A. WEBST-ER und G. SZEGO
PARTIELLE
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
DER MATHEMATISCHEN
PHYSIK
TBUBNER IN LEIPZIG UND BERLIN
1930

А. ВЕБСТЕР и Г. СЕГЕ
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ПЕРЕВОД С НЕМЕЦКОГО
И, С. ГРАДШТЕЙНА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
проф. В. В. СТЕПАНОВА
Издание второе, исправленное
ОБЪЕДИНЕННОЕ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН
Москва 1934 Ленинград

I
Предисловие редактора
Выпускаемая в русском переводе книга Вебстера (Webster) пред*
ставляет ценный вклад в нашу учебную литературу по уравнениям
математической физики. Начиная изложение разбором простейших задач и
методов, автор дает в последних главах очерк наиболее важных новых
методов (Вольтерра, Адамар).
Вводная глава содержит вывод наиболее важных уравнений
математической физики. В дальнейших главах, расположенных в порядке,
диктуемом математическим содержанием задач, автор не упускает из виду
связи математической формулировки с физическим и механическим
содержанием задачи. При этом математические рассуждения приведены
достаточно строго и доступно, только при изложении новых результатов
текст иногда оказывается слишком конспективным (теория волн Адамара,
его же метод интегрирования уравнений в частных производных,
интегральные уравнения).
В наших условиях книга может явиться руководством для студентов
старших курсов математических, механических и физических отделений
университетов и начинающих аспирантов тех же специальностей, а такт
же пособием для преподавателей высшей технической школы и для
инженеров-теоретиков.
Настоящий перевод сделан И. С. Градштейном в основном с
немецкого издания Тейбнера (Teubner) 1930 г., переработанного Cere (Szeg6),
при этом принимался во внимание и первоначальный английский текст
(Teubner, 1927), которому мы иногда и следовали; наконец,
переводчиком и редактором внесены в настоящее издание некоторые
изменения в виде дополнительных разъяснений там, где рассуждения в обоих
текстах казались нам неясными в силу лаконичности, а формулировки—
недостаточно строгими. Русский перевод разделен на две части, причем
это разделение соответствует содержанию книги: первая часть содержит,
кроме уравнений в частных производных первого порядка, подробное
изложение решения краевых задач уравнений, в частности производных
(главным образом второго порядка) с постоянными коэфициентами; на
этом элементарном материале автор знакомит читателя не только с
классическими, но и с новыми методами решения краевых задач (переход
от дискретных масс к непрерывному распределению, связь с
интегральными уравнениями).
Вторая часть, наряду с очерком специальных функций, содержит
систематическое изложение, во-первых, теории потенциала с применением
функций Грииа к ряду краевых задач в пространстве, во-вторых,
методы решения уравнений второго порядка с переменными коэфициентами
(Риман, Вольтерра, Адамар) и заканчивается кратким очерком
интегральных уравнений. Помещенные в конце книги Вебстера приложения
распределены нами между обеими частями в соответствии с их содержанием.
В. Степанов

Литература
1. Rlemann-Weber, Die partiellen Differeatialgleitfiungen der raatheajatischen
Physik, 7-е изд., т. I, 1925; т. II, 1927. Наново переработано и переиздана R. von
Mises'oM и Ph. Ргапк'ом. В ссылках указывается как .Riemann-weber*.
2. J. W. Strutt, Baron Rayleigh, The theory oi sound, т. I, 2-е изд., 1894;>
т. II, %% изд., 1896. В ссылках указывается как „Rayleigh*.
3. P. Курант и Д Гильберт, Методы математической физики, FTTH, 1933.
4. Е. Т. Уитекер и А Я. Ватсон, Курс современного, анализа, ГТТИ,
1934 г.
5. А. Я. Крылов, О некоторых диференциальных уравнениях
математической физики, имеющих приложения в технических вопросах, изд. 1-е» 1934.
6. О. D. Kellogg, Foundations of potential theory, Sponger* 1929.
7. Jf Horn, Partielle Differentialgleichungen, 2-е изд., 1929.
8. А. А. Эйхенвальд, Теоретическая физика.
9. А Курант, Курс диференциального и интегрального исчисления.
Перевод с нем. Ю. Рабиновича и Б. Лившица, 1931. В ссылках указывается как
.Курант-.
10. В. И. Смирнов, Курс высшей математики ддя тедаиков и физиков, 1932»
В ссылках указывается как .Смирнов*.

Оглавление
Стр.
Предисловие редактора 5
Литература * • . . .6
Глава первая
Диференциальные уравнения математической физики
§ 1. Введение. Математическая физика. Пространство и время 9
§ 2. Непрерывность. Диференцируемость. Аналитическое задание
функции 10
§ 3. Векторы. Скалярное и векторное произведения 13
4. Скалярные и векторные функции. Градиент 18
5. Преобразование системы координат . . . 21
6. Линейные бесконечно малые деформации. Дивергенция. Ротор . . . . 23
7. Безвихревое поле. Соленоидальное поле 30
8. Теорема Гаусса * 33
9. Многомерные пространства . . . • • 36
10. Поток тепла и электричества • 38
§ 11. Обобщенные координаты. Принцип Гамильтона *. . . 39
§ 12. Диференциальные уравнения гидродинамики и акустики * 44
§ 13. Уравнения теории упругости .......♦••♦.... 51
§ 13а. Вязкие жидкости <••***•» 5§
§ 14. Диференциальные уравнения поперечных колебаний стержня. • . • 60
§ 15. Электрический ток в проводах . 66
§ 16. Теорема Стокса • 70
§ 17. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля 72
§ 18. Заключение ч. ....... 78
Глава вторая
Диференциадьные уравнения в частных производных первого
порядка. Задача Коши
§ 19. Определение ' , 80
§ 20. Геометрическое истолкование .«••*...<• ••• 81
§ 21. Задача Коши 83
§ 22. Линейные диференциальные уравнения. Характеристики 84
§ 23. Полный интеграл 90
§ 24. Метод характеристик . . . . 93
Глава третья
ч
Волновое уравнение в одномерном пространстве. Фундаментальные
функции и фундаментальные числа
§ 25. Диференциальное уравнение Эйлера ; 104
§ 26. Уравнение колебаний струны (волновое уравнение в одномерном
пространстве) . . . • 107
§ 27. Струна с закрепленными концами . . 110
§ 28. Теория малых колебаний 115
§ 29. Главные координаты ♦ ..*♦... • 121
§ 30. Метод обращения матриц ч ••• 122

S Оглавление
Стр.
§ 31. Колебание веревочного многоугольника (нити, нагруженной
дискретными массами) 124
§ 32. Непрерывная нагрузка. Принцип Релея 127
§ 33. Определение коэфициентов. Ряды Фурье 132
§ 34. Вынужденные колебания. Резонанс 143
§ 35. Сосредоточенный источник. Функция Грина 148
§ 36. Вынужденные колебания, непрерывное распределение источников,
интегральные уравнения 154
§ 37. Фундаментальные функции. Билинейная формула • . 157
§ 38. Решение интегральных уравнений 159
§ 39. Другие краевые условия 163
§ 40. Диференциальные и интегральные уравнения более общего характера . 177
§ 41. Поперечные колебания стержня 186
Глава четвертая
Ряды и интегралы Фурье. Метод Коши для решения краевых задач
§ 42. Сходимость рядов Фурье v. # 192
§ 43. Интеграл Фурье 206
§ 44. Метод интегрирования Коши 216
§ 45. Диференциальное уравнение теплопроводности 224
§ 46. Телеграфное уравнение * • 233
§ 47. Периодические волны • .. 240
§ 48. Стоячие волны. Фундаментальные функции в задаче о теплопроводности 243
§ 49. Волновое уравнение в двумерном пространстве . , . . 251
Приложение
§ 1. Функциональные детерминанты . . • 253
§ 2. Изменение порядка предельного перехода 254
§ 3. Равномерная сходимость 259
§ 4. Вычисление некоторых определенных интегралов 263
§ 5. Линейные диференциальные уравнения (в действительной области). « 269
Указатель - .. v 279

ГЛАВА ПЕРВАЯ
Диференциальные уравнения математической физики
§ 1. Введение. Математическая физика. Пространство и время.
Математическая физика ставит своей задачей возможно более то'чное
изучение явлений природы. С этой целью она использует аппарат
математики. Объектом изучения математической физики могут служить только
те явления природы, которые поддаются измерению. Таких явлений очень
много, они весьма разнообразны. Примерами таких явлений могут служить:
а) механическое движение, б) звук, в) теплота, г) свет, д) электричества
и магнетизм. . v
В дальнейшем мы познакомимся с различными задачами,
возникающими в связи с их изучением.
Явления природы происходят в пространстве и во времени. Дл»
определения времени достаточно одной только координаты (числа) t —
время является одномерной величиной. Обычное (эвклидово)
пространство трехмерно, т. е. для определения положения точки в этом
пространстве необходимо иметь три числа, каковыми в простейшем случае
служат три прямоугольные (декартовы) координаты ху у, z. Таким
образом происходящие в пространстве и во времени физические явления
отображаются в математике с помощью четырех переменных х, у, z> t.
Все эти переменные, вообще говоря, непрерывны, т. е. каждая из них
пробегает все точки интервалов:
я1 <*<*"; /<.?</; d<*z^z*\ *'<*<Г.
Движение точки известно, если координаты этой точки заданы как:
функции от времени. Эти функции обычно предполагают непрерывными.
Движение точки можно ограничить, потребовав, чтобы координаты
этой точки для любого значения t удовлетворяли уравнению <р (х, у, z) = 0.
Точка в этом случае перемещается по некоторой поверхности, т. е~
по некоторому двумерному многообразию, заключенному внутри
трехмерного пространства. В этом случае мы говорим, что точка имеет д&е
степени свободы. Если потребовать, чтобы координаты движущейся
точки удовлетворяли двум уравнениям: ср1 (*, у> z) = 0 и <р2 (х, у, z) = 0, то
точка должна перемещаться по кривой, т. е. по одномерному
многообразию; точка в этом случае имеет одну степень свободы. В указанных
случаях для определения положения точки необходимы два числа (при
двух степенях свободы) или одно (при одной степени свободы).
В механике исследуется движение систем, состоящих из конечного*
или бесконечного числа точек. Такое движение математически может
быть определено с помощью одного или нескольких диференциальных
уравнений относительно координат точек: х> у, z, рассматриваемых как

10 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
функции времени t. Эти диференциальные уравнения содержат большей
частью только производные по /, т. е. представляют собою
обыкновенные диференциальные уравнения.
В других областях математической физики рассматриваются
физические величины, которые зависят как от времени, так и от
пространственных координат. Примерами таких величин могут служить: плотность,
давление, температура, скорость течения жидкости, напряжения в упругих
телах, электрическая и магнитная поляризации и т. п. Все такие
величины изменяются как при переходе от одной точки пространства к
другой, так и с течением времени. Эти величины можно определить с
помощью функций от прямоугольных координат дг, У) г и от времени t;
при этом мы придем к некоторым зависимостям между частными
производными от этих функций. Большинство физических законов
выражается с помощью подобного рода диференциальных уравнений в частных
производных. Нахождение значений физических величин сводится в
силу этого к решению этих диференциальных уравнений, к которым надо
еще присоединить дополнительные условия (так называемые начальные
м краевые условия). Такой метод особенно часто применим при
исследовании среды, непрерывно заполняющей некоторую часть пространства,
т. е. в теории упругости, гидродинамике и аэродинамике.
§ 2. Непрерывность. Диференцируемость. Аналитическое задание
функции. Классическая математическая физика рассматривает материю
как непрерывную. Рассмотрим, например, равномерное распределение
масс внутри поверхности S. Проследим за изменением плотности вдоль
шрямой, пересекающей поверхность S. При переходе сквозь поверхность
5 плотность делает скачок
I " "^ от некоторого
положительного значения d до нуля,
т
1
>т. е. платность d как
функция расстояния s от поверх-
Черт. 1. Черт. 2. ности Sпри s= 0
претерпевает разрыв (черт. 1). В
противоположность этому разрывному представлению можно предположить,
что убывание плотности вблизи поверхности «S происходит xolp и очень
быстро* но все же непрерывно (черт. 2). Разрыв е этой точки зрения
можно рассматривать как предел очень быстрого, но непрерывного измене-
ния. Математически это можно выразить приближенно, заменив разрывную
функцию непрерывной1. Так, например, легко заметить, что функция
или в более общем виде
F
А+*"Ъ
где Гл и F2 — заданные постоянные, при п конечном представляет
* Эта приближение не может быть равномерным вблизи точки разрыва
^см. приложение § 3).

§ 2 Непрерывность 11
собою непрерывную функцию от s; при п-+оо функция F переходит в
функцию, которая при s==0 делает скачок от /^ к F3 (в первом
примере от 0 к d).
Рассмотрим еще в качестве примера плотность водяных паров вблизи
кучевого облака; края такого облака кажутся нам издали резко
очерченными, и таким образом плотность облака на его границе как бы
претерпевает разрыв; однако при приближении к облаку его резко
очерченная граница оказывается совершенно размытой. Более точное
исследование показывает действительно, что граница облака состоит из
небольших капель, каждая из которых состоит из миллионов
молекул, и т. д., так что плотность облака в действительности
обращается в нуль не внезапно, а постепенно, в известном смысле
непрерывно. Мы видим в этом последнем примере, что при математической
обработке физических вопросов можно исходить из различных точек
зрения. Мы в дальнейшем будем рассматривать главным образом
непрерывные свойства материи; встречающиеся при этом разрывы на
поверхностях, кривых и в отдельных точках могут быть устранены
вышеуказанным способом.
Определение сходимости последовательности чисел (ряда) и
непрерывности дано в § 2 приложения. Функция /(#), непрерывная во всех
точках замкнутого интервала а^х *^Ь, равномерно непрерывна в этом
интервале; это значит, что интервал а «^лг ^Ь можно разложить на
конечное число таких частичных интервалов, что в каждом из них
колебание функции f(x) не превышает заранее заданного числа 6. Такая
функция имеет в интервале а^х^Ь вполне определенные
максимальные и минимальные значения и принимает внутри этого интервала по
крайней мере один раз любые значения, заключающиеся между ее
максимумом и минимумом, - Л
Говорят, что функция/(х) кусочн&-непреры#на в интервале а < х *ё *,
если этот интервал можно разбить на конечное число частичных
интервалов так, чтобы внутри каждого такого интервала функция f(x) была
непрерывна, а на концах этих интервалов, имеет односторонние (слева
и справа) предельные значения* Однака эти два предельных значения
(слева и справа) нд концах частичных интервалов не обязательно должны
совпадать: на концах этих интервалов функция можед делать свдчок
(иметь разрыв первого рода).
Функция f(x) называется диференцируемой в точке х*=х0,
если существует такое число Дда/Ч^а)* что вблизи х^ имеет место
равенство:
/(*)=/(*o> + ^*-*o) + e(*—*q);
при этом для любого, заранее заданного положительного числа 80
можно найти такое положительное число Ь (величина Ь зависит, конечно, от
величины е0), что |е|<е0, коль скоро х=^=х0 и (л: — *0К*- Число
A *s*f(x^ называют производной от функции f{x) в точке х0.
Аналогичным образом определяют вторую производную /п(х0) и т. д. О
второй производной можно говорить, конечно, только в том случае, когда
/r(*o) B окрестности точки х0 существует.

12 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
Если функция f(x) в какой-либо точке х0 однозначна, конечна и
имеет однозначные конечные производные любого порядка, то для нее
можно, вообще говоря, составить ряд Тейлора:
/ (*о) + <* - *о№о) + ^f^VK) + - + (£^Г^/Я)Ы + • -.
Функция f(x)j для которой ряд Тейлора сходится в некоторой
окрестности точки f(x0), называется аналитическойг. ч
Нам, однако, приходится встречаться с неаналитическими функциями.
Рассмотрим, например, струну,.которая имеет форму, указанную на черт. 3.
Ее точки можно представить как непрерывную функцию у=/(х), где
х есть расстояние абсциссы от конца А. Функция f(x) состоит из двух
линейных функций.
Таким образом во всех точках, исключая точку />, функция f{x)
имеет производные любого порядка, в самой же точке Р она имеет
односторонние, не равные между собою производные. Таким образом
функция f(x) в окрестности точки Р неаналитическая.
Черт. 3. чЧерт. 4.
Другим примером неаналитической функции может служить кривая
черт. 4. Часть этой кривой слева от точки Р представляет собою дугу
окружности, другая же ее часть — справа от точки Р—прямую. В точке Р
направление окружности совпадает с направлением прямой, служащей ее
продолжением. Соответствующая функция имеет повсюду непрерывную
производную; оДнако вторая производная при переходе через точку Р
делает скачок, и таким образом наша функция в окрестности точки Р
опять-таки неаналитическая. В самом деле, функция аналитическая как
справа, так и слева от точки Р, разложения которой справа и слева от
точки Р отличны друг от друга, не является аналитической в
промежутке, включающем точку Р. Аналитическая функция определена во
всей области своего существования, если она определена в сколь угодно
малой части этой области; действительно, этого условия вгац^не
достаточно, чтобы найти производные всех порядков для некоторой точки
этого промежутка.
Любую непрерывную неаналитическую функцию (например функцию,
представленную на черт. 3 и не имеющую производных в точке Р)
можно заменить аналитической и даже целой рациональной
функцией, сделав при этом сколь угодно малую погрешность2 (см. кривую»
1
* Интересный пример представляет функция е (* - *o)f. Эта функция имеет
конечные производные любого порядка, и все же ряд Тейлора, получающийся при
ее, разложении, сходится не к этой функции. См. Riemann-Weber, т. 1,
«тр. 30, а также т. II, стр. 176 и т. д.
* См. Riemann-Weber, т. 1, стр. 163.

§3
Векторы
13
нанесенную пунктиром на черт. 5); этому факту из области математики
вполне соответствует в действительности тот факт, что струну нельзя
натянуть так, чтобы ее форма вполне
совпадала с черт. 3. Таким образом
большинство физических явлений можно
описать с помощью аналитических функций
или с помощью функций, предельных для Черт. 5.
аналитических функций.
• § 3. Векторы. Скалярное и векторное произведения. Некоторые из
упомянутых в § 1 физических величин вполне определяются одним
числом, как только задана единица для их измерения. Таковы, например,
плотность, давление, температура и т. п. Чтобы определить другие
физические величины, как то: скорость, ускорение, магнитную
поляризацию, оказывается необходимым, кроме их величин, знать еще и их
направление. Первые из упомянутых величин называются скалярными
величинами или просто скалярами; для их измерения достаточно одной
шкалы. Вторые величины называются векторами. Вектор АВ
направлен из начальной точки А в конечную точку В: он определен, когда
известны его абсолютная величина (длина) \АВ\ (т. е. длина отрезка
АВ) и его направление. Направление может быть определено двумя
углами, например широтой и долготой той точки сферы единичного
радиуса, радиус-вектор которой параллелен рассматриваемому вектору.
В правовинтовой системе координат направление вектора задается
тремя направляющими косинусами cos (rx), cos (ry) и cos (rz). Эти три
косинуса связаны между собой равенством:
cos2 (rx) + cos2 (ry) + cos2 (rz) = 1, (1)
а потому независимыми являются только два из них. Таким образом
для определения вектора необходимо иметь только три числа; одно
число — измеряющее его длину, и два — характеризующие направление.
Если концы А и В вектора совпадают, то длина его становится
равной нулю, а направление — неопределенным. Еще проще определяется
вектор своими проекциями на координатные оси. В последующем мы
будем обозначать векторы жирным шрифтом, например А, а его
проекции на координатные оси (эти проекции надо брать с соответствующими
знаками) соответственно через Ах, А , Ая. Мы будем писать:
А = п^, ЛуУ /Ig,
обозначая этим, что вектор А имеет проекции Ах> Ау, Az. Длину
(абсолютную величину) вектора А мы будем записывать так: |А|. Очевидно:
|А|« = Л*+А»+Л». (2)
Направляющие косинусы (в предположении, что |А|>0) выразятся так:
® cos(A*)=»j^j, cos(Ay)=pJ, cos(A*)=^2. (3)
Возведя обе части этих равенств в квадрат, просуммировав их и
воспользовавшись равенством (2), мы снова придем к соотношению (1).

14 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. *
Вектор, длина которого равна единице, а направление совпадает с
направлением вектора А, мы обозначаем через Аг (единичный вектор).
Таким образом направляющие косинусы вектора А можно записать
также и следующие образом:
cos (Ад:) = Alx; cos (Ay) = Aly; cos (kz) = Ale.
Длина, проекции и направляющие косинусы вектора являются
скалярными величинами. Сумма С векторов А и В (компоненты вектора С)
называется также их результирующим вектором:
А + В = С. (4)
Она определяется на основании известного правила сложения
прямолинейных отрезков: вектор В переносят так, чтобы его начало
совпало с концом вектора А, и начало вектора А соединяют с концом
вектора В. Ясно, что . . '
А-|- В = В -}- А
(черт. 6), т. е. сложение векторов — операция коммутативная. Легка
показать, что сумма векторов обладает также и ассоциативным
(сочетательным) свойством. Если, С — 0, т. е. начало вектора С совпадает с еп>
концом, то пишут:
A-f-B = 0, A as — В.
Векторы А и В в этом
случае равны по своей длине,
но направлены в
противоположные стороны.
При проектировании
векторов А, В и С на любого
координатную ось сумма
^проекций компонентов дает, очевидно, проекцию результирующего вектора.
Таким образом одно векторное равенство (4) можно заменить
следующими тремя скалярными равенствами:
АЛ+ВХ=СХ, А, + 9,=*СГ Аг + В3^Сг. (5)
Соотношения (4) и (5) совершенно равносильны и являются только
различными способами записи одного и того же факта. В последующем
мы будем пользоваться обоими видами записи. Сумма любого числа
слагаемых определяется аналогично сумме двух слагаемых. Вычитание
определяется равенством (черт. 6а):
A — B=tA + (— B) = D.
Если через в обозначим угол между векторами А и ВГ*то
известная теорема тригонометрии даст нам (черт. 6):
|Ср = |А|» + |В|» + 2|А||В|со8в,
или, на основании равенств (2) и (5):
Al + BZ + 2AJeBx+A* + B> + 2AyB, + Al + B>+2AaBe =
= 4 + ^ + ^ + ^ + ^ + Bf+2|A||B|cose.
Черт. 6.
Черт. 6а

§ 3 Векторы ' 15*
Отсюда следует, что
|А||В|оив —АА + Л^ + ^г
Это выражение, симметричное относительно обоих векторов А и В,
получается путем умножения произведения длин обоих векторов на*
косинус угла, заключенного между ними. Оно называется скалярным
(внутренним) произведением обоих векторов. Ясно, что
АВ==ВА,
т. е. скалярное произведение коммутативно. Если векторы А и Е
являются единичными векторами, т. е. |А| = 1 и |В| = 1, то
равенство (6) сводится к известной формуле, выражающей косинус угла-
между двумя прямыми через сумму произведений соответствующих
направляющих косинусов. Если векторы А и В взаимно перпендикулярны»
то их скалярное произведение равно нулю.
Проекцию вектора А на направление В [направляющие косинусы^
последнего суть £1дг==со5(Вл;), £1Jf = cos (By), Bu=cos(Bz)]
определяют так произведение длины вектора А на косинус угла,
образованного этим последним с направлением оси проекций В. На основании
формулы (6) это произведение равнр:
Аъ =s | А | cos 9 = Ах cos (В*) + Ау cos (By) -f- Az cos (Bz). (7)*
Таким образом скалярное произведение двух векторов -может быть
представлено как произведение длины одного из них и проекции
второго вектора на направление первого.
Кроме скалярного произведения двух
векторов определяют еще и их вектор-
нов произведение [АВ]. В
противоположность скалярному произведению
векторное произведение само также является "'""" 4 "~~
вектором. Направление этого вектора сов- >Черт. 7.
падает с поступательным движением пра- '«
воходового винта, ось которого перпендикулярна векторам А и В.
При этом предполагаете^ что винт вращается от А к В (черт. 7).
Таким образом векторное произведение [АВ] перпендикулярно к
плоскости, проведенной через векторы А и В; длину его принимают
равной площади параллелограма, сторонами которого служат векторы
А и В, т. е.
| [АВЗ | = | А | j В | sin (8)
где в означает угол между обоими векторами. В случае параллельности
векторов А и В принимают, что [АВ] = 0.
Векторное произведение в некотором смысле противоположно
скалярному. Оно не симметрично относительно векторов А, и В, а именно:
[АВ] = -[ВА]. (9>*

16 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
Следовательно, векторное умножение не коммутативно. Однако, как
мы дальше покажем, оно обладает распределительным и сочетательным
«свойствами. Легко подсчитать, чему равны компоненты векторного
произведения С = [АВ]. Действительно, по определению вектор С
перпендикулярен векторам А и В, а потому
АхСх+АуСу + АгСя=0,
ВхСх+ВуСу + В3Сг = 0. (10)
Следовательно, СХУ Сг Ся пропорциональны детерминантам второго
сюрядка, образованным из компонент векторов А и В, т. е.:
| Ау Аг
\вувя
AzAx
вявх
АхАу
ВхВу\
(И)
Равенство это предполагает, конечно, что входящие в него
детерминанты не равны нулю. Если величину отношений, входящих в это
равенство, обозначим через \, то мы будем иметь:
Сх=ЦАуВя — АяВу),
Су^\{АаВх-А^,),
Са^\(АхВу — АуВх).
(12)
Эти равенства не теряют силы и в том случае, когда некоторые из
детерминантов, входящих в равенство (И), или все они равны нулю.
8 последнем случае векторы А и В параллельны друг другу и, согласно
определению, С = 0, и, следовательно, Сх=Су = С8.
Сложив правые и левые части равенства (12), возведя эти суммы
в квадрат и приняв во внимание равенство (8), мы вычислим X; при
этом мы заменим sin2 6 через 1 —cos2 0, а для вычисления cos б
воспользуемся равенством (6).* Таким образом мы получим:
|С|» = С« + С» + Са=
=\^А1В1 + А1Ву-2АуАгВуВя +
+ А,В1 + АхВг-2А,АхВгВх +
+ АЩ + АуВ\- 2АхАуВхВу)=
=== | A j2 j В |2 (1 — cos2 в) =
=И» + А» + А*> № + Я» + Щ) - И А+ АуВу + АяВя)\ (13)
Окончательно получается, что если А и В не параллельны, то )? ?= 1.
Легко видеть, что X = -f-l. Действительно, число \ могло бы принимать
только два значения: 1 и —1, но так как оно непрерывно зависит от
векторов А и В, то оно является постоянным. Рассмотрим частный
случай, когда векторы А и В совпадают соответственно с положительными
направлениями оси Ох и оси Оу; тогда С совпадет с положительным на»
правлением оси Oz% а все компоненты этих векторов, исключая Ах, Вуу С,,
обращаются в нуль. Из третьего из равенств (12) получается в этом

§ 3 Векторы 17
случае Х=1. Итак, векторное произведение может быть следующим
образом определено своими компонентами:
(И) .
Если векторы параллельны, т. е. их векторное произведение равно
нулю, то равенства (14) остаются все же в силе, и мы имеем:
с*
с>
с*
= AyBt-
= А>ВХ-
= АХВ,-
-А,Ву,
-ЛА.
-АуВ^
вх *у~К
Из равенства (3) следует, что направляющие косинусы обоих
векторов равны друг другу. Это же заключение вытекает непосредственно
из параллельности векторов.
Три вектора А, В, С определяют в общем случае косоугольный
параллелепипед (черт. 8). Объем этого
параллелепипеда мы получим, умножив
площадь параллелограма, построенного на
двух векторах, на проекцию третьего
вектора на нормаль к этому параллелограму.
Таким образом объем этот равен
абсолютному значению скалярного
произведения одного из векторов на векторное
произведение двух других. Если при этом
как-либо установить последовательность
трех векторов, то это произведение приобретает вполне определенный
знак, который остается неизменным при циклической замене векторов.
Действительно, мы имеем.
А [ВС] = В [СА] = С [АВ] а
= АЯ (ВуСа-ВаСу)+Ау (В9СХ~ВХСЯ) + А8 (ВхСу-ВуСх) «.
W*J (15)
сяс,св
Определенный таким образом объем положителен, если векторы
А, В, С (в этой именно последовательности) образуют правовинтовую
систему, т. е. имеют то же взаимное расположение, что и координатные
оси. Этот объем (15) отрицателен, если заданные векторы образуют
левовинтовую систему.
Если все три вектора параллельны одной и той же плоскости, то
детерминант (15) равен нулю.
Векторы А и [ВС] можно перемножить не только скалярно, но и век-
торно. Полученный таким образом новый вектор перпендикулярен А и
[ВС] и, следовательно, лежит в плоскости, параллельной векторам В и С.
2 Вебстер.

18 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. 1
Поэтому можно написать:
[А[ВС]]=дгВ+^С,
[ляры. Так как стоя
якулярен вектору А,
[А [ВС]] А = 0 = *ВА +.уСА,
где х и у —какие-то скаляры. Так как стоящий в левой части этого
равенства вектор перпендикулярен вектору А, то
т. е.
СА ВА '
и таким образом
[А [ВС]] = \ (В. СА -г- С • ВА).
Из равенства (14) следует, что компонента по оси Ох левой части
этого равенства равна:
Ау(ВхСу-ВуСх)-Ая{ВаСх-ВхСг) =
=*Вх(АхСх+АуСу + АгС,)-Сх(АхВх + АуВу + АаВя),
и, следовательно, Х=1. Итак, окончательно имеем:
[А [ВС]] = В ♦ СА — С • В А. (16)
Из последнего легко получить следующее равенство:
[А [ВС]] + [В [СА]Г+ [С [АВ]] = 0.
§ 4. Скалярные и векторные функции. Градиент* В последующем
мы будем рассматривать главным образом так называемые функции
точки, т. е. функции, которые зависят от положения точки на прямой, или
на плоскости, или в пространстве. Функции эти являются скалярными
величинами, изменяющимися при переходе от одной точки к другой.
Примером такой функции может служить температура различных точек
твердого тела. Под поверхностью уровня пространственной функции точки
(р(дг, у, z) понимают поверхность, во всех точках которой функция
постоянна. Таким образом' уравнение поверхности уровня напишется в виде:
„: Обыкновенно функция ср по одну сторону поверхности уровня
меньше с, а по другую — больше с. При переходе от одной точки
пространства М к другой N, лежащей на бесконечно малом расстоянии от
Му функция у получает бесконечно малое приращение d<p, равное:
*e»J* + »l<, + **. • ,.7,
Мы можем рассматривать dx, dyy dz как компоненты бесконечно
малого вектора MN=as> причем:
ds* = dx2 + dy* + dz*,
cos(rfs, #) = !*£, cos(tfs, >)=;r» cos(d$, z) — -j?. (18)
ds (*§ &$

§4
Скалярные и векторные функции. Градиент
19
Если вектор ds лежит на поверхности уровня, или, вернее, в
плоскости, касательной к поверхности уровня, то
т Ьх ' Ьу ' bz.
Возьмем вектор Р с компонентами
Р
Ьх' 9 ' Ьу'
9 Ьг
(19)
(20)
Так как^ согласно равенству (17) скалярное произведение вектора Р
и ds равно нулю, то вектор Р перпендикулярен к любому вектору, ле
жащему в касательной плоскости, следовательно, он нормален к
поверхности <р —с. Таким образом, предполагая, что хотя бы один из
компонентов (20) вектора Р не равен нулю, мы получим из равенства (3) следующие
формулы для направляющих косинусов нормали к поверхности tp = c:
cos(пх) =
дер
COS(Пу) :
cos (m) =
bz
(21)
/№(*)'+(4)"-
Если в этих формулах взять корень квадратный с положительным
знаком, то нормаль оказывается направленной в сторону <р>с.
Если ds лежит вне касательной плоскости к поверхности уровня, то
из равенств (17) и (18) следует:
<*Р = ds \Jt cos (ds9 *) + Scos (ds> У)+^ cos (ds> *))
или
dy Ъу
Эср
^7 = ^ cos <л» *) + ч2-cos (*• ■?) + dr cos (rf*> *)■
dep
db d*
by
bz
Но легко видеть, что в левой части у нас не полная производная,
а частная. Действительно, эта производная характеризует изменение
функции ср при переходе от одной точки к другой в направлении
вектора ds. Но функция (р (а:, >, z) характеризуется своим изменением не
в одном направлении, котррым в частном случае может служить и #,
2*

20 ДиФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
или у, или z, и которое при изменении системы координат можно
принять за новую ось Ох\ а своим изменением по всем трем направлениям^
Поэтому j~ надо в последнем равенстве заменить через частную
производную —, которая называется производной от <р в направлении ds.
vS
Последнее равенство перепишется теперь так:
^■ = ~cos(ds,x) + ^cos(ds,y)+b£Cos(ds, z). (22)
Эта формула в связи с равенствами (£) и (20) показывает, что
производная от <р по какому-либо направлению равна проекции вектора Р
на это направление. Вектор Р, определенный равенствами (20), мы
называем градиентом скалярной функции ср и пишем:
Vt-i-df-g. £■ £• <23>
Так как длина градиента
больше его проекции на любое направление, то направление градиента
в любой точке совпадает с направлением максимального роста
скалярной функции <р в этой точке. Как мы видели выше, это направление
нормально к поверхности уровня. Если
v~dxf dy' bz
рассматривать как некоторую векторную операцию, то скалярное
произведение AV окажется скалярной операцией, которая, будучи прило*
жена к функции <р, дает:
В этой формуле предполагается, что ds имеет направление вектора А.
Вектор также может меняться при переходе от одной точки
пространства к другой. Компонентами подобной вектор-функции служат
скалярные функции точки. Примером вектор-функции может служить
градиент скалярной функции точки, который был определен" выше.
Пусть А будет какая-либо вектор-функция:
А = Ах (х, уу z)y Ау (х, у, г), Аг (х, у, z).
Мы говорим в этом случае о векторном поле как о части
пространства, в котором определен вектор (например, поле силы тяжести,
поле скорости, поле потока жидкости и т. п.). Подобное поле
графически может быть представлено как семейство кривых, касательные в каж-

§ 5* Преобразование системы координат 21
дой точке которых совпадают с направлением вектора А в этой точке.
Пусть ds представляет элемент дуги подобной кривой. Тогда диферен-
циальные уравнения этой кривой напишутся так:
dx
dy dz
ds
|Al
(26)
Эти кривые называют векторными линиями. Если, например,
вектор А представляет скорость жидкого потока, то векторные линии
совпадают с линиями тока. В силовом поле линиями вектора служат
силовые линии.
Вектор может зависеть не только от пространственных координат,
но и от времени. Под производной вектора А по времени t мы
понимаем вектор
ЬАХ
oAv vA*
it
Ы
§ 5. Преобразование системы координат. Перейдем от системы
прямоугольных координат *лг, у> z к новой системе х\ у\ z\ начало кото*
рой совпадает с началом старой системы; следующая табличка дает
направляющие косинусы координатных осей одной системы в другой
системе: „
у
«2
«3
Yi
Y2
id
(27)
Последовательно применяя равенство (7), мы получим для
компонентов вектора А в новой системе следующие равенства:
Ау' = Ахаг + А;$2-\-АгЪ>
А'=А,аз + 4Л + ^з-
(28)
Формулы преобразования координатных осей вытекают из этих
формул как следствие для того частного случая, когда вектор соеди|£ет
начало координат с точкой л:, у, z (или, соответственно, х', у'", г'):
■*' = <*!* +g, .У+ Yi*> 1
z, = a3x-\-^y-\-^z. J
Аналогичным образом получается выражение для х, у, г через х', У, zu.
х = а1х»-\-а2у'-\-а^> \
у = № + № + №. | (29')

22 ДиФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Г*Л. I
Так как аг, а2, а3 являются направляющими косинусами оси Ох
относительно осей Ох\ Оу\ Oz\ то на основании равенства (1) мы имеем:
: «? + «£ + «!—* (3°)
и аналогично
(30')
Так как оси Оу и 0# взаимно перпендикулярны, то
и соответственно
а|р1 + а2?2+азРз
=::}
(31')
С помощью этих шести равенств можно показать, что несмотря
на изменение компонент 'вектора при преобразовании системы
координат длина^го остается неизменной:
|А'| = Л2, + ^,+ ^ = ^+Л2 + ^ = |А|. (32)
Функцию, которая при некоторой группе преобразований координат
сохраняет неизменным свое значение, называют инвариантом этой группы
преобразований. Примером инварианта может служить еще и скалярное
произведение. Важное s значение имеют также диференциальные
инварианты. Обозначим через <р (л:, у> z) скалярную функцию от xf у> zy
имеющую непрерывные производные по всем трем переменным. Пусть
при вышеуказанных преобразованиях (29') она переходит в функцию
<f(x,y, z) = y'{x\y\z>).
Диференцируя это равенство, мы получаем:
ЗУ Зкр «to , Зкр Ъу^ ty 3»£
дх9~ ЪхЪх' ^Ъу'Ъх1 * Ъг'Ъх*'
Но на основании (29f)
и т. д., а потому
Ьх Ъу R Ъг
J*'3"*1' bx'~h' М~Ь
bx'—^bx^hby^^dz9
(33)

§ 6 Линейные бесконечно малые деформации 23
Составив сумму квадратов правых и левых частей этих равенств,
мы на основании равенств (30) и (31) получим:
Абсолютная величина градиента является, таким образом, „диферен-
циалъным инвариантом*. Обобщая это, можно показать, что
скалярное произведение градиентов двух скалярных функций <р и ф, имеющих
непрерывные производные,
является диференциальным инвариантом.
§ 6. Линейные бесконечно малые деформации. Дивергенция. Ротор.
а) Очень важное значение имеет векторное поле, в котором вектор
представляет скорость точек движущейся непрерывной среды (например
жидкости или упругого тела). Возникает вопрос, как при этом будут
меняться величина, форма и положение небольшой области. Рассмотрим
часть пространства, в которой точка х> у, г переходит в x-f-S» у-\- ij,
2 +С. При этом 2, 1), С являются, вообще говоря, функциями х, j>, z.
Положим, что эти функции имеют непрерывные производные по всем
переменным. Тогда приближенные значения этих функций в
окрестности точки х0У у0, Zq выражаются с помощью формул:
4 в Чо + Se(Jf ~~ *о) + Ъу {У ~Уо) + й{г ~ Ч)'
1 = Ь + £(х-Хо)+Ъ±(У-Уо) + £(*-*<>)' '
Постоянные члены S0, 7j0, C0 B этих формулах соответствуют
параллельному перенесению рассматриваемой окрестности. Если полагать
их равными нулю и выбрать систему координат так, чтобы x0=y0=z
= 20 = 0, то компоненты $, jj, С вектора смещения получатся из
следующих равенств:
S — Oj^ + fljjr + V. )
Ч —M + V+A*. | (36>
1 = сгх + с2у-\-сьг. J
Рассмотрим тот случай, когда коэфициенты ал> а2, ..., с2, cz
пс*тоянны. Такого рода движение называется однородной деформацией*
Однородная деформация обладает тем свойством, что любая линейная
зависимость между первоначальными координатами переходит в
линейную же зависимость между новыми координатами х ■+- £, у + q, z 4- С.
Благодаря этому плоскость при однородной деформации переходит
$ плоскость; рралделшше плоскости остаются токовыми и. цосдо

24 Диференциальные уравнения математической физики Гл. I
С)*
~j Jf \\Т
ТГ744
Черт. 9.
деформации; параллелепипед деформируется в параллелепипед, но
двугранные углы в нем могут при этом измениться. Однородная деформация
называется бесконечно малой, если девять коэфициентов аг, а2, ..., с2, cz
столь малы, что можно пренебречь их квадратами и произведениями.
Легко заметить, что при
однородной деформации отношение
линейных размеров, площадей и
объемов подобных и подобно
расположенных тел сохраняется.
Чтобы вычислить изменение
объема, рассмотрим прямоугольный
параллелепипед, оси которого до
деформации были параллельны
координатным осям и равны
соответственно х, у, z (черт. 9). При
деформации они переходят
соответственно, в векторы А, В, С;
проекции последних мы получим, прибавляя к х, О, 0; 0, уу 0; 0, 0, z
по порядку отдельные члены правых частей равенств (36) (последние
представляют собою не что иное, как компоненты деформации, при
условии, что у, 2г, или г, ху или дг, у равны нулю); таким образом
Ах^(1 + а,)х, )
Ау=Ьгх,
Аг = CjX9
вх=агУ>
Ву=(\+Ь,)у,
Bz=c2y,
Сх = а3г,
Cy=b3z,
C, = (\+c3)z.
На основании (15) объем параллелепипеда после деформации равен:
11+а, Ь1
(37)
V'=xyz
(38)
и2
Раскрывая этот детерминант и опуская члены
мы получим:
V'= (1 + о, + *2 + с8) *у* == (1 + в1 + *2 + с3) К.
V в этом равенстве означает первоначальный объем параллелепипеда.
Относительное приращение объема, таким образом, равно:
* = -Ц=-^ = Д1+*2+<з- (40)
высших порядков
(39)
Эта велЧ^ина называется -объемным расширением или дилатацией рас»

I
§ 6 Линейные бесконечно малые деформации 25
сматриваемой области. Таким образом объемная деформация
приближенно равна сумме диагональных коэфициентов в системе (36).
Степень этого приближения была указана выше.
Ь) Простейшая деформация получится, если # в системе (36) все
коэфициенты, исключая аг, обратятся в нуль. Каждая точка движется
в этом случае в направлении оси Олг, и расстояния от плоскости yz
изменяются все в одинаковом отношении. Вышеупомянутый
прямоугольный параллелепипед растягивается при этом (получает дилатацию)
в направлении оси Ох (сжатие можно рассматривать как
отрицательное растяжение). Деформация, которая состоит из трёх таких
растяжений по трем взаимно перпендикулярным направлениям, называется
чистым растяжением. ^В случае, если эти три оси растяжения
совпадают с координатными осями, то все коэфициенты линейных
преобразований (36), за исключением диагональных коэфициентов ал э Ь%, с3,
обращаются в нуль. При такой деформации ребра вышеупомянутого
параллелепипеда сохраняют свои первоначальные направления* Эти три
направления называют осями растяжения.
Рассмотрим чистое растяжение, выбор осей которого ограничен
одним только условием: эти оси должны быть взаимно перпендикулярны.
Примем их за оси новой системы координат х\ у\ z\ причем л', У, г?
будут связаны с х> у> z равенствами (29) и (29f). Возьмем
параллелепипед, ребра которого имеют направление х\ у\ z\ Смещения в этом
параллелепипеде будут определяться равенствами:
е—*!**• ч'=**1У. *cr=V- (4i)
Выразим новые координаты # + 5, ,y+q, 2 +С (или .я' + Б', У + г/,
zf 4- С) через старые х, у, z (или х\ у\ zf). На основании формул (29),
(29') и (41) мы можем написать:
* + ?=:«, (ДС, + 6') + в.(У + ЧГ) + <% (/ + ?) =
=о, (1 + *,) *' + о, (1 -(- *2)У + а3 (1 + sa) J =
=*a1{\+s1)(a1x + l1y+bz) + \ (*2)
+ <h (1 + s2) («2*+hy + Ьг) +
+ аз О + 5з) («з* + h У + Ys*)-
В силу формул (30) и (31) мы получим:
e=(^fl$ + V§ + V©* + (*ieiPi + «A&i + *AM.y + ] ^з)
Аналогично имеем:
П =(*aPi + *&h + *,«.?•) х + (в, p* + s$ + sa5|).y +
+ (*i PiYi + *«PiY« + «Ay») z>
С = l*iYA + *ДА -ф- 53у3а3) * -f (s^y, + s2p2y2 + s3^s)y -f
(43)

26 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Положим
Sz = Sl?l + S2f2±Wh
Sx = Slhll + 52pJ2 + «зРзУз .
gy = SlYiai + 52Y2a2 + 53Y3a3 •
ft = *iaiPi + *APi + *зазРз •
Гл. I
(*4)
Тогда формулы (43) примут вид
t=*** + g.y + gy?9 I
(45)
Отсюда мы видим, что матрица, составленная из коэфициентов чистого
растяжения, симметрична относительно главной диагонали.
Это условие (симметричность матрицы) является не только
необходимым, но и достаточным условием для того, чтобы мы имели дело
с чистым растяжением. Действительно, если равенства (41) записать
полностью, то получится:
*Л+Pv4+Yv£=MV+№+^z) (v=l■2*3)-
Если вставить сюда выражение для S, У), С из формулы (36) и
приравнять козфициенты при xf у, г, то получим:
«А + РА + ТА = *Аэ
«A + PA + YA = *,Y*-
Из этих равенств следует, что st, s2, sz удовлетворяют уравнению:
c^ — s
= 0.
Если условия симметрии в этом определителе выполнены, т. е. если
Д2 — *i *
"1»
v2»
то это уравнение имеет три действительных корня, которые и
определяют вышеуказанное растяжение.
Объемное расширение, определяемое равенствами (45), на
основании формулы (40) равно:
* — ** + *, + *. —*i + *i + *i-
Следовательно, объемная деформация инвариантна относительно изме«
nwm координатных осей.

§6
Линейные бесконечно малые деформации
27
Вывод, который выразился в виде равенств (45), можно записать
еще и в другой форме. Полагая
«р s= у sjc* -f у V2 + У V2 + &.У* + £уг* + ft*V (46)
и принимая во внимание, что коэфициенты в этом равенстве постоянны,
мы находим:
4~V *•—dF'
(47)
Итак, вектор смещения равен градиенту скалярной функции ср
(потенциала деформации). Правая часть уравнения центральной поверхности
второго порядка <р = 1 при переходе к главным осяй поверхности
принимает вид:
Полагая
(49)
мы получим растяжение в направлении *', у, z', т.е. [из (41)] 3,=^,
s2 = \s, s3=a2. Мы видим, таким образом, что нахождение осей
чистого растяжения и отыскание главных осей центральной поверхности
второго порядка являются с математической точки зрения
эквивалентными задачами. Таким образом мы всегда можем найти такие три
взаимно перпендикулярные оси, которые при чистом растяжении не меняли
бы своего направления. При других видах деформации такой выбор
осей невозможен.
с) Однородная деформация S, »), С в самом общем случае,
выраженном равенствами (36), может быть всегда представлена как результат
двух деформаций, из которых одна представляет собою чистое
растяжение, а для второй объемное расширение равно нулю. Действительно,
5, = агх -f у (*i + а,) у +У («з + 'i)z >
1i= 2-(*i + «i)* + Ь*У t-у («! + *«)*»
Ci = "о" (аз + ci)x + -«- (c2 + *з) У + сзг-
2
-.0-х-
(50)
■ -s- (*i —' аг)-У +• -о" (дз — сз)г»
Ч2=-о-(*1~а2)* + °-.У — -5-(Сг — *3)*>
2
_1_
2
С8 =*= —g- К—<i) -V -Ь j {% — ^ + 0 • г.
(51)

28 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
Если положить [см. (45)]:
. g,=т(ъ+ty. ft = о-К4-«i). ft e ■«■ (*i+az)>
1
1
(с2 — Ьа), <о = — (а3 — с3), <оя = — (Ьг — а2).
(52)
то (50) перейдут в (45), a (51) примут следующий вид*
Ъ = %х~ ®xz> \ (53)
Ь^ЯхУ — »**- J
Таким образом вектор смещения (51) равен векторно-
,* "*
му произведению вектора ш = а>^, wv, <о_ и радиуса-век-
у * ~+ _>
тора г = дг, у, z; следовательно, он равен | а> 11 г | sin (а>г)
и перпендикулярен векторам со и г. Смещение (51)
<->
при достаточно малом J со ( означает поворот
(по-английски rotation) тела на угол о> около оси (черт. 10;
заштрихованный треугольник перпендикулярен плоскости
чертежа). Мы видим, таким образом, что любую беско-
Черт. 10. нечно малую однородную деформацию можно
рассматривать как сумму чистого растяжения и вращения;
последнее не имеет, конечно, никакого влияния на форму тела. Чистое
растяжение (45), в котором все постоянные, исключая одного из g,
равны нулю, называется сдвигом. Сдвиг изменяет только форму тела,
оставляя его объем неизменным.
d) Исследуем, наконец, как изменяется деформация с течением вре-
Q1 мени. Будем исходить из векторного
поля {А}; пусть каждой точке дг,
у, z этого поля отнесен вектор А,
представляющий скорость в этой
точке. Пусть компоненты вектора А
имеют непрерывные производные
по ху у, z. Точка Р с
координатами дг, у, z (черт. 11) перейдет по
истечении времени dt в положение Р1;
Черт. 11. координаты вновь занятого ею
положения Р будут x-\-Axdt, y-\-Ay4t,
z-\-Azdt. Компоненты скорости близкой точки Qc координатами #-(-/»
У 4""£» z-\-h получаются разложением компонент вектора А вблизи
точки х> у> z в ряд Тейлора. Таким образом компоненты вектора PQ
в точке Q можно с точностью до бесконечно малых второго порядка
выразить следующими формулами:
р^г^зг
и т. п.
л*+/^+^+*м
bz

§ & Линейные бесконечно малые деформации 29
Компонента вектора А по оси Ох, которая первоначально была
равна /, по истечении времени dt окажется равной
ки
Пусть точка Q перешла в точку Q*. Обозначим координаты точ-
Q' относительно Р как начала через д:-|-£, у-\-Ц, *+С» Тогда
S
/ ЬА, *ЪА, ЫЛ
(54)
Небольшая область, в которой /, g, h служат координатами пере*
менной точки Q относительно постоянного» начала Р, претерпевает,
таким образом, однородную деформацию. Коэфициентами при этой
деформации являются произведения девяти частных производных компонент
вектора А на<#. Сравнивая равенства (54) с формулой (36), мы получаем
для объемного расширения а, коэфициентов сдвига g и вращения ф
следующие значения [см. (40), (52)]:
**
8v
8ш
ИЗ
+
1 (ЬА.
. — dtl—Z-
2 \дх
tAe\.
Ъх)'
)■
\ bz
1
bz
1ЪАЧ
••-y*lif
)■
' by)'
bz
ЪА.
(55)
(56)
Множители при dt в этих формулах представляют соответственно
объемное расширение, сдвиг бесконечно малой области (отнесенные
к единице времени) и угловую скорость этой области.
Множитель при dt в формуле (55) обычно называют дивергенцией
вектора А. Дивергенция — это скаляр, величина которого определяется
из равенства;
divA =
ЪА,
' дх
ЪА.
bz
(57)
Если А=ХВ, где X — скалярная функция, то, пользуясь
обозначением, указанным в формуле (25), мы будем иметь:
divte = XdivB + BV^
(58)

30 ДйФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
Дивергенцию вектора А можно символически записать в виде
скалярного произведения V и А» т- е-
divA = VA. (59)
Аналогично этому вводится символическое векторное произведение [VAL
компонентами которого служат:
ЪАЛ ЪА¥
IV А], У~
ду Ъг *
ЬАу ЬАХ
(60)
Этот вектор называют ротором (вихрем) вектора А* Он
обозначается чаще еще и так:
[У а] = rot A. (61)
Физическое значение дивергенции и ротора было уже
иллюстрировано в рассмотренном только что примере, в котором вектор
представлял поле скорости непрерывной среды. Формулы (55) и (56)
принимают теперь следующий вид:
a = df/divA, a>= — itfrotA.
Легко показать, что как divA, так и rot А инвариантны относительно
поворота системы координат.
§ 7. Безвихревое поле. Солеиоидальное поле. Два специальных вида
векторных полей заслуживают особого внимания, и мы сейчас перейдем
к их изучению.
а) Если rot A = 0, то, как известно,
AjIx + A/y + A/b (62)
является полным диференциалом некоторой скалярной функции
Таким образом
л _*Р л —^ А —^ (63)
Обратно, если функция <р (х, у, z) имеет непрерывные производные
второго порядка по x,yt z, то на основании равенства (63) имеем:
ЪАХ У у __ »<р _Ыу
Ту ЪуЪх~ЪхЪу Ьх
i В достаточно малой окрестности любой точки эта функция ? однозначно
(с точностью до аддитивной постоянной) определена. Но если продолжать ее
непрерывно вдоль какой-нибудь замкнутой кривой, то может случиться, что
полученная функция будет не однозначна. Этот случай многозначности можно
осуществлять при соответствующем выборе вектора А, когда заданная область
многосвязна (например в объеме, ограниченном ротором).

§ 7 Безвихревое поле. Соленоидальное поле 31
и т. п. и, следовательно, totA = 0 [см. (60)]. Векторное поле, для
которого rot А = 0, называется безвихревым; оно получается из
скалярной функции с помощью равенств (63), т. е. с помощью равенства
А = grad (р. Этот вектор во всякой точке поля нормален к поверхности
уровня y(x,y,z). Скалярную функцию <р называют потенциалом вектор-
функции А. Например, если А представляет собою поле скорости
жидкости, то условие rotA = 0 означает, что частицы жидкости текут все
время вперед, не образуя никогда водоворотов, т. е. что жидкость
претерпевает чистое растяжение. Такое движение жидкости также называется
безвихревым, а ср — потенциалом скорости потока.
В безвихревом поле существует своеобразная связь между
дивергенцией и потенциалом, а именно:
divA = divgrad? = g + g + g, (64)
В последующем символ операции
*2 ■ *а . * а- л
S7*+a7*+^d,vgfad
мы будем называть оператором Лапласа и обозначать через Д 1. Легко
показать, что Д<р инвариантен относительно поворота системы
координат.
Обобщение понятия безвихревого векторного поля получается из
диференциального выражения ^
Axdx -f- Aydy -f- Aadz9
которое обращается в полный диференциал лишь после умножения его
на у (интегрирующий множитель); таким образом
Axdx -f Aydy -f- Azdz=Щ. (65)
В этом случае мы имеем:
А=1р, Л=*?> Л,=Х^ или A = Xgradcp. (66)
* *х у ду' * Ъг ь т \ /
Направление этого вектора тоже нормально к поверхности уровня
tp = const. Произведение -г-|А| обратно пропорционально расстоянию
между двумя соседними поверхностями уровня (если 1 = const., т. ^.
в случае безвихревого поля, этим свойством обладает величина |А|).
Для вектрра с компонентами (66) справедливо равенство:
div A = div (к grad <р) = X Д <р + grad I • grad ср. (67)
Согласно сделанному раньше замечанию относительно выражения (35)
div А также является диференциальным инвариантом.
* Ламе (Lame) называл выражение Д ? диференциальным параметром
второго порядка.

32 ДйФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
Вычислим компоненты ротора вектора (66):
"ду iz ЪуЬг
Ъ\ д<р *2<р
^Х Sep
ду Ьг Ъгду Ъг Ьу
Следовательно:
rot (X grad cp) = [grad X, grad <р].
и т. п.
(68)
Так как векторное произведение перпендикулярно каждому из векторов
сомножителей, то
A rot А=Х grad <p [grad X, grad<f] = 0,
т. е.
A rot A = 0. (69)
Равенство (69) является необходимым условием для того, чтобы вектор
имел форму (66).
Ь) Перейдем теперь к рассмотрению векторных полей, для которых
дивергенция равна нулю. Примером такого поля может служить поле
скоростей А несжимаемой жидкости. Возьмем в
Н этом поле замкнутую кривую достаточно малых
размеров и проведем через все точки этой
кривой векторные линии нашего поля (определение
векторных линий см, в § 4). Эти векторные
линии образуют тонкую трубку, так называемую
трубку тока (черт.-12), Можно представить
себе, что все векторное поле разбито на такие
трубки тока; стенки трубок тока при этом
оказываются как бы сделанными из непроницаемого
материала. Через поперечное сечение Sx в трубку
втекает некоторая масса жидкости, и та же масса
вытекает из трубки через сечение S2. Если
поперечные сечения 5а и"52 перпендикулярны стенкам
трубки, то объем жидкости, которая втекла в^
трубку за время dt, равен S1\\\1dt; объем жид-*
кости, вытекшей из трубки за то же время dt,
равен S2\\\3dt; через |А|2 и |А|2 в этих выражениях обозначены
абсолютные значения вектора А на концах трубки. Из условия
несжимаемости жидкости следует, что
*Si|Aj1 = ^2iA|2.
В следующем параграфе мы покажем, что это условие выполняется
в том и только в том случае, когда divA = 0.
Такого.рода векторное поле называется полем без источников или
соленоидальным полем (acoXrJv по-гречески — трубка). В таком поле
величина |А| для любого поперечного сечения трубки тока обратно
пропорциональна площади этого поперечного сечения. Трубку, для
которой 5jA|=l, называют единичной трубкой. Вектор А, полученный
из любого вектора В с помощью равенства А = rot В, всегда определяет
Черт. 12.

§8
Теорема Гаусса
33
соленоидальное поле. Положение это. можно легко доказать
соответствующим диференцированием. Обратное положение также справедливо \
Если мы имеем дело с безвихревым соленоидальным полем, то
A = gradcp, divA = A<p = 0. (70)
Диференциальное уравнение Дср = 0 называется уравнением Лашгса;
из всех диференциальных уравнений, которые будут рассмотрены
в дальнейшем, уравнение Лапласа имеет самое большое значение.
§ 8. Теорема Гаусса. Пусть 5—замкнутая поверхность, нормаль к
которой При переходе от одной точки поверхности к другой меняется
непрерывно2. Постараемся определить, какое количество жидкости
втекает за время dt в пространство, огра- ^^
ничейное этой поверхностью (или вытекает ^^ (ду<#
из этого пространства). Сквозь элемент по- Н\ ' - А
верхности dS, в точках которого скорость сД^ , Ц
жидкости определяется вектором А, в про- - -
страиство S втекает масса жидкости, запол- Черт. 16.
няющая наклонную призму с основанием dS
и высотой \A\dt (черт. 13). Объем этой призмы равен dS\A\ dt cos
lhn) = A dSdt. В этом выражении п означает внутреннюю норм ль
элемента" поверхности dS. Таким образом все количество втекающей
жидкости равно
9dt^AndS,
где интеграл распространен на всю поверхность S; через р в этом
выражении обозначена плотность жидкости —величина, не зависящая от
дг, у, z. Интеграл, распространенный на поверхно^и, в котор т под-
интегральное выражение представляет компоненту вектора А по нормали
к поверхности, называется потоком вектора сквозь эту поверхность.
Определение потрка вектора распространяется и на случай замкнутой
и на случай незамкнутой поверхности.
Согласно (55) дивергенция представляет собою отношение
увеличения бесконечно малого объема за время dt к этому объему. Отсюда
следует, что каждый элемент объема dz^dxdydz за время dt
получает приращение dt-divAdx, а потому вся масса жидкости,
заключающаяся внутри поверхности S, за время dt увеличивается на
рлШсШгАЛ.
Это выражение должно быть равно количеству жидкости, вытекающей
из поверхности 5 за время dt, т. е.
JJJdlvArft^-JJi*^. (71)
i См. Курант, т. П, стр. 294 и 303; См ирно в, т. II, стр. 302.
2 Поверхность эта должна кроме того еще удовлетворять следующему
условию: всякая прямая, параллельная осям координат, можег пересекать
поверхность S только в двух действительных (различных или совпадающих) точках.
Обобщение этих условий см. Курант, т. II, стр. 272.
3 Вебстер,

34 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЁ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. 1
В этой формуле, как и везде в дальнейшем, через п обозначена
внутренняя нормаль к поверхности. Эта важная формула, для которой
й главе V будет дано другое доказательство, назызается теоремой
Га>сса. Теорема Гаусса позволяет заменить интеграл по объему
интегралом по поверхности. Она имеет очень большое применение при
решении задач и особенно при решении дифере щиаль 1ых уравнений
математической физики. Укажем, например, на очень важное следствие
этой теоремы: если поток жидкости через любую замкнутую
поверхность равен нулю, то векторное поле этого поiока внутри заданной
поверхности не должно иметь источников (должно быть соленоидально).
Действительно, интеграл в левой части равенства (71) должен
обращаться в нуль для сколь угодно малого объема, а отсюда следует, что
подинтегральная функции равна нулю. Как непосредственное следствие
из (71) получается также и обратная теорема: в соленоидальном
векторном поле поток сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю.
Применив эту теорему к трубке тока, мы придем к свойству соленой-
дального векторного поля, указанному в § 7; при доказательстве
последнего предложения надо помнить, что ко понента потока вектора
по нормали к стенке трубки тока равна нулю; поэтому при
вычислении интеграла по поверхности принимаются во внимание только
поперечные сечения Sr и 6'2.
Поток вектора \ \ AndS в правой части равенства (71) можно
рассматривать как „число" единичных трубок, пронизывающих поверхность.
Таким образом из пространства, ограниченного поверхностью 6\
выходит больше трубок, чем в него входит, если внутри этого пространства
divA>0; если же внутри этого " пространства divA<0, то имеет
место обратное явление. Отсюда и происходит название .дивергенция*,
что в переводе на русский язык означает расхождение.
Если поток не соленоидален, то масса жидкости, вытекающая из
поверхности 5, должна превосходить массу жидкости, втекающую в эту
поверхность, или, наоборот, масса жидкости, втекающая в
поверхность S, должна превосходить массу, вытекающую из этой поверхности.
В первом случае жидкость внутри поверхности расширяется, а во
втором — сжимается.
Обозначим через dnt — pdt элемент* массы, соответствующий
элементу объема di, и пусть при этом плотность р меняется как во
времени, так и в пространстве. Вся масса, заключающаяся внутри
поверхности S, в некоторый момент времени t выразится интегралом
«=f^pAf (7?)
j %j *j ■'
распространенным на весь объем, ограниченный поверхностью S.
Приращение этой массы за единицу времени равно массе жидкости,
втекающей в поверхность за это время. С другой стороны, масса жидкости,
протекающая за единицу времени vKB03b единицу поверхности, равна
плотности р, умноженной на нормальную компоненту скорости Ап.
Таким образом \ Г Г Г Г Г
*=?Hr4W* <73>

§ 8 Теорема Гаусса 35
В этих интегралах поверхность 5 не зависит от времени t% а потому
диференцирование можно произвести под знаком интеграла. Заменим
кроме того на основании теоремы Гаусса интеграл по поверхности
интегралом по объему. В результате мы получим:
jjj"{|- + div(pA) jrfr = 0. (74)
Гак как это равенство сохраняет силу для сколь угодно малых
объемов, то ч0
g- + div(pA) = 0. (75)
Мы получили так называемое уравнение сплошности (непрерывности).
На основании (58) мы его можем переписать в следующем виде:
J + AVP + pdivA = 0. (76)
- Операция — -}-AVHMeeT вполне определенное физическое значе-
ние. Если мы при изучении векторного поля обратим наше внимание не
на точки пространства, в котором находится наше поле, а на
материальные частицы поля, перемещающиеся со скоростью А, то координаты этой
точки будут функциями от /, и полный диференциал любой диференци-
руемой функции f(x, у, z, t) этой подвижной точки выразится так;
й^Ц-а + У-йх + ^-йу + Цйг.
Ы * Ъх * Ьу * Ъг
Но ,
dx dy dz __
dl~A*' Tt~A>' dt'—A*
а потому полная производная функция f(x, у, г, i) no t равна:
l-J+AW. ■ (74
Таким образом операция — + AV Дает нам изменение функции
at
f(x, у, z, t) за единицу времени, при условии, что через х, у, z
обозначены координаты точки, передвигающейся со скоростью А. При
таком обозначении равенство (76) можно записать в следующей форме:
§+pdfvA —0. (76')
at
Проследим за движением частицы жидкости массы т и объема v,
m=zpv. Так как масса при движении частицы остается неизменной, то
dm dv , </р 1 dv 1 dv
~~dt~pd}7^Vdct y'SF~ — ~v'dt'
3*

36 * ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
Равенство (76f) можно теперь переписать так:
1 dv
— •-r = divA,
v dt
что вполне согласуется со смыслом формулы (55), из которой мы
исходили при определении дивергенции.
При изучении потоков жидкости оказалось необходимым притти
к представлению о том, что в некоторых вполне определенных точках
пространства жидкость все время производится, между тем как в
других точках она уничтожается. Первые точки называются источниками,
а вторые — стоками. Количество источников и стоков может быть
конечным и бесконечным; они могут также непрерывно заполнять какую-
либо часть пространства. Под мощностью е источников (или стоков)
мы понимаем отнесенное к единице пространства и времени количество
(положительное или отрицательное) жидкости, произведенное этими
источниками. Мощность зависит, таким образом, от всех координат
х> у, Zj t. Если при выводе (73) принимать в расчет имеющиеся в
жидкости источники, то к правой части равенства надо прибавить всю
производительность источников Q=l\\^T. При этом формула (75)ч
перейдет в следующую:
|. + dlv(pA)=«. ч(75')
Если р не зависит от времени, то div(pA) можно интерпретировать как
производительность источников.
§ 9. Многомерные пространства. Точки трехмерного пространства
мы характеризуем тремя координатами х,у,г. Обратно, каждой
совокупности трех действительных чисел можно поставить в соответствие
точку трехмерного пространства. Каждую систему значений
можно по аналогии рассматривать как „точку" /z-мерного пространства.
Нетрудно перенести на это я-мерное пространство некоторые основные
понятия геометрии.
Совокупность точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
tf(xv лг2, ...,хп) = с,
где с — некоторая постоянная, называется гиперповерхностью, а п
уравнений
*i =Л ('). WiW хп =/пС).
где t — переменная, представляют кривую в /г-мерном пространстве.
Расстояние г от точки xv дг2, .*.ухп до начала координат определяется
равенством:
направляющие же косинусы прямой, соединяющей эту точку с началом
координат, задаются равенствами:
COS(ryXx)ai^9 COS(r,*2) = -2, ..., COS(r,Ag = -^.

§ 9 Многомерные пространства 37
Косинусы эти связаны соотношением:
cos2 (г, хг) -f cos2 (г, х2) -|-... + cos2 (г, хп) = 1.
Расстояние г между точками лг2, *2, ..., хп и л^, x'v ..., хп
определяется равенством:
Мы говорим также о векторе в я-мерном пространстве:
A=^*i> ^xi> • • • » ^д:я •
Абсолютная величина (длина) |А| этого вектора определяется
равенством :
|a|«-4L+^+...+^.
Аналогично обобщаются градиент \/<fi
0^2 о«^2 "'Уд
дивергенция
и другие понятия векторного исчисления.
Функция точки /(Хр jc2, . •. , лг„), определенная в л-мерном
пространстве, называется непрерывной в точке Р с координатами х}, х2, ... , хп>
если абсолютная величина разности |/(Р')—/(Р)| оказывается меньше
любого заранее заданного положительного числа е, как только
расстояние между точками Р и Pf выбрано меньше положительного числа 5,
зависящего от s. Функция f(xv хг, ..., хп)=/(Р) называется дифе-
ренцируемой в точке Я, если можно найти п постоянных С1э С2, ... , Сп
таких, что для всех достаточно малых значений hv А2, ... , hn имеет
место равенство:
/(*l + *li *1+*2. ••• » *« + A«)=/(*l> *2> ••• . ^) +
+ СЛ + С2А2+...+СЛ + еЛ + ^2 + ...+«А-
Все s¥ в этом равенстве зависят от А,, А2, ... , Ая и вместе с ними
становятся сколь угодно малыми. Легко видеть, что такая функция имеет
частные производные по xv xv ... , лгя, причем
V = cv -£=cif..., ^-cr
Обратно, если функция / имеет непрерывные частные производные
первого порядка, то она диференцируема в вышеуказанном смысле.

38 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
§ 10. Поток тепла и электричества. Рассмотрим поток несжимаемой
жидкости. Обозначим через С==рА вектор, равный произведению
скаляра р и вектора А, значение которых было определено в § 8. Вектор С
представляет поток жидкости, которая протекает в течение единицы
времени через единицу площади поперечного сечения, нормального
к направлению потока. Мы будем называть этот вектор плотностью
потока. Скорость теплового потока или элект ического тока нельзя
определить непосредственно, как это делают в потоке жидкости; однако
определенное только что понятие плотности потока С можно
распространить и на тепловой и на электрический потоки. Плотность потока —
это вектор, абсолютная величина которого равна количеству потока,
пронизывающему за единицу времени единицу площади поперечного сечения,
нормального к потоку, а направление совпадает с направлением потока.
Таким образом на*основании (71) все количество потока, вытекающее в
течение единицы времени из произвольной замкнутой поверхности, равно:
JJ<VS=-JJJdi*c*.
Для электрического тока мы получим отсюда равенство, аналогичное (75):
^ + divC = 0, (78)
где через р обозначена так называемая объемная плотность заряда.
При передаче ^пла какому-либо телу происходит, как известно,
повышение температуры этого тела, которое, как показали опыты,
пропорционально количеству затраченной теплоты. Если мы температуру
обозначим через <р, количество тепла, вызвавшее повышение
температуры,— через Q и массу тела — через т, то мы будем иметь:
dQ — cmdy;
с в этом равенстве означает удельную теплоту вещества испытуемого
тела. Равенство (73) переходит при этом в следующее:
а равенство (78) принимает вид:
cp^f-f-divC = 0. (Щ
Фурье (Fourier) установил (1822 г.) для потоков тепла закон,
который по своему математическому оформлению совершенно совпадает
с законом, полученным для электрического тока Омом (Ohm, 1827 г.).
Эти законы утверждают, что плотности потоков теплоты и
электричества соответственно пропорциональны градиентам температуры и
электрического потенциала. Таким образом для теплового потока
С=> — xgradcp, (81)
где % представляет физическую постоянную вещества, называемую тепло-

I § 11 Обобщенные координаты. Принцип Гамильтона 39
проводностью. Это равенство (81) остается в силе и для того случая,
когда С означает плотность электрического тока, а ср — его потенциал
[см. § 15,(149)]. Тогда % есть электропроводность. Пользуясь формулой
(81), можно (80) переписать в следующем виде:
ср J = div(xgrad<p). (82)
При х постоянном это равенство переходит в диференциальное уравнение:
'Р§ = *Д<Р- (83)
Мы пришли к уравнению теплопроводности Фурье. В случае
стационарного, т. е. не зависящего от времени, теплового потока это
уравнение переходит в уравнение Лапласа. Если существуют источники
тепла, то в правой части уравнения (83) надо прибавить член е
(полную мощность). Чтобы получить соответствующее уравнение для
электрического тока, необходимо выяснить связь, существующую между
плотностью потока р и электрическим потенциалом <р. Мы вернемся к этому
вопросу в главе V. Как мы увидим, р и <р не пропорциональны лруг другу.
§ П. Обобщенные координаты. Принцип Гамильтона, а) Согласно
второму закону движения Ньютона сила, действующая на материальную
точку, равна массе этой точки, умноженной на ее ускорение. При этом
масса представляет собою особого рода скалярную величину, а сила и
ускорение являются векторами. Ускорение определяется тремя компонентами:
или равенством:
d2x _d2y _d*z
х*~ dt2 ' у~ dt*y *~dt* ( '
А Л»1
где г означает радиус-вектор точки. Аналогично этому первые
производные по времени от координат Л:, у, z точки являются компонентами
скорости.
Рассмотрим движение системы конечного числа точек, ограниченное
наложенными на систему связями. Аналитически это ограничение
означает, что координаты точек этой системы связаны некоторым конечным
числом уравнений. В таком случае целесообразно, следуя Лагранжу
(Lagrange), ввести так называемые обобщенные координаты. Под обобщенными
координатами мы понимаем некоторую совокупность независимых
параметров qv q2y ... , Qn* с помощью которых можно в любой момент t
определить положение всей системы точек. О такой системе говорят,
что она обладает п степенями свободы. Производные по времени от
§тих параметров ^=-~^ мы называем обобщенными скоростями*
iff

40 ДиФЕРЕ«ЦИАЛЬНЫБ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. t
Кинетическую энергию системы Т мы определяем как произведение
массы на квадрат скорости, просуммированное по всем точкам системы:
ЧЕ'
j «Л (85)
Пусть
являются обыкновенными прямоугольными координатами каждой точки,
выраженными в зависимости от обобщенных координат; тогда
(86)
Мы можем, таким образом, скорость в обычном смысле этого слова
выразить линейно через обобщенные скорости. Подставив полученные
значения —2, ~, ~j в формулу (85), мы после соответствующих
преобразований найдем для Т следующее выражение:
п п
t==tI]S^«' (87)
т, е. кинетическая энергия Т представляет собою однородную
квадратичную форму от скоростей q'v qv ... , qn% Коэфициенты QK,V=QV|4
являются функциями координат qv q2, ... , qn.
Если движение системы происходит таким образом, что изменяется
только одна координата #v, то кинетическая энергия Т сводится
к -x-Q^q'f. Эти псобственные энергии", соответствующие изменению
. координаты q^ дают нам п членов суммы в выражении (87). Если
изменяются только две координаты q и #v (jx^v), то в выражение для Т
1 1
(87), кроме указанной суммы — Q^q'*-\--x- Q^q'l, входит еще член
Q q qH. Этот член называется взаимной энергией; взаимная энергия
обращается в нуль при' обращении в нуль по крайней мере одной
из скоростей q' или q\
П сть <YV, Kv, Zv являются компонентами внешних сил,
действующих на v-ю точку нашей системы, а Ьхы, 5yv, bzH — произвольное
перемещение v-й точки, совместное с наложенными на систему связями. Сумма
распространенная на все точки системы, представляет работу всей системы.

§ 11 Обобщенные координаты. Принцип Гамильтона ч 41
Выразим bx^f 3yv, &zv через bqly iqv ... ,'bqn, полагая:
*-Ё§** *=kf> »-=Ш*»
k—\ k=i Л=1
и введем эти выражения в /?; в результате мы получим:
R^Pfa + Pfa + ... +ЯЛл»
где Pv — некоторые вполне определенные функции от qv qz, ,., , qn.
Их называют обобщенными компонентами сил.
Кроме кинетической энергии в механике и физике изучают еще
и потенциальную энергию,, называемую часто просто потенциалом. Мы
говорим, что внешние силы имеют потенциал Wy если обобщенные
компоненты сил можно представить в форме:
bW
Л = -с- (v-1, %...,п). (88)
b) Все законы механики можно выразить с помощью одной-фор-
мулы, представляющей так называемый принцип Гамильтбна:
к
i^(T— W)dt = 0> (89)
h
Здесь через tQ обозначен начальный, а через t^—конечный момент
действительного движения. Символ Ь имее* здесь тот же смысл, что
и в вариационном исчислении. Он означает следующее: положим, что
действительные траектории всех точек нам известны, т. е. что
обобщенные координаты даны как функции от времени:
tfi = «МО. ' ?i = ?i(0...m ?„=<?«('),
л' — аЪ a' — 'th. „'— *& Po<'<*i). (90)
Ч^~ЧГ% q*~ dt ••••' q»~ dt
В таком случае можно для любого момента t вычислить кинетическую
и потенциальную энергии и проинтегрировать по t разность между
этими энергиями. Подвергнем теперь наше движение бесконечно малому
изменению; заменим с этой целью функцию ср, через <pv + fyv, где iq4
получается путем умножения некоторых произвольных функций от t
на малую постоянную е. К этому надо еще добавить, что как пределы
интеграции, т. е. начальный и конечный моменты, так и значения
отдельных координат в эти моменты должны при рассматриваемой
вариации движения оставаться неизменными.; таким образом функции iq4
при t=*t0 и при t = t^ обращаются в нуль. Символом 8, поставленным
перед знаком интеграла от функции Т— W, мы обозначаем изменение
интеграла, соотретствующее вышеуказанному изменению движения. Это

42 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
изменение интеграла зависит от е (зависимость, существующая между
этим изменением и произвольными функциями qvi нас сейчас не
интересует) и, вообще говоря, неограниченно убывает вместе се. Равенство(89)
равносильно утверждению, что члены первого порядка относительно е
в выражении этого интеграла обращаются в нуль.
Чтобы упростить задачу, рассмотрим одну только материальную
точку. Пусть масса ее равна /я, а прямоугольные координаты ее суть
х,у, z. Квадрат ее скорости равен:
а потому
Т
Положим далее, что потенциал W существует и не зависит от
времени. Принцип Гамильтона утверждает в таком случае, что
* \{ f <** +У*+ z^ — W \ dt * °- №
В вариационном исчислении доказывается, что результат вычислений
не зависит от того, будем ли ьмы сначала интегрировать функцию,
а потом применять к ней .операцию i или же проделаем эти две
операции в обратном порядке, а потому:
J { m (x'ix' + УV + г'3*') — *W}dt= 0. (93)
'о
Легко далее показать, что если операции Ь и диференцирование по
времени t поменять местами, то и от этого результат вычислений не
изменится, т. е.
Проинтегрировав
dt dt
xf 37 Ьх dt
at
по частям, мы получим:
jv|l**-*l*|^]»**£<«. (95)
to to
При этом член jtixl** обращается в нуль, так как Ьх на границах (при
£=г^ и fssefj) обращается ц нуль. Аналогичным преобразованиям мы

§11 Обобщенные координаты. Принцип Гамильтона 43
подвергнем также и два других члена в равенстве (92). Так как
потенциальная энергия W от времени не зависит, тс
•*-£*+**+£»•
и, следовательно,
%
В этом выражении ix, 8y, bz— три произвольные функции от £, а
потому все три выражения в круглых скобках должны обратиться в нуль.
Отсюда следует, что
d*x iW d*y iW <Pz W
mW~~Tx> тЪ*—1Гу> mlf* = -Tz- <98)
Согласно определению, частные производные от W, взятые с обратным
знаком, равны компонентам по осям действующей силы; и, следовательно,
в рассмотренном частном случае мы получили уравнения движения
Ньютона как следствие из принципа Гами.ьтона.
Переедем теперь к движению системы» состоящей из произвольного,
но конечного числа материальных точек, фведем, как и раньше, п неза*
висимых между собой обобщенных- координат qv q2, ..., qn. Число л
этих координат должно соответствовать числу степеней свободы нашей
системы. Будем и в этом случае считать, что потенциальная энергия W
не зависит от времени tf т. е. что она является функцией только
обобщенных координат qr
Тогда:
Кинетическая энергия Т зависит как от координат qH% так и от
скоростей q^ т. е.
Уравнение Гамильтона можно теперь переписать в следующем виде:
fir
\Ч
is
^+($Г~^~)Мл=и0 (v=1'2 л)- (100)
Как и раньше, мы имеем:
Ч-«$-*«*- Щ1

44 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
При интегрировании по частям член, не содержащий знака интеграла,
в данном случае обращается в нуль. Таким образом
Отсюда следует (так как bqn являются произвольными функциями):
d (ЪТ\ ЪТ W _
(103)
Мы получили уравнения движения Лагранжа. В рассмотренном"
ЪТ
раньше примере (вывод уравнений движения Ньютона) член — отсут-
ЪТ
ствует. Функцию /^= —, называют обобщенными компонентами импульса
движения.
§ 12. Диференциальные уравнения гидродинамики и акустики.
Рассмотрим движения жидкости в прямоугольном параллелепипеде, ребра
которого параллельны осям координат; пусть координаты одной из его
вершин (ближайшей к началу координат) суть х> у, г, координаты
противоположной вершины суть >x-\-dx, V-^-dy, z-\-dz. Плотность
жидкости обозначим через р и будем считать, что она зависит от
координат х, у, z и от времени t. На нашу жидкость действуют, во-
первых, силы поля (например поля притяжения земли), а во-вторых,
давления, имеющие место в жидкости. Сила поля пропорциональна массе,
и поле может быть определено вектор-функцией F, равной силе,
действующей на единицу массы в точках х, уу z. Силы давления,
действующие на гранях параллелепипеда, перпендикулярны к этим граням.
Рассмотрим сначала грань, перпендикулярную оси Ох, все точки
которой имеют абсциссу х На единицу площади этой грани действует
давление р, направление которого совпадает с положительным
направлением на оси Ох. Давление на всю грань равно pdydz. Давление
на единицу площади противоположной грани равно p-{-^-dx и напра-
дХ
влено в сторону отрицательных дг-ов. Таким образом результирующая
обоих давлений, отсчитываемая в сторону положительных л:-ов, равна
——-dxdydz. В сумме с компонентой Fxp dxdydz вектор-функции F
оХ
поля эта результирующая давления представляет всю силу, действующую
на массу жидкости в направлении оси Ох, Но сила равна произведению
массы на ускорение, а ускорение представляет собою изменение
скорости некоторой частицы жидкости, отнесенное к единице времени.
Поэтому, если обозначить через v вектор-скорость жидкости, то в силу
равенства (77) мы будем иметь:
pdxdydz№- + vSJv) =Fxdxdyde—^ dxdydz. (104)

§ 12 ДИФЕРЁНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ И АКУСТИКИ 4$
Для двух других компонент имеют место аналогичные равенства. Эти
три равенства можно объединить следующим векторным равенством:
^ + vVv=F--~gradp. (103)
t
Если это равенство записать в раскрытом виде, то получится:
Ъъ~ , ivx , Ъ?х . й*> 1 Ър
(106)
<rf ^ *d*^ >Ъу^ *Ъг ГУ ? Ъу
Мы пришли к эйлеровым уравнениям движения жидкости. Наряду
с уравнениями (105) нам надо иметь в виду уравнение непрерывности
(76). Заменив в этом последнем А через v, мы получим:
^- + vVp + pdivv = 0. (107)
О* ч
Таким образом для определения четырех неизвестных vx, xy, vt и р
мы получили четыре уравнения. Отсюда следует, что в случае
равновесия (v = 0) внешние силы и силы давления связаны соотношениями:
- F = — gradp
Р
(р не зависит от времени).
Член vVv B равенстве (105) содержит произведения компонент v
и соответствующих частных производных. Уравнение (105), а
следовательно, и система (106) значительно упрощаются, если положить, что
скорости и их производные столь малы, что их произведениями можно
пренебречь как бесконечно малыми второго порядка. Мы перейдем
сейчас к рассмотрению нескольких примеров, в которых такое
предположение имеет физическое обоснование.
а) Первым таким примером является распространение звука.
Если опустить здесь произведение v\7v, то получится:
%=*—jp**p- (108)
Изменение плотности воздуха при распространении звука настолько
незначительно, что можно положить
где р0 — постоянная (плотность при равновесии), а $ — очень малая
величина [она совпадает с сжатием, о котором говорилось в § 6, Ь],

46 ДиФЕРБНЦИАЛЬНЫЁ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
Взяв логарифмическую производную от обеих частей равенства (109),
мы получим для s следующее приближенное значение:
Это равенство в соединении с формулой (107), в которой тоже
опущен второй член, дает нам:
— ~=diw. (ill)
Обозначим через q смещение^частицы воздуха, так что тогда
уравнение (108) перейдет в следующее:
gW-lgrad/;, (112)
а уравнение непрерывности примет вид:
Если q имеет непрерывные частные производные по t и rio/^tytz9
da
то, вместо того, чтобы брать дивергенцию от ~-=, можно диференциро-
вать по t дивергенцию от q. Приняв таким образом порядок операций,
мы получим:
~ —= —divq.
dt Ы
При соответствующих начальных условиях для t = tQ находим отсюда,
что
s = — divq. (113)
Воспользуемся теперь физической связью между давлением и
сжатием. Для небольших значений сжатия р -=/?0-f-is, где р0 —
постоянная (давление до деформации), а т представляет собою так называемый
козфициент упругости воздуха. Таким образом
grad/?=*Tgrads.
Взяв дивергенцию от обеих частей равенства (112), мы получим:
Ь2 х
— div q = div F div grad s,
Ы* p
или на основании (113):
^ = *2A*--divF (el™f)- (U4)
Это диференциальное уравнение называют (неоднородным) волнозым

§ 12 ДиФЕРЁНЦИАЛЬЙЫЁ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ Й АкУСТЙКЙ '* 4?
уравнением. При отсутствии внешних сил диференадальное уравнение
распространения звука принимает вид:
g-а'Д. (fl2 = 7)' (И5)
Сжатие удовлетворяет, таким образом, (однородному) волновому
уравнению. Точки, в которых divF не равна нулю, называются
источниками звука.
Если поле скоростей v безвихревое, т. е. если существует
потенциал скорости <р, для которого
аЯ А
то движение жидкости называется безвихревым.
В этом случае, при постоянном р, из (108) следует:
'-«-(т'+5)
Безвихревое движение может, таким образом, иметь место только
в безвихревом силовом поле. Обозначим функцию, стоящую в скобках,
через — V. Тогда
F = — gradl/.
Далее, в этом случае имеем:
Jtf =_ a7divq~ — divgradcp= — Д<р
a/ ^ p 'It + a*2 — p ' ы +a/2'
Следовательно, мы приходим к уравнению:
g—»Д»-£. (П5')
Добавочный член — — можно здесь рассматривать как плотность источ-
ников; потенциал скорости удовлетворяет, таким образом, тему же ди-
ференциальному уравнению, что и сжатие.
Диференциальное уравнение распространения звука отливается от
уравнения теплопроводности тем, что в него вместо производной
первого порядка по времени входит производная второго порядка. При
этом источник звука вполне соответствует источнику тепла. При
решении тех же задач для одномерного или двумерного пространства
оператор Лапласа Д надо заменить соответственно через
Ъ* д2 , У
^ или 5^ + у.

48
ДйФЕРЁНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Гл. I
Наиболее простым частным случаем является распространение звука
в одном измерении (линейное распространение звука):
ди Ьр 35 Ь2и
Равенство (112) принимает тогда вид:
так что в этом случае само смещение удовлетворяет волновому
уравнению. Если F = 0, то можно непосредственно убедиться, что
* Ух
удовлетворяет тому же диференциальному уравнению: для этого достаточно
изменить порядок диференцирования по л: и по /. Факт этот вполне
согласуется с формулой (115).
Ь) Рассмотрим теперь
движение натянутой
упругой струны или
мембраны. В обоих случаях
сила тяжести, столь
незначительна по сравнению с
силой натяжения, что ею
можно пренебречь. Мы
будем предполагать силу
натяжения постоянной и
будем рассматривать
только небольшие отклонения
от положения равновесия.
Предположим, что струна в положении равновесия совпадает с осью Ох.
Пусть плотность струны равняется р, так ч-го дуге ds соответствует
масса pds. Мы будем исследовать только такие смещения у, для кото-
dy
рых квадратами у и ~- можно пренебречь. При таком приближении
Черт. 14.
*-"[* + (Щ'*°<*
. a dy Ъу
ds Ьх
где через 6 обозначен угол между касательной и осью Ох (черт, 14).
Пусть на единицу длины струны действует поперечная сила У. В левом
конце дуги ds действует компонента .натяжения по оси Оу:

§ 12 ДиФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ Й АКУСТИКИ 49
направленная вниз, а на правом конце той же дуги действует
компонента напряжения по той же оси:
*-<е+Д)=т(£+Л$)
д2у
направленная вверх. Разность обеих компонент, т. е. zdx —-,
сложение *
Ъ2у
ная с силой Ydx, равна произведению массы pdx и ускорения ~2 .
Отсюда после деления на dx получаем:
*У Ь*У iv /net
При сделанных предположениях смещение струны удовлетворяет тому
же диференциальному уравнению, что и распространение звука вдоль
прямой (в одномерном пространстве). Точка, в которой Y не
обращается тождественно в нуль, называется и здесь источником.
Аналогичным исследованиям можно подвергнуть также и
поперечные колебания мембраны. Рассмотрим разрез вдоль какой-либо кривой
ьа мембране. Чтобы удержать края разреза, надо к каждому элементу края
приложить силу, действующую по
нормали к кривой, направленную к
противоположному краю. Эту силу, отнесенную
к единице длины кривой, мы будем
называть натяжением мембраны и
обозначать через т. За положение равновесия
мембраны мы принимаем плоскость ху.
Рассмотрим теперь деформированную Черт. 15.
поверхность z в окрестности какой-либо
точки. Для упрощения вычислений перенесем начало координат в
рассматриваемую точку, так чго для этой точки л;=д/ = 0.
В окрестности этой точки, с точностью до бесконечно малыдс
третьего порядка, мы имеем:
*=ао+ *1*+Ь1У + а2х* + 2 ^2ху+с2уК
Введем полярные координаты
A- = fcoscp, ys=rsinif,
тогда
z = aQ -f- r {аг cos ф -f- Ьг sin <р) -f- т*\а% c<>s2 <р -f~ 2й2 cos <р sin <р -j" c% sin* <р),
и, следовательно
bz
~- = tg 6 = а2 cos <р + Ьг sin <р -J- 2r (a2 cos2 <р -[- 2b2 cos cp sin <р -J- c2 sin2 cp).
Здесь можно рассматривать 6 как угол между направлением
касательной поперечного сечения <р = const нашей поверхности и
координатной плоскостью ху (черт. 15). Мы вычисляем компоненты натяжения
по краю окружности, центр которой находится в начале координат,
4 Вебстер.

50 ДИФЕРЁНЦИАЛЬНЫЁ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл, I
а радиус г достаточно мал. На каждый краевой элемент вследствие
натяжения действует сила
xds sin 6 =s: xrdy у .
Таким образом все напряжение равно:
2*
Z' = \ тг(аг cos <р -f* *isin Т) ^? *Ь
"о
2я
4~ 2 \ тг2 (а2 cos2 <р -[- 2b2 cos <р sin <р -f- £2 sin2 <р) Жр «
= 27ГТ/2 (в, + ^) = 2^ К + **)■
Через Л здесь обозначена площадь круга. Можно то же переписать
в следующем виде: ,^z -#z\
Следовательно, вертикальная компонента напряжения пропорциональна
двумерному оператору Лапласа £\z (совершенно аналогично
соответствующему одномерному случаю, т. е. натянутой струне). Если кроме
того на единицу площади действует поперечная сила Z, то можно
ZA-\-Zf приравнять произведению а А (и означает здесь поверхностную
плотность) на ускорение. Таким образом мы приходим в общем случае
к уравнению:
(117)
где а означает поверхностную плотность, а т—поверхностное напряжение.
Итак, движение мембраны подчинено тому же диференциальному
уравнению, что и распространение звука в двумерном пространстве.
с) Такими же методами решается и задача о распространении волн
на поверхности воды. Эта задача значительно сложнее ранее
рассмотренных. Она сильно упрощается, если предположить, что, во-первых,
смещения по сравнению с глубиной воды достаточно малы, во-вторых,
угол между касательной плоскостью к поверхности воды и
горизонтально плоскостью тоже достаточно мал. Эти условия имеют место,
например, в случае приливов в океанах. Мы опять-таки пренебрегаем
членами высших порядков в уравнении (105). Обозначая здесь
смещение через q и принимая во внимание, что в рассматриваемом случае
Ft =—g (g—ускорение силы тяжести), р = const, мы будем иметь:
р^ эр
р___ = .
ар
+ р/>
-Р&
(118)

§ 13 Уравнения теории упругости 51
Если пренебречь вертикальным ускорением, то
£--р* (,19)
Пусть Р означает давление на поверхности, h — глубину воды в
спокойном состоянии, С — подъем поверхности над ее уровнем в состоянии
покоя. Из уравнения (119) при интегрировании от дна до уровня
поверхности получим:
p = P + pg(h + Z-z). (120)
Таким образом
ър ър . ас ьр ая . ас n01v
При этом Р и С зависят только от х и у. Если мы предположим, что
Fx и F также зависят только от х и у, то и горизонтальное ускорение
частиц будет зависеть тоже только от х_ и у. Вертикальный ряд частиц
во время движения останется неизменно вертикальным. Поэтому мы
можем ограничиться рассмотрением движения только на поверхности
воды. В силу (118) мы здесь имеем:
Так как жидкость несжимаема, то уравнение сплошности дает нам
(122)
1у зависят только от х и у, а потому
С=
==-К^)-=-Ч^+1)- <•*
Продиференцировав (122) по х и j/ и просуммировав, мы получим:
= P^AC + A(A^-pdivF). (124)
Это уравнение аналогично уравнению распространения звука в
двумерном пространстве и уравнению колебания мембраны. Точка, в которой
выражение /\P-\-pdivF не равно нулю, играет здесь роль источника.
§ 13. Уравнения теории упругости. Силы упругости, которые
появляется в твердом теле при взаимном перемещении его частиц, гораздо
сложнее сил, действующих в жидкости, так как силы, действующие
на элементы поверхности, разделяющей твердое тело на две части
4*

52 s* ДИФЕРЕКЦИАЛЬНЫЁ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. !
обычно не совпадают с нормалью к этому элементу, между тем как
в жидкости давление нормально поверхности раздела. — Упругие силы
характеризуются так называемыми
напряжениями. Состояние
напряжения известно, если известны упругие
силы, действующие на любой элемент
поверхности dS. Обозначим
равнодействующую упругих сил,
действующих на элемент dS, через PdS,
причем „вектор напряжения" Р зависит
от положения и направления элемента
поверхности dS. Напряжение может
быть характеризовано тем, что
заданы векторы напряжений,
действующие на отдельные стороны
бесконечно малого прямоугольного
параллелепипеда, оси которого параллельны
осям координат (черт. 16).
наименьшими координатами есть х, у, z%
Черт. 16.
Пусть вершина с
а координаты противоположной вершины:
x-\-dxy y-{-dy, z-\-dz.
Обозначим вектор напряжения, действующий на грань,
перпендикулярную оси Ох, все точки которой имеют абсциссу дг, через А; векторы
напряжений, действующие на грани, перпендикулярные осям Оу и Oz%
обозначим соответственно через В и С. *
Тогда компоненты
Ах> у
А.
Вх, Ву,
в.
Су С,
вполне характеризуют состояние напряжения. Если предположить, что
наш параллелепипед не подвергается вращению, то, как легко показать,
:^> ^je===^g> **y'
в
х>
(125)
и, таким образом, остаются только шесть независимых компонент.
Компоненты Ах, В' Cg называются нормальными напряжениями, остальные
три компоненты — касательными напряжениями. В идеальной жидкости
последние три компоненты равны нулю.
Если компоненты напряжения в какой-либо области постоянны и
для этой области выполняется условие (125), то с помощью
соответствующего поворота координатных осей можно получить наиболее
простое выражение для напряжений. Именно, всегда с помощью поворота
осей (29) можно касательные напряжения свести к* нулю, так чтобы
в новой системе координат имели место только нормальные напряже-*
ния. Оси этой новой системы координат, т. е. направления, для
которых касательные напряжения обращаются в нуль, называются главными
осями напряжения. Определение этих осей получается из расчетов,
совершенно аналогичных тем, которые мы привели в § 6 при опреде-

§13
Уравнения теории упругости
53
лении осей растяжения. Если мы, как и в § 5, обозначим через а„, pv,
yv (v = l, 2, 3) направляющие косинусы новых координатных осей, то
соответствующие векторы напряжений будут равны:
Обозначим через a|t o2, а3 абсолютную величину нормальных
напряжений. Для того чтобы касательные напряжения обращались в нуль,
необходимо, чтобы выполнялись равенства:
ТА —aA + PA + T»c«* J
Отсюда следует, что числа в,, о2, о3 должны удовлетворять уравнению:
(V-1,2,3).
Ах — «.
5,
Bj, — е.
я, <V
= 0.
vf*,
Корни этого уравнения в силу
равенства (125) должны быть
действительны.
Для получения основных
уравнений теории упругости найдем
равнодействующую всех сил, действующих в
направлении оси Ох на определенный
выше параллелепипед. На грань,
перпендикулярную оси Ох, все точки которой имеют абсциссу х (черт. 17),
действует сила Axdydz, а на противоположную eft грань действует
в противоположном направлении сила
[A*+*-bdx)dydz-
Равнодействующая обеих сил равна
—x-dxdydz.
оХ <
На грань, перпендикулярную оси Оу, все точки которой имеют
координату у, действует сила
Bxdzdx==A dzdXy
а на противоположную ей грань действует в противоположном
направлении сила
[\+^dy)dzdx>
равнодействующая этих сил равна
4У
dxdydz.

54 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
Наконец, равнодействующая сил, действующих на две оставшиеся грани,
перпендикулярные оси Ог, равна
Таким образом в результате всех напряжений, имеющих место в
параллелепипеде, вдоль оси Ох действует сила, равная
div A dxdydz.
К этой силе надо еще добавить, как мы это делали в жидкости,
компоненту внешнего поля по оси Ох, равную pFxdxdydz (р— плотность).
Обозначим, как и раньше* смещение через q. Так как масса нашего
параллелепипеда равна рdxdydz, to
p^ = diVA+p^. (126)
Аналогично этому для остальных двух направлений мы будем иметь:
(126)
p—'^divB + pF,,
*1ш
P-a*r=divc + p/v
Мы будем, по крайней мере для частных случаев, имеющих особо,
важное значение, выражать напряжения с помощью линейных
растяжений sx, s , sz и сдвигов gx% gyy g^ введенных в § 6. Опыт показывает,
что при небольших деформациях шесть компонент напряжения
выражаются линейно через эти шесть величин; получающиеся при этом 36
постоянных коэфициентов называются константами упругости тела.
Для упругих изотропных тел, т.\ е. для тел, упругие свойства
которых одинаковы по всем направлениям, число этих постоянных сводится
к двум. Действительно, предположим, что на рассмотренный ранее
параллелепипед действуют только нормальные напряжения. Опыт
показывает, что такое напряжение вызывает в теле, с одной стороны,
растяжение, пропорциональное напряжению и совпадающее с ним по своему
направлению, а с другой стороны, — боковое сжатие, также
пропорциональное напряжению. Эти два нормальные (направленные в
противоположные стороны) напряжения Ах, действующие на грани
параллелепипеда, перпендикулярные оси Ох, вызывают таким образом линейное
растяжение sx = aAx, направленное по оси Ох; одновременно
происходит также сжатие в направлении осей Оуи Oz, величина которого равна
*, = *. = — ЪАх>
а и b в этих выражениях для sx> s , $8 означают две константы

§ 13
Уравнения теории упругости
55
упругости. Рассмотрение двух других нррмальных напряжений
приводит нас к уравнениям:
sx^aAx-b(By+C2), \
sy = aBy — b(Cz + Ax), \ . (127)
St = aC,-b(Ax+By). J
Для объемной деформации мы отсюда получаем:
а = div q — sK -f sy + st=\a — 2b) (Ax + By -f Сг).
('28)
Перейдем теперь к изучению результатов действия касательных
напряжений. Пусть требуется данный куэ деформировать, не изменяя его
объема так, чтобы всякая плоскость, параллельная координатной
плоскости xzy сдвинулась в направлении оси Олг, причем величина этого
сдвига должна быть пропорциональна расстоянию этой плоскости от
плоскости xz, т. е.
дх = 2вг> Я>*=9, = 0. (129)
Грань куба, лежащая в плоскости хуу деформируется при этом в
ромб (черт. 18), а прямой угол этой грани уменьшается на величину,
тангенс которой (а для малых деформаций
и сама величина) равен
Ъу
2*
Такое изменение представляет срез угла на
2g; он является результатом действующих
на противоположные грани параллелепипеда Черт. 18.
касательных напряжений, имеющих
противоположное направление и равных Вх—Т\ где Г, как показывает опыт,
пропорционально углу 2g:
2g\L^T. (130)
Коэфициент пропорциональности ji, входящий в эту формулу,
называется модулем кручения. (В идеальных жидкостях }i = 0; сдвиг здесь
возможен без напряжений.) Нашей ближайшей задачей является свести
модуль р. к ранее введенным двум постоянным а и Ъ.
При рассмотренном только что сдвиге диагональ квадрата
переходит в диагональ ромба. Повернув ее на угол g=gx в
противоположном направлении, мы заставим ее принять первоначальное положение.
При этом к компонентам смещения (129) добавятсЖ^це величины — gzy,
gjc, 0, и таким образом деформацию в окончательном виде можно
будет характеризовать равенствами:
Ях=ёгУ> Чу — gJ^ ?*=^°-
(131)
При щЬц квадрат ОАСВ перейдет в ромб О А'С В1 (черт, 19), Диаго*

56 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. 1
нали АВ и ОС сохраняют свое направление и м гут быть приняты
за оси чистого растяжения. В качестве третьей оси служит ось Qz*
Растяжение в направлении QC> как это следует из черт. 19, равно:
ОС' — ОС_СС *СС _
ОС ~ОС = АС~ Sgm
Растяжение в направлении ОЕ, перпендикулярном только что
рассмотренному, равно:
OEf — OE_ ЕЕ'_ ЕЕ"
ОЕ ~ ~ОЕ~ АЕ~ g*
Тот же результат можно получить с помощью вычислений по методу
указанному в § 6.
Черт. 19. Черт. 20.
Итак, сдвиг можно рассматривать как растяжение вдоль
соответствующим образом выбранной оси, сопровождающееся сжатием
(отрицательным растяжением) вдоль оси, перпендикулярной к этой первой
оси. (Вдоль третьей оси, перпендикулярной двум выбранным, никаких
растяжений или сжатий не происходит.) Следовательно, сдвиг может быть
вызван нормальным .напряжением, в одном направлении действующим
как растягивающая сила Р, а в другом:—как сжимающая сила — Р.
Если мы обозначим выбранные нами оси через Ох9 и Оу\ то на
основании (127) мы будем иметь:
sx=aP-b(-P) = (a+b)P=g2, \
sy,=a(-P)-bP=^(a + b)P=-g,.f Xl62)
Свяжем теперь нормальное напряжение Р с вышеупомянутым
касательным напряжением Т. Для этой цели мы установим условия
равновесия для треугольной призмы, высота которой равна единице, а
основанием служит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC со
сторонами, равными также единице (черт. 20).

§ 13
Уравнения теории упругости
57
Касательное напряжение 7= 2\xgZrдействует вдоль сторон ВС и АС;
оно уравновешивается нормальным напряжением Я, действующим
перпендикулярно к АВ. Компоненты в направлении обеих сил равны:
27* —
С другой сторона, сила Р действует на поверхность, площадь которой
р.вна /2, так что pV2 = V2.2,g2,
и, следовательно, на основании (132):
^—+».
Это искомые соотношения между jjl, л, Ь.
Подставим этот результат в формулу (127). Приняв во внимание (128),
мы получим:
А„ Ъ
'2ji'
В..
a—2b
Ъ
*> 2pf a
2b
з,
а.
(133)
8 2jx a —2b
Разрешим наши уравнения относительно Ах> Ву, Ся и введем обозначение
Х =
2цЬ
■2Ь'
В результате получим следующие выражения для формальных напряжений:
^=k + 2jw, = ldirq + 2|i3k',
Сг=Ь4 2m,=»XdIvq + 2n-^£..
(134)
Касательные напряжения в силу формул (130) и (56) равны:
°* * ^ ^ \ dz ~ Ьх
(135)
У * *8* *\ix.^ by) )
Отсюда между прочим следует, что ранее определенные длины 9j, ff2« °»

58 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
главных осей напряжения выражаются через растяжения slf sv sz,
которые мы ввели в § 6, следующим образом:
a, = ia+2jw, (v=l, 2, 3),
и, следовательно, оси напряжения совпадают с осями растяжения.
Формулу (133) [а вместе с тем и (127), из которой она получена] можно
переписать еще и следующим образом:
(133г)
где Е является так называемым модулем упругости Юнга, а ц—коэфи-
циентом поперечного сжатия Пуассона. Их связь с коэфициентами a, b:
\, ji, которыми мы пользовались до сих пор, выражается равенствами,
1 ц(з\4-2ц)л ь \
Esx=
Esy=
Es,=
= ЛХ-
»V
=с,-
-4(*,+ Ct), "J
-ц(Сг+Ах),
-ц{Ах + Ву), J
Далее
X + ji ' ' а 2(Х + ]хГ
**, = <!+Ч)С,= (1+чМ..
(135')
Значение коэфициентов Е и 7) легко выявить из формул (133').
Рассмотрим для этого тот случай, когда единственным действующим на
тело напряжением является Ах. Тогда Е будет равно напряжению,
разделенному на совпадающее с ним по направлению растяжение, а 7]
будет равно отношению бокового сжатия к тому же напряжению.
Преобразуем теперь правую часть первого из основных наших
равенств (126), воспользовавшись для этого равенствами (134) и (135).
Мы получим:
Это уравнение вместе с двумя аналогичными, получающимися круговой
заменой х, у, z, приводит нас к векторному уравнению:
P^ = a + ^)graddivq + jiAq + pF, (136)
В этом уравнении Дя означает вектор, компоненты которого полу*
чаются нз компоненты вектора ц с помощью оператора Лапласа,

§ 13a
Вязкие жидкости
59
Возьмем дивергенцию от обеих частей этого равенства. Так как
сйуД = Д<Ну, то мы при этом получим:
р £ div q = (к + 2|t) Д div q + div (pF). (137)
Объемная деформация удовлетворяет таким образом волновому
уравнению (114). Точки, в которых div(pF) не равна нулю, называются
источниками.
Если взять ротор от обеих частей равенства (136) и принять при
этом во внимание, что rotgrad = 0 и rot Д = Д rot, то мы получим:
P^wtq = nArotq + rot(pF).
(138)
Таким образом ротор (вращение) частиц среды распространяется по тому
же закону, что и дивергенция смещения, с той только разницей, что
постоянная р. заменяется через X-f~ 2pi. ^Уравнения (137) и (138)
соответствуют продольным и поперечным волнам, распространяющимся
с различной скоростью,
§ 13а. Вязкие жидкости. Отличительная черта идеальной жидкости
(жидкости, между частицами которой отсутствует трение) состоит в том,
что все касательные напряжения в такой жидкости равны нулю, т. е.
$1 = 0. В этом случае ротор от q (при отсутствии каких-либо внешних
сил) в силу (138) является линейной функцией от времени, т. е. вихрь
(ротор) не распространяется в жидкости. В действительности в
жидкости, особенно при движении, имеется внутреннее трение, в результате
которого и появляются касательные напряжения. Напряжения в
жидкостях находятся в таком же взаимоотношении со скоростями, в каком
напряжения в твердых телах находятся со смещениями. Таким образом
вектор смещения q из § 13 надо заменить в данном случае вектором
скорости v. Предположим теперь еще, что существует давление —р, не
зависящее от направления элемента поверхности. Принимая во внимание ранее
сказанное, мы можем теперь формулы (134) и (135) переписать так:
Ах = -р + \0 + 2ц?°'
#„ = — /> + to + 2ji
c,=-/>+;o-j-2p
Ьх
w
Тг
О
Ba = Cy=v.
*v,
л С*°
1 dz
т Ьх
При этом ..
a=divv,
а X и р. представляют собою две новые
■)•
Ъу)'
(135')
постоянные (р. есть так назы-

60 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
ваемый коэфициент трения). Введение в формулу (134') члена —р
необходимо, так как такое же равномерное всестороннее давление может
иметь место и при v = 0. Суммируя обе части в равенстве (134'), мы
получим:
Ах + Ву + С3 = -Зр +(31+ 2,1)0.
Если предположить, что вследствие трения не возникает никакого
равномерного объемного расширения и никакого изменения давления (такое
предположение с физической точки зрения вполне приемлемо), то
3X-|-2jx должно быть равным нулю. Подставим значения компонент
векторов А, В, С из формул (13,4f) и (135') в (126), предварительно
помножив обе части в этой последней на р и заменив в ней левую часть на
левую часть первого из уравнений (106). Мы получим:
--l+^A^ + f-^ivv + pF,.
Это равенство совместно с двумя другими аналогичными векторно запи<-
сывается так (ср. § 12):
^ + vVv = F- — (gmdp — цДу — -^graddivvV (106')
ot р У о /
Если скорости невелики, то членом v V v можно пренебречь, подобно
тому, как мы это сделали при изучении распространения звука. Если мы
в дальнейшем проведем тот же ход рассуждений, что и в § 12, введем
дивергенцию и примем во внимание формулу (111), то мы получим
уравнение распространения колебаний в жидкости с учетом внутреннего трения:
*__ЛР + |д.+4.|.^Д* (II*)
Это уравнение аналогично уравнению (114) распространения звука в
идеальной жидкости.
§ 14. Диференциальные уравнения поперечных колебаний стержня.
а) Рассмотрим тело цилиндрической формы, толщина которого ничтожно
мала по сравнению с его длиной (например стержень, проволока). Мы
выведем диференциальное уравнение колебаний такого тела. На эти
колебания мы наложим те йсе ограничения, что и на колебания струны,
т. е. будем предполагать, что смещения и наклоны в каждой точке
тела достаточно малы. Пусть ось Ох совпадает с средней линией стержня;
пусть 'и будет смещением средней точки в направлении оси Оу. Итак,
Ъи
мы предполагаем и и — достаточно малыми.

§14 ДиФЕРЕНЦИАЛЬНЫЁ УРАВНЕНИЙ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ &1
Вычислим условия равновесия куска стержня длины dx.
Действующие силы обозначены на черт. 21. Пусть равнодействующая
перерезывающих сил А , действующих на одном из концов, равна — 7*, тогда
дТ
равнодействующая на другом конце стержня равна Т-\~— dx; к этим
аХ
силам надо еще добавить внешнюю силу Y на единицу длины стержня.
Приравняем нулю сумму всех сил, действующих в направлении оси Оу.
Мы получим:
-T+lT+^dx^ + Vdx^O,
т. е.
Ьх
= — Г.
Если не ставить вопроса о продольных колебаниях стержня (нами он
уже рассмотрен в связи с распространением звука), то можно не рас-
Ydx
'7 Т т+аг
* I 4
[G+dB
Ф
1
dx
Черт. 2J.
-^
Черт. 21а.
сматривать силы, действующей в направлении оси Ох. Момент вращения
сил, действующих на рассматриваемый элемент объема относительно
оси, параллельной оси Огл равен нулю. Записав это, мы получим еще
одно уравнение для определения искомых сил, Пусть момент всех
нормальных сил Axj действующих на один конец, равен — G (черт. 21а),
а момент сил, действующих на другом конце, равен G-\- — dx. Момент
действующей на точку х перерезывающей силы Т относительно оси,
проходящей через эту точку и параллельной оси Oz, равен нулю;
момент относительно той же оси, перерезывающей силы Т-\- dГ,
действующей на другой конец того же элемента стержня, равен (T-\-dT)dx.
Таким образом мы приходим к уравнению:
Ьх
=—Г.
(140)
Диференцируя это уравнение, мы в силу равенства (139) получим:

62 ДиФЕРЕНЦЙАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
Для вычисления момента вращения О рассмотрим кривую j/ = tt,
в которую переходит после деформации средняя линия стержня у = 0.
Положим, что точки, которые
первоначально лежали на нормали к средней
линии у = 0, после деформации
перешли в точки, лежащие на нормали
к кривой у = и. Тогда относительное
смещение точки х, у в направлении
оси Ох окажется равным (черт, 22):
Черт. 22. ?х= — у sin £,
где р — угол между касательной к кривой у = и и осью Ох. При {J
достаточно малом мы имеем приближенно:
qx=-yW=-y*~, (142)
и, следовательно,
Sjc Их У ьх**
Пренебрегая в формулах (133') значениями Ву и Св, мы таким
образом получим для нормального напряжения:
где Е — модуль упругости.
Обозначим через dS элемент поверхности поперечного сечения,
имеющий абсциссу, равную х; на этот элемент действует сила AxdS;
чтобы получить момент вращения этой силы относительно оси Одг, надо
умножить эту силу на у — расстояние ее точки приложения от оси Ох.
Просуммировав этот момент вращения по всем точкам поперечного
сечения, мы получим:
G = -^yAxdS=-E^ysxdS=Eb^^dS. (143)
Интеграл /= \ \y2dS называют моментом инерции рассматриваемой
площади поперечного сечения относительно оси Ох. Итак,
0=£/-. (144)
Подставим полученное выражение для О в формулу (141). Если при
этом / не зависит от х, то мы получим:
£/g= Y. (145)
Мы вывели условие, при котором изогнутый стержень остается
в равновесии под влиянием внешней силы. В случае колебания стержня
в отсутствии внешних сил эти последние в предыдущем рассуждении

§14 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ 63
нужно заменить, согласно принципу Даламбера, силами инерции. Если р
есть плотность стержня, «S—площадь его поперечного сечения, то, при-
нимая во внимание, что ускорение частиц стержня равно -—? , мы получим:
?Sdx^£ = — Ydx. (146)
Определенное нами таким образом значение Y дает возможность
переписать уравнения (145) в следующем виде:
*£ + *£-■ 047)
В правую часть этого уравнения можно ввести источники колебания
подобно тому, как это было сделано в уравнении (116).
Ь) Уравнение поперечных колебаний тонкой пластинки можно
получить с помощью аналогичных рассуждений. Под пластинкой мы
разумеем тело, размеры которого в направлении оси Ог достаточно малы.
Мы предполагаем при этом, что толщина пдастинки, равная 2А,
постоянна и что пластинка в положении равновесия рассекается
плоскостью ху пополам; таким образом уравнения верхней и нижней
поверхностей пластинки будут
соответственно z — ± h. Мы исследуем только \2
незначительные отклонения от
положения равновесия.
Запишем условия равновесия
для элементарной площадки, имеющей
форму прямоугольника. Ее
проекция на плоскость ху представляет
прямоугольник; Координаты одной
из его вершин меньше координат
остальных вершин; их мы и обозна- Черт. 23.
чим через х> у* Координаты
противолежащей вершины этого прямоугольника обозначим через x-\-dx,
У + dy. Равнодействующая касательных напряжений, действующих на
все точки одной из боковых граней, перпендикулярных оси Ох, равна
— Ttdy. Равнодействующая касательных напряжений, действующих на
противоположную грань, равна ( Тг-\- —ldx) dy (черт. 23). Эти две
силы в сумме дают —-dxdy. Аналогично этому найдем, что равно-
оХ
действующая сил, действующих на грани, перпендикулярные к оси Оу%
равна —^dxdy. Если обозначить через Z вертикальную компоненту
внешних сил, действующих на единицу площади, то первое из условий
равновесия запишется так [см. (139)]:

64 ДйФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
Найдем теперь моменты сил, действующих на рассмотренные нами
четыре грани. Начнем, как мы это сделали при изучении колебаний
стержня, с изгибающего момента. На одну из граней,,
перпендикулярных оси Ох, действует момент, равный —Gxdy, на вторую — момент,
равный (Gj-j—~dx\dy; таким образом результирующий момент этих *
сил равен ^—-dxdy. Надо теперь еще подсчитать моменты кручения
дХ
сил относительно перпендикуляров к боковым граням. Пусть этот
момент для плоскостей, перпендикулярных оси Ох, равняется — Нгйу
Hl-\--~dx) dy,a для плоскостей, перпендикулярных оси Оу, рав-
няется — H2dx и {я?-|- 2dy\dx. Тогда мы получим два
уравнения, аналогичных уравнению (140):
?-7i=r0,
1^1 _L—2
Ъх ' Ьу
(140')
Момент берется при этом с положительным знаком, если ему
соответствует поворот около оси Охл, в направлении от оси Ох2 к оси Охв;
здесь xv x2, хв соответственно равны х, у, z или в начальном порядке,
или в том порядке, который получается путем круговой
перестановки х, у, z.
Если мы продиференцируем первое из уравнений (140') по х,
второе по у, исключим из полученных уравнений Тг и Т2, а выражение
—- + -^-2 ) заменим через Z [см. равенство (139')], то мы получим:
оХ Ьу )
+ Z = 0. (141')
ЪЮг Ъ2Н9 Ь2Нг ЬЮ2
Ьх2 ' Ьхду Ъх sy by2
Выразим теперь моменты Gv G2, Hlf H2 через смещение и
среднего слоя пластинки 0 = 0 в направлении оси Ог. Мы делаем при этом,
как и .в случае колебания стержня, предположение, что любая нормаль
к плоскости z = Q при деформации переходит в нормаль к
поверхности 2 = я. Для горизонтальных компонент смещения мы будем иметь:
и, как раньше, получим:
*9х'
дх ~Ъх2' "» Ъу~ *ду"
bqx Ъ2и bqy Ь2и

§ 14
ДйФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ
65
Далее, сдвиг gs определяется из равенства:
Ъх ' Ъу ~~ ixby
Предполагая, что напряжение Сд^=0, мы из (127) получим:
sx = а А х — ЪВу, sy = аВу — ЬАХ.
Следовательно, для афЪ\
4 =
asx-\-bsv
£,.=
bsx-\-a$
Л* a2 — b2 f у а2— b2 '
Подставляя сюда значения sx, sy, g2, мы получим [см, (135)]:
л _ р _ о ^ _ z Vu
Эти величины зависят от изгиба средней плоскости z = 0 и
пропорциональны расстоянию z колеблющейся точки от этой плоскости.
Отсюда мы получаем для моментов изгиба и кручения следующие
выражения:
А
G±dy = J^^»--.——^_ + ft^J dy9
—л
ft
°^=- J zBydzdx - Г F=7T* l*S? + e5ij **»
—Л
ft
Г л j j 2 h* Vu .
3 a-\-b ЪхЬу
H2dx-~
n
\
2 h* Wu
zBxdzdx——-3 r~v;—T"rf**
* 3 a-\-b Ъхду
h
(142')
Внося эти значения в формулу (141'), мы получим:
°$
+ 2
ЪхЧу* ' by
Я-
=z.
(145'}
Вебстер.

66 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
Постоянная D (сопротивление изгибу) в этом урав нении равна
__2 h*a 2 Eh*
3 & — b* 3 1— г,**
где £ — модуль упругости Юнга, а *] — коэфициент Пуассона.
Обозначая через
А — дх*~*~Ъу*
двумерный оператор Лапласа, мы перепишем уравнение (145') в таком
виде:
При отсутствии внешних сил это равенство обращается в следующее:
ДДи = 0.
Если пластинка находится в движении, то Z надо заменить силой
инерции; величина этой последней для единицы площади выражается
через ускорение следующим образом:
В этой фбрмуле р означает плотность пластинки. Таким образом
уравнение движения можно переписать в следующей форме:
гАр^ + ЛДДв-О. (148)
Выведенные нами диференциальные уравнения колебаний стержня и
пластинки отличаются от всех [исключая (114')] ранее полученных тем,
что в них входят производные более высокого порядка, чем второй.
§ 15. Электрический ток в проводах. Рассмотрим тонкий провод, по
которому проходит электрический ток. Пусть состояние тока зависит
от времени ^ и от расстояния х, отсчитываемого от некоторой точки
вдоль провода. Это состояние может быть характеризовано силой тока
и потенциалом. Обозначим через V потенциал и через С плотность
тока в каком-либо месте проводника, т. е. количество электричества,
которое в единицу времени проходит через единицу поперечного
сечения. Согласно закону Ома:
С= — xgrad V= — %^¥. (149)
дХ
Определим силу тока / как количество электричества, которое протекает
в единиц/ времени через какое-либо определенное место провода.
Обозначим через А площадь поперечного сечения провода. В таком случае
/=сл=-хл-=--.-. (150)
Здесь /? означает постоянную, зависящую от материала проводника

§15 Электрический ток в проводах * 67
и называемую сопротивлением проводника на единицу его длины. Таким
образом разность потенциалов на концах провода длины dx будет равна:
dV=^dx^~RIdx. (151)
оХ
Дальнейшая связь между силой тока / и потенциалом V получается
из закона Фарадея. Если проводнику сообщить заряд dqy то потенциал
увеличится на величину, пропорциональную dq, т. е. dq = KdV. По^-
стоянная К называется емкостью проводника. Если отнести емкость *К
к единице длины проводника, то элемент проводника dx будет
обладать емкостью Kdx и в течение единицы времени получит заряд:
'- Ьк^4х- ,ш>
С другой стороны, в течение единицы времени в элементе проводника
происходят следующие явления. К левому концу элемента проводника
притекает количество электричества, равное /, а из правого конца ухо-
дит количество, равное /-| dx. В проводнике остается количество
АХ
притекшего электричества — Г""*» мы приравниваем его заряду,
величину которого дает нам формула (152). Итак, мы приходим к уравнению:
«F=-£- <153>
Если из какой-либо точки проводника отвести ток к земле
(потенциал которой равен нулю), то утечка тока в проводнике будет
пропорциональна потенциалу V, а утечка в элементе проводника dx за единицу
времени будет равна:
SdxV,
где 5 означает -утечку, отнесенную к единице длины. Если принять во
внимание эту утечку, формула (153) перепишется так:
*£+^--5' (154)
Наконец, Фарадеем было замечено, что для изменения тока во
времени необходимо к разности потенциалов, служащей для поддержания
силы тока, добавить еще дополнительную разность потенциалов. В
данном случае мы имеем картину, аналогичную той, которая происходит
при движении тела, когда для преодоления инерции телу необходимо
сообщить силу, пропорциональную ускорению. Электрический аналог
массы называют самоиндукцией; если величина самоиндукции,
отнесенная к единице длины, равна I, то разность потенциалов, которую
5»

68 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. 1
необходимо добавить, равна Ldx — . Эту величину надо вычесть из пра-
вой части уравнения (151), которое после этого перейдет в следующее:
Мы замечаем, что уравнения (154) и (155) относительно / и V
аналогичны друг другу. Введем теперь операторы:
K± + S=DV l| + * = Z>2, -£=/>,. 056)
полагая К> S% L, R в этих выражениях постоянными. Тогда
уравнения (154) и (155) перепишутся в следующем виде:
ОгУ = 0,1, (157)
£>2/=£>3К (158)
Отсюда можно с помощью диференцирования исключить / или 1/.
Применим для этого к обеим частям равенства (157) оператор Z)2. Получим:
/)201I/ = £>2D3/=D3D2/=Z)2^ (159)
Если же применить оператор Dx к уравнению (158), то получится:
Ог021= ОгОгУ= DZDXV= D\I. (160)
Итак, обе функции I a V удовлетворяют одному и тому же диферен-
циальному уравнению:
Z)1D2<P = Z?|«p (161)
или в явной форме:
^S+^+^+^-S- (162)
Мы пришли к так называемому телеграфному уравнению. Оно впервые
было получено Кирхгофом (Kirchhoff) г9 а затем Хевисайдом (Heaviside)2,
однако общеизвестным оно стало лишь после исследований Пуанкаре
(Poincare) s. В вопросах, касающихся пространства нескольких
измерений, правая часть уравнения (162) заменяется Дер.
Если в телеграфном уравнении пренебречь сопротивлением и
утечкой тока в землю, то оно сводится к следующему:
№~KL еТз' (163)
* (Ьег die Bewegung der Elektrizitat in Drahten Pogg. Ann., т. 100 (1857); Ges.
Abh., стр. 131.
* On the Extra Current. Phil Mag., т. 2 (1876), стр. 5; Electrical Papers, т. 1
стр. 52. «
* Siir la propagation de l'electricite. Comptes rendus, т. 17 (1897), стр. 1027,

§ 15 Электрический ток в проводах 69
т. е. к уравнению распространения звука в одном измерении. С другой
стороны, если самоиндукция L по сравнению с сопротивлением
настолько мала, что ею можно пренебречь, то
5+j?'-*rsJ- ~ (164)
В этом случае мы пришли к диференииальному уравнению
распространения тепла в одном измерении. Утечка электричества в землю
соответствует потере тепла путем лучеиспускания; при 5=0 мы приходим
к уравнению (83), Телеграфное уравнение в этой именно форме было
применено лордом Кельвином (Kelvin) в его знаменитых исследованиях
по вопросу о подводном кабеле Ч В дальнейшем (гл. IV) мы увидим,
что если принимать во внимание самоиндукцию, то характер решения
существенно изменится.
Поучительно рассмотреть более детально аналогию между
распространением звука и электрическим током в проводнике, а котором
отсутствует сопротивление. Потенциалу V соответствует давление р;
действительно, „плотность тока" в одном сл>чае пропорциональна градиенту
от V с обратным знакбм, в другом — градиенту от р с отрицательным
знаком (в предположении, что F = 0). Из уравнений:
■**--> (112)
(155г)
легко заметить, что силе тока / соответствует скорость ~, а самоин-
0*
дукции L — плотность р.
Разделив обе части равенства
dp — tds
на dt и приняв во внимание формулу (111), мы получим,
Ър Ji_ Ъд
» — _ХЪхМ "
В электродинамике этому уравнению соответствует следующее:
W.=-L.Ut (153)
ы к ьх' v
в данном случае тг соответствует постоянная упругости т«
К
?bfi
Ы
—
= ■
Ьх'
bV
Ьх
* On the theory of the Electric Telegraph. Proc. Roy. Soc, т, 7 (1855), стр. 61.
Здесь впервые мы находим закон: время, в течение которого сила тока достигает
максимума на расстоянии дг, пропорционально ВК&

70 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
Аналогом члену /?/ из уравнения (155) в акустике может служить
da
величина, пропорциональная -—, характеризующая сопротивление среды
at
при распространении звука; эта величина вводится в рассмотрение,
когда при изучении распространения звука в трубе принимается во
внимание трение о стенки. Члену SV в уравнении (154),
характеризующему утечку электричества в землю, можно точно так же»найти аналог
в уравнениях распространения звука; такой аналог получается, напри*
мер, при изучении распространения звука в пористых трубах. Итак,
между этими двумя явлениями существует полная аналогия.
§ 16. Теорема Стокса. Диференцируя обе части равенства (60), найдем:
div rot A = 0,
так что каждый вихревой вектор (т. е. ротор любого вектора) солено-
идален г. Принимая во внимание теорему Гаусса, доказанную в § 8, мы
можем отсюда заключить, что поток
№otA)"
4S
вихревого вектора сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю.
Если разделить эту поверхность замкнутой кривой на две части, то
интегралы, распространенные на каждую из этих частей, будут иметь значения,
равные по величине и противоположные по знаку. Отсюда мы можем
заключить, что поток сквозь часть поверхности зависит только от
кривой, ограничивающей эту часть, но не зависит от вида самой
поверхности. Действительно, две поверхности, ограниченные одним и тем
же контуром, образуют вместе, замкнутую поверхность; таким образом
весь поток сквозь обе ограниченные поверхности (если каждое из
слагаемых в этой сумме взято с соответствующим знаком) равен нулю.
Покажем теперь, что этот поток сквозь
незамкнутую ограниченную поверхность равен интегралу от
тангенциальной компоненты вектора А, взятой вдоль
контура, т. е/
J Asds = J (Axdx + Aydy -f Azdz); (165)
отсюда опять-таки непосредственно будет следовать
независимость значения интеграла V \ (rot A)ndS от
формы поверхности, по которой этот интеграл бе-
Черт. 24. рется. Расположим поверхность, ограниченную нашим
контуром, так, чтобы направление нормали вблизи
контура совпадало с направлением оси Oz. Тогда положительное
направление обхода на контуре должно совпадать с направлением вращения
от оси Ох к оси Оу.
Сначала рассмотрим тот случай, когда контур и площадь, которую
он ограничивает, лежат в плоскости ху. Область, заключенную внутри
/
/
ш
/
г
f-
*-—
о
О
О
г-**
О
С\
'С,
П\
1—1
О]
1оМ
Обратная теорема также справедлива [ср. § 7Ь, подстрочное примечание^

§ 16
Теорема Ctokca
71
этого контура, мм разбиваем прямыми, параллельными координатным
осям, на прямоугольники со сторонами, равными dx и dy. Рассмотрим
сумму криволинейных интегралов (165), взятых по контурам полученных
прямоугольников в положительном направлении
(черт. 24). При суммировании окажется, что общая
сторона двух таких прямоугольников обходится
дважды ипритом в противоположных направлениях.
Поэтому все такие интегралы сократятся, и мы
можем приближенно сказать, что криволинейный
интеграл, взятый по всему контуру, можно
заменить суммой интегралов, взятых по отдельным. Черт. 25.
прямоугольникам (черт. 25). При соответствующем
ориентировании контура сторона АВ дает Axdx, а сторона CD дает
— ( Ах + —- dy \ dx. Аналогично мы получим, что стороны AD и ВС дают
— Aydy и \Ау-\ -dxjdy. Суммируя, получим:
значения
\ix by)
dxdy?=(totA)zdS.
(166)
dS здесь означает площадь элементарного прямоугольника. Произведя
суммирование по всем элементарным прямоугольникам, мы придем
к предложению, высказанному в начале параграфа:
J/l/*=fJ(rotA)3fif5.
(167)
Перейдем теперь к рассмотрению поверхностей произвольной формы.
Разобьем их на полосы плоскостями, параллельными плоскости ху и
отстоящими друг от друга на бесконечно малое расстояние; затем эти
полосы разделим при помощи плоскостей, параллельных плоскостям уг
и zx на бесконечно малые
треугольники (черт. 26).
Рассмотрим интеграл,
взятый по поверхности
полученного таким образом
треугольника. Построим
тетраэдр, три грани
которого параллельны
координатным плоскостям,
а четвертую грань
составляет наш треугольник
(черт. 27).
Криволинейный интеграл, взятый по контуру рассматриваемого треугольника, равен
сумме криволинейных интегралов, взятых (в соответствующих
направлениях) по контурам остальных граней (представляющих собою
прямоугольные треугольники) построенного нами тетраэдра. Площади граней тетра-
Черт; 26.
Черт. 27.

72 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
эдра, параллельных координатным осям, связаны с площадью
рассматриваемого нами треугольника следующими соотношениями:
dSx=dScos (пх); dSy = dScos(ny); dS9 = dScos (nz). (168)
Таким образом
J J (rotA)ndS= J J [(rot A^cos (nx) + (rot A), cos (ny) -f- (rotA^cos (nz)] dS=*
= JJ (rot А),, ^л + JJ (rot A)^rf^ + ^5 (rot A)z ^. (169)
На основании (167) члены последней суммы равны соответствующим
интегралам по контурам, которые в сумме в свою очередь дают
интеграл по контуру рассматриваемого треугольника. Следовательно,
^(toiA)ndS=^Asds. (170)
Это равенство известно под названием теоремы Стокса (Stokes)1.
Более детальный анализ показывает, что теорема Стокса остается
справедливой и в том случае, когда рассматриваемая поверхность
распадается на конечное число частей с нормалью, непрерывно
изменяющейся в каждой из них, если далее нормаль к контуру изменяется
кусочно-непрерывно. Вектор А должен иметь непрерывные
производные по переменным х, у, z 2. Вблизи контура нормаль к
поверхности имеет направление поступательного движения правоходового винта,
вращение которого соответствует обходу по контуру при получении
криволинейного интеграла.
Криволинейные интегралы (165) и (170) имеют простую и наглядную
интерпретацию. Они представляют работу, которую выполняет сила А,
когда материальная точка пробегает данную кривую. На оснований
теоремы Стокса можно (подобно тому, как в § 8 это было сделано для
потока) ответить, в каком случае эта работа вдоль произвольной
заданной кривой' равна нулю. Необходимым и достаточным условием в
данном случае служит равенство нулю ротора от вектора A (rotA = 0),
т. е. векторное поле в этом случае должно быть безвихревым.
§ 17. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля. В теории
электромагнетизма очень большую роль играют два вектора, а именно
напряжения электрического и магнитного полей Б и Н и
соответствующие индукции D и В. Согласно данным опыта между этими
величинами существует очень простая зависимость:
D = sE и В = }Ш, (171)
где е и ji — две постоянные, характеризующие среду, о которой идет
речь; эти постоянные называются соответственно диэлектрической посто-
* Сравни с другим доказательством теоремы Стокса, которое дано у
Куранта в т. И, стр. 293. См. также С м и р н о в, т. II, стр. 301.
2 Сравни L. Lichtenstein, Grundlagen der Hydrodynamik (Springer, 1929).
стр. 44,

§ 17
Уравнения Максвелла
73
янной и коэфициентом магнитной проницаемости среды. Вектор —
Максвелл (Maxwell) называет электрическим смещением. Его дивергенция
дает объемную плотность электрического заряда
p = ±divDi. (172)
Соответствующая объемная плотность магнитной массы равна нулю,
таКЧТ0 divB = 0. (173)
Определим электродвижущую силу замкнутого контура тока при
помощи криволинейного интеграла от тангенциальной компоненты,
причем этот интеграл мы возьмем вдоль контура напряжения
электрического поля Е: «
\ Esds.
&*
Фарадей из опытов нашел, что электродвижущая сила равна уменьшению
потока магнитной индукции, протекающего сквозь контур тока [т. е.
сквозь произвольную поверхность (ср. § 16), ограниченную контуром],
отнесенному к единице времени. Таким образом, если на кривой,
по которой берется интеграл, и на нормали к поверхности выбрать
направление так, как мы это сделали при выводе теоремы Стокса, то
^Esds = -±^BndS. (174)
Поверхность, по которой берется интеграл, в правой части этого
равенства не зависит от времени, а потому диференцирование можно
произвести под знаком интеграла. Теорема Стокса дает нам в этом случае:
JjVotE^S^-Jj^*?. (175)
Так как это равенство справедливо для произвольной поверхности,
то из него следует равенство подинтегральных функций. Направление
нормали п также может быть выбрано совершенно произвольно, а потому:
—^=*rotE. (176)
Мы пришли, таким образом к первому ^уравнению Максвелла; оно
показывает, что если В постоянно во времени, то rotE = 0, т. е. вектор
Е безвихревой. В этом случае существует функция V, для которой
Е = — grad V. Эту функцию V называют электрическим потенциалом.
Второе уравнение Максвелла основано на следующем открытии
Эрстеда (Oersted): электрический ток пропорционален вызываемому им
магнитному полю. Вычисляя работу, которую необходимо затратить для
того, чтобы обвести магнитный полюс по замкнутой кривой, мы при-
* Мы рассматриваем здесь равенство (172) как определение р; в главе Y
этому уравнению будет дано другое толкование.

74 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
ходим к следующему заключению: криволинейный интеграл
(магнитодвижущая сила), взятый от тангенциальной компоненты магнитного
поля Н вдоль замкнутой кривой, пропорционален силе всего тока,
проходящего сквозь эту кривою. (Этот вывод можно подтвердить на опыте.)
Таким образом, если мы обозначим через С плотность тока, то при
соответствующем выборе единиц измерения
Jtf/s = 4*jfce<f& (177)
На основании теоремы Стокса имеем:
^(totH)ndS=4n^CndS, (178)
а отсюда, аналогично предыдущему, получим:
rotH = 4TTC. (179)
Если в какой-либо точке поля нет тока, то гоШ=0, т. е. вектор Н
безвихревой и, следовательно, H = gradQ. Функция Q называется
магнитным потенциалом. До открытия Эрстеда предполагали, что вихрь
вект >ра Н постоянно равен нулю^
Формула (179) была известна еще до распространения идей
Максвелла. Но Максвелл первый указал на то, что даже в изоляторах, по
которым не протекает ток проводимости С, переменные смещения
электричества действуют подобно току и вызывают магнитное поле. К
понятию о токе смещения нас приводят следующие соображения:
электрическая плотность связана, с одной стороны, с электрической индукцией
D уравнением (172), с другой стороны — с током проводимости С
уравнением (178). Из этих двух уравнений следует:
<«v~^ + divC = 0. (180)
Таким образом вектор
1 .dD-J-c
ii ¥+c
соленоидален. «Максвелл называет эток ток полным током, а ток
_. _ —с2 — током смещения. Заменяя в уравнении (179) вектор
С = С2 через С2, мы получим:
rotH = ^-f 4яС. (181)
Это и есть второе уравнение Максвелла. С помощью формул (171) и
(81) все члены этого уравнения могут быть выражены через Е и Н:
D = eE, B = |iH, С = хЕ, (182)
где е, ji, х суть некоторые постоянные.

§ 17 Уравнения Максвелла 75
Таким образом наши уравнения примут следующий вид:
— jA^J = rotE, (183)
e^=-f- 4тгх£=rot H. (184)
Введя операторы
-Iil=D1,tt|- + 4iit = D1, rot = D„
эти уравнения можно переписать так:
£>1H = D3E, £>2E = D3H.
Отсюда мы получим [аналогично тому, как это было сделано в
формулах (159) и (160)]:
адн = Я203Е = Д302Е=Я*Н, \ П85)
Z)1D2E = Z)1D3H = iD3D1H = Z)2E. j
Таким образом векторы Е и Н удовлетворяют одному и тому же диферен-
циальному уравнению. Оператор Z)| = rot (rot) = (rot)2 можно легко
преобразовать. Действительно, компонента этого оператора по оси Ох равна:
(rot2A)^_ _ ^___ __j _ _ ^__—__ ^ =
Ъх \Ьх + Ьу "*" Ъг ) \ дл2 + ду2 ' дг2 /
= (graddivA);c —ДЛ^, # (186)
а потому
rot2 A = grad div A — ДА. (187)
Здесь ДА представляет собою вектор, компоненты которого
получаются в результате применения оператора Лапласа к соответствующим
компонентам вектора А.
На основании (173) мы имеем:
divB = jxdivH = 0;
в случае, если е не зависит от точки пространства, из (184) следует:
div (вЩ -Июсе) = e^divE + 4mc divE = 0,
(188)
т. е. диференциальное уравнение для divE. Интегрируя это уравнение,
мы получаем:
divE=* e (divE)/=0. (189)
Таким образом мы видим, что divE при и>0 очень быстро стремится
к нулю при возрастании L Для изолятора, т. е. при %=0, divE не

76 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ГЛ. I
зависит от времени, и таким образом электрическое состояние в
изоляторе, вообще говоря, постоянно относительно времени. Исключая из
нашего рассмотрения этот факт, относящийся к области электростатики,
мы можем считать, что divE постоянно равна нулю. Первый член в
выражении для roi2E обращается таким образом в нуль, и для-обоих
векторов Б и Н мы получаем диференциальное уравнение:
^^ + 4ттХ|*~- = ДА. (190)
Таким образом для х=0 компоненты векторов Е и Н удовлетворяют
волновому уравнению; на этом и основано представление об
электромагнитных волнах в изоляторе, которые Максвелл отождествляет с
световыми волнами. При х^=0 из уравнения (190) получается телеграфное
уравнение (162) для того случая, когда в нем 5=0; если е мало по
сравнению с х, то уравнение (190) совпадает с уравнением
теплопроводности Фурье (83).
До сих пор речь шла только о телах, находящихся в покое.
Знаменитый опыт X. А. Роуланда (Н. A. Rowland) показал, однако, что
подвижной электрический заряд точно так же может вызвать магнитное
поле. Таким образом к току проводимости и току смещения
добавляется еще одна составная часть, так называемый конвекционный ток;
его плотность равна С3 = pv, причем v представляет собою скорость,
а р — плотность заряда. Принимая во внимание конвекционный ток, мы
должны уравнение (181) изменить следующим образом:
~-\- 4Tr(C + pv) = rotH. (191)
at
Согласно теории электронов, созданной X. А. Лоренцем (Н. А.
Lorentz), между током проводимости и конвекционным током нет
никакой существенной разницы. Действительно, по теории Лор.нца,
гальванический ток состоит в смещении маленьких электрически заряженных
частиц, так называемых электронов; согласно этому воззрению С может
быть объединено с конвекционным током. Если через р и v обозначим
соответственно плотность и скорость электронов, то, становясь на точку
зрения электронной теории, мы можем в уравнении (191) опустить член
4еС; в результате мы получим:
^-f4Trpv = rotH. (191')
at
Для простоты рассмотрим среду, у которой 8=»ji=l; D=»E; В=сН.
Для такой среды, диференцируя по времени уравнения (191'), получаем:
§г *+ 4я ^f(pv)=rot ^ ~ — rot2D ^ &° ~ grad div D* (192)
Так как divD = 4iTp, то
AD^S=4,Tigradp+l"(pv)} * {193)

§17 Уравнения Максвелла 77
Далее, из (191г) и (176) следует, что
rot—=—rotD = ——=гоРВ — 47trot(pv),
а так как
divB = 0,
то
ДВ-^- —4mot(pv). (194)
Лоренц называет выражение
оператором Даламбера (d'Alembert), так как для одномерного
пространства (см. колебание струны, § 12) он был впервые взеден Даламбером.
Если электричество (т. е. электроны) движется, то оба поля
удовлетворяют уравнению, имеющему следующий вид:
□ ¥=/, 095)
где/—заданная функция пространства и времени. Уравнение по виду
своему аналогично уравнению распространения звука для случая, когда
принимаются в расчет источники звука [см. (114), (115') и (117)]. Это
уравнение было получено Л. Лоренцем (L. Lorentz) г и лордом Релеем
(Rayleigh) и исследовано потом Бельтрами (Beltrami) и Пуанкаре. В
дальнейшем мы будем его называть неоднородным волновым уравнением.
Из условия divBs=0 следует (см. § 7, подстрочное примечание на
стр. 33);
В = rot А, (196)
где А означает новый вектор, так называемый векторный потенциал.
Если ввести этот вектор в уравнения (191т) и (183) и принять во
внимание формулу (187), то мы получим:
^-J-4Trpv = rot2A = graddivA —ДА, (197)
Второе равенство можно записать так:
rot(D + ^)=0. (199)
i Memoire sur la theorle de Telasticite des corps homogenes к elasticity onstante.
Journal fur Math., т. 58 (1861), cip. 329—351; Oeuvres scientifiques, д. II, стр. 3#

7В ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Гл. I
Оно означает, что вектор, стоящий в скобках, безвихревой и,
следовательно, существует обыкновенный (скалярный) потенциал, для которого
■D + ^= —gradV (200)
(название потенциал основано на том, что в случае, когда вектор А
не зависит от времени, имеет место равенство D = — grad V).
Взяв дивергенцию от обеих частей этого равенства, мы получим:
4irP + ^7div A= — Л V. (201)
Если, далее, к вектору А добавить градиент любого скаляра, то равенство
(199) останется справедливым; таким путем можно достигнуть того, что
divA = -^, (202)
и уравнение (201) примет вид>
A^-^ = -4irp. (203)
Диференцируя уравнение (200) по t, мы получим на основании
формулы (202):
_. + __==_grad-=__graddivA (204)
или на основании (197):
AA-^- = -4trpv, (205)
Итак, как скалярный, так й векторный потенциалы удовлетворяют
волновому уравнению. К этому диферецциальному уравнению мы
вернемся в главах V и VI.
Уравнения (196) и (200) принадлежат Максвеллу. На
целесообразность введения обоих потенциалов при изучении электромагнитных
явлений указали Лиенар (Ltfnard) и Вихерт (Wiechert).
§ 18. Заключение. Дадим теперь сводку всех диференциальных
уравнений, выведенных нами в этой главе. Уравнению Лапласа
Д<р-0 (70)
удовлетворяют:
4 а) потенциал скорости безвихревого потока несжимаемой жидкости;
b) температура в стационарном тепловом потоке;
c) потенциал стационарного электрического тока, протекающего по
проводнику.
При наличии источников уравнение Лапласа переходит в уравнение
Пуассона:
Дср = — е,
где е представляет собою плотность источников в рассматриваемой точке.

§ 18 Заключение 7Й
Диференциальное уравнение теплопроводности имеет вид:
^-а'Д<р = 0. (83)
Это же уравнение в случае наличия источников тепла запишется так:
^_а*Д<р —а*. (83)
Уравнению того же вида подчиняются явления диффузии.
К волновому уравнению в однородной форме:
||-«2Д<Р = 0 (П5)
и в неоднородной форме:
^-а*£^ = аЧ (114, 116, 117, 124)
мы приходим при изучении:
a) распространения звука;
b) колебаний струны или мембраны;
c) плоских волн;
d) электромагнитных волн.
Диференциальное уравнение поперечных колебаний стержня или»
пластинки имеет вид:
й2ср
ч771 Д2ДД<р = 0 (ИЛИ соответственно = а2г). (147, 148)
Телеграфное уравнение:
в^+2^7+с<р=Д* (162)
при соответствующем выборе а, Ь, с переходит в уравнение (70), (83)
и (115).
Это важнейшие уравнения математической физики. Все они
[исключая (147) и (148)] второго порядка и линейны относительно
производных. Они представляют собою частные виды общего линейного дифе-
ренциального уравнения второго порядка:
в котором Л^, Д,, С, F суть заданные функции независимых
переменных xv дг2, ... , хп. В вышеприведенных уравнениях п имеет значения
2, 3 и 4.

ГЛАВА ВТОРАЯ
Диференциальные уравнения в частных производных
первого порядка. Задача Коши.
§ 19. Определения, Под диференциальным уравнением мы понимаем
соотношение между независимыми переменными xv x2Jm..9 хп9
функцией этих переменных г и частными производными от z по xv х2,..,, ха.
Введем обозначения:
Рг~ъ7г' р*—ъ72'т-т>р*~ьГп'
_ b2z ' _Vz Vz
.^~Х**/ Pw—а*»' pw—a*, **,**, HT"n"
Если наивысший порядок производной, входящей в диференциальное
уравнение, т9 то говорят, что наше уравнение m-го порядка.
Например, диференциальное уравнение первого порядка имеет вид;
F(xv *2, ... , хя, z, pv р2, ... , /д = 0.
В последующем мы будем иметь дело главным о&разом с дифе-
ренциальными уравнениями, в которые входят две независимые
переменные. В этом случае функцию можно представить при помощи поверхности
в трехмерном пространстве. Однако выводы, которые получаются для
трехмерного пространства, часто оказывается возможным распространить
на пространства большего числа измерений; при этом приходится
пользоваться представлением многомерного пространства. Для трехмерного
пространства (л = 2) обычно принято писать х> уу z, р = —, q=—
оХ ду
вместо дг3, х29 z9 р1У р2. При этом рассматриваемое диференциальное
уравнение первого порядка принимает вид:
F(x\y9 z, P, ?) = 0. (1)
Мы называем функцию 2=/(лг, у) решением или интегралом диферен-
циального уравнения (1), если при подстановке в это уравнение
г==/(дг, у), р = — , q = ~- оно обращается в тождество относительно
хну. Геометрически интеграл представляет поверхность (интегральная
поверхность). Проведем через точку дг, у, z=;f(x, у) этой поверхности
две плоскости, параллельные плоскостям xz и yz (т. е. две
вертикальные плоскости). Эти плоскости пересекают нашу поверхность по двум

§ 20 " Геометрическое истолкование SI
кривым, угловые коэфициенты касательных к которым суть соответственно
р и q (черт. 28). На основании § 4, (21) [в эти формулы надо
подставить f{xy)—г вместо <р(лг, у, г)] направляющие косинусы нормали
к поверхности равны:
р а — 1
Как мы увидим, одно диференциальное уравнение определяет
бесчисленное множество интегральных поверхностей.
§ 20. Геометрическое истолкование. Сопоставим сначала
диференциальное уравнение в частных производных (1) с обыкновенным^ дифе-
ренциальным уравнением:
/ л«,\
(2)
Ф*1Н
или
dx
= f(x,y);
(3)
уравнения (2) или (3) определяют у как функцию от х. Уравнение (3)
показывает, что каждой точке плоскости ху (или же в каждой точке
Черт. 28.
Черт. 29.
области определения функции f) поставлено в соответствие некоторое
направление, угловой коэфициент которого определяется формулой
dy
— =/(дг, у). Отсюда тотчас же следует очзнь наглядное построение
интегральной кривой уравнения (3), проходящей через произвольную
точку х0, у0. Исходя из точки лг0, у0, мы можем в направлении,
указанном угловым коэфициентом f(x0, yc)> дойти до близкой точки х2,уг;
далее, исходя из точки xv yv перейти в близкую точку пр
направлению f{xv у\) и т. д. Таким образом мы опишем ломаную линию; если
отрезок этой ломаной неограниченно уменьшать, то наша ломаная будет
стремиться к вполне определенной кривой, которая и является
интегральной кривой диференциального уравнения (3) (черт. 29). При
известных условиях очень общего характера через каждую точку проходит
интегральная кривая. В частности через каждую точку прямой можно
провести вполне определенную интегральную кривую. Эти кривые обра-
6 Вебстер.

82 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гл. II
зуют таким образом семейство оо1 кривых (т. е. семейство, зависящее
от одного параметра). Отдельная интегральная кривая (частное решение)
вполне определяется заданием какой-либо ее точки.
В диференциальных уравнениях с частными производными (1) в
каждой точке пространства х, у, г заданы не сами значения р и q, a
только некоторая определенная зависимость между р и q, т. е.
зависимость между направляющими косинусами нормали к поверхности,
проходящей через эту точку. Таким образом нормаль, или, что то же,
касательная плоскость, в любой точке дг, у> z пространства определяется
не однозначно; в каждой точке пространства данное диференциальное
уравнение допускает существование бесчисленного множества нормалей
(или, что то же, касательных плоскостей). Если обозначить через $, ij,
С текущие координаты, то уравнение нормали запишется так:
bf=i=^=^z£. (4)
р q —\
При этом в качестве р и q может служить любая пара чисел, ко
торая (при заданных значениях ху уу z) удовлетворяет уравнению (1).
Эти нормали образуют конус Ny называемый конусом нормалей. Его
вершина находится в точке х> у, z, а его уравнение
'(*■*•*•-И--В)=° <5>
получается путем исключения р и q из уравнений (1) и (4). Плоскости,
перпендикулярные прямым (4), суть единственно возможные касательные
плоскости к интегральным поверхностям. Их уравнение пишется так:
С — * = p(S — *)-f9(7j— у). (6)
Они огибают другой конус — конус касательных плоскостей Т.
Плоскость (6) касается конуса Т вдоль прямой, по которой плоскость (6)
пересекается с бесконечно близкой плоскостью
Z-z^(p + dp)^-x) + (q + dq)(ri-y). (7)
В этой формуле dp и dq связаны соотношением, которое получается
из уравнения (1):
£*+£"-° <8)
(х, уу z при этом диференцировании рассматриваются как постоянные).
Удобно ввести следующие обозначения:
х-^ Y-¥ *-*-?- л-£ о-¥ (9)
х-&> Y-&' z~bz' р~ъ' Q~*v' ()
В таком случае (8) имеет вид:
Pdp-\- Qdq=0>
(10)

§21 Задача Коши 83
Из (6) и (7) следует:
dp£-x) + dq(ri-y) = 0, (11)
и таким образом на основании (10);
6 — *_*)— У
Р Q #
Обозначив это отношение через 1 и подставляя в (6), мы получим:
$ — л: = ХР, 1)— y = lQ;
откуда
С —*=!(/>/>+ ф).
Таким образом
Р Q Я/> + 0* * '
является уравнением прямой, по которой плоскость (б) касается конуса Т.
Итак, мы видим, что одной точки недостаточно для однозначного
определения интегральной поверхности: на самом деле множество
^интегральных поверхностей значительно богаче множества интегральных
кривых обыкновенных диференциальных уравнений. Интегральная
поверхность может быть вполне определена — и мы это в дальнейшем
покажем — заданием некоторой пространственной кривой, через которую
данная поверхность должна проходить; выбор этой кривой, вообще
говоря, совершенно произволен. Можно, например, потребовать, чтобы
поверхность, определяемая решением, выражающим z как функцию от
х%у> проходила пространственную кривую, заданную системой уравнений:
¥(*,j,) = 0,
* = <!>(*,-У)>
где (р(дг, у) и $(х,у)—произвольные функции. При этом можно одну
из этих функций, например.ср(л:,у), оставлять на все время
рассуждений постоянной, а вторую ф(*,.у)—заставить как угодно меняться.
Таким образом интегральные поверхности диференциальных уравнений
в частных производных образуют множество, зависяшее от одной
произвольной функции, в отличие от решений обыкновенных
диференциальных уравнений, образующих семейство, зависящее от одного или
нескольких параметров.
§ 21. Задача Коши. Задача Коши (Cauchy) состоит в том, чтобы
через заданную пространственную кривую провести интегральную
поверхность. На возможность разрешения этой задачи указывают
следующие наглядные геометрические соображения.
В каждой точке заданной кривой С (см. черт. 30) построим конус Г,
определенный в предыдущем параграфе. При этом для простоты
предположим, что функция F и кривая С являются аналитическими. В
таком случае в точке Р существует по крайней мере одна плоскость,
6*

84 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНДОЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гл. II
касающаяся как конуса Г, так и кривой С1. Бесконечно малая часть
этой плоскости совпадает в точке Р с интегральной поверхностью.
В близкой точке Рг кривой С конус Тг будет весьма мало отличаться
от Г, и переход к соседним элементам интегральной поверхности
совершается так же, как и прежде, при построении интегральных кривых
обыкновенных диференциальных
уравнений. Таким образом мы получим
непрерывный ряд плоских элементов;
эти элементы образуют полосу
бесконечно малой ширины, содержащую
кривую С. Проведем на этой полосе в
близи С новую кривую С; аналогично
предыдущему мы можем построить
новую полосу, содержащую кривую С\
Черт. 30. Продолжая проводить подобным же
образом все новые и новые полосы,
мы построим всю нашу интегральную поверхность. При весьма
общих предположениях можно доказать, что подобное построение почти
всегда приводит нас к цели. Исключением является лишь тот случай,
когда первоначально выбранная кривая является одной из так называемых
характеристик — Ьсобого рода кривых, играющих очень большую роль
при изучении диференциальных уравнений в частных производных.
§ 22. Линейные диференциалькые уравнения. Характеристики.
Простейшими лиференциальными уравнениями в частных производных
являются линейные диференциальные уравнения; они содержат только
первые степени производных. Общий вид линейного уравнения первого
порядка:
где Р,, Р2, 7.., Ph, Z суть заданные функции от хл, дг2, ..., хп
и z. Если Z = 0, то уравнение называется однородным. В случае двух
независимых переменных линейное уравнение записывается так:
Pp+Qq = R, (13)
где Р, Q, R зависят от л:, у, z. Согласно обозначениям (1) и (9) мы
в данном случае имеем:
F{x,y*z,p,q)=*Pp+Qq — R.
Нормальный конус переходит при этом в плоскость, а конус
касательных плоскостей — в прямую. На основании (12) и (13) уравнение этой
прямой запишется так:
Р Q R * (14'
Поставим себе задачу построить функцию z от х и у,
содержащую произвольно заданную функцию и удовлетворяющую уравнению (13);
* Эта касательная плоскость может быть также и мнимой. Такая мнимая
плоскость соответствует случаю, когда кривая С входит внутрь конуса. В этом
случае не существует действительной интегральной поверхности, содержащей
кривую С.

§ 22 Линейные диференциальные уравнения 85
чтобы решить ее, поступим следующим образом. Пусть и{х,у, z) и
v(x, у, z) — две заданные функции с непрерывными частными
производными. Обозначим функциональные детерминанты
и (и, у)
МУ>*У
Ьи
\by
bv
\Ьу
Ьи
~iz
bv
bz
Ъ (и, v)
6 (г, х)'
\Ьи
bz
bv
bz
Ьи
Ьх
bv
Ьх
Ь (и, у)
д(х,у)
\Ьи
дх
bv
Ьх
bt I
ьу\
bv
ьу\
по порядку через Р, Q, /?. Мы утверждаем, что уравнение
ф(«,*) = 0,
где ф — произвольная функция с непрерывными производными, всегда
определяет функцию z, удовлетворяющую уравнению (13); при этом фи
и ф^ не должны одновременно обращаться в нуль. Действительно, взяв
полную производную от уравнения ф(и,г>) = 0, мы получим:
дф Пи
Ьи \
^+>+И+£(^*+g*+И=0•<15,
Так как z является функцией х и у, то
dz==UdX ~^~Ty лУ=Рйх + Ч*У-
(16)
Подставив это выражение для dz в уравнение (15) и приравняв коэфи-
циенты при dx и dy нулю (л; и у — независимые переменные), мы
получим:
bu\bx^F dz)~bv\.bx~Fbz) '
bu\by^4bz J^rbv\dy^4bz) )
(17)
Исключая
йф *ф
Ьи
и — из этих уравнений, получим:
дУ
/Ьи . Ьи\ (Ьу Ьу\ /Ьи . Ьи\ (bv . Ьу\ ч
или
Ь(и, v) . Ь(и, у) Ь(и, у)
Подставляя вместо
* (Уу z)
Ь (и, у)
b(z,x)
Ь (и, у)
Ь(х,у)*
Ь (и, у)
Ь(У,г)' Ъ(г,х)' Ь(х)У)
соответственно Р, Q, /?, мы придем к уравнению (13). Покажем, обратно,
что наиболее общее решение уравнения (13) имеет вид ф(и, у),
причем и и у являются некоторыми (частными) решениями, а ф(и, у) —
произвольной функцией, имеющей непрерывные частные производные.

86 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гл. II
Рассмотрим сначала однородное линейное уравнение с тремя
независимыми переменными:
ХУ-+УК + 2£ = 0, (18)
6х ' by ' dz ч '
где X, Y, Z — заданные функции от х, уу z. Предположим ради
простоты, что это функции аналитические. Известно, что направляющие
косинусы нормали к поверхности /(лг, ул z) = const пропорциональны
if if if
—, -^-, —-. Таким образом уравнение (18) показывает, что нормаль
к поверхности /(лг, у, z) — const, перпендикулярна вектору X, К, Z,
т. е. что вектор Хл У, Z касается этой поверхности. Если и (х, у, z)
и ^(лг, у9 z) суть два интеграла уравнения (18), то этот вектор касаетск
обеих поверхностей:
и(х,у, z)=za
и
v(x, у, z) = b (а и Ь — постоянные). (19)
Поэтому при передвижении вдоль линии пересечения обеих
поверхностей (19) уравнения
^ = ^=^ (20)
X Y Z к '
удовлетворяются. Эти два совокупные обыкновенные диференциальные
уравнения определяют некоторую линию (траекторию) векторного поля
[§ 4 (26)]. Через каждую точку пространства проходит единственная
такая кривая; в частности, можно через каждую точку плоскости
провести одну такую кривую таким образом, чтобы совокупность всех этих
кривых образовала семейство, зависящее от двух параметров.
Поверхность /(лг, yt z) = const., для которой удовлетворяется уравнение (18),
в каждой своей точке касается векторной линии, проходящей через эту
точку пространства. Если, обратно, через какую-нибудь векторную
линию системы (20) провести поверхность f(x9y, z) = const., то функция
/(•*> У*z) B каждой точке этой кривой будет удовлетворять
уравнению (18)".
Действительно, на поверхности
и, таким образом, для перемещения dx, dyt dz вдоль заданной кривой
уравнение (18) удовлетворяется.
Пусть
u(xty,z)=*a, v(xyy,z) = b, (21)
где а и Ь9. произвольные постоянные, являются интегралами
уравнений (20), т. е. и и v удовлетворяют уравнению (18). Кроме того, пусть
хотя бы рдин из функциональных детерминантов от и, v по у, z, или

§ 22 Линейные диференциальные уравнения 87
по z> х, или по лг, у не равен нулю. Если обозначить через / любой
интеграл уравнения (18), то
Ъи *и +zbu= i 22)
bX ' dj> ' &Z
После исключения из этих равенств Х> К, Z мы получим:
HAj^)==.Q
*(x,y,z) '
т, е. равенство, указывающее на существование какой-то
функциональной зависимости /=Ф(н, v) (см. приложение § 1). Итак, всякое
решение уравнения (18) имеет вид:
/=Ф(и, v).
Теперь легко получить общий интеграл линейного диференциаль-
ного уравнения с двумя независимыми переменными:
Pp + Qq = R- (13)
(предполагается, что Р, Q, R — аналитические функции от ху у, z).
Пусть некоторое решение z определяется уравнением f(xty, z) = const.
Возьмем частные производные от обеих частей последнего равенства:
V + ^-0; £+*?-<>. (23)
Ъх *z Ъу ' * bz
Помножив эти равенства соответственно на Р и Q и сложив их, мы
в силу уравнения (13) получим:
т.е. уравнение вида (18). Обратно, если мы имеем решение /(дг,у, z)
уравнения (18), то равенство f(x,y, z) = const, определяет решение
уравнения (13), если только ^- не равно нулю. Итак, общий интеграл ура-
dz ч
внения (13) имеет вид:
Ф [и (х, у, г), v (х, у, z)] = О,
где и и v — два различных решения уравнения (24), т. е. два интеграла
системы (20), а Ф(и, v) — произвольная (имеющая непрерывные частные
производные) функция от и и v. Система
dx dy_dz „
p""q-7P (25)
соответствующая уравнению (24), определяет кривые, направление

88 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ГЛ. II
которых в каждой точке совпадает с направлением прямой (14), в ко*
торую выродился в данном случае конус Т. Эти кривые называются
характеристиками диференциального уравнения (13). •
Интегральная поверхность и\х,у> z) = a состоит из оо1
характеристик: при изменении постоянного а получается семейство
интегральных поверхностей, зависящее от одного параметра. Если v (лг, у, z) = b
представляет собою другое семейство интегральных поверхностей, то
Поверхности при своем пересечении образуют семейство (конгруэнцию)
характеристик, зависящее от двух параметров (черт. 31).
Функциональная зависимость Ф (и, v) = О показывает, что каждому значению а
соответствует (и притом при известных условиях однозначно)
определенное значение Ь, так что этим способом ока-
г I зывается выделенным оо1 пар поверхностей,
\ Г7 т. е. оо1 характеристик. Выбор оо1 характери-
Г— \~~7\7 стик в задаче К°ши обусловлен требованием,
\ \/\/ чт°бы характеристики пересекали произвольно
) Л/ч выбранную пространственную кривую. С этой
/ /\/\ челью рассматривают характеристики, которые
/ *• /—X \ являются пересечением поверхностей и и vf
I . -.—- ■>■■/ J \ проходящих через линию С. Они заполняют
/ 1 интегральную поверхность, содержащую
заданную кривую, и таким образом дают решение
Черт. 31. задачи Коши. Но если заданная кривая сама
является характеристикой, указанный способ не
приводит к цели: через С в этом случае нельзя провести однозначно
опрэделенную поверхность. Итак, если заданная кривая является
характеристикой, то решение задачи Коши.не однозначно.
Самым существенным в этом рассуждении является тот факт, что
характеристики, из которых можно вышеуказанным образом построить
интегральные поверхности, получаются путем интегрирования
обыкновенных диференциальных уравнений. Этим обстоятельством можно
воспользоваться для приближенного построения интегральных поверхностей.
Рассмотрим тепфь несколько примеров.
1. Цилиндрические поверхности. Рассмотрим цилиндрические
поверхности, у которых направление образующих определяется
направляющими косинусами Ха, \Ь, X. Нормали к цилиндрической поверхности
перпендикулярны образующим, а потому диферендиальное уравнение
цилиндрических поверхностей имеет вид:
ap-{-bq = 1.
Уравнения характеристик (25) в этом случае перепишутся так:
dx dy dz
~a~~b~T*
и, следовательно,
х — az^u = const.,
у — bz = v=& const.

§ 22 Линейные диференциальные уравнения 89
Таким образом общим интегралом нашего дифереициального уравнения
является
Ф (л: — az, у — bz) = 0.
Характеристиками этого дифереициального уравнения служат прямые,
параллельные заданной прямой; они получаются при пересечении
плоскостей a=1const., v = const. Всякая интегральная поверхность
рассматриваемого дифереициального уравнения есть цилиндрическая
поверхность (а характеристики являются ее образующими). Через любую
кривую, исключая прямые, которые параллельны заданному направлению,
можно провести вполне определенную цилиндрическую поверхность.
2. конические поверхности. Поверхности, все касательные
плоскости к которым проходят через одну и ту же точку a, b, cf
удовлетворяют следующему диференциальному уравнению:
(х — а) р -}- (у — b)q = z — с.
ч
Уравнения (25) в данном случае будут:
Интегрируя, получаем:
х—а . у—Ь
= и = const., = ?== const.
z — с z — с
Искомый интеграл, таким образом, будет:
Характеристиками в этом случае являются прямые, проходящие через
точку х, у, z.
3. Поверхности вращения. Эти поверхности обладают тем
свойством, что все нормали к ним пересекают заданную прямую.
Пусть заданная кривая проходит через начало координат и пусть
ее уравнения будут:
о р у Р
Уравнение нормали к поверхности запишем в таком виде:
?—*__ ЗиЛ—z—z—nr
_ _____р.
Обозначим через £, ц, С координаты точек пересечения этих двух
прямых. Тогда
* + РРг = «Р,
' з' + ?Р' = Рр,
*-р' =YP-
i

90 ДйФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гл. II
Исключая р и рг из этих уравнений, мы получим:
1л: а р I
\У Р Я — 0.
\z у —1 I
Это и есть искомое диференциальное уравнение. В развернутом виде
оно перепишется так:
(ГУ — Р*)Р-И« — vx)q = $x — ay.
dx dy dz
Полагая
1У — \z az—у* рл:—ay
= dt9
т. e.
dx = (yy — pz) dt,
dy = (аг — yx) dt,
dz=($x—ay)dtt
мы придем к уравнениям:
х dx -{-у dy 4- z dz ее О,
a dx -j- p rfy + у dz = 0,
интегрирование которых не вызывает никаких затруднений. В
результате мы получим:
ХЪ -j-y2 ^ Z2 = и _ const.,
ах + Р.У + Y* = ^ = cons*-
Таким образом общим интегралом этих уравнений будет
ф^^-^ + ^э ал: + ^ + У^) = 0.
Характеристиками этих уравнений служат кривые, получающиеся при
пересечении и = const, с плоскостями v = const., т. е. окружности, центры
которых лежат на заданной прямой, а плоскости которых
перпендикулярны этой прямой.
§ 23. Полный интеграл. Коши и Софья Ковалевская1 показали, что
диференциальное уравнение в частных производных первого порядка
всегда имеет решение, которое при заданном значении одного из
независимых переменных обращается в произвольно заданную функцию
остальных независимых переменных; например, можно потребовать,
чтобы при x = xf> это решение обращалось в
г = <р(л:2, дг3, .♦., хя).
Для случая двух независимых переменных можно потребовать, чтобы
при х = х0
z = <f(y).
Геометрически это означает, что интегральная поверхность должна про-
* Cauchy, Oeuvres completes, серия 1, т. VII; Sophie von Kowalew-
sky, Journal fur Math., т. 80 (1875), стр. 1, gee функции в этом параграфе
предполагаются аналитическими.

§ 23 Полный интеграл 91
ходить через заданную плоскую кривую. Задача Коши,
сформулированная в общем виде в § 21, соответствующим преобразованием
координатных осей может быть приведена к этому частному случаю. Такой
интеграл, зависящий от произвольной функции, мы будем называть
общин интегралом; всякое решение, которое получается из общего
интеграла, когда вместо произвольной функции поставлена некоторая
определенная, называется частным решением, или частным интегралом.
Решение, не содержащее произвольной функции, но содержащее две
произвольные постоянные, называют, по ^агранжу, полным интегралом.
Рассмотрим уравнение вида:
V(xty, z, a, b) = 0, (25)
в которое входят две произвольные постоянные а и Ь. При
соответствующих допущениях мы можем из этого уравнения определить z как функцию
х и у. Далее, можно написать диференциальное уравнение первого порядка
относительно г, для которого уравнение (26) является полным
интегралом. Действительно, продиференцируем уравнение (26) по х и у:
V . W •
Ъу ^Ч dz
(27)
после исключения а и Ъ из уравнений (26) и (27) — мы предполагаем,
что это возможно.,—получается диференциальное уравнение вида:
F(x>y%z,p,q) = Q. (28)
Лагранж1 указал способ, как из полного интеграла диференцизльного
уравнений первого порядка получить общий интеграл. Уравнение (28)
получено из уравнений (26) и (27) при помощи исключения а и Ь% и,
следовательно, существуют три функции:
г =Л (*. У)* а =к (*» У)> ъ —ft (*f y)t
удовлетворяющие уравнениям (26) и (27). Подставим эти три выражения
в уравнение (26) и возьмем полный диференциал (по а: и по у):
^dx+wdy^{pdx+qdy)+^da+^db^°- (29)
Отсюда в силу (27) следует:
^da + ^rdb = 09 (30)
Ьа ' Ъх ' db Ъх '
Ъа*Ъу *Ь Ьу
Этим уравнениям можно удовл.творить при следующих условиях;
(30')
i Oeuvres, т. III, стр. 546,

92 ДИФЁРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гл. II
1. а и Ь — постоянные; уравнение (26) представляет в этом случае
полный интеграл, т. е. семейство интегральных поверхностей,
содержащее оо2 поверхностей.
Исключая а и Ъ из этих двух уравнений и из уравнений (26), мы
приходим к соотношению между х, yf z> которое не содержит ни
произвольной функции, ни произвольных постоянных и не может быть
получено из общего интеграла. Этб соотношение называют особым
интегралом; геометрически оно представляет собою поверхность, огибающую оо2
поверхностей, соответствующих полному интегралу.
о. Если — и «— не равны тождественно нулю, то, исключая
да до
— и — из уравнения (30г), мы придем к соотношению:
Ъ(а, Ь)
д{х,у)
= 0, (31)
и, следовательно, между а и Ъ существует некоторая функциональная
зависимость, например 6 = <р(а). Таким образом мы имеем:
db = cpf (a) da.
Подставив это значение db в уравнение (30), мы придем к
соотношению*
ЕГ + ^М-О. (32)
Исключая а из уравнений (32) и (26), мы получаем решение, которое
содержит уже не только произвольную постоянную, а произвольную
функцию и, следовательно, представчяет собою общее решение.
Практически, конечно, исключение произвольного постоянного может быть
произведено лишь после того, как произвольная функция как-то задана.
Геометрически задание b как функции от а означает выделение
семейства от одного параметра поверхностей из семейства, зависящего от двух
пзраметров (т. е. из оо2 поверхностей). Исключая а из уравнения
V[x,y,z,a,if(a)*\=.Q (33)
и из уравнения
dV\x,y, z< а, ср(д)]
да
1 = 0, (34)
получающегося путем диференцирования этого уравнения по а, мы
придем к огибающей оо1 поверхностей (33). Обратим взимание на разницу
между общим и особым решением; особое решение получается как
огибающая оо* поверхностей, между тем как общее решение
представляет собою огибающую оо1 поверхностей, выбор которых в известной
мере произволен.

§ 24 , Метод характеристик 98
Рассмотрим пример:
V~ ax-\-by-\-z — а2 — £2 = 0. ,
Полному интегралу соответствует в данном случае семейство плоскостей.
Уравнениями (27) и (28) в этом примере служат:
px + qy — z-f-/>2 + ?2 = 0.
Последнее уравнение не линейно. Особое решение получится, если из
равенств ч
^=л;_2а = 0, ~=J> — 26 = 0
йа ЬЬ ' .
исключить постоянные а и Ь. Таким образом оно имеет вид:
х2-\-у2 + 4г = 0.
Это уравнение представляет параболоид вращения, огибающий данные
плоскости. Общее уравнение мы получаем из уравнений:
а* + ¥ (а)У + z — я2 — [<Р (я)]2 = 0>
* + <Pf (а)^ — 2а — 2? (а) <РГ (Л) = 0
путем исключения а.
Для некоторых определенных уравнений вица (28) полный интеграл
получается непосредственно. Так, например, для уравнения
pq=\
полным интегралом служит
z = ах 4- — + Ь.
1 а 1
Аналогичный метод применим и в более общем случае, когда
переменные х,у, г в уравнение (28) не входят, т. е. для уравнений вида:
; ?=/(/>).
Полагая р = а и ^=/(а), мы приходим в этом случае к полному
интегралу:
z = ах -\*f{a) у -j- Ь.
§ 24. Метод характеристик. Разработанный Коши1 и Ли2 метод
интегрирования нелинейных диференциальных уравнений первого
порядка основан на понятии о характеристиках. Под элементом мы
будем разуметь точку х, у, z и проходящую через нее плоскость с
наклоном ру qz. Элемент определяется с помощью пяти величин х, у> z} py q9
iCauchy, Exercices d'analyse et de physique mathematique, том II,
стр. 238-272.
2 S. L i e, Geometrie der Bertihrungstransformationen. Bearbeltet von G. Schef-
fers, т. I (Teubner, 1896), стр. 521 и далее.
3 Это значит, что направляющие косинусы нормали к этой плоскости
ропорциональны pt qt — 1.

94 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, Гл. II
из которых три служат для определения „точки", а два служат для
определения направления плоскости, проходящей через эту точку.
В пространстве существует ооб элементов. — Рассмотрим непрерывную
последовательность элементов, определяемую равенствами:
*=Л(и)> .У=Л(«). *=/а(»). Р=А(и)> tf—/5(«). (35)
где и — параметр, а /г(и), . .♦, fb(u) — заданные непрерывные функции.
Равенства (35) определяют кривую и вместе с тем плоскость,
проходящую через каждую точку этой кривой (черт. 32). Следующие одна за
другой плоскости определят при этом своими пересечениями ряд прямых;
прямые эти, вообще говоря, не пересекают нашу кривую. Если в
частности такое пересечение имеет место, то элементы называются соединен-
XX£=t^=Caz&
Черт. 32. Черт. 33.
ними. В этом случае плоскости огибают поверхность, проходящую через
данную кривую. Пусть уравнением этой поверхности служит г = Ф(ху у).
В таком случае точки данной кривой удовлетворяют уравнениям:
ЪФ дФ
г = Ф(х,у), р=-, ?=-, (36)
иди
dz=pdx + qdy. (37)
Внеся выражения (35) в это равенство, мы получим:
/3 (и) =/4 (и). fx («) +/» (и) -/2 (в).
Пусть (36) означает частный интеграл уравнения:
F(xyyiz,piq) = 0. (38>
Будем исходить из элемента х0у yQi zQ, pQ, q0 этой интегральной
поверхности, т. е. пусть
*о = Ф (*о. Уо)> Ро = фх (*о> Л). 9о — % (*0, у0).
Рассмотрим такие перемещения на интегральной поверхности, исходящие
из точки лг0, у0, zQr проекции которых на плоскость ху удовлетворяют
уравнению:
dx dy
-R=QdUt <39>
При этом параметр и надо выбрать таким образом, чтобы при а = 0
было х = х0 и у=у0. Для простоты предположим, что функция F
в окрестности точки лг0, y0t z0> /?0, q0 является аналитической функцией
и, кроме того, что Q^=0.
Так как Р и Q—заданные функции от ху yt z, p, q (§ 9) и,
следовательно, в силу (36) зависят только от х и у, то в результате инте*

§'24
Метод характеристик
. 95
грирования уравнений (39) мы получим кривую, лежащую в плоскости
ху и проходящую через точку х0> у0. Этой плоской кривой на
поверхности (36) соответствует вполне определенная пространственная кривая,
т. е. последовательность соединенных элементов лг, у, z, р, q
отдельных точек х9 у> г этой пространственной кривой, причем р и q в
данном случае получаютсй из уравнений (36). Мы называем эту кривую
характеристикой^ а упомянутую только что последовательность
элементов— характеристической полосой (черт. 33). Через каждую точку
интегральной поверхности проходит характеристика, так что на всей
плоскости имеется оо1 характеристик. Поверхность лгожно построить
из характеристик или же из характеристических полос. Укажем теперь
способ вычисления этих последних.
Пусть х, у, z, ру q является элементом интегральной поверхности
г=гф(л;, у); пусть х-+-Ьх, У-\-Ъуу z-\-$Zy p-f-Зл q-\-bq является
соседним элементом поверхности, причем этот последний может и не
лежать на той же характеристике, на которой лежит первый элемент.
Введем обозначения:
Г~Ъх*; S~bxbyl ~W
Тогда согласно определению
bz—pbx-\-qbyy
bp = rbx-\-sby, \ (40)
bq=sbx-\-tby.
С другой стороны, пусть
x-{-dXy y-\-dy, z-\-dZy d-\-dpy q\dq
будет соседним элементом по отношению к Ху у9 zy p, q на той же
характеристике. В таком случае
dz—pdx-\-qdy, Л
dp= rdx-\-sdyy \ (41)
dq—sdx-j- tdy. J
Взяв полный диференциал от уравнения (38), мы получкм:
Xbx+Yby-\-Zbz + Pbp + Qbq = 0.
Заменяя Р и Q их значениями из (39)
*-£■ *-& т
a bZy bpt bq — их значениями из (40), мы будем иметь:
«*(*+*+'£+'£)+*(>ч-#*+.£+«*)'-*<<ч
или, на основании (41):

96 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гл. П " J
Так как Ьх и Ьу независты друг от друга, то мы имеем:
Г + 0 + %-0.
(48)
С другой стороны, если продиференцировать уравнение (38) вдоль
характеристики, то получится:
Xdx+Ydy + Zdz-\-Pdp-^Qdq = 0.
Заменив здесь dx через Pdu, a dy через Qda и приняв во внимание
(43), мы будем иметь:
{(PX+QY— P(X-{-pZy>— Q(Y-{-qZ)}du-\-Zdz==0
или
< dz = (Pp-\-Qp)du. (44)
Из сопоставления диференциальных уравнений (39), (43) и (44) следует:
*2 = dJL = dz . = ^_ = d±-^du. (45)
Р Q Pp + Qq X-ypZ Y+qZ \ K }
С первыми двумя из этих уравнений мы уже встретились [см. (25)J
при исследовании линейных диференциальных уравнений (13). Они
показывают, что характеристики в каждой точке интегральной
поверхности касаются одной из образующих тангенциального конуса Г.
В результате интегрирования системы уравнений получаются функции,
которые определяются вполне однозначно заданием начального элемента:
«*—f\ \и> хо> Уо> *о» А>» ?о)> |
*—&(», лг0,^о> *о> А» Яо)>
p^ftiu, х0У уф zQy p0y q0),
Я—А(и> *о> Уо» Zq> Pv Яо\ )
(46)
При и = 0 эти функции обращаются соответственно в х0, >'0, z0i р0У q0.
Если эти выражения подставить в функцию F(xt y^ z, p, q)y то
получится функция, зависящая только от и. Возьмем производную от
этой функции. Легко проверить, что в силу уравнений (45) она
обращается в нуль. Итак, для совокупности элементов (46) функция
F{xyyyz,pyq)
должна сохранять постоянное значение. Отсюда следует, что (46)
представляет собою характеристическую полосу, (36) в том и только в том
случае, когда
/Ч*о>-Уо>*о,А>>?о) = °- (47)
Если ограничиться только теми начальными элементами xQy y0, z0> pQy q0>

§ 24
Мет^д характеристик
97
крторые удовлетворяют этому ур^вненир, то различные
характеристические полосы интегральной поверхности (38) окажутся выраженными
в зависимости рт параметров ц, jc0i j^, цу р^ q0. рели фиксировать
пять последние элементов и изменять трл>ко иу то получатся
последовательней элементы некоторой характеристической полосы. HaobqpqT,
вариации $Q1 yQy z0, p0, qQ [при условии, что при этой вариации
уравнения (47) остается в силе] о^ндч^т деереход от о^ной
характеристики к другой. ^
Так как функции (46) совершенно не зависят от интегральной
поверхности Ф, которая являлась исхолдьщ пунктов в наэдем
рассуждении, то мы приходим к следующему очень важному заключению:
интегральная поверхность, содержащая элемент лг0, j/0, zQf pQy qQ, содержит
также и все элементы характеристической полосы (46), Яро^одящей
через эту точку xQJ y0J z*. Иными словами: две интегральные
поверхности, которые касаются в какой-либо точке* касаются вдоль" всей
характеристики.
Это можно выразить и так. Допустим, что уравнение (47)
удовлетворено. Интегральная поверхность
*=Ф (*,,), р=|£, <-$ (48)
содержит характеристическую полосу (46) в том и только в том случае,
когда она содержит начальный элемент, т. е. когд^
Эти три равенства вместе с уравнениями (46) я (47) определяют* все
элементы искомой интегральней поверхности» Если из девяти уравнений
(46), (47), (49) исключить (поскольку это возможно) шесть величин
к> *о> Уо> zo> Ро> #о> то снова получатся уравнения (48), которые
выражают г, р, q как функции от х и у, т- е. определяют искомую
интегральную поверхность.
Определим q0 и и из уравнения (47) и первого из уравнений (46)
и подставим полученные выражения в преледние четыре уравнения (46).
Мы получим:
У = $х(х> *л» Уо> *о> М )
г = ф2(лг, x09 yOJ z0, р0),
Р^Фз<(*» *о> Уо> fa. А>)>
0 = «M*» *о» -Уо» *о> Ро)-
(50)
При заданных х0 значения y0f z0i pQ остаются содеер/деданр ододадода-
ными, а это означает, что семейство характеристик зависит от трех
параметров. К тому же результату можно притти и на основании
геометрических соображений. А именно, мы установили, что в каждой точке
существует оо1 допустимых в смысле заданного диференциального
уравнения направлений, каждре из .которых определяет характеристик;
таким образом из каждой точки исходят оо1 характеристик, которые
образуют интегральную поверхность с особой (конической) точкой. Так
как пространство состоит из оо3 точек, то этщ .способом можно
* Веботвр.

98 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гл. \\
получить оо* характеристик: однако различных среди этих характеристик
имеется только оо3, так как на каждой характеристике лежит оо1 точек.
Характеристики образуют так называемый комплекс кривых. Линейные
уравнения представляют собою исключение, для них существует только
оо2 характеристик, так как направление характеристики линейного
уравнения определяется в каждой точке пространства вполне однозначно.
Чтобы решить проблему Коши, выразим начальный элемент через
один параметр:
^o = ?iH. yo = b(v)> *o = <?Av)> Po — TiW» 9о — Ъ(")- (51)
Эти пять функций необходимо выбрать так, чтобы поверхность,
проведенная, через кривую (46), была интегральной поверхностью. Как этф
сделать?
Подставим эти функции в уравнения (46):
(52)
Если и и v являются независимыми параметрами, то три первые из
этих уравнений представляют поверхность. Уравнения (52) определяют
семейство элементов; для того чтобы эти элементы были соединенными
элементами, необходимо, чтобы удовлетворялись уравнения:
Ы=РЫ+ЧЪй> (53)
*-'* + «£• (54)
F(x, у, z, p, q) = 0. (55)
Но для того чтобы удовлетворялось уравнение (55), необходимо
и достаточно, чтобы
^(*в» У* zo> Po- Чо) = °- (47')
Уравнение (53) является следствием уравнений (45) (v = const.). Чтобы
удовлетворить также и уравнению (54), полагаем
Ъг Jx Ъу
ДиференцированиеГ этого уравнения по и дает:
^=i!f__ ji!£._ *i!L_^*£_*2.^ Г57)
iu iudv Pbubv '6u6v bubv bubv' * '

§ 24 Метод характеристик 99
Далее, при диференцировании (53) по v получается:
0-25L-» *!_,&_?£**_*!**. (58)
ЪиЪо гЪиЪ® Ъим bvbu bv Ъи *
Вычтем из уравнения (58) уравнение (57):
ЪН Ър_Ъх Ър^Ъх^ , Ъд^^у J?^y
Ъи iv ди Ъи Ъу bv Ъи Ъи Ъv^
(59)
Подставим в это уравнение выражения для производных по и, взятые
из уравнений (45):
Но из равенства F(x, у9 z, p, q) — 0 следует:
Xf + Y^+Z^+pf. + Q^0, (61)
Ъv * Ъv ' Ъу ' Ъи ' Ъу * '
а потому (60) дает:
ЪН 71 Ъх . Ъу Ъг\ 9ЖЛ х
(62)
Мы пришли к диферендиальному уравнению относительно Н.
Интегрирование этого уравнения дает:
в
Н=Н0е «• . (63)
/
Если Z представляет собою непрерывную функцию от и, то второй
множитель в этом выражении, представляющий собой показательную
функцию, никогда не может обратиться в нуль, а потому Н может
обратиться в нуль в том только случае, когда #0 = 0, т. е.
Ъг0 Ъх0 dv0 n iRA.
*--'о^-?о^=0. (64)
Таким образом для того чтобы получить интегральную поверхность,
надо х0, у0, zoy p0, q0 как функции параметра v определить так,
чтобы при этом удовлетворялись уравнения (47) и (64).
Исходя из этого, задачу Коши можно решить следующим образом.
Пусть наша кривая задана параметрически уравнениями:
*o™¥iW» Л — ФаМ* zo = b(vU
из (64) и (47) находим: /?0 = ф4(г>) и qo = <fb{v). Из трех первых
уравнений (52) получается параметрическое уравнение искомой интеграль-
7*

tOO ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гл. И
ной поверхности. Например, пусть задана кривая в плоскости х*=*х0
уравнением z — y(y). Тогда значения
х0 = const., z0 = f 0>0), ?0 = <р' (у0)
удовлетворяют уравнению (64). В этих выражениях в качестве
параметра v служит у0. Итак, мы получаем следующее правило для
определения общего интеграла диференциального уравнения первого порядка:
F{x, У> z, р, ?) = 0.
Надо при некоторых начальных условиях х0, у0, zQt pQ, q0,
удовлетворяющих уравнению
^(*о» Л» ** Лр tfo)^0»
проинтегрировать систему уравнений (45). В результате получатся
функции (46). Далее, полагая
*о = ¥(.Уо)» 9о = 9'Ы'
находим восемь уравнений для одиннадцати переменных. Исключая
из них и, у0, zQ, pQi qQJ получаем три уравнения:
* — ¥<*. Л *о)> />=<!>(*> Л *0)> Я = 1(х> У, *<>>»
которые и представляют общий интеграл заданного диференциального
уравнения.
Примеры. 1. Как особенно простой пример рассмотрим уравнение
или
Таким образом
fsl^ + ei —l) = 0f
*=F=Z=0, P = /7, Q=*q.
Уравнения (45) напишутся в данном случае так:
dx dy dz dp dq
~У ~ Y ~~* ~ ^~"O"*
Из последних уравнений заключаем, что
dp=~dq = Oy P^j>0, # = ?е»
а потому
dx dy
Ре ~Яе ~
Интегрируя эти уравнения, получим:
Яо(х~ *о) = Р()(У— Уо)> x — xo=Po(z — zq)'
Это—уравнения прямой, образующей с плоскостью ху угол в 45°.

§ 24 Метод характеристик 101
Комплекс характеристик представляет собою совокупность всех таких
прямых. Характеристики, проходящие через точку лг0, у0, образуют конус:
<С~-*о>г = (&-*о)г + (Ч-Л)1-
Этот конус можно рассматривать как огибающую его касательных
плоскостей1. Общий интеграл получается из следующих уравнений:
Я0{х — х0)=Ро(У— У0)> x—x0=p0(z — z0), p=p0, q = q0,
2. В виде второго примера решим уравнение:
Z=Txbi> или/> = *-/,?=0.
В данном случае
X=Y=Of Z=l, P = —q9 Q = -A
а уравнения (45) имеют вид:
dx dy dz dp dq
Интегрируя, получим:
x — x0^q — q0i y—y0=P—Po>
а так как
dz = 2pdx^2^qdx = 2^-(x — x0-{-qQ)dx,
ffo ?o
то «получим еще один интеграл:
z=P^(x-x0 + g0)K
Если к предыдущим уравнениям добавить еще
то получится общий интеграл. Характеристиками этого уравнения
служат параболы, лежащие в вертикальных, плоскостях; уравнение
характеристик, проходящих через точку л:0, у0У z0i напишется так:
Чй
Ро Яо
* Это же можно показать, непосредственно диференцируя по 4Ь уравнение:
С — г0 = /?о (5 — *о) + q0(n — У»)
(см. 6) и принимая во внимание равенство

102 Диференциальные уравнения первого порядка Гл. II
3. Рассмотрим, наконец, уравнение:
*У = Щу* ИЛИ 55^""Ля0*
В этом случае
Х=У, Y=xy Z=0, P= — qt Q=—P,
dx dy dz dp dq
^~T~2pq~J~lcm
Умножая последние уравнения на xy*=pq9 получим:
р dx = q dy—— — х dp =y dq.
Интегрирование этих уравнений дает:
хо А> ' У о Яо*
dz = 2pdx = 2^xdx^=2qdy^2^ydyt
хо Уо
хо Уо
Хдрактеристиками этого уравнения, в противоположность предыдущим
примерам, служат кривые двойной кривизны.
Так как х0у0=?р0д0, то полным интегралом данного уравнения будет:
(z-z0)*^(x*-~xl){y*-yl)t
а его общим интегралом:
*-У(Уо) = ^^(У2-У$-
Уо
Ясно, что из последних двух уравнений надо еще исключить у0.
Изложенный только что способ решения задачи Коши может быть
распространен на диференциальные уравнения первого порядка с любым
числом независимых переменных:
F{xv х2,... , хя; z, pv р2,... , рп) = 0. (38')
Характеристики, по аналогии с предыдущим, определяются как
некоторые непрерывные последовательности элементов гиперпространства»

§ 24 Метод характеристик 103
Они получаются путем интегрирования системы уравнений: с
dxl dx9 dxn • dz
-*■ ,»Л. ' (45f)
Хш+Pj
Здесь
7_bF _ ite _*F _*F
К понятию характеристик мы вернемся еще в главе VI1.
* Литература: P. Mansion, Theorle der partlellen Differentlalglelchungen
erster Ordnung. Herausgegeben von H. Maser (Springer, U 92); E. Goursat,
Lecons sur fintegration des equations aux derivees partielles du premier ordre,
2-е изд. (Hermann, 1921); J. A. Serret — G. Scheff ers, Lehrbuch der
Differential-und Integralrechnung, т. Ill (Teubner, 1924), стр. 526 и далее; Э. Гурса,
Курс математического анализа, т. И, ч. Ц, гл. ХХП.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ
Волновое уравнение в одномерном пространстве.
Фундаментальные функции и фундаментальные числа
§ 25. Диференциальное уравнение Эйлера. Встречающиеся в
математической физике диференциальные уравнения в частных производных
порядка выше первого являются большей частью линейными; в
простейших случаях коэфициенты в этих уравнениях постоянны.
Одним из простейших видов диференциальных уравнений с двумя
независимыми переменными, порядок которого выше первого, является
следующее:
i^£=o. (1)
Найти общий интеграл этого уравнения не представляет никаких
трудностей. Введем вспомогательную переменную:
(2)
Тогда уравнение (1) перейдет
и =
в следующее:
Ьхт
= 0.
(3)
Решение же этого последнего напишется так:
и = А0 + А1х + А2х*+...+Ат_1х>"-\ (4)
При этом A0f Л1Э... , Ат„г не зависят от х, т. е. они являются
какими-то функциями одного только у.
Выберем функции У0, Yv ... , Ут„г от у так, чтобы
dn V dnY dnV
А — ° A —ZJ-L А — т~г (Ъ\
°~ dyn ' 1_ dy'**" Я|-1~ dya # ()
Из (2) и (4) после я-кратного интегрирования мы получим:
*= Г0 + Y,x + Y2x* f ... + Ут^т'г +
+ *0 + X#±XJ*+...+Xtt_1p-*. , (6)
Входящие в это равен:ство Х0, Х19.,,, Хп^ суть йёкоторые
функции от х* Справедливо таюке и обратное утверждение: сумма (6),

§ 25
ДИФЕРЕНЦЙАЛЬЙОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА
105
гйе Л^ — йрбизволвнше функции 6f jt9 a У^ — произволвные функции от^у,
удовлетворяет уравнению (1). Таким образом общее решение зависит
от w + л произвольных функций.
Например, уравнение йторого порядка
ЪхЬу'
(7)
имеет общее решение:
* = ЛН-Ув^<р{*) + ф(у). (8)
Более общий вйдуравйёйиа вто^Ьго порядка, исследовайййй Эйлером:
(9)
Лаг» ~ й* a v • *\>2 *
алгду ■ »>*
где а, £, с — постоянные, сводится к урав-нению (7).
Введем новые независимые переменные S, ij, связанные со старыми
пе|рёменныяи хну линейной зависимостью:
(10)
Мы
будем
иметь
Ьх
Ьу
~~ & Ьх
iz&
SJ& Ъу~
<[Х-Ц-Ъуз*=Ц. )
.iz Ц Ъг . bz
Наше уравнение (9) после этого пр£о&раёбБа&ия примет вид:
{аа* -f 2Ьа$ + <#2) ^ + («у2 + 2*Y* + М ^ +
(И)
'д£*
J>%
+ 2 [aay + b (aS + py) + <#] '^j ** °
(12)
При соответствующем вы'боре a, {}, у и & можно достигнуть того,
что первые два члена уравнения (12) обратятся в,нуль. Пусть с^=0.
Обозначим через \ 'и \ корйи квадратного уравнения:
а + Щ + скЫ±0/ (13)
Предположим сначала, что "кл^=\. Если а, [I, у и 8 придать значения:
а — у—1, И^1. 8=V O4)

Юб Волновое уравнение Гл. Ill
то первые два члена в уравнении (12) обратятся в нуль, и это
уравнение примет вид:
1«+»(».+У+^1^=о, (15)
или так как % • ч 2* * % ** /i*v
*i+*a = — у> *Аву О6)
2 , te. д**
Как известно, корни X, и Х2 действительны и различны, если
Ь2 — а<:>0,
действительны и равны, если
b2—ac = 0t
и мнимы, если ._ .л
*2 — а* < 0.
В соответствии с этим среди диференциальных уравнений вида (9) раз*
личают уравнения гиперболического, параболического и эллиптического
типа. Значение этой классификации выяснится в главе VI.
Итак, в случае г^О, Ъ2— асфО мы получим:
£ц=0,х-<ЦЪ) + )(1й. (18)
Таким образом для уравнений гиперболического и эллиптического типа
мы имеем. *»*(* + М "И (* + \у)> (19)
Если с =£ 0 и Ь2— ас = 0, то оба корня \г и 1^ совпадают, и если
з> Pt Yt $ приданы значения, указанные в равенстве (14), то £
окажется равным i). Поэтому в данном случае для решения уравнения (9)
необходимо искать других путей;
Не фиксируя у и 8, придадим а и (5 следующие значения:
Коэфициент при третьем члене (12)
ач + Ь(Ь + ч\) + с\Ь==(а-{-Ь\)ч + (Ь + с1)Ь (20)
обращается при этом в нуль, так как
... ас-*- Ь2 л • I ч л
При соответствующем выборе у и 8 (например, при у —0, i=l)
коэфициент во втором члене этого уравнения окажется отличным от нуля,
между тем как коэфициент при первом члене обратится в нуль. Таким
образом уравнение (12) перейдет в следующее:

§ 26 Уравнение колебаний струны 107
следовательно, общий интеграл уравнения параболического типа имеет вид:
*-^(6) + ЧФ(5) = »(* + \у) + (Т* + адФ(* + Ы (22)
где ср и ф—две произвольные (дважды диференцируемые) функции, а у и
Ь — произвольные постоянные. Путем непосредственной подстановки мы
легко можем убедиться, что выражение (22) удовлетворяет уравнению (9)
при любых значениях у и Ъ.
Если с = 0 и а^О, го в приведенном только что рассуждении надо
заменить а через с и х—через у. Если а = с = 0, то это значит, что
уравнение (9) задано непосредственно в форме (18).
§ 26. Уравнение колебаний струны (волновое уравнение в
одномерном пространстве). Предыдущий способ можно применить к нахождению
решения диференциального уравнения колебаний струны [§ 12, (116)].
Предположим сначала, что струна наша неограниченно простирается
в обе стороны. Диференциальное уравнение колебаний струны, на ко*
торую не действуют внешние силы, имеет вид:
Это уравнение является вместе с тем и уравнением распространения
звука в одном измерении. Ясно, что это уравнение принадлежит к типу
уравнений (9). Мы будемv считать, что &=£0, и притом вначале будем
предполагать а постоянным.
Полагая, согласно сказанному в § 25,
причем
X* —а* = 0, \ = а, Х2=— а,
мы получим [см. (19)]: »
и = ср(лг4-аО + ф(АГ— at), (24)
где <р и ф суть произвольные (дважды диференцируемые) функции. Это
решение принадлежит Даламберу 1.
Оба члена этого решения
имеют простое наглядное значение.
Положим
«1 = <И><) = Ф(* — <**)•
Для каждого значения т) функция^
имеет вполне определенное
значение. Если представить иг как
функцию х и*, то tfj окажется постоянным
ВДОЛЬ ЛИНИИ Т) =« X at «as COnSt.,
так что соответствующая поверх- Черт. 34.
ность будет представлять собою
цилиндр, образующие которого параллельны прямой x=*at (черт. 34).
* Berlin. М$пь, 1747, стр. 214, 220.

108
Волновое уравнение
Гл. Ill
Чтобы найти щ в определенный момент времени t% пересекаем эту
поверхность плоскостью, параллельной плоскости ха и находящейся
на расстоянии t Of зтой Последней. Кривую пересечения можно
представить как след нашего цилиндра на плоскости tf = 0, параллельно
перенесенный в сторону положительных t на {>а£Стойние ut.
Таким образом, если исходить (Сначала ^лько из первого члена
y(x-\-at) уравнения (24), to окажется, что первоначальное положение
струны в течение всего движения (колебаний) сохраните неизменным;
смещение u = ty(x) распространяется в вйДе волны направо со
скоростью а. Первый член t((x-\-at) представляет собою ПО
аналогии волну, которая равномерно со Скорости) а распространяется
налево.
Произвольные функции <р и ф, входйщйе Ь решение (24), могут
быть определены на основании так называемых начальных условий.
Зададим б какой-либо момент, например при / = 0, положение и
скорость каждой частицы струны или колеблющегося воздуха.
Пусть
u=±F(x)
Ьи \ Ш * = 0.
Функция F(x) означает здесь первоначальное смещение точки дг,
a G(x) — ее начальную скорость. При этом мы Предполагаем, что F(x)
можно диференцировать дважды, а О \х)
можно дифёренцировать по крайней taepe один раз.
Ясно, что мы имеем здесь дело с
частным случаем так называемой задачи Коши для
диференциальных уравнений второго
порядка (23): в плоскости 1 = 0 заданы функция и
и ее проиаводная —, т. е. след интеграль-
dt
ной поверхности и ее наклон относительно
Черт. 35. плоскости £=±=0; таким Образом Требуется
найти интегральную поверхность (черт. 35),
содержащую не только данную кривую, но и данную
полосу (§ 21). . ■
В этом случае задача Коши решается следующим образом. Для всех
значений х и t мы имеем:
й=±=<р (x-\-at) -f ^<аг —to/),
Ы
j;=a№(x + aQ-V(x-at)l j
(25)
Так что для * = 0
0(х) = а[чЦх)-фМ].

§ 26 Уравнение колебаний струны 109
Интегрируя последнее выражение от постоянного значения х0 до х, мы
получим:
Jfo
т. е. для всех х
X
х
ф (х) = 1 Г F(at) - -i f О (*) rf* j .
(26)
и«=2
Таким обрззом ми поручаем нюкеследуодее «щоизменецче решения
Даламбера: ,
*+«< х — а!
Xp Xo
Ix-hai
Pfr + at\ + F(x~0t) + ~ [o{*)4x\m (27)
x-at
Как указал Ст$кса, эта формула долускдет яледудещуф датерпре-
тацию: решение состоит из двух частей, каждая из которых зависит
соответственно только от начального положения и только от начальной
скорости. Первая часть получается из второй диференцированием этой
последней по времени # заменой начальной скорости начальным
смещением. Это свойство решения имеет место также в других аналогичных
уравнениях в частных производных (§ 44 и 46).
Два чзстнедс случая этой начальной задачи особенно замечательны.
Если в момент / = 0 придать струне любую изогнутую форму и
отпустить ее <£е£ начальной корост**), w <?<#)?=©; в гаком еяучде #ы
будем иметь:
и*** J~ [?{х -f si) + F(x—st)]9
* т. е. мы получим две всщны рдинакрао# формы, .каждая из которых
по своей величине равна половине первоначальной. С другой стороны,
рассмотрим тот случай, когда первоначальное смещение равно повсюду
нул-ю, т.. е, /\^)яр=9, а яердаодаа^аяьна* скдрость щроюв^лм/А.
Если 4/
то 1
» О. Q. Stokes, Mathematical and Physical Papers, т. П, стр. 261—264.

НО Волновое уравнение Гл. III
В данном случае и слагается из двух волн одинакового вида, из
которых одна является зеркальным отображением другой относительно оси Ох.
В общем случае смещение зависит как от начального положения струны,
так и от ее начальной скорости. Принимая во внимание симметричность
диференциального уравнения (23) относительно х и t I при замене х и t
друг другом а перех
для #=0. Например:
1\
друг другом а переходит в — J f можно написать начальные условия
при #=0.
Таким образом возможны двоякого рода начальные условия: одни —
для заданного момента времени, а другие—для заданной в пространстве
точки; в обоих случаях решение содержит две произвольные функции.
§ 27* Струна с закрепленными концами, а) До сих пор мы
предполагали, что колеблющаяся струна или колеблющийся воздух
неограничен. Рассмотрим теперь струну, ограниченную с одной стороны, правый
конец которой находится в точке лг = /. На этом конце можно задать
различные „краевые условия*. Мы можем, например, предположить, что
этот конец закреплен, т. е. что в любое время и = 0 для # = /; такая
точка называется узлом. Для звуковых волн это условие может быть
осуществлено с помощью стены, перпендикулярной оси Ох (закрытая
труба). Если в решение Даламбера (27) подставить х = 1, то получится:
1+ at
0 = F(l+at)-{-Fil — at) + — Г G(x)dx.
I-at
Диференцируя это равенство по *, будем иметь:
0 = aFr(/ + a/) — aF9(l — at) + G (l + at) + G(l — at):
Первое из этих уравнений дает F(l) — 0 при * = 0. Заменив во
втором t на —t, получим:
О— а/* (/ + «<) — aF'(l — at) — G(l+at) — 0(1 — at),
т е
F'(l + at) = F'(l — at),
G(l-\-at) = — G(l — at).
Эти уравнения показывают, что F9(l-\-at) — четная функция от /,
а 0(/ + at) — нечетная1.
* Четная функция y=f(x) характеризуется равенством /(—*)=/(*), а
нечетная — равенством/(— х) =— / (*). График четной функции симметричен
относительно оси у\ график нечетной функции симметричен относительно начала
координат (черт. 36, 37). Простейшими примерами четных и нечетных функций
являются X* и х или cos* и sin*. При лиференцировании четная функция
переходит в нечетную, а нечетная — в четную.

§ 27
Струна с закрепленными концами
111
Так как F(t) — Qt то из предпоследнего равенства следует, что
функция F(l-\-at) — нечетная, т. е.
F(l + at) = — F(l—at);
таким образом
F(l + x)=*-F{l-x).
Для простоты положим, что О(л:) = 0. Перенесем точки u = F(x)
(/ = 0, O^x^l) по цилиндрической образующей, параллельной
плоскости х=at, с координатной плоскости * = 0 на плоскость *=/. Мы
Черт. 36.
Черт. 37.
получим для х — 1 значения волны F(x — at), распространяющейся
направо (черт. 38). Эти значения должны уничтожаться значениями
волн, распространяющихся налево, а эти последние получаются
перенесением кривой F(l-\-x)=.— F(l — х) на плоскость *=»/ по
образующим, параллельным плоскости д:= — at. Обе кривые лежат в
плоскости х=1 и расположены симметрично относительно точки лг = /.
Мы можем сказать, что первоначальная волна, направляющаяся к точ-
тсе # = /, отражается в этой точке с обратным знаком (на этом
основано явление эхо). Если струна закреплена на обоих .своих концах,
то и на втором ее конце получается такое же отражение. Совершенно
так же можно
исследовать волну,
вызванную начальной
скоростью.
Таким образом
движение струны,
закрепленной на обоих
концах, складывается
из двух волн, которые
непрерывно пробегают
Vno струне в
противоположных направлениях;
все колебания
струны представляют
собою сумму этих двух
волн, возникающих при
отражении на концах.
Движение это периодично: после того как волна отразилась от
обоих концов, т. е. прошла путь, равный 2/, струна снова принимает
исходное положение, и явление снова повторяется, протекая так же,
как и в первый' раз.
Черт. 38.

112 Волновое уравнение Гл. III
Ь) Перейдем снова к колебаниям воздуха, Объемное расширение
Ъи . «
s = — удовлетворяет, очевидно, тому же диференциальному уравнению,
оХ
что и и, а именно:
&«о^, (28)
а потому:
5 = з;(л: + ^)-|-<о(^ —^). (29)
Решение (29) диференциального уравнения (28) можно получить
также из формулы (24). Действительно, диференцируя уравнение (24)
по лг, мы получивд:
£ - i (*+at)+V <* -at) - *.
откуда при
Ъх
получается (29).
На стене, перпендикулярной к пути распространения звука, имеем
и = 0; это еще не означает, однако, что s должно в этом случае
равняться нулю. Действительно, пусть х = 1 представляет собою такую
уз/ювую точку, т. е. пусть и = 0 при х = 1\ в такрм случае
¥(/ + «*)=»•
tf (If,
таким образом для всех значений t
l(l-\-at) = ®(l — at), (30a)
так что
Х(1 + х) ;*г®(1 — х). (30b)
Объемное расширение отражается без изменения знака, тос ято
изменение давления в узловой точке удваивается. Это явление наблюдаемся
в закрытом конце органной трубы. На открытом конце трубы имеет
место как раз обратное положение. Давление на открытом ко^це труОы,
очевидно, постоянно, так что $f=0; объемное расширение отражается,
изменяя свой знак на обратные, т. е. становится сжатием ^сгущедиеда),
между тем как смещение, как легко показать, знака своего де измедаеу.
Выведенное в§ 15 телеграфное уравнение переходит в ура^недие
колебаний струны, если сопротивление R и утечка электричества $ равны
нулю. В этом случае смещению и соответствует разности потенциалов У,
а расширению s — сила то*са /. Если перекрыть (замкнуть) проводников
два параллельных провода, то получается замкнутый контур хока,
который соответствует явлениям в закрытой трубе. Разность потенциалов V
в месте замыкания тока равна нулю и „отражается* с переменой знаке,
между тем как сила тока J сохраняет свой знак неизменным. Открытое
трубе соответствует одил только провод с разомкнутой депью, например
радиоантенна. В этом случае сила тока ва #онце равна нули? ц
отражается с противоположным знаком, между тем как разность потенциалов
своего знака не меняет.

§ 27 Струна с закрепленными концами \Щ
ъ с) Особенно большое значение идекуг т$ решения u(xt t\ урдвне-
ния (23), которые при кажаом значении х периодичны относительно
времени t9 т. е. удовлетворяют уравнению:
u(xJ + T)±=u(x%t)
(Т не завдсит от х). Такое решение дает<$, н$при]и§р, фунядияадя
co.sk(x±at) (k>0);
sin — v ^ '
для периода (продолжительности) колебанцй Tt пди этоц црдучдотда
kaT=2u, Г«?^. (31)
Величина — f обратная периоду, называется числом колебаний,
а произведение Ц-чаешопо* иомбаниП. Числа, кратные Т, также
являются периодами. Функции
' COS
sinnk(x±:ai) (n — цело© числа, пфЩ
Т •
имеют период —, следовательно, и подавно период Г.
Более общее решение представляет; бесконечный ряд:
оо
й=^Г {Ancobnk(x^at) + Bnsinnk(x-\-at}-\*
n=i
+ Сп cos nk (x — at) -f Dn sin nk (x — at)}, (32)
в котором коэфициенты подобраны та^, что этот ряд сходится и до*
пускает почленное двукратное диференцирование.
Пусть дг==0 и д: = / будут узлевдми точками уравнения (32). При
лг = 0 мы в таком случае получим:
оо
£ U4»+ CJ <*»«*# +($a-D„)sinnkat} =0^
Как мы увидим в дальнейшем (§ ЗЗЬ), если такой ряд тождественно
обращается в нул>, то при этом равны нулю qc§ коэфициенты при си-
У нусах и косинусах. Таким образом получится:
Аа = -Сп, Вл = Оп (п=1,2, 3,.,.)
и
оо
й= ^ {Лл[со8Я&(лг-|-аО— cosnk(x — аЩ-\-
-|- Вп [ цп nfr (х + аО ~b # л^ (* — at)]} —
оо
== 2 ^(— А а sin /?,/га^ -{- B^cqs nkaty щпкх, ЧЩ
3 Вебстер,

114 Волновое уравнение Гл. Ill
Так как х=1 также является узловой точкой, то
оо
Y^j (— Ап s*n nkat + Вп cos nka*) sin nkl — G* (34)
/1=1
Согласно предыдущему замечанию либо все Ап и Вп должны быть равны
нулю, либо п должно быть выбрано так, чтобы
sin nkl = 0.
Это уравнение равносильно следующему:
nkl=ти%
(35)
где т — целое число, т. е.
nk-
mvc
2п
nka
21_
та
(36)
При /и=1 получаются колебания с наибольшими периодами, дающие
так называемый основной тон. Период основного тона равен удвоенной
длине струны (или трубы), деленной на скорость поперечных колебаний
струны, т. е. на скорость распространения звука.
Выражения
cos / * — '
периодичны не только относительно t, но и относительно х. Они
остаются неизменными, когда х увеличивается на величину X,
удовлетворяющую уравнению: )
^=2*. (37)
2/
Число Х~ =— называется длиной волны этого колебания; она
т
равна пути, пройденному волной за время Тт. Наибольшая длина
волны X равна 21.
Узлы колебания (для простоты мы пишем
К и вт вместо Вп и — Ая)
А^=г) (38)
muat
лежат в точках
__П I 21 Ы .
X — U, | ~— , —— | • • • , (•
т т т
Черт. 39. " Они делят всю длину струны на т равных
отрезков, как это показано на черт. 39.
В середине каждого отрезка находится пучность — точка с наибольшим
отклонением от среднего положения. Период и длина волны
колебания (38) соответственно равны /я-й части периода и длины волны основ-

§ 28 Теория малых колебаний 115
нбго тона, а частота этого колебания в т раз больше частоты основ*
ного тона. Эти колебания (38) называют гармоническими обертонами
Общее колебание 'струны слагается, как это будет показано в § 42
из бесконечного числа таких гармонических колебаний 1:
«—£ sin— I A>»cos—r+B>»cos-r r (39)
Если для начального момента / = 0 задана форма струны а=/(лг),
то из (39) следует:
fflal
Таким образом мы вполне естественно приходим к вопросу о
разложении функций в тригонометрический ряд.
§ 28. Теория малых колебаний. Раньше чем перейти к разложению
функции в тригонометрический ряд, мы рассмотрим еще раз вопрос
о колебании струны, но подойдем теперь к этому вопросу с несколько
иной точки зрения: мы займемся сначала исследованием так называемых
малых" колебаний системы, имеющей очень большое, но конечное число
степеней свободы.
а) Пусть некоторая система определена с помощью координат Ла-
гранжа (§ 11). Пусть ее кинетическая энергия равна:
- я - п
p-ssj vssl
т. е. представляет собою квадратную форму от производных по
времени, причем коэфициенты а^ в выражении (41) зависят только от
координат ql% qv ...,?„. Пусть, кроме того, потенциальная энергия W
зависит только от координат q1% q2, ... , qn и разлагается в ряд Тейлора:
~*+§*CD.+t5§«.*(&).+- «2>
Здесь через W0 обозначено значение, которое принимает W, когда
все координаты равны нулю (аналогичное обозначение введено также и
для производных). Обобщенные координаты сил мы получим, диферен-
цируя W:
Р* ^ (»=1,2,3,...). (43)
Положим, что значениям qH соответствует устойчивое равновесие
системы; в таком случае W для этих значений q4 имеет минимум, и,
следовательно, (Pv)0= [ — т— ) ~ ° (v5SSS ** 2, ... f я). Если отбросить
постоянную W0, не имеющую существенного значения, то окажется,
* Daniel Bernoulli, 1775.
8*

m
ВОЛНОВОД УРАВНЕНИЕ
Гл. Ill
что разложение W в этом случае н^чинает^ с кщ${щщичнц$ уледрр
от ^ . Длц небольших значений q4 членаяде вурщегц порока щ медод
пренебречь и рассматривать W как одноррднр) ^зад^ра^ичну^р фо|ОДУ
от q4 cJ постоянными коэфицценщами:
j n n ♦
W= -j X Z^iA (V = <>)• (44)
К&ауфщщнть! #R можно также рааложить по степеням qx
чщ чдо ^ длд неЗоддших значений q можно считать постоянными.
Квадратичные формы (41) й (44) суть положительно определенны^, т. е.
ддя в£е% значений переменных q они имеют положительное з&ачение,
9 Tfi^bKq лля ^==^=...=^ = 0 рбращаются в нуль,
Щщ^ цц в дадьнейщем будем считать, что
(45)
являются двумя положительно определенными* квадратичными формами*
с постоянными коэфициентами. Как известно, диференциальные
уравнение движения имеют вид:
В данном случае ~— = 0 и
•• ' '* bq,
ЪТ
Л~а"7^=^]?1 + ^2?2+---+^л«я (V==b 2,...,п). (47)
Ь) Раньше чем перейти к дальнейшему, рассмотрим тот случай»
когда мы имеем дело с одной только переменной, т. е. когда я==?1:
T=\aq\ W=\cq\
r=
w=.
л n n
n n
4SE«
f Г
ivYjtY*»
=<*«',
P = — cq,
d?q
«-аё = ~ся-
№
Здесь постоянная а представляет собою так называемый коэфициент
инерции, а с — коэфициент устойчивости. Пусть, кррне того, а>0ис>0.

^28 Теория малых колебаний П7
Ищем рёШейиё в виде:
q = Aemt, q" = m*Aemt. (49)
Пдйст£вляя эти вь1раж!ен#ё в уравнение, мы получим:
шп2 + с = 0, да = ±/т/ —, (50)
т. е. частными решениями этого уравнения будут:
Ь г а и е r a 9
или
COS
уЧ* и sinl/"a~'-
<51)
Следовательно, ббщим решением этого уравнения служит:
4^Ate&\/ -^t + Bsiny— * = Ccos(l/ — t — о),
где
С=/ЛН1Г2, a==arctg4->
т. е. гармоническое колебание с периодом
7=2*^/^ (52)
й С Числам колебаний, рабным
Период зависит, таким образом, от колеблющейся системы. Амплитуда С
и фаза & ос^гакУгся произвольными.
Если этому движению препятствует сила, пройЬ'рцибн&'льнай
скорости, тд диференци&льное уравнение колебаний напишется так:
» aJ=-cq-%Tf - (54)
Делая то же допущение (49), мы в данном случае для т поя^игсм
уравнение: ,—; .
e*» + *fc+b=6, я = -*.±у^±. (55)
Если х2<Час, то оба корня этого уравнения мййкы* й ренгейЯФй
служит:
(56)
*-*~*«»(/т-5?-':-в)
В этом случае получается зату*&кЩее гармоническое колебание

118
Волновое уравнение
Гл. Ш
с) Вернемся снова к общей задаче. Речь идет о линейном дифе-
ренциальном уравнении с постоянными коэфициентами:
а*7р "^а*!р ^~*## +ш™та?+с<Ът)~е*0* +• ••+*«*!
О (57)
(»=1. 2,..., л).
Полагаем:
q,~Af*% (58)
причем множитель от должен быть одинаков для всех значений v.
Подставляя в (57), получим:
А1 (««в,, + в,,) + Л2 (от2а,2 -f сп) + ... + А, («Чя + «1») = °» \
Al («4l + «2l) + 4> («'«I! + f2j) + • • • + An {"*"», + «2») = °»
Л (*"**+*m)+^2 («4i+**) + ••• + At («Ч»+сяя)=о.
(59)
Для того чтобы эта система линейных уравнений имела
нетривиальные решения А\, Л2 Ая, необходимо, чтобы детерминант ч
«4i + сп OT42 + 'м • ♦ ♦ «Ч. + 'i*
от2а2, + <г„ «2а„ + сю ... от*а2я -f '2« !
Z>„ (—»•) =
*4i + «*i rfert + «n • •••"*«« + ««
(60)
был равен нулю. Мы пришли к уравнению Лагранжа для частот.
Уравнение это /1-й степени относительно т2. Пусть корни этого уравнения
будут: m = ±mif т2,..., тп. Все эти корни, как мы сейчас покажем,
мнимы. Каждому корню тк соответствует система решений:
A?, i4j», .... Л« (61)
линейных уравнений (59), в которой хотя бы одно отлично от нуля.
Если в эти уравнения подставить
, т = тк, Л, = Л<*> (v = l,2,...,/i)f
а затем умножить их по порядку на сопряженные комплексные числа
А[*\А^...,А®
и сложить, то получится:
т\ Ё Ё **AfAf + Ё Е v«!W=о.
(62)
Если заменить A[k) через 0, + ф, и принять во внимание условие
симметрии а^ = а^, то первая из двойных сумм (62) примет вид:
п п п п и п

,§ 28 Теория малых колебаний 119
Аналогичным образом можно преобразовать и второй член выражения (62).
Таким образом получается:
<—TwTW) ' (6S)
Так как W н Т положительны, то отсюда следует, что т\
отрицательное, a /Wj— чисто мнимое число. Полагая
W(a) + W№
"•" тч«н-г<«' (63)
получим:
«2= \> mk=i<,k = iVTk, (64)
где ak — действительные числа.
Мы рассмотрим только тот случай, когда все корни уравнения
Лагранжа различны *. В этом случае числа (61) определены однозначно
с точностью до множителя пропорциональности. (Те же самые числа
соответствуют и корню — тк.) Отсюда получается частное решение:
дг = Af)emb*, q2 «= Afem*,..., qn = A^em^.
Подставляя в это равенство вместо т различные корни, мы получим п
частных решений. Общим решением служит сумма этих частных решений:
ql=A^em^B^e-^i+Af)e^t+Bf)e-m^.. ..^jfW-f &pe-**%
д2^Л^ет^В^)е-т^+А^ет^В^е-^^.. m-\-Afe**+ Вфе—*,
(65)
qn=A(lhm*t+B(l)e-^t+Afem*t^Bfe-m*t'\-.. .+A№em*t+B№e~m*t.
При этом для каждого значения k
Аф:Аф: ... :Л<*> = В<*>:Я<*>: ... :S<f>.
Так как
Al*)e& + BWemk'=* AWeW + BWe-W=
= (д W 4- Bf)) cos Qkt -f / (Л W — #*>) sin a^f
то решение (65) можно написать еще и в следующем виде [причем
коэфициенты Л<*> и £<*> имеют другое значение, чем в (65)]:
дг=Афcos a^+fif> sin aa* +i4f>cos a2*-f B<2> sin o2t+.. .+£<">sinaj9\
q%=A§) cos e^+fij1) sin a2* -fUf cos а2*+Б22> sin a2*-f...+fif > sin a„/, |
^=^a)Cos^+^staa1/+^«cos V+B«sln V+. • .+B?}sina^.
(66)
* Случай, когда корни равны между собою, подлежит особому исследованию.
В этом случае система (59), определяющая постоянные Аг содержит
независимые уравнения в числе л—у, где,/ есть кратность корня. См. Wejerstrass,
Math. Wexke, т. I, стр. 233,

120
Волновое уравнение
Гл. III
ЙДбйь Л**) и fif) ^дЬбЛетво£я1от тому Же ур4вкению (59), 4то й
коэффициенты системы (65). Коэфициенты Af), Af\ ..., AW пропорциональны
коэфициентам Bf\ B<£\ ..., fiW так же, как и в уравнении (65).
Полагая
Шжно решение (66) переписать также и в следующем виде:
ft = e« cos (в2<—а,) +
+ л»cos(а2/— в$ + ... =|- <*<я) cos (°f — Ч) (v = *' 2' • • • • л>' (66')
причем а<*> удовлетворяют уравнениям (59), а аЛ йрои&ольны.
Заметим, Что отношения величин А®& и В& в одном и foM же
столбце решений (65) и (66) (т. е. относительные амплитуды и фазы
членов с одинаковыми периодами в различных координатах)* однозначно
определяются самой системой; напротив, относительные амплитуды
отдельных членоЬ, Й£инадлежащих Какой-нибудь одной координате (т. е.
относящихся к различным периодам), могут быть выбраны совершенно
произвольно (для других координат они определяются вышеуказанными
отношениями). , .
ИсКойОё койёбкййе систёйъ! ttfaraeitk из п простых
гармонических колебаний, периоды которых определяются системой
однозначно.
Результат этот распространяется и на случай кратных корней, как
это следует из метода главных координат (§ 29).
КоэфицйБнты Af\ J?<*> в в&ран&1шях (66) могут быть определены
из начальных условий:
Чу
ш t=o
(v = l, 2,..., л),
где g4 и Av
•заданные постоянные. Из начальных условий следует:
А, = 9%Щ) + o2Bf> + • • • + «Лл)-
(67)
Эти 2/1 линейных уравнений и служат для определения 2л коэфнциентов.

§%29 ГлХвйыЪ ко6*>ЙйА1*ы 121
§ 29. Главные кдордйнаты. В предыдущем параграфе Мы
пользовались координатами ЛаграФ&а. Эти йЪор&йкаЯгы койшо выбрать
различным образом, но один из таких выборов имеет особое значение. Как
известно, всегда можно пройзв^с^и линейное преобразование:
Я2 = *2А + *22Ф2 + • • • + <*. А»
0« = Mi + *^2 + ---+^>
(68)
при котором квадратичные формы Т и W одновременно перейдут
в сумму квадратов г. Таким образом
(69)
Так как Г и W—положительно определенная форма, то все коэфици-
енты с, и сч положительны. Наши уравнения напишутся тогда так*
at*
•<yj>,=0,
следовательно, на основании {51)
(Щ
(Л)
Для каждой коордик£тыфу получается, таким образом, гармоническое
колебание, совершенно Ш зависимое от Других, с вполне определенным
периодом. Колебание, при котором изменяется только одна
определенная координата, между тем как оШльйыЬ остаются йостойнныШ, йазы-
вается главным колебанием^ а координаты фу называются главными ко-
ординатами. Если подставить йыражейие (71) в решение (68), то qH пред-
У ставляется как сумма гармонических колебаний в виде (66'). Рассмотрим
главное колебание, при котором фу отлично от нуля; в таком случае
Яг^*гА>
Яг = «sv^v» • • • »Яя ~ апА>
(72)
Такйй 66j}a^bM при главном колебании о^гно*нение кобрЫШт во время
всего ДЬйж£кия Ъстается п'оЬтояйнь1&. Общее решейиЬ fcfccTfofcf ё
наложении п главных колебаний. Энергия всего колебаний постоянна Ьтно-
* См. Riemann-Weber, т. I, стр. 61—62.

122 Волновое уравненив Гл. III
сительно времени и равна сумме энергий главных колебаний, так что
взаимные энергии при этом исчезают. Действительно:
так что * 1
г+ r=TM!+^22+... +*И2)- (73)
К этому свойству главных координат мы еще не раз вернемся.
§ 30. Метод обращения матриц. Вышеприведенное решение системы
уравнений (57), а именно вычисление значений тк и \к, во многих
случаях целесообразно видоизменить. Обобщенные компоненты сил можно
следующим образом выразить через координаты Лагранжа [см. (45) и (46)]:
\тиг я *
-Л = д— -2 с^{у=1.2,...,п). (74)
Решая эти уравнения относительно д^ (детерминант с^ отличен
от нуля, так как форма W—положительно определенная форма), мы
получим: п
'— ^=1ХрЛ (ji = 1, 2, ...,*). (75)
Коэфициенты cv|i мы назовем коэфициентами устойчивости, а С^ —
коэфициентами влияния. Можно рассматривать CV|1 как (отрицательное)
изменение координаты д^ если обращаются в нуль все компоненты"
силы, исключая одной, которая соответствует координате д^ и равна
единице. Так как с^ = с^, то и С^я=С^. Это равенство выражает так
называемую теорему взаимности Максвелла.
В силу теоремы Эйлера об однородных функциях:
При помощи уравнений (75) получим:
t п п
(«.si vssl
Я
т. е. два равенства, которые соответствуют (45) и (74) (теорема Кастильяио).
Если значения д из (75) подставить в (74) и приравнять
коэфициенты, то получатся известные из теории детерминантов равенства:
i«л- (?при v^p* йли £чс;- (?при д^р' (7*>
^ * » 11 при v = p, ~i \1 ПРИ М-Р-

§30
Метод обращения матриц
123
Помножим теперь v из уравнений (59) на Cvp и просуммируем эти
уравнения по v. В силу (76) мы будем иметь:
Вводя обозначения:
2^ ^vp^vjiS
*=i
*^P|i» /И* 2= X,
(77)
(78)
мы придем, наконец, к системе линейных уравнений.
(1-Щ1)А1-Щ2А2-...-ЩпАп = 0,
-^п1Аг-1Кп,А2- ... + (1 -1Кпп)Ап
с детерминантом
(79)
dn(-m*) = da(k) =
1— \К„ —МГ,
_МГи1 -\К,
ЧЯ1
я2
• • •
1 — ХАГ„
(80)
Детерминанты Da(l) и dn(k), определенные формулами (60) и (80),
отличаются друг от друга только множителем, не зависящим от X.
Действительно, с помощью теоремы об умножении детерминантов
легко показать, что
Da(k) = Cd„(k),
где через С обозначен детерминант квадратичной формы:
л л
Так как по предположению W—положительно определенная форма,
то С>0. Таким образом многочлены Dn(\)n dn(\) имеют одни и те же
корни. Однако детерминант (80) во многих случаях легче поддается
вычислению, чем детерминант (60). В случае главных координат мы
имеем:
V = V = C^e/^v===0 ПРИ Р-ФЪ

124
велйъш 'йнодкид
Гл. 1Й
й оба детерминанте CBoiS'Tcsr к й^дидйёкёнйЪ .элементов главной
диагонали, т. е.
A, W = (- 4i + *h) Г- 4t + <W • • • (-- Ц« + * J.
*»-(,-iS)(,-x'5:)-(i-ib- (82>
Оба многочлена, как легко видеть, имеют одни Й те же корни:
(v = l, 2,.... л).
§ 31. Колебание веревочного многоугольника (нити, нагруженной
дискретными массами). Применим теорию малых колебаний к движению
невесомой нити, к которбй Прикреплено конечное число шарЬв одинаковой
массы на равных расстояниях
друг от друга К Пусть т будет
масса каждого такого шара, п —
число шаров, а/—длина нити;
*онцы нити мы предполагаем
закрепленными. Обозначим
через а = I (n -f- 1) расстояние
между двумя соседними
шарами. Предположим, что все отклонения от начального положения
происходят в одной плоскости и соответственно равны yv у2,... f уп. При
§тик условиях
Т=%(У?+$+...+У*>. (83)
При небольших отклонениях натяжение т можно считать
постоянным. В такой случае компонента по оси бу Щрг. Щ силы, йёйетвую-
щей на v-Й п*а£, равна:
Л_1 , Л+1 —
^ +
и, следовательно:
w== Та №+to ~У^ + to->2)2 + • • • + to -л-iP +л*>•
Влияние силы тяжести нами h этой формуй не учитывается.
Итак, уравнения движения (для наших шаров) суть:
(84)
(86)
от
^ + Т <Л -Л +Л -Л) ^>
т
а
от
а?
+—(л -л-j +л - о) * о.
Щ
* Lagrange, Oeuvres, т. I, стр.

Колебание BjjeEjqvtioro мадгоугольникл
125
у-и
(v=l, 2,..., п),
= 0,
= 0,
(87)
| 31
Полагая
У. — ЛУ
имеем:
-fVi + h^ + l)'^0-
Разделим каждое из этих уравнений на — и обозначим 2 — та~ че-
, а х
рез С; мы получим: ,t
—-* Лд + СЛ2 — Л8
= 0,
=0,
==0.
•^я-1 + СЛя = 0.
(88)
Детерминантом этой системы служит;
«Ште
С —1 0 0 0 ...
- 1 С — 1 0 0 ...
| Q ^-1 С _1 Q ...
о р — 1 с — i ...
(п строк). (89)
Если этот детерминант разложить по элементам первое строки,, то
получается рекуррентная формула \
Если положить
то
Dn^CDnrl — Dn^ (/i = 2, 3, 4,...;D0 = 1).
C = 2cos6,
De—Vein (я+1)6 (90)
удовлетворяет этой рекуррентной формуле. Действительно,
sln(/i+l)8j = 290^e§in4— sii? (я— 1)6.

126
Волновое уравнение
Гл. Ill
Чтобы найти значение с, положим /г = 0. Тогда
csin6:
U С~Ш*
и, следовательно:
п w sin &
(91)
Эта формула справедлива и для я=1, так как
D1 = C=2cos6;
sin l
Таким образом эта формула справедлива для любого я. Так как
*/я(0)=эе1, значения Х = 0 и 6 = 0 соответствуют друг другу, то
Рп(к) 1 sin (n 4-1)6
*я№ =
п -f-1 л -}- 1
sin 6
(90')
Детерминант DnQ) в силу (91) обращается в нуль, когда
откуда
и, значит,
(л+1)6 = }1тг (ji^l, 2, 3,..., л),
С=2— та—=2 cos6=2cos , ,,
т п+1
+ * та\ и 4-1 / I
J/ та
sin •
cos
i
ЦТС
(|i—19 2,..., п). (92)
> У та 2 (л 4-1)
Таким образом мы получаем п различных частот; эти частоты
пропорциональны ординатам п точек, которые делят четверть окружности
на л+1 равных частей (черт. 41).
К тому же результату можно притти, рассматривая
непосредственно линейные уравнения относительно Лу:
-^+04,-^ = 0, • (93)
(v=^l, 2,..., л; Д) = Ля+£ = 0).
Эти уравнения удовлетворяются решениями:
i4v = Psinv6 (v=0, I,../, л+1) (94)
' при постоянном Я, если
sin(n + l)b = 0. .
Действительно, при подстановке этого решения в уравнение (92) мы
приходим к тождеству:
— sin(v — l)64-2cos6sinv6 — sin(v+1)6 = 0. (95)
Решению (93) уравнения (92) соответствует решение:
уч*=Рsin v6 cos (at—a) (94')
Черт. 41.

§ 32 Непрерывная нагрузка 127
системы (86). Подставив это решение в уравнение
._ .та d*y4 \
—Л.1 + 2Л + — -Jr ~Л+1 — °>
представляющее общий вид системы (86), мы придем к уравнению
относительно о [так как каждый член содержит множитель cos (at—a)]:
— sin(v—l)0-f 2(l —^)sinv8 —sin(v+l)6«=0,
= cos6. (96)
которое обратится в тождество при
f mad*
W
Отсюда мы придем к уже известному нам значению:
. 2т
Полагая
ma(\-zosb). (97)
А А Е*
мы снова получаем формулы:
у та
в = 21/ —sin ""
2(1+1)'
у,=2- я*sin ;г+Тcos < V ~ V
(98)
Если через л: мы обозначим расстояние v-ro шара от левого конца
нити, то
V/
т. е.
v х .
л + 1 / •
и, следовательно,
л =у (*)=2 /Vsin *гcos (V ~ а^ (99)
§ 32. Непрерывная нагрузка. Принцип Релея. Рассмотрим теперь,
как видоизменяются свойства изученной нами системы с конечным
числом степеней свободы, в частности свойства главных координат, в том
случае, когда число п материальных точек, находящихся на нити,
неограниченно возрастает, так что распределение нагрузки на нити
становится непрерывным. Мы, таким образом, снова возвращаемся к вопросу
о колебаниях струны. Этот предельный переход, а также основанный

128 Волновое уравнение Гд. III
на нем метод приблиящвдх вычислений, принадлежат лорду Релею,
который в своей книге „Теория звука1* (Lord Rayleigh, Theory of Sound)
исследовал с помощью этого метода много проблем акустики. По
идее своей этот метод имеет очень много общего с методами Ивана
и Даниила Бернулли и Лагранжа.
а) Пусть р будет линейной плотностью масс, находящихся на нити.
Тогда масса каждого отрезка нити
«=^ра=^т. (юо)
(101)
и, следовательно,
та = оа? ==в —- .
ра (*+1),2
Подставив это значение та в выражение для а^ и перейдя к пределу
при л ->-оо и |1 постоянном, мы получим: *
°*
V ? п-*о°\ I 2-(лф1)/ ,
. . М-тг
sin
I V 9 п-«*>\ рт J I у р '
2(«fl)
(102)
Выражение для у при этом предельно^ переходе в основном не
изменяет свой вид, а именно:
Результат этот нами был уже раньше получен в (39).
Частоты отдельных компонент в $том случае, в противоположность
случаю дискретно распределенных масс, суть целые кратные наименьшей
частоте ц=1. Чтобы показать степень приближения при п—*oof при*
ведем вычисленные лордом Ре/геен1 значения:
2(я + 1) . тг
ДГ==—i : -Sin,
it *2(л+1)
(N означает наименьшую частоту (99), разделенную на ее предельное
значение при /г —► оо):
я= 1 2 3 4 9, 19 39
ЛГ== 0,9003 0,9549 0,9745 0,9836 0,9959 0,9990 0,9997
Переходя к пределу в диференциальны^ уравнениях:
a, $t* q\ a q. ) х '
(v~l, 2,.te, tk\ Уо—у^^О),
* Rsyleigb, т, I, § Щ.

§ 32 Непрерывная нагрузка 129
надо а заменить через dx, а вторую разность -г- вторым диференцйалом.
Мы придем, таким образом, к диференциальному уравнению:
р^_т^ = 0, (104)
т. е. к уравнению колебаний струны.
Кинетическая энергия при этом из конечной суммы перейдет в
интеграл:
о
Потенциальная же энергия обратится в
i
• о
Место уравнений Лагранжа занимает при этом принцип Гамильтона,
которым мы уже пользовались в § 11, Принцип Гамильтона приводит
нас к уравнениям движения (104) следующим образом.
В том же смысле, как и в § 11:
to 0
Применяя интегрирование по частям по времени к первому члену и по
х ко второму, мы получим:
0 U
-КН^"**?}*™0, (108)
В данном случае у=0 при /==*0 и при t = tv кроме того, ^ = 0
на концах струны, так как концы струны закреплены; следовательно,
оба первые интеграла обращаются в нуль, и мы приходи^ к уравнению:
9 Вебстер.

130
Волновое уравнение
Гл. III
На основании этого уравнения, зная в определенный момент времени /
смещение всех точек струны, можно для этого момента вычислить силу,
действующую на определенную точку.
Ь) Задачу о нити,, нагруженной дискретными массами, мож-
4 но разрешить также и с помощью
"» метода обращения матрицы, указанного
г, в § 30, причем в этом случае смещения
уч "ч^ ^ надо заменить компонентами сил. Здесь
также может быть совершен предельный
переход при п —► оо . Если на точку с
Черт. 42. координатой v (v предполагается
заданным) действует сила Pv, то нить
принимает вид ломаной, изображенной на черт. 42. Оба напряжения Т и 7*
уравновешиваются силой Pv, для которой, таким образом, получается
выражение:
p-K£+(*+*-»>°M-'Wrb)*;' m
Смещение точки jc = va, вызванное силой Р^, действующей на точку jia,
очевидно, равно;
л-т*
л=
я-4-1 —v
я-j-I—ja
V
если vs^ji;
если v^jt.
(ПО)
Следовательно, введенные в § 30 коэфициенты влияния в данном случае
примут вид:
( flv(«4-l—ц)
С =£-
vi« p
t(«-t-l)
apL(«-r- 1 — v)
T(/l-J-l)
при v<ja;
при v ^s д.
(Ill)
Обозначим через у,, yt, ..., уп смещение отдельных масс под
влиянием всех Сил Я,. В силу (75) мы будем иметь (знак перед Я, надо
изменить на обратный):
Л = -
а
{1-лР1+1.(л-1)Ра+1(п-2)Р8+... + Ы.Рв},
•^-•йл^Ту {1(я-1)Р| + 2(п-1)Р2 + 2(«-2)Р$+ ... +2.1.Р„}>
{1(л—2)Р1 + 2(л-2)Р2 + 3(п-2)Р3+...+3.1-Рп},
Л = —
*(л+1)
^я =
t(n+l)
{Ы-Р^г-ЬРа + З-ЬР^ ...+л-ЬРв}.
(112)

§ 32
Непрерывная нагрузка
131
На основании (83) и (41)
1 *
Г=2-£«Х2, °™==m' eF- = 0 ПРИ «t^v. (ИЗ)
Таким образом в силу (78) ^ = /иС^ и
( mm (п +1 — ji)
/С
Р
Т(Л+1)
/па)х(л4-1 —v)
при v «^ }i
при v;
l^jxv КЧц)»
(114)
т(я+1)
Введем для сокращения письма обозначение:
отаХ '
т(п+1)*
Тогда детерминант, соответствующий (80), напишется так:
|1 — 1.„л — 1 (Л — 1) л — 1(л — 2)Л..., —1-1-Л
— 1 (я — 1) Л 1 — 2(я—1)Л — 2(л-2)Л..., — 2-ЬЛ
— 1(я —2)Л — 2(л~2)Л 1-3(я — 2)h...'t — З-ЬЛ
<W
— ЬЬЛ
-2Л-Л
у
— 3-ЬЛ
..., 1 —я»1»л
(115)
Приравнивая его нулю, мы вычислим \^ подобно тому, как мы это
сделали раньше иг выражения для Dn (к).
Уравнения (79) напишутся в данном случае так:
п
Значение /Ср в этих уравнениях определяется формулами (114). Эти
уравнения заменяют в данном случае уравнения (87). Если п
неограниченно возрастает, то можно положить
К,
т х{1 — £) рд£ х (/ — S) р
J1V
&К(х, 5) при y>ji,
*
т £(/ — *)_pdS £(/ — лг) _ Р .»
р"
причем
т / т
(*('-£)
*(*,*) =
dZK(x, i) при v<ji,
при л:^£,
S(/ —*)
при аг^£.
(116)
9*

132 Волновое уравнение * Гл. III
Уравнения (79) после перехода к пределу принимают следующий
вид
[мы введем обозначение — = k2
у-
*1
*(*) — АЧАГ(лг,£)<р(&)<# = 0.
(117)
Мы пришли, таким образом, к однородному интегральному
уравнению относительно неизвестной функции ср(лг). Это уравнение, как мы
покажем в гл. IX, т. II, имеет, вообше говоря, только тривиальное
решение <р(#) = 0. Исключение представляет лишь тот случай, когда А2
совпадает с так называемым фундаментальным числом (собственным
значением, Eigenwert). Фундаментальные числа представляют собою корни
трансцендентного уравнения. В рассматриваемом случае это
трансцендентное уравнение имеет следующий вид1:
Dn(k)=sinkl
~ Ы
limrf.W:
slim -.
:0.
(117')
Каждой фундаментальной функции соответствует главное колебание или
„стоячая волна" (§ 33). Каждое колебание можно представить в виде:
где <р«.(*) пробегает всю совокупность фундаментальных функций,
когда п принимает последовательно все значения натурального ряда;
каждому члену этого ряда соответствует при этом независимое колебание
струны (§ 29).
§ 33. Определение коэфициентов. Ряды Фурье, а) Выразим теперь
'числа Р^ и а^ через начальные значения ,у@\ которые принимают уч
при £ = 0, а затем совершим предельный переход по п—юо.
Введем обозначения:
тогда
B^P^cosa^
•па
и* ту . 2тга , . 4тга . . _ . 2ятг#
пиа
2aTza
л-яа
У® = Вг sin —-f-S2sin — +...+ £*sin —
(П8)
* Так как
то
4sin2-
2 — та — = 2 cos 0,
Отсюда в силу (90') следует предельная формула (117').
*

§ 33 Определение коэфициентов. Ряды Фурье 133
Для сокращения письма положим:
* на тг
В таком случае систему (118) можно записать так:
я
yv0) = H*PsinvPe (v-1.2, ..:, п). (119)
р=1
Чтобы вычислить В^, помножим эти уравнения соответственно на
sinjxfl, -sin2}хв, ..., sin/zjx?
и просуммируем полученные произведения. Мы получим:
л я я
2-У$» sinvji6^£]TSpsmv}A6sinvp9. (120)
На основании известной формулы
sin a sin Ь = -=- [cos (а — Ъ) — cos (a 4* b)\
9
коэфициент при В преобразуется следующим образом:
— [cos (jx — р) 6 \-cos2 (jx — р) в -f- ... + cosп(ц— р)6] —
— 4-[<os(jx + p)9 + cos2(jx-f p)0-f ...+cos/t(ix + p)9]. <121'
Вычислим теперь сумму:
S*= cos (р + cos 2ср 4-... + cos ny. (122)
Помножив ее на 2 coscp, имеем:
25cos <р =в 2 (cos ср cos ср —J- cos 2<р cos ср 4" ♦ • • + cos пЧ cos, ?)»
и, воспользовавшись формулой
мы получим:
2 cos a cos 6 = cos (a — b)-\-cos(a-{-b),
2Scos<p=l + cos<p -f- cos 2cp -f-... 4-cos(я— 1) <p-f-cos2p-|-
+ COS 3'f -f- . • . -f" С0#(Л 1) ff + COS ЯСр -J- COS (tl -f" 1) Cp =a
= 1 +5—cos лср 4- 5 4* cos (n 4 1)? — coscp.
Рассматривая последнее равенство как уравнение относительно S:
25(1—coscp)*= — (1—cos cp) 4" cos яср — cos (n 4"*)c0»
¥ЫНайдем: , sin(2«+l)l-
*--т+ т^ (123)
2sin-|-

134
Волновое уравнение
Гл. III
Таким образом коэфициентами при В служат выражения
1
где
*д = -
-&—St), •
sin(2«-|i-l)(jt — р)у
2sin(n—р) —
S* = ~i +
sfn(2« + l)(|i-t- Р)у
2sln(ji-f P)y
(124)
В данном случае
... 9 2/пг ^ /, тга it \
^+Р)Т^2-ТнГГ)<1Г (6 = Т=ЙГТ)'
и, таким образом, знаменатели в (124) отличны от нуля (исключая
выражения для Sj ,в случае, когда |А = р).
Полагая
(,-,)•-;£, fr + f»»-^!
(А и Л' в этих формулах — целые числа), мы для й^О получим:
51 = -
1
sin (Атг -
Air
2(n + i)i
1
2 sin
Атг
(1 -f-cos Атг),
2(«-t-l)
а это значит, что 53 равно либо — 1, либо 0, смотря по тому, четно
ли А или нечетно. Тот же вывод справедлив и относительно 52.
Следовательно, если А и А' одновременно четны или одновременно
нечетны, то .? _с — о у -
s,-.v
если только д^Р- Для ]* = р мы имеем:
1 ,2*4-1
*—*■ +
= я,
1 . sm(2n-\-l)nbw_ 1 . sinf2piTr —д9)_
а~ 2+ 2sto)xb ~~ 2+ 2 sin jjl6 '
^—^ = «4-1.
В формуле (120) все члены, для которых p^fi, обращаются в нуль, а
потому окончательно мы имеем:
п
В*=7ПГ\ ^^sin ^Г {v:sbX* 2*'*" п)' (125)

§ 33 Определение коэфициентов. Ряды Фурье
135
При неограниченном возрастании п мы полагаем
va = *. ^°>=/(va), £-ру=<£к
и после предельного перехода получим v
i
B^^\f(x)%{n4idXi (126)
о
и формула (119) перейдет в следующую [см. (40^]:
оо '
j-ZM-E^eta^S. (127)
Таким образом после предельного перехода мы снова приходим
к выражению начального состояния с помощью ряда синусов Фурье.
Формула (126) представляет собою не что иное, как известное
выражение коэфициентов ряда синусов Фурье с помощью интегралов (§ 42).
Ь) К задаче о колебаниях * непрерывно нагруженной струны можно
подойти и несколько иначе. Изучим условия, при которых возможно.
образование так называемых стоячих волн; под стоячими волнами
понимают движение, при котором у является произведением двух
функций, одна из которых зависит только от* пространственной
координаты х9 а другая — только от временной координаты t. Стоячая волна
меняет, таким образом, с течением времени свою величину, но
сохраняет свою форму. Иными словами, мы ищем решение диференциального
уравнения:
имеющее форму:
*»♦<')¥<*)' 028)
(разделение переменных).
Подставив это решение (128) в диференциальное уравнение (23),
мы для у^О получим:
ф'Ю«Р(*) = *'*<<)*'(*> или *!^вв,^# (129)
В левой части этого уравнения стоит функция от/, а в правой —
функция от х; обе эти функции должны, таким образом, обращаться в
постоянную. Обозначая эю общее постоянное значение через /я2, мы
будем иметь:
§+«*!> = о, ' изо)
** < А»ср = 0 (130')
&х?
мы ввели обозначение
т-)-

136 Волновое уравнение Гл. ПН
Таким образом наще диференциальное уравнение в частных
производных распадается на два обыкновенных диференциальных уравнения,
имеющие, как известно, следующие решения (при /и=£0):
ф (t) * A cos mt+ В sin mty \
y(x) = Ccoskx-\-Dsinkx. )
Таким образом функция
у = (Л cos mt -f- В sin npt) (Ccos kx + Z) sin Ал:), (132)
где Л, 5, С, Z) — произвольные постоянные, является частным
решением уравнения (23), Соответствующие значения т получаются из
краевых условий. Например, если обе точки лг —0 и лг = / представляют
собою узлы, то
?(0) = <р(/) = 0,
т. е.
С=0, sin£/ = 0, А/=—= |хтг (jx = l,2, 3,...). (133)
Полученное нами решение
1 5 sin £— I sin ~— (134)
(л V-™
= I Л cos *—-
представляет стоячую волну. Сумма сколь угодно большого числа таких
решений
не соответствует, вообще говоря, стоячей волне; все же она продолжает
служить решением уравнения (23), удовлетворяющим краевым условиям.
При этом ряд (135) должен сходиться и быть дважды диференцируемым
как по х, так и по t. Коэфициенты этого ряда определяются из
начальных условий. Если
y = F(x)
»1я0М } при*=0, (136)
да
то мы должны иметь:
оо
дтгдг
^W-S^aE,
G(x)^2*B^£j-sm—
(136')
Мы приходим, таким образом, снова к вопросу о разложении
произвольна ^адандрй фуэдшии по функциям sin-у- (где ц — вддое число).

§ 33 Определение коэфициентов. Ряды Фурье 137
В главе IV мы рассмотрим более общий вопрос о том, при каких условиях
функцию f(x) можно представить в следующем виде:
f(x) = YA0-\-Aicosx-\-A2cos2x-\-...-\-ApCos)ix-\- ...
-\~Вг*тх+В^1п2х-\-...+В^*1п11х-\- _#> (137)
т. е. при каких условиях возможно разложение функции в
тригонометрический ряд (в данном случаемы для простоты взяли / = гс).
Целесообразно уже здесь сделать некоторые указания об
определении коэфициентов подобных рядов. Пусть ряд (137) для всех значений х
сходится равномерно. Функция f(x) должна в таком случае быть
периодической, причем период ее должен быть равен 2тг. Для определения
коэфициентов в данном случае поступим так же, как мы делали при
рассмотрении конечных сумм. Помножим обе части равенства (137) на cos рис
и проинтегрируем их (вместо суммирования) от лг== — и до # = тг
(равномерно сходящиеся ряды можно почленно интегрировать) (см.
приложения § 3). В таком случае мы получим:
к к j ОО *
i f{x)cos}ixdx = -^ A^ I cosjJi#fite + 2 A^ I zozvxio*\Lxdx-\-
— It — 1С ~" —1С
Но, как легко видеть:
+ .
sinvArcosjitftf*, (138)
J cos va: cos px dx = 0 щ при v ф ]i9
— jc
1С
I cosvJcsinjJurrfA: = 0 для любых значений v и jjl,
—«
к
I sinvxsin)ixdx = 0 при v^jji,
— 1С
1С It
J cos2 vat At — I sin2yxdx = Tt при v^O,
1С
J
dx ==■ 2n.
(139)
Таким образом все члены, исключая А в правой части формулы (138),
обращаются в нуль, и, следовательно:
М'«
)cosjJurrfA: (M^=0, 1,3, ,..)• РЩ

138 Волновое уравнение Гл. III
Аналогично этому, умножив обе части равенства (137) на sinjjue и
проинтегрировав, найдем:
=м
f(x)siniixdx (|&=*1,2, 3,...). (141)
Интегралы А^ и В^ мы будем называть коэфициентами Фурье для
функции/(jc). В качестве пределов интеграции можно вместо —тг и тг взять
О и 2тг, так как f(x) является периодической функцией (см. подстрочное
примечание на стр. 195). Отсюда, между прочим, следует, что если
функция f(x) тождественно равна нулю, то все коэфициенты равномерно
сходящегося тригонометрического ряда (137) обращаются в нуль.
Каждый член ряда (137) периодичен, подобно функции /(*), причем
период его равен 2тг. Следовательно, произвольная функция, определенная
для всех значений (см. соответствующую кривую, нанесенную на черт. 43),
может, вообще говоря, быть разложена в ряд по тригонометрическим
функциям только в одном
интервале длиною в 2тг,
например в интервале — тг, тг;
для других значений д: этот
ряд дает периодически
повторяющуюся кривую,
которая нанесена на черт. 43
сплошной линией.
Отсюда следует также, что два тригономегрических ряда могут в
некотором промежутке совершенно совпасть друг с другом, между тем как
вне этого промежутка ряды эти будут различны. Таким образом свойства
тригонометрических рядов существенно отличаются от свойств степенных
рядов (§ 2).
с) Интегральные соотношения (139) не являются свойством, которым
обладают только тригонометрические функции; эти соотношения скорее
соответствуют общему свойству главных координат, введенных нами в
§ 29. Эти координаты характеризуются тем, что после их введения в
данную систему диференциальных уравнений в каждом уравнении, кроме
времени, остается только одна координата. Аналогичное положение
вещей имеет место, когда мы ищем решение в форме:
.У = <Р(*Ж<). (128)
Подставляя это выражение вместо у в (23), мы получаем уравнение:
Чёрт. 43.
dt* ~ Y •
(130)
в котором х отсутствует. Решения этого уравнения
ф (/) ss A cos mt-\-B sin mt
суть „главные координаты". Если это выражение подставить вместо ф(/)

§ 33 Определение коэфициентов. Ряды Фурье 139
в уравнение (128), то мы найдем, что у(х) должно удовлетворять
уравнению:
S+*»-o (»-=). (1*Ш
решением которого служит:
Ccoskx -\-Dsinkx.
Эти функции играют роль произвольных постоянных в задаче с п
степенями свободы; они называются фундаментальными или собственными
функциями. Общее движение слагается из бесконечного числа „главных
колебаний* (128). Постоянные определяются из начальных и краевых
условий. Последние приводят к разложению произвольной функции по
фундаментальным функциям:
. У=Ъ (*> Фа (') + ?.(*)*.(') + ..•+¥«(*) ♦«(<) + ..• 042)
В рассматриваемом нами случае
f ^ (*) = £>, sto^
ИЛИ Г .лс^
С^соз-у. \
После этих замечаний мы приходим к интегральным соотношениям
(139). Существенным свойством главных координат, как известно, является
тот факт, что в выражение (69) для функций энергии входят только
квадраты производных <р*,— произведения различных функций ^j^Oi^v)
в этом выражении отсутствуют. Но в выражениях с бесконечно большим
количеством степеней свободы мы согласно (105) имеем:
i i оо
т-т\* (Ю'Л-тЯ£*,м*й),*( - "
о v о
ОО I
ОО ОО р
+рЕ Е ф;о ф: w j <р„(х)«р,(*)^- <143>
jt<v
Следовательно, соответствующее свойство в данном случае принимает
следующий вид:
?>М?,М^яО при \1ф% (144)
1
о
Это равенство равносильно трем первым равенствам в формуле (139).
Мы говорим, что такие функции образуют ортогональную систему.

140 Волновое уравнение Гл. llf
Это название основано на аналогии с ортогональностью двух
векторов А и В. Действительно, условие ортогональности двух векторов
А и В сводится к условию равенства нулю их скалярного произведения,
это же последнее условие выражается через компоненты этих векторов
следующим образом (§3):
По аналогии с этим под ортогональностью двух векторов «-мерного
пространства
В = Вх , В2 , . .., Вп
мы понимаем равенство нулю их скалярного произведения, т. е.
равенство:
АгВг + А2В2+...+АпВп = Ь.
В области функций (в „функциональном пространстве*) роль компонент
„вектора* играют функции, а, ^их скалярное произведение заменяется
интегралом:
*
[а(х)В(х)(1х.
о
Равенство (144) означает, таким образом, что „векторы*
функционального пространства, соответствующие отдельным функциям <pv(#),
ортогональны друг другу. Легко далее заметить, что значения ортогональных
функций <fv(x) можно рассматривать как направляющие косинусы
соответствующего вектора, если эти функции нормировать так,
чтобы интеграл их квадрата был равен единице, т. е. чтобы
[§ 5, (30) и (31)]:
t
j[?,WJf<** = l. -(145)
Этим требованиям можно удовлетворить, умножая функции на
соответствующие постоянные, причем условие ортогональности не будет
нарушено. Значение этого нормирования станет ясным в дальнейшем.
d) Выводы,» полученные из исследования вопроса о колебаниях с
помощью описанного выше предельного перехода, так называемого
принципа Релея, можно резюмировать следующим образом. Система
обыкновенных диференциальных уравнений (86) представляет движение с п
степенями свободы; при предельном переходе я —*оо эта система
переходит в одно только диференциальное уравнение с частными
производными (104). Алгебраическое уравнение я-й степени сп корнями Оа(\)=* О,
служащее для определения частот, переходит в трансцендентное
уравнение (117') с бесконечным количеством корней. Входящие в главное
колебание главные координаты <|>v(£) умножаются теперь уже не на постоянг
ные> множители Ak, а на некоторые функции <р„ (дг) пространственной
координаты # —йа фундаментальные функции. Каждому -фундамента»*

§ 33 Определение коэфициентов. Ряды Фурье 141
ному числу, т. е. каждому корню уравнения (117'), соответствует
фундаментальная функция. Функции энергии, записанные в главных
координатах, представляют собой суммы квадратов бесконечного числа
переменных. Введение главных координат, т. е. разложение решения по
соответствующим ортогональным функциям, имеет во всей теории
диференцияльных уравнений с частными производными очень большое
значение.
Принцип Релея был строго обоснован при помощи теории
интегральных уравнений (гл. IX). В § 38 мы займемся непосредственным
исследованием интегрального уравнения (117) при условиях (116).
К вопросу о сходимости рядов Фурье мы снова вернемся в главе IV.
Заметим здесь только следующее. Для того чтобы разложить заданную
функцию f(x) в интервале — /<д:</ в ряд по тригонометрическим
функциям, полагают xf = — , а затем функцию f(x) =/( — ] разлагают
в ряд по вышеуказанному способу в интервале — тг^лг'^тг. При этом
получается:
№
где
в*
е) Чтобы предыдущие исследования сделать более наглядными,
рассмотрим с точки зрения математической физики музыкальный прием
пичикато скрипичной струны \ Вначале струну в точке х = £, 0 < £ < /, /
оттягивают (выводят из положения равновесия) и затем резко опускают,
не придавая ей начальной скорости; это значит, что в уравнении (136)
G(a:) = 0. Пусть у=Ь в точке х = Ь9 так что
при O^at^S,
при £<Ж/
Пусть, кроме того, в обеих конечных точках *=0 и # = / находятся
узлы. Если функцию/(дг) определить'в интервале —l^x^O
равенством/(— х) = —f(x) (т. е. если f{x) является нечетной функцией),
* Н. v. Н е 1 m h о 11 z, Die Lehre von den Tonempfindungen, 5-е изд.
(Braunschweig 1896), стрв 603, приложение III. ,
=y^+Zjvos^+Vm^J, ' 046)
n I
= — /f—j cositx'dx' = — f{x)zos^—dx,
— It
I
-4$/M*iSp&.
(147)
/(*)•
/—5

142 Волновое уравнение Гл. III
то в разложение f(x) должны входить только члены, зависящие от
синусов. Далее, при вычислении В можно ограничиться одним только
ишервалом Qs^x^l. Тогда в силу (126) получится; ~ /
Вл-Щ1\х^*х+^[<?-1>Ыпфах]. 048)
Для вычисления этих интегралов применяем интегрирование по частям:
2Ь Г / илх И. 1С имх , Цх — /) uttjc Il .
в*-т1—&хсм-г \^^)C0S-Tdx-^^bC0S-T\^
i-,.^^_a\cos-/ -dx V О49)
b=T)^cosTdx]
Подстановки д:=0 и х=*1 обращают проинтегрированные члены
в нуль; при подстановке в эти же члены лг=*0 выражения,
полученные в результате подстановки, взаимно сокращаются, а потому
_ 2* Г fi . jing Р . цтгП 2«* sm /
**-т[#ят-г-р*$-1)т-т\-«*е--е> v? •(150)
Таким образом для начального положения струны получается
выражение, симметричное относительно х и 5:
.. . 2ЬР 22, 1 . цп$ jm* „в1А
/w=^?=T)E^sm-rsin-r- (151)
Самое же движение в этом случае дается формулой [см. (135)]:
^=^(7=T)?^smVsmVcosV- <152>
Из этого выражения видно, что 0(х) действительно равно нулю.
Мы замечаем, что амплитуда обертонов с возрастанием порядкового
номера ja очень быстро убывает [порядок ее убывания равен
Отдельный jx-й обертон исчезает, когда sin £y- = 0, т. е. когда точка,
в которой оттянули струну, является узлом этого обертона1. ^
Сопоставим только что рассмотренную задачу со следующей.
Прямолинейная струна первоначально находится в состоянии покоя. Затем по ней
в некоторой точке Sf или, точнее говоря, в окрестности £<—е, S + e этой
точки, ударяют абсолютно твердым молоточком. Удар этот совершается
V?)'
* Th. Young, London PhiL Trans., 1800, стр. 106; Werke, т. I, стр. 99.

§ 34 Вынужденные колебания. Резонанс 143
с такой быстротой, что отклонением струны, происшедшим во время
удара, мЬжно пренебречь. В таком случае начальную скорость v можно
считать постоянной в интервале £ — е, S + e и Равной нулю вне этого
интервала. Далее, .у = 0при/ = 0, т. е. F{x) в уравнениях (136) равно
нулю. Допустим, что
2^ , jut* . ]urat
.y=2l V"1 VslnV"*
\dt)t=o
(153)
когфициенты В^ определяются из условия:
*+•
В итоге мы получим:
.4^/^,1 . jittS . шге . итгл: . yitat ,- -еч
^=^2 2-]iisln-rsm~rsin-rsln-r- (1Б5)
При весьма малом е можно принять (по крайней мере для первых чле-
. I. ULTTS JXTCS
нов ряда) sin ^у-===•—--, так что в каждом члене в знаменателе
останется pi в первой степени, а потому амплитуды убывают не так быстро,
как в том случае, когда струну оттягивают и затем резко опускают *.
Террию колебаний струны, которую приводят в движение ударом, Гельм-
гольц распространил на колебания струны, по которой проводят смычком,
т. е. которая захватывает мягким смычком и тянется за ним в течение
некоторого промежутка времени (величина этого промежутка зависит от
массы и упругости струны), а затем под влиянием возникших в ней
напряжений отскакивает назад.
§ 34. Вынужденные колебания. Резонанс. Мы переходим теперь
к исследованию системы с очень большим, но конечным числом степеней
свободы, которая под влиянием периодических сил совершает
вынужденные колебания. Для простоты отнесем заданную систему с самого начала
к главным координатам так, что
r=|ixe it-Ij;^.
(156)
причем каждая координата q4 удовлетворяет диференциальному уравнению;
d ЪТ . W d% . л ,,„%
* Теорема Юнга распространяется и на этот случай;

144 чВолновое уравнение Гл. Ill
Пусть „возбуждающая* сила задана формулой Я>=/\ cospt, где /\=const.
Полагая q4 = Ачcospt, имеем:
т. е.
Таким образом каждой главной координате соответствует вполне
определенная амплитуда. Такие колебания мы называем
вынужденными, так как их частота р зависит от периодической внешней
силы, а не от свойств самой системы, как это былр при свободных
колебаниях^
Формула (158) приводит нас к очень важному заключению. Мы
2тг
нашли выше (71), что частота свободных колебаний равна —, где
-Vb
мы видим, таким образом, что амплитуда вынужденных
колебаний q^ становится бесконечно большой, когда частота
возбуждающего колебания стремится к частоте свободных колебаний*. Это
явление называется резонансом. Для случая резонанса (cy=*tp*aj
полученное нами раньше решение (158) уравнения (157) теряет свою силу.
В данном случае решение будет иметь вид:
F
q^tr-^-tsmpt + A cospt -}- В sin pt, (158')
&и>чР
где А и В-—две постоянные. Правильность этого решения легко
проверить, подставив его в уравнение (157). Амплитуда q4 при этом
решении, в противоположность решению (159), неограниченно возрастает при
увеличении t.
Мы замечаем, что число возможных резонирующих колебаний
совпадает с числом главных координат, т. е. с числом степеней свободы
данной системы. Если пренебречь инерцией системы, или, переводя на
язык формул, если член а^—тт- & формуле fl57) приравнять нулю (а,
можно интерпретировать как массу), то
£££*_'£. (159)
Эти уравнения показывают, что смещения, получаемые при указанных
допущениях, находятся в том же отношении к силе, как и при
равновесии, т. е. при /7 = 0. Поэтому эта теория называется статической
теорией. Отношение амплитуды из формулы (158) (динамическая теория)
* В действительности бесконечная амплитуда [ср. (54)] никогда не имеет
места, так как этому препятствуют силы трения. Все же мы в дальнейшем трения
принимать в расчет не будем. Кроме того, форма (156) для больших амплитуд
непригодна.

§34
Вынужденные колебания. Резонанс
145
к той, которая дается статической теорией, называется динамическим
увеличением;'это последнее равно:
и,=т—Цггг. (160)
о2
3-
Г"" Г '1 'Г"м'"1 '| г i""i f-"i г | ■ г i i у } i f '1 1
1 1 1 1 1- I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 Ы 1 1 Ы 1 IJ 1 11 1 i 1 1 1 1 1 1 1 1\ I
N
/ 1 !■ -
1 \ А V 1 I I I I I
И/ N
ш\ ш
тттГТ Гг44~11
Черт. 44^
JL
б*
i
В случае резонанса это отношение становится бесконечно большим.
Характер изменения этого
отношения как функции
от —показан на черт. 44;
масштаб на обеих осях
выбран различный (отно-.
шение эгих масштабов
равно 1:10). Для
достаточно малых значений р
статическая теория дает
достаточно хорошее
приближение. •■&•
После этих предва
рительных замечаний
перейдем к вопросу о
вынужденных колебаниях струны. В § 12 было показано, что на
элемент dx струны действует напряжение, равное
xdx —.
Ьх*
К этому напряжению надо добайить внешнюю силу xY{x4 t)dx%
которую мы для упрощения выкладок запишем в следующем виде:
х/(х) cos ptdx.
В таком случае уравнение движения будет иметь вид:
Предположим, как мы это делали выше, что для стоячей волны
у = у(х) cos pt.
X
Подставив это выражение в уравнение (161) и заменив — через а2, мы
получим:
оби
Введем обозначение
-£-=й. Тогда
(162)
(163)
10
Batarap.

146 Волновое уравнвниЕ Гл. Ill
Д™ произвольной функции f(x) при заданном значении k это
уравнение интегрируется в квадратурах (§ 36).
Целесообразно отдельно исследовать два крайних случая
распределения сил или, как мы будем говорить, линейной плотности силы
[ ак мы будем называть величину силы, отнесенную к единице длины,
т. е. т/(дг)].
Пусть нагрузка будет вначале постоянной, т. е. пусть f(x) = R, где
R
/?>0. Мы полагаем уг = у-\-— и получаем для уг уравнение:
<РЬ
■^ = 0. (164)
Ле2
Решением этого уравнения, обращающимся в нуль при лг = 0 и дг = /,
является функция:
<l(x)=¥^l{sinkx + sink(l-x) — sinkl}. (165)
Это решение может быть представлено как наложение двух волн
одинаковой длины, причем эта длина легко выражается через частоту
вынужденных колебаний. Резонанс получается в том случае, когда sin kl = 0.
Пусть kl < it. При изменении х функция <р (х) имеет максимум, равный
kl
^l_cos —
»«"* кГ* <166>
cos-
При тех же краевых условиях ^ (0) == <р (/) = 0 в статической теории,
т. е. при й = 0, мы имеем:
|!£+Я«0; ?(*) = |*(/_*), (167)
<Р.= *^' чМвя49яШ=£. (168)
Мы получили, таким образом, параболическую форму, которая, по
крайней мере для небольших значений р, дает очень хорошее приближение
к действительному решению. Лорд Релей по этому поводу заметил, что
период свободного колебания, амплитуда которого задана функцией
(167), т. е. получена на основе статической теории, а не при помощи
фундаментальной функции, мало отличается от наименьшего периода
(основного тона) в случае свободных колебаний. Это замечание для
многих случаев имеет большое значение, так как оно сразу дает
приближенное значение наименьшего периода, не требуя решения
уравнения движения. В рассматриваемом случае, когда результат уже заранее
известен, вычисления производят следующим образом. Полагают
Axil — x) . ... by 4x(l—x)tl/J

§ 34 Вынужденные колебания. Резонанс 147
таким образом: *
о о
Следовательно, уравнения движения напишутся так:
d ЪТ . iW 16 ,.„ . 16 т f л
= — р/ф" 4 ф = О
Лдф' ' йф 30гт ' 3 / т
или
если принять, что
/>o=v7ot=3'1623t- (170)
Это приближенное значение так относится к действительному
значению те у-, как 1 к 0,9936.
Далее работа, совершаемая постоянной нагрузкой т/?, равна:
i i
^xRbydx={xR^p^dxb^^^xRn^^Pi^.
а о
Итак, для вынужденных колебаний в этой квази-статической теории мы
получаем:
й^ + У'гЧ^А <171>
и, следовательно:
_ 4лг (I — л:)
Так как ^ имеет максимум, равный единице, то максимальное
значение амплитуды равно:
'--Т1ч=*г (*-£• *-£)•• ("»>
Сравним этот результат с формулой (166) (динамическая теория). Для
О^А^— мы будем иметь:
¥«>ЛЛ 074)
1 Это соотношение основано на неравенстве:
1 -- cos х ^ 5*2 / л \
cos* ^ 10 —4л:2 \ku^'r<2";
справедливость которого легко проверить,
10*

148 Волновое уравнение Гл. Ш
Подставив в формулу (166)
я М
k =
I
и в формулу (173)
«•
тг d kl e/
J--2* C0ST=sinT
k-=ka — 8 =
/То
е,
мы для малых положительных значений е получим:
<
i !
*1г
8
<?mj
J
^
'/
/Umi
i 'i~" "",T'i ,,
(175)
ti VW
T X
Следовательно:
Ъп s 3>2>^ = 1,0253.
Ут ^
Значения ут и ут% полученные из фор
Черт. 45. мул (166) и (173), представлены в виде
кривых на черт. 45.
§ 35. Сосредоточенный источник. Функция Грина, а) Рассмотрим
теперь другой частный случай распределения нагрузки, противоположный
по своему характеру непрерывному ее распределению, а именно тот
случай, когда вся сила сосредоточена почти в одной точке; в этом
случае мы будем говорить о сосредоточенном источнике. Приближенное
представление такого источника дает последовательность функций f(x)t
которая повсюду, за исключением интервала 5 — е, S + s> принимает
сколь угодно малые значения, а на этом интервале имеет настолько
большие значения, что
i
f(x)dx
Черт. 46.
оказывается равным вполне определенному
положительному числу, например единице
(или стремится к единице). Характер
изменения функции f(x) (зубцевидная функция)
представлен графиком на черт. 46. Пример
такой функции дает нам выражение -^ г-н-*(*-*)* при достаточно боль-
|/тг
ших значениях д.
Мы сейчас покажем, что существование у колеблющейся струны
такого сосредоточенного в одной точке источника обусловливает
скачкообразное изменение первой производной в окрестности источника.

§ 35 Сосредоточенный источник. Функция Грина 149
Действительно, почленное интегрирование равенства (163) дает:
( ¥±Лх + к* Г9^ = _ С f{X)dx. 076)
Дли каждой функции ^ из определенной ранее последовательности надо
в это выражение подставить соответствующее решение <р диференциаль-
ного уравнения (163). Таким образом, если ^(л;) ограничено, то
dy j
dx\
*-•
где q = q(e) при s—*0 также стремится к нулю. Взятый с обратным
знаком предел, к которому стремится выражение, стоящее в левой
части этого равенства, когда е —► 0, называется мощностью источника.
Следовательно, при переходе через источник с мощностью, равной
единице, производная делает скачок приблизительно на —1, и в этом
смысле можно написать:
+j— j /М**+ч—-i+ч. ~ <177)
5+«
dx
= — 1. (178)
5-0
К тому же результату можно притти, построив результирующую
вертикальных компонент напряжений в точке £ (черт. 42). Действительно,
точка $ обращается в источник, если к ней приложить силу, равную
напряжению т.
Рассмотрим теперь тот случай, когда Л = 0. В этом случае частота р
также равна нулю, т. е. имеет место равновесие. Диференциальное
уравнение принимает при этом вид:
Определим для этого уравнения функцию Грина К(х, £),
соответствующую точке £, следующими условиями:
a) K(x,i) непрерывна в промежутке 0^jc</,
d%K
b) K(xt Б) удовлетворяет диференциальному уравнению -—• = О, если
только х ^6£»
„ »ИЬй|"\._,.
ел: I s-o
d) #(•*>$) удовлетворяет краевому условию: /Г=*=0 при * = 0 и
#=»/. Таким образом график функции /С(д;, £) должен состоять из двух
прямолинейных отрезков, примыкающих друг к другу в точке x = Z;
при этом производные этой функции должны удовлетворять условию
(178), определяющему источник. Функция К(х, $) представляет
смещение струны под влиянием силы, действующей в точке и по величине
своей равной единице. Следовательно, нагрузка обладает э точке §
источником» мощности которого равна единице.

150
Волновое уравнение
Гл. III
issslA1x + Bl при *<£,
%х-\-В% при *>£.
Для того чго5ы представить функцию К(х, 5) в явной форме,
положим:
\А2л
Краевые условия дают:
В1 = 0, AJ + Bt = Q9
а из условий, определяющих наличие источника, следует:
A£ + Bi=*A£ + Bt, А2 — Аг = —1.
' x(l—t)
Таким образом
при .*<$,
(179)
при лг>£,
т. е. К(х, 5) представляет собой функцию, определяемую
равенством (116). В принципе Релея эта функция соответствует коэфициенту
влияния (111). Значение этой функции в самом источнике равно:
/
/
а это выражение как функция от $ имеет максимум при £ = — . Если х
и S рассматривать как координаты в прямоугольной системе, то
функция Грина будет представлять собою два гиперболических параболоида,
пересекающихся по параболе, лежащей в плоскости х ==■ $.
Функция К(х,1), как это непосредственно видно из формулы (179),
симметрична относительно х и S. Действительно, пусть х = jj
.представляет собою другой источник, S ф т). В таком случае
и, следовательно:
К(Х,Ч):
*(М) =
I
щ(1-х)
£(/-1)
I
при JtsSi),
При AT^SJ),
(180)
при £<)],
K(n,s)=i!Li3>. ПриЧ>5,
Kfrr^^tzl при£>4,
лг(Ч,£)=л£=Л пРиЧ<е.
(18П
Таким образом для всех случаев
К (5,ч)=*(!),&).
(182)
Симметричность функции Грина (и ее обобщений) имеет для математи*

§ 35 Сосредоточенный источник. Функция Грина 151
ческой физики очень большое значение, В рассмотренном только что
случае она означает, что источник, находящийся в точке $, вызывает
такое же смещение в другой точке 7), какое источник (с тою же
мощностью), находящийся в точке i), вызывает в точке 5. Эта
симметричность соответствует симметрии С^=а=Су^ коэфициентов влияния системы
с конечным числом степеней свободы. *
Симметричность функции Грина может быть, кроме того, получена из
диференциального уравнения, определяющего эту функцию1. Положим
К (л:, &) = и, К (л:, rj)» v.
Тогда d2u d2v
и, следовательно:
d2v d2u
dx*. ax2
Интегрируя в пределах основного интервала, мы получим:
О
Подинтегральная функция представляет собою производную от функции
dv du
и - v— ,
dx ax
имеющей разрыв при 2 и т].
Раньше чем перейти к дальнейшим выводам, сделаем следующее
замечание. Если какая-либо функция g(x) в интервале а^х^Ь имеет
непрерывную производную, то
ь
g>(x)dx^g(b)-g(a).
а
Если же условие непрерывности в некоторой внутренней точке S
интервала нарушается, но при этом g1 (x) ограничено, то, как легко показать,
функция g(x) в точке £ имеет пределы слева и справа и, следовательно:
ь *~« *
^g>(x)dx=\im^ jy(*)rf* + j* g*(x)dx}=:
= g(t-0)-g(a)+g(b)-g(S + 0), (184)
т. e.
i
g<{x)dx=g{b) -g(a) -g(x)\\+_°0=g(x)\\ ° +*(*)|*+0'
a
I
1 Этот второй способ может быть обобщен (§ 66 и 67), а потому
заслуживает особого внимания*

152 Волновое уравнение Гл. Ill
Аналогичная формула имеет место в случае любого конечного числа
точек разрыва.
Пусть в нашем случае 5<Ч- В таком случае из (183) и (184)
следует:
.5-0 . ^—о \1
(uvf -*r vuf) 4- (uv* — vu1) + (uvf — vv!) = 0. (185)
^ 10 U+O ' TJ-4-0
На концах интервала, т. е. при х — 0 и х — 1 функции и и v
обращаются в нуль. Во всем остальном интервале они непрерывны.
Поэтому:
и(&К|*~° — v&u'l^+uMv'l*"0 — гг(Ч)и'|П~° = 0. (186)
В этом выражении первый и четвертый члены обращаются в нуль,
остающиеся 'же второй и третий члены дают:
и (т)) — v (S) = О
или (187)
*(ч, S)-*(S, Ч) = 0.
Последнее равенство доказывает симметричность функций ЛГ(т], £)
относительно ij и S.
Ь) Перейдем теперь к диференциальному уравнени
S—/W; (188)
оно выражает условие равновесия струны под влиянием источников,
распределенных по ней с плотностью /(#). Тот частный случай
распределения плотности, когда f(x) было отлично от нуля вблизи одной только
точки, привел нас раньше к функции Грина. Общий случай (188) можно
свести к этому частному случаю.
Дейавительно, согласно определению, источник с мощностью,
равной единице, находящийся в точке Б, вызывает в точке х смещение
у = К(х, £); если мощность источника в точке £ равна не единице,
а /(;)</£, то вызванное им смещение будет равно АГ(лг, £) /(S)d£, так
как левая сторона диференциального уравнения (188) линейна и
однородна. На том же основании действия нескольких источников просто
суммируются; таким образом результат действия всех источников на
точку х выразится так:
г
у(х)~^К(х, 6)/(£)Л. (189)
о
О функции у(х) этого вила мы будем говорить, что она
представлена при помощи источников. *
Очеяь легко показать что этот интеграл — если только / (х)
представляет собор непрерывную функцию — действительно удовлетворяет

§ 35
Сосредоточенный источник. Функция Грина
15S
диференциальному уравнению (188), а именно мы имеем:
X 1
X
ЪК(х,Ь)
дх
f $.)<& +К (x,x)f(x) +
+ ^^^-тЯ-Щх.хШх)^
X
I
=1
ЪК(хЛ)
дх
/(8)<й.
Перепишем это равенство следующим образом:
X 1
£~р|/<^+Ш^
О , х
Повсюду, где /(#) непрерывно,
d2y
ах2
о
i
+^/<8)Л-^С*,*+о)/(*).
Ъ2К
Но —- = 0; кроме того,
Ьх2
g(*,*-0)-g(* + 0,*),
Щ(х,х + 0) = Щ{х-0,х).
(190)
091)
(192)
(193)
Таким образом на основании условия с), определяющего функцию
Грина, мы действительно получим:
dx*
= -/(*).
(188)
Это доказательство сохраняет свою силу и для того случая, когда
функция /(дг) кусочно непрерывна, если только х не совпадает ни с од»
НОЙ из точек разрыва этой функции.

154
Волновое уравнение
Гл. III
§ 36. Вынужденные колебания, непрерывное распределение
источников, интегра ьные уравнения. Вернемся опять к уравнению (163) при
кфО и исследуем вынужденные колебания, которые возникают в точке
х =»£ под влиянием находящегося в ней источника. Во всех точках,
за исключением источника, удовлетворяется уравнение:
dx*
-{- &2<р = 0.
(130)
Принимая во внимание условия <р (0) == ср (/) = 0, получаем:
при х «^ £,
.»ч тик \ь —•*! ^ *
<Р(£):7ПГ77 F7 ПРИ ^>S,
<iM
//ь% sin kx
s(inA£
sin A (I — x)
(194)
sinA(/ —£)
если только sin AS ^0 и sinA(/— S)^0.
Если смещение <p(£) в точке лг = $ задано как постоянное отличное
от нуля число, то при приближении £ к точке, для которой sinAi; = 0
или sin А (/-£) = 0, смещение у(х) становится бесконечно большим
по одну или по другую сторону от источника во всех точках,
исключая те, для которых sinfc*r = 0 или, соответственно, sinA(/— х) равны
нулю. Таким образом, если источник находится в точке, которая для
движения с заданным периодом должна была бы служить узлом, то
происходит резонанс. Пусть теперь задано, как в § 35, не смещение
в источнике, а мощность этого последнего; пусть она равна единице.
В этом случае мы должны положить:
Л sin Ал: при лг<£,
Z2sinA(/— х) при лг>Е.
Согласно определению источника имеем два уравнения:
i4sin£S — Bsink(l — S) = 0,
kA cos AS -f- kB cos A {I — S) =s 1.
Отсюда при sinkl^0 мы находим:
sin A (I — S) n sin AS
>(*)
-{
(195)
A = -
k sin kl
B =
A sin kl
т. e.
¥(*)«Г(*,6)-
( sin kx sink (I—S)
A sin A/
sin A S sin A (/ — x)
k sin kl
при дг<£,
при лг>£.
(196)
(197)
Функция Г(дг, Е) называется функцией Грина для диференциального
уравнения (130). Функция К(х9 £) соответствует частному случаю А=«0;
ее значение (179) получается из (197) путем предельного перехода
при ft—i-O,

§ Зб Вынужденные колебания 155
Если <р(л^==Г(^, S), то резонанс наступит только в том случае,
когда sin Л/= 0, т. е. только для таких значений ky которые
соответствуют частотам верхних гармонических колебаний (обертонам); эти
значения к не зависят от точки приложения силы. Если, далее, источник
находится в узле такого верхнего гармонического колебания и,
следовательно, sin 6$^ 0, то справа от этого узла струна находится в покое.
Рассмотрим теперь непрерывное распределение источников с
плотностью f(x):
g.+ #¥„_/(*). 4168)
Если действие отдельных элементарных источников просуммировать,
то мы, аналогично предыдущему, получим решение диференциального
уравнения (163):
«<^ тет^^^+йтаН1-^®*-)Г(хЛ)/™'(,98)
О х О
Конечно, тот же результат можно получить и непосредственно, решая
эту задачу способом „вариации постоянной" (см. приложение, § 5).
Это решение удовлетворяет функциональному уравнению, которое
в дальнейшем будет иметь для нас очень большое значение. Рассмотрим
снова функцию Грина К (х, S), соответствующую частному случаю k = 0.
Она удовлетворяет диференциальному уравнению — =*=0. Умножим ура-
оХ*
внение (163) на /Г, а уравнение для К—на <р и вычтем полученные
уравнения одно из другого. Мы получим:
Интегрируя обе части этого равенства и принимая во внимание точки
разрыва, как мы это делали при вычислении интеграла (183), мы найдем:
(аГ^— ¥^)|^ + *+^ f ^(аг, £)¥(лг)€/лг = —J/C(>r, £)/(л:)^л:, (200)
о *о
т. е.
— <p(S)-M2 | /С(лг, £)<р(л;)Лс=— fK(x, $)f(x)dx. (201)
• "о
Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, содержит только
известные функции; обозначим его через F(t). Тогда
i
<?#) — &§К(х, $Ж*)Л*«/*(*). (202)

156 Волновое уравнение Гл. Ш
В этом уравнении неизвестная функция находится как вне знака
интеграла, так и под знаком интеграла; такое уравнение называется
интегральным уравнением второго рода [§ 32, (117)]. Решение (198) этого
уравнения может быть получено с помощью рассмотренного ранее дифе-
ренциального уравнения, если только функция Ffi) допускает
.представление с помощью источников*:
i
F(l)=^K{x^)f{x)dx. (203)
о
Плотность источников f(x) получается из равенства:
d*F
так как (189) является решением уравнения (188).
, Если к совпадает с фундаментальным числом, т. е. если k является
корнем уравнения sinA/=0, то интегральное уравнение (202) не имеет,
вообще говоря, решения; в этом случае имеет место резонанс. К
интегральному уравнению (202) можно притти и несколько иным путем.
Пусть сила Р действует на точку, которая, когда струна находится
в равновесии, занимает положение х = Е. Так как под влиянием этой
iy -
силы ^- получает разрыв, причем
оХ
*?Г'-*
*xh+o
то под влиянием силы Р=х возникает источник с мощностью, равной
единице. Когда струна находится в движении, то на каждый ее элемент di
действует сила инерции, равная — 9&~- и вызывающая в каждой точкех
смещение
К(х, 5)
<£
й-'
лрмимо смещений, вызванных внешними силами» Результат действия всех
сил в точке х выразится так:
i i
У(х)=-\^К(х, S) (§) <*+ [К(х, £)/($) cos/rfrfS. (204)
о о
Если положить у = ср (х) cos pt, то уравнение (204) сводится
к следующему:
i
<р {х) = » f К (х, S) у {%) <Й + Р{*Ъ ** — *-Р*.
•J W
(205)

§ 37 Фундаментальные функции. Билинейная ,формула 157
Заменив, х и £ друг другом (при этом К, как мы говорили, не изменится),
мы придем к уравнению (202). Этот вывод соответствует обращению
матрицы, разобранному нами в § 30 для системы с конечным числом
степеней свободы.
§ 37. Фундаментальные функции. Билинейная формула. После
рассмотрения частного случая (161) мы перейдем теперь к диференциаль-
ному уравнению колебаний струны, возникающих под влиянием
произвольной внешней силы
Мы ставим себе задачей выразить движение струны с помощью
фундаментальных функций, определенных в § 33:
оо
*—Е*л*)<ыо. (206)
Вычислим сначала кинетическую и потенциальную энергии, а затем
и отдельные силы Рн% соответствующие главным координатам; на
основании этого можно будет получить диференциальные уравнения для
отдельных фу [подобно тому как мы получили уравнения (157) для fj.
Подставив в формулы (105) и (106), Определяющие кинетическую
и потенциальную энергии, вместо у его значение из формулы (206)
и приняв во внимание свойство ортогональности функций (144)* и (145),
мы получим:
' ' ,оо ч . оо
О 0 v=X ^зД 0
Последний интеграл можно преобразовать с помощью
интегрирования по частям:
о ° о
Если оба конца струны закреплены, то проинтегрированная чэсть
равна нулю; заменив -— через — k2^ (130), мы найдем:
dx*
1 °°
v=l
* Эти равенства означают, что функции W и Т не содержат произведения
различных координат*

158 Волновое уравнение Гл. Ш
Работа источников равна:
J т Пу dx = t £ 8ф, f Г?, rf* = £ P,*fc.
v=l 0 *=*
Следовательно, для силы Рч мы получаем следующее выражение:
i
Pf«if^f (207)
о
т.. е. Я„ можно рассматривать как коэфициенты в ряде Фурье,
получающемся при разложении функции xY no фундаментальным
функциям <pv (х).
Таким образом по методу Лагранжа мы находим следующее дифе-
ренциальное уравнение для <J>V:
Р^ + ^Фэ-Л-tJK^ito;
(208)
оно имеет такой же вид, как (157), и переходит в (130) при Pv = 0.
Если пренебречь инерцией, как это было сделано при выводе фор-
<*2ф
мулы (159), то p-^v можно опустить (статическая теория).
В этом случае
t
y~JjbvLybdx' (210)
v=l v 0
Рассмотрим снова предельный случай сосредоточенного источника,
находящегося в точке лг=*£ и имеющего мощность, равную единице. Таким
образом вне очень малого фиксированного интервала £ — e<Ar<S-f*-*
функция Y имеет небольшие значения, а вблизи точки £ значения Y
столь велики, что
'f '
Г(*. t)dX=*\.
В таком случае у = К(х, £), и выражение (210) переходит в следующее:
K(x,i)-%bl2JbB. (2,,)
*»1 t

§ 38 Решение интегральных уравнений 159
Это так называемая билинейная формула, или билинейный ряд (§ 130),
которая имеет очень большое значение для разложения в ряд по
фундаментальным функциям.
В рассматриваемом случае билинейная формула может быть
получена непосредственно. Полезно при этом предварительно заменить AJ
через \. Тогда Xv=—~, Вспомним, далее, что фундаментальные функ-
»
ции нормированы так, что интеграл от их квадрата равен единице.
Таким образом
/V А - V7T*
о о
(212)
я, следовательно:
^ . wx . vrrS
00 sin-у-sin-г—
*^> = |£ v» • (213)
*=1
Этот ряд по существу совпадает с рядом (151) (в этом последнем надо
положить £ = —- 1 и действительно представляет функцию (179).
Представление функции Грина в форме (211) или (213) делает
симметричность этой функции относительно х и £ очевидной 1.
§ 38. Решение интегральных уравнений, а) Если билинейный ряд
равномерно сходит я как по х9 так и no S, как это имеет место для
ряда (213), то мы можем его почленно умножить на фундаментальную
функцию ¥^(5) и проинтегрировать почленно. Сделав это, мы получим:
)*(*. 6)»Л5)Л-2^ илб)?,(6)Л = 2^э (2Н)
Р v=l V ,0 **
ИЛИ х
г
Ъ(*) = \[К(х> 6)^(5)Л. (215)
Легко видеть, что мы пришли к формуле (117).
* Относительно общих условий, при которых билинейная формула имеет
место, см. Т. Mercerf Functions of positive and negative type and their
connection w.th the theory of integral equation-, t-hil. Trans. Rov. Soc. London (А), т. 209
(1909), стр. 415—446. Кроме того, A. Hammerstein, Obe> die Entwickelung des
Kernes Iinearer Integralgleichungen nach Eigenfuuktionen. Sitzungsber. der Berl. Akad.,
1923, стр. 181-184.

160 Волновое уравнение Гл. 1П
Неоднородное интегральное уравнение
¥(*)-*$*(*, 5)<p(-:)<S=:F(*), (202)
о
в случае, когда X равно фундаментальному числу Х^ (т. е. в данном
случае, когда sin l/X^/=«= 0), не имеет, вообще говоря, решения, но
однородное уравнение (117), получающееся из (202) при F(x) = 0y для
фундаментального числа имеет решение: таким решением служит
фундаментальная функция Ур(х). Функцию Грина К(х9 £) называют ядром
интегрального уравнения. В главе IX (т. II) мы покажем, что каждое
непрерывное симметричное ядро имеет фундаментальные функции,
которые служат решением интегрального уравнения (117).
Из уравнения (215) получается целый ряд свойств фундаментальных
функций. Докажем, например, что эти функции ортогональны. Пусть Х^
и X/—два различных фундаментальных числа, которым соответствуют
фундаментальные функции у^(х) и <pv(#), т. е. пусть
i
о
t
(216)
Помножим обе части первого уравнения на Xv<pv(*), а обе части
♦второго уравнения на Х„<р„(*)> вычтем эти равенства почленно одно
из другого и проинтегрируем затем полученные равенства. Результат
дтих операций будет следующий:
i
и t I
— У* [f$*<* ^)^)fiA^)^dx-^K{x^)^)b(x)dZdx]. (217)
88 oo
ТНо K(x, $) =35/^(2, x), а потому, если мы в первом из интегралов,
стоящих в правой части этого равенства, л; и £ заменим друг другом,
то мы получим второй интеграл; следовательно, правая часть (217)
равна нулю, а так как Х^^=>¥, то
t
?¥,(<) ¥,(*)**=0, (144)
т. е. фундаментальные функции представляют собою ортогональную
систему. ,
Все фундаментальные числа действительны. В самом деле, допустим,
что комплексное число \^=*а-\-1$ является фундаментальным числом.
Пусть соответствующей ему фундаментальной функцией будет, вообще
Говоря, комплексная функция <р^ (х) =» ср -f- /ф. В таком случае число

§ .38 Решение интегральных уравнений 161
iv==a — ф, сопряженное числу Х^, и функция tpv (л:) == <р — /ф,
сопряженная функции ср^л;), также являются соответственно фундаментальным
числом и фундаментальной функцией, так как они удовлетворяют второму
интегральному уравнению (216). Но фундаментальные функции одного
й того же интегрального уравнения ортогональны друг другу, а потому:
{(? + /ф)(?-'*)Лр —J(?f+*»)rfr=:pf (218)
/о о
что невозможно. Это заключение соответствует приведенному ртньше
доказательству (62) того факта, что все корни детерминантного
уравнения Лагранжа (60) действительны.
Ь) Предположим снова, как мы это делали в § 34, что силу Y(x, t)
можно представить в виде периодической функции t/(^)cos pt. Тогда
в силу (208)
Pv=cqs/^T/(*)<pv(x)tf*. (219)
Из '(158) следует:
l /,ч F^COSpt f X
№) = f£ pty * = *** * = ]/ у
(220)
причем
F^x\f{x)y4{x)dx.
Формула (206) в данном случае дает:
у = cos/rf £ *&L fy(x) Ь (х) dx. (221)
v=l * 0
Введем обозначения AJ=X„ A2=X н
оо '
v(x)=YiT=k\m^{x)dx' (222)
v=l О
Можно непосредственно показать, что это последнее выражение
удовлетворяет интегральному уравнению (202). Положим, как, и раньше:
Р(х)=ш[к(х9 £)/(S)4. (223)
Преобразуем это выражение с помощью билинейной формулы (211):
оо 1
Fix) = J] ^ \ % (6)/(5)«, (224)
И Be6otep.

162 Волновое уравнение Гл.* III
Сравнивая это выражение с выражением (222) для <р (лс), мы будем иметь:
vs=l О
о» '
-12ц£^*-®'«* <225>
v = l О
Умножая обе части равенства (222) на К(ху £) и интегрируя их,
мы получим:
оо
v = l
I
-Es^i'*-®'** (226>
vsl 0
Последнее выражение, как было показано раньше, равно
<f(x)-F(x)
X
следовательно: .
<f(x) = F(x) + Х f K(xf t)<t(Z)dt, (227)
о
т.е. у(х) действительно удовлетворяет интегральному уравнению (202).
Найдем теперь коэфициенты разложения функции F{x) в ряд по
фундаментальным функциям <ру(лг):
F(x) = Atfx (х) + Л2ср2 (х) -f-... -f Лу<р, (дг) + ...
Для этого умножим этот ряд почленно на <pv(*) и проинтегрируем его.
На основании формул (144) и (145) мы получим:
i
А= \F(x)ff,(x)dx (v= 1,2,3, ...). (228)
6
Таким образом:
С
F(x) = X Ъ (*) \ F® % (£) Л. (229)
Эту формулу мы также называем рядом Фурье для функции F(x),
обобщая, таким образом, понятие о тригонометрическом ряде Фурье.

§39 * Другие краевые условия 163
Если этот результат сравнить с выражением (224), которым была
задана функция F(x)t то оказывается, что
i i
\ | F (S) <pv (5) A » f ?v ($)/($) dS. (230)
о о
Таким образом из равенства (222) получается:
оо *
°° С °° С
vsl 0 vsl
-/>(*)+^53 b& Uv(5) F(S)Л. (231)
v=l 0
Эта форма решения принадлежит Э. Шмидту1.
§ 39. Другие краевые условия, а) Изучая колебания струны, мы
предполагали до сих пор, что концы струны закреплены и,
следовательно, на концах основного интервала ср(лг) = 0. Но можно задать
другие краевые условия, представляющие интерес как с физической, так
и с математической точки зрения. Предположим, например, что один
из концов струны прикреплен к кольцу с ничтожно малой массой,
которое может скользить без трения по проволоке, перпендикулярной
к положению равновесия струны. Так как при этих условиях на струну
не может действовать сила, параллельная проволоке, то сила,
действующая на струну в ее конце, должна быть перпендикулярна проволоке,
т. е. ^ должно быть равно нулю.
Другой пример с теми же краевыми условиями дает нам продольное
колебание воздуха в трубе; сгущение в этом случае равно s =—— ,
оХ
а потому на открытом конце трубы, в котором давление равно давле-
Ъи
нию атмосферного воздуха, s = —— = 0.
Можно исследовать уравнение колебания при этих новых краевых
условиях, подобно тому как это было сделано в § 33. Если функция
у (х) = A cos kx \- В sin kx (232)
удовлетворяет на обоих концах основного интервала 0 < х < I условию
1 Е. Schmidt, Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichun-
gen, I. Tell: Entwicklung willkMicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener.
Math. Ann., т. 63 (1907), стр. 454.

164 Волновое уравнение * Гл. III
--Ь = 0, то £ = 0. Для фундаментальных функций мы получаем, таким
образом, cosfoe, а не sin fee, как это имело место в случае струны,
закрепленной на концах. Значения А, как и раньше, определяются из
уравнения sinkl — О. Фундаментальные числа остаются те же, что и
пр*и краевом условии <р = 0, и, следовательно, гармонические обертоны
как в случае открытой, так и закрытой с обеих сторон трубы,
остаются те же. Предположим теперь, что наша труба на конце дг = 0
закрыта, а на конце дг = / открыта. Из равенств
у (х) = A sm kx -}- В cos kx, \
-j£ = k(—Asinkx-{-Bcoskx) J * '
мы, как и раньше, найдем, что Л = 0; однако фундаментальные числа
в этом случае определяются не из уравнения sin kl = 0, а из уравнения
cos kl -= 0,
т. е. в данном случае
А=~^-у (я = 0, 1,2,3, ...). (234)
Таким образом частоты колебаний воздуха в закрытой с одной стороны
Трубе пропорциональны нечетным числам, т.е. четные обертоны в
такой трубе отсутствуют. При переходе от открытой трубы к закрытой
на одном конце основной тон понижается на октаву. Итак, и для
случая закрытой с одной стороны трубы и для случая трубы, закрытой
с двух сторон, фундаментальными функциями служат cos&*; для этих
случаев функция Грина имеет, конечно, уже другой вид. К вычислению
этой новой формулы Грина мы и перейдем сейчас.
Сделаем сначала несколько замечаний относительно физического
значения функции Грина. Источник, описанный в § 35, т. е. для кото-
Ьи
рого смещение и всюду непрерывно, а сгущение s=——претерпевает
оХ
разрыв в точках лг = £, можно наглядно представить в виде поршня,
который, находясь в точках х = £, по одну сторону вызывает сгущение
воздуха, а по другую — разрежение. Другим примером, ближе
связанным с распространением звука в трехмерном пространстве (к этим
вопросам мы вернемся в главе V), является источник, относительно
которого сгущение (или разрежение) воздуха вблизи точки * = $
симметрично, а смещение в этой точке делает скачок. Такой источник
получается при вдувании или выкачивании воздуха с помощью трубки или
при одновременном движении двух поршней навстречу друг другу. При
этом оказывается целесообразным исследовать не самое смещение
(скорость) и, а его потенциал со, определяемый уравнением # = -^-. Этот
ах
последний также удовлетворяет уравнению:

§ 39 Другие краевые условия 165
Сгущение 5 при этом окажется равным:
du d4 ^ ,л*г,
-й—л?"** {235)
Следовательно, для открытого конца трубы у(х)~0, а для закрытого
dv
конца -^ = 0.
ах
Симметрический источник с мощностью, равной единице, мы, как и
выше (178), определяем условием:
dx
= — 1. (178)
-о
Физически это условие означает, что скорость и слева от S на
единицу больше, чем скорость справа от Е, или, иначе говоря, что с
помощью трубки, помещенной в точке S, в течение единицы времени из
каждой единицы площади поперечного сечения выкачивают единицу
объема. Мы будем, как и раньше, предполагать, что <f(x) в источнике
непрерывно.
Если краевые условия на обоих концах суть -j1 =:0$ то функцию
Грина нельзя уже определить как решение уравнения
dx*
ч
Действительно, если бы функция Грина удовлетворяла этому уравне-
нию, то — было бы постоянным и, следовательно, на основании име-
йх
ющих. место в данном случае краевых условий было бы тождественно
равно нулю, т. е. К было бы постоянным. Поэтому мы заменим в
правой части этого уравнения 0 некоторым постоянным числом
а, т. е. потребуем, чтобы функция Грина для х^к удовлетворяла
уравнению:
!£ = «• (236)
Это уравнение утверждает, что сгущение должно быть постоянным,—
условие, которое может быть осуществлено соответствующим выбором
движущихся навстречу друг другу двух поршней. Функцию Грина К
мы определяем как решение этого диференциального уравнения,
удовлетворяющее следующим условиям: 1) для 0<л:<;/ оно непрерывно;
2) на концах промежутка * = 0 и лг = / оно удовлетворяет краевому
dK Л 0, ь
условию — =г0; 3) в точке х ^=5 оно удовлетворяет условию суще-
О?ов<|ния источника (178),

166
Волновое уравнбнив
Гл. III
Следовательно, принимая во внимание краевые условия, будем иметь:
dK
dx "
., ах2 .
ах
При АГ<5,
*(х-1)* + с>, ^ = а(х-1) прилг>£.
(237)
2У ' l ' dx
Из условия непрерывности функции Грина при лг = $ вытекает, что
*'-* = |-(2/;-/*).
Кроме того, из условия существования источника (178) (К=<¥) следует,
1 S2
что a=as—. Полагая для простоты, что с=~ — $ + #, мы получим:
» <»*
-5 -{"* ПРИ *<5f
2/
^Е)=Ь»+^
2/
■х-\-Ь при х~^%.
(238)
Постоянная А до сих пор оставалась произвольной. Определим ее так,
Чтобы ,
1
АГ(лг, S)rfA; = 0,
(239)
т.е. потребуем, чтобы # = —.
о
Свойство симметрии определенной таким образом функции Грина
может быть доказано так же, как это было сделано в § 35. Полагая
и = К{х, S), v = K(x, *j),
мы подобно (183) будем иметь:
i / i
\[Ua%-Vj£)dX==alUdX-a\VdX- <240
о об
Это выражение обращается в нуль, что влечет за собою те же
следствия, что и обращение в нуль выражения (183).
Если функция удовлетворяет условиям:
§ + *2¥ = 0> 2 = 0 при^^О и *=/,
то
dx2 dx
= 0,
(241)
»\ <?dx-.
о о
так что среднее значение фгг«кции f для всего основного интервала
равно нулю

§ 39
Другие краевые условия
167
Этим же свойством обладают и фундаментальные функции
<pv(*) = cos —,
так что только функции, обладающие тем же свойством, можно
разлагать в ряд по фундаментальным функциям, т. е. по косинусам.
Соответствующие изменения надо в данном случае внести и в
исследование вынужденных колебаний. Если функция <р (х) удовлетворяет ди-
ференциальному уравнению:
fg-|-*,<p='-/(*). (163)
то в силу (236) уравнение (199) надо заменить следующим:
и, следовательно, в уравнении (202) справа надо добавить постоянную
i
a j <?(x)dx.
Но так как среднее значение <р (лг) на интервале (0,1) обращается в нуль,
то интегральное уравнение для рассматриваемого случая совпадает с
предыдущим (202) интегральным уравнением.
Билинейная формула для функции К(х, £), определенной
равенствами (238) (при А = —), напишется так:
.. тх vttS
; °° COS—г-COS-г-
*<*'H?S * • Ч243)
Эта формула может быть получена непосредственно с помощью
разложения в ряд Фурье.
Функция Грина для уравнения
при краевых условиях -±=г0 может быть получена по способу, кото-

168 Волновое уравнение Гл. Ш
рым мы уже пользовались в § 36. Вычисления в данном случае дают:
cos kx cos k (I — £)
Г(Х^):
ksinkl <ФИ*<£,
cos&£cos&(/ — a:) .. ' '
при x^*k.
ksinkl
Легко проверить, что определенная таким образом функция Г{х)
удовлетворяет условию (178). Действительно:
ЪГ л л t\ sin*Scos&(/— S)
^(5~М)=*—шв—'
ЪГ * , .. cos k& sin k (I — S)
b) Мы далеко еще не исчерпали всех теоретически и практически
возможных краевых условий. Рассмотрим -теперь трубу, к концу
которой прикреплен на пружине поршень. При движении поршня возникает
сила, пропорциональная его смещению и направленная в
противоположную сторону. Так как смещение пропорционально давлению, т. е.
сжатию, то при дг=/
Ы
или
g + A(« = 0. (245)
Мы придем к тому же результату, рассматривая струну,
укрепленную _на упругой опоре. Исследованные нами раньше случаи получаются
из данного при h = 0 или h —► оо. Эти краевые условия можно еще
обобщить, полагая, что поршень (или конец струны) связан с концевой
системой (зажимным аппаратом), т. е. с точкой, имеющей конечное
число степеней свободы. Пусть кинетическая и потенциальная энергии
этой системы будут соответственно:
п ,п п п
T=T%HiaM' ^tESw <246>
Обобщенными компонентами сил в этом случае будут:
я
Л=Цад+^у). (247)
Предщэдожим, что подвижной поршень связан £ той точкой, которая

§39
Другие краевые условия
169
имеет координату qit так что q1 = (u)x_l, и что компонента
соответствующей силы пропорциональна s, т.е. Я1 = Су, где С—постоянная.
Если никакие другие силы не действуют на эту концевую систему, то
аиЯ[ + *\$\ + • • • + спЯг + спЯ2 -f- ... = Cs, ]
а%\ЧХ \ аг&2 + • • • + СЪ\Ч\ + *22?2 + . . • = О,
аплЯ'[ + я«2?2 + • • • + сп\Яг + ^2?2 + ... — О,
(248)
причем значение 5 здесь надо брать при х = 1. Чтобы решить эти
уравнения, положим:
d<p
иs=B(p (a:) cos(pt — а), s =— -т1 cos(р/ — а), ^ss^cosf/rf—а)
(/=1,2, ..., я).
Мы полупим:
А (*« — /**и) + 4i fai — P*<*i*) + • • • + Л foe - />2*m) = - С (Й ) ,
А ( Ъ — />2*2i) + А ('22 — Р*а&) + • • • + Ал (СЫ — />*Д2я) = О,
(249)
• • • • I
Л|('*—P4*i) +^Ч*-/^)* •-. +Аа(саа-р*сап) = 0.
Решая эту систему относительно Аг и имея в виду, что Л1 = ф(/), мы
получим:
Через D в этой формуле обозначен детерминант (60) (/и2 заменено
через— р2), а через Z)(1) — минор первого элемента первой строки этого
детерминанта. Оба детерминанта представляют собою некоторые много-
Л2
члены относительно/;2. Полагая, как и раньше, X = ft2=^, перепи-
шем соотношение (250) в следующем виде:
?(о т-
(251)
В этом равенстве /(к) представляет Собою некоторую рациональную
функцию от X. Из двух таких краевых условий, соответствующих двум
концам стержня, мы найдем значения Х^
Для случая струны
^ (х) = A cos kx -f- В sin kx. (32)
Р0оздача>! значения предыдущих детерминантов О ц £>(1) щ концах

170 Волновое уравнение Гл. Ш
х=1 и дг = 0 соответственно через Dt, Df\ D0 и Dg\ мы будем иметь:
Acoskl + Bsinkl=(Asiakl — Вzoskt)Ck-?-—£-, (252)
Исключая из этих уравнений А и В, мы получим следующее
трансцендентное уравнение для определения частот:
D.DV — D0Dfp
*Ы=Ск™4^-В0вГт' (254)
В этом уравнении F(k) представляет собою рациональную относительно
k функцию. Действительные корни этого уравнения можно определить
графически, построив точки пересечения кривых у ===== tg А/ и y — F(k).
Из (253) мы найдем отношение —, и, таким образом, фундаментальная
/\
функция %(х)9 как и раньше, окажется определенной с точностью до
постоянного множителя.
Так как фундаментальные функции у^(х) и <pv(j*r) удовлетворяют
уравнениям:
§+*.*.-о.
то по аналогии с (240) мы будем иметь:
I
о
— (Ч — V) f ^ (*) у\ (*) <**• (255)
'1
В рассмотренных до сих пор элементарных случаях на концах было
либо ср==0, либо <pf==0, так что две фундаментальные функции, для
которых ^=7*=XV, всегда были ортогональны. Легко видеть, что фунда»
ментальные функции ортогональны и в том случае, когда краевые
условия пишутся в виде уравнения:
<р'-|-Л<р==0. (245)
Однако в общем случае, определяемом уравнением: '

§ 39 Другие краевые условия 171
условие ортогональности для функции ср кожет и не выполняться. Для
этого случая в силу (255)
Ч*{хШ*)*х= х _^ Ь% |о. (256)
т. е. интеграл вообще не равен нулю.
Так как в этом случае (251) фундаментальные функции, вообще
говоря, не ортогональны, мы не можем обычным способом разложить
произвольную функцию в ряд Фурье по фундаментальным функциям.
Однако, как показал лорд Релей, такое разложение можно получить,
изменив несколько обычный ход рассуждений1. Обратим внимание на
интеграл (256). В рассматриваемом случае он не обращается в нуль, а
это означает, что он уже не представляет полную „взаимную энергию"
двух главных координат и что надо еще принять во внимание энергию
концевой системы. Рассмотрим главное колебание, в котором все
величины д{ пропорциональны главной координате фае cos (р/—а).
Из (249) следует Uv = ~f) :
A, DW(pt)
(257)
A, DU>(# \
здесь Dll\ D(2\ ..., £)(я) означают миноры детерминанта D,
соответствующие элементам первой строки. Из (250) мы будем иметь:
причем Pt(\) представляет собою, как и раньше, рациональные
функции, зависящие от концевой системы. Для того чтобы упростить
выражение энергии концевой системы, введем вместо qt главные
координаты этой системы. С помощью, преобразования координат
Ь = aii9i + ai2?2 + • • • + атЯп»
Ь = а21?1 + а22?2 + • • • + ЬгпЯп*
In = ап\Яг + ая2?2 + ... + annqn
(268)
введем новые координаты ^, причем эти последние выберем так, чтобы
функции энергии Т и W на рассматриваемом конце трубы (струны)
приняли вид:
п я
Г=45Ьх;2. ^=ЕС'Х?' (259)
Тогда
где Qy0v) — рациональная функция.
* Ravleigh, т. I, cip. 202.

172
Волновое уравнение
Гл. III
Представим теперь движение всей системы в главных координатах ф, (/):
оо
" = £<РЛ.
Ьи
оо
v = l
^ ^LiivTyt
v=l
й-£<Ш?,ЮФ,. :й=Е<Ш«М0£. (260)
Кинетическая энергия всей системы, включая сюда и действие обеих
концевых систем, равна:
0 \v = l / ,=1 \v = l
о,/
. (261)
Во втором члене надо взять сумму значений на обоих концах: дг = 0
и л; — /. При этом надо заметить, что системы на обоих концах могут
быть совершенно различными, так что им соответствуют, вообще говоря,
различные я, at и Qr
Из свойств главных координат следует, что члены, в которые входят
произведения у'А'ч^фУ)* должны обращаться в нуль, т.е. -
I Я .
Это уравнение, конечно, равносильно (256), но для вычислений оно
удобнее; второй член в обоих уравнениях симметричен относительно
i^ и Xv. Уравнение (262) заменяет в рассматриваемом случае условие
ортогональности.
Пусть у, $\ ф<°> служат начальными значениями (при /==0)
функций и, Xt и ФУ» так чт0:
(263)
Для определения коэфициентов ф<°) этого разложения напишем
выражение взаимной энергии движения и главного колебания, которому
соответствует координата <|>v:
I п
/=i
o,i
оо
-2>Г{ р 1 Ч (*) *, w<**+2>,<?,(у <?/ ww,
v=l
/=1
<u
(264)
]обозначени| tq же? чтд и в (262)}. Мы предполагаем при этом? что

§39
Другие краевые условия
173
написанное выражение равномерно сходится. Все члены этого
выражения, исключая член, для которого ц=у* обращаются в силу (262)
в нуль, и, следовательно:
р]л,<<*+Е«/хГ<гЛ)ъ|о|
*»—V
/=1
(265)
о i=i
'f,
<W
Обычное разложение в ряд Фурье получается отсюда как частный
случай (сравни § 42).
с) В качестве примера рассмотрим фонометр Вебстера —
акустический прибор, сконструированный автором книги (черт. 47)1. Прибор
этот представляет собою трубку с поперечным сечением а, один из
концов которой (jc=s*/) соединен с
камерой объема V. На другом конце
камеры находится мембрана
(диафрагма) с мдссой т и поверхностью S.
Жесткость этой мембраны равна /,
иначе говоря, для того чтобы
сместить мембрану на расстояние S,
необходима сила/£. Смещение воздуха
в трубе, равное и, вызывает приток в камеру воздушной массы аи;
если, с другой стороны, мембрана смещается на S, то в камеру
притекает еще, кроме того, воздушная масса SS. Сгущение воздуха будет
в результате равно:
air-f 5S
IT
Черт. 47.
а давление будет p=xst где т означает коэфициент упругости воздуха
(§ 12); давление на конце х = 1 трубы должно быть таким же, как и
давление р в камере. Под действием этого давления на мембрану
возникает сила X, противодействующая движению мембраны, причем
X=pS-~
xS(ou+SZ)
i v
Уравнение движения в этом случае напишется так:
Если не принимать в расчет кинетической энергии воздуха в камере, то
* См, Nature, ?• 110 (1922), стр. 42.

174 Волновое уравнение Гл. ГО
Уравнение движения в форме Лагранжа напишется теперь так:
dt
dt \W) ~T d$ :
Заметим, кроме того, что — = вр, где р—давление.
ой
Введем главные координаты:
Тогда
где т
л2=0, а2 = /я, сг = у> сч—/.
Уравнения (248) примут в этом случае вид:
Ъи аи -f- S 5
Полагая
мы получим.
и = Л2 cos /;/, £ = Л2 cos /?/,
"ЧЛс),-^ У + ^2
V '
и, следовательно:
c=V£+*(/--«*»+-£').
(266)
Уравнение (251) примет теперь следующий вид:
h <Pf(0_e f—mp
. (268)
* Эта задача из акустики
совершенно равносильна следующей
Черт. 48. задаче электродинамики. Концы
двух проводов соединены с одним
конденсаторов непосредственно, а с другим через индукционную катушку
(черт. 48). Вместо а— мы должны в данном случае поставить /—силу
до

§ 39 Другие краевые услрвий 175
притекающего тока. Мы имеем:
где через дг и д2 обозначены величины зарядов конденсаторов Кг и К%.
Далее
Если удалить второй провод и вместо того чтобы соединять между
собою оба конденсатора, отвести их к земле, то получится разомкнутая
(приемная) антенна. На открытом конце антенны ток при этом
обращается в нуль. Этот случай соответствует закрытой трубе, для
которой и = 0.
Рассмотрим теперь уравнение (268) для случая трубы, открытой на
онце лг=гО, когда — =atO. В данном случае
оХ
<р (дг) = cos kx, ~ = — k sin kx,
и (268) дает (p = ak):
Кривая y=F(k)— четвертого порядка; она пересекает ось k при
~~ |/ та2 и имеет вертикальные асимптоты £=0 и £=1^ w 2
Так как функция F(k)— нечетная, то мы можем ограничиться
рассмотрением положительных значений k. Для больших значений k корни
уравнения (269) мало отличаются от корней уравнения tgW = 0, так что
внешние обертоны почти совпадают с обертонами открытой с обеих
сторон трубы. Если 1/ = оо, то такое совпадение имеет место для всех
обертонов. Если т или / обращается в бесконечность, т. е. если стенка
(мембрана) неподвижна, то мы получаем уравнение tg&/ = — ; если,
кроме того, 1^=0, то мы имеем cosA/ = 0, т. е. тоже условие, что
и при трубе, закрытой с одной стороны и открытой с другой.
Исследуем, наконец, вынужденные колебания, которые получаются,
когда в открытый конец л; = 0 проникает извне воздух, вызывая
сгущение s = s0cospt. В этом случае значение k = — задано. Положим:
tf (х) яяв A cos kx-\-B sin kx,
~ь as k (— A sin kx-f-B cos kx).

176 Волновое уравнение Гл. Ill
Предыдущие условия дают s0 = —(~r*l =s^- kB. Далее, из (268)
следует:
k(—Asinkl + Bcoskl) = (Acoskl + Bsinkl)^ f~mp*
Из этого уравнения можно определить А. Для упрощения положим:
а f—mp* ь,ь» '
Тогда
A=*Bctgk(l — a),
и
- v s0cosk(x — /4-g) d*f s0s\nk(x— / + a)
' ' k sin k (I — a) ' dx sin k (/ — a) *
Амплитуда Аг колебаний мембраны, как это следует из (267), равна:
. s0TSsinka
г~ ~ sink(l — a)(f— тр*У
Измерив эту амплитуду, мы можем найти сгущение s0 воздуха,
вводимого в трубу, и, таким образом, вычислить интенсивность звука.
Изменяя длину трубы, мы можем благодаря резонансу сделать этот
инструмент сколь угодно чувствительным1. Амплитуда А2 становится
бесконечной либо когда sin&(/—a) = 0, либо когда /?2=—; во втором
случае концевая система настроена на резонанс.
В последних рассмотренных нами задачах соответствующее
интегральное уравнение, получающееся из формулы (208), имеет два
добавочных члена, зависящих от условий на концах. Функция Грина при
этом должна быть соответствующим образом определена, но на этом
вопросе мы здесь останавливаться не будем. Заметим только, что на
Фг К*
концах -±_=/(Х), -—=/(0), благодаря чему интегральное уравнение
<р К
(200) переходит в функциональное уравнение:
<Р *{/(0) -/№ } IJ + <р (?) - X J К (х, 5) <f> {x)dx = Р®. (270)
Фундаментальные функции уже не являются при этом, как мы видели,
ортогональными в обычном смысле этого слова.
1 Практически, конечно, зта чувствительность ограничена благодаря
затуханию колебаний, которые мы в нашем рассуждении не приняли во внимание»

§ 40 ЦИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ \П
§ 40. Диференциальные и интегральные уравнения более общего
характерам) Выводя в § 12 диференциальное уравнение колебаний струны,
мы считали напряжение т постоянным. Если это напряжение является
заданной функцией от х% то получим диференциальное уравнение:
Полагая здесь у == <р (х) cos (pi — а), получаем:
^=гхШ <272>
и приходим, таким образом, к следующему виду уравнений для
фундаментальных функций <р(лг):
d
dx
L(twE)+1»=0' (273)
где 1 = рр2. Так, в случае вертикально подвешенной тяжелой цепи
x — pgx, причем х отсчитывается от свободного конца. В этом случае
Е (*=) + »- (<"£)■ <"<>
Прежде чем приступить к исследованию этого уравнения, заметим,
что однородное линейное диференциальное уравнение второго порядка
самого общего вида:
всегда может быть приведено к виду:
dx
\р(*)^}+Я(х)У=0. (275)
Произведя диференцирование, мы получим:
уdx* Tdx dx~4y '
т. е. должны иметь место равенства:
Интегрируя,
получим:
Р-
1 dp _
р dx~
' p'
-*Г?~ ч-
p
= c
=
R
P
R
~P'
[9
e} p
dx
Последние равенства справедливы, конечно, только для интервалов,
в которых Р(х) не обращается в нуль.
12 Вябот«р.

178 Волновое уравнение Гл. III
V
Сделаем несколько замечаний относительно диференциального
уравнения (275). Пусть q(x) непрерывна, р(х) имеет непрерывную
производную в основном интервале а^х^Ь, а и(х) и v(x) имеют нет
прерывные производные первого и второго порядка в том же интервале.
Введем оператор (диференциальное выражение):
Тогда
d I du dv\ ,rxTTK
=1Гх{г"Тх-гаТх)< <277)
Интегрируя это тождество в пределах от а до Ь, мы получим так
называемую формулу Грина для одного измерения:
ъ
§[vL(u)-uL{v)]dx=p(v^-u^)
(278)
а
Если и9 и vf имеют конечное число точек разрыва в интервале
а^х^Ь, то с ними поступают так, как это было указано в § 35.
Пусть р(х)фО при 0<^x<Zb* Определим функцию Грина
и=:К(х9 £) диференциального выражения £(и), соответствующую точке
приложения сил л; = £ (а <[£<#), следующими условиями:
a) К(ху 5) непрерывна для а^х^Ь.
b) К(х, £) = « при хф% удовлетворяет диференциальному
уравнению L(u) = Of
c) р(х) \ = —U
т. е. г
МГ(лг,£)
Ьх
К этим условиям добавляются различные краевые условия, например
К=0 или /С' = 0 на концах1. Каждым данным краевым условиям
соответствует, конечно, своя особая функция Грина.
Свойство симметричности функций Грина
К(хЛ) = К&х)
распространяется на довольно обширный класс краевых условий.
Доказательство равенства К(х, &) = ЛГ($, х) для всех случаев аналогично
доказательствам, приведенным ранее.
1 В случае диференциального уравнения второго порядка число краевых
условий должно быть равно двум; в случае обращения коэфициента р в нуль на
конце интервала условие для этого конца обычно состоит в том, что решение
остается на этом конце конечным (см. следующее примечание).

§ 40 ' ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫБ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 179
Вернемся к уравнению тяжелой цепи. Пусть сначала Х = д = 0.
Тогда оператор L(u) (276) примет вид (тйк как1 />=** и tf = 0):
£w-s(*s)- 280>
Проинтегрируем уравнение L(a) = 0:
Найдем соответствующую функцию Грина К(х, £) для интервала
0^х^1у которая удовлетворяла бы вышеприведенным условиям. В
качестве первого краевого условия потребуем, чтобы К для д:=г=0 было;
конечно. Тогда в интервале 0^д;^£
К(х, 5) = а = *. (282)
Пусть на другом конце х = 1 функция /f=0, т. е. пусть
а потому в интервале Z^x^l
K(x9Z) = u = clnlLm (2820
Наконец, vt (S + 0) = т* и а' (^ — °) — 0, так что на основании (279)
с=к—1. Таким образом
1п-у- при 0<*<$,
(283)
№*) =
х
In — при £<*</.
Второе из этих выражений для больших значений / может быть
приближенно заменено уравнением цепной линии:
х = /ch « = -o- (е° + *"")•
Пусть /(*) представляет собою заданную „плотность источника*
решение неоднородного уравнения
^W-S(*S)—^ (284)
* Этот случай является постольку особым, поскольку р(дс) для *->оо
обращается в нуль. Поэтому решение (281) имеет при х = 0 особую точку, а потому
и краевые условия в данном случае должны иметь несколько иной характер, чем
раньше.
12*

180 Волновое уравнение Гл. Ш
получается подобно тому, как в § 35 и 36, в виде интеграла:
и=\ К(х, £)/(&)<£ = - ij /(S)ln ~ dl- j* Цу/(;)^. (285)
О 0 х
Этот результат можно проверить с помощью непосредственного
интегрирования.
Теперь мы должны перейти к произвольному значению X. Однако
предварительно мы рассмотрим диференциальное выражение
i{u)=L{u) + lu = -jL(p^+(q + l)u (2S6)
и построим для него функцию Грина Г(х, S). Пусть эта функция
удовлетворяет на концах основного интервала 0 ^ х ^ / тем же краевым
условиям, что и AT, т. е. пусть К=*Г=0 или К1 = /"' = 0. Решение
уравнения
А (<р) = -/(*) (287)
(диференциальное уравнение вынужденных колебаний) будет, как и
раньше, дано формулой: «
¥(*) =
= {г(лг, £)/($)<#. (288)
Если у(х) рассматривать как заданную функцию, a f(x) — как
неизвестную, то выражение (288) будет представлять собою интегральное
уравнение первого рода с функцией Гринач Г(х, S) в качестве ядра.
Из (287) следует, что решение этого уравнения получается с помощью
применения оператора А к функции ср. При этом ср должна
удовлетворять тем же краевым условиям, что и Г.
Применяя те же рассуждения, что и в § 36, к уравнениям
М*0 = 0, £(<р)+ Х? = -/(*), (289)
мы получим: к
_cpL(/0 + /a(<p)f Щ=- Щх),
I I
#^ С^Гчрг — ЧР^*> 15l^S -i-^ J ^>P *«*■ — — <f ЛСГС-»> ^Л». (290)
3 силу (279) получается, таким образом, интегральное уравнение:
/ i
— 4(Z) + l[K(x,t)<f(x)dx^ — [K(x,t)f(x)dx=*-F(t), (291)
решением которого служит выражение (288). Переставив в этом
выражении х и £, мы придем к уравнению:
<?(x)-\[K(x,t)4(Z)dZ=:F(x). ... .
5

§ 40 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 181
Две функции Грина К(х, S) и Г(х, £) связаны очень важным со*
отношением. Чтобы получить его, полагаем в формуле Грина (278):
«=■#(*, S)f" v = r(xt Ч).
Так как
!(/?) = О, £(Г)-|-ХГ=0, rL(K) — KL(r)^\Kn (292)
то в силу (279):
р(ГК<-КП^1+р(ГК<-КГ)\^1 = \[кГ(1х, (293),
О
I
П$, Ч)~ *(Ч> *)—*$*(*, Ь)Г(х, n)dx. (294)
Это уравнение симметрично относительно К и Г*. Таким образом
функция Г (резольвента) удовлетворяет интегральному уравнению:
i
Г(5, ч)—Х$*(S, *)П*. 4)^ — ^(5, Ч) (295)
о
<; ядром К. Функция К в свою очередь удовлетворяет интегральному
уравнению:
*(ч, &) + ^Пч> *)*(*> £)<** = Пч> 6) (296)
о
с ядром Г. Оба ядра обладают, таким образом, тем свойством, что
каждое из них является решением интегрального уравнения, соответствут
ющим другому ядру. Для интегрального уравнения
i
у(х)-\[к(ху £)f (tyrfe-m (202)
получается решение:
<р(*) = /=•(*)+ Xjr(*, 5)/*(5)<Й. (297)
о
В самом деле, подставим в вышеприведенное уравнение (202) это
выражение для ср(л-) и
. , i - - ."■■-.*
О-
мы получим:
-X JA'(*,S) F(S) + X$T(S, i))F(ij)Ai U, (298)

182 Волновое уравнение Гл. Ш
т. е. тождество, как это легко заметить, если умножить (294) на F(Z)
и проинтегрировать:
$Г(*, £)F(S)^-j/C(x,S)F(£)^-
о о
— XfF(7])rf7i ГАГ(лг, £)Г(2,7])rf£ = 0. (299)
о о
Сравнивая решение (297) с решением Э. Шмидта (231), мы приходим
к равенству:
Г(х,!-)^Ц?Ш, (300)
которое действительно справедливо в довольно общем случае (см.
подстрочное примечание на стр. 159).' Например оно имеет место для
резольвенты (197).
Если Г и К, определяемые формулами (300) и (211), подставить
в уравнение (294), то это последнее обратится в тождество. Согласно
определению (292), ядро Г зависит от X; из (300) следует, что его ф£н*
даментальные числа для Г получаются вычитанием X из
фундаментальных чисел для К.
Ь) Вернемся снова к примеру с тяжелой цепью и снова заменим X
через р:
Введем новую переменную x — z2. Тогда
2 dz_ j/ dz d \ d
dx * dx dxdz 2z dz'
dx \X dx) 2zdz \ 2zdz) ~ izdz \Z dz)i
и наше уравнение примет вид (с>0):
^ + 75 + ^-° (c2==4i)- {301)
Если мы заменим еще cz через С, то придем к так называемому
уравнению Бесселя (т. II, § 101): •
d%y , 1 dv ,
Решением этого уравнения служит функция Бесселя нулевого порядка:
j; = y0(C) = /0(2l/'u.) (303)
Эту последнюю можно представить с помощью повсюду сходящегося

§ 40 ДиФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 183
степенного ряда [т. И, § 100,(4)]. Так как при х ==/ должен быть узел,
то фундаментальное число Х = \, должно удовлетворять
трансцендентному уравнению:
J0(2jA/) = 0 (304)
(это уравнение имеет бесконечное множество действительных корней;
см. т. II, заключение § 102). Если обозначить через Xv один из корней
этого уравнения, то соответствующая фундаментальная функция <pv (x)
выразится так:
%(x) = aJ0(2{f\x) (а = const). (305)
Общее решение нашей задачи будет иметь вид:
оо
у=X Аvcos Ш - О Jo (2 А*)» 1зоб)
v = l
где \ пробегает всю совокупность корней уравнения (304). Свойство
ортогональности мы можем проверить обычным способом» Из (274)
следует:
Помножим эти уравнения соответственно на <pv и <р^, вычтем
полученные выражения одно из другого:
^[^(<p,<p;-v:)]+(v-^)^=o да
и проинтегрируем результат в пределах от нуля до /:
i
* (?v¥;-ve'v)|v=^-VlvM*- ,(308)
о
При д; = 0 левая часть уравнения (308), имеющая множитель лг,
обращается в нуль; кроме того, в силу (304) cpv (/) ===== ср^ (/) == 0;
следовательно, интеграл, стоящий в правой части этого уравнения, тоже
обращается в нуль, и тем самым свойство ортогональности доказано.
Чтобы нормировать фундаментальные функции, заметим, что
уравнение (308) справедливо для любых значений \ и \> даже для тех,
которые не представляют собою фундаментальных чисел. Пусть \
является фундаментальным числом и пусть 1и = ^ + е, где г—>0. Тогда
* t г

184 Волновое уравнрние Гл. Ill
С другой стороны, с точностью до бесконечно малых второго порядка
<Pxv+e = <p,+ e^-\ ^+, = «р; + е^1, (310)
Поэтому из (308) следует ( напомним, что через у'ч обозначена частная
производная —^ J: 1
о
При л: = 0 левая часть в этом уравнении обращается в нуль; кроме
того, (pv(/) = 0, а потому левая часть равна
Чтобы вычислить это выражение, продиференцируем (305):
g=4(2^)j/S, §=Ч(2К5)/|. 01*
Таким образом окончательно:
^dx = W f*(2)/Tj). (313)
и
Определим теперь произвольную постоянную так, чтобы интеграл (313)
был равен единице, т. е. положим
_ ~ 1
Тогда фундаментальная функция
окажется нормированной. Билинейная формула в этом случае принимает
следующий вид:
к (х а -1£ ^\^)Ф т) п. „
*(*'5,-'£ V?(2^)~~- (35)
Здесь О^л:^/, 0 <;$<;/. Более тщательное исследование показывает
(см* асимптотическую формулу, ч. И, § 112), что ряд (315) сходится
абсолютно, если только х u S не равны одновременно нулю. Эта функ* -
ция (315) представляет собою не что иное, как ядро," определенное
формулой (283)г
•В качестве второго примера рассмотрим вращение тяжелой цепи
вокруг оси? перпендикулярной этой цепи. Если угловая скорость» вра*

§ 40 ДиФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 185
щения цепи равна ш, а за начало отсчета абсциссы х принять точку
на оси вращения, то центробежная сила, действующая на элемент цепи
рйлг, будет равна а>2р*/лг, а вызванное ею напряжение окажется равным
i
Т = р<дЧ *<**== у рЮ*(/2 — АГ2) (0<*</). (316)
X
Здесь через w обозначена линейная плотность, а через / — длина цепи.
Тогда диференциальное уравнение цепи будет иметь вид (271):
или, если ввести новые независимые переменные (изменить масштабы):
Ы г_ х
7Т Х~Т'
Уу
W*
В дальнейшем мы будем эти новые независимые переменные писать без
штрихов. Положим
у = f (л;) cos (pt—а).
Тогда
(,) = £((1-*)£1+1* = 0, \=р*. (319)
Мы пришли к так называемому уравнению Лежандра [т. It, § 92, (40)].
Найдем функцию Грина К(#, £) для диференциального выражения
lW-£{,i_,,*} ,320).
в интервале 0 < х <, 1. Она получается путем непосредственного
интегрирования:
£{<,_*>£}_* ,32,,
At ' Ас 1-х*'
в 14-я .
Если краевым условием будет служить равенство /Г(0) = 0 и, кроме
того, требование, чтобы К было конечно при #=1, то в интервале
0<л<5 мы получим i=t=0, а в интервале 5<*<1 будем иметь:

186 Волновое уравнение Гл. Ill
Следовательно:
9_1?1 ? при 0 < ж < 5,
с \Л (322)
-J In g ПрИ$<АГ<1.
Для того чтобы удовлетворялось условие
" ==? — 1 —У »
к —о * *-
1
Ьх
(323)
необходимо, чтобы — =_ - Г9.
1 — ь? 1 — с3
Итак, окончательно:
-о ln^- при 0<х<£,
К(х9 g)=J j J * (324)
~^-ln _g при5<*<1.
Единственными решениями уравнения (319)
А(«) = 0,
ограниченными в интервале —I^at^I, для \ = п(п-\- I) (л —целое
положительное) служат так называемые полиномы Лежандра Рп(х). При
х — 0 они обращаются в нуль в том и только в том случае, когда
п — нечетное число.
§ 41. Поперечные колебания стержня. В качестве последнего
примера рассмотрим диференциальное уравнение поперечных колебаний
стержня. Это — уравнение четвертого порядка и согласно формуле (147)
§ 14 имеет следующий вид:
Пробуем найти решение этого уравнения в виде простой
гармонической волны по аналогии с решением Даламбера для волнового
уравнения. С этой целью напишем: N
^ = cosp{t-^Y
так что
Ь*и , Ь*и р*
-sr р*и; ^ = ^«.
Подставляя эти значения в уравнение (325), получаем:
-9Sp*+ei£=o. .

§ 41 Поперечные колебания стержня 187
Таким образом заданное решение будет удовлетворять уравнению (325),
если скорость распространения волн:
—Y^ (326)
Скорость распространения волн при колебании стержня в. отличие от
колебания струны зависит от частоты; именно она пропорциональна
корню квадратному от этой последней. При возмущении, которое
состоит из суммы волн такого вида, отдельные члены будут
распространяться с различной скоростью, и, таким образом, волна очень скоро
потеряет свою форму (дисперсия).
Перейдем fenepb к вопросу о стоячих волнах. Полагая
и =к <р (х) cos (pt — a),
получим:
S-*»- ("=М-
(327)
Общее решение этого уравнения напишется так:
<f(x) — A cos kx -j- В sin kx + С ch kx + D sh kx. (328)
Здесь также возможны различные краевые условия. Если конец стержня
свободен, то на стержень не действуют ни перерезывающая сила Г,
ни момент вращения G, й краевые условия запишутся так [см. §14,
(140) и (144)]:
<*2<Р-0 rf3?-0 Г329)
Если конец закреплен, то касательная совпадает с направлением оси Ох,
х. е.
<Р
= 0, £-0. (330)
dx
Положим сначала, что оба конца свободны. Так как
«-? = ft2(—Azoskx — Bsinkx~\-Cchkx «f Dshkx),
ox
то из первого условия при * = 0 получается С==Л. Далее,
^9z=k*(Asinkx~Bcoskx + Ashkx-±-Dchkx),
аХР
и второе условие при х = 0 даст нам D=jB. При х=1 из соответ*
ствующих условий вытекает: ^>
A(chkl— coskl) + B(shkl — sinfc/) = 0, 1 „
A(shkl + smkl) + B(chkl — coskl) = 0. J { )

188 Волновое уравнение Гд. Ш
Исключим из этих уравнений А и В:
(ch Ы — cos A/)2 = sh2 kl — sin2 kl (332)
В силу тождества
ch2« — sh2«=l
последнее равенство принимает вид:
cosA/ch£/=l. (333)
Это уравнение дает нам возможность вычислять частоты.
Фундаментальные функции в данном случае имеют вид:
<pv (х) = Av (cos kHx + ch k4x) -f 5V (sin &v* -f- sh k4x). (334)
Корни A = &v уравнения (333) легко можно вычислить с помощью таб*
Черт. 49.
лиц тригонометрических и гиперболических функций. Эти корни можно
получить и графическим методом, как точкр пересечения кривых:
y = cosx, J> = ^. (335)
4<*рт. 49 показывает, что эти корни при возрастании x = kl мало
отличаются от корней уравнения со$лг==0. Частоты •— пропорциональ-
ны №. Первые корни уравнения (333) равны1:
*,= 4,7300408,
х2= 7,8532046,
хв*= 10,9956078,
х4= 14,1371655,
*5 = 17,2787596.
Для v>5, atv = (2v -}- 1) — с точностью до седьмого знака,
* См. Rayleigh, т. L стр. 278.
>

\z°0:} (337)
§ 41 Поперечные колебания стержня 189
Для стержня, закрепленного на обоих концах, получаются те же
самые частоты, так как обстоятельства здесь аналогичны тем, которые
имеют место при открытой и закрытой трубе. Если же конец дг = 0
стержня свободен, а конец х = 1 закреплен, то попрежнему С = А,
£> = В и
^ (х) = 4 (cos kx -f- ch kx) -f- В (sin kx -f- sh kx)f \
^^k{A(—sinkx + sbkx) + B(coskx + chkx)}A <336)
ио для дг==/ условия (329) надо заменить условиями (330), т. е.
A (cos kl -f ch kl) + В (sin kl + sh kl) = 0,
Л (—sin tf -f- sh kl) -f- В (cos£/ -j- ch №)
После исключения А и В получаем:
(cosfc/ + chA/)2 = sh2«~sin2*/ .(338)
или, аналогично предыдущему:
cosktchkl = — 1. (339)
Графическое решение этого уравнения показывает, что его корни1
хг= 1,875104,
х2= 4,694098,
лг3= 7,854757,
*4= 10,995541,
лг5= 14,137168,
лг6= 17,278759,
исключая первых двух, мало отличаются от корней предыдущего
уравнения.
Легко убедиться, что и в этом случае фундаментальные функции
ортогональны. Действительно:
■S?"VPm *?-**• <327>
Следовательно:
0 0
\?v ax* ** ax* "r" dx dx* dx dx* J |</ { '
Каждый член последней суммы обращается в н^ль на концах как в том
случае, когда оба конца свободны, так и в том случае, когда эти
концы закреплены, что и доказывает ортогональность функций <р и ср>#
«См. Raу 1 е i ?h, т. I, стр. 278.

190 Волновое уравнение Гл. Ill
Той же формулой можно воспользоваться и для вычисления
интеграла от квадрата фундаментальной функции. Пусть, как и в (309),
Х^ стремится к фундаментальному числу ^. Тогда
lo
(341)
Здесь <р является теперь функцией от Ал:, <р (.v) в ф (&лг), так что:
~SL = 3#ф'" -J- »хф*=3#ф'" Н- **хф.
Таким образом «-
t
I 4A8f(f»JrfAr=
={ ЗА*фф'" + Л»лф»—Л»*ф'ф"' -f Л«фУ + &xf*—2Л2ф'ф»_А8лф»ф"} |«ф
Те члены правой части этого равенства, которые содержат множитель х,
при jc==0 обращаются в нуль. Далее, фф'", ф'ф'" н ф'ф" равны нулю
как в случае закрепленного конца стержня, так и в случае свободного.
Таким образом интеграл квадрата функции, служащий для
нормирования фундаментальных функций, в данном случае равен:
i
р**с-*1ф + у*)хшг (342)
О
Это уравнение можно еще более упростить в каждом отдельном случае
краевых условий.
Разберем, наконец, вкратце случай вынужденных колебание стержня.
Подставляя и = <р (я) cos (pt — а) в уравнение
PS~+EI^^E/f(x)cos(pt-ah (343)
получаем:
jg_l,p-/(*). (344)
В случае равновесия, т. е. когда 1 = 0:
*
fS=/w- <345)

§ 41 Поперечные колебания стержня 191
Предположим, что нагрузка сосредоточена в одной точке, т. е. что f(x)
представляет собою „зубцебидную" функцию. Предположим, далее, что
оба конца стержня закреплены и что нагрузка в точке х = £ равна
единице. Соответствующим решением <р служит в этом случае функция
Грина К(х, S), определяемая следующими условиями: K(xf S)
непрерывна; при хф% она удовлетворяет уравнению:
£-«. (346,
Краевыми условиями для этой функции служат:
*(0, S)=d4(0' 5>e*ft S)==^(/«5)==0' (346'>
и, накс.нец, третья производная при л; = $ претерпевает разрыв:
Из (344) и (346) следует:
Щ — 1. (347)
Проинтегрируем это равенство:
i ■ i t
j {К&^*Я?) dx-l\l<(x> $)*(*)<**-j*(*i l)f{x)dx. (349)
о о о
Подынтегральная функция в первом интеграле представляет собою
производную от^
*dx* 4dx*"T~dxdx* dx их*'
Каждый член этой суммы на концах стержня обращается в нуль. По*
этому, принимая во внимание скачок функции ~-j ПРИ * = 5> мы при-
оХ*
дем к обычному виду интегрального уравнения:
I Г
*(*)—*J*(*. *)<Р(x)dx^K(x, Z)f(x)dx = F(Z). . (350)
Отсюда легко уже следует возможность разложения произвольной
функции в ряд по вышеприведенным фундаментальным функциям.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
Ряды и интегралы Фурье. Метод Коши для решения
краевых задач
§ 42. Сходимость рядов Фурье. В предыдущей главе мы исходили
из системы с конечным числом степеней свободы, совершали
предельный переход и, таким образом, приходили к разложению
произвольной функции в ряд Фурье. Хотя этот процесс для интуиции
физика и кажется вполне удовлетворительным, но математика он не
удовлетворяет: математик требует доказательства возможности
предельного перехода. Во всех случаях разложения в ряд по
фундаментальным функциям мы предполагали, что ряды можно почленно
интегрировать, предварительно умножив их на одну из тех функций, по которым
требуется разлагать. *
Вопрос о возможности такого интегрирования будет рассмотрен
нами в главе IX (т. II), сейчас же мы изложим содержание знаменитого
исследования Дирихле (Dirichlet) *, которое имело очень большое
значение для развития современного анализа.
а) Предварительные замечания. Пусть функция g(x) определена
в конечном интервале а^х^Ь и имеет в этом интервале непрерыд-
ную производную. Тогда
ь
Г / * c°s kx . Л
а
При этом Л, стремясь к бесконечности, может пробегать любую после-
довательность значений.
В справедливости этого результата легко убедиться при помощи
интегрирования по частям (&]>0):
ъ ь
\ g(x) cos kx dx^g(x)S~^ — -£- \ g> (x) sin kx dx.
a a
Точно так же это утверждение доказывается и для sinkx.
* Sur la convergence des series irigonomeiriques, qui servent a representer tine
fonction arbitraire entre les Hmites donnees. Journal ftir Mathematik, т. IV (1829),
стр. 157—169; WerKe, т. I, стр. 117—132.

§ 42
Сходимость рядов Фурье
193
Отсюда вытекают еще следующие неравенства:
ь
II
а
Ъ
II
g{x)coskxdx
g (x) sin kx dx
<-
<!
(i')
причем постоянные А и В не зависят от k \
Далее,
1С
7
sin(2/*-[- 1) лс
sin-к
о
2
г
о
(2)
где л — целое положительное число. В справедливости этой формулы
легко убедиться почленным интегрированием, при котором интегралы
от всех слагаемых, исключая первого, обращаются в нуль.
f Определим функцию g(x) равенствами:
*(*)» -
1
1
при лг>0,
sin л: х
*(0)»0.
Функция g(x) имеет непрерывную частную производную. Если л:>0,
то это очевидно. Справед/швость этого утверждения при лг = 0 вытекает
из разложения функции g(x) в сходящийся в окрестности л: = 0
степенной ряд:
Х_ X* . **
ЗТ 57 "^7Т **• х . 7
g{*b
л,- . л
— "^ + адп*3~Ь'#
360
Применим формулу (1) к определенной нами таким образбм функции g(x)
* Из приведенного доказательства вытекает, что формулы (1) и (Г)
справедливы также и в jom случае, когда g(x) имеет непрерывную производную в
открытом интервале а < х < Ь и когда, кроме того, интеграл
ь
$1*Г(*)1Л
а
сходится.
13 в*бе*ер. г

194 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
и заменим k через 2п-\-\. Тогда на основании формулы (2) мы
получим: к
"2
)х тт
или иначе: (2л+п|
Г sin* . п
llm \ Т'^Т'
t-*OOj х *
о
В последнем интеграле л, стремясь к бесконечности, пробегает
натуральный ряд чисел. Покажем, что и для любых значений k
k оо
f. Г sin х Г sin л* п •
Urn I -_</*= l ТЛЯ-. (3)
о о
It
Действительно, пусть k ^ 3 -^. Определим целое положительное число л
неравенствами:
(2я+1)^<*<(2Я + 3)-|. %
Тогда
fsin л; . f sin л: . . Г sin л: .
<&: = \ *£*:-[- I dx.
Последний интеграл по абсолютной величине меньше, чем
*_(S» + 1)-J 2
а потому предел этого интеграла при неограниченном возрастании k
равен нулю. *
Из формулы (3) следует, что"
ь ь
Cslnkx . f. [sxnkx . тг £ЛХ
*-*ooJ •* *-*oo J sin* ■ *
о о
рде ft — любое% положительное число. Действительно, первый из этих
интегралов равен:
ьь оо
Г sin x . Г sin # , it
о о
разность же между обоими интегралами в (4) в силу (1) стремится к нулю.

§ 42 Сходимость !>йдов Фурьь 195
Ь) Пусть /(л:) —некоторая периодическая функция с периодом 2тг,
интегрируемая в смысле Римана в интервале — я ^ х ^ те. Выражения
«
Ап— — \ /(a) cos na da,
*-*f
£я= — \f(a)sinnada (/« = 0,1, 2,...) (5)
называются коэфициентами Фурье. С их помощью мы образуем сначала
чисто формально ряд Фурье, соответствующий функции /(х): '
оо
/(х)^^А0 + ^(Апсо5пх+^явтпх). (6)
л=1
Докажем теперь, что при известных условиях, налагаемых на»
функцию f(x)y этот ряд сходится к функции f(x), т. е. чго при известных
условиях значок -v- (эквивалентно) можно заменить знаком равенства.
При этом можно предположить, что х = 0. Действительно, коэфициенты
Фурье, соответствующие функции f(x + xQ) (xQ — постоянная), равны1:
*+*0
— \ /(a-f"Ar0)cosnada = — \ f(a)cosn(a —x0)da-
— ft — я-}-*0
к
« —, \ /(а) cos л (а «*-#0) rfa = Ля cos nx0 -}- #rt sin /ь#0
и аналогично:
— I /(a 4- *о)sin Ла <?а = ^л cos л^о — ^п s*n ллч>*
—«
Таким образом ряд Фурье для функции f(x) при лг=лг0 совпадает с
рядом Фурье для f(x-\-x0) при *=0.
а Для п риодической функции f(x) с периодом 2it интеграл
*4-л
j/(a)</a==j/(a)rf«,
—ft+л —ft
как легко видеть, не зависит от К
13*

196 Ряды и интегралы Фуры- Гл. IV
Выражая коэфициенты Фурье с помощью интервалов по формуле (5),
можно сумму п первых членов ряда (6) представить в следующем/
виде:
sn(x)~~ \/(°0 -2" + V(cosvA:cosva-f-sinvArsinva) rfa=»
г п
=^j/(a)[^+Scosv(a-A:)]da- (7)
На основании формулы (123) § 33'
» sfn(2«+l)a X
y + JJcosvto —*) = ■
2
(S)
«»i 2 sin-
так что
r Яп(2л + 1)_-
*.<«)--)/(») a_, rfo.. * (9)
1« 2 sin—у-
Полагая —^— = p, мы получим:
4W-ij"№+aW-!!ffi + M4. „о,
It-f-JC
2
При jc—0 этот интеграл принимает следующее значение:
я
с) Условие Дирихле. Сведем исследования интеграла (10') к так
называемому интегралу Дирихле:
ъ
0
где 0<£<-^-, a k неограниченно увеличивается. Предположим, что
функция <f (*), определенная в интервале 0<х<-^-, положительна и
монотонно убывает (не возрастает).

§42 Сходимбсть рядов Фурье 197
Представим интеграл (11) как сумму интегралов, у которых преде-
лами интеграции служат нули подинтегральной функции:
О — — £5 Ъ (\2\
\р — наибольшее целое число, меньшее — ). Тогда:
N j^ 2$ 3jc
k T * ь
О те , 2it /ж
at "i
Члены суммы (13) попеременно то положительны, то отрицательны, по
абсолютной же своей величине они монотонно убывают. Действительно,
функция sin jc монотонно возрастает, между тем как значения slnkx
повторяются с переменой знака в последовательных интервалах. Поэтому
можно налисать:
Л= "о - "i + «2— • • • + (—J)p*p» (u)
где
Л-(-1Г J *wS7rf* fr«o. ь..., л (15)
положительно (для v=/> верхняя граница интеграла заменяется через Ь).
Сопоставим Jh с интегралом
ь
SsXnkx • .
<f*. (И1)
smjc
о
Согласно формуле (4)
*->оо *
Аналогично предыдущему
•/;=?o-pi+p2--.--i-(-i)/,pp. (ur)
причем числа
р, = (-1}* J S4^^ fe —0. 1 .rt 05')
sin л:
опять положительны.

198 Ряды и интегралы Фурьб Гл. IV
Так как в ряду (14) и (14f) знаки у членов поочередно меняются,
а члены по абсолютной своей величине монотонно убывают, то
U0~ «! + •••— U2*-l<Jk<U0 — Ul + ~-+"2<» (16>
РО — Pl+'--— P2v^l<^<Po — fc+...+Р*- Об')
Заменим функцию <р(лг) ее наибольшим и наименьшим значением. Мы
получим:
»(7Т7><'.<»(т)'' (17>
/(v-H)*\
В этом неравенстве 9 I г— 1 следует заменить в случае точки раз-
/(v-M)tt \ /vtt\
рыва ее пределом слева <р I ~ 0L а <р { — I — ее пределом
(V7T \
-т-+0]. Заменим в левой части неравенства (16) четные
члены меньшими числами, а нечетные числа большими числами; в
правой части того же неравенства сделаем наоборот. Неравенство при этом
не нарушится, и мы будем иметь:
? (тг) (Ро —Pi) + * (т) (р2 ~ Рз) + • • •
, /(2v—1)тг\ , v ^ r
•••+*(—r^j^-i-p^-i)<y*. * о8)
Так как <р I — ] в последнем неравенстве меньше остальных у, то и
подавно
Л<?(+0)Рв— ?(x)fh~ Р2+РЗ— •••+P2V-1— P2v)
или после небольшого преобразования:
Л<[<Р(+0)-<р(^)]ро+?(^)(Ро-Р1 + ...+Р2Л. (20)
Аналогично из (17') /следует:
•/*><p(-t)(Po-Pj + "- + P2v) — ?(x)Pi*' (21)

§42 Сходимость рядов Фурье 199
На основании (16') из (21) следует:
'.>»(?)'.-т(£)ь. ОТ
а из (20) следует:
'.<[»<+«>-» (х)] "+»(тг)'.+»(т)*- «w»
Раньше чем перейти к дальнейшему, оценим pv. При v > 0
('+1)Х С+«т
\ sin* . vtc \
J Sln^ J
*-<-»)' \ ^^<H£l sinft*tf* = ( 1)V2
sin —
/2
т. е. а л v
VTt
k 2
0<P,< — • (22)
Будем теперь неограниченно увеличивать k и потребуем, чтобы
функция v = v(&) удовлетворяла условию iim -~i=0 (выберем, напри-
k -*оо #
мер, в качестве v наибольшее целое число, содержащееся в }/&)•
В таком случае pv и p2v стремятся к нулю, а р0 остается ограниченным,
так как р0— Pi<^, и, следовательно:
Tt
sin-r-
к
Обе границы для УЛ стремятся, таким образом, к одному и тому же
пределу, равному — ср (-\- 0), т. е.
ъ
lim
о
где Ъ означает любое число из полуоткрытого интервала 0<6^~
Сделанные раньше предположения относительно функции ср(лг)
могут быть обобщены. Если <р (х) монотонно убывает и имеет
произвольный знак, то ф (л:) -j- С для достаточно большого положительного
С положительно во веем интервале. Так, если равенство (23)
справедливо для ,<р(х)= С, то оно остается справедливым и для данной
функции <р (л:). Если функция <р (х) монотонно возрастает, то предыдущий
результат применим к функции -—<р(~)* Итак, формула (23) применима
к любой монотонной функции.
0
И» L(*)!££ite-*,p(+0), (23)
->оо J sin .r «*
ТГ

200 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
Рассмотрим снова интеграл
ь
I'W^T'* (о<«<*<|).'<24>
а
предполагая, что функция у(х) монотонна в интервале а^х^Ь.
Докажем, что предел этого интеграла при k —* оо равен нулю.
Определим функцию ф(лг) в интервале от 0 до b следующим образом: от 0
до а она равна <р (а), а от а до b она равна ср (х).
Тогда, согласно предыдущему:
а ъ
Иш (ф(*)—Лс=Нт Гф(*)^^Л = -;ф(+0)=:4»(+0)-
booJ sin^ *->оо.' т smx 2ТХ' ' 2|VI '
0 0
Разность обоих интегралов даст:
ь
~»оо J sin л
тг
Наконец, пусть функция ср(лг) в интервале 0^**^— удовлетво-
ряет так называемому условию Дирихле, которое состоит в следующем.
Интервал О^л:^-^- можно разбить на конечное число интервалов
таким образом, чтобы у(х) в каждом частичном интервале была
монотонна. ' Соответствующий интеграл (23) I взятый от 0 до — 1 может
быть разложен по этим частичным интервалам; каждый такой интеграл
сходится к нулю, кроме первого, который имеет своим пределом
тг
— <р(+0). Таким образом это условие достаточно (но отнюдь не не-
обходимо) для того, чтобы формула (23) была применима к функции <р (х).
Если функции <р (х) и ф (х) удовлетворяют условиям Дирихле, то
формула (23) применима также и к их произведению. Докажем это.
В каждом интервале, где ср (лг) и ф(*) монотонны, можно выбрать
постоянные Сл и С2 и числа Sje+l и г2 = ЧЬ1 так, чтобы Сг-\-г^(х)
иг С2 + £2ф М были положительны и монотонно возрастали, и,
следовательно, [С3 -\-егу(х)][С2 -\-е2$(х)] так>ке монотонно возрастало. Отсюда
. следует наше утверждение. Если это свойство произведения функций
ч^, , I / ч / . sin* /sinx
ц(х) и ф(лт) применить к произведению <рМ^—г монотонно
ф \ X \ X
убывает в интервале 0 ^ х <; ~-1, то окажется, что
1С
Т
I'm I ? (*) —— <** = -s- <? (+ 0). (26)
о

§ 42 Сходимость рядов Фурье 201
Вообще, если функция ср(лг) удовлетворяет условию Дирихле в
интервале 0^л;«^£, где b — любое положительное число, то
справедлива формула:
lim
л~>оо
о
Действительно:
(»М^л*Нг?(+о). (26'>
2bk
sin х
. .sin kx \ (2b \ it
4(x)~dx=)4\i;x)—ir-dx'
о о
Из условия Дирихле следует, что для функции ср(дг) в точке х — а
существует предел слева и предел справа. Если <р(а — 0) = ср (а -|- 0) =====
==<р(а),то <f(x) при х = а непрерывна; в противоположном случае
функция у(х) в точке х — а имеет разрыв первого рода.
d) Вернемся снова к исследованию суммы первых членов ряда
Фурье и рассмотрим выражение:
» о v
Если функция/(л:) в интервала (—тс, я) удовлетворяет условиям
Дирихле, то при п—*оо первый из интегралов (7') стремится в силу
формулы (23) к— /(-{-0), а второй интеграл — к —/(—0), и, таким
образом:
иЧ(0)=/Ши. (27)
л~>00 *
Отсюда, согласно замечанию, сделанному в разделе (Ь) этого
параграфа, следует, что вообще
/(* + 0)+/(*-0)
Я-+ОО
и что в каждой точке, где f(x) непрерывно:
lim Sn(x) =J\*T"i-rjy*-"i (28)
limSn(x)=f(x). (29)
n-+OQ
Итак, периодическая функция с периодом 2тг, удовлетворяющая
в интервале —тт^яг^тг условию Дирихле, разлагается в повсюду
сходящийся ряд Фурье. Этот ряд в каждой точке представляет
арифметическое среднее пределов функции справа и- слева в этой точке, в
частности значение функции в каждой точке, где она непрерывна.
Можно также показать, что ряд Фурье в каждом интервале, в котором
функция непрерывна, сходится равномерно.

202 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
- е) Положим теперь, что функция f{x) имеет кусочно непрерывную
производную. Это означает, что интервал —и^х^тг можно разбить
на конечное число частичных интервалов так, что внутри каждого из
них функция /(#) имеет непрерывную производную, стремящуюся на
концах интервала к вполне определенным конечным пределам; однако
эти пределы справа и слева в какой-либо уочке, отделяющей друг от
друга два таких частичных интервала, могут быть не равны друг другу.
Функция f(x) непрерывна в таком случае в каждом из таких частичных
интервалов, а на концах каждого из них она имеет односторонние
конечные пределы [см. § 35, (184)], т. е. функция/(*) и в интервале
— тг^#<:л кусочно непрерывна. Для такой функции можно
непосредственно вычислить коэфициенты Фурье. Повсюду, где/'(лг) существует,
ZT \f(x)cos пх\ ==/f (*)cos пх — nf(x)sin nx>
uX
-r- [/(x) sin nx] =f (x) sin nx -{- nf{x) cos nx.
(30)
Проинтегрируем эти равенства в пределах от — тг до тг и разложим
этот интеграл на сумму интегралов, в которых верхними и нижними
пределами служат точки разрыва f (х). Каждая такая точка х = а при
интегрировании левой части дает нам:
[/(а — 0) —/ (a -f 0)] cos па,
[f (а — 0) — /(а+ 0)] sin ла.
:•}
(31)
Эти выражения остаются конечными при. л—юо.
Но из наших предположений следует, что интеграл
(32)
существует, а следовательно, интегралы
/я it
\ f (x) cos nx dx, \ f (х) sin nx dx (33)
—я —к
ограничены. После интегрирования членов, стоящих в правой части
равенств (30), мы получим соответственно —ъпВп и тспАп. Вследствие
этого пАп и пВп, при ранее указанных предположениях, остаются
ограниченными при возрастании п. Отсюда, конечно, еще не следует
сходимость ряда Фурье; эта сходимость действительно имеет место и
обусловливается, вообще говоря, чередованием знаков членов этого ряда.
Сходимость этого ряда вытекает, кроме того, из сказанного в разделе
пби этого параграфа, так как функцию, имеющую внутри интервала
ограниченную производную, можно разложить на сумму двух монотонных
функций.

§ 42 Сходимость рядов Фурье $03
Если функция f(x) непрерывна во всем интервале —к^лг^тг,
то выражения, стоящие э формуле (31) в квадратных скобках,
обращаются в нуль, и так как /(тг)=/(— л), то \
К 1С
пАп = \ f(x) cos nx dx, nBn == — \ f (x) sin nx dx. (34)
—л —«
Если первая производная от f(x) непрерывна, а вторая производная
кусочно непрерывна, то из последней формулы и предыдущих
рассуждений следует, что п2Ая и п2Вп также конечны. Ряд Фурье сходится
при этих условиях абсолютно и равномерно. Если /(*)=/(—х)
тождественно, то
о
\ f(x) cos nx dx = \f (x) cos nx dx,
0 ic
\ f(x) sin nxdx = — \f(x) sin nx dx,
(35)
последовательно:
1С
Ля = — \f(x) cos nxdx, Bn = 0 (/2 = 0,1,2,..,). (36)
о
Таким образом ряд Фурье для четной функции обращается в ряд
косинусов. Обратное положение, конечно, также справедливо: ряд,
состоящий только из косинусов, представляет всегда четную функцию.
Аналогично этому из тождества /( — #)==—f(x) следует, что
2 Г
Вп^— \/(х) sin nxdx, i4rt = 0 (« = 0,1,2,...)» (37)
6 ь
т. е. нечетная функция разлагается в ряд синусов; и обратно, ряд
синусов всегда представляет нечетную функцию.
f) Приведем, наконец, несколько примеров разложения в ряд Фурье:
оо
f№ — ~2 А° + £(Л" C°S ПХ + Вп Sin ПХ^
в интервале —п^х^п заданных 9произвольных" функций. Коэфи-
ииенты Ап и Вп этого разложения вычисляются по формуле (2). Часто
функция бывает сначала задана только на части интервала —тг^аг^тт;
в этих случаях можно бесчисленным множеством способов определить
функцию на всем интервале, причем различным определениям будут
соответствовать различные разложения.

204
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
Гл. IV
Представим, например, постоянную 1 в интервале (0, те) в виде
ряда синусов. Коэфициенты Фурье в данном случае будут [см. (37)]:
В,
,==—\ sinnxdx = — (1 — cos/*ir) = — или О,
ТТЛ
ТТЛ
смотря по тому, будет ли п нечетным или четным
Итак:
i* . sin Злг , sin 5л:
1
4 /sin х
~Ч\Т
6
+ •..)
(38)
Этот ряд представляет нечетную функцию; предел его суммы в
интервале— те<л:<0 равен —1. Следовательно, эта сумма при х = 0
-Tt
1X1
Я
Черт. 5Э.
Черт. 51.
разрывна (черт. 50). Если представить 1 в видеоряда косинусов, то мы
получим:
к
А0^^ух^2;
к
2 Г 2
Ап=— y0*nxdx = — (sinTT — sin0) = 0 (л=1, 2, 3,....),
о
т. е. все члены этого ряда, исключая первый член, равный постоянной,
обратятся в нули.
Функцию х можно в интервале 0О<тг представить как с
помощью ряда синусов, так и с помощью ряда косинусов. В первом случае
*-н*
s\nnxdx =—
те
л: cos я*
п
~»(ч
о
2 2
• — cos пп = (— I)**1 —
х sin 2х . sin Зл: sin Ax
А \ cos nx dx \ ==
о л.о
(«=1, 2, 3, ...),
+ •••)
(39)
Для лг=тс сумма этого ряда равна нулю, и, таким образом, наш ряд
в Этой точке претерпевает разрыв; эта сумма равна среднему арифме*

§42
Сходимость рядов Фурье
205
тическому предельных значений справа и слева (черт. 51). В ряд
косинусов х разлагается следующим образом:
«-\\-
О
1С
xslnnxl* if. ^ 1 * „wt, л
\ sin nx dx \ = « или О,
cos/i#rfje =
смотря по тому, нечетно ли п или четно; таким образом
ix , cos3ac . cos 5*
тт 4 /cos л
:Т — Т\ 1*
32
(40)
В интервале —тг<х<0 этот ряд определяет функцию —х, и, таким
образом, этот ряд представляет повсюду непрерывную функцию (черт. 52).
ГУУЛ
-2fl HEX
HI
И
2а
Черт. 53.
Черт. 52.
В точках лтг (п — целое число) эта функция не имеет производной.
Диференцируя ряд (40) почленно, мы получим ряд (38), сумма которого
перестает быть непрерывной как раз в точках пи (п — целое число).
Разложим, наконец, функцию sin* в интервале 0^лг<тг в ряд
косинусов. Мы имеем:
4
41
sin х dx = •
s— \ sin*cos/***/* = — I [<s\n(n-\- \)x~sm(n— \)x\dx —
я J w )
0
* fcos(^4-l)ir—1 cos (я — 1)тт—1|
= u\ n-\~\ _ n—\ j
1
при п четном
e{ 1Г(Я-1)(«+1)
^ 0 при л нечетном
\ (л = 1, 2, 3,...)«,
следовательно,
sin
4/1 со;
in*=lflT-T
cos 2a: cos 4* cos 6x
3~~ 3-5
(0<*<n)
6* \
T'")
(41>
« При п = 1 надо
соз(л—1) тс— 1
я—1
ваменить нулем.

206
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
Гл. IV
В интервале — тг<л:<0 этот ряд представляет sin л; (черт. 53).
На черт. 54 и 55 представлены кривые, соответствующие суммам
?i> tV ?з» ?4 для Ф°РМУЛ (39), (41); на этих чертежах видно, как
отдельные кривые с возрастанием индекса приближаются к графику функции.
Видно также, что в точках разрыва функции или ее производной это
приближение ухудшается; чем ближе к такой точке мы подходим, тем
большее число членов ряда надо взять, чтобы получить заданное
приближение. Этот факт зависит от неравномерной сходимости заданного
ряда или ряда, получающегося путем диференцирования заданного ряда
вблизи указанных точек (см. приложение § 3).
§ 43. Интеграл Фурье, а) Пусть функция/(л:) в интервале —1<, х^1
удовлетворяет условию Дирихле. В таком случае внутри этого
интервала ее можно разложить в ряд [§ 33, (146)].
/W-4 A, + 2 Ltn^ + BjbH?) , (42)
я=1 * '
где
г
A„=y \f(^)^'~da,
— i
(л = 0, 1, 2,...). (43)
f(a)sm-j-da
В точках разрыва функции f(x) левую часть равенства (43) надо
заменить — [f(x -f- 0) -\-f(x — 0)],
Рассмотрим, какой вид примет это разложение, если длина
интервала будет неограниченно возрастать, т. е. если /—*оо. Так как
cos л: и sin* по своему абсолютному значению не бывают больше
единицы, то
\Вт
;|jl/(a)l
da.
Поэтому, если функция /(а) в бесконечном промежутке (— оо, оо)
абсолютно интегрируема, т. е. интеграл
J \M\da
-оо
существует, то при /—*оо Ап и Ва будут стремиться к нулю и
притом равномерно для всех л.

§ 43
Интеграл Фурье
207
1 ,»
'
1"
>|
J
А
11
1 ' •
оЩ
-
щ
4
■'
/
..
Ц
IJPP ■■" ■
<Ьу
<yj
<ь>
л
Z
у
Т'
/)
>Ц|Ц|Ч
^7
/
/1
kw
.-
/
V '
^
\
\
л
\\
V
\
\
\
\
\
»4--W
U
fr
?
tl
Черт. 54.
L_. _J
*
- л»
-
^
^JP
'У
/
г '
N X
г****
"\ \"
^
>
so
N
'
>
.'т
«1
s2
5з
s4
i, ■
Черт. 55.

208 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
Исследуем, как и раньше, сумму п первых членов ряда (42). Если
коэфициенты в этом ряду заменить их интегральными выражениями, то
получится:
Г Г л
— I v=l J
Будем l и п в этом выражении неограниченно увеличивать и
притом так, чтобы их отношение
— =-£
/ тт /
оставалось постоянным.
Покажем, что в таком случае
со
JlmS(l,n;x)=* llm S (l^;x)=— [ f(afnp{a~X) da.
1->оо \ u J я J a — x
-oo
Здесь p — вполне определенное положительное число.
Интегральная теорема Фурье основана на рассмотрении этого
последнего интеграла, а именно:
тт
а потому
pt
—г v=i
Из определения интеграла следует, что при заданном постоянном р
предельное соотношение
Jim y^§cosXv(a — лг) =» \cos\(a — дг)Л
'-«> itj о
имеет место равномерно относительно а, если — /0*Са^/0 (/0 —
постоянное и положительное число, х также рассматривается как
постоянное); другими словами: для всякого заранее заданного положительного
числа s можно найти такое число /', что при />/' и —/0<а^/0
а
^8cosXv(a — х) = \cosl(a — x)<&-\-ef, |ег |<«-
4zzl 8

§ 43 Интеграл Фурье 209
Следовательно, для />/0
U P
-/. о
pt
f //(«)[^ + ^E8cos^(a-^]^
+
Грубая оценка показывает, что второй интеграл по абсолютной
величине остается меньше, чем
(i+S) I I/"'*
т. е. для достаточно больших значений /0 он может быть сделан сколь
угодно малым; следовательно, при /—юо(р постоянно)1:
оо р
\\mS{l,p; *) = — \ /(a)da \ cosX(a — x)dk=*
-too гс J J
i-too
— oo
oo
-4 J
/(<в«Н£^л (46)
— oo
Пусть функция /(а) в интервале — oo < a < + oo абсолютно
интегрируема и, кроме того, во всяком конечном интервале удовлетворяет
условию Дирихле. С помощью подстановки a—х=$ правая часть
последнего равенства преобразуется так:
оо оо
—оо о
оо
+4l'<*-»ir8dP- {47)
о
Если взять достаточно большое положительное число Ь9 то абсо^
лютное значение интеграла
оо оо
|J/(«+»^^|<-J-Ji/ff)i^ <48)
i —оо
1 При / —► оо и п постоянном, очевидно,
limS(/, л; *>=0.
1-*оо
14 Вебстер.

210 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
можно сделать сколь угодно малым. То же справедливо и для
. оо оо
j/(*-w^^l<711/(P)№ (48,)
Отсюда1 в силу (26) мы получаем:
Шп ±lmdg{cosMa-x)4l=:f{x4-0)1;f{X~0). (49)
/>-*оо к J J 2
— оо о
Согласно определению интеграла х бесконечными пределами:
оо р ъ р
\ f(a)da I cosX(a — *)<А = lim \/(a)da \ cosl(a — x)dk. (50)
—OO 0 £->O0 a 0
Изменим в последнем конечном двойном интеграле порядок
интегрирования (допустимость такой замены легко доказать); мы получим:
р ь
С Л \f(a) cos X (a — x) da.
Согласно первоначальному предположению интеграл
Jl/(a)|da
-оо
существует, а потому предпоследний интеграл 'можно переписать так:
р оо Р а
\di С /(a)cosX(a — x)da— \dl £ /(a)cosX(a —x)da —
о -оо о —оо
р СО
— [dX \/(a)cosX (a — *)da. (51)
Последние два интеграла при а—►— оо и Ь—юо имеют предел
нуль, так как оба они по своей абсолютной величине соответственно
меньше, чем
р а а
l<fk J \f(a)\da=p j |/(a)|rfa
о —оо —оо
"dkl\f(a)\da=pl\f(a)\da.
I
1 Этот результат можно получить и непосредственно из S (/, л, х): с этой
целью необходимо неограниченно увеличивать /или притом так, чтобы
lim-j =oo.

§ 43 Интеграл Фурье 211
Следовательно, после перехода к пределу при р—юо мы получим:
р со
/(* + 0)+/(*-0)
= lim — \ dk \ /(a)cosX(a— x)da =
p-*OQu J J
oo oo
ЧЬj
/(a) cos X (a — x) da. (52)
0 — ОО
Эта формула составляет содержание интегральной теоремы Фурье *.
Так как внутренний интеграл относительно X является четной
функцией, то эту формулу можно переписать еще и в следующем виде:
оо оо
/(*) = i. \dk \ /(a)cosX(a— x)da. (53)
— oo —oo
Место этой теоремы в развитии математики Кронекер 2
характеризовал следующими словами: „Открытие так называемого двойного
интеграла Фурье произвело очень большое впечатление на математический
мир того времени. Впервые было показано, как почти произвольную,
удовлетворяющую только упомянутым условиям функцию можно облечь
в математическую форму. Формула (52), как показал П. дю-Буа-Реймон
(P. du Bois-Reymond), сохраняет силу, если вместо косинусов взять
любые колеблющиеся функции*. С таким случаем [интегралом Ганкеля
(Hankel)] мы встретимся в § 123 (ч. II).
Ь) Различие между представлением функции с помощью ряда и
представлением ее с помощью интеграла Фурье становится особенно
наглядным в применении к оптике. Общий член
них . л . ппх
Ancos—+Bnsin—
2/
ряда Фурье представляет собою простую волну длиною —. Таким
образом функцию, определенную в интервале длины 2/ и
удовлетворяющую условию Дирихле,» можно представить в виде суммы бесконечного
числа таких простых волн. Так как при этом длины волн
пропорциональны обратным величинам целых чисел, то мы получаем своего
рода „спектр"' из бесконечного числа длин волн с единственной
точкой сгущения. Если же, преобразовав cosX(a — л:) и положив
* F о u r i е г, Theorie analytique de la chaleur, 1822; Oeuvres, т. I, стр. 391,
405, 410. См. также критико-историческую статью: A. Pringsheim, Ober das
Fouriersche Integraltheorera, „Jahresberichte der Deutschen Math.-Ver.", т. 116 (1907),
стр. 2—16.
* L. Kronecker, Vorlesungen tiber die Theorie der einfachen und der
vielfachen Integrale (Leipzig, Teubner, 1895), стр. 81.
14*

212 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
[функция f(x) предполагается непрерывной]
оо о©
«pPtj^JL I f(a)coshzda, ф(*)=*«~ \ f(a)sinlada, (54)
— оо —оо
представить интеграл (52) в следующем виде:
оо
/(*)=]* [?(X)cosU + $(X)sinX*]<ft, (55)
то функция f(x) представится в виде суммы бесконечного числа волн,
длины которых могут, вообще говоря, принимать произвольные
значения между нулем и бесконечностью, т. е. образуют непрерывный спектр
(в самом деле, длины волн cosbr и sinlx равны —). Разложение
белого цвета по всем цветам возможно только с помощью подобных
интегралов.
Рассмотрим в этом смысле спектр затухающего периодического
колебания, которое возникает в некоторый определенный момент 1=0
и затем бесконечно долго продолжается. Пусть, например»
/»-{;
О при /<0,
a'sinbt при />0,
причем коэфнциенг затухания положителен, и пусть &>0. Тогда
оо оо
/(/)==:JL I dX \ e-^sinbacoslia — t)daf (56)
о о
я таким образом [см. приложение § 4, (28)]:
оо
"" sin ba cos lada—
Я{/
. 1 Г Ь + \ Ь—1 1
2п[(Ь + i)2-j-а*"*" (*—Х)8+а»| * ( '
оо
оо
аа sin даsinlada
б
± Г а а Л
'2п[(Ь — Х)* + а* {Ь + 1)*-\-а*\
(58)
Мы получили спектр с бесконечно долго продолжающимися волнами
у (к) cos )i -+- ф (X) sin It; амплитуда волн, принадлежащих интервалу спектра
(X, Х+Л), равна:
[{?а)}8+{фа)}2]^л.

§43
Интеграл Фурье
213
Черт. 56 представляет эту амплитуду как функцию I для различных
значений —. Но выражение амплитуды
а
I 1 h
UTWJ -T\Y\//J „ у ф + р + ф^рр
для достаточно малых значений коэфициента затухания а можно заме-
нить следующим:
1 Ъ
Легко показать, что максимум амплитуды наступает при 1 = ^*в — аг
и равен -—. Таким образом, если на резонирующую систему без
1
i 1
\
i J
А
! I
ft
I
11
1
J
> 1
1
/4
1
Г!
\\
1
-
•^
•
****
*■
1 *
s
V
'-
J,
S*
'. -'
у
/
У>
71
\
1
f ll-
■ в J
'±
,
=0.1
: t
■о.г \
f\ *
= 0.*
* .
тттт
l\
Р—iЩ
V
\
\
- '
V
N
S-
Й
ииН
^
"<!
^
■—S
•ь.
чнрм
Iм" ■
*>
■ """ 1
V
\л
,„.|г
t
1
Черт. 56.
затухания действует сила, представляющая собою такое затухающее
колебание, то каждая компонента ср())со$^4*Ф Wsin^ вызывает резонанс.
Мы видим, таким образом, что даже и в том случае, когда обе системы
не вполне настроены друг на друга, все же получаются вынужденные
колебания. Эти колебания значительны, конечно, только в небольшой

214 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
окрестности точки Ы* и притом только в том случае, когда коэфи-
циент затухания достаточно мал. Резонанс при этом тем сильнее, чем
меньше коэфициент затухания. Этот факт имеет очень большое
приложение в радиотехнике, в которой посылаются слабо затухающие волны
для того, чтобы интерференция колебаний, принимаемых соседними
приемниками, была возможно слабее.
Если в интеграле Фурье (53) косинус заменить синусом, то этот
интеграл обратится в нуль, так как синус — нечетная функция. Поэтому,
принимая во внимание равенство
cos I (а — х) = -^ е* <■-*> + \ *~л {*~*\
мы можем формулу (53) переписать так:
оо оо
/(*) = ^ j" Л j Да) е*-* da. (59)
Интересное выражение интегральной теоремы Фурье получается, если
положить (Х>
g{y) = 4^^f(x)e^dx; (60)
тогда °Р
}71
f(x)=-~^g(y)e-*ydy. (61)
—оо
Формулы (60) и (61) указывают на взаимность, существующую
между функциями f(x) и g{y). Равенства (60) и (61) можно рассматривать
как интегральные уравнения первого рода [§ 40, (288)], каждое из
которых представляет собою решение другого.
Если f(x) и g(y) представляют собою четные функции, то эти
уравнения можно переписать в следующей форме:
__оо _оо
/(*) = l/ -Ag(y)zosxydy, g(y)=y -y(x)cosxydx.
о о
Для нечетных функций эти же уравнения принимают вид:
_°° °°
f(*)=*y -}g(y)*inxydy* S(y)=y - y(x)sinxydx.
6 о
Положим, например, g(y) = e~y. Тогда [см. (57) при Х = 0]:
оо
(62)
(63)
1+^
3 ~ 1 е~У sin xydy.

§ 43 Интеграл Фурье 215
Таким образом из (63) получается интегральная формула:
оо
2 Г xsinxy . , ^ лч
о
Ряд Фурье и интеграл Фурье могут быть обобщены на функции
многих переменных. Для метода интегрирования Коши, который изло-
жен в следующем параграфе, особенно большое значение имеет
обобщение интегральной теоремы Фурье. Рассмотрим сначала функцию двух
переменных. Для представления /(#, у) с помощью интеграла Фурье
можно поступить следующим образом. Полагая у постоянным, мы при
соответствующих предположениях получим:
оо оо
f(x,y) = ^\dky(a, y)cosl(a-~x)day (64)
о -оо
и аналогично:
оо оо
/(а, у) = -i J rfji j" Да, P) cos p # -y) rfp. (65)
6 —oo
Подставив последнее выражение в формулу (64), мы при
соответствующих условиях, аналогичных условиям Дирихле, получим:
оо оо оо оо
f(Xjy) = ^\ \dkdii\ \ /(a, p)cosX(a — Ar)cosji$ — y)dad$. (66)
6 6 — оо-оо
Обобщение этой теоремы на случай большего числа переменных
получается подобным же образом. При этом оказывается целесообразным
воспользоваться той формулой, в которую входит показательная
функция. Мы получим:
/(*, У, 2,...) =
оо
~°° ...rfarfprfy... (67)
Интегрирование надо производить сначала по a, jl, у» • • •» а зат^м
по X, ja, v,,.. Можно, конечно, a—х, ... заменить через х — а,...
В приложениях интеграла Фурье имеет очень большое значение еще
и следующее замечание. Пусть функция f(x) имеет кусочно-монотонную
производную, и интегралы
5 |/(a)|rfa. J |/(а)|Л
-оо —оо
сходятся. В каждой точке, в которой f (х) можно представить с помощью

216 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
интеграла Фурье, формулу (59) можно формально диференцировать по х:
оо оо
/ (д:) = ^ i Idk \ f(a) e*(-*> da. (59')
— оо —оо
Действительно, интегрируя по частям и принимая во внимание, что
|/(а)| = 0 при а —► -j-°° и я—*-—°° э мы получим:
оо оо
— A j /(а) ел <«*-*> da = J / (а) ел <«-*> da.
— оо —оо
Многократное диференцирование формулы (59) также возможно, если
существуют производные высших порядков и если они удовлетворяют
существующим условиям. Подобное же замечание справедливо и
относительно функций от многих переменных.
§ 44. Метод интегрирования Коши. Волновое уравнение. Коши1 дал
метод интегрирования линейных диференциальных уравнений в частных
производных с постоянными коэфициентами, основанный на интегральной
теореме Фурье.
а) Раньше чем излагать этот метод в общем виде, применим его
к простому частному случаю, имеющему очень большое значение, а именно
к уравнению колебаний струны:
w=a2w {а>0)>
которое было нами исследовано в главе III.
Пусть начальными условиями будут:
Полагая
имеем:
откуда получаем решение:
u=F(x) )
при /==0.
p2 = a*q*, p=±aq,
и = А****** + Ве-ч****,
где Л, В, q—действительные или комплексные постоянные, не
зависящие от х и t. Пусть а и X—действительные переменные. Положив
9 = — & и введя множитель £~/а, мы можем записать решение нашего
уравнения в виде:
и шш А (а) *ас«-*-«0 _|_ в (а) еЫ*-*+<*>9
где А (а) и В (а) — две произвольные функции. Помножим это последнее
1 С а и с h у, Memoire sur Integration des equations lineaires differeniielles et a
coefficients constants, „Journ. de l'Ecole Polytechnique", т. 12 (1823), стр. 511; Oeuvres,
серия 2, т. I (1905), стр. 275.

§ 44 Метод интегрирования Коши 217
выражение на dadk и проинтегрируем по а и X. Мы получим новое
решение в виде интеграла:
оо оо
а = ^ \ d\ \ {AWe^-t-rt + BMeM-'+^da. (68)
— ОО — ОО
При этом А (а) и В (а) должны удовлетворять условиям, указанным
в § 43, т. е. условиям, при которых имеет место интегральная теорема
Фурье. При соответствующем выборе функций Л (а) я В (а) решение (68)
удовлетворяет начальным условиям. Так, если
A(x) + B(x) = F(x),
то при * = 0 решение (68) обращается в функцию F(x).
Далее, продиференцируем равенство (68) по t:
оо оо
|5 = JL I л \ — ika { A (a) **■-*-«> — В (а) е*<«-*+*0 }da. (69)
— оо —оо
Последнее выражение при *==0 (59г) переходит в 0(x)t если только
а[А'(х) — B'(x)]=G(x).
Из этих уравнений находим:
+-М'
2A(x) = F(x) + -±^G(Z)dZ,
X
2В(х) = Р{х)~^0®<&,
*0
где ^ — произвольная постоянная. Положим для сокращения письма:
X
JLjo®dS=//(*),
тогда предыдущее решение (68) примет следующий вид:
оо оо
я = -1. I I F(a) {еЬ1*~(*+*'П + е*1*-<*-аЩ dadk-k
оо оо
+ i- \ \ Н(а) {*А1«-**+*>1 — *&[«-(*-*)]} dadk. (70)
— оо — оо
В этой формуле надо интегрировать сначала по а» а затем по X*

218 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
Решение (70) можно упростить: согласно интегральной теореме Фурье
первый член этого решения равен:
F{x-{-at) + F(x — at)
2 f
а второй:
x+at
H(x + at)-H{x^at) 1 Г Гг,.,,..
2 "55 ) °®d^
х-at
Мы приходим, таким образом, снова к решению Даламбера,
полученному нами в § 26, (27).
Ь) Перейдем теперь к применению метода Коши к любым линейным
диференциальным уравнениям в частных производных с любым числом
независимых переменных.
ПуСТЬ ПРИ **=: 0
u=F(x, у, *,...), \
Будем искать решение, имеющее вид:
оо
и=щц jj ... jj£/(/,*,p,Y, ...)*ю>-*»ку-*»» Uad?...dkd)i... (72)
При соответствующих предположениях, которые в каждом отдельном
случае надо еще особо исследовать,
оо
— оо
ОО
^=~^...^^^-')+^-^+.-.)dad^..d\dii... (74)
— ОО
Аналогичные формулы мы получим и для производных по у, z,
ч для производных высших порядков. Обозначим через U решение
обыкновенного диференциального уравнения, которое получается из
заданного уравнения в частных производных, если заменить
тт iu dU V»u dmU
и через Ut — через _...,_ через
Ы к Я » '' •' М- ^w dt» '
~£ через (/Х)*£/, JL через (*»<£/,

§ 44 Метод интегрирования Коши 219
В таком случае интеграл (72), наверно, представляет решение.
Начальные условия (71) выполняются, если содержащиеся в функции U
произвольные постоянные определить как функции от а, (J, Y» • • • таким
образом, чтобы U и —- при *=() были соответственно равны
dt
?{&> Р, Т» •••) и °(а> Р» У»-)-
Применим этот способ к волновому уравнению в трехмерном прог
странстве [§ 12, (115)]: ^
^5 — арГ—+ ~ + —^ (а>0). (75)
Когда к не зависит от у и 2, это уравнение переходит в уравнение,
рассмотренное нами только что. Пусть начальные условия будут:
Согласно изложенному выше общему методу мы пишем обыкновенное
диференциальное уравнение:
jj-Ji . _ а* (к* + J*2 + v*) £/= - a W (76)
где
Общим решением его служит
U= A cos apt + В sin ар*,
где А и В— любые функции от а, {$, у-
При * = 0 мы должны иметь Л7==/7(а, [$, Y) и» следовательно,
A=*F(a, p, *jf). Далее, при * = 0 из
—= — др4 sin apt ~f- др£ cos ap£
*w
следует:
apS = G(a, p, у),
и таким образом:
£/—F(a, p, T)cosap* + G(a, p, т)!^-
Отсюда получается решение нашего уравнения в следующем виде:
u _ * I 1 U i\ F(ay р, Y) cos ap* *W«-*>+М-Л + v(T-e)] <*a <j p <*y Л djx tfv-f
oo
+ ^ff[ffCo(afM)5^^ (77)
— oo

220
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
Гл. IV
Обозначим члены нашей суммы соответственно через % и uv так
что при / = 0:
«! = /=•(*, у, z),
да,
IF-
о,
О (лг, у, z).
(78)
Рассмотрим более подробно интеграл иг Введем полярные координаты
г, в, <р для точки a, (J, у, причем полюс полярной системы находится
в точке х, у% z. В таком случае:
а — л: = г sin 6 cos <р,
р —y=rsinbsin<f,
у—z=rrcos8.
(79)
Далее в (76) полагаем:
i8'cos<pr, ^
i ef sin <ргэ >
*8\ J
l=psin8fcos(pr,
jx=s=psin(
V sac p COS t
Тогда:
X(a — *) + М(Р—.y) + v(y —*) = pr cos (pr).
(80)
(81)
Примем за полярную ось прямую, соединяющую точки а, р, у и л;, у, zy
и будем отсчитывать угол 6' от этой оси. Выражение (81) в таком
случае будет равно prcos6' (черт. 57), и,
следовательно,
ОООО* к 2к2л
1
[2
г
A,fx,v
*** л.
Г"-"-'
*8тг3
G(.*-f-rs*n6C0S'ft
оооооо
^y-f-rsin6sincp, 2r-J-rcos6)X (82)
X ^^e^^^'rysinhlnb'drdbdf dpdb'dy'.
Это выражение надо интегрировать сна-
Черт. 57, чала п0 г^ ^ ^ а затем по p. 6r, <р'.
Интеграция по ср' и по 6' может быть
выполнена непосредственно, причем первая из них дает нам постоянный
множитель 2гс, а вторая дает:
e^coei'sinO'^
£//pcosQ'
"Т>
■^-^-f- <83>

§ 44 Метод интегрирования Коши 221
Допуская, что произведенное изменение порядка интеграции законно, и
подставляя полученные значения, мы будем иметь:
ООООя 2тс
и2=—-\ \ \ 1 G(x-{-rsinb<:os<f9... )sin ар/ sin pr • г sin б rfr rf6 rf<p rfp =
О 0 00
0000*2*
~№a \ \ U°(* + 'sinecos^--0{cosp(r— at) —
о о о о
— cos p(r-\-at)} r sin 6 dr db dy dp. (84)
Интеграл
oo oo
— dpi rG(x4-"in6coscp, . ,.)cosp(r— at)dr (85)
*o о
можно вычислить с помощью двойного интеграла Фурье (52), полагая
р = \ г=а,
f aG (x -fa sin в cos <p,...) при а>0,
< /W—| о при а<0.
Если функция /(а) удовлетворяет условиям § 43 и непрерывна, то
интеграл (85) при /^»0 равен функции
atG {x-\- at sin 8 cos<p, ...),
а при t < 0 равен нулю. Двойной интеграл Фурье, соответствующий
второму члену в формуле (84), обращается в—atG(x — a*sin6 cos<p,...}
при t^O ив нуль при t^O. Таким образом интеграл (84) после
дальнейшего изменения порядка интегрирования принимает следующий
вид: **-
aAs=— I \ Gix-^-ateinbcosy, y-\-atsinbsintf,z-{-atcosb)sinbdbdy. (86)
о о
Первый член a, в решении (77) получается из и% заменой -
ар
через производную этого выражения по t, т. е. через cos ap/, и через
замену функции О функцией F, а потому:
я2л
^ = ^4 — \ If^+^sinecos^^+a/sinesin^+a/cosejsine^e^cp • (87)
о'о
Полное решение нашего уравнения есть;
Мы здесь снова имеем пример применения правила Стокса [§ 26, (27) и далее],

222
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬБ
Гл. IV
которое гласит: часть волны, зависящая от начального значения (и)ы0
получается путем диференцирования по t из части, зависящей от на
чального значения
(£)«
Это решение принадлежит Пуассону *. Его можно
интерпретировать следующим образом: подинтегральные выражения (86) и (87) суть
некоторые функции, определенные на сфере с радиусом, равным at, и
центром в точке ху у, г; площадь элемента поверхности этого шара
равна:
dS=(at)*sinbdbdy.
Под средним значением функции F на поверхности S мы понимаем
частное Г(%
Если поверхность «S есть поверхность шара, то
?(г)=—- \ I F(x-{-rsinbcos<f, ...)/*sint6t/6</<p =
00
я 2rc
щ
F(x -{- г sin в cos <р,...) sin в db dy. /88)
Таким образом формулу (86) можно переписать в следующем виде:
u2 = t~G(at), (89)
т. е. функция а2 в точке Я и в момент времени t представляет собою
произведение t и среднего значения (~ ) , взятого по сфере с цент-
ром в точке Р и радиусом, равным at. Слагаемое иг нашего решения
есть производная по / от произведения среднего по поверхности сферы
от начальных значений и на t:
«,-|{/?(«/)}. (90)
Исследуем более внимательно тот случай, когда F и О равны нулю
повсюду, исключая ограниченную область V, а точка Р лежит вне
этой области „возмущения* (черт. 58). Для небольших значений t
сфера радиуса at лежит в этом случае целиком в нулевой области, так
что подинтегральные функции в выражениях для средних значений
обращаются тождественно в нуль. Это явление имеет место до тех пор,
пока at^rt, где гг — наименьшее расстояние точки Р от области V.
Начиная же с того момента, когда at становится больше г1э F и О
' .Memoires de l'Academie des sciences de l'lnstitut de France", т. 3(1818/9),
стр. 121.

§ 44
Метод интегрирования Коша
223
начинают оказывать влияние, причем их влияние сказывается постепенно,
так как вначале части, захватываемые поверхностью *S из области,
в которой подинтегральная функция отлична от нуля, невелики.. Когда
радиус at становится больше г% — максимального расстояния области V
от точки Р,— то поверхность сферы снова переходит в нулевую
область, и с этого момента (*>— 1 возмущения опять прекращаются.
Мы видим, таким образом, что
возмущение, точнее, действие каждой
точки области Vf распространяется
волнообразно с равномерной скоростью а.
Действия различных точек области V
складываются. Действие некоторой
точки области V на точку Р, лежащую
вне этой области, сказывается лишь
по истечении времени, необходимого
для того, чтобы волна, исходящая из
какой-либо точки области
возмущения, достигла точки Р. После этого Черт. 58.
возмущающее действие точки
совершенно прекращается. Таким образом, после того как вся волна
прошла, наступает полный покой. Обозначим через 5 площадь той части
поверхности сферы, которая проходит через область V. Тогда, если
область V достаточно мала, мы будем приближенно иметь:
(ILo
г OS GS _^,„0
2~ а Чтгг2 4тгаг АшЧ ' {*4
и, следовательно, и2 обратно пропорционально расстоянию г.
.< Решение и волнового уравнения дает нам, как мы видели в § 12,
или потенциал скорости или сжатие (в одномерном пространстве также
смещение частиц воздуха). Вернемся снова к рассмотренному нами
случаю, когда начальные значения отличны от нуля только в области V.
Предположим, что в момент * —0 воздух находится в покое, т. е. что
первоначальная скорость для всех частиц воздуха равна нулю и, кроме
того, что сгущение в этот момент имеет повсюду в области V один и
тот же знак, например положительно. Казалось бы, что при этих
условиях сжатие должно быть положительно при всех значениях V; однако,
как можно вывести из предыдущего, этот факт не имеет места.
Действительно, пусть и = <р означает потенциал скорости, когорый связан
с сжатием уравнением д2$ = -~- и, согласно § 12, удовлетворяет
* Из сказанного в § 12 следует, что в том случае, когда внешни* сила
^=0, выражение
— я 4- -1 = — s -f ~ = д2^ + -I
р & р а* а*
постоянно. Соответствующим выбором начальных условий это выражение можно
обратить в нуль.

224 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
волновому уравнению. Таким образом начальные значения ^ ПО-
всюду в области V отрицательны, начальные же значения <р равны
нулю, т. е. ^ = 0. Поэтому функция иг = и2=*ч отрицательна
повсюду, где она отлична от нуля, т. е. она отрицательна в течение
промежутка времени между fc
^^!± и t2=b.
^ а * а
Для tt и t2 имеем;
Функция ср убывает сначала до некоторого минимума, а затем снова
возрастает до нуля1. Когда <р убивает, 5 положительно; когда ср
возрастает, s отрицательно. Среднее значение сгущения s равно нулю, так как
U к
Можно было бы ожидать, что в двумерном пространстве
распространение волн происходит так же, как и в трехмерном. Казалось бы
естественным при этом поверхность шара заменить окружностью. Однако,
как мы увидим в § 49, эта аналогия неправильна: зависимость решения
волнового уравнения в двумерном пространстве от начальных условий
совершенно иная, чем в одномерном или трехмерном.
§ 45. Диференциальное уравнение теплопроводности, а) Уравнение
теплопроводности Фурье [§ 10, (83)]
g = a*A« (a>0)
отличается от волнового уравнения только тем, что в него входит пер*
вая производная по временила не вторая. Это различие очень сильно
влияет на решение уравнения. В уравнении теплопроводности, как мы
это докажем дальше, произвольно можно выбрать только начальные
значения uv что же касается начальных значений —•, то они
определяем
ются из диференциального уравнения.
Мы будем искать решение, которое при *=0 обращается в
u=F(x,yf z)K
Согласно общему правилу положим
^ = _а'(Х'+»**-К)£Л
dt
* Конечно, таких минимумов может быть несколько.
* Мы будем искать решение только для t > 0, так что начальные условия
можно точнее выразить следующим образом: limu = F(xt у, z), когда I,
оставаясь положительным, стремится к нулю.

§ 45 ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 225
В таком случае
£7«=Л(а, р, Y)<r~^-b^+*K
При / = 0
U=A(a, p, 4)=*F(at p, у).
Таким образом для />0
оо
"=^з uffff7^ pt T)e-"Ctf+itf+^/+iIx(«-*)+^»-»+^-i)l X
-оо
Xdad^dydldtidv. (92)
Перепишем эту формулу в тригонометрическом виде:
си
.a»(xi+^« + v*)'.cosX(a--*) X
— оо
X cos ц($—у) cos v (у — z) da d$ d-\ dk rfjx rfv. (93)
В данном случае можно произвести интегрирование по X, ji, v,
воспользовавшись формулой [см. приложение, § 4,(22)]:
оо
\e~**cos$xdx==-^l/-% й (а>0).
(94)
"О
Пздставив в эту формулу аЧ вместо a, a — х вместо [J, л вместо х,
мы получим:
оо *
^-*WcosX(a-*)A = -ij/^r^, (95)
О
и таким образом
u=-j- [ \ \ F(a, P, 4)t * * Г' dad$db (96)
8тг2аЗ
— оо
Если обозначить
щя~*> ^а"11' ^ут^ (97)
то наше решение примет вид:
оо
ЛЩ>(* + 2а//5, y + 2aVH * + 2arftQX
-оо
Xr-«H-*+«<«*jrfC. (98)
15 Btfovep,

226
Ряды и интегралы Фурье .
Гл. IV
Решение в этом его виде принадлежит Лапласу. Непосредственное
вычисление показывает, что оно применимо всякий раз, когда функция
F(x, y% z) непрерывна и когда интеграл
оо
— оо
сходится для любого s>0. При £==0 наше решение принимает
следующий вид [см. (94)]:
оо
•оо
оо
1
= sF(x, у, г)
те*
er-*d!k
= F(x,y, z),
(99)
-ОО
т. е. оно действительно удовлетворяет начальному условию.
Решение (96) основано на том, что функция
t 2 е АаК
удовлетворяет уравнению Фурье. Пользуясь обозначениями формул (79)
и (88), решение (96) можно переписать следующим образом:
оо
_ 1
8тГ2~а3
_£ г»
— оо
оо
х xt 2е *а*?(г)г*<1г>
2п*а*
1
(100)
где
r*^(x-a)* + (y-№ + (z-i)\
Итак, температуру для любой точки Р тела можно получить
следующим образом. Среднее значение начальнбй температуры, взятое по
поверхности сферы с центром в точке Р и радиусом, равным г, надо
умножить на
Г2 _А _Л
4а«/
2я2аз
и затем проинтегрировать в пределах от г — 0 до г=оо. Каждый эле-

§ 45 Диференциальное уравнение теплопроводности 227
мент объема dx = dad$dy вызывает в точке Р изменение температуры
на величину
^-Г^Г^ (Ю1)
8*2* а*
где uQ — начальная температура в рассматриваемом элементе объема;
следовательно, это изменение пропорционально начальной температуре
и объему dx. При увеличении расстояния г влияние каждой точки резко
убывает, причем это убывание особенно сильно для небольших
значений t. Все действие и слагается из действий (101) источников,
сосредоточенных в бесконечно малых промежутках uQdx.
В случае уравнения теплопроводности в /г-мерном пространстве
_±
решение получается в форме, аналогичной (100), причем t 2 надо
в этом случае заменить через t 2, а 8тг2 через (2тг2а)я. Таким
образом характер решения по существу один и тот же для любого числа
измерений.
Исследуем теперь функцию
_ Л - h%
y = t *e 7 (*>0; л>1).
В дальнейшем мы будем иметь дело главным образом с тем случаем,
когда л = 3. Предел этой функции при t—*0 равен нулю. При/—^оо
эта функция имеет тот же предел нуль. Производная
dy -£ -£
dt
U» 2t)
обращается в нуль при t—>0, при t —* оо и при / = —. Вторая
производная
at*
обращается в нуль при t—► () и при t—юо; квадратное уравнение от-
носительно с = —
•=0
- . - . , 4
имеет корни: __
п + 2±У2п + 4
, 2
Эти корни дают точки перегиба. Вспомнив, что через h2 мы обозна-
чили —- , мы получили следующую картину явления: при распростра-
4а2
нении тепла от нагретой точки температура другой точки, находящейся
на расстоянии г от первой, повышается сначала медленно, затем
15*

228 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
немного быстрее, далее это повышение температуры достигает некоторого
максимума, после чего оно начинает ослабевать, асимптотически
стремясь к нулю (черт. 59). Распространение теплоты, таким образом, резко
отлично по своему характеру от распространения волн в трехмерном
пространстве: оно с самого начала дает действие, которое никогда не
прекращается. Время /, необходимое для получения максимального
действия, зависит от расстояния; эта зависимость дается формулой:
1 = — = —
п ~2па*'
(102)
т. е. t пропорционально квадрату расстояния между точками и обратно
г
1
1
1
Л 1
\и
•й
'ТТ
и
гг
/
L
Г/F
/1
/
1
ы?
\У
\л
ш
N
N
У
\
X"
"!**
■»•»'
S^JJ?
Ь
)
1г.
^
Ь=
4мЬ>
*£
я
—■*
■ к
■—
тч
»"■
'ЯР™
"ЧР
"■■чв
им*»
4WMI
гч*
Гт
«J
Черт. 59.
пропорционально числу измерений /г. Максимальное значение у равно:
т.
/2ла*\*
(103)
т. е. обратно пропорционально г*.
Изменение температуры, обусловленное теплотой бесконечно малого
объема dx:
adx=Jb^LrTe-utb
(2ir*a)*
(104)
при t—*0 равно нулю, если только г>0. Интеграл \\\ udxt
умноженный на удельную теплоемкость и плотность тела, дает "нам количество
тепла в том объеме, на который он распространен. Этот интеграл,

§ 45
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
229
распространенный на все пространство, конечен и постоянен для всех
значений t. Так, например, для я=1 мы получаем:
оо оо *
J 2*т« J
-1 _*L
Черт. 60.
Заменяя в этом выражении у~г через S, получим
2а]/7
— ОО
е-*(& = ил
Функция
(105)
— оо —оо
fTl'I 1 1 1 1 1 1 1 1 1*М [МММ Mil "I
- И /ш
/ \ -
1 Им 1
I j J | 1 1 ) 1 1 1 1 1 / 1 д 1 1 | 1 1 J 1 1 1 1 1 1
I |та 1 11
I If II 1 1 II 1 II/ 1/Т\1 \ Г1 II II 1 [ II 1 1
//мм
1 ч 1 // 1\\
1 1 11 J 1 1 i 1 Г1 I/ IJ4<3 11 1 1 1 1 1 1 1 М 1 1
1 1 1 i 1уГ КА ■ 1
\и ГТл 1М 1 1
AfnM MiiiL
I I \rf.I\ \ 1 1 f\v\l 1
[г ИМ/ kf4 \I\nnJ j
iAfJ^YYjTj i Г Т\лН*4-Х i ■
АЛ-А~^^ К lM >ТчТтД 1
1jIX-+h^ 11111 IHJ^^r*^^
дает температуру, вызываемую потоком тепла, который распространяется
в одном измерении от источника, помещенного в точке лг = 0(черт. 60).
Первоначальное распределение тепла для небольших значений t может быть
представлено с помощью „зубцеЬидной функции", определенной в §35.
Ь) В качестве примера исследуем поток тепла в одном измерении,
при котором в начальный момент / = 0
0 при *>0,
2 при *<0.
F(x):

230 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
Исследуемому нами случаю при х^>0 физически будет
соответствовать распределение тепла на распространяющемся вправо в
бесконечность стержне, в левом конце которого, лежащем в точке -* = 0,
поддерживается постоянная температура, равная единице. (В
электродинамике этому случаю соответствует кабель, лишенный самоиндукции и
утечки, на одном из концов которого поддерживается постоянное
напряжение.) В силу формулы, которая при л=1 соответствует (96),
(106)
Полагая
мы получим:
и =
Введя обозначение
2
j/"tt
1 г _<£^г
и — —-= I e *aK da.
a j/irf.l
а — х t
2aV t
X
2а VI оо
- ОО х
2а1ГТ
X
(107)
(108)
мы можем записать этот результат короче. [Функция Ф(х) встречается
в теории вероятностей, где она носит название трансцендентной Крампа
(Кгатр) или интеграла Гаусса.] Равенством Ф(оо) = 1 мы уже
пользовались раньше. Таким образом мы получаем, что температура в точке,
находящейся на расстоянии х от конца стержня, в момент t равна:
(109)
При t—+0 и обращается либо в 0 либо в 2, смотря по тому, будет ли
дг>0 или лг<0, и таким образом начальные условия выполняются.
При л: = 0 для любого tf>0 имеем и=1, и таким образом конец
стержня действительно имеет постоянную температуру, равную единице.
На основании известных таблиц функции Ф(х)1 можно легко
вычислить температуру любой точки стержня в любой момент (черт. 61).
Мы видим, что разрыв функции при лг = 0 устраняется, как только t
становится больше нуля.
* К. Л ах тин, Курс теории вероятностей, 1924; А. А. Марков,
Исчисление вероятностей, 4-е изд., 1924.

§ 45 Диференциально^ уравнение теплопроводности 231
С помощью решения (109) можно найти распределение температуры
в стержне также и в том случае, когда температура на его конце не
постоянна, а представляет собою некоторую функцию от /. Пусть сначала
!0 при /<т,
1 при т<*<т + Л, '
О при т + Л</.
Функцию, стоящую в правой части (109), обозначим через U(x, t); она»
представляет действие в любой момент t единицы температуры, на
которую нагрет конец стержня в момент t = 0. Функция U(x,t—т)
»~х
Черт. 61.
представляет собою распределение температуры в момент t\ при
условии, что конец стержня в момент t — x был нагрет на единицу.
Аналогично этому функция —£/(*, t—т — К) дает нам распределение
температуры в стержне в момент tf если в момент t = x-+-h конец
стержня был охлажден на единицу температуры. В результате обоих
действий температура в конце стержня по прошествии времени t = x-\-h
обращается в нуль. Таким образом решение поставленной йами задачи
получается в виде выражения:
U(xJ-x)~U(x;t-x-h).
Если промежуток времени h = dx достаточно мал, то мы получаем
в качестве приближенного решения I —I dx. Если температурам конце
стержня постоянна, ,но отлична от единицы, то полученную только что
функцию надо умножить на эту температуру. Таким образом, если
в течение времени, прошедшего между моментом * = т и t^x-\-dx,
концу стержня сообщить количество тепла, вызывающее подъем
температуры на^/(т)» то распределение температуры в момент t(i^x)

232 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
выразится формулой l — \ f{t)dx. Суммируя это выражение по вре-
Результат этот был получен Дюамелем1. Диференцирование равенства
(109) дает нам:
x°V44at* 2/та**
и таким образом решение (109) в явной форме можно переписать так:
мени, мы получим:
и-
—оо
2K~Jeo (,_т)7 21/na^J ^
Это выражение примет особенно простой вид, если вместо т и jj
ввести новую переменную £:
'-'-й*8-* 4—sS—4т«*л (113)
Тогда
О
При дг = 0 мы получим:
оо
,^/(/)fr-*d6-/W, (115)
о
т. е. наше решение действительно удовлетворяет начальному условию.
В качестве примера разберем тот случай, когда температура на
конце стержня меняется периодически по закону /(/) = $in/# при />>0.
Тогда
оо
о
или
оо
2
оо од
«{sinp/jcos^e-PrfS-cos^jsin^e-^rfs}. (117)
« Duharaet Journal de ГЕс. Polyt., т. 14 (1883), стр. U0.

§ 46 Телеграфное уравнение 233
Если в формулах (25) и (26) в § 4 приложения положить:
2 ;4а*
то мы получим:
оо
' а а У 2 '
о
и, следовательно,
f|C0Sl £*» % Vjj.-iKifCOsU /£_ (И8)
JlstaJ4rfS» 5 2 \sin J а |/ 2'
.е *
Vbn^pt-iLyfzy (119)
Этот результат можно получить также и непосредственно путем
разделения переменных.
§ 46. Телеграфное уравнение, а) Согласно ~§ 15 (162) телеграфное
уравнение имеет вид:
tflg + (tf*fI5)£ + *&-gf (120)
где К—емкость, L—самоиндукция, отнесенная к единице длины
провода, /?^~ сопротивление, а 5 — утечка электричества на единицу длины
провода. Если пренебречь самоиндукцией, то это уравнение сведется
к уравнению теплопроводности в его общем виде [см. § 15, (164)].
Если же пренебречь еще и утечкой, то мы придем к рассмотренному
в предыдущем параграфе уравнению Фурье, причем в этом случае
а2==т
Телеграфное уравнение в его общем виде можно переписать так:
Ъ*и х „Ли . Ь2и /<otv
а^ + 2*¥+са=£Г*; <121)
а, Ъ и с в этом уравнении суть заданные постоянные, а именно:
причем
Ь* — ас = ^ (KR — LS)*^»0.
Применим метод Коши. Наша задача сведется, таким образом,
к отысканию функции £/, которая удовлетворяла бы уравнению:
аж+2*згН£/=~ш- {122)
Постараемся найти решение этого диференциального уравнения,

234 Ряды й интегралы Фурье Гл. IV
которое имело бы форму (/= еР*. Для р при этом получится уравнение:
ар*-\-2Ьр-\-с-{-\*^0. (123)
Корни этого уравнения (если а=^=0) суть:
р—±.±/»-**±Ъ. ,230
ч а а
Функции а = е?*cos\x и u = eP,sin\x, соответствующие этим
значениям р, дают нам, очевидно, частные решения телеграфного уравнения
(121) (см. § 47).
Самый вид корня р показывает, что множитель е а целесообразно
отделить. С этой целью положим и — е а te; тогда
»
йи -±/ (Ъи1 b Л
— = е " и' I
it [dt а )'
32и_ _-§<а2и'
й2И - 2 / /av п ь ы , ь* ,\
откуда
(124)
в^+-^-И===^- (125)
Таким образом мы исключили из нашего уравнения производную
первого порядка. Если Ь2— #£ = 0, то уравнение (125) сводится к ужеч
рассмотренному нами волновому уравнению. Поэтому можно положить,
что Ь2— я£>0. Пусть кроме того (что вполне соответствует
физическому смыслу постоянных а и Ь) д>0 и А>0. Разделим обе части
уравнения на Ь2— ас и введем новые независимые переменные (изменим
масштабы): г .
*= , а t\ х^л/ —— *'. (126)
Vb' — ac V lb2 — ac
Уравнение (125) в таком случае примет вид:
**-*?*■+* <127>
Опустим штрих и рассмотрим диференциальное уравнение:
Заметим, что это уравнение получается из (121), если положить а—I,
£ = 0, с==—1. В этом случае вопрос сводится к решению
обыкновенного диференциального уравнения:

§ 46 Телеграфное уравнение 235
Решив его, мы получим:
U = A cos У к» — \t + В sin J/X2 — It.
^= /ITZT (— A sin /V^Ti * _j_ в cos /)П'(). (129)
Пусть начальными условиями служат:
u=f(x) \
\ при t = 0. (130)
Тогда
*->«■ -тет
Следовательно, наше решение напишется так:
оо
/(a) cos |Л2 — 1 te'x <*-■> d\ da +
— оо
оо
Ч-^-П'^Д)111"!^—r1/^^—>rfadX»g1+^ 031)
2тг JJ J/X2 —1
— оо
Здесь, а именно во втором члене и2, тоже можно выполнить
интегрирование по X, хотя и не так просто, как в случае волнового уравнения.
Рассмотрим определенный интеграл
л я ОО ОО *
Заметим, что
1С 1Z
[ cose(o d® = 2 \ cos" ш fifw. (133)
~к 0
При п нечетном этот интеграл 'обращается в нуль, а при п четном,
т. е. л = 2у,
—it
а потому
оо
v=0 V ' Х '

236
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
ГлЛУ
Это выражение представляет собою так называемую бесселеву функцию
нулевого порядка (см. § 100).
Рассмотрим функцию:
2j(v!)»U)
v=0
2t Jk:2
Д^
22 * 2*-42 1 22«42.
!+••••" (136)
1(х) представляет собою монотонно возрастающую функцию от дг2
и не имеет, следовательно, действительных корней.
Рассмотрим, далее, определенный интеграл
к
Jy0 (г sin <р sin в) е<rco»? «"•sin в <*0 *»
(137)
о -*
Положим
v'v. в == cos в cos if -f- sin в sin <p cos©,
stnQMd* = dS.
Тогда уравнение (137) преобразуется в
X X
0—х
(138)
причем интегрирование надо произвести по
поверхности сферы радиуса, равного единице. Угол в
можно рассматривать как одну из сторон
сферического треугольника, в котором две стороны
соответственно равны 8 и ср, а угол, заключенный
между ними, равен со (черт. 62). Если мы
перенесем полюс из вершины угла <о в вершину
угла Q, то элемент площади выразится так:
dS=sinedQd%
а интеграл (138) перейдет в следующий:
с
0 -а
(139)

§ 46 Телеграфное уравнение 237
Следовательно,
fliil^— I JQ(rsmysinb)eirco'*co'b sinbdb (140)
о
Преобразуем это равенство с помощью подстановок:
rcos<p=* — X/, rsin<p = #, r2 = /2(X2 — 1),
cosO = |-, _sin6rf9 = ^
в предположении, что £>0. Мы получим:
Таким образом второй член в формуле (131) примет следующий вид:
оо оо /
aa=i- I rfX \ dag(a) I /(/^Tp5)^<*-«-P)rfp. (142)
—оо —оо —/
Изменим порядок интеграции: будем интегрировать сначала по f,
затем по X и, наконец, по а. Согласно интегральной формуле Фурье
оо оо
1 f Л j ^^fr-DdP-Tfr + q + Tt*^, (ИЗ)
-сю -оо
где
при |*|>|<|,
О при |*|<|*|.
*W-{/(^i=F;
При этих условиях интегрирование по р в формуле (143) происходит
фактически в пределах от —/до /, и, таким образом, формулу (142)
можно переписать в следующем виде (мы снова вводим штрихи):
оо *'+/'
— OO JP' — Z'

238 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
Пользуясь правилом Стокса, мы получим отсюда также и первый член
нашего решения:
ui=YW I /(aO/(/^-(^-a')^rfa'=y[/(jc' + 0+
x'-t*
x' + t'
+ /(*■-*)]+ y J /(^^/(/^-(^-a')-)^. (145)
При выводе этой формулы надо иметь в виду, что 7(0) = 1.
Вернемся теперь к независимым переменным х> t, u9 из которых мы
исходили. Пусть начальные условия, напишутся так:
u = F(x) )
s-°«
при / = 0.
Положим в соответствии с формулами (124) и (130)
F(x)=f(x')9 G(x) = g(x')—^f(x'),
Пусть кроме того между переменными интеграции а и а' существует
то же соотношение, что и между х и х*. Наше решение в
окончательном виде перепишется тогда так:
:-.^«i/(/^£-<.-*})-.+
/a j (G(a) + AF(a)y(|/^f{^_{a_^|^aj.(146)
Va
Два первых члена в квадратных скобках представляют собою две волны,
положение которых в любой момент зависит от их первоначального
1
положения, а скорость распространения —р= не зависит от Ь и с.
У а

§ 46 Телеграфное уравнение 239
Эти волны напоминают решение Даламбера. Телеграфное уравнение
похоже в этом отношении на обыкновенное волновое уравнение, но в
случае телеграфного уравнения происходит затухание, вызываемое множите-
лем е а . Однако в решении телеграфного уравнения мы встречаемся
с новым явлением. Как показывают члены, содержащие знаки
интеграла, после прохождения волны, о которой шла речь, остается еще
возмущение. Это возмущение вызывается всеми точками, в которых
F и О отлично от нуля- и которые отстоят от данной точки меньше
чем на -тг=г. Это возмущение никогда не прекращается, хотя оно все
У а
время ослабевает; оно оставляет после себя „след", подобно капле
загрязненной ртути, катящейся по столу.
Ь) Рассмотрим в качестве примера потенциал тока и = V. Согласно
§ 15 он удовлетворяет телеграфному уравнению (153). Пусть сначала,
при /==0, ток в проводнике отсутствует. Так как потенциал, как
мы уже указывали, связан с силой тока уравнением (153), то
(f),..-0*»-*
Предположим, наконец, что потенциал при t=Q на всем проводнике,
исключая отрезок *1<*^*2, равен нулю. Таким образом
Р(х) — 0 ПрИ Х<Цхг И ЛГ>АГ2,
G(x) = 0 для всех значений х.
В таком случае при tf>0 и х —->*2 или х-^--7=<1х1
у а у а
в формуле (146) все слагаемые, входящие в и, а следовательно, и самое
и, обращаются в нуль. В этом и состоит главное отличие
рассматриваемого случая от явления теплопроводности или от распространения
электричества по кабелю.(см. § 45). Возмущение здесь начинается не
сразу, а лишь спустя / = |/а(х — х2) единиц времени, если *>лг2,
т. е. если х лежит вне интервала (#3, х2) справа, или спустя
^ = j/a (aTj — х) единиц времени, когда лг^л^, т. е. если л; лежит
слева от этого интервала1. Если t больше каждого из чисел
\Га(х — хг) и /я(*2_лг),
то
и
* Скорость —— волн при а --»• 0 обращается в бесконечность. Телеграфное
У а
уравнение переходит при этом в уравнение теплопроводности.

240 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
Черт. 63.
Этот интеграл никогда не обращается в нуль (если только F(a)^0) и
представляет след волны. В этом отношении данное уравнение сходно
•# с решением уравнения
теплопроводности.
На черт. 63 графически
представлено наше решение, в
предположении, что потенциал на
конце проводника все время
поддерживается постоянным; кривые,
нанесенные пунктиром,
представляют решение для того случая,
^5ЙЕйЛ К0ГДа утечка и самоиндукция
обращаются в нуль, т. е. когда
наше уравнение обращается в
уравнение Фурье (черт. 61).
Черт. 64 показывает распространение потенциала в случае, когда
F(x) = const.; после того, как волны F\x-\—j=A и Fix j-Л
отделились в промежутке (xv #2)друг от друга, становится заметен их след.
§ 47. Периодические волны.
Предыдущее исследование показало нам
различия, существующие между ура»
внением теплопроводности Фурье
и телеграфным уравнением. Мы
перейдем теперь к исследованию тех
же уравнений с новой точки
зрения, в результате чего
обнаружатся их общие свойства.
Исследуем условия,
необходимые для того, чтобы решение
телеграфного уравнения
ч
я*-.
гЩ
Р"^Г^
.-.В:
*Ш,
Черт. 64. (а> *» с — положительные
постоянные, и № — ас ^ 0) представляло
собою периодическую функцию вида и = <р (л:) е*&. [Случай, когда ср (х) = 1,
мы уже рассмотрели в §46.] Подставив это решение в уравнение (121),
мы получим:
ИЛИ
если ввести обозначения
S+*3(p=°.
ар* — с — 2Ьр1=к\
(149)
(150)

§ 47 Периодические волны 241
Мы получили то же уравнение (144), что и при исследовании
колебания струны или колебания воздуха в трубах, с тою только разницей,
что k в данном случае представляет собою комплексное число. Положим
и вычислим отдельно действительную и мнимую части
а2 — p = dp* — c9 a$ = bpt (151)
a=*\/^[VWp + (ар* -с)2 + а/?2 — с]
(152)
При этом мы будем брать арифметическое значение этих корней и
считать p>Q; в таком случае аир отличны от нуля и положительны.
Решениями уравнения (149) будут служить
cos&*r, sinkx или eikxt e~ikx.
Первые две функции дают нам Стоячие, а последние две функции —
распространяющиеся волны. Рассмотрим эти последние. Можно положить
u = el (pi-kx) _ е-$х el (pt-ax)m
Действительная часть этого решения
е~$х cos (pt — ax)
представляет собою распространяющуюся направо затухающую волну
± 2тг , 2it
с периодом, равным Т=—, длиною Х=— и фазовой скоростью
р я
v = — =:-£-. Амплитуда волны на отрезках равной длины убывает
а о
в одном и том же отношении. Если длину такого отрезка взять равной
длине волны, то соответствующее отношение равно е * ; если же рас-
1
стояние между двумя соседними точками в этом ряду равно -q-, to
Р
1
амплитуда уменьшается в отношении 1:е; величина -g- называется
расстоянием релаксации. Очевидно, длина волн, фазовая скорость и
расстояние релаксации, вообще говоря, зависят от частоты, так что общее
возбуждение, которое получается из волн с различными частотами,
искажается при их распространении (дисперсия). От этого
обстоятельства и зависят те трудности, с которыми мы встречаемся в телефонах
при передаче разговоров даже на сравнительно небольшие расстояния
н в телеграфии при передачах на большие расстояния (по подводным
кабелям).
16 Вебстер.

242
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
Гл. IV
Выясним зависимость введенных ранее величин от частоты; для этого
исключим р из уравнений (151); мы получим:
а? — р = ±а*$*~с,
£2
ИЛИ
1 _\ а_ с_
• р а2_ б2 а2£2'
Если аир рассматривать как прямоугольные координаты, то это урав-
■ — 1 1 1 ——
1 \
ш
1 I 1 1 1 I 1 1 I I I I I ^
ШШ\\\
{ ' ' ——P'T^oL
4 1 II 11 1 1 1 1 1 1 [
jilHttttttll
Им N ittl
io| I 1 I 1 ||
ОрЫ I ■ Г
•tit 14Ш1 Уд
j ||| J ■ J- (Il 1 j I
' 1 II 1 III! Ml 1 LllllllLlH 1 1 1 llJl.H 1 ill !tJ
Черт. 65.
нение будет представлять собою кривую четвертого порядка с
горизонтальными асимптотами 8 =—=; эта кривая пересекает ось (5 на рас-
У а
стоянии \fc от начала координат (черт. 65). Так как
б2 — ас
г а а
1 + —
то при увеличении а увеличивается также и (5. Частота вычисляется из
уравнения р = -£ Таким образом при увеличении а увеличивается также
о
В
и частота. Фазовая скорость v = ~- прямо пропорциональна
ординате ($ и обратно пропорциональна расстоянию релаксации. Следовательно,
при возрастании р как а, так и {J увеличиваются. Когда />—*оо, v стре.

§ 48
Стоячие волны
243
мится к предельной скорости -7=. Этот результат совпадает с вычис-
\/а
ленной нами в § 46 скоростью распространения волн.
Если дискриминант Ь2 — ас обращается в нуль, то рассматриваемая
нами кривая перехЬдит в прямую $ = [/Т; в этом случае фазовая
скорость v=—r= не зависит от частоты р, и дисперсия отсутствует. За-
У а
тухание при этом продолжается, но так как для всех волн оно
становится одинаковым, то возмущение распространяется без искажения.
Итак, имеется сходство в поведении периодических волн при
распространении тепла и при прохождений электрического тока в кабелях
и телеграфных линиях, если принять во внимание индукцию. В первых
двух случаях при отсутствии утечки, т. е. когда а = с = 0, мы находим:
а = $ = У~Ьр, и таким образом фазовая скорость v = |/ ~
пропорциональна квадрату частоты [с подобной зависимостью мы уже
встретились, изучая колебания стержня (§ 41)]. Амплитуда при переходе на
расстояние, равное длине одной волны, уменьшается в этом случае
в е~2* = 0,001867 = ^^ раза. Кельвин называет этот случай чистой
ооо
диффузией, потому что газы диффундируют по этому закону.
Интересный пример представляет собою годичное изменение температуры
в глубине земли (рассматриваемой как плоскость); длина тепловой
волны, распространяющейся от поверхности земли вглубь, равна
приблизительно 15 му т. е. уже на этой небольшой глубине годичное колебание
температуры практически незаметно.
Обратим снова внимание читателя на то, что между величинами р
и k существует только одно соотношение. В этой формуле р мы
считаем действительным числом; k в таком случае, вообще говоря,
комплексно. Но можно выбрать и наоборот: р комплексным, a k
действительным. Если положить, например, u = <f(x)ept (это решение
получается, если величину р заменить через — //?), то значение р выразится
формулой (123) (при Х = £), а для и мы получим периодическую волну,
в которой множитель, вызывающий затухание, будет зависеть от
времени. При изучении распространяющейся волны можно затухание
считать как функцией времени, так и функцией пространства, так как волна
в равные промежутки времени проходит равные расстояния. Итак,
применение интеграла Фурье в методе Коши сводится к тому, что мы
разлагаем начальные данные в непрерывный спектр волн, исследуем
распространение этих волн и затем снова соединяем их.
§ 48. Стоячие волны. Фундаментальные функции в задаче о
теплопроводности» а) Зададим в предыдущей задаче краевые условия для и
или для ср(лг) и определим, исходя из этого, значения k (а не
частоты р). При этом мы получим, как в главе III, некоторые
фундаментальные функции, которые, однако, в данном случае вообще не будут
соответствовать незатухающим стоячим волнам. Действительно, значение /?,
которое получается из уравнения (150), представляет собою вообще

2;44 Ряды и интегралы Фурье ' Гл. IV
комплексное число, а волны, соответствующие комплексному значению р%
затухают, не ишеняя своей формы (исключение представляет собою
лишь случай £ = 0). Например, при распространении тепла
(независимого от того, происходит ли при этом потеря тепла путем
лучеиспускания или нет) а = 0, и если *>0, то *
"=—йг-
В этом случае как функции
и=е ™ (Acoskx+Bsinkx), - (153)
так и их линейные комбинации (с различными значениями k)
представляют собою решение уравнения теплопроводности. Однако эти решения
не отображают непрекращающихся колебаний температуры. В самом
деле, каждый из членов этого решения убывает и притом тем быстрее,
чем меньше его длина. Таким образом первоначальная неравномерность
в распределении температуры в пространстве постепенно сглаживается.
Если обмен теплотой между нашей системой и внешним пространством
отсутствует, как, например, в случае бесконечной среды, ограниченной
двумя параллельными плоскостями, на которых заданы краевые условия,
то £=0, и затухание пропорционально А2, т.е. обратно
пропорционально квадрату длины волны. Составляя соответствующие линейные
комбинации решения (153), мы можем найти решения при различных
начальных и краевых условиях.
Рассмотрим несколько простых задач этого рода. Пусть на концах
лг = 0 и л:—/ стержня поддерживается постоянная температура1. Если
принимать во внимание также и отдачу тепмс во внешнее пространство*
то надо исходить из общего уравнения теплопроводности § 15 (164);
2Ь- + си=-г. (121)
При стационарном потоке, т. е. когда и не зависит от ty и при
отсутствии обмена теплотой с окружающим пространстве м это диференцис»ль-
ное уравнение принимает вид:
^ = 0.
ах*
Его решением служит:
" = л04 (иг~я0)у. (154)
Если сфО, то сРи
dx> ««<>,. (155)
и решение принимает вид:
и, sh l/^cx + и0 sh \f с (I — х)
shycl
(156)
* Можно вместо стержня взять указанную раньше бесконечную плоскую
пластинку Qz^x^lf на обеих поверхностях которой поддерживается постоянная
температура (см. раздел ,be этого параграфа).

§ 48 Стоячие волны 245
Если поток не стационарный, а краевые условия остаются прежние, то
к решению (156) [или (154), если с = 0] надо добавить .любое
решение (12Г), которое на концах обращается в нуль для любого значения*
и для которого начальная температура (при *=0) представляет собою
заданную функцию от х.
Решим уравнение (121'). Полагая и = еиу(х), мы будем иметь:
5* + *»-°.
где
£* = —26Х — с.
Таким образом
q (лг) ssb A cos kx -f В sin kx.
Краевые условия <р(0)==<р(/)~0 при этом дают:
k = -f> <t(x)=*Bsin— (у — целое число).
Следовательно,
откуда \
24 2&2'
Таким образом искомое решение уравнение (121') есть:
оо
Ct гч ^fK%
иш,e~™2j Bf«»'sin*IE£. (157)
Постоянные 5V надо выбрать так, чтобы при * = 0 (точнее, при /—*-f 0)
это решение и было равно заданной функции f(x). Положим для
простоты, что с = 0. Воспользовавшись разложением в ряд синусов
функций 1 и х [формулы (38) и (39)], мы получим:
оо , -
v = l
+ fSe~5¥,'sin^rj/(a)sin^r,fa- (158)
Это решение при л:=0 и лг=/ обращается в и0 и иг, а при ^=х0-
в функцию f(x)1.
* При эт м предполагается, что ряд синусов, в которкй переходит наше
решение ири * = 0, сходится равномерно (это условие выполняв!с», например,

246 гРяды и интегралы Фурье Гл. IV
Это решение может быть обобщено подобно тому, как была
обобщена аналогичная задача для бесконечного стержня (110) на тот
случай, когда темпгратуры и0 и иг на концах стержня представляют собою
произвольно заданные функции времени. Действительно, если в
промежуток времени от 0 до t на концы стержня действуют температуры и0 и а1%
то температуры за бесконечно малый промежуток от t до t-\-dt
получают приращение
со ^
5ЛвЛ5-.2»К-(-»Г«,}«"»'11п^. (159)
*=1
Заставим температуры и0 и иг действовать в течение времени от /=т
до t = x4- dx.^ Результат этого действия в момент / мы получим по
формуле (159)/если в этой последней предварительно t заменить через
t — т, а ив и иг — через #в(т) и иг(х). Таким образом этот результат
выразится формулой:
<х> «
"=^S vsin^ j {„o(T)_(_l)vai(T)}e ЯЗГ-Л. (160)
v = l О
В качестве примера рассчитаем потенциал u—V кабеля, в одном
конце которого посылающая станция замкнула ключ на время а, в то
время как второй конец его соединен с землей. Таким образом при
0<т<а потенциал и0 = const., а в остальное время ив = 0, между
0 всегда.
Таким образом
00 * **.
v=l 0
»?5!j]i(e2lJ_|)e-*'s^ (*>«). (161)
Vssl
Эта формула дает нам значения потенциала в кабеле после того, как
в том случае, когда f(x) непрерывна и удовлетворяет условиям Дирихле). Кроме
оо
того надо еще иметь в виду теорему: если ряд S\ с^ = s сходится, то сходится
v = l
оо
также и ряд ^V е"~V,T сч (т > 0), и притом зт-т последний ряд стремится к s
v = i
при т -* 0. Доказательство этой теоремы аналогичнр доказательству
теоремы Абеля о непрерывности ряда Тейлора (см. Riemann-Weber, т. I,
стр. 151).

§ 48 Стоячие волны 247
перестали нажимать на ключ. При /<а предел интеграции а надо
заменить через /. Тогда мы получим:
it LA v ' I
11 — x 2 in* -Ss* . vhatI „ . %
(162)
Это выражение не зависит от а. Оно таково же, как если бы батарея
была все время замкнута. При /—юо функция (161) стремится к нулю,
между тем как (162) имеет своим пределом
и9(1 — х)
/ *
Сила тока во втором случае (т. е. когда батарея замкнута) получается
диференцированием выражения (162):
На конце л: = / сила тока равна:
(/)x=i=*^{1-2^-t^ + ^-...)}=/W. (164)
Здесь через v обозначена функция е ш* . Ряд этот при | v | < 1
сходится очень быстро. На основании этой формулы лорд Кельвин
в своей знаменитой работе, упомянутой в § 15 на стр. 69, рассчитал
кривую / черт. 66. Единицы времени на этом чертеже выбраны таким
образом, что ^гзв— при *==а, т. е.
2М* 4
а = -*г1пТ' ь
и кроме того предположено, что -^зв=10а. Если последовательно за-
HI
мыкать ток ключом на промежутки а, 2а, За, ..., то сила тока на
конце #=»/ будет равна [f(t) предполагается равным нулю при КО]:
/W-/С —ад-
Действительно, при />а из (161) следует:

248 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
Соответствующие кривые 1, 2,3, Г.. нанесены на черт. 66.
До сих пор мы предполагали, что температура (потенциал) на
концах постоянна. Рассмотрим теперь другие краевые условия:
предположим, что концы стержня изолированы от влияния внешней температуры
(концы кабеля электрически изолированы). Математически это
выразится заменой условия <р = 0 условием ~- =« 0. Ряд синусов в
решении заменится в этом случае рядом косинусов.
Ь) Исследуем, наконец, охлаждение бесконечной пластинкц 0 ^ *<;/,
которое подчиняется закону Ньютона. Закон этот утверждает, что
поток тепла, излучаемый телом, пропорционален разности температур тела
и окружающей среды. Поток тепла внутри тела равен —k — , гдея—
температура тела, k— внутренняя теплопроводность его; это выражение
на поверхности лг = /должно быть равно потоку тепла, излучаемому
этой поверхностью, т. е.
-kb£ = b(u-u0); (165)
через и0 здесь обозначена температура окружающей среды, a b в этой
формуле — физическая постоянная (внешняя теплопроводность). Если и0
постоянно, то можно разность и — и0
заменить через и. Введя еще обо-
Ь и
значение — =А, мы получим
краевое условие при * = /:
Ьх
-{- /ш = 0.
(166)
Черт. 66.
Задачу при этих условиях мы уже
исследовали в § 39. По отношению
к граничной поверхности лг = 0
поток надо взять с обратным знаком,
и таким образом для введенного раньше множителя <р (х) мы имеем
следующие краевые условия:
g_A?=o
при х ■= 0,
2+»»
0 при х — 1.
Так как
<р (х) — A cos kx -f- В sin kx,
dy
dxz
• k (— A sin kx -j- В cos kx),
(167)
(168)
то
Bk — hA^O,
A(hcoskl—k sin */) + В (h sin kl -f- k cos kt) = 0.
(169)

§ 48
Стоячие волны
249
tg£/ =
Исключая из этих равенств Л и В, мы получим:
2hk
'& — №
или, полагая kl=s=x:
2 х hi
tgAT Ы X
Таким образом искомые значения х получаются как пересечение
кривых:
а. 2 х hi ,---л»
* v= . v= — . (172)
(170)
(171)
У tg*' У hi x
из которых вторая представляет собою гиаерболу (черт. 67). (Значение
jc = 0 или, что то же, & = 0 мы не рассматриваем, так как оно при-
1 МИНИНЕII
, 1 Ч~г
| ■ ■ | у г " 8"" '
I 1 1 1 1 11 1 г 1 1 1 II 1 1
1 | [ j 1 it | у— } 1*1 HII
1 1- 1 1 1 м ■ 11
||jf
НИЩИМ Д1~Н~
1 1 111 [ I 1 1 1111 1 1 1 И
| | j || } j j I If И1 1 { 1 А J\
Ш ж-И
У\\\ Н+Н
Дгею
Шш
1
ншш
Черт. 67.,
водит к противоречию; действительно, подставляя в формулу (170)
значение /е==0, мы получим, что 2== — А/, что противоречит условиям
А>0, &> 0 задачи.) Число точек пересечения, очевидно, бесконечно.
Из уравнения (169) следует, что фундаментальные функции можно в этом
случае представить в следующей форме:
9v(*) = &vcos^* + Asin£vA: (v=l,2, 3, ...), (173)
где кг, k2, ... суть корни уравнения (170). В § 39 мы показали, что
при краевых условиях (166) фундаментальные функции ортогональны.

250 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
Чтобы их нормировать, заметим, что из вышеприведенных уравнений
вытекает:
0 0 ° 0
Из (173) следует тождество:
W+(|?)'-*J(*H-*v (175)
интегрируя которое, мы получим:
^Uyx+U^Ydx^k^+h^l. , (176)
0 0
Складывая равенства (174) и (176), мы получим:
2а;|^«_?,|Ь| +*»(*;-i-л*)/. (177)
На краях пластинки, с одной стороны, мы имеем:
£-±**. о67>
с другой стороны, из (173) и (170) следует:
Таким образом на краях пластинки
Верхний знак соответствует здесь л:=0, а нижний х = 1. Наконец,
из (177) следует: '
[tfdx = k + (% + k*)-L] ' (178)
Дальнейшие вычисления ведутся точно так же, как и в случае
краевого условия <р = 0. Сохраняя прежнее начальное условие й=»/(лг)
при / = 0, мы сможем написать наше решение в следующей
окончательной форме:
оо **' р
u^Yir~K cos м+h Sin/M \ ъcos **g+* sln w(g)rfg- <179>

§ 49 Волновое уравнение в двумерном пространстве 251
§ 49. Волновое уравнение в двумерном пространстве. Исследуем,
наконец, волновое уравнение в двумерном пространстве, решение
которого, как мы уже указывали раньше (см. также § 65), отличается
от решения того же уравнения в одномерном и трехмерном пространстве.
Применим метод Коши к волновому уравнению в двумерном
пространстве:
Мы придем к обыкновенному диференциальному уравнению:
^5- = — *2 (X2 + Д2) £/=- - <*уи. (181)
Если начальные условия даны в форме;
(«)/=• = F(*,y), (^) =G(x,y),
то мы, как и в случае трех измерений, получим:
. U=F(a, p)coeop< + 0(a, Р)*-^, (182)
ар
и далее:
оо
a — x = rcos8, X=pcos<p, j
Р—j/ = rsin6, j*=psincp, J
так что
Х(а — A:)-f-pt(P—>) = rpcos(cp — 6) = Apcos6r.
В последнем равенстве угол в' отсчитывается от направления
радиуса г. Второй член в решении и после введения полярных координат
принимает следующий вид:
00002*2я
и2=: JL f f f fo(ef g)^-W<»e'rpdr</prf8d8'. (185)
" - * 0
2LJ,^cose^6r = yo(rp)>
6
и, следовательно,
00002*
tt2 = ^L\ G(a% $)sinaptJ0(ro)rdrdpdb. (186)
л о о
Положим
0 0 0 0
На основании (132) 2*

252 Ряды и интегралы Фурье Гл. IV
Но так как [см. приложение, § 4, (31), (31')]
J
sin ах J0(bx)dx =
при £2<а2,
j/а* — b*
О при £2>а2,
то
002тс ОО
«2 = ^ \\ О (а, р) г<*л<*6 [ sin at? J0 (rp) rfp =
о *o о
„J.rfo(;.P)^gt (187)
и, таким образом, окончательно:
at"H aliv
F(a, fyrdrdb , 1 f(G(a P)rrfrrf6
2na Ы .1 J J/ a*** — r 2ira .] ,1
У'аЧ^ — г*
0 0 0 0
(188)
Это так называемая формула Пуассона-Парсеваля; она показывает,
что возбуждение в какой-либо точке в момент t зависит от начальных
значений функций F и G не только на окружности радиуса at, но и
внутри iiovo круга. Действие возбуждения продолжается бесконечно
долго. При возрастании / появляется след волны подобно тому, как это
происходит в телеграфном уравнении. Таким образом явления,
возникающие при распространении волн в двумерном пространстве, совершенно
отличны от соответствующих явлений в трехмерном пространстве г.
* Литература для дальнейшей проработки: Н. S. С а г s 1 * w, Introduction to
the theory of Fourier's series and integrals, 3-е изд. (Loidon, аСсппЬп, 1930 г);
H. S. Car slaw, Introduction to the mathemaiical theory of the conduction of heat
in solids, 2-е изд. (London, Macmillan, 1921 г.); L. Schlesinger und
A. Plessner, Lebesguesche ntegrale und Fouriersche Reihen (Berlin, W. de
Gruyter, 1926 г.), отд. VI; W. Rogosinski, Fouriersche Reihen (Sammlung
GGschen, 1у30 г.);И. И. Привалов, Ряды Фурье, 1931 г.

Приложение
§ 1. Функциональные детерминанты. Предположим, что между двумя
функциями и(х, у) и v(xy у) двух независимых переменных х и у
существует зависимость V (и, г>) = 0, причем уравнение V (и, v) — 0
разрешимо как относительно и, так и относительно v г. В таком случае,
если и постоянно во всех точках некоторой кривой, то во всех точках
той же кривой v должно быть также постоянно. Следовательно,
семейства кривых, определенных условиями и = const, и v = const., должны
Совпадать друг с другом. Таким образом нормали к кривым и = const.
и т/ = const, в каждой из точек этих кривых имеют одно и то же
направление. Этот факт можно записать с помощью равенств:
или
Ьи bv
Ьх Ьу
Этот детерминант называют функциональным детерминантом
функций и(х, у) и v(x, y)\ если функции и и v связаны друг с другом
какой-либо зависимостью, то этот функциональный детерминант
обращается в нуль. Обратная теорема также справедлива: если
функциональный детерминант (1) обращается в нуль, то вышеуказанные нормали
в каждой точке кривой совпадают между собою, и таким образом
совпадают и оба семейства кривых. Таким образом равенство и = const,
влечет за собою равенство v = const., и обратно, т. е. между и и v
должна существовать функциональная зависимость.
Рассмотрим теперь три функции и(х, у, г), v(x, у, г)мт(х,ууг),
между которыми существует зависимость Ч* (и, viw)=- 0 [предполагается
при этом, что уравнение *Р(и, vy w)==0 разрешимо относительно
каждой из функций и, v и w]. Если во всех точках какой-либо
пространственной кривой и и v постоянны, то w на этой кривой, очевидно,
должно быть также постоянно, т. е. кривая, образующаяся при
пересечении поверхностей и = const, и v = const., должна непременно лежать
* Для того чтобы это требование было выполнимо, достаточно, чтобы
функция Ф(и, v) им$ла непрерывные частные производные как по и, так и по с,
и притом чтобы Ч*ифЬ и Ч*афО*
Ьи Ьи
Ьх Ьу
lbv~~~bv~ *
-т— -
Ьх Ьу
■
bv Ьи
Ьх Ьу
«*«
Ьх
Ьи
*у
bv
Ъх
bv
Ъу
= 0.
0)

254
Приложение
на поверхности w = const. Таким образом поверхности « = constr
v=z const, и w — const, должны непременно иметь общую кривую пере*
сечения. Нормали к этим трем поверхностям перпендикулярны
касательной к кривой их пересечения и, следовательно, лежат в. параллельных
плоскостях. Согласно формуле (15) § 4 при этом должно быть
выполнено условие:
Ъи
Ьх
bv
дх
AW
Ьх
Ъи
Ьу
bw
Ъу
Ъи
Ъг
Ъг
bw
Ъг
Обратно, если этот функциональный детерминант обращается в нуль,
то взаимное расположение поверхностей и = const., v = const, и w =
= const, будет подчинено вышеуказанному условию, т. е. между я, v и w
существует функциональная зависимость *.
§ 2. Изменение порядка предельного перехода. Рассмотрим
обыкновенную числовую последовательность
<*1» Л2» а3» • • • ' аЮ • • • (3)
Мы говорим, что эта последовательность имеет предел А, если она
обладает следующим свойством: любому сколь угодно малому
положительному числу е можно поставить в соответствие положительное число jx
столь большое, что для всякого целого л, большего у, имеет место
неравенство: »
\оя-А\<г. (4)
Тот факт, что А является пределом числовой последовательности
(3), записывают так:
Игаая = Л.
п->оо
Необходимое и достаточное условие для существования этого предела
состоит в том» чтобы для любого заранее заданного положительного
числа е можно б>ло найш такое ft, чтобы для всех целых чисел #>ft
имело место неравенство:
\а„ — *п+Л<* (v=l, 2, 3,...). (4')
На понятии о предельном переходе основано определение сходимости
бесконечного ряда:
*1 + *2 + *3+. ..+*.+ ... (3')
* О точном определении независимости функций и доказательство условий
независимости (1) и (2) см. К. Knopp u id R. Schmidt, Funktionaldetermkiaa-
ten..., Math. Zeitschr., Bd. 25, 1926, стр. 373-381.
:0.
(2)

§ 2 Изменение порядка предельного перехода 255
Говорят, что ряд сходится, если последовательность сумм
bV Ь1 + К Ь\ + Ь2 + *3> • • • э *l + h + • • • + Ьп> • • •
имеет предел.
Можно рассматривать пределы целичин, которые зависят не от
целочисленного параметра л, а от переменного х. Пусть /(л:) является
функцией независимого переменного х; мы говорим, что эта
функция имеет в точке х9 предельное аначение Л, если для любого
сколь угодно малого положительного числа в можно найти такое
J>0, что
|/(*)-Л|<е, (5)
коль скоро \х — ##!<[£, *7^*о- Этот факт записывают в виде
равенства:
Нт/(*)=Л.
Необходимым и достаточным условием существования такого предела
является возможность для любого заранее заданного положительного е
найти такое 8>0, чтобы
!/(*')-/(*") |<е, (5')
коль скоро 0<|л;г — *0К* и 0<|*" — ^0К^ 9ТИ неравенства,
очевидно, совершенно аналогичны (4) и (4'); условию: пр. должно быть
достаточно велико" соответствует в данном случае условие „интервал $
должен быть достаточно мал". Существенным в обоих случаях является
то обстоятельство, что некоторое неравенство выполняется „начиная"
с некоторого вполне определенного значения для всех значений
переменного. На понятии о пределе основывается также и математическое
определение непрерывности: говорят, что функция f(x) непрерывна в
точке х0, если предел А существует и притом А=яв/(х0).
Для функции с двумя независимыми переменными предел
определяется аналогично предыдущему. При этом независимые переменные
могут быть "либо целочисленными, либо непрерывными. Рассмотрим,
например, функцию /(а:, у)> зависящую от двух независимых
переменных х и у. Равенство
\imf(x, у) = А
\ х-*а
равносильно следующему утверждению: для любого положительного г
можно найти такое положительное 8, что все х и у, удовлетворяющие
неравенствам \х — д|<$, \х — £[<8, \х — д| + |.У — *|>0»
удовлетворяют также и неравенству:
\/{х,у)-А\<ш. (6)
Соответственно определяется также и предел двойной
последовательности атп. Теперь уже ясно, как надо определить непрерывность функции,
зависящей от двух независимых переменных. Аналогичным образом
определяется предел функций, зависящих как от целочисленного, так и

256 * Приложение
от непрерывного независимых переменных; примерои подобного предела
может служить
lim
л-»оо
Рассмотрим функцию f(x, у), зависящую от двух непрерывных
переменных х и у, и пусть для любого значения у в некотором интервале
существует предел по переменному х:
Нт/(лг, у) = у(у).
х-*а
Совокупность значений ср (у) для всех точек интервала определяет
функцию от у; предположим, что существует также'предел:
lim ср (у) = \\т [Кт/(лг, у)].
у->Ь у-+Ъх-*а
В таком случае является вопрос, существует ли предел
lim[lim/(Ar, y)]9
х-*ау-*Ъ
а если этот предел существует, то равен ли он lim [lim/(х, у)]. Про-
х-*Ъ у-*а
стые примеры показывают, что такое равенство пределов не всегда
имеет место. Так, для функции,
'^-ЩпГу <^0; МО)
мы имеем:
lim [Hm/(*, у)] =Д. lim flim/(*. УУ\ ^~ •
у-*0 х->0 ° x^Qy-*Q J
Зги два числа не равны друг другу, если только аЬ — ру=^=0.
Таким образом, если над функцией от двух переменных /(л;, у)
последовательно совершить два предельных перехода, то полученный
в результате предел (поскольку он* вообще существует) зависит от
порядка, в котором эти предельные переходы были совершены.
В качестве другого примера, в кбтором предел зависит от порядка
предельного перехода, рассмотрим функцию
sn(x) =
пх-{-19
где я стремится к бесконечности, пробегая по натуральному ряду, а х
стремится к нулю, изменяясь непрерывно. При х=£0
lim sn(x)=*l, lim s„ (*) = (>,
л->оо *-*о
и, таким образом,
lim [lim sn (x)] = 1, a lim [lim $n (x)] = 0.
х -+Q п->СО П-+ООХ-+0
Приведем еще несколько примеров двойного предельного перехода
из различных областей анализа.

§ 2 Изменение порядка предельного перехода 257
а) Первые и вторые частные производные функции определяются
как пределы:
У(*, У) =11ш/(* + *» У)—/(*> У) у
дх h^o h * *
V_Umf(x>y + k)-f(xty) ^
• = lim — I lim |
*-*0 « L ft-Ю l
d#d.y *-*0 ^ Lft-ю l ^
„[/(* + *» -У)
11ш (/(* + *, jO-/(x, »jjt
= lim i ГИт (/JfiAZ+^ziZif+^l _
-al/(JC,J>+l~/CrtJ°)]-
(7)
Обе последние частные производные можно рассматривать как
пример изменения порядка предельного перехода, и поэтому необязательно,
чтобы - было равно —~. Если обе эти частные производные су*
оХ by oy аХ
ществуют и непрерывны в некоторой области плоскости ху, то согласно
известной теореме диференциального исчисления они равны между
собою в этой области г.
Ъ) Определенный интеграл от функции /(дг), ограниченной в
интервале а ^ х ^ Ь, определяется следующим образом. Интервал
интегрирования точками
л;0, хг, лг2, ..., хп (лг0 = а <[ хг < хг <, *. •< хп_г <С хп = Ь)
разбивают на частичные интервалы длины &y=#v — хулт1 и берут сумму
Е *,/&>, ' (8)
me$v— произвольная точка, удовлетворяющая неравенству х^ж1 ^ $v«^a:v.
Число л частичных интервалов неограниченно увеличивают и притом
так, чтобы максимум их длины 8V стремился к нулю; если предел суммы
(8) существует и не зависит-от выбора значений £v, то функция f(x)
называется интегрируемой. Согласно основной теореме интегрального
исчисления этот предел не зависит ни от способа разделения основного
интервала на частичные, ни от выбора промежуточных точек Sv. Итак,
п ь
Hm^iJ(^) = [f(x)dx. (9)
v=l a
* Курант, т. II, стр. 57; Смирнов, т. I, стр. 417; В. Гренвилль и
Н.Лузин, Элементы диференциального и интегрального исчислений, ч. I,
1930, стр. 505.
17 Вебстер»

2бЬ Приложение
Точно так же, как и равенства (5) и (6), эти равенства означают еле-
ь
дующее: сумма (8) будет сколь угодно мало отличаться от \f(x)dxt
а
если максимальную длину интервалов Jv сделать достаточно малой.
Аналогично этому определяют интеграл от ограниченной функции
двух независимых переменных f(xy у), распространенный на площадь
а также и интегралы от функции большего числа переменных.
Рассмотрим функцию,/, зависящую от независимого переменного л:
и от параметра а. Предположим, что существует определенный интеграл
от f(xt а) для всех значений внутри некоторого интервала аг^а^а2
(т. е. что соответствующая сумма (8) стремится к вполне определенному
пределу). Интеграл представляет собой в этом случае некоторую функцию
параметра а. Равенство
а а
(диференциррвание производится по параметру а) показывает, что в
данном случае порядок предельного перехода можно изменить.
Справедливость формулы (10) легко доказывается в предположении, что
производная ■— существует и есть непрерывная функция от д; и от а1.
да
c) В формуле (9) предполагается, что пределы интеграции конечны.
Если один из пределов, например Ьу бесконечен, то под интегралом
понижают следующий предел (если только таковой существует):
ь оо
lira [f{x)dx=[f(x)dx. - (11)
Таким образом „несобственные интегралы* получаются в результате
двойного предельного перехода.
d) Если подинтегральная функция вблизи какой-либо точки лг0,
лежащей внутри интервала а^х^Ь, неограниченно возрастает и в
любом частичном интервале, лежащем внутри данного и не содержащем
точки лг0, ограничена и интегрируема, то „несобственный* интеграл
определяется равенством:
* х' Ь Ь
lim \f{x)dx + lira f f(x)dx= \f(x)dx. (12)
Аналогичным образом определяют интеграл функции от многих
переменных, неограниченно возрастающей в отдельных точках области
интеграции.
* К у р а н т, т. II, стр. 173; Смирнов, т. II, стр. 244.

§ 3 Равномерная схрдимость 259
В качестве примера двойного предельного перехода рассмотрим еще
сумму ряда функций:
*i(*) + «a(*)+ ••• + М*)+--- (13)
Пусть
зя(х) = иг(х) + и2{х)-к...-\-ия(х).
Сумма f(x) бесконечного ряда в данном случае, как и в случае
числового ряда, определяется равенством:
f(x) = Umsn(x).
Л->00
При известных условиях (см. следующий параграф), но отнюдь не
всегда, имеют место равенства:
lim f(x) = lim [lim $я (*)],' (14)
о а
\f{x)dx = lim [sn{x)dx, (15)
Ш= ш <ЬП. (16)
иХ л-*00 ЯХ
Первое из этих равенств говорит о том, что ряд непрерывен в
некоторой точке х0, если все члены ряда непрерывны в этой точке. Два
последних равенства равносильны утверждению, что ряд можно почленно
интегрировать и диференцировать. Пример
sn(x) = e-n<*-x*P; /(х) = 0 при хфх^ limsn(x) = 1
x-*xQ
показывает, что равенство (14), как это было уже указано, не всегда
справедливо. Легко также убедиться, что ряды не всегда можно
почленно интегрировать. Действительно, пусть
но
sn{x) = n(e-a* — e~*tt*); /(*) = 0 при 0<лг<1,
1 п
I sn(x)dx= \ (е~х — е~2*) Ас—*-^- при п-
о ~о
Относительно равенства (16) см. следующий параграф.
§ 3. Равномерная сходимость. Затронутые в предыдущем
параграфе вопросы, касающиеся функциональных рядов, теснейшим образом
связаны с понятием о равномерной сходимости г. Определим это
понятие сначала для функционального ряда (13). Пусть ряд (13) сходится
для любого значения л:, взятого из какого-либо замкнутого или
незамкнутого интервала. Согласно сказанному ранее это означает, что для
любого значения х (из этого интервала) и для сколь угодно малого
* Исторический обзор развития этого понятия можно найти в статье
A. Pringsheim, Grundlagen der allgemeinen Funktionentheorie, помещенной в
Encyklopudie d. Math. Wissenschaften; IIA^ стр. 1—53 (особенно в № 17 на стр. 34).
17*

260 Приложение
положительного $ можем найти такое положительное число JA, что для
всякого п^>р будет иметь место равенство:
I г. (*)1=1/М-*„(*)!<•
или
| *„(*) — 5„+,(ДГ)|<8 (V= 1,2,3,...).
/
Наименьшее из такого рода чисел ji зависит не только от е, но и от х.
При изменении х могут представиться два случая: 1) либо, когда х
соответствующим образом приближается к некоторому определенному
значению, J* неограниченно возрастает; в этом случае для получения
заданной точности приближения г надо брать каждый, раз суммы все
большего и большего числа слагаемых; 2) либо наименьшее из ц для
всех значений х из рассматриваемого интервала остается ограниченным
jx^jjLq. Это значит, что существует такое число р0, не зависящее от х
(зависящее только от е), что при л > ц0 вышеуказанное условие
выполняется для любого х; в этом случае мы говорим о равномерной
сходимости ряда, а сам ряд называем равномерно сходящимся.
Так, функциональный ряд (13) сходится равномерно, если можно
найти другой сходящийся ряд, члены которого не зависели бы от х и
который для данного ряда служил бы мажорантным рядом; мажорант-
яым (усиливающим) относительно данного ряда называют другой ряд
все члены которого положительны -и удовлетворяют неравенствам:
1«„(*)1<«« («7)
для любых значений х.
Предположим теперь, что ряд (13) сходится равномерно, и
докажем, что при данном условии формулы (14) и (15) справедливы. Пусть
функции ип(х) [а следовательно, и sn(x)] стремятся к некоторому
пределу при х —+х0, и пусть ряд (13) в некотором интервале, содержащем
точку х0(х=£х0), сходится равномерно. В таком случае, задав е,
можно найти такое положительное число ji, что для л>ди для любых
двух значений х* (х* ф х0) и х"(х"фх0), лежащих внутри нашего
интервала, выполняются неравенства:
\r„m<^, ir„(**)i<-g-..
Так как lim sn (x) существует, то можно определить число 4 таким об-
разом, чтобы
I *« (*0-*„(*") К у.
коль скоро вышеуказанные числа xf и х!' отличаются от х0 меньше
чем на J. Следовательно,

§ 3 Равномерная сходимость 261
а это неравенство означает, что l\mf(x) существует. Если л:—+х0, то
из неравенства * е
1/(*)-*я(*)К-з
следует, что g
I l\mf(x) — lim sn (x) I < — ,
\x~*x0 x->x0 I О
т. е. что формула (14) справедлива. Итак, если ряд непрерывных
функций сходится равномерно в каком-либо интервале, то сумма этого ряда
непрерывна.
Аналогичным образом можно доказать, что равномерно сходящийся
ряд непрерывных функций можно почленно интегрировать.
Действительно, пусть f(x) = sn{x)— /*„(*) — непрерывная функция. Тогда
ь ь ь
^f(x)dx — ^sn(x)dx = ^ra(x)dx.
а а а
Так как по предположению наш ряд сходится равномерно, то можно
найти такое pi, что \гп(х)\<^г при /z>ja и а^х^Ь. Следовательно,
ь ь | |
$/(*) dx-\sn{x)dx\« Пгл(х)Ох
а а \ \а
<е(Ь-а)
или
\f(x)dx— lim \sn(x)dx.
Несколько сложнее вопрос о почленном диференцировании
функциональных рядов: при почленном диференцировании равномерно
сходящегося ряда можно иногда получить расходящийся ряд. Например, ряд
[см. § 42, (39)] и
sin л: , sin 2х , , sinfl.*: . -~«~
как легко показать, равномерно сходится при е^лг^2тг— е, где е —
любое положительное число, меньшее тг. При почленном
диференцировании этот ряд переходит в следующий: +
cos х -\- cos 2x 4- .. • + cos пх -{- ..„
Этот последний ряд расходится при любом значении х, так как для
него не выполняется условие:
lim un(x) = 0.
я-*оо
Случаи, когда ряды "можно диференцировать почленно, указываются
следующей теоремой. Если функции ип(х) ряда (13) имеют непрерывные
производные, сам этот ряд сходится в какой-либо точке (например, при
х = а), и, наконец, если ряд, составленный из производных и'п(х),
равномерно сходится, то данный ряд (13) также сходится равномерно и
допускает почленное диференцирование. Действительно пусть ряд

262 Приложение
сходится равномерно. В таком случае сумма его <р(лг) непрерывна» На
основании доказанной выше теоремы этот ряд можно почленно
интегрировать:
X
[yWdx^UiW—u^+UzM—u^a)-^.. ,-\-ип(х)—ия(а)-\-.. .=/(х)—Да),
причем
/(*) = ¥(*).
В том, что ряд (13) сходится равномерно, можно убедиться из равенства:
х
Дх) - sa (х) =/(а) - s„ (а) + j [<р (*) - *; (х)] dx.
а
Аналогичные определения и теоремы справедливы также и
относительно несобственных интегралов (см, § 2 приложения). Мы ' говорим,
что интеграл
оо
j/(*, a)dx = F(a)t (18)
а
определенный формулой (11), сходится, если для любого заданного
е>0 можно найти такое число Q, что
)t(x, a)
dx
<*,
если числа © и <ог превосходят Q. Говорят, что интеграл (18) сходится
равномерно, если Q можно выбрать независимо от а. В теории
несобственных интегралов особенно важное значение имеет теорема:
интеграл (18) в интервале а1^а^а2 сходится равномерно, если можно
найти положительную функцию <р(*), для которой интеграл
оо
\y(x)dx
а
сходится, и притом такую, что неравенство
|/(*, а)\<<?(х)
выполняется при любом значении а. Если функция /(лг, а) непрерывна
по обоим независимым переменным, то F(a) при указанных условиях
непрерывна, и притом
ОО /«* \ а,
\ ) j/(*, о) da \ dx = J F(a) da. (19)
a («« j «i
Равенство (10) справедливо при £ = оо, если ~ существует и
непреда
рывна по л: и по а3 если, далее, интеграл, стоящий в" левой части

§ 4 Вычисление некоторых определенных интегралов 263
этого равенства, сходится по крайней мере для одного значения о0 и,
наконец, если интеграл, стоящий в правой части этого равенства,
сходится равномерно в каком-либо интервале, содержащем а0.
§ 4. Вычисление некоторых определенных интегралов. Вычислим
несколько типов определенных интегралов, весьма часто встречающихся
в математической физике.
а) Так называемый интеграл Лапласа:
ор
о
встречается в самых различных отраслях математики и особенно в
теории вероятностей и в термодинамике. Функция у — е~х* называется
кривой, погрешностей Гаусса. В то время как соответствующий
неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции,
определенный интеграл 1г можно вычислить с помощью простого приема.
Мы имеем:
оо оо
/, « \ e~*dx= Сe-?*dy,
о о
и, следовательно, n
оо оо оооо
P±*\e-*dx \e-y%dy=\\e-w+&dxdy.
0 0 00
Будем рассматривать х и у как прямоугольные координаты на
плоскости. В таком случае последний двойной интеграл распространяется на
первый квадрант jc^O, у^О Для вычисления этого интеграла введем
полярные координаты и предположим, что он распространен только на
четверть окружности радиуса* равного ю, с центром в начале
координат: так как элемент плоскости в полярных координатах равен rdrdb,
то наш интеграл примет следующий вид:
я
JJe-'VrfriB.
о о
Этот же интеграл легко вычислить. Действительно,
Таким образом
1 e-^rdr — — -- е-"*.
2 о)
e-'Vdrd6 = ^-(l— er*%).
о о
Следовательно, при ю—*оо
» 4

264 Приложение
Итак, оо /_
/, = ]*-***«-*—. (20)
о
Заменим в. этой формуле х через [^а.у при условии, что а>0. Тогда
оо
о
Мы получаем следующее обобщение формулы (20):
оо
/s==J*-«V*==J-j/"^ (в>0). (20')
Этот интеграл зависит от параметра а. Если это равенство продифе-
ренцировать п раз по а (интегралы, получающиеся в результате дифе*
ренцирования, равномерно сходятся для всех значений а^Я0>0), то
получится:
о
и, следовательно,
оо
3 J 2 у а 2яал
о
eTl/"f^W «*>0; «=0,1,2,...). (21)
С помощью этого интеграла мы можем вычислить также и
следующий (почленное интегрирование в данном случае допустимо):
оо оо оо
I4^e^cos^xdx^ijdxe^^i^^^
9 о л=о
оо °° оо .
Li {2п)\ .Г Х aX~Li(2n)l 2 у a hi (4&~~ I
л=0 0 л=0 i

§ 4 Вычисление некоторых определенных интегралов 265
Ь) Рассмотрим теперь интеграл
/JjrWS),,.
Этот интеграл при а = 0 переходит в интеграл Лапласа. Продиферен-
цируем его по а:
оо
da J x*
о
Сделаем подстановку (а>0):
а^ adv х2 .
х~ у ' *— у — 2Г •у>
мы получим;
с»
— =—2W v >s/rfy =— 2/.
«я .1
Мы пришли к диференциальному уравнению относительно /.
Интегрируя его, получим:
Чтобы определить постоянную С, положим я = 0. В таком случае
мы получим, что /= —— и, следовательно,
[e~^ + *'dx=^e-** (a>0). (23)
о
Заменим в формуле (23) а комплексным числом, определяемым
из равенства:
а* .
. е. положим
Лы получим:
az _ — /
2
1-М
а = —i—a.
2
оо
Г — — l/lr

26& , Приложение
Приравняв друг другу мнимые и действительные части этого равен*
ства, мы найдем:
сю
I
е~*cos £zdx = ^Г *"~acos a> (25)
2л:2
6
e~* sin ~ dx=Kre~a*in «• (26)
2дг2 2
о
i
с) Чтобы вычислить интеграл:
2
0
заменим a2 в знаменателе равным ему выражением д2 cos2 <p -j- a2 sin2 <р
и разделим числитель и знаменатель на cos2 ср. Мы получим:
У а2 -+- £2 |/а2 -f- £2 cos2 cp
приведет нас к цели:
оо
/- '^Г-^-—^^ (а>0). (27)
j/a2-j-£2J 1+j/2 2^a2-f*2 *
о
Если в качестве пределов интеграции взять 0 и тс, то значение
интеграла (24) увеличивается вдвое, т. е.
к
^^_ = _^== (в>0). (27')
a2 + £2cos2<p j/a2-|-£2
d) В § 42 нами был рассмотрен один из так называемых
интегралов Дирихле:
оо
* sin Ъх .
ал:,
OG
л;
о
и там было показано, что этот интеграл сходится. Изменение знака Ь
влечет за собой изменение знака подинтегральной функции, а
следовательно, и знака интеграла. Наконец, при 6=Q интеграл равен нулю,

§ 4 Вычисление некоторых определенных интегралов 267
С другой стороны, очевидно, что, умножив числитель и знаменатель на b
и сделав замену "переменных Ьх — х\ мы будем иметь (£>0):
' оо оо
Cslnbxd(bx) fsinx' f
) Тх )~xT~dXt
т. е. наш интеграл не зависит от Ь, иначе говоря, этот интеграл
постоянен относительно b при Ь^>0. Поэтому этот интеграл, будучи рас*
сматриваем как функция от Ь, должен претерпевать разрыв при £ = 0.
Рассмотрим интеграл
оо оо
1
-ах
\ e~axdx = -
о
а (ОО).
Эгот интеграл сходится и в том случае, когда*а является
комплексным числом, т. е.
оо
\g-(a+»)xte = _*=±Zl* (а>0).
J а -j- ib a2 4~ Ьг
о
Приравнивая друг другу мнимые и действительные части этого
равенства, мы найдем значения двух интегралов:
оЬ оо
I e~**cos bx dx= 9 а ,у, \ е~ахsin bxdx= 9 , ._. (28)
о о
Первый из этих интегралов проинтегрируем вторично по Ь:
ь оо оо ъ оо
I db \ е~а* cos &*:*/.*; = \ e~axdx \ cos bxdb= I
оо оо о
г«^Ля
Г db
а) а» + *а —
arctg
о
Полагая а = 0, мы придем к уже знакомому нам результату:
ос
.1
оо
'^*-у (*><>). (29)
о
Итак, этот интеграл Дирихле представляет собою разрывную
функцию от Ь, которая при b > 0 постоянна и равна —, при b -•= 0 равна
* ^ л ' тс
нулю, при лфбом Ь<^0 равна — —.

268 Приложение
е) Рассмотрим еще некоторые интегралы, связанные с функцией
Бесселя J0(x). Функцию Бесселя У6(лс) мы в § 42 [формула (132)]
определили как интеграл:
JQ (bx) = 2~ \ е*Ьх cos ш dm = — I cos (bx cos m) dm.
Умножим этот интеграл на е~ах и проинтегрируем полученное
произведение по х:
QO ОО *
1 е-"*^ (bx) dx = — I e~ax dx I cos (bx cos со) rfw.
о о ^
Изменим порядок интеграции:
oo * оо
1 е*** J0 (bx) dx= — I dm \ *-e* cos (bx cos со) я?лг.
о bo
Значение последнего интеграла дается нам формулой (28) (роль Ь в
данном случае играет b cos m). Следовательно,
оо
J ч w J a2+£2cos2a> ya2+b*m
(30)
Можно показать, что этот интеграл будет сходиться и в том
случае, когда действительное число а мы заменим мнимым а/, если только
а—действительное положительное число. Таким образом:
оо
I e™JAbx)dx=-yJL==i<
J ov j/£2—a2
о
Если £2> а2, то —===== представляет собою действительное число.
Г !/*« —а* .
Разбив последний интеграл на действительную и мнимую части, мы найдем:
оо оо
I cosaxJ0(bx)dx — —=====., I sinaxJ0(bx)dx = 0 (62>а2). (31)
о о
Если Ь%<1а?, то , является чисто мнимым числом, и мы
V»— а*
аналогично предыдущему получим:
оо оо
ГcosaxJ0(bx)dx = О и \ sinaxJ0(bx)dx= -7^==== (Ь2<а?). (31')
J J \/a' — b2
о о *
С этими формулами мы встречаемся еще в главе VIII (ч. II),

§ 5
Линейные диференциальные уравнения
269
§ 5. Линейные диференциальные уравнения (в действительней
области), а) Линейное диференциальное уравнение /г-го порядка в самом
общем виде записывается так:
X*7tt +" ^Т^г^ -•-ЛтХпу = Р,
dxn
ldxa
(32)
где коэфициенты Х0, Хл, .. Г, Хп, Р суть заданные функции от х,
а^х^Ь. При этом предполагается, что все эти функции непрерывны
в интервале а^х^Ь и кроме того что X0j^0 в этом интервале.
Если Р=0, то это диференциальное уравнение обращается в
следующее:
day j v dn-*y
X°d^+Xl
dx*"1
+ Хлу = 0.
(33)
Диференциальное уравнение в этом случае называется однородным.
Неоднородное уравнение легко сводится, как мы это покажем дальше,
к однородному, а потому мы сначала займемся исследованием
однородных уравнений.
Частное решение диференциального уравнения (33) однозначно
определится, если задать его значение и значение первых (п—1) его
производных в какой-либо точке х0 интервала (а, Ь). Таким образом какое-
либо решение может обратиться в нуль вместе со своими п—1
производными в том и только в том случае, когда это решение сводится
к нулю тождественно.
Ь) Рассмотрим зависимость уравнения от произвольных постоянных.
С этой целью докажем следующую лемму.
Пусть функции уг ,у2, ..., уп представляют собою решения
диференциального уравнения (38). В таком случае детерминант:
1F =
Уг
dvj
dx
d*yx
dx*
d"-b,
Уг
dy,
dx
d%
dx*
daZlJ«
••• Уп
dy„
dx
&Уп
dx6
Р-Ьп
dx"-1 dxa~* '" dx"-1
(34)
либо не обращается в нуль ни в одной из точек интервала a^x*^bf
либо во всем интервале тождественно равен нулю. В этом последнем
случае между функциями уг, у2 , ..., уп существует линейная зависим
мость с постоянными коэфициентами:
*1Л + '2Л+--.+*яЛ = °>
причем хотя бы один из коэфициентов отличен от нуля. Мы говорим

270 Приложение
в этом случае, что функции уг, у2,...., уп линейно зависимы. Обрат*
ная теорема также верна: если функции уг, у2, ..., уп линейно
зависимы, то детерминант W должен тождественно сводиться к нулю. Этот
детерминант называют детерминанто м Вронского от функций у1,
Учу ...,Л# Продиференцировав W согласно правилу о диференциро-
вании детерминантов и заметив, Что детерминанты с одинаковыми
строчками обращаются в нуль, мы найдем:
dW
dx,
У1
dy-,
dx
d"-2y,
dxa~2
d^
axn
Уг ...
dy2
« • • •
dx
dx"-* *••
d"v2
dx" '"
dx
d"-*yn
dxa~2
dnyn
dxn
Умножив строки этого детерминанта соответственно на Хп, Xn_lt ...,
Хг, Х0 и прибавив полученные таким образом п — 1 первых строк к
последней строке, мы придем в силу (33) к диференциальному уравнению:
Решим это уравнение:
т. е.
X,
dW
dx
= — XxW.
d\nW_ Хг
dx ~"
V
W = const *e
.j»
dx
(35)
Согласно сделанному выше замечанию это решение является
наиболее общим. Мы вицим также, что либо UP=0, либо W не
обращается в нуль в интервале а <; х ^ Ь.
Если 1^=0, то постоянные сЛ , с2, ..., сп можно выбрать таким
образом, чтобы хотя бы одно из них не равнялось нулю и чтобы в то
же время в произвольно заданной точке х = х0 интервала (а, Ь)
удовлетворялись уравнения:
сгУг + с2У2 +
С* dX +С2 dX
dn-1y1 , dn^y(y
dx1
-^4~c
2 dx11-1
■f •••+<*
dxn~*
= 0,
(36)

§5
Линейные диференциадьные уравнения
271
а это означает, что решение /
v=^i^i + с2у2 + ... + спуп (37)
вместе с п—1 своими первыми производными в точке jc==a:0
обращается в нуль. В таком случае это решение должно обратиться в нуль
тождественно, а следовательно, в этом случае должна иметь место
вышеуказанная линейная зависимость. Обратно, если ул,у21 •••> Уп линейно
зависимы, то должны {шеть место равенства (36), в предположении, что
хотя бы один из коэфициентов с£^0, следовательно, W=0 в какой-
либо точке аг = л:0, т.е. DP=0.
Систему решений уг, у2, ..., уп% для которой ВР^О, мы
называем фундаментальной системой. Любое решение у уравнения (33) можно
представить, и притом только одним способом, в виде суммы:
У=^Уг + '2.У2 + • • • +^Л- (37')
Действительно, для этого достаточно определить п постоянных
cif с2> •••* сп TaKHVI образом, чтобы это равенство и п—1 равенств,
полученных отсюда С помощью п—1 последовательных диференциро-
ваний, выполнялись при каком-либо значении х—х0. В таком
случае (37') будет выполняться тождественно. Однозначность определения
коэфициентов cv является непосредственным следствием линейной
независимости функций фундаментальной системы.
С помощью линейного преобразования:
«2 = а21Л + »22Л+---+а2ЯЛ» I ,ooi
"«^«яЛ + *лУг + • • • + аппУп. )
детерминант которого отличен от нуля, фундаментальная система
решений ух% у2, .,., уп преобразуется в другую систему решений, которая
также является фундаментальной.
Действительно:
|«1
н
|и<я-
-1)
«ч
«•
"2
-1)
• • •
• • •
• • •
«я
<
ипП-
-1)
\У\ У2 ... Л
\У\ У'з •••/,
уя-1) у(п-1) щщ^п-Х)
ап а,2 ... я1л
^21 ^22 • • • ^2я
ая1 Яв8 • • • апп 1

272 Приложение
с) Рассмотрим теперь следующие диференциальные выражения,
первое из которых представляет собою левую часть уравнения (3):
F(y)»*0УЛ) +*1У"-1) 4- • • • + хлУ, ч
F' (у) = дЛ-0У«-« + (л -1) *,.?<-» + ... + *._,.?,
Относительно v и г имеет место тождество:
(40)
г<»>
Действительно,
(41)
At*
fcy)
= гу(я)_{_ / J | *у*-«+... + *W.y.
Выберем теперь ух так, чтобы
т. е.
иначе говоря, пусть:
==5 в Я J *0 #
-л
В таком случае в уравнении р(угг) = 0 отсутствует член, содержащий
г(л-1). Таким образом любое линейное диференциальное уравнение
п го порядка с помощью одной квадратуры можно свести к новому ди-
ференциальному уравнению того же порядка, в котором отсутствует
производная (я—1)-го порядка.
Обозначим теперь через .у решение заданного уравнения F(y) — 0.
Полагай у=уггу мы получим уравнение:
^(я)/ч«) (j^) *<*-i>/*(«-!> (jf,)
я!
(я —1)!
f ...+*'Я(Л) = °>
в котором член, содержащий г, отсутствует, так как F(yj = 0.
Положим г'=ав я, г ==f я rfjc. Функция я должна быть решением диференци-

§ 5 Линейные дифврвнциальные уравнения 273
ального уравнения не выше (п — 1)-г© порядка. Так как FW (уг) — п\ X^yv
то (если только уг отлично от нуля) порядок этого последнего
уравнения должен в точности быть равен п—1.
Вообще если известны k решений уг, у2, .,., yk данного
уравнения, и притом детерминант Вронского Wk для функций уг, у2, ..., yk
отличен от нуля, то данное диференциальное уравнение с помощью
п — k квадратур можно свести к уравнению (п — &)-го порядка.
Действительно, пусть
У = \Уг+\У*+ •• • 4ЛЛ> («)
причем предполагается, что k функций уг, у2, ..•, ук связаны между
собою ft—-1 уравнениями:
ад+ад+.--+ад=о, (43)
В таком случае
У =^Х + Х2^2+ • • • +hy't.
«••«•.••••«..••..••в
где /\ представляет собою однородную линейную функцию от Х^
Х2, ..., Хд и от v производных этих функций (у=1,2, ..., п — ft-f1)»
Подставив эти выражения в данное диференциальное уравнение, мы
придем к линейной зависимости между функциями Xv и их п — k ~f-1
первыми производными. Функцию уг, .у2, ..., ул представляют собою
решения нашего уравнения, а потому функция j/ (42) будет наверное
удовлетворять нашему уравнению, если множители Х^, ^, ..., Хл будут
постоянны.
Следовательно, в полученной нами в результате подстановки
линейной зависимости члены, содержащие Х1, Xg, ..., Хл, отпадают, и у
нас остается уравнение:
«Pdi, х;,..., х;, *;,..., xf«~*+i))=0
только между функциями Xj, Х^, ..., Х^ и их п — k производными.
В каждой точке интервала а ^ х «^ Ъ по крайней мере один из
адъюнктов, соответствующих последней строке в детерминанте Wk, не
обращается в нуль. Поэтому можно принять, что детерминант Вронского
для функций уг, у2, ..., уя по крайней мере в некотором интервале
а^х^а не обращается в нуль (в случае необходимости можно
вместо целого интервала взять его часть). Но в таком случае из уравнен
18

274 Приложение
ний (43) следует, что k — \ функций XJ, ^, ..., Х^ можно линейно
выражать через Х^. Подставляя эти выражения для \1, X2,...f Хл-1
в уравнение
мы получим диференциальное уравнение (п — &)-го порядка
относительно Х^. Порядок этого уравнения в точности равен п — kf если
только исходное уравнение было я-го порядка, иными словами, не все
коэфициенты в этом уравнении могут обратиться в нуль.
Действительно, члены, в которых производные от Х2, Х2, ..., \fc имеют наивысший
порядок, суть:
Из равенства (43) следует, что функции Х2, Xg , ..., Х^ пропорциональны
адъюнктам Y&~1\ Y&-1\ ..., Yf~~l) детерминанта Вронского Wk. Но
а потому порядок диференциального уравнения относительно \ не
может быть ниже, чем п — k. Функции X, , Xg, ..., Х^ получаются из их
первых производных путем интегрирования.
Пример. Предположим, что нам известна функция уг (уг ф. 0),
служащая решением диференциального уравнения:
т. е. рассмотрим случай, когда &=1. Полагаем у^ж\гу^% Тогда
и, таким образом,
КУг + (ЩЛ-Х1У1П[-\-(у"1 + Х,У1 + Х2у1П^0,
^Л + (2У, + -Х"1Л)Ч
последовательно,
_».»__» _*i; lnYl = -21ny1-^X1dx + C,
у=ауЛ —^—dx+Byv
А, В и С в этих формулах суть постоянные интеграции.

§ 5 Линейные диференциальные уравнения 275
d) Умножив левую часть F(y) уравнения (33) (Х0=* 1) на функцию ji,
имеющую непрерывную производную /г-го порядка, и интегрируя по
частям, мы получим:
= jiy(n-D — ji'y°-2) -j- ji"y-3> — ... 4-
+ (jlY^C-2) — Oi^yy-i» +
+ (-1)° lУ Wa) ~ (д^)(«-«+(^)<«-»—.. .+
Таким образом, если ц удовлетворяет диференциальному уравнению
^•-^(^i) + ^ri(^f2)-../+(-l)e^„ = 0, (45)
то уравнение (33) сводится к уравнению (п—1)-го порядка
относительно^, содержащему одну произвольную постоянную. Функция \х
называется множителем оператора (диференциалЬного выражения) F(y).
Полученное нами диференциальное уравнение (45) называется
сопряженным диференциальным уравнением.
Если сопряженное уравнение имеет решение у — const, то оператор
F(y) называют точным диференциальным оператором.
е) Общее решение неоднородного диференциального уравнения (49)
получается, если к какому-либо частному решению этого уравнения
добавить общее решение соответствующего однородного уравнения:
^=Л+ <тЛ +<ЬУ%+ • • • +*|Л- (46)
Действительно, полученная таким образом функция у, очевидно,
удовлетворяет неоднородному диференциальному уравнению. С другой
стороны, разность двух решений у и у0 уравнения (3?) должна
удовлетворять однородному уравнению (33). В выражение (46) входят п
постоянных, т. е. ровно столько постоянных, сколько входит в общее
решение однородного уравнения.
Чтобы найти Частное решение неоднородного уравнения, будем
исходить из фундаментальной системы решений уг, у2> ,.. , уп
соответствующего однородаого уравнения и положим
■У —*1Л + >Л + • • • +КУ*
При этом входящие в это выражение п функций lv Х2, ... , \п мы
подчиним п—1 условиям (метод вариации постоянных):
Куг* '+ wr*+♦.'. + x;>i-2>=о.
18*
(47)

276
Приложение
Из этих условий следует:
U48)
у»)=^-f... 4-М,'0 4-W1» 4- • • • +Wrl)- )
Подставив эти выражения в заданное диференциальное уравнение,
мы получим:
\[ХоУр + Хг^-х) + ... + ед +
4-чх^р4-*,>$•-« + • • - + ВД4-
4Л[«')4-^Г1>4-...4-ад4-
Все выражения в квадратных скобках, за исключением последнего,
равны нулю; оставшееся равенство представляет собою линейное
уравнение относительно \'v X!j, ...,Х^ Это уравнение вместе с системой
уравнений (47) вполне определяет функции Хр Х^, ... , \'п. Функции
Х2, Хз». • •, Хя получаются затем путем одной квадратуры.
f) В заключение рассмотрим линейные диференциальные уравнения
с постоянными коэфициентами:
^+^£^+•••+^1+^==° <49>
(#!» clv ... ydn — постоянные). Такие выражения интегрируются в
предположении, что их решения имеют вид: у = е5х. Мы имеем:
dx~Se ' dx*~Se^ '-'" dx«~*e -
В результате подстановки мы получим: о
е*х (sa + а^-1 + 0,5я"» + • • • + *л) = 0.
Постоянный множитель 5, входящий в показатель степени, должен,
таким образом, „ удовлетворять так называемому характеристическому
уравнению:
F(s)EEEs* + a1s"-i + a2s*-2+...+an = 0. (50)
Если все корни sv s2, ... , sn этог© уравнения отличны друг от
друга, то мы получаем п частных решений:

§5
Линейные диференциальные уравнения
277
Детерминант Вронского для этих функций имеет вид:
е*** &# ### ^пх
$ге*1*
s2e***
sne?«*
5я-1 ^х
sn~\ess
5 *(*!+*+----Мп)*
«J—1 s»~x
сЛ-1
Этот последний детерминант, как известно, равен:
(Sn — Sl) (Sn — SJ • • • (Sn — *«-l) (Sn-1 — Sl) (Sn-1 —$2)-*-(S2—Sl)¥z 0.
И так как согласно нашему предположению корни slf s2, ...,*„
отличны друг от друга, та детерминант Вронского не равен нулю*
Следовательно, наши функции линейно независимы.
Рассмотрим теперь тот случай, когда уравнение (50) имеет кратные
корни. Заметим, что уравнение:
-{ ane**—e?*F{s)
dx*
dxn
после (J—1)-кратного диференцирования по s сводится к следующему:
dnrf^e** , tf»-i(*f-V*)
> «**1У- ^(s) + (j - \)xl-*F' (s) -f ■. -.. +/?С/-1)<*)].
^сли s3 является jx-кратным корнем уравнения Р($)~*0, т. е. если
то правая часть уравнения (51) при $ —s2 обращается в нуль, если
только у < (л. Отсюда следует, что функции
а также и функция
3> = &* (сг + ^ + ... + c^h-1) -f с^*** + • • • + *ЯА-И-**,
в которую входят п произвольных постоянных cv с2, ... ,сп,
представляют собою в данном случае решения уравнения (49). Обозначим 4fpe3
sv $2y... отличные друг от друга корни характеристического
уравнения F(s) = 0t и пусть jjtj, \3v .., суть кратности корней »того
уравнения. В данном случае выражение:
Р1(х)е'** + Р2(х)е*** + ..., (52)
где Рг{х)у Р2(х) суть произвольные многочлены соответственно степеней
jij — 1, jx2— 1, . •. , является решением диференциального уравнения (49).
Это решение есть общее решение, так как выражение вида (52) может
обращаться в нуль тождественно в том только случае, если все много*
18** Вебстер»

278| Приложение
члены Рг(х)9 Р2(х) обращаются в нуль тождественно, что, как легко
показать, невозможно. Пусть | $г | ^ | s21 ^ ... , s2 =^ 0. Заменяя х
через —, мы можем, не нарушая общности, положить
s1=l, &ts2<l, 9^53<1 ...
Если выражение (52) разделить на Р2(х)е* и перейти к пределу при
х—►-j-oo, то получится единица, — результат, который противоречит
тождественному обращению в нуль выражения (52)..
Если все коэфициенты в уравнении (67) действительны, то всякому
комплексному корню характеристического уравнения соответствует
другой сопряженный ему корень того же уравнения, причем два таких
сопряженных комплексных корня имеют одинаковую кратность. Пусть,
например, Sjsaa + zp, s2 = a— /р. Так как
е*$* — cos $x -f- / sin fbr,
то первые два члена решения принимают следующий вид:
** {[PiW + ВД] cos рлг +I [Рг{х) - Р2(х)] sin И. (520
При этом Рг(х) и Р2(х) суть любые два многочлена (р.г — 1)-й степени,
где, |х есть кратность корня sv Поэтому выражение (52') можно
переписать и так:
*•*[<?! (х) cos Р* 4- Q2(x) sin fix],
где через <Зг(х) и Q2(x) обозначены также два произвольных
многочлена (}JLj — 1)-й степени. Если мы хотим ограничиться только
действительными решениями, то надо полагать, что (Зг(х) и Q2(x) — два
произвольных многочлена с действительными коэфициентами. Остальные
члены в выражении (52) преобразуются аналогично.
Линейное диференциальное уравнение вида:
eo<a* + *)"0+ei(e*+*>e"1 £р£+ — +а*У = ° (МО) (53)
можно привести к уравнению с постоянными коэфициентами с помощью
преобразования:
ах -f- Ь — аеК
Действительно,
dx = *dt; £ = §«-'.
ах at
Же* Л* Л
Подставляя эти выражения в уравнение (53), мы придем к
уравнению с постоянными коэфициентами.

Указатель
Аналитические функции 10—13
Безвихревое поле 30—31, 47, 72, 73
Бесселевы функции 182-183,
235—236, 268—269
Билинейная формула 159, 167, 184
Вариация постоянного (метод) 275
Вебстера фотометр 173—174
Векторное поле 20—21,28-34,70-72,
см. также Безвихревое поле, Соле- -
ноидальное поле
Векторные линии (траектории) 21, 86
Векторы 13—38, 44-77,
см. также Скалярное произведение,
Дивергенция вектора, Ротор вектора
— в я-мерном пространстве 140
Взаимная энергия, см. Энергия
Взаимности теорема Максвелла, см.
Максвелла теорема взаимности
Влияние коэфициента, см. Коэфи-
циенты влияния
Волновое уравнение 46, 47, 59, 77, 78
в одном измерении 107—114,
135-136
в двух измерениях 251—252
в трех „ 219-225
решение Д'Аламбера
(одномерный случай) 106—109, 186, 218
Пуассона-Парсеваля
(двумерный случай) 252
Пуассона (трехмерный случай)
221-222
Волны 111-112,
см. также Колебания
— периодические 240—244
— плоские 50, 79
— стоячие 243-251
— электромагнитные 78
— длина волны 114
— след волны 232, 240, 252
Вращение (поворот) 28—29, 62,
см. также Кручение
Вронского детерминант 270—274
Гамильтона принцип 41—43, 129
Гармонические колебания, см.
Колебания *ор&
Гаусса кривая погрешностей 263
— теорема о дивергенции 33—36
Гидродинамики уравнения 44—45
50-51
Гиперболического типа диференциаль-
ные уравнения, см. Диференциаль-
ные уравнения
Гиперповерхность 36
Главные оси. 121, 138—140, 171—
172
— колебания, см. Колебания
Градиент 20, 23, 30—31, 37
Грина формула 178
— функция 148—156, 158-159, 164
167, 176, 178-186, 191
— свойства симметрии 150, 159, 178
<*
Давление 44—51,
см. также Сжатие, Объемное
расширение
Д'Аламбера оператор 77
— решение волнового уравнения
107—109, 186, 218
Движения уравнения Лагранжа 44—46
Ньютона 43
Двойной предельный переход 255—259
Деформация, см. также Изгибание,
Объемное расширение, Растяжение,
Сжатие
— линейная бесконечно малая 23—
30, 54-58
однотюдная 23—24
потенциал д. 25
Дивергенция вектора 29—36
теорема о д. Гаусса 33—36
Дилатация, см. Объемное расширение
Динамическая теория 144—147
Дирихле интеграл 196
— условие 196—212
Дисперсия 187, 242
Диффузия 79—243
Диференциальные уравнения
математической физики 9—79
гидростатики и акустики
(уравнения Эйлера) 44—46
теории упругости 51—58
теплопроводности, см.
Теплопроводности уравнение
колебаний струны 48—49, 79,
107-114, 129-131, 156—159, 216 —
218,
см. также Волновое уравнение в
одномерном пространстве

280
Указатель
Диференциальные уравнения
колебаний мембраны 49—50
колебаний стержня 60—63,186—
194
колебаний пластинки 63—65
колебаний тяжелой цепи 177-—
173
малых колебаний 115—120
вынужденных колебаний ltO—
182
обыкновенные, линейные 177,
269-276
с частными производными 1-го
порядка 80—102
однородные 84
линейные 84—90
2-го порядка (общий вид)
79, 106-107 ч
Бесселя, см. Бесселевы функции
Лежандра 185
Эйлера 104—106,
см. также д. у. гидродинамики и
акустики
Диференциальные инварианты 22—23,
Диференцируемость 11—12, 37
Диэлектрическая постоянная 72
Емкость 67—69
Жидкость несжимаемая 32
вязкая 59—60
- Затухающие колебания 212—214
Звуяа распространение 45 - 48, 51, 60,
77, 79,
см. также Волновое уравнение
— источник "46—-48 ^
Зубцевидная функция 148, 191, 229
Изгибание 64—66
Излучение, см. Тепло, потеря при
излучении
Инварианты 22,
см. также Диференциальные
инварианты
Индукция (электрическая и
магнитная) 72-77
Инерции коэфициент 116
— момент 62
Интеграл. Некоторые формулы
определенных интегралов 263—269,
см. также Бесселевы функции
Интеграл диференциальных уравнений
в частных производных 1-го порядка
90—93, 100—163
Интегральные поверхности
диференциальных уравнений 81—102,
107—110
Интегральные уравнения 132, 155,
159—163, 177, 180-182, 191—214
ядро и. у. 160, 184
Интегральные уравнения резольвента
и. у. 182
билинейная формула 159, 167,
184
решение Е. Шмидта 163, 182
Источник 36, 47, 63,146—158,164-166,
см. также Сосредоточенный
источник, Функция представления с
помощью источника
Касательные напряжения 52—57
Кастильяно теорема 122
Квазистатическая теория 147
Кинетическая энергия, см. Энергия
Колебаний уравнение, см. Волновое
уравнение
Колебания струны, по которой
ударяют молотком 141—143
— нити, нагруженной дискретными
массами, 124—126
— воздуха в трубе 111—112, 163—176
— вынужденные, см. Резонанс
— гармонические 115, 120
— главные 121, 132, 140, 164, 171
187, 188
— затухающие 112—114, 117
— температуры 243,
см. также Стационарный поток
— малые, см. Диференциальные
уравнения
— периоды к. 113—114
Колебания, частота к. 113, 117, 12fr—
128, 140, 143-145, 155
— число к. 112
— струны, мембраны, пластинки,
стержня, тяжелой цепи, см.
Диференциальные уравнения
Комплекс кривых_ 98
Конвекционный ток 76
Конгруэнция кривых 88
Конус касательных плоскостей 81—84
— нормалей 82
Концевая система (зажимный аппарат)
168-172
Коши задача в диференциальных
уравнениях с частными производными
1-го порядка 83—102
— 2-го порядка 107
— метод интегрирования
диференциальных уравнений 215—224
Коэфициенты влияния 121, 130
Кривая погрешностей Гаусса 263 *
Кручение 55, 64
Кусочно-непрерывные функции 11,202
Лагранжа уравнения движения 44—46
— уравнение для частот 118—120
— координаты 39—43
Лапласа диференциальное уравнение,
Лапласа оператор 31, 32, 78
Лежандра полиномы 186

Указатель
281
Магнитодвижущая сила 73—74 -
Максвелла теорема взаимности 122
— уравнение 72—78
Матрицы, см. Обращения матриц метод
Мембранная, см. Диференциальное
уравнение колебаний мембраны
Многомерное (л-мерное) пространство
37—67, 102
Мощность 36, 148
Напряжение (натяжения) 50—65
— оси н. 52
Непрерывность 9—12, 37, 255,
см. также Кусочно-непрерывные
функции, Равномерная сходи мо ть
Нечетные функции 111
Нормальное напряжение 52-54, 56,62,
Нормирование фундаментальных
функций, см. Фундаментальные функции
Ньютона уравнения движения 43
Обертоны гармонические 115, 143,
164, 175
Обобщенные компоненты и
координаты (Лагранжа) 39—43,
см. также Энергия
Обращения матриц метод 122—124,157
Объемное расширение 25—29, 54—58,
111—112, см. также Сжатие
чистое 24—29, 56
Ортогональность, ортогональные
системы, ортогональные функции 140,
183, 189
Основной тон 114
Отвод электричества в землю, см.
Электричество
Охлаждение пластинки 248—251
Парсеваля решение, см. Пуассона-Пар-
севаля решение
Прерывающая сила 61, 187
Периоды колебаний, см. Колебания
Пластинка, см. Диференциальные
уравнения, Теплопроводность
Плоские волны, см. Волны
Плотность (объемная, поверхностная
магнитного и электрического потока
источников и т. п.) 38, 44, 51, 53,
66-69, 76—77, 127, 152, 185
Поверхности вращения 89—90
уровня 18—20, 31
цилиндрические, см.
Цилиндрические поверхности
Полный ток 74
Поперечного сжатия коэфициент
Пуассона 58, 66
Потенциал электрический 66, 74, 78,
111-112
— вектор-функции 31, 77
— векторный 77
— скоростей 47—48
Потенциальная энергия, см. Энергия
Потеря тепла, см. Тепло, потеря при
излучении
Поток вектора 33—35, 70—71
Предел последовательности и функции
254-255
Пуассона коэфициент (поперечного
сжатия^ 58, 66
— решение волнового уравнения
221-222
Пуассона-Парсеваля решение
волнового уравнения 252
Равномерная сходимость 137, 200—
201, 204, 205, 259, 262
Растяжения оси 25—27, 56—57
Расширение объемное, см. Объемное
расширение
Резольвента интегрального уравнения
181
Резонанс (вынужденные колебания)
143, 147, 154-156, 176, 190—191,
213-214
Релаксации расстояние 24S
Реле принципы 140, 150
Ротор вектора 30-32, 59
Самоиндукция, см. Телеграфное
уравнение
Сдвиг 28, 54, 65
Сжатие (сгущение) 25,34, 45—46, 111,
163—173, 223
Силовые линии 21
Скалярное произведение 15—20, 140
Собственная энергия, см. Энергия
Собственные функции (числа), см.
Фундаментальные функции
Соленоидальное поле 32, 33
Сосредоточенный источник 148—153
158, 227-229
Спектр 211, 212
Сплошности уравнение 35, 51
Статическая теория 145—146, 158
Стационарный поток 78, 244
Степени свободы 9, 39—43, 139
Стокса теорема 70—72
— правило 109, 238
Струна, см. Диференциальные
уравнения
Сферический треугольник 237
Телеграфное уравнение 68—69, 79,
233-240
Температура, см. Колебания
температуры
Тепло, потеря тепла при излучении 69
Теплопроводности уравнение, общее
69, 233, 243-251
Фурье 38, 79, 224—233
Ток полный, см. Полный ток

282
Указатель
Ток проводимости 74—76
— смещения 74
Точный диференциальный оператор
275
Тригонометрические ряды, см. Фурье
ряд
Труба, см. Диференциальные
уравнения колебания воздуха в трубе
Трубка тока 32
Тяжелая цепь, см. Диференциальные
уравнения
Узлы и узловые линии 1S@—113, 164
/Упругости уравнения 51—60
— коэфициент для воздуха 46, 173
— модуль Юнга 58, 66
— постоянная 54, 689
Уровня поверхности, см. Поверхности
уровня
Устсйчивости коэфициент 116, 122
Фазовая скорость 241—243
Фарадея закон 67
Фундаментальная система решений
271-275
фундаментальные функции и
фундаментальные значения 132, 139—140,
157—172, 176-191, 249-251
Фундаментальных функций
нормирование 140, 158, 183-184
Функциональное пространство 140
Функциональные детерминанты 253—
254
Функция, представленная с помощью
источников 152, 155
Функция точки 18—20
Фурье интеграл 204—218, 221
Фурье ряды 113-115, 132—143, 162.
167, 170-172, 192-204, 245, 247
Фурье уравнение теплопроводности
39, 79, 224—233
Характеристики диференциальных
уравнений 1-го порядка 93—102
— однородных 88—90
Цилиндрические поверхности 58—89.
106-111
Частота колебаний, см. Колебания
Четные функции ПО
Числовая последовательность 254
Шмидта Е. 'решение интегральных
уравнений 163, 182
Эйлера уравнения, гидродинамики
44—45
Электрический ток 37—38, 66—69,
78, 174 '
Электричество, отвод в землю и утечка
67—68
' Электромагнитное поле 72—78
Электродвижущая сила 73
Элемент поверхности 93—99
Энергия взаимная 40, 121, 171
— собственная 40
— кинетическая и потенциальная 39—
41, 115-116, 129, 157, 168-175
Эхо 111
Юяга модуль упругости 58, 66
Ядро интегрального уравнения 160—
184
1

ОБЪЕДИНЕННОЕ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ВЫШЛИ ИЗ ПЕЧАТИ
К. ПОССЕ
Курс интегрального исчисления
Издание, переработанное проф. И. И. Приваловым
Стр. 484. Цена 6 р. 25 к., пер. ! р.
V
В. ГРЕНВИЛЬ и Н. ЛУЗИН
Курс диференциального и интегрального исчисления
Ч. И, Интегральное исчисление
Стр. 302. Цена 3 р. 80 к., пер. 1 р.
Л. БАУМГАРТНЕР
Теория групп
Перевод с немецкого В. И. Контовта, под редакцией С. А. Ч у н и х и ц а
Стр. 120. Цена 75 к.
ВЫХОДЯТ ИЗ ПЕЧАТИ
Ф. КЛЕЙН
Элементарная математика с точки зрения высшей
Т. II, Геометрия
Перевод с третьего немецкого издания под редакцией ДА. Крыжановского
23 авт. л.
Э. ГУРСА
Курс математического анализа
Т. III, ч. II, Интегральные уравнения и вариационное исчисление
Перевод с четвертого французского издания под редакцией проф. В. В. Степ а-
нова* 20 авт. л.
С- БЮШГЕНС
Аналитическая геометрия
20 авт. л.

Редакция Г. А. Сухомлинова. Оформление Я. Д. Костиной. Корректура М. X.
^ Яковлевой. Выпускающий В. П. Моров.
ГТТИ Ms 116. Тираж 5000. Под п. в печ. с матриц 25/1-35 г. Формат бумаги
62 X 94. Авторск. лист. 23. Бум. лист. 87/8. Печати, зн. в бум. листе. JLP4 800,
Заказ № 144. Уполномочен. Глав лита В-848113. Выход в свет февраль 1935 г.
3-я тип. 0££ГИ им. V ;. >^ Ленинград, ул. Моисееако, 10.