MATHfiMATIQUES
NOUVELLES
Tome I
Par
R, FAURE, A. KAUFMANN,
M. DENIS-PAPIN
DUNOD • PARIS
I У G A

Р. Фор, А. Кофман, M. Дени-Паиен
СОВРЕМЕННАЯ
МАТЕМАТИКА
Перевод с французского
Е. Вг Гайдукова и Н. Н. Родман
Под редакцией
А, Н, Колмогорова
ИЗДАТЕЛЬСТВО «М И Р»
Москва 1966

УДК 610 (022)
Книга представляет собой попытку объединить в одном из-
длпин карманный справочник и изложение основ современной
математики- В ней освещены основные понятия теории множеств,
алгебры, топологии и теории функций.
Авторы опускают многие доказательства, однако им удается не
только привести определения и формулировки теорем, но и дать
представление о существе излагаемых вопросов. При этом весьма
пенными оказываются многочисленные и разнообразные примеры.
Книга будет полезна для очень широкого круга читателей,
занимающихся или интересующихся математикой, начиная с учащихся
фичико-математических .школ и кончая научными работниками
различных специальностей.
Редакция литературы по математическим наукам

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Можно считать общепринятым, что современные
представления о строении математической науки, изложенные
и «Элементах математики» Никола Бурбаки, должны за
пимать существенное место в университетском препода
вании для специалистов-математиков, Более спорной
представляется их ценность в применении к математическому
образованию физиков, инженеров, биологов или
экономистов, а также возможность сколько-либо широкого их
внедрения в общеобразовательный курс математики,
преподаваемый в средней школе.
На возможности и желательности самого широкого
изложения современных абстрактных математических
концепций на всех ступенях обучения математике сейчас,
по-видимому, наиболее радикально настаивают многие
французские математики. Предлагаемая вниманию
читателей маленькая книга Фора, Кофмаиа и Дени-Папена
намечает общие контуры знаний по современной
математике, которые авторы считают полезными для всех,
имеющих дело с применениями математики, в основном для
инженеров.
Книга написана в форме справочника и состоит из
определений и примеров. Учебником она, конечно, быть
не может. Мне представляется, что у нас в СССР она
может получить двоякое употребление.
Книга будет полезна квалифицированным
математикам, преподающим математику физикам, инженерам и
другим потребителям математических знаний вплоть до

специалистов по прикладной лингвистике, а также
преподающим в специализированных математических
школах. Самим ученикам математических школ или
студентам технических вузов она может быть полезна лишь в
виде справочника, позволяющего проверить свои знания,
полученные при хорошем устном преподавании.
Ценной, мне кажется, достаточно стройная и в то же
время простая система основных понятий. Некоторые
формулировки нарочито эффектны. Например, для
наивных читателей будет неожиданностью, что основания
евклидовой геометрии занимают всего полстраницы, но
после изложения основ теории векторных пространств
такая позиция законна и может быть расшифрована
достаточно интеллигентными читателями.
А Колмогоров

Введение
Широкое использование понятий и основных обозна
чсинй новой математики в работах не только по чистой
пли прикладной математике, но и по физике, экономике
и т. д, сделало насущной потребностью издание
вспомогательного справочника, рассчитанного на широкие круги
читателей.
Для удовлетворения этой потребности были задуманы
и написаны под авторитетной редакцией М. Дени-Панена
два тома предлагаемой работы (па русский язык
переводится только первый том. — Прим. ред.). Этот том,
появлением которого мы обязаны Р. Фору, не представляет
собой пи «резюме» основных элементов современной
теории множеств, алгебры и топологии, пи «каталога»
определений, теорем и формул, взятых вне какого бы то ни
было контекста. На самом деле, как это и было
задумано с самого начала, он содержит сжатое введение в
теорию множеств и отношений; каждое понятие
иллюстрируется примерами и часто поясняется рисунками. В этом
смысле книга позволяет читателю, не располагающему
большим запасом времени, за короткий срок довольно
серьезно ознакомиться с основными понятиями новой
математики и получить подготовку для чтения работ по
специальности.
По тем же причинам, учитывая важность предмета,
мы не задумываясь отвели довольно большое место ос*
ионным понятиям алгебры.

Чтобы настоящий справочник был действительно
полезным, пришлось зарезервировать достаточно места и
для линейной и полилинейной алгебры, столь важных для
всевозможных приложений.
Мы ие побоялись также отвести отдельные главы
числам и полиномам. Из-за этого, к сожалению, осталось
очень мало места для определений и основных фактов
топологии, а также для заключительной части — рядов,
дифференциалов и интегралов.
В своей работе мы часто обращались к
первоисточникам и нередко были вынуждены сводить воедино
весьма различные между собой точки зрения. За образец
изложений была взята замечательная статья Ж. Риге
(Научно-техническая энциклопедия, т. I). Руководством при
выборе материала, равно как и богатым источником
примеров, служили лекции профессора Р. де Посселя (с тех
пор как по ним учился Р* Фор прошло уже почти 25 лет).
Было бы черной неблагодарностью отрицать влияние этих
математиков на авторов книги.
Мы хотим также выразить признательность Иву
Мальгранжу, который взял на себя труд прочитать
книгу в рукописи и поделиться с авторами многочисленны*
ми справедливыми замечаниями.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Элементы современной математики
1. МНОЖЕСТВА. ПОДМНОЖЕСТВА.
БУЛЕВЫ ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
1. Понятие множества. Обозначение принадлежности
Математическое понятие множества постепенно
выделилось из привычных представлений о совокупности,
собрании, классе, семействе и т. д. В 1872 г. Георг
Кантор, создатель теории множеств, определил множество
как «.объединение в одно целое объектов, хорошо
различаемых нашей интуицией или нашей мыслью»1).
Впоследствии математики-эмпиристы (в смысле философии
математики), например Э. Борель, высказывали сомнения
о том, что можно дать определение множества,
позволяющее сформировать это понятие у того, кто не обладал
им заранее, и придерживались мнения, что понятие
множества является результатом нашего опыта.
Математики-идеалисты (опять-таки в смысле философии
математики) старались обычно обойти возникающие здесь
трудности, считая это понятие очевидным. Что касается
диалектиков, то, считая вместе с эмпнристамп и
реалистами, что понятие множества есть результат опыта, они
полагали, что последовательность целых чисел
диалектически порождается из представления о единице и что
понятие множества есть не что иное, как очень широкое
обобщение этого представления.
а) Определение Кантора с самого начала исключает из
рассмотрения в математике множеств, объекты которых плохо «определены»;
1лк, нельзя говорить о множестве идеи (в прошлом или в
будущем...); кроме того, в определении требуется, чтобы объекты были
различимы между собой. Именно это понятие иидииндуализацпп
вызнало наиболее оживленные дискуссии среди математиков начала
XX иска.

JO Часть l. Элементы математики
В первом издании «Теории множеств» Пурбакп,
появившемся в 1939 г., в сводке результатов можно найти
следующее предложение: «Множество образг/стсм из
элементов, обладающих некоторыми свойствами и
находящихся о некоторых отношениях между собой или
с элементами других множеств*. Будучи совершенно
ясным для математиков, это предложение вызывает резкую
критику со стороны логиков, которые выступают против
использования антропологического понятия свойства
(качества). Наконец, создатели символической логики почти
не различают чисто логическое и математическое понятие
множества, Во всяком случае, следует отметить, что
какие бы трудности ни возникали при определении
понятия множества, само это понятие являлось н является
мощным средством при изучении и уточнении категории
рассматриваемых объектов (математика) или словесно
описываемой области (логика).
Объекты, сущности или элементы, составляющие
множество, обозначаются строчными латинскими буквами:
х, л,...; множество часто обозначают прописными
латинскими буквами £, А\ ... . Знак £ обозначает
вхождение пли принадлежность; х£Е читается: «элемент х
принадлежит мЕюжеству Е», или короче: «л* ~ элемент
множества £». Следует различать «общий элемент»1) х
множества £\ т. с. произвольный элемент,
характеризующийся единственным свойством «принадлежать
множеству», и конкретные элементы a, bs с,.... каждый из ко
торых отличен от остальных. Если а- не принадлежит £,
будем писать х&Е, что читается «а не является
элементом множества Е» или «а не принадлежит .множеству
£». Если множество содержит конечное число элементов,
говорят, что оно конечно; в противном случае
множество называется бесконечным2). Множество Е, состоящее из
элементов at Ь,., , , записывается
£— [а Ь }.
Пример. Множество четных цифр: Р*«{2, 4,6,8}.
1) Можно говорить «текущий элемент», аналог текущей точки п
аналитический геометрии.
2) Ниже мы увидим, что Гхш.ппшство трудностей, возникающих
при определении мпожеенз, связано о бесконечными множествами.

/. Множества 11
Еще пример. Множество трехзначных чисел в
двоичной системе:
вэ= ;000, 001, 010, 011. 100, 101, ПО, 111).
2, Способы задания множеств
a) Множество может быть задано перечислением всех
его элементов.
Примеры. Множество цифр; |0,1,.,., 9); множество
лиц, присутствующих в этой комнате: (Ивонна, Николь,
Шарль, Жан, Пьер).
b) Обобщение первого способа состоит в том, что
каждый элемент задаваемого множества определяется по
некоторому элементу уже известного множества.
Пример. Считая известным множество целых чисел
£ ==г ] • * • > ~~ ot — Zy —- 1, U, 1, Zf о, « « • j,
определим множество степеней числа 2
I л-3 9-2 о-1 9° 91 92 93 1
c) Другой способ задания множеств — описание
ограничительного свойства, выделяющего элементы
множества Е среди элементов более широкого, или основного,
множества /?. Множество Е называется частью, пли
подмножеством множества R.
Пример. Пусть дано множество N+ натуральных чисел
N+={1, 2, 3,...},
Рассмотрим совокупность всех тех элементов этого
множества, которые делятся на 2 (ограничительное и харак-
герпзующее свойство); полученное множество есть
множество четных чисел
Р«{2, 4, 6,.,.}.
d) В дальнейшем мы увидим также, что новые
множества задаются при помощи некоторых операций над
множествами.

1.2 Часть 1. Элементы математики
3. Множество подмножеств. Включение
Пусть R — основное множество. Основное, или
фундаментальное, множество в математике может быть
образовано всеми элементами какого-нибудь определенного типа.
Пример. Множество прямых плоскости, множество
простых чисел п т. д.
Два свойства, эквивалентные относительно основного
множества, определяют одну и ту же часть этого
множества» и обратно. Множество элементов R,
обладающих свойством х£Е, очевидно, совпадает с £.
Пример. Пусть / — множество нечетных чисел в
десятичной системе
/ = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,...};
за основное множество примем множество N+
натуральных чисел. Можно определить множество нечетных
чисел исходя из свойства оканчиваться на нечетную
десятичную цифру 1, 3, 5, 7 или 9 {Ру)\ то же множество
соответствует свойству не делиться на 2 (Р2). Свойства
Рх и Р2 эквивалентны относительно N+ и задают
множество нечетных чисел, подмножество основного
множества N+.
Обратимся теперь к свойству не быть целым числом
(Я;1); соответствующее этому свойству подмножество
основного множества N+ не содержит пи одного элемента;
такое множество будем называть пустым п обозначать 0.
Таким образом, свойства, присущие некоторым
элементам множества R, могут служить для задания
подмножеств этого множества; свойство, отличное от всех
свойств элементов /?, порождает пустое множество,
пустое подмножество множества R. Напротив, наибольшее
подмножество, т. е. само множество Rt может быть
задано любым свойством, присущим всем элементам
основного множества. Пример: х -- х.
Пусть Л и й —два подмножества основного
множества R. Если все элементы из Л принадлежат В, то
говорят, что А содержится (или включено) в В\
употребляются также выражения: В содержит Л, или Л есть

/. Множества 13
часть множества В. В этом случае будем писать
Ас В пли В :э А
Пример. Множество Р четных чисел содержится в
множестве N+ натуральных чисел
PeN+.
Замечание 1. Понятию включения теории множеств
соответствует понятие расширения в формальной логике.
Действительно, если подмножества А и В основного
множества R заданы соответственно свойствами РА и Рв , то
утверждение, что А содержится в В, равносильно
утверждению: Ра влечет Рц .
Замечание 2. При задании множества так. как это
делалось в § 2а и 26, т. е. путем перечисления
элементов или установления соответствия с элементами ранее
изученного множества, мы можем сформулировать
характеристические свойства общего элемента подмножества Е
основного множества /?; эти формулировки будут
теоремами, требующими доказательства; способ задания Е —
аналитический.
Наоборот, если мы знаем характеристические
свойства общего элемента подмножества Я, то мы можем
определить, какие элементы основного множества R
принадлежат этому подмножеству: речь идет о
параметризации подмножества Я; такой способ задания
является синтетическим.
Из соотношений A cz В и В cz С следует соотношение
AczC\ следовательно, отношение включения транзитов-
но (см. ниже). Заметим, что из А гэ В и В гэ А следует
А = В, и наоборот. Действительно, два множества равны
(идентичны), если они состоят из одних и тех же
элементов.
N. В. Некоторые авторы, особенно американские,
вводят понятия собственного и несобственного
подмножества. Они пишут А с: В, если возможен случай А ~В
(в этом случае А называется несобственным подмноже*
ством множества В), и A cz Ву если В содержит хотя бы
один элемент, не принадлежащий А. При такой системе
обозначений невозможен случай, когда A cz В и В с: А
одновременно.

14 Часть Л Элементы Математики
Множеством подмножеств некоторого основного или
произвольного множества Е называется множество,
элементами которого являются подмножества множества £.
Это множество 3\Е) включает в качестве элементов
пустое множество 0 и само множество Е\ каждый
отдельный элемент Е есть также подмножество
множества £.
Пример. Е = (а. Ь, с)\
?{Е)~\[в>). |а). [Ь)9 \с). [а, Ь}.\а.с},{Ь,с},\аАс,]).
В общем случае, если множество Е содержит п
элементов, множество его подмножеств 3* (Е) состоит из 2п
элементов.
4. Булевы1) операции над множеством подмножеств
некоторого множества
Рассмотрим основное множество R, задаваемое
некоторым свойством Р. Пусть Рл — свойство,
характеризующее подмножество А множества R. Элементы из Rf
ле входящие в /1, очевидно, не обладают свойством РА ;
они образуют множество, дополнительное к А%
обозначаемое GA, или А\ если необходимо указать основное
множество, пишут Or А Очевидно следующее свойство
инволюции:
С (СМ) = Л, пли (А) = А.
Заметим, что А определяется отрицанием свойства
Ра (свойством не РА ).
Рассмотрим теперь два подмножества А и В
множества R, определяемые соответственно свойствами РА
и Рн .
а) Объединение А и /J, обозначаемое A U В, состоит
из всех тех элементов, которые обладают хотя бы одним
из свойств РА п Рц , т. е. свойством Ра или Рв ;
подмножества А и В могут как иметь общие элементы, так
и не иметь их.
1) Мы употребляем термины «булево», «булева» в смысле
Н. Бурбаки, Очерки по истории математики, стр. 17— К4.

/, Множества 13
/>) Пересечение множеств А \\ В, обозначаемое А П В,
состоит из всех тех элементов, которые обладают как
свойством Ра , так и свойством Ра .
Если таких элементов не существует, то А()В~■ 0,
и наоборот. Множества А и В в этом случае
называются непересекающимися.
_ "Л
Свойства операций и • П н !
А[\В^В[\А A\}B = B[}A
[Коммутатшшость|
(А(]В)Г)С^А()(В[\С) (А[}В)[}С**А\) {В[}С)
[Ассоциативность]
Afl Л = Л Ли А = А
[Идемпотентность]')
А П (В U С) == (А П 5) и (А П С) А и (S П С) =
«МиВ)П(ЛиС)
[Дистрибутивность]2)
АП0=-0 Л и Я = Я
ЛП# = A AU 0 =А
(Теоремы А. де Моргана)
j АПВ « й"ив ИГЛ* = ЛПЙ
(А) --= /1
1Пнволюцня|
J
1) Снонетио идемпотентности дает возможность запнсымать формулы,
содержащие знаки объединения п пересечения, без коэффициентов
и показателей.
2) Дистрибутивность пересечения относительно объединения и
обьединепия относительно пересечения.

in
Часть 1. Элементы математики
5. Диаграммы Эйлера — Венна
Диаграммами Эйлера (в СШЛ — диаграммами Воина)
называют фигуры, изображающие множества и наглядно
демонстрирующие некоторые свойства булевых операций.
/а
R
«v^TX
fy\ 1
АПВ
Рис, 1а,
Заштрихованная часть рання Af\B\
незшпгриховашшя область (внешний
по отношению к обведенному контуру)
равна А[)В.
Рис. lb.
Часть кицдрнта, • зиштрихоипииая
сиропа налево, рпнии А ; заштрнхо-
ванная слева наприво — В . Чисть,
заштрихоишитя кикнм-лпбо
способом, образует A\JIi\ легко и и деть,
что она совпадает с ~ЛП# (виеш«
пасть обведенного контура).
Пример. Рис. 1 позволяет наглядно убедиться в
справедливости первой теоремы де Моргана
1) Tn"B = 34uS.
Так же легко убедиться в справедливости второй теоремы
2) Jjjfi = Af\B
с помощью двух аналогичных диаграмм,
Говорят, что эти две теоремы де Моргана
двойственны:
1) дополнение к пересечению двух множеств равно
объединению их дополнении;
2) дополнение к объединению двух множеств равно
пересечению их дополнений;
эти теоремы переходят одна в другую при замене слова
объединение на пересечение, и наоборот.

/. Множества
17
6. Разность
Если ВаА, можно определить разность А и В%
состоящую из всех элементов, входящих в Д, но не
входящих в Ву
1)=*А(\В.
Иногда множество элементов, принадлежащих или Л,
Af]B эвштриковано справа палево)
Af]B — заштриховано слева iranpanoi
таким образом,
<АГ\В)\ЛАГ\В)
есть область, заштрихованная тем или
иным образом.
Рис. а.
Часть квадрата, эяштрнхоланная
справа налево, равна /HJB; верти-
кально заштрихованная часть равна
Af\B: часть, заштрихованная обоими
способами, равна
(A{JB)C\(AnB) _
совпадаем с (Af)'m\J(Af)B)
или В («или» — разделительное), называют
симметрической разностью, но чаще оно носит название
дизъюнктивной суммы, что записывается
Имеем (рис. 2Ь)
A®B = {A(\B)\i(A(]B)~(A\jB)f](A(\B).
Дизъюнктивная сумма обладает многочисленными
свойствами:
Л0В яз В® А (коммутативность);
(Л0Д)фС=»Л® (В®С) (ассоциативность),
Д00 = /1=0ф^ (существование нейтрального
элемента);

18 Часть L Элементы математики
Л0>1= 0 (существование симметричного элемента);
ЛП(Я0С)-(ЛПв)®(ЛПС)
(дистрибутивность относительно пересечения).
В алгебре определяются структуры группы, кольца
и т. д. Множество 3*{Е) подмножеств некоторого
множества Е, на котором задан бинарный закон 0,
образует коммутативную, или абелеву, группу; добавление
бинарного закона П превращает эту группу в кольцо
7. Логические символы: двойные стрелки (или
жирные стрелки) в одну или в обе стороны
Двойная односторонняя стрелка используется при
указании на последствия некоторого факта, это символ
импликации, или логического следствия, который можно
читать; «влечет» или «имеет следствием» и т. д. Таким
образом,
AczB и ВсС~*АсС
можно читать: отношения включения AczB и ВсС имеют
следствием отношение Л с: С. Двойная стрелка в обе
стороны обозначает логическую эквивалентность,
справедливо как само утверждение, так и его обращение.
Пример. AczB и Во. А **> А = В
можно читать: для того чтобы А = В, необходимо и
достаточно, чтобы имели место отношения включения Ас:В
и Вс Л.
N. В. Некоторые авторы вместо двойных стрелок
используют жирные стрелки:
щЧяа' W*
8. Другие выражения включения
Тот факт, что AczB, можно выразить и записью (рис. 3)
А(\В—А, или Ди# = #. или, наконец, А(\В=0и

//. Отношения
19
Рис. 3.
А и В = Я, где /? — основное множество. Используя обо-
значения § 7, будем писать
АсВ+*А[\В^ А**А\]В=*В**А[\В = 0.
II. ОТНОШЕНИЯ
1. Отношения унарные, бинарные, тернарные и т. д.
Рассмотрим в плоскости (Р) две точки, Л и В.
Геометрическое место точек М плоскости, удовлетворяющих
отношению МА < /ИВ, есть полуплоскость,
расположенная по ту же сторону, что и точка А, от
перпендикуляра (Д) к отрезку АВ> проведенному через его середину
Рис, 4.
(рис. 4). Рассмотрим два основных множества:
множество Т точек плоскости (Р) и множество 3) расстояний
между точками. Отношение МА < MB определяется в 3)
только для пар расстояний от точки М до точек А
и б; если М удовлетворяет отношению МА < MB, то она
лежит в одной полуплоскости с Л.
3*

20 Часть /. Элементы математики
Отношение между расстояниями есть бинарное
отношение, так как оно определено для пар расстояний. Но
если теперь принять за основное множество 3*> то данное
отношение будет унарным; можно говорить о некоторой
точке, удовлетворяющей или нет этому отношению.
Аналогично отношения между тремя элементами называются
тернарными и т. д.
2. Бинарные отношения
Пусть даны два множества, А и В, совпадающие или
нет. Множество упорядоченных пар элементов, из
которых первый принадлежит А, а второй — В, называется
(декартовым) произведением множеств Л и 5 и
обозначается Ах В. Пусть
А = (а, Ь, с, d) и В= {/, т|.
тогда
ЛхВ = {(а. /), (Ь% /), (с, /), (d. /), (а, т).
(6, /л), (с, m)t (d, m)}.
Всякое подмножество множества Ах В называется
бинарным отношением.
Пример.
Л = {1,2,3}, 5- (1, 2. 3,4.5,6,7|.
Для отношения R элемент х£А есть делитель
элемента у£В\ имеем равенство
/?= |(1,1), (1,2), (2,2), (1,3), (3,3), (1,4). (2,4), (1,5), (1,6),
(2,6), (3,6), (1,7)};
действительно, если выписать все пары
(1,1), (2,1), (3,1). (1,2), (2,2), (3,2), (1,3), (2,3), (3,3), (1,4),
(2,4), (3,4), (1,5), (2,5), (3,5), (1,6), (2,6), (3,6), (1,7).
(2J), (3,7)
и выбрать из них лишь те, у которых первое число
является делителем второго, то получим подмножество R.
Бинарные отношения можно задавать различными
способами: таблицами, стрелками и сечениями, из которых

//. Отношения
21
первые два являются наиболее употребительными. Для
табличного представления отношения RczAxB проводят
несколько вертикалей, обозначая каждую из них
некоторым элементом из Л, и несколько горизонталей, обозначая
их элементами из В. Затем жирными точками
отмечаются пересечения тех прямых, для которых
соответствующие элементы удовлетворяют отношению R Рис. о
представляет отношение х\у {х делит у) предыдущего примера.
t г з
{в}
1
г
з
4
5
В
7
i
■о
-?
Рис.
5.
Рис. 6.
Рис. 7,
Для того чтобы задать стрелочное представление или
представление с помощью стрелок бинарного отношения
RczAxB, элементы А и В изображаются в виде точек
плоскости, после чего стрелками, направленными от х к
у> соединяются те и только тех^Л и i/^S, для которых
(*> y)£R< Рис» 6 дает первый пример стрелочного
представления отношения делимости для тех же множеств
А и В. Но, поскольку А есть подмножество В, можно
условиться не обозначать два раза точки 1, 2 н 3,
представляющие один и тот же элемент; в результате
получаем рис. 7.
3. Сечение и проекция
Пусть о = (а, Ь) — элемент множества Ах В. Элемент
а есть проекция элемента о на множество Л. Если Ecz А х 5,
то проекцией Е на А называется множество тех элемен»
тов из Л, которые являются проекциями элементов из £
на А. Сечением х=*а множества Е называется множество
элементов у£В> для которых (а, у)£Е-

22
Часть L Элементы математики
Пример. На рис. 8 проекцией элемента с23 = (а2, 63)
на А будет а2.
Пример. Рассмотрим EczAxB (рис. 9)
£ = (Сц, Сд, С31, Сз2, С52, ^18' С23» ^24'< ^34» ^541*
Проекцией множества £ на А является \av a2t a8f аь\\
сечение х — аг множества £: [bv Ьъ].
w
w
а,
Ь, %
ьх &
3 г
4 Ь
<2t
с*.
Ь
*3L
<*
Ш
Рис. 8,
м
Я, flfe
°3 °4 °S
' 7th
£ц
4
[В] jt^^JlL
1 ' "з тг*
и4
Ьз
V
г<у
Рис. 9.
Рассмотрим теперь отношение RczAxB; если х£Л,
то сечение х множества /?, обозначаемое R(x)t есть не что
иное, как множество у£В> таких, что (x,y)£R.
Множество сечений отношения /?, обозначаемое B/R,
или фактормножество множества В по отношению /?,
полностью определяет R.
Рассмотрим некоторое отношение R с: Ах В, задаваемое
таблицей на рис. 9. Сечение по аг множества R есть \bv bs),
по a*— [bu bs> Ь±\ и т. д.
Напишем под каждым элементом А соответствующее
сечение множества /?; тогда вторая строка даст нам фак*
тормножество множества В по R
аЛ
а,
а,
а4
а,
. (V fcil l*i. К ЬД \bv b2. 64| (0) {62, 64} ш '
Таким образом, возможен третий способ представления
отношений — с помощью сечений. Вместо одного элемента
х£А можно рассматривать подмножество XczA. Сечение
R(X) множества R по ХаА есть объединение сечений
R(x) по всем х£А\ таким образом, R(X) есть подмноже-

//, Отношения
23
ство множества 5, образованное всеми теми элементами
у£В. для которых (х> y)£R, х£Х.
Пример» Имеем (рис. 9)
#Ы « (6,, ЬЬч 64К R(a3) « {ftj, 62j 64},
Л (a* a3) « (*!, £a, b3, 64} = [fl}.
4. Композиция и симметризация отношений
Кроме булевых операций, которые, очевидно, можно
применить к отношениям, так как отношения есть
подмножества, удобно также определить операцию
композиции двух отношений и симметризации отношений.
Пусть даны три множества И, В, С и два отношения
RczAxB и ScBxC. Композиция отношений 5 и R есть
отношение SR между элементами А и С, такое, что для
всех х£А сечение множества SR по х совпадает с
сечением множества S по подмножеству R(x)czB; это можно
записать в виде
(S*) (*) - S (Я (*)).
Пример. Рассмотрим опять отношение, представлен*
ное на рис. 9,
R « \{а19Ьг)9 (avb9)9 {а2,Ьг), (aft, 6а),(аа, 64). (в».61), (а„6а),
(а«. 64). tee. *а)* (в5> t>*)}
и отношение S (рис. 10) такое, что
Sss'U^,^), (*2»Cl)' (6*Са). (68tCg), (&4^3)Ь
На рис. 11 дано стрелочное представление отношений /?
и S; стрелка а^ переходит в с2 по 6^; стрелка агЬг
переходит в св по 6ас3 и т. д.
'2
< н—
'г
Рис. 10,
Рис. II

24
Часть L Элементы математики
Имеем
(SR)(a1) =* |tv св}\
легко видеть, что SiRia^) \с2, cs\t так как R (аг) =
= (bv Ь3) и
S (/? («!)) - S (6t) и S (68) - |с2) U [съ\ « {<V cs|.
С другой стороны, можно представить SR с помощью
сечений следующим образом;
" ьх ьг Ьъ й4 1
m Ы {cv <Ъ\ \ся] \с.л) \
R
ал
а
1*1. *«} 1*1. *3> *П {*t. *2* М
SR
а4 а5
(0| 1***4} _
а.
а
а,
а4
а.
Таким образом, S/? состоит из всех тех пар (лг, г)£ 4хС,
дли которых существует такое у£В9 что (x,y)£R и
(/Л 2) £ 5.
Пример. Рассмотрим множества
A =s (a, 6t с), б 6= \а> b, ct d}, С — {Ь, с, df е\
и отношения RczAxB и SczBxC, заданные следующими
таблицами;
Ь
с
а
i и*
ft
abed
Стрелочное представление отношения R дано сплошными
стрелками, отношения S — пунктирными (рис. 12).
Жирные стрелки соответствуют композиции SR: они заменяют,

//, Отношения
25
обходя промежуточную точку, пути, начинающиеся в
а, Ьу с, проходящие через а, /?, с или d и
заканчивающиеся в Ь, с% d или £, причем каждый путь состоит из двух
стрелок: первая — сплошная, а вторая — пунктирная.
а
с -
е —
> <> ih-
Рис. 12.
а Ь с
Отношение, симметричное к некоторому отношению
RcAxB и обозначаемое /?Л есть подмножество
множества ВхЛ, образованное теми парами (//, х) £Вх Л, для
которых (х, y)(~R-
Пример. Рассмотрим отношение S (рис. 10), Имеем
S~[ = |(сР &Д (<V &i)i (^ Ьг)ч (г3. Л3) (<V 64)j,
что можно также получить, либо направив в
противоположную сторону стрелки на рис. 11 (часть S), либо
построив таблицу, симметричную относительно главной
Ь4
Рис. 13.
диагонали к таблице на рис. 10 (рис. 13). Столь же прост
переход от представления S к представлению S~] с
помощью сечений
2 Заказ J* 517

26
Часть U Элементы математики
строка В
сечение С
(с,, с,}
S
Ъ
1 м
с2
1*1. *•!
с*
[Ь3, 64| _
S"1
строка С
сечение 5
Рассмотрим некоторые свойства отношений:
а) пусть S к R два отношения; тогда (S, /?)"' = /?~l S"1;
б) если даны две пары отношений RczS и TczU. то
5. Функциональные отношения. Отображения.
Ограничение* Продолжение. Композиция» Отображение в себя
a) Отношение Re Ах В называется функциональным,
если для каждого х£А сечение R по х содержит не
более одного элемента1).
Пример. Зададим таблицей на рис, 14 некоторое от*
ношение Re: Ах В, которое полностью удовлетворяет
условию функциональности, поскольку на каждой вертикали
находится жирная точка, и притом единственная.
Построим стрелочное представление этого отношения (рис. 14):
как видно из рисунка, из каждой точки выходит
стрелка, и притом только одна (включая циклы).
b) Если сечение R по любому элементу из А содержит
один (и только один) элемент, то функциональное
отношение называется всюду определенным.
Пример, Отношение, представленное на рис. 14.
о) Если отношение /?~\ симметричное к
функциональному отношению Re А у. В, тоже функционально, то
отношение R называется взаимно однозначным.
!) В строгом смысле, находящем все большую и большую
поддержку, вместо не более одного следует говорить один и только
один.

//. Отношения
27
W
abed
b
{B}d
€
f 9 h
Рис. 14.
Пример. Изображенная ниже таблица» у которой в
каждой строке и в каждом столбце ровно одна жирная
точка, представляет взаимно однозначное отношение.
Представление этого отношения с помощью сечений
имеет вид;
а Ь
d mm0*
е
f
а
b
с
d
(Л
(I) Для всякого функционального отношения, взаимно
однозначного или нет, определим функцию, связанную с
этим отношением, как функцию, сечение которой по
каждому х£А либо пусто, либо есть тот элемент
множества В, который является элементом R(x).
Сечение R(x) множества R по х£А называют обра-
зом аргумента х для функции / и обозначают f(x).
Аргумент также называют переменной, а / (х) — значением
функции.
Сечение R"1 (у) множества R по у£В называют
прообразом у для функции /.
Множество А'^Л, таких, что существует f(x)\R(x) не
пусто], есть область определения функции, связанной с
/?. Если / всюду определена, т. е. если область
определения совпадает с Л, то говорят, что / есть
отображение г) множества А в В (рис. 15, Ь), и пишут ТВ(А),
') Вурбакн не делает разницы между функцией и отображением.

28 Часть L Элементы математики
Если образ всего множества А равен 5, другими
словами, если каждый элемент из В есть образ по крайней
мере одного элемента из Л, то говорят, что имеет место
отображение А на В\ говорят также, что / есть сюръек-
тиеное отображение1) (рис. 15, с).
Отображение А&В
Образ, или значение
функции
Д№|
*Аргумент,илй
переменная
(множество значений
В значений)
-j-s
Множество
f "^ч (множество
щ°~щ*7Чр/ определения)
(Ь)
(о)
(множество
определения)
Отображение А на В,или сюрьектионое
отображение (сюрьекцця)
В В
A s~\ ~ А
*^Д
f-иньективная функция — .
f~ обратная функиия Ыньективное отображение, Биективное отображе-
1 " ч или инъекция ние, или биекция
(*)
инъекция
(*)
Рис, 15.
т
Если Л и В совпадают, то у = / (л) есть отображение
множества А в А\ элемент л\ удовлетворяющий
отношению х — f(x)% называется неподвижной точкой
отображения /.
Если / — функция, связанная с R, то, когда R —
взаимно однозначное отношение, функция, связанная с
/?"'» обозначается /~!. В этом случае / называется инъек*
тивной (говорят также однооднозначиои) функцией, а
[~х —обратной функцией (рис. 15, rf).
Если, кроме того, R всюду определено, то / есть
инъективное отображение, или инъекция (рис. 15, е).
Тогда f{x)=*f{y)-+x=*y (х,у£А).
') Функция сюрьективна ,если R (А) — В\ требование всюду опре*
деленности R не обязательно.

//. Отношения 29
Наконец, биективными отображениями, или биекция*
ми, называются отображения одновременно сюръективные
н ннъективные (рис. 15, /).
Очень важное замечание. Таково современное
направление в вопросе определения функции и отображения»
Однако далеко не все авторы, имеющие дело с
«многозначными» функциями, признают эти определения.
Даже в этой книге мы не хотели вводить слишком
новые определения. Так, в части, касающейся графов
(II том данной книги), рассматриваются произвольные
(однозначные или многозначные) отображения VB (А), для
которых тем не менее определяется обратное
отображение Г-1. Точно так же в теории гомоморфизмов
отображения h не будут предполагаться взаимно однозначными;
тем не менее для каждого однозначного отображения h
мы введем А"1, несмотря на то, что число прообразов
каждого элемента может быть неограниченным.
Примеры, а) (Отображение множества А на
множество В.) Пусть А = В — R — множество вещественных
чисел. Функция /, определяемая формулой х-+3х — 2
(читается: х переходит в (/ — Зл;—2). задает отображение
множества А на множество В.
b) (Отображение множества А в множество В.) Пусть
снова А — В =5 Rf Функция / такая, что х -> у = х2 есть
отображение множества А в В% Здесь снова А = В = R —
множество вещественных чисел. Это отображение не
сюръективно, так как отрицательные числа из множе*
ства В не являются образами элементов из А при
отображении /.
c) Пусть 4--множество R действительных чисел, и
В—множество R+ положительных действительных чисел;
отображение *-*// = е\ которое ставит в соответствие
каждому элементу из Л некоторый элемент из В,
взаимно однозначно; действительно каждому у соответствует
х = In //.
Следовательно имеем ипъективное отображение. Об-
ратным отображением к отображению х-*у ^ех будет
отображение у -+ х =» In у.

30 Часть I. Элементы математики
d) Пусть функция / определена па множестве А, и
функция /, определена на множестве Atc:A: если для
каждого х£Аг: Л (*) — /(*), то Д называется
ограничением функции /, а / — продолжением функции Д. Если
даны множества А, Аг и / задано на Л, то [г полностью
определено. Обратное неверно: так, симметрию
относительно точки М в плоскости Р можно рассматривать как
ограничение различных преобразований пространства в
себя, например симметрии пространства относительно
точки М или симметрии относительно прямой,
ортогональной к Я в точке М.
e) Пусть y^f(x) — функция, определенная на А со
значениями в В, и г = g(y)— функция, определенная на
В со значениями в множестве С. Если для каждого х£ А
найдется такое г£С, что
* = *(/<*)).
то полученная таким образом функция, определенная
на А со значениями в С, называется композицией
функции g и / и обозначается #о/, Имеем
(g°f)(x)=g(f(*)).
Будем также обозначать через gf отображение,
связанное с композицией SRczAxC всюду определенных
отношений RczAxB и ScrflxC, где / и £
—отображения, связанные с этими отношениями. Очень легко
получить представление композиции gf с помощью сечений.
Пример.
abed'
и v и и | *
Замечание 1. Если Л— С и /—ннъективиое
отображение, то, положив g ~ /~!, получим каноническое
отображение, ставящее в соответствие каждому элементу
х£А сам этот элемент.
Замечание 2. Естественно, справедлива формула
/
abed
I m I п
g
I m n
и v и
; gf

//. Отношения
31
/) Пусть R — взаимно однозначное отношение между
элементами одного и того же множества А и, кроме того.
R и /?"' всюду определены; тогда отображение,
связанное с Rt будем называть отображением на себя. Легко
видеть, что отображение на себя есть биекция множест*
ва А на себя.
Диагональю Д называется отношение, образованное
элементами (х, х)£АхА; отображение, связанное с этим
отношением, называется тождественным отображением
на себя и обозначается 1^, Имеем
где / — отображение на себя; заметим также, что
Замечание. Стрелочное представление отображения на
себя состоит из циклов (конечных или бесконечных);
при представлении его с помощью сечений во второй
строке находятся (в другом порядке) элементы первой
строки, причем так, что каждый из них встречается один
и только один раз; наконец, при табличном
представлении отображение на себя имеет квадратную таблицу, в
каждой строке и каждом столбце которой находится
одна и только одна жирная точка, и столбцы и строки
отмечены одними и теми же элементами:
2 3 4 5
г
Щ
4
5
1
1
3
4
/ i
<►—
. с
\ А
! 5
12 3 4 5
2 5 4 3!
-/
.-/
О б
1
Я " с А х А
1 2 3 4 S
5 14 3 2
^1 3
О о
5 А

32
Часть I. Элементы математики
//-1 ИЛИ /-1 / =
"12 3 4 5
1 2 3 4 5 J
1
А.
Г 1 2 3 4 5
2 5 4 3 1
/
12 3 4 5
2 5 4 3 1
12 3 4 5
1 2 3 4 5
= /■!„-
« |
«=/.
элементы 1А
образы элементов А при
отображении /
в. Индексные обозначения. Обобщенные булевы
рацни
one-
Мы будем часто употреблять переменные, называемые
индексами. Пусть / — функция, определенная на
множестве / индексов i, называемом множеством индексов; если
i£I — индекс, то соответствующее значение функции /
обозначается через ft. Пусть В— множество, в котором
функция / принимает свои значения; функция /
называется семейством элементов множества б, зависящих от
индекса I, пробегающего /.
Если каждое значение функции является
подмножеством одного и того же множества Е, то мы будем
рассматривать семейство (£,} подмножеств множества Е,
Если /—множество целых чисел, то соответствующая
функция называется последовательностью, а каждое ее
значение —членом последовательности.
Пусть / —множество индексов i и At — семейство
подмножеств одного и того же основного множества.
Определим объединение А множеств /I, следующим образом:
х£ А, если х принадлежит по крайней мере одному из Aif
другими словами, если существует по крайней мере одно
такое i, что x^At. Это записывается как
А ---- и А,.
Аналогично пересечением множеств А1 называется
множество В таких элементов х, что для любого i xQAt\ это

//. Отношения 33
будет записываться как
В- ПА-
i в /
Для обобщенных булевых операций остаются
верными свойства коммутативности и ассоциативности.
Отметим два важных дополнительных свойства:
эти равенства симметричны относительно символов
объединения и пересечения; всякое объединение можно
заменить пересечением дополнений и всякое пересечение —
объединением дополнений, Если / — [1, 2,... ,я], то
A U 4 U -.. U Дг - U А
и
если f пробегает множество 1М+ натуральных чисел, то
будем писать
од оо
и А и п Д-
Если при этом всегда AnczAn+i, последовательность А
называется возрастающей: при этом для некоторых i
множество А может быть несобственным подмножеством
А+1' Если, начиная с некоторого/?, A+i ~ А* то
объединение всех 4 равно Аг-
Соответственно последовательность называется убыва*
нщей% если A^A+i Аля вс^х л; иногда говорят, что
множества А вложены одно в другое. Элементы х такие,
что х£Ап для всех п, образуют пересечение множеств
убывающей последовательности. Приняв за Ап интервал
числовой прямой (0, 1/я), получим
со
n А --= 0-
/=rl
Обобщим также понятие произведения. Произведением
п множеств Ах, А% Atr не обязательно принадлежа-

34
Часть i. Элементы математики
щих одному основному множеству, называется
множество конечных наборов0 (аг, а2 ап), таких, что
a^Av а2£
пишут
АххА2х ... хАп = П Ah если / = (1, 2,,,. 9п\\
00
Аг х А2 х ... х Ап х ... = П» если / = Nf.
Свойства. Имеем
бх U Л= U Вх/1/; fix П Л = П BxAt.
Замечание. Мы определили выше понятие функции;
рассмотрим теперь функцию / двух переменных х и
#(л:£А, у(~В)% ставящую в соответствие двум значениям
х и у некоторое значение z£C. При этом,
следовательно, функция / определена в произведении АхВ и
принимает свои значения в С.
7. Отношение эквивалентности
A priori ничто не мешает нам определить отношение
эквивалентности, как подмножество некоторого
произведения Ах В. Однако обычное определение предполагает
заданным основное множество Е.
Назовем отношением эквивалентности между
элементами одного и того же множества Е отношение RczExE,
обладающее следующими свойствами:
1. Рефлексивностью: всякий элемент а эквивалентен
самому себе; другими словами, для всякого а£Е имеем:
(a, а)£/?> или, что то же самое, для всех а^Е
выполняется aRa.
2. Симметричностью: если а эквивалентно Ь, то Ь
эквивалентно а\ другими словами, если (a, b)£Rf то
также (b, a)£R, откуда следует, что R = Я-1; или
aRb -=-> bRa,
') Часто гсторят u-ки. —Прим. перев.

/Л Отношения ЗГ>
3, Транзитивностью: если а эквивалентно Ь и Ь
эквивалентно с, то а эквивалентно с; другими словами,
(a,b)£R и (b,c)£R--*>(atc)£Rt
ИЛИ
а/?г; и bRc-*>aRc.
Другие обозначения1). Некоторые авторы обозначают
отношение эквивалентности знаком~.
Употребляется также обозначение а ^ Ь (mod R)
(читается: а эквивалентно Ь по модулю R).
В этом случае соотношения
1) а^а (mod/?),
2) a^6 (mod/?)«*> 6 ее a (mod/?),
3) a ^ b (mod Я) и £ s= с (mod /?) -^ a ^ с (mod /?)
выражают три свойства, характеризующих отношение
эквивалентности.
Табличное представление отношения эквивалентности
характеризуется, во-первых, тем, что отмечены все
точки, лежащие на главной диагонали (рефлексивность);
во-вторых, вместе с каждой отмеченной точкой отмечена
точка, симметричная с ней относительно главной
диагонали (симметричность). Для полного описания табличного
представления отношения эквивалентности заметим, что
его таблица составлена из попарно непересекающихся
квадратов, диагонали которых составляют главную
диагональ таблицы (рис. 16).
Для стрелочного представления из рефлексивности вы-
текает существование циклов к каждой точке;
следствием симметричности является наличие между всякой
парой связанных точек двух противоположно направленных
стрелок; из транзитивности вытекает, что для всякой
пары стрелок, таких, что конец первой совпадает с
началом второй, существует третья стрелка, имеющая общее
начало с первой стрелкой и общий конец со второй.
») Если С — подмножество множества Б хЯ, определяемое
отношением /?, то
1) ДсС, 2) C-i~ С, 3) СоСсС, откуда С*С - С^С'К

36 Часть /, Элементы математики
Два сечения R (а) и R (Ь) соответственно по элемен"
там а^Е и Ь£Е совпадают, если (a, b)£R% и не пере-
секаются, если (а> Ь) $ /?. Если на множестве Е задано
I ^м
Рис. 16.
отношение эквивалентности Rt то классом
эквивалентности элемента х£Е по модулю R называется
множество С всех //££, связанных с х отношением R\ С есть
подмножество множества Я,
Если х и у не эквивалентны, то пересечение классов
эквивалентности этих элементов пусто.
Множество всех классов эквивалентности образует
фактормножество множества Е по R: E/R. Таким
образом, фактормножество E/R определяет разбиение
множества Е на попарно непересекающиеся подмножества,
называемые классами отношения R.
Обратное также верно: если задано разбиение
множества Et то отношение между элементами £\ такое,
что х£Е н у£Е удовлетворяют этому отношению тогда и
только тогда, когда х \\ у принадлежат одному и тому
же подмножеству этого разбиения, есть отношение
эквивалентности.
Системой представителей некоторого отношения
эквивалентности называется подмножество, содержащее по
одному и только по одному элементу из каждого класса
эквивалентности.
Примеры, I. Пусть дано множество Z целых чисел и
некоторое целое число р\ рассмотрим отношение: а
эквивалентно Ь% если а — Ь делится на р, а и Ь — элементы из Z.
Заданное, таким образом, отношение эквивалентности
называется отношением сравнения по модулю рч Числа,

//. Отношения 37
сравнимые с а по модулю pt могут быть представлены
в виде b =s а + kp, где k — произвольное целое число.
2. Рассмотрим множество прямых на плоскости.
Отношение параллельности есть отношение эквивалентности»
так как всякая прямая параллельна самой себе
(рефлексивность):
Д, ^ Д2 —> Д2 ^ Д, (симметричность)
и, наконец,
Д1//Дг и да/^Дз~* Д1 л^дя (транзитивность)
Каждый класс эквивалентности есть некоторое
направление (множество прямых плоскости, параллельных этому
направлению) и, таким образом, полностью определяется
заданием одной прямой из этого класса.
3. Пусть на плоскости заданы декартовы координаты
хну. Будем говорить, что две точки Мх и Мг
эквивалентны, если их абсциссы равны
Класс эквивалентности — множество всех точек,
абсциссы которых равны, т. е. прямая, параллельная оси у.
Фактормножество образовано прямыми на плоскости,
параллельными оси ординат.
4. Другими примерами отношений эквивалентности
могут служить равенство векторов, равенство фигур в
евклидовой геометрии, логические утверждения,
выраженные с помощью оборотов «иметь такое же (свойство,
качество и т. д.)» или «быть таким же», и многие другие.
Два утверждения, определяющие в некоторой теории
один и тот же класс основного множества, называются
логически эквивалентными. Так, в множестве всех
треугольников равнобедренные треугольники могут быть
выделены с помощью одного из двух равенств: А В = АС
пли J) ABC =■•-= -4 ВСА, так что можно писать
АВ - АС ~»^f ABC - <$ ВСА.

38 Часть /. Элементы математики
8, Отношения порядка
a) Отношением предпорядка на множестве Е
называют отношение RczExE* которое обладает следующими
свойствами:
1) рефлексивность: aRa для всех а££;
2) транзитивность: aRb и bRc~+aRc для а, 6, с£Е.
b) Отношением порядка1) называют
антисимметрическое отношение предпорядка, т, е. отношение, обладающее,
кроме указанных двух свойств» следующим свойством:
3) антисимметричность: aRb и bRa-+a — b> что
можно записать как
Замечание. Различают:
a) отношения строгого порядка, не рефлексивное и не
симметричное, но транзитивное;
b) отношения нестрогого порядка, рефлексивное,
антисимметричное и транзитивное.
Рассмотрим, например, отношение < на множестве
действительных чисел: не верно, что 2 < 2; строгое
отношение не рефлексивно. Но можно написать, что 2<^2;
нестрогое отношение рефлексивно; кроме того, оно
антисимметрично и транзитивно.
Рассмотрим теперь отношение включения с:. Как уже
говорилось, следуя большинству авторов, мы будем
писать (симметричность): AczA (допускается включение
несобственного подмножества, т. е. самого множества Л);
с другой стороны,
') Бурбаки определяет сначала отношение порядка со свойствами:
a) о> {*, у] н <■» [у, г) «^ ы {*, г) (транзитивность),
b) о» (*, у) и «о {у} х] *+х = у,
следствием последнего свойства является рефлексивность. Заметим,
что если отношение рефлексивно и транзитивно, то оно является
отношением предпорядка, и что отношение ш (х, у] и о> [у, х]
—отношение эквивалентности; следовательно, на множестве £//? ему
соответствует отношение порядки.

//. Отношения 39
AczB и BczA->A = B (антисимметричность)
и, наконец»
AczB и ВаС~* AczC (транзитивность).
В связи с этим многие авторы называют отношением
порядка всякое отношение, обладающее свойствами 2 и
3. В качестве примера можно указать Н. Бурбаки,
книга I, § 6, 3 и 4 сводка результатов.
Множество, для элементов которого можно
определить отношение порядка, называется упорядоченным этим
отношением. Говорят также, что порядок введен
отношением R.
с) Если для любых двух элементов а и Ь
упорядоченного множества всегда имеет место либо aRbr либо bRa,
говорят» что множество линейно упорядочено.
Наоборот, множество называется частично
упорядоченным, если отношение aRb, или симметричное к нему,
определено только для некоторых пар (а, Ь).
N. В. Частично упорядоченное основное множество
иногда может быть разложено на непересекающиеся
подмножества, линейно упорядоченные тем же отношением
порядка.
Примеры. L Отношение а^Ь на множестве R
действительных чисел есть отношение линейной
упорядоченности»
2. Множество значений температур, нанесенных на
шкале термометра, линейно упорядочено отношением в<в'.
3. Отношение включения AczB в множестве $* (Е)
подмножеств некоторого множества Е есть отношение
частичного порядка.
4. Рассмотрим множество F функций, определенных
на произвольном множестве Е> со значениями в
множестве действительных чисел; будем считать, например,
что /<!#, если для всех х£Е справедливо неравенство
/(*)<*(*):

40
Часть I. Элементы математики
множество F частично упорядочено отношением
/<*■
5. Логическое следование -* есть отношение частично-
го порядка.
0. Пусть дано множество
(1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84|.
рассмотрим свойство быть делителем.
1 2 3 4 6 7 12 14 2128 4284
84
/ "^
Q4 '"■ч
р
НС
. ]
17а
«
-12%
4*
К28±?Уйк "
J
Рис.
— Уровень 4
— Уровень 3
►- Уровень 2
I*
1- Уровень!
— Уровень 0
17Ь.
Рисунок 17Ь (рассматривается решетчатая структура)
позволяет классифицировать различные элементы этого
множества по уровням: на уровне 0 единственным
делителем 1 является только сама 1; па уровне 1
расположены простые числа, делящиеся сами па себя и на I; на
уровне 2 — числа, разлагающиеся на два множителя, не
считая 1, и т. д. В рассматриваемом множестве
закон делимости есть отношение частичного порядка.
Стрелки на рисунке указывают, какие числа
удовлетворяют этому отношению: так, па 7 делятся числа 14,
21, 28, 42, 84. С другой стороны, 12 не делится на 7;
6, 7, 14, 42 не делятся на 4 и т. д. На чертеже
опущены стрелки, допустимость которых вытекает ня
свойств транзитивности. Рисунок 17а дает табличное
представление отношения делимости; как можно видеть,
все отмеченные точки находятся ниже главной диагонали.

//. Отношения 41
d) Мажоранта, миноранта, максимум, минимум.
Грани.
Рассмотрим подмножество Л, или семейство элементов
упорядоченного основного множества Е. Обозначим через
R некоторое отношение порядка. Если существует такой
элемент т£Е, что для всех а£А справедливо
утверждение aRm. то т называют мажорантой множества А.
Аналогично если существует такой элемент п £ Е} что
для всех а£А удовлетворяется отношение nRas то п
называется минорантой множества А, Если мажоранта
М множества А принадлежит А, то М называется
максимумом множества А. Как легко показать, М единственен.
Если миноранта JU множества А принадлежит Л, то
М называется минимумом множества Л. Для
подмножества Л соответствующие обозначения будут:
Мах Л» или Маха; Min Л, или Min a;
а £ А а $ А
для некоторого семейства а{ (££/): Max at\ Min а,.
Для пары элементов линейно упорядоченного
множества всегда существует максимум (равный одному из них)
и минимум (равный другому).
Если множество мажорант (минорант) в свою очередь
имеет минимум (максимум)» то этот элемент единственен;
его называют верхней (нижней) гранью множества Л и
обозначают соответственно
Sup Л, Supfl, Siipfl/. Sup xrt; Inf Л, Infa, Infa^ \n\ xn.
a$A j$f n а$А i$i n
Упорядоченное множество E называется индуктивным,
если выполняется следующее условие: всякое линейно
упорядоченное подмножество множества Е имеет
мажоранту.
Замечание. Только с помощью аксиомы выбора (см.
ниже) можно доказать следующую теорему Цорна:
«Всякое непустое подмножество индуктивного упорядоченного
множества имеет по крайней мере один максимальный
элементе).
*) Максимальным (соответственно минимальным) элементом назы
оаетси такой элемент х £ А, Ас Еч что для всех ц £ А не
выполняется отношение у > х (соответственно у < х).

42 Часть L Элементы математики
е) Приложения. Рассмотрим вещественную функцию
у = / (х), определенную на некотором подмножестве Е
множества R вещественных чисел со значениями в R:
если из того, что хх<ха (хг> х2£Е), всегда следует,
что / (*i)<^/ (х2), / называется неубывающей;
если для хг<х% (л:^ х2£Е) всегда / (хг)< f (х2), f
называется строго возрастающей. Аналогичные определения
для невозрастающей и строго убывающей функции
можно дать, используя > и >.
Пусть а и b — два элемента некоторого
упорядоченного множества, такие» что а<!&; будем называть:
открытым интервалом и обозначать (а, Ь) множество
элементов хь таких, что а< х<.Ь.
замкнутым интервалом (отрезком) и обозначать [а, Ь]
множество элементов х> таких, что а^х^Ь\
полуинтервалом, открытым справа, и обозначать [а, Ь)
множество элементов xt таких, что а-<л:<6;
полуинтервалом, открытым слева, и обозначать (а, Ь]
множество элементов хУ таких, что а<#<&;
бесконечным интервалом, замкнутым справа, и
обозначать (— со, Ь] множество элементов х% таких, что
бесконечным интервалом, замкнутым слева, и
обозначать [а, + оо) множество элементов х, таких, что а^х\
бесконечным интервалом, открытым справа, и
обозначать (—оо, Ь) множество элементов х, таких, что х <&;
бесконечным интервалом, открытым слева, и
обозначать (а, + оо) множество элементов л\ таких, что а< х\
интервалом, бесконечным справа и слева, само
множество R>
N. В. Некоторые авторы называют (а, Ь) открытым и
[а, Ь] замкнутым интервалом, не относя [а, Ь) ни к то*
му, ни к другому виду.
Часто вместо символов1) + оо и — оо пишут -* и <*-.
В таких обозначениях (а, -*) есть бесконечный интервал,
открытый слева Н, Бурбаки называет его открытым ин«
тер валом, неограниченным справа и начинающимся в а
*) В данном случае под символами + со, — оо подразумевается
нечто гораздо большее, нежели объекты, связанные с правилами
оперирования с числами (см. ниже).

///. Натуральные числа 43
1(1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Иногда в множестве натуральных чисел, или
множестве целых натуральных чисел, нуль вводится как
первый элемент; другие авторы представляют нуль как нейт*
ральный элемент (называемый в некоторых случаях
единицей) относительно операции сложения.
Во избежание недоразумений введем обозначение
N+ = (1, 2 я,...); N =* (0, 1, 2,.. •, л,. •.).
а) Множество целых натуральных чисел может быть
задано с помощью некоторой системы аксиом1), например:
I. Нуль, обозначаемый 0Г есть целое число; 0£N.
П. Каково бы ни было натуральное число rc£N,
существует другое натуральное число, называемое
следующим за п (или последующим числа п) и обозначаемое л+:
п £ N -* я* £ N; положим 0+ =» 1.
III. Нуль не следует ни за каким натуральным
числом:
п £ N -* п+ ф 0.
IV. Если последующие двух натуральных чисел
равны, то и сами эти числа равны
V. Пусть A —- некоторое множество натуральных чи*
сел, содержащее 0 и такое, что если п£А% то я+£Л;
*) Пример другой системы аксиом. В 1889 году Пеано
рассмотрел следующие пять аксиом:
I. Единица—натуральное число! обозначается 1.
II. я £ N-*/x+ 1 £ N (внутренняя операция, обозначаемая-f-
н называемая сложением).
III. I не имеет предшествующего элемента
п -f-1 = | -* п i N
Аксиомы IV и V совпадают с аксиомами IV и V вышеприведенной
системы,

44 Часть I. Элементы математики
тогда множество А содержит все натуральные числа
0£/JcN
п £ А «> п* £ А
Эта последняя аксиома делает возможным
доказательство по индукции1).
Ь) Предположив заданной эту систему аксиом и
вводя нижеуказанным образом операции сложения и
умножения натуральных чисел, легко убедиться в
справедливости следующих предложений (а, Ь,с,й,п —
произвольные натуральные числа).
Предложение 1, Всякое натуральное число пфО
является следующим за некоторым другим натуральным
числом, и притом единственным; это последнее число
обозначается через /г; гг называется предшествующим
числа п.
Сложение. Всякой паре (а. Ь) натуральных чисел
ставится в соответствие такое третье натуральное число,
а + Ь, называемое суммой а и Ьч что: а) а-НО — а;
Ь) а + Ь+ =*(а + 6)\
Предложение 2. Сложение ассоциативно! (а + Ь) 4-
-Ь с = а + (Ь + с).
Предложение 3. Сложение коммутативно: а +Ь------Ь+а.
Предложение 4. а + о -= Ъ -\-о-*а = Ь.
Предложение 5. Для любых а, Ь имеем2) либо д<6,
либо 6<а.
Предложение б. а <; 6 и ft <^ а •»* а = &•
Предложение 7. а <! 6 и 6 < я -* а < а.
') Если 0 обладает некоторым свойством и если можно показать,
предположив, что п обладает этим свойством, что п * также обла
дает этим свойством, то все натуральные числа обладают этим свой
ством.
8) Ограничимся замечанием, что отношение порядка <
употребляется здесь в обычном смысле.
-+А «N.

IV. Мощность множества 45
■ — ■ ■^—^—^ — — ■' ■-
Предложение 8. а<^Ь->а-\-с^Ь + с для всех с.
Умножение. Любой паре (а, Ь) натуральных чисел
ставится в соответствие такое третье натуральное число
а»Ь> называемое произведением а и Ь> что
a) а-0-0;
b) п>а* = п*а + п.
Предложение 9. Умножение дистрибутивно
относительно сложения: a*(b -\-с) =а-Ь + а*с.
Предложение 10. Умножение ассоциативно: (а>Ь)-с =
= a\b-c).
Предложение 11. Умножение коммутативно: а-6=6-а.
Предложение 12. а<^&-*а*£<[&«с для всех с.
Чтобы показать ход рассуждения, докажем
предложение 9. Равенство а*(Ь + с) =а-6 + а-с справедливо для
с — 0; действительно, 6 -(- 0 — 6 (определение сложения,
а)) и а-0 = 0 (определение умножения, а)). Предположив
выполнение равенства для o = dt покажем его
справедливость для d\ Имеем
a-{b -\- df) = а (6 -f d)+ =* (определение сложения, Ь))
= а • (b + d) + а =
(определение умножения, 6))
(поскольку для с = d умно-
~a-&-!-G-d + a~ жеиие дистрибутивно по
предположению)
~а-Ь -г {a-d ~\-а) ~ (ассоциативность сложения)
=а-Ь -\-a-d* (определение умножения, Ь))
Следовательно, предположение справедливо
IV. МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА
Говорят, что множество В = {bv Ъ%, ,. .) имеет ту же
мощность, что и множество А = (av a2t ...), если
существует взаимно однозначное соответствие b = /(a) меж*
ду элементами этих множеств. Можно писать \А\— \В\,
поскольку определенное таким образом отношение есть

46 Часть 1. Элементы математики
отношение эквивалентности1). Говорят также, что А и В
равномощны.
a) Конечным множеством называется множество, рав-
номощное множеству N+ натуральных чисел, меньших
или равных п\ оно содержит п элементов, и его
мощность равна п. Пустое множество имеет мощность 0,
Мощность конечного множества определяется кардинальным
числом содержащихся в нем элементов. Если мощности
множеств А \\ В различны и
|Л|~|б'!< В'сВ. то \А\<\В\.
b) Непустое и неконечное множество называется
бесконечным. Бесконечное множество может быть равномощ-
ным какому-нибудь своему подмножеству: например,
множество четных чисел равиомощно множеству
натуральных чисел; множество натуральных чисел равиомощно
множеству их квадратов и т. д.
Теорема L Если множество А равиомощно
подмножеству В' множества В и множество В
равиомощно подмножеству Af множества Л, то А и В равно-
мощны.
Теорема 2, Мощность множества Е всегда
строго меньше мощности множества 3> (Е) его подмножеств.
c) Всякое множество, равномощное множеству
натуральных чисел, называется счетным. Его мощность
обозначается через я0 (алсф0, алеф—первая буква еврейского
алфавита).
Теорема 3. Всякое бесконечное множество
содержит счетное подмножество.
Действительно, пусть Я —такое множество. Так как
оно не пусто, мы можем выбрать среди его элементов
какой-нибудь один; пусть это будет ех\ множество Е—ег
также не пусто; выберем в нем какой-нибудь элемент
е2 и т. д. После выделения таким способом п
элементов множество Е— (е1ч е2> ..,, еп) снова не будет
пустым и можно будет выбрать еще один элемент еп+х и т. д.
1) Символом |Л] обозначается мощность множества А.

IV. Мощность множества 47
Следовательно, множество содержит счетное множе-
CTBO \C\i %у " * * » п* * * " / *
Теорема 4. Если Е бесконечно и А конечно, то
N... |Я \}А\~~\Е\.
лов ■*
Теорема 5. Все бесконечные множества,
являющиеся подмножествами счетного множества, также
счетны. •
Теорема б. Объединение конечного множества и
счетного множества, а также объединение конечного
или счетного числа счетных множеств — счетные
множества.
Теорема 7. Произведение двух счетных множеств
счетно.
Пусть ап и 6Л —два множества, tf£N, Произведение
этих множеств может быть представлено парами (т, п)л
где т и п — натуральные числа.
Пусть пара (0, 0) имеет номер 0; предположим, что
все пары, для которых т + п < k> занумерованы
числами от 0 до г; занумеруем по возрастанию т пары, для
которых т + п »ft:
пара
номер '
(0, ft)
г+ 1
0. *-1)1
г + 2
•»»
■ ■ •
(k, 0)
r+k+\
Таким образом, все пары занумерованы в порядке,
указанном на рис. 18, и множество, состоящее из элементов
с двумя индексами,
счетно.
Это рассуждение можно обобщить на множество
элементов с k индексами, каждый из которых пробегает
конечное или счетное множество индексов:
(Я0) *= н0«

48 Часть L Элементы математики
Приложения. 1. Множество целых чисел счетно.
2, Множество рациональных чисел p/q (р, q£N, q=f=0)
счетно.
3, Множество алгебраических чисел (корней
многочленов с целыми коэффициентами) счетно.
тОЩ-
ю,ФуЩ1~(одлаз)^ (о,ю—
аяуЗ^ (Ш
{Z^fzj)^l(zr (г,з) (г,ю
№ W №) №~ (з,ю
/
(КО)
Рис. 18.
4, Множество точек с рациональными координатами
на евклидовой плоскости пли в пространстве R;' счетно.
d) Рассмотрим все действительные числа в интервале
0<^х<1. Каждое из них может быть представлено
единственным образом в виде последовательности символов
Кённга1):
Предположим» что это множество счетно. Тогда все чис-
L) Символом Кёнига произвольной существенно бесконечной
десятичной дроби называется последовательность
* = (Яо« а\*ш • • < ая» ■ • •)»
элементы а которой получаются объединением ненулевой цифры после
запятой с предшествующими ей нулями. Так, для 2,708J 0093000674.,.
получим
а0=2, а, = 7, а* =08, fi,= lf аА - 009, аь = 3, яв = 0006,...
Если, начиная с некоторого номера, ап = 0, то можно использовать
равенство 1 =0,999 ,,. , ап = 9 для всех п > I и, таким образом,
записать всякую десятичную дробь в виде существенно бесконечной
дроби,

IV, Мощность множества 49
ла могут быть занумерованы в последовательности
а*,, х2,.,. txh Рассмотрим число £ = (а0, av ..., ап),
такое, что ан отлично от а* при всяком A; S не может
быть членом последовательности (а^|, так как оно
отличается от каждого хк по крайней мере одним из
символов ар с другой стороны, оно принадлежит множеству
действительных чисел интервала [0,11. Следовательно,
невозможно установить взаимно однозначное соответствие
между элементами сегмента [0,1] и множества N.
Мощность множества действительных чисел сегмента
j0,l) называют мощностью континуума; мощность
континуума превышает мощность счетного множества.
Теорема 8. Множество 3*(N) подмножеств
множества N несчетно; его мощность равна мощности
континуума с:
c«2(fc).
Теорема 9. Объединение множества мощности
континуума и конечного или счетного множества имеет
мощность континуума. Объединение конечного или
счетного числа множеств мощности континуума имеет
мощность континуума.
Теорема 10. Произведение конечного или счетного
числа множеств мощности континуума имеет мощность
континуума
(\)Ш - с
Приложения. 1. Множество точек евклидова
пространства R/; имеет мощность континуума.
1 VA У////Л УЛ ИййШйййййЯ УЛ У///Л VAX
О L L L £ 1
и в 9 3 5
Рис. 19.
2. Множество троичных чисел (триадическое
множество Кантора) получается при удалении из отрезка [0,1]
средней трети 1/3< х < 2/3, затем из оставшихся отрез*
ков — их средних третей и так далее. На я-м шаге мно-

50 Часть 1. Элементы математики
—■—■—■—^ ----- — . . _
жество сохранившихся точек образовано 2п отрезками
длиной 1/3"; сумма длин этих отрезков равна (2/3)" и
стремится к 0 при неограниченном увеличении я.
Исключая из рассмотрения левые концы остающихся
интервалов, образующие счетное множество, представим
каждое число х, входящее в полученное множество, в
виде бесконечной троичной дроби
X = U, Gti (2% . ш # (Хп . . . | X = ~7J | £2 г • • • Т~ ~ъп~ ■ • • • I ♦
где ап равно 0, 1 или 2. С помощью метода
математической индукции нетрудно показать, что для каждого п
имеет место следующее включение;
0, ах а2 -.. оп < х < 0, аг а2,., ап 22.. .,
где аг1а2>... , ап равны 0 или 2, Всякому числу х мож*
но поставить в соответствие число х\ разложение
которого в двоичную дробь имеет вид
X = U, flj #2 • . ♦ йп • • • I X = *-g- + -щ Г • * • ~Г "oFT * • • I *
где ап « ап/2> причем это соответствие взаимно
однозначно. Так как всякое число х\ 0<x'<l, может быть
представлено в таком виде, то множество {х'\ имеет
мощность континуума; следовательно, и канторово
множество, отличающееся от него только на счетное
множество, также имеет мощность континуума. Этот пример
показывает» что на прямой существует множество точек»
не содержащее ни одного интервала и тем не менее
имеющее мощность континуума. Подобного рода вопросы
имеют существенное значение для теории интегрирования.
е) Множество точек накопления1) некоторого
бесконечного множества Р образует производное множество Р'
множества Р; множество Р' может в свою очередь быть
бесконечным и обладать производным Р"; в общем
случае может существовать производное множество P(v\ где
*) См. часть 8, Топологические понятия

IV. Мощность множества 51
v — произвольное целое; если множества P(v) имеют
общие точки при всех v, то эти общие точки образуют
производное множество нового типа, называемое Р(ш),
для которого в свою очередь может существовать
производное множество p(t0+1j ш й так далее. Таким образом,
наряду с целыми числами I, 2,... , v,... приходится
рассматривать числа нового типа ю, и> 4- 1, ... . Первым
трансфиншпные порядковые числа ввел Георг Кантор;
наряду с принципом образования целых чисел,
состоящим в определении числа, следующего за некоторым
целым числом, он применил второй принцип, определив
число ш как наименьшее, следующее за всеми членами
последовательности 112,♦..,v,..., подчеркнув тем
самым, что мощность счетного множества есть наименьшая,
превышающая мощность любого конечного множества.
Применяя последовательно первый и второй принципы
образования, получим последовательность
1, 2, ♦.. , v,... , ш, ш + 1,.,. ,со -ь v,... ,2ш,2ш -и 1
В этой последовательности числа расположены в строго
определенном порядке. Она состоит из: а) чисел класса
(I), или натуральных чисел, Ь) начиная с о», из чисел
класса (II). Числа, предшествующие некоторому числу
класса (II), образуют, по теореме 6, счетное множество,
так как все они могут быть получены при помощи
счетного числа переходов к пределу (применения второго
принципа образования1). Далее можно представить себе
число ilt непосредственно следующее за всеми числами
класса (II), но принадлежащее к следующему классу (III)
и соответствующее более чем счетным множествам, и так
далее. Заметим, что трансфинитпые числа расположены
в последовательности в строго определенном порядке.
/) Всякое множество порядковых чисел вполне
упорядочено, поскольку всякое подмножество этого множества
1) В то время как числа класса (I), предшествующие некоторому
числу этого класса, образуют конечное множество.

52 Часть 1. Элементы математики
ll^—^^J^II II W—■м——^—■——ЧИНИ ■ l 114 I II nil— ■ Ч—111 I I I 11 I -1.Ч1 "Ч
содержит наименьшее порядковое число1). Обратное
утверждение также верно: тип порядка всякого вполне
упорядоченного множества есть некоторое порядковое
число ф; это множество подобно2) множеству всех
порядковых чисел, меньших ф, расположенных в порядке
возрастания.
Мощности порядковых чисел каждого класса
последовательно обозначают индексами Я. Так, ^0 обозначает
упорядоченное счетное множество, ^х — множество чисел
класса (11) с мощностью, превышающей мощность
счетного множества, и так далее. Как мы уже знаем,
2<Hq) __ Ct Гипотезой континуума'3) называют
утверждение Н1=2(**0> = с. Как было показано, множество
рациональных чисел и множество действительных чисел,
заключенных между 0 и 1, упорядочены, Но являются
ли эти множества линейно упорядоченными?
Некоторые математики, примыкающие к
идеалистическому направлению, показали, что всякое множество
может быть упорядочено, если считать выполненной
аксиому выбора (теорема Цермело).
Аксиома выбора может быть сформулирована
следующим образом:
«Если элементами множества Т являются непустые
непересекающиеся множества Я, то существует по
крайней мере одно множество, содержащее по одному и
только по одному элементу из каждого множества Е из 7\»
Таким образом, если дано некоторое множество 7\ то,
допустив аксиому выбора, можно из каждого
подмножества множества Т определенным образом выбрать
единственный элемент.
Пример, Разобьем множество действительных чисел
на классы: два действительных числа принадлежат к
одному классу, если их разность есть рациональное
число, и к разным классам, если их разность есть иррацио-
1) Говорят, что множество вполне упорядочено, если каждое его
непустое подмножество имеет первый элемент.
2) Два упорядоченных множества подобны, если между ними
существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение
порядка.
в) Ее называют также сильной гипотезой континуума.

IV. Мощность множества 53
пальнос число. Все рациональные числа при таком раз*
биении принадлежат к одному и тому же классу. По
аксиоме Цермело можно образовать множество,
содержащее по одному и только по одному элементу из каждого
класса. Однако аксиома выбора не дает эффективного
средства для построения этого множества: поэтому
говорит, что в аксиоме имеется в виду теоретический
выбор. Используя аксиому выбора, можно сказать» что
мощность всякого множества совпадает с мощностью
некоторого упорядоченного множества.
Отсюда немедленно следует возможность сравнивать
мощности двух произвольных множеств; это свойство
носит название трихотомии. Трихотомия есть следствие
аксиомы выбора, и наоборот. Но даже предполагая
использование аксиомы выбора, нельзя доказать
гипотезу континуума.
Несмотря на то что некоторые математики критически
относятся к аксиоме выбора, многие труды посвящены
результатам, полученным с ее помощью.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Элементы алгебры
I. КВАНТОРЫ. ЗАКОНЫ композиции
1. Кванторы существования и общности
, Для уточнения записи вводятся два знака V и 3»
называемые соответственно кванторами общности*) и
существования, Выражение: «для всякого элемента х (все
элементы х) множества Еъ записывается: ух£Е\ эта
запись означает, что утверждение» следующее за ней,
будет выполнено для произвольного элемента множества
Е и, в частности, для общего элемента.
Выражение: «существует по крайней мере один
элемент множества £, такой, что» записывается: 3^6^
все, что следует за этой записью, выполняется хотя бы
для одного элемента. Иногда пишут для квантора
общности
V *^1' *^2> • • • f «Яд ^ £»
что читается: каковы бы ни были элементы хг,х2,. ♦. %хп
множества £..♦; и для квантора существования
что читается: существуют такие элементы xvx2f9.,9xn
множества Е> что....
*) Аналогично тому как в логике вводится предметная область,
в математике рассматривается область теорий*

/. Кванторы. Законы композиции 55
2, Унарный закон композиции
Здесь речь будет идти о понятии, введенном в новую
алгебру недавно; поэтому не удивительно, что в
последующем изложении оно не будет использоваться
систематически.
Назовем внутренним унарным законом композиции,
или просто унарной операцией на множестве Я,
отображение Е в Е.
Примеры, Приведенная таблица определяет унарный
закон в множестве {at b% ot rf, е\.
abode
е а а Ь d
Другим часто встречающимся примером является взятие
дополнения: дополнение к подмножеству некоторого
множества Е определяет унарный закон композиции на
множестве подмножеств множества £.
Для обозначения унарного закона часто используется
экспоненциальная запись. Если и — унарный закон, то
и(х) можно обозначить через хи.
Предположим, что на множестве Л задан унарный
закон и: говорят» что подмножество В множества А
устойчиво (или инвариантно) относительно этого закона, если
для всех х £ В имеем и (х) £ В:
ух£В-»и(х)£В.
Другие способы записи:
и(В)сВ или BaczB.
3. Бинарный закон композиции
В течение долгого времени рассматривались только
бинарные законы композиции, причем рассмотрение
сводилось к более четкому описанию множества
определения Е (в котором эти законы определены). Более точно,
внутренним бинарным законом композиции Т на
множестве Е называется отображение множества ЕхЕ в Е.
Элемент с £ Я, поставленный в соответствие двум элемен-

56 Часть 2. Элементы алгебры
там а, Ь££\ называется композицией этих элементов и
определяется равенством
аТb я с.
Примеры. Сложение и умножение являются
внутренними бинарными законами композиции, определенными
на множестве действительных чисел: а + b = с, axb =■= с\
возведение в степень аь—с—внутренний бинарный
закон композиции на множестве натуральных чисел;
бинарными законами композиции на множестве подмножеств
некоторого множества будут операции объединения и
пересечения и так далее.
4. Свойства внутреннего закона композиции
a) Закон композиции называется ассоциативным, если
для уа,Ь,с£Е имеем
аТ(ЬТс)~(аТЬ)Тс.
Примеры, Сложение и умножение натуральных чисел.
Однако возведение в целую положительную степень —
не ассоциативный закон, так как в общем случае
(а*У Ф а{Ьс)\
так, например, (23)4 = 84 = 4096, а 2^4> = 281 — число по-
рядка 2,4 X 1024.
Замечание. Если закон ассоциативен, то можно по
индукции определить композицию конечной последователь*
ности элементов:
п
агТа2Т... Тап — 1 aL или Тoi%I =« (!f 2t... ,л).
b) Закон называется коммутативным в том случае,
когда для \/atb£E справедливо
aj b = b Та.
Примеры. Сложение и умножение целых чисел.
Однако возведение в степень не будет коммутативным
законом, так как в общем случае аьфЬа.

/. Кванторы. Законы композиции Ы
c) Элемент а называется регулярным относительно
закона Т, если для \/х,у£Е
аТ х = аТ у и хТ а = у*[ а
влечет
Пример. В N+ всякий элемент регулярен относительно
сложения и умножения, но в N элемент нуль не
регулярен относительно умножения
0X3 = 0X8 и 3=^8.
N. В. 1. Регулярность дает возможность сокращать,
т. е. выражение аТ х ~ аТ у в случае регулярности а
может быть записано как х = у.
2. Можно различать регулярность справа, такую, что
а У х =alу-*х ~у%
и регулярность слева, такую, что
хТ а = уТ а~*х = у\
элемент а регулярен относительно Т только в том
случае, когда он регулярен справа и слева одновременно.
d) Нейтральным элементом относительно закона Т
называют такой элемент е£Е, что для \/х£Е
справедливо
Если такой элемент существует, то он единственен;
нейтральный элемент регулярен.
Примеры. Нуль — нейтральный элемент относительно
сложения натуральных чисел; 1—относительно
умножения. Пустое множество является единицей относительно
объединения, основное множество — относительно
пересечения.
e) Пусть внутренний закон Т задан на множестве £
обладающем нейтральным элементом; элементом, сим[

58 Часть 2. Элементы алгебры
метричным к элементу х£Е (иногда говорят обратным,
противоположным), называют такой элемент *'££. что
х Т х* — х' Т х = е.
В этом случае х называют симметризуемым элементом.
Теорема 1. Если закон Т ассоциативен, то элемент,
симметричный к х единственен если он существует, и
х регулярен относительно Т.
Теорема 2. Если Т — ассоциативный закон, и х и у —
симметризуемые элементы то хТ у также симметри-
зуели
N. В. Для аддитивного закона х' можно1) обозначать
(— х)\ для мультипликативного — лг1.
Примеры. При сложении относительных целых чисел
симметричным к некоторому числу будет то же число»
взятое с обратным знаком, при умножении
рациональных чисел симметричным к х будет 1/л:.
f) Пусть на множестве Е задано два внутренних
закона Т и х; говорят, что Т дистрибутивен слева и
справа относительно X, если для
имеем
{xly)iz^{xlz)l(yyz) и zl(xTy)=(zlx)T(ziy).
Примеры. На множестве целых чисел умножение
дистрибутивно относительно сложения; тем не менее
сложение не дистрибутивно относительно умножения. Возведение
в степень дистрибутивно справа относительно умножения,
так как (а * b)c ~ av ■ b°. В множестве подмножеств
некоторого множества пересечение и объединение взаимно
дистрибутивны относительно друг друга.
1) Это ни в коем случае не означает, что речь идет об
«отрицательном» элементе; знак минус является здесь знаком оператора, а
не предиката.

/, Кванторы, Законы композиции 59
g) Замкнутые подмножества. Устойчивые законы
композиции
1£сли в подмножестве FczE композиции любых двух
элементов из F также принадлежит /\ то F называется
замкнутым относительно рассматриваемого закона
композиции.
Примеры, Множество Р четных чисел является
замкнутым подмножеством относительно законов + и • на
множестве целых чисел N+.
Рассмотрим множество £, снабженное внутренним
законом Т; говорят также, что F —устойчивое
подмножество множества Е относительно закона Т, если
a£F и b£F**s>aTb£F.
Таким образом, на подмножестве F определяется
внутренний закон композиции j_, индуцированный на F
законом Т*
Множество £* регулярных элементов множества Е,
снабженного ассоциативным законом Т, устойчиво
относительно Т> так как если два элемента множества Е
регулярны, то и их композиция регулярна.
Множество Я** симметризуемых элементов множества
£\ снабженного ассоциативным законом Т, устойчиво
относительно этого закона.
Пусть дано множество F, снабженное законом ]_. Если
существует множество Ягэ5, снабженное законом Т,
таким» что множество F является устойчивым
подмножеством множества И относительно этого закона и ±
совпадает с законом, индуцированным на F законом Т, то
И называется расширением множества F, а закон Т —
распространением на Е закона J_, определенного па /\
Говорят также, что множество вложено (погружено) в
множество Н.
Закон композиции на множестве Е называется
устойчивым относительно некоторого отношения
эквивалентности, если элемент c^ajb при замене элементов а и
h на соответствующие эквивалентные элементы due
переходит в эквивалентный элемент
aRd и bRe-»(aTb)R(dJe).

60 Часть 2. Элементы алгебры
Теорема 3. Всякий закон композиции, определенный
на Е и устойчивый относительно некоторого отношения
эквивалентности R> индуцирует закон композиции на
фактормножестве E/R.
h) Аддитивная и мультипликативная форма записи
В аддитивных обозначениях ассоциативность
записывается
я + Ф + с) я (a -f- Ь) + о,
и в более общем случае (т < п):
rn п п
I а,+ £ «„ = !><;
нейтральный элемент е удовлетворяет условию
а -\- е = е + а ~ а,
чем объясняется использование символа 0(^ = 0) в тех
случаях, когда это не приводит к путанице,
симметричный элемент а!\ обладающий свойством а + а/ ~ а! -\- а =
= е> обозначается соответственно —а{а' ~ —а).
Если существует нейтральный элемент, и элемент Ь
симметризуем, то для ассоциативного и коммутативного
закона имеем
х -ь b — а -* Ь + л: = а,
откуда лг = а + (— £>) = (— b) -f- а ~ а — ft, л: — разность
а и &.
В мультипликативных обозначениях получаем
соответственно:
для ассоциативности: а • (6-е) ~(а-Ь) • с или, в более
общем случае:
ГК Па, =Па<;
для нейтрального элемента; а • е = в • а « а, чем
объясняется использование символа I (^ = 1) в тех случаях,
когда это не приводит к путанице;
для симметричного элемента а':
а • а' = а' • а — е;

/. Кванторы. Законы композиции 61
■ — -~ ' I • i • - ill —...
соответственно используется обозначение а"1 (а' = сг1).
Нсли существует элемент, нейтральный относительно
данного закона, и b — симметризуемыи элемент, то
х • h ~ а-*>х —а - б"1;
элемент х называют частным от деления а на b справа; и
b • х = а -+ х = Ь'] • а\
здесь х — частное от деления а на Ь слева.
Замечания1). Для аддитивного закона а-\-а = 2а, и в
общем случае:
а 4- а -Ь . •. -Ь а ** па>
для мультипликативного закона а • а = а\ в общем
случае:
а . а • • • а = а*.
Если а — симметризуемыи элемент, имеем
соответственно:
для аддитивного закона:
(~ па) = /2 (— а);
для мультипликативного закона: а"" = {сг[угу где я£1М.
Можно положить 0 • а = 0 или а° = е\ таким образом:
(т «f- я) а = /тш + ла,
т(па) = (mn)at
т. л£Z '
где Z — множество целых чисел.
Дли коммутативного чакона: гп (а •{-h) = та-{• mb.
Для некоммутативного закона равенство (a-b)m ~ ат-Ьп
не имеет места. Аналогично если л: и а-Ь —
симметричные элементы, то
xab = е,
откуда х • ab • Ь~* = е • Ь~\ ха = Ь~\ хасГ] = £•* а"1. В ре*
зультате получаем х = ft"1 • а"*, а яе а"1 • £г!,
*) В аддитивных обозначениях/ш, rt£ N, играет для сложения роль
оператора (см. ниже); именно вследствие этого можно внести
соответствующий внешний закон композиции*

62 Часть 2. Элементы алгебры
N. В. Следующие теоремы иногда называют общей
теоремой ассоциативности и общей теоремой
коммутативности,
1. Если внутренняя бинарная операция ассоциативна
для любых трех элементов некоторого множества, то она
ассоциативна и для любого числа элементов этого
множества.
2. Если внутренняя бинарная операция коммутативна
для любых двух элементов и ассоциативна, то она
полностью коммутативна (порядок любого числа элементов
безразличен).
II. ГРУППОИДЫ, ГОМОМОРФИЗМ. ИЗОМОРФИЗМ.
ГРУППЫ
1. Группоиды. Гомоморфизм. Изоморфизм
Пусть задан некоторый бинарный закон Т.
отображающий ЕхЕ в Е, т. е. некоторое отображение
произведения ЕуЕ в Е, ставящее в соответствие каждой упоря*
доченной паре (а, Ь) элементов множества Е некоторый
определенный элемент этого множества: с = аТ&; в этом
случае говорят, что множество Е образует группоид
относительно закона Т.
Бинарный закон может быть задан таблицей или
схемой операций, если множество Е конечно.
Приведенная ниже таблица определяет группоид; для
составления пар, входящих в определение закона Т.
первый элемент берется в столбце, обозначающем
строки, а второй —в строке, обозначающей столбцы; полу*
чаем
аТа~е> аТ6=«, aTc?sgM(<,
6Та=с, ЫЬ~сл ЬТс~Ь
ЗаконТ, очевидно, не является ни ассоциативным, ни
коммутативным.
Примеры: bj (cje) = ЫЬ = с, {Ыс) Те =* ЬТе=Ф9
a\b ~ a. bja = с.

//. Группоиды. Гомоморфизч. Изоморфизм. Группы 63
Графическое представление этого группоида дано на
рис. 20.
т
а
b
с
d
е
а
е
с
е
Ь
с
ь
а
с
d
d
b
с
е
Ь
d
Ъ
d
d
а
с
d
Ъ
е
е
а
d
Ъ
а
а
Рис, 20,
Если X и Y—подмножества множества Е, то XJY
есть подмножество этого множества, образованное всеми
элементами хТу> где \fx£X и \/у £ У. Подгруппоидом X
множества Е будем называть множество
ХТХсХ.
Образующие элементы xv хй хп составляют
образующее подмножество G некоторого подгруппоида X
множества Е с законом Т если всякий элемент х£Х
получается в результате композиции по закону Т из
некоторого набора образующих элементов. Пусть G —
образующее подмножество: G = {xi xn\t I ~ {1, . >fn}\
элементом, порожденным множеством 6\ называется
элемент xt такой, что:
* — (элемент» порожденный множеством G) — х, (*£/)
или =* хД (элемент, порожденный множеством G)
пли = (элемент, порожденный множеством G)Jxl
или — (элемент, порожденный множеством G) Т
(элемент, порожденный множеством G).

64 Часть 2. Элементы алгебры
В частности, если G состоит из единственного элемента,
подгруппоид называется циклическим.
Отношением сравнения1) R в группоиде Е с законом
Т называют такое отношение эквивалентности R на Et
что
ух,у£Е R(x) [Т/Я] R(!/)cR(хТу)\
пишут также
х = у (mod /?).
Закон Т/Я называют факторзаконом Т по R; Т/Я
ставит в соответствие двум элементам R {х) и Я (у)
фактормножества E/R элемент R (хТу). так что
R (*) [Т/Я] R (!J) = R (хТу),
откуда видно, что фактормножество является
группоидом.
Рассмотрим два группоида: Е с законом Т и F с
законом х, и пусть А —отображение £ в F; говорят, что
h есть гомоморфизм Е в /\ если
ух, у £Е, h (xiy) =h{x)lh {у)
(рис. 21). Если, кроме того, h (Е) = F, то h называется
сюръективным гомоморфизмом (рис. 22), или гомоморфнз-
Рис. 21. Рис. 22.
мом Е на F\ в этом случае F называют гомоморфным
образом Е.
) Говорят также, что R согласовано с законом Т.

//, Группоиды. Гомоморфизм. Изоморфизм. Группы 65
Пусть h — гомоморфизм Е в F; тогда /г1 h —
отношение сравнения на Е и h (Е) — подгруппоид
множества /\ изоморфный группоиду Elfr1 h.
Если на множестве Е дано отношение сравнения /?,
то отображение Е на £77?, которое каждому х( Е
ставит в соответствие R (х) £ £//?, называется каноническим
гомоморфизмом Е на £7/?. Если на множестве Я
определено некоторое отношение сравнения, то существует
такой группоид F и такой гомоморфизм h\ Е в F, что
R = hr1 h (см. ниже классы эквивалентности,
определяемые данным отображением).
Теорема 1. Если hx — гомоморфизм Е в F и h2 —
гомоморфизм F в G, то h%ohx — гомоморфизм Е в G.
Взаимно однозначный, или инъективный, гомоморфизм
Е в F называется изоморфизмом Е в F (рис. 23). Если
отображение h биективно (рис. 24), то гомоморфизм Е на
F называется изоморфизмом Е на F\ в этом случае го*
ворят, что F изоморфно Е (или Е изоморфно F).
Рис. 23. Рис. 24.
Если /—изоморфизм Е на F. то:
1) если в Е существует нейтральный элемент, то и в
F также существует нейтральный элемент, который
является образом нейтрального элемента из Е при
отображении /;
2) г1 также изоморфизм F на Е.
Пример. Рассмотрим, с одной стороны, множество
положительных действительных чисел Rt и, с другой
стороны, множество всех действительных чисел.
Отношение (x£R+, #£R):
У — 1« х.

66 Часть 2. Элементы алгебры
ставящее в соответствие произведению двух чисел из R+
сумму двух соответствующих чисел из R, является
изоморфизмом.
Алгебраические свойства двух изоморфных множеств
можно считать одинаковыми: если закон Т коммутативен
на Я, то закон 1 также коммутативен на F; если для
каждого элемента х£Е существует симметричный
элемент относительно закона Т, то и для каждого элемента
y£F, соответствующего элементу х% существует
симметричный относительно закона JJ
х+*у, х' <г> у1'.
Два изоморфных множества представляют собой два
конкретных примера одной и той же структуры.
При гомоморфном отображении Е на F элемент Ь, со-
ответствующий элементу а, называется первой итерацией
элемента а; а называется антецедентом элемента Ь
(антецедент элемента 6, вообще говоря, не единственен).
Классы эквивалент и ост и, определяемые
данным отображением
Теорема о гомоморфизме
Пусть / — отображение множества Е «а множество F\
отношение
/ (x)^f(y) (х, у£Е)
есть отношение эквивалентности. Классы
эквивалентности в £, соответствующие этому отношению, образуются
множествами элементов, имеющих один и тот же образ
в /\
При всяком неинъективном отображении множества Е
на F можно определить отношение эквивалентности R и
разбиение множества Е на классы эквивалентности. С
другой стороны, если отображение сюръективно и инъек-
тивно, то оно будет биекциен. классами по модулю R
являются элементы множества Е, эквивалентностями по
модулю R — равенства, и E/R = Е. Если в Е
существует единственный класс эквивалентности, то все элементы
этого множества эквивалентны по модулю R: в этом слу-

//. Группоиды. Гомоморфизм. Изоморфизм. Группы 67
чае EiR и F содержат лишь одни элемент; получаем
абсолютную эквивалентность. Во всяком случае, для
каждого сюрьективного—не обязательно инъективного —
отображения, очевидно, можно построить с помощью
соответствующего отношения R биективное отображение Я/7?
на F.
Рассмотрим такое отображение / множества Е на
множество F> для которого можно определить отношение
эквивалентности R на множестве Е:
Это отношение совместимо с любым внутренним
бинарным законом композиции, заданным па Е\ другими
словами , R есть отношение сравнения на группоиде Е\
действительно, пусть
такие, что: xt^x2 (mod R), ух — t/2(mod /?) или/(л:1) =
» / (хг) = u,f (уг) =* f((/%) ^v; тогда *,T ух = x2Jy2 (mod/?),
так как по определению гомоморфизма:
/(*iT ^)« f{xx) 1 fa/J - и 1 v^ f{x%) l f(y%) -
— f (x%Tt/%).
Соответствие между классами по модулю R множества
f(T) ГШ t г
R =■ /f-i — отношение, сяязыплющее х н { х } в множестве В
E/R и элементами множества F биективно (рис. 25);
таким образом, имеет место
Теорема 2 (о гомоморфизме), Если множеспг
во F является гомоморфным образом множества Е при
отображении /, то множества E.R и F изоморфны.

68
Часть 2. Элементы алгебры
R — отношение эквивалентности^ определяемое в Е ото*
бражением f: / (а) = / (Ь).
Замечание. Если имеется в виду отображение
некоторого множества в себя, так что J — J_, то говорят об
эндоморфизме (Е в £); если, кроме того, это
отображение есть изоморфизм Е на Я, то оно называется
автоморфизмом. Наконец, идемпотентный эндоморфизм, т. е.
такой, что/2 — /°/ = /. называется проекцией
множества Е.
2. Полугруппы. Группы
а) Полугруппой или моноидом относительно закона Т
называют группоид относительно Т, если чакоп Т
ассоциативен.
Если, кроме того, закон Т коммутативен,
полугруппа называется абелевой.
Рис.
т
а
Ь
с
26.
а
Ь
С
ь
ь
с
с
b
с
а
Ь
0
Примеры. Таблица на рис. 26 определяет полугруппу
относительно закона Т, ассоциативного, по не
коммутативного:
(а Тс = а, cja = Ь).
Таблица1* на рис. 27 представляет полугруппу, для
которой закон Т одновременно ассоциативен и
коммутативен; следовательно, это абелева полугруппа.
и Так называемый лашнскин квадрат.

//. Группоиды. Гомоморфизм. Изоморфизм. Группы
69
т
а
Ъ
с
1
а
Q
С
Ь
ь
с
ь
а
с
Ь
а
с
Рис.
27.
о*
о
С
Ь) Группой G называется группоид с внутренним
бинарным законом Т, в котором:
1) закон Т ассоциативен;
2) существует нейтральный элемент относительно
закона Т;
3) для каждого элемента существует симметричный
(обратный). Если» кроме того, закон Т коммутативен,
группа называется абелевой.
а
а
b
с
b с а
cab
a b с
Рис. 28.
Пример. Рассмотрим таблицу, приведенную на рис.28.
1) Закон Т ассоциативен; действительно:
а Т {ЬТ с) = (аТ Ь) Тс;
получаем аТ£ — сТс, или с = с, и т. д.
2) Относительно этого закона существует нейтраль-
ный элемент, т. е. такой, что для yx£G имеем е\ х=
= хТ е = х\ легко проверить, что в данном примере с
является нейтральным элементом:
с J а = аТ с = а,

70 Часть 2. Элементы алгебры
сТb ^ 6Тс = ^,
3) Для каждого элемента х£ G существует
симметричный, т. е. такой элемент xf £ G% что
xlxf ^ xf 1 х = е.
В данном случае имеем
ЬТа =^ аТb ^ с,
с J с = сТс = с\
откуда следует, что а' = 6, 6' =-- а, с' = с.
Так как три основных условия выполнены, множество
G^ {а, /?, с\9
снабженное законом Т в соответствии с рис. 28,
образует группу.
4) Можно» кроме того, заметить, что закон Т комму-
тативен, так как таблица симметрична относительно
главной диагонали. Следовательно, G—абелева группа.
Покажем теперь другой способ введения понятия
группы. Пусть G — полугруппа с законом Т, на которой
задан некоторый унарный закон и\ G — группа, если для
V •*« У 6 О имеем
х Т х« Т у = у Т хи Т х = у
Покажем на примере эквивалентность этих двух
определений. На G задан унарный закон
I
- а b с
и \ b а с
так что элементу х ставится в соответствие его
симметричный х11. В результате получаем
х Т х11 = хп Т х = е,

//. Группоиды. Гомоморфизм. Изоморфизм. Группы 71
п ввиду этого свойство
*Тл"'Т у = yl хи1 х = у
записывается
el у = #Т е = у.
Мы вернулись» таким образом» к определению
нейтрального элемента. Окончательно получаем, что G —
группоид, на котором закон Т ассоциативен и обладает
нейтральным элементом; элементы G симметризуемы;
следовательно, G — группа.
Если число п элементов группы конечно, говорят,
что группа имеет порядок п. В противном случае
порядок группы бесконечен.
Аддитивно записываемуЕо абелеву группу часто
называют модулем; нейтральный элемент называется нулем
(обозначение 0 употребляется не всегда, так как иногда
его можно спутать с элементом 0 множества N), и для
всякого х симметричный элемент называют
противоположным —X,
Свойства. По теореме I (часть 2 § 1), во всякой
группе G каждый элемент обладает единственным
симметричным элементом и все элементы регулярны.
Во всякой группе уравнения
аТ х — b и у Та — b
допускают единственное решение х^а'ТЬ (частное
справа) и у ~ ЬТа' (частное слева).
В мультипликативных обозначениях получаем
ах ~ b и уа =« Ь\
единственные решения соответственно будут
х = агуЬ и у = bar1.
Примеры групп
I. Множество Z целых чисел образует абелеву
группу относительно сложения, действительно, Z является
группоидом относительно закона -f, и, кроме того,

72
Часть 2. Элементы алгебры
1-е определение
1) сложение (-г)
ассоциативно
2) нейтральным
элементом является О
3) для каждого элемента
существует
симметричный — его
противоположный; кроме того,
сложение коммутативно
2-е определение
а) Z является полугруппой
относительно (+), так как
этот закон ассоциативен;
полугруппа абслева, так
как этот закон
коммутативен
б) можно определить
унарный закон и% который
каждому элементу a£Z
ставит в соответствие—а;
а" ~ — а\
с) имеем, очевидно,
а^ ап + & = ft -V ап : а ^Ь,
так как
0 + й =*й+ 0 = 6
Напротив, относительно умножения множество Z не
является группой, хотя нейтральный элемент
существует (1), но дли произвольного целого числа обратное
число не является целым, и, кроме того, 0 вообще не
имеет обратного.
2. Множество Q+ положительных рациональных
чисел и множество R+ положительных действительных
чисел—примеры абелевых групп относительно умножения
(с единицей 1).
3. Множество Q рациональных чисел и множество R
действительных чисел образуют абелевы группы
относительно умножения, если исключить из рассмотрения 0.
4. Пусть m — натуральное число, отличное от пуля,
а и Ь — целые числа; сравнение по модулю m
а ззе Ь (mod m)
есть отношение эквивалентности.
Это отношение определяет некоторое разбиение
множества Z; действительно, рассмотрим последовательность
...,— (А+1)т, —km, ..., — 2т, —т, 0,т, 2т,...
..., km, {k -f 1)т, ... ,

//. Группоиды. Гомоморфизм. Изоморфизм. Группы
73
Всякое число п множества Z либо является членом этой
последовательности, либо заключено между двумя
соседними ее членами, так что
где г — остаток от деления п на т\ 0 < г < т. Все целые
числа, дающие одинаковый остаток г, сравнимы по мо*
дулю т\ множество таких чисел будем обозначать ((г)),
Множество целых чисел разбивается на классы:
числа пп = 1т, принадлежащие множеству ((0));
числа пх = 1т+ 1, принадлежащие множеству ((1));
числа пт„г = 1т 4- т — 1, принадлежащие множеству
((т-1)). '
Числа из одного и того же класса попарно сравнимы
по модулю т; два числа из разных классов не
сравнимы.
Таким образом, мы получили множество 7Jm классов
сравнимости по модулю т1). Эти классы образуют группу
относительно сложения.
Пусть, например, т = 2; рассмотрим следующие
таблицы:
+
((0)) ((D)
((0))
((0)
четные
((0))'((0))'((1))
I
I
четные
((0)) ((0))
нечетные
((D) ((D)
«0))i
((0))|
нечетные
((D), ((0))
((D);
Сложение ассоциативно и коммутативно; существует
нейтральный элемент ((0)), такой, что
((0)) + ((0)) = ((0)) и ((0)) + ((1))-((1)) + ((0)) = ((1)),
и каждый элемент симметризуем, так как
((0)) + ((0)) = {(0)) и ((1)) + ((1)) = ((0)).
1) Это множество иногда называется множеством классов
вычетов по модулю т. —* flpuM. перев.

74 Часть 2. Элементы алгебры
Для мультипликативного закона и нейтрального элемента
((!)) получаем также
((0))-((1)>-((1))-((0))-((0))
и
((1))-((1))-((1))-(0))«((1))»
при этом
((1))-((1)) «(0)).
следовательно, обратным к ((1)) будет 1, обратного к ((0))
не существует.
Аддитивная группа целых чисел по модулю 4 имеет
следующую таблицу сложения:
+
((0))
((D)
((2))
((3))
((0))
((0))
((1))
((2))
((3))
((О)
((D)
((2))
((2))
((2)) ((3))
((3))
((0))
((0))
«1»
((3))
((3))
((0))
((1))
((2))
Здесь сложение ассоциативно и коммутативно;
существует нейтральный элемент ((0)), такой, что
((a)) + ((0)) - ((0)) + ((a)) = ((a)),
и каждый элемент обладает симметричным
(противоположным) ((а')), так что
((a)) + «о7)) = ((af)) + ((a)) - ((0));
элемент
п ротивоположный
((0))
((0))
1
((1))
((3))
((2)) ((3))
1
((2)) ((D)

//. Группоиды* Гомоморфизм. Изоморфизм. Группы
75
Мультипликативная группа целых чисел по модулю
5 имеет следующую таблицу умножения:
((0)) i ((D) i ((2)) ((3)) > ((4))
I
! ((0))
((1))
((2))
1
((3))
((4))
((0))
((0))
((0))
((0))
((0))
«о»
((D)
((2))
((3))
((4))
((0))
((2))
((4))
((D)
((3))
((0))
((3))
«.»
((4))
((2))
((0))
((4))
((3))
((2))
((D)
Эта операция ассоциативна и коммутативна;
существует нейтральный элемент ((1)), такой, что
((«))•((!)) =
((a)),
и каждый элемент ((a)), отличный от ((0)), обладает
симметричным (обратным) ((а')), таким, что
<<e)).((«0)-((<O)-((«))-((i))i
элемент
((D) ((2))
(О))
((4))
((1)) ((3)) ((2)) ((4))
обратный
Целые числа по модулю т при любом т образуют
абелеву группу относительно сложения; в случае прос*
того т они образуют группу относительно умножения.
Пример. Рассмотрим случай т = 6; элементы ((2)),
(3)) и ((4)) не имеют обратных.

76
Часть 2. Элементы алгебры
5. Пусть ЛВС— равносторонний треугольник;
перечислим операции, совмещающие треугольник с самим
собой: поворот а на 2 тс/3 вокруг центра И вписанного
круга, переводящий А в В\ поворот р на 4«/3,
переводящий А в С, и так далее; симметрия Sv переводящая В
в С и С в В; две другие симметрии S2 и S3; наконец,
тождественная операция I.
Si
S,
I ■
I
а
3
а
ч
i
I
i
I
1 О ч
I
я 1 С <? V
;1 | J| Jj 0;j
< ' <
1 1 1
I
l
*
i^2
Sa
52 1 1
■
64 1 .s,
1
a
3
s3
-Si
0
s,
s%
i
i ! з
а
i
Можно рассмотреть «произведение» этих операций,
определяемое для каждой пары операций-
SrSx -р;
действительно, если проделать симметрию $1% а затем
симметрию Sa, результат будет такой же, как при
повороте на 4 тс/3. Определенные таким образом произведения
образуют таблицу. Полученный закон композиции
ассоциативен, но не коммутативен; существует нейтральный
элемент—тождественная операция; каждая операция
имеет симметричную (или обратную); это видно из того,
что в каждой строке и в каждом столбце встречается
тождественная операция. Полученная конечная группа не
абелева.

//. Группоиды. Гомоморфизм. Изоморфизм. Группы 77
с) Подгруппы
Подмножество g группы О может образовывать
группу. В этом случае g называется подгруппой группы О.
Для всякой группы нейтральный элемент образует
несобственную подгруппу; несобственной подгруппой
всякой группы является и сама эта группа.
Теорема 3, Для того чтобы непустое
подмножество g группы G было подгруппой, необходимо и
достаточно, чтобы:
У) а ^ g и b£g-+a7 b£g;
2) a£g—>a'£q.
Теорема 4. Для того чтобы непустое
подмножество g группы G было подгруппой, необходимо и
достаточно, чтобы
a£g и b£g-+aj b'£g (или a' Tb£g).
Замечание. Отношение R с G х Ct определенное
следующим образом:
(a, fc)£i? <~ аТ b'£g (или а' Т b£g)
есть отношение эквивалентности.
Теорема 5. Имеем
(а Т Ь)' - Ъ' Т а9.
Если G— группа относительно законов Т и и, и
g с G, то можно говорить также, что g есть подгруппа
группы G, если g образует подмножество группы G,
устойчивое относительно закона и, причем выполняются
условия
aTb£g и au(zg>
или
ajbu £g,
для a, b£g.
Элементы, принадлежащие одновременно двум
подгруппам некоторой группы, образуют подгруппу.
Нейтральные элементы всех подгрупп некоторой группы
совпадают с нейтральным элементом этой группы; для

78 Часть 2. Элементы алгебры
всякого элемента подгруппы g группы G симметричный
(обратный) элемент один и тот же в g и G.
Примеры. 1. Z есть аддитивная подгруппа группы Q;
в свою очередь Q есть аддитивная подгруппа группы R.
2. Нижеприведенная таблицам представляет
подгруппу третьего порядка группы, рассмотренной в примере 5
предыдущего параграфа. Таблица b представляет
подгруппу второго порядка той же группы (существует еще
две такие подгруппы).
1
1
.
а
а
f»
Ч
а
3
а
'?
?
1
1
а
а Ь
d) Моногенные группы. Циклические группы
Группа называется моногенной, если каждый элемент
этой группы может быть получен последовательным
умножением (для мультипликативного закона) некоторого
элемента, отличного от нейтрального, самого на себя(для
аддитивного закона — последовательным сложением с
самим собой), Моногениая группа обязательно абелева.
Конечная моногенная группа называется циклической.
Во всякой конечной группе каждый элемент порождает
циклическую группу; порядком такого элемента а
называют показатель степени р (где целое р), такой, чтоо*
(или ра) есть нейтральный элемент. В циклической
группе порядок элемента является делителем порядка группы;
всякая подгруппа циклической группы есть циклическая
группа.
Всякая бесконечная моногенная группа изоморфна
аддитивной группе целых чисел. Всякая циклическая

//. Группоиды. Гомоморфизм. Изоморфизм. Группы 79
группа, содержащая п элементов, изоморфна группе
вычетов целых чисел по модулю п.
е) Группы подстановок
Рассмотрим взаимно однозначное отображение /
множества Е на себя. / называется подстановкой
множества Е. Всякий элемент д££ переходит в элемент / (а)\
обратная подстановка f'1 переводит / (а) в а; / (а) — а
является тождественной подстановкой.
Пусть теперь Р — множество подстановок t
множества Е. Если Р содержит тождественную подстановку
t (а) = а, вместе с каждой подстановкой t — обратную
к ней подстановку /-1 и вместе с любыми двумя
подстановками—их композицию tkof(t то Р есть группа
относительно закона о (очевидно, ассоциативного).
Все подстановки некоторого множества Е образуют
группу. Если множество Е конечно и содержит п
элементов, эта группа называется симметрической группой
Sn (подстановок или перестановок) и содержит п\
подстановок,
Пример. Рассмотрим пять операций совмещения
равностороннего треугольника с самим собой (п. с, пример 5).
Имеем
_ (АВС\ _ /АВСЛ _ /АВС\
1 ~ \ABCJ ' а * \ВСА) f Р ^ \САВ) '
(АВС\ (АВС\ /АВС\
Sl= [асв)9 s* = [евa)' s*~ [вас)-
В этой записи под каждым основным элементом — здесь
это вершины треугольника — помещен элемент,
соответствующий ему при преобразовании, Обозначения можно
упростить, записывая просто
1 = (ABC), а = (ВСА), р = (CAB),
Sx = (ACS) , S2 = (CBA), S8 =* (ВАС).
Существует в точности 3! = 6 подстановок из трех
элементов. Было показано, что закон композиции
(произведение двух операций) ассоциативен, но не коммутативен

80 Часть 2. Элементы алгебры
Группу S3 (£) можно представить в виде
/1 2 3\ /12 3\ Л 2 3
О 2 г) \2 3 \) \Ъ \2
п / г
1 2 3
2 1 3
каждое из подмножеств
М*. /• Г1}. 11Л.*Ь IV */}. И*. Г8)
также является группой подстановок.
Перенумеруем п элементов числами от I до п; если
U h> • • • » 'л ~ первые л элементов множества N+,
расположенных в некотором порядке, то выражение
определяет подстановку.
Подстановка
• . . , п — 1, п
. , . , п, 1
называется круговой. Пусть дана подстановка s из л
элементов; рассмотрим последовательные итерации
некоторого элемента а:
a, s (а) = аг, s [s (а)} = s2 (а) = а2, . . . ;
если / — первое целое число, такое, что sJ (а) ~ а, то
последовательность элементов ]а, ах, а2. . . . * аум}
образует цикл относительно подстановки s. Цикл является
круговой подстановкой для входящих в него элементов.
Теорема 6. Всякая подстановка может быть
разложена в произведение циклов, множества элементов
которых попарно не пересекаются. Это разложение
единственно с точностью до порядка сомножителей.

//. Группоиды. Гомоморфизм. Изоморфизм. Группы 81
Теорема 7. Порядок цикла равен числу элементов
в последовательности, образующей этот цикл.
Теорема 8. Порядок подстановки равен наименьше*
му общему кратному порядков циклов, входящих в ее
разложение.
Пример. Группа, порожденная некоторой круговой
подстановкой из п элементов, есть циклическая группа
порядка п,
Подстановка, переставляющая только два элемента,
называется транспозицией.
Теорема 9. Всякая подстановка может быть
разложена в произведение транспозиций.
Пример.
1 2 3 45\ _
2 5 4 1 3 j ™
_ /1 2 3 45\ /21345N /25341Х /2 5 4 3 1 \
** \2 1 3 4 5/ Д2 5 34 1/ Д2 5 4 31/ \2 5 4 1 3)
Инверсией в некоторой подстановке называют всякую
пару ta, ip такую, что a < |3 и ia > i?. Для подсчета
числа инверсий в некоторой подстановке сравнивают
последовательно каждый элемент, начиная с первого, со
всеми, следующими за ним; полученные таким образом
числа складывают. Если общее число инверсий четное,
то подстановка называется четной; в противном случае
она называется нечетной.
Всякая операция подстановки может быть отнесена
либо в четный класс, либо в нечетный класс. Группу
образуют только операции четного класса; эта группа
носит название знакопеременной группы Ап и содержит
п\/2 элементов. Всякая транспозиция есть нечетная
подстановка. Всякая четная подстановка есть произведение
четного числа транспозиций; всякая нечетная
подстановка есть произведение нечетного числа транспозиций.
Теорема 10 (Кэли). Всякая конечная группа может
быть представлена группой подстановок ее элементов.

82 Часть 2. Элементы алгебры
Пример, Если п = 4, имеем 4! « 24 подстановки,
соответствующие движениям и антидвижениям
правильного тетраэдра, совмещающим его с самим собой.
Тождественной подстановкой является
Симметрия относительно медианальной плоскости (7W8,2,3)
ребра (1,4) есть транспозиция, меняющая местами
вершины 1 и 4
12 3 4
4 2 3 1
Произведение двух транспозиций, оставляющее одни
элемент неподвижным, например для вершины 2:
1 2 3 4\ /4 2 3 1\ /12 3 4
4 23 1/\3 2 4 1/ * [3 24 I
(Af8. 2, 3) (МЬ1 1, 2) и, » (W, 2)
эквивалентно повороту вокруг высоты (2, //), который
оставляет вершину 2 неподвижной и переводит 1 в 3,
3 в 4, 4 в 1.
Произведение двух транспозиций, не оставляющее ни
одного элемента неподвижным, например:
12 3 4\ /4 2 3 1\ /12 3 4
4 2 3 lj ' U 3 2 1/ ~ U 3 2 1
(УИ8, 2, 3) (/И4, 1, 4) 1'8-(М8, М<)
эквивалентно повороту на ъ вокруг общего
перпендикуляра М3/И4 двух противоположных ребер.
Знакопеременная группа Л4 содержит (рис. 31):
тождественную подстановку;
восемь подстановок (ult utr w8, w4, шг, wfil ю3» t£,4)»
соответствующих вращению вокруг четырех высот;
три подстановки (vlt v2> i>8). соответствующие
вращению вокруг трех общих перпендикуляров;
всего 12 подстановок.

//. Группоиды. Гомоморфизм. Изоморфизм. Группы 83
Тождественная подстановка и подстановки vv о& v$
образуют группу Клейна Vt.
Подгруппами группы 54 являются: Аь Vv а также
подгруппы, состоящие из двух элементов:
(1, о,). (1, ut)9 (1, vs).
На рис. 32. 33 и 34 даны представления
тетраэдральной группы [3,3]+.
Пусть в группе G задана система образующих X;
определяющим соотношением в группе G называется
всякая последовательность п членов вида ( х\х, . . . ,
хпг) , где а*!, ...» хг суть г элементов множествах, и
пг пг суть г целых чисел, положительных или
отрицательных таких, что в группе G элемент
Кт.-.та)
есть нейтральный элемент группы.
Если R — множество определяющих соотношений
группы G, выполненных для элементов множества X, то пара
(X, R) называется представлением группы G с помощью
системы образующих и тождественных соотношений.
В случае, когда X содержит/;? элементов и множество
R = (гг гр) конечно, G определяется т
порождающими элементами, для которых выполнены соотношения;
гх = гг = . . . — гр = 1.

/
з
Л
3 2
2 !
♦* з»
i X '\//г X '
<<*>* 4Л2 ",^г
■ I4l.ll! ■■""И » и"»! ■ —■—-«я— >И
г /
Рис. 32.
|4 W* «s UL3 «=« (W U)2 ^ 1
<■»- и попорот на 120° вокруг высоты,
«и* w поворот ни —120й нокруг высоты.
Зч 3 ,/
5
г.А/
фг4
4^V*J
/
/
«
;д2 . Ж
/
Рис. 33.
II, U9 «г у* a* (U #)•« 1
-* о поворот на 120° вокруг ВЫСОТЫ,
v поворот на 180° вокруг общего перпендикуляра.

//. Группоиды. Гомоморфизм. Изоморфизм. Группы
85
" ' 511*4. 2<А-\4 * ^
/ *f :: <\ 3
4'»
4
Рис. 34,
Ш. wa « v* *=» (w v)' *=■ 1.
Обозначим через [р, q]+ группу, для задания которой
требуются два образующих элемента, таких, что:
Rp = SQ — (RS)2 ~ 1, I представление;
или
S« =* Р « (S7V » 1, II представление;
или
#р « Г2 « (#7> = 1, Ш представление.
Пусть Я—группа относительно законов Т и и; А
является подгруппой этой группы с множеством X
образующих элементов, если для любого х из А
существуют такие xv хг хп из X, что результат
конечного числа применений к этим элементам операций Т и
и принадлежит множеству А. К тому же определению
приводит требование, чтобы
У/ X\Z А* ЭХ\i х%> • ■ • f Я/j\i X П X',

86 Часть 2. Элементы алгебры
такие, что
Xj I л 2 I ♦ • ♦ I л fi =г= X*
В этом случае А есть подполугруппа, порожденная
множеством Х[)Хи. При этом А циклична, если она
обладает единственным порождающим элементом.
Подгруппу X называют нормальным делителем, если
V *££, дгТ XT х" с X.
N.B. Если х — элемент множества Е \\ В —
подмножество этого множества» то через х Т В
(соответственно В Т х) обозначают множество элементов у£Е,
таких, что
у = х Т Ъ (й£ В) [соответственно у — b Т х (р£ В)},
Пример. Рассмотрим некоммутативную группу
относительно закона Т» приведенного ниже, со следующей
таблицей симметричных элементов (или соответствием,
задаваемым унарным законом и):
т
а
Ь
а Ь с d е f
е f а Ъ с d
d с Ь а / е
а Ь с d е f
с | а Ь с d е f
d
е
f | Ь a f е d с
t е И с b а симметричный , е b с d a f
i
с d е f a b
Подгруппа \а% еу с\ — нормальный делитель. Напротив,
подгруппа [с, d) не является нормальным делителем.
Действительно, имеем
оТ dlе = 6Т^-/

//. Группоиды. Гомоморфизм. Изоморфизм. Группы 87
f) Гомоморфизмы, изоморфизмы групп
Рассмотрим две группы Е и F; отображение h
группы Е в группу F называется гомоморфизмом, если \/х$
Л (* 1У) « А (*) Т А (у).
Следовательно, обозначив нейтральные элементы групп
Е и F соответственно через с и /\ получим
\)h(x) = Л(*1<?) -Л (*)Т Л (<?) )
Л (jc) ~ Л (е l jc) ~ Л (е) Т Л (jc) J
2) Л [х 1 (- х)1 « Л [(- х) 1 *1 = А (е) = / =
=» Л (лг)ТЛ (—jc) = А (—х)Т h(x)-*h(—x) = —Л (jc).
Приведем сначала несколько теорем, касающихся
гомоморфизмов и изоморфизмов групп.
Теорема 11. £слы А — гомоморфизм группы Е в
группу F, то подмножество элементов группы F,
соответствующих при этом гомоморфизме элементам х
группы ЕУ образует подгруппу группы F.
Теорема 12. Если Л — гомоморфизм группы Е
в группу Ft то множество N таких элементов х группы Е,
что Л (х) равен нейтральному элементу группы /\
образует подгруппу группы Е> называемую ядром
гомоморфизма.
Теорема 13. Если h —гомоморфизм группы Е в
группу F и у — некоторый элемент группы /\ то все
решения уравнения h (jc) =s у могут быть получены
композицией любого частного решения этого уравнения с
решениями уравнения h(x) = et где е — нейтральный
элемент группы F.
Впоследствии мы увидим, что эта теорема
применяется при решении линейных дифференциальных уравнений,
когда сначала находят все решения соответствующего
однородного уравнения и затем складывают их с
некоторым частным решением полного уравнения.
Теорема 14» Тождественное отображение всякой
группы на себя есть изоморфизм.

88 Часть 2. Элементы алгебры
Теорема 15, Если i — изоморфизм группы Е на
группу F, то г1 — изоморфизм группы F на группу Е.
Теорема 16. Если ix — изоморфизм группы Е на
группу F и i% — изоморфизм группы F на группу G, то
i2ciix — изоморфизм группы Е на группу G.
Пример, Пусть Е — некоторая группа» и F — ее
циклическая подгруппа, содержащая п элементов. Тогда F
изоморфна аддитивной группе классов вычетов по
модулю п. Если группа F — моногенная подгруппа с
бесконечным числом элементов, то она изоморфна аддитивной
группе целых чисел*
Автоморфизмом называется изоморфизм некоторого
множества на себя. Все автоморфизмы некоторого
множества образуют группу,
1) Произведение нескольких автоморфизмов
ассоциативно, поскольку произведение двух автоморфизмов есть
композиция двух взаимно однозначных отображений
множества Е на себя.
2) Существует нейтральный элемент —
тождественный автоморфизм.
3) Каждому автоморфизму f соответствует обратное
отображение /~\ являющееся противоположным
автоморфизмом, так что
fr - /.
В частности, автоморфизмы некоторой группы
образуют группу. Различают два класса автоморфизмов
групп:
1°. Внутренние автоморфизмы, в свою очередь
образующие группу.
Пусть G — группа относительно закона Tt & —
элемент этой группы и Л — отображение группы G на
себя, задаваемое соотношением
х -+ а Т х Т of.
Тогда: 1, А — эндоморфизм
А (х Т у) « а Т (х Т у) Т а' - (а Т х) Т (у Т аг) =
« (а Т х) Т (а" Т а) Т (У Т а') - (а Т х Т а') Т (аГуТа')~
= А{х)1 А{у)\

//. Группоиды. Гомоморфизм. Изоморфизм. Группы 89
2. А — взаимно однозначное отображение; если
у£ A (G), то А'1 (у) — множество таких элементов х
группы G, для которых у ~ а Т х Т я'; следовательно,
имеем
а'Т#Та^а'ТаТл:Та'Та===А'.
Так как всякий изоморфизм группы G в себя
является в то же время изоморфизмом G на себя, А —
автоморфизм*
Двум автоморфизмам А и 5, заданным
соответствиями
х «* а Т х Т Д%
а: *+ 6 Т л: Т Ь\
соответствует автоморфизм — произведение
х+>аТ (ЬТ хТ Ь')Т а' =* (аТ Ь)Т хТ(Ь' Т а') =*
« (а Т ft) Т * Т (а Т б)7
с нейтральным автоморфизмом /f таким, что
х <+ е Т х Т е'
или хч+х, и обратным автоморфизмом Л', таким, что
х <+ а' Т х Т а;
таким образом, множество внутренних йтоморфизмов
образует групповую структуру.
2°. Внешние автоморфизмы, если они существуют.
Внутренние автоморфизмы переводят подгруппу
некоторой группы G в другую подгруппу этой группы.
Пусть gx — подгруппа группы G; рассмотри два
элемента хг и уг этой подгруппы и некоторый
автоморфизм Л, такой, что
хг++хг = аТх{Га'
и
у1**уг = аТу{Та'\
имеем
(аТухТа') Т <аТу\ Та') — аТуД^ Та' = дТа' « е,

90 Часть 2. Элементы алгебры
откуда
у'2 = аХу\1а'
и
xjy'2 = (aT^i Та') Т (aT#j Та') = аТ (х, Т у\) Та.
Поскольку
подгруппу #2, как образ подгруппы gx при
автоморфизме At можно обозначать через aTgiTa'.
Группа g называется нормальным делителем, или
инвариантной подгруппой, если для любого x£G
х Т g Т л*' с #
(или лТ^Тл:" с: g для унарного закона и); все подгруппы
абелсвой группы — нормальные делители.
111. КОЛЬЦА И ИДЕАЛЫ
1. Кольцо
Рассмотрим множество А, образующее абелеву группу
относительно первого закона композиции (записываемого
аддитивно) и снабженное, кроме того, вторым законом
композиции (записываемым мультипликативно), который
ассоциативен и дистрибутивен относительно первого
закона; в этом случае А образует кольцо.
А — абелева группа от- С другой стороны, А
снабжена некоторым законом:
носитель но закона -]-. Для
V*, //, z £ A i Ь ассоциативным:
(х-у)*г=г.х-(у-г)\
1. (х + у) + *=*+ (y^z)\
2. х -|- е = е-\- х — х\
2. дистрибутивным
относительно закона -1-:
3. х-)• (-х) *= е\ I ^ (х + У)-г = х-г + у-г
4, х -{- У г* у + х ; (дистрибутивность слева);
! Ь) 2-(х-\- у) =■- 2-х -'- г-у
i (дистрибутивность справа)
Тогда Л — кольцо,

///. Кольца и идеалы 91
Абелева группа называется аддитивной группой
кольца; единичный элемент относительно аддитивного закона
обозначается через 0.
Если мультипликативный закон коммутативен, т. е.
если, кроме того,
х-у^у*х>
то кольцо называется коммутативным или абелевым.
Для коммутативного мультипликативного закона
достаточно выполнения одного из свойств дистрибутивности
(а) или Ь)), поскольку в этом случае они эквивалентны.
Если в А существует нейтральный элемент,
обозначаемый 1, такой, что
V* £ А я* 1 «= 1 >х =* jc,
то этот элемент называют единицей и говорят, что Л есть
кольцо с единицей (или унитарное кольцо).
Замечание. В аддитивной группе кольца с единицей
п • а ~ а •*- • • • -f я = £ • я г е ■ я f ... + е • а *=
= (е -г .. • -j- г) • а ~ (/1 • в) • а,
и, если отождествить я-е £ Л с п£ Z, получаем я £ Л;
при этом
<? - 1 £ Z, ZcA
N.B. Можно также считать А кольцом, если:
1. А есть абелева группа относительно первого закона
(аддитивного);
2. А есть полугруппа относительно второго закона
(мультипликативного);
3. Второй закон дистрибутивен относительно первого.
Кольцо А будет абелевым, если условие 2 заменить
условием
2\ А есть абелева полугруппа относительно второго
закона (мультипликативного)
Свойства. Кроме вышеперечисленных свойств ко-
л-ми можно указать следующие.

92 Часть 2, Элементы алгебры
Симметричный (противоположный) к симметричному
(противоположному) некоторого элемента есть сам этот
элемент
— (— а) — а.
Можно определить вычитание
а — Ь = а-г (—Ь)\
умножение дистрибутивно относительно вычитания
а • ф — с) =* а • 6 — а • с,
(а — Ь)-с ~ а*с — Ь'С.
Свойствами, характеризующими мультипликативный
закон, являются правила
(— а). (— 6) » а•&; (— а)-6 - а-(~Ь) - — (а-6)
и общий закон дистрибутивности
2 яг 2ь)ж 2 i- а/Л"= 2 «/•*/•
В абелевом кольце, справедлива формула бинома
Ньютона.
2. Кольцо целостности
Положив соответственно с «= 6 и а = 6 в равенствах
а*{Ь — с)~а*Ь — а>0 и (а — Ь)-с ~ а-с — Ь-с,
получим
а.0«0, 0-е = 0.
Произведение произвольного элемента на 0 всегда равно 0,
Однако обратное неверно. Так, в кольце целых чисел
по модулю m существуют делители 0:
((3)).((2)) = ((0)) (mod 6).
Другой пример — кольцо квадратных матриц второго
порядка
I! 2 6 ]1 Г: 3 -9 Ч || 0 0 ч
и 1 3 , -I .3 0 0 ,

/У/. Кольца и идеалы 93
Если в некотором кольце при а ф 0 и Ь Ф 0 имеем
то а и h называются истинными делителями нуля,
Кольцом целостности называют коммутативное (абе-
лево) кольцо без делителей нуля; в таком кольце
справедлив закон сокращения
а*х — а*у-+х = у.
Кольцо целостности, мультипликативный закон
которого обладает единицей, называют областью целостности,
Примеры. Множество Z является кольцом целостности,
Множество Ziv. является кольцом целостности только
в случае простого /z.
3. Подкольца. Примеры колец
Подкольцом некоторого кольца А называют всякое
подмножество, образующее подгруппу аддитивной группы
кольца и замкнутое относительно мультипликативного
закона.
Примеры колец.
К Множество целых чисел с законами сложения и
умножения образует кольцо. Это абелево кольцо с
единицей и кольцо целостности.
Единицей сложения является нуль (0). Симметричным
элементом относительно нейтрального элемента
аддитивного закона является противоположный элемент.
Единицей умножения является 1.
2. Если в аддитивной группе целых чисел но модулю
а определить произведение двух классов А и В как класс,
содержащий произведение двух элементов цз А и В, то
множество классов образует кольцо, единицей которого
будет число 1.
Теорема 1. Сравнение по модулю п есть
отношение эквивалентности на кольце Z.
Теорема 2. В кольце целых чисел сложение и
умножение определяют два закона композиции, устойчивые
относительно сравнения по модулю п.

94 Часть 2. Элементы алгебры
Теорема 3, Если а и п — взаимно простые числа,
то\
ах^ау (mod п) -+х^у (mod п)>
Теорема 4. Для того чтобы Ъ!п было областью
целостности, необходимо и достаточно, чтобы п было
простым числом.
3. Действительные числа, равно как и комплексные
числа, образуют кольцо»
4» Множество 3*(Е) подмножеств X некоторого
множества Е образует абелеву группу относительно закона
ф; вводя закон П , получим кольцо. В этом кольце
всегда X2 = X; все элементы идемпотентны; такое кольцо
называется булевым1).
Кольцо, в котором каждый элемент ндемпотеитсн,
коммутативно и имеет характеристику 2 (см. ниже),
Всякое булево кольцо, не сводимое к 0 и без
делителей 0F изоморфно кольцу Z/2.
5, Многочлены от одного или нескольких переменных,
коэффициенты которых являются элементами некоторого
Кольца, в свою очередь образуют кольцо (см» ниже).
4. Кольцо целых чисел
Пусть N— множество натуральных чисел;
произведение NXN образуется упорядоченными парами (а, Ь)
элементов множества N. Будем говорить» что
(av Ьх)^(аь Ьг) (mod /?),
если ах + Ьг — &J-- а%\ тогда элементы фактормножества
NxN/Т? образуют множество целых чисел.
Каждое целое число есть класс пар, эквивалентных
некоторой данной паре (а, Ь) натуральных чисел
(5.3) « (4,2) == (ЗД) = (2,0).
Имеем
(а, Ь) -:ь (а — 1, h — I) — (а — 2, Ь — 2) =»=... ==з
?.•--■■: [а — k, Ь — Л);
1) Напомним, что А ^ В - (Л [] В) \j (А П В).

///. Кольца и идеалы 95
при этом: 1) если а>6, то получаем
(а, Ь)==(а-Ь, 0),
что можно представить как (т, 0), где т — натуральное
число; (ш, 0) называют положительш>1М целым числом;
2) если а = b\ (а> b) = (0, 0) целое число 0;
3) если а < Ь: (а, Ь) == (0, 6 — а),
что можно представить как (0, /и), где m — натуральное
число; (0f т) называют отрицательным целым числом,
В первом и третьем случаях т есть абсолютное
значение относительного числа; во втором . случае
абсолютное значение равно нулю.
Запись (т, 0), (0, 0), (0, т) называют каноническим
видом целых чисел.
Целые числа образуют абелеву группу относительно
сложения', нейтральный элемент —(0, 0), элемент,
обратный к элементу (т, 0)—число (0, т).
Отрицательное число (0, т) может быть записано как
(//г, 0); в связи с этим для чисел (т, 0) и (0, т)
употребляются обозначения + /и и (— т)\ знаки + и — в
данном случае не являются знаками операций.
На множестве целых чисел можно ввести закон
умножения, ассоциативный, дистрибутивный относительно
сложения и коммутативный.
Таким образом, относительные целые числа образуют
коммутативное кольцо с единицей', нейтральным
элементом относительно умножения является + К Это кольцо —
область целостности,
Свойства. Всякое целое число регулярно
относительно сложения и (за исключением числа 0)
относительно умножения.
Так как положительные целые числа составляют
множество, изоморфное множеству натуральных чисел, то
обычно не проводят строгого различия между двумя
этими множествами, что выражается в отсутствии знака
-|- перед положительными числами; однако нетрудно
вплоть, что зто делается лишь с целью упрощения, так как
элементы множества HxWR существенно отличаются от
элементов множества N.

96 Часть 2. Элементы алгебры
5. Отношение порядка в кольце
Пусть в кольце Л выделено подмножество Л+, такое,
что сумма и произведение любых двух элементов из Л+
принадлежит Л+, и для всякого элемента а£ А имеем
либо а^Л^либо (—а)£Л+, либо, наконец, а — 0. Тогда
подмножество, Л + есть множество положительных
элементов кольца.
Элементы, противоположные положительным, будут
отрицательными; элемент нуль не 5тляется ни
положительным, ни отрицательным,
Теорема 5. В кольце, содержащем подмножество
положительных элементов, квадрат всякого элемента,
отличного от 0, есть положительный элемент.
Нейтральный элемент относительно умножения
всегда положителен.
В кольце, содержащем подмножество Л+,пишута>й
(или b<Ca)t если разность а — &£Л+,
1) a>b->a + c>b + c> ус£А\
2) я>6, с£ Л+«*а*с> Ь-с>
а>6 и с£Л_-*а-с<Ь>с\
3) для любых a, b имеем либо a Kb, либо а~6,
либо а>6.
Отношение ^ есть отношение линейной
упорядоченности; это отношение рефлексивно, антисимметрично и
транзитивно.
В линейно упорядоченном кольце абсолютное
значение некоторого элемента а Ф0, обозначаемое | а \ t есть
положительный элемент пары (а, —а). В случае а = 0
абсолютное значение равно нулю.
Теорема 6, Для любых двух элементов a ub имеем
\а-Ь\ - \а\ . |*| , |а + 6 | < \а | + \Ь \ .
Для линейно упорядоченного кольца:
1) а > b и с > d «■♦ я -'- с > b + d;
2) если с£Л+, то а*с >b*c<*>a>b.

///. Кольца и идтлы 97
6. Характеристика
Пусть А — некоторое кольцо; рассмотрим его элемент
афО. Если аддитивная циклическая группа с общим
элементом kas k£Z, имеет порядок п% то п есть
наименьшее положительное целое» для которого па = 0. Если
п =аг 0, то говорят, что кольцо имеет нулевую
характеристику; в противном случае характеристика кольца
равна числу п (отличному от нуля).
Примеры. Кольцо Z имеет характеристику нуль.
Кольцо Z//?, п простое, имеет характеристику пч
отличную от нуля.
Для абелевмх колец с ненулевой характеристикой п>
п простое, получаем
(а -Ь Ь)п =з ап + bn\ (а — b)n ~ап — Ьп.
Действительно,
. (а + by - J C{J(a'-6"-")= J СЕ V
Но если (I простое, то при рфО и рфя> С£ делится на
я: С£ == п<7 (<? целое), так как С£ = п!/р! (п — р)\ есть
целое число, и поскольку « не делится на р\(п — /?)!, то
(/г~1)! делится на это число. Таким образом, получаем»
при рфО и рфп
Сп *р == (л?) <*;, = ? (плр) « 0,
так как пар '^0.
Отсюда следует равенство (a-f Ь)п = С«ая + С2&" «*
=i a71 + 6".
В кольце TUn при простом /г, е =((1)) '
(е + в +.. • + в)" = (Ав)« « ей + еп + •.. + ^ »
откуда следует
Теорема 7. (Ферма.)
kn в : k (mod л)
d/гя п простого и \f k£N.

98 Часть 2. Элементы алгебры
7. Евклидово кольцо
Рассмотрим кольцо целостности с единицей, или об-
ласть целостности А. Элемент г называется обратимым
(иногда говорят унитарным), если оп обладает
симметричным элементом а' (или тг1)
а-а' = а'*а = 1 (или а* а"1 = а"1 -а --- I;.
В кольце целых чисел единственными обратимыми
элементами являются числа -т- 1 и — 1.
Теорема 8. Обратимые элементы образуют
мультипликативную абелеву группу.
Если отличный от нуля элемент не является
произведением двух необратимых элементов, то он называется
неделимым.
Два элемента а и Ь называются ассоциированными,
если a — a-bt где а —обратимый элемент.
Теорема 9. Для того чтобы а и b были
ассоциированными элементами, необходимо и достаточно, чтобы
а делилось на b и b делилось на а.
Если а —6-е, то b называется делителем элемента а\
если, кроме того, b и с—необратимые элементы, то /;
называется собственным делителем а (Ь строго делит а)—
b не делится на а1).
Наибольшим общим делителем элементов а и Ъ (И.О.Д.)
называется такой делитель а и Ь, который делится на
все остальные делители а и Ь. Два Н.О.Д. элементов а и b
ассоциированы, и, наоборот, всякий элемент,
ассоциированный с некоторым Н.О.Д., также является Н.О.Д.
Если Н.О.Д. чисел а и b равен I или некоторому
обратимому элементу, то а и /; называются взаимно про-
стыми\ в этом случае в кольце существуют два
элемента и и v> для которых выполняется соотношение Везу
аи -Ь bv = е.
х) Отношение а \Ь (а делит Ь) рефлексивно и транштипно; на
множестве Л+ (или на AJ) оно антисимметрично; частное а/а есть а,
обратимый элемент; таким образом, а/Ь определяет частичный порядок.

//Л Кольца и t/деалы П9
Пусть А— кольцо целостности с единицей;
предположим, что каждому элементу я-/=<) можно поставить в
соответствие p(a)fcW так, что:
a) если а — обратимый элемент, то ь(а) — л(яя);
b) если а — необратимый элемент, то ъ{а)<иШ)\
c) для любой пары (а, Ь) найдется такое q, что
P(a-bq)<P(b).
Тогда А называется евклидовым кольцом\ для любых двух
элементов евклидова кольца А И.О.Д. существусi п и
может быть вычислен.
Пример, Кольцо Z, в котором за р(я) принято
абсолютное значение J а\\
a) для -|-1 и — 1 : р (а) = р (аа) « | а I;
b) для а =£ -f 1, ~ 1 : р (а) ~ | а} < р (аа) ===== I аа I;
г) для любой нары (ау Ь):
a^hq-r г, 0<г<|6!;
p(fl-6?) = irl<p№)«l&|.
В евклидовом кольце необратимый элемент Fie может
быть делителем единицы.
Теорема 10* (Безу.) Пусть даны два элемента а
и Ь евклидова кольца. Рассмотрим всевозможные
отличные от нуля элементы вида d = ka-\- sb\ если для
одного из этих элементов Ь ~ Ка + ob p(d) принимает
минимальное значение, то 8 — И.О.Д. элементов а и Ь.
Теорема II. Если Ъ—Н.О.Д. элементов а и Ь, то
/<о—II,О.Д. элементов Ка и Kb.
Теорема 12. Если k взаимно просто с а и k делит
a-hf то k делит Ь.
Следствие. Вели произведение делится на
неделимый элемент а» то хотя бы один из сомножителей
делится на а.
II 141 II I ■' . ■ ' ■■ ■
1) Понятие гллиного ко.мыи иооетпости с единичным элементом
шире понятия евклидова кольца. См. ниже.

100 Часть 2. Элементы алгебры
Теорема 13. Во всяком евклидовом кольце разло*
женив на множители единственно, пи е.:
1) Всякий элемент такого кольца есть произведение
неделимых сомножителей (будем считать, что
разложение неделимого элемента содержит единственный
множитель):
2) Если некоторый элемент двумя различными
способами разложен в произведение неделимых элементов, то
в этих двух разложениях сомножители находятся в од-
нооднозначном соответствии и ассоциированы.
8. Идеалы в абелевом кольце
Для некоммутативных колец можно ввести понятие
пдеала справа и идеала слева; здесь будут рассмотрены
только идеалы, определенные в абелевом кольце.
1. Подмножество / абелева кольца А называется
идеалом, если:
a) i есть подгруппа аддитивной группы кольца1}
xyy^i=**x~y£i\
b) x£i и а£ Л-*л;-а£ /
или
i а — / для у а 6 А*
Элемент 0 кольца образует нуль-идеал, обозначаемый
(0). Кольцо А является идеалом в А.
Если а — фиксированный, отличный от нуля элемент
кольца Л, и а — общий элемент этого кольца, то при
a£it k(~Z элементы ka и а-а принадлежат идеалу i% так
что
ka -|- а-я£ /.
Рассмотрим теперь элементы вида Ла + а-а, A£Z и
а£ А\ можно показать» что для двух произвольных
элементов такого вида:
1) справедливо равенство
(kxa + at-а) — (k2a + а2-a) = (£, — kz)a + (a, — a2)-a;
i) Отношение' R : x, y£ R.f x—ifC / естьотнишеппеэкшталиптности,
которое можно записать как х"~у (mod JR)*

///, Кольца и идеалы 101
следовательно» {Л^а + а^й} есть подгруппа а аддитивной
группы кольца Л;
2) имеем
V^a-}-<¥*)«: ct2-(a-f a -f .. . -*- a) -f (а^а^а,
Ад раз a2,3tiC ^
xi^y (mod /);
при этом (a2'ai)*fl — 0-й -г Cv^a^a и
а8-я = 0-a -|- a2 a£ a;
откуда a8-(*ia + ai'a)^a» т- e-
Идеал a, порожденный элементом at обозначается (a).
Если А — кольцо с единицей, и k — ke^A, то общим
элементом идеала (а) будет а-я, где а —общий
элемент кольца А\ элементами идеала (а) будут кратные эле*
мента я.
Если идеал А порожден элементом е, А — (е), то его
называют единичным идеалом.
2. Идеал (av a2,. * *, ап ), порожденный п элементами
av ..., яя > называемыми его базой, есть множество эле-
ментов вида
5] (А, а{ + а, а,)
с произвольными kl £ Z, а, £ Л»
Если Л — кольцо с единицей, то общим элементом
кольца будет
а
в этом случае говорят, что идеал имеет конечную базу.
3. Идеал (а), определенный в § Ь называется главным
идеалом.
Кольцом главных идеалов называется кольцо, все
идеалы которого главные.

102 Часть 2. Элементы алгебры
Всякое евклидово .кольцо есть кольцо главных идеалов
и обладает единицей.
Отсюда следует, что можно определить евклидово
кольцо с помощью кольца целостности А и следующих
свойств.
Каждому ненулевому элементу а£ А ставится в
соответствие p(tf)£yVf так что
1) Я'й=^0-^р(а-6)>р(я);
2) в Л для всякой пары элементов (а, Ь) найдется по
крайней мере одна пара элементов (</, г)% таких, что
Ь = a-q -f г
и г -■= 0 или р(г)< р(а).
Теперь легко объясняется алгоритм Евклида для
нахождения наибольшего общего делителя (Н.О.Д.)- Пусть
и«, и ах — два элемента некоторого евклидова кольца;
имеем
a0^arq{ i а% ?(а2)<рК) <*2ф0
а,_, = а, -q{ -|- a*+i Р («/+0 < Р (ai) <*(Ф®
Целые числа р(я,) образуют убывающую последователь
ность; получив ап+\ = 0, положим И.О.Д. элементов о
и ах равным дл, так что
В кольце главных идеалов, являющемся в то же
время кольцом целостности с един и ней, два произвольных
элемента а и 6 обладают наибольшим общим делителем;
Н,О.Д. есть элемент, ассоциированный с одним из
порождающих элементов идеала П.О.Д. (а) и ф) (см. §4).
В кольце целостности с единицей, являющемся кольцом
главных идеалов, разложение на сомножители единственно.
4. Можно определить сумму а + 6 двух идеалов; это иде-ц
ал, образованный множеством элементов вида а -~ Ь\
другими словами, идеал а :--6 порожден элементами объедиис-

IV. Тела ЮЗ
ния идеалов а и 8. Свойства
аса \- 8 п leu л>8,
йа i и £ с: / «* а + 8 cz /,
так что a -L- ^ есть наименьший идеал, содержащий а и
tf; a J- ^ есть Н.О.Д. идеалов а и 8 и обозначается (а, #).
Если а и 8 имеют конечную базу, то и И.О.Д. (а, #)
имеет конечную базу.
Пересечение а П 8 есть идеал, содержащий 0 кольца.
Идеалы
а =) а П 8, 8 з а П 8
являются делителями пересечения и
aczi и 8czi~*aft8zDi.
Следовательно, пересечение, обозначаемое также [а, 8\%
есть наименьшее общее кратное (Н. О. К) идеалов <х и//.
Произведение а 8 двух идеалов есть идеал,
порожденный произведениями а-Ь порождающих элементов этих
идеалов. Это общее кратное идеалов и их Н, О. К. Имеем
а Л- 8zDu[)8zDa{\8^>a-8\
в этой последовательности только й U 8 в общем случае
не является идеалом.
IV. ТЕЛА
Телом называют кольцо с единицей, в котором
каждый отличный от нуля элемент обладает симметричным
относительно мультипликативного закона (обратным,
обозначаемым х' или дг1).
Другой способ определения тела: кольцо называется
телом, если множество отличных от нуля элементов
этого кольца образует мультипликативную группу
относительно умножения.
Таким образом, в теле заданы две группы:
аддитивная и мультипликативная.
Нейтральный элемент сложения — нуль, обозначается
О, нейтральный элемент умножения — единица,
обозначается 1, в тех случаях, когда эти обозначения не
приводят к путанице.

104 Часть 2, Элементы алгебры
Всякое тело К содержит по крайней мере два
элемента (0 и 1) и если a, b£K и 6=^=0, аф0> то
а+6, а — Ь, a-b, a*brx% Ь-а~1
также принадлежит телу /С.
Если мультипликативная группа тела абелева, т, е.
если умножение коммутативно, то тело называется
коммутативным] тогда частное от деления элемента b на
а Ф 0 есть элемент Ыа
Ыа = a~l*b = 6-л"1.
Коммутативные тела называют также областью
рациональности.
Теорема 1. В теле не существует истинных
делителей нуля, т. е, если а-Ь~0 (афО), то b = 0.
Действительно:
or1 .(a-h) = (а-1 -а).6 =« e-b^b = 0.
Во всяком теле решением уравнения
£.* = а (ft^=0)
будет элемент х^Ь~:*а.
Для того чтобы в некотором теле произведение
нескольких элементов равнялось нулю» необходимо и
достаточно, чтобы один из сомножителей равнялся нулю,
Говорят, что тело имеет характеристику п, если
кольцо с единицей, соответствующее его аддитивной группе
и мультипликативному закону» ассоциативному и
дистрибутивному относительно сложения, имеет характеристику я.
Так, кольцо 1!п (п простое) есть коммутативное
тело характеристики п.
Примеры, Рациональные числа, действительные числа,
комплексные числа, рациональные функции1) от одной
переменной с коэффициентами в некотором теле (нулем
является функция, тождественно равная 0» а единицей —
функция, тождественно равная 1) образуют тела.
Q, R, С — коммутативные тела.
1) Рациональной функцией называется отношение двух
полиномов, — Прим. перев.

IV. Тела 105
Теорема 2. Всякая область целостности, состоя*
щая из конечного числа элементов, есть тело.
Пусть дана абелева группа (а, &, с], аддитивный
закон в которой задается табл. 1, совпадающей с таблицей
на рис. 28; в табл. 2 указаны элементы,
противоположные а и Ь\ с — нейтральный элемент.
Зададим мультипликативный закон, определяемый
табл. 3; а — нейтральный элемент относительно этого
закона; элементы а и b являются обратными к самим себе
(табл. 4); умножение ассоциативно, дистрибутивно
относительно сложения и коммутативно. Тогда (а, 6, с) —
коммутативное тело.

обратный
а Ь
а Ь
а
Ь
с
а Ь с
Ь а с
с с с
ТАБЛ. \ ТАБЛ. 2 ТАБЛ. 3 ТАБЛ.4
Если мы заменим а на ((1))» Ь на ((2)) и с на ((0))#
то получим коммутативное тело целых чисел по модулю
3 с нейтральным элементом ((0)) и единицей ((1)).
Другие свойства (коммутативные тела)
1. Для того чтобы два дробных отношения alb и c/d
были равны, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось равенство
ad — be*
Действительно
a/b = a-fr~\ c/d ~ c>drl>
откуда
a-d « a*Qrl-b)<d = (a>b~l)-b-d **
*=c-d-l*b<d = b>{drx-d)-c =*b-c.
+
a
b
a b с
b
С
С
a
a
b


положный

106 Часть 2. Элементы алгебры
Наоборот, если ad —be, то
alb^b-^a =b-'*a-d>d-{ =b-x*b*c>drl =ctd.
При умножении или делении обоих членов
некоторого дробного отношения на один и тот же элемент,
отличный от нуля, значение отношения не меняется. Два
дробных отношения могут быть приведены к общему
знаменателю.
2. Для суммы или разности двух отношений имеем
а с ad ±. Ьс
X ± Т ~ bd
3. Для произведения: -г-- • -т- — а' •.
. Для частного: ~г / -т = —г—.
b ' d b*c
Подтела. Тело» целиком содержащееся в некотором
другом теле, называется подтелом. Наименьшее из
подтел содержит единицу, а следовательно, и все кратные
k-e\ оно называется простым подтелом тела К*
Если тело К имеет характеристику я, то его простое
подтело изоморфно ZM.
Пересечение двух подтел также образует подтело.
Простое подтело тела К есть пересечение всех подтел
этого тела,
Тело Кг, содержащее другое тело К2> называется над-
телом тела /С3.
V. ГОМОМОРФИЗМЫ ГРУПП, колец И ТЕЛ
При всяком гомоморфизме сохраняется
ассоциативность, коммутативность, существование нейтрального
элемента относительно двух законов Т и х, с помощью
которых определяются группоиды, участвующие в
гомоморфизме; всякому элементу первого группоида, симметри*
зуемому относительно закона Т. соответствует элемент
второго группоида, симметризуемый относительно
закона 1.
В случае нескольких законов также сохраняется
дистрибутивность.

V. Гомоморфизмы груши колец и тел 107
Кроме того, гомоморфным образом группы, кольца,
тела будет соответственно группа, кольцо, тело (при
условии, что в последнем случае образ содержит более
одного элемента).
В связи с этим данный параграф весьма важен,
а) Согласованность отношения эквивалентности с
законом композиции.
Пусть в множестве Е определен закон композиции Т
и отношение эквивалентности R.
Говорят, что R согласовано слева с Т. если
a~b (mod/?) и с£ Е-+сТа = elb (mod/?),
и согласовано справа, если
а = Ъ (modR) и с£ Е-*аТс ^ЬТс (mod/?).
Если /? согласовано с Т слева и справа, то говорят,
что R согласовано с Т; при этом
a~^b (mod/?) и c^sd (modR)~+aTc^bJd (mod/?).
Примеры. 1. Всякое отношение эквивалентности,
согласованное слева с законом композиции Т в некоторой
группе Gf равносильно некоторому отношению вида
где g есть подгруппа группы G.
Всякое отношение эквивалентности, согласованное
справа с законом композиции Т, равносильно некоторому
отношению вида
bTa'£g.
Таким образом, если а — общий элемент группы G,
группа разбивается на классы ajg, классы слева> и#Та,
классы справа, по подгруппе g (по модулю g).
Отношение R будет согласовано с законом Т в G
тогда и только тогда, когда
alg^gTa или g^alg\a\
т. е. когда подгруппа g есть нормальный делитель
группы G. Результат факторизации группы G по отношению
R, задаваемому подгруппой g, есть факторгруппа G/g.
2. Отношение эквивалентности R может быть
согласовано с законами + или • абелева кольца А тогда и

108 Часть 2. Элементы алгебры
только тогда, когда оно равносильно отношению вида
Ъ~ а£г,
где i есть некоторый идеал кольца Л,
Множество классов АН есть кольцо,
b) Если существует гомоморфизм между группой G и
группой Н = / (G), образом группы G при некотором
отображении /> то нейтральному элементу е группы G
соответствует элемент е = / (е) группы Я.
По теореме о гомоморфизме, если R есть отношение
эквивалентности, определенное в G отображением /> то
G/R и Н изоморфны. Здесь G/R есть факторгруппа
группы G по отношению R, так что этот изоморфизм
ставит в соответствие элементу з множество прообразов
элемента е: \е}£ G/R.
Пусть R согласовано с законом Т группы G;
используя результаты п. я), можно показать, что:
1) [е] — нормальный делитель группы G;
2) R равносильно некоторому отношению вида
я'Т&£ \е) или ЬТа'£ \е].
Теорема 1. Всякая группа И, являющаяся
гомоморфным образом группы G, изоморфна факторгруппе G/[e\,
где \е] —нормальный делитель группы G, образованный
прообразами нейтрального элемента в группы Н.
Теорема 2, Группа Н является гомоморфным
образом группы G тогда и только тогда, когда Н изо-'
морфна G/g, факторгруппе группы G по некоторому
ее нормальному делителю g.
Группа Клейна, состоящая из 4 элементов, —
нормальный делитель группы А^ При п>4 группа Ап не
имеет нормальных делителейи*
c) Если существует гомоморфизм между абелевым
кольцом2* А и кольцом В= f (Л), образом А при неко-
1) Именно этот результат дал возможность Э. Галуа показать,
что уравнение п-й степени при п > 4 неразрешимо в радикалах.
я) Если А — абелево кольцо, то В также абелево; если А —
кольцо с единицей, то и J3 — кольцо с единицей; но если А — кольцо
целостности, то в общем случае В не будет таковым.

К Гомочорфтмы групп, колец и тел 109
тором отображении /, то нулевому элементу 0 кольца
соответствует его образ 0* = / (0).
По теореме о гомоморфизме, если R есть отношение
эквивалентности, определенное в А отображением /, то
AIR и В изоморфны. Множество AIR — факторкольцо
кольца А по отношению R и изоморфизм ставит в
соответствие множеству |0) ({0}£Л//?) прообразов 0
элемент 0*.
Пусть отношение R согласовано с законами -f и «
кольца Л; учитывая результаты п. а), имеем:
1) |0| — идеал кольца Л;
2) R равносильно некоторому отношению вида
Ь—а£{0).
Теорема 3. Кольцо Д являющееся гомоморфным
образом кольца Л, изоморфно факторкольцу Л/(0|, еде
{0} — идеал кольца Л, образованный прообразами
нейтрального элемента 0* кольца В.
Теорема 4. Кольцо В является гомоморфным
образом абелева кольца А тогда и только тогда, когда В
изоморфно факторкольцу АН кольца А по некоторому
его идеалу i<
Если г — (0), то Л и В изоморфны. Если * — (1), или
/~Л, то В сводится к единственному элементу 0*.
d) Пусть существует гомоморфизм между телом К и
телом ! — /(/(), образом тела К при некотором
отображении /; если L содержит более одного элемента, то
нуль и единица тела К соответствуют при отображении
/ нулю и единице тела JL.
Этот гомоморфизм является изоморфизмом.
Единственными идеалами всякого тела К являются
идеалы г = (0) и i = К.
Замечание. По аналогии с определением
упорядоченных колец тело называется упорядоченным, если»
рассматривая его как кольцо, в нем можно выделить
подмножество /(+ положительных элементов, замкнутое от*
носительно обоих законов композиции и такое, что для
уа£К либо я£/С+, либо ~а£К+> либо а = 0.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
Числа
I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Все, что касается натуральных чисел, читатель
найдет в гл. III первой части.
II. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
Кольцо относительных целых чисел довольно
подробно рассмотрено во второй части. Однако представляется
интересным общее понятие симметризации, позволяющее,
в частности, перейти от натуральных чисел к
относительным целым числам.
1. Симметризация
Пусть дано множество F, снабженное ассоциативным
и коммутативным законом jl; это множество может быть
погружено в некоторое множество £, снабженное
законом Т, индуцирующим на F закон 1, так что каждый
регулярный элемент множества F будет снмметризуемым
относительно закона Т.
Если У7*— множество регулярных элементов
множества F, то можно показать, что отношение
а\Ь* = &ia*, a, h£ F и я*, b*£F*
между элементами множества FxF* есть отношение
эквивалентности, так что выполняется равенство
(а, а*) s(6, b*) (mod /?).

/Л Относительные целые числа
111
Всякий класс эквивалентности С множества FxF*
по отношению R образуется парами (х>х*) и {у,у*)>
связанными отношением R:
(х, х*)э£(у, у*) (mod R),
т. е. такими, что
Х1У* = У1**>
Каждый такой класс полностью определяется парой (х, л*).
Заметим, что:
а) Если x*t у*£ У7*, то
(лЛ**)н~(*А*/*) (mod R)\
и наоборот, если
(а, а*) —(**, a*) (mod R)t
т. е.
то, так как .t* — регулярный элемент, имеем а = а*.
Нейтральный элемент е относительно закона jl на
множестве F регулярен по определению; он
принадлежит F*t и, следовательно,
(х*, **)=- (et ё) (mod R).
9) Пусть теперь даны элементы: a£F и а*,^*^/7*;
в силу свойств закона j[
(aia*, a*)™j(ai6*. 6*) (mod /?),
так как
И наоборот, если
(л\ **) £к (aia*, a*) (mod R),
т. е.
то в случае регулярности элемента а* получаем
х = ajL**.

112 Часть 3. Числа
Положив (a, а*) ~ (aj_a*, а*),
получим
а\а*_[а* «яaj_a* = а,
откуда видно, что а* = е.
Так как элемент е регулярен, имеем
(а±а*> a*)==(a, е) (mod /?).
На множестве FxF* можно определить
ассоциативный и коммутативный закон;
(я, a*)i(bf b*) = (aib. a*j.6*);
отношение эквивалентности R согласуется с этим
законом.
Отсюда следует, что на множестве Е =FxF*/R
существует факторзакон Т, ассоциативный и
коммутативный;
[a, a*]T[b,b*] = [alb. а*1&*].
где [а, а*]—обозначение класса эквивалентности,
определяемого парой (а, а*).
Вследствие а) множество элементов вида
(х, х*)ш(е, ё) (mod R)
есть нейтральный элемент [е, е] относительно закона Т:
[а, а*]Т[е, е] »[а±е, е\а*\ = \а% а*].
Будем обозначать [ete] через е.
Вследствие 3) множество элементов
(а^а*. а*) = (я, е) (mod /?),
где а — фиксированный элемент множества F и я* —
произвольный элемент множества F*, образует класс
эквивалентности по отношению /?; обозначим его через а.
Рассмотрим подмножество А множества £ с общим
элементом а. Это подмножество устойчиво
относительно закона Т, и соответствие между элементами
множеств Е и F,i: a«->a, есть изоморфизм;
соответствующими законами на F и А будут закон j_ и закон,
индуцированный на А законом Т.

//. Относительные целые числа 113
Если а££*, т. е. если а регулярно в /\ то класс
где а* —общий элемент множества £*, обладает
симметричным в £
Действительно
a£F*4 a*£F*-»aia*£F* и а^аГ^а'^Р*
и
[flia*t fl*JTIa*,aia*l =laia*ia*t aia*ja*l — •-
Отождествим элементы множества £ и А и рассмот*
рим множество В элементов множества £, не
принадлежащих подмножеству А Говорят, что В есть
множество, симметричное множеству F относительно закона Х>
и что закон Т получен путем симметризации закона Хна Л.
Таким образом, если дано множество F с введенным
ассоциативным и коммутативным законом х* то можно
построить такое множество £, снабженное
ассоциативным и коммутативным законом Т. и такое
подмножество А этого множества, устойчивое относительно
закона Т, что существует изоморфизм I множества F,
снабженного законом х» на множество А, снабженное
законом, индуцированным на А законом Т. При этом
каждому регулярному элементу множества F ставится в
соответствие элемент множества А, симметризуемый в £
относительно закона Т.
2. Симметризация множества N
Положим F «я N со сложением в качестве закона
композиции; всякое натуральное число регулярно
относительно этого закона, так что F*-*sF =*N. Следовательно,
г _ NxN
и отношение R запишется:
а +6* = Ь + а*, (а, 6, а*. 6*£14).
Рассмотрим, например, элемент (а. а*) ■•« (3,2); он
определяет класс С;
(1,0), (2,1), (3,2), ...~(&. 6*).

IN
Часть 3. Числа
(а, д*)« (5,2)определяет
класс [Ifi]
2
3
4
5
i i
>• ч
О J Z 3 4 5
"з?\
* -ч#
[3,2] +[1,3]= [4 5)
[КО] + [0,2]= [fa
4 :\
v /V
Рис. 35.
Закон, полученный путем симметризации сложения в
N, будет сложением относительных целых чисел, а
множество, полученное после симметризации множества N,—
множеством Z относительных целых чисел, изоморфным
NXN
множеству—^—.
(о,1)(сг)(о,з)(о<4)
-/ -2 -J -4
(3.2) е [Ifi]
(о,!)--1
Рис. 36.
\ * i -д—'■■■■* —L
Если [a, b] — некоторый класс эквивалентности, то:
a) если a>fr, то (а, Ь] = [а — 6,0] отождествляется
с а — b£ N;
b) если я —6, то [а, 6]=: [0,0] отождествляется с 0;
c) если а< ft, то [а, 6]—[0,6 —а], симметричный
к |6 — а,0], отождествляется с 6 — a£N.

///. Рациональные числа 115
Все элементы множества Z симметризуемы;
элементами множества Z являются классы эквивалентности:
{а + х, х] = |я, О], отождествляемый с положительным
целым числом a£N;
[xt х\ = [0,0], отождествляемый с нулем
множества N;
|л:, а + *] = [0, а|, симметричный к элементу [а» 0].
обозначаемый (—а).
Обычно вместо у + ( — х) пишут у—х.
На множестве Z задается отношение порядка х*£у,
xt y(~Z такое, что х < у, если у — x£N; это отношение
линейного порядка, согласованное со сложением
относительных целых чисел.
Напомним, что Z есть кольцо целостности с
единицей, или область целостности.
N.B, Результат симметризации множества N
относительно умножения есть множество Q+ положительных
рациональных чисел.
III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
t. Тело отношений кольца целостности
В коммутативном теле всякое кольцо является коль
цом целостности. Наоборот, всякое кольцо целостности
можно единственным образом, с точностью до
изоморфизма, погрузить в коммутативное тело.
Рассмотрим кольцо F, не сводимое к одному
элементу, и множество F* элементов этого кольца, регулярных
относительно мультипликативного закона и,
следовательно, отличных от нуля. Отношение
есть отношение эквивалентности /? в FxF*, так что
выполняется равенство
(а, а*)« {b, b*) (mod /?).

116 Часть 3. Числа
В FxF* сложение определяется равенством
{а>а*) + (Ь9Ь*) = (а*Ь*+'Ь-а*, a*.fr*)t
а умножение—равенством
(аша*)-(Ь,Ь*)=*{а-Ь, а*-6*).
Эти законы ассоциативны и коммутативны, и второй из
них дистрибутивен относительно первого; отношение R
согласовано с этими законами. Следовательно, на
множестве Е =s FxF*/R можно определить факторзаконы:
[a, a*\ + [bt b*]^\a-b* + b-a*t a*-b*l
[а%а*\- [Ь, Ь*\ =*[а-&, a*-6*j.
Заменим обозначение класса [лс, **] на
лучим
[•?]■ п°-
[!*]•[ 6*
e*fr
a* »6*
Легко проверить, что полученные законы ассоциативны,
коммутативны и второй закон дистрибутивен
относительно первого.
Г-fL. «I 1 —нейтральный элемент относительно
L * J L J умножения;
[—1 = J о] — нейтральный элемент
относительно
сложения.
Всякий элемент |^| обладает симметричным
(противоположным) относительно сложения
и. если x=f=Q, симметричным (обратным) относительно
умножения

IIL Рациональные числа П7
Множество Е— коммутативное тело. Если а —
фиксированный элемент множества F и х* — произвольный
элемент множества F*f то множество элементов
а-х*
X*
образует класс эквивалентности по отношению /?.
Пусть а \\ а* — произвольные элементы множества £.
Элементы
а а*
множества Е образуют подмножество А этого множества,
устойчивое относительно законов рассматриваемого
коммутативного тела и изоморфное множеству F.
Отождествляя классы
"а* а*
я*
с элементами а £ Ft получаем коммутативное тело К,
изоморфное телу Е и содержащее кольцо целостности . F.
Тело К называют телом отношений кольца
целостности F.
2. Тело рациональных чисел
Если F — кольцо Z относительных целых чисел» то
полученное тело К будет телом Q рациональных чисел.
Пусть два рациональных числа X и р приведены к
общему знаменателю двумя различными способами:
если а<с, то и а! <с'; в этом случае говорят, что
Таким образом, определено отношение порядка, и
множество Q линейно упорядочено..

JJ8 Часть 3. Числа
Кольцо Z имеет характеристику нуль; Q есть
коммутативное тело характеристики нуль» положительные
элементы которого образуют Q4..
Абсолютное значение \х\ элемента *£Q равно х,
если х£ Q, и —х, если x$Q+\ имеем
\х\ = 0<->* = 0;
\х-у\ = \х\ . \у\.
IV. АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ
Архимедовой группой называется коммутативная
линейно упорядоченная группа, в которой выполняются
следующие условия:
1) a^b-+a +с< h -\- с для всех с;
2) аксиома Архимеда; уа>0-+ последовательность
\па\ кратных элемента а не ограничена сверху;
3) Va>0-*3&» такое, что 0<6<а.
Аддитивная группа рациональных чисел является
архимедовой группой.
Всякий элемент > 0 называется положительным;
всякий элемент < 0 отрицательным. Если а
положительно, то (—а) отрицательно. Допускается почленное ело*
жение неравенств
а<^Ь и с < d «=* а '- r^ b -i- d.
Абсолютным значением \а\ элемента а называют
максимальный из элементов а и (—а). Имеем
\а\ «а, если а >0; \а\ *ш —а, если а <0;
j а! = 0, если а — О,
и всегда

IV, Архимедовы группы 119
В архимедовой группе для любого а > 0 найдется
такой элемент % что 2 3 -^ а.
Достаточно взять ? из интервала (0,а) и положить
? = Min(7,a — у).
Говорят, что последовательность \ап) (я =1,2 ...)
элементов группы имеет предел а, сходится к а или
стремится к а, если всякий открытый интервал,
содержащий а, содержит все элементы этой
последовательности, за исключением конечного их числа.
Это условие равносильно следующему: для всех е>0
существует такое целое число Л/, что для всех п > N
имеем
\а — ап\ <*.
В архимедовой группе существует убывающая
последовательность ап положительных элементов, предел
которой равен нулю.
Пусть а0 >0 — произвольный элемент. Предположим,
что аЛ_х уже определен, и выберем ап так, чтобы 2ял<
<!ал-1. Имеем
2пап < а0;
последовательность ап убывающая.
Если она не стремится к нулю, то для всякого п
найдется такое Ьч что ап >&, и, следовательно, получим
2*&<2*ая<а0.
что противоречит аксиоме Архимеда.
Свойс тва.
1. lim ап — а~* lim (ап f Ь) ~ а -\- Ь\
2. lim ап ~ 0-^lim \ап\ = 0;
3. lim ап = 6~*liin (~-аП) =—6;
4. lirn хй=0и lim ул = 0-*lim (xn~\-yn) = 0\
5. 31iin хя, л-й> 0-*lim хп :> 0;
ЗИш *„ it Mm //„, хя <//„-* lim *„<lim Уа*

120
Часть 3. Числа
. 6. Если ипр — семейство элементов группы, п и
рпробегают N+l то, вообще говоря, не имеет места
равенство
lim /lim ипр\ = lim /lim ипр \.
Пример. Пусть
11 п» I + (п—р)2 *
имеем lim ипр = 1 и Mm ипр = 0,
Р п
откуда Mm/lim ипр\ = 1 и lim/lim ипр\ = 0.
л V Р ) Р \ п )
Последовательность Кош и.
Последовательность \хп) называется последовательностью Коти, если
каждому положительному элементу г можно поставить в
соответствие такое целое число Л/, что для любых n>/V
и п' > N имеем
Последовательность Коши называют также
регулярной.
Всякая последовательность, сходящаяся к некоторому
пределу /, есть последовательность Коши.
Полная архимедова группа. Архимедова
группа называется полной, если всякая
последовательность Коши элементов этой группы сходится.
Две последовательности \хп) и [уп\ называются
эквивалентными, если хп — уп стремится к 0; говорят
также, что \хп — уп) есть последовательность,
эквивалентная 0.
Свойства регулярных последователь-
нос тей.
1. Всякая регулярная последовательность ограничена
сверху по абсолютной величине.
2. Всякая регулярная последовательность, не
эквивалентная 0, ограничена по абсолютной величине снизу,
начиная с некоторого номера.

IV. Архимедовы группы • 121
3. Последовательность, получающаяся из регулярной
последовательности при удалении конечного наперед
заданного числа элементов ее начала, регулярна.
Отношение эквивалентности последовательностей
разбивает множество последовательностей Кош и некоторой
группы G на классы; эти классы образуют полную
архимедову группу Я.
Рассмотрим множество Е классов эквивалентности.
Две последовательности Коши не эквивалентны, если
существует такое е > 0, что:
1. Для всякого целого п существует целое q > О,
для которого
I Xn+q Уп+q I ^ г»
т. е.
либо xnvq — ynkq>z, либо xnVq — yn.vq<—z.
2. Для всякого а > 0 существует такое N% что для
произвольных n>iV и р
\хп*» — *п\<** \Уп+р~Уп\<а>
т. е.
Хп+р Уп+р *а ^ Хп Уп ^ Хп+р Уп±р \ ^а*
3. В частности, для nyN и р = </, полагая 24 — е,
имеем:
*n+q — Уп+q — 2а<Хп~Уп< Xn+q ~ Уп*р + 2*>
откуда
либо Хп — уп> е — 2а = 6а,
либо хп — уп <—в-f-2а =—6а,
Если хп~уп>О, то хп+р — уп+р > 4а для любого р;
если хп — уа<0> то хп+р — уя¥р< — 4а,
Эти неравенства будут выполняться, начиная с
некоторого номера, и в том случае, если последовательности
\хп\ и \уп) заменить на эквивалентные им
последовательности \хп) и { у'п) .
Таким образом, в множестве классо'в эквивалентности
множества Е получено отношение линейного порядка.

122 Часть 3. Числа
Сумма двух регулярных последовательностей есть
регулярная последовательность. Можно, следовательно,
определить сложение классов эквивалентности:
\[Хп}] + 1{Уп)} = 1\Хп) + { + Уп\1
Эта операция согласована с отношением эквивалентности;
она ассоциативна и коммутативна; для любых X и У
существует такое Z, что
X + Z - Y.
Множество Е образует абелеву группу //
относительно операции сложении. Это архимедова группа;
можно также показать, что эта группа полна.
Теорема 1. Всякая архимедова группа может быть
представлена как подгруппа некоторой полной группы И.
Теорема 2. (О точной верхней грани,) В
полной архимедовой группе всякое ограниченное сверху
множество А имеет точную верхнюю граньу равную
пределу некоторой последовательности элементов этого
множества:
а=* Sup А
п
Предел всякой ограниченной сверху возрастающей
последовательности существует и равен ее точной
верхней грани.
Изоморфизм полных архимедовых групп.
Пусть G и Gf — две архимедовы группы, подгруппы
полных архимедовых групп И и Н\ с сохранением
порядка.
Можно показать, что между нулевым элементом и
произвольным элементом х >0 группы И найдутся
элементы группы G; следовательно, между двумя любыми
элементами группы И расположен по крайней мере один
элемент группы G, и всякая последовательность Коши
\ап\ группы G является последовательностью Коши
группы И.

V. Тело действительных чисел
1!23
Каждый элемент х группы Н совпадает с точной
верхней гранью р множества Л элементов группы (/,
меньших или равных х.
Поставим в соответствие элементу х точную
верхнюю грань х' множества Л'сО', соответствующего
множеству Л* Отображение Г, переводящее х в х',
является продолжением соответствия / между элементами
множеств G и G'.
a) Г взаимно однозначно и сохраняет отношение
порядка.
b) Всякое взаимно однозначное соответствие,
являющееся продолжением соответствия / и сохраняющее
отношение порядка, совпадает с Г,
c) Г—изоморфизм групп.
Теорема 3. Всякий сохраняющий порядок
изоморфизм' 1 между G и G' может быть продолжен, и
притом единственным образом, до сохраняющего порядок
изоморфизма между Н и Н',
Теорема 4. Пусть G — полная архимедова группа.
Для всякого элемента а > О найдется элемент Ь> и
притом только один, такой, что 2Ь =» а.
За Ь можно принять точную верхнюю грань
множества А элементов х, для которых 2x4^ а.
Теорема 5. Для двух полных архимедовых групп
Н и Н' существует изоморфизм групп, и притом
единственный, сохраняющий отношение порядка и
переводящий заданный положительный элемент а одной
группы в заданный положительный элемент а' другой
группы.
Заменив отношение порядка в группе /У на
противоположное, можно показать, что существует
единственный изоморфизм, обращающий отношение порядка и
переводящий элемент а>0 группы Н в элемент а'<0
группы Н\
V. ТЕЛО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Пусть Н — полная архимедова группа. Существует,
и притом единственный, изоморфизм, отображающий
аддитивную группу рациональных чисел на некоторую

124 Часть Л. Числи
подгруппу Нх группы //, сохраняющий отношение
порядка и переводящий число 1 в заданный элемент
группы /У«
Другими словами, во всякой полной архимедовой
группе //'существует подгруппа Hv изоморфная
аддитивной группе рациональных чисел, так что 1
соответствует любому заданному элементу а группы //. Но,
введя умножение, можно рассматривать Пх как
некоторое тело.
Пусть а и Ь—два элемента группы //, \ап\ и \ЬП) —
две последовательности рациональных чисел,
сходящиеся соответственно к а и Ь\ рассмотрим
последовательность
Имеем
an4,'bn+p—an-bn = an+P (bn±p—bn) + (апЧ>—ап) • bn>
и если | ая|< Л и |6Я|< Я, то \cn,p—c^^\an+p\\bn+p^-
—bn\ + I an+p — an\ \bn\ <A'\ bn+p — bn I + B I an+P — anl
Следовательно, [cn] — последовательность Коши;
заменив \an\ и [bn\ эквивалентными последовательностями,
получим
Предел последовательности \сп\ назовем
произведением элементов а и Ь*
Введенное умножение ассоциативно, коммутативно,
дистрибутивно относительно сложения и обладает единицей.
Всякому афО соответствует элемент ху такой, что
а-х=1. Если ап->а, то последовательность \1ап
регулярна и сходится к числу х\ произведение а-х является
пределом последовательности
и равзю единице.
Таким образом, группа //, с введенным в нее
умножением, является телом.

V, Тело действительных чисел J 25
Всякая группа, содержащая тело рациональных
чисел, аддитивная группа которого—полная архимедова
группа, является некоторым телом действительных
чисел] но между любыми двумя телами действительных
чисел существует, и притом единственный, изоморфизм,
сохраняющий отношение порядка и переводящий
единицы этих тел друг в друга. Поэтому обычно
ограничиваются рассмотрением единственного с точностью до
этого изоморфизма тела действительных чисел.
Тело R действительных чисел есть полное
упорядоченное архимедово .тело.
Теорема I, В теле R всякая регулярная
последовательность действительных чисел эквивалентна
некоторой регулярной последовательности рациональных чисел.
Всякая регулярная последовательность имеет предел —
элемент тела R.
Теорема 2. Чтобы последовательность
действительных чисел сходилась к некоторому пределу,
необходимо и достаточно, чтобы она была регулярной, т. е.
последовательностью Коти.
Таким образом, тело R полное.
Теорема 3. Пусть дана бесконечная последователь-
ность замкнутых интервалов 1п, таких, что /Л+1с/т
причем длина интервала 1п стремится к О при п,
стремящемся к бесконечности. Тогда существует, и притом
единственный, элемент, общий для всех интервалов.
Теорема 4. Всякое ограниченное сверху (снизу)
множество действительных чисел имеет точную
верхнюю (нижнюю) грань.
Всякая возрастающая последовательность,
ограниченная сверху, стремится к некоторому пределу.
Мультипликативная группа
положительных действительных чисел.
Теорема 5. Мультипликативная группа F
положительных действительных чисел, упорядоченная
отношением х<у,—полная архимедова группа.

126 Часть 3. Числа
Пользуясь этой теоремой и теоремой 5 гл. IV,
можно показать, что существует, и притом единственный,
изоморфизм между группами F и Н, сохраняющий
отношение порядка п переводящий элемент 1 группы Н в
заданный элемент а > 1 группы F {а положительно в
смысле группы F) или обращающий порядок и переводящий
элемент 1 в некоторый элемент а<1.
Сумме двух элементов группы Н соответствует при
этом изоморфизме / произведение двух соответствующих
элементов группы F:
Если л\ х = p/q, то имеем
</ = /(*)-/
yq
■ шт
откуда т/ у4 — ар/ч
f
1
/
1
«Г/(1)И«лр.
■ ах или у = ах.
В общем случае полагаем
# = /(*) = <** или лг=1обЛу.
Так определяются логарифм и показательная
функция.
Сравнительные свойства группы #л и
группы /?+
Аддитивная группа 7?^ и мультипликативная
группа R+ положительных элементов имеют соответственно
следующие свойства:
R
1. RA — абелева группа,
снабженная отношением
порядка, согласованным
с законом группы:
х< у=*х-уГг<Су-\-г-
1. R^ — абелева группа,
снабженная отношением
порядка, согласованным
с законом группы:

VI. Множество обобщенных действительных чисел
127
2. Между любыми двумя
элементами группы RA
расположено
бесконечно много элементов
этой группы.
3. RA — архимедова
группа.
4. В RA справедлив
принцип стягивающихся
отрезков.
Каково бы ни было сколь
угодное малое е > 0,
найдется такое Ы(г), что при
п > N(s) будем иметь
Уп<хп+*> илиул—*л<1.
2. Между любыми двумя
элементами группы Rj~
расположено
бесконечно много элементов этой
группы.
3. R+j— архимедова
группа.
4. В /?+справедлив
принцип стягивающихся
отрезков.
Каково бы ни было vj>1,
сколь угодное близкое к 1,
найдется такое N(r\)t что
при n>N(r\) будем иметь
Уп .
Уп < *л'V ™и х7 < ^
Группы RA и /?+ изоморфны; благодаря этому
изоморфизму можно определить логарифм и показательную
функцию.
VI. МНОЖЕСТВО ОБОБЩЕННЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ
Дополнив R символами + <*> и —оо, получим мно-
жество R обобщенных действительных чисел. В Rmojk-
но ввести отношение линейного порядка, полагая
дополнительно
— оо ^а, Я -^ + °о» — оо < -f оо
для всех a£R. Имеем
а+°° = оо + а — -f- оо,
а — оо = — оо+а — — оо.
Для любого />> 0, р(~Ч:
Р. (+ оо)^(-|
р . (_ оо) = (-
оо) • р
оо) . р
оо
5=Й — ОО

128
Часть 3. Числа
и для любого q < О, q£ R:
q . (-f- оо) --= (-р оо) • q = — oot
^ . (— оо) = (— оо) • q = + °°-
Множество R не является телом, поскольку оно не
образует группы относительно сложения.
VII. ТЕЛО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
В теле К действительных чисел квадрат всякого
элемента отличен от — 1.
Примем за элементы некоторой новой системы S
пары (а, ft), где а, ft£ К. Имеем
(а, ft) = (с, d)
тогда и только тогда, когда а ~ о и b = d. Определим
сложение равенством
(а, b) + (c9 d) = (a + c, b+d).
Это сложение ассоциативно и коммутативно; оно
обладает единичным элементом (0, 0), и для каждой пары
(а, Ь) можно определить симметричный
(противоположный): (—а, —Ь). Имеем
(а, Ь) - (а, 0) + (0, Ь).
Таким образом, S— абелева группа относительно
сложения.
Умножение определяется сначала для произведения
некоторого элемента (а, Ь) £ S па элемент с£ К:
с-{а> Ь) = (с-а, c-ft).
Имеем
с* [(е. &) + (<*!. М =£• (а,й)+ £•(<*!. &i)
и
(c+rf) • (я, ft) = с • (а, ft) + d • (я, 6).
Полагая (1, 0) = г = ех и (0, 1) = i = £2, запишем
(а, 6) = а*е + ft*/;
такое представление единственно.

VIL Тело комплексных чисел 129
Затем определим умножение двух элементов
множества S:
a) прежде всего имеем:
е-е = е\ e-i = i-e = i\ /./ = t2 = —е\
b) определим попарные произведения элементов ае,
at, be, Ы\
ae-ai=a-a>it ai-be «= a*b-it
ae-be = a-b-e, ai-bi ~ a-b>i% = —a-b-e,
ae-bi = a-b-i> be-bi ~ b-b-i;
c) для двух произвольных элементов:
(а-е + b-i) • (се + d-i) ~ а-с-е2 -\-a<d-e-i -f
Jrb-c*e-i + b-d-i2=^(a-c— b-d)-e -f (0'd -f b-c)-i.
Проверка показывает, что это умножение ассоциативно,
коммутативно и дистрибутивно относительно сложения.
Следовательно, S — кольцо.
Элементы кольца 5 вида а-е образуют систему,
изоморфную телу УС, так как
а*е~\-Ь-е = (а + Ь)-е,
a-e-b-e = ci'b*e-e~a-b*e.
Если заменить элементы такого вида элементами тела
/(, то произведение элемента кольца S и любого из этих
элементов будет иметь сомножителем элемент тела /С:
(c-e)-(a-e-\-b-i) = а-с-е + b-c-i — (а-с, Ь-с).
Всякий элемент кольца S записывается в видео \-b-L
Рассмотрим элемент z—а-\-b-i; элементом,
сопряженным к zt называется элемент
z ~ а—Ь • t.
Имеем
2-2 -.я2 + Ь\
Если 2=^0, т. е. если а и (или) b не равны 0, то
а* + &* ^=0.

130 Часть S. Числа
Обратным к элементу a + b-i будет такой элемент х,
что
(а -1-й-О • х = 1,
откуда (a—b-i)-{a+b-i)*x = а — Ы и
_ а ь
х ~~ а*+ь* — ^Г|.^2 • 1-
Следовательно, всякий элемент имеет обратный
относительно умножения. Определенное таким образом тело
есть тело комплексных чисел.
Взаимно однозначное преобразование z&z является
автоморфизмом тела комплексных чисел
z + ?i « г + гу, {^г) = —z;
Имеем
\г\ = Уаг + 6а,
откуда [г| «= 0 тогда и только тогда, когда 2 = 0,

ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
Линейная алгебра
Г. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Внешний закон композиции
Пусть любому элементу а некоторого множества Е и
любому элементу а из множества Q поставлен в
соответствие по некоторому закону (закону композиции)
элемент Ь множества £.
Множество £2 называется множеством операторов на
множестве Е\ отметим, что здесь речь идет просто об
отображении произведения Qx£ в множество Е.
Примеры. Если Е— множество свободных векторов и
Q — множество действительных чисел, то каждому
скаляру а £ Q можно поставить в соответствие вектор а-К,
V^E\ такой закон композиции есть не что иное, как
умножение вектора на скаляр.
Если Е — множество дифференцируемых функций /,
#, hy ,.. от действительных переменных хи x2f ..., хпл а
ii — множество операторов дифференцирования
д д д
дхх • дх2 • **м дхп •
то паре (d/dxh }) можно поставить в соответствие
частную производную dfldxL.
Свойства. Греческими буквами обозначаются
элементы множества Q, латинскими—элементы множества £.
1. Пусть Т — ассоциативный внутренний закон
композиции в множестве £2; мы скажем, что внешний закон

132 Часть 4. Линейная алгебра
j_ ассоциативен относительно внутреннего закона Т, если
(аТЗ)1* =а1(р1*).
2. Пусть * — коммутативный внутренний закон в
множестве Е\ говорят, что внешний закон j_
дистрибутивен относительно закона *, если
ах (л: * у) = (а±х) * (а!у).
3, Пусть в множестве Й задан внутренний
коммутативный закон Т, а в множестве Е— внутренний закон *,
также коммутативный; тогда, если
(а Т Р) 1Л « (а 1 х) * (?!*),
то внешний закон J_ по определению дистрибутивен
относительно внутреннего закона Т.
Примеры. Знак X обозначает умножение скаляров;
• —умножение скаляра на вектор;
4- —сложение скаляров;
4- —-сложение векторов.
1. (аХ0). К«а-(Р-К),
2. а-(|/1+ 1/2)=а. Vt+OL'Vt,
2, Векторное пространство
1. Пусть К — коммутативное тело е элементами X, щ...
..., и Е — абелева группа с элементами х% у, ... .
Структура векторного пространства над телом К \\ множестве
£ определяется заданием отображения произведения
К х Е в множество Е> при котором каждой паре
(К х)£К х Я,
образованной элементом Х£/С н элементом лт£ С,
ставится в соответствие некоторый элемент Х-л; множества Е;
при этом должны выполняться следующие условия:
(дистрибутивность отображения относительно сложения
векторов);
(X 4-1*) -jc = X • лгТ^'Лг

/. Векторные пространства 133
(дистрибутивность отображения относительно сложения
скаляров);
X • (\у-Х) = (X X jx) • X
(ассоциативность по отношению к скалярам):
е . X = X
(нейтральность действия единицы тела).
Внутренний закон композиции в абелевой группе
обозначен через Т; законы композиции в теле обозначены
-i- и X; отображение произведения К X £ в множество
£ обозначено точкой.
Так как Е — абелева группа, то имеют место
соотношения:
(х Ту) Т z = х Т (у Т г) (ассоциативность);
л:Т0 =* ОТх = х (существование нейтрального элемента)
хТх'=0 (существование противоположного элемента);
л:Ту = уТлг (коммутативность).
Для каждого х£ Е и каждого Х£ /(, обозначив
единичный элемент тела К относительно операции
сложения символом 0, имеем
О- х = 0, X - 0 » 0, (—г) - X - — х\
если X ф О, то X . х = 0 -> л: — 0;
если хфОу то Х- jt =s 0~*Х — 0.
Таким образом, каждый элемент множества К и
множества £, кроме нейтрального, является регулярным
элементом относительно отображения произведения КхЕ
в множество £.
Часто сложение в группе Я и в теле /(, а также
умножение в теле К и отображение • произведения /С х £
в множество £ обозначают одинаковыми символами; это
позволяет записать все перечисленные выше свойства с
помощью только двух знаков: + и •.
Можно рассматривать векторное пространство над
телом как множество, на котором задан бинарный
аддитивный закон, и для каждого Х£/С имеется унарный
закон композиции, сопоставляющий элементу х£Е эле*
мент Х-л;£ £.

134
Часть 4. Линейная алгебра
Наконец, то же самое можно еще выразить
следующим образом: имеется внутренний аддитивный закон на Е
с нейтральным элементом и внешний мультипликативный
закон относительно тела операторов К*
Примеры. 1. Пусть абелева группа с нейтральным
элементом с задается следующей таблицей:
а
Ь
с
Ь
с
а
с
а
Ь
а
Ь
с
Пусть, с другой стороны, внешний закон композиции
задан с помощью тела К вычетов по модулю 3 10» 1,2}
следующим образом:
•
0
1
2
а
0
а
Ь
ь
0
ь
а
с
0
0
0
-V.
0
1
2
0
0
1
2
1
I
2
0
2
2
0
1
•
0
1
2
0
0
0
0
I
0
1
2
2
о
2
1
Используя таблицу сложения и умножения в теле К",
легко проверить, что множество Е =■= (а, Ь, с] есть
векторное пространство над телом /С.
2. Множество векторов плоскости или евклидова
пространства образует действительное векторное
пространство.
3. Каждое тело есть векторное пространство над
самим собой; скаляры и векторы здесь не различаются,
4. Назовем вектором множество, состоящее из п
произвольных элементов тела К", расположенных в
определенном порядке

/. Векторные пространства 135
Числа Aj, х2, ,.., ^называются координатами или
компонентами вектора х. Сложение векторов определяется
формулой
следовательно, нейтральный элемент — это вектор
0=^(0,0, ..., 0).
Если а£/(( то формула
а-х = а • (a'j, a\j, ..., лгл) = (axv olx2, ..., ал:л)
определяет умножение вектора на скаляр.
Пусть ek— вектор, у которого все координаты,
кроме /е-й, равны нулю:
Замечание. Пусть А — унитарное кольцо с
элементами а, 43, .... и Е— аддитивная группа с элементами х,
yt ... ; группа Е по определению образует модуль над
кольцом А, если, кроме внутреннего аддитивного закона
композиции в £, ассоциативного, коммутативного,
обладающего нейтральным элементом и такого, что для
каждого элемента существует противоположный, т. е.
(х + у) + z = х + (у -г г),
х ~Ь у = у Ь л.
л: + 0 = 0-J-Jt — лг,
л: -{■- л:' = ■*'+-*=» 0.
существует еще внешний закон композиции с
операторами из кольца А, удовлетворяющий следующим
условиям:
а • (X -\- у) = а • х + а • у,
(а -|- 3) . л: = а - jc + р • Л\
а . (9 . дт) = (а?) . х.
Существует по крайней мере одна система из п
элементов группы £, uv a<L> ..., ип, такая, что каждый эле-

136 Часть 4. Линейная алгебра
мент группы Е выражается единственным образом в
виде комбинации
п
Если А = R, то Е — R" есть векторное пространство
размерности п над полем R.
Векторное пространство полностью, с точностью до
изоморфизма, определяется кольцом А и своей
размерностью п,
5. Линейные формы:
от п переменных xv .vai ... , хп с коэффициентами \ из
тела К образуют векторное пространств, если операции
определить следующими формулами:
п п
h + /2 = Е ( X] + X?) .х/, а-/ *= 53 (аХ,).*,.
/=.1 /=.!
Пространство линейных форм от я переменных
изоморфно пространству абстрактных n-компонеитных
векторов
6. Тело С комплексных чисел есть векторное
пространство над телом R действительных чисел; точно так
же каждое надтело есть векторное пространство над
данным телом.
Тело действительных чисел есть векторное
пространство над телом Q рациональных чисел.
7. Функциональные пространства являются
векторными пространствами, векторами которых являются
функции. Функции y = f(x) образуют векторное
пространство, если для каждого х сумма двух функций определена
как f{x)-\-g{x), а произведение функции па элемент
а£ К есть a-f(x).

/. Векторные пространства 137
Векторные подпространства. Подмножество
X векторного пространства Е есть векторное
подпространство пространства £\ если для любого закона
композиции в пространстве Е композиция любого числа
элементов множества X есть снова элемент множества X.
Символом К-Х обозначается множество всех
элементов вида 1-х, когда X пробегает все тело /(, а х —
все множество Х\ тогда если имеют место включения
Х-}- X с X и К X X с: X, то X есть подпространство
пространства Е>
Теорема 1. Каждое подмножество X векторного
пространства Е, замкнутое относительно закона
композиции, определенного на £, образует векторное
подпространство над тем же самым телом /С.
Если х и у— два вектора из множества X, а а и |3—
два произвольных элемента тела /(, то вектор а-лг+р-у
принадлежит множеству X. Элемент 0 также
принадлежит множеству X.
Примеры. 1. Вектор 0 образует несобственное
векторное подпространство.
2. Множество линейных форм, зависящих только от
k переменных, есть подпространство векторного
пространства линейных форм, зависящих от л переменных (п > k).
Гомоморфизм двух векторных
пространств, определенных над одним и тем же
телом. Пусть Е и F — два векторных пространства,
определенных над одним и тем же телом К.
Гомоморфизм А пространства Е в пространство F есть
отображение» удовлетворяющее следующим условиям:
a) если xY и у, — два вектора пространства Е и лг2,
Уз— соответствующие им при отображении Л векторы
пространства F, то векторы хг-\-у{ и хгГу^
соответствуют друг другу при отображении Л;
b) для каждого а£/( векторы (x*xt и а-х2
соответствуют друг другу при отображении h.
См. ниже: линейные отображения.

138 Часть 4. Линейная алгебра
Пространство, порожденное множеством
векторов. Пусть X— множество векторов векторного
пространства F. Конечные линейные комбинации
векторов множества X с коэффициентами из тела К
р
образуют минимальное подпространство Я пространства /\
содержащее множество X.
Говорят, что пространство Я порождено множеством
X, а множество X есть система образующих пространства Я,
если \fx^E существуют такие
™ 1* "*2» *"» "*Л v
И
ЧТО
х — Xj • лгх + Х2 . лг2 + ... -г Хл * .гл.
Иначе говоря, множество /(-X есть система образующих
множества Е как абелевой группы.
Пример. Пространство, порожденное вектором я,
состоит из всех элементов вида а я, а£/(.
Пересечения и прямые суммы двух
подпространств. Множество векторов, принадлежащих
одновременно двум подпространствам Ех и Е2
пространства Я, образуют подпространство Ег П Я2
пространства Я, называемое пересечением подпространств Ех и Я2.
Множество векторов xl-]rx2t где хг£ Ех и л:2£Я2,
образует векторное подпространство, называемое суммой
подпространств Et и Я2.
Векторное пространство есть прямая сумма
подпространств Ех, Е2, ..., Еп, если каждый вектор х^Е
может быть представлен единственным образом в
следующем виде:
п
X :=^ a«j Xj (-^/t *-*i)*
Можно написать: Я = Я, ф Е,ф .., ф Ял; имеем:

Л Векторные пространства 139
a) пространство £ порождается множеством всех
векторов подпространств £\, £2, ... , Еп;
b) для того чтобы выражение £ = £1ф£2ф...ф£/г
имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы для
любого ££ (Ь .... л) имело место соотношение
£* П (Я,+ЯИ- -. + £,-1 + £*+1 +... + Еп) = О
для всех #£ |1 • •• л);
c) прямая сумма ассоциативна и коммутативна.
Произведение двух векторных
пространств. Назовем пару z *= (л\ у) элементом множества
произведения; положив
И
а-г = (*•*, а-у) (*££, y£F, а6Ю,
получим новое векторное пространство Н над тем же
телом /(; это есть по определению произведение
подпространств £ и £. Можно написать
* = (■*, 0) + (0, у);
векторы вида (лс, 0) и (у, 0) образуют подпространства
Е' и £' пространства Н, соответственно изоморфные
подпространствам £ и F:
Н - £'0Г.
3. Независимые векторы. Базисы
Пусть даны векторы лгь лга лгп; если можно найти
п элементов а, тела /С, среди которых есть хотя бы один
отличный от нуля, так, чтобы выполнялось условие
п
1т=л I
то векторы хи лг2, ..., хп по определению зависимы.
Каждый вектор х1 может быть выражен через другие.
Если же, напротив, соотношение

140 Часть 4. Линейная алгебра
влечет за собой равенства а/ = 0 для всех t, то векторы
хи х2 хп независимы.
Множество X называется свободным подмножеством
пространства Е (в этом случае говорят еще, что X
состоит из линейно независимых элементов), если каковы
бы ни были различные элементы xv ..., хп из
множества X и каковы бы ни были а,, а2, ..., а„£/( имеет
место импликация
аг-*с "Ь ••• "I" °-п'Хп - 0~*аj — .,. — ал = 0.
Если свободное множество X множества £ порождает
все £, то множество X есть базис пространства Е\
говорят еще, что X есть максимальное свободное
подмножество или минимальная система образующих
пространства £.
Конечным базисом векторного пространства Е
называется конечная система независимых векторов ег,
е2 eni порождающая все пространство.
Каждый вектор х записывается в следующем виде:
л
х = У] хк • ек.
Элементы хк суть координаты или контравариантные
компоненты вектора х относительно базиса eve2 еп-
Такое пространство изоморфно произведению п тел,
равных телу К*
Замечание. Конечный базис существует не всегда
(например, его нет в пространстве действительных
функций от одной действительной переменной); если же
конечный базис существует, то можно найти систему из
п независимых векторов, обладающую тем свойством,
что присоединение к ней произвольного вектора делает
ее линейно зависимой; поэтому данная независимая
система будет максимальной.
Теорема 2. В подпространстве, порожденном п
образующими, каждый вектор единственным образом
представим линейной комбинацией образующих.

/. Векторные пространства 141
Теорема 3. Из системы п векторов, среди которых
не все равны нулю, можно извлечь т (т < п) независимых
векторов, число т не зависит от способа извлечения;
остальные п — т векторов суть линейные комбинации
первых.
Теорема 4. Каждый вектор векторного
пространства, в котором существует максимальная независимая
система векторов, может быть выражен, и притом един-
ственным образом, в виде линейной комбинации этих
векторов.
Лемма. Пусть векторы ylt... ,ур являются
линейными комбинациями векторов xlt х2 л^(/? < q). Если
векторы yt независимы, то надлежащим ооразом
выбранные р векторов из системы \xt\ выражаются в виде
функций от q— р остальных векторов и векторов yv ... ,ур.
Теорема 5 (о размерности). В векторном про-
странстве, удовлетворяющем аксиоме размерности
{существование максимальной независимой системы), каждая
максимальная независимая система состоит из одного и
того же числа векторов (п).
Число п есть размерность или ранг пространства.
Примеры, а) В пространстве, образованном свободными
векторами 3-мерного евклидова пространства, три произ-
вольных некомпланарных вектора образуют базис.
Ь) В npocTjpaHCTBe абстрактных ^компонентных
векторов существует, как уже было отмечено выше, базис,
состоящий из векторов
ег = (I, 0, 0 0), *й = (0, 1, 0,... , 0)
вп =(0, 0, 0 1);
это пространство имеет п измерений.
Замечание. Если Е = Ег(&Е%, то объединение базисов
пространств Ех и Ег образует базис пространства Е.
Теорема 5' (о дополнении до базиса). Пусть
дано пространство Еп и множество т линейно независимых
векторов (т < п). Тогда можно найти п — т векторов

142 Часть 4. Линейная алгебра
такиху что объединение последних с первой системой
дает базис пространства Еп.
Теорема 6. Каждому подпространству Ех
пространства Е можно сопоставить другое пространство Е2
так, что пространство Е будет прямой суммой
подпространств Ег и £2*
Теорема 7. Пусть размерности двух подпространств
Еу и Ег пространства Е равны пг и пг соответственно,
а размерность пересечения Ех[\Ег равна i; и, наконец,
размерность пространства Ею порожденного
подпространствами £\ и Е% (т. е. суммы £хф£2), равна s. Тогда
имеет место тождество
i -)- s = л, + гс2.
Два подпространства Ег и Е2 пространства Е
называются дополнительными, если выполнены условия
a) Я, П Е2 = 0;
b) каждый вектор пространства Е может быть
представлен в виде х{+х2> гАе -*i6£\ и л^^й'
Размерность подпространства, дополнительного к
пространству £,, называется коразмерностью пространства
Et (обозначается codim £,)♦ Имеет место, например,
равенство
codim (Е1 -\- £2) -|- codim (Et П £2) = codim Ег + codim £2.
4. Гиперкомплексные числа
Если А— унитарное кольцо, то векторное
пространство Е над кольцом А с базисом иг% и2 ип есть аД*
дитивная группа; эта группа становится кольцом, если
определить мультипликативный закон ±, ассоциативный
и дистрибутивный относительно сложения и связанный с
внешним законом композиции следующими
соотношениями:
а, ?,... £4; х>у£Е,
откуда имеем

/. Векторные пространства 143
И
Если заданы попарные произведения базисных
векторов
**!*/*= 2*У, ""/•
то каждое произведение х ±у£Е выражается в виде
линейной однородной комбинации базисных элементов.
Элементы с* называются структурными константами
пространства £; так как мультипликативный закон X
ассоциативен, то имеет место соотношение
** 1 («/1»J ~ (и* 1»/) X **•
При выполнении этих условий пространство Е есть
кольцо, называемое гиперкомплексной системой.
Пример, 1. Комплексные числа, Пусть Е — двумерное
пространство, определенное над телом R действительных
чисел; обозначим буквами е и i базисные векторы
пространства £*. Если определить мультипликативный закон
X следующими формулами:
е±е = е. e±i = i, i±e = it H.i^—e,
то пространство Е становится коммутативным унитарным
кольцом.
Отождествление элементов вида а±е с
действительными числами а приводит к изоморфизму тела R с
некоторым подпространством пространства Е\ элементы вида
a + bj^i образуют тело С, изоморфное пространству £.
Для всех a, /?£R имеет место равенство
кроме случая а = Ь — 0, когда а2 + Ь2 = 0. Каждый
элемент из тела С, отличный от нуля, имеет обратный: С
есть коммутативное тело комплексных чисел.
2. Квартернионы. Пусть Е — четырехмерное
пространство над телом R. Пусть е, i> jt k — базисные элементы
пространства Е со следующей таблицей умножения:

HI Часто 4. Линейная алгебра
| е i j к
ее i к
i i -— е U — \
j / —£ —е i
к k f •— / — в
»
Тогда Е будет некоммутативным кольцом; более того,
телом, называемым телом К кватернионов.
Любая другая некоммутативная область, содержащая
тело действительных чисел, уже не может быть телом.
Вообще, когда строится гиперкомплексная система,
обладающая структурой кольца, между базисными
элементами векторного пространства определяется
структура алгебры. Если базисные элементы пространства
составляют мультипликативную группу, то само
пространство является групповым кольцом (групповой алгеброй).
II. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
1. Определения
Рассмотрим два векторных пространства Е и F над
одним и тем же телом /С; отображение Т [фостранства
Е в пространство F называется линейным, если
Т(х1-\-х2)^Т(х1) + Т(х2)
и
Т (а • лг) = а ♦ Т (лг)
для хх> х$, хСЕ и а£/(.
Отображение Т пространства Е в пространство F (не
обязательно взаимно однозначное), согласованное со
структурой векторного пространства, представляет собой
гомоморфизм.
Однородное линейное преобразование, отображающее
Е в F, можно рассматривать как результат применения
некоторого линейного оператора, действующего на Е.

//, Линейные отображения 145
Всякое подпространство пространства Е
отображается на некоторое подпространство пространства F\ в част*
ности, Е отображается на подпространство F' пространства
F, нуль пространства Е отображается на нуль
пространства F. Множество элементов, отображаемых на
некоторое подпространство пространства /\ образует
подпространство пространства £.
Множество Т (Е) ~ F' есть образ отображения Т; Т
сюръективио** (образ Т) = F.
Рассмотрим подпространство //, образованное
векторами л:, для которых Т(х)—0. Если отображение Т
в? ним но однозначно, то И содержит только нулевой
вектор, и наоборот. Взаимно однозначное отображение у —
=s=T(jr)f для которого F' —/\ т. е. взаимно однозначное
отображение пространства Е на пространство /\ называет-
ся обратимым. Обратное отображение х=Т~1(у) также
линейно, т. е. имеют место равенства
т-1 (л) + г1 (л) - г1 (Л + л);
« • Г1 (У) - Г1 (а . у).
Теорема 1. Если Т — линейное отображение
пространства Е в пространство F, то условие Т~1 (0) = 0
необходимо и достаточно для того, чтобы Т было изо-
морфизмом пространства Е на подпространство 1(E)
пространства F.
Отображение Т называется изоморфизмом
пространства Е в пространство F.
Подпространство Т"1^) пространства Е называется
ядром отображения Т; Т инъективно«>(ядро Т) = {0\.
Если линейное отображение не взаимно однозначно,
то при з>о = Т (•*<)) всякий вектор х, для которого у0 =
-^Т(х), имеет вид Хъ-\-е, где е — некоторый вектор
ядра Н. Множество векторов х0 + е называется линейным
многообразиеМу параллельным подпространству Я.
Образы п линейно независимых элементов
пространства Е при линейном отображении Т в пространство F
в общем случае не будут линейно независимыми; но
справедлива следующая теорема

14f> Часть 4. Линейная алгебра
Теорема 2. Если в пространстве F образы
линейно независимы, то соответствующие п элементов
пространства Е линейно независимы в Е;
и также:
если хи хъ ..., хп линейно зависимы в Е> то их
образы при отображении Т также линейно зависимы.
Следовательно, имеет место следующая
Теорема 3. Если Е — векторное пространство ко
ненной размерности р, F — векторное пространство над
тем же телом и Т — линейное отображение Е и /\ то
подпространство 1(E) пространства F имеет
размерность, не большую р.
Теорема 4. Пусть Е и F — два векторных
пространства над одним и тем же телом, и i — изоморфизм
Е на F; тогда, если Е' — подпространство конечной
размерности р'\ то /(£') — подпространство той же
размерности.
Теорема 5. Пусть Е и F — два векторных
пространства конечной размерности п над одним и тем же
телом /С; если линейное отображение Т пространства
Е в пространство F переводит базис пространства Е в
базис пространства F то Т — изоморфизм.
Теорема 6. Если существует изоморфизм
пространства Е размерности п на пространство F, то F
также имеет размерность п.
Теорема 7. Два векторных пространства Еи F над
одним и тем же телом К изоморфны, если они имеют
одинаковую размерность п; они также изоморфны
пространству Кп.
Ранг линейного отображения. Рассмотрим
линейное отображение Т n-мерного векторного
пространства Е в р-мерное векторное пространство F; Т
отображает пространство Е на некоторое r-мерное
подпространство F' пространства F. Число г называется рангом^
отображения Т.
1) Можно также определить ранг как максимальное число
независимых строк или столбцов матрицы, соответствующей данному
отображению.

//. Линейные отображения 147
Для того чтобы отображение Т было изоморфизмом,
необходимо и достаточно, чтобы г = п.
Имеем:
(Ранг Т) — (размерность образа Т);
(Дефект Т) = (размерность ядра Т);
(Ранг Т) Jr (дефект Т) = (размерность £).
Замечание. В следующем параграфе будет показано, что
гДе |j ciy Л— матрица линейного отображения Т»
\ev е2,... , еп\ — базис пространства Е и [fv fz>... ,fp] —
базис пространства F.
Впоследствии будет определен детерминант матрицы
del Т — det |j а^ ||.
Пели тело К упорядочено, то множество реперов
пространства Е может быть разбито на два подмножества,
в каждом из которых det Т сохраняет знак.
Пространство называется ориентированным, если
выбрано одно из этих подмножеств.
Композиция двух линейных отображений.
Рассмотрим три векторных пространства Я, F, Н над
одним и тем же телом К и два линейных отображения
Т и 1 пространства Е в F и пространства F в Н
соответственно. Композиция отображений, или произведение
отображения Т па отображение х* определяется
формулой £ = 1[Т(л:)]; это линейное отображение, вообще
говоря, некоммутативное.
Отображения векторного пространства в
себя. Пусть Т и ± — два линейных отображения
пространства Е в себя. Определим сумму отображений
равенством
(Т +1) (*) = Т (*) + J. (ж)
и произведение а-Т отображения Т на некоторый скаляр
а равенством
(^T)W-a.TW.

148 Часть 4. Линейная алгебра
Линейные отображения пространства Е в себя
образуют векторное пространство, нулем которою является
отображение, переводящее каждый вектор в куль.
Эти отображения образуют кольцо, в общем случае
некоммутативное, с операциями сложения отображении
1 + Т и умножения отображений 1(Т) (кольцо
эндоморфизмов пространства £*).
Невырожденные линейные отображения пространства
Е на себя образуют группу подстановок с операцией
умножения х (Т); это линейная группа пространства Е
(группа автоморфизмов пространства Ер.
Если Ti — линейное отображение пространства Е в
пространство F и Т2 — линейное отображение
пространства Е в пространство /\ то дефект Сильвестра есть
max (дефект Ti. дефект Т2) <
< дефект (TiTi) < дефект Тх + дефект Т2.
Всякое линейное преобразование вида а1£, ас£/С,
называется гомотетией с коэффициентом а; при a=f=0
гомотетии образуют группу гомотетии \
Если тело /<\ над которым определено пространство
£, упорядочено, то при det Т > 0 линейное
преобразование называется прямым] прямые линейные
преобразования составляют группу.
2» Матрицы
1. Матрицей называется всякое семейство элементов
Оц* где i пробегает множество 1,2 р и / —
множество 1, 2,..., л:
1> Элементы линейной группы, определитель которых равен ± 1,
образуют у ни модулярную линейную группу: элементы, определитель
которых равен + I, —специальную линейную группу пространства £.
*) Пересечение группы гомотетий и линейной упимодулярной
группы состоит из гомотетий с коэффициентом =Ь 1.

//. Линейные отображения
149
А = \\аи\\ =
а\{ а\Ъ • • • &1п
аи и22 • ♦ • #2л
^pl ар2 # • • G
/*л
Рассмотрим линейное отображение Т пространства Е
с базисом £р £»,...,£„ в пространство F с базисом /х>
h**"*fP\ оио определяется равенством
Т (<?,) - ^ air ft
i
коэффициенты alf образуют матриц;/ отображения Т в
базисах е$ и /,. Если даны базисы в) и /,, то всякая
матрица \\atf\\ из элементов тела /<\ содержащая р строк
и п столбцов, определяет линейное отображение*
При фиксированном базисе пространства Е коэффи*
циенты atj единственны и зависят только от
отображения Т; они полностью определяют это отображение.
Пусть х—вектор пространства Е:
/
отображение Т переводит его в J (х)
т(-г)»2*у • т^/>- 2/2*</**Л -Л
его координаты в пространстве F
г
и
t _
J
XJ
Рассмотрим подпространство Р, порожденное векто*
рами T(ej); ранг отображения Т равен рангу l{ej). Если
та же матрица \\а^\\ определяет линейное отображение
X векторного пространства £* в векторное пространство
Z7* относительно базисов е* и /* и если для векторов
TfeJ) имеет место равенство

150 Часть 4. Линейная алгебра
то и для векторов ±(ej)
/
Отображения Т н. X имеют одинаковый ранг, равный
рангу матрицы ||а//|.
Рангом прямоугольной матрицы, содержащей р строк
и п столбцов, называется ранг определяемого этой
матрицей линейного отображения векторного пространства
размерности р в векторное пространство размерности
/г над тем же телом, что и рассматриваемая матрица**.
2. Квадратная матрица. Невырожденная матрица. Если
число строк матрицы равно числу ее столбцов, то она
называется квадратной,
Такая матрица определяет отображение «-мерного
векторного пространства в другое /г-мерное векторное
пространство; для того чтобы она была невырожденной, не*
обходимо н достаточно, чтобы ее ранг равнялся п, т. е.
чтобы в случае, когда векторы/i, /2,... ./„ линейно
независимы, то и векторы^ац •/, были независимыми.
Теорема 8. Ранг матрицы равен максимальному
числу строк а столбцов невырожденных квадратных
матриц, содержащихся в данной.
3. Операции над матрицами. Для двух матриц,
имеющих одинаковое число строк и столбцов» можно
определить сумму
А + В~\\а1} + Ь„\\9
и произведение матрицы А на скаляр
Сложение ассоциативно, коммутативно» обладает
нейтральным элементом (нулевая матрица); всякая матрица
М Чаще этот порядок наибольшего отличного от пуля
определителя.

//. Линейные отображения 151
А имеет симметричную (противоположную), элементы ко-
торой противоположны элементам матрицы А.
Умножение матрицы на скаляр дистрибутивно
относительно сложения скаляров, дистрибутивно
относительно сложения матриц, ассоциативно относительно
скаляров; нейтральным элементом относительно умножения
является единица тела.
Множество матриц с р строками и п столбцами
образует векторное пространство над телом К относительно
вышеописанных операций.
Рассмотрим три векторных пространства Et F и Н с
базисами
(ех>..., еп)9 (/!»•.. >fp)< (Aj. ►. -, hQ)\
пусть А — || а,/И» В ~ \\bkl\\ — матрицы линейных
отображений Т » X пространства Е в F и пространства F в
Н соответственно, записанные в этих бачисах; имеем
T(e,) = 2<v/,. к//) = 2^-А*
и
Матрица С отображения IT в базисах ef и ЛА,
называемая произведением (слева) Л на б, имеет вид
c-B/i«ncwii-ii2*»ef;l|.
Для того чтобы произведение двух матриц А и В
было определено, необходимо, чтобы число строк матрицы
Л равнялось числу столбцов матрицы В.
Умножение матриц ассоциативно, дистрибутивно
относительно сложения матриц, если к~- скаляр тела /С»
то
(Х- А)В = А(К . В) -Х- АВ.
\ Рассмотрим линейное отображение я-мерного
векторного пространства в себя. Имеем

152 Часть 4. Линейная алгебра
матрица А = |1 а^\\ называется матрицей отображения Т
в общем базисе eL.
Рассмотрим теперь тождественное отображение yi =
= х1\ ему соответствует единичная матрица
/ = Р</!!.
где Ъц— символ Кронекера, равный 0, если 1ф}9 и 1,
если i — /. Имеем
AI = IA = Л.
Множество квадратных матриц образует кольцо
относительно суммы и произведения (вообще говоря,
некоммутативное, так как АВ Ф ВАр.
Если отображение Т обратимо, то матрица B = \\blk\\
обратного отображения удовлетворяет условию
ВА - АВ - /.
В этом случае пишут 5 = Л"1; матрица В называется
обратной к матрице А.
Квадратная матрица /2-го порядка называется
регулярной, если ее строки, рассматриваемые как векторы
я-мерного пространства, независимы.
Обратной справа (к матрице А) называется всякая
матрица В, для которой В А = /; обратной слева — всякая
матрица В, для которой АВ = /.
Теорема 9. Для того чтобы некоторая матрица
имела обратную справа, необходимо и достаточно,
чтобы она была регулярна; обратная матрица единственна.
Если матрица А имеет обратную справа матрицу В,
то матрица В имеет единственную обратную слева
матрицу А.
Невырожденные матрицы образуют группу
относительно умножения матриц. Имеем
(АВ)-1 = В-1 А~\
Теорема 10. Пусть Е— конечномерное векторное
пространство; для того чтобы линейное отображение Т
пространства Е в себя было взаимно однозначным не-
1) Если АВ = ВА9 матрицы А и В называются перестановочными.

//. Линейные отображения 133
обходимо и достаточно, чтобы матрица отображения Т
была невырождена.
Линейный оператор, имеющий регулярную матрицу,
регулярен. Для того чтобы линейный оператор был
регулярным, необходимо и достаточно, чтобы образы п
векторов, образующих базис» в свою очередь
образовывали базис (см. выше, линейные группы).
5. Матрица А' = || а[. || , определяемая равенством
а'и~ап* п0ЛУчается, если поменять местами строки и
столбцы матрицы А^\\а^]\; А' называется
транспонированной к матрице А\ если А невырождена, то А'
также не вырождена.
6, Рассмотрим два базиса в; и е\ л-мериого
векторного пространства Е\ векторы et выражаются через векторы
базиса е\:
i
Матрица Л-Ца^-Ц называется матрицей перехода от
базиса et к базису е\.
Если хп — новые координаты вектора х, имевшего
координаты х1, то
При выражении каждого вектора исходного базиса
через векторы нового базиса коэффициентами служат
элементы некоторого столбца матрицы А\ при
выражении новой координаты через исходные координаты
коэффициентами являются элементы некоторой строки
матрицы Л.
Если Т —линейное отображение, переводящее
векторы исходного базиса в новый, то матрицей этого
отображения в новом базисе будет матрица А. Матрица А
будет в то же время матрицей преобразования координат
Т в старом базисе.
Назовем В = ||й^|| матрицей обратного изменения
базиса

154 Часть 4. Линейная алгебра
Тем самым В— матрица отображения "Г"1»
переводящего каждый вектор е{ в е\. Имеем, следовательно,
В=*А~\
Если А и В — две матрицы, ассоциированные с
двумя последовательными изменениями базиса, то матрица
С = ВА ассоциирована с результирующим изменением
базиса.
Теорема 11. Если С и С — матрицы некоторого
линейного отображения Т <? базисах et и е\ и А— матрица
перехода от е{ к е'г тоС =* АСА~Х.
7. Две квадратные матрицы А и В называются
подобными, если существует такая невырожденная
матрица С, что В*=СМС\ На множестве квадратных матриц
п-го порядка отношение подобия есть отношение
эквивалентности. Отображение, ставящее в соответствие
матрице А матрицу С~ЧС» является автоморфизмом кольца
квадратных матриц /z-го порядка.
3, Линейные формы
I. Пусть Е — векторное пространство, определенное
над телом /С. Рассмотрим линейные отображения
пространства Е в тело /С, называемые линейными формами на
£; линейная форма на Е есть отображение Т
пространства Е в тело К> для которого справедливы равенства:
Т (xt + дг2) = Т (хг) + Т (х2)
и
Т (а - х) = а • Т (х).
Линейные формы на Е образуют векторное
пространство £*, называемое пространством, сопряженным к про-
странству £. Пусть х—некоторый вектор пространств
ва Е:
п
*«2*''**;
имеем
п п

/Л Линейные отображения 155
где
Щ - Т (в,).
Если е*1 — форма, ставящая в соответствие каждому
вектору лг£ Е его i-ю координату jc'^/C. то
Т(х) = %иге*1.
При этом л форм е*1 независимы и образуют базис
пространства £*, имеющего размерность п.
Всякому базису е{ пространства Е можно поставить
в соответствие некоторый базис пространства £*,
образованный формами е*1. Этот базис называется сопряжен-
ным (или двойственным) базисом. Имеем
e*l(ek)~btk.
И наоборот, если в пространстве £* даны п
независимых форм /lf /2>«..>/„> то существует, и притом
единственный, базис glt gtf.**fgn пространства £, по
отношению к которому базис /lf /gi »..♦/,, является
сопряженным.
Если вектору х с координатами х1 относительно
некоторого базиса пространства £ можно сопоставить форму
с теми же координатами относительно сопряженного
базиса, то пространства Е и Е* изоморфны.
2. Пусть Т —линейная форма пространства Е над
телом /С, е} и ej —базисы пространства £, uf —
координаты формы Т относительно базиса е*К сопряженного
к базису в}, и и\ — координаты той же формы
относительно базиса е*'' > сопряженного к базису ег
По формулам замены координат получаем
и
Т(дг) = L uf* xJ ~ L «■ .*, =Ij £ «/ a,; *'.

156 Часть 4. Линейная алгебра
Таким образом, uf преобразуются по тем же
формулам» что и е»\
V V о
U) = ^j Ъц ■ и( . ut — -j r//°u/-
Говорят, что вектор контравариантен относительно
формы,
3. Двойственность. Пусть Е н F —два
конечномерных векторных пространства над телом /С, и Т (v, w) —
отображение со значениями в /С, определенное для
каждой пары, состоящей из вектора v пространства Е н
вектора w пространства F\ если для каждого
фиксированного v (соответственно w) Т есть линейная форма от
w (соответственно v)% равная тождественно нулю лишь
при v = 0 (соответственно w = 0), то Т (vt w)
определяет отношение двойственности между
пространствами Е и F.
Действительно, можно показать, что каждое из
пространств Е и F изоморфно пространству, сопряженному к
другому.
Всякому вектору v соответствует линейная форма от
w, так что существует взаимно однозначное линейное
отображение Е в F*\ являющееся изоморфизмом в
случае, когда Е и F* имеют одинаковую размерность.
Аналогично получается изоморфизм между £* и F.
В частности если х—вектор пространства £ и ? —
линейная форма пространства £*> то
Т (■*, <р) « ср (х)
определяет отношение двойственности между £ и £*,
т. е« определенный изоморфизм между пространством Е
и сопряженным к нему пространством. Пространства Е
и Е* могут быть заменены одно другим. Отношение
между £и £* симметрично.
4. Теорема 12. Система, полученная приравниванием
нулю линейных форм, определяет в пространстве Еп
подпространство размерности п — г, если ее ранг
равен л
Рассмотрим г форм
ф, (X) ~ ... «* <рг (х) = О

//. Линейные отображения 157
и выберем в Е* базис
(ЧЧ. Ф* Фг. Фг+1» •••» Фя)«
15 пространстве Е базис является сопряженным к этому
базису (еу еп)9 так что базисные формы
выражаются через
с равенствами ц>{ — *,, ср2 = л\2, .... фг = лгг; тогда у
векторов» обращающих <iv <р2, ..., <рг в нуль»
координаты будут такими» что
т. е. это будут векторы из подпространства,
порожденного векторами ег+1 еп.
Можно доказать и обратное утверждение: формы,
обращающиеся в нуль на (п— г)-мерном подпространстве,
образуют г-мерное подпространство пространства £*.
Система форм ранга г, рассматриваемая как система
векторов пространства Е*. порождает г-мерное
подпространство /% пространства Е*, образованное линейными
комбинациями этих форм. Всякому подпространству Fn„r
пространства Е молено поставить в соответствие
подпространство Е*пространства Е*, образованное
формами, обращающимися в нуль на Fn_r Таким образом,
устанавливается взаимно однозначное соответствие между
подпространствами Fn^r пространства Е и подпростран-
ствами Ft пространства Е*. Пересечению двух
подпространств из Е соответствует подпространство из Е*,
порожденное подпространствами, соответствующими
подпространствам из В, и наоборот.
5. Если Е— векторное пространство, то изоморфизм,
связывающий элементы, имеющие одинаковые
координаты относительно базиса пространства и сопряженного к
нему базиса, определяет взаимно однозначное
соответствие между подпространствами Fг и Е„_г пространства Е.
Этот изоморфизм переводит пересечение двух
подпространств в подпространство, порожденное их образами, и

158 Часть 4, Линейная алгебра
наоборот. Такое соответствие называют соответствием
двойственности относительно выбранного базиса.
Если и — вектор пространства Fr с координатами uLt
то подпространство Fn_n соответствующее этому
вектору, образовано векторами v с координатами vl,
обращающими в нуль форму
т. е. такие, что
£ и' v1 = 0.
Два вектора и и v называются сопряженными
относительно базиса е1ч если
Yi u'-v1** 0.
Теорема 13. Соответствие двойственности
переводит всякое r-мерное подпространство Fr в
подпространство Fn„r векторов, . сопряженных с векторами
пространства Fr
4. Линейные уравнения
Система р уравнений с п неизвестными с
коэффициентами из тела К записывается следующим образом:
п
Ц airv*==bl (i = 1,2,..., р),
1. Пусть « = Т (v)~ линейное отображение л-мерно-
го векторного пространства Е в р-мерное векторное
пространство F с матрицей А =* \\а(/ || относительно данного
базиса. Имеем
а
и1 = L а у vK
Таким образом, нужно найти вектор г>, такой, что
T(v) =« Ь где Ь — вектор с координатами Ь*.

//. Линейные отображения 159
Отображение Т ставит в соответствие пространству
Е подпространство F' пространства /\ размерность ко*
торого равна рангу матрицы А.
a) Если b<jzF', что возможно в случае г<р, то
решения не существует,
b) Если bczF, то нужно рассмотреть (п—г)-мерное
подпространство Н векторов, отображаемых Т в 0:
а) если г=п, то отображение Т взаимно однозначно, и
решение единственно;
р) если г</1, то существует бесконечно много
решений вида v+ А. где «— одно из решений, а А — проиэ-
вольный вектор подпространства Н.
2. Рассмотрим формы
п
Ф, (*») = £ atrV (/=1,2 р);
ранг этой системы всегда равен рангу матрицы А =
- II atJ || .
Выберем среди этих р форм г независимых и
перенумеруем их (f>j, ф2 Фг! существует базис,
образованный этими г формами и л —г формами е*Л
обозначаемыми Ы\
фт (V) Фг (г>). Dr+l аЛ.
В этих условиях первые г координат определяются
равенствами
t п
t =1 t=»r+I
Векторы-решения, последние n~r координат
которых произвольны, образуют подпространство
размерности п—г; формы ф,+1 фр выражаются через первые
г форм.
Это необходимо и достаточно для того, чтобы
связывающие их линейные отношения удовлетворялись при
ЬК Всякое отношение
р
2j ,-/.ф/ ^о

1G0 Часть 4. Линейная алгебра
эквивалентно отношению
р
h сгаи = 0 (J = 1. 2,..., л),
1-=!
из которого видно, что с, являются решением
однородной транспонированной системы, получающейся после
замены строк исходной системы на столбцы. Должно
выполняться равенство
II с, Ы = О,
.=|
и если ft —вектор с координатами ft', то ft должен быть
сопряжен относительно выбранного базиса всякому вектору
с того же пространства, координаты которого являются
решением однородной транспонированной системы.
Говорят также, что Ы и сь ортогональны.

ЧАСТЬ ПЯТАЯ
Полилинейная алгебра
I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
1. Факторпространство векторного пространства по
отношению эквивалентности
Пусть Е—векторное пространство над
коммутативным телом К и R — отношение эквивалентности,
обладающее следующим свойством: если а~а\ то \f Ь£Е
и у ^К имеют место соотношения:
a ~r b — а' + bf ,
l*a — \-а'.
Множество всех векторов, эквивалентных вектору а,
образует класс \а\\ обозначим через ЦТ множество таких
классов.
Назовем класс [a -f b\ суммой классов [а] и [Ь] и
класс [Х-а) — произведением класса [а] на скаляр X.
Множество § образует векторное пространство,
которое называется факшорпространством пространства Е
по отношению эквивалентности /?.
2, Тензоры порядка т
Пусть Ех> .,., E,„суть т векторных пространств над
одним и тем же коммутативным телом /С; рассмотрим
элементы вида
8=*tV\ *«).
где

162 Часть 5. Полилинейная алгебра
Отправляясь от элементов g, построим векторное
пространство &, образованное элементами следующего вида:
г
i
Будем говорить, что два элемента А и В простран-
ства & связаны отношением р, если существуют
выражения элементов А и В, сводящиеся друг к другу при
помощи следующих преобразований:
Мг) Если vt а= v, + v\> то элемент .
может быть заменен элементом
(*i ©м. ^i, t>i+1, ©m) +
+ (vlt tfw, v], vM vm)>
Afa) Если tysssX..©!, то элемент
может быть заменен элементом
Будем говорить, что Л~5 в том и только в том слу*
чае, когда существует конечная последовательность эле*
ментов пространства^, в которой первым элементом
является А, последним Вив которой любые два соседних
элемента связаны отношением р.
Можно доказать, что определенное таким образом
отношение ~есть отношение эквивалентности, обладающее
следующими свойствами: если Л~~Л', то
Л-f 5~Л'+В
и
1А~ \А\
Тензорным произведением пространств Ev..., Em на*
зывается факторпространство if пространства & по
отношению эквивалентности — ; элементы Т пространства SF
называются тензорами порядка /л.

/. Тензорная алгебра 163
3. Способ записи тензора Т
Пусть е( — базис в пространстве Ек. Тогда, положив
и
С = [€ ,. • • , С )f
можно записать тензор Т в следующем виде:
Т= £ ... L a meli-"im-
Тензоры е. . линейно независимы и образуют ба-
зио пространства |Г, размерность которого равна
Коэффициенты а" т являются по определению
координатами тензора Т относительно базисов е( et.
В самом деле, пусть g ~(vv-.. , vm)> где
, к k
Применяя к элементу g преобразования Л^), М2) и
полагая
еи , . / в (^/» ■ • ■ • **)»
1 * • " т 1 ш
получим новый элемент
1,-1 t «I ' m «*. .
Элемент
/■
i
определяет новый элемент S (А) пространства /Л эквива*
лентный элементу Л, по формуле:
5И)- V ... V а' • '« .*„...^ (1)

164 Часть 5. Полилинейная алгебра
Отображение А -+ S{A) есть линейное отображение
пространства & в себя; если Л~5, то S(A) = S(B).
Для каждого элемента 5 вида (1) имеет место
тождество S(B) = В. Следовательно, если для двух элементов
L п М вида (1) имеет место равенство S (L) = S (/И), то
L ^= М, и они имеют одни и те же коэффициенты д * " ' т.
4. Произведение двух тензоров
Если тензор Т есть элемент тензорного произведения
w пространств Е1г ..., £т, а тензор U — элемент
тензорного произведения п пространств Flt ..., Fnt то
произведение ТхU есть тензор R, принадлежащий тензорному
произведению m + я пространств £lf.... Fm, Fv*9m, Fn.
Если
и
Т =* 2 Л* /©Л, . . . , ^л\
TO
R — 2 2 X* <y toftf . .. , *v «V даЛ.
V V
Произведение двух тензоров:
a) дистрибутивно относительно сложения
Т х (U, -Ь U2) = Т х Ut + T * U2,
<Т\ + Т2) х U - Т, х U f Т2 х U;
b) ассоциативно
(S х Т) х U ==$ х (Т х U).
Это позволяет определить произведение k тензоров;
IjX Ij X • , .X J ^ ,
В частности, тензор (v v\ есть не что иное.

/. Тензорная алгебра 165
как тензорное произведение векторов v, . .. , я; это
1 т
позволяет записывать любой тензор в виде
г
]£ >.' Vt X v{ к . . . х vk.
I V ///
(—•I
N. В. Знак х, используемый здесь, в работах по
тензорному исчислению часто заменяется символом 0.
5. Свертывание
Пусть в тензорном пространстве & определена
двойственность между двумя пространствами Ek и Ек> ,
порожденная линейным отображением Т (v, v). Обозначим
U *')
через #"' тензорное произведение пространств
Тогда с каждым тензором Т£<8Г порядка m можно
связать тензор T'£iT' порядка m — 2, заменяя в
выражении тензора Т каждый член v х . . . х © членом
m
(tf, V) V X . . . XUH,,. X tlX^X,,. ХФ,
\k k'f I Jfe— 1 *-fl *'<~l Л' + l m
6. Ковариантные и контравариантные тензоры
а) Пусть ^ — тензорное произведение m экземпляров
пространства £. Если в каждом сомножителе Е гзыбрать
один и тот же базис е{% то каждый тензор
пространства SF записывается в виде
п п
I
'"< ек л . . . х е*
m
V V
Т *=• JL . . 2j а ■ • • • »* ех х . . . х е{ .
'■-' '*Г!
Коэффициенты д'«' * •'/» в числе я* суть координаты
тензора Т относительно базиса е{.

166 Часть 5» Полилинейная алгебра
Если произвести замену базиса
et = И a|f| .*,,,
то
т V V V
Л '-. /
. . • - 2. a'1 ' ' ' (m a.» • . . . • a/. • . . . -0/ X . , . Xe/
m
m
и новые координаты тензора Т выражаются через старые
а'** ■" '« = S • . . . • S «#- . . . a/ у * аи ' ■ • '«.
Такой тензор называется m раз контравариантным\
индексы при его координатах располагаются наверху.
Ь) Если в качестве пространств сомножителей взять
пространство £* линейных форм на пространстве Е и
выбрать базис е*п* в Ел , сопряженный с базисом е(, то
получим
п п
Т — 1> ... L а, , в'х... Х(Ч
При замене базиса новые координаты имеют вид:
о!, / = 2j . . . 2j Р/ / • • • Р/ /' • Я/ / i
'» '/л
где I! P^i II — матрица, обратная матрице || a.,t || .
Такие тензоры называются m раз коварыантными\
индексы при их координатах располагаются внизу.
7* Смешанные тензоры
Если в качестве некоторых пространств сомножителей
взять пространство Е, а в качестве остальных —
пространство £*, то соответствующий тензор может быть
записан в виде

/. Тензорная алгебра 167
где V, .. . , v суть /? векторов пространства Ей /, м.» /
1 * 1 /
суть/ линейных форм на Е.
Выбрав базис ^ в пространстве В и сопряженный
базис е*( в Е*> получим
Т ~ Е • . „. • Е ■ Е- , . *Е а',1 > -л х . .. х е{ х
х е1у х ... х е*7'-
При замене базиса имеет место следующая формула:
а , , «^ Zj• . • . • aj * *j • • • •
л • . . /^ ft
. t . • 2j » i . , . a , • P « • • • 3 ' • я!1 # * * i* •
Такие тензоры называются / раз ковариантиыми и k
раз контравариантнымл.
Смешанный тензор можно свертывать; действительно,
так как е*'(е,) — bif% то
Т' s» 2j • - - . • 2j • 2j •. . . • ±j Ъ} i x
- 2 ..... 2 • 2-...-2 (2a'/-->.Mx
x ^ x . , . x et x ev% x ... x e *'j-i.
Если заданы два тензора порядка k, один из
которых А — контравариантный, а другой В — коварнант-
ный, то можно произвести k последовательных сверты-

168 Часть 5. Полилинейная алгебра
ваиий и получить в результате скаляр; такая операция
называется свернутым произведением тензоров А и В.
Если а*1 '* и b. / суть координаты тензоров А
и В соответственно в двух взаимно сопряженных
базисах, то
А х В « И . . . 2j я'1 ' * ■ '* • Ь. . .
Пусть над m векторами некоторого тензора
произведена перестановка S; пусть при перестановке S
множество (1, 2, . . . , т) переходит в (s,, s2t .... sw).
Тензор Т симметричен, если Т$ — Т; для того чтобы тензор
был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы в
некотором базисе имело место соотношение
Тензор антисимметричен, если Ts ~ (— 1)/(5) Т.
где / (S) — число инверсий в перестановке S. Для того
чтобы тензор был антисимметричным, необходимо и
достаточно, чтобы в некотором базисе имело место
равенство
а ш ~ (— 1) а '* '»*.
И. ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА
1. Внешние элементы
I. Пусть & — тензорное произведение т экземпляров
пространства Е над телом /С, рассмотрим два тензора
Тх и Та. Мы скажем, что эти два тензора связаны
отношением о, если можно перейти от выражения одного из
них к выражению другого, совершая над произведением
v X . . . X V, фигурирующим в первом выражении, пе-
I m
рестаиовку двух соседних векторов с одновременной
заменой знака (преобразование S).
Два тензора Тл и Tft эквивалентны, если можно
найти конечную последовательность элементов пространства

//. Внешняя алгебра 169
<f, в которой каждые два соседних элемента находятся
в отношении о. Это есть отношение эквивалентности R на
пространстве $Г\ пусть 8 — факторпространство по
отношению R пространства <$\ Элементы пространства 8t
называемые внешними элементами степени (или
порядка) m векторного пространства £, суть классы
эквивалентных по отношению R тензоров.
2, Пусть Т и U — два произвольных тензора,
принадлежащих классам внешнего элемента А и внешнего
элемента В соответственно. Внешний элемент,
соответствующий произведению Т х U, есть по определению
внешнее произведение А Л В (А на В); внешнее
произведение не изменяется при замене тензоров Т и U на
эквивалентные; оно ассоциативно и дистрибутивно
относительно сложения.
Понятие внешнего произведения распространяется на
произвольное число элементов. Внешнее произведение т
векторов
ш = v Л . ♦ . Л v
\ т
есть класс тензора v X . > . х v. Следовательно, каждый
I т
внешний элемент может быть записан в виде
/—f
инвариантном относительно преобразований S.
Внешнее произведение т векторов, среди которых два
совпадают, равно нулю; действительно, применяя иреоб-
разованне S, получим со — — о>. Если А — элемент
порядка т и В — элемент порядка п% то
А Л В = (— 1)тп В /\А.
Если А — элемент нечетного порядка, то А Л А == 0.
3. Пусть et — базис в пространстве £, размерность
которого равна п\ каждый внешний элемент А степени
т записывается в следующем виде:

170 Часть 5. Полилинейная алгебра
п п
А = Е ... 2j а'1 " "''» е. Л ... Л et ,
где а'* *' '» — координаты тензора Л в рассматриваемом
базисе-
Каждый элемент порядка больше п равен нулю.
Внешний элемент Л едмнствешшм образом
представляется в форме
А - И Л'1 ■'■'«.*,, Л.. -Л V
где it < г2 < . . . < im — индексы, расположенные в
естественном порядке. Элементы
*/, Л > - . Л *,т
в числе С™ образуют базис пространства внешних
элементов степени ш\ числа /Г' *'"'« суть координаты
элемента Л в этом базисе.
Среди всех тензоров внешними элементами являются
только антисимметричные тензоры; их координаты в
базисе et имеют и ид
а'« • • • 'm ^ -L № • '«.
4. Векторы t>, , . . , v линейно независимы, если
v Л . .. Л я 4= 0-
1 Г71
Теорема 1. Каковы бы ни были внешний элемент
А порядка т и вектор V, удовлетворяющие условию
/[ Д у = 0, существует внешний элемент В порядка
т — 1, такой, что
А = В Л v.
5. Назовем k-вектором элемент вида
ш =г г> Д . . . д я.
i а
Если ^ — базис в подпространстве, порожденном
векторами v, . . . , г>, то можно определить коэффициент
i ft
Д по формуле

//. Внешняя алгебра 171
\ к
Этот коэффициент называется детерминантом
векторов vt . . • , v относительно базиса ел
© Л ... Л *
А- ' к
ех л , , , л ^
2. Внешние формы
Можно построить над пространством линейных форм
Ф/ внешние элементы вида
г
ij..P*':<P/ Л ... Л Ф/
на пространстве £.
Каждый такой элемент является линейной формой на
пространстве Е(,П) внешних элементов степени т\ это
есть, следовательно, элемент пространства £*т); такие
элементы называются внешними формами на
пространстве Е.
Пусть А — элемент пространства Е{т), Ф — элемент
пространства Е{т)\ пусть Тх и Т2 — антисимметричные
тензоры, соответствующие элементам А и Ф
соответственно, а тс (Л, Ф) — их свернутое произведение;
положим
Ф {A) *= ml тг (Л> Ф).
Если ее п с*' — взаимно сопряженные базисы в £ и
£* соответственно и
ф' — £ а <?*'' Л .. - Л е
'» • • • 'т
/t<v..< /т
%«
''■"'т
ТО
Ф (Л) - S Л'1 ■ " '»' • В
Если Л в © Л . *. Л 0. то Ф (Л) есть функция от
1 а
А векторов, линейная по каждому из них и изменяющая

172
Часть 5. Полилинейная алгебра
знак при изменении порядка двух соседних векторов:
функция Ф k-линейная и альтернирующая.
3. Детерминанты
В § 1 был определен детерминант О для k векторов
как коэффициент в тождестве
г>, Л . . . Л vk = D ег Л • - - Л ek.
Если иj = L ft/ ■£/ > то можно написать
Ьц • • ■ "и
D _ \bu\ =
^01 • . . Ь
21
U
&ы • • • ^*fc
Число D называется также детерминантом
матрицы Ьц.
Детерминант А форм фь . . . . ФЛ относительно
базиса <?*', . . . , е*Л определяется формулой
Ф1 Л . . . Л Ф* = Л**1 Л ... Л ***;
число Д есть детерминант транспонированной матрицы
II Ьц || . Значит, D = Л.
Теорема 2. Условие D ф 0 необходимо и Поста-
точно для обратимости матрицы.
Детерминант /) есть линейная и альтернирующая
функция от векторов vf: при умножении всех элементов
некоторого столбца на скаляр \ детерминант также
умножается на X; при перестановке двух соседних столбцов
детерминант меняет знак.
Теорема 3. Детерминант произведения двух
квадратных матриц равен произведению детерминантов
этих матриц.
Детерминанты двух взаимно обратных матриц
взаимно обратны.

//. Внешняя алгебра 173
4. Решение системы уравнений
п
Пусть дана система уравнении L я.у х} ~ Ьг Она
(-\
имеет единственное решение тогда \\ только тогда, когда
матрица || а//Г \\ обратима, т. е. когда детерминант
|а4у | *f* 0. В этом случае решение системы дается формулой
*у = —^—, где Dj — детерминант матрицы, полученной
из матрицы Ца^Ц заменой /-го столбца столбцом из чисел bL.
Это правило Крамера,
5. Тождество Лагранжа
Пусть даны векторы
vt ~ fl.t/ ^ ■+-... Jraiki€ik (/=1,2,..., ЛГ, N > k).
Тогда имеем
ю, Л г>« Л . . . Л vk = А,. . ,Л ^ Л «/а Л * • . Л elk,
где D( / —детерминант матрицы, полученной из
матрицы координат векторов vt вычеркиванием всех
столбцов, за исключением столбцов с номерами il$ . . • ♦ ik.
Пусть далее
Ф - Г Я, е% Л . ■ . /\ечК
Мы имеем
Ф<«1 Л- .. Л«*)- ^ б<. ■♦<* • D«..-.v
f, < . .. < Jfc
Пусть теперь А = |j а,у || и fi = || bjj || — матрицы с п
строками и /и столбцами (т ^ п) и С = В' А> где #' —
матрица, полученная транспонированием матрицы В.
При этих условиях справедливо тождество
С\ = 5] А ■ В.
где А и В. , — детерминанты матриц А и В
соответственно, в которых сохранено /я строк с
номерами iv . , . , /и.

174 Часть 5. Полилинейная алгебра
III. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
1. Полилинейные отображения и формы
Отображение Ф (t>,, . . ., vk), зависящее от k
векторных аргументов vlf . . . , vk из пространства £\
линейное по каждому аргументу и принимающее значения в
другом векторном пространстве, называется
полилинейным отображением.
Если k векторных аргументов отображения Ф
совпадают, то получаем однородное полиномиальное
отображение G (v) степени k, связанное с отображением 0).
Отображение вида
Т (v) = G0(v) + Gx(v)+... + Gk (v),
где Gt — однородное полиномиальное отображение, есть
полиномиальное отображение степени k.
В том случае, когда пространство, в котором
отображение принимает свои значения, есть тело скаляров,
говорят, что Ф есть полилинейная форма (G есть
однородная полиномиальная форма и т. д.).
Имеют место следующие выражения для
полилинейного отображения и полиномиального однородного
отображения:
Ф » И . . . £ х\1 . . . *'* Ф (eh е1к)%
G (v) = ' Ц . . ,2 **' . . . л-'* • Ф (eit , ...f e,k),
'А
которые в случае полилинейной формы или однородной
полиномиальной формы можно упростить, так как в этом
случае коэффициенты Ф (е , . . . , е, ) суть просто
числа я^ , .. а, ; эти числа преобразуются таким же
образом, как и компоненты k раз коварнаитного тензора.
Форма называется симметричной, если она не меняет
значения при любой перестановке векторов vlf . . . f vk>
и альтернирующей* если она меняет знак при нечетной
перестановке и не изменяется при четной перестановке.

///. Полилинейные формы 173
% Билинейная форма от двух векторов
Положим a(j = Ф (eL< е^ где е{ — базис; тогда
п п
Ф ^ (и, v) 2 2 atf и1 v*.
Пусть В — матрица замены базиса (£' —
транспонированная матрица) и А — матрица коэффициентов а^\
тогда матрица С новых коэффициентов имеет вид
С = В'АВ.
Ранг билинейной формы не зависит от выбора
базиса; детерминант матрицы ах} есть детерминант формы в
рассматриваемом базисе.
3. Однородная полиномиальная форма, связанная с
билинейной формой
Однородная полиномиальная форма, связанная с
билинейной формой Ф,— это следующая квадратичная
форма:
п п п
g (v) « S S аи vl Ы = 2 аи И2 + 2 (atf+a^t/vf.
Это выражение связано с бесконечным множеством
билинейных форм, для которых сумма а^а^
принимает такие же значения; в частности, с единственной
симметричной формой ф, для которой atj = ап. В этом
случае имеем
п
g (v) - 2 аи И2 + 2 S aif tt vf9
i -I Kj
g (u + v) = g {u) + g (v) + 2cp (й, я).
Ф (a, v) ^ ~ [g (a + v) — g (u) — g (v)].
Форма ф (#f *?) называется полярной формой формы g (v).
Два вектора называются сопряженными (или
ортогональными) относительно билинейной формы ф или отно*

176 Часть 5. Полилинейная алгебра
сителыю билинейной формы \р пли относительно
квадратичной формы gb ассоциированной с ф, если
Ф (и, vy - 0 или g (л, v) = g (и) -\- g (v).
Квадратичная форма называется приведенной в
базисе et, если
Ф (ei9 в;) = 0, i ф /;
для этого необходимо и достаточно, чтобы форма g
имела следующий вид:
п
матрица формы g в этом случае диагональиа; ранг
квадратичной формы равен числу ненулевых коэффициентов
матрицы приведенной формы,
Для приведения квадратичной формы нужно выбрать
такой вектор ел% что g (е{) Ф 0; затем в подпространстве
£„_!, сопряженном с вектором ех относительно формы g,
выбрать другой вектор ег с условием £(е2)ф0 и так
далее. Через конечное число шагов дойдем до
подпространства £„_р, на котором форма g тождественно равна
нулю. Тогда векторы ev е2, . . . , ер и любые п — р
независимых векторов подпространства £л_р образуют
искомый базис.
В том случае, когда детерминант формы Ф0У т. е.
когда ранг формы есть я, подпространство Еп.р
сводится к 0.
Если рассматривается пространство над полем
действительных чисел, то, умножая векторы базиса на числа
Y \ш I» можно представить форму g в следующем виде:
р
V 2
g = L ± v{ ;
существует бесконечное число базисов, в которых форма
g принимает указанный вид; однако число
положительных и отрицательных членов в этом выражении для
данной формы не зависит от выбора базиса.
Квадратичная форма называется положительно
определенной, если в ее выражении этого вида р = п и все

IV. Евклидово пространство
177
члены входят со знаком +; она положительна дли всех
векторов, отличных от нуля. Квадратичная форма поло-
жите льна, если ее ранг меньше п и все члены
положительны (отсюда следует, кроме того, что она обращается
в нуль для каждого вектора подпространства Еп„р).
IV. ЕВКЛИДОВО ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
!. Векторное пространство Еп над телом веществен*
ных чисел называется евклидовым (собственно евклидовым,
см. замечание), если па нем определена квадратичная
положительно определенная форма у, называемая
фундаментальной формой. Каждое подпространство
евклидова векторного пространства есть евклидово пространство.
Полярная форма ш (и, V) фундаментальное
квадратичной формы называется скалярным произведением векторов
и и V] число у (и) есть скалярный квадрат вектора и.
Замечание. Пусть Еп — пространство над телом
вещественных чисел; если задан закон композиции,
который каждой паре векторов и и v ставит в соответствие
вещественное число так, что выполняются следующие
соотношения:
(olU)'V = tt-(av) = ol(u-V),
u*(v -|- w)= u-v + u-w,
u-v = 0 , где и произвольио —> v ~ О,
то пространство Еп евклидово.
Назовем нормой скалярное произведение вектора на
себя; пространство называется собственно евклидовым,
если норма положительно определена.
Так как в большинстве случаев рассматривается
именно собственно евклидовы пространства, то слово
«собственно» чаще всего лишь подразумевается.
Два вектора, скалярное произведение которых равно
нулю, называются сопряженными (ортогональными):
каждому р-мерному подпространству соответствует
(л—^-мерное подпространство, ортогональное к первому: каждый

178 Часть 5. Полилинейная алгебра
вектор второго подпространства ортогонален ко всем
векторам первого.
Ортогональным преобразованием называется линейное
преобразование Т (v), обладающее следующим свойством:
7 («О = Т (Т (V)),
или, что то же самое:
ш (и, ю) = ш [Т (и), Т (v)];
такое преобразование оставляет инвариантными
скалярный квадрат и скалярное произведение.
Множество ортогональных преобразований образует
подгруппу линейной группы; эта подгруппа носит
название ортогональной группы.
Ортогональные преобразования с определителем -[- ]
образуют подгруппу ортогональной группы; это
специальная (или прямая) ортогональная группа.
Прямое ортогональное преобразование Т£0+
оставляет на месте по крайней мере один ненулевой вектор а!);
если пространство Е ориентировано, то существует
единственный изоморфизм ра аддитивной факторгруппы
R/2n:Z на подгруппу прямых ортогональных
преобразований О*, оставляющих неподвижным вектор а. Этот
изоморфизм сопоставляет каждому элементу 0£R/2~Z
ориентированный поворот Pu^tQJ на угол в вокруг
вектора а.
Преобразование ра п есть симметрия оа
относительно вектора а, причем выполняется соотношение
Назовем отражением, или симметрией аа
относительно плоскости, ортогональной к вектору а, произведение
гомотетии 1 (которая преобразует каждый вектор
пространства Е в противоположный) и симметрии ра п
относительно вектора а
°а ^ * Pa,* ^ Patn -
Ь Для пространств нечетной размерности. —Прим переп

IV. Евклидово пространство
179
Каждое преобразование пространства Е вида Т —
: - а ра н t где а — вещественное число, назовем подобием.
Если а > О, то подобие прямое.
(р. состоящая
только из тожд.
преобр.
Гр. прямых
орт. преобр.
Специальная
линейная гр.
Гр. прямых
гомотетии
[р. прямых
ориентированных
подобий
Г)х линейных
прямых npeodpi
Гр. гомотетии с
коэффициентом*!
Ортогональная
группа
-■■*"
Линейная унимо-
дулярная гр.
Гр.
ориентированных гомотетий
Гр.
ориентированных подобий
Линейная гр.
Рис. 37.
Группа преобразований подобия пространства Е и,
следовательно, ее подгруппа прямых подобий есть
подгруппа линейной группы.
п
Если в некотором базисе et имеем у ~ 1а (г/)2,
то
м-Ч
си
(eh ej) — 5,.. ; такой базис состоит из единичных
ортогональных векторов; он называется нормальным (орто*
нормальным).
Координаты вектора v в базисе et есть не что иное»
как скалярные произведения w (Vt ei). Если задан
вектор а£ Е (аф 0) у то V *£ £» проекция на ось вектора
а есть вектор ра{х)у определенный формулой:
Ра (*) =
(|)
(а, *)
а г
а\
эта проекция называется также внутренней компонен
той вектора х относительно а.

180 Часть 5. Полилинейная алгебра
Проекция на плоскость, перпендикулярную
вектору а> есть вектор qa{x) ~х— ра(х)\ она
называется также внешней компонентой вектора х относи-
тельно а (рис. 38).
Рис. 38.
Ортогональные преобразования характеризуются
следующим свойством:
V *
Пусть Л = ||fl^|| и А' = i[fl^|| (транспонированная
матрица Л); тогда имеем
А'А = I (/ — единичная матрица).
Таким образом, отображение, обратное к Tt
определяется матрицей А\
Теорема 1. Для того чтобы матрица была
ортогональной, т. е. ее коэффициенты atj удовлетворяли ус-
лоьшо
i
необходимо и достаточно, чтобы Л'— Л*1.
При ортогональном отображении матрица М
квадратичной формы переходит в матрицу А'МА и ее
определитель остается равным \М\.
Замечание. Если и обозначает фиксированный вектор
евклидова пространства £„, а *>—переменный вектор,
то скалярное произведение uv можно рассматривать как

/V. Евклидово пространство ч 181
линейную форму, определенную на Еп, соответствующую
вектору и. Обратно, каждую линейную форму на Еп
можно рассматривать как скалярное произведение
данного вектора и пространства Еп на переменный вектор v.
Отождествим векторы с компонентами и1 в базисе ех
пространства Еп с элементами, координаты которых суть
и1 в базисе е*1 пространства Еп . В силу этого изомор*
физма пространства Еп и £* отождествляются, т. е.
евклидово пространство обладает свойством
самосопряженности.
2. Пусть заданы k векторов vv v2 vk\ кирпич,
натянутый на эти векторы, есть множество векторов
вида
k
где X, пробегают отрезок [0, 1],
Детерминант векторов vk относительно нормального
базиса et есть протяженность S кирпича; протяженность
нормального базиса равна К Если
k
1=В |
то
что есть просто детерминант, составленный из всех
попарных скалярных произведении векторов vr
Если векторы *?р ..., vn заданы своими
координатами в нормальном базисе пространства Еп, то
и S8= |6у|; это детерминант Грамма.
3. Пусть в пространстве Еп выбран некоторый базис
и в пространстве Ё*п — сопряженный базис; пусть, да-

182 Часть 5. Полилинейная алгебра
лее, g{j—компоненты фундаментальной формы. Можно
отождествить вектор пространства Еп с компонентами //'
+
и элемент пространства Еп с компонентами ui% если
имеют место соотношения
ut = ZtgijW и u! = Z*gIJUj.
! i
Рассмотрим теперь q раз контравариантный тензор Т,
являющийся тензорным произведением q векторов
х{1) х{) ; каждому из этих векторов соответству-
ет определенный вектор пространства Еп* Это
позволяет заменить один или несколько сомножителей тензора
соответствующими векторами пространства Еп : таким
образом, различные (в аффинном смысле) тензоры могут
рассматриваться как одинаковые евклидовы тензоры.
Теорема 2. Различные ковариантные,контравариан-
тные и смешанные компоненты евклидова тензора
сводятся друг к другу умножением на g(j или на g*J и
суммированием; эта операция повторяется один или
несколько раз.
Скалярное произведение
a-v ~ 2mguulv'
инвариантно относительно замены базиса; коэффициенты
gy являются, следовательно, компонентами евклидова
симметричного тензора, который называют
фундаментальным тензором пространства Еп, Имеют место
равенства:
Теорема 3, Числа g{j и g*f суть соответственно
ковариантные и контравариантные компоненты
симметричного тензора — фундаментального тензора
евклидова пространства; числа gl суть его смешанные
компоненты.

IV. Евклидово пространство 183
Метод ортогонализации Шмидта
Пусть (х1$ х2 хр) — система р линейно
независимых векторов евклидова пространства Рп(р-4^п) и Up—
соответствующее подпространство.
Мы построим систему векторов:
Ур ** К Уг + К?* +-+X7,vi+^
обладающую следующим свойством; каждый вектор у,
ортогонален ко всем у, предыдущим.
Сначала должно выполняться условие
откуда
Ь| У?+ •*»•*= 0, где у^О.
Определив отсюда \ получим вектор у2.
ортогональный к у! и отличный от нуля; система (ylf х% хр)
линейно независима.
Условия Уз#У1 — 0 и Уа-Уг — О сводятся теперь к
соотношениям
^J\*+ ■*** = 0 (^=/=0).
Определенный таким образом вектор уа удовлетворяет
поставленным требованиям.
Продолжая этот процесс, получим систему ненулевых
и попарно ортогональных векторов (ylt у2, ... t у ),
Остается разделить каждый из этих векторов на его
модуль, чтобы получить ортоиормальный базис
пространства U р.

184 Часть 5. Полилинейная алгебра
V. ЛИНЕЙНОЕ ИЛИ АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО
Рассмотрим множество Р элементов, называемых
точками, и векторное пространство Е. Каждой паре (Р1% Р2)
точек множества Р поставлен в соответствие вектор
Р\Р* пространства Е так, что выполнены следующие
условия:
1) вектор РХР2=^0 тогда и только тогда, когда
точки Рх и Р2 совпадают;
2) справедливо равенство треугольника (равенство
Шаля):
для всех точек Ри Р2, Р3 множества Р\
3) если задана точка Рг множества Р, то каждому
вектору v пространства Е отвечает точка Рг множества
Р, такая, что Р\Рг = <0\ при этом точка Р2
единственна, и, кроме того, для каждой пары (Р19 Р2) выполняется
тождество
Тогда множество Р называется линейным или
аффинным пространством, или еще точечным аффинным
пространством. Если пространство Е n-мерно, то то же
самое говорят о пространстве Р.
Говорят, что векторное пространство Е ассоциировано
с пространством Р. Элементы из Е носят название
свободных векторов\ векторы вида РХР% называются
связанными векторами.
Система, состоящая из точки О пространства Рп и
какого-нибудь базиса векторного пространства £, состав*
ляет репер пространства Рп.
Можно еще определить аффинное пространство (Р, Е)
заданием отображения произведения РхР в Я,
сопоставляющего каждой паре (Р1$ Р2)£,РхР вектор РгР2
пространства Е так, что выполняются условия: 1) уРх£ Р
отображение Т (Рг) множества Р в Я, сопоставляющее
точке Р2 вектор Рх Р2 ££*, есть биективное отображение
пространства Р на Е\ 2) имеет место равенство
треугольника.
Непустое множество 8 точек из Рп образует
аффинное подпространство, если какая бы ни была точка

V. Линейное или аффинное пространство 185
0£ 8 множество векторов ОР, связанных со всеми
точками множества 8> образует подпространство векторного
пространства £. Аффинное подпространство называется
также линейным подпространством или линейным
многообразием.
Каждое линейное многообразие содержит вектор 0 и
все линейные комбинации a'lv,(i— 1, 2 р), где р —
размерность многообразия 8. £амо пространство Рп
является я-мерным линейным многообразием.
Пример. Аффинные подпространства одного и двух
измерений точечного аффинного пространства в обычной
геометрии суть не что иное, как прямая и плоскость в
пространстве.
Точечным евклидовым пространством называется то*
чечное аффинное пространство, ассоциированное
векторное пространство которого евклидово. Подмножество X
аффинного пространства Р называется решеткой, если
3^4£^ такая, что ГА(Х) есть дискретная подгруппа
пространства Е.
Пусть (Pv Ex)t (Р^Е2) — два аффинных пространства;
отображение / называется аффинным отображением
пространства Р, в Р2, если существует линейное
отображение ф : Ег -> Е2 и две точки Ai и А2 в Рг и Я2
соответственно, удовлетворяющие условию:
Отображение ср однозначно определено функцией /; оно
называется линейным отображением, ассоциированным с
/, и обозначается символом /. Для того чтобы
аффинное отображение / пространства Рх в пространство Я2
было биективным, необходимо и достаточно, чтобы би-
ективным было /.
Множество биективных аффинных преобразований
образует аффинную группу.
Эквиаффиннай называют группу, состоящую из
аффинных преобразований» удовлетворяющих условию
dot / = ± 1.

ЧАСТЬ ШЕСТАЯ
Полиномы
1. Полином
Под полиномом в наиболее общей ситуации1)
понимают счетную упорядоченную систему элементов
некоторого абелева унитарного кольца Л, среди которых лишь
конечное число элементов отлично от нуля
следовательно, значения, принимаемые элементами
полинома Р в кольце Л, начиная с некоторого места, равны
нулю.
Два полинома Рг и Р2 равны, если они состоят из
одних и тех же элементов.
2> Операции над полиномами
Сумма двух последовательностей \а{\ и {&,] есть
последовательность {fl^-f-ftjl; эта операция коммутативна»,
ассоциативна, обладает нейтральным элементом
(О) -(0, 0, ... f 0},
и для каждого полинома Р определен симметричный
(пли противоположный) полином Р\ такой, что
т Р' + Р = Р 4 Р! = {0}.
!> Ниже мы встретимся с обычным определением.

Часть 6. Полиномы 187
Следовательно, полиномы образуют аддитивную абе-
леву группу относительно внутреннего закона сложения.
Произведение полинома Р на элемент X кольца А
определяется формулой
>.Р —),.(а0, ait ..., дЛ, •.«) — (Ха0, ..., Хая, ...}.
Имеем
M^i + Р.) ==*-/\+ *•/>,,
Х.((л.р) = (Х.|л).Р,
«.р-л
Это внешнее умножение ассоциативно и дистрибутивно
относительно сложения в кольце Лив аддитивной
группе полиномов.
Положим
ak sss (0f 0, ..♦, О, 1» 0, .♦.),
где k-й элемент отличен от нуля; тогда можно написать
Р«{а,1=а0(1, О, О, .-0 + М0. Ь 0, ...) + ... +
+ ал(0, 0, .,., О, 1) — а0а0 + а1а1 + ...+алал»
где коэффициенты а, предполагаются равными нулю при
/> п.
Определяя затем операцию a^-az формулой ал-о^ « аАН,
можно положить
Xе «U, 0, 0, ... ], л:1 — jc = {0, xt О, ...},
а-2- (0, 0, х\ О, ... |. ...,
тогда имеем
Р = 'Mi) — во*0 + агхг + ...-{- a,,**.

188
Часть 6. Полиномы
В этом случае последовательность \at} называется
полиномом степени п от переменной ху а числа at —
коэффициентами полинома.
Произведение двух полиномов Рх и Р2, где
^«Фо. av —» ап\ и **•—№о. Ьг Ьп),
определяется формулой
Р{ Рг = {аф0; афг + atb^ a0b2 + а1Ь1 4 аф0; ...].
Из приведенной ниже таблицы видно, что для
вычисления коэффициентов произведения PiP^ достаточно
а,
аоЬа
?ob'i
9оК
а
/
.?Л
9fo
9tbe
аА
а
ч
а,
№
9гь'\
агьг
°А
9&
*А
<**h
аА
взять сумму диагональных членов (отмеченных
пунктиром).
Это умножение ассоциативно, коммутативно и
дистрибутивно относительно сложения
Р, Рг — Р2 Р,;
и
так как
Рх (Рг I Ра) = Pft + Wv
J*-0
/■•о
f—О /«о
Нейтральным элементом относительно этой операции
служит элемент
х° = {1, 0, .... О, ...} (а - *<>) : Рх° « *°Р « Р.

Часть 6. Полиномы 189
Справедливо также
[0)Р = Р[0} = 0.
Все полиномы, кроме нулевого, регулярны
относительно введенного умножения.
Имеют место равенства
Произведение двух полиномов есть второй
внутренний закон композиции, ассоциативный, коммутативный,
дистрибутивный относительно сложения и обладающий
нейтральным элементом.
3. Векторное пространство. Кольцо полиномов
1. Множество 5° полиномов Р от одной независимой
переменной образует векторное пространство над
кольцом А, так как это множество образует аддитивную абе-
леву группу относительно первого внутреннего закона
(сложения), и существует внешний закон композиции с
операторами из кольца Л —умножение полиномов на
элементы унитарного кольца А.
2. Множество 3* полиномов Р от одной переменной
над кольцом А образует абелево унитарное комцо так
как множество есть аддитивная абелева группа относи
тельно первого внутреннего закона (сложения), и
существует второй внутренний закон (произведение двух
полиномов), ассоциативный, коммутативный, дистрибутивный
относительно сложения и обладающий нейтральным
элементом.
Замечание. Нет необходимости брать в качестве
переменных *°, х1, ,.., хп элементы из того же абелева
кольца (не обязательно унитарного), из которого
берутся коэффициенты а0, av .„, ап. Достаточно выбирать
переменные из множества Е% в котором определен
ассоциативный закон, обладающий нейтральным элементом,
сопоставляющий отличному от нейтрального элементу
xfE систему элементов х° » в, х1 = х} хг, ..., хп, где
л£ N. Элементы *°, х1 ..., хп образуют подмножество
FczE. Тогда имеем

190 Часть 6. Полиномы
Если у£Е и уфх, то абелево кольцо А [у]
изоморфно кольцу А [х\.
4. Степень полинома
Степень полинома Р = \а0, аг, .... ап, ♦ ..}, где ah ~0
при А>/г, есть наибольшее неотрицательное целое
число я, для которого ая=£0. Степень определена для всех
полипомов, за исключением полинома (0), степень кото*
рого не определена; степень полинома #0^=0 есть нуль.
Теорема L Степень суммы двух полиномов,
отличных от нуля, не превосходит максимальной степени
слагаемых:
deg(Рг + Рt)<max(degРх, degР%).
Теорема 2. Степень произведения двух полиномов-
не превосходит суммы степеней сомножителей:
deg(P1P1)<degPI+degP1.
Если k — положительное целое, отличное от 1, то
абсолютная величина полинома Р определяется
следующим образом:
\А\ = 0 для А = {0}
и \А\ « kn, где л = deg А.
Тогда имеем
М|.|В|»|В|-|Л|Р
М±В|<тах(| Л| |В|)<|Л| + |В|.
5. Кольцо полиномов над областью целостности
Если А—область целостности» то кольцо А[х\
полиномов от одной переменной есть также область
целостности.
Степень произведения двух полиномов в этом случае
равна сумме степеней сомножителей.
Можно образовать тело отношений кольца А\х\.
Рассмотрим множество всех пар (Л, В) полиномов А и В с

Часть 6. Полиномы 191
условием ВфО. Это есть некоторое подмножество
произведения ^Х J\ Отношение (Л, В) эквивалентно (А\ В')
тогда и только тогда, когда
АВ' ~ВА' (В, В'фО)
есть отношение эквивалентности (рефлексивное,
симметричное и транзитивное); оно разбивает множество 3*хЗ*
на классы эквивалентности — отношения полиномов
А/В » A'IB' (Я, В' фО) <■> АВ' - В А'.
Множество Т отношений полиномов образует тело,
так как в °J определен аддитивный закон, относительно
которого множество Э* является абелевой группой, и
мультипликативный закон, дистрибутивный
относительно сложения и также порождающий в множестве У
структуру абелевой группы.
в. Евклидово кольцо полиномов нал коммутативным
телом
Кольцо полиномов К[х) от одной переменной над
коммутативным телом К есть область целостности.
Пусть заданы два полинома А(х) и В(х) кольца
К[х\, степени которых равны р п q соответственно.
Тогда в кольце К\х\ существуют полиномы Q(x) и R(x)
со следующими свойствами:
A{x)=*B(x)-Q(x)+R(x).
где degR(х)< degВ(х) или /?(л:) = 0, если В(х)фО>
Если р < qt то R « А и Q — 0; если (/=0и п
произвольно, то Q = А/Ь0 и R = 0, если р > q >0, то
положим
Ах (х) - А(х) -iaJbJ'Bixhx™
и степень рл полинома Ах не выше р— 1. Если px<q,
то можно положить /? — Ах и
Q3^ ajbq-x™.

192 Часть 6, Полиномы
Если же рг > q, то, продолжая применять евклидов
алгоритм деления, мы обязательно найдем в кольце К[х]
полином Q(x) со следующим свойством:
A{x) — B(x)-Q(x) = R(x)
где R (х) — полином из кольца К\х) степени ниже, чем q.
Кольцо К\х\ евклидово.
Полином Рх(х) делится на полином Р2(х)> если
существует Q{x) в К \х\ такой, что
Py{x)=*Pt{x)-Q{x).
Множество элементов тела /С, отличных от нуля,
образует множество обратимых элементов кольца К \х].
Говорят, что два полинома Р, и Р2 ассоциированы,
Р\^Р* если
Рх=*а-Р^ а£К.
В качестве представителя класса ассоциированных
элементов можно выбрать полином, у которого
коэффициент при старшем члене есть е; в этом случае говорят,
что выбран нормализованный полином.
7. Идеал
Непустое подмножество 3 кольца К[х], обладающее
следующими свойствами:
1) А{х)% В(х)£3->А(х) — В(х)£Э,
2) А{х)^3 VР(х)£К[х]-»Р(х)А(х){:3,
называется идеалом кольца К [х].
Теорема 3. Каждый идеал 3 кольца К\х] либо со*
стоит только из нулевого полинома, либо содержит
бесконечно много полиномов А{х)^3. отличных от
нуля.
Теорема 4. Пусть А(х) и В(х) — два произвольных
полинома кольца К[х\, множество V линейных комби-
наций
S (х) А (х) + Г (х) В (х),

Часть 6. Полиномы 193
где S и Т пробегают все кольцо К[х], образует идеал
кольца К [х].
Теорема 5. Два произвольных полинома А и В
обладают наибольшим общим делителем Dt определенным
с точностью до обратимого элемента; каждый общий
делитель полиномов Л и В делит также и полином D,
Полином D есть линейная комбинация полиномов А и В,
Наибольший общий делитель (Н. О. Д.) есть
нормализованный элемент класса D.
Теорема 6. (Безу.) Для того чтобы два
полинома А и В были взаимно простыми, необходимо и
достаточно, чтобы существовали такие полиномы S0 и Т0,
что
S0A + Т0В = е.
8. Неприводимые полиномы
Полином называется неприводимым над телом /С,
если не существует его разложения на сомножители
меньшей степени, которые принадлежат кольцу К [х].
Теорема 7. Каждый полином может быть
представлен в еиде произведения обратимого элемента на
неприводимые нормализованные полиномы.
Если полином есть константа или если он
неприводим, то теорема тривиальна. Говорят, что
Р, (х) = Ра (jc) (mod М (х))
в том и только в том случае, когда Рг и Я2 имеют один
и тот же остаток R(x) при делении на М (х).
Теорема 8. Классы вычетов кольца К[х] по моду-
лю М{х) образуют факторкольцо К [х\/М (х).
Теорема 9, Кольцо К\х\/М(х) есть тело тогда и
только тогда, когда полином М(х) неприводим. В этом
случае тело вычетов есть надтело тела /С; оно
называется алгебраическим расширением тела К*

194 Часть 6. Полиномы
Например, если К — тело вещественных чисел, то,
обозначая символом / образ элемента х в факторкольце
К[х]/(х2 + 1)» получим надтело К\ изоморфное телу
комплексных чисел.
Операция образования надтела называется формаль*
ным присоединением.
Элемент х0 тела К или надтела К называется нулем
полинома Р(х) из кольца К\х], если Р(х0)~0. Имеет
место тождество
Р (х) - Р, (*) • (х — х0) + R. где R - Р (х0).
Если каждый полином кольца К \х\ имеет в К нуль,
то каждый полином кольца К\х\ степени п имеет п
нулей в К\ это позволяет утверждать, что
неприводимыми полиномами в теле К являются только полиномы
первой степени. В этом случае тело К называют
алгебраически замкнутым
Теорема 10 (Даламбер.) Тело комплексных
чисел алгебраически замкнуто.
9. Тело разложения
После конечного числа формальных присоединений
можно найти надтело Ж тела К. в котором полином Р(х)
степени п, неприводимый над телом К. будет иметь п
нулей. Это надтело называется телом разложения поли-
нома Р(х).
10. Производная полинома
Производную полипома Р(х) можно определить как
такой полином Р'(х), для которого справедливо
тождество
Р(х + у) — Р (х) « у. Р' (х) (mod if).
Теорема 11. Для того чтобы элемент а был
нулем полинома Р(х) кратности ц, необходимо и
достаточно, чтобы
Р(а)~Р'(а)~. . . = Р^1)(а)-0, Рт{а)ф0.

Часть 6. Полиномы 195
Ненулевой неприводимый над К полином не может
иметь кратных нулей ни в каком надтеле тела /(.
11. Матрицы и поли омы г
Пусть Л —квадратная матрица и /—единичная
матрица; определим матрицу /(Л) формулой
/(Л) = а0/ + а3Л + . . .апАп.
Далее, пусть /(х) — полином от переменной х,
коэффициенты которого принадлежат коммутативному телу
А\ и Т — линейное отображение некоторого векторного
пространства над К в себя; тогда, заменяя в /(*)
переменную х на Т. получим
f(T)^a0E -\-агТ + . - .алТл.
где Я—тождественное отображение.
Таким образом, если Л —матрица отображения Т в
некотором базисе, то /(Л) есть матрица определенного
выше отображения ДТ)*
Теорема 12. Если А{х)=^В(х) С(х). то
Л(Т)-5(Т)С(Т)-С(Т).б(Т).
С другой стороны, отправляясь от тела
рациональных дробей от одной переменной х с коэффициентами из
тола действительных или комплексных чисел, можно
определить матрицы, элементами которых служат
полиномы, — полиномиальные матрицы.
Каждая полиномиальная матрица единственным обра
зом представляется в виде
г
А «* V Akxk = F(x)
с точностью до членов с нулевыми коэффициентами.

196 Часть б. Полиномы
Каждый член полинома А может быть представлен
как полином степени г
где
А - 1|JV||.
Если А = F(х) — квадратная матрица порядка (пхп),
то для любой постоянной матрицы В порядка (пхп)
можно положить
где В0 =* /.
1) Если F(x) и G(x) —две полиномиальные матрицы
и Я (х) — их произведение (первой на вторую), то,
вообще говоря,
И (C)4°F(C)G(C)t
где С —постоянная матрица; всегда
О(С)«0-*Я(С)-~0.
2) Пусть А (х) ~ \\аи(х) || — полиномиальная матрица
и С—такая постоянная матрица, что Л(С)==0; тогда
детерминант матрицы А (С) равен нулю.

ЧАСТЬ СЕДЬМАЯ
Приведение линейного
отображения
Рассмотрим векторное пространство Я, являющееся
прямой суммой двух своих подпространств F и G. Пусть
линейное отображение Т пространства Е в себя
отображает подпространства F в F и G в G. Обозначим через
TV и То ограничения отображения Т на
подпространства F ъ G. Тогда имеем
Т (v) = Та- (*Ч) + Та (ttf.
где v =■ ^ + гу, ^i€ F* v%€ G-
Пусть» далее,
A=\\ai}\\ и Я - || bt] ||
суть матрицы отображений Tf и То в базисах
ft(i= I...., р) и #у (/=• 1. ••-.?)
тогда матрица С отображения Т имеет вид
«11
ар1
• • ■
* • •
0
<*iP
РР
Ьп
а
0
• • • ^i?
# • • •

198 Часть 7, Приведение линейного отображения
Это позволяет свести изучение отображения Т к
изучению отображений TV и Т<; .
В том случае, когда исходное пространство может
быть разложенным в прямую сумму одномерных
инвариантных относительно отображения Т подпространств,
имеем
Найдем такой ненулевой вектор V, что Т (v) = X v (X—
скаляр). Пусть А — матрица отображения Т в некотором
базисе и / — матрица тождественного отображения 8\
рассмотрим уравнение
| А — X/ | = 0.
Полином ф(Х) степени п% стоящий в правой части этого
уравнения, имеет п корней X/, которые называются
собственными значениями матрицы А\ для этих значений
X,- отображение Т —Х,£ необратимо и существует такой
вектор V, что
(Т — X/ 8) (V) = 0 или Т (V) = X, v.
Вектор v называется характеристическим или
собственным вектором отображения Т.
Теорема 1, Для того чтобы для данной
квадратной матрицы А порядка п существовала подобная ей
диагональная матрица, необходимо и достаточно, чтобы
собственные векторы матрицы А составляли систему
образующих n-мерного пространства, на котором
определено линейное отображение, соответствующее мат-
рице А
Если корни полинома ср(Х) различны, то имеется п
векторов V}(i' — 1, 2,... ,/z), удовлетворяющих условиям
Т (Vf) = X; V}.
Эти векторы линейно независимы, и прямая сумма
порожденных ими подпространств совпадает со всем
пространством Е,
Пример. Дана матрица:
Г 4 2 "
. I 3 J.
ее характеристический полином

Часть 7. Приведение линейного отображения
99
Г 4-Х
1
2
3- X
= 0,
т. е. X2 — 7Х+ 10 = 0 и собственные значения 2 и 5.
Теперь имеем
г4 21 (х ) , (х
У \ I У
где
чение.
У
— собственный вектор и X; — собственное зна-
Для Х/з=2:
Для X/ = 5:
Ах + 2у = 2х
х + 3у = 2у
4х + 2у — 5х
х + Ъу*=Ьу
Отсюда находим собственные векторы:
Отметим еще, что матрица
1/3 —2/3
и
2
1/3
обратная к матрнис
С =
есть матрица замены базиса
1
'2 0 '
0 5
П'З
1 3
2/3*1
1-3
1/3
2 "•
1
Г 4 2
I 3
А
1 2
1 I
-X/
нива
Характеристический полином ц> (X) =
рнантен относительно замены базиса.
Теорема 2. Пусть Е разложено в прямую сумму
двух, своих подпространств F и G. инчариантных
относительно отображения Т Тогда характеристический
полином отображения Т есть произведение
характеристических поличомок отображений Т/- и То

200 Часть 7. Приведение линейного отображения
Лемма Гамильтона — Кэли. Если ф(X) —
характеристический полином отображения Т, то
отображение ф (Т) переводит каждый вектор в нуль*
Другими словами, если Л —матрица отображения Т
в произвольном базисе, то ф(Л) есть нулевая матрица.
Теорема 3. Пусть характеристический полином
отображения Т разлагается в произведение двух взаимно
простых полиномов [(К) и g(X) над телом комплексных
чисел. Тогда пространство Е разлагается в прямую
сумму двух инвариантных подпространств F и G, для
которых полиномы fug, определенные с точностью до по-
стоянного множителя, являются характеристическими
полиномами отображений Tf и То .
Если применить эту теорему должное число раз, то
можно прийти к разложению исходного пространства в
прямую сумму инвариантных относительно Т
подпространств. При этом отображения, индуцированные
отображением Т на каждом из этих подпространств, имеют
характеристические полиномы, не разложимые в
произведение двух взаимно простых полиномов; другими словами,
все корни каждого из этих полиномов совпадают.
Пусть [л— общее собственное значение такого
отображения, у которого имеется т равных собственных
значений. Положим
М = || Т - ц ё II
на m-мерном подпространстве £'; характеристический
полином запишется в виде
ф (Ц = о* - }^т-
В силу леммы Гамильтона—Кэли Мп = 0. Пусть г (г <л) —
наименьшее целое число, для которого УИГ = 0 и Я£- —
подпространство пространства £', образованное всеми
такими векторами х, что М'" (Jt) ■-0; тогда имеют место
включения
[0] -ЯоС^с.^сЯ.-Я'.
Отображение М переводит каждое подпространство Hi
на предыдущее H(.v а подпространство Нх в 0,
Определим подпространство F( формулой

Часть 7. Приведение линейного отображения 201
Тогда М взаимно однозначно отображает подпространство
F на подпространство M(F)\ при этом выполнены
соотношения: M(F)czHi^ и M(F)[\H^t = 0.
Пусть, далее, подпространство Кг определено
формулой
Е^Н, = НГ_>®КГ.
Далее,
Н,-г = Я,-, ф М (К,) © /С,., = Яг ф /^,
» т. д.,
Я, = ^0^1
и, наконец, /(, определяется условием
Некоторые подпространства Ki могут быть нулевыми.
Теперь мы имеем
"м = "/-10Л№)0*м
и, полагая F^x = M(F/)0 K^lt получим
Hi-i = Hi-2©Fhl.
Подпространство Er разлагается в прямую сумму
подпространств Е( следующего вида:
Е^К^МОСдФ-'-фМ'-ЧКй (/-1, 2 г).
Каждое подпространство Ef инвариантно
относительно отображения Т
М(х) = T(jc)— !**££,.
Теперь достаточно изучить отображение Т в каждом
из подпространств Еь
T(x)£Et.
Пусть 35 — базис в К{> при отображениях М, Л42,...
этот базис переходит в базисы пространств M{Kt)>
М" (/С/),. •., Ml~l (Ki)'t совокупность этих базисов будет
базисом в £,.

202
Часть 7. Приведение линейного отображения
Пусть ел — вектор базиса 3&\ положив
AJ (ех) = е2 >М (ем) = еь
получим
М (et) = 0.
Обозначим через х1 координаты вектора х в /-мерном
пространстве /\ порожденном векторами ev е2,... , ^;
пусть /у' — координаты вектора Т (х). Тогда имеем
М (ег) — е2. откуда II Т — [j. е || ^ =*= еа,
и, следовательно,
Т (et) = вп + а^.
Таким образом, имеем соотношения
Т (ег) = е2 -г (A ^
Т few) « е, ~|- p. eMf
1 {et) - ue,.
Если x — xle} -|- дг2е2 -f ... + xlel% то
T (x) =» (x *'£, f (p*2 + a:1) e2 -f . • . ■+ (ja *' -f *M) <?,,
откуда
у1 = (лл:1, ;/2 — л:1 + |jla:2 у1 = л:'"1 + {а*'. (1)
Можно положить у =* ;! /I, || •■*, где
М,] =
IX о .
1 (X .
О 1 .
.0 о
.0 о
.0 о
10 0, |х о
о о
1 I*
матрица с характеристическим полиномом (у. — X)' (она

Часть 7, Приведение линейного отображения 203
содержит / строк); такая матрица называется матрицей
Жордана.
Матрица индуцированного отображения на
подпространстве Е1 может быть приведена к виду
w-
здесь по диагонали расположены жордановы матрицы
[Л/] в количестве р;; р, — размерность пространства /С,.
Матрицу В( этого вида называют приведенной к жорда-
новой форме.
Матрица отображения Т в пространстве £" содержит
рг клеток порядка г, рг_г клеток порядка г ~ 1 ,..., рх
клеток порядка 1 (состоящих из единственного
элемента (*)
Pi Л- P*-f.. • +рг^-т.
Числа рцРъ . . **рг суть размерности пространств ///.
При г= 1 на главной диагонали стоят всюду числа
1Ь а на остальных местах — нули; в этом случае
отображение является гомотетией с коэффициентом \i
ул.= ju;1, у2 -- цлг*, ... , у1 — jut'.
Пространство Е распадается в прямую сумму своих
подпространств Е\ каждому из которых соответствует
некоторое собственное значение отображения Т. На
каждом из подпространств Е' индуцированное отображение
может быть приведено к жордановой форме.
Обратно, существует отображение Т,
соответствующее приведенной матрице с собственным значением X, и
существуют такие неотрицательные числа рч что
Pi Н-2ряН-. . . + гр, = т.
В самом деле, пространство Е может быть
представлено как прямая сумма подпространств Е\ в каждом из
*1
0
■ ■ ■■
0
0
0
Ai
-
0
0
0
0
к1 ■" -
ч
\
N
Ч
ч
1
0
0
h

204 Часть 7. Приведение линейного отображения
которых рг векторов преобразуются посредством
гомотетии, рг групп из двух векторов преобразуются по
формуле (I), где / =*2,... ,р„ наконец, рг групп из г
векторов преобразуются по формуле (1), где / = л
Собственные значения эрмитовой матрицы, т. е. та*
кой, что &ц —о>$ (в частности, вещественной спмметрич
ной), вещественны. На каждом подпространстве,
соответствующем некоторому собственному значению,
отображение приводится к гомотетии.

ЧАСТЬ ВОСЬМАЯ
Топологические понятия
Топология занимается изучением предельных
переходов и непрерывностью.
I. ОСНОВНЫЕ понятия
1. Базис фильтра. Фильтр
Непустое семейство 38 подмножеств множества Е
называется базисом фильтра1) на Е% если выполнены
следующие условия:
1) пересечение двух подмножеств» принадлежащих
семейству 38> тоже принадлежит семейству Ш\
2) пустое множество не принадлежит семейству ffi.
Отсюда вытекает, что пересечение конечного числа
подмножеств множества 3&9 принадлежащих семейству «#,
не пусто.
Примеры. 1, Пусть А — точка плоскости Р.
Рассмотрим семейство множеств, каждое из которых состоит из
внутренних точек прямоугольника, содержащего точку А.
Это семейство образует базнс $; в самом деле;
а) пусть /?! и #2—прямоугольники, содержащие
точку A (Rl и /?а —два множества семейства Jj)\ пересече-
') Важно отметить, что базис фильтра на множеств Е есть
подмножество множества $> (Я), по не множества Е.

206 Часть 8. Топологические понятия
ние /?хЛ/?2 всегда содержит прямоугольник /?3, который
содержит точку А;
, (Р)
Рис. 39
6) каждый прямоугольник содержит точку А\ поэтому
пустое подмножество плоскости Р не принадлежит
семейству $.
2, Пусть множество Е упорядочено отношением с;
финальной частью S(s) и множестве £ относительно
элемента s назовем множество всех таких элементов х> что
sc х и s£ £«•*.*£ S.
Рассмотрим множество £, в котором для каждых двух
элементов существует по меньшей мере одна общая
мажоранта; тогда множество финальных частей образует
базис фильтра на Е.
Например, подмножества в множестве натуральных
чисел» каждое из которых состоит из всех чисел >./г.
Два базиса $х и 3i2 иа одном и том же множестве
эквивалентны, если каждое множество семейства 3ix
содержит некоторое множество семейства $2, и наоборот.
Пример. Множество всех открытых дисков
(множество внутренних точек круга), содержащих точку Л,
образует базис, эквивалентный базису, рассмотренному в
примере 1; эквивалентный же базис образуют открытые
диски с центром в точке А и радиусом \1п (л —целое).
Если 3S — базис фильтра на Е, то множество всех
таких подмножеств из £, которые содержат по крайней
мере одно из множеств семейства S, есть фильтр,
порожденный базисом 3d на £.
Пример, Базис, рассмотренный в первом примере,
порождает фильтр, состоящий из всех множеств, которые
содержат диск с центром в точке А,

/. Основные понятия 207
S
Для того чтобы два базиса были эквивалентными,
необходимо и достаточно, чтобы они порождали один и
тот же фильтр.
Любой фильтр удовлетворяет следующему условию:
каждое множество, содержащее некоторое множество
филитра, принадлежит этому фильтру. Каждый базис
фильтра, удовлетворяющий этому условию, совпадает с
порождаемым им фильтром.
Пересечение двух множеств фильтра принадлежит
фильтру.
Один из двух фильтров на одном и том же
множестве считается более тонким, чем другой, если каждое
множество первого фильтра принадлежит другому.
Пусть на множестве Е имеется фильтр ЗГ и пусть А—
непустое подмножество в £. Пересечения множеств
фильтра У- с множеством А образуют семейство множеств $а ,
являющееся фильтром на А в том и только в том
случае, когда пересечение множества А с каждым
множеством фильтра У не пусто: говорят, что фильтр Тл
индуцирован фильтром У на множестве А.
Если ig — базис фильтра на множестве Е и Т —
отображение множества Е в F, то образ Т (38) семейства Ш
есть базис фильтра па F.
Образы эквивалентных базисов эквивалентны. Образ
фильтра является базисом фильтра, но не всегда
фильтром.
Фильтр, образованный дополнениями к конечным иод-
множествам в множестве натуральных чисел, носит
название элементарного фильтра'): этот фильтр порожден
подмножествами, каждое из которых состоит из всех
чисел >'Я. Образ элементарного фильтра при отображении
множества N на бесконечную последовательность [хп ),
/г£1Ч, элементов множества Е называется элементарным
фильтром, ассоциированным с последовательностью хп ;
этот фильтр порожден семейством множеств Sn , каждое
из которых состоит из всех xky таких, что k^>n.
Теорема 1. Если некоторый элементарный фильтр
обладает счетным базисом, то существует
элементарный фильтр, более тонкий, чем исходный.
х) Он называется тлкже фильтром Фреше.

208 Часть 8% Топологические понятия
Расположим счетный базис фильтра У в
последовательность [Ап ) и рассмотрим пересечения
п
Вп = n Л*;
ft=:0
множества Вп составляют базис фильтра У и Вп+Х с: В,!;
пусть ап — произвольная точка из Вп . Тогда
элементарный фильтр, ассоциированный с последовательностью
1в« }• будет более тонким, чем фильтр У.
Произведение фильтров У/ на множествах £/ (f —
= I, 2,..., п) есть по определению фильтр на
произведении множеств Е[9 имеющий в качестве базиса
семейство множеств вида AY X ,.. х Ап , где И,-£ Тi для
каждого t.
Пример. Множества Ап , состоящие из таких пар
(р, <у), что р!>я, <7>п в множестве N х N, образуют
базис фильтра — произведения двух фильтров,
тождественных элементарному фильтру на N.
2. Топологическое пространство
Говорят, что х стремится к а(а%х£Е), если можно
найти фильтр на £, все множества которого .содержат
точку а; эти множества называются окрестностями
точки а.
Топологическое пространство1) есть множество Е, с
каждым элементом х (называемым также точкой)
которого связан фильтр У (лг); при этом все множества этого
фильтра должны содержать точку х (т. е. являться
окрестностями точки л:); кроме того, должно быть
выполнено следующее условие (V): для данной окрестности
V (х) точки л: существует такая окрестность W (х), что
V (х) является окрестностью каждой точки из W (х)ч
Фильтр У (х) называется фильтром окрестностей
точки х\ для его задания достаточно для каждой точки х£ Е
задать базис 31 (л:), который будем называть базисом
окрестностей точки х.
) См. также стр. 215.

/. Основные понятия 209
Условие (V): пусть дана окрестность V(x)£SB (х).
Если существует такая U?0c) £$(*), что для каждой
точки y^W(x) можно найти окрестность V(y)£3ft(y),
содержащуюся в V (*), то фильтр *f(x) удовлетворяет
условию (К).
Рис. 40. Рис, 41.
В множестве вещественных чисел открытые интервалы,
содержащие точку xt образуют базис фильтра; они могут
быть взяты в качестве базиса окрестностей точки х и
удовлетворяют условию (V), так как открытый интервал
есть окрестность каждой своей точки. Соответствующее
топологическое пространство называется числовой
прямой.
В л-мерном вещественном пространстве R" можно
рассмотреть открытые /г-мерные интервалы (открытые
параллелепипеды), представляющие собой множества точек
с координатами ^(t«l, ..., л), удовлетворяющими
неравенствам а7 <*'<£'; каждое из этих множеств есть
произведение п открытых интервалов, расположенных на
п числовых прямых.
Базис окрестностей произвольной точки состоит из
открытых л-мерных интервалов, содержащих эту точку;
этот базис удовлетворяет условию (V).
Другие базисы, определяющие ту же самую
топологическую структуру, составляют замкнутые л-мерные
интервалы, содержащие рассматриваемую точку, открытые
шары с центром в точке а радиуса R
£ (х> - аО2 < R*>
i
где а' —координата точки а, а также соответствующие
замкнутые шары.

210 Часть S. Топологические понятия
Если в множестве £ в качестве базиса окрестностей
точки х взять единственное множество, сводящееся к
самой этой точке, то окрестностью точки х будет каждое
множество, содержащее точку х: говорят» что на Е
определена дискретная топология.
3. Метрическое пространство
Пусть каждой паре (а, Ь) точек множества Е
поставлено в соответствие вещественное число р(а, Ь)%
называемое расстоянием, которое удовлетворяет следующим
условиям:
р (а> Ь) — р (b> а), р (а, а) = 0
и
р(а, 6)<р(а, с) + р(с. Ь)\
такое топологическое пространство называется
метрическим1).
Открытый (замкнутый) шар Br (а) (соответственно
В&(а))с центром в точке а и радиусом R есть множество
точек х, удовлетворяющих неравенству: р(дс, a)<R
(соответственно р(х, a)<^JR).
Открытые шары с центром в точке а являются
окрестностями точки а и составляют базис фильтра £.
Пусть
V(x)~BR{x)~W(x)\
для каждой точки y^V(x) положим
V{у) **ВН-НХчУ) (у).
Тогда для всех z(~ V (у) имеем
р(лг, 2)<р(*. #)+р(*Л z)<R.
Если в /z-мерном числовом пространстве расстояние
определить формулой
Р(л. ft)-l/S(fl,-A')i ■
]
то оно становится метрическим пространством.
• > Аксиома p(at а) » 0 часто заменяется более сильной:
о (а, />) = 0 4.^ff — ft.

/. Основные понятия 211
Диаметром множества является верхняя грань
расстояний между двумя его точками; множество
ограничено, если его диаметр конечен.
Рис. 42,
Рассмотрим вещественные функции на некотором
множестве £; если для двух функции fug положить
Р(Л 8) = sup |/(дг) — £(*)|,
где верхняя грань берется по всем х из множества Я, то
получим некоторое (функциональное) топологическое
пространство.
Отображение Т метрического пространства в себя,
сохраняющее расстояния, т. е. такое, что
р[Т(а), Т(6)]-р(а, Ь)%
называется изометрией.
Изометрии пространства Е составляют группу.
4. Предел. Отделимое пространство
Говорят, что базис фильтра Й? на топологическом
пространстве Е сходится к точке А, если каждое
множество базиса окрестностей точки А содержит множество из
$\ другими словами, если фильтр, порожденный базисом
$, более тонкий, чем фильтр окрестностей точки Л,
Точка А называется в этом случае пределом
(предельной точкой) базиса 5В.

212 Часть 8. Топологические понятия
Аксиома Хаусдорфа. Для того чтобы каждый
фильтр на Е имел не более одного предела, необходимо
и достаточно выполнение следующего условия (Н):
Какими бы ни были две различные точки х, у
пространства Е , существует окрестность точки х и
окрестность точки у у не содержащая общих точек.
При выполнении этого условия пространство Е
называется отделимым (или хаусдорфовым).
Метрическое пространство отделимо1) тогда и только
тогда, когда из р (а, Ь) *= 0 следует а = Ь.
5. Точка прикосновения. Точка накопления
Точка х топологического пространства £, каждая
окрестность которой содержит хотя бы одну точку
подмножества X пространства £, называется точкой
прикосновения множества X.
Замыканием X множества X называется множество
всех его точек прикосновения.
Пересечения окрестностей точки х с множеством X,
для которого точка х является точкой прикосновения,
составляют фильтр, сходящийся к точке х.
Точка у множества А. обладающая окрестностью, не
содержащей других точек из Л, называется
изолированной точкой множества А.
Точка х называется точкой прикосновения фильтра
5*, если она является точкой прикосновения каждого
множества фильтра У. Предел фильтра является точкой
прикосновения этого фильтра. Множество всех точек
прикосновения фильтра, называется замыканием фильтра: это
просто пересечение замыканий множеств фильтра.
Точка х топологического пространства Е называется
точкой накопления множества X из £, если она
является точкой прикосновения множества X П С \х) 2).
Каждая точка из X, не являющаяся его точкой
накопления, изолирована. Точка накопления некоторого
множества не всегда принадлежит этому множеству.
х) Ясно, что каждое метрическое пространство отделимо, если
принять для расстояния аксиому примечания (1) п. 3.
2) В нашей литературе такие точки называют предельными. —
Прим. перев.

/. Основные понятия 213
6. Отображения н функции
Пусть f(x) — отображение множества Е в
топологическое пространство F и «У— фильтр на Е. Точка y£F
называется пределом отображения f по фильтру Т (у =
= lirn/ (х)), если образ ЗВ фильтра 5* ($ есть базис
э
фильтра на F) при отображении / имеет своим пределом
точку у.
То же самое можно сформулировать следующим
образом: для любой окрестности V (у) существует Ж-Л^У,
такая, что f(x)£V(y).
Рис. 43.
Если F отделимо, то отображение / имеет не более
одного предела по фильтру У,
Точка у называется предельным значением
отображения f{x) по фильтру $\ если она является точкой
прикосновения базиса 58.
Если отображение / есть последовательность точек
топологического пространства [хп] (n£N)f то
соответствующий предел у — lim хп , если он существует, на-
п-»оо
зывается пределом последовательности \хп ) при п -* оо
по элементарному фильтру на N,
Для любой окрестности V (у) существует целое nQl
такое, что хп £ V (у) для п >я0-
Если для окрестности V (у) существует такое n>n0t
где п0 ~ произвольное натуральное число, что хп £V(#),
то точка у называется точкой прикосновения
последовательности по элементарному фильтру на N.

214 Часть 8. Топологические понятия
Если Е также является топологическим пространством
и *f — фильтр окрестностей точки д££, то
у = lim/ (х) =з lim/ (х).
Пусть а — точка прикосновения множества AczE\
говорят, что / (х) стремится к у при х, стремящемся к
а, оставаясь в А, если
В случае когда отображение f (х) определено,
например на множестве вещественных чисел, можно определить
предел справа и предел слева отображения / (х) при х-ьа
lim/(*), lim/ (х)
х-+а *-«■«
х>а х<а
Пусть f(x)(~R и Е — произвольное; обозначим через
fim f(x) и lim f (х) — верхний и нижний пределы отобра-
жения f(x)\ это есть соответственно верхняя и нижняя
грань точек прикосновения образа фильтра У при
отображении f(x).
Точно так же для последовательности хп
L = \\тхп и / = У\тхп т
7. Непрерывность
Отображение / топологического пространства Е в
топологическое пространство F непрерывно в точке а(~Е>
если имеет место равенство
\\mf(x) — /(а).
т. е. если у«П/(а)Ь 3 V (a) -*f(V) с: IT.
Пусть £, F, б — три топологических пространства;
f — отображение пространства Е в /\ непрерывное в
каждой точке а££, и #—отображение F в G, непре-

Л Основные понятия 215
~ 1 ■ I I -~ | 1—Г-ГТ1.11 L—Ж. !!_____--
рывное в точке f (а); тогда композиция h ** fog есть
отображение пространства £ в G, непрерывное в
точке а.
Рис. 44.
Говорят, что отображение / топологического
пространства Е в другое топологическое пространство
непрерывно на Е, если оно непрерывно в каждой точке
пространства Я1).
8. Открытые множества
Множество в топологическом пространстве
называется открытым, если оно содержит окрестность каждой
своей точки.
Пусть А — подмножество пространства Е\ каждое
открытое множество О, содержащее А называется ок-
рестностью. множества Л.
Открытое множество является окрестностью каждой
своей точки и, обратно, любое множество, являющееся
окрестностью каждой своей точки, открыто.
Пример. Открытый интервал л-мерного числового
пространства (открытый параллелепипед) есть открытое
множество, так как он является окрестностью каждой своей
точки.
Открытый шар метрического пространства есть от*
крытое множество.
В силу условия (V) каждая окрестность V (х)
содержит открытую окрестность точки х.
1) Это относится и к метрическим пространствам.

216 Часть 8. Топологические понятия
Примечание. Несобственные подмножества, а именно
все множество Е и пустое множество 0, открыты.
Для открытых множеств справедливы следующие
предложения (Ог) и (Оа):
(0Г) — любое объединение открытых множеств
открыто;
(Оа)—пересечение двух открытых множеств (и
вообще любого конечного числа открытых множеств)
открыто.
Замечание. Принимая, как аксиомы, предложения
(Ох) и (02) и учитывая предыдущее примечание, можно
получить другое определение топологического
пространства.
Семейство открытых множеств, содержащих данную
точку, является базисом фильтра; этот базис
содержится в фильтре окрестностей этой точки и, следовательно,
представляет собой базис окрестностей данной точки.
Две топологии, определяющие одни и те же откры*
тые множества, тождественны.
9. Замкнутые множества
Замкнутое множество может быть определено как
дополнение к открытому.
Для замкнутых множеств справедливы предложения
(Fx) и (F2)> получаемые из предложений (Ох) и (02)
заменой слов «открытое» на «замкнутое», «пересечение» на
«объединение», и наоборот.
Примечание. Пустое множество и все пространство
замкнуты (см. предыдущий пункт).
В отделимом пространстве каждое одноточечное
множество замкнуто.
Топологическое пространство, в котором каждое
одноточечное множество замкнуто, называется
достижимым (Фреше).
Пример. Параллелепипед в л-мериом числовом
пространстве, определенный неравенствами
*'<**<?' ('■= 1.2 п),
замкнут.

/. Основные помятая 217
Множество предельных точек функции по
некоторому фильтру замкнуто.
Замкнутое множество совпадает со своим замыканием.
10. Внутренность, внешность
Точка х называется внутренней точкой множества £,
если Е является окрестностью точки х. Множество всех
внутренних точек множества Е называется внутренно-
стью Е множества Я; это есть объединение всех открытых
множеств из Е (или всех непересекающихся открытых
множеств). Открытое множество само является своей
внутренностью.
Имеем
о
«*"-" ^ о о
E(\E=--E(]F .
Точка х внешняя по отношению к множеству £,
если она внутренняя для дополнения С£, т. е. если су*
ществует окрестность точки х, содержащаяся в С£.
Множество внешних точек называется внешностью множества
£. Если каждая окрестность точки л' содержит как
точки из Е9 так и точки из СЕ, то х — граничная точка
множества £.
Замкнутое множество содержит свою границу.
Имеют место соотношения
о
С£ = С£, С£=С£\
EczF ~* EczF,
E'dF -£U>.
Граница множества Е представляет собой замкнутое
множество
£ П С£.
Пример, Границей открытого диска служит его
граничная окружность.

218 Часть 8. Топологические понятия
Замкнутое множество без изолированных точек
называется совершенным.
Множество Е плотно в F, если каждая точка из F
есть точка прикосновения множества Е: РаЁ.
11. Множества на числовой прямой
В первой части мы рассмотрели множество канторов-
ских троичных чисел и установили, что на прямой
существуют множества, не содержащие ни одного
интервала и имеющие мощность континуума.
Пусть 1п — объединение вложенных отрезков
порядка п:
0ial .,. ал<х<0,а, ... ап22.
Множество Iп замкнуто как объединение конечного
числа отрезков. Канторово множество есть пересечение
i
в силу (Fx) оно замкнуто, в то же время все его точки
не изолированы: следовательно, оно совершенно.
Каждое замкнутое множество на прямой получается
удалением конечного или счетного множества открытых
интервалов, которые называются смежными
интервалами замкнутого множества.
Пусть х — точка открытого подмножества Е
числовой оси. Пусть т — верхняя грань таких у, что у<х>
y$Et и М — нижняя грань z таких, что г > х% г$Е.
Тогда открытый интервал У, (/я, М), содержится в £ и его
концы не принадлежат множеству £. Каждая точка х
содержится в интервале типа У. Множество Е
представляется в виде счетного объединения попарно
непересекающихся открытых интервалов.
12. Индуцированная топология
Пусть /—отображение топологического пространства
Е в топологическое пространство F. Следующие
утверждении эквивалентны:

/. Основные понятия 219
a) Отображение / непрерывно на Е.
b) Прообраз любого открытого множества из F при
отображении / есть открытое множество в Е
0,: = ГХ (0F).
c) Прообраз любого замкнутого множества из Р
замкнут в Е
с/-1 (0F)=r (со„).
Рассмотрим подмножество А множества Е.
Пусть 5"— фильтр окрестностей точки *£Л;
пересечения множеств этого фильтра с множеством А
образуют фильтр в Л, который называется следом фильтра &
на множестве А\ след на А определяет топологию на
множестве А, которую называют топологией,
индуцированной топологией пространства Е на множестве А.
Множество А, снабженное этой топологией,
называется подпространством пространства Е.
То же самое можно сформулировать так: топология,
индуцированная на множестве А, есть прообраз
топологии пространства Е относительно канонического
вложения множества А в Е. Открытые множества в этой
топологии суть следы на А открытых множеств
пространства Е: каждое открытое множество из А есть
пересечение множества А с некоторым открытым множеством из
Et и наоборот.
Аналогичными свойствами обладают замкнутые
множества.
13. Произведение топологических пространств
Рассмотрим конечное множество топологических
пространств
Et (i «= 1,2, .. ., п).
Пусть
п
I | tL 1 = С| X Су, X . . ♦ X Сп
\
— их произведение (как множеств).

220 Часть 8. Топологические понятия
■ I* III ■■ ii ii mnli mi ■ I HI n n ш ч i ■ ■ i ' ■■■«—in ■ «III» i i», i I i ». »
С каждым элементом x == (xv ..., xn)> где *, — точка
из Et> можно связать фильтр — произведение фильтров
окрестностей точек х1% так определяется топологическое
произведение пространств Ег
Произведение множеств, принадлежащих базисам
окрестностей точек xi% составляет базис окрестностей
точки х.
14. Гомеоморфизм
Взаимно однозначное отображение топологического
пространства Е в топологическое пространство F есть
гомеоморфизм, если оно отображает фильтр
окрестностей каждой точки из Е на фильтр окрестностей
соответствующей точки из F.
Теорема 2. Для того чтобы взаимно однозначное
отображение f пространства Е в пространство F
было гомеоморфизмом^ необходимо и достаточно, чтобы
как само /, так и обратное к нему /~! были
непрерывны {иногда говорят: f взаимно непрерывно).
Каждое открытое множество пространства F есть
образ открытого множества из £, и наоборот.
Гомеоморфизм есть отношение эквивалентности.
Примеры. \. Функция у «= Мх устанавливает
гомеоморфизм между интервалом (0, 1) и полуосью (1, + оо);
функция
устанавливает гомеоморфизм между интервалом (0» 1)
к ' полуосью (0,+ оо); можно привести гомеоморфизм
между интервалом —1 < ,v < -j- 1 и числовой
прямой R4
Замкнутая прямая гомеоморфна отрезку [—1. + 1].
2« Внутренности круга, треугольника, эллипса гоме-
оморфны плоскости R2. Напротив, внутренность
кругового кольца не гомеоморфна внутренности круга
в R*.

/. Основные понятия, 221
Рис. 45.
3, Сфера (S) Рпмана (числовая плоскость,
пополненная бесконечно удаленной точкой), употребляемая при
изучении функций комплексной переменной, гомеоморфна
обычной сфере £.
15, Регулярные пространства
Отделимое пространство регулярно, если для любого
замкнутого подмножества А и любой точки xf не
содержащейся в А, существует окрестность точки х и
окрестность множества А без общих точек (Вьеторие),
Это свойство эквивалентно следующему: каждая
окрестность любой точки содержит замкнутую окрестность
этой точки.
Можно еще сказать, что если точка х не принадле*
жит замкнутому множеству Л, то существует
окрестность 1/(х), такая, что
Можно также определить регулярное пространство
тем свойством, что каждая точка в нем обладает
базисом замкнутых окрестностей.
Каждое подпространство регулярного пространства
регулярно.
Топологическое произведение конечного числа
регулярных пространств регулярно.
Пример. Пространство R" регулярно.
Пусть задана функция па топологическом пространстве
£ со значениями в регулярном пространстве. Если ее

222 Часть 8. Топологические понятия
значения всюду на некотором плотном в Е
подпространстве равны пределам ее значений F', то она непрерывна.
Каждое метрическое пространство регулярно.
16. Нормальные пространства
Пусть А и В —два непересекающихся замкнутых
множества отделимого топологического пространства Е.
Если всегда существуют окрестность множества А и
окрестность множества В без общих точек, то
пространство Е называется нормальным (Титце),
17. Компактные пространства и множества
Отделимое топологическое пространство, на котором
каждый фильтр обладает хотя бы одной точкой
прикосновения (свойство (С)), называется компактным.
Подмножество (а<^*<^} числовой оси R1 компактно,
но сама R1 не компактна.
Каждая последовательность точек компактного
пространства имеет по меньшей мере одну точку
прикосновения, и из этой последовательности можно выбрать
сходящуюся подпоследовательность.
Свойство (С) эквивалентно каждому из свойств (Сх)
и (Са):
{Сх) Если Ф —семейство замкнутых множеств»
каждое конечное подсемейство которого имеет непустое
пересечение, то существует точка» общая для всех
множеств семейства Ф.
Назовем открытым покрытием пространства Е
семейство открытых подмножеств» объединение которых
совпадает с Е>
(С%) Каждое открытое покрытие пространства Е со*
держит конечное покрытие пространства Е (лемма Бо*
реля — Лебега).
Компактным множеством называется компактное
подпространство отделимого пространства. Объединение
двух компактных множеств компактно.
Каждое компактное множество замкнуто, каждое
замкнутое подмножество компактного пространства компакт-

/. Основные понятия 223
- и - ...fl I III * ~ —. ■ ■ - . ■ —■—- _____>т _j
но и каждое замкнутое подмножество компактного
множества компактно.
Каждое компактное метрическое пространство имеет
конечный диаметр.
Теорема 3. Образ f (Е) компактного
пространства Е при непрерывном отображении в отделимое
пространство F есть компактное множество в F.
Взаимно однозначное и непрерывное отображение
компактного пространства на отделимое пространство
есть гомеоморфизм.
Подпространство топологического пространства
называют предкомпактным, если его замыкание компактно.
Отделимое пространство, каждая точка х которого
имеет компактную окрестность V (х), называется
локально компактным.
Каждое локально компактное пространство может
быть погружено в компактное пространство, содержащее
не более одной дополнительной точки (бесконечно
удаленная точка).
Теорема 4. В n-мерном числовом пространстве R*
компактными множествами являются только
ограниченные и замкнутые (одновременно) множества.
Согласно классическому предложению, каждое
бесконечное множество евклидова пространства Rn
обладает хотя бы одной точкой накопления (лемма Больцано—
Вейерштрасса) [напомним, что точка х есть точка
накопления множества Е, если каждая окрестность этой
точки содержит точки из £, отличные от хщ т. е.
точка х есть точка прикосновения множества £ПС{л:}].
Лемма Больцано —Вейерштрасса показывает, что
ограниченное и замкнутое множество компактно;
справедливо также и обратное утверждение.
Если вещественная функция / (х) непрерывна на
компактном множестве Я, то ее значения образуют
компактное множество /\ которое, следовательно, замкнуто и
ограничено. Существуют такие значения *0 и хь
аргумента, что числа f (х0) и / (хх) являются нижней и
верхней гранью множества F.

224 Часть 8. Топологические понятия
18. Равномерная непрерывность
Отображение / метрического пространства Е (с
расстоянием р) и метрическое пространство F (с
расстоянием о) называется равномерно непрерывным на
множестве 0, если для любого е>0 можно найти такое а>0,
что для каждой пары (xv х2) точек множества G,
удовлетворяющей условию р (jclf хг) < а, имеет место
неравенство
Теорема 5. Каждая непрерывная функция на
компактном метрическом пространстве равномерно
непрерывна.
19, Связные пространства и множества
Топологическое пространство связно, если оно не
является объединением двух непустых открытых множеств
без общих точек.
То же самое можно выразить следующими словами:
пространство связно, если его нельзя представить в
виде объединения двух непустых дизъюнктных замкнутых
множеств.
Связное пространство не содержит ни одного
собственного подмножества, одновременно открытого и
замкнутого.
Подмножество А топологического пространства есть
связное множество, если оно, рассматриваемое как
подпространство пространства £, связно.
Теорема 6. Для того чтобы множество А было
несвязным^ необходимо и достаточно, чтобы
существовало покрытие множества А двумя открытыми
(замкнутыми) множествами В и С со следующим свойством:
множество А пересекается как с В, так и с С и
каждая точка множества А попадает лишь в одно из
множеств В или С.
Открытое (замкнутое) множество несвязно, если оно
является объединением двух открытых (замкнутых)
множеств, не имеющих общих точек»

I, Основные понятия 225
Открытое связное множество называют областью.
Хаусдорф называл континуумом замкнутое связное
множество. В настоящее время название континуум
резервируется для связных компактных множеств.
Множество, состоящее из одной точки, связно и
представляет собой континуум.
Объединение двух связных множеств* имеющих
общие точки, связно.
Замыкание связного множества связно.
Теорема 7. Образ связного подмножества С
пространства Е при непрерывном отображении
пространства Е в себя связен.
Пример, Связные множества числовой оси суть
интервалы.
Теорема 8. Если непрерывная вещественная
функция, определенная на связном пространстве,
принимает значения а и Ь, то существует по крайней мере
одна точка, в которой значение функции равно любому
заданному числу с, заключенному между а и Ь.
Связная компонента точки х в пространстве Е есть
максимальное связное множество, содержащее эту
точку, или, другими словами, объединение всех связных
множеств, содержащих эту точку. Точно так же
определяется связная компонента множества»
Множество Е может быть разложено на связные
компоненты посредством отношения эквивалентности: «у
принадлежит связной компоненте точки х».
Связное пространство есть связная компонента
каждой своей точки.
Пространство (или множество) вполне несвязно, если
связная компонента каждой его точки состоит из одной
этой точки.
Пример. Множество точек с рациональными
координатами в R" вполне несвязно. Пространство R" связно.
Пространство называется локально связным в
некоторой точке» если у этой точки имеется сколь угодно
малая связная окрестность. Пространство локально связно.
если оио локально связно в каждой своей точке,

226 Часть 8. Топологические понятия
Дугой в топологическом пространстве называется
непрерывный образ сегмента числовой прямой; концами ду*
ги называются образы концевых точек сегмента. Дуга
всегда связна.
Множество называется звездным относительно точки
а, если для каждой точки х этого множества отрезок
[at х) содержится в этом множестве. Звездное множество
связно.
Множество называется выпуклым, если оно звездно
относительно каждой своей точки, и, следовательно,
связно.
Локально связный континуум называется пеановским.
II, НОРМИРОВАННЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Норма
Вещественное число ||лг||, связанное с вектором ху
принадлежащим векторному пространству Е над телом /С
называется нормой вектора х% если выполнены
следующие условия:
1) х**0 ++ ||*|| — 0%
2) |1* + У|| < II*||+ 11УII,
3) 11^*11 = |>М1*1|. ^It-
Пример. Абсолютная величина есть норма в R1. Рас*
стояние есть норма в R" (см. ниже примечание 2).
Примечания* 1. Положив X = —1, имеем || — х\\ =*
в||лг||. Далее, полагая х + у = г, имеем
||*-*||>!1*||Н1*|| и||*-*||>||*||-||ж||.
2. Положим р (*. у) = II *— у II . Тогда имеют место
соотношения
я) Р (*. У)в °= И *—У 11 ~ * ~ У.
Ь) р (*. уН II*-У II = 1!У-*Н = р (У. *)>

//. Нормы. Функциональные пространства 227
с) р(*. у) 41-* —у !!Н1* —* + * —yl!<
<||лг — зг|| + ||* — у II.
откуда р (др, у)<р (■*. *)-Ь Р (г, у).
Норма в векторном пространстве, например
расстояние ||а — Ь \\ между векторами а и ft, определяет
топологию, инвариантную относительно параллельных
переносов, или гомотетий, которые являются гомеоморфизмами
пространства на себя.
Замкнутые шары Вг (а) (г>0): \\х — 0|[<г
образуют базис окрестностей вектора а; эти шары могут
быть получены параллельными переносами из шаров Wr(0);
последние переводятся в Br (0) (/?= [Х| • г) при помощи
гомотетии.
Нормированное векторное пространство является
метрическим пространством1), и нам можно определить
диаметр множества. Диаметр множества в векторном
пространстве равен диаметру замыкания этого множества.
Пусть (Я, Е) — аффинное пространство; здесь Е—
векторное евклидово пространство. МножествоР можно
рассматривать как метрическое пространство, определив
расстояние формулой
р <л. Pi) = 1:1*1 р%\\-
Назовем группой движений аффинного пространства
(Я, R) {Е — вещественное евклидово пространство)
подгруппу аффинной группы, состоящую из таких
аффинных преобразований /, для которых соответствующее /
есть линейное ортогональное отображение.
Такие преобразования идентичны с изометриями
множества рассматриваемого как метрическое пространство.
Группа прямых движений (или движений первого
рода) пространства Я есть подгруппа группы движений
(это такие аффинные преобразования /, что
соответствующие преобразования f — ортогональные и прямые, т. е.
вращения).
х) Но расстояние в метрическом пространстве не обязательно
порождается нормой.

228 Часть 8. Топологические понятия
Для каждого аффинного преобразования / из группы
прямых движений имеет место винтовое разложение
/ e \ Р«.« ■
г. е существует точка А(~Р и два параллельных
вектора и и v, таких, что произведение (коммутативное)
переноса т и вращения р на угол в дает отображение Д
Существует единственная гомотетия 1 д, являющаяся
движением с неподвижной точкой А: это симметрия
относительно точки А.
Произведение 1А р£ре=р«,е есть несобственное
вращение, Имеем p£*= °а (симметрия относительно
плоскости, проходящей через точку А, нормально к вектору а);
Ра^~Ои (симметрия относительно прямой, определенной
вектором и9 проходящей через точку А).
2* Непрерывные отображения
Для того чтобы отображение Т векторного
пространства Е с нормой р (лг) в векторное пространство с
нормой о (у) было непрерывным в точке а, необходимо и
достаточно, чтобы для каждого в > О " существовало
такое а>0, что
р (л;~а)<а«*<* fT(*) —Т (а)|<е,
т. е.
а (Т (х — а))< 2.
Если положить х — а ~ Л, то необходимое и
достаточное условие непрерывности отображения Т при х == О
можно записать так
р(й)<а-»о[Т(й)]<г<
Другая форма: для того чтобы отображение Т было
непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы образ or-

//. Нормы. Функциональные пространства 229
раничешюй окрестности нуля был ограниченным
множеством.
Еще одна формула: \fx£Ey ^А такое, что
o\T(x)\<A-f>(x).
3, Эквивалентные нормы
Две нормы на векторном пространстве называются
эквивалентными, если они определяют одну и ту же
топологию; необходимое и достаточное условие
эквивалентности норм
р(*></! • а(дг), o{jt)<jB • р(jr).
где А и В — константы.
Если Ev £2 • £п~ векторные пространства с
нормами рх(х)*.. . , 9п(хп^ то ,1Х произведение есть норми*
рованное пространство с нормой
о(х) « Max я,(jc,) (i — \t 2,.. t, л).
Следующие нормы в произведении эквивалентны
указанной выше
* (•*) - S р, (*,), v (д) - 1/ V [р (Л-.)]2 ,
В пространстве R" нормы
Мах|*'|. %\*{l ]/2W
эквивалентны; в л-мерном векторном пространстве, изо-
морфпом пространству R", можно ввести такие же нормы.
В п~ мерном евклидовом пространстве скалярный
квадрат
является еще одним видом третьей из приведенных
выше норм,

230 Часть 8. Топологические понятия
Теорема 1. В n-мерном вещественном векторном
пространстве все нормы эквивалентны.
Теорема 2. Линейное отображение конечномерного
векторного пространства в нормированное векторное
пространство всегда непрерывно.
Эрмитовым пространством называется л-мерное
векторное комплексное пространство с нормой, определенной,
например, формулой
||jc|I«1/"2x'j?« УТ^Т*
или с другими эквивалентными нормами.
4. Функциональные пространства
Линейные непрерывные отображения Т векторного
пространства Е в векторное нормированное пространство
F образуют векторное пространство Н с нормой
v(T)~ sup ||Т(дг)||.
11*11 -С 1
Если пространства Е и F конечномерны, то линейные
отображения всегда непрерывны и, выбрав в Е и F
базисы, можно отождествить пространство Н с векторным
пространством матриц, представляющих отображения.
Пусть f(x)~ функции, определенные на произвольном
множестве £ со значениями в векторном нормированном
пространстве F\ пусть для каждой функции множество
ее значений ограничено. Следующая формула определяет
на пространстве Н норму таких функций
v(/)= sup |!/(*)IJ.
Множество функций, которое вместе с каждыми
двумя функциями содержит их сумму и вместе с каждой
функцией — произведение ее на любой скаляр, образует
подпространство пространства И,
Если Е — топологическое пространство, то
непрерывные ограниченные функции на Е со значениями в F
образуют подпространство пространства Н с нормой v.

//. Нормы, Функциональные пространства 231
Последовательность fa отображений из Н поточечно
сходится (или просто сходится) к отображению ф, если
для каждой точки х fn (х) сходится к ф(лг).
Последовательность /п равномерно сходится к ф, если
для данного е>0 существует такое целое N, что для
любого n>N и любого х имеет место неравенство
11М*)-ф(*)11<«.
Более общо: пусть 5" — фильтр на Я; если он сходит*
ся в смысле нормы v к функции ф, то говорят, что
функции / из Н равномерно сходятся к ф по фильтру
У\ другими словами, для каждого е > 0 существует
такое множество Л£У\ что \ff^A\ имеем
[!/(*)-ф(*)||<*
при любом X.
Теорема 3. Пусть последовательность
отображений fn векторного нормированного пространства Е в
векторное нормированное пространство F равномерно
сходится к отображению ф. Если для каждого п fn не-
прерывно на Е, то ф непрерывно на Е.
Теорема 4. Если последовательность равномерно
непрерывных отображений нормированного векторного
пространства Е в нормированное пространство F
равномерно сходится к отображению ф, то отображение
Ф равномерно непрерывно.
5. Гильбертово пространство
Определим в множестве последовательностей {ап}
вещественных (или комплексных) чисел две операции:
1) *■+ ^={ал4-?п}> гдех-КК У = {hY*
2) Хдг+{Хал}, X — скаляр.
Предположим, что ряд ]£laJ2 сходится. Векторное
пространство с нормой
называется гильбертовым вещественным (или
комплексным) пространством.

232 Часть 8. Топологические понятия
III. ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
I. Фильтр Коши
Фильтр на отделимом метрическом пространстве
называется фильтром Коши, если он содержит множества
с произвольно малыми диаметрами.
Сходящийся фильтр —это фильтр Коши.
Теорема 1. Фильтр Коши имеет не более одной
точки прикосновения. Если же он имеет точку
прикосновения , то он сходится к этой точке.
Последовательность хп есть последовательность
Коши, если для каждого е >0 существует такое целое N,
что неравенства п1>Лг, п2у N влекут за собой
соотношение
Г>(*л, . ХПж)<г\
следовательно, элементарный фильтр, ассоциированный с
хп, есть фильтр Коши.
Метрическое пространство называется полным, если
каждый фильтр Коши в нем сходится, В полном
пространстве класс всех сходящихся последовательностей
совпадает с классом последовательностей Коши,
Пусть У — фильтр на множестве Е и Т —
отображение множества Е в полное пространство F.
Отображение Т имеет предел по фильтру & тогда и только тогда,
когда образ фильтра jT при отображении Т является
базисом фильтра Коши (критерий Коши).
Теорема 2. Для того чтобы метрическое
отделимое пространство было полным, необходимо и
достаточно, чтобы в нем каждая последовательность Коши
была сходящейся.
Теорема 3, Если каждое множество достаточно
малого диаметра в метрическом пространстве
содержится в компактном множестве, то пространство
полно. В частности, каждое компактное метрическое
пространство полно.

//Л Полные пространства 233
Пример. Пространство R" полно, так как каждое его
ограниченное множество содержится в компактном
замкнутом м-мерном интервале.
Теорема 4. Каждое замкнутое подмножество
полного пространства есть полное подпространство.
Обратно, каждое полное подпространство отделимого
метрического пространства замкнуто.
Ограниченные непрерывные отображения
топологического пространства Е в полное векторное нормированное
пространство F составляют полное функциональное
пространство Н.
2. Пополнение
Теорема 5. Пусть задано метрическое
пространство Е с расстоянием р. Можно построить
метрическое пространство F с расстоянием о, обладающее
следующими свойствами:
1) Существует взаимно однозначное соответствие
между пространством Е и некоторым подмножеством
пространства F.
2) Если пространство Е отождествить с этим
подмножеством, то расстояние, индуцированное функцией
а на Е9 совпадает с расстоянием р; при этом
пространство Е плотно в F.
3) Пространство F полно.
Пример. Для множества Q рациональных чисел
можно построить пространство R вещественных чисел;
множество Q отождествляется с подмножеством пространства
R; Q плотно в R и R полно.
3. Вещественное банахово пространство
Векторное полное нормированное пространство над
телом R называется вещественным банаховым
пространством.
Для каждого вещественного векторного нормирован-
ного пространства Е его пополнение есть вещественное
банахово пространство.

ЧАСТЬ ДЕВЯТАЯ
Суммируемые семейства* Ряды
I. СУММИРУЕМЫЕ СЕМЕЙСТВА
Пусть [xL) — некоторое семейство элементов
нормированного пространства £, / пробегает некоторое
множество индексов /(*£ /).
Рассмотрим совокупность конечных подмножеств
множества /. Обозначим через Fa совокупность
подмножеств В, содержащих данное множество А. Множества
типа FA составляют базис фильтра.
Семейство {хг) суммируемо если существует такой
вектор а, что
UmS(A)*=o9 где S(A)*= 2*l
т, е. если для каждого з > 0 существует такое
множество FA, что для любого B£FA имеет место неравенство
||S(fl)-o||<..
В этом случае вектор о называется суммой семейства
(#,}; в обозначениях
>£/
Для того чтобы семейство неотрицательных чисел
было суммируемым, необходимо и достаточно, чтобы
суммы S(A) были ограничены в совокупности для любой
конечной части множества А.

/. Суммируемые семейства
235
Примеры. 1. Геометрическая прогрессия со знамена*
телем q (0<!^<1) суммируема, так как
1 ~ q
и мы имеем
lim S
1
п
Л-*-00 I ^— Cf
2. Последовательность \1п (я>0) не суммируема,
так как
2" -\-k
1 2Л I
S2rt+i — S2n ^ ^ г*"^ > ~2«+"Г ~ 2" •
*—l
откуда получаем
^ > Т '
Рассмотрим семейство положительных чисел у{\ пусть
{#,}— произвольное семейство чисел. Тогда, если {уЛ
суммируемо и xt^kyt (k— константа), то семейство {*,}
суммируемо. Если семейство [у{) не суммируемо и xL^>
^>kyt, то семейство {хг} тем более не суммируемо.
Элементы х{ суммируемого семейства {xt} точек
векторного пространства Е обладают следующим
свойством: для каждого е>0 все х0 за исключением
конечного их числа, подчинены неравенству \\хг\\<1г. Другими
словами, если {xt} — суммируемое семейство, то предел
х{ по фильтру, состоящему из дополнений к конечным
подмножествам множества /, равен нулю. Это свойство
не является достаточным для суммируемости семейства
Для того чтобы семейство было суммируемым,
необходимо, чтобы члены его с ненулевой нормой
образовывали конечное или счетное множество.
Следовательно, между элементами суммируемого
семейства {хп} и элементами множества {1,2 /*,...}
можно установить взаимно однозначное соответствие;
если S — сумма семейства {л:п}, то мы имеем
Inn S,
п
X,
п-
I

236 Часть Р. Суммируемые семейства. Ряды
Если векторное пространство Е полно, то для того,
чтобы существовал lirnS(/4) = o, необходимо и доста-
точно, чтобы образ базиса фильтра f при отображении
S(A) был фильтром Коши, т. е. чтобы для каждого
*>0 существовало такое конечное множества А, что для
любых множеств Вг и Ва, содержащих А, имело место
соотношение
То же самое можно высказать так: имеется конечное
множество А, такое, что для каждого конечного множества
С, не имеющего с А общих точек, справедливо неравен*
ство
l|S (О II О.
Следствия. 1. В полном пространстве каждое
подсемейство суммируемого семейства суммируемо.
2. Пусть {xt} (i£ /) — суммируемое семейство
элементов полного пространства и S —его сумма. Если
множество / разложено на подмножества /; (j£J), дающие
в объединении все Л то все семейства {*,} (*£//)
суммируемы; если Sj—их суммы, то семейство {S,}
суммируемо и его сумма равна S.
Теорема 1, Если семейство норм Цх^] элементов
х( полного пространства суммируемо, то семейство {xt}
также суммируемо*
Если семейство {xt} суммируемо и пространство
конечномерно, то семейство {||х,||} суммируемо.
Теорема 2. Для того чтобы некоторое семейство
вещественных (комплексных) чисел было суммируемым,
необходимо и достаточно, чтобы было суммируемым се*
мейство абсолютных величин элементов данного
семейства.
Если семейства вещественных чисел {*;}(/£/) и [yf]
(/£«/) суммируемы, то семейство

//. Ряды 237
также суммируемо и имеет место равенство
Далее, векторное нормированное пространство Е
можно рассматривать как подпространство топологического
пространства F. Если для семейства [xt} существует
HmS(d), то говорят, что это семейство суммируемо в F.
Семейство положительных чисел, не суммируемое в R,
становится суммируемым в замкнутой прямой R(S = -f ос).
II. РЯДЫ
Назовем п-индексной последовательностью или муль-
типоследовательностью порядка п семейство {х^. . . , }
элементов векторного нормированного пространства Е>
когда каждый индекс пробегает множество
N+ t= (1, 2». ♦ . f т%...}.
Такие последовательности можно рассматривать как
семейства с одним индексом: индекс (tlt , , , f in) пробегает
множество (Nf)".
Определение 1. Ряд с общим членом xlt ...; на-
зывается сходящимся к своей сумме S, если семейство
{xit tt ... / } суммируемо и имеет своей суммой S. Это
записывается как
S =ж lim St
н * • • р„ •
а •
*п~т
где
Pi Р$ рп
Ряд сходится тогда и только тогда, когда для
каждого • > 0 существует такое натуральное N и такой
элемент S, что для любых Р!>Л\ ра> N ,.. •. /?„> #
имеет место неравенство
II С 9'! <* t

238 Часть 9. Суммируемые семейства. Ряды
Если ряд с положительными членами сходится, то
соответствующее семейство суммируемо. Но в случае
когда ряд содержит неположительные члены, он может
оказаться сходящимся и тогда, когда соответствующее
семейство не суммируемо. Такой ряд называется условно
сходящимся.
Ряд называется абсолютно сходящимся, если
соответствующее семейство суммируемо.
Для того чтобы ряд абсолютно сходился, необходимо
и достаточно, чтобы семейство норм его членов было
суммируемо или, что то же самое, чтобы ряд из норм
был сходящимся.
Теорема 2. Для того чтобы семейство элементов
некоторого векторного пространства было
суммируемым, необходимо и достаточно, чтобы ряд из норм этих
элементов был сходящимся.
Теорема 3. Семейство вещественных или
комплексных чиЬел xix, . j суммируемо тогда и только тогда,
когда ряд из абсолютных величин ati t а j *=\xilmmj\
сходится.
В частности, знакопеременный ряд с вещественными
членами, у которого абсолютная величина общего члена
убывает и стремится к нулю, сходится.
Теорема 4. (Абель.) Пусть ип^ anbn> где ап
неотрицательны и монотонно стремятся к нулю при
/j->oot bn — такие комплексные числа, что величины
| о,П| л | в Ьп-\- Ьт+Х + . . . +bn \ ограничены общей
константой а>-0. Тогда ряд ип сходится и ограничен по
модулю взятыми а раз отброшенными членами.
Критерии. Ввиду недостатка места ограничимся
напоминанием критериев Коши и Даламбера для рядов
с неотрицательными членами.
Критерий Коши. Если Мт(ин) < 1, то ряд с
/л
общим членом ип сходится; если lim(un)/ > 1, то он
\/п
расходится. При Игл (ип) =1 никакого заключения еде-
п

//. Ряды
239
лать нельзя, за исключением того случая, когда
существует бесконечно много таких ип% что {ип)Уп> 1, так как
в этом случае ряд расходится.
Критерий Даламбера. Если lim —^—<1,то
п ип
ряд ип сходится; если lim i^il > 1, то он расходится.
п ип
При lim ^£±! а» 1 никакого заключения сделать нельзя.
п ип
Критерий Коши является более общим, чем критерий
Даламбера.
Каждый критерий сходимости для рядов с
положительными членами является критерием абсолютной
сходимости для произвольных рядов.
Символика Ландау. Пусть у зависит от х. Если
| у/х | ограничено, то пишем у = О (х); если | у/х | -*0,
то пишем у = о(х). При одном и том же
параметре х имеют место соотношения
0+0 = 0; 0 + о = о + 0 = 0; о + о^о;
Оо^оО =» о\ 00 ~ О; оо ** о.
Пример. Если \ух1х\ ограничено и |#г/#|-*0, то
0 + о = 0 означает, что \уг/х\ + |уг1х\ ограничено. Эта
символика часто используется при изучении рядов.

ЧАСТЬ ДЕСЯТАЯ
Дифференциалы
Линейное отображение вещественного векторного про
странства в комплексное векторное пространство по опр
делению удовлетворяет условиям
Т(* + у)«Т(*) + Т(у)
и
Т (а • х) — а • Т {х)
для вещественных а.
Рассмотрим аффинное нормированное полное
вещественное или комплексное пространство Е\ ему
соответствует ассоциированное с ним векторное пространство £.
Пусть Ег, Е% — два аффинных пространства (оба
вещественные или оба комплексные или же первое — веществен*
ное, а второе — комплексное).
Если задано аффинное отображение пространства Ел
в пространство Е2 или функция точки х£Е1У
принимающая в точке а£Ех значение 6, то можно определить
линейное отображение Т векторного пространства 8г в
пространство Вг по формуле
у — b = Т (х — а).
I. Касательные отображения
Пусть/ и g — непрерывные отображения, заданные
на множестве А векторного нормированного
пространства Е и принимающие свои значения в векторном
нормированном пространстве F.

Часть 10. Дифференциалы 241
Пусть А*0 —неизолированная точка множества Л. Если
выражение
2\fix)-u(xY\
стремится к нулю при х~+х0 по множеству А и так, что
л- отлично от л*0, то отображения / и g называются
касательными в точке л-0.
Так как отображения / и g непрерывны, то /(х0) =
-ё(хо)- Если же, кроме того, они линейны и если
множество А содержит окрестность V (х^), то / и g
совпадают на Д.
2. Дифференциал
Непрерывное отображение f(x), определенное на
множестве А векторного нормированного пространства Е со
значениями в векторном нормированном пространстве Л
называется дифференцируемым в точке х0> если
существует линейное отображение пространства Е, касательное
к / в точке х0.
Если х = л*0 ->■- й, то касательное линейное
отображение может быть представлено в виде /(*<>)-г Т(й), где
Т(й)— линейное отображение пространства в в
пространство *Г: отображение 1(h) называется
дифференциалом отображения f(x) в точке а*0.
Отображение Т(Л) определяется как приращение
/ (*о ~г й) — / (*0) с точностью Д° некоторой величины,
отношение которой к !|й|{ стремится к нулю при й-^0
так, что й остается в пределах множества Я,
определенного соотношением \fh£H> x0-'*-h£A (h-j=Q).
Мы рассматриваем дифференциал отображения / по
множеству А% хотя само отображение может быть
определено л вне А. Если множество А содержит окрестность
V (xq) а А, то дифференциал единственен. Два
касательных друг другу отображения имеют один и тот же
дифференциал.
Мы возвращаемся к п. 1, полагая
/(*) - /(*о -г *). g{*) = f(*o) -f Т (А), х -х0 « й.

%i% Часть 10. Дифференциалы
Очевидно, что f{x) имеет дифференциал Т(А) в точке
лг0 тогда и только тогда, когда
\\f{xt + k)-fixb)-T{h)i\
lift;!
стремится к нулю при А -> 0 по множеству //.
Отображение f(x) связано с дифференциалом Т(А)
формулой
/(^ + А)-/(Д-о)-Т(А) + €(А).;!А!:; (1)
в этом выражении г(А)~>0.
Мы обозначаем отображение Т(А) в точке х через
dx/hf\ если 1(х)~х, то dx/nx — h, где, как обычно,
через dx обозначено приращение независимой переменной х
и через dj или просто df — дифференциал отображения /.
Приращение / (х -|- А) — / (х) обозначается через Д*/а/
или просто через Д Д или даже Д/ (h «= dx).
a) Если d,/ и ^ ~ дифференциалы отображении /
й ^ в точке хл то имеет место соотношение
dx (f + g) = dj + dxg.
b) Пусть dJ-~ дифференциал отображения f{x) в
точке лг£Л; пусть а—элемент поля, над которым
определено векторное пространство, где отображение f{x)
принимает свои значения. Тогда дифференциал отображения
а - / (х) в точке х есть а • dj.
Свойства а) и Ь) показывают, что если на А заданы
два касательных в точке х линейных отображения, то
они совпадают.
1) Дифференцируемые но множеству А отображения
в точке х образуют векторное пространство D.
2) Отображение этого пространства в пространство
линейных отображений пространства £ в F,
сопоставляющее каждому элементу из D его дифференциал, линейно.
c) Пусть А и В — два множества, содержащие
неизолированную точку xt и BczA. , .
Если / — дифференцируемое по множеству
Л.отображение в точке х, то / есть отображение,
дифференцируемое по,множеству В в той же точке.
d) Если V(x)czAt то ^/ — непрерывная функция от
А на множестве А

Часть 10. Дифференциалы 243
Рассмотрим три пространства £, F9 G; пусть
отображение y = f(x) определено на AczE и принимает
значения в F; отображение z = g(y) определено на В, f(A)czB,
и принимает значения в G. Пусть х0 — неизолированная
точка в Л, образ которой есть неизолированная точка yQ.
Рис. 46;
Тогда если fag обладают дифференциалами (которые
являются непрерывными функциями от приращений
аргументов) в точках xQ и yQ (соответственно), то
составное отображение* = g[f(x)] дифференцируемо в точке х0
по множеству А
Дифференциал отображения 2 = g(f(x)) является
композицией дифференциалов отображений fug.
Если F и G — векторные пространства и z —
непрерывное линейное1) отображение пространства F в G, то;
dg - g'(dy).
Дифференциал dg (у) = dy/dy g(y) — J (dy)
отображения g{y) является также дифференциалом отображения'
£[/(*)]» если заменить дифференциал dy дифференциалом
отображения /(*). Это позволяет записывать
дифференциал dgl не указывая независимую переменную: запись-
дифференциала ■ инвариантна.
3. Производная
В этом пункте переменная х принадлежит телу К
вещественных (или комплексных) чисел; отображение f(x)
1) Внимание: пусть F и 6'—одно и то. же пространство над телом
вещественных чисел; функция g(y)—ayA-b не есть линейное
отображение пространства F в G, если они рассматриваются как
векторные пространства.

244 Часть 10, Дифференциалы
принимает значении в аффинном нормированном
пространстве F. Если / (х) дифференцируемо в точке а'£ АаЕ,
то деля выражение (1) на h и учитывая, что J(h)x^
= Л T(l)i получим
или, ввиду того что \\h\'h\ = 1,
1!S А -Т(1)< (2)
л с//
Предел (2), если он существует, называется
производной fr (х) отображения f(x) по множеству А Заменяя h
на их, получим df = /'(x)dx, откуда
/' (х)« df/dx.
Если V(x)czAf то f'(x) есть производная
отображения f{x) в точке х.
a) Если К — тело вещественных чисел, то различают
производную справа в точке х% f'd{x)t и производную
слева /й(*) в той же точке; эти производные суть по
определению производные отображения f{x) в точке х по
множеству Д, представляющему собой интервал с
начальной (соответственно конечной) точкой дг.
b) Если К и F — тела вещественных чисел, то может
случиться, что предел (2) не существует в R, но
существует в R; тогда он равен ±оо,
c) Пусть К и F — тела вещественных чисел и /, g—
отображения первого во второе. Тогда имеем
(/ + *)' = /'-г *'; (*■/)' -*•/'.
а также
J—_il
I - р
(f(x)4*0);
(H)'=^'t/W!'/'W; (Л1)'=7- (ТО^О).
Вещественная функция, выпуклая на некотором
интервале, в каждой внутренней точке этого интервала
имеет конечную производную справа и слева.

Часть /0. Дифференциалы 245
Теорема 1 (Роллъ.) Если вещественная функция
/(а:), конечная и непрерывная на замкнутом интервале
[а} 6], имеет в каждой точке из (а, Ь) производную и
f(a) = f(b)f то существует по крайней мере одна точка
с£ (ау Ь)> в которой ff{c) =0.
Следствие. (Формула конечных приращений.) Для
каждой непрерывной на [а, Ь] функции / (х)>
дифференцируемой на (а, Ь), существует по крайней мере одна
такая точка с£ (а, Ь), что
f{b)-f{a) = f\c)-{b-a).
Теорема 2 (Дарбу.) Пусть f{x) обладает
производной в каждой точке замкнутого интервала [а, Ь\.
Если С — любое число, заключенное между A—f (а) и
В = f'(b)> то существует по крайней мере одна такая
точка с£ {а>Ь)> что f (с) = С.
Но в то же время вещественная функция может
обладать ограниченной производной, не являющейся
непрерывной функцией от х на всем замкнутом интервале.
гт г/ v f x*s1nl/*f для хфО,
Пример: /(*)-{ _ 0 , для х = 0.
Существуют функции непрерывные, по нигде не
имеющие производной (Хельг фон Кох).
4. Теорема о приращениях
а) Рассмотрим сначала функцию вещественной
переменной со значениями в векторном нормированном
пространстве. Говорят, что функция g возрастает при воз*
растании аргумента, если из а<Ь следует g(a)*Cg(b).
Предположим, что функции f и g определены и
непрерывны в каждой точке интервала \а> Ь] и обладают
производной справа в каждой точке этого интервала.
Предположим, что
где УИ —константа. При этих условиях
Ц /(ft) — /(а)Л < М • [^(6) — jgt^)1.

246
Часть /0, Дифференциалы
В частности, если g(x) ~ х и f(x) в каждой точке из
[#, b]t за исключением, быть может, его концов,
обладает производной справа, удовлетворяющей условию
II М*)||<М, то имеем
11/(*)-/(«ЖЛ<-(6-в).
Полагая x~at Ъ—a=*dx, получаем
|| / (x+dx) - f(x)\\ < М dxt
откуда
(3)
Ь) Предыдущая формула может быть распространена
на случай, когда переменная есть точка аффинного
пространства.
Пусть а и Ь — две точки аффинного вещественного
или комплексного пространства и функция f{x)
определена в каждой точке отрезка S = [а, Ь] и
дифференцируема в каждой точке отрезка [xt Ь]. Положив
*»ii*-eii, * = -^.
можно записать выражение для х:
х = а + Ц6 —а), 0<К<1,
в виде
а-f~ (6 — а), 0<г</г,
откуда f{x) = f{a + re) ss q> (г), 0 < г < А.
Если выбрать такое ц, что 0<|л^А— г, то
Т (г+«0 — Ф (г) ==.ф [o-f (г+ |х) е] — ф [а.+ re] =
e Ta+r* (l*«) + « GO ' М в
-»КТа+г«(в)+ •<!*)•'W.
и мы. имеем1)
ф<*(0-Та+г,.(е).
х) В вещественном пространстве.это выражение называется про-
; изаодноП по направлению.г.

' Часть 10. Дифференциалы 247
Применяя формулу конечных приращений к функции
Ф (r)f получаем
||Ф (А) — Ф (0)Ц •< А - sup ||Ф' (г) Ц.
Q<r<k
И так как k-T(e) = J(ke) = T(ft — а), то, учитывая
формулу (3), получаем
||/(A)-/(fl)||<sup ЦТ,(*-а)||.
Норма линейного отображения векторного
нормированного пространства определяется формулой
v(T) = sup||T(-r)||.
11*11 < 1
Пусть f(x) определена на некотором открытом
множестве, содержащем интервал [a, ft], и дифференцируема
по этому множеству в каждой точке интервала (a, ft).
Тогда имеет место соотношение
||/(*)-/HII<||6-a[|-sup v[T(*)].
Следовательно, если А выпукло и / дифференцируема
в каждой точке множества А и если v (JJ <^ М для
каждой точки л:£ А, то можно написать
il/(ft)-/(a)||<Af-[|ft-a||;
а и ft—произвольные точки множества А.'
5. Оценка разности между Д/ и df
Пусть отображение f(x) дифференцируемо в каждой
точке отрезка [х, х + Л], и пусть
dx,h f = ТЛ- (Л).
Рассмотрим непрерывное линейное отображение L
пространства Е в F и функцию
F(4)~/(*+4)-W
Применим к F(ri) теорему о приращении в точках у—О
и 1)=Л (через С обозначим приращение аргумента ;tj).
Имеем
V F = Т*ц (С) --£ ft)

248 Часть 10, Дифференциалы
И
НД, н / - ЦЛ) • < Slip "IT; (ft) - L(h );!.
Заменяя L(/i) дифференциалом отображения /в точке
А'0 и h — дифференциалом их, получаем
|;Л,/-!/*./!;< sup ¥U-dxJ^ n
Таким образом, можно оценить, сверху разность
между приращением и дифференциалом, положив л:0 = л\
Приложения. Рассмотрим две точки х{ и хг в
окрестности точки #0, Формула (4) в этом случае записывается
в виде
H/U3)-/(^i)-T^(^-^)!!<
< !!*« — *i'! Slip 7(ТЛ- - Tvn ). /г\
Если f(x) непрерывно в точке ,г0 и если
дифференциал отображения / существует в окрестности точки xi)t
то отображение f{x) называется непрерывно
дифференцируемым в точке х0. В этом случае можно написать
Um И /(Л2) — /(*l) — Тдгл (Хг — Х{) 1| _ п
11ГП — г. ■ Г\ " — U,
ИЛИ
/(А-а) — f(xL) = TxA**—Xl) ~r*{Xv A'2).|j*2— Х\Ъ
где z(xv ,г2) стремится к нулю при х^х0 и *а-**п*
Если л:—вещественная или комплексная переменная,
то, деля два члена формулы (5) на \\хг—ха||, получаем
1|-^Ь^£.)_ -r(xJ < sup !У*-/'(*о)1|
i ХГ~Х\ \\ x€[xt, хЛ)
и если f'(x) непрерывна в точке ,v0, то
lim Щ^^- = Пхо).
Xi-+Xa X2T-Xi
Хг-+Хъ
6. Частные производные
Рассмотрим произведение О п аффинных
нормированных пространств Ev F.2 Еп над одним и тем же те-

Часть 10, Дифференциалы 249
лом. Элементы этих пространств обозначим через
я,(i = I,2 п)\ элементы пространства G — через г =
=(*!, *а хп). Пространство G может быть нормировано,
например, с помощью нормы
п
\\2 _ 7 !f — V IV Y И
Пусть теперь отображение /(г) определено на
открытом множестве А из G и принимает значения в
аффинном нормированном пространстве //,
Фиксируя в / переменные хх xhl1 xjJrXt ..., хп> мы
получим отображение пространства Е; с аргументом х^
Если полученное отображение f(Xj) дифференцируемо, то
исходное отображение f(x) называется дифференцируемым
по Ху Дифференциал отображения f(Xj) называется
частным дифференциалом dx f отображения /(г) по х}.
Для функции f(z) двух переменных,
дифференцируемой в точке z = (х, у), существуют dj и dyf и имеет
место равенство
df - dj + dy/. (6)
Если dv/ существует в точке (х> у) и dyf
существует в каждой окрестности точки (х, у) и если функция
непрерывна по совокупности своих переменных в точке
(xt у), то df существует и определяется формулой (6).
В случае п переменных:
a) если /(г) дифференцируемо в точке г = (хх, .... хп)У
то dX[f существуют в этой точке и
п
df=V dxj.
b) пусть (1) dx I существует в точке z0=(Xi,ot...» хп%о)
и (2) dx f существуют для каждого /+I в точках
(A'j, Х%> ..,, ДГу, Xj^\t()9 • ••» Xnt0)'
Тогда если функция f непрерывна в точках (хи .... Xj) и
(xito,.-., Xjto), то df существует в точке г0 и имеет
место равенство
п
df= Ed,./.
/=.1 '

250 Часть 10. Дифференциалы
В предположении, что xt —вещественные или
комплексные числа, имеем
п
df = X, /' ♦ dxlt
где fx— частные производные dxJldxl функции /по
переменной xt\ они обозначаются символами dfldxt>
Пусть Et — векторное пространство. Если
отображение /(#) линейно но каждой переменной х{ и
непрерывно как функция точки z = (xlt ..., хп), то имеет место
равенство
щ \Х\* • • • > *^л)as F\dxkt х%>.»., лгп) "f* .».
••• ~\"i (Х^у • *•> X^if ClX^ Xi+ijf.jXft) с*»*
••• I / \Х\1 ^2» •••» Xfi^is UXft).
7. Матрица Якоби. Функциональный определитель
Рассмотрим векторы
х ~Ъ xt*et и д> ^= L t/у/,
двух векторных пространств. Пусть у *= F (лг) —
отображение, определенное в окрестности точки х и
дифференцируемое в этой точке.
а) Рассматривая отображение / как функцию от х^
имеем
п п
*/ • ^"5*7
и, наоборот, если частные производные существуют и
непрерывны в окрестности точки х, то F
дифференцируемо.
Ь) Но, с другой стороны, рассматривая координатное
представление вектора у, получим

Часть 10. Дифференциалы 251
i \ j
Функция F дифференцируема тогда и только тогда,
когда дифференцируемы yJt
с) Наконец dF можно еще записать в следующем виде:
п. р п
dF^Zi 2j~^'dxt •/,, dy,= Zi -g~ dx,.
Если написанные частные производные в количестве я-р
непрерывны» то отображение F дифференцируемо.
Матрица [д#/(Ц ) называется матрицей Якоби; она
определяет линейное отображение, являющееся
дифференциалом данного отображения. При п=р детерминант
этой матрицы называется функциональным
определителем или якобианом; он.обозначается следующим образом:
—-? -—ьг~ ИЛИ —г—
<>(*i хп) | дх
Имеет место тождество
\ ду \ дх \ х
, Ox j ду .

ЧАСТЬ ОДИННАДЦАТАЯ
Интегралы
1. Примитивная
Пусть Тх — линейное отображение, определенное
для каждой точки х векторного пространства Е и
принимающее значения в векторном пространстве F.
Пусть существует функция F (х), определенная в
области D и обладающая дифференциалом, который в
каждой точке х из D равен ТЛ. Тогда функция F(x)
называется прими/пивной отображения Тг
Если х -— вещественная или комплексная переменная,
то Tx(h) = Г-А; если F' (х) = Г(х)> то F (х) есть
примитивная функции Г (л),
N. В. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением
только вещественных функций.
2. Интеграл ог ступенчатых функций
а) Рассмотрим замкнутый ограниченный интервал [а, Ь\
числовой прямой R. Ступенчатая функция на [а, 6]—^
это такая вещественная функция ср, что интервал [а, 61
может быть разложенным на конечное число попарно
непересекающихся интервалов, на каждом из которых
функция ф постоянна.
В каждой точке из [а, Ь) функция <р имеет предел
справа ф(хгО) и предел слева ф(х—0); она всюду
непрерывна, за исключением концевых точек а, интервалов
[аг , а, , J, на которые подразделен интервал [a, Ь).

Часто II, Интегралы 253
Можно предполагать, что ф непрерывна справа в
каждой точке, кроме, быть может, точки Ь\ в качестве
частичных интервалов можно всегда рассматривать
замкнутые интервалы [?, , ат ].
Пусть /— числовая функция, определенная на [a, й].
Обозначим через /г функцию, равную /(*), если /(*)>0,
и равную нулю, если \\х) < 0; аналогично /~ — функция,
равная /(*); если /(*Х0, и равная 0. если /(лг)>0, и
пусть функция |/i : x-±\f(x). тогда
Множество Ф ступенчатых функций на [a, b\
образует векторное пространство над R.
Ь) Рассмотрим ступенчатую функцию Ф,
принимающую на интервале (ay, ay+1) значение If, интеграл от
функции ф на [a, Ь\ определяется формулой
ь п—\
| ф(/)Л - И /,(а/+| -аД
а /«=0
Обозначим через ^ длину (меру) интервала (a/y a/+l), тогда
Отметим, что 1) функции ц>\ ср% |ср| интегрируемы па
каждом интервале, содержащемся в |a, Ь\\ 2) отображе
ь
кие ф -* J Ф(0 dt пространства Ф в R есть линейная
а
форма на векторном пространстве Ф. Следовательно,
Ь о h
§№(*) +W\<tf = J' «КОЛИ J-ИОЛ.
j a • <?(f)dt = a . f Ф (0
d/
Условимся считать, что 1 y{t)dt = — j ${t) dt. В прос

254 Часть П. Интегралы
ранстве ф можно ввести норму
ь
с) Обозначим через Ф* пополнение пространства Ф;
последовательность фп (я£ N) элементов из Ф есть
последовательность Коши, если
lim ЦФи — фЛ =0.
Пространство Ф* является множеством классов
эквивалентности последовательностей Коши: {ф,п!— {срй}.
Предел lirn ||фя|| существует для каждой последовательности
Коши и совпадает для эквивалентных последовательностей.
Имеют место следующие свойства: если
|фл}—последовательность Коши, то
1) последовательность интегралов
ь
J Фя(0^-
а
есть сходящаяся последовательность вещественных чисел;
2) последовательности {ц£\ и {ф7} суть
последовательности Коши;
3) если \ц>п) —убывающая последовательность функ*
Ш1й пространства Ф и если последовательность
Ит«!1= J 1фя (')!<"
а
сходится, то последовательность
ь
J <P«ffl dt
тоже сходится.
3. Множества меры нуль
Пусть на ограниченном интервале числовой оси R
задана счетная бесконечная система попарно не пересекаю-

Часть //. Интегралы 255
щихся интервалов /„ /2, ..,, /„; сумма мер этих
интервалов (мера интервала — это его длина)
Uy; pj—мера интервала Iр
1
00
существует и является мерой множества £=«= U /„.
Множество Е точек отрезка la, b\ есть множество
меры нуль, если Е может быть покрыто системой
открытых интервалов lm сумма мер которых сколь угодно
мала.
Точнее говоря, для каждого £>0 должны
существовать такие 1к% что
00
Ее: U ^, 2 !**<«•
Счетное множество точек есть множество меры нуль;
каждое подмножество множества меры нуль есть
множество меры нуль.
Говорят, что некоторое свойство имеет место почти
всюду на [я, 6], еслп это свойство справедливо для всех
х из [a, 6], за исключением множества меры нуль.
4. Сходимость последовательностей ступенчатых
функций, образующих последовательность Коши в Ф
Последовательность (фл) является последователь-
ностью Коши в Ф, если
Ит || Фя — Фт Ц = Нт П<Ы')-Ф*(01<«-°-
Имеют место следующие леммы и теоремы:
Лемма 1. Пусть | Ф„} — убывающая
последовательность неотрицательных функций пространства Ф.
Для того чтобы
ь
lim Г ^n{t)dt « О,
R-*00 J
a
2

256 Часть П. Интегралы
необходимо и достаточно, чтобы <рп (л*) почти всюду
сходилась к 0.
Лемма 2. Если [у п\ —возрастающая
последовательность функций из Ф и интегралы
а
ограничены, то <рп(х) сходится почти всюду.
Теорема 1. Из каждой последовательности Коти
[ц)а] функций пространства Ф можно извлечь последовав
тельность, сходящуюся почти всюду на [af Ь\.
Теорема 2. Если
ь
"'п f \<pn{t)[dt = 0,
П-*оа d
а
то существует подпоследовательность (фя 1
последовательности (фЛ), сходящаяся к 0 почти всюду.
Из этих результатов следует, что каждый элемент /*
пространства Ф* определяется последовательностью
ступенчатых функций из Ф, сходящихся почти всюду па
[а, Ь\\ элемент /* есть множество последовательностей
Кошн, эквивалентных данной последовательности. Из
каждой последовательности 1фл|£/* можно выделить
подпоследовательность, сходящуюся почти всюду» н две
последовательности одного и того же элемента имеют
один и тот же предел.
Пусть У— множество всех функций, определенных на
[af Ь\ и являющихся пределами сходящихся почти всюду
последовательностей функций пространства CD;
рассмотрим отношение эквивалентности: /~g** /(х) равна g(x)
почти всюду. Образуем факторпространство &IR.
Пусть /* — элемент пространства CD*; [q?rJ —
последовательность, определяющая элемент /*. Существует
подпоследовательность (ф„ I последовательности (фл), схо-
\ k I
дящанея почти всюду. Полагая /(*) = 1ипфл (x)f если
он существует, и /(л)~0 в противном случае» о преде*

Часть //. Интегралы 257
лясм некоторый элемент пространства У и, следовательно,
некоторый класс в ,77/?. Получаем отображение Г
пространства Ф* вУ R.
Выберем теперь в некотором классе из У/7? какую-
нибудь функцию /; эта функция является пределом
сходящейся почти всюду последовательности 'yj, которая
есть последовательность Кош и в Ф. Эта
последовательность определяет некоторый элемент /* в Ф*, образ
которого при отображении Г в 5"//? есть класс элемента Д
Следовательно, Г есть отображение пространства Ф* на
T/R.
Теорема 3. Пусть \<рп} — последовательность Коши
ступенчатых функций на \а, Ь\; если фл(а) сходится
почти всюду к нулю, то
ь
lim \ yn{t)dt = 0.
а
5. Интегрируемые функции. Интегралы.
Последовательности интегрируемых функций
Функция, определенная на [а, Ь\, называется
интегрируемой, если она есть предел сходящейся почти всюду
на [а, Ь\ последовательности Коши ступенчатых функций,
Множество интегрируемых функций обозначим через
L. Они образуют векторное пространство над R; нуль
этого пространства представляют все функции, равные
пулю почти всюду.
Если /£ Lt то интегралом от / на [а, Ь\ называется
число
ь
lim f <рл (/)<//,
U
гДе {фл1 — какая-нибудь последовательность Коши
ступенчатых функций, сходящаяся почти всюду к /.
Это число обозначается символом
ь
\f{t)dt.
1/

258 Часть //. Интегралы
Если / интегрируема на [at Ь\, то она интегрируема
на каждом интервале, содержащемся в [а, 6].
Если /£ L, то |/| £ L; определим норму на L формулой
Jl/<')l*HI/i|.
а
Пространство L полно относительно этой нормы.
Теорема 4. Пусть [fn] — последовательность
интегрируемых функций на \а, Ь\. Если существует такая
интегрируемая функция j(~L, что
lim||/„-/|! = 0,
то fn{x) сходится почти всюду к f (х).
Теорема 5. Функция
X
х-» U{i)dt
а
непрерывна и имеет ограниченную вариацию на fa, b]').
Далее следуют две теоремы о последовательности j/rt}
функций пространства L.
Теорема б (Л ев и.) Пусть |/д] —возрастающая
последовательность элементов hq L, такая, что
интегралы
а
образуют ограниченную пооледовательность чисел. Тогда
последовательность fn(x) сходится почти всюду к
некоторой функции f^L и
Г; Ь
\f{t)di~\\m f fn{t)dt.
J n-*- со J
a a
Теорема 7 (Лебег.) Пусть (/J —
последовательность функций из Lf сходящаяся почти всюду к некото-
1) Функция )(х) имеет ограниченную вариацию на oiрезке [а, 6),
если для любого разбиения а = х0<х1< * . , . <хь = Ь этого отрезка
£ I H*ui) — f(xt) | < оо. — Прим перев.

Часть //. Интегралы 259
—ш^^^-^— - _ ....
рой функции /, определенной на [а, ft]. Тогда если
существует такая функция g^L, что для любых п и х вы-
полняется неравенство \fn(x)\Kg(х)> то функция f
принадлежит пространству L и
ь ь
Km f f(t)dt « f fit)dt
a a
6. Линейчатые функции. Функции, интегрируемые в
смысле Римана
а) Определим норму v (ср) функции ср как наибольшее
значение, принимаемое функцией |ф|. Если (cp„| есть
последовательность Коши в смысле этой нормы, то она
является последовательностью Коши в L. Для каждого
х£[а, ft] ц>п(х) имеет конечный предел f (х). Предельная
функция ограничена и может рассматриваться как
равномерный предел последовательности |<ря).
Назовем линейчатой функцией на \а, ft] каждую
функцию, являющуюся равномерным пределом на \а, Ь\
ступенчатых функций.
Теорема 8. Каждая линейчатая на \а% ft] функция
интегрируема на [at ft).
Частные случаи: непрерывная функция, монотонная
на [а, ft] функция,
ft) Пусть функция / определена и ограничена на [a, ft].
Рассмотрим разбиение на подинтервалы \Xj, х^\\ пусть
/Яу= inf f{x). Mj = sup f (x) и £y — ПрОИЗВОЛЬ-
ная точка из [xfy *у+1Ь Положим
д~ 1 п— I
s^^mf {xhl - xf) и S « 2Mf (Xfri — xj)-
Можно найти такое ;;, что разность Mj — f{$j)
(соответственно тн,— /(6/)) будет сколь угодно малой, и
вследствие а) сумма
будет как угодно близка к S (соответственно к s).

260 Часть //. Интегралы
Говорят, что функция / интегрируема на [а, Ь\ в
смысле Римана, если суммы У имеют конечный предел
при неограниченном увеличении числа частичных
интервалов с условием, что длина наибольшего интервала
[jcy, Xj+l] стремится к нулю lj — произвольная точка с
таким же индексом (здесь а = xt b — хп).
Функция / интегрируема в смысле Римана тогда и
только тогда, когда суммы S и s имеют один и тот же
конечный предел.
Теорема 9. Каждая функция, интегрируемая в
смысле Римана, интегрируема и в смысле § 5, и эти два
инте рала совпадают
7. Мера множеств
Пусть £ — некоторое множество точек интервала
[а, Ь]. Функция x(*)» Равная 1, если х^Е% и равная 0 при
х£Е, называется характеристической функцией
множества £.
Характеристической функцией множества СЕ
является функция 1 — у.
Говорят, что множество Е измеримо, если у
интегрируема* на [ау Ь\. Мера ц(£) множества Е есть число
t
г)
а
Имеем
|л (£) + и (С Е) = Ъ — а.
Если £ —конечный интервал с концевыми точками
а и 3, то его характеристическая функция ступенчатая
и JJ- (£") =3 — а. Если y£ft> то
ь ь
[x.(t)dt= ('хОИЛ где а'<а<&<&'.
v V
и а'
Если Ev и £2 —* два измеримых множества без общих
точек, то
H*iUE«> = i*(£i>+i*(£*);
аналогичное уквержденне справедливо для любого
семейства попарно не пересекающихся измеримых множеств

Часть //. Интегралы 261
8. Интеграл Лебега
а) Пусть /£ L на [аУ Ь] и функция Д определена
следующим образом: Д (*)=/(*) при f{x)>* и /4(x)=s»,
если /(я)<а. Тогда Д £ /,.
6). Множество £, точек, в которых /(*)<<*. измери-
мо; его характеристическая функция / принадлежит L,
Полагая
получим
a a
Множество C£* , на котором / (я) > a, также измеримо.
с) Имеем: Д и Д £ L и / = Д -{- Д; следовательно,
определив интеграл для функции Д, мы сможем
определить интеграл и для Д и Д Таким образом» мы можем
предполагать, что f(x)>0 для всех х.
Рассмотрим возрастай.щую последовательность 1п
положительных чисел с условием Ит/Я ■=-}- оо и МНОЖеСТ-
ва Еп таких xf что ln< f{x)<ln+v Пусть уп —
характеристические функции и \л(Еп) — меры множеств £д.
Положим
a
Это возрастающая последовательность интегрируемых
функций. Если х£ [a, 6], то Д(л:) «« /д при *£ Еп> так как
'я < /(*) < 'л+i* н Лва множества Е;, и Я^ не
пересекаются.
Последовательность /д сходится в каждой точке я и
Д < /. Отсюда следует, что
а \ \ I \ а
a

262 Часть И. Интегралы
С другой стороны, предположим, что для каждого
1п выполнено неравенство
где 6 — заданное положительное число. Рассмотрим
функции
п
Sn — 2 х* •'/»!•
Последовательность {gn } функций из L сходится
почти всюду. Всякая точка лг£ [а, Ь\ принадлежит
некоторому множеству Eq и только этому множеству; если
п ><?, то
gn (х) =* lq+i > f (*)>
Далее
jV -/.)*- 2 (W - У j Xp(0 * < •.
откуда имеем
b
$gn{t)dt< §fa{f)dt + *.
a
Следовательно, вычитая из каждого члена неравенства
1 а 1
первый член, получим
if(t)dt~%lnv.(En)<t>
а I
с условием что наибольшая разность /л+1 — /„
достаточно мала.
Если /£ L, mo ее интеграл на [а, Ь\ есть предел сумм
со
2 /л J* (£*) яр« максимуме 1п^ — 1п-+0\ и- (£л) — жри лшо-
жесте х таких, что ln^f(x)<i /rt4l.

Часть //. Интегралы 263
9V Функции с интегрируемым квадратом
Если /, g, fg, f\ g*£L. то (а/)» и {f + gY£L. ■ *
Множество функций с интегрируемым квадратом есть
векторное подпространство пространства L\ оно
обозначается символом /А
Неравенство Шварца:
Неравенство Минковского:
^'t
или
/ + *!1* <11 Л* + Ш*-
Используя предыдущий пункт, можно получить
классические результаты (формулу среднего значения,
значение определенного интеграла* интегрирование но частям
и т. д.). .
Затем можно распространить понятие интеграла от
линейчатой функции на некомпактный интервал, в
частности когда предел бесконечный, и т« д.
10. Несколько полезных теорем
а) Теорема 10. (Замена переменных) Пусть
Т — множество числовой оси R и # = £(/) — непрерывная
функция с непрерывной производной, определенная на
открытом множестве, содержащем 7\ Пусть х пробегает
множество X, когда t пробегает множество Т.
Предположим еще, что отображение £ взаимно однозначно на
Т. Тогда для того> чтобы f (х) была суммируемой на X,
необходимо и достаточно, чтобы функция / [S (/)] 15' (0!
была суммируемой на Т; при этом имеет место
равенство
[f(x)dx- \f[W)\\V(t)\dL
£ Г

264 Часть 11. Интегралы
Ь) Теорема 11, (Фубини.) Если! непрерывна при
й^х^а\ b^y^b', mo интеграл
Ь'
/(*)« j f{x,y)dy
есть непрерывная функция от х в интервале а^х^а'.
Ее интеграл есть не что иное, как
а'
f 1 {x)dx=* Г f / (*, у) dx dy;
a a<x<af
Ь<у<Ь'
и, кроме того, имеет место соотношение
а' Ь' Ь1 а'
( f /(*> y)dxdy « j dx J f(x, y)dy =- j dy f /(*, y)dx.
a<x<a' a b b a
b<ytb'
Вообще если f(x,y) суммируема на R2, то при каждом
фиксированном х, кроме некоторых исключительных
значений, которые образуют множество меры нуль,
функция y-+f(x,y) суммируема как функция от у.
Интеграл
/(*)= f f{x,y)dy
— 00
есть функция от х% определенная почти всюду; она
суммируема и ее интеграл есть не что иное, как
\ I (x)dx « f f f{x, y)dxdy.
с) Теорема 12. (Абель.) Пусть для х>а функция
f (х) есть произведение а (х) В (jc), где а (л:) — убывающая
положительная функция, стремящаяся к нулю при
jc-^-1-oo, а 3 непрерывна. Если интегралы
4

Часfb //. Интегралы 265
ограничены по модулю фиксированной константой ?, то
интеграл
-* -|- 00
\' f{a)dx
а
-* -]- оо
сходится и остаток I / (х) dx не превосходит по моду-
А
л to числа от. (А).
d) Т е о р е м а 13 (Л е б е г). Если последовательность
функций /«(л), определенных в Rnl, сходится а каждой
точке к f (х) при п ~± оо и если функции /я (х) яе лрег-
восходят по модулю фиксированную суммируемую
функцию g>0
(;7п (*)!<*(*). S(*)>0, f f ... ffif(*) </*<+*,),
R"1
wo функция f(x) суммируема и
f С — С /я (х) dx
RM
сходится к
[ f ... Г / (л-) Лс n/j« /г -+ оо.
* * R»< J

Литература
Borel E,t Elements do la theorie des ensembles, Albin Michel.
Bourbakl N.. Elements de maihematique. Livre I et Livre
III, Hermann. Русский перевод: Бурбаки И., Элементы
математики, кн. I. Теория множостп, «Мир», М., 1965; ки. III.
Общая топология. Основные структуры (гл. I—III), Физмат-
гиз, М. t 1958, Общая топология. Числа и связанные с ними
группы и пространства (гл IV—VIII), Физматгиз, 1959.
Bourbakl N., Elements d'histoire des mathematiques, Hermann.
Русский перевод: Бурбаки, Очерки по истории математики,
ИЛ, М., 1963.
Choquet М., Espaces topologiques et espaces metriques. Centre de
documentation universitaire.
• Choquet M., Structures topologiques. Structure unlFormes, Espaces
de fonctions. Centre de documentation universitaire.
■ Favard J., Espace et dimension. Albin Michel.
Felix b., Mathematiques modern, Enseignement elementatre,
Blanchard.
Felix Ь.p Expose moderne des mathematiques elementaires Dunod.
,Lentin A., Rivaud J., Elements d'aigebre moderne, Yuibert.
О. E. С. E., Un programme moderne de mathematiques pour
I'enscignement secondare.
QueysanneM.. Delachet A,, L'algebre moderne. Que sals
je? № 661 P.UJ.
Riguet J., article Mathematiques, in Encyclopedic des sciences
et des techniques, tome II.
Z am an sky -M, t Introductions Valg&bre et Tanalyse modernes,
Dunod.
•Bulletin de Г Association des. professeurs de mathematiques de Геп-
selgnernen public»

Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Введение 7
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Элементы современной математики
/. Множества. Подмножества. Булевы операции над
множествами • 9
1. Понятие множества. Обозначение принадлежности • . • 9
2. Способы задания множеств 11
3. Множество подмножеств. Включение 12
4. Булевы операции над множеством подмножеств
некоторого множества 14
5. Диаграммы Эйлера — Венна 16
6. Разность 17
7. Логические символы: двойные стрелки (или жирные
стрелки) в одну или в обе стороны 18
8. Другие выражения включения ...... 18
/А Отношения ♦ ♦ ♦ 19
1. Отношения унарные, бинарные, тернарные и т. д. . . 19
2. Бинарные отношения 20
3. Сечение и проекция 21
4. Композиция и симметризация отношений 23
5. Функциональные отношения. Отображения. Ограничение.
Продолжение. Композиция. Отображение в себя ... .26
6. Индексные обозначения. Обобщенные булевы операции 32
7. Отношение эквивалентности 34
8. Отношения порядка 38
III. Натуральные числа 43
IV. Мощность множества 45

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Элементы алгебры
I. Кванторы. Законы композиции 54
1. Кванторы существования и общности 54
2. Унарный закон композиции 55
3. Бинарный закон композиции .......... 55
4. свойства внутреннего закона композиции 56
II. Группоиды. Гомоморфизм. Изоморфизм, Группы 62
1. Группоиды. Гомоморфизм. Изоморфизм 62
2. Полугруппы. Группы 68
III. Кольца и идеалы 90
1. Кольцо 90
2. Кольцо целостности 92
3. Подкольца. Примеры колец 93
4. Кольцо целых чисел 94
5. Отношение порядка в кольце 96
6. Характеристика 97
7. Евклидово кольцо 98
8. Идеалы в абелевом кольце . 100
IV. Тела 103
V, Гомоморфизмы групп, колец и тел 106
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
Числа
I. Натуральные числа 110
II. Относительные целые числа 110
1. Симметризация 110
2. Симметризация множества N 113
III. Рациональные числа 115
1. Тело отношений кольца целостности ....... 115
2. Тело рациональных чисел 117
IV, Архимедовы группы 118
V. Тело действительных чисел 123
VI. Множество обобщенных действительных чисел .... 127
VIL Тело комплексных чисел 128

ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
Линейная алгебра
I. Векторные пространства . 131
1. Внешний закон композиции 131
2. Векторное пространство 132
3. Независимые векторы. Базисы 139
4. Гиперкомплексиые числа 142
II. Линейные отображения 144
1. Определения . 144
2. Матрицы 148
3. Линейные формы 154
4. Линейные уравнения 158
ЧАСТЬ пятая
Полилинейная алгебра
/. Тензорная алгебра 161
1. Факторпространство векторного пространства по
отношению эквивалентности 161
2. Тензоры порядка m ......... 161
3. Способ записи тензора Т 163
4. Произведение двух тензоров 164
5. Свертывание 165
6. Ковариантные и контравариантные тензоры ..... 165
7. Смешанные тензоры 166
II. Внешняя алгебра 168
1. Внешние элементы 168
2. Внешние формы 171
3. Детерминанты 172
4. Решение системы уравнений 173
5. Тождество Лагранжа 173
III. Полилинейные формы 174
1. Полилинейные отображения и формы 174
2. Билинейная форма от двух векторов 175
3. Однородная полиномиальная форма, связанная с
билинейной формой . 175
IV. Евклидово векторное пространство 177
V. Линейное или аффинное пространство 184

ЧАСТЬ ШЕСТАЯ
Полиномы
1. Полином 186
2. Операции над полипомами 186
3. Векторное пространство. Кольцо полиномов .... 189
4. Степень полинома 190
5. Кольцо полиномов над областью целостности . ♦ . 190
6. Евклидово кольцо полиномов над коммутативным телом 191
7. Идеал 192
8. Неприводимые полиномы 193
9. Тело разложения 194
10. Производная полинома 194
1!, Матрицы и полиномы 195
ЧАСТЬ СЕДЬМАЯ
Приведение линейного отображения
ЧАСТЬ ВОСЬМАЯ
Топологические понятии
Л Основные понятия 205
1. Базис фильтра. Фильтр 205
2. Топологическое пространство • . ♦ 208
3. Метрическое пространство 210
4. Предел. Отделимое пространство 211
5. Точка прикосновения. Точка накопления 212
6. Отображения и функции 213
7. Непрерывность 214
8. Открытые множества 215
9. Замкнутые множества 216
10. Внутренность, внешность 217
И. Множества на числовой прямой 218
12. Индуцированная топология 218
13. Произведение топологических пространств 219
14. Гомеоморфизм 220
15. Регулярные пространства 221
16. Нормальные пространства 222
17. Компактные пространства и множества 222
18. Равномерная непрерывность 224
19. Связные пространства и множества ..... 224
//. Нормированные векторные пространства. Функциональные
пространства 226
1. Норма 226'

2. Непрерывные отображения 228
3. Эквивалентные нормы 229
4. Функциональные пространства 230
5. Гильбертово пространство 231
III. Полные пространства 232
1. Фильтр Коши 232
2. Пополнение 233
3. Вещественное банахово пространство 233
ЧАСТЬ ДЕВЯТАЯ
Суммируемые семейства. Ряды
I. Суммируемые семейства 234
II. Ряды 237
ЧАСТЬ ДЕСЯТАЯ
Дифференциалы
1. Касательные отображения 240
2. Дифференциал 241
3. Производная 243
4. Теорема о приращениях 245
5. Оценка разности между "дельта"f и df 247
6. Частные производные 248
7. Матрица Якоби. Функциональный определитель . . 250
ЧАСТЬ ОДИННАДЦАТАЯ
Интегралы
1. Примитивная ......252
2. Интеграл от ступенчатых функций 252
3. Множества меры нуль 254
4. Сходимость последовательностей ступенчатых функций,
образующих последовательность Коши в Ф . . . . 255
5. Интегрируемые функции. Интегралы.
Последовательности интегрируемых функций .257
6. Линейчатые функции. Функции, интегрируемые в смыс- .
ле Римана ........ 259
7. Мера множеств 260
8. Интеграл Лебега . 261
9. Функции с интегрируемым квадратом 263
10. Несколько полезных теорем 263
Литература 266

Р. Фор, А. Коф%тан, M. Дени-Лапен
СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Редактор Э. Э. Пейсахович
Художник Л. В. Шипов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор А. Г. Резоухова
Корректоры А, Ф. Васильева, Jlt В. Вайкоаа
Сдаио в производство 4/VII 1966 г.
Подписано к печати 9/XI №6 г.
Бумага 84X1G&Vj* = 4,2Г> бум. л.
J4,28 уел, печ, л, Уч**нзд. л. 10,93.
Изд, Mr 1/3879. Зак, 517. Цена 95 коя,
Темплаи 1у(Ш г.изд-на «Мир», пор» № 13.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МНР»
Москва, 1-й Рижский пер,, 2,
Ярославский полиграфкомбниат Главполи-
графпрома Комитета по печати при Совете
Министров СССР. Ярославль, ул, Свободы, 97.