Text
                    МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕ 1НЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В.ЛОМОНОСОВА
Химический факультет
Е>С.Соболева, Г. М. Фатеева
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
. Часть I
Москва * 1992
Настоящее пособие написано на основе курсов лекций, читаемых авторами в течение ряда лет на химическом факультете. Пособие рассчитано на студентов общего потока, однако изложенный материал по объему шире обычно рассказываемого <>а лекциях. .
Пособив может бить испольр^вано и студентами физико-химических специальностей в той части, где программы курсов пересекаются.
Авторы приносят глубокую благодарность доценту А.И.Камзо-лову, внимательно прочитавшему рукопись, за ряд Ценных советов и замечаний. и1ы признательны доценту А.М.Полосуеву за интерес к работе и полезные советы.
Пособие утверждено
на заседании подкомиссии по мгтематкке и физике методической комиссии химического факультета МГУ
С О Д 8 Р X А Н И В стр.
Введение .................................................. 3
$ I. Классификация уравнений с частными производными ... в $ 2. Простейшие задачи физической химии, приводящие к уравнениям с частными производным!:............................14
п. I. Вывод одномерного уравнения диффузии...............14
п. 2. Вывод уравнения, описывающего процесс сорбции газа 17
$ 3. Корректные постановки задач...........................20
$ 4. Теоремы единственности................................26
п. I. Закон сохранения энергии для уравнения гиперболического типа..................................................26
п. П. Принцип максимума для уравнений параболического типа 30 п. □. Некоторые свойства гармонических функций...........33
§ 5. Ортогональные системы функций и ряды Сурье............36
$ 6. Цилиндрические и сферические функции................  44
§ 7. Преобразование Сурье..................................54
п. I. Комплексная форма тригонометрических рядов Фурье . 54 П. П. Преобразование Фурье...............................56
$ 8. Решение задачи Коаи для уравнен;» теплопроводности методом преобразования Сурье............................58
§ 9. Цетод Фурье для решения краевых задач.................61
в. I. Первая краевая задача для уравнения теолопроводнос-
* ти . . . .........................................    .	62
п. 2. Краевая задача для волнового уравнен;».............64
п. 3. Задача Дирихле для прямоугольника..................67
в. 4. Краевая задача для одномерного уравнения диффузии с условием Неймана на одном из концов..................’.	. .68
а. S. Кетод Сурье для неоднородного уравнен;»............70
в. 6. Задача Цнрахле в круге. Интеграл Пуассона ...... 72
ВВЕДЕНИЕ
Многие задачи естествознания приводят к уравнениям, содержании частные производные. Особенно это относится к квантовой механике, где уравнения с частными производными являются основным математическим аппаратом.
Приведем примеры наиболее часто встречающихся уравнений:
I.	уравнение Лапласа
где А - так называемый оператор Лапласа. Ниже приведем выражения для оператора Лапласа в часто используемое ортогональных системах координат
а)	в декартовых координатах
б)	в цилиндрических координатах X-Zcos<f,	2*2
AU* £ Sit** г? 1$ *	‘
Наметим, что * двумерном случае в указанных формулах в декартовых к шмдримх координатах отсутствует слагаемое *
В)в сферических координатах	у= xstWVnfy ъ-Ъса0
ML*!*	‘
Непрерывные ременкя уравнения Лапласа называются* г А' р м о -икческммк функциями.
Уравнений Лапласа удовлетворяют потенциал скорОСтй' при безвихревом течении жидкости, а также потенциал' электрического воля стационарного тока. .
- 3 -
2. Уравнен*, a
Пуассона:
AU ==» /(X, У, 2) .
.1ри «. — VTTjZzjD этому уравнению удовлетворяет электростатический потенциал Ц . Здесь	' объ-
ьпная плотность зарядов, Z> — диэлектрическая проницаемость срн; н*
3.	Волновое уравнение:
2 ~ сЯ" Э ~0,
Зто уравнение описывает звуковые колебания, где U(b,X,V2J - относительное изменение плотности среда, Ct - скорость распространения звуковой волны и й = tyPo/j// , Ро 9 - начальные давление и плотность,	/ С, где и
С у- - теплоемкости среда при постоянном давлении л постоянном объеме.
Как следует и? уравнений Максвелла» лежащих в основе электродинамики, этому же уравнению (где CL - скорость света) удовлетворяют координаты векторов электрической Е и магнитной // напряженностей электромагнитного поля»
В случае одного пространственного переменного волновое урав-
’ а* FF* -°
называют уравнением к о л е б а и и_й струн к , так как оно описывает малые поперечные колебания однородной струны. В этом случав U - отклонение точки струны от положения равновесия, 0L2» -Т/р ♦ гАв Т • натяжение, J)линейная плотность струны.
Заметим, что этим уравнением описыв'иотоя также и продольные колебания стержня.
4.	Уравнение диффуеии :
да =	*
где U - концентрация дк^цдмрувцм'о амамтв^ Аа • Ъ/ С-,
- 4 -
£	- коэффициент диффузии, С - коэффициент пористости сре- '
ды.
Этим хе уравнением описываются процессы распространения тепла, тогда U - температура, Ссг называется коэффициентом температуропроводности и » к/С J)	, где к - теплопро-
водность, С - теплоёмкость, _/?- плотность. Поэтому это уравнение часто называют у; авнениец^т е п л о п р о водно ст и .
Замечание. Стационарные колебательные и диффузионные процессы приводят к уравнению Лапласа и Пуассона.
5.	Уравнение Гельмгольца:
ziu + кги =0
к - постоянная.
Этим уравнением описывается весьма широкий класс физических явлений, свяэанлых о установившимся процессом диффузии при наличии распада и при цепных реакциях, с установившимися колебаниями (механическими, акустическими, электромагнитными) в неоднородной вреде, При действии периодической силы и т.д. (это уравнение часто «же йммвмхг волновым).
в. Уравнение Шредингера*:
"4г 4
где .	- постоянная Планка, L - мнимая единица, - масса
частицы,	U(t, - ев потенциальная энергия в силовом
ноле, Ч'»	- волновая функция.
Хотя это уравнение является уравнением первого порядка по времени (в отличие от трехмерного волнового уравнения), но вследствие наличия мнимой единицы оно имеет периодические решения. Поэтому это уравнение часто называют волновым уравнением Шредингера, а его решение волновой функцией.
Воли функция У не зависит от времени, то возможны стационарные состояния о заданным состоянием энергии, то есть существуют решения вцда	(-СЕЕ/К )	, где £
- полная анергия частицы. При этом функция 1Уа(*,У, 2J удовлетворяет о t а ц I о tap ио у у уравнение Шрадин-
-5-
г e p a :
Г
5 I. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ.
В общем случае уравнение с частными производными может быть записано в виде:
где Х = ( Х",,...,	) - независимые переменные, а и  и(Х7
- искомая функция;	- целые неотрицательные чи'ла а
/им -».<• * гп. .Порядком уравнагя называется рядок старшей производной, входящей а это уравнение. Р • а е к а -ем уравнения называется функция	• обращаемая
уравнение (I.I) в тождество.
Задача отыскания решения уравнения о частными производяши существенно сложнее соответствующей задачи дм обыкновенных урав» нений. Как известно, общее решение обыкновенного уравнения щ -те порядка содержит >п произвольных постоянных. В случае уравымаш с частными производными m -го порядка общее ременмс, если оно существует, вообще говоря, уже содержит m произвольных фушомй.
Пример I. Любая функция вила U (fr.XJ* где f и д произвольные дважды д’Ф^зренцируеже функция, Является решением уравнения колебания струны
Следует отметить, что основной задачей теорти уравиенМ .о частными производными является отыскание решений, удовлетворяввш некоторым заранее заданным условиям, соответствующим фмэкчесхей сущности задачи. Общее же решение не всегда существует, а также, учитывая его сложною структур.!, по нему, хак правило, трудм махо» лить решение конкретно I ГуКА
Возможные прав’?*ьные го.'ХХсвки задач, ириводяви к реаекмм, однозначно ошю^тшим процессе Щвисят от тива уравнения. Поэтому
ниже перейдем к классификации уравнений с частными производними второго порядка, которые принято называть уравнениями математической физики.
5удем рассматривать уравнения вида
И 2
где CL ц постоянные, Х«(Х4>..., Хл),	.
Это уравнение линейно по старшим пройзводныг. Ему соответствует квадратичная форма, называемая характеристической формой.
Q te) =	' (ЬЗ)
В уравнении (1.2) сделаем линейную невырожденную замену неза
висима переменных, то есть положим
।
(1.4)
‘За „ вг- Ък .	=. л
Так как	Т=т ЪУк 3Xf.	Jr*i ЪУк .то
уравнение (1*2) в независимых переменных у примет вид

(1.5)
Из уравнения (1.5) видно, что коэффициенты при вторых производных при замене (1.4) изменяется совершенно так же, как козффициенты квадратичной формы Q (5 ) при замене
*» “ 7^ А* ' k‘42.....................(1-6)
В алгебре доказывается существование невырожденного преобраг-•ования, приводящего квадратичную форму (1.3) к каноническому виду 1? > (1.7)
- 7 -
причем справедлив закон инерции: число поло**ительных т число отрицательных квадратов в (1.7) не зависит от вида линейного преобразования (1.6).
Если га найдем такое преобразование (1.6) квадратичной формы» то сделав замену независимых переменных по формулам (1.4) с матрицей транспонированной к матрице (JJoJ , приведем уравнение (1.2) к ввду н -
По аналогии с теорией кривых и поверхностей второго порядка уравнение (1.2) имеет канонический вид (1.8) и называется э л и и в тическим, если его характеристическая форма (1.3) /шиит» ' м знакоопределенной, то есть если все оС в (1.7) отличны от куля и одного знака. Уравнение называется гиперболкч.в-ким, если все отличны от нудя к не все одного знака к. наконец, если хотя бы однс из обращается в куль, то уравнение называется параболическим.
В случае двух независимых переменных приведение к каноническому виду можно выполнить для уравнения с переменными коэффициентами CLq == CLt't(X) • чего нельзя сделать в случае л>2.
Рассмотрим уравнение
tyr ★	(1-9)
Гудем предполагать, что в рассматриваемой области (/£*
В соответствии с введенной выле классификацией уравнение (1.9) в-точке Мо(Х»,У>) будет уравн заем	(
а)	г и п е р б о лии ч е с к о г о типа, если	«
б)	эллиптического типа, если в) параболического типа, если
Если в уравнения (1.9) сделать невырожденную замену независимых переменных £ = 4*1*. У) и .	, то урав-
нение примет вид:
ало)
причем коэффициенты полученного уравнения (1.10) одновременно не - 8 -
обращаются в нуль, и непосредственной проверкой можно убедиться, что справедливо равенство В2-АС »• О-с)	.где
Т	Т—
J - якобиан преобразования, то есть J ~ У у 1 *
Отсюда следует инвариантность типа уравнения при преобразовании переменных»
Лихе будут указаны замены независимых переменных, приводящие в каноническому ввду- Предварительно введем понятие характеристика уравнения.
Кривая, определяемая уравнением	9
ЯЗДАетсл решением уравнения
•	(Т.П)
называется Характеристикой уравнения (1.9)? Уравнение (1.11) есть уравнение в ЧасТНММН Производными первого порядка. Чтобы решить' wot надо яайТИ ревейие обыкновенного дифференциального уравнения. МбШМвМОТО уравнением характеристик
вам(ЯкГ— Ж *сW =0♦	(1Л2)
В самом деле, так как производная функции у = у С*) ' , заданной неявно соотношением	~С вычисляется по
еГх " ““	* °) *
ту
♦о ПОДстаГляя вто выражение в (I.I2), падучим, что 4V*,vJ являемся решением уравнения (Т.П) ( доказательство еквивалентнооти /райНЗНМЯ о Частными производными первого порядка и обыкновенного дифференциального уравнения см. CI] , C2J ).
Уравнение (1,12) является квадратным относительно » его
»hn«iLMiMiumlT j) а К2 — О/ в <?1У _ i
Цнвфшпшп “ v ***• , a	— •
Вели й>0 ( гиперболическое уравнение ) уравнение (I.I2)
к
Заметим, что деваяа часть уравнения (Т.П) совпадает с коэффициентом А($Л) ори 1 £-4^	в уравнении (I. ТО), если
- 9 -
распадается на два действительных уравнения первого попядка. Обозначим их первые интегралы соответственно	и
Они определяют два семейства вещественных характеристик уравнения (1.9).
Если Sb* О	(эллиптическое уравнение), то квадратное урав-
нение (1.12) имеет комплексно-сопряженные корни, уравнение (1.9) не имеет вещественных характеристик v	s <pk'y, у;.
Если	(параболическое уравнение), то корни квадрат-
ного уравнения совпадают, и получаем одно уравнение первого порядка и одно семейство характеристик.
Для того, чтобы привести уравнение (1*9) к каноническому виду , нужно найти характеристики этого уравнения и в зависимости от типа уравнения сделать соответствующую замену переменных»
Так как в случае гиперболического уравнения характеристики действительные, то положив J* » *ft*«*9, t-	t при-
ведем уравнение (1.9) к ваду:
Это каноническмй вцд уравнений гипербоди» ч е о к о г о типа.
Если за новые переменные примем	У t
*1Л	, то в результате получим уравнение вма:
+ R (г h и 4&N0.
Это другой канонический вид уравнений г к к • р б о-личеокого типа.
В случае эллиптического уравнения э*. новые переменные можно принять % = ------J----— t I*	t
то есть	3 Ут *
В результате получим уравнение вида:
Это канонический вид уравнений вдлидтмчео-
- 10 -
кого типа.
В случае параболического уравнения имеем только одно семейство характеристик ’ftx.yj-d . Положим	, в i;a-
честве другой переменной £ можно взять любую дважды дифференцируемую функцию, лишь бы преобразование было невырожденным, то есть
якобиан преобразования был бы отличен от нуля J ~| ?'х fyr (Часто бывает удобно положить	, либо	). Преоб-
разованное уравнение примет канонический вид уравнения параболического типа:

Соответствующие преобразования читатель может произвести самостоятельно либо посмотреть в [ X] .
Замечание. Согласно нашей классификации уравнения ( см. введение ) Далласа, Пуассона и Гельмгольца относятся к эллиптическому типу; волновое уравнение - к гиперболическому, а уравнение диффу- . эин к параболическому типу.
Пршеры
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду. а) - ^1пк - cos’x - usx :
•>	Х^.-2хх^у-г 2*3
Ромине.
а)	Данное уравнение	jyx'tosx
относится к гиперболическому типу, ибо	I
ХМ№*Р*Т*Ц1ЬИ1*>‘ уравнением характеристик для него является
уравнение	.»х т СоЛ =0 . Откуда следует.
что г s ~ Sinx i	. Проинтегрировав эти уравнения, бу-
- II -
дем иметь	У-co.f * •+х = С, , v-co$x-x*C4 , то есть
Ц>(Х,7)-У-Со$х+ X f ^(X.VjaY-COSX - X .
Сделаем следующую невырожденную замену:	-=	У-COSH,
Ч — (Ч-У)/2- — X , якобиан которой V(x,’y/” I oH”^
Неходки выражения для производных
Им-К
flU _ 0«. .
d/dy
Ъ^дЧ'
Подставляя их в исходное уравнение получим следующее каноническое
уравнение
Замечание Взяв = y-cosx- X к каноническому виду
-о.
за новые переменные ^>« У-Со$Х-*Х, ( характеристики уравнения ), приведем его
= 0	, что позволит найти об-
щее решение уравнения.
Обозначим	- Ъ . ТогДа будем иметь фтг = 0 »
следовательно 2Г не зависит от , то есть V « п (р) • где hip) - произвольная функция. Отсюда U(p,^)^fltfp)Ctp^ l^J .Возвращаясь к ст трым переменным, полу-
чим общее решение исходного уравнения:
U(X, Y) —	(V-СО5Х-XJ * (У-СОГХ- Xj,
где h и - любые дважды дифференцируемые функции.
б)	Уравнение x|^t-
является уравнением эллиптическою типа, так хек S&s-*x*<0 Напишем дифференциальное уравнение характеристик
- 12
Отсюда имеем
ygiif-c, Положим <e e y+ X?
невырожденное, так как
Интегрируя ати уравнения, получим то.есть	
£ =	* При X =#0 преобразование
Т *	‘	_I * --XiO
J ^У)"! 1 оГ
Дня производных, входящих в рассматриваемое уравнение, будем мать следующие выражения:
Подставляя их в исходное уравнение, получи;., следующее каноническое уравнение	^Ц. . *&*•&. — л
эр-
ь> Урш.™	+
относится к уравнениям параболического типа, так как 2> =» 0 и ецу соответствует следующее дифференциальное уравнение характерно-
Интегрируя его, подучим одно семейство характеристик y-*A- f то есть	У* • Положим
J st, » Я г- |Х 1|—-J Ъ С*, V/ 1< °*
ВМраэим производные, входящие в уравнение, через производные . новым мремм1ШМ1
♦ 13-
??И _	7>z(4 ч 2x^M- -+ &Ч- -4	•
х z * ХФ1 v V 0$ »
Ъ1!к._ v 'Mk + W-'	&i_ Э2ц
Ъ*ЪУ	д£/- Ъ^&4>	5уг.~5^1.'
Подставив найденные выражения в урижение, приведем его ж следующему каноническому виду:
0.
§ 2. СРОСТЕЙЖЕ ЗАДАЧИ ФИЗИЧЕСКОЙ ХИМИИ,. ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЯМ С ЧАСТНЫМИ ПРОгаВОДНИМИ.
I. Вывод одномерного уравнения диффузии.
Если среда неравномерно заполнена газом, то имеет место миф-
фузия его из мест с более высокой концентрацией в места с мень-шей концентрацией ( аналогичное явление имеет место к в растворах ).
Рассмотрю.: процесс диффузии в трубке, заполненной пористой
средой и газом в предположении, что концентрация в лкиом поверочном сечении трубки постоянна в каждый момент времени. Пусть Шь;’) - концентрация в сечении X ь момент времени "t ,
Согласно закону Чернота количество вещества, протекавшее в единицу времени через данное поперечное сте.жв, пропорцхонмьио площади $ этого сечения в граямем-
Рис. I	ту концентрации, то есть за время
dl оно равно ' JQ	Лг , гдеЯЬф
- коэффициент диффузии.
Подсчитаем кассовый баланс на отрезке трубки
Масса газа, накопленная этим учютком за время Л равна др= (2)(х+^
'£«><«>S 4r«	, ™ гем-л;.
С другой стороны изменение массы газа эа то же время Ji на этом участке равно
=	“* didx t гдв	£*е [t.t'-cH]	, а
С (х)	- коэффициент пористости среды*. Приравнивая эти массы
( уравнение массового баланса ) будем иметь:
з? (2,x)^}L.
Сокращая на S-didx и переходя к пределу при dx-*o и di- ~*0 получим
Это и есть искомое уравнение диффузии.
Уравнение диффузии относится к уравнениям параболического типа, характеристики его суть прямые ± л Соп$Ь
При вывода этого уравнения мы ечитали, .что в трубке нет источников вещества и диффузия через поверхность трубки отсутствуй ат.
Если коэффициент диффузии постоянен, то уравнение диффузии примет вид:	г &	• где О?” ~ Я/С *
Воли пористое вещество отсутствует, то есть C(X)sJ „ той^Д
Внутри трубки может возникать и поглощаться вещество ( наг* пример, вследствие химической реакции ). Пусть 7(±,х) - плотность источников, то есть то количество вещества, которое создает в единице объема за единицу времени источник, помещенный в точку X в момент времени i . Тогда количество диффундирухь щего вещества, выделенное на отрезке £л, х« c6rj за время сП* будет равно	)Sdx?db	и уравнение массового
И
Коэффициентом пористости среды называется отношение объема пор к полному объему ( в нашем рлучае полный объем равен S dx ).
- тя -
баланса при с « 4 t S)~ cawt примет зад:
2) SdxcU * 7(Кх) Sdxdi »	5 dxoU ,
откуда следует, что
( неоднородное , уравнение диффузии ).
Плотность массовых источников может зависеть и от концентрации ц . Большой интерес представляют процессы диффузии при наличии цепных реакций. Ценные реакции характеризуются тем, что час* . тицы диффундирующего вещества, вс. упая в реакцию с окружающей средой, "размножаются". В этом случае плотность источников диффундирующего вещества пропорциональна его концентрации, и уравнение диффузии имеет вид:
% - “* % * /“  (
В случае с радиоактивным распадом вещества JJ<0 .	*
Часто встречаются задачи, связанные с диффузией гам в движущейся среде. Например, диффузия газа в заданном стационарном потоке, скорость которого постоянна, равна .1£ к направим по оси СХ, описывается урав* энием
Для выделения единственного решения уравнения дк'фуваи иееб ходимо к уравнению присоединить начальные и граничные условия.
Распределение концентрации веществ*’ внутри трубка в момент времени i зависит от начальной концентрации	ж от ре»
жима, который поддерживается на торцевых концах трубки а опрело» ляет граничные условия.
Рассматривают три основных вида граничных условий.
Вели на конце /а Е трубкч концентрация известна, то граничное условие на этом конце прилет вид:	U (4,к) |Xe^
Это условие носит ’’азвание первого краевого уо» “•	.Ml
 Второе краевое услоэие имеет вид. зд |Kxt
К этому условию мы" приходим, е хли задан диффузионный поток на кои- .
- 16 -
Цв У а I . то есть количество вещества» проходящее за единицу времени через это сечение;
Третье краевое условие задается линейным соотношением между производной и функцией
Подобное условие возникает, если конец не изолирован от внешней среды.
Замечание I. Подобно тону, как било выведено уравнение диффузии в трубке» можно получить уравнение теплопроводности для однородного стержня. Распространение тепла подчиняемся закону $урье, согласно которому» если температура тела неравномерна, то в нем возникают тепловые потоки с плотностью пропорциональной градиенту температуры. Этот закон аналогичен закону Нернста. Поэтому температура и Н?, х) будет удовлетворять- тому же дкф-
'ЪЦ Л*- '2^ .г к фереициальному уравнению &t *0 Xх , где и сГр~
* коэффициент теплопроводности, С - удельная теплоемкость тела, - плотность.
Замечание 2. При выводе одномерного уравнения диффузии предполагалось, что концентрация по оеченмю постоянна, что возможно, если трубка достаточно тонкая. Если это не выполнено» то процесс будет описываться трехмерным уравнением диффузии:
= а* ди. ас
2. Вывод уравнения, описывавшего процесс сорбции газа.
Рассмотрим задачу о поглощении (сорбции) газа. Пусть через трубку, ось которой мы выберем за координатную ось ОХ. заполненную поглощающим веществом (сорбентом), пропускается газовоадуш-ная смесь. Обозначим через х) количество газа, поглощенного единицей объема сорбента за время £ , а через U И,Х) - концентрацию газа* находящегося в порах сорбента в сечении >( в момент времени Ъ .
Пусть скорбеть газа V достаточно велика, и процесс диффузии не играет существенной роли в переносе газа.
Количество газа, проходящего через сечение X зг время di за счет переносы движущейся средой равно Ult,X) Sifdi; , где $ площадь поперечного сечения трубки, тогда на участке fX X + sa это вряг.л будет накопчено количество газ», рав-- 17 -
О
• н°в
<> L Ute,*) - Uli, x*dxH]SUt
С другой стороны количество газа» поглощенное сорбентом за время di .равно	- Q(t,X)J Scbc , а ко-
личество газа, находящегося в порах, изменится на [u(b*d't,x)'-mt,X)JSc(X, Следовательно, уравнение массового ба^ ланса примет вид:
V f на, х) - и а, х+сМЗ-ffdt« sfib(wte,x)- ан--+
Откуда будем иметь:
" 9 ®х s dx di -(а».хиилд>)|^5<йй  или» сокращая на Sdtdx и переходя к пределу при dl~* 0 и
dX“* 0 t получки ~ d —
Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными функциями. К атому уравнению присоединим уравнение кинетики сорбции
где Ji так называемы* кинетически* коэффициент, у . - хоирш-трация газа, находящегося в "равновесии" с сорбировании количеством газа, то есть величины Q и у. связаны ДИТ» • другом некоторым соотношением, являющимся характеркпню* eoptfana. Наиболее просто* вид тако* связи соответствует изотерма Генри, сядем-веддиво* в области малых концентраци*: Q «• X У , здесь у* - коэффициент Генри.	•
В этом случае мы приходим к следухцв* сидтаам ураииепА: " $ 4	3T’}<u-r«J •
Эту систему можно привести к одному уравнению второго порядка, исключив функцию <3 (Ь,х) Джя этого предварительно сделаем следующую-замену переменных:
- 18 -
ж ожстема примет ввд: .
Й.1>
Откуда	— У ^5^ “	(U
Дифференцируя это уравнение по 'F' , получим
ИЛИ дГ&Ё’	=	<2.2)
Это давивши гиперболического типа , его характеристики
£ » СОЛИг » Хг ж 00л{4 • Дм определения функции Ц ну»* но праврединмть дополнительные условия. Для систем (2.1) они
°к-й ”° ' • MU.o=u» (предполагается, что в начале процесса поглощенного вещества нет). Определи^ дополкительные условия джя уравнения (2.2). Полагая в уравмймк оютеец (2.1)	€"«-0	, подучим
иед , шо,о1=и°
5	-4?
Откуда намдш	U(bt$)~Uo -в .
Итак* аадача вцределекия функции U свелась к интегриро-вжмжв шмммжшж
... <2-21 ЙЖ —пппячвжхлиу ПЮЖЖЯХ
«»,>>= и.е’^5, atr^tk, ал) то ость дополихтедыше условия представляют собой значение искомой фуиодкж иа характеристиках. Такая задача называется задачей Г у р о а .
Замечание 3. К аналогичной задаче можно прийти для функции CL . Дифференцируя по второе из. уравнений (2.1) и
о
аг ъгг Ъ^—U.
Крона того, 4L удовлетворяет начальному условию а также дополпмтельноку условию Q(TtO)— которое следует из линейного дифференциального уравнения (2.1) при 0 •
Замечание 4. Мы рассмотрели процесс сорбции в простейшем случае изотермы Генри. При больших концентрациях в случае изотермы Ленгмюра & = y/(UQ+py) уравнение (2.2) будет иметь более сложный вид.
Замечание 5. Задача (2.2)-(2.3) встречается при рассмотрении ряда других вопросов, например, процесса сушки воздушным потоком, прогревания труби потоком воды и т.п.
§ 3. КОРРЕКТНЫЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ.
Математическая задача, соответствующая физичеокоцу явлению* должна удовлетворять следующим трем требованиям: решение доино I) существовать, 2) быть единственным, 3) непрерывно зависеть от данных задачи (требование устойчивости).
Задача, удовлетворяющая всем трем требованиям, называется корректно поставленной задачей.
Первое и второе требования означают, что среди данных задачи нет противоречащих друг другу и их достаточно для выделения единственного решения. Третье требование означает* что малым изменениям любого из данных задачи должны «соответствовать малке изменения решения. Оно необходимо,, 'Юобы математическая задача правильно описывала наблюдаемые физические явления, и действительности данные задачи нельзя очхздяхь ^строго фиксированными* так как они ( особенно экспериментадь^о полученные ) всегда заданы в некоторых пределах точности. Поэт>ьу необходимо, чтобы малая погрешность в данных приводила к мал неточности в решении. Требование устойчивости имеет существе мое значение также для приближенных методов.
Предце чем перейти к описанию классических корректно пос-^зьленных задач для выше} азаншг: типов уравнений, рассмотрим уравнение
- 23 -
a ^74 C 4
Пусть требуется найти решение этого уравнения в некоторой области с гладкой границей Г , на которой заданы дополнительные условия на решение.
По аналогии с обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка можно было бы ожидать, что наиболее естественный ввд краевых условий - условия Коши, то есть в каждой точке линии Г заданы функция U(X,Y) и ее производная по некасательному направлению (например, по нормали ). Однако дело обстоит не так просто. Не на всякой кривой можно задать данные Коши.
Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка для функции Ц(х} задание U(x») и U'(x0) * в обыкновенной точке Хо ( задача Коши ) вместе с самим дифференциальны уравнением достаточно, чтобы определить производные U (ху любого порядка в точке Хо и тем самым найти решение в окрестности Ко в виде ряда Тейлора.
Исследуем соответствующий вопрос для уравнения (3.1).
Пусть граничная кривая Г задается уравнением у= ytxj и *а рассматриваемом участке не имеет вертикальных касательных, пусть далее условия Коши на имеют вид
 (3:г> Эти условия позволяют вточках Г найти значение производной
$ . Действительно, вдоль этой кривой Ч У №)- Qty. Дифференцируя •*> соОтвоаеиив по X • будем иметь
<МЖу«Г^' Жу^сз.з) Цркнпмая во внимание второе условие из (3.2), получим частные фимиам» первого порядаа вдоль кривой Г
Трудности возникают нри определении вторых производных, Их
*i(j ЪЧ1 уи
Ври	’ оЙл? • ЗУ* • Д-я их опредед. я имеем исход-
" • ‘	-.21-	*
ное уравнение (3.1) , а два других ургзненмл находятся повторным дифференцированием граничных условий (3.2), Таким образом в точках Г будем иметь линейную относительно вторых производных систему уравнений

Vu 4 V' W - d£ дх&У v dV* а X
Если определитель этой системы равен нулю, тс есть
О Zb С I 4 2. у' CY'Jn-O О 1 УЧ
1 У‘
a&-2s^*c‘0'
то система либо не имеет решения, либо неоднозначно разрешима. Последнее уравнение является уже известным нам уравнением характеристик (I.I2).
Таким образом, вторые производные определяются всюду. кроме точек, где граничная кривая является касательной к характеристикам. Дальнейшим дифференцированием можно получить систему уравнений для третьих ( и висш'.гх ) производных. Условие джя их разрешимости то же самое, так как определгтель системы является степень» тоге же детерминанта. Следовательно по краевым условиям Коши в некоторой окрестности граничной кривой можно восстановить решение, если эта кривая нигде не касается характеристики.
Итак, условия Коши, то есть задание и функции , и ее производной до некасательному направлению вдоль границы, иногда оказываются слишком сильными и переопределяют решение. В этих случаях бывает достаточно задать на границе лишь одно условие: либо Функцию -условие Дирихле, либо производную по некем-тельному к границе направлению - условие Неймана, либо линейную комбинацию функции н производной.
Обсудим постановки краевых 1адач, соответотвуюаде каждому из трех типов уравнений.
Мы будем рассматривать тхльго классические корректно поставленные задачи и укажем характерные для каждого типа уравнений задачи.
22 -
I. Рассмотрим одномерное волновое уравнение
~ оъ vt* ‘	0.4)
Характеристиками стого уравнения служат два семейства прямых
х- at = const л at ~ const.
Как указывалось в примере I $ I, его общее решение имеет вид:
' U(t, Xi = f(X-Qtj » giX-tCL-tj >	(3.5)
где к £ - произвольные дважды дифференцируемые функции.
Каждое слагаемое в формуле (3.5) сохраняет свое значение вдоль характеристики одного из семейств. Поэтому зная функции -f- и в точках отрезка Ав мы бу-
Рис. 2.	дем знать 1Ш,х) в каж-
дой точке. М , в которую приходят две характеристики, пересекающие отрезок ДВ г то есть внутри параллелограмма АР В Q , ограняпыают характеристиками (рис. 2).
Если м осн ОХ	«. оо известны условия Коши, то
ость eon	.
(3.6) то функции £(.*) 	определяются из системы:
ft*,-* $О0	.
"*»•	4«>« i fw - to. *c’'
±	-c-.
Итак, реаешю задачи Коши для уравнения (3.4) с условиями (3.6) будет иметь вид:
Г Ц(ЬХ)«	J .	\з.7)
*	*	м4и .	\
области. Пусть О^х <в £
Рис. 3
Эта формула называется формулой Дала м 6 е р а .
Этот пример показывает роль характеристик как кривых, вила» которых распространяется информация о решени-. Результаты, полученные для этого простого случая легко обобщаются на произвольное гиперболическое уравнение.
Сказанное выше позволяет нам указать правильные постановки задач для волнового уравнения (3.4) в случае ограниченной по (рис., 3). Условия Коши на отрезке О в определяют поведение функции /сх-at) вдоль характеристик, идущих вправо, и функции вдол» характеристик, распространяю- -щихся влево (при £ >С ).
Чтобы определить решение ура»* нения (3.4) внутри прямоугольника
СА С В w достаточно, кроме условий Коши (3.6) на отрезке ОВ • задать дополнительно только лишь по одному из условий типа Дирихле (или Неймана) на отрезках ОА к ВС • то есть, при Х=0 и Х= I . Другое условие на эти участки распространяется вдоль характеристики. В каждую точку верхнего основания АС' приходят две характеристики, то есть два условия. Поэтому на этом отрезке никаких дополнительных ус ловий задавать нельзя.
Итак, мы приходим к постановке смешанной задачи для уравнения (3.4) в области	t Д<Т ’
При t = 0 решение должно удовлетворять условиям (3.6), а на каждом из концов Х-0 и Ха t одному из краевых условий. упоминавшихся в § 2 :
11 ulx-x.=/W.	»•’>
2> >U.= *w. 	и-9’
з>  (ЗЛ0>
Например, если рассматривать кол. банке струны с закрепленными концами, то граничные условия при М Х=0 и х=Е будут первого
— 24 —
В додаче о продольных колебаниях стержня со свободным концом граничным условием на этом конце будет условие второго типа ЪЦ _ л u • Третье же условие соответствует упругому закреплению конца,
В случае волнового уравнения с многими пространственными переменными ставятся аналогичные задачи, при этом краевые условия задаются на всей границе колеблющегося тела.
П. Для уравнений параболического типа можно рассматривать задачу Коши и краевые задачи.
Рассмотрим уравнение
Задача Кошм для него ставится следующим образом: найти в области -оо^Х	,	0^-Ь <Т решение урав-
нения (З.П), удовлетворяющее начальному условно
= o	«Д2)
Заметим, что в отличие от волнового уравнения (3.4), содержащего вторую производную по времени, уравнение (З.П) имеет первой порядок относительно производной по -£•	, поэтому для на-
хожг.енкя единственного решения достаточно задания лишь функции U , то есть одного начального условия.
> При решении уравнения (З.П) в ограниченной по х области <£ рассматривают краев.» е задачи.
Кроме начального условия (3.12) решение должно удовлетворять граничным условиям на концах Х»о и	. Подробно эти
условия были рассмотрены при выводе уравнения диффузии в § 2 (см. также смешанную задачу для гиперболического уравнения). Здесь отметим лишь, что соответственно трем типам граничных условий (3.8)-(3.10) задачи называются первой, второй н третьей краевыми задачами.
Ш. Уравнения эллиптического типа описывают стационарные процессы. Поэтому дм выделения единственного решения в некоторой
- 25 -
области на границе этой области нуэт’о заг ть только краевые условия.
Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа
(злз)
Пусть область^ограничена поверхностью Г (в двумерном случае Г является кривой на плоскости, a U есть U(nt,V) ). Приведем постановки основных задач..
Задача Дирихле: найти решение U(X,V, 2) уравнения (3.13) внутри области (г , удовлетворяющее на поверхности Г первому краевому условию и/г • :f<(s,v,z)lr-
Задача Неймана: найти в области G решение U(x,v,2l уравнения (3.13), удовлетворявшее на Г второму краевому условии	|р »	jf
где - производная ьо направлению внешней нормали к поверхности Г .
Третья краевая задача: найти в области С решение уравнения (3.13), удовлетворявшее на Г третьему краевому условию о. .	।	.	•
Если Г непрерывная замкнутая поверхность ( -амкнутал -кривая ) и ищется решение в области 6* внутренней ( или внешней ) по отношению к Г , то соответствующую задачу называет внутренней ( или внешней) ‘.уаевойзадачей.
Для корректной постановки внешней краевой задачи ( Ct неограниченная область ) необходимо добавить ограничения на поведение решения на бесконечности.
Замечание. Задача Крои для уравнения Лапласа некорректна.
§ 4. ТЕОРЕМ Еда’ствшности.
I. Закон сохранения энергии для уравнения гиперболического типа.
- 26 -
(4.2)
Для простоты рассмотрим одномерное волновое уравнение (^м. BBWHH0U.3)
~ w «эуг	(4.1)
в прямоугольнике Qj { о < ха t , О < £ *	. И пусть U (г,*)
дважды непрерывно дифференцируемое решение уравнения (4.1).Умножим это уравнение на и проинтегрируем по прямоугольнику^.
Интегрируя по частям в правой части равенства по переменной X .
будем иметь	|Х.£
Qc	• Я* .	°.
В дальнейшем для краткости записи будем использовать обозначения а	. Воспользовавшись тем, что
где 'V' в первом интеграле равно Uh , а во втором - t/x • по~ -ЧГим	Г _ л»е
dir
(4.3)
Цу	_	Х=С имеем однородное первое или
второе краевое условие, то есть либо	(а тогда и ),
либо	. Тогда интеграл в правой части равенства (4.3)
равен нулю, а в левой части при интегрировании по t используем формулу Ньютона-Лейбница. Будем иметь:
flint * LTdx
ИЛИ I	У
«.4> о	*
Последнее равенство можно истолковать как закон сохранения энергии.
В самом деле, пуоть уравнен: ' (4.1) описывает малпч поперечные колебания струны, тогда U(k,x) ~ отклонение точки струны от положения равновесия, «Т/ р • где ~Г - натяжение, а J) - линейная плотность струны. Участок струны j/x сбладает - 27 -
кинетической энергией Wir* « J>dx ц£ кая энергия всей струны равна
Найдем потенциально л энергию струны, имеющей профиль U
Она равна работе сил натяжения лри переходе струны из положения
Кинетичео-
. равновесия в положение Проекция сшш натяжения на ось ОЦ для малых колебаний ( то есть при U* << 4 ) равна
Равнодействующая сил натяжения»под действием которых находится участок струны dx будет равна	—TU^dx.
Последнее равенство справедливо с точностью до малых более высокого порядка, чем rfx » что не влияет на величину работы этой силы.
За время di выделенный участок проходит нуть Oti • Работа, производимая всей струной за время dt ршвна
Проинтегрируем это выражение по "Ь • от 0 до С“ . Подучай с точностью до постоянного множителя тот же штехрад, что в в правой части равенства (4.2), поэтому
/ тц„ ut <hdt - ’fruMfa QT	О h*O
Последнее слагаемое представляет собой работу силы натяжения
по перемещению концов струны. Если концы струны закреплены, то эта работа равна нулю. Таким образом в момент С полная энергия струны с закрепленными концами равна
Elz)=5iHf4^c'.*)i-T‘Cie^)dx
Итак, равенство (4.4)'после умножения на f будет означать, что полная энергк. струны в момент времени & равна ее значению в начальный момент.
Из закона сохранения энергии следует
- 28 -
Теорема I. ( Теорема е В области 0<Х * t ‘ нме только одного решения
динственнооти)
, Т > i*0 возможно оуществова-U(Ь,х) . удовлетворяющего уравнению
u/,,0 =1 ‘Рш ,
условиям
= Ч'эд, =АЧ
(4.5)
(4.6)
Доказательство. Допустим, что существуют два ешения рассматриваемой задачи:	, Ut (t X) . Их разность
=> 1УМ-<4<М удовлетворяет уравнению (4,1) и однородным начальным и краевым условиям, то есть
и для функции гг справедливо равенство (4.4), в котором правая часть в склу^(4.7) равна нулю, то есть
/ л + (fvfa*))dx^0. Так как $4 и " Непрерывные функции, то откуда следует, что V(4>X) COftib и в силу (4.7) ал» Utte,*) — U».lktx),
Замечание I. Аналогичное доказательство единственности решения ложно провести для второй и третьей краевых задач.
Замечание 2. Теорема единственности справедлива и для неод-х)
норе.кого уравнения	«дПЕ* ex’- J ,с' ' , так как
разность двух решений этого -уравнения -за. (£zxj - UK(i,x) удовлетворяет однородному уравнению.
Замечание 3. Из энергетических равенств (4.3),(4.4) следует непрерывная зависимость решения от начальных условий. Рассуаде-нжем, подобным проведенному при доказательстве теоремы единственности, модно показать, что для У<£/’О 3 Р(£)>0 такое, что если имеем два решения, удовлетворяющие одним и тем же граничным условиям при - к» 0 и X=t , а при t-0 J
Ujax)| . то 114 (t, xj - l/Ji'XJl * L во воем прямоугольнике (?j- .
- 29 -
Замечание 4. Предыдущие расскотоения были провцены для случая . простейшего уравнения. Однако сам .метод энергетических оценок годится для широкого круга задач для уравнений гиперболического типа.
П. Принцип максимума для уравнений параболического типа.
Рассмотрим уравнение дм^узиь
“ а‘ <»•“
Обозначим через Qtr ПРЯМОУГОЛЬНИК	(Ш*Г}
а через Г часть его границы, состоящую из нижнего основания ta0 . и боковых сторон	,	Х = 1	. (На рисунке 5
эта часть границы выделена жирными линиями).
докажем следующее свойство решений уравнения (4.8), которое
называют принципом максимума.
Теорема 2., Если функция . U(t,X} » непрерывная в замкну* той области Qt'T • удовлетворяет уравнению (4.8) в точках 0<Х * I *	0*t	7~ » то ьхлсимальное к минимальное
значения функции	принимаются .в точках Г , то есть
г $11 ’ Г
Т ' тг^~* ; Рис. 5
Qe.r	Г	• (4.«)
mirt U(l,X)& mi* ЦП,*) «.io)
Физический смысл теоремы очои;и;еи: чвели концентрация вещества в начальный момент и на концах тр'чЦ; не превосходит Некоторого значения И , то пр;Г отсутствии источников внутр;, трубки не может создаться концентрация большая. чем М •
Доказательство. Предположим противнее, чти
Пусть ~ и 1^,^) и Я X<J • точка каксиьтка, Л	л Л • Л ✓ J	ill	А Л	__
О £ X» £ t , 0 4 t9 . Тогда и [р* г ; где £ гО . Рассьютр/х непрерывную в Qtr гскомогательную функцию Тогда т(ЬХ V (t,x) 4 meux U 4 к” М ч- t/y г -30-
УЧЬ,*)- U(t,xh A(t> -bi xJ- 1/(6в,уъ1 =74* £
где ос к <£/(2Т)
, то есть
Таким образом, функция Vlt^x) достигает своего максимального значения не на границе Г , а в некоторой внутренней точке (эта точка, вообще говоря, не совпадает с* (ib»*») ), то есть
'T fa, xj > V'l-bo»
В этой точке легального максимума венство может быть лишь при =7	)
точке Р4 1ЪпХх) но, так как по определению функции ^г1Г_ 'Эда ~ Ъ х2-
Г»0,	(нера-
•	0 • ТоГДа ь
+ Q	, что невоэмож-
и, следовательно, 9Т ^ЙХ2 3t u с)Ха * Х<~и.
Полученное противоречие доказывав!* теорему• Утверждение теоремы о
минимуме не требует специального доказательства» так как функция ( ** U )» являющаяся решением того же уравнения» достигает своего максимума там. ~де U достигает своего минимума.
Теорема 3. (Теорема единственности )♦
В области Qt,T возможно, существование только одной непрерывной функции Ц , удовлетворяющей уравнению
*(4.U) при Q<X	,	0^ t	и условиям
Доказательство. Пусть функции ИЛ(Ь,*) и	явля-
ются решениями уравнения (4.П) с условиями (4.12). Тсгда их разность	является решением уравне-
ния (4.8} с нулевыми начальными и граничными условиями, то есть 0	, В силу принципа максимума из неравенств (4.Э) и
(4.10)	следует, что	в $£иг » то ссть
. Теорема доказана.
Замечание. Из принципа максимума следует не только единствен-* чость решения первой краевой зад. ш, но и непрерывная эшшсимость решения от начальных и граничных условий. Действительно, если для двух решений Ujfo,*) и	имеет место неравенство
; и.ц. *) - ил,ini	< i ,
- 31 -
TO / UJ4..X) - Uz(t,x){ < £ .В области Qe,T
Единственность решения задачи для неограниченной области имеет место только при дополнительных условиях ня поведение функции на бесконечности. Мы докажем теорему единственности в предположении ограниченности искомой пункции во всей области.
Теорема 4. (Единственность задачи Коши)
В области	возможно существоввг-
ние лишь одного ограниченного в этой области непрерывного решения U(i,x) уравнения (4.8), удовлетворяющего при £=() условию
U[0,)()— ЦСХ) , ~оо^Х<оо	(4.13)
Доказательство. Пусть функции U4tt,X) и Llz(i,x) являются ограниченными решениями данной задачи, причем ] Udte,X)|<(^
i =. 1,2. . Рассмотрим, как обычно, функции	»	*
= Uift.xj-t/iftxj - Тогда lV'(hJx)l 4ZM , » Фунж-игл х) является решением уравнения (4.8) с нулевые начальным условием V'lOt X) = 0 9 ^Х < -t оо .
Принцип максимума, которым мы пользовались при доказательстве теоремы единственности первой краевой задачи для отрезка, здесь не применим, так как в неограниченной области функция V* №,*) может нигде не достигать максю/альных значений. Чтобы воспользоваться этим принципом, рассмотрим область	/ X / £ L, » где L •
произвольное вспомогательное число, которое затем будем неограниченно увеличивать, и функцию /ЦГ/£,Х)-=-	-t-'Q?"b J
Функция fuX(i/xy является решением уравнения (4.8), кроме того, удовлетворяет неравенствам
'*-0 L It=o	*к«хд.	1х«±Д
Тогда Функции	в ограниченной области
Q^Ti I , 0* к } являются решениями уравнения (4.8) к неотрицательны на границе этой области при	и
В силу принципа г/акситлрла Функции 'UT(t^)±	>0
везде внутри области Ql.t ( иначе минимум достигался бы внутри области ). Таким образом для функции iff к, к) в области
т справедливы неравенства
- 32 -
I W/X)i 4	(£ * J	~	(4.14)
Покажем, что * любой точке	функция
Выберем L столь большим, что /у/ £	, тогда точка
Pit £^ги в нвЯ справедливо неравенство (4.14). Устремим L к бесконечности, получим	К’) —О , Так как это справедливо дм любой точки, то Ц (Ь,Х)	, что и доха-
живает теореду.
Ш. Некоторые свойства гармонических функций.
Напомним, что гармонические функции являются решениями уравнения Лапласа.
Теорема 5. (Принцип максимума)
Функция У/ гармоническая в ограниченной области £ ж непрерывная в замкнутей области S • 6 * д& не может достигать строгого максимума (минимума) в области (у , то есть в - G справедливы неравенства
тш utxyk и (х. у/ i tfn-л иосго-	<4. xs)
Ъ6	Ъ6
.Чокамтельство, Через Q будем обозначать точки границы области (г , а чарса Р - точки области	, то есть 6Jfe
Э(? » />« S7 • Wi	- точка, в которой достигается мак-
сицум функции Ц. на границе, то есть
u(Q) •	(4.i6)
Предположим, что внутри области G есть точка Н %>/, в которой мечение функции U строго больше, чем и (Qc) , топ-м и(Ро) -и((М =«<>0	(4Л7)
Раоомотрш вспомогательную функцию
ХГ<Р) « U(p) * с ХА/7?А>),	(4.18)
гае гЧР,Рр) - (X-Xoj4 *(У-У»)г .а £>0-неко-
- 33 -
торов чис-"о, которое выберем позке. Тогда 'r(fV)®U(A>)	*
из (4.16), (4.17) следует, что V“(p0)  u(Qc) + Z > U(Q)
» V(<S) - € Хг<<3,Pv) -*«<•	. Выберем c>c столь малым,
что £	*>• -(что возможно ввиду ограничен-
ности G ). Тогда будем иметь V'(pe)'> ?Г(ф| Для YQ$Gr. Следоватэльно функция V" не может достигать своего
максимума в граничной точке, а достигает его в некоторой точке Рх<? G.
Известно, что в тонко £’Со локального маКсгъума функции Оано;1 переменной 3 а / ft-/ , определенной в окрестности точки t = t,. •PteoJsC),	(J . Если фиксировать ухуД/
то для функции	будем иметь V*(X,t YjsO,
и апалогичнык образок при фиксированном Z= Л, • If* Y}x.O
<ч VJ ^0 .то есть ZLt/Y/?) * 0.
С друге?» стороны, так как Д U, (PJ = О ,
Zi	. ~'еем 4 l’(P) - 4& >0
Полученное противоречие показывает, что неравенство (4.17) не справедливо, и иакси.^ум функции U достигается на границе об-лсл/ги Ст •
Замечание I. Стает г-* что в отличие от принципа иаксглума для j равнения диффузии дая	Лапласа справедлив строгий
принцип макенкулщ то есть -оелг з&^аккчсская функция имеет Ло-кальнчЛ! :глкснмум внутри области* то юна константа»
Замечание 2. Так как	&-wi4U/-4/7 ♦ TQ Щнищиа
кгини^пга следует из принципа ьздсс;::луг.а ^яя гарконаческой функций (-U).
Teopcrza 6. (Единственность решения внутренней задачи Дирихле).
томет существовать Лишь единственная функция Ц(Р) 9 гар-коническая внутри ограниченной области. G с границей 3 Z/ • непрерывная в зсс/кнутои области 6г и такая, что
U«4i-=. f(Q) , QfcdG,	(4.19)
где И®* - заданная непрерывная Функция.
- 34 -
Доказательство. Пусть U<(P) •	* решения задачи
Дирихле в Gr , удовлетворявшие условию (4.19). Тогда Сункцгл
VIP) = U< (Р) - U^, (Р) является гарглоничесиой в&‘ . непрерывной в ($ и удовлетворяет на Ъ& нулевоглу уедет: ю
T/fop * Из принципа максимума (4.15) следует, чтс ViP)±0 в Ст . ТО есть Ut (Р) = UJP).
Замечание Х.Иэ принципа максимума, как и в параболическом случае, следует непрерывная зависимость решения задачи Дирихле от граничных данных.
Пусть Ut(p) • UZ(P) ~ гармонические в Ст • непрериг ные в & функции такие, что l'Ui(Q) - UX(C?}| <£	, где
61G * тогда I U<(P) - UZ(P>I <£ в О- .
Замечание 2. Как отмечалось в § 3 для корректной постановки задач в неограниченной области необходимо добавить ограничения на поведение решения на бесконечности: а) в случае плоской области 6 (то есть п~ 2. Необходимо добавить условие ограниченности функции UfavJ на бесконечности, то есть 3 И > 0 такое» что /i/u, vj/ £ И , б) в случае 3 от функции Ц(Р) нужно потребовать усл<>-вие равномерного стремления к нулю за бесконечности, то есть &аи'и=°.
Замечание 3. Решение уравнения Лапласа для второй краевой задачи в ограниченной области & с условием
, где V - впепняя нормаль к 7)G t
определяется с точностью до произвольной постоянной.
В плоском случае ограниченное решение внешней задачи Ноймана определяется с точностью до произвольной постоянной.
3 случае и>3 доказывается единственность решения внешней задачи Неймана, равномерно стремящегося к нулю на бесконечности.
Укажем без доказательства некоторые свойства га> ионических функций.
I.	Если U - гармоническая в области & с границей , г я
5	- 35 -

где $ - замкнутая поверхность, целиком легапвд в об ;аотм & • а 9 направление нормали к ней.
Следствие. Из условия (4.21) следует необходимое условие оу-шествования решения задачи Неймана с условием (4.20), а именно
ff /(QJ	(4.22)
2.	Теоремы о среднем.
Значение гармонической функции'в центре £ сферы, радиуса £ равно ее среднему арифметическому по этой сфере, то есть
Ufft) = Jf U(0idf.	(4.23)
Умножая (4.23) на	и интегрируя по R на отрезке
[о, получим аналогичное утверждение для вара
“^ = ?47Г8-	. «-го
-Й-А
Замечание. Свойства аналогичные I и 2 , справедливы к в двумерном случае.
ШР.) = 2^ £	(4.25)
JjU(°)dS,	(4.26)
где к - соответственно окружность и круг ргигуса К с центром в точке Ро .
3.	Всякая гармоническая в 6* функция U(P) аналитична, то есть она раскладывается в ряд Тейлора в окрестности точгх Р* , если Ро 6 Ст.
§ 5. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМ ФУНЙЦф И РЯДЫ ФУРЬЕ.
В этом параграфе мы будем рассматривать кусочно-непрерывные ф>ункции j-U) , то есть функции, имеющие на конечном интервал ле (Q,6) не более конечного числа точек разрыва первого рода.
- 3S -
Пусть в точке разрыва ха выполнено условие
'** 4(х,±0)=хЫ
Введем с к а л я р:н о е пропав функций по формуле:	g
едение двух
(У, Заметим,' чтЬ при таком определении выполнены
скалярного .произведения
известные свойства
I)	(ф,^) =	,
2)	(сЛ* Сд'Л, г) = бх (фъ
3)	(V,V)?0 * причем для кусочно-непрерывных функций, удовлетворяющих условию	равенство воз-
можно тогда и только тогда, когда ФО0аО,
Две функции Фсх) и Ч' (х) называются ортогональными, если ( *?, W) = 0 ;
Нормой ф ун к ц.и к ф(Х) на интервале (Q, 6) назовем число II 4*11 = Ф) »*• '(£ ip2(x)Olx)^
Систему функций (<М*Н ., , И у>„ 11^0 назовем орто-г о в а л В н о Й , если (фт, 4>nj-Q при /И*Л . Система функций называется о р t о но р ми роваяной , если она ортогональна и |(	||« 1 0=	ортогональ-
ную систему можно превратить в ортонормированную, поделив каждую функцию на ее норму.
Приме;. I. В математическом анализе было доказано, что в интервале (-t, 4) тригонометрическая система функций
4	z $fп	, COS^ »»♦ •/	ортогональна.
UB пространстве функций ортогональные системы играют ту же
, что и ортогональный базио в конечномерном евклидовом пространстве. Из линейной алгебры известно, что любой вектор можно разложить по ортогональному базису.. Аналогичное утверждение имеет место и в бесконечномерном пространстве функций.
Пусть функция Fix' на интервале (а,6) допускает разложение в ряд но ортогональной системе ] Ч>И(Х)J то есть
- 37
ft*) ~ Нт C„^ncj.	<5.D
Найдем коэффициенты G n этого ряда, предполагая его равно-мерную сходимость. Умпожг : скаьтрно обе части ра бства (5.1) «а Ч’т С<) , тогда будем иметь, учитывая ортогональность смете-
ш {4V*)} •
,ут) - ±:си «f„,4>„)=c„«..4U.
Откуда
г ». Hl^iL -
II ^ж1|7	dx
Коэффициенты Ст коэф ф к ц и е и т а только ортогональной смете та { (5.1) с коэффициента:/^ Оурьо называете.: рядом функции	1 (X) независим» от его
функция	£ (X) мо;хно поставить
оо
'X. ZEZ CK^tX>»
определяемые по формулам ^5.2) называются и Оу р ь е Функции £c*J относм-• Фуккдиоиаль’ш». ряд Фурье с/одкмостг.. Слрдонателыю, соответствие ряд Фурье
с ~	.
к 11<мГ
этого ряда будем называть п с
в
л и н о м ом Сурье.
/-Т* Определение I. Абсолютным отклоненном непрерывны.; на £<!•/} функц;Л;	и	пазываьтся число
d (i, »J - "??л I - 9и11 
В вопросах, связанных с обработкой экспсргкентишшх ланиых, часто возникает необходимость другого понятия близости $уиха;Д.
/ Определение Квадратичным отклонением двух Функций /*<*> и (^х) назовем	t ’ г-^-1 7/*_
ilHH
Пусть	- ортонормирования система Функций на
- зь -
При фиксированном п составим линейную комбинацию этих функций $«»==	V*) .	£5'.3)^
Рассмотрим следующую задачу: для заданной функции j-tx) нодоо-рать коэффициенты ( к= <2,... к)	) так, чтобы квадратичное
отклонение функций	fact л Зп^} было мингаиалы-нк. Найдем
^^это оплонецве. используя свойства скалярного произведения.
О - s. II* - (* - s	J < ’'.)*
’ а.я-	vj- (±=^>fK1-£^n'f^
Мел	А» / /ylsaf
Учитывая, что система / Уп } ортонсрмированная, то есть .
ММ»)-ковФ-Миент фурье, получим	и г
Дополняя последние две суммы до пол jx квадратов, будем иметь;
Поскольку два первых слагаемых не зависят от выбора , а последнее слагаемое есть сумма квадратов, то ясно, что минимум этого выргчення достигается тогда, когда последнее слагаемое равно нулю, то есть при	П ). В этом случае £п-~Гм
( полином Фурье ),	Z*
«/«И S-u4f -Т.|Г= llfll1-^2. <5.4/
Это свойство коэффициентов Фурье давать минимум квадратичных отклонений полиномов вида (5.3) от функции £(х} носит название минимального свойства, т»»™.	пр-
жаааы»; что~1шра1>ид«ивя ппелуипнь
-	. - Теорема ^.|,Среди всох многочленов вида (5.3) полином Фурье Т намучаю! образом в смысле квадратичного отклонения приближает данную фупкц»*ю^	’

Так как левая часть неравенства (5.4) неотрицательна, то при любом л справедливо неравенство cf~ saj|-£ ||^ или, переходя к пределу при Л-* <*>
V ~	»' -’4 yj-	С -4
Таким обрьзо^, ряд, составленный из квадратов коэффициентов Фурье по некоторой ортонормированной системе сходится, евосходит квадрата нормы этой функции. Нераьенст-
функции и его сумма не во (5.5) называемся не р а ве нот во ^Бесселя

Введем следуй^це'е важное понятие.

Определение^.^ Ортонормиров^шая система функций f tftjJTjJ зазывается зам к н ут о й , если для любой интегрируемой о квадратом функции
ftx) С2, Г к
о й , если для любой интегрируемой о справедливо равенство:
=
в о м ilapo ев а л я k
(5.6)
называемое .равенством П а р р е в а л я ь
Из тождества (5.4рследует, что замкнутость системы №»] равносильно^тому, что частичные суммы ряда Фурье сходятся х функции в смысле квадратичного отклонения.

-	-> Понятие замкнутости ортонормированной системы тесна связано \ V с понятием пол juo т ы этой системы.
Определение < Система ортогональных функций называется ом-ной, если не существует функций с ненулевой нормой, ортогональной ко всем	системы.
Теореме1#. Для всякой полной ортогональной системы две различные функции	и £ <х) не могут иметь один' ховые ря-
ды Фурье.
Доказательство. Пусть Функции f-cx) и	имеют
одинаковые ряды Фурье, тогда функция А(Х) •» имеет нулевые коэффициенты Фурье, То есть /нху ортогональна полной системе {	и; следовательно, А (X) ^0 .
Теорема^в? Всякая замкнутая ортогональная система является
полной.
Доказательства. Пусаг б&нкция	ортогональна всем .
функциям замкнутой сист0^?	| * Тогда из равенства
Персеваля следует, что HJlT-	<*>*“>*~~0 , а тогда по
-свойству 3 скалярного произведения f (к) ж О •
В подробвдх курсах математического анализа доказывается, что тр, гго неметрическая система функция
/, $1п^,	..., Sinugx.,	. • на интервале
(-£,4.) а а,м к нут а . Поэтому всякая кусочно-непрерывная ^. -периодическая функция /от) может быть представлена в виде тригонометрического ряда Фурье, сходящегося к ней в смысле квадратичного отклонения
•fw- £ * Иг (а*	' & А"	) »	(5.7)
6Й * £ *п •¥* *** * Л ж\2-» • ’ ’ '
;Т^а.в анств о Парс е а а л я для' тригоно-м-.а т,р.ич е с койс к стемы выглядит следующим образом:
4	(5.8)
(Заметим, что коэффициенты справа и £ при йд появляются из-за того, что ста, система, функций ненормированная). ।
Сформулируем некоторые теоремы, относящиеся к тригонометрическим рядам Фурье. л
Теорема 4. (Достаточное условие поточечной сходимости).
Пусть периодическая функция for) с периодом кусочно-непрерывна к имеет кусочно-непрерывную производную на отрезке джины 2<	, тогда в лобсЯ точке ряд Фурье (5.7) сходится
к фуккцни /с*)*	•
Теорема 5. Боди функция ftxj удовлетворяет условиям теорем* 4 и непрерывна, то ряд-Фурье сходится к ней абсолютно и рав-номерно.
Теорема 6. Тритчометричесхий ряд Фурье кусочно-непрерывной функции можно почленно интегрировать, причем полученный ряд будет сходиться равномерно.
-41-
Теорема 7. Пусть периодическая функц.ш ^<Х) непрерывна *" ъ^лсте с производными до порядка m и тлеет кусочно-непрерывную ’ и; вводную порядка /и*/ . Тогда ряд Оурье (5.7) функции f-ir;
почленно дн<1фереицирова’. ь w\ раз.
JlA/t^cOX /(А<~	za*<-+*	. <*>	:мЛ
ряыв]) .р л качестве/второго примера ортогональной систем «joannis Jia отрезке С-<9 fj рассмотрим полиномы Леман-д р а 0	'	/Г 1
— п< dx” * ~
. Нринедем вв’ше выражения первых пяти из них
Po(X) = f;	&<

/К Q1 ДО!?/
Кеиосрелствйшюй проверкой можно установить, что многочлены Ле-являются решениями дифференциального уравнение второго по-
рядка	1<Г-Л
Lry;» fx («-<*? Н/+ и,гн*,у =0 4fcnp: 7
Это уравнение называют уравнением Лежандра.
гЛиогочлены Лежандра образуют полную ортогональную на отрезке
1] систему и <
'*	’2п-Н

n^tn
о
л * ги .
(Проверьте справедливость формула для многочленов (S.IOX).
Другие^свойетва полиномов Лежандра будут укаваны >’ § 6 при аосутдеийи свЬ^ств сферических функций.
Лля широкого круга задач возникает необходимость введения ортогональности.с весом* j>fx) непрерывная, положительная на интервале W,<}
понятия
Пусть
Определение р'г Система Дующий	кавм-
зттся ор’югоналыюй на интервале (а, О о весом jfdt) ,."лхл
Выбор того клй иного веса jy*) приводит к различным сно- — темам многочленов.
Если	9 то ортогональная на
интервале (-1, 1J система многочленов с точностью до постоянного сожителя совпадает с так называемыми многочленами Чебыаева, которце определяются ферулой
Т.ш’Х, Tt(x)»2z4	^x)=4xJ-3x...
и играют важную роль в различных интерполяционных задачах. Ото объясняется тем, что, как показал Чебышев, она являются полиномам*, наименее ухлоняюадмися от куля на отрезке С*1. *3.
Примеры часто встрсчаа::г.:хся ортогональных с весом многочленов в случае неограниченного интервала	.
о 4. Поли ноо «и Лагерра:	; /. JQ >
(Проверьте, что LoUi*1»	),
Полиной Лагерра в интервале	образуют полную орто-
С —1£
гонмьиу» с весом J>» X в • систе&у «,’ункцгЛ, причем	4
r‘r‘n'a^
J П L-m	|X.pn+£+<j n- /?1
Uoxho показать, что уравненг.е Лагерра •
( y*)z * х5е'х ^)У=0
(У ; ’ (5.14)
ллк	X ум	(>- ^)у=о
имеет в области q & к	нетрив.шльные, ограниченные ftpr.
Х»0 в возрастают»» при Х-*«о не быстрее конечной степени X решения только три Л ft * и этими решениями являются только полиномы Лагерра.
- 43 - .
5. Полинами Эрмита:	р
( Проверьте, что НО<Х) » I, . Н«(х) =2х, ,	.
Полиною Эрмита образуют в интервале (—©<>,« ) полную ортогональную с весом систему функций в	х* о у ,
^оо	i
•>QQ	•— гг»Г*Ч
Можно показать, что уравнение ЭрмиТа	/ , ?
&(£'**	+ ^е'’,*у=о	«и» \
или	.. .
у«-2ху74ЛУ®0 имеет' решения, возрастающие прг•/•_ -♦ <» не быстрее» чем конечная степень X , лишь при У*2н и етими решениями являются полмнош Эрмита.
Подробнее о свойствах, указанных а ?аялв других ортогональных систем функций см.. C3J .	.
§ 6. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ '
При решении многих задач математической физшш прюодят к обыкновенному дифференциальному уравнению
' <в.п
называемому уравнением Бесселя порядка р . Его решения называются бесселевыми клич и >
линдрическими функциями порядка Р .
Рассмотрим подробно лишь наиболее простые слу чаи, когда
- 44 -
я V ж / • Более полное изложение теории бесселевых функций можно найти, например, в книгах £3] , ClJ .
Уравнение Бесселя нулевого порядка имеет вид: у" ♦ у' + У«Л 7 х '	7 и'	(6.2)
Заметим, что коэффициент при первой производной является неограниченной функцией при Х~*О . Будем искать решение этого уравнения в виде степенного ряда ео -..
у- 2EZ е« *
ЛаО
Продифференцируем дважды этот ряд в его интервале сходимости, у'« .5Ь*»спкЛ’х у
Подставив полученные выражения для производных в уравнение (6.2), умюкенное на X , получим:
*(•-<> сЛх"-' *	*n*=o
Ияд	лжо
ШИ	'
~	К** *	v	Л—
откуда’	’
с,*	(А,., ★(**<) А<> * т*х)4«)х* ~ о
или Ci ♦ (fk+i ♦ (^бгС^1) К* *#.
Огема следует, *«о С,= 0 . то есть
Написанное рекуррентное соотношение показывает, что все нечетные коэффициенты равны <нулх>, то есть ,	• а чеТЙК<‘ определе-
ны с точности) до постоянного множителя. Потому, подоив Со--/ , то есть У/о) = / ‘, будем иметь	( ‘1)**
w	0И	S З-4** Гм -'Л
Подставим значения коэффициентов в ряд для ' У. Найденное решение уравнен^ Бесселя при У «О называется функцией Бесселя первого рода нулевого ворядка к обозначается Z *
- 45 -
• <s-3>
Uo признаку Даламбера ряд (6.3) сходится при любом X , .ак как
£. I « Ь» X* - Д
I U и СХН	2г(пи)г^и'
Рассуждая аналогичным образом, можно найти выражение для Функций Бесселя любого целого порядка
т	и
Л(х} *	22я**	' «
Ь частности, функция Бесселя первого рода первого порядка пред-
ставима в виде ряда:	,
1<М “ iS? 2^»!М) '
(6.4)
Уравнение Бесселя является дифференциальным уравнением ьто-рыо порядка и поэтому имеет два линейно независимых решения, одним us которых явллс ?ся J fc) . Второе линейно независимое решение ухе не будет непрерывной функцией пои Х=0	. Формула
,цдя него гораздо сложнее, и мы не приводим ее. Отметим только, что это решение называется функцией Бесселя второго рода ( иди функцией Неймана ) и обозначается через
арл	X—>0 )•
Для функций Бесселя щ составлены подробные таблицы.
( см. [4J ).
Приведем график Функции	• Эта функция четная, и
У	поэтому на рис<6 изобра-
1 ч.	Je (О	жена только половина гра-
Л	<*-ика» соответствующая по-
-4----- —	7~ - лосителышм значениям
I	Из рисунка видно, что гра-
11	фик функции X W п0*
Рис. 6	хом на график затухающих
и<;р:бы1ИЙ. Сункция	имеет бесконечно много корней .
У»:.чк*м значения первых четьрих ин них с четыркя д^’лтичннмм эпаг-
P^2..4W f	=
• етг.л, что о ростом номера // расстояние к^жду сиседнимн ну-
- 46 -
лями стремится к "зг
Укажем некоторые свойства функции Бесселя первого порядке.
Как следует из формулы (6.4) функция	является не-
четной функцией, функция JJoo , как и JoiX) . имеет бесчисленное множество корней
^з/(Ш t Jt-HH* т.Д.). расстояние между которыми при И —с® стремятся к Т .
Отметим часто используете, формулы
<	Jt ю t	I*i	a >
которые получаются почленным дифференцированием кл<: интегрированием ряда (6*3). Из первой формулы следует, что функция JoW
v	имеет экстремумы г.м.еи-
•	"\3е(ж)	но в тех точках, в ко-
\	торых функция
обращается в нуль, то
/ \ X	еСТЬ В Т0ЧКаХ	•
1L,. -уД* 7- A	Из рнс.7 видно, что
\__Хкорни функций Бесселя _ц5 ,	кулевого и первого по-
Р::с. 7	рядка перемежаются, то
есть между двумя любыми последовательншли нулями функции .Х(Х)
лежит обязательно один куль функции Jr и наоборот. Условие ортогональности функций Бессе-
ля нулевого порядка.
Рассмотрим уравнение несколько более общего вида:
у» ♦ X у* . у =0
Заменой независимой переменней ^’•= оно сводится к ухе рассмотренному упавненк» Бесселя нулевого порядка *
и, следовательно. фуг. <цая (Ах) является решением уравнения (6.5).
- 47 -
Пусть теперь } последовательно принимает значения М*
( йх<,2Р1,	) положительных корней функции Бесселя jT fx/
Теорема I. Система функций |	} на отрезке
является ортогональной с весом	, тс
есть
Докажем это. Функции Jo (р*) и .	удовлет-
воряют уравнению (6.5) при е соответственно равных ж £
* 4-	.
Умножим перво, из равенств на X JT9 (fyX) , второе на
X То If»*) и внчтвм одно другого: -
Это равенство запишем в виде:
i (х.(-чеЧ^х-^ф^о
Интегрируя последнее равенство по х в пределах от О до I, падучим
ИХ	и* * »Ов С
(6.7)
пусть теперь	а	где	- два раа-
личних корня уравнения	Уо (X) г0 . Тогда в результате пед>
стаиоики ..ределов выражение в фигурных скобках обратится в нуль.
- 48 -
Поскольку	• окончательно заключаем, что
/ *17л *j Z са
Чтобы доказать второе из соотношений (6.6) положим в равенстве (6.7)	f-3/* и перепишем его в несколько дном виде. Так
как &	) -* Р -S (Р*) t то будем пгеть:
Перейдем к пределу при ) А . Предел в правой части равенства (6.8) вычислим по правилу Лопиталя:
Итак, формула (6.6) доказана.
Теорема 2. Система функций | Тв (Р«х)} , где 1/, - нули функции Т4Сх) t >/=<>,/# 2... ортогональна на отрезке о весом j>u)»a и II То(«Л.х)Ка== <b[l(U,)j2
Дм доказательства достаточно в формуле (6.7) полох’ггь р =
•J 	(к фи) и воспользоваться равенством
’ Т \ .
Ортогональные системы функций {	х)] и- •{!>(й X) J
ft • <, I, ... t к * 0, t, 2... являются полными к справедлива
Теорема 3. Всякая дважды дифференцируемая в интервале (0.1) функция | <х> , ограниченная при <« 0 и обращающаяся в куль при х » 1 мфкет быть разложена в абсолютно и равномерно СХОДЯЩИЙСЯ ряд
.	- ^7	/где
II L	, т > л
Замечание. Для системы ] Jo(^kXj] справедлива аналогичная теорема.
- 49 -
Во многих задачах возникает необходимость разложения в ряд ~ функции двух переменных тЩ, е) , заданной на сфере* Построим * полную ортогональную систему функций на сфере, называемых с ф е -р и ч е с к и м и функциями.
В § 5 мы рассматривали примеры ортогональных систем многочленов. Остановимся подробнее на свойствах полиномов Лежандра.
R <*) = -fe £7	.	(зло)
Напомним, что	В* (*)	являются ограниченными при Х= i 1
решениями уравнения Лежандра
1~х М 5	) -*J У - О при J- Ып+ 4),	(б.П)
. Тах как в точках * =• ± 4 коэффициент при второй производной в уравнении (б.П) обращается в нуль, эти точки являются особыми, и поэтому не все решения этого уравнения будут ограничены на отрезке £-4, 4 J . Второе линейно независимое < R, <*) решение обращается в бесконечность при Х= X 4 как tn (4+*),
Перечислим с т о й с т в а п о л иномов Л е ж а н. д-
р а .
I. Многочлен ти, что к и
(х) содержит только степени к той то четное*-
2. На отрезке -4 £ Х6< все многочлены Лежандра удовлетво-
РИС. Н*
. , причем |>!<)» 4 t Qf-i&f-tJP 3. Многочлен Лежандра ^(rj на интервале (-{ I ) имеет
И нулей, (см. рис. 8) 4. Многочлены Лежандра Разиных порядков ортогональны на отрезке С- *, С , то есть
j	fO t tvim;
> ** *>	/	и^#и.
:«нмвчкние < Ортогональность полиномов Лежандра можно доквн L-a'J Lt<!cxczvH из уравнения # используя тот же прием, что и при ;«•.-•р’.-.Ат^льстве сфтлгоналъности функции Бесселя, то есть, раосмот-- 50 -
рев интеграл .
5.	Как указывалось в § 5 система полиномов Лежандра является полно*.
Отметим, что уравнение Лежандра	V — О
прм J * (я* ее имеет ограчоченнкх решений.
Рассмотрим еще одну ортогональную систему функций, тесно свя-ванну» с многочленами Лежандра. А именно
- Л ’ f'‘eJ “•«> называется присоединен-Лежандра w -го порядка. Оче-
0 лишь прии^Я
P<mi л <*) ной функцией видно Приведем явнпе выражения присоединенных функций Лежандра Р’^”<х) при П £ 3 .
Р1"’<х)-Э«-х'Л;	Р3и^/Г<»-«5х ;
РЛ.)-а «•«*;; .	•
Присоединенные Функции Лежандра	являются огра-
ниченными решениями уравнения
. . -/£>== ° (6.п
ВДИ Дж«%(пч1). w
Заметим, что уроженке (6.13) прм других значениях J не имеет ограниченных рекенкйа
Присоединенные функции Лежшгц а образуют ортогональную систему и
(О(*‘ D0*1'' Jv- /°	,
J П I*) Гц <0	_ (rt+ М) <	!
< ‘ к=и-
- 51 -
Введем теперь систему сферических ф у н к -* ц и й и * ого порядка еч» , где в 6 - КООЗИГ * наты на сфере. Рассмотрим присоединенные функции Лежандра г?*) от аргумента X = Со* О и положим
ч г *0)
Уп (<Р,Э) = Ph (base) ;	,
Wa<	'	<Wp',	(3.14)
У,01 (»tQ)	=	PntM (COS0)	•	Sinf;
yW	_	p^(Coi0)	,
Так как для присоединенных функция Лежандра М4.М. > то число различных функций У„* л-ого порядка равно 2ц+4
Теорема 4. Сферические функции п. -ого порядка ортогональны между собой на сфере.
Доказательство. Пусть и У/*^- две сферические. функции. Тогда интеграл по сфере от их произведения равен нули при к 4 wi в силу ортогональности тригонометрической системы на отрезке С°. 2-vJ . Проверим, ‘ например, ортогональность!^/ Y^ при к 4 ш .
" и у;-"1 yr’ds -Т/xw> =
=	£ Cos км>.	casm*fd*P • j pj*/coyw
=	J a»sk<t-	-J	P* it, ft,
(О	при	7
при k^^.o ,	(6.16)
2-H	2пТ/	при	kawi=0
Линейные комбинации этих функций (6.14) том на-- 52 -
вывеются сферическими функциями или сферическими гармониками
ИЛИ	п	(6.16)
YJM ~22 (АтлС0$ nr»(f-♦ Рп 7us 0. HtacO
Сферические функции (6.16) являются ограниченными решениями
уравнения
2Ц,У««’ 4У(У,В=Р, (в.п пи Дг,У=?л^(^В'5,'е^)’й!?ЭТ?^' >»М.
Отметки. что функции	, соответствующие различ-
ным И t ортогональны меаду собой на сфере (см ГI j )
Система сферических функций является полной ортогональной системой на сфере.
Теорема 4. Любая дважды.дифференцируемая функция может быть разложена в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по оферачесжим функциям
flVJ “
= ±1 21 (4„„cos«v«	,
'пе А*,* ж - коэффициенты Сурье, определяемые формулами
=	I	
£ 1 fa.9) f^TtoSe)'}
Л ¥•**•* f ' •	'' ' (
f (2. -пои m»o
"Y*	14 при m>0.
- 53 -
§ 7. ID-иОЬРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.
I. Комплексная форма тр’пюнометрических рядов уурье.
Пусть 21 - периодическая функция	удовлетворяет
условиям теоремы 5 § 4. Тогда она представима в виде ряда
где коэффициенты Qn , 6П определяются формулами (4.8). .
Воспользуемся формулами Эйлера
c„s,z.
Тогда ряд (7,1) преобразуется к виду
ЦЭ.>»^^^йсав-свцеет'!^^{<)е1’"Л5
Короче его можно записать так:
'К	(7.2)
полагая	2. >
так что	С_ и в С-л .
НаЯдзд выражение для
Сп=2

(7.3)
it. И нтв г а.д^ь кая формула У Р ь • •
Теорема.°Пусть	- кусодар-нСпр^лвЙая, имеет «гусеч»
по -нсырьрнвпуп прплчподпую	на каждом промежутке (>{, t)
ц. кроме того, }<-к) абоолюгго i/птсгрируема на >*»ей оси.
- 54 -
то ость существует	Тогда для функции
{<*) в точках непрерывности справедливо ^ледующее интеграль-
ное представление:	С C-Cty
в точках разрыва левую часть равенства следует заменить на
-f(X-o)
а
Эта формула называется интегральной форьулой Фурье,
Доказательство этой формулы требует знания математического анализа в большем «объеме, чем в прочитанном ранее курсе. Поэтому ниже будут приведены рассуждения. носящие нестрогий, а лишь эвристический характер, ко которые можно строго обосновать при сде
ланных предположениях.
Воспользуемся представлением функции $<*) в виде ряда Фурье в комплексной форме на интервале 19	. Подставим
коэффициенты в ряд Тогда будем иметь:
Введем обозначения = 2k и A )мГ К ~	• откуда
Й = М ААг. Тогда	1	%	1	&
Jtt/xr	(7.4)
Пусть теперь	«, следовательно,
Оорцула (7.4) примет вид: ‘	‘	?z
1 A J*	. (Т.5)
где • *Ре ~2^i ty1) е , а X и - параметры. Эта запись налом.лшет интегральную сую^г функции
Как известно, если функция	непрерывна на отрезке
U, Я в oUt® * V-»' • Ь я- / ,	(k^t, то
7	- 55 -

А
—	—	« / ЧЮсЬС .
л?алд£-*О *»D	J,
Можно доказать, что при наших предположениях на функцию fix) пределом ряда (7.5) при £-*•<
*оо  £
-<Z	, где
будет служить интеграл
то есть получим интегральную формулу Фурье тоО ^*0
’2л /<6»	, (-*<*«•*)
или fix) «£ с//)	,где	<fyh
Замечание. Это предстя-пение для функции fix/ остается справедливым и в точках разрыва, если fot/*£ [fix*e)+fiit-o/] ;
- -Здесь ясно обнаруживается аналогия с разложением в ряд Фурье, только параметр "ки, пробегающий ряд целых значении, заменен непрерывно изменяющимся параметром J) , а бесконечный ряд - интегралом. Коэффициент: Ссь/ по свое! структуре напоминают коэффициенты С* .
Ш. Преобразование Фурье.
Перепишем формулу Фурье в более- симметричном виде. Введем
обозначение	р/)):=.	» Ь.З
тогда	ficxj =
Функция	называется преобразованием Фурье функции
fix) и обозначается (fiFfi] . Фушиия fix) называется обратным преобразованием фурье ( разница лишь в знаке показателя экспонентн ) «де функции F(^) и, обозначается (Г”1 метиы, что функция FfA) будет, вообще говоря, комплексной лака при действительной функции fix) , впрочем, мохяр было бы здесь и и-ходную функцию frv) предположить комхлексной,
- 56 -
Я W
Введем тюнятиеювертки двух функций
Определение. Свёрткой двух функций и /frj ( £ называется выражение вида £*£ С<) • f £(и){(*-а)с1ц..	7-._
К К- Х . й у р ь А «все I.
XI xl
1удем для проотееы считать, „что функции таковы, что написанные интегралы имеют смысл.*-' Преобразование Фурье линейно, то есть
2

Преобразование Фурьер* производной . WJ - а ТП].
Производная от преобразования Фурье
4г7Й1*-I ТСх{«>].
Преобразование Фурье свертки двух функций есть с точностью постоянною множителя произведение преобразований Фурье этих (
4. до функций и обратно, преобразование Фурье от произведения двух функ-. ций есть с точностью до постоянного множителя свертка их преобразований Фурье. То есть

Доказательства свойств преобразований Фурье. Для простоты будем считать, что функция £сх) - финитна, то есть £«j —0 вне некоторого интервала.
следует из линейном интеграла. ч Л/ Свойство 21 докажем, преобразуя d С т’Д . интегрированием
iATC-fJ.
по частям: • ' /
4«)e'^xrfx (Внеиитегралькнй член равен нулю в силу финитности функции ftx) )

f< .. u *(	, f -.г- ‘’с ь 'ьс r ? ’ *'
I	. '	,	. •; , -f i :'/A
Этим свойствам преобразования Фурье часто пользуются при решении дифференциальных уравнений.
Свойство Зз доказывается дифференцированием по параметру пол знаком интетрала:
.	= -jL j	»-г .
I) >	'
,'Для доказательства пункта -aJ- своЙстваТСЧ перейдем в инте-
грале(7-.6)^>т переменной X к переменной \у по формуле у • X-U '^*h потюняем порядок интегрирования. Тогда будем иметь:
] • й L е°х	(и) ь*-*#**)^ *
£ы£(9)
равенотву, . указанному ж_ада*етанми к пункту а) поимиг" преобразование Фурье? Получим:	~~Ш^СИ4ГЬ. ?
-/ЕтЯ?4™-ттяз]
иди згь • кз-т^ ь*к*ткя
§ 8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДНЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЯОПГОВОДОСТН МЕТОДОМ ПРЕОБРАЗОК ШЯ VMB
Будем рассматривать задачу о разпространении тепла в бесконечном стержне. Как известно, уравнение теплопроводности зашюы-гагтея ч зиДе: »
= <"***^1)
- 58 -
где	есть температура в точке X стержня в момент
времени £ , Q?~ - коэффициент температуропроводности (см. введение п.4). Пусть задано начальное распределение температуры
, - оО <. аг«£-*«*>	(8.2)
Г'ехо	1
Будем считать, что функция и I*.*) обладает свойствами, необходимыми для представления ее интегралом Фурье. Применим преобразование Фурье по к к уравнении теплопроводности. Дня этого умножим уравнение (8.1) на j^= q~i>k к проинтегрируем по х от -л до -*во .
1	- ~^~г f Q	(сГи~ dr
Имеем
Уравнение преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, но ухе для функции, являющейся преобразованием Фурье от функции LL(t,x)'
Fa, я) = -
Разделяя переменные, получим
Откуда следует, что	А/А)€	. , где
определения коэффициента А (Я) применим преобразование Сурье к начальному условию	tea
k 1
и, следовательно, 5£uJ-7f^7e	,
Чтобы найти Функцию	, надо применить к обеим частям
последнего равенства обратное преобразование Сурье. UU.,) = Г,Увд=-^.Те;>'?гае“‘1;'4^ • =)b JeU* Tvweu^f)rfj=
- 59 -
eti ). *?($) cl$.
Преобразуем показатель экспоненты, выделив в нем полный квадрат:
2лЧ

Введем обозначение
2АЧ
тогда	к
.«riz
Вычислим внутренний интеграл по Э тралом Пуассона.
, пользуясь известным инте-
е
ГЛ
Итак, будем иметь

(8.3)
.	«_£==. /ще cte
Л	*	/V.	  • :	$)'
Vttemv решение^эадачм (8.1), (8.2) -дается иорацмож (8.3) и называ-ется интегралом Пуассона.1
Введем обозначение
i<
. „гм м,,^л<ир*и
Функцию	&(!>-, X, $) называет фундаментальным решением урав-
нения теплопроводности. Фундаментальное решение имеет простой фазический смысл. Это решение представляет температуру в точке в момент времени £ , если в начальный момент 0 в точка выделяется количество тепла . Q. равно» -.( точечный источник ). Поэтому функцию	иногда называет фртоцяай'
источника.
80 -
$ 9. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.
Одним из наиболее эффективных методов решения краевых задач является метод Фурье или метод разделения переменных. Этот метод применим для линейных уравнений с частными производными различных типов.
Сущность «того метода состоит в том. что ищутся частные решения линейного однородного уравнения, представимые в виде произведения функций, каждая из которых зависит лишь от одного переменного и является решением некоторого обыкновенного дифференциального уравнения. Ввиду линейности и однородности уравнения решение краевой задачи можно искать в виде линейной комбинации этих частных решений.
В дальнейшем этот метод будет распространен и на неоднородные линейные уравнения.
Полного обоснования метода Фурье мы не приводим ( его можно найти во всех подробных курсах уравнений математической физики ). Здесь mi ограничимся лишь раэбором конкретных задач.
Рассмотрим для уравнения теплопроводности ( диффузии )
в области Qf	задачу о одиор дными
краевыми условиями
<9-2>
где el4 f	по «голыше,, У-РЖИ
и начальным условие*^
z' » . \ (9-3)
Согласно сказанноцу <^юе будем искать частные решения уравнения (9 I) не ралгее тождественг о нулю'и удовлетворяющие только граничным условиям (9.2)t в виде произведения
. 4/(Ь«О* Х<ю Tut	.(9.4)
Подставляя (9.4) в уравнение (9.1), получим
- 61 -
Ttt)X<*)='OzX',O()7tej или	0.5)
Л	yL f rtJ
Левая часть последнего равенства зависит только от X , а
правая часть только от £ , и равенство возможно лишь тогда, ког-
да общая величина отношений (9.5) будет постоянной. Обозначим ату
постоянную через ?
т'м _ /л/'" агтш
(9.6)
Тогда из (9.6) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:	*	.	.
Т*ш + йг^Ти/»О, .	(9Л)
* JX(x! А0.	(9.8)
Подставляя выражение (9.4) в краевые условия (9.2) получим:
Чтобы получить нетривиальные решения (	) уравнения (J.I)
вида (9.4), удовлетворяющие условиям (9.2), необходимо, чтобы функция XtX) удовлетворяла краевым условиям:
0,	(9.9)
Таким образом, мы приходим к следующей задаче: найти такие значения параметра % , при екоторых уравнение (9,8) имеет нетривиальные решения (	О ), удовлетворяаде краевые условиям (9.9). Эти значения параметра J называются	0 1*
в е н н ы м и значениями задачи (9.8), (9.9), а соответствующие им нетривиальные решения	-собствеи»-
ными функциями этой залечи.
Множество всех собственных значений задачи (9.8),‘(9.9) наживается спектром, а задача отыскания спектра и соответ* ствующей еку системы собственных функций - спектральной задачей или.задачей Штурма-Диу« в и л л я .
I, Первая краевая задача для уравнения теплопроводности.
Пусть требуется найти, решение UlhV уравнения (9Д, - 62 - ••,
в области Or {, о* i бт} , непрерывное в замкнутой области $г . удовлетворяющее краевым условиям
ии.о) ~ ej = о	(9.Ю)
( что соответствует случаю	4,	~ О ) и на-
чальному условию (9.3). Предположим, что функция Ц>Ск) непрерывна на отрезке CJ • имеет кусочно-непрерывную производную и <#47 =	- О
Будем строить решение этой задачи вышеописанк.зд методом Фурье.
Тогда заДача (9.9).(9.9) примет вид
X**) + J Х(х) ~0 t 'K(0)~X(t)-0	(9.П)
Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что
общее решение уравнения (9.8) имеет вид		
	при Д=0	(9.12)
	при a о ,	(9.13)
Xfxj = CjGoSfix * Sfn i^x	при J >0 >	(9.14)
где С, , Q .- произвольные действительные* постоянные. Граничным условиям (9.П) в случаях (9.12) или (9.13У можно удовлетворить лишь При С, st Q s. О , что приводит ж тривиальному решению. Если же	, ТО ин (9.14) и (9.П) будем иметь Xfo) = Q - Оf
Х<В)*Се%»'И Л £. а.0, Мы должны считать (\_4 0 , так как
* противном случае Хсх> ^0 .Следовательно,	= Р
то есть /I =•	, тде к в . Трким образом, нетривиальные
реоеиия задачи (9.П) возможны* лишь при значениях
Этш собственном значащим соответствуют собственные функции
Хм «ми фх f , определяем» о точностью до пос-кймго множителя.
Шме лм* что полученная система собственных фуйкций ортогональна на ( 0,1 ).
При Л * 9* s	обцее решение уравнения (9.7) имеет
вид	~	 t ffifi Сц - яроиййльная постоян-
- &
ная. Таким образом, пункции Й_м.х|жХ 7^	”
удовлетворяют уравнению (9.1) к граничным условиям (9.10)7^
В силу линейности и однородности уравнения (9.1) любая ко-нечниг сумма решений будет решением. То же справедливо и дня ря-Аа
Uu,x;«:gZAe	(Мб)
если он равномерно сходится и его можно дважды почленно дифференцировать по X и один раз по £ •. Поскольку каждое слагаемое в ря ряде (9.15) удовлетворяет граничным условиям (9.10), то этим условиям будет удовлетворять и сумма ряда. Остается определить постоянные С* так, чтобы удовлетворить начальному условию (9.3). По* лагая в (9.15)	, получим в силу условия (9.3)
s ZS2Z С* Sf* •	(9.16)
k=. /
Формула (9.16) представляет собой разложение функции , заданной в интервале ( 0,1. ) по синусам. Коэффициент! являются коэффициентами Фурье и вычисляются по известным формулам
Сд - fa*) <** , к	(9.17)
о
Таким образом, решение задачи (9.1),(9.10) дается рядом (9.15), где С* определяются формулами (9.17).
Из анализа известно, что при указанных предположениях на функцию (?(*.) ряд (9.15) сходится -абсолютно и равномерно при , а наличие экспоненты	*г обеспечивает почлен-
ное дифференцирование ряда для И по х и любого порядка при	.
2. Краевая задача для волнового уравнения.•	•	•
В качестве второго примера на применение метода Фурье рассмотрим для волнового уравнения
££ - °' & <’•“>
в прямоугольнике QT {tex О* tirjmprtyn краевую задачу
»/,.в = “1^е
- 64 -
о начальными условиями
(9-ге>
Подставляя функции U и, к}Ксю Гш в уравнение (9.18) получим два уравнения второго порядка. При этом для функции Х(х) получаем задачу (9.П), рассмотренную выше, а соответствующая ей функция Tit) долина теперь удовлетворять уравнению
Т ^lafT-O	(9»о)
Напомним» что собственными значениями задачи (9.П) являются е , а соответствующие им собственные фу,<^ цим равны	t Из (9.20) следует, что
, где	- произвольные пос-
тоянные. Позтоцу решение задачи (9.18),(9.10),(9.19) будем ис-
кать > мда
«-г»
Дня определения коэффициентов QK и воспользуемся начальными условиями (9.19). Подставляя в (9.21) . t*0 , будем иметь
IP/.».
” w к** *	€ -	» откуда
/	(9.22)
Дифференцируя (9.21) по и полагая •	, получим

... откуда
... (9.23)
Заметим, что формально построенный ряд* (9.21) <с коэффициен-
тами (9.22). и (9.23) при достаточно гладких начальных функциях
<ft<) и 4t<) является фахтиче.хнм решением поставленной задачи ( подробнее см. fl] ).
Прежде , чем пэрейти к физической интерпретации полученного решения, преобразуем ;4щий член ряда (9.21).
U.lt.x) =	k-%s = a WSX.
- 65 -
где Cxtt)-о^	<4<aсот^*^., $л»£«^.
Будем интерпретировать задачу (9.18),(9.10) как задачу о ма-ль'Г поде речных колебаниях струны с закрепленными, концами. Тогда полученное представление (9.24) позволяет сделать рад выводов: во-первых, каждая течка хо струны совершает гармоническое колебание с амплитудой	&‘п - ^й	, частота ©)< и начальная фа-
за Д для всех точек струны одна и та же. Такие колебания струны называется стоячими волнами.
Во-вторых, профиль волны в любой момент времени представляет собой синусоиду Сц11,)Л‘к^	. Точки
которые остаются неподвижными во время движения, называются узлами стоячей волны, точки	(***-<>,. «о "4, которые
совершают колебания с максимальной амплитудой, называются пучностями стоячей волны.
. Каждая струна может иметь колебания лишь строго определенных частот <бк= , aw/y , где Т - натяжение струны, у - линейная плотность. Эти частоты называются собственными.
Колебания струны воспринимаются нами по звуку, издаваемому струной. Можно сказать, что звук струны является наложением "простых" тонов, соответствующих собственным частотам. От частоты зависит высота тона. Самый низкий тон определяется самой низкой частотой	к называется основным тоном стру-
ны. Остальные тона, соответствующий частотам <4с » называются обертонами или гармониками . Сила тона ©пре-, деляется его амплитудой . А*шлитуды «4 , как правило, быстро убывают при *••*** и значительно меньше X, , а поэтому зги тона влияют лишь на тембр звука.
Из формулы для видно, что чем ольше натяжение и короче струна, тем выше звук. Из практики игры на струнных инструментах известно, что звук, издаваемый струной, резко меняется, если к звучащей струне прикоснуться точно в сер.дине. Это объясняется тем, чтс в момент прикосновения к середине струны мы гасим стоячие волны, имевшие в этой точке пучности и сохраняем те гз;пюники, которые имеют в этой точче узлы. Остаются только четк..е гармоники, в - 66 -
самой низкой частотой будет t частота октавы основного тона. Этот прием изменения тона носит название ^лахсолета.
3.	Задача Дирихле в прямоугольнике.
В качестве третьего примера рассмотрим задачу Дир; осле в прямоугольнике	О* j/4rnj для уронен?л Лапласа
4l/ »	0.25)
с условиям
uLe^'«/4.o=¥“l	l9-2ii
причем	,
Пусть для простоты в вершинах пря:.юугольч?.ка Utoc.yj обращается в нуль. Этого всегда можно добиться,вычитая из и&.Ч) гармоническую функцию вида сОаг.у) “ 4-4 &х + Су *2?ху , где коэффициенты Д, в,С,2) подбираются так. чтобы значения к (одр в угловых точках совпадали.
Дудем искать решение в виде суМа^ы двух гар«лон»гческ/»х функций	*
и = Ut + vx
ои и<|х.о* и)1х*е~° .	ЧЛы»"^01-! (э.27)
«.U'ff'».	--0- 
Для отыскания U^(X,Vj приленкл метод Оурье. Пусть U4CX.Y)3 Xw Yr у/. Подставляя в (9.25), (9.27) будем иметь
• X У	влк
у» - Л У =0,	•	‘ ' <мв)
X *(? и X/OJ^ X(£)'SC (9.29)
В п.1 была псс?р«*ена ортогональная на 10,6.) система собственных фушщиД ^Sfn , отвечающих собственным значениям 1=-9F > к*/#. Соответствующие этим собствен-*	*	- 67 -
’ him значениям решения уравнения (9.28) будут иметь вид:
X-Дке^ -Г вке-^
Используя гиперболические функции, получим
Ук e ак сА	.	(э.эо)
где 0^ и - произвольные постоянные. Решение задачи (9.25)-(9.27) будем искать в виде:
ut(x, у)•» 2Z (ц< ж	+ 4	(9 31)
Подставляя в ату форэдлу У=0 , а затем у*т , из условий (9.27) получим:
ак«-£ J <й<х) л» ЦЬ
(ОксА ♦ t,= -f- j<4wXr»*Jidx .
Подстановка коэффициентов й* и в ряд (9.31) после элементарных преобразований приводит к следующему ответу:
и.г*М = т	-
jfcSjgr • 19-зг)
U^fa/u) строится аналогичным образом.
4.	Краевая задача для одномерного уравнения диффузии о условием Неймана на одном из концов.
Во всех задачах, исследованных в п.п. 1-3 система собственных функций совпадала с системой	J * что
объясняется тем, что всюду мы раеомаТрввали первое краевое условие при ос =. о и ос.з.С. . При других клеевых условиях и спектр, к соответствующая ецу ортогональная система собственных функций будут другими.
В качестве примера рассмотрим в прямоугольнике Qr|o<x«r£.,0^fc4.Tj задачу для уравнения с начальным условием
- 60 -
(9.1)
(9.3)
и краевыми условиями  Ulx.. = °	<®-33>
Физически эти краевые условия соответствуют диффузии в тонкой трубке, если стенка х»о непроницаема для веь.ества, а на стенке X» t поддерживается концентрация, равная нулю.
Разделяя переменные в (9.1) приходим к уравнениям
All а j х а*т '	0.6)
Как к в п.1, джя определения функции Х(х! получим уравнение
КЛлАХ =о-	(9.8)
Его общее решение дается формулами (9.12)-(9.14). Но краевые условия. как следует из формулы (9.33), будут инне, а именно:
Х''0)»0 • X(t)~0-	(9.34)
Как и ранее, нетривиальные решения, удовлетворяющие нужным краевым условиям возможны лишь при Л>0 . Это решения вида
Х(Х) * Сл Со$/Гх ♦ С4 S«*« X .	(9.14)
Х'<х) s -Сх ДЛи fix	cos i/X х.
Подставляя в выражение для Х*(х> значение х=о , из первого условия (9.34) получим С,_=-О , из второго С, Со£уТ то ость /Г € «	, к«О, <,Я>... • Таким образом,
собственными функциями задачи (9.6), (9.34) являются функции
Хк ,	.
На интервале <0,0 зга система ортогональна' , (Х< , Хн)ж"® (fc***) IXJ * (прглерьте?)
Из форьулы (9.6) следует, что Т* в Д* О-
Ревенке задачи (S.I),(9.3),(?.33) будем искать в. виде
Л	. (9.35)
Для определения в последней формуле положим t=0 и ^воспользуемся ягядюнвм условием (9.33)
-69-
4>(QC) =	Cos
*C3»o	"
Из лоследнего равенства, являющегося рядом Фурье функции по ортогональной системе , следует» что
= Т’	xrfx-	(9.36)
Как и в п.1 заметим, что при достаточно гладко* функции формально построении* ряд (9.35) с коэффициентами (9.36) являет-' ся искомым решением.
5.	Метод Фурье для неоднородного уравнения.
Рассмотрим неоднородное уравнение
(9.37) о начальным условием
U/vaO ~	(9.3)
и граничными условиями	X
“/«=.= и/х..=°-
Решение поставленной задачи будем искать в виде суммы двух функций а«,х>= #;«*)•+	.где
является решением однородного уравнения ( то есть при	),
удовлетворяющее условиям (9.3),(9.10);	- решение неод-
нородного уравнения (9.37), удовлетворявшее тем же храинчмым урт ловиям (9.10) и однородному начальному условию
•	<®.3в>
функция	найдена ранее в п.1 и определяется фор-
мулами (9.15),(9.17).
Будем решать задачу (9.37), (9.38), (9.10) в предположении, что х) непрерывная функция, имеет кусочно-непрерывную производную по х и	®О ,
Будем искать решение 14 (Ъ’О в виде ряда вурье по собственным функциям соответствующей однородной краевой задача, то есть в нашем случае в виде:
70 -
оо
IZl	<£	(9.39)
Для определения коэффициентов Т„ fe/ разложим предварительно функцип ;f?*,по той же ортогональной системе, а именно ^*и ЭТ£.Х .где	(9.40)
Подставляя ряд (9.39) в уравнение (9.37) к принимая во внимание
(9.40),	получим
откуда в виду единственности разложения в ряд Фурье следует, что	2
К	T„ftJ	(9.41)
Тамм образом, для определения X (*) получено обыкновенное дифференциальное уравнение (9.41). Подставим в (9.39) t« О и воспользуемся начальным условием (9.36), тогда будем иметь
XI Т,	-о,
гаи*	Т.<ч-о.	(942)
Чтобы наДтм решение уравнения (9.41) умножим обе части его
на	. Тогда получим [Т„
* откуда, используя (9.42), имеем
Преобразуем иа.‘мнное рл лше, г-!пользуя фодолу %.4.' для 4ЛШ • Тогда пслучкм ‘ -f
- 71 - •
где G H -T,	‘	•
функция &(4,х,р/	, как и в случае задачи Коши, на-
зивается функцией мгновенного точечного ваточника (или функцией Грина), Она представляет собой распределение температурк в стержне а «	в момент времени
'h , если в начальный момент	в точке	промежутка	мгновенно выделяется количество тепла	*
тогда, как на концах стержня все время поддерживается нулевая температура.
6. Задача Дирихле в круге. Интеграл Пуассона.
Решим методом разделения пеоеменных задачу Дирихле в круге для уравнена Лапласа: найти непрерывную в замкнутом круге функцию L6 ♦ удовлетворяющую внутри круга	уравнению Лапласа
ди *0 , ол.)
»	(9.45)
где Си - граница круга, а - заданная непрерывно дифференцируемая функция.
Запишем уравнение (9.44) в полярных координатах;
“°*	(9.46)
Будем искать частные решения этого уравнения в виде . Из (9.46) следует, что = - ©to = л в'^	.
X •	Г* '
Ъ	’Л
Отсюда получаем два уравнений:	г д
)<Р *0	, ф*0,	(9.47)
г	(9.48)
Заметим, что U (t, должна быть ^-пориодическо! функцией пс аргументу , "0 есть Ud/ Т	Vj'/
а значит ф(ср-^ 1-к) = <Р (V) . ТакиГ Грешен лми уравне-. - 72 -	‘ '
ния (9.47) будут лишь
(p(fj = Acasfaf t
при	n^<3*2.„(9.49)
решим уравнение (9.48) при	. Если 2»-0 , то из (9.48)
следует	~C<ln'c + Ct_ >	(9>50)
где С, и Q - постоянные. Поскольку Цлх,Щ .(епрерняна в круге и, следовательно, ограничена, а Ъ*л.~»о-з при х-*о , то
С« =0 . При А—И2#. О решение уравнения (9.48) ищем в виде К * Ч* . Подставляя эту функцию в уравнение и сокращая на , найдем £а,»Л4мли	(и? О) и, следовательно,	X’* -*СХ 4сЛ , где Сл и С t. - постоян-
нее. Опять следует положить Ct , так как fa*-) - непрерывна внутри круга. Итак, найдены частные решения
Ц.И(Ч,	* £nS«'mh<?J , и = О,<,2,...
Замечание. Гармоническая функция Uw(4,«f) является одно-
родным июгочленом степени л относительно декартовых координат ж , у , так хак согласно формуле Цуавра Х’’(Со5Ф с
* V*(C0S**4 •* vs«‘»»ny/, то есть	= На (r+iy)H?
V'Si'h^V’ T**(*+iM*	(здесь	).
Полиною вида cx,w «а* Па(х*гу)п'+ 8* X
называются однородными гармоническими
многочленами .
Решение задачи (9.44), (9.45) будем искать в виде
WMI-J-*	. (9.51)
Дм определения хоэффщионтов вч в £ воспользуемся условием (9.44)	 ~	ч ’
(9.52) считая, что $ займа' как функция угла . Тогда из разложения ^<у)  РЯД по тригонометрической системе будем иметь, что
<Ц н Сч являются.коэффициентами	функции
SjmhvU»/' .	\9<53)
- 73
При предполож .иях, сделанных относительно функции , ряд (9.51) сходится абсолютно к равномерно при	» поэтому
непрерывна в замкнутом круге /бг<> • Кроме того, ряды, полученные почленным дифференцирование ряда (9.51), во внутренних точках <4 сходятся быстрее геометрической прогрессии поэтому почленное дифференцирование законно. Таким образом, Нормально построенное решение (9.51) является искомым.
Преобразуем формулу (9.51) к более компактному виду. Для этого подставим в нее коэффициенты (9.53) и поменяем местами суммирование и интегрирование:
f У*
(9.S4)
Используя формулы Эйлера CCS 4 е ......... ( it- * супам
S- , » бесконечно убывающей геометрической прогрессии г 7^ <* . произведем следующие тождественные преобразования:
/• +	-Ь* cosset “ 4г + -4-	£**
Z И=<	2:	4 KS7 4 .	(9 Б6)
...	fce-£4. I . 4-ф*	_____ ;
~ H * i-teeoC 4 У-
Подставляя (9.55) при	в (9.54), получим
U(% <f) -	. <,.»)
Полученная формула (9.56), даищая реаеяне аадачи Держав в круге носит название интеграла П у а с с о я а>
Замечание I. Положим в (9.56) t.*u . тогда будем иметь А
, . то есть значение гармонической функции в центрПфуга радиуса . равно ее среднему арифметическому значение на окружности.
Замечание 2. Как следует из формул (9.51)-(г'.53),(9.56),
- 74 -
внутри круга X ‘ йс<» гармоническая функция uAt.y) является аналитической функцией..
Замечание 3. Совершенно так же можно расе, этреть решение внешней задачи Дирихле для круга. То есть найти непрерывную вне круга Кх» Функцию, удовлетворяющую уравнению (9.44), ограниченную на бесконечности и удовлетворяющую условию (9.45) на границе круга. Функции Ф(ф) определяются теми же формулами, что и выше, a'	при н>о либо	при "«о
Поэтому вместо формулы (9.51) решение будет определяться формулой
Ц(Х,<И -	s/hmpJ, (9 57)
где постоянные <Ь. « являются в силу (9.52) коэффициентами Фурье функции	. Интеграл Пуассона для внешней задачи
ДЖрмхле будет отличаться ст формулы (9.58) лишь знаком, а именно
U(X,*0 * X НЯ*) 21.	-------------Г~ 0-58)
Ю	(Х>*о)
Пример I. Растворенное вещество о начальной концентрацией С» ’Const диффундирует из раствораt заключенного между плоскостями ХсО и х« £ , в растворитель, ограниченный плоскостям! Х=А. ж	)• Определить концентрацию
CU.X) вещества в момент времени t>0 , предполагая, что границы Х«е и х«£ непроницаемы для вещества.
Таким образом, задача сводится к отысканию решения уравнения "***"	& = а> &
W 'ЭХ1- >	-	(9.59)
удовлетворяющего одпрродиоьу второму краевому условию на границе, то есть	Ой.| ' fi
1х^> “	~U 4	<9.6О)
> следущмф иачальдому услови)
,	(9.61)
Решение.	. '	«
Согласно методу «урье, разделяя переменные в уравнении
- 75
(9.59)	и полагая Cft.xj — X СК) T/-t) и прежде, к уравнениям (9.6), (9.7), (9.8).
Х"ос) _ / 7"?// _ и
X l-х./
ыа	Т'+1а>Т=О,
, приходим, как
(9.6)
(9.7)
(9.8)
Из краевых условий (9.60) следует, что функция Хяу дола-на удовлетворять следующим краевым условиям:
//о/ -	=0,	0.62)
Общее решение уравнения (9.8) дается форцулами (9.12)-(9.14).
Нетривиальные решения задачи (9.8),(9.62) возможны ЛЖЬ приfaj и они имеют вид Хщ = С, tosrfix -t-Cifotfiz Ч* Я *6 и	X(Х4~ C3X.-t-Cif при ^-0 .
Найдем выражение для X*(X)
Х*(Х.) = “ Clfc&hlfix+CbiRCc&ffZ , X'w xCj ^**0
Подставим сюда последовательно Х-Лй к	» иолучмже
при X'oJ= fi-O t X'((J=fi
при Хю)2	-Q ,
Отсюда следует, что • является.собственным числом, соответствующим собственной функции Xtx.) . Кроме того, при»#©
<а -О a Sfnfit -0 , то есть спектр задачи образуют собственные числа 2* ж	•£*,••* . Соответствующие им
собственные функции равны Х'ГхРСь/ф,	из
(9.7) следует, что ZT = Q.	. Итак, репение
задачи (9.59)-(9.61) следует искать в ввде;
c/6,xj=-e± * J--0*
Подставляя в это равенство -ЬжО к учитывая (9.61), получим, что коэфф'-циенты яаляпы коэффициентами Фурье функции
С (о, X) в разделении в ряд по косинусам
- 76 -
то есть
О,о
а,
Итак,	itntn*^.
С-‘*>*> ~£с,* ^*-5^ zrQ е,,!-*^.
Пример 2. Заключенный в цилиндрической трубке идеальней газ совершает малые колебания; плоские поперечные сечения, сс^тояище из частиц газа» не деформируются г вое частицы геза двигаются параллельно оси цилицдра. Концы трубки закрыты жесткими непроницаемыми перегородками.
Найти смещение	частиц газа при ±	• есЛИ на-
чальное смещение имеет вад Цю,х} 3$<* х , о±х±х^ а начальные скорости равны
Решение. Эта задача сводится к однородной пер: эй краевой задаче (9.16), (9.10). (9.19) д*ч волнового уравнения
о начальными условиям). (9.С’). Ев решение дается формулой (9.21)
U/4-.X) ж.	(Q1tCoS<Llf'b +	%'*&!<£) SVhZtx,
г,.з 0^ и	- коэффициенты Фурье соответственно функций
^(xh3fri>x	и Vc>uzb2s<ii3x’QM5xs^Wx'A>»2^
Так как разложение в ряд Фурье единственно, то коэффициенты 0lk и очевидно равны: О« = 0 при к <4-1 ,	0,-3 ;
ka^i^O при	\ 2.аЛл,^~/1 ЗдЛ^^
откуда следует, что s»«2x * sm£c .
Пример 3.’ Определить стационарное распределение температуры внутри кольца А < х < £>	9 если на окружности под-
держивается постоянная температура» а на окружности Х^£> постоянный поток тепла.
Решение.
Так как стационарные тепловые процессы в однородных телах
при отсутствии внутренних источников описываются уравнением Лапласа, а тепловой поток на границе кольца пропорционален мы приходим к следутбгцей математической постановке данной задачи: найти
решение уравнения Д ц - q где 17 и И/ - достоянные.
0<
при условиях
(9.64)
Переходя к полярным координатам и разделяя переменные (см, задачу Дирихле в круге), получим, что решение дайной задачи следу-
ет искать в виде:.	,ge >	_	.
ц (a, я. (С< Си*». ♦ CXJ 4-	((a„x
Из условий (9.64) будем иметь:
[ЛсЛА*^-»
8"+ 2Z и ((оиВ"-
Отсюда следует, что коэффициенты при Ca*t*{ и	в правых
частях последних равенств равны нулю. Таким образом
с, В- .W, а. В” а-,^0, «,Г4.Г’м>
Откуда *5^8,
Ктак- •
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
I.	Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики // М. "Наука". 1977.
2.	Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений // М. Фиэ-матгиз. 1959.
3.	Никифоров А.Ф.. Уваров В.Б. Специальные функции математической физики // М. "Наука". 1984.
4.	Янке В., Эмде Ф., Лев Ф. Специальные функции. Форцулы, графики, таблиц // М. "Наука". 1977.