, невозмож-
ность объяснить рационально правомерность введенных операций.
Взгляды создателей анализа на этот предмет не отличались ни
постоянством, ни определенностью. Как Ньютон, так и Лейбниц
предприняли множество попыток объяснения своих исчислений,
не достигнув успеха. Их ближайшие последователи только усугу-
били путаницу. Практические успехи анализа бесконечно малых
приходили во все увеличивающееся противоречие с его неясными,
зыбкими основами. Анализ бесконечно малых переживал мисти-
ческий, по определению К. Маркса, период своего развития.
Уязвимость такого положения вскоре дала себя знать. У ана-
лиза бесконечно малых появились противники, ставящие под сом-
нение или отвергающие его методы, результаты и в особенности
трактовку основных понятий. Приверженцы же могли противо-
поставить этим возражениям лишь накопление практически важ-
ных результатов. К. Маркс по этому поводу писал: «Итак, сами
верили в таинственный характер новооткрытрго исчисления, ко-
торое давало правильные (и притом в геометрическом примене-
нии прямо поразительные) результаты математически положи-
тельно неправильным путем. Таким образом, сами себя мистифи-
цировали и тем более ценили новое открытие, тем более бесили
толпу старых ортодоксальных математиков и вызывали с их сто-
210
роны враждебные вопли, будившие отклик даже в мире неспециа-
листов и необходимые для прокладывания пути новому» Ч
Видная роль во враждебных выступлениях против анализа
бесконечно малых принадлежала ирландскому епископу, видному
философу-идеалисту Дж. Беркли, который был озабочен укреп-
лением позиций религии, расшатываемых под влиянием грандиоз-
ных успехов естественных наук. Наряду с другими сочинениями
философского характера, где он отстаивал позиции субъективного
идеализма, Беркли издал в 1734 г. трактат «Аналист, или рассуж-
дение, обращенное к одному неверующему математику», в котором
он стремился доказать, что анализ (как и все области науки) име-
ет отнюдь не большую обоснованность, чем догматы богословия.
Критические аргументы Беркли были характерны для субъ-
ективного идеалиста. Они состояли из утверждений о чувственно-
интуитивной несообразности, невоспринимаемости понятия флюк-
сий и способа их последовательного образования, а также о логи-
ческих противоречиях в высказываниях Ньютона относительна
оснований анализа.
Возникла оживленная полемика, способствующая в конечном
счете выяснению спорных вопросов. Она не входила в расчеты
Беркли, и он вскоре отошел от этой специальной темы, отнюдь
не изменив своих общих воззрений. Однако критический пере-
смотр проблемы обоснования анализа бесконечно малых продол-
жался в среде математиков с большой интенсивностью. Он был
остро необходим.
Самой первой реакцией английских математиков (Джарин,
Робинс, Пимбертон, Маклорен и др.) была защита теории флюк-
сий и авторитета Ньютона. Они комментировали его труды и вне-
сли в них частичные усовершенствования. При этом было выска-
зано немало полезных мыслей. Так, например, привлечено внима-
ние к правильному толкованию понятия предела переменной
величины. Однако этот путь оказался, как и следовало ожидать,
исторически бесплодным.
Виднейшие математики, занимавшиеся в середине XVIII в.
проблемой обоснования анализа бесконечно малых, видели свою
задачу пока еще только в рационализации его основ, в устранении
пробелов, неясностей, мистического оттенка. Среди многих попы-
ток этого периода, который К. Маркс называл рациональным,,
особенно выделяются теории Эйлера и Даламбера.
Для Эйлера и его последователей (Торелли и др.) дифферен-
циальное исчисление Лейбница не должно было трактоваться как
исчисление дифференциалов, сопровождающееся отбрасыванием
бесконечно малых. По Эйлеру, дифференциальное исчисление
есть метод определения отношения исчезающих приращений, по-
лучаемых функциями, когда их аргументам даются исчезающие
приращения. Основным понятием здесь является не дифференциал,
1 К. Маркс. Математические рукописи. М., «Наука», 1968, стр. 169.
211
а производная. Что же касается бесконечно малых, или дифферен-
циалов, то они есть просто точные нули. Производные, следова-
тельно, имеют вид —; требуется лишь выбирать то значение, к ко-
торому стремится (приближается) отношение конечных разностей
Лу=у\—у и Дх=Х1— х, уменьшившихся каждое до нуля.
7 Теория нулей Эйлера не могла быть признана удовлетвори-
тельной. Она лишь маскировала реальные предельные переходы,
которые практически совершались при дифференцировании
«функций. К тому же дифференциалы, объявленные нулями, вскоре
появляются у самого Эйлера в виде главных линейных частей при-
ращения функций. Без них оказалось невозможно обойтись.
Теория Даламбера также возникла на почве критического
пересмотра наследия Ньютона и Лейбница для выявления их ра-
циональной сущности. Этот пересмотр заставил Даламбера отдать
предпочтение методу первых и последних отношений Ньютона.
Этот метод Даламбер развил, придав ему форму метода преде-
лов. Он считал, что одна величина является пределом другой ве-
личины, если вторая может стать к первой ближе, чем на любую
данную величину, как бы ни была мала эта последняя, причем
приближающаяся величина никогда не сможет превзойти вели-
чину, к которой она приближается.
Отсюда видно, что переменные, по Даламберу,— монотонны,
предел — односторонний. Кроме того, чтобы избежать оперирова-
ния с нулями, Даламбер ввел требование, чтобы предел не сов-
падал ни с каким значением переменной.
Вычисление производных, по Даламберу, состоит из следую-
щих операций: переменному аргументу х дается конечное прира-
щение Дх; функция y=f.(x) получает вследствие этого конечное
же приращение Ду; составляется отношение и упрощается;
наконец, полагается Дх=0. Подобный метод фактически основы-
вается на предположении, что разложение y+Ay=f (x-f-Дх) в ряд
по степеням Дх уже известно, что по существу эквивалентно ут-
верждению, что найдена и сама производная и ее остается только
высвободить из ее окружения, по выражению К. Маркса.
Теория пределов имела многих последователей. В 1786 г.
швейцарец Люилье победил на конкурсе, объявленном Берлинской
академией наук (президентом которой был Лагранж) на тему о
ясной и точной теории математических бесконечно больших и бес-
конечно малых величин. Его сочинение «Элементарное изложение
начал высших исчислений» было построено на базе теории пре-
dy *
делов. В нем производная —была введена как символ выраже-
dx '
ния lim —. Страстными приверженцами и пропагандистами
Дх—>0 Дх
метода пределов были петербургский академик С. Е. Гурьев и его
последователи П. А. Рахманов и академик В. И. Висковатов.
212
Однако теория пределов XVIII в. не получила признания у
большинства современников. Главной причиной этого была органи-
чески присущая понятию предела неалгоритмичность. «Методу
пределов,— писал в 1797 г. Л. Карно,— свойственно одно серьез-,
ное затруднение, не имеющее места в анализе бесконечно малых:
именно, в нем нельзя, как в этом последнем, отделять бесконечно
малые количества друг от друга, и так как количества в нем всег-
да связаны друг с другом, то невозможно ни использовать при вы-
числениях свойства, принадлежащие каждому из них в отдельно-
сти, ни подвергать уравнения, в которых они встречаются, преоб-
разованиям, способствующим их исключению» L Определение
предела как одностороннего недостижимого предела монотонной
последовательности было недостаточным, неразвитым. Оно еще
должно было развиться в понятие предела функции, освободив-
шись от подобных ограничений. Наконец, теория пределов еще не
включала в себя понятие сходимости последовательностей и, что
еще более важно, критерия этой сходимости, введенного лишь в
первой половине XIX в. Коши и Больцано. Словом, эта теория,
чтобы стать общепризнанной и общеупотребительной, должна
была, помимо строгости в выяснении смысла основных понятий
анализа, приобрести алгоритмический аппарат.
Поэтому не удивительно, что ко второй половине XVIII в. вы-
явилась еще одна концепция обоснования анализа, названная
К. Марксом алгебраической. Ее сущность состояла 'в том, чтобы
положить в основу анализа понятие производной, определение
которой включало бы эффективный способ ее отыскания, не опи-
рающийся на туманные понятия бесконечно малой, предела и т. п.
Операцию дифференцирования, согласно этой концепции, следова-
ло бы заменить алгебраическим приемом или каким-либо другим
специальным алгоритмом.
По-видимому, первые работы в области алгебраического диф-
ференциального исчисления появились в Англии. В 1748 г. вышло
«Учение об ультиматорах» Джона Киркби, неудачное и тотчас же
забытое. Через несколько лет в двух работах (1758—1764) Джон
Ланден развил «анализ вычетов». В последнем рассматривались
выражения вида -—L-L-L. Значение такого выражения при
Xi=x Ланден называл «специальным значением», или «отношени-
ем вычетов», и ввел для него символ Разыскание «специ-
ального значения» для элементарных алгебраических функций в
«анализе вычетов» опиралось на теорему
X — v tn 2т
‘+Ш“+(т)“ + -+(тГ’7
1 Л. Карно. Размышления о физике бесконечно-малых. М., ГТТИ, 1933,
стр. 199.
213
т
При v=x получается значение производной для у = х п:
Рассуждения Ландена, как и других приверженцев алгебраи-
ческого обоснования анализа, по существу опирались на самооче-
видность разложения функций в ряд. Их алгебраические приемы
были пригодны фактически лишь для полиномиальных функций.
Распространение этих приемов даже на класс аналитических
функций связано с трудностями, с которыми их авторы не умели
справиться (распространение на бесконечные ряды свойств ко-
нечных сумм, представимость функций степенным рядом и т. п.).
Самой серьезной работой, выяснившей полностью возможно-
сти алгебраического дифференциального исчисления и определив-
шей его судьбу, была большая работа Лагранжа «Теория анали-
тических функций, содержащая принципы дифференциального
исчисления, освобожденные от всякого рассмотрения бесконечно
малых или исчезающих пределов и флюксий, сведенные к алгебра-
ическому анализу бесконечных количеств» (1797). Ее исходным
и центральным пунктом было стремление доказать теорему, что
всякая функция y=f(x+h) почти всюду (быть может, за исклю-
чением отдельных значений аргумента) разложима в степенной ряд
/ (х + ft) = f (х) 4- ph + <?ft2 + rha + ...
Доказательство Лагранж строил таким образом, что исклю-
чал все особенные случаи (возможность появления членов разло-
жения с отрицательными или дробными степенями h и т. п.). Тем
самым он выделил для исследования класс аналитических функ-
ций, отнеся остальные функции к разряду исключений. Это было
отмечено позднее Вейерштрассом, по инициативе которого за функ-
циями, представимыми степенными рядами, было сохранено на-
звание аналитические. Степенные ряды Лагранж использовал для
приближения функций полиномами, опираясь на то, что для всех
достаточно малых h каждый член разложения будет больше сум-
мы следующих за ним членов. При этом для конкретных функций
он вывел формулу остаточного члена и ввел в употребление тео-
рему о среднем.
Последовательные производные определены Лагранжем как
коэффициенты при последовательных степенях h с точностью до
соответствующих числовых коэффициентов. Последующее изложе-
ние дифференциального исчисления было проведено Лагранжем
в этом же сочинении.
Таким образом, дифференциальное исчисление, по мысли
Лагранжа, должно было представлять часть алгебры, отличаю-
щуюся лишь специфическими алгоритмами. «Алгебра есть не что
иное, как теория функций. В алгебре искомые количества должны
214
ж. л. Лагранж (1736—1813)
быть функциями данных количеств, т. е. выражениями, представ-
ляющими различные операции, которые нужно произвести над
этими количествами, чтобы получить значения искомых. В алгеб-
ре, в собственном смысле слова, рассматривают только первона-
чальные функции, происходящие из обычных алгебраических опе-
раций; это первая ветвь теории функций. Во второй ветви рассма-
тривают производные функции, и это та ветвь, которую мы назы-
ваем просто «Теорией аналитических функций» и которая содер-
жит все, относящееся к новым исчислениям»1— так пояснил эту
свою мысль Лагранж.
1 J. L. Lagrange. Theorie des fonctions analytiques... Oeuvres de Lag-
range, t. IX Paris, 1881, p. 16.
215
Однако вскоре выяснилось (и Коши сыграл в этом главную-
роль), что теория Лагранжа некорректна. Основная теорема о
разложении функций в ряд по существу опиралась на неявное
предположение, что всякая функция разложима в ряд Тейлора.
Этот порочный круг оказался неустранимым. Кроме того, Лаг-
ранж не смог избежать неявных апелляций к бесконечно малым
и к предельным переходам. Операции с рядами тоже оказались
необоснованными, так как они производились без исследования
сходимости ряда.
В обстановке острой борьбы обнаруживалась несостоятель-
ность одного за другим почти всех способов обоснования мате-
матического анализа. Только по отношению к понятию предела
критика вела не к отказу от концепций, основывающихся на нем,
а к их уточнению. Но это понятие трудно и долго входило в ана-
лиз, так как всякий раз возникали трудности, связанные с вопро-
сом о существовании предела и о способах эффективного его на-
хождения. Подобные трудности существовали долго, до конца
XIX в., когда был создан «е, 6-аппарат» теории пределов.
Идеи К. Маркса о путях развития математического анализа.
В изложении проблемы обоснования анализа бесконечно малых
в XVIII в. мы неоднократно ссылались на ряд идей К. Маркса,,
содержащихся в его математических рукописях. В предыдущем
параграфе мы целиком исходили из этих идей; исследования
Маркса имеют для нашей науки основополагающий характер.
Дадим здесь их краткий обзор, отнюдь не претендуя на полноту
анализа содержания всех математических рукописей Маркса.
Математикой Маркс начал заниматься в конце 50-х годов
прошлого века в связи с работой над «Капиталом» и не прекра-
щал этих занятий до последних дней своей жизни. Работая само-
стоятельно, он помимо применений' математики к исследованию
экономических проблем перешел к систематическим занятиям ма-
тематическим анализом. Здесь он поставил перед собой задачу —
сорвать покров тайны, окружавшей основные понятия и методы
дифференциального исчисления со времен Ньютона и Лейбница.
Труднейшая задача обоснования анализа бесконечно малых сде-
лалась для Маркса пробным камнем применения метода материа-
листической диалектики к математике. При решении этой задачи
Маркс проделал большую предварительную работу. Он изучил и
критически сравнил многочисленные учебники математического
анализа для высших школ Англии и Франции и познакомился с
некоторыми классическими произведениями Ньютона, Эйлера,
Маклорена и др.
В ходе этой работы К. Маркс убедился в неудовлетворитель-
ности почти всех попыток обоснования анализа, кроме теории
пределов, важнейшим представителем которой являлся Коши.
В конце 70-х годов Маркс приступил к изучению теории пределов
и к обработке и систематическому изложению складывающейся у
него собственной точки зрения. Смерть (14 марта 1883 г.) прерва-
216
ла занятия. Исследования остались неоконченными. Математиче-
ские рукописи К. Маркса в той части, которая относится к мате-
матическому анализу, отражают эту большую работу.
Для К. Маркса анализ бесконечно малых не является изоли-
рованной, обособленной областью математики. Он представляет
собой закономерно возникший новый этап исторического развития
математики. Поэтому задача выявления логической структуры ана-
лиза в подавляющей части сводится к анализу его истории. Эта
история начинается с накопления неразвитых форм, прообразов,
понятий и операций анализа, ведущих к переходу от алгебры ко-
нечного к алгебре бесконечного, включающей в себя бесконечные
ряды, интеграционные и дифференциальные методы. Появление
собственно дифференциального и интегрального исчисления свя-
зано уже с изобретением специфических алгоритмов.
Работая над выяснением диалектического перехода от алгеб-
ры к анализу бесконечно малых, К. Маркс обращал внимание на
то, что основатели дифференциального и интегрального исчисле-
ния, равно как и ученые более позднего времени, с самого начала
действовали на почве самого исчисления и не искали его алгебраи-
ческих истоков.
Ньютон «был еще слишком поглощен разработкой самих диф-
ференциальных операций, которые у Тейлора и Маклорена пред-
полагаются уже имеющимися и известными. К тому же, как сви-
детельствуют его ' первые элементарные формулы - исчисления,
Ньютон явно пришел к ним первоначально, отправляясь от ме-
ханических, а не принадлежащих чистому анализу исходных
пунктов. С другой стороны, что касается Тейлора и Маклорена,
то они с самого начала в своей работе оперируют на почве самого
дифференциального исчисления, и ничто их не побуждало поэто-
му доискиваться наивозможно более простых алгебраических ис-
ходных пунктов этого исчисления, тем более что спор между по-
следователями Ньютона и Лейбница вращался вокруг определен-
ных, уже готовых форм исчисления, как только что открытой,
совершенно особой математической дисциплины, до которой обыч-
ной алгебре, как до звезды небесной, далеко... Подлинные и в
силу этого простейшие взаимосвязи нового со старым открываются
всегда лишь~после того, как это новое само приобретет уже завер-
шенную форму...» L
В истории обоснования дифференциального исчисления в
XVIII в. К. Маркс различал следующие периоды:
1. Мистическое дифференциальное исчисление, В силу того,
что основоположники анализа бесконечно малых, в первую оче-
редь Ньютон и Лейбниц, с самого начала отождествляли прира-
щение с дифференциалом, они могли получать правильные резуль-
таты, лишь отбрасывая бесконечно малые более высоких поряд-
ков. Это с неизбежностью приводило к тому, что дифференциалу
1 К. Маркс. Математические рукописи, стр. 199.
217
приписывались какие-то особые, таинственные свойства, что бес-
конечно малые рассматривались как некие мистические величины:
и нули и не нули одновременно. К. Маркс не видел в этом реши-
тельно никакой диалектики и считал такую трактовку неправиль-
ной. В то же время он высоко оценивал открытие дифференциаль-
ного и интегрального исчисления и подчеркивал то обстоятельство,
что борьба мнений, развернувшаяся вокруг этого открытия, была
необходимой, чтобы проложить путь новому.
2. Рациональное дифференциальное исчисление исправляет
методы Ньютона и Лейбница. Его виднейшими представителями
были Эйлер и Даламбер. Как мы разъясняли выше, определение
производной, по Даламберу, проведено более строго, но реальный
(эффективный) способ нахождения производной при этом не вы-
_ Д/у
является. Больше того, составление отношения и последующие
операции с ним основываются на предложении, что разложение
/(х+Дх) в ряд по степеням Ах уже найдено, что эквивалентно
нахождению искомой производной, которую остается только «вы-
свободить из ее окружения».
3. Алгебраическое дифференциальное исчисление. Лагранж,
главный представитель этого течения, уже явно исходит из разло-
жимости функции f(x+/z) в ряд по степеням h и определяет про-
изводную как коэффициент того члена ряда, который содержит
приращение h в первой степени. Вопрос об алгоритмах нахожде-
ния производной для тех или иных классов функций остается, та-
ким образом, открытым. Больше того, Лагранж так и не доходит
до собственного дифференциального исчисления. Дифференциаль-
ные символы у него представляют собой просто «дело номенкла-
туры, которая одна только и остается от собственно дифференци-
ального исчисления»К. Маркс также отметил, что в приложе-
ниях своей аналитической теории функций Лагранж сам постоян-
но использует то или другое из отвергаемых им «метафизических»
представлений: ньютоновы флюксии, лейбницевы бесконечно ма-
лые, даламберовские предельные значения отношений исчезаю-
щих величин, а также специфическую для дифференциального ис-
числения символику.
Остановимся еще на некоторых других идеях К. Маркса в
области основ математического анализа. Задача, которую он ста-
вил перед собой, состояла для начала в выяснении сущности диф-
ференциального исчисления как такового, т. е. как особого мате-
матического исчисления, оперирующего с характерными для него
символами. В соответствии с этим К. Маркс прежде всего выяв-
лял реальную сущность процесса дифференцирования.
По К. Марксу, производная f'(x) от функции y=f(x) полу-
чается следующим образом: образуется (если это возможно)
«предварительная» производная, т. е. функция
1 К. Маркс. Математические рукописи, стр. 177.
218
ф(х, хх) =
Хх — X
Значение этой функции для Х\=х (если оно существует) и есть
производная от данной функции. К. Маркс искал алгоритмы, по-
зволявшие (в простейших случаях) непосредственно находить по
выражению функции ее производную. Так, в случае степенной
функции у=хп
ф (х, хх) = ^~хП = х"-1 + х-х?~2 + x2xi~3 + ... +
Х± — X
+ Хп-2Хх + X"-1,
что при Xi=x дает
/' (х) — пхп~х.
Такого рода способы непосредственного нахождения произ-
водной К. Маркс называл алгебраическим дифференцированием.
Термин «алгебраическое» употреблялся им в том же смысле, как
и у многих математиков XIX в.: как не требующее использования
понятия бесконечно малой величины.
Алгебраическое дифференцирование К. Маркса допускает
символическое отображение в общепринятом в его время виде.
Обозначая
хх — х = Дх, //! — «/ = Ау,
причем Дх^=0, К. Маркс получал для предварительной производ-
ной символическое выражение . Соответственно обозначение
Дх
производной f'(x) будет Этот символ,* который К. Маркс (в
соответствии с употреблявшейся в его время терминологией) на-
зывал «символическим дифференциальным коэффициентом», не-
посредственно имеет смысл только в целом. Однако в силу способа
образования производной можно рассматривать выражения
f' (х) dx — dy.
Эта формула верна и для дифференцирования сложной функции.
В этом случае она используется как оперативная формула, по-
зволяющая (в довольно широких предположениях) свести нахож-
дение производной от функции
F(0=7l<p(0]
к отысканию производных f'(x) и q/(x). Для этого достаточно в
формулу для дифференциала подставить
х = ф(/), dx = (p' (t)dt.
219
Но таким образом происходит оборачивание метода. Мы сле-^
дуем не от реального математического процесса образования про-
изводной к ее символическому выражению, а, наоборот, опираясь
на символическую формулу, находим выражение для производ-
ной. Первым нетривиальным примером такого оборачивания ме-
тода является дифференцирование произведения y = uz. Обра-
щаясь к выводу формулы
d (uz) dz . du
1 = »----j-Z---,
dx dx dx
К. Маркс указывал, что «символический дифференциальный коэф-
фициент становится, таким образом, самостоятельным исходным;
пунктом, реальный эквивалент которого лишь должен быть най-
ден... Но тем самым и дифференциальное исчисление выступает
как некое специфическое исчисление, которое оперирует уже са-
мостоятельно, на собственной почве, ибо исходные пункты его
du dz
---, --- суть лишь ему принадлежащие и его характеризую-
dx dx
щие математические величины. И это оборачивание метода по-
лучилось здесь как результат алгебраического дифференцирования
uz. Алгебраический метод, таким образом, сам собой превращает-
ся в противоположный ему дифференциальный метод... Но тем са-
мым символические дифференциальные коэффициенты
dx dx
тотчас же превращаются в оперативные символы, в символы про-
цессов, которые должны быть выполнены... Первоначально возник-
ший как символическое выражение «производной», т. е. уже вы-
полненных операций дифференцирования, символический диффе-
ренциальный коэффициент теперь играет роль символа тех опе-
раций дифференцирования, которые только предстоит еще произ-
вести»
К. Маркс не ограничивался понятием дифференциала как опе-
ративного символа. В применении к вопросу о приближенном вы-
ражении приращения функции он использовал понятие дифферен-
циала как главной линейной части приращения. Понятие диффе-
ренциала как оперативного символа, впервые открытое К. Марксом,
и различие обоих понятий дифференциала приобретают, как это
было показано советским математиком В. И. Гливенко, особенно
важное значение в современных обобщениях понятия дифферен-
циала на функциональный анализ.
В ходе работы над математикой К. Маркс интересовался ши-
роким кругом вопросов. Среди них: о применении математики в
экономических исследованиях, о математических способах ото-
бражения движения и многие другие. Несмотря на незавершен-
ность математические рукописи К. Маркса имеют большое научное
значение.
1 К. Маркс. Математические рукописи, стр. 55—57.
220
6.3. РАЗВИТИЕ АППАРАТА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Перестройка основ математического анализа происходила в-
обстановке, когда последний быстро и успешно развивался. Мно-
гие исследователи последующих времен, говоря о математиках
XVIII в., упрекали их за то, что они в погоне за практическими
результатами оставались якобы безучастными к его основам. Мы
показали в предыдущей главе, что это было, конечно, не так.
В оперативной части анализ также был преобразован самым
радикальным образом. Был выработан удобный, действенный, раз-
витый аппарат исчислений. В начале XVIII в. анализ подразде-
лялся еще только на две части: дифференциальное и интегральное
исчисление. Первое включало в себя, в частности, всю теорию ря-
дов. Во втором же были сосредоточены методы решения всех так:
называемых обратных задач анализа бесконечно малых. Таким
образом, в интегральное исчисление помимо методов интегриро-
вания функций включалась вся теория дифференциальных урав-
нений, как обыкновенных, так и с частными производными, а так-
же вариационное исчисление.
Ярким примером такой нерасчлененности структуры матема-
тического анализа является рассмотренная выше серия моногра-
фий Эйлера.
Фактическое богатство анализа, накопленное в течение
XVIII в., огромно. Оно слишком велико, чтобы дать в рамках на-
стоящего учебника его систематический обзор. Да в этом здесь it
нет необходимости. Мы укажем лишь на некоторые наиболее ха-
рактерные особенности развития дифференциального и интеграль-
ного исчисления и теории дифференциальных уравнений.
Дифференциальное исчисление. Вскоре после появления пер-
вых работ Г. В. Лейбница выяснилось, что его исчисление диф-
ференциалов и символика имеют большие преимущества перед
исчислением флюксий к соответствующей системой символов. Они
лучше отображали сущность операций анализа, и последний, ес-
тественно, принял форму, в основном предсказанную Лейбницем.
Однако в качестве основного понятия математики XVIII в., в от-
личие от Лейбница, приняли не дифференциал, а производную, как
менее уязвимую логически. Постановка задач дифференциального*
исчисления изменилась. Вслед за Эйлером оно стало трактоваться
большинством математиков как метод определения отношения ис-
чезающих приращений, получаемых функциями, когда переменно-
му количеству, функциями которого они являются, дается исчеза-
ющее приращение.
В течение длительного времени дифференциальное исчисле-
ние сохраняло тесные связи с исчислением конечных разностей..
Эта связь была в рассматриваемое нами время настолько тесной,,
что оба эти исчисления фактически объединялись в единое исчис-
ление для функций как непрерывного, так и дискретного аргумен-
та. Помимо обычных соображений, в которых учитывается «моло-
221
дость» и нерасчлененность анализа, такое положение объяснялось,
по-видимому, большим прикладным значением исчисления конеч-
ных разностей для методов интерполяции, численного дифферен-
цирования и интегрирования, приближенного решения дифферен-
циальных уравнений. Не последнюю роль играли при этом сооб-
ражения, связанные с доказательствами по аналогии. Совместное
рассмотрение обоих исчислений создавало большие возможности
для подобных аналогий.
Математики XVII и XVIII вв. много внимания уделяли раз-
витию исчисления конечных разностей. В работах П. Ферма,
И. Барроу, Г. Лейбница, Дж. Валлиса, И. Ньютона и др. сформи-
ровалась эта область математики. Изобретатели анализа беско-
нечно малых ввели многочисленные аналогии между конечными
разностями и дифференциалами, используя их для дальнейшего
развития дифференциального исчисления. Вот один из примеров.
В 1711 г. Ньютон вывел известную интерполяционную фор-
мулу 1
f (а + иДх) = f (а) 4- пД/(а) + Д2/= (а) +
+ п(п-')(”-2) дз/(а) + • •. + А«/(а),
1 • 2, * о
где п — целое положительное число,
А/(а), А2/(а), А3/(а), ...
последовательные конечные разности функции f(x) при х=а\
= f(x + Дх) —/(х),
Д2/ (х)> Д/ (х + Дх) — Д/ (х),
Д3/ (х) = Д2/ (х + Дх) — Д2/ (х),
Эту формулу Ньютона Тейлор распространил на случай бес-
конечно большого числа членов, где Дх стремится к нулю, но, од-
нако, так, чтобы n*kx—h было конечным. Тогда
/(а + й) = /(а) + й-^1 + МЙ~Дх) . +
Ах 1-2 Дх3
, —Ах)(Я —2Дх) Д«/(п)
1-2-3 ’ Ах3
превратилось у него в
/(х + й) = /и) + л-^
/12 d2/(x) h* d*f(x)
2 dx2 3! dx«
1 И. Ньютон. Конечные разности. В кн.: И. Ньютон. Математические
работы. М., ОНТИ, 1937, стр. 210—217.
222
Подобное использование аналогий и параллельное развитие
дифференциального исчисления и исчисления конечных разностей
было характерно для анализа XVIII в. Особенное распростране-
ние эта черта получила к середине века, что ярко продемонстри-
ровал, например, Эйлер в своем «Дифференциальном исчислении»
(1755). Он посвятил, в частности, первые две главы систематиче-
скому изложению теории конечных разностей в объеме, превы-
шающем дальнейшее ее применение в настоящем сочинении, к ин-
терполированию рядов, преобразованию их для улучшения сходи-
мости, и подобным вопросам.
Основным аппаратом дифференциального исчисления явилось
разложение функций в степенные ряды. Сравнительно богатый
арсенал средств, накопленный предшественниками, в самом начале
века обогатился теоремой Тейлора. Последний нашел ее, как мы
показали выЩе, использовав аналогию с исчислением конечных
разностей, экстраполируя на исчисление дифференциалов интер-
поляционную формулу Ньютона. В 1712 г. Тейлор уже сообщил
свою теорему в одном письме. Публикуя ее в «Methodus incremen-
torum directa et inversa» (1715), Тейлор дополнил ее выводом для
частного случая, называемого рядом Маклорена. Последний дал
новый вывод этой теоремы в 1742 г.
Регулярное применение рядов Тейлора и Маклорена стала
характерной особенностью дифференциального исчисления. Их
значение оказалось настолько большим, что когда в 1784 г. Кон-
дорсе присвоил этим рядам имена их открывателей, это было вос-
принято как само собой разумеющийся факт. Задача разложить
в ряд элементарными путями все известные функции и тем самым
обеспечить эффективность операций дифференциального исчисле-
ния сделалась не только актуальной, но и, казалось, достижимой.
В этом направлении были достигнуты крупные успехи. Все изве-
стные математикам XVIII в. (и, по-видимому, все возможные}
функции обнаруживали свойство разложимости в степенные ряды,,
бесконечные произведения и т. п., и с ними оказывалось возмож-
ным оперировать. Огромное увеличение фактов дифференциального
исчисления, кажущееся пренебрежение к необходимости более
глубокого изучения свойств рядов создали прецеденты для непра-
вильных оценок творчества математиков XVIII в. в области мате-
матического анализа. С разной степенью определенности различ-
ные авторы писали о формализме и беспечности в этих вопросах.
Однако это не соответствует действительности. Первые же
трудности выдвинули проблему сходимости рядов. Уже в 1715 г.
П. Вариньон сформулировал относительно биномиальных разло-
жений ряд требований, сущность которых сводилась к тому, чтобы
члены разложения неограниченно уменьшались, равно как и ос-
таток ряда. Усилия, направленные на замену смутных метафизи-
ческих рассуждений точным определением сходимости, продолжа-
лись в течение всего столетия. При этом основные заслуги матема-
тиков XVIII в. можно сформулировать так: вывод и исследование-
223
различных форм остаточного члена ряда; преобразование рядов
с целью получить ряд, заведомо сходящийся; творческое осмыс-
ление оперирования с расходящимися рядами.
В 1754 г. Даламбер при выводе ряда Тейлора высказал сооб-
ражения, сводящиеся к представлению остаточного члена п-крат-
ным интегралом. Эйлер стремился отыскать иные критерии схо-
димости, рассматривая модули разностей сумм членов ряда, взя-
тых в конечном числе. В 60-х годах идея различения сходящихся
и расходящихся рядов проникла в учебники, например в учебники
Кестнера (1760 и 1761 гг.). В 1768 г. Ламберту удалось строго до-
казать ряд теорем относительно сходимости разложения числа л
в цепную (непрерывную) дробь. В конце века, в 1797 г., Лагранж
представил остаточный член ряда Тейлора сначала в интеграль-
ном виде, а затем в виде, в котором он известен сейчас под его
именем. Усилия математиков XVIII в. правильно понять пробле-
мы сходимости (равно как и их ошибки) создали к началу XIX в.
условия для строгого подхода к ее решению. Новый этап теории
рядов, характеризующийся регулярными строгими оценками ос-
таточных членов и характера сходимости, начинается в первые
десятилетия XIX в. и связан в первую очередь с работами Коши.
О большом внимании к проблеме сходимости свидетельствуют
работы по улучшению сходимости рядов. Многие преобразования
рядов для получения сходящихся рядов принадлежат Эйлеру.
Вот пример: данфяд
S = ах — Ьх2 + сх3 — dx* + .. . .
Производится замена переменных
X = у = у + у2 + • • •,
1— У
S — а(у + у2 + .— («/ + У2 + •• -)2 + с (у + у2 + .. .)3 — .
S = ау + (а — Ь) у2 + (а — 2b + с) ys + ... =
= ay + Ьа • У2, + Д2а • У3 + ...
х
Затем новая замена переменных у =------ приводит к
1 + х
S' = а —— + Да ( ——Y + Д2а<——Y + ...
14-х \ 14-х J \ 14-х J
Если ряд S сходится, то ряд S' сходится к этой же сумме. Но су-
ществуют такие значения х, для которых S сходится, a S' — рас-
ходится.
Оперирования с рядами вне области их сходимости приводи-
ли к парадоксальным результатам. Однако Эйлер нашел способы
получать важные результаты анализа именно с помощью расхо-
дящихся рядов. Вообще Эйлер нередко оперировал с расходящи-'
224
мися рядами, видя для этого основания в индуктивном распро-
странении на бесконечные ряды операций, применимых к полйно-
миальным функциям. Оправданием законности оперирования с
расходящимися рядами для Эйлера было получение правильных
результатов. Чтобы избежать несообразностей, следует, говорит
он, правильно определить понятие суммы расходящегося ряда.
При этом надо отказаться от обычных представлений, связанных
со словом «сумма», и считать, что суммой ряда является конечное
выражение, из разложения которого этот ряд возникает. Напри-
мер, суммой ряда
1 + X + X2 + X3 + . . .
„ 1 „
будет-----, потому что данный ряд получается из разложения
1 —х
последнего выражения. Такое определение оказывается более об-
щим и предвосхищает многие важные идеи последующих времен,
например идею аналитического продолжения, не говоря уже о воз-
можности использования важного аппарата расходящихся рядов.
Наряду со степенными рядами в математический анализ во-
шли новые типы разложений функций. Д. И. Стирлинг (1730) и
Эйлер (1732) применили, например, разложения в асимптотиче-
ские ряды. В 1748 г. Эйлер ввел тригонометрические ряды для
решения задач математической физики. Это средство получило
применение не только в работах Эйлера, но и в сочинениях других
математиков: Д. Бернулли (1753) по уравнениям математической
физики (например, решение уравнения колебания струны), Да-
ламбера (1754) и одновременно Клеро по небесной механике.
К концу XVIII в. Лаплас (1782 г., опубликовано в 1785 г.) и Ле-
жандр (1783, опубликовано в 1786 г.) решили задачу о притяже-
нии эллипсоидального тела, введя разложения в ряды по сфериче-
ским функциям.
Математический анализ в XVIII в. обогатился мощным и раз-
нообразным аппаратом разложения функций в ряды различных
видов. Этот аппарат был создан под непосредственным влиянием
задач математической физики. В ходе его разработки постепенно
были подняты проблемы изучения общих свойств рядов, главным
образом их сходимости. Без этого систематическое использование
созданного аппарата было затруднительно. Построение достаточно
общей и строгой теории рядов сделалось к концу века первооче-
редной проблемой, от решения которой зависели практические ус-
пехи математического анализа.
Правила дифференцирования в подавляющем большинстве
были разработаны еще в трудах Лейбница и братьев Бернулли.
Расширение этих правил в связи с расширением класса исследуе-
мых функций не представляло принципиальных трудностей. Так,
вслед за аналитическим выражением тригонометрических, пока-
зательных и других классов функций были немедленно получены
аналитические выражения их производных.
i к. А. Рыбников
225
Накопление фактов дифференциального исчисления происхо-
дило быстро. В «Дифференциальном исчислении» (1755) Эйлера
это исчисление появляется уже в весьма полном виде. Например,
теорема о независимости значения частных производных от по-
рядка дифференцирования была известна еще в начале века. Эйлер
дал ей доказательство, распространив последнее на частные про-
изводные высших порядков. В теории полного дифференциала
Эйлер показал, что в
df (х, у) = Pdx + Qdy
частные производные должны удовлетворять условию
dP_ = _dQ_
ду дх
Символы-^-, —— , однако, были введены позднее, около 1786 г.,
дх ду
Лежандром. Необходимость, а затем достаточность данного ус-
ловия, чтобы выражение Pdx-\-Qdy было полным дифференциа-
лом, была доказана Эйлером. Он же, рассматривая функции трех
переменных f(x, у, z) и их полные дифференциалы вида
Pdx-YQdy+Rdz, ввел условия
дР = dQ , дР дР_, dQ = дР
ду дх ’ dz дх ' dz ду
Именем Эйлера названы также и формулы дифференцирования
сложных функций, теорема об однородных функциях и многие
другие факты.
Правила определения экстремумов функций одной переменной
y = f(x) были даны Маклореном. Эйлер разработал этот вопрос
для функций двух переменных. Лагранж показал (1789), как от-
личать вид условного экстремума для функций многих перемен-
ных, а затем (1797) применил для их исследования метод неоп-
ределенных множителей, носящий его имя. Упомянем, наконец,
вопрос об исследовании неопределенностей вида -^-,0-оо, оо — оо,
оо
которые провел Эйлер.
Дифференциальное исчисление в течение XVIII в. накопило
почти все факты, характеризующие его современную структуру.
Был разработан сильный аппарат представления функций рядами.
Он приобрел достаточно развитую аналитическую форму. Помимо
общих проблем рационального истолкования его основных поня-
тий, связанных с невыясненностью понятия бесконечно малого
количества и рассмотренных нами в предыдущей главе, перед ним
встали новые проблемы обоснования. Эти проблемы относились
к суммируемости рядов, разложимости функций в ряды различных
типов, условий существования интегралов от заданных полных
дифференциалов и т. п.
226
Интегральное исчисление. Создатели анализа бесконечно ма-
лых ввели интегральное исчисление, рассматривая обратные зада-
чи своих исчислений. В теории флюксий Ньютона взаимная об-
ратность задачи вычисления флюксий и флюент проступала осо-
бенно явно. У Лейбница вопрос был сложнее: интеграл появился
вначале как определенный, как сумма бесконечно большого числа
бесконечно малых дифференциалов. Однако интегрирование прак-
тически сводилось к отысканию первообразных функций. Идея
неопределенного интегрирования была вначале доминирующей.
Обратные задачи были поставлены в самом общем виде. Ин-
тегральное исчисление включало еще помимо интегрирования
функций задачи и теорию дифференциальных уравнений, вариа-
ционное исчисление, теорию специальных функций и т. п. Эти
области математического анализа лишь постепенно отделились от
интегрального исчисления в течение XVIII в. Интегральное исчис-
ление в такой общей постановке необычайно быстро разрослось.
Эйлеру понадобилось в 1768—1770 гг. три больших тома, чтобы
дать его систематическое изложение. Первый том этого колоссаль-
ного труда включал в себя в первой части собственно интегриро-
вание функций; обыкновенные дифференциальные уравнения за-
няли вторую часть первого тома и весь второй том; третий
том был отведен дифференциальным уравнениям с частными
производными и вариационному исчислению. Однако весь этот
материал понимался еще все-таки как единое интегральное
исчисление.
По Эйлеру, который выражал общепринятую точку зрения,
интегральное исчисление являлось методом нахождения по дан-
ному соотношению между дифференциалами соотношения между
самими количествами. Действие, которым это достигалось, назы-
валось интегрированием. Исходным понятием такого исчисления,
разумеется, был неопределенный интеграл. Само исчисление
имело целью выработку методов отыскания первообразных функ-
ций для функций возможно более широкого класса.
Задача построения исчисления в основном была решена в те-
чение первой половины XVIII в. Главные достижения в этом деле
вначале принадлежали И. Бернулли, написавшему первый систе-
матический курс интегрального исчисления (1742), затем — Эйле-
ру. Вклад последнего в интегральное исчисление необычайно ве-
лик. По справедливому замечанию Н. Н. Лузина об Эйлере, до-
веденные им до конца интеграции и найденные им квадратуры еще
до сих пор образуют рамки всех современных курсов и трактатов
по интегральному исчислению; математика в течение 150 лет
после смерти Эйлера не могла пробить бреши в том кольце ин-
теграций, которое было выковано Эйлером, и таким образом до-
бавить новые квадратуры. В отношении интегрального исчисления
современные учебники являются лишь переделками трактата
Эйлера, только подновлением этого труда в отношении языка.
Аналогичную оценку давал академик А. Н. Крылов.
8*
227
Несмотря на кажущуюся чрезмерной категоричность этих
суждений, они подтверждаются при конкретном рассмотрении зна-
менитого «Интегрального исчисления» Эйлера и сравнении его с
современными учебниками. Методы неопределенного интегриро-
вания достигли практически современного уровня во второй поло-
вине XVIII в.
Формирование совокупности методов нахождения первообраз-
ных функций сопровождалось выработкой общих понятий исчис-
ления и соответствующей удобной символики. Эйлер, исходя из
понятия неопределенного интеграла как основного, ввел целую си-
стему определений. Интеграл вместе с произвольной аддитивной
постоянной интегрирования он называл полным. Фиксирование
произвольной постоянной приводило к частному интегралу. Зна-
чение последнего при некотором определенном значении аргу-
мента давало эквивалент определенного интеграла.
Эту стройную последовательность оказалось невозможным вы-
держать в прикладных вопросах (в случае, когда первообразная
не является элементарной функцией), и в соответствующих приб-
лиженных вычислениях определенное интегрирование вводилось
как суммирование в смысле, аналогичном современному. Необхо-
димое видоизменение символа Лейбница
f f (х) dx
для случая определенного интегрирования было тоже найдено не
сразу. Символ Эйлера
J f (х) dx
abx = а
adx = b
(где вместо f(x) еще стояло р) получил с 1779 г., по предложе-
нию Лапласа, соответствующий термин «определенный интеграл».
Привычный нам (кажущийся таким естественным) символ
был введен Фурье только в 1819—1822 гг.
Параллельно с развитием интегрального исчисления возника-
ли обобщения операции интегрирования. В 1743 г. Клеро ввел кри-
волинейные интегралы
Pdx + Qdy,
взятые вдоль кривой, в книге «Теория фигуры земли, основанная
на началах гидростатики» (русский перевод вышел в 1947 г.).
В 1770 г. Эйлер в связи с практическими задачами разработал и
ввел двойное интегрирование. Через два года (в 1772 г.) Лагранж,
228
рассматривая задачу о притяжении эллипсоида вращения (опуб-
ликована в 1775 г.), ввел в математику тройные интегралы.
В ходе развития интегрального исчисления появился ряд за-
дач специального характера. Попытки их решения повели к раз-
работке новых областей математического анализа. Последние
рано или поздно отделились от своего первоначального источни-
ка— интегрального исчисления XVIII в.
Прежде всего следует упомянуть о теории дифференциальных
уравнений и о вариационном исчислении. Мы рассмотрим их далее
специально' в соответствии с тем значением, которое эти отделы
имели для развития математики.
Вычисление интегралов специальных видов уже в начале века
привело к открытию ряда фактов теории специальных функций.
Одним из первых было открытие эйлеровых интегралов первого
и второго рода, т. е. соответственно бета-функции
1
В (a, b) = J ха~х (1 — х)6”1 dx
о
(1730—1731) и гамма-функции
Г (а) — J е~хха~х dx
о
(1729—1730}.
Интегрирование по частям, примененное к гамма-функции,
дает
Г(а + 1) = аГ (а), а >0.
Если а — натуральное, то
Г(а+ 1) = аГ(а)= ... = al Г(1) = а!
Это дало Эйлеру основание дать обобщенное определение
факториала
• со
п! = J еххп~1 dx.
о
В случае бета-функции при натуральных а и 6
подобные соображения позволяют обобщить (как и понятие фак-
ториала) понятие биномиального коэффициента на случай непре-
рывно изменяющихся аргументов. Доказательство абсолютной
сходимости для а>0, д>0, разумеется, еще не могло быть дано,
229
как и рассмотрение этих функций для комплексных значений ар-
гумента.
Из числа многих специальных интегралов можно отметить
«интегральный логарифм»:
х 1пх
О —оо
который приобрел вместе с функцией £(х) большое значение в
аналитической теории чисел, например при исследовании пробле-
мы распределения простых чисел в натуральном ряду.
Эйлер разложил интегральный логарифм li(e“x) в ряд:
п (е-х) = с + In х--— -----—
1-1! 2-21 3-3!
где с — постоянная Эйлера:
с = 0,577215...,
арифметическая природа которой не выяснена до настоящего
времени.
Класс специальных, или трансцендентных, функций включал
в себя также эллиптические функции, возникшие при обращении
эллиптических интегралов, т. е. интегралов вида
J R (х, VPn(x)) dx
(где R — знак рациональной функции, п=3 или п=4, а полином
Рп(х) не имеет кратных корней). Свое название эти интегралы
получили за то, что через один из них
ф_____________
^*1/1 —k2 sin2 a da
о
(интеграл второго рода в нормальной форме Лежандра) выра-
жается длина дуги эллипса
u = asina, v = b cos a (a<b)
L = у j/"= j*Кa2cos2 a + b2 sin2 ada =
о 0
Ф_____________
= a у —A2 sin2 ada.
о
Интегралы этого вида были применены многими математиками
XVIII в. для вычисления длин дуг различных кривых. В 1761 г.
230
Эйлер открыл теорему сложения эллиптических интегралов, а идея
их обращения была впервые высказана в конце XVIII в. Гауссом.
Теория эллиптических функций в основном была построена в
XIX в. в трудах Абеля, Якоби, Лиувилля и других математиков.
Как уже было сказано, указанные функции являются одним
из видов специальных функций — трансцендентными. Они имеют
общий источник — интегралы, не выражающиеся через элементар-
ные функции. Другой основной класс специальных функций появ-
ляется, как известно, при решении линейных дифференциальных
уравнений второго порядка с переменными коэффициентами (функ-
ции Бесселя, Ламе, цилиндрические и т. д.).
При вычислении ряда трудных интегралов был применен так-
же метод комплексных подстановок, связавший впоследствии ин-
тегральное исчисление с теорией функций комплексного перемен-
ного. Например, еще Даламбер и Эйлер утверждали, что
ср (х + iy) = M + iN
и одновременно
Ф (х — iy) — М — iN.
Тогда
р -р iQ = J (М iN) (dx 4- idy),
Р — iQ = J (7И — iN) (dx — idy),
откуда
P = ^Mdx — Ndy, Q =
Из того, что выражения под интегралами являются полными диф-
ференциалами функций Р и Q, следуют известные условия Далам-
бера — Эйлера
дМ = дМ, dN = дМ
ду дх ду дх
Например, для гамма-функции
Г (п) — § e~xxn~l dx
о
Эйлер (1781 г., опубликовано в 1794 г.) производит замену x=ky.
Тогда
j Ndx + Mdy.
Полагая затем
k = р -|- iq = г (cos а + i sin а),
231
он нашел
Г пп „ 1 1 Г (n) cos па
I егРУуп-{ cos qy dy = ——-----------
о
00
С п 1 , j Г (n) sin па
I ег~рууп-х sin qy dy = ——----------------
о
откуда в качестве частного результата
получил интегралы, известные теперь
(при п = -у, р = 0, q =
как интегралы Френеля
cos уЛф
Кф
sin фб1ф
/ф
(Эйлер учитывал, что
Другой частный результат Эйлер получил, положив во втором
уравнении п—>-оо, откуда
=a = arct а ,
J х р
а затем (р=0, <7=1)
00
Г sinxdx
J х
о
л
2 ’
Целью подобных подстановок является стремление получать
интегралы функций от одной переменной. При этом иногда в ка-
честве исходного берется такой интеграл, значение которого уже
известно, чтобы получить новые, более сложные интегралы. Так,
Эйлер в одной из работ применил подобный метод к интегралу
р dz .
\ . = arc sinz
J /1—z8
и получил два новых интеграла
n f cos (О + со) dv л _ С sin + m) dv
J Vs ' Vs
где
0 = const;
232
2(0 — v2 s*n
1 —и2 cos 20*
s = УI — 2и2 cos 2v + и4; О = const.
Лаплас рассматривал интегралы с мнимыми пределами.
Эта область интегрального исчисления играла важную роль
в создании теории функций комплексного переменного как один
из ее источников.
Итак, в течение XVIII в. в интегральном исчислении сфор-
мировалась совокупность методов, близкая к его нынешнему со-
ставу и уровню. Это исчисление также дало начало новым отде-
лам математического анализа, как, например, теории специальных
функций. От него отделились и превратились в самостоятельные
области математики теория дифференциальных уравнений и ва-
риационное исчисление. Интегральное исчисление послужило, на-
конец, одним из источников теории аналитических функций.
Дифференциальные уравнения. Перед создателями анализа
задача интегрирования дифференциальных уравнений вначале вы-
ступила как часть более общей задачи: обратной задачи анализа
бесконечно малых. Естественно, внимание вначале сосредоточи-
лось на различных уравнениях первого порядка. Их решения ра-
зыскивались в виде алгебраических или элементарных трансцен-
дентных функций с помощью более или менее удачно подобранных
приемов. Для того чтобы свести эту задачу к операции нахожде-
ния первообразных функций, создатели анализа и их ученики
стремились в каждом дифференциальном уравнении разделить пе-
ременные. Этот прием, которым теперь начинаются систематиче-
ские учебные курсы теории дифференциальных уравнений, оказал-
ся, по-видимому, и исторически первым.
Около 1692 г. И. Бернулли нашел другой прием, использовав
в ряде задач умножение на интегрирующий множитель. Этот же
прием успешно применял в 1720 г. Бернулли. Постепенно выясни-
лось, что метод интегрирующего множителя, по-видимому, можно
рассматривать как общий метод интегрирования уравнений вида
М (х, y)dx-\- N (х, у) dy — 0,
трудно,- однако, осуществимый из-за подбора этого множителя.
Арсенал приемов решения дифференциальных уравнений
включал также замену переменных. Лейбниц (1693), а затем
И. Бернулли с помощью подстановки y—xt решали однородные
уравнения первого порядка. Уравнение И. Бернулли
ady = ypdx + btfqdx
(а = const, b = const, p = p (x), q = q (x))
было с помощью подстановки y1-n=u преобразовано (Лейбницем
в 1693 г., И. Бернулли в 1697 г.) в линейное дифференциальное
233
уравнение первого порядка. В ходе решения этого уравнения
И. Бернулли предвосхитил метод вариации постоянных, введен-
ный в 1775 г. Лагранжей. Наконец, к 1700 г. И. Бернулли сумел
решить линейное дифференциальное уравнение п-го порядка
/г=*п
вводя интегрирующий множитель вида х? и последовательно по-
нижая с его помощью порядок уравнения.
Однако эти, а также некоторые другие приемы были разрозне-
ны, а количество задач, сведенных к дифференциальным уравне-
ниям, гигантски выросло и все возрастало. По существу все при-
кладные задачи анализа, известные в то время, требовали реше-
ния многочисленных и разнообразных дифференциальных урав-
нений. Каждое из этих уравнений было продиктовано конкретной
задачей математического естествознания, а его решение сулило
открытие важной тайны природы или технического усовершен-
ствования.
Вопросы общей теории дифференциальных уравнений в на-
чале XVIII в., разумеется, не могли быть поставлены. Слишком
был слаб аппарат, пригодный для решения дифференциальных
уравнений, не выделены отдельные классы дифференциальных
уравнений, не изучены их особенности. Оставался единственный
путь — путь упорной, методической работы над решением возмож-
но более широких классов уравнений. На этот путь встали все
крупные математики того времени. Слишком важна и неотложна
была задача. Количество сочинений и конкретных результатов,
полученных ими, огромно. Мы можем здесь лишь наметить неко-
торые тенденции развития и указать на наиболее важные резуль-
таты.
Заметные результаты этой работы стали обнаруживаться уже
в 20-х годах XVIII в. В 1724 г. итальянский математик Я. Риккати
опубликовал разностороннее исследование уравнения, названного
по предложению Даламбера (1769) уравнением Риккати. Речь
шла об интегрируемости в элементарных функциях нелинейного
дифференциального уравнения
ау2 = Ьха
dx *
(а, а, b — постоянные). Риккати рассматривал первоначально это
уравнение в более сложном виде
хп dq = dy + у2
dx dx q ’
где у и q — любые функции от х. Однако ему пришлось упростить
задачу, положив q—xn.
234
Исследованием уравнения Риккати занимались многие мате-
матики: Г. Лейбниц, X. Гольдбах, Я. Бернулли, Н. Бернулли,
Д. Бернулли и др. Д. Бернулли установил (1724), что это урав-
нение интегрируется в элементарных функциях, если
4k
а = — 2 или а =---------,
2k — 1
(k — целое число). В 1738 г. Эйлер применил к решению этого
уравнения теорию рядов. В это же время он начинает рассматри-
вать общее уравнение Риккати
-^=P(x)y^ + Q(X)y + R(x)
dx
(Р(х), Q(x), R(x) —непрерывные функции), частными видами ко-
торого являются не только специальное уравнение Риккати, но и
уравнение Бернулли (при R(x)=0) и линейное дифференциальное
уравнение (при Р(х)=0). Эйлер же в 60-х годах XVIII в. обна-
ружил, что при наличии двух частных решений интегрирование
уравнения Риккати сводится к квадратурам. Если же известен
один частный интеграл v, то оно может быть преобразовано в ли-
нейное дифференциальное уравнение подстановкой
, 1
У = и Н---.
z
Еще к концу 30-х годов XVIII в. Эйлер разработал алгоритм
решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами, основанный на понижении порядка некоторых
однородных уравнений с помощью показательной функции.
В 1743 г. в одной из работ Эйлера был опубликован метод реше-
ния линейного однородного дифференциального уравнения любого
порядка с постоянными коэффициентами при помощи подстановки
у = ekx,
а в случае кратных действительных корней характеристических
уравнений — подстановки
у = uekx.
В случае наличия пары комплексных корней a±0i подстановка
того же типа
у = ие^х
сводит задачу к уравнению
4т-+₽2«=°.
dx2
тригонометрический вид решения которого был известен Эйлеру
еще с 1740 г.
235
Через несколько лет (в 1753 г.) для понижения порядка урав-
нения
A*+B-t+c-g-=*
Эйлер применил множитель етх. Затем он предположил, что ре-
шение нового уравнения имеет вид
е™ (Аху + = J Xemxdx,
где А, и Bi — неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты,
а также т он нашел дифференцированием обоих членов этого
уравнения и почленным сравнением.
Даламбер (в 1766 г.) нашел, что общее решение неоднород-
ного линейного уравнения равно сумме некоторого частного ре-
шения и общего решения соответствующего однородного урав-
нения.
Многие ученые (в особенности Клеро и Эйлер) интенсивно
разрабатывали метод интегрирующего множителя. Помимо оты-
скивания специальных видов интегрирующего множителя для от-
дельных классов уравнений были поставлены более общие задачи.
Так, в 1768—1769 гг. Эйлер исследовал классы дифференциаль-
ных уравнений первого порядка, обладающих интегрирующим
множителем данного типа, и делал попытки распространить эти
исследования на уравнения высших порядков.
По инициативе Эйлера в 30-х годах сложилось и окрепло
убеждение, что для интегрирования дифференциальных уравнений
даже простых, казалось бы, классов множества элементарных
функций и простейших трансцендентностей недостаточно. В этих
целях внутри теории дифференциальных уравнений приходилось
ограничиваться тем, чтобы выразить решения в квадратурах; ме-
тоды же вычисления интегралов, получающихся при этом, были
вынесены в собственно интегральное исчисление.
Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями
были найдены решения отдельных уравнений с частными производ-
ными. Уже около 1735 г. Эйлер, занимаясь различными задачами
о траекториях, пришел к «модулярным», или «параметрическим»,
уравнениям
= у),
дх
а также
-у- =Р(х, у, г),
дх
называемым так потому, что речь идет о семействе кривых, в урав-
нения которых входит переменный параметр, или, по терминоло-
гии того времени, модуль. Применение интегрирующего множите-
236
ля /? ко второму уравнению дало Эйлеру условие интегрируемо-
сти в виде
%.=F<!S-+R>L,
dx dz dz
откуда он нашел выражение для интегрирующего множителя
1пЯ= {—dx.
J dz
Несколько дифференциальных уравнений с частными произ-
водными решил Даламбер, в том числе уравнение колеблющейся
струны, о котором речь шла выше.
Таким образом, в области решения дифференциальных урав-
нений в первой половине XVIII в. работа состояла в решении от-
дельных специфических уравнений. В этот период были вырабо-
таны предпосылки для создания первых форм общей теории, в
том числе ряд основных понятий.
В 1743 г. появились понятия частного и общего интегралов,
найденные Эйлером еще в 1739 г. Они были опубликованы в ме-
муаре, где речь идет об едином алгоритме решения линейного диф-
ференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффи-
циентами. В работах этих лет Эйлер рассмотрел и особые реше-
ния ряда дифференциальных уравнений, которые были известны
еще из «Methodus incrementorum etc» Тейлора (1715).
Тейлор обнаружил особое решение, рассматривая уравнение
4xs —4х2 = (1 + г2)2
(1)
Подстановками
х = —, v = 1 + г2
уг
он преобразовал (1) в уравнение
Уг — 2zyy' + vy'2 = 1. (2)
Продифференцировав
2if (vy’— zy)— О,
а затем приравняв
vy' — zy = 0
и подставив в уравнение (2)
237
Тейлор получил выражение
у2 = V, х = 1,
которое он назвал «некоторым особым решением задачи».
Неразъясненность этого вида решения, не содержащегося в
общем решении, побудившая Тейлора назвать его «особым», со-
хранилась в сочинениях Клеро, рассматривавшего (в 1736 г.) осо-
бое решение уравнения
У К 7 dx \ dx )
Эйлер, однако, уже в 1736 г. обнаружил, что если найден интегри-
рующий множитель ц(х, у) дифференциального уравнения, то
— = 0 может дать особое решение. Например,
И
xdx + ydy = ]/rx2 + y2 — r2 dy
имеет интегрирующий множитель
* ’ 1
Ц = —7==,
/х2+*/2 —Г2
а особое решение будет
х2 + У2 — г2 = 0.
Лишь в 1774—1776 гг. Лагранж сумел детально выяснить, как
получать особые решения: либо непосредственно из дифференци-
ального уравнения, либо из общего решения дифференцированием
по постоянной. Он же дал геометрическую интерпретацию особого
решения как огибающей семейства интегральных кривых. Систе-
матическое и единое изложение всех сведений об особых решениях
обыкновенных дифференциальных уравнений Лагранж дал в
1801 г. в «Лекциях об исчислении функций».
Мы можем заметить, что практические успехи, достигнутые
крупнейшими учеными XVIII в. в решении дифференциальных
уравнений, оказались в 60-х годах настолько значительными, что
создалась объективная возможность для построения общей тео-
рии дифференциальных уравнений.
Эта общая теория была изложена впервые Эйлером в его зна-
менитом сочинении «Интегральное исчисление». Оно, как мы уже
указывали, состоит из трех томов, вышедших в свет последова-
тельно в 1768, 1769 и 1770 гг., и завершает серию книг Эйлера,
посвященных систематическому построению современного ему ана-
лиза и его приложений. Теория дифференциальных уравнений —
обыкновенных и с частными производными — составляет основное
содержание этого труда. Ему предшествует лишь интегрирование
функций, занявшее первую половину первого тома. За ним следу-
238
ет только вариационное исчисление, составляющее приложение к
третьему тому.
Дифференциальные уравнения в эти годы находились в стадии
самой энергичной разработки и поисков методов решения новых
и новых типов уравнений. Эйлер впервые в «Интегральном ис-
числении» дал строгую и четкую классификацию всех известных
уравнений и систематически изложил способы их решения вплоть
до самых современных, «не так давно найденных», по его выра-
жению, результатов. Огромное количество последних найдено са-
мим Эйлером. Таким образом, теория строилась как совокупность
методов решения уравнений, а эти последние рассматривались в
связи с физической задачей, породившей их. При таком состоянии
теории дифференциальных уравнений еще не появилась потреб-
ность в постановке задач о теоремах существования и единствен-
ности, столь характерных для более позднего периода.
По-видимому, нецелесообразно описывать содержание этого
огромного труда Эйлера, насыщенного множеством конкретных
методов и результатов. Кроме того, это сочинение издано полностью
в переводе на русский язык. Поэтому перейдем к характеристике
основных направлений в теории дифференциальных уравнений,
сложившихся во второй половине XVIII в.
Более отчетливо эти основные направления проявились в
области обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти направ-
ления формировались, как правило, в результате потребностей ре-
шения прикладной задачи или группы их. Вокруг них концентри-
ровалось наибольшее количество работ.
Первое из направлений состояло в развитии теории линейных
дифференциальных уравнений, главным образом второго порядка,
и их систем как с постоянными, так и с переменными коэффици-
ентами. К такого рода уравнениям приводили задачи о малых ко-
лебаниях материальных точек и их систем с конечным числом сте-
пеней свободы. Примером подобных задач являются задачи, свя-
занные с конструированием маятниковых часов и применением
маятниковых аппаратов для гравиметрических исследований.
К этому классу относятся и задачи о колебательных движениях
часовых пружин, появившиеся после того как была выяснена ог-
раниченность применения маятниковых часов. Переход от колеба-
ний точки к колебаниям систем точек повлек за собой расширение
задачи на случай бесконечного числа степеней свободы: колеба-
ний столба воздуха, струны и т. п.
Проблемы аналитической динамики .точки и системы точек
выдвинули в качестве другого главного направления теории диф-
ференциальных уравнений развитие методов решения нелинейных
уравнений первого и второго порядка и их систем. Движение твер-
дого тела вокруг неподвижной точки выражается нелинейной си-
стемой трех уравнений второго порядка относительно <р(£), tp(f),
0(f)—так называемых углов Эйлера, выраженных в функциях от
239
времени. Движение центра тяжести планеты в солнечной системе
выражается решением квазилинейной системы
(г"‘’2’3; *=cons,)-
i
Квазилинейными в общем случае оказываются и уравнения
Эйлера, появляющиеся в вариационном исчислении при решении
задачи об экстремуме функционала
ь
J Р (х, у, у') dx.
а
Нелинейное уравнение второго порядка получается, в частности,
в задаче о нахождении геодезических на поверхностях. К урав-
нениям того же вида приводились решения уравнений движения
точки в сопротивляющейся среде.
Сложность проблемы решения уравнений и невозможность
интегрировать их в конечном виде послужили основной причиной
возникновения третьего большого направления. Речь идет о раз-
работке -приближенных методов решения дифференциальных
уравнений. Классический метод ломаных, ныне широко применяю-
щийся в теоремах о существовании и единственности решения
уравнения
dx
с начальными условиями х=х0, у=Уо, был найден и опубликован
в 1768 г. Эйлером. Задачи небесной механики, в постановке кото-
рых учтены возмущающие силы, ^явились первым объектом при-
менения методов приближенного интегрирования. С учетом срав-
нительной малости эксцентриситетов орбит планет и возмущаю-
щих сил решение остается в первом приближении в виде круговой
орбиты, которая затем исправляется.
Геометрические приложения теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, выделившиеся в особую область математи-
ки— дифференциальную геометрию, оставили след и в теории
самих уравнений. Теория особых решений составила заметное на-
правление в общей теории дифференциальных уравнений. Изуче-
ние семейств интегральных кривых и решение задач о нахождении
огибающих и изогональных траекторий, перенесение результатов
на семейства поверхностей — таков путь исследований в этом, чет-
вертом, направлении. Его значение возросло, когда первоочеред-
ными стали проблемы существования и единственности решения
дифференциальных уравнений.
Исследования в области создания теории дифференциальных
уравнений в частных производных, несмотря на свою многочис-
ленность, не давали еще возможности четко выделить основные
240
направления. Задача была еще слишком сложной. И хотя к диф-
ференциальным уравнениям в частных производных было све-
дено большое число задач физики, механики и теории поверхно-
стей, решение их продвигалось медленно.
Систематическая работа в этом направлении начала развер-
тываться лишь в 60-х годах. Эйлеру же принадлежит первая мо-
нография, где сделана попытка построения теории дифференци-
альных уравнений с частными производными. Речь идет о третьем
томе «Интегрального исчисления», вышедшем в 1770 г. Наряду
с Эйлером теорию уравнений с частными производными разраба-
тывали Даламбер, Лагранж, Лаплас, Монж и многие другие
ученые.
Одной из главных идей, сравнительно быстро утвердившихся
в теории уравнений первого порядка, была идея сведения их ин-
тегрирования к интегрированию обыкновенных уравнений или их
систем. Ее использовал Даламбер (1768) при решении линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Аналогичные методы развивал Эйлер. Метод сведения общего
линейного дифференциального уравнения
Pp + Qq^R
к интегрированию системы
dx __ dy _ dz
Р ~ Q ~ R '
разработанный в 1776 г. Лапласом и Лагранжем, входит в совре-
менные учебники. Когда несколько позднее (в 1781, 1787 гг.) Лаг-
ранж распространил этот метод на линейные уравнения с любым
числом переменных, он открыто высказал, что решение уравнений
с частными производными зависит от искусства сведения их к
обыкновенным дифференциальным уравнениям.
В решении нелинейных уравнений первого порядка Эйлер
(1770) показал, что дифференциальное уравнение с тремя пере-
менными всегда можно привести к линейному уравнению с че-
тырьмя переменными. Этот результат был развит в работах Лаг-
ранжа (1774), Монжа (1787), Шарпи (1784). Последний довел до
конца решение нелинейного уравнения первого порядка с двумя
независимыми переменными. Идея метода состояла в том, что к
уравнению
F (х, У, Р>4) = °
подбирают другое уравнение,
и(х, у, z, р, q) = a,
так, чтобы эта система из двух уравнений была вполне интегри-
руема. Определяемые из системы уравнений функции
241
Р = р(х, У, г, a), q = q(x, У, Z, а)
приводят, как мы теперь знаем, к уравнению Пфаффа
dz = р(х, у, z, a)dx + q(x, у, z, a)dy.
Интеграл этого уравнения
Ф (х, у, z, а, Ь) = О,
где а и b — произвольные постоянные, будет полным интегралом
уравнения
F(x, у, z, р, q) = 0.
Об этом методе стало известно, однако, лишь в 1814 г. О нем
сообщил французский академик Лакруа, так как Шарпи вскоре
после представления своего мему ар а в Парижскую академию
скончался. Шарпи не мог распространить свой метод на уравне-
ния с большим числом переменных. Эта трудность была преодоле-
на в XIX в. в трудах К. Якоби и Пфаффа.
В ходе разработки методов решения дифференциальных урав-
нений первого порядка выяснились виды их решений, взаимоотно-
шения между ними и введена терминология, сохранившаяся до
настоящего времени. Итоги этого процесса подвел Лагранж в ра-
ботах 1774 и 1776 гг. Так, решение, зависящее от двух произволь-
ных постоянных, получило название полного. Если в полном ре-
шении
z = ср (х, у, а, Ь)
положить
b = ф(а),
где ф(а) —произвольная функция, а из уравнений
dz
z = ф (х, у, а, ф (а)) и -у- = 0
исключить а, то получится решение, названное общим. Наконец,
исключение а и Ь из уравнений
z = ср (х, у, а, &), = 0, = 0
и ’ да дЬ
давало решение, получившее название специального, а затем осо-
бого. Так как решение дифференциальных уравнений не всегда
сводится к квадратурам, Лагранж ввел разные термины: решение
уравнения и его интеграл»
Наряду с аналитически-вычислительными методами решения
уравнений развивалась и геометрическая теория их решений. Во-
обще, теория дифференциальных уравнений с частными производ-
ными оказалась тесно связанной с задачами и понятиями геомет-
242
рии (теории поверхностей и пространственных кривых). Это на-
правление было развито в серии великолепных работ Г. Монжа.
Эту группу вопросов мы рассмотрим позднее в разделе, посвя-
щенном развитию геометрии в XVIII в.
Дифференциальные уравнения с частными производными вто-
рого порядка возникали преимущественно в ходе решения физи-
ческих задач. Из них прежде всего следует указать на задачу о
колебании струны, приведенную к уравнению
&У _ „2 &У
dt2 дх2 ’
о чем говорилось в предыдущей главе. Около 1760 г. Эйлер, раз-
рабатывая проблемы гидродинамики, вывел уравнение объемного
расширения жидкости
й2 дх2 ду2 dz2 '
Для этого уравнения Эйлер нашел частное решение, а в одном
случае (когда движение совершается по направлению к непод-
вижному центру, а скорости на поверхностях соответствующих
сфер одинаковы) —общий интеграл. Задачу о колебании мем-
бран Эйлер в 60-х годах XVIII в. свел к уравнению
d2z _ д2г . d2z
dt2 ~ дх2 + ду2 *
Его решение он нашел в виде ряда для трансцендентной функ-
ции, которую мы теперь называем цилиндрической, или (что сов-
сем не обосновано) бесселевой, по фамилии немецкого астронома
Ф. В. Бесселя.
Задачи о колебании газа в трубах различных профилей, тео-
рии потенциала и другие приводили также к уравнениям второго
порядка. Дифференциальные уравнения с частными производными
составили особый многочисленный класс уравнений XVIII в.
Что касается уравнений более высокого порядка, то они ис-
следовались лишь эпизодически.
Исследования уравнений второго порядка были многочис-
ленными, но создание общей теории сталкивалось с непреодоли-
мыми в то время трудностями. Первые успехи наметились к 1770 г.,
когда Эйлер применил преобразования линейных дифференци-
альных уравнений второго порядка к каноническим формам. На-
пример, уравнение
d2z ' , d2z
ду2 дх2
подстановками
t = х + ay, и = х — ay
243
приводится к виду
_*£_ = 0.
dudt
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
z = fit) + ф(и) = f (х + ау) + Ф(х — ау).
Таким путем было начато выделение канонических типов диф-
ференциальных уравнений с частными производными второго по-
рядка.
Общее линейное дифференциальное уравнение с частными
производными
-Д- + а + р + у — + б — + Аг + Т = 0,
дх* дхду ду* дх ду
где коэффициенты и свободный член являются некоторыми функ-
циями от х и у, рассматривал Лаплас (1777), создавший для его
решения единый метод, получивший название метода каскадов.
Сущность этого метода, как и для общего линейного диффе-
ренциального уравнения с частными производными первого по-
рядка
V" + ф(х, у)-— + У, Z) = о,
дх ду
которое решал Лаплас, состоит в замене переменных. Введя две
новые переменные s и Лаплас приходит к уравнению, носящему
ныне его имя
_^_ + /„J±+n±L + /„ + r = o,
dsdsL ds dst
или, кратко, £>(u)=0.
Если ф (s) и ф (si) —две произвольные функции и если со-
ставить,
<P2(s) = §<?i(s)ds,...
Ф1 («1) = J Ф (si) dSi, ф8 (sx) = J фх (si) dslt ...,
то решение можно записать в виде ряда
« = Д><Р1 («) + A<Pa(s) + ЛФз («) + ... +
4* Воф1 (si) 4* В8ф8 (si) 4" В8ф8 (®1) 4- • • •
Подстановка этого выражения в уравнение £>(и)=0 даст для оп-
ределения коэффициентов Ао, ..... Во, Bi, ... дифференциальные
уравнения
244
-^ + /пЛо = 0; _^L + nBo = O;
OS
4L+/n4 + D(^) = 0; -^- + nB1 + D(Bo) = O;
(/$1 OS
^- + /пЛ + О(Л1) = 0; ^i-+nBi + D(B1) = 0;
OSl OS
Если ряд для и обрывается, т. е. для некоторого k будет иметь
место Лй=0, В*=0, то общий интеграл выражается в конечном
виде. Когда же это не имеет места, Лаплас представляет решение
не рядом, а с помощью определенных интегралов. Он показал, что
в этом случае
5 51
и = j рф (z) dz + J рхф (z) dz,
о о
где р и pi — частные интегралы, Д(и) =0,
j Г (з—z)<p(z)dz,
о
Р =
И»
Pi = 1П(з — z)ij>(z)dz,
а в этих интегралах
4 7 ZJ (/5—1)!
/г=1
fe=l
Лаплас показал, что его метод является более общим, чем
все другие. В случае, например, когда I, т, п — постоянные, в
уравнении D(u)—0.
Т = 0,т=—!—, п = 1 = -^—,
S-J-Sj s + sl s + sl
получается частный случай интегрирования обыкновенного диффе-
ренциального уравнения второго порядка. Дальнейшие усовершен-
ствования, внесенные в метод каскадов Лагранжем и Лапласом,
привели этот метод к современному виду.
Подведем итоги. Аппарат математического анализа в течение
XVIII в. развился необычайно быстро, приняв формы и объем,
близкие к современному. Дифференцирование, а также интегри-
245
Рис. 46
рование в элементарных функциях по существу были в основном
завершены. Важнейшей частью математического анализа в его
оперативно-алгоритмической трактовке постепенно сделались диф-
ференциальные уравнения, как обыкновенные, так и с частными
производными. Вместе с разработкой методов решения отдельных
классов уравнений формировались элементы общей теории.
В области обыкновенных дифференциальных уравнений были
выявлены основные их типы, поддающиеся решению в квадрату-
рах, найдены приемы приближенного их решения. Сформулирова-
ны и сделались общепринятыми понятия общего и особого реше-
ния. В части дифференциальных уравнений с частными производ-
ными проведены частичная классификация и выделение канони-
ческих типов, а также накоплено множество частных приемов ре-
шения.
Однако теория дифференциальных уравнений не могла долго
развиваться как совокупность частных приемов, пригодных для
решения немногочисленных классов уравнений. Накопление этих
приемов необходимо, но не достаточно для построения общей тео-
рии. Перед математиками все более остро вставала проблема су-
ществования решения и установления его характера. Решения об-
разовывали класс функций, неизмеримо более широкий, чем класс
первообразных от элементарных функций. Практические успехи
теории дифференциальных уравнений и ее многообразные связи
с теорией функций комплексного переменного, специальными
функциями, вариационным исчислением, и особенно с задачами
математической физики, делали проблему создания общей теории
особенно настоятельной.
В заключение приведем схему интегрального исчисления в
XVIII в. (рис. 46) для облегчения понимания его сложной струк-
туры и процесса отпочкования от него различных дисциплин. Клас-
сификация дифференциальных уравнений с частными производ-
ными приведена в соответствии со структурой третьего тома «Ин-
тегрального исчисления» Эйлера. В схему включено как часть ин-
тегрального исчисления и вариационное исчисление; истории этого
исчисления посвящен следующий раздел настоящей главы.
6.4. СОЗДАНИЕ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Вариационное исчисление — один из важнейших отделов со-
временного математического анализа. Являясь составной частью
функционального анализа, оно тесно связано со многими матема-
тическими науками. Вариационные методы проникают в различ-
ные области математики, механики, физики, техники, создавая
всякий раз возможности непосредственных приложений.
Вариационное исчисление возникло в XVIII в. В трудах
Эйлера и Лагранжа оно получило вид стройной математической
теории. Последняя тотчас доказала свою полезность, так как
247
методами этой теории оказалось возможным решить большое
число задач практического характера. Возникновение вариацион-
ного исчисления и его выделенйе в самостоятельную математиче-
скую дисциплину, разрабатывающую общие методы определения
экстремумов функционалов,, были обусловлены необходимостью
решения особого класса геометрических, механических и физиче-
ских экстремальных задач практического характера, называемых
вариационными задачами.
Вариационные задачи. В истории математики задачи этого
типа были поставлены и подвергались исследованию очень давно.
Примерами могут служить античная теория изопериметров и
многочисленные экстремальные задачи в физике (механике и оп-
тике). Однако мы их не будем здесь рассматривать, так как
способы решения этих экстремальных задач были еще индиви-
дуальными и по существу специального исчисления составить не
могли. К концу XVIII в. накопились и были выделены в отдель-
ный класс экстремальные задачи особого рода, не поддающиеся
решению средствами только что возникшего анализа бесконечно
малых. Это была, во-первых, задача Ньютона, поставленная и ре-
шенная им в «Математических началах натуральной философии»
(1687). В ней требовалось найти кривую, проходящую через две
данные точки и такую, чтобы она при вращении вокруг данной
оси образовывала тело вращения, испытывающее наименьшее
сопротивление при движении вдоль оси. Другими вариационными
задачами оказались задача о брахистохроне (1696); изоперимет-
рическая задача (1697); задача о геодезических линиях на по-
верхностях (1697). По существу уже в то раннее время были раз-
работаны все основные типы вариационных задач.
Решения указанных задач были найдены в конце XVII — на-
чале XVIII в. -Ньютон дал для своей задачи эквивалент диффе-
ренциального уравнения в форме геометрической пропорции.
Задача о брахистохроне была решена И. Бернулли, а затем
Ньютоном, Лейбницем и Я. Бернулли. Изопериметрическая зада-
ча и задача о геодезических были решены также одновременно
несколькими учеными. Методы решения были недостаточно об-
щими, специальными, но в них все более ясно проявлялись
общие черты. Создавались возможности для выработки общего
метода.
Первый общий метод решения вариационных задач был выра-
ботан в серии работ Эйлера в 1726—1744 гг. Вначале Эйлер,
рассмотрев методы решения задачи о брахистохроне, поставил
(1726) эту же задачу в условиях сопротивления, оказываемого
средой. Затем (1728) он вывел дифференциальное уравнение гео-
дезической линии на поверхности. Малая общность и недостаточ-
ность приемов, применяемых при решении задач уже осознанного
в своем своеобразии класса, не удовлетворяли Эйлера. Он стал
искать общий метод и к 1732 г. нашел его. В статье Эйлера
«Общее решение изопериметрической задачи, поставленной в
248
самом широком смысле», мы находим первую общую постановку
одномерной вариационной задачи.
Эта работа Эйлера интересна в особенности тем, что она
знаменует начало характерного для развития математических
исчислений диалектического переворота, когда решения отдель-
ных задач начинают рассматриваться как приложения общего
метода. Последний же, метод, делается предметом исчисления.
Эйлер классифицирует задачи, где отыскиваются, по его вы-
ражению, кривые, обладающие экстремальным свойством. При
этом в качестве- экстремального выбрано свойство интегралов
частных видов, взятых вдоль кривой, принимать максимальные
или минимальные значения. Классификация Эйлера такова: а) из
всех вообще кривых определить ту, которая обладает экстремаль- -
ным свойством А; б) из семейства кривых, обладающих общим
свойством А, выбрать экстремаль относительно свойства В; в) из
совокупности кривых, обладающих двумя свойствами А и В, вы-
делить экстремаль относительно свойства С и т. д.
_ Свойствами, или, как мы теперь говорим, функционалами,
у Эйлера являются интегралы. Почти все они имеют вид
Jf(*> У, y')dx.
Метод опирается на: а) идею сохранения экстремального значе-
ния свойства, когда элемент экстремала заменен элементом дру-
гой близкой кривой, б) принцип Лейбница — Я. Бернулли, что
экстремаль сохраняет свои экстремальные свойства в любой своей
части. Метод состоит в варьировании одной, двух и т. д. (в зави-
симости от вида задачи) ординат и в приравнивании значений
свойств соответствующего элемента экстремали до и после
варьирования.
Через четыре года (в 1736 г., опубликовано в 1741 г.) Эйлер
обобщил этот метод на интегралы вида
ь
J Q(x, у, s, у’, tf)dx,
а
где
з = J V1 + у'1 dx.
а
Наконец, к 1744 г. метод Эйлера приобрел столь большую
общность, что перерос в специальное исчисление, систематически
изложенное Эйлером в книге «Метод нахождения кривых линий,
обладающих свойствами максимума или минимума, или решение
изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле» —
первой в истории книге по вариационному исчислению.
Вместо решения еще одной трудной вариационной задачи или
целого их класса Эйлер выдвинул общий метод, который можно
249
применять к решению различных видов таких задач. Цель этого
метода, названного Эйлером «методом максимумов и минимумов
в применении к кривым линиям», самая общая — отыскание кри-
вых линий, для которых какая-либо наперед заданная величина
достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Рас-
смотрим этот метод по существу.
Сформулированная только что задача еще поставлена недо-
статочно определенно. Эйлер вводит следующие условия опреде-
ленности: а) задача ставится и решается для одного и того же
отрезка оси абсцисс; б) вводится два вида экстремумов: абсолют-
ный и относительный; в) определяется вид функционала как «не-
определенной интегральной величины»
о» = JZ(x, у, у', у", ...)dx.
Идеи, положенные Эйлером в основу абсолютного метода
максимумов и минимумов, сравнительно просты. Пусть необходи-
мо среди всех возможных кривых на отрезке [х0, х] выбрать та-
кую f(x, у) =0, чтобы интеграл
X
w = J Zdx
Хо
принимал экстремальное значение. Всякую кривую у=у(х), опре-
деленную в некоторой области значений Эйлер заме-
няет полигоном, абсциссы вершин которого выбираются на оси
Ох на равных расстояниях друг от друга. Это, по мысли Эйлера,
дает возможность с любой степенью точности аппроксимировать
кривую.
Интегральную формулу максимума и минимума
7 = JZ(x, у, у', у”, ...)dx
х0
он заменяет суммой вида '
п—1
Sn = ^Z(Xi, у, у', у", ...)dx,
i=0
где
dx — х~~ж» ( х = Xi-i + dx,
п
a yi — ординаты в фиксированных точках х,. Кроме того, заме-
няя производные отношениями конечных разностей
250
, У(+1-Й , y'i+\-y'{ y{+2-2yi+yi
= У‘=81---------- ------W...........
Эйлер добивается возможности рассматривать значение формулы
максимума или минимума для данной кривой как функции
ординат:
I = У1, Ун
Затем он решает обычную экстремальную задачу: варьирует-
ся некоторая произвольная ордината z/v; разность значений I,
соответствующих неизменной и
варьированной кривой, приравни-
вается нулю. Тем самым получается
дифференциальное уравнение
экстремали.
Таким образом, Эйлер сводил ре-
шение вариационной задачи к реше-
нию другой — об экстремуме функ-
ции многих переменных (ординат).
Этот метод стал универсальным для любого типа вариационных
задач и является основным для вариационного исчисления в соз-
данной первоначально Эйлером форме.
Пусть для простоты z—z(x, у, у'). Тогда
j Z (х, у, у') dx
заменяется на
п— 1
Ордината yv испытывает приращение на nv (рис. 47). Тогда в указан-
ной сумме изменятся только члены, содержащие уч. Это
yv-t, Уу- }dx и z(xv, yv, yv ) dx.
Чтобы вычислить их приращения, Эйлер дифференцировал Z по
х, у, р и заменял дифференциалы dxif dyi, dpi приращениями соот-
ветствующих величин Xi, yi, pi.
dZ (Х4-1, Уч-i, pv-i) = Mdxv-i + Ndyv-\ + Pdpv_i,
dZ (xv, Уч, Pv) = M'dx4 + N’dy4 + P'dpv.
Так как приращение получает лишь z/v,-to
dxv_i = dxv = dy4-\ = 0, dyv = + nv,
251
J . nV A nV
dPv—\ — H-— , «Pv —------ .
dx dx
Следовательно, величина приращения
Z (*v-i, Uv-\, Pv-1) dx+Z (xv, yv, Pv) dx
будет
PnvN'nvdx— P’nv.
Ho P'—P=dP, а вместо N' можно писать N.
Тогда
Pnv + Nnvdx — P’nv = 0
или
— dP + Ndx = 0,
t. e.
N---------------------------— =0,
dx
что в привычных нам символах означает
dZ
dy
d / dz
dx \ dy'
0,
т. e. дифференциальное уравнение Эйлера.
Распространив этот метод на случаи, в которых подынтег-
ральное выражение зависит от -производных более высокого по-
рядка, Эйлер приходит к уравнению вида
Ж-Ж+ ... =0.
dx2 dx3
При этом он не останавливается пе-
ред возможностью неограниченного
продолжения этого ряда. Он лишь
отмечает, что дифференциальное
уравнение кривой всегда будет
иметь порядок в два раза больший,
чем формула максимума или мини-
мума. Из этого замечания естест-
венно вытекает условие, обеспечи-
вающее определенность задачи: среди всех кривых, проходящих
через 2п заданных точек, определить ту, для которой fZdx, где
Z = Z(x, у, у\... ,#(">),
был бы максимумом или минимумом (рис. 48).
Изложение метода, данное Эйлером, очевидно, не удовлетво-
ряет требованиям современной научной строгости. В нем не
обоснованы, в частности, вопросы законности перехода к пределу
и перестановки предельных переходов. Не доказано также, дает
252
ли предел экстремумов аппроксимирующих функций экстремум
функционала. Однако необходимо помнить, что Эйлер не мог
и поставить требования научной строгости в смысле, принятом в
XX в. Кроме того, исследование указанных вопросов повело бы
не только к отысканию дифференциального уравнения экстремали,
но и к аппроксимации решения этого уравнения решением систе-
мы обыкновенных уравнений, что выходило за пределы постав-
ленной Эйлером задачи.
Метод Эйлера решения задач на относительный экстремум
имеет целью отыскание экстремали не среди всех кривых, опреде-
ляемых на данном участке оси абсцисс, но среди некоторого их
семейства, каждая из кривых которого обладает одним или не-
сколькими свойствами. Если дополнительное условие состоит в
сохранении постоянного значения другого (или нескольких)
функционала — интеграла, то получается обобщенная изопери-
метрическая задача. Эйлер приводит ее к задаче на вычисление
абсолютного интеграла следующим образом.
Чтобы удовлетворить сразу двум условиям (если речь идет
о кривых, обладающих одним общим свойством) — неизменности
значения общего свойства В и формуле максимума или миниму-
ма А, — необходимо дать приращения не одной, а двум соседним
ординатам. «Дифференциальные значения» обоих свойств будут
иметь в силу изменения двух ординат yv и yv+i (см. рис. 47) на nv
и ом соответственно следующий вид:
dAy • nv + dAv+i • о®; ' ,
dBv • nv + dBv+i • о®.
Из заданных условий (экстремальности А и постоянства В)
следует, что оба эти выражения должны быть приравнены нулю:
dAy - nv + dAy^i • о® = 0;
dBy • nv + dBv+i • o® = 0.
После исключения из этой системы двух уравнений nv и о® Эйлер
получал уравнение искомой кривой
a dA + р dB = О
(a=const, p=const). То же уравнение получается, если искать
кривую, для которой выражение аЛ + рВ достигает абсолютного
экстремума.
Указанный метод Эйлер распространил и на еще более слож-
ные случаи: а) подынтегральная функция Z в выражении функ-
ционала сама представляет собой функционал; б) эта подынтег-
ральная функция задана посредством дифференциального урав-
нения, способ решения которого неизвестен. Такой, например,
являлась у Эйлера задача о брахистохроне в сопротивляющейся
253
среде. Как заметил Эйлер, здесь идет речь о нахождении максиму-
ма выражения
С dxVT+F
при условии
dv = gdx — hi^dx У \ + р2.
При этом он правильно решил вопрос о границах применимости
так называемого принципа Лейбница — Бернулли о наличии
экстремального свойства в каждой точке экстремали.
В книге Эйлера приведено большое число примеров (свы-
ше 60), иллюстрирующих широту возможностей нового метода.
В них была продемонстрирована практическая ценность исчисле-
ния и установлены его тесные связи с механикой и физикой. По-
мимо тех недостатков, которые в XVIII в. заметить было еще не-
возможно, у метода Эйлера существовал еще один: громоздкость.
В течение нескольких последующих лет Эйлер упорно работал
над отысканием удобного алгоритма.
Переход от прямых методов к исчислению вариаций. Поло-
жение начало изменяться с 1755 г., когда совсем еще юный
преподаватель математики артиллерийской школы в г. Турине
Лагранж сообщил Эйлеру об изобретенном им общем аналитиче-
ском методе вычисления вариации интеграла посредством интегри-
рования по частям. Этот метод основывался на введении вариа-
ции функции и на распространении на вариации правил диффе-
ренциального исчисления. Поясним эту мысль подробнее.
Чтобы сравнить значение интеграла 1(C) вдоль кривой С
с его значениями вдоль соседних кривых, Лагранж изменял
функции
У = у(х), z—z(x),
определяющие кривую С, прибавляя к ним величины б//(х),
бг(х)—их вариации. Если вариации в крайних точках сегмента
[хь Хг], на котором рассматривается задача, обращаются в нуль,
то образуются две кривые сравнения С и С+бС с общими конца-
ми. Последняя из этих кривых задана функциями
у (л:) + 6z/(x), z(x) + 8z(x).
Из всех возможных кривых сравнения теперь следует выбрать
такую, чтобы для любых вариаций 8у(х), 8z(x)
Д/ =/(С + 6С) — 7(C) >0.
Между вариациями Ьу(х), 8z(x) и приращением функциона-
ла в вариационном исчислении, с одной стороны, и дифференциа-
лом независимой переменной dx и дифференциалом функции
254
y = f(x) в дифференциальном исчислении, с другой стороны,
существует аналогия. Эту аналогию и обнаружил Лагранж. Она
позволила ему применить в вариационном исчислении алгоритмы,
аналогичные алгоритмам дифференциального исчисления и дока-
зать перестановочность символов d и д, а также /ид.
Эйлер, который был буквально на пороге подобного открытия,
с энтузиазмом встретил сообщение молодого математика. Он
поделился с ним своими идеями, а чтобы дать возможность Лаг-
ранжу первому опубликовать свои результаты (что произошло в
1762 г.), приостановил печатание своих статей на подобные темы.
После 1762 г. Эйлер дал в ряде работ подробное, усовершенство-
ванное и снабженное примерами изложение вариационного исчисле-
ния. Он же придумал название новому исчислению: вариацион-
ное. В одной из работ (1771) Эйлер дал вариационному исчисле-
нию новое истолкование. Оно теперь могло быть понято как метод
выбора из однопараметрического семейства кривых такой кривой,
которая реализует некоторое экстремальное свойство. Это толко-
вание существенно сближает вариационное исчисление с диффе-
ренциальным исчислением. Однако оно еще не сделалось достаточ-
но общим, так как в нем не рассматривались указанные Д. Бер-
нулли случаи, когда бесконечно малые перемещения точки вдоль
кривой сопровождаются конечными отклонениями касательных
(«сильные вариации»).
Конец XVIII в. ознаменовался серией исследований Эйлера,
Лагранжа и других ученых. Вариационное исчисление при этом
сравнительно быстро приняло завершенную форму в его наиболее
элементарной части, относящейся к теории первой вариации. Рас-
сматривался еще лишь слабый экстремум и соответственно лишь
сравнительно гладкие кривые.
Главной задачей вариационного исчисления теперь как будто
бы оказывалась проблема отыскания экстремумов функционалов
возможно более широкого класса. Длинный ряд работ в XIX в.
был посвящен именно этой теме. Однако наряду с этим кругом
проблем оставалась нерешенной еще одна задача: как различить
вид достигаемого экстремума. Относительно этой задачи еще
Лагранж, опираясь, по-видимому, на аналогии с дифференциаль-
ным исчислением, указанные выше, отметил возможность приме-
нения второй вариации для решения этого вопроса.
В самом деле, пусть, например, задан функционал
I = J F (х, у, у') dx.
Если
6/ = 0, 6I 27#=0,
то знак Д7 совпадает со знаком S2/ (при достаточно малых вариа-
циях функций и их производных). В 1786 г. Лежандр (опублико-
вано в 1788 г.) смог привести вторую вариацию к виду, из которо-
255
го явствовало, что ее знак зависит от знака ——г. Это привело
ду'
его к так называемому условию Лежандра: чтобы на экстремали
осуществлялся максимум (соответственно минимум), необходимо,
чтобы вдоль нее -<0 (соответственно —^-^-0). Это
ду' ду J
условие оказалось и достаточным для слабого экстремума, что
было показано К. Якоби в 1837 г., при условии, что экстремаль
может быть включена в поле экстремалей — в однопараметриче-
ское семейство кривых, не пересекающихся между собой и запол-
няющих некоторую односвязную область.
Понятие поля экстремалей, введенное К. Якоби, оказалось
необходимым для отыскания сильного экстремума функционала.
Это подтвердилось в работах К. Вейерштрасса, который к 1879 г.
разработал методы решения этой проблемы. Идея Вейерштрасса
(с учетом последующих усовершенствований ее Д. Гильбертом)
состояла в следующем: пусть дано поле экстремалей у=у(х, а).
В него включена и искомая экстремаль. Введем функцию, выра-
жающую зависимость углового коэффициента касательной к
экстремали от координат точки касания и(х, у), которую назовем
наклоном поля. Приращение функционала имеет вид
Д/= JFf(x, у, у') — F (х, у, и) — ^(у'- «)!<**•
to) L
Подынтегральная функция широко известна в настоящее
время как функция Вейерштрасса и имеет специальное обозначе-
ние Е(х, у, и, у'). Знак этой функции указывает на вид экстре-
мума: Е^.О в случае минимума и Е^О в случае максимума. Если
это условие рассматривается относительно слабого экстремума,
то достаточно, чтобы указанное условие соблюдалось в точках
поля, близких к экстремали, и для достаточно малой разности
I/—«I- в случае сильного экстремума условие Вейерштрасса
должно выполняться, очевидно, для любых У, а не только для у',
достаточно мало отличающихся от и.’
Таким образом, в течение XIX столетия были найдены условия
правомерности операций вариационного исчисления. Эти условия
были распространены на широкие классы функционалов и снаб-
жены строгими доказательствами. Выяснение достаточных усло-
вий для обеих разновидностей экстремумов, основанных на теории
экстремалей, логически завершило целый этап развития вариа-
ционного исчисления. Последнее формировалось как исчисление
вариаций. Прямой метод Эйлера, казалось бы, окончательно
забыт.
О дальнейшем развитии вариационного исчисления. Однако
на рубеже XIX и XX вв. возродились прямые методы в вариа-
ционном исчислении. Еще М. В. Остроградский в 1834 г., показал,
что задача вариационного исчисления об экстремуме кратных
256
интегралов эквивалентна задаче решения некоторого дифферен-
циального уравнения математической физики. В самом деле, если
I = f J F (х, у, z, р, q) dxdy,
где
/ ч dz dz
z = z(x, у), р = —, q = —,
. dx dy
TO
д/ = Jj (*. */, Z + 6z, p + '6p, q + bq) — F (x, y, z, p, q)] dxdy =
G
G
Необходимое условие экстремума
s/=Л Sz+v6p+s<7)dxdy=0>
G
Преобразуя по формуле Остроградского двойной интеграл в
криволинейный, можно получить
откуда, в предположении непрерывности подынтегральной функ-
ции, вытекает
dF d / dF \ d / dF \ q
dz dx \ dp J dy \ dq J
Вариационная задача об экстремуме двойного интеграла ока-
зывалась, таким образом, эквивалентной краевой задаче для диф-
ференциального уравнения с частными производными второго
порядка.
Например, гармоническая функция, являющаяся решением
задачи о потенциале (задачи Дирихле)
d2z d2z __ 0
dx2 + dy2 ~ ’
одновременно дает экстремум двойного интеграла
НПШ’+ШЪ*'-
На это обстоятельство обращали внимание Гаусс (1840), Томсон
(1847) и, наконец, Дирихле. Возможности, открывающиеся в связи
с нахождением вышеотмеченной эквивалентности, были высоко
9 К. А. Рыбников 257
оценены. Физический смысл этого явления в пространственном слу-
чае устанавливается легко: если и — потенциал скоростей в устано-
вившемся течении однородной несжимаемой жидкости, то соответ-
ствующее уравнение будет
А д2и д*и д2и Л
Ди =------------------= 0.
дх2 ду* dz»
Искомое решение uQ (среди всех функций, принимающих на гра-
нице области заданные значения) обращает в минимум
что соответствует минимуму кинетической энергии.
Риман, узнавший этот факт из лекций Дирихле, назвал его
принципом Дирихле. Выводы он распространил на введенные им
так называемые римановы поверхности. Для Римана является
очевидным (по-видимому, из физических соображений), что для
любой гармонической функции достаточно задать ее значение на
границе области, чтобы иметь ее однозначную определенность
внутри области.
Рассмотрим простейший случай краевой задачи Дирихле для
однолистного круга. Пусть задана функция распределения крае-
вых значений ’ц(ф) —непрерывная функция угла. Задача сводится
к установлению теоремы существования: внутри круга существует
одна и только одна непрерывная функция и, непрерывно прибли-
жающаяся к заданным краевым значениям и удовлетворяющая
уравнению Д«=0.
Введем
определенный на площади круга и имеющий смысл в любой его
точке. Все значения этого интеграла конечны и, очевидно, неотри-
цательны. Тогда существует неотрицательная нижняя грань его
значений для всех возможных и. Эта грань достигается при неко-
тором и, т. е.
Тогда уравнение
д д2и д2и п
1дх» ду2
есть необходимое и достаточное условие обращения в нуль первой
вариации.
Это рассуждение, которое привело к формированию в трудах
Римана геометрической теории функций комплексного переменно-
258
го, оказалось уязвимым в исходном пункте. Оказалось, что невоз-
можно прийти к выводу о существовании гармонической функции,
опираясь на вариационную задачу, так как существуют примеры
таких задач, которые не допускают никакого решения. Вейер-
штрасс еще при жизни Римана доказал, что из существования
нижней грани указанного выше интеграла не следует, что эта
грань достигается в классе допустимых функций. Знаменитый
пример Вейерштрасса о том, что ломаная, соединяющая точки
плоскости, меньше любой кривой, прохо-
дящей через эти точки (рис. 49), хотя к
семейству этих кривых не принадлежит,
был опубликован только в 1869 г., но
был известен Риману. Последний не смог я ' в
дать убедительного доказательства своих р g
результатов, основанных на применении - ис’
принципа Дирихле. Это удалось сделать
его ученику Нейману (1884) и ученику Вейерштрасса Шварцу,
которые в своих доказательствах не прибегали к вариационным
методам.
Таким образом, выявилась разница между экстремальной про-
блемой в конечномерном точечном пространстве и в пространстве
функциональном. В первом последовательность точек непременно
Допускает предельные точки. Во втором из последовательности
функций не всегда удается- выделить подпоследовательность,
сходящуюся к некоторой предельной функции. Для преодоления
подобных трудностей в вариационном исчислении понадобилось
вновь разработать прямые методы.
Ведущая идея .прямых методов современного вариационного
исчисления восходит к Эйлеру. Она состоит в том, что вариа-
ционная задача рассматривается как предельная для соответст-
вующей задачи на экстремум функции конечного числа перемен-
ных. Последний разыскивается обычными методами, а затем пре-
дельный переход дает решение вариационной задачи. Непосредст-
венно к Эйлеру восходит конечно-разностный метод, который
отличается от других прямых методов тем, что, например, функ-
ционал
ь
v — J F (х, у, у') dx
а
рассматривается не на произвольных кривых (из числа допусти-
мых в данной задаче), а на ломаных, составленных из заданного
числа п прямолинейных отрезков с заданными абсциссами вершин:
а, а + Дх, а + 2Дх......а 4- (п — 1) Дх, Ь,
где
9*
259
Первых успехов в возрождении прямых методов достиг
Гильберт, который в 1904 г., возвратившись к вопросу о принципе
Дирихле, доказал существование решения в доказательстве Ри-
мана, построив последовательность функций, эффективно дости-
гающую искомой функции. Затем вскоре Ритц (1908) разработал
еще один широко известный теперь метод.
Идея Ритца заключается в том, что функционал V изучается
п
на линейных комбинациях at«t- с постоянными коэффициен-
i=l
тами. При этом функционал превращается в функцию коэффи-
циентов
v = f(alta2...а„).
Решая систему уравнений
2L=o (i= 1, 2, 3, ... ,n),
дщ
получаем точки экстремума этой функции, а затем, переходя
к пределу при п->оо, — решение вариационной задачи. Разумеет-
ся, при этом необходимо, чтобы были выполнены условия относи-
тельно свойств функционала и полноты системы функций щ,
^2, •••»
В общей разработке прямых методов помимо работ Г. Вейля,
Лебега и Куранта большое значение имели исследования совет-
ских ученых. Л. А. Люстерник, И. Г. Петровский, М. А. Лаврен-
тьев, Н. Н. Боголюбов, Н. М. Крылов и другие обогатили вариа-
ционное исчисление высокоэффективными прямыми методами.
Огромен вклад советских математиков в изучение качественных
методов вариационного исчисления, получивших за последние
30—40 лет особое развитие, что вполне закономерно, так как
дифференциальные уравнения, к которым сводятся задачи вариа-’
ционного исчисления, в конечном виде в большинстве случаев не
решаются. Качественные же методы позволяют решать вопросы
о существовании решений, об их числе, давать характеристику
семейств экстремалей и т. п.
Вариационное исчисление в XX в. стало составной частью
функционального анализа, той частью, в которой изучаются
экстремумы функционалов. Кроме того, вариационные методы и
принципы составляют важнейшую часть теоретической механики.
С успехом применяются они в решении многочисленных задач
прикладного характера.
'Более чем двухсотлетняя история вариационного исчисления
дает богатый материал для исследования общих закономерностей
развития математических исчислений: их формирования, связан-
ного с оборачиванием метода; трансформирования содержания,
отражающего диалектичность развития, вхождения в более общие
части математики, взаимосвязи с практикой и т. д.
260
6.5. РАЗВИТИЕ ГЕОМЕТРИИ
Открытия принципиального значения, сделанные в геомет-
рии в течение XVII в., предопределили для этой науки в следую-
щем, XVIII в. качественно новый характер развития. В составе
геометрии-появились новые дисциплины. Практически все класси-
ческие области геометрии, исключая только неевклидовы геомет-
рии, оформились в это столетие. Речь идет об аналитической, диф-
ференциальной, начертательной и проективной геометриях, а также
о работах по основаниям геометрии. Их общими чертами являют-
ся: развитие в рамках и на основе системы геометрии Евклида,
непосредственное воздействие на эти области математики практи-
ческих задач. Среди различных задач и методов геометрии боль-
шое значение имели геометрические приложения анализа беско-
нечно малых. Из них возникла и развилась дифференциальная
геометрия — наука, занимавшая в XVIII в. центральное место в
системе геометрических дисциплин.
Аналитическая геометрия. Под таким названием общепринято
понимать ту часть геометрии, где изучаются геометрические фигу-
ры и преобразования, задаваемые алгебраическими уравнениями.
Для аналитической геометрии характерно использование методов
алгебры и координатного метода.
. Сочинения Декарта и Ферма открыли все возможности для
развития аналитической геометрии еще в 30-х годах XVII в.
Однако для претворения в жизнь очевидных (для нас) преиму-
ществ аналитической геометрии даже в случае плоских задач
потребовалось довольно много времени. Прошло около столетия,
пока* средствами аналитической геометрии удалось получить
результаты, которые . превзошли достижения древних, в особен-
ности Аполлония. В XVIII в. аналитическая геометрия еще пере-
живала процесс становления, накапливания и исследования новых
фактов.
Аналитическая геометрия Декарта и Ферма включала лишь
плоские задачи. Исследование кривых выше второго порядка было
в ней сравнительно редким явлением. Но даже этот скромный
объем был труден для современников. В течение XVII в. появи-
лось много сочинений, в которых комментировались новые методы.
Однако подлинно новый шаг в развитии аналитической геометрии
был сделан только в начале XVIII в. в результате выхода'в свет
в 1704 г., сочинения И. Ньютона «Перечисление кривых третьего
порядка».
Ньютон отказался от декартовой классификации кривых по
их родам. Он увидел, что классификация по степеням уравнений
кривых лучше приспособлена для нужд аналитического аппарата
новой геометрии. Порядок кривых в новой классификации полу-
чил геометрическую трактовку в виде возможного числа точек их
пересечения с прямой. Затем Ньютон перенес на кривые третьего
порядка ряд понятий и теорем, доказанных для конических сече-
261
ний, соответственно видоизменив их. Так, он ввел диаметры кри-
вых как геометрические места точек ряда параллельных прямых,
алгебраическая сумма расстояний которых от точек пересечения
прямых с кривой равна нулю. В случае перпендикулярности диа-
метра к сопряженным хордам вводится ось кривой. Если все
диаметры пересекаются в одной точке, то эта точка получает на-
звание общего центра. Соответственно распространяются многие
другие понятия и теоремы.
Виды кривых определены Ньютоном с учетом конечных ветвей
кривых, наличия или отсутствия диаметров, наличия и свойств
бесконечных ветвей. Всего оказалось 72 вида кривых, каждому из
которых Ньютон дал название. Эти виды кривых записываются
уравнениями четырех типов. Если обозначить
ах3 + bx2 + сх + d = А,
то указанные уравнения будут:
ху2 + еу = А, ху = A, у2 = А, у = А.
Сложная и громоздкая классификация заставила Ньютона сосре-
доточиться на особенностях кривых: узлах, точках заострения
и т. п. Для облегчения этой задачи Ньютон использовал третье
из указанных выше уравнений — уравнение полукубической пара-
болы,
z/2 = ах3 + bx2 + сх + d,
и показал, что каждая кривая третьего порядка получается из
нее посредством подходящего центрального проектирования.ш Та-
кая проективная классификация, или, по выражению Ньютона,
«органическое описание», выявляет все проективно разные кривые
третьего порядка исходя из свойств корней уравнения
ах3 + bx2 + сх + d = 0.
Именно если три корня действительны и различны, то кривая
состоит из двух различных ветвей; равенство всех трех корней
свидетельствует о наличии точки возврата. Равенство двух кор-
ней указывает либо на двойную, либо на изолированную точку.
Кривые, имеющие только одну ветвь, соответствуют наличию
двух мнимых корней.
Мы не будем останавливаться больше на содержании этого
сочинения. Оно слишком специфично. Принципы классификации
кривых третьего порядка не оказались ни простыми, ни универ-
сальными, результаты — недостаточно полными и не снабжены
доказательствами. Значение настоящего сочинения Ньютона было
не в этом. Ньютон раскрыл новые возможности метода координат.
И, кроме того, значительно его усовершенствовал. Ньютон ввел
равноправные оси координат, определил знаки функций во всех
четырех квадрантах, создал основы исследования свойств кривых
262
по свойствам выражающих их уравнений. Эти возможности были
подхвачены й развиты Стирлингом в книге «Ньютоновы кривые
третьего порядка» (1717).
Стирлинг снабдил теоремы Ньютона доказательствами, а так-
же вывел ряд теорем общего характера. Ему принадлежит, в част-
ности, вывод канонической формы уравнений кривых третьего-
порядка путем выбора оси координат, параллельной асимптоте.
Общими свойствами алгебраических кривых успешно занимался
Маклорен (1720), который развил ньютонов органический способ
образбвания кривых. Специальные мемуары на эту тему издали-
Ф. Николь (1731), Мопертюи (1731), Брекенридж (1733) и др.
Впоследствии кривым третьего порядка были посвящены работы
Штейнера, Сальмона, Сильвестра, Шаля, Клебша и др.
Как было указано выше, аналитическая геометрия Декарта
и Ферма не включала в себя методы решения пространственных
задач. Оба автора сумели лишь дать общие указания о необходи-
мости проектирования пространственных кривых на координатные
плоскости. В течение почти столетия эта кажущаяся в наше время
очевидной идея реализовалась лишь эпизодически, по частным
поводам и не имела общего характера.
Систематическое использование пространственных координат
в аналитической геометрии было начато в 1731 г. в книге Клеро
«Исследования о кривых двоякой кривизны». Так назывались
пространственные кривые. Каждую точку последних Клеро проек-
тировал ортогонально на две взаимно перпендикулярные коорди-
натные плоскости. Таким образом пространственная кривая ока-
зывалась заданной как геометрическое место пересечения двух
цилиндрических поверхностей, а в аналитической форме она выра-
жалась системой двух уравнений. В случае, когда задано единст-
венное уравнение, Клеро правильно интерпретировал его как
уравнение поверхности, приводя много примеров, главным образом
поверхностей вращения:
X2 уЪ Z2 — д2> |/^а gi = _22_ х<
п
у2 +z2 = ах,
х* = а*(у'+*)
и т. п.
Работы Клеро создали возможность для систематического
построения аналитической геометрии в форме, более или менее
привычной для нас. Это осуществил Эйлер к 1748 г.
Аналитическая геометрия в первой половине XVIII в. форми-
ровалась в тесном сплетении с геометрическими приложениями
математического анализа. Она уже играла роль фундамента боль-
шой области математических знаний, несмотря на незавершен-
ность как по форме, так и по содержанию. Поэтому Эйлер, делая
попытку систематического построения математического анализа,
263
осуществленную им в ряде монографий, выделил для аналитиче-
ской геометрии специальный том («Введение в анализ...», т. 2).
Значение этого сочинения в истории аналитической геометрии не-
обычайно велико. Охарактеризуем содержание этого тома под-
робнее.
В основной его части, состоящей из двадцати двух глав, изла-
гается система аналитической геометрии на плоскости. В первой
главе введёны прямолинейные координаты, как прямоугольные,
так и косоугольные, а также разъяснен способ записи уравнений
кривых, дано понятие непрерывности кривых, как свойство кривой
быть выраженной единым аналитическим выражением, в соответ-
ствии с понятием непрерывности функции, введенным в первом
томе «Введения в анализ бесконечных». Вторая глава посвящена
преобразованиям систем координат: повороту осей и переносу
начала, а также анализу уравнения прямой в виде
ах + Ру = 0.
Следующие две главы относятся к классификации кривых по
степеням их уравнений и выявлению общих свойств кривых. Еще
две главы отведены специально исследованию кривых второго по-
рядка. При этом в главе V речь идет о тех свойствах конических
сечений, которые получаются из общего уравнения второй степе-
ни, а в главе VI исследуются канонические формы уравнений кри-
вых второго порядка. Бесконечные ветви и асимптоты конических
сечений рассматриваются в главах VII и VIII.
Далее следует классификация кривых третьего порядка (гла-
вы IX и X). В соответствии с характером бесконечных ветцей эти
кривые разделены на 16 видов. При этом Эйлер сравнил свою
классификацию с той, которую дал Ньютон, и показал неполноту
последней. Соответствующая классификация кривых четвертого
порядка, проделанная в главе XI, дала уже 146 видов. Не про-
должая этой бесперспективной работы, Эйлер перешел вновь к
разработке общих методов исследования кривых по их уравне-
ниям, дав краткие указания об этом в главе XII.
Касательные, являющиеся предметом тринадцатой главы, рас-
сматриваются по отношению как к простым, так и к кратным
точкам кривых. В интересной главе XIV о кривизне кривых внача-
ле определяется парабола, аппроксимирующая кривую в окрест-
ности данной точки, а затем для этой параболы отыскивается
круг кривизны. Длина радиуса, кривизны кривой
0 - At + Ви + Ct2 + Dtu + Ей2 + Ft3 + Gt2и + Htu2 + ...
в начале координат находится по формуле
(Д2+ В2)/Д2 + В2
2(Д2Е —2В+В2С)
Кроме того, Эйлер нашел здесь же точки перегиба первого и
более высоких порядков, точки заострения. Чтобы добиться наи-
264
большей общности, он заменял аппроксимирующую параболу
более общими кривыми, например arm=sn.
Глава XV отведена для исследования свойств диаметров кри-
вых и симметрии последних, а две следующие (XVI и XVII)
посвящены исследованию кривых по их свойствам. Речь идет о
таких, например, задачах: исследовать кривую
У2 — Р(х) y + Q(x) = О,
если известно, что для данного аргумента х кривая имеет две орди-
наты у\ и у2, связанные между собой условием
Ух + У2 = а".
Другим условием является, например, то, что кривая имеет с дан-
ным лучом у = ах данное число точек пересечения. Интересно, что
при этом Эйлер ввел полярные координаты:
х = г cos ф, у — г sin ф.
В главе XVIII Эйлер собрал и систематизировал сведения
о подобии и аффинных свойствах кривых. Кривые, по Эйлеру, на-
зываются аффинными, если их координаты связаны соотноше-
ниями
Это понятие удержалось в математике до наших дней.
Наконец, в. четырех завершающих главах рассматриваются:
пересечения кривых (глава XIX), составление уравнений слож-
ных кривых (глава XX), трансцендентные кривые (глава XXI) и
геометрическое решение тригонометрических уравнений. Послед-
ние две главы появились, разумеется, в качестве геометрической
трактовки функций, введенных в первом томе «Введения в ана-
лиз». В них рассматриваются кривые тригонометрических функ-
ций, логарифмическая кривая, циклоиды всех трех видов, линия
хУ = ух и различные спирали. Для исследования этих кривых ис-
пользуются как декартовы, так и полярные координаты.
Содержание этой книги, краткий обзор которой мы дали
здесь, показывает, что аналитическая геометрия на плоскости
превратилась благодаря работам Эйлера в отдельную науку,
предмет и методы которой уже определились в смысле и объеме,
близком к современному. Однако Эйлер не ограничился двумер-
ными задачами. Он проделал подобную работу также для анали-
тической геометрии в пространстве в специальном «Приложении
о поверхностях» к той же книге.
Прежде всего, Эйлер (со ссылкой на Клеро) ввел пространст-
венные прямоугольные декартовы координаты, рассматривая
множество аппликат к координатной плоскости хОу. После
введения знаков координат, замечаний о возможности замены осей
265
он рассмотрел ряд поверхностей и их сечений плоскостями. Эйлер
показал, что уравнение относительно двух переменных соответст-
вует цилиндрической или призматической поверхности, а однород-
ное уравнение — конусу или пирамиде. Вслед за этим он ввел
более общие классы поверхностей: а) выраженных уравнением
F(x, у, Z(z)) = O,.
однородным относительно указанных аргументов. Этот класс
включает конусы, цилиндры и поверхности вращения; б) имею-
щих треугольные сечения, перпендикулярные к осям; в) имеющих
аффинные соотношения между параллельными сечениями и др.
Отправляясь от этих классов, Эйлер ввел метод. сечений поверх-
ностей произвольными плоскостями. Весь этот материал занял
первые три главы приложения.
В главе IV выведены уравнения преобразования прямоуголь-
ных пространственных координат в виде
X = р (COS g COS 0 — Sin COS T) sin 0) +
+ q (cos g sin 0 + sin g cos t] cos 0) — r sin g sin r] -f- f;
у = — P (sin g cos 0 + COS g COST] sin 0) —
— <7(sin g sin0— cosg cost] cos0) — rcosg staT] +§;
z = — p sin t] sin 0 -{- <7 sin T] cos 0 + r cos t] h.
Углы g, t), 0 называются и теперь углами Эйлера (рис. 50).
Они определяют поворот осей. Угол прецессии 0 есть угол враще-
’ г ния вокруг оси Or, при котором ось
z \ Ор переходит в прямую On — ли-
V* А/ нию узлов, определяющую пересече-
\ у I ние координатных плоскостей pOq
\ \ х у и хОу. Угол нутации т) является уг-
\ \ /у лом вращения вокруг прямой On,
\ при КОТОРОМ ось переходит в Oz.
/ / Наконец, угол собственного враще-
/71 / / ния g вокруг Oz переводит On в Ох.
//1 / s' В этой же главе Эйлер ввел по-
нятие порядка поверхности, доказал,
/ ЧТо порядок кривой в плоском сече-
" ' нии не превышает порядка поверх-
ности, и рассмотрел случаи распа-
Рис- 50 дения линий сечения.
Исследование общего уравне-
ния второй степени относительно трех координат и приведение к
каноническому виду, произведенное Эйлером в главе V, дало впер-
вые уравнения всех видов невырожденных поверхностей второго
порядка:
266
Ар2 + Bq2 + Cr2 = а2 (эллипсоид),
Ар? + Bq2— Cr2 = а2 (однополостный гиперболоид),
Ар2 — Bq2 — Cr2 = а2 (двуполостный гиперболоид),
Лр2 + Bq2 = ar (эллиптический параболоид),
Ар2 — Bq2 — аг (гиперболический параболоид).
В конце книги Эйлер рассмотрел пространственные кривые
как пересечения двух поверхностей и выработал аналитический
аппарат для их исследования.
Вторая половина XVIII в. принесла аналитической геометрии
только частичные, хотя временами весьма существенные, усовер-
шенствования. В основном аналитическая геометрия уже сформи-
ровалась. Упомянем лишь о нескольких наиболее значительных
вкладах. В связи с дифференциально-геометрическими исследова-
ниями о развертывании поверхностей Г. Монж в 1771 г. (опубли-
ковано в 1785 г.) решил ряд задач аналитической геометрии. Так,
он нашел условие перпендикулярности плоскости, проходящей
через точку (хь у\, zi)
Л (х — хх) + В (у — уг) + С (z — Zj) = О
и прямой
ах + by + cz -J- d = О,
ахх + bi_y + сгг + dt = 0.
Затем Монж определил длину 'перпендикуляра, опущенного из
данной точки пространства на данную прямую. Наконец, ему
удалось определить нормальную плоскость к любой точке кривой
двоякой кривизны: у=<р(х), г=ф(х).
Лагранж в статье 1773 г. (опубликовано в 1775 г.) исследо-
вал, не прибегая к чертежу, средствами аналитической геометрии,
задачи, относящиеся к трехгранной пирамиде. Полностью завер-
шил вопрос о преобразовании пространственных координат Менье
(1785). Он вывел формулы
z' — z = t cos «> + u sin co,
x'— x = [t>coscor-/sine»} sin л + « cos я,
у' — у = [о cos® — t sin co] cos я— «sin я,
где u, v, t — старые координаты, x', у', z' — новые, x, у, z — новые
координаты старого начала координат. Угол старой координатной
плоскости хОу с новой обозначен здесь л, а угол линии пересече-
ния обеих плоскостей с новой осью у есть со.
Во второй половине XVIII в. аналитическую геометрию на-
чали вводить в программы высших учебных заведений. Среди
267
появившихся учебников наиболее систематическим и близким к
современности по стилю явился учебник Лакруа (1798—1799). Его
переиздавали многократно: 25-е издание, например, вышло в свет
с добавлениями Эрмита в 1897 г. В этих учебниках Лакруа появи-
лось и название этой науки — аналитическая геометрия.
Разумеется, и в дальнейшем аналитическая геометрия меняла
свой облик. Это было связано прежде всего с обобщениями коор-
динатного метода. Созданные Мёбиусом (1827) барицентрические
координаты позволили ввести бесконечно удаленные элементы.
Из проективной геометрии были привнесены однородные коорди-
наты, а затем проективные, как линейные комбинации простейших -
однородных координат. Дарбу ввел тетрациклические, а затем
пентасферические координаты. В конце XIX — начале XX в. из
механики в аналитическую геометрию вошли векторы, что значи-
тельно усовершенствовало ее аппарат.
Итак, в XVIII в. было завершено формирование аналитиче-
ской геометрии как науки и становление ее как учебного предме-
та, явившегося составной частью классической основы высшего
математического и технического образования.
Дифференциальная геометрия. Эта математическая дисципли-
на, как известно, изучает геометрические объекты — кривые, по-
верхности и т. п. Ее своеобразие состоит в том, что, отправляясь
от результатов аналитической геометрии, она широко использует
методы математического анализа, в особенности дифференциаль-
ного исчисления. Дифференциальная геометрия возникла в XVIII в.
из области геометрических приложений анализа бесконечно ма-
лых. В некотором смысле дифференциальную геометрию можно
даже считать предшественницей анализа, если в ее историю
включить инфинитезимальные задачи геометрического характера.
Последние составили важную часть предпосылок возникновения
дифференциального и интегрального исчисления.
К началу XVIII в. средствами анализа бесконечно малых
были раскрыты и исследованы многие факты теории плоских
кривых. Однако это еще не привело к выделению особой науки.
Все результаты входили в систему математического анализа, со-
ставляя совокупность геометрических применений с использова-
нием преимущественно функций от одного переменного. Этим
последним обстоятельством, кстати, и объясняется то, что именно
плоские, а не пространственные кривые были вначале предметом
исследования.
х Следующий этап развития дифференциальной геометрии свя-
зан с введением методов изучения пространственных кривых и
поверхностей. Необходимой предпосылкой для этого является,
очевидно, распространение средств аналитической геометрии на
трехмерные задачи. Как было указано выше, это было осуществле-
но впервые в 1731 г. в книге Клеро «Исследования о кривых
двоякой кривизны». В основном эта книга, как мы упоминали,
посвящена трехмерной аналитической геометрии, но ряд вопросов
268
решен в ней с помощью дифференциального и интегрального
исчисления. Так, Клеро рассмотрел касательные и нормали к про-
странственным кривым, а также подкасательные и поднормали,
ввел касательную плоскость к поверхности, содержащей данную
кривую. Нормаль, по Клеро, является нормалью к касательной
плоскости. Рассмотрены также геометрические места точек пере-
сечения касательных и нормалей с координатными плоскостями.
Пространственная кривая определена как пересечение двух
цилиндрических поверхностей, характеризующихся проекциями на
две координатные плоскости. Клеро развернул кривую на эти
цилиндрические поверхности, решил ряд задач о спрямлении кри-
вых, определил площади частей цилиндрических поверхностей,
ограниченных кривыми, нашел некоторые кубатуры. Этот круг
вопросов потребовал от него, разумеется, применения методов
интегрального исчисления.
Перенесение методов двумерной дифференциальной геомет-
рии на трехмерный случай, осуществленное Клеро, в течение
почти пятидесяти лет не было превзойдено никем. Однако под
воздействием потребностей геодезии и картографии, а также
механики, появился ряд работ, в которых решались дифферен-
циально-геометрические задачи. Сам Клеро тоже обнаружил но-
вые дифференциально-геометрические факты. Побывав вместе с
Мопертюи в геодезической экспедиции в Лапландии, он в 1733 г.
доказал, что вдоль геодезической линии на поверхности врапййия
произведение радиуса параллели (т. е. круга, перпендикулярного
к оси вращения) на синус ее угла с меридианом постоянно:
р sin а = const.
Однако и в этой области, как и во многих в то время, доми-
нировали работы Эйлера.
Серию соответствующих исследований Эйлер начал (1728—
1732) по примеру многих из своих предшественников с изучения
геодезических линий на поверхностях. Он вывел дифференциаль-
ное уравнение геодезической линии на поверхности, заданной
уравнением
Р dx = Qdy + Rdt,
в виде
Q (Рх 4- Р (Ру dx d2x + dy d2y
Qdx-\-P dy dt2 + dx2 4- dy2
и рассмотрел ряд частных случаев, относящихся к геодезическим
линиям на поверхностях вращения. В 1736 г. Эйлер доказал, что
точка, движущаяся по поверхности при отсутствии действующих
сил, перемещается по геодезической. В том же году в статье о
трактрисе он ввел натуральное уравнение плоской кривой и свя-
зал его с уравнением в декартовых координатах. Впоследствии,
после ряда частных результатов, эти исследования привели Эйле-
269
pa, с одной стороны, к созданию (начиная с 1744 г.) вариацион-
ного исчисления (так как задача о геодезических принадлежит к
числу вариационных), а с другой — к исследованиям по общей
теории кривых и поверхностей.
Классическая основа современной общей теории поверхностей,
однако, начала создаваться сравнительно поздно. Первые фунда-
ментальные результаты в этой области, равно как и во всей трех-
мерной дифференциальной геометрии, оказалось возможным
найти не ранее 1760 г. в статье Эйлера «Исследования о кривизне
поверхностей» (опубликована в 1767 г.). В этой работе выведена
известная теорема Эйлера следующим образом: исследуемая по-
верхность 2==z (х, у) рассекается произвольной плоскостью
z = ах—Ру+у. В сечении получается плоская кривая, радиус кри-
визны которой выражен довольно сложно:
__________fa2 + Р2 + 2«? '+ 2РР + (ар +' Р?)2 +~Р2 4- </2Г'‘
Г(а-?)2('^-Н(р4р)2Г^+2(а-'?)(Р + Р)(-^)| + +
I \ ах j \ау J \dy /J
где
__ dz _ dz dp X d2z / dp X _ d2z
P dx' dy ’ \ dx ) dx2 ’ \ dy ) dy2 ’
/ dp \ ___ d2z
'*** X dy ) dxdy ' ’
Затем через нормаль к поверхности проводится секущая
плоскость. Выражение для радиуса кривизны этого произволь-
ного нормального сечения получается еще более сложным вслед-
ствие того, что теперь параметры аир уже независимые. Они
выражаются через параметр, определяющий сечение, т. е. через
угол, между горизонтальным следом нормальной плоскости и осью
абсцисс.
Из нормальных сечений выбираются два: главное, перпенди-
кулярное координатной плоскости хОу, и перпендикулярное глав-
ному. Для этих сечений выражение кривизны упрощается. Затем
вводится угол <р между плоскостями нормального и главного сече-
ний и вновь выводится общее выражение для радиуса кривизны
— (р2 + <?2) (1 + Р2 4 <72)‘z* sec2 <р
(р —<?tg<pa)(q 4-ptgq>M)
Это громоздкое выражение Эйлер расписал для частных случаев:
цилиндра z = V а2 — у2 , конуса z = Уп2х2— ^у2 и эллипсоида
z2=a2—тх2—пу2, а затем преобразовал к виду
__________1_________
L М cos 2q> -J- W sin 2q> ’
( я?')(р — q fg фи)2 + (+р tg *₽“)2 + 2
\ ах / \ ау /
270
где
. . / dz dz d*z &z d2z \
\ dx dy ’ dx2 ' dxdy ’ dy* )’
равно как M й N.
Отсюда равенство кривизн в локальной области поверхности
определяется равенством величин L, М, N. Когда
то соответствующий радиус кривизны достигает экстремума. Сече-
ния, дающие для радиуса кривизны максимум f и минимум g,
взаимно перпендикулярны.
’ Эйлер делает последнее упрощение: пусть при достижении
максимума f будет <р=0. Тогда W=0 и радиус кривизны
будет
1
L-|-A4 cos 2<р
Минимум g радиуса кривизны достигается в этом случае при
<р = Выразив L и М через f и g, Эйлер, наконец, получил
2
2/g________
f+.g — cos2<p(f — g)
Употребляемая в настоящее время формула кривизны нормаль-
ного сечения была получена из данного выражения Дюпеном
через пятьдесят лет.
Из приведенного примера видно, что в ходе создания общей
теории поверхностей аппарат чрезвычайно усложнился. Преодоле-
вать возрастающие в связи с этим трудности удавалось лишь не-
многим, а возможности приложений уменьшались. Но работа
продолжалась под непосредственным давлением практики, прежде
всего картографии и геодезии.
В 70-х годах одной из главных проблем'в этой области стало
развертывание поверхностей. Понятие развертывающейся поверх-
ности ввел Эйлер. В статье 1771 г. о телах, поверхности которых
можно наложить на плоскость, он исходит из соответствия между
координатами (х, у, z)—точки развертывающейся поверхности и
(/, и) — точки плоскости, с которой совпадает указанная точка
поверхности после развертывания. На плоскости берется элемен-
тарный прямоугольный треугольник с вершинами
(/, и), (t + dt, и), (/, и + du).
Ему соответствует элементарный треугольник на поверхности
с вершинами
271
(х, у, г), (x-\-ldt, y + mdt, z + ndt),
(x-T~Kdu, y + pdu, z4-vdu),
конгруэнтный с ними (I, tn, n, k, li, v — соответствующие частные
dx z дх л \ tz
производные: = I, и т- д-)- Конгруэнтность и ра-
венство соответствующих отрезков привели Эйлера к следующим
условиям развертывания:
dx2 + dy2 + dz2 = dt2 + du2,
I2 + m2 + n2 = 1, %2 + |i2 + v2 = 1, /X + mp, + nv = 0.
Решение Эйлера содержало общую идею изгибания поверх-
ностей и повлекло за собой ряд значительных результатов. Так,
Эйлер доказал, что касательные произвольной пространственной
кривой образуют развертывающуюся поверхность. Тенсо (1780)
ввел точки перегиба и классифицировал их. Точки плоского, пере-
гиба у него соответствовали случаю, когда кручение было равно
нулю. Их можно было обнаружить по точкам перегиба плоской
кривой, по которой развертывающаяся поверхность, соответствую-
щая пространственной кривой, пересекала координатную плос-
кость хОу. Другой тип — точки линейного перегиба, соответствую-
щие случаю, когда кривизна равна нулю. Эти точки являются
точками перегиба для всех проекций пространственной кривой.
В них соприкасающаяся плоскость перпендикулярна плоскости
проекций. Аналогичную классификацикхточек перегиба ввел Монж
(1771 г., опубликовано в 1775 г.). Он же исследовал развертыва-
ние поверхностей.
Попытки построения общей теории поверхностей и простран-
ственных кривых методами, заимствованными из аналитической
геометрии и дифференциального исчисления, продолжались и в
80-х годах XVIII в. Новые идеи ввел Эйлер (1782—1786 гг.). Он
рассматривал пространственные координаты х, у, z кривой как
функции длины дуги $ и направляющих коэффициентов осей
подвижного триедра, с помощью сферического отображения.
Ряд ученых — Монж, Лагранж, Ламберт, Менье и в особен-
ности Эйлер — получили в дифференциальной геометрии значи-
тельное количество конкретных результатов. Последние находили
применение в геодезии и картографии. Однако число лиц, зани-
мавшихся этой проблемой, быстро уменьшалось. Утяжеление ап-
парата, не соответствующее раскрываемым возможностям, трево-
жило выдающихся математиков и заставляло их пессимистически
оценивать перспективы развития общей теории поверхностей и
пространственных кривых.
А тем временем пути дальнейшего развития дифференциаль-
ной геометрии уже намечались: а) большее привлечение геометри-
ческих соображений, временно отодвинутых на второй план уси-
лиями по созданию аналитического аппарата; б) расширение
272
Г. Монж (1746—1818)
последнего за счет привлечения теории дифференциальных урав-
нений; в) перевод геометрических фактов на язык дифференциаль-
ных уравнений и геометрическая интерпретация этих уравнений.
Наибольшие успехи в этих областях были достигнуты в револю-
ционной Франции конца XVIII в. исследованиями Монжа и его
учеников.
Гаспар Монж (1746—1818), выходец из крестьянско-буржуаз-
ной семьи, был, как и многие другие математики, активным дея-
телем Великой французской буржуазной революции. Неоднократ-
но он занимал большие государственные посты (морской министр,
организатор военной промышленности Франции и т. п.), с честью
выполняя свои обязанности. Начав свою научно-педагогическую
деятельность в качестве профессора военно-инженерной школы,
273
Монж добился крупных успехов в математике, физике, химии и
технике и в 1780 г. был избран членом Парижской академии наук.
Он был также одним из основателей Политехнической школы в
Париже (1794) и ее профессором.
В математике основные работы Монжа относятся к области
геометрии. Охарактеризуем здесь его достижения в дифферен-
циальной геометрии. В течение 70-х годов Монж опубликовал два
сочинения: «Мемуар о развертках, радиусах кривизн и различных
видах перегибов кривых двоякой кривизны» (1771 г., опубликова-
но в 1785 г.) и «О свойствах многих видов кривых поверхностей»
(1775 г., опубликовано в 1780 г.). В них дано широкое и полное
исследование свойств пространственных кривых и поверхностей,
введено развертывание поверхностей, исследованы эволюты, оги-
бающие и т. п.
В частности, в первой из упомянутых работ, где Монж изучал
пространственные кривые, показано, что эти кривые могут иметь
неограниченно много эволют, что они всё лежат на развертываю-
щейся поверхности (имеется в виду развертка нормалей) и что
они являются геодезическими линиями этой поверхности. Монж
ввел также спрямляющую развертывающуюся поверхность и
показал, что исходная кривая является ее геодезической. В этой
же работе введены упомянутые выше два типа точек перегиба и
многие термины, сохранившиеся до нашего времени: ребро возвра-
та, развертывающаяся поверхность, геометрическое место центров
кривизны и др.
Вторая работа в основном посвящена развитию теории раз-
вертывающихся поверхностей. В ней, в частности, выяснено отли-
чие линейных и развертывающихся поверхностей, найдено извест-
ное дифференциальное соотношение:
rt — s2 = 0.
Установлено; кроме того, что развертывающиеся поверхности
могут трактоваться как геометрические места касательных к про-
странственным кривым, а также то, что они суть огибающие
некоего двупараметрического семейства плоскостей и т. д.
Однако классификация кривых и поверхностей по виду и
по степеням их алгебраических уравнений и связанный с этим
громоздкий аппарат не удовлетворяли Монжа. Новая классифи-
кация поверхностей была дана Монжем в лекциях для Политех-
нической школы, выходивших отдельными выпусками, а в 1801 г.—
отдельной книгой. В ней Монж исходит из потребностей практиче-
ских приложений и соответствующих нужд технического образо-
вания. Свойства и структура поверхностей проявляются яснее,
если кроме уравнений задан способ их конструирования, форми-
рования путем перемещения в пространстве заданной линии. При
этом в качестве объекта изучения выступают не алгебраические
уравнения, а дифференциальные уравнения в частных произ-
водных.
274
Оказалось, что дифференциальным уравнениям с частными
производными первого порядка соответствует большое семейство
поверхностей. В него входят цилиндрические и конические по-
верхности, поверхности вращения и каналов. Последние образуют-
ся движением окружности постоянного диаметра^ плоскость круга
которой перпендикулярна заданной кривой, а центр передвигается
по ней. Кроме того, к этому классу относятся поверхности скло-
нов насыпей, т. е. такие, у которых линиями наибольшего спуска
являются прямые постоянного наклона, а также винтовые поверх-
ности.
Рассматривая поверхности с различных точек зрения, Монж
получал одновременно и дифференциальное уравнение поверх-
ности и конечное уравнение, как его интеграл. Например, рассмат-
ривая цилиндрические поверхности как . такие, касательная
плоскость которых параллельна образующей
х = az, у = bz,
он получил их уравнения
a — + b — = 1.
дх ду
Но в то же время из условия, что образующая цилиндрической по-
верхности параллельна прямой, получается конечное уравнение
этой поверхности
у — bz = <p(x — az),
где ф — произвольная функция. Последнее уравнение дает реше-
ние дифференциального уравнения цилиндрической поверхности.
Соответствующие результаты для конических поверхностей
/ \ dz , , dz у — b f х— а \
а для поверхностей склона насыпей
(Чг’У+(4r_Y==a2 и 22=ач(х—а)г+(#—Ф<а))21-
\ дх J \ ду J
В этой части работы введена геометрическая интерпретация
характеристик как линий пересечения двух бесконечно близ-
ких поверхностей и выведено их дифференциальное уравнение.
Дифференциальные уравнения второго порядка определяют
семейства развертывающихся поверхностей, а также те линейча-
тые поверхности, которые описаны прямой, перемещающейся по
двум пространственным кривым параллельно заданной плоскости,
и классы поверхностей, кривизны которых удовлетворяют некото-
рым условиям (резные, трубчатые, минимальные). Общие линей-
чатые поверхности определяются дифференциальными уравнения-
ми третьего порядка, равно как и более сложные поверхности,
275
вроде поверхности, огибающей сферу переменного радиуса, центр
которой движется по заданной кривой.
Перевод фактов теории поверхностей на язык дифференциаль-.
ных уравнений в частных производных сопровождался у Монжа
разработкой геометрической теории этих уравнений. В частности,
он дал геометрическую трактовку общей теории дифференциаль-
ных уравнений с частными производными первого порядка. Пол-
ный интеграл таких уравнений f(x, у, г, а, Ь)=0 геометрически
интерпретируется двупараметрическим семейством поверхностей.
Если заменить 6 = ф(а), где ф— символ произвольной функции, то
уравнению
f (я, у, z, а, ср (а)) = О
соответствует однопараметрическое семейство поверхностей (Монж
назвал их огибаемыми). Уравнение огибающей их поверхности
получается исключением параметра а из уравнений
f=0 и =0.
'да
Отсюда при фиксированных значениях а получаются уравнения
характеристик (образующих огибающих поверхностей, являющих-
ся геометрическими образами общего интеграла). Все характерис-
тики огибаются кривой, которую Монж назвал ребром возврата.
Подобные соображения, высказанные относительно уравнения
7(х, У, z, р, q) = 0
и его полного дифференциала
X dx + Y dy + Z dz + P dp + Q dq 0,
привели Монжа к системе уравнений
dx __ dy___ dz ______________dp _________dq
P ~ ” Pp+Qq ~ X+pZ ~ Y + qZ *
Интегрируя их, он получил уравнения характеристик.
Геометрические методы внесли также ясность в трактовку
уравнения, названного впоследствии уравнением Пфаффа:
Р dx + Q dy + R dz = 0.
Если условие интегрируемости выполняется, то его решение гео-
метрически представляется семейством поверхностей
/ (X, у, 2) = С,
на которых любые кривые ортогональны к кривым
dx dy dz
"У ~
276
Если же это условие не выполнено, то, как показал Монж, при
задании дополнительной зависимости ф(х, у, z)=0 уравнение
Пфаффа определяет на поверхности <р(х, у, z)=0 однопараметри-
ческое семейство кривых, ортогональных к тем же кривым
dx __ dy ____ dz
Теория характеристик Монжа, сведение задачи решения диф-
ференциальных уравнений с частными производными к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений, геометрическая ин-
терпретация решений, тес-
ная взаимосвязь и взаи-
модействие геометриче-
ских и механических ме-
тодов — вся совокупность
достижений Монжа при-
вела дифференциальную
геометрию к новому эта-
пу. Он характеризуется
введением в геометрию •
аппарата дифференциальных уравнений и дальнейшим расшире-
нием ее теоретических и практических возможностей.
В конце XVIII в. исследование одной инженерной проблемы
дало дифференциальной геометрии основы теории линейных конг-
руэнций, стоявшей некоторое время особняком. Речь идет о задаче,
рассмотренной Монжем в 1871 г. в «Мемуаре по теории выемок и
насыпей», опубликованном в 1784 г. (см. рис. 51).
Постановка задачи такова: даны два равных объема земли,,
ограниченных неравными замкнутыми поверхностями. Элементы
одного объема необходимо перенести в другой с соблюдением
принципа наименьшей работы и, следовательно, стоимости. Траек-
тории переносимых частиц образуют двупарамётрическое семейст-
во прямых, удовлетворяющее условиям: а) через каждую точку D
проходит одна и только одна прямая семейства; б) на каждой
прямой семейства есть элементы объема R (точка, отрезок); в) ли-
нейчатая поверхность, образованная прямыми семейства, высекает
в D и R равные объемы; г) JJJrdV = min (dV— элемент
объема D, г — расстояние между соответствующими точками
объемов D и R).
В плоском случае семейство прямых у=ах + Ь — однопара-
метрическое. Монж составлял дифференциальное уравнение, при-
равнивая элементарные площадки в фигурах D и R. Наличие об-
щей касательной к D и R позволяет определить значение аддитив-
ной постоянной уравнения.
Прямолинейные конгруэнции возникают в трехмерном случае.
Монж доказал, что среди всех линейчатых поверхностей, образо-
277
ванных при этом, существует только два семейства развертываю-
щихся поверхностей. Если поверхности нормальны друг к другу,
то конгруэнция ортогональна к поверхности. На последней обра-
зуется ортогональная сеть линий кривизны. Нормали к поверх-
ности образуют вдоль этих линий развертывающуюся поверхность.
Длина отрезка нормали от поверхности до пересечения с одной из
двух бесконечно близких нррмалей совпадает с длиной радиуса
кривизны плоского сечения поверхности по линии кривизны.
Наконец, Монж утверждал, что условию минимальности ра-
боты в таких задачах удовлетворяют именно нормальные кон-
груэнции. Доказательство этого факта, однако, появилось . лишь
через сто лет (1886; Сен-Жермен и Аппель).
В первой половине следующего, XIX, века происходило по-
полнение* классического состава дифференциальной геометрии.
Ученики и французские коллеги Монжа (Карно, Фурье, Ампер,
Пуассон и др.) по существу привели эту науку в ее классической
части к современному состоянию. Отметим индикатрису и цикли-
ду Дюпена (в работах 1813 и 1822 гг.), введение бинормали Сен-
Венаном (1845), направляющие косинусы Френе (1847) и Серре
(1851).
Новый этап дифференциальной геометрии ознаменован иссле-
дованиями Гаусса (1828) о внутренней геометрии поверхностей,
т. е. о таких их свойствах, которые инвариантны относительно из-
гибания. Идеи Гаусса, а также работы о свойствах поверхностей
постоянной гауссовой кривизны (Миндинг в 1839 г., Лиувилль в
1850 г.) создали область соприкосновения дифференциальной гео-
метрии с неевклидовой *. Об этом речь будет идти ниже.
Начертательная и проективная геометрии. Методы начерта-
тельной геометрии формировались в области технических прило-
жений математики. Факты учения о перспективе были известны
с давних времен; особенно они были развиты художниками и архи-
текторами эпохи Возрождения. Эти факты составили необходимую
основу для создания того раздела теоретической геометрии, в ко-
тором пространственные образы изучаются- посредством комп-
лекса отображений на плоскости. Метод координат для построе-
ния перспективы и соответствующие начала аксонометрического
проектирования впервые применил Дезарг в 1636 г.
Формирование начертательной геометрии в особую математи-
ческую науку завершилось в работах Монжа. С 1795 г. Монж
читал в Политехнической школе лекции об ортогональном проек-
тировании на плоскости. В 1798—1799 гг. он опубликовал уже
полностью разработанный курс начертательной геометрии («Geo-
metric descriptive»), в котором систематически провел отображе-
1 О дифференциально-геометрических исследованиях Гаусса см. А. П. Нор-
д е и. .Геометрические работы Гаусса. В сб.: «Карл Фридрих Гаусс». М., Изд-во
АН СССР, 1956, стр.. 113-144.
278
ние пространственных фигур с помощью двух ортогональных
проекций на две взаимно перпендикулярные координатные плос-
кости. Этот прием он дополнил развертыванием проекционных
плоскостей около оси проекций в одну плоскость и сведением про-
странственных построений и перемещений к соответствующим
преобразованиям проекций.
Учебник начертательной геометрии Монжа состоит из пяти
глав. В первой главе разъяснены цель и метод начертательной
геометрии, а также элементарные задачи относительно прямых и
плоскостей. Затем следуют построения касательных плоскостей и
нормалей к кривым поверхностям. Пересечения кривых поверх-
ностей рассмотрены в третьей главе, а соответствующие задачи
вынесены в четвертую главу. Пятая глава посвящена исследова-
нию методами начертательной геометрии кривизны линий и по-
верхностей.
Изложение Монжа не является элементарным. Он рассматри-
вал ряд новых и трудных задач. Так, он исследовал поверхности
с ребром возврата, геодезические поверхности и линии наибольше-
го ската на них, поверхности одинакового ската и т. п., навеянные
его Дифференциально-геометрическими исследованиями.
Влияние работ Монжа и близких к ним по содержанию учеб-
ников Лакруа было длительным. Их сочинения в течение первой
половины XIX в. переиздавались много раз. Усовершенствования
частного характера и разработка различных способов проектиро-
вания составили основное содержание работ по начертательной
геометрии в дальнейшем. Эта область геометрии со времен Монжа
прочно вошла в круг математических'дисциплин, входящих в сис-
тему технического образования.
Теоретический аспект технической перспективы и более об-
щее понимание последней как одного из видов проективных
преобразований были разработаны еще Дезаргом. Идея изучения
проективных свойств геометрических объектов возникла как но-
вый подход к трудной античной теории конических сечений с
целью упростить и обобщить ее. Сочинение Дезарга «Черновой
набросок подхода к явлениям, происходящим при встрече конуса
с плоскостью» (1639) и Б. Паскаля «Опыт о конических сечениях»
(1640) содержат превосходное решение этой проблемы и служат
основой новой геометрической науки — проективной геометрии.
Центральная проекция в ней обогатилась бесконечно удаленны-
ми элементами, связав воедино пучки сходящихся и параллельных
прямых, равно как и плоскостей. Весьма плодотворным оказалось
и понятие инволюции. Проективные и инволюторные свойства
конических сечений составили целую теорию, среди многочислен-
ных теорем которой выделяются теоремы, названные именами их
авторов — Дезарга и Паскаля. Кроме того, Дезарг открыл много
теорем о полюсах и полярах конических сечений.
Вначале лишь немногие ученые восприняли идеи Дезарга и
Паскаля. Их сочинения оказались утерянными. Лишь в 1845 п
279
Шаль нашел копию сочинения Дезарга. От работ Паскаля по
проективной геометрии сохранился лишь набросок. В течение
более столетия можно отметить лишь эпизодические применения
проективных преобразований. Сама эта область еще не выдели-
лась в отдельную дисциплину. Поэтому строгое и систематическое
построение начертательной геометрии, проделанное Монжем к
концу XVIII в., сыграло роль необходимой предпосылки для по-
строения проективной геометрии.
Сочинения Л. Карно «О корреляции фигур в геометрии»
(1801) и «Геометрия положения» (1803) вновь обратили внимание
ученых на полузабытую со времен Дезарга и Паскаля науку. До-
вершил (1822) теоретическое построение и оформление новой об-
ласти математики офицер наполеоновской армии Понселе, кото-
рый имел для этого достаточно свободного времени в русском пле-
ну в Саратове. Выделив класс проективных преобразований фигур,
Понселе уделил основное внимание соотношению между проек-
тивными и метрическими свойствами фигур.
Дальнейшее^развитие проективной геометрии проходило под
знаком поисков решения этой проблемы. В XIX в. соответственно
наметились даже два направления. Приверженцы одного из этих
направлений (в особенности Штаудт) стремились освободить
проективную геометрию от всякой метрики. Другие (например,
Мебиус) всячески развивали аналитические методы.
• Противоречие это сгладилось в результате устайовившихся
связей проективной геометрии с неевклидовой, с теорией функций
комплексного переменного, когда раскрылись возможности проек-
тивной геометрии и ее подлинное место в системе математических
наук. Общность проективных свойств была использована Кэли
и Клейном при рассмотрении различных геометрических систем
с единой точки зрения. Синтетико-геометрические устремления
Штаудта и др. послужили основой аксиоматического построения
проективной геометрии-в начале XX в.
Основания геометрии. К этой области геометрии относят
те исследования и результаты, в которых изучается обоснован-
ность выбора исходных понятий, дается анализ систем аксиом,
положенных в основу геометрических теорий, а также содержат-
ся конкретные преломления в последних ведущих математических
идей. При этом раскрываются как внутриматеМатические связи
геометрии, так и более широкие ее связи с другими науками.
Основания геометрии в XVIII в. — это по преимуществу осно-
вания евклидовой геометрии. Главным содержанием научных
исследований был критический анализ «Начал» Евклида. Тяжело-
весная система «Начал» не удовлетворяла многих математиков.
Поэтому среди большого числа сочинений выделялась группа, в
которой критиковалась система аксиом Евклида, в особенности
постулат о параллельных.
В плане научного пересмотра оснований евклидовой геомет-
рии нет необходимости упоминать о многочисленных дискуссиях,
280
занимающих большое место в сочинениях, посвященных этому
вопросу. Дело в том, что критика была пестрой, противоречивой,
в большом числе случаев недостаточно обоснованной. По спра-
ведливому замечанию Даламбера, нельзя указать такого автора
сочинения по основаниям геометрии, который не осуждал бы
своих предшественников и современников в
более или менее энергичных выражениях и
не превозносил свою систему.
Придирчивый анализ оснований евкли-
довых «Начал», и в особенности аксиомы
о параллельных и ее многочисленных «до-
казательств», привел математиков к убеж-
дению в неудовлетворительности всех из-
вестных «доказательств» этой аксиомы. Не-
которые из математиков, исходя из стрем-
ления доказать аксиому о параллельных
/7
Рис. 52
В
путем приведения к противоречию, получи-
ли ряд теорем неевклидовой геометрии. Так,
итальянский математик монах И. Саккери рассматривал пробле-
му параллельных таким образом: из концов отрезка АВ восставим
перпендикуляры АА{ й ВВ\ равной длины (рис. 52). Точки Л1 и
а затем середины С и Ci оснований прямоугольника соединим пря-
Л
мыми. Определим величину углов прямоугольника:-^ А = В = —
по построению. Перегнем черте^к по СС\:
СС^А-АВ', также и ^A1=^lB1.
Последующие предположения о величине этих равных углов
получают у Саккери название гипотез: острого, прямого и тупого
углов. Гипотеза тупого угла быстро привела его к противоречию.
По замыслу Саккери, таков же должен быть исход и гипотезы
острого угла, что дало бы доказательство аксиомы о параллель-
ных. Однако случилось непредвиденное. Гипотеза острого угла
при логическом ее развитии давала странные результаты, но к
противоречию не приводила. Выводы Саккери, как выяснилось
впоследствии, по существу совпадали с первыми теоремами гео-
метрии Лобачевского: сумма углов треугольника оказалась мень-
ше 2d, площадь треугольника не была в состояний неограниченно
увеличиваться при увеличении его сторон; появилась необходи-
мость в существовании некоторой абсолютной единицы длины
и т. п.
Примерно через тридцать лет Клюгель (1763) сделал обзор
важнейших попыток доказательства теоремы о параллельных
линиях и пришел к выводу, что Евклид правильно поместил это
предложение среди аксиом.
281
Одной из последних работ по основаниям геометрии в
XVIII в. является статья Ламберта, швейцарца по происхожде-
нию, берлинского академика. Около 1766 г. он написал «Теорию
параллельных линий», навеянную работами Саккери и Клюгеля.
Ламберт модифицировал четырехугольник Саккери; именно он по-
строил перпендикуляры AAiJLAB, BBtJ_AB, AiBi_LAAi и свел
задачу к определению' величины угла Вх. Гипотеза прямого угла
дала евклидову геометрию, гипотеза тупого угла привела к проти-
воречию. А вот гипотеза острого угла снова дала странные тео-
ремы, но ни к каким противоречиям не привела.
Основания геометрии во второй половине XVIII в. приобрели
помимо научного большое общественное значение. Вопрос о при-
годности «Начал» в качестве школьного учебника геометрии был
поставлен под сомнение и явился предметом широких дискуссий.
В Англии и частично в Германии эти дискуссии привели к преоб-
ладанию изданий, сохраняющих дух и структуру евклидовых
«Начал» и лишь более или менее упрощающих изложение. Во
Франции, наоборот, исходные установки создания школьного
курса и в конечном счете всей системы элементарной геометрии
определялись общими- воззрениями французских энциклопедистов,
в особенности Даламбера. В результате появился ряд учебников
для начальной и средней школы французских авторов: Даламбе-
ра, Безу, Лежандра, Лакруа. С большей или меньшей решитель-
ностью авторы этих учебников отрывали преподавание геометрии
от евклидовой схемы.
Влияние этих книг было велико. В них по существу был соз-
дан современный нам тип школьного учебника геометрии. Для
этого была проделана огромная работа. То, что кажется теперь
очевидным в построении основ школьного учебника геометрии,
было достигнуто к концу XVIII в. усилиями французских матема-
тиков.
Что же конкретно было сделано? Во-первых, в основы геомет-
рии были введены метрика и движение, которых столь тщательно
избегал Евклид. Во-вторых, была произведена широкая арифмети-
зация, в том числе арифметизация теории отношений и пропор-
ций, в результате чего отпала необходимость в пятой книге «На-
чал»,. Введение алгебраической символики и элементов алгебры
сняло необходимость во второй книге «Начал». Употребление
радикалов упразднило в курсе геометрии сложную, классифика--
цию иррациональностей, развитую в десятой книге «Начал». Так,
евклидовы «Начала» были переработаны в курс элементарной гео-
метрии, живое изложение которого сделало его доступным для
широких кругов учащейся молодежи и для решения практиче-
ских задач. Создание новых принципов преподавания геометрии
и углубленный анализ евклидовой системы аксиом по существу
создали предпосылки для перестройки всей системы геометриче-
ских наук. Эта перестройка произошла в XIX в. Начало ей было
положено введением геометрии Лобачевского.
282
6.6. СОЗДАНИЕ ПРЕДПОСЫЛОК СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ
И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Декарт, связавший в единой науке — аналитической геомет-
рии — методы алгебры и геометрии, считал, что он создал единую
науку, соединившую и как бы поглотившую обе эти дисциплины.
Однако использование алгебраического аппарата в аналитической
геометрии не повело к упразднению алгебры. Алгебра развива-
лась в дальнейшем своим оригинальным путем, имея собственную
научную проблематику. Этой проблематикой оказалась по пре-
имуществу теория алгебраических уравнений. Последняя включа-
ла в себя как формирование общей теории уравнений, так и
накопление способов численного и графического их решения. Науч-
ная разработка подобных проблем приводила одновременно и
к перестройке основ алгебры, связанной с расширением понятия
числа, и к усовершенствованию алгебраического буквенно-симво-
лического аппарата. Развитие этих двух сторон алгебры, по
существу определяющих ее содержание и предмет, достигло к
концу рассматриваемого здесь столетия такого состояния, что
сделался необходимым и возможным переход к качественно новым
проблемам этой науки, связанным с возникновением теории Галуа
и теории групп.
К алгебре примыкали, еще не будучи отчетливо отделены от
нее, вычислительные арифметические приемы, в том числе мето-
ды элементарной комбинаторики, а также теоретические пробле-
мы арифметики — теория чисел. В сознании ученых XVIII в. они
до известной степени объединялись в единую науку, для которой
даже существовало специальное название — универсальная, или
всеобщая, арифметика. Анализу развития частей этой науки по-
священа настоящая глава.
Самостоятельность путей развития алгебры определилась уже
к началу XVIII в., когда в 1707 г. вышла в свет «Всеобщая
арифметика» И. Ньютона. В ней алгебра излагалась в тес-
ной связи с развитием вычислительных методов как высшая ста-
дия арифметики; геометрические вопросы были отнесены в об-
ласть приложений. С самого начала Ньютон вводит операции как
над буквенно-символическими выражениями, так и над числами
(целыми и дробными). Введя читателя в технику тождественных
алгебраических преобразований, Ньютон затем знакомит его с ме-
тодами решения уравнений. На большом числе примеров, взятых
из геометрии, механики и других наук, он демонстрирует сведе-
ние задачи к составлению алгебраического уравнения, корень
которого является рещением задачи. Замыкают книгу данные об-
щей теории уравнений, а также графическое решение последних
с помощью геометрического построения корней.
«Всеобщая арифметика» является краткой записью лекций по
алгебре, которые Ньютон читал в Кембриджском университете в
1673—1683 гг. В ней нет доказательств. Она не представляет со-
283
брания всех алгебраических достижений Ньютона, ь других его
работах содержится немало открытий в области алгебры. Среди
них: обобщение формулы степени бинома на случай дробно-ра-
циональных показателей, сообщенное в одном письме Ньютона
Ольденбургу в 1676 г.; способ численного решения уравнений,
известный под его именем параллелограмм, т. е. способ разложе-
ния у, заданного уравнения Рп(х, у)=0 (где Рп — полином), в
ряд по дробным степеням х и др.
Алгебраическая тематика «Всеобщей арифметики» была в
центре внимания многих видных математиков XVIII в. Способы
численного решения уравнения (как точного, так и приближенно-
го) разрабатывали Галлей, Лагранж, Мурайль, Фурье и др.
Многочисленные попытки дать строгое доказательство формулы
бинома в ее наиболее общей форме прекратились лишь тогда,
когда Гаусс в работе о гипергеометрическом ряде (1811) решил
эту проблему. Параллелограмм Ньютона получил в работах
Стирлинга, де Гюа, Крамера и других многообразные приложе-
ния: к теории алгебраических кривых, аналитических функций
и др. I
Вслед за «Всеобщей арифметикой» Ньютона появился ряд мо-
нографий, содержащих систематическое построение алгебры.
«Трактат об алгебре» Маклорена (1748) явился еще по преиму-
ществу комментарием к книге Ньютона, в которой не было
приведено доказательств. В последующих же сочинениях, в осо-
бенности в знаменитой «Универсальной арифметике» Эйлера,
алгебра как самостоятельная наука выделена еще более отчет-
ливо.
Продиктованная слепнущим Эйлером около 1767 г., «Универ-
сальная арифметика» появилась в 1768—1769 гг. на русском язы-
ке. Помимо переизданий она была переведена на латинский,
английский, французский и голландский языки. Ее влияние на
определение научной проблематики алгебры и на структуру курса
алгебры в университетах было очень большим. Монографический
характер этой книги и цели,, которые ставил перед подобными
сочинениями их автор, позволяют по ее содержанию судить о со-
стоянии алгебры во второй половине XVIII в.
«Универсальная арифметика» состоит из двух частей. В трех
отделах первой части Эйлер уделил основное внимание обобще-
нию правил решения арифметических задач и развитию буквен-
но-символического аппарата алгебры. Так, в первом отделе
разъяснены операции над числами и одночленами, над радикала-
ми, комплексными числами. Здесь же введены логарифмы.
Второй отдел посвящен операциям над.многочленами. Кроме
того, даются правила извлечения корней из чисел и алгебраиче-
ских выражений (полиномов). Наконец, вводятся ряды как
1 См., например, Н. Г. Чеботарев. Многоугольник Ньютона и его роль
в развитии математики. В кн.: Н. Г. Чеботарев. Соор, соч., т. III. М.—Л.,
Изд-во АН СССР, 1950, стр. 47—80.
284
средство выражения дробно-рациональных функций и биномов с
дробными и отрицательными показателями степени.
Третий отдел по содержанию самый разнохарактерный. В нем
введены действительное число (посредством алгоритма попере-
менного вычитания), многоугольные числа, пропорции и прогрес-
сии (как арифметические, так и геометрические), периодические
десятичные дроби и задачи на проценты.
Методам решения алгебраических уравнений и их общей тео-
рии посвящей первый отдел второй части. Здесь собраны методы
решения алгебраических уравнений первых четырех степеней, а
также систем линейных уравнений. Кроме того, рассмотрены спо-
собы приближенного вычисления корней алгебраических уравне-
ний.
Последний отдел (второй отдел «Универсальной арифмети-
ки») включает в себя преимущественно методы нахождения цело-
численных решений неопределенных уравнений первой и более
высоких степеней. К ним присоединены решения других задач тео-
ретико-числового характера. Так, здесь рассмотрена великая тео-
рема Ферма и даны ее доказательства для м=3 и м=4. Введены
подстановки Эйлера, обращающие квадратный трехчлен в точный
квадрат:
Таким образом, предмет алгебры в XVIII в. определился. Она
превратилась в науку об алгебраических уравнениях. В нее также
входила разработка буквенно-символического аппарата, необходи-
мого для решения уравнений. Алгебра тесно взаимодействовала с
арифметикой, сохраняя в своем составе численные методы. С дру-
гой, стороны, имело место столь же тесное взаимопроникновение
методов и задач алгебры и теории чисел, преимущественно в об-
ласти, относящейся к диофантову анализу. Современная элемен-
тарная алгебра в значительной мере сохранила в своей структуре
эти особенности.
Сравнение «Всеобщей арифметики» Ньютона и «Универсаль-
ной арифметики» Эйлера позволяет нам отметить начало и (в зна-
чительной степени) итог формирования алгебры в XVIII в. Теперь
рассмотрим кратко эволюцию научного содержания этой обширной
и важной части математики и процесс создания предпосылок для
нового, современного этапа ее истории.
В основе алгебраических исследований лежит понятие о ко-
личестве, величине, числе. Общность и поле приложений буквенно-
алгебраических методов определяются общностью понятия числа.
В течение XVIII в. это понятие переживало период медленного
•развития. Оно постепенно обогащалось, серьезно отставая, одна-
ко, от вычислительной практики и от приложений математическо-
го анализа.
Понятие действительного числа включало в себя натуральные
числа, положительные дроби, иррациональности. Последние име-
ли дошедшее до нас от времени античности общее определение
через отношение с привлечением геометрических соображений:
285
число есть то, что относится к единице как один отрезок прямой
к другому, принятому за единицу. Однако общая концепция ир-
рационального числа завоевала себе права гражданства лишь во
второй половине XVIII в.
Большие споры еще кипели вокруг понятия отрицательного
числа. В разноречивом хоре суждений преобладали противопостав-
ления отрицательных чисел положительным. Находились даже
ученые (Мазер, 1758; Френд, 1796), не признававшие отрицатель-
ных чисел, равно как и мнимых. Правила действий с отрицатель-
ными числами не имели убедительного доказательства. Лишь в
следующем, XIX в. удалось представить отрицательные числа
включенными в единую числовую систему и дать этому представ-
лению строгое и общепризнанное доказательство.
Мнимые числа в алгебре появляются в виде корней уравне-.
ний. Их изучение, однако, продвинулось не в алгебраических трак-
татах, а под давлением настоятельных необходимостей математи-
ческого анализа. Именно в рамках анализа постепенно отыски-
вались и внедрялись правила формальных операций с мнимыми и
комплексными числами. В 40-х годах Даламбер и Эйлер доказали,
что всякое выражение, содержащее мнимые величины, приводится
к виду a+pi (где а и 0 — действительные). Очевидная полез-
ность комплексных чисел вызывала усиление внимания к вопро-
су об их сущности. Однако эта проблема оставалась нерешенной.
Первый, кто разработал (по-видимому, в интересах геодезической
и картографической практики) способ геометрической интерпре-
таций комплексных чисел точками на плоскости, был датчанин,
землемер К. Вессель (1797 г., опубликовано в 1799 г.). Однако
его работа осталась незамеченной, равно как и аналогичная ин-
терпретация Ж. Аргана (1806). Только когда в 20-х годах XIX в.
Гаусс и Коши ввели и обосновали операции над числами вида
a±₽t, ввели термин («комплексное число», нашли «модуль» (Ко-
ши, 1821), или «норму» (Гаусс, 1828), комплексного числа, опре-»
делили понятие сопряженности комплексных чисел, положение по-
следних в математике существенно упрочилось. Комплексные чис-
ла вошли в алгебру.
Кстати, упомянем еще об одной арифметико-алгебраической
трудности, преодоленной лишь к концу XVIII в. Речь идет о вве-
дении аппарата десятичных дробей. Еще в 1585 г. голландский ин-
женер и математик Стевин ввел их и показал их полезность. Но
в течение более двухсот последующих лет десятичные дроби упот-
реблялись лишь в астрономической вычислительной практике. По-
надобились усилия многих крупнейших математиков (Лагранж,
Лаплас, Монж и др.), разработавших в период 1790—1799 гг.еди-
ную десятичную метрическую систему (введена во Франции 24 ап-
реля 1799 г.), чтобы аппарат десятичных дробей приобрел повсе-
местную актуальность. В XIX столетии, по мере перехода на деся-
тичную систему новых государств, этот аппарат сделался частью
элементарно-математической подготовки учащихся.
286
Часть алгебры, относящаяся к решению уравнений, состав-
ляла главное ее содержание. Этой проблеме посвящено огромное
йоличество работ. В безбрежном море книг и статей — печатных
свидетельств колоссальных усилий математиков, направленных на
ее решение, — можно, впрочем, выделить некоторые направления.
Первое из них сложилось из попыток отыскания регулярного
элементарно-алгебраического алгоритма (вроде метода Тартальи—
Кардано для кубического уравнения и метода Феррари — для
уравнения четвертого порядка), пригодного для решения уравне-
ний степени выше четвертой. Авторами этих попыток руководила
лишь интуитивная уверенность в возможности отыскания такого
алгоритма, по крайней мере для действительных корней. Из боль-
шого числа работ этого направления рассмотрим лишь работы
Чирнгаузена и Эйлера,
Метод Чирнгаузена, опубликованный в 1683 г., состоял в еле-'
дующем. Пусть дано уравнение
хп + а1хп-1+ ... + ап_! х + а„ = 0.
Введем вспомогательное уравнение
у = 61х"-2 + Ь2хп~3 + ... + 6„_i
с не определенными пока коэффициентами. Если из обоих уравне-
ний удастся исключить х (а это возможно), то получим
z/n + c1«/n~1 + ... +сл = 0.
Коэффициенты cit с2,..., сп — функции коэффициентов &i, b2,..., Ьп
и 01, а2,...,ап. Теперь подберем bi, b2,...,bn так, чтобы Ci=c2~...
...=сп_1=0. Тогда у = ^/~—сп , и мы получим возможность за-
менить данное уравнение другим — степени п—2. Чирнгаузен су-
мел осуществить этот метод лишь для п=3 и опубликовал его без
дальнейших проверок. Позднее Эйлер проделал все выкладки--для
п=4. Для п:>5 это, разумеется, оказалось невозможным. По-
пытки подбора &ь Ь2, ..., Ьп приводили к уравнениям, степень ко-
торых была больше пяти.
Эйлер не раз пытался, используя приемы Тартальи, подоб-
рать для корней уравнений подходящие виды иррациональностей.
В случае x3=dx-|-6 соответствующее выражение известно. Это
х = у/а + у/р . Для уравнения х4=ах2+6х+с Эйлер получил
кубическую резольвенту подстановками
X = /а" + /Г + или х = 4-^/6 4- .
Однако экстраполировать этот прием, как надеялся Эйлер,
вообще на уравнения вида
хп - агх"-2 4- хп-3 4- ... 4- a«-i, « >4
287
подстановкой
и—1
*= 2Г“Г
k=\
не удалось. Около 1764 г. Эйлер обобщил эту подстановку
п—1 ’__
х = “о + 2 0* •
fe=l
Такую же форму подстановки одновременно открыл Э. Варинг.
Однако и эта весьма общая подстановка, позднее использованная
Абелем для доказательства невозможности решения в радикалах
общего уравнения пятой степени, не дала нужного результата.
Число попыток отыскания решения уравнений степени
элементарно-алгебраическими средствами было очень велико. По
существу это был единственный путь решения проблемы, доступ-
ный в то время математикам. Он был равнозначен становлению
позднейшей алгебраической теории резольвент. Кстати сказать, в
ходе этих попыток сформировался и термин «резольвента» из ла-
тинского aequatio resolvens, что означает разрешающее уравнение.
В современной математике этот термин употребляется в разных
смыслах. Мы имеем в виду алгебраический аспект: резольвента
алгебраического уравнения Рп(х)=0 суть тоже алгебраическое
уравнение g(x)=0, такое, что> а) его коэффициенты являются
рациональными функциями коэффициентов уравнения Рп(х)=0\
б) знание его корней позволяет найти корни уравнения Рп(х)=0
при решении уравнений степени, низшей чем п. По-видимому, пер-
вый, кто ввел термин «резольвента», был Эйлер (около 1732 г.).
Неудачи в поисках алгебраических алгоритмов, упомянутые
выше, видимо, были одной из причин появления большого числа
работ, посвященных приближенному нахождению корней уравне-
ний как графическими, так и численными методами. Графические
методы алгебраисты заимствовали из аналитической геометрии.
Выбор кривых для геометрического решения уравнений опреде-
лялся либо соображениями легкости их построения, либо наимень-
шей степенью соответствующих этим кривым алгебраических урав-
нений. Например, многие ученые (Лопиталь, Стирлинг, Бернулли,
Ньютон, Крамер и др.) пришли к мысли строить корни уравнения
аохп + а!*"-1 + ... + ап-\ х + ап = О
как точки пересечения кривой
у = а^хп + аг хп~{ + ... + ап-\ х
и прямой у — —ап. Более поздние построения опирались на графи-
ческое суммирование кривых
288
y = aoxn, y = a1xn~i, ... , у = ап_\х + ап,
для чего был даже придуман специальный прибор.
Среди числовых приближенных методов упомянем метод Нью-
тона, который он продемонстрировал на примере у3—2у—5=0.
Обозначим целочисленную часть корня, с которой начинает Нью-
тон, буквой е для общности. Положив у=е+р, подставив его в
уравнение и отбрасывая, в силу малости р, все его степени, кроме
первой, найдем приближение pi в первом десятичном знаке. Затем,
положив p=pi+q, повторяем всю операцию сначала и т. д. Так
получаются последовательные приближения корня: х=е, pi Pi...
Уточнение этого метода, принадлежащее Галлею, состоит в
том, что берется первое приближение е корня уравнения Рп(х)=0.
Затем величина e-f-p подставляется в уравнение, члены которого
располагаются по степеням р:
Рп(г + р) = Рп(г) + Ар + Вр*+ ... =0.
Затем р определяется из квадратного уравнения
Вр24-Лр + Р„(е) = 0.
Ньютон применил аналогичный метод к решению буквенных
уравнений с двумя неизвестными f(x, у)=0, или, что то же самое,
к приближенному вычислению значения неявных функций. Связан-
ное с этим разрешение уравнения относителвно одного из неизвест-
ных, т. е. представление f (x, у)=0 в виде y=fi(x), где fi(x) есть
степенной ряд, вообще бесконечный, Ньютон производил с по-
мощью специального приема, получившего название параллело-
грамма Ньютона. Разновидности этого метода известны под на-
званием прямоугольника, треугольника, многоугольника, диаграм-
мы, но неизменно связаны с именем его творца ’.
Численные методы требуют в качестве предварительных дан-
ных решения ряда общих вопросов: об определении числа поло-
жительных, отрицательных и мнимых корней, об отделении кор-
ней и об определении границ, между которыми находятся корни.
В XVII в. было рассмотрено большое число частных видов урав-
нений. М. Ролль в конце века установил, что между двумя корня-
ми уравнения f'(x)=O может находиться не более одного корня
уравнения /i(x)=0. Верхняя граница действительных корней урав-
нения
хп + a^x"-1 +...+ ап = 0,
по Роллю, равна |ал| + 1, где ал — наибольший по модулю отри-
цательный коэффициент уравнения.
Не вдаваясь в частности, отметим, что для указанного круга
проблем уже в XVII—XVIII вв. были в основном найдены те тео-
1 См. Н. Г. Чеботарев. Многоугольник Ньютона и его роль в разви-
тии математики. В кн.: Н. Г. Чеботарев. Собр. соч., т. III, стр. 47—80.
Ю К- А. Рыбников 289
ремы, которые сейчас составляют содержание соответствующих
глав курсов выСшей алгебры Поэтому мы укажем лишь на ред-
ко употребляющийся метод, принадлежащий Лагранжу.
Пусть известно первое приближение р корня х уравнения, та-
кое, что р<х<р+1. Подставим в уравнение х = р-\- — . Новое
У '
уравнение имеет действительный корень z/>l, так как
1 > — >0, г (у) = q,
т. е.
y = q +—.
Z
Повторяя этот прием, получим
, 1
х = р Н-----------.
Если цепная дробь обрывается, то корень рационален. Если же
он иррационален, то цепные дроби позволяют оценить, с какой
погрешностью осуществлено любое последовательное приближе-
ние.
Практически приемы решения алгебраических уравнений, на-
капливаясь, открывали перспективы для развития теоретической
части алгебры. Будущее этой науки постепенно раскрывалось в
разнообразных теоретических исследованиях, группирующихся
вокруг двух проблем-: разрешимости алгебраических уравнений в
радикалах и доказательства основной теоремы алгебры.
Мы .уже указывали, что Жирар (1629) и Декарт (1637) впер-
вые установили, что алгебраическое уравнение может иметь столь-
ко корней, сколько единиц имеет его наивысшая степень. В XVIII в.
постановка этой проблемы трансформировалась. Теперь уже тре-
бовалось доказать, что всякое алгебраическое уравнение степени
п имеет именно п корней (действительных и комплексных). В ка-
честве эквивалентного утверждения предлагалось доказать разло-
жимость левой части уравнения в произведение линейных и квад-
ратных множителей с действительными коэффициентами. Над ре-
шением этой и других связанных с ней проблем трудились Далам-
бер, Эйлер, Лагранж, Гаусс и многие другие математики.
Первое доказательство было дано Даламбером (1746). Оно
состояло в установлении факта, что
min | Рп (х) | = 0.
Однако соображения Даламбера были нестрогими, содержали в
явной форме апелляцию к средствам математического анализа и
не облегчали затруднений алгебраистов.
1 См., например, М. Шапиро. Высшая алгебра. М., Учпедгиз, 1938.
290
Полученное почти одновременно доказательство Эйлера
(опубликованное в 1751 г.) опиралось на рассмотрение графиков
кривых
У = РпМ
соответственно при четном и нечетном п. Оказывалось при этом,
что уравнение Рп(х)=0 при п нечетном имеет один вещественный
корень или нечетное их число, при п четном существует четное
число вещественных корней или же их вовсе нет; если свободный
член уравнения четной степени отрицателен, то уравнение имеет
во всяком случае два вещественных корня разных знаков. Труд-
ность была тем самым сведена к доказательству теоремы для
уравнений четной степени: п=2т. Так как 2n~* 1<2m<2n, то, до-
множая уравнение 2П—2т линейными множителями вида х—а,
видим, что доказательство достаточно проводить для уравнений,
степени которых имеют вид 2п. Относительно уравнений послед-
него типа Эйлер высказал важную теорему: левая часть алгеб-
раического уравнения степени 2п (п>1, целое) разлагается на
два множителя степени 2П~1, и наметил пути ее доказательства L
При этом он нашел два важных свойства алгебраических урав-
нений: а) рациональная функция корней уравнения, которая при-
нимает при всех возможных подстановках корней k различных
значений, удовлетворяет алгебраическому уравнению степени k,
коэффициенты которого суть рациональные функции коэффициен-
тов данного уравнения; б) рациональная функция корней уравне-
ния, инвариантная относительно перестановок корней, есть рацио-
нальная функция коэффициентов исходного уравнения.
Уточняя доказательство Эйлера, Лагранж ввел и разработал
теорию подобных функций, т. е. функций, инвариантных при под-
становках одной и той же группы и только при них. У Лагранжа
речь идет о подобии симметрических функций корней уравнения
в случае, если все 2k значений, которые они способны принимать,
при всех перестановках корней, различаются между собой. Отно-
сительно подобных функций Лагранж доказал, что они рациональ-
но выражаются друг через друга и через коэффициенты данного
уравнения.
Смысл доказательств Эйлера и Лагранжа с современной точ-
ки зрения таков. Пусть дано уравнение Рп(х)=0. Его коэффици-
енты — элементы поля D действительных чисел. К—* поле Галуа
данного уравнения. Степень К над D:n=2r-k (k— нечетное). По
теореме Силова, существует подгруппа Н порядка 2Г группы Га-
луа G этого уравнения. Образуем q — поле элементов, инвариант-
ных относительно подстановок иа Н:
D(Zq<ZK.
1 См. И. Г. Башмакова. О доказательстве основной теоремы алгебры.
В сб.: «Историко-математические исследования», вып. X, М., Гостехиздат, 1957,
стр. 257—304.
10*
291
Степень К над q есть 2?, степень q над D — нечетное k. Поле q
образуется присоединением к D корня v неприводимого над D
многочлена Р\(х) степени k. Но k нечетно; следовательно1, q — D2.
Рассмотрим /С над D. Его степень 2Г. Если /C=D(r]), тот] —
корень уравнения Рг(^)=0 степени 2Г с действительными коэф-
фициентами, как в уравнениях, рассматривавшихся Эйлером.
Известно, что группы порядка рг, где р — простые, г — нату-
ральные, разрешимы; их нормальные делители имеют простые по-
рядки р. Здесь же р=2. Значит,
где каждое из промежуточных нормальных полей квадратичное
по отношению к предыдущему. Соответствующие квадратные урав-
нения, которые нужно решать над предыдущим полем, чтобы по-
лучить последующее, имеют либо действительные, либо комплекс-
ные корни. Пусть Ki — первое поле, совпадающее с полем комп-
лексных чисел; последующие поля будут тоже совпадать с этим
же полем. В противном случае все поля совпадут с D.
Обратно, если исходить из К=КГ, то для отыскания корня
уравнения Р$(х)=0 степени 2Г надо решить над D одно уравнение
степени 2Г“!. Его корни породят поле Кг-ъ а над ним — одно
квадратное уравнение. Возможно повторение этого рассуждения
для степени на единицу ниже и т. д.
Элементы этих идей новой алгебры явственно угадываются
в доказательствах Эйлера и Лагранжа.
Другая группа элементов теории Галуа была накоплена в ря-
де исследований проблемы приводимости уравнений. Ньютон пер-
вый вышел за пределы вопроса о приводимости уравнений над по-
лем рациональных чисел. Он предложил алгоритм для решения
вопроса о том, может ли уравнение «быть приведено при помощи
какого-либо иррационального делителя, или, что то же самое...
нельзя ли так разделить уравнение на две равных части, чтобы
из каждой вы могли извлечь корень»2.
Помимо постановки вопроса о возможности приведения урав-
нения над различными областями это рассуждение содержит не-
которую идею теории Галуа. В самом деле, Ньютон ставит по су-
ществу вопрос о присоединении к полю рациональных чисел ирра-
циональностей вида Vk и приводимости уравнения над этим рас-
ширенным полем. Иначе говоря, речь идет об отыскании квадра-
тичных подполей поля разложения полинома.
Алгоритмы Ньютона, а вслед за ним и Варинга для решения
вопроса о том, распадается ли заданное уравнение на множители,
если область рациональных чисел расширить присоединением
1 Так как единственными неприводимыми уравнениями нечетной степени
над полем действительных чисел являются линейные уравнения.
2 И. Ньютон. Всеобщая арифметика. М., Изд-во АН СССР, 1948,
стр. 270.
292
квадратичной, биквадратичной или кубической иррациональности,
просты, но громоздки. Ньютон и Варинг представляли всякий раз
полином в виде произведения множителей с неопределенными ко-
эффициентами, зависящими от иррациональностей исследуемого
вида. Затем следовали попытки такого подбора неопределенных
коэффициентов, чтобы искомое разложение осуществилось.
Громоздкие методы не открывали перспектив и приводили к
ошибкам. Тем не менее они были полезны. В них фактически рас-
сматривались поля алгебраических чисел, определялся общий вид
элементов этих полей.
Накопление предпосылок нового этапа развития алгебры в
XVIII в. достигает кульминации в исследованиях Лагранжа, на-
шедших отражение в его «Размышлениях об алгебраическом реше-
нии уравнений» (1771—1772). В этом сочинении Лагранж крити-
чески пересмотрел все накопившиеся к тому времени методы и по-
пытки решения алгебраических уравнений. К открытым уже ре-
зольвентам он добавил еще одну, весьма общего характера.
Он рассмотрел алгебраическое уравнение
хп + + Ь2хп~2 - ... = О
и, в соответствии с методом Чирнгаузена, вспомогательное урав-
нение
у = — (xn-1 + fxn~2 4- gxn~3 -- ... + k)
с неопределенными коэффициентами Д g, ..., k. Лагранж исключил
х из обоих уравнений:
уп 4- Ауп~1 + Вуп~2 + • • • + Ру + т = О
и подобрал коэффициенты f, g, ... так, чтобы
А = В = ... = Р = 0.
Тогда решение заданного уравнения свелось к решению системы
уравнений: уп=—Т и п—1 уравнения, в которых находятся неоп-
ределенные коэффициенты f, g, .... Корни первого из уравнений:
ух ~ |/ — Т, //ха, f/i»2, .. • г У1^п \
где а, а2, ..., ап~! -- преобразованные корни единиц (корни урав-
нения уп—1=0). Подставив эти значения в выражение для х:
х — + а1У + 4~ •• • 4~ 1 Уп 1»
он получил систему п уравнений:
xi — ао + а1У1 + а2 У? + • • • + !/1 >
х2 = а0 + а + а^2 а2 + ... + art-i l/i~l а"-1;
293
ХП = а0 + а1У1а"-1 + агУ\ а"-2 + • • • + Оп-1 У\ ‘а.
Вследствие того что
1 т а! а2 + ... = 0;
1 — а2 4- а4 + ... =0;
он получил
иа0 = -4 х2 — х3 -г- ...
па^ = xi -4- осп“1 + а2^""0 хз г •. .
па2у! = хх 4- а"-2 х2 4- а2<п-2> х3 -j- ...
п
Затем Лагранж упростил систему с учетом у* = —т, откуда
l=i
ап =-----— . Положив
п
ГГ1 П -I Cl С
Т = У\ = 1, dn— 1 — ---, ^п—2 — , • • •
п п
он получил
t = хг + ах2 + a2,v3 + ...
линейную функцию корней уравнения, названную позднее резоль-
вентой Лагранжа.
Функция Q = tn при всех перестановках
Mi, х^ • • • , хп \
х^ ••• , xtJ
корней уравнения Рп(х)=0 принимает k^n\ значений. Коэффи-
циенты уравнения
/г
0^ + fel0/e-l + bk = J i (0-0z) = 0
i=l
суть симметрические функции от 0г (i=l, 2, ..., k). Послед-
ние в свою очередь являются симметрическими функциями кор-
ней Xi (i=l, 2, ..., п). Следовательно корни Xi (i=l, 2, ..., п) мож-
но определить через k^n\ корней 0&.
Однако все известные для уравнений степени п^.4 способы
отыскания резольвент приводят при 4^5 к резольвенте степени
&>п. Это заставило Лагранжа сомневаться в том, что рассмот-
ренные им методы могли решать уравнения степени п^5. Однако
он считал,-что рассмотренные им группы подстановок корней
294
уравнений являются «дорогой к решению», так как он обнаружил
на этом пути решения для класса так называемых циклических
уравнений, т. е. уравнений с циклической группой подстановок.
Лагранж достиг весьма большой общности. Он рассмат-
ривал уравнения с произвольными буквенными коэффициентами.
Относительно их он исследовал поля рациональных функций кор-
ней. Он ввел группу подстановок корней уравнения (симметричес-
кую группу) и изучил соответствие между ее подгруппами и под-
полями рациональных функций, инвариантных относительно под-
становок этих подгрупп. Наконец, Лагранж доказал и первые тео-
ремы теории групп, например, что порядок подгруппы есть дели-
тель порядка группы.
Вслед за Лагранжем подстановки корней уравнений изучал
Руффини. Он предложил в 1799 г. доказательство неразрешимости
в радикалах уравнения степени п^5. Однако это доказательство
не было общим, так как Руффини* принял без доказательства-, что
корни резольвент рационально выражаются через корни исходного
уравнения. В последующих работах, появившихся в 1801, 1802,
1806 и 1813 гг., он пытался доказать это предложение, но полного
обоснования так и не смог добиться. Однако он провел си-
стематическое исследование конечных перестановок и доказал ряд
важных теорем. При этом он впервые ввел термин '«группа».
В 1814 г. Руффини открыл и сформулировал правило приближен-
ного вычисления корней уравнений, переоткрытое в 1819 г. Гор-
нером.
Алгебра, таким образом, развивалась в течение XVIII в. как
наука о решении алгебраических уравнений. В ней получили из-
вестное завершение проблемы, связанные с элементарно-матема-
тическими средствами решения уравнений. Были разработаны ос-
новные предпосылки для создания теории Галуа и теории групп.
Алгебра на рубеже XIX в. находилась накануне коренной пере-
стройки, сделавшей ее соединением ряда алгебраических наук,
предметом изучения которых стали объекты более сложной и аб-
страктной природы: группы, поля, кольца и т. д.
Развитие алгебры в этот период демонстрирует еще раз об-
щую закономерность развития математики: новые области мате-
матики рождаются в недрах старых, их основные понятия и ме-
тоды оперирования проходят период «эмбрионального» развития.
Затем происходит возникновение новой математической дисцип-
лины. Характерной особенностью процесса возникновения являет-
ся переворот в методе. Выделение сопровождается возникновени-
ем нового символического аппарата, играющего двоякую роль:
отражения реальных математических процессов и оперативную.
Новыми областями в данном случае являются теория Галуа и
теория групп.
В настоящей книге мы неоднократно отмечали отдельные
факты истории теории чисел. Эта область математики, в которой
изучаются свойства целых, рациональных и алгебраических
295
чисел, а также свойства любых других чисел, вытекающие
из приближений их рациональными числами, выросла из арифме-
тики. В XVIII в. она еще тесно была связана с алгеброй. Однако
своеобразие проблематики и методов теории чисел уже осознава-
лось достаточно определенно. Накопившийся запас теоретико-чис-
ловых фактов также способствовал выделению теории чисел в
особую область математики. Ниже мы дадим очерк основных мо-
ментов истории теории чисел.
Еще в Древней Греции, как мы упоминали, были выделены по
принципу общности свойств различные подмножества целых чи-
сел: простые, квадратные, совершенные, полигональные, состав-
ляющие пифагорейские тройки и др. Там же была разработана
стройная теория делимости, доказана бесконечность числа про-
стых чисел в натуральном ряде, изобретен алгоритм Евклида. Со-
чинения Диофанта представили много примеров раннего и высо-
кого развития неопределенного анализа. История математики в
Китае и Индии свидетельствует о раннем появлении ряда теорем
теории сравнений и других фактов теории чисел.
Однако развитие теории чисел происходило весьма медленно.
Между новыми открытиями проходили десятилетия, а иногда и ве-
ка. Теоретико-числовые результаты достигались в большинстве
выдающимися учеными и оставались изолированными. Возмож-
ными причинами этого были: специфичность предмета теории чи-
сел, возрастающая абстрактность в постановке задач этой теории,,
необычайная трудность их решения, требующая высокого разви-
тия математики и незаурядных личных качеств ученого. В силу
этих причин существенное обогащение теории чисел л ее формиро-
вание и обособление имели место лишь в XVII—XVIII вв. В этот
период ее проблемами занимались несколько крупных ученых:
Ферма, Декарт, Б. Паскаль, Валлис, Лейбниц, Эйлер и др.
В течение XVII в. наибольших результатов добился П. Фер-
ма. В его переписке и на полях принадлежавшей ему книги сочи-
нений Диофанта содержится большое число теоретико-числовых
результатов. В частности, Ферма записал там свою знаменитую*
«великую» теорему: уравнение xn+yn=zn для целых показателей
при п>2 неразрешимо в целых числах. Приписка Ферма гласила»,
что он владеет поистине чудесным доказательством, но на полях
недостаточно места, чтобы его записать. Однако общее доказа-
тельство этой теоремы не найдено до настоящего времени, хотя ек>
занимались многие величайшие математики и бесчисленное множе-
ство любителей. Теорема приобрела популярность в начале XX в.„
когда за решение этой задачи некий Вольфскель установил пре-
мию в 100 тысяч марок (премия была отменена в конце первой
мировой войны).
Своей постановкой великая теорема, по-видимому, была обя-
зана стремлению Ферма обобщить теорему о составлении пифа-
горейских троек целых чисел. Тот же источник, древнегреческую
математику, можно с большой уверенностью назвать и для малой
296
теоремы Ферма. В связи с этим он исследовал делимость чисел и
проблему нахождения всех делителей заданного числа. К этому
же кругу вопросов относятся работы Ферма о совершенных и дру-
гих числах специальной структуры.
Большое место в исследованиях Ферма, разумеется, .занял
неопределенный анализ Диофанта, т. е. целочисленные решения
неопределенных уравнений и их систем. Особое внимание он уде-
лил уравнениям вида ах2+1=у2, где а не есть точный квадрат.
Относительно этого уравнения (за которым впоследствии из-за
случайной обмолвки Эйлера утвердилось название уравнения Пел-
ля) Ферма умел: а) находить его наименьшее решение; б) полу-
чать, зная наименьшие, все остальные решения.
К XVIII в. в математике накопилось много теоретико-
числовых фактов, порой весьма важных и сослуживших в даль-
нейшем полезную службу при появлении новых областей матема-
тики. Однако эти факты не были систематизированы, связи между
ними не раскрыты, возможности применяемых методов не изуче-
ны. К тому же после работ Ферма, Паскаля и др. в теории чисел
наступило полувековое затишье, вплоть до того времени, когда
теорией чисел занялся Эйлер. С его именем связано становление
теории чисел как науки. Проблемы этой области математики нахо-
дились в поле зрения Эйлера в течение всей его жизни. Им он
посвятил, как подсчитано, огромное число работ: около 150.
По-видимому, первым стимулом к занятиям Эйлера теорией
чисел была переписка с Гольдбахом. Последний в письме от 1 де-
кабря 1729 г. спрашивал: «Известно ли тебе замечание Ферма о
том, что все числа вида 22*“1+1, именно 3, 5, 17 и т. д.» суть
простые, причем сам он, по его признанию, не смог этого дока-
зать, и, насколько я знаю, после него никто не доказал» *.
Вскоре (1732—1733) Эйлер доказал, что теорема Ферма не-
верна уже для х=6, ибо число 22‘+1=4 294 967 297 делится на
641. Кроме того, он доказал ряд теорем, относящихся к пробле-
ме делимости, в том числе малую теорему Ферма.
Нахождение доказательств, обобщений или опровержений
теорем Ферма было только первым этапом теоретико-числовых ис-
следований Эйлера. В последующем он охватил и развил все ос-
новные разделы теории чисел, как алгебраической, так и анали-
тической, определив ее состав и методы на много лет вперед.
Работы Эйлера определили проблематику, структуру и мето-
ды алгебраической теории чисел, т. е. той ее части, в которой ис-
пользуются по преимуществу методы арифметики и алгебры и не
привлекается по возможности аппарат теории функций и анализа
бесконечно малых.
Здесь ему прежде всего принадлежат работы по теории дели-
мости, выросшей к нашему времени в теорию сравнений. Помимо
доказательства малой теоремы Ферма Эйлер ввел функцию <р(/п),
1 Correspondance mathematique et physique de quelques celebres geometres
du XVIII siecle, t. 1. St. Pet., 1843, S. 10.
297
значение которой равно числу чисел, меньших т и взаимно-про-
стых с ним. Относительно этой функции он доказал, что если а и
Ь взаимно-просты, то q(ab) =q(a)q(b) и что ср(ра)=ра—
если р — простое и а — целое. Затем он нашел выражение ср(т)
для произвольного т, если известно представление т в виде про-
изведения простых чисел, и доказал, что —1 делится на т,
если а и т взаимно просты.
Эйлер ввел понятие первообразного корня по модулю т\ чис-
ло g называется первообразным корнем по модулю т, если
gk—1 делится на т тогда и только тогда, когда k кратно ф(т).
Им введено также понятие индекса- числа N по модулю т при ос-
новании £, т. е. показателя степени k числа g, такого, что разность
gh—N делится на т. Он нашел ряд свойств индексов, доказал су-
ществование первообразного корня по любому простому р и тео-
рему Вильсона: (т—1)!-|-1 делится на /п, если т — простое число.
Эйлер ввел понятие степенных вычетов и создал их теорию.
Число а он назвал вычетом степени п по модулю р, если сущест-
вует такое целое число х, что хп—а делится на р. Он показал,
что свойства степенных вычетов важны не только для решения
двучленных сравнений
хп — a = 0(modp),
но и для других задач, например для задачи представления чисел
квадратичными формами. Занимаясь свойствами квадратичных
вычетов, он открыл (1722) знаменитый и теперь закон взаимности:
даны два простых числа р и q\ если хотя бы одно из них имеет
вид 4п+1, то сравнения
х2 = р (mod 9),
х2 = q (mod р)
являются одновременно разрешимыми. Если же и р и q имеют
вид 4п+3, то из разрешимости одного из уравнений следует не-
разрешимость другого.
После Эйлера квадратичный закон взаимности доказал Ле-
жандр (однако его доказательство было неполным). Гаусс до
1801 г. дал восемь доказательств этого закона. Наконец, Лежандр
к 1808 г. .нашел удобную форму записи квадратичного закона
взаимности:
р—1 <7—1
введя символ
/ р X Г если Р есть квадратичный вычет по mod q,
\ q / I— 1, если р есть квадратичный невычет по mod q:
Не менее велики заслуги Эйлера в разработке проблем дио-
фантова анализа (решения неопределенных уравнений в целых и
298
рациональных числах), для нужд которого он разработал и стро-
го обосновал теорию непрерывных дробей. Здесь прежде всего
заслуживает упоминания доказательство великой теоремы Ферма
для /71=3 и п=4. Для этого Эйлер использовал и развил метод
спуска, изобретенный Ферма. Этот метод состоит в следующем.
Пусть существует нетривиальное решение (хо, f/o, £о) уравнения
Ферма, удовлетворяющее условию xo#oZo=#O. Тогда оказывается
возможным найти другое нетривиальное решение (хь yi, Zi), эле-
менты которого также натуральны и соответственно меньше по ве-
личине, чем (х0, уо, z0). Продолжая, мы придем к неограниченной
последовательности убывающих троек натуральных чисел, т. е. к
противоречию. Эйлер доказал множество теорем, примыкающих к
указанной теореме Ферма, более подробное рассмотрение и пере-
числение которых представляло бы интерес лишь для специалис-
тов.
Из других задач диофантова анализа Эйлер уделил большое
внимание задаче отыскания целочисленных решений уравнения
второго порядка с двумя неизвестным^ и с целыми коэффициен-
тами
ах2 + Ьху + су2 + dx + еу + f = 0.
Вопрос о получении бесконечного числа решений, если известно
одно решение (х0, r/о), Эйлер свел к решению уравнения Пелля
х2 — Dy2 = l
(D — натуральное, не квадратное число).
В широкую и разветвленную алгебраическую теорию чисел,
создаваемую Эйлером, входят работы о представлении чисел
квадратичными формами ах2-]-Ьу2. Еще Валлис (1685) утверждал,
что всякое число можно разложить на множители единственным
образом. Ему принадлежит теорема, что число простых делителей
числа tn = pK-qv-rv (р, q, г, ...—простые) равно (Х+1) (ц+1) (v+
Н-1)..., а их сумма равна
/Л+1 — 1 ~ 1 rv+1 — 1
р— 1 ’ q— 1 ’ г— 1
Для нахождения простых делителей больших чисел Эйлер постро-
ил метод, основанный на представлении этих делителей в виде
квадратичных форм. Последние должны обладать тем свойством,
что простые числа представляются, если возможно, единственным
образом, а сложные — неединственным или не представляются
вообще. Оказалось, что подобное свойство зависит от произведе-
ния n=ab. Те числа п, которые порождают подобные формы, Эй-
лер назвал удобными и нашел критерий удобности числа: число п
является удобным, если для каждого целого х<1/3/1, взаимно-
простого с п, сумма п-\-х2 будет или простое, или удвоенное про-
стое, или квадрат простого, или степень числа два. Удобных чисел
299
Эйлер нашел 65, наибольшее из них — 1848. Предположение Эй-
лера, что 1848 — последнее удобное число, до сих пор не доказано.
В трудах Эйлера содержались все предпосылки для создания
системы алгебраических методов теории чисел. Они послужили
источником для позднейших исследований. Например, исследова-
ния Эйлера о представлении чисел значениями квадратичных форм
и о виде простых делителей легли в основу созданной Гауссом об-
щей теории квадратичных форм. Попытка Куммера (1847) про-
должить работу Эйлера по решению великой теоремы Ферма, по-
мимо доказательства ее для п^ЮО, привела к открытию отсут-
ствия единственности разложения на простые множители в ал-
гебраических полях и к созданию теории идеалов. Работы по тео-
рии сравнений и открытие квадратичного закона взаимности по-
влекли обобщения Э. Куммера, Д. Гильберта и др., завершенные
наиболее общей формой этого закона, найденной и доказанной
И. Р. Шафаревичем.
Особо важным этапом развития теории чисел являлось при-
менение к решению ее задач методов математического анализа.
Эта часть теории чисел — аналитическая — берет свое начало
также в XVIII в. в трудах Эйлера. Последний разработал анали-
тические методы для решения проблемы распределения простых
чисел в ряду натуральных чисел, а также для ряда аддитивных
проблем. Эти методы раскрывают связи между свойствами целых
чисел и свойствами аналитических функций.
Первая из указанных проблем получила для своего решения
методы, основанные на применении так называемой дзета-функ-
ции, введенной Эйлером,
гы-ЁЛ-
ns
n|=l
и тождества Эйлера
£-^-=П—4—
п=1 Р 1 — ~
ps
(п — натуральные, р — простые).
Рассматривая значения обеих частей этого тождества при
и сколь угодно близких к единице, Эйлер смог дать аналити-
ческое доказательство известного со времен Евклида факта беско-
нечности числа простых чисел, в натуральном ряду. Кроме того, он
высказал утверждение (не дав ему строгого доказательства):
п Сх
Настойчивые поиски аналитически выраженного закона рас-
пределения простых чисел, как известно, не привели к успеху до
300
сих пор. Некоторые подходы к решению, впервые после Евклида,
появились у Эйлера, высказавшего предположение, что неограни-
ченная арифметическая прогрессия, а0 и d которой — простые,* со-
держит неограниченно много простых чисел. Лежандр, разделяв-
ший с Эйлером эту уверенность, тоже не дал доказательства. До-
казать гипотезу Эйлера удалось только в 1837 г. Дирихле.
Лишь в 1798 г. Лежандр отыскал эмпирическую формулу для
функции л(х), значения которой равны числу простых чисел
р^х:
In х — 1,08366 ’
Позднее Чебышев (1848) установил, что л(х) при возрастании х
колеблется около отрезков ряда, асимптотически приближающего
Li(x) = C-^,
J 1ПХ
2
и дал близкие оценки амплитуды этих колебаний.
Для комплексной плоскости Риман заметил, что порядок раз-
ности л(х)—Li(x) зависит от расположения так называемых не-
тривиальных нулей функции £(s), действительные части которых
лежат между нулем и единицей. Он высказал также гипотезу, что
все действительные части при этом лежат на прямой х = —.,
Строгое доказательство для оценки значения л(х) в предельном
случае
lim_2LW_=l
х-нх> iLi (х)
появилось лишь в 1896 г. Относительно же гипотезы Римана ав-.
торы настоящего доказательства Адамар и Валле-Пуссен смогли
найти только, что на прямой
х=1, s — x-j-iy
нет нулей £(s).
Весьма значительным является вклад математиков XVIII в;
(по преимуществу Эйлера) в аддитивную теорию чисел, где изуча-
ются разложения больших целых чисел N на слагаемые
N = ац, + ац, + ... -+ asts
взятые из. некоторых числовых последовательностей {а&}.
Задачи аддитивной теории чисел (или, как ее тогда называли,
partitio numerorum) ведут свое происхождение, по-видимому, от
задачи Фибоначчи о гирях: как подобрать числа (веса гирь),
П1, й2, аз, ..., чтобы всякое число могло быть представлено как их
301
сумма. Лейбниц (1674) в связи с этой задачей отметил, что число
3 допускает три разбиения, 4 — пять разбиений, 5 — семь, 6 —
одиннадцать, а 7 — пятнадцать разбиений.
Эйлер занимался проблемами partitio numerorum с 1741 г. Он
исходил из двух бесконечных произведений
П(1+айг) и П(1— akz)~\
1 1
Разложим вслед за Эйлером эти произведения в ряд по степени г.
Коэффициент при zn первого степенного ряда есть сумма всех
произведений по п в каждом'из чисел ah без повторений. Во вто-
ром ряду будут те же суммы, но с произвольными повторения-
ми ak.
Для решения задачи о числе представлений целого числа У
суммами k натуральных чисел, одинаковых или различных, Эйлер
рассматривал два произведения:
fl (*) = П (1 4- xkz) = 2 А (х) г*;
1 о
К W = п о + xkz)~l = (х) zk,
1 о
где
a w = 2 xk' Вп = 2bnk xk'
fe=l fe=l
Здесь antk — число представлений числа k в виде суммы п раз-
личных положительных слагаемых, а ЬПук — число представлений
k в виде суммы п произвольных положительных слагаемых без
учета порядка сложения.
Далее Эйлер находил функциональные уравнения для fi(z) и
f2(^) и с их помощью определял функции Лп(х) и Вп(х):
n(n-{-v)
л / \ X 2 о / \ хП
Ап М —--------------------*, Вп (х) —----------------.
п 7 (1— х) ... (1— х") 7 (1—х) ... (1—х")
Разлагая в степенной ряд функцию
________1_______
(1-х) ... (1-х«)
Эйлер свел свою задачу к задаче отыскания числа решений урав-
нения
= ^Cn,kxk.
fe|=0
302
X fl
N = ^kxk
k=\
в целых неотрицательных числах Xi, хп, которое равно Cn,N. Он
построил для этого таблицу чисел Сп, N.
Далее, переходя к определению чисел Сп из
или, что то же, к определению числа решений уравнения
п
в целых неотрицательных Xi, ..., хп, он эмпирически нашел, что
оо оо Зп2—п Зп24-п
Па—о = 2 + ^(—2 +х 2 у
1 1
Опираясь на соотношения между произведениями и степенными
рядами, Эйлер доказал много предложений о числе разнообраз-
ных представлений целых чисел. Отметим здесь два из них:
во-первых, тождество для суммы делителей числа п (f —
знак суммы)
J(rt) = J(rt — 1) + J(n —2) —J(ra —5) —J(n —7) +
во-вторых, теорему, что всякое целое число может быть един-
ственным образом представлено суммой степеней числа 2, что вы-
текает из
П оо
Па ч-*2*) = £-*"•
0 0
Метод Эйлера по существу явился методом производящих
функций. После примерно столетнего перерыва, с конца XIX в., этот
метод стали широко применять-как в теории чисел, так и в других
математических дисциплинах: комбинаторном анализе, теории ве-
роятностей и др. В теории чисел он был существенно усовершенст-
вован И. М. Виноградовым, а также Г. Харди и Дж. Литлвудом.
К аддитивным задачам теории чисел, поставленным в XVIII в.,
относится и задача Варинга (1770): всякое натуральное число ^2
303
представимо суммой n-ных степеней натуральных чисел, причем
число членов г суммы зависит только от ,п. Варинг не дал ее до-
казательства. Как и в большинстве задач теории чисел, успех и в
этом случае достигался трудно. Так, «Лагранж доказал, что для
п=2, г—4. Затем было установлено, что для п=3, г^7, что г>п.
Лишь в 1909 г. Гильберт дал первое общее доказательство. Он ус-
тановил, что г конечно для всех п, но не смог дать для г доста-
точно хорошую оценку. В 1919 г. Харди и Литлвуд нашли, что
г<^п-2п-1, а позднее,-что г^.\(п—2)2п-14-5. В 1934 г. И. М. Ви-
ноградов при помощи созданного им нового метода тригонометри-
ческих сумм существенно продвинул задачу Варинга, дав почти
исчерпывающую оценку г<^Зп(1пп-Н 1) для больших п. Этим же
методом он доказал одну из проблем Гольдбаха, что всякое до-
статочно большое нечетное число является суммой трех простых
чисел. Две другие проблемы Гольдбаха: всякое'четное число есть
сумма двух простых и всякое нечетное число есть сумма простого
и двух квадратов — остаются нерешенными до настоящего вре-
мени.
В завершение нашего обзора аналитических методов теории
чисел XVIII в. мы упомянем исследования об арифметической при-
роде чисел. В части-, относящейся к числам лив, применение ап-
парата цепных дробей, разработанного главным образом Эйлером,
позволило Ламберту в 1767 г. доказать иррациональность числа
я1, а также ет для т —рационального. Трансцендентность этих
чисел была установлена лишь в конце XIX в.: доказательство
трансцендентности числа е дано в 1873 г. Ш. Эрмитом, а числа
л — в 1882 г. Ф. Линдеманом. К работам Эйлера относится поста-
новка проблемы об арифметической природе чисел типа а =Ь.
Эйлер во «Введении в анализ бесконечно малых» (1748; § 105)
указывал, что логарифм рационального числа при рациональном
основании, если он не целый, должен быть трансцендентным.
В частности, он утверждал, что в выражении а^ = Ь (где п не
есть квадратное число) а и b не могут бьць одновременно рацио-
нальными. В более общем виде эту проблему сформулировал
Д. Гильберт как проблему об арифметической природе чисел аь
для а и b алгебраических. В 1929—1934 гг. А. О. Гельфонд пол-
ностью-решил эту задачу, доказав, что число вида аь (где а — ал-
гебраическое, отличное от нуля и единицы, а b — алгебраическая
иррациональность) является трансцендентным.
Теория чисел в XVIII в. по существу переросла в отдельную
область математики. В ней определились практически все главные
проблемы и направления. В сочинениях Эйлера, Лагранжа, Ле-
жандра, Ламберта и других математиков были выработаны мно-
гочисленные методы теории чисел, как элементарно-алгебраичес-
1 См. И. Г. Ламберт. Предварительные сведения для ищущих квадра-
туру и спрямление круга. В сб.: «О квадратуре круга». М.—Л., ГТТИ, 1934,
стр. 105—166.
304
кие, так и аналитические. Все эти исследования, естественно, нуж-
дались в систематизации, в приведении к логически стройной
структуре с единых позиций. Эта работа в конце XVIII в. была
начата Лежандром, который опубликовал в 1797—1798 гг. «Опыт
теории чисел», имея целью построить систему сведений о
свойствах целых чисел. В дальнейших переизданиях он дополнял
ее результатами Гаусса, Абеля и других математиков XIX в. В двух
томах этой книги содержится огромный материал, накопленный
в теории чисел, что придает ей помимо исторического практичес-
кое значение как весьма полезного справочника.
Характер и направление исследований по теории чисел в те-
чение почти всего XIX в. были по существу определены работами.
Гаусса. Свое основное сочинение в этой области — «Арифметиче-
ские исследования» — Гаусс начал в 1797 г., и к 1801 г., когда его
автору было всего 24 года, оно вышло в свет. Последующие тео-
ретико-числовые работы Гаусса появились в 1811 г. и в период
1828—1832 гг.; это свидетельствует о постоянном интересе Гаусса
к теории чисел.
Открытия Гаусса в теории чисел огромны. Мы, к счастью,
имеем возможность отослать заинтересованного читателя к пре-
красной статье Б. Н. Делоне «Работы Гаусса по теории чисел»1,
ограничившись здесь краткими и предварительными оценками.
Мы уже упоминали, что Гаусс много сил отдал изучению
квадратичного закона взаимности, дав ему восемь строгих дока-
зательств. Изучая квадратичные формы, он по существу создал
арифметику квадратичных расширений. Эта часть его исследований
послужила исходным пунктом и образцом для последующей раз-
работки арифметики алгебраических расширений, вплоть до работ
Д. Гильберта по теории полей классов.
Гаусс открыл и доказал биквадратичный закон взаимности и
построил арифметику целых комплексных чисел. Аппарат теории
сравнений, столь употребительный в наши дни, обязан своим воз-
никновением Гауссу. Для построения в XIX в. теории алгебраиче-
ских чисел эта группа открытий Гаусса послужила отправным
пунктом и образцом.
В своих исследованиях Гаусс ввел'и изучил целый ряд групп:
группу классов форм одного дискриминанта, группу родов и др.
На конкретных примерах он первый изучил структуру абелевых
групп. В частности, он показал, что абелева группа является пря-
мым произведением групп циклических, доказав тем самым основ-
ную теорему теории абелевых групп.
Считается общепризнанным, что со времени работ Гаусса тео-
рия чисел развивается уже как стройная теория 2, задачи которой
побуждают к развитию новых и тонких методов анализа (в осо-
бенности теории функций комплексного переменного), алгебры и
1 В сб.: «Карл Фридрих Гаусс». М., Изд-во АН СССР, 1956, стр. 11—12.
2 См. А. О. Гельфонд и Ю. В. Линник. Чисел теория. БСЭ, т. 47,
стр. 386.
305
даже геометрии. Определялись и основные направления теории
чисел: а) разработка специальных методов теории чисел, носящих
иногда название элементарных; б) аналитические методы, приме-
няемые по преимуществу к задачам распределения; в) диофантовы
уравнения и диофантовы приближения.
Далее мы будем иметь возможность возвращаться к вопросам
развития теории чисел (например, в связи с рассмотрением фун-
даментальных исследований П. Л. Чебышева). При этом, однако,
характер и размеры настоящей книги не позволят нам дать общий,
более или менее детальный, обзор теории чисел и ее взаимосвязей
с другими математическими науками.
6.7. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА
Обзор развития математики в XVIII в. был бы неполным, ес-
ли бы мы опустили теоретико-вероятностные работы и применяе-
мый в них аппарат. По-видимому, теория вероятностей в те вре-
мена не занимала еще заметного места среди других дисциплин.
Но будущие успехи математики (как и вообще науки), получая
необходимые предпосылки в наиболее развитых ее областях, вы-
кристаллизовываются, выделяются чаще всего в областях новых,
еще количественно небольших и зачастую слабо развитых.
Теория вероятностей в XVIII в. расширила сферу своих при-
ложений. Ее методы проникли в статистику (в частности, в демо-
графию), страховое дело, теорию ошибок наблюдений, теорию
стрельбы. Это расширение происходило в тесной связи с обогаще-
нием математических методов и результатов теории вероятностей.
Наиболее ранним теоретическим результатом в этой области
было, по-видимому, доказательство Муавром (1730) локальной
предельной теоремы, оценивающей асимптотически вероятность
(0 = Р {Р < пр + t У пр (1 — р) }
того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых р —
вероятность наступления искомого события, число этих наступле-
ний ц не превзойдет np-\-t Vпр(\—р). Муавр доказал эту теорему
для ; он вывел также необходимую для этого формулу
Стирлинга:
$! = ]/2ns-sse~s e6s,
где остаточный показатель 0S удовлетворяет условию
306
Позднее Лаплас обобщил эту теорему для любого р: 0<р<1.
Появившаяся здесь интегральная форма этой теоремы
t __ X2
Р(0 = -Лг f е 2 dx
— оо
и связанное с этим понятие нормального распределения вероят-
ностей сыграли в дальнейшем большую роль. В частности, упомя-
нем принадлежащее Пуассону (1837) распространение теорем
Муавра — Лапласа на случай обобщения закона больших чисел в
формуле Бернулли для независимых испытаний, вероятность появ-
ления в которых некоторого события зависит от номера испытания.
Пуассон получил при этом новый вид распределения вероятностей,
известный ныне как закон Пуассона, и использовал его в работах
по теории стрельбы.
Проблема вычисления вероятностей гипотез на основе опреде-
ленных результатов некоторых наблюдений в разных аспектах
рассматривалась в работах Д. Бернулли, Эйлера, Симпсона, Кон-
дорсе и др. Важнейшим результатом здесь были формулы Бейеса,
опубликованные в 1764 г. Примыкающая к этому теория ошибок
наблюдений получила разработанный Лежандром, Лапласом и
Гауссом .метод наименьших квадратов.
Помимо указанных двух групп теоретических результатов
можно отметить довольно большое число конкретных задач тео-
ретико-вероятностного характера. Среди них: задача контроля про-
дукции, так называемая «петербургская игра», задача Бюффона
о бросании иглы и др.
На рубеже XVIII и XIX вв. теоретико-вероятностные резуль-
таты были сведены в единую систему, построенную на четко оп-
ределенных основных понятиях. Выделение новой математической
дисциплины — теории вероятностей — нашло яркое выражение
в ряде работ Лапласа, особенно в его классической «Аналитичес-
кой теории вероятностей» (1812 г., затем 1814, 1820 и 1866 гг.).
Аппарат теории вероятностей в то время, когда основным ее
объектом были азартные игры, состоял из арифметических прие-
мов, почерпнутых в особенности из комбинаторики. Вместе с обо-
гащением методов теории вероятностей за счет привлечения пре-
дельных рассмотрений и других средств математического анализа
удельный вес комбинаторных приемов стал уменьшаться. Но ком-
бинаторика продолжала развиваться, так как ее содержание по
существу не исчерпывалось приложениями к теории вероятностей.
Можно считать, что комбинаторика как научная дисциплина
ведет начало от работ Лейбница и Я. Бернулли. Первый из них
к 1666 г. дал первое систематическое построение этой части ма-
тематики в «Рассуждении о комбинаторном искусстве». Позднее
(около 1700 г.) Лейбниц усовершенствовал комбинаторную симво-
лику с помощью развитой системы индексов. Я- Бернулли в со-
307
чинении «Искусство предположения» (1713) построил комбина-
торику как основной для того времени аппарат решения теорети-
ко-вероятностных задач. Здесь же он доказал важный частный
случай закона больших чисел, известный как теорема Бернулли.
, В связи с изучением сумм вида он открыл числа, называе-
те
мые числами Бернулли.
Однако решение многих конкр.етных задач комбинаторики дли-
тельное время не сопровождалось усовершенствованием общей
теории, вплоть до конца 70-х годов XVIII в. В это время в Герма-
нии сформировалась многочисленная математическая школа, ос-
нователем и руководителем которой был К. Ф. Гинденбург.
Прошло 40—50 лет, и комбинаторная школа, исчерпав возмож-
ности немногочисленных оперативно-вычислительных методов и не
преодолев противоречия между содержанием задач и громоздким
формально-символическим аппаратом, распалась.
Комбинаторные методы остались в арсенале ученых как сред-
ство решения задач в различных областях математики. Новое раз-
витие комбинаторный анализ начал получать в середине XX в. в
связи с выяснившимися широкими возможностями приложений.
Глава 7
НАЧАЛО ПЕРИОДА СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ
7.1. О ХАРАКТЕРЕ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ В XIX ВЕКЕ
В истории математики XIX в. знаменует начало нового пе-
риода, подучившего название периода современной математики.
Понятие современной математики, равно как и выделение соот-
ветствующего периода ее развития, разумеется, несколько неоп-
ределенно. Оно, по-видимому, не может быть иным, так как раз-
витие науки постоянно меняет представления о современности ее
главных теоретических идей и практических достижений. Мы здесь
условимся включать в период современной математики отрезок
времени, начало которого отмечено такими преобразованиями в
математике, которые послужили главной причиной приведения ее
к современному состоянию. По нашему мнению, историю матема-
тики XIX и начала XX в, следует выделить в отдельный период,
который можно назвать периодом математики нового времени,
в соответствии с общеисторической периодизацией.
Характерные особенности нового периода развития, математи-
ки с большой определенностью стали проявляться в самом начале
XIX в. Мы имеем в виду работы Абеля и Галуа о разрешимости
алгебраических уравнений в радикалах. Они выдвинули на первое
место в алгебре ряд весьма абстрактных общих понятий, среди
которых первое место принадлежало понятию группы. Создание
и развитие теории Галуа и теории групп сделалось одной из глав-
ных задач новой алгебры.
309
Открытие в 20—30-х годах XIX в. Лобачевским, а также
Я. Больяи и Гауссом основных фактов неевклидовой гиперболи-
ческой геометрии, а в 60—70-х годах — отыскание их интерпре-
таций вызвали в системе геометрических наук преобразования
поистине революционного характера. Значение их состояло не
только в изменении лица геометрии; оно вышло за пределы этой
области математики, а затем и за пределы математики вообще.
Система дисциплин, составляющих математический анализ,
подверглась 6 своих основах глубокой перестройке на основе соз-
даваемой теории пределов и теории действительного числа. К кон-
цу XIX в. логические средства анализа пополнились специфичес-
кими разновидностями гипотетико-условных суждений, применяю-
щих аппарат особых неравенств (так называемый е, &-аппарат).
Это придало выводам и приложениям анализа новый, более вы-
сокий уровень математической строгости.
Наряду с развитием аппарата классического математического
анализа и его приложений из него выделились самостоятельные
математические дисциплины. Прежде всего, это огромные области
дифференциальных уравнений, а также теорий функций действи-
тельного и соответственно комплексного переменного.
Отмеченные выше явления не исчерпывают всей картины раз-
вития математики в XIX столетии. Мы выбираем их в качестве
примеров главных, определяющих линий этого развития. Прежде
чем перейти к более детальному их рассмотрению, отметим еще
три черты, имеющие общий для большинства математических на-
ук характер.
Мы имеем в виду, во-первых, расширение содержания пред-
мета математики. Оно обусловлено тем, что во всех математиче-
ских науках происходил процесс обобщения основных понятий,
замены одних понятий другими, более общими. Этот процесс про-
исходил как следствие возросших требований смежных наук, ког-
да исследовать огромное количество задач оказывалось возмож-
ным лишь с иных, более общих, точек зрения. Большое количество
задач возникало также внутри математики в результате внутрен-
них логических потребностей развития теории.
Среди исследований, возникших в результате запросов мате-
матической теории, было в те времена особенно много таких, ко-
торые отражали усиление внимания к обоснованию математики.
Это — вторая характерная черта математики XIX в. Попытки
обоснования математики в целом или отдельных ее' частей столь
же многочисленны, как и в прошлом, XVIII, столетии. Но они при-
няли теперь иное направление. В них производился критический
пересмотр исходных понятий (определений) и утверждений (ак-
сиом); делались попытки построения строгой системы определе-
нии и доказательств; производился критический пересмотр логи-
ческих приемов математических доказательств.
Повышенное внимание к вопросам обоснования, изменивший-
ся характер соответствующих исследований, усиление требований
310
математической строгости имеют вполне реальные и определенные-
причины. Эти причины по преимуществу коренятся в огромном
объеме фактического материала и большом количестве новых ма-
тематических теорий. Помимо усложнения структуры самой мате-
матики связи последней с практикой стали весьма сложными, во
многом опосредованными. Отдельные результаты и даже целые
области новой математики получают конкретные применения не
сразу, а через годы и десятилетия. При таком положении дел
бесцельно ждать сигналов о корректности или некорректности тео-
рии в виде обнаруженных ошибок. Поэтому наша наука, обра-
щаясь к практике как к критерию истинности ее результатов вы-
нуждена* была учитывать и практику логических суждений, пре-
ломляя их в требования логической строгости: Понятие математи-
ческой, или логической, строгости в ходе истории, как известно,
меняется. Оно отображает накопленный опыт работы человеческо-
го мышления в области математики — опыт, который суммируется
в постепенно складывающиеся требования к строгости. Устойчи-
вый стандарт математической строгости сложился лишь к концу
XIX в. Он опирался на теоретико-множественные концепции' и на
арифметику натуральных чисел. Однако вскоре борьба воззрений
вокруг этой проблемы обострилась в связи с открытием противо-
речий (антиномий) в канторовской теории множеств.
Третьей характерной особенностью развития математики в
XIX в. является значительное расширение области приложений, в
основном обусловленное увеличением возможностей аппарата ма-
тематического анализа. В математическое естествознание вслед за
механикой и оптикой вошли задачи термодинамики и электромаг-
нитных явлений. Резко возросли математические запросы <техни-
ки: баллистики, машиностроения и др.
Задача составления общих характеристик, столь трудная во-
обще, делается в особенности трудной по мере приближения к со-
временности. Поэтому, не умножая далее соображений общего ха-
рактера, перейдем к изложению истории развития отдельных мате-
матических дисциплин, возвращаясь к общим соображениям
тогда, когда это будет необходимо. Поскольку раньше всего прин-
ципиальные изменения проявились в алгебре, мы и перейдем сей-
час к освещению истории этой науки, и прежде всего истории
алгебраических проблем на рубеже XVIII и XIX вв.
7.2. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ
/
Проблемы общей теории алгебраических уравнений. Совре-
менная алгебра — чрезвычайно широкая и разветвленная область
математики. Она объединяет , большое число самостоятельных
научнкх дисциплин. Их общим предметом являются алгебраичес-
кие операции, представляющие собой далеко идущие абстракции
операций элементарной алгебры. Эти операции определяются в
311
к. ф. Гаусс (1777—1855)
многообразных множествах. Последние выбираются для исследо-
вания преимущественно из соображений их приложимости. При
этом оказывается необходимым заботиться о сохранении извест-
ной близости свойств определенных в них операций и свойств
операций над числами. Так-выделился класс алгебраических об-
разований, наибольшее значение среди которых приобрели поля,
кольца, группы и структуры. Алгебра взаимодействует с другими
областями математики, участвуя в образовании новых, «погра-
ничных» дисциплин (топологическая алгебра, теория групп и ал-
гебр Ли и т. п.).
312
Столь общие воззрения на природу и состав алгебры сложи-
лись по существу недавно, лишь в XX в. Как было показано вы-
ше, вплоть до XIX в. основной задачей алгебры являлось решение*
алгебраических уравнений, понимаемое как нахождение корней
уравнения с помощью рациональных операций и операции извле-
чения корня. В поисках общей формулы математики перепробо-
вали громадное количество методов и к самому концу XVIII в.
были вынуждены фактически рассматривать поля и группы, еще^
не вводя этих понятий явно.
На рубеже XVIII и XIX вв. в алгебре были сделаны откры-
тия необычайной важности. Они сопровождались введением в эту
науку ряда новых понятий (в первую очередь понятия группы),
которые легли в основу современной алгебры. Этй открытия по-
вели к преобразованию всей алгебры в течение XIX в. Мы имеем,
здесь в виду результаты К. Ф. Гаусса, Н. Г. Абеля и Э. Галуа,
относящиеся к доказательству основной теоремы алгебры, дока-
зательству неразрешимости в радикалах уравнений степени п^5*
и созданию теории Галуа. Рассмотрим подробнее эти результаты.
Карл Фридрих Гаусс (1777—1855) сделал свои первые откры-
тия в алгебре еще совсем молодым человеком во время обучения
в Геттингенском университете (1795—1798). В марте 1796 г., за-
нимаясь задачей отыскания корней уравнения
хп — Г = О,
он обнаружил связь между этой задачей и делением окружности
на равные части, доказав, что правильный 17-угольник можно впи-
сать в круг с помощью цйркуля и линейки. Соответствующий ал-
гебраический факт, что уравнение х17—1=0 разрешимо в квадрат-
ных радикалах, Гаусс обобщил вскоре, найдя критерий возмож-
ности такой разрешимости (уравнение разрешимо для простого iv
вида п=22* + 1) и дав его геометрическую интерпретацию.
При доказательстве этой группы предложений Гаусс развил,
методы, послужившие одной из исходных точек при создании тео-
рии Галуа, по собственному признанию ее автора. Так, например,.
Гаусс явно высказал, что цель его исследований полинома
X = . • = хп~х + хп~2 + ... + X + 1
X— 1
состоит в том, чтобы последовательно разлагать полином на мно-
жители вплоть до линейных, обнажая при этом структуру урав-
нения.
Гаусс установил, что уравнение X—0 степени т=п—1, где-
п — простое, неприводимо в поле рациональных чисел и нормаль-
но над ним, т. е. все его корни рационально выражаются через-
один из них. Оказалось, что эти корни имеют вид а, а&, (а&)0, ...,.
т. е. что группа автоморфизмов этого уравнения циклическая. Ос-
тавался лишь один шаг для того, чтобы обнаружить, что любая
подгруппа циклической группы является ее нормальным делите-
313
лем. Этот шаг сделал Галуа, учитывавший также указание Ла
гранжа, что подстановки корней уравнений указывают путь к по-
строению их общей теории.
Через три года, в 1799 г., Гаусс получил в Гельмстедте сте-
пень доктора за диссертацию, посвященную доказательству основ-
ной теоремы алгебры. Спустя много лет он вернулся к этой тео-
реме и дал (в 1815, 1816 и 1849 гг.) три новых доказательства.
Первоначальная формулировка этой теоремы, данная Жира-
ром (1629) и Декартом, содержала, как мы уже упоминали, ут-
верждение, что уравнение Рп(х)=0 может иметь столько корней,
сколько единиц содержит его степень. В связи с последующим вве-
дением комплексных чисел а-\-Ы это понимание возможности пе-
реросло в уверенность, что корней уравнения Рп(х)=0 (где п —
степень уравнения) будет именно п — действительных и комплекс-
ных. Вслед за первым доказательством Даламбера (1746) появи-
лись и другие. При этом предполагалось, что всякий полином мо-
жет быть разложен на линейные множители
п
Рп<х) = П —
Оставалось доказать, что все корни Xi (4=1, 2, ..., п) имеют вид
а-\-Ы (а и b — действительны). Проблема заключалась теперь в
установлении разложимости всякого алгебраического уравнения
с действительными коэффициентами в произведение вещественных
множителей степени п— \ или п=2.
Мы не будем рассматривать те Доказательства,' в которых
содержатся явные апелляции к фактам математического анализа.
Вообще говоря, отказаться полностью от использования свойств
непрерывности при доказательстве этой теоремы невозможно. Од-
нако вопрос о чисто алгебраическом доказательстве основной тео-
ремы алгебры был в это время весьма актуальным. Такое алгеб-
раическое доказательство искал и Гаусс.
В упомянутой выше докторской диссертации он критически
рассмотрел все доказательства и обнаружил их общий недоста-
ток: априорное предположение, что корни уравнений существуют.
В действительности необходимо доказывать существование корней,
чтобы избегнуть порочного круга. Существование Гаусс относил к
области комплексных чисел {а-\-Ы}, так как никаких других более
общих видов величин он не мог себе представить. Тем не менее
он отмечал, что если бы были определены другие числовые обла-
сти, то вопрос существования корня надо было относить к ним.
Алгебраическое доказательство Гаусса исходило из предполо-
жения, что заранее задана область К комплексных чисел. Состоя-
ло это доказательство в установлении того факта, что каждое
уравнение с вещественными коэффициентами имеет корень в ука-
занной области. В иной, эквивалентной, постановке требуется до-
казывать разложимость любого полинома, коэффициентами ко-
314
торого являются действительные числа, на вещественные множи-
тели. первой и второй степени.
Отказ от предположения о существовании корней уравнения,
постулированный Гауссом, а также от обращения к фактам мате-
матического анализа,, сильно затруднил задачу. По существу при-
шлось строить поля разложений многочленов. Громоздкое доказа-
тельство заняло специальный мемуар (1815). Оно потребовало
введения ряда специальных понятий и лемм1. Так, Гауссу при-
шлось заново строить теорию симметрических функций и доказы-
вать их алгебраическую независимость. Это дало ему возможность
ввести новый способ доказательства, получивший впоследствии
(у Кронекера, Кенига и др.) название принципа Гаусса. Соотно-
шение между элементарными симметрическими функциями
Ф (А/1? Х2, Х3, ...) — О-
может быть лишь тождественным. Пусть, например, дан поли-
ном, разлагающийся на линейные множители
п
Рп (*) = П (х — Xi)
. 1=1
и между его коэффициентами установлено какое-либо соотношение
Ф (Х1? Х2к Х3, ...) = 0.
В силу принципа Гаусса это соотношение останется верным при
подстановке коэффициентов любого другого полинома Qn(//)=0.
Таким образом, все соотношения между коэффициентами разло-
жимых многочленов верны для коэффициентов всех многочленов.
Вслед за этим вводится понятие дискриминанта
п
р = П (*<—*/)
ij=l*
и доказывается ряд лемм, которые в силу их специального ха-
рактера мы не будем здесь приводить.
Дальнейшее доказательство опирается на лемму: если
Q («. х) = П + V4U + v‘*) О' = 1. 2, ... , п)
i
и w — неопределенная величина, то
, д0 <Э0 \
0( и + w—- , х— w-----
\ дх ди /
1 См. И. Г. Башмакова. О доказательстве основной теоремы алгебры.
В сб.: «Историко-математические исследования», вып. X. М., Гостехиздат, 1958»
стр. 257—304.
315
делится на 0«(х, и). Применяя эту лемму к многочленам, Гаусс
получил известное тождество:
0( и -г w--, х — w--- ) = 0 (u, х)0х(и, х, w, ах, . .. , ап),
\ дх ди J
где 01 — целая функция, рациональная относительно своих аргу-
ментов.
При помощи этого тождества Гаусс построил затем поле, в
^котором вспомогательный многочлен 0 (ц, х) имеет линейный мно-
житель, а заданный многочлен — множитель второй степени.
Примерно через 50—60 лет Кронекер сумел использовать ме-
тод построения полей, данный Гауссом, и создать (1882) 1 конст-
* рукцию поля разложения для любого полинома. Оказалось, что
*если дан Рп(х) —многочлен с коэффициентами из поля k, над ко-
торым уравнение Рп(х)=0 неприводимо, то можно (не предпола-
гая существования Л=>6) построить поле разложения, т. е. мини-
мальное поле, в котором
п
₽«(*) = П(х—хг)-
1=1
Тогда основная теорема алгебры приняла вид: поле любого поли-
нома (с вещественными или комплексными коэффициентами) есть
подполе'поля комплексных чисел или изоморфно этому подполю.
Другое из замечательных алгебраических открытий начала
.XIX в. — доказательство неразрешимости в радикалах уравнения
пятой степени. Как мы указывали выше, поиски подходящей фор-
мы иррациональности для решения того или иного класса алгеб-
раических уравнений сменились уверенностью, что, по-видимому,
это невозможно. Задача обернулась; необходимым оказалось
исследовать наиболее общие выражения, содержащие радикалы,
•с тем чтобы выяснить, могут ли они быть выражениями корней ал-
гебраического уравнения пятой степени.
По этому пути и повел свои исследования в самом конце
XVIII в. П. Руффини. В 1799 г. он опубликовал «Общую теорию
уравнений, в которой доказывается невозможность алгебраическо-
го решения общих уравнений выше четвертой степени».
Но первый реальный успех выпал на долю скромного моло-
дого норвежского математика Нильса Генрика Абеля (1802—
1829). За время своей короткой жизни он успел сделать так мно-
го открытий в математике, что по праву может считаться одним
из наиболее выдающихся математиков XIX в. Начав с доказатель-
ства невозможности решения в радикалах уравнения пятой степе-
ни, Абель произвел вслед за тем основополагающие исследования
в области теории аналитических функций. Он также исследовал
ряд классов специальных функций, в первую очередь эллиптиче-
ских и гиперэллиптических.
’L. Kronecker. Werke, Bd. Ill, SS. 341—360; Bd. II, SS. 247—300.
316
II. Г. Абель (1802—1829)
Еще в школе (около 1820 г.) Абель заинтересовался пробле-
мой разрешимости уравнений в радикалах. Одно время ему каза-
лось, что он дал доказательство разрешимости в радикалах урав-
нения пятой степени. Вскоре выяснилось, что это доказательство
содержало ошибку. Но ошибочное доказательство сослужило хоро-
шую службу. Абель получил государственную стипендию и воз-
можность поехать в Европу для усовершенствования в матема-
тике.
Исправленное доказательство появилось в 1824 г. в «Мемуа-
ре об алгебраических уравнениях, где доказывается невозможность
разрешимости общего уравнения пятой степени». В нем Абель, по-
317
видимому независимо от Руффини, шел тем же путем; он стре-
мился доказать, что наиболее общие выражения, содержащие ра-
дикалы, не могут быть корнями общего алгебраического уравне-
ния пятой степени. Интересно, что'это доказательство Абеля стра-
дало тем же недостатком, что и доказательство Руффини. Оно
.опиралось на предположение, что корни резольвенты должны ра-
ционально выражаться через корни данного уравнения.
Наконец, в 1826 г. в работе Абеля «Доказательство невоз-
можности алгебраической разрешимости уравнений, степень ко-
торых превышает четвертую» многовековая проблема получила
удовлетворительное разрешение. Здесь Абель рассматривал урав-
нения пятой степени с переменными коэффициентами. Решения он
трактовал как выражения корней через алгебраические функции
коэффициентов. Этот вид функций образуется из аргументов по-
средством конечного числа четырех арифметических операций и
операции извлечения корня, показателем которого является про-
стое число.
Громоздкое доказательство Абеля1 начинается с построения
наиболее общего вида алгебраических функций
1 п—1
и = Чо + рП г ••• +Яп~\р п ,
где п — простое число, qi — алгебраические функции того же по-
рядка, что и v, но степени выше, чем т—1; р — алгебраическая
функция порядка на единицу ниже, чем v, построенная так, что она
не выражается рационально через q0, qn-i- Затем, во втором
параграфе, рассмотрены свойства алгебраических функций, удов-
летворяющих данному уравнению, и доказано, что если уравнение
алгебраически разрешимо, то его корню всегда можно дать такой
вид, что все алгебраические функции, из которых он составлялся,
выражаются через рациональные функции корней данного урав-
нения.
Следующий параграф посвящен вопросу о подстановках и о
числе различных значений, которые при этом могут принимать
функции нескольких переменных. Здесь доказана теорема, извест-
ная как теорема Коши: если число различных значений v меньше
р — наибольшего простого числа, не превосходящего п, то оно не
превышает 2. Отсюда получается результат, что не существует
функции от пяти величин, имеющей три или четыре различных
значения. Наконец, в четвертом параграфе показано, что никакое
самое общее радикальное выражение не может быть универсаль-
ным выражением корней уравнения данной степени, большей чем
четвертая.
Доказательства Абеля—Руффини не дают возможности выде-
лить классы уравнений, разрешимых в радикалах. Они не снима-
ют также возможности, такой разрешимости для уравнений с чис-
1 См._ Н. Г. Чеботарев. Теория Галуа, т. I. М.—Л., ГТТИ, 1936.
. 318
Э. Галуа (1811—1832)
ленными коэффициентами подбором подходящих иррационально-
стей в конкретном случае. Исследования надо было расширять.
Перед Абелем, как и в свое время перед Лагранжем, встала об-
щая проблема разрешимости — основная проблема классической
теории Галуа. -
Лагранж нашел частный класс уравнений, разрешимых в ра-
дикалах, — циклические уравнения.
Абель в «Мемуаре об одном особом классе алгебраически
разрешимых уравнений» (1829) вновь исследовал циклические
уравнения, отыскав для них явные выражения корней через коэф-
фициенты. Кроме того, он рассмотрел еще один класс разрешимых
319
уравнений, которые по существу являются нормальными уравне-
ниями с коммутативной (абелевой) группой Галуа.
Как в этой, так и в другой (оставшейся незаконченной и опуб-
ликованной лишь в 1839 г.) работе Абеля «Об алгебраической
разрешимости уравнений» доказан ряд теорем, относящихся к
теории Галуа. Например, Абель доказал теорему, эквивалентную
теореме Галуа: чтобы неприводимое уравнение было разрешимо
в радикалах, необходимо и достаточно, чтобы все корни были ра-
циональными функциями двух известных корней. В других тео-
ремах он исследовал структуру нескольких конкретных классов
разрешимых групп. Фактически Абель исследовал структуру ком-
мутативных групп. Он показал, что эти группы являются произ-
ведениями циклических групп. Однако понятие группы у него еще
не было выделено.
Возникновение теории Галуа. Абель не смог дать общий кри-
терий разрешимости уравнений с числовыми коэффициентами в
радикалах. Но решение и этого вопроса не заставило себя долго
ждать. Оно принадлежит Эваристу Галуа (1811—1832), француз-
скому математику, скончавшемуся, как и Абель, в очень молодом
возрасте. Его жизнь, короткая, но наполненная активной полити-
ческой борьбой, страстный интерес к математическим занятиям
представляют яркий пример того, как в деятельности одаренного
человека накопленные предпосылки науки претворяются в качест-
венно новый этап ее развития.
Галуа успел написать мало работ. В русском издании его
работы, рукописи и черновые записи заняли лишь 120 страниц в
книге маленького формата4 Но значение этих работ огромно.
Поэтому рассмотрим его замыслы и результаты подробнее.
Возьмем вслед за Галуа уравнение
Рп (х) = хп 4- + ... + «п-i х + ап = 0.
Для него определим область рациональности — совокупность ра-
циональных функций от коэффициентов уравнения
a2i ... , ап).
Область рациональности R является полем, т. е. совокупностью
элементов, замкнутой по отношению к четырем действиям. Если
аь а2 ...» — рациональны, то R — поле рациональных чисел; если
же коэффициенты — произвольные величины, то R есть, поле эле-
Р (#1 , , ... ,
ментов вида ——— -----------, где числитель и знаменатель — мно-
Q(<h, а2, ... , ап)
гочлены. Область рациональности можно расширить, присоединяя
к ней элементы, например корни уравнения. Если к этой области
присоединить все корни уравнения, то вопрос о разрешимости
уравнения делается тривиальным. Задача разрешимости уравне-
1 См. Э. Галуа. Соч. М.—Л., ОНТИ, 1936.
320
ния в радикалах может ставиться только по отношению к опреде-
ленной области рациональности.
Галуа доказал, что для всякого уравнения Рп(х)=0 можно
в той же области рациональности найти некоторое уравнение
Q(x)=0, называемое нормальным. Корни данного уравнения
^п(-»:)=0 и соответствующего нормального уравнения Q(x)=0
выражаются друг через друга рационально. Нормальное уравне-
ние — это уравнение, обладающее тем свойством, что все его кор-
ни рационально выражаются через один из них и элементы поля
коэффициентов. Примером нормального уравнения является^урав-
нение хп—1=0. Его корни:
= L а:2 = В8, •. •, хп = = 1.
Нормальным также является, например, квадратное уравнение.
Все подстановки корней нормального уравнения образуют
группу G. Это и есть группа Галуа уравнения Q(x)=0, или, что
то же самое, уравнения Рга(х)=0. Она обладает, как выяснил
Галуа, замечательным свойством: любое рациональное соотноше-
ние между корнями и элементами поля R инвариантно относитель-
но подстановок группы G. Таким образом, Галуа связал с каж-
дым уравнением группу подстановок его корней. Он же ввел
(1830) термин «группа» и дал ему адекватное современному, хо-
тя и не столь формализованное, определение.
Структура группы Галуа оказалась связанной с задачей раз-
решимости уравнений в радикалах. Чтобы разрешимость имела
место, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая группа
Галуа была разрешима. Это значит, что в данной группе сущест-
вует цепочка
G ZD HPt ZD HPt ZD + ... ZD Hpk (= E)
нормальных делителей с простыми индексами pi, р2, ph- Напом-
ним, кстати, что нормальные делители, или, что то же самое, ин-
вариантные подгруппы Hi, — это такие подгруппы группы G, для
которых справедливо gH{=Hig, где g — элемент группы G.
Общие алгебраические уравнения Рп(х)=0 при п^5, вооб-
ще говоря, такой цепочки не имеют, так как группы подстановок
имеют только один нормальный делитель индекса 2 — подгруппу
всех четных подстановок. Поэтому эти уравнения в радикалах, во-
обще говоря, неразрешимы.
Аппарат, введенный Галуа для установления разрешимости
алгебраических уравнений в радикалах, имел значение, выходя-
щее за рамки указанной задачи. Его идея изучения структуры ал-
гебраических полей и сопоставления с ними структуры групп ко-
нечного числа подстановок была плодотворной основой современ-
ной алгебры. Однако она не сразу получила признание.
Перед роковой дуэлью, оборвавшей его жизнь, Галуа в тече-
ние одной ночи сформулировал свои важнейшие открытия и пере-
11 К. А. Рыбников
321
слал их другу О. Шевалье для публикации в случае трагического
исхода. Это письмо было опубликовано вскоре после смерти Га-
луа, однако идеи, содержащиеся в нем, не нашли отклика. Только
через 14 лет, в 1846 г., Лиувилль разобрал и опубликовал все
математические работы Галуа. В середине XIX в. в двухтомной
монографии Серре, а также в работе Э. Бетти (1852) впервые по-
явились связные изложения теории .Галуа. И только с 70-х годов
прошлого века идеи Галуа начали получать дальнейшее развитие
в разных направлениях.
В области классической основы, наиболее близкой собствен-
ным идеям Галуа, новые задачи группировались вокруг проблемы
классификации алгебраических иррациональностей и установления
их арифметической природы. Сюда, например, относится теорема
Кронекера—Вебера, что корни абелевых уравнений (т. е. уравне-
ний с коммутативной группой) с рациональными коэффициентами
рационально выражаются через корни из единицы. Дальнейшие
обобщения этой теоремы привели к общей теории полей классов,
где речь идет о классификации .всех абелевых расширений дан-
ного поля алгебраических чисел. Последнее является конечным
алгебраическим расширением поля рациональных чисел. Совре-
менная теория алгебраических чисел сложилась как соединение
теории этих чисел с теорией идеалов и теорией Галуа.
Постановка новых, более общих задач способствовала быст-
рому усложнению теории Галуа и росту общности ее результатов.
Среди этих задач упомянем, например, проблему разыскания всех
уравнений, которые для заданной области рациональности обла-
дают определенной, наперед заданной группой. Проблемы такого
рода привели к изучению полей общих рациональных функций
(проблема Люрот—Штейница). Обобщения задачи о разрешимо-
сти уравнений в радикалах привели к проблеме общего характера
о возможности сводить уравнение к цепочке вспомогательных
уравнений с меньшим числом параметров. Первые общие резуль-
таты здесь были получены лишь советским математиком Н. Г. Че-
ботаревым в его теории резольвент. Другой советский математик
И. Р. Шафаревич в 1954 г. решил так называемую обратную зада-
чу теории Галуа: для любой разрешимой группы любого поряд-
ка, если расширяемое поле kQ алгебраических чисел содержит ко-
рень n-й степени из единицы, всегда существует сколько угодна
его расширений /С, имеющих над kQ любую наперед заданную раз-
решимую группу n-го порядка. .
Современная теория Галуа превратилась в сложную развет-
вленную математическую дисциплину, включающую в себя обшир-
ный материал о связях между свойствами уравнений, алгебраиче-
ских чисел и групп !.
1 См. Н. Г. Чеботарев. Проблемы современной теории Галуа. В кн.:
Э. Галуа. Соч., стр. 183—241; Н. Г. Чеботарев. Собр. соч., т. III, стр. 5—
43; Н. Г. Чеботарев. Основы теории Галуа, тт. 1—2. М., Гостехиздат^
1934—1937.
322
Возникновение теории групп. Аппарат, введенный Галуа, в
значительной степени опирается на понятие группы. Галуа же, по-
видимому независимо ют Руффини, ввел соответствующий термин.
Плодотворность этого понятия и необходимость его введения бы-
ли очевидны для многих математиков. Группы подстановок фак-
тически рассматривал еще Лагранж. С 1815 г. Коши провел серию
исследований по теории конечных групп, доказав, в частности, тео-
рему о том, что каждая группа, порядок которой делится на про-
стое число р, содержит по крайней мере одну подгруппу поряд-
ка р.
В первой половине XIX в. факты теории групп играли еще
вспомогательную роль, главным образом в теории алгебраических
уравнений. Складывающаяся теория групп, была еще преимуще-
ственно теорией конечных групп — групп подстановок. К середи-
не века выяснилось, что понятие группы имеет более широкое
применение. В связи с этим в 50-х годах в работах Кэли и др. на-
чало появляться более общее, абстрактное определение группы.
Выяснилось, что наиболее важные свойства группы зависят не от
характера элементов подстановки, а от групповой операции. Про-
цесс перехода к абстрактной теории групп ускорился с . 1870 г.,
после появления работы К. Жордана «Traite des substitutions et
des equations algebriques» («Трактат о подстановках и алгебраи-
ческих уравнениях»), где были подытожены результаты теории
конечных групп в применении к теории чисел, теор-ии функций и
алгебраической геометрии.
К концу XIX в. теория конечных групп оформилась и достиг-
ла высокого уровня. Появился ряд сводных трактатов, содержащих
ее систематическую разработку. В это же время появились первые
приложения теории групп. В 1890—1891 гг. русский кристаллограф
и геометр Е. С. Федоров и немецкий математик А. Шёнфлис неза-
висимо друг от друга решили методами теории групп задачу клас-
сификации всех кристаллических пространственных решеток. Они
установили наличие 230 пространственных групп симметрии, со-
стоящих из совокупности самосовмещений кристаллических струк-
тур. Точки, получаемые друг из друга преобразованием данной
группы, называются гомологичными по отношению к этой группе
и образуют так называемую правильную систему. В настоящее
время исследование структуры кристаллических веществ вклю-
чает в себя определение их федоровских групп.
Дискретные конечные группы, ,к которым принадлежат федо-
ровские группы, получили распространение в теории многомерных
пространств в связи с теорией правильных многогранников в них.
В основе этих рассмотрений лежит теорема Жордана: число ко-
нечных линейных групп заданного измерения существенно конеч-
но. Та же теорема получила приложение на рубеже XIX—XX вв.
в теории алгебраических интегралов линейных дифференциальных
уравнений, римановых поверхностей и др. Например, Жордан ука-
зал на связь между линейными дифференциальными уравнениями,
tl*
323
имеющими алгебраические интегралы, и конечными группами. Ока-
залось, что необходимым и достаточным условием существования!
алгебраических интегралов у линейного дифференциального урав-
нения фуксова типа является условие конечности группы линейных
преобразований, претерпеваемых его интегралами при обходе не-
зависимой переменной вокруг каждой из критических точек.
К концу XIX в. теория конечных групп сформировалась на-
столько, что для нее приобрела, актуальность проблема класси-
фикации. Однако в общем виде эта проблема не решена до сих
пор. Чрезвычайные трудности возникают и при исследовании ее
частных аспектов. Например, окончательно не решен вопрос о
структуре и классификации конечных разрешимых групп. Оказа-
лось также, что все известные простые некоммутативные конечные
группы имеют четные порядки. Проблема Бернсайда: будет лиэто^
свойство общим для всех групп этого класса — остается пока не-
решенной.
При таком положении вещей в теории групп, когда выделено
общее, абстрактное понятие группы, естественно, возникал вопрос
об исследовании бесконечных групп, как непрерывных, так и дис-
кретных, а также о создании вычислительного аппарата, приспо-
собленного для нужд теории групп. Эти три группы вопросов бы-
ли поставлены и получили развитие в конце XIX — начале XX в.
Главные достижения здесь принадлежат ученикам К. Жорда-
на — Ф. Клейну и С. Ли, которые предприняли систематическое
изучение теории групп и ее возможных обобщений и приложений..
Норвежский математик Софус Ли распространил методы тео-
рии групп на проблему интегрирования дифференциальных урав-
нений. Он ввел около 1873 г. новый вид группы, названный им
«непрерывные группы преобразований». С каждым дифференци-
альным уравнением он связал такую группу преобразований, ко-
торая оставляет его неизменным. Группы Ли состояли из преоб-
разований вида
ах а2, ... , aj,
определяемых параметрами. Например, для вращения плоскости
параметрами являются углы поворота, для пространства — так
называемые эйлеровы углы. Перемножение двух преобразований^
являющихся элементами группы, дает преобразование, тоже яв-
ляющееся элементом группы. Параметры последнего связаны с
параметрами сомножителей непрерывными функциями
Л = Fi («1. «2> • • • > ап> ₽1> ₽2> • • • >
Группы, определенные таким образом, получили название
групп Ли. Структура групп Ли оказалась связанной с^ вопросом
324
об интегрируемости дифференциальных уравнений в квадратурах.
Соответствующие структурные свойства групп Ли получили, по
аналогии с теорией Галуа, интерпретацию свойств разрешимости.
Ли классифицировал всевозможные группы преобразований на
плоскости и построил таблицу нормальных типов дифференциаль-
ных уравнений с указанием, решаются ли они в квадратурах.
Вопрос, вытекает ли из непрерывности функций Fi существование
таких параметров в группе, для которых функции Л аналитичны,
был включен Д. Гильбертом в число его знаменитых проблем ,и в
настоящее время решен-положительно L
Другое важное приложение теории непрерывных групп было
осуществлено около 1872 г. Ф. Клейном. Позднее будет рассказа-
но о концепции Клейна, что любая из геометрий (евклидова, аф-
финная, проективная и т. д.) имеет в своей основе некоторую не-
прерывную группу преобразований и представляет собой по суще-
ству учение об инвариантах этой группы.
Открытие столь многообразных приложений теории непре-
рывных групп было причиной введения еще более общего, абст-
рактного определения непрерывной группы. В него входит требо-
вание задания предельного перехода, согласованного с группой
операций. Вскоре удалось показать |(это сделал Ван Данциг), что
это определение более общее, нежели определение Ли, и что суще-
ствуют непрерывные группы, не являющиеся группами Ли. Так как
при этом определении отвлекаются от того, что элементы группы
являются преобразованиями, то приходят по существу к тополо-
гической группе и к топологическому пространству. В связи с этим
создалась настоятельная необходимость объединить отдельные то-
пологические факты в единую теорию. Это было проделано А. Пу-
анкаре в его знаменитом мемуаре «Analysis situs» («Анализ по-
ложения») (1895) и в пяти прибавлениях к нему (1899—1911).
На рубеже XIX и XX вв. теория групп стала необычайно раз-
ветвленной, составив ядро современной алгебры. Ее составляет
ряд высокоразвитых теорий: конечных групп, бесконечных дискрет-
ных групп, непрерывных групп, в том числе групп Ли. Теоретико-
групповые методы проникли в ряд математических дисциплин и
их приложений. Открытия де Бройля, Шредингера, Дирака и др.
в квантовой механике и в теории структуры материи показали, что
современная физика должна опираться на теорию непрерывных
групп, в особенности на теорию представлений групп линейными
операторами, теорию характеров и др., разработанные Картаном,
Г. Вейлем и другими учеными.
Прошло около половины столетия после работ Гаусса, Абеля
и Галуа, а центр тяжести в алгебраических исследованиях пере-
1 См., например, Л. С. Понтрягин. Непрерывные группы. М.,
ГТТИ, 1954.
325
местился в теорию групп, подгрупп, колец, структур. В алгебре
вступил в Свои права период современной математики.
Некоторые другие пути формирования современной алгебры.
Из богатой и разнообразной истории алгебры XIX в. мы выделили
сравнительно небольшую область формирования некоторых основ-
ных понятий. Это сделано потому, что в выделении немногих ал-
гебраических объектов — группы, поля, а позже кольца и струк-
туры — ив создании соответствующих теорий отражаются главные
изменения, происшедшие в алгебре в течение XIX — начала XX в.
Эти изменения предопределили основные направления развития
алгебры в первой половине XX в.
Более обстоятельное исследование истории создания совре-
менной алгебры связано с решением нескольких историко-мате-
матических задач.
Во-первых, необходимо проследить обогащение теории групп,
а также теории других основных алгебраических понятий факти-
ческим материалом, позволяющим полнее раскрывать их свойст-
ва. Так, наряду с историей конечных и непрерывных бесконечных
групп большой интерес в силу их важности для приложений вы-
зывают бесконечные дискретные группы.
, Во-вторых, перед исследователями встает задача раскрытия
связей теории групп (а также теории полей, колец и структур) с
другими математическими дисциплинами. Например, наметивше-
еся внедрение теоретико-групповых рассмотрений в область топо-
логических свойств привело к тому, что. теперь каждый тополо-
гический образ характеризуется в известной мере своей фунда-
ментальной группой, в общем случае бесконечной. Особенно вели-
ка, по-видимому, роль теории групп в теории узлов, частным слу-
чаем которых являются косы.-Среди многих задач, которые здесь
предстоит решить, можно назвать, например, задачу подробного
выяснения того обстоятельства, что в топологических образах фун-
даментальные группы несут, по-видимому, функции, сходные с
функциями групп Галуа в алгебраических полях.
История алгебры XIX в. будет неполной, если ^исследователь
не обратит внимания, в-третьих, на формирование линейной ал-
гебры, выраставшей из теории систем линейных уравнений и свя-
занной с ней теории определителей и матриц. Во второй полови-
не XIX в. велись весьма активные исследования теории инвариантов
уравнений, т. е. выявления функций их коэффициентов, сохра-
няющих свои значения при том или ином заданном классе пре-
образований. На этом пути развития выросла более общая тео-
рия форм, нашедшая применение не только в алгебре, но и в дру-
гих областях математики: теории чисел, дифференциальной гео-
метрии, алгебраической геометрии, механике и др., а также в -их
приложениях.
Мы не смогли, наконец, выделить место для освещения исто-
рии гиперкомплексных числовых систем Гамильтона и Грассмана,
созданных в 1830—1840 гг., и для богатой совокупности средств
326
изучения векторных пространств, играющих ныне столь важную
роль в исследовании различных, казалось бы, математических тео-
рий с единых, весьма общих позиций.
7.3. ПЕРЕСТРОЙКА ОСНОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Усиление роли теории пределов. Математический анализ к
XIX в. стал разветвленной системой дисциплин и продолжал за-
нимать центральное место в математике. Неиссякающий поток но-
вых теоретических результатов и непрерывно расширяющаяся об-
ласть приложений обусловили то, что в общей структуре матема-
тики особое место заняли именно аналитические дисциплины.
Математическое естествознание обогащало свое содержание
главным образом за счет анализа, в первую очередь дифферен-
циальных уравнений. Методы анализа глубже проникали в физи-
ку, не только в механику и оптику, но и в теорию электрических,
магнитных и тепловых явлений. В механике были подвергнуты
разработке кроме точек и их систем непрерывные среды. Разно-
образные области техники: паровые машины, артиллерия, техни-
ка строительства и др. — получали новые методы аналитического
исследования важнейших задач. В связи с этим структура и со-
держание математического анализа подверглись глубокой пере-
стройке.
Стандарт логической строгости, сложившийся в математичес-
ком анализе во второй половине XVIII в., отставал от приложе-
ний. Работа по обследованию этой области математики, проделан-
ная Эйлером, .Даламбером, Лагранжем и др., не привела к пре*
одолению отставания. Теоретические исследования требовали но-
вых, более тонких аналитических методов, опирающихся на ясные
и строго определенные исходные положения. Задача критического
пересмотра системы определений и логических приемов доказа-
тельств приобрела для математического анализа еще большую ак-
туальность. От ее решения зависело теперь слишком много. По-
этому исследования по обоснованию математического анализа за-
нимали в математике XIX в. большое место.
В современной структуре математического анализа одно из
центральных мест принадлежит понятию предела. Его значение
огромно. На него опирается практически весь аппарат инфините-
зимальных доказательств, характеризующийся гипотетико-дедук-
тивными суждениями и применением специфических неравенств
(этот аппарат мы выше условно назвали 8, б-аппарат).
Выше было показано также, что понятия предела и перехода
к нему фактически существуют в математике с давних пор. Пер-
воначальная теоретическая форма предельных суждений имелась
еще у древних греков в виде метода исчерпывания. Мы не нахо-
дим в этом методе еще ни понятия предела, ни единой отражаю-
327
щей сущность этого понятия символики. Однако единообразное
проведение метода с обязательным, хотя и неявно осуществляемым,
предельным переходом дало нам возможность увидеть в нем не-
развитую форму позднейшей теории пределов.
До появления работ Ньютона в истории математики можно
отметить лишь наличие отдельных фактически производимых пре-
дельных переходов, совокупность которых медленно расширяется.
Ньютону мы обязаны первой попыткой развить теорию пределов
как логическую основу созданного им в виде теории флюксий диф-
ференциального и интегрального исчисления. Он же ввел специ-
альный термин limes (предел), не давая ему формального опре-
деления, по-видимому как интуитивно ясному. Теория Ньютона
опубликована в его знаменитых «Математических началах нату-
ральной философии». Здесь она носила название «метода первых
и последних отношений», и об этом методе утверждалось, что с
его помощью все последующее доказывается. Однако метод пер-
вых и последних отношений не давал оперативной основы для
практического пользования бесконечно малыми. Ньютон также не
смог преодолеть трудности, связанные с определением отношения
исчезающих или зарождающихся величин.
Математики XVIII в. испробовали множество способов обос-
нования анализа бесконечно малых. Неудовлетворительность почти
всех этих способов быстро делалась очевидной. Только по отно-
шению к методам, основанным на понятии предельного перехода,
критика не обнаруживала существенных логических пробелов и
несообразностей. Поборники метода пределов Даламбер, Люилье,
Гурьев и др. с большой настойчивостью отстаивали его, разъясняя
роль и смысл понятия предела. Так, Даламбер писал по этому
поводу, что Ньютон видел в дифференциальном исчислении толь-
ко метод определения пределов отношений. Он никогда не диффе-
ренцировал величины, а только уравнения, так как всякое урав-
нение заключает в себе отношения между переменными, а решение
дифференциальных уравнений состоит только в определении пре-
делов отношений между конечными разностями содержащихся в
уравнении переменных.
Однако Даламбер не смог противопоставить лейбницевскому
отбрасыванию бесконечно малых при дифференцировании какой-
либо рациональный метод, основанный на предельных рассмотре-
ниях. Рекомендованный им прием можно коротко записать фор-
мулой
+ I
У h |л=о’
В этом приеме явно предполагается разложимость функции в ряд;
кроме того, в нем по существу еще нет операций с пределами.
Подобные определения понятия предела и связанных с ними
понятий могли служить лишь для объяснения, истолкования, на-
328
О. Коши (1789—1857)
конец, оправдания правильности результатов анализа бесконечно
малых. Так они и воспринимались. Но для внедрения в анализ
предельных рассмотрений требовалось большее: чтобы они слу-
жили средством разработки стоящих перед этой наукой проблем,
вошли в его оперативную практику. На этом пути предстояло пре-
одолеть большие трудности, связанные: с необходимостью опре-
делять существование пределов; с отсутствием алгоритма вычис-
ления пределов; с отсутствием математического выражения пре-
делов, позволяющего оперировать с ними, и соответствующей сим-
волики.
Первая из указанных трудностей (не говоря уже об осталь-
ных) отнюдь не носила абстрактно-теоретического характера, как
это могло бы показаться. В математике накопилось большое ко-
личество проблем, решение которых сводилось к решению вопро-
сов существования. Таковы, например: вопрос о существовании
корней алгебраических уравнений; о существовании сумм беско-
нечных рядов чисел; о существовании сумм бесконечных рядов
329
функций; о существовании интегралов функций как действитель-
ного, так и комплексного переменного. Для решения всех этих
проблем совокупность известных предельных переходов, индиви-
дуально определенных ранее, была совершенно недостаточна.
В конце XVIII — начале XIX в. сочинения большого числа ма-
тематиков отражали уже, с различной .степенью решимости и по-
следовательности, объективную необходимость построения теории
пределов как основы математического анализа и коренной пере-
стройки последнего. Наибольшие заслуги в осуществлении этого
принадлежат О. Коши.
Деятельность О. Коши в области обоснования математиче-
ского анализа. Процесс перестройки оснований математического
анализа на базе теории пределов отчетливо проявился в 20-х го-
дах XIX в., прежде всего в знаменитых лекциях О. Коши, которые
он читал в Политехнической школе в Париже.
Огюстен-Луи Коши (1789—1857), окончил в 1807 г. Политех-
ническую школу в Париже. Это учебное заведение, открытое в
1794 г., во время Великой французской буржуазной революции
для подготовки военных инженеров, сделалось впоследствии ос-
новным источником пополнения руководящих инженерных кадров
страны. В течение двух лет питомцы Политехнической школы по-
лучали основательную подготовку по математике, механике и чер-
чению. Затем их направляли для приобретения специальных ин-
женерных знаний на два года в одно из четырех учебных заведе-
ний: Институт путей сообщения, Горный институт и в высшие во-
енные училища: инженерное и артиллерийское. Лучшие из окан-
чивающих имели право выбора. Как правило, они выбирали пер-
вый из упомянутых институтов, пользовавшийся наиболее высокой
репутацией. Дальнейшее распределение по институтам также про-
исходило в соответствии с учебными успехами. Коши учился в
Институте путей сообщения, а затем (до 1813 г.) работал инже-
нером.
С 1816 г. Коши был назначен членом Академии и профессо-
ром Политехнической школы, где работал вместе с другими луч-
шими математиками Франции. Однако с 1830 до 1838 г. Коши вы-
нужден был находиться в эмиграции из-за своих религиозно-мо-
нархических убеждений и оппозиции республиканскому строю. По
возвращении во Францию он преподавал в иезуитском колледже и
только в 1848 г. стал профессором Сорбонны — Парижского уни-
верситета.
Научная продуктивность Коши была исключительной. Биогра-
фы насчитывают 789 опубликованных им работ. Наибольшее их
число относится к различным областям математического анализа
и его приложений. В последующем мы будем иметь возможность
осветить вклад Коши в теорию функций комплексного переменно-
го. В настоящей главе, чтобы не нарушать цельности изложения,
мы не остановимся также на заслугах Коши в области дифферен-
циальных уравнений: постановка задачи Коши, основные теоремы
330
существования решений для случая действительных и комплекс-
ных переменных, метод мажорант и метод характеристических по-
лос для интегрирования уравнений с частными производными пер-
вого порядка. По-видимому, в настоящей книге мы не сможем во-
обще дать характеристику работ Коши по геометрии, теории чи-
сел, алгебре, теории упругости и оптике и воссоздать атмосферу
интенсивного творчества Коши и его огромного авторитета среди
ученых-математиков. Здесь, как и повсюду в тексте, мы вынужде-
ны жертвовать персональным аспектом вопроса и ограничиваться
лишь краткими биографическими сведениями, не претендуя на со-
ставление научной биографии.
В Политехнической школе Коши читал лекции по математиче-
скому анализу. Весь курс лекций был опубликован в трех книгах:
«Курс анализа» (1821), «Резюме лекций по исчислению бесконеч-
но малых» (1823), «Лекции по приложениям анализа к геомет-
рии» (2 тома, 1826, 1828). Эти книги имеют особое значение по-
тому, что в них впервые математический анализ последовательно
строится на основе теории пределов. Они знаменуют начало ко-
ренной перестройки основ этой науки — перестройки, непосредст-
венно предшествующей ее современному состоянию.
«Курс анализа» Коши, называемый иногда «Алгебраическим
анализом» (в соответствии с текстом подзаголовка), посвящен
изучению элементарных функций как вещественного, так и комп-
лексного переменного, включая учение о бесконечных рядах,
В этом отношении Коши следовал установившимся в XVIII в,
благодаря Эйлеру традициям: предпослать собственно дифферен-
циальному и интегральному исчислению учение о функциях. Зна-
чение такого сочинения в структуре анализа очевидно. Классифи-
кация функций, разложение их в степенной ряд, в бесконечные
произведения, частные приемы преобразования функций необходи-
мы для успешного применения к ним операций дифференцирова-
ния и интегрирования. Последние два вида операций рассматри-
вались как специфические для анализа бесконечно малых. Все
предшествующие им преобразования функций, хотя и совершаемые
как над конечным, так и над бесконечным числом объектов, по-
лучили поэтому специфически смешанное название «алгебраиче-
ский анализ».
Алгебраический анализ Коши уже во многом напоминает со-
временное изложение основ математического анализа. В нем впер-
вые вводится бесконечно малая величина как переменная, предел
которой равен нулю. Непрерывность функции рассматривается как
наличие соответствия бесконечно малого приращения функции
бесконечно малому приращению аргумента. С большой тщатель-
ностью изложен вопрос о сходимости бесконечных рядов, суще-
ствование которой обусловливается наличием предела сумм ко-
нечного числа членов с обязательной строгой аналитической оцен-
кой остаточного члена.
Чтобы распространить понятие сходимости на возможно более
331
широкие классы рядов, Коши связал сходимость знакопеременных
рядов со сходимостью рядов, составленных из модулей их членов.
Относительно абсолютной сходимости,, введенной таким образом,
он доказал ряд теорем, например теорему о том, что сумма ряда,
являющегося произведением двух абсолютно сходящихся рядов,
равна произведению их сумм.
Коши поставил на достаточно прочную основу исследование
признаков сходимости рядов. Этому предшествовали лишь немно-
гие открытия: интегральный признак (Маклорен, 1742) и недоста-
точно строго сформулированный признак Даламбера (1768).
В лекциях Коши указан ряд достаточных признаков сходимости.
За этими результатами Коши последовал длинный ряд иссле-
дований, имеющих целью выработать наиболее общие и чувстви-
тельные признаки сходимости рядов. Полное исследование условий
сходимости ряда на комплексной плоскости дал в 1826 г. Абель.
Новые достаточные признаки, вошедшие затем в учебные курсы,
нашли И. Раабе (1832), Н. Лобачевский (1834), Э. Куммер (1835),
Бонне (1842), Бертран (1842), В. П. Ермаков (1870) и др. Опре-
деленный итог всем частным попыткам отыскания признаков схо-
димости подвел Н. В. Бугаев (1863 и 1888), который ввел теорию
сопряженных рядов, позволившую охватить с единых позиций мно-
жество признаков.
Теория рядов обогатилась в . лекциях Коши установлением
области сходимости степенных рядов
«о + «1? + а2г2 + ...
как для действительных, так и для комплексных значений
аргумента. Для последних определен (в 1844 г.) круг сходи-
мости и выведена теорема, известная ныне как теорема Коши —
Адамара: ряд сходится (соответственно, расходится), если
Разъяснено, что если Х=0, то ряд сходится на всей плоскости;
если Х=оо, то область сходимости исчерпывается единственной
точкой; наконец, условие 0<Х<оо означает, что ряд сходится
внутри круга радиуса |г — ?01 <С~и расходится вне его.
К сожалению, у Коши нет еще представления о равномерной
сходимости ряда в интервале. Из-за этого в алгебраический анализ
попала неправильная теорема: сходящийся ряд непрерывных
функций в области сходимости представляет сам непрерывную
функцию. Вскоре (1826) эту ошибку, впрочем, отметил и исправил
Абель. Понятие равномерной сходимости было введено в 1848 г.
Дж. Стоксом и Л. Зейделем.
332
То же стремление перестроить весь анализ на основе теории
пределов выражено во второй книге Коши— «Резюме лекций по
исчислению бесконечно малых» (1823). В ней изложено дифферен-
циальное и интегральное исчисление функций действительного
переменного. Об особенностях структуры этой книги, вытекающих
из поставленной цели, в книге говорится: «Моей главной целью
было согласовать строгость, которую я вменял себе в обязанность
в изложении моего курса анализа (имеется в виду алгебраиче-
ский анализ. — К. Л), с простотой, вытекающей из непосредствен-
ного рассмотрения бесконечно малых количеств. По этой причине
я считал долгом отвергать разложения функций в бесконечные ря-
ды во всех случаях, когда полученные ряды не сходятся, и я был
вынужден отнести к интегральному исчислению формулу Тейлора,
так как формулу эту можно считать общей лишь тогда, когда со-
держащийся в ней ряд сведен к конечному числу членов и допол-
нен определенным интегралом (речь идет об интегральной форме
остаточного члена. — К. Р.).
Я знаю, что знаменитый автор Аналитической механики (Лаг-
ранж. — К. Р.) взял формулу, о которой идет речь, в качестве
основы своей теории производных функций. Но, несмотря на все
почтение, внушаемое таким большим авторитетом, большая часть
геометров (так в. ту пору называли всех математиков. — К. Р.)
согласно признает теперь недостоверность результатов, к которым
можно прийти, употребляя расходящиеся-ряды; мы прибавим, что
во многих случаях теорема Тейлора как бы дает разложение
функции в сходящийся ряд, хотя сумма этого ряда существенно
отличается от. предложенной функции. Впрочем, я надеюсь, что
читатели моего сочинения убедятся в том, что принципы дифферен-
циального исчисления и его важнейших приложений могут быть
легко изложены без помощи рядов»1.
Далее следуют лекции по дифференциальному исчислению,
весьма уже сходные с привычным нам изложением. Впечатление
сходности усиливается, когда мы встречаем критерий сходимости
последовательностей (критерий Больцано — Коши): члены схо-
дящейся последовательности с достаточно большими индексами
должны сколь угодно мало отличаться друг от друга. Здесь еще
нет 8, б-аппарата (для любого 8>0 существует N такое, что
\ап—^тп|<8 для всех'п, m>Af), но существо дела уже выражено.
Для дифференциального исчисления Коши характерно также си-
стематическое применение теоремы о среднем значении:
Z(x + ft)-/(x) = о<0<1,
h
эпизодические упоминания о которой были известны ранее и ко-
торую впервые применил Лагранж (1804) для вывода ряда с приб-
1 O.-L. Cauchy. Resume des lecons donnes sur le calcul infinitesimal. Oeuv-
res, ser. 2, vol. IV. Paris, 1829, p. 263.
333
лиженным выражением остаточного члена. Мы не будем излагать
здесь эту часть курса лекций Коши более подробно.-
В области интегрального исчисления курс лекций Коши отли-
чался коренным образом от курса Эйлера и других предшествен-
ников. Его своеобразие прежде всего проявилось в выборе основ-
ного понятия. Это было понятие определенного интеграла.
Новым было и появление в начале лекций аналитического
доказательства существования определенного интеграла от непре-
рывной функции. Доказательство это носит все черты позднейших
доказательств теорем существования. Ход мыслей здесь таков:
задается функция /(х), непрерывная на отрезке [х0, X]. Этот отре-
зок делится на п частей точками Xi, хг,...» xn-i. Составляется
сумма
п— 1
s = £ xt),
i=0
и относительно нее доказывается, что при п->оо и АХг~>0.
Величина интеграла А рассматривается как функция от крайних
значений отрезка интеграции и функции f(x).
Заметную часть лекций по интегральному исчислению заняли
разложения функций в ряды Тейлора и Маклорена. Точной оценке
остаточного члена и выводу его различных аналитических форм
Коши уделил много места и в других своих исследованиях. В лек-
циях Коши приведен широко известный и ныне пример функции
_ 1
/(х)=е , х#=0; /(х) = 0, х = 0,
соответствующий ряд для которой в точке х=0 сходится, но не к
данной функции. Тем самым он провел отчетливое различие между
вопросами о сходимости рядов Тейлора вообще и о сходимости к
данной функции.
Указанные лекции Коши (третья часть их посвящена геомет-
рическим приложениям математического анализа) имели очень
широкое последействие. Теория пределов начала завоевывать по-
ложение основы всего анализа. Эта идея постепенно получала рас-
пространение.
Усовершенствование Б. Больцано основ теории функций.
Более глубокое исследование основ математического анализа тре-
бует, как теперь известно, привлечения методов и фактов теории
множеств и теории функций действительного переменного. Основы
такого исследования были заложены также в первой половине
XIX в. Главные заслуги в этой области (о чем стало известно позд-
нее) принадлежат Бернарду Больцано (1781 —1848), выдающемуся
чешскому ученому. С 1805 по 1820 г. он преподавал богослов-
ские дисциплины в Пражском университете. За выступления в
пользу национальной самостоятельности чешского народа и про-
тив владычества австрийской монархии он был отстранен от пре-
334
Б. Больцано (1781—1848)
подавания. Ему было запрещено поступать на государственную
службу, выступать устно и в печати. Без средств к существованию
Больцано прожил остаток жизни в деревне у друзей, продолжая
любимые с юношеских лет занятия математикой и философией.
335
Философские и математические исследования Больцано всегда
были тесно связаны. Он видел в выработке математического мыш-
ления необходимую предпосылку для более, как правило, слож-
ных философских суждений. В работе «К более обоснованному
изложению математики» он так сформулировал цели своих мате-
матических исследований: «В течение примерно пятнадцати лет
эта наука всегда была одним из моих Излюбленных занятий; одна-
ко, преимущественно лишь в ее спекулятивной части, как ветви
философии, и как средства упражнения в правильном мышлении.
Сразу же, при первом ознакомлении с ней, что произошло по пре-
восходному учебнику Кестнера, мне стали заметны один-два недо-
статка, устранением которых я стал заниматься в свои свободные
часы, уверяю, не из тщеславия, а из-за внутреннего интереса, кото-
рый я находил в таких спекуляциях. При более продолжительном
размышлении число недостатков, которые я, как мне казалось,
обнаружил, еще увеличилось» \
Более или менее полная характеристика математического твор-
чества Больцано выходит за пределы поставленных перед настоя-
щей главой задач. Обратим внимание лишь на логический анализ
содержания основных понятий и методов доказательств, далеко
продвинутую формализацию суждений, которые позволили Боль-
цано в области анализа сделать ряд важных открытий, опередив
современную ему науку. Ис-
ключительно неблагоприят-
ные условия, в которых
жил и работал Больцано,
были причиной того, что
почти все его работы увиде-
ли свет лишь после его
смерти. Основные его ре-
зультаты стали известны
лишь в 70-х годах, а приз-
нание начали получать с
80-х годов. Рукопись его
важнейшего сочинения —
«Учения о функциях» — бы-
ла обнаружена лишь а
1920 г., а опубликована, с
примечаниями К. Рыхлика,
лишь в 1930 г., т. е. ровно
через сто лет со времени ее
написания. Об этом обстоя-
тельстве можно лишь пожа-
леть. Больцано в области обоснования анализа сделал многое
раньше Коши и тем более Вейерштрасса. Будь его работы опубли-
кованы, ход событий в этой области был бы, видимо, ускорен.
1 Цит. по кн.: Э. Кольман. Бернард Больцано. М., Изд-во АН СССР„
1955, стр. 35.
336
В самом деле, еще в 1817 г. Больцано сформулировал и дока-
зал теорему, что если множество вещественных чисел ограничено^
сверху (соответственно, снизу), то оно имеет точную верхнюю
(соответственно, нижнюю) грань. Тем самым он опередил Вейер-
штрасса, сформулировавшего эту теорему после 1860 г. Тогда же,
за несколько лет до Коши, Больцано вывел критерий сходимости
последовальностей и дал строгое определение непрерывности функ-
ций. Он глубоко изучил свойства непрерывных функций и доказал
относительно них ряд замечательных теорем и, в частности, сле-
дующую: непрерывная функция принимает все промежуточные'
значения, лежащие между двумя ее различными значениями. Ему
же принадлежит введение односторонней непрерывности.
Больцано опроверг общепринятое мнение, сформулированное
в 1806 г. Ампером, что непрерывные функции имеют лишь, быть
может, изолированные особенности. В геометрическом плане это
означает, что всякая непрерывная кривая должна иметь касатель-
ные всюду, за исключением, быть может, отдельных точек. Боль-
цано расширил класс непрерывных кривых, применив метод накоп-
ления особенностей, и получил на этом пути много своеобразных
функций, в том числе функцию, не имеющую производной (соот-
ветственно, касательной) ни в одной точке и известную нам теперь
как функция Больцано.
В применении к построению функции Больцано В(х) метод
накопления особенностей состоит в следующем. Строится BG(x) —
отрезок прямой между точками, например А (0, 0) и В (a, h)
(рис. 53). Затем строится Bi(x) — ломаная ACDEB, где
С(-2~, —у), £>(у,о), у)-
В2(х) получится повторением предыдущей операции на каждом
из указанных четырех отрезков. n-Кратное повторение этой опера-
ции дает ломаную Вп(х). Функция Больцано В(х) в точках вида
ka
х —----
4"
(0^^^4n, k — целое, n=0, 1, 2, 3, ...) определяется как*сов-
падающая с Вп(х). На множестве {%}, отличных от t = -у,
В(х) = limB(Z).
t-*x
Функция Больцано непрерывна, но не имеет конечной произ-
водной ни в одной точке. В самом деле, колебание Вп(х) на
отрезках
/ ka (Z? 4~ 1) д \
\ )
будет
337
0 f ka_ (Z?+l)g \ = _h_
n 4n * 4n J 2n *
Однако колебание Bn (x) для любого отрезка
<*)
так как внутрь этого отрезка попадет хоть один промежуток из чис-
ла полученных при делении промежутка (0, а) на 4n+1 равных ча-
стей. Поэтому всегда можно выбрать такое Дх>0, чтобы одновре-
менно
Дх<-^Г и + А*) — в<х)1 >~^Т-
Действительно, пусть на сегменте £х, х +j наибольшее и наи-
меньшее значения В(х) будут М и т. В соответствии с (%)
М — т> —.
2«
Поэтому будет иметь место хотя бы одно из неравенств
М — В(х)> — . —
4 1 2 2«
В (х) — т^> —.
2 2Л
Пусть, например,
М — В(х)>-------
v ’ 2 2"
Тогда на отрезке х, х + найдется х' такое, что
В(х')=М,
и поэтому
B(x')-B(x)>-L.^r
и одновременно
А / а
Дх = х' — х<----.
В таком случае
В(х + Ах) —В(х) h t 2n_i
Дх а
338
и В(х) в отрезке [0, а] не имеет конечной производной Ч
Кривая Больцано была найдена во всяком.случае до 1830 г.
Однако долгое время считалось, что первые примеры непрерывной
недифференцируемой функции дали в 1875 г. Вейерштрасс:
f (х) = V a* cos (bkдх)
"о
3 \
(0<а<1, Ъ — целое нечетное число, а6>1 + —л I и Дарбу:
zw=£ тг sin к*+1)1
/г=0
В «Учении о функциях» Больцано построены и исследованы в
другие сложные функции. Он изучил непрерывные функции, имею-
щие бесконечное множество экстремумов. Таковы, например: ло-
маная с угловыми точками
22n—1 — 1
_____________
V 22"-1 ’ 2 J 22п ’ J ’ ’ ‘'
непрерывная в [0, 1] и имеющая в х— 1 разрыв; функция
/(х) = sin log (1 —х)
на [0, 1] и др.
Исследованию у Больцано подверглись и разрывные функции.
Он построил функцию Ф(х), которая на [—1; +1] принимает все-
зндчения от —1 до +1 и имеет разрыв в каждой точке этого сег-
мента, определив ее следующим образом:
Ф(х) = х для х вида —1-
ф(0) = —1,
ф(—1) = 0,
Ф(х) = —х для всех остальных х.
Другим примером может служить монотонная функция, имею-
щая бесконечное множество разрывов. Она задана последователь-
ностью отрезков, попарно соединяющих точки:
<»• °).G.V• ^‘Ит-0 (:-•!)
1 См., например, В. Ф. Бржечка. О функции Больцано. «Усп. матем.
наук», 1949, т. 4, № 2 (30), стр. 15—21.
339
( 1_ 13 / 7 14 X / 15 19 X
\ 8 ’ 8 /’ \ 8 ’ 8 J’ \ 16 ’ 16 ) ’ ’ “
В сочинениях Больцано и в особенности в его «Учении о функ-
циях» содержится большое число результатов, позднее вошедших
в состав теории функций действительного переменного. Более того,
в сочинении «Парадоксы бесконечного», написанном Больцано в
последние годы жизни и увидевшем свет в 1851 г., мы встречаем
существенные суждения позднейшей теории множеств. Так, дано
обычно приписываемое Дедекинду определение бесконечного мно-
жества как такого, которое равномощно своей правильной части.
Высказан принцип, что всякое бесконечное множество точек на
сегменте имеет по меньшей мере одну предельную точку. В позд-
нейшее время возобновилась публикация материалов из научного
наследия Больцано, что дает возможность полнее охарактеризо-
вать его научные достижения.
Построение теории действительного числа и теории множеств.
К половине XIX в. была разработана теория пределов, построены
элементы современной теории функций и теории^ множеств. Одна-
ко теория пределов получила признание не сразу. Крупнейшие
математики Европы не использовали этот метод в своих работах
(например, Пуассон), предпочитая лейбницевское исчисление бес-
конечно малых. Большинство английских математиков долго не
воспринимали идей Коши, равно как и общепринятой теперь сим-
волики анализа бесконечно малых, введенной Лейбницем, видя в
этом чуть ли не оскорбление памяти великого Ньютона. Не было
недостатка и в критиках теории пределов.
При ближайшем рассмотрении этого кажущегося странным
обстоятельства оказывается, что большинство критиков теории
пределов принадлежало к математикам, чьи работы были посвя-
щены, в основном или в большинстве, приложениям. Содержание
критики с течением времени определилось в двух направлениях.
Во-первых, было обращено внимание на то, что с понятием преде-
ла нельзя связать никакого алгоритма его нахождения. Многие
понятия не могли быть признаны из-за их описательности, отсут-
ствия количественных оценок. Таковы, например: «приближаться
неограниченно», «сколь угодно малое», «последнее отношение бес-
конечно малых приращений» и т. д. Основное для теории пределов
понятие устремления означает апелляцию к интуиции движения.
В силу эти£ недостатков применение теории пределов, особенно в
задачах практического характера, было в глазах многих современ-
ников Коши необычайно и неоправданно затруднительно.
Во-вторых,< в теории пределов были обнаружены логические про-
белы, устранить которые ее защитникам не удавалось. Примером
такого пробела может служить определение вещественного числа.
Последнее определялось как предел последовательности рацио-
нальных чисел. Например, 1/2 рассматривался как предел после-
довательности его неполных извлечений: 1; 1,4; 1,41; 1,414 .... Но
340
для того чтобы так определять это число, надо предполагать су-
ществование его, т. е. совершать логически порочный круг в суж-
дениях. Неясным оставалось также понятие бесконечной совокуп-
ности элементов, к которому приходилось прибегать. Наконец, не-
разработанность теории функций, которую преодолевал неизвест-
ный в то время Больцано, приводила математиков к ошибкам,
аналогичных упоминаемым выше убеждениям, что непрерывности
функции достаточно для ее геометрической представимости и су-
ществования производной почти всюду или что сходящийся ряд
непрерывных функций -представляет сам непрерывную функцию.
Таким образом, проблемы' обоснования анализа выражались
теперь в острой необходимости: а) построения строгой теории дей-
ствительного числа, б) разъяснения и включения в математику
понятия бесконечного множества, в) выявления полного объема
класса непрерывных функций и включения в общую классифика-
цию возможно более широкого класса разрывных функций. От
преодоления этих трудностей зависели дальнейшие успехи мате-
матического анализа.
И вот в 1872 г., в один и тот же год, появился ряд примеча-
тельных работ. В журнале «Mathematische Annalen» была опубли-
кована первая из работ Г. Кантора об основаниях арифметики.
Вышло в свет сочинение Р. Дедекинда «Непрерывность и иррацио-
нальные числа». Появились работы на эту тему Е. Гейне и
Ш. Мерэ L Все эти сочинения преследовали единую цель: дать
строгую теорию действительного числа. Тот же вопрос в течение
ряда лет разрабатывал Вейерштрасс в знаменитых лекциях об
аналитических функциях.
В указанных многочисленных исследованиях появились разно-
видности теории вещественного числа, удовлетворяющие высоким
требованиям строгости. Дедекинд определял действительные
числа как сечения во множестве рациональных чисел,
дав совокупности всех действительных чисел (линейно-
му континууму) геометрическую интерпретацию в виде прямой
.линии. Свойство непрерывности прямой, по Дедекинду,
состоит в том, что при сечениях будет находиться либо
«самая правая точка одного класса, либо самая левая точка дру-
гого. Совокупность всех рациональных чисел свойством непрерыв-
ности не обладает. Тогда вводится иррациональное число (точка),
как такое сечение множества рациональных чисел, в классах кото-
рого нет ни самого правого, ни самого левого числа (точки). Так,
у Дедекинда была введена совокупность всех действительных чи-
сел, уже обладающая свойством непрерывности.
Канторово определение действительного числа идентифицирует
последнее со сходящейся последовательностью рациональных чи-
1 См. Н. С. R. М е г а у. Ch. Nouveau precis d’analyse infinitesimal. Paris, ed.
Savy, 1872; E. Heine. Die Elemente der Functionlehre, Brorchardt J., LXXIV,
172—188 («Journal fur die reine und angewandte Math.», 1872).
341
сел L Это определение, как и предыдущее, опирается на абстрак-
цию актуальной бесконечности и основывается на анализе понятия
непрерывности. Подход к определению непрерывности был разли-
чен. Дедекиндово определение базируется на упорядоченности
множества рациональных чисел. Определение же Кантора вклю-
чает рассмотрение разностей, расстояний между элементами, что
соответствует природе понятия сходимости. Однако оба подхода
к определению непрерывности эквивалентны, поскольку веществен-
ные числа строятся на основе системы рациональных чисел.
Воззрения берлинского профессора К. Вейерштрасса на при-
роду действительного числа составляли часть его общего плана
построения математического анализа, понимаемого в широком
смысле, на возможно более строгих основах. Вейерштрасс ввел в
математический анализ много важнейших результатов: системати-
ческое использование понятий верхней и нижней грани числовых
множеств, учение о предельных точках, обоснование свойства функ-
ции, непрерывной на отрезке, достигать своей верхней и нижней
грани, построение функции, не имеющей производной ни в одной
точке, доказательство возможности разложения непрерывной на
отрезке функции в равномерно сходящийся ряд многочленов и др.
В этой стройной и строгой системе математического анализа при-
мерно к 1880 г. был выработан современный вид определений и
аппарат доказательств, опирающийся на услрвно-дедуктивные суж-
дения («пусть задано 8>0, тогда можно выбрать такое 6>0,
что'...») и соответствующий символизм. Теория действительного
числа служит Вейерштрассу (как и другим ученым) основой для
всего здания математического анализа. . /
Вейерштрасс исходит при этом из множества положительных
рациональных чисел {av}, которое он называет агрегатом. Агрегат
обладает тем свойством, что’ сколько бы и какие бы элементы
агрегата ни суммировались (речь всегда идет о конечном, хотя и
сколь угодно большом, числе элементов), их сумма не превышает
заданных границ. Примером агрегата может служить любая деся-
тичная дробь. Пусть заданы два агрегата {av} и {av}, индентифи-
цируемые с числами b и Ь'. Берем аликвотные части единицы —
п
(п=1, 2, 3, 4,... или п=1, 10, 100, ... все равно!). Может осущест-
виться один из трех случаев: а) перебирая элементы агрегатов,- мы
найдем, что — повторяется одинаково часто; б) и в) для некото-
рого п величина — чаще повторяется в первом (соответственно
П
втором) агрегате. Эти три случая соответственно означают b = b'
b>b', b<b'. Объединение агрегатов дает сумму соответствующих
1 См. И. В. Арнольд. Теоретическая арифметика. М., Учпедгиз, 1938».
стр. 286.
342
чисел. Составление агрегата элементами которого являют-
ся все возможные произведения элементов вида {Ov-a^J, служит
для определения умножения.
Все виды теории действительного числа опирались на рассмот-
рение множеств рациональных чисел. Этим самым трудности, свя-
занные с обоснованием анализа, переместились в область логиче-
ского анализа ряда натуральных чисел и вообще множеств с бес-
конечным числом элементов. В самом же анализе к концу XIX в.
установился в основном современный стандарт логической строго-
сти в определениях и доказательствах.
Создание теории бесконечных множеств и трансфинитных чи-
сел принадлежит Г. Кантору, профессору университета в Галле.
Серия его работ на эту тему последовала вслед за работами по
теории действительного числа. Он доказал (1874) неэквивалент-
ность множеств рациональных и действительных чисел. Через не-
сколько лет (1878) в его трудах было введено общее понятие мощ-
ности множества, разработаны основы отображения и сравнения
множеств и доказана равномощность множества точек линейного
континуума и точек n-мерного многообразия. Систематическая
разработка теории множеств была завершена Кантором в после-
дующие пять лет (1879—1884). При этом он ввел понятие пре-
дельной точки, производного множества, пример совершенного
множества, получившего его имя (1883), высказал континуум-
гипотезу и т. п.
Развитие теории функций Вейерштрасса, теории множеств
Кантора протекало в последние годы XIX столетия в обстановке
острой критики и борьбы. Особенно острыми были выступления
«берлинского профессора Л. Кронекера, ученика Куммера. В вопро-
сах оснований математики Кронекер, основные работы которого
относились к алгебре и теории групп, был приверженцем арифме-
тизации математики. Это означало стремление свести все трудно-
сти, связанные с обоснованием любой области математики, к нату-
ральному ряду. Эта позиция Кронекера нашла яркое выражение в
утверждении, которое он неоднократно повторял, что целые числа
создал господь бог, а все остальное есть дело рук человеческих.
Разумеется, апелляция к верховному существу не означает
ничего иного, как проявление идеализма, метафизической ограни-
ченности и других несовершенств в философских воззрениях
Кронекера. Кстати заметим, что эта узость и ограниченность воз-
зрений (а Кронекер с большой страстностью отстаивал их) нано-
сила большой ущерб научному „ творчеству самого Кронекера.
Пуанкаре правильно указывал на это обстоятельство, шутливо до-
бавляя, что Кронекер добился выдающихся результатов в матема-
тике только потому, что он нередко забывал о своих философских
убеждениях.
Построенная Кантором общая теория мощностей множеств,
отображений, операций над множествами, свойств упорядоченных
343
множеств составила впоследствии основное содержание абстракт-
ной теории множеств. Понятие предельной точки и связанное с ним
понятие замкнутости множества после введения в 1902 г. А. Лебе-
гом понятия меры множеств и исследований Э. Бореля привели к
созданию метрической теории множеств. Последняя послужила
основой общей теории интегрирования и тригонометрических ря-
дов. Позднее она привела к построению в работах А. Лебега,
К. Каратеодори, Ф. Хаусдорфа и др. общей теории меры.
М. Фреше (1906) и Ф. Хаусдорф (1914), исследуя введен-
ное Кантором понятие связности и другие примыкающие к нему,
развили топологическую теорию множеств как теорию множеств,
. расположенных в общих метрических и топологических простран-
ствах. Наконец, дескриптивная теория точечных множеств и свя*
занная с ней весьма общая классификация разрывных функций
(классификация Бэра) ведут свое начало примерно с 1900 г., от
работ Р. Бэра и А. Лебега.
Теория множеств оказала огромное воздействие на развитие
математики. Она явилась основой современной теории функций
действительного переменного, топологии, алгебры и теории групп,
функционального анализа и др. Методы теории множеств широка
используются в большинстве математических наук современности.
Это, однако, не означает сводимости всей математики к теории
множеств. В самой этой теории еще при жизни Кантора обнару-
жились парадоксы, как, например, парадокс относительно сущест-
вования множества всех множеств и др.
Вопросы обоснования теории множеств, исследования преде-
лов ее применимости влились в XX в. в специальную науку —
математическую логику, составляющую важную часть оснований
современной математики. Эта часть математики (основания),
включающая в себя совокупность философских, исторических и
логических воззрений относительно содержания, формы и связей
(в том числе внутренних взаимосвязей) математики, развивается
в XX в. весьма бурно. Ее выводы получают практические приложе-
ния, отражая рост научной и технической практики человечества.
7.4. РАЗВИТИЕ АППАРАТА И ПРИЛОЖЕНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Дифференциальные уравнения — основное оперативное сред-
ство анализа. Аппарат математического анализа в XIX в. представ-
лял собой быстро разрастающуюся совокупность приемов и мето-
дов решения весьма уже многочисленных задач. Все эти методы
можно еще было разделить на три большие группы, объединяемые
в дифференциальном исчислении/ интегральном исчислении и в
быстро обособляющейся от последнего теории дифференциальных
уравнений. Контуры формирующейся теории функций комплексно-
го переменного, теории специальных функций и т. п. вырисовыва-
лись еще слабо.
344
Из многообразных приложений математического анализа мы
выделим те, которые связаны с решением дифференциальных урав-
нений. Тем самым мы оставим в стороне сравнительно элементар-
ные приложения, сводящиеся к дифференцированию или интегри-
рованию функций, требуемому условиями задачи. Эти операции
уже вошли в широкую, сравнительно доступную область практи-
ки. Однако возросшая сложность приложений нуждалась в более
общих и мощных средствах. Таким средством явилась совокуп-
ность методов решения дифференциальных уравнений, как обыкно-
венных, так и с частными производными. Решение дифференци-
альных уравнений являлось главным оперативным средством ана-
лиза, а проблемы, связанные с этим решением, — основными
научно-практическими проблемами.
В выделенной нами области математического анализа ярко
проявляется определяющее влияние задач математического есте-
ствознания, в первую очередь механики и математической физики,
и тесное взаимодействие теоретических и практических исследова-
ний. Вокруг решения проблем математической физики группиру-
ются сравнительно большие коллективы ученых, образуя научные
школы. Крупнейшее из таких объединений сформировалось в Па-
риже в Политехнической школе. Задачами математической физики
здесь успешно занимались Пуассон, Фурье, Коши и др.
В Париже получили научную подготовку русские математики
В. Я. Буняковский, М. В. Остроградский. Возвратившись в Россию,
они основали Петербургскую математическую школу, одним из
главных направлений которой была разработка методов решения
задач математической физики.
Несколько значительных центров научного исследования в
области прикладных методов анализа сформировалось в государ-
ствах Германского союза. В Берлине таким центром сделалась
Берлинская политехническая школа, ведущая роль в которой при-
надлежала Л. Дирихле. С 20-х годов заметное место начал зани-
мать Кенигсбергский университет, в связи с работами Ф. Неймана
и его учеников по математической физике. Наконец, в Геттингене
над созданием математического аппарата электромагнитных явле-
ний много трудился К. Ф. Гаусс в сотрудничестве с Вебером.
Большая группа исследователей математических методов фи-
зики и механики имелась в Англии: Грин, Стокс, Томсон, Гамиль-
тон, Максвелл и др. Усилиями столь большого количества ученых
было достигнуто быстрое и значительное расширение области при-
ложений математического анализа. Рассмотрим некоторые стороны
этого процесса.
Создание аналитического аппарата для исследования элек-
тромагнитных явлений. Одной из первых успешно разрешен-
ных задач была задача построения математической теории элек-
тромагнитных явлений. К XIX в. учение об электричестве и магне-
тизме выделилось в физике в самостоятельную область. В 1820 г.
345
стало известным открытие Эрстедтом действия тока на магнитную»
стрелку, установившее общность разнородных, казалось бы, явле-
ний. К тому же времени Био, Савар, Лаплас, Араго, Ампер, Кулон
и др. ввели необходимые основные понятия: заряда, количества
электричества, плотности электричества, законы взаимодействия
неподвижных зарядов и т. д. Задачи электромагнетизма повлекли
в математическом плане множество работ по исследованию притя-
жений точек по закону Ньютона и электростатических гголей.
Методы решения задач небесной механики, в частности задач
о притяжении небесных тел по закону Ньютона, получили новую
область применения. Переход в исследованиях от точечных центров
притяжения к непрерывному распределению материи привел от
рассмотрения потенциалов дискретного точечного поля к силовым
полям, образованным телами или непрерывно распределенной ма-
терией. Было введено понятие потенциала поля и определено его
выражение для простейшего поля, образованного заряженной точ-
кой A (a, Ь, с) массы т:
V^V(X, у,
(где г= К (х—а)2 -Ь (у—b)2+(z—с)2, у — постоянная притяже-
ния, р(х, у, z) — притягиваемая точка). Вскоре же были найдены
выражения потенциала для системы притягивающих точек, а затем
для поля с непрерывным распределением притягивающих масс в
объеме со:
(<о)
(р(а, Ь, с) — плотность распределения).
Еще в 1787 г. Лаплас показал, что в пространстве вне тела по-
тенциальная функция удовлетворяет уравнению
ди = «L+ +
дх2 ду2 dz2
Впрочем, это уравнение встречалось еще у Эйлера, а понятие о
силовой функции, дифференцирование которой по направлению
давало бы ньютоновские силы притяжения, ввел в 1773 г. Лагранж,,
оформив тем самым идею силовой функции, которую высказывали
еще Д. Бернулли, Эйлер и Клеро.
Математическая теория* электрического потенциала сформи-
ровалась сравнительно быстро. Ряд задач о распределении элек-
тричества на поверхности проводников решил Пуассон, вообще
основательно разработавший многие отделы современной ему ма-
тематической физики: капиллярность, изгибание пластинок, элек-
тростатическую магнетостатику, теплопроводность. Около 1813 г.
он распространил уравнение Лапласа на пространство, заключен-
346
ное внутри притягивающего тела, и вывел широко известное теперь
уравнение
d2V . d2V t d2V ,
дх2 ду2 dz2 Г
Пуассон решил много задач магнетостатики. При этом он факти-
чески опирался на понятие потенциала, однако ввел это важное
понятие не он. Общая постановка теории потенциала появилась в
трудах Грина и Гаусса. -
Грин изложил свою теорию в сочинении «Исследование по ма-
тематической теории электричества и магнетизма» (1828). Здесь он
исследовал центральную проблему электростатики того времени:
задачу о распределении электричества на поверхности проводника,
которое индуцируется воздействием внешних электрических сил.
В основе рассуждений Грина лежало соображение,, что электриче-
ские и магнитные сцлы' могут быть определены через функцию
координат, такую, что составляющие этих сил по осям' суть ее част-
ные соответствующие производные, взятые с обратным знаком.
Потенциальная (как ее здесь впервые назвал Грин) функция опре-
деляется распределением зарядов. Грин вывел далее интегральную
теорему, известную ныне как формула Грина, показал, что значе-
ние потенциала внутри или вне любой поверхности выражается
через значение потенциальной функции и ее нормальной производ-
ной на этой поверхности.
Выражение поверхностной плотности р, по Грину,
1 Г dv । dv "1
Р = — — + т-7 ,
4л [ д(д да) J
S * (
где в скобках помещены нормальные производные потенциала на
противоположных сторонах поверхности. Если речь идет о провод-
нике, поле внутри которого, а следовательно и нормальная произ-
водная, отсутствует, то
1 dv
Р =----
4л да)
(теперь пишут: Е = 4лр, где Е — напряженность поля). Наконец,
Грин ввел так называемую функцию Грина, интерпретирующуюся
как потенциал внутри замкнутой заземленной проводящей поверх-
ности, если туда помещен единичный заряд.
В несколько более общей форме и, по-видимому, независимо
от Грина построил общую теорию потенциала Гаусс. Он сделал
это в работе «Общие теоремы относительно сил притяжения и
отталкивания ... действующих обратно пропорционально квадрату
расстояния» (1840). Функцию
347
где т могут представлять как обычные массы, так и электриче-
ские или магнитные заряды,* Гаусс назвал потенциалом. Он систе-
матически исследовал свойства потенциальной функции и ее при-
менение к физическим явлениям. Небезынтересно отметить появ-
ление в этой работе теоремы
(X dydz + Y dzdx + Zdxdy).
Эту теорему М. В. Остроградский доказал еще в 1828 г. и истол-
ковал ее как формулу гидродинамического баланса, устанавливаю-
щую равносильность учета протекающей жидкости в единицу вре-
мени: а) исходя из учета источников внутри объема; б) исходя из
скоростей протекания через оболочку.
Через одиннадцать лет Гаусс использовал эту формулу для
того, чтобы связать величину потока напряженности сил заданно-
го потенциального поля с общей массой или зарядом, помещенным
внутри поверхности. В наше время эту формулу называют форму-
лой Гаусса — Остроградского (что, очевидным образом, неспра-
ведливо).
В истории физики 1 отмечается, что понятию потенциала физи-
ки долго не придавали принципиального значения, рассматривая
потенциал, или потенциальную функцию, лишь как удобное ма-
тематическое понятие. Его физический смысл был раскрыт позже,
после установления понятий работы, энергии и закона сохранения
энергии.
Иным было положение этого важного понятия в математике.
Его введение облегчило расширение области приложений матема-
тического анализа. Помимо оптики и колебаний теперь возникала
математическая теория электромагнитных явлений. Постановка
задачи о потенциале побуждала к расширению понятия интеграла,
к распространению интегрирования на сложные объекты. В анали-
зе была начата разработка гармонических функций как решений
дифференциального уравнения Лапласа: А^ —0.
Оказалось, что гармонические функции могут служить для
описания многих физических и механических проблем, отличи-
тельной особенностью которых является исследование разнород-
. ных состояний, зависящих от положения элементов, а не от вре-
мени. Так, например, гармоническими функциями оказались поми-
мо потенциалов в полях притяжения и в электрических полях по-
тенциал скоростей установившегося безвихревого движения не-
сжимаемой жидкости, температура тел при установившемся рас-
1 См. Б. И. Спасский. История физики, ч. I. Изд-во МГУ, 1956,
стр. 352—353.
348
пределении тепла, величина прогиба мембраны, натянутой на про-
извольный неплоский контур, и др. Математический аппарат
исследования гармонических функций, возникший при решении
одной задачи или одного класса задач, получал постепенно новые
приложения.
Гармонические функции получили применение в широком
классе краевых задач. Такова задача Дирихле об отыскании зна-
чений гармонической функции в области по ее значениям на гра-
нице (например, определение температуры внутри тела по темпе-
ратуре на его поверхности, определение формы мембраны по виду
контура). К этого рода задачам относится также задача Неймана,,
в которой гармоническая функция должна быть разыскана по ве-
личине нормальной производной на границе области (нахождение
температуры внутри тела по заданному на поверхности темпера-
турному градиенту, определение потенциала движения обтекаю-
щей твердое тело несжимаемой жидкости из условия, что нормаль-
ные составляющие скоростей частиц, прилегающих к поверхности
тела, совпадают с заданными нормальными составляющими ско-
ростей точек поверхности тела).
Для решения краевых задач теории гармонических функций
были разработаны методы, имеющие как практическое, так и боль-
шое теоретическое значение. Например, для решения задачи Ди-
рихле Г. А. Шварц и К. Нейман изобрели около 1870 г. альтер-
нирующий метод, Пуанкаре — метод выметаний (около 1880 г.),.
Фредгольм — метод фундаментальных решений, связанный с инте-
гральными уравнениями, Перрон— метод верхних и нижних функ-
ций. Следует еще упомянуть метод сеток как основной метод при
приближенном решении краевых задач. Эти методы давали воз-
можность освободиться от того или другого ограничения, которое
приходилось налагать на границу области. Но при сколько-нибудь
общей постановке краевой задачи возникали проблемы условий
существования решений и их устойчивости.
Большое значение в истории теории потенциала имеют иссле-
дования русского академика А. М. Ляпунова, выполненные в кон-
це XIX — начале XX в. В них изучены: зависимость свойств по-
тенциалов от равномерно распределенных по поверхности зарядов
и диполей, потенциал двойного слоя в случае диполей, поведение-
производных решения задачи Дирихле при приближении к поверх-
ности, на которой задано граничное условие. Решение задачи
Дирихле Ляпунов выразил в виде интеграла по поверхности от
произведения функции, входящей в граничное условие, на нормаль-
ную производную функции Грина.
Как и его предшественники, Ляпунов был вынужден исполь-
зовать ряд ограничительных требований. Среди этих требований
основным является выполнимость принципа Неймана. Ограничение
выделяет также класс поверхностей, относительно которых рас-
1 См. А. М. Ляпунов. Работы по теории потенциала. М., ГТТИ, 1949.
349
ж. Б. Фурье (1768—1830)
смотрены указанные выше вопросы; за этими поверхностями со-
хранилось название поверхностей Ляпунова.
Проблемы математической физики, выросшие из первых ра-
бот по теории потенциала, приобрели, как мы видим, к концу
XIX в. большую общность. Решение столь общих теоретических
проблем, а затем бурное развитие методов численного решения
краевых задач (ставшее возможным в связи с появлением вычис-
350
лительных электронных устройств) целиком относятся к следую-
щему, XX в. Равным образом к этому более позднему времени
относится эффективная разработка важной и трудной обратной
задачи теории потенциала: по распределению значений "потенциала
в силовом поле определить форму и плотность притягивающих
масс — задача, актуальность которой (например, для электротех-
ники и геофизики) очевидна.
Математическая теория теплопроводности. Наряду с прило-
жениями математического анализа к электромагнитным явлениям
получала развитие другая область приложений этой науки. Речь
идет о создании математической теории теплопроводности, позднее
развившейся в термодинамику — общую науку о закономерностях
теплового движения. Побудительной причиной этого процесса было
изобретение паровых машин, сделавшихся вскоре энергетической
основой машинного производства. Теоретически исследовать рабо-
ту паровых машин, найти способы повышения коэффициента их
полезного действия — такова была одна из главных задач науки.
Требования, предъявляемые в связи с этим к математике,
нашли свое выражение в условиях конкурса, объявленного в 1811 г.
Парижской академией наук: дать математическую теорию законов
распределения тепла и сравнить результаты этой теории с данны-
ми опытов. Победителем конкурса оказался парижский академик
(с 1817 г.) Ж.-Б. Фурье (1768—1830). Подобно многим ученым —
его современникам, Фурье был выходцем из небогатой семьи порт-
ного, окончил военную школу, преподавал в ней., Вскоре после
организации Политехнической школы он стал одним из ее профес-
соров (1796—1798). Однако в 1798 г. он был включен в число
участников экспедиции Наполеона в Египет, а затем занялся орга-
низационно-административной деятельно-
стью в качестве префекта департамента
Изеры (главный город Гренобль). Лишь в
1817 г. Фурье смог переехать в Париж и
целиком посвятить себя научной деятель-
ности.
Основные научные заслуги Фурье свя-
заны с решением задачи распределения теп-
ла. Еще в 1807 г. он представил Академии
мемуар, посвященный теории распростране-
ния тепла в твердом теле. В 1811 г. после-
довал второй мемуар на эту тему. Через
11 лет, в 1822 г., Фурье опубликовал «Ана-
литическую теорию тепла», оказавшую огромное влияние на раз-
витие математики.
Фурье разделял убеждение о всеобщей значимости и всемогу-
ществе анализа бесконечно малых. В его представлении анализ
столь же обширен, как сама природа; он отражает ее главные
законы, выделяясь ясностью и определенностью, а главное — воз-
можностью доведения до численных приложений. Анализ физиче-
351
ского явления по существу заканчивался, как только удавалось
выразить его основные черты дифференциальным уравнением.
Что же касается принципов построения, математической теории, то,
по указанию Фурье, они, подобно принципам механики, выводятся
из небольшого числа фактов, о причине которых математика не
спрашивает, рассматривая их как результаты наблюдений, под-
тверждаемых данными опыта.
Распространение тепла, как и света, Фурье представлял в ви-
де потока элементарных частиц, свободно проникающих через сре-
ду. Элементарное количество тепла dQ, протекающее через пла-
стинку Sdx за время dt с температурным перепадом dv, удовлетво-
ряет эмпирически подобранному соотношению
dQ = — kS — dt
(k — коэффициент теплопроводности, зависящий от материала
пластинки) (рис. 54).
Исходя из этого выражения плотности теплового потока, под-
считывается баланс тепла на участке за элемент времени (в основ-
ном, это делается так же, как и в наше время) 1 и приводится к
уравнению
dt
где А — оператор Лапласа.
Это уравнение Фурье интегрирует при заданных различных
•краевых условиях. Задается либо распределение температуры v
на границе, либо тепловой поток —либо их отношение:
dn
1 dv
— • Для решения уравнения теплопроводности при этих
граничных условиях Фурье разработал метод разделения перемен-
ных, известный теперь как метод Фурье. Ему удалось решить за-
дачи распространения тепла для частных случаев шара, кольца,
куба, цилиндра. Характерной чертой метода Фурье является, как
известно, разложение функций по найденным собственным функ-
циям. Фурье систематически применял разложение функций в три-
гонометрические ряды вида
00
f(x)— у (ап cos пх 4т bn sin пх).
о
1 См. А. Н. Тихонов и А. А. Самарский. Уравнение математиче-
ской физики. М., ГТТИ, 1951, стр. 172 и далее.
352
Хотя ряды такого вида были известны и ранее, но после появ-
ления «Аналитической теории тепла» они получили название рядов
Фурье, сохранив его до сих пор. Фурье применяет тригонометриче-
ские ряды не только при п целом, но и в более сложных слу-
чаях, когда п определяется трансцендентным соотношением
tg пп = ап (a = const>0). В работах Фурье встречаются даже раз-
ложения по бесселевым функциям.
Аппарат тригонометрических рядов дал возможность Фурье
выразить с его помощью функции весьма общей природы. Фурье
практически мог разложить в ряд любую из функций, которые ему
могли в то время предложить. Поэтому он счел себя вправе
утверждать, что с помощью указанного аппарата можно дать вы-
ражение «абсолютно произвольных» функций, понимая под этим
функции, состоящие из произвольных частей известных анализу
функций. Строгого доказательства он дать не смог, разумеется,
равно как и устранить ряд нестрогостей. Метод Фурье был усовер-
шенствован Пуассоном, Дирихле и особенно Остроградским. По-
следний в ряде мемуаров 1828—1836 гг. сформулировал этот метод
в общем виде, — достаточно общем, чтобы решать задачу для лю-
бого твердого тела, ограниченного поверхностью без особенностей.
В этих мемуарах им была впервые выведена (1828) упомянутая
выше формула Остроградского — Гаусса, дано ее истолкование и
обобщение (1834) на м-мерную область
п
Он же решил задачу о распространении тепла в жидкости и
высказал в 1831 г., задолго до Римана, принцип локализации: схо-
димость ряда Фурье абсолютно интегрируемой функции в точке
зависит лишь от значений ее в хсколь угодно малой окрестности
этой точки. Впрочем, внимательное исследование показывает, что
принцип локализации рядов Фурье в не сформулированном явно
виде употребляется в ряде работ современников М. В. Остроград-
ского. Этот принцип можно обнаружить в сочинениях самого
Фурье, а также у Дирихле (1829) и Лобачевского (1834).
Отнесение в историко-математических работах формулировки
и доказательства принципа Фурье к числу заслуг Римана осно-
вано на работе последнего «О возможности представления функ-
ции посредством тригонометрического ряда». Она была представ-
лена Риманом в 1853 г. Геттингенскому университету, но стала из-
вестной в 1867 г., после ее опубликования. Работа содержит инте-
12 К А. Рыбников 353
ресный очерк истории вопроса, и мы поэтому отсылаем к ней
читателя1.
Математические исследования теплопроводности предварили
создание более общей науки о теплоте — термодинамике. В даль-
нейшем для ее формирования потребовалось соединение математи-
ческих методов, ведущих свое начало от Фурье, с соображениями
С. Карно об идеальном цикле (1824) и с законом сохранения энер-
гии, открытым в 40-х годах'Х1Х в. Р. Майером, Г. Гельмгольцем и
Дж. Джоулем. Это соединение произошло в середине столетия,
когда Р. Клаузиус (1850) и У. Томсон-Кельвин (1851) дали форму-
лировку второго начала термодинамики и ввели понятие энтропии.
Дальнейшее усовершенствование математического аппарата термо-
динамики связано с выходом за пределы математического анализа
и введением теоретико-вероятностных суждений в кинетическую
теорию газов Дж. Максвелла (1860) и статистических представле-
ний в теорию тепловых процессов Л. Больцмана (1871).
В результате исследований ряда ученых швейцарский физик
Фик к 1885 г. смог развить количественную теорию диффузии. При
этом выяснилось, что его первый закон о количестве диффундирую-
щего вещества аналогичен закономерности, обнаруженной Фурье
для теплоты. Именно, масса вещества dm, диффундирующего за
время dt через площадку S (см. рис. 54), перпендикулярную оси
Ох, выражается формулой
dm = — D-S-— dt,
dx
de
где —— градиент концентрации, a D — коэффициент диффузии,
зависящий от природы частиц и состояния растворителя и диффун-
дирующего вещества. Если коэффициент диффузии постоянен, по-
лучается второй закон Фика
de _ & (Ре
di ~~dx*'
т. е. уравнение, эквивалентное уравнению теплопроводности.
В плане математического анализа «Аналитическая теория теп-
ла» послужила, после работ Эйлера и его современников, началом
новой разработки теории тригонометрических рядов. Попытка
Фурье доказать, что любую функцию можно разложить в тригоно-
метрический ряд, привела к появлению исследования проблемы
представимости функций тригонометрическими рядами в работах
Дирихле, Лобачевского, Римана и др. В этих исследованиях сло-
жилась одна из предпосылок создания к концу XIX в. канторовой
1еории множеств, более широко, теории функций действительного
переменного.
1 См. Б. Риман. Соч. М., ГТТИ, 1948, стр. 225—261.
354
О математическом аппарате механики. Мы привели примеры
применений математического анализа в области электрических и
магнитных явлений, а также теории теплоты. Этими примерами
проблема, разумеется, не исчерпывается. Аналитические методы
проникали во многие области естествознания, приобретая в них зна-
чение решающих оперативных средств. Едва ли не в первую оче-
редь они проникли в механику, определяя ее содержание. Анали-
тическая механика приобретала свой классический облик именно
как учение о дифференциальных уравнениях, выражающих свой-
ства траекторий любых механических систем. Исследование свойств
этих уравнений и их интерпретации для частных случаев приобрели
значение главной задачи аналитической механики. Решающую же
роль в построении системы этой науки стали играть общие поло-
жения, или, как их принято называть, принципы, или законы, меха-
ники.
Пусть задана система, положение которой для каждого задан-
ного момента времени t определено значениями п независимых па-
раметров q\, <72.... <7п, т. е. система с п степенями свободы. Для
описания ее движения вводится два понятия: живая сила, или ки-
нетическая энергия, Т и силовая функция, или потенциальная энер-
гия, U. Понятия кинетической и потенциальной энергии противопо-
ставляются друг другу, поэтому чаще всего рассматривается функ-
ция Лагранжа (ранее известная под именем кинетического потен-
циала, имевшего не столь общий.смысл):
b = T(<7z, <7/) = i/(<7<) а=1. 2,..., п).
Уравнения движения механической системы суть дифференци-
альные уравнения Лагранжа (введенные йм в конце XVIII в.):
= (i=l, 2, ..., и).
- dt dqt dqt '
В качестве интеграла уравнения получается закон сохранения энер-
гии, сформулированный в середине XIX в.
Т + U — const.
В случае возмущенных движений вследствие применения внешних
сил Р справа добавляется соответствующий интеграл:
Т + (/ = const + ^Pdt.
Решение и исследование дифференциальных уравнений Ла-
гранжа было одним из основных направлений аналитической меха-
ники XIX в.
Другой подход к формулированию основных принципов меха-
ники состоял в том, что исходили не из дифференциальных уравне-
ний, но из некоторых интегралов, относительно которых решалась
вариационная задача отыскания минимума. На этом пути получа-
ются вариационные принципы механики; основным аппаратом при
12*
355
этом является аппарат вариационного исчисления. Первым вариа-
ционным принципом был принцип наименьшего действия. Его вы-
сказал впервые в 1744 г. Мопертюи. Математически строгая форму-
лировка принципа принадлежала Эйлеру, последующие обобще-
ния — Лагранжу, Якоби и Жуковскому. Позднее появились и
другие вариационные принципы, например принцип Гамильтона —
Остроградского, или, иначе, принцип стационарного действия Г
Развитие общих методов интегрирования дифференциальных
уравнений динамики, получившее начало в середине XIX в., состав-
ляет отдельную область приложений математического анализа.
В этой области рассматривается сравнительно неширокий класс
дифференциальных уравнений, который однако, подвергается по
возможности глубокому исследованию. Математические результаты
здесь особенно тесно сплетены с прикладными интерпретациями
их, образуя теоретическую основу всех механических дисциплин.
В этой обширной области приложений мы сможем упомянуть
лишь о некоторых достижениях прикладной математики1 2. Так, на-
пример, задача приведения дифференциальных уравнений механики
к канонической системе уравнений первого порядка в случае ста-
ционарных связей была существенно продвинута уже в начале века
(1809) Пуассоном и вскоре (1834) решена Гамильтоном. Остро-
градский обобщил эти уравнения на случай нестационарных связей.
Он же свел интегрирование канонической системы к интегрирова-
нию одного нелинейного уравнения с частными производными. То
же проделал и Гамильтон для частного случая стационарных свя-
зей, использовав оптико-механическую аналогию.
По установившейся традиции математический аппарат меха-
ники, связанный с рассмотрением основных принципов этой науки,
целиком включается в последнюю. Присоединимся к этому и мы,
хотя в .этой области разделить математику и механику едва ли
возможно.. Отметим лишь, что методы математического анализа
были и остаются ведущими в решении крупнейших проблем меха-
ники: движения тяжелого твердого тела, теории устойчивости рав-
новесия и движения, колебания материальных систем и т. п.
Усовершенствование оперативных средств теории дифферен-
циальных уравнений. Приложения методов математического ана-
лиза образовывали важные части смежных научных дисциплин,
раскрывая перед ними и перед всем математическим естествозна-
нием новые перспективы развития и изменяя их состав и структуру.
Особенно это было заметно в развитии математических методов ме-
ханики и физики. В свою очередь процесс широкого развертывания
прикладных частей оказывал влияние на структуру самого матема-
тического анализа.
1 Богатый материал по истории вариационных принципов содержится в сб.:
«Вариационные принципы механики». М., Физматгиз, 1959.
2 В XIX в. было принято делить математику на чистую и прикладную.
356
Что касается классической основы математического анализа,
т. е. дифференциального и интегрального исчисления и элементар-
ной теории функций, то, как было показано в предыдущей главе,
она подверглась коренной перестройке. В ней были строго сформу-
лированы в терминах арифметики основные понятия: бесконечно
малой, непрерывности, предела, дифференциала и др. Понятие
функции приобрело современный, весьма общий, характер. Теоре-
мы получили уточненные формулировки с обязательным указанием
ограничительных условий: уточнение области значений аргумента,
вида функций и т. п., при соблюдении которых они являются спра-
ведливыми. Оперативные возможности этой части анализа в резуль-
тате перестройки значительно расширились, а выводы приобрели
большую степень достоверности.
В теории дифференциальных уравнений усиление их приклад-
ной роли оказалось также связанным с постановкой более широких
проблем и выработкой более общих понятий. Так, уже в первой
половине XIX в. в теории обыкновенных дифференциальных урав-
нений практически прекратились попытки отыскания конкретных
приемов интегрирования в квадратурах. Выяснилось, что отыскание
таких приемов — явление редкое, а возможности — незначитель-
ные. Были добавлены лишь немногие факты, в частности относи-
тельно уравнения Якоби (1842):
(Ах + By + С) dx + (AjX + Вгу + Сх) dy + (А2х + В2у + С2) X
X (xdy — ydx) = 0.
Среди многочисленных исследований в этой области заметное
место занимают те, где изучаются возможности получения реше-
ния уравнения, если отправляться от известных в некотором числе
его частных, интегралов. Например, в 1878 г. Дарбу доказал, что
уравнение
L dx + М dy + N (х dy — ydx) = 0,
где L, Mf N — целые многочлены, высшая степень которых т, мо-
жет быть решено без применения квадратур, если известно не
т (т 4- 1) . о
менее --------И 2 его частных алгебраических интегралов. Зна-
чительный вклад в разработку этого направления внесли, в част-
ности, математики России: Ф. Г. Миндинг, А. Н. Коркин, В. П. Ер-
маков и др.
Видное место заняли также проблемы вывода условий инте-
грируемости и выделения классов уравнений, интегрируемых в
квадратурах. Укажем в качестве примера вывод Лиувиллем усло-
вия интегрируемости специального уравнения Риккати. Характер-
ным в этом плане являются и выведенные Чебышевым (1853) усло-
вия интегрируемости биномиального дифференциала.
357
Постановка и решение более общих проблем приводят, как
правило, к расширению круга понятий. Примером может служить
теория линейных дифференциальных уравнений. Частные виды
этих уравнений с переменными коэффициентами: уравнение Бессе-
ля (известное, впрочем, еще Даламберу и Эйлеру), гипергеометри-
ческое уравнение
х(1 —x)if + [с — (а + b + 1)х] у' — abx = 0
(служившее, в частности, предметом исследований Эйлера в 1778 г.
и Гаусса в 1812 г.), уравнения Лежандра, Ламе и др. — приводи-
ли к возникновению теории специальных функций: цилиндрических,
шаровых и т. п. Работы Штурмана и Лиувилля по решению урав-
нения
if (х) + р (х) у' (х) + Ку (х) = 0
при заданных значениях некоторой линейной функции от у и у' в
двух точках оси х положили начало исследованию по теории крае-
вой задачи, названной по имени ее исследователей. Оказалось, что
решение этой задачи приводит к необходимости развить теорию
интегральных уравнений и теорию разложения функции по фунда-
ментальным функциям.
Дифференциальные уравнения с частными производными в
своем развитии всегда сохраняли самый тесный контакт с задачами
физики и техники. Как было показано выше5 наибольшее приклад-
ное значение имели уравнения второго порядка. Поэтому и в тео-
ретическом плане они привлекали наибольшее внимание. Для них
в первую очередь были выделены канонические типы уравнений:
гиперболические, параболические и эллиптические. Накапливав-
шиеся методы решения отдельных типов уравнений подвергались
систематизации и посильному обобщению. Эти методы в огромной
степени вбирали в себя факты вариационного исчисления, теории
функций комплексного переменного, тригонометрических рядов и
других высших разделов анализа. Именно в силу их практической
значимости эти уравнения оказывались центрами, где сосредоточи-
вались результаты из различных областей математики. Тем самым,
в частности, создавались предпосылки для широких аналогий, ха-
рактерных для современного функционального анализа и общих
теорий в области дифференциальных уравнений.
Необходимо также упомянуть, что В то же время выявилось
практическое значение уравнений вида
£ ХДхх, х2, ... , xn)dxi = fi.
i=l
Эти уравнения привлекали внимание Эйлера. Ими же занимался
Монж. В начале XIX в. их исследовал И. Ф. Пфафф. В 1814—
358
1815 гг. он сумел показать, что решение этого уравнения (получив-
шего с тех пор его имя) состоит из соотношений
Ф/ (-«1...хп) = 0 и <1Ф( (х1( ... , х„) = О
(i = 1, 2, ... , п).
Возникшая отсюда проблема Пфаффа интегрирования этого урав-
нения при минимально возможном числе соотношений между аргу-
ментами x<(t=l, 2,..., п) вызвала и вызывает широкое обсуждение.
Помимо огромной роли проблемы в создании геометрической тео-
рии дифференциальных уравнений и приложений последних к гео-
метрии она получила большое значение для механики. Оказалось,
что неголономные связи являются уравнениями Пфаффа между
виртуальными перемещениями. Уравнения Пфаффа нашли прило-
жение и в термодинамике.
Якоби (он назвал эти проблемы именем Пфаффа) получил
многочисленные важные результаты о характере интегральных
многообразий этого уравнения. Коши (1819) разработал метод
характеристик, вслед за чем появился ряд сочинений по теории
характеристик для разных видов уравнений различных порядков.
В обстановке быстрого пополнения фактического состава и
приложений теории дифференциальных уравнений решающее зна-
чение приобрела выработка общих идей, объединяющих и органи-
зующих по возможности большее число фактов. Формирование
подобных общих идей вообще составляло характерную черту мате-
матического анализа XIX в. Особенно важное значение эта черта
приобретала в.теории дифференциальных уравнений. Здесь уже
нельзя было исходить из интуитивной убежденности в существова-
нии общих решений, которые остается только найти по возможно-
сти наиболее удачным способом. Надо было доказывать существо-
вание решений, исходя из известных элементов. Уже в начале века
появились первые доказательства столь характерных для современ-
ного анализа теорем существования. Они принадлежали Коши. Эти
теоремы были доказаны для дифференциальных уравнений с учетом
условий начального состояния, т. е. для задач, известных ныне как
задачи Коши.
В лекциях по анализу, которые Коши читал в Политехнической
школе, он дал решение этой задачи в простейшей постановке. Дано
обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:
y'=f(.x, у)- Доказать существование и единственность его решения
при заданных начальных условиях: х=хо; у—у^. Коши доказал это
в области, где f(x, у) и /(х, у) непрерывны. При этом он от-
правлялся от эйлеровского способа приближенного интегрирова-
ния: на отрезке оси абсцисс (хо, X) наметил точки с абциссами
хо, xi,..., Xn—I, хп=Х. Из этих точек восстановил ординаты:
359
Уо',
У1 = У0 + Нх0, t/oH*! —Хо);
У2 = У1 + Кхц У1){хг — х^-,
Уп = Уо + !(хо, У0)(х1 — х0)+ ...+
+ f(xn_i, уп-\}(хп~Х„_1).
Вершины ординат определяют многоугольник, аппроксимирующий
искомую интегральную кривую. Остается доказать существование
предельной функции у = удовлетворяющей условиям зада-
П->оо
чи Коши.
Это доказательство Коши усовершенствовал в 1844 г. его уче-
ник Ф. Муаньо. Употребляемое ныне условие Липшица было введе-
но последним в 1876 г. Вскоре Дж. Пеано доказал теорему сущест-
вования хотя бы одного решения упомянутой задачи Коши в обла-
сти, где f(x, у) непрерывна.
Коши смог распространить свой метод доказательства теорем
существования на случай уравнения
= /(X, У, У', , Уп~х).
при заданных х=*э, у=уо и соответственно г/о)(^=1, 2,..., п—1)
путем сведения его к системе уравнений первого порядка. К 1842 г.
Коши доказал теорему существования для линейной системы урав-
нений с частными производными, указав способ приведения к этому
виду нелинейной системы. Окончательную, по выражению Пуанка-
ре, форму теоремам существования придала С. В. Ковалевская
(1874), которая доказала теорему существования и единственности
решений системы дифференциальных уравнений
= хх..........Х„, Uj, ... , ит)
dt
(i = 1, 2, ... , m),
где
Ui = U[ (t, x1; x2, . .. , x„)
(t = 1, 2, ... , m),
при заданных начальных значениях
t = = <p£ (xX) x2, ... , x„)
(Z=l, 2, ... , m)
в случае голоморфности функций ft и <р£. При этих условиях Кова-
левская доказала, что система имеет для достаточно малых t—10
360
голоморфное решение, однозначно определенное начальными усло-
виями.
Наконец, Пикар в 1890 г. развил идею Коши и создал другой
метод доказательства теорем существования и единственности,
основанный на доказательстве сходимости последовательных приб-
лижений
Уо<
х .
У1 = Уо + § f(x’ y0)dx>
Хо
X
Ук = Уо + $f(x> yk-i)dx.
Хо
Теоремы существования имели в истории дифференциальных урав-
нений принципиальное значение. Они решали вопрос о строгости,
законности их применения. В то же время методы последователь-
ных приближений, применяемые при доказательстве соответствую-
щих теорем, создавали основу для разработки методов численного
интегрирования дифференциальных уравнений.
К XX в. доказательства теорем существования сделались не-
отъемлемой частью многих теоретических исследований, вошли в
норму математической строгости. В теории дифференциальных
уравнений много работ было посвящено различным обобщениям
теоремы Ковалевской: для случаев неаналитических функций, не-
аналитических решений, проблемы единственности во всей области
существования решения, а не только локальной, и т. п.
Проникновение в теорию дифференциальных уравнений мето-
дов других математических дисциплин. Начиная с 70-х годов про-
шлого века теория дифференциальных уравнений пополнилась дву-
мя направлениями, не4 потерявшими своей актуальности и в наше
время. Мы имеем в виду внедрение в эту область математики тео-
ретико-групповых представлений и создание качественных методов.
Мы уже упоминали, что Ф. Клейн и С. Ли после обучения в
Париже у Жордана задались целью распространить данные теории
групп на возможно большее число областей математики. Клейн
рассматривал непрерывные группы геометрических преобразований
и, исследуя свойства этих групп, в особенности их инварианты, соз-
дал классификацию геометрических наук.
Ли в свою очередь связал (начиная с 1873 г.) теорию групп с
исследованием дифференциальных уравнений.
Каждому дифференциальному уравнению Ли считал возмож-
ным соотнести непрерывную группу преобразований, относительно
которой уравнение является инвариантом. Группы, рассматривае-
мые при этом, содержат преобразования, определяемые числовыми
параметрами
X— f(x, аъ ... , ап).
361
Такого рода взаимно-однозначное соотнесение преобразований и
систем параметров справедливо лишь для малых преобразований.
В зависимости от соответствующих бесконечно малых преобразо-
ваний Ли получил возможность составить классификацию диффе-
ренциальных уравнений. При этом он выделил группу преобразова-
ний, составляющих класс дифференциальных уравнений, интегри-
руемых в квадратурах.
Теоретико-групповая точка зрения, введенная Ли, доказала
узость класса дифференциальных уравнений, решаемых в квадра-
турах, и бесперспективность попыток построения общей теории диф-
ференциальных уравнений в этом направлении. Поэтому впредь
до обнаружения возможностей приложений исследования непрерыв-
ных групп в дальнейшем проводились в плане построения их общей
теории. Из последней выделилась теория групп Ли как таких групп,
в которых произведение двух преобразований имеет своими пара-
метрами непрерывные функции параметров преобразований-сомно-
жителей
Yz = ^(“i>•••. Pi,---, ₽„)•
Точнее говоря, теория непрерывных групп преобразований появи-
лась именно как теория групп Ли и приобрела близкий к совре-
менному уровень общности лишь позже.
Прикладное значение теоретико-групповых концепций для
дифференциальных уравнений проявилось в математической физи-
ке. Уравнения классической механики, как известно, инвариантны
относительно преобразований Галилея,-Противоречия, обнаружив-
шиеся в электродинамике движущихся тел с результатами класси-
ческой механики, разъяснились после введения лоренцевых преоб-
разований. Эти преобразования
х — vt .
нашел в 1887 г. В. Фохт. Он же доказал инвариантность относи-
тельно этих преобразований волнового уравнения
дги
dt2
= с2 Ди
(Ди — оператор Лапласа).
Лоренц (1904) открыл, что если преобразования Галилея,
т. е. повороты, переносы начала и преобразования вида
х’= х— vt; у' — у; z’ = z; t’ = t,
362
A. M. Ляпунов (1857—1918)
где использована идея мгновенной передачи взаимодействия тел,
заменить преобразованиями Лоренца, то указанные противоречия
могут быть устранены. Пуанкаре в свою очередь показал, что
преобразования Лоренца образуют группу. Идея рассмотрения
классов дифференциальных уравнений с различными группами пре-
образований получила тем самым практическое воплощение.
Под давлением прикладных задач, в частности задач небесной
механики, возникла и развивалась качественная теория дифферен-
циальных уравнений. Как ни* велики были успехи в решении раз-
личных классов дифференциальных уравнений, ни один из методов
не мог помочь в решении старых задач о движении трех тел, подчи-
363
ненных законам ньютонианской механики. Работы Ли подтвердили
невозможность решения соответствующих дифференциальных урав-
нений в квадратурах. Методы приближенного решения давали
лишь частное решение заданной задачи, соответствующее задан-
ным начальным условиям на конечном интервале. Поведение инте-
гральных кривых во всей области существования, как того требо-
вали проблемы небесной механики, не помогал выяснить ни один
из методов.
Пуанкаре в серии мемуаров, начатых в 1878 г. и известных под
общим названием «О кривых, определяемых дифференциальными
уравнениями», исследовал проблему, можно ли и как охарактери-
зовать поведение семейства интегральных кривых уравнений
y'=f(x, у) или системы
-^- = Ф1(х, у); -^- = ф2(х, -у)
на всей плоскости, исходя из свойств функций /, или epi и фг.
Вообще многие из работ А. Пуанкаре посвящены дифференци-
альным уравнениям. Помимо проблем небесной механики он иссле-
довал задачу о колебании трехмерных континуумов, изучил ряд
задач теплопроводности, теории потенциала, электромагнетизма и
т. д. В ходе этих исследований Пуанкаре существенно обогатил
совокупность оперативных средств теории дифференциальных урав-
нений. Он изучал разложения решений дифференциальных уравне-
ний по малому параметру, доказал асимптотичность некоторых
рядов, выражающих решения дифференциальных уравнений с ча-
стйыми производными, исследовал особые точки. По-видимому,
практические задачи послужили для него толчком и к разработке
качественных методов.
В математике качественными называют методы, дающие воз-
можность выявить особенности искомого решения задачи, сущест-
вование и количество решений и их особенности, не проводя ее
численного решения.
Методы Пуанкаре были в основном геометрическими, точнее,
топологическими. Рассматривая семейство интегральных кривых,
Пуанкаре выделил особые точки и дал их классификацию. Он ис-
следовал специально характер поведения интегральных кривых в
окрестности особых точек. Для особого вида интегральной кри-
вой — замкнутой, к которой приближаются по спиралям близкие
кривые семейства, Пуанкаре ввел название предельного цикла.
В качестве одной из задач, решаемых качественными методами, он
изучил интегральные кривые, заданные на торе. Пуанкаре дал пер-
вые приложения качественных методов к задаче трех тел. Позднее
его исследования о предельных циклах получили применение в ра-
диотехнике (работы А. А. Андронова).
Успех топологических методов Пуанкаре был облегчен наличием
предпосылок в виде развитых геометрических идей в теории функ-
ций комплексного переменного и. в дифференциальной геометрии,
364
а также идей теории множеств Г. Кантора. Своеобразие применен-
ных Пуанкаре методов состояло в том, что они соединили теорию
дифференциальных уравнений с топологией. Это вело в свою оче-
редь к формированию топологии как особой отрасли математики,
в первую очередь в упомянутых нами выше работах Пуанкаре. Вну-
три же теории дифференциальных уравнений за качественными ме-
тодами укоренилось название топологических.
Почти одновременно с Пуанкаре качественные методы были
введены в работах А. М. Ляпунова (1857—1918). Воспитанник
Петербургского университета и ученик П. Л. Чебышева, он присту-
пил в 1882 г. по совету своего учителя к решению конкретной, но
трудной астрономической задачи: исследовать возможность сущест-
вования фигур равновесия вращающейся жидкой массы, отличных
от эллипсоидальной. Вскоре круг его исследований расширился,
охватив проблему устойчивости равновесия и движения механиче-
ских систем, определяемых конечным числом параметров, теорию
потенциала и др.
Общую проблему устойчивости, о которой мы только что упо-
мянули, Ляпунов свел к исследованию качественными методами
поведения решений системы обыкновенных дифференциальных
уравнений
-^ = Fz(x1( х2....хп, t) (i=l, 2, .... п),
где Fi — при малых Xi разложимы в сходящиеся ряды по целым
степеням Xk и
Л(0,' 0, ... , 0) = 0.
Ляпунов отказался от введения линеаризации уравнений путем
отбрасывания всех нелинейных членов для выяснения вопроса об
устойчивости движения. Устойчивость, по Ляпунову, связывалась с
поведением по отношению к возмущениям начальных данных.
В докторской диссертации 1892 г. «Общая задача об устойчивости
движения» Ляпунов строго определил основные понятия теории
устойчивости, выделил случаи, когда линеаризация дает решение
вопроса об устойчивости, исследовал ряд случаев, где линеариза-
ция была недостаточной. В связи с этим Ляпунов решил многие
вопросы, теории обыкновенных дифференциальных уравнений:
о существовании и эффективном построении периодических реше-
ний одного класса нелинейных дифференциальных уравнений, пове-
дение интегральных кривых уравнений в окрестности положения
равновесия и др.
В ряде работ (1903—1918) Ляпунов дал решение задачи, ука-
занной ему Чебышевым, о форме фигур равновесия равномерно
вращающейся жидкости в условиях ньютонианского тяготения. Он
установил существование близких к эллипсовидным фигур равно-
весия однородной и слабонеоднрродной жидкости. Оказалось, что
365
невозможно отделить неэллипсоидальные фигуры равновесия от
эллипсоидальных. Ляпунов доказал неустойчивость принятых в
астрономической теории грушевидных фигур равновесия. Не пере-
числяя, всех результатов, укажем лишь, что работы Ляпунова по
устойчивости до сих пор содержат большую часть полученных в
этой области фактов. Они продолжают быть основоположными в
развитии теории дифференциальных уравнений и приложений ее к
исследованию колебаний физических и механических систем.
В современной математике любая физическая система, поведе-
ние которой вблизи каждого состояния описывается системой диф-
ференциальных уравнений вида
-^- — F^Xi, х2, ... , хп) (t = 1, 2, ... , п, t — время),
dt
носит название динамической системы. Общая теория динамиче-
ских систем изучает совокупность всех их движений, соответствую-
щих всевозможным начальным состояниям. Теория дифференциаль-
ных уравнений ко времени работ Ляпунова и Биркгофа (последний
начал разрабатывать общую теорию динамических систем в
1912 г.) оказывалась не в состоянии изучать ни решения задачи о
движении динамических систем во всей области определения, ни
поведение решений вблизи особых точек. Поэтому в общей теории
динамических систем большое значение приобретают качественные
методы.
Применение качественных методов при этом облегчается гео-
метрическими представлениями динамических систем. Совокуп-
ность возможных состояний последних трактуется как л-мерное
многообразие, называемое фазовым пространством системы. Точка-
ми этого пространства служат отдельные состояния Р динамиче-
ской системы. Совокупность всех движений динамической системы
представляется как непрерывная группа преобразований фазового
пространства. Отдельное движение характеризуется'движением
точки Р по ее траектории. Роль теории групп для теории динами-
ческих систем настолько велика, что в настоящее время динамиче-
скую систему часто задают именно как группу преобразований.
Общая теория динамических систем — актуальная область
математики, выросшая из практических приложений теории диф-
ференциальных уравнений.
История теории дифференциальных уравнений в XIX в. и ее
приложений еще слабо разработана. Известно много фактов этой
истории, правда весьма разнородных. Общетеоретические законо-
мерности прослеживаются еще с трудом. Настоящая глава пред-
ставляет одну из немногих попыток выяснения исходных пунктов и
главных закономерностей развития этой области математики.
В ней: а) показано возрастающее воздействие быстро усложняю-
щихся задач практики на математический анализ в его классиче-
366
ской постановке; б) указаны пути преобразования аппарата анаг
лиза, в особенности теории дифференциальных уравнений и расши-
рения области его приложений; в) выяснены некоторые черты
процесса появления и развития элементов общей теории дифферен-
циальных уравнений (теоремы существования, качественные мето-
ды, идеи теории групп); г) отмечено налаживание связей теории
дифференциальных уравнений с другими областями математики
(топологией, теорией групп, геометрией, теорией функций), появле-
ние общих элементов и взаимопроникновение методов.
7.5. СОЗДАНИЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
О предпосылках создания общей теории функций комплексного
переменного. Современная теория функций комплексного перемен-
ного охватывает чрезвычайно обширную область математики. Этим
именем называют большую и разветвленную совокупность матема-
тических дисциплин — теоретических и прикладных. Перечислить
все эти дисциплины, тем более охарактеризовать их, — дело труд-
ное и громоздкое, даже если ограничиться одними аналитическими
функциями. Привлечение к исследованию функций неаналитиче-
ских, но.обладающих некоторыми свойствами аналитических функ-
ций (мы имеем в виду теории функций квазианалитических и мо-
ногенных, отображений внутренних и квазиконформных и т. п.)
весьма расширяет область рассматриваемой нами здесь теории и
усиливает трудности анализа путей ее формирования.
Для рассмотрения в настоящей главе мы выберем вопросы,
связанные с вхождением в математику мнимых и комплексных
объектов, обращая меньше внимания на свойство аналитичности
функции, т. е. представимости ее степенным рядом
f(x) = а0 + а1(х — х0) + а2(х — х0)2 + ... + ап (х — х0)” + ...
Мы считаем себя вправе поступить так потому, что об истории
класса аналитических функций и связанного с этим классом аппа-
рата степенных рядов мы уже приводили некоторый материал.
Рассмотрим вначале вопрос о предпосылках создания теории
функций комплексного переменного, накопившихся к XIX в.
Понятие мнимого, а затем комплексного числа известно в ма-
тематике и используется с давних времен. История его появления
отражает ту общую черту развития математических исчислений,
что введение и использование обратных операций ведет, как прави-
ло, к необходимости расширения-числовой области. Так, введение
вычитания вынудило в конце концов дополнить натуральный ряд
отрицательными числами, деление привело к расширению целочис-
ленного ряда до множества рациональных чисел. В свою очередь
операция извлечения корня явилась оперативной причиной введе-
ния общего понятия действительного числа. Частный случай, когда
367
речь шла об извлечении корня четной степени из отрицательного
числа, требовал введения мнимых чисел.
Только в XVI в. в связи с алгебраическим решением кубиче-
ских уравнений Р. Бомбелли (1572) отошел от трактовки мнимых
чисел как таинственных или нелепых и выработал правила арифме-
тических операций с мнимыми числами. Однако еще в течение
очень долгого времени, несмотря на некоторые удачные мысли
(например, Валлиса) относительно интерпретации мнимых и ком-
плексных чисел, их природа не была разгадана и к ним относились
как к некоторому сверхъестественному явлению в математике. Еще
в 1702 г. Г. В. Лейбниц писал, что мнимые числа — это прекрасное
и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бы-
тия с небытием. Не было в истории недостатка в подобных утверж-
дениях о мистических свойствах мнимых и со стороны других
ученых.
Неразъясненность понятия комплексного,числа не могла засло-
нить их полезности в решении конкретных задач. Большое количе-
ство накопленных фактов дало повод математикам XVIII в. пере-
нести понятие мнимости и в область переменных величин. Посколь-
ку этот перенос осуществлялся для конкретных случаев, то в зави-
симости от характера задачи мнимые величины представали перед
исследователями в разном «обличье»: физическом, геометрическом
или же в аналитическом. Задача научной интерпретации комплекс-
ных чисел решалась сразу в разных планах, вместе с общим разви-
тием математического анализа.
По-видимому, наиболее ранними в этом столетии были попыт-
ки Лейбница и И. Бернулли ввести операции с комплексными чис-
лами с целью достичь возможно более общих результатов в инте-
грировании: Используя в этих целях разложение подынтегральных
функций на элементарные дроби, они широко пользовались анало-
гиями. Например, в 1704 г. И. Бернулли утверждал, что, поскольку
применение к дифференциалу
adz
b2 — z2
подстановки
it—1
z = b----
преобразует его в так называемый логарифмический дифференциал
adt
2bt ’
то применение к
adz
b24-z2
368
мнимои подстановки
Z = ]/—I6±zl
*+i
даст «дифференциал мнимого логарифма»
adt
Еще одна мнимая подстановка
2
и помимо установленной только что связи между arctg —
ь
и
b ——1
Ln t = Ln
b+zK-1
И. Бернулли находит еще одно соотношение:
d (arcsin b Vr) = - Ln
Подобные методы способствуют накоплению фактов о мнимых ко-
личествах, но не проясняют их природы. Поэтому понятно, что
каждая из попыток ввести комплексные числа формально опера-
тивным путем приводила к спорам, порой весьма ожесточенным.
В качестве примера упомянем спор о природе логарифмов от-
рицательных и мнимых величин, который начался в 1712 г. между
Лейбницем, считавшим логарифмы отрицательных чисел мнимыми,
и И. Бернулли, настаивавшем на том, что они действительны. При
этом И. Бернулли опирался на «доказанный» им факт, что
lnz/=ln(— у).
В спор включились ряд ученых, в том числе Даламбер и Эйлер.
Однако он не утих даже после того, как в 1749 г. Эйлер открыл
многозначность логарифма и предложил убедительное для того
времени доказательство.
Эйлер исходил из уравнения
х = еу = ^1 4- у'У»
т. е. в современной форме записи
х = & = lim (1 4- — Y.
ISVs К. А. Рыбников
369
Здесь, как мы уже упоминали, I — «бесконечно большое» число.
Разрешая это уравнение относительно у, Эйлер получил
1
у = 1пх = i(xl — 1),
т. е.
1
у = Inx = limn(xrt — 1).
П-»ОО
1
Здесь х‘ — корень с бесконечно большим показателем. Он беско-
нечнозначен. Все его значения различны; вообще говоря, они мни-
мые. Следовательно, логарифм тоже имеет бесконечное множество
различных значений, которые отличаются на числа, кратные
2л/ —1. В самом деле,
х = a-\-bV — 1 = р(cos<р + V — 1 sinq>) =
= (cos Ф + / — 1 Sin ф).
Отсюда
у = 1пх = с 4- (ф ±2Лл /— 1) (% = 0, 1, 2, 3, ...).
Одно из значений логарифма действительного положительного чис-
ла будет действительно, остальные — мнимые. Значения логариф-
мов отрицательных и мнимых чисел — все мнимые.
Решающий толчок введению мнимых чисел в математический
анализ был дан тогда, когда выяснилась их полезность в решении
дифференциальных уравнений математической физики. Это прояви-
лось в сочинениях Даламбера (1752) и Эйлера (1755) по гидро-
динамике. В этих работах были использованы результаты Эйлера
(1734) и Клеро (1739), эквивалентные утверждению, что выраже-
ние
Pdx + Qdy
является полным дифференциалом некоторой функции ф(х, у),
если
дР _
ду дх
Даламбер решал задачу обтекания твердого тела жидкостью
(однородной и без учета веса). Обозначив р и _q — составляющие
по осям скоростей частиц, протекающих через тачку М(х, у), он
нашел из сравнения их полных дифференциалов уравнения
др । dq = q др_____dg = q
дх ду ’ ду дх
которые интерпретируются как условия того, что
pdx-}-qdy и pdy— qdx
370
суть полные дифференциалы. Эти уравнения были получены также
Эйлером.
Теперь уже нетрудно определить пару сопряженных гармони-
ческих функций, являющихся решениями системы уравнений Да-
ламбера — Эйлера. Следовало лишь применить метод, предложен-
ный. Даламбером в случае уравнения колебания струны. Пусть
pdx + q dy = du, pdy — qdx = dv.
Тогда
d (u -{- У~1 v) = (p+ ]/^iq) d(x + у),
d(u — ]/— 1 v) =(p — V— 1 q) d (x— V— 1 y).
Отсюда
P + l/—lQ = = ф(х 4- /=Т у).
d(x + y — 1 у)
d (x — /— 1 y)
Сопряженные гармонические функции, как нетрудно теперь
увидеть, представляют действительную и мнимую части функции
комплексного переменного.
Эйлер, получив аналогичный результат и не имея возможности
дать ему подходящую интерпретацию, выразил сопряженные гар-
монические функции в виде рядов по однородным гармоническим
полиномам, представляя при этом комплексные числа как в алге-
браической, так и в тригонометрической форме.
К середине XVIII в. в математическую практику вошли раз-
личные аспекты понимания комплексного числа, как переменного,
так и постоянного. Наибольшиё заслуги в этом принадлежат Эйле-
ру. Он же в серии монографий, посвященных общему построению
анализа («Введение в анализ бесконечно малых», тт. 1—2. «Диф-
ференциальное исчисление», «Интегральное исчисление», тт. 1—3),
счел возможным включить в общую систему и аналитические функ-
ции комплексного переменного. Во «Введении в анализ бесконечно
малых» (1748) Эйлер ввел комплексную переменную в качестве
наиболее.общего понятия переменной величины, использовав комп-
лексные числа при разложении функций на линейные сомножители.
Он ввел впервые формулы (приведем их в привычной нам симво-
лике) :
1
ez = lim f 1 + .—Y; Inz = limn(zn — 1);
n—>0O \ tl J n-iV3
(cos z ± i sin z)n = cos nz ± i sin nz,
13 V? 371
а также формулы связи, между тригонометрическими и показатель-
ными функциями
cos v =-----—------; sin v -------------;
2 2i
= cos v + i sin v.
Если рассмотреть всю совокупность фактов, установленных Эйле-
ром и его современниками, то можно, прийти к выводу, что основ-
ные факты теории элементарных функций комплексного перемен-
ного были в большей части уже выявлены.
Что касается дифференцирования и интегрирования функций
комплексного переменного, то Эйлер, полагая
f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, у),
действовал, с ними, как с парами функций вещественного перемен-
ного. Кроме того, в серии работ (1776—1783) он использовал
комплексные числа при вычислении интегралов. Не формулируя
явно, он выделил класс аналитических функций комплексного пере-
менного, высказав относительно них принцип симметрии, состоящий
в том, что всякая функция Z (z), где.£=х-1-й/, имеет вид -
Z (х + iy) = М. + iN,
а при z = х — iy
, \Z(x— iy) = М—iN.
Если теперь рассмотреть интеграл
§Zdz=V,
где
z = х ± iy, V = Р + iQ,
ТО
Р + iQ = J (М + iN) (dx + i dy),
P — iQ=^(M — iN) (dx — i dy),
откуда
P= ^Mdx — Ndy, Q^^Ndx + Mdy.
Как указывалось выше, условие, что подынтегральные выражения
есть полные дифференциалы, ведет к известным условиям Далам-
бера — Эйлера
dM___dN_ dN _ дМ
ду дх ’ ду дх ’
372
В других случаях Эйлер использует
z = я (cos ср + i sin <р).
Полагая здесь ср=const, он таким образом интегрирует вдоль луча,
выходящего из начала координат.
Работа Эйлера «О представлении сферической поверхности на
плоскости» (1777) не только содержит идею, но и практически вво-
дит конформное отображение областей сферы на плоскость. Эйлер
называл эти отображения «подобными в малом». Термцн «кон-
формный» был впервые употреблен, по-видимому, петербургским
академиком Ф. Шубертом в 1789 г. Рассматривая долготу t и ши-
роту и сферической поверхности, соответствующие декартовым ко-
ординатам, хи у точек плоскости, Эйлер вывел общие условия кон-
формного отображения в виде
dx = р du + г dt cos u,
dy = r du — pdt cos u,
откуда
dx + idy = (p + (du — i dt cos u).
С помощью подстановки
s = tg f — + — , z = In s — it
s \ 4 2 /
это преобразуется в
dx + idy = (p + ir) cos и dz.
Геометрически это соответствует: стереографической проекции
сферы на плоскость
£ = s(cos/ + i sin t),
преобразованию плоскости 5 посредством логарифма
8 = ln£ = Ins + it,
зеркальному отражению в действительности оси z=e. Такое кон-
формное отображение сферы (без полюсов) на плоскость
z = In s — it = In tg (— + — — it
\ 4 2 /
называется проекцией Меркатора в картографии Ч
Поэтому
х + iy = 2Г (z) = 2Г (In s — it), х— iy = 2Г (In s + it),
1 См. А. И. Маркушевич. Очерки по истории теории аналитических
функций. М., Гостехиздат, 1951, стр. 33.
13 К. А. Рыбников
373
Г (z) — аналитическая функция с действительными значениями
при z действительном, откуда
х = Г(1п/—tf) + r(lns + iO,
iy = Г (In s — it) — Г (Ins + it).
Таким образом, еще Эйлер сумел практически решить общую зада-
чу о конформном отображении областей сферы на плоскость.
Математическая литература XVIII в. в интересующем нас
здесь плане представляет пестрое переплетение важных результа-
тов, проливающих свет на природу комплексных величин, не менее
важных приложений последних к гидродинамике, картографии и
другим наукам, и обильных ошибок и неясностей в пользовании
мнимыми объектами. Различные интерпретации комплексных чисел
еще не сформировались в единую концепцию, тем более это отно-
сится к комплексным переменным. Однако все необходимые эле-
менты общей теории, охватывающей свойства функций комплекс-
ного переменного, в основном сложились, наступила пора создания
этой теории. Эта пора совпала с наступлением XIX в.
Введение основных понятий теории функций комплексного пе-
ременного. Очередной этап истории теории функций комплексного
переменного был характерен введением уточненных определений
основных понятий. Прежде всего речь идет о появлении геометри-
ческих интерпретаций понятия комплексного числа. Эти интерпре-
тации были первыми выделены в явном виде из массы накоплен-
ных Фактов в качестве предмета специального систематического
изучения. В 1799 г. и в последующие годы появилась серия работ,
в которых были даны более или менее удобные интерпретации
комплексного числа и определены правила действий. Общим во
всех работах было введение плоскости, на которой комплексные
числа изображены либо в виде точки, либо в виде направленного
отрезка.
Геометрическим представлением мнимых чисел и операций над
ними владели К. Вессель (в 1799 г.), Бюе и Арган (в 1806 г.),
Гаусс, а вскоре и многие другие ученые. Однако они сочетали
этот вопрос с конкретными задачами в других областях математи-
ки. Достаточно же общая теоретическая трактовка вопроса появи-
лась вначале у Гаусса, а затем в работах Коши.
Землемер по специальности, К. Вессель в работе «Об аналити-
ческом представлении направления» (1799) поставил задачу отыс-
кать аналитическое выражение длины и направления отрезка на
плоскости. Для этого он использовал комплексные числа
z = х У— 1у = г (созф + ]/— 1 sin <р),
попутно выяснив их сущность и отношение к действительным чис-
374
лам, для изображения которых достаточно одной прямой. На осях
координат он ввел единичные отрезки
+ 1, -1, +&(=У~1), -г,
обобщив затем этот прием добавлением третьей пространственной
единичной координаты ±ц. Числа изображены были векторами из
начала координат, над ними определены операции и решен ряд
задач, вплоть до аналитического выражения вращения.
Написанная на датском языке, работа Весселя оставалась дол-
гое время незамеченной. Более широкую известность, впрочем
тоже не сразу, получили вышедшие в 1806 г. работы Аргана
и Бюе. В них была реализована та же идея изображения мнимого
числа путем откладывания отрезка, перпендикулярного действи-
тельной оси. Идеей изображения комплексного числа как элемента
двухразмерного пространства полностью владел Гаусс, в течение
длительного времени не посвящая ее изложению- специальной
работы, так как, по его мнению, необходимо было считаться
с убеждениями современников. Лишь в 1831 г. он опубликовал
работу по теории биквадратичных вычетов, где изложил тео-
ретическое обоснование и геометрическую интерпретацию комп-
лексных чисел, дав им впервые §то сохранившееся до наших дней
название. Чтобы лучше понять, сколь глубоко Гаусс проник в тео-
рию комплексных чисел, достаточно привести отрывок из письма
Гаусса астроному и математику Бесселю (1811 г.; опубликовано
лишь в 1880 г.). В этом письме по поводу вводимого им интеграль-
ного логарифма li (х) = I у— Гаусс писал: «Что нужно понимать
под f(px-dx для х=а + Ы? Очевидно, если хотят исходить из ясных
понятий, нужно принять, что х, отправляясь от значения, для кото-
рого интеграл должен равняться нулю, посредством бесконечно
малых приращений (каждое вида а + Ы) переходит к х=а+Ы, и
тогда сложить все <px-dx.
Итак, смысл (интеграла) вполне установлен. Но переход мож-
но осуществить бесконечно многими способами: так же как сово-
купность всех действительных величин можно мыслить в виде бес-
конечной прямой линии, так и совокупность всех величин,
действительных и мнимых, можно осмыслить посредством
бесконечной плоскости, каждая точка которой с абсциссой а
и ординатой b будет представлять величину а + Ы.
Непрерывный переход от одного значения х к другому а+Ы пред-
ставляется тогда посредством линии и возможен бесконечным мно-
жеством способов. Я утверждаю теперь, что интеграл f<px-dx при
двух различных переходах всегда сохраняет одно и то же значение,
если внутри части плоскости, заключенной между двумя линиями,
представляющими переход, фх нигде не обращается в бесконеч-
ность. Это прекраснейшая теорема, нетрудное доказательство ко-
13*
375
торой я дам при удобном случае. Она связана с другими прекрас-
ными истинами, относящимися к разложению в ряды».
В этом отрывке содержится многое: отчетливая интерпретация
мнимых чисел, определение интеграла в комплексной плоскости,
интегральная теорема (известная теперь как теорема Коши), раз-
ложимость аналитической функции в степенной ряд. В этом же
письме Гаусс рассмотрел — и его значение в точке х=0. При
обходах вокруг этой точки к первообразной t/=logx будут добав-
ляться постоянные слагаемые ±2ш.
Выяснение смысла интегрирования на комплексной плоскости
имело особенно большое значение потому, что использование комп-
лексных переменных при вычислении трудных определенных инте-
гралов оказывало, по-видимому, наибольшее в то время влияние
на развитие теории функций комплексного переменного. Лаплас
(1749—1827) в серии работ 1782—1812 гг. неоднократно прибегал
к помощи мнимых при интегрировании функций. Он развивал ме-
тод решения линейных уравнений, разностных и дифференциаль-
ных, известный под названием преобразования Лапласа: неизвест-
ная функция y(s) заменяется интегралом вида J<f(x)xsdx, или
/<р (х) e~sxdx, где <р(х)—новая неизвестная функция. Это преобра-
зование переводит, как мы теперь говорим, функцию-оригинал
/(О, 0</<оо в функцию
ОО
о
комплексного переменного p = o+it. Необходимые преобразования
(замена переменной при интегрировании, интегрирование по на-
правлениям,'отЛичным от действительной оси) Лаплас еще рас-
сматривает как «орудия открытия», удобный метод, подобный свое-
образной индукции. Его действительное значение, конечно, больше:
с помощью преобразования Лапласа и аналогичных методов эф-
фективно решаются многие задачи электротехники, гидродинамики,
механики, теплопроводности, так как при этом в соответствующих
линейных дифференциальных уравнениях с частными производны-
ми число переменных сокращается. Особенно широко оно приме-
няется в операционном исчислении.
Результаты Лапласа и других ученых, занимавшихся аналогич-
ными проблемами, получаются, таким образом, при изучении
свойств степенных рядов с помощью перехода от вещественных^
членов ряда к комплексным. Интегрирования в комплексной обла-*
сти, пожалуй, еще нет; интегрируются мнимые функции по вещест-
венному аргументу. Новая идея в этом направлении была выска-
зана Пуассоном (около 1820 г.): выбирать пути изменения пере-
менной между вещественными пределами по последовательности
комплексных значений. Целью этого являлось преодоление затруд-
376
нений, связанных с несобственностью интегралов из-за обращения
подынтегральной функции в бесконечность. По выражению Пуас-
сона,
Х
«не является суммой дифференциалов», так как
1 I
-- = ОО.
х |х=о
Но если ввести подстановку
х = — eiz = — (cosz + i sin z)
и интегрировать no z от 0 до (2п+1)л, то интеграл окажется рав-
ным— (2п+ 1)л(. Таким же способом
-Н
( = (~1у” [cos(ffl-l)(2n+l)jt-l].
J хт т — 1
—1
Под давлением практических задач затруднения, связанные с
применением комплексных переменных, были в основном преодоле-
ны рядом ученых. Назрела необходимость в систематической раз-
работке теории функций комплексного переменного и ее связей
с остальными частями анализа бесконечно малых. Выполнение
этой задачи выпало в значительной части на долю Коши.
В «Алгебраическом анализе» и «Резюме лекций по дифферен-
циальному и интегральному исчислению» Коши, как известно, стре-
мился построить цельную и строгую систему анализа бесконечно
малых. В этой его системе нашли отражение усилия по система-
тизации фактов, относящихся к использованию в анализе комплекс-
ных чисел и переменных количеств. Принципиально нового по срав-
нению с предшественниками и современниками лекции Коши в этой
области не содержат. Комплексное переменное здесь в основном
еще только вспомогательное средство для решения трудных задач
интегрального исчисления; при введении операций велик элемент
аналогии.
Однако сама попытка построения системы анализа, естествен-
но/ вынудила Коши к разъяснению смысла основных понятий и
операций с мнимыми. Первые существенные результаты Коши
опубликовал в 1825 г. в двух работах: «Мемуар о теории опреде-
ленных интегралов» и «Мемуар об определенных интегралах, взя-
тых между мнимыми пределами». Первый из них был написан еще
в 1814 г. В нем ц цель еще осталась прежняя: применить мнимые
величины к вычислению определенных интегралов. Исходный пункт
Коши — соотношение
377
ХУ У X
j J f(x> у) dydx = j p(x’ y)dxdy,
X, У, УцХ,
известное еще от Эйлера (1769). Затем Коши выбирает две функ-
ции S и V, удовлетворяющие уравнениям Даламбера — Эйлера:
ay _ as . as ду
ду дх ' ду дх '
Этому требованию удовлетворяет, как известно, действительная и
мнимая часть аналитического выражения
F(x + iy) = S + iV.
Подставив в правую и левую части исходного соотношения вместо
f(x, у) соответственно правые и левые части уравнения Даламбе-
ра — Эйлера, Коши получил:
ХоУо УоХО
- Х0 У о Уо Х0
откуда
J[V(x, Y) — V(x, y0)]dx = J[S(X, y)-S(x0, y)dy;
X9 y0
J[S(x,T)-S(x, y0)]dx = ][V(X, y)-V(x0, y)]dy.
x0 y0
Лишь незадолго до опубликования Коши догадался свести эти две
формулы в одну, чтобы получить, соотношение относительно функ-
ции комплексного переменного. Первое из соотношений он умно-
жил на i и сложил со вторым соотношением. Получилось:
или
х х
J F(x + iY)dx— J F(x+ iyQ) dx =
X0 . XO
У У
= J F (X + iy) Idy — J F (x0 -j- iy) idy,
Уо У9
У X
J F (x0 + iy) idy + J F (x + iY) dx =
У» Xt
378
X У
= j F (x + iz/0) dx 4- J F (ЛЧ- iy) idy,
X, №.
что является интегральной теоремой Коши для интегрирования по
прямоугольному контуру:
J F (z) dz =. J F (г) dz.
ADC ABC
При этом Коши, независимо от Гаусса, указал на необходимость
требования, чтобы f(x, «/)=#= оо на сторонах прямоугольника и вну-
три его.
Во втором из упомянутых выше мемуаров
смысл интеграла у f(z)dz (рис. 55).
аналогию с интегралами
от функции действитель-
ного переменного и иметь
возможность трактовать
заданный интеграл
предел интегральной
мы,
следует установить >
z=x + iy соотношения:
Х = х(0, y = y(f).
Эти функции должны
быть монотонны и непре-
рывны в области to^.t^.T
и удовлетворять услови-
ям:
как
сум-
Коши указал, что
ДЛЯ
Уо
Коши выясняет
Чтобы соблюсти
ЛВ
Д\
Рис. 55
У
У
о
X
х(?о)— хо< У (/о)— Уо> Х(Т)— X, у(Т)— Y.
Иначе говоря, исследуемый интеграл Коши заменил интегра-
лом вдоль некоторой кривой, соединяющей на комплексной плоско-
сти точки (хо, уо) и (X, У). С учетом уравнений кривой x=x(t),
y=y(t) придем к интегралу
т
У (х’ + iy')f(x + iy)dt.
to
После этого следует формулировка интегральной теоремы: если
f(x+iy) конечна и непрерывна в прямоугольнике хо^х^Х и
Уо-^У^Х, то значение интеграла не зависит от пути интегрирова-
ния. Для ее доказательства Коши привлек методы вариационного
379
исчисления. Именно он заменил x(t) и y(t) на близкие значения
х(/)+eu(f), y(t)+&v(t) вычислил вариацию интеграла и устано-
вил, что она равна нулю. Современный вид доказательство инте-
гральной теоремы получило в 1883 г. у Фалька и в 1884 г. у Гурса.
Совершенно естественный переход к анализу случаев, когда
f(z) обращается в бесконечность внутри или на границе прямо-
угольника, привел Коши к необходимости ввести понятие вычета.
Еще в мемуаре 1814 г. он пришел к нему, отыскивая разность
между двумя интегралами с общими пределами, но взятыми по
разным путям, между которыми оказываются полюсы функции.
В 1826 г. появляется и самый термин: вычет, который Коши вводит
следующим образом: «Если, после того как найдены значения х,
обращающие f(x) в бесконечность, прибавить к одному из этих зна-
чений, обозначаемому через xi, бесконечно малое количество е и
далее разложить if(xi + e) по возрастающим степеням того же ко-
личества, то первые члены разложения будут содержать отрица-
тельные степени 8 и один из них будет произведением — на ко-
8
нечный коэффициент, который мы назовем вычетом функции if(x),
относящимся к частному значению переменной х». Сумма таких
вычетов называлась у Коши интегральным вычетом.
В большом числе (16) работ Коши создал теорию вычетов.
В основном эта теория оформилась в 1826—1829 гг., но Коши про-
должал ее развивать и в последующие годы, отыскивая новые и
новые приложения этой теории к решению различных задач инте-
грального исчисления (преимущественно к вычислению определен-
ных интегралов), алгебраических, трансцендентных и дифференци-
альных (речь идет о системах линейных уравнений с постоянными
коэффициентами) уравнений, теории разложения функций в ряды
и математической физики. Интересно, что при этом Коши настой-
чиво подчеркивал наличие идеи о вычетах у Эйлера и не отстаивал
свой приоритет.
В работах Коши впервые появилась интегральная формула —
весьма важная для последующего развития теории функций комп-
лексного переменного и ее приложений. Она была введена в серии
работ Коши, посвященных разложению аналитических функций в
ряды. В наиболее явной форме она впервые появилась в мемуаре.
«О небесной механике и о новом исчислении, называемом исчисле-
нием пределов» (1831).
Вначале интегральная формула*Коши была получена как усло-
вие разложения функции в ряд. Отметив, что
4-л -{-л
j* enpidp= J е~пр1 dp,
—я —я
а при n = О
-f-я
j* dp = 2л,
—Я
380
Кошн рассмотрел сначала полином
/ (х) = а0 + а^х + а2х2 + . .. + апхп,
где х = хер‘, и получил
4-я 4-я
J f(x)dp= J f^-L-^dp = 2ла0 = 2nf (0).
—я . —л
Эта формула верна и для любой (по словам Коши) функции /(х).
конечной и непрерывной, при удовлетворении условия
df _ 1 df (х)
dx ix dp
Если / (0) = 0, то очевидно
j f(x)dp = O.
—Л
Подставив в эту формулу вместо f(x) выражение
х~[/й)-/(х)]
X — X
где | х |< | х Коши получил
4-я _ _ 4-я _ 4-я
f х£(х) dp = Г х/(х) = С Л+4- + 41 + фАх
J X — X J X — X J V х *2 /
—л —л —л
X dp = 2 лf (х).
Следовательно,
—л
Если использовать имеющееся у Коши соотношение
, dx
ix
то можно получить интегральную формулу в современной форме
J х — X
с
Но упомянутое выражение для dp имеет место лишь если модуль
х постоянен. Таким образом, контур интеграции здесь — окруж-
ность. Результат получился у Коши еще недостаточно общий. В ца-
381
Б. Риман (1826—1866)
стоящее время известно, что теорема справедлива для любой взя-
той в качестве контура замкнутой спрямляемой жордановой кри-
вой.
В других мемуарах Коши рассматривал применения этой тео-
ремы к теории сходимости рядов, для вывода остаточного члена
382
ряда Тейлора и оперирования с рядами. Вслед за Коши многие
математики XIX и XX вв. посвящали свои работы его интегральной
теореме. Последняя
/(z)= —f-^-dg,
' 2ni J 6 —z
как известно, дает выражение f(z) для z любого, находящегося в .
области аналитичности функции, через ее значение на контуре С.
Широкая применимость интеграла Коши в теории специальных
функций, аналитической теории дифференциальных уравнений,
аналитической теории чисел, теоретической физике, различных
областях механики определила в последующем его актуальность,
сохранившуюся до наших дней.
Наряду с мемуарами Коши и вслед за ними появилось много
работ по теории функций комплексного переменного. Их трудно
перечислить, тем более охарактеризовать. Здесь мы упомянем
прежде всего замечательную работу Абеля «Исследования ряда
1 + —х + +
.1 1-2
где т и х — любые комплексные числа», содержащую вывод двух
замечательных теорем. Первая теорема: если ряд ^(a)=Vo+fi«+
+ vza2 4-.. .сходится для некоторого a=ao, то он сходится для а,
меньшего <хо по модулю (понятие модуля у Абеля еще отсутствует,
что утяжеляет язык изложения). Вторая теорема: f(a—i₽)-*f(a)»
если ₽->-0, a^ao, т. е. сумма сходящегося степенного ряда есть
непрерывная функция аргумента. Здесь же Абель отметил ошибку
Коши, утверждавшего, что сумма сходящегося ряда непрерывных
функций непрерывна. Общий же вклад Абеля в теорию функций,
в которой он заложил основы теории алгебраических функций и
(одновременно с Якоби) теории эллиптических функций, настолько
значителен, что заслуживает специального исследования.
40-е годы XIX в. отмечены в истории теории функций комп-
лексного переменного крупнейшими открытиями, по существу за-
вершившими период ее формирования. В 1843 г. Лоран нашел
ряд
У an{z — г0)п,
носящий ныне его имя. В эти же годы Лиувилль применил теорию
Коши к теории эллиптических функций. Среди доказанных им тео-
рем имеется, например, такая: если аналитическая функция f(x)
на всей комплексной плоскости ограничена по модулю, то
f(x)=const. Пюизё разработал теорию алгебраических функций и
осуществил разложение многозначных алгебраических функций по
дробным степеням. Характер новых открытий и их уровень дела-
лись уже весьма близкими к современным.
383
Одним из признаков того, что теория уже сформировалась,,
является появление монографий, содержащих ее систематическое
изложение в стиле, близком к аксиоматическому, и имеющих также
учебные цели. В теории функций комплексного переменного этот
момент наступил в середине XIX в. Профессор Петербургского уни-
верситета И. И. Сомов в 1850 г. опубликовал «Основания теории
эллиптических функций». Через шесть лет, в 1856 г., Врио и Буке
издали небольшой мемуар «Исследование функций мнимого пере-
менного», являющийся по существу первым учебным пособием.
С 1861 г. в Берлинском университете начались курсы лекций
Вейерштрасса по теории аналитических функций.
Создание геометрической теории функций комплексного пере-
менного. В 40-х годах прошлого века, одновременно с завершением
формирования основ теории аналитических функций, в эту теорию
были внесены новые идеи, существенно изменяющие ее состав, ха-
рактер и цели. Большая группа идей вошла 'с работами Б. Римана
(1826—1866).
Исследования Римана в области теории функций комплексного
переменного характерны наличием широких аналогий, связавших
эту теорию со многими другими областями математики. Тем самым
была в значительной мере преодолена изолированность представ-
лений о функциях комплексных переменных. Одновременно в рам-
ках самой этой теории сформировались новые отделы, тесно свя-
занные с другими дисциплинами. Основные результаты Римана со-
держатся в его диссертации «Основы общей теории функций комп-
лексного переменного» (1851) и в «Теории абелевых функций»
(1857). Известно, что аналитическая функция w = u + iv от ком-
плексного аргумента z = x + iy удовлетворяет (помимо ставших
само собой разумеющимися требований дифференцируемости по
совокупности действительных переменных и непрерывных) уравне-
ниям Даламбера — Эйлера:
ди dv . ди dv
дх ду ду дх
Отсюда, очевидно, следуют условия
Д« = 0, До=0 (д = —+—Y
\ дх2 ду2 J
Во времена Римана появилось много интерпретаций этого за-
мечательного факта. Гельмгольц трактовал и как потенциал скоро-
сти движения несжимаемой жидкости в плоскости (х, у)\ при этом
v была функцией тока. В электротехнике, когда речь шла о стацио-
нарном течении тока, Кирхгоф вводил функцию и и называл ее
электростатическим потенциалом. Ом определял ее как напряже-
ние, а Фурье интерпретировал и как температуру в решении зада-
чи о стационарном движении тепла. Наконец, у Гаусса отмеченный
384
факт трактовался как условие, что значение
dw d(u-]~ iv)
dz d (x -j- iy)
зависит лишь от точки x+iy, а не от направления dx+idy, т. е.
отображение плоскости (х, у) на плоскость (u, v) есть конформное
отображение.
Риман также исходил из того, что действительная и мнимая
части функции удовлетворяют уравнениям Лапласа:
Ди = 0, Ди = 0,
т. е. являются гармоническими. Если известна функция и, то сопря-
женная функция v определяется с точностью до аддитивного по-
стоянного:
Р / ди 1 . ди , \
v = \-------dx Я----dy .
J \ ду дх j
Риман решил, что создаются условия для переноса идей матема-
тической физики в теорию функций. К тому же методы решения
уравнения Лапласа были к тому времени достаточно хорошо раз:
работаны. Соответствующая краевая задача, называемая пробле-
мой Дирихле, формулируется так: найти значения функции в точ-
ках области по ее значениям и на границе области. Решения зада-
чи Дирихле для ряда специальных случаев были разработаны
Гауссом (1813 и 1840 гг.), Грином (1828), Кирхгофом, Дирихле и
др. В этих исследованиях позднее выкристаллизовывалась теорема
существования: если на границе односвязнои области G задана
непрерывная функция и(х, у), то существует аналитическая внутри
области G функция f = u + iv, действительная часть которой непре-
рывно приближается к заданным граничным значениям.
Риман в этом круге задач исследовал проблему: в какой мере
аналитические функции определяются по краевым условиям. Быст-
ро выяснилось в то время, что в случае конечной области, ограни-
ченной единственной замкнутой кривой, для определения функции
w = u + iv от z=x + iy достаточно задать граничное распределение
значений и и значение и в одной точке области. Можно, наоборот,
задать граничное распределение v и значение и в точке; можно,
наконец, задать в каждой точке контура соотношение ср (u, v) или
для каждой пары граничных точек два соотношения, связывающие
значения и и v в этих точках.
Во всех рассуждениях Риман опирался на так называемый
принцип Дирихле: среди всех Возможных функций, имеющих оди-
наковые граничные распределения в области G, та функция, кото-
рая доставляет
385
будет гармонической в заданной области. Это предложение Риман
узнал, по-видимому, из лекций Дирихле. Однако оно было извест-
но также Гауссу, Томсону, Кирхгофу в связи с решением задач
математической физики (теория потенциала). Ему был придан
вполне определенный физический смысл: интеграл I выражает ки-
нетическую анергию установившегося течения однородной несжи-
маемом жидкости, где и — потенциал скоростей.
Пусть, например, задан двумерный случай: интеграл
G
определен для -площади круга, причем задано непрерывное гра-
ничное распределение и.' Этот интеграл неотрицателен. Тогда су-
ществует, но мнению Римана, неотрицательная нижняя грань зна-
чений интеграла, которая достигается. Тем самым утверждается
существование функции ггс заданным граничным распределением,
сообщающей минимум данному интегралу. Для этой функции:
откуда как необходимое условие вытекает
= + =0.
дх3 ду3
Однако Риман не смог дать доказательство существования
функции и, обращающей интеграл I в минимум. Более того, Вейер-
штрасс, узнав о вышеуказанных'рассуж-
0 дениях Римана, привел пример множест-
ва допустимых (непрерывных, дифферен-
цируемых, принимающих на границе за-
данные значения) функций, не включаю-
Рис 56 щего в себя функцию, соответствующую
нижней грани. Таково, например, множе-
ство всех кривых с непрерывной кривиз-
ной, соединяющих точки А, С, В. Кратчайшей линией является ло-
маная АВС, не входящая в рассматриваемое множество, так как
непрерывность кривизны нарушается в точке С (см. рис. 56).
Римановы теоремы- существования, возникшие из физических
аналогий, сделавшись объектом споров, надолго повисли в возду-
хе. Они были доказаны Шварцем (1870) и Нейманом (1884) иными
путями, а обоснованность суждений Римана удалось доказать лишь
Д. Гильберту (1901—1909), применившему для этой цели прямые
методы вариационного исчисления. В более общей форме этот во-
прос был исследован Р. Курантом и Г. Вейлем.
Другая группа аналогий, введенных Риманом, имеет своим
исходным пунктом геометрическую интерпретацию комплексных
386
чисел и функций комплексного переменного. К тому времени уже
было известно, что аналитические функции комплексного перемен-
ного определяют конформное отображение одной плоскости на
другую, причем не обязательно взаимно однозначное. С этим пере-
секается представление об аналитической функции, получающейся
из начального элемента непрерывными продолжениями, определяе-
мыми уравнениями Даламбера—Эйлера. Возможное разнообразие
продолжений, а также стремление преодолеть неоднозначность
конформных отображений, по-видимому, привели Римана к идее
специальных поверхностей, в необходимых случаях многолистных;
за этими поверхностями укрепилось и до сих пор существует наз-
вание римановых.
Факты теории функций комплексного переменного, будучи рас-
пространены на римановы поверхности, приобретают большую
общность. Кроме того, Риман установил связь между обоими типа-
ми аналогий, использовав физическую интерпретацию для получе-
ния теорем существования для функций на замкнутых многолист-
ных римановых поверхностях. Эти поверхности . рассматриваются
как однородные проводники. При подключении к ним батареи воз-
никает поле, потенциал которого и. однозначен, непрерывен и удов-
летворяет уравнению Ды = 0 на всей поверхности. Точки подсоеди-
нения батареи являются точками разрыва функции и, которая ве-
дет себя в этих точках как In и и 1пгг соответственно. Так полу-
чается теорема существования: на всякой замкнутой римановой
поверхности существует потенциальная функция и, всюду непре-
рывная, кроме двух заранее выбранных точек, где и делается лога-
рифмически бесконечной. Мнимая часть v на данной римановой
поверхности находится после соответствующих разрезов, обеспе-
чивающих однозначность ветвей функции u+iv, что приводит к не-
обходимости подсчета мбдулей периодичности.
Тот цикл работ Римана, который мы здесь рассматриваем, по-
ложил начало большой и важной области современной теории
функций, известной ныне под объединяющйм названием — геомет-
рическойгВ этих работах содержится глубоко разработанная тео-
рия конформных отображений, в том числе основная теорема о
существовании и единственности (при подходящих условиях) кон-
формного отображения на круг произвольной односвязной области
(граница которой содержит более одной точки).
В этих работах содержится ряд топологических по существу
результатов, вроде теоремы, что число разрезов поверхности, не-
обходимых для превращения ее в односвязную, не зависит от вы-
бора системы, разрезов. Через несколько десятков лет, на рубеже
XIX и XX вв., топологические идеи Римана, не получившие у свое-
го автора достаточно строгого оформления, влились в формирую-
щуюся топологию. *
Риману принадлежит другая замечательная идея. Речь идет
о применении функции комплексного переменного
387
(широко теперь известной как дзета-функция Римана) к определе-
нию количества простых чисел на заданном отрезке натурального
ряда. Вместе с исследованиями Чебышева результаты, полученные
здесь Риманом, положили начало аналитической теории чисел. Ги-
потезы Римана о свойствах дзета-функции, в особенности гипотеза,
, 1
что все ее нетривиальные нули лежат на прямой х=-\--, несмот-
ря на огромные усилия, остались до сих пор недоказанными.
Наконец, мы не можем не обратить внимание читателей еще
на один цикл работ Римана, идейно близких к его геометрической
теории функций комплексного переменного. Речь идет об исследо-
ваниях различных классов функций, удовлетворяющих линейным
дифференциальным уравнениям с алгебраическими коэффициен-
тами. Рассматривается семейство функций
п
i=l
Функции tji (f=l, 2, ..., п)—аналитические во всей комплексной
плоскости, за исключением конечного числа точек (/=1, 2, ..., k).
При обходе около этих точек заданные функции подвергаются ли-
нейному преобразованию, тоже определенному для каждой точки.
Затем рассматривается совокупность всевозможных замкнутых
путей, не проходящих через точки Ей соответствует множество
линейных преобразований заданного семейства функций — его
группа монодромии. Задача состоит в том, чтобы построить диф-
ференциальное уравнение, решениями которого были бы все функ-
ции заданного семейства.
Эти исследования Римана, хотя также незавершенные (их су-
мел завершить лишь в XX в. Д. Гильберт), дают основание считать
его одним из основателей аналитической теории дифференциаль-
ных уравнений. Других идей и работ Римана мы здесь не сможем
коснуться, чтобы не отойти слишком далеко от основного замысла
настоящей главы.
Геометрическая теория функций комплексного переменного
получила быстрое развитие вскоре после безвременной смерти Ри-
мана. Уже к концу 60-х годов прошлого века появилось большое
количество работ, авторы которых разрабатывали отдельные аспек-
ты теории функций комплексного переменного, отправляясь от
идей Римана. В связи с этим возникла необходимость возможно
более полного изучения научного наследия Римана и издания его
сочинений. Так, в 1876 г. Г. Вебер и Р. Дедекинд издали собрание
его сочинений. В 1902 г. появились важные добавления к этому
собранию сочинений, подготовленные В. Виртингером и М. Нете-
388
К. Вейерштрасс (1815—1897)
ром. На русском языке том сочинений Римана вышел в свет в
1948 г. Он был подготовлен В. Л. Гончаровым. К его содержатель-
ному обзору научных работ Римана и комментариям мы отсылаем
читателя.
Аналитическое направление развития теории функций комп-
лексного переменного. Другое направление развития теории функ-
ций комплексного переменного в XIX в., за которым закрепилось
в истории название «аналитическое», сформировалось в работах
К. Вейерштрасса (1815—1897). В сферу научных интересов послед-
него входили преимущественно проблемы математического анали-
за: его классических основ, теории функций комплексного перемен-
ного, вариационного исчисления, дифференциальной геометрии.
Для этой широкой области К. Вейерштрасс всю жизнь разрабаты-
вал систему логического обоснования, опирающуюся на строгую
теорию действительного числа как среды, в которой функциониру-
ют все основные понятия и методы. Именно в его лекциях был
389
построен в основном современный стандарт строгости в математи-
ческом анализе и ставшая традиционной структура.
Те же цели строгого и систематического построения преследо-
вал К. Вейерштрасс, создавая последовательно и настойчиво тео-
рию функций. Уже в 1841 г. он сумел обобщить теорему Коши
о разложении в степенной ряд функции комплексного переменного,
непрерывной и дифференцируемой в кольце, образованном-двумя
концентрическими окружностями. Искомый ряд, содержал члены с
положительными и отрицательными степенями и был по существу
рядом Лорана. Последний, как было отмечено выше, отыскал этот
ряд в 1843 г., и историческая традиция сохранила за этим рядом
его имя. Результаты же К. Вейерштрасса, долго не попадавшие в
печать, были известны меньше. Они распространялись преимуще-
ственно слушателями его лекций. Около 1842 г. К. Вейерштрасс
овладел идеей аналитического продолжения.
Однако в эти годы главные интересы К. Вейерштрасса сосре-
доточивались на изучении конкретных классов функций: эллипти-
ческих, гиперэллиптических и абелевых и сопредельных с ними во-
просов. Общие концепции в теории функции комплексного перемен-
ного начали вырабатываться в лекциях, которые К. Вейерштрасс
в течение долгих лет читал в Берлинском университете. Помимо
лекций об эллиптических функциях, их приложениях к геометриче-
ским и механическим задачам об абелевых функциях и вариацион-
ном исчислении начинают появляться его курсы по теории анали-
тических функций. С 1856 г. К. Вейерштрасс читал лекции о пред-
ставлении функций сходящимися рядами, а с 1861 г. — об общей
теории функций. Наконец, появились специальные сочинения
К. Вейерштрасса: «К теории однозначных аналитических функций»
(1876) и «К учению о функциях» (1880), в которых его теория
аналитических функций приобрела известную завершенность.
В основе теории К. Вейерштрасса лежит понятие степенного
ряда. Для него определяется круг сходимости и вводится опреде-
ление равномерной сходимости. Далее рассматриваются лишь рав-
номерно сходящиеся ряды. Относительно них последовательно до-
казан ряд теорем; в частности, доказывается, что если ряд сходится
равномерно в окрестности каждой точки, лежащей внутри или на
границе данной области, то он сходится равномерно во всей обла-
сти.
Вейерштрасс вводит понятие элемента функции
P(x) = Y^(x)-
*=о
Для этого в области сходимости ряда он выбирает, точку aQ. В ее
окрестности как функции f&(x), так и F(x), выражаются степенным
рядом
390
У (x — a0)k — P0(x — d),
к=0
который и получил у Вейерштрасса название элемента функции
Пусть затем точка ах лежит в окрестности а0 и Pi(x—ai) —со-
ответствующий элемент функции F(x). Для тех х, которые лежат
как в окрестности а0, так и в окрестности имеет место
оо
Р1(х-а1) = Р0(х-а0) = S P^’(ai-ao)
ц=0
где
Р^’ («1 —«о) =
' ^Р0(х-а,)
dx'1
ХЖО1
Если а — произвольная точка в области сходимости, то между aQ
и а можно вставить последовательность точек: ах из окрестности а0,
Л2 — из окрестности ах и т. д. вплоть до ап, попадающей уже в ок-
рестность а. Для соответствующих элементов функции F{x) имеют
место:
Pi(x-ax) = £
ц-“0
Р2 (х - а2) = У Р^ (а2 - aj;
р,!
ц=0
Р(х-а) = У р^(а-[ап)^^.
р.1
и=о
Таков же алгоритм образования по произвольному элементу в об-
ласти сходимости всякого другого элемента Р(х) в той же области.
Может случиться,'что область сходимости ряда Р(х—а) будет
выходить из первоначальной. Тогда из Р0(х—а0), применяя ука-
занный алгоритм, можно образовать множество рядов, область
сходимости которых выходит за пределы первоначальной. Так
строится полная аналитическая функция Р(х), как совокупность
всех продолжений какого-либо элемента. Затем проводятся иссле-
дования: особых точек на границах круга сходимости, однозначно-
сти и многозначности функций, поведения целой функции в беско-
нечности, разложения функции в произведение и других конкрет-
ных вопросов теории. Аппарат отличается единообразием; это —
степенные ряды, операции с ними, оценки, зачастую весьма тонкие.
391
Вслед за работами К. Вейерштрасса, в течение последней чет-
верти XIX в., появилось большое количество работ по аналитиче-
ской теории функций комплексного переменного. Среди них видное
место занимают работы учеников Вейерштрасса — С. В. Ковалев-
ской и Миттаг-Леффлера, а также Ш. Эрмита, Э. Пикара, Э. Ла-
герра, А. Пуанкаре и др. Лекции Вейерштрасса послужили на
много лет прообразом учебников по теории функций комплексного
переменного,‘которые начали появляться с тех пор довольно часто.
Превращение теории функций комплексного переменного в
комплекс аналитических дисциплин. В конце XIX в. теория функ-
ций комплексного переменного чрезвычайно разветвилась, превра-
тившись в обширный комплекс дисциплин. В нее теперь входит
геометрическая теория функций, основанная на теории конформ-
ных отображений и римановых поверхностей. Получили цельную
форму теории различных видов функций: целых и мероморфных,
эллиптических и модулярных, автоморфных, гармонических,, алгеб-
раических. В тесной связи с последним классом функций развилась
теория абелевых интегралов. К этому комплексу примыкала соз-
дающаяся аналитическая теория дифференциальных уравнений и
аналитическая теория чисел. Теория анали^рческих функций уста-
новила и укрепила связи с другими математическими дисципли-
нами.
Изменился за это время и характер научных исследований в
области теории функций комплексного переменного. Вначале, как
было показано выше, большинство этих исследований проводилось
в плане развития одного из трех направлений: теории моногенных
или дифференцируемых функций Коши, геометрических и физиче-
ских идей Римана, аналитического направления Вейерштрасса.
Лишь постепенно различия и связанные с ними споры преодолева-
ются. На рубеже XX в. появляется и быстро растет число работ, в
которых осуществляется синтез, казалось бы разнородных, идей и
методов. Создается единая, общая концепция теории функций ком-
плексного переменного, находящая свое выражёние в структуре
монографий, учебников и в характере методов исследования. Одним
из основных понятий, на котором явно обнаружились связь и со-
ответствие геометрических представлений и аппарата степенных
рядов, было понятие аналитического продолжения. Из многочис-
ленных примеров, которые можно было бы привести в подтверж-
дение этого тезиса, наиболее ярким является работа Адамара —
«Ряд Тейлора и его аналитическое продолжение» (1901). В ряде
работ Пуанкаре, Клейна и Кёбе была показана связь геометрии
Лобачевского с римановыми поверхностями и значение неевкли-
довой геометрии в изучении этих поверхностей и свойств связан-
ных с ними аналитических функций.
Ф. Клейн развил физические интерпретации функций комп-
лексного переменного в работе «О римановой теории алгебраиче-
ских функций и их интегралах» (1881). Огромную роль в истории
аналитических функций сыграли труды Н. Е. Жуковского и
392
С. А. Чаплыгина, открывшие необозримую область ее приложений
в аэро- и гидромеханике. Аналитическая теория дифференциальных
уравнений явилась своеобразным поставщиком различных специ-
альных функций, разрабатываемых средствами теории аналитиче-
ских функций: модулярные функции Эрмита, автоморфные — Клей-
на и Пуанкаре, функции Шварца и т. д. При построении аналити-
ческой теории дифференциальных уравнений, широко использова-
лись материалы из разных областей теории аналитических функ-
ций. Так поступал, например, Фукс — ученик Вейерштрасса.
В теорию аналитических функций в качестве элементов единой
основы был внесен ряд понятий из теории множеств Кантора, из
теории функций действительного переменного (К. Жордан, Э. Бо-
рель, А. Лебег, Т. Стильтьес, Р. Бэр), теории групп и топологии.
Совокупность основных понятий, таких, как область, ее граница,
предел, связность, сходимость, аналитичность, непрерывность и др.,
подверглась глубокому логическому анализу и уточнению, что
укрепляло единство воззрений на все вопросы теории.
Общая теория функций комплексного переменного проникла
и в педагогическую практику, породив два типа учебников: а) кни-
ги, специально посвященные этому вопросу; б) общие курсы мате-
матического анализа, куда эта теория входит как составная часть.
Учебники второго типа к началу XX в., по-видимому, преобладали.
Примером могут служить курсы Бертрана, Пикара и, наконец,
Гурса, который в «Курс математического анализа» (1902) включил
теорию аналитических функций (второй том, первая часть).
Позднее, с расширением учебных программ в части, относя-
щейся к рассматриваемой теории, оба типа учебной литературы
получили равные права и применяются в зависимости от общих
задач данного учебного заведения.
7.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ
Геометрические науки к началу XIX в. Геометрия к началу
XIX в. представляла уже большой комплекс дйсциплин, выросших
из анализа и обобщения данных о пространственных формах тел,
использующих методы других областей математики и в силу этого
тесно переплетенных с ними. Помимо элементарных частей в гео-
метрию входили почти все те части, которые и ныне составляют
структуру ее высших областей, развитие которых является акту-
альной задачей современной математики.
Аналитическая геометрия, возникшая еще в XVII в., заверши-
- ла большой путь развития и определила свое место как часть гео-
метрии, изучающая фигуры и преобразования, задаваемые алгеб-
раическими уравнениями с помощью координатного метода и
использующая методы алгебры. Помимо ее учебной и прикладной
роли в ней самой наметились тенденции развития, состоящие в усо-
вершенствовании и обобщении координатного метода, а также в
усилении аналитичности при исследовании геометрических образов,
14 к. А. Рыбников^ 393
что особенно важно для приложений. Первая из этих тенденций
нашла, как известно, воплощение во введении различных избыточ-
ных координат. Мы имеем в виду однородные координаты, пред-
ставляющие отношения двух переменных к третьей, проектив-
ные, т. е. линейные, комбинации однородных координат, введенные
Г. Дарбу тетрациклические и пентасферические координаты и др.
Вторая из тенденций привела к включению в аналитическую гео-
метрию векторных методов.
Дифференциальная геометрия заняла, как было показано, вид-
ное место в геометрии к концу XVIII в. Характерное для этой части
геометрии использование понятий и методов дифференциального
исчисления обусловило прочные и далеко идущие связи ее с мате-
матическим анализом и с многочисленными прикладными зада-
чами. В начале XIX в. для дифференциальной геометрии раскры-
лись новые возможности развития, благодаря введению Гауссом
(1824) внутренней геометрии поверхностей. В процессе создания
общей теории поверхностей дифференциальная геометрия приобре-
ла новые связи, преимущественно с неевклидовыми геометриями.
Казалось бы, приостановившиеся в своем развитии со времен
Дезарга и Паскаля методы изучения свойств фигур, инвариант-
ных относительно проектирования, в 20-х годах XIX в. сформиро-
вались в работах Ж. Понселе и др. в новую область геометрии —
проективную геометрию. Выделение проективных свойств фигур в
отдельный класс и установление соответствий между метрическими
и проективными свойствами явились предметом многих исследо-
ваний, осуществлявшихся как синтетическими методами (Штейнер,
Шаль, Штаудт и др.), так и аналитическими (Мёбиус, Штуди,
Картан и др.). В систему современной геометрии проективная гео-
метрия вошла как часть, обладающая высокой общностью, могу-
щая включить в единую систему многие геометрические теории.
Такому положению проективная геометрия обязана влиянию гео-
метрии Лобачевского и последующих исследований А. Кэли и
Ф. Клейна.
Изменения, внесенные в геометрию со стороны указанных ее
областей, весьма значительны. Однако коренная перестройка всего
содержания геометрии и ее структуры определялась не этими изме-
нениями. Принципиально новое содержание было внесено в нее
геометрией Лобачевского. Поэтому мы в основном и посвятим
дальнейшее изложение истории открытия геометрии Лобачевского
и вообще неевклидовых геометрий, а также их влиянию на форми-
рование современной геометрии.
Открытие геометрии Лобачевского и ее некоторые характер-
ные особенности. Создатель неевклидовой геометрии Николай Ива-
нович Лобачевский (1792—1856) родился в Нижнем Новгороде
(ныне г. Горький) в семье бедного чиновника. Он окончил Казан-
ский университет (1811) и работал в нем много лет. Вскоре
(с 1816 г.) он был уже профессором, а еще через несколько лет —
ректором (с 1827 до 1846 г.) этого университета. Благодаря его
394
I
H. И. Лобачевский (1792—1856)
усилиям Казанский университет превратился в первоклассное
учебное заведение. Много сил Н. И. Лобачевский потратил на
улучшение деятельности школ.
Мировоззрение Лобачевского, было материалистическим. Во
взглядах на основные понятия математики, в частности геометрии,
он твердо подчеркивал их материальное происхождение, рассмат-
ривая их как отражения реально существующих отношений вещей
действительного мира. Математические абстракции не могут рож-
даться по произволу, они появляются как результат взаимоотно-
шений человека с материальным миром. Научное познание имеет
14*
395
единственную цель: изучение реального мира. Критерием истин-
ности научного познания является, по Лобачевскому, практика,
опыт.
Лобачевский не был специалистом в узкой области математи-
ки. Его научное наследие включает в себя серьезные работы по
алгебре («Алгебра или вычисление конечных», 1834 и др.) и мате-,
магическому анализу («Об исчезновении тригонометрических
строк», 1834; «О сходимости бесконечных рядов», 1841; «О значе-
нии некоторых определенных интегралов», 1852 и др.). Он первый
ввел различие между непрерывностью и дифференцируемостью
функций, нашел метод численного решения алгебраических урав-
нений, известный под его именем, и др. Однако наивысшую, можно
сказать бессмертную, славу Лобачевский заслужил своими рабо-
тами яо геометрии.
Отправным пунктом исследований Лобачевского по неевкли-
довой геометрии была аксиома о параллельных. Как известно, де-
дуктивно построенная система евклидовой геометрии опирается на
некоторую совокупность аксиом. Как показал позднее Д. Гильберт,
эти аксиомы вводят различные аспекты понятий: соединения или
принадлежности, порядка, движения или конгруэнтности, непре-
рывности и параллельности. Последняя из этих аксиом (фигури-
рующая в «Началах» Евклида в качестве пятого постулата) стоит
как бы особняком. За ней в силу сложности формулировки не было
призвано свойство очевидности, и в течение многих веков пред-
принимались попытки дать ее доказательство, разумеется, безус-
пешные.
Геометрия, в зависимости от того, используется ли аксиома о
параллельных или нет, делится на две части. Та часть, куда входят
предложения, не опирающиеся на эту аксиому, носит название аб-
солютной геометрии. Лобачевский, который вначале пытался дагь
доказательство упомянутой аксиомы, вскоре убедился в возмож-
ности расчленения геометрии на абсолютную и неабсолютную и
осуществил его. Вслед за этим он попробовал заменить аксиому
о параллельных ее отрицанием: он предположил, что через точку,
не лежащую на данной прямой, может проходить более чем одна
прямая, лежащая в одной плоскости с прямой и не пересекающая-
ся с ней при продолжении. При этом он обнаружил, что формаль-
ного противоречия не получается, а система выводов складывается
в новую геометрию, отличную от евклидовой, но столь же логиче-
ски строгую и последовательную, несмотря на непривычность,
странность ее утверждений.
Днем рождения неевклидовой геометрии можно считать,
11(23) февраля 1826 г., когда на заседании отделения физико-мате-
матических наук Казанского университета Лобачевский доложил
о своем сочинении «Сжатое изложение основ геометрии со строгим
доказательством теоремы о параллельных». Через три года, в
1829 г., он издал это сочинение в расширенном виде под назва-
нием: «О началах геометрии». В последующем Лобачевский раз-
396
вивал свою новую геометрию, опубликовав ряд работ: «Вообра-
жаемая геометрия» (1835), «Применение воображаемой геометрии
к некоторым интегралам» (1836), «Новые начала геометрии с пол-
ной теорией параллельных» (1834—1838), небольшая книжка «Гео-
метрические исследования» на немецком языке (1840), «Пангео-
метрия» (1855),
Попытки доказать аксиому о параллельных приведением к
противоречию имели место до работ Лобачевского. И. Саккери
(1733) даже получил ряд предложений, которые затем ошибочно
признал противоречивыми, а следовательно, аксиому о параллель-
ных— доказанной. И. Ламберт около 1766 г. (опубликовано в
1786 г.), следуя по тому же пути, не смог ни примириться с полу-
чающейся системой выводов,. ни опровергнуть ее. Аналогичные
исследования предпринимали Ф. Швейкарт (1818) и Ф. Тауринус
(1825). Однако только венгерский математик Я. Больяи (1802—
1860) ясно выразил ту же мысль, что и Лобачевский, и к 1832 г.,
независимо от последнего, развил систему неевклидовой геометрии,
выпустив сочинение: «Аппендикс, т. е. приложение, содержащее
науку о пространстве, абсолютно истинную». После смерти Гаусса
(1855) выяснилось, что тот тоже открыл начальные факты геомет-
рииЛобачев.ского, но молчал о них. из боязни уронить свою науч-
ную репутацию. Он даже не решился поддержать молодого
Я. Больяи, когда тот прислал ему свою работу. Подлинное муже-
ство ученого, свойственное Лобачевскому, особенно ярко прояви-
лось в обстановке непризнания и нападок, созданной вокруг его
работ, которая продолжалась до самой его смерти.
Геометрия Лобачевского в абсолютной своей части не отли-
чается по существу от геометрии Евклида. В той же части, кото-
рая испбЛьзует аксиому о параллельных, дело обстоит иначе.
К этой части относятся теоремы о: а) расположении параллельных
прямых; б) сумме углов в треугольниках и многоугольниках;
в) площадях; г) вписанных в окружность и описанных многоуголь-
никах; д) подобии и конгруэнтности фигур; е) тригонометрии;
ж) теореме Пифагора; з) измерении круга и -его частей. В этих
пунктах двумерная геометрия Лобачевского отличается от евкли-
довой планиметрии. Рассмотрим конкретнее некоторые особенности
геометрии Лобачевского.
397
Допущение, что через точку О вне прямой можно провести
больше одной прямой, не встречающейся с данной, приводит к вы-
воду, что таких прямых бесконечно много. Они образуют пучок.
В пучке этих прямых есть две крайние прямые: О В и ОВ{ (рис. 57).
Они и называются параллельными прямой Ор4. Теперь возникает
необходимость ввести направление параллельности. В направлении
параллельности прямые сближаются, в противоположном — удаля-
ются. Угол параллельности а зависит от расстояния между парал-
лельными, т. е. от длины соответствующего перпендикуляра х, сле-
дующим образом:
а = л (х); tg —- - = е k
где k — постоянная, ^зависящая от выбора единицы длины. Если'
имеющие общий перпендикуляр, расходятся в обе стороны.
Рис. 58
Вслед за тем оказывается, что сумма углов треугольника мень-
ше 2d. При увеличении сторон треугольника эта сумма уменьшает-
ся. Аналогичные суждения справедливы и для многоугольников.
Вследствие этого стало необходимым выдвинуть еще один признак
равенства треугольников, исходя из равенства трех пар соответст-
вующих углов.
Площади всех треугольников образуют множество с верхней
гранью с-л, где с — постоянная, зависящая от выбора единицы
измерения площадей, равная отношению площади треугольника к
его дефекту (разности суммы внешних углов треугольника и 4d).
В геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников
и многоугольников. Допущение подобия эквивалентно постулату
Евклида о параллельных. Длина окружности I растет быстрее ра-
диуса г и равна
/ = _^-(efer —e-fcr),
398
Дальнейшее развитие геометрии Лобачевского связано с вве-
дением пучков прямых: сходящихся, расходящихся и параллель-
ных (рис. 58). Относительно пучков прямых вводятся циклы (иначе
называемые с-линиями, или основными линиями). Это — геомет-
рические места точек, являющиеся ортогональными траекториями
пучка прямых. Их положение определяется начальной точкой, вы-
бранной на одной из прямых пуч-
ка. Эти циклы для трех видов
пучков соответственно называют-
ся: окружность, эквидистанта
(или гиперцикл) и орицикл (об-
раз предельной окружности при
/?->оо). Соответствующие прост-
ранственные образы, образован-
ные вращением циклов вокруг
избранной прямой, будут: сфера,
гиперсфера, орисфера соответст-
венно. Лобачевский установил,
что на орисфере, если прямые заменить орициклами, осуществ-
ляется планиметрия Евклида и тригонометрия.
Во все соотношения геометрии Лобачевского входит единица
длины (масштаб), а углы и длины зависят друг от друга. Едини-
цей длины является OR — длина абсолютной дуги орицикла
(рис. 59). Это — дуга, отсчитываемая от избранной точки О на
одной из параллельных прямых пучка до R — пересечения орицик-
ла с прямой пучка, параллельной касательной к орициклу в точ-
ке О. В настоящее время отрезок, равный по длине абсолютной
дуге, называют также радиусом кривизны пространства Лобачев-
ского.
Аппарат вычислений в геометрии Лобачевского основывается
на оперировании с гиперболическими функциями. Например, тео-
рема, аналогичная теореме синусов для треугольника, в геометрии
Лобачевского приобретает вид
sing sin ft _ sin у
sh&a sh/eb shkc
Вся тригонометрия оказалась в основном тригонометрией гипер-
болических функций. Совокупность ее формул оказалась подобной
совокупности формул сферической тригонометрии в системе Евкли-
да, но для сферы мнимого радиуса Ri, Вслед за тригонометрией
Лобачевский разработал в своей системе аналитическую и диффе-
ренциальную геометрии.
В сочинениях Лобачевского построена система, не содержащая
логических погрешностей и столь же богатая фактами, как и гео-
метрия Евклида. Тем самым показано, что мыслима не только одна
система геометрии и что другие системы можно получать путем,
видоизменений и обобщений основных положений геометрии Ев-
клида. Однако прием, оказанный геометрии Лобачевского, был
399
более чем обескураживающим. На его сочинения академики (в том
числе Остроградский) давали отрицательные отзывы, в печати
появились пасквили на Лобачевского. Требовалось незаурядное
мужество и вера в научную достоверность и значимость своих ис-
следований, чтобы противостоять этому. Лобачевский проявил
необходимые качества, боролся настойчиво, но умер в 1856 г. непо-
нятым и непризнанным.
Рис. 60
Проблема интерпретации геометрии Лобачевского и геометри-
ческих систем вообще. Задача, которую не смог решить Лобачев-
ский,— это задача обоснования новой геометрии. Можно сколь
угодно далеко идти по пути накопления ее фактов, но не получить
уверенности в строгости ее логической основы, в ее значимости для
практических приложений и относительно ее места в науке. Лоба-
чевский заметил, что для бесконечно малых размеров его геометрия
превращается в евклидову. Кроме того, сходство тригонометриче-
ских соотношений в обеих геометриях позволяло надеяться на
скорое открытие связей между ними.
Путь Лобачевского в решении проблемы обоснования — поис-
ки материальных объектов, для которых осуществлялась бы его
геометрия. Вспомогательный путь приложения фактов геометрии
к математическому анализу, в особенности к вычислению трудных
интегралов, был также использован Лобачевским.
Но вернемся к основным попыткам. Требуется, скажем, изме-
ряя углы треугольников, обнаружить, отличается ли их сумма о
от 2d, т. е. обнаружить дефект 6 = 2d—юг. Лобачевский доказал, что
этот дефект должен быть прямо пропорционален площади треуголь-
ника 5 и обратно пропорционален квадрату радиуса кривизны
пространства, т. е.
Чтобы дефект был заметен, надо выбирать треугольники самых
больших размеров. Поэтому Лобачевский занялся непосредствен-
ным измерением космических треугольников.
С положения 3i Земли на орбите (рис. 60) фиксируется неко-
торая звезда А, которая выбрана так, чтобы
400
C3XA = —.
1 2
Если фиксировать ту же звезду А из противоположной точки З2
орбиты, то <C32A=2d—2р. Величина р- есть параллакс звезды,
измеряемый обычно с большой точностью. Если космическое про-
странство имеет геометрию Лобачевского, то можно определить
угол параллельности со. Однако все измеренные отклонения неиз-
менно оказывались в пределах точности наблюдения, и экспери-
мент Лобачевского не удался.
Это теперь не представляется удивительным. Известно, что в
1931 г. Шиллинг доказал, что современные средства астрономиче-
ской техники не могут ни доказать, ни опровергнуть ^предположе-
ния Лобачевского о геометрии космического пространства, если
допустить, что радиус кривизны пространства превышает 60 свето-
вых лет. Неутешительные данные наблюдательной астрономии
дополняет общая теория относительности, которая для изотропного
мира дает значение радиуса кривизны 1,8-109 световых лет. Если
же учесть, что геометрия космического пространства тесно связана
с распределением и движением ма-сс, заполняющих его и обладаю-
щих свойствами притяжения, то эта геометрия примет весьма слож-
ную форму.
Тем не менее, несмотря на неудачи с экспериментом, Лобачев-
ский находился на верном пути. Его идея — это идея интерпрета-
ции: данные всякой теории должны проверяться опытом. Геомет-
рия Евклида возникла как обобщение многовекового опыта людей
и подтверждена практикой. Возможная конструкция, созданная
Лобачевским, должна опереться на систему реально существующих
объектов, чтобы быть признанной непротиворечивой.
Как это часто бывает в истории математики, разгадка нахо-
дилась рядом; математики уже имели все необходимое, чтобы ре-
шить проблему интерпретации геометрии Лобачевского. Необхо-
димо было лишь привлечь данные теории поверхностей.
Мы уже упоминали, что дифференциальная геометрия в нача-
ле XIX в. получила новую область распространения в теории по-
верхностей. В трудах Гаусса, особенно в его «Рассуждении о кри-
вых поверхностях», была построена внутренняя геометрия поверх-
ностей. Для этого Гаусс использовал криволинейные координаты
и и v на поверхности. Линейный элемент (дифференциал дуги)
ds? = Е du? + 2F du dv + G dv2
и гауссова кривизна К = -— дали возможность найти все эле-
менты поверхности. Факты внутренней геометрии оказались инва-
риантными относительно изгибания поверхностей, т. е. таких де-
формаций последней, при которых линейный элемент остается
инвариантным. С тех пор более столетия проблемы изгибаний и
401
внутренней геометрии поверхностей являются важнейшими проб-
лемами дифференциальной геометрии.
Около 1840 г. Ф. Миндинг, профессор университета в Дерпте
(Тарту), изучал поверхности постоянной гауссовой кривизны. Сре-
ди поверхностей постоянной отрицательной кривизны он, в частно-
сти, выделил поверхность вращения трактрисы
т. е. кривой, у которой длина отрезка а касательной от точки каса-
ния до базы OY постоянна. Кривизна этой поверхности
поэтому такая поверхность названа псевдосферой.
Миндинг показал, что для любого треугольника, сторонами
которого являются геодезические линии на поверхности постоянной
кривизны К, имеет место соотношение
ctgA-sinC + cosC-cos]/& -b^ctgVk a-sin]/& b.
В случае K>0 это одна из формул сферической тригонометрии.
Если же К<0, то после подстановки V7C = —вследствие
ri
sin ix = i shx, cos ix = chx
формула получает вид
ctg Д-sin С + cosC-ch — = cth — -sh —.
r r r
Из этой формулы можно вывести остальные формулы гиперболи-
ческой тригонометрии. Тригонометрия геодезических треугольни-
ков на поверхности постоянной отрицательной кривизны оказалась
гиперболической тригонометрией.
За пять лет до выхода этой работы Миндинга, в 1835 г., Лоба-
чевский в «Воображаемой геометрии» показал, что требование
аксиомы параллельности можно свести к вопросу о справедливо-
сти соотношений гиперболической тригонометрии. Результат Мин-
динга означал по существу, что внутренняя геометрия псевдосферы
изоморфна планиметрии Лобачевского. Однако ни Миндинг, ни
Лобачевский этого не заметили.
Обнаружил этот факт впервые итальянский геометр Е. Бельт-
рами. Он внимательно изучал сочинения Лобачевского по фран-
цузским и итальянским переводам. При этом он увидел, что ре-
зультаты одного его дифференциально-геометрического исследова-
ния содержат искомую интерпретацию геометрии Лобачевского.
Бельтрами исследовал задачу картографии: отобразить поверх-
ность на плоскость таким образом, чтобы все геодезические линии
402
на поверхности изображались прямыми на плоскости. Он обнару-
жил, что такое отображение можно установить для сфер и для
поверхностей постоянной отрицательной кривизны, а также нашел
среди последних псевдосферу (см. рис. 61). Линейные элементы
(основные метрические формы) - плоскости Лобачевского и псевдо-
сферической поверхности оказались выраженными одной и той же
формулой. Это означало, что внутренняя геометрия псевдосферы
изоморфна внутренней геометрии
гиперболической плоскости Лоба-
чевского. Образом прямых Лоба-
чевского явились геодезические
на поверхности, а движения ин-
терпретировались изгибаниями
поверхности на себя.
Бельтрами опубликовал свои
результаты в 1868 г. в статье
«Опыт истолкования неевклидо-
вой геометрии». Это была первая
интерпретация геометрии Лобачевского. Она произвела большое
впечатление. После нее положение этой части геометрии измени-
лось. Сомнения в ее непротиворечивости отпали, так как плоскость
Лобачевского интерпретировалась на поверхности евклидова про-
странства. Однако интерпретация была неполной, так как поверх-
ность псевдосферы отображает лишь часть плоскости Лобачевско-
го, что легко заметить на рис. 62. Очевидно также, что никакие
комбинации бельтрамиевых поверхностей не устраняют неполноту.
Бельтрами смог таким образом доказать непротиворечивость
геометрии Лобачевского лишь для некоторой ограниченной, части
плоскости. Остался открытым вопрос об интерпретации всей пло-
403
скости Лобачевского. Только в 1901 г. Д. Гильберт доказал, что
в трехмерном пространстве не существует аналитической поверх-
ности постоянной отрицательной кривизны, не имеющей нигде осо-
бенностей и повсюду регулярной. Поэтому осуществить интерпре-
тацию типа Бельтрами всей плоскости Лобачевского невозможно.
Следующая по времени интерпретация, проведенная в 1871 г.
Ф. Клейном в работе «О так называемой неевклидовой геометрии»,
основывается на введенном Кэли проективном мероопределении на
плоскости. Кэли ввел это понятие в 1859 г. в «Шестом мемуаре о
формах» следующим образом: Формы — это однородные многочле-
ны. Для геометрического истолкования теории форм Кэли привлек
аналитическую геометрию проективного пространства, построенную
Плюккером. С бинарной формой он связал систему точек прямой,
однородные координаты которых обращают эту форму в нуль.
Аналогично тернарная форма представляется кривой проективной
плоскости; если эта форма квадратична, соответствующая кривая
есть коническое сечение. Затем Кэли фиксирует одну из бинарных
квадратичных форм и пару точек, соответствующую ей на прямой.
Его определение абсолюта по существу вводит его как образ, отно-
сительно которого рассматриваются автоморфизмы. Для опреде-
ления расстояния между двумя точками Кэли ^строит ангармониче-
ское отношение этих двух точек и точек абсолюта. Логарифм
ангармонического отношения и есть, по Кэли, расстояние. На пло-
скости абсолютом является кривая второго порядка; ее пересечение
с любой прямой плоскости определит на ней абсолют проективной
метрики.
Клейн в упомянутой выше работе доказал, что проективная
метрика Кэли, определяемая действительной кривой второго по-
рядка, совпадает с метрикой пространства постоянной отрицатель-
ной кривизны. Теперь Клейн может (и он именно это делает)
отобразить плоскость Лобачевского на внутренность абсолюта,
например внутрь круга. Точки плоскости отображаются во внут-
ренние точки абсолюта, прямые переходят в хорды без конечных
точек, параллельные прямые — в хорды с общим концом. Движе-
ние— проективное преобразование, переводящее круг сам в себя
и хорды — в хорды. Расстояние, как и у Кэли,
AN
AM
ВМ \
BN )'
В пространстве используется проективное отображение на внут-
ренность сферы. Геометрия Лобачевского интерпретируется посред-
ством абсолюта Клейна (рис. 63). Например, из точки О оказы-
вается возможным провести две прямые ОМ и ON, не пересекаю-
щиеся с данной прямой MN и тем самым параллельные ей в смыс-
ле Лобачевского. Геометрия Лобачевского оказывается с этих
позиций геометрией подгруппы всех проективных преобразований,
при которой абсолют отображается сам в себя. Модель Клейна
404
явйлась долгожданным полным доказательством непротиворечи-
вости геометрии Лобачевского и наличия у нее реального смысла.
После этой работы Клейна появились и продолжают появлять-
ся новые интерпретации, обнаруживая новые связи геометрии
Лобачевского с другими областями математики. Приведем для
примера модель А. Пуанкаре, предложенную им в 1882 г. в связи
с задачами геометрической теории функций комплексного перемен-
ного. Плоскость Лобачевского изображается тоже внутренностью
круга (рис. 64), прямые — дугами окружностей, перпендикуляр-
ными данной окружности, и диаметрами. Движения интерпрети-
руются комбинациями инверсий. Мы здесь имеем в виду гипербо-
лическую инверсию, т. е. такие преобразования точек плоскости
относительно окружности с центром О и радиусом г, когда каждой
точке М на луче ОМ ставится в соответствие точка М', такая, что
ОМ-ОМ'=г2.
Разработка принципов классификации геометрических теорий.
Наличие интерпретаций означало доказательство непротиворечиво-
сти геометрии Лобачевского. Точнее говоря, этим была доказана
возможность сведения указанной проблемы к вопросу о непротиво-
речивости геометрии Евклида, а через нее к данным опыта. В свою
очередь определившаяся равноправность по крайней мере двух
геометрий — евклидовой и Лобачевского — повела к появлению
других различных геометрических систем, к необходимости выра-
ботать единые принципы классификации этих систем, к разработке
аксиоматического метода и укреплению его положения как важ-
нейшего метода всей геометрии и вообще математики современ-
ности.
Ф. Клейн внес в классификацию систем геометрии идеи теории
групп. Коротко говоря, он отметил, что все движения, рассматри-
ваемые в геометрии, образуют группу: произведение двух движе-
ний есть движение, каждое движение можно сопоставить с обрат-
405
ным ему. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского имеют раз-
ные группы движений. Если поставить вопрос более общо, то ока-
зывается, что геометрия пространства характеризуется свойствами
группы движений этого пространства. Именно движение есть такое
преобразование, которое позволяет сравнивать фигуры с одинако-
выми свойствами. Таким образом, выделяется совокупность свойств
пространственных объектов, инвариантных относительно движения.
Наука об этих свойствах и является геометрией.
Эти воззрения были изложены и развиты Ф. Клейном в речи,
прочитанной им в 1872 г. при вступлении на кафедру в немецком
городе Эрлангене, «Сравнительное обозрение новейших геометри-
ческих исследований». В дальнейшем она сделалась гораздо более
известной математикам как «Эрлангенская программа Ф. Клейна».
По Ф. Клейну, для построения геометрии необходимо задать:
а) некоторое многообразие элементов; б) группу преобразований,
дающую возможность отображать элементы заданного многообра-
зия друг на друга. Геометрия должна изучать те отношения эле-
ментов, которые инвариантны при всех преобразованиях данной
группы.
С этих позиций возможны, например, следующие геометрии:
а) геометрия Евклида, изучающая инварианты перемещений;
б) аффинная геометрия, объектом изучения которой являются ин-
варианты так называемых аффинных преобразований
х' = ахх + Ьгу + с1г
у'= а2х + Ь2у + с2
при условии:
«А
°2^2
det =
¥=0
(в частном случае, когда рассматриваются ортогональные преоб-
разования, мы всегда будем иметь: det= ± 1); в) проективная гео-
метрия, т. е. наука об инвариантах дробно-линейных преобразо-
ваний
aix + bty + ci .
а3х + Ь3у + с3 ’
, а2х + Ь2у + са
«з^ + М + ^з ’
Cr
det = да ь2 с2 =#0.
«3 ^3 ^3
При такой постановке вопроса геометрия Лобачевского трактуется
как часть проективной геометрии, где изучаются инварианты под-
группы проективных преобразований/ переводящей в себя точки
некоторой окружности.
406
В классификацию Клейна помимо указанных входят многие
другие геометрические системы. Например, конформная геометрия,
охватывающая группу таких преобразований, которые переводят
круги в круги, а также сохраняют углы. Другим примером может
служить топология — геометрия групп непрерывных преобразова-
ний, т. е. таких, при которых сохраняется бесконечная близость
точек.
Уже более ста лет идея Клейна о том, что геометрию можно
строить на любом многообразии, в котором установлена группа
преобразований, является руководящей не только для классифика-
ции геометрических теорий, но и для построения новых систем гео-
метрии. Однако она не является единственной. В середине XIX в.
появился еще один общий принцип рассмотрения геометрических
теорий. Это был принцип, который мы условимся впредь называть
метрическим. Впервые он изложен в общем виде в 1854 г. Риманом
в ставшей впоследствии знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих
в основании геометрии» (опубликовано в 1867 г.).
Исходные идеи геометрических исследований Римана в первом
приближении таковы. Для построения геометрической теории не-
обходимо задать: а) многообразие элементов; б) координаты этих
элементов (в общем случае п); в) закон измерения расстояний
между бесконечно близкими элементами многообразий. Последний
задается исходя из предпосылки, что геометрическое пространство
в бесконечно малых частях евклидово. Это означает, что в самом
общем виде задан линейный элемент дуги, определяемый диффе-
ренциальной квадратичной формой
ds^YiSikdXidXk.
i.k
Здесь
gik = gik . x„);
gik =* gki', ds* > 0.
Указанная форма, очевидно, является обобщением гауссовой
квадратичной формы во внутренней геометрии поверхностей:
ds2 = Е du2 + 2F du dv + G dv2.
Движения определены как преобразования, относительно которых
линейный элемент ds инвариантен. Отсюда
Еgik dx( dxk ‘_= gik dx’t dxk.
i,k i,k
Вслед за ds остаются в этом случае инвариантными длина
кривой и другие соотношения, относящиеся к так называемой мет-
рике* пространства. Само понятие пространства, вслед за столь
широким обобщением понятия расстояния между двумя точками,
407
приобрело весьма общую трактовку (например, пространство цве-
тов, фазовое пространство и т. д.). Это понятие быстро эволюцио-
нировало вплоть до современного представления о римановых про-
странствах как общих дифференциально-геометрических много-
образиях с необходимыми уточнениями. Теория римановых про-
странств носит в настоящее время название римановой геометрии.
Риман не создал аналитического аппарата, адекватного столь
широко задуманной на основе метрического принципа геометрии.
Лишь к началу XX в., когда в трудах итальянских математиков
Р. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита оформилось тензорное ис-
числение как синтез теории алгебраических форм и теории квадра-
тичных дифференциально-геометрических форм, оказалось, что оно
является наиболее удобным аппаратом для разработки проблем
римановой геометрии. Широкие обобщения понятия расстояния
между двумя элементами и соответственно всех метрических суж-
дений привели к введению понятия метрического пространства.
Более узкая постановка вопроса в плане выяснения возможных
разновидностей неевклидовой геометрии — геометрии пространств
постоянной положительной кривизны — получила название геомет-
рии Римана.
Становление аксиоматического метода в геометрии. Идея Ло-
бачевского о том, что логически мыслима не одна геометрия Ев-
клида, получила во второй половине XIX в. подтверждение;
возникли многочисленные геометрические системы. Воплотилась
в жизнь в виде разнообразных интерпретаций, а затем и приложе-
ний и другая его идея — что истинность геометрии проверяется
лишь опытом и что расширяющийся опыт потребует введения не
только евклидовой геометрии. Истинная природа пространства мо-
жет оказаться и неевклидовой.
Третья идея Лобачевского, как было указано, состояла в том,
что новые геометрии могут быть построены путем видоизменения
и обобщения системы аксиом и вообще исходных положений евкли-
довой геометрии. Эта идея' повлекла целую серию исследований
по основаниям геометрии. Еще в 1866 г. Г. Гельмгольц ввел движе-
ние в качестве основного понятия геометрии. Г. Кантор (1871) и
Р. Дедекинд (1872) исследовали аксиому непрерывности. Паш
(1882), добиваясь решения проблемы включения метрической гео-
метрии в проективную, глубоко исследовал две группы аксиом:
порядка и принадлежности (по позднейшей классификации аксиом,
осуществленной Д. Гильбертом). Вслед за Пашем эти группы ак-
сиом исследовали Д. Пеано (1889) и Пиери (1899). Наконец,
в 1899 г. появилось первое издание «Оснований геометрии» Д. Гиль-
берта, в котором впервые была изложена полная и достаточно
строгая система аксиом геометрии.
Таким образом, к концу XIX в. в геометрии укоренился аксио-
матический метод. С того же времени аксиоматический метод рас-
пространился и на другие области, сделавшись одним из основных
методов современной математики. Геометрические теории оказались
408
едва • ли не самой удобной частью математики для становления
аксиоматического метода. Вместо громоздкой системы определе-
ний, аксиом и постулатов, принятой в «Началах» Евклида, теперь
сделалось возможным ввести- лишь совокупность аксиом, которая
и служит описанием основных понятий и их свойств. В геометрии
же сложились первые требования логической строгости, которым
должны удовлетворять аксиомы: требования их совместности и
полноты. Совместность включила в себя требования независимости
и непротиворечивости. Последняя доказывается построением интер-
претаций и по существу эквивалентна этому построению. Независи-
мость какой-либо аксиомы устанавливается заменой ее отрицанием
с последующим построением интерпретаций с целью доказать не-
противоречивость новой системы. Полноту системы аксиом стали
понимать как свойство определять систему объектов с точностью
до изоморфизма. В отличие от геометрии аксиоматика теории групп,
например, не может быть полной, так как существуют группы с
неизоморфной структурой.
Аксиомы геометрии, как и вообще математические аксиомы,
не являются вечными априорными истинами. Критерий их истин-
ности лежит в практике; на каждом этапе исторического развития
математики выявляется их относительность. Большая роль аксио-
матического метода не может затенить реальное происхождение
аксиом, не может служить основанием для их идеалистических
оценок. По справедливому выражению Ф. Энгельса, «...выведение
математических величин друг из друга, кажущееся априорным,
доказывает не их априорное происхождение, а только их рацио-
нальную взаимную связь» ’.
Развитие геометрии в XX в. из-за громадного фактического
объема и сложности связей не оказалось возможным включить
в состав настоящей главы. Первоначальное представление об этом
предмете читатель может получить,.например, из статьи А. Д. Алек-
сандрова «Геометрия»1 2, к которой приложена хорошо подобранная
библиография.
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Собр. соч.» т. 20, стр. 37.
2 А. Д. Александров. Геометрия. БСЭ, изд. 2, т. 10, стр. 533—550.
Глава 8
МАТЕМАТИКА В РОССИИ
Состояние научных исследований по математике к началу
XIX в. В предшествующих главах приведено сравнительно много
сведений о наиболее важных вкладах в науку, внесенных выдаю-
щимися математиками России. Эти материалы свидетельствуют о
возрастании объема и удельного веса научных/исследований наших
отечественных ученых и могут дать некоторое (представление об
уровне и характере развития математики в России в XVIII и
XIX вв.
Однако приведенные сведения оказались отрывочными, потому
что выбор их был подчинен целям общего характера, стоявшим
перед автором при написании той или иной главы, .поэтому необ-
ходимо дополнить указанные сведения кратким, по возможности
связным очерком развития математики в России. При этом мы
будем стремиться избегать повторений ранее приведенных мате-
риалов.
В XVIII в. в России существовало только два учебно-научных
центра: Петербургская академия наук (основана в 1725 г.) и Мо-
сковский университет (открыт в 1755 г.). Научная деятельность
в области математики и смежных дисциплин полностью исчерпы-
вается трудами Л. Эйлера и его немногочисленных учеников. Ги-
гантские по количеству и важности результаты Эйлера оставались
все же изолированным явлением, не находили широкого научного
отклика в России, где образованных людей было еще немного.
410
Также не нашли непосредственного развития многие замечатель-
ные мысли М. В. Ломоносова о математике, ее значении и харак-
тере ее методов. Московский же университет выполнял в XVIII в.
по преимуществу учебные функции.
Положение начало изменяться в первой половине XIX в., когда
под натиском нового, капиталистического производства в России,
несмотря на сопротивление царизма, были проведены некоторые
реформы. Возросшая при этом роль науки и образования для эко-
номики России нашла свое выражение, в частности, в основании
ряда университетов. Начало XIX в. было ознаменовано появлением
университетов: Тартусского (1802), Вильнюсского (1803), Казан-
ского (1804), Харьковского (1805), Петербургского (1819) и Киев-
ского (1834). Во второй половине XIX в. было открыто еще три
университета: Одесский (1865), Варшавский (1869) и Томский
(1888). Ко времени Великой Октябрьской социалистической рево-
люции в России насчитывалось всего 11 университетов (в 1909 г.
был открыт Саратовский университет).
В каждом из университетов с момента его организации учре-
ждались физико-математические факультеты и кафедры математи-
ки (в Саратовском университете это произошло лишь в 1918 г.).
Деятельность университетов, руководивших в то время также
всеми средними и низшими учебными заведениями, была важней-
шей частью создания основ развертывания научных исследований
по математике. Другими частями этого важного процесса были:
повышение уровня преподавания математики в средних учебных
заведениях, издание математической литературы,, в том числе жур-
налов, появление научных математических обществ.
В университетах к середине XIX в. начала разворачиваться
серьезная научная деятельность. Этому сопутствовало объединение
в ряде городов ученых-математиков на основе общей тематики, ко-
торое привело к образованию научных школ. Этот термин мы бу-
дем применять к сравнительно многочисленным группам ученых,
поддерживающих научные связи и объединяемых общностью науч-
ного направления, выделяющегося либо классом решаемых теоре-
тических проблем или задач, либо своеобразием применяемых
методов.
Первым научным центром в области математических исследо-
ваний оказался Петербург, точнее Петербургская академия наук.
Вслед за тем вокруг университетов стали складываться другие
математические центры и школы: в Казани, Москве, Киеве, Харь-
кове и других городах. В дальнейшем мы сможем уделить основное
внимание развитию лишь Петербургской и Московской математи-
ческих школ.
Петербургская математическая школа. После смерти Л. Эйле-
ра (1783) уровень математических исследований в Петербурге
снизился. Новый подъем обозначился лишь в 20-е годы XIX в. Он
был связан с деятельностью М. В. Остроградского и В. Я. Буня-
ковского. Оба они являлись уроженцами Украины, оба получили
411
М. В. Остроградский (1801—1861)
серьезную научную подготовку в Париже — сймом значительном
в то время центре математической науки. Это обстоятельство опре-
делило идейное родство и связь работ петербургских математиков
с ведущими идеями лучших математиков того времени.
Михаил Васильевич Остроградский (1801—1861) окончил
Харьковский университет в 1820 г. Он был учеником прогрессивно-
го ученого, ректора университета Т. Ф. Осиповского. Борьба по-
следнего с реакционным большинством профессоров, окончившаяся
изгнанием Осиповского из университета, отразилась и на судьбе
Остроградского, который не получил диплома. Остроградский про-
должал свою подготовку в Париже (1822—1828) и возвратился на
412
родину уже ученым с высокой научной репутацией. Он обосновался
в Петербурге, будучи вначале (1828) избран адъюнктом, а затем
(с 1830 г.) академиком. Кроме того, Остроградский вел препода-
вание в ряде технических и военных высших учебных заведений.
Научные интересы Остроградского развивались в тесной связи
с актуальными для парижских математиков проблемами. Даже
большинство работ он написал и опубликовал на французском
языке.
Собрание сочинений М. В. Остроградского на русском языке
было издано только в 1959—1961 гг. Академией наук УССР.
Так же, как и его современники (Фурье, Лаплас, Коши, Пуас-
сон и др.), Остроградский основные усилия направлял на решение
прикладных проблем. Большинство его работ относилось к обла-
сти механики, математической физики и связанных с ними проблем
математического анализа. Кроме того, он оставил после себя перво-
классные работы по алгебре, теории чисел и теории вероятностей.
Центральное место в научной деятельности Остроградского
занимают его работы по математической физике. Построение мате-
матической теории разных явлений природы было в центре внима-
ния крупнейших парижских математиков в то время, когда в
Париже учился Остроградский. В 1822 г. появилась «Аналитиче-
ская теория тепла» Фурье, в 1825 г. завершен выход в свет пяти-
томней «Небесной механики» Лапласа, в 1826 г. была издана
«Теория электромагнитных явлений» Ампера. В 1826 г. была напи-
сана и первая работа Остроградского (опубликована в 1832 г.).
Она была посвящена задаче о распространении волн на поверхно-
сти жидкости в цилиндрическом бассейне. Несколько позже (1829)
Остроградский решил ту же задачу для бассейна, имеющего форму
кругового сектора.
Вернувшись в Петербург, Остроградский опубликовал «Замет-
ку об интеграле, встречающемся в теории притяжения», где он дал
оригинальный вывод уравнения Пуассона, который он нашел и со-
общил Коши еще в 1826 г. Вслед за тем он посвятил несколько
мемуаров математической теории тепла. Здесь он развил метод
Фурье для твердых тел в общей форме, а также впервые дал стро-
гое решение задачи о распространении тепла в жидкости. Его за-
метка «О теории теплоты» (1828 г., опубликована в 1831 г.)
содержит обобщение метода Фурье. Это обобщение состоит в основ-
ном: а) в определении характеристических чисел краевой задачи
и соответствующих им фундаментальных функций (вообще говоря,
не тригонометрических); б) в исследовании разложимости функ-
ций в ряд по фундаментальным, функциям. При этом Остроград-
ский открыл свойство попарной ортогональности фундаментальных
функций, а также нашел формулу разложения по фундаменталь-
ным функциям
х VI “ у, Z) и'а
f (х, У, Z) = У J——-----------.
“ J UU (О
413
Здесь у Остроградского интегралы, разумеется, тройные по обла-
сти, а» — дифференциал объема, и — фундаментальная функция, со-
ответствующая данному слагаемому суммы, а отношения интегра-
'лов — обобщенные коэффициенты Фурье.
Особенностью этой работы Остроградского является также то,
что он опирается на упоминавшийся нами принцип локализации.
Доказательство общего разложения по фундаментальным функ-
циям не проведено строго. Впрочем, последующие обобщения мето-
да Фурье, достигнутые в работах Ламе и Дюгамеля, обладали еще
меньшей общностью и доказательностью, чем у Остроградского.
Многие сочинения Остроградского посвящены решению дру-
гих задач математической физики: о намагничивании разобщенных
брусков, о притяжении сфер и сфероидов, об интегрировании урав-
нений малых колебаний упругих сред и т. п.
С исследованиями по математической физике связана также
большая группа работ Остроградского в различных областях меха-
ники. Н. Е. Жуковский, знаменитый русский математик и механик,
делит эти исследования Остроградского на три части: относя-
щиеся к анализу принципа виртуальных перемещений и вариацион-
ных принципов механики, к решению дифференциальных уравне-
ний механики и посвященные частным задачам механики. В част-
ности, среди обобщений принципа Лагранжа находятся: распро-
странение этого метода на системы с освобождающимися связями,
общий метод нахождения скоростей упругих точек при ударе о
жесткую связь и др. Имеются и работы чисто прикладного харак-
тера по баллистике и артиллерийской технике.
В области математического анализа Остроградскому принад-
лежат большие открытия. По большей части эти открытия связаны
с его прикладными работами и возникли как усовершенствования,
необходимы^ для достаточно общей постановки задачи. Так, напри-
мер, знаменитая формула Остроградского
+ УУ Pdydz + Qdzdx + Rdydx
V s
•была выведена впервые в 1828 г. Ее обобщение на случай п-крат-
ного интеграла было в 1834 г. найдено Остроградским для опреде-
ления вариации кратного интеграла. В статьях по вариационному
исчислению находится также важная формула дифференцирования
кратного интеграла по параметру
—— С[/dxdydz ... = {-^-dxdydz ... —
[da J J да
L L
P jy dL ____________ds____________
414
где параметр входит как в подынтегральную функцию U, так и
в уравнения, определяющие границу S области интегрирования L.
В статье «О преобразовании переменных в кратных интегра-
лах» (1836, опубликована в 1838 г.) дан метод, употребляющийся
и в наше время.
Ряд статей Остроградского посвящен теории интегрирования
алгебраических функций. Например, в них доказано, что алгебраи-
ческий интеграл от рациональной функции может быть только ра-
циональной функцией. Это вытекает (при п=1) из более общего
результата, доказанного Остроградским: пусть дана рациональная
функция R(x, у), где
п
Л=1-
й=0
Если при этом fR(x, y)dx есть алгебраическая функция, то он
является целой рациональной функцией от у степени п—1, коэф-
фициенты которой — рациональные функции от х. Доказано так-
же, что интеграл от алгебраической функции не может содержать,
ни показательных, ни тригонометрических функций. Найден способ
отделения алгебраической части интеграла от рациональной дроби,
без оснований называемый теперь в учебниках «правилом Эрмита».
Эти и многие другие результаты Остроградского в области
теории интегрирования помимо их связи с прикладными задачами
отразили новый этап развития интегрального исчисления. Мы уже
указывали, что выделение класса функций, интегрируемых в эле-
ментарных функциях, в основном было завершено во времена
Эйлера и в значительной части благодаря его усилиям. Новая
проблематика состояла из более общих проблем относительно при-
роды классов функций, получающихся при интегрировании того
или иного класса функций: рациональных, алгебраических, элемен-
тарных, трансцендентных и т. д. Помимо Остроградского в этой
области работали Абель, Лиувилль и др. Их результаты временами
были близки, а иногда даже перекрывались. В последующем общая
теория интегрирования была успешно продвинута П. Л. Чебы-
шевым.
В плане обзора работ Остроградского по математическому
анализу укажем еще на некоторые его результаты в области тео-
рии дифференциальных уравнений. В 1838 г. он опубликовал «За-
метку о линейных дифференциальных уравнениях», где для уравне-
ния вида
4г + -7ТГ + ''' + V- + ₽» = 0
dx" dx"1 dx
вывел определитель, называемый теперь детерминантом Вронского
(Г. Вронский (1775—1853) ввел этот детерминант в 1812 г.),
415
№(%) =
У1
У'1
Уп
^(n-l) у(П-1) . . . у(П-\)
(yi, y2.yn — частные интегралы уравнения).
Ранее (1835) Остроградский внес улучшения в метод Ньютона
приближенного решения системы дифференциальных уравнений.
В связи с задачей интегрирования . рациональных дробей
Юстроградский нашел новый способ выделения кратных корней
многочленов. Его «Лекции по алгебраическому и трансцендент-
ному анализу» (1837) сыграли большую роль в развитии матема-
тического образования в России.
В сфере научных интересов Остроградского находилась и тео-
рия вероятностей, которой он посвятил шесть статей в разное
время (от 1834 до 1859 г.). В них он исследовал вопросы теории
страхования, азартных игр, статистического контроля качества
продукции, производящие функции и другие актуальные для его
времени вопросы теории вероятностей, подходя к ним с позиций
практических приложений. Не избежал он в одной из своих работ
и характерных для математиков того времени (в первую очередь
для Лапласа) заблуждений, состоящих в необоснованном прило-
жении соображений теории вероятностей к решению вопросов су-
дебной практики и других специальных проблем. Другой опреде-
ленной его ошибкой было пренебрежительное отношение к работам
Лобачевского. Эта ошибка замечательного математика учит, как
недопустимы в науке проявления теоретической ограниченности,
невнимательности или самомнения, как вредят они развитию нау-
ки. Их нельзя оправдать никакими, даже самыми большими,
заслугами, ни теоретическими, ни практическими.
Виктор Яковлевич Буняковский (1804—1889) также получил
'высшее математическое образование в Париже, где в 1825 г. ему
была присуждена ученая степень доктора математики. Возвратился
он в Россию в 1827 г' Долгие годы был профессором университета
и других высших учебных заведений Петербурга. Вскоре после
приезда Буняковский был избран (1828) адъюнктом, а затем
(1830) академиком. С 1864 г. и почти до самой смерти он являлся
вице-президентом Академии наук.
В большом и разнородном научном наследии Буняковского
(ему принадлежит около 130 работ) имеются важные научные ре-
зультаты. В работах по теории чисел (их более 40) мы встречаем
доказательства квадратичного закона взаимности, решение ряда
задач диофантова анализа, учения о простых числах и т. д. Более
20 работ Бунякорский посвятил теории вероятностей и ее приложе-
ниям. Он решил многие важные задачи, возникавшие при органи-
зации страхового дела, ссудных касс, анализа народонаселения
России (таблицы и эмпирическая формула смертности, подсчеты
416
]2 < j Р (*) dx • J ф2 (х) dx,
призывных контингентов и др.), промышленности. В качестве госу-
дарственного эксперта по статистике и страхованию (с 1858 г.)
Буняковский оказал большое содействие проникновению математи-
ческих методов в практику хозяйственного строительства. Написан-
ные им «Основания теории вероятностей» (1846) охватили все от-
делы теории вероятностей и ее приложений и явились первым
большим руководством по этой науке в России.
В работах Буняковского по анализу решено большое число*
конкретных задач в части теории интегрирования, сходимости ря-
дов и т. д. Ему, в частности, принадлежит (1859) честь открытия
известного неравенства:
» ь ь
[J f(x) • <f(x)dx
а а а
которое иногда называют неравенством К. Шварца, хотя послед-
ний нашел и опубликовал его лишь через 16 лет после Буняков-
ского. Геометрические исследования Буняковского в основном по-
священы проблемам оснований геометрии. Он тщательно исследо-
вал историю доказательств постулата о параллельных, тонко обна-
ружил несовершенства всех этих доказательств. Однако к работам
Лобачевского Буняковский отнесся отрицательно, разделив ошибку
Остроградского, и продолжал искать логически строгое доказа-
тельство постулата. Неевклидова геометрия представлялась ему
логически немыслимой.
Работы Буняковского, как и подавляющего большинства мате-
матиков XIX в., оказались забытыми, влившись и трансформиро-
вавшись в некоторый обобщенный опыт науки. Освоение и обобще-
ние этого опыта для математиков нашего века является еще далеко
не полностью решенной задачей. Но в то время (к середине XIX в.)
деятельность Остроградского и Буняковского, их учеников, многие
из которых стали крупными специалистами в различных областях
математики и техники, определила новый подъем математики в
России, особенно в Петербурге. Начал складываться коллектив
творчески работающих математиков, ведущее место в котором к
концу жизни Остроградского занял приехавший из Москвы
П. Л. Чебышев.
Чебышев (по его собственному указанию надо произносить
Чебышов) Пафнутий Львович (1821—1894) окончил в 1841 г. Мо-
сковский университет. На конкурсе студенческих работ за сочине-
ние на тему «Вычисление корней уравнений» он - был награжден
серебряной медалью. Будучи оставлен при университете, защитил
в 1846 г. магистерскую диссертацию: «Опыт элементарного анализа
теории вероятностей». В следующем году Чебышев переехал в Пе-
тербург и начал работать в университете. При этом университете
он защитил в 1849 г. докторскую диссертацию «Теория сравнений»
и работал в течение многих лет (1850—1882) профессором. Дея-
тельность Чебышева в Академии наук началась в 1853 г., когда
417
П. Л. Чебышев (1821—1894)
его избрали адъюнктом. Рост научного авторитета Чебышева был
в дальнейшем отмечен избранием в число академиков (в 1856 г.—
экстраординарным, в 1859 г. — ординарным).
В научном наследии Чебышева насчитывается более 80 работ.
Оно оказало огромное влияние на развитие математики, и в осо-
бенности на формирование Петербургской математической школы.
Для работ Чебышева характерна тесная связь с практикой, широ-
кий охват научных проблем, строгость изложения, экономность
математических средств в достижении крупных результатов.
Более конкретное изучение творчества Чебышева в настоящее
время облегчается тем, что Академия наук издала полное собра-
ние его сочинений. Помимо этого, в 1945 г. был выпущен в свет
418
сборник «Научное наследие П. Л. Чебышева». Два тома этого сбор-
ника составлены из обзорных статей, в которых характеризуются
труды Чебышева по математике (1-й том) и кинематике механиз-
мов (2-й том).
Математические результаты Чебышева в основном распро-
страняются на четыре области: теорию чисел, теорию вероятностей,
теорию наилучшего приближения функций и общую теорию поли-
номов, теорию интегрирования.
Деятельность Чебышева в области теории чисел началась в
40-х годах прошлого века. Академик Буняковский привлек моло-
дого ученого к комментированию и изданию сочинений Эйлера по
теории чисел. Одновременно Чебышев готовил монографию по
теории сравнений и ее приложениям в качестве докторской диссер-
тации. К 1849 г. обе эти задачи были выполнены и соответствую-
щие книги опубликованы.
В качестве приложения к «Теории сравнений» Чебышев опуб-
ликовал, в частности, мемуар «Об определении числа простых чи-
сел, не превосходящих данной величины». Вскоре появилось еще
несколько статей Чебышева на эту тему.
Проблема распределения простых, чисел в ряду натуральных
чисел — одна из самых старых в теории чисел. Она известна со
времен древнегреческой науки. Первый шаг к ее решению сделал
Евклид, доказав теорему, что в натуральном ряду имеется беско-
нечно много простых чисел. До тех пор, пока Эйлер не привлек
средства математического анализа, ее решение практически не
продвигалось. Эйлер сумел дать новое доказательство этой теоре-
мы, исходя/из определения дзета-функции:
ОО 00
п=1 р=2 (1 — — )
(п— натуральные, р — простые) и соображений, что сумма 2^ —
при s>l и s->l неограниченно возрастает. Следовательно, произ-
ведение
П(’-7г)
имеет неограниченно большое число сомножителей. Лишь в 1837 г.
Дирихле обобщил теорему Евклида, доказав, что в любой арифме-
тической прогрессии {a + nb}, где а и b взаимно просты, содержит-
ся бесконечно много простых чисел. В 1798—1808 гг. Лежандр,
изучив таблицы простых чисел до 106, вывел эмпирически, что чис-
ло простых чисел в отрезке [2, х] выражается формулой
419
л (х) =
X
tInх— 1,08366 *
Чебышев доказал, что формула Лежандра неверна, глубоко иссле-
довал свойства функции л(х) и показал, что истинный порядок
роста этой функции тот же, что и функции
X
1пх
Более того, им
были даны точные оценки
0,92129 < я(х) -<1,10555.
X
In X
Это открытие Чебышева произвело огромное впечатление.
Многие математики работали над усовершенствованием его мето-
дов и улучшением результатов. Сильвестр в статьях 1881 и 1892 гг.
сузил вышеупомянутое неравенство:
0,95695 < я(х) < 1,04423.
х
1пх
Дальнейшие приближения получили Шур (1929) и Брейш (1932).
Чебышев нашел также интегральные оценки л(х). Ему уда-
лось доказать, что с ростом х значение функции л(х) колеблется
X
С dz
около I ----, удовлетворяя бесконечно много раз неравенствам
J Inz
2
и
2
ax
lnrtx
dz
Inz
ах
ln"x
(a>0, n 1).
Только в 1896 г. Адамар и Валле-Пуссен доказали предельную
теорему:
lim я(х)- = 1.
*">0° Г Аг
J Inz
2
Уже в наши дни А. Сельберг нашел (1949) элементарное доказа-
тельство этого асимптотического закона. В 1955 г. А. Г. Постни-
ков и Н. П. Романов упростили громоздкий вывод Сельберга.
420
Исследование расположения простых чисел в натуральном
ряде привело к появлению работ Чебышева о теории квадратич-
ных форм. В 1866 г. появилась его статья «Об одном арифметиче-
ском вопросе», посвященная диофантовым приближениям, т. е.
приближенному целочисленному решению диофантовых уравнений,
что он проделал с помощью аппарата непрерывных дробей.
Идеи Чебышева в области теории чисел разрабатывали его
ученики: А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев, А. А. Марков, Г. Ф. Воро-
ной и др. *. Советскую школу теории чисел, весьма авторитетную
и многочисленную, ныне возглавляет академик И. М. Виноградов.
Кроме того, на посту директора Математического института АН
СССР (с 1932 г.) И. М. Виноградов руководит самым крупным и
значительным коллективом советских ученых-математиков.
К теории вероятностей Чебышев обратился еще в молодые
годы, посвятив ей магистерскую диссертацию. В те времена теория
вероятностей переживала своеобразный кризис. Ее основные зако-
номерности: закон больших чисел и предельная теорема Муавра —
Лапласа
х—а
(предельный закон вероятностей для уклонения числа х появлений
случайного события от математического ожидания а этого числа х
при п опытах с постоянной вероятностью р; дисперсия о1 2=пр(1—р))
были в основном найдены еще в XVIII в. Осознание общезначимо-
сти этих законов привело к широкому их применению вплоть до
попыток приложения их в области социальной практики людей.
Это вызвало столь большое число необоснованных' и ошибочных
суждений, что сказалось на научной репутации самой теории ве-
роятностей. Без солидного обоснования понятий и результатов
дальнейшее развитие этой науки было невозможно.
Чебышев написал по теории вероятностей всего четыре рабо-
ты (в 1845, 1846, 1867 и 1887 гг.), но, по всеобщему признанию, эти
работы вывели теорию вероятностей снова в ранг математических
наук, послужили основой для создания целой математической
школы.
Исходные позиции автора проявились уже в его магистерской
диссертации, где он ставил перед собой цель дать такое построение
теории вероятностей, которое в наименьшей степени привлекало бы
аппарат математического анализа. Этого он достигал, отказываясь
от перехода к пределу и заменяя этот переход системой неравенств,
в которые заключены все соотношения. Числовые оценки погреш-
1 См. Б. Н. Делоне. Петербургская школа теории чисел. М., Изд-во АН
СССР, 1947.
421
ностей и отклонений остались характерной чертой и для последую-
щих работ Чебышева по теории вероятностей.
В дальнейшем Чебышев расширил аппарат теории вероятно-
стей. Для этого он привлек алгебраические непрерывные дроби,
свойства которых он вначале изучил в связи с задачами об инте-
грировании алгебраических функций. На базе алгоритма непрерыв-
ных дробей он построил общую теорию разложения произвольной
функции в ряд по ортогональным полиномам. Дополнив аппарат
строгим определением свойств математических ожиданий и других
определений и рассуждений, Чебышев в 1866 г. нашел доказатель-
ство закона больших чисел в самой в то время общей классической
формулировке: если математические ожидания величин х, у, z, ...,
х2, У2, £2, ... будут соответственно а, Ь, с, ..., &ь ..., то вероят-
ность, что среднее арифметическое N величин х, у, z, ... от среднего
арифметического математических ожиданий этих величин разнится
не более как на
t V N N ’ .
t2
при всяком /, будет превосходить 1-----.
Достаточно общее и строгое доказательство центральной пре-
дельной теоремы Чебышеву удалось найти лишь кЛ887 г. Для того
чтобы доказать, что «если математические ожидания величин
«ь и2, и3, ... равны нулю, а математические ожидания всех их сте-
пеней имеют числовую величину ниже какого-либо конечного пре-
дела, вероятность того, что сумма п величин и\ + и2+ ... + ип, де-
ленная на квадратный корень из удвоенной суммы математических
ожиданий их квадратов, заключается между двумя какими-нибудь
величинами t и f, с возрастанием *числа ,п до оо имеет пределом
величину интеграла
—( е-*2 dx»,
у л J
t
Чебышеву пришлось найти метод, известный в современной лите-
ратуре как метод моментов.
В доказательстве последней теоремы Чебышев допустил логи-
ческий пробел. Оказалось, что помимо условия независимости слу-
чайных величин нужно предположить, что среднее арифметическое
дисперсий при п->оо стремится к некоторому положительному пре-
делу. Этот недостаток был исправлен его учеником А. А; Мар-
ковым.
Ученики Чебышева — Марков и Ляпунов — развили своими
работами его направление в теории вероятностей до такой степени,
что, по словам А. Н. Колмогорова, теперь эти работы всюду вос-
принимаются как исходный пункт всего дальнейшего современного
422
А. А. Марков (1856—1922)
развития теории вероятностей. В их трудах получили развитие
метод моментов (Марков) и метод характеристических функций
(Ляпунов). Среди достижений Петербургской школы теории веро-
ятностей особенно заслуживает быть отмеченной теория цепей
Маркова. Работы Чебышева, Маркова и Ляпунова составляют, по
классификации А. Н. Колмогорова, целый этап в истории теории
вероятностей. Этот этап охватывает вторую половину XIX в. В те-
423
чение этого периода теория вероятностей в Западной Европе столь
активной разработке не подвергалась.
Значительная группа работ Чебыщева посвящена теории при-
ближения функций. Эта группа работ примечательна огромным
теоретическим последействием, которое привело к возникновению
современной конструктивной теории функций. Последняя изучает,
как известно, зависимости между свойствами различных классов
функций и характером их приближения другими, более простыми
функциями в конечной или бесконечной области.
Во время заграничной на-
Рис. 65
учной командировки 1852 г.
Чебышев заинтер-есоваЛся раз-
личными видами шарнирных
механизмов, с помощью кото-
рых осуществляется преобра-
зование прямолинейного посту-
пательного движения поршня
паровой машины в круговое
движение маховика. Одной из
разновидностей подобных ме-
ханизмов является широко из-
вестный параллелограмм
Уатта. Чебышев вообще построил большое количество механизмов
и посвятил им много исследований. Возьмем, например, механизм,
где вокруг О и 01 могут вращатся О А и 0И1 (рис. 65). Движение
точки Л1, передающей толчки поршня на вращающиеся части, не
прямолинейное. Оно носит характер биений. Задача рассчитать
механизм так, чтобы отклонения точки М от вертикали были мини-
мальными (чтобы избежать вредного влияния на работу машины),
приводит к математической задаче: определить движение точки М
функцией, наименее отклоняющейся от нуля на данном промежут-
ке. Наиболее удобной для оперирования функцией является поли-
ном. Отсюда вытекают задачи определения полиномов, наименее
уклоняющихся от нуля, а также аппроксимирования функций поли-
номами. Последняя задача, по Чебышеву, ставится так: на отрезке
[а, Ь] задана непрерывная функция. Рассматривается для этого же
отрезка множество всех полиномов Рп(х) степени не выше N.
Рассматриваются
max | / (х) — Р„ (х) |
для всех данных полиномов, и из них выбирается тот, который
дает наименьшее значение данного выражения.
Чебышев исследовал свойства и нашел вид целого класса спе-
циальных полиномов, носящих его имя и в наши дни. Полиномы
Чебышева, Чебышева—Лагерра, Чебышева—Эрмита и их разно-
видности играют большую роль в математике, имея многообразные
приложения. Не говоря о кинематике механизмов, послужившей
исходным пунктом чебышевской теории наилучшего приближения,
424
последняя прилагается к решению алгебраических уравнений, ин-
терполяции, приближенным квадратурам, геодезическим и карто-
графическим задачам и т. д.
В теории Чебышева наилучшего приближения функций содер-
жатся идеи общей теории ортогональных многочленов, теорий мо-
ментов и методов квадратур. Ортогональные многочлены с весом
получаются у него при разложении интеграла
ь
J dx (р(х)>0)
а
в ряд вида
$0 | I .
z Z2 .71 Z3 ‘ ’
а затем в соответствующую этому ряду непрерывную дробь
Ьо
г — а1 +—— L Ьг
+г_аз+...
Если составить последовательность подходящих дробей
<?в(х)
Рп(х) ’
то знаменатели образуют систему многочленов, ортогональных на
(а, Ь) с весом р(х)^О.
Ортогональные многочлены Чебышев связал со способом наи-
меньших квадратов. Он нашел, что многочлен Рп{х), обращающий
в минимум
ь
J P(x)[f (х) — Р„(х)р dx,
а
может быть представлен в виде суммы
р„(х) = £4Л(*).
k=Q
где Pk (х) — указанные выше ортогональные многочлены, а коэф-
фициенты
ь
f f(x)Pk(x)p(x)dx
j'pfc(*)pW dx
15 К. А. Рыбников
425
Ряд статей Чебышева посвящен теории интегрирования. В них
речь идет об интегрировании алгебраических иррациональностей
и методах приближенного вычисления определенных интегралов.
Здесь ему принадлежит окончательное решение вопроса об усло-
виях интегрируемости дифференциального бинома
J хт (а + bx^ dx
(иг, п, р — рациональные числа) в элементарных функциях. Имен-
но он установил, что найденные еще в XVIII в. случаи интегрируе-
т-l-1 т-{-1 .
мости: р — целое число;----- или-------h р— целые числа, яв-
п п
ляются единственно возможными. Настоящий цикл работ Чебы-
шева связан с работами И. И. Сомова. И в этой области, как и во
всех предыдущих, идеи Чебышева разрабатывали его ученики и
другие ученые: Е. И. Золотарев, И. П. Долбня, И. Л. Пташицкий,
Д. А. Граве и др.
Научной деятельности Чебышева мы уделили сравнительно
много места потому, что она является основой, началом быстрого
развития математики во второй половине XIX в. в Петербурге.
Чебышев и его ученики А. А. Марков, А. М. Ляпунов, Е. И. Золо-
тарев, А. Н. Коркин, Г. Ф. Вороной и другие образовали ядро
научного Коллектива математиков, за которым в литературе упро-
чилось название Петербургской математической школы. Коллектив
этот в 1890 г. организовал Петербургское математическое обще-
ство, которое функционировало до 1905 г.
Петербургские математики оказали решающее влияние на
формирование научных школ в других городах. Так, А. М. Ляпу-
нов, проработавший ряд лет (1885—1902) в Харькове, во многом
способствовал развертыванию научной деятельности и объедине-
нию математиков. Уезжая в Петербург, он оставил своего ученика
В. А. Стеклова на посту председателя Харьковского математиче-
ского общества. Д. А. Граве, переехав в 1902 г. из Петербурга в
Киев, создал там через несколько лет научную алгебраическую
школу, откуда вышли О. Ю. Шмидт, Н. Г. Чеботарев и др.
Научные интересы петербургских математиков, да и самого
Чебышева, в частности, не ограничивались теорией чисел, теорией
вероятностей и отдельными проблемами математического анализа
(теория интегрирования, теория приближения функций). Из других
областей математики наиболее интенсивно разрабатывались диф-
ференциальные уравнения (Ляпунов, Имшенецкий, Сонин и др.)
и теория функций комплексного переменного (Сохоцкий).
Петербургская математическая школа в конце прошлого века
и в начале нынешнего превратилась в совокупность нескольких
математических научных школ, оказавших большое влияние на
развитие математики в России. Связи ленинградских (петербург-
ских) математиков с другими научными школами России после
Великой Октябрьской социалистической революции настолько ук-
426
С. В. Ковалевская (1850—1891)
репились, а научные интересы настолько переплелись, что сам
термин «Петербургская школа» потерял свой обособляющий
смысл.
Математическое творчество С. В. Ковалевской. Прежде чем
перейти к характеристике других математических коллективов,
осветим научную деятельность первой в мире женщины — профес-
сора математики, составившей славу русской науки, но оставшейся
трагически одинокой, — Софьи Васильевны Ковалевской (1850—
1891).
С. В. Ковалевская выросла в семье богатого генерала, сделав-
шегося после отставки помещиком. Образование она получила до-
15*
427
машнее, но ее учили хорошие педагоги. Рано обозначился у нее
интерес к математике. Так как доступ в университеты в России для
женщин был закрыт, она последовала примеру передовых женщин
того времени и уехала для получения образования за границу. По-
лучить заграничный паспорт ей помог брак с В. О. Ковалевским,
ставшим широко известным впоследствии своими работами по па-
леонтологии. Любовь к науке, и прежде всего к математике, про-
грессивное мировоззрение, созвучное умонастроению передовых
мыслителей и борцов с самодержавием, помогли С. В. Ковалев-
ской преодолеть условности и предубеждения родных и вообще
людей ее круга.
С. В. Ковалевская уехала в Германию в 1869 г. После кратко-
временного пребывания в Гейдельберге, где работали в то время
Кенигсбергер, Дюбуа-Реймон, Кирхгоф, Гельмгольц, она прибыла
в Берлин и убедила К. Вейерштрасса руководить ее математиче-
скими занятиями. Талант Софьи Васильевны развернулся под уме-
лым руководством, и уже в 1874 г. ее учитель направил’ в универ-
ситет в Теттинген три работы: «К теории уравнений в частных
производных», «О форме кольца Сатурна» и «О приведении одного
класса абелевых интегралов третьего ранга к интегралам эллипти-
ческим». Этих работ с избытком хватило для присуждения ей сте-
пени доктора философии без защиты диссертации.
В первом из сочинений Ковалевская доказала существование
единственного аналитического решения задачи Коши для диффе-
ренциального уравнения с частными производными вида
дп(р _ г / да4-а1+...Ч-а(р \
— / X, Xlt Х2, . .. , Х„, ф, ... ,——---~-
> ь 2, 9 дх°дх^ ...дх“г)
at- <N,
i=l
при условиях: а) аналитичности функции f в окрестности (хо, оь —
cir) и функций, входящих в начальные условия; б) уравнение
Г
имеет нормальную форму, т. е. а + at<n + N, Здесь же она
t=i
нашла, независимо от Коши, линейное преобразование аргументов,
приводящее уравнение к нормальной форме. Значительным откры-
тием Ковалевской в этой области явился пример уравнения типа
теплопроводности
дф д2ф
дх ду2
с начальными условиями х=а, ф=фо (y/b) L Для этого уравнения
задача Коши вообще не имеет голоморфного решения, так как сте-
пенной ряд
1 Этот символ означает аналитичность функции в окрестности у=Ь.
428
VI d2^Q(ylb) (x — a)k
dyU ’ k\
k=Q
формально удовлетворяющий условиям задачи, сходится лишь при
весьма специальных условиях относительно
Чо(У1Ь).
Эти результаты Ковалевская распространила на нормальные си-
стемы дифференциальных уравнений с частными производными,
придав им вид, близкий современному.
Во второй работе Ковалевская нашла более высокую степень
приближения по сравнению с решением Лапласа, что позволило
ей утверждать, что кольца Сатурна в сечении имеют не эллиптиче-
скую (по Лапласу), а яйцевидную форму. Позднее была установ-
лена несплошность структуры этих колец.
Наконец, в третьей статье ею были найдены условия приведе-
ния ультраэллиптического интеграла, содержащего полином вось-
мой степени, к эллиптическому интегралу первого рода.
В том же 1874 г. Ковалевская вернулась в Россию. Она высту-
пила с научными докладами, познакомилась с Чебышевым, Марко-
вым, Жуковским, Бугаевым и другими учеными-математиками,
вела литературную деятельность. Однако несмотря на значитель-
ный научный авторитет и содействие ученых для Ковалевской
оказалось невозможным ни получить работу в университете, ни
даже сдать магистерские экзамены (степени, полученные за грани-
цей, не принимались в русских университетах). Царское прави-
тельство ни под каким видом не допускало женщин в высшую
школу.
Только в 1883 г., после смерти В. О. Ковалевского, она полу-
чила приглашение на должность доцента во вновь открытый уни-
верситет в Стокгольме и переехала в Швецию, где через год
(в 1884 г.) стала профессором. Здесь перед ней открылись возмож-
ности для научной работы. Год за годом она читала курсы лекций.
Их высокий научный уровень и педагогическое мастерство лектора
вызывали благожелательные отклики. Известно, что С. В.' Кова-
левская читала следующие курсы лекций: теория дифференциаль-
ных уравнений с частными производными (1884, 1890), вейер-
штрассова теория алгебраических (1885), абелевых (1885—1887),
эллиптических (1888) и тета-функций (1888), теория потенциала
(1886), теория движений твердого тела (1886—1887), качественная
теория дифференциальных- уравнений по Пуанкаре (1887—1888),
аналитические методы теории чисел (1890) и др.
Энергичная научная деятельность Ковалевской принесла тем
временем новые плоды. В 1888 г. она получила премию Париж-
ской академии наук за лучшее в объявленном конкурсе решение
задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки, где
рассмотрен случай нагруженного (не вполне симметрического) ги-
429
роскопа. За другую работу в этой области ей была присуждена
премия Шведской академии наук.
Существо дела здесь состоит в том, что уравнения движения
тяжелого твердого тела около неподвижной точки в общем случае
не имеют однозначных решений с пятью произвольными постоян-
ными и На всей комплексной плоскости в качестве особых точек
Рис. 66
содержат только полюса. Установив это, Ковалевская нашла затем,
что в некоторых случаях все элементы движения могут выражать-
ся через эллиптические функции от времени t. Эти функции, как
известно, на комплексной плоскости имеют в качестве особых точек
только полюса и, следовательно, однозначны.
Первый из таких случаев, когда центр движения находится
в неподвижной точке, был исследован Эйлером и Пуансо. Они
доказали, что для того, чтобы полностью определить движение, до-
статочно интегралов живых сил и площадей.
Второй случай выделил и разрешил Лагранж. Это случай,
когда эллипсоид инерции относительно неподвижной точки являет-
ся эллипсоидом вращения, а неподвижная точка лежит на оси
вращения этого эллипсоида. Лагранж прибавил к интегралу живых
сил и к интегралу площадей относительно вертикали, проходящей
через точку опоры, третий интеграл, выражающий постоянство
условий скорости относительно оси вращения эллипсоида инерции.
Это дало ему возможность выразить все элементы движения через
посредство эллиптических трансцендентностей.
Третий случай разрешила Ковалевская. Это тот случай, когда
центр тяжести тела лежит на плоскости экватора эллипсоида инер-
ции, построенного для неподвижной точки, служащего эллипсоидом
вращения и удовлетворяющего условию А=В=2С (Л, В, С — глав-
ные моменты инерции).
Н. Е. Жуковский наглядно интерпретировал эти три случая
(см. рис. 66).
Через три года после смерти С. В. Ковалевской, в 1894 г.,
А. М. Ляпунов придал этим ее результатам весьма общую форму.
Однако эта проблема в общем виде еще не разрешена. Общих
430
методов изучения соответствующих уравнений для любых парамет-
ров и начальных данных еще нет.
Крупнейшие русские математики — Чебышев, Буняковский и
Имшенецкий — добились в 1889 г. избрания С. В. Ковалевской чле-
ном-корреспондентом Петербургской академии наук. Однако даже
члену-корреспонденту Академии, имеющему прославленное научное
имя, царское правительство не разрешало вести работы в Акаде-
мии или университетах; женщинам это было запрещено. Умерла
С. В.‘Ковалевская в 1891 г. в расцвете творческих сил и замыслов;
похоронена в Стокгольме, на Северном кладбище.
Московская математическая школа. В заключение рассмотрим
основные этапы формирования Московской математической шко-
лы. В отличие от Петербургской школы, где средоточием математи-
ческих исследований являлась Академия наук, математики Москвы
группировались вокруг университета. Историю математики в XIX в.
в Москве следовало бы начинать с 1804 г., с момента организации
физико-математического факультета и кафедр чистой и приклад-
ной математики. Первая половина века характеризуется в основ-
ном постепенным повышением уровня преподавания, ростом ква-
лификации профессоров и преподавателей. В.।трудных условиях
самодержавного гнета медленно росло и количество студентов: за
11 лет (1825—1836) физико-математический факультет окончило
119 человек, т. е. в среднем около 11 человек в год; за следующие
18 лет (1837—1854) его окончило уже 453 челрвека, что составляет
около 25 человек в год. Возможности применения научных талан-
тов были весьма ограниченными. Тем не менее из выпускников
Московского .университета за полстолетия вышло немало выдаю-
щихся ученых: академики П. Л. Чебышев, И. И. Сомов, Ф. А. Бре-
дихин, профессоры В. Я. Цингер, А. Ю. Давидов, М. Ф. Хандриков,
Н. А. Любимов, А. Г. Столетов и др.
В 1811 г. в Москве была предпринята попытка создать первое
в России математическое общество. Инициатором был подполков-
ник Н. Н. Муравьев. Целью общества, как было указано в его
уставе, было распространение математических наук. Впрочем,
практически дело свелось к обучению прикладным военным нау-
кам. Через пять лет, в 1816 г., на базе общества выросло военно-
учебное заведение, готовящее офицеров генерального штаба.
В 1826 г. оно было переведено в Петербург.
Перелом в налаживании серьезной научной деятельности в
Москве наметился лишь в 60-е годы XIX в. Он целиком связан
с организацией Московского математического общества. Матема-
тические общества, как и всякие другие научные общества, являют-
ся формой коллективного труда ученых, важнейшей составной
частью которого является научная взаимная информация и обсуж-
дения. Появление научных обществ знаменует новый, более высо-
кий уровень научных исследований. В наши дни помимо обществ
существует много организационных форм коллективного труда
ученых (лаборатории, семинары, институты, координационные цен-
431
Н. Д. Брашман (1796—1866)
тры и т. п.), но роль научных обществ не снижается. Можно ду-
мать, что в грядущем коммунистическом обществе общественные
формы научных объединений займут еще большее место.
Московское математическое общество начало свою деятель-
ность в 1864 г. Вначале это была небольшая группа ученых, пре-
имущественно преподавателей университета, собиравшихся на квар-
тире у всеми уважаемого учителя многих из них, профессора
Н. Д. Брашмана (1796—1866), ушедшего в этом же, 1864, году
в отставку.
432
На первом заседании, 15 сентября 1864 г., Н. Д. Брашман был
избран президентом общества, А. Ю. Давидов — вице-президентом.
Было решено, что целью нового общества будет взаимное содей-
ствие в занятиях математическими науками. Для этого все 13 чле-
нов общества поделили между собой отрасли физико-математиче-
ских наук, чтобы следить за их успехами и развитием и сообщать
о них на заседаниях. По математике эти реферативные задания
распределились таким образом (формулировки сохранены):
А. Ю. Давидов — интегрирование уравнений с частными диффе-
ренциалами; А. В. Летников — дифференциальные уравнения;
Н. Н. Алексеев — интегрирование иррациональных функций и эл-
липтические функции; К. М. Петерсон — аналитическая геометрия;
С. С. Урусов — теория конечных разностей; Ф. А. Слудский, а за-
тем с 1865 г. Н. В. Бугаев — теория чисел. Другие члены общества
взяли на'себя рефераты по механике, астрономии и физике.
Через год, в октябре 1865 г., члены общества возбудили хода-
тайство об официальном утверждении своей организации. До этого,
в апреле 1865 г., они решили издавать «Математический сборник»;
первый выпуск этого журнала появился в октябре 1866 г. Офици-
альное оформление общества произошло 28 января 1867 г. Обще-
ство испытывало большие финансовые и организационные трудно-
сти, но дело шло. К 1901 г. в нем состояло уже 101, а к 1913 г. г—
112 человек. С перебоями, но выходил и «Математический сбор-
ник» — старейшее русское специально математическое периодиче-
ское издание, существующее и в наши дни. Наладился в 1873 г.
обмен изданиями с заграничными организациями. Научный авто-
ритет общества и связи его членов крепли. Большую помощь обще-
ству оказывал его влиятельный член — П. Л. Чебышев.
Постепенно в обществе произошла дифференциация, которая
привела к преобразованию математики и механики (носившей в то
время название прикладной математики) и практически к их обо-
соблению от других наук. До 1917 г. из 971 научного сообщения,
прочитанного на заседаниях общества, 640 (66%) пришлось на ма-
тематику, 217 (22%)—на механику и 114 (12%) на физику и аст-
рономию.
Научные интересы московских математиков охватывали много-
численные области. Однако вскоре выкристаллизовались наиболее
продуктивные направления, складывающиеся в научные школы.
Во второй половине XIX в. таких школ было две: прикладной ма-
тематики (механики) и дифференциальной геометрии. Крупным
также было направление дифференциальных уравнений.
Инициатор организации математического общества и его пер-
вый руководитель Н. Д. Брашман окончил в Вене Политехниче-
ский институт и университет. После работы в Петербурге и в Каза-
ни (1825—1834) он прибыл в Московский университет как профес-
сор прикладной математики. За 30 лет работы в университете он
заложил научные основы преподавания теоретической и практиче-
ской механики. Читал он лекции и по математическим дисципли-
433
Н. Е. Жуковский (1847—1921)
нам. Его научные интересы относились к исследованию принципа
наименьшего действия и к гидромеханике. Он был учителем многих
выдающихся математиков (П. Л. Чебышев, И. И. Сомов и др.) и
механиков (А. С. Ершов, А. Ф. Давидов, Ф. А. Слудский и др.).
Преемник Брашмана по преподаванию механики в универси-
тете и на посту президента Московского математического общества
А. Ю. Давидов (1823—1885) был ученым широких научных взгля-
дов, счастливо сочетавшим теоретические и прикладные занятия.
Его работы по механике относятся к двум проблемам: теории
434
равновесия тел, погруженных в жидкость, и капиллярным явлениям.
Ему принадлежит метод нахождения положений равновесия пла-
вающих тел с помощью поверхности центров (поверхности, на ко-
торой размещены все центры тяжести для различных сечений тела
постоянного отсеченного объема). Теорию капиллярных явлений
Давидов стремился связать с общей теорией равновесия жидкостей
и изучать ее средствами аналитической механики с помощью прин-
ципа виртуальных перемещений, но с учетом изменения плотности
на границах. Математические исследования Давидова относятся
к применениям теории вероятностей, дифференциальным уравне-
ниям с частными производными, теории интегрирования.
В конце XIX в. в университете и высшем техническом училище
работало сравнительно много математиков прикладного направле-
ния: Ф. А. Слудский, Д. Н. Лебедев, Ф. Е. Орлов, В. Л. Цингер.
Общепризнанным главой этого научного направления сделался
Николай Егорович Жуковский (1847—1921). Он окончил универ-
ситет в 1868 г. по прикладной математике. Многие годы Жуков-
ский преподавал в университете и в высшем техническом училище.
Вступив в математическое общество (1876), он сделался одним из
самых активных и авторитетных членов; его избрали вице-прези-
дентом (1903—1905), а затем президентом (1905—1921) общества.
В сочинениях и во всей деятельности Жуковского нашло наи-
более яркое выражение сочетание ученого-теоретика и инженера-
практика. В математике его основные исследования концентриру-
ются вокруг уравнений математической физики, причем большое
место отведено приближенным методам решения. Много работал
он над проблемами теории функций комплексного переменного,
открыв применения этой теории к решению сложных проблем гид-
ро- и аэромеханики.
Среди многочисленных работ (около 80) Н. Е. Жуковского,
написанных до 1900 г., преобладают работы по гидродинамике.
В них исследуются проблемы качки судов, реактивные водометные
двигатели, трение жидкости в полости тела и т. п. В связи с техни-
ческим консультированием московского водопровода Жуковский
открыл явление гидравлического удара и разработал его теорию.
Кроме того, ему принадлежит большое количество исследований по
механике: теории движения твердого тела вокруг неподвижной
точки, устойчивости движения и т. д.
В последние годы XIX в. Жуковский сосредоточил усилия на
разработке проблем аэромеханики и авиации. С 1889 г. появляются
его исследования по теории воздухоплавания. Вскоре он перешел
к экспериментам в этой области, построив в Московском универ-
ситете (1902) первую аэродинамическую трубу. Через два года,
в 1904 г., он открыл метод присоединенных вихрей, сделав его осно-
вой аэродинамических расчетов. За этим последовала разработка
теории подъемной силы крыла и вихревая теория винта. Одновре-
менно расширялись и эксперименты. Вместе с учениками и сотруд-,
никами (число которых быстро росло) Н. Е. Жуковский в 1904 г.
435
К. М. Петерсон (1818—1881)
принимал участие в проектировании и строительстве первого в
России аэродинамического института в Кучино (под Москвой).
В 1910 г. он организовал аэродинамическую.лабораторию в Мос-
ковском высшем техническом училище. Неисчислимые научно-
теоретические и экспериментальные заслуги Жуковского дали осно-
вание В. И. Ленину назвать его «отцом русской авиации».
Жуковский воспитал огромное количество ученых-теоретиков,
экспериментаторов, инженеров, офицеров-летчиков. Он был окру-
жен вниманием и заботой Советского правительства. После его
смерти в 1921 г. исследования были продолжены и развиты его
учениками, в особенности С. А. Чаплыгиным. Из прикладной мате-
436
матики развились многочисленные отрасли механики — науки
многообразной, тесно сочетающей математические методы теорети-
ческого исследования с экспериментом и потому особенно важной
для современных отраслей новой техники. Советская механика
вносит ныне достойный вклад в строительство научно-технической
базы коммунизма и имеет многочисленных выдающихся представи-
телей (М. В. Келдыш, М. А..Лаврентьев и др.).
Другая научная школа, о которой мы выше упоминали, ведет
свое начало от работ К. М. Петерсона по классической дифферен-
циальной теометрии. Петерсон (1818—1881) окончил в 1852 г. уни-
верситет в Тарту. Его учителями были Зенф и Миндинг, которые,
по-видимому, привили ему интерес к проблемам дифференциаль-
ной геометрии. В кандидатской диссертации «Об изгибании поверх-
ностей» (1853) и в последующих работах Петерсон по существу
определил развитие теории поверхностей на долгие годы. Он иссле-
довал изгибания поверхностей, ввел изгибание на главном осно-
вании, решал связанную с изгибанием задачу определения поверх-
ности по заданным квадратичным формам, выведя аналитические
условия, определяющие поверхность с точностью до положения в
пространстве. Эти условия известны как формулы Майнарди —
Кодацци, хотя последние получили свои результаты на четыре и
пятнадцать лет соответственно позже Петерсона. Кроме того, он
нашел изгибания минимальных поверхностей, открыл новые классы
поверхностей. Отметим, что Петерсон всю жизнь работал пре-
подавателем средней школы, а степень доктора получил в Одес-
ском университете (1879) не за отмеченные работы, а за не столь
значительные работы по теории дифференциальных уравнений.
Теория поверхностей и их изгибаний надолго сделалась объ-
ектом исследования московских геометров. Вслед за Петерсоном
этими проблемами занимался Б. К. Млодзеевский, посвятивший
им свою магистерскую диссертацию. Здесь он вывел общее уравне-
ние изгибания (уравнение в частных производных 2-го порядка,
выражающее координаты точек поверхности с данным линейным
элементом ds2 в функции величин ц, у). Он получил результаты
в теории дифференциальных инвариантов поверхностей и много-
мерных многообразий, а также 'относительно частных классов по-
верхностей. Д. Ф. Егоров (1869—1931) исследовал трижды ортого-
нальные системы и ввел так называемые потенциальные поверхно-
сти (вошедшие в мировую литературу по инициативе Дарбу как
поверхности £). Эти работы были впоследствии продолжены его
учениками Л. Н. Сретенским и С. П. Финиковым. Московскую
школу дифференциальной геометрии после Егорова возглавляли
С. П. Фиников и С. С. Бюшгенс. В настоящее время эта школа
представляет активный творческий коллектив* возглавляемый
fo-П. Финиковым,
Жуковский, Егоров и Млодзеевский в наиболее яркой форме
отразили и в значительной мере определили стиль работы матема-
тиков Москвы конца XIX — начала XX в. Этот стиль характеризо-
437 .
Д. Ф. Егоров (1869—1931)
вался широтой научных интересов, отсутствием узкой специализа-
ции, стремлением к исследованию обобщающих идей. Вначале Жу-
ковский, а затем Егоров и Млодзеевский ввели в практику препо-
давания научные семинары и лекции, посвященные новым областям
математики. Это ускорило процесс роста молодых ученых. В семи-
нарах университета выросли Н. Н. Лузин, В. В. Голубев, И. И. При-
валов, В. В. Степанов, а затем П. С. Александров, А. Н. Колмого-
ров, Д. Е. Меньшов, Л. Н. Сретенский, П. С. Урысон, А. Я. Хинчин
й др., составившие основу Московской математической школы по-
438
еле Великой Октябрьской социалистической революции и завое-
вавшие ей своими работами ведущее положение в науке.
Тематически объединение научных интересов значительной
части московских математиков (если не сказать большинства)
произошло в начале XX в. вокруг проблем теории множеств и тео-
рии функций. Внимание было обращено на исследование основных
понятий анализа (функции, производной, интеграла и т. д.) и опе-
раций (например, разложение функций в ряды) с более общих
точек зрения. Характерным моментом многих исследований сдела-
лось стремление к полному выяснению действительного смыслового
объема общих понятий и к их обобщению, когда с их помощью не
удается получить исчерпывающий ответ на поставленный вопрос.
При этом наметилось много общих черт с творчеством выдающих-
ся французских математиков (Борель, Лебег, Бер и др.), с кото-
рыми Егоров и Млодзеевский познакомились во время научных
командировок во Францию.
Начало бурному развитию этого нового направления в Москве
положили диссертация И. И. Жегалкина о трансфинитных числах
и работа Д. Ф. Егорова «О последовательностях измеримых функ-
ций» (1911). Основным результатом последней явилась теорема:
всякая сходящаяся почти всюду последовательность измеримых
функций 1 сходится равномерно на замкнутом множестве, дополне-
ние к которому имеет сколь угодно малую меру. Теорема эта сразу
же подчеркнула значение исследований по теории функций для
всего математического анализа, позволив продвинуть те вопросы,
где трудность состоит в исследовании характера непрерывности
и сходимости.
Через год, в 1912 г., ученик Д. Ф. Егорова Н. Н. Лузин (1883—
1952) установил еще более тесную связь структурных свойств из-
меримых функций с более узким классом непрерывных функций,
открыв замечательное С-свойство: всякую измеримую функцию,
конечную почти всюду на некотором отрезке, можно изменить на
множестве сколь угодно малой меры так, чтобы она стала непре-
рывной на всем отрезке. Название этого свойства выбрано по на-
чальной букве французского слова: continuite, что означает непре-
рывность.
Открытие С-свойства создало сразу же широкие разносторон-
ние возможности, раскрытые и в значительной степени реализован-
ные в книге Лузина «Интеграл и тригонометрический ряд» (1915),
представленной им в Московский университет в качестве магистер-
ской диссертации. Значение этой книги, определившей на многие
годы вперед линии развития метрической теории функций (т. е.
части теории функций, основывающей свои выводы на понятии ме-
ры множества), было оценено тотчас после ее появления присужде-
нием ее автору ученой степени доктора, минуя степень магистра.
Поэтому мы уделим некоторое место ее характеристике.
1 Измеримые функции — функции, у которых для любого действительного
М множество значений х, для которых f(x)<M, будет измеримо.
439
Н. Н. Лузин (1883—1952)
Выяснение взаимосвязей новой теории функций с математиче-
ским анализом было главной целью этой книги. Более конкретная
постановка задачи состоит в совместном изучении структурных
свойств определенных классов функций и аналитического аппарата,
изображающего этот класс функций и операции над ним. При этом
возможны две взаимно обратные постановки задачи: а) исходя из
структурного свойства функции определить аналитический аппа-
рат, ее изображающий; б) исходя из класса аналитических выра-
жений отыскать структурное свойство соответствующих функций.
440
В первой из шести глав книги Лузина дан общий обзор свойств
измеримых множеств и измеримых функций и вывод С-свойства.
Вторая глава посвящена отысканию примитивной функции. При-
митивная, по Лузину, — это непрерывная функция, имеющая дан-
ную функцию своей производной почти всюду (последнее обуслов-
лено необходимостью охватить обобщения понятия интеграла, вве-
денные Лебегом и Данжуа). Оказалось, что всякая измеримая
функция, конечная почти всюду, имеет примитивную. Лузин искал
тут же примеры применения теоремы о существовании примитив-
ной. Он рассмотрел задачу Дирихле для круга. Для произвольной
измеримой функции, конечной почти всюду на окружности, он до-
казал существование гармонической функции, голоморфной внутри
круга и принимающей значения этой функции почти всюду на
окрестности. Это обстоятельство открыло дорогу для исследований
в дальнейшем граничных свойств аналитических функций.
Изучение характеристических свойств первообразных функций,
составившее содержание третьей и четвертой глав, привело к выде-
лению интеграла (в смысле Римана, Лебега и Данжуа) с пере-
менным верхним пределом из множества первообразных данной
функции.
Класс аналитических выражений, изучаемых Лузиным в раз-
витии общей постановки задачи, есть класс тригонометрических
рядов, прежде всего рядов Фурье. Их свойствам посвящена пятая
глава диссертации. Еще в 1912 г. Лузин опубликовал пример три-
гонометрического ряда
LAn cos пх + Вп sin пх (Лл —>• 0, Вп —>• 0),
л П-»оо П-*оо
П=0
доказав, что указанные условия не обеспечивают сходимости три-
гонометрического ряда почти всюду и который почти всюду расхо-
дится. Воспроизведя его здесь, он вывел в дальнейшем необходи-
мые и достаточные условия для сходимости почти всюду ряда
Фурье для функции с интегрируемым квадратом (т. е. такой, что
существует интеграл Лебега от ее квадрата на отрезке от’ 0 до
2л). Введенный в связи с этим особый интеграл
2л
limГ g(^ + «)-g(^-«) cosnada
8~>о J а
8
(где функция g(x)—с интегрируемым квадратом) стал сильным
средством исследования. С его помощью Лузин, в частности, от-
крыл свойство почти симметричности измеримых функций.
Шестая глава посвящена определению условий представимо-
сти функций тригонометрическими рядами. Здесь исследованы раз-
личные методы суммирования тригонометрических рядов, неодно-
441
значность (и даже бесконечнозначность) изображения функции
посредством тригонометрических рядов. Выделение единственного
способа разложения функции в тригонометрический ряд Лузин
связал с обобщением понятия интеграла. Он считал, что неопреде-
ленным интегралом от f(x) следует назвать функцию Ф(х), являю-
щуюся суммой ряда, который получится при интегрировании ряда,
изображающего f (х).
Богатство идей, содержащихся в диссертации Лузина, порази-
тельно. Мы смогли дать здесь о ней лишь первоначальное пред-
ставление. Все основные понятия анализа: функция (в том числе,
измеримая), производная, интеграл и др. — подверглись глубокому
изучению с точки зрения меры соответствующих множеств. Метри-
ческая теория функций в России и в СССР имеет в лице Лузина
^своего основателя.
В 1915 г. Лузин и его ученики, в первую очередь П. С. Алек-
сандров и М. Я. Суслин, начали заниматься дескриптивной теорией
функций — тем ее направлением, в котором исследуются представ-
ления широких классов функций при помощи предельного пере-
хода, отправляясь от непрерывных функций.
На историческом рубеже, когда Россия стояла перед Великой
Октябрьской социалистической революцией, Московская школа
теории функций представляла объединение немногочисленных, но
необычайно активно и плодотворно работающих ученых, в боль-
шинстве молодых (А. Я. Хинчин, В. В. Голубев, Д. Е. Меньшов,
П. С. Александров, М. Я. Суслин, П. С. Урысон и др.). Они и их
младшие товарищи и ученики обеспечили в дальнейшем внедрение
идей теории функций в топологию, теорию чисел, теорию вероятно-
стей, качественную теорию дифференциальных уравнений, теорию
аналитических функций и в другие области математики.
Три научные школы: механики, дифференциальной геометрии
и теории функций — вписали наиболее яркие страницы в историю
московской математики в период 1860—1917 гг. Однако изучение
показывает, что они не исчерпывают всех сторон деятельности ма-
тематиков Москвы, объединенных в большинстве в научное обще-
ство. Более того, многие значительные стороны деятельности Мо-
сковского математического общества этого периода, оказавшие
определенное фактическое влияние на развитие математики, еще
слабо изучены. Можно надеяться, что в будущем появятся новые
исследования, полнее раскрывающие деятельность, роль и значение
математиков Москвы.
Подведем итог. К началу XX в. Россия имела уже некоторое
«количество ученых-математиков. Они сосредоточивались в Акаде-
мии наук и в немногочисленных высших учебных заведениях.
В Москве и Петербурге они образовали научные объединения.
Сильные коллективы ученых-математиков работали в ряде городов
России. Среди них были выдающиеся представители, прославив-
шие отечественную науку своими достижениями. Однако и эта от-
расль отечественной науки (мы имеем в виду математику) носила
442
отпечаток гнетущего влияния отживающего общественно-экономи-
ческого строя царской России.
Деятельность замечательных ученых-математиков оставалась
изолированной. Математические отделения университетов были
весьма немногочисленными; математиков-ученых и преподавателей
были буквально единицы. Доступ в математику, как и во все дру-
гие науки, народным массам был закрыт. Гармонического развития
всего фронта математической науки, сколько-нибудь широких свя-
зяй ее с народным хозяйством не было. В среде математиков были
ученые с реакционными воззрениями.
После Великой Октябрьской социалистической революции, ког-
да народ под руководством Коммунистической партии приступил
к строительству социализма, наступила пора нового развития ма-
тематики. Этот период развития советской математики, период
замечательных достижений, выдвинувших ее в первые ряды миро-
вой науки, находит свое отражение в коллективных трудах: «Ма-
тематика в СССР за 15 лет» (1933), «Математика в СССР за
30 лет» (1948), «Математика в СССР за 40 лет» (1959), «Матема-
тика в СССР, 1958—1967» (1970), а также в многочисленных кнй
гах и статьях.
Советские математики представляют ныне многочисленный
отряд интеллигенции. Вместе со всем советским народом они тру-
дятся над построением коммунистического общества в нашей стра-
не, борются за мир во всем мире, за лучшее будущее всего чело-
вечества. Изучение и обобщение опыта их практической и теорети-
ческой деятельности представляет важную задачу научных иссле-
дований по истории математики.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Настоящая книга написана с таким расчетом, чтобы помочь тем,
кто ее вдумчиво прочитал, достичь следующих результатов:
1. Накопить первоначальный запас фактических знаний и сфор-
мировать содержательное, научно обоснованное представление об
истории математики, ее предмете, научных задачах и об особенно-
стях научных исследований.
2. Понять, в чем состоит научный, марксистский, подход к ана-
лизу и решению проблем математики, связанных с задачей выявле-
ния закономерностей ее развития.
3. Приобрести вкус и необходимые навыки для дальнейшей ра-
боты над историческими и методологическими проблемами математи-
ки и для более полного овладения методами их исследований с по-
зиций коммунистического мировоззрения.
Изложение доведено до первых десятилетий нашего века вклю-
чительно. Позднейшее развитие математики. оказалось невозмож-
ным осветить в настоящей книге по следующим причинам:
а) научный материал, который при этом следует подвергать
анализу или даже только упоминать в качестве примеров, необычай-
но велик по объему, содержание работ весьма разветвлено и во
многих случаях узко специфично. Для его изложения понадобилось
бы сочинение гораздо большего объема, чем данная книга, или даже
несколько таких сочинений;
б) выявление закономерностей развития науки требует не толь-
ко изучения большого фактического материала. Чтобы эти законы
можно было выявить, необходим известный промежуток времени,
нередко довольно значительный. При несоблюдении этого условия
резко снижаются возможности для объективного анализа и обосно-
ванных оценок и для отсеивания временного, случайного, наносного,
навеянного обстоятельствами кратковременного значения. Поспеш-
ность в оценках в большинстве случаев приводит к ошибкам и за-
блуждениям. История математики может представить примеры по-
добных заблуждений, к сожалению, многочисленные.
Среди читателей книги найдутся те, кто захочет продолжать
работу по истории математики и в области ее методологии. В их
интересах в список литературы в конце книги включено сравнитель-
но большое число монографий, частью многотомных, и научных
сборников. Знакомство с ними может явиться следующим шагом в
историко-научном образовании читателя, вплотную подводящим его
к возможности самостоятельных научных исследований. Очень важ-
но, чтобы в работе над фактами не были потеряны из виду общие
цели исследования и соответствующие методологические основы.
Материал, изложенный в главе 1, может при этом существенно по-
мочь.
Список рекомендованной литературы состоит преимущественно из
изданий на русском языке. Это диктовалось соображениями доступ-
ности и повышения учебного воздействия. Список может удовлетво-
рить потребности не только тех, кто впервые изучает историю мате-
матики, но и тех, кто приступает к первым научным исследованиям.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Сочинения классиков марксизма-ленинизма
Маркс К. Математические рукописи. М., «Наука», 1968.
Энгельс Ф. Диалектика природы. В кн.: К. Маркс и Ф. Энгельс. Собр.
соч., т. 20.
Энгельс Ф. Анти-Дюринг. В кн.: К. Маркс и Ф. Энгельс. Собр. соч.,
т. 20.
Ленин В. И. Материализм и эмпириокритицизм. Поли. собр. соч., т. 18.
Ленин В. И. Философские тетради. Поли. собр. соч., т. 29.
Издания общего характера об истории математики
«Математика в СССР за 15 лет». М., ГТТИ, 1938.
«Математика в СССР за 30 лет». М., ГТТИ, 1948.
«Математика в СССР за 40 лет, 1917—1957», тт. 1—2. М., Физматгиз, 1959.
«Математика в СССР, 1958—1967». М., «Наука», т. 1, 1969; т. 2,’1970.
«История отечественной математики», тт. 1—4. Изд-во АН УССР, 1966—1970.
«История математики», тт. 1—3. М., изд. ИИЕиТ АН СССР, 1970—1972.
«История и методология естественных наук». Изд-во МГУ, выходит с 1960 г.
(вып: V, 1966; вып. IX, 1970; вып. XI, 1971; вып. XIV, 1973).
«Историко-математические исследования» (далее сокращенно ИМИ), вып. 1—18.
.М., ГТТИ — «Наука» (выходят с 1948 г.).
«Вопросы истории естествознания и техники». М., Изд. ИИЕиТ АН СССР (выхо-
дят с 1956 г.).
Бурбаки Н. Очерки по Истории математики. М., ИЛ, 1963.
Вилейтнер Г. История математики „от Декарта до середины 19 столетия.
М., Физматгиз, 1960.
Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики. М., ОНТИ, 1935.
Колмогоров А. Н. Математика. БСЭ, изд. 2, т. 26, стр. 464—483.
С т р о й к Д. Краткий очерк истории математики, изд. 2. М., ИЛ, 1969.
Шереметьевский В. П. Очерки по истории математики. М., Учпедгиз,
1940.
Книги об истории смежных наук
Берри А. Краткая история астрономии. М., ГТТИ, 1946.
Воронцов-Вельяминов Б. А. Очерки истории астрономии в России. М.,
Гостехизда^ 1956.
Григорьян А. Т. Очерки истории механики в России. М., Изд-во АН СССР,
1961.
Моисеев Н. Д. Очерки по истории механики. Изд-во МГУ, 1961.
Тюлина И. А., Ракчеев Е. Н. История механики. Изд-во МГУ, 1962.
В сб.: «Вариационные принципы механики». М., Физматгиз, 1959.
Кудрявцев П. С. История физики, тт. 1—2. М., Гостехиздат, 1956.
Спасский Б. И. История физики. Изд-во МГУ, т. 1, 1963; т. 2, 1964.
Издания первоисточников
Евклид. Начала, тт. 1—3. М.—Л., ГТТИ, 1948—1950.
Архимед. Сочинения. М., «Наука», 1962.
445
Четыре сочинения о квадратуре круга. Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр.
М. — Л., ГТТИ, 1936.
Мухаммед Насирэддин Туси. Трактат о полном четырехстороннике.
Баку, Изд-во АН АзССР, 1952.
Аль-Хорезми Мухаммед. Математические трактаты. Ташкент, 1964.
Хайям О. Трактаты. М., Изд-во АН СССР, 1961.
Аль-Каши Д. Г. Математические трактаты. М., Гостехиздат, 1956.
Леонардо да Винчи. Ибранные естественнонаучные произведения. М.^
Изд-во АН СССР, 1955.
Кеплер И. Новая стереометрия винных бочек. М.—Л., ГТТИ, 1935.
Кавальери Б. Геометрия неделимых. М.—Л., ГТТИ, 1940.
Декарт Р. Геометрия. М—Л., ГОНТИ, 1938.
Декарт Р. Рассуждение о методе. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1953.
Гюйгенс X. Три мемуара по механике. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1951.
Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений. «Успехи
математических наук», 1948, т. 3, вып. 1 (23).
Ньютон И. Математические работы. М.—Л., ОНТИ, 1937.
Ньютон И. Всеобщая арифметика. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1948.
Ньютон И. Математические начала натуральной философии, тт. 1—2. СПб.,.
1915.
Лопиталь Г. Ф. Анализ бесконечно малых. М.—Л., ГТТИ, 1935.
Б о л ь а и Я. Аппендикс. Приложение, содержащее науку о пространстве, абсо-
лютно истинную.... М., Гостехиздат, 1950.
Больцано Б. Парадоксы бесконечного. Одесса, 1914.
Галуа Э. Сочинения. М.—Л., ОНТИ, 1936.
Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа. Одесса, 1914.
Дирихле Л ежен Р. Лекции по теории чисел. М.—Л., ГТТИ, 1936.
Карно Л. Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых. М.—Л.,
ГТТИ, 1930.
Ковалевская С. В. Научные работы. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1948.
Коши О. Алгебраический анализ. М., 1864.
Коши О. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном ис-
числении. СПб., 1831.
Лаплас П. Опыт философии теории вероятностей. М., 1908.
Лобачевский Н. И. Собрание сочинений, тт. 1—5. М., Гостехиздат, 1946—
1951.
Лузин Н. Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М.—Л., Изд-во АН СССР,
1951.
Лузин Н. Н. Лекции об аналитических множествах и их приложениях. М.,
Гостехиздат, 1953.
Ляпунов А. М. Избранные труды. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1948.
Марков А. А. Избранные труды. М., Изд-во АН СССР, 1951.
Монж Г. Приложения анализа к геометрии. М., ГТТИ, 1936.
Монж Г. Начертательная геометрия. Л., Гостехиздат, 1947.
«Об основаниях геометрии». Сборник классических работ по геометрии Лоба-
чевского и развитию ее идей. М., Гостехиздат, 1956.
Остроградский М. В. Полное собрание трудов, тт. 1—3. Киев, Изд-во
АН УССР, 1959-1961.
Остроградский М. В. Избранные труды. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1948.
Петерсон К. М. Об изгибании поверхностей. В сб.: ИМИ, вып. 5. М., Гос-
техиздат, 1952.
Риман Б. Сочинения. М., Гостехиздат, 1948.
Чебышев П. Л. Полное собрание сочинений, тт. 1—5. М.—Л., Изд-во АН
СССР, 1944—1951.
Чебышев П. Л. Избранные труды. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1955.
Эйлер Л. Универсальная арифметика, тт. 1—2. СПб., 1768—1769.
Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами либо
максимума, либо минимума. М.—Л., ГТТИ, 1934.
Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. М., Гостехиздат, 1949.
Эйлер Л. Интегральное исчисление, тт. 1—3. М., Гостехиздат, 1956—1958.
Эйлер Л. Введение в анализ бесконечно малых, тт. 1—2. М., Физматгиз, 1961.
446
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА К ОТДЕЛЬНЫМ ГЛАВАМ
Глава 1
Предмет и метод истории математики
Александров А. Д. Общий взгляд на математику. В сб.: «Математика, ее
содержание, методы и значение». М., Изд-во АН СССР, 1956.
В е й л ь Г. О философии математики. М.—Л., ГТТИ, 1934.
Киселева Н. А. Математика и действительность. Изд-во МГУ, 1967.
Статьи Гнеденко Б. В., Погребысского И. Б., Рыбникова К. А.,
Яновской С. А. о предмете и о значении истории математики в
сборнике ИМИ, вып. 11. М., Физматгиз, 1958,
Г л а в а 2
Процесс формирования математических представлений
Березкина Э. И. Древнекитайский трактат «Математика в девяти книгах».
В сб.: ИМИ, вып. 10. М., Гостехиздат, 1957, стр. 425—586.
Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука, гл’ 1—3. М., Физматгиз,
1959.
Выгодский М. я. Арифметика и алгебра в древнем мире, гл. 1—2. М., «Нау-
ка», 1967.
Башмакова И. Г., Юшкевич А. П. Происхождение систем счисления.
«Энциклопедия элементарной математики», т. 1, 1951.
Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (догре-
ческая математика), т. 1. М., ОНТИ, 1937.
Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М., «Наука», 1968.
Хуа Ло-кен. Современное положение математики в Китае. «Вестник АН
СССР», 1953, № 6, стр. 14—20.
Юшкевич А. П. История математики в средние века, гл. 1—2. М., Физматгиз,
1961.
Глава 3
Формирование первых математических теорий
Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в древней Греции. В сб.:
ИМИ, вып. 11. М., Физматгиз, 1958, стр. 225—438.
Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука, гл. 4—8. М., Физматгиз,
1959.
Выгодский М. я. Арифметика и алгебра в древнем мире, гл. 3. М., «Нау-
ка», 1967.
Ц е й т е н Г. Г. История математики в древности и в средние века, изд. 2. М.—-
Л., ГТТИ, 1938.
Г л а в а 4
Развитие элементарной математики
Абельсон И. Б. Рождение логарифмов. М., Гостехиздат, 1948.
Гиршвальд Л. Я. История открытия логарифмов. Изд-во ХГУ, 1952.
Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России. М.—Л., Гостех-
издат, 1946.
МатвиевскаяГ. П. К истории математики в Средней Азии. Ташкент, 1961.
Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем
Востоке. Ташкент, 1967.
Матвиевская Г. П. Развитие учения о числе в Европе до XVII века. Изд-во
АН УзССР, 1971.
Цейтен Г. Г. История математики в XVI—XVII веках, гл. 1—2. М.—Л.,
ГТТИ, 1938.
447
Юшкевич А. П. История математики в средние века, гл. 3—4. М., Физмат-
гиз, 1961.
Глава 5
Процесс создания математики переменных величин
Р ы б н и к о в К. А. Об алгебраических корнях дифференциального исчисления.
В сб.: ИМИ, вып. 11. М., Физматгиз, 1958, стр. 583—592.
«Исаак Ньютон, 1643—1727». М.—Л., Изд-во АН СССР, 1943.
«Московский университет — памяти Ньютона». Изд-во МГУ, 1946.
Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках, гл. 3. М.—Л., ГТТИ,
1938.
Медведев Ф. А. Развитие понятия интеграла. М., «Наука», 1974.
Глава 6
Развитие основных частей математики в XVIII веке
Дорофеева А. В. Развитие вариационного исчисления как исчисления ва-
риаций. В сб.: ИМИ, вып. 14. М., Физматгиз, 1961, стр. 101—181.
Кольман Э. Бернард Больцано. М., Изд-во АН СССР, 1955.
«Леонард Эйлер». М., Изд-во АН СССР, 1958.
Монж Г. Сборник статей. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1947.
Рыбников К. А. Первые этапы развития вариационного исчисления. В сб.:
ИМИ, вып. 2. М., Гостехиздат, 1949.
«Сборник статей к 200-летию со дня рождения Ж-Л. Лагранжа». М., ГТТИ,
1937.
Симонов Н. И. Прикладные методы анализа у Эйлера. М., Гостехиздат,
1957.
С т р о й к Д. Очерк истории дифференциальной геометрии до XX столетия.
М.—Л., ГТТИ, 1941.
Паплаускас А. Б. Тригонометрические ряды (от Эйлера до Лебега). М„
«Наука», 1966.
Глава 7
Начало периода современной математики
Белозеров С. Е. Основные этапы развития общей теории аналитических
функций. Изд-во РГУ, 1962.
Гильберт Д. Основания геометрии. М., ГТТИ, 1948.
Делоне Б. Н. Краткое изложение доказательства непротиворечивости пла-
ниметрии Лобачевского. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1953.
Каган В. Ф. Лобачевский. М., Изд-во АН СССР, 1944.
Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии, ч. 1. М.—Л.,
ОНТИ, 1937.
Маркушевич А. Н. Очерки по истории теории аналитических функций.
М.—Л., Гостехиздат, 1951.
Медведев Ф. А. Развитие теории множеств в XIX веке. М., «Наука», 1965.
«Проблемы Гильберта». М., «Наука», 1969.
«Карл Фридрих Гаусс». М., Изд-во АН СССР, 1956.
Тимченко И. Ю. Основания теории аналитических функций, ч. 1. Историче-
ские сведения о развитии понятий и методов, лежащих в основании
теории аналитических функций. Одесса, 1899.
Яновская С. А. Передовые идеи Лобачевского — орудие борьбы против
идеализма в математике. М., Изд-во АН СССР, 1950.
Г л а в а 8
Математика в России
Галченкова Р. И. Математика в Ленинградском (Петербургском) универ-
ситете в XIX веке. В сб.: ИМИ, вып. 14. М., Физматгиз 1961.
448
Гнеденко Б. Б. Очерки по истории математики в России. М.—Л., Гостех-
издат, 1946.
Гнеденко Б. В., Погребысский И. Б. Михаил Васильевич Остроград-
ский. М., Изд-во АН СССР, 1963.
Делоне Б. Н. Петербургская школа теории чисел. М.—Л., Изд-во АН СССР,
1947.
«История естествознания в России». М., Изд-во АН СССР, т. 1, 1957; т. 2, 1960.
«Очерки по истории физико-математических наук в Казанском университете».
В сб.: «Ученые записки Казанского университета», 1960, вып. 20, кн. 7.
«Роль русской науки в развитии мировой науки и культуры». В сб.: «Ученые
записки МГУ», 1947, вып. 91.
Статьи, посвященные развитию математики и механики в Московском универ-
ситете в сборниках ИМИ, вып. 1, 1948 и вып. 8, 1955.
Юшкевич А. П. История математики в России до 1917 г. М., «Наука», 1968.
Именной указатель
Абель (Abel N. Н.) (1802—1829). —
117, 231, 288, 305, 309, 313, 316—320,
332, 383, 415
Адамар (Hadamard J.) (1865—
1963). — 301, 332, 392, 420
Александров А. Д. (р. 1912). — 16,
409, 448
Александров П. С. (р. 1896). — 16,
442 /
Ампер (Ampere А.) (1775—1836). —
278, 337, 346, 413
Андронов А. А. (1901—1952). — 364
Аполлоний (ок. 260—170 до н. э.).—
60, 81, 82, 83, 85, 87, 93, 150, 261
Аппель (Appel Р.) (1885—1930). —
278
Араго (Arago D.) (1786—1853). — 346
Арган (Argand) (1768—1822). — 286,
374, 375
Ариабхата (р. 476 до н. э.). — 40—42
Аристарх из Самоса (310?—230? до
н. э.). — 86
Аристотель (384—322 до н. э.). — 59
Арнольд И. В. (1900—1948). —342
Архимед (ок. 287—212 до н. э.). —
59—62, 68—81, 86, 87, 93, 105, 108,
109, 127, 152, 154, 155, 157, 161, 163,
164
Архит из Тарента (ок. 428—<365 до
н.э.).— 49, 59
ал-Баки (ум. ок. 1100).—100
Бари Н. К. (1901—1961). — 209
Барроу (Barrow J.) (1630—1677).—
78, 152, 170, 171, 181, 222
Баше де Мезириак (Bachet de Mezi-
riak) (1587—1638). — 92
Башмакова И. Г. (р. 1921). — 291,
ЗЬ5, 448
Безу (Bezout Е.) (1730—1783). — 282
Бейес (Bayes Th.) (ум. 1763). — 307
Бельтрами (Beltrami Е.) (1835—
1900). — 402—404
Березкина Э. И. (р. 1931). — 29, 34,
448
Беркли (Berckeley) (1684—1753). —
12, 211
Бернсайд (Burnside) (1852—1927).—
324
Бернулли Д. (Bernoulli D.) (1700—
1782). — 73, 193—197, 207, 225, 235,
255„ 307, 346
Бернулли И. (Bernoulli Jo.) (1667—
1748). — 183, 189, 191, 193, 195, 199,
203, 227, 232, 234, 248, 368, 369
Бернулли Н. (Bernoulli N.) (1695—
1726). — 193, 195, 235
Бернулли Я. (Bernoulli Ja.) (1654—
1705). — 140, 183, 186, 189, 193, 235,
248, 249, 254, 307
Бертран (Bertrand J.) (1822—1900).—
393
Бессель (Bessel F.W.) (1784—1846).—
231, 243, 358, 375
Бетти (Betti Е.) (1823—1892). — 322
Био (Biot J.-6.) (1774—1862). —346
Биркгоф (Birkhoff G.) (1884—1944).—
366
ал-Бируни (973 — ок. 1060). — 103
Боголюбов Н. Н. (р. 1909). —260
Больцано (Bolzano В.) (1781—
1848). —208, 213, 333—341
Больяи (Bolyai J.) (1802—1860).—
310, 397
Бомбелли (Bombelli R.) (ок. 1530—
1573). — 118—120, 368
Борель (Borel Е.) (1871—1956). —
344, 393, 439
Брахмагупта (598—626). — 40—42
Брашман Н. Д. (1796—1866).— 432—
434
Бредихин Ф. А. (1831—1904). — 431
Бреккенридж (ок. 1745). — 263
Бржечка Б. Ф. (1891—1954). — 339
Бригг (Briggs D.) (1561—1631). —
131____133
Бугаев Н. В. (1837—1903). — 322,
429, 433
Буняковский В. Я. (1804—1889). —
345, 416, 417, 419, 431
Бурбаки Н. (Bourbaki N.).— 191
Бхаскара А. (1114 — ок. 1185). — 41,
42
Бэр (Baire) (1874—1932). — 344, 393,
439
Бюрги (Burgi J.) (1552—1632).—
126—128
Валле-Пуссен (Vallee-Poussin)
(1866—1962). —301, 420
Валлис (Wallis J.) (1616—1703).—
92, 152, 163, 170, 181, 222, 296, 299,
368
Ван Сяо-тун (VII в. н.э.). — 34, 35
Ван Фу-чун. — 39
Ван дер Варден (van der Waerden)
(р. 1903). —27, 448
Ванцель (Wantzel Р. L.) (1814—
1848). — 53, 54 *
Варинг (Waring Е.) (1734—1798).—
288, 292, 293, 303, 304
Вариньон (Varignon Р.) (1654—
1722). — 223
Вебер (Weber Н.) (1842—1913).—
322, 388
Вейерштрасс (Weierstrass К.) (1815—
1897). — 209, 256, 259, 336—339,
342, 343, 384, 386, 389—393, 428
450
Вейль (Weyl Н.) (1885—1955). —
260, 325, 386, 448
Вессель (Wessel) (1745—1818).—286,
374 375
Виет ’ (Viete F.) (1540—1603).— 98,
119—127, 150, 157, 168
Вилейтнер (Wieleithner) (1874—
1931). — 446
Виноградов И. М. (р. 1891). — 39, 92,
303, 304, 421
Влакк А. (1600—1667). — 39, 133
Вороной Г. В. (1868—1908). — 421,
426
Вронский (Wronski Н.) (1778—
1853). — 415
Галилей (Galilei G.) (1564—1642).—
138, 152, 157, 165, 170, 204, 362
Галлей (Halley Е.) (1656—1742). —
81, 85, 284, 289
Галуа (Galois Е.) (1811—1832).—
10, 56, 117, 291, 292, 295, 309, 313,
314, 319, 318—326
Гамильтон (Hamilton W. R.) (1805—
1865). —326, 345, 356
Гаусс (Gauss К.) (1777—1855). —
9, 92, 146, 193, 197, 231, 257, 278, 284,
286, 290, 298, 300, 305, 307, ЗЮ-
ЗЮ, 345—353, 374—376, 384, 386,
394, 397, 401
Гейне (Heine Н.) (1821—1881). — 341
Гейрат (van Heiraet) (р. 1633). — 151
Гельмгольц (Helmholz Н.) (1821—
1894). — 354, 384, 408, 428
Гельфонд А. О. (1906—1966). — 92,
304, 305
Герберт (940—1003). — 107
Герои (I в. н. э.).—59, 90
Гильберт Д. (Hilbert D.) (1862—
1943). — 62, 260, 300, 304, 305, 325,
386, 388, 396, 404, 408, 449
Гинденбург (Hindenburg К. F.)
(1741—1808). — 308
Гипатия (370—415). — 89, 93
Гиппий из Эллады (V в. до н. э.).—
53
Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.).—
48 52 55 60
Гливенко В. И. (1896—1940). — 220
Гнеденко Б. В. (р. 1912). — 16, 449,
450
Голубев В. В. (1884—1954). — 16,
438, 442
Гольдбах (Goldbach Ch.) (1690—
1764). — 235, 297, 304
Гончаров В. Л. (1896—1955). — 389
Горнер (Horner) (р. 1819). — 36, 99,
295
Граве Д. А. (1863—1939). — 426
Грассман (Grassman G.) (1809—
1877). — 326
Грегори (Gregory J.) (1638—1675). —
170
Грин (Green) (1793—1841). — 345,
347, 349, 385
Гуа (de Gua) (1712—1785). — 284
Гудде (Hudde) (1628—1704). — 166
Гурса. — 380, 393
Гурьев С. Е. (1766—1813). — 328
Гэн Чоу-чан (I в. до н. э.). — 29
Гэриот (Harriot Th.) (1560—1621).—
122
Гюйгенс (Huygens Ch.) (1629—
1695). — 140, 181, 186, 204
Давидов А. Ю. (1823—1885). — 431,
433____435
Даламбер (D’Alembert) (1717—1783).
— 188, 193, 201—206, 211, 218, 224,
231, 234, 236, 237, 241, 281, 282, 286,
290, 327, 328, 332, 358, 369—372, 378,
384, 387
Данжуа (Denjou А.) (р. 1884). —
209, 441
ван Данциг. — 325
Дарбу (Darboux) (1842—1917). — 75,
286, 339, 357, 394, 437
Дедекинд (Dedekind R.) (183*1 —
1916). — 58, 59, 340—342, 388, 408,
446
Дезарг (Desargues) (1593—1662). —
140, 186, 192, 278—280, 394
Декарт (Deskartes R.) (1596—1650).—
15, 53, 123, 139—152, 165, 166, 169,
181, 190, 199, 204, 261, 263, 283, 290,-
296, 314
Делоне Б. Н. (р. 1890). — 92, 305,
421, 449, 450
Демокрит (ок. 460—370 до н. э.).—
67
Деталь (Dechales) (1621—1678). —
191
Джоуль (Joule J.) (1818—1889). —•
354
Динострат (IV в. до н. э.). — 78
Диоклес (II в. до н. э.). — 90
Диофант (III в. н. э.). — 90—93, 127,
296 297
Дирак (Dirac Р.) (р. 1902). — 325
Дирихле (Dirichlet Р. G.) (1805—
1859). — 208, 209, 257, 258,.301, 345,
349, 353, 354, 385, 386, 419, 441, 447
Долбня И. П. (1853—1912). — 426
Дюбуа-Реймон (Du Bois Reymond)
(1818—1896). — 208, 428
Дюгамель (Duhamel) (1797—1872).—
414
Дюпен (Dupin Р. Ch.) (1781—1873).—
271, 278
Евдокс (ок. 408 — ок. 355 до н. э.).—
57—59, 63, 68
Евклид (IV в. до н. э.). — 48, 57, 60—
67, 71, 80, 87, 93, 105, 109, 161, 261,
451
280—282, 296, 300, 301, 396—401,
405—409, 419, 446
Евтокий (VI в. н. э.). — 94
Егоров Д. Ф. (1869—1931). — 437—
439
Ермаков В. П. (1845—1922). — 332,
357
Жегалкин И. И. (1869—1947). — 439
Жерар (1114—1187). — 108
Жирар (Jirard А.) (1595—1632). —
123, 290, 314
Жордан ^Jordan С.) (1838—1922).—
209, 323, 324, 361, 393
Жуковский Н. Е. (1847—1921). —
356, 392, 414, 429, 430, 434—437
Зейдель (Seidel А.) (1821—1896). —
322
Зенодор (III—II вв. до н. э.). — 79,
90, 93
Зенон Элейский (ок. 490 — ок. 430 до
н. э.). — 67, 68
Зенф (Senf К.) (1810—1849). — 437
Золотарев Е. И. (1847—1878). —
421—426 4
Имшенецкий В. Г. (1832—1892).—
426, 431
Кавальери (Cavalieri В.) (1598—
1647). — 134, 152, 157—161, 164,
182, 447
Кантор (Cantor G.) (1845—1918). —
209, 341—343, 365, 408
Каратеодори (Caratheodory) (1873—
1950). — 344
Кардано (Cardano G.) (1501—1576).—
116—123, 190, 287
Карно Л. (Carnot L.) (1753—1823).—
213, 278, 280, 447
Карно С. (Carnot S.) (1796—1832).—
354
Картан (Cartan Е.) (1869—1951).—
325, 394
ал-Кархи (XI в. н. э.).— 100
ал-Каши (ум. ок. 1530). — 98, 99, 103,
126, 447
Келдыш М. В. (р. 1911). — 437
Кеплер (Kepler Jo.) (1571—1630). —
125—128, 138, 140, 152—157, 447
Кестнер (Kastner) (1719—1800). —
224, 336
Кирхгоф (Kirchhoff) (1824—1887). —
384—386, 428
Клаузен (Klausen Т.) (1801—1885).—
56
Клаузиус (Clausius R.) (1822—1888).
____354
Клебш (Clebsch) (1833—1872). —263
Клейн (Klein F.) (1849—1925). —
280, 324, 325, 361, 392—394, 404—
407, 449
Клеро (Clairaut А.) (1713—1765). —
151, 192, 225, 236, 238, 263, 268, 269,
346, 370
Клюгель (Kliigel G. S.) (1739—
1812). — 281, 282
Ковалевская С. В. (1850—1891). —
360, 361, 392, 427—430, 447
Кодацци (1824—1873). — 437
Колмогоров А. Н. (р. 1903). — 14, 16,
39, 186, 422, 423, 438, 446
Кольман Э. (р. 1892). — 336, 449
Кондорсе (de Condorset) (1743—
1794). — 223, 307
Коперник Н. (1473—1543). — 111, 119,
153
Коркин А. Н. (1837—1928). —357,
421, 426
Коши (Cauchy О. L.) (1789—1857).—
13, 186, 203, 213, 216, 224, 286, 318,
323, 329—340, 345, 358—361, 374—
383, 390, 392, 413, 428, 447
Крамер (Kramer) (1704—1752). —
284, 288
Кронекер (Kronecker L.) (1823—
1891). — 315, 316, 322, 343
Крылов А. Н. (1863—1945). — 227
Крылов Н. М. (1879—1955). — 260
Куммер (Kummer Е.) (1810—1893).—
ЧОО 499 Ч4Ч
Курант Р.’ (р. 1888). —260, 386
Кэли (Cayley) (1821—1895). — 10,
186, 280, 323, 394, 404
Лаврентьев М. А. (р. 1900). — 260,
437
Лагерр (Laguerre) (1834—1886)? —
392 424
Лагир (de Lahire) (1640—1718). —
151, ,186
Лагранж (Lagrange J. L.) (1736—
1813). — 10, 44, 151, 188, 193, 204,
212—218, 224, 228, 234, 238, 241, 245,
247, 254, 255, 272, 284, 286, 290—295,
303, 304, 319, 323, 327, 333, 355, 356,
414, 430
Лакруа (Lacroix. S.) (1764—1848).—
151, 207, 208, 242, 268, 279, 282
Ламберт (Lambert J.) (1728—1777).—
55, 193, 224, 272, 282, 304
Ламе (Lame G.) (1795—1870). — 231,
358, 414
Лаплас (Laplace P. S.) (1749—1827).
— 188, 193, 225, 233, 241, 244, 245/
286, 307, 346, 348, 352, 362, 376, 385,
413, 416, 421, 429, 447
Лебег (Lebesgue A.) (1875—1941).—
209, 260, 344, 393, 439, 441
Лебедев Д. H. (1840—1880). —435
Леви-Чивита (Levi-Civita T.) (1873—
1941). — 408
Лежандр (Legendre A. M.) (1752—
1833). — 55, 193, 226, 229, 255, 256,
452
282, 298, 301, 304, 305, 307, 358, 419,
420
Лейбниц (Leibniz G. W.) (1646—
1716). — 12, 15, 33, 79, 136, 140, 145,
171, 178—190, 198, 203, 210, 211,
217—222, 225—228, 233, 235, 248,
249, 254, 296, 302, 307, 340, 368, 369
Ленин В. И. (1870—1924). — 8, 436,
446
Леонардо Пизанский (Leonardo Pisa-
no; Fibbonacci) (1170—1250). —
108—110, 301
Летников А. В. (1837—1888). — 433
Ли (Lie S.) (1842—1899). — 10, 312,
324, 325, 361, 362, 364
Линдеман (Lindeman F.) (1852—
1939).__55, 304
Липшиц (Lipschitz) (1832—1903). —
360
Литлвуд (Littlewood) (р. 1885). —
303
Лиувилль (Liouville J.) (1809—1882).
— 231, 278, 322, 357, 383, 415
Ли Чун-фэн (VII в. н. э.). — 29
Ли Янь. — 28
Лобачевский Н. И. (1792—1856). —
13, 55, 67, 208, 281, 282, 310, 332,
353, 354, 392—408, 417, 447
Ломоносов М. В. (1711—1765). —
188, 195, 196, 411
Лопиталь (de L’Hospital) (1661—
1704). — 184, 188, 288, 447
Лоран (Laurent Р. А.) (1813—1854).—
383, 390
Лоренц (Lorentz G.) (1853—1928).—
362, 363
Лузин Н. Н. (1883—1952). — 209, 227,
438—442, 447
Любимов Н. А. — 431
Люилье (L’Huilier S.) (1750—1840).—
212, 328
Люрот (Liirot J.) (1844—1910). —
322
Лю Синь (I в. н. э.). — 30
Люстерник Л. А. (р. 1899). — 260
Лю Хуэй (III в. н. э.). — 29, 30, 39
Ляпунов А. М. (1857—1918). — 349,
350, 363—366, 422, 423, 426, 430, 447
Магавира (IX в. н. э.). — 41
Мазер (Maseres F.) (1731—1824). —
286
Майер (Mayer R.) (1814—1878). —
354
Майнарди (Mainardi) (1800—1879).—
437
Маклорен (Maclorin С.) (1698—
1746). — 193, 211, 216, 217, 223, 226,
263, 284, 332, 334
Марков А. А. (1856—1922). — 421—
423, 429, 447
Маркс К. (Marx К.) (1818—1883).—
16, 88, 114, 139, 178, 209—213, 216—
220, 409, 446
Маркушевич А. И. (р. 1908). — 16,
109, 373, 449
Мебиус (Mobius А.) (1790—1868). —
268, 280, 394
Менье (Menier J.) (1754—1799). —
192 267 272
Меньшов Д. Е. (р. 1892). — 39, 209,
438, 442
Меркатор (Mercator N.) (1620—1687).
— 133,134
Мерсенн (Mersenne М.) (1588—
1648). —204
Мерэ (Мегау) (1835—1911). — 341
Миндинг Ф. Г. (1806—1885). — 278,
357, 402, 437
Мит'таг-Лефлер (1846—1927). — 392
Млодзеевский Б. К. (1858—1923). —
437—439
Монж (Monge G.) (1746—1818). —
192, 193, 241, 243, 267, 272—280, 286,
358, 449
Мопертюи (Maupertuis) (1698—
1759). — 263, 269, 356
Муавр (Moivre А.) (1667—1754). —
192, 306, 307, 421
Муаньо (Moigno F. N.) (1804—
1864). — 360
Наве (Nave A. della). — 115
Насирэддин ат-Туси (1201—1274). —
100, 104
Нейгебауер О. (р. 1899). — 27, 28, 448
Нейль (Neil W.) (1637—1670). — 151
Нейман К. (Neumann К.) (1832—
1935). —349
Нейман Ф. (Neumann F.) (1798—
1895). —259, 345, 386
Неморарий (Nemorarius J.) (XIII в.).
— НО
Непер (Neper J.) (1550—1617). —
।28___132
Нетер М. (Noether М.) (1844—1921).—
388
Николь (Nicolle F.) (1683—1758).—
263
Никомед (III—II вв. до н. э.). — 89
Ньютон (Newton I.) (1642—1727). —
12, 15, 100, 101, 136—140, 145, 151,
170—185, 198, 199, 210—212, 216—
223, 227, 248, 261—264, 283—285,
288—293, 328, 340, 346, 416, 447
Ольденбург Г. (1615—1677). — 182
Орезм Н. (Oresme N.) (1323—1382).—
ПО, 127
Остроградский М. В. (1801—1861).—
256, 257, 345, 348, 353, 356, 400,
411—417, 447
453
Папп из Александрии (III в. н. э.).—
93, 143—145
Паран А. (1666—1716). — 151
Паскаль (Pascal В.) (1623—1662).—
38, 44, 134, 136, 140, 152, 161, 181,
182, 186, 190, 191, 279, 280, 296, 297,
394
Пачиоли (Pacioli L.) (1445—1514).—
190
Паш (Pasch М.) (1843—1930). — 62,
408
Пеано (Peano G.) (1858—1932). —
62, 360, 408
Пелль (Pell I.) (1610—1685). — 44,
297
Перрон О. (р. 1880). — 394
Петерсон К. М. (1818—1881). — 433,
436, 437, 447
Петровский И. Г. (1901—1973). —260
Пиери (Pieri). — 62, 408
Пикар (Picard Е.) (1856—1941). —
361, 392, 393
Пифагор (VI в. до н. э.).' — 33, 39,
40, 47, 48, 50, 51, 62, 109, 397
Платон (429—348 до н. э.). —47
Понселе (Ponselet J.-B.) (1788—
1867). 192, 394
Понтрягин Л. С. (р. 1908). — 325
Постников А. Г. (р. 1921). — 420
Привалов И. И. (1891—1941). — 438
Прокл (410—485). — 93, 94
Пташицкий И. Л. (1854—1912). —426
Птолемей (II в. н. э.). — 90, 93, 104,
108
Пуанкаре (Poincare Н.) (1854—>
1912). — 325, 349, 360, 363—365,
392, 393, 405, 429
Пуансо (Poinsot L.) (1777—1859).—
430
Пуассон (Poisson) (1781—1840). —
278, 307, 340, 345—347, 353, 356, 376,
377, 413
Пфафф (Pfaff I.-F.) (1765—1825). —
242, 276, 277, 358, 359
Пюизё (Puiseux V.) (1820—1883). —
383
Раабе (Raabe J.-L.) (1801—1859). —
332
Региомонтан (Regiomontanus) (1436—
1476). — 111, 114
Ретикус (1514—1576). — 125
Риккати (Ricatti J.) (1676—1754). —
1Q1 944 944 447
Риман (Riemann В.) (1826—1866). —
73, 203, 209, 258—260, 301, 353, 354,
382—392, 407, 441, 447
Риччи-Курбастро (1853—1925). —408
Роберваль (1602—1675). — 152, 166
Розенфельд Б. А. (р. 1917). — 101
Ролль (Rolle М.) (1652—1719). —
167, 289
ван Роумен. — 99
Руффини (Ruffini Р.) (1765—1822).—
36, 99, 192, 295, 316, 318, 323
Савар (Savart F.) (1791—1841). — 346
Саккери (Saccheri D.) (1667—1733).—
281, 282, 397
Сальмон (Salmon G.) (1819—1904).—
263
Самарский А. А. (р. 1919). —352
Сарватасидда. — 40
Сельберг А. — 420
Сен-Венан (Saint-Venant) (1797—
1886). — 278
Серре (Serret J. А.) (1819—1885).—
278, 322
Сильвестр (Silvester J. J.) (1814—
1897). — 263, 420
Симпсон (Simpson Т.) (1710—1761).—
307
Скоутен (van Scooten) (1615—
1660). — 147
Слудский Ф. А. (1841—1897). —
433—435
Сомов И. И. (1815—1876). — 384, 426,
433, 434
Сонин И. Я. (1849—1915). — 426
Сохоцкий Ю. В. (1842—1929). — 426
Спасский Б. И. (р. 1911). — 348, 446
Спейдель Дж. — 133
Сретенский Л. Н. (1902—1973). —
437, 438
Стевин (Stevin S.) (1548—1620). —
98, 119, 125, 127, 286
Стеклов В. А. (1864—1926). — 426
Степанов В. В. (1889—1950). — 438
Стильтьес (Stieltjes Т.) (1856—
1894). — 393
Стирлинг (Stirling J.) (1692—1770).—
193, 225, 263, 284, 288
Стокс (Stokes G.) (1819—1903). —
332, 345
Столетов А. Г. (1839—1896). — 431
Су Бо-цин. — 39
Сунь-цзы (III в.). — 38
Суслин М. Я. (1894—1919). — 442
Тарталья (Tartaglia) (ок. 1499—
1557). — 115—117, 190, 287
Тауринус Ф. — 397
Тейлор (Taylor В.) (1685—1731). —
193, 204, 217, 222—224, 236—238,
333, 334, 383
Теон из Александрии (IV в.). — 49
Теэтет (начало IV в. до н.э.). — 49
Тихонов А. Н. (р. 1906). — 352
Томсон (Thomson Kelvin W.) (1824—
1907). —257, 345, 354, 386
Торричелли (Torricelli Е.) (1608—
1647). — 152, 161, 164
Улуг-бек (1411—1449). —98, 103
454
Урусов С. С. — 433
Урысон П. С. (1898—1924). — 438,
442
Фаддеев Д. К. (р. 1907). — 92
Фальк. — 380
Федоров Е. С. (1853—1919). — 10,323
Феодосий (I в. до н. э.). — 93
Ферма П. (1601—1665). — 92, 134,
139, 149—152, 162, 163, 167, 186,
190, 191, 222, 261, 263, 285, 296—299
Феррари (Ferrari L.) (1522—1565).—
116, 117, 287
Ферро (Ferro Scepion del) (1465—
1526). — 115, 116
Фидий. — 71
Фиников П. С. (1883—1964). — 39,
437
Фиоре. — 115
Фихтенгольц Г. М. (1888—1959). —
208
Фогель. — 28
Фохт (Vogt К.) (1815—1895). — 362
Фредгольм (Fredholm Е.) (1866—
1927). — 349
Френд (Frend W.) (1757—1841). —
286
Френе Ж. (Frenet J. Е.) (1816—
1900). — 278
Френель О. (1788—1827). — 232
Фреше Р. (Frechet R.) (р. 1878). —
344
Фукс (Fuchs) (1833—1902). — 393
Фурье Ж. (Fourier J. В.) (1768—
1830). — 39, 207, 208, 228, 284, 345,
350—354, 384, 413, 414, 441
Хайам О. (ок. 1040 — ок. 1123).—
101, 105
Хандриков М. Ф. (1837—1915). —
431
Харди Г. (Hardy G.) (1877—1947).—
303
Хаусдорф (Hausdorf F.) (1868—
1942). — 344
Хинчин А. Я. (1894—1959). — 438, 442
ал-Хорезми (IX в.). — 100—102, 447
Цейлен Л. ван (1539—1610).— 126
Цейтен (Zeuthen Н.) (1839—1920). —
56, 144, 146, 449
Цзу Чун-чжи (430—501). — 30
Цингер В. Я. (1836—1907). — 431—
435
Цинь Цзю-шао (XIII в.). — 35, 38
Чаплыгин С. А. (1869—1942). — 393,
436
Чеботарев Н. Г. (1894—1947). — 56г
284, 289, 318, 322, 323, 415, 426
Чебышев П. Л. (1821—1894). — 9,
301, 306, 357, 365, 388, 417—426,
429—434, 447
Черепнин Л. В. — 114
Чжан Хэн (78—139). — 30
Чжан Цан (II в. до н. э.). — 29
Чжан Цяю-цзянь (VI в.). — 30
Чжень Луань (VI в. н. э.). — 29
Чжу Ши-цзе (ок. 1300). — 36
Чирнгаузен Э. В. фон (1651—1708).—
287
Шаль М. (1793—1880). — 263, 280,
394
Шарпи П. (ум. ок. 1785). — 241
Шафаревич И. Р. (р. 1923). — 300,
322
Шварц Г. (Schwarz G.) (1843—
1921). — 259, 349, 386, 393, 417
Швейкарт Ф. (1780—1857). — 397
Шевалье (Chevallier О.). — 322
Шиккард В. — 135, 136, 190
Шиллинг. — 401
Шмидт О. Ю. (1891—1956). — 426
Шредингер Э. — 325
Штаудт (Staudt Ch.) (1798—1867).—
280, 394
Штейнер Я. (1796—1863). — 263, 394
Штифель М. (ок. 1486—1567). — 99,.
127
Штурм (1803—1855). — 358
Шуберт Ф. (1758—1825). — 373
Шур И. (Schur J.) (1875—1825). —
420
Шэн Ко (XI в.). — 37
Шюке (Chuquet N.) (XV в.). — 33,.
ПО
Эйлер Л. (Euler L.) (1707—1783). —
327, 331, 334, 346, 354, 356, 358,
369—374, 378, 380, 384, 387, 410,
411, 419, 430, 447
Энгельс Ф. (Engels F.) (1820—1895).
— 46, 88, 114, 139, 140, 409, 446
Эратосфен (ок. 276—194 до н. э.).—
53, 60, 72, 113
Эрмит Ш. (Hermite Ch.) (1822—
1901). — 268, 392, 393, 415, 424
Юшкевич А. П. (р. 1906). — 101, 449,
450
Якоби (Jacobi К.) (1804—1851). —
231, 241, 356, 359, 383
Яновская С. А. (1896—1966). — 449
Ян Хуэй (XIII в.). — 37
Константин Алексеевич Рыбников
ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
Тематический план 1974 г.. № 131
Редактор Р. Д. Солод
Переплет художника А. А. Иванова
Технический редактор А. П. Николаев
Корректоры М. И. Э ль му с,
Н. И. Коновалова, С. Ф. Будаева
Сдано в набор 18/IX 1973 г. Подписано к печати 19/IV 1974 г. Л-49176 Формат
60X90716 Бумага тип. № 3 Физ. печ. л. 28,5 Уч.-изд. л. 30,9 Изд. № 1852 Зак. 266
Тираж 17 650 экз. Цена 1 р. 11 к.
Издательство Московского университета. Москва, К-9, ул. Герцена, 5/7.
Типография Изд-ва МГУ. Москва, Ленинские горы